Breath-first search

Visita in ampiezza di un grafoAlgoritmoEsempioComplessità dell’algoritmoProprietàAlbero BFS

Grafo

Un grafo G = (V,E) consiste in:

- un insieme V di vertici (o nodi)

- un insieme E di coppie di vertici, detti archi: ogni arco connette due vertici

Esempio 1: V = {persone che vivono in Italia}, E = {coppie di persone che si sono strette la mano} [NON ORIENTATO]

Esempio 2: V = {persone che vivono in Italia},E = { (x,y) tale che x ha inviato una mail a y} [ORIENTATO]

3

2

5

6

1

4

7

V= {1,2,3,4,5,6,7}

Scopo e tipi di visita di un grafo

Scopo: una visita (o attraversamento) di un grafo G

permette di esaminare i nodi e gli archi di G in modo

sistematico.

Problema di base in molte applicazioni.

Esistono varie tipologie di visite con diverse proprietà.

In particolare:

– visita in ampiezza (BFS = Breadth First Search)

– visita in profondità (DFS = Depth First Search)

Breath-first searchDato un grafo G=(V,E) e un specifico vertice s chiamato sorgente, la visita in ampiezza esplora gli archi di G per scoprire ogni vertice che sia raggiungibile a partire da s.

Essa calcola la distanza (ossia il numero minimo di archi) da s ad ogni vertice raggiungibile.

Inoltre, produce un “albero BFS” che ha come radice s e comprende tutti vertici raggiungibili. Nell’albero BFS il cammino da s a v corrisponde ad un “cammino minimo”.

L’algoritmo funziona per grafi orientati e non orientati.

Breath-first searchLa visita in ampiezza esplora i nodi del grafo a partire da quelli a distanza 1 da s. Dopo aver visitato i nodi a distanza 1, visita quelli a distanza 2. E così via.

0

s

1w

2

t

2x

3

u

y

1

r

2

v

2

3

Archi dell’albero BFS

Cresce la distanza dalla sorgente

Via via visita nodi più distanti dalla sorgente.

distanza=1

distanza=2

distanza=3

Struttura datiStrutture dati utilizzate:

• Liste di adiacenza Adj: per conoscere i vertici adiacenti a un vertice.

• color[u]: per colora il vertice u di bianco (vertice non scoperto), di grigio (vertice appena scoperto) e di nero (vertice non più sulla frontiera dei vertici appena scoperti).

• d[u]: la distanza di u. All’inizio è ∞.

• p[u]: il predecessore di u nell’albero BFS.

• Q: coda

AlgoritmoBFS(G,s)1. for ogni vertice u in V[G] – {s} // inizializzazione di ogni vertice2. do color[u] ← WHITE3. d[u] ← ∞4. p[u] ← NIL5. colors[s] ← GRAY // si comincia dal vertice s6. d[s] ← 07. p[s] ← NIL8. Q ← {s} // Q= coda dei vertici grigi

sulla frontiera

All’inizio tutti i vertici sono bianchi e, successivamente, possono diventare grigi e poi neri.

La visita in ampiezza costruisce un albero BFS che all’inizio contiene solo la radice: il vertice sorgente s.

Algortimo9. while Q ≠Ø // termina quando la coda è

vuota10. do u ← head[Q] // prendi prossimo elemento

dalla coda11. for ogni vertice v in Adj[u] // scopri vertici bianchi

adiacenti12. do if color[v] = WHITE13. then color[v] ← GRAY // diventano grigi14. d[v] ← d[u] + 1 // la distanza è d[u] +115. p[v] ← u // il predecessore è u16. ENQUEUE(Q,v) // e vanno in Q17. DEQUEUE(Q)18. color[u] ← BLACK // u nero: non più sulla frontiera

Un vertice viene scoperto, la prima volta che viene incontrato durante la visita: in tale istante esso cessa di essere bianco.

Esempio

0

s

∞w

∞

t

∞x

∞

u

∞y

∞

r

∞v

(a)

Q = {s}

d[s] = 00

s

1w

∞

t

∞x

∞

u

∞y

1

r

∞v

(b)

Q = {w, r}d[w] = 1 d[r] = 1

0

s

1w

2

t

2x

∞

u

∞y

1

r

∞v

(c)

Q = {r, t, x}

d[r] = 1 d[t] = 2 d[x] = 2

0

s

1w

2

t

2x

∞

u

∞y

1

r

2v

(d)

Q = {t, x, v}

d[t] = 2 d[x] = 2 d[v] = 2

Terminata la visita dei nodi a distanza 1.

Visita della sorgente.Stato iniziale: la sorgente è in Q.

Esempio

0

s

1w

2

t

2x

3

u

3y

1

r

2v

(e)

Q = {v, u, y}

d[v] = 2 d[u] = 3 d[y] = 3

0

s

1w

2

t

2x

3

u

∞y

1

r

2v

(d)

Q = {x, v, u}

d[x] = 2 d[v] = 2 d[u] = 3

0

s

1w

2

t

2x

3

u

3y

1

r

2v

(g)

Q = {y}

d[y] = 3

0

s

1w

2

t

2x

3

u

3y

1

r

2v

(f)

Q = {u, y}

d[u] = 3 d[y] = 3

0

s

1w

2

t

2x

3

u

3y

1

r

2v

(h)

Q = Ø

Terminata la visita dei nodi a distanza 1.

Terminata la visita dei nodi a distanza 2.

Terminata la visita dei nodi a distanza 3.

Terminata la visita del grafo G.

ComplessitàAnalisi del tempo di esecuzione su un grafo G=(V,E):

• Il tempo necessario per l’inizializzazione è O(|V|), tempo O(1) per ogni vertice.

• Ogni nodo raggiungibile viene visitato 1 volta:Le operazioni di inserimento e rimozione dalla coda è O(1), quindi il tempo totale dedicato alle operazioni sulla coda è O(|V|).Di ogni vertice scoperto viene visitata tutta la lista di adiacenza, ossia quando il vertice è estratto dalla coda.Si sommano le lunghezze delle liste di adiacenza dei nodi visitati. Le somma delle liste di adiacenza di tutti i nodi è pari a Θ(|E|).

• Sommando il tempo di inizializzazione e il tempo per visitare i vertici, si ha che l’algoritmo di BFS() viene eseguito in tempo O(|V| + |E|).

Cammino minimo

Si definisce la distanza minima δ(s,v) ≥ 0 da s a v come il numero minimo di archi per passare dal vertice s al vertice v.

Quando δ(s,v) = ∞, v risulta irraggiungibile partendo da s, ossia non esiste alcun cammino da s a v.

Un cammino di lunghezza δ(s,v) da s a v è chiamato cammino minimo da s a v. (Possono esserci più cammini minimi!)

Si ha la seguente proprietà:

Per ogni arco (u,v) in E, δ(s,v) ≤ δ(s,u) +1.

Nota: la visita BSF calcola la distanza minima di ogni nodo raggiungibile dalla sorgente s.

Nodi in coda

Proposizione

I nodi che entrano in Q sono tutti e soli i nodi u con δ(s,u) < ∞, ossia tutti i nodi raggiungibili da

s.

Dimostrazione

“Se il nodo v entra in Q allora δ(s,v) < ∞.”

Si procede per induzione sull’i-esima iterazione dell’operazione di ENQUEUE().

Per i = 0: nella coda si trova s δ(s,s) = 0 < ∞.Per i > 0: Supponiamo vera la proposizione per ogni iterazione k<i. All’i-esima iterazione viene visitata la lista di adiacenza di un nodo u estratto dalla coda.

Nodi in coda

I nodi bianchi v che vengono messi in coda appartengono ad Adj[u].Si ha che per ipotesi induttiva δ(s,u) < ∞ (u è stato inserito alla k’-esima iterazione, k’ < i ) e, inoltre, esiste l’arco (u,v).Quindi

δ(s,v) ≤ δ(s,u) +1 < ∞.

“Se δ(s,v) < ∞ allora il nodo v entra in Q.”

Si procede per induzione su δ(s,v) = i.

Per δ(s,v) = 0: è vero! v = s.Per δ(s,v) = i>0: per ipotesi induttiva si ha che per ogni u tale che δ(s,u) < i u è entrato in coda.

Nodi in coda

δ(s,v) < ∞, quindi esiste un cammino minimo da s a v: <v0, …, vi-1, vi>, con v0= s e vi = v.

Si ha che δ(s, vi-1) = i-1<i. vi-1 entra in coda per ipotesi induttiva. Quindi, quando verrà visitata la lista di adiacenza di vi-1, nella quale ci sarà anche vi = v, potrà verificarsi:a) v è bianco e verrà messo in codab) v è grigio o nero e quindi è stato messo in coda

Corollario

Se il grafo è connesso (o fortemente connesso nel caso di grafo orientato) allora tutti i nodi vengono messi in coda.

v0 vi-1 vi

Sorgente Nodo v δ(s,v) < ∞

Albero BFS

Proposizione

Il vettore p definisce un sottografo di G, Tp=(Vp,Ep), dove:

Vp = {s e tutti v in V: p[v] ≠ NIL}

Ep = {(p[v], v) in E: v in Vp - {s} }

Tp è un albero (albero BFS). Inoltre la lunghezza del cammino tra s e u in Tp è δ(s,u).

Corollario

Se G è connesso (fortemente connesso nel caso di grafo orientato) allora Tp è un albero di copertura minima (minimum spanning tree), ossia vengono selezionati il numero minimo di archi per cui il sottografo risulta ancora connesso.

Albero BFS

0

s

1w

2

t

2x

3

u

3y

1

r

2v

p(v)=r

p(r)=s

p(w)=s p(x)=w p(y)=x

p(s)=NIL

Radice

p(t)=w p(u)=t

Ecco l’albero BFS del grafo visto nell’esempio:

0

s

1w

2t

2x

3u

3y

1r

2v