béri balogh Ádám gimnázium, posta- és bankforgalmi ... · a kompetencia alapú oktatáshoz...

TÁMOP-3.1.4-08/2-2009-0011

„A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben”

Béri Balogh Ádám Gimnázium, Posta- és Bankforgalmi Szakközépiskola, Vasvár

matematika helyi tanterve a kompetencia alapú oktatáshoz

Vasvár, 2010. május

Összeállította: Nagy András

2

Béri Balogh Ádám Gimnázium, Posta- és Bankforgalmi Szakközépiskola

matematika helyi tanterve

BEVEZETÉS

A helyi tanterv a kompetencia alapú nevelés és oktatás feladatainak figyelembe vételével („A” típus: a matematikai kompetencia matematikai műveltségterületen történő fejlesztése matematikai kötelező tanóra keretében) és a középszintű érettségi követelményei alapján készült (40/2002. (V. 24.) OM rendelet).

A tananyag témakörökre történő felosztása igazodik az érettségi követelmények

felosztásához, így az öt témakör: Gondolkodási módszerek; Számtan, algebra; Geometria; Függvények, sorozatok; Valószínűség, statisztika.

A táblázat az egyes témakörökre felhasználható óraszámokat tartalmazza. Ezek a tanmenet elkészítése során átcsoportosíthatók.

Nappali tagozat

9. évfolyam 10. évfolyam 11. évfolyam 12. évfolyam

Gondolkodási módszerek 7 7 15 17

Számtan, algebra 45 46 46 26

Geometria 45 45 55 47

Függvények, sorozatok 18 14 21 27

Valószínűség, statisztika 6 9 15 13

Év végi ismétlés 9 9 15 14

Összesen 130 130 167 144

ALAPELVEK, CÉLOK, FELADATOK

A matematikatanítás célja és feladata a tanulók önálló, rendszerezett, logikus gondolkodásának kialakítása, fejlesztése. Mindezt az a folyamat biztosítja, amelynek során fokozatosan kiépítjük a matematika belső struktúráját (fogalmak, axiómák, tételek, bizonyítások elsajátítása), és a tanultakat változatos területeken alkalmazzuk. A matematikai nevelés sokoldalú eszközökkel fejleszti a tanulók kreatív gondolkodását, modellalkotó tevékenységét, kialakítja a megfogalmazott összefüggések, hipotézisek bizonyításának igényét, megmutatja a matematika hasznosságát, az emberi kultúrában betöltött szerepét.

A matematika a maga hagyományos és modern eszközeivel segítséget ad a természettudományok, az informatika, a technikai, a humán műveltségterületek, a mindennapi problémák értelmezéséhez, leírásához és kezeléséhez, a gazdasági, pénzügyi kérdések

3

áttekintéséhez, a helyes döntések meghozatalához. Szükséges, hogy a matematikatanítás során felvetett problémák kapcsolódjanak a környezeti neveléshez, a családi életre neveléshez, egészségneveléshez és a helyes fogyasztói magatartás kialakításához, továbbá, hogy a tanulók ismerkedjenek meg a matematika kultúrtörténeti vonatkozásaival is. A lehetőségekhez igazodva támogassa az elektronikus eszközök (zsebszámológép, számítógép, grafikus kalkulátor, internet stb.) célszerű felhasználásának megismerését, alkalmazásukat.

Fontos, hogy a tanulók képessé váljanak a pontos, kitartó, fegyelmezett munkára, törekedjenek az önellenőrzésre, legyenek képesek a várható eredmények becslésére. Törekedni kell a tanulók pozitív motiváltságának biztosítására, önállóságuk fejlesztésére, ugyanakkor képesek legyenek a problémák közös megoldására is. Ennek érdekében fontos a tanulókat a kooperatív munkaformához szoktatása, az erre alkalmas tananyagok egyes részleteinek csoportmunkában való feldolgozásával, a feladatmegoldások megbeszélése. A csoportmunkában elvégzett feladatok értelmezése és bemutatása közben a tanulók kommunikációs képessége is fejlődik. Differenciált munkaformákkal biztosítható a tehetséggondozás, és az elmaradók felzárkóztatása. Fokozatosan kialakítandó a matematika szaknyelvének pontos használata és jelölésrendszerének alkalmazása.

Nagy hangsúlyt kell fektetni a szemléltetésre, a tanulók önálló tevékenykedtetésére annak ellenére, hogy általános iskolai tanításhoz képest a deduktív módszerek is előtérbe kerülnek.

A helyi tanterven alapuló tananyag egy sikeres középszintű érettségi vizsgára készíti fel a tanulókat.

A helyi tanterv a 9-12. évfolyamokon folyó kompetencia alapú matematikai nevelés

fejlesztési feladatait a következő területeken jeleníti meg: – a követelmények teljesítéséhez javasolt időkeret, – fejlesztendő képességek, kompetenciák, – javasolt tevékenységek átfogó rendszere, – tartalmak (témakörök), ismeretrendszer, – évfolyamonkénti középszintű érettségi követelmények, – értékelési szempontok, módszerek.

A matematikai kompetencia a matematikai gondolkodás fejlesztésének és alkalmazásának

képessége, felkészítve ezzel az egyént a mindennapok problémáinak megoldására is. A kompetenciában és annak alakulásában a folyamatok és a tevékenységek éppúgy fontosak, mint az ismeretek. A matematikai kompetencia felöleli a matematikai gondolkodásmódhoz kapcsolódó képességek alakulását, használatát, matematikai modellek alkalmazását (képletek, modellek, grafikonok és táblázatok), valamint a törekvést ezek alkalmazására.

A matematika terén szükséges ismeretek magukban foglalják a számok, mértékek és

struktúrák, az alapműveletek és alapvető reprezentációk fejlődő ismeretét, a matematikai fogalmak, összefüggések, koncepciók és azon kérdések megértését, melyekre a matematika választ adhat.

A matematikai kompetencia birtokában az egyén rendelkezik azzal a képességgel, hogy alkalmazni tudja az alapvető matematikai elveket és folyamatokat az ismeretszerzésben és a problémák megoldásában, a mindennapokban, otthon és a munkahelyen. Követni és értékelni tudja az érvek láncolatát, matematikai úton képes indokolni eredményeket, megérti a

4

matematikai bizonyítást, a matematika nyelvén kommunikál, valamint alkalmazza a megfelelő segédeszközöket.

A matematika terén a pozitív attitűd az igazság tiszteletén és azon a törekvésen alapszik, hogy a dolgok logikus okát és érvényességét keressük.

5

A helyi tanterv hangsúlyai elsősorban a matematikai kompetencia következő készség-és képesség-komponensei köré szerveződtek:

Készségek Gondolkodási képességek Kommunikációs

képességek Tudásszerző képességek Tanulási képességek

Számlálás,

számolás,

mennyiségi következtetés,

becslés, mérés,

mértékegységváltás,

szövegesfeladat-

megoldás

rendszerezés

kombinativitás

deduktív következtetés

induktív következtetés

valószínűségi következtetés

érvelés, bizonyítás

relációszókincs

szövegértés,

szövegértelmezés

térlátás, térbeli viszonyok

ábrázolás, prezentáció

problémaérzékenység

probléma-reprezentáció

eredetiség, kreativitás

problémamegoldás

metakogníció

figyelem

rész–egész észlelés

emlékezet

feladattartás

feladatmegoldási sebesség

A táblázat dőlt betűvel írt részei a matematika tanulása, a matematikai kompetencia szempontjából különösen meghatározó jelentőségűek, ezek közül valók a kiemelt fejlesztési területek, amelyek kitüntetett figyelmet kapnak.

6

FEJLESZTÉSI FELADATOK ÉS KOMPETENCIÁK

A matematikai szemlélet fejlesztése

A középiskolai tanulmányok során a korábban szemléletesen, tevékenységek segítségével kialakított fogalmak megerősítésére, bizonyos fogalmak definiálására, általánosítására kerül sor. A különböző témakörökben megismert összefüggések feladatokban, gyakorlati problémákban való alkalmazása, más témakörökben való felhasználhatóságának felismerése, alkalmazásképes tudása fejleszti a tanulók matematizáló tevékenységét.

Az időszak végére szükség van a valós számkör biztos ismeretére, e számkörben megismert műveletek gyakorlati és elvontabb feladatokban való alkalmazására is. A tananyag különböző fejezeteiben a számításoknál fontos a zsebszámológép, a számítógép biztos használata, a számítógép alkalmazása. Műveleteket az algebrai kifejezések és a vektorok körében is értelmezünk és használunk.

Elengedhetetlen az elemi függvények ábrázolása koordináta-rendszerben és a legfontosabb függvénytulajdonságok meghatározása nemcsak a matematika, hanem a természettudományos tárgyak megértése miatt, különböző gyakorlati helyzetek leírásának érdekében is.

A geometriai ismeretek bővülése, a megismert geometriai transzformációk rendszerezettebb tárgyalása fejleszti a dinamikus geometriai szemléletet. A trigonometriai számítások a gyakorlat szempontjából fontosak (távolságok, szögek meghatározása számítás útján). A sík- és térgeometriai fogalmak és tételek mind a térszemlélet, mind az analógiás gondolkodás fejlesztése szempontjából lényegesek. A terület-, felszín-, térfogatszámítás más tantárgyakban is elengedhetetlen. A koordináta-geometria elemeinek tanításával a matematika különböző területeinek összefüggéseit s így a matematika komplexitását mutatjuk meg. A következtetési, a bizonyítási készség fejlesztése hangsúlyos ennél a korosztálynál. A „ha ..., akkor ...” az „akkor és csak akkor” helyes használata az élet számos területén (nem csak a matematikában) fontos.

Gyakorlottság a matematikai problémák megoldásában, jártasság a logikus gondolkodásban

A problémaérzékenységre, a problémamegoldásra nevelés fontos feladatunk. Ehhez elengedhetetlen egyszerű matematikai szövegek értelmezése, elemzése, s az hogy a tanulók minél többször önállóan oldjanak meg feladatokat. Aktívan vegyenek részt a tanítási, tanulási folyamatban.

A diszkussziós képesség fejlesztése, a többféle megoldás keresése, megtalálása és megbeszélése a logikus gondolkodást is fejleszti.

Hasznos az élet és a különböző tudományok megértéséhez (a társadalomtudományokéhoz is) a gyakorlatban fontos témák megismerése, pl. a geometriai számítások, a leíró statisztika és valószínűségszámítás elemeinek alkalmazása. Ez megmutatja a tanulók számára a matematika használhatóságát. El kell érnünk, hogy az érettségi előtt állók e területen bizonyos gyakorlottságra tegyenek szert.

7

Az elsajátított megismerési módszerek és gondolkodási műveletek alkalmazása

A 9–12. évfolyam matematikatanításában az induktív módszer mellett nagyobb szerepet kapnak a deduktív következtetések is. A tanítandó anyagban sejtéseket fogalmazunk (fogalmaztatunk) meg, melyek néhány lépésben bizonyíthatók vagy megcáfolhatók. Fontos a bizonyítás iránti igény felkeltése. Sor kerül néhány egyszerű tétel bizonyítására, bizonyítási módszerek megismerésére, valamint a fogalmak, szabályok pontos megfogalmazására. Alapvetően fontos az absztrakciós képesség fejlesztése.

Az érettségi előtti rendszerező összefoglaláskor a matematika komplexitását mutatja meg az elemi halmazelméleti és logikai ismeretek alkalmazása különböző témakörökben, valamint egyszerű modellek (pl. gráfok) szerepeltetése.

A logikus gondolkodás a problémamegoldásban, az algoritmikus eljárások során és az alkalmazásokban egyaránt lényeges. A matematika különböző területein néhány lépéses algoritmus készítése az informatika tanulmányozásához is fontos.

Természetesen ezen időszakban is elengedhetetlen a szemléltető ábrák és egyéb eszközök alkalmazása nemcsak a geometriában (trigonometriában), hanem a kombinatorikában és a statisztikában is. Az adatsokaságok különböző jellemzési lehetőségeinek megismertetésével ezen a téren is fejlesztjük az alkalmazásképes tudást.

Helyes tanulási szokások fejlesztése, a matematikatanulás szokásainak, képességének kialakítása

A gyakorlati számítások során alkalmazott újabb ismeretek egyre fontosabbá teszik az elektronikus eszközök célszerű használatát.

A közelítő értékekkel való számoláshoz különösen elengedhetetlen a becslés, a kerekítés, az ellenőrzés különböző módjainak alkalmazása, az eredmény realitásának eldöntése.

A tanulóktól megkívánjuk a szaknyelv pontos használatát, a jelölésrendszer helyes alkalmazását.

A matematikai szöveg értő olvasása, tankönyvek, lexikonok használata, szövegekből a lényeg kiemelése, a helyes jegyzeteléshez szoktatás a felsőfokú tanulást is segíti.

A helyes érvelésre szoktatással sokat tehet (és tesz is) a matematikatanítás a kommunikációs készség fejlesztéséért.

Fontos elérnünk, hogy a tanulók meg tudják különböztetni a definíciót, a sejtést és a tételt. Matematikatudásról akkor beszélhetünk, ha a definíciókat, tételeket alkalmazni is tudja a tanuló.

Nem hagyhatjuk figyelmen kívül, hogy a matematika a kultúrtörténet része. Komoly motiváció lehet tanításunkban a matematikatörténet egy-egy mozzanatának megismertetése, a máig meg nem oldott egyszerűnek tűnő matematikai sejtések megfogalmazása, nagy matematikusok élete, munkássága. Ehhez segítséget ad a könyvtár és az internet használata is.

8

A TANANYAG BEOSZTÁSA (nappali tagozatos képzés)

9

9. évfolyam

37 tanítási hét, heti 3,5 óra, összesen 130 óra

Témakörök Óraszám

I. Gondolkodási módszerek 7

II. Algebra 45

III. Geometria 45

IV. Függvények 18

V. Valószínűség, statisztika 6

VI. Év végi ismétlés 9

Összesen: 130

10

9. évfolyam: Gondolkodási módszerek (7 óra)

Képességfejlesztés

Képességfejlesztési fókuszok A képességfejlesztés megvalósulási lehetősége a témakörben

Számlálás, számolás Halmaz elemeinek száma, végtelen elemszámú halmazok, számosság. Halmazok közös részének és egyesítésének elemszáma logikai szitával.

Becslés, mérés, valószínűségi szemlélet Kombinatorikus gondolkodás segítségével fejlesztjük a valószínűségi szemléletet. Szövegesfeladat-megoldás, problémamegoldás, metakogníció

Pontos szövegértés, szövegelemzés, a szöveges feladatokban megfogalmazott hétköznapi problémák átemelése a matematika logikai rendszerébe, a metakogníció fejlesztése.

Rendszerezés, kombinativitás Különböző dolgok, tárgyak, elemek, fogalmak adott szempont szerinti csoportosítása, rendezése, összefüggések keresése. A kombinatív gondolkodás fejlesztése összetett, több irányba is nyitott végű probléma megoldása során.

Deduktív következtetés, induktív következtetés

Következtetés a speciális, konkrét megfigyelésektől az általános esetre, az induktív gondolkodás fejlesztése.

Tevékenységek

Konkrét dolgok csoportosítása adott, vagy a tanulók által javasolt szempontok szerint. Szituációs játék, barkochba játék egy-egy halmaz, vagy egy-egy elem kitalálására. Kevés számú elem esetén az összes sorrend megszámlálása, egyéni illetve csoportos kísérletek elvégzése során, ismétlődő elemek esetén is. Kiválasztási problémák konkrét bemutatása, megfigyelése. Adott síkbeli alakzatok, térformák csoportosítása, egyénileg. Játék számkártyákkal, dobókockával, kártyával.

Ismeretek, tananyag

11

A megismert számhalmazok (természetes számok, egész számok, racionális számok, valós számok), ponthalmazok áttekintése, véges és végtelen halmazok, az intervallum fogalma (nyitott, zárt). Tájékozódás a számegyenesen. Halmazműveletek: unió, metszet, részhalmaz képzés, két halmaz különbsége. Alaphalmaz, üres halmaz fogalma. Egyszerű azonosságok szemléletes bizonyítása (Venn-diagram). Egyszerű feladatok a logikai szita-formulára. Kombinatorikai feladatok megoldása, az összes eset áttekintése, sorba rendezés, kiválasztás, ismétlődő elemek esetén is. Az „akkor és csak akkor” használata. Állítások és tagadásuk megfogalmazása, azok igaz, hamis voltának eldöntése, az „és” illetve a „vagy” műveletek alkalmazása. Egyszerű következtetések, állítások és megfordításuk megfogalmazása. A definíció és a tétel különbözősége. Tétel és megfordítása.

Középszintű érettségi követelmények

Legyen képes a tanuló adott szövegben rejlő matematikai problémákat észrevenni, szükség esetén matematikai modellt alkotni, a modell alapján számításokat végezni, és a kapott eredményeket értelmezni. Ismerje és használja a halmazok megadásának különböző módjait, a halmaz elemének fogalmát. Definiálja és alkalmazza gyakorlati és matematikai feladatokban a következő fogalmakat: halmazok egyenlősége, részhalmaz, üres halmaz, véges és végtelen halmaz, komplementer halmaz. Ismerje és alkalmazza gyakorlati és matematikai feladatokban a következő műveleteket: egyesítés, metszet, különbség. Tudjon koordináta-rendszerben ábrázolni egyszerűbb ponthalmazokat. Véges halmazok elemeinek száma. Tudjon egyszerű matematikai szövegeket értelmezni. Ismerje és alkalmazza megfelelően a kijelentés (állítás, ítélet) fogalmát. Értse és egyszerű feladatokban alkalmazza az állítás tagadása műveletet. Ismerje az „és”, a „(megengedő) vagy” logikai jelentését, tudja használni és összekapcsolni azokat a halmazműveletekkel. Értse és használja helyesen az implikációt és az ekvivalenciát. Használja helyesen a „minden”, „van olyan” kvantorokat. Tudjon definíciókat, tételeket pontosan megfogalmazni. Használja és alkalmazza feladatokban helyesen a „szükséges”, az „elégséges” és a „szükséges és elégséges” feltétel fogalmát. Tudjon egyszerű sorbarendezési, kiválasztási és egyéb kombinatorikai feladatokat megoldani. Tudja kiszámolni a binomiális együtthatókat.

12

9. évfolyam: Számtan, algebra (45 óra)



Számlálás, számolás Konkrét számolási feladatok a valós számkörben, a számfogalom elmélyítése, egy szám többféle felírása, hatványozás, nagyságrendi viszonyok. A folytonosság érzékeltetése.

Mennyiségi következtetés Ismerkedés az irracionális számok tulajdonságaival, azok racionális számmal való szorzásával és osztásával, egyenes, fordított és egyéb arányossági következtetési szemlélet fejlesztése a valós számkörben.

Becslés, mérés, valószínűségi szemlélet

Az arányossági feladatok eredményének becslése. A becsült eredmények valószínű, valószínűtlen voltának eldöntése (szemléletfejlesztés). Mennyiségek mérése, azonos mértékrendszer használata, összetett mennyiségek ismerete ( Pl. sebesség, sűrűség, Ft/db, népsűrűség : db/m2 stb.) A mennyiségfogalom fejlesztése.

Szövegesfeladat-megoldás, problémamegoldás, metakogníció

A szövegértés tudatos fejlesztése, hétköznapi szöveg „lefordítása” a matematika nyelvére, a valóságbeli problémák matematikai értelmezése (a metakogníció fejlesztése).

Rendszerezés, kombinativitás

A szükséges adatok kikeresése, a fölösleges adatok mellőzése, a lényegkiemelő képesség fejlesztése. A korábbi matematikai ismeretek beépítése, a lehetséges alkalmazások megkeresése, a tanult új ismeret beillesztése, a rendszerező szemlélet alakítása. Számok felépítése prímszámokból, számok osztóinak és többszöröseinek kapcsolata.


Azonosságok, igaz, hamis egyenlőségek, konkrét számoktól az általános eset megfogalmazásáig (induktív gondolkodásmód fejlesztése). Azonosságok alkalmazása konkrét esetekben (deduktív gondolkodás fejlesztése).

13

Tevékenységek

Számolási feladatok írásban, fejben, önállóan, programozott lépések szerint. Elemi számelméleti összefüggések, prímszámok, összetett számok keresése. Oszthatósági szabályok, osztók, többszörösök meghatározása. Egyszerű szöveges összefüggések leírása matematikai jelekkel, hallás és olvasás alapján. Szöveges feladatok értelmezését szolgáló nyelvi játékok. Szöveges feladatok megoldása előtt a várható eredmények közös becslése, a megoldott egyenletek eredményének ellenőrzése, értelmezése, szöveges válasz a felvetett szöveges problémára. Egyéni, csoportos munkában arányosságok felfedezése sík és térbeli alakzatok tulajdonságai között, képletek, összefüggések elemzése. Gyűjtőmunka (egyéni, csoportos): szakácskönyvek, gépjármű katalógusok, stb. tanulmányozása, arányosságok keresése. Kutatási projektek (előadás, vagy írásbeli feldolgozás):

– matematikatörténeti témában, (pl.: a negatív számok, az irracionális számok kialakulása), – az arányosságok vizsgálata más tudományokban, – az aranymetszési arány a művészetekben, stb.

Ismeretek, tananyag

Betűk használata a matematikában, műveletek betűs kifejezésekkel. Egytagú, többtagú kifejezések; kifejezések fokszáma. A hatványozás értelmezése 0 és negatív egész kitevőre, a hatványozás azonosságai; számok abszolút értéke, normál alakja. Nevezetes azonosságok: kommutativitás, asszociativitás, disztributivitás; (a ± b)2, a2 – b2 szorzat alakja. Szorzattá alakítás módszerei: kiemelés, csoportosítás, nevezetes azonosságok alkalmazása. Ezen azonosságok alkalmazása egyszerű algebrai törtekkel végzett műveleteknél. (Egyszerűsítés, szorzás, osztás, összevonás.) Egyes változók kifejezése fizikai, kémiai képletekben. A lineáris egyenletek megoldásának áttekintése. Egyenletek megoldása mérlegelvvel, szorzattá alakítással, értelmezési tartomány és értékkészlet vizsgálatával. Paraméteres egyenletek. Gyakorlati, mindennapi életbeli problémák megoldása egyenletekkel. Elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendszer megoldása (behelyettesítő módszer, egyenlő együtthatók módszere, grafikus módszer). Egyenletrendszerre vezető szöveges feladatok, százalékszámítás, kamatszámítás, példák többismeretlenes egyenletrendszerre. Abszolútértékes egyenletek. Relatív prímek, oszthatósági feladatok (számolás maradékokkal, oszthatósági szabályok: 2-vel, 3-mal, 4-gyel, 5-tel, 9-cel való oszthatóság), a prímszámok száma. Prímtényezős felbontás, legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös. Példa számrendszerekre.

14


Tudjon alapműveleteket biztonságosan elvégezni (zsebszámológéppel is). Ismerje és használja feladatokban az alapműveletek műveleti azonosságait (kommutativitás, asszociativitás, disztributivitás). Ismerje, tudja definiálni és alkalmazni az oszthatósági alapfogalmakat (osztó, többszörös, prímszám, összetett szám). Tudjon természetes számokat prímtényezőkre bontani, tudja adott számok legnagyobb közös osztóját és legkisebb közös többszörösét kiszámítani, tudja mindezeket egyszerű szöveges (gyakorlati) feladatok megoldásában alkalmazni. Definiálja és alkalmazza feladatokban a relatív prímszámokat. Tudja a számelmélet alaptételét alkalmazni feladatokban. Ismerje a 10 hatványaira, illetve a 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 számokra vonatkozó oszthatósági szabályokat, tudjon egyszerű oszthatósági feladatokat megoldani. Tudjon más számrendszerek létezéséről. Tudja a számokat átírni 10-es alapú számrendszerből 2 alapú számrendszerbe és viszont. Helyiértékes írásmód. Tudja definiálni a racionális számot és ismerje az irracionális szám fogalmát. Ismerje a valós számkör felépítését (N, Z, Q, Q*, R) valamint a valós számok és a számegyenes kapcsolatát. Tudjon ábrázolni számokat a számegyenesen. Tudja az abszolútérték definícióját. Ismerje adott szám normálalakjának felírási módját, tudjon számolni a normálalakkal. A hatványozás értelmezése racionális kitevő esetén. Ismerje és használja a hatványozás azonosságait. Ismerje és alkalmazza a négyzetgyökvonás azonosságait. Tudja az egyenes és a fordított arányosság definícióját és grafikus ábrázolásukat. Tudjon arányossági feladatokat megoldani. Százalékszámítással kapcsolatos feladatok megoldása. Százalékszámítás alkalmazása a gyakorlatban. Ismerje a polinom fokszámát, fokszám szerint rendezett alakját. Tudja alkalmazni feladatokban a következő kifejezések kifejtését, illetve szorzattá alakítását: (a + b)2, (a − b)2, a2 − b2; Tudjon algebrai kifejezésekkel egyszerű műveleteket végrehajtani, algebrai kifejezéseket egyszerűbb alakra hozni (összevonás, szorzás, osztás, szorzattá alakítás kiemeléssel, nevezetes azonosságok alkalmazása). Ismerje az alaphalmaz és a megoldáshalmaz fogalmát. Alkalmazza a különböző egyenlet megoldási módszereket: mérlegelv, grafikus megoldás, ekvivalens átalakítások, következményegyenletre vezető átalakítások, új ismeretlen bevezetése stb.

15

Tudjon elsőfokú, egyismeretlenes egyenleteket megoldani. Kétismeretlenes elsőfokú egyenletrendszer megoldása. Alkalmazza az egyenleteket, egyenletrendszereket szöveges feladatok megoldásában. Tudjon |ax + b| = c típusú egyenleteket algebrai és grafikus módon, valamint |ax + b| = cx + d típusú egyenleteket megoldani. Ismerje az egyenlőtlenségek alaptulajdonságait (mérlegelv alkalmazása). Egyszerű elsőfokú egyenlőtlenségek és egyszerű egyismeretlenes egyenlőtlenség-rendszerek megoldása. Egyszerű abszolútértékes egyenletek megoldása.

16

9. évfolyam: Geometria (45 óra)



Számlálás, számolás Geometriai alakzatok mennyiségi jellemzői, csúcsok, élek, lapok száma, kerület, terület, élváz hossza, felület, térfogat nagysági viszonyai, mérőszámok összehasonlítása, rendezése, a számolási készség alkalmazása a valóság tárgyain, illetve azok geometriai modelljein.

Mennyiségi következtetés A sík- és térbeli alakzatok építése, következtetések megfogalmazása mennyiségi jellemzőik között. A mennyiségek folytonossága, fogalmának továbbfejlesztése.

Becslés, mérés, valószínűségi szemlélet Síkidomok kerületének, területének, térbeli alakzatok élvázának, felületének, térfogatának becslése. Valóságos tárgyak, modellek elkészítéséhez felhasználandó anyagok mennyiségének közelítő meghatározása, az ehhez szükséges képességek fejlesztése.


Szövegértelmezés továbbfejlesztése a lényegkiemelő képesség fejlesztése. A valóság tárgyainak geometriai modellezéséhez szükséges képességek, a térlátás fejlesztése.

Rendszerezés, kombinativitás Síkbeli és térbeli analógiák felfedezése. A valóság tárgyainak jellemzése a geometriai fogalmak segítségével, absztrakciós képesség fejlesztése.


Összefüggések, képletek felfedezése gyakorlati tapasztalatból kiindulva, azok általánosítása és alkalmazása más esetekben.

17

Tevékenységek

Tárgyak, testek, síkidomok csoportosítása megadott, vagy egyéni szempontok szerint. Csoportmunka: a sík ill. a tér kitöltése különböző formákkal. A síkon és a gömbön felrajzolt alakzatok tulajdonságainak megfigyelése: hasonlóságok, különbségek. Kutatómunka: (előadás, vetítés számítógéppel, interaktív programok az internetről). – Térformák, poliéderek, szimmetriák a síkban és a térben. – Geometriai motívumok a képzőművészetben. – Arányok a zenében, a természetben, stb.

Ismeretek, tananyag

Geometriai alapfogalmak (pontok, egyenesek és síkok kölcsönös helyzete), háromszögekkel, négyszögekkel, sokszögekkel kapcsolatos ismeretek kiegészítése, rendszerezése. Nevezetes ponthalmazok a síkban és a térben. A háromszög nevezetes vonalai, beírt köre, körülírt körre. Pitagorasz-tétel és alkalmazása. Thalész tétele, néhány alkalmazása, a kör és érintői, érintősokszög fogalma. Négyszögek osztályozása, speciális négyszögek: trapéz, paralelogramma, deltoid, húr- és érintőnégyszög. Kerület- és területszámítás, szerkesztés. A geometriai transzformáció fogalma, példák geometriai transzformációkra. A tengelyes és középpontos tükrözés, ezek tulajdonságai, néhány alkalmazása (tengelyes és középpontos szimmetria; a paralelogramma, a háromszög és a trapéz középvonala, a háromszög súlypontja). Az eltolás áttekintése, rendszerezése, a vektor fogalma, jellemzése, alkalmazása. Példa további egybevágósági transzformációra (pont körüli elforgatás, forgásszimmetria). Az egybevágóság mint reláció; alakzatok egybevágósága; háromszögek egybevágóságának alapesetei. Kör és szabályos sokszögek. A kör középponti szöge, körív hossza, körcikk kerülete, területe. A forgásszög fogalma, ívmérték. Egyszerű szerkesztési feladatok.

18


Ismerje a térelemeket és a szög fogalmát. Tudja a térelemek távolságára és szögére (pont és egyenes, pont és sík, párhuzamos egyenesek, párhuzamos síkok távolsága; két egyenes, egyenes és sík, két sík hajlásszöge) vonatkozó meghatározásokat. Ismerje a síkidomok, testek csoportosítását különböző szempontok szerint. Ismerje a felszín és a térfogat szemléletes fogalmát. Ismerje és használja megfelelően az alapfogalom, axióma, definiált fogalom, bizonyított tétel fogalmát. Tudja a kör, gömb, szakaszfelező merőleges, szögfelező fogalmát, használja a fogalmakat feladatmegoldásokban. Ismerje a síkidomok, testek csoportosítását különböző szempontok szerint. Tudja csoportosítani a háromszögeket oldalak és szögek szerint. Ismerje és alkalmazza az alapvető összefüggéseket háromszögek oldalai, szögei, oldalai és szögei között (háromszög-egyenlőtlenség, belső, illetve külső szögek összege, nagyobb oldallal szemben nagyobb szög van). Ismerje és alkalmazza speciális háromszögek tulajdonságait. Tudja a háromszög nevezetes vonalaira, pontjaira és köreire vonatkozó definíciókat, tételeket (oldalfelező merőleges, szögfelező, magasságvonal, súlyvonal, középvonal, körülírt, illetve beírt kör). Ismereteit alkalmazza egyszerű feladatokban. Ismerje és alkalmazza a Pitagorasz-tételt és megfordítását. Thalész-tétel alkalmazása. Ismerje a síkidomok csoportosítását különböző szempontok szerint. Ismerje a négyszögek fajtáit (trapéz, paralelogramma, deltoid) és tulajdonságaikat, alkalmazza ismereteit egyszerű feladatokban. Négyszögek osztályozása, speciális négyszögek: trapézok, paralelogrammák, deltoidok, kerület- és területszámítás, szerkesztési feladatok. Konvex síknégyszög belső és külső szögeinek összege, alkalmazásuk egyszerű feladatokban. Ismerje és alkalmazza konvex sokszögeknél az átlók számára, a belső és külső szögösszegre vonatkozó tételeket. Tudja a szabályos sokszög definícióját. Tájékozottság a megismert síkidomok tulajdonságaiban. Speciális háromszögek, négyszögek és szabályos sokszögek tulajdonságainak ismerete. Ismerje a síkbeli egybevágósági transzformációk (eltolás, tengelyes tükrözés, középpontos tükrözés, pont körüli forgatás) leírását, tulajdonságaikat. Alkalmazza a feladatokban az eltolás, tengelyes tükrözés, középpontos tükrözés, egybevágósági transzformációkat. Tudjon végrehajtani transzformációkat konkrét esetekben. Ismerje fel és használja feladatokban a különböző alakzatok szimmetriáit.

19

A kör részeinek ismerete, alkalmazása egyszerű feladatokban. A szög mérése fokban és radiánban. Tudja és használja, hogy a kör érintője merőleges az érintési pontba húzott sugárra, s hogy külső pontból húzott érintőszakaszok egyenlő hosszúak. Ismerje és alkalmazza feladatokban a következő definíciókat, tételeket: – vektor fogalma, abszolútértéke, – nullvektor, ellentett vektor, – vektorok összege, különbsége, vektor skalárszorosa, – vektorműveletekre vonatkozó műveleti azonosságok, – vektor felbontása összetevőkre. Vektorok alkalmazása feladatokban.

20

9. évfolyam: Függvények (18 óra)



Számlálás, számolás Az adott helyhez tartozó függvényértékek kiszámítása, a függvények tulajdonságainak (pl.: növekedési és fogyási viszonyainak) meghatározása. A grafikus megjelenítés a függvényértékek közötti reláció meghatározását képi formában is megerősíti.

Mennyiségi következtetés Mozgás-, hőingadozási- stb.- grafikonok, egyéb statisztikai adatokat szemléltető grafikonok segítségével tovább mélyíthető a mennyiségi következtetés képessége. A folytonos, a szakaszos és a diszkrét változások elemzése.

Becslés, mérés, valószínűségi szemlélet A grafikus ábrázolás közelítő képi megjelenítést biztosít. A valóság folyamatait leíró grafikonok, és a matematikai függvények grafikonjainak különbözősége, hasonlósága.


A valóságból merített szöveges faladatok algebrai megfogalmazása, az így leírt kétváltozós összefüggések ábrázolása a koordináta- rendszerben, többsíkú gondolkodást igényel, az ehhez szükséges képességek fejlesztése.


Kombinatív gondolkodást és az összefüggések felismerésének képességét feltételezik az alábbi műveletek:

– többféle grafikon együttes megfigyelése, a képi megjelenés és a valós folyamat kapcsolata. – a geometriai transzformációk alkalmazása a függvény-transzformációk végrehajtásánál. – a halmazszemlélet, az algebrai összefüggések és a geometriai tulajdonságok párhuzamos alkalmazása.


Konkrét számokkal és összefüggésekkel megadott függvényekről, átlépés az általános képletekkel megadottakra, illetve az általánosítás után azok konkrét alkalmazása.

21

Tevékenységek

Játék: tájékozódás térben, időben (csoportos), „torpedó”(páros). Tájékozódás térképen, földgömbön (párban). Adott tulajdonságú pontok keresése, pl. barkochba játékkal. Grafikonok készítése

– milliméterpapírra (egyéni), – mágnestáblán (csoportokban), – függvényábrázoló programokkal aktív táblára (tanári irányítással).

Ismeretek, tananyag

Tájékozódás a koordináta-rendszerben, pontok, tartományok keresése. A valóság változó jelenségeinek megfigyelése, az adatok lejegyzése, azok ábrázolása. Arányosságok megállapítása. Tanult összefüggések, képletek alkalmazása, az összetartozó értékek ábrázolása. Ábrázolás geometriai, fizikai képletek alapján. A függvény fogalma, elemi tulajdonságai; a lineáris függvény, abszolútérték függvény, másodfokú függvény, a négyzetgyök függvény,

gyakorlati példák további függvényekre (egészrész-, törtrész-, előjelfüggvény), a fordított arány, x

axa .

A vizsgált függvények elemi tulajdonságai: értékkészlet, értelmezési tartomány, zérushely, meredekség, monotonitás, szélsőértékek, tengelymetszet. Függvénytranszformációk. Egyszerű példák változó és értéktranszformációkra (eltolás az x illetve y tengely mentén). Kétismeretlenes egyenletrendszer grafikus megoldása.


Tudjon koordináta-rendszerben ábrázolni egyszerűbb ponthalmazokat. Legyen képes a tanuló a körülötte lévő világ egyszerűbb összefüggéseinek függvényszerű megjelenítésére, ezek elemzéséből tudjon következtetni valóságos jelenségek várható lefolyására. Legyen képes a változó mennyiségek közötti kapcsolat felismerésére, az összefüggésfüggés értelmezésére.

22

Legyen képes a tanuló adott szövegben rejlő matematikai problémákat észrevenni, szükség esetén matematikai modellt alkotni, a modell alapján számításokat végezni, és a kapott eredményeket értelmezni. Ismerje a függvénytani alapfogalmakat (értelmezési tartomány, hozzárendelés, képhalmaz, helyettesítési érték, értékkészlet.) Tudjon szövegesen megfogalmazott függvényt képlettel megadni. Tudjon helyettesítési értéket számítani, illetve tudja egyszerű függvények esetén f (x) = c alapján x-et meghatározni. Ismerje az egy-egy értelmű hozzárendelés fogalmát. Legyen képes a tanuló a körülötte lévő világ egyszerűbb összefüggéseinek függvényszerű megjelenítésére, ezek elemzéséből tudjon következtetni valóságos jelenségek várható lefolyására. Legyen képes a változó mennyiségek közötti kapcsolat felismerésére, a függés értelmezésére. Egyszerű függvények jellemzése (grafikon alapján) értékkészlet, zérushely, növekedés, fogyás, szélsőérték szempontjából. Tudja az egyenes arányosság definícióját, és grafikus ábrázolását. Tudjon arányossági feladatokat megoldani. Ismerje, tudja ábrázolni és jellemezni az f(x) = ax + b függvényt. Tudjon értéktáblázat és képlet alapján függvényt ábrázolni, illetve adatokat leolvasni a grafikonról. Ismerje, tudja ábrázolni és jellemezni az f(x) = |x| függvényt. Tudjon néhány lépéses transzformációt igénylő függvényeket függvénytranszformációk segítségével ábrázolni. [ f(x)+c; f(x+c); cf(x); f(cx)]. A másodfokú függvény elemi tulajdonságainak ismerete, leolvasása grafikonról. Képlettel megadott egyszerű függvények ábrázolása értéktáblázattal és transzformációval. Egyszerű példák változó- és értéktranszformációkra. Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek megoldása grafikusan.

23

9. évfolyam: Valószínűség, statisztika (6 óra)



Számlálás, számolás Statisztikai adatoknál számlálás, gyakoriság, relatív gyakoriság. Esetek leszámlálása.

Mennyiségi következtetés Egyszerű számítások relatív gyakoriságokkal. Gráfok és diagramok alkalmazása a szemléltetésre.

Becslés, mérés, valószínűségi szemlélet Egy kísérlet kimenetelének relatív gyakorisága és valószínűsége közötti kapcsolat. Szubjektív valószínűségi becslések és ellenőrzésük tapasztalatok elemzésével.


Olyan mindennapi szituációk értelmezése, ahol a véletlennek vagy a bizonytalanságnak szerepe van. Tömegjelenségek, újságcikkek olvasása és értelmezése. Egyszerű valószínűségi állítások jelentése a mindennapi életben.

Rendszerezés, kombinativitás Adatok rendszerezése, táblázatok, diagramok értelmezése. Deduktív következtetés, induktív következtetés

A statisztikai kijelentéseknek és következtetéseknek a klasszikus logikától eltérő tulajdonságai.

Tevékenységek

Adatgyűjtés statisztikai zsebkönyvből, internetről, újságokból, szaklapokból, vagy saját felméréssel. Adatok feldolgozása, számológép és számítógép szerepe. Játékok és megfigyelések, adatgyűjtés. Vita különböző esélylatolgatásról, csoportos munka.

24

Ismeretek, tananyag

Statisztikai adatok és ábrázolásuk (kördiagram, oszlopdiagram, sáv és vonaldiagram, stb.). Statisztikai adatok jellemzői: számtani közép, medián, módusz; adatok szóródásának mérése.


Tudjon adathalmazt szemléltetni. Tudjon adathalmazt táblázatba rendezni és a táblázattal megadott adatokat feldolgozni. Értse a véletlenszerű mintavétel fogalmát. Tudjon kördiagramot és oszlopdiagramot készíteni. Tudjon az adott diagramról információt kiolvasni. Tudja, és alkalmazza a következő fogalmakat: gyakorisági diagram, relatív gyakoriság. Ismerje és alkalmazza a következő fogalmakat: aritmetikai átlag (súlyozott számtani közép), medián (rendezett minta közepe), módusz (leggyakoribb érték). Tudja az adathalmazokat összehasonlítani a tanult statisztikai mutatók segítségével.

25

9. évfolyam: Év végi ismétlés (9 óra)

Ismeretek, tananyag

A tanév tapasztalatai alapján állítjuk össze az ismétlés tematikáját. Elvégezzük az esetlegesen szükséges pótlásokat. Rendszerezés, ismétlő feladatok.

Értékelési szempontok, módszerek

Differenciált feladatmegoldás szóban, írásban. Számolás a racionális számkörben, polinomokkal, algebrai törtekkel. Egyszerű egyenletre vezető szöveges problémák megoldása; modellalkotás. Grafikonok, táblázatok, diagramok vizsgálata; ismert függvények ábrázolása. Szemléltető és szerkesztett ábrák készítése geometriai alakzatokról; tulajdonságok megállapítása, következtetések, bizonyítások. Definíció, tétel, bizonyítás fogalma; egyszerű bizonyítások szóban és írásban.

26

10. évfolyam




II. Algebra 46

III. Geometria 45

IV. Függvények 14



Összesen: 130

27




Számlálás, számolás Céltudatos módszerek kialakítása a lehetséges esetek összeszámlálásakor. Mennyiségi következtetés Az elemek számának megváltozásából a lehetséges esetek számának változására való következtetés. Becslés, mérés, valószínűségi szemlélet Kombinatorikus gondolkodás segítségével a valószínűségi szemléletet fejlesztése. Szövegesfeladat-megoldás, problémamegoldás, metakogníció



Különböző dolgok, tárgyak, elemek, fogalmak adott szempont szerinti csoportosítása, rendezése, összefüggések keresése. A kombinatív gondolkodás fejlesztése összetett, több irányba is nyitott végű probléma megoldása során. A modellezési képesség fejlesztése a felvetett problémák gráfokkal való szemléltetésével.


Következtetés a speciális, a konkrét megfigyelésektől az általános esetre, az induktív gondolkodás fejlesztése.

Tevékenységek

Konkrét dolgok csoportosítása adott, vagy a tanulók által javasolt szempontok szerint. Kevés számú elem esetén az összes sorrend megszámlálása egyéni, illetve csoportos kísérletek elvégzése során, ismétlődő elemek esetén is. Kiválasztási problémák konkrét bemutatása, megfigyelése. Játék számkártyákkal, szabályos dobótestekkel, bármilyen általunk feliratozott kártyával. A felvetett problémákban megjelenő kapcsolatok modellezése gráfokkal, a megoldások adaptálása az eredeti szövegkörnyezetbe.

28

Ismeretek, tananyag

Állítások és tagadásuk megfogalmazása, azok igaz, hamis voltának eldöntése, az „és” ill. a „vagy” műveletek alkalmazása. Egyszerű következtetések, állítások és megfordításuk megfogalmazása. A definíció és a tétel különbözősége. Tétel és megfordítása. Bizonyítási módszerek, jellegzetes gondolatmenetek (indirekt módszer, skatulya-elv konkrét példákon keresztül). Kombinatorikai feladatok megoldása, sorba rendezés, kiválasztás, ismétlődő elemek esetén is. Változatos kombinatorikai feladatok a hétköznapi életből.


Tudjon egyszerű matematikai szövegeket értelmezni. Ismerje és alkalmazza megfelelően a kijelentés (állítás, ítélet) fogalmát. Értse és egyszerű feladatokban alkalmazza az állítás tagadása műveletet. Ismerje az „és”, a „(megengedő) vagy” logikai jelentését, tudja használni és összekapcsolni azokat a halmazműveletekkel. Értse és használja helyesen az implikációt és az ekvivalenciát. Használja helyesen a „minden”, „van olyan” kvantorokat. Tudjon definíciókat, tételeket pontosan megfogalmazni. Használja és alkalmazza feladatokban helyesen a „szükséges”, az „elégséges” és a „szükséges és elégséges” feltétel fogalmát. Tudjon egyszerű sorba rendezési, kiválasztási feladatokat megoldani.

29




Számlálás, számolás

Konkrét számolási feladatok a valós számkörben, a valós számok „megszámlálhatatlansága”, a valós szám fogalmának elmélyítése a négyzetgyökvonás bevezetésével. A racionális és az irracionális számokkal végzett műveletekkel a számolási készség továbbfejlesztése. A valós számok és a számegyenes pontjai közötti kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés, a folytonosság fogalmának előkészítése.

Mennyiségi következtetés Különböző mennyiségekkel megfogalmazott szöveges feladatokban az összefüggések algebrai jelekkel történő felírása, a következtetés képességének fejlesztése.


Az irracionális számok racionális számokkal való közelítése, az irracionális számok értékének becslése. A becsült eredmények valószínű vagy valószínűtlen voltának eldöntése, a valóságos folyamatok megismerési képességének fejlesztése. A szélsőérték fogalmának kialakítása a számtani és a mértani közép közötti összefüggés segítségéve, az alulról, illetve a fölülről történő becslés képességének fejlesztése.


A szövegértés tudatos fejlesztése, a hétköznapi szöveg „lefordítása” a matematika nyelvére, a valóságbeli problémák matematikai értelmezése. A kapott megoldások ellenőrzése és adaptációja az eredeti szövegkörnyezetbe, amely a magabiztosságot, az önértékelést fejleszti.


A szükséges adatok kikeresése, a fölösleges adatok mellőzése, a lényegkiemelő képesség fejlesztése. Szöveges, másodfokú egyenletek megoldásakor a felvetett problémának nem megfelelő hamis gyök kiszűrése, a diszkusszió igényének fejlesztése. A lehetséges alkalmazások megkeresése, a tanult új ismeret beillesztése a korábbi ismeretek rendszerébe, a rendszerező szemlélet alakítása.


Azonosságok kimondása, konkrét számoktól az általános eset megfogalmazásáig (induktív gondolkodásmód fejlesztése). Azonosságok alkalmazása konkrét esetekben (deduktív gondolkodás fejlesztése). Konkrét másodfokú egyenletek megoldása után a megoldóképlet levezetése, és alkalmazása.

30

Tevékenységek

Egyszerű szöveges összefüggések leírása matematikai jelekkel. Szöveges feladatok értelmezését szolgáló nyelvi játékok. Szöveges feladatok megoldása előtt a várható eredmények becslése, a megoldott egyenletek eredményének értelmezése, ellenőrzése. Szöveges válasz megfogalmazása a felvetett szöveges problémára. Egyéni, csoportos munkában azonosságok felfedezése, azok alkalmazása. Kutatási projektek (előadás, vagy írásbeli feldolgozás):

– matematikatörténeti témában, (az irracionális számok kialakulása, egyenlet-megoldási módszerek), – az arányosságok vizsgálata más tudományokban, – az aranymetszési arány a művészetekben, – internet használat.

Ismeretek, tananyag

A valós szám szemléletes fogalma, kapcsolata a számegyenessel, a valós számok tizedes tört alakja. Kapcsolat a racionális számok (közönséges) tört és tizedes tört alakja között.

Példák irracionális számokra (2 , szakaszok összemérhetetlensége). A négyzetgyökvonás azonosságai. Gyökjel alól kihozatal, gyökjel alá bevitel, törtek nevezőjének gyöktelenítése. Az n-edik gyök fogalma, azonosságai. A másodfokú egyenlet megoldása (teljes négyzetté kiegészítés), a megoldóképlet (a megoldhatóság vizsgálata, a diszkrimináns szerepe). Gyöktényezős alak, gyökök és együtthatók összefüggése. A másodfokú egyenlet és a másodfokú függvény kapcsolata. Paraméteres másodfokú egyenletek. Összefüggés két pozitív szám számtani és mértani közepe között. Egyszerű szélsőérték-feladatok megoldása. Másodfokú egyenletre vezető szöveges feladatok. Ekvivalens és nem ekvivalens lépések egyenletek átalakításánál.

31

Egyszerű négyzetgyökös egyenletek. Az értelmezési tartomány és az értékkészlet vizsgálata. Másodfokú egyenlőtlenség megoldása, a megoldások ábrázolása számegyenesen. Egyszerű másodfokú egyenletrendszerek.


Tájékozottság a valós számok halmazán, a racionális és irracionális számok tizedes tört alakja. Ismerje az irracionális szám fogalmát.

Definiálja és használja a a fogalmát. Adott n (n∈N) esetén tudja eldönteni, hogy n irracionális szám-e. Ismerje és alkalmazza a négyzetgyökvonás azonosságait. Tudja alkalmazni feladatokban a következő kifejezések kifejtését, illetve szorzattá alakítását: (a + b)2, (a − b)2, (a + b)3, (a − b)3, a2 − b2, a3 – b3. Tudjon algebrai kifejezésekkel egyszerű műveleteket végrehajtani, algebrai kifejezéseket egyszerűbb alakra hozni (összevonás, szorzás, osztás, szorzattá alakítás kiemeléssel, nevezetes azonosságok alkalmazása). Ismerje az alaphalmaz és a megoldáshalmaz fogalmát. Alkalmazza a különböző egyenletmegoldási módszereket: mérlegelv, grafikus megoldás, ekvivalens átalakítások, új ismeretlen bevezetése. Ismerje az egyismeretlenes másodfokú egyenlet általános alakját. Tudja meghatározni a diszkrimináns fogalmát. Ismerje és alkalmazza a megoldóképletet. Használja a teljes négyzetté alakítás módszerét. Alkalmazza feladatokban a gyöktényezős alakot. Tudjon törtes egyenleteket, másodfokú egyenletre vezető szöveges feladatokat megoldani. Egyszerű, másodfokúra visszavezethető egyenletek megoldása. Másodfokú függvényre vezető egyszerű szélsőérték- feladatok megoldása. Másodfokú egyenletrendszerek megoldása.

Tudjon a tanuló bax+ = cx+d típusú egyenleteket megoldani. Két pozitív szám számtani és mértani közepének fogalma, kapcsolatuk, használatuk.

32




Számlálás, számolás A kör és részei közötti összefüggésekkel a hiányzó adatok kiszámolása, az irracionális számokkal való számolás a valós szám fogalom elmélyítését segíti. Zsebszámológép biztos használatának elsajátítása.

Mennyiségi következtetés Hasonló alakzatok adatai közötti összefüggések (lineáris, másodfokú és harmadfokú arányok) alkalmazása valóság-közeli feladatok megoldásánál az arányérzéket fejleszti. A valós mérőszámmal megadott mennyiségek, a folytonosság fogalmának továbbfejlesztése.

Becslés, mérés, valószínűségi szemlélet Irracionális mértékű szakaszok és görbe vonalak hosszának közelítése racionális számokkal. A valóságos tárgyak méretei, és azok geometriai modellje közötti arány becslése. Síkidomok kerületének, területének, térbeli alakzatok felszínének becslése.


Szövegértelmezés továbbfejlesztése a lényegkiemelő képesség fejlesztése. A valóság tárgyainak geometriai modellezéséhez szükséges képességek továbbfejlesztése. A geometriai feladok algebrai megoldása során keletkező hamis gyökök kiválasztásának képessége.

Rendszerezés, kombinativitás A geometriai feladatok algebrai eszközökkel történő megoldási képességének fejlesztése. Geometriai fogalmak segítségével az absztrakciós képesség fejlesztése.


Összefüggések, képletek felfedezése gyakorlati tapasztalatból kiindulva, azok általánosítása és alkalmazása más esetekben, más tantárgyakban. Geometriai tételek bizonyítása során használt logikai műveletekkel, az induktív illetve a deduktív következtetés képességének fejlesztése.

33

Tevékenységek

Körívekkel készíthető motívumok tervezése. Makettek, modellek készítése a hasonlóság felhasználásával. Csoportmunka: – hasonló háromszögek megfelelő szögeinek összehasonlítása. – parkettázás hasonló síkidomokkal. – hasonló testek hálójának elkészítése

Kutatómunka: – matematikatörténeti érdekességek.(kör, hasonlóság) – előadás, vetítés számítógéppel, aktív táblán, interaktív programok az internetről. – geometriai motívumok a képzőművészetben.

Ismeretek, tananyag

A körrel kapcsolatos ismeretek bővítése: – kerületi és középponti szög fogalma – kerületi szögek tétele – húrnégyszög fogalma, húrnégyszögek tétele – érintőnégyszög fogalma

Párhuzamos szelők és szelőszakaszok tétele. A szögfelezőtétel. A középpontos hasonlósági transzformáció fogalma és tulajdonságai. A hasonlósági transzformáció fogalma, síkidomok hasonlósága. A háromszögek hasonlóságának alapesetei. A hasonlóság alkalmazásai: háromszög súlyvonalai, súlypontja, arányossági tételek a derékszögű háromszögben (befogótétel, magasságtétel), körhöz húzott érintő és szelőszakaszok tétele. Hasonló síkidomok területének aránya, hasonló testek térfogatának aránya. Pitagorasz tételének alkalmazása. Hegyesszögek szögfüggvényeinek értelmezése, szögfüggvények alkalmazása derékszögű háromszög hiányzó adatainak kiszámítására, gyakorlati feladatok. Háromszög területe két oldalával és a bezárt szög segítségével.

34

Síkbeli és térbeli számítások (pl. háromszögek, négyszögek, sokszögek területének meghatározása szögfüggvények segítségével). Nevezetes szögek szögfüggvény-értékeinek kiszámítása. A vektorok összege, szorzása számmal, vektor felbontása különböző irányú összetevőkre a síkban. Vektorok a koordinátarendszerben.


Tudja a kör, gömb, szakaszfelező merőleges, szögfelező fogalmát. Használja a fogalmakat feladatmegoldásokban. A kör részeinek ismerete, alkalmazása egyszerű feladatokban. Tudja és használja, hogy a kör érintője merőleges az érintési pontba húzott sugárra, s hogy külső pontból húzott érintőszakaszok egyenlő hosszúak. A szög mérése fokban és radiánban. Kerületi és középponti szög fogalmának ismerete. Tudja és alkalmazza feladatokban, hogy a középponti szög arányos a körívvel és a hozzá tartozó körcikk területével. Tudja és alkalmazza feladatokban a Thalész-tételt és megfordítását. Ismerje a síkbeli egybevágósági transzformációk (eltolás, tengelyes tükrözés, középpontos tükrözés, pont körüli forgatás) leírását, tulajdonságaikat. Alkalmazza a feladatokban az egybevágósági transzformációkat (eltolás, tengelyes tükrözés, középpontos tükrözés). Tudjon végrehajtani transzformációkat konkrét esetekben. Ismerje és tudja alkalmazni feladatokban a háromszögek egybevágósági alapeseteit. Ismerje fel és használja feladatokban a különböző alakzatok szimmetriáit. Ismerje a transzformációk leírását, tulajdonságait, alkalmazza azokat. Alkalmazza a középpontos nagyítást, kicsinyítést egyszerű, gyakorlati feladatokban. Szakasz adott arányú felosztása. Hasonló alakzatok felismerése, (pl. háromszögek hasonlósági alapesetei) alkalmazása, arány felírása. Tudja és alkalmazza feladatokban a hasonló síkidomok területének arányáról és a hasonló testek felszínének és térfogatának arányáról szóló tételeket. Tudja csoportosítani a háromszögeket oldalak és szögek szerint. Ismerje és alkalmazza az alapvető összefüggéseket háromszögek oldalai, szögei, oldalai és szögei között (háromszög-egyenlőtlenség, belső, illetve külső szögek összege, nagyobb oldallal szemben nagyobb szög van). Ismerje és alkalmazza speciális háromszögek tulajdonságait.

35

Tudja a háromszög nevezetes vonalaira, pontjaira és köreire vonatkozó definíciókat, tételeket (oldalfelező merőleges, szögfelező, magasságvonal, súlyvonal, középvonal, körülírt, illetve beírt kör) és ismereteit alkalmazza egyszerű feladatokban. Ismerje és alkalmazza a Pitagorasz-tételt és megfordítását. Ismerje és alkalmazza feladatokban a magasság- és a befogótételt. Tudja hegyesszögek szögfüggvényeit derékszögű háromszög oldalarányaival definiálni, ismereteit alkalmazza feladatokban. Tudja és alkalmazza a szögfüggvényekre vonatkozó alapvető összefüggéseket: pótszögek, kiegészítő szögek, negatív szög szögfüggvénye, pitagoraszi összefüggés. Tudjon hegyes szögek esetén szögfüggvényeket kifejezni egymásból. Ismerje és alkalmazza a nevezetes szögek (30°, 45°, 60°) szögfüggvényeit. Ismerje a kerület és a terület szemléletes fogalmát.

Háromszög területének kiszámítása különböző adatokból: t = 2

ama ⋅, t =

2sinα⋅ab

.

Nevezetes négyszögek területének számítása. Szabályos sokszögek kerületének és területének számítása. Kör, körcikk, körszelet kerülete, területe. Kerület- és területszámítási feladatok. Vektorok összege, különbsége, szorzása számmal. Vektorok lineáris kombinációjának fogalma. Vektorok felírása a koordináta-rendszerben; vektorok koordinátái, helyvektor fogalma. Vektorok alkalmazása egyszerű geometriai bizonyítási feladatokban.

36




Számlálás, számolás Az adott helyhez tartozó függvényértékek kiszámításával. A függvények tulajdonságainak meghatározásával, a függvényértékek közötti relációban kijelölt műveletek elvégzésével a nagysági viszonyok megértésének elmélyítése.

Mennyiségi következtetés

Mozgás-grafikonok, illetve az egyéb mennyiségi összefüggéseket ábrázoló grafikonok segítségével a mennyiségi következtetés képességének fejlesztése. A szélsőértékek meghatározásával a kisebb, nagyobb reláció fogalmának elmélyítése. A folytonos, a szakaszos és a diszkrét változások elemzésével a valóság mennyiségi viszonyainak jobb megértése.

Becslés, mérés, valószínűségi szemlélet A grafikus ábrázolás közelítő képi megjelenítést biztosít. A mindennapi élet folyamatait leíró grafikonok, és a matematikai függvények grafikonjainak különbözősége, hasonlósága fejleszti a valóság-szemléletet.


A valóságból merített szöveges faladatok algebrai megfogalmazása, az így leírt kétváltozós összefüggések ábrázolása a koordináta- rendszerben. Az ezekhez szükséges többsíkú gondolkodás képességek fejlesztése.


Kombinatív gondolkodást és az összefüggések felismerésének képességét feltételezik az alábbi műveletek: – többféle grafikon együttes megfigyelése, a képi megjelenés és a valós folyamat kapcsolata – geometriai transzformációk alkalmazása a függvény-transzformációk végrehajtásánál – periodicitás a mindennapi életben és a függvényeknél


Konkrét számokkal megadott transzformációs lépések után, áttérés az általános képletekkel megadottakra, illetve az általánosítás után azok konkrét alkalmazása.

37

Tevékenységek

Grafikonok készítése: – milliméterpapírra (egyéni) – mágnestáblán, csomagolópapíron (csoportokban) – grafikus kalkulátor használata – függvényábrázoló programokkal aktív táblára (tanári irányítással).

Ismeretek, tananyag

Tájékozódás a koordináta rendszerben, pontok, tartományok keresése. Intervallum fogalma, alkalmazása. Lineáris törtfüggvény. A szögfüggvényfogalom kiterjesztése, a forgásszög szögfüggvényeinek értelmezése, összefüggések a szög szögfüggvényei között ( 1cossin 22 =+ αα , pótszögek szögfüggvényei közötti kapcsolat, kiegészítő szögek szögfüggvényei közötti kapcsolat, szögek ellentettjének szögfüggvényei). A trigonometrikus függvények (sin x, cos x, tg x, ctg x) tulajdonságai (értelmezési tartomány, monotonitás, zérushelyek, szélsőértékek, periodicitás, értékkészlet), a függvények ábrázolása. Egyszerű trigonometrikus egyenletek megoldása.


A függvény matematikai fogalma. Ismerje a függvénytani alapfogalmakat. Tudjon szövegesen megfogalmazott függvényt képlettel megadni, helyettesítési értéket számítani. Ismerje az egy-egyértelmű megfeleltetés fogalmát. Ismerje és alkalmazza a függvényeket gyakorlati problémák megoldásánál. Az inverzfüggvény fogalmának szemléletes értelmezése. Ismerje, tudja ábrázolni és jellemezni az alábbi hozzárendeléssel megadott (alapvető) függvényeket:

38

f(x) = ax+b; f(x) = x2; f(x) = x3; f(x) = ax2+bx+c; f(x) = x , f(x) = |x|, f(x) = sin x; f(x) = cos x; f(x) = tg x. Másodfokú egyenlőtlenség grafikus megoldása. Tudjon értéktáblázat és képlet alapján függvényt ábrázolni, illetve adatokat leolvasni a grafikonról. Tudjon néhány lépéses transzformációt igénylő függvényeket függvénytranszformációk segítségével ábrázolni [f(x)+c; f(x+c); c·f(x); f(cx)]. Egyszerű függvények jellemzése (grafikon alapján) értékkészlet, zérushely, növekedés, fogyás, szélsőérték, periodicitás, paritás, aszimptota szempontjából. Az f(x) = sin x; f(x) = cos x; f(x) = tg x, f(x) = ctg x trigonometrikus függvények tulajdonságaik alkalmazása egyszerű trigonometrikus egyenletek és egyenlőtlenségek megoldása során.

39




Számlálás, számolás Statisztikai adatoknál számlálás, gyakoriság, relatív gyakoriság kiszámolása, az adatsokaság elemeinek megszámlálása a számfogalom továbbfejlesztését segíti.

Mennyiségi következtetés A relatív gyakoriságok meghatározásával, a valószínűségszámítási feladatok megoldásával, az alkalmazott arányossági összefüggésekkel a következtetési képességet fejlesztjük (additivitás, szorzási szabály, komplementer esemény esélye).

Becslés, mérés, valószínűségi szemlélet A mindennapi életben lejátszódó folyamatok valószínűségének becslése. Statisztikai valószínűség és a relatív gyakoriság kapcsolatának elemzése. Az események valószínűségének becslése.


Tömegjelenségek vizsgálata. Újságcikkek olvasása és elemzése. Olyan mindennapi szituációk értelmezése, ahol a véletlennek vagy a bizonytalanságnak fontos szerepe van. A mindennapi életben megfogalmazott valószínűségi állítások vizsgálata.

Rendszerezés, kombinativitás Az összes eset és a kedvező esetek felsorolásával, kombinatorikai módszerrel megoldható valószínűségek kisszámításával fejlesztjük a kombinatív gondolkodást.


A valószínűségi és statisztikai kijelentések és következtetések a klasszikus logikától eltérő tulajdonságainak ismerete. Nagy elemszámú eseteket tartalmazó valószínűségek megadása induktív módszerrel.

40

Tevékenységek

Adatgyűjtés tényleges tevékenységgel: Internetről, újságokból, egyéb módon, pl. felmérések készítése. Adatok feldolgozása zsebszámológéppel, grafikus kalkulátorral és számítógéppel. Csoport munka: a gyűjtött adatok elemzése

– adatok táblázatba rendezése, osztályba sorolása – statisztikai mutatók meghatározása – grafikonok készítése – statisztikai mutatók, grafikonok, táblázatok

Ismeretek, tananyag

Valószínűségi kísérletek, a valószínűség becslése, kiszámítása egyszerű esetekben. Gyakoriság és relatív gyakoriság. A valószínűség szemléletes fogalma (esemény, lehetetlen esemény, biztos esemény, komplementer esemény fogalma, valószínűsége). Műveletek eseményekkel. A valószínűség kiszámítása konkrét esetekben.


A valószínűség fogalmának ismerete. Szemléletes kapcsolat a relatív gyakoriság és a valószínűség között. Véges sok kimenetel esetén szimmetria megfontolásokkal számítható valószínűségek (egyenlő esélyű elemi eseményekből) egyszerű feladatokban. Esemény, eseménytér konkrét példák esetén. Események összegének és szorzatának fogalma, tulajdonságai. A klasszikus valószínűségi modell (Laplace-modell) ismerete, és annak alapján megoldható egyszerű gyakorlati problémák megoldása.

41


Ismeretek, tananyag



Differenciált feladatmegoldás szóban, írásban. Problémamegoldás lépéseinek lejegyzése, tudatosítása, indoklása. Geometriai számolási, szerkesztési, bizonyítási feladatok megoldásának tervezése, lejegyzése, végrehajtása. Első- vagy másodfokú egyenletre vezető gyakorlati, mindennapi példák megoldása. Szögfüggvények alkalmazása gyakorlati számolási feladatokban. Speciális függvények ábrázolása, vizsgálata. Hasonló alakzatok vizsgálata a mindennapi életből vett példák alapján. Valószínűségi kísérletek végrehajtása, értékelése, a megfelelő valószínűségi modell megalkotása. A modell alkalmazása.

42

11. évfolyam




II. Algebra 46

III. Geometria 55

IV. Függvények 21



Összesen: 167

43




Számlálás, számolás A klasszikus valószínűségszámítás kapcsán a lehetséges esetek összeszámlálásának céltudatos módszerének kialakítása, a logikai szita alkalmazása.

Mennyiségi következtetés Az elemek számának változása és a lehetséges esetek számának kapcsolata. A deduktív gondolkodási mód továbbfejlesztése, és a levont sejtés közötti kapcsolat megfogalmazásának és indoklásának kialakítása.


Kombinatorikus gondolkodás segítségével fejlesztjük a valószínűségi szemléletet. A statisztikai adatsokaság értelmezésével, és annak jellemzőinek megkeresésével fejlesztjük az összekapcsolódó fogalmak közötti kapcsolatok értelmezését. A valószínűségi szemlélet továbbfejlesztése, a szerencsejátékok működési elvének megismerésével közelíthetjük a matematikát és a valós életet egymáshoz. Ezzel fejlesztjük a tanulók döntési, és becslési képességét is.


Pontos szövegértés, szövegelemzés, a szöveges feladatokban megfogalmazott hétköznapi problémák átemelése a matematika logikai rendszerébe, a metakogníció továbbfejlesztése.

Rendszerezés, kombinativitás Különböző dolgok, tárgyak, elemek, fogalmak adott szempont szerinti csoportosítása, rendezése, összefüggések keresése. A kombinatív gondolkodás fejlesztése összetett, több irányba is nyitott végű probléma megoldása során.


Következtetés a speciális, konkrét megfigyelésektől az általános esetre, a szemléltetés fontossága az induktív gondolkodás fejlesztése. Egyre nagyobb hangsúlyt kap ennél a korosztálynál a deduktív gondolkodásra való képesség fejlesztése is.

44

Tevékenységek

A kombinatorika ismétlésekor kevés számú elem esetén az összes sorrend megszámlálása, egyéni illetve csoportos kísérletek elvégzése során, ismétlődő elemek esetén is. Kiválasztási problémák konkrét bemutatása, megfigyelése. Játék számkártyákkal, dobókockával, urnából kihúzott kísérletek elvégzése. A valószínűség értékének becslése, majd a kapott eredmény értelmezése.

Ismeretek, tananyag

Véges halmaz permutációi, variációi, kombinációi számának meghatározása egyszerű esetekben. Binomiális együtthatók, Pascal-háromszög. Véges halmaz részhalmazainak száma. Vegyes kombinatorikai feladatok. Gráfelméleti alapfogalmak, alkalmazásuk. Feladatok megoldása gráfokkal.


Tudjon egyszerű sorbarendezési, kiválasztási és egyéb kombinatorikai feladatokat megoldani. Tudja kiszámolni a binomiális együtthatókat. Tudjon konkrét szituációkat szemléltetni, és egyszerű feladatokat megoldani a gráfok segítségével. Véges sok kimenetel esetén szimmetria megfontolásokkal számítható valószínűségek (egyenlő esélyű elemi eseményekből) egyszerű feladatokban. Esemény, eseménytér konkrét példák esetén. A klasszikus (Laplace)-modell ismerete. Szemléletes kapcsolat a relatív gyakoriság és a valószínűség között. Valószínűségek kiszámítása visszatevéses mintavétel esetén, binomiális eloszlás.

45





Konkrét számolási feladatok a valós számkörben, a matematika legkülönbözőbb területein. Ezzel is mélyítjük a valós számok fogalmát Műveletek racionális és irracionális számokkal. A valós számok és a számegyenes pontjai közötti kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés, a folytonosság érzékeltetése.

Mennyiségi következtetés Szögmérés különféle egységei közötti átváltás, ívmérték, fok.

Becslés, mérés, valószínűségi szemlélet A közelítő értékekkel való számolás valamint a zsebszámológép használata (hatványértékek, logaritmus, trigonometria) miatt kiemelten elengedhetetlen a becslés szerepe. A kapott eredmények realitásának eldöntésére szoktassuk a tanulókat.


A szövegértés tudatos fejlesztése, hétköznapi szöveg „lefordítása” a matematika nyelvére, a valóság problémáinak matematikai értelmezése (a metakogníció továbbfejlesztése). A természet jelenségeinek értelmezése, azok matematikai modellezése, az exponenciális és logaritmikus folyamatok szövegben való alkalmazása.


A szükséges adatok kikeresése, a fölösleges adatok mellőzése, a lényegkiemelő képesség fejlesztése folyamatos a középiskolai évek alatt is. A hatványértékek nagyságrendjének rendszerezése az alapok változása szerint, ez a különböző alapú hatványfüggvények megértését készíti elő. Az inverz függvény fogalmának további elmélyítése az exponenciális és logaritmus függvények kapcsán. A lehetséges alkalmazások megkeresése, a tanult új ismeret beillesztése, a rendszerező szemlélet alakítása.


Azonosságok, konkrét számoktól az általános eset megfogalmazásáig (induktív gondolkodásmód fejlesztése). Azonosságok alkalmazása konkrét esetekben (deduktív gondolkodás fejlesztése). A permanencia elvének felfedezése, annak megértése a hatványozás kiterjesztésekor.

46

Tevékenységek

Egyszerű szöveges összefüggések leírása matematikai jelekkel. Szöveges feladatok értelmezését szolgáló nyelvi játékok. Szöveges feladatok megoldása előtt a várható eredmények közös becslése, a megoldott egyenletek eredményének ellenőrzése, értelmezése, szöveges válasz a felvetett szöveges problémára. Egyéni, csoportos munkában azonosságok felfedezése, azok alkalmazása. Kutatási projektek (előadás, vagy írásbeli feldolgozás)

− matematikatörténeti témában (logaritmus kialakulása, az első logaritmus táblázatok) − internet használata: exponenciális és logaritmikus jelenségek a természetben.

Ismeretek, tananyag

Másodfokúra visszavezethető magasabb fokú egyenletek, egyenletrendszerek megoldása új ismeretlen bevezetésével. A hatványozás kiterjesztése pozitív alap esetén racionális kitevőkre. A hatványozási azonosságok. A logaritmus értelmezése. A logaritmus, mint a hatványozás inverz művelete. A logaritmus azonosságai. Exponenciális és logaritmikus egyenletek, egyenlőtlenségek. Egyszerű trigonometrikus egyenletek megoldása.


Másodfokúra visszavezethető magasabb fokú egyenletek, egyenletrendszerek megoldása új ismeretlen bevezetésével. A hatványozás értelmezése racionális kitevő esetén. Ismerje és használja a hatványozás azonosságait.

Definiálja és használja az n a fogalmát.

47

Ismerje és alkalmazza a gyökvonás azonosságait.

Tudjon egyszerű négyzetgyökös ( bax+ = cx + d) egyenleteket megoldani. Definiálja és használja feladatok megoldásában a logaritmus fogalmát, valamint a logaritmus azonosságait. Tudjon definíciók és azonosságok közvetlen alkalmazását igénylő exponenciális és logaritmikus egyenleteket megoldani. Tudjon áttérni más alapú logaritmusra. Tudjon definíciók és azonosságok közvetlen alkalmazását igénylő feladatokat megoldani. Tudja a szögfüggvények általános definícióját. Tudja és alkalmazza a szögfüggvényekre vonatkozó alapvető összefüggéseket: pótszögek, kiegészítőszögek, negatív szög szögfüggvénye, pitagoraszi összefüggés. Tudjon hegyes szögek esetén szögfüggvényeket kifejezni egymásból. Ismerje és alkalmazza a nevezetes szögek (30°, 45°, 60°) szögfüggvényeit. Tudjon definíciók és azonosságok közvetlen alkalmazását igénylő trigonometrikus egyenleteket megoldani.

48





A vektorokkal végzett műveletek helyes végrehajtása (rendezett számpár szerepének tudatos alkalmazása). Alakzat pontjainak koordinátái közötti kapcsolatok kiszámolása. Háromszögek hiányzó adatainak kiszámolása (előzmény: derékszögű háromszögben való eligazodás). Zsebszámológép biztos használata.

Mennyiségi következtetés

A tanulók biztos eligazodása a koordinátasíkon. Ismert adatokból logikus rend szerint ismeretlen adatok meghatározása. Vázlat elkészítése, az ismert adatok célszerű színezésével. A mennyiségek folytonossága fogalmának továbbfejlesztése.


A feladatok várható eredményének becslése, különösen a szöveges feladatok esetén. Valóságból vett mért értékű feladatok matematikai átfogalmazása, azok megoldása, és az eredmények visszakonvertálása a valós problémába. Koordinátákkal adott feladatok esetén az eredmények ellenőrzése a koordináta-rendszerben.


Szövegértelmezés továbbfejlesztése a lényegkiemelő képesség fejlesztése. A valóság tárgyainak geometriai modellezéséhez szükséges képességek továbbfejlesztése. A geometriai feladok algebrai megoldása során keletkező hamis gyökök kiválasztásának képessége.


A geometriai feladatok megoldási tervének elkészítési képessége. A geometriai feladatok algebrai eszközökkel történő megoldásának képessége. A megoldások helyességének és számának vizsgálata, a diszkussziós képesség fejlesztése. Geometriai fogalmak segítségével az absztrakciós képesség fejlesztése.



49

Tevékenységek

Csoportmunkában egy-egy feladat többféle megközelítése, megoldása. Kutatómunka: − Matematikatörténeti érdekességek az analitikus geometria kialakulásáról. − Előadás, vetítés számítógéppel, aktív táblán, interaktív programok az Internetről.

Ismeretek, tananyag

A vektorokról tanultak áttekintése, rendszerezése. A vektorműveletek tulajdonságai. Vektorok a koordinátarendszerben. Két vektor skaláris szorzata. A skaláris szorzat tulajdonságainak felsorolása. A skaláris szorzat koordinátákkal kifejezve, a skaláris szorzat alkalmazásai. Szinusztétel, koszinusztétel és az alkalmazásukhoz szükséges egyszerű trigonometrikus egyenletek. Távolság, magasság és szög meghatározása gyakorlati feladatokban és a fizikában, számítások háromszögekben. Helyvektor. Műveletek koordinátákkal adott vektorokkal. Szakasz osztópontja. A háromszög súlypontja. Két pont távolsága, szakasz hossza. Egy alakzat egyenletének fogalma. Az egyenes irányára jellemző adatok: az irányvektor, a normálvektor, az iránytangens, irányszög fogalma, kapcsolatuk. Az egyenes egyenlete, különböző alakjai. Két egyenes párhuzamosságának, merőlegességének feltétele, két egyenes metszéspontja A kör egyenlete. A kétismeretlenes másodfokú egyenlet és a kör egyenletének kapcsolata. Kör és egyenes kölcsönös helyzete. A kör érintője.

50


Ismerje és alkalmazza feladatokban a következő definíciókat, tételeket: vektor fogalma, abszolútértéke, nullvektor, ellentett vektor, vektorok összege, különbsége, vektor skalárszorosa; vektorműveletekre vonatkozó műveleti azonosságok; vektor felbontása összetevőkre, skaláris szorzat definíciója, tulajdonságai, vektor koordinátái, a vektor 90°-os elforgatottjának koordinátái, vektorok összegének, különbségének, skalárral való szorzatának koordinátái, skalárszorzat kiszámítása koordinátákból. Vektorok alkalmazása feladatokban. Tudja AB vektor koordinátáit, abszolútértékét. Két pont távolságának, szakasz felezőpontjának, harmadoló pontjainak felírása, alkalmazása feladatokban. A háromszög súlypontja koordinátáinak felírása, alkalmazása feladatokban. Tudja felírni különböző adatokkal meghatározott egyenesek egyenletét. Egyenesek metszéspontjának számítása. Ismerje egyenesek párhuzamosságának és merőlegességének koordinátageometriai feltételeit. Elemi háromszög- és négyszög-geometriai feladatok megoldása koordinátageometriai eszközökkel. Adott középpontú és sugarú körök egyenletének felírása. Kétismeretlenes másodfokú egyenletből a kör középpontjának és sugarának meghatározása. Kör és egyenes metszéspontjának meghatározása. A kör adott pontjában húzott érintő egyenletének felírása. Alkalmazza ismereteit feladatokban. A külső pontból húzható érintő egyenletének felírása speciális esetben (amikor az egyik érintő valamelyik koordinátatengellyel párhuzamos). Tudja és használja a szinusz- és koszinusztételt. Tudjon számolásokat végezni általános háromszögben.

51




Számlálás, számolás Az adott helyhez tartozó függvényértékek kiszámítása, a függvények tulajdonságainak meghatározása. A függvényértékek közötti relációban kijelölt műveletek elvégzése.

Mennyiségi következtetés A szélsőértékek meghatározásával a kisebb, nagyobb reláció fogalmának elmélyítése. A folytonos, a szakaszos és a diszkrét változások elemzése.

Becslés, mérés, valószínűségi szemlélet A grafikus ábrázolás közelítő képi megjelenítést biztosít. A valóság folyamatait leíró grafikonok, és a matematikai függvények grafikonjainak különbözősége, hasonlósága, különös tekintettel a természetben exponenciális illetve logaritmikus tulajdonságú jelenségekre.


A valóságból merített szöveges faladatok algebrai megfogalmazása, az így leírt kétváltozós összefüggések ábrázolása a koordináta- rendszerben, ami többsíkú gondolkodást igényel, az ehhez szükséges képességek fejlesztése.


Kombinatív gondolkodást és az összefüggések felismerésének képességét feltételezik az alábbi műveletek: − többféle grafikon együttes megfigyelése, a képi megjelenés és a valós folyamat kapcsolata. − a geometriai transzformációk alkalmazása a függvény-transzformációk végrehajtásánál. − konkrét függvények tulajdonságaiból következtetések levonása.


Konkrét számokkal és összefüggésekkel megadott függvényekről, átlépés az általános képletekkel megadottakra, illetve az általánosítás után azok konkrét alkalmazása.

52

Tevékenységek

Grafikonok készítése − milliméterpapírra (egyéni) − mágnestáblán, csomagolópapíron (csoportokban) − függvényábrázoló programokkal aktív táblára (tanári irányítással).

Ismeretek, tananyag

A 2x, a 10x függvény, az exponenciális függvény vizsgálata, exponenciális folyamatok a természetben. Hatványfüggvények egyszerűbb kitevőre. A logaritmus függvény, mint az exponenciális függvény inverze. Az n-edik gyökfüggvény egyszerűbb kitevőre. A hatvány és a gyökfüggvény kapcsolata. Hatványozás kiterjesztése. Exponenciális és logaritmikus függvények ismerete egyszerűbb alapok esetén. A szögfüggvényekről tanultak áttekintése., forgásszög szögfüggvényei. Trigonometrikus függvények (sin x, cos x, tg x). A tanult függvények tulajdonságai (értelmezési-tartomány, értékkészlet, zérushely, szélsőérték, monotonitás, periodicitás, paritás). A szögfüggvények transzformációi: f(x)+c; f(x+c); cf(x); f(cx).


Tudjon szövegesen megadott függvényt képlettel megadni. Tudjon értéktáblázat és képlet alapján függvényt ábrázolni, illetve adatokat leolvasni a grafikonról. Tudjon néhány lépéses transzformációt igénylő függvényeket függvénytranszformációk segítségével ábrázolni [f(x) + c; f(x+c); c f(x); f(cx) ].

Tudja ábrázolni az f(x) = x ; g(x) = x2 és h(x) = x3 függvények grafikonját, adott intervallum felett is. Függvények jellemzése értékkészlet, zérushely, növekedés, fogyás, szélsőérték, paritás szempontjából.

53

Ismerje, tudja ábrázolni és jellemezni az f(x) = ax és g(x) = logax függvényeket, adott intervallum felett is. Az inverzfüggvény szemléletes értelmezése. Ismerje és alkalmazza a függvényeket gyakorlati problémák megoldásánál, egyenletek, egyenlőtlenségek megoldásánál. Tudja a szögfüggvények általános definícióját. Tudjon trigonimetrikus függvényeket transzformálni néhány lépésben [f(x) + c; f(x+c); c f(x); f(cx) ]. Tudja és alkalmazza a szögfüggvényekre vonatkozó alapvető összefüggéseket: pótszögek, kiegészítőszögek, negatív szög szögfüggvénye, pitagoraszi összefüggés. Tudjon hegyes szögek esetén szögfüggvényeket kifejezni egymásból. Ismerje és alkalmazza a nevezetes szögek (30°, 45°, 60°) szögfüggvényeit. Tudjon definíciók és azonosságok közvetlen alkalmazását igénylő trigonometrikus egyenleteket megoldani.

54





Halmazok elemeinek különböző tulajdonságok alapján való tudatos, tervszerű összeszámlálása. Az eseménytér együttesen bekövetkező eseményeinek felfedezése, a valószínűség kiszámításánál ennek figyelembe vétele. Az adatsokaság elemeinek megszámlálása.

Mennyiségi következtetés Egyszerű számítások relatív gyakoriságokkal, kombinatorikus módszerekkel megoldható valószínűség-számítási feladatok. (additivitás, szorzási szabály, komplementer esemény valószínűgének meghatározása után következtetés levonása a keresett esemény valószínűségére).


A mindennapi életben lejátszódó folyamatok valószínűsége. Statisztikai valószínűség és a relatív gyakoriság kapcsolata, Az események valószínűségének becslése. Véges sok kimenetel esetén szimmetria megfontolások alkalmazása a valószínűség meghatározásánál egyszerűbb feladatokban. Geometriai valószínűségszámítási problémák reális eredményének becslése.


Azon mindennapi szituációk értelmezése, ahol a véletlennek vagy a bizonytalanságnak szerepe van. Egyszerű valószínűségi állítások jelentése a mindennapi életben.

Rendszerezés, kombinativitás Az összes eset és a kedvező esetek felsorolása. Kombinatorikai típusú valószínűségek számítása. A geometria metrikus adatai és a valószínűség összekapcsolása.


A valószínűségi és statisztikai kijelentések és következtetések a klasszikus logikától eltérő tulajdonságai.

55

Tevékenységek

A kombinatorika ismétlésekor a rendszerezés különböző módjainak végrehajtása (esetek összeszámlálása, fadiagram…) csoportmunkában. Adatgyűjtés tényleges tevékenységgel, Internetről, újságokból, statisztikai zsebkönyvből. Adatok feldolgozása zsebszámológéppel, számítógéppel. Csoportmunka: a gyűjtött adatok elemzése (statisztikai mutatók, grafikonok, táblázatok). Szerencsejátékok szabályrendszerének megértéséhez a megfelelő játékok bemutatása, esetleg kipróbálása (különböző típusú lottószelvények kitöltése, totó, rulett, kaparós sorsjegyek…).

Ismeretek, tananyag

Egyszerű valószínűségszámítási problémák. Néhány konkrét eloszlás vizsgálata. Műveletek eseményekkel konkrét valószínűség-számítási példák esetén („és”, „vagy”, „nem”). Gyakoriság, relatív gyakoriság, valószínűség fogalma, kapcsolata. A valószínűség klasszikus modellje Kombinatorikus valószínűségszámítás. Statisztikai mintavétel. (Visszatevéses és visszatevés nélküli mintavétel.) Statisztikai adatok jellemzése: átlag, medián, módusz, terjedelem, szórás, átlagos és abszolút eltérés, grafikonok, diagramok.


Adatok szemléltetése, táblázatba rendezése. Tudjon adatsokaságokat összehasonlítani a tanult statisztikai mutatók segítségével. Ismerje a tanult statisztikai adatokat és tudja őket meghatározni, ábrázolni (kördiagram, oszlopdiagram, gyakorisági diagram, stb.), számtani közép, medián, módusz, adatok szóródása. Szórás kiszámolása adott adathalmaz esetén számológéppel. Ismerje a gyakoriság, relatív gyakoriság, valószínűség fogalmát, és kapcsolatukat. Elemi és összetett események megkülönböztetése. A klasszikus (Laplace-modell) ismerete.

56


Ismeretek, tananyag



Differenciált feladatmegoldás szóban, írásban. Probléma megoldásának lépéseinek lejegyzése, tudatosítása, indoklása. Szükséges adatok gyűjtése mindennapi életből vett problémák megoldásához. Összeszámlálási stratégiák, módszerek. Szemléltetés gráfokkal, mindennapi példák. A hatvány, a gyök és a logaritmus fogalmának alkalmazása gyakorlati példákban. A mindennapi életből vett geometriai problémák megoldása a szögfüggvények és a kapcsolódó tételek alkalmazásával. A geometria analitikus modelljének alkalmazása egyszerű gyakorlati problémákban. Statisztikai minták vizsgálata, következtetések, jóslások. Projektek készítése matematika történeti érdekességekről. Projektek készítése matematikával kapcsolatos érdekességekről, pl. fraktálok, bűvészmutatványok, stb. Matematikai modellek megjelenítése számítógépen.

57

12. évfolyam




II. Algebra 26

III. Geometria 47

IV. Függvények 27


VI. Felkészülés az érettségire 14

Összesen: 144

58




Számlálás, számolás A zsebszámológép biztos használata, a műveleti sorrendek tudatos alkalmazása a valós számkörben.

Mennyiségi következtetés A deduktív gondolkodásmód továbbfejlesztése. A konkrét számpéldák, és a belőlük levont sejtés közötti kapcsolat megfogalmazásának és indoklásának kialakítása, különösen a sorozatok képzési szabályainak felismerésekor.

Becslés, mérés, valószínűségi szemlélet A térgeometriai feladatoknál különösen nagy szerepe van a mérésnek és a becslésnek. A modell mért adatainak konvertálása a valóságba.



Rendszerezés, kombinativitás A tanév végi rendszerező összefoglalásnál felfedeztetjük a matematika bizonyos területeinek szoros kapcsolatát. A térszemlélet fejlesztése, eligazodás a világban.


Következtetés a speciális, konkrét megfigyelésekből az általános esetre, a szemléltetés fontossága, az induktív gondolkodás fejlesztése. Egyre nagyobb hangsúlyt kap ennél a korosztálynál a deduktív gondolkodás képességének fejlesztése is.

Tevékenységek

Nyitott végű igaz–hamis állításokkal fejlesztjük a tanulók szintetizáló képességét. A deduktív gondolkodás tudatos fejlesztése. A sejtések helyes cáfolata (az ellenpélda szerepe), vagy a sejtések indoklása.

59

Ismeretek, tananyag

Kijelentés fogalma, műveletek kijelentésekkel: konjunkció, diszjunkció, negáció, ekvivalencia, implikáció. A logikai műveletekre vonatkozó egyszerű azonosságok. Szükséges és elégséges feltétel. A halmazelméleti és logikai ismeretek kapcsolata, rendszerezése. A megismert bizonyítási módszerek összefoglalása. Néhány példa a teljes indukció megismertetésére. A kombinatorikai és gráfokkal kapcsolatos ismeretek áttekintése.


Az „és” (konjunkció), „vagy” (diszjunkció) logikai műveletek értelmezésének ismerete, alkalmazása összetett állításokban. Az „állítás tagadása” (negáció) logikai művelet ismerete, alkalmazása. Ezeknek a logikai műveleteknek az összekapcsolása a megfelelő halmazműveletekkel. Az implikáció és az ekvivalencia helyes használata állításokban. A „minden” és „van olyan” kvantorok helyes használata. A tanult tételek és definíciók pontos megfogalmazása. A „szükséges”, „elégséges”, „szükséges és elégséges” feltételek helyes használata feladatokban, tételekben. Tudjon konkrét szituációkat szemléltetni és egyszerű feladatokat megoldani gráfok segítségével. Tudjon egyszerű sorbarendezési, kiválasztási és egyéb kombinatorikai feladatokat megoldani.

60




Számlálás, számolás Konkrét számolási feladatok a valós számkörben, a matematika legkülönbözőbb területein. Ezzel is valós számok fogalmát mélyítjük. Műveletek racionális és irracionális számokkal.

Mennyiségi következtetés Az arányosság alkalmazása hasonló alakzatok méreteinek összehasonlításakor.

Becslés, mérés, valószínűségi szemlélet A közelítő értékekkel számolás, valamint a zsebszámológép állandó használata (gazdasági matematika, térgeometria, felszín és térfogat számítás) miatt kiemelten elengedhetetlen a becslés szerepe. Szoktassuk a tanulókat a kapott eredmények realitásának eldöntésére!


A szövegértés tudatos fejlesztése, hétköznapi szöveg „lefordítása” a matematika nyelvére, a valóságbeli problémák matematikai értelmezése (a metakogníció továbbfejlesztése). A természet jelenségeinek értelmezése, azok matematikai modellezése.

Rendszerezés, kombinativitás A szükséges adatok kikeresése, a fölösleges adatok mellőzése, a lényegkiemelő képesség fejlesztése. Deduktív következtetés, induktív következtetés

A tanult azonosságok és összefüggések kiválasztásának képessége szükséges a geometriai és a függvénytani feladatok megoldásánál.

Tevékenységek

Szöveges összefüggések leírása matematikai jelekkel. Szöveges feladatok megoldása előtt a várható eredmények becslése, a kapott eredményének ellenőrzése, értelmezése, szöveges válasz a felvetett szöveges problémára. A tér- és síkgeometriai feladatok modellezése, a felvetett probléma megoldásához szükséges összefüggések felfedezése.

61

Ismeretek, tananyag

Rendszerező összefoglalás: Számelméleti összefoglalás. A valós számok és részhalmazai. A műveletek értelmezése, műveleti tulajdonságok. Közelítő értékek. Nevezetes másod- és harmadfokú algebrai azonosságok. Az egyenletmegoldás módszerei. Az alaphalmaz szerepe (értelmezési tartomány és értékkészlet vizsgálata). Egyenlőtlenségek. Egyenlet-, illetve egyenlőtlenségrendszerek. Másodfokú kifejezések. Másodfokú egyenletek, Viete-formulák. Négyzetgyökös kifejezések és egyenletek. Exponenciális, logaritmikus és trigonometrikus kifejezések, egyszerű egyenletek. Szöveges feladatok. Paraméteres feladatok.


A korábbi években a matematika különböző témaköreinél tanult fogalmak, definíciók, tételek, összefüggések, azonosságok, algoritmusok ismerete, alkalmazása. Közelítő értékekkel való rutinos számolás.

62




Számlálás, számolás A műveleti sorrend biztos alkalmazása, különösen a térgeometria összetettebb képleteinél, behelyettesítéskor. Zsebszámológép biztos használata.

Mennyiségi következtetés Ismert adatokból logikus rend szerint az ismeretlen adatok meghatározása. Vázlat készítése, az ismert adatok célszerű színezésével. A mennyiségek folytonossága, fogalmának továbbfejlesztése.

Becslés, mérés, valószínűségi szemlélet A feladatok várható eredményének becslése, különösen a szöveges feladatok esetén. Valóságból vett feladatok matematikai átfogalmazása, azok megoldása, és az eredmények érékelése az adott valós probléma alapján.


Szövegértelmezés továbbfejlesztése, a lényegkiemelő képesség fejlesztése. A valóság tárgyainak geometriai modellezéséhez szükséges képességek továbbfejlesztése. A geometriai feladok algebrai megoldása során keletkező hamis gyökök kiválasztásának képessége. A geometriai feladatok megoldásának elemzése, diszkussziója


A tanult síkidomok kerületének és területének rendszerező áttekintése. Ugyanazon síkidom területének többféle képlete közötti kapcsolat felfedeztetése. A geometriai feladatok megoldási tervének elkészítési képessége. A geometriai feladatok megoldása algebrai eszközökkel. Az adatok rendszerezése, a feladatban szereplő adatok illesztése a megválasztott egységhez. Geometriai fogalmak segítségével az absztrakciós képesség fejlesztése.



63

Tevékenységek

Csoportmunkában egy-egy feladat többféle megközelítése. Testek építése, és azokon különböző tulajdonságaik felfedezése. Kutatómunka: - Matematikatörténeti érdekességek az egyes mértani testekkel kapcsolatban. - Arkhimédész sírfelirata - Fraktálok - Csillagpoliéderek - Az építészet és a szobrászat remekei - Előadás, vetítés számítógéppel, bemutató az aktív táblán, interaktív programok használata az internetről.

Ismeretek, tananyag

Térelemek kölcsönös helyzete, távolsága, szöge. Egyszerű kombinatorikus geometriai problémák vizsgálata. A síkra merőleges egyenes tételének ismerete. Egyszerű poliéderek. A terület- és kerületszámítással kapcsolatos ismeretek összefoglalása. A terület és a térfogat fogalma. A poliéderek felszíne, térfogata. A hengerszerű testek, a henger felszíne és térfogata. Kúpszerű testek. A kúpszerű testek felszíne és térfogata. A csonkagúla, csonkakúp térfogata, felszíne. A gömb felszíne, térfogata. Poliéderek és forgástestek körülírt és beírt gömbjei Rendszerező összefoglalás: Geometriai alapfogalmak, ponthalmazok. A geometriai transzformációk áttekintése. Háromszögekre vonatkozó tételek és alkalmazásaik. Négyszögekre vonatkozó tételek és alkalmazásaik.

64

Körre vonatkozó tételek és alkalmazásaik. Vektorok, vektorok koordinátái. Vektorműveletek, műveleti tulajdonságok, alkalmazások. Derékszögű koordináta-rendszer. Alakzatok egyenlete. Trigonometrikus összefüggések és alkalmazásaik.


Ismerje a kerület és terület szemléletes fogalmát.

Háromszögek területének kiszámítása különböző adatokból: t = 2

ama ⋅, t =

2

sinγ⋅ab.

Nevezetes négyszögek területének kiszámítása. Szabályos sokszögek kerületének és területének kiszámítása. Kör, körcikk, körszelet kerülete, területe. Kerület és területszámítási feladatok. Tudja és alkalmazza feladatokban a hasonló síkidomok területének arányáról szóló tételeket. A poliéderek szemléletes definíciója, alapfogalmak ismerete (pl.: alkotó, alaplap, magasság). Ismerje a felszín és a térfogat szemléletes fogalmát. Hasáb, gúla, forgáshenger, forgáskúp, gömb, csonkagúla és csonkakúp felszínének és térfogatának kiszámítása képletbe való behelyettesítéssel.

65





A zsebszámológép biztos használata. A műveleti sorrend tudatos alkalmazása a valós számkörben minden tanult műveletre nézve. A százalékszámítás alapelemeivel biztos használata. A kifejezések helyettesítési értékének magabiztos meghatározása különösen a rekurzív definíció esetén.

Mennyiségi következtetés Adott sorozatbeli elemek alapján definiált szabály szerint a többi elem kiszámolása, sorozatbeli elemek összegzése.

Becslés, mérés, valószínűségi szemlélet A gazdasági matematikában a várható reális eredmények megbecsülése, és összevetése a kiszámolt értékekkel.


A valóságból merített szöveges faladatok algebrai megfogalmazása, átültetése a matematika jelölésrendszerébe. Ez többsíkú gondolkodást igényel, az ehhez szükséges képességek fejlesztése.


Az összefüggések felismerésének képességét feltételezi a sorozatok elemei közötti kapcsolatok vizsgálata, a sorozatok tulajdonságainak meghatározása. A sorozat elemeinek megfigyelése grafikonon, a képi megjelenés és a valós folyamat kapcsolata. Konkrét sorozatok tulajdonságaiból következtetések levonása.


Konkrét számokkal és összefüggésekkel megadott sorozatokból átlépés az általánosításra, illetve az általánosítás után azok konkrét alkalmazása. A kapott eredmények értelmezése.

Tevékenységek

Grafikonok készítése. Bankok ajánlatainak összehasonlítása. Áremelések és árleszállítási katalógusok gyűjtése, és a bennük található adatok feldolgozása.

66

Ismeretek, tananyag

A sorozat fogalma. Sorozatok tulajdonságai, grafikonja. Számtani sorozat definíciója, az n. tag, az első n elem összege. Mértani sorozat definíciója, az n. tag, az első n elem összege. Kamatoskamat-számítás. Példák egyéb sorozatokra (rekurzió, pl. a Fibonacci-sorozat). Rendszerező összefoglalás: A függvényekről tanultak áttekintése, rendszerezése. Az alapfüggvények ábrázolása. Függvénytranszformációk: f(x)+c; f(x+c); c f(x); f(cx). Függvényvizsgálat a függvények grafikonjainak segítségével.


Ismerje a számsorozat fogalmát és használja a különböző megadási módjait. Tudjon olyan feladatokat megoldani a számtani és mértani sorozatok témaköréből, ahol a számtani, illetve mértani sorozat fogalmát és az an -re, illetve az Sn -re vonatkozó összefüggéseket kell használni. Tudja a kamatos kamatra vonatkozó képletet használni, s abból bármelyik ismeretlen adatot kiszámolni. A függvénytranszformációk rendszerezett ismerete, alkalmazása a tanult függvényekre. A függvénytulajdonságok leolvasása a grafikonról konkrét függvények esetén.

67




Számlálás, számolás Az adatsokaság elemei közötti összefüggések kiszámítása. Az azonos tulajdonságú elemek előfordulási valószínűségének meghatározása. Statisztikai diagramok elkészítése, azokból arányok illetve százalékok meghatározása

Mennyiségi következtetés Összetett következtetési gondolatmenetek a sorozatoknál és a geometriai feladtok megoldásakor.

Becslés, mérés, valószínűségi szemlélet A mindennapi életben lejátszódó folyamatok valószínűsége. Statisztikai adatok alapján valószínűség és a relatív gyakoriság kapcsolata. Statisztikai diagramok elkészítése előtt az adatsokaság specifikus jellemzőinek becslése.


Olyan mindennapi szituációk értelmezése, ahol a véletlennek vagy a bizonytalanságnak meghatározó szerepe van. Egyszerű valószínűségi állítások jelentése a mindennapi életben. A valószínűség és a statisztika szoros kapcsolatának felismerése feladatokon keresztül.

Rendszerezés, kombinativitás Az azonos tulajdonsággal rendelkező elemek halmazba rendezése, a halmaz számosságának meghatározása, majd az alaphalmaz számosságával összevetve valószínűségek és statisztikai mutatók meghatározása, és azok értelmezése az adott probléma kapcsán.


A véges mérési eredmények kiterjeszthetősége nagyobb alaphalmazra. Nagyobb alaphalmazon létrehozott statisztikai mutatók értelmezhetősége kisebb alaphalmazon.

Tevékenységek

Adatgyűjtés tényleges tevékenységgel, Internetről, újságokból, statisztikai zsebkönyvből. Adatok feldolgozása zsebszámológéppel, grafikus kalkulátorral és számítógéppel. Csoportmunka: a gyűjtött adatok elemzése (statisztikai mutatók, grafikonok, táblázatok).

68

Ismeretek, tananyag

Statisztikai és mintavételi adatok vizsgálata (közvélemény-kutatás, minőség ellenőrzés). A véletlen paradoxonai. Rendszerező összefoglalás: Adathalmazok jellemzői: számtani közép, mértani közép, súlyozott közép, medián, módusz, szórás. Gyakoriság, relatív gyakoriság. A klasszikus valószínűségi modell.


Véges sok kimenetel esetén szimmetria megfontolásokkal számítható valószínűségek (egyenlő esélyű elemi eseményekből) egyszerű feladatokban. Esemény, eseménytér konkrét példák esetén. A klasszikus (Laplace)-modell ismerete. Szemléletes kapcsolat a relatív gyakoriság és a valószínűség között. Valószínűségek kiszámítása visszatevéses mintavétel esetén, binomiális eloszlás. Tudjon statisztikai adatokat ábrázolni (kördiagram, oszlopdiagram, gyakorisági diagram stb.), tudjon diagramról információt kiolvasni. Ismerje és alkalmazza a következő fogalmakat: számtani (aritmetikai) közép (súlyozott számtani közép), medián (rendezett minta közepe), módusz (leggyakoribb érték). Ismerje és használja a következő fogalmakat: terjedelem, átlagos abszolút eltérés, adatok szóródása. Gyakoriság, relatív gyakoriság. Szórás kiszámolása adott adathalmaz esetén számológéppel. Tudjon adathalmazokat összehasonlítani a tanult statisztikai mutatók segítségével.

69

12. évfolyam: Felkészülés az érettségire (14 óra)

Ismeretek, tananyag

A tanév tapasztalatai alapján esetlegesen szükséges pótlások. Típusfeladatok gyakorlása. Érettségi feladatsorok megoldása. Érettségi próbadolgozat írása és javítása


Differenciált feladatmegoldás szóban, írásban. Probléma megoldásának lépéseinek megtervezése, lejegyzése, tudatosítása, indoklása. Szükséges adatok gyűjtése mindennapi életből vett problémák megoldásához. A tanult tételek, definíciók rendszerezése, az ismeretek mobilizálásának képessége. Térbeliség ábrázolása, modellek, metszetek készítése; térbeli számítások gyakorlati problémák kapcsán. Pénzügyi tervezések, értékelések, gazdaságossági számítások (pl. banki betétek, kölcsönök kamatai, adóbevallás, költségvetési tervezés). Pozitív eredmény értékelése becslési, valószínűségi esélyekkel kapcsolatos feladatoknál. Valós szituációk valószínűségi vizsgálata. Projektek készítése matematikatörténeti érdekességekről. Matematikai modellek megjelenítése számítógépen.

70

TARTALOMJEGYZÉK

BEVEZETÉS ............................................................................................................................. 2

ALAPELVEK, CÉLOK, FELADATOK................................................................................... 2

FEJLESZTÉSI FELADATOK ÉS KOMPETENCIÁK ............................................................ 6

A matematikai szemlélet fejlesztése .................................................................................. 6

Gyakorlottság a matematikai problémák megoldásában, jártasság a logikus

gondolkodásban.................................................................................................................. 6

Az elsajátított megismerési módszerek és gondolkodási műveletek alkalmazása............. 7

Helyes tanulási szokások fejlesztése, a matematikatanulás szokásainak, képességének

kialakítása........................................................................................................................... 7

A TANANYAG BEOSZTÁSA (nappali tagozatos képzés)...................................................... 8

9. évfolyam......................................................................................................................... 9

10. évfolyam..................................................................................................................... 26

11. évfolyam..................................................................................................................... 42

12. évfolyam..................................................................................................................... 57

TARTALOMJEGYZÉK .......................................................................................................... 70

béri balogh Ádám gimnázium, posta- és bankforgalmi ... · a kompetencia alapú oktatáshoz...

Documents