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Laboratoire de simulation en mécaniquedes solides - LSMS
Mécanique des structures I
Cours du 3ème semestre bachelorDr E. Davalle
1
BONJOUR et BIENVENUE
Intervenants : Eric DAVALLE, Dr Ingénieur civil EPFL
Chef du Service de l’électricité de la Ville de Lausanne
avec les assistants du LSMS
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Mardi 11,1 Sollicitations composées12.1 - 12.5 et 12.7 Principe des travaux virtuels et calcul des déplacements
Jeudi 12.6 , 12.8 - 12.9 Principe des travaux virtuels et calcul des déplacements
Mardi 16.1 - 16.7 Calcul de la charge limite des structures hyperstatiques simples
17.1 -17.5 Théorèmes fondamentaux de l'analyse limite
Jeudi 17.6 -17.10 Théorèmes fondamentaux de l'analyse limite
Mardi 20.1 - 20.3 Flambement des poutres
Jeudi 20.4 - 20.5 Flambement des poutres
Mardi 20,8 Flambement des poutres
Jeudi compléments / révisions
7
8
O d éfé Mé i d t t V l 2 F i FREY t Mé i d lid V l 3 MS (V3)
5
6
Programme des semaines 5 à 8
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16. Calcul de la charge limite des structureshyperstatiques simples
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Propriété de la loi moment-courbureLa loi ( M , ψ) peut être simplifiée par deux droites. Exemple poutre laminée I
Mpl / Me = 1,15
M / Mpl eeM / M
1
1 10ψ/ψe
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Cas d’une poutre bi- encastrée chargée uniformément
! On augmente la charge !
2
max 12 12
d'où
12
e
ee
q L Q LM M
MQ avec Q qLL
= = =
= =
Cas élastique :Q = q L
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Cas d’une poutre bi- encastrée chargée uniformément
! On augmente la charge !
2
max 12 12
d'où
12
e
ee
q L Q LM M
MQL
= = =
=
Cas élastique :
Cas élasto-plastique :
2 x H
3 x R
2
lim
28
d'où
16
=
=
pl
pl
q LM
MQ
L
Gain parl’hyperstaticitéeMα=
Rotulesplastiques
(théorème des 2 moments)
Q = q L
On a créé un mécanisme de ruine
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Cas d’une poutre bi- encastrée chargée uniformémentCas élasto-plastique :
2
28pl
q LM =
(théorème des 2 moments, STATIQUE APPLIQUÉE, page 148)
+
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Cas d’une poutre bi- encastrée chargée uniformément
En résumé 1a :
l’hyperstaticité permet une redistribution des efforts dans la poutre si on continue à la charger (réserve de résistance) le moment plastique Mpl est une
caractéristique de la section (connu et f(Z, σe) ), non affecté par N ni V
les rotules plastiques se forment successivement là où les moments sont les plus importants
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Cas d’une poutre bi- encastrée chargée uniformément
En résumé 1b : les GAINS
α= =lim 16Gain 2 : 1,3312
pl
e e
MQQ M
eMα=(α est le facteur de forme, gain lié à la plastification
de la section droite)
α = =
Gain 1 : du fait de la plastification de la section
pl
e
M ZM W
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Ruine d’une structure hyperstatiqueDonnée : structure hyperstatique de degré h
Hypothèses : plasticité avec les principaux éléments suivants : Mpl = Z σe (plastification de la section droite) à l’apparition de chaque rotule plastique, le d d’hyperstaticité de la structure se réduit d’une unité
Mécanisme de ruine : formation de la h+1 rotules plastiques (structure isostatique transformée en un mécanisme articulé)mécanisme dit de ruine est à un degré de liberté effondrement sous charge constante redistribution des efforts intérieurs déterminer la sécurité vis-à-vis de la charge limite
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Ruine d’une structure hyperstatiqueRuine partielle :
structure/ portique est 6 fois hyperstatique ruine avec l’apparition de
seulement 4 rotules plastiques(1, 2’,3 et 4)
Ruine plus que complète :
structure 1 fois hyperstatique ruine avec l’apparition de 3
rotules plastiques
!
2’
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Calcul de la charge limite – Principe des déplacements virtuels
int ext( ) F RL
W N V M dx F u R u Wδ δε δβ δψ δ δ δ= + + = + =∑ ∑∫Statique réelle
Cinématique virtuelle
En plasticité, choix en relation avec un mécanisme de ruine
Seules les zones plastique travaillent
Travail interne = travail aux rotules
pl F plM F u M F uδθ δ θ= ⇒ =∑ ∑ ∑ ∑ Fonctions poids
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Calcul de la charge limite – Principe des déplacements virtuels
plM F uθ =∑ ∑2 x H
3 x R2 2 ( )
2 4pl pl plQ LM M M θθ θ θ+ + = ×
Au niveau des 3 rotules plastiques
lim 16 plMQ
L=
L/4
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Calcul de la charge limite – Principe des déplacements virtuels
plM F uθ =∑ ∑
1 x H
2 x R2
2pl plLM M F θθ θ+ =
Au niveau des 2 rotules plastiques
lim lim6 plMF Q
L= =
lim6 3 9Gain : 1,13
16 8pl
e e
MF LF L M
α α= = =
316AM FL= −
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Bénéfice dû à la plasticité
α33,11216 : lim ==
e
pl
e M
MQ
QGain α188 : lim ==
e
pl
e M
MF
FGain
Les rotules plastiques apparaissent simultanément en A, B et C (pas de redistribution)
En général, il y a toujours un gain !
!
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Domaine de validité de l’analyse limite
Les hypothèses suivantes doivent être remplies :
chaque élément de structure répond à la loi élastique parfaitement plastique
existence de zones propices à la création de rotules plastiques (ductilité)
Mpl non affecté par l’influence de N et V chargement extérieur grandissant proportionnellement
déplacements toujours petits (linéarité géométrique)
on exclut les phénomènes d’instabilité (flambement, …)
les assemblages dans les structures sont dimensionnés pour Mpl
pas de fatigue
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Insensibilité de la charge limite vis-à-vis des autocontraintes
Charge limitecalculée
Charge limiteexpérimentale
Les autocontraintes nemodifient que la valeur de la chargeélastique maximale, voire l’annulent
(selon essais de Maier-Leibnitz, 1928)
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Vérification expérimentale de l’analyse limite
Conclusions :
la charge limite calculée est ≤à la charge limite expérimentale (sécurité assurée)
la conception élastique de la sécurité n’est pas fiable, voire irréaliste