СИМУЛАЦИЈА РАДИОАКТИВНОГ РАСПАДА МЕТОДОМ МОНТЕ КАРЛО

Бранислав Јовановић

Одељење Министарства просвете и спорта у Крагујевцу

Метода Монте Карло се обично примењује за решавање физичких проблема који се не могу

решити, рецимо аналитички или експериментално. Метода се често користи и за паралелно

решавање са неком од других метода, ради провере замишљених модела и хипотеза.

УВОД

При симулацији физичког процеса полази се од моделовања, израде модела који укључује

његове најбитније одлике, а апстрахује оне чије би обухватање оптеретило развој симулације без

већег доприноса тачности резултата и разумевању механизма процеса. Модели се у општем случају

деле на материјалне, инструменталне, описне или математичке. Симулацијама на основу усвојеног

математичког модела презентује се процес, функционисање неког система идр. Процес се реализује

корак по корак у складу са претпостављеним механизмом појаве. После тестирања полазног модела

процеса, модел или нека његова секвенца се може детаљније разрадити, ради свеобухватнијег

испитивања степена познавања одређене појаве, побољшања тачности добјених резултата идр.

Метода Монте-Карло је позната врло дуго а њена научна примена је почела крајем педесетих

година деветнаестог века, када су за велика израчунавања у овој нумеричкој методи употребљене

управо конструисане моћне електронске рачунске машине. При томе су вршена моделовања

случајних величина са датом расподелом вероватноће, обично помоћу генератора униформних

независних случајних бројева, односно псеудо случајних бројева.

МОДЕЛОВАЊЕ ПОЈАВЕ РАДИОАКТИВНОГ РАСПАДА

Радиоактивност је појава трансформације атомског језгра и одређена је особинама самог

језгра, односно његовим енергетским стањима. Вероватноћа распада у јединици времена за дато

атомско језгро, је константна уколико нема утицаја на енергетско стање језгра. Вероватноћа

распада језгра у току малог временског интервала t је однос броја распаднутих атомских језгара,

N и укупног броја језгара у том тренутку, N :

N

Nt

,

(1)

а случајни догађај-распад одређеног броја атомских језгара у малом интервалу времена t је:

tNN . (2)

ПРОБЛЕМ

Познати су почетни број радиоактивних атома и вероватноћа распада атомског језгра у

јединици времена. Потребно је:

Одредити графички и табеларно зависност броја радиоактивних језгара од времена. При томе

је корисно предвидети могућност да се процес распада атома не прати увек до краја (N=0),

већ до задатог тренутка - tmax.

Нумеричким путем наћи средњи живот атома.

НАПОМЕНА:

Временски интервал t треба да је много мањи од реципрочне вредности константе . За

генератор униформних случајних бројева може се користити интерни генератор програмског језика у

коме се ради апликација, рецимо у Delphi(Pascal)-у се користи функција random(100). Колекција

могућих псеудослучајних бројева не треба да је превише велика у односу на број потребних, разлог

није тешко наћи.

АЛГОРИТАМ

Полазећи од почетног броја атомских језгара Nо према изведеној формули (2) у узастопним

временским интервалима t треба израчунавати бројеве распаднутих језгара N и за толико

умањивати “тренутни” број језгара све до распада и последњег језгра или до краја задатог времена

трајања симулације, [0, tmax]. Случајни бројеви треба да имају равномерну расподелу вредности у

интервалу [0, 1]. При утврђивању да ли се језгро распада у току t , за свако преостало језгро

генерише се случајан број и пореди са претпостављеном константом распада . Узима се да се језгро

распало ако је вероватноћа распада у том временском интервалу већа од вредности генерисаног

случајног броја за то језгро. На пр. ако је вероватноћа распада 0,20 тада се може очекивати да ће се,

ако је расподела случајних бројева равномерна, у интервалу t (рецимо 1s) распасти 20% језгара.

Поступак се понавља за преостала језгра у следећем интервалу времена, док се понављање не

прекине по истеку датог времена или распаду свих језгара, N=0. Бројеве нераспаднутих језгара после

сваког корака-временског интервала t треба меморисати и на крају представити графички.

Израчунавање средњег времена живота атомских језгара се врши тако што се средњем времену

живота свих језгара која су се већ распала до тренутка t додаје средња дужина живота

новораспаднутих језгара у интервалу t, N*(t+t)/No. Овај поступак почиње од тренутка t=0s и

N=No и понавља се до N=0.

НАПОМЕНА:

Ако прво сабирамо времена живота свих атома па тада делимо са No, укупно време живота,

које је сразмерно почетном броју атома No и 1/, може добити вредност која се не може записати на

(64-битној и сл.) меморијској адреси која је резервисана при декларацији ове променљиве.

100

93

87

79

64

56

51

43

39

37

32

29

26

24

22

21

19

19

17

17

16

15

14

11

11

10

8

6

5

5

Vreme (s)

434241403938373635343332313029282726252423222120191817161514131211109876543210

Bro

j jezgara

, N

100

95

90

85

80

75

70

65

60

55

50

45

40

35

30

25

20

15

10

5

0

График за No=100, =0,09537 s-1(26Al), средњи живот =9,7s; с.девијација =1,04s.

Vreme (s)

727068666462605856545250484644424038363432302826242220181614121086420

Bro

j jezgara

, N

1.000

950

900

850

800

750

700

650

600

550

500

450

400

350

300

250

200

150

100

50

0

График за No=1000, =0,09537 s-1(26Al), средњи живот =10,4s; с. девијација =0,35s.

Основни део (Delphy) ПРОГРАМ-а:

{ Иницијалне вредности за број атома N, време t, средње време Т које се овде рачуна као сума.

Почетни број атома No треба да је раније додељен. }

N:=No; t:=0; j:=0; SrednjeT:=0;

While (N>0) and (t<tz) do { Постепено повећавање времена, t и ресетовање броја распаднутих језгара

М=0 } begin

M:=0;

t:=t+dt;

For i:=1 to N do { Налажење броја распаднутих атома М у интервалу времена t, t+t }

begin

SlBroj:=0.0001*(1+random(10000));

If Lambda>=SlBroj then M:=M+1;

end;

end;

j:=j+1;

N:=N-M; { Ажурирање броја нераспаднутих атома, N }

NNiz[j]:=N; { Број нераспаднутих атома после времена t:=ј*dt се памти као ј-ти елемент низа,

NNiz[j]:=N , ради табеларног или графичког представљања}

SrednjeT:=SrednjeT+M*t/No;

end;

СРЕДЊИ СЛОБОДНИ ПУТ МОЛЕКУЛА

Математички модел методе Монте-Карло код проучавања кретања молекула, неутрона или

електрона у одређеним срединама је исти као код појаве радиоактивног распада. Претпоставља се да

су честице средине, кроз коју се прати кретање датих честица (молекули, нутрони, атоми),

распоређене равномерно. Те честице се крећу хаотично (вероватноћа расподеле брзина је једнака за

све правце) при чему до промене правца и брзине кретања долази при узајамним сударима. Сваки део

пута молекула између узастопних судара назива се слободни пут. Треба израчунати средњи слободни

пут. Математички модел кретања честица дуж једног правца (х-осе) је исти као код појаве

радиоактивног распада. Број честица које се крећу у неком правцу се смањује услед судара са

одговарајућим честицама средине(молекулима, атомским језгрима, атомима). Пратећи кретање

честица у неком правцу одређује се који је број честица од почетног No прешао растојање х без

судара. Број расејаних честица -N на делу пута [х, х+x] сразмеран је броју честица N које су

прешле пут х без судара, вероватноћи расејања честице по јединици дужине и делу пута x. Даљи

поступак је као код појаве радиоактивног распада. На основу средњег слободног пута честице, l

могуће је одредити ефикасни пресек расејања, коефицијент апсорпције и сл.

У стандардним условима је за кисеоник средњи слободни пут око 10-7m а вероватноћа

расејања 107m-1. Честице које због својих особина слабо интерагују са средином кроз коју пролазе

имају велике дужине средњих слободних путева. Неутрино у кондензованој средини концентрације

1028 m-3 има l ~ 1020 m, а у нуклеарној средини концентрације ~ 1044 m3, l~10km, што је 1018 пута веће

од димензија атомског језгра.

Аналогне величине у процесима радиоактивног распада и кретања снопа честица:

КРЕТАЊЕ МЛАЗА ЧЕСТИЦА РАДИОАКТИВНИ РАСПАД

Број честица које пролазе кроз дату средину Број радиоактивних атомских језгара

Вероватноћа расејања честице по јединици дужине

пута,

Вероватноћа распада језгра у јединици

времена,

Средња дужина слободног пута, l Средњи живот атомских језгара,

Растојање на коме се број честица смањује на

половину(полурастојање, полудебљина), d1/2 Време полураспада, T1/2

Симулација процеса радиоактивног распада методом Монте-Карло се може урадити уместо

неких лабораторијских вежби из радиоактивности предвиђених у четвртом разреду гимназије ако за

реализацију предвиђених вежби нема одговарајућих услова или паралелно с предвиђеним вежбама.