BREVE RESEA HISTORICA TEORA DE CONJUNTOSGeorge Cantor (1845-1918) fue quien prcticamente formul de manera individual la teora de conjuntos a finales del siglo XIX y principios del XX. Su objetivo era el de formalizar las matemticas como ya se haba hecho con el clculo cien aos antes. Cantor comenz esta tarea por medio del anlisis de las bases de las matemticas y explic todo basndose en los conjuntos (por ejemplo, la definicin de funcin se hace estrictamente por medio de conjuntos). Este monumental trabajo logr unificar a las matemticas y permiti la comprensin de nuevos conceptos.El problema apareci cuando se comenzaron a encontrar paradojas en esta teora, siendo la ms clebre la paradoja de Russell, y ms tarde varios matemticos encontraron ms paradojas, incluyendo al mismo Cantor. Russell descubri su paradoja en 1901, y la public en un apndice de su libro "Principios de las matemticas".Cuando los matemticos supieron de esta paradoja, muchos se preguntaron si las matemticas en realidad eran consistentes, y sobre todo verdaderas, ya que cualquier suposicin matemtica poda basarse en una teora inconsistente.La primera propuesta para solucionar el problema de las paradojas provino de un matemtico holands llamado Brouwer, quien propuso una redefinicin radical de todas las matemticas y prometi una solucin al conflicto. El programa de Brouwer se basaba en lo ms simple de la intuicin: el aceptaba los conceptos que son aparentes a la intuicin general. Esta filosofa rechazaba muchos principios fundamentales de las matemticas, pero en cambio, solucionaba satisfactoriamente el problema de las paradojas. Particularmente Brouwer rechazaba el principio del medio excluido, el cul deca que los elementos de un conjunto o bien tienen una propiedad A o no la tienen, lo cul sera la negacin de la propiedad A. A esta corriente de pensamiento se le llam intuicionismo.Por otro lado, David Hilbert se opuso al intuicionismo y aunque no toleraba las paradojas, no estaba dispuesto a ver las matemticas mutiladas. En 1904 propuso la teora de la prueba, la cul era una teora de la lgica independiente del contexto y podra ser aplicada a las matemticas sin encontrar paradojas. Russell a su vez desarroll su teora de los tipos para evitar las paradojas. El propona que los enunciados se acomodaran jerrquicamente. Russell public sus resultados en 1908 con la colaboracin de Alfred North Whitehead.La cuarta respuesta a la paradoja fue de Ernst Zermelo en 1908 con la axiomatizacin de la teora de conjuntos.La mejor prueba de que la teora de conjuntos no ha logrado unificar a las matemticas es que stas se han ramificado en reas muy diferenciadas, como la aritmtica, el lgebra, la trigonometra y geometra; tambin se han separados distintos campos como el clculo, la topologa, la teora de conjuntos, la teora de los nmeros y la estadstica.

OPERACIONES CON CONJUNTOSDecimos que dos conjuntosyson iguales si poseen exactamente los mismos elementos, y en este caso escribimos.Por ejemploes igual a, e igual aaunque aparezcan expresados en diferentes formas.Igualmente la repeticin formal de elementos iguales no quiere decir que sean conjuntos distintos (a menos que expresamente indiquemos lo contrario). Si consideramos el conjunto formado por las letras que componen la palabra ``operador", este sera, que es el mismo conjunto que. Observemos por tanto que con la definicin dada de igualdad de conjuntos, no importa ni el orden de aparicin de los elementos ni la repeticin de estos.Observacin:Es claro a partir de las definiciones que la igualdades equivalente a la doble inclusin,y, ya que si todo elemento delo es de, y todo elemento delo es de, necesariamente poseen los mismos elementos.Esta equivalencia es usada con frecuencia como tcnica de demostracin para probar que dos conjuntos son iguales. Conjunto complementario:Fijado un conjunto de referenciay un conjuntose define su complementario respecto decomo el conjunto formado por todos aquellos elementos deque no son elementos de. Denotamos pora este conjunto si no hay duda sobre quin es. Si se quiere explicitar el conjunto de referencia se puede expresar como

A partir de unos conjuntos se pueden obtener otros mediante operaciones de interseccin, unin, diferencia simtrica y producto. Interseccin:Fijado un conjunto de referenciay conjuntosyse define el conjunto interseccin de ambos, como el formado por todos aquellos elementos que son a la vez elementos dey de. Se nota.

Silos conjuntosyse dicen disjuntos. Si ademasdecimos que el parforma una particin de. Unin:Fijado un conjunto de referenciay conjuntosydefinimos el conjunto unin de ambos, y lo representamos por, al siguiente conjunto:

Diferencia :Dados dos conjuntosydefinimos el conjunto diferencia deyy lo representamos porcomo el siguiente conjunto:

(A veces se utiliza la notacin)Unin genrica:Dada una familia de conjuntos con ndice en un cierto conjunto,, definimos la unin genrica de los conjuntos de esa familia, y lo representamos porcomo el siguiente conjunto:

PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES DE CONJUNTOS

Dados conjuntos,,y un conjunto de referenciaes inmediato comprobar que se verifican las siguientes propiedades: Respecto de la unin Respecto de la interseccinDominancia Asociativa Conmutativa Idempotente Respecto de ambasSimplificativa Distributiva

Respecto del paso a complementario

CONJUNTOS NUMERICOS N, Z, Q Y R

1)N = Conjunto de losNmeros NaturalesN = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,.......}El conjunto de los Nmeros Naturales surgi de la necesidad de contar, lo cual se manifiesta en el ser humano desde sus inicios.Este conjunto se caracteriza porque:Tiene un nmeroilimitadode elementosCada elemento tiene unsucesory todos,excepto el 1,unantecesor.

El sucesor de un nmero natural se obtiene sumando uno (+1); el antecesor se obtiene restando uno (-1).2) N* = N0= Conjunto de los Nmeros CardinalesN0= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,.....}Al Conjunto de los Nmeros Naturales se le agreg el 0 (cero) y se forma el Conjunto de los Nmeros Cardinales.3) Z = Conjunto de losNmeros EnterosZ = { ..... 3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}El Conjunto de los Nmeros Enteros surge de la necesidad de dar solucin general a la sustraccin, pues cuando el sustraendo es mayor que el minuendo, esta sustraccin no tiene solucin en los Conjuntos Naturales y Cardinales (por ejemplo: 5 20 = ?). Debido a esto, la recta numrica se extiende hacia la izquierda, de modo que a cada punto que representa un nmero natural le corresponda unpunto simtrico, situado a la izquierda del cero. Punto simtrico es aquel que est ubicado a igual distancia del cero (uno a la derecha y el otro a la izquierda de l).Z = N* U Conjunto de los Nmeros Enteros negativosZ =Tiene 3 Subconjuntos:Enteros Negativos: ZEnteros Positivos: Z+Enteros Positivos y el Cero: Z0+Por lo tanto, el Conjunto de losNmeros Enteroses la unin de los tres subconjuntos mencionados.Z = Z U {0} U Z+4) Q =Conjunto de los Nmeros RacionalesQ = {....- , - , - , 0, , , ,.....}El conjunto de los Nmeros Racionales se cre debido a las limitaciones de clculo que se presentaban en el conjunto de los Nmeros Naturales, Nmeros Cardinales y Nmeros Enteros. Por ejemplo, slo se puede dividir en el conjunto de los Nmeros Enterossi y slo sieldividendo es mltiplo, distinto de cero, del divisor.Para solucionar esta dificultad, se cre este conjunto, el cual est formado por todos los nmeros de la formaa / b. Esta fraccin en la cual el numerador esa,es un nmero entero y el denominadorb,es un nmero entero distinto de cero.(Ver:Fracciones)El conjunto de losNmeros Racionales (Q )se ha construido a partir del conjunto de losNmeros Enteros (Z).Se expresa por comprensin como:Q = { a / b tal que a y b Z; y b 0 }Este conjunto se representa grficamente, dividiendo cada intervalo de una recta numrica en espacios iguales, que representen nmeros enteros. Cada una de estas subdivisiones representa una fraccin con denominador igual al nmero de partes de la subdivisin.Cada fraccin es unnmero racionaly cada nmero racional consta de infinitas fracciones equivalentes.5) I = Q* = Conjunto deNmeros IrracionalesI =Conjunto de Nmeros Decimales Infinitos no PeridicosEste conjunto surgi de la necesidad de reunir a ciertos nmeros que no pertenecen a los conjuntos anteriores; entre ellos se pueden citar a lasraces inexactas, elnmero Pi,etc. A l pertenecen todos losnmeros decimales infinitos puros, es decir aquellos nmeros que no pueden transformarse en una fraccin. No deben confundirse con los nmeros racionales, porque stos son nmeros decimales finitos, infinitos peridicos e infinitos semiperidicos ques pueden transformarse en una fraccin.Ejemplos: 1,4142135....0,10200300004000005....6) Conjunto de Nmeros Reales (R).

R = {....- 10, -1, - , - , - , 0, , 2, 5 , .....}Surgen de la necesidad de reunir los racionales y losirracionalesen un solo conjunto. Se denotan por R. R= {Q U irracionales}.

OPERACIONES DEL CONJUNTO R DE LOS NUMEROS REALESLa union del conjunto de los numeros racionales con el conjunto de los numeros irracionales, recibe el nombrede conjunto de los numeros reales y se denota con el smbolo R, simbolicamente escribimos:R = Q U I

INTERVALOS Los intervalos son subconjuntos de losnmeros realesque se pueden representar grficamente en la recta numrica por un trazo o una semirrecta.Existen intervalosabiertos, en los que no se incluyen los extremos;cerradosen los que se incluyen los extremos, y aquellos en que se combinan ambos.Para representar los intervalos se utiliza unacircunferencia vacaen el extremo, si este no se incluye, orellenasi se incluye.

El dibujo superior grafica el intervalo entre todos los nmeros (x) mayores que 7 (x > 7), excluido el 7, hasta el infinito (+ )

Este dibujo grafica el intervalo entre los nmeros (x) mayores o iguales a 7 (x 7), incluyendo el 7, hasta el infinito (+ ).Como vemos, la simbologa que se utiliza en loscasos abiertos(que no incluyen al extremo) son el signo (mayor que); y para loscasos cerrados(que incluyen al extremo) son el signo (mayor o igual que)o el signo (menor o igual que).De acuerdo con la simbologa y las caractersticas, existen los siguientes tipos de intervalos:Intervalo abierto, que se grafica

Se escribea < x < b(a es menor que equis y equis es menor que b) y tambin(equispertenece a los reales, tal queaes menor que equis y equis es menor queb)Esto significa que la solucin para la inecuacin se encuentra en todos los valores (nmeros reales) entreaybque hay en la recta numrica, pero que no incluyen nia nib.Intervalo cerrado, que se grafica

Se escribea x b(a menor o igual que equis, y equis menor a igual que b) y tambin(equispertenece a los reales, tal queaes menor o igual que equis y equis es menor o igual queb).Esto significa que la solucin para la inecuacin se encuentra en todos los valores entreaybque hay en la recta numrica, y que incluyen el valor dea y el deb.

Intervalo abierto a la izquierda,que se grafica

Se escribea < x b(a menor que equis, y equis menor o igual que b) y tambin(equispertenece a los reales, tal queaes menor que equis y equis es menor o igual queb).Esto significa que la solucin para la inecuacin se encuentra en todos los valores entreaybque hay en la recta numrica, y que no incluyen el valor dea pero s incluyen el valor deb.

Intervalo abierto a la derecha,que se grafica

Se escribea x < b(a menor o igual que equis y equis menor que b) y tambin(equispertenece a los reales, tal queaes menor o igual que equis y equis es menor queb).Esto significa que la solucin para la inecuacin se encuentra en todos los valores entreaybque hay en la recta numrica, y que incluyen el valor dea pero no incluyen el valor deb.

Intervalo infinito por la izquierda y abierto, que se grafica

Se escribex < a(equis es menor que a) y tambin(equispertenece a los reales, tal que equis es menor quea).Esto significa que la solucin para la inecuacin se encuentra en todos los valores entreay el infinito a la izquierda que hay en la recta numrica, y que no incluyen el valor dea.

Intervalo infinito por la izquierda y cerrado, que se grafica

Se escribex a(equis es menor o igual que a) y tambin(equispertenece a los reales, tal queequises menor o igual quea).Esto significa que la solucin para la inecuacin se encuentra en todos los valores entreay el infinito a la izquierda que hay en la recta numrica, y que incluyen el valor dea.Intervalo infinito por la derecha y abierto, que se grafica

Se escribex > a(equis es mayor que a) y tambin(equispertenece a los reales, tal queaes menor que equis)Esto significa que la solucin para la inecuacin se encuentra en todos los valores entreay el infinito a la derecha que hay en la recta numrica, y que no incluyen el valor dea.

Intervalo infinito por la derecha y cerrado, que se grafica

Se escribex a(equis es mayor o igual que a) y tambin(equispertenece a los reales, tal que equis es mayor o igual quea)Esto significa que la solucin para la inecuacin se encuentra en todos los valores entreay el infinito a la derecha que hay en la recta numrica, y que incluyen el valor dea.Como vemos, los intervalos se pueden representar con corchetes, pero tambin se puede hacer en forma de conjunto:Ejemplo:(equispertenece a los reales, tal queaes menor o igual que equis y equis es menor queb).

INECUACIONESLas inecuacionessondesigualdades algebraicasen la que sus dos miembros se relacionan por uno de estos signos:mayor que2x 1 > 7

mayor o igual que2x 1 7

Lasolucinde unainecuacines el conjunto de valores de la variable que la verifica.La solucin de la inecuacin se expresa mediante:1.Una representacin grfica.2.Un intervalo.2x 1 < 72x < 8 x < 4

(-, 4)

INECUACIONES LINEALESSuponemos que ya conocemos los smbolos > (mayor que), 1para sealar que 4 es mayor que 1. Tambin podemos escribir2 < 3para sealar que 2 es menor que 3.Ejemplos como estos se conocen comodesigualdades.Sabido esto, diremos que una inecuacin es el enunciado de una desigualdad que incluye alguna de las siguientes relaciones de orden: mayor que(>); menor que ( 1, porque 4 est a la derecha de 1 en la recta numrica.2 < 3, porque 2 est a la izquierda de 3 en la recta numrica3 < 1, porque -3 est a la izquierda de 1 en la recta numrica0 > 4, porque 0 est a la derecha de 4 en la recta numricaUnainecuacin lineal, entonces,es una expresin matemtica que describe cmo se relacionanentres dosexpresiones lineales.Porejemplo:3 + 5x 18; y otro,2(x + 3) < 9.

INECUACIONES CUADRATICAS

LasInecuaciones Cuadrticasson aquellas que tienen la variable elevada al cuadrado y su solucin se puede encontrar de dos formas: estudiando los signos de los factores encontrados luego de la factorizacin o estudiando la funcin cuadrtica.Si encuentras la solucin por los factores debes considerar todos los posibles signos que cumplan con la desigualdad y si es por la funcin una vez graficada se observa donde la funcin cumple con la desigualdad.

INECUACIONES RACIONALES

Son inecuaciones racionales, aquellas en las que tanto el numerador como el denominador son inecuaciones polinmicas cuadrticas o polinmicas de grado mayor a 2Es uno de los que trae ms complicaciones, porque una inecuacin racional es una expresin de tipo fraccin, donde la variable est en el numerador y el denominador.