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Bologna18 maggio 2009
materialeper discussione
Teresa Sardena [email protected]
copyright © 2008 prometeia
le distribuzioni di probabilità implicite da contratti derivatiuna misura delle aspettative dei
mercati
riservato e confidenziale 18 maggio 2009 | le distribuzioni di probabilità implicite da contratti derivati | 2
agenda
1 | Introduzione
2 | Mercati oggetto di studio
3 | Modelli di stima
4 | Opzioni ad orizzonte costante
5 | Incertezza nei dati di input
6 | Rappresentazione
riservato e confidenziale 18 maggio 2009 | le distribuzioni di probabilità implicite da contratti derivati | 3
1 | IntroduzioneMercati oggetto di studio
Modelli di stima
Opzioni ad orizzonte costante
Incertezza nei dati di input
Rappresentazione
riservato e confidenziale 18 maggio 2009 | le distribuzioni di probabilità implicite da contratti derivati | 4
Che cos’è una PDF?
I prezzi delle opzioni quotate permettono di stimare le funzioni di distribuzione di probabilità (dette in breve PDF, dall’inglese probability density functions), sugli asset sottostanti.
La PDF può essere interpretata come la distribuzione di probabilità aggregata di mercato – di un ipotetico investitore rappresentativo – per il prezzo di un dato sottostante ad una certa scadenza.
Dato che la PDF può essere interpretata come la distribuzione di probabilità aggregata del prezzo del sottostante a una specifica scadenza, le stime ottenute possono essere usate per analizzare le aspettative degli agenti economici sull’andamento di attività finanziarie sulle quali vengono scambiate opzioni. Inoltre, poiché la probabilità non è quella “vera” ma è trasformata per tener conto del rischio, le PDF rifletteranno anche le preferenze degli operatori e il grado di incertezza nell’economia.
Introduzione
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perche’ stimare la PDF? Per un dato sottostante, a partire dai prezzi delle opzioni quotate osservabili sul mercato, si può stimare la probability density function (PDF) neutrale al rischio implicita ad una data scadenza.
Tale stima può essere utilizzata sia a fini congiunturali sia a fini di pricing.
Fini congiunturali Fini di pricing
Gli indicatori costruiti usando le serie storiche dei rendimenti degli asset sono backward-looking, invece indicatori ottenuti dai prezzi delle opzioni, incorporando le aspettative sul futuro andamento del sottostante, sono forward-looking;
Le PDF permettono di estrarre la view di mercato rispetto ad un dato sottostante e di monitorarla nel tempo.
Attraverso la PDF è possibile costruire delle superfici di volatilità che permettano di prezzare opzioni sul sottostante considerato.
Tali superfici di volatilità considerano lo skew implicito nelle quotazioni dei premi delle opzioni.
Introduzione
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intuizioneOsservando i prezzi delle opzioni aventi strike diversi ma medesima scadenza si può inferire la probabilità assegnata dal mercato ai possibili esiti del sottostante all’orizzonte futuro corrispondente alla scadenza delle opzioni .
Un’opzione call a scadenza avra’ un qualche valore se il prezzo del sottostante sarà maggiore dello strike dell’opzione stessa.
Un’opzione call avente uno strike minore avrà sempre un valore maggiore di un’opzione call con strike più alto.
Un opzione con strike più basso avrà un pay-off più alto se esercitata e una più alta probabilità di essere esercitata.
Questa probabilità addizionale riflette la possibilità che il sottostante in futuro vada a cadere tra i due strike.
Se ne deduce che la differenza di prezzo può essere usata per inferire la probabilità di un esito rispetto ad un altro.
Osservando i prezzi dei contratti attraverso il range di possibili esiti è possibile ricostruire l’intera PDF.
Introduzione
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Breeden & Litzenberger
In mercati dinamicamente completi (se la funzione di prezzo delle opzioni call è una funzione continua rispetto ai prezzi di esercizio), la PDF del sottostante è proporzionale alla derivata seconda della funzione di prezzo delle opzioni call, calcolata rispetto allo strike (Breeden, D and Litzenberger, R (1978)):
Questo risultato implica che, se i prezzi delle opzioni fossero noti con certezza per tutti i possibili strike, la stima della PDF sarebbe semplicemente e univocamente determinabile tramite differenziazione.
Tale stima è particolarmente complessa, anche se l’idea di base è piuttosto semplice: la maggiore complessità consiste nel ricavare una funzione di prezzo delle opzioni call continua e differenziabile.
2
2 ),(),(
K
KTceKTPDF rT
Introduzione
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flusso dei dati | step by step
Mercati oggetto di studio
Modelli di stima
Rappresentazione delle PDF
Raccolta dei dati di mercato
Definizione della funzione di prezzo di un opzione call
Stima delle PDF
Calcolo delle statistiche di sintesi
Introduzione
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Introduzione
2 | Mercati oggetto di studioModelli di stima
Opzioni ad orizzonte costante
Incertezza nei dati di input
Rappresentazione
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quali sottostanti
Perche’ utilizziamo le opzioni sui futures?
EURUSD EURJPY EURGBP USDJPY USDGBP JPYGBP
Opz. su futures su tassi di int. a breve t.
Opzioni su futures su indici azionari
Opzioni OTC su tassi di cambio EuroSTOXX 50
S&P MIB S&P 500 FTSE 100 Nikkei
Euribor a tre mesi
EuroDollaro a tre mesi
Short Sterling a tre mesi
EuroYen a tre mesi
10Y Bund
10Y USD Treasury Bond
10 Y GBP Gilt
10Y Japanese Bond
Opzioni su futures su titoli Gov. 10Y
Mercati oggetto di studio
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Introduzione
Mercati oggetto di studio
3 | Modelli di stimaOpzioni ad orizzonte costante
Incertezza nei dati di input
Rappresentazione
Prossimi passi
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Parametricometodi che ipotizzano che il prezzo dell’attività sottostante abbia una determina distribuzione
Non Parametricometodi che non formulano alcuna ipotesi sulla distribuzione del sottostante
Formula di pricing: formula chiusa per il pricing delle opzioni usata in modo diretto;
Interpolazione: non si utilizza alcuna funzione di interpolazione;
Metodo di estrazione della funzione di probabilità implicita: minimizzazione di una funzione di perdita.
Formula di pricing: utilizzata in modo indiretto;
Interpolazione: si interpola la volatilità implicita;
Metodo di estrazione della funzione di probabilità implicita: metodi basati sul risultato di Breeden e Litzenberger;
approcci di stima
Modelli di stima
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approcci di stima | metodo parametrico
Modelli di stima
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approcci di stima | metodo non-parametrico
Modelli di stima
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Per il progetto di stima delle PDF, si sono costruiti sia un modello parametrico sia un modello non parametrico.
modelli implementati
Il modello parametrico implementato è la mistura di log-normali secondo l’approccio di Rebonato Cardoso (utilizzato a fini di pricing )
mentre
il modello non parametrico scelto il modello Cubic Smoothing Spline (utilizzato a fini di congiunturali).
0%
5%
10%
15%
20%
25%
0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8
PD
F im
plic
ita
USD/EUR
Css
Mistura Log Normali
Modelli di stima
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L’ipotesi alla base della mistura di lognormali è la seguente:
la distribuzione del prezzo futuro del sottostante è una combinazione lineare di n distribuzioni lognormali.
L’approccio di Rebonato & Cardoso (2003) si differenzia dalle altre versioni presentate in letteratura poiché, attraverso l’introduzione di un paio di condizioni, permette di ottenere una stima dei parametri attraverso un processo di ottimizzazione non vincolata.
A ) Condizione sui pesi della
distribuzione
B) Condizione sui drift neutrali al rischio
La somma dei pesi delle n distribuzioni sia pari a uno (il valore dell’opzione è una media ponderata del premio per ciascuna distribuzione lognormale).
La media ponderata dei valori attesi del sottostante negli n stati di natura deve essere pari al valore del sottostante capitalizzato al tasso risk-free sino a scadenza. (mercato privo di arbitraggio)
mistura di lognormali | ipotesi ed approccio implementato
Modelli di stima
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mistura di lognormali | step by step
• Stima dei parametri minimizzando la somma degli scarti quadratici dei prezzi del modello con i premi quotati.
APR
RO
CC
IO M
ISTU
RA
LO
GN
OR
MA
LI
Ottimizzazione I(sui prezzi)
Ottimizzazione II(sulle volatilità)
Costruzione superficie
di volatilità
Calcolare la PDF implicita come combinazione lineare delle PDF delle n distribuzioni lognormali.
A partire dai parametri stimati, avviare un secondo processo di ottimizzazione sulla somma degli scarti quadratici delle volatilità implicite del modello con le volatilità implicite nei premi quotati.
Ricavare la volatilità implicita dai premi delle opzioni calcolati con i parametri stimati.
Ottenimento PDF
Modelli di stima
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La stima dei parametri delle n distribuzioni lognormali si ottiene attaverso un processo di minimizzazione di una funzione quadratica di perdita pari a:
prezzimodello MLN – prezzimercato)2
Poiché tale metodologia ha prevalentemente lo scopo di costruire una superficie di volatilità, abbiamo introdotto un secondo processo di minimizzazione volto ad identificare un set di parametri che meglio rappresentino le volatilità implicite nei premi quotati. La seconda funzione di perdita è:
(Volatilitàmodello MLN – Volatilitàmercato)2
Una volta ottenuti i parametri delle n distribuzioni lognormali è possibile costruire una funzione di prezzo delle opzioni call, a partire dalla quale si ottengono sia le PDF che le volatilità implicite.
Modelli di stima
mistura di lognormali | stima dei parametri
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Cubic Smoothing Spline | step by step
• Calcolo della volatilità implicita e del delta per le opzioni e fitting di una cubic smoothing spline nello spazio cartesiano volatilità implicita-delta.
APR
RO
CC
IO C
UB
IC S
MO
OTH
ING
SPLI
NE
Fitting e interpolazione
Trasformazione Coordinate
Funzione di pricing
Estrapolazione
Costruzione della PDF utilizzando il risultato di Breeden-Litzenberger (differenziazione numerica della funzione di prezzo delle opzioni call )
Trasformazione dei delta interpolati nei corrispondenti strike ed espressione della volatilità implicita come funzione degli strike.
Sostituzione dell’espressione della vol. implicita nel modello di pricing utilizzato (Black(1976)) e costruzione della funzione di prezzo delle opzioni call.
Breeden Litzenberger
Estrapolazione del comportamento della distribuzione al di fuori dell’insieme supporto.
Modelli di stima
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Stima della volatilità implicita e del delta per le opzioni osservate e fitting di una cubic smoothing spline nello spazio cartesiano volatilità implicita-delta.
CS Spline | fitting e interpolazione (1/2)
Per ottenere un fitting più accurato si preferisce interpolare lo smile di volatilità invece dei prezzi delle opzioni (E’ una semplice manipolazione dei dati).
0.09
0.1
0.11
0.12
0.13
0.14
0.15
3.5 3.75 4 4.25 4.5 4.75 5
Vol
atili
tà im
plic
ita
Tasso di interesse
Volatilità Implicita
0.09
0.1
0.11
0.12
0.13
0.14
0.15
00.250.50.751
Vol
atili
tà im
plic
ita
Delta
Volatilità Implicita
Modelli di stima
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CS Spline | fitting e interpolazione (2/2)
Utilizzo di una Cubic Smoothing Spline - polinomio di terzo grado- che permette di ottenere una funzione derivabile nel knot-point
iiiii dxxfxfy 2"2 );()1();(min
Questo metodo di interpolazione gode della proprietà di ridurre le oscillazioni indotte dai dati di mercato sulle opzioni che sono “noisy” e aumentare la smoothness della spline cubica.La funzione obiettivo è costituita di due parti, la prima rappresenta la scabrezza dei dati, ossia la media pesata della differenza tra i dati osservati e i dati riprodotti dalla spline, mentre la seconda parte minimizza l’integrale del quadrato della curvatura della spline stessa.Il parametro di smooting è di grande importanza poiché se fosse troppo alto la procedura assegnerebbe un elevato valore alla minimizzazione della somma dei residui, viceversa un valore troppo basso significherebbe enfatizzare la minimizzazione della curvatura.
Modelli di stima
Fitting Curvatura
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Ritorno allo spazio cartesiano di origine: trasformazione dei delta interpolati nei corrispondenti strike. Espressione della volatilità implicita come funzione degli strike e successiva derivazione della funzione di prezzo delle opzioni call.
CS Spline | trasformazione delle coordinate cartesiane
0.0%
5.0%
10.0%
15.0%
20.0%
25.0%
30.0%
35.0%
40.0%
45.0%
50.0%
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
3.25 3.5 3.75 4 4.25 4.5 4.75 5 5.25
Pre
zzo
Tasso di interesse
Prezzo opzioni call (asse SN)
PDF (asse DX)
Modelli di stima
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Il risultato di Breeden-Litzenberger ci dice che per ottenere la PDF e ‘ sufficiente ottenere una funzione di prezzo delle opzioni call C(X,) derivabile due volte . A partire da tale funzione si calcola la derivata seconda utilizzando un metodo numerico e la si sconta per il tasso privo di rischio.
CS Spline | Breeden-Liztenberger
Si possono utilizzare diverse tecniche di interpolazione ed estrapolazione (es. lineare costante), ma tutti i metodi non parametrici, una volta costruita la funzione di prezzo di un’opzione call , determineranno la PDF tramite il teorema di Breeden - Litzenberger.
Modelli di stima
2
11)(2
2)( 2),(
X
ccce
X
XCeSPDF iiitTrtTr
T
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CS Spline | Estrapolazione (1/2)
0.000%
0.005%
0.010%
0.015%
0.020%
0.025%
22000 24000 26000 28000 30000 32000 34000 36000 38000 40000
impl
icita
(%
)
S&P MIB (livelli)
Spline in-sample
Spline estr.lineare
Spline estr.costante
Modelli di stima
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Estrapolazione e distribuzione di probabilità neutrale a l rischio
0.0%
0.2%
0.4%
0.6%
0.8%
1.0%
1.2%
0.00% 1.00% 2.00% 3.00% 4.00% 5.00% 6.00%
PDF a O
rizz
onte
cos
tant
e-3 m
esi
Euribor (livelli)
Stima Prometeia -CSs
Stima Prometeia -CSs senza estrapolazioneStima -Bloomberg
Modelli di stima
CS Spline | Estrapolazione (2/2)
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Introduzione
Mercati oggetto di studio
Modelli di stima
4 | Opzioni ad orizzonte costanteIncertezza nei dati di input
Rappresentazione
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intuizione La stima giornaliera delle PDF estratte dai prezzi di mercato esprime la view di mercato sulle possibili variazioni del prezzo del sottostante tra il giorno di rilevazione dei prezzi e il giorno di scadenza delle opzioni in esame. Questo significa che giorno dopo giorno l’orizzonte considerato si accorcia, rendendo difficile il confronto delle PDF a date diverse.
La variazione nella dispersione della PDF è imputabile alla nuova informazione presente nel mercato o è una conseguenza della diminuzione della scadenza?
Per separare questi due effetti ed isolare l’effetto “scadenza” si è deciso di costruire dei contratti sintetici “ad orizzonte costante” e stimare su di essi le PDF.
Opzioni ad orizzonte costante
Opzioni ad orizzonte costante
3, 6 , 12 mesi Interpolazione nei due metodi Stima delle statistiche di sintesi
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interpolazioneIdea base: l’idea sottostante alla costruzione di un contratto sintetico ad esempio con scadenza 6 mesi consiste nell’interpolare la volatilità dei contratti “veri” con scadenza inferiore a sei mesi e superiore a sei mesi all’interno di uno spazio tridimensionale al fine di creare dei contratti sintetici con scadenza 6 mesi.
Metodologia di interpolazione: il metodo di interpolazione applicato è lineare per entrambi gli approcci.
Spazio di interpolazione: lo spazio tridimensionale cartesiano in cui si va a fare l’interpolazione varia a seconda dell’approccio implementato (parametrico e non parametrico).
Opzioni ad orizzonte costante
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interpolazione | spazio di interpolazione
approccio parametrico interpolazione dello smile di volatilità avviene, a parità di strike, nello spazio (strike, t, σ2).
approccio non parametrico interpolazione dello smile di volatilità avviene, a parità di delta, nello spazio (delta, t, σ2).
Opzioni ad orizzonte costante
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
3.5 3.7 3.9 4.1 4.3 4.5 4.7 4.9
delta
Strike
1 mese 3 mesi 4 mesi 6 mesi 7 mesi
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
3.5 3.7 3.9 4.1 4.3 4.5 4.7 4.9
s2
Strike
1 mese 3 mesi 4 mesi 6 mesi 7 mesi
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introduzione dei contratti sintetici
Opzioni ad orizzonte costante
Raccolta dei dati di mercato
Definizione della funzione di prezzo di un opzione call
Stima delle PDF
Calcolo delle statistiche di sintesi
Mistura Log-Normali
Contratti sintetici
CSs
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Introduzione
Mercati oggetto di studio
Modelli di stima
Opzioni ad orizzonte costante
5 | Incertezza nei dati di inputRappresentazione
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principali cause di distorsione dei dati in input
Incertezza nei dati di input
Per non incorrere in una stima spuria della PDF abbiamo introdotto dei filtri sui dati di mercato
Il trading delle opzioni è fortemente concentrato per:
le opzioni più vicine a scadenza (mentre in corrispondenza delle scadenze più lontane i contatti sono meno liquidi) ;
per quegli strike più vicini all’attuale prezzo del future (at the money) o in quelle opzioni call (put) i cui strike sono sopra (o sotto) i prezzi del sottostante (out of the money).
I prezzi di esercizio sono fissati su intervalli discreti, equi-spaziati;
I prezzi sono osservati e registrati con un potenziale errore derivante da:
l’asincronicità del trading delle opzioni,
l’asincronicità di registrazione dei dati da parte provider,
bid-ask bounce:
La presenza di rumore nei prezzi delle opzioni inficia profondamente la stima dell’PDF e la rende meno affidabile.
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filtri essenziali
Esistenza Prezzo Last
Numero minimo di strike
Giorni a scadenza
filtri di liquidità
Volume
Bid-Ask Spread
Put -Call Parity
Delta
Vega
filtri teorici
Monotonicità dei prezzi
quali filtri implementare
Incertezza nei dati di input
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introduzione dei filtri
Incertezza nei dati di input
Raccolta dei dati di mercato
Definizione della funzione di prezzo di un opzione call
Stima delle PDF
Calcolo delle statistiche di sintesi
Filtri
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I prezzi delle opzioni, usati come input della stima della PDF, possono essere inficiati da un numero potenzialmente alto di errori. Il test di robustezza ha lo scopo di analizzare l’incertezza dei dati di input (Clews,Panigirtzoglou,Proudman(2000)).
quanto varia la PDF stimata a seguito di piccole perturbazioni nei prezzi?
quanto variano le statistiche di sintesi a seguito di piccole perturbazioni nei prezzi?
data l’inesattezza da cui possono essere inficiati i dati di input, qual è il metodo di stima più robusto?
tecniche di simulazione Montecarlo, condotte su prezzi veri;
tecniche di boot-strapping degli errori storici di fitting (Work in Progress) .
Test implementati
test di robustezza |quale test applicare?
Incertezza nei dati di input
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Struttura del Test
1. Si applica uno shock ai prezzi delle opzioni di partenza,2. Si estrae la PDF e si calcolano le statistiche di sintesi,3. Si ripete il procedimento per almeno 100 disturbi estratti,4. Si calcola la deviazione standard delle statistiche di sintesi.
In conformità a queste statistiche, il metodo che fornisce le più basse variazioni negli indicatori è considerato più robusto.
Tabella risultati
Incertezza nei dati di input
test di robustezza |quale test applicare?
Parametrico*Non
Parametrico* Parametrico* Non Parametrico*
Media 2.21 0.05 3.93 0.06
Deviazione St 0.37 0.02 1.11 0.04
Skew 6.07 0.98 5.90 1.03Curtosi 0.46 0.01 1.35 0.02
Unità di misura dei valori: e-3 DataRiferimento 10/11/2008
USD/EUR 1 anno6 mesi
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Introduzione
Mercati oggetto di studio
Modelli di stima
Opzioni ad orizzonte costante
Incertezza nei dati di input
6 | Rappresentazione
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rappresentazione della PDF
rappresentazione
Diversi metodi possono essere usati per presentare l’informazione contenuta nelle PDF
Rappresentazione a più date
Rappresentazione ad una data
Distribuzione discreta
Distribuzione continua
Fan chart
Grafico serie storiche
Costruzione indici ad-hoc
distribuzione discreta: utilizzata principalmente per rappresentare la PDF di tassi di cambio e tassi di interesse.
distribuzione continua: utile per confrontare le PDF ad un numero limitato di date distinte
fan chart: utilizzata principalmente per fornire una misura grafica dell’intervallo dell’incertezza attorno alla proiezione centrale .
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Distribuzione di probabilità discretizzata estratta (con il metodo non parametrico) dai prezzi delle opzioni sul future sull’euribor a tre mesi con scadenza 17/11/2008.
Questo tipo di grafico permette di valutare sia la probabilità che il mercato attribuisce a scadenza ai diversi intervalli – espressa come percentuale sulle barre del diagramma – sia l’incertezza sui diversi esiti possibili..
rappresentazione della PDF | distribuzione discreta (1/2)
rappresentazione
0%
5%
10%
15%
20%
25%
30%
35%
3.75 -4.00 4.00 -4.25 4.25 -4.50 4.50 -4.75 4.75 -5.00 5.00 -5.25 5.25 -5.50 5.50-5.75 5.75 -6.00
PD
F D
iscre
tizzata
Euribor a mesi (%)
06/10/2008 08/10/2008
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rappresentazione della PDF | distribuzione continua
rappresentazione
Euro/dollaro, distribuzione di probabilità a tre mesi (valori %)
Euro/dollaro, distribuzione di probabilità a un anno (valori %)
0
1
2
3
0.70 0.90 1.10 1.30 1.50 1.70 1.90
livello del cambio
7/5/09 14/4/09
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rappresentazione della PDF | distribuzione continua
rappresentazione
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rappresentazione della PDF | distribuzione continua (2)
rappresentazione
Distribuzione di probabilità a tre mesi (valori %) Euribor a 3 mesi
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Fornisce una misura grafica dell’intervallo dell’incertezza – rappresentata dall’area sfumata - attorno alla proiezione centrale rappresentata nel colore più scuro.
rappresentazione della PDF | Fan Chart (1)
-60.0%
-40.0%
-20.0%
0.0%
20.0%
40.0%
60.0%
3 mesi 6 mesi 1 anno
S&
P M
IB -
Ren
dim
ento
rappresentazione
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rappresentazione della PDF | Fan Chart (2)
rappresentazione
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rappresentazione della PDF| costruzione statistiche di sintesi
rappresentazione
Rappresentazione a più date
Rappresentazione ad una data
Distribuzione discreta
Distribuzione continua
Fan chart
Grafico serie storiche
Costruzione indici ad-hoc
Si sintetizza l’informazione della PDF a diversi istanti temporali costruendo le serie storiche giornaliere delle statistiche di sintesi.
All’interno del nostro framework le statistiche calcolate sono:
media
volatilità
skewness
curtosi
percentili [0.05 0.15 0.25 0.35 0.45 0.55 0.65 0.75 0.85 0.95 ]
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statistiche di sintesi
Statistiche di sintesi
central projection
momento primo della distribuzione (es. media )
amount of risk
misure di dispersione della distribuzione (standard deviation)
balance of risk
statistiche di asimmetria della distribuzione (skew)
rappresentazione
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statistiche di sintesi | serie storiche
Serie storiche delle statistiche Media e Volatilità derivanti dalla PDF dei prezzi delle opzioni sul tasso di cambio USD/EUR con scadenza ad un mese stimata con il metodo non parametrico (Cubic-Smoothing Spline).
0.00%
0.05%
0.10%
0.15%
0.20%
0.25%
0.30%
0.60
0.62
0.64
0.66
0.68
0.70
0.72
0.74
0.76
0.78
0.80
0.82Media (asse SN)
Volatilità (asse DX)
rappresentazione
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