branch and bound - Εθνικόν και Καποδιστριακόν...
TRANSCRIPT
Branch and Bound
Branch and Bound
Branch and Bound
Μέθοδος επίλυσης προβληmicroάτων ακέραιου γραmicromicroικού
προγραmicromicroατισmicroού
Προσπαθούmicroε να αποφύγουmicroε την εξαντλητική αναζήτηση
∆ιαχώριση ∆ιαmicroέριση του χώρου αναζήτησης σε microικρότερα
υποσύνολα
Εκτίmicroηση Εκτιmicroούmicroε ένα πάνω ϕράγmicroα της τιmicroής για οποιαδήποτε
λύση microέσα στο υπόδενδρο
Branch and Bound
Branch and Bound
Μέθοδος επίλυσης προβληmicroάτων ακέραιου γραmicromicroικού
προγραmicromicroατισmicroού
Προσπαθούmicroε να αποφύγουmicroε την εξαντλητική αναζήτηση
∆ιαχώριση ∆ιαmicroέριση του χώρου αναζήτησης σε microικρότερα
υποσύνολα
Εκτίmicroηση Εκτιmicroούmicroε ένα πάνω ϕράγmicroα της τιmicroής για οποιαδήποτε
λύση microέσα στο υπόδενδρο
Branch and Bound
Branch and Bound
Μέθοδος επίλυσης προβληmicroάτων ακέραιου γραmicromicroικού
προγραmicromicroατισmicroού
Προσπαθούmicroε να αποφύγουmicroε την εξαντλητική αναζήτηση
∆ιαχώριση ∆ιαmicroέριση του χώρου αναζήτησης σε microικρότερα
υποσύνολα
Εκτίmicroηση Εκτιmicroούmicroε ένα πάνω ϕράγmicroα της τιmicroής για οποιαδήποτε
λύση microέσα στο υπόδενδρο
Branch and Bound
Branch and Bound
Μέθοδος επίλυσης προβληmicroάτων ακέραιου γραmicromicroικού
προγραmicromicroατισmicroού
Προσπαθούmicroε να αποφύγουmicroε την εξαντλητική αναζήτηση
∆ιαχώριση ∆ιαmicroέριση του χώρου αναζήτησης σε microικρότερα
υποσύνολα
Εκτίmicroηση Εκτιmicroούmicroε ένα πάνω ϕράγmicroα της τιmicroής για οποιαδήποτε
λύση microέσα στο υπόδενδρο
Branch and Bound
∆ιαχώρηση
Πρέπει να διαλέξουmicroε σε ποια υποσύνολα ϑα διαχωρήσουmicroε τον
χώρο αναζήτησης
Θεωρούmicroε δύο σύνολα ΄Οταν microια συγκεκριmicroένη microεταβλητή που
επιλέξουmicroε παίρνει την τιmicroή 0 και 1 αντίστοιχα
Πώς επιλέγουmicroε την microεταβλητή αυτή
Στην τύχη
Συστηmicroατικά
Εmicroπειρία παρελθόντος
Επίλυση ενός υποπροβλήmicroατος
Επηρεασmicroός του χρόνου και του αριθmicroού ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Branch and Bound
∆ιαχώρηση
Πρέπει να διαλέξουmicroε σε ποια υποσύνολα ϑα διαχωρήσουmicroε τον
χώρο αναζήτησης
Θεωρούmicroε δύο σύνολα ΄Οταν microια συγκεκριmicroένη microεταβλητή που
επιλέξουmicroε παίρνει την τιmicroή 0 και 1 αντίστοιχα
Πώς επιλέγουmicroε την microεταβλητή αυτή
Στην τύχη
Συστηmicroατικά
Εmicroπειρία παρελθόντος
Επίλυση ενός υποπροβλήmicroατος
Επηρεασmicroός του χρόνου και του αριθmicroού ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Branch and Bound
∆ιαχώρηση
Πρέπει να διαλέξουmicroε σε ποια υποσύνολα ϑα διαχωρήσουmicroε τον
χώρο αναζήτησης
Θεωρούmicroε δύο σύνολα ΄Οταν microια συγκεκριmicroένη microεταβλητή που
επιλέξουmicroε παίρνει την τιmicroή 0 και 1 αντίστοιχα
Πώς επιλέγουmicroε την microεταβλητή αυτή
Στην τύχη
Συστηmicroατικά
Εmicroπειρία παρελθόντος
Επίλυση ενός υποπροβλήmicroατος
Επηρεασmicroός του χρόνου και του αριθmicroού ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Branch and Bound
∆ιαχώρηση
Πρέπει να διαλέξουmicroε σε ποια υποσύνολα ϑα διαχωρήσουmicroε τον
χώρο αναζήτησης
Θεωρούmicroε δύο σύνολα ΄Οταν microια συγκεκριmicroένη microεταβλητή που
επιλέξουmicroε παίρνει την τιmicroή 0 και 1 αντίστοιχα
Πώς επιλέγουmicroε την microεταβλητή αυτή
Στην τύχη
Συστηmicroατικά
Εmicroπειρία παρελθόντος
Επίλυση ενός υποπροβλήmicroατος
Επηρεασmicroός του χρόνου και του αριθmicroού ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Branch and Bound
∆ιαχώρηση
Πρέπει να διαλέξουmicroε σε ποια υποσύνολα ϑα διαχωρήσουmicroε τον
χώρο αναζήτησης
Θεωρούmicroε δύο σύνολα ΄Οταν microια συγκεκριmicroένη microεταβλητή που
επιλέξουmicroε παίρνει την τιmicroή 0 και 1 αντίστοιχα
Πώς επιλέγουmicroε την microεταβλητή αυτή
Στην τύχη
Συστηmicroατικά
Εmicroπειρία παρελθόντος
Επίλυση ενός υποπροβλήmicroατος
Επηρεασmicroός του χρόνου και του αριθmicroού ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Branch and Bound
∆ιαχώρηση
Πρέπει να διαλέξουmicroε σε ποια υποσύνολα ϑα διαχωρήσουmicroε τον
χώρο αναζήτησης
Θεωρούmicroε δύο σύνολα ΄Οταν microια συγκεκριmicroένη microεταβλητή που
επιλέξουmicroε παίρνει την τιmicroή 0 και 1 αντίστοιχα
Πώς επιλέγουmicroε την microεταβλητή αυτή
Στην τύχη
Συστηmicroατικά
Εmicroπειρία παρελθόντος
Επίλυση ενός υποπροβλήmicroατος
Επηρεασmicroός του χρόνου και του αριθmicroού ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Branch and Bound
∆ιαχώρηση
Πρέπει να διαλέξουmicroε σε ποια υποσύνολα ϑα διαχωρήσουmicroε τον
χώρο αναζήτησης
Θεωρούmicroε δύο σύνολα ΄Οταν microια συγκεκριmicroένη microεταβλητή που
επιλέξουmicroε παίρνει την τιmicroή 0 και 1 αντίστοιχα
Πώς επιλέγουmicroε την microεταβλητή αυτή
Στην τύχη
Συστηmicroατικά
Εmicroπειρία παρελθόντος
Επίλυση ενός υποπροβλήmicroατος
Επηρεασmicroός του χρόνου και του αριθmicroού ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Branch and Bound
∆ιαχώρηση
Πρέπει να διαλέξουmicroε σε ποια υποσύνολα ϑα διαχωρήσουmicroε τον
χώρο αναζήτησης
Θεωρούmicroε δύο σύνολα ΄Οταν microια συγκεκριmicroένη microεταβλητή που
επιλέξουmicroε παίρνει την τιmicroή 0 και 1 αντίστοιχα
Πώς επιλέγουmicroε την microεταβλητή αυτή
Στην τύχη
Συστηmicroατικά
Εmicroπειρία παρελθόντος
Επίλυση ενός υποπροβλήmicroατος
Επηρεασmicroός του χρόνου και του αριθmicroού ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Πριν τον διαχώρισmicroό ενός κόmicroβου ελέγχουmicroε αν υπάρχει
πιθανότητα να ϐρίσκεται η ϐέλτιστη λύση στο συγκεκριmicroένο
υπόδενδρο
Εκτίmicroηση του άνω ή κάτω ϕράγmicroατος ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση (microεγιστοποίηση ή ελαχιστοποίηση αντίστοιχα) για κάθε
λύση του
Αν γνωρίζουmicroε ήδη microια καλύτερη λύση από το αντίστοιχο ϕράγmicroα
του υποδένδρου γνωρίζουmicroε πως η ϐέλτιστη λύση δεν ϐρίσκεται
στο υπόδενδρο και δεν χρειάζεται να διαχωρίσουmicroε
Μια χονδρική εκτίmicroηση microπορεί να γίνει πολύ γρήγορα αλλά δεν
περιορίζει αρκετά τον αριθmicroό των ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Μια ακριβής εκτίmicroηση microας επιτρέπει να αποφύγουmicroε microεγάλο
microέρος του χώρου αναζήτησης αλλά ο υπολογισmicroός της επιβαρύνει
σηmicroαντικά τον συνολικό χρόνο
Εύρεση καλύτερου συmicroβιβασmicroού
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Πριν τον διαχώρισmicroό ενός κόmicroβου ελέγχουmicroε αν υπάρχει
πιθανότητα να ϐρίσκεται η ϐέλτιστη λύση στο συγκεκριmicroένο
υπόδενδρο
Εκτίmicroηση του άνω ή κάτω ϕράγmicroατος ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση (microεγιστοποίηση ή ελαχιστοποίηση αντίστοιχα) για κάθε
λύση του
Αν γνωρίζουmicroε ήδη microια καλύτερη λύση από το αντίστοιχο ϕράγmicroα
του υποδένδρου γνωρίζουmicroε πως η ϐέλτιστη λύση δεν ϐρίσκεται
στο υπόδενδρο και δεν χρειάζεται να διαχωρίσουmicroε
Μια χονδρική εκτίmicroηση microπορεί να γίνει πολύ γρήγορα αλλά δεν
περιορίζει αρκετά τον αριθmicroό των ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Μια ακριβής εκτίmicroηση microας επιτρέπει να αποφύγουmicroε microεγάλο
microέρος του χώρου αναζήτησης αλλά ο υπολογισmicroός της επιβαρύνει
σηmicroαντικά τον συνολικό χρόνο
Εύρεση καλύτερου συmicroβιβασmicroού
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Πριν τον διαχώρισmicroό ενός κόmicroβου ελέγχουmicroε αν υπάρχει
πιθανότητα να ϐρίσκεται η ϐέλτιστη λύση στο συγκεκριmicroένο
υπόδενδρο
Εκτίmicroηση του άνω ή κάτω ϕράγmicroατος ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση (microεγιστοποίηση ή ελαχιστοποίηση αντίστοιχα) για κάθε
λύση του
Αν γνωρίζουmicroε ήδη microια καλύτερη λύση από το αντίστοιχο ϕράγmicroα
του υποδένδρου γνωρίζουmicroε πως η ϐέλτιστη λύση δεν ϐρίσκεται
στο υπόδενδρο και δεν χρειάζεται να διαχωρίσουmicroε
Μια χονδρική εκτίmicroηση microπορεί να γίνει πολύ γρήγορα αλλά δεν
περιορίζει αρκετά τον αριθmicroό των ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Μια ακριβής εκτίmicroηση microας επιτρέπει να αποφύγουmicroε microεγάλο
microέρος του χώρου αναζήτησης αλλά ο υπολογισmicroός της επιβαρύνει
σηmicroαντικά τον συνολικό χρόνο
Εύρεση καλύτερου συmicroβιβασmicroού
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Πριν τον διαχώρισmicroό ενός κόmicroβου ελέγχουmicroε αν υπάρχει
πιθανότητα να ϐρίσκεται η ϐέλτιστη λύση στο συγκεκριmicroένο
υπόδενδρο
Εκτίmicroηση του άνω ή κάτω ϕράγmicroατος ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση (microεγιστοποίηση ή ελαχιστοποίηση αντίστοιχα) για κάθε
λύση του
Αν γνωρίζουmicroε ήδη microια καλύτερη λύση από το αντίστοιχο ϕράγmicroα
του υποδένδρου γνωρίζουmicroε πως η ϐέλτιστη λύση δεν ϐρίσκεται
στο υπόδενδρο και δεν χρειάζεται να διαχωρίσουmicroε
Μια χονδρική εκτίmicroηση microπορεί να γίνει πολύ γρήγορα αλλά δεν
περιορίζει αρκετά τον αριθmicroό των ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Μια ακριβής εκτίmicroηση microας επιτρέπει να αποφύγουmicroε microεγάλο
microέρος του χώρου αναζήτησης αλλά ο υπολογισmicroός της επιβαρύνει
σηmicroαντικά τον συνολικό χρόνο
Εύρεση καλύτερου συmicroβιβασmicroού
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Πριν τον διαχώρισmicroό ενός κόmicroβου ελέγχουmicroε αν υπάρχει
πιθανότητα να ϐρίσκεται η ϐέλτιστη λύση στο συγκεκριmicroένο
υπόδενδρο
Εκτίmicroηση του άνω ή κάτω ϕράγmicroατος ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση (microεγιστοποίηση ή ελαχιστοποίηση αντίστοιχα) για κάθε
λύση του
Αν γνωρίζουmicroε ήδη microια καλύτερη λύση από το αντίστοιχο ϕράγmicroα
του υποδένδρου γνωρίζουmicroε πως η ϐέλτιστη λύση δεν ϐρίσκεται
στο υπόδενδρο και δεν χρειάζεται να διαχωρίσουmicroε
Μια χονδρική εκτίmicroηση microπορεί να γίνει πολύ γρήγορα αλλά δεν
περιορίζει αρκετά τον αριθmicroό των ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Μια ακριβής εκτίmicroηση microας επιτρέπει να αποφύγουmicroε microεγάλο
microέρος του χώρου αναζήτησης αλλά ο υπολογισmicroός της επιβαρύνει
σηmicroαντικά τον συνολικό χρόνο
Εύρεση καλύτερου συmicroβιβασmicroού
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Πριν τον διαχώρισmicroό ενός κόmicroβου ελέγχουmicroε αν υπάρχει
πιθανότητα να ϐρίσκεται η ϐέλτιστη λύση στο συγκεκριmicroένο
υπόδενδρο
Εκτίmicroηση του άνω ή κάτω ϕράγmicroατος ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση (microεγιστοποίηση ή ελαχιστοποίηση αντίστοιχα) για κάθε
λύση του
Αν γνωρίζουmicroε ήδη microια καλύτερη λύση από το αντίστοιχο ϕράγmicroα
του υποδένδρου γνωρίζουmicroε πως η ϐέλτιστη λύση δεν ϐρίσκεται
στο υπόδενδρο και δεν χρειάζεται να διαχωρίσουmicroε
Μια χονδρική εκτίmicroηση microπορεί να γίνει πολύ γρήγορα αλλά δεν
περιορίζει αρκετά τον αριθmicroό των ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Μια ακριβής εκτίmicroηση microας επιτρέπει να αποφύγουmicroε microεγάλο
microέρος του χώρου αναζήτησης αλλά ο υπολογισmicroός της επιβαρύνει
σηmicroαντικά τον συνολικό χρόνο
Εύρεση καλύτερου συmicroβιβασmicroού
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Παράδειγmicroα εκτίmicroησης για πρόβληmicroα ελαχιστοποίησης
΄Εστω κόmicroβος Si και συνάρτηση εκτίmicroησης κάτω ϕράγmicroατος f()
΄Εστω πως γνωρίζουmicroε ήδη microια εφικτή λύση του προβλήmicroατος x
Αν f(Si)
ge cx Συνεχίζουmicroε στον διαχώρισmicroό του Si
διαφορετικά ∆εν διαχωρίζουmicroε το Si
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Παράδειγmicroα εκτίmicroησης για πρόβληmicroα ελαχιστοποίησης
΄Εστω κόmicroβος Si και συνάρτηση εκτίmicroησης κάτω ϕράγmicroατος f()
΄Εστω πως γνωρίζουmicroε ήδη microια εφικτή λύση του προβλήmicroατος x
Αν f(Si)
ge cx Συνεχίζουmicroε στον διαχώρισmicroό του Si
διαφορετικά ∆εν διαχωρίζουmicroε το Si
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Παράδειγmicroα εκτίmicroησης για πρόβληmicroα ελαχιστοποίησης
΄Εστω κόmicroβος Si και συνάρτηση εκτίmicroησης κάτω ϕράγmicroατος f()
΄Εστω πως γνωρίζουmicroε ήδη microια εφικτή λύση του προβλήmicroατος x
Αν f(Si)
ge cx Συνεχίζουmicroε στον διαχώρισmicroό του Si
διαφορετικά ∆εν διαχωρίζουmicroε το Si
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Παράδειγmicroα εκτίmicroησης για πρόβληmicroα ελαχιστοποίησης
΄Εστω κόmicroβος Si και συνάρτηση εκτίmicroησης κάτω ϕράγmicroατος f()
΄Εστω πως γνωρίζουmicroε ήδη microια εφικτή λύση του προβλήmicroατος x
Αν f(Si)
ge cx Συνεχίζουmicroε στον διαχώρισmicroό του Si
διαφορετικά ∆εν διαχωρίζουmicroε το Si
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
Αναζήτηση στο χώρο των λύσεων
S
S1 S1
S12
S12
S12 S12
S123
S123
S123
S123
S123
S123
S123 S123
x1 = 0 x1 = 1
x2 = 0 x2 = 1
x3 = 0
x3 = 1
x3 = 0
x3 = 1
x2 = 0 x2 = 1
x3 = 0
x3 = 1
x3 = 0
x3 = 1
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Βέλτιστη συνεχής λύση x1 = 1 x2 = 3
8 z = minus26
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
∆ιαχωρισmicroός στο S1
x =
1 S1
min z = minus20minus 16x2 minus 11x3 minus 9x4 minus 7x5 minus x6
8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x3 + x6 lt 3
0 S1
min z = minus16x2 minus 11x3 minus 9x4 minus 7x5 minus x6
8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x3 + x6 lt 12
Βέλτιστη συνεχή λύση S1 x2 = 3
8 z = minus26 Βέλτιστη συνεχή λύση S
1
x2 = 1x3 = 2
3 z = minus 70
3asymp minus233
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
∆ιαχωρισmicroός στο S1
x =
1 S1
min z = minus20minus 16x2 minus 11x3 minus 9x4 minus 7x5 minus x6
8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x3 + x6 lt 3
0 S1
min z = minus16x2 minus 11x3 minus 9x4 minus 7x5 minus x6
8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x3 + x6 lt 12
Βέλτιστη συνεχή λύση S1 x2 = 3
8 z = minus26 Βέλτιστη συνεχή λύση S
1
x2 = 1x3 = 2
3 z = minus 70
3asymp minus233
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
S
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230 S1234 infinS
1234 230
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230 S1234 infinS
1234 230
17 κόmicroβοι εξετάστηκαν αντί για 27 minus 1
Branch and Bound
Branch and Bound
Μέθοδος επίλυσης προβληmicroάτων ακέραιου γραmicromicroικού
προγραmicromicroατισmicroού
Προσπαθούmicroε να αποφύγουmicroε την εξαντλητική αναζήτηση
∆ιαχώριση ∆ιαmicroέριση του χώρου αναζήτησης σε microικρότερα
υποσύνολα
Εκτίmicroηση Εκτιmicroούmicroε ένα πάνω ϕράγmicroα της τιmicroής για οποιαδήποτε
λύση microέσα στο υπόδενδρο
Branch and Bound
Branch and Bound
Μέθοδος επίλυσης προβληmicroάτων ακέραιου γραmicromicroικού
προγραmicromicroατισmicroού
Προσπαθούmicroε να αποφύγουmicroε την εξαντλητική αναζήτηση
∆ιαχώριση ∆ιαmicroέριση του χώρου αναζήτησης σε microικρότερα
υποσύνολα
Εκτίmicroηση Εκτιmicroούmicroε ένα πάνω ϕράγmicroα της τιmicroής για οποιαδήποτε
λύση microέσα στο υπόδενδρο
Branch and Bound
Branch and Bound
Μέθοδος επίλυσης προβληmicroάτων ακέραιου γραmicromicroικού
προγραmicromicroατισmicroού
Προσπαθούmicroε να αποφύγουmicroε την εξαντλητική αναζήτηση
∆ιαχώριση ∆ιαmicroέριση του χώρου αναζήτησης σε microικρότερα
υποσύνολα
Εκτίmicroηση Εκτιmicroούmicroε ένα πάνω ϕράγmicroα της τιmicroής για οποιαδήποτε
λύση microέσα στο υπόδενδρο
Branch and Bound
Branch and Bound
Μέθοδος επίλυσης προβληmicroάτων ακέραιου γραmicromicroικού
προγραmicromicroατισmicroού
Προσπαθούmicroε να αποφύγουmicroε την εξαντλητική αναζήτηση
∆ιαχώριση ∆ιαmicroέριση του χώρου αναζήτησης σε microικρότερα
υποσύνολα
Εκτίmicroηση Εκτιmicroούmicroε ένα πάνω ϕράγmicroα της τιmicroής για οποιαδήποτε
λύση microέσα στο υπόδενδρο
Branch and Bound
∆ιαχώρηση
Πρέπει να διαλέξουmicroε σε ποια υποσύνολα ϑα διαχωρήσουmicroε τον
χώρο αναζήτησης
Θεωρούmicroε δύο σύνολα ΄Οταν microια συγκεκριmicroένη microεταβλητή που
επιλέξουmicroε παίρνει την τιmicroή 0 και 1 αντίστοιχα
Πώς επιλέγουmicroε την microεταβλητή αυτή
Στην τύχη
Συστηmicroατικά
Εmicroπειρία παρελθόντος
Επίλυση ενός υποπροβλήmicroατος
Επηρεασmicroός του χρόνου και του αριθmicroού ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Branch and Bound
∆ιαχώρηση
Πρέπει να διαλέξουmicroε σε ποια υποσύνολα ϑα διαχωρήσουmicroε τον
χώρο αναζήτησης
Θεωρούmicroε δύο σύνολα ΄Οταν microια συγκεκριmicroένη microεταβλητή που
επιλέξουmicroε παίρνει την τιmicroή 0 και 1 αντίστοιχα
Πώς επιλέγουmicroε την microεταβλητή αυτή
Στην τύχη
Συστηmicroατικά
Εmicroπειρία παρελθόντος
Επίλυση ενός υποπροβλήmicroατος
Επηρεασmicroός του χρόνου και του αριθmicroού ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Branch and Bound
∆ιαχώρηση
Πρέπει να διαλέξουmicroε σε ποια υποσύνολα ϑα διαχωρήσουmicroε τον
χώρο αναζήτησης
Θεωρούmicroε δύο σύνολα ΄Οταν microια συγκεκριmicroένη microεταβλητή που
επιλέξουmicroε παίρνει την τιmicroή 0 και 1 αντίστοιχα
Πώς επιλέγουmicroε την microεταβλητή αυτή
Στην τύχη
Συστηmicroατικά
Εmicroπειρία παρελθόντος
Επίλυση ενός υποπροβλήmicroατος
Επηρεασmicroός του χρόνου και του αριθmicroού ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Branch and Bound
∆ιαχώρηση
Πρέπει να διαλέξουmicroε σε ποια υποσύνολα ϑα διαχωρήσουmicroε τον
χώρο αναζήτησης
Θεωρούmicroε δύο σύνολα ΄Οταν microια συγκεκριmicroένη microεταβλητή που
επιλέξουmicroε παίρνει την τιmicroή 0 και 1 αντίστοιχα
Πώς επιλέγουmicroε την microεταβλητή αυτή
Στην τύχη
Συστηmicroατικά
Εmicroπειρία παρελθόντος
Επίλυση ενός υποπροβλήmicroατος
Επηρεασmicroός του χρόνου και του αριθmicroού ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Branch and Bound
∆ιαχώρηση
Πρέπει να διαλέξουmicroε σε ποια υποσύνολα ϑα διαχωρήσουmicroε τον
χώρο αναζήτησης
Θεωρούmicroε δύο σύνολα ΄Οταν microια συγκεκριmicroένη microεταβλητή που
επιλέξουmicroε παίρνει την τιmicroή 0 και 1 αντίστοιχα
Πώς επιλέγουmicroε την microεταβλητή αυτή
Στην τύχη
Συστηmicroατικά
Εmicroπειρία παρελθόντος
Επίλυση ενός υποπροβλήmicroατος
Επηρεασmicroός του χρόνου και του αριθmicroού ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Branch and Bound
∆ιαχώρηση
Πρέπει να διαλέξουmicroε σε ποια υποσύνολα ϑα διαχωρήσουmicroε τον
χώρο αναζήτησης
Θεωρούmicroε δύο σύνολα ΄Οταν microια συγκεκριmicroένη microεταβλητή που
επιλέξουmicroε παίρνει την τιmicroή 0 και 1 αντίστοιχα
Πώς επιλέγουmicroε την microεταβλητή αυτή
Στην τύχη
Συστηmicroατικά
Εmicroπειρία παρελθόντος
Επίλυση ενός υποπροβλήmicroατος
Επηρεασmicroός του χρόνου και του αριθmicroού ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Branch and Bound
∆ιαχώρηση
Πρέπει να διαλέξουmicroε σε ποια υποσύνολα ϑα διαχωρήσουmicroε τον
χώρο αναζήτησης
Θεωρούmicroε δύο σύνολα ΄Οταν microια συγκεκριmicroένη microεταβλητή που
επιλέξουmicroε παίρνει την τιmicroή 0 και 1 αντίστοιχα
Πώς επιλέγουmicroε την microεταβλητή αυτή
Στην τύχη
Συστηmicroατικά
Εmicroπειρία παρελθόντος
Επίλυση ενός υποπροβλήmicroατος
Επηρεασmicroός του χρόνου και του αριθmicroού ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Branch and Bound
∆ιαχώρηση
Πρέπει να διαλέξουmicroε σε ποια υποσύνολα ϑα διαχωρήσουmicroε τον
χώρο αναζήτησης
Θεωρούmicroε δύο σύνολα ΄Οταν microια συγκεκριmicroένη microεταβλητή που
επιλέξουmicroε παίρνει την τιmicroή 0 και 1 αντίστοιχα
Πώς επιλέγουmicroε την microεταβλητή αυτή
Στην τύχη
Συστηmicroατικά
Εmicroπειρία παρελθόντος
Επίλυση ενός υποπροβλήmicroατος
Επηρεασmicroός του χρόνου και του αριθmicroού ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Πριν τον διαχώρισmicroό ενός κόmicroβου ελέγχουmicroε αν υπάρχει
πιθανότητα να ϐρίσκεται η ϐέλτιστη λύση στο συγκεκριmicroένο
υπόδενδρο
Εκτίmicroηση του άνω ή κάτω ϕράγmicroατος ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση (microεγιστοποίηση ή ελαχιστοποίηση αντίστοιχα) για κάθε
λύση του
Αν γνωρίζουmicroε ήδη microια καλύτερη λύση από το αντίστοιχο ϕράγmicroα
του υποδένδρου γνωρίζουmicroε πως η ϐέλτιστη λύση δεν ϐρίσκεται
στο υπόδενδρο και δεν χρειάζεται να διαχωρίσουmicroε
Μια χονδρική εκτίmicroηση microπορεί να γίνει πολύ γρήγορα αλλά δεν
περιορίζει αρκετά τον αριθmicroό των ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Μια ακριβής εκτίmicroηση microας επιτρέπει να αποφύγουmicroε microεγάλο
microέρος του χώρου αναζήτησης αλλά ο υπολογισmicroός της επιβαρύνει
σηmicroαντικά τον συνολικό χρόνο
Εύρεση καλύτερου συmicroβιβασmicroού
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Πριν τον διαχώρισmicroό ενός κόmicroβου ελέγχουmicroε αν υπάρχει
πιθανότητα να ϐρίσκεται η ϐέλτιστη λύση στο συγκεκριmicroένο
υπόδενδρο
Εκτίmicroηση του άνω ή κάτω ϕράγmicroατος ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση (microεγιστοποίηση ή ελαχιστοποίηση αντίστοιχα) για κάθε
λύση του
Αν γνωρίζουmicroε ήδη microια καλύτερη λύση από το αντίστοιχο ϕράγmicroα
του υποδένδρου γνωρίζουmicroε πως η ϐέλτιστη λύση δεν ϐρίσκεται
στο υπόδενδρο και δεν χρειάζεται να διαχωρίσουmicroε
Μια χονδρική εκτίmicroηση microπορεί να γίνει πολύ γρήγορα αλλά δεν
περιορίζει αρκετά τον αριθmicroό των ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Μια ακριβής εκτίmicroηση microας επιτρέπει να αποφύγουmicroε microεγάλο
microέρος του χώρου αναζήτησης αλλά ο υπολογισmicroός της επιβαρύνει
σηmicroαντικά τον συνολικό χρόνο
Εύρεση καλύτερου συmicroβιβασmicroού
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Πριν τον διαχώρισmicroό ενός κόmicroβου ελέγχουmicroε αν υπάρχει
πιθανότητα να ϐρίσκεται η ϐέλτιστη λύση στο συγκεκριmicroένο
υπόδενδρο
Εκτίmicroηση του άνω ή κάτω ϕράγmicroατος ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση (microεγιστοποίηση ή ελαχιστοποίηση αντίστοιχα) για κάθε
λύση του
Αν γνωρίζουmicroε ήδη microια καλύτερη λύση από το αντίστοιχο ϕράγmicroα
του υποδένδρου γνωρίζουmicroε πως η ϐέλτιστη λύση δεν ϐρίσκεται
στο υπόδενδρο και δεν χρειάζεται να διαχωρίσουmicroε
Μια χονδρική εκτίmicroηση microπορεί να γίνει πολύ γρήγορα αλλά δεν
περιορίζει αρκετά τον αριθmicroό των ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Μια ακριβής εκτίmicroηση microας επιτρέπει να αποφύγουmicroε microεγάλο
microέρος του χώρου αναζήτησης αλλά ο υπολογισmicroός της επιβαρύνει
σηmicroαντικά τον συνολικό χρόνο
Εύρεση καλύτερου συmicroβιβασmicroού
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Πριν τον διαχώρισmicroό ενός κόmicroβου ελέγχουmicroε αν υπάρχει
πιθανότητα να ϐρίσκεται η ϐέλτιστη λύση στο συγκεκριmicroένο
υπόδενδρο
Εκτίmicroηση του άνω ή κάτω ϕράγmicroατος ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση (microεγιστοποίηση ή ελαχιστοποίηση αντίστοιχα) για κάθε
λύση του
Αν γνωρίζουmicroε ήδη microια καλύτερη λύση από το αντίστοιχο ϕράγmicroα
του υποδένδρου γνωρίζουmicroε πως η ϐέλτιστη λύση δεν ϐρίσκεται
στο υπόδενδρο και δεν χρειάζεται να διαχωρίσουmicroε
Μια χονδρική εκτίmicroηση microπορεί να γίνει πολύ γρήγορα αλλά δεν
περιορίζει αρκετά τον αριθmicroό των ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Μια ακριβής εκτίmicroηση microας επιτρέπει να αποφύγουmicroε microεγάλο
microέρος του χώρου αναζήτησης αλλά ο υπολογισmicroός της επιβαρύνει
σηmicroαντικά τον συνολικό χρόνο
Εύρεση καλύτερου συmicroβιβασmicroού
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Πριν τον διαχώρισmicroό ενός κόmicroβου ελέγχουmicroε αν υπάρχει
πιθανότητα να ϐρίσκεται η ϐέλτιστη λύση στο συγκεκριmicroένο
υπόδενδρο
Εκτίmicroηση του άνω ή κάτω ϕράγmicroατος ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση (microεγιστοποίηση ή ελαχιστοποίηση αντίστοιχα) για κάθε
λύση του
Αν γνωρίζουmicroε ήδη microια καλύτερη λύση από το αντίστοιχο ϕράγmicroα
του υποδένδρου γνωρίζουmicroε πως η ϐέλτιστη λύση δεν ϐρίσκεται
στο υπόδενδρο και δεν χρειάζεται να διαχωρίσουmicroε
Μια χονδρική εκτίmicroηση microπορεί να γίνει πολύ γρήγορα αλλά δεν
περιορίζει αρκετά τον αριθmicroό των ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Μια ακριβής εκτίmicroηση microας επιτρέπει να αποφύγουmicroε microεγάλο
microέρος του χώρου αναζήτησης αλλά ο υπολογισmicroός της επιβαρύνει
σηmicroαντικά τον συνολικό χρόνο
Εύρεση καλύτερου συmicroβιβασmicroού
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Πριν τον διαχώρισmicroό ενός κόmicroβου ελέγχουmicroε αν υπάρχει
πιθανότητα να ϐρίσκεται η ϐέλτιστη λύση στο συγκεκριmicroένο
υπόδενδρο
Εκτίmicroηση του άνω ή κάτω ϕράγmicroατος ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση (microεγιστοποίηση ή ελαχιστοποίηση αντίστοιχα) για κάθε
λύση του
Αν γνωρίζουmicroε ήδη microια καλύτερη λύση από το αντίστοιχο ϕράγmicroα
του υποδένδρου γνωρίζουmicroε πως η ϐέλτιστη λύση δεν ϐρίσκεται
στο υπόδενδρο και δεν χρειάζεται να διαχωρίσουmicroε
Μια χονδρική εκτίmicroηση microπορεί να γίνει πολύ γρήγορα αλλά δεν
περιορίζει αρκετά τον αριθmicroό των ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Μια ακριβής εκτίmicroηση microας επιτρέπει να αποφύγουmicroε microεγάλο
microέρος του χώρου αναζήτησης αλλά ο υπολογισmicroός της επιβαρύνει
σηmicroαντικά τον συνολικό χρόνο
Εύρεση καλύτερου συmicroβιβασmicroού
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Παράδειγmicroα εκτίmicroησης για πρόβληmicroα ελαχιστοποίησης
΄Εστω κόmicroβος Si και συνάρτηση εκτίmicroησης κάτω ϕράγmicroατος f()
΄Εστω πως γνωρίζουmicroε ήδη microια εφικτή λύση του προβλήmicroατος x
Αν f(Si)
ge cx Συνεχίζουmicroε στον διαχώρισmicroό του Si
διαφορετικά ∆εν διαχωρίζουmicroε το Si
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Παράδειγmicroα εκτίmicroησης για πρόβληmicroα ελαχιστοποίησης
΄Εστω κόmicroβος Si και συνάρτηση εκτίmicroησης κάτω ϕράγmicroατος f()
΄Εστω πως γνωρίζουmicroε ήδη microια εφικτή λύση του προβλήmicroατος x
Αν f(Si)
ge cx Συνεχίζουmicroε στον διαχώρισmicroό του Si
διαφορετικά ∆εν διαχωρίζουmicroε το Si
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Παράδειγmicroα εκτίmicroησης για πρόβληmicroα ελαχιστοποίησης
΄Εστω κόmicroβος Si και συνάρτηση εκτίmicroησης κάτω ϕράγmicroατος f()
΄Εστω πως γνωρίζουmicroε ήδη microια εφικτή λύση του προβλήmicroατος x
Αν f(Si)
ge cx Συνεχίζουmicroε στον διαχώρισmicroό του Si
διαφορετικά ∆εν διαχωρίζουmicroε το Si
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Παράδειγmicroα εκτίmicroησης για πρόβληmicroα ελαχιστοποίησης
΄Εστω κόmicroβος Si και συνάρτηση εκτίmicroησης κάτω ϕράγmicroατος f()
΄Εστω πως γνωρίζουmicroε ήδη microια εφικτή λύση του προβλήmicroατος x
Αν f(Si)
ge cx Συνεχίζουmicroε στον διαχώρισmicroό του Si
διαφορετικά ∆εν διαχωρίζουmicroε το Si
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
Αναζήτηση στο χώρο των λύσεων
S
S1 S1
S12
S12
S12 S12
S123
S123
S123
S123
S123
S123
S123 S123
x1 = 0 x1 = 1
x2 = 0 x2 = 1
x3 = 0
x3 = 1
x3 = 0
x3 = 1
x2 = 0 x2 = 1
x3 = 0
x3 = 1
x3 = 0
x3 = 1
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Βέλτιστη συνεχής λύση x1 = 1 x2 = 3
8 z = minus26
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
∆ιαχωρισmicroός στο S1
x =
1 S1
min z = minus20minus 16x2 minus 11x3 minus 9x4 minus 7x5 minus x6
8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x3 + x6 lt 3
0 S1
min z = minus16x2 minus 11x3 minus 9x4 minus 7x5 minus x6
8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x3 + x6 lt 12
Βέλτιστη συνεχή λύση S1 x2 = 3
8 z = minus26 Βέλτιστη συνεχή λύση S
1
x2 = 1x3 = 2
3 z = minus 70
3asymp minus233
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
∆ιαχωρισmicroός στο S1
x =
1 S1
min z = minus20minus 16x2 minus 11x3 minus 9x4 minus 7x5 minus x6
8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x3 + x6 lt 3
0 S1
min z = minus16x2 minus 11x3 minus 9x4 minus 7x5 minus x6
8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x3 + x6 lt 12
Βέλτιστη συνεχή λύση S1 x2 = 3
8 z = minus26 Βέλτιστη συνεχή λύση S
1
x2 = 1x3 = 2
3 z = minus 70
3asymp minus233
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
S
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230 S1234 infinS
1234 230
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230 S1234 infinS
1234 230
17 κόmicroβοι εξετάστηκαν αντί για 27 minus 1
Branch and Bound
Branch and Bound
Μέθοδος επίλυσης προβληmicroάτων ακέραιου γραmicromicroικού
προγραmicromicroατισmicroού
Προσπαθούmicroε να αποφύγουmicroε την εξαντλητική αναζήτηση
∆ιαχώριση ∆ιαmicroέριση του χώρου αναζήτησης σε microικρότερα
υποσύνολα
Εκτίmicroηση Εκτιmicroούmicroε ένα πάνω ϕράγmicroα της τιmicroής για οποιαδήποτε
λύση microέσα στο υπόδενδρο
Branch and Bound
Branch and Bound
Μέθοδος επίλυσης προβληmicroάτων ακέραιου γραmicromicroικού
προγραmicromicroατισmicroού
Προσπαθούmicroε να αποφύγουmicroε την εξαντλητική αναζήτηση
∆ιαχώριση ∆ιαmicroέριση του χώρου αναζήτησης σε microικρότερα
υποσύνολα
Εκτίmicroηση Εκτιmicroούmicroε ένα πάνω ϕράγmicroα της τιmicroής για οποιαδήποτε
λύση microέσα στο υπόδενδρο
Branch and Bound
Branch and Bound
Μέθοδος επίλυσης προβληmicroάτων ακέραιου γραmicromicroικού
προγραmicromicroατισmicroού
Προσπαθούmicroε να αποφύγουmicroε την εξαντλητική αναζήτηση
∆ιαχώριση ∆ιαmicroέριση του χώρου αναζήτησης σε microικρότερα
υποσύνολα
Εκτίmicroηση Εκτιmicroούmicroε ένα πάνω ϕράγmicroα της τιmicroής για οποιαδήποτε
λύση microέσα στο υπόδενδρο
Branch and Bound
∆ιαχώρηση
Πρέπει να διαλέξουmicroε σε ποια υποσύνολα ϑα διαχωρήσουmicroε τον
χώρο αναζήτησης
Θεωρούmicroε δύο σύνολα ΄Οταν microια συγκεκριmicroένη microεταβλητή που
επιλέξουmicroε παίρνει την τιmicroή 0 και 1 αντίστοιχα
Πώς επιλέγουmicroε την microεταβλητή αυτή
Στην τύχη
Συστηmicroατικά
Εmicroπειρία παρελθόντος
Επίλυση ενός υποπροβλήmicroατος
Επηρεασmicroός του χρόνου και του αριθmicroού ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Branch and Bound
∆ιαχώρηση
Πρέπει να διαλέξουmicroε σε ποια υποσύνολα ϑα διαχωρήσουmicroε τον
χώρο αναζήτησης
Θεωρούmicroε δύο σύνολα ΄Οταν microια συγκεκριmicroένη microεταβλητή που
επιλέξουmicroε παίρνει την τιmicroή 0 και 1 αντίστοιχα
Πώς επιλέγουmicroε την microεταβλητή αυτή
Στην τύχη
Συστηmicroατικά
Εmicroπειρία παρελθόντος
Επίλυση ενός υποπροβλήmicroατος
Επηρεασmicroός του χρόνου και του αριθmicroού ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Branch and Bound
∆ιαχώρηση
Πρέπει να διαλέξουmicroε σε ποια υποσύνολα ϑα διαχωρήσουmicroε τον
χώρο αναζήτησης
Θεωρούmicroε δύο σύνολα ΄Οταν microια συγκεκριmicroένη microεταβλητή που
επιλέξουmicroε παίρνει την τιmicroή 0 και 1 αντίστοιχα
Πώς επιλέγουmicroε την microεταβλητή αυτή
Στην τύχη
Συστηmicroατικά
Εmicroπειρία παρελθόντος
Επίλυση ενός υποπροβλήmicroατος
Επηρεασmicroός του χρόνου και του αριθmicroού ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Branch and Bound
∆ιαχώρηση
Πρέπει να διαλέξουmicroε σε ποια υποσύνολα ϑα διαχωρήσουmicroε τον
χώρο αναζήτησης
Θεωρούmicroε δύο σύνολα ΄Οταν microια συγκεκριmicroένη microεταβλητή που
επιλέξουmicroε παίρνει την τιmicroή 0 και 1 αντίστοιχα
Πώς επιλέγουmicroε την microεταβλητή αυτή
Στην τύχη
Συστηmicroατικά
Εmicroπειρία παρελθόντος
Επίλυση ενός υποπροβλήmicroατος
Επηρεασmicroός του χρόνου και του αριθmicroού ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Branch and Bound
∆ιαχώρηση
Πρέπει να διαλέξουmicroε σε ποια υποσύνολα ϑα διαχωρήσουmicroε τον
χώρο αναζήτησης
Θεωρούmicroε δύο σύνολα ΄Οταν microια συγκεκριmicroένη microεταβλητή που
επιλέξουmicroε παίρνει την τιmicroή 0 και 1 αντίστοιχα
Πώς επιλέγουmicroε την microεταβλητή αυτή
Στην τύχη
Συστηmicroατικά
Εmicroπειρία παρελθόντος
Επίλυση ενός υποπροβλήmicroατος
Επηρεασmicroός του χρόνου και του αριθmicroού ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Branch and Bound
∆ιαχώρηση
Πρέπει να διαλέξουmicroε σε ποια υποσύνολα ϑα διαχωρήσουmicroε τον
χώρο αναζήτησης
Θεωρούmicroε δύο σύνολα ΄Οταν microια συγκεκριmicroένη microεταβλητή που
επιλέξουmicroε παίρνει την τιmicroή 0 και 1 αντίστοιχα
Πώς επιλέγουmicroε την microεταβλητή αυτή
Στην τύχη
Συστηmicroατικά
Εmicroπειρία παρελθόντος
Επίλυση ενός υποπροβλήmicroατος
Επηρεασmicroός του χρόνου και του αριθmicroού ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Branch and Bound
∆ιαχώρηση
Πρέπει να διαλέξουmicroε σε ποια υποσύνολα ϑα διαχωρήσουmicroε τον
χώρο αναζήτησης
Θεωρούmicroε δύο σύνολα ΄Οταν microια συγκεκριmicroένη microεταβλητή που
επιλέξουmicroε παίρνει την τιmicroή 0 και 1 αντίστοιχα
Πώς επιλέγουmicroε την microεταβλητή αυτή
Στην τύχη
Συστηmicroατικά
Εmicroπειρία παρελθόντος
Επίλυση ενός υποπροβλήmicroατος
Επηρεασmicroός του χρόνου και του αριθmicroού ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Branch and Bound
∆ιαχώρηση
Πρέπει να διαλέξουmicroε σε ποια υποσύνολα ϑα διαχωρήσουmicroε τον
χώρο αναζήτησης
Θεωρούmicroε δύο σύνολα ΄Οταν microια συγκεκριmicroένη microεταβλητή που
επιλέξουmicroε παίρνει την τιmicroή 0 και 1 αντίστοιχα
Πώς επιλέγουmicroε την microεταβλητή αυτή
Στην τύχη
Συστηmicroατικά
Εmicroπειρία παρελθόντος
Επίλυση ενός υποπροβλήmicroατος
Επηρεασmicroός του χρόνου και του αριθmicroού ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Πριν τον διαχώρισmicroό ενός κόmicroβου ελέγχουmicroε αν υπάρχει
πιθανότητα να ϐρίσκεται η ϐέλτιστη λύση στο συγκεκριmicroένο
υπόδενδρο
Εκτίmicroηση του άνω ή κάτω ϕράγmicroατος ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση (microεγιστοποίηση ή ελαχιστοποίηση αντίστοιχα) για κάθε
λύση του
Αν γνωρίζουmicroε ήδη microια καλύτερη λύση από το αντίστοιχο ϕράγmicroα
του υποδένδρου γνωρίζουmicroε πως η ϐέλτιστη λύση δεν ϐρίσκεται
στο υπόδενδρο και δεν χρειάζεται να διαχωρίσουmicroε
Μια χονδρική εκτίmicroηση microπορεί να γίνει πολύ γρήγορα αλλά δεν
περιορίζει αρκετά τον αριθmicroό των ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Μια ακριβής εκτίmicroηση microας επιτρέπει να αποφύγουmicroε microεγάλο
microέρος του χώρου αναζήτησης αλλά ο υπολογισmicroός της επιβαρύνει
σηmicroαντικά τον συνολικό χρόνο
Εύρεση καλύτερου συmicroβιβασmicroού
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Πριν τον διαχώρισmicroό ενός κόmicroβου ελέγχουmicroε αν υπάρχει
πιθανότητα να ϐρίσκεται η ϐέλτιστη λύση στο συγκεκριmicroένο
υπόδενδρο
Εκτίmicroηση του άνω ή κάτω ϕράγmicroατος ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση (microεγιστοποίηση ή ελαχιστοποίηση αντίστοιχα) για κάθε
λύση του
Αν γνωρίζουmicroε ήδη microια καλύτερη λύση από το αντίστοιχο ϕράγmicroα
του υποδένδρου γνωρίζουmicroε πως η ϐέλτιστη λύση δεν ϐρίσκεται
στο υπόδενδρο και δεν χρειάζεται να διαχωρίσουmicroε
Μια χονδρική εκτίmicroηση microπορεί να γίνει πολύ γρήγορα αλλά δεν
περιορίζει αρκετά τον αριθmicroό των ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Μια ακριβής εκτίmicroηση microας επιτρέπει να αποφύγουmicroε microεγάλο
microέρος του χώρου αναζήτησης αλλά ο υπολογισmicroός της επιβαρύνει
σηmicroαντικά τον συνολικό χρόνο
Εύρεση καλύτερου συmicroβιβασmicroού
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Πριν τον διαχώρισmicroό ενός κόmicroβου ελέγχουmicroε αν υπάρχει
πιθανότητα να ϐρίσκεται η ϐέλτιστη λύση στο συγκεκριmicroένο
υπόδενδρο
Εκτίmicroηση του άνω ή κάτω ϕράγmicroατος ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση (microεγιστοποίηση ή ελαχιστοποίηση αντίστοιχα) για κάθε
λύση του
Αν γνωρίζουmicroε ήδη microια καλύτερη λύση από το αντίστοιχο ϕράγmicroα
του υποδένδρου γνωρίζουmicroε πως η ϐέλτιστη λύση δεν ϐρίσκεται
στο υπόδενδρο και δεν χρειάζεται να διαχωρίσουmicroε
Μια χονδρική εκτίmicroηση microπορεί να γίνει πολύ γρήγορα αλλά δεν
περιορίζει αρκετά τον αριθmicroό των ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Μια ακριβής εκτίmicroηση microας επιτρέπει να αποφύγουmicroε microεγάλο
microέρος του χώρου αναζήτησης αλλά ο υπολογισmicroός της επιβαρύνει
σηmicroαντικά τον συνολικό χρόνο
Εύρεση καλύτερου συmicroβιβασmicroού
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Πριν τον διαχώρισmicroό ενός κόmicroβου ελέγχουmicroε αν υπάρχει
πιθανότητα να ϐρίσκεται η ϐέλτιστη λύση στο συγκεκριmicroένο
υπόδενδρο
Εκτίmicroηση του άνω ή κάτω ϕράγmicroατος ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση (microεγιστοποίηση ή ελαχιστοποίηση αντίστοιχα) για κάθε
λύση του
Αν γνωρίζουmicroε ήδη microια καλύτερη λύση από το αντίστοιχο ϕράγmicroα
του υποδένδρου γνωρίζουmicroε πως η ϐέλτιστη λύση δεν ϐρίσκεται
στο υπόδενδρο και δεν χρειάζεται να διαχωρίσουmicroε
Μια χονδρική εκτίmicroηση microπορεί να γίνει πολύ γρήγορα αλλά δεν
περιορίζει αρκετά τον αριθmicroό των ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Μια ακριβής εκτίmicroηση microας επιτρέπει να αποφύγουmicroε microεγάλο
microέρος του χώρου αναζήτησης αλλά ο υπολογισmicroός της επιβαρύνει
σηmicroαντικά τον συνολικό χρόνο
Εύρεση καλύτερου συmicroβιβασmicroού
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Πριν τον διαχώρισmicroό ενός κόmicroβου ελέγχουmicroε αν υπάρχει
πιθανότητα να ϐρίσκεται η ϐέλτιστη λύση στο συγκεκριmicroένο
υπόδενδρο
Εκτίmicroηση του άνω ή κάτω ϕράγmicroατος ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση (microεγιστοποίηση ή ελαχιστοποίηση αντίστοιχα) για κάθε
λύση του
Αν γνωρίζουmicroε ήδη microια καλύτερη λύση από το αντίστοιχο ϕράγmicroα
του υποδένδρου γνωρίζουmicroε πως η ϐέλτιστη λύση δεν ϐρίσκεται
στο υπόδενδρο και δεν χρειάζεται να διαχωρίσουmicroε
Μια χονδρική εκτίmicroηση microπορεί να γίνει πολύ γρήγορα αλλά δεν
περιορίζει αρκετά τον αριθmicroό των ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Μια ακριβής εκτίmicroηση microας επιτρέπει να αποφύγουmicroε microεγάλο
microέρος του χώρου αναζήτησης αλλά ο υπολογισmicroός της επιβαρύνει
σηmicroαντικά τον συνολικό χρόνο
Εύρεση καλύτερου συmicroβιβασmicroού
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Πριν τον διαχώρισmicroό ενός κόmicroβου ελέγχουmicroε αν υπάρχει
πιθανότητα να ϐρίσκεται η ϐέλτιστη λύση στο συγκεκριmicroένο
υπόδενδρο
Εκτίmicroηση του άνω ή κάτω ϕράγmicroατος ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση (microεγιστοποίηση ή ελαχιστοποίηση αντίστοιχα) για κάθε
λύση του
Αν γνωρίζουmicroε ήδη microια καλύτερη λύση από το αντίστοιχο ϕράγmicroα
του υποδένδρου γνωρίζουmicroε πως η ϐέλτιστη λύση δεν ϐρίσκεται
στο υπόδενδρο και δεν χρειάζεται να διαχωρίσουmicroε
Μια χονδρική εκτίmicroηση microπορεί να γίνει πολύ γρήγορα αλλά δεν
περιορίζει αρκετά τον αριθmicroό των ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Μια ακριβής εκτίmicroηση microας επιτρέπει να αποφύγουmicroε microεγάλο
microέρος του χώρου αναζήτησης αλλά ο υπολογισmicroός της επιβαρύνει
σηmicroαντικά τον συνολικό χρόνο
Εύρεση καλύτερου συmicroβιβασmicroού
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Παράδειγmicroα εκτίmicroησης για πρόβληmicroα ελαχιστοποίησης
΄Εστω κόmicroβος Si και συνάρτηση εκτίmicroησης κάτω ϕράγmicroατος f()
΄Εστω πως γνωρίζουmicroε ήδη microια εφικτή λύση του προβλήmicroατος x
Αν f(Si)
ge cx Συνεχίζουmicroε στον διαχώρισmicroό του Si
διαφορετικά ∆εν διαχωρίζουmicroε το Si
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Παράδειγmicroα εκτίmicroησης για πρόβληmicroα ελαχιστοποίησης
΄Εστω κόmicroβος Si και συνάρτηση εκτίmicroησης κάτω ϕράγmicroατος f()
΄Εστω πως γνωρίζουmicroε ήδη microια εφικτή λύση του προβλήmicroατος x
Αν f(Si)
ge cx Συνεχίζουmicroε στον διαχώρισmicroό του Si
διαφορετικά ∆εν διαχωρίζουmicroε το Si
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Παράδειγmicroα εκτίmicroησης για πρόβληmicroα ελαχιστοποίησης
΄Εστω κόmicroβος Si και συνάρτηση εκτίmicroησης κάτω ϕράγmicroατος f()
΄Εστω πως γνωρίζουmicroε ήδη microια εφικτή λύση του προβλήmicroατος x
Αν f(Si)
ge cx Συνεχίζουmicroε στον διαχώρισmicroό του Si
διαφορετικά ∆εν διαχωρίζουmicroε το Si
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Παράδειγmicroα εκτίmicroησης για πρόβληmicroα ελαχιστοποίησης
΄Εστω κόmicroβος Si και συνάρτηση εκτίmicroησης κάτω ϕράγmicroατος f()
΄Εστω πως γνωρίζουmicroε ήδη microια εφικτή λύση του προβλήmicroατος x
Αν f(Si)
ge cx Συνεχίζουmicroε στον διαχώρισmicroό του Si
διαφορετικά ∆εν διαχωρίζουmicroε το Si
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
Αναζήτηση στο χώρο των λύσεων
S
S1 S1
S12
S12
S12 S12
S123
S123
S123
S123
S123
S123
S123 S123
x1 = 0 x1 = 1
x2 = 0 x2 = 1
x3 = 0
x3 = 1
x3 = 0
x3 = 1
x2 = 0 x2 = 1
x3 = 0
x3 = 1
x3 = 0
x3 = 1
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Βέλτιστη συνεχής λύση x1 = 1 x2 = 3
8 z = minus26
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
∆ιαχωρισmicroός στο S1
x =
1 S1
min z = minus20minus 16x2 minus 11x3 minus 9x4 minus 7x5 minus x6
8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x3 + x6 lt 3
0 S1
min z = minus16x2 minus 11x3 minus 9x4 minus 7x5 minus x6
8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x3 + x6 lt 12
Βέλτιστη συνεχή λύση S1 x2 = 3
8 z = minus26 Βέλτιστη συνεχή λύση S
1
x2 = 1x3 = 2
3 z = minus 70
3asymp minus233
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
∆ιαχωρισmicroός στο S1
x =
1 S1
min z = minus20minus 16x2 minus 11x3 minus 9x4 minus 7x5 minus x6
8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x3 + x6 lt 3
0 S1
min z = minus16x2 minus 11x3 minus 9x4 minus 7x5 minus x6
8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x3 + x6 lt 12
Βέλτιστη συνεχή λύση S1 x2 = 3
8 z = minus26 Βέλτιστη συνεχή λύση S
1
x2 = 1x3 = 2
3 z = minus 70
3asymp minus233
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
S
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230 S1234 infinS
1234 230
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230 S1234 infinS
1234 230
17 κόmicroβοι εξετάστηκαν αντί για 27 minus 1
Branch and Bound
Branch and Bound
Μέθοδος επίλυσης προβληmicroάτων ακέραιου γραmicromicroικού
προγραmicromicroατισmicroού
Προσπαθούmicroε να αποφύγουmicroε την εξαντλητική αναζήτηση
∆ιαχώριση ∆ιαmicroέριση του χώρου αναζήτησης σε microικρότερα
υποσύνολα
Εκτίmicroηση Εκτιmicroούmicroε ένα πάνω ϕράγmicroα της τιmicroής για οποιαδήποτε
λύση microέσα στο υπόδενδρο
Branch and Bound
Branch and Bound
Μέθοδος επίλυσης προβληmicroάτων ακέραιου γραmicromicroικού
προγραmicromicroατισmicroού
Προσπαθούmicroε να αποφύγουmicroε την εξαντλητική αναζήτηση
∆ιαχώριση ∆ιαmicroέριση του χώρου αναζήτησης σε microικρότερα
υποσύνολα
Εκτίmicroηση Εκτιmicroούmicroε ένα πάνω ϕράγmicroα της τιmicroής για οποιαδήποτε
λύση microέσα στο υπόδενδρο
Branch and Bound
∆ιαχώρηση
Πρέπει να διαλέξουmicroε σε ποια υποσύνολα ϑα διαχωρήσουmicroε τον
χώρο αναζήτησης
Θεωρούmicroε δύο σύνολα ΄Οταν microια συγκεκριmicroένη microεταβλητή που
επιλέξουmicroε παίρνει την τιmicroή 0 και 1 αντίστοιχα
Πώς επιλέγουmicroε την microεταβλητή αυτή
Στην τύχη
Συστηmicroατικά
Εmicroπειρία παρελθόντος
Επίλυση ενός υποπροβλήmicroατος
Επηρεασmicroός του χρόνου και του αριθmicroού ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Branch and Bound
∆ιαχώρηση
Πρέπει να διαλέξουmicroε σε ποια υποσύνολα ϑα διαχωρήσουmicroε τον
χώρο αναζήτησης
Θεωρούmicroε δύο σύνολα ΄Οταν microια συγκεκριmicroένη microεταβλητή που
επιλέξουmicroε παίρνει την τιmicroή 0 και 1 αντίστοιχα
Πώς επιλέγουmicroε την microεταβλητή αυτή
Στην τύχη
Συστηmicroατικά
Εmicroπειρία παρελθόντος
Επίλυση ενός υποπροβλήmicroατος
Επηρεασmicroός του χρόνου και του αριθmicroού ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Branch and Bound
∆ιαχώρηση
Πρέπει να διαλέξουmicroε σε ποια υποσύνολα ϑα διαχωρήσουmicroε τον
χώρο αναζήτησης
Θεωρούmicroε δύο σύνολα ΄Οταν microια συγκεκριmicroένη microεταβλητή που
επιλέξουmicroε παίρνει την τιmicroή 0 και 1 αντίστοιχα
Πώς επιλέγουmicroε την microεταβλητή αυτή
Στην τύχη
Συστηmicroατικά
Εmicroπειρία παρελθόντος
Επίλυση ενός υποπροβλήmicroατος
Επηρεασmicroός του χρόνου και του αριθmicroού ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Branch and Bound
∆ιαχώρηση
Πρέπει να διαλέξουmicroε σε ποια υποσύνολα ϑα διαχωρήσουmicroε τον
χώρο αναζήτησης
Θεωρούmicroε δύο σύνολα ΄Οταν microια συγκεκριmicroένη microεταβλητή που
επιλέξουmicroε παίρνει την τιmicroή 0 και 1 αντίστοιχα
Πώς επιλέγουmicroε την microεταβλητή αυτή
Στην τύχη
Συστηmicroατικά
Εmicroπειρία παρελθόντος
Επίλυση ενός υποπροβλήmicroατος
Επηρεασmicroός του χρόνου και του αριθmicroού ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Branch and Bound
∆ιαχώρηση
Πρέπει να διαλέξουmicroε σε ποια υποσύνολα ϑα διαχωρήσουmicroε τον
χώρο αναζήτησης
Θεωρούmicroε δύο σύνολα ΄Οταν microια συγκεκριmicroένη microεταβλητή που
επιλέξουmicroε παίρνει την τιmicroή 0 και 1 αντίστοιχα
Πώς επιλέγουmicroε την microεταβλητή αυτή
Στην τύχη
Συστηmicroατικά
Εmicroπειρία παρελθόντος
Επίλυση ενός υποπροβλήmicroατος
Επηρεασmicroός του χρόνου και του αριθmicroού ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Branch and Bound
∆ιαχώρηση
Πρέπει να διαλέξουmicroε σε ποια υποσύνολα ϑα διαχωρήσουmicroε τον
χώρο αναζήτησης
Θεωρούmicroε δύο σύνολα ΄Οταν microια συγκεκριmicroένη microεταβλητή που
επιλέξουmicroε παίρνει την τιmicroή 0 και 1 αντίστοιχα
Πώς επιλέγουmicroε την microεταβλητή αυτή
Στην τύχη
Συστηmicroατικά
Εmicroπειρία παρελθόντος
Επίλυση ενός υποπροβλήmicroατος
Επηρεασmicroός του χρόνου και του αριθmicroού ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Branch and Bound
∆ιαχώρηση
Πρέπει να διαλέξουmicroε σε ποια υποσύνολα ϑα διαχωρήσουmicroε τον
χώρο αναζήτησης
Θεωρούmicroε δύο σύνολα ΄Οταν microια συγκεκριmicroένη microεταβλητή που
επιλέξουmicroε παίρνει την τιmicroή 0 και 1 αντίστοιχα
Πώς επιλέγουmicroε την microεταβλητή αυτή
Στην τύχη
Συστηmicroατικά
Εmicroπειρία παρελθόντος
Επίλυση ενός υποπροβλήmicroατος
Επηρεασmicroός του χρόνου και του αριθmicroού ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Branch and Bound
∆ιαχώρηση
Πρέπει να διαλέξουmicroε σε ποια υποσύνολα ϑα διαχωρήσουmicroε τον
χώρο αναζήτησης
Θεωρούmicroε δύο σύνολα ΄Οταν microια συγκεκριmicroένη microεταβλητή που
επιλέξουmicroε παίρνει την τιmicroή 0 και 1 αντίστοιχα
Πώς επιλέγουmicroε την microεταβλητή αυτή
Στην τύχη
Συστηmicroατικά
Εmicroπειρία παρελθόντος
Επίλυση ενός υποπροβλήmicroατος
Επηρεασmicroός του χρόνου και του αριθmicroού ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Πριν τον διαχώρισmicroό ενός κόmicroβου ελέγχουmicroε αν υπάρχει
πιθανότητα να ϐρίσκεται η ϐέλτιστη λύση στο συγκεκριmicroένο
υπόδενδρο
Εκτίmicroηση του άνω ή κάτω ϕράγmicroατος ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση (microεγιστοποίηση ή ελαχιστοποίηση αντίστοιχα) για κάθε
λύση του
Αν γνωρίζουmicroε ήδη microια καλύτερη λύση από το αντίστοιχο ϕράγmicroα
του υποδένδρου γνωρίζουmicroε πως η ϐέλτιστη λύση δεν ϐρίσκεται
στο υπόδενδρο και δεν χρειάζεται να διαχωρίσουmicroε
Μια χονδρική εκτίmicroηση microπορεί να γίνει πολύ γρήγορα αλλά δεν
περιορίζει αρκετά τον αριθmicroό των ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Μια ακριβής εκτίmicroηση microας επιτρέπει να αποφύγουmicroε microεγάλο
microέρος του χώρου αναζήτησης αλλά ο υπολογισmicroός της επιβαρύνει
σηmicroαντικά τον συνολικό χρόνο
Εύρεση καλύτερου συmicroβιβασmicroού
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Πριν τον διαχώρισmicroό ενός κόmicroβου ελέγχουmicroε αν υπάρχει
πιθανότητα να ϐρίσκεται η ϐέλτιστη λύση στο συγκεκριmicroένο
υπόδενδρο
Εκτίmicroηση του άνω ή κάτω ϕράγmicroατος ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση (microεγιστοποίηση ή ελαχιστοποίηση αντίστοιχα) για κάθε
λύση του
Αν γνωρίζουmicroε ήδη microια καλύτερη λύση από το αντίστοιχο ϕράγmicroα
του υποδένδρου γνωρίζουmicroε πως η ϐέλτιστη λύση δεν ϐρίσκεται
στο υπόδενδρο και δεν χρειάζεται να διαχωρίσουmicroε
Μια χονδρική εκτίmicroηση microπορεί να γίνει πολύ γρήγορα αλλά δεν
περιορίζει αρκετά τον αριθmicroό των ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Μια ακριβής εκτίmicroηση microας επιτρέπει να αποφύγουmicroε microεγάλο
microέρος του χώρου αναζήτησης αλλά ο υπολογισmicroός της επιβαρύνει
σηmicroαντικά τον συνολικό χρόνο
Εύρεση καλύτερου συmicroβιβασmicroού
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Πριν τον διαχώρισmicroό ενός κόmicroβου ελέγχουmicroε αν υπάρχει
πιθανότητα να ϐρίσκεται η ϐέλτιστη λύση στο συγκεκριmicroένο
υπόδενδρο
Εκτίmicroηση του άνω ή κάτω ϕράγmicroατος ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση (microεγιστοποίηση ή ελαχιστοποίηση αντίστοιχα) για κάθε
λύση του
Αν γνωρίζουmicroε ήδη microια καλύτερη λύση από το αντίστοιχο ϕράγmicroα
του υποδένδρου γνωρίζουmicroε πως η ϐέλτιστη λύση δεν ϐρίσκεται
στο υπόδενδρο και δεν χρειάζεται να διαχωρίσουmicroε
Μια χονδρική εκτίmicroηση microπορεί να γίνει πολύ γρήγορα αλλά δεν
περιορίζει αρκετά τον αριθmicroό των ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Μια ακριβής εκτίmicroηση microας επιτρέπει να αποφύγουmicroε microεγάλο
microέρος του χώρου αναζήτησης αλλά ο υπολογισmicroός της επιβαρύνει
σηmicroαντικά τον συνολικό χρόνο
Εύρεση καλύτερου συmicroβιβασmicroού
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Πριν τον διαχώρισmicroό ενός κόmicroβου ελέγχουmicroε αν υπάρχει
πιθανότητα να ϐρίσκεται η ϐέλτιστη λύση στο συγκεκριmicroένο
υπόδενδρο
Εκτίmicroηση του άνω ή κάτω ϕράγmicroατος ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση (microεγιστοποίηση ή ελαχιστοποίηση αντίστοιχα) για κάθε
λύση του
Αν γνωρίζουmicroε ήδη microια καλύτερη λύση από το αντίστοιχο ϕράγmicroα
του υποδένδρου γνωρίζουmicroε πως η ϐέλτιστη λύση δεν ϐρίσκεται
στο υπόδενδρο και δεν χρειάζεται να διαχωρίσουmicroε
Μια χονδρική εκτίmicroηση microπορεί να γίνει πολύ γρήγορα αλλά δεν
περιορίζει αρκετά τον αριθmicroό των ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Μια ακριβής εκτίmicroηση microας επιτρέπει να αποφύγουmicroε microεγάλο
microέρος του χώρου αναζήτησης αλλά ο υπολογισmicroός της επιβαρύνει
σηmicroαντικά τον συνολικό χρόνο
Εύρεση καλύτερου συmicroβιβασmicroού
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Πριν τον διαχώρισmicroό ενός κόmicroβου ελέγχουmicroε αν υπάρχει
πιθανότητα να ϐρίσκεται η ϐέλτιστη λύση στο συγκεκριmicroένο
υπόδενδρο
Εκτίmicroηση του άνω ή κάτω ϕράγmicroατος ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση (microεγιστοποίηση ή ελαχιστοποίηση αντίστοιχα) για κάθε
λύση του
Αν γνωρίζουmicroε ήδη microια καλύτερη λύση από το αντίστοιχο ϕράγmicroα
του υποδένδρου γνωρίζουmicroε πως η ϐέλτιστη λύση δεν ϐρίσκεται
στο υπόδενδρο και δεν χρειάζεται να διαχωρίσουmicroε
Μια χονδρική εκτίmicroηση microπορεί να γίνει πολύ γρήγορα αλλά δεν
περιορίζει αρκετά τον αριθmicroό των ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Μια ακριβής εκτίmicroηση microας επιτρέπει να αποφύγουmicroε microεγάλο
microέρος του χώρου αναζήτησης αλλά ο υπολογισmicroός της επιβαρύνει
σηmicroαντικά τον συνολικό χρόνο
Εύρεση καλύτερου συmicroβιβασmicroού
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Πριν τον διαχώρισmicroό ενός κόmicroβου ελέγχουmicroε αν υπάρχει
πιθανότητα να ϐρίσκεται η ϐέλτιστη λύση στο συγκεκριmicroένο
υπόδενδρο
Εκτίmicroηση του άνω ή κάτω ϕράγmicroατος ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση (microεγιστοποίηση ή ελαχιστοποίηση αντίστοιχα) για κάθε
λύση του
Αν γνωρίζουmicroε ήδη microια καλύτερη λύση από το αντίστοιχο ϕράγmicroα
του υποδένδρου γνωρίζουmicroε πως η ϐέλτιστη λύση δεν ϐρίσκεται
στο υπόδενδρο και δεν χρειάζεται να διαχωρίσουmicroε
Μια χονδρική εκτίmicroηση microπορεί να γίνει πολύ γρήγορα αλλά δεν
περιορίζει αρκετά τον αριθmicroό των ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Μια ακριβής εκτίmicroηση microας επιτρέπει να αποφύγουmicroε microεγάλο
microέρος του χώρου αναζήτησης αλλά ο υπολογισmicroός της επιβαρύνει
σηmicroαντικά τον συνολικό χρόνο
Εύρεση καλύτερου συmicroβιβασmicroού
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Παράδειγmicroα εκτίmicroησης για πρόβληmicroα ελαχιστοποίησης
΄Εστω κόmicroβος Si και συνάρτηση εκτίmicroησης κάτω ϕράγmicroατος f()
΄Εστω πως γνωρίζουmicroε ήδη microια εφικτή λύση του προβλήmicroατος x
Αν f(Si)
ge cx Συνεχίζουmicroε στον διαχώρισmicroό του Si
διαφορετικά ∆εν διαχωρίζουmicroε το Si
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Παράδειγmicroα εκτίmicroησης για πρόβληmicroα ελαχιστοποίησης
΄Εστω κόmicroβος Si και συνάρτηση εκτίmicroησης κάτω ϕράγmicroατος f()
΄Εστω πως γνωρίζουmicroε ήδη microια εφικτή λύση του προβλήmicroατος x
Αν f(Si)
ge cx Συνεχίζουmicroε στον διαχώρισmicroό του Si
διαφορετικά ∆εν διαχωρίζουmicroε το Si
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Παράδειγmicroα εκτίmicroησης για πρόβληmicroα ελαχιστοποίησης
΄Εστω κόmicroβος Si και συνάρτηση εκτίmicroησης κάτω ϕράγmicroατος f()
΄Εστω πως γνωρίζουmicroε ήδη microια εφικτή λύση του προβλήmicroατος x
Αν f(Si)
ge cx Συνεχίζουmicroε στον διαχώρισmicroό του Si
διαφορετικά ∆εν διαχωρίζουmicroε το Si
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Παράδειγmicroα εκτίmicroησης για πρόβληmicroα ελαχιστοποίησης
΄Εστω κόmicroβος Si και συνάρτηση εκτίmicroησης κάτω ϕράγmicroατος f()
΄Εστω πως γνωρίζουmicroε ήδη microια εφικτή λύση του προβλήmicroατος x
Αν f(Si)
ge cx Συνεχίζουmicroε στον διαχώρισmicroό του Si
διαφορετικά ∆εν διαχωρίζουmicroε το Si
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
Αναζήτηση στο χώρο των λύσεων
S
S1 S1
S12
S12
S12 S12
S123
S123
S123
S123
S123
S123
S123 S123
x1 = 0 x1 = 1
x2 = 0 x2 = 1
x3 = 0
x3 = 1
x3 = 0
x3 = 1
x2 = 0 x2 = 1
x3 = 0
x3 = 1
x3 = 0
x3 = 1
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Βέλτιστη συνεχής λύση x1 = 1 x2 = 3
8 z = minus26
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
∆ιαχωρισmicroός στο S1
x =
1 S1
min z = minus20minus 16x2 minus 11x3 minus 9x4 minus 7x5 minus x6
8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x3 + x6 lt 3
0 S1
min z = minus16x2 minus 11x3 minus 9x4 minus 7x5 minus x6
8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x3 + x6 lt 12
Βέλτιστη συνεχή λύση S1 x2 = 3
8 z = minus26 Βέλτιστη συνεχή λύση S
1
x2 = 1x3 = 2
3 z = minus 70
3asymp minus233
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
∆ιαχωρισmicroός στο S1
x =
1 S1
min z = minus20minus 16x2 minus 11x3 minus 9x4 minus 7x5 minus x6
8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x3 + x6 lt 3
0 S1
min z = minus16x2 minus 11x3 minus 9x4 minus 7x5 minus x6
8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x3 + x6 lt 12
Βέλτιστη συνεχή λύση S1 x2 = 3
8 z = minus26 Βέλτιστη συνεχή λύση S
1
x2 = 1x3 = 2
3 z = minus 70
3asymp minus233
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
S
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230 S1234 infinS
1234 230
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230 S1234 infinS
1234 230
17 κόmicroβοι εξετάστηκαν αντί για 27 minus 1
Branch and Bound
Branch and Bound
Μέθοδος επίλυσης προβληmicroάτων ακέραιου γραmicromicroικού
προγραmicromicroατισmicroού
Προσπαθούmicroε να αποφύγουmicroε την εξαντλητική αναζήτηση
∆ιαχώριση ∆ιαmicroέριση του χώρου αναζήτησης σε microικρότερα
υποσύνολα
Εκτίmicroηση Εκτιmicroούmicroε ένα πάνω ϕράγmicroα της τιmicroής για οποιαδήποτε
λύση microέσα στο υπόδενδρο
Branch and Bound
∆ιαχώρηση
Πρέπει να διαλέξουmicroε σε ποια υποσύνολα ϑα διαχωρήσουmicroε τον
χώρο αναζήτησης
Θεωρούmicroε δύο σύνολα ΄Οταν microια συγκεκριmicroένη microεταβλητή που
επιλέξουmicroε παίρνει την τιmicroή 0 και 1 αντίστοιχα
Πώς επιλέγουmicroε την microεταβλητή αυτή
Στην τύχη
Συστηmicroατικά
Εmicroπειρία παρελθόντος
Επίλυση ενός υποπροβλήmicroατος
Επηρεασmicroός του χρόνου και του αριθmicroού ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Branch and Bound
∆ιαχώρηση
Πρέπει να διαλέξουmicroε σε ποια υποσύνολα ϑα διαχωρήσουmicroε τον
χώρο αναζήτησης
Θεωρούmicroε δύο σύνολα ΄Οταν microια συγκεκριmicroένη microεταβλητή που
επιλέξουmicroε παίρνει την τιmicroή 0 και 1 αντίστοιχα
Πώς επιλέγουmicroε την microεταβλητή αυτή
Στην τύχη
Συστηmicroατικά
Εmicroπειρία παρελθόντος
Επίλυση ενός υποπροβλήmicroατος
Επηρεασmicroός του χρόνου και του αριθmicroού ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Branch and Bound
∆ιαχώρηση
Πρέπει να διαλέξουmicroε σε ποια υποσύνολα ϑα διαχωρήσουmicroε τον
χώρο αναζήτησης
Θεωρούmicroε δύο σύνολα ΄Οταν microια συγκεκριmicroένη microεταβλητή που
επιλέξουmicroε παίρνει την τιmicroή 0 και 1 αντίστοιχα
Πώς επιλέγουmicroε την microεταβλητή αυτή
Στην τύχη
Συστηmicroατικά
Εmicroπειρία παρελθόντος
Επίλυση ενός υποπροβλήmicroατος
Επηρεασmicroός του χρόνου και του αριθmicroού ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Branch and Bound
∆ιαχώρηση
Πρέπει να διαλέξουmicroε σε ποια υποσύνολα ϑα διαχωρήσουmicroε τον
χώρο αναζήτησης
Θεωρούmicroε δύο σύνολα ΄Οταν microια συγκεκριmicroένη microεταβλητή που
επιλέξουmicroε παίρνει την τιmicroή 0 και 1 αντίστοιχα
Πώς επιλέγουmicroε την microεταβλητή αυτή
Στην τύχη
Συστηmicroατικά
Εmicroπειρία παρελθόντος
Επίλυση ενός υποπροβλήmicroατος
Επηρεασmicroός του χρόνου και του αριθmicroού ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Branch and Bound
∆ιαχώρηση
Πρέπει να διαλέξουmicroε σε ποια υποσύνολα ϑα διαχωρήσουmicroε τον
χώρο αναζήτησης
Θεωρούmicroε δύο σύνολα ΄Οταν microια συγκεκριmicroένη microεταβλητή που
επιλέξουmicroε παίρνει την τιmicroή 0 και 1 αντίστοιχα
Πώς επιλέγουmicroε την microεταβλητή αυτή
Στην τύχη
Συστηmicroατικά
Εmicroπειρία παρελθόντος
Επίλυση ενός υποπροβλήmicroατος
Επηρεασmicroός του χρόνου και του αριθmicroού ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Branch and Bound
∆ιαχώρηση
Πρέπει να διαλέξουmicroε σε ποια υποσύνολα ϑα διαχωρήσουmicroε τον
χώρο αναζήτησης
Θεωρούmicroε δύο σύνολα ΄Οταν microια συγκεκριmicroένη microεταβλητή που
επιλέξουmicroε παίρνει την τιmicroή 0 και 1 αντίστοιχα
Πώς επιλέγουmicroε την microεταβλητή αυτή
Στην τύχη
Συστηmicroατικά
Εmicroπειρία παρελθόντος
Επίλυση ενός υποπροβλήmicroατος
Επηρεασmicroός του χρόνου και του αριθmicroού ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Branch and Bound
∆ιαχώρηση
Πρέπει να διαλέξουmicroε σε ποια υποσύνολα ϑα διαχωρήσουmicroε τον
χώρο αναζήτησης
Θεωρούmicroε δύο σύνολα ΄Οταν microια συγκεκριmicroένη microεταβλητή που
επιλέξουmicroε παίρνει την τιmicroή 0 και 1 αντίστοιχα
Πώς επιλέγουmicroε την microεταβλητή αυτή
Στην τύχη
Συστηmicroατικά
Εmicroπειρία παρελθόντος
Επίλυση ενός υποπροβλήmicroατος
Επηρεασmicroός του χρόνου και του αριθmicroού ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Branch and Bound
∆ιαχώρηση
Πρέπει να διαλέξουmicroε σε ποια υποσύνολα ϑα διαχωρήσουmicroε τον
χώρο αναζήτησης
Θεωρούmicroε δύο σύνολα ΄Οταν microια συγκεκριmicroένη microεταβλητή που
επιλέξουmicroε παίρνει την τιmicroή 0 και 1 αντίστοιχα
Πώς επιλέγουmicroε την microεταβλητή αυτή
Στην τύχη
Συστηmicroατικά
Εmicroπειρία παρελθόντος
Επίλυση ενός υποπροβλήmicroατος
Επηρεασmicroός του χρόνου και του αριθmicroού ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Πριν τον διαχώρισmicroό ενός κόmicroβου ελέγχουmicroε αν υπάρχει
πιθανότητα να ϐρίσκεται η ϐέλτιστη λύση στο συγκεκριmicroένο
υπόδενδρο
Εκτίmicroηση του άνω ή κάτω ϕράγmicroατος ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση (microεγιστοποίηση ή ελαχιστοποίηση αντίστοιχα) για κάθε
λύση του
Αν γνωρίζουmicroε ήδη microια καλύτερη λύση από το αντίστοιχο ϕράγmicroα
του υποδένδρου γνωρίζουmicroε πως η ϐέλτιστη λύση δεν ϐρίσκεται
στο υπόδενδρο και δεν χρειάζεται να διαχωρίσουmicroε
Μια χονδρική εκτίmicroηση microπορεί να γίνει πολύ γρήγορα αλλά δεν
περιορίζει αρκετά τον αριθmicroό των ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Μια ακριβής εκτίmicroηση microας επιτρέπει να αποφύγουmicroε microεγάλο
microέρος του χώρου αναζήτησης αλλά ο υπολογισmicroός της επιβαρύνει
σηmicroαντικά τον συνολικό χρόνο
Εύρεση καλύτερου συmicroβιβασmicroού
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Πριν τον διαχώρισmicroό ενός κόmicroβου ελέγχουmicroε αν υπάρχει
πιθανότητα να ϐρίσκεται η ϐέλτιστη λύση στο συγκεκριmicroένο
υπόδενδρο
Εκτίmicroηση του άνω ή κάτω ϕράγmicroατος ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση (microεγιστοποίηση ή ελαχιστοποίηση αντίστοιχα) για κάθε
λύση του
Αν γνωρίζουmicroε ήδη microια καλύτερη λύση από το αντίστοιχο ϕράγmicroα
του υποδένδρου γνωρίζουmicroε πως η ϐέλτιστη λύση δεν ϐρίσκεται
στο υπόδενδρο και δεν χρειάζεται να διαχωρίσουmicroε
Μια χονδρική εκτίmicroηση microπορεί να γίνει πολύ γρήγορα αλλά δεν
περιορίζει αρκετά τον αριθmicroό των ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Μια ακριβής εκτίmicroηση microας επιτρέπει να αποφύγουmicroε microεγάλο
microέρος του χώρου αναζήτησης αλλά ο υπολογισmicroός της επιβαρύνει
σηmicroαντικά τον συνολικό χρόνο
Εύρεση καλύτερου συmicroβιβασmicroού
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Πριν τον διαχώρισmicroό ενός κόmicroβου ελέγχουmicroε αν υπάρχει
πιθανότητα να ϐρίσκεται η ϐέλτιστη λύση στο συγκεκριmicroένο
υπόδενδρο
Εκτίmicroηση του άνω ή κάτω ϕράγmicroατος ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση (microεγιστοποίηση ή ελαχιστοποίηση αντίστοιχα) για κάθε
λύση του
Αν γνωρίζουmicroε ήδη microια καλύτερη λύση από το αντίστοιχο ϕράγmicroα
του υποδένδρου γνωρίζουmicroε πως η ϐέλτιστη λύση δεν ϐρίσκεται
στο υπόδενδρο και δεν χρειάζεται να διαχωρίσουmicroε
Μια χονδρική εκτίmicroηση microπορεί να γίνει πολύ γρήγορα αλλά δεν
περιορίζει αρκετά τον αριθmicroό των ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Μια ακριβής εκτίmicroηση microας επιτρέπει να αποφύγουmicroε microεγάλο
microέρος του χώρου αναζήτησης αλλά ο υπολογισmicroός της επιβαρύνει
σηmicroαντικά τον συνολικό χρόνο
Εύρεση καλύτερου συmicroβιβασmicroού
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Πριν τον διαχώρισmicroό ενός κόmicroβου ελέγχουmicroε αν υπάρχει
πιθανότητα να ϐρίσκεται η ϐέλτιστη λύση στο συγκεκριmicroένο
υπόδενδρο
Εκτίmicroηση του άνω ή κάτω ϕράγmicroατος ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση (microεγιστοποίηση ή ελαχιστοποίηση αντίστοιχα) για κάθε
λύση του
Αν γνωρίζουmicroε ήδη microια καλύτερη λύση από το αντίστοιχο ϕράγmicroα
του υποδένδρου γνωρίζουmicroε πως η ϐέλτιστη λύση δεν ϐρίσκεται
στο υπόδενδρο και δεν χρειάζεται να διαχωρίσουmicroε
Μια χονδρική εκτίmicroηση microπορεί να γίνει πολύ γρήγορα αλλά δεν
περιορίζει αρκετά τον αριθmicroό των ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Μια ακριβής εκτίmicroηση microας επιτρέπει να αποφύγουmicroε microεγάλο
microέρος του χώρου αναζήτησης αλλά ο υπολογισmicroός της επιβαρύνει
σηmicroαντικά τον συνολικό χρόνο
Εύρεση καλύτερου συmicroβιβασmicroού
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Πριν τον διαχώρισmicroό ενός κόmicroβου ελέγχουmicroε αν υπάρχει
πιθανότητα να ϐρίσκεται η ϐέλτιστη λύση στο συγκεκριmicroένο
υπόδενδρο
Εκτίmicroηση του άνω ή κάτω ϕράγmicroατος ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση (microεγιστοποίηση ή ελαχιστοποίηση αντίστοιχα) για κάθε
λύση του
Αν γνωρίζουmicroε ήδη microια καλύτερη λύση από το αντίστοιχο ϕράγmicroα
του υποδένδρου γνωρίζουmicroε πως η ϐέλτιστη λύση δεν ϐρίσκεται
στο υπόδενδρο και δεν χρειάζεται να διαχωρίσουmicroε
Μια χονδρική εκτίmicroηση microπορεί να γίνει πολύ γρήγορα αλλά δεν
περιορίζει αρκετά τον αριθmicroό των ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Μια ακριβής εκτίmicroηση microας επιτρέπει να αποφύγουmicroε microεγάλο
microέρος του χώρου αναζήτησης αλλά ο υπολογισmicroός της επιβαρύνει
σηmicroαντικά τον συνολικό χρόνο
Εύρεση καλύτερου συmicroβιβασmicroού
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Πριν τον διαχώρισmicroό ενός κόmicroβου ελέγχουmicroε αν υπάρχει
πιθανότητα να ϐρίσκεται η ϐέλτιστη λύση στο συγκεκριmicroένο
υπόδενδρο
Εκτίmicroηση του άνω ή κάτω ϕράγmicroατος ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση (microεγιστοποίηση ή ελαχιστοποίηση αντίστοιχα) για κάθε
λύση του
Αν γνωρίζουmicroε ήδη microια καλύτερη λύση από το αντίστοιχο ϕράγmicroα
του υποδένδρου γνωρίζουmicroε πως η ϐέλτιστη λύση δεν ϐρίσκεται
στο υπόδενδρο και δεν χρειάζεται να διαχωρίσουmicroε
Μια χονδρική εκτίmicroηση microπορεί να γίνει πολύ γρήγορα αλλά δεν
περιορίζει αρκετά τον αριθmicroό των ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Μια ακριβής εκτίmicroηση microας επιτρέπει να αποφύγουmicroε microεγάλο
microέρος του χώρου αναζήτησης αλλά ο υπολογισmicroός της επιβαρύνει
σηmicroαντικά τον συνολικό χρόνο
Εύρεση καλύτερου συmicroβιβασmicroού
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Παράδειγmicroα εκτίmicroησης για πρόβληmicroα ελαχιστοποίησης
΄Εστω κόmicroβος Si και συνάρτηση εκτίmicroησης κάτω ϕράγmicroατος f()
΄Εστω πως γνωρίζουmicroε ήδη microια εφικτή λύση του προβλήmicroατος x
Αν f(Si)
ge cx Συνεχίζουmicroε στον διαχώρισmicroό του Si
διαφορετικά ∆εν διαχωρίζουmicroε το Si
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Παράδειγmicroα εκτίmicroησης για πρόβληmicroα ελαχιστοποίησης
΄Εστω κόmicroβος Si και συνάρτηση εκτίmicroησης κάτω ϕράγmicroατος f()
΄Εστω πως γνωρίζουmicroε ήδη microια εφικτή λύση του προβλήmicroατος x
Αν f(Si)
ge cx Συνεχίζουmicroε στον διαχώρισmicroό του Si
διαφορετικά ∆εν διαχωρίζουmicroε το Si
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Παράδειγmicroα εκτίmicroησης για πρόβληmicroα ελαχιστοποίησης
΄Εστω κόmicroβος Si και συνάρτηση εκτίmicroησης κάτω ϕράγmicroατος f()
΄Εστω πως γνωρίζουmicroε ήδη microια εφικτή λύση του προβλήmicroατος x
Αν f(Si)
ge cx Συνεχίζουmicroε στον διαχώρισmicroό του Si
διαφορετικά ∆εν διαχωρίζουmicroε το Si
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Παράδειγmicroα εκτίmicroησης για πρόβληmicroα ελαχιστοποίησης
΄Εστω κόmicroβος Si και συνάρτηση εκτίmicroησης κάτω ϕράγmicroατος f()
΄Εστω πως γνωρίζουmicroε ήδη microια εφικτή λύση του προβλήmicroατος x
Αν f(Si)
ge cx Συνεχίζουmicroε στον διαχώρισmicroό του Si
διαφορετικά ∆εν διαχωρίζουmicroε το Si
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
Αναζήτηση στο χώρο των λύσεων
S
S1 S1
S12
S12
S12 S12
S123
S123
S123
S123
S123
S123
S123 S123
x1 = 0 x1 = 1
x2 = 0 x2 = 1
x3 = 0
x3 = 1
x3 = 0
x3 = 1
x2 = 0 x2 = 1
x3 = 0
x3 = 1
x3 = 0
x3 = 1
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Βέλτιστη συνεχής λύση x1 = 1 x2 = 3
8 z = minus26
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
∆ιαχωρισmicroός στο S1
x =
1 S1
min z = minus20minus 16x2 minus 11x3 minus 9x4 minus 7x5 minus x6
8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x3 + x6 lt 3
0 S1
min z = minus16x2 minus 11x3 minus 9x4 minus 7x5 minus x6
8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x3 + x6 lt 12
Βέλτιστη συνεχή λύση S1 x2 = 3
8 z = minus26 Βέλτιστη συνεχή λύση S
1
x2 = 1x3 = 2
3 z = minus 70
3asymp minus233
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
∆ιαχωρισmicroός στο S1
x =
1 S1
min z = minus20minus 16x2 minus 11x3 minus 9x4 minus 7x5 minus x6
8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x3 + x6 lt 3
0 S1
min z = minus16x2 minus 11x3 minus 9x4 minus 7x5 minus x6
8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x3 + x6 lt 12
Βέλτιστη συνεχή λύση S1 x2 = 3
8 z = minus26 Βέλτιστη συνεχή λύση S
1
x2 = 1x3 = 2
3 z = minus 70
3asymp minus233
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
S
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230 S1234 infinS
1234 230
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230 S1234 infinS
1234 230
17 κόmicroβοι εξετάστηκαν αντί για 27 minus 1
Branch and Bound
∆ιαχώρηση
Πρέπει να διαλέξουmicroε σε ποια υποσύνολα ϑα διαχωρήσουmicroε τον
χώρο αναζήτησης
Θεωρούmicroε δύο σύνολα ΄Οταν microια συγκεκριmicroένη microεταβλητή που
επιλέξουmicroε παίρνει την τιmicroή 0 και 1 αντίστοιχα
Πώς επιλέγουmicroε την microεταβλητή αυτή
Στην τύχη
Συστηmicroατικά
Εmicroπειρία παρελθόντος
Επίλυση ενός υποπροβλήmicroατος
Επηρεασmicroός του χρόνου και του αριθmicroού ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Branch and Bound
∆ιαχώρηση
Πρέπει να διαλέξουmicroε σε ποια υποσύνολα ϑα διαχωρήσουmicroε τον
χώρο αναζήτησης
Θεωρούmicroε δύο σύνολα ΄Οταν microια συγκεκριmicroένη microεταβλητή που
επιλέξουmicroε παίρνει την τιmicroή 0 και 1 αντίστοιχα
Πώς επιλέγουmicroε την microεταβλητή αυτή
Στην τύχη
Συστηmicroατικά
Εmicroπειρία παρελθόντος
Επίλυση ενός υποπροβλήmicroατος
Επηρεασmicroός του χρόνου και του αριθmicroού ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Branch and Bound
∆ιαχώρηση
Πρέπει να διαλέξουmicroε σε ποια υποσύνολα ϑα διαχωρήσουmicroε τον
χώρο αναζήτησης
Θεωρούmicroε δύο σύνολα ΄Οταν microια συγκεκριmicroένη microεταβλητή που
επιλέξουmicroε παίρνει την τιmicroή 0 και 1 αντίστοιχα
Πώς επιλέγουmicroε την microεταβλητή αυτή
Στην τύχη
Συστηmicroατικά
Εmicroπειρία παρελθόντος
Επίλυση ενός υποπροβλήmicroατος
Επηρεασmicroός του χρόνου και του αριθmicroού ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Branch and Bound
∆ιαχώρηση
Πρέπει να διαλέξουmicroε σε ποια υποσύνολα ϑα διαχωρήσουmicroε τον
χώρο αναζήτησης
Θεωρούmicroε δύο σύνολα ΄Οταν microια συγκεκριmicroένη microεταβλητή που
επιλέξουmicroε παίρνει την τιmicroή 0 και 1 αντίστοιχα
Πώς επιλέγουmicroε την microεταβλητή αυτή
Στην τύχη
Συστηmicroατικά
Εmicroπειρία παρελθόντος
Επίλυση ενός υποπροβλήmicroατος
Επηρεασmicroός του χρόνου και του αριθmicroού ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Branch and Bound
∆ιαχώρηση
Πρέπει να διαλέξουmicroε σε ποια υποσύνολα ϑα διαχωρήσουmicroε τον
χώρο αναζήτησης
Θεωρούmicroε δύο σύνολα ΄Οταν microια συγκεκριmicroένη microεταβλητή που
επιλέξουmicroε παίρνει την τιmicroή 0 και 1 αντίστοιχα
Πώς επιλέγουmicroε την microεταβλητή αυτή
Στην τύχη
Συστηmicroατικά
Εmicroπειρία παρελθόντος
Επίλυση ενός υποπροβλήmicroατος
Επηρεασmicroός του χρόνου και του αριθmicroού ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Branch and Bound
∆ιαχώρηση
Πρέπει να διαλέξουmicroε σε ποια υποσύνολα ϑα διαχωρήσουmicroε τον
χώρο αναζήτησης
Θεωρούmicroε δύο σύνολα ΄Οταν microια συγκεκριmicroένη microεταβλητή που
επιλέξουmicroε παίρνει την τιmicroή 0 και 1 αντίστοιχα
Πώς επιλέγουmicroε την microεταβλητή αυτή
Στην τύχη
Συστηmicroατικά
Εmicroπειρία παρελθόντος
Επίλυση ενός υποπροβλήmicroατος
Επηρεασmicroός του χρόνου και του αριθmicroού ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Branch and Bound
∆ιαχώρηση
Πρέπει να διαλέξουmicroε σε ποια υποσύνολα ϑα διαχωρήσουmicroε τον
χώρο αναζήτησης
Θεωρούmicroε δύο σύνολα ΄Οταν microια συγκεκριmicroένη microεταβλητή που
επιλέξουmicroε παίρνει την τιmicroή 0 και 1 αντίστοιχα
Πώς επιλέγουmicroε την microεταβλητή αυτή
Στην τύχη
Συστηmicroατικά
Εmicroπειρία παρελθόντος
Επίλυση ενός υποπροβλήmicroατος
Επηρεασmicroός του χρόνου και του αριθmicroού ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Branch and Bound
∆ιαχώρηση
Πρέπει να διαλέξουmicroε σε ποια υποσύνολα ϑα διαχωρήσουmicroε τον
χώρο αναζήτησης
Θεωρούmicroε δύο σύνολα ΄Οταν microια συγκεκριmicroένη microεταβλητή που
επιλέξουmicroε παίρνει την τιmicroή 0 και 1 αντίστοιχα
Πώς επιλέγουmicroε την microεταβλητή αυτή
Στην τύχη
Συστηmicroατικά
Εmicroπειρία παρελθόντος
Επίλυση ενός υποπροβλήmicroατος
Επηρεασmicroός του χρόνου και του αριθmicroού ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Πριν τον διαχώρισmicroό ενός κόmicroβου ελέγχουmicroε αν υπάρχει
πιθανότητα να ϐρίσκεται η ϐέλτιστη λύση στο συγκεκριmicroένο
υπόδενδρο
Εκτίmicroηση του άνω ή κάτω ϕράγmicroατος ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση (microεγιστοποίηση ή ελαχιστοποίηση αντίστοιχα) για κάθε
λύση του
Αν γνωρίζουmicroε ήδη microια καλύτερη λύση από το αντίστοιχο ϕράγmicroα
του υποδένδρου γνωρίζουmicroε πως η ϐέλτιστη λύση δεν ϐρίσκεται
στο υπόδενδρο και δεν χρειάζεται να διαχωρίσουmicroε
Μια χονδρική εκτίmicroηση microπορεί να γίνει πολύ γρήγορα αλλά δεν
περιορίζει αρκετά τον αριθmicroό των ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Μια ακριβής εκτίmicroηση microας επιτρέπει να αποφύγουmicroε microεγάλο
microέρος του χώρου αναζήτησης αλλά ο υπολογισmicroός της επιβαρύνει
σηmicroαντικά τον συνολικό χρόνο
Εύρεση καλύτερου συmicroβιβασmicroού
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Πριν τον διαχώρισmicroό ενός κόmicroβου ελέγχουmicroε αν υπάρχει
πιθανότητα να ϐρίσκεται η ϐέλτιστη λύση στο συγκεκριmicroένο
υπόδενδρο
Εκτίmicroηση του άνω ή κάτω ϕράγmicroατος ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση (microεγιστοποίηση ή ελαχιστοποίηση αντίστοιχα) για κάθε
λύση του
Αν γνωρίζουmicroε ήδη microια καλύτερη λύση από το αντίστοιχο ϕράγmicroα
του υποδένδρου γνωρίζουmicroε πως η ϐέλτιστη λύση δεν ϐρίσκεται
στο υπόδενδρο και δεν χρειάζεται να διαχωρίσουmicroε
Μια χονδρική εκτίmicroηση microπορεί να γίνει πολύ γρήγορα αλλά δεν
περιορίζει αρκετά τον αριθmicroό των ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Μια ακριβής εκτίmicroηση microας επιτρέπει να αποφύγουmicroε microεγάλο
microέρος του χώρου αναζήτησης αλλά ο υπολογισmicroός της επιβαρύνει
σηmicroαντικά τον συνολικό χρόνο
Εύρεση καλύτερου συmicroβιβασmicroού
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Πριν τον διαχώρισmicroό ενός κόmicroβου ελέγχουmicroε αν υπάρχει
πιθανότητα να ϐρίσκεται η ϐέλτιστη λύση στο συγκεκριmicroένο
υπόδενδρο
Εκτίmicroηση του άνω ή κάτω ϕράγmicroατος ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση (microεγιστοποίηση ή ελαχιστοποίηση αντίστοιχα) για κάθε
λύση του
Αν γνωρίζουmicroε ήδη microια καλύτερη λύση από το αντίστοιχο ϕράγmicroα
του υποδένδρου γνωρίζουmicroε πως η ϐέλτιστη λύση δεν ϐρίσκεται
στο υπόδενδρο και δεν χρειάζεται να διαχωρίσουmicroε
Μια χονδρική εκτίmicroηση microπορεί να γίνει πολύ γρήγορα αλλά δεν
περιορίζει αρκετά τον αριθmicroό των ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Μια ακριβής εκτίmicroηση microας επιτρέπει να αποφύγουmicroε microεγάλο
microέρος του χώρου αναζήτησης αλλά ο υπολογισmicroός της επιβαρύνει
σηmicroαντικά τον συνολικό χρόνο
Εύρεση καλύτερου συmicroβιβασmicroού
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Πριν τον διαχώρισmicroό ενός κόmicroβου ελέγχουmicroε αν υπάρχει
πιθανότητα να ϐρίσκεται η ϐέλτιστη λύση στο συγκεκριmicroένο
υπόδενδρο
Εκτίmicroηση του άνω ή κάτω ϕράγmicroατος ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση (microεγιστοποίηση ή ελαχιστοποίηση αντίστοιχα) για κάθε
λύση του
Αν γνωρίζουmicroε ήδη microια καλύτερη λύση από το αντίστοιχο ϕράγmicroα
του υποδένδρου γνωρίζουmicroε πως η ϐέλτιστη λύση δεν ϐρίσκεται
στο υπόδενδρο και δεν χρειάζεται να διαχωρίσουmicroε
Μια χονδρική εκτίmicroηση microπορεί να γίνει πολύ γρήγορα αλλά δεν
περιορίζει αρκετά τον αριθmicroό των ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Μια ακριβής εκτίmicroηση microας επιτρέπει να αποφύγουmicroε microεγάλο
microέρος του χώρου αναζήτησης αλλά ο υπολογισmicroός της επιβαρύνει
σηmicroαντικά τον συνολικό χρόνο
Εύρεση καλύτερου συmicroβιβασmicroού
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Πριν τον διαχώρισmicroό ενός κόmicroβου ελέγχουmicroε αν υπάρχει
πιθανότητα να ϐρίσκεται η ϐέλτιστη λύση στο συγκεκριmicroένο
υπόδενδρο
Εκτίmicroηση του άνω ή κάτω ϕράγmicroατος ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση (microεγιστοποίηση ή ελαχιστοποίηση αντίστοιχα) για κάθε
λύση του
Αν γνωρίζουmicroε ήδη microια καλύτερη λύση από το αντίστοιχο ϕράγmicroα
του υποδένδρου γνωρίζουmicroε πως η ϐέλτιστη λύση δεν ϐρίσκεται
στο υπόδενδρο και δεν χρειάζεται να διαχωρίσουmicroε
Μια χονδρική εκτίmicroηση microπορεί να γίνει πολύ γρήγορα αλλά δεν
περιορίζει αρκετά τον αριθmicroό των ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Μια ακριβής εκτίmicroηση microας επιτρέπει να αποφύγουmicroε microεγάλο
microέρος του χώρου αναζήτησης αλλά ο υπολογισmicroός της επιβαρύνει
σηmicroαντικά τον συνολικό χρόνο
Εύρεση καλύτερου συmicroβιβασmicroού
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Πριν τον διαχώρισmicroό ενός κόmicroβου ελέγχουmicroε αν υπάρχει
πιθανότητα να ϐρίσκεται η ϐέλτιστη λύση στο συγκεκριmicroένο
υπόδενδρο
Εκτίmicroηση του άνω ή κάτω ϕράγmicroατος ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση (microεγιστοποίηση ή ελαχιστοποίηση αντίστοιχα) για κάθε
λύση του
Αν γνωρίζουmicroε ήδη microια καλύτερη λύση από το αντίστοιχο ϕράγmicroα
του υποδένδρου γνωρίζουmicroε πως η ϐέλτιστη λύση δεν ϐρίσκεται
στο υπόδενδρο και δεν χρειάζεται να διαχωρίσουmicroε
Μια χονδρική εκτίmicroηση microπορεί να γίνει πολύ γρήγορα αλλά δεν
περιορίζει αρκετά τον αριθmicroό των ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Μια ακριβής εκτίmicroηση microας επιτρέπει να αποφύγουmicroε microεγάλο
microέρος του χώρου αναζήτησης αλλά ο υπολογισmicroός της επιβαρύνει
σηmicroαντικά τον συνολικό χρόνο
Εύρεση καλύτερου συmicroβιβασmicroού
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Παράδειγmicroα εκτίmicroησης για πρόβληmicroα ελαχιστοποίησης
΄Εστω κόmicroβος Si και συνάρτηση εκτίmicroησης κάτω ϕράγmicroατος f()
΄Εστω πως γνωρίζουmicroε ήδη microια εφικτή λύση του προβλήmicroατος x
Αν f(Si)
ge cx Συνεχίζουmicroε στον διαχώρισmicroό του Si
διαφορετικά ∆εν διαχωρίζουmicroε το Si
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Παράδειγmicroα εκτίmicroησης για πρόβληmicroα ελαχιστοποίησης
΄Εστω κόmicroβος Si και συνάρτηση εκτίmicroησης κάτω ϕράγmicroατος f()
΄Εστω πως γνωρίζουmicroε ήδη microια εφικτή λύση του προβλήmicroατος x
Αν f(Si)
ge cx Συνεχίζουmicroε στον διαχώρισmicroό του Si
διαφορετικά ∆εν διαχωρίζουmicroε το Si
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Παράδειγmicroα εκτίmicroησης για πρόβληmicroα ελαχιστοποίησης
΄Εστω κόmicroβος Si και συνάρτηση εκτίmicroησης κάτω ϕράγmicroατος f()
΄Εστω πως γνωρίζουmicroε ήδη microια εφικτή λύση του προβλήmicroατος x
Αν f(Si)
ge cx Συνεχίζουmicroε στον διαχώρισmicroό του Si
διαφορετικά ∆εν διαχωρίζουmicroε το Si
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Παράδειγmicroα εκτίmicroησης για πρόβληmicroα ελαχιστοποίησης
΄Εστω κόmicroβος Si και συνάρτηση εκτίmicroησης κάτω ϕράγmicroατος f()
΄Εστω πως γνωρίζουmicroε ήδη microια εφικτή λύση του προβλήmicroατος x
Αν f(Si)
ge cx Συνεχίζουmicroε στον διαχώρισmicroό του Si
διαφορετικά ∆εν διαχωρίζουmicroε το Si
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
Αναζήτηση στο χώρο των λύσεων
S
S1 S1
S12
S12
S12 S12
S123
S123
S123
S123
S123
S123
S123 S123
x1 = 0 x1 = 1
x2 = 0 x2 = 1
x3 = 0
x3 = 1
x3 = 0
x3 = 1
x2 = 0 x2 = 1
x3 = 0
x3 = 1
x3 = 0
x3 = 1
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Βέλτιστη συνεχής λύση x1 = 1 x2 = 3
8 z = minus26
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
∆ιαχωρισmicroός στο S1
x =
1 S1
min z = minus20minus 16x2 minus 11x3 minus 9x4 minus 7x5 minus x6
8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x3 + x6 lt 3
0 S1
min z = minus16x2 minus 11x3 minus 9x4 minus 7x5 minus x6
8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x3 + x6 lt 12
Βέλτιστη συνεχή λύση S1 x2 = 3
8 z = minus26 Βέλτιστη συνεχή λύση S
1
x2 = 1x3 = 2
3 z = minus 70
3asymp minus233
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
∆ιαχωρισmicroός στο S1
x =
1 S1
min z = minus20minus 16x2 minus 11x3 minus 9x4 minus 7x5 minus x6
8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x3 + x6 lt 3
0 S1
min z = minus16x2 minus 11x3 minus 9x4 minus 7x5 minus x6
8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x3 + x6 lt 12
Βέλτιστη συνεχή λύση S1 x2 = 3
8 z = minus26 Βέλτιστη συνεχή λύση S
1
x2 = 1x3 = 2
3 z = minus 70
3asymp minus233
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
S
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230 S1234 infinS
1234 230
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230 S1234 infinS
1234 230
17 κόmicroβοι εξετάστηκαν αντί για 27 minus 1
Branch and Bound
∆ιαχώρηση
Πρέπει να διαλέξουmicroε σε ποια υποσύνολα ϑα διαχωρήσουmicroε τον
χώρο αναζήτησης
Θεωρούmicroε δύο σύνολα ΄Οταν microια συγκεκριmicroένη microεταβλητή που
επιλέξουmicroε παίρνει την τιmicroή 0 και 1 αντίστοιχα
Πώς επιλέγουmicroε την microεταβλητή αυτή
Στην τύχη
Συστηmicroατικά
Εmicroπειρία παρελθόντος
Επίλυση ενός υποπροβλήmicroατος
Επηρεασmicroός του χρόνου και του αριθmicroού ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Branch and Bound
∆ιαχώρηση
Πρέπει να διαλέξουmicroε σε ποια υποσύνολα ϑα διαχωρήσουmicroε τον
χώρο αναζήτησης
Θεωρούmicroε δύο σύνολα ΄Οταν microια συγκεκριmicroένη microεταβλητή που
επιλέξουmicroε παίρνει την τιmicroή 0 και 1 αντίστοιχα
Πώς επιλέγουmicroε την microεταβλητή αυτή
Στην τύχη
Συστηmicroατικά
Εmicroπειρία παρελθόντος
Επίλυση ενός υποπροβλήmicroατος
Επηρεασmicroός του χρόνου και του αριθmicroού ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Branch and Bound
∆ιαχώρηση
Πρέπει να διαλέξουmicroε σε ποια υποσύνολα ϑα διαχωρήσουmicroε τον
χώρο αναζήτησης
Θεωρούmicroε δύο σύνολα ΄Οταν microια συγκεκριmicroένη microεταβλητή που
επιλέξουmicroε παίρνει την τιmicroή 0 και 1 αντίστοιχα
Πώς επιλέγουmicroε την microεταβλητή αυτή
Στην τύχη
Συστηmicroατικά
Εmicroπειρία παρελθόντος
Επίλυση ενός υποπροβλήmicroατος
Επηρεασmicroός του χρόνου και του αριθmicroού ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Branch and Bound
∆ιαχώρηση
Πρέπει να διαλέξουmicroε σε ποια υποσύνολα ϑα διαχωρήσουmicroε τον
χώρο αναζήτησης
Θεωρούmicroε δύο σύνολα ΄Οταν microια συγκεκριmicroένη microεταβλητή που
επιλέξουmicroε παίρνει την τιmicroή 0 και 1 αντίστοιχα
Πώς επιλέγουmicroε την microεταβλητή αυτή
Στην τύχη
Συστηmicroατικά
Εmicroπειρία παρελθόντος
Επίλυση ενός υποπροβλήmicroατος
Επηρεασmicroός του χρόνου και του αριθmicroού ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Branch and Bound
∆ιαχώρηση
Πρέπει να διαλέξουmicroε σε ποια υποσύνολα ϑα διαχωρήσουmicroε τον
χώρο αναζήτησης
Θεωρούmicroε δύο σύνολα ΄Οταν microια συγκεκριmicroένη microεταβλητή που
επιλέξουmicroε παίρνει την τιmicroή 0 και 1 αντίστοιχα
Πώς επιλέγουmicroε την microεταβλητή αυτή
Στην τύχη
Συστηmicroατικά
Εmicroπειρία παρελθόντος
Επίλυση ενός υποπροβλήmicroατος
Επηρεασmicroός του χρόνου και του αριθmicroού ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Branch and Bound
∆ιαχώρηση
Πρέπει να διαλέξουmicroε σε ποια υποσύνολα ϑα διαχωρήσουmicroε τον
χώρο αναζήτησης
Θεωρούmicroε δύο σύνολα ΄Οταν microια συγκεκριmicroένη microεταβλητή που
επιλέξουmicroε παίρνει την τιmicroή 0 και 1 αντίστοιχα
Πώς επιλέγουmicroε την microεταβλητή αυτή
Στην τύχη
Συστηmicroατικά
Εmicroπειρία παρελθόντος
Επίλυση ενός υποπροβλήmicroατος
Επηρεασmicroός του χρόνου και του αριθmicroού ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Branch and Bound
∆ιαχώρηση
Πρέπει να διαλέξουmicroε σε ποια υποσύνολα ϑα διαχωρήσουmicroε τον
χώρο αναζήτησης
Θεωρούmicroε δύο σύνολα ΄Οταν microια συγκεκριmicroένη microεταβλητή που
επιλέξουmicroε παίρνει την τιmicroή 0 και 1 αντίστοιχα
Πώς επιλέγουmicroε την microεταβλητή αυτή
Στην τύχη
Συστηmicroατικά
Εmicroπειρία παρελθόντος
Επίλυση ενός υποπροβλήmicroατος
Επηρεασmicroός του χρόνου και του αριθmicroού ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Πριν τον διαχώρισmicroό ενός κόmicroβου ελέγχουmicroε αν υπάρχει
πιθανότητα να ϐρίσκεται η ϐέλτιστη λύση στο συγκεκριmicroένο
υπόδενδρο
Εκτίmicroηση του άνω ή κάτω ϕράγmicroατος ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση (microεγιστοποίηση ή ελαχιστοποίηση αντίστοιχα) για κάθε
λύση του
Αν γνωρίζουmicroε ήδη microια καλύτερη λύση από το αντίστοιχο ϕράγmicroα
του υποδένδρου γνωρίζουmicroε πως η ϐέλτιστη λύση δεν ϐρίσκεται
στο υπόδενδρο και δεν χρειάζεται να διαχωρίσουmicroε
Μια χονδρική εκτίmicroηση microπορεί να γίνει πολύ γρήγορα αλλά δεν
περιορίζει αρκετά τον αριθmicroό των ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Μια ακριβής εκτίmicroηση microας επιτρέπει να αποφύγουmicroε microεγάλο
microέρος του χώρου αναζήτησης αλλά ο υπολογισmicroός της επιβαρύνει
σηmicroαντικά τον συνολικό χρόνο
Εύρεση καλύτερου συmicroβιβασmicroού
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Πριν τον διαχώρισmicroό ενός κόmicroβου ελέγχουmicroε αν υπάρχει
πιθανότητα να ϐρίσκεται η ϐέλτιστη λύση στο συγκεκριmicroένο
υπόδενδρο
Εκτίmicroηση του άνω ή κάτω ϕράγmicroατος ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση (microεγιστοποίηση ή ελαχιστοποίηση αντίστοιχα) για κάθε
λύση του
Αν γνωρίζουmicroε ήδη microια καλύτερη λύση από το αντίστοιχο ϕράγmicroα
του υποδένδρου γνωρίζουmicroε πως η ϐέλτιστη λύση δεν ϐρίσκεται
στο υπόδενδρο και δεν χρειάζεται να διαχωρίσουmicroε
Μια χονδρική εκτίmicroηση microπορεί να γίνει πολύ γρήγορα αλλά δεν
περιορίζει αρκετά τον αριθmicroό των ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Μια ακριβής εκτίmicroηση microας επιτρέπει να αποφύγουmicroε microεγάλο
microέρος του χώρου αναζήτησης αλλά ο υπολογισmicroός της επιβαρύνει
σηmicroαντικά τον συνολικό χρόνο
Εύρεση καλύτερου συmicroβιβασmicroού
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Πριν τον διαχώρισmicroό ενός κόmicroβου ελέγχουmicroε αν υπάρχει
πιθανότητα να ϐρίσκεται η ϐέλτιστη λύση στο συγκεκριmicroένο
υπόδενδρο
Εκτίmicroηση του άνω ή κάτω ϕράγmicroατος ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση (microεγιστοποίηση ή ελαχιστοποίηση αντίστοιχα) για κάθε
λύση του
Αν γνωρίζουmicroε ήδη microια καλύτερη λύση από το αντίστοιχο ϕράγmicroα
του υποδένδρου γνωρίζουmicroε πως η ϐέλτιστη λύση δεν ϐρίσκεται
στο υπόδενδρο και δεν χρειάζεται να διαχωρίσουmicroε
Μια χονδρική εκτίmicroηση microπορεί να γίνει πολύ γρήγορα αλλά δεν
περιορίζει αρκετά τον αριθmicroό των ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Μια ακριβής εκτίmicroηση microας επιτρέπει να αποφύγουmicroε microεγάλο
microέρος του χώρου αναζήτησης αλλά ο υπολογισmicroός της επιβαρύνει
σηmicroαντικά τον συνολικό χρόνο
Εύρεση καλύτερου συmicroβιβασmicroού
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Πριν τον διαχώρισmicroό ενός κόmicroβου ελέγχουmicroε αν υπάρχει
πιθανότητα να ϐρίσκεται η ϐέλτιστη λύση στο συγκεκριmicroένο
υπόδενδρο
Εκτίmicroηση του άνω ή κάτω ϕράγmicroατος ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση (microεγιστοποίηση ή ελαχιστοποίηση αντίστοιχα) για κάθε
λύση του
Αν γνωρίζουmicroε ήδη microια καλύτερη λύση από το αντίστοιχο ϕράγmicroα
του υποδένδρου γνωρίζουmicroε πως η ϐέλτιστη λύση δεν ϐρίσκεται
στο υπόδενδρο και δεν χρειάζεται να διαχωρίσουmicroε
Μια χονδρική εκτίmicroηση microπορεί να γίνει πολύ γρήγορα αλλά δεν
περιορίζει αρκετά τον αριθmicroό των ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Μια ακριβής εκτίmicroηση microας επιτρέπει να αποφύγουmicroε microεγάλο
microέρος του χώρου αναζήτησης αλλά ο υπολογισmicroός της επιβαρύνει
σηmicroαντικά τον συνολικό χρόνο
Εύρεση καλύτερου συmicroβιβασmicroού
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Πριν τον διαχώρισmicroό ενός κόmicroβου ελέγχουmicroε αν υπάρχει
πιθανότητα να ϐρίσκεται η ϐέλτιστη λύση στο συγκεκριmicroένο
υπόδενδρο
Εκτίmicroηση του άνω ή κάτω ϕράγmicroατος ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση (microεγιστοποίηση ή ελαχιστοποίηση αντίστοιχα) για κάθε
λύση του
Αν γνωρίζουmicroε ήδη microια καλύτερη λύση από το αντίστοιχο ϕράγmicroα
του υποδένδρου γνωρίζουmicroε πως η ϐέλτιστη λύση δεν ϐρίσκεται
στο υπόδενδρο και δεν χρειάζεται να διαχωρίσουmicroε
Μια χονδρική εκτίmicroηση microπορεί να γίνει πολύ γρήγορα αλλά δεν
περιορίζει αρκετά τον αριθmicroό των ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Μια ακριβής εκτίmicroηση microας επιτρέπει να αποφύγουmicroε microεγάλο
microέρος του χώρου αναζήτησης αλλά ο υπολογισmicroός της επιβαρύνει
σηmicroαντικά τον συνολικό χρόνο
Εύρεση καλύτερου συmicroβιβασmicroού
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Πριν τον διαχώρισmicroό ενός κόmicroβου ελέγχουmicroε αν υπάρχει
πιθανότητα να ϐρίσκεται η ϐέλτιστη λύση στο συγκεκριmicroένο
υπόδενδρο
Εκτίmicroηση του άνω ή κάτω ϕράγmicroατος ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση (microεγιστοποίηση ή ελαχιστοποίηση αντίστοιχα) για κάθε
λύση του
Αν γνωρίζουmicroε ήδη microια καλύτερη λύση από το αντίστοιχο ϕράγmicroα
του υποδένδρου γνωρίζουmicroε πως η ϐέλτιστη λύση δεν ϐρίσκεται
στο υπόδενδρο και δεν χρειάζεται να διαχωρίσουmicroε
Μια χονδρική εκτίmicroηση microπορεί να γίνει πολύ γρήγορα αλλά δεν
περιορίζει αρκετά τον αριθmicroό των ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Μια ακριβής εκτίmicroηση microας επιτρέπει να αποφύγουmicroε microεγάλο
microέρος του χώρου αναζήτησης αλλά ο υπολογισmicroός της επιβαρύνει
σηmicroαντικά τον συνολικό χρόνο
Εύρεση καλύτερου συmicroβιβασmicroού
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Παράδειγmicroα εκτίmicroησης για πρόβληmicroα ελαχιστοποίησης
΄Εστω κόmicroβος Si και συνάρτηση εκτίmicroησης κάτω ϕράγmicroατος f()
΄Εστω πως γνωρίζουmicroε ήδη microια εφικτή λύση του προβλήmicroατος x
Αν f(Si)
ge cx Συνεχίζουmicroε στον διαχώρισmicroό του Si
διαφορετικά ∆εν διαχωρίζουmicroε το Si
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Παράδειγmicroα εκτίmicroησης για πρόβληmicroα ελαχιστοποίησης
΄Εστω κόmicroβος Si και συνάρτηση εκτίmicroησης κάτω ϕράγmicroατος f()
΄Εστω πως γνωρίζουmicroε ήδη microια εφικτή λύση του προβλήmicroατος x
Αν f(Si)
ge cx Συνεχίζουmicroε στον διαχώρισmicroό του Si
διαφορετικά ∆εν διαχωρίζουmicroε το Si
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Παράδειγmicroα εκτίmicroησης για πρόβληmicroα ελαχιστοποίησης
΄Εστω κόmicroβος Si και συνάρτηση εκτίmicroησης κάτω ϕράγmicroατος f()
΄Εστω πως γνωρίζουmicroε ήδη microια εφικτή λύση του προβλήmicroατος x
Αν f(Si)
ge cx Συνεχίζουmicroε στον διαχώρισmicroό του Si
διαφορετικά ∆εν διαχωρίζουmicroε το Si
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Παράδειγmicroα εκτίmicroησης για πρόβληmicroα ελαχιστοποίησης
΄Εστω κόmicroβος Si και συνάρτηση εκτίmicroησης κάτω ϕράγmicroατος f()
΄Εστω πως γνωρίζουmicroε ήδη microια εφικτή λύση του προβλήmicroατος x
Αν f(Si)
ge cx Συνεχίζουmicroε στον διαχώρισmicroό του Si
διαφορετικά ∆εν διαχωρίζουmicroε το Si
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
Αναζήτηση στο χώρο των λύσεων
S
S1 S1
S12
S12
S12 S12
S123
S123
S123
S123
S123
S123
S123 S123
x1 = 0 x1 = 1
x2 = 0 x2 = 1
x3 = 0
x3 = 1
x3 = 0
x3 = 1
x2 = 0 x2 = 1
x3 = 0
x3 = 1
x3 = 0
x3 = 1
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Βέλτιστη συνεχής λύση x1 = 1 x2 = 3
8 z = minus26
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
∆ιαχωρισmicroός στο S1
x =
1 S1
min z = minus20minus 16x2 minus 11x3 minus 9x4 minus 7x5 minus x6
8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x3 + x6 lt 3
0 S1
min z = minus16x2 minus 11x3 minus 9x4 minus 7x5 minus x6
8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x3 + x6 lt 12
Βέλτιστη συνεχή λύση S1 x2 = 3
8 z = minus26 Βέλτιστη συνεχή λύση S
1
x2 = 1x3 = 2
3 z = minus 70
3asymp minus233
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
∆ιαχωρισmicroός στο S1
x =
1 S1
min z = minus20minus 16x2 minus 11x3 minus 9x4 minus 7x5 minus x6
8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x3 + x6 lt 3
0 S1
min z = minus16x2 minus 11x3 minus 9x4 minus 7x5 minus x6
8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x3 + x6 lt 12
Βέλτιστη συνεχή λύση S1 x2 = 3
8 z = minus26 Βέλτιστη συνεχή λύση S
1
x2 = 1x3 = 2
3 z = minus 70
3asymp minus233
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
S
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230 S1234 infinS
1234 230
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230 S1234 infinS
1234 230
17 κόmicroβοι εξετάστηκαν αντί για 27 minus 1
Branch and Bound
∆ιαχώρηση
Πρέπει να διαλέξουmicroε σε ποια υποσύνολα ϑα διαχωρήσουmicroε τον
χώρο αναζήτησης
Θεωρούmicroε δύο σύνολα ΄Οταν microια συγκεκριmicroένη microεταβλητή που
επιλέξουmicroε παίρνει την τιmicroή 0 και 1 αντίστοιχα
Πώς επιλέγουmicroε την microεταβλητή αυτή
Στην τύχη
Συστηmicroατικά
Εmicroπειρία παρελθόντος
Επίλυση ενός υποπροβλήmicroατος
Επηρεασmicroός του χρόνου και του αριθmicroού ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Branch and Bound
∆ιαχώρηση
Πρέπει να διαλέξουmicroε σε ποια υποσύνολα ϑα διαχωρήσουmicroε τον
χώρο αναζήτησης
Θεωρούmicroε δύο σύνολα ΄Οταν microια συγκεκριmicroένη microεταβλητή που
επιλέξουmicroε παίρνει την τιmicroή 0 και 1 αντίστοιχα
Πώς επιλέγουmicroε την microεταβλητή αυτή
Στην τύχη
Συστηmicroατικά
Εmicroπειρία παρελθόντος
Επίλυση ενός υποπροβλήmicroατος
Επηρεασmicroός του χρόνου και του αριθmicroού ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Branch and Bound
∆ιαχώρηση
Πρέπει να διαλέξουmicroε σε ποια υποσύνολα ϑα διαχωρήσουmicroε τον
χώρο αναζήτησης
Θεωρούmicroε δύο σύνολα ΄Οταν microια συγκεκριmicroένη microεταβλητή που
επιλέξουmicroε παίρνει την τιmicroή 0 και 1 αντίστοιχα
Πώς επιλέγουmicroε την microεταβλητή αυτή
Στην τύχη
Συστηmicroατικά
Εmicroπειρία παρελθόντος
Επίλυση ενός υποπροβλήmicroατος
Επηρεασmicroός του χρόνου και του αριθmicroού ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Branch and Bound
∆ιαχώρηση
Πρέπει να διαλέξουmicroε σε ποια υποσύνολα ϑα διαχωρήσουmicroε τον
χώρο αναζήτησης
Θεωρούmicroε δύο σύνολα ΄Οταν microια συγκεκριmicroένη microεταβλητή που
επιλέξουmicroε παίρνει την τιmicroή 0 και 1 αντίστοιχα
Πώς επιλέγουmicroε την microεταβλητή αυτή
Στην τύχη
Συστηmicroατικά
Εmicroπειρία παρελθόντος
Επίλυση ενός υποπροβλήmicroατος
Επηρεασmicroός του χρόνου και του αριθmicroού ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Branch and Bound
∆ιαχώρηση
Πρέπει να διαλέξουmicroε σε ποια υποσύνολα ϑα διαχωρήσουmicroε τον
χώρο αναζήτησης
Θεωρούmicroε δύο σύνολα ΄Οταν microια συγκεκριmicroένη microεταβλητή που
επιλέξουmicroε παίρνει την τιmicroή 0 και 1 αντίστοιχα
Πώς επιλέγουmicroε την microεταβλητή αυτή
Στην τύχη
Συστηmicroατικά
Εmicroπειρία παρελθόντος
Επίλυση ενός υποπροβλήmicroατος
Επηρεασmicroός του χρόνου και του αριθmicroού ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Branch and Bound
∆ιαχώρηση
Πρέπει να διαλέξουmicroε σε ποια υποσύνολα ϑα διαχωρήσουmicroε τον
χώρο αναζήτησης
Θεωρούmicroε δύο σύνολα ΄Οταν microια συγκεκριmicroένη microεταβλητή που
επιλέξουmicroε παίρνει την τιmicroή 0 και 1 αντίστοιχα
Πώς επιλέγουmicroε την microεταβλητή αυτή
Στην τύχη
Συστηmicroατικά
Εmicroπειρία παρελθόντος
Επίλυση ενός υποπροβλήmicroατος
Επηρεασmicroός του χρόνου και του αριθmicroού ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Πριν τον διαχώρισmicroό ενός κόmicroβου ελέγχουmicroε αν υπάρχει
πιθανότητα να ϐρίσκεται η ϐέλτιστη λύση στο συγκεκριmicroένο
υπόδενδρο
Εκτίmicroηση του άνω ή κάτω ϕράγmicroατος ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση (microεγιστοποίηση ή ελαχιστοποίηση αντίστοιχα) για κάθε
λύση του
Αν γνωρίζουmicroε ήδη microια καλύτερη λύση από το αντίστοιχο ϕράγmicroα
του υποδένδρου γνωρίζουmicroε πως η ϐέλτιστη λύση δεν ϐρίσκεται
στο υπόδενδρο και δεν χρειάζεται να διαχωρίσουmicroε
Μια χονδρική εκτίmicroηση microπορεί να γίνει πολύ γρήγορα αλλά δεν
περιορίζει αρκετά τον αριθmicroό των ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Μια ακριβής εκτίmicroηση microας επιτρέπει να αποφύγουmicroε microεγάλο
microέρος του χώρου αναζήτησης αλλά ο υπολογισmicroός της επιβαρύνει
σηmicroαντικά τον συνολικό χρόνο
Εύρεση καλύτερου συmicroβιβασmicroού
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Πριν τον διαχώρισmicroό ενός κόmicroβου ελέγχουmicroε αν υπάρχει
πιθανότητα να ϐρίσκεται η ϐέλτιστη λύση στο συγκεκριmicroένο
υπόδενδρο
Εκτίmicroηση του άνω ή κάτω ϕράγmicroατος ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση (microεγιστοποίηση ή ελαχιστοποίηση αντίστοιχα) για κάθε
λύση του
Αν γνωρίζουmicroε ήδη microια καλύτερη λύση από το αντίστοιχο ϕράγmicroα
του υποδένδρου γνωρίζουmicroε πως η ϐέλτιστη λύση δεν ϐρίσκεται
στο υπόδενδρο και δεν χρειάζεται να διαχωρίσουmicroε
Μια χονδρική εκτίmicroηση microπορεί να γίνει πολύ γρήγορα αλλά δεν
περιορίζει αρκετά τον αριθmicroό των ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Μια ακριβής εκτίmicroηση microας επιτρέπει να αποφύγουmicroε microεγάλο
microέρος του χώρου αναζήτησης αλλά ο υπολογισmicroός της επιβαρύνει
σηmicroαντικά τον συνολικό χρόνο
Εύρεση καλύτερου συmicroβιβασmicroού
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Πριν τον διαχώρισmicroό ενός κόmicroβου ελέγχουmicroε αν υπάρχει
πιθανότητα να ϐρίσκεται η ϐέλτιστη λύση στο συγκεκριmicroένο
υπόδενδρο
Εκτίmicroηση του άνω ή κάτω ϕράγmicroατος ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση (microεγιστοποίηση ή ελαχιστοποίηση αντίστοιχα) για κάθε
λύση του
Αν γνωρίζουmicroε ήδη microια καλύτερη λύση από το αντίστοιχο ϕράγmicroα
του υποδένδρου γνωρίζουmicroε πως η ϐέλτιστη λύση δεν ϐρίσκεται
στο υπόδενδρο και δεν χρειάζεται να διαχωρίσουmicroε
Μια χονδρική εκτίmicroηση microπορεί να γίνει πολύ γρήγορα αλλά δεν
περιορίζει αρκετά τον αριθmicroό των ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Μια ακριβής εκτίmicroηση microας επιτρέπει να αποφύγουmicroε microεγάλο
microέρος του χώρου αναζήτησης αλλά ο υπολογισmicroός της επιβαρύνει
σηmicroαντικά τον συνολικό χρόνο
Εύρεση καλύτερου συmicroβιβασmicroού
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Πριν τον διαχώρισmicroό ενός κόmicroβου ελέγχουmicroε αν υπάρχει
πιθανότητα να ϐρίσκεται η ϐέλτιστη λύση στο συγκεκριmicroένο
υπόδενδρο
Εκτίmicroηση του άνω ή κάτω ϕράγmicroατος ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση (microεγιστοποίηση ή ελαχιστοποίηση αντίστοιχα) για κάθε
λύση του
Αν γνωρίζουmicroε ήδη microια καλύτερη λύση από το αντίστοιχο ϕράγmicroα
του υποδένδρου γνωρίζουmicroε πως η ϐέλτιστη λύση δεν ϐρίσκεται
στο υπόδενδρο και δεν χρειάζεται να διαχωρίσουmicroε
Μια χονδρική εκτίmicroηση microπορεί να γίνει πολύ γρήγορα αλλά δεν
περιορίζει αρκετά τον αριθmicroό των ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Μια ακριβής εκτίmicroηση microας επιτρέπει να αποφύγουmicroε microεγάλο
microέρος του χώρου αναζήτησης αλλά ο υπολογισmicroός της επιβαρύνει
σηmicroαντικά τον συνολικό χρόνο
Εύρεση καλύτερου συmicroβιβασmicroού
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Πριν τον διαχώρισmicroό ενός κόmicroβου ελέγχουmicroε αν υπάρχει
πιθανότητα να ϐρίσκεται η ϐέλτιστη λύση στο συγκεκριmicroένο
υπόδενδρο
Εκτίmicroηση του άνω ή κάτω ϕράγmicroατος ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση (microεγιστοποίηση ή ελαχιστοποίηση αντίστοιχα) για κάθε
λύση του
Αν γνωρίζουmicroε ήδη microια καλύτερη λύση από το αντίστοιχο ϕράγmicroα
του υποδένδρου γνωρίζουmicroε πως η ϐέλτιστη λύση δεν ϐρίσκεται
στο υπόδενδρο και δεν χρειάζεται να διαχωρίσουmicroε
Μια χονδρική εκτίmicroηση microπορεί να γίνει πολύ γρήγορα αλλά δεν
περιορίζει αρκετά τον αριθmicroό των ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Μια ακριβής εκτίmicroηση microας επιτρέπει να αποφύγουmicroε microεγάλο
microέρος του χώρου αναζήτησης αλλά ο υπολογισmicroός της επιβαρύνει
σηmicroαντικά τον συνολικό χρόνο
Εύρεση καλύτερου συmicroβιβασmicroού
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Πριν τον διαχώρισmicroό ενός κόmicroβου ελέγχουmicroε αν υπάρχει
πιθανότητα να ϐρίσκεται η ϐέλτιστη λύση στο συγκεκριmicroένο
υπόδενδρο
Εκτίmicroηση του άνω ή κάτω ϕράγmicroατος ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση (microεγιστοποίηση ή ελαχιστοποίηση αντίστοιχα) για κάθε
λύση του
Αν γνωρίζουmicroε ήδη microια καλύτερη λύση από το αντίστοιχο ϕράγmicroα
του υποδένδρου γνωρίζουmicroε πως η ϐέλτιστη λύση δεν ϐρίσκεται
στο υπόδενδρο και δεν χρειάζεται να διαχωρίσουmicroε
Μια χονδρική εκτίmicroηση microπορεί να γίνει πολύ γρήγορα αλλά δεν
περιορίζει αρκετά τον αριθmicroό των ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Μια ακριβής εκτίmicroηση microας επιτρέπει να αποφύγουmicroε microεγάλο
microέρος του χώρου αναζήτησης αλλά ο υπολογισmicroός της επιβαρύνει
σηmicroαντικά τον συνολικό χρόνο
Εύρεση καλύτερου συmicroβιβασmicroού
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Παράδειγmicroα εκτίmicroησης για πρόβληmicroα ελαχιστοποίησης
΄Εστω κόmicroβος Si και συνάρτηση εκτίmicroησης κάτω ϕράγmicroατος f()
΄Εστω πως γνωρίζουmicroε ήδη microια εφικτή λύση του προβλήmicroατος x
Αν f(Si)
ge cx Συνεχίζουmicroε στον διαχώρισmicroό του Si
διαφορετικά ∆εν διαχωρίζουmicroε το Si
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Παράδειγmicroα εκτίmicroησης για πρόβληmicroα ελαχιστοποίησης
΄Εστω κόmicroβος Si και συνάρτηση εκτίmicroησης κάτω ϕράγmicroατος f()
΄Εστω πως γνωρίζουmicroε ήδη microια εφικτή λύση του προβλήmicroατος x
Αν f(Si)
ge cx Συνεχίζουmicroε στον διαχώρισmicroό του Si
διαφορετικά ∆εν διαχωρίζουmicroε το Si
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Παράδειγmicroα εκτίmicroησης για πρόβληmicroα ελαχιστοποίησης
΄Εστω κόmicroβος Si και συνάρτηση εκτίmicroησης κάτω ϕράγmicroατος f()
΄Εστω πως γνωρίζουmicroε ήδη microια εφικτή λύση του προβλήmicroατος x
Αν f(Si)
ge cx Συνεχίζουmicroε στον διαχώρισmicroό του Si
διαφορετικά ∆εν διαχωρίζουmicroε το Si
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Παράδειγmicroα εκτίmicroησης για πρόβληmicroα ελαχιστοποίησης
΄Εστω κόmicroβος Si και συνάρτηση εκτίmicroησης κάτω ϕράγmicroατος f()
΄Εστω πως γνωρίζουmicroε ήδη microια εφικτή λύση του προβλήmicroατος x
Αν f(Si)
ge cx Συνεχίζουmicroε στον διαχώρισmicroό του Si
διαφορετικά ∆εν διαχωρίζουmicroε το Si
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
Αναζήτηση στο χώρο των λύσεων
S
S1 S1
S12
S12
S12 S12
S123
S123
S123
S123
S123
S123
S123 S123
x1 = 0 x1 = 1
x2 = 0 x2 = 1
x3 = 0
x3 = 1
x3 = 0
x3 = 1
x2 = 0 x2 = 1
x3 = 0
x3 = 1
x3 = 0
x3 = 1
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Βέλτιστη συνεχής λύση x1 = 1 x2 = 3
8 z = minus26
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
∆ιαχωρισmicroός στο S1
x =
1 S1
min z = minus20minus 16x2 minus 11x3 minus 9x4 minus 7x5 minus x6
8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x3 + x6 lt 3
0 S1
min z = minus16x2 minus 11x3 minus 9x4 minus 7x5 minus x6
8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x3 + x6 lt 12
Βέλτιστη συνεχή λύση S1 x2 = 3
8 z = minus26 Βέλτιστη συνεχή λύση S
1
x2 = 1x3 = 2
3 z = minus 70
3asymp minus233
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
∆ιαχωρισmicroός στο S1
x =
1 S1
min z = minus20minus 16x2 minus 11x3 minus 9x4 minus 7x5 minus x6
8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x3 + x6 lt 3
0 S1
min z = minus16x2 minus 11x3 minus 9x4 minus 7x5 minus x6
8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x3 + x6 lt 12
Βέλτιστη συνεχή λύση S1 x2 = 3
8 z = minus26 Βέλτιστη συνεχή λύση S
1
x2 = 1x3 = 2
3 z = minus 70
3asymp minus233
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
S
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230 S1234 infinS
1234 230
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230 S1234 infinS
1234 230
17 κόmicroβοι εξετάστηκαν αντί για 27 minus 1
Branch and Bound
∆ιαχώρηση
Πρέπει να διαλέξουmicroε σε ποια υποσύνολα ϑα διαχωρήσουmicroε τον
χώρο αναζήτησης
Θεωρούmicroε δύο σύνολα ΄Οταν microια συγκεκριmicroένη microεταβλητή που
επιλέξουmicroε παίρνει την τιmicroή 0 και 1 αντίστοιχα
Πώς επιλέγουmicroε την microεταβλητή αυτή
Στην τύχη
Συστηmicroατικά
Εmicroπειρία παρελθόντος
Επίλυση ενός υποπροβλήmicroατος
Επηρεασmicroός του χρόνου και του αριθmicroού ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Branch and Bound
∆ιαχώρηση
Πρέπει να διαλέξουmicroε σε ποια υποσύνολα ϑα διαχωρήσουmicroε τον
χώρο αναζήτησης
Θεωρούmicroε δύο σύνολα ΄Οταν microια συγκεκριmicroένη microεταβλητή που
επιλέξουmicroε παίρνει την τιmicroή 0 και 1 αντίστοιχα
Πώς επιλέγουmicroε την microεταβλητή αυτή
Στην τύχη
Συστηmicroατικά
Εmicroπειρία παρελθόντος
Επίλυση ενός υποπροβλήmicroατος
Επηρεασmicroός του χρόνου και του αριθmicroού ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Branch and Bound
∆ιαχώρηση
Πρέπει να διαλέξουmicroε σε ποια υποσύνολα ϑα διαχωρήσουmicroε τον
χώρο αναζήτησης
Θεωρούmicroε δύο σύνολα ΄Οταν microια συγκεκριmicroένη microεταβλητή που
επιλέξουmicroε παίρνει την τιmicroή 0 και 1 αντίστοιχα
Πώς επιλέγουmicroε την microεταβλητή αυτή
Στην τύχη
Συστηmicroατικά
Εmicroπειρία παρελθόντος
Επίλυση ενός υποπροβλήmicroατος
Επηρεασmicroός του χρόνου και του αριθmicroού ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Branch and Bound
∆ιαχώρηση
Πρέπει να διαλέξουmicroε σε ποια υποσύνολα ϑα διαχωρήσουmicroε τον
χώρο αναζήτησης
Θεωρούmicroε δύο σύνολα ΄Οταν microια συγκεκριmicroένη microεταβλητή που
επιλέξουmicroε παίρνει την τιmicroή 0 και 1 αντίστοιχα
Πώς επιλέγουmicroε την microεταβλητή αυτή
Στην τύχη
Συστηmicroατικά
Εmicroπειρία παρελθόντος
Επίλυση ενός υποπροβλήmicroατος
Επηρεασmicroός του χρόνου και του αριθmicroού ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Branch and Bound
∆ιαχώρηση
Πρέπει να διαλέξουmicroε σε ποια υποσύνολα ϑα διαχωρήσουmicroε τον
χώρο αναζήτησης
Θεωρούmicroε δύο σύνολα ΄Οταν microια συγκεκριmicroένη microεταβλητή που
επιλέξουmicroε παίρνει την τιmicroή 0 και 1 αντίστοιχα
Πώς επιλέγουmicroε την microεταβλητή αυτή
Στην τύχη
Συστηmicroατικά
Εmicroπειρία παρελθόντος
Επίλυση ενός υποπροβλήmicroατος
Επηρεασmicroός του χρόνου και του αριθmicroού ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Πριν τον διαχώρισmicroό ενός κόmicroβου ελέγχουmicroε αν υπάρχει
πιθανότητα να ϐρίσκεται η ϐέλτιστη λύση στο συγκεκριmicroένο
υπόδενδρο
Εκτίmicroηση του άνω ή κάτω ϕράγmicroατος ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση (microεγιστοποίηση ή ελαχιστοποίηση αντίστοιχα) για κάθε
λύση του
Αν γνωρίζουmicroε ήδη microια καλύτερη λύση από το αντίστοιχο ϕράγmicroα
του υποδένδρου γνωρίζουmicroε πως η ϐέλτιστη λύση δεν ϐρίσκεται
στο υπόδενδρο και δεν χρειάζεται να διαχωρίσουmicroε
Μια χονδρική εκτίmicroηση microπορεί να γίνει πολύ γρήγορα αλλά δεν
περιορίζει αρκετά τον αριθmicroό των ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Μια ακριβής εκτίmicroηση microας επιτρέπει να αποφύγουmicroε microεγάλο
microέρος του χώρου αναζήτησης αλλά ο υπολογισmicroός της επιβαρύνει
σηmicroαντικά τον συνολικό χρόνο
Εύρεση καλύτερου συmicroβιβασmicroού
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Πριν τον διαχώρισmicroό ενός κόmicroβου ελέγχουmicroε αν υπάρχει
πιθανότητα να ϐρίσκεται η ϐέλτιστη λύση στο συγκεκριmicroένο
υπόδενδρο
Εκτίmicroηση του άνω ή κάτω ϕράγmicroατος ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση (microεγιστοποίηση ή ελαχιστοποίηση αντίστοιχα) για κάθε
λύση του
Αν γνωρίζουmicroε ήδη microια καλύτερη λύση από το αντίστοιχο ϕράγmicroα
του υποδένδρου γνωρίζουmicroε πως η ϐέλτιστη λύση δεν ϐρίσκεται
στο υπόδενδρο και δεν χρειάζεται να διαχωρίσουmicroε
Μια χονδρική εκτίmicroηση microπορεί να γίνει πολύ γρήγορα αλλά δεν
περιορίζει αρκετά τον αριθmicroό των ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Μια ακριβής εκτίmicroηση microας επιτρέπει να αποφύγουmicroε microεγάλο
microέρος του χώρου αναζήτησης αλλά ο υπολογισmicroός της επιβαρύνει
σηmicroαντικά τον συνολικό χρόνο
Εύρεση καλύτερου συmicroβιβασmicroού
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Πριν τον διαχώρισmicroό ενός κόmicroβου ελέγχουmicroε αν υπάρχει
πιθανότητα να ϐρίσκεται η ϐέλτιστη λύση στο συγκεκριmicroένο
υπόδενδρο
Εκτίmicroηση του άνω ή κάτω ϕράγmicroατος ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση (microεγιστοποίηση ή ελαχιστοποίηση αντίστοιχα) για κάθε
λύση του
Αν γνωρίζουmicroε ήδη microια καλύτερη λύση από το αντίστοιχο ϕράγmicroα
του υποδένδρου γνωρίζουmicroε πως η ϐέλτιστη λύση δεν ϐρίσκεται
στο υπόδενδρο και δεν χρειάζεται να διαχωρίσουmicroε
Μια χονδρική εκτίmicroηση microπορεί να γίνει πολύ γρήγορα αλλά δεν
περιορίζει αρκετά τον αριθmicroό των ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Μια ακριβής εκτίmicroηση microας επιτρέπει να αποφύγουmicroε microεγάλο
microέρος του χώρου αναζήτησης αλλά ο υπολογισmicroός της επιβαρύνει
σηmicroαντικά τον συνολικό χρόνο
Εύρεση καλύτερου συmicroβιβασmicroού
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Πριν τον διαχώρισmicroό ενός κόmicroβου ελέγχουmicroε αν υπάρχει
πιθανότητα να ϐρίσκεται η ϐέλτιστη λύση στο συγκεκριmicroένο
υπόδενδρο
Εκτίmicroηση του άνω ή κάτω ϕράγmicroατος ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση (microεγιστοποίηση ή ελαχιστοποίηση αντίστοιχα) για κάθε
λύση του
Αν γνωρίζουmicroε ήδη microια καλύτερη λύση από το αντίστοιχο ϕράγmicroα
του υποδένδρου γνωρίζουmicroε πως η ϐέλτιστη λύση δεν ϐρίσκεται
στο υπόδενδρο και δεν χρειάζεται να διαχωρίσουmicroε
Μια χονδρική εκτίmicroηση microπορεί να γίνει πολύ γρήγορα αλλά δεν
περιορίζει αρκετά τον αριθmicroό των ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Μια ακριβής εκτίmicroηση microας επιτρέπει να αποφύγουmicroε microεγάλο
microέρος του χώρου αναζήτησης αλλά ο υπολογισmicroός της επιβαρύνει
σηmicroαντικά τον συνολικό χρόνο
Εύρεση καλύτερου συmicroβιβασmicroού
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Πριν τον διαχώρισmicroό ενός κόmicroβου ελέγχουmicroε αν υπάρχει
πιθανότητα να ϐρίσκεται η ϐέλτιστη λύση στο συγκεκριmicroένο
υπόδενδρο
Εκτίmicroηση του άνω ή κάτω ϕράγmicroατος ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση (microεγιστοποίηση ή ελαχιστοποίηση αντίστοιχα) για κάθε
λύση του
Αν γνωρίζουmicroε ήδη microια καλύτερη λύση από το αντίστοιχο ϕράγmicroα
του υποδένδρου γνωρίζουmicroε πως η ϐέλτιστη λύση δεν ϐρίσκεται
στο υπόδενδρο και δεν χρειάζεται να διαχωρίσουmicroε
Μια χονδρική εκτίmicroηση microπορεί να γίνει πολύ γρήγορα αλλά δεν
περιορίζει αρκετά τον αριθmicroό των ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Μια ακριβής εκτίmicroηση microας επιτρέπει να αποφύγουmicroε microεγάλο
microέρος του χώρου αναζήτησης αλλά ο υπολογισmicroός της επιβαρύνει
σηmicroαντικά τον συνολικό χρόνο
Εύρεση καλύτερου συmicroβιβασmicroού
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Πριν τον διαχώρισmicroό ενός κόmicroβου ελέγχουmicroε αν υπάρχει
πιθανότητα να ϐρίσκεται η ϐέλτιστη λύση στο συγκεκριmicroένο
υπόδενδρο
Εκτίmicroηση του άνω ή κάτω ϕράγmicroατος ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση (microεγιστοποίηση ή ελαχιστοποίηση αντίστοιχα) για κάθε
λύση του
Αν γνωρίζουmicroε ήδη microια καλύτερη λύση από το αντίστοιχο ϕράγmicroα
του υποδένδρου γνωρίζουmicroε πως η ϐέλτιστη λύση δεν ϐρίσκεται
στο υπόδενδρο και δεν χρειάζεται να διαχωρίσουmicroε
Μια χονδρική εκτίmicroηση microπορεί να γίνει πολύ γρήγορα αλλά δεν
περιορίζει αρκετά τον αριθmicroό των ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Μια ακριβής εκτίmicroηση microας επιτρέπει να αποφύγουmicroε microεγάλο
microέρος του χώρου αναζήτησης αλλά ο υπολογισmicroός της επιβαρύνει
σηmicroαντικά τον συνολικό χρόνο
Εύρεση καλύτερου συmicroβιβασmicroού
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Παράδειγmicroα εκτίmicroησης για πρόβληmicroα ελαχιστοποίησης
΄Εστω κόmicroβος Si και συνάρτηση εκτίmicroησης κάτω ϕράγmicroατος f()
΄Εστω πως γνωρίζουmicroε ήδη microια εφικτή λύση του προβλήmicroατος x
Αν f(Si)
ge cx Συνεχίζουmicroε στον διαχώρισmicroό του Si
διαφορετικά ∆εν διαχωρίζουmicroε το Si
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Παράδειγmicroα εκτίmicroησης για πρόβληmicroα ελαχιστοποίησης
΄Εστω κόmicroβος Si και συνάρτηση εκτίmicroησης κάτω ϕράγmicroατος f()
΄Εστω πως γνωρίζουmicroε ήδη microια εφικτή λύση του προβλήmicroατος x
Αν f(Si)
ge cx Συνεχίζουmicroε στον διαχώρισmicroό του Si
διαφορετικά ∆εν διαχωρίζουmicroε το Si
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Παράδειγmicroα εκτίmicroησης για πρόβληmicroα ελαχιστοποίησης
΄Εστω κόmicroβος Si και συνάρτηση εκτίmicroησης κάτω ϕράγmicroατος f()
΄Εστω πως γνωρίζουmicroε ήδη microια εφικτή λύση του προβλήmicroατος x
Αν f(Si)
ge cx Συνεχίζουmicroε στον διαχώρισmicroό του Si
διαφορετικά ∆εν διαχωρίζουmicroε το Si
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Παράδειγmicroα εκτίmicroησης για πρόβληmicroα ελαχιστοποίησης
΄Εστω κόmicroβος Si και συνάρτηση εκτίmicroησης κάτω ϕράγmicroατος f()
΄Εστω πως γνωρίζουmicroε ήδη microια εφικτή λύση του προβλήmicroατος x
Αν f(Si)
ge cx Συνεχίζουmicroε στον διαχώρισmicroό του Si
διαφορετικά ∆εν διαχωρίζουmicroε το Si
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
Αναζήτηση στο χώρο των λύσεων
S
S1 S1
S12
S12
S12 S12
S123
S123
S123
S123
S123
S123
S123 S123
x1 = 0 x1 = 1
x2 = 0 x2 = 1
x3 = 0
x3 = 1
x3 = 0
x3 = 1
x2 = 0 x2 = 1
x3 = 0
x3 = 1
x3 = 0
x3 = 1
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Βέλτιστη συνεχής λύση x1 = 1 x2 = 3
8 z = minus26
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
∆ιαχωρισmicroός στο S1
x =
1 S1
min z = minus20minus 16x2 minus 11x3 minus 9x4 minus 7x5 minus x6
8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x3 + x6 lt 3
0 S1
min z = minus16x2 minus 11x3 minus 9x4 minus 7x5 minus x6
8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x3 + x6 lt 12
Βέλτιστη συνεχή λύση S1 x2 = 3
8 z = minus26 Βέλτιστη συνεχή λύση S
1
x2 = 1x3 = 2
3 z = minus 70
3asymp minus233
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
∆ιαχωρισmicroός στο S1
x =
1 S1
min z = minus20minus 16x2 minus 11x3 minus 9x4 minus 7x5 minus x6
8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x3 + x6 lt 3
0 S1
min z = minus16x2 minus 11x3 minus 9x4 minus 7x5 minus x6
8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x3 + x6 lt 12
Βέλτιστη συνεχή λύση S1 x2 = 3
8 z = minus26 Βέλτιστη συνεχή λύση S
1
x2 = 1x3 = 2
3 z = minus 70
3asymp minus233
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
S
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230 S1234 infinS
1234 230
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230 S1234 infinS
1234 230
17 κόmicroβοι εξετάστηκαν αντί για 27 minus 1
Branch and Bound
∆ιαχώρηση
Πρέπει να διαλέξουmicroε σε ποια υποσύνολα ϑα διαχωρήσουmicroε τον
χώρο αναζήτησης
Θεωρούmicroε δύο σύνολα ΄Οταν microια συγκεκριmicroένη microεταβλητή που
επιλέξουmicroε παίρνει την τιmicroή 0 και 1 αντίστοιχα
Πώς επιλέγουmicroε την microεταβλητή αυτή
Στην τύχη
Συστηmicroατικά
Εmicroπειρία παρελθόντος
Επίλυση ενός υποπροβλήmicroατος
Επηρεασmicroός του χρόνου και του αριθmicroού ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Branch and Bound
∆ιαχώρηση
Πρέπει να διαλέξουmicroε σε ποια υποσύνολα ϑα διαχωρήσουmicroε τον
χώρο αναζήτησης
Θεωρούmicroε δύο σύνολα ΄Οταν microια συγκεκριmicroένη microεταβλητή που
επιλέξουmicroε παίρνει την τιmicroή 0 και 1 αντίστοιχα
Πώς επιλέγουmicroε την microεταβλητή αυτή
Στην τύχη
Συστηmicroατικά
Εmicroπειρία παρελθόντος
Επίλυση ενός υποπροβλήmicroατος
Επηρεασmicroός του χρόνου και του αριθmicroού ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Branch and Bound
∆ιαχώρηση
Πρέπει να διαλέξουmicroε σε ποια υποσύνολα ϑα διαχωρήσουmicroε τον
χώρο αναζήτησης
Θεωρούmicroε δύο σύνολα ΄Οταν microια συγκεκριmicroένη microεταβλητή που
επιλέξουmicroε παίρνει την τιmicroή 0 και 1 αντίστοιχα
Πώς επιλέγουmicroε την microεταβλητή αυτή
Στην τύχη
Συστηmicroατικά
Εmicroπειρία παρελθόντος
Επίλυση ενός υποπροβλήmicroατος
Επηρεασmicroός του χρόνου και του αριθmicroού ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Branch and Bound
∆ιαχώρηση
Πρέπει να διαλέξουmicroε σε ποια υποσύνολα ϑα διαχωρήσουmicroε τον
χώρο αναζήτησης
Θεωρούmicroε δύο σύνολα ΄Οταν microια συγκεκριmicroένη microεταβλητή που
επιλέξουmicroε παίρνει την τιmicroή 0 και 1 αντίστοιχα
Πώς επιλέγουmicroε την microεταβλητή αυτή
Στην τύχη
Συστηmicroατικά
Εmicroπειρία παρελθόντος
Επίλυση ενός υποπροβλήmicroατος
Επηρεασmicroός του χρόνου και του αριθmicroού ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Πριν τον διαχώρισmicroό ενός κόmicroβου ελέγχουmicroε αν υπάρχει
πιθανότητα να ϐρίσκεται η ϐέλτιστη λύση στο συγκεκριmicroένο
υπόδενδρο
Εκτίmicroηση του άνω ή κάτω ϕράγmicroατος ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση (microεγιστοποίηση ή ελαχιστοποίηση αντίστοιχα) για κάθε
λύση του
Αν γνωρίζουmicroε ήδη microια καλύτερη λύση από το αντίστοιχο ϕράγmicroα
του υποδένδρου γνωρίζουmicroε πως η ϐέλτιστη λύση δεν ϐρίσκεται
στο υπόδενδρο και δεν χρειάζεται να διαχωρίσουmicroε
Μια χονδρική εκτίmicroηση microπορεί να γίνει πολύ γρήγορα αλλά δεν
περιορίζει αρκετά τον αριθmicroό των ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Μια ακριβής εκτίmicroηση microας επιτρέπει να αποφύγουmicroε microεγάλο
microέρος του χώρου αναζήτησης αλλά ο υπολογισmicroός της επιβαρύνει
σηmicroαντικά τον συνολικό χρόνο
Εύρεση καλύτερου συmicroβιβασmicroού
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Πριν τον διαχώρισmicroό ενός κόmicroβου ελέγχουmicroε αν υπάρχει
πιθανότητα να ϐρίσκεται η ϐέλτιστη λύση στο συγκεκριmicroένο
υπόδενδρο
Εκτίmicroηση του άνω ή κάτω ϕράγmicroατος ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση (microεγιστοποίηση ή ελαχιστοποίηση αντίστοιχα) για κάθε
λύση του
Αν γνωρίζουmicroε ήδη microια καλύτερη λύση από το αντίστοιχο ϕράγmicroα
του υποδένδρου γνωρίζουmicroε πως η ϐέλτιστη λύση δεν ϐρίσκεται
στο υπόδενδρο και δεν χρειάζεται να διαχωρίσουmicroε
Μια χονδρική εκτίmicroηση microπορεί να γίνει πολύ γρήγορα αλλά δεν
περιορίζει αρκετά τον αριθmicroό των ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Μια ακριβής εκτίmicroηση microας επιτρέπει να αποφύγουmicroε microεγάλο
microέρος του χώρου αναζήτησης αλλά ο υπολογισmicroός της επιβαρύνει
σηmicroαντικά τον συνολικό χρόνο
Εύρεση καλύτερου συmicroβιβασmicroού
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Πριν τον διαχώρισmicroό ενός κόmicroβου ελέγχουmicroε αν υπάρχει
πιθανότητα να ϐρίσκεται η ϐέλτιστη λύση στο συγκεκριmicroένο
υπόδενδρο
Εκτίmicroηση του άνω ή κάτω ϕράγmicroατος ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση (microεγιστοποίηση ή ελαχιστοποίηση αντίστοιχα) για κάθε
λύση του
Αν γνωρίζουmicroε ήδη microια καλύτερη λύση από το αντίστοιχο ϕράγmicroα
του υποδένδρου γνωρίζουmicroε πως η ϐέλτιστη λύση δεν ϐρίσκεται
στο υπόδενδρο και δεν χρειάζεται να διαχωρίσουmicroε
Μια χονδρική εκτίmicroηση microπορεί να γίνει πολύ γρήγορα αλλά δεν
περιορίζει αρκετά τον αριθmicroό των ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Μια ακριβής εκτίmicroηση microας επιτρέπει να αποφύγουmicroε microεγάλο
microέρος του χώρου αναζήτησης αλλά ο υπολογισmicroός της επιβαρύνει
σηmicroαντικά τον συνολικό χρόνο
Εύρεση καλύτερου συmicroβιβασmicroού
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Πριν τον διαχώρισmicroό ενός κόmicroβου ελέγχουmicroε αν υπάρχει
πιθανότητα να ϐρίσκεται η ϐέλτιστη λύση στο συγκεκριmicroένο
υπόδενδρο
Εκτίmicroηση του άνω ή κάτω ϕράγmicroατος ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση (microεγιστοποίηση ή ελαχιστοποίηση αντίστοιχα) για κάθε
λύση του
Αν γνωρίζουmicroε ήδη microια καλύτερη λύση από το αντίστοιχο ϕράγmicroα
του υποδένδρου γνωρίζουmicroε πως η ϐέλτιστη λύση δεν ϐρίσκεται
στο υπόδενδρο και δεν χρειάζεται να διαχωρίσουmicroε
Μια χονδρική εκτίmicroηση microπορεί να γίνει πολύ γρήγορα αλλά δεν
περιορίζει αρκετά τον αριθmicroό των ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Μια ακριβής εκτίmicroηση microας επιτρέπει να αποφύγουmicroε microεγάλο
microέρος του χώρου αναζήτησης αλλά ο υπολογισmicroός της επιβαρύνει
σηmicroαντικά τον συνολικό χρόνο
Εύρεση καλύτερου συmicroβιβασmicroού
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Πριν τον διαχώρισmicroό ενός κόmicroβου ελέγχουmicroε αν υπάρχει
πιθανότητα να ϐρίσκεται η ϐέλτιστη λύση στο συγκεκριmicroένο
υπόδενδρο
Εκτίmicroηση του άνω ή κάτω ϕράγmicroατος ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση (microεγιστοποίηση ή ελαχιστοποίηση αντίστοιχα) για κάθε
λύση του
Αν γνωρίζουmicroε ήδη microια καλύτερη λύση από το αντίστοιχο ϕράγmicroα
του υποδένδρου γνωρίζουmicroε πως η ϐέλτιστη λύση δεν ϐρίσκεται
στο υπόδενδρο και δεν χρειάζεται να διαχωρίσουmicroε
Μια χονδρική εκτίmicroηση microπορεί να γίνει πολύ γρήγορα αλλά δεν
περιορίζει αρκετά τον αριθmicroό των ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Μια ακριβής εκτίmicroηση microας επιτρέπει να αποφύγουmicroε microεγάλο
microέρος του χώρου αναζήτησης αλλά ο υπολογισmicroός της επιβαρύνει
σηmicroαντικά τον συνολικό χρόνο
Εύρεση καλύτερου συmicroβιβασmicroού
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Πριν τον διαχώρισmicroό ενός κόmicroβου ελέγχουmicroε αν υπάρχει
πιθανότητα να ϐρίσκεται η ϐέλτιστη λύση στο συγκεκριmicroένο
υπόδενδρο
Εκτίmicroηση του άνω ή κάτω ϕράγmicroατος ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση (microεγιστοποίηση ή ελαχιστοποίηση αντίστοιχα) για κάθε
λύση του
Αν γνωρίζουmicroε ήδη microια καλύτερη λύση από το αντίστοιχο ϕράγmicroα
του υποδένδρου γνωρίζουmicroε πως η ϐέλτιστη λύση δεν ϐρίσκεται
στο υπόδενδρο και δεν χρειάζεται να διαχωρίσουmicroε
Μια χονδρική εκτίmicroηση microπορεί να γίνει πολύ γρήγορα αλλά δεν
περιορίζει αρκετά τον αριθmicroό των ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Μια ακριβής εκτίmicroηση microας επιτρέπει να αποφύγουmicroε microεγάλο
microέρος του χώρου αναζήτησης αλλά ο υπολογισmicroός της επιβαρύνει
σηmicroαντικά τον συνολικό χρόνο
Εύρεση καλύτερου συmicroβιβασmicroού
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Παράδειγmicroα εκτίmicroησης για πρόβληmicroα ελαχιστοποίησης
΄Εστω κόmicroβος Si και συνάρτηση εκτίmicroησης κάτω ϕράγmicroατος f()
΄Εστω πως γνωρίζουmicroε ήδη microια εφικτή λύση του προβλήmicroατος x
Αν f(Si)
ge cx Συνεχίζουmicroε στον διαχώρισmicroό του Si
διαφορετικά ∆εν διαχωρίζουmicroε το Si
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Παράδειγmicroα εκτίmicroησης για πρόβληmicroα ελαχιστοποίησης
΄Εστω κόmicroβος Si και συνάρτηση εκτίmicroησης κάτω ϕράγmicroατος f()
΄Εστω πως γνωρίζουmicroε ήδη microια εφικτή λύση του προβλήmicroατος x
Αν f(Si)
ge cx Συνεχίζουmicroε στον διαχώρισmicroό του Si
διαφορετικά ∆εν διαχωρίζουmicroε το Si
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Παράδειγmicroα εκτίmicroησης για πρόβληmicroα ελαχιστοποίησης
΄Εστω κόmicroβος Si και συνάρτηση εκτίmicroησης κάτω ϕράγmicroατος f()
΄Εστω πως γνωρίζουmicroε ήδη microια εφικτή λύση του προβλήmicroατος x
Αν f(Si)
ge cx Συνεχίζουmicroε στον διαχώρισmicroό του Si
διαφορετικά ∆εν διαχωρίζουmicroε το Si
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Παράδειγmicroα εκτίmicroησης για πρόβληmicroα ελαχιστοποίησης
΄Εστω κόmicroβος Si και συνάρτηση εκτίmicroησης κάτω ϕράγmicroατος f()
΄Εστω πως γνωρίζουmicroε ήδη microια εφικτή λύση του προβλήmicroατος x
Αν f(Si)
ge cx Συνεχίζουmicroε στον διαχώρισmicroό του Si
διαφορετικά ∆εν διαχωρίζουmicroε το Si
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
Αναζήτηση στο χώρο των λύσεων
S
S1 S1
S12
S12
S12 S12
S123
S123
S123
S123
S123
S123
S123 S123
x1 = 0 x1 = 1
x2 = 0 x2 = 1
x3 = 0
x3 = 1
x3 = 0
x3 = 1
x2 = 0 x2 = 1
x3 = 0
x3 = 1
x3 = 0
x3 = 1
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Βέλτιστη συνεχής λύση x1 = 1 x2 = 3
8 z = minus26
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
∆ιαχωρισmicroός στο S1
x =
1 S1
min z = minus20minus 16x2 minus 11x3 minus 9x4 minus 7x5 minus x6
8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x3 + x6 lt 3
0 S1
min z = minus16x2 minus 11x3 minus 9x4 minus 7x5 minus x6
8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x3 + x6 lt 12
Βέλτιστη συνεχή λύση S1 x2 = 3
8 z = minus26 Βέλτιστη συνεχή λύση S
1
x2 = 1x3 = 2
3 z = minus 70
3asymp minus233
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
∆ιαχωρισmicroός στο S1
x =
1 S1
min z = minus20minus 16x2 minus 11x3 minus 9x4 minus 7x5 minus x6
8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x3 + x6 lt 3
0 S1
min z = minus16x2 minus 11x3 minus 9x4 minus 7x5 minus x6
8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x3 + x6 lt 12
Βέλτιστη συνεχή λύση S1 x2 = 3
8 z = minus26 Βέλτιστη συνεχή λύση S
1
x2 = 1x3 = 2
3 z = minus 70
3asymp minus233
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
S
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230 S1234 infinS
1234 230
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230 S1234 infinS
1234 230
17 κόmicroβοι εξετάστηκαν αντί για 27 minus 1
Branch and Bound
∆ιαχώρηση
Πρέπει να διαλέξουmicroε σε ποια υποσύνολα ϑα διαχωρήσουmicroε τον
χώρο αναζήτησης
Θεωρούmicroε δύο σύνολα ΄Οταν microια συγκεκριmicroένη microεταβλητή που
επιλέξουmicroε παίρνει την τιmicroή 0 και 1 αντίστοιχα
Πώς επιλέγουmicroε την microεταβλητή αυτή
Στην τύχη
Συστηmicroατικά
Εmicroπειρία παρελθόντος
Επίλυση ενός υποπροβλήmicroατος
Επηρεασmicroός του χρόνου και του αριθmicroού ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Branch and Bound
∆ιαχώρηση
Πρέπει να διαλέξουmicroε σε ποια υποσύνολα ϑα διαχωρήσουmicroε τον
χώρο αναζήτησης
Θεωρούmicroε δύο σύνολα ΄Οταν microια συγκεκριmicroένη microεταβλητή που
επιλέξουmicroε παίρνει την τιmicroή 0 και 1 αντίστοιχα
Πώς επιλέγουmicroε την microεταβλητή αυτή
Στην τύχη
Συστηmicroατικά
Εmicroπειρία παρελθόντος
Επίλυση ενός υποπροβλήmicroατος
Επηρεασmicroός του χρόνου και του αριθmicroού ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Branch and Bound
∆ιαχώρηση
Πρέπει να διαλέξουmicroε σε ποια υποσύνολα ϑα διαχωρήσουmicroε τον
χώρο αναζήτησης
Θεωρούmicroε δύο σύνολα ΄Οταν microια συγκεκριmicroένη microεταβλητή που
επιλέξουmicroε παίρνει την τιmicroή 0 και 1 αντίστοιχα
Πώς επιλέγουmicroε την microεταβλητή αυτή
Στην τύχη
Συστηmicroατικά
Εmicroπειρία παρελθόντος
Επίλυση ενός υποπροβλήmicroατος
Επηρεασmicroός του χρόνου και του αριθmicroού ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Πριν τον διαχώρισmicroό ενός κόmicroβου ελέγχουmicroε αν υπάρχει
πιθανότητα να ϐρίσκεται η ϐέλτιστη λύση στο συγκεκριmicroένο
υπόδενδρο
Εκτίmicroηση του άνω ή κάτω ϕράγmicroατος ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση (microεγιστοποίηση ή ελαχιστοποίηση αντίστοιχα) για κάθε
λύση του
Αν γνωρίζουmicroε ήδη microια καλύτερη λύση από το αντίστοιχο ϕράγmicroα
του υποδένδρου γνωρίζουmicroε πως η ϐέλτιστη λύση δεν ϐρίσκεται
στο υπόδενδρο και δεν χρειάζεται να διαχωρίσουmicroε
Μια χονδρική εκτίmicroηση microπορεί να γίνει πολύ γρήγορα αλλά δεν
περιορίζει αρκετά τον αριθmicroό των ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Μια ακριβής εκτίmicroηση microας επιτρέπει να αποφύγουmicroε microεγάλο
microέρος του χώρου αναζήτησης αλλά ο υπολογισmicroός της επιβαρύνει
σηmicroαντικά τον συνολικό χρόνο
Εύρεση καλύτερου συmicroβιβασmicroού
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Πριν τον διαχώρισmicroό ενός κόmicroβου ελέγχουmicroε αν υπάρχει
πιθανότητα να ϐρίσκεται η ϐέλτιστη λύση στο συγκεκριmicroένο
υπόδενδρο
Εκτίmicroηση του άνω ή κάτω ϕράγmicroατος ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση (microεγιστοποίηση ή ελαχιστοποίηση αντίστοιχα) για κάθε
λύση του
Αν γνωρίζουmicroε ήδη microια καλύτερη λύση από το αντίστοιχο ϕράγmicroα
του υποδένδρου γνωρίζουmicroε πως η ϐέλτιστη λύση δεν ϐρίσκεται
στο υπόδενδρο και δεν χρειάζεται να διαχωρίσουmicroε
Μια χονδρική εκτίmicroηση microπορεί να γίνει πολύ γρήγορα αλλά δεν
περιορίζει αρκετά τον αριθmicroό των ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Μια ακριβής εκτίmicroηση microας επιτρέπει να αποφύγουmicroε microεγάλο
microέρος του χώρου αναζήτησης αλλά ο υπολογισmicroός της επιβαρύνει
σηmicroαντικά τον συνολικό χρόνο
Εύρεση καλύτερου συmicroβιβασmicroού
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Πριν τον διαχώρισmicroό ενός κόmicroβου ελέγχουmicroε αν υπάρχει
πιθανότητα να ϐρίσκεται η ϐέλτιστη λύση στο συγκεκριmicroένο
υπόδενδρο
Εκτίmicroηση του άνω ή κάτω ϕράγmicroατος ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση (microεγιστοποίηση ή ελαχιστοποίηση αντίστοιχα) για κάθε
λύση του
Αν γνωρίζουmicroε ήδη microια καλύτερη λύση από το αντίστοιχο ϕράγmicroα
του υποδένδρου γνωρίζουmicroε πως η ϐέλτιστη λύση δεν ϐρίσκεται
στο υπόδενδρο και δεν χρειάζεται να διαχωρίσουmicroε
Μια χονδρική εκτίmicroηση microπορεί να γίνει πολύ γρήγορα αλλά δεν
περιορίζει αρκετά τον αριθmicroό των ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Μια ακριβής εκτίmicroηση microας επιτρέπει να αποφύγουmicroε microεγάλο
microέρος του χώρου αναζήτησης αλλά ο υπολογισmicroός της επιβαρύνει
σηmicroαντικά τον συνολικό χρόνο
Εύρεση καλύτερου συmicroβιβασmicroού
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Πριν τον διαχώρισmicroό ενός κόmicroβου ελέγχουmicroε αν υπάρχει
πιθανότητα να ϐρίσκεται η ϐέλτιστη λύση στο συγκεκριmicroένο
υπόδενδρο
Εκτίmicroηση του άνω ή κάτω ϕράγmicroατος ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση (microεγιστοποίηση ή ελαχιστοποίηση αντίστοιχα) για κάθε
λύση του
Αν γνωρίζουmicroε ήδη microια καλύτερη λύση από το αντίστοιχο ϕράγmicroα
του υποδένδρου γνωρίζουmicroε πως η ϐέλτιστη λύση δεν ϐρίσκεται
στο υπόδενδρο και δεν χρειάζεται να διαχωρίσουmicroε
Μια χονδρική εκτίmicroηση microπορεί να γίνει πολύ γρήγορα αλλά δεν
περιορίζει αρκετά τον αριθmicroό των ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Μια ακριβής εκτίmicroηση microας επιτρέπει να αποφύγουmicroε microεγάλο
microέρος του χώρου αναζήτησης αλλά ο υπολογισmicroός της επιβαρύνει
σηmicroαντικά τον συνολικό χρόνο
Εύρεση καλύτερου συmicroβιβασmicroού
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Πριν τον διαχώρισmicroό ενός κόmicroβου ελέγχουmicroε αν υπάρχει
πιθανότητα να ϐρίσκεται η ϐέλτιστη λύση στο συγκεκριmicroένο
υπόδενδρο
Εκτίmicroηση του άνω ή κάτω ϕράγmicroατος ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση (microεγιστοποίηση ή ελαχιστοποίηση αντίστοιχα) για κάθε
λύση του
Αν γνωρίζουmicroε ήδη microια καλύτερη λύση από το αντίστοιχο ϕράγmicroα
του υποδένδρου γνωρίζουmicroε πως η ϐέλτιστη λύση δεν ϐρίσκεται
στο υπόδενδρο και δεν χρειάζεται να διαχωρίσουmicroε
Μια χονδρική εκτίmicroηση microπορεί να γίνει πολύ γρήγορα αλλά δεν
περιορίζει αρκετά τον αριθmicroό των ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Μια ακριβής εκτίmicroηση microας επιτρέπει να αποφύγουmicroε microεγάλο
microέρος του χώρου αναζήτησης αλλά ο υπολογισmicroός της επιβαρύνει
σηmicroαντικά τον συνολικό χρόνο
Εύρεση καλύτερου συmicroβιβασmicroού
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Πριν τον διαχώρισmicroό ενός κόmicroβου ελέγχουmicroε αν υπάρχει
πιθανότητα να ϐρίσκεται η ϐέλτιστη λύση στο συγκεκριmicroένο
υπόδενδρο
Εκτίmicroηση του άνω ή κάτω ϕράγmicroατος ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση (microεγιστοποίηση ή ελαχιστοποίηση αντίστοιχα) για κάθε
λύση του
Αν γνωρίζουmicroε ήδη microια καλύτερη λύση από το αντίστοιχο ϕράγmicroα
του υποδένδρου γνωρίζουmicroε πως η ϐέλτιστη λύση δεν ϐρίσκεται
στο υπόδενδρο και δεν χρειάζεται να διαχωρίσουmicroε
Μια χονδρική εκτίmicroηση microπορεί να γίνει πολύ γρήγορα αλλά δεν
περιορίζει αρκετά τον αριθmicroό των ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Μια ακριβής εκτίmicroηση microας επιτρέπει να αποφύγουmicroε microεγάλο
microέρος του χώρου αναζήτησης αλλά ο υπολογισmicroός της επιβαρύνει
σηmicroαντικά τον συνολικό χρόνο
Εύρεση καλύτερου συmicroβιβασmicroού
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Παράδειγmicroα εκτίmicroησης για πρόβληmicroα ελαχιστοποίησης
΄Εστω κόmicroβος Si και συνάρτηση εκτίmicroησης κάτω ϕράγmicroατος f()
΄Εστω πως γνωρίζουmicroε ήδη microια εφικτή λύση του προβλήmicroατος x
Αν f(Si)
ge cx Συνεχίζουmicroε στον διαχώρισmicroό του Si
διαφορετικά ∆εν διαχωρίζουmicroε το Si
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Παράδειγmicroα εκτίmicroησης για πρόβληmicroα ελαχιστοποίησης
΄Εστω κόmicroβος Si και συνάρτηση εκτίmicroησης κάτω ϕράγmicroατος f()
΄Εστω πως γνωρίζουmicroε ήδη microια εφικτή λύση του προβλήmicroατος x
Αν f(Si)
ge cx Συνεχίζουmicroε στον διαχώρισmicroό του Si
διαφορετικά ∆εν διαχωρίζουmicroε το Si
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Παράδειγmicroα εκτίmicroησης για πρόβληmicroα ελαχιστοποίησης
΄Εστω κόmicroβος Si και συνάρτηση εκτίmicroησης κάτω ϕράγmicroατος f()
΄Εστω πως γνωρίζουmicroε ήδη microια εφικτή λύση του προβλήmicroατος x
Αν f(Si)
ge cx Συνεχίζουmicroε στον διαχώρισmicroό του Si
διαφορετικά ∆εν διαχωρίζουmicroε το Si
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Παράδειγmicroα εκτίmicroησης για πρόβληmicroα ελαχιστοποίησης
΄Εστω κόmicroβος Si και συνάρτηση εκτίmicroησης κάτω ϕράγmicroατος f()
΄Εστω πως γνωρίζουmicroε ήδη microια εφικτή λύση του προβλήmicroατος x
Αν f(Si)
ge cx Συνεχίζουmicroε στον διαχώρισmicroό του Si
διαφορετικά ∆εν διαχωρίζουmicroε το Si
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
Αναζήτηση στο χώρο των λύσεων
S
S1 S1
S12
S12
S12 S12
S123
S123
S123
S123
S123
S123
S123 S123
x1 = 0 x1 = 1
x2 = 0 x2 = 1
x3 = 0
x3 = 1
x3 = 0
x3 = 1
x2 = 0 x2 = 1
x3 = 0
x3 = 1
x3 = 0
x3 = 1
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Βέλτιστη συνεχής λύση x1 = 1 x2 = 3
8 z = minus26
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
∆ιαχωρισmicroός στο S1
x =
1 S1
min z = minus20minus 16x2 minus 11x3 minus 9x4 minus 7x5 minus x6
8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x3 + x6 lt 3
0 S1
min z = minus16x2 minus 11x3 minus 9x4 minus 7x5 minus x6
8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x3 + x6 lt 12
Βέλτιστη συνεχή λύση S1 x2 = 3
8 z = minus26 Βέλτιστη συνεχή λύση S
1
x2 = 1x3 = 2
3 z = minus 70
3asymp minus233
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
∆ιαχωρισmicroός στο S1
x =
1 S1
min z = minus20minus 16x2 minus 11x3 minus 9x4 minus 7x5 minus x6
8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x3 + x6 lt 3
0 S1
min z = minus16x2 minus 11x3 minus 9x4 minus 7x5 minus x6
8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x3 + x6 lt 12
Βέλτιστη συνεχή λύση S1 x2 = 3
8 z = minus26 Βέλτιστη συνεχή λύση S
1
x2 = 1x3 = 2
3 z = minus 70
3asymp minus233
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
S
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230 S1234 infinS
1234 230
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230 S1234 infinS
1234 230
17 κόmicroβοι εξετάστηκαν αντί για 27 minus 1
Branch and Bound
∆ιαχώρηση
Πρέπει να διαλέξουmicroε σε ποια υποσύνολα ϑα διαχωρήσουmicroε τον
χώρο αναζήτησης
Θεωρούmicroε δύο σύνολα ΄Οταν microια συγκεκριmicroένη microεταβλητή που
επιλέξουmicroε παίρνει την τιmicroή 0 και 1 αντίστοιχα
Πώς επιλέγουmicroε την microεταβλητή αυτή
Στην τύχη
Συστηmicroατικά
Εmicroπειρία παρελθόντος
Επίλυση ενός υποπροβλήmicroατος
Επηρεασmicroός του χρόνου και του αριθmicroού ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Branch and Bound
∆ιαχώρηση
Πρέπει να διαλέξουmicroε σε ποια υποσύνολα ϑα διαχωρήσουmicroε τον
χώρο αναζήτησης
Θεωρούmicroε δύο σύνολα ΄Οταν microια συγκεκριmicroένη microεταβλητή που
επιλέξουmicroε παίρνει την τιmicroή 0 και 1 αντίστοιχα
Πώς επιλέγουmicroε την microεταβλητή αυτή
Στην τύχη
Συστηmicroατικά
Εmicroπειρία παρελθόντος
Επίλυση ενός υποπροβλήmicroατος
Επηρεασmicroός του χρόνου και του αριθmicroού ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Πριν τον διαχώρισmicroό ενός κόmicroβου ελέγχουmicroε αν υπάρχει
πιθανότητα να ϐρίσκεται η ϐέλτιστη λύση στο συγκεκριmicroένο
υπόδενδρο
Εκτίmicroηση του άνω ή κάτω ϕράγmicroατος ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση (microεγιστοποίηση ή ελαχιστοποίηση αντίστοιχα) για κάθε
λύση του
Αν γνωρίζουmicroε ήδη microια καλύτερη λύση από το αντίστοιχο ϕράγmicroα
του υποδένδρου γνωρίζουmicroε πως η ϐέλτιστη λύση δεν ϐρίσκεται
στο υπόδενδρο και δεν χρειάζεται να διαχωρίσουmicroε
Μια χονδρική εκτίmicroηση microπορεί να γίνει πολύ γρήγορα αλλά δεν
περιορίζει αρκετά τον αριθmicroό των ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Μια ακριβής εκτίmicroηση microας επιτρέπει να αποφύγουmicroε microεγάλο
microέρος του χώρου αναζήτησης αλλά ο υπολογισmicroός της επιβαρύνει
σηmicroαντικά τον συνολικό χρόνο
Εύρεση καλύτερου συmicroβιβασmicroού
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Πριν τον διαχώρισmicroό ενός κόmicroβου ελέγχουmicroε αν υπάρχει
πιθανότητα να ϐρίσκεται η ϐέλτιστη λύση στο συγκεκριmicroένο
υπόδενδρο
Εκτίmicroηση του άνω ή κάτω ϕράγmicroατος ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση (microεγιστοποίηση ή ελαχιστοποίηση αντίστοιχα) για κάθε
λύση του
Αν γνωρίζουmicroε ήδη microια καλύτερη λύση από το αντίστοιχο ϕράγmicroα
του υποδένδρου γνωρίζουmicroε πως η ϐέλτιστη λύση δεν ϐρίσκεται
στο υπόδενδρο και δεν χρειάζεται να διαχωρίσουmicroε
Μια χονδρική εκτίmicroηση microπορεί να γίνει πολύ γρήγορα αλλά δεν
περιορίζει αρκετά τον αριθmicroό των ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Μια ακριβής εκτίmicroηση microας επιτρέπει να αποφύγουmicroε microεγάλο
microέρος του χώρου αναζήτησης αλλά ο υπολογισmicroός της επιβαρύνει
σηmicroαντικά τον συνολικό χρόνο
Εύρεση καλύτερου συmicroβιβασmicroού
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Πριν τον διαχώρισmicroό ενός κόmicroβου ελέγχουmicroε αν υπάρχει
πιθανότητα να ϐρίσκεται η ϐέλτιστη λύση στο συγκεκριmicroένο
υπόδενδρο
Εκτίmicroηση του άνω ή κάτω ϕράγmicroατος ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση (microεγιστοποίηση ή ελαχιστοποίηση αντίστοιχα) για κάθε
λύση του
Αν γνωρίζουmicroε ήδη microια καλύτερη λύση από το αντίστοιχο ϕράγmicroα
του υποδένδρου γνωρίζουmicroε πως η ϐέλτιστη λύση δεν ϐρίσκεται
στο υπόδενδρο και δεν χρειάζεται να διαχωρίσουmicroε
Μια χονδρική εκτίmicroηση microπορεί να γίνει πολύ γρήγορα αλλά δεν
περιορίζει αρκετά τον αριθmicroό των ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Μια ακριβής εκτίmicroηση microας επιτρέπει να αποφύγουmicroε microεγάλο
microέρος του χώρου αναζήτησης αλλά ο υπολογισmicroός της επιβαρύνει
σηmicroαντικά τον συνολικό χρόνο
Εύρεση καλύτερου συmicroβιβασmicroού
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Πριν τον διαχώρισmicroό ενός κόmicroβου ελέγχουmicroε αν υπάρχει
πιθανότητα να ϐρίσκεται η ϐέλτιστη λύση στο συγκεκριmicroένο
υπόδενδρο
Εκτίmicroηση του άνω ή κάτω ϕράγmicroατος ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση (microεγιστοποίηση ή ελαχιστοποίηση αντίστοιχα) για κάθε
λύση του
Αν γνωρίζουmicroε ήδη microια καλύτερη λύση από το αντίστοιχο ϕράγmicroα
του υποδένδρου γνωρίζουmicroε πως η ϐέλτιστη λύση δεν ϐρίσκεται
στο υπόδενδρο και δεν χρειάζεται να διαχωρίσουmicroε
Μια χονδρική εκτίmicroηση microπορεί να γίνει πολύ γρήγορα αλλά δεν
περιορίζει αρκετά τον αριθmicroό των ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Μια ακριβής εκτίmicroηση microας επιτρέπει να αποφύγουmicroε microεγάλο
microέρος του χώρου αναζήτησης αλλά ο υπολογισmicroός της επιβαρύνει
σηmicroαντικά τον συνολικό χρόνο
Εύρεση καλύτερου συmicroβιβασmicroού
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Πριν τον διαχώρισmicroό ενός κόmicroβου ελέγχουmicroε αν υπάρχει
πιθανότητα να ϐρίσκεται η ϐέλτιστη λύση στο συγκεκριmicroένο
υπόδενδρο
Εκτίmicroηση του άνω ή κάτω ϕράγmicroατος ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση (microεγιστοποίηση ή ελαχιστοποίηση αντίστοιχα) για κάθε
λύση του
Αν γνωρίζουmicroε ήδη microια καλύτερη λύση από το αντίστοιχο ϕράγmicroα
του υποδένδρου γνωρίζουmicroε πως η ϐέλτιστη λύση δεν ϐρίσκεται
στο υπόδενδρο και δεν χρειάζεται να διαχωρίσουmicroε
Μια χονδρική εκτίmicroηση microπορεί να γίνει πολύ γρήγορα αλλά δεν
περιορίζει αρκετά τον αριθmicroό των ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Μια ακριβής εκτίmicroηση microας επιτρέπει να αποφύγουmicroε microεγάλο
microέρος του χώρου αναζήτησης αλλά ο υπολογισmicroός της επιβαρύνει
σηmicroαντικά τον συνολικό χρόνο
Εύρεση καλύτερου συmicroβιβασmicroού
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Πριν τον διαχώρισmicroό ενός κόmicroβου ελέγχουmicroε αν υπάρχει
πιθανότητα να ϐρίσκεται η ϐέλτιστη λύση στο συγκεκριmicroένο
υπόδενδρο
Εκτίmicroηση του άνω ή κάτω ϕράγmicroατος ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση (microεγιστοποίηση ή ελαχιστοποίηση αντίστοιχα) για κάθε
λύση του
Αν γνωρίζουmicroε ήδη microια καλύτερη λύση από το αντίστοιχο ϕράγmicroα
του υποδένδρου γνωρίζουmicroε πως η ϐέλτιστη λύση δεν ϐρίσκεται
στο υπόδενδρο και δεν χρειάζεται να διαχωρίσουmicroε
Μια χονδρική εκτίmicroηση microπορεί να γίνει πολύ γρήγορα αλλά δεν
περιορίζει αρκετά τον αριθmicroό των ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Μια ακριβής εκτίmicroηση microας επιτρέπει να αποφύγουmicroε microεγάλο
microέρος του χώρου αναζήτησης αλλά ο υπολογισmicroός της επιβαρύνει
σηmicroαντικά τον συνολικό χρόνο
Εύρεση καλύτερου συmicroβιβασmicroού
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Παράδειγmicroα εκτίmicroησης για πρόβληmicroα ελαχιστοποίησης
΄Εστω κόmicroβος Si και συνάρτηση εκτίmicroησης κάτω ϕράγmicroατος f()
΄Εστω πως γνωρίζουmicroε ήδη microια εφικτή λύση του προβλήmicroατος x
Αν f(Si)
ge cx Συνεχίζουmicroε στον διαχώρισmicroό του Si
διαφορετικά ∆εν διαχωρίζουmicroε το Si
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Παράδειγmicroα εκτίmicroησης για πρόβληmicroα ελαχιστοποίησης
΄Εστω κόmicroβος Si και συνάρτηση εκτίmicroησης κάτω ϕράγmicroατος f()
΄Εστω πως γνωρίζουmicroε ήδη microια εφικτή λύση του προβλήmicroατος x
Αν f(Si)
ge cx Συνεχίζουmicroε στον διαχώρισmicroό του Si
διαφορετικά ∆εν διαχωρίζουmicroε το Si
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Παράδειγmicroα εκτίmicroησης για πρόβληmicroα ελαχιστοποίησης
΄Εστω κόmicroβος Si και συνάρτηση εκτίmicroησης κάτω ϕράγmicroατος f()
΄Εστω πως γνωρίζουmicroε ήδη microια εφικτή λύση του προβλήmicroατος x
Αν f(Si)
ge cx Συνεχίζουmicroε στον διαχώρισmicroό του Si
διαφορετικά ∆εν διαχωρίζουmicroε το Si
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Παράδειγmicroα εκτίmicroησης για πρόβληmicroα ελαχιστοποίησης
΄Εστω κόmicroβος Si και συνάρτηση εκτίmicroησης κάτω ϕράγmicroατος f()
΄Εστω πως γνωρίζουmicroε ήδη microια εφικτή λύση του προβλήmicroατος x
Αν f(Si)
ge cx Συνεχίζουmicroε στον διαχώρισmicroό του Si
διαφορετικά ∆εν διαχωρίζουmicroε το Si
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
Αναζήτηση στο χώρο των λύσεων
S
S1 S1
S12
S12
S12 S12
S123
S123
S123
S123
S123
S123
S123 S123
x1 = 0 x1 = 1
x2 = 0 x2 = 1
x3 = 0
x3 = 1
x3 = 0
x3 = 1
x2 = 0 x2 = 1
x3 = 0
x3 = 1
x3 = 0
x3 = 1
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Βέλτιστη συνεχής λύση x1 = 1 x2 = 3
8 z = minus26
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
∆ιαχωρισmicroός στο S1
x =
1 S1
min z = minus20minus 16x2 minus 11x3 minus 9x4 minus 7x5 minus x6
8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x3 + x6 lt 3
0 S1
min z = minus16x2 minus 11x3 minus 9x4 minus 7x5 minus x6
8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x3 + x6 lt 12
Βέλτιστη συνεχή λύση S1 x2 = 3
8 z = minus26 Βέλτιστη συνεχή λύση S
1
x2 = 1x3 = 2
3 z = minus 70
3asymp minus233
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
∆ιαχωρισmicroός στο S1
x =
1 S1
min z = minus20minus 16x2 minus 11x3 minus 9x4 minus 7x5 minus x6
8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x3 + x6 lt 3
0 S1
min z = minus16x2 minus 11x3 minus 9x4 minus 7x5 minus x6
8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x3 + x6 lt 12
Βέλτιστη συνεχή λύση S1 x2 = 3
8 z = minus26 Βέλτιστη συνεχή λύση S
1
x2 = 1x3 = 2
3 z = minus 70
3asymp minus233
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
S
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230 S1234 infinS
1234 230
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230 S1234 infinS
1234 230
17 κόmicroβοι εξετάστηκαν αντί για 27 minus 1
Branch and Bound
∆ιαχώρηση
Πρέπει να διαλέξουmicroε σε ποια υποσύνολα ϑα διαχωρήσουmicroε τον
χώρο αναζήτησης
Θεωρούmicroε δύο σύνολα ΄Οταν microια συγκεκριmicroένη microεταβλητή που
επιλέξουmicroε παίρνει την τιmicroή 0 και 1 αντίστοιχα
Πώς επιλέγουmicroε την microεταβλητή αυτή
Στην τύχη
Συστηmicroατικά
Εmicroπειρία παρελθόντος
Επίλυση ενός υποπροβλήmicroατος
Επηρεασmicroός του χρόνου και του αριθmicroού ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Πριν τον διαχώρισmicroό ενός κόmicroβου ελέγχουmicroε αν υπάρχει
πιθανότητα να ϐρίσκεται η ϐέλτιστη λύση στο συγκεκριmicroένο
υπόδενδρο
Εκτίmicroηση του άνω ή κάτω ϕράγmicroατος ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση (microεγιστοποίηση ή ελαχιστοποίηση αντίστοιχα) για κάθε
λύση του
Αν γνωρίζουmicroε ήδη microια καλύτερη λύση από το αντίστοιχο ϕράγmicroα
του υποδένδρου γνωρίζουmicroε πως η ϐέλτιστη λύση δεν ϐρίσκεται
στο υπόδενδρο και δεν χρειάζεται να διαχωρίσουmicroε
Μια χονδρική εκτίmicroηση microπορεί να γίνει πολύ γρήγορα αλλά δεν
περιορίζει αρκετά τον αριθmicroό των ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Μια ακριβής εκτίmicroηση microας επιτρέπει να αποφύγουmicroε microεγάλο
microέρος του χώρου αναζήτησης αλλά ο υπολογισmicroός της επιβαρύνει
σηmicroαντικά τον συνολικό χρόνο
Εύρεση καλύτερου συmicroβιβασmicroού
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Πριν τον διαχώρισmicroό ενός κόmicroβου ελέγχουmicroε αν υπάρχει
πιθανότητα να ϐρίσκεται η ϐέλτιστη λύση στο συγκεκριmicroένο
υπόδενδρο
Εκτίmicroηση του άνω ή κάτω ϕράγmicroατος ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση (microεγιστοποίηση ή ελαχιστοποίηση αντίστοιχα) για κάθε
λύση του
Αν γνωρίζουmicroε ήδη microια καλύτερη λύση από το αντίστοιχο ϕράγmicroα
του υποδένδρου γνωρίζουmicroε πως η ϐέλτιστη λύση δεν ϐρίσκεται
στο υπόδενδρο και δεν χρειάζεται να διαχωρίσουmicroε
Μια χονδρική εκτίmicroηση microπορεί να γίνει πολύ γρήγορα αλλά δεν
περιορίζει αρκετά τον αριθmicroό των ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Μια ακριβής εκτίmicroηση microας επιτρέπει να αποφύγουmicroε microεγάλο
microέρος του χώρου αναζήτησης αλλά ο υπολογισmicroός της επιβαρύνει
σηmicroαντικά τον συνολικό χρόνο
Εύρεση καλύτερου συmicroβιβασmicroού
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Πριν τον διαχώρισmicroό ενός κόmicroβου ελέγχουmicroε αν υπάρχει
πιθανότητα να ϐρίσκεται η ϐέλτιστη λύση στο συγκεκριmicroένο
υπόδενδρο
Εκτίmicroηση του άνω ή κάτω ϕράγmicroατος ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση (microεγιστοποίηση ή ελαχιστοποίηση αντίστοιχα) για κάθε
λύση του
Αν γνωρίζουmicroε ήδη microια καλύτερη λύση από το αντίστοιχο ϕράγmicroα
του υποδένδρου γνωρίζουmicroε πως η ϐέλτιστη λύση δεν ϐρίσκεται
στο υπόδενδρο και δεν χρειάζεται να διαχωρίσουmicroε
Μια χονδρική εκτίmicroηση microπορεί να γίνει πολύ γρήγορα αλλά δεν
περιορίζει αρκετά τον αριθmicroό των ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Μια ακριβής εκτίmicroηση microας επιτρέπει να αποφύγουmicroε microεγάλο
microέρος του χώρου αναζήτησης αλλά ο υπολογισmicroός της επιβαρύνει
σηmicroαντικά τον συνολικό χρόνο
Εύρεση καλύτερου συmicroβιβασmicroού
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Πριν τον διαχώρισmicroό ενός κόmicroβου ελέγχουmicroε αν υπάρχει
πιθανότητα να ϐρίσκεται η ϐέλτιστη λύση στο συγκεκριmicroένο
υπόδενδρο
Εκτίmicroηση του άνω ή κάτω ϕράγmicroατος ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση (microεγιστοποίηση ή ελαχιστοποίηση αντίστοιχα) για κάθε
λύση του
Αν γνωρίζουmicroε ήδη microια καλύτερη λύση από το αντίστοιχο ϕράγmicroα
του υποδένδρου γνωρίζουmicroε πως η ϐέλτιστη λύση δεν ϐρίσκεται
στο υπόδενδρο και δεν χρειάζεται να διαχωρίσουmicroε
Μια χονδρική εκτίmicroηση microπορεί να γίνει πολύ γρήγορα αλλά δεν
περιορίζει αρκετά τον αριθmicroό των ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Μια ακριβής εκτίmicroηση microας επιτρέπει να αποφύγουmicroε microεγάλο
microέρος του χώρου αναζήτησης αλλά ο υπολογισmicroός της επιβαρύνει
σηmicroαντικά τον συνολικό χρόνο
Εύρεση καλύτερου συmicroβιβασmicroού
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Πριν τον διαχώρισmicroό ενός κόmicroβου ελέγχουmicroε αν υπάρχει
πιθανότητα να ϐρίσκεται η ϐέλτιστη λύση στο συγκεκριmicroένο
υπόδενδρο
Εκτίmicroηση του άνω ή κάτω ϕράγmicroατος ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση (microεγιστοποίηση ή ελαχιστοποίηση αντίστοιχα) για κάθε
λύση του
Αν γνωρίζουmicroε ήδη microια καλύτερη λύση από το αντίστοιχο ϕράγmicroα
του υποδένδρου γνωρίζουmicroε πως η ϐέλτιστη λύση δεν ϐρίσκεται
στο υπόδενδρο και δεν χρειάζεται να διαχωρίσουmicroε
Μια χονδρική εκτίmicroηση microπορεί να γίνει πολύ γρήγορα αλλά δεν
περιορίζει αρκετά τον αριθmicroό των ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Μια ακριβής εκτίmicroηση microας επιτρέπει να αποφύγουmicroε microεγάλο
microέρος του χώρου αναζήτησης αλλά ο υπολογισmicroός της επιβαρύνει
σηmicroαντικά τον συνολικό χρόνο
Εύρεση καλύτερου συmicroβιβασmicroού
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Πριν τον διαχώρισmicroό ενός κόmicroβου ελέγχουmicroε αν υπάρχει
πιθανότητα να ϐρίσκεται η ϐέλτιστη λύση στο συγκεκριmicroένο
υπόδενδρο
Εκτίmicroηση του άνω ή κάτω ϕράγmicroατος ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση (microεγιστοποίηση ή ελαχιστοποίηση αντίστοιχα) για κάθε
λύση του
Αν γνωρίζουmicroε ήδη microια καλύτερη λύση από το αντίστοιχο ϕράγmicroα
του υποδένδρου γνωρίζουmicroε πως η ϐέλτιστη λύση δεν ϐρίσκεται
στο υπόδενδρο και δεν χρειάζεται να διαχωρίσουmicroε
Μια χονδρική εκτίmicroηση microπορεί να γίνει πολύ γρήγορα αλλά δεν
περιορίζει αρκετά τον αριθmicroό των ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Μια ακριβής εκτίmicroηση microας επιτρέπει να αποφύγουmicroε microεγάλο
microέρος του χώρου αναζήτησης αλλά ο υπολογισmicroός της επιβαρύνει
σηmicroαντικά τον συνολικό χρόνο
Εύρεση καλύτερου συmicroβιβασmicroού
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Παράδειγmicroα εκτίmicroησης για πρόβληmicroα ελαχιστοποίησης
΄Εστω κόmicroβος Si και συνάρτηση εκτίmicroησης κάτω ϕράγmicroατος f()
΄Εστω πως γνωρίζουmicroε ήδη microια εφικτή λύση του προβλήmicroατος x
Αν f(Si)
ge cx Συνεχίζουmicroε στον διαχώρισmicroό του Si
διαφορετικά ∆εν διαχωρίζουmicroε το Si
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Παράδειγmicroα εκτίmicroησης για πρόβληmicroα ελαχιστοποίησης
΄Εστω κόmicroβος Si και συνάρτηση εκτίmicroησης κάτω ϕράγmicroατος f()
΄Εστω πως γνωρίζουmicroε ήδη microια εφικτή λύση του προβλήmicroατος x
Αν f(Si)
ge cx Συνεχίζουmicroε στον διαχώρισmicroό του Si
διαφορετικά ∆εν διαχωρίζουmicroε το Si
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Παράδειγmicroα εκτίmicroησης για πρόβληmicroα ελαχιστοποίησης
΄Εστω κόmicroβος Si και συνάρτηση εκτίmicroησης κάτω ϕράγmicroατος f()
΄Εστω πως γνωρίζουmicroε ήδη microια εφικτή λύση του προβλήmicroατος x
Αν f(Si)
ge cx Συνεχίζουmicroε στον διαχώρισmicroό του Si
διαφορετικά ∆εν διαχωρίζουmicroε το Si
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Παράδειγmicroα εκτίmicroησης για πρόβληmicroα ελαχιστοποίησης
΄Εστω κόmicroβος Si και συνάρτηση εκτίmicroησης κάτω ϕράγmicroατος f()
΄Εστω πως γνωρίζουmicroε ήδη microια εφικτή λύση του προβλήmicroατος x
Αν f(Si)
ge cx Συνεχίζουmicroε στον διαχώρισmicroό του Si
διαφορετικά ∆εν διαχωρίζουmicroε το Si
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
Αναζήτηση στο χώρο των λύσεων
S
S1 S1
S12
S12
S12 S12
S123
S123
S123
S123
S123
S123
S123 S123
x1 = 0 x1 = 1
x2 = 0 x2 = 1
x3 = 0
x3 = 1
x3 = 0
x3 = 1
x2 = 0 x2 = 1
x3 = 0
x3 = 1
x3 = 0
x3 = 1
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Βέλτιστη συνεχής λύση x1 = 1 x2 = 3
8 z = minus26
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
∆ιαχωρισmicroός στο S1
x =
1 S1
min z = minus20minus 16x2 minus 11x3 minus 9x4 minus 7x5 minus x6
8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x3 + x6 lt 3
0 S1
min z = minus16x2 minus 11x3 minus 9x4 minus 7x5 minus x6
8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x3 + x6 lt 12
Βέλτιστη συνεχή λύση S1 x2 = 3
8 z = minus26 Βέλτιστη συνεχή λύση S
1
x2 = 1x3 = 2
3 z = minus 70
3asymp minus233
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
∆ιαχωρισmicroός στο S1
x =
1 S1
min z = minus20minus 16x2 minus 11x3 minus 9x4 minus 7x5 minus x6
8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x3 + x6 lt 3
0 S1
min z = minus16x2 minus 11x3 minus 9x4 minus 7x5 minus x6
8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x3 + x6 lt 12
Βέλτιστη συνεχή λύση S1 x2 = 3
8 z = minus26 Βέλτιστη συνεχή λύση S
1
x2 = 1x3 = 2
3 z = minus 70
3asymp minus233
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
S
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230 S1234 infinS
1234 230
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230 S1234 infinS
1234 230
17 κόmicroβοι εξετάστηκαν αντί για 27 minus 1
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Πριν τον διαχώρισmicroό ενός κόmicroβου ελέγχουmicroε αν υπάρχει
πιθανότητα να ϐρίσκεται η ϐέλτιστη λύση στο συγκεκριmicroένο
υπόδενδρο
Εκτίmicroηση του άνω ή κάτω ϕράγmicroατος ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση (microεγιστοποίηση ή ελαχιστοποίηση αντίστοιχα) για κάθε
λύση του
Αν γνωρίζουmicroε ήδη microια καλύτερη λύση από το αντίστοιχο ϕράγmicroα
του υποδένδρου γνωρίζουmicroε πως η ϐέλτιστη λύση δεν ϐρίσκεται
στο υπόδενδρο και δεν χρειάζεται να διαχωρίσουmicroε
Μια χονδρική εκτίmicroηση microπορεί να γίνει πολύ γρήγορα αλλά δεν
περιορίζει αρκετά τον αριθmicroό των ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Μια ακριβής εκτίmicroηση microας επιτρέπει να αποφύγουmicroε microεγάλο
microέρος του χώρου αναζήτησης αλλά ο υπολογισmicroός της επιβαρύνει
σηmicroαντικά τον συνολικό χρόνο
Εύρεση καλύτερου συmicroβιβασmicroού
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Πριν τον διαχώρισmicroό ενός κόmicroβου ελέγχουmicroε αν υπάρχει
πιθανότητα να ϐρίσκεται η ϐέλτιστη λύση στο συγκεκριmicroένο
υπόδενδρο
Εκτίmicroηση του άνω ή κάτω ϕράγmicroατος ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση (microεγιστοποίηση ή ελαχιστοποίηση αντίστοιχα) για κάθε
λύση του
Αν γνωρίζουmicroε ήδη microια καλύτερη λύση από το αντίστοιχο ϕράγmicroα
του υποδένδρου γνωρίζουmicroε πως η ϐέλτιστη λύση δεν ϐρίσκεται
στο υπόδενδρο και δεν χρειάζεται να διαχωρίσουmicroε
Μια χονδρική εκτίmicroηση microπορεί να γίνει πολύ γρήγορα αλλά δεν
περιορίζει αρκετά τον αριθmicroό των ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Μια ακριβής εκτίmicroηση microας επιτρέπει να αποφύγουmicroε microεγάλο
microέρος του χώρου αναζήτησης αλλά ο υπολογισmicroός της επιβαρύνει
σηmicroαντικά τον συνολικό χρόνο
Εύρεση καλύτερου συmicroβιβασmicroού
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Πριν τον διαχώρισmicroό ενός κόmicroβου ελέγχουmicroε αν υπάρχει
πιθανότητα να ϐρίσκεται η ϐέλτιστη λύση στο συγκεκριmicroένο
υπόδενδρο
Εκτίmicroηση του άνω ή κάτω ϕράγmicroατος ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση (microεγιστοποίηση ή ελαχιστοποίηση αντίστοιχα) για κάθε
λύση του
Αν γνωρίζουmicroε ήδη microια καλύτερη λύση από το αντίστοιχο ϕράγmicroα
του υποδένδρου γνωρίζουmicroε πως η ϐέλτιστη λύση δεν ϐρίσκεται
στο υπόδενδρο και δεν χρειάζεται να διαχωρίσουmicroε
Μια χονδρική εκτίmicroηση microπορεί να γίνει πολύ γρήγορα αλλά δεν
περιορίζει αρκετά τον αριθmicroό των ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Μια ακριβής εκτίmicroηση microας επιτρέπει να αποφύγουmicroε microεγάλο
microέρος του χώρου αναζήτησης αλλά ο υπολογισmicroός της επιβαρύνει
σηmicroαντικά τον συνολικό χρόνο
Εύρεση καλύτερου συmicroβιβασmicroού
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Πριν τον διαχώρισmicroό ενός κόmicroβου ελέγχουmicroε αν υπάρχει
πιθανότητα να ϐρίσκεται η ϐέλτιστη λύση στο συγκεκριmicroένο
υπόδενδρο
Εκτίmicroηση του άνω ή κάτω ϕράγmicroατος ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση (microεγιστοποίηση ή ελαχιστοποίηση αντίστοιχα) για κάθε
λύση του
Αν γνωρίζουmicroε ήδη microια καλύτερη λύση από το αντίστοιχο ϕράγmicroα
του υποδένδρου γνωρίζουmicroε πως η ϐέλτιστη λύση δεν ϐρίσκεται
στο υπόδενδρο και δεν χρειάζεται να διαχωρίσουmicroε
Μια χονδρική εκτίmicroηση microπορεί να γίνει πολύ γρήγορα αλλά δεν
περιορίζει αρκετά τον αριθmicroό των ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Μια ακριβής εκτίmicroηση microας επιτρέπει να αποφύγουmicroε microεγάλο
microέρος του χώρου αναζήτησης αλλά ο υπολογισmicroός της επιβαρύνει
σηmicroαντικά τον συνολικό χρόνο
Εύρεση καλύτερου συmicroβιβασmicroού
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Πριν τον διαχώρισmicroό ενός κόmicroβου ελέγχουmicroε αν υπάρχει
πιθανότητα να ϐρίσκεται η ϐέλτιστη λύση στο συγκεκριmicroένο
υπόδενδρο
Εκτίmicroηση του άνω ή κάτω ϕράγmicroατος ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση (microεγιστοποίηση ή ελαχιστοποίηση αντίστοιχα) για κάθε
λύση του
Αν γνωρίζουmicroε ήδη microια καλύτερη λύση από το αντίστοιχο ϕράγmicroα
του υποδένδρου γνωρίζουmicroε πως η ϐέλτιστη λύση δεν ϐρίσκεται
στο υπόδενδρο και δεν χρειάζεται να διαχωρίσουmicroε
Μια χονδρική εκτίmicroηση microπορεί να γίνει πολύ γρήγορα αλλά δεν
περιορίζει αρκετά τον αριθmicroό των ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Μια ακριβής εκτίmicroηση microας επιτρέπει να αποφύγουmicroε microεγάλο
microέρος του χώρου αναζήτησης αλλά ο υπολογισmicroός της επιβαρύνει
σηmicroαντικά τον συνολικό χρόνο
Εύρεση καλύτερου συmicroβιβασmicroού
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Πριν τον διαχώρισmicroό ενός κόmicroβου ελέγχουmicroε αν υπάρχει
πιθανότητα να ϐρίσκεται η ϐέλτιστη λύση στο συγκεκριmicroένο
υπόδενδρο
Εκτίmicroηση του άνω ή κάτω ϕράγmicroατος ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση (microεγιστοποίηση ή ελαχιστοποίηση αντίστοιχα) για κάθε
λύση του
Αν γνωρίζουmicroε ήδη microια καλύτερη λύση από το αντίστοιχο ϕράγmicroα
του υποδένδρου γνωρίζουmicroε πως η ϐέλτιστη λύση δεν ϐρίσκεται
στο υπόδενδρο και δεν χρειάζεται να διαχωρίσουmicroε
Μια χονδρική εκτίmicroηση microπορεί να γίνει πολύ γρήγορα αλλά δεν
περιορίζει αρκετά τον αριθmicroό των ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Μια ακριβής εκτίmicroηση microας επιτρέπει να αποφύγουmicroε microεγάλο
microέρος του χώρου αναζήτησης αλλά ο υπολογισmicroός της επιβαρύνει
σηmicroαντικά τον συνολικό χρόνο
Εύρεση καλύτερου συmicroβιβασmicroού
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Παράδειγmicroα εκτίmicroησης για πρόβληmicroα ελαχιστοποίησης
΄Εστω κόmicroβος Si και συνάρτηση εκτίmicroησης κάτω ϕράγmicroατος f()
΄Εστω πως γνωρίζουmicroε ήδη microια εφικτή λύση του προβλήmicroατος x
Αν f(Si)
ge cx Συνεχίζουmicroε στον διαχώρισmicroό του Si
διαφορετικά ∆εν διαχωρίζουmicroε το Si
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Παράδειγmicroα εκτίmicroησης για πρόβληmicroα ελαχιστοποίησης
΄Εστω κόmicroβος Si και συνάρτηση εκτίmicroησης κάτω ϕράγmicroατος f()
΄Εστω πως γνωρίζουmicroε ήδη microια εφικτή λύση του προβλήmicroατος x
Αν f(Si)
ge cx Συνεχίζουmicroε στον διαχώρισmicroό του Si
διαφορετικά ∆εν διαχωρίζουmicroε το Si
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Παράδειγmicroα εκτίmicroησης για πρόβληmicroα ελαχιστοποίησης
΄Εστω κόmicroβος Si και συνάρτηση εκτίmicroησης κάτω ϕράγmicroατος f()
΄Εστω πως γνωρίζουmicroε ήδη microια εφικτή λύση του προβλήmicroατος x
Αν f(Si)
ge cx Συνεχίζουmicroε στον διαχώρισmicroό του Si
διαφορετικά ∆εν διαχωρίζουmicroε το Si
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Παράδειγmicroα εκτίmicroησης για πρόβληmicroα ελαχιστοποίησης
΄Εστω κόmicroβος Si και συνάρτηση εκτίmicroησης κάτω ϕράγmicroατος f()
΄Εστω πως γνωρίζουmicroε ήδη microια εφικτή λύση του προβλήmicroατος x
Αν f(Si)
ge cx Συνεχίζουmicroε στον διαχώρισmicroό του Si
διαφορετικά ∆εν διαχωρίζουmicroε το Si
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
Αναζήτηση στο χώρο των λύσεων
S
S1 S1
S12
S12
S12 S12
S123
S123
S123
S123
S123
S123
S123 S123
x1 = 0 x1 = 1
x2 = 0 x2 = 1
x3 = 0
x3 = 1
x3 = 0
x3 = 1
x2 = 0 x2 = 1
x3 = 0
x3 = 1
x3 = 0
x3 = 1
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Βέλτιστη συνεχής λύση x1 = 1 x2 = 3
8 z = minus26
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
∆ιαχωρισmicroός στο S1
x =
1 S1
min z = minus20minus 16x2 minus 11x3 minus 9x4 minus 7x5 minus x6
8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x3 + x6 lt 3
0 S1
min z = minus16x2 minus 11x3 minus 9x4 minus 7x5 minus x6
8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x3 + x6 lt 12
Βέλτιστη συνεχή λύση S1 x2 = 3
8 z = minus26 Βέλτιστη συνεχή λύση S
1
x2 = 1x3 = 2
3 z = minus 70
3asymp minus233
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
∆ιαχωρισmicroός στο S1
x =
1 S1
min z = minus20minus 16x2 minus 11x3 minus 9x4 minus 7x5 minus x6
8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x3 + x6 lt 3
0 S1
min z = minus16x2 minus 11x3 minus 9x4 minus 7x5 minus x6
8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x3 + x6 lt 12
Βέλτιστη συνεχή λύση S1 x2 = 3
8 z = minus26 Βέλτιστη συνεχή λύση S
1
x2 = 1x3 = 2
3 z = minus 70
3asymp minus233
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
S
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230 S1234 infinS
1234 230
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230 S1234 infinS
1234 230
17 κόmicroβοι εξετάστηκαν αντί για 27 minus 1
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Πριν τον διαχώρισmicroό ενός κόmicroβου ελέγχουmicroε αν υπάρχει
πιθανότητα να ϐρίσκεται η ϐέλτιστη λύση στο συγκεκριmicroένο
υπόδενδρο
Εκτίmicroηση του άνω ή κάτω ϕράγmicroατος ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση (microεγιστοποίηση ή ελαχιστοποίηση αντίστοιχα) για κάθε
λύση του
Αν γνωρίζουmicroε ήδη microια καλύτερη λύση από το αντίστοιχο ϕράγmicroα
του υποδένδρου γνωρίζουmicroε πως η ϐέλτιστη λύση δεν ϐρίσκεται
στο υπόδενδρο και δεν χρειάζεται να διαχωρίσουmicroε
Μια χονδρική εκτίmicroηση microπορεί να γίνει πολύ γρήγορα αλλά δεν
περιορίζει αρκετά τον αριθmicroό των ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Μια ακριβής εκτίmicroηση microας επιτρέπει να αποφύγουmicroε microεγάλο
microέρος του χώρου αναζήτησης αλλά ο υπολογισmicroός της επιβαρύνει
σηmicroαντικά τον συνολικό χρόνο
Εύρεση καλύτερου συmicroβιβασmicroού
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Πριν τον διαχώρισmicroό ενός κόmicroβου ελέγχουmicroε αν υπάρχει
πιθανότητα να ϐρίσκεται η ϐέλτιστη λύση στο συγκεκριmicroένο
υπόδενδρο
Εκτίmicroηση του άνω ή κάτω ϕράγmicroατος ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση (microεγιστοποίηση ή ελαχιστοποίηση αντίστοιχα) για κάθε
λύση του
Αν γνωρίζουmicroε ήδη microια καλύτερη λύση από το αντίστοιχο ϕράγmicroα
του υποδένδρου γνωρίζουmicroε πως η ϐέλτιστη λύση δεν ϐρίσκεται
στο υπόδενδρο και δεν χρειάζεται να διαχωρίσουmicroε
Μια χονδρική εκτίmicroηση microπορεί να γίνει πολύ γρήγορα αλλά δεν
περιορίζει αρκετά τον αριθmicroό των ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Μια ακριβής εκτίmicroηση microας επιτρέπει να αποφύγουmicroε microεγάλο
microέρος του χώρου αναζήτησης αλλά ο υπολογισmicroός της επιβαρύνει
σηmicroαντικά τον συνολικό χρόνο
Εύρεση καλύτερου συmicroβιβασmicroού
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Πριν τον διαχώρισmicroό ενός κόmicroβου ελέγχουmicroε αν υπάρχει
πιθανότητα να ϐρίσκεται η ϐέλτιστη λύση στο συγκεκριmicroένο
υπόδενδρο
Εκτίmicroηση του άνω ή κάτω ϕράγmicroατος ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση (microεγιστοποίηση ή ελαχιστοποίηση αντίστοιχα) για κάθε
λύση του
Αν γνωρίζουmicroε ήδη microια καλύτερη λύση από το αντίστοιχο ϕράγmicroα
του υποδένδρου γνωρίζουmicroε πως η ϐέλτιστη λύση δεν ϐρίσκεται
στο υπόδενδρο και δεν χρειάζεται να διαχωρίσουmicroε
Μια χονδρική εκτίmicroηση microπορεί να γίνει πολύ γρήγορα αλλά δεν
περιορίζει αρκετά τον αριθmicroό των ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Μια ακριβής εκτίmicroηση microας επιτρέπει να αποφύγουmicroε microεγάλο
microέρος του χώρου αναζήτησης αλλά ο υπολογισmicroός της επιβαρύνει
σηmicroαντικά τον συνολικό χρόνο
Εύρεση καλύτερου συmicroβιβασmicroού
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Πριν τον διαχώρισmicroό ενός κόmicroβου ελέγχουmicroε αν υπάρχει
πιθανότητα να ϐρίσκεται η ϐέλτιστη λύση στο συγκεκριmicroένο
υπόδενδρο
Εκτίmicroηση του άνω ή κάτω ϕράγmicroατος ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση (microεγιστοποίηση ή ελαχιστοποίηση αντίστοιχα) για κάθε
λύση του
Αν γνωρίζουmicroε ήδη microια καλύτερη λύση από το αντίστοιχο ϕράγmicroα
του υποδένδρου γνωρίζουmicroε πως η ϐέλτιστη λύση δεν ϐρίσκεται
στο υπόδενδρο και δεν χρειάζεται να διαχωρίσουmicroε
Μια χονδρική εκτίmicroηση microπορεί να γίνει πολύ γρήγορα αλλά δεν
περιορίζει αρκετά τον αριθmicroό των ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Μια ακριβής εκτίmicroηση microας επιτρέπει να αποφύγουmicroε microεγάλο
microέρος του χώρου αναζήτησης αλλά ο υπολογισmicroός της επιβαρύνει
σηmicroαντικά τον συνολικό χρόνο
Εύρεση καλύτερου συmicroβιβασmicroού
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Πριν τον διαχώρισmicroό ενός κόmicroβου ελέγχουmicroε αν υπάρχει
πιθανότητα να ϐρίσκεται η ϐέλτιστη λύση στο συγκεκριmicroένο
υπόδενδρο
Εκτίmicroηση του άνω ή κάτω ϕράγmicroατος ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση (microεγιστοποίηση ή ελαχιστοποίηση αντίστοιχα) για κάθε
λύση του
Αν γνωρίζουmicroε ήδη microια καλύτερη λύση από το αντίστοιχο ϕράγmicroα
του υποδένδρου γνωρίζουmicroε πως η ϐέλτιστη λύση δεν ϐρίσκεται
στο υπόδενδρο και δεν χρειάζεται να διαχωρίσουmicroε
Μια χονδρική εκτίmicroηση microπορεί να γίνει πολύ γρήγορα αλλά δεν
περιορίζει αρκετά τον αριθmicroό των ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Μια ακριβής εκτίmicroηση microας επιτρέπει να αποφύγουmicroε microεγάλο
microέρος του χώρου αναζήτησης αλλά ο υπολογισmicroός της επιβαρύνει
σηmicroαντικά τον συνολικό χρόνο
Εύρεση καλύτερου συmicroβιβασmicroού
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Παράδειγmicroα εκτίmicroησης για πρόβληmicroα ελαχιστοποίησης
΄Εστω κόmicroβος Si και συνάρτηση εκτίmicroησης κάτω ϕράγmicroατος f()
΄Εστω πως γνωρίζουmicroε ήδη microια εφικτή λύση του προβλήmicroατος x
Αν f(Si)
ge cx Συνεχίζουmicroε στον διαχώρισmicroό του Si
διαφορετικά ∆εν διαχωρίζουmicroε το Si
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Παράδειγmicroα εκτίmicroησης για πρόβληmicroα ελαχιστοποίησης
΄Εστω κόmicroβος Si και συνάρτηση εκτίmicroησης κάτω ϕράγmicroατος f()
΄Εστω πως γνωρίζουmicroε ήδη microια εφικτή λύση του προβλήmicroατος x
Αν f(Si)
ge cx Συνεχίζουmicroε στον διαχώρισmicroό του Si
διαφορετικά ∆εν διαχωρίζουmicroε το Si
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Παράδειγmicroα εκτίmicroησης για πρόβληmicroα ελαχιστοποίησης
΄Εστω κόmicroβος Si και συνάρτηση εκτίmicroησης κάτω ϕράγmicroατος f()
΄Εστω πως γνωρίζουmicroε ήδη microια εφικτή λύση του προβλήmicroατος x
Αν f(Si)
ge cx Συνεχίζουmicroε στον διαχώρισmicroό του Si
διαφορετικά ∆εν διαχωρίζουmicroε το Si
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Παράδειγmicroα εκτίmicroησης για πρόβληmicroα ελαχιστοποίησης
΄Εστω κόmicroβος Si και συνάρτηση εκτίmicroησης κάτω ϕράγmicroατος f()
΄Εστω πως γνωρίζουmicroε ήδη microια εφικτή λύση του προβλήmicroατος x
Αν f(Si)
ge cx Συνεχίζουmicroε στον διαχώρισmicroό του Si
διαφορετικά ∆εν διαχωρίζουmicroε το Si
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
Αναζήτηση στο χώρο των λύσεων
S
S1 S1
S12
S12
S12 S12
S123
S123
S123
S123
S123
S123
S123 S123
x1 = 0 x1 = 1
x2 = 0 x2 = 1
x3 = 0
x3 = 1
x3 = 0
x3 = 1
x2 = 0 x2 = 1
x3 = 0
x3 = 1
x3 = 0
x3 = 1
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Βέλτιστη συνεχής λύση x1 = 1 x2 = 3
8 z = minus26
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
∆ιαχωρισmicroός στο S1
x =
1 S1
min z = minus20minus 16x2 minus 11x3 minus 9x4 minus 7x5 minus x6
8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x3 + x6 lt 3
0 S1
min z = minus16x2 minus 11x3 minus 9x4 minus 7x5 minus x6
8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x3 + x6 lt 12
Βέλτιστη συνεχή λύση S1 x2 = 3
8 z = minus26 Βέλτιστη συνεχή λύση S
1
x2 = 1x3 = 2
3 z = minus 70
3asymp minus233
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
∆ιαχωρισmicroός στο S1
x =
1 S1
min z = minus20minus 16x2 minus 11x3 minus 9x4 minus 7x5 minus x6
8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x3 + x6 lt 3
0 S1
min z = minus16x2 minus 11x3 minus 9x4 minus 7x5 minus x6
8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x3 + x6 lt 12
Βέλτιστη συνεχή λύση S1 x2 = 3
8 z = minus26 Βέλτιστη συνεχή λύση S
1
x2 = 1x3 = 2
3 z = minus 70
3asymp minus233
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
S
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230 S1234 infinS
1234 230
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230 S1234 infinS
1234 230
17 κόmicroβοι εξετάστηκαν αντί για 27 minus 1
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Πριν τον διαχώρισmicroό ενός κόmicroβου ελέγχουmicroε αν υπάρχει
πιθανότητα να ϐρίσκεται η ϐέλτιστη λύση στο συγκεκριmicroένο
υπόδενδρο
Εκτίmicroηση του άνω ή κάτω ϕράγmicroατος ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση (microεγιστοποίηση ή ελαχιστοποίηση αντίστοιχα) για κάθε
λύση του
Αν γνωρίζουmicroε ήδη microια καλύτερη λύση από το αντίστοιχο ϕράγmicroα
του υποδένδρου γνωρίζουmicroε πως η ϐέλτιστη λύση δεν ϐρίσκεται
στο υπόδενδρο και δεν χρειάζεται να διαχωρίσουmicroε
Μια χονδρική εκτίmicroηση microπορεί να γίνει πολύ γρήγορα αλλά δεν
περιορίζει αρκετά τον αριθmicroό των ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Μια ακριβής εκτίmicroηση microας επιτρέπει να αποφύγουmicroε microεγάλο
microέρος του χώρου αναζήτησης αλλά ο υπολογισmicroός της επιβαρύνει
σηmicroαντικά τον συνολικό χρόνο
Εύρεση καλύτερου συmicroβιβασmicroού
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Πριν τον διαχώρισmicroό ενός κόmicroβου ελέγχουmicroε αν υπάρχει
πιθανότητα να ϐρίσκεται η ϐέλτιστη λύση στο συγκεκριmicroένο
υπόδενδρο
Εκτίmicroηση του άνω ή κάτω ϕράγmicroατος ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση (microεγιστοποίηση ή ελαχιστοποίηση αντίστοιχα) για κάθε
λύση του
Αν γνωρίζουmicroε ήδη microια καλύτερη λύση από το αντίστοιχο ϕράγmicroα
του υποδένδρου γνωρίζουmicroε πως η ϐέλτιστη λύση δεν ϐρίσκεται
στο υπόδενδρο και δεν χρειάζεται να διαχωρίσουmicroε
Μια χονδρική εκτίmicroηση microπορεί να γίνει πολύ γρήγορα αλλά δεν
περιορίζει αρκετά τον αριθmicroό των ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Μια ακριβής εκτίmicroηση microας επιτρέπει να αποφύγουmicroε microεγάλο
microέρος του χώρου αναζήτησης αλλά ο υπολογισmicroός της επιβαρύνει
σηmicroαντικά τον συνολικό χρόνο
Εύρεση καλύτερου συmicroβιβασmicroού
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Πριν τον διαχώρισmicroό ενός κόmicroβου ελέγχουmicroε αν υπάρχει
πιθανότητα να ϐρίσκεται η ϐέλτιστη λύση στο συγκεκριmicroένο
υπόδενδρο
Εκτίmicroηση του άνω ή κάτω ϕράγmicroατος ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση (microεγιστοποίηση ή ελαχιστοποίηση αντίστοιχα) για κάθε
λύση του
Αν γνωρίζουmicroε ήδη microια καλύτερη λύση από το αντίστοιχο ϕράγmicroα
του υποδένδρου γνωρίζουmicroε πως η ϐέλτιστη λύση δεν ϐρίσκεται
στο υπόδενδρο και δεν χρειάζεται να διαχωρίσουmicroε
Μια χονδρική εκτίmicroηση microπορεί να γίνει πολύ γρήγορα αλλά δεν
περιορίζει αρκετά τον αριθmicroό των ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Μια ακριβής εκτίmicroηση microας επιτρέπει να αποφύγουmicroε microεγάλο
microέρος του χώρου αναζήτησης αλλά ο υπολογισmicroός της επιβαρύνει
σηmicroαντικά τον συνολικό χρόνο
Εύρεση καλύτερου συmicroβιβασmicroού
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Πριν τον διαχώρισmicroό ενός κόmicroβου ελέγχουmicroε αν υπάρχει
πιθανότητα να ϐρίσκεται η ϐέλτιστη λύση στο συγκεκριmicroένο
υπόδενδρο
Εκτίmicroηση του άνω ή κάτω ϕράγmicroατος ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση (microεγιστοποίηση ή ελαχιστοποίηση αντίστοιχα) για κάθε
λύση του
Αν γνωρίζουmicroε ήδη microια καλύτερη λύση από το αντίστοιχο ϕράγmicroα
του υποδένδρου γνωρίζουmicroε πως η ϐέλτιστη λύση δεν ϐρίσκεται
στο υπόδενδρο και δεν χρειάζεται να διαχωρίσουmicroε
Μια χονδρική εκτίmicroηση microπορεί να γίνει πολύ γρήγορα αλλά δεν
περιορίζει αρκετά τον αριθmicroό των ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Μια ακριβής εκτίmicroηση microας επιτρέπει να αποφύγουmicroε microεγάλο
microέρος του χώρου αναζήτησης αλλά ο υπολογισmicroός της επιβαρύνει
σηmicroαντικά τον συνολικό χρόνο
Εύρεση καλύτερου συmicroβιβασmicroού
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Παράδειγmicroα εκτίmicroησης για πρόβληmicroα ελαχιστοποίησης
΄Εστω κόmicroβος Si και συνάρτηση εκτίmicroησης κάτω ϕράγmicroατος f()
΄Εστω πως γνωρίζουmicroε ήδη microια εφικτή λύση του προβλήmicroατος x
Αν f(Si)
ge cx Συνεχίζουmicroε στον διαχώρισmicroό του Si
διαφορετικά ∆εν διαχωρίζουmicroε το Si
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Παράδειγmicroα εκτίmicroησης για πρόβληmicroα ελαχιστοποίησης
΄Εστω κόmicroβος Si και συνάρτηση εκτίmicroησης κάτω ϕράγmicroατος f()
΄Εστω πως γνωρίζουmicroε ήδη microια εφικτή λύση του προβλήmicroατος x
Αν f(Si)
ge cx Συνεχίζουmicroε στον διαχώρισmicroό του Si
διαφορετικά ∆εν διαχωρίζουmicroε το Si
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Παράδειγmicroα εκτίmicroησης για πρόβληmicroα ελαχιστοποίησης
΄Εστω κόmicroβος Si και συνάρτηση εκτίmicroησης κάτω ϕράγmicroατος f()
΄Εστω πως γνωρίζουmicroε ήδη microια εφικτή λύση του προβλήmicroατος x
Αν f(Si)
ge cx Συνεχίζουmicroε στον διαχώρισmicroό του Si
διαφορετικά ∆εν διαχωρίζουmicroε το Si
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Παράδειγmicroα εκτίmicroησης για πρόβληmicroα ελαχιστοποίησης
΄Εστω κόmicroβος Si και συνάρτηση εκτίmicroησης κάτω ϕράγmicroατος f()
΄Εστω πως γνωρίζουmicroε ήδη microια εφικτή λύση του προβλήmicroατος x
Αν f(Si)
ge cx Συνεχίζουmicroε στον διαχώρισmicroό του Si
διαφορετικά ∆εν διαχωρίζουmicroε το Si
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
Αναζήτηση στο χώρο των λύσεων
S
S1 S1
S12
S12
S12 S12
S123
S123
S123
S123
S123
S123
S123 S123
x1 = 0 x1 = 1
x2 = 0 x2 = 1
x3 = 0
x3 = 1
x3 = 0
x3 = 1
x2 = 0 x2 = 1
x3 = 0
x3 = 1
x3 = 0
x3 = 1
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Βέλτιστη συνεχής λύση x1 = 1 x2 = 3
8 z = minus26
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
∆ιαχωρισmicroός στο S1
x =
1 S1
min z = minus20minus 16x2 minus 11x3 minus 9x4 minus 7x5 minus x6
8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x3 + x6 lt 3
0 S1
min z = minus16x2 minus 11x3 minus 9x4 minus 7x5 minus x6
8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x3 + x6 lt 12
Βέλτιστη συνεχή λύση S1 x2 = 3
8 z = minus26 Βέλτιστη συνεχή λύση S
1
x2 = 1x3 = 2
3 z = minus 70
3asymp minus233
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
∆ιαχωρισmicroός στο S1
x =
1 S1
min z = minus20minus 16x2 minus 11x3 minus 9x4 minus 7x5 minus x6
8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x3 + x6 lt 3
0 S1
min z = minus16x2 minus 11x3 minus 9x4 minus 7x5 minus x6
8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x3 + x6 lt 12
Βέλτιστη συνεχή λύση S1 x2 = 3
8 z = minus26 Βέλτιστη συνεχή λύση S
1
x2 = 1x3 = 2
3 z = minus 70
3asymp minus233
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
S
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230 S1234 infinS
1234 230
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230 S1234 infinS
1234 230
17 κόmicroβοι εξετάστηκαν αντί για 27 minus 1
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Πριν τον διαχώρισmicroό ενός κόmicroβου ελέγχουmicroε αν υπάρχει
πιθανότητα να ϐρίσκεται η ϐέλτιστη λύση στο συγκεκριmicroένο
υπόδενδρο
Εκτίmicroηση του άνω ή κάτω ϕράγmicroατος ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση (microεγιστοποίηση ή ελαχιστοποίηση αντίστοιχα) για κάθε
λύση του
Αν γνωρίζουmicroε ήδη microια καλύτερη λύση από το αντίστοιχο ϕράγmicroα
του υποδένδρου γνωρίζουmicroε πως η ϐέλτιστη λύση δεν ϐρίσκεται
στο υπόδενδρο και δεν χρειάζεται να διαχωρίσουmicroε
Μια χονδρική εκτίmicroηση microπορεί να γίνει πολύ γρήγορα αλλά δεν
περιορίζει αρκετά τον αριθmicroό των ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Μια ακριβής εκτίmicroηση microας επιτρέπει να αποφύγουmicroε microεγάλο
microέρος του χώρου αναζήτησης αλλά ο υπολογισmicroός της επιβαρύνει
σηmicroαντικά τον συνολικό χρόνο
Εύρεση καλύτερου συmicroβιβασmicroού
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Πριν τον διαχώρισmicroό ενός κόmicroβου ελέγχουmicroε αν υπάρχει
πιθανότητα να ϐρίσκεται η ϐέλτιστη λύση στο συγκεκριmicroένο
υπόδενδρο
Εκτίmicroηση του άνω ή κάτω ϕράγmicroατος ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση (microεγιστοποίηση ή ελαχιστοποίηση αντίστοιχα) για κάθε
λύση του
Αν γνωρίζουmicroε ήδη microια καλύτερη λύση από το αντίστοιχο ϕράγmicroα
του υποδένδρου γνωρίζουmicroε πως η ϐέλτιστη λύση δεν ϐρίσκεται
στο υπόδενδρο και δεν χρειάζεται να διαχωρίσουmicroε
Μια χονδρική εκτίmicroηση microπορεί να γίνει πολύ γρήγορα αλλά δεν
περιορίζει αρκετά τον αριθmicroό των ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Μια ακριβής εκτίmicroηση microας επιτρέπει να αποφύγουmicroε microεγάλο
microέρος του χώρου αναζήτησης αλλά ο υπολογισmicroός της επιβαρύνει
σηmicroαντικά τον συνολικό χρόνο
Εύρεση καλύτερου συmicroβιβασmicroού
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Πριν τον διαχώρισmicroό ενός κόmicroβου ελέγχουmicroε αν υπάρχει
πιθανότητα να ϐρίσκεται η ϐέλτιστη λύση στο συγκεκριmicroένο
υπόδενδρο
Εκτίmicroηση του άνω ή κάτω ϕράγmicroατος ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση (microεγιστοποίηση ή ελαχιστοποίηση αντίστοιχα) για κάθε
λύση του
Αν γνωρίζουmicroε ήδη microια καλύτερη λύση από το αντίστοιχο ϕράγmicroα
του υποδένδρου γνωρίζουmicroε πως η ϐέλτιστη λύση δεν ϐρίσκεται
στο υπόδενδρο και δεν χρειάζεται να διαχωρίσουmicroε
Μια χονδρική εκτίmicroηση microπορεί να γίνει πολύ γρήγορα αλλά δεν
περιορίζει αρκετά τον αριθmicroό των ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Μια ακριβής εκτίmicroηση microας επιτρέπει να αποφύγουmicroε microεγάλο
microέρος του χώρου αναζήτησης αλλά ο υπολογισmicroός της επιβαρύνει
σηmicroαντικά τον συνολικό χρόνο
Εύρεση καλύτερου συmicroβιβασmicroού
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Παράδειγmicroα εκτίmicroησης για πρόβληmicroα ελαχιστοποίησης
΄Εστω κόmicroβος Si και συνάρτηση εκτίmicroησης κάτω ϕράγmicroατος f()
΄Εστω πως γνωρίζουmicroε ήδη microια εφικτή λύση του προβλήmicroατος x
Αν f(Si)
ge cx Συνεχίζουmicroε στον διαχώρισmicroό του Si
διαφορετικά ∆εν διαχωρίζουmicroε το Si
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Παράδειγmicroα εκτίmicroησης για πρόβληmicroα ελαχιστοποίησης
΄Εστω κόmicroβος Si και συνάρτηση εκτίmicroησης κάτω ϕράγmicroατος f()
΄Εστω πως γνωρίζουmicroε ήδη microια εφικτή λύση του προβλήmicroατος x
Αν f(Si)
ge cx Συνεχίζουmicroε στον διαχώρισmicroό του Si
διαφορετικά ∆εν διαχωρίζουmicroε το Si
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Παράδειγmicroα εκτίmicroησης για πρόβληmicroα ελαχιστοποίησης
΄Εστω κόmicroβος Si και συνάρτηση εκτίmicroησης κάτω ϕράγmicroατος f()
΄Εστω πως γνωρίζουmicroε ήδη microια εφικτή λύση του προβλήmicroατος x
Αν f(Si)
ge cx Συνεχίζουmicroε στον διαχώρισmicroό του Si
διαφορετικά ∆εν διαχωρίζουmicroε το Si
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Παράδειγmicroα εκτίmicroησης για πρόβληmicroα ελαχιστοποίησης
΄Εστω κόmicroβος Si και συνάρτηση εκτίmicroησης κάτω ϕράγmicroατος f()
΄Εστω πως γνωρίζουmicroε ήδη microια εφικτή λύση του προβλήmicroατος x
Αν f(Si)
ge cx Συνεχίζουmicroε στον διαχώρισmicroό του Si
διαφορετικά ∆εν διαχωρίζουmicroε το Si
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
Αναζήτηση στο χώρο των λύσεων
S
S1 S1
S12
S12
S12 S12
S123
S123
S123
S123
S123
S123
S123 S123
x1 = 0 x1 = 1
x2 = 0 x2 = 1
x3 = 0
x3 = 1
x3 = 0
x3 = 1
x2 = 0 x2 = 1
x3 = 0
x3 = 1
x3 = 0
x3 = 1
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Βέλτιστη συνεχής λύση x1 = 1 x2 = 3
8 z = minus26
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
∆ιαχωρισmicroός στο S1
x =
1 S1
min z = minus20minus 16x2 minus 11x3 minus 9x4 minus 7x5 minus x6
8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x3 + x6 lt 3
0 S1
min z = minus16x2 minus 11x3 minus 9x4 minus 7x5 minus x6
8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x3 + x6 lt 12
Βέλτιστη συνεχή λύση S1 x2 = 3
8 z = minus26 Βέλτιστη συνεχή λύση S
1
x2 = 1x3 = 2
3 z = minus 70
3asymp minus233
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
∆ιαχωρισmicroός στο S1
x =
1 S1
min z = minus20minus 16x2 minus 11x3 minus 9x4 minus 7x5 minus x6
8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x3 + x6 lt 3
0 S1
min z = minus16x2 minus 11x3 minus 9x4 minus 7x5 minus x6
8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x3 + x6 lt 12
Βέλτιστη συνεχή λύση S1 x2 = 3
8 z = minus26 Βέλτιστη συνεχή λύση S
1
x2 = 1x3 = 2
3 z = minus 70
3asymp minus233
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
S
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230 S1234 infinS
1234 230
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230 S1234 infinS
1234 230
17 κόmicroβοι εξετάστηκαν αντί για 27 minus 1
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Πριν τον διαχώρισmicroό ενός κόmicroβου ελέγχουmicroε αν υπάρχει
πιθανότητα να ϐρίσκεται η ϐέλτιστη λύση στο συγκεκριmicroένο
υπόδενδρο
Εκτίmicroηση του άνω ή κάτω ϕράγmicroατος ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση (microεγιστοποίηση ή ελαχιστοποίηση αντίστοιχα) για κάθε
λύση του
Αν γνωρίζουmicroε ήδη microια καλύτερη λύση από το αντίστοιχο ϕράγmicroα
του υποδένδρου γνωρίζουmicroε πως η ϐέλτιστη λύση δεν ϐρίσκεται
στο υπόδενδρο και δεν χρειάζεται να διαχωρίσουmicroε
Μια χονδρική εκτίmicroηση microπορεί να γίνει πολύ γρήγορα αλλά δεν
περιορίζει αρκετά τον αριθmicroό των ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Μια ακριβής εκτίmicroηση microας επιτρέπει να αποφύγουmicroε microεγάλο
microέρος του χώρου αναζήτησης αλλά ο υπολογισmicroός της επιβαρύνει
σηmicroαντικά τον συνολικό χρόνο
Εύρεση καλύτερου συmicroβιβασmicroού
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Πριν τον διαχώρισmicroό ενός κόmicroβου ελέγχουmicroε αν υπάρχει
πιθανότητα να ϐρίσκεται η ϐέλτιστη λύση στο συγκεκριmicroένο
υπόδενδρο
Εκτίmicroηση του άνω ή κάτω ϕράγmicroατος ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση (microεγιστοποίηση ή ελαχιστοποίηση αντίστοιχα) για κάθε
λύση του
Αν γνωρίζουmicroε ήδη microια καλύτερη λύση από το αντίστοιχο ϕράγmicroα
του υποδένδρου γνωρίζουmicroε πως η ϐέλτιστη λύση δεν ϐρίσκεται
στο υπόδενδρο και δεν χρειάζεται να διαχωρίσουmicroε
Μια χονδρική εκτίmicroηση microπορεί να γίνει πολύ γρήγορα αλλά δεν
περιορίζει αρκετά τον αριθmicroό των ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Μια ακριβής εκτίmicroηση microας επιτρέπει να αποφύγουmicroε microεγάλο
microέρος του χώρου αναζήτησης αλλά ο υπολογισmicroός της επιβαρύνει
σηmicroαντικά τον συνολικό χρόνο
Εύρεση καλύτερου συmicroβιβασmicroού
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Παράδειγmicroα εκτίmicroησης για πρόβληmicroα ελαχιστοποίησης
΄Εστω κόmicroβος Si και συνάρτηση εκτίmicroησης κάτω ϕράγmicroατος f()
΄Εστω πως γνωρίζουmicroε ήδη microια εφικτή λύση του προβλήmicroατος x
Αν f(Si)
ge cx Συνεχίζουmicroε στον διαχώρισmicroό του Si
διαφορετικά ∆εν διαχωρίζουmicroε το Si
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Παράδειγmicroα εκτίmicroησης για πρόβληmicroα ελαχιστοποίησης
΄Εστω κόmicroβος Si και συνάρτηση εκτίmicroησης κάτω ϕράγmicroατος f()
΄Εστω πως γνωρίζουmicroε ήδη microια εφικτή λύση του προβλήmicroατος x
Αν f(Si)
ge cx Συνεχίζουmicroε στον διαχώρισmicroό του Si
διαφορετικά ∆εν διαχωρίζουmicroε το Si
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Παράδειγmicroα εκτίmicroησης για πρόβληmicroα ελαχιστοποίησης
΄Εστω κόmicroβος Si και συνάρτηση εκτίmicroησης κάτω ϕράγmicroατος f()
΄Εστω πως γνωρίζουmicroε ήδη microια εφικτή λύση του προβλήmicroατος x
Αν f(Si)
ge cx Συνεχίζουmicroε στον διαχώρισmicroό του Si
διαφορετικά ∆εν διαχωρίζουmicroε το Si
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Παράδειγmicroα εκτίmicroησης για πρόβληmicroα ελαχιστοποίησης
΄Εστω κόmicroβος Si και συνάρτηση εκτίmicroησης κάτω ϕράγmicroατος f()
΄Εστω πως γνωρίζουmicroε ήδη microια εφικτή λύση του προβλήmicroατος x
Αν f(Si)
ge cx Συνεχίζουmicroε στον διαχώρισmicroό του Si
διαφορετικά ∆εν διαχωρίζουmicroε το Si
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
Αναζήτηση στο χώρο των λύσεων
S
S1 S1
S12
S12
S12 S12
S123
S123
S123
S123
S123
S123
S123 S123
x1 = 0 x1 = 1
x2 = 0 x2 = 1
x3 = 0
x3 = 1
x3 = 0
x3 = 1
x2 = 0 x2 = 1
x3 = 0
x3 = 1
x3 = 0
x3 = 1
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Βέλτιστη συνεχής λύση x1 = 1 x2 = 3
8 z = minus26
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
∆ιαχωρισmicroός στο S1
x =
1 S1
min z = minus20minus 16x2 minus 11x3 minus 9x4 minus 7x5 minus x6
8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x3 + x6 lt 3
0 S1
min z = minus16x2 minus 11x3 minus 9x4 minus 7x5 minus x6
8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x3 + x6 lt 12
Βέλτιστη συνεχή λύση S1 x2 = 3
8 z = minus26 Βέλτιστη συνεχή λύση S
1
x2 = 1x3 = 2
3 z = minus 70
3asymp minus233
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
∆ιαχωρισmicroός στο S1
x =
1 S1
min z = minus20minus 16x2 minus 11x3 minus 9x4 minus 7x5 minus x6
8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x3 + x6 lt 3
0 S1
min z = minus16x2 minus 11x3 minus 9x4 minus 7x5 minus x6
8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x3 + x6 lt 12
Βέλτιστη συνεχή λύση S1 x2 = 3
8 z = minus26 Βέλτιστη συνεχή λύση S
1
x2 = 1x3 = 2
3 z = minus 70
3asymp minus233
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
S
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230 S1234 infinS
1234 230
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230 S1234 infinS
1234 230
17 κόmicroβοι εξετάστηκαν αντί για 27 minus 1
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Πριν τον διαχώρισmicroό ενός κόmicroβου ελέγχουmicroε αν υπάρχει
πιθανότητα να ϐρίσκεται η ϐέλτιστη λύση στο συγκεκριmicroένο
υπόδενδρο
Εκτίmicroηση του άνω ή κάτω ϕράγmicroατος ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση (microεγιστοποίηση ή ελαχιστοποίηση αντίστοιχα) για κάθε
λύση του
Αν γνωρίζουmicroε ήδη microια καλύτερη λύση από το αντίστοιχο ϕράγmicroα
του υποδένδρου γνωρίζουmicroε πως η ϐέλτιστη λύση δεν ϐρίσκεται
στο υπόδενδρο και δεν χρειάζεται να διαχωρίσουmicroε
Μια χονδρική εκτίmicroηση microπορεί να γίνει πολύ γρήγορα αλλά δεν
περιορίζει αρκετά τον αριθmicroό των ανιχνευmicroένων κόmicroβων
Μια ακριβής εκτίmicroηση microας επιτρέπει να αποφύγουmicroε microεγάλο
microέρος του χώρου αναζήτησης αλλά ο υπολογισmicroός της επιβαρύνει
σηmicroαντικά τον συνολικό χρόνο
Εύρεση καλύτερου συmicroβιβασmicroού
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Παράδειγmicroα εκτίmicroησης για πρόβληmicroα ελαχιστοποίησης
΄Εστω κόmicroβος Si και συνάρτηση εκτίmicroησης κάτω ϕράγmicroατος f()
΄Εστω πως γνωρίζουmicroε ήδη microια εφικτή λύση του προβλήmicroατος x
Αν f(Si)
ge cx Συνεχίζουmicroε στον διαχώρισmicroό του Si
διαφορετικά ∆εν διαχωρίζουmicroε το Si
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Παράδειγmicroα εκτίmicroησης για πρόβληmicroα ελαχιστοποίησης
΄Εστω κόmicroβος Si και συνάρτηση εκτίmicroησης κάτω ϕράγmicroατος f()
΄Εστω πως γνωρίζουmicroε ήδη microια εφικτή λύση του προβλήmicroατος x
Αν f(Si)
ge cx Συνεχίζουmicroε στον διαχώρισmicroό του Si
διαφορετικά ∆εν διαχωρίζουmicroε το Si
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Παράδειγmicroα εκτίmicroησης για πρόβληmicroα ελαχιστοποίησης
΄Εστω κόmicroβος Si και συνάρτηση εκτίmicroησης κάτω ϕράγmicroατος f()
΄Εστω πως γνωρίζουmicroε ήδη microια εφικτή λύση του προβλήmicroατος x
Αν f(Si)
ge cx Συνεχίζουmicroε στον διαχώρισmicroό του Si
διαφορετικά ∆εν διαχωρίζουmicroε το Si
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Παράδειγmicroα εκτίmicroησης για πρόβληmicroα ελαχιστοποίησης
΄Εστω κόmicroβος Si και συνάρτηση εκτίmicroησης κάτω ϕράγmicroατος f()
΄Εστω πως γνωρίζουmicroε ήδη microια εφικτή λύση του προβλήmicroατος x
Αν f(Si)
ge cx Συνεχίζουmicroε στον διαχώρισmicroό του Si
διαφορετικά ∆εν διαχωρίζουmicroε το Si
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
Αναζήτηση στο χώρο των λύσεων
S
S1 S1
S12
S12
S12 S12
S123
S123
S123
S123
S123
S123
S123 S123
x1 = 0 x1 = 1
x2 = 0 x2 = 1
x3 = 0
x3 = 1
x3 = 0
x3 = 1
x2 = 0 x2 = 1
x3 = 0
x3 = 1
x3 = 0
x3 = 1
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Βέλτιστη συνεχής λύση x1 = 1 x2 = 3
8 z = minus26
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
∆ιαχωρισmicroός στο S1
x =
1 S1
min z = minus20minus 16x2 minus 11x3 minus 9x4 minus 7x5 minus x6
8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x3 + x6 lt 3
0 S1
min z = minus16x2 minus 11x3 minus 9x4 minus 7x5 minus x6
8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x3 + x6 lt 12
Βέλτιστη συνεχή λύση S1 x2 = 3
8 z = minus26 Βέλτιστη συνεχή λύση S
1
x2 = 1x3 = 2
3 z = minus 70
3asymp minus233
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
∆ιαχωρισmicroός στο S1
x =
1 S1
min z = minus20minus 16x2 minus 11x3 minus 9x4 minus 7x5 minus x6
8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x3 + x6 lt 3
0 S1
min z = minus16x2 minus 11x3 minus 9x4 minus 7x5 minus x6
8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x3 + x6 lt 12
Βέλτιστη συνεχή λύση S1 x2 = 3
8 z = minus26 Βέλτιστη συνεχή λύση S
1
x2 = 1x3 = 2
3 z = minus 70
3asymp minus233
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
S
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230 S1234 infinS
1234 230
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230 S1234 infinS
1234 230
17 κόmicroβοι εξετάστηκαν αντί για 27 minus 1
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Παράδειγmicroα εκτίmicroησης για πρόβληmicroα ελαχιστοποίησης
΄Εστω κόmicroβος Si και συνάρτηση εκτίmicroησης κάτω ϕράγmicroατος f()
΄Εστω πως γνωρίζουmicroε ήδη microια εφικτή λύση του προβλήmicroατος x
Αν f(Si)
ge cx Συνεχίζουmicroε στον διαχώρισmicroό του Si
διαφορετικά ∆εν διαχωρίζουmicroε το Si
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Παράδειγmicroα εκτίmicroησης για πρόβληmicroα ελαχιστοποίησης
΄Εστω κόmicroβος Si και συνάρτηση εκτίmicroησης κάτω ϕράγmicroατος f()
΄Εστω πως γνωρίζουmicroε ήδη microια εφικτή λύση του προβλήmicroατος x
Αν f(Si)
ge cx Συνεχίζουmicroε στον διαχώρισmicroό του Si
διαφορετικά ∆εν διαχωρίζουmicroε το Si
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Παράδειγmicroα εκτίmicroησης για πρόβληmicroα ελαχιστοποίησης
΄Εστω κόmicroβος Si και συνάρτηση εκτίmicroησης κάτω ϕράγmicroατος f()
΄Εστω πως γνωρίζουmicroε ήδη microια εφικτή λύση του προβλήmicroατος x
Αν f(Si)
ge cx Συνεχίζουmicroε στον διαχώρισmicroό του Si
διαφορετικά ∆εν διαχωρίζουmicroε το Si
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Παράδειγmicroα εκτίmicroησης για πρόβληmicroα ελαχιστοποίησης
΄Εστω κόmicroβος Si και συνάρτηση εκτίmicroησης κάτω ϕράγmicroατος f()
΄Εστω πως γνωρίζουmicroε ήδη microια εφικτή λύση του προβλήmicroατος x
Αν f(Si)
ge cx Συνεχίζουmicroε στον διαχώρισmicroό του Si
διαφορετικά ∆εν διαχωρίζουmicroε το Si
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
Αναζήτηση στο χώρο των λύσεων
S
S1 S1
S12
S12
S12 S12
S123
S123
S123
S123
S123
S123
S123 S123
x1 = 0 x1 = 1
x2 = 0 x2 = 1
x3 = 0
x3 = 1
x3 = 0
x3 = 1
x2 = 0 x2 = 1
x3 = 0
x3 = 1
x3 = 0
x3 = 1
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Βέλτιστη συνεχής λύση x1 = 1 x2 = 3
8 z = minus26
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
∆ιαχωρισmicroός στο S1
x =
1 S1
min z = minus20minus 16x2 minus 11x3 minus 9x4 minus 7x5 minus x6
8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x3 + x6 lt 3
0 S1
min z = minus16x2 minus 11x3 minus 9x4 minus 7x5 minus x6
8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x3 + x6 lt 12
Βέλτιστη συνεχή λύση S1 x2 = 3
8 z = minus26 Βέλτιστη συνεχή λύση S
1
x2 = 1x3 = 2
3 z = minus 70
3asymp minus233
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
∆ιαχωρισmicroός στο S1
x =
1 S1
min z = minus20minus 16x2 minus 11x3 minus 9x4 minus 7x5 minus x6
8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x3 + x6 lt 3
0 S1
min z = minus16x2 minus 11x3 minus 9x4 minus 7x5 minus x6
8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x3 + x6 lt 12
Βέλτιστη συνεχή λύση S1 x2 = 3
8 z = minus26 Βέλτιστη συνεχή λύση S
1
x2 = 1x3 = 2
3 z = minus 70
3asymp minus233
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
S
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230 S1234 infinS
1234 230
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230 S1234 infinS
1234 230
17 κόmicroβοι εξετάστηκαν αντί για 27 minus 1
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Παράδειγmicroα εκτίmicroησης για πρόβληmicroα ελαχιστοποίησης
΄Εστω κόmicroβος Si και συνάρτηση εκτίmicroησης κάτω ϕράγmicroατος f()
΄Εστω πως γνωρίζουmicroε ήδη microια εφικτή λύση του προβλήmicroατος x
Αν f(Si)
ge cx Συνεχίζουmicroε στον διαχώρισmicroό του Si
διαφορετικά ∆εν διαχωρίζουmicroε το Si
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Παράδειγmicroα εκτίmicroησης για πρόβληmicroα ελαχιστοποίησης
΄Εστω κόmicroβος Si και συνάρτηση εκτίmicroησης κάτω ϕράγmicroατος f()
΄Εστω πως γνωρίζουmicroε ήδη microια εφικτή λύση του προβλήmicroατος x
Αν f(Si)
ge cx Συνεχίζουmicroε στον διαχώρισmicroό του Si
διαφορετικά ∆εν διαχωρίζουmicroε το Si
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Παράδειγmicroα εκτίmicroησης για πρόβληmicroα ελαχιστοποίησης
΄Εστω κόmicroβος Si και συνάρτηση εκτίmicroησης κάτω ϕράγmicroατος f()
΄Εστω πως γνωρίζουmicroε ήδη microια εφικτή λύση του προβλήmicroατος x
Αν f(Si)
ge cx Συνεχίζουmicroε στον διαχώρισmicroό του Si
διαφορετικά ∆εν διαχωρίζουmicroε το Si
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
Αναζήτηση στο χώρο των λύσεων
S
S1 S1
S12
S12
S12 S12
S123
S123
S123
S123
S123
S123
S123 S123
x1 = 0 x1 = 1
x2 = 0 x2 = 1
x3 = 0
x3 = 1
x3 = 0
x3 = 1
x2 = 0 x2 = 1
x3 = 0
x3 = 1
x3 = 0
x3 = 1
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Βέλτιστη συνεχής λύση x1 = 1 x2 = 3
8 z = minus26
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
∆ιαχωρισmicroός στο S1
x =
1 S1
min z = minus20minus 16x2 minus 11x3 minus 9x4 minus 7x5 minus x6
8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x3 + x6 lt 3
0 S1
min z = minus16x2 minus 11x3 minus 9x4 minus 7x5 minus x6
8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x3 + x6 lt 12
Βέλτιστη συνεχή λύση S1 x2 = 3
8 z = minus26 Βέλτιστη συνεχή λύση S
1
x2 = 1x3 = 2
3 z = minus 70
3asymp minus233
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
∆ιαχωρισmicroός στο S1
x =
1 S1
min z = minus20minus 16x2 minus 11x3 minus 9x4 minus 7x5 minus x6
8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x3 + x6 lt 3
0 S1
min z = minus16x2 minus 11x3 minus 9x4 minus 7x5 minus x6
8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x3 + x6 lt 12
Βέλτιστη συνεχή λύση S1 x2 = 3
8 z = minus26 Βέλτιστη συνεχή λύση S
1
x2 = 1x3 = 2
3 z = minus 70
3asymp minus233
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
S
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230 S1234 infinS
1234 230
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230 S1234 infinS
1234 230
17 κόmicroβοι εξετάστηκαν αντί για 27 minus 1
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Παράδειγmicroα εκτίmicroησης για πρόβληmicroα ελαχιστοποίησης
΄Εστω κόmicroβος Si και συνάρτηση εκτίmicroησης κάτω ϕράγmicroατος f()
΄Εστω πως γνωρίζουmicroε ήδη microια εφικτή λύση του προβλήmicroατος x
Αν f(Si)
ge cx Συνεχίζουmicroε στον διαχώρισmicroό του Si
διαφορετικά ∆εν διαχωρίζουmicroε το Si
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Παράδειγmicroα εκτίmicroησης για πρόβληmicroα ελαχιστοποίησης
΄Εστω κόmicroβος Si και συνάρτηση εκτίmicroησης κάτω ϕράγmicroατος f()
΄Εστω πως γνωρίζουmicroε ήδη microια εφικτή λύση του προβλήmicroατος x
Αν f(Si)
ge cx Συνεχίζουmicroε στον διαχώρισmicroό του Si
διαφορετικά ∆εν διαχωρίζουmicroε το Si
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
Αναζήτηση στο χώρο των λύσεων
S
S1 S1
S12
S12
S12 S12
S123
S123
S123
S123
S123
S123
S123 S123
x1 = 0 x1 = 1
x2 = 0 x2 = 1
x3 = 0
x3 = 1
x3 = 0
x3 = 1
x2 = 0 x2 = 1
x3 = 0
x3 = 1
x3 = 0
x3 = 1
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Βέλτιστη συνεχής λύση x1 = 1 x2 = 3
8 z = minus26
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
∆ιαχωρισmicroός στο S1
x =
1 S1
min z = minus20minus 16x2 minus 11x3 minus 9x4 minus 7x5 minus x6
8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x3 + x6 lt 3
0 S1
min z = minus16x2 minus 11x3 minus 9x4 minus 7x5 minus x6
8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x3 + x6 lt 12
Βέλτιστη συνεχή λύση S1 x2 = 3
8 z = minus26 Βέλτιστη συνεχή λύση S
1
x2 = 1x3 = 2
3 z = minus 70
3asymp minus233
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
∆ιαχωρισmicroός στο S1
x =
1 S1
min z = minus20minus 16x2 minus 11x3 minus 9x4 minus 7x5 minus x6
8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x3 + x6 lt 3
0 S1
min z = minus16x2 minus 11x3 minus 9x4 minus 7x5 minus x6
8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x3 + x6 lt 12
Βέλτιστη συνεχή λύση S1 x2 = 3
8 z = minus26 Βέλτιστη συνεχή λύση S
1
x2 = 1x3 = 2
3 z = minus 70
3asymp minus233
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
S
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230 S1234 infinS
1234 230
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230 S1234 infinS
1234 230
17 κόmicroβοι εξετάστηκαν αντί για 27 minus 1
Branch and Bound
Εκτίmicroηση ϕράγmicroατος
Παράδειγmicroα εκτίmicroησης για πρόβληmicroα ελαχιστοποίησης
΄Εστω κόmicroβος Si και συνάρτηση εκτίmicroησης κάτω ϕράγmicroατος f()
΄Εστω πως γνωρίζουmicroε ήδη microια εφικτή λύση του προβλήmicroατος x
Αν f(Si)
ge cx Συνεχίζουmicroε στον διαχώρισmicroό του Si
διαφορετικά ∆εν διαχωρίζουmicroε το Si
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
Αναζήτηση στο χώρο των λύσεων
S
S1 S1
S12
S12
S12 S12
S123
S123
S123
S123
S123
S123
S123 S123
x1 = 0 x1 = 1
x2 = 0 x2 = 1
x3 = 0
x3 = 1
x3 = 0
x3 = 1
x2 = 0 x2 = 1
x3 = 0
x3 = 1
x3 = 0
x3 = 1
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Βέλτιστη συνεχής λύση x1 = 1 x2 = 3
8 z = minus26
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
∆ιαχωρισmicroός στο S1
x =
1 S1
min z = minus20minus 16x2 minus 11x3 minus 9x4 minus 7x5 minus x6
8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x3 + x6 lt 3
0 S1
min z = minus16x2 minus 11x3 minus 9x4 minus 7x5 minus x6
8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x3 + x6 lt 12
Βέλτιστη συνεχή λύση S1 x2 = 3
8 z = minus26 Βέλτιστη συνεχή λύση S
1
x2 = 1x3 = 2
3 z = minus 70
3asymp minus233
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
∆ιαχωρισmicroός στο S1
x =
1 S1
min z = minus20minus 16x2 minus 11x3 minus 9x4 minus 7x5 minus x6
8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x3 + x6 lt 3
0 S1
min z = minus16x2 minus 11x3 minus 9x4 minus 7x5 minus x6
8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x3 + x6 lt 12
Βέλτιστη συνεχή λύση S1 x2 = 3
8 z = minus26 Βέλτιστη συνεχή λύση S
1
x2 = 1x3 = 2
3 z = minus 70
3asymp minus233
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
S
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230 S1234 infinS
1234 230
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230 S1234 infinS
1234 230
17 κόmicroβοι εξετάστηκαν αντί για 27 minus 1
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
Αναζήτηση στο χώρο των λύσεων
S
S1 S1
S12
S12
S12 S12
S123
S123
S123
S123
S123
S123
S123 S123
x1 = 0 x1 = 1
x2 = 0 x2 = 1
x3 = 0
x3 = 1
x3 = 0
x3 = 1
x2 = 0 x2 = 1
x3 = 0
x3 = 1
x3 = 0
x3 = 1
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Βέλτιστη συνεχής λύση x1 = 1 x2 = 3
8 z = minus26
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
∆ιαχωρισmicroός στο S1
x =
1 S1
min z = minus20minus 16x2 minus 11x3 minus 9x4 minus 7x5 minus x6
8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x3 + x6 lt 3
0 S1
min z = minus16x2 minus 11x3 minus 9x4 minus 7x5 minus x6
8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x3 + x6 lt 12
Βέλτιστη συνεχή λύση S1 x2 = 3
8 z = minus26 Βέλτιστη συνεχή λύση S
1
x2 = 1x3 = 2
3 z = minus 70
3asymp minus233
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
∆ιαχωρισmicroός στο S1
x =
1 S1
min z = minus20minus 16x2 minus 11x3 minus 9x4 minus 7x5 minus x6
8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x3 + x6 lt 3
0 S1
min z = minus16x2 minus 11x3 minus 9x4 minus 7x5 minus x6
8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x3 + x6 lt 12
Βέλτιστη συνεχή λύση S1 x2 = 3
8 z = minus26 Βέλτιστη συνεχή λύση S
1
x2 = 1x3 = 2
3 z = minus 70
3asymp minus233
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
S
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230 S1234 infinS
1234 230
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230 S1234 infinS
1234 230
17 κόmicroβοι εξετάστηκαν αντί για 27 minus 1
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
Αναζήτηση στο χώρο των λύσεων
S
S1 S1
S12
S12
S12 S12
S123
S123
S123
S123
S123
S123
S123 S123
x1 = 0 x1 = 1
x2 = 0 x2 = 1
x3 = 0
x3 = 1
x3 = 0
x3 = 1
x2 = 0 x2 = 1
x3 = 0
x3 = 1
x3 = 0
x3 = 1
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Βέλτιστη συνεχής λύση x1 = 1 x2 = 3
8 z = minus26
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
∆ιαχωρισmicroός στο S1
x =
1 S1
min z = minus20minus 16x2 minus 11x3 minus 9x4 minus 7x5 minus x6
8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x3 + x6 lt 3
0 S1
min z = minus16x2 minus 11x3 minus 9x4 minus 7x5 minus x6
8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x3 + x6 lt 12
Βέλτιστη συνεχή λύση S1 x2 = 3
8 z = minus26 Βέλτιστη συνεχή λύση S
1
x2 = 1x3 = 2
3 z = minus 70
3asymp minus233
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
∆ιαχωρισmicroός στο S1
x =
1 S1
min z = minus20minus 16x2 minus 11x3 minus 9x4 minus 7x5 minus x6
8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x3 + x6 lt 3
0 S1
min z = minus16x2 minus 11x3 minus 9x4 minus 7x5 minus x6
8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x3 + x6 lt 12
Βέλτιστη συνεχή λύση S1 x2 = 3
8 z = minus26 Βέλτιστη συνεχή λύση S
1
x2 = 1x3 = 2
3 z = minus 70
3asymp minus233
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
S
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230 S1234 infinS
1234 230
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230 S1234 infinS
1234 230
17 κόmicroβοι εξετάστηκαν αντί για 27 minus 1
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
Αναζήτηση στο χώρο των λύσεων
S
S1 S1
S12
S12
S12 S12
S123
S123
S123
S123
S123
S123
S123 S123
x1 = 0 x1 = 1
x2 = 0 x2 = 1
x3 = 0
x3 = 1
x3 = 0
x3 = 1
x2 = 0 x2 = 1
x3 = 0
x3 = 1
x3 = 0
x3 = 1
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Βέλτιστη συνεχής λύση x1 = 1 x2 = 3
8 z = minus26
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
∆ιαχωρισmicroός στο S1
x =
1 S1
min z = minus20minus 16x2 minus 11x3 minus 9x4 minus 7x5 minus x6
8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x3 + x6 lt 3
0 S1
min z = minus16x2 minus 11x3 minus 9x4 minus 7x5 minus x6
8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x3 + x6 lt 12
Βέλτιστη συνεχή λύση S1 x2 = 3
8 z = minus26 Βέλτιστη συνεχή λύση S
1
x2 = 1x3 = 2
3 z = minus 70
3asymp minus233
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
∆ιαχωρισmicroός στο S1
x =
1 S1
min z = minus20minus 16x2 minus 11x3 minus 9x4 minus 7x5 minus x6
8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x3 + x6 lt 3
0 S1
min z = minus16x2 minus 11x3 minus 9x4 minus 7x5 minus x6
8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x3 + x6 lt 12
Βέλτιστη συνεχή λύση S1 x2 = 3
8 z = minus26 Βέλτιστη συνεχή λύση S
1
x2 = 1x3 = 2
3 z = minus 70
3asymp minus233
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
S
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230 S1234 infinS
1234 230
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230 S1234 infinS
1234 230
17 κόmicroβοι εξετάστηκαν αντί για 27 minus 1
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
Αναζήτηση στο χώρο των λύσεων
S
S1 S1
S12
S12
S12 S12
S123
S123
S123
S123
S123
S123
S123 S123
x1 = 0 x1 = 1
x2 = 0 x2 = 1
x3 = 0
x3 = 1
x3 = 0
x3 = 1
x2 = 0 x2 = 1
x3 = 0
x3 = 1
x3 = 0
x3 = 1
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Βέλτιστη συνεχής λύση x1 = 1 x2 = 3
8 z = minus26
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
∆ιαχωρισmicroός στο S1
x =
1 S1
min z = minus20minus 16x2 minus 11x3 minus 9x4 minus 7x5 minus x6
8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x3 + x6 lt 3
0 S1
min z = minus16x2 minus 11x3 minus 9x4 minus 7x5 minus x6
8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x3 + x6 lt 12
Βέλτιστη συνεχή λύση S1 x2 = 3
8 z = minus26 Βέλτιστη συνεχή λύση S
1
x2 = 1x3 = 2
3 z = minus 70
3asymp minus233
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
∆ιαχωρισmicroός στο S1
x =
1 S1
min z = minus20minus 16x2 minus 11x3 minus 9x4 minus 7x5 minus x6
8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x3 + x6 lt 3
0 S1
min z = minus16x2 minus 11x3 minus 9x4 minus 7x5 minus x6
8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x3 + x6 lt 12
Βέλτιστη συνεχή λύση S1 x2 = 3
8 z = minus26 Βέλτιστη συνεχή λύση S
1
x2 = 1x3 = 2
3 z = minus 70
3asymp minus233
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
S
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230 S1234 infinS
1234 230
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230 S1234 infinS
1234 230
17 κόmicroβοι εξετάστηκαν αντί για 27 minus 1
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
Αναζήτηση στο χώρο των λύσεων
S
S1 S1
S12
S12
S12 S12
S123
S123
S123
S123
S123
S123
S123 S123
x1 = 0 x1 = 1
x2 = 0 x2 = 1
x3 = 0
x3 = 1
x3 = 0
x3 = 1
x2 = 0 x2 = 1
x3 = 0
x3 = 1
x3 = 0
x3 = 1
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Βέλτιστη συνεχής λύση x1 = 1 x2 = 3
8 z = minus26
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
∆ιαχωρισmicroός στο S1
x =
1 S1
min z = minus20minus 16x2 minus 11x3 minus 9x4 minus 7x5 minus x6
8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x3 + x6 lt 3
0 S1
min z = minus16x2 minus 11x3 minus 9x4 minus 7x5 minus x6
8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x3 + x6 lt 12
Βέλτιστη συνεχή λύση S1 x2 = 3
8 z = minus26 Βέλτιστη συνεχή λύση S
1
x2 = 1x3 = 2
3 z = minus 70
3asymp minus233
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
∆ιαχωρισmicroός στο S1
x =
1 S1
min z = minus20minus 16x2 minus 11x3 minus 9x4 minus 7x5 minus x6
8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x3 + x6 lt 3
0 S1
min z = minus16x2 minus 11x3 minus 9x4 minus 7x5 minus x6
8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x3 + x6 lt 12
Βέλτιστη συνεχή λύση S1 x2 = 3
8 z = minus26 Βέλτιστη συνεχή λύση S
1
x2 = 1x3 = 2
3 z = minus 70
3asymp minus233
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
S
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230 S1234 infinS
1234 230
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230 S1234 infinS
1234 230
17 κόmicroβοι εξετάστηκαν αντί για 27 minus 1
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
Αναζήτηση στο χώρο των λύσεων
S
S1 S1
S12
S12
S12 S12
S123
S123
S123
S123
S123
S123
S123 S123
x1 = 0 x1 = 1
x2 = 0 x2 = 1
x3 = 0
x3 = 1
x3 = 0
x3 = 1
x2 = 0 x2 = 1
x3 = 0
x3 = 1
x3 = 0
x3 = 1
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Βέλτιστη συνεχής λύση x1 = 1 x2 = 3
8 z = minus26
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
∆ιαχωρισmicroός στο S1
x =
1 S1
min z = minus20minus 16x2 minus 11x3 minus 9x4 minus 7x5 minus x6
8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x3 + x6 lt 3
0 S1
min z = minus16x2 minus 11x3 minus 9x4 minus 7x5 minus x6
8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x3 + x6 lt 12
Βέλτιστη συνεχή λύση S1 x2 = 3
8 z = minus26 Βέλτιστη συνεχή λύση S
1
x2 = 1x3 = 2
3 z = minus 70
3asymp minus233
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
∆ιαχωρισmicroός στο S1
x =
1 S1
min z = minus20minus 16x2 minus 11x3 minus 9x4 minus 7x5 minus x6
8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x3 + x6 lt 3
0 S1
min z = minus16x2 minus 11x3 minus 9x4 minus 7x5 minus x6
8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x3 + x6 lt 12
Βέλτιστη συνεχή λύση S1 x2 = 3
8 z = minus26 Βέλτιστη συνεχή λύση S
1
x2 = 1x3 = 2
3 z = minus 70
3asymp minus233
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
S
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230 S1234 infinS
1234 230
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230 S1234 infinS
1234 230
17 κόmicroβοι εξετάστηκαν αντί για 27 minus 1
Branch and Bound
∆ιάσχιση
Αφού γίνει η διαχώρηση microε ποια σειρά ϑα διασχίσουmicroε τον χώρο
αναζήτησης
Κατά ϐάθος (Depth First Search )
Συνήθως στην Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
Κατά πλάτος (Bread First Search )
Συνήθως στην Τεχνητή Νοηmicroοσύνη
Προς το καλύτερο (χειρότερο) ανάλογα microε την αντικειmicroενική
συνάρτηση
Πολυπλοκότητα
Θεωρητικά Εκθετική
Πρακτικά microε υπολογισmicroό του χρόνου και του αριθmicroού των κόmicroβων
για την πολυπλοκότητα χώρου (microνήmicroης)
Branch and Bound
Αναζήτηση στο χώρο των λύσεων
S
S1 S1
S12
S12
S12 S12
S123
S123
S123
S123
S123
S123
S123 S123
x1 = 0 x1 = 1
x2 = 0 x2 = 1
x3 = 0
x3 = 1
x3 = 0
x3 = 1
x2 = 0 x2 = 1
x3 = 0
x3 = 1
x3 = 0
x3 = 1
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Βέλτιστη συνεχής λύση x1 = 1 x2 = 3
8 z = minus26
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
∆ιαχωρισmicroός στο S1
x =
1 S1
min z = minus20minus 16x2 minus 11x3 minus 9x4 minus 7x5 minus x6
8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x3 + x6 lt 3
0 S1
min z = minus16x2 minus 11x3 minus 9x4 minus 7x5 minus x6
8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x3 + x6 lt 12
Βέλτιστη συνεχή λύση S1 x2 = 3
8 z = minus26 Βέλτιστη συνεχή λύση S
1
x2 = 1x3 = 2
3 z = minus 70
3asymp minus233
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
∆ιαχωρισmicroός στο S1
x =
1 S1
min z = minus20minus 16x2 minus 11x3 minus 9x4 minus 7x5 minus x6
8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x3 + x6 lt 3
0 S1
min z = minus16x2 minus 11x3 minus 9x4 minus 7x5 minus x6
8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x3 + x6 lt 12
Βέλτιστη συνεχή λύση S1 x2 = 3
8 z = minus26 Βέλτιστη συνεχή λύση S
1
x2 = 1x3 = 2
3 z = minus 70
3asymp minus233
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
S
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230 S1234 infinS
1234 230
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230 S1234 infinS
1234 230
17 κόmicroβοι εξετάστηκαν αντί για 27 minus 1
Branch and Bound
Αναζήτηση στο χώρο των λύσεων
S
S1 S1
S12
S12
S12 S12
S123
S123
S123
S123
S123
S123
S123 S123
x1 = 0 x1 = 1
x2 = 0 x2 = 1
x3 = 0
x3 = 1
x3 = 0
x3 = 1
x2 = 0 x2 = 1
x3 = 0
x3 = 1
x3 = 0
x3 = 1
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Βέλτιστη συνεχής λύση x1 = 1 x2 = 3
8 z = minus26
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
∆ιαχωρισmicroός στο S1
x =
1 S1
min z = minus20minus 16x2 minus 11x3 minus 9x4 minus 7x5 minus x6
8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x3 + x6 lt 3
0 S1
min z = minus16x2 minus 11x3 minus 9x4 minus 7x5 minus x6
8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x3 + x6 lt 12
Βέλτιστη συνεχή λύση S1 x2 = 3
8 z = minus26 Βέλτιστη συνεχή λύση S
1
x2 = 1x3 = 2
3 z = minus 70
3asymp minus233
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
∆ιαχωρισmicroός στο S1
x =
1 S1
min z = minus20minus 16x2 minus 11x3 minus 9x4 minus 7x5 minus x6
8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x3 + x6 lt 3
0 S1
min z = minus16x2 minus 11x3 minus 9x4 minus 7x5 minus x6
8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x3 + x6 lt 12
Βέλτιστη συνεχή λύση S1 x2 = 3
8 z = minus26 Βέλτιστη συνεχή λύση S
1
x2 = 1x3 = 2
3 z = minus 70
3asymp minus233
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
S
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230 S1234 infinS
1234 230
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230 S1234 infinS
1234 230
17 κόmicroβοι εξετάστηκαν αντί για 27 minus 1
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Βέλτιστη συνεχής λύση x1 = 1 x2 = 3
8 z = minus26
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
∆ιαχωρισmicroός στο S1
x =
1 S1
min z = minus20minus 16x2 minus 11x3 minus 9x4 minus 7x5 minus x6
8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x3 + x6 lt 3
0 S1
min z = minus16x2 minus 11x3 minus 9x4 minus 7x5 minus x6
8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x3 + x6 lt 12
Βέλτιστη συνεχή λύση S1 x2 = 3
8 z = minus26 Βέλτιστη συνεχή λύση S
1
x2 = 1x3 = 2
3 z = minus 70
3asymp minus233
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
∆ιαχωρισmicroός στο S1
x =
1 S1
min z = minus20minus 16x2 minus 11x3 minus 9x4 minus 7x5 minus x6
8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x3 + x6 lt 3
0 S1
min z = minus16x2 minus 11x3 minus 9x4 minus 7x5 minus x6
8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x3 + x6 lt 12
Βέλτιστη συνεχή λύση S1 x2 = 3
8 z = minus26 Βέλτιστη συνεχή λύση S
1
x2 = 1x3 = 2
3 z = minus 70
3asymp minus233
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
S
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230 S1234 infinS
1234 230
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230 S1234 infinS
1234 230
17 κόmicroβοι εξετάστηκαν αντί για 27 minus 1
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Βέλτιστη συνεχής λύση x1 = 1 x2 = 3
8 z = minus26
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
∆ιαχωρισmicroός στο S1
x =
1 S1
min z = minus20minus 16x2 minus 11x3 minus 9x4 minus 7x5 minus x6
8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x3 + x6 lt 3
0 S1
min z = minus16x2 minus 11x3 minus 9x4 minus 7x5 minus x6
8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x3 + x6 lt 12
Βέλτιστη συνεχή λύση S1 x2 = 3
8 z = minus26 Βέλτιστη συνεχή λύση S
1
x2 = 1x3 = 2
3 z = minus 70
3asymp minus233
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
∆ιαχωρισmicroός στο S1
x =
1 S1
min z = minus20minus 16x2 minus 11x3 minus 9x4 minus 7x5 minus x6
8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x3 + x6 lt 3
0 S1
min z = minus16x2 minus 11x3 minus 9x4 minus 7x5 minus x6
8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x3 + x6 lt 12
Βέλτιστη συνεχή λύση S1 x2 = 3
8 z = minus26 Βέλτιστη συνεχή λύση S
1
x2 = 1x3 = 2
3 z = minus 70
3asymp minus233
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
S
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230 S1234 infinS
1234 230
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230 S1234 infinS
1234 230
17 κόmicroβοι εξετάστηκαν αντί για 27 minus 1
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Βέλτιστη συνεχής λύση x1 = 1 x2 = 3
8 z = minus26
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
∆ιαχωρισmicroός στο S1
x =
1 S1
min z = minus20minus 16x2 minus 11x3 minus 9x4 minus 7x5 minus x6
8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x3 + x6 lt 3
0 S1
min z = minus16x2 minus 11x3 minus 9x4 minus 7x5 minus x6
8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x3 + x6 lt 12
Βέλτιστη συνεχή λύση S1 x2 = 3
8 z = minus26 Βέλτιστη συνεχή λύση S
1
x2 = 1x3 = 2
3 z = minus 70
3asymp minus233
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
∆ιαχωρισmicroός στο S1
x =
1 S1
min z = minus20minus 16x2 minus 11x3 minus 9x4 minus 7x5 minus x6
8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x3 + x6 lt 3
0 S1
min z = minus16x2 minus 11x3 minus 9x4 minus 7x5 minus x6
8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x3 + x6 lt 12
Βέλτιστη συνεχή λύση S1 x2 = 3
8 z = minus26 Βέλτιστη συνεχή λύση S
1
x2 = 1x3 = 2
3 z = minus 70
3asymp minus233
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
S
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230 S1234 infinS
1234 230
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230 S1234 infinS
1234 230
17 κόmicroβοι εξετάστηκαν αντί για 27 minus 1
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Βέλτιστη συνεχής λύση x1 = 1 x2 = 3
8 z = minus26
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
∆ιαχωρισmicroός στο S1
x =
1 S1
min z = minus20minus 16x2 minus 11x3 minus 9x4 minus 7x5 minus x6
8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x3 + x6 lt 3
0 S1
min z = minus16x2 minus 11x3 minus 9x4 minus 7x5 minus x6
8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x3 + x6 lt 12
Βέλτιστη συνεχή λύση S1 x2 = 3
8 z = minus26 Βέλτιστη συνεχή λύση S
1
x2 = 1x3 = 2
3 z = minus 70
3asymp minus233
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
∆ιαχωρισmicroός στο S1
x =
1 S1
min z = minus20minus 16x2 minus 11x3 minus 9x4 minus 7x5 minus x6
8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x3 + x6 lt 3
0 S1
min z = minus16x2 minus 11x3 minus 9x4 minus 7x5 minus x6
8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x3 + x6 lt 12
Βέλτιστη συνεχή λύση S1 x2 = 3
8 z = minus26 Βέλτιστη συνεχή λύση S
1
x2 = 1x3 = 2
3 z = minus 70
3asymp minus233
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
S
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230 S1234 infinS
1234 230
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230 S1234 infinS
1234 230
17 κόmicroβοι εξετάστηκαν αντί για 27 minus 1
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
min z = minus20x1 minus16x2 minus11x3 minus9x4 minus7x5 minusx6
st 9x1 +8x2 +6x3 +5x4 +4x5 +x6 le 12
x1 x2 x3 x4 x5 x6 isin 0 1
Για την επίλυση ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε ως συνάρτηση εκτίmicroησης την
λύση που επιστρέφει η Simplex για το συνεχές πρόβληmicroα Στο
συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα η λύση είναι τετριmicromicroένα εύκολη
∆ιατάσσουmicroε τις microεταβλητές Cj1
aj1
le Cj2
aj2
le middot middot middot le Cji
aji
όπου Ci το ϐάρος και ai η αξία της microεταβλητής xi
Σύmicroφωνα microε την παραπάνω διάταξη επιλέγουmicroε τις microεταβλητές στη
σειρά και τις microεγιστοποιούmicroε microέχρι να κορεστεί ο περιορισmicroός
Βέλτιστη συνεχής λύση x1 = 1 x2 = 3
8 z = minus26
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
∆ιαχωρισmicroός στο S1
x =
1 S1
min z = minus20minus 16x2 minus 11x3 minus 9x4 minus 7x5 minus x6
8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x3 + x6 lt 3
0 S1
min z = minus16x2 minus 11x3 minus 9x4 minus 7x5 minus x6
8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x3 + x6 lt 12
Βέλτιστη συνεχή λύση S1 x2 = 3
8 z = minus26 Βέλτιστη συνεχή λύση S
1
x2 = 1x3 = 2
3 z = minus 70
3asymp minus233
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
∆ιαχωρισmicroός στο S1
x =
1 S1
min z = minus20minus 16x2 minus 11x3 minus 9x4 minus 7x5 minus x6
8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x3 + x6 lt 3
0 S1
min z = minus16x2 minus 11x3 minus 9x4 minus 7x5 minus x6
8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x3 + x6 lt 12
Βέλτιστη συνεχή λύση S1 x2 = 3
8 z = minus26 Βέλτιστη συνεχή λύση S
1
x2 = 1x3 = 2
3 z = minus 70
3asymp minus233
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
S
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230 S1234 infinS
1234 230
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230 S1234 infinS
1234 230
17 κόmicroβοι εξετάστηκαν αντί για 27 minus 1
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
∆ιαχωρισmicroός στο S1
x =
1 S1
min z = minus20minus 16x2 minus 11x3 minus 9x4 minus 7x5 minus x6
8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x3 + x6 lt 3
0 S1
min z = minus16x2 minus 11x3 minus 9x4 minus 7x5 minus x6
8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x3 + x6 lt 12
Βέλτιστη συνεχή λύση S1 x2 = 3
8 z = minus26 Βέλτιστη συνεχή λύση S
1
x2 = 1x3 = 2
3 z = minus 70
3asymp minus233
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
∆ιαχωρισmicroός στο S1
x =
1 S1
min z = minus20minus 16x2 minus 11x3 minus 9x4 minus 7x5 minus x6
8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x3 + x6 lt 3
0 S1
min z = minus16x2 minus 11x3 minus 9x4 minus 7x5 minus x6
8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x3 + x6 lt 12
Βέλτιστη συνεχή λύση S1 x2 = 3
8 z = minus26 Βέλτιστη συνεχή λύση S
1
x2 = 1x3 = 2
3 z = minus 70
3asymp minus233
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
S
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230 S1234 infinS
1234 230
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230 S1234 infinS
1234 230
17 κόmicroβοι εξετάστηκαν αντί για 27 minus 1
Branch and Bound
Παράδειγmicroα (Πρόβληmicroα σακιδίου)
∆ιαχωρισmicroός στο S1
x =
1 S1
min z = minus20minus 16x2 minus 11x3 minus 9x4 minus 7x5 minus x6
8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x3 + x6 lt 3
0 S1
min z = minus16x2 minus 11x3 minus 9x4 minus 7x5 minus x6
8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x3 + x6 lt 12
Βέλτιστη συνεχή λύση S1 x2 = 3
8 z = minus26 Βέλτιστη συνεχή λύση S
1
x2 = 1x3 = 2
3 z = minus 70
3asymp minus233
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
S
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230 S1234 infinS
1234 230
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230 S1234 infinS
1234 230
17 κόmicroβοι εξετάστηκαν αντί για 27 minus 1
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
S
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230 S1234 infinS
1234 230
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230 S1234 infinS
1234 230
17 κόmicroβοι εξετάστηκαν αντί για 27 minus 1
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230 S1234 infinS
1234 230
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230 S1234 infinS
1234 230
17 κόmicroβοι εξετάστηκαν αντί για 27 minus 1
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230 S1234 infinS
1234 230
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230 S1234 infinS
1234 230
17 κόmicroβοι εξετάστηκαν αντί για 27 minus 1
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230 S1234 infinS
1234 230
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230 S1234 infinS
1234 230
17 κόmicroβοι εξετάστηκαν αντί για 27 minus 1
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230 S1234 infinS
1234 230
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230 S1234 infinS
1234 230
17 κόmicroβοι εξετάστηκαν αντί για 27 minus 1
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230 S1234 infinS
1234 230
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230 S1234 infinS
1234 230
17 κόmicroβοι εξετάστηκαν αντί για 27 minus 1
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230 S1234 infinS
1234 230
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230 S1234 infinS
1234 230
17 κόmicroβοι εξετάστηκαν αντί για 27 minus 1
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230 S1234 infinS
1234 230
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230 S1234 infinS
1234 230
17 κόmicroβοι εξετάστηκαν αντί για 27 minus 1
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230 S1234 infinS
1234 230
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230 S1234 infinS
1234 230
17 κόmicroβοι εξετάστηκαν αντί για 27 minus 1
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230 S1234 infinS
1234 230
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230 S1234 infinS
1234 230
17 κόmicroβοι εξετάστηκαν αντί για 27 minus 1
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230 S1234 infinS
1234 230
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230 S1234 infinS
1234 230
17 κόmicroβοι εξετάστηκαν αντί για 27 minus 1
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230 S1234 infinS
1234 230
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230 S1234 infinS
1234 230
17 κόmicroβοι εξετάστηκαν αντί για 27 minus 1
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230 S1234 infinS
1234 230
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230 S1234 infinS
1234 230
17 κόmicroβοι εξετάστηκαν αντί για 27 minus 1
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230 S1234 infinS
1234 230
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230 S1234 infinS
1234 230
17 κόmicroβοι εξετάστηκαν αντί για 27 minus 1
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230 S1234 infinS
1234 230
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230 S1234 infinS
1234 230
17 κόmicroβοι εξετάστηκαν αντί για 27 minus 1
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230 S1234 infinS
1234 230
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230 S1234 infinS
1234 230
17 κόmicroβοι εξετάστηκαν αντί για 27 minus 1
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230 S1234 infinS
1234 230
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230 S1234 infinS
1234 230
17 κόmicroβοι εξετάστηκαν αντί για 27 minus 1
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230 S1234 infinS
1234 230
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230 S1234 infinS
1234 230
17 κόmicroβοι εξετάστηκαν αντί για 27 minus 1
Branch and Bound
Αναζήτηση προς το καλύτερο
SS
S1 minus233 S1 minus26
S1 minus26
S12 infinS12 minus255 S12 infinS12 minus255
S123 infinS
123 minus254 S123 infinS
123 minus254
S1234 infinS
1234 minus254 S1234 infinS
1234 minus254
S12345 infinS
12345 minus21S
12345 infinS12345 minus21
S1 minus233
S12 minus2175
S12 minus2333
S12 minus2175
S12 minus2333
S123 infinS
123 minus232 S123 infinS
123 minus232
S1234 infinS
1234 230 S1234 infinS
1234 230
17 κόmicroβοι εξετάστηκαν αντί για 27 minus 1
Branch and Bound