boubrit hassiba

Journes Nationales de Gotechnique et de Gologie de lIngnieur JNGG2014 Beauvais 8-10 juillet 2014

MODELISATION DES COURBES GRANULOMETRIQUES DES MATERIAUX GRANULAIRES ET LEURS EVOLUTIONS SOUS ECRASEMENT

MODELING OF GRAIN SIZE DISTRIBUTION CURVE OF GRANULAR MATERIALS AND THEIR EVOLUTION UNDER CRUSHING Hassiba Boubrit1, Bachir Melbouci2

1 Laboratoire Go matriaux, Environnement et Amnagement Universit Mouloud Mammeri de Tizi-Ouzou 2 Laboratoire Go matriaux, Environnement et Amnagement Universit Mouloud Mammeri de Tizi-Ouzou RSUM Lcrasement des grains influe sur les caractristiques des matriaux granulaires particulirement sur ltalement des courbes granulomtriques. Pour mettre en quation ces dernires, nous nous sommes inspirs du modle de Fukumoto dcrivant le processus de dgradation des grains. Les paramtres du modle ont t dtermins partir des refus cumuls avant essais, puis les tamist cumuls sont calculs aprs essais en ajustant les courbes thoriques ainsi obtenues aux courbes exprimentales en variant la valeur du paramtre dajustement du modle, qui augmente lorsquil y a rupture des grains. Ce paramtre variable est influenc par la granulomtrie, la prsence deau, la nature minralogique des matriaux et par le chemin des contraintes utilis. Nous pouvons conclure de ces travaux que la courbe thorique est proche de la courbe exprimentale dans le cas de grains de taille suprieure 6 mm.

ABSTRACT The crushing of grains influences the granular material characteristics particularly on the display of grain size distribution curve. To formulate the equation for these latters, we were inspired of the model of Fukumoto for the process of grain degradation. The parameters of the model have been determined from the cumulated retains before tests, then the percentage of passings accumulated were calculated after tests by fitting the theoretical curves thus achieved to the experimental curves by varying the value of parameter of fitting of the model, that increases when there is rupture of grains. This variable parameter is influenced by the grain size, the presence of water, the mineralogical nature of material and by the path of strain used. We can conclude from these works that the theoretical curve is close to experimental curve in case of the grain size greater than 6 mm.

1. Introduction

La notion de distribution granulomtrique est dun emploi trs frquent pour la classification des sols qui sont le rsultat de la dgradation de la roche. Lcrasement des grains influe sur les caractristiques des matriaux granulaires. Des chercheurs


ont propos des relations qui permettent de tracer les courbes granulomtriques aprs essais telles que celles de Fukumoto (1990), (1992), Murray, Fredlund et Ward Wilson (2000). Le modle de Fukumoto (1990) a permis, dune part, de calculer les tamist en pourcents ainsi que les diamtres des grains du granite concass et dautre part, de tracer les courbes granulomtriques correspondantes. Fukumoto a dtermin les paramtres du modle uniquement partir des courbes granulomtriques exprimentales obtenues sur du granite concass ltat naturel et sur du granite cras par des essais de laboratoire, sans toutefois tenir compte des valeurs de ces paramtres avant essais. Les courbes obtenues se confondent bien avec les courbes exprimentales, cest ce qui nous a inspir utiliser cette mthode pour modliser les courbes granulomtriques des matriaux granulaires locaux et leurs volutions sous crasement des grains, tel que le granite, le grs et le schiste aux tats sec et humide pour les classes granulaires 0/6, 6/10 et 10/14 sous diffrents essais tels que le triaxial de compression, ldomtre, le cisaillement direct la boite et le Proctor. Contrairement Fukumoto, notre dmarche a consist dterminer les paramtres m, r et du modle partir des courbes granulomtriques avant essai ceci permet de calculer les tamist cumuls avant essai. Ensuite on calcule les paramtres m, r et aprs essais, on obtient alors de nouvelles courbes granulomtriques thoriques qui sajustent bien aux courbes exprimentales aprs essais. Lobjectif de ce travail est dtudi les variations de ces paramtres en tenant compte de plusieurs facteurs savoir la dimension, ltalement granulomtrique, la prsence deau et le type des matriaux. Sous chargement la valeur du paramtre m reste constante mme si la contrainte augmente, par contre les valeurs du paramtre r varient en fonction de laccroissement de la contrainte.

2. Donnes exprimentales sur les sols utiliss dans ltude

La rgion de Kabylie (Algrie) est riche en matriaux granulaires tels que la pegmatite (granite), le grs et le schiste argileux. Aprs avoir soumis les blocs au concasseur giratoire, les fractions granulaires retenues se rpartissent en trois classes granulomtriques : 0/6 6/10 10/14. Les donnes exprimentales utilises dans cette recherche sont rsumes dans le tableau 1. Ces donnes ont t obtenues au laboratoire LGEA de Tizi ouzou. Les chantillons de ltude sont du plus fragile aux plus durs suivant la composition minralogique. Le granite est constitu de quartz entre 45 et 59 %, ce matriau ltat rocheux est dur, mais aprs concassage, les grains perdent leurs rsistances et deviennent moins dures. Le grs est une roche dtritique issue de lagrgation et la cimentation de grains de sable est constitue principalement de quartz de 91 99%, Aprs concassage, ce ciment est fragilis ; ce qui rend le matriau granulaire compos de grs friable, le schiste argileux contient environ 33 % de quartz mais contient, en outre, un pourcentage au dessus de la moyenne (50 60 %) de minraux instables (mica et plagioclase) qui lui procurent une faible rsistance.


Tableau 1. Donnes exprimentales sur les sols utiliss dans ltude.

Type dessai Rfrence des donnes

exprimentales

Conditions principales des essais Site dtude Granulomtrie

avant essai Chemin de contrainte

Triaxial CD

Melbouci (2002) Granite (Taguemount NCherif Tizi-Ouzou)

6 ~ 10

3=100, 200, 300 et 400kPa

Cisaillement direct la boite

CD

Alkama (2003) Schiste argileux (Aissa Mimoun, Tizi

ouzou)

6 ~ 10

N=400kPa

Haddad (2005) Granite (Taguemount NCherif Tizi-Ouzou)

6 ~ 10

N=400kPa

Grs (Bouzeguene, Tizi-Ouzou)

6 ~ 10 10 ~ 14

N=400kPa

Oedomtre

Alkama (2003) Schiste argileux (Aissa Mimoun, Tizi-

Ouzou)

0 ~ 6 6 ~ 10 10 ~ 14

640 kPa

Haddad (2005) Granite

(Taguemount-Ncherif TiziOuzou)

0 ~ 6 6 ~ 10 10 ~ 14

640 kPa

Grs (Bouzeguene,

Tizi-Ouzou) 0 ~ 6

6 ~ 10 10 ~ 14

640 kPa

Proctor Haddad (2005) Granite (Taguemount

Ncherif Tizi-Ouzou) 0 ~ 6

10 ~ 14 150 coups w=8,76%

3. Modle de dgradation des grains

Les phnomnes rels de transformation de la roche sont trs compliqus (Olier, 1969 ; Carroll, 1970).Fukumoto (1990) a suppos que la distribution granulomtrique dun sol de roche granitique, qui a subi une dgradation durant les ges gologiques, est une progression gomtrique de raison r . Il a aussi suppos que ce sol a pass un temps gologique my0 ans se dcomposer en grains. Sachant quune roche durant lhistoire gologique passe plusieurs cycles de transformation pour devenir un sol granulaire et un cycle correspond un certain nombre dannes et que y0 est gale au nombre dannes dun cycle. Un sol obtenu de la dgradation dune roche aprs un temps my0 ans suivant la progression gomtrique de raison r , le pourcentage du refus du nime tamis de ce sol qn-1 peut tre exprim par la relation :

11 112

nmn rrn

nmq

(1a)

Par consquent, le pourcentage du tamist cumuls pn du tamis de dimension Dn de ce sol peut tre exprim par la relation.


11

01 11

21

nm

n

in rrn

nmp

(1b)

Avec n le nombre ordinal des tamis qui est li Dn par lquation (1b) suivante:

log

log max

nD

D

n

(1c)

Les quations (1) sont appeles quations de classification des sols par Fukumoto. Le paramtre est un paramtre dajustement des courbes thoriques aux courbes exprimentales.

Dtermination des paramtres m et r Les pourcentages des tamist cumuls de lanalyse granulomtrique exprimentale permet de calculer La moyenne et la variance 2, les paramtres m et r sont calculs par lquation 2 (Fukumoto, 1990).

2

2

21

m

r

(2)

Les valeurs de m et r ainsi obtenues sont substitues dans lquation 1 et des courbes thoriques de lanalyse granulomtrique sont obtenues.

4. Mthodologie proposes:

La mthodologie propose dans cette tude consiste dterminer les paramtres m et r partir de quation (2) o est la moyenne et 2 est la variance des refus cumuls de lanalyse granulomtrique exprimentale dun matriau granulaire ensuite en les substituant dans lquation (1b) nous obtenant les tamist cumuls thoriques. La valeur du paramtre est le rapport entre le plus grand diamtre et le plus petit diamtre dun chantillon, cette valeur permet de calculer les diamtres thoriques correspondants et tracer ensuite les courbes granulomtriques thoriques. La confrontation de ces dernires avec les courbes granulomtriques exprimentales nous permet de valider ou non la valeur de et si la confrontation nest pas satisfaisante, il convient dajuster la valeur de ce paramtre pour diminuer la surface entre les deux courbes thoriques et exprimentales. Cette procdure est applique pour tracer les courbes granulomtriques thoriques avant essai ensuite aprs essais. Un programme en MATLAB nous a permis deffectuer les calculs. Les courbes obtenues sont reprsentes dans les figures 1, 2, 3, 4 et 5. Dans ces figures on constate que les courbes granulomtriques exprimentales et thoriques sont bien ajustes et que les courbes thoriques aprs essais sont influences par


la classe granulaire, la prsence deau, la nature des matriaux : granite, grs et schistes argileux, du type dessai (triaxial, domtre, cisaillement et Proctor) et des contraintes appliques.

5. Analyse des paramtres du modle :

Lanalyse des paramtres de lquation est dune grande utilit dans ltude du phnomne dcrasement des matriaux granulaire. Lintroduction de ces paramtres dans une loi dfinissant le comportement des matriaux granulaires sous crasement ncessite la connaissance de linfluence de la granulomtrie, de la prsence deau, de la nature minralogique des matriaux granulaires et du chemin de contrainte sur ces paramtres. Dans Le tableau 2 sont prsents les paramtres avant essai o lon peut constater que les valeurs du paramtre m sont influences par la granulomtrie et augmentent dans lordre suivant 0/6, 6/10 et 10/14.

10-2

10-1

100

1010

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

diamtre (mm)

tam

isat

cum

uls

(%)

grs 0/6 sec, essais oedometrique, contrainte 640 kpa

exp avant essaitheorique avant essaiexp aprs essaithorique aprs essai

10-2

10-1

100

101

102

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

diamtre (mm)

tam

isat

s cu

muls

(%)

grs 6/10 sec, essai oedomtrique, contrainte 640 kpa

exp avant essaithorique avant essaiexp aps essaithorique aprs essai

10-2

10-1

100

101

102

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

diamtre (mm)

tam

isat

s cu

muls

(%)

grs 10/14 sec, essai oedomtrique, contrainte 640 kpa

exp avant essaithorique avant essaiexp aprs essaithorique aprs essai

10-3

10-2

10-1

100

101

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

diamtre(mm)

tam

isat

s cu

mul

s (%

)

granite 0/6 sec, essai oedomtrique, contrainte 640 kpa


10-3

10-2

10-1

100

101

102

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

diamtre(mm)

tamisat

s cu

muls

(%)

granite 6/10 sec, essai oedomtrique, contrainte 640 kpa


10-3

10-2

10-1

100

101

102

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

diamtre(mm)

tam

isat

s cu

muls

(%)

granite 6/10 sec, essai oedometrique, contrainte 640 kpa


10-2

10-1

100

101

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

diamtre (mm)

tam

isat

s cu

mul

s (%

)

schiste argileux 0/6 sec, essai oedomtrique, contrainte 640 kpa


10-2

10-1

100

101

1020

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

diamtre (mm)

tam

isat

s cu

muls

(%)



10-2

10-1

100

101

1020

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

diamtre (mm)

tamisats cu

muls

(%)



Figure 1. Courbes granulomtriques (exprimentales et thoriques) du matriau grs, granite et schiste argileux ltat sec de granulomtrie 0/6, 6/10 et 10/14

soumis lessai domtrique sous une contrainte de 640 kPa.

10-2 10-1 100 101 1020

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

diamtre (mm)

tamisats cu

muls

(%)

granite 10/14 sec, essai proctor 150 coups

exp. avant essaithorique avant essaiexp. aprs essaithorique aprs essai

10-2 10-1 100 101 1020

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100granite 10/14 humide, essai proctor, 150 coups

tamisats cu

muls

(%)

diamtre (mm)


Figure 2. Courbes granulomtriques (exprimentales et thoriques) du matriau

granite de granulomtrie 10/14 ltat sec et ltat humide soumis lessai Proctor sous une nergie de 150 coups.


10-3 10-2 10-1 100 101 1020

20

40

60

80

100

diametre (mm)

tam

isat

cum

uls

(%)

granite 6/10 humide, essai oedomtrique, contrainte 640 kpa


10-2 10-1 100 101 1020

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

diamtre (mm)

tamisats cu

muls

(%)

granite 10/14 humide, essai oedomtrique, contrainte 640 kpa



granite de granulomtries 6/10 et 10/14 ltat humide soumis lessai domtrique sous une contrainte de 640 kPa.

10-3

10-2

10-1

100

101

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

diamtre (mm)

tam

isat

s cu

mul

s (%

)

granite 6/10, essai de cisaillement, contrainte 400 kPa

exp. aprs essaithorique aprs essaiexp. avant essaithorique avant essai

10-3 10-2 10-1 100 1010

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

diamtre (mm)

tam

isat

s cu

mul

s (%

)

grs 6/10 sec, essai de cisaillement, contrainte 400 kPa

exp. aprs essaithorique aprs essaithorique avant essaiexp. avant essai

10-3 10-2 10-1 100 101 1020

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

diamtre (mm)

tam

isat

s cu

mul

s (%

)

schiste argileux 6/10 sec, essai de cisaillement, contrainte 400 kPa

exp. aprs essaithorique aprs esaithorique avant essaiexp. avant essai

Figure 4. Courbes granulomtriques (exprimentales et thoriques) des matriaux

granite, grs et schiste argileux de granulomtries 6/10 ltat sec soumis lessai de cisaillement sous une contrainte de 400 kPa.

10-3 10-2 10-1 100 1010

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

diamtre (mm)

tamisats cu

muls

(%)

granite 6/10 sec, sous essai triaxial

exp. avant essaithorique avant essaiexp. 400 kPathorique 400 kPaexp. 300 kPathorique 300 kPathorique 200 kPaexp. 200 kPaexp. 100 kPathorique 100 kPa

10-2

10-1

100

101

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

diamtre (mm)

tamisat

s cu

muls

(%)

granite 6/10 humide, sous essai triaxial

exp. avant essaithorique avant essaithorique 100 kPaexp. 100 kPaexp. 200 kPathorique 200 kPaexp. 300 kPathorique 300 kPaexp. 400 kPathorique 400 kPa


granite de granulomtries 6/10 ltat sec et ltat humide soumis lessai triaxial sous les contraintes de 100, 200, 300 et 400 kPa.

Tableau 2. Paramtres de la loi mathmatique avant essai

5.1. Etude de linfluence de la granulomtrie sur les paramtres de la loi

Pour tudier les variations des paramtres , m et r en fonction des trois classes granulaires (0/6 ; 6/10 et 10/14), trois matriaux ont t choisis : grs, granite et

Classe granulaire

Paramtres

m r

0/6 7 0.4133 3 6/10 8 0,5136 1,7

10/14 12 0,3414 1,3


schiste argileux. Les chantillons de ces matriaux ltat sec sont soumis lessai oedomtrique jusqu' la contrainte de 640 kPa. Les courbes granulomtriques calcules aprs essai stalent et les valeurs du paramtre augmentent pour les trois matriaux, de plus que la granulomtrie est tal de plus que la valeur de est importante, voir tableau 3.

Tableau 3. Influence de la granulomtrie sur les paramtres , m et r sous essai domtrique soumis la contrainte de 640kPa

Classe granulaire

Paramtres Aprs essai m r m r m r

0/6 4,4 51 0,1765 4 67 0,1313 4,5 52 0,1719

6/10 3,7 15 0,4315 2,9 18 0,6471 4,5 10 0,5269

10/14 3,3 14 0,4640 2,5 30 0,3794 4,0 12 0,51

Matriaux Grs Schiste argileux Granite

5.2. Influence de la prsence deau

Pour connatre leffet de lcrasement en prsence deau sur les paramtres , m et r le matriau choisi est le granite et les courbes thoriques aprs crasement sont ajustes avec les courbes exprimentales obtenues aux essais Proctor modifi et essai domtrique. Les rsultats des valeurs des paramtres sont prsents dans le tableau 4 qui montre clairement que la valeur de est plus leve ltat humide. Les valeurs du paramtre m augmentent ltat humide pour les diamtres suprieurs 6 mm ceci sexplique par le fait que pour ces diamtres les grains se dtriorent plus en prsence deau et donc vieillissent. Par contre les valeurs du paramtre r diminuent en prsence deau pour les diamtres suprieurs 6 mm, on peut dduire quil existe une relation entre le paramtre r et le frottement entre les grains qui diminue ltat humide.

Tableau 4. Influence de la prsence de leau sur les paramtres , m et r.

5.3. Influence de la nature des matriaux sur les paramtres , m et r

La composition minralogique et la structure cristalline des grains sont les paramtres essentiels de la variation de ltalement granulomtrique des matriaux tudis. La dtrioration des grains samplifie avec la diminution de leur rsistance

Essai Proctor Oedomtre Classe granulaire 0/6 10/14 6/10 10/14

Paramtres mm rr mm rr mm rr mm rr Etat sec 3,5 38 0,3267 4 30 0,2673 3,8 10 0,5269 4 12 0,51

Etat humide 3,8 35 0,3713 4,7 39 0,2258 5,9 14 0,4620 5,2 17 0,4267


individuelle. Le granite (pegmatite) et le grs sont les matriaux les plus altrables dues au fait quaprs concassage ils perdent la cohrence initiale quils avaient ltat de roche Les valeurs de prsentes dans le tableau 5 permettent de classer les matriaux utiliss du plus friable quest le granite altr dont les courbes aprs crasement sont trs tales suivi du grs et du schiste argileux.

Tableau 5. Variations des paramtres , m et r en fonction de la nature du matriau, tat sec, classe 6/10 sous essai cisaillement, contrainte 400 kPa.

5.4. Variation de lambda en fonction des contraintes appliques

Ltude de la variation des contraintes en fonction de lambda, nous a men tracer les courbes granulomtriques thoriques en les ajustant aux courbes granulomtriques exprimentales aprs essais triaxiaux sous les contraintes 100, 200, 300, 400 kPa. Les courbes exprimentales sont pratiquement confondues pour les diamtres suprieurs 2 mm et leffet de lcrasement napparat que pour des diamtres infrieurs 2 mm, Pour avoir une estimation satisfaisante de la variation des contraintes, en fonction de la variable lambda, les courbes thoriques ont t valides, en ajustant leurs branches infrieures celles des courbes exprimentales (figures 5 ).

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 110

1

2

3

4

5variation des contraintes en fonction de lambda

lambda

cont

rain

te (*

100K

Pa)

classe 0/6 secclasse 6/10 humideclasse 10/14 sec0/6 humide6/10 sec10/14 humide

Figure 6. Variation des contraintes en fonction de lambda pour le matriau granite

ltat sec et humide, classe granulaire 0/6, 6/10, 10/14 sous essai triaxial.

0 1 2 3 4 5 6 7 80

1

2

3

4

5

lambda

cont

rain

te (M

pa)

variation des contraintes en fonction de lambda pour differents matriaux

schiste argileuxgrsgranite

Figure 7. Variation des contraintes en fonction de lambda pour diffrents matriaux

sous lessai de cisaillement 400Kpa.

Les courbes obtenues pour la variation des contraintes en fonction de lambda ont la mme forme dvolution que se soit pour les classes granulaires 0/6, 6/10, 10/14 figure 6 ou pour les diffrents matriaux utiliss figure 7. Nous pouvons conclure que

Paramtres Granite Grs Schiste argileux 8,6 5 3,1 m 38 36 18 r 0,3755 0,2099 0,6556


le phnomne dcrasement des grains est variable en fonction de la duret, de la minralogie et de la taille des grains pour les matriaux tudis tels que le granite altr ainsi que le grs altr et le schiste argileux dans les trois classes granulaires. Le paramtre est influenc par divers facteurs : la granulomtrie, la nature du matriau et lhumidit du matriau. Lcart entre ltat humide et ltat sec est insignifiant pour la 0/6 et il devient important partir de la classe 10/14. A partir de ces volutions, il est possible de prvoir pour chaque type de matriau, pour chaque classe granulaire et pour nimporte quelle contrainte normale, contrainte oedomtrique ou nombre de coups, la valeur de .

5 .6. Variation de r en fonction de lambda

Les courbes prsentes dans la figure 8 ont la mme allure, on constate que r augmente en fonction de laugmentation des valeurs de lambda, les courbes indiquent que la valeur de r augmente sous la premire contrainte mais lorsque les contraintes augmentent, la valeur de r augmente peu ou presque pas, on peut conclure que r a une relation avec lcrasement des grains qui est gnralement important au dbut du chargement puis augmente peu avec laugmentation des contraintes.

3 3.5 4 4.50.4

0.42

0.44

0.46

0.48

0.5

0.52

0.54

paramtre lambda

para

mt

re r

variation du paramtre r en fonction de lambda du granite 0/6

etat secetat humide

1.5 2 2.5 3 3.5 40.51

0.515

0.52

0.525

0.53

0.535

0.54

0.545

0.55

paramtre lambda

para

mt

re r

variation du paramtre r en fonction de lambda du granite 610

etat secetat humide

1 2 3 4 5 6 7 8

0.4

0.5

0.6

0.7

paramtre lambda

para

mt

re r

variation du paramtre r en fonction de lambda du granite 10/14

etat secetat humide

Figure 8. Variation du paramtre r en fonction de lambda

6. CONCLUSION

Cette tude a permis de dfinir le rle des diffrents paramtres du modle m, r et dterminer avant essai et aprs essai, les courbes granulomtriques thoriques obtenues ne sont pas bien cales aux courbes exprimentales, alors le paramtre a t utilis pour les ajuster. Les principaux rsultats dcoulant de cette tude sont : Le paramtre augmente avec ltalement granulomtrique, et nous renseigne sur le degr dcrasement des grains. Il est influenc par la prsence deau, par la granulomtrie par la nature du matriau. Lajustement est dautant meilleur que la taille des grains est leve. Et plus la contrainte augmente, plus celle-ci permet un bon calage pour des grains de tailles suprieures 6 mm. Donc la granulomtrie est un paramtre qui influence non seulement lcrasement des grains mais aussi lajustement. Lcrasement des grains en prsence deau est plus significatif par rapport ltat sec, ceci est en accord avec les valeurs de qui sont plus importantes ltat humide qua ltat sec, les valeurs du paramtre r diminuent ltat humide, on peut


conclure que ce paramtre une relation avec le frottement des grains qui diminue en prsence deau. La nature des matriaux influe sur les valeurs du paramtre . En effet, les valeurs de ce paramtre sont petites lorsque le matriau est rsistant et dure et elles sont leves pour les matriaux moins rsistants. Ce modle et le paramtre dajustement dcrit convenablement le comportement des matriaux granulaires sous crasement des grains travers lvolution des courbes granulomtriques au cours des diffrents essais. La loi combine de Fukumoto sapplique bien pour les classes granulaires 6/10 et 10/14 o les grains ont un diamtre suprieur 6 mm. Pour la classe 0/6, la loi ne donne de bons ajustements que lorsque la contrainte applique est leve.

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boubrit hassiba

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