bose einstein(2)

7/23/2019 Bose Einstein(2)

http://slidepdf.com/reader/full/bose-einstein2 1/47

STATISTIK BOSE-EINSTEIN

1.1 Sifat Dasar Boson

Sifat sistem sub atomic yang tidak dapat dibedakan dapat dipahami dari

konsep gelombang sistem. Panjang gelombang de Broglie sistem-sistem tersebut

memenuhi λ= h/mω dengan m massa sistem dan υ laju sistem. Karena m

untuk sistem sub atomic sangat kecil maka panjang gelombang λ cukup besar.

Panjang gelombang yang besar menyebabkan fungsi gelombang dua sistem yang

berdekatan menjadi tumpang tindih. Kalau dua fungsi gelombang tumpang tindih

maka kita tidak dapat lagi membedakan dua sistem yang memiliki fungsi-fungsi

gelombang tersebut.

Kondisi sebaliknya dijumpai pada sistem klasik seperti molekul-molekul

gas. massa sistem sangat besar sehingga λ sangat kecil. Akibatnya tidak terjadi

tumpang tindih fungsi gelombang sistem-sistem tersebut, sehingga secara prinsip

sistem-sistem tersebut dapat dibedakan.

Pada suhu yang sangat tinggi sistem sub atomic dapat berperilaku seperti

sistem klasik. Pada suhu yang sangat tinggi kecepatan sistem sangat besar

sehingga panjang gelombangnya sangat kecil. Akibatnya, tumpang tindih

gelombang sistem-sistem menjadi hilang dan sistem menjadi terbedakan.

Sistem kuantum yang akan kita bahas ada dua macam yaitu boson dan

fermion. Boson adalah sistem yang memiliki spin kelipatan bulat dariℏ

.

Sistem ini tidak memenuhi prinsip eksklusi Pauli sehingga satu tingkat energi

dapat ditempati oleh sistem dalam jumlah berapa pun. Sebaliknya, fermion

memiliki spin yang merupakan kelipatan ganjil dariℏ /2 . Sistem ini memenuhi

prinsip eksklusi Pauli. Tidak ada dua sistem atau lebih yang memiliki keadaan

yang sama.

1



1.2 Konfigurasi Boson

Statistik untuk menurunkan boson dinamakan statistik Bose- instein.

!ntuk menentukan fungsi distribusi Bose- instein, kita terlebih dahulu harus

menentukan konfigurasi dengan probabilitas paling besar. Konfigurasi ini

memiliki probabilitas yang jauh lebih besar daripada konfigurasi-konfigurasi

lainnya sehingga hampir seluruh "aktu sistem boson membentuk konfigurasitersebut. Sifat rata-rata assembli dapat dianggap sama dengan sifat pada

konfigurasi maksimum tersebut. Kita tetap membagi tingkat energi sistem-sistem

dalam assembli atas # kelompok sebagai berikut $

Kelompok-% memiliki jumlah keadaan g1 dan eneri rata-rata E1

Kelompok-& memiliki jumlah keadaan g2 dan energi rata-rata E2

-

-

Kelompok-s memiliki jumlah keadaan gs dan energi rata-rata Es

-

-

-

Kelompok-# memiliki jumlah keadaan g M dan energi rata-rata E M

Kita akan menentukan berapa cara penyusunan yang dapat dilakukan jika $

2



Terdapat n1 sistem di kelompok-%

Terdapat n2 sistem di kelompok-&

-

-

-

Terdapat n s sistem dikelompok-s

-

-

-

Terdapat n M sistem di kelompok-#

'ika ditinjau kelompok-% di mana terdapat g1 keadaan dan n1

sistem. #ari kita analogikan satu keadaan sebagai sebuah kursi dan satu sistem

dianalogikan sebagai sebuah benda yang akan diletakkan dikursi tersebut. Satu

kursi dapat saja kosong atau menampung benda dalam jumlah beberapa saja.

!ntuk menghitung jumlah penyusun benda, dapat dilakukannya sebagai berikut $

3



Gambar 1.1 Penyusunan benda dan kursi analog dengan penyusunan boson

dalam tingkat-tingkat energi. Untuk merepresentasikan sistemboson, bagian paling bawah harus selalu kursi.

(ari gambar %.%, apa pun cara penyusunan yang dilakukan, yang berada di ujung

ba"ah selalu kursi karena benda harus disangga oleh kursi )sistem harus

menempati tingkat energi*. +leh karena itu, jika jumlah total kursi adalah g1

maka jumlah total kursi dapat dipertukarkan dengan harga g1− 1 karena salah

satu kursi harus tetap di ujung ba"ah. Bersama dengan sistem banyak n1 ,

maka jumlah total benda yang dipertukarkan dengan tetap memenuhi sifat boson

adalah ) g1− 1 ¿+n1= g 1+n1− 1. Akibatnya, jumlah cara penyusunan yang

dapat dilakukan adalah (g1+n1− 1)! .

4



Karenna sistem boson tidak dapat dibedakan satu degan lainnya, maka

pertukaran sesame sistem dan sesame kursi tidak menghasilkan penyusunan yang

berbeda. 'umlah penyusunan sebanyakg

(¿¿1+n1− 1 )¿

Secara emplisit

memperhitungkan jumlah pertukaran antara sistem dan antar kursi. 'umlah

pertukaran antar sistem adalah n1 ! dan pertukaran jumlah antar kursi adalah

g1 ! . +leh karena itu, jumlah penyusunan yang berbeda untuk n1 boson di

dalam g1 keadaan hanyalah

(g1 +n1− 1 )!n1 !g 1 !

(1.1 )

al yang sama berlaku untuk kelompok-& yang mengandung g2

keadaan dengan populasi n2 sistem. 'umlah cara penyusunan yang berada

sistem-sistem, ke dalam keadaan-keadaan tersebut adalah

(g2+n2− 1)!g2 ! n2 !

(1.2 )

Terakhir hingga kelompok energi ke-#, jumlah cara penyusunan yang berbeda

untuk n M sistem dalam g M keadaan adalah

(g M +n M − 1)!g M !n M !

(1.3 )

5



Akhirnya jumlah total cara penyusunan yang berbeda secara bersamaan n1

sistem di dalam g1 keadaan, n2 sistem di dalam g2 , ., n M sistem

dalam g M keadaan adalah

(g1+n1− 1)!n1 !g 1 !

×(g 2+n2− 1)!

g 2 !n2 ! ×…×

(g M +n M − 1)!g M ! n M !

=∏s= 1

M (gs+n s− 1)!ns ! gs !

(1.4 )

arus juga diperhitungkan jumlah cara memba"a / sistem dari luar untuk

didistribusikan ke dalam tingkat-tingkat energi di atas. 'umlah cara pengambilan / sistem adalah N! cara. Karena sistem tidak dapat dibedakan maka jumlah

tersebut harus dibagi dengan N!, sehingga jumlah total cara memba"a N sistem ke

dalam tingkat-tingkat energi di dalam assembli adalah N!/N!= %. Akhirnya, kita

dapatkan jumlah penyusunan sistem-sistem dalam assembli boson adala

W = ∏s=1

M (g s+ns− 1)!n s! g s!

(1.5 )

1.3 Konfigurasi Maksimum

Selanjutnya kita akan menentukan konfigurasi dengan peluang

kemunculan paling besar. Ambil logaritma ruas iri dan kanan persamaan )%.0*

∏s= 1

M (g s+n s− 1)!ns !g s !

= ¿∑s= 1

M

ln[(gs+ns− 1)!n s ! g s ! ]= ln ∑

s= 1

M

ln (g s+n s− 1)!− ln ns !− ln gs !(1.6 )

ln W = ln ¿

Kemudian kita gunakan pendekatan Stirling untuk melakukan

penyederhanaan sebagai berikut $

6



ln (g s+ns− 1)!≅(gs+ns− 1)ln (g s+n s− 1)−( gs+n s− 1)ln g s !≅g s ln g s− g s

ln n s !≅ns ln n s− n s

(engan pendekatan tersebut maka persamaan )%.1* menjadi $

gs+¿ g s

ln W =∑s= 1

M

[(g s+ns− 1)ln (g s+n s− 1)−( gs+ns− 1)]− g s ln ¿

− nsln n

s+n

s(1.7 )

'umlah total sistem serta energi total assembli memenuhi

N = ∑s= 1

M

ns danU = ∑s= 1

M

ns Es

!ntuk assembli yang terisolasi sehingga tidak ada pertukaran sistem

maupun energi antara assembli dan lingkungan. 'umlah sistem maupun energiassembli constant.

Pembatasan ini dapat dinyatakan dalam bentuk diferensial berikut ini $

δN = ∑s= 1

M

δ ns= 0(1.8 )

δU = ∑s= 1

M

E s δn s= 0 (1.9 )

Konfigurasi dengan probabilitas maksimum diperoleh dengan

memaksimumkan ln W . (engan memperhatikan konstrain pada persamaan )%.2*

dan )%.3* maka konfigurasi dengan probabilitas maksimum memenuhi

7



δ ln W +αδN + βδU = 0 )%.%4*

Selanjutnya dengan mengambil diferensial persamaan )%.5* diperoleh

W = ¿∑s= 1

M

[δ (g s+ns− 1)ln (g s+n s− 1)− δ (g s+n s− 1)− δg s ln gs+δ g s− δ ns ln n s+δ n s](1.11 )

δ ln ¿

itung suku per suku yang terkandung dalam persamaan )%.%%*

i*

δ (g s+ns− 1)ln (gs+n s− 1)= ∂

∂n 1

(g s+n s− 1)ln (g s+ns− 1)δn s

¿[ln (g s− 1+n s)+(gs+ns− 1)× 1(g s+ns− 1)]δn s

¿[ln (g s− 1+n s)+1]δn s

ii* δ (g s+ns− 1)= ∂

∂ ns(gs+n s− 1)δ ns= δ ns

iii* δgs ln gs=

∂

∂ n s

gs ln gs δ ns= 0

i6* δns ln ns=

∂∂n s

n s ln ns δ n s=[ln ns+n s× 1n s ]δ ns= [ln ns+1]δ n s

Persamaan )%.%%* selanjutnya menjadi

δ ln W ≅∑s=1

M

[ln (g s+ns− 1)+1]δ n s− δ n s− 0+0− [ln ns+1]δ n s+δ n s= ∑s= 1

M

[ln (g s+n s− 1)− ln ns]δ ns

¿∑s =1

M

ln[ gs+n s− 1ns ]δ n s(1.12 )

Karena gs≫1 dan n s

≫ 1 maka gs+n s− 1≅g s+ns sehingga persamaan

)%.%&* dapat disederhanakan lebih lanjut menjadi

8



δ ln W = ∑s= 1

M

ln[ gs+ns

n s ]δ n s(1.13 )

Subtitusikan persamaan )%.2*, )%.3*, dan )%.%7* ke dalam persamaan )%.%4*

diperoleh

∑s= 1

M

ln[ g s+ns

n s ]δ n s+α ∑s= 1

M

δ ns+ β ∑s= 1

M

E s δn s= 0

Atau

∑s= 1

M

{ln[ gs+n s

n s ]+α + β E s}δ ns= 0(1.14 )

Kesamaan di atas harus berlaku untuk semua 6ariasi δ n s . 8ni dijamin ika

bagian di dalam kurung selalu nol, yaitu

ln

[ g s+n s

n s

]+α + β E s= 0

g s+ns

ns= exp (− α − β Es)

gs+n s= n s exp (− α − β Es)

gs= ns [exp (− α − β E s)− 1](an akhirnya ungkapan untuk jumlah populasi pada tiap-tiap tingkat energi

sebagai berikut

n s= gs

exp (− α − β Es)− 1(1.15 )

9



Ternyata untuk assembli boson, parameter β juga berbentuk β= − 1kT

.

(engan demikian, bentuk lengkap fungsi Bose- instein untuk assembli boson

adalah

n s= gs

exp (− α + E s/kT )− 1(1.16 )

1. !aram"t"r α untuk foton #an fonon

Parameter α pada persamaan )%.%1*. ada satu kekhususan untuk

assembli foton )kuantisasi gelombng elektromagnetik* dan fonon )kuantitasi

getaran atom dalam Kristal* dan ini berimplikasi pada nilai parameter α .

(alam suatu kotak, foton bias diserap atau diciptakan oleh atom-atom yang

berada pada dinding kotak. Akibatnya, jumlah foton dalam satu assembli tidak

harus tetap. 'umlah foton bias bertambah, jika atom-atom di dindingmemancarkan foton dan bias berkurang jika atom-atom di dinding menyerap

foton. !ntuk sistem semacam ini pembatasan bah"a jumlah total sistem dalam

assembli konstan sebenarnya tidak berlaku. Pada penurunan fungsi distribusi

Bose- instein kita telah mengamsusikan bah"a jumlah sistem dalam assembli

selalu tetap, yaitu δN = 0 . Konstrain ini dimasukkan dalam persamaan dengan

memperkenalkan faktor pengali 9angrange α . +leh karena itu, agar konstrain

ini tidak diberlakukan untuk assembli dengan jumlah sistem tidak tetap, seperti

foton dan fonon maka nilai α harus diambil nol. (engan nilai ini maka fungsi

distribusi untuk sistem semacam ini menjadi

n s= g s

exp ( Es/kT )− 1(1.17 )

10



A!$IKASI STATISTIK BOSE-EINSTEIN

2.1 %a#iasi B"n#a &itam

Teori tentang radiasi benda hitam menandai a"al lahirnya mekanika kuantum dan

fisika modern. Benda hitam merupakan penyerap sekaligus pemancar kalor

11



terbaik. Benda hitam dapat dianalogikan sebagai kotak yang berisi gas foton.

'umlah foton dalam kotak tidak selalu konstan. Ada kalanya foton diserap oleh

atom-atom yang berada di dinding kotak dan sebaliknya atom-atom di dinding

kotak dapat memancarkan fotonn ke dalam ruang kotak. Karena jumlah foton

yang tidak konstan ini maka faktor Bose- instein untuk gas foton adalah

1

e EkT − 1

:ang diperoleh dengan menggunakan α = 0

;oton adalah kuantum gelombang elektromagnetik. kstensi foton

direspresentasikan oleh keberadaan gelombang berdiri dalam kotak. Karena

gelombang elektromagnetik memiliki dua kemungkinan arah osilasi )polarisasi*

yang saling bebas, maka kerapatan keadaan foton dalam kotak merupakan dua

kali kerapatan gelombang stasioner, yaitu $

g ( λ)dλ= 8 π

λ4 dλ (1.18 )

(engan demikian, jumlah foton dengan panjang gelombang antara λ sampai

λ+dλ adalah

n ( λ)dλ= g( λ)dλ

e E− kT − 1(1.19 )

Karena energi satu foton adalah E= hc / λ maka energy foton yang memiliki

panjang gelombang antara λ sampai λ+dλ adalah

E ( λ)dλ= hc λ

n( λ)dλ

12



¿ 8 πhc λ5

dλe E /kT − 1

(1.20 )

2.1.1 &ukum !"rg"s"ran 'i"n

<ambar %.& adalah plot ) λ¿ sebagai fungsi λ pada berbagai suhu. Tampak

bah"a ) λ¿ mula-mula naik, kemudian turun setelah mencapai nilai

maksimum pada panjang gelombang λm . Kita dapat menentukan λm dengan

mendiferensial ) λ¿ terhadap λ dab menyamakan λ dengan

dE ( λ)dλ | λm

= 0(1.21 )

Gambar 1.2 Spektrum radiasi benda hitam pada berbagai suhu

Berdasarkan persamaan )%.&4* maka

13



E ( λ)= 8 πhc λ5

dλ

e EkT − 1

(1.22 )

!ntuk memudahkan diferensial persamaan )%.&&* persamaan diatas kita misal

x= λkT /hc . (engan pemisalan tersebut maka dapat ditulis

E λ= 8 πhc(kT hc )

5 1

x5(e1

x − 1)(1.23 )

dE ( λ)dλ

= dE ( λ)dx

dxdλ

= kT hc

dE ( λ)dx

¿(kT hc )8 πhc(kT

hc )5 d

dx( 1 x5(e 1 / x− 1))(1.24 )

Agar terpenuhidEdλ = 0 maka pada persamaan %.&= harus memenuhi

ddx( 1

x5(e1 / x− 1))= 0(1.25 )

'ika didiferensiasi secara seksama akan dapat hubungan berikut

(1− 5 x)e1 / x− 5= 0 (1.26 )

/ilai > pada persamaan )%.&1*dapat diselesaikan dengan berbagai cara. 'ika

menggunakan instruksi ?olfram @esearch, maka solusi untuk > yang

memenuhipersamaan 3%.&1* adalah 4,%3=%35. (engan demikian, λm

memenuhi hubungan

14



λm kT hc

= 0,194197

Atau

λm T = 0,194197 hck (1.27 )

dengan menggunakan nilai konstanta k %,72> 10− 23 J / , h 1,1&0 >

10− 34 Js , dan c= 3 × 10 8 m/ s maka kita peroleh

λm T = 2,8 × 10−3 m (1.28 )

Gambar 1.3 Spektrum energi radiasi matahari berdasarkan hasil pengukurandan prediksi dengan persamaan radiasi matahari

gari .

15



Gambar 1. Warna bintang menun"ukan suhu bintang. Semakain menu"ukewarna biru suhu bintang semakin tinggi. Sebaliknya suhubintang semakin rendah apabila menu"u ke warna merah.

Persamaan )%.&2* tidak lain daripada ungkapan hukum pergeseran ?ien. ukum

ini menjelaskan hubungan antara suhu benda dengan gelombang dan intensitas

maksimum yang dipancarkan benda tersebut. #akin tinggi suhu benda makamakin pendek gelombang yang dipancarkan benda tersebut, atau "arna benda

bergeser kea rah biru. Ketika pandai besi memanaskan logam maka "arna logam

berubah secara terus menerus dari semula merah, kuning, hijau dan selanjutnya ke

biru-biruan. 8ni akibat suhu benda yang semakin tinggi. ukum pergeseran ?ien

telah dipakai untuk memperkirakan suhu benda berdasarkan spectrum

elektromagnetik yang dipancarkan. nergi yang dipancarkan benda diukur pada

berbagai panjang gelombang. Kemudian intensitas tersebut diplot terhadap panjang gelombang sehingga diperoleh selanjutnya diterapkan pada hukum

pegeseran ?ien guna memprediksi suhu benda. Pada astronom memperkirakan

suhu bintang-bntang, berdasarkan spectrum energy yang dipancarkan oleh

bintang-bintang tersebut.

2.1.2 !"rsamaan St"fan-Bo(t)mann

16



Sebuah benda hitam memancarkan gelombang, elektromagnetik pada semua

jangkauan frekuansi dari nol sampai tak berhingga. anya intensitas gelombang

yang dipancarkan berbeda-beda. Ketika panjang gelombang menuju nol, intensitas

yang dipancarkan menuju nol. 'uga ketika panjang gelombang menuju tak

berhingga, intensitas yang dipancarkan juga menuju tak berhingga. 8ntensitas

gelombang yang dipancarkan mencapai maksimum pada saat λ= λm .

nergy total yang dipancarkan oleh benda hitam diperoleh dengan

mengintegralkan persamaan )%.&4* dari panjang gelombang nol sampai tak

berhingga, yaitu

E=∫0

E ( λ)dλ

¿8 πhc ∫0

1 λ5

dλehc / λkT − 1

(1.29 )

!ntuk menyelesaikan persamaan integral )%.&3* misalkan = hc / λkT

. (engan pemisalan tersebut maka diperoleh ungkapan-ungkapan berikut ini $

1 λ

= kT hc

1 λ5 =(kT

hc )5

5

λ= hckT

1

dλ= − hckT

1 2 d

17



Syarat batas yang berlaku bagi y. saat λ= 0 maka y dan saat λ= maka

y 4. (engan demikian, dalam 6ariable y integral )%.&3* menjadi

E= 8 πhc ∫0

(kT hc )

5

5 (− hc / kT 2)de− − 1

¿8 πhc(kT hc )

5( hckT )∫

0 − 5 de − 1

¿8 πhc

(kT

hc )4

∫0 − 5 d

e

− 1

(1.30 )

Persamaan )%.74* merupakan kerapatan energy foton di dalam kotak. ubungan

antara kerapatan energy yang diradiasi dengan energy foton dalam kotak adalah

E"ad = cE /4

¿2 πh c 2

(kT

hc )4

∫0

3 d

e

− 1

¿[2 πh c 2( k hc )

4

∫0

3 de − 1]T 4(1.31 )

Persamaan )%.7%* sangat mirip dengan persamaan Stefan-BoltCman. 'adi pada

persamaan )%.7%* kita dapat menyamakan

# = 2 πhc 2( k hc )

4

∫0

3 de − 1

(1.32 )

(engan menggunakan instruksi matematika sederhana kita dapatkan

∫0

3 de − 1

= 6,49394

18



Selanjutnya dengan memasukkan nilai konstanta-konstanta lain

k = 1,38 x 10− 23 J / ,h = 6,625 x 10− 34 Js,danc = 3 × 10 8 m/ s kita dapatkan nilai

konstanta Stefan-boltCman.

# = 5,65 × 10− 8 W /m2 4

2.1.3 *osmi+ Mi+ro,a " Ba+kgroun# *MB/

Salah satu gejala penting sebagai hasil peristi"a Big bang adalah

keberadaan radiasi yang bersifat isotropic )sama ke segala arah* di alam semesta

dalam panjang gelombang mikro. <ejala ini selanjutnya dikenal dengan i#osmi#

mi#rowa$e ba#kground )D#B*. @adiasi ini benar-benar isotropic. Penyimpangan

dari sifat isotropic hanya sekitar seper seribu. (ua astronom muda, Arno PenCias

dan @obert ?ilson yang pertama kali mengidentifikasi gejala ini tahun %310

dengan menggunakan antene horn yang dikalibrasi dengan teliti. (engan

anggapan bah"a alam semesta berupa benda hitam sempurna dan setelah

dilakukan pengukuran yang teliti intensitas radiasi gelombang mikro ini pada

berbagai panjang gelombang yang mungkin, selanjutnya hasil pengukuran di-fit

dengan persamaan radiasi benda hitam )%.=* disimpulkan bah"a suhu rata-rata

alam semesta sekarang adalah &,5&0 K.

19



Gambar 1.0 %&' dengan persamaan radiasi benda hitam

Gambar 1. (ariasi suhu alam semesta berdasarkan posisi

Ada sekitar 6ariasi suhu pada arah yang berbeda seperti ditunjukkan dalam

gambar diatas. Bagian ber"arna merah sedikit lebih panas dan bagian berarna biru

sedikit lebih dingin dengan penyimpangan 4,444& derajat.

2.2 Ka asitas ka(or Krista(

20



(alam Kristal-kristal atom ber6ibrasi. 'ika diselesaikan dengan mekanika

kuantum maka energy 6ibrasi atom-atom dalam Kristal terkuantisasi. Kuantisasi

getaran atom tersebut disebut fonon. nergy fonon dengan bilangan kuantum n

adalah En=( n+ 12

) ωℏ . Karena jumlah fonon tidak konstan maka fungsi

distribusi untuk fonon diperoleh dengan mengambil α = 0 . ;ungsi distribusi

tersebut persis sama dengan fungsi distribusi untuk foton.

Karena frekuensi fonon umumnya merupakan fungsi bilangan gelombang,

$ , maka secara umum energy toal yang dimiliki fonon dalam Kristal dapat

ditulis

U = ∑ ωℏ ($ )exp [ ωℏ ($ )/kT ]− 1

(1.33 )

'ika fonon memiliki sejumlah polarisasi dan polarisasi kep memiliki frekuensi

ω % ($ ), maka energy total fonon setelah memperhitungkan polarisasi tersebut

adalah

U = ∑ %

∑$

ℏ ω %($ )exp [ℏ ω %($ )/kT ]− 1

(1.34 )

Penjumlahan terhadap $ dilakukan engan asumsi bah"a $ adalah integer.

Tetapi jika $ adalah 6ariable kontinu maka penjumahan terhadap $ dapat

diganti dengan integral dengan melakukan transformasi berikut ini

∑$

& ∫ g % ($ )d$ (1.35 )

21



Tetapi karena ω merupakan fungsi $ maka kita dapat mengubah integral

terhadap $ menjadi integral terhadap ω dengan melakukan transformasi

∑$

& ∫ g % ($ )d$ & ∫ g % (ω )dω (1.36 )

Akhirnya kita dapat menulis menulis ulang persamaan )%.7=* menjadi

U = ∑ %

∫ g %(ω ) ωℏ

exp [ ωℏ /k ' T ]− 1dω (1.37 )

(ari definisi energy dalam persamaan )%.75* maka kita dapat menentukan

kapasitas panas yang didefinisikan sebagai berikut

( ) =dU dT

¿ ddT ∑ %

∫ g %(ω ) ωℏexp [ ωℏ /k ' T ]− 1

dω

¿∑ %

∫ g % (ω ) ddT { ωℏ

exp [ ωℏ /kT ]− 1 } ωdωℏ (1.38 )

!ntuk menyederhanakan persamaan )%.72* mari kita lihat suku diferensial dalam

persamaan tersebut. !ntuk mempermudah kita misalkan = ωℏ /kT . (engan

pemisalan tersebut maka

ddT

= dd

ddT

= − ωℏ

k T 2dd

ddT { ωℏ

exp [ ωℏ /kT ]− 1 }= ddT { 1

e − 1}= − ωℏ

k T 2d

d { 1

e − 1}

22



− ωℏ

k T 2 { 1

(e − 1)2}= ωℏ

k T 2e

(e − 1)2

¿ ωℏ

kT 2exp [ ωℏ /kT ]

(exp [ ωℏ /kT ]− 1)2

(engan demikian, kapasitas kalor dapat ditulis

( ) = ∑ %

∫ g % (ω ){ ωℏ

k T 2exp [ ωℏ /kT ]

(exp [ ωℏ /kT ]− 1)2} ωdωℏ

¿ ωℏ

k T 2∑

%∫ g % (ω ) exp [ ωℏ /kT ]

(exp [ ωℏ /kT ]− 1)2 ω2 dω (1.39 )

2.2.1 Mo#"( Einst"in

!ntuk mencari kapasitas kalor Kristal, instein mengusulkan model

bah"a semua fonon berisolasi dengan frekuensi karakteristik yang sama, ω0 ,

dengan asumsi ini maka dapat ditulis

g % (ω )= Nδ (ω− ω0)(1.40 )

(i mana δ (ω− ω0) merupakanfungsi data dirac. (engan model ini kita

dapatkan kapasitas kalor Kristal untuk satu macam polarisasi saja sebesar

( ) = ℏ 2

k T 2∫ g (ω ) exp [ ωℏ /kT ]

(exp [ ωℏ /kT ]− 1)2 ω 2 dω

¿ ℏ 2

kT 2∫ Nδ (ω − ω0)

exp [ ωℏ /kT ](exp [ ωℏ /kT ]− 1 )2

ω2 dω

23



¿ N ℏ 2

k T 2exp [ ωℏ /kT ]

(exp [ ωℏ /kT ]− 1)2 ω02(1.41 )

!ntuk Kristal 7 dimensi, terdapat tiga arah polarisasi fonon yang mungkin )arah

sumbu >, y, dan C*. dengan menganggap bah"a ke tiga polarisasi tersebut

memberikan sumbangan energy yang sama besar maka kapasitas kalor total

menjadi tiga kali dari yang tampak dalam persamaan )%.=%*, yaitu menjadi

( ) =3 N ℏ 2

k T 2

exp[ ωℏkT ]

(exp

[ ωℏ

kT ]− 1

)2 ω0

2 (1.42 )

Tinjau kasus-kasus khusus, yaitu ketika T & 0 dan T & . dalam kondisi T

& 0 maka e>p E ℏ ω0 /kT ¿≫1 sehingga e>p E ℏ ω 0 /kT ¿− 1* exp[ℏ ω 0

kT ] akibatnya

( ) =3 N ℏ 2

k T 2

exp[ℏ ω0

kT ](exp [ℏ ω 0

kT ])2 ω 0

2

3 N ℏ 2 ω02

k T 2 e

− ℏ ω 0

kT (1.43 )

Perhatikan suku pembilang dan penyebut pada persamaan )%.=7*. jika T & 0

maka suku penyebut T 2 & 0 dan suku pembilang exp[− ωℏkT ]& 0 sehingga

kita dapat mengaproksimasi

24



exp[ℏ ω0

kT ]* 1+ℏ ω 0

kT

(engan aproksmasi ini maka persamaan )%.=&* dapat ditulis menjadi

( ) =3 N ℏ 2

k T 2

1+exp[ℏ ω0

kT ](1+[ℏ ω 0

kT ]− 1)2 ω0

2

* 3 N ℏ 2

k T 2 (ℏ ω 0

kT )2

ω0

2

¿3 Nk = 3(n N + )k

¿3 n ( N + k )= 3 n (1.44 )

(engan N + bilangan A6ogadro, n jumlah mol d an @ N + k konstanta gas

umum. asil ini persis sama dengan teori klasik dari dulong-petit bah"a kapasitas

kalor persatuan mol semua padatan adalah konstan, yaitu 7@.

<ambar %.5 adalah perbandingan hasil pengamatan kapasitas kalor

intan )symbol* dan prediksi dengan model instein. Terdapat kesesuaian yang

baik antara prediksi model tersebut dengan pengamatan, khususnya nilai kapasitas

kalor yang menuju nol jika suhu menuju nol dan nilai kapasitas kalor menuju

konstanta dulong-petit pada suhu tinggi.

25



Gambar 1. )apasitas panas intan yang diperoleh dari pengamatan simboldan prediksi menggunakan model kapasitas panas *instein.

#odel instein dapat menjelaskan dengan baik kebergantugan kapasitas panas

terhadap suhu. Sesuai dengan pengamatan e>periment bah"a pada suhu menuju

nol kapasitas panas menuju nol dan pada suhu tinggi kapasitas panas menuju nilai

yang diramalkan (ulong-petit. Akan tetapi, masih ada sedikit penyimpangan

antara data eksperimen dengan ramalan instein. Pada suhu yang menuju nol,

hasil eksperimen memperlihatkan bah"a kapasitas panas berubah sebagai fungsi

kubik 3 pangkat tiga* dari suhu, bukan seperti pada persamaan )%.=&*. oleh karena

itu perlu penyempurnaan pada model instein untuk mendapatkan hasil yang

persis sama dengan eksperimen.

2.2.2 Mo#"( D"b"4"

Salah satu masalah yang muncul dalam model instein adalah asumsi

bah"a semua fonon ber6ibrasi dengan frekuensi yang sama. Tidak ada justifikasi

untuk asumsi ini. Asumsi ini digunakan semata-mata karena kemudahan

mendapatkan solusi. +leh karena itu hasil yang lebih tepat diharapkan muncul jika

dianggap frekuensi fonon tidak seragam. Asumsi ini digunakan oleh (ebeye

untuk membangun teori kapasitas panas yang lebih teliti. /amun, sebelum masuk

26



ke teori (ebeye kita akan terlebih dahulu membahas kerapatan keadaan untuk kisi

dalam usaha mencari ekspresi yang tepat untuk g (ω ).

;rekuensi getaran kisi dalam Kristal secara umum tidak konstan, tetapi

bergantung pada bilangan gelombang. Persamaan yang menyatakan

kebergantungan frekuensi dengan bilangan gelombang dinamakan persamaan

dispersi, ω = ω ($ ) . (ari persamaan dispersi tersebut dapat diturunkan

persamaan kerapatan keadaan sebagai berikut

g (ω )= - 2 π 2 $ 2

dω /d$ (1.45 )

Kebergantungan ω terhadap $ kadang sangat kompleks. Sebagai contoh,

untuk Kristal satu dimensi, kita peroleh persamaan dispersi

1− cos

( 2 ( m

)¿

¿¿

$a ¿2,

dengan m massa atom, D konstanta pegas getaran kisi, dan a jarak antar atom

dalam kisi )periodisitas*. /amuun, jika $ sangat kecil, atau panjang

gelombang yang besat ) $ = 2 π / λ¿ , jika dapatkan sebuah persamaan

aproksimasi

ω= ) g$ (1.46 )

(engan ) g disebut kecepatan grup. (alam membangun model kapasitas panas,

(eybe mengambil asumsi sebagai berikut $

i. ;rekuensi getaran kisi memenuhi persamaan dispersi ω= ) g$

27



ii. Ada sebuah frekuensi maksimum, ω m yang boleh dimiliki fonon

dalam kristal sehingga tidak ada fonon yang dimiliki frekuensi di atas

ω m .

(ari persamaan dispersi )%.=1* kita dapatkan bah"a untuk ω F ω m ,

k = ω) g dan

dωdk

= ) g sehingga kerapatan keaadaan pada persamaan )%.=0*

menjadi g (ω )= -ω 2

2 π)g 3 . Akhirnya jika gabung dengan asumsi kedua tentan

adanya frekuensi maksimum getaran fonon diperoleh ungkapan umum untuk

kerapatan keadaan sebagai berikut $

g (ω )={ - 2 π) g

3 ω2 , ω . ω m

0 ω >ωm

(1.47 )

Gambar 1.5 )ur$a kerapatan keadaan sebagai +ungsi pada model *instein dan ebeye

28



Perbedaan kur6a kerapatan keadaan sebagai fungsi pada model instein

dan (eybe diperlihatkan pada gambar %.2. Berapa nilai ω m pada model

(ebyeG !ntuk menentukan ω m kita kembali pada defenisi bah"a g (ω )

adalah jumlah keadaan per satuan frekuensi. Karena frekuensi maksimum fonon

adalah ω m maka integral g (ω ) dari frekuensi 4 sampai ω m memberikan

jumlah total keadaan yang dimiliki fonon, dan itu sama dengan jumlah atom, N .

'adi,

∫0

ωm

g(ω )dω= N

∫0

ω m - 2 πg g

3 ω2

dω= N

-

2 π) g3 ∫

0

ω m

ω2 dω = N

- 2 π) g

3

ω m3

3 = N

:ang memberikan ungkapan untuk frekuensi maksimum

ωm

3 = 6 π) g3 N

- (1.48 )

!ntuk kemudahan mari kita didefenisikan suhu (ebye, / 0 , berdasarkan

hubungan ini

' / 0 = 1ω m(1.49 )

(engan definisi di atas didapatkan

29



/ 0 = 1) g

'

3√6 π 2 N -

(1.50 )

Kita asumsikan bah"a kapasitar kalor kisi yang dihasilkan oleh tiap polarisasi

fonon sama besarnya. Karena terdapat tiga polarisasi getaran yang mungkinan

maka penjumlahan terhadap indeks % dalam persamaan )%.73* mengahasilakan

tiga kali nilai per polarisasi. Akibatnya, tanda sumasi dapat diganti dengan tiga

dan kita peroleh kapasitas panas yang disumbangkan oleh semua polarisasi

menjadi,

e1ωkT − 1

¿¿

¿2¿

ω2 dω¿

e1ω /kT − 1

¿ 3 1 2

kT 2∫

0

ωm

g (ω ) e1ω /kT

¿2

¿g (ω ) e

1ωkT

¿

( ) = 3 12

kT 2∫0

2

¿

ee1ω /kT − 1

¿

¿¿2¿

(¿¿1ω /kT − 1)2 ω2 dω + 12

kT 2∫ω m

2

(0) e1ω /kT

¿

¿ 3 1 2

kT 2∫

0

ω m

( - 2 π ) g

3)e1ω /kT

¿

30



ee 1ω /kT

(¿¿1ω /kT − 1)2 ω4 dω (1.51 )

¿ 3 12

- 2 π ) g3 kT 2 ∫0

ω m

¿

!ntuk menyelesaikan integral pada persamaan )%.0%* kita misalkan

x= ωℏ /kT . (engan permisalan tersebut maka

ω = kT ℏ

x

dω = kT ℏ

dx

Selanjutnya, syarat batas untuk > ditentukan sebagai berikut. 'ika ω= 0 maka

x= 0 dan jika ω= ω m maka x=ℏ ωm

kT =

k / 0

kT = / 0 /T . (engan demikian,

bentuk integral untuk kapasitas panas menjadi

( ) = 3ℏ 2 - 2 π ) g

3 kT 2 ∫

0

/ 0 /T e x

(e x− 1)2 (kT ℏ

x)4 kT ℏ

dx

¿ 3ℏ 2 - 2 π ) g

3 kT 2 ∫

0

/ 0 /T e x x4

(e x− 1)2 dx (1.52 )

Berdasarkan definisi / 0 pada persamaan )%.04* maka dapat ditulis

/ 03= 6 π 2ℏ 3 ) g

3 /k 3 - atau- k 4 T 3

2 π ) g3ℏ

3 = 3 Nk (T // 0 )3 . Subtitusikan hubungan

ini ke dalam persamaan )%.0&* maka diperoleh ungkapan kapasitas kalor dalam

bentuk yang lebih sederhana sebagai berikut

31



( ) = 9 Nk ( T / 0 )

3

∫0

/ 0 /T e x x4

(e x− 1)2 dx(1.53 )

Selanjutnya integral tidak bergantung lagi pada T dan hasil integral adalah sebuah

bilangan. 'ika menggunakan program &athemati# , maka diperoleh hasil integral

pada persamaan )%.07* adalah

e x x 4

(e x− 1)2 dx= ¿ π 2

15(1.54 )

∫0

¿

(engan demikian, untuk T & 0 diperoleh

( ) * 9 π 2 Nk 15 ( T

/ 0 )3

¿ + T 3(1.55 )

(engan

+ * 9 π 2 Nk 15 / 0

3 (1.56 )

Persamaan )%.01* sangat sesuai dengan hasil eksperimen. Sebaliknya, untuk

T & maka penyebut pada persamaan )%.0&* dapat diaproksmasi

e x− 1 * x

dan pada pembilang dapat diaproksimasi e x * 1 sehingga

( ) = 9 Nk ( T / 0 )

3

∫0

/ 0 /T x4

( x)2dx

32



( ) = 9 Nk ( T / 0 )

3

∫0

/ 0 /T

x2 dx= 9 Nk ( T / 0 )

3 13(/ 0

T )3

¿3 Nk (1.53 )

:ang juga persis sama dengan ramalan (ulong-Petit.

Gambar 1.6 Kapasitas kalor argon padat diukur pada suhu jauh di ba"ah suhu(ebeye. <aris adalah hasil perhitungan menggunakan teori (ebeye)kittel, hal %&0*

<ambar diatas adalah hasil pengukuran kapasitas panas argon padat )titik-titik*

beserta kur6a yang diperoleh menggunakan model (eybe. Tampakbah"a ramalan

(eybe tentang kebergantungan kapasitas kalor pada pangkat tiga suhu sangat

sesuai dengan hasil pengamatan. Teori (eybe dan instein hanya berbeda pada

suhu rendah. Pada suhu agak tinggi, kedua teori tersebut memprediksi hasil yang

sangat mirip dan pada suhu yang sangat tinggi ke dua teori memberikan prediksi

yang sama persis sama dengan hukum (ulong-Petit.

2.3 Kon#"nsasi Bos"-Einst"in

33



Gambar 1.17 Salah satu hasil pengukuran yang membuktikan +enomenakondensasi 'ose-*instein.

Kita kembali melihat bentuk fungsi distribusi Bose- instein. 'umlah sistem yang

menempati keadaan dengan energi En pada suhu T adalah

N ( En ,T )= 1exp

En− 3kT

− 1

Tampak jelas dari ungkapan di atas bah"a pada suhu yang sangat rendah sistem-

sistem akan terkonsentrasi di keadaan-keadaan dengan energi sangat rendah. 'ika

T & 0 maka jumlah sistem yang menempati tingkat energi paling rendah,

tingkat energi kedua, ketiga, dan seterusnya makin dominan. 'umlah sistem yangmenempati keadaan-keadaan dengan nilai energi tinggi makin dapat diabaikan.

ampir semua sistem akan berada pada tingkat energi terendah jika suhu

didinginkan hingga dalam orde 10− 14 . <ambar diatas memperlihatkan

e6olusi populasi boson pada tingkat energi terendah )bagian tengah kur6a*. Pada

suhu THHTc hampir semua boson berada pada tingkat energi paling rendah.

34



/amun, ada fenomena yang menarik di sini. Ternyata untuk boson,

keadaan dengan energi terendah dapat ditempati oleh sistem dalam jumlah yang

sangat besar pada suhu yang jauh lebih tinggi dari10− 14 .

(engan kata lain,

boson tidak perlu menunggu suhu serendah 10− 14 untuk mendapatkan sistem

dalam jumlah yang sangat besar pada tingkat energi terendah. Pada beberapa

material, seperti helium, jumlah sistem yang sangat besar pada tingkat energi

terendah dapat diamati pada suhu setinggi 7K. 'adi terjadi semacam kondensasi

boson pada suhu yang jauh lebih tinggi dari prediksi klasik. ;enomena ini dikenal

dengan kondensai Bose- instein.

2.3.1 K"b"rgantungan !ot"nsia( Kimia !a#a Su8u

#ari kita tengok kembali fungsi distribusi Bose- instein. !ntuk

mudahnya kita gunakan skala energi sehingga tingkat terendah memiliki energi

E0= 0. Populasi keadaan dengan tingkat energi sembarang diberikan oleh

persamaan )%.07*. 'umlah populasi yang menempati tingkat energi terendah )

E0= 0 ¿ adalah

N (0, T )= 1

exp(− 3kT )− 1

(1.54 )

Pada suhu T & 0 hampir semua sistem menempati keadaan dengan energi

terendah. (engan demikian, jumlah populasi pada tingkat ini memiliki orde kira-

kira sama dengan jumlah total sistem, atau

35



− 3kT

N (0, T )= limT & 0

1exp (¿)− 1

(1.55 )

N * limT & 0

¿

Karena nilai / sangat besar )dalam orde 10 23 ¿ maka ketika T & 0 penyebut

pada %IE

− 3kT

(¿)− 1exp ¿

harus menuju nol. 'ika tidak maka %IE

− 3kT

(¿)− 1exp ¿

tidak akan

menghasilkan nilai / yang snagat besar. /ilai E

− 3kT

(¿)− 1exp ¿

akan menuju nol hanya

jika

− 3kT (¿)

exp ¿ menuju satu. (ari sifat fungsi eksponensial bah"a exp [ x]

mendekati % jika > & 0 . 'adi disimpulan bah"a pada T & 0 akan berlaku

3

kT & 0

maka dapat dilakukan aproksimasi

(− 3kT )* 1− ¿ 3

kT (1.56 )

exp ¿

'adi dapat diaproksimasikan sebagai berikut ini

36



− 3kT 1

exp (¿)− 1= 1

(1− 3kT )− 1 =

− kT 3

N * limT & 0

¿

Atau

3= − kT N

(1.57 )

ubungan pada persamaan )%.05* menyatakan bah"a pada suhu T menuju 4 maka

3 berharga negatif dan merupakan fungsi linear dari suhu. Sebagai ilustrasi,

pada T % K dan / 10 22 maka 3=− 1,4 × 10− 38 e"g . 8ni adalah nilai yang

sangat kecil. Bahkan nilai ini jauh lebih kecil daipada jarak antar dua tingkat

energi terdekat dalam assembli atom helium di alam kubus dengan sisi % cm.

Kebergantungan 3 pada suhu itulah yang menyebabkan peristi"a kondensasi

Bose- instein.

Agar lebih memahami fenomena kondensasi Bose- instein, perhatikan

sistem-sistem yang berada dalam kubus dengan sisi 9. Tingkat-tingkat energi yang

dimiliki assembli memenuhi

E (n x n n 4)= ℏ 2

2 M (π / 5 )2(n x2+n 2 +n 42)(1.58 )

Tingkat energi terendah bersesuaian dengan n x= n = n 4= 1 , yaitu

E (111 )= ℏ 2

2 M ( π 5)

2

(1+1+1)

37



Salah satu tingkat energi berikutnya bersesuaian dengan n x= n = 1dann 4= 2

yaitu,

E (112 )= ℏ 2

2 M ( π 5 )

2

(1+1+4)

Selisih tingkat energi terendah dan tingkat energi berikutnya adalah

6 E = E (111 )− E (112 )= 3 × ℏ 2

2 M ( π 5)

2

'ika assembli tersebut adalah atom helium ( M = 6,6 × 10− 24 g) dalam kubus

dengan sisi % cm makan 6 E ≅2,48 × 10− 30 e"g .

Apabila kita prediksi populasi sistem pada tingkat energi eksitasi pertama

dan tingkat energi terendah dengan menggunakan statistik #a>"ell-BoltCman

adalah

N 1 N 0

= exp (− 6 EkT

)

Pada suhu T % mK maka

N 1 N 0

= exp(− 2,48 × 10− 30 e"gk × 10−3 )≅1

asil diatas berarti bah"a pada suhu % mk, tingkat energi terendah dan eksitansi

pertama memiliki populasi yang hampir sama. /amun, dengan statistik Bose-

instein didapatkan hasil yang sangat berbeda. (negan asumsi / 10 20 dan

suhu T % mK maka kita peroleh

3= − kT N

= − k × 10−3

10 22 =− 1,4 × 10− 41 e"g

38



'umlah populasi yang menempati tingkat energi eksitasi pertama )tepat di atas

tingkat energi paling rendah* adalah

N ( E1 ,T )= 1exp

E1− 3kT

− 1

Karena E0= 0 maka E1= 6 E . 9ebih lanjut, mengingat | 3|≪ 6 E maka

E1− 3* E 1= 6 E . (engan demikian

N ( E1 ,T )= 1exp 6 E

kT − 1

1

exp(2,48 × 10 30

k × 10− 3 )− 1

= 5 × 10 10

(engan demikian, fraksi sistem pada tingkat energi eksitasi pertama adalah

N ( E1) N

= 5 × 10 10

10 22 = 5 × 10−12

Tampak bah"a fraksi sistem pada tingkat energi eksitasi pertama amat kecil. 8ni

berarti bah"a sebagian besar sistem berada pada tingkat energi terendah.

2.3.2 Su8u Kon#"nsasi Einst"in

Kerapatan keadaan kuantum untuk sistem dengan spin nol dapat ditulis dengan

0 ( E )= - 4 π 2 (2 M

ℏ2 )3 /2

E1/2(1.59 )

39



Pada suhu T menuju 4 sebagian sistem menempati tingkat energi terendah dengan

jumlah yang sangat signifikan. 'umlah total sistem dalam assembli dapat ditulis

N ( En)= ¿ N 0(T )+∑n8 0 N ( En) N = ∑ ¿

0 ( E )9 ( E ,T )dE= ¿ N : (T )+ N e (T ) (1.60 )

¿ N : (T )+∫0

¿

(engan N : (T )

adalah jumlah sistem pada tingkat energi terendah dan

N e (T )=∫ 0 ( E)9 ( E , T )dE dan jumlah total sistem yang menempati tingkat-

tingkat energi lainnya.

(engan mengambil skala energi E0= 0 maka jumlah sistem pada tingkat

energi terendah dapat ditulis

N 0 (T )= 1

exp(− 3kT )− 1

'umlah sistem yang menempati semua tingkat energi lainnya adalah

N e (T )= - 4 π 2 (2 M

ℏ2 )

3 /2

∫0

E 1/2

exp E− 3

kT − 1

dE

- 4 π 2(2 M

ℏ2 )

3/2

∫0

E1 /2

exp (− 3kT

)exp EkT

− 1dE (1.61 )

#isalkan IkT >. (engan demikian

40



( EkT )= ¿exp ( x),dandE = (kT )dx .

√ E= √ kT √ x , exp ¿

Selanjutnya integralnya dapat ditulis

∫0

E1 /2

exp E− 3kT

− 1dE= 3√ kT ∫

0

√ xexp ( x)− 1

dx= 1,03 π 2 kT 3 /2

Akhirnya didapatkan

N e (T )= - 4 π 2 (2 M

ℏ2 )3 /2

× 1,03 π 2 kT 3 /2

¿2,612 n ; - )%.1&*

(engan MkT /2 π ℏ 2 ¿3/2

n; = ¿ dinamakan konsentrasi kuantum.

Kita definisikan suku kondensasi Bose- instein, T E, sebagai suhu ketika

jumlah sistem pada keadaan terkesitasi persis sama dengan jumlah total sistem.

'adi pada T T E , terpenuhi N e T E ,= N . (engan menggunakan persamaan

)%.1&* didapatkan bah"a pada suhu kondensasi Bose- instein terpenuhi

N = - 4 π 2 (2 M

ℏ2 )3 /2

× 1,03 π 2 kT 3 /2

:ang memberikan

T E= 2 ℏ 2 π Mk ( N

2,612 - )2/3

(1.63 )

41



Gambar 1.11 raksi super+luida sistem yang menempati keadaan dasar dan +luida normal sistem yang menempati keadaan eksitasi dalamassembli boson sebagai +ungsi suhu ketika suhu berada di bawah

suhu kondensasi 'ose-*instein.

Pada sembarang suhu yang mendekati nol derajat, fraksi jumlah sistem pada

keadaan tereksitasi adalah

N e(T ) N

=( T T E)

3 /2

(1.64 )

Berarti pula bah"a fraksi jumlah sistem pada keadaan paling rendah adalah

N 0(T ) N

= 1− N e (T )

N = 1−( T

T E )32 (1.65 )

<ambar %.%% adalah fraksi boson yang mempunyai keadaan energi

terendah N 0 dan boson yang menempati keadaan terkesitasi N e sebagai

fungsi suhu. Boson yang terkodensasi membentuk fase yang dinamakan

superfluida dan boson yang menempati keadaan tereksitasi dinamakan fluida

normal. Superfluida hanya dijumpai ketika suhu T lebih rendah dari T E .

42



*ONTO& SOA$ DAN !EN9E$ESAIAN

%. Perlihatkan menggunakan definisi entropi bah"a ¿ 1kT

Penyelesaian $

ntropi, secara mikroskopik didefinisikan sebagai

<= k ln =

Jariasi kecil, menggunakan 6ariasi

43



= = ¿k ∑s= 1

ln(gs+n s

n s )δ n s

δ<= kδ ln ¿

Karena itu, deri6ati6e terhadap energi dalam hubungan

∑s= 1

M

δ ns {ln (ns+g s)− ln n s+α + β >s}= 0

#emberikan

∂ <∂ ? = k ∑s= 1

M

ln(g

s+n

sn s )

∂ns

∂?

¿k ∑s= 1

M

(α + β >s) ∂ ns

∂ ?

¿kα ∑s= 1

M ∂ n s

∂ ? +kβ ∑

s= 1

M

>s

∂ n s

∂ ?

(engan menggunakan batasan n1+n2+…+ns+…= N dan

n1 >1+n2 >2+…+ns >s+…= E

#aka

∑s= 1

M ∂ ns

∂ ? = ∂ N

∂? = 0

(an

44



∑s= 1

M

>s∂ n s

∂? = ∂

∂? (∑s= 1

M

ns >s)= ∂ ?∂ ?

= 1

Sedangkan

dU = Td<− %d-

:ang berarti pada 6olume tetap

∂ <∂ ?

= 1T

(engan demikian

∂ <∂ ?

= 1T

= kα ∑s= 1

M ∂ ns

∂ ? +kβ∑

s =1

M

>s

∂ ns

∂ ?

1T

= 0+kβ

Atau

β= 1kT

Daftar !ustaka

Abdullah, #ikrajuddin. &443. Pengantar isika Statistik . Bandung. 8TB.

45



Dahn, Sidney B., #ahan, <erald (., /adgorny Boris . uide to Physi#s

Problem Part 0 1hermodynami#s, Statisti#al Physi#s, and 2uantum

&e#hani#s . /e" :ork. Klu"er Academic Publishers.

Pur"anto, Agus. &445. isika Statistik . :ogyajakarta. <a6a #edia.

http$IIschools-"ikipedia.orgI"pItIThermodynamic temperature.htm

diakses tanggal %0 april &4%& ) gambar %.& *

http$II""".ho"topo"erthe"orld.comI"hat-is-solar-energy.shtml

diakses tanggal %0 april &4%& ) gambar %.7*

http$IIlaunch.yousaytoo.comIGlr@ef :e1A> diakses tanggal %0 april &4%& ) gambar %.= *

http$IIkoestoer."ordpress.comI&4%%I47I&&Ikronologi-alam-semestaI diakses

tanggal %0 april &4%& ) gambar %.0 *

http$II""".faktailmiah.comI&4%4I42I&2Imateri-gelap-dan-terang.html diakses

tanggal %0 april &4%& ) gambar %.1 *

http$IIcua.mit.eduIketterle groupIpopular papersIultralo" temperatures.htm

diakses tanggal %0 april &4%& ) gambar %.%4 *

:O%MAT !ENI$AIAN KEGIATAN TATA! M;KA MATA K;$IA& :ISIKA STATISTIK

46

http://schools-wikipedia.org/wp/t/Thermodynamic_temperature.htm

http://www.howtopowertheworld.com/what-is-solar-energy.shtml

http://launch.yousaytoo.com/?lrRef=Ye6Ax

http://koestoer.wordpress.com/2011/03/22/kronologi-alam-semesta/


http://www.faktailmiah.com/2010/08/28/materi-gelap-dan-terang.html

http://cua.mit.edu/ketterle_group/popular_papers/ultralow_temperatures.htm

http://www.howtopowertheworld.com/what-is-solar-energy.shtml

http://launch.yousaytoo.com/?lrRef=Ye6Ax


http://www.faktailmiah.com/2010/08/28/materi-gelap-dan-terang.html

http://cua.mit.edu/ketterle_group/popular_papers/ultralow_temperatures.htm

http://schools-wikipedia.org/wp/t/Thermodynamic_temperature.htm



!"ni(aian K"(om ok<In#i i#u =

>u#u( mat"ri a?ar =

No !"mbuatan SA! Skor7@57@67@177/

!"n4am aianmat"ri

Skor7@57@67@177/

Skor

1 I#"ntitas

Tu?uan mata ku(ia8

Stan#ar kom "t"nsi

Kom "t"nsi #asar

In#ikatorMat"ri

"mb"(a?aran

K"giatan

!"mb"(a?aran =

- !"mbukaan- K"giatan Inti- !"nutu

A(at<m"#ia<sumb"r

!"ni(aian

Narasi<ka(imat

;rutan mat"ri

K"mam uanm"n?"(askan

K"mam uan

tan4a ?a,ab

*onto8 soa(

M"#ia !o,"r

oint

2 !"ni(aian In#i i#u

Nama =

1.2.

Kognitif Af"ktif !sikomotor %ata-rata

&ari<tangga( =

Dos"n !"ni(ai =

bose einstein(2)

Documents