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BROCHURE D'EXERCICES D'ANALYSEMATHEMATIQUE I
AVEC RAPPELS DE COURS, ENONCES D'EXERCICES
AVEC REPONSES ET CERTAINS CORRIGES DETAILLES
par
Pr. OSMANOV Hamid et KHELIFATI Saddek (M.C.A)
Année 2013
Brochure d’exercices d’analyse mathématique I parOSMANOV H et KHELIFATI S
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PREFACE.
Cette première partie d’une brochure est destinée aux étudiants de première année de tronccommun d’université qui servira de support pédagogique tant pour l’étudiant que pourl’enseignant chargé des T.D, et ne prétend pas remplacer la diversité des ouvrages existant en lamatière. Elle englobe les chapitres suivants d’analyse mathématique I:
1. Nombres réels.——————————————————–p 0062. Suites numériques.—————————————————p 0333. Fonctions réelles. Fonctions usuelles et élémentaires.———p 0744. Limites et continuité.————————————————p 1085. Fonctions dérivables.————————————————p 1636. Formule de Taylor. Développements limités.——————-p 2127. Etude des fonctions.————————————————-p 256
Le nombre d’exercices proposés couvre suffisamment le programme d’analyse I de premièreannée universitaire. Si le nombre d’exercices théoriques est plus restreint que ceux à caratèrecalculatoire, cela est dû à la nature du tronc commun de première année qui regroupe plusieursfilières, à savoir: sciences exactes, technologie et informatique; mais cela ne signifie pas que lathéorie n’est pas importante en technologie et en informatique. Seulement, nous pensons que lesétudiants peuvent apprendre à être rigoureux en argumentant les calculs à l’aide des résultatsthéoriques connus. Ceci d’une part. D’autre part , l’apparition de logiciels informatiques, pouvanteffectuer même le calcul symbolique, ne doit pas faire oublier que la connaissance des théoriesqui sont à la base des méthodes de calcul, est une nécessité pour permettre d’abord, de lescomprendre, ensuite de les améliorer; et, pourquoi pas, de les développer ou même d’enconcevoir de nouvelles.
Cependant ce n’est qu’en résolvant beaucoup d’exercices que l’étudiant pourra comprendreet assimiler la théorie. Ceux qui se limitent à la seule théorie ou à recopier les solutions desexercices ne retiendront pas grand chose et n’iront pas loin dans leurs études. Car lesmathématiques se sont avérées incontournables dans presque toutes les disciplines scientifiques.
Certains exercices sont plus techniques que théoriques et inversement. La plupart desexercices sont inspirés de certains manuels d’exercices, en français et en russe et de sériesd’exercices.
Chaque chapitre se divise en quatre parties:1) rappels du cours sur le chapitre en question,2) énoncés des exercices, généralement suivant le plan du cours,3) réponses aux exercices,4) corrigés détaillés de certains exercices.
Aussi, nous conseillons à l’étudiant :1o/ de réviser le cours en question,2o/ de lire attentivement les exercices,3o/ de revoir la ou les parties du cours en relation avec l’exercice,4o/ de résoudre les exercices avant de regarder les réponses ou les corrigés donnés, en
respectant les questions posées, c’est à dire respecter la démarche proposée dans l’énoncé,5o/ de ne pas se décourager à la première difficulté rencontrée,
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5o/ d’être rigoureux, c’est à dire justifier les calculs par les résultats théoriques connus,6o/ de simplifier si possible les calculs à chaque étape tout en respectant les règles de
simplification ( on a constaté que de nombreux étudiants ne simplifient pas les expressionsmathématiques obtenues, ce qui engendre souvent des erreurs),
7o/ d’être logique et ne pas abuser de l’utilisation des ”donc” sans justification,8o/ d’éviter de raisonner souvent par analogie ou par automatisme, tel que ”l’invention” de
nouvelles formules, comme par exemple arctgx arcsin xarccos x , qui est fausse evidemment,
9o/ d’essayer de trouver la méthode la plus simple et qui correspond à celle demandée.
P.S.1) Des erreurs, que se soit sur le plan du texte, des énoncés, des réponses ou des corrigés,
peuvent être relevées. Nous prions tout lecteur de les signaler aux auteurs pour une éventuellecorrection.
2) Toute suggestion ou remarque pour améliorer cette brochure sont les bienvenues.3) Nous remercions tous les collègues ayant contribué de près ou de loin à la confection de
cette brochure.
Symboles logiques et mathématiques.
1) : égalité, x y : x est égal à y2) : ou, a b : a ou b3) : et, a b : a et b4) : implication,
a b : a implique b ou a donc b;a : condition suffisante de b; pour que b, il suffit ab : condition nécessaire de a; pour que a, il faut ab
5) : équivalence, a b : a est équivalente à b :condition nécessaire et suffisante,pour que a, il faut et il suffit b,
a si et seulement b6) : appartenance, a A : a appartient à A7) : inclusion, A B : A est inclus dans B8) : Contenance, B A : B contient A9) : intersection, A B : A inter B10) : réunion, A B : A union B11) : vide12) , : inégalités larges, x y : x est inférieur ou égal à y13) y x : y est supérieur ou égal à x16) ,: inégalités strictes, x y : x est strictement inférieur à y
y y : y est strictement supérieur à x17) : infini;18) N : ensemble des nombres entiers naturels;19) Z : ensemble des nombres entiers relatifs,20) Q : ensemble des nombres rationnels;21) R : ensemble des nombres réels;22) R Q : ensemble des nombres irrationnels.
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Alphabet grec
: alpha : bêta; : gamma ; : phi; : delta : : Dzêta : epsilon : rho : tau; : têta ; : pi; : sigma : nû; : lambda : mû; : oméga ; : Ksi; : Psi : nû
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Types de raisonnement mathématique.
Les principaux types de raisonnement mathématiques sont les suivants:
1) Raisonnement déductif. Il se base sur le raisonnement logique suivant: si p est uneproposition vraie et si la proposition p q est vraie, alors q est vraie.
C’est le raisonnement le plus utilisé qui consiste à déduire un résultat à partir d’axiomes oude propositions déjà démontrées ou supposées vraies, par une suite finie d’implications logiquesde la forme suivante: supposons qu’on veut démontrer que la proposition q est vraie sachant quela proposition p, appelée hypothèse, est vraie, alors la chaîne des implications suivantes
p p1 p2 . . . pn q,
où p1,p2, . . . . ,pn sont des résultats vrais intermédiaires, implique en fin de compte que q estvraie.
2) Raisonnement par la contraposée. Il se base sur l’équivalence logique suivante:
p q q p.
Ainsi, si on veut démontrer que la relation p q est vraie, il faut et il suffit de démontrerla relation q p, appelée contraposée de la première.
3) Raisonnement par l’absurde. Il se base sur le principe de tiers exclu, c’est à dire qu’enmathématiques une proposition est soit vraie, soit fausse. Il consiste, pour démontrer qu’uneproposition p soit vraie, à supposer qu’elle est fausse, c’est à dire que p est vraie. Alors, par unraisonnement logique, on aboutit à une absurdité ou à une contradiction avec l’hypothèse ou avecun résultat établi comme vrai. Dans ce cas p est fausse, donc p est vraie.
4) Raisonnement par récurrence. Celui-ci permet de démontrer qu’une proprosition Pn,dépendant de l’entier n, soit vraie à partir de n0 fixé. Il constiste:
i) à démontrer que Pn0 est vraie,ii) à supposer que Pn, n n0 est vraie et démontrer que Pn 1 est vraie.
Alors, on conclut que Pn est vraie n n0.
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Chapitre I. Nombres réels. Eléments de topologie.Rappels de cours.
§1. Nombres réels et leurs propriétés.
I. 1. Développement décimal. On rappelle que l’ensemble des entiers naturels est noté parN 0,1,2, . . . ,n , . . . , l’ensemble des nombres entiers relatifs
par: Z . . . ,n, . . . ,2,1,0,1,2, . . . ,n, . . . 0,1,2, . . . ,n, . . . où n vérifiel’équation n a 0, n N, et l’ensemble des nombres rationnels est défini par
Q r pq , p,q Z , q 0 p
q , p Z , q N
qui, muni des lois somme et produit, est un corps commutatif dans lequel: x,y Z,l’équation by a x y 0 admet des solutions.
On démontre que tout nombre rationnelpq peut s’écrire, en plus de sa forme fractionnaire,
comme un développement décimal limité de la forme:pq 0,12 . . .n ou illimité périodique
de la forme :pq 0,12 . . .n12. . .m.12. . .m12. . .m. . . avec 0 N , k,j 0,1, . . . , 9
et 12. . .m étant la période.
Définition.1. On appelle nombre irrationnel tout développement décimal illimité non périodique.2. On appelle ensemble des nombres réels l’ensemble, noté R, formé des nombres
rationnels et irrationnels .
Ainsi, tout nombre réel s’écrit comme un développpement décimal illimité, périodique ounon :
x Rdéf. x 0,12 . . . , avec 0 N et k 0,1,2, . . . , 9, k 1,2, . . .
Voir exercices 1.1 à 1.5.Remarque. Il existe d’autres méthodes pour définir l’ensemble des nombres réels à partir de
l’ensemble des rationnels Q, à savoir la méthode des coupures ou sections de Dedekind, ainsique la méthode des suites fondamentales dans Q. On montre que ces définitions aboutissent aumême ensemble formel des nombres réels.
I.2. Définition axiomatique des nombres réels. L’ensemble des nombres réels est unensemble, noté R, muni de deux lois de composition internes: somme, notée ”" et produit, noté”.”, ainsi que d’une relation d’ordre, notée , satisfaisant aux axiomes suivants:
A1. x y y x, x, y R commutativité;A2. x y z x y z, x, y, z R associativité;A3 : e R, appelé élément neutre , noté e 0, vérifiant :
x 0 0 x x, x R;A4. x R ,x R, appelé élément symétrique de x, noté x x,
vérifiant: x x 0;A5. x.y y.x, x,y R ;A6. x. y. z x.y. z , x,y, z R;
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A7. x R,x 0, appelé élément unité et noté x 1, vérifiant:x. 1 1.x x, x R ;
A8. x R, x 0,x R, appelé élément inverse de x et notéx x1 ou x 1
x vérifiant: x.x1 1;A9. x. y z x.y x. z, x, y, z R distributivité;A10 x x , x R;A11. x y y x x y;A12. x z z y x y transitivité);A13. x,y R, on a soit x y, soit y x ordre totalA14. x y x z y z, z R ;A15. (x y et z 0 x. z y. z ;A16. axiome de coupure ou de continuité).
Si X, Y R tels que x X, y Y, x y, alors c R : x c yOn définit la relation d’ordre stricte par: x y x y et x y.A partir de l’axiomatique, on construit l’ensemble, N, des nombres dits naturels, l’ensemble,
Z, des nombres dits relatifs et l’ensemble, Q, des nombres dits rationnels avec N Z Q.Tout nombre réel qui n’est pas rationnel est dit irrationnel.
I.3. Puissance, exponentielle et logarithme d’un nombre réel. En plus des opérationssomme et produit, on définit la puissance entière d’un nombre réel x 0 par:
x0 1, xn xn1.x, n 1,et on démontre que la racine n-ième d’un nombre réel positif a, a 0, existe toujours dans
R et elle est unique, c’est à dire il existe un seul x 0 tel que xn a. On note dans ce cas
x n a ou x a1n .
De même, on démontre que:i) si a 0, a 1 et x R, alors il existe un seul nombre réel y, noté y ax, appelé
puissance de a avec exposant réel ou exponentielle de base a de x;ii) si a 0, a 1 et y 0, alors il existe un seul nombre réel x, noté x logay, appelé
logatithme de y de base a.En résumé, si a 0 et a 1 :
y ax, x R x logay, y 0.
Le nombre a R tel que logaa 1 est appelé nombre de Néper, désigné par a e(e 2,718281829. . . . Dans ce cas, on note l’exponentielle par ex ou expx
et logex logx ou ln x, appelé logarithme népérien.
Propriétés de l’exponentielle et du logarithme. a 0, a 1i) x,y R : axy axay;ii) x R : ax 1
ax ,
iii) x,y R : axy axy;iv) x R, b 0,b 1 : a
bx ax
bx ;
v) x,y 0 : logaxy logax logay;vi) x,y 0 : loga
xy logax logay;
vii) x 0 : logax logxloga
;
viii) si a 1, alors x x ax ax et logax logax .
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I.4. Valeur absolue d’un nombre réel.On définit la valeur absolue de x R par
|x| x si x 0,
x si x 0.
Voir exercices 1.11. à 1.17.
I.5. Intervalles de R. Une partie I R est un intervalle si et seulement si elle vérifie lapropriété suivante: x,y I, x y, alors z R : x z y z I.
On montre que les intervalles de R sont de la forme suivante:i. Intervalles bornés d’extrémités a et b a b :a) a,b x R : a x b, b) a,b x R : a x b,c) a,b x R : a x b ; d a,b x R : a x b,ii. Intervalles non bornés d’extrémité a R :a) a, x R : x a, b) a, x R : x a,c) , a x R : x a, d) , a x R : x a,e) , R x R x .f) , R x R x .
I.6. Bornes supérieure et inférieure d’un ensemble de R.Définition 1. On dit que l’ensemble X R est :1) majoré ou borné supérieurement s’il existe un nombre M R,
appelé majorant de X tel que x X, on ait x M ;2) minoré ou borné inférieurement s’il existe un nombre réel m R,
appelé minorant de X, tel que x X, on ait x m;3) borné s’il est à la fois majoré et minoré.S’il existe x0 X tel que M x0 ou m x0, alors on aM max X ou m min X.
Définition 2. On appelle borne supérieure (resp. borne inférieure) de l’ensemble X, le pluspetit des majorants, noté supX resp. le plus grand des minorants, noté infX.
Les deux théorèmes suivants sont vrais:Théorème 1.i) Les bornes supérieure et inférieure d’une partie de R, si elles existent, sont uniques.ii) Toute partie de R majorée (resp. minorée) possède une borne supérieure (resp.
inférieure).Remarque. La propriété ii) du théorème 1, appelée propriété de la borne supérieure, n’est
pas vraie dans l’ensemble des nombres rationnels Q. (Voir exercice 1.26).
Théorème 2.i). Si X est un ensemble majoré de R et M R, alors:
M supX 1 M est un majorant de X,
2 0,x X : M x M.
ii). Si X est un ensemble minoré de R et m R, alors:
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m infX 1 m est un minorant de X ,
2 0,x X : m x m .
Voir exercices 1.16 à 1.25.
I.7. Propriété d’Archimède et ses conséquences.On démontre que l’ensemble R vérifie le principe d’Archimède suivant:
x R,n N : n x.Cette propriété s’écrit aussi comme suit:
h 0, x R,n Z : nh x.
Comme première conséquence du principe d’Archimède, on montre quex R,n Z : n x n 1.
Défintion. Le nombre entier n Z vérifiant la relation précédente est appelépartie entière de x.
C’est le plus grands des entiers inférieurs à x.Par exemple: E0,21 0, E 2 1, E1,23 2.Voir exercice 1.28.Comme deuxième conséquence du principe d’Archimède, on peut démontrer le lemme
suivant:Lemme. (Propriété de densité):i) Pour tous nombres réels a,b a b, il existe un nombre rationnel r
tel que a r b.ii) Pour tous nombres réels a,b a b, il existe un nombre irrationnel s
tel que a s b.Voir exercice 1.27
I.8. Approximations d’un nombre réel. Soit x0 la valeur exacte d’une grandeur numériquequelconque et x une valeur approchée de x0. La quantité x x0 x est appelée erreur et|x| |x0 x|, erreur absolue.
On note alors x0 x. Le nombre x est dite valeur approchée par défaut si x x0 ou six 0 et valeur approchée par excès si x x0 ou x 0. Par exemple si x0 2 , alorsx 1,414 est une valeur approchée par défaut et x 1,415, par excès, car1,414 2 1,415.
On montre, (d’après le lemme précédent) qu’on peut toujours approcher un nombre réel parun nombre rationnel avec une précision aussi grande qu’on veut. En effet, soit le nombre réelpositif
x 0,12 . . .n . . . , où 0 N, 1,2, . . . 0,1,2, . . . , 9.Posons :
xn 0,12. . .n et yn 0,12. . . n 1 0,12. . .n 110n .
Dans ce cas, on a xn,yn Q et xn x yn. Le nombre rationnel xn est dite valeurapprochée par défaut de x, et yn, valeur approchée par excés. Comme |xn yn | 1
10n ,
alors on a:
|x xn | 110n et |x yn | 1
10n .
Définition. On appelle erreur relative absolue d’une valeur approchée le rapport de l’erreurabsolue sur le module de la valeur approchée, notée
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x |x0 x||x|
|x||x|
.
I.9. Raisonnement par récurrence. Le raisonnement par récurrence consiste en ce qui suit:soit pn une relation mathématique dépendant du nombre entier n N. Pour établir que cetterelation est vraie pour tout n n0, il suffit de montrer que:
1o pn0 est vraie;2o si pn est vraie pour n n0, alors pn 1 est vraie.Dans ces conditions, pn est vraie n n0.Voir exercices 1.30 à 1.36.
§ 2. Eléments de topologie dans R
I.10. Ensembles ouverts, fermés dans R. Comme généralisation de la notion d’intervalleouvert, on a celle d’ensemble ouvert.
Définition.i) Un ensemble O R est dit ouvert si pour tout x O, il existe un intervalle ouvert I R
contenu entièrement dans O et contenant lui-même le point x;ii) un ensemble F R est dit fermé si son complémentaire dans R est ouvert.Exemples.1) Les intervalles a,b, ,a, a,, , sont des ouverts.2) Les intervalles a,, ,a, , sont des fermés. Ainsi, R est à la fois ouvert et
fermé. De même pour l’ensemble vide . En fait, on montre que ce sont les seuls ensembles de Rà la fois ouverts et fermés.
I.11. Notion de voisinage d’un point. Après la notion d’ouvert, celle d’un voisinage est trèsimportante dans l’étude de la convergence ou de limite.
Définition Soit x R. On appelle voisinage du point x tout sous-ensemble V de Rcontenant un ouvert O contenant lui-même le point x.
Exemples.1) L’intervalle ouvert I a,b est un voisinage de tout x I et tout ensemble de la forme
x ,x , 0, est dit voisinage de x.2) L’intervalle fermé E a,b est un voisinage de tout point x a,b, mais il n’est pas un
voisinage des points a et b. En effet, x a,b, on a a,b E et x a,b, mais, d’après ladéfinition d’un intervalle, il n’existe aucun intervalle ouvert contenant a ou b et contenu dansa,b.
3) Les ensembles N, Z et Q ne sont des voisinages d’aucun de leurs points.
I.12. Points adhérents, points d’accumulation, points isolés. Certains points de R jouentun rôle particulier par rapport à certains sous-ensembles.
Définition. Soit E R. On dit que le point x0 R est :i) un point adhérent de E si tout intervalle ouvert contenant x0 rencontre E;ii) un point d’accumulation de E si tout intervalle ouvert contenant x0 rencontre E en un
point autre que x0;iii) un point isolé de E s’il est adhérent à E mais il n’est pas un point d’accumulation de E.L’ensemble des points adhérents de E est noté E, appelé adhérence de E, tandis que
l’ensemble des points d’accumulation de E est noté E , appelé ensemble dérivé de E.
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Exemples.1) Soit E 0,1 2. Dans ce cas, l’ensemble des points adhérents à E est l’ensemble
E 0,1 2. Tout point x 0,1 E est un point d’accumulation et l’ensemble despoints d’accumulation est E 0,1. Le point x0 2 E est un point adhérent à E, mais cen’est pas un point d’accumulation. C’est un point isolé. De même les points x 0, x 1 sontdes points d’accumulation, donc adhérents, mais ils n’appartiennent pas à E.
2) Soit E 0,1, 12
, . . . , 1n , . . . . Alors, dans ce cas, E E, c’est à dire que l’ensemble
des points adhérents à E est égal à E et l’ensemble des points d’accumulation est l’ensemble à unseul point 0, E 0.
3) Tous les points relatifs de Z sont isolés dans Z.Voir exercices 1.38 à 43.
I.13. Densité de Q dans R.Définition. On dit que l’ensemble A R est dense dans R si tout intervalle ouvert ( ou
ensemble ouvert) de R rencontre A, et on note A R.Cela signifie que: A R a,b R : a b a,bA .Lemme. L’ensemble des rationnels Q est dense dans R, Q R.
§ 3.Sous-ensembles de R.
I.14. Ensembles dénombrables. Une des propriétés des ensembles est la notion de"quantité" de ses éléments.
Définition 2. On dit que deux ensembles A et B sont équipotents s’il existe une bijection f deA sur B, c’est à dire: b B, !a A : b fa.
Définition 2. On dit qu’un ensemble A R est fini s’il existe un nombre n N tel que Asoit équipotent à l’ensemble 1,2, . . . ,n. A est dit infini s’il n’est pas fini.
Si A est fini, il s’écrit sous la forme A x1,x2, . . . ,xn et il est clair que le nombre de seséléments est égal à n. On note, alors CardA n. Les ensembles N, Z, Q, R sont infinis.
Parmi les ensembles infinis, les ensemles dénombrables jouent un rôle particulier.
Définition 3. Un ensemble A est dit dénombrable s’il est équipotent à l’ensemble desnombres naturels N.
Dans ce cas, tout ensemble dénombrable peut se mettre sous la forme d’un ensemblenuméroté ou indéxé par les nombres naturels, c’est à dire
A x1,x2, . . . ,xn,xn1, . . . .On dit aussi que A est un ensemble discret. On note dans ce cas, CardA CardN a.Par exemple, l’ensemble des nombres naturels pairs (resp. impairs) est dénombrable.
I.15. Ensembles de puissance continue. Le lemme suivant est vrai:Lemme. L’ensemble des points du segment 0,1 n’est pas dénombrable.Définition. Un ensemble A de R est dit de puissance continue s’il est équipotent au segment
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0,1. On note CardA Card0,1 c.On montre que tous les intervalles de R bornés ou non ont la puissance du continu.
Voir exercices 1.42 et 1.43.
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Enoncés des exercices du chapitre I.
Exercice 1.1.i) Démontrer que les nombres suivants ne sont pas rationnels:1 2 ; 2 3 ; 3 2 3; 4 n p p étant premier et n 1;5 log105; 6 2 3 ; 7 log3p pétant premier;8
2 n, n Z.
ii) Montrer que les nombres a 3 7 5 2 3 7 5 2
et b 313 5 17
2 3
13 5 172
sont rationnels.
Exercice 1.2. Trouver les développements décimaux des nombres réels suivants:1 15
4; 2 1; 3 13
7; 4 2 ; 5) 1000 ( pour ces deux derniers nombres,
donner quelques décimales); 6 3117
; 7 215
.
Exercice 1.3. Démontrer que tout nombre de la formep
2s5r admet un développement
décimal limité.
Exercice 1.4. Ecrire sous forme fractionnaire les développements décimaux suivants:1 1, 2; 2 0, 9; 3 3,003; 4 0,312; 5 2, 340.Généralisation: donner la formule générale permettant d’écrire un développement décimal
positif sous sa forme fractionnaire.
Exercice 1.5. Soient a et b deux entiers naturels premiers entre eux tels quea b. Démontrer qu’il existe des entiers naturels a0, a1, . . . ,an tels que:
ab a0 1
a1 1
a2 1. . .
. . . 1an1 1
an
.
Exercice 1.6. A partir du système d’axiomes, démontrer:i) que les éléments neutre, symétrique, unité et inverse sont uniques;ii) les propriétés suivantes de R: x, y, z, w R :1) l’équation x a y admet une solution unique a R;2) si x 0, alors l’équation x.a y admet une solution unique a R;3) x. 0 0.x 0;4) x 1x; xy xy x.y, 1x x, xx x.x;5) x.y 0 x 0 y 0 ;6) x y y z x z; 7) x y y z x z;8) x y x z y z;9) x y et z w x z y w même chose pour l’inégalité stricte);10) x y w z x w y z;11) x y y x en particulier x 0 x 0;
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12) x y y xen particulier x 0 x 0;13) x y z 0 xz yz;14) i) x 0 y 0 x.y 0, ii x 0 y 0 x.y 0,
iii) x 0 y 0 x.y 0, iv) x 0 y 0 x.y 0;15) x y z 0 x. z yz; 16) x 0 x2 x.x 0 ;17) x 0 x1 1
x 0 ; 18) 0 x y 0 1y
1x ;
19) 0 1;20) i) 0 x 1 0 xn xm 1 si n m n,m N;
ii) x 1 xn xm 1 si n m n,m N;21) 0 x y 0 xn yn, n N;
Exercice 1.7. Démontrer que les propositions suivantes sont vraies dans R:1) x y x x y
2 y;
2 a R : a y x a x y;3 ( 0, x y x y;4) si x1 y1, x2 y2, . . . ,xn yn, alors:
i)n
k1
xk n
k1
yk,
ii) x i 0, i 1,2, . . . ,n 0 n
k1
xk n
k1
yk. .
Exercice 1.8. Soit x R. Démontrer les relations suivantes::1 x,y R : x2 y2 2xy et en déduire que x R, x 1
x 2;
2 x,y, z R : x y2 4xy et en déduire la relation:
x yy zz x 8xyz;
3) x,y, z R : x y z 1 1x
1y
1z 9 .
Exercice 1.9. Dire si les propositions suivantes sont vraies ou fausses dans R :1 x,y : x y 3;2 y,x : x y 3;3 x,y : x y 3;4 x,y : x y 3;5 x,y : x y x y 0;6 x,y : x y z : x z y ;7 x,y : x2 2y2;8 x : x2 x x 1 x 0 ;9 x : x 2 x 3 2 x 3;10 x : x2 x;11 a,b,c : x : ax2 bx c 0 b2 4ac 0;12 b,a,x : x2 ax b 0;13 b,a,x : x2 ax b 0;14 a,b,x : x2 ax b 0 .
Exercice 1.10. Etablir le sens exact des propositions suivantes et les écrire à l’aide desymboles logiques, ainsi que leurs négations.:
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1 le nombre x0 est une solution de l’équation fx 0;2 le nombre x0 est la solution unique de l’équation fx 0;3 l’équation fx 0 admet une solution réelle;4 l’ensemble X R est majoré;5 le nombre m est le plus petit élément de X;6 l’ensemble X admet un plus petit élément;7 le nombre m Z est un diviseur du nombre n Z;8 si le nombre n Z est divisible par 2 et par 3, alors il est divisible par 6;9 le nombre p N est premier.
Exercice 1.11. Démontrer les relations suivantes: x,y R,
1 |x y| |x| |y|; en généraln
k1
x i n
k1
|x i |
2) ||x| |y|| |x y|;3) ||x a| |y b|| |x y| |a b|;4 |x| y y x y;5 x 0 1
x 1|x|
;
6 a x b et a y b |x y| b a;
7 |x y|1 |x y|
|x|1 |x|
|y|1 |y|
;
8 x2 y2 |x| |y|;9 |x y| |x| |y| ;
10) |ax by| a b2x y2 .11 |x y| |x| |y| x.y 0;12 x y z z y x |x y| |y z| |x z|;13) x2 y2 0 |x| |y| 0 x y 0;14) ( 0, |x| x 0.
Exercice 1.12 Résoudre dans R les équations suivantes:1 |3x 4| 1
2; 2 x2 x3 0; 3 |x2 2x 3| 1;
4 x 22 x 2; 5 2x 1x 1
1; 6 |x 1| |x 1| 2;
7) |x 1| |x 1| |x 3|.
Exercice 1.13. Résoudre dans R les inéquations suivantes:1 |x 1| 0,01; 2 |x 2| 5; 3 |x 2| |x|;4 |2x 1| |x 1|; 5 |x 1| |x 1| 10; 6||x 1| |x 1|| 1;7 |x1 x| 0,05; 8) |x 1| |x 1| |x 3|.
Exercice 1.14. Soient X x1,x2, . . . ,xn et Y y1,y2, . . . ,yn deux parties finies de R.Démontrer les inégalités suivantes:
1i1
n
x iy i
2
i1
n
x i2 .
i1
n
y12 (inégalité de Cauchy-Schwartz);
2i1
n
x i y i2 i1
n
x i2
i1
n
y i2 (inégalité de Minkowski).
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——————————————————————————————————-16
Exercice 1.15. Soient x,y R. On appelle distance entre les points x et y le nombre,noté dx,y, défini par: dx,y |x y|.
Montrer que la distance vérifie les propriétés suivantes: x,y, z R,1 dx,y 0 et dx,y 0 x y; 2 dx,y dy,x;3 dx,y dx, z dz,y.Ces trois propriétés définissent en général une distance. Les nombres dx,y suivants
définissent-ils une distance? Sinon, quelles sont les propriétés non vérifiées:i dx,y max|x|, |y|; ii dx,y |x| |y|; iii dx,y x2 y2 .
Exercice 1.16. Soient x,y R. Démontrer les relations suivantes:1 maxx,y minx,y; 2 minx,y maxx,y;3 x y max|x|, |y| x y max|x|, |y|;4 minx,y 1
2x y |x y|; 5 maxx,y 1
2x y |x y|.
Exercice 1.17. Soient X x1,x2, . . . ,xn et Y y1,y2, . . . ,yn deuxsous-ensembles finis de R tels que y i 0, i 1,2, . . . ,n. On pose m min X et
M max X. Montrer que:
1 |max x i max y i | max|x i y i | n
i1
|x i y i |;
2) m x1y1 x2y2 . . .xnyny1 y2 . . .yn
M ;
3 en déduire que: inf x1y1
, x2y2
, . . . , xnyn
x1 x2 . . .xny1 y2 . . .yn
sup x1y1
, x2y2
, . . . , xnyn
.
Exercice 1.18. Soient X et Y deux parties non vides de R. Montrer que:1 si X Y et Y est majoré, alors supX existe et supX supY;2 si X Y et X est minoré, alors infY existe et infY infX.Donner des exemples où on a des égalités.3 Si X,Y sont bornées, alors X Y est bornée et on a :
i supX Y maxsupX, supY,ii infX Y mininfX, infY;
4 Si X et Y sont bornées, alors X Y est bornée et on a:i maxinfX, infY infX Y supX Y,ii supX Y minsupX, supY.
Exercice 1.19. Soient X,Y deux parties bornées non vides de R. On désigne par:X x,x X, X Y x y, x X, y Y ,X Y x y, x X, y Y et XY xy, x X, y Y .Montrer que:1 infX supX; 2 supX infX;3 infX Y infX infY; 4 supX Y supX supY;5 supX Y supX infY;6 X,Y R infXY infX. infY et supXY supX. supY.
Exercice 1.20. Soit x R. Posons x maxx, 0 et x minx, 0. Montrer alors que:x x x et |x| x x.
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Exercice 1.21. Pour chacun des ensembles suivants, déterminer la borne supérieure, la borneinférieure, le plus grand élément et le plus petit élément s’ils existent:
1 E1 1, 12
, 13
, . . . , 1n , . . . ; 2 E2 2 1
n , n N ;
3 E3 1n 35n
, n N ; 4 E4 1 2n3 n
, n N ;
5 E5 1m
1n , m,n N ;
6 E6 12 n
2n 1, 1
2 n
2n 1, n N ;
7 E7 mn , m,n N, m n ;
8) E9 0,3; 9 E10 0,2;10 E11 a,b c c b a; 11 E12 1
x , 1 x 2 ;
12 E13 1x , 1 x 2 ; 13 E14 1
x , 1 x 2 .
Exercice 1.22. Soit X un ensemble non vide et borné de R etY y R : y2 X et y 0 . Montrer que:1 Y est borné; 2 supY supX ; 3 infY infX .
Exercice 1.23. Soit X un ensemble non vide et borné de R.On pose Y |x|, x X . Montrer que:1) Y est borné; 2) supY max|infX|, |supX|;3) 0 infY min|infX|, |supX|.
Exercice 1.24. Soient X et Y deux ensembles non vides et bornés de R tels que :i) x X, y Y : x y. Montrer que supX infY;ii) x X, y Y : x y. Montrer que supX supY;
Exercice 1.25. Soit X un ensemble non vide et borné de R.1) Montrer que sup|x y| : x,y X existe. On note dX ce nombre qu’on appelle
diamètre de X.2) Montrer que dX supX infX.3) Montrer que: 0, x,y X : |x y| supX infX .4) En déduire que: dX supX infX.
Exercice 1.26. Montrer que l’ensemble X r Q : r2 2 n’admet pas de borne
supérieure dans Q.Exercice 1.27. Montrer que a,b R, a b :1) r Q : a r b (ind. utiliser le principe d’Archimède);
2) s R Q : a s b ind. poser a2
, b2
et utiliser 1).
Exercice 1.28. Soient x, y R. Démontrer les résultats suivants:1) x 1 Ex x;2 Ex y Ex Ey avec 0 ou 1;3 Ex y Ex Ey avec 0 ou 1;4 Ex Ex 1
n Ex 2n . . .Ex
n 1n Enx;
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5 EEnx
n Ex; 6) Résoudre l’équation x Ex.
7) A-t-on E2x 2Ex?
Dans la suite des exercices, on considère la définition suivante:Cn
k n!k!n k!
, 0 k n.
Exercice 1.29.i) Montrer que: 1 Cn
k Cnnk; 2 Cn
k Cnk1 Cn1
k .
ii) Calculern
k0
Cnk
k 1;
Exercice 1.30.i) Démontrer par récurrence la formule suivante, appelée binôme de Newton:
a,b R,n N,
a bn n
k0
Cnkankbk.
ii) En déduire les sommes suivantes:
10in
Cni ; 2
0in
1 iCni ; 3
0in
1 i
2i Cni .
Exercice 1.31. Calculer les expressions suivantes
1n
k1
1kk 1
; 2n
k1
1kk 1k 2
;
3n
k1
1 1k 12
; 4n
k1
1 2k 13 1
;
5n
k1
k 1Cnk ; 6
n
k1
k 1Cnk ;
7n
k1
C2n2k ; 8
n
k0
Cnk2; 9
n
k1
kCnk .
Exercice 1.32. Démontrer par récurrence sur n N les égalités suivantes:
1)n
k1
k nn 12
; 2 )n
k1
k2 nn 12n 16
;
3)n
k1
k3 n
k1
k
2
; 4)n1
k0
2k 2n 1;
5)n
k1
2k2 2nn 12n 1
3; 6)
n
k1
2k3 2n2n 12;
7)n
k1
k.k! n 1! 1;
8)n
k1
12k 12k 1
n2n 1
; 9)n
k1
2k 12 C2n13 ;
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10)n
k1
kk 1 nn 1n 23
;
11)n
k1
k4 nn 12n 13n2 3n 130
;
12)n
k1
1k1k2 1n1 nn 12
.
Exercice 1.33.i Démontrer la formule suivante:
n
k1
kk 1. . . k m 1 1m 1
nn 1. . . n m
ii) En appliquant cette formule calculer les sommes suivantes:1 1.2 2.3 . . .n. n 1; 2) 1.2.3 2.3.4 . . .nn 1n 2;3) 1.2.3.4 2.3.4.5 . . .nn 1n 2n 3.
Exercice 1.34.i) Montrer que n Net x R : 1 xn 1 x1 x x2 . . .xn1
ii) En déduire que:1 1 1
2 1
4. . . 1
2n 2;
2 a R, b R : an bn a ban1 an2b an3b2 . . .abn2 bn1.iii) Montrer que n N, a 0 : 1 1 a1
n 1a 1 n a 1 a 1
n .
Exercice 1.35. Soient x1,x2. . . ,xn des nombres réels de même signe, supérieurs à -1.Démontrer l’inégalité suivante, appelée inégalité de Bernoulli:
1 x11 x2. . . 1 xn 1 x1 x2 . . .xn. En déduire l’inégalité: 1 xn 1 nx si x 1 et n N.
Exercice 1.36.. Démontrer par récurrence sur n N les inégalités suivantes:
1 n 2n; 2 n 2n 1
n1 2, n 0;
3 n! n 12
n, n 1, voir 2; 4 2! 4!. . . 2n! n 1!n, n 0;
5 12
34
. . . 2n 12n
12n 1
, n 0;
6 1 12 1
3. . . 1
n n , n 2;
7 nn1 n 1n, n 3; 8 2n! 22n. n!2;
92n1
k1
1n k
1; 10 2n! 4nn 1
n!2.
Exercice 1.37. Soit X x1,x2, . . . ,xn une partie finie de R. Les nombres réels suivants:
X x1 x2 . . .xnn , X 1
1x1 1
x2. . . 1
xn
et X n x1x2. . .xn
si x i 0, i 1,2, . . . ,n, sont appelées respectivement moyenne arithmétique, moyenne
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harmonique et moyenne géométrique.Soient m min X, M max X.i Montrer que si m 0, alors:
1 m X M; 2 m X M; 3 m X M.Montrer qu’on a des égalités si et seulement si x1 x2 . . . xn.ii Désignons par logX logx1, logx2, . . . , logxn, 1
X 1
x1, 1
x2, . . . , 1
xn
Montrer que:1 1
X 1
X; 2 1
X 1
X; 3 logX logX.
iii Montrer que si Y y1,y2, . . . ,yn et x i, y i 0, i 1,2, . . . ,n, alors, on a:1 X Y X Y; 2 XY X.Y.
iv Démontrer les inégalités:
X X nX
, x i 0, i 1,2, . . . ,n.
Montrer qu’on a des égalités si x1 x2 . . . xn.
Exercice 1.38. Soient a,b,c,d R, a b, c d. Etablir tous les cas possibles où laréunion et l’intersection de l’intervalle d’extrémités a et b avec l’intervalle d’extrémités c et dsont des intervalles en précisant leur nature topologique.
Exercice 1.39. Démontrer les propriétés suivantes:1) Toute réunion d’un nombre fini ou infini d’ouverts est un ouvert.2) Toute intersection d’un nombre fini d’ouverts est un ouvert.3) Toute intersection d’un nombre fini ou infini de fermés est un fermé.4) Toute réunion d’un nombre fini de fermés est un fermé.
Exercice 1.40. Donner un exemple:1) d’une intersection infinie d’ouverts qui ne soit pas un ouvert;2) d’une réunion infinie de fermés qui ne soit pas un fermé.
Exercice 1.41. Montrer l’ensemble F 0,1, 12
, 13
, . . . , 1n , . . .
1) est fermé;2) admet un seul point d’accumulation à savoir x0 0.
Exercice 1.42. Montrer que les ensembles suivants: l’ensemble des nombres pairs,l’ensemble des nombres impairs, l’ensemble Z et l’ensemble Q sont dénombrables.
Exercice 1.43. Montrer que le segment 0,1 n’est pas dénombrable. (Utiliser le théorèmedes segments emboîtés ou les développements décimaux).
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Réponses aux exercices du chapitre I.
Exercice 1.1. ii) a 2, b 1.Exercice 1.2. 1 3,75; 2 0, 9; 3 1, 857142; 4 1,4142. . . ;5 31,623. . . ; 6 1, 8235294117647058; 7 4,2.Exercice 1.4. 1 11
9; 2 1; 3 901
300; 4 103
330; 5 2338
999.
Généralisation: 0,12. . .n12. . . 0 12. . .n12. . . 12. . .n
99. . . 9n
00. . . 0si
0.Exercice 1.9. 1 Vraie; 2 Fausse; 3 Vraie; 4 Fausse; 5 Vraie;6 Vraie; 7 Fausse; 8 Vraie; 9 Vraie; 10 Fausse;11 Vraie; 12 Fausse; 13 Vraie; 14 Fausse.Exercice 1.12. 1 3
2, 7
6; 2 1,0; 3 ; 4 1,2; 5 0,2; 6 0;
7) 1,5.Exercice 1.13. 1 1,01 x 0,99; 2 x 3 et x 7; 3 1 x;4 0 x 2
3; 5 5 x 5; 6 1
2 x 1
2;
75 30
10 x 5 20
10et
5 2010
x 5 3010
; 8) x 1,5.
Exercice 1.15. i oui; ii oui; iii oui.Exercice 1.21. 1 supE1 max E1 1, infE1 0, min E1 n’existe pas;2 supE2 2, max E2 n’existe pas, infE2 min E2 1 n 1;3 supE3 max E3 13
10n 2, infE3 1, min E3 n’existe pas;
4 supE4 2, max E4 n’existe pas, infE4 min E4 14n 1;
5 supE5 max E5 2 m n 1, infE5 0, min E5 n’existe pas;6 supE6 max E6 5
6, infE2 min E2 1
2n 1;
7 supE7 1, max E7 n’existe pas , infE7 0, min E7 n’existe pas;8) supE9 max E9 3, infE9 0, min E9 n’existe pas;9 supE10 max E10 2, infE10 min E10 0;10 supE11 max E11 c, infE11 min E11 a;11 supE12 max E12 1 x 1, infE12 min E12 1
2x 2;
12 supE13 1, max E13 n’existe pas, infE13 12
, min E13 n’existe pas;
13 supE14 max E14 12x 2, infE14 min E14 1 x 1.
Exercice 1.28. 6) x Z; 7 non. Exercice 1.29. ii) 1n 1
2n1 1.
Exercice 1.30. ii) 1) 2n; 2 0; 3 12n .
Exercice 131. 1 1 1n 1
; 2 12
12 1n 1n 2
; 3 12
n 2n 1
;
4 23
1 1n 1n 2
; 5n
k1
k 1Cnk n2n1 2n 1;
6n
k1
k 1Cnk n2n1 2n 1; 7 22n1; .8 C2n
n .
Exercice 1.33. ii) 1 13
nn 1n 2 m 2;
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2) 14
nn 1n 2n 3 m 3;
3) 15
nn 1n 2n 3n 4 m 4.
Exercice 1.38 On a des intervalles si a c b d :1) ouvert: a,b c,d a,d; 2) semi-ouvert: a,b c,d a,d;3) semi-ouvert: a,bc,d a,d; 4) fermé: a,bc,d a,d.Exercice 1.40. 1) On 1
n , 1n , 2) Fn 1
n , 1 , n 1,2, . . .
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Corrigés de certains exercices du chapitre I.
Exercice 1.1.1 2 Q? Montrons que si (a,b N N et a,b premiers entre-eux,
alors 2 ab
. Raisonnons par l’absurde, c’est à dire supposons que
2 ab Q, a Z, b Z avec a et b premiers entre-eux et trouvons une
contradiction. En élevant au carrée, on obtient l’égalité : 2b2 a2 , c’est à dire que a2 estun entier pair, et dans ce cas a est aussi pair. Soit alors a 2k. En remplaçant dans l’égalité (*)et après simplification, on obtient b2 2k2, c’est à dire que b2 est un entier pair, et dans ce cas,b est aussi pair. Ceci contredit le fait que a et b sont premiers entre-eux. Donc l’hypothèse que
2 Q est fausse, c’est à dire 2 Q.Remarque. On peut faire d’autres démonstrations.3 2 3 Q? Dans cet exercice, on utilise le résultat de 1). En effet, supposons que
2 3 r Q. D’après le fait que la somme est une opération interne dans et que 3 Q,alors on aurait 2 r 3 Q. Ce qui contredit le résultat de l’exercice 1). Donc 2 3 Q.
ii) En élevant l’égalité a 3 7 5 2 3 7 5 2 à la puissance 3, et après simplificationet arrangement des termes, on obtient l’équation suivante:
a3 3a 14 0, dont les solutions sont a 2, a 1 i 6 et a 1 i 6 . Commea R, alors a 2 Q.
Même démonstration pour b 313 5 17
2 3
13 5 172
1.
Exercice 1.2. 2 Première méthode à l’aide de la série géométrique. Sachant que1 q q2 . . .qn qn1 . . . 1
1 qsi 0 q 1, alors
0,999. . . 99. . . 910 9102
9103
. . . 910n
910n1
. . .
9 110 1102
1103
. . . 110n
110n1
. . . 9 11 1
10
1 1.
Deuxième méthode. Posons x 0,99. . . 9. . . . En supposant que la mutiplicaion par 10n
signifie déplacer la virgule de n places vers la droite, on obtient10x 9,99. . . 9. . . et, alors
9x 10x x 9,99. . . 9. . . 0,99. . . 9. . . 9 x 1.
Exercice 1.6. i)- Montrons que l’élément neutre est unique pour l’opération somme dans la définition
axiomatique. Soient 01 et 02 deux éléments neutres, mais alors, on auraient, en utilisant unepremière fois 01 comme élément neutre, ensuite 02, comme élément neutre: 02 01 02 et01 02 01, et comme 02 01 01 02, d’après la commutativité (axiome i), on conclut que01 02.
- Montrons que l’élément symétrique est unique pour l’opération somme dans la définitionaxiomatique. Soient x1 et x2 deux éléments symétriques de x R, mais alors, on auraient, enutilisant les axiomes A3, A4 et A2
x1 x1 0 x1 x x2 x1 x x2 0 x2 x2, c’est à dire x1 x2.
Pour l’unicité des éléments unité et inverse, les démonstrations sont analogues aux deux
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précédentes.
ii) Démontrons pour l’exemple les propriétés 3), 10) et 20). 3) Soit x R. On a, d’après les axiomes A3, A7, et A9 .
x x. 0 x. 1 x. 0 x1 0 x. 1 x,donc x. 0 est un élément neutre pour la loi somme, comme celui-ci est unique, alors x. 0 0.6) Comme y z y z, alors par transitivité (axiome A12), on a
x y et y z x y et y z x z.
Si x z, alors on aurait, z y et y z, c’est à dire que z y, ce qui contredit la conditiony z. Donc x z.
11) Soit x y. D’après les axiomes A1, A2, A3,A4, et A14, on déduit les relations suivantes:
x y x x y x x x y y x y
0 y 0 x y x.
Si y 0, alors on a: x 0 0 x.19) Supposons que 1 0. D’après l’axiome A7 et la propriété 14) ii) (supposée
démontrée), on a 1 0 et
1 0 1 0 1 1.1 0,
c’est à dire 1 0. Ce qui contredit l’hypothèse. Donc 0 1.
Exercice 1.7. Démontrons les relations 1) et 2).1 On a, d’après la propriété 8 de l’exercice 1.6:
x y x x y x et x y y y 2x x y et x y 2y
2x x y 2y 2x2 x y
2 2y
2 x x y
2 y.
2 Utilisons le raisonnement par la contraposée, c’est à dire si p et q sont deux propositions,alors
p q q p .Considérons p a R : a y x a et q x y . Supposons que
q y x est vraie. Alors, d’après la relation 1) précédente, il existe a x y2
: y a x,
c’est à dire a R : a y et a x . Donc q p .
Exercice 1.8. Démontrons les relations 1) et 2):1 On a 0 x y2 x2 y2 2xy x2 y2 2xy.2 D’après 1), on a x2 y2 2xy x y2 x2 y2 2xy 4xy, on obtient alors, en
faisant le produit
x y2 4xy
y z2 4yz
z x2 4zx
x y2y z2z x2 64.x2y2z2.
Comme, x,y, z 0, en prenant la racine carrée, on obtient le résultat.
Exercice 1.11. Démontrons les relations 2) et 11).2) D’après la relation 1), on a
|x| |x y y| |x y| |y| |x| |y| |x y|.
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De la même manière, en inversant les rôles entre x et y, on obtient|y| |x| |y x| |x y|, ces deux inégalités signifient que ||x| |y|| |x y|.
11 On a: |x y| |x| |y| x y2 |x| |y|2 xy |x|. |y| |xy| xy 0.
Exercice 1.14. 1 Pour tout R, on a
0 i1
n
x i y i2 i1
n
x i2 2
i1
n
x iy i
2
2
i1
n
y12
qui est une inéquation toujours 0, R. Commei1
n
y12 0, alors son discriminant doit
être 0, c’est à dire que i1
n
x iy i
2
i1
n
x i2
i1
n
y12 0.
Ce qui est équivalent à l’inégalité demandée.2 Indication: utiliser 1)
Exercice 1.16. Démontrons les relations 1) et 4).
1 Si x y, alors1 maxx,y y,
2 y x et minx,y y,,
et donc y maxx,y minx,y.2) Démonstration analogue.4) Supposons x y. Alors on a minx,y x et |x y| y x, par conséquent
minx,y x 12x y y x 1
2x y |x y|.
Exercice 1.17. 1 Il est facile de voir que
max|x i y i | n
k1
|x i y i | i 1,2, . . . ,n.
Démontrons que: |max x i max y i | max|x i y i | , i 1,2, . . . ,n. On ax i x i y i y i max|x i y i | max y i, 1 i n.
De cette inégalité, on déduit quemax x i max y i max|x i y i |, 1 i n 1
De la même façon, on montre que i i 1,2, . . . ,ny i y i x i x i max|x i y i | max|x i | max y i max x i max|x i y i | 2
En combinant 1 et 2 on obtientmax|x i y i | max x i max y i max|x i y i | , 1 i n.
Et donc |max x i max y i | max|x i y i |, 1 i n.
Exercice 1.18. Démontrons 1).1 Si Y est majoré alors M R, y Y, y M.Comme X Y, alors x X, x Y et x M.Donc l’ensemble X est majoré et supX existe d’après le théorème d’existence de la bornesupérieure. En particulier, commey Y, y supY, alors x X Y x supY,donc supY est un majorant de X, d’où supX supY.
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Exercice 1.19. Démontrons 2), 4) et 5).2 On a
(x X, x X et x supX x X, supX x,donc supX infX, car supX est un minorant de X. Ce qui est équivalent
à supX infX. Inversement, on a :x X, infX x x X, x infX,
donc supX infX, car infX est un majorant de X. Les deux inégalités impliquentque supX infX.
4) On a x X, x supX et y Y, y supY et, alors
x X, y Y, x y supX supY,
c’est à dire que M supX supY est un majorant de X Y. Montrons que M est en fait leplus petit majorant de l’ensemble X Y. Supposons qu’il existe un majorant M1 de X Y telM1 M. Dans ce cas, on a M M1 0 et, d’après la définition de la borne supérieure pour
M M1
2 0, x X et y Y tels que:
x supX M M1
2, y supY M M1
2. Mais alors, en faisant la somme de ces deux
inégalités, on obtient x y X Y et x y supX supY M M1 M1. Celasignifie que M1 n’est pas un majorant de l’ensemble X Y. Ce qui contredit l’hypothèse sur M1.
5 On a, d’après 1) et 4) supX Y supX supY supX infY supX infY.
Exercice 1.21. 2) E2 2 1n , n N
On a E2 1, 32
, 53
, 74
, . . . . . Il est facile de voire que
1 2 1n 2 , n N.
C’est-à-dire l’ensemble E2 est borné et 2 est le majorant de cet ensemble . Montrons queSupE2 2.
Pour cela il faut montrer que 0, n , t.q. 2 1n 2 . D’où on obtient que
n 1 .
Alors 0, n N , par exemple premier naturel n verifiant l’inégalitén 1
n existe puisque
R est archimedien) t.q. 2 1n 2 . Ainsi , on trove que SupE2 2 et 2 E2. Cela
singfie que iln’existe pas max E2. Le plus petit élément de l’ensemble E2 est 1. Donc
min E2 infE2 1.4) E4 1 2n
3 n, n N
On représent l’ensemble E4 comme suit:E4 2 7
3 n, n N . Alors n N, 2 7
3 n 2, c.à.d. l’ensemble E2 est majoré
par 2.Montrons que supE4 2.
supE4 2 n N, 2 7
3 n 2
0,n N, t.q. 2 73 n
2
Nous allons choisir n à partir de l’inégalitée 2 73 n
2 . D’où on trouve que
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n 7 3.
Alors au lieu de n , on peut prendre le premier naturel verifiant l’inégalitée n 7 3.
D’où il vient quesupE4 2. Il est facile de voire que n N, 1 2n
3 n 1
4et pour n 1,
1 2n3 n
14
.
Alors min E4 infE4 14
.
11). E12 1x , 1 x 2 .
D’où 1x
12
,1 . Alors max E12 supE12 1 et min E12 infE12 12
.
Exercice 1.26. Montrons que l’ensemble X x Q : x2 2 n’admet pas de bornesupérieure dans Q. En effet, on a X x Q : 2 x 2 et supposons quec supX existe dans Q. Considérons l’ensemble
Y y Q : y 2 .Il est clair que x X, y Y, on a x y et x c. Montrons que c X et c Y.
Supposons que c X, c’est à dire c 2 . Comme Q est archimédien, alors il existe n N tel
que 1n
2 c2
2c 1, et donc
c 1n
2 c2 2c
n 1n2 c2 2c 1
n 2,
ce qui signifie que c 1n X et c c 1
n , or ceci contredit le fait que x X, x c.Supposons maintenant que c Y, c’est à dire que c 2 . Il existe alors m N tel que
1m c2 2
2c, et donc
c 1m
2 c2 2c
m 1m2 c2 2c
m 2,
ce qui signifie que c 1m Y et c c 1
m , or ceci contredit le fait que y Y, c y.Ainsi les inégalités c 2 et c 2 sont impossibles, donc c 2 . Ceci montre aussil’existence de nombres irrationnels.
Exercice 1.27. 1) Comme a b, alors b a 0. D’après la propriété d’Archimède, ilexiste n N tel que 0 1
n b a. Soit h 1n . Pour x a, il existe, d’après la deuxième
forme du principe d’Archimède, m Z tel que: m 1 1n a m
n . Montrons quemn b. Supposons que m
n b, alors on aura m 1 1n a b m
n , qui implique que
b a 1n . Ceci contredit l’inégalité 1
n b a. Et l’on conclut que a mn b.
2) Soient , R, . Posons a 2
et b 2
. D’après 1), il existe un nombre
rationnel r vérifiant a r b. Ceci implique r 2 et le nombre r 2 est irrationnel,car le produit d’un nombre rationnel par un nombre irrationnel est irrationnel.
Exercice 1.28. Soient x, y R. Démontrons 1), 5) et 7).1) D’après la définition de la partie entière d’un nombre réel, on a Ex x Ex 1 et,
alors Ex x et Ex x 1. En combinant ces deux inégalités, on trouvex 1 Ex x.
5 D’une part, on a , par définition Ex x Ex 1. En multipliant par n l’inégalité de
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gauche, on obtient nEx nx nEx Enx, car nEx Z. Donc
Ex Enxn Ex E
Enxn 1.
D’autre part, Enx nx Enx
n x EEnx
n Ex 2. Les inégalités (1) et
(2) impliquent que EEnx
n Ex.
7) L’égalité E2x 2Ex n’est pas vraie en général . Par exemple, si x 12
alors
E2. 12 E1 1 et 2.E 1
2 20 0.
Exercice 1.29. Démontrons 2). On aCn
k Cnk1 n!
k!. n k! n!k 1!. n k 1!
n!k 1!. n k!
1k 1
n k 1
n!k 1!. n k!
n 1kn k 1
n 1!k!. n k 1!
Cn1k .
Exercice 1.30.i) Démonstration par récurrence. Désigons la formule par Pn On trouve pour
n 1 : a b 1
m0
C1ma1mbm C1
0a1b0 C11a0b1 a b.
Donc la proposition P1 est vraie.Supposons que la proposition Pn est vraie et démontronsque Pn 1 est vraie aussi. Nous avons :
a bn1 a bna b n
m0
Cnmanmbm. a b
n
m0
Cnman1mbm
n
m0
Cnmanmbm1 Cn
0an1b0 n
m1
Cnman1mbm
n1
m0
Cnmanmbm1
Cnna0bn1 an1
n
m1
Cnm Cn
m1an1mbm bn1
an1 n
m1
Cn1m an1mbm bn1
n1
m0
Cn1m an1mbm.
Nous avons démontré que la proposition Pn 1 est vraie.Alors Pn est vraie pour n 1.ii) Démontrons 1). Pour cela posons x 1 dans la formule du binôme de Newton,
1 xn n
k0
Cnk1nkxk. On obtient alors 1 1n 2n
n
k0
Cnk1nk. 1k.
Exercice 1.31.. Calculons 1), 2) 4) et 9).
1) Application de la formule:n
k1
ak ak1 a1 an1. On a
n
k1
1kk 1
n
k1
1k 1
k 1
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1 12 1
2 1
3 1
3 1
4. . . 1
n 1 1
n1n
1n 1
1 1n 1
,
car tous les autres termes se neutralisent ( en se ”téléscopant”).2) Même démonstration que dans 1). On a
n
k1
1kk 1k 2
12
n
k1
k 2 kkk 1k 2
12
n
k1
1kk 1
12
n
k1
1k 1k 2
12
n
k1
1k 1
k 1 1
2
n
k1
1k 1
1k 2
121 1
n 1 1
2 1
1 1 1
n 2
12 1
2 1n 1n 2
.
4) On a
P n
k1
1 2k 13 1
n
k1
k 13 1k 13 1
n
k1
kk 1k 2 1k 2k 1k 1
1. 2.3 1. 2. 3.4 1. 3. 4.5 1. . n 1nn 1 1n. n 1n 2 132.1 1. 43.2 1. 54.3 1. . . n 1nn 1 1n 2nn 1 1
1.2.3. . . n 2n 1nn 1n 2 1
3.3.4.5. . .n. n 1n 2
2n 1n 2 13n 1n 2
2n 1n 2
.n 1n 2 1
3.
9 On a:
kCnk k. n!
k!n k! n!k 1!n k!
nn 1!
k 1!n k! nCn1
k1 .
Alorsn
k1
kCnk
n
k1
nCn1k1 n. 2n1, car
n
k1
Cn1k1 2n1.
Exercice 1.32. Démontrons 2) et 8).
2 Désignons par Pn la proposition: 12 22 . . .n2 nn 12n 16
. Pour n 1 :
on a: 12 11 11 26
1. Alors la proposition P1 est vraie.
Supposons que Pn est vraie et démontrons Pn 1. Nous avons :
12 22 . . .n2 n 12 nn 12n 16
n 12
n 1n2n 1
6 n 1 n 1 2n2 7n 6
6 n 1n 22n 3
6.
Donc la proposition Pn est vraie n 1.7) Pour n 1 on trouve :1.1! 1 1! 1 1 1. Supposons que Pn est vraie et
démontrons Pn 1. On a:
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n1
k1
k.k! n
k1
k.k! n 1. n 1! n 1! 1 n 1n 1!
n 1!1 n 1 1 n 2! 1,
donc pn 1 est vraie.
Exercice 1.33. Par récurrence. Désignons par Pn la proposition:n
k1
kk 1. . . k m 1 1m 1
nn 1. . . n m.
Pour n 1, on a:
1.2. . . 1 m 1 1m 1
.1.2. . . 1 m 11 m 1.2. . .m 1.2. . .m
Alors P1 est satisfaite. Supposons que Pn est vraie et démontrons que Pn 1 est vraieaussi. On a
n1
m1
kk 1. . . k m 1 n
m1
kk 1. . . k m 1 n 1n 2. . . n m
1m 1
nn 1. . . n m n 1n 2. . . n m
n 1n 2. . . n m nm 1
1 1m 1
n 1n 2. . . n mn m 1.
On a montré que Pn 1 est vraie. Alors Pn est vraie n 1.
Exercice 1.35. Soient x1,x2, . . . ,xn des nombres réels de même signe supérieure à -1.Démontrons l’inégalité 1 x11 x2. . . 1 xn 1 x1 x2 . . .xn par recurrence.Pour n 1, on trouve 1 x1 1 x1. Supposons vraie pour n , démontrons la pour n 1.On a, en utilisant la formule (*) et les facteurs sont 0, pourn 1. 1 x11 x2. . . 1 xn1 xn1 1 x1 x2 . . .xn1 xn1
1 x1 x2 . . .xn xn11 x1 x2 . . .xn 1 x1 x2 . . .xn xn1 xn1x1 x2 . . .xn 1 x1 x2 . . .xn xn1, car le dernier facteur est 0.
Donc l’inégalité de Bernoulli est vraie n N.En posant x1 x2 . . . xn x 1, ondéduit que 1 xn 1 nx.
Exercice 1.36. Démontrons les inégalités 5) et 9).5 Pour n 1, on a 1
2 1
3 3 2. Ce qui est vrai. Supposons l’inégalité vraie
pour n et démontrons la pour n 1. On a
12
34
. . . 2n 12n
.2n 1 1
2n 1 1
2n 1. 2n 1
2n 2 2n 1
2n 2
12n 3
2n 3 2n 12n 2
12n 3
,
car2n 3 2n 1
2n 2 1 ( qui est facile à démontrer). Donc l’inégalité est vraie n N.
9) Pour n 1, on a 11 1
11 2
11 3
1312 1. Supposons l’inégalité vraie pour
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n et démontrons la pour n 1. On a,2n11
k1
1n 1 k
2n3
k1
1n 1 k
1n 2
1n 3
. . . 13n 1
13n 2
13n 3
13n 4
.
En ajoutant et en retranchant 1n 1
, on obtient
2n11
k1
1n 1 k
2n
k0
1n 1 k
1n 1
13n 2
13n 3
13n 4
1 13n 2
13n 3
13n 4
1n 1
1,
car on montre facilement que1
3n 2 1
3n 3 1
3n 4 1
n 1 2
33n 2n 13n 4 0
Exercice 1.39.1) Soit O O une réunion, finie ou infinie, d’ouverts et x0 O. Il
existe alors tel que x0 O. Comme O est un ouvert, il contient un intervalle ouvertcontenant x0 et Ix0 O O. Donc la réunion O est un ouvert.
2) Elle découle du fait que l’intersection d’un nombre fini d’intervalles ouverts contenant x0
est un intervalle ouvert contenant x0.3) Elle découle de la relation CR
F CRF, et de la propriété 1).
4) Elle découle de la relation CR
n
i1
F i n
i1
CRF i et de la propriété 2).
Exercice 1.40. 1) Exemple d’ouverts dont l’intersection infinie n’est pas un ouvert. Soientles ouverts On 1
n , 1n , n 1,2, . . . , alors leur intersection n’est pas un ouvert. En effet,
on a
n1
On
n1
1n , 1
n 0,
qui est un ensemble fermé.2) Exemple de fermés dont la réunion infinie n’est pas un fermé. Soient les fermés
Fn 1n , 1 , n 1,2, . . . , alors leur réunion n’est pas un fermé. En effet, on a
n1
Fn 0,1, qui n’est pas fermé. En effet, x 0,1,n N tel que 1n x, et alors
x 1n , 1 0,1
n1
Fn. Inversement, Fn 0,1
n1
Fn 0,1.
Exercice 1.41. Démontrons 1) On a CF , 01, 12 1
2, 1
3. . .1, qui est une
réunion d’intervalles ouverts, donc le complémentaire de F est, d’après l’exercice 1.40, 1),ouvert. Et, donc, F CCF est fermé.
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Exercice 1.43. Supposons que 0,1 est dénombrable, donc il s’écrit sous la formex1, x2, x3, . . . ,xn, . . . . Partageons le segment 0,1 en trois parties égales par les points 1
3et 2
3. On obtient, alors trois segments 0, 1
3, 1
3, 2
3, 2
3,1 dont, au moins l’un d’eux
ne contient pas x1. Désignons par I1 ce segment et partageons le en trois parties égales, et,comme précédemment, l’un d’eux ne contient pas x2. Soit I2 ce segment. On répète la mêmeopération pour ce segment en le partageant en trois segments égaux dont l’un, qu’on désigne parI3, ne contient pas x3. En poursuivant indéfiniment ce processus, on obtient une suite desegments emboîtés I1 I2 I3 . . . In . . . tels que la longueur de chaque segment |In |vérifie |In | 1
3n , n 1,2,3, . . . et xn In an,bn , n 1,2,3, . . . D’après le théorème
des segments emboîtés, il existe un seul point c
n1
In, c’est à dire que c In, n 1,
donc c xn, n 1. Comme c 0,1, on conclut que 0,1 n’est pas dénombrable.Remarque. On peut démontrer cet exercice en utilisant les développements décimaux des
nombres réels. Supposons que 0,1 est dénombrable. Il s’écrit donc sous laforme 0,1 x1,x2, . . . ,xn, . . . avec
x1 0,112
1. . .n1. . . ;
x2 0,122
2. . .n2. . . ;
. . . . . . . . . . . . . . .
x2 0,1n2
n. . .nn. . . ; . . .
Cependant le nombre x 0,12. . .n. . . avec n N : 0 n 9 et n nn,
appartient à 0,1 mais x xn, n N.
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Chapitre II. SUITES NUMERIQUES.
Rappels de cours.
II.1. Limite d’une suite numérique. On dit que la suite numérique u1,u2, . . . ,un, . . . admet lalimite R (ou converge vers ) si
0,n N,n : n n |un | .On note alors
nlim un .
II.2. Limite infinie.L’écriture symbolique
nlim un signifie que
A 0, nA N, n : n nA |un | A.
Plus particulièrement:
nlim un A 0, nA N, n : n nA un A;
nlim un A 0, nA N, n : n nA un A.
Définition 1. i) La suite un est dite infiniment grande sinlim un .
ii) La suite un est dite infiniment petite sinlim un 0.
Définition 2. La suite un est dite divergente si elle n’admet pas de limite finie.
Terminologie: on dit qu’une propriété Pn, dépendant de n N, est vraie pour n assezgrand ou à patir d’un certain rang s’il existe q N tal que n N : n q Pn estvraie).
II.3. Critères d’existence de la limite.Critère n 1: Toute suite croissante majorée (resp. décroissante minorée) admet une limite.Critère n 2: Critère de Cauchy. Pour qu’une suite numérique soit convergente, il faut et il
suffit qu’elle vérifie le critère de Cauchy suivant: 0,n N,p,q N : p n,q n |up uq | .
ou bien 0,n N,n : n n,p 1 |unp un | .
Critère 3: (théorème des trois suites). Soient xn, yn et zn trois suites vérifiant:i) yn xn zn, à partir d’un certain rang,ii)
nlim yn
nlim zn ,
alorsnlim xn
Critère n 4: (de comparaison). Soient xn et yn deux suites vérifiant:i) yn xn, à partir d’un certain rang,ii)
nlim yn resp.
nlim xn .
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Alorsnlim xn , resp.
nlim yn .
II.4. Inégalités et opérations sur les limites. Si les suites xn et yn convergent, alors on ai) xn yn n n0
nlim xn
nlim yn;
ii)nlim xn yn
nlim xn
nlim yn;
iii)nlim xnyn
nlim xn.
nlim yn;
nlim xn
nlim xn R;
iv)nlim xn
yn n
lim xn
nlim yn
sinlim yn 0;
v)nlim |xn |
nlim xn ;
II.5. Limites remarquables. Les relations suivantes sont vraies:i) la limite
nlim 1 1
n n existe, notée e où la limite e est appelée
nombre de Néper avec 2 e 3.ii) suite géométrique
nlim qn
0 si |q| 1,
si |q| 1
1 si q 1,
n’existe pas si q 1.
Les théorèmes suivants sont vrais:Théorème 1. Si un 0 n 1 et
nlim un 0, alors R, on a
nlim un
nlim un
.
En particulier: m N, on a
nlim m un m
nlim un m
avec un 0 si m est pair et un quelconque si m est impair. (voir exercice 2.5).Théorème 2. Si a 0, a 1, un 0 n 1 et 0, alors on a
nlim logaun loga
nlim un loga.
Théorème 3. Si a 0 etnlim un , alors
nlim aun an
lim un a.
Remarque. On admettra les formules suivantes souvent utilisées dans le calcul des limites desuites:
i)nlim xn a 1,
nlim yn b
nlim xn
yn ab;
ii)nlim xn 1,
nlim yn ,
nlim xn
yn enlim ynxn1
.
II.6. Suites adjacentes. On dit que deux suites un et vn sont adjacentes si l’une est
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croissante, l’autre décroissante etnlim un vn 0.
Proposition. Deux suites adjacentes sont convergentes et ont même limite.
II.7. Suites extraites. Soit un une suite numérique. La suite unk est une sous-suite ousuite extraite de un si la suite des indices nk est strictement croissante et unk un , c’est àdire que n1 n2 . . . nk . . . et unk un, n 1 . On note unk un.
Les théorèmes suivants sont vrais:
Théorème 1. Si un est convergente vers R, alors toute sous-suite de un convergeaussi vers .
Théorème 2. Si les deux sous-suites u2n et u2n1 de la suite un converge vers la mêmelimite , alors un converge aussi vers .
Voir exercices: 2.3 et 2.25. i), a).
II.8. Suites récurrentes. Soit f : D R D. On dit que la suite un est une suiterécurrente définie par f si u1 est donné et un1 fun, n 1.
Propriétés.i) Si f est croissante, alors:
a un est croissante si fu1 u1 0,
b un est décroissante si fu1 u1 0.
ii) Si f est décroissante, alors la quantité un1 un est alternativement positive et négative.
Théorème. Soit une suite récurrente un définie par f : D D.Si
nlim un R et si f est continue, alors la limite vérifie l’équation
f .
II.9. Limite inférieure et limite supérieure d’une suite. Soit un une suite numérique. Ondit que le nombre a R est une valeur d’adhérence de un s’il existe une sous-suiteunk un convergente vers a.
L’ensemble des valeurs d’adhérence de la suite un est noté Adun R.Définition. On appelle limite supérieure (resp. inférieure) de la suite un la borne supérieure
( resp. la borne inférieure) de Adun qu’on note limun (resp. limun.En fait, on a limun max Adun R et limun min Adun R.Exemple. Soit la suite un définie par
un
13
si n 3k,
1 1k
si n 3k 1,
2 si n 3k 2.
La suite un contient trois sous-suites convergentes, à savoir u3k, u3k1 et u3k2 quiconvergent respectivement vers 1
3, 1 et 2. Donc les nombres 1
3, 1 et 2 sont des valeurs
d’adhérences de la suite un qui est divergente.
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Enoncés des exercices du chapitre II.Partie corrigée.
Exercice 2.1. En appliquant la définition de la limite d’une suite, démontrer que chacune dessuites un suivantes converge vers la limite indiquée:
i)
1 un 1n , 0; 2 un 1
n , 0; 3 un 1n1
n , 0;
4 un 2 1n
n , 0; 5 un 1 1n
n , 0(expliquer sur un dessin le sens de la convergence de chacune de ces cinq suites);ii)6 un 4n 1
2n 1, 2 ; 7) un 5n2 1
7n2 1, 5
7
8 un n2 n 22n2 3n 1
, 12
; 9 un n2 1
n , 1;
10 un n 2 n 1 , 0; 11) un n
k0
qn |q| 1 , 11 q
;
12) un loglogn, ; 13) un
n fois 1
0,11. . . 1, 19
;
14) un cos n3 3n 7
n2 5, 0; 15) un n!
nn , 0;
16) un n a a 1, 1; 17) un 2 n , .
Exercice 2.2. i) Soit la suite un donnée par la formule générale
un 2n 1n
2n , n N.
Montrer quenlim un 1. Pour quelles valeurs de n, l’écart entre un et sa limite est-il en
valeur absolue inférieur à 0 et inférieur à 104.
ii) Soit la suite un donnée par la formule générale un n2 a2
n , n N.Montrer que
nlim un 1. Pour quelle valeur de n, l’écart entre un et sa limite est-il en
valeur absolue inférieur à 0.
Exercice 2.3. Montrer que si les suites vn et wn convergent vers la même limite , alors lasuite alternée v1,w1,v2,w2, . . . ,vn,wn, . . . converge aussi vers .
Exercice 2.4. Soit une suite numérique un. Montrer que
i)nlim un
nlim 1
n
n
k1
uk .
ii) En déduire que si vn est une suite numérique tellenlim vn1 vn , alors
nlim vn
n .
iii) La réciproque de la question i) est-elle vraie?
Exercice 2.5. Soit une suite un telle que : un 0, n 1 etnlim un . Démontrer que
nlim p un p p N.
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Exercice 2.6. En utilisant le théorème des trois suites, calculernlim un si:
1) un ncos n sinnn 12
; 2 un n n 1 n ;
3) un n 1k nk 0 k 1; 4) un n
k1
nn2 k
;
5 un n
k1
nn3 k
; 6) un n
k1
1k n2
;
7) un 1n2
n
k1
Ekx; 8) un n 3n 2 ;
9 un nan a 1; 10 un n 2n 3 ;
11) un an
1 a1 a2. . . 1 ana 0.
Exercice 2.7. Démontrer les égalités suivantes:
1nlim n
2n 0, (généralisation:nlim nk
an 0 a 1, k N;
2nlim 2n
n! 0, généralisation:
nlim an
n! 0 a R;
3nlim nqn 0 |q| 1;
4nlim n a 1 a 0, (généralisation:
nlim n ap 1, p N;
5nlim
logann 0 a 1 (généralisation
nlim
logann
0, 0;
6nlim n np 1 p N;
7nlim 1
n n! 0 indication: montrer que n! n
3
n;
8)nlim n!
nn 0.
Commenter ces résultats.
Exercice 2.8. Soit a1,a2, . . . ,am des nombres réels strictement positifs et A i1...mmax ai.
Montrer quenlim n a1
n a2n . . .am
n A.
Exercice 2.9. Calculernlim un où:
1) un n 53 nn 72
n2 ; 2 un n2 12n 1
3n2 16n 1
;
3) un n 14 n 14
n2 12 n2 12;
4 un n 1m n 2m . . .n km
nm1 kn k,m N;
5) un 1 2 . . .nn2 ; 6) un n2 2n 5 n;
7) un n2 n n; 8 un 2n2 n 1
3n 1n n 4;
9) un 3 n3 2n2 n; 10 un n2
3 1 2n 1 ;
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11) un n2 1 n3 n2 n n
; 12 un n3
3 3 1 3n3 1 ;
13) un 3 n2 nn 2
; 14 un n2 3 n5 2n
n2 n5 1;
15) un 3 n 1 3 n ; 16) un n
k1
1kk 1
;
17) un 11.3 1
3.5. . . 1
2n 12n 1; 18) un
n
k1
1kk 1k 2
;
19) un 12 22 . . .n2
n3 ; 20) un n
k1
2k 1n 1
2n 12
;
21) un n3/2 n3 1 n3 1 ; 22 un 2n5n 1
cos n3n 1
;
23) un 1 2 3 . . .nn 2
n2
; 24) un 1n 1
n1n2 1
n;
25) un 1 13 1
32 . . .1n
3n ; 26) un 12n
32n . . .
2n 12n ;
27) un 1n
2n
3n . . .1
n1 nn ; 28) un 1 2 3 4 5 . . .2n
n2 1 4n2 1;
29) un 12
n3 32
n3 . . .2n 12
n3 ;
30) un 1 a a2 . . .an
1 b b2 . . .bn |a| 1, |b| 1;
31) un a 1n 1a 1n 1
a 1; 32) un 2n 1n
3n n;
33) un 2n2 3n3
2n 3n ; 34) un 1n6n 5n1
5n 1n16n1 ;
35) un n3 3n
n 3n1 ; 36) un 2n 3n
2n1 3n1 ;
37) un 21n 1
21n 1
; 38) un 2n
n 2!;
39) un 5n n 1!3n n 2!
; 40) un 4n n22n 1n4 n!2
;
41) un 10,3n.n!
; 42) un 3n2n
n3!;
43) un 2
n2 n 1!n3n n!
; 44) un n3n 1n! 1
;
45) un 10n n!2n n 1!
; 46) un 0,
n fois 3
233. . . 3;
47) un n 2! n 1!
n 3!, 48) un 3
n 1!2
2n 1!;
49) un 2 4 2 8 2 . . . 2n 2 ;50) un n n an b a,b 0;
51) un n4 2n 1 n2 2n 1.
Exercice 2.10. Parmi les suites suivantes, montrer celles qui sont bornées
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1 un n1n; 2 un
2 1n2
1n ;
3) un n 1n cos2 n
4; 4) un 100 n3
n2 1;
5) un n
k0
1k!
; 6) un n 1n
3n 1;
7) un ncosn; 8) un n 1n;
9) un n
k0
1kk 1
; 10 un nqn |q| 1;
11) un 1nn 25
n2 4; 12) un n2 1 n ;
13) un 25 n3
n2 10; 14 un
n
k1
1k n
.
Exercice 2.11.i) Soit une suite un et un réel k 1. On suppose qu’il existe n0 Ntel que un1 kun, n n0. Montrer que
nlim un .
ii) Soit un une suite de réels strictement positifs telle que
nlim un1
un 1. Montrer que
nlim un .
Exercice 2.12. Considérons les suites un 3n 3n
3n et
vn 3n 3n
5n , n 1. Montrer que la suite un ne possède pas de limite tandis que la
suite vn converge et préciser sa limite.
Exercice 2.13. Etudier la nature de la suite définie par un n2
k1
nn2 2k
.
Exercice 2.14 . Etudier la monotonie des suites suivantes et en déduire eventuellement leurnature:
1) un 1n 1n ; 2 un n3 1
n4 ;
3) un n
k1
1n k
; 4) un n
k1
1k n
;
5) un 12 22 . . . n2
n2 ; 6) un n
k1
1kp , p 2,3, . . . ;
7) un n
k1
1k n2
; 8) un n2
k1
1n2 2k
;
9) un n
k1
1k
; 10) un n
k1
1k!
;
11) un n!1.3.5. . . 2n 1
; 12) un 1.3.5. . . 2n 1
2.4.6. . . 2n.
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13 un n 1!
1 1 1 2 . . . 1 n ; 14) un 1n n;
15) un 10n
2n 1!; 16) un n2 kn en fonction de k.
Exercice 2.15. Soient les suites:
un 1 1n
net vn 1 1
nn1
, n 1,2, . . . .
i Démontrer que la suite un est strictement croissante , majorée et quela suite yn est décroissante, minorée.
ii En déduire quenlim un
nlim vn .
Cette limite est désignée par e , appelée nombre de Néper, c.à.d. que:
nlim 1 1
nn e.
Exercice 2.16. Démontrer les inégalités suivantes:
1 ne
n n! e n
2
n; 2) 1 1
nn e 1 1
nn1
;
3 en déduire que 1n 1
log 1 1n 1
n n N;
Exercice 2.17. Sachant quenlim 1 1
nn e,
i) montrer quenlim 1 1
1! 1
2!. . . 1
n! e.
ii) En déduire la formule:e 2 12! 1
3!. . . 1
n! n
n!.navec 0 n 1 et que le
nombre e est irrationnel.iii) Calculer le nombre e à 105 prés.
Exercice 2.18 Généralisation de la formulenlim 1 1
nn e.
Soient un et vn deux suites arbitraires telles quenlim un ,
nlim vn et un,vn n’appartiennent pas à l’intervalle 1,0.
Montrer alors que
nlim 1 1
un
un
nlim 1 1
vn
vn e.
Remarque. On supposera dans la suite que la proposition suivante est vraie: sinlim xn
etnlim yn R, alors
nlim 1 1
xn
xnyn e.
Exercice 2.19. Calculernlim un si:
1) un 1 1n k
n; 2) un 1 k
nnk N;
3) un 1 1n
2n; 4) un n 1
n 3
n2;
5) un 2n 12n
2n
; 6) un 2n 32n 1
n2
;
7) un n2 1n2 2
n2
; 8) un 1 1nn 1
n
;
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9) un n2 nn2 2n 2
n
; 10) un n2 n 1n2 n 1
n
.
Exercice 2.20. En appliquant le critère de Cauchy étudier la nature des suites suivantesdéfinies par:
1) un n
k1
cos kak
a R, 2; (indication: 1n2
1n 1
1n ;
2) un n
k1
akk || 1, |ak | M k N;
3) un n
k1
1k!
; 4) un n
k1
1k 2, N; 5) un cos 1
n ;
6) un n
k1
1k
; 7) un n
k1
1k
; 8) un n
k2
1logk
;
9) un 1 12
1 14
. . . 1 12n .
Exercice 2.21. Soit la suite xn vérifiant la condition:|xn1 xn | an 0 a 1 .Montrer que xn est une suite de Cauchy.
Exercice 2.22.i) a) Soit un une suite telle que les deux sous-suites u2n et u2n1 soient
convergentes vers la même limite . Montrer que la suite un converge aussi vers .b) Soit un une suite telle que les trois sous-suites (u2n1, u2n et u3n soient
convergentes. Montrer que:nlim u2n
nlim u2n1. Conclure.
ii) a) On considère la suite un définie par:un 1 1
2! 1
4! . . . 1n 1
2n!, n 1.
Montrer que les deux sous-suites u2n1 et u2n sont adjacentes . Conclure.b) On considère la suite un définie par:
u1 2, un1 2 un n 1.1) Etudier la monotonie de un, n 2.2) Etudier ensuite les deux sous-suites u2n1 et u2n. Conclure.
Exercice 2.23.
a) Soient les suites un et vn définies par: un n
k1
1k!
et vn un 1n.n!
.
i) Montrer que un et vn sont adjacentes.ii) En déduire que n N, on a un e vn.iii) En prenant n 5 trouver une valeur approché de e, puis évaluer l’erreur commise.b) Montrer que les suites un et vn sont adjacentes si:
1) un n
k1
1k2k 12
et vn un 13n2 , n 2;
2) un n
k1
1kp et vn un 1
np1 , p 2, n 2.
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Exercice 2.24. Trouver le terme général de chacune des suites suivantes:1 xn nxn1 et x1 1;2 xn est définie comme suit : x2n nn 1x2n1, x2n1 1
2n x2n et x1 x2 1.
Exercice 2.25. Soit la suite un définie par:
un 1 12 1
3 1
4. . . 1
n1
n , n 1.
iMontrer que les suites u2k et u2k1 sont adjacentes.ii En déduire la nature de un.
Exercice 2.26. Soit la suite un définie paru1 a,
un1 6 un , n 1.
i) Montrer que la suite un est strictement croissante dans le cas a 0 et strictementdécroissante dans le cas a 4.
ii) En déduire sa nature pour a 0 et si elle converge, alors calculer sa limite.
Exercice 2.27. Soit la suite un définie paru1 0,
un1 un 1un
, n 1.
Montrer quenlim un . (Raisonner par l’absurde).
Exercice 2.28. Etudier la nature de la suite définie paru1 1,
un1 1 1un
, n 1.
et calculer sa limite si elle existe. (Utiliser l’exercice 2.25 i a)).
Exercice 2.29. Soit la suite récurrenteu1 a, a 1,
un1 un2 1
2n , n 1.
i) Montrer que n 1, un 1.ii) Montrer que un est convergente.
iii) Calculer de deux manières différentesn
k1
uk12 uk
2.
iv)En déduire que un converge et calculer sa limite.v) Soit E un, n 1 . Déterminer supE et infE.
Exercice 2.30. ( autre formulation de l’exercice 2.29). Soit la suite récurrente
u1 a, a 1,
un1 un2 1
2n , n 1.
i) Montrer que n 1, un1 un 12n1 . Déduire que un est convergente (utiliser le
critère de Cauchy).
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ii) Etudier la suite un2. En déduire la limite de un.
Exercice 2.31.. On considère une suite un de nombres réels telle que
|un1 un | k|un un1 |, n n0 n N, 0 k 1.
i) Monter que n 1, |un1 un | kn|u2 u1 |.ii) Montrer que pour tous entiers p,q vérifiant 0 q p, on a
|up uq | kq
1 k|u2 u1 |.
iii) En déduire la nature de un.iv) Démontrer d’une autre manière que la suite un est convergente ( utiliser le critère de
Cauchy).v) Application: quelle est la nature de la suite un définie par
u1 b R,
un1 a sinun b, n 1 a,b R, 0 a 1.
(Ind. On admettra que |sinx| |x|,x R.
Exercice 2.32. Soit la suite récurrente
u1 a , a 0,
un1 unun
2 3a3un
2 a, n 1.
i) Montrer que n 2, un a .ii) Montrer que un converge et calculer sa limite.
Exercice 2.33. Soit la suite récurrente définie paru1 1
2,
un1 un2 3
16, n 1.
i) Montrer que n 1, 14 un 3
4.
ii) Etudier la nature de la suite un et calculer sa limite si elle est convergente.iii) Soit E un, n 1 . Déterminer supE et infE.
Exercice 2.34. Soit la suite numérique définie par0 u1 1,
un1 1 un
2 un, n 1.
i) Montrer que n 1, 0 un 1.ii) Montrer que un est monotone en précisant les valeurs de u1 pour lesquelles un est
croissante, respectivement décroissante.iii) Montrer que la suite un est convergente. Sa limite dépend-elle de u1?
Exercice 2.35. Soient un la suite définie paru1 0,
un1 12
un 1, n 1.
et vn la suite définie par: vn un a, n 1, a R.
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i) Déterminer a pour que la suite vn soit une suite géométrique de raison 12
.
ii) Calculer la limite de un, ainsi que celle de vn.
Exercice 2.36.
1) Soit la suite numérique définie paru1 ,
un1 2 un , n 1.
Etudier la nature de la suite un dans les cas suivants:i) 1, ii 2, iii 3 et calculer sa limite si elle existe. Tracer son graphe.
2) Mêmes questions si un est définie paru1 ,
un1 43
un un2, n 1,
dans les cas: i) 16
, ii 12
, iii 76
.
Tracer leurs graphes.
Exercice 2.37. Soit la suite numérique définie paru1 0,
un1 11 un
, n 1.
i) Montrer que n 1, un 0.ii) Trouver la limite éventuelle de un qu’on désignera par .iii) Montrer que n 1, |un1 | 1
2|un |.
iv) En déduire que un converge vers .
Exercice 2.38. Soit la suite numérique définie paru1 R,
un1 8 un2
2, n 1.
i) En posant vn un2 16, n 1, montrer que la suite vn est une suite géométrique dont
on déterminera la raison.ii) En déduire la nature de un.
Exercice 2.39. Soit a 0. On construit la suite suivante:
u1 a , u2 a a , u3 a a a , . . . ,un
n fois
a a . . . a , . . .
i Ecrire la formule récurrente de un1 en fonction de un, n 1.ii Calculer
nlim un.
Exercice 2.40. Soit a 0. On définit la suite un par:
u1 0 et un1 12
un aun
, n 1.
i Montrer que cette suite est minorée par a et est décroissante.ii En déduire la limite de cette suite.iii Quel est le sens à donner à cette limite?
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Exercice 2.41 Soit la suite récurrenteu1 1
un1 un
2 3
2un, n 1.
i) Montrer que n 2, un 3 . ii) Etudier la monotonie de la suite un.iii) En déduire que un converge et calculer sa limite.iv) Soit E un, n 1 . Déterminer supE et infE.
Exercice 2.42. Soit la suite récurrenteu1 0,
un1 7un 43un 3
, n 1.
i) Montrer que n 1, 0 un 2 et que un est monotone.ii) En déduire que un converge. Calculer sa limite.
Exercice 2.43. Etudier les suites suivantes définies par:1 u1 2
3, un 2 un ,n 1 ; 2) u1 13, un1 12 un ;
3) u1 1, un1 2 un2 ; 4) u1 7
6, un1 4 3
un;
5 u1 1, un1 log1 un; 6 0 u1 1, un1 un2 un;7 u1 1, un1 1
3 un; 8) u1 3, un1 1 6
un;
9) u1 817
, un1 1un 3
2.
Exercice 2.44. A l’aide des suites récurrentes, calculer la limite suivante:
nlim an
n! a 1 .
Exercice 2.45. Soit la suite vn définie à l’aide de la suite un par:
v1 u1, vn1 un1 un, n 2,
avec || 1. Calculernlim un si
nlim vn b.
Exercice 2.46. Calculer la limite de la suite un définie par les formules:
u1 a, u2 b,
un un2 un1
2, n 3.
Exercice 2.47. Soient les suites récurrentes définies par
u1 a R,
un1 unvn , n 1.,
v1 b R,
vn1 12un vn, n 1.
Montrer quei) n 1, un et vn sont à termes positifs; ii) n 1,un vn;iii) un et vn sont monotones; iv) vn un 1
2
nv1 u1.
v) Conclure.
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Exercice 2.48. Soient a,b,u1,u2 R avec 0 a b. Pour tout n N, on définit
un1 aun bvn
a b, vn1
avn bun
a b, n 1.
i) Montrer que n 1, un vn.ii) Etudier la monotonie des suites un et vn.iii) Exprimer vn un en fonction de v1 u1. Déduire que un et vn sont adjacentes.iv) Exprimer vn un en fonction de v1 u1. Déterminer la limite de chacune des suites un
et vn.
Exercice 2.49. Soit un une suite monotone. Montrer que si un admet une sous-suiteconvergente vers , alors
nlim un .
Exercice 2.50. Soit un une suite telle que un 0 etnlim un1
un .
i) Montrer que si: 1) || 1, alorsnlim un 0; 2) || 1, alors un est divergente.
ii) Montrer que si un 0, n 1, alorsnlim n un .
iii) En déduire les limites des suites suivantes définies par:1) un n
n n!; 2 un 1
n n n 1n 2. . . 2n 1 ;
3 un nn!2
2n 1!.
Exercice 2.51.i) Soit la suite un vérifiant la relation:
0 umn um un, m,n 1,2, . . . .Montrer que
nlim un
n existe.
ii). Montrer que sinlim un a,
nlim vn b, alors
nlim maxun,vn maxa,b.
Exercice 2.52. Etudier la nature de la suite suivante et calculer sa limite
un 1n 1
1n 2
. . . 1n n .
Exercice 2.53. Trouver infun, supun,n
limun etn
lim un si:
1) un 1 1n ; 2 un
1nn 1 1n
2;
3) un 1n1 2 3n ; 4) un 1 n
n 1cos n
2;
5) un n1n; 6) un 1nn;
7) un 1 n sin n2
; 8) un n2 1n;
9) un 1n 10,2
; 10) un n 1n 1
cos 2n3
;
11) un 1 1nn
n ; 12) un 1 21n1 31nn1
2 .
Exercice 2.54. Calculern
limun etn
lim un si:
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——————————————————————————————————-48
1) un n2
1 n2 cos 2n3
; 2) un nn 1
sin2 n4
; 3) un 1n sin n
3;
4) un 1 1n2n 1
2n 3; 5) un 1 1
n n1n sin n
4(indication: étudier les sous suites u8nj, j 0,1,2, . . . , 7.
Exercice 2.55. Calculer les valeurs d’adhérence des suites suivantes:1) 1
2, 1
2, 1
4, 3
4, 1
8, 7
8, . . . ;
2) 1, 12
,1 12
, 13
,1 13
, 12 1
3, 1
4,1 1
4, 1
2 1
4, 1
3 1
4, 1
5, . . .
3) un 3 1 1n 1n2; 4) un 1
2a b 1na b.
Exerice 2.56. Démontrer que les suites un et vn un n n admettent les mêmes valeursd’adhérence.
Exercice 2.57. Démontrer que si un 0, n 1 etsi lim supun. lim sup 1
un 1, alors la suite un converge.
Exercice 2.58. Indiquer, en justifiant vos réponses, si les affirmations suivantes sont vraiesou fausses:
1) unn bornée unn converge;2) unn converge unn bornée;3) n un 0 et unn décroissante
nlim un 0;
4) n un 0 etnlim un 0 unn décroissante;
5) n un 0 et unn strictement croissante nlim un ;
6) unn non majoréenlim un ;
7) n u2n 0 et u2n1 0 unn diverge;8) unn converge vers sup un, n 1 ;9) unn converge vers un , à partir d’un certain rang;
10)nlim un et unn décroissante n un ;
11)nlim un et unn croissante n un ;
12)nlim un1 un 0 unn est de Cauchy;
13) u2n et (u2n1 sont adjacentes unn converge;14) un et vn divergent un vnn diverge;15) un et vn majorées un vnn majorée;16) un et vn majorées un.vnn majorée;17) un et vn croissantes un.vnn croissantes;18) un converge et vn diverge un vn converge;19) un) converge et vn) diverge un.vn diverge;20) un) et vn) divergent un.vn diverge;21) un) et vn) divergent un vn diverge;22) Si
nlim un 0 et vn une suite arbitraire, alors
nlim un.vn 0.
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——————————————————————————————————-49
Réponses aux exercices du chapitre II.
Exercice 2.1. 1) E 1 1; 2 E 1
1; 3) E 1 1;
4 E 3 1; 5 E 2
1; 6) E 12
3 1 1, ;
7) E 17
12 7 1; 8) E 7
4 1; 9) E 1
2 1;
10) E 12 1 1; 11) E
log|1 q|log|q|
1 1; 12) A 0, EeeA 1;
13) E log1019
1; 14) E 1 1; 15) E 1
1 ;
16) Eloga
log1 1; 17) A 0, E
logAlog2
2
1.
Exercice 2.2. i) si 104, n Elog2104 1 14; ii) n E a2 1.
Exercice 2.4. iii) Non, car la suite un 1n n’est pas convergente, alors que
xn 1n
n
k1
1k 1n
1 1n2 n
0.
Exercice 2.6. 1) 0; 2) 12
; 3) 0; 4) 1; 5) 0;
6) 1; 7) x2
; 8) 1; 9) 0; 10) 1; 11 0.
Exercice 2.9. 1) 1; 2) 16
; 3) ; 4) mkk 1
2;
5) 12
; 6) 1; 7) 12
; 8) 23
; 9) 23
; 10) 13
;
11) 1; 12) 13
; 13) 0; 14) 0; 15) 0;
16) 1; 17) 12
; 18) 14
; 19) 13
; 20) 32
;
21) 1; 22) 25
; 23) 12
; 24) 1; 25) 34
;
26) 3; 27) 12
; 28) 13
; 29) 43
; 30) 1 b1 a
;
31) 1 si |a 1| 1, 0 si a 0, 1 si |a 1| 1;32) 2
3; 33) 27; 34) 1
6; 35 1
3; 36 1
3; 37) 0; 38) 0;
39) 0; 40) 0; 41) 0; 42) 0; 43) 1;44) 0; 45) 0; 46) 7
30; 47) 0; 48) ;
Exercice 2.10.1) non bornée ; 2) bornée ; 3) bornée; 4) non bornée ; 5) bornée ; 6) bornée ;7) non bornée; 8) non bornée; 9) bornée ; 10) non bornée; 11) bornée ;12) non bornée; 13) non bornée; 14) bornée.Exercice 2.12.
nlim vn 0. Exercice 2.13. Diverge: .
Exercice 2.14. 1) non monotone (div.); 2) décroissante (conv.);3) strictement croissante (conv.); 4) croissante (convergente);5) croissante (div.); 6) strictement croissante (conv); 7) croissante ( conv.);8) croissante ( conv.); 9) croissante (div.); 10) croissante (conv.); 11) décroissante ( conv.);12) décroissante (convergente); 13) décroissante (convergente);14) non monotone; 15) décroissante (conv.);16) croissante pour n E k 1
2 (conv.).
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——————————————————————————————————-50
Exercice 2.17. ii) e 2,71828.Exercice 2.19. 1) e; 2) ek; 3 e2; 4 e4;5 e; 6) 1; 7) e3; 8 1; 9 e1; 10 e2.Exercice 2.20. 1) converge; 2) converge; 3) converge; 4) converge;5) converge; 6) diverge; 7) diverge; 8) diverge; 9) converge;Exercice 2.23. a) iii) e 2, 71828.
Exercice 2.24. 1) xn n! 2 x2n n!n 1!
2nn1
2
, x2n1 n!n 1!
2nn1
2
.
Exercice2.25.ii) unconverge. Exercice 2.26. ii) 3.
Exercice 2.28. 1 52
. Exercice 2.29. iv) a2 1 ,
v supE a2 1 , infE a.Exercice 2.31. iii) converge. Exercice 2.32. ii) a .Exercice 2.33. ii) 1
4. iii) supEn max En u1 1
2et infEn 1
4.
Exercice 2.34. iii) non. Exercice 2.35. i) a 1; ii lim un 2, lim vn 4.Exercice 2.36. 1) i) 1 2, ii) 2 2 ,
iii) 3 2. 2) i-iii) 13
.
Exercice 2.37. ii) 5 12
. Exercice 2.38. ii) 4.
Exercice 2.39. ii) 12
1 1 4a . Exercice 2.40. ii) a .
Exercice 2.41. iii) 3 . iv) supE max E 2, infE min E 1.Exercice 2.42. ii) 2.Exercice 2.43 1 2; 2 4; 3 div. ; 4 conv; 5 0; 6 1;
7 div. ; 8 conv; 9 conv.
Exercice 2.44. 0. Exercice 2.45.
1 .
Exercice 2.46. a 2b3
. Exercice 2.47. v)n
lim un n
lim vn.
Exercice 2.50. ii) Applications. 1. e 2. 4e ; 3 1
4.
Exercice 2.52. log2.Exercice 2.53. 1) 0; 1; 1; 1; 2) 1; 1,5; 0; 1; 3) 3,5; 5; 2; 2; 4) 0; 2; 0; 2;5) 0; ; 0;; 6) ; ; ; ; 7) ; ; ; ;8) ; 1; ; ; 9) 5; 1,25; 0; 0; 10) 0,5; 1; 0,5; 111) 2
3; 1,5 ; 1;1; 12) 4; 6; 4; 6.
Exercice 2.54. 1) 0,5; 1; 2) 0; 1 3) 32
;32
; 4) 0; 2 ;
5) e 22; e 1.
Exercice 2.55. 1) Adun 0,1; 2) Adun 0,1, 12
, 13
, . . . ;
3) Adun 1,5; 4) Adun a,b. Exercice 2.58. 1) Fausse; 2) vraie, 3) Fausse, 4) Fausse, 5) Fausse, 6) Fausse,7) Fausse, 8) Fausse, 9) Fausse, 10) Vraie, 11) Vraie, 12) Fausse, 13) Vraie,14) Fausse, 15) Vraie, 16) Vraie, 17) Fause18) Fausse; 19) Fausse, 20) Fausse; 21) Fausse; 22) Fausse.
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Corrigés détaillés de certains exercices du chapitre II.
Exercice 2.1. Soit 0 donné. Cherchons un rang n N correspondant à vérifiant larelation n n |un | . Pour cela, on cherche les n N vérifiant l’inéquation|un | pour un, et donnés. Appliquons cette méthode pour les cas suivants. Remarquonsque si l’inéquation ne peut être résolue directement, on peut faire des majorations indirectes dutype |un | fn et ensuite chercher les n vérifiant fn .
6) un 4n 12n 1
, n 1, 2. On a
|un | 4n 12n 1
2 32n 1
32n 1
.
Cette dernière inégalité est vérifiée pour tous les n 12
3 1 et en posant
n E 12
3 1 1,
on en déduit, d’après les équivalences précédentes que
n N n n 4n 12n 1
2 .
Par exemple, si 0,01, alorsn E 1
23 1 1 E 1
2300 1 1 150,
et donc n 150, 4n 12n 1
2 0,01.
7) un 5n2 17n2 1
, 57
. On a
|un | 5n2 17n2 1
57 12
77n2 1
49n2 7 12 n 1
712 7 .
Dans ce cas, on prend n E 17
12 7 1, et on en déduit, d’après les équivalences
précédentes que
n n, 5n2 17n2 1
57 .
Par exemple, si 0,001, alors
n E 17
12 7 1 E 1
712007 1 16
et donc n 16, 5n2 17n2 1
57 0,001.
11) Sachant quen
k0
qk 1 qn1
1 qq 1 et log|q| 0, alors
|un | 1 qn1
1 q 1
1 q qn1
1 q |q|n1
|1 q|
|q|n1 |1 q| n 1 log|1 q|log|q|
.
Il suffit donc de choisir n Elog|1 q|
log|q| 1 1.
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12) Soit A 0, assez grand. On a log logn A n eeA. Il suffit de prendre
nA EeeA 1.
15) un n!nn , 0. Première méthode (majoration indirecte): on a
n!nn 0 1.2.3. . . n 1n
n.n.n. . . . . .n.n 1n
2n
3n . . . n 1
nnn
1n 1.1.1. . . 1 1
n .
Donc pour les n vérifiant 1n , on a aussi n!
nn . Il suffit donc de prendre
n E 1 1.
Deuxième méthode (majoration directe, plus efficace). On a
n!nn 0
1.2. . . .E n2 E n
2 1 . . . n 1nn.n. . . . . .n.n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .n.n
E n2 fois
12
12
. . . 12
1. . . 1. 1 1
2E n2
.
Donc pour les n vérifiant 1
2E n2 , on a aussi n!
nn . On a
1
2E n2 E n
2 log2
1 et donc n 2 log2
1
Il suffit donc de prendre n E 2 log21 1 1.
Remarque. La deuxième méthode est plus rapide que la première, car la majoration estdirecte dans la deuxième. Par exemple si 0,01, alors on trouve pour la première méthoden E 1
0,01 1 101, tandis que pour la deuxième méthode, on trouve
n E 2 log21
0,01 1 1 15, donc l’inégalité n!
nn 0,01 est vérifiée à partir de n 101
dans la première méthode et à partir de n 15, dans la deuxième.
Exercice 2.2. i) un 2n 1n
2n , n 1. On a
|un 1| 2n 1n
2n 1 12n
si n log21 . Si 104, alors on prend n Elog2104 1 14.
Exercice 2.3. Soientnlim vn
nlim wn . Soit 0. Il existe alors n1, n2 N tels
que n n1, |vn | et n n2, |wn | . Posons n maxn1,n2 et désignonspar uk la suite alternée: v1,w1,v2,w2, . . . ,vn,wn, . . . . Dans ce cas:n n, on a
|uk | |vn | si k 2n 1,
|wn | si k 2n.
Il suffit de prendre k 2n.
Exercice 2.4. i) Soientnlim un et xn 1
n
n
k1
un, n 1. Soit 0. D’une part, il
existe alors n 1 tel que n n, |un | 2 . D’autre part, n n on a
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|xn | 1n
n1
k1
uk 1n
n
kn
uk nn
n1
k1
ukn
n
kn
uk n
1n
n1
k1
|uk| 1n
n
kn
|uk |.
Le premier terme de la dernière somme tend vers zéro car n est fixé et
nlim 1
n 0. C’est à dire on anlim 1
n
n1
k1
|uk| 0. Dans ce cas, il existe n0 1 tel
que n n0 : 1n
n1
k1
|uk| 2
Pour le deuxième terme, on a |uk | 2 , k n et, comme n nn 1, alors
1n
n
kn
|uk | n nn
2
2,
c’est à dire quenlim 1
n
n
kn
|uk | 0. En prenant q maxn,n0, alors n q, on
a |xn | 2 2 , c’est à dire que
nlim xn .
ii) Posons un vn1 vn, n 1. On a par hypothèse,nlim un . D’après i), on en déduit,
après simplification de la somme, que
nlim 1
n
n
k1
uk nlim 1
n
n
k1
vk1 vk nlim 1
n vn v1
nlim vn
n nlim v1
n nlim vn
n ,
carnlim v1
n 0.
iii) Non, car la suite un 1n n’est pas convergente, alors que
xn 1n
n
k1
1k 1n
1 1n2 n
0.
Exercice 2.5. Premier cas Soitnlim un 0
et p N.nlim un un n, n 1 avec
nlim n 0, et, donc, à partir d’un certain
rang, on a |n | . Mais alors, on peut considérer que n
1, n 1.
On a p un p n p p 1 n
. Montrons quenlim p 1 n
1.
1 Soit n 0, n 1. On a 1 n
1 et, comme 0 |n |
0 |n | 1, alors , à partir de l’inégalitée 1 n
1 1 n
on obtient
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1 |n | 1 p 1 n
1
D’où 1 |n | p 1 n
1 n
.
Puisquenlim 1 |n |
nlim 1 |n |
1, d’après le critère de trois suites on trouve:
nlim p 1 n
1.
2) Soit 1 n
0, n 1. On a alors 0 1 n
1 et
0 1 n
p 1 n
1, car 1 n
1.
D’après le critère des trois suites, on en déduit que
nlim p 1 n
1 et doncnlim p un p .
Deuxième cas Soit 0. Alors un p p un .
Exercice 2.6.1) On a
0 |un | ncos n sinnn 12
n|cos n| |sinn|n 12
n1 1n 12
2nn2 2n 1 n
0.
Donc, d’après le théorème des trois suites,nlim
ncos n sinnn 12
0.
2) On a
un n n 1 n n 1n 1 n
1
1 1n 1
,
mais on a aussi, d’après l’exercice 2.5:
1 1n 1
n 1 1 2,
et doncnlim n n 1 n 1
2.
5) un n
k1
nn3 k
. On a, pour tout k,
1 k n : 0 nn3 k
nn3 1
nn3
1n2 .
En faisant la somme terme à terme, on obtient
0 n
k1
nn3 k
n
k1
1n2 n 1
n2 1n n 0.
D’après le théorème des trois suites,nlim
n
k1
nn3 k
0.
10) un n 2n 3 . On a
n 3, n 2n n 2n 3 n 3n ,
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et commenlim n 2n
nlim n 3n 1, alors on obtient
nlim n 2n 3 1.
Exercice 2.7.1) D’après la formule du binôme de Newton:
2n 1 1n 1 n nn 12!
nn 1n 23!
. . .1,
on déduit que 2n nn 12
et 0 n2n 2 n
nn 1 2
n 1.
Commenlim 2
n 1 0, alors, d’après le théorème des trois suites, que
nlim n
2n 0.
Remarque. On peut résoudre cet exercice à l’aide de la définition de la limite d’une suite.
2) Premier cas |a| 1. On aan
n! 1
n! n 0,
d’où le résultat, d’après le thorème des trois suites.Deuxième cas |a| 1. Soit k Ea, fixé. On a, alors k a k 1 et pour tout n k
0 an
n! |a|
1|a|2
. . . |a|k
|a|k 1
. . . |a|n |a|k
k!|a|
k 1
nk
n 0,
car |a|k 1
1. D’où le resultat, d’après le théorème des trois suites.
5) un logan
n a 1. Sachant (voir exercice 2.7, 1)) quenlim n
bn 0 b 1, alors, à
partir d’un certain rang, on a :1bn
nbn 1.
Soit 0. Posons b a avec a 1. Les inégalités précédentes deviennent alors1
an n
an 1 1 n an.
En appliquant le logarithme de base a ( qui est strictement croissant) à ces inégalités, onobtient
0 logan n 0 logan
n ,
pour n suffisamment grand, doncnlim
logann 0.
Remarque. On peut montrer que 0,nlim
logann
0.
7) un 1n n!
. Par récurrence, on montre que n! n3
n, n 1. D’où il découle que
n n! n3 0 0 1
n n! 3
n ,
Commenlim 3
n 0, alors, d’après le théorème des trois suites, on obtient le résultat.
Commentaire. Les relations 1), 2) et 8) montrent, respectivement, que an a 1 croît plus
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rapidement que la puissance nk k N, . que n! croît plus rapidement que l’eponentiellean a 1 et que nn croît plus rapidement que n!.
Exercice 2.8. On a
A n a1n a2
n . . .amn A n m
n A. 1 1,
d’après l’exercice 2.1, 16).
Exercice 2.9.2) On a, après calcul et simplification
un n2 12n 1
3n2 16n 1
. . . 2n2 4n12n2 8n 1 n
16
.
3) On a, après calcul et simplification
un n 14 n 14
n2 12 n2 12. . . 2n2 1
n n .
4) On a, d’après la formule du binôme de Newton:
un n 1m n 2m . . .n km
nm1 kn
nm Cm
1 nm1 . . .1 nm Cm1 nm12 . . .2m . . .
nm1
nm Cm
1 nm1k . . .km knm
nm1
Cm1 nm11 2 . . .k Cm
2 nm21 22 . . .k2 . . .1 2m . . .kmnm1
mkk 1
2 Cm
2 1 22 . . .k2n . . . 1 2m . . .km
nm1 n m
kk 12
.
9) On a
un 3 n3 2n2 n 3 n3 2n2 n 3 n3 2n22 n 3 n3 2n2 n2
3 n3 2n22 n 3 n3 2n2 n2
2n2
n2 3 1 2n
2 3 1 2n 1 n
23
.
12) On a, d’après la formule a b 3 a 3 b 3 a2 3 ab 3 b2 :
un n3
3 3 1 3n3 1 n3
3
1 3n3 1
1 3n3
23 1 3
n3
13 1
1
1 3n3
23 1 3
n3
13 1
n 1
1 023 1 0
13 1
13
17) On a, d’après la relation 12k 12k 1
12
12k 1
12k 1
et après
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simplification:
un n
k1
12k 12k 1
12
n
k1
12k 1
12k 1
121 1
2n 1,
et doncnlim un
nlim 1
21 1
2n 1 1
21 0 1
2.
24) On a
un 1n 1
n1n2 1
n1n 1 1
n
n
1n 1n
n2 1
1 1n
n1n
n2 1 n 1 0
0 1 1.
28) On a, après calcul
un 1 3 5 . . .2n 1 2 4 . . .2n
n2 1 4n2 1
n1 2n 12
n2 2n2
n2 1 4n2 1 n
n 1 1n2 4 1
n2
n 1
1 2 1
3.
30) On a
un 1 a a2 . . .an
1 b b2 . . .bn 1 an1
1 a1 bn1
1 b
1 b1 a
. 1 an1
1 bn1 n 1 b
1 a
carnlim qn 0 si |q| 1.
33) On a
un 2n2 3n3
2n 3n 3n2 2
3n2 3
3n 23n 1
9 2
3n2 3
23n 1 n
9 0 30 1
27.
45) On a, d’après la limite remarquablenlim an
n! 0 :
un 10n n!2n n 1!
n 1! 10n
n 1! 1
n 1
n 1! 2n
n 1! 1 n
0 00 1
0.
47) On a
un n 2! n 1!
n 3!n 1!n 2 1n 1!n 2n 3
1n 2 n
0.
Exercice 2.10.
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1) La suite définie par un n1n
est la suite
1, 2, 13
, 4, 15
, 6, 17
, . . . , 2k, 12k 1
, . . .
c’est à dire que
un 1
2k 1si n 2k 1,
2k si n 2k.
Pour tout A 0 (assez grand), il existe, d’après la propriété d’Archimède, n 2k tel queun 2k A. Donc la suite un n’est pas majorée, c’est à dire qu’elle n’est pas bornée.
11) On a
|un | 1nn 25
n2 4 |1nn| 25
n2 4 n 25
n2 4
nn2 25
4 1 25
2 27
2,
donc un est bornée.
14) On a
0 un n
k1
1k n
11 n
12 n
. . 1n n
11 n
11 n
. . 11 n
n1 n
1
donc la suite un est bornée.
Exercice 2.14.
2) un n3 1n4 0, n 1. On obtient, après calcul
un12 un
2 n 13 1n 14
n3 1n4 n6 3n5 3n4 3n3 6n2 4n 1
n 14n4 0,
donc la suite un est décroissante. Comme un 0,n 1, alors elle est minorée, donc elleest convergente.
3) On a, d’une part:
un1 un 11 n 1
12 n 1
. . . 1n n 1
12n 1
11 n
12 n
. . . 1n 1 n
12n
12n 1
12n 1
11 n
12n 1
12n 1
122n 1n 1
0
donc la suite un est strictement croissante. D’autre part, on a (voir exo. 2.13, 14)):
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un 11 n
12 n
. . . 1n 1 n
12n 1
1 n 1
1 n. . . 1
1 n
nn 1
1.
Donc (un est majorée et par suite, elle est convergente.
5) On a un n
k1
k2
n2 nn 12n 1
6n2 n 12n 16n
, n 1 et alors
un1un n 22n 3nn 1n 12n 1
2n3 7n2 6n2n3 5n2 4n 1
1,
donc la suite un est croissante. D’autre part, on a
un n 12n 1
6n n 12n 1
6n 1 2n 1
6 vn.
vn n’étant pas majorée, alors un n’est pas majorée et doncnlim un .
6) un n
k1
1kp p 2. On a, d’une part:
un1 n1
k1
1kp un 1
n 12 un,
donc un est strictement croissante. D’autre part, on a
un 1 12p
13p . . .
1np 1 1
22 132 . . .
1n2
1 11.2 1
2.3. . . 1
n 1n 1 1 1
2 1
2 1
3 . . . 1
n 1 1
n
2 1n 2,
c’est à dire que la suite un est majorée. Etant croissante et majorée, elle est doncconvergente.
9) On a
un1 n1
k1
1k
n
k1
1k 1
n 1 un 1
n 1 un,
donc la suite un est strictement croissante.Montrons qu’elle n’est pas bornée. En effet, en regroupant les termes comme suit
1 12 1
3 1
4 1
5. . . 1
8 1
9. . . 1
16. . .
1 12 1
4 1
4 1
8. . . 1
8 1
16. . . 1
16. . .
1 12 2
4 4
8 8
16. . . 1 1
2 1
2 1
2 1
2. . .
Soit la suite vn définie par vn
nfois
1 12
12 1
2. . . 1
2 n
2.
Commenlim n
2 , on conclut que
nlim
n
k1
1k , c’est à dire que un diverge.
12) On a
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un1un 1.3.5. . . 2n 12n 1
2.4.6. . . . 2n2n 22.4.6. . . 2n
1.3.5. . . 2n 1 2n 1
2n 2 1,
donc la suite un est décroissante, et comme un 0,n 1, alors elle est convergente.
Exercice 2.15.
Soit un 1 1n
net vn 1 1
nn1
, n 1.
i) D’après la formule de Bernoulli, 1 n 1 n, n 1, 1, on a
un1un
1 1n 1
n1
1 1n
n 1 1
n 11 1
n
n1
n 1n . . .
nn 2n 12
n1n 1
n n 12 1n 12
n1n 1
n 1 1n 12
n1n 1
n
1 n 1n 12
n 1n 1 1
n 1n 1
n 1
donc la suite un est croissante. De même pour vn, on obtient, après calcul:
vnvn1
1 1
nn1
1 1n 1
n2 1 1
n1 1
n 1
n1
11 1
n 1
n 1n1
n 12 1n1n 1n 2
1 1n 12 1
n1n 1n 2
1 n 1n 12 1
n 1n 2
1 1n 1
n 1n 2
1,
donc vn est décroissante.
ii) On a vn 1 1n
n1 un1 1
n un, n 1. Sachant que
nlim 1 1
n 1, alors on obtient que
nlim un
nlim vn e.
Exercice 2.16.
1) Par récurrence. Pour n 1, on a 1e
1 1
e 1 e 12
1car 2 e.
Supposons que les inégalitésne
n n! e n
2
n
sont vraies pour n. Alors, pour n 1, on a, d’une part:
n 1! n!n 1 e n2
nn 1 e n 1
2
n1 nn 1
n2 e n 1
2
n1,
car nn 1
n 1
1 1n
n 12
et d’autre part, on a
n 1! n!n 1 ne
nn 1 n 1
en1 n
n 1
ne n 1
en1
,
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car nn 1
n 1
1 1n
n 1e .
2) On a, d’après l’exercice 2.15,
un 1 1n
n e et vn e, n 1.
on en déduit que
1 1n
n e 1 1
nn1
. 1
3) En appliquant la fonction logarithme aux inégalités (1), on obtient
n log 1 1n 1 n 1 log 1 1
n ,
d’où1
n 1 log 1 1
n 1n .
Exercice 2.17.i) On a, d’après la formule du binôme de Newton:
un 1 1n
n 1 n 1
n nn 1
21n2 . . .
n!n!
1nn
1 n 1n
nn 12!
1n2 . . .
nn 1n 2. . . n k 1k!
1nk
1 1 12!
nn 1n.n . . . 1
k!nn 1n 2. . . n k 1n .n. n. . .n
1 1 12!1 1
n . . .1k!1 1
n 1 2n . . . 1
k 1n
Pour k fixé, chacun des facteurs entre parenthèses converge vers 1 quand n , et alors
nlim un 1 1 1
2!. . . 1
k! xk,
c’est à dire, on a
e xk 1 1 12!. . . 1
k!, k 1.
Montrons que un 1 1 12!. . . 1
n!. On a
un 1 1 12!1 1
n . . .1n!1 1
n 1 2n . . . 1
n 1n
1 1 12!. . . 1
n! xn, n 1.
Et alors, on a
un xn e, n 1.
Commenlim un e, on en déduit que
nlim xn
nlim 1 1
1! 1
2!. . . 1
n! e.
Fixons n et étudions xnm xn, m 1. On a xnm xn
1 11! 1
2!. . . 1
n!. . . 1
n m! 1 1
1! 1
2!. . . 1
n!
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1n 1!
1n 2!
. . . 1n m!
1n 1!
1 1n 2
1n 2n 3
. . . 1n 2. . . n m
1n 1!
1 1n 2
1n 22
. . . 1n 2m
1n 1!
1 1n 2m1
1 1n 2
1n 1!
11 1
n 2
1n 1!
n 2n 1
1n!
n 2n 12
1n!
n 2nn 2
1n!
1n ,
c’est à dire que xnm xn 1n!
1n . Comme, pour n fixé, on a
mlim xnm e, alors
0 e xn 1n!n
.
En posant
n e xn
1n!n
avec 0 n 1, n 1,
on obtient que
e xn n
n!n 1 1
1! 1
2!. . . 1
n! n
n!n, n 1, avec 0 n 1.
Montrons que le nombre e n’est pas rationnel. Supposons que e pq Q. Alors, on a
e pq 1 1
1! 1
2!. . . 1
q!q
q!q, 0 q 1.
En multipliant par q!q, on obtient p.q! a q avec a N, et, donc on auraitq pq! a N, ce qui est impossible, car 0 q 1. On conclut que e Q.
ii) Calculons e à 105. Cela signifie qu’on cherche n tel que l’erreur soit inférieure à 105,c’est à dire
n e xn 105.
Dans ce cas, comme 0 n 1, on a
n n
n!n 1
n!n 105 n!n 105 n 8.
En prenant n 8, on trouve alors
e 2 12! 1
3!. . . 1
8! 2,71828.
Exercice 2.18. Sachant quenlim 1 1
nn e, alors pour 0, il existe n 1 tel que
n n, 1 1n
n e . En particulier, pour toute suite strictement
croissante nk n de nombres naturels convergeant vers , alors on a
nk n, 1 1nk
nk e .
Soitklim uk et nk Euk. Alors on a
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nk uk nk 1 1 1nk 1
nk
1 1uk
uk 1 1
nk
nk1.
Commeklim 1 1
nk 1
nk
klim 1 1
nk
nk1 e, on conclut, d’après le théorème des
trois suites, que
klim 1 1
uk
uk e.
Soitklim vk vk 1. En posant uk vk, k 1, alors
klim uk et on a
1 1vk
vk 1 1
uk
uk 1 1
uk 1
uk
1 1uk 1
1 1uk 1
uk1
k 1.e e.
Exercice 2.19.1) On a, d’après l’exercice 2.18:
un 1 1n k
n 1 1
n k
nkk
1 1n k
nk1 1
n k
k
n e. 1 0k e.
4) On a
un n 1n 3
n2 n 1
n 3
n n 1n 3
2
1 1n
n
1 3n
nn 1n 3
2
1 1n
n 1
1 3n
n3
3n 1n 3
2
n e1
e3 12 1e4 .
5) On a, d’après l’exercice 2.18:
un 2n 12n
2n
1 12n
2n
n e,
carnlim 2n .
10) On a
un n2 n 1n2 n 1
n
n2 n 1 2nn2 n 1
n
1 2nn2 n 1
n
1 1n2 2n 2n 2
n2 n 12n
2nnn2 n 1
n e2 1
e2 ,
avec dans l’exercice 2.18. un n2 n 12n n
et
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vn 2nnn2 n 1 n
2.
Exercice 2.20. Application du critère de Cauchy: 0, n 1, p,q : p n, q n |up uq |
R :nlim un .
1) On a pour q p
|uq up | cosp 1p 1
cosp 2p 2
. . . cos qq
1p 1
1p 2
. . . 1q 1p 12
1p 22
. . . 1q2 .
Comme on a1
m2 1
m 1 1
m ,
alors
|uq up | 1p
1p 1
1p 1
1p 2
. . . 1q 1
1q
1p
1q
q ppq q
pq 1p
si p 1 . Il suffit de prendre alors n E 1
p 1 pour que la critère de Cauchy soit
vérifié, c’est à dire p,q n, on a |uq up | . Donc la suite unn est convergente.
2) On a
|uq up | q
kp1
akk Mq
kp1
||k M||p1qp1
k0
||k
M||p11 ||qp
1 || M
1 ||||p1
si ||p1 1 ||M, c’est à dire si p 1 log | |
1 ||M , car log|| 0. Donc en
posant n E log | |1 ||
M 1 1, on obtient que si p,q n, alors |uq up | , c’est
à dire que la suite un est de Cauchy, donc convergente.
6) On a
|uq up | 1p 1
1p 2
. . . 1q
1q
1q . . .
1q
q pq .
Si q 2p, alors on aurait
|uq up | 2p p
2p 1
2.
Donc si 12
, n 1, p n, q n, q 2p et |uq up | . Cela signifie que la suite
un n’est pas de Cauchy, donc elle est divergente.Remarque. On peut montrer que
nlim un .
7) un 1 12 1
3. . . 1
n. Comme 1
n 1
n , on peut montrer comme dans
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l’exercice 6) précédent que la suite un n’est pas de Cauchy.
8) Même chose que pour l’exercice 7), car on a 1logn
1n , n 2.
Exercice 2.25. Posons vk u2k et wk u2k1, k 1.i) On a alors
vk1 vk u2k2 u2k
1 12. . . 1
2n 1
2n 1 1
2n 2 1 1
2. . . 1
2n
12n 1
12n 2
0,
donc la suite vk u2k est croissante. De même, on trouve quewk1 wk 1
2n 3 1
2n 2 0, donc la suite wk u2k1 est décroissante.
ii) On a
wk vk 12n 1 n
0,
et, alors les suites u2k1 et u2k sont adjacentes, donc elles convergent vers la même limite R. D’après l’exercice 2.3), la suite un, qui est la suite: w1,v1,w2,v2, . . . ,wn,vn, . . .converge aussi vers .
Exercice 2.27. un1 un 1un
, n 1. Tout d’abord, on a un 0, n 1 et
un1 un 1un 0,
donc la suite un est strictement croissante. D’autre part, supposons que
nlim un R, 0. Alors vérifie l’équation
1 0 1
,
ce qui est impossible. De même, il est imposible que 0. Comme un est croissante et neconverge pas vers un nombre fini, alors on conclut que
nlim un .
Exercice 2.28. On a u1 1 0. Supposons que un 0, alorsun1 1 1
un 0, donc n 1, un 0.
Etudions la monotonie de un. On a
un1 un 1 1un
1 1un1
un1 unun1.un
,
et comme le signe du dénominateur est strictement positif, alors le signe de un1 un estcelui de un1 un. De la même manière, le signe de cette dernière différence sera celui deun2 un1. Ainsi le signe de un1 un sera alternativement positif et négatif. Donc la suite unn’est pas monotone. Pour étudier la nature de la suite un, étudions les sous-suites définies par
vn u2n1 et wn u2n, n 1, qui sont toutes deux strictement positives. On a
vn1 vn u2n1 u2n1 1 1u2n
1 1u2n2
u2n2 u2nu2n2.u2n
1u2n2.u2n
1 1u2n3
1 1u2n1
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u2n1 u2n3u2n2.u2n.u2n3.u2n1
vn vn1u2n2.u2n.u2n3.u2n1
.
Comme le dénominateur est strictement positif, alors le signe de vn1 vn est celui devn vn1. Par induction, on déduit que le signe de vn1 vn sera celui dev2 v1 u3 u1 1 1
u2 1 1
u2 1
2 0 car u2 1 1
u1 1 1 2. Donc la suite
vn u2n1 est croissante. De la même manière, on démontre que la suite wn u2n estdécroissante.
D’autre part, on a
wn vn u2n u2n1 1 1u2n1
1 1u2n2
u2n2 u2n1u2n2.u2n1
1u2n2.u2n1
1 1u2n3
1 1u2n2
u2n2 u2n3
u2n1u2n22u2n3
. . . u2 u1
An
avec An u2n1u2n22u2n32. . . .u22u1. Montrons que
nlim An . En effet, pour cela
montrons que 32 un 2, n 1. On a
u2 1 11 2,
et supposons que 32 un 2. Alors on a 1
2 1
un 2
3et
1 12 1 1
un 1 2
3 3
2 un1 2.
Ceci implique que
An 32
4n4
n ,
etnlim wn vn 0, c’est à dire que les suites u2n1 et u2n sont adjacentes et convergent
donc vers la même limite . D’après l’exercice 2.25, i) a, on a
nlim un 0 qui vérifie l’équation
1 1 2 1 0 1 5
2ou 1 5
2.
Comme un 0, n 1, alors 1 52
.
Exercice 2.31.i) On a
|un1 un | k|un un1 | kk|un1 un2 | k2|un1 un2 | . . . kn1|u2 u1 |.
ii) Soient 0 p q. On a, d’après i)
|uq up | |uq uq1 | |uq1 uq2 | . . .|up1 up |
kq2 kq3 . . .kp1|u2 u1 |
kp1kqp1 kqp2 . . .1|u2 u1 | kp1 1 kqp
1 k|u2 u1 |
kp1
1 k|u2 u1 |.
iii) Pour u2 u1 et 0, on a
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kp1
1 k|u2 u1 | kp1 1 k
|u2 u1 | p 1 logk
1 k|u2 u1 |
.
Donc si on prend n E logk1 k|u2 u1 |
1 1, alors on obtient que
p,q n, |uq up | ,c’est à dire que la suite un est de Cauchy, donc elle converge.
Exercice 2.33. u1 12
, un1 un2 3
16, n 1.
i) On a 14 u1 1
2 3
4. Supposons que 1
4 un 3
4. Alors
116 un
2 916 1
16 3
16 un
2 316 9
16 3
16
14 un1 3
4.
ii) On a u2 u12 3
16 1
4 3
16 7
16 u1. Supposons que un un1, alors on a
un1 un un2 3
4 un1
2 34 un
2 un12 un un1un un1 0,
car un un1 0 par hypothèse et un un1 0. Donc la suite un est décroissante.Comme elle est minorée, un 0, n 1, alors elle converge. Soit sa limite, alors vérifie
2 316 162 16 3 0.
On a deux solutions 1 34
et 2 14
. Comme u1 12
et un est décroissante, alors on a
14
.
iii) Comme un est décroissante, alors supEn max En u1 12
et infEn nlim un 1
4.
Exercice 2.36.1) u1 , un1 2 un , n 1. On a
un1 un 2 un 2 un1 un un1
2 un 2 un1,
comme le dénominateur est positif, alors un1 un est du signe un un1, qui, de la mêmemanière, est du signe un1 un2. Ainsi, par induction, un1 un est en fin de compte du signe deu2 u1.
i) Soit u1 1 0. Alors on a u2 u1 2 1 1 3 1 0, donc dans ce cas,un est, croissante. Montrons que un 2, n 1. Par hypothèse, on a u1 1 2. Supposonsque un 2, alors on a
un1 2 un 2 2 2,
donc un est majorée par 2, par conséquent elle est convergente. Sa limite vérifie
2 2 2 0 1 ou 2.
Comme un 1 et un est croissante, alors 2.ii) Soit u1 2 0. Alors on a u2 u1 2 2 2 0, donc u2 u1. On montre
par récurrence que un 2, n 1. C’est une suite constante et donc, 2.iii) Soit u1 3 0. Alors on a u2 u1 2 3 3 5 3 0, donc dans ce cas,
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un est décroissante. Montrons que un 2, n 1. Par hypothèse, on a u1 3 2.Supposons que un 2, alors on a
un1 2 un 2 2 2,
donc un est minorée par 2, par conséquent elle est convergente. Sa limite vérifie
2 2 2 0 1 ou 2.
Comme un 2 et un est décroissante, alors 2.2) u1 , un1 4
3un un
2, n 1. Soit 16
.
On montre que un est croissante,un est majorée (0 un 13,
etnlim un 1
3. On a u1 1
6, u2 7
36 u1. Posons un un1 et démontrons
que un1 un. Nous avons un1 un 43
un un2 un un 1
3 un. Montrons que
n 1, un 13
. En effet u1 16 1
3. Posons un 1
3et démontrons que un1 1
3.
On a un 13 un 1
3 2
3 un 1
3 2
3 un
2 1
3
2
23 un
2 1
3
2 4
9 2
3 un
2 4
9 1
3
2 1
3 un1 1
3 .
Alors de ( et découle que un1 un 0 n 1. Ainsi la suite un est croissante etmajorée.
Posonsnlim un où est la solution de l’équation 4
3 2. D’où 1
3.
D’une façon analogue on etudie les autres cas.
Exercice 2.40. u1 0, a 0, un1 12
un aun
, n 1.
i) Montrons que un a , n 1. D’une part, on a u1 0 et si un 0, alors un1 0.D’autre part,
un1 a 12
un aun
a un
2 2un a a2un
un a 2
2un 0,
donc un a , n 2.ii) On a
un1 un 12
un aun
un un
2 2unun a2un
a un2
2un 0,
car, d’après i), un a , donc la suite un est décroissante. Comme elle est minorée para , alors elle converge vers une limite R qui vérifie l’équation
12 a 2 a 0 a .
Comme un 0, n 1, alors a .iii) La limite est donc la racine du nombre a figurant dans la défintion de un. Par
conséquent, on peut calculer approximativement la racine d’un nombre réel positif en prenantcomme valeur approchée un terme de la suite un tel que l’erreur soit inférieure à 0 donné,c’est à dire on choisit le rang n N tel que |un a | .
Exercice 2.46. u1 a, u2 b, un1 un1 un
2, n 2.
Première méthode: on a
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uk1 uk uk1 uk
2 uk
uk1 uk
2 uk uk1
2
12 uk1 uk2
2 1
2
22 uk1 uk2 . . .
1k1
2k1 u2 u1.
Et alors, on obtient
un n1
k1
uk1 uk u1 n1
k1
12
k1u2 u1 u1
b an1
k1
12
k1 a b a
1 12
n1
1 12
a,
En passant à la limite, on obtient
nlim un b a 1 0
1 12
a 2b a3
.
Deuxième méthode. Cherchons un sous la forme un qn, q 0. On a
un un2 un1
2 qn qn2 qn1
2 q2 q 1
2
q1 12
ou q2 1.
La dernière équation est aussi vérifié par un q1n q2
n, n 1.Cherchons , tels que u1 a, u2 b. On a
a u1 q1 q2
b u2 q12 q2
2 a 2b
3, 4
3b a,
en remplaçant dans un, on trouve un a 2b3
1n
3.2n2 b an a 2b
3.
Exercice 2.49. Soit un croissante et unk un telle queklim unk . Montrons que
nlim un . En effet, soit 0. Il existe alors k N tel que k k, unk . Si
un n’était pas majorée, alors il existerait n0 k tel que un0 , mais alors nk n0, onaurait unk (contradiction). Donc un est majoprée (par et comme elle estcroissante, alors elle converge. Sachant que sa sous-suite unk converge vers , alors unconverge aussi vers car toute sous-suite d’une suite convergente converge vers la même limite..
Exercice 2.50.i)1) Soit || 1. Soit 0 et q tels que 0 || q 1. Alors on a
nlim un1
un || n 1,n n : un1
un || q.
Soit n n et écrivons successivement ces inégalités pour k n, n 1,n 2, . . . ,n 1 :
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un1un
q
un2un1
q
un1un2
q
unun1
q.
En multipliant terme à terme ces inégalités, on obtientunun
qnn |un | |un |qnn , n n.
Comme 0 q 1 etnlim qnn qn
nlim qn 0, alors on en déduit que
nlim un 0.
2) Soit || 1. Soit 0 et p tels que 1 p || . Alors on a
nlim un1
un || n 1,n n : un1
un p.
Comme dans i), soit n n et écrivons successivement ces inégalités pourk n, n 1,n 2, . . . ,n 1 :
un1un
p
un2un1
p
un1un2
p
unun1
p.
En multipliant terme à terme ces inégalités, on obtientunun
pnn |un | |un |pnn , n n.
Comme p 1 etnlim pnn pn .
nlim pn , alors on en déduit que
nlim |un | , et donc la suite un diverge, car elle est non bornée.
ii) Comme un 0, alors on a 0. Supposons d’abord que 0 et soit 0.
nlim un1
un n 1, n n :
2 un1
un
2.
Soit n n, en multipliant ces inégalités termes à termes et après simplification, on trouve
2n1n un1
un
2n1n un 2
n1n un1 un 2n1n
n1
un
2 n
. 2 n1 un1 n1
un
2 n
2.
Sachant quenlim n a
nlim n1 a 1, a 0, et si a un
2n 0, on obtient
nlim
n1
un
2 n
2
2et
nlim
n1
un
2 n
2
2,
c’est à dire que pour 2
, n1,n2, n n1,n n2, on a
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2
2
n1
un
2n
2
2
2
et
2
2
n1
un
2n
. 2
2
2
d’où l’on déduit, en prenant les inégalités extrèmes, que n maxn,n1,n2, on a n1 un1 . Cela signifie que
nlim n un .
Applications.
1) On a unn nn n!
n
nn
n! vn, n 1. et, d’après ii), il suffit de calculer
nlim vn1
vn. On a
vn1vn n 1n1
n 1!n!nn
n 1n
nn 1 1n
n
n e,
doncnlim n
n n! e.
2) De la même manière, on a
un 1n n n 1n 2. . . 2n 1 n
n 1n 2. . . 2n 1nn n vn .
et après calculvn1vn 4n2 2n
n2 2n 1n
n 1
n 4n2 2n
n2 2n 11 1
nn
n 4
e .
Doncnlim un 4
e .
Exercice 2.51. On a
0 un un11 un1 u1 un2 2u1
un3 3u1 . . . nu1 0 unn u1,
c’est à dire que la suite unn est bornée. Posons inf un
n et soit 0 arbitraire.D’après la caractérisation de la borne inférieure d’une suite, il existe m 1 tel que um
m 2
. Posons n qm r, r 0,1,2, . . . ,m 1, alors on a
un uqmr qfois
um um . . .um ur qum ur.
Ce qui implique queunn
uqmrn qum
n urn um
m .qmn ur
n ,
et commeqmn qm
qm r 1 et pour n assez grand, urn
2, alors on déduit que
unn um
m urn
2
2
pour n assez grand. D’après le théorème des trois suites,nlim un
n .
Exercice 2.53.
2) Les éléments de la suite un 1n
n 1 1n2
sont tous contenus dans les sous-suites
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u2n1 12n 1
et u2n 12n 1. Comme la suite u2n1 est croissante, la suite u2n,
décroissante et que u2n1 u2n, alors on en déduit que
nlim un
nlim u2n1 0 et
n
lim un nlim u2n 1.
On a supun u2 32
et infun u1 1.
4) De même que dans 2), les éléments de la suite un 1 nn 1
cos n2
sont tous contenus
dans les sous-suites u2n1 1 2n 12n
cos2n 1
2 1 et u2n 1 2n
2n 1cos 2n
2, la
suite u2n étant elle-même contenue dans les sous-suitesu4n2 et u4n. On a
u4n2 1 4n 24n 1
cos4n 2
2 1 4n 2
4n 1 1 ,u2n1
u4n 1 4n4n 11
cos 2n 1 4n4n 1
1 u2n1, et u4n2 u2n1 u4n.
Comme u4n2 est décroissante et u4n, croissante, alorsinfun
nlim un
nlim u4n2 1 1 0
etsupun
n
lim un nlim u4n 1 1 2.
7) Considérer les sous-suites u4n3 et u4n1 de u2n1 et la suite u2n. On trouveinfun
nlim un et supun limun .
Exercice 2.54.2) Comme pour l’exercice 53, tous les termes de la suites un font parties des sous-suites
u4n3, u4n2, u4n1 et u4n. On trouveu4n3 1
2;
nlim u4n2 1,
nlim u4n1 1
2,
nlim u4n 0
et alorsn
lim un 0; limun 1.
Exercice 2.55.1) La suite un se compose des deux suites un
12n et un
2n 12n . Comme on a
nlim un
0 etnlim un
1, alors Adun 0,1.
4) De même qu’en 1), la suite un se compose des suitesu2n 1
2a b a b a et u2n1 1
2a b a b b.
Comme on anlim u2n a et
nlim u2n1b, alors Adun a,b.
Exercice 2.56. Commenlim n n 1, alors
nlim pn pn 1 si pn est une suite arbitraire de
nombres naturels strictement croissante. Soit une valeur d’adhérence de un etnlim upn .
Alors on a
nlim vpn
nlim upn . pn pn
nlim upn .
nlim pn pn . 1 .
Inversement, supposons quenlim vqn et qn une suite strictement croissante de nombres
naturels, c’est à dire est une valeur d’adhérence de la suite vn. Comme n n 0, alors on a
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nlim uqn
nlim
vpn
qn qn n
lim vqn
nlim qn qn
1 .
Ainsi les suites un et vn ont les mêmes valeurs d’adhérence.
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Chapitre III. Fonctions réelle d’une variable réelle. Fonctions usuelles.Rappels de cours.
§1. Fonctions réelles. Généralités.
III.1. Notion de fonction.On appelle fonction numérique définie sur un ensemble X R toute opération ou
application qui à tout élément de X lui associe un seul élément de R.On note f : X R ou x y fx, x X. X Df est appelé domaine de définition de
f; fX Im f y R : x X, y fx est l’ensemble des valeurs de cette fonction,appelé ensemble image de f; si x x0 X, y0 fx0 fx xx0 est la valeur prise par f aupoint x0. On distinguera la fonction désignée par f , qui est une opération ou loi, de l’image de xpar f désigné par fx qui est un nombre.
III.2. Graphe d’une fonction. C’est l’ensemble (ou lieu géométrique) des points Mx,y telsque x X et y fx qui est une ligne du plan R2, appelée courbe représentative de f sur X oucourbe d’équation y fx, x X, notée:
Gf x,y R2 : x X, y fx X fX.
III.3. Opérations sur les fonctions réelles.a) Egalité, inégalité. On dit que les fonctions f et g sont égales sur un ensemble X R si
elles sont définies sur X et si fx gx,x X. On note, dans ce cas: f g sur X. De même,on définit les inégalités entre f et g sur X par:
i) f g sur X fx gx, x X ;ii) f g sur X fx gx, x X;iii) f g sur X fx gx, x X ;iv) f g sur X fx gx, x X.
b) Opérations arithmétiques. Soient f,g : X R et R. On définit les opérationssuivantes sur f et g, x X:
i) la somme : f gx fx gx ;ii) la différence : f gx fx gx; .iii) le produit : fgx fxgx;iv) le produit de f par le scalaire : fx fx;
v) le rapport de f par g , si g 0,fg x fx
gx.
c) Composition de fonctions. Soient f : X R et g : Y R telles que fX Y. Alorson définit une nouvelle fonction, appelée fonction composée de f par g , définie sur X par:
gofx gfx, x X .
Exemple. La fonction hx 1 x3 , x , 1, est la composition de f et g, oùfx 1 x3 y, x R, gy y , y 0, c’est à dire que
z hx gofx gfx g1 x3 1 x3 , x , 1 :
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d) Restriction. Prolongements.Définition 1. Soit une fonction f : X R et X1 X .On appelle fonction restriction
ou restriction de f au sous-ensemble X1 la fonction g, définie sur X1 par:gx fx ,x X1, qu’on note, généralement, par: fX1 , c’est à dire que g fX1 sur X1.
Définition 2. Soit la fonction g : X1 R et X1 X. On appelle prolongement de g àl’ensemble X toute fonction f définie sur X, telle que
fx gx, x X1,c’est à dire que f g sur X1.Remarque. La fonction f admet une seule restriction sur X1, notée donc f X1 tandis que g
peut admettre une infinité de prolongement sur X.
III.4. Racines d’une fonction réelle. Soit f : X R.Définition 1. On appelle racine ou zéro de la fonction f tout point de X où f s’annule.Cela signifie que c’est une solution de l’équation fx 0. Géométriquement, les racines
d’une fonction sont les abscisses des points d’intersection du graphe de f avec l’axe des abscisses.
Définition 2. On dit que le nombre x0 est une racine (ou zéro) d’ordre (de multiplicité)k N de la fonction f si x0 est une racine de f et fx x x0kgx, x X, oùg : X R et gx0 0. Le nombre naturel k est appelé ordre de multiplicité de la racine x0
de l’équation fx 0 dans X .Si k 1, on dit que x0 est une racine simple ou d’ordre un. Si k n, on dit que c’est une
racine n ième ou d’ordre n.
Exemples.1) La fonction fx 1 x2 possède deux racines simples dans l’intervalle 1,1 qui sont
x 1 et x 1.2) La même fonction fx 1 x2 définie dans 1,1 ne possède aucune racine.
III.5. Parité. Fonctions paires et impaires.Définition 1. On dit qu’un ensemble X R est symétrique (par rapport à l’origine) si :
x : x X x X.On note, dans ce cas, X X.
Définition 2. Soit f : X R, X X. On dit que :i f est paire sur X si fx fx, x X ;ii f est impaire sur X si fx f x , x X .Géométriquement, si f est paire, alors son graphe est symétrique par rapport à l’axe des
ordonnées Oy et si f est impaire, alors il est symétrique par rapport à l’origine des axes.
III.6. Périodicité. Fonctions périodiques.Définition 1. On dit que la fonction f : X R est périodique, de période
ou périodique s’il existe un nombre 0 tel que:1) x X, alors x X et x X,
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2) f vérifie la propriété suivante, appelée propriété de périodicité :
fx fx , x X .
Définition 2. Soit f une fonction périodique . On appelle plus petite période de f le nombreT 0, égal au plus petit des nombres 0, s’il existe, vérifiant la condition de périodicité de
la définition 1):
T min 0 : fx fx, x X .
D’où: fx T fx , x X.
III.7. Monotonie. Fonctions monotones. Soit f : X R et I X.Définition . On dit que la fonction f est:i) croissante ( resp. décroissante) sur I si :
x,x I : x x fx fx (resp. x x fx fx ;ii) strictement croissante (resp. strictement décroissante) sur I si :
x,x I : x x fx fx (resp. (x x fx fx .iii) monotone ( resp. strictement monotone) sur I si elle est croissante ou décroissante (resp.
strictement croissante ou strictement décroissante ) sur I.
Remarque. Certains étudiants commettent l’erreur suivante pour étudier la monotonie encomparant les valeurs fx et fx 1 par analogie aux suites. Ce qui est faux dans le cas desfonctions à variable continue.
III.8. Fonctions bornées. Suprémum et infimum d’une fonction réelle. Soit f : X R etfX Y.
Définition 1 On dit que:i) f est majorée (resp. minorée) sur X si l’image Y fX est majorée (resp. minorée, c’est à
dire:M R resp. m R : fx M (resp. m fx , x X,
les nombres M et m sont appelés respectivement majorant et minorant de f;ii) f est bornée sur X si: m,M R : m f M , x X
c 0 : |fx| c ,x X;iii) f n’est pas bornée si: A 0, x X : |fx| A .
Définition 2 . On appelle borne supérieure ( resp. borne inférieure) de f sur X le plus petitdes majorants (resp. le plus grand des minorants) de Imf, s’il existe, notée
X
sup f ouxX
sup fx ou
sup fX (resp.X
inf f ouxX
inf fx ou inf fX.
Les théorèmes suivants sont vrais:Théorème 1 (d’unicité). Les bornes supérieure et inférieure d’une fonction, si elles existent,
sont uniques.Théorème 2 (d’existence). Toute fonction réelle majorée ( resp. minorée ) admet une borne
supérieure ( resp. une borne inférieure).
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III.9. Maximum et minimum d’une fonction. Soit f : X R.Définition . On dit que la fonction f admet une plus grande valeur (resp. une plus petite
valeur ) au point x0 X si :fx fx0 (resp. fx fx0, x X .
Dans ces cas, la valeur y0 fx0 est appelée valeur maximale ( resp. minimale) oumaximum (resp. minimum) absolu de f sur X, notée
y0 fx0 X
max f, ou y0 xX
max fx, ou y0 maxxx0f
(resp. y0 X
min f, ou y0 xXmin fx, ou y0 minxx0
f.
Les valeurs maximale et minimale sont dites extrémums.
III.10. Fonctions injectives, surjectives, bijectives. Soit f : X Y.Définition. On dit que la fonction f est :i injective si x,x X : x x fx fx ;ii surjective si y Y, x X : y fx ;iii bijective si elle est à la fois injective et surjective.
Propriétés. On a les équivalences suivantes:i) f injective x,x X : fx fx x x
y Y, l’équation y fx admet au plus une solution dans X;ii) f surjective Y fX y Y, l’équation y fx admet au moins une solution
dans X ;iii) f bijective y Y, l’équation y fx admet une et une seule solution dans X.
III.11. Fonctions inversibles. Inverse d’une fonction.Définition 1. On dit que la fonction f : X Y R est inversible s’il existe une fonction
g : Y X vérifiant les conditions :
fogy y, y Y et gofx x, x X .
Ces conditions peuvent s’écrire comme suit: fog idY et gof idX où idY et idX sontrespectivement les fonctions identités dans Y et dans X, c’est à dire idXx x, x X etidYy y, y Y.
Théorème. Si la fonction f est inversible de X sur Y, alors la fonction g : Y X vérifiantles conditions de la définition 1 est unique.
Définition 2. La fonction g : Y X de la définition 1) est appelée fonction inverse oufonction réciproque de f : X Y et est notée f1, c’est à dire que:
fof1 idY et f1of idX.
On a y fx, x X x f1y, y Y.
Propriétés. Soient f et h deux fonctions inversibles, alors f1 et h1 sont inversibles et on a1) f11 f;2) f h1 h1 f1.3) f strictement croissante (resp. strictement décroissante) f1 strictement croissante
(resp. strictement décroissante).
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III.12. Graphe d’une fonction inverse. Soient Gf le graphe d’une fonction inversible f etGf1 x, f1x , x X le graphe dans le repère cartésien Oxy de son inverse f1 avecf1 : X Y. Dans ce cas, d’après les conditions de la définition 1, on a
x,y Gf1 y f1x, x X x fy, y Y y,x Gf,
c’est à dire que le graphe Gf1 de la fonction inverse f1 est symétrique au graphe Gf parrapport à la première bissectrice d’équation y x. On a:
Gf1 x,y R2 : x X, y f1x x, f1x, x X fy,y : y Y.
Propriété. Si f : X Y et g : Y Z sont inversibles, lors g f : X Z est inversible eton a
g f1 f1 g1.
§ 2. Fonctions usuelles. Fonctions élémentaires.
III.13. Fonctions usuelles.Définition. On appelle fonctions usuelles les fonctions suivantes:1) la fonction puissance ;2) la fonction exponentielle de base a a 0 , a 1;3) la fonction logarithme de base a a 0 , a 1 ;4) les fonctions trigonométriques: sinus, cosinus, tangente et cotangente;5) les fonctions trigonométriques inverses : arcsinus, arccosinus,
arctangente, arccotangente .Notations:1) y x, R;2) y ax a 0, a 1, x R;3) y logax a 0, a 1, x 0;4) i) y sinx, x R,
ii y cos x, x R,iii y tgx, x
2 k k Z,
iv y ctgx, x k k Z;5) i) y arcsin x, x 1,1,
ii y arccos x, x 1,1,iii y arctgx, x R,iv y arcctgx, x R.
III.14. Fonctions élémentaires.Définition . On appelle fonction élémentaire toute fonction réelle obtenue à partir de
fonctions usuelles à l’aide d’un nombre fini d’opérations arithmétiques et de compositions defonctions.
Parmi les fonctions élémentaires, il y a:i) les fonctions rationnelles suivantes:
1) fonction rationnelle entière ou fonction polynômiale
x y Px a0 a1x a2x2 . . . anxn , x R où a0,a1,a2, . . . ,an R
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avec an 0, définie sur l’ensemble R où l’expression Px a0 a1x a2x2 . . .anxn estappelée polynôme réel de degré n N qu’on note degP n;
2) fonction rationnelle fractionnaire de la forme
y a0 a1x a2x2 . . . anxn
b0 b1x b2x2 . . . bmxm Px
Qx
avec a0,a1, . . . ,an,b0,b1, . . . ,bm R, an 0, bm 0, définie sur l’ensemble:
D x R : Qx 0;
ii) les fonctions irrationnelles définies comme suit:Définition. On appelle fonction irrationnelle toute fonction y fx, qui n’est pas
rationnelle, obtenue par la composition d’un nombre fini de fonctions rationnelles, de fonctionspuissances avec des exposants fractionnaires et des quatre opérations arithmétiques.
Exemples. 1) y 3 1 x2 , 2 y x x5 2x 3
x2 1.
iii) les fonctions hyperboliques suivantes:1) sinus hyperbolique définie par:
y shx ex ex2
, x R;
2) cosinus hyperbolique définie par:y ch x ex ex
2, x R;
3) tangente hyperbolique définie par:
y th x shxch x
ex e
x
ex ex , x R;
4) cotangente hyperbolique définie par:
y cthx chx
shx
ex ex
ex e
x , x 0.
iv) les fonctions hyperboliques inverses suivantes:
1) argument sinus hyperbolique: .y argshx définie par:
y shx, x R x argshy, y R.
2) argument cosinus hyperbolique:y argchx définie par
y chx , x 0, x argchy , y 1, .
3) argument tangente hyperbolique: y argth x définie par
y thx , x R x argth y , y 1,1 .
4) argument cotangente hyperbolique y argcth x définie par
y cthx , x R x argcth y , y ,1 1,.
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Enoncés des exercices du chapitre III.
Exercice 3.1. Dans un triangle ABC (figure 1), de base AC b et de hauteur BD h, estinscrit un rectangle KLMN dont la hauteur est NM x. Exprimer le périmètre p durectangleKLMN ainsi que sa surface S comme fonction de x . Tracer les graphes de p px etS Sx.
Exercice 3.2. Soit un carré de côté a . On mène une droite parallèle à la diagonaleprincipale et coupant le carré comme le montre la figure 2. On désigne par x la distance entre lesommet A et la droite . Exprimer la surface S limitée par le carré et la droite ( en fonctionde x . Tracer son graphe.
Exercice 3.3. Sur la figure 3 est représenté un mécanisme de manivelle. Le rayon du volantest R et la longueur de la bielle est a . Le volant tourne uniformément dans le sens des aiguillesd’une montre en faisant n tours par seconde. A l’instant t 0 , quand la bielle et la manivelleforment une même ligne droite (”point mort”), le patin (A) se trouve au point O . Trouver ladépendance du mouvement x du patin (A) en fonction du temps t .
Dessin
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Exercice 3.4. Les formules suivantes définissent-elles des fonctions:1) y x 1
x x ? 2 y x ?
3 y2 x2 1? 4 y x ?
Exercice 3.5. Déterminer le domaine de définition de chacune des fonctions suivantes:
1) y x2
1 x2 ; 2 y 3x x3 ; 3 y |x 1| ;
4 y 2 x x2 ; 5 y x2 x 1 ; 6 y x6 x
;
7 y x 2 1 x1 x
; 8 y x 1 2 1 x x2 1 ;
9 y 1 |x|2 |x|
; 10 y x 12 x
; 11 y logx2 4;
12 y log 2 x2 x
; 13 y log2 log3 log4x; 14 y logsin x ;
15 y lg1 lgx2 5x 16; 16 y 1log1 x
x 2 ;
17 y 34 x2 logx3 x; 18 y logx1x
2 3x 2;
19 y x
sinx; 20 y sin2x sin3x 0 x 2; 21 y 4 logtgx ;
22 y log sinx 3 16 x2 ; 23 y x 31
x 2 log2x 1;
24 y log x 5x2 10x 24
; 25 y cos x2 ;
26 y 1sinx
3 sinx ; 27 y arcsinx 1;
28 y arccos2sinx; 29 y arccos 2x1 x
;
30 y 3 x arccos 3 2x5
; 31 y arcsin1 x lglgx;
32 y x2 1Ex
; 33 y 2x!
Exercice 3.6. Quel est l’image fD de l’ensemble D par la fonction f si:1 fx 2x 5, D 2,2; 2 fx x2, D 1,3 ;3 fx x2 2x 3, D R;4 fx |x|, D x R : 1 |x| 2;5 fx |x 1|, D 0,1; 6 fx x
2x 1, D 0,1;
7 fx x2
x2 1, D R; 8 fx x x2 , D 0,1;
9 fx log3x, D 0,1; 10 fx 1 arctg x , D R;
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11 fx x sgnx, D R.
Exercice 3.7. Trouver les ensembles images des fonctions suivantes tout en précisant leursdomaines de définition:
1) y 2xx2 9
; 2 y x 1x ; 3 y x2 4
x ;
4 y 5 2x ; 5 y 1 |x| ; 6 y 8 2x x2 ;
7 y 2x 1 x2 ; 8 y x2 2x 2 ; 9 y logx 3;10 y log1 2cos x; 11 y sin4x cos4x; 12 y sin x ;
13 y 1 2|sin2x|; 14 y ex22; 15 y 4x 2x 1;16 y arccos 2x
1 x2 ; 17 y arcsinlg x10;
18 y arcsin 1 x2
2; 19 y 2arccos1x ; 20 y 1x.
Exercice 3.8. Soit la fonction fu définie pour 0 u 1. Trouver les domaines dedéfinition des fonctions suivantes:
1 y fsinx; 2 y fln x; 3 y fEx.
x .
Exercice 3.9. Soit fx 12ax ax a 0. Démontrer que:
fx y fx y 2fxfy.
Exercice 3.10. Soit f une fonction vérifaint la relation fx fy fz. Déterminer z, si:1) fx ax; 2 fx arctgx |x| 1;
3 fx 1x ; 4 fx log 1 x
1 x.
Exercice 3.11. Trouver x ,x, x , x si:1 x x2 et x 2x; 2 x sgnx et x 1
x ;3) x 1 x et x x2; 4 x x2 et x x ;
5 x 0 si x 0,
x si x 0et x
0 si x 0,
x2 si x 0.
Exercice 3.12. Soit fnx
nfois
ff. . . fx.
Trouver fnx si fx x1 x2
.
Exercice 3.13. Trouver fx si:1) fx 1 x2 3x 2; 2 fx 1
x x2 1x2 ;
3 f 1x x 1 x2 . ; 4 f x
1 x x2.
Exercice 3.14. Décomposer les fonctions suivantes en une chaîne de fonctions usuelles donton précisera les domaines de définition:
1 y sin3x ; 2 y 3 1 x2 ;
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3 y 33x22 ; 4 y 1 log2x .
Exercice 3.15. Déterminer les ensembles où les fonctions suivantes s’annulent, sont positiveset négatives:
1 y 2 3x; 2 y 2 x x2; 3 y sin x ;
4 y log 2x1 x
; 5 y x |x|1 x;
6 y 1 exp 1x 1; 7 y Ex ; 8 y 2x1.
Exercice 3.16. Etudier la parité des fonctions suivantes:1 y x x2; 2 y 1 x; 3 y 3x x3;
4 y x3
1 x2 ; 5 y |10 x| |10 x|;
6 y 1 x x2 1 x x2 ; 7 y 3 1 x2 3 1 x2 ;
8 y log2x 1 4x2 ; 9 y log 1 x1 x
; 10 y ax ax a 0;
11 y xax 1
; 12 y ax 1ax 1
; 13 y x. ax 1ax 1
;
14 y sinx cos x; 15 y x sinx; 16 y x2 cos x;17 y sinxtgx; 18 y cosx 1.
Exercice 3.17. Démontrer les propositions suivantes:i toute fonction réelle définie sur l’intervalle l, l , l 0, est la somme d’une fonction
paire et d’une fonction impaire et appliquer le résultat aux fonctions suivantes:1 fx x 13, 2 fx x 3
x4 ,
3 fx sinx 1, 4 fx 1x 1
|x 1|;
ii le produit de deux fonctions paires ou impaires est une fonction paire ;iii le produit d’une fonction paire par une fonction impaire est une fonction impaire.
Exercice 3.18. Parmi les fonctions suivantes indiquer celles qui sont périodiques et calculerleur plus petite période si elle existe:
1 fx A cosx B sinx; 2 fx sinx 12
sin2x 13
sin3x;
3 fx 2tg x2 3tg x
3; 4 fx sin2x;
5 fx sinx2; 6 fx tgx ;7 fx sinx sinx 2 ; 8 fx sin2x sin23x;9 fx sin4x 5sin6x; 10 fx tgx sinx;11 fx sincos x; 12 fx cossinx;13 fx sin4x cos4x; 14 fx log 1 sinx
1 sinx;
15) fx Ex; 16 fx x Ex;17) fx sin 2 .x 1 ; 18 fx tg x .
Exercice 3.19. Démontrer que pour la fonction de Dirichlet définie par:
fx 1 si x Q ,
0 si x Q,
tout nombre rationnel est une période. Admet-elle une plus petite période?
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Exercice 3.20. Démontrer que la somme et le produit de fonctions périodiques, définies surun même ensemble et dont les périodes sont rationnelles, sont périodiques. Que peut-on dire siles périodes ne sont pas rationnelles?
Exercice 3.21. Etudier la monotonie des fonctions suivantes dans les intervalles indiqués:1 y tgx, x
2,
2; 2 y sinx, x
2,
2;
3 y x2, x R et x R; 4 y cos x 0 x ;5 y ctgx 0 x .
Exercice 3.22. Déterminer les intervalles de monotonie des fonctions suivantes:1 y x ; 2 y |x| x; 3 y chx;
4 y x3 ; 5 y ax bcx d
; 6 y logx x2 1 ;
7 y logx10; 8 y ln4x x2; 9 y lg1 x3;10 y ax a 0 ; 11 y 21x 2x1; 12 y sinx;13 y 2x sinx; 14 y cos x; 15 y tgx ;16 y ctgx.
Exercice 3.23. Soient f,g deux fonctions réelles définies sur un même ensemble X de R.Montrer que:
i) si f et g sont croissantes (resp. décroissantes) sur X, alors f g est croissante(resp. décroissante) sur X;
ii) si f 0, g 0 et si toutes les deux sont croissantes ou décroissantessur X, alors f.g est croissante;
iii) si f 0, g 0 et si l’une est croissante, l’autre décroissante,alors f.g est décroissante;
iv) si f est croissante (respectivement décroissante) et strictement positivesur X, alors 1
fest décroissante (respectivement croissante) sur X.
Exercice 3.24. Soient f,, trois fonctions strictement croissantes. Démontrer que
x fx x x ffx x. ,
Exercice 3.25.i) Etudier si les fonctions suivantes sont majorées, minorées, bornées ou non:
1) fx 1 x2
1 x4 sur R; 2 fx logx. sin2 x sur 0,a a 0.
ii) Trouver les inf f, sup f ainsi que max f, min f s’il existent des fonctions suivantes:1 fx x2 sur 2,5; 2 fx 2x
1 x2 sur 0,;
3 fx 11 x2 sur R; 4 fx x 1
x , x 0,;
5 fx 4sin2x 12sinx 5; 6 fx cos x1 cos x
;
7 fx tg2x ctg2x; 8 fx cos x. tgx;9 fx arctg|x|.
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Exercice 3.26. Montrer que la fonction y 1x cos 1
x n’est bornée dans aucun voisinage dex 0 et n’est pas infiniment grande.
Exercice 3.27. On considère la fonction f définie par: fx cos x Ecos x.i Montrer que cette fonction est bornée inférieurement et supérieurement. Les deux bornes
sont-elles atteintes?ii Tracer son graphe .
Exercice 3.28. Soient f et g deux fonctions réelles bornées sur une partie X de R. Montrerque:
1)xX
sup fx gx xX
sup fx xX
sup gx;
2)xX
sup fx xX
inf gx xX
sup fx gx;
3) si f et g sont positives sur X, alors:i)
xX
sup fx.gx xX
sup fx.xX
sup gx;
ii)xX
sup fx.xX
inf gx xX
sup fx.gx;
4) si f est strictement positive sur X, alors:i)
xX
sup 1fx
1
xX
inf fx
xX
inf fx 0; ii)xX
inf 1fx
1
xX
sup fx.
Exercice 3.29. Déterminer les fonctions inverses des fonctions suivantes si elles existent etainsi que leurs domaines de définition:
1 y 2 3x, x R;2 y x2 sur: i x 0, ii 0 x ;3 y x2 sur R;4 y 1 x2 sur: i 1 x 1, ii 1 x 0, iii 0 x 1;5 y x
1 x; 6 y x 1
x 1x 1; 7 y 1 3 x ;
8 y 1 x3; 9 y x si x 0 ,
2x si 0 x ;
10 y shx ex ex2
, x ; 11 y
x si - x 1 ,
x2 si 1 x 4 ,
2x si 4 x .
Exercice 3.30. Démontrer que les fonctions suivantes sont mutuellement inverses :1 fx 1
x 2, x 2 et gx 2x 1
x , x 0;
2 fx x2 1, x , 0 et gx x 1 , x 1,;
3 fx e1 x2
2 , x 0, et gx 1 2 ln1 x , x e , 0;
4 fx ln ex 1ex 1
, x 0; et gx fx;
5 fx sinx, x 2
, 32
et gx arcsin x, x 1,1;
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6 fx tgx, x , 0, x 2
et gx arctgx , x 0
arctgx, x 0.
Exercice 3.31. Soit un une suite récurrente définie par u1 X R, u1 donné etun1 fun, n 1 avec f une fonction définie de X dans X, fX X.
i) Montrer que si f est croissante sur X, alors:a) la suite un est croissante si u2 u1 0,b) la suite un est décroissante si u2 u1 0.
ii) Montrer que si f est décroissante sur X, alors la quantité un1 un est alternativementpositive et négative.
iii) Tracer le graphe de la suite un pour chacun des cas en supposant qu’elle converge versune limite finie R.
Exercice 3.32. Calculer :1 sin13/12 ; 2 tg11/12; 3 ctg17/12 ;4 sin34/3 ; 5 tg15/4 .
Exercice 3.33. Simplifier les expressions suivantes:
1sin219 0,5 sin20,5 17,5. sin0,5 3
cos3/2 0,5. tg0,5 2,5;
2 sin a3. cos a
3. cos2 a
3 sin2 a
3 ;
3 sin2b sinb1 cos 2b cos b
; 4 cos 2cot21 tan21
.
Exercice 3.34.En faisant le changement de variable : t tgx/2 , calculer les expressions suivantes:1 2cos x
1 sinx cos x; 2 1 sinx cos x
1 2sinx cos x; 3 1 sinx 2cos x
tgx ctgx .
Exercice 3.35. Mettre sous forme de produits les expressions suivantes:1 sin2x sin 2y ;2 cos x cos 2x cos 3x cos 4x ; 3 sinx sin2x sin3x sin4x .
Exercice 3.36. Calculer:1 cos 2a si tga 1
3; tan a 1
3; 2 sin2a si tga 2;
3 ctg2a si tga 5 .
Exercice 3.37.i) Calculer k1
n sinkx et k1n cos kx.
ii) Démontrer l’inégalité:
sink1
n
xk k1
n
sinxk 0 xk , k 1,2, . . . .
En déduire l’inégalité: |sinnx| n sinx .
Exercice 3.38. Démontrer que l’expression a sinx bcos x peut s’écrire sous la forme :
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A cosx où A a2 b2.
Exercice 3.39. Calculer:1 sinarcsin1/2 /2; 2 tg arccos 3 /2 arcsin1 ;3 arcsinsin7/3; 4 arctgtg13/4;5 arcsincos107/4; 6 arccoscos 23/6.
Exercice 3.40. Résoudre les équations suivantes:1 6sin2x 5sinx 1 0 ; 2 6cos2x 5sinx 5 0 ;3 cos 2x sinx 0 ; 4 tgx 2ctgx 3 ;5 3sin2x 4sinx cos2x 0 ; 6 sin2x sin2x 0 ;7 7x2 3 49 ; 8 5x22x1 25 ;9 6x1 35.6x1 71 ; 10 4x 5.2x 4 0 ;11 log2x
2 4x 3 3 ; 12 log52x 3 log5x 1 ;13 logxx
2 2x 2 1.
Exercice 3.41. Résoudre les inégalités suivantes:
1 |x 3| |x 2| 1 ; 2 2x 1x 1
x 12x 1
2 ;
3 cos2x 5cos x 6 0 ; 4 543x1 64
125;
5 5. 5x2 . 0,2x 2 ; 6 x2 4x 3 |2 3x| ;7 log 1
3x2 2x 3 0 ; 8 logxx
2 2x 0 ;
9 log 12tgx log 1
2ctgx; 10 1
3tgx 4ctgx 4
3;
11 cos2x 23
sinx 0 .
Exercice 3.42. Etablir les formules suivantes:1 x 1,1, cosarcsin x sinarccos x 1 x2 ;2 x 1,1, arcsin x arccosx
2;
3) x 1,1, arccos x arccosx ;4) arcsin x arcsin y 1 arcsin x 1 y2 y 1 x2 ,
|x| 1, |y| 1 avec 0 si xy 0 ou x2 y2 1,
sgnx si xy 0 et x2 y2 1;
5) arccos x arccos y 1 arccos xy 1 x2 . 1 y2 2,
|x| 1, |y| 1 avec 0 si x y 0,
1 si x y 0;
6 x R , cosarctgx sinarcctgx 11 x2
;
7 x R, arctgx arcctgx 2
;
8 x R, sinarctgx cosarcctgx x1 x2
;
9) x 1,1R, tg(arcsin x x1 x2
;
10 arctg x arctg y arctgx y1 xy
si xy 1 ;
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11 arctg x arctg y arctgx y1 xy
avec x,y 1,0,1;
12) x 0, arctg x arctg 1x sgnx
2;
13 arctg1 x arctg x arctg 11 x x2 si x 0;
Exercice 3.43. Préciser dans quels intervalles, les relations suivantes sont vraies?1 arctg x arcctg 1
x ; 2 arctg x arcctg 1x ;
3 arctg x arctg 1 arctg 1 x1 x
; 4 arctg x arctg 1 arctg 1 x1 x
;
5 arccos 1 x2
1 x2 2arctg x; 6) arccos 1 x2 arcsinx;
7) arccos 1 x2 arcsinx; 8) tgarccos x 1 x2
x ;
Exercice 3.44. Simplifier les expressions suivantes tout en précisant le domaine dedéfinition:
1 cos2arccos x ; 2 sin3arcsin x; 3 sin2 12
arccos x;
4) arcsin2x 1 x2 ; 5 arcsin2x2 1; 6) tg2arccos x;
7 arcsin 1 sinx2
; 8 arctg 1 x2 x ; 9) arctg1 x2 1
x ;
10 arctg 1 cos x1 cos x
; 11 sinarccos x 2arctgx; 12) tgarcsin x arctgx.
Exercice 3.45.i) Résoudre les équations suivantes:1 arcsin x arcsin 4
5 arcsin 5
13; 2arccos x arcsin 1
3 arccos 1
4;
3 2x arcsin2 tgx
1 tg2 x; 4 arctg 2x arctg x
4;
5 arccos 1 x2 arcsin x; 6arcsin x 2arctgx;7arcsin x arccos x 2arctg2x
2; 8) arcsin2x arcsinx 3 arcsin x.
ii) Montrer que l’équation suivante admet une solution unique
arctgx 1 arctgx arctg1 x 0.
iii) Résoudre l’équation
arctgx 1 arctgx arctg1 x 2
.
Exercice 3.46.i) Calculer la limite
nlim cos an.
ii) Montrer que les suites un sinn et vn cos n divergent.iii) Etudier la nature des suites:
a) wn tgn ind. tgn 1 tgn tg1
1 tgntg1;
b) zn k1
n
1 12k (indication: utiliser x 0, log1 x x.
Exercice 3.47.
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i) Calculer: 1 arctg1/2 arctg1/5 arctg1/8 ;2 1 ch x ch 2x . . . ch nx ; 3 shx sh2x . . . shnx.
ii) Montrer que:1) x R, n Z, chx shx
nchnx shnx;
2) x R, n Z, chx shxnchnx shnx.
iii) A l’aide de la formule du binôme, montrer que:
1) ch(mx k0
m
Cmk chmkx. shkx k 0 mod 2;
2) sh(mx k0
m
Cmk chmkx. shkx k 1 mod 2.
iv) Linéariser: 1) ch4x; 2 sh2x; 3 ch5x.
Exercice 3.48. Démontrer les formules suivantes:1 arg shx log x x2 1 , x R ;
2 argchx log x x2 1 , x 1;
3 argthx 12
log 1 x1 x
, 1 x 1 ;
4 argcth x 12
log 1 x1 x
, |x| 1 .
Exercice 3.49. Montrer que x R, sh3x 3chx 4sh3x. En déduire quearg sh3x 4x3 3arg shx.
Exercice 3.50. Etablir les formules:1) x R, chargshx 1 x2 ; 2) x 1, shargchx x2 1 ;
3) x R, chx 1
1 th2x
; 4) x R, shx thx
1 th2x
.
Exercice 3.51. Simplifier les expressions suivantes tout en explicitant le domaine dedéfinition:
1) argch2ch2x 1; 2 argch 1 ch x2
; 3) ch2argthx;
4) sh 12
argchx; 5) log1 thx
1 thx; 6 th(argshx.
Exercice 3.52 Connaissant les graphes des fonctions usuelles, tracer ceux des fonctionssuivantes:
1 y 2x2 4x 5; 2 y 2x x2 2; 3 y x1 x
x R,x 0;
4 y y0 ax x02 avec: i) a 0, ii) a 0 ;5 y y0 k
x x0x0,y0 R avec: i) k 0 , ii) k 0 ;
6 y Ex, x R; 7 y 4 x2 ; 8 y 9 x2 ;
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9 y x Ex; 10 y sgnx
1 si x 0
0 si x 0
1si x 0
;
11 y |x 1|; 12 y sgnx2; 13 y |x2 1| 2;
14 y 2 |x| 1; 15 y 12x 1
; 16 y log3x2 1;
17 y log1/2|x 3|; 18 y cos x |sinx|; 19 y sinarcsin x;20 y arcsinsinx; 21 y cosarccos x; 22 y arccoscos x;23 y log sinx ; 24 y 1 sinx sinx ;25) y |arctgx 1| ; 26 y x sgncos x ; 27 y sin2 x
2;
28 arcsinsin2x.
Exercice 3.53. Représenter le graphe d’une suite convergente:nlim xn x.
Exercice 3.54. Sur un axe d’origine O, on considère les points A,B,I,J, d’abscissesrespectives -3,3,1,9. Désignons par x l’abscisse d’un point M quelconque de l’axe.
i Soit f l’application de R vers R telle que fx MA 2MB. Représenter graphiquement f.
ii Démontrer que l’un des rapportsfxMI
oufxMJ
reste constant lorsque x varie.
Exercice 3.55. Représenter sur le plan Oxy l’ensemble des points x,y vérifiant les relationssuivantes:
1 xy 0 ; 2 |x| |y| 1 ;3 ||x| |y|| 1 ; 4 |x y| |x y| 1 .
Exercice 3.56. Construire les graphes des fonctions implicites suivantes:1 x2 xy y2 1 (ellipse) ; 2 x y 1 (parabole);3 x2/3 y2/3 4 astroide) ; 4 sinx siny ;5 x |x| y |y| .
Exercice 3.57. Construire les graphes des fonctions y yx définies paramétriquement:1 x 1 t , y 1 t2 ; 2 x t 1
t , y t 1t2 ;
3 x cos 10t , y sin t (ellipse) ; 4 x ch t , y sh t ;5 x 2t sin t , y 21 cos t .
Exercice 3.58. Construire les graphes des fonctions , données en coordonnées polaires:r r ,
1 r (Spirale d’Archimède) ; 2 r
( spirale hyperbolique) ;
3 r 21 cos (cardioïde) ; 4 rr 1
r 1 ;
5 2 sin r.
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Réponses aux exercices du chapitre III.
Exercice 3.1. Px 2b 21 bhx 0 x h;
Sx bx1 xh 0 x h.
Exercice 3.2. Sx a2 x2 si 0 x a
22
,
a 2 x2 si a22 x a 2 .
Exercice 3.3. x R1 cos a a2 R2 sin2 , 2nt, n N.Exercice 3.4. 1) non; 2) non; 3) non; 4) oui, Df 0.Exercice 3.5.1) R; 2 , 3 0, 3 ; 3 R; 4 1,2; 5) R; 6 0,6;7 1,1; 8 1; 9 , 21,1 2,; 10 2,0;11) ,22,; 12 2,2; 13 4,;14) 1
2k 1 x 1
2ket 1
2k 1 x 1
2k 2, k N;
15) 2,3; 16 2,00,1; 17 1,01,22,;18) 1,00,12,; 19 0,1,2,3, . . . ;20) 0,
3 4
3, 3
2 2; 21 k
4,k
2, k Z;
22) 3 2, 3 3,4; 23 32
,22,;24) 4,56,;25 0 |x|
2, 4k 1
2 |x| 4k 1
2, k N;
26 2k, 2k 1, k Z;27) 0,2; 28 k
6,k
6, k Z;
29) 13
,1; 30 1,3; 31 1,2; 32 , 01,;
33) n2
, n N.
Exercice 3.6.1) 9,1; 2 1,9; 3 4,; ; 4 1,2; 5 0,1; 6 R 0,1;7 0,1; 8 0, 1
2; 9 , 0; 10 1
2, 1
2; 11 R 1,1.
Exercice 3.7.1) R, 1
3, 1
3; 2 R, ,2 2,; 3 R, 4 4,;
4 , 52, 0,;
5 1,1, 0,1; 6 4,2, 0,3; 7 1, 0; 8 R, 1,;9 3,, R; 10
3 2k, 5
3 2k k Z, , log3;
11 R, 12
,1; 12kN
42k2, 2k 122, 0,1; 13 R, 1,1;
14 R, e2,; 15 R, 34
,; 16 R, 0,;
17 1,100, 2
, 2; 18 1,1, 0,
4;
19 0,2, 1,2; 20p
2q 1, p,q Z , 1,1.
Exercice 3.8. 1) 2k, 2k 1, k Z; 2 1,e; 3 R N.
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——————————————————————————————————-92
Exercice 3.10. 1) z x y; 2 z x y1 xy
; 3 z x.yx y ; 4 z x y
1 xy.
Exercice 3.11. 1) o x4, o 2x2, o 22x, o 22x
;2 o sgnx, o o sgnx, o x x 0;3 o x, o 1 x2, o 1 x2, o x4;4 o x4, o |x|, o x, o x ;
5 o , o , o 0, o 0.Exercice 3.12. fnx x
1 nx2, n 1,2, . . .
Exercice 3.13. 1 fx x2 5x 6; 2 fx x2 2, |x| 2;
3 fx 1 1 x2
x ; 4 fx x1 x
2.
Exercice 3.14.1 x t sinx y t3 sin3x;2 x t 1 x2 y 3 t 3 1 x2 ;3 x t 3x 22 y 3t 33x22 ;4 x t logx s 1 t2 y s 1 log2x .
Exercice 3.15. 1 23
, 23
,, , 23;
2) 1,2, 1,2, ,12,;3) 1
n , n Z ,nZ 1
2n 1, 1
2n,
nZ 1
2n 2, 1
2n 1;
4) 1, ,1, 0,1; 5) , 0 1, 0,1, 1,;6) 1, , 01,, 0,1; 7) 0,1, 1,, , 0; 8) , R, .Exercice 3.16. 1) ni paire, ni impaire; 2) ni paire, ni impaire; 3) impaire;4) impaire; 5) impaire; 6) impaire; 7) paire; 8) impaire; 9) impaire; 10) paire;11) ni paire, ni impaire; 12) impaire; 13) paire; 14) ni paire, ni impaire; 15) impaire;16) paire; 17) paire; 18) ni paire, ni impaire.Exercice 3.17. 1) 3x2 1 x3 3x; 2 3
x4 1x3 ;
3) cos x sin1 sinx cos 1; 4 1x2 1
xx2 1
.
Exercice 3.18. 1) T 2 ; 2) T 2; 3) T 6; 4) T ;
5) non périodique; 6) T ; 7) non périodique; 8) T ;9) T ; 10 T 2; 11) T 2; 12 T ; 13) T
2;
14 T 2; 15) non périodique; 16) T 1; 17 T 2
; 18 non périodique.
Exercice 3.19. Non.Exercice 3.21. 1) Croissante; 2) croissante;3) croissante sur R et décroissante sur R; 4) décroissante; 5) décroissante.Exercice 3.22. 1) décroissante sur R, croissante sur R;2) décroissante sur R, constante sur R; 3) décroissante sur R,
croissante sur R; 4) croissante sur R,5 si ad bc 0, croissante sur , dc et d
c ,;6) croissante sur R; 7) décroissante sur 0,1, croissante sur 1,;8) croissante sur 0,2, décroissante sur 2,4; 9) croissante sur 1,;10) croissante sur R si a 1, décroissante sur R si 0 a 1;11) décroissante sur R,12) croissante sur
2,
2 mod 2, décroissante sur
2, 3
2 mod 2;
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——————————————————————————————————-93
13) croissante sur R;14) croissante sur , 0 mod 2, décroissante sur 0, mod 2;15) croissante sur
2,
2 mod; 16) décroissante sur 0, mod.
Exercice 3.25. i) 1) bornée; 2) majorée et non minorée.ii) 1) sup max 25, inf min 4;2) sup max 1, inf min 0; 3) sup max 1, inf 0, min n’existe pas.4) sup , inf min 2. 5) sup max 21, inf min 3;6) sup max 1
2, inf ; 7) sup , inf min 2;
8) sup 1, inf 1; 9) sup max 2
, inf min 0.
Exercice 3.29. 1) y x 23
, R; 2 i y x , ii y x ;
3 n’est pas inversible;4) i) n’est pas inversible, ii) y 1 x2 , x 0,. iii y 1 x2 , x 0,15) y x
1 x, R 1; 6 y x 1
x 1, R 1; 7 y 1 x3, R;
8) y 1 3 x , R; 9) y x si x 0, y x2
si x 0;
10) y logx x2 1 , R;11) y x si x 1, y x si 1 x 4, y log2x si x 4.
Exercice 3.32. 1)2 6
4; 2 3 2; ,3 2 3 ,4 3
2, 5 1.
Exercice 3.33. 1) tg0,5; 2 14
sin 4a3
; 3 tgb; 4 14
sin22.
Exercice 3.34. 1) 1 t; 2 1 t1 2t
; 32t1 t21 t3 t
1 t23.
Exercice 3.35. 1) sinx y sinx y; 2 4cos x2
cos x cos 5x2
;
3 4cos x2
cos x sin 5x2
.
Exercice 3.36. 1) 45
; 2 45
; 3 125
.
Exercice 3.37. i)cos x
2 cosn 1
2x
2sin x2
; iisinn 1
2x
2sin x2
12
.
Exercice 3.39. 1 32
; 2 3 ; 3 3
; 4 4
; 5 4
; 6 6
.
Exercice 3.40. 1 x 1k 6 k ,x 1k arcsin 1
3 k k Z;
2 x 2 2k k Z;
3) x 1k1 16 k et x 1
2 2k;
4 x arctg 2 k k Z, x 4 2k;
5 x arcsin1 22 2k
ou x 2k 1 arcsin1 22 k Z; 6 x k, x arctg 2 k k Z;
7 x 83
; 8 x 3, x 1; 9 x 1; 10 x 0;
11 x 1 ,x 5; 12 pas de solution; 13 x 2.Exercice 3.41. 1 x 0; 2 x 2; 3 pas de solutions;4 x 2
3; 5 x log54;
6 x 2 24
ou2 2
4 x 1 x 3;
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7 1 5 x 1 ou 3 x 1 5 ;8 2 x 1 2 ; 9 n x
4 n n Z;
10 k arctg 2 x k arctg 6 k x 2 k k Z
11 arcsin1 10
3 k x arcsin
1 103
2k k Z .
Exercice 3.43. 1 x 0; 2 x 0; 3 x 1; 4 x 1; 5 x 0;6 0 x 1; 7 1 x 0; 8 1,1 0.
Exercice 3.44. 1) 2x2 1, x 1,1; 2) 3x 4x3, x 1,1;3) 1 x
2, x 1,1;
4) y 2arcsin x si 1 x 22
, y 2arcsin x si 2
2 x 2
2,
y 2arcsin x si22 x 1;
5) , y 2 2arccos x si 0 x 1, y 2arccos x 3
2si 1 x 0;
6)2x 1 x2
2x2 1, x 1,1; 7)
4 x
2; x R;
8) 12
arctgx, x R; 9) y arctgx
2, x 0;
10) y x2
si x 0, mod 2, y x2
si x , 2 mod 2;
11) y 1 x3 2
1 x2 , x 1,1;
12) y x1 1 x2
1 x2 x2, x 1,1.
Exercice 3.45. i) 1 x 6365
; 2 x 2 2 1512
; 3 x 0;
4 x 34 1
417 ; 5 x 0, x 1; 6 x 0,x 1, x 1;
7 x 0, x 32
; 8) x 0. iii) x 2,0,2.
Exercice 3.46.i) 0 si a k, 1 si a 2k, n’existe pas si a 2k 1, k Z;ii) diverge; iii) a) diverge, b) converge.
Exercice 3.47. i) 1) 4
; 21 ch x ch nx chn 1x
21 ch x;
3shx shx shn 1x
21 ch x.
iv) 1) ch4x 38 ch2x
2 ch4x
8; 2 sh2x ch2x 1 1
2Exercice 3.51. 1) 2x, x R; 2) x
2si x 0, x
2si x 0;
3) 1 x2
1 x2 , |x| 1; 4) x 12
, x 1; 5) x ; 6 x1 x2
, x R.
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Corrigés détaillés de certains exercices.
Exercice 3.5.
7) y x 2 1 x1 x
. Le domaine de définition est
D x R : 1 x1 x
0,1 x 0 .
On a 1 x1 x
0 1 x1 x 0
1 x 0 1 x 1. Donc D 1,1.
14) y logsin x . Le logarithme existe si sin x 0. Cette inégalité a lieu si2k x 2k 1 , k 0,1,2, . . . En simplifiant par , on obtient
2k 1x 2k 1 k 0,1,2, . . .
Discutons ces inégalités en fonction de k Z.Pour k 0, on a: 0 1
x 1 1 x .
Pour k 1,2, . . . on a 12k 1
x 12k
.
Pour k 1,2, . . . on a 12k x 1
2k 1.
En regroupant ces différents résultats, on obtient finalement:1
2k 1 x 1
2kou 1
2k 1 x 1
2k 2, k N.
18) y logx1x2 3x 2. La fonction est définie si:
x 1 0
x 1 1
x2 3x 2 0
x 1
x 0
x 1 2 x
.
Ces dernières relations montrent que l’ensemble de définition estD 1,0 0,1 2,.
19) y x
sinx. La fonction est définie si
x 0
x kk 0,1,2, . . . D’où il découle que
x 0
x kk 0,1,2, . . . x 0 et x n.
C’est à dire que D R N.
20) y sin2x sin3x 0 x 2. On a
D x 0,2 : sin2x 0, sin3x 0
et, en général
sin2x 0
sin3x 0
2k 2x 2k, k Z2k 3x 2k , k Z,
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k x 2k 1
2, k Z
2k 3 x 2k 1
3, k Z.
D’après la condition donnée 0 x 2, on déduit que k 0 ou k 1 ou k 2 et k 0ou k 1 ou k 2 ou k 3.
En combinant les différentes valeurs de k et k , on déduit que pour la restriction x 0,2,le domaine est alors D 0,
3 4
3, 3
2 2.
22) y log sinx 3 16 x2 . On a
D x R : sinx 3 0 et 16 x2 0 .
et, en général
sinx 3 0
16 x2 0
2k x 3 2k,
x2 16
3 2k x 3 2k
|x| 4.
avec k Z. Comme pour l’exercice 3.5, 20), la condition |x| 4 implique que k 0 ouk 1.
Pour k 0 :3 x 3
4 x 4 3 x 4.
Pour k 1 :3 2 x 3
4 x 4 3 2 x 3 .
Alors domaine de définition de la fonction est l’ensemble D 3 2, 3 3,4.
23) y x 31
x 2 log2x 3.
On a D x R : x 0, x 2 0 et 2x 3 0 . D’ou
x 0
x 2 0
2x 3 0
x 0
x 2
x 32
x D 32
,2 2,.
26) y 1sinx
3 sinx . On a D x R : sinx 0 et
sinx 0 2k x 2k, k Z.
D kZ 2k, 2k 1.
28) y arccos2sinx. On a D x R : 1 2sinx 1 et1 2sinx 1 1
2 sinx 1
2En résolvant cette double inégalité,on trouve
6 k x
6 k k 0,1,2, . . . ,
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c’est à dire que
D kZ
6 k, 6 k.
33) y 2x! La fonction est définie si 2x n N, c’est dire dansD n
2, n N .
Exercice 3.6.
7) y x2
x2 1, D R. On a: x R, 0 x2 x2 1 0 y x2
x2 1 1. C’est à
dire fR 0,1.Montrons que 0,1 fR, c’est à dire que f est surjective de R sur 0,1. Soit y 0,1,
montrons qu’il existe x R tel que y fx. On a
y x2
x2 1 x2 y
1 y 0, car 0 y 1,
donc y 0,1, il existe au moins x R tel que y fx. Ansi fD 0,1.
11) y x sgnx, x R. On a
y x sgnx
x 1 1 si x 0,
0 si x 0,
x 1 1 si x 0.
Il est évident que R, x sgnx 1.D’où y R 1,1, c’est à dire fR R 1,1. De même, comme dans 7), on
montre que fR R 1,1.
Exercice 3.7.1) y 2x
x2 9. La fonction est définie sur D R. On sait que a,b R la relation
suivante est vraie:a2 b2 2ab a2 b2.
Nous avons y 2xx2 9
13
. 2.x. 3x2 32 Ce qui implique que
13
. x2 32
x2 32 13
2.x. 3x2 32
13
. x2 32
x2 32 ,
et 13 y 1
3, donc fR 1
3, 1
3. Comme pour l’exercice 3.6. 7), on montre que la
fonction est surjective de R sur 13
, 13. Ainsi Im f 1
3, 1
3.
6) y 8 2x x2 . Le domaine de définition est le segment 4,2 et y4 y2 0.La fonction y 8 2x x2 9 x 12 0 prend la plus grande valeur si x 1 0,c’est à dire si x 1. Comme on a y1 3, . alors 0 y 3 et f4,2 0,3. Commepour l’exercice 3.6. 1), on montre que la fonction est surjective de 4,2 sur 0,3 .
10) y log1 2cos x. La fonction est définie si
1 2cos x 0 cos x 12
3 2k x 5
3 2k, k Z.
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Donc le domaine de définition est DkZ
3 2k, 53 2k. Sur ces intervalles, on a:
0 1 2cos x 3 y log3, donc fD , log3. Comme pour l’exercice 3.6.7), on montre que la fonction est surjective de D sur , log3. Ainsi Im f , log3
11) y sin4x cos4x sin2x cos2x2 2sin2x. cos2x 1 12
sin22x est définie sur
D R. Il est facile de montrer que 12 y 1 1
2sin2x 1. Donc fR 1
2,1 . Comme
pour l’exercice 3.6. 7), on montre que la fonction est surjective de R sur 12
,1.Ainsi
Im f 12
,1.
15) y 4x 2x 1. Le domaine de définition est D R et la fonction peut s’écrire :y 2x 1
22 3
4.
Pour x 1, y 34
. Alors x R, y 34
, c’est à dire que 34 y .
Donc fR 34
,. Comme pour l’exercice 3.6. 7), on montre que la fonction est
surjective de R sur 34
,. Ainsi Im f 34
,.
17) y arcsinlg x10. Domaine de définition: D x R : 1 lg x
10 1, x 0. Ce
qui donne
101 x10 10.
D’où la fonction est définie sur le segment D 1,100. D’autre part, on a1 x 100 1
10 x
10 10 1 lg x
10 1. Et comme la fonction arcsin est
définie de 1,1 sur 2
, 2
, alors 2 y
2. Donc
f1,100 2
, 2
. Comme pour l’exercice 3.6. 7), on montre que la fonction est
surjective de 1,100 sur 2
, 2
.
Exercice 3.8.1) y fsinx. Puisque la fonction fu est définie pour 0 u 1 , alors f est définie surD x R : 0 sinx 1 et 0 sinx 1 2k x 2k, k Z,donc D
kZ
2k, 2k 1.
3) y fEx
x . Comme dans l’exemple précédent la fonction est définie si
0 Exx 1 et x 0. Comme x R, Ex x Ex 1, alors si x 0, on aurait
Exx 1, donc x 0. D’autre part 0 Ex x x n,n N. Ainsi le domaine de
définition de cette fonction est l’ensemble des réels x 0 et x n, n N, c’est à direD R N.
Exercice 3.12. On a, pour n 1 : f1x fx x1 x2
. Cherchons d’abord la formule
de récurrence. Pour n 2, on a:
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f2x ffx f x1 x2
x1 x2
1 x1 x2
2
x1 x2
1 x2
1 x2
x1 2x2
.
Supposons que fnx x1 nx2
et démontrons que fn1x x1 n 1x2
.
On a:
fn1x ffnx fnx
1 fn2x
x1 nx2
1 x2
1 nx2
x1 n 1x2
.
Donc n N : fnx x1 nx2
.
Exercice 3.13.2) fx 1
x x2 1x2 , x 0. Posons x 1
x z . On a |z| 2,x R. D’où l’on
trouve quex2 2 1
x2 z2 x2 1x2 z2 2.
Alors on obtient fz z2 2, |z| 2 et en remplaçant z par x on trouve quefx x2 2.
Exercice 3.14. On a
R R R R
xf1 t f1x 1 x
f2 s f2t t2 1 x2f3 f3s 3 s 3 1 x2 ,
c’est à dire que fx f3f2f1x f3of2of1x.
Exercice 3.15.5) fx x |x|1 x.a) fx 0 x |x|1 x 0 x |x| 0 ou 1 x 0. D’ou x 0 ou x 1.
b) fx 0 x |x|1 x 0 x |x| 0 et 1 x 0
ou x |x| 0 et 1 x 0.
Pour le premier système des inégalités , on trouve 0 x 1 et pour le deuxième , il n’y a pasde solutions . Ainsi fx 0 si 0 x 1.
c) fx 0 x |x|1 x 0 x |x| 0 et 1 x 0
ou x |x| 0 et 1 x 0.
Pour le premier système des inégalités, on trouve : x 0 et x 1. Ce qui implique quex 1 et pour le deuxième, il n’y a pas de solutions. Ainsi fx 0 si 1 x .
Exercice 3.16.8) y log2x 1 4x2 La fonction est définie sur R. Alors on a:
fx log2x 1 4x2 log 1 4x2 2x log 1 4x2 4x2
1 4x2 2x
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log 11 4x2 2x
log2x 1 4x2 fx f est une fonction impaire.
13) fx x. ax 1ax 1
. La fonction est définie sur R. On a:
fx x ax 1ax 1
x. 1 ax
1 ax x. ax 1ax 1
fx
donc f est une fonction paire.
Exercice 3.17. i)
1 fx x 13. Soient x fx fx2
et x fx fx2
. Alors il est facile
de voir que x est paire, x, impaire et x x fx. On a:x 1
2x 13 x 13 1
26x2 2 3x2 1 et
x 12x 13 x 13 1
22x3 6x x3 3x.
Donc fx x 13 x x.
Exercice 3.18.1) fx A cosx B sinx, x R. On a: ,fx T fx A cosx T B sinx T A cosx B sinx 0 Acosx T cosx Bsinx T sinx 2A sin 2x T
2. sin T
2 2B cos 2x T
2. sin T
2
sin T2
. 2A sin 2x T2
2B cos 2x T2
0, x R
sin T2 0 T
2 k k 0,1,2, . . . T 2k
.
Alors la plus petite période correspond à la valeur k 1. Donc T 2 .
3) y 2tg x2 3tg x
3. Pour tout x du domaine de définition de la fonction et pour T 0
nous avons :fx T fx 2tg x T
2tg x
2 3tg x T
3tg x
3
2sin T
2cos x T
2cos x
2
3sin T
3cos x T
3cos x
3
0.
Cette équation est vraie pour tout x appartenant au domaine de définition de la fonctiondonnée si et seulement si sin T
2 0 et sin T
3 0. Donc T 2n et T 3m n,m N et
alors2n 3m n
3 m
2 k N n 3k, m 2k.
c’est à dire que T 6k k 0,1,2, . . . . La plus petite période strictement positive est égaleà 6.
5) y sinx2.Il est facile de voir que x1 k et x2 k 1 k 0,1,2, . . . sont deux racines
successives de f. La distance entre deux racines est égale àx2 x1 k 1 k
k 1 k k 0.
D’où f n’est pas une fonction périodique. En effet si f était périodique de période T et x est
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——————————————————————————————————-101
une racine de f, alors, on aurait
n N, fx nT fx 0.
Donc la suite xnn, où xn x nT, formée de racines de f, contredit (*) car n 1,xn1 xn T constante.
10) y tgx sinx. Sachant que la fonction sinus est périodique, de période 2, et la fonctiontangente de période , alors on a
fx 2 tgx 2 sinx 2 tgx sinx fx.Ainsi T 2 est une période de la fonction en question. On peut facilement montrer que
c’est la plus petite période.
12) y cossinx, x R.Puisque la fonction sinus est une fonction périodique de période 2, alors on a
fx 2 fx cossinx 2 cossinx fx.Donc la fonction est périodique de période 2. On peut facilement montrer que c’est la plus
petite période.
13) y sin4x cos4x,x R. On ay sin2x cos2x2 2sin2x cos2x 1 1
2sin22x 3
4 1
4cos 4x.
Puisque y cos kx est une fonction périodiqe de période 2k
, alors la période de la fonction
donnée est T 2
.
Exercice 3.21.1) y tgx, x
2,
2. Soit x1,x2 2 ,
2 arbitraires tels que x1 x2.On a, d’une
part,
y1 y2 tgx1tgx2 sinx1 x2cos x1. cos x2
et cos x1 0, cos x2 0et, d’autre part, puisque x1 x2 0 et x1, x2 2 ,
2, alors
x1 x2 0 sinx1 x2 0 tgx1tgx2 0 tgx1 tgx2, x1,x2 2 ,
2.
Donc y tgx est une fonction croissante sur 2
, 2.
3) y x2, x R et x R. Soit x1,x2 R arbitraires et x1 x2. On ay1 y2 x1
2 x22 x1 x2x1 x2 0 y1 y2 y x2 est croissante sur
R. Considérons maintenant le cas x R. Soit x1,x2 R arbitraires et x1 x2, alorsy1 y2 x1
2 x22 x1 x2x1 x2 0 y1 y2 y x2 est décroissante sur R.
Exercice 3.22.9) y lg1 x3, x 1,. Soit x1,x2 1, arbitraires et x1 x2. On a
y1 y2 lg1 x13 lg1 x2
3 lg1 x1
3
1 x23 .
x1 x2 0 1 x13
1 x23 1 lg
1 x13
1 x23 0 y1 y2 0 y1 y2.
Alors la fonction .y lg1 x3 est croissante sur 1,.
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10). y axa 0, a 1,x R. Considérons les deux cas0 a 1 et a 1. Soit x1,x2 R , x1 x2 arbitraires et 0 a 1. On a:
y1 y2 ax1 ax2 ax2ax1x2 1 0,car ax 1 si x 0 . D’où y1 y2, c’est à dire que la fonction. y ax est décroissante pour
0 a 1.Supposons maintenant que a 1. On a:
y1 y2 ax2ax1x2 1 0,car ax1x2 1 pour a 1 et x1 x2 0. Donc y ax est une fonction croissante sur R.
11) y 21x 2x1, x R. Soit x1,x2 R arbitraires et x1 x2. On a:y1 y2 21x1 21x2 2x21 2x11
et x1 x2 x1 1 x2 1 2x11 2x21 2x21 2x11 0. D’autre part, on a:x1 x2 1 x1 1 x2 21x1 21x2 21x1 21x2 0.
Ainsi: y1 y2 0 y1 y2. Donc y 21x 2x1 est une fonction décroissante sur R.
Exercice 3.25.ii) 3) y 1
1 x2 , x R. Il est évident que x R, 0 fx 1. On a
max f sup f f0 1.Montrons que inf f 0. En effet, soit 0. On a
11 x2 x2 1
|x| |1 | .
Cela signifie qu’il existe x R tel que 11 x2 , c’est à dire que inf f 0. Comme
11 x2 0, x R, alors min f n’existe pas.
5) y 4sin2x 12sinx 5. Posons sinx z, |z| 1. Alors y 4z2 12z 5 est uneparabole dont les branches sont orientées vers le haut. Elle coupe l’axe des abscisses aux pointsz1 1
2et z2 5
2. Comme y 4z2 12z 5 2z 32 4 et 1 z 1, alors
max yz y1 21 et min yz y1 3. De cette façon nous avons démontré quemax fx sup fx 21 et min fx inf fx 3.
9) y arctg|x| x R. On a: arctg: R 2
2 et alors
arctg|x|
arctgx si x Rarctgx si x R
0 si x 0.
Ce qui implique que arctg|x| 0; 2. Donc min f inf f 0, sup f
2, car
arctg(R 0, 2 et il n’y a pas de maximum.
Exercice 3.29.1) y 2 3x,x R f : R R est une bijection. Cela signifie qu’elle est inversible et
f1y y 23
, y R.
3) y x2 sur R n’est pas bijective sur R ,donc elle n’est pas inversible.
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6) y x 1x 1
, x ; 11;. Il est facile de montrer que f est strictement
décroissante sur son domaine de définition. D’où f est inversible et son inverse est
f1y y 1y 1
, y ; 11;.
Exercice 3.30. Deux fonctions f : X Y et g : Y X sont mutuellement inverses si etseulement si
fgy y,y Y et gfx x,x X.1) fx 1
x 2,x 2 ; gx 2x 1
x , x 0. On a
X R 2f Y R g
Rfgx 1
gx 2 1
2x 1x 2
x2x 1 2x
x, x 0,
gfx 2fx 1fx
2 1
x 2 1
1x 2
2 x 2
x 21
x 2
x, x 2.
Donc f et g sont mutuellment inverses.
3) fx e1 x2
2 x X 0,,gx 1 2 lnx , x Y e ; 0. On a
fgx e
1 g2x2 e
1 1 2 lnx2 e lnx x, x Y,
gfx 1 2 lnfx 1 2 lne1 x2
2 1 2. 1 x2
2 x, x X.
Alors f et g sont mutuellement inverses.
5) fx sinx, x X 2
; 32,
et gx arcsin x, x Y 1;1. On a:fgx sin arcsin x sinarcsin x x.gfx arcsinsinx x x,
car arcsinsinx x sur 2
; 32.
Exercice 3.31.i) a Soit f croissante et fx1 x1 0. On a:
x2 x1 et x3 x2 fx2 fx1 0.
Par récurrence supposons que xn xn1 0. Montrons que xn1 xn 0. On a:xn1 xn fxn fxn1 0 car f est croissante et xn xn1, donc xn1 xn, n 1,2, . . .
b La démonstration est analogue à celle de a).ii) Soit f décroissante et fx1 x1 0, c’est à dire que x2 x1. Alors:
x3 x2 fx2 fx1 0.
Par récurrence, supposons que xn xn1. On a:
xn1 xn fxn fxn1 0 ,
car f est décroissante.
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Exercice 3.40.1) 6 sin2x 5sinx 1 3sinx 12sinx 1 0
sinx 13
ou sinx 12
x 1k arcsin 13 k ou x 1k
6 k, k Z.
Exercice 3.42.1) Soit arcsin x. Alors
2
2et 0 cos 1. D’autre part, on a
0 cos 1 sin2 1 sin2arcsin x 1 x2 .
La démonstration est analogue pour l’autre égalité en remarquant que 0 arccos x .
2) Démontrons que x 1,1, arcsin x arccos x 2
. On a, d’une part
. 2 arcsin x
2 0
2 arcsin x
D’autre part cos 2 arcsin x sinarcsin x x et cosarccos x x. Donc les valeurs
de arccos x et 2 arcsin x appartiennent au segment 0, et ont le même cosinus. Cela signifie
que 2 arcsin x arccos x.
6) Démontrons que sinarcctgx 11 x2
, x R. On a
sin2arcctgx 11 ctg
2arcctgx
11 x2 sinarcctgx 1
1 x2,
car arcctgx 0, et sin 0, 0,. La démonstration analogue pour l’autreégalité.
7) Soient arctgx et arcctgx. Alors on a, d’une part
2
2et 0 .
D’autre part, de 2
2arcctgx
2et tg
2arcctgx ctg, on déduit que:
tg 2 arcctgx ctgarcctgx x
2 arcctgx arctgx.
8) Soit arctgx. On a, d’une part: 2
2avec 1 sin 1 et d’autre part
sin2 tg
2
1 tg2 x2
1 x2 sin2arctgx x2
1 x2
sinarctgx x2
1 x2 |x|
1 x2.
Si x 0, alors 2arctgx 0 et donc 1 sin sinarctgx 0
et si x 0, alors 0 arctgx 2
et donc 0 sin sinarctgx 1, par conséquent,
x R, sinarctgx x1 x2
.
La démonstration est analogue pour l’autre égalité.
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Exercice 3.44.1) y cos2arccos x.Le domaine de définition est : D 1,1. Posons
arccos x 0,. Alors on a
cos 2 cos2 sin2 2cos2 1 2cosarccos x2 1 2x2 1.
Une démonstration analogue donne sin2arcsin x 2x 1 x2 , x 1,1.
4) y arcsin2x 1 x2 . Le domaine de définition est :D x R : 1 x2 0, 1 2x 1 x2 1 1,1.
On a, d’une partx 1,1
2,
2 : x sin et cos 0.
et, d’autre part
2x 1 x2 2sin 1 sin2 2sincos sin2
arcsin2x 1 x2 arcsinsin2
2 si 2 2
,
2 si 2 2
2,
2 si 2 2 .
En remplaçant arcsin x et en simplifiant les inégalités de droite, on obtient
arcsin2x 1 x2
2arcsin x si 1 x 22
,
2arcsin x si 2
2 x 2
2,
2arcsin x si22 x 1.
Remarque. On obtient le même résultat en posant x cos, 0,.
6) Le domaine de définition est : D 1,1. De la formule tg2 2sincos2cos2 1
, on déduit
que
tg2arccos x 2x 1 x2
2x2 1, x 1,1.
10) Le domaine de définition est :D x R : 1 cos x1 cos x 0, 1 cos x 0
R 2k 1, k Z .Comme la fonction est périodique, de période T 2, alors il suffit de l’étudier sur les
intervalles 0, et , 2.On trouve, après transformations
1 cos x1 cos x
2sin2 x
22cos2 x
2 tg
2 x2 tg x
2
tg x2
si x 0,,
tg x2
si x , 2,
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arctg 1 cos x1 cos x
arctg tg x2
x2
si x 0,, mod 2
x2
si x , 2, mod 2.
Exercice 3.45.2) arccosx arcsin 1
3 arccos 1
4? Tout d’abord, on a
0 arcsin 13
2, 0 arccos 1
4
2et 0 arcsin 1
3 arccos 1
4 .
Alors
arccos x arcsin 13 arccos 1
4 cosarccos x cosarcsin 1
3 arccos 1
4
cosarcsin 13cosarccos 1
4 sinarcsin 1
3 sinarccos 1
4
D’où x 1 19
. 14 1
3. 1 1
16 2 2 15
12 1,1.
5) arccos 1 x2 arcsin x? Notons tout d’abord que |x| 1 et quex 1,1, arccos 1 x2 0,
2
et, alors pour x 1,1,arccos 1 x2 arcsin x sinarccos 1 x2 sinarcsin x
1 cos2arccos 1 x2 x 1 1 x2 x |x| x 0.Donc |x| 1 et x 0, c’est à dire que x 0; 1.
6) arcsin x 2arctgx? On asinarcsin x sin2arctgx x 2sinarctgxcosarctgx x 2. x
1 x2. 1
1 x2 x 2x
1 x2 0 x3 x 0
xx 1x 1 0Alors on a: x 0 ou x 1 ou x 1. On vérifie immédiatement que ces nombres sont
solutions de l’équation donnée.
Exercice 3.50.2) Première méthode. On a
shargchx eargchx eargchx
2 e logx x21 elogx x21
2
x x2 1 1x x2 1
2 x x2 1 2 1
2x x2 1 x2 1 .
Deuxième méthode, on utilise la relation shy ch2y 1 avec y argchx.
Exercice 3.51.1) On a x R, 2ch2x 1 1 et, alors
2ch2x 1 ch2x argch2ch
2x 1 argchch2x 2x.
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5) On a, x R,
1 thx
1 thx
1 ex exex ex
1 ex exex ex
2ex
2ex e2x log
1 thx
1 thx loge2x 2x,
car loge t t, t R.
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Chapitre IV. Limites et continuité. Rappels de cours.
§1. limites de fonctions.
IV.1. Notion de voisinage.i) Une partie V R est dite voisinage du point x0 R si elle contient un intervalle ouvert
contenant lui-même x0.Cela signifie que: V est un voisinage de x0 I a,b V et x0 I.ii) Une partie V R est dite voisinage de resp. de si elle contient un intervalle
ouvert de la forme a, (resp. ,a), a R.Cela signifie que : V est un voisinage de I a, V ,a V.
IV.2. Notion de limite d’une fonction en un point. Soit f une fonction définie dans unvoisinage V de x0, sauf peut-être en x0.
On dit que f admet une limite R quand x tend vers x0 si
0, 0,x V : 0 |x x0 | |fx | .On note, dans ce cas
xx0
lim fx .
IV.3. Extension de la limite. Soit f une fonction définie dans un ensemble V R contenantun intervalle de forme x0,a (resp. a,x0).
i) Limite à droite, limite à gauche en un point. On dit que f admet une limite à droite(resp. à gauche) en x0 si:
0, 0,x V : 0 x x0 |fx | resp. 0 x0 x |fx | .
On note dans ce casxx00lim fx
xx0
xx0
lim fx (resp.xx00lim fx
xx0
xx0
lim fx .
ii) Limite à l’infini et limite infinie.1)
xlim fx 0, 0,x V : x |fx | ;
xlim fx 0, 0,x V : x |fx | ;
2)xx0
lim fx A 0, 0,x V : 0 |x x0 | fx A;
xx0
lim fx A 0, 0,x V : 0 |x x0 | fx A.
3)xlim fx A 0, 0,x V : x fx A;
xlim fx A 0, 0,x V : x fx A.
4)xlim fx A 0, 0,x V : x fx A;
xlim fx A 0, 0,x V : x fx A.
IV.4. Opérations sur les limites. Soient deux fonctions f et g définies dans un voisinageV de x0, sauf peut-être en x0, telles que
xx0
lim fx etxx0
lim gx . Alors, on a:
1)xx0
lim fx gx ;
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2)xx0
lim fx.gx . conséquencexx0
lim fnx n, n N) ;
3)xx0
lim . fx.gx R;
4)xx0
lim. fxgx
si 0;
5)xx0
lim |fx| ||;
6)xx0
lim n fx n si 0, n N.
Remarque. Les propriétés 1-6 restent vraies quandx x0 0, x x0 0, x , x .
IV.5. Limites remarquables.1 )
x0lim sinx
x 1; 2)xlim 1 1
xx e.
Pour les autres limites remarquables, voir les exercices 4.4 et 4.11.
IV.6. Limite supérieure et limite inférieure.Définition 1. On dit que le nombre a R est une valeur d’adhérence de la fonction f en x0
s’il existe une suite un,nlim un x0, un x0, telle que
nlim fun a.
On désigne par Adx0 l’ensemble des valeurs d’adhérence de f au point x0.
Définition 2. On appelle limite supérieure (resp. limite inférieure) de f en x0 la bornesupérieure (resp. la borne inférieure) de l’ensemble Adx0. On note
xx0
lim fx supAdx0 resp.xx0
lim fx inf Adx0.
Exemple. Déterminer Ad0 de la fonction fx sin 1x . Si |a| 1, alors pour la suite
un 1arcsin a 2n
, n 1, on a
nlim un
nlim 1
arcsin a 2n 0 et
nlim fxn
nlim sin 1
un a.
Donc tous les points de l’intervalle 1,1 sont des valeurs d’adhérence, c’est à dire que1,1 Ad0. Comme |sinx| 1,x R, alors f ne peut admettre des valeurs d’adhérence atelles que |a| 1. Donc Ad0 1,1. Et l’on déduit que
x0lim sin 1
x sup1,1 1 et
x0
lim sin 1x inf1,1 1.
IV.7. Comparaison de fonctions. Notations de Landau.Soient deux fonctions f et g définies dans un voisinage V de x0, sauf peut être en x0.Définition 1. On dit que f est négligeable devant g en x0 ou dans un voisinage de x0 ou
lorsque x x0, s’il existe une fonction h définie dans un voisinage de x0, sauf peut être en x0,telle que fx hx.gx et
xx0
lim hx 0.
On note dans ce cas f og x x0 et on lit:”f est égale à petit o de g au voisinage dex0. Les équivalences suivantes sont vraies:
f og x x0 0, 0,x V : 0 |x x0 | |fx| |gx|
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xx0
limfxgx
0 si gx 0 dans un voisinage de x0.
Si g 1, alorsxx0
lim fx 0 f o1 x x0.
Définition 2. On dit que f est dominée par g au voisinage de x0 ou lorsque x x0, s’ilexiste une fonction h définie dans un voisinage V de x0, sauf peut être en x0, bornée telle quefx hx.gx
On note dans ce cas f Og x x0 et on lit:”f est égale à grand O de g au voisinage dex0. Les équivalences suivantes sont vraies:
f Og x x0 k 0, 0,x V : 0 |x x0 | |fx| k|gx|
fxgx
est bornée dans un voisinage de x0.
Si g 1, alors fx est bornée dans un voisinage de x0 f O1 x x0.
Définition 3. On dit que les fonctions f et g sont équivalentes dans un voisinage de x0 s’ilexiste une fonction h définie dans un voisinage de x0, sauf peut être en x0, telle quefx hx.gx et
xx0
lim hx 1.
On note dans ce cas f g x x0 et on lit:”f est équivalente à g au voisinage de x0. Leséquivalences suivantes sont vraies:
f g x x0 xx0
limfxgx
1 si gx 0 dans un voisinage de x0.
Le théorème suivant est vrai:Théorème. Si f1 g1 x x0 et f2 g2 x x0, alors:1) f1f2 g1g2 x x0 ,
2)f1
f2 g1
g2g2 x x0,
3) |f1 | |g1 | x x0 ,4) si f1 0, g1 0, f1
g1 x x0, R.
Remarques. En général,1) on n’a pas f1 f2 g1 g2 x x0.2) |f| |g| x x0 n’implique pas f g x x0.
IV.8. Tableau des équivalences. La notion d’équivalence est très utile dans le calcul deslimites. Pour cela, on donne le tableau des équivalences de certaines fonctions usuelles etélémentaires les plus utilisées et cela au voisinage de x0 0 :
1) sinx x sinx x ox;2) tgx x tgx x ox;3) ex 1 x ex 1 x ox;4) log1 x x log1 x x ox;5) cos x 1 x2
2 cos x 1 x2
2 ox2;
6) r Q, 1 xr 1 rx 1 xr 1 rx ox;7) arcsin x x arcsin x x ox;8) arctgx x arctgx x ox;
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9) shx x shx x ox;10) ctgx 1
x ctgx 1x o 1
x .
§2. Fonctions continues.
IV.9. Définitions.Définition 1. On dit qu’une fonction f est continue au point x0 R si elle est définie dans
un voisinage de x0 etxx0
lim fx fx0.
Définition 2. A l’aide des " " . Soit f une fonction définie dans un voisinage V dex0 R. On dit que f est continue en x0 si:
0, 0, x V : |x x0 | |fx fx0 |.
Définition 3. à l’aide des suites. Soit f une fonction définie dans un voisinage V dex0 R. On dit que f est continue en x0 si:
un V :nlim un x0
nlim fun fx0 .
Remarque. Les trois définitions sont équivalentes.
IV.10. Continuité à droite et continuité à gauche.Définition 1. On dit que la fonction f est continue à droite (resp. à gauche ) au point
x0 R si elle est définie dans un ensemble de la forme x0,a a 0 (resp.de la formea,x0 a x0) et fx0 0 fx0 (resp.fx0 0 fx0).
Le théorème suivant est vrai:Théorème. f est continue en x0 si et seulment si , elle est continue à droite et à gauche au
point x0 c.à.d. fx0 0 fx0 fx0 0 .
Définition 2. (Continuité sur un ensemble). On dit que f et continue sur un ensembleX R si elle est continue en tout point de X.
Si X a; b, alors en a et b, on considère la continuité à droite au point a et la continuité àgauche au point b.
IV.11. Discontinuité. Classification des points de discontinuité . Si l’une de troisconditions citées dans la définition de la continuité de f n’est pas satisfaite , alors f est ditediscontinue en x0. C’est à dire
1 soit f n’est pas définie au point x0,2 soit
xx0
lim fx n’existe pas,
3 soitxx0
lim fx fx0.
Dans le cas 1 si la limitexx0
lim fx existe, alors en posant fx0 , on rend la fonction
continue en x0. On dit que l’on a prolongé f par continuité au point x0.
Définition. On dit que le point de discontinuité x0 R de f est 1 de première espèce
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si fx0 0 et fx0 0 existent et sont distinctes, 2 de deuxième espèce si au moins l’une deslimites fx0 0 et fx0 0 est infinie ou n’existe pas.
Le théorème suivant est vrai:Théorème. Toutes les fonctions usuelles et élémentaires réelles sont continues, chacune dans
son domaine de définition.
§3. Propriétés des fonctions continues.
IV.12. Théorèmes relatifs aux fonctions continues. Les théorèmes suivants établissant lespropriétés importantes des fonctions continues sont vrais et doivent être retenus:
Théorème 1. Si f et g sont deux fonctions continues au point x0 R, alors les fonctions
f g, fg, f R, fg gx0 0 sont continues en x0.
Théorème 2. Si f est continue en x0 et g continue en y0 fx0, alors la fonction composéegof est continue en x0.
Théorème 3. ( Bolzano-Cauchy). Soit f une fonction définie et continue sur lesegment a,b telle que fa. fb 0 (c’est à dire que fa et fb sont de signescontraires), alors il existe, au moins, un point c a,b vérifiant fc 0 .
Corollaire. Tout polynôme réel de degré impair admet, au moins, une racine réelle.
Théorème 4. (Théorème des valeurs intermédiaires de Bolzano-Cauchy). Soit f unefonction définie et continue sur un intervalle quelconque I R et soienta,b I a b . Alors pour tout nombre , compris entre fa et fb, il existe un nombrec a,b tel que fc .
Corollaire 1. L’image d’un intervalle par une fonction continue est un intervalle.
Corollaire 2. Pour qu’une fonction monotone sur un intervalle soit continue, il faut et ilsuffit que son ensemble image soit un intervalle.
Théorème 5. (Théorème de la fonction réciproque). Soit f une fonction définie, strictementcroissante (resp.strictement décroissante) et continue sur un intervalle quelconque I R. Alorsf admet une fonction réciproque définie, strictement croissante ( resp strictement décroissante )et continue sur l’intervalle J fI.
Il est clair que si I a,b, alors on a fa,b fa, fb si f est croissante etfa,b fb, fa si f est décroissante.
Théorème 6. (Premier théorème de Weirstrass). Toute fonction définie et continue sur unsegment a,b est bornée.
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Théorème 7. (Deuxième théorème de Weirstrass). Soit f une fonction définie et continuesur un segment a,b a b. Alors f atteint ses bornes supérieure et inférieure, c’est à dire :
x1, x2 a,b : fx1 a,b
sup fx et fx2 a,b
inf fx.
Cela signifie que fx1 a,bmax fx et fx2
a,bmin fx.
IV.13. Continuité uniforme.Définition. Soit f une fonction définie dans un intervalle I R. On dit qu’elle est
uniformément continue sur I si elle vérifie:
0, 0,x,x I : 0 |x x | |fx fx | .
Conséquence. Toute fonction uniformément continue sur un intervalle est continue en toutpoint de cet intervalle. L’inverse est faux.
Théorème de Cantor. Soit f une fonction définie et continue sur un segment a,b. Alors fest uniformément continue sur a,b.
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Enoncés des exercices du chapitre IV.
Exercice 4.1. A l’aide de la définition ” " , démontrer les limites suivantes:1)
x1lim 7x 2 9; 2)
x2lim x2 4;
3)x2lim x2 1
x2 1 3
5; 4
x0lim 1
log x 0;
5x1lim 2x 12
; 6x4lim x 8
x 4 ;
7xlim 4
x2 3x 5 0; 8
xlim x2 1
x2 1 1.
Exercice 4.2. Démontrer les relations suivantes (de continuité des fonctions usuelles) avec x0
appartenant au domaine de définition de chacune des fonctions données :
1)xx0
lim xn x0n n N; 2)
xx0
lim n x n x0 x0 0, n N;3)
xx0
limax ax0 ; 4xx0
lim logx logx0;
5)xx0
lim sinx sinx0 ; 6)xx0
lim cos x cos x0;
7)xx0
limtgx tgx0 ; 8xx0
limctgx ctgx0;
9xx0
lim arcsin x arcsin x0; 10xx0
lim arccos x arccos x;
11xx0
limarctgx arctgx0 ; 12xx0
lim |x| |x0 |.
Exercice 4.3. Démontrer, à l’aide de la définition , les limites suivantes:
1)xlim ax
si a 1 ,
0 si 0 a 1 ;2)
xlim ax
0 si a 1 ;
si 0 a 1 ;
3xlim logax
si a 1 ,
si 0 a 1;4
x0lim logax
si a 1,
si 0 a 1;
5xlim arctgx
2; 6
xlim arctgx
2.
Exercice 4.4.i) Soit le polynôme Px a0 a1x a2x2 . . . anxn où
ai R , i 0,1, . . . , n, an 0.Démontrer que:
xlim |Px| .
ii) Soit la fraction rationnelle:
Rx a0 a1x a2x2 . . . anxn
b0 b1x b2x2 . . .bmxm, a0,a1, . . . .an,b0,b1, . . . ,bm R, n,m N.
Démontrer que :
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xlim Rx
xlim anxn
bmxm
, n m ,an
bn, n m ,
0 , n m .
Exercice 4.5. Calculer les limites des expressions rationnelles suivantes:
1)x0lim x2 1
2x2 x 1; 2)
x1lim x2 1
2x2 x 1
3)xlim x2 1
2x2 x 1; 4
xalim
x2 a 1x ax3 a3 ;
5)x0lim1 x5 1 5x
x2 x5 ; 6x0lim
1 mxn 1 nxm
x2 m,n N.
7)xlim
5
i1
x i
5x 15; 8
xlim
2x 3203x 230
2x 150 ;
9)x0lim1 x1 2x1 3x 1
x ; 10)x2lim x3 3x2 2x
x2 x 6;
11x1lim x3 x 2
x3 x2 x 1; 12
x1lim 1
1 x 3
1 x3 ;
13)x2lim 1
xx 22 1
x2 3x 2; 14
x1lim x 2
x2 5x 4 x 4
3x2 3x 2;
15)x0lim x7 5x5 4x3
4x7 3x3 ; 16)xlim x4 5x
x2 3x 1;
17xlim x3
2x2 1 x2
2x 1; 18
xlim x3 3x2
x2 1 x ;
19)x1lim x2 4x 5
x2 1; 20
xlim
100
i1
x i10
x10 1010 ;
21x1lim x100 2x 1
x50 2x 1; 22)
x0lim x2 2
3x2 5x 1;
23h0limx h3 x3
h. ; 24
xlimx 15 x 25 . . .x n5
x5 n5 ;
25)x 2lim x2 2
x4 x2 1; 26
x1lim x 2
x2 5x 4 x 4
3x2 3x 2;
27)x20lim lim
x2
12 x
38 x3 ; 28)
xlim 3x2
2x 1 2x 13x2 x 2
4x2 ;
29)x1lim x2 2x 1
x3 x; 30
x1lim x x2 . . .xn n
x 1n N;
Exercice 4.6. Calculer les limites des expressions irrationnelles suivantes.Indication. Dans cet exercice, on pourra utiliser l’exercice 4.2 et les techniques suivantes: a)
faire un calcul direct si possible; b) transformer l’expression irrationnelle en une expressionrationnelle par un changement de variables; c) ramener les radicaux du numérateur vers ledénominateur et inversement:
1)x0lim
x 1 13 x 1 1
; 2x7lim
x 2 3 x 204 x 9 2
;
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3)x1lim
m x 1n x 1
; 4xlim x x2 2x 2 x2 x x ;
5)xlim 3 x3 3x2 x2 2x ; 6)
xlim
x x2 1 n x x2 1 n
xn ;
7)xlim
x2 1 x4 x3 x x
; 8x3lim
x 13 2 x 1x2 9
;
9)x2lim
3 x 6 2x3 8
; 10x16lim
4 x 2x 4
;
11)xalim
x a x a
x2 a2a 0; 12)
x0lim
n 1 x 1x n N;
13x0lim
3 1 x3 4 1 x
4
1 1 x2
; 14)x0lim
3 27 x 3 27 x
x 2 3 x4;
15x1lim 3
1 x 2
1 3 x; 16)
xlim x x x x ;
17xlim 3x 1
5x 3 x; 18
xlim
x x x
x 1;
19x1lim
x x 1 1
x2 1; 20
x0lim
1 x 1
x2 ;
21 limx0
x2 4 2
x2 9 3.
Exercice 4.7. Calculer les limites des expressions trigonométriques suivantes:
1)x0lim 1 cos x
x2 ; 2x0lim
tgx sinxsin3x
;
3)x0lim sin5x sin3x
sinx; 4 lim
x0
cos x cos 3xx2 ;
5) limx0
1 cos x sinx1 sinpx cos px
; 6 limx 4
tan 2x tan 4 x ;
7)x0lim xctg3x; 8
x1lim 1 xtg x
2;
9)xalim sinx sina
x a ; 10xalim cos x cos a
x a ;
11)xalim
tgx tgax a ; 12 lim
x 3
tan3x 3 tan xcosx
6
;
13)x0lim
tga xtga x tg2ax2 ; 14
x 4
lim1 ctg3x
2 ctgx ctg3x;
15)x0lim
1 tgx 1 sinx
x3 ; 16)x0lim
sina 2x 2sina x sinax2 ;
17 limx1
1 x2
sinx; 18)
x0lim
cos x 3 cos x
sin2x;
19x 6
lim 2sin2x sinx 12sin2x 3sinx 1
; 20) limx0
1 cos x2
1 cos x;
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21x0lim
1 cos x1 cos x
; 22)x 3
limsinx
3
1 2cos x;
23xlim sinx
x ; 24 limx
1 cos 5x1 cos 4x
;
25)x0lim 3arcsin x
4x.
Exercice 4.8. Limites du typexx0
lim fxgx x0 R , f 0. Démontrer les résultats
suivants:i si
xx0
lim fx a etxx0
lim gx b a,b R , alorsxx0
lim fxgx ab ;
ii) sixx0
lim fx a 1 etxx0
lim gx , alors:
xx0
lim fxgx , |a| 1 ,
0 , |a| 1 ;
iii) sixx0
lim fx 1 etxx0
lim gx , alors :xx0
lim fxgx exx0lim fx1gx
.
Exercice 4.9. Calculer les limites suivantes.Indication. Dans cet exercice on peut utiliser l’exercice 4.2, ainsi que l’exercice 4.8.
1) limx
x 3x 2
2x1; 2
xlim x 2
2x 1
x2
3) ax0lim 1 x
2 x
1 x
1x , bx1lim 1 x
2 x
1 x
1x ;
cxlim 1 x
2 x
1 x
1x ; 4) limx01 sinx
1x ;
5 limx0
cos xcos 2x
1x2
; 6)xlim x2 1
x2 1
x1x1
;
7xlim x2 1
x2 2
x2
; 8)x0lim tg
4 x
ctgx;
9x 2
lim sinx tgx; 10)x0lim x 1 2x ;
11 limn
n xn 1
n; 12)
xlim x a
x ax;
13x0lim 1 x2ctg
2x; 14)
xalim
logx logax a a 0;
15xlim xlogx 1 logx; 16)
x0lim 1 sinxctgx;
17x0lim
1 tgx1 sinx
1sin x
; 18)xalim sinx
sina
1xa
;
19x0lim
loga1 xx ; 20) lim
x0cos x
1sin x ;
21) limh0
logx h logx h 2 logxh2 x 0;
22)x0lim 1 x2x
1 x3x
1x2
; 23x0lim ax 1
x a 0;
24)x0lim1 xa 1
x ; 25 limx0
1 cosxx2 R;
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26)xalim ax xa
x a a 0; 27xalim x a
x aa 0;
28)nlim n n x 1 x 0; 29
xlim log1 2x log1 3
x ;
30)xlim 1
x2
x2x1
; 31 limx10
log10x 1x 10
;
32) limx0
3 1 x 1 sinxlog1 x
; 33 limx x log2
10 x5 x
;
34)x0lim
log cos axlog cos bx
; 35 limx 1
4
1 cotxlog tanx
;
36) limx
log cos x1x2
; 37 limx x3
1x 1;
38) limx x2 4
1x 4
1x1 ; 39 lim
x0
e7x e2x
tan x ;
40) limx01 tan2 x
3x ; 41 lim
xx2 4x2 4
x2
;
42)x0lim lim
x01 x x
1x ; 43 lim
x01 3x4
1sin2x ;
44) limx0cos x
1x2 ; 45 lim
x0
log cos xx2 ;
46) limx0cos 6xcot2x; 47 lim
x0loge xcotx;
48) limx0
cosh 2x 1cos x 1
; 49 limx0
log cosh 5xx2 ;
50) limx0
esinh 3x esinh x
tanh x; 51 lim
xx2 log cosh x2;
52) limx0
cosh 2xcosh x
1x2
; 53) limx
x2 x
3x;
54 limx 4
tan 8 x
tan2x; 55) lim
x3x2 x 12x2 x 1
x3
1x;
56) limx0cos x
1x2 .
Exercice 4.10. Calculer les limites latérales suivantes:1)
x30lim x 3
|x 3|; 2
x20lim 2 x
4 x2 3)x00lim 2 x1/x;
4 limx 4
tan4x 2x
2; 5
x0lim 1
1 e1/x
; 6 limx
log1 exx ;
7x0lim |sinx|
x ; 810lim
x2 si x 1 ,
1/2 si x 1 ,
x si x 1 ;
9)x10lim arctg 1
1 x.
Exercice 4.11. Démontrer les limites suivantes ( à retenir):
1)xlim
ax
x ; en déduire quexlim
ax
xk a 1, k 0 ;
2)xlim
logax
xk 0 a 1, k 0 ;
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3)x0
lim xk logax 0 a 1, k 0;
4)x0
lim sinaxxk
0 si k 1,
a si k 1,
si k 1.
Exercice 4.12. Calculer h xlim fx
xlim fx si fx log
x x2 a2
x x2 b2.
Exercice 4.13. Dans cet exercice, on pourra utiliser les résultats des exercices précédents.Calculer les limites suivantes , si elles existent:
1)x2lim
arctg2 x sinx 22
x2 4; 2) lim
x0
4 1 x2 x3 1log cos x
;
3) limx0
x3 10 x cos x sin3x
1 1 x3; 4) lim
x0
2sin x2 x3 log1 x
x x x;
5) limx0
x arctg x e7 3 x 1
tg 3 x log1 3x; 6) lim
x0
sin2x 2tgx2 1 cos 2x3
tg76x sin6x
;
7) limlogx2 e
x
logx4 e2x
quand a x 0 , b x ;
8)x0lim
cosa 2x 2cosa x cos ax2 ; 9) lim
x 4
2 2cos x 4x
;
10)xlim x 2 logx 2 2x 1 logx 1 x logx ;
11) limx0
2ex
x 1 1
x2 1x
; 12) limx0
x cos x ;
13) limx x
4 arctan x
x 1;
14) lim x2 x x quand a x , b x ;
15) limxsin logx 1 sin logx; 16)
x0lim
eax e
bx
sinax sinbx;
17)x0lim
log 1 x1 x
arctg1 x arctg1 x; 18) lim
x0xE 1
x ;
19) limx
sh x2 x sh x2 x ; 20) limx
x logchchx ;
21) limx
x2 e1x e
11 x ; 22) lim
xlog1 x
logx
x
1 logx ;
23) limx
axchx;
24) limx
3 x x2 1 3 x x2 1
x ; 25) limx8
9 2x 53 x 2
;
26 limx0
x2 sin 1x
sinx; 27) lim
x0
3 x x2 3 x 2x3
3 x 3 2x 2x2;
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28 limx x 3 1 x3 ; 29) lim
x0
x1 cos x
30 limx0
cos ax cos bxxk
k R; 31x0lim x3E 1
x3 ;
32)xlim x
Ex 1; 33) lim
x4
1 2x 3x 2
;
34 limx
3 x 3 x 12 3 x 12 ; 35) limx
log2 e3xlog3 e2x
;
36)x0lim ex2 cos x
sin2x.
Exercice 4.14. Démontrer que les limites suivantes n’existent pas:1
xlim cos x ; 2
x0lim sin 1
x ;
3xlim x Ex; 4
x0lim coslog|x| ;
5x0lim g fx si: fx
0 , x 0
x cos 1x , x 0 ,
et gx 1 , x 0 ,
0, x 0 .
Exercice 4.15. Soit la limite:xlim x2 1
x 1 ax b 0 .
i) Touver a et b.ii) Quelle est la signification géométrique de cette relation?
Exercice 4.16. Démontrer le théorème de Cauchy suivant: si la fonction y fx est définiesur l’intervalle a, et est bornée sur tout intervalle borné a,b b R , alors:
ixlim
fxx
xlim fx 1 fx;
iixlim fx
1x
xlim
fx 1fx
fx c 0,
en supposant que les limites dans les parties de droite existent.
Exercice 4.17. Soit la fonction y fx définie dans l’intervalle a, et vérifiant lesconditions suivantes:
i) f est bornée dans tout intervalle borné a,b ; ii)xlim fx 1 fx .
Montrer alors que:xlim
fxx .
Exercice 4.18. Soit la fonction y fx définie sur l’intervalle a, et vérifiant lesconditions suivantes:
i) f est bornée sur tout intervalle borné a,b ;ii) pour un certain entier naturel n , il existe une limite finie ou infinie de :
xlim
fx 1 fxxn .
Montrer alors que:xlim
fxxn1
n 1
.
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Exercice 4.19. Démontrer les formules suivantes ( à retenir): n N ,1
nlim 1 x
nnex x R ;
2nlim 1 x
1! x2
2! . . . xn
n!ex x R .
Exercice 4.20. Trouver les fonctions limites suivantes: n N,
1 y nlim n 1 xn x2
2
nx 0; 2 y
nlim xn2
22n x2nx 0;
3 y nlim
xtg2n x
4 x
tg2n x
4 1
x 0; 4nlim n |x|n |y|n ;
5 y nlim xn
1 xn ; 6 y nlim x 1arctgxn;
7 y nlim n 1 enx1 .
Exercice 4.21.i) Calculer les limites suivantes : n N,
1nlim xn1
n 1! xn2
n 2! . . . x2n
2n!;
2nlim 1 x1 x21 x4 . . . 1 x2n si |x| 1 ;
3nlim cos x
2cos x
4. . . cos x
2n x 0;
4nlim tg
4 21tg
2.4. . .2ntg
2n. 4 indication: tgx ctgx 2ctg2x;
ii 1) Calculer la somme
Sn arctg 12 arctg 1
8 arctg 1
18. . .arctg 1
2n2 .
2 En déduire la limite de Sn n .
Exercice 4.22. Soit la fonction y fx sin 1x . Démontrer que pour tout réel a, vérifiant
la condition 1 a 1, on peut choisir une suite xn 0 quand n telle que
nlim fxn a.
Exercice 4.23. Dans un cercle de rayon r on inscrit un carré, puis dans ce carré, on inscrit unautre cercle dans lequel on inscrit de nouveau un carré ; on poursuit ce processus n fois . Ondemande de calculer la limite de la somme des surfaces de tous les cercles ainsi que la limite dela somme des surfaces de tous les carrés ainsi inscrits.
Exercice 4.24. Calculer limfx et limfx quand:i) x 0 si:1 fx sin2 1
x 2 arctg 1
x ; 2 fx 2 x2cos 1x ;
3 fx 1 cos2 1x
sec2 1x avec secx 1
cos xind. utiliser:
1 log1 ;
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ii) x si:
1) fx sinx; 2 fx x2 cos2x;
3 fx 2sin2x; 4) fx x1 x2 sin2x
x 0.
Exercice 4.25.i) Démontrer que les fonction suivantes ne sont pas bornées au voisinage de l’infini:1) y x sinx ; 2 y x cos x.Sont-elles infiniment grandes? Montrer leurs comportements sur un dessin.ii) Mêmes questions pour:1) y 1
x cos 1x x 0 ; 2) y xarctgx x ;
3 y 2 sinx logx x ; 4 y 1 sinx logx x ;5) y 2xarcsin(sinx x .
Exercice 4.26. Est-ce que les fonctions y log sinx et y log cos x sont bornées sur leurdomaine de définition?
Exercice 4.27. Démontrer les égalités suivantes quand:i) x 0. :
1) 2x x2 Ox; 2 x sin x Ox3/2;
3) x sin 1x O|x|; 4 logx o 1
x 0 x 0;
5) arctg 1x O1; 6 1 xn 1 nx ox si n N; ;
7) 2x3 3x2 ox.
ii) x :
1) 2x3 3x2 1 Ox3; 2) x 1x2 1
O 1x ;
3) x x2 sinx Ox2; 4arctgx1 x2 O 1
x2 ;
5) logx ox si 0 ; 6 xpex o 1xq si p,q N .
Exercice 4.28. Pour x x0, montrer que:i f og f Og ; ii Og Og Og ;iii ogO1 og ; iv og Og Og ;v OgO1 Og ; vi Oog og ;vii oOg og ; viii oog og ;ix OOg Og .Donner une interprétation de ces formules.
Exercice 4.29. Pour x x0, montrer que :f g f g of f g og f g1 o1
xx0
limfxgx
1 si gx 0.
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Exercice 4.30. Démontrer que la relation ”f g" est une relation d’équivalence.
Exercice 4.31. Montrer que:
1 x x x x x ;
2 x x x 8 x x 0 0 ;
3 x2 x log 100x x2 x ;
4a0 a1x . . . anxn
b0 b1x . . . bmxm anxn
bmxm x ;
5 x 1 x 1 2 x 14
1x
3/2x .
Exercice 4.32. Montrer que:
1) arcsinx0arctgx
0argshx
0argthx
0 x; 2) chx 1
0 x2
23 chx
shx
ex
2; 4 ) chx
shx
ex
2;
5) argch1 x0 2x ; 6) argchx
argshx
logx.
Exercice 4.33.1) Soient f,g deux fonctions définies et positives dans un voisinage de x0 R. On suppose
que fx0 g.
i) A-t-on log fx0 logg? Considérer l’exemple suivant:
fx 1 x2 sin2x, gx 1 x, x0 0.
ii)Montrer que sixx0
lim fx xx0
lim gx 0 ouxx0
lim fx xx0
lim gx , alors log fx0 logg.
iii) A-t-on e f
x0 eg? Considérer l’exemple suivant:
fx 1x4 , gx 1
x4 1x2 , x0 0.
iv) Montrer que e f
x0 eg
xx0
lim fx gx 0.
v) Montrer que n fx0
n g n N.
2) Application: calculer les limites suivantes:i) lim
x0|sinx|tanx; ii lim
x 2
|tan x|cosx.
Exercice 4.34. Démontrer la formule asymptotique suivante:
x2 px q x p2 O 1
x , x .
Exercice 4.35. Soientfx x sinx, gx x sinx et hx x2 sin2x ;
pour deux quelconques de ces trois fonctions et , a-t-on O x ?
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Exercice 4.36. Comparer les fonctions fnx xn n N quand:a) x , b x 0 :i entre-elles ; ii avec la fonction gx ex x .
Exercice 4.37. Comparer les fonctions fnx n x n N quand:a) x , b x 0 :i entre -elles ( en fonction de n ; ii avec la fonction gx logx x .
Exercice 4.38. Les fonctions y 1 x1 x
et y 1 x sont-elles infiniment petites lorsque
x 1? Quel est l’ordre de comparaison entre-elles?
Exercice 4.39. Montrer que lorsque x 1 les infiniment petits fx 1 x etgx a1 k x avec a 0 et k N sont du même ordre. Pour quelle valeur de a sont-ils
équivalents?
Exercice 4.40. Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses ?P1 : x o x , x 0; P2 : x2 ox2 1 , x ;P3 : sin x x ox , x 0; P4 : 1 x2 cos x ox2, x 0;P5 : of of of ,x x0; P6 : ox2 ox ox, x 0;P7 : ln1 x x o1 ,x 0; P8 : x3 ox4, x ;P9 : e2x ex sin2x sinx, x 0.
Exercice 4.41. Trouver l’ordre des infiniment petits suivants si :1) 3 1 3 x 1, x 0; 2 e x 1, x 0;
3 esin x 1, x 0; 4 log1 x sinx , x 0;5 ex cos x, x 0; 6) ex2 cos x, x 0;7) sin 1 x 1, x 0; 8 arcsin 4 x2 2, x 0.
Exercice 4.42. Trouver les parties principales de la forme .x des fonctions suivantes dansles voisinages indiqués:
1 2x 3x3 x5 x 0 ; 2 1 x 1 x x 0
3) 2x x x x 0 ; 4) 1 2x 3 1 3x x 0;
5)2ex4 cos x 12 x5 2
94
x4x 0; 6 tgx sinx x 0 ;
7 1 cos xx x 0 ; 8 ex2 cos x x 0
9) sin22x arcsin2x 2arctan x2 x 0;
10 log1 x2 2 3 ex 12 x 0 ;
11 arcsin 4 x2 2 , x 0 ; 12 1 x 1 x 2, x 0;
13) a x3 a a 0 (x 0; 14) 3 x2 x x 0 .
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Exercice 4.43. Pour x 1, déterminer les parties principales de la forme x 1 desfonctions suivantes:
1 x3 3x 2 ; 2 3 1 x ; 3 logx ; 4 ex e; 5 xx 1 .
Exercice 4.44. Pour x , déterminer les parties principales de la forme .x desfonctions suivantes:
1 x2 210x 1000; 2 2x5
x3 3x 1; 3 3 x2 x x ;
4 1 1 x . ; 5) 2x x x .
Exercice 4.45. Pour x , déterminer les parties principales de la forme 1x
des
fonctions suivantes:1 x 1
x4 1; 2 x 1 x ;
3 1x sin 1
x ; 4 x 2 2 x 1 x
5) 1 cos 1 cos 1x .
Exercice 4.46. Pour x 1, déterminer les parties principales de la formes 1x 1
des
fonctions suivantes:
1 x2
x2 1; 2 1 x
1 x; 3 x
3 1 x;
4 1sinx
; 5logx1 x2
.
Exercice 4.47. A l’aide des équivalences ou des symboles de Landau, calculer les limitessuivantes:
1x0lim
arcsin x1 x2
log1 x; 2
x0lim sin3x sin5x
x x32;
3x1lim
logx1 x
; 4x0lim cos x cos 2x
1 cos x;
5x 4
lim2 2 cos x sinx3
1 sin2x;
6 limx0
log 1 1 x2 x3 1 x2
2 x4
sin log 1 tan esin 2x ecosx 1 e;
7 limx0
sinh2xlogsinh3x
; 8x0lim
ax2
bx2
ax b
x2 a 0, b 0 ;
9)x0limcosh x 1 log1 x2x2 x3arctan x
; 10x0lim
1 exarccos x2
sinhx 3 1 x 1;
11)x0lim
log cos axlog cos bx
b 0; 12xlim 1
x log ex 1x ;
13) limx0
tan 4x tan 2xlog1 x
; 14 limx
arg cosh x arg sinhx2
logx2 x2;
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15) limx0
x3 10 x cos x sin3x
1 1 x3; 16) lim
x0
x arcsin x e7 3 x 1tan 3 x ln1 3x
;
17) limx0
sin2x 2 tan x2 1 cos 2x3
tan76x sin6x.
§2. Exercices sur la continuité
Exercice 4.48. Etudier la continuité des fonctions suivantes:
1 y x2 si 0 x 1
2 x si 1 x 2; 2) y
0 , x 0,
x , 0 x 1,
x2 4x 2 , 1 x 3,
4 x , x 3;
3 y sinx
x , x 0,
1 , x 0;; 4 y
sinx|x|
; x 0,
1 , x 0 ;;
5 y x sin 1
x, x 0,
0 , x 0 , R;6) y Ex;
7 y x E x ; 8) y x Ex;
9 y xEx; 10 y xE 1
x si x 0
1 si x 0;
11) y E 1x ; 12) y sgnx;
13 y sgnsinx; 14) y e 1
x2 si x 0,
0 si x 0;
15) y x |x|x ; 16) y
sinx si 0 x 1,
logx si 1 x 2.
Exercice 4.49. Etablir s’il existe des valeurs de a, pour lesquelles les fonctions suivantessont continues au point x0 indiqué:
1) y ax2 1, si x 0 ,
x , si x 0; x0 0,2) y
x2 4x 2
si x 2
a si x 2, x0 2;
3) y 1
1 x2si x 1
a si x 1, x0 1;4) y
xln1 2x
si x 0,
a si x 0; x0 0,
5 y 1 x1 x3 si x 1 ,x0 1,
a si x 1;6) y
x sin 1x si x 0,
a si x 0, x0 0;
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7) y sin 1
x si x 0,
a si x 0, x0 0;8) y
cos x si x 0, ,
ax 1 si x 0 x0 0;
9) y 1 xn 1
x si x 0 ,n N,
a si x 0; x0 0.
Exercice 4.50. Pour quelles valeurs des paramètres a, et b, figurant dans les définitions desfonctions suivantes, celles-ci sont continues dans leurs domaines de définition ou dans lesdomaines indiqués?
1 y
x 13 si x 0
ax b si 0 x 1
x si x 1;
2 y x si |x| 1
x2 ax b si |x| 1;
3 y
x 12
x2 1si |x| 1
a si x 1
b si x 1;
4 y
2sinx si x 2
,
a sinx b si 2 x
2,
cos x si x 2
.
5 y
x cos x2
sinxsi x
2, 3
2, x 0, x ,
a si x 0,
b si x .
Tracer le graphe de la fonction 4).
Exercice 4.51. Peut-on prolonger par continuité les fonctions suivantes aux points indiqués1 fx arctg 1
x 2en x 2 ; 2 fx 1 x sin 1
x en x 0 ;
3 fx x2 1x3 1
en x 1 ; 4 fx log1 x log1 xx en x 0 ;
5) fx sinx sin 1x en x 0; 6) fx
sh2x
logch3xen x 0;
7) y limx0
1 x 13 1 x 1
en x 0; 8) y 1 x1x en x 0;
9) y tg2x
x en x 0; 10) y x ln x2 en x 0;
11) y
cos x sinxx
4, x
4,
2 x 4
, x 4
en x0 4.
Exercice 4.52. Déterminer les points de discontinuité , ainsi que leurs espèces, des fonctionssuivantes:
1 y x2 1x2 3x 2
; 2 |2x 7|2x 7
;
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3 y |x 2|arctgx 2
; 4 y 1 cosx4 x2 ;
5 y sgnsin x ; 6 y 1x2x 1
;
7 y limx1
1 x1 x3 ; 8 y arctg 1
x ;
9 y x arctan 1x ; 10 y x
sinx;
11 y cos2 1x ; 12 y 1
ln x;
13 y ex 1x ; 14 y
1x 1
, x 0
x 12, 0 x 2
1 x, 2 x
;
15 y 1x2 x4 ; 16 y |x 1|
x2 x3 ;
17 y 1x Ex
; 18 y limx0
x 12 x 12
x2 x;
19) y ctgx ctg x .
Exercice 4.53. Démontrer que:
i) la fonction définie par fx 1 si x Q ,
0 si x R Q ,n’est continue en aucun point de R;
ii) la fonction fx x2 si x Q ,
x2 si x R Q ,est continue seulement au point x 0.
Exercice 4.54.i Dire, en justifiant la réponse, si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses:1) La somme de deux fonctions discontinues est discontinue.2) Le produit de deux fonctions discontinues est discontinu.
ii L’image d’un intervalle ouvert par une fonction continue est-elle un intervalle ouvert?Décrire tous les cas possibles de l’image d’un intervalle quelconque par une fonction continue.
iii) Donner des exemples de fonctions continues sur un intervalle dont l’ensemble image est:1) un segment , 2) un intervalle , 3) un semi-intervalle.
Exercice 4.55. Soient fx 1 3xEx et gx 2E2x. Etudier la continuité def, g, f g au point x0 2. Commenter.
Exercice 4.56. Etablir la continuité des fonctions fgx et gfx , si1) fx sgnx et gx 1 x2;2) fx sgnx et gx x1 x23) fx sgnx et gx 1 x Ex.
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Exercice 4.57. Démontrer que si fx est continue, alors Fx |fx| est aussi continue.
Exercice 4.58. Démontrer que les points de discontinuité d’une fonction monotone bornéene peuvent être que des points de discontinuité de première espèce.
Exercice 4.59.i) Démontrer que toute fonction continue et périodique sur R est bornée.ii) Démontrer que toute fonction périodique et monotone sur R est constante.iii) Démontrer que toute fonction périodique ayant une limite en est constante.
Exercice 4.60. Soient f,g : a,b R continues telles que fa ga etfb gb. Montrer qu’il existe un point c a,b tel que fc gc.
Exercice 4.61. Montrer que si la fonction f est continue sur a,b, alors les fonctions
mx atxinf ft et Mx
atxsup ft
sont continues sur a,b.
Exercice 4.62. Montrer que si f,g sont continues sur X, alors les fonctions
x minfx,gx et x maxfx,gx
sont continues sur X.
Exercice 4.63. Montrer que si la fonction f est continue sur l’intervalle (borné ou non) a,bet si
xalim fx et
xblim fx existent (finies), alors f est bornée sur a,b. Atteint-elle ses bornes ?
Exercice 4.64.i) Soit une fonction définie sur a,b, continue et inversible .Démontrer que cette fonction
est strictement monotone a,b.ii) Démontrer que si f est définie et monotone sur a,b et si l’ensemble des valeurs de f est
compris entre fa et fb , alors f est continue sur a,b.
iii) Montrer que la fonction fx sin 1
x , x 0 ,
0 , x 0
prend sur tout segment 0,a a 0 toutes valeurs intermédiaires entre f0 et fa, maiselle n’est pas continue sur 0,a. Quel est le sens de cet exercice?
Exercice 4.65. Déterminer les branches univoques continues de la fonction inverse pour lesfonctions suivantes en donnant une explication géométrique:
1) y x2; 2 y sinx ; 3) y 2x x2;4 y 2x
1 x2 ; 5 y cos x; 6 y tgx.
Exercice 4.66.i) Soit f : a,b R, continue et telle que fa fb. Soient p et q deux réels strictement
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positifs. Montrer que’il existe c a,b tel quepfa qfb p qfc.
ii) Soit f : a,b a,b continue. Démontrer que: a,b tel que f .
Exercice 4.67. (Continuité et limite séquentielle). Soient f,g deux fonctions continues sur Q.Montrer que : f Q g Q f g sur R.
Exercice 4.68. Soit f une fonction monotone sur 0,. Montrer que les propositionssuivantes sont équivalentes:
i) f continue à droite en x0 0;ii) la suite f 1
n n1tend vers f0.
Exercice 4.69 . Démontrer que toute fonction définie, continue et injective sur un intervalle Iest monotone.
Exercice 4.70. A -t-on l’équivalence suivante:f continue en x0 f est définie en x0 et
h0lim fx0 h fx0 h 0 ?
Exercice 4.71. Soit f la fonction définie sur 2, par fx logx 2 x.i) Montrer que l’équation fx 0 admet exactement 2 solutions a et b telles que
2 a 0 b.(Indication. On pourra supposer que f est strictement monotone sur chacun des intervalles
2,1 et 1,.ii) En déduire que la suite unn définie par u1 0 et un log2 un, n 1 converge vers
b.
Exercice 4.72.i) Montrer que les équations suivantes admettent au moins une solution réelle sur a,b :1) x5 2x2 3 si a,b 1,2; 2 cos x 3x 0 si a,b
2,2;
3) e1x log|x 1| 0 si a,b 0,1.
ii) Montrer que l’équation tgx x admet un ensemble infini de solutions.
Exercice 4.73. Soit f la fonction définie sur R par fx x3 x 1. Trouver un intervallea,b vérifiant 0 b a 1
8et dans lequel la fonction f s’annule.
Exercice 4.74. Pour 0 déterminer 0 vérifiant la condition de continuitéuniforme de f sur l’intervalle donné si:
1) fx 5x 3 x ; 2 fx x2 2x 1 2 x 5;3) fx 1
x 0,1 x 1; 4 fx n x 0 x ;5) fx 2sinx cos x x .
Exercice 4.75. Démontrer que si la fonction f est bornée, monotone et continue sura,b, alors elle est uniformement continue sur a,b.
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Exercice 4.76. Etudier la continuité uniforme des fonctions suivantes dans les intervallesdonnés:
1 y x 1 x ; 2 y x4 x2 1 x 1;
3) y x2 : i x et ii) x R;4) y ln x 0 x 1; 5) y sinx
x 0 x ;6 y ex cos 1
x 0 x 1; 7) y arctgx x ;8 y x sinx 0 x .
Exercice 4.77. Montrer que les fonctions suivantes sont continues et bornées sur lesintervalles indiqués, mais elles ne sont pas uniformément continues:
1) . fx sin x sur 0,1; 2 fx sinx2 sur R ;
3 fx ex cos 1x sur 0,1.
Exercice 4.78. Démontrer que la fonction fx x sinx :i n’est pas bornée sur R,ii est uniformément continue sur R.
Exercice 4.79.i) a Démontrer que si f est uniformement continue sur a,b a b , alors
les limitesxa0lim fx A et
xb0lim fx B existent.
b Que peut-on dire si a ou b ?ii) Démontrer que si f est définie et continue sur a, et si
xlim fx existe et est finie, alors
f est uniformément continue.
Exercice 4.80. Démontrer que pour que la fonction f définie et continue dans l’intervallea,b soit prolongeable par continuité sur a,b, il faut et il suffit qu’elle soit uniformement
continue sur a,b.
Exercice 4.81. Démontrer que la somme et le produit d’un nombre fini des fonctionsuniformement continues sur a,b sont uniformément continus sur a,b.
Exercice 4.82. Soit f : a,b a,b telle que x1,x2 a,b : |fx1 fx2| |x1 x2 |.Montrer que f est continue sur a,b et que l’équation fx x admet une solution unique.
Exercice 4.83. (Définition axiomatique de la fonction linéaire). Déterminer la fonction fdéfinie sur R vérifiant les conditions suivantes:
i) fx x fx fx , x,x R ;ii) f est continue en x 0 ;
Exercice 4.84.. Définition axiomatique de la fonction puissance. Soit f une fonction définiesur R vérifiant les conditions:
i) fx.x fx. fx , x x R ;
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ii) f est continue en x 1.Montrer que la fonction f est de la forme fx x, R.
Exercice 4.85. Définition axiomatique de la fonction exponentielle. Soit f une fonctiondéfinie sur R vérifiant les conditions:
i) fx x fx. fx , x, x R;ii) f1 a, a 0, a 1;iii) f est continue en x 0.Montrer que la fonction f est de la forme fx ax.
Exercice 4.86. Définition axiomatique de la fonction logarithme. Soit f une fonction définiesur R vérifiant les conditions:
i) fx.x fx fx , x,x R;ii) f est continue en x 1.Montrer que la fonction f est de la forme fx logax, où a 0, a 1.
Exercice 4.87. Définition axiomatique des fonctions sinus et cosinus. Soient f,g deuxfonctions définies sur R vérifiant les conditions:
i) fx x fxgx fx gx etgx x gxgx fxfx , x,x R;
ii) f0 0, g0 1, f 2 1, g
2 0 ;
iii) si 0 x 2
, alors 0 fx x.
Montrer que fx et gx existent et sont uniques. On les note fx sinxet gx cos x, x R.
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Réponses aux exercices du chapitre 4.
Exercice 4.5. 1) 1; 2 23
; 3 12
; 4 a 13a2 ; 5 10; 6
mnn m2
; 7 55;
8 32
30; 9 6; 10 2
5; 11 ; 12 1; 13 ; 14 0; 15 4
3;
16 ; 17 14
; 18 3; 19 3; 20 100; 21 4924
; 22 2; 23 3x2;
24 n; 25 0; 26 0; 27 34
; 28 12
; 29 0; 30nn 1
2.
Exercice 4.6. 1) 32
; 2 11227
; 3 nm ; 4 1
4; 5 2; 6 2n; 7 1;
8 116
; 9 1144
; 10 14
; 11 2a2a
; 12 1n ; 13 7
36; 14 2
27;
15 12
; 16 12
; 17 35
; 18 1; 1922
; 20 ; 21 32
.
Exercice 4.7. 1) 12
; 2 12
; 3 2; 4 4; 5 1p ; 6 1
2; 7 1
3; 8 2
;
9 cos a; 10 sina; 11 1cos2x
; 12 24; 13 cos 2acos4a
; 14 34
; 15 14
;
16 sina; 17 2 ; 18 1
12; 19 3; 20 2 ; 21 0; 22 3
3; 23 0;
24 2516
; 25 34
.
Exercice 4.9. 1) e10; 2 0; 3 a 12
, b 23
, c 1; 4 e; 5 e3/2; 6 1;
7 e3; 8 e2; 9 1; 10 e2; 11 ex1; 12 e2a; 13 e; 14 1a ; 15 1;
16 e; 17 1; 18 ectga, a k 1; 19 logae; 20 1; 21 1x2 ; 22 2
3;
23 loga; 24 a; 252
; 26 aaloga 1; 27 a; 28 logx; 29 3 log2;
30 0; 31 110 ln 10
; 32 23
; 33 5ln 2
; 34 a2
b2 ; 35 1; 36 2
2; 37 log3;
38 log4; 39 5; 40 e3; 41 e8; 42 1e
; 43 1; 44 e ; 45 12
;
46 e18; 47 ee1 ; 48 4; 49 252
; 50 2; 51 log2; 52 e32 ; 53 e6;
54 ; 55 0; 56 e12 1
2.
Exercice 4.10. 1) 1; 2 ; 3 , 0; 4 2; 5 0; 1; 6 1; 0; 7 1;8 1; 9
2.
Exercice 4.12. log b2
a2 .
Exercice 4.13. 1) 14
; 2 12
; 3 2; 4 2; ; 5 73
; 6 12; 7 a 12
; b 12
;
8 cos a; 9 24
; 10 0; 11 e2; 12 e1/2; 13 12
; 14 a ,
b 12
; 15 0; 16 1; 17 2; 18 1; 19 ; 20 ; 21 1; 22 1;
23 0; 24 0; 25 125
; 26 0; 27 0; 28 , 0; 29 1;
30 0 si k 2, b2 a2
2si k 2, si k 2;
31 1 ; 32 1; 33 43
; 34 log2; 35 32
; 36 32
.
Exercice 4.15. i) a 1, b 1; ii la droite y x 1 est une asymptote.
Exercice 4.20. 1) y 1 si 0 x 1, y x si 1 x 2, y x2
2si x 2;
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2) y 0 si 0 x 1, y 2 2 si x 2, y x2 si x 2;3) y x si 0 x 1 et 4k 1 x 4k 1,
y x si 4k 3 x 4k 2 et 4k 2 x 4k 1,y 1
2 x x si x 2k 1, k N;
4) contour du carré: max|x|, |y| 1; 5 y 0 si 0 x 1, y 12
si x 1,
y 1 si 1 x ;6) y 0 si1 x 1 et y
2x 1 si x 1;
7 y 1 si x 1, y ex1 si x 1.Exercice 4.21. i) 1 0; 2 1
1 x; 3 sinx
x ; 4 1 .
ii) 1) Sn arctg n 1n 2
; 2 limn
Sn 4.
Exercice 4.23. 2r2; 4r2.Exercice 4.24. i) 1 2; 1; 2 2; 2; 3 e; 2. ii) 1) 1; 1;
2 ; 0; 3 2; 12
; 4 ; 0.
Exercice 4.25. i) 1) non; 2) non. ii) 1) non; 2) oui; 3) oui; 4) non; 5) non.Exercice 4.26. non, non.Exercice 4.33. 1) i) non, iii) non; 2) i) 1; ii) 1 .Exercice 4.35. g Of; g Oh; f Oh.
Exercice 4.36. a) i) xk a ox,x 0 si k ,
b oxn ,x si k n.
ii) xn oex, x , n N.
Exercice 4.37. a) i) k x a o x ,x 0 si k ,
b o n x ,x si k n.;
ii) logx o n x , x , n N.Exercice 4.38. Même ordre.Exercice 4.39. a k.Exercice 4.40. 1 vraie; 2 fausse; 3 vraie; 4 fausse; 5 vraie; 6 vraie;
7) vraie; 8 vraie; 9 vraie.Exercice 4.41. 1) 1
3; 2 1
2; 3 ; 4 ; 5 ; 6 2; 7 1; 8 2.
Exercice 4.42. 1) 2x; 2 x; 3 8 x ; 4 12
x2; 5) 49
x4; 6 x3
2; 7 x
2; 8 3x2
2;
9 7x2; 10 2 3 x2 ; 11 x2
4; 12 x2
4; 13 x3
2 a; 14 x .
Exercice 4.43. 1) 3x 12; 23 x 1
3 2; 3 x 1; 4 ex 1; 5 x 1.
Exercice 4.44. 1) x2; 2 2x2; 3 3 x2 ; 4 8 x ; 5 2x .
Exercice 4.45. 1 1x3 ; 2 1
21x
1/2; 3 1
x2; 4 1
41x
3/2; 5 1
8x4 .
Exercice 4.46. 1 12
1x 1
; 2 2 11 x
1/2; 3 1
3 31
1 x
1/3;
4 1
11 x
; 5 1x 1
.
Exercice 4.47. 1 1; 2 15; 3 1; 4 3; 5 3 22 ; 6 3
22 e; 7 2
9;
8 1log a
b; 9) 0; 10 ; 11) a2
b2 ; 12 1; 13) 2; 14 14
; 15) 2; 16) 73
; 17) 12.
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Exercice 4.48. 1) f C0,2; ; 2) f CR; 3) f CR; 4) f CR ;5) 0, f CR;6 f CR Z; 7 f CR n2, n N; 8 f CR Z; 9 f CR Z;10 f CR 1
k, k Z ; 11) f CR 1
k, k Z ; 12 f CR;
13 f CR k, k Z ; 14 f CR; 15 f CR; 16 f C0,2.
Exercice 4.49. 1) ; 2 a 4; 3 ; 4 a 12
; 5 a 13
; 6 a 0; 7 ;8) a 1; 9 a n.Exercice 4.50. 1 a 2, b 1 sur R; 2 a 1, b 1 sur R;3 ; 4) a 1, b 1; 5 a 1, b
2.
Exercice 4.51. 1) non; 2) oui: f0 1; 3 oui : f0 23
; 4 oui : f0 2;
5) oui: f0 0; 6 oui : f0 29
; 7 oui : f0 32
; 8 oui : f0 e;
9) oui: f0 2; 10 oui : f0 0; 11 oui : f 4 2 .
Exercice 4.52. 1) x 1,2 2e espèce; 2) x 721e espèce;
3 x 2 1e espèce; 4 x 2 point éliminable);5 xk 1
k, k Z 1e espèce, x 0 2e espèce; 6 x 0, x 1 2e espèce;
7) x 1 point éliminable); 8) x 0 1e espèce; 9 x 0 point éliminable);10) x 1 point éliminable); 11) x 0 2e espèce;12 x 0 point éliminable), x 1 2e espèce; 13 x 0 2e espèce;14 x 0, x 2 1e espèce; 15) x 0, x 1, x 1 2e espèce;16) x 0, 2e espèce, x 1 1e espèce; 17)
xk k, k Z 2e espèce; 18 x 1 2e espèce;19) x 0 2e espèce.Exercice 4.54. i) 1) Fausse; 2) fausse; ii) non.Exercice 4.56. 1) gof discontinue en x 0, fog CR;2) fog discontinue en x 1,0,1 1e espèce, .gof CR;3) fog CR, gof CR.Exercice 4.65. 1) x y y 0, x y y 0;
2 xk 1k arcsin y k, k Z, y 1,1;
3 x 1 1 y , y 1; 4 x 1 1 y2
y , |y| 1, y 0;
5) xk 2k arccos y, k Z, 1 y 1; 6 xk arctgy k, k Z.Exercice 4.70. Non, par exemple la fonction fx sgnx .
Exercice 4.73. 58
, 34.
Exercice 4.74. 1) 5
; 2 8
; 3 . 102; 4 n 1; 5 2
.
Exercice 4.76. 1)unif. ; 2 unif. ; 3 i unif. , ii non; 4 non; 5 unif. ; 6 non; 7 unif; 8) non.
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——————————————————————————————————-136
Corrigés détaillés de certains exercices.
Exercice 4.1. On désigne par Vx0 un voisinage de x0 R. Dans l’application de ladéfinition de la limite d’une fonction, comme pour la limite d’une suite, à savoir:
xx0
lim fx0 déf. 0, 0,x Vx0 : |x x0 | |fx | ,
la recherche de ou des x vérifiant l’inégalité |fx | peut se faire de manière directe ouindirecte, par des majorations où l’on doit faire apparaitre |x x0 |.
3) Soit 0 arbitraire. Il s’agit de trouver 0 tel quex V2 2 : 0 |x 2| fx 3
5 .
On a
fx 35 x2 1
x2 1 3
5
2|x2 4|5x2 1
2|x 2||x 2|5x2 1
.
Considérons le voisinage V 1,3 du point x 2. Dans ce voisinage les inégalitéessuivantes sont vraies:
x 2 5, 1x2 1
12
et x 2x2 1
52
.
Il en résulte que
0 |x 2| fx 35 2|x 2||x 2|
5x2 1 2|x 2|
552 |x 2| ,
si 0 |x 2| . Par conséquent on peut choisir tel quex V2 : 0 |x 2| fx 3
5 .
Cela signifie quex2lim fx 3
5.
5) Soit A 0 arbitraire. Il s’agit de trouver A 0 tel que.0 |x 1| 2
x 12 A.
De cette dernière inégalité, on déduit que
x 12 2A |x 1| 2
A.
Ainsi il suffit de prendre A 2A
pour que l’on ait
A 0, A 2A 0, x V1, |x 1| fx A.
C’est à dire quex1lim fx .
Exercice 4.2.1) y xn n N. Soit 0 arbitraire tel que 0 1. Nous avons alors:
|fx fx0| |xn x0n | |x x0 |. |xn1 xn2.x0 xn3.x0
2 . . .x0n1 |
|x x0 |. |x|n1 |x|n2. |x0 | |x|n3. |x0 |2 . . .|x0 |n1.
Considérons le voisinage V x0 1,x0 1 de x0. Dans ce cas, x V : |x| |x0 | 1. et,alors
|fx fx0| |x x0 ||x0 | 1n1 |x0 | 1n2|x0 | |x0 | 1n3|x0 |2 . . .|x0 |n1 si |x x0 | ,x0 avec
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——————————————————————————————————-137
,x0 |x0 | 1n1 |x0 | 1n2|x0 | |x0 | 1n3|x0 |2 . . .|x0 |n1
.
.Ainsi on a démontré que 0, ,x0 0 tel que
|x x0 | |xn x0n |
xx0
lim xn x0n.
Comme x0 R est un point arbitraire, alors y xn n N est continue sur R.
2 y n x . Soit x0 R arbitraire. Comme x0 0, alors on considère x 0 dans unvoisinage de x0.
a) Cas x0 0. On a:
|fx fx0| | n x n x0 |
|x x0 | n x n1 n x n2 n x0 . . . n x n x0 n2 n x0 n1
|x x0 | n x0 n1
si |x x0 | ,x0 avec ,x0 n x0 n1. Ainsi
0, n x0 n1, x Vx0, |x x0 | |fx fx0| .
b) Cas x0 0. On a f0 0. Alors
|fx f0| | n x 0| | n x |
si |x| , 0 avec , 0 n.Donc la fonction fx n x est continue sur R, n N.
5 y sinx. Soit x0 R arbitraire. On a
|fx fx0| |sinx sinx0 | 2sin x x0
2. cos x x0
2
2. x x0
2.1 |x x0 |.
Alors 0, ,x0 tel que
x Vx0, |x x0 | |sinx sinx0 | .
On conclut que y sinx est continue sur R.
11 y arctgx. Soit x0 R arbitraire.a) Cas x0 0. Soit h 0 très petit tel que x0 h 0 et posons
t arctgx0 h arctgx0.Comme tgt |t| , alors on obtient
arctgx0 h arctgx0 |t| tgt x0 h x0
1 x0. x0 h
|h||1 x0
2 x0h| h
1 x02 h .
Il suffit de choisir donc .Donc 0 0 tel que
x Vx0, |x x0 | arctgx0 h arctgx0 .b) Cas x0 0. Comme arctgx0 arctgx0, alors la démonstration est analogue à celle
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——————————————————————————————————-138
donnée en a).c) Cas x0 0. On a arctgx arctg0 arctgx |x|. Alors
x0limarctgx arctg0 0.
Ainsi y arctgx est continue sur R.
12 y |x|. Soit x0 R. On a |fx fx0| ||x| |x0 || |x x0 |. Si |x x0 | avec,x0 , alors |fx fx0| |x x0 | . Ainsi fx |x| est continue sur R.
Exercice 4.5.1) On a directement
x0lim x2 1
2x2 x 1 02 1
2.02 0 1 1.
2)x1lim x2 1
2x2 x 1 0
0F. I. . Factorisons le numérateur et dénominateur et puis
simplifions par x 1. car x 1 et x 1. On obtient ainsi
x1lim x2 1
2x2 x 1
x1lim
x 1x 1x 12x 1
x1lim
x 12x 1
23
.
6)x0lim1 mxn 1 nxm
x2 00F. I. . On a, d’après la formule du binôme de Newton
1 mxn 1 nxm
x2
1 Cn1mx Cn
2mx2 Cn3mx3 . . .mxn
x2
1 Cm1 nx Cm
2 nx2 Cm3 nx3 . . .nxm
x2
x2Cn2m2 Cn
3m3x . . .mnxn2 Cm2 n2 Cm
3 n3x . . .nmxm2x2
Cn2m2 Cn
3m3x . . .mnxn2 Cm2 n2 Cm
3 n3x . . .nmxm2.En passant à la limite quand x 0, on obtient
x0lim1 mxn 1 nxm
x2
x0lim Cn
2m2 Cn3m3x . . .mnxn2 Cm
2 n2 Cm3 n3x . . .nmxm2
Cn2m2 Cm
2 n2 nn 1m2
2 mm 1n2
2 mnn m
2.
8)xlim2x 3203x 230
2x 150 F. I. ? On a
xlim2x 3203x 230
2x 150 xlim
x202 3x
20x303 2x
30
x502 1x
50
xlim2 3
x 203 2
x 30
2 1x
50 220. 330
250 3230.
17)xlim x3
2x2 1 x2
2x 1 F. I. ? On a
xlim x3
2x2 1 x2
2x 1
xlim 2x4 x3 2x4 x2
2x2 12x 1
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——————————————————————————————————-139
xlim x3 x2
2x2 12x 1
xlim
x31 1x
x32 1x2 2
1x 1
4.
21)x1lim x100 2x 1
x50 2x 1 0
0F. I. ? On a
x1lim x100 2x 1
x50 2x 1
x1limx100 1 2x 1x50 1 2x 1
x1limx 1x99 x98 . . .x 1 2x 1x 1x49 x48 . . .x 1 2x 1
x1limx99 x98 . . .x 1 2x49 x48 . . .x 1 2
100 250 2
4924
.
Exercice 4.6. Dans cet exercice, il sagit souvent de transformer l’expression irrationnelle enune expression rationnelle en appliquant la formule
an bn a ban1 an2b an3b2 . . .a2bn3 abn2 bn1, n 2,et utiliser les relations 1) et 2) de l’exercice 4.2.
2)x7lim
x 2 3 x 204 x 9 2
00F. I? On a
x7lim
x 2 3 x 204 x 9 2
x7lim x 2 3 3 3 x 20
4 x 9 2
x7lim
x 2 3x 7
3 3 x 20
x 74 x 9 2
x 7
x7lim
x 2 3x 7
4 x 9 2x 7
3 3 x 20x 7
4 x 9 2x 7
.
Calculons les limites du numérateur et du dénominateur séparément pour chacune desfractions. On a:
x7lim
x 2 3x 7
x7lim x 2 3 x 2 3x 7 x 2 3
x7lim x 2 9x 7 x 2 3
x7lim 1
x 2 3 1
6;
x7lim
3 3 x 20x 7
x7lim
3 3 x 20 9 3 3 x 20 3 x 202
x 7 9 3 3 x 20 3 x 202
x7lim 27 x 20x 79 3 3 x 20 3 x 202
x7lim 1
9 3 3 x 20 3 x 202 1
27;
x7lim
4 x 9 2x 7
x7lim 4 x 9 2 4 x 9 2x 7 4 x 9 2
14 x7
limx 9 4x 7
14 x7
lim x 9 4 x 9 4x 7 x 9 4
14 x7
lim x 9 16x 7 x 9 4
14 x7
lim 1x 9 4
132
.
Ainsi, en remplaçant dans (*), on obtient:
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x7lim
x 2 3 x 204 x 9 2
16 1
27132
11227
.
3)x1lim
m x 1n x 1
00F. I. ? Posons x tmn. Dans ce cas, d’après les relations 1) et 2) de
l’exercice 4.2., on a x 1 t 1. Et donc
x1lim
m x 1n x 1
t1lim tn 1
tm 1
t1lim
t 1tn1 tn2 . . .1t 1tm1 tm2 . . .1
t1lim tn1 tn2 . . .1
tm1 tm2 . . .1 1 1 . . .1
1 1 . . .1 n
m .
4)xlim x x2 2x 2 x2 x x F. I. ? On a
xlim x x2 2x 2 x2 x x
xlim x x2 2x x2 x x x2 x
xlim
x x2 2x x2 x x2 2x x2 x
x2 2x x2 x xx x2 x x x2 x
x x2 x
xlim
xx2 2x x2 x
x2 2x x2 x xx2 x2 x
x x2 x
xlim x2
x2 2x x2 x x2
x x2 x
xlim
x2x x2 2x
x2 2x x2 x x x2 x
xlim
x2x2 x2 2x
x2 2x x2 x x x2 x x x2 2x
xlim 2x3
x3 1 2x 1 1
x 1 1 1x 1 1 2
x
xlim 2
1 2x 1 1
x 1 1 1x 1 1 2
x 1
4.
5xlim 3 x3 3x2 x2 2x F. I. ? Tout d’abord transformons l’expression
sous le signe de la limite de la façon suivante:
xlim 3 x3 3x2 x2 2x
xlim 3 x3 3x2 x x2 2x x
xlim x3 3x2 x3
3 x3 3x22 x 3 x3 3x2 x2 x2 2x x2
x2 2x x
xlim 3x2
3 x3 3x22 x 3 x3 3x2 x2 2x
x2 2x x
xlim 3x2
x2 3 1 3x
2 x 3 1 3x 1
2x
x 1 2x 1
33 2
2 2.
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9)x2lim
3 x 6 2x3 8
00F. I. ? On a
x2lim
3 x 6 2x3 8
x2lim
3 x 6 2 3 x 62 2 3 x 6 4
x3 8 3 x 62 2 3 x 6 4
x2lim x 6 8
x 2x2 2x 4 3 x 62 2 3 x 6 4
x2lim 1
x2 2x 4 3 x 62 2 3 x 6 4 1
12.12 1
144.
11)xalim
x a x a
x2 a2 0
0F. I. ? On a
x a x a
x2 a2
x a
x2 a2
x a
x2 a2
x ax2 a2 x a
1x a
x a
x a x a 1
x a.
Doncxalim
x a x a
x2 a2
xalim
x ax a x a
1x a
12a
.
12)x0lim
n 1 x 1x 0
0F. I. ? Posons n 1 x t 0. Alors, on a
1 x tn, x tn 1 et x 0 t 1.Par conséquent
x0lim
n 1 x 1x
t1lim t 1
tn 1
t1lim t 1t 1tn1 tn2 . . .1
t1lim 1
tn1 tn2 . . .1 1
n .
Exercice 4.7.8)
x1lim 1 xtg
2x 0. F. I. ? Posons x 1 t. Alors, on a
x t 1 et x 1 t 0.Ainsi
x1lim 1 xtg
2x
t0lim t. tg
2t 1
t0lim t. ctg
2t
t0lim t
tg t2
t0lim
2
t
tg t2
. 2
2 .
12)x
3
limtg
3x 3tgx
cosx 6 0
0F. I. ? Posons x
3 t. Alors on a
x t 3
et x 3 t 0.
Ainsi
x 3
limtg
3x 3tgx
cosx 6
t0lim
tgt 3tg
2t
3 3
cost 2
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t0lim
tgt 3tgt
3 3 tgt
3 3
sin t
t0lim tgt
3tgt
3 3
tgt 3 tg
3
sin t
t0lim[tgt
3tgt
3 3
sint 3
3
sin t cost 3cos
3 6. 1
cos2 3 24.
15)x0lim
1 tgx 1 sinx
x3 00F. I. ? On a
x0lim
1 tgx 1 sinx
x3 x0lim
tgx sinx
x3 1 tgx 1 sinx
x0lim
sinx1 cos x
1 tgx 1 sinx x3 cos x
x0lim 1
1 tgx 1 sinx
sinx. 2 sin2 x2
x3
x0lim 1
1 tgx 1 sinx
sinxx
sin2 x2
2 x2
2 12
.1. 12
12 14
.
18)x0lim
cos x 3 cos x
sin2x 0
0F. I. ? Posons 6 cos x t 0. Sachant que
limx0
cos x 1, alors on a:
cos x t6 et x 0 t 1.Ainsi
x0lim
cos x 3 cos x
sin2x
t1lim t3 t2
1 t12 t1lim
t2t 11 t1 t t2 . . .t11
t1lim t2
1 t t2 . . .t11 1
12.
21)x0lim
1 cos x1 cos x
00F. I. ? On a
x0lim
1 cos x1 cos x
x0lim 1 cos x
1 cos x. 1
2 sin2 x2
x0lim 1
1 cos x
2sin2 x2
2sin2 x2
x0lim 1
1 cos x
sin2 x2
x22
. x2
4.
x22
sin2 x2
. 2x2
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x0lim 1
1 cos x
sin2 x2
x22
.
x22
sin2 x2
. x2
4. 4
x x0lim 1
2.1.1.0 0.
Exercice 4.9. Dans cet exercice, on pourra utiliser les résultats des exercices 4.2 et 4.8,supposés résolus.
2)xlim x 2
2x 1x2 ? Comme
xlim x 2
2x 1 1
2 1 et
xlim x2 .
On déduit que directementxlim x 2
2x 1x2 0.
3) c)xlim 1 x
2 x
1 x
1x ?
Commexlim 1 x
2 x 1
2et
xlim
1 x1 x
xlim
1 x1 x
xlim 1
1 x 0, alors
xlim 1 x
2 x
1 x1 x 1
2
0 1.
5)x0lim cos x
cos 2x
1x2 1 F. I. ? Nous avons, d’après l’exercice 4.8
x0lim cos x
cos 2x
1x2 e x0
lim1x2
cos xcos 2x
1 e x0
lim1x2
2sin x2 sin 3x
2
cos 2x
ex0lim
2cos 2x
.
sin x2
x2
.2.
sin 3x2
3x2
. 23 e2.
12 .
32 e
32 .
8)x0lim tg
4 x
ctgx 1 ? On a, d’après l’exercice 4.8.:
x0lim tg
4 x
ctgx e x0
lim ctgx tg4x1
e x0limctgx
1tgx
1tgx1
e x0lim
2tgxctgx
1tgx e x0lim 2
1tgx e2.
11) Comme dans 8), on a
nlim n x
n 1
n en
lim nn xn 1
1 en
limx 1n
n 1 ex1.
14)xalim ln x ln a
x a 00
? On a a 0 et
xalim ln x ln a
x a xalim 1
x a ln1 x aa
1a xa
lim ln1 x aa
ax a 1
a lnxalim 1 x a
a a
x a 1a ln e 1
a .
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——————————————————————————————————-144
19)x0lim
lna1 xx 0
0F. I. ? On a, d’après l’exercice 4.2 et la formule
x0lim 1 x
1x e :
x0lim
lna1 xx
x0lim 1
x lna1 x x0lim lna1 x
1x lna
x0lim 1 x
1x logae.
21)h0lim
lnx h lnx h 2 ln xh2 0
0F. I. ? On a, d’après 19):
h0lim
lnx h lnx h 2 ln xh2
h0lim
lnx2 h2 ln x2
h2 h0lim
ln1 h2
x2
h2
h0lim 1
x2
ln1 h2
x2
h2
x2
1x2
h0lim
ln1 h2
x2
h2
x2
1x2 1 1
x2 .
23)x0lim ax 1
x 00F. I? Posons ax 1 t . Alors on a:
x loga1 t et (x 0 t 0.Ainsi, d’après 19), on a
x0lim ax 1
x t0lim t
loga1 t
t0lim 1
loga1 tt
1logae
ln a.
24)x0lim1 xa 1
x 00F. I. ? On a, d’après 19) et 23)
x0lim1 xa 1
x x0lim ea ln1x 1
a ln1 x.
a ln1 xx
x0lim ea ln1x 1
a ln1 x x0lim
a ln1 xx ln e.a 1.a a.
26)xalim ax xa
x a 00F. I. ? On a, d’aprrès 23) et 24)
xalim ax aa aa xa
x a aa
xalim axa 1
x a aa
xalim
1 xa
a
x a
aa ln a aa
xalim1 x a
a a 1x a
a .a
aa ln a aa1
xalim1 x a
a a 1x a
a aa ln a aa1.a aa ln a
e .
27)xalim x a
x a 0
0F. I. ? Posons x a t . Alors on a
x a t et x a t 0.Ainsi, d’après 24)
xalim x a
x a
t0limt a a
t a a
t0lim a
1 ta 1
ta
.ta
1 ta 1
. 1a
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at0lim1 t
a 1
ta
.t0lim
ta
1 ta 1
a.
29)xlim ln1 2x ln1 3
x 0. F. I. ?
a) cas x . On a, d’après la relationt0lim
ln1 tt 1,
xlim ln1 2x ln1 3
x xlim ln 2x1 1
2x ln1 3x
xlim x ln 2 ln1 1
2x ln1 3x
xlim 3 ln 2
ln1 3x
3x
ln1 12x ln1
3x 3 ln 2. 1 0 3 ln 2.
b) Cas x . On a, comme dans a):
xlim ln1 2x ln1 3
x ln1 0 ln1 0 0.
32).x0lim
3 1 x 1 sinxln1 x
00
? On a, d’après les résultats précédents
x0lim
3 1 x 1x 1
3,
x0lim sinx
x 1 etx0lim
log1 xx 1.
Alors
x0lim
3 1 x 1 sinxln1 x
x0lim
3 1 x 1x sinx
xln1 x
x
13 1
1 2
3.
34)x0lim ln cos ax
ln cos bx 0
0F. I. ? On a, d’après les relations
t0lim
ln1 tt 1
t0lim sint
t et l’exercice 4.2:
x0lim ln cos ax
ln cos bx
x0lim
ln1 cos ax 1ln1 cos bx 1
x0lim
ln1 2sin2 ax2
ln1 2sin2 bx2
x0lim
ln1 2sin2 ax2
2sin2 ax2
2sin2 ax2
2sin2 bx2
2sin2 bx2
ln1 2sin2 bx2 1. a2
b2 . 1 a2
b2 .
36)xlim x2 ln cos x . 0 F. I? On a
xlim x2 ln cos x
xlim x2 ln1 cos x 1
xlim x2 ln1 2sin2
2x
xlim x2
ln1 2sin2 2x
2sin2 2x
2sin2 2x
38)xlim x2 4
1x 4
1x1 . 0? On a, d’après 24)
xlim x2 4
1x 4
1x1
xlim 4
1x1 .4
1xx1 1
1x2
Brochure d’exercices d’analyse mathématique I parOSMANOV H et KHELIFATI S
——————————————————————————————————-146
xlim 4
1x1 .
xlim4
1xx1 1
1xx 1
.xlim x
x 1 1. ln 4.1 ln 4.
42)x0lim 1 x x
1x 1 F. I. ? On a, d’après l’exercice 4.8):
x0lim 1 x x
1x e x0
lim1x 1x x1
.
Calculonsx0lim 1
x 1 x x 1 . On a
x0lim 1
x 1 x x 1 x0lim
1 x x 1 1 x x 1
x 1 x x 1
x0lim
1 x 1 x2
x 1 x x 1
x0lim
1 x1 1 xx 1 x x 1
x0lim 1 x
1 x x 1 1
2.
Par conséquentx0lim 1 x x
1x e
12 1
e.
46)x0lim cos 6xctg
2x 1? On a, comme pour 42) précédent:
x0lim cos 6xctg
2x e x0
lim ctg2xcos6x1
e x0
lim ctg2x2sin23x
e x0lim cos2x.
2sin23xsin2x e
2x0lim
sin23x3x2
.9x2
sin2x e18.
50)x0lim esh3x eshx
thx 0
0? On a, d’après 24)
x0lim esh3x eshx
thx
x0lim
esh3x 1 eshx 1thx
.sh3x. shx
sh3x. shx
x0lim esh3x 1
sh3x.
sh3x
thx
x0lim eshx 1
shx.
shx
thx 1.3 1.1 2,
carx0lim eshax 1
shax 1,
x0lim
shbx
thx
x0lim
shbxbx
xthx
b 1.1.b b.
51)xlim x2 lnchx2 ? On a, d’après l’exercice 4.2.4)
xlim x2 lnchx2
xlim ln ex2 ln ex2 ex
2
2
xlim ln 2ex2
ex2 ex2
lnxlim 2ex2
ex2 ex2 ln
xlim 2
1 e2x2 ln 2.
Exercice 4.13. Pour résoudre les exercices suivants, il sagit souvent de transformer lesexpressions données et utiliser les résultats déjà connus ou démontrés.
1x2
limarctg2 x sinx 22
x2 4 0
0F. I. ? On a, d’après
t0lim
arctgtt 1,
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x2lim
arctg2 x sinx 22
x2 4
x2lim
arctg2 xx2 4
sinx 22
x2 4
x2lim
arctg2 x2 x
. 1x 2
sinx 22
x 22. x 2
x 2 1
4 1.0 1
4.
3 On ax0lim
x3 10 x cos x sin3x
1 1 x3
x0limx3 10 x cos x sin3x1 1 x3
1 1 x3 1 1 x3
x0lim
x3 10 x cos x
x3 sin3xx3 1 1 x3 2.
10xlim x 2 logx 2 2x 1 logx 1 x logx F. I.
xlim x logx 2 2x logx 1 x logx 2 logx 2 2 logx 1
xlim log
x 2x2xx
x 12x1
xlim log
1 1x 1
x1
1 1x
x
x 2x 1
log ee . 1 0.
12x00lim x cos x
x00lim cos x
1x 1F. I. ex00
lim1x cos x 1
e
x00lim
2sin2 x2
x e
12 x00
limsin
x
2x
2
2
e12 1
e.
16x0lim eax ebx
sinax sinbx
x0lim eax 1 1 ebx
sinax sinbx.
Calculonsx0lim eax 1
sinax sinbxet
x0lim ebx 1
sinax sinbx. On a
x0lim eax 1
sinax sinbx
x0lim eax 1
ax . axsinax sinbx
x0lim eax 1
axx
2sin a b2
x cos a b2
x 1
a b x0lim eax 1
ax
a b2
x
sin a b2
x1
cos a b2
x
1a b
.a. 1. 11 a
a b.
De même, on trouve quex0lim ebx 1
sinax sinbx b
a b. En faisant la différence, on obtient
quex0lim eax ebx
sinax sinbx a
a b b
a b 1.
18x0lim xE 1
x . 0 F. I. ?
Cas x 0. On a 1x 1 E 1
x 1x . 0 1 x xE 1
x 1.
Puisquex0lim 1 x
x0lim 1 1, on déduit que
x0lim xE 1
x 1.
La démonstration est analogue si x 0.
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24 On axlim
3 x x2 1 3 x x2 1x
xlim
3 x 3 1 1 1x2 3 1 1 1
x2
x
xlim 1
3 x23 1 1 1
x2 3 1 1 1x2 0.2 0.
35)xlim
ln2 e3xln3 e2x
00F. I. ? Pour calculer cette limite transformons l’expression
sous la signe de la limite de la manière suivante:
xlim
ln2 e3xln3 e2x
xlim
ln e3x1 2e3x
ln e2x1 1e2x
xlim
3x ln1 2e3x
2x ln1 1e2x
xlim
x 3 ln1 2
e3x
x
x 2 ln1 3
e2x
x
3 02 0
32
.
36)x0lim ex2 cos x
sin2x 0
0? On sait que
x0lim ex2 1
x2 1 etx0lim x2
sin2x 1,
et, alors on a
x0lim ex2 cos x
sin2x
x0lim ex2 1 1 cos x
sin2x
x0lim ex2 1
x2 . x2
sin2x
2sin2 x2
sin2x
x0lim ex2 1
x2 .x0lim x2
sin2x
x0lim
2sin2 x2
4sin2 x2
cos2 x2 1 1
2 3
2.
Exercice 4.14.4
x0lim coslog|x| ? Soient les deux sous suites
xn 1
e2 2n
et xn 1
e2n , n 1.
On a, d’une partnlim xn
nlim xn
0 et, d’autre part
nlim fxn
nlim coslog|xn
| nlim cos
2 2n 0,
nlim fxn
nlim coslog|xn
| nlim cos 2n 1.
Alors, d’après la définition de la limite d’une fonction à l’aide des suites, la fonctionfx coslog|x| n’admet pas la limite en x 0.
Exercice 4.20.
1 y nlim n 1 xn x2
2n x 0.
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Si 0 x 1, alors
1 n 1 xn x2
2n n 1 1 1
2 3 3
Si 1 x 2, alors2
x n 1 xn x2
2n x n
1xn 1 x
2n x n 3 .
Si 2 x , alorsx2
2 n 1 xn x2
2n x2
2 n 2x2
n 2x
n 1 x2
2n 3 .
Puisquenlim n 3 1 , on déduit que
y
1 , si 0 x 1,
x , si 1 x 2,
x2
2, si 2 x .
.
3 y nlim
xtg2n x
4 x
tg2n x
4 1
x 0 ? On a plusieurs cas:
a premier cas: 0 tg2 4
x 1 si 0 x 1 et 4k 1 x 4k 1k 1,2,3, . . . . Alors
on a
y nlim
xtg2n x
4 x
tg2n x
4 1
x. 0 x
0 1 x car
nlim tg2n x
4 0.
b Deuxième cas: tg2n x4 1 si x 2k 1, k 1,2, . . .Dans ce cas, on trouve
y nlim
xtg2n x
4 x
tg2n x
4 1
x x
2.
c Troisième cas: tg2 x4 1 si 4k 3 x 4k 2, 4k 2 x 4k 1, k 1,2, . . .
Alors
y nlim
xtg2n x
4 x
tg2n x
4 1
nlim
x x
tg2n x
4
1 1tg
2n x
4
x 01 0
x.
Ainsi
y
x si 0 x 1 et 4k 1 x 4k 1,k 1,2, . . . ,
x x2
si x 2k 1,k 1,2, . . . ,
x si 4k 3 x 4k 2,4k 2 x 4k 1,k 1,2, . . .
Exercice 4.21.
1nlim xn1
n 1! xn2
n 2!. . . x2n
2n! ? D’après l’exercice 4.19 2 , on a
nlim yn ex , si yn 1 x
1! x2
2!. . . xn
n!x R.
Alors
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xn1
n 1! xn2
n 2!. . . x2n
2n! y2n yn.
Et donc
nlim xn1
n 1! xn2
n 2!. . . x2n
2n!
nlim y2n yn
nlim y2n
nlim y2n ex ex 0.
3 On a, en appliquant successivement la formule sin2x 2sinx cos x :
x 0, y nlim cos x
2cos x
4. . . cos x
2n nlim
cos x2
cos x4
. . . cos x2n . 2 sin x
2n
2sin x2n
nlim
cos x2
cos x4
. . . cos x2n1 . sin x
2n1
2sin x2n
nlim
cos x2
cos x4
. . . cos x2n2 . sin x
2n2
22 sin x2n
. . .nlim sinx
2n sin x2n
sinxx
nlim
x2n
sin x2n
sinxx .
Exercice 4.24.i1 fx sin2 1
x 2 arctg 1
x . Comme 0 sin2 1x 1 et 1 2
arctg 1x 1,
on a, d’une part, pour xn 1n , n 1,
nlim sin2 1
xn 0 infsin2 1
x
et, d’autre part:nlim 2
arctg 1xn 2 arctg 1 inf 2
arctg 1x , donc,
x0
lim fx nlim sin2 1
xn 2 arctg 1
xn 0 1 1.
Une démonstration analogue donne, pour xn 1
2 2k
, n 1 :
x0lim fx
nlim sin2 1
xn
2 arctg 1
xn 1 1 2.
2) fx 2 x2cos 1x . On a, pour xn 1
1 2nn 1,2,3, . . .
nlim cos 1
xn 1 infcos 1
x et limx02 x2 2. Alors
x0
limf x nlim 2 1
21 2n2cos1 2n 2.
Une démonstration analogue donne pour xn 12n
, n 1.
x0lim fx
nlim 2 1
42n2 cos 2n 2.1 2.
ii) 1). fx sinx, x . On sait que 1 sinx 1. Considérons les deux suites de laforme:
xn
2 2n et xn
2 2n, n 1 On a, d’une part
nlim xn
nlim xn
et, d’autre partfxn sin
2 2n sin
2 1 et fxn
sin 2 2n sin
2 1.
Par conséquentxlim fx 1 et
xlim fx 1.
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4) fx x1 x2 sin2x
, x 0. Il est évident que fx 0, x 0. Comme dans ii) 1)
choisissons deux suites de la forme xn 2n et xn
2 2n. On a
nlim xn
nlim xn
,
et
nlim fxn
nlim 2n
1 2n2 sin22n
1 0 et
nlim fxn
nlim
2 2n
1 2 2n2 sin2
2 2n
nlim
2 2n
1 2 2n2
0.1 0
Par conséquentxlim fx et
xlim fx 0.
Exercice 4.27.i) 1) 2x x2 Ox x 0? Comme 2x x2
x |2 x| 2 |x| 3 dans le
voisinage 1,1 de x 0, alors 2x x2
x est bornée dans ce voisinage. Ce qui signifie que
2x x2 Ox (x 0.
3) x sin 1x O|x| x 0? Comme
x sin 1x
|x| sin 1
x 1 x 0, alors
x sin 1x O|x| x 0.
5) arctg 1x O1 x 0? Puisque arctg: R ]
2,
2, alors
u R arctgu 2
. Donc arctg 1x
2(x 0 et, alors arctg 1
x O1 x 0.
6) 1 xn 1 nx ox x 0? On a, pour tout n N :
1 xn 1 nx nn 12
x2 nn 1n 23!
x3 . . .xn
1 nx xnn 1
2x nn 1n 2
3!x2 . . .xn1.
Commex0lim
nn 12
x nn 1n 23!
x2 . . .xn1 0, alors
1 xn 1 nx ox x 0.
ii) 1) 2x3 3x2 1 Ox3 x ? Comme x , on peut considérer que x 1 et,alors: x 1,, on a
2x3 3x2 1x3 2 3
x 1x3 2 3
x 1x3 2 3 1 6.
Donc 2x3 3x2 1 Ox3 x .
Exercice 4.31.2) x x x 8 x x 0? Il suffit de montrer pour cela que:
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x0lim
x x x
8 x 1. Nous avons, d’après l’exercice 4.2., 2):
x0lim
x x x
8 x
x0lim
x 4 x x 1
8 x
x0lim
8 x 4 x3 x 1
8 x
x0lim 4 x3 x 1 1.
Exercice 4.33.1)i) En général ln f n’est pas équivalente à ln g. En effet considérons l’exemple suivant
fx 1 x2 sin2x et gx 1 x, x0 0. On a, d’une part:
x0lim
fxgx
x0lim
1 x2 sin2x
1 x 1,
donc f g x 0.D’autre part, ln fx ln1 x
2 sin2x
0 x
2 sin2x et ln gx ln1 x
0 x et alors
x0lim
ln fxlnx
x0lim
ln1 x2 sin2x
ln1 x
x0lim
x2 sin2x
x x0lim 1
2 sinx
x sinx 12
;
c’est à dire que ln fx et ln gx ne sont pas équivalentes au point x0 0.
Exercice 4.34. x2 px q x p2 O 1
x x ? Comme
x2 px q x p2
x2 px q x p
2 x2 px q x p
2
x2 px q x p2
x2 px q x p
22
x2 px q x p2
q p2
4x2 px q x p
2
,
comme x 0, on déduit que
et x2 px q x p2 1
x .q p2
4
1 px
qx2 1 p
2x
.
Orxlim
q p2
4
1 px
qx2 1 p
2x
q p2
42
, et donc
q p2
4
1 px
qx2 1 p
2x
C au voisinage de .
De cette façon nous avons démontré que x2 px q x p2 C. 1
x pour
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x . Ce qui signifie que x2 px q x p2 O 1
x x .
Exercice 4.39. Les fonctions fx 1 x , gx a1 k x x 1 a 0 sontinfiniment petites (x 1 car
x1lim fx
x1lim gx 0. Montrons qu’elles sont du même ordre en
calculant
x1lim
fxgx
x0lim 1 x
a1 k x . Pour cela, posons x tk. Et, alors on a x 1 t 1
et
x1lim
fxgx
t1lim 1 tk
a1 t
t1lim1 t1 t t2 . . .tk1
a1 t
t1lim 1 t t2 . . .tk1
a ka 0.
Par conséquent les deux fonctions fx et gx sont des fonctions infiniment petites demême ordre. Si a k , alors elles seront équivalentes.
Exercice 4.41.4) fx ln1 x sinx x 0 . Comme ln1 x sinx
0 x sinx , alors
x0lim
fxx
x0lim
ln1 x sinx x
x0lim
x sinxx
x0lim
x sinxx
x0lim x
xsinx
x
x0lim x1 sinx
x 1 si 1.
Ainsi f est équivalente à x en x0 0, c’est à dire elle est un infiniment petit d’ordre 1.
Exercice 4.42. Soit gx x p.p.fx.
3) fx 2x x x , x 0 . On cherche les valeurs de et pour lesquelles
f g x 0. On a fx 8 x 2 4 x3 x 1 . Donc
x0lim
fxgx
x0lim x
18
x. 2 4 x3 x 1
x0lim 1 x
18 .
x0lim 2 4 x3 x 1 1
x0lim x
18 1 ,
si 1 et 18
. Par conséquent f g x 0 , si 1 et 18
, c’est à dire
que p.p.fx 8 x .
5) fx 2ex4 cos x 12 x5 2, x 0. On a
x0lim
fxgx
x0lim
2ex4 cos x 12 x5 2x
x0lim
2ex4 1 cos x 12 x5
x
x0lim
2x4 ox4 x4
4 ox4 x5
x
1
x0lim x4
x0lim 21 o1 1
4 o1 x
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94 x0
lim x4 1 , si 49
et 4.
Ainsi nous avons démontré que si 49
et 4 , alors f g x 0, c’est à dire que
p.p.fx 49
x4.
9) fx sin22x arcsin2x 2arctgx2, x 0. On a
x0lim
fxgx
x0lim
sin22x arcsin2x 2arctgx2
x
x0lim2x ox2 x ox2 2x2 ox2
x
x0lim
x22 o12 1 o1 21 o1x
7
x0lim x2 1, si 7 et 2.
Par conséquent f g x 0, si 7 et 2, c’est à dire p.p.fx 7x2, x 0.
13) fx a x3 a a 0 x 0. On a
x0lim
fxx
x0lim
a x3 ax
1
x0lim a x3 a
x a x3 a
1
x0lim x3
a x3 a 1 si 1
2 aet 3.
Ainsi p.p. fx x3
2 a, x 0.
14) fx 3 x2 x x 0. On ax0lim
fxx
x0lim
3 x2 xx
.
Posons x t6, x 0 t 0, alors, on a
x0lim
fxx
1
t0lim t4 t3
t6 1
t0lim t 1t36 1 si 1
2et 1.
Donc p.p. fx x , x 0.
Exercice 4.43. 3) fx logx, gx x 1, x 1. On a log1 x 11 x 1 et
x1lim
logxx 1
x1lim
log1 x 1x 1
x1lim x 1x 1
1 si 1.
Donc p.p.fx x 1, x 1.
Exercice 4.44.
5) fx 2x x x , gx x, x . Comme
fx x 2 1x
1x3 , alors
xlim
fxgx
xlim x
12
x xlim 2 1
x 1x3 2
xlim x
12 1,
si 2 et 12
. Alors f g x , si 2 et 12
, c’est à dire que
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p.p.fx 2x , x .
Exercice 4.46.
3) fx x3 1 x
, gx 11 x
, x 1. On a
x1lim
x3 1 x
11 x
x1lim x 1 x
13 1
si 1 et 13
. Donc p.p.fx 11 x
, x 1.
Exercice 4.47.1) On a arcsin t
0 t et log1 u
0 u. Posons t x
1 x2, on a
x t1 t2
et x 0 t 0 et, alors
x0lim
arcsin x1 x2
log1 x
t0lim t t
1 t2
1.
4) On a cos x cos 2x1 cos x
2sin 3x
2sin x
2
1 cos x 0 2
3x2 x
2x2
2x0 3.
15)x0lim
x3 10 x cos x sin3x
1 1 x3 0
0?.
On a sin3x x3 ox3 , 1 x3 1 x3
2 ox3.
Par conséquent
x0lim
x3 10 x cos x sin3x
1 1 x3
x0lim
x3 10 x cos x x3 ox3
1 1 x3
2 ox3
x0lim
x3 10 x cos x 1 o1
x3 12 o1
x0lim
10 x cos x 1 o1
12 o1
2.
16)x0lim
x arcsin x e7 3 x 1
tg 3 x ln1 3x 0
0? Comme x 0 3 x 0, on déduit que
arcsin x0 x , tg 3 x
0 3 x , et e7 3 x 1
0 7 3 x , ln1 3x
0 3x,
et alors, d’après les opérations sur les équivalences:
x0lim
x arcsin x e7 3 x 1
tg 3 x ln1 3x
x0lim
x x 7 3 x 3 x 3x
x0lim
7x 3 x3x 3 x
73
.
17)x0limsin2x 2tgx2 1 cos 2x3
tg76x sin6x
00
? On obtient après transformations sur les
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fonctions trigonométriques:
x0limsin2x 2tgx2 1 cos 2x3
tg76x sin6x
x0lim2sinx cos x 2sinx
cos x 2 8sin6x
tg76x sin6x
x0lim
4sin2xcos2x 12 8sin6x cos2x
tg76x sin6xcos2x
x0lim
4sin6x1 2cos2x
tg76x sin6xcos2x
x0lim
4x ox61 2cos2x6x ox7 x ox6 cos2x
x0lim
4x61 o161 2cos2x6x66x ox x61 o1 cos2x
x0lim
41 o161 2cos2x666x ox 1 o1 cos2x
4130 1
12.
Remarque. On verra plus loin que cette cette limite se calcule plus facilement à l’aide desdéveloppements limités (voir Chapitre VI, exercice 6.19).
Exercice 4.48.
3) fx sinx
x si x 0
1 si x 0La fonction est continue au point x 0, si
x0lim fx f0 1. Etudions pour cela les limites à droite et à gauche au point x 0.
On a : f0 0 x00lim sinx
x x00lim sinx
x 1
et f0 0 x00lim sinx
x x00lim sinx
x 1.
C’est à dire que f0 0 f0 0 1 f0. Donc la f est continue au point x 0. Il estclair que f est continue en tout point x 0. Donc f CR.
10) y xE 1
x si x 0
1 si x 0.Si x 1, alors
(0 1x 1 E 1
x 0 xE 1x 0.
Donc f est continue sur 1,. De même, si x 1, alors1 1
x 0 E 1x 1 xE 1
x x.Donc f est continue sur ,1.Si 1
k 1 x 1
kalors
k 1x k 1 E 1
x k xE 1x kx.
Donc f est continue sur 1k 1
, 1k k N. De même, si 1
k x 1
k 1, alors
k 1 1x k E 1
x k 1 xE 1x k 1x.
Donc f est continue sur 1k
, 1k 1
k N.Etudions la continuité au point x0 0. Pour cela, on calcule la limite en ce point. Posons,
dans ce cas: x 1u . Puisque u Eu , 0 1, alors on a
x 0 u
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et
x0lim fx
x0lim xE 1
x ulim u
u 1.
C’est à dire que f est continue au poin x0 0. Il reste à étudier la continuité aux pointsxk 1
k, k 1,2, . . . . On a pour ces points:
x 1k0
lim xE 1x
1kk 1 1 1
ket
x 1k0
lim xE 1x
1k
.k 1.
Ainsi les points xk 1k
, k 1,2, . . . sont des points de discontinuité de première
espèce. Ainsi, la fonction fx xE 1x est continue sur R 1
k, k Z
11) y E 1x . La démonstration est analogue à celle de l’exercice 4.48.10), sauf au point
x0 0. En effet, en ce point, on ax0lim E 1
x . Alors x 0 est le point de discontinuité de
deuxième espèce. Donc la fonction fx E 1x est continue sur R 1
k, k Z .
13) y sgnsinx. On a
sgnsinx
1 si 2k x 2k 1,
0 si x k,
1 si 2k 1 x 2k 2 k Z
Donc f est constante sur les intervalles 2k x 2k 1 et2k 1 x 2k 2, k Z, donc continue. Etudions maintenant la continuité aux pointsxk k k Z. Pour cela posons x k où 0 et calculonssgnsink sgnsink . On a:
sgnsink 0, sgnsink sgncos k sin sgn1k sin 1.Ainsi sgnsink sgnsink 1 pour 0,1. D’où y sgnsinx est
discontinue aux points xk k k 0,1,2, . . . . Donc f est continue sur R k, k Z
14) y e 1
x2 si x 0
0 si x 0. Sur R, la fonction y e
1x2 est continue, car elle est
composée de fonctions usuelles continues. Pour x0 0, on a f0 0 et fx x0lim e
1x2 0,
carx0lim 1
x2 . Alors fa fonction f est continue sur R.
Exercice 4.49.
2) y x2 4x 2
si x 2
a si x 2., x0 2. On a :
x2lim x2 4
x 2
x2lim x 2 4.
Donc f est continue au point si a 4 et discontinue en ce point si a 4.
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6) fx x sin 1
x , x 0
a, x 0, x0 0 On a pour tout x R
0 x sin 1x |x|
x0 0.
Il suffit alors de poser a 0 pour que la fonction f soit continue en x 0.
7) y sin 1
x si x 0
a si x 0, x0 0, a R. Cherchons la limite de f au point
x 0. Considérons les deux sous suites suivantesxn 1
2 2n n
0 et xn 1
2n n 0.
Alors
nlim fxn
nlim sin
2 2n 1 et
nlim fxn
nlim sin2n 0.
Doncx0lim fx n’existe pas. Alors le point x 0 est un point de discontinuité de f pour
n’importe quelle valeur de a.
8) fx cos x, x 0
ax 1, x 0,,x0 0 On a:
f0 0x00 lim fx
x00lim cos x 1 et f0 0
x00 lim fx
x00lim ax 1 a.
Si a 1, alors f0 0 f0 0 f0 1. Donc pour a 1, la fonction seraitcontinue en x 0.
Exercice 4.50.
5) fx
x cos x2
sinxx
2, 3
2,x 0,x
a x 0
b x .
La fonction f est continue sur 2
,00,, 32 car elle est composée de fonctions
usuelles continues. Aux points x 0 et x , on a:
x0lim fx
x0lim
x cos x2
sinx
x0lim x
sinx.
x0lim cos x
2 1
et en posant t x avec x t 0 :
xlim fx
xlim
x cos x2
sinx
t0limt cos
2 t
2
sin t
t0limt sin t
2 sin t
t0lim t
sin t.
sin t2
t2
.2. t
2.
Alors pour a 1 et b 2
, la fonction sera continue dans 2
, 32.
Exercice 4.51.
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1) . fx arctg 1x 2
en x 2. Commex2lim 1
x 2 et
x2lim 1
x 2 , alors
x2lim fx
x2limarctg 1
x 2
2et
x2lim fx
x2limarctg 1
x 2
2.
Donc f2 0 2 f2 0
2. Alors la fonction f n’a pas la limite au point x 2.
On ne peut prolonger cette fonction par continuité au point x 2.
4) fx log1 x log1 xx en x 0. On a
x0lim fx
x0lim
log1 x log1 xx
x0lim log1 x
1x
x0lim log1 x
1x 1 1 2.
En posant f0 2, alors la fonction f est prolongeable par continuité au point x 0.
5) fx sinx. sin 1x en x 0. On a
x0lim fx
x0lim sinx. sin 1
x x0lim sinx
x .x sin 1x
x0lim sinx
x .x0lim x sin 1
x 1.0 0,
car la fonction y sin 1x est bornée et
x0lim x 0. En posant f0 0, alors la fonction f est
prolongeable par continuité au point x 0.
Exercice 4.52.5) fx sgnsin x . On a, pour x 0 : (sin x 0 x k k 1,2, . . . . Et
alors, d’après l’exercice 4.48, 12), xk 1kk 1,2, . . . sont des points de discontinuité de
première espèce. Au point x 0 la limite de la fonction n’existe pas. Ainsi x 0 est un pointde discontinuité de deuxième espèce.
6) fx 1x2x 1
. La fonction n’est pas définie aux points x 0 et x 1. On a
x0lim fx et
x1lim fx . Alors x 0 et x 1 sont des points de discontinuité de
deuxième espèce. Ailleurs elle est continue, c’est à dire sur R 0,1.
7) fx 1 x1 x3 . La fonction n’est pas définie au point x 1, mais on a:
x1lim fx
x1lim 1 x
1 x3 1 x
1 x1 x x2
x1lim 1
1 x x2 1.
Alors x 1 est un point de discontinuité éliminable. Ailleurs elle est continue, c’est à diresur R 1.
14) fx .
1x 1
, x 0,
x 12, 0 x 2,
1 x, 2 x.
Etudions la continuité aux points x 0 et x 2.
Au point x 0, on af0 0
x00lim fx
x00lim x 12 1, f0 0
x00lim fx
x00lim 1
x 1 1 et f0 1.
Alors x 0 est un point de discontinuité de première espèce.Au point x 2, on a
f2 0 x20lim fx
x20lim 1 x 1, f2 0
x20lim fx
x20lim x 12 9
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et f2 9. Puisque f2 0 f2 0, alors x 2 est un point de discontinuité depremière espèce.
Ailleurs elle est continue, c’est à dire sur R 0,2.
17) fx 1x Ex
. Les points pour lesquels x Ex 0, c’est à dire les points
x k Z, sont des points de discontinuité de deuxième espèce, car dans ces cas
xklim 1
x Ex . Pour x Z, la fonction x Ex x k si x k,k 1 est continue. Donc
l’ensemble Z est l’ensemble de points de discontinuité, de deuxième espèce, de la fonction.
Exercice 4.56.2) fx sgnx et gx x1 x2. On a, d’une part
fgx sgnx1 x2
1 si 1 x 0 ou 1 x
0 si x 0, 1,1
1 si 0 x 1 ou x 1De cette facon on trouve, d’après les propriétés de la fonction y sgnx, que
x 0, x 1, x 1 sont des points de discontinuité de première espèce.D’autre part
gfx gsgnx
g1 0 si x 0 ,
g0 0 si x 0
g1 0 si 0 x,
donc gfx 0, x R, c’est à dire constante, donc elle est continue sur R.
Exercice 4.58. Soit f une fonction monotone et bornée sur un intervalle a,b et soit x0 aun point de discontinuité de f. Supposons f croissante. Alors on a
fx fx0, x a,x0,
c’est à dire que f majorée et croissante sur a,x0, et doncxx00lim fx fx0 0 fx0
existe et est finie d’après le théorème de convergence des fonctions monotones bornées. Sifx0 0 fx0, alors serait continue à gauche, sinon on aurait un saut égal àf fx0 fx0 0. De manière analogue, on montre que
xx00lim fx fx0 0 fx0.
En conclusion x0 est un point de discontinuité de première espèce. La démonstration estanalogue pour les autres cas.
Exercice 4.65.1) y x2. La fonction est continue sur R , strictement décroissante sur , 0 et
strictement croissante sur 0,. Alors dans chacun de ces intervalles, la fonction admet uneréciproque: x y 0 y et x y 0 y qui sont des branches continuesunivoques.
5) y cos x, x R. La fonction y cos x est continue et strictement monotone surk x k 1 (décroissante sur 2k x 2k 1 et croissantesur 2k 1 x 2k 2, k 0,1,2, . . . , alors elle admet une réciproque f1y sur
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chacun de ces intervalles. Puisque limxk
cos x 1k etxk1
lim cos x 1k1 , alors la
fonction inverse f1y existe sur 1,1.On sait que x arccos y, y 1,1 y cos x,x 0,. Comme cosinus est paire
et périodique de période 2, alors x arccos y 2k, k Z, est aussi solution dans R. Ainsil’ensemble des solutions dans R de l’équation y 1,1, y cos x s’écrit en fonction dearccos y comme suit
Arccosy arccos y 2k, k Z.
Exercice 4.74.4) fx n x 0 x . Soient 0 arbitraire et x1 0, x2 0 arbitraires. On a
deux cas possibles:i) Supposons que 0 x1 n et 0 x2 n, alors
0 n x1 , 0 n x2 et |x1 x2 | n .Donc, pour n, |x1 x2 | |fx1 fx2| n x1 n x2 .ii) Supposons maintenant que au moins l’un des x1 ou x2 est supérieur ou égal à n. Dans
ce cas, nous auronsn x1
n1 n x1n2.x2 n x1
n3.x22 . . . n x2
n1 n1.En tenant compte de cette inégalité, on déduit que:
fx1 f x2 n x1 n x2
|x1 x2 |n x1
n1 n x1n2.x2 n x1
n3.x22 . . . n x2
n1 |x1 x2 |
n1
si |x1 x2 | n .Alors la fonction est uniformément continue sur l’ensemble 0,. .
Exercice 4.76.2) fx x
4 x2 1 x 1. La fonction f définie et continue sur le segment 1,1.
D’après le théorème de Cantor, f est uniformement continue sur 1,1.
3) fx x2. i) Sur , . La fonction fx x2 est continue sur le segment , , doncelle est uniformément continue sur ce segment, d’après le théorème de Cantor. Par conséquent,elle est uniformément sur l’intervalle , , .
ii) Sur R. Soit les deux suites de points xn n 1
n et xn n, n 1. On a, d’une part
xn xn
1n n 0,
et, d’autre part:
fxn fxn
n2 2 1n2 n2 2 1
n2 2 pour 0 2.
Cela signifie que fx x2 n’est pas uniformement continue sur R.
4) fx logx 0 x 1. Soient les suites définies par xn en, xn
en1, n 1 .Alors on a
xn xn
|en en1 | e 1en1 n
0.
et fxn f xn
|n n 1| 1 si 0,1. Il en résulte que fx logx n’estpas uniformément continue sur 0,1.
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7) fx arctgx, x ,. On a, d’après la relation arctgx |x|, x R :
|fx fx | arctgx arctgx arctg x x
1 x x x x
1 x x |x x | .
Alors 0 0|fx fx | , x ,x R tels que: |x x | et x .x 0.
Donc f est uniformement continue sur R.Remarque. La fonction fx arctgx est lipchitzienne sur R, donc uniformément continue.
Exercice 4.79.i) a) Si f est uniformément continue sur a,b, alors 0, 0, x ,x a,b: |x x | |fx fx | .
Montrons que f vérifie le critère de Cauchy en a. Alors pour tout x ,x a,b vérifiant:|x a|
2et |x a|
2
on a |x x | |x a a x | |x a| |x a| .D’après la définition (*) de la continuité uniforme, il découle que |fx fx | .C’est à
dire que f vérifie le critère de Cauchy en a. Alorsxa0lim fx A existe. De la même manière, on
démontre quexb0lim fx B existe.
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Chapitre V. Fonction dérivables. Rappels de cours.
V.1. Dérivée d’une fonction en un point.Définition. Soit f une fonction définie dans un voisinage du point x0 R. On dit que f est
dérivable en x0 si la limite
xx0
limfx fx0
x x0
existe et est finie.Cette limite est appelée dérivée de f au point x0 et on la note f
x0.
V.2.Autres ecritures de la dérivée. En posant x x0 x h appelée accroissement dela variable x en x0, on obtient x x0 x x0 h et la dérivée s’ecrit alors
fx0
x0lim
fx0 x fx0x
h0lim
fx0 h fx0h
.
Exemple. Montrons que fx cos x est dérivable en tout point x R. En effet, soit x Ret x un accroissement de x. On a, d’après la continuité de la fonction y sinx et la relation
t0lim sin t
t 1 :
x0lim
fx x fxx
x0lim
cosx x cos xx
x0lim
sinx x2 sin x
2x
x0lim sinx x
2.x0lim
sin x2x2
sinx.
Donc f x sinx, x R.
V.3. Différentiabilité.Définition .On dit qu’une fonction f est différentiable au point x0 R si1) elle est définie au voisinage du point x0,2) il existe un nombre A R et une fonction tels que l’accroissement f de f
correspondant à l’accroissement x de x s’écrit:y fx fx x fx A.x x.x
avecx0
limx 0.
La proposition suivante est vraie:Pour qu’une fonction f soit différentiable au point x, il faut et il suffit qu’elle soit dérivable
en ce point.On démontre que si f est dérivable en x , alors:1) A f x et on a la relation suivante:
y fx f x.x x.x;2) f est continue en x (l’inverse est faux, par exemple y |x| est continue en x 0, mais elle
n’est pas dérivable en ce point (voir le noV.5 suivant).
V.4.Différentielle.
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Définition. L’expression f x.x est appelée différentielle de f au point x et on la notecomme suit:
dfx f xxEn particulier, si y fx x, alors dx dfx x x 1.x x. D’où l’on peut écrire
la différentielle comme suit: dfx f xdx et la dérivée f x dfxdx
ou bien
f x dydx
.
V.5. Dérivées à droite et à gauche en un point.Définition. On dit que la fonction f est dérivable à droite (resp. à gauche) en x0 R si le
rapportfx fx0
x x0admet une limite (finie) à droite (resp.à gauche).
On les désigne par:
f x0 xx00lim
fx fx0x x0
et f x0 xx00lim
fx fx0x x0
.
La proposition suivante est vraie:Pour que f soit dérivable en x0 il faut et il suffit que f x0 et f x0 existent et que
f x0 f x0.
Exemple . La fonction y |x|, définie sur R, possède une dérivée à droite et une dérivée àgauche au point x 0 qui sont égales à 1 et à 1. En effet :
f 0 x00lim
fx f0x 0
x00lim |x|
x x00lim x
x 1,
f 0 x00lim
fx f0x 0
x00lim |x|
x x00lim x
x 1.
Puisque f x0 f x0, alors la fonction y |x| n’est pas dérivable au point x 0, maiselle continue en ce point.
V.6. Dérivées infinies. On dit que f admet une dérivée infinie en x0 si la dérivée à droite oula dérivée à gauche en x0 est infinie:
f x0 xx0lim
fx fx0x x0
,
ou f x0 xx0lim
fx fx0x x0
.
Remarque. f n’est pas dérivable en x0 si l’une des conditions est vérifiée:
i f x0, f x0 existent et f x0 f x0,
ii f x0 ou f x0 n’existe pas,
iii f x0 ou f x0 .
V.7. Interprétations physique et géométrique de la dérivée.i) Interprétation physique. Soit un point matériel se déplaçant sur une droite considérée
comme axe des temps t. En fixant une origine du temps t 0 et en désignant par d ft ladistance parcourue par le point matériel pendant le temps t, alors la vitesse v à l’instant t t 0est donnée par la dérivée: vt f t.
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ii) Interprétation géométrique. L’existence de la dérivée d’une fonction f au point x0 estéquivalente à l’existence d’une droite tangente à la courbe C d’équation y fx au point decoordonnées Mx0, fx0 C. De même, l’existence d’une dérivée à droite ou à gauche estéquivalente à l’existence d’une demi-tangente à droite ou à gauche.
V.8. Opérations sur les dérivées.Si c est constante et y fx et y gx sont des fonctions dérivables , alors on a:1 c 0;2 cf cf ;3 f g f g;4fg f g fg ;
5 fg f g fg
g2 v 0;
6 fn nfn1f ;7 Dérivée d’une fonction composée. Si y fx et z gy sont dérivables
respectivement aux points x0 et y0 fx0 , alors la composée gof est dérivable en x0 et on a
gof x0 gy0. f x0.
De manière symbolique on note zx zy
yx ou
dgofdx
x dgdyy
dydxx.
8) Dérivée de l’inverse d’une fonction. Soient f : X Y une fonction inversible etf1 : Y X , son inverse, continues respectivement en x0 X et en y0 fx0. Si f estdérivable en x0 telle que f x0 0, alors f1 est dérivable au point y0 fx0 et on a
f1 y0 1f x0
.
Remarque. La propriété 8) reste vraie si on change les hypothèses comme suit: soitf : X Y strictement monotone et continue dans un voisinage V de x0 X telle que f x0existe et f x0 0. En effet, d’après le théorème de la fonction inverse ( voir chapitre IV sur lesfonctions continues), f est inversible de V sur W fV et son inverse f1 est strictementmonotone et continue sur W et dérivable en y fx0.
V.9. Tables dés dérivées des fonctions usuelles et élémentaires. A l’aide de la définition etdes propriétés des dérivées d’une fonction, on démontre que les fonctions usuelles etélémentaires sont dérivables dans les intervalles indiqués. Les dérivées sont dressées dans unetable qu’on doit retenir.
1 x x1, R et x 0.2 ax ax ln a a 0, ex ex.3 logax 1
x ln aa 0, a 1, x 0, ln|x| 1
x .
4 sinx cos x, x R, cos x sinx, x R.5tgx 1
cos2x, x
2 k, ctg x 1
sin2x, x k, k Z.
6 arcsin x 11 x2
, |x| 1, arccos x 11 x2
, |x| 1.
7 arctgx 11 x2 , x R , arcctgx 1
1 x2 , x R.
8 shx chx, x R , chx shx, x R.9 thx 1
ch2x
, x R, cthx 1sh
2x
, x 0.
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10) argshx 11 x2
, x R, argchx 1x2 1
, x 1 ,
11) arcthx 11 x2 , |x| 1 , argcthx 1
1 x2 , |x| 1.
V.10. Dérivée logarithmique. Pour faciliter certains calculs de dérivées, on utilise la dérivéelogarithmique qui est exprimée par le théorème suivant:
Théorème. Soit f une fonction dérivable en x0 et fx0 0. Alors la fonction y log|fx|est dérivable en x0 et on a :
log|fx|xx0
f x0fx0
.
La dérivée logarithmique s’applique au calcul de dérivées de fonctions du typey xx, x 0. En effet, soient , deux fonctions dérivables sur un intervalle I etx 0. Alors la fonction y xx est dérivable sur I. Pour calculer sa dérivée, utilisons
la dérivée logarithmique. On a :
logy x logx et logy y y
x logx xxx
,
et donc
y xx x logx xxx
.
Par exemple, si y xsin x, x 0, alors :
y xsin x xsin x cos x. logx sinxx .
V.11. Dérivées d’ordres supérieurs. Soit f une fonction dérivable sur un intervalle X R,c’est à dire dérivable en tout point de X. On peut définir alors une nouvelle fonction définie sur Xpar y f x appelée dérivée première de f sur X. De même, si f est dérivable sur X, on peutdéfinir la fonction y f x f x , appelée dérivée seconde ou d’ordre deux. Parinduction, on définie la dérivée d’ordre n N par fnx fn1x , x X, notée aussi
pardnfdxn
dyn
dxn .
Une fonction est dite de classe CnX si elle est dérivable sur X jusqu’à l’ordre n et sa dérivéen ième est continue sur X. En particulier une fonction est de classe CX si elle admet des
dérivées de tout ordre sur X, c’est à dire que CX n1
CnX.
V.12. Opérations sur les dérivées d’ordres supérieurs. Soient f,g deux fonctionsdérivables jusqu’à l’ordre n N, alors les relations suivantes sont vraies:
1) f gn fn gn; 2) fn fn R;3) f.gn
n
k0
Cnk fnkgk formule de Leibnitz).
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V.13. Différentielles d’ordres supérieurs. Soit y fx une fonction différentiable sur unensemble X R. Alors, pour tout x X, la différentielle en ce point correspondant àl’accroissement h R tel que x h X est donnée par la fonction linéaire:
dfx : h dfxh f xdxh f xh.
Supposons que f est deux fois dérivables sur l’ensemble X. Alors sa différentielle en toutpoint x X, dfx f xdx, est appelée différentielle première de f. Comme f est aussidérivable sur X, alors la fonction dy df est dérivable en tout point x X, c’est à diredifférentiable en tout point x X. Dans ce cas, sa différentielle s’écrit:
ddy ddf f xdx dx.
Sachant que dx ne dépend pas de x, donc f xdx f xdx, on obtient alors
ddy ddf f xdxdx f xdx2,
qu’on note d2y d2fx f xdx2, appelée différentielle d’ordre deux de f surl’ensemble X. De la même manière, si f est trois fois dérivable sur X, on définit la différentielled’ordre trois par d3y f xdx3. Et de façon générale, par induction , on a la définitionsuivante:
Définition. Soit f une fonction dérivable jusqu’à l’ordre n N sur l’ensemble X R. Ondéfinit la différentielle d’ordre n de f sur X par:
d1y dy, dny ddn1y fnxdxn,n 2,
qu’on note dny dnf fnxdxn.
5.14. Théorèmes fondamentaux des fonctions dérivables. Les théorèmes suivants sontvrais et vu leur importance, ils doivent être bien assimilés.
Théorème 1. (Théorème de Fermat). Soit f une fonction définie et dérivable sur unintervalle ouvert I a,b. Si f atteint son maximum ou son minimum en un point c a,b,alors f c 0.
Comme conséquence du théorème de Fermat, on a le théorème de Rolle suivant qui est à labase de nombreux résultats théoriques et pratiques:
Théorème 2. (Théorème de Rolle). Soit f une fonction vérifiant les conditions suivantes:1) f est définie et continue sur le segment a,b ;2) f est dérivable sur l’intervalle ouvert a,b;3) fa fb.Alors il existe un point c a,b tel que f c 0.
Géométriquement, le théorème de Rolle signifie que le graphe de f admet au point c, fcune tangente parallèle à l’axe des abscisses Ox.
Remarques.1) Les conditions citées dans le théorème précédent sont toutes essentielles. Si l’une d’elles
n’est pas vérifiée, alors le théorème s’avère faux.2) Le théorème de Rolle signifie aussi que si f admet deux racines x1 et x2, alors la fonction f
admet une racine comprise entre x1 et x2.
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Comme conséquence du théorème de Rolle, on a le théorème de Cauchy suivant, connu sousle nom de la formule généralisée des accroissements finis.
Théorème 3. (Formule généralisée des accroissements finis). Soient f,g deux fonctionsvérifiant les conditions suivantes:
1) f et g sont définies et continues sur le segment a,b;2) f et g sont dérivables sur l’intervalle ouvert a,b;3) gx 0, x a,b.Alors il existe un point c a,b tel que :
fb fagb ga
f cgc
.
Comme cas particulier de la formule généralisée des accroissements finis, on a la formule desaccroissements finis qui a de nombreuses applications théoriques et pratiques.
Théorème 4. (Formule des accroissements finis (A.F.) ou de la moyenne). Soit f unefonction vérifiant les conditions suivantes :
1) f est définie et continue sur a,b;2) f est dérivable sur a,b ;Alors il existe un point c a,b tel que :
fb fa f cb a.
Géométriquement, la formule de la moyenne signifie que la courbe C d’équationy fx, x a,b admet au point Mc, fc une tangente T parallèle à la corde passant par
les points Aa, fa et Bb, fb.
Corollaire. Si f est dérivable sur un intervalle I R, alors, pour tous x1,x2 I, il existeun point c compris entre x1 et x2 tel que : fx1 fx2 f cx1 x2.
V.15. Applications de la dérivée à l’étude de la monotonie.
Théorème 1. Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I R. Alors f est constante surI si et seulement si f x 0, x I.
Corollaire. Soient et deux fonctions définies et continues sur un intervalle I vérifiant lacondition x x , x I. Alors il existe une constante c R telle que
x x c, x I.
Théorème 2. Si f est dérivable sur un intervalle I X, alors on a les relations suivantes:i f x 0, x I f est croissante sur I;ii f x 0, x I f est strictement croissante sur I;iii f x 0, x I f est décroissante sur I;iv f x 0, x I f est strictement décroissante sur I.
Remarques.
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1) Dans les relations ii et iv, on a des implications et non des équivalences. Par exemple, lafonction fx x3 est strictement croissante sur I R, mais on n’a pas f 0 sur R, carf xx0 3xx0
2 0.2) Il ne faut pas croire que si f est positive en un point x0, f x0 0, alors f est strictement
croissante dans un voisinage de x0.Les équivalences dans ii) et iv) sont obtenues en ajoutant des conditions qui sont données par
le théorme suivant:
Théorème 3. Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I R . Alors
1 f strictement croissante sur I i f x 0, x I,
ii f 0 sur tout intervalle J I.
2 f strictement décroissante sur I i f x 0, x I,
ii f 0 sur tout intervalle J I.
Exemple. La fonction fx x3 est strictement croissante sur R car :i f x 3x2 0, x R,ii f x 0 x 0, c’est à dire que f 0 sur tout intervalle J R.
V.16. Applications aux inégalités. On peut appliquer la formule des A.F. pour démontrercertaines inégalités importantes. Donnons pour cela quelques exemples.
Exemple 1. Montrons que:
x,x R : |sinx sinx | |x x |.
En effet, comme la fonction fx sinx est dérivable sur R, alors, d’après la formule desA.F. sur x,x x x , il existe , x x tel que
|sinx sinx | sin x x cos x x |x x |,
car |cos| 1.
Exemple 2. Montrons que
tgx x x3
3, x 0,
2.
Posons pour cela: fx tgx x x3
3sur 0,
2. Comme f0 0, il suffit de montrer
que f x 0 sur 0, 2
. Comme tgx x 0 sur 0, 2
, alors on a
f x 1cos2x
1 x2 tg2x x2 0 sur 0,
2.
V.17. Applications au calcul des limites. Règles de L’Hospital.Théorème 1 (Première règle de L’Hospital. Limite de la forme 0
0.
Soient f,g deux fonctions définies et dérivables dans un voisinage épointé U de x0 Rtelles que:
1) gx 0 , gx 0 sur U ,
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2xx0
lim fx xx0
lim gx 0 .
Sixx0
limf xgx
existe, finie ou infinie, alors on a :
xx0
limfxgx
xx0
limf xgx
.
Théorème 2. (Deuxième règle de L’Hospital. Limite de la forme .Soient f,g deux fonctions définies et dérivables dans un voisinage épointé U de x0 fini ou
infini) telles que :1) gx 0 sur U ;2
xx0
lim fx ,xx0
lim gx .
Si la limite suivante :xx0
limf xgx
L existe , finie ou infinie, alors:
xx0
limfxgx
xx0
limf xgx
L.
Remarques.1) Les règles de L’Hospital restent vraies si x x0 ou x x0 ou x ou x . .
2) Si la limitexx0
limf xgx
n’existe pas, alors on ne peut rien dire surxx0
limfxgx
.
3) L’une des principales erreurs dans l’application de la règle de L’Hospital consiste à écrirela formule de L’Hospital avant d’avoir établi l’existence de la limite dans le second membre.
D’après la remarque 2),xx0
limf xgx
peut ne pas exister, alors quexx0
limfxgx
peut exister. Ainsi,
si l’on veut appliquer la règle de L’Hospital, il faut d’abord s’assurer de l’existence de
xx0
limf xgx
(finie ou infinie).
4) Sixx0
limf xgx
00
ou , et si les fonctions f et g vérifient les conditions du
théorème, alors on peut répéter la règle. En général, on peut la répéter autant de fois si lesconditions sont vérifiées pour les fonctions admettant des dérivées d’ordres supérieurs.
Exemple.xlim xn
ex F.I.) , n N. En répétant n fois la règle de L’Hospital, on
obtient:
xlim xn
ex xlim nxn1
ex xlim
nn 1xn2
ex . . .xlim n!
ex 0.
V.18. Autres formes indéterminées. 0., , 1, 0, 00.
Exemple 1.x0lim x logx 0. F.I.). Cependant, on peut écrire :
x0lim x logx
x0lim
logx1/x
.
En appliquant la deuxième règle de L’Hospital pour fx logx et gx 1x , on obtient :
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logx
1x
1/x1/x2 x
x0 0.
Doncx0lim x logx 0.
Exemple 2. Calcul des limites du typexx0
lim xx, avec x 0 dans un voisinage de
x0. Dans ce cas, on a : xx ex logx, et, d’après la continuité de la fonctionexponentielle, on peut utiliser la formule
xx0
lim xx exx0limx logx
.
Calculons I x0lim 1 x2
1ex1x 1 (F.I.). D’après cette dernière formule, on a:
I e x0lim
log1x2ex1x .
La limite qui se trouve à l’exposant est de la forme 00
(F.I.). On peut appliquer, dans ce cas,
la première règle de L’Hospital . On a :
x0limlog1 x2
ex 1 x
x0lim 2x1 x2ex 1
x0lim 2. 1
1 x2 . xx 2 1
1 0.1 2,
car on a : ex 1 x x 0. D’où: I e2.
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Enoncés des exercices du chapitre V.
Exercice 5.1. La loi du mouvement d’un point sur l’axe Ox est donnée par la formulex 10t 5t2, où t est le temps en seconde et x la distance en mètres. Déterminer la vitessemoyenne du mouvement dans l’intervalle de temps 20 t 20 t et faire les calculs dans lescas où: i t 1; ii t 0,1; iii t 0,01. Quelle est la vitesse du mouvement aumoment t 20?
Exercice 5.2. Calculer1 f 2 si fx x2 sinx 2;2 f 1 si fx x x 1arcsin x
x 1.
Exercice 5.3. Calculer f x0 et f x0 si:1 fx |x 1| |x 1| , x0 1 ; 2 fx |sinx| , x0 0;
3 fx 1 ex2
, x0 0.
Exercice 5.4. Etudier, à l’aide de la définition, la dérivabilité de la fonction f en x0 si:
1 fx |x| x2, x0 0; 2) fx x 1x, x0 1;
3 fx x2 cos 1
x , x 0
0, x 0, x0 0; 4 fx |x 2| , x0 2;
5) fx sin2xx 2
, x 2
0, x 2, x0 2; 6) fx x|sinx|, x0 0;
7) fx 1e , |x| 1
x2ex, |x| 1,, x0 1.
Exercice 5.5. Etudier la dérivabilité des fonctions suivantes:1) y |x3x 12x 2|; 2 y |sinx|;
3 y |cos x|; 4 y x 1
4x 12 , si |x| 1,
|x| 1, si |x| 1;
5) y |2 x2 | sin2x; 6 y x3, x 0,
e1x , x 0;
7 y x x ; 8 y xxx;
9 y arcsincos x.
Exercice 5.6.Calculer y si :1 y x5 4x3 3x 2 ; 2 y 2 3 x2 5 x3 2
x2 x;
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3 y 31 x3
1 x3 ; 4 y sinx cos xsinx cos x
;
5 y sinnx. cos nx ; 6 y ex2;
7 y log log logx ; 8 y arccos 1 x2
;
9 arctan sinx cos xsinx cos x
; 10 y arctgthx.
11) y 1 3 x 3; 12 y arctgx2 3x 2;13 y 3cos2x cos3x; 14) y sinx.ecosx;
15 y 2sin2xcos 2x
; 16 y 1 tan2x tan4x ;
17) y arcsin sinx ; 18 y logarctg 11 x
;
19 y sin ln|x|; 20) y log232x 32;
21 y 10x
sinx ; 22 y sincos2x. cossin2x;
23) y e1 x1 x ; 24 y a2 x2 a. arccos x
a ;
25 y x1x ; 26) y x
1 x
x;
27) y x2 1sin x; 28 y xsin x;
29) y 3
xx2 1x2 12
; 30 y x x 3 x ;
31) y 2 x23 x31 x2
; 32 y x x x ;
33 y cos 2x 2sinx;34 y sincos2x; 35 y sinnx. cosnx;
36 y sin2xsinx2 ; 37 y sinsinsinx;
38 y sincos2tg3x; 39 y tg x2ctg x
2; :
40 y tgx 13
tg3x 15
tg5x; 41 y 2tg1x ;
42 y ln 3. sinx cos x3x ; 43 y log3x2;
44 y abx b
x a x
a b; 45 y log31 x2;
46 y 141 x4
14
ln x4
1 x4 ; 47 y lnln2ln3x; ;
48 y lnx x2 1 ; 49 y x lnx 1 x2 ;50 y ln tg x
2; 51 y xsinln x cosln x;
52 y arcsin x2
; 53 y log sin 3 arctge3x ;
54 y arctg x2
a ; 55 y x arctg x ;56 y arcsinsinx; 57 y arccoscos2x;58 y arctg 1 x
1 x; 59 y log3x
2 sinx;
60 y 1arccos2x2
; 61 y sinxcosx cos xsin x;
62 y arcsin x1 x2
12
ln 1 x1 x
; 63 y arctgtg2x;
64 y xarctgx 12
ln1 x2; 65y x xx xx x 0;
66 y lnchx 12ch2x
; 67 y chx
sh2x lncth x
2.
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Exercice 5.7. Trouver les dérivées à droite et à gauche des fonctions:
1) fx Ex sinx; 2) fx x|x|1 x2, x 0
1, x 0;
3) fx arctg 1 x
1 x, x 1
2
, x 1;4) fx
arcsin x2
x sin 1x , x 0,
0, x 0;
5) fx 1 e
1x , x 0
1 3 x4 , x 0;6 fx sinx2 ;
7 fx 1 ex2
; 8 fx arcsin 2x1 2x2 .
9 fx |ln|x||; 10 fx x 2arctg 1
x 2,si x 2
0 si x 2;
11 fx x1 e1x 1 , si x 0
0 , si x 0; 12 fx
x, si x 0
3 x4 ln x ,si x 0;
13 fx 2x , si x 0
ln1 5 x7 si x 0.
Exercice 5.8. Calculer les dérivées des fonctions suivantes en précisant les intervallesd’existence:
1) y |x|; 2) y x|x|;
3 y |1 x21 x3 |; 4) y 1 x2 log|x|;
5) y 1 cos x
x , x 0,
0, x 0; 6 y 3 cos2x 1 ;
7 y xx; 8 y 3x2 13 x3 12
;
9 y arcsin 1 x2
1 x2 ; 10 y x |x 1|x |x 1|
;
11 y arcsin2x 1 2arctg 1 xx ; 12 y logarcsin 3x;
13 y log 1 x1 x
; 14 y arctg x1 x
;
15 y x sin x , x 0,
0, x 0; 16 y
cos x sinxx
4, x
4,
2 4 x, x
4;
17) y loglogx; 18) y a1
a2x2 ;19 y arccos 1
|x|; 20 y |sin3x|;
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21 y Ex sin2x; 22 y
1 x si x 1
1 x2 x si 1 x 2
2 x si 2 x ;
23 y x a2x b2 si a x b
0 si x a,b; 24 y
arctgx si |x| 14
sgnx x 12
si |x| 1
25 y x2ex
2si |x| 1
1e si |x| 1;
; 26 y x si x 0
ln1 x si x 0.
Exercice 5.9. En utilisant la dérivée logarithmique, calculer y si :
1 y x 322x 1x 13
; 2 y x 1 x1 x
;
3 y xxx; 4 y xsin x.
Exercice 5.10.
i) Montrer que la fonction fx x sin 1
x si x 0,
0 si x 0est continue en x0 0, mais elle
n’est pas dérivable en ce point.
ii) A quelle condition la fonction fx |x|n sin 1
x si x 0
0 si x 0
a) est continue au point x 0, b) est dérivable au point x 0c) admet une dérivée continue au point x 0 ?
iii) Pour quelles valeurs de n et m m 0, la fonction
fx |x|n sin 1
|x|m, x 0
0, x 0
a) est continue, b) admet une dérivée, c) admet une dérivée continue en x0 0?
Exercice 5.11. Déterminer les valeurs de et pour lesquelles la fonction
fx arctgx, |x| 1,
sgnx x 12
, |x| 1
admet une dérivée : i) au point x 1, ii au point x 1.
Exercice 5.12. Déterminer les valeurs de et pour lesquelles les fonctions suivantes: a)sont continues sur R, b) sont dérivables sur R :
1) y x , x 1,
x2, x 1;; 2) y
x2, |x| 1,1|x|
, |x| 1;;
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3) y x3 x, |x| 2,1 arcsin 1
x , |x| 2;4)
y
2x 2, x 1,
x 1x 2x , 1 x 2,x2 1, x . 2.
Exercice 5.13. Démontrer que la fonction fx |x a|x ne possède pas de dérivée au
point x a , où x est continue et a 0 . Calculer f a et f a.
Exercice 5.14. i) Montrer que la fonction
fx sin2x, x Q,
0, x R Q
admet une dérivée seulement aux points x k, k Z.
ii) Montrer que la fonction
fx x2, x Q,
x2, x R Q
admet une dérivée seulement au point x 0.
Exercice 5.15.1 Peut-on affirmer que la somme Fx fx gx n’est pas dérivable
au point x x0, sia) f est dérivable au point x0, mais g n’est pas dérivable en ce point;b) toutes les deux fonctions ne sont pas dérivables au point x0?
2 Peut-on affirmer que le produit Fx fx.gx n’est pas dérivableau point x x0, si
a) f est dérivable au point x0, mais g n’est pas dérivable en ce point;b) toutes les deux fonctions ne sont pas dérivables au point x0?
3 Que peut-on dire sur la dérivabilité de la fonction Fx fgx
au point x x0 sia) f est dérivable au point y gx0 , mais g n’est pas dérivable en x0,b) f n’est pas est dérivable au point y gx0 mais g est dérivableen x x0,c) f n’est pas dérivable au point y gx0 et g n’ est pas dérivableen x x0?d) Etudier les cas:
i) fx x2, gx |x|, ii) fx |x|, gx x2,
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iii ) fx 2x |x|, gx 23
x 13
|x|, avec x0 0.
4 Peut -on affirmer qu’une fonction f possède: a) une dérivée finie, b) une dérivée infinie,en un point de discontinuité?.
Exercice 5.16. Montrer que la dérivée d’une fonction paire (resp. impaire) dérivable est
impaire (resp. paire).
Exercice 5.17. Deux bateaux A et B quittent le même port et en même temps. Le bateau A sedirige vers le nord, tandis que B se dirige vers l’est. A quelle vitesse croît la distance entre A et Bsachant que la vitesse de A est de 30 km/h et celle de B, 40 km/h ?
Exercice 5.18.
i Soit fx x, si 0 x 2
2x 2, si 2 x et Sx la surface délimitée par la courbe y fx ,
l’axe des abscisses et la perpendiculaire à l’axe des abscisses au point x x 0. Trouver laforme analytique de Sx et calculer Sx.
ii La fonction Sx est la surface délimitée par l’arc de la circonférencey a2 x2 , l’axe des abscisses et par deux perpendiculaires à l’axe des abscisses, aux
points 0 et x |x| a.Trouver la forme analytique de Sx et calculer Sx.
Exercice 5.19.
i Soit y x3 x. Calculer y et dy pour x 2 en donnant à la variable les accroissementsx 1; x 0,1; x 0,001. Calculer les valeurs correspondantes de l’erreur
relative |y dy||y|
.
ii Calculer l’accroissement et la différentielle de la fonction y x pour x 4 etx 0,41. Calculer les erreurs absolues et relatives.
Exercice 5.20. Calculer les différentielles dy si:
1 y xex ; 2 y logxx
; 3 y arctgfxgx
, f,g dérivables).
Exercice 5.21.
i Trouver une valeur approchée de l’accroissement de la fonction y sinx lorsque x varie
de 30 à 301.ii Trouver une valeur approchée de l’accroissement de la fonction y tgx, lorsque x varie
de 45 à 4510.
Exercice 5.22. A l’aide de la différentielle, calculer approximativement:
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i 3 1,02 ; ii arctg1,05; iii 2,0372 32,0372 5
.
Exercice 5.23. Démontrer la formule approximative
an x a xnan1 a 0
où x a x est très petit par rapport à a). A l’aide de cette formule calculer les valeursapprochées suivantes: a 3 9 ; b 4 80 ; c 7 100 ; d 10 1000 .
Exercice 5.24.i) Ecrire les équations de la tangente et de la normale à chacune des courbes suivantes aux
points indiqués:1) y arctg2x, M0,0; 2) y cos 2x 2sinx, M, 1;3) y x3
2 x2, M6, 27
2; 4) x3 y2 2x 6 0, M1,3;
5) 4x3 3xy2 5xy 8y2 9x 14 0, M2,3;
6) x2
4 y2
9 1, M1,
3 32;
7 y x 1 3 3 x aux points: a) A1,0; b) B2,3; c) C3,0.
ii Ecrire les équations des tangentes à la courbe y x 1x en ses points d’intersection avec
l’axe OX.
iii) Ecrire l’équation de la normale à la courbe y x2 3x 6x2 au point d’abscisse x 3.
iv) Ecrire l’équation de la normale à la courbe y x 2 à son point d’intersection avec
la bissectrice du premier angle de coordonnées.
Exercice 5.25 .
i) Trouver les points où les tangentes à la courbe y x2x 22 sont parallèles à l’axe des
abscisses.ii) Trouver le point où la tangente à la courbe y 1
1 x2 est parallèle à l’axe OX.
iii) En quels points, la courbe d’équation y 2 x x2 admet une tangente:1 parallèle à Ox;2 parallèle à la première bissectrice?
iv Dans quelle condition l’axe OX est tangent à la courbe y x3 px q?
v Dans quelle condition sur les coeffcients a,b,c , l’axe OX est tangente à la courbey ax2 bx c?
vi) Trouver les points où la tangente à la courbe y x3 x 2 est parallèle à la droitey 4x 10.
vii. Montrer que les tangentes à l’hyperbole y x 4x 2
en ses points d’intersection avec les
axes de coordonnées sont parallèles .viii . Etant donnée l’hyperbole y x 9
x 5trouver l’équation de la tangente qui passe par
l’origine des coordonnées.ix) Dans les intervalles 1,1 et 1,2, déterminer les points où les tangentes à la courbe
d’équation y x2 1x 2 sont parallèles à l’axe Ox.x) Déterminer les points de la courbe y x3 où les tangentes en ces points sont parallèles à
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la corde passant par les points A1,1 et B2,8.
xi Etant donnée la parabole y x2 2x 5, on demande d’écrire l’équation de la tangente
qui est parallèle à la corde passant par les points de la parabole d’abscisses x1 1 et x2 3.xii Trouver la normale à la courbe y x logx qui est parallèle à la droite 2x 2y 3 0.
xiii) Montrer que les tangentes à la courbe y 1 3x2
3 x2 aux points d’ordonnée y 1 se
coupent à l’origine des coordonnées.
Exercice 5.26.1) Calculer le coefficient angulaire de la tangente à la parabole y x2 :
a) au point 2,4,b aux points d’intersection avec la droite y 3x 2.
2) Trouver les points où le coefficient angulaire de la tangente à la parabole cubique est égalà 3.
3) Trouver le point où la tangente à la parabole y x2 :a est parallèle à l’axe Ox,b fait un angle de 45o avec l’axe Ox.
4) Calculer l’angle sous lequel se coupent la parabole y x2 et la droite3x y 2 0.
5) Pour quelle valeur de la variable indépendante, les tangentes aux courbes y x2 ety x3 sont parallèles?
6) En quel point de la parabole y x2 la tangente est:a) parallèle à la droite y 4x 5,b) perpendiculaire à la droite 2x 6y 5 0,c) fait un angle de 45o avec la droite 3x y 1 0?
7) Calculer les angles sous lesquelles se coupent les courbes:
i y x 1x 2
et y x2 4x 816
;
ii y x 22 et y 4x x2 4;iii y sinx et y cos x 0 x .
Exercice 5.27.i) Calculer:
1) f0, f 0, f 0 et f 0 si fx e2x sin3x;
2) f 0, f 0 si fx sinx
x , x 0,
1, x 1.
ii) Calculer les dérivées secondes des fonctions suivantes:1) y x 1 x2 ; 2 y xex2
; 3 y 11 x3 ;
4 y 1 x2arctgx; 5 y a2 x2 ; 6 y lnx 1 x2 ;7y 1 x2 arcsin x ; 8 y arcsina sinx; 9 y ex
2.
iii) Calculer fn0 si:1 fx x2eax a R; 2 fx arctgx .
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Exercice 5.28.Trouver l’expression générale des dérivées d’ordre n des fonctions suivantes:1) y xm; 2) y ax; 3 y eax;
4 y xn1 xn en déduiren
k0
Cnk2; 5 logx 12x;
6 sinx; 7 cos x;
8 1x 1
application: calculer: x2
1 x8;
9 y sinax cos bx; 10 y sin2x; 11 y xex;12 y x ln x; 13 y lnax b; 14) y ex cos x;
15) y cos3x; 16 y x2
1 x2 .
Exercice 5.29.i) Calculer les sommes suivantes:1 Pnx 1 2x 3x2 . . .nxn1;2 Snx sinx sin2x . . . sinnx;3 Tnx 1 cos x cos 2x . . .cos nx.
ii) Montrer que x R, la dérivée n ième de la fonction fx ex2
est de la formefnx Pnxex
2où Pn est un polynôme de degré n.
Exercice 5.30.
i) Démontrer que la fonction fx x2n sin 1
x , x 0,
0, x 0possède une dérivée d’ordre n,
mais pas d’ordre n 1 en x 0.
ii) Démontrer que la fonction fx e 1
x2 , x 0,
0, x 0est indéfiniment dérivable au
point x 0.
Exercice 5.31.1 Montrer que la fonction y ex sinx vérifie la relation y 2y 2y 0 ,et la fonction y ex sinx, la relation y 2y 2y 0.2 Montrer que la fonction y x 3
x 4vérifie la relation 2y
2 y 1y .
3 Montrer que la fonction y e4x 2ex vérifie la relation y 13y 12y 0.
4 Montrer que la fonction y e x e x vérifie la relation xy 12
y 14
y 0.
Exercice 5.32. Appliquer la formule de Leibniz au calcul des dérivées suivantes:1 x2 1 sinx20; 2 ex sinxn; 3 x3 sinxn;4 x1ex10; 5 xshx100; 6 x2e2x20;7 sinax sinbxn.
Exercice 5.33. Trouver les différentielles d’ordres supérieurs des fonctions suivantes à
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l’ordre n indiqué:1 y 3 x2 , n 2; 2 y xn, n 3;3 y x 13x 13 , n 2; 4 y sin2x, n 2;5 y ln2x 4 , n 2.
Exercice 5.34 .i) Calculer les dérivées des fonctions implicites y suivantes:
1) x2
a2 y2
b2 1; 2 x3 y3 3axy 0; 3 y3 3y 2ax 0;
4) x4 y4 x2y2; 5 y2 cos x a2 sin3x ; 6 2y ln y x;7) x siny cos y cos 2y 0; 8 y 1 xey.
ii) Trouver les dérivées des fonctions implicites y suivantes à l’ordre n indiqué:1 b2x2 a2y2 a2b2 , n 2; 2 x2 y2 r2, n 3;
3 y tgx y , n 3; 4 y3 x3 3axy 0 , n 2.
Exercice 5.35.i) Calculer les dérivées yx
des fonctions y yx données sous forme paramétrique:1) x sin2t, y cos2t 0 t
2;
2) x et, y t3 t ;3) x acos t, y b sin t 0 t ;4) x ln sin t
2, y ln sin t 0 t .
ii) Trouver les dérivées des fonctions suivantes définies paramétriquement à l’ordre nindiqué:
1 x at2, y bt3, n 2; 2 x acos t, y b sin t, n 2;
3 x acos3t, y a sin3t, n 3; 4 x at cos t, y at sin t, n 2.
Exercice 5.36.i Montrer que la fonction y x3 4x2 7x 10 satisfait aux conditions du théorème de
Rolle dans l’intervalle 1; 2.ii Montrer que la fonction y log sinx satisfait aux conditions du théorème de Rolle dans
l’intervalle 6
; 56.
iii) Vérifier le théorème de Rolle pour la fonctionfx xx2 1 sur les segments 1,1 et0,1.
Exercice 5.37.i) Soit la fonction y 1 3 x2 . On a y1 y1.1 Montrer que y x 0 sur 1,1 ; 2 y a-t’il contradiction avec le théorème de
Rolle?
ii La fonction y 2 x2
x4 prend des valeurs égales aux extrémités de l’intervalle
1; 1. Verifier que la dérivée de cette fonction ne s’annule en aucun point del’intervalle 1; 1. Expliquer cette contradiction avec le théorème de Rolle.
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Exercice 5.38. Sans calculer les dérivées de la fonction fx x 1x 2x 3x 4,
établir combien de racines réelles possède l’équation f x 0 et indiquer les intervalles qui lescontiennent.
Exercice 5.39. Résoudre l’équation y x 0 si:
1) y x3 6x2 9x 12; 2 y x2 x 6x2 10x 25
;
3) y 11 sin2x
; 4 y xx 12x 23.
Exercice 5.40i Ecrire la formule de Lagrange pour la fonction y x1 ln x dans l’intervalle
a; b 0 a b.ii Montrer que le théorème de Lagrange s’applique à la fonction y ln x dans l’intervalle
1; e.
Exercice 5.41 . Vérifier le théorème de Lagrange pour les fonctions:
i) fx 3 x2
2, 0 x 1,
1x , 1 x ,
ii) fx x sin 1
x , x 0,
0, x 0,
et calculer la valeur intermédiaire c respectivemen sur 0,2 et sur 1,1.
Exercice 5.42. Est-ce que la formule des accroissements finis est vraie pour la fonctiony 1
x sur a,b ab 0 ?
Exercice 5.43. Ecrire la formule généralisée des A.F. (de Cauchy) pour les fonctions f et g,si
1 fx sinx et gx ln x, x a; b, 0 a b;2 fx e2x et gx 1 ex, x a; b, 0 a b;3 fx x3 et gx x2 1, x 1; 2;
4 fx x sin2x et gx x2
2x , x 1; 2.
Exercice 5.44. Démontrer les égalités suivantes:1 arcsin x arccos x
2, 1 x 1;
2 2arctgx arcsin 2x1 x2 sgnx, |x| 1;
3) arctg1 x
1 x 1
2arcsin x
4, 1 x 1;
4) arctg x1 x2
arcsin x, 1 x 1.
Exercice 5.45. Utiliser la formule de Lagrange pour démontrer les inégalités:i)1 |sinx sinx | |x x |, x,x R ;
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2 arctgx arctgx |x x | , x,x R.
ii)1)
x yx log x
y x y
y si 0 y x;
2)x ycos2y
tgx tgy x ycos 2x
si 0 y x 2
;
3) x x3
6 sinx x, x 0 en déduire
x0lim sinx
x ;
4) x arcsin x x1 x2
si x 0,1;
5) x x2
2 log1 x x si x 0;
6 nbn1a b an bn nan1a b a 1, n 1.
Exercice 5.46. Trouver les intervalles de monotonie des fonctions suivantes.1 y 2 x x2; 2 y 3x x3; 3 y 2x
1 x2 ;
4 y x2
2x . 5 y xnex; 6 y x2 ln x2;
7 y x sinx; 8 y x 252x 14; 9 y xln x
;
10 y lnx 1 x2 .
Exercice 5.47. Une fonction est dite strictement croissante (resp. strictement décroissante) enun point x0 R, si
x : x x0 ,x0 fx fx0 (resp. fx fx0.
Montrer que la fonction
fx x sin 1
x2 , x 0,
0, x 0.
est strictement croissante au point x 0,mais elle n’est strictement croissante dans aucunintervalle , de x0 0.
Exercice 5.48. Démontrer que si:
1) f et g sont dérivables jusqu’au n-ième ordre inclus;2) fkx0 gkx0 k 0,1, . . . ,n 1;3 fnx gnx pour x x0,alors on a: fx gx pour x x0.
Exercice 5.49. Démontrer les inégalités suivantes:1 x 1 x 1, 2,x 1; 2 1 2 logx x2, x 0;3 n x n a n x a , n 1, x a 0; 4 2 x 3 1
x , x 1;
5 ln x 2x 1x 1
, x 1 ; 6 2xarctgx ln1 x2;
7 sinx tgx 2x, 0 x 2
; 8 ex 1 x, x 0
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9 chx 1 x2
2, x 0; 10) logx 2 x , si x 0;
11) 1 2cos3x 3cos2x, x 2
, 2; 12 x x3
6 sinx x, x 0;
13 tgx x x3
3, 0 x
2; 14 x x3
6 sinx x x3
6 x5
120, x 0;
15 1 1x
x e 1 1x
x1, x 0.
16 x x2
2 log1 x x x2
2 x3
3, x 1;
17 2 x sinx x, 0 x
2.
Exercice 5.50. Soit f une fonction définie sur R telle que: x,y R|fx fy| x y2.
Montrer que f est constante.
Exercice 5.51. Calculer, à l’aide de la formule des A.F., les limites suivantes:
1)xlim x2e
1x e
1x1 ; 2
nlim 1
2 log2 1
3 log3. . . 1
n logn.
Exercice 5.52. . Calculer , à l’aide de la règle de L’Hôpital, les limites suivantes:
1x0lim
ex 1sinx
; 2x0lim
x arctgxx3 ;
3x0lim
ex-ex 2x
x sinx; 4
x00lim
logxlog sinx
;
5x1lim 1
logx x
logx ; 6
xlim xe1/x 1 ;
7x0lim ex x1/x ; 8
x0lim x2e
1/x2
;
9x0lim xsin x ; 10
x0lim 1 cos xctgx.
11)x1lim xx 1
logx x 1; 12)
x 3
limsinx 3 1 2cos x
;
13)x0lim sinx
tgx; 14)
x0lim cotgx 1
x ;
15)x0lim 1
x 1
ex 1 ; 16)
x 2
lim 2xtgx
17)x0lim x2 logx; 18)
xlim ex ex
ex ex;
19)xlim xex/2
x ex ; 20)x0lim sinxx ;
21)x 2
lim tgx2cosx; 22)x0lim 1 x logx;
23x0lim
chx cos xx2 ; 24
x 2
limtg3x
tgx;
25x0lim
tgx xx sinx
; 26x0lim
xctgx 1x2 ;
27x0lim
3tg4x 12tgx3sin4x 12sinx
; 28x0lim
xex 1 2e
x 1x3 ;
29x0lim 1 cos2x
x2 sinx2 ; 30x0lim ax asin x
x3 a 0;
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31x0lim
lnsinaxlnsinbx
; 32x0lim x
k1 ln x ;
33x0lim x
1x1 ; 34
x0lim
cossinx cos xx4 ;
35x1lim 2 x
tg2
x; 36
x0lim 1
x 1
thx 1
tgx;
37x 4
lim tgx tg2x; 38x0lim ctgxsin x;
39x0lim ln 1
x x ; 40
xlim tg x
2x 1
1x ;
41xlim ln x
x 0; 42
x0lim e
1x2
x100 ;
43xlim
tgx
tgactgxa; 44
x10lim ln x. ln1 x;
45x1lim 1
logx ctgx ; 46
x1lim 1
ln x 1
x 1;
47x0lim x. ln x 0; 48
x0lim xx;
49xlim
2 arctgx
12
log x 1x 1
; 50x0lim1 x
1x e
x ;
51x0lim 1
lnx 1 x2 1
ln1 x; 52
xalim ax xa
x a a 0;
53x0lima xx ax
x2 a 0; 54xlim x 2xx;
55xlim thxx; 56
xlim 2
. arctgxx;
57x0lim sinx
x 1x2 ; 58
x0lim cos x
chx
1x2 ;
59x0lim
tgxx
1x2 ; 60
xlim x lnx
ln xx;
61xalim
cos x lnx alnex ea
; 62x0lim e tgx ex
tgx x ;
63x0lim 1
xarctgx 1
x2 ; 64x0lim xx 1 ln x;
65xlim xnex
3; 66
xlim 2arctg x x ;
67xlim x lntg
4 x ; 68
x0lim 1
x2 1
sin2x;
69x1lim
1 x
1 x 0; 70
x0lim ln sinx
ctgx;
71x1limx2 1x1 x
x 12; 72
x0lim esin x ex
sinx x;
73x0lim
tgx xln31 x
; 74x0lim x arcsin x2
x cos x sinx;
75x0lim
2tg3x 6tgx
3arctgx arctg3x.
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Exercice 5.53. Démontrer que si la fonction fx possède dans a; b (fini ou infini) unedérivée bornée, alors fx est uniformément continue sur a; b.
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Réponses aux exercices du chapitre V.
Exercice.5. i vm 215 m/s; ii vm 210,5m/s ; iii vm 210,05m/s, 210 m/s.Exercice 5.2. 1) f 2 4 ; 2 f 1 1
4.
Exercice 5.3. 1) f 1 2 , f 1 f 1 0 , f 1 2 ;2) f 0 1 , f 0 1 ; 3 f 0 1 , f 0 1.
Exercice 5.4. 1) Non dérivable; 2) non dérivable; 3) dérivable;4) non dérivable; 5) dérivable; 6 dérivable; 7) non dérivable.
Exercice 5.5. 1) dérivable sur R 2; 2) dérivable sur R k, k Z ;
3)dérivable sur R 2 k, k Z ; 4 dérivable sur R 1;
5) dérivable sur R; 6) dérivable sur R; 7) dérivable sur R;8) f prolongée par f0 0 est dérivable sur R; 9) dérivable sur R k,k Z.
Exo.5.6 1) 5x4 12x2 3; 2 43 3 x
15 x
2 4
x3 1; 3) 2x2
1 x6 31 x3
1 x3 , x 1;
4 2sin2x 1
; 5) n sinn1x. cosn 1x ; 6 2xex2; 7) 1
x logx. loglogxx 0;
8) 11 2x x2
; 9) 1 ; 10 1ch2x
; 11)1 3 x 2
3 x2;
12 2x 3x4 6x3 13x2 12x 5
; 13 32
sin2xcos x 2;
14) ecosxcos x sin2x; 15 2tg2x
cos 2x; 16
tgx1 2tg2x
cos2x 1 tg2x tg
4x
17) 12 sinx
cos x1 sinx
; 18 12 2x x2arctan 1
1 x
; 19cosln|x|
x ;
20) 12ln22x 32
2x 3 ln32; 21 log10.10
xsin x sinx x cos x
sin2x;
22 sin2x coscos 2x;
23) 11 x 1 x2
e1x1x ; 24 a x
a x
25 x1
x2 1 ln x; ; 26) x1 x
x 11 x
ln x1 x
;
27) x2 1sin x 2x sinxx2 1
cos logx2 1
28 xsin x cos x ln x sinxx ; 29) x4 6x2 1
3x1 x4 3
xx2 1
x2 12;
306x 3 x 2 3 x
6x; 31 3x5 5x4 2x3 6x2 6x 12
x 13;
321 2 x 4 x x x
8 x x x x x;
33 2sin2x cos x; 34 coscos2x sin2x;35 ncos 2x cosn1x sinn1x
36 sin2x sinx2 2x cos x2 sin2xsin2x2
; :
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37 cossinsinxcossinxcos x; 38 3tg2x sin2tg
3xcoscos2tg
3x
cos2x;
39 2sin2x
; 40 1 tg6x; 41 2tg1x
1 tg2 1
x
x2 ln 2; 42 sinx1 ln233x;
43 6 ln2x2
x ; 44 ab
x bx
a xa
blog a
b a b
x ; 45 6ln2x2 1 xx2 1
;
46 1x1 x42
; 47 6lnln3x ln xx
; 48 1x2 1
;
49 ln x x2 1 xx2 1
; 50 1sinx
; 51 2sinln x;
52 14 x2
; 53ctg 3 arctge3x e3x
1 e6x 3 arctge3x2; 54 2ax
a2 x4 ; 55 12
x1 x
;
56 sgncos x; 572sgnsinxcos x
cos2x 1; 58 1
x2 1; 59 2x cos x
x2 sinx log3;
60 4x1 x4 arccos3x2
;
61 sincosx1ctg2x log sinx cossin x1log cos x tg2x;62 x arcsin x
x2 132
; 63 sin2xsin4x cos4x
;
64 arctgx; 65 1 xx1 ln x xx.xxx 1x ln2x ln x;
66 th3x; 67 2sh
3x
.
Exo.5.7. 1) f x f x Excosx si x Z,f k 1kk, f k 1kk 1, k Z;
2) f x f x 21 x si x 0, f x f x 21 x si x 0,f 0 0, f 0 ;
3) f x f x 11 x2 si x 1, f 1 1
2, f 1 1
2;
4) f x f x 2sin 1
x
1 x4
arcsin x2x sin 1x cos 1
x
x3 si x 0;
f 0 et f 0 n’existent pas;
5) 1x2 e
1x si x 0,
2 3 x
3 1 3 x 4si x 0, f 0 f 0 0;
6) f x f x x cos x2
sinx2si 2k |x| 2k 1 , k N,
f 0 1, f 0 1; f 2k , f 2k 1 ;
7) f x f x xex2
1 ex2
si x 0, f 0 1, f 0 1;
8) f x f x 2sgn1 x2
1 x2 si x 1, f 1 1, f 1 1;
9 f x f x x avec 1 si 0 |x| 1, 1 si 1 |x| ,f 1 1, f 1 1;
10) f x f x arctg 1x 2
x 2x 22 1
si x 2,
f 2 2, f 2 2 ;
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11) f x f x 1 1 1
x e1/x
1 e1/x2si x 0, f 0 0, f 0 1;
12) f x f x 1 si x 0, f x f x 3 x 43
logx 1 si x 0,
f 0 0, f 0 1;
13) f x f x 2 si x 0, f x f x 75
5 x2
1 5 x7si x 0,
f 0 0, f 0 2.
Exercice 5.8. 1) |x|x sgnx, x 0; 2) 2|x|, x R;
3 x2 15x 1|x 1|, x R 1,1;4) 2x log|x| 1 x2
x , x 0; 5) x sinx cos x 1x2 , x 0, f 0 1
2;
6 sin2x
3 3 cos2x 12, x R; 7 xxln x 1, x 0;
8 2x 3 x3 x3 1
5 , x 1; 9 2sgnx1 x2 , x R;
10 0 si x 1, 22x 12
si 1 x 1, 42x 12
si x 1;
11 0 si 0 x 1; 12 3arcsin 3x 1 9x2
, 0 x 13
;
13 21 x2 , 1 x 1; 14 1
1 2x 2x2 , x 1;
15x sin x cos x
x , x 0;
16
sinx. 1 x 4 cos x. 1 x
4
x 42
, x 4
,
1, x 4
;
;
17) 1x ln x
, x 1; 18) a1
a2x2 x ln a
a2 x23, |x| a ;
19 1x x2 1
, |x| 1; 20 3sinx|sinx| cos x, x k, k Z;
21 Ex sin2x, x R;22 1 si x 1, 2x 3 si 1 x 2, 1 si 2 x ;23 2x ax b2x b a si a x b; 0 si x a,b;24 1
1 x2 si |x| 1, y 12
si |x| 1
25 2x1 x2ex2si|x| 1, y 0 si|x| 1;
26 1 si x 0, 11 x
si x 0.
Exercice 5.9. 1x 3 19x 17x 14
; 2 x2 x 1
x1x1 x 12
;
3 xxxxln2x ln x 1x ; 4 xsin x1cos x ln xx sinx.
Exercice 5.10ii) a) n 1, b n 2, c n 2; iii a n 0, b n 1, c c n 1, n m 1Exercice 5.11. i) 1,
4; ii 1, 4
4.
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Exercice 5.12. 1) a) 1, b 2, 1;2) a) 1, 2 1, b 3
2, 1
2;
3) a) 4 112
, b 2 396
, 3 2 324
;
4) a) , quelconques, b) 52
, 95
.
Exercice 5.13. f a a, f a a.Exercice 5.15. 1) a) Oui, b) non; 2) a) oui si f x0 0, b non.
3) a),b),c): F fog peut posséder une dérivée; 4) a) non, b) oui.Exercice 5.17. 50 km/h.
Exercice 5.18. i) Sx x2
2, Sx x si 0 x 2,
Sx x2 2x 2 et Sx 2x 2 si x 2;
ii) Sx |x|2
a2 x2 a2
2arcsin |x|
a , , Sx a2 x2 sgnx si 0 |x| a.
Exercice 5.19. i) x y dy y dy y dyy
1 18 11 7 0,39,0,1 1,161 1,1 0,061 0,0526,
0,01 0,110601 0,11 0,000601 0,0055;ii) y 0,1, dy 0,1025, y dy 0,0025, 0,025;iii)
Exercice 5.20. i 1 xexdx ; ii 2 logx2x x
dx , x 0 ;
iii)f xgx fxgx
f2x g2xdx.
Exercice 5.21. i) y 0,00025, sin30o1 0,50025, ii) 0,00582.Exercice 5.22. i) 1,007 ; ii 0,8104 ; iii 0,355.Exercice 5.23. a) 2,083 ; b 2,9907 ; c 1,938 ; d 1,9954.Exercice 5.24. i) 1) y 2x, y x
2; 2) y 2x
2 1; y 1
2x 1;
3) y 272
, x 6; 4) y 56
x 136
et y 65
x 215
;
5) y 92
x 6 et y 29
x 319; 6) y 9
4x 9 6 3
4et y 4
9x 27 3 8
18;
7 a) y 3 4 x 1, y 13 4x 1; b) y 3, x 2, c) x 3, y 0.
ii) y 2x 2, y 2x 2; iii 27x 3y 79 0; iv 2x y 1 0.Exercice 5.25. i) 0,0, 1,1, 2,0; ii) 0,1; iii 1 1
2, 9
4, 2 0,2;
iv p3
3 q
2
2 0; v) b2 4ac 0 ; vi) 1,0, 1,4;
viii 25y x 0, x y 0;
ix) x1 2 7
3, x2
2 73
; x) 1;1, 1,1; xi) y 2x 1;
xii) y x 3e2 ; xiii) .Deux tangentes y x et y x se coupant en 0,0.
Exercice 5.26.1) a) k 4; b) k1 2, k2 4; 2) 1,1, 1,1;3) a) 0,0; b) 1
2, 1
4; 4) 1 arctg 1
7, 2 arctg 1
13;
5) x 0, x 23
; 6) a) 2,4; b) 32
, 94, c) 1,1, 1
4, 1
16;
7) i) 1 0, 2 arctg 1831
, ii arctg 815
; iii arctg2 2 .
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——————————————————————————————————-191
Exercice 5.27. i) 1 y0 0, y 0 3 ; y 0 12 ; y 0 9,2 y 0 0, y 0 1
3.
ii) 1) y2 x3 2x21 x23/2
; 2 2xex23 2x2; 3 6x 2x3 1
1 x33;
4 21 x2arctan x x
1 x2 ; 5 a2
a2 x23; 6 x
1 x23
7x 1 x2 arcsin x
1 x23, 8 aa2 1 sinx
1 a2 sin2x3, 9 2ex
22x2 1;
iii) 1 nn 1an2; 2 y2k0 0, y2k10 1k2k!.Exercice 5.28.1) yn 0 si m n, yn nn 1. . . n m 1xnm si n m;2) yn logna.ax; 3) yn aneax;
4) yn n! 2n2n 1. . . n 1xn,k0
n
Cnk2 1 2n!
n!2;
5) yn 1n2n 2!x nx 1n
, n 1;
6) yn sinx n 2; 7) yn cosx n
2;
8) yn 1nn!x 1n1
x2
1 x8 40320
x 19;
9) yn an sinax n 2 bn cosbx n
2;
10) yn 2n1 sin2x n 1 2;
11) yn exx n; 12) yn 1n n 2!xn1 , n 2; 13) yn 1n1 ann 1!
ax bn;
14) yn ex2n/2 cosx n 4; 15) yn 3
4cosx n
2 3n
4cos3x n
2;
16) yn 1n1n!2
1x 1n1
1x 1n1
.
Exercice 5.29. i) 1 Pnx 1 nxn
1 x, x 1;
2) Snx sin nx
2. sin n 1
2x
sin x2
; 3) Tnx sin n 1
2x cos n
2x
sin x2
.
Exercice 5.32 1 x2 379 sinx 40x cos x; : 2 ex2n2 sinx n
4;
3 nx3 sinx n 2 3nn1x2 sinax n 1
2
3nn 1n2x sinax n 2 2
nn 1n 2n3 sinx n 3 2;
4 ex10
k0
1k A10k
xk1 , avec A10k 10.9.8. . . . 11 k; 5 100cosh x x sinhx ;
6 220e2xx2 20x 95 ;
7a bn
2cos a bx n
2 a bn
2cos a bx n
2.
Exercice 5.33. 1 2dx2
9 3 x4; 2 nn 1n 2xn3dx3;
3 30x4 36x2 6dx2;
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4 4sin2xdx2; 5 4 ln3x 4 ln x
x2 ln2x 43dx2.
4 4cos2x 2dx2; 5 4 ln3x 4 ln x
x2 ln2x 43dx2.
Exercice 5.34.i) 1) y b2x
a2y; 2 y ay x2
y2 xa; 3 y 2
3a
y2 1;
4) y xy
y2 2x2
2y2 x2 ; 5 y y2 sinx 3a2 cos 3x2y cos x
; 6 y 12ln y 1
;
7) y sinyx cos y siny 2sin2y
; 8 y ey
1 xey .
ii) 1) y3 b4
a2y3 ; 2 y3 3r2xy5 ; 3 y3 23y4 8y2 5
y8 ;
4) y2 2a3xyy2 ax3
.
Exercice 5.35. i) 1) yx 1 0 x 1; ; 2 yx
3t2e t; 3 yx b
a ctgt;4 yx
1 tg2 t2
;
ii) 1)d2ydx2
3b4a2t
; 2 yx2 b
a2 sin3t; 3 y" x3
cos2t 4sin2t9a2 cos7t sin3t
;
4 yx2 2 t2
acot t t sin t3.
Exercice 5.37. 2) Non.Exercice 5.38. Trois racines entre 1,2, 2,3 et 3,4.Exercice 5.39.1) x 1, x 3 ; 2 x 7
11; 3) x k, x 1
2 k, k Z;
4 x 1, x 56 1
613 , x 5
6 1
613 , x 2, x 2.
Exercice 5.40. i) b1 logb a1 loga b a logc.Exercice 5.41. i) c 1
2ou 2 .
Exercice 5.42. Non, car 1x n’est pas dérivable en x 0.
Exercice 5.43. 1 c cos c, a c b; 2 2ec a c b;3 3
2c, 1 c 2, ;
4 1 2cos 2c21cc c22c ln 2
, 1 c 2.
Exercice 5.46.1) Crois. sur , 1
2, décrois. sur 1
2, ;
2) décrois. sur ,1 1, , crois. sur 1,1 décrois. sur1,;3) décrois. sur ,1 1, , crois. sur 1,1 ;
4) décrois. sur , 0, crois. sur 0, 2log2
, décrois. sur 2log2
, ;
5). crois. sur 0,n, décrois. sur n,;6) crois. sur 1,01,, décrois. sur ,10,1.7) crois. sur R ;8) crois. sur , 1
2 11
8,, décrois. sur 1
2, 11
8;
9) crois. sur e,, décrois. sur 0,11,e; 10) crois. sur R10) crois. sur R.Exercice 5.51. 1) 0; 2) .
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Exercice 5.52. 1 1; 2 13
; 3 2 ; 4 1 ; 5 1; 6 1; 7 e2 ; 8 ;
9 1 ; 10 0; 11) 2; 12) 12 3 ; 13) 1; 14) 0; 15) 1
2; 16) 0;
17) : 0; 8) 1; 19) 0; 20) 1; 21) e1; 22) 1; 23 1; 24 13
;
25 12
; 26 13
; 27 2; 28 16
; 29 12
; 30 16
ln a; 31 1;
32 ek; 33 e1; 34 16
; 35 e2 1; 36 2
3; 37 e1; 38 1; 39 1;
40 1; 41 0; 42 0; 43 e2
sin 2a a k 2; 44 0; 46 1
2;
47 0; 48 1; 49 1; 50 12
e; 51 12
; 52 aaloga 1; 53 1a ;
54 2 ; 55 1; 56 e2 ; 57 e
16 ; 58 e1; 59 e
13 ; 60 0;
61 cos a; 62 1; 63 13
; 64 0; 65 0; 66 2; 67 2;
68 13
; 69 12 ; 70 0; 71
12
;
72 1; 73 13
; 74 3; 75 4.
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Corrigés détaillés de certains exercices du chapitre V.
Exercice 5.4.1) fx |x| x2, x0 0.On cherche les dérivées à gauche et à droite au point x0 0.
f 0 x0lim
fx f0x 0
x0lim |x| x2
x x0lim x x2
x x0lim 1 x 1.
f 0 x0lim
fx f0x 0
x0lim |x| x2
x x0lim x x2
x x0lim 1 x 1.
Donc la fonction n’est pas dérivable au point x0 0, car f 0 f 0.
2) fx x 1Ex. On a
f 1 x1lim
fx f1x 1
x1lim
x 1Ex 0x 1
x1lim Ex 1.
f 1 x1lim
fx f1x 1
x1lim
x 1Ex 0x 1
x1lim Ex 0.
Donc la fonction n’est pas dérivable au point x0 1, puisque f 1 f 1.
7) fx 1e , |x| 1,
x2ex2, |x| 1
, x0 1. On a
f 1 x0lim
f1 x f1x
x0lim
1e
1e
x 0
et, d’après ex 1 x ox et h ox x2 h ox, x 0
f 1 x0lim
f1 x f1x
x0lim
1 x2e1x2 e1
x
x0lim
1 x2e12xx2 e1
x
1ex0lim
1 2x x21 2x x2 ox 1x
1ex0lim
1 2x x2 ox 2x 4x2 ox 1x
1ex0lim
5x2 oxx 0.
Donc f 1 f 1 et f est dérivable au point x 1. De la même manière, on démontreque f est dérivable au point x 1.
Exercice 5.5.5) fx |2 x2 | sin2x sgn2 x22 x2 sin2x. On a pour x :
f x 2sgn2 x2x sin2x |2 x2 | sin2x.Etudions maintenant la dérivée de f aux points x . On a
f x0lim
fx fx
x0lim
|2 x2 | sin2xx
x0lim xsgn x sin2x 0.
f x0lim
fx fx
x0lim
|2 x2 | sin2xx
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x0lim xsgn x sin2x 0.
Ainsi on a démontré que f est dérivable aux points x . D’autre partf x 2x sin2xsgn2 x2 |2 x2 | sin2x est égale à zéro aux points x . Doncx R on a : f x 2x sin2xsgn2 x2 |2 x2 | sin2x.
Exercice 5.7.1) Il est clair que sinx est dérivable x R et que Ex est dérivable pour x k k Z
avec f x f x f x Excosx x k, k Z. Au point x k , d’après la définitionde la dérivée, on trouve que:
f k xklim
fx fkx k
xklim
Ex sinx Ek sinkx k
xklim
Ex sinxx k
u0lim
Eu k sinu ku
u0lim
Eu ksinucosk cosu sinku 1k
u0lim
Eu k sinuu
1ku0lim Eu k.
u0lim sinu
u 1ku0lim Eu k
1kk
1kk 1.
Donc f k 1kk et f k 1kk 1.
6) fx sinx2 La fonction y u est dérivable si u 0 et u sinx2 est dérivablex R. Donc si sinx2 0, alors d’après la règle de dérivation , on trouve que
f x f x f x 2x cos x2
sinx2.
Mais sinx2 0 si 2k x2 2k, k N , c’est à dire si2k |x| 2k k 0,1,2, . . . . Dans ce cas, il suffit d’étudier la dérivée à droite
aux points xk 2k et la dérivée à gauche aux points xk 2k . On a:
f 2k h0lim
fx h fxh
h0lim
f 2k h f 2k h
h0lim
sin 2k h2
h
h0lim
sin2k 2h 2k h2h
h0lim
sin2 2k hhh
h0lim
sin2 2k hhh2 2k h
.2 2k h
h .
f 2k 1 h0lim
f 2k 1 h f 2k 1 h
h0lim
sin2h 2k 1 h2
h .
9) fx |ln|x||, x 0. Ecrivons cette fonction sous la forme suivante:fx ln|x|. sgnln|x|. Si |x| 1, on a
fx ln|x|. sgnln|x| ln|x| si |x| 1
ln|x| si |x| 1,
et, comme ln|x| 1x si x 0, alors
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f x f x f x 1x si |x| 1
1x si |x| 1,
1x sgnln|x|.si |x| 1.
Etudions la dérivabilité de f aux points x 1. On a, d’après limh0
ln1 hh
1
f 1 h0lim
f1 h f1h
h0lim |ln|1 h||
h
h0lim |h|
h.
ln1 hh
1,
f 1 h0lim
f1 h f1h
h0lim |ln|1 h||
h
h0lim |h|
h.
ln1 hh 1,
11) fx
x
1 e1x
si x 0
0 si x 0.Si x 0, alors
f x f x f x x
1 e1x
1 e
1x x 1
x2 e1x
1 e1x 2
x 1 xe1x
x1 e1x 2
.
Calculons f 0. On a:
f 0 h0lim
f0 h f0h
h0lim
h1 e
1h
0
h0lim 1
1 e1h
0.
f 0 h0lim
f0 h f0h
h0lim
h1 e
1h
0
h
h0lim 1
1 e1h
11 0
1.
13) fx 2x, si x 0
ln1 5 x7 si x 0.On a
pour x 0 : f x f x f x 2x 2,
pour x 0 : f x f x f x ln1 5 x7 75
5 x2
1 5 x7.
Calculons maintenant f 0 et f 0. On a
f 0 x0lim
fx f0x
x0lim
ln1 5 x7 x
x0lim
ln1 5 x7 5 x7
.x0lim
5 x7
x 0.
f 0 x0lim
fx f0x
x0lim 2x
x 2.
Exercice 5.8.2) y x|x|. Ecrivons cette fonction sous la forme y x2sgnx. En appliquant la règle de
dérivation du produit, on trouve pour x 0, y 2xsgnx 2|x| et pour x 0:
f 0 x0lim
x2sgnx 0x
x0lim xsgnx 0.
D’autre part y 2|x| est aussi égale à zéro pour x 0. Ainsi x R , y 2|x|.
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3) y |x 12x 13 |. Ecrivons cette fonction sous la formey x 12x 13sgnx 1. Les fonctions x 12 et x 13 sont dérivables x R et
la fonction sgnx 1 est dérivable pour x 1. On obtient pour x 1 :y 2x 1x 13sgnx 1 3x 12x 12sgnx 1 x 1x 125x 1sgnx 1 x2 15x 1|x 1|.
Calculons maintenant f 1 et f 1. On a
f 1 x10lim
fx f1x 1
x10lim
|x 12x 13 |x 1
x10lim x 12x 12. |x 1|
x 1
x10lim x 12x 12. sgnx 1 0.
f 1 x10lim
fx f1x 1
x10lim
|x 12x 13 |x 1
x10lim x 12x 12. |x 1|
x 1
x10lim x 12x 12. sgnx 1 0.
Donc f 1 0. Ainsi x R, f x x2 15x 1|x 1|.
21) fx Ex sin2x. Il est facile de voir que pour x k, k Z , la fonction estdérivable et, d’après la règle de dérivation d’un produit, on trouve:
f x Ex. 2 sinx cosx. Ex sin2x.Calculons maintenant f k et f k. On a
f k h0lim
fk h fkh
h0lim
Ek h sin2k hh
h0lim
Ek h sin2hh
h0lim Ek h sinh sinh
h 0.
Donc x R on a : y Ex sin2x.
22) D’une part, les fonctions 1 x, 1 x2 x et 2 x possèdent des dérivées dansles domaines considérés telles que:
y
1, si x 1
2x 3, si 1 x 2
1, si 2 x Calculons maintenant les dérivées à gauche et à droite aux points x 1 , x 2.On a:
f 1 x1lim
1 x 0x 1
1, f 1 x1lim
1 x2 x 0x 1
1,
f 2 x1lim
1 x2 x 0x 2
0, f 2 x2lim
2 x 0x 2
1,
donc f est dérivable en x 1, mais elle n’est pas dérivable en x 2.
24) D’une part, les fonctions arctgx et 4
sgnx x 12
sont dérivables respectivement
dans les domaines |x| 1 et |x| 1. D’autre part, on a
y
11 x2 , si |x| 1
12
, si |x| 1.
Calculons maintenant les dérivées de la fonction aux points x 1.Etudions les dérivées àgauche et à droite en ces points. On a, d’après l’exercice 3.42. 11):
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f 1 x10lim
fx f1x 1
x10lim
arctgx arctg1x 1
x10lim 1
x 1arctg x 1
1 x
x10lim
arctg x 11 x
x 11 x
. 11 x
12
.
f 1 x10lim
fx f1x 1
x10lim
4
sgnx x 12
4x 1
x10lim
4 x 1
2
4x 1
x10lim x 1
2x 1 .
f 1 x10lim
fx f1x 1
x10lim
4
sgnx x 12
4x 1
x10lim
4 x 1
2
4x 1
x10lim x 1
2x 1 1
2.
f 1 x10lim
fx f1x 1
x10lim
arctgx arctg1x 1
x10lim 1
x 1arctg x 1
1 x
x10lim
arctg x 11 x
x 11 x
. 11 x
12
.
Alors f est dérivable au point x 1, mais elle n’est pas dérivable au point x 1. Ainsi
f x
11 x2 si 1 x 1
12
si |x| 1.
Exercice 5.10.i) Comme |sin t| 1, t R, on a x sin 1
x |x|x0 0 f0. Donc f est continue en
x 0. Etudions la dérivabilité en x 0. On a
f 0 x0lim
fx f0x 0
x0lim
x sin 1x
x x0lim sin 1
x .
Montrons que cette limite n’existe pas. En effet, en prenant les deux suites
xn 1n et xn
12 2n
, n 1,
elles vérifient les relations suivantes
x0lim sin 1
xn
x0lim sinn 0 et
x0lim sin 1
xn
x0lim sin
2 2n 1.
Ce qui montre que f 0 n’existe pas.ii) a Comme dans i), on montre que f est continue en x 0, n 1.b) Etudions la dérivabilité comme dans i). On a
f 0 x0lim
fx f0x 0
x0lim
xn sin 1x
x x0lim xn1sin 1
x 0 si n 1 0,
car xn1sin 1x |xn1 |
x0 0 si n 1 0. Donc f est dérivable si n 2,3, . . .
c) Tout d’abord calculons la dérivée de la fonction pour x 0. On a
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f x nxn1 sin 1x xn cos 1
x . 1x nxn1 sin 1
x xn2 cos 1x .
Ainsi n 2 :
f x nxn1 sin 1
x xn2 cos 1x si x 0
0 , si x 0.
Etudions maintenant la continuité da la fonction gx f x. Si x 0, alors gxcomme fonction élémentaire est continue dans son domaine de définition. Il reste à étudier lacontinuité au point x 0. On a
gx nxn1 sin 1x xn2 cos 1
x xn2nx sin 1x cos 1
x .Cas n 2. Comme sinus et cosinus sont bornées, alors
|gx| |xn2 ||nx| 1x0 0 si n 2 0.
Cas n 2. On a
gx 2x sin 1x cos 1
x .
Comme dans i), le premier terme tend vers zéro quand x 0 et le deuxième n’a pas de limitequand x 0. Donc f est continue en x 0 pour n 2.
iii) a) On a |x|n sin 1|x|m
|x|nx0 0 f0 n 0. Pour n 0,
x0lim |x|n sin 1
|x|mn’existe pas.Donc f est continue si n 0 et m quelconque.
b) On a par définition
f 0 x0lim
fx f0x 0
x0lim
|x|n sin 1|x|m
x x0lim
|x|n1.xsgnx. sin 1|x|m
x
x0lim |x|n1. sgnx. sin 1
|x|m 0, si n 1.
Donc la dérivée f x existe en tout point si n 1 et m quelconque..c) Etudions d’abord la dérivabilité de la fonction fx en x 0. Comme f est fonction
élémentaire, on applique les règles de dérivation. On a donc pour x 0 :
f x n|x|n1 sin 1|x|m cos 1
|x|m.m|x|nm1 . sgnx.
On a, pour n 1
|f x| n|x|n11 m|x|mx0 0 f 0 si n 1 m.
Si n 1 m
f x n|x|n1 sin 1|x|m cos 1
|x|m.m. sgnx,
et comme limx0
cos 1|x|m
n’existe pas m 0, alors f 0 n’existe pas.
D’autre part, f x n’est pas bornée au voisinage du point x 0 si n 1 0ou n m 1 0, c’est à dire si n 1 ou n m 1. Il suffit de prendre n m 1 m 0.Donc f n’est pas continue en x 0 si n m 1.
En conclusion f est continue en x 0 si n 1 et m n 1.
Exercice 5.12.
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——————————————————————————————————-200
2) fx x2, si |x| 1
1|x|
, si |x| 1..
a) Les fonctions x2 et 1|x|
sont continues respectivement dans les domaines |x| 1
et |x| 1. Etudions maintenant la continuité de f aux points x 1. On af1 0
x10lim fx
x10lim 1
|x| 1,
f1 0 x10lim fx
x10lim x2 ,
f1 0 x10lim fx
x10lim x2 ,
f1 0 x10lim fx
x10lim 1
|x| 1.
Alors f est continue en x 1 si 1.b) Comme les fonctions y x2 et y 1
|x|sont dérivables respectivement si |x| 1
et |x| 1, alors f est dérivable si |x| 1. Etudions maintenant la dérivabilité de f aux pointsx 1. On a
f 1 x10lim
fx f1x 1
x10lim
x2 1x 1
x10lim
x2 x 1
x10lim
x 1x 1x 1
2.
f 1 x10lim
fx f1x 1
x10lim
1|x| 1
x 1
x10lim 1 |x|
|x|x 1 1.
f 1 x10lim
fx f1x 1
x10lim
x2 1x 1
x10lim
x2 x 1
x10lim
x 1x 1x 1
2.
f 1 x10lim
fx f1x 1
x10
lim
1|x| 1
x 1
x10lim 1 |x|
|x|x 1 1.
La condition de dérivabilité aux points x 1 est 2 1. Ainsi on obtient le système
1
2 1
qui a pour solutions: 32
et 12
. Donc la fonction
fx
123 x2, si |x| 1
1|x|
, si |x| 1
est dérivable sur R.
Exercice 5.13. fx |x a|x ,x a. Montrons que f n’est pasq dérivable en x a. Eneffet, comme lim
xax a 0, alors
limxa
fx fax a lim
xa
|x a|x 0x a lim
xa
|x a|x a x n’existe pas.
Calculons les dérivées à gauche et à droite f a , f a. On a
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f a xa0lim
fx fax a
xa0lim
|x a|xx a
xa0lim
x axx a
xa0lim x a ,
car x est continue au point x a, et
f a xa0lim
fx fax a
xa0lim
|x a|xx a
xa0lim
x axx a
xa0lim x a.
Exercice 5.15.1) a) Oui, car si F était dérivable en x0, alors, comme f est dérivable en ce point, la fonction
g F f serait dérivable en x0, ce qui contredit l’hypothèse que g n’est pas dérivable en x0.b) En général non, car, par exemple, les fonctions fx |x| et gx |x| ne sont pas
dérivables en x 0, alors que Fx fx gx 0 l’est.
3) D’après la définition de la dérivée nous avons :
F x0 h0lim
fgx0 h fgx0h
h0lim
fgx0 h fgx0gx0 h gx0
.gx0 h gx0
hsi gx0 h gx0 0.
a) Sih0lim
gx0 h gx0h
n’existe pas et f gx0 0, alors F fog n’est pas dérivable
en x0.
Mais si |gx0 h gx0| M.h eth0lim
fgx0 h fgx0gx0 h gx0
0 , alors F x0 existe
et F x0 0.
d) Exemple. fx x2 et gx |x|, x0 0. On a Fx |x|2 et
F 0 h0lim |0 h|2 0
h
h0lim h2
h 0.
4) Soit x0 un point de discontinuité de première espèce de f. On a,sachantque: fx0 0 fx0 0,
f x0 h0lim
fx0 h fx0h
h0lim fx0 h fx0.
h0lim 1
h
fx0 0 fx0.h0lim 1
h ;
f x0 h0lim
fx0 h fx0h
h0lim fx0 h fx0.
h0lim 1
h
fx0 0 fx0.h0lim 1
h .
Donc au point de discontinuité, la fonction n’admet pas de dérivée finie.ni à droite ni àgauche.
Si sgnfx0 0 fx0 sgnfx0 0 fx0, alors on peut dire que admet une dérivéeinfinie en x0 0.
Exemple. fx sgnx.
f 0 h0lim
sgn0 h sgn0h
h0lim 1
h ,
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f 0 h0lim
sgn0 h sgn0h
h0lim 1
h .
Exercice 5.16. Soit une fonction f dérivable et paire sur un intervalle J symétrique parrapport à l’origine et x J arbitraire. On a, par définition, et sachant que f est paire:
f x h0lim
fx h fxh
h0lim
fx h fxh
h0lim fx h fx
h h0lim
fx h fxh f x.
Donc la dérivée d’une fonction paire est impaire.Supposons maintenant que f est impaire. Dans ce cas, on a:
f x h0lim
fx h fxh
h0limfx h fx
h
h0lim
fx h fxh
h0lim
fx h fxh f x.
Donc la dérivée d’une fonction paire est impaire.
Exercice 5.19. On a y dy xx, xx0 0.
i) y fx x fx f2 1 f2 24 6 18,dy f xx , f x 3x2 1 , f 2 11 et dy 11.
L’erreur absolue est |y dy| 7 et l’erreur relative:
|y dy||y|
718 0,39.
Exercice 5.21.i) y f x0x cos 30
180. 1
60 0,0002517. Donc y 0,00025,
sin301 sin30 y 0,5 0,00025 0,50025.
Exercice 5.22.
iii) Calculons approximativement2,0372 32,0372 5
. Considérons la fonction
fx x2 3x2 5
. Posons x 2 et x 0,037 et calculons approximativement fx x.
On a: fx x fx f xx.
f2,037 2,0372 32,0372 5
f2 f 2. 0, 037. f x 16xx2 52
. 12
. x2 5x2 3
,
f2 13
, f 2 1627
.
Alors on obtient:2,0372 32,0372 5
13 16
27.0,037 0,355.
Exercice 5.23. Démontrons la formule approximative:n an x a x
nan1 a 0 et x a.
Tout d’abord, on a n an x a n 1 xan . Considérons la fonction fy n y y
1n .
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Dans ce cas f1 1 et f y 1n y
1n 1 f 1 1
n . Alorsn 1 x f1 f 1.x 1 x
n .
Donc n an x a 1 xan a1 x
nan a xnan1 .
Exemple. 4 80 4 34 1 3 14.33 3 0,0092592 2,9907.
Exercice 5.24.i) 7) fx x 1 3 3 x , a A1; 0. L’équation de la tangente à la courbe fx au
point M0x0,y0 est la suivante:y fx0 f x0x x0.
Nous avons f x 3 3 x 13x 13 x
23 , f1 0 , f 1 3 4 . En
remplaçant dans l’équation de la tangente, on obtient y 3 4 x 1.L’équation de la normale est la suivante: y fx0 1
f x0x x0. On trouve, après
calcul, que y 0 13 4x 1
3 22x 1.
iv) L’équation de la normale à cette courbe est: y fx0 1f x0
x x0 où x0 est
l’abscisse du point d’intersection de cette courbe avec la bissectrice y x. On a:
y x 2
y x x x 2
t2 t 2 0
t x
t 1, t 2
t x 0 t 1 x 1.
Calculons f1 et f 1. On a f1 1, f x 12 x
et f 1 12
. En remplaçant
dans l’équation de la normale, on obtient y 2x 1 0.
Exercice 5.25.i) y x2x 22. On a y 2xx 22 2x2x 2. Pour que la tangente à la courbe
donnée soit parallèle à l’axe OX au point d’abscisse x il faut et il suffit que y x 0, c’est àdire que 2xx 22 2x2x 2 4xx 2x 1 0.
En résolvant cette équation algébrique on trouve: x1 0, x2 1 et x3 2. Il s’ensuit quey1 0 , y1 1, y2 0. Ainsi aux points 0; 0 , 1; 1 , 2; 0 les tangentes à la courbedonnée sont parallèles à l’axe des abscisses Ox.
iv) y x3 px q. Pour que la courbe donneé admet comme tangente l’axe Ox, il fautet il suffit que les conditions suivantes soient satisfaites:
yx 0
y x 0où x est l’abscisse du point de tangence. Donc
x3 px q 0
3x2 p 0
x3 px q 0
p 3x2
x3 3x3 q 0
p 3x2
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x3 q
2p 3x2
x 3
q2
p 3 3 q22
p33 q
22 0.
Ainsi on a trouvé la condition sur p et q pour laquelle l’axe OX est tangent à la courbey x3 px q et l’abscisse du point de tangence.
viii) y x 9x 5
. y y0 f x0x x0 et pour x 0 y 0. Donc la tangente à la
courbe passant par 0,0 vérifie l’équation y y0 f x0x x0 avec y0 f x0x0. Cherchonsle point de tangence avec la courbe. On a f x 4
x 52l’équation
0 x0 9x0 5
4x0 52
0 x0 x0 9x0 5
4x0
x0 52
On obtient deux solutions x0 3 et x0 15 et alors les pentes de ces deux tangentes sontégales respectivement à f 3 1 et f 15 1
25. D’où les deux équations des tangentes
passant par l’origine
y x et y x25
.
xi) y x2 2x 5. L’équation de la corde passant par les points de la paraboled’abscisses x1 1 et x2 3 s’écrit comme suit: x x1
x2 x1 y y1
y2 y1où y1 x1
2 2x1 5 4
et y2 x22 2x2 5 8. Alors on trouve l’équation de la corde :
x 13 1
y 48 4
4x 1 2y 4 y 2x 2.
Cherchons maintenant l’équation de la tangente à la parabole parallèle à la cordey 2x 2. On a y fx0 f x0x x0 avec f x0 k 2 et k 2 est le coefficient
angulaire de la corde. D’où: 2x0 2 2 x0 2.Et alors y f2 f 2x 2 5 2x 2 2x 1. Donc l’équation de la tangente est
y 2x 1.
Exercice 5.26.7) y x 1
x 2et y x2 4x 8
16. Pour trouver l’angle entre les tangentes à ces deux
courbes aux points d’intersection, cherchons d’abord ceux des deux courbes. On a:x 1x 2
x2 4x 816
x3 6x2 0, x 2 x 0 ou x 6.
L’équation de la tangente à la courbe y x 1x 2
au point d’abscisse x 0 est :
y f0 f 0x où f0 12
, f x 1x 22
et f 0 14
. Donc y 14
x 12
.
De même, l’équation de la tangente à la courbe y x2 4x 816
au point d’abscisse x 0
est aussi y 14
x 12
.
Alors l’angle entre les deux courbes données au point d’abscisse x 0 est 0, car lestangentes aux courbes données au point d’abscisse x 0 coïncident.
Calculons maintenant l’angle entre ces deux courbes au point d’abscisse x 6.L’équation de la tangente à la courbe y x 1
x 2au point d’abscisse x 6 est
y f6 f 6x 6avec f6 54
et f 6 116
. Donc
y f6 f 6x 6 54 1
16x 6 1
16x 13
8,
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c’est à dire que y 116
x 138
.
L’équation de la tangente à la courbe y x2 4x 816
au point d’abscisse x 6
est y f6 f 6x 6 avec f6 103
, f 6 12
. Donc
y f6 f 6x 6 103 1
2x 3 1
2x 1
3.
Cherchons maintenant l’angle entre les deux tangentes y 116
x 138
et
y 12
x 13
. Les coefficients angulaires sont respectivement k1 116
et k2 12
.
tg k1 k2
1 k1k2
116 1
21 1
32
1831 arctg 18
31.
Exercice 5.28.10) y sin2x. Calculons yn. On a, d’après la formule de l’exercice 6),
sinnx sinx n 2, n N,
ety 1 cos 2x
2, y sin2x et, donc yn 2n1 sin2x n 1
2, n 1.
Exercice 5.30.
ii) fx e 1
x2 , si x 0
0, si x 0.En dérivant successivement fx pour x 0 , nous
obtenons
f x 2x3 e
1x2 , f x 4
x6 6x4 e
1x2 , . . . , fnx Q3n 1
x e 1
x2
où Q3n 1x est un polynôme de degré 3n suivant les puissances de 1
x .Calculons la dérivée de f au point x 0. On a
f 0 x0lim
fx f0x 0
x0lim e
1x2
x .
En faisant le changement de la variable suivant 1x2 z , on trouve, d’après la règle de
L’Hospital que
f 0 zlim z
12
ez zlim z
12
2ez 0.
Supposons que fn10 existe et fn10 0. Démontrons alors que fn0 existe aussiet est égale à zéro. En effet, on a, d’après la limite remarquable
tlim tk
e t tlim a0 a1t . . .antn
e t 0, k N, n N :
fn0 x0lim
fn1x fn10x 0
x0lim
Q3n3 1x e
1x2
x x0lim
Q3n2 1x
e1x2
0.
Ainsi nous avons démontré que f admet une dérivée n iéme au point x 0, où n est unnombre natutel arbitraire . Donc f est indéfiniment dérivable au point x 0.
Exercice 5.31.
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3) y e4x 2ex. Calculons les dérivées y et y et remplaçons les dans l’équationdonnée. On a
y 4e4x 2ex, y 16e4x 2ex , y 64e4x 2ex.En remplaçant dans l’équation, on trouve:
64e4x 2ex 134e4x 2ex 12e4x 2ex 64e4x 2ex 42e4x 26ex 12e4x 24ex 0.
Exercice 5.32.1) Sachant que xkn 0 si n k, alors on a
x2 1 sinx20 k020 C20
k x2 1ksinx20k x2 1sinx20 C20
1 x2 1 sinx19 C202 x2 1 sinx18
x2 1sinx 10 40x sinx 192 20.19
2!. 2!. sinx 18.
2
x2 1 sinx 40x cos x 380sinx x2 379 sinx 40x cos x.
Exercice 5.34.ii) 2 On applique la règle de dérivation d’une fonction donnée sous forme implicite:
2x 2yy 0 dydx y x
y .
d2yd2x
ddx
dydx d
dx x
y x y y x
y2 y y xy2
y x2
yy2 y2 x2
y3 .
d3y
dx3 ddx
d2ydx2
ddx y2 x2
y3 2yy 2xy3 3y2y x2 y2y6
2xy3 2y4 3y2y
y6 2y x
y y3 2xy3 3y2. xy x
2 y2
y6 3xr2
y5 .
Exercice 5.35.
ii) x at2, y bt3,d2ydx2 ?
D’après la règle de dérivation des fonctions données sous forme paramétrique, on a:
dydx
dydtdxdt
3bt2
2at 3b
2at;
d2yd2x
ddx
dydx d
dt
dydx. dx
dt1 y t
x t y t
x t
x t3
.
Sachant que y t 6bt et x t
2a , on trouve alorsd2yd2x
6bt. 2at 2a. 3bt2
2at3 6abt2
8a3t3 3b
4a2t.
Exercice 5.37.ii) y 2 x2
x4 , x 1,1. On a
y1 2 11 1, y1 2 1
1 1 et y 2x2 8
x5 .
Donc y 0 si x 2. Mais x 2 1;1. Alors la dérivée de f ne s’annule enaucun point de 1,1.
Le théorème de Rolle n’est pas satisfait parce que f n’est pas continue à l’intérieur du
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segment 1,1, à savoir au point x 0.
Exercice 5.38. fx x 1x 2x 3x 4. La fonction f vérifie les conditions duthéorème de Rolle dans chacun des segments suivants: 1,2, 2,3 et 3,4 et, par conséquent, f
admet une racine dans chacun de ces segments et se sont les seules, car f est un polynôme dedegré 3.
Exercice 5.41.
i) y 3 x2
2si 0 x 1
1x si 1 x .
Les fonctions 3 x2
2et 1
x sont respectivement
dérivables sur 0; 1 et 1;. Etudions la dérivabilité de f au point x 1. On a
f 1 x10lim
fx f1x 1
x10lim
3 x2
2 1
x 1
x10lim 1 x2
2x 1 1.
f 1 x10lim
fx f1x 1
x10lim
1x 1x 1
x10lim 1 x
xx 1 1.
Donc f 1 f 1 et, alors f est dérivable au point x 1. Ainsi la fonction f estdérivable sur le segment 0; 2. On applique le théorème de Lagrange sur le segment 0; 2 :
f2 f0 f c. 2 où 0 c 2 avec f2 12
et f0 32
.
Calculons f x. On a
f x x si 0 x 1
1x2 si 1 x 2
Si 0 c 1, alors f c c. D’où il decoule quef2 f0 2c 1
2 3
2 2c c 1
2.
Si 1 c 2, alorsf c 1
c2 f2 f0 2c2
2c2 1 c 2 .
Conclusion: c 12
ou c 2 .
Exercice 5.43.3) Soient fx x3 et gx x2 1, x 1; 2. Ecrivons le théorème de Cauchy :
f2 f1g2 g1
f cgc
où 1 c 2.
Ce qui est équivalent à8 15 2
3c2
2c 7
3 3
2c c 14
9.
Exercice 5.45.i) 2) D’apres le théorème de Lagrange on a:
arctgx arctgy arctgc. x yavec f c 1
1 c2 . Et alors, comme 11 c2 1, on a
arctgx arctgy 11 c2 |x y| |x y| ,
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ii) 2 Appliquons le théorème de Lagrange à la fonction y tgx sur l’intervalle ; , avec0
2. On a, d’une part, f f f c avec c et
f x 1cos2x
. Donc tg tg cos2c
. D’autre part, on a:
0 c 2 cos2 cos2c cos2 0.
Donc1
cos2 1
cos2c 1
cos2.
Alors cos2
cos2c
cos2
.
Ainsi nous avons démontré que cos2
tg tg cos2
.
Exercice 5.46.3) fx 2x
1 x2 . On a
f x 21 x1 x1 x2
0 x 1;1 et f x 0 x ;11;.
et donc f est strictement croissante sur 1;1 et strictement décroissante sur chacun desintervalles ;1 et 1;.
7) y x sinx . On a y 1 cos x 0 ,x R. Donc y x sinx est croissantesur R.
Exercice 5.48. Posons Fx fx gx. On a: Fn1x fn1x gn1x.Appliquons le théorème de Lagrange à la fonction Fn1x sur l’intervalle x0; x. On obtient:
Fn1x Fn1x0 Fnc. x x0, x0 c x.D’autre part, on a
Fnc fnc gnc 0 et Fn1x0 fn1x0 gn1x0 0.De cette façon, on trouve que Fn1x 0 pour x x0.De manière analogue, on montre que Fn2x 0 pour x x0. En continuant ce
processus, on arrive à l’inégalité Fx 0 pour x x0. D’où fx gx pour x x0.
Exercice 5.49.3) n x n a n x a , si n 1 et x a 0? Posons fx n x n a et
gx n x a . On a:fa ga 0, f x 1
n n xn1, gx 1
n n x an1.
On trouve que pour x a , f x gx. Alors, d’après l’exercice précédent 5.48,fx gx pour x a 0.
4) 2 x 3 1x x 1? Posons fx 2 x et gx 3 1
x . On a:
f1 g1, f x 1x
et gx 1x2 .
Alors f x gx pour x 1. Donc on déduit, d’après l’exercice 5.48, que fx gxpour x 1, c’est à dire 2 x 3 1
x x 1.
8) ex 1 x pour x 0? Appliquons le résultat de l’exercice précédent 5.48. Pour cela,
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posons fx ex et gx 1 x. Notons que f0 g0 1 et f x gx x 0.Alors d’après l’exercice 5.48, on trouve que fx gx , x 0.
Pour x 0, posons x t. On obtient alors :f t ft et et gt gt 1 t
pour t 0. On af0 g0,
ft et, g t 1 et
ft g t pour t 0.
Alorsf t gt pour tout t 0, c’est à dire que ex 1 x pour x 0.
12) Posons fx x x3
6, hx sinx , gx x. Nous avons
f0 h0 g0 0, f x 1 x2
2, hx cos x et gx 1.
Montrons que f x hx gx pour x 0 et x 2k, k 1,2, . . . .En effet, soit x f x hx 1 x2
2 cos x, x 0. Dans ce cas
x x sinx 0, x 0.Donc est strictement décroissante sur 0, et x 0 0. Ainsi
f x gx, x 0.De même, on montre que gx hx, x 0. Alors ,d’après l’exercice 5.48), on obtient
que fx hx gx pour x 0 et x 2k. Pour x 2k , on a
2k1 4k22
6 0 2k, k 1,2, . . . . Donc f2k h2k g2k, k 1,2, . . . .Ainsi,
on a démontré que l’inégalité fx gx hx, x 0 est vraie.17) Montrons que sinx 2
x, x 0, 2
. Cette inégalité est équivalente à
sinxx 2
, x 0, 2
.
Posons fx sinxx qui est dérivable sur 0,
2. Sachant que x tgx et cos x 0 sur
0, 2
, on a
f x x cos x sinxx2
cos xx tgxx2 0, x 0,
2.
Donc f est strictement décroissante sur 0, 2
. Donc fx f 2 sur 0,
2et,
comme f C0, 2 avec f
2 2 , on obtient fx 2
,x 0, 2
. L’inégalité
sinx x se démontre de la même manière avec fx sinx x.
Exercice 5.52. Remarques.i) Les fonctions suivantes vérifient les conditions du théorème de L’Hospital, à savoir elles
sont dérivables dans un voisinage épointé du point considéré.
ii) Il faut d’abord vérifier quexx0
limfnxgnx
existe avant d’écrire la limite.
11)x1lim xx x
ln x x 1 0
0F. I. . On a:
x1lim
ex lnx x
ln x x 1
x1lim
ex lnxln x 1 11x 1
x1lim
xex lnxln x 1 x1 x
x1lim
ex lnxln x 1 xex lnxln x 12 ex lnx 11 2.
Doncx1lim xx x
ln x x 1 2.
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35)x1lim 2 x tg
x2 1 F. I. . Pour appliquer la règle de L’Hospital, ramenons cette
forme indéterminée à celle 00
ou . Pour cela, remarquons que
x1lim 2 x
tgx2 e x1
limtg x2 .ln2x
Calculonsx1lim tg
2x ln2 x. On a:
x1limtg
2x ln2 x
x1lim
ln2 xctg
2x 0
0 F. I.
etx1limln2 x
ctg 2
x
x1lim
2sin2 x
2 x 2 .
Doncx1lim 2 x
tgx2 2
.
44)x10lim ln x. ln1 x 0. F. I. . De même que dans l’exemple 35, écrivons
x10lim ln x. ln1 x
x10lim
ln1 x1
ln x
00F. I.
On ax10lim
ln1 x
1ln x
x10lim x ln2x
1 x 0
0 (F.I.). Appliquons une deuxième fois la règle de
L’Hospital à cette dernière limite. On a
x10lim
x ln2x
1 x
x10lim
ln2x x. 2ln x 1x
1 x10lim ln2x . 2 ln x
1 0.
Doncx10lim ln x. ln1 x 0.
47)x00lim x ln x 0. F. I. . 0. On a
x00lim x ln x
x00lim ln x
x F. I. et
x00lim
ln x
x
x00lim
1x
x1 1 .
x00lim x 0.
Doncx00lim x ln x 0.
63)x0lim 1
xarctgx 1
x2 F. I. . Comme pour l’exemple 35, on a
x0lim 1
xarctgx 1
x2 x0lim
x arctgx
x2arctgx 0
0F. I.
et
x0limx arctgx
x2arctgx
x0lim
1 11 x2
2xarctgx x2
1 x2
x0lim x
21 x2arctgx x
x0lim 1
4xarctgx 2 1 1
3.
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Doncx0lim 1
xarctgx 1
x2 13
.
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Chapitre VI. Formule de Taylor. Développements limités.Rappels de cours.
§1. Formule de Taylor.
VI.1 Formule de Taylor pour un polynôme. SoitPx a0 a1x a2x2 . . . anxn
un polynôme réel de degré n N an 0 et soit x0 R. Le développement de cepolynôme en puissances de x x0 est donné par la formule suivante:
Px Px0 P x0
1!x x0
P x02!
x x02 . . .Pnx0
n!x x0n,
qui s’écrit de façon condensée: Px k0
n
Pkx0k!
x x0k, appelée polynôme de
Taylor de degré n en x0 .Par exemple, développons le polynôme Px x2 x 1 suivant les puissances de
x 1, c’est à dire écrivons la formule de Taylor de x2 x 1 en x 1. On a :
P1 1, P 1 x2 x 1x1 2x 1x1 3, P 1 P xx1 2.
Donc Px x2 x 1 1 3x 1 x 12.
VI. 2. Formule générale de Taylor pour une fonction. Soit f une fonction nonpolynômiale ayant des dérivées successives jusqu’à l’ordre n N au point x0 R. Lepolynôme suivant de degré n
Pnx fx0 f x0
1!x x0
f x02!x x02 . . .
fnx0n!
x x0n
est appelé polynôme de Taylor de dégré n de la fonction f en x0.La fonction définie dans le voisinage V de x0 par Rnx; x0 fx Pnx, est appelée
reste en x0. Ainsi, la fonction f s’écrit dans le voisinage V comme suit :
fx fx0 f x0
1!
x x0 f x0
2!x x02 . . .
fnx0n!
x x0n Rnx; x0
k0
n
fkx0k!
x x0k Rnx; x0 Pnx Rnx; x0, x V.
Cette formule est appelée formule générale de Taylor avec reste R d’ordre n de f en x0 etle reste peut s’exprimer de différentes manières et dépend des hypothèses faites sur la fonction f.
VI.3. Formule de Taylor avec reste de Peano. Si f est une fonction dérivable jusqu’àl’ordre n N au point x0 R, alors il existe un voisinage V de x0 dans lequel on a :
fx fx0 f x0
1!x x0
f x02!x x02 . . .
fnx0n!
x x0n ox x0n,
appelée formule de Taylor avec reste de Peano. En posant x x x0, la formules’écrit:
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fx k0
n
fkx0k!
xk oxn, x 0.
VI.4. Formule de Taylor avec reste de Lagrange. Soit f une fonction définie et dérivablejusqu’à l’ordre n 1 dans un voisinage V de x0 R, alors on a les formules suivantes:
fx fx0 f x0
1!x x0
f x02!x x02 . . .
fnx0n!
x x0n fn1cn 1!
x x0n1
avec c compris entre x0 et x. ou bien
fx k0
n
fkx0k!
x x0n fn1x0 x x0
n 1!x x0n1, 0 1,
appelées formules de Taylor avec reste de Lagrange.
VI.5. Formule de Taylor avec reste de Cauchy. Soit f une fonction définie et dérivablejusqu’à l’ordre n 1 dans un voisinage V de x0 R, alors on a la formule suivante:x V,
fx k0
n
fkx0k!
x x0k fn1x0 x x0
n!1 nx x0n1, 0 1
appelée formule de Taylor avec reste de Cauchy au point x0 de la fonction f.
VI.6 Formules de Mac-Laurin. Les formules de Mac-Laurin s’obtiennent à partir de cellesde Taylor pour le cas particulier x0 0. Ainsi au voisinage V du point x0 0, on a lesdifférentes formules suivantes:
1) formule de Mac-Laurin avec reste de Peano :
fx f0 f 01!
x f 02!
x2 . . . fn0n!
xn oxn x 0,
2) formule de Mac-Laurin avec reste de Lagrange:x V, , 0 1,
fx f0 f 01!
x f 02!
x2 . . . fn0n!
xn fn1xn 1!
xn1,
3) formule de Mac-Laurin avec reste de Cauchy: x V, , 0 1,
fx f0 f 01!
x f 02!
x2 . . . fn0n!
xn fn1xn!
1 nxn1.
VI.7. Application de la formule de Mac-Laurin aux fonctions usuelles. Les fonctionsusuelles suivantes sont toutes indéfiniment dérivables sur les domaines indiqués, par conséquentles formules de Mac-Laurin s’appliquent jusqu’à n’importe quel ordre.
1) Formule de Mac-Laurin de la fonction exponentielle:fx ex , x R . On a exn ex, x R, n N,
n N,x R ,, 0 1 : ex 1 x1! x2
2!. . . xn
n!
ex
n 1!xn1.
2) Formule de Mac-Laurin de la fonction logarithme:
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fx log1 x, x 1. On a
log1 xn 1n1n 1!1 xn
, x 1 , n N,
n N, x 1,, 0 1 : log1 x x x2
2. . . 1
n1xn
n 1nxn1
n 11 xn1.
3) Formule de Mac-Laurin de la fonction sinus, fx sinx, x R. Ona sinnx sinx n
2, n N, D’où p N, x R, , 0 1:
sinx x x3
3!. . .1p x2p1
2p 1! 1p1 sinx
2p 2!x2p2,
ou de manière symétrique par rapport à la puissance de x :
sinx x x3
3!. . .1p1 x2p1
2p 1! 1p cosx
2p 1!x2p1.
4) Formule de Mac-Laurin de la fonction cosinus, fx cos x, x R. On acosnx cosx n
2, n N, D’où x R, p N, , 0 1:
cos x 1 x2
2!. . .1p x2p
2p! 1p1 sinx
2p 1!x2p1,
ou de manière symétrique
cos x 1 x2
2!. . .1p x2p
2p! 1p1 cosx
2p 2!x2p2.
5) Formule de Mac-Laurin de la fonction fx 1 x, R, x 1. On a1 xn 1 2. . . n 1 1 xn, n N, et,
alors n N, x 1, , 0 1,
1 x 1 1!
x 12!
x2 . . . 1 2. . . n 1n!
xn
1 2. . . n1 xn1
n 1!xn1.
Cas particuliers.i) 1. Pour x 1, : , 0 1,
11 x
1 x x2 . . .1nxn 1n1 11 xn2
xn1. 11 x
1 x x2 . . .xn 11 xn2
xn1.
ii) 12
, pour x 1, , 0 1, :
1 x 1 x2 1
2.4x2 . . .1n1 1.3.5. . . 2n 3
2.4.6. . . 2nxn . . .
1n 1.3. . . 2n 12.4. . . 2n 2
11 xn1/2
xn1.
ou bien
1 x 1 x2 1
2.4x2 . . . 1n1 2n 3!!
2n!!xn . . .
1n 2n 1!!2n 2!!
11 xn1/2
xn1.
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VI.8. Application de la formule de Mac-Laurin au calcul approché. Pour le calcul decertaines valeurs approchées de nombres on peut utiliser la formule de Taylor avec reste deLagrange en prenant la formule d’approximation suivante:
fx f0 f 01!
x f 02!
x2 . . . fn0n!
xn.
Si fn1x M, x r, r , alors on a la majoration suivante du reste :
|Rnx| fn1xn 1!
xn1 M |x|n1
n 1! M rn1
n 1! n 0 r 0.
Par exemple , calculer sin20o à 103 près. On a sin20o sin 9
et, d’après la formule
d’approximation
sinx x x3
3! x5
5!. . .1p x2p1
2p 1! R2p1x, x R,
avec R2p1x vérifiant
|R2p1x| 1p1 sinx2p 2!
x2p2 x2p2
2p 2! p 0, x R.
Pour x 9
et p 1, on a: R3 9
4. 1
4! 0,00062 103, ce qui donne
sin20o 9
9
34. 1
3! 0,342 à 103 près.
VI. Applications aux inégalités. La formule de Taylor-Lagrange peut être utilisée pourétablir certaines
inégalités. Par exemple, montrons que:
x 0, x x2
2 log1 x x x2
2 x3
3;
On a respectivement pour n 2 et n 3, x 1, 1, 2 0 1,2 1,
log1 x x x2
2 1
31 1x3x3 et log1 x x x2
2 x3
3 1
41 2x4x4.
Comme x3
31 1x3 0 et x4
41 2x4 0 si x 0, alors
x x2
2 log1 x x x2
2 x3
3.
§2. Développements limités et applications.
VI.10. Développements limités.Définition 1. Soit f une fonction définie dans un voisinage épointé U de x0. On dit que f
admet un développement limité d’ordre n en x0 R s’il existe des nombres réelsa0, a1, . . . ,an et une fonction x tels que:
x U, fx a0 a1x x0 . . .anx x0n xx x0n avecxx0
lim x 0.
Le polynôme Px a0 a1x x0 . . .anx x0n de dégré n est appelé partierégulière de f en x0. La fonction Rx xx x0n est appelée reste et on
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a: Rx ox x0n x x0. Par abréviation, on écrit que f admet un D.L. d’ordre n enx0 ou D.Lnx0.
Définition 2. Soit f définie dans un voisinage V de l’infini. On dit que f admet un D.Ld’ordre n N à l’infini s’il existe un polynôme P de degré n tel que
fx P 1x o 1
xn , x V.
Remarque. Le D.L. de fx à l’infini correspond au D.L. de la fonctiont
f t f 1
t au point t 0 avec t 1x .
Les deux théorèmes suivants ( unicité et existence des D.L.) sont vrais:
Théorème 1. Si f admet un développement limité au point x0, alors il est unique.
Théorème 2. Si f est dérivable n fois au point x0, alors elle admet en ce point le D.L.d’ordre n suivant:
fx n
k0
f x0k!x x0k ox x0n, x x0.
Remarque. Le D.L. d’une fonction peut exister sans que la formule de Mac-Laurin ne soitapplicable, c’est à dire que la condition du théorème 2) est suffisante, mais pas nécessaire.
VI.11. Propriétés des D.L. Soit f une fonction admettant un D.L. d’ordre n N en x0,alors les propriétés suivantes sont vraies:
i)xx0
lim fx a0, c’est à dire que f est prolongeable par continuité en x0.
ii) Si n 1, la fonction prolongée est dérivable en x0, c’est à dire si a0 fx0, alors:
f x0 xx0
limfx fx0
x x0 a1.
iii) s’il existe p, 0 p n tel quefx apx x0p . . .anx x0n ox x0n x x0,
alors f apx x0p x x0.Inversement:
f apx x0p x x0 fx apx x0p ox x0p x x0
iv) Si x0 0 et f est paire, alors a2p1 0, p N .v) Si x0 0 et f est impaire, alors a2p 0, p N.
Remarques.1) Le D.L. en x0 de f n’existe pas si
xx0
lim fx n’existe pas, en vertu de la propriété i).
2) La fonction f peut admettre un D.L. en x0, même si elle n’est pas définie en ce point.3) D’après les propriétés i) et ii), si fx0 a0, alors f est continue en x0, et, donc,
f x0 a1 et si f admet un D.L. d’ordre n 1, alors elle est dérivable et f x0 a1.4) L’existence du D.L. d’ordre n 2 de f n’implique pas l’existence de fnx0, même si
fx0 a0.5) Pour que f soit dérivable en x, x x0, il faut et il suffit que la fonction le soit aussi
(dans la définition du D.L., cette dernière condition n’est pas exigée).6) Si f est dérivable en x0 jusqu’à l’ordre (n 1, alors son D.L. peut s’écrire
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fx a0 a1x x0 a2x x02 . . .anx x0n Ox x0n1, x x0.
Exemple. La fonction
fx 1 x . . .xn xn1 sin 1
xn1 , x 0
0, x 0,
admet le D.L. fx 1 x . . .xn xnx avec a0 a1 . . . an 1et x x sin 1
xn1x0 0, alors que f n’est pas continue en x0 0, donc elle n’est pas
dérivable en ce point.
VI.12. Règles d’utilisation. Dans la suite, on considèrera les D.L. au point x0 0, car onpeut toujours se ramener à ce cas si x0 0 en faisant le changement de variable t x x0.Pour établir le D.L. d’une fonction f, on peut utiliser la formule de Taylor-Peano si fn0 existe,en calculant les dérivées successives de f au point x0 0 : f0, f 0, . . . , fn0.Cependant, on peut éviter ces calculs à l’aide d’opérations sur les D.L. Les théorèmes suivants
sont vrais:
Théorème 1. (Troncature). Si f admet un D.L. d’ordre n N au point x0 0, alors elleadmet un D.L. d’ordre p, p n.
Théorème 2. Soit fx Px 1xxn et gx Qx 2xxn les D.L. d’ordre n Nrespectivement de f et g en x0 0 , avec
Px a0 a1x . . .anxn et Qx b0 b1x . . .bnxn
des polynômes de degré n . Alors les fonctions f g, f.g,fg si lim
x0x 0 , fog si
g0 0 admettent des D.L. d’ordre n en x0 0 et on a les D.L. correspondants suivants :i) fx gx Px Qx 3x.xn, 3x
x0 0 ;
ii) fx.gx Sx 4x.xn, 4xx0 0 où Sx est le
polynôme de degré n, obtenu à partir du produit PxQx;
iii fxgx
Tx 5x.xn, 5xx0 0, Tx étant un polynôme de degré n, obtenu
à partir de la division de Px par Qx suivant les puissances croissantes de x;iv) si g0 0, alors fgx Cx 6x.xn, 6x
x0 0 où Cx est le polynôme
de degré n obtenu à partir du polynôme composé PQx.
VI.13 Table des D.L. des fonctions usuelles et élémentaires. La connaissance des D.L. desfonctions usuelles et élémentaires est nécessaire pour les utiliser dans certaines applications. Ondressera la table des D.L. des principales fonctions usuelles ( qui vérifient les conditions duthéorème d’existence des D.L.) au no VI.16, et à partir de laquelle, on peut obtenir d’autres enutilisant les opérations sur les D.L.
Remarques.1) Dans la table des D.L., on notera le reste par x.xn, sachant que ce n’est pas la même
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fonction . On a , pour tous les ,x0lim x 0, sans le préciser à chaque fois.
2) Le reste Rx x.xn peut s’écrire aussi Rx oxn x 0.
VI.14. Développements limités généralisés. Soit f une fonction définie dans un voisinageépointé de x0 R et n’ayant pas de D.L. en ce point. Si la fonction gx x x0fx admetun D.L. en x0 pour un certain réel 0 de la forme
x x0fx a0 a1x x0 . . .anx x0n ox x0n,
on dit alors que la fonction f admet un développement limité généralisé en x0 qui s’écrit
fx 1x x0
a0 a1x x0 . . .anx x0n ox x0n , x x0.
Exemple. La fonction fx ctgx n’est pas définie en x0 0 et elle n’admet pas de D.L. ence point car on a
x0limctgx . Cependant, la fonction gx xctgx admet un D.L. 0. Le
D.L. de la fonction gx xctgx d’ordre 4 est: xctgx 1 x2
3 x4
45 ox4, donc le D.L.
généralisée de fx ctgx est
ctgx 1x
x3 x2
45 ox3.
VI.15. Application des D.L. au calcul des limites. Les fonctions données dans les exemplessuivants admettent toutes des D.L. de tout ordre. Pour le calcul de l’ordre nécessaire des D.L., ilsuffit de déterminer celui qui permet de lever l’indétermination.
Exemple 1. Calculerx0lim sinx x
x3 00
F. I. . On a
sinx x x3
6 ox3 x 0 et
sinx xx3
x x3
6 ox3 x
x3 16 ox3
x3x0 1
6 0 1
6.
Exemple 2. Calculer limx0
e x2
2 cos xx3 sinx
00
F. I. . Connaissant les D.L. des fonctions ex,
cos x et sinx, on déduit que
ex2
2 1 x2
21! x2
2
2
2! ox4 1 x2
2 x4
8 ox4 x 0
et
ex2
2 cos xx3 sinx
1 x2
2 x4
8 ox4 1 x2
2 x4
24 ox4
x3x ox
x4
12 ox4
x4 x3ox
x4 112 ox4
x4
x4 1 x3oxx4
x0
112 0
1 0 1
12.
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VI.16. Table des D.L. des fonctions usuelles.Dans la suite on note 2.4.6. . . 2n 2n!! et 1.3.5. . . 2n 1 2n 1!!.
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1) ex 1 x1! 1
2!x2 . . . 1
n!xn oxn
n
k0
xk
k! oxn,
2) log1 x x 12
x2 13
x3 . . . 1n xn oxn
n
k0
1k1 xk
k oxn,
3) 1 x 1 x 12!
x2 . . . 1 2. . . n 1n!
xn oxn
1 n
k1
1 2. . . k 1k!
xk oxn,
4) 11 x
1 x x2 . . .xn oxn n
k0
xk oxn,
5) 11 x
1 x x2 x3 . . .1nxn oxn n
k0
1kxk oxn,
6) 1 x 1 x2 1
2.4x2 1.3
2.4.6.x3 . . .1n11 1.3.5. . . 2n 3
2.4.6. . . 2nxn oxn
n
k1
1k1 2k 3!!2k!!
xk oxn.
7) 11 x
1 12
x 1.32.4
x2 1.3.52.4.6
x3 . . .1n 1.3. . . 2n 32.4. . . 2n
xn oxn
n
k0
1k 1.3. . . 2k 32.4. . . 2k
xk oxn,
8) sinx x x3
3!. . .1n x2n1
2n 1! ox2n2
n
k0
1k x2k1
2k 1! ox2n2,
9) cos x 1 x2
2! x4
4!. . .1n x2n
2n! ox2n1
n
k0
1k x2k
2k! ox2n1,
10) tgx sinxcos x x 1
3x3 2
15x5 17
315x7 . . .ox2n1,
11) ctgx cos xsinx
1x
13
x 145
x3 2945
x5 . . .a2n1x2n1ox2n2,
12) arcsin x x 12
x3
3 1.3
2.4x5
5. . . 1.3.5. . . 2n 1
2.4.6. . . 2nx2n1
2n 1 ox2n2
x n
k1
2k 1!!2k!!
x2k1
2k 1 ox2n2
n
k0
2k!4kk!2
x2k1
2k 1 ox2n2,
13) arccos x 2 arcsin x
2
n
k0
2k!4kk!2
x2k1
2k 1 ox2n1,
14) arctgx x 13
x3 15
x5 . . . 1n
2n 1x2n1 ox2n2
n
k0
1k2k 1
x2k1 ox2n2,
15) arcctgx 2arctgx
2
n
k0
1k2k 1
x2k1 ox2n2,
16) shx x1! x3
3!. . . x2n1
2n 1! ox2n2
n
k0
x2k1
2k 1! ox2n2,
17) chx 1 12
x2 14!
x4 . . . 12n!
x2n ox2n1 n
k0
x2k
2k! ox2n1,
18) thx shx
chx x 1
3x3 2
15x5 17
315x7 . . .a2n1x2n1 ox2n2,
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——————————————————————————————————-221
19) cthx chx
shx 1
x 13
x 145
x3 2945
x5 . . .a2n1x2n1 ox2n2,
20) argshx logx x2 1
x 12
x3
3 1.3
2.4x5
5. . .1n 1.3.5. . . 2n 1
2.4.6. . . 2nx2n1
2n 1 ox2n2
x n
k1
1k 2k 1!!2n!!
x2k1
2k 1 ox2n2
n
k0
1k 2k 1!!2n!!
x2k1
2k 1 ox2n2,
21) argthx 12
log 1 x1 x
x 13
x3 15
x5 . . . 12n 1
x2n1 ox2n2
n
k0
x2k1
2k 1 ox2n2, |x| 1,
22) argcthx 12
log 1 x1 x
x 13
x3 15
x5 . . . 12n 1
x2n1 ox2n2
n
k0
x2k1
2k 1 ox2n2, |x| 1.
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——————————————————————————————————-222
Enoncés des exercices du chapitre VI.Partie corrigée
Exercice 6.1. Développer les polynômes suivants selon les puissances de x x0 :1 P1x 2x3 3x2 5x 1 , x0 1 ;2 P2x x4 5x3 x2 3x 4 , x0 4
Exercice 6.2. Ecrire la formule de Taylor pour le polynôme Px x4 4x2 x 3 aupoint x0 1 jusqu’à l’ordre deux avec reste de Lagrange. Calculer pour les valeurs suivantesde l’argument:
i x 0 ; ii x 1 ; iii x 2.
Exercice 6.3. Soit f une fonction telle que
fx h fx hf x . . . hn
n!fnx h,
avec 0 1 et fn1x 0. Montrer queh0lim 1
n 1.
Exercice 6.4. Soit fx arctgx. Calculer arctgn0 et écrire la formule de Mac-Laurinjusqu’à l’ordre n.
Exercice 6.5. Soit f C20,1 et f0 f1 0 telle que |f x| A sur 0,1. Démontrerque
|f x| A2
sur 0,1.
Exercice 6.6. Ecrire la formule de Taylor avec reste de Lagrange pour chacune des fonctionssuivantes au point x0 indiqué jusqu’a l’ordre n N :
1) fx 1x , x0 1; 2) fx xe2x, x0 1;
3 fx ln2x 1,x0 12
; 4 fx x3 logx, x0 1;
5) fx sin2x 3, x0 1; 6 fx x4 x
,x0 10;
7 . fx 2x 1x 1
,x0 2; 8 fx x 7x2x 7
,x0 2;
9 fx 2x1 x2 ,x0 2; 10) fx x 5
2x 4,x0 1
10;
11 fx x2 3xx 1
, x0 1; 12) fx x2 4x 4x2 10x 25
,x0 2;
13 fx x2 4x 5x2 5x 6
, x0 1; 14) fx x2 5x 7x2 9x 20
,x0 3;
15) fx x3 5x2 4x 5x2 5x 6
,x0 1; 16) fx x 22
3 x, x0 2;
17) fx x , x0 4; 18 fx log3 3 3x 13
, x0 3;
19) fx log 4x 25 x
, x0 3.
Exercice 6.7. Ecire la formule de Taylor avec reste de Peano pour chacune des fonctionssuivantes au point x0 indiqué jusqu’a l’ordre 2n N :
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1) fx ex22x1, x0 1;2 fx x 3e3x218x, x0 3;3) fx x 2 log2x2 8x 11, x0 2;4) fx x 1
x2 2x 5, x0 1;
5 fx x 3x2 4x 8
, x0 2;
6) fx x 13x2 6x 5
, x0 1;
7) fx 12x x2
, x0 1;
8 fx x 2x2 4x 8
,x0 2;
9 fx x 13
x2 2x 2, x0 1;
10) fx x2 2x 13 x2 x
, x0 1;
11 fx x 1x2 2x 2
,x0 1.
Exercice 6.8. Ecire la formule de Taylor avec reste de Peano pour chacune des fonctionssuivantes au point x0 indiqué jusqu’a l’ordre 2n 1 N :
1) fx e2x28x3, x0 2;2) fx e2x212x, x0 3;3) fx x 122x22x, x0 1;4) fx 2x 3
x2 3x 2, x0 3
2;
5) fx 2x2 8x 5x2 4x 3
, x0 2;
6) fx x 2 ln2 x2 2x, x0 1;7) fx sin 9
2x cos 3
2x, x0 6
;
8) fx x 4sinx cos x, x0 4 ;
9) fx x2 x2x 1
cosx, x0 12
;
10) fx x 23 x2 4x 5
, x0 2;
11) fx 1 4x 4x2
x 1 x, x0 1
2;
12) fx log5 32x 13 2x
, x0 1.
Exercice 6.9. Ecrire les formules de Mac-Laurin avec reste de Peano à l’ordre n desfonctions suivantes:
1) fx e5x1; 2 fx ex/2. x 1;3 fx 2x 3 log5x 6; 4 fx sin2x 3;5 fx cos x
2 2; 6) fx 1
1 2x;
7 fx 2x 3x 1
; 8) fx 11 x2
;
9 fx 11 4x
; 10 fx log 2 3x3 2x
;
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11 fx x2 3ex
e2x ; 12 fx x3 9 6x x2
.
Exercice 6.10. i) Ecrire les formules de Mac-Laurin avec reste de Peano à l’ordre 2n desfonctions suivantes:
1 fx x sin22x; 2) fx sin3x cos x;
3 fx x4 1x2 1
; 4 fx x2 2x3 x2 x 1
;
5) fx sh x2
; 6 fx xch3x.
ii) Ecrire les formules de Mac-Laurin avec reste de Peano à l’ordre 2n 1 des fonctionssuivantes:
1) fx cos 3x; 2 fx x2 cos2x;3 fx cos 3x cos 5x; 4) fx cos4x sin4x.
Exercice 6.11. Etablir à l’aide de la formule de Taylor les relations suivantes
1 x 0, 2, x x3
6 sinx x x3
6 x5
120, et montrer qu’on a des égalités si et
seulement si x 0;
2 i) x R, x x2
2 log1 x x;
ii) en déduire la limitenlim
n
k1 1 k
n2 ;
3) x R, x x2
2 log1 x x x2
2 x3
3.
4) x R, 0 3 1 x 1 x3 x2
9 5
81x3.
Exercice 6.12.i) Monter que x R, 1 x ex voir exercice 5.49.8).ii) En déduire que pour k 0,1, la suite unn1 converge, avec
un 1 k1 k2. . . 1 kn.
Exercice 6.13.i Ecrire la formule de Mac-Laurin de fx ex jusqu’à l’ordre n avec reste de Lagrange et
en déduire que le nombre de Néper e n’est pas rationnel.ii) Calculer le nombre e à 106 près.
Exercice 6.14. A l’aide de la formule de Taylor, calculer:1) e à 105 près; 2 log11 à 105 près;3) sin1o à 108 près; 4 5 33 à 103 près.
Exercice 6.15. Etudier l’existence d’un D.L. à l’ordre n N au voisinage de x0 0 pour lafonction f si:
1) fx cos 1x ; 2) fx cotgx;
3) fx x ; 4) fx arcsinlog1 thx;
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Exercice 6.16. Calculer les D.L. des fonctions suivantes en x0 0 et à l’ordre indiqué:
1) fx x2 1x2 2
, n 3; 2) fx 1 x x2
1 x x2 n 4;
3) fx 11 x x2 n 4; 4) fx 2x 1 1 x , n 4 ,
5) fx 1 x . 3 1 x2 , n 2; 6) fx eex1x, n 6;7) fx e2xx2
, n 5; 8) fx ex 1 2x , n 3;9) fx x ex
1 x2 , n 3;
10) fx 1 x ln1 x 1 x ln1 x , n 5.11) fx log 1 x 1 x , n 5; 12) fx cos x. log1 x, n 4;
13) fx x log1 sinx x2e3x2, n 3; 14) fx sinx2 x4 x6 , n 5;
15) fx x cos xlog1 x
, n 4; 16) fx log cos x, n 6;
17) fx 1 x cos x, n 4; 18) fx cos x1 x
, n 4;
19) fx tgx , n 5 , 20 fx cos x , n 5;21) fx logx cos x ,n 4; 22) fx arcsin x
1 x2, n 5;
23) fx xex 1
, n 4 , 24) fx sinx. argshx, n 4;
25) fx sinlog1 x, n 4; 26) fx 1cos2x
, n 4;
27) fx sintgx, n 7; 28) fx 1 1 x , n 2;
29) fx chx. sh3x, n 5; 30) fx 2 x
chx; n 3;
31) fx cosh x 1cos x 1
, n 4; 32) fx log2 chx, n 5;
33) fx logchxcos x , n 5; 34) fx 1 x
1x n 3;
35) fx 1 x x21x , n 4; 36) fx esin x, n 4;
37) fx ecosx, n 4; 38) fx cos xsin x, n 5;
39) fx e cosx , n 4; 40) fx log1 tgx
1 tgx, n 5;
41) fx e1x log
ch x
cos x , n 2; 42) fx chx. logcos x, n 4;
43) fx x argthx
x arctgx, n 5; 44) fx argshex, n 4.
Exercice 6.17. Calculer le DL de chacune des fonctions suivantes aux ordres et aux pointsindiqués:
1) fx 2xx2, n 5 ,x0 1
2;
2) fx 3x2 6x 4e2x24x5 , n 5 , x0 1;
3) fx x2 1x2 2x
, n 6, x0 1;
4) fx x2 1x2 2x
, n 4, x0 ;
5) fx 3 x3 x2 3 x3 x2 , n 2, x0 ;6) fx logx 1 x2 log 1 x2 , n 4, x0 ;
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7) fx logxx2 , n 4, x0 1;
8) fx log23x2 24x 50 , n 7 , x0 4;9) fx x2 xcosx
2 , n 5 ,x0 2
;
10) fx cos x sin2x 4 , n 4 , x0 4
;
11) fx tgx ,n 3 , x0 4;
12) fx arctg x 1x 2
, n 3 , x0 ;
13 fx logxtg 1x , n 3, x0 .
Exercice 6.18. Calculer le D.L généralisé de chacune des fonctions suivantes aux points etaux ordres indiqués:
1) fx 1 2x x3
x3 x5 , x0 0, n 2;
2) fx x3
x 1, x0 , n 3;
3) fx x3 2x 1
, n 2, x0 ;
4) fx 1x2 ln1 x,x0 0,n 3;
5) fx 1ln1 sinx
, x0 0, n 3;
6 fx cos xln1 sinx
, x0 0, n 3;
7) fx 1sin3x
, x0 0, n 2;
8 fx arctg x 1x 2
, n 3, x0 ;
9) fx ctgx, n 5, x0 0;
10) fx x2 1x2 2x
, n 4, x0 0.
Exercice 6.19. A l’aide des développements limités, calculer les limites suivantes:
1)x0lim
ex sinx x1 xx3 ; 2)
x0lim lim
x0
log1 x sinx 1 cos xtan x x ;
3) limx0
x2 cos x ex 12
sin3x; 4)
x0lim
x2e2x ln1 x2x cos x sinx
;
5)x0lim
ln1 x3 2sinx 2x cos x2
arctgx3;
6)x0lim
1 x . ln1 x x1 x
tgx sinx;
7x0lim
3 1 x3 xctgx 13
x2
x cos x sinx; 8)
x0lim
ex 1 2xx2 ;
9)x0lim 1
x2 1
sin2x; 10)
x0lim
sinx log1 xex 1 sinx
;
11)xlim x log x 1
x ; 12)x0lim
ln1 x 16
x2 sinhx 23
x2
coshsinx ex2/2;
13)x10lim
x 3 3 3x 51 tg 4 x
; 14)x2lim 2x 3x 12 tg
4 x;
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15)x1lim x
x 1 1
logx; 16
x0lim
sinx log1 x2x. tgx
;
17)x0lim
tg2x1 cos x
x2 log1 x; 18)
x0lim x sin2x
x2 sin2x;
19)x1lim
2x x4 3 x
1 4 x3; 20
x0lim sin2x
e3x 1;
21)x0lim xex sinx
log1 x xtgx x; 22)
x0lim
5 1 2x 14 1 x 1 x
;
23)x0lim
3cos x arcsin x 3 3 1 xlog1 x2
; 24)x0lim
logx2 1xarctgx
;
25)x0lim 1
x1x arctan1 x
4 1
2 1
x log sinxx ;
26)x0lim
tgx lnx 1 x2 sinx x cos x
;
27)x0lim 1
sinxarctgx 1
tgx arcsin x; 28)
x2lim 3 x ln x
2
1sin2x2 .
29)x0lim
lnx 1 x2 x 16
x3
x thx; 30)
x 2
lim 2cos2x
1ln sinx
;
31)x0lim
x 1 sinx ln1 xtgx sinx
; 32)x0lim
ln1 x 16
x2 shx 23
x2
sin2x 2x cos x;
33)x0lim e 1sin x e
tgx; 34)
x0lim
earctgx ln1 x 1
2 4 x2;
35)x0lim
1 cos x
tgx; 36)
x0lim
esin x 1 x2 x cos xln31 x
;
37)x0lim
3 1 3x esin x 32
x2
arcsin x tgx; 38)
x0lim
ln1 x2 1 sinx 1
shx arctgx;
39)x0lim
1 sh2x cos x x
tgx arctg sinx; 40)
x0lim xe tgx sin2x x
x tgx x3 tgx;
41)x0lim
cos x 1 2x x
x2tgx ex2 1
; 42)x0lim
e2x ch2x 2x
tg2x 2sinx;
43)x0lim
1 cos xsin x
x2 ; 44)x0lim
sinsinx x 3 1 x2
x5 ;
45)x0lim
1 2tgx ex x2
arcsin x sinx; 46)
x0lim
cossh x5 4 1 x2
2
chsinx ex2
2
;
47)x0lim
x 1 sinx 12 ln1 x2 x
tg3x
; 48)x0lim
cos 2
cos x
sinsin2x;
49)x0lim
tgsinx lnx 5 1 x2 x2
6thx x3 x
; 50)x0lim 1 x1/x;
51)x0lim
log cos axlog cos bx
b 0; 52)x0limsinxx
xx 1;
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53)x0lim aax a
ax 1; 54) lim
x01
xx logx
1x
55)x0lim earcsinx esin x
earctgx e tgx; 56)
x0limsinxshx shxsin x
tgx thx thx tgx;
57x0lim e
cosx1x esin
x2
x3 ; 58)xalim xa ax
logax logxa;
59)xalim
x alogax 1
; 60)xalim 2 x
atgx2a ;
61)xalim xa ax
sinx a; 62)
x0lim sinx cos x
1x ;
63)x0lim ctgxctg2x; 64
x 2
lim sinx1
2x ;
65)x 6
lim tg 3x2 tg3x; 66)
x0lim 1 atg2x
1x sin x ;
Exercice 6.20. A l’aide les D.L. trouver un équivalent au Vx0 de chacune des fonctionssuivantes en x0 indiqué:
1) fx chx 12 5x2
12 x2 , x0 0;
2) fx 1 cos x logcos x, x0 0;3) fx arctgarcsin x arcsinarctgx, x0 0;
4) fx x x2 x4 1 2 , x0 ;
5) fx shsinx sinshx, x0 0.
Exercice 6.21. Calculer les limites des fonctions suivantes lorsque x :
1) fx x32 x 1 x 1 2 x ;
2) fx x ex x7 2002 logx
x3 x3 x2 3 x chx;
3) fx 3 x x2 1 3 x x2 1
x ;
4) fx logx 1 logx 2
sin x 1x2 2
;
5) fx x2argshx log2x ;6) fx x5 argsh 1
x arcsin 1x
2x ;
7) fx shx2 x shx2 x ;8) fx lim
xx logchx;
9) fx log1 xlogx
x logx
;
10) fx x 1 1x
x ex2 log 1 1
x ;
11) fx x 1 1x
x e ;
12) fx x2e1x e
1x1 ;
13) fx log1 xlogx
x
1 logx;
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14) limx
x x2 log1 1x .
Exercice 6.22. Soit la fonction f définie par fx ex2 1x , x 0, f0 0.
i) Montrer que f admet une réciproque f1, définie sur R.ii) Donner le D.L. de f1 à l’ordre 5 au voisinage de x 0.
Exercice 6.23. Montrer que la fonction fx x 1 1x
x logxest un infiniment grand
lorsque x et calculer sa partie principale de la forme x logx.
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Réponses aux exercices du chapitre VI.
Exercice 6.1.i) P1x 2x 13 9x 12 17x 1 9 ;ii) P2x x 44 11x 43 37x 42 21x 4 56.Exercice 6.2.
Px 7 11x 1 10x 12 41 1 xx 13, 0 1;i) 1
4; ii R ; iii 1
4.
Exercice 6.4. i) arctgn0 0 si n 2p,
1p2p! si n 2p 1.
Dans la suite des réponses: Ck 1 2. . . k 1
k!, R.
Exercice 6.6. Dans les réponses suivantes, on a 0 1.
1) n
k0
x 1k 1n1x 1n1
1 x 1n2;
2) e2 n
k1
e22k1k 2k!
x 12 2ne21x12x 1 n 1n 1!
x 1n1;
3 ln 2 n
k1
1k1kx 1
2k 1n
n 1 1 x 12
n1 x 12n1;
4) x 1 52!x 12 11
3!x 13
n
k4
61k
kk 1k 2k 3x 1k
61n1
n 1nn 1n 21 x 1n2x 1n1;
5n
k0
2k sink
2 1
k!x 1k
2n1 sin n 1 2 1 x 1
n 1!x 1n1;
6 57
n
k1
1k1
2k17k1 x 10k 1n 414 x 10n2
x 10n1;
7 3 n
k1
1kx 2k 1n1
1 x 2n2x 2n1;
8n
k0
1k12k
3k1 12k1 x 2k
1n1
2 x 2n2 1n2n1
3 2x 2n2x 2n1;
9n
k0
1k11 13k1 x 2k 1n
1 x 2n2x 2n1;
10 76
n
k1
53 10
21kx 1
10k 1n17.2n1
215 2x 1
10
n2 x 110n1;
11) 2 32x 1
n
k2
1k1
2kx 1k 21n
2 x 1n2x 1n1;
12n
k2
1kk 13k
x 2k 1n1
1 x 2n2x 2n1;
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13 1 n
k1
1 12kx 1k
1n 11 x 1n2
22 x 1n2
x 1n1;
14) 12
n
k1
3 72k1 x 3k 1n 3
x 3 4n1 7x 3 2n1
;
15) 52 9
4x 1
n
k2
1 12k1 x 1k
1n
x 1 1n2 1n
x 1 1n2x 1n1;
16)n2
k0
x 2k2 1n
x 3n1x 2n1;
17) 2 n
k1
1k1 2k 2!k!k 1!24k2 x 4k 1n2n!x 4n1
n!n 1!22n1 4 x 42n1;
18) 13 log3
log 263
n
k1
1k1k 9
26kx 3k
1n2
3 log3 9
26n1 1
1 926x 3n1
x 3n1 .
Exercice 6.7.
1) 1e2
n
k0
x 12k
k! ox 12n;
2n1
k0
e27 3k
k!x 32k1 ox 32n;
3 x 2 ln 3 n1
k1
1k12k
3k.kx 22k1 ox 22n;
4)
n1n1
k0
1k
4k1 x 12k1 ox 12n;
5n
k0
1k1 x 22k
22k2 n1
k0
1k x 22k1
22k2 ox 22n;
6n1
k0
1k 3k
2k1 x 12k1 ox 12n;
7 1 n
k1
2k 1!!2kk!
x 12k ox 12n;
8 x 22
n1
k1
1k2k 1!!22k12k!!
x 22k1 ox 22n;
9 x 13 n2
k1
1k2k 1!!2kk!
x 12k3 ox 12n;
10 x 12 n1
k1
1.4.7. . . 3k 23k.k!
x 12k2 ox 12n;
11) x 1 n1
k1
1k 2k 1!!2k!
x 12k1 ox 12n.
Exercice 6.8.
Brochure d’exercices d’analyse mathématique I parOSMANOV H et KHELIFATI S
——————————————————————————————————-232
1 e5n
k0
2k
k!x 22k ox 22n1;
2n
k0
e182k
k!x 32k ox 32n1;
3n
k1
ln 2k1
2k 1!x 12k ox 12n1;
4 n
k0
22k3x 322k1 ox 3
22n1;
5 3 n
k1
x 22k ox 22n1;
6 ln 3 x 1 ln 3 n
k1
x 12k
k
n
k1
x 12k1
k ox 12n1
7n
k0
1k1 3.62k
2k 1!x
62k1
n
k0
1k. 32k
22k!x
62k
ox 62n1
8n
k1
2 1k1
2k 1!x
42k ox
42n1;
9 8
n
k1
1k12
2k1
2k 1! 2k1
42k 1!x 1
22k ox 1
22n1;
10)n
k0
C 1
3
k x 22k1 ox 22n1;
11n1
k0
C 12
2k122k 52 x 1
22k2 ox 1
22n1;
12 23 ln 5
n1
k1
22k1
2k 1x 12k1 ox 12n1.
Exercice 6.9.
1n
k0
5k
e.k!xk oxn; 2 e
x2 x 1 1
n
k1
2k 12k.k!
xk oxn;
3 3 ln 6 2 ln 6 52x
n
k2
1k 9k 52kk 1
56k1xk oxn;
4n
k0
2k sin3 k
2
k!xk oxn; 5
n
k0
cos2 k
2
2k.k!xk oxn;
6n
k0
2kxk oxn; 7 3 n
k1
51k1xk oxn;
8n
k0
k 1xk oxn; 9n
k0
1k 2k2k 1!!k!
xk oxn;
10 ln 32
n
k1
4k 9k
k. 6kxk oxn;
11 3 n
k1
3 kk 12k21k
k!xk oxn;
12n
k1
313 k1k1C
23
k1 xk oxn.
Exercice 6.10.
Brochure d’exercices d’analyse mathématique I parOSMANOV H et KHELIFATI S
——————————————————————————————————-233
i 1n1
k1
1k124k1
2k!x2k1 ox2n;
2n1
k0
1k22k11 22k2k 1!
x2k1 ox2n;
3 1 x2 n
k2
21kx2k ox2n;
4n
k0
3 1k2
x2k n1
k0
1k1 32
x2k1 ox2n;
5n1
k0
x2k1
22k12k 1! ox2n; 6
n1
k0
32k
2k!x2k1 ox2n;
ii)
1n
k0
1k32k
2k!x2k ox2n1;
2 x2 n
k2
1k1 22k3
2k 2!x2k ox2n1;
3n
k0
1k22k1
2k!1 42kx2k ox2n1;
4 1 n
k1
1k 42k
2k!x2k ox2n1.
Exercice 6.13..i ex 1 x 1
2 x2 16 x3 . . . 1
n!xn 1
n 1!exxn1, 0 1.
ii e 2,718281.Exercice 6.14.1) e 1,64872; 2 log11 2,39790;3 sin1o 0,01745241; 43 5 33 2,012.Exercice 6.15.1) Le D.L. n’existe pas; 2) Le D.L n’existe pas; 3) Existe; 4) Existe.Exercice 6.16..1) 1
2 3
4x2 ox3; 2) 1 2x 2x2 2x4 ox4;
3) 1 x x3 x4 ox4;4) 1 3
2x 9
8x2 5
16x3 21
128x4 ox4;
5) 1 12
x 524
x2 ox2;
6) 1 12
x2 16
x3 16
x4 11120
x5 41720
x6 ox6;
7) 1 2x x2 23
x3 56
x4 115
x5 ox5;
8) x2 13
x3 ox3; 9) x x2 32
x3 ox3;
10) 2x 53
x3 910
x5 ox5;
11) ln 2 18 x2 3
64 x4 ox5;12) x 1
2x2 1
6x3 ox4;
13) 1 e2x2 12 3e2 x3 ox3;
14) 12
x 112
x3 59240
x5 ox5;
15) 1 12
x 712
x2 524
x3 41720
x4 ox4;
16) 12
x2 112
x4 145
x6 ox7;
Brochure d’exercices d’analyse mathématique I parOSMANOV H et KHELIFATI S
——————————————————————————————————-234
17) 1 12
x 58
x2 316
x3 25384
x4 ox4;
18) 1 12
x 18
x2 116
x3 49384
x4 ox4;
19) x 13
x3 215
x5 ox6;
20) 1 14
x2 196
x4 ox5;
21) x 34
x2 712
x3 1324
x4 ox4;
22) x 23
x3 815
x5 ox6;
23) 1 12
x 112
x2 1720
x4 ox5;
24) x2 13
x4 ox5;
25) x 12
x2 16
x3 ox4;
26) 1 x2 23
x4 ox5;
27) x 16
x3 140
x5 551008
x7 ox8;
28) 2 18
x 2 5128
x2 2 ox2;
29) 3x 6x3 225
x5 ox5;
30) 2 1 x4 17
32x2 15
128x3 ox3;
31) 1 16
x2 172
x4 ox4
32) ln 3 16
x2 ox5;
33) 12
x2 16
x4 ox5;
34) 1 x1x e1 1
2x 11
24x2 7
16x3 ox3
35) e 1 12
x 1324
x2 116
x3 26875760
x4 ox4
36) 1 x 12
x2 18
x4 ox4;
37) e1 12
x2 16
x4 ox4
38) 1 12
x3 ox5;
39) e1 14
x2 148
x4 ox4;
40) 2x 43
x3 43
x5 ox6; 41) e1 245
x2 ox2.
42) 12
x2 13
x4 ox4;
43) 1 65
x2 1825
x4 ox5.
44) ln 2 1 12 2 x 2
8x2 2
48x3 5 2
384x4 ox4.
Exercice 6.17.
1) 4 2 1 ln 2 x 12
2 1
2ln22 x 1
2
4 o x 1
2
5;
2) e3 1 5x 12 8x 14 o x 15 ;3) 2x 1 x 12 2x 13 x 14
2x 15 x 16 o x 16 ;
4) 1 2x
3x2
6x3
12x4 o 1
x4 ;
5) 23 10
811x2 o 1
x2 .
Brochure d’exercices d’analyse mathématique I parOSMANOV H et KHELIFATI S
——————————————————————————————————-235
6) ln 2 14x2
532x4 o 1
x5 ;
7) x 1 52x 12 13
3x 13 77
12x 14 o x 14 ;
8) 1 32 ln 2
x 42 98 ln 2
x 44 98 ln 2
x 46 o x 47 ;
9) 142 1
82 1 x 1
2 2
1962 1
2x 1
2
4 o x 1
2
5;
10) 12 1
2x 1
4 9
4x 1
4
2 1
12x 1
4
3
2716
x 14
4 o x 1
4
4;
11) 1 x 14 1
2x 1
4
2 5
6x 1
4
3 o x 1
4
3;
12) 14 1
4x 3
8x2 55
96x3 o 1x3 ;
13) 13x2 o 1
x3 .
Exercice 6.18.1) 1
x3 2 1x2
1x 1 x x2 ox2;
2) x2 x 1 1x
1x2
1x3 o 1
x3 ;
3) x2 x 1 3x
3x2 o 1
x2 ;
4) 1x
12 1
3x 1
4x2 1
5x3 ox3
5 1x
12 1
12x 1
24x2 1
144x3 ox3;
6) 1x
12 5
12x 5
24x2 1
144x3 ox3;
7) 1x3
12x 17
120x ox2;
8) 14
14x 3
8x2 55
96x3 o 1x3 ;
9) 1x
13
x 145
x3 2945
x5 ox6;
10) 12x 1
4 3
8x 3
16x2 3
32x3 3
64x4 ox4.
Exercice 6.19.1) 1
3; 2) 3
2; 3 1 4) 1; 4) 6; 5) 4
3; 6 13
12; 7 1; 8) ;
9) 13
; 10) 12
; 11) 1; 12) . ; 13) ; 14) 12
1
163
1
36 ; 15) 12
;
16) 0; 17) 0; 18 ; 19 169
; 20) 23
; 21) 2; 22) 815
; 23) 76
; 24) 1;
25) 112
; 26) 32
; 27) 1; 28e14 ; 29 0; 30) 1; 31) 11
12; 32) 1;
33) 12
e; 34) 0; 35 0; 36) 12
; 37) 10; 38) 18
; 39) 75
;
40) 0, 41) 0; 42) 49
; 43 0; 44) 1990
; 45) 2; 46) ;
47) 18
; 48) 14; 49) ; 50) : e; 51) a2
b2 ; 52) ; 53) a ln a;
54) 0; 55) 12
; 56) 12
; 57) 148
; 58 12aa1ln a1 ln a;
59) 12
a ln a; 60) e2 ; 61) aa1 ln a; 62) e; 63) ; 64) 1;
65) e1; 66) ea.Exercice 6.20. 1) 1
480x6; 2) 1
8x4; 3) 1
30x7; 4) x2 2 ; 5) 1
45x7.
Brochure d’exercices d’analyse mathématique I parOSMANOV H et KHELIFATI S
——————————————————————————————————-236
Exercice 6.21. 1) 14
; 2) 0; 3) 0; 4) 1; 5) 14
; 6) 320;
7) ; 8) log2; 9) e; 10) 0; 11) e2
; 12) 1; 13) 1; 14) 12
.
Exercice 6.22. f1x x x3
2 7
12x5 ox5.
Exercice 6.23. p.p.fx 12
ln x.
Brochure d’exercices d’analyse mathématique I parOSMANOV H et KHELIFATI S
——————————————————————————————————-237
Corrigés détaillés de certains exercices du chapitre VI.
Remarque. Dans la suite, on adoptera les notations suivantes:
2n 1!! 1.3.5. . . 2n 1 et 2n!! 2.4.6. . . 2n.
Exercice 6.3. On a, d’après la formule de Taylor avec reste de Peano,
fx h fx hf x h2
2!f x . . . hn
n!fnx hn1
n 1!fn1x ohn1
et, par hypothèse
fx h fx hf x h2
2!f x . . . hn
n!fnx h.
En faisant la différence, on obtient, après simplification:
0 hn
n!fnx fnx h hn1
n 1!fn1x ohhn
fnx fnx h
h fn1x
n 1 oh
hn!
fn1xn 1
ohh
n!
fnx fnx hh
h0
fn1xn 1
0.n!
fn1x 1
n 1.
Exercice 6.4.i) Soit y arctgx. On a y 1
1 x2 y 1 x2 1. D’après la formule de dérivation de
Leibnitz,
y 1 x2n 0 yn11 x2 2nxyn nn 1yn1 0,
car 1 x2n 0 si n 3. Au point x 0, on obtient:yn10 nn 1yn10.
Comme y 0 2x1 x22
x0 0 , on déduit que y2p0 0 et comme
y 0 11 x2 x0 1, on déduit que y2p10 2p 12py2p10 et, alors
y2p10 1p2p!, c’est à dire
arctgno 0 si n 2p ,
1p2p! si n 2p 1.;
ii) arctg x x x3
3 x5
5. . .1n1 x2n1
2n 1 ox2n.
Exercice 6.5. D’après la formule de Taylor, avec 0 x 1, on a :
sur 0,x : 0 f0 fx f xx f c12!
x2, 0 c1 x 1 et
sur x, 1 : 0 f1 fx f x1 x f c22!1 x2, 0 x c2 1.
En faisant la différence et en arrangeant les termes, on obtient
Brochure d’exercices d’analyse mathématique I parOSMANOV H et KHELIFATI S
——————————————————————————————————-238
f x f c12!
x2 f c22!1 x2
|f x| A2!
x2 A1 2x x2
2! A
22x2 2x 1 A
2.1 A
2,
car 2x2 2x 1 1 sur 0,1.
Exercice 6.6. La formule de Taylor d’ordre n avec reste de Lagrange au voisinage du pointx0 est:
fx n
k0
fkx0k!
x x0k fn1x0 x x0
n 1!, 0 1.
1) fx 1x , x0 1. Trouvons la formule de récurrence pour calculer fnx. On a
f1 11 1,
f x 1x2 , f x 2
x3 12 2!
x3 , f x 6x4 1
3 3!x4 .
A priori, on peut poser fkx 1k k!xk1 , et vérifions cette formule pour k 1. On a
fk1x fkx 1k k!xk1
1k1 k!k 1
xk2 1k1 k 1!xk2 ,
donc fkx 1k k!xk1 , k N et, alors
fk1 k!xk1 x1 1k k!
1k1 k!,
enfin
fx 1x
n
k0
x 1k 1n1 11 x 1n2
x 1n1, 0 1.
Remarque. On montre en général que 1x an
n
1n n!x an1
, n 1.
2) fx xe2x , x0 1. Calculons fkx d’après la formule de Leibniz:
fkx k
i0
Cki xie2xki Ck
0xe2xk Ck1x e2xk1
2kxe2x k. 2k1e2x 2k1e2x2x k,
et, alors fk1 2ke2 k2k1e2.De manière analogue, on a fn1x 2ne2x2x n 1 et donc
fn11 x 1 2ne21x121 x 1 n 1
2ne21x12x 1 n 1.
En remplaçant les k-ième et n 1-ième dérivées de f dans la formule de Taylor, onobtient:
xe2x n
k0
2ke2 k2k1e2k!
x 1k
Brochure d’exercices d’analyse mathématique I parOSMANOV H et KHELIFATI S
——————————————————————————————————-239
2ne21x1n 1 2x 1n 1!
x 1n1, 0 1.
4) fx x3 logx, x0 1. On a, comme dans l’exercice 2):f1 0,f x 3x2 ln x x2 x23 ln x 1 f 1 1,f x 6x ln x 5x x6 ln x 5 f 1 5,f x 6 ln x 11 f 1 11.Pour k 4, on a x3k 0, et alors
x3 logxk k
i0
Cki x3i logkix x3 logkx Ck
1x3 logk1x
Ck2x3 logk2x Ck
3x3 logk3x 0.
On a logx 1x et d’après 1)
logkx 1x k1 1k1 k 1!
xk, k N,
et alors
x3 logxk k!k!
x31k1 k 1!xk
k!k 1!
3x21k2 k 2!xk1
k!2!k 2!
3.2x1k3 k 3!xk2 k!
3!k 3!3.21k4 k 4!
xk3
1k1k!
xk31k 3
k 1 3.2
2!k 2 3.2
3!k 3
1k1k!
xk31k 3
k 1 3
k 2 1
k 3 1
kk!xk3
6kk 1k 2k 3
fk1
k!x3 logxk x1
k! 1k 6
kk 1k 2k 3, k 4,
et donc
x3 logx x 1 52!x 12 11
3!x 13
n
k4
1k 6kk 1k 2k 3
x 1k
1n1 6n 1nn 1n 2. 1 x 1n2
x 1n1, 0 1.
14) fx x2 5x 7x2 9x 20
, x0 3. On a
fx x2 5x 7x2 9x 20
1 3x 4
7x 5
f3 12
,
et, d’après la remarque de l’exercice 1), on a
3x 4
k 31k k!
x 4k1et 7
x 5k 71k k!
x 5k1
et alors
fkxk!
1k 3x 4k1
7x 5k1
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——————————————————————————————————-240
fk3k!
1k 31k1
71k12k1 3 7
2k1 , k 1,
donc
x2 5x 7x2 9x 20
12 5
4x 3 17
8x 32 . . . 3 7
2n1 x 3n
1n 33 x 3 4n1
73 x 3 5n1
12
n
k1
3 72k1 x 3k 1n 3
x 3 4n1 7x 3 2n1
, 0 1.
15) fx x3 5x2 4x 5x2 5x 6
, x0 1. Ecrivons d’abord f comme suit :
fx x 2x 5x2 5x 6
, ensuite, comme dans 14), décomposons fx. Comme
2x 5x2 5x 6
1x 2
1x 3
, alors fx x 1x 2
1x 3
.
et , donc f x 1 1x 22
1x 32
et fkx 1k1k!
x 2k1 1
k1k!x 3k1
.
Il s’ensuit que f1 52
; fk1 k! k!2k1 et
fn11 x 1 1nn 1!x 1 1n2
1nn 1!x 1 1n2
.
En remplaçant dans la formule de Taylor on obtient
x3 5x2 4x 5x2 5x 6
52 9
4x 1
n
k2
1 12k1 x 1k
1n
x 1 1n2 1n
x 1 1n2x 1n1, 0 1.
16) fx x 22
3 x x 22 1
x 3, x0 2. Posons gx 1
x 3. On a
gkx 1kk!x 3k1
et gn1x 1n1n 1!x 3n2
.
On ecrit la formule de Taylor pour la fonction de gx.
gx n
k0
gk2k!x 2k gn12 x 2
n 1!x 2n1.
Comme pour l’exercice 1), la formule de Taylor de g est:
1x 3
n
k0
x 2k 1n1
x 1n2x 2n1
En multipliant les deux membres de cette formule par x 22, on obtient:
fx n
k0
x 2k2 1n
x 1n2x 2n3, 0 1.
Brochure d’exercices d’analyse mathématique I parOSMANOV H et KHELIFATI S
——————————————————————————————————-241
17) fx x , x0 4. Cherchons x k. On afx 1
2 x f
4 14
f x 12 x
1 122 x 3
,
f x 14 x 3
38 x 5
12 1.323 x 5
f4x ddx
38 x 5
1516 x 7
13 1.3.524 x 7
,
On montre par récurrence que
fkx 1k1 1.3.5. . . 2k 3
2k x 2k1 1k1 1.2.3.4.5. . . . 2k 32k 2
2.4. . . . 2k 2. 2k x 2k1
1k1 2k 2!
k 1!22k1 x 2k1 , k 2
et alors
fk4 1k1 2k 2!
k 1!. 22k1 42k1 1
k1 2k 2!k 1!24k2 , k 2
fk4k!
1k1 2k 2!k!k 1!24k2 , k 2,
donc x 0,, , 0 1 :
x 2 n
k1
1k1 2k 2!k!k 1!24k2 x 4k 1n2n!x 4n1
n!n 1!22n1 4 x 42n1.
18) fx log3 3 3x 13
, x0 3. On a
13
log33x 13 1
3log33x 1
9 1
3 1
3log3x
19 1
3 1
3 ln 3lnx 1
9.
Posons gx lnx 19. On a: gx 1
x 19
hx. Comme dans la remarque de
l’exercice 1), on a,
gnx hn1x 1n1n 1!x 1
9 n
. Alors fnx 13 ln 3
1n1n 1!x 1
9 n
.
Au point x 3, on a f3
fn3 13 ln 3
1n1n 1!
3 19n
1n1n 1!3 ln 3
926n et
et fn3 x 3 13 ln 3
1nn!3 x 3 1
9n
.
Ainsi on obtient la formule:
log3 3x 13 f3 1
3 1
3 ln 3
n
k1
1k1k 9
26kx 3k
1nx 3n1
3 ln 3 269 x 3nn 1
, 0 1.
Autre solution. On a
Brochure d’exercices d’analyse mathématique I parOSMANOV H et KHELIFATI S
——————————————————————————————————-242
fx log3 39x 1
3 log39x 11/3 log331/3 1
31
log3log9x 1 1
3
13 log3
log26 9x 3 13 1
3 log3log261 9
26x 3 1
3
log26 log 1 9
26x 3
3 log3 1
3
13 log3
log26 log3 log 1 926x 3
Sachant que pour t 1 :
log1 t t 12
t2 13
t3 14
t4 . . .1n1 tn
n 1n2 11 tn1
xn1,
on obtient: log3 3 3x 13 1
3 log3log 26
3
n
k1
1k1k 9
26kx 3k
1n2
3 log3 9
26n1 1
1 926x 3n1
x 3n1 , 0 1.
Exercice 6.7.1) fx ex22x1, x0 1. On a fx ex1
22 1e2 ex1
2. Posons x 1 t et, alors la
formule de Taylor avec reste de Peano de la fonction exponentielle à l’ordre 2n s’écrit
e t2 1 t2
1! t4
2! t6
3!. . . t2n
n! ot2n , t 0.
En remplaçant t par x 1, on obtient
ex12 1 x 12
1! x 14
2! x 16
3!. . . x 12n
n! ox 12n, x 1.
et donc ex22x1 1e2
n
k0
x 12k
k! ox 12n, x 1.
4) fx x 1x2 2x 5
, x0 1. Transformons la fonction fx de la façon suivante:
fx x 1x2 2x 5
x 14
. 11 x 1
22
.
En appliquant le développement 11 t
n
k0
1ktk otn, on obtient
11 x 1
22
n
k0
1k x 122k ox 12n.
Comme s 0, oxns oxn, alors le développement de fx est
fx x 14
.n
k0
1k x 122k ox 12n
n
k0
1k x 14k1
2k1
x 14
ox 12n
n1
k0
1k x 14k1
2k1
1n x 14n1
2n1
ox 12n1
Brochure d’exercices d’analyse mathématique I parOSMANOV H et KHELIFATI S
——————————————————————————————————-243
n1
k0
1k x 14k1
2k1
ox 12n ox 12n
n1
k0
1k x 14k1
2k1
ox 12n.
7) fx 12x x2
, x0 1. On a : fx 11 x 12
, x0 1. On sait que
11 t2
1 n
k1
1k2k 1!!2kk!
t2k ot2n 1 n
k1
2k 1!!2kk!
t2k ot2n.
En remplaçant t x 1 , on obtient x 1 t 0 et
12x x2
1 n
k1
2k 1!!2kk!
x 12k ox 12n.
10) fx x2 2x 13 x2 x
, x0 1. Comme dans l’exercice 7), remarquons tout d’abord que
fx x2 2x 13 x2 x
x 12
3 1 x 12.
Posons t x 12. Alors x 1 t 0 et on a la formule de gt 13 1 t
au
voisinage du point t 0 :1
3 1 t 1
n
k1
1k 1.4.7. . . 3k 23k.k!
tk otn.
En remplaçant t x 12 , on obtient, comme s 0, oxns oxn, alors ledéveloppement de f est
fx x 12 13 1 x 12
x 12 n
k1
12k 1.4.7. . . 3k 23k.k!
x 12k2 ox 12n2
x 12 n1
k1
1.4.7. . . 3k 23k.k!
x 12k2 ox 12n.
Exercice 6.8.1) fx e2x28x3, x0 2. Comme dans l’exercice 6.7.1), remarquons tout d’abord que
fx e2x225 1e5 e2x22
et puis on applique la forrmule e t n
k0
tk
k! otn avec t 2x 22
où x 2 t 0. On obtient ainsi le développement suivant de la fonction donnée:
fx e2x28x3 1e5
n
k1
2kx 22k
k! ox 22n1.
3) fx x 122x22x , x0 1. On a
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fx 12x 122x1
2 12x 12ex1
2 ln2.
Comme pour l’exercice 1) précédent, en appliquant le développement
e t n
k0
tk
k! otn , t 0, on obtient:
fx 12x 12
n
k0
x 12kln 2k
k! ox 12n
12
n
k0
x 12k2ln 2k
k! ox 12n2 1
2k1
n
ln 2k1
k 1!x 12k ox 12n1.
6) fx x 2 ln2 x2 2x , x0 1. Transformons la fonction donnée de la façonsuivante.
fx 1 x 1 ln3 x 12 1 x 1ln 3 ln1 x 12
3
ln 3 x 1 ln 3 ln1 x 12
3 x 1 ln1 x 12
3.
Connaissant le D.L. ln1 t n
k1
tk
k otn t 0, on obtient, pour t x 12
3:
fx ln 3 x 1 ln 3 n
k1
x 12k
k. 3k x 1
n
k1
x 12k
k. 3k ox 12n
ln 3 x 1 ln 3 n
k1
x 12k
k. 3k
n
k1
x 12k1
k. 3k ox 12n1
ln 3 x 1 ln 3 n
k1
x 12k x 12k1
k. 3k ox 12n1.
8) fx x 4sinx cos x , x0 4 . Posons gx sinx cos x et faisons le
changement de la variable: x 4 t , x t
4. On a x
4 t 0 et
Gt gt 4 sint
4 cost
4 sin t cos
4 cos t sin
4
cos t cos 4 sin t sin
4 2
2.2 sin t 2 sin t.
Connaissant le D.L. de sin t, on obtient Gt 2n
k0
1k
2k 1!t2k1 ot2n1.
Donc
gx Gx 4 2
n
k0
1k
2k 1!x
42k1 ox
42n1
et
fx x 4gx 2
n
k0
1k
2k 1!x
42k2 ox
42n2
2n
k1
1k1
2k 1!x
42k ox
42n.
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10) fx x 23 x2 4x 5
, x0 2. On a, voir l’exercice 6.7, 10), le développement suivant
13 1 t
1 k1
n
1k. 1. 4. 7. . . 3k 23k.k!
tk otk.
En appliquant cette formule, on obtientfx x 2 1
3 1 x 22
x 2 1 k1
n
1k. 1. 4. 7. . . 3k 23k.k!
x 22k ox 22n
x 2 k1
n
1k. 1. 4. 7. . . 3k 23k.k!
x 22k1 ox 22n1.
Exercice 6.11.1) x 0,
2, x x3
6 sinx x x3
6 x5
120?
On a les formules respectives suivantes pour n 4 et n 5 : x R, 1,2,
sinx x x3
3! 12 sin1xx4
4! x x3
3! sin1x
4!x4, 0 1 1,
sinx x x3
3! x5
5! 13 sin2xx6
6! x x3
3! x5
5! sin2xx6
6!, 0 2 1.
Commesin1x
4!x4 0,
sin2xx6
6! 0 si x 0,
2, alors
x x3
6 sinx x x3
6 x5
120.
2) ii) Comme log est continue, on a
lognlim
n
k1
1 kn2
nlim log
n
k1
1 kn2
nlim
n
k1
log 1 kn2 .
D’après i), on an
k1
kn2
12
kn2
2
n
k1
log 1 kn2
n
k1
kn2
1n2
n
k1
k 12
n
k1
k2 n
k1
log 1 kn2 1
n2
n
k1
k
nn 1
2n2 12
nn 12n 16n2
n
k1
log 1 kn2 nn 1
2n2
En passant à la limite quang n , on a obtient
12 0
nlim
n
k1
log 1 kn2 1
2,
donc
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——————————————————————————————————-246
nlim
n
k1
1 kn2 e .
Exercice 6.13.
1) On a ex 1 x 12
x2 13!
x3 . . . 1n!
xn exn 1!
xn1, 0 1.
Pour x 1, on a e 1 1 12 1
3!. . . 1
n! en 1!
1 1 12 1
3!. . . 1
n! e
n!n 1 1 1 1
2 1
3!. . . 1
n! n
n!, avec 0
0 n en 1
1 si n 2, car 1 e e 3.
Si e était rationnel avec e pq , p,q N, q 0, alors en multipliant la dernière relation,
pour n q, par q!, on obtiendrait pq 1! a q avec a entier, mais alors onobtiendrait q pq 1! a N, ce qui est impossible, car 0 q 1. Donc e ne peut êtrerationnel.
Exercice 6.14.
1) On a ex 1 x 12
x2 16
x3 . . . 1n!
xn exn 1!
xn1, 0 1.
Pour x 12
, on a
e 1 12 1
2122
16
123 . . .
1n!
12n
e2
n 1!1
2n1 .
Estimons le reste de telle façon que |Rnx| e2
n 1!1
2n1 103. Sachant que
2 e 3, on obtient alors
|Rnx| e2
n 1!1
2n1 3n 1!
12n1 .
Cherchons n tel que 3n 1!
12n1 103 . On a, d’une part
n 1!2n1 3000.
et, d’autre part 4!24 384 et 5!25 3840. Donc est vérifiée à partir de n 5, c’est àdire que
e 1 12 1
2122
16
123
124
124
1120
125
63313840
1,648697
c’est à dire qu’on peut prendre e 1,64867 à 105 près.
2 On a log11 log1 10 log101 110 log10 log1 1
10
et log1 x x 12 x2 1
3 x3 14 x4 1
5 x5 . . .Rnx avec
|Rnx| 1n1 1n 11 xn1
xn1 1n 1
110n1 105 n 110n4 1.
Comme 3 11034 410 1 et 4 1100 5 1, alors n 4. Donc
log1 110 1
10 1
2110
2 1
3110
3 1
4110
4 11437
120000 9.53083 102
et comme log10 2,30259, alors
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log11 log10 log1 110 2,30259 9,53083 102 2,397898.
Donc log11 2,39790 à 105 près.
Exercice 6.16.4) fx 2x 1 1 x , n 4. On a
1 x 1 x2 x2
2.4 1.3
2.4.6x3 1.3.5
2.4.6.8x4 ox4. Alors
fx 2x 1. 1 x2 x2
2.4 1.3
2.4.6x3 1.3.5
2.4.6.8x4 ox4
1 32
x 98
x2 316
x3 21128
x4 ox4.
7) fx e2xx2, n 5. On a e2xx2 e2xex
2. En appliquant le développement limité
e t n
k0
tk
k! otn pour t 2x et t x2, on obtient
e2x 5
k0
2xk
k! oxn 1 2x
1! 2x2
2! 8x3
3! 16x4
4! 32x5
5! ox5
et ex2
3
k0
x2k
k! ox6 1 x2
1! x4
2! ox5.
En faisant le produit des D.L. on obtient
fx 1 2x1! 2x2
2! 8x3
3! 16x4
4! 32x5
5! ox5 1 x2
1! x4
2! ox5
1 2x x2 23
x3 56
x4 115
x5 ox5.
10) fx 1 x ln1 x 1 x ln1 x. En appliquant les développements limitésdes fonctions ln1 x et ln1 x et en effectuant les opératons élémentaires, on obtient
fx 1 xx x2
2 x3
3 x4
4 x5
5 ox5
1 xx x3
3 x4
4 x5
5 ox5
x x2
2 x3
3 x4
4 x5
5 x2 x3
2 x4
3 x5
4 x x2
2 x3
3 x4
4 x5
5
x2 x3
2 x4
3 x5
4 ox5 2x 5
3x3 9
10.x5 ox5.
Donc fx 2x 53
x3 910
x5 ox5.
17) 1 x cos x
1 12
x 18
x2 116
x3 5128
x4 ox41 12
x2 124
x4 ox4
1 12
x 58
x2 316
x3 25384
x4 ox4;
19) fx tgx , n 5. On a
tgx sinxcos x , sinx x 1
6x3 1
120x5 ox5 et cos x 1 x2
2 x4
24 ox4.
En effectuant la division des polynômes suivant les puissances croissantes de x, on obtient
tgx x 1
6x3 1
120x5 ox5
1 x2
2 x4
24 ox4
x 13
x3 215
x5 ox6.
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22) arcsin x1 x2
x 1
6x3 3
40x5 ox5
1 12
x2 18
x4 ox5 x 2
3x3 8
15x5 ox5.
32) Remarque. Attention à ne pas écrire log2 cosh x log1 1 cosh x, car
x0lim 1 cosh x 2 0.
On a, d’une part
log2 cosh x log3 1 chx log31 1 cosh x3
log3 log 1 1 cosh x3
log3 log1 t avec t 1 cosh x3 x0
0
et, d’autre part,log1 t t 1
2 t2 13 t3 1
4 t4 15 t5 ot5,
cosh x 1 12 x2 1
24 x4 ox4, t 1 cosh x3
16 x2 1
72 x4 ox5
et log 1 1 cosh x3
16
x2 172
x4 ox5 12 1
6x2 1
72x4 ox5
2 ox5
16
x2 172 1
2136x4 ox5 1
6x2 ox5
Donc log2 cosh x log3 16
x2 ox5.
Exercice 6.17.4) fx x2 1
x2 2x, n 4, x0 . Posons x 1
t , alors on a x t 0 etf t f 1
t 1 t2
1 2t 1 2t 3t2 6t3 12t4 ot4.
Donc
fx 1 2x
3x2
6x3
12x4 o 1
x4 .
6) fx logx 1 x2 log 1 x2 , x0 , n 4. Posons x 1t , alors on a
x t 0 et
logx 1 x2 log 1 x2 ln 1t 1 1
t2 ln 1 1t2
ln 1 t2 1 ln 21 1 t2 12
log2 log 1 1 t2 12
log2 log1 u avec u 1 t2 12
.
On a t 0 u 0 et
t2 1 1 12
t2 18
t4 ot4 u 1 t2 12
14
t2 116
t4 ot4;
log1 u u 12
u2 13
u3 14
u4 ou4 14
t2 116
t4 ot4
12 1
4t2 1
16t4 ot4
2 ot4
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14
t2 116 1
2116t4 ot4 1
4t2 3
32t4 ot4.
et 12
lnt2 1 12
t2 14
t4 ot4, donc
ln 1 t2 1 12
lnt2 1 log2 14
t2 332
t4 ot4 12
t2 14
t4 ot4
14
t2 332 1
4t4 ot4 log2 1
4t2 5
32t4 ot4
logx 1 x2 log 1 x2 ln 2 14x2
532x4 o 1
x4 x .
7) fx logxx2 , x0 1, n 4. On a
logx log1 x 1 x 1 1
2x 12 1
3x 13 1
4x 14 o x 14 ,
et x2 1 2x 1 x 12,
donclogxx2
x 1 12x 12 1
3x 13 1
4x 14 o x 14
1 2x 1 x 12
x 1 52x 12 13
3x 13 77
12x 14 o x 14 .
10) fx cos x sin2x 4 , x0 4
, n 4. Posons x t 4
.
On a x 4 t 0 et
Ft ft 4 cost
4. sin2t
4 1
2cos t sin tsin2t cos 2t.
Ecrivons les D.L. d’ordre 4 des fonctions sinus et cosinus :
cos t 1 t2
2 t4
4! ot4 , sin t t t3
3! ot4 ,
cos 2t 1 2t2 2t4
3 ot4 , sin2t 2t 4t3
3 ot4.
Et alors on a
cos t sin t 1 t t2
2 t3
6 t4
24 ot4 ,
cos 2t sin2t 1 2t 2t2 4t3
3 2t4
3 ot4 ,
Ft 121 t t2
2 t3
6 t4
24 ot4 . 1 2t 2t2 4t3
3 2t4
3 ot4
12 1
2t 9
4t2 1
12t3 27
16t4 ot4.
En remplaçant t x 4
, on obtient le D.L. demandé qui est:
fx 12 1
2x
4 9
4x
42 1
12x
43 27
16x
44 ox
44.
12) fx arctg x 1x 2
,x0 , n 3. On pose x 1t .
Alors x t 0 et
Ft f 1t arctg 1 t
2 t arctg 1 t 2t2 4t3 ot3 .
En appliquant le D.L.
1 ua 1 a1!
u aa 12!
u2 aa 1a 23!
u3 ou3 , on trouve, en posant
u t 2t2 4t3 ot3 :
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1 t 2t2 4t3 ot3 1 12t 2t2 3t3 ot3 1
8t 2t2 3t3 ot32
116t 2t2 3t3 ot33 ot 2t2 3t3 ot33
1 t2 7
8t2 25
16t3 t3t où t est une expression contenant des puissances
positives de x et de ox3, donc limt0t 0 et alors t3t ot3 t 0 et on obtient
1 t 2t2 4t3 ot3 1 t2 7
8t2 25
16t3 ot3
Donc Ft arctg 1 t 2t2 ot3 arctg1 t2 7
8t2 25
16t3 ot3.
Cherchons maintenant le D.L. de gz arctgz au voisinage de z 1, car en posantz 1 t
2 7
8t2 25
16t3 ot3, alors t 0 z 1. On a
gz 11 z2 ; gz 2z
1 z22; gz 21 z2z 8z2
1 z23
g1 12
; g1 12
; g1 12
; g1 4
.
et
gz arctgz g1 g11!z 1 g1
2!z 12 g1
3!z 13 oz 13
4 1
2z 1 1
4z 12
112z 13 oz 13.
Ayant en vue ce développement, nous obtenons comme dans la première partiearctg 1 t
2 7
8t2 25
16t3 ot3
4 1
2 t
2 7
8t2 25
16t3 ot3
14 t
2 7
8t2 25
16t3 ot3
2 1
12 t
2 7
8t2 25
16t3 ot33 ot3
4 t
4 3
8t2 55
96t3 ot3.
En posant t 1x , on obtient finalement le D.L. de la fonction donnée
fx 4 1
4x 3
8x2 55
96x3 o 1x3 .
Exercice 6.18..1) fx 1 2x x3
x3 x5 , x0 0 , n 2. Comme
x0lim fx
x0lim 1 2x x3
x3 x5 ,
alors la condition nécéssaire de D.L. n’est pas satisfaite, donc f n’admet de D.L. en x 0.Cherchons son D.L. généralisé. Considérons pour cela la fonction
gx xfx x3 1 2x x3
1 x2 . Commex0lim 1 2x x3
1 x2 1, alors
x0lim gx 0 si 3 et
x0lim gx 1 si 3. Donc on choisit 3 et
hx x3fx 1 2x x3
1 x2 avecx0lim hx 1.
Pour trouver le D.L. de la fonction h, d’ordre deux au point x 0, appliquons la règle dedivision des polynômes suivant les puissances croissantes de x, on trouve alorshx 1 2x 2x3 ox4. Il en résulte que
fx 1x3 gx 1
x3 2x2 2 ox.
2) fx x3
x 1, x0 , n 3. On a, d’une part x3
x 1 x et x3
x 1 1
t21 t.
D’autre part
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t2
t21 t x0 1 et t2
t21 t 1 t t2 t3 t4 t5 ot5. Ce qui implique que
1t21 t
1t2
1t 1 t t2 t3 ot3, donc
x3
x 1 x2 x 1 1
x 1x2
1x3 o 1
x4
6) fx cos xlog1 sinx
, x0 0, n 3. Comme pour l’exercice 1), considérons la
fonction suivante gx xfx . Il est facile de voir quex0lim gx 1. On a
x cos x x x3
2! x5
4! ox5 , sinx x x3
3! ox3 ,
ln1 sinx x x3
3! 1
2x x3
3!2 1
3x x3
3!3 1
4x x3
3!4 ox4
x x2
2 x3
6 x4
12 ox4 et
gx x x3
2! x5
4! ox5
x x2
2 x3
6 x4
12 ox4.
1 x2 5
12x2 5
24x3 ox3.
Alors
fx 1x gx 1
x 12 5
12x 5
24x2 ox2.
9) On a cot xx0 , mais x cot x
x0 1 et
x cot x 1 13
x2 145
x4 2945
x6 ox7, donc
cot x x1 13
x 145
x3 2945
x5 ox6.
Exercice 6.19. Dans cet exercice, il sagit de savoir effectuer les différentes opérations sur lesD.L. et garder le D.L final jusqu’à l’ordre permettant de lever l’indétermination s’il y a une formeindéterminée. Ceci d’une part. D’autre part, on peut utiliser, dans les calculs, l’une deséquivalences
f og x x0, x0 R f g.x, limxx0x 0f g.o1
fg o1
et les applications: f oxn f oxk, x 0, k, 0 k nou f oxn f oxk, x , k, k n.
1)x0lim
ex sinx x1 xx3 0
0F. I. ? Ecrivons le développement limité d’ordre 3 des
fonctions ex et sinx.
ex 1 x x2
2! x3
3! ox3, sinx x x3
3! ox3.
En multipliant les deux D.L., on obtient
ex. sinx 1 x x2
2! x3
3! ox3. x x3
3! ox3 x x2 1
3x3 ox3.
x0lim
ex sinx x1 xx3
x0lim
x x2 13
x3 ox3 x x2
x3
x0lim
13
x3 ox3
x3 x0lim 1
3 o1 1
3.
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4)x0lim
x2e2x ln1 x2x cos x sinx
x0lim
x21 2x ox x2 x4
2 ox4
x1 x2
2 ox x x3
6 ox3
x0lim
x2 2x3 x2 ox3
x x3
2 x x3
6 ox3
x0lim
2x3 ox3
13
x3 ox3 6.
30)x 2
lim 2cos2x
1log sinx
F. I. . Posons t x 2
. On a alors
x 2 t 0 et cos2x cos2t
2 sin2t t2 1
3 t4 ot5,1
cos2x 1
sin2t 1
t2 13 1
15t2 2
189t4 1
675t6 Ot7
1t2 1
3 t4 ot4 t2 1
3 1
9t2 Ot4
1cos2x
x 2
2 1
3 O x 1
2 2
,
On a log1 y y 12
y2 13
y3 14
y4 Oy5,
log sinx log sint 2 log cos t log1 cos t 1
cos t 1 12cos t 12 1
3cos t 13 ocos t 13,
cos t 1 12
t2 124
t4 Ot5,
log sinx log cos t 12
t2 124
t4 ot4 12 1
2t2 1
24t4 ot4
2 ot3
12
t2 112
t4 ot4 et1
log cos t 1 1
2t2 1
12t4 ot4
2t2 13 1
18t2 ot2.
Ce qui donne2
cos2x 1
log sinx 2 x
2
2 1
3 o1
2 x 12
2 13 o1 1 o x 1
2 x 4
1.
40)x0lim xe tgx sin2x x
x x3 tgx 0
0F. I. . Nous avons les développement suivants:
tgx x x3
3 2
15x5 ox5 , sinx x x3
6 ox3 ,
sin2x x2 x4
3 x6
36 ox6 x2 ox3 ,
e tgx ex x3
3ox3
1 x x3
3 1
2x x3
32 1
3x x3
33 ox3
1 x x2
2 2x3
3 ox3 ,
et xe tgx x x2 x3
2 ox3.
Donc xe tgx sin2x x x x2 x3
2 x2 x ox3 x3
2 ox3
x x3 tgx x x3 x x3
3 ox3 2x3
3 ox3.
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Ainsix0lim xe tgx sin2x x
x x3 tgx
x0lim
x3
2 ox3
2x3
3 ox3
34
.
42)x0lim
e2x ch2x 2xtg2x 2sinx
x0lim
1 2x 2x2 4x33 ox3 1 2x2 ox3 2x
2x 83
x3 ox3 2x 13
x3 ox3
x0lim
4x3
3 ox3
3x3 ox3 4
9.
43)x0lim
1 cos xsin x
x3 x0lim 1 esin x ln cosx
x3 00F. I. . On a
sinx ln cos x x x3
3! ox3. ln1 cos x 1
x x3
3! ox3 ln1 x2
2 ox3 x x3
3! ox3. x2
2 x4
8 ox4
x3
2 ox3, et
1 esin x ln cosx x3
2 ox3. Donc
x0lim
1 cos xsin x
x3 x0lim
x3
2 ox3
x3 12
.
44)x0lim
sin sinx x 3 1 x2
x5 00F. I. . On a sinx x x3
6 x5
120 ox5,
sinsinx sinx sin3x6 sin5x
120 osin5x x x3
6 x5
120 ox5
x x3
6 x5
120 ox5
3
6
x x3
6 x5
120 ox5
5
120 osin5x
x 13
x3 110
x5 ox5,3 1 x2 1 1
3 x2 19 x4 ox5 et
sinsinx x 3 1 x2 x 13
x3 110
x5 ox5 x 1 13 x2 1
9 x4 ox5
1990
x5 ox5.
Doncsinsinx x 3 1 x2
x5 1990
x5 ox5
x5 1990 o1
x0 19
90.
45)x0lim
1 2tgx ex x2
arcsin x sinx 0
0F. I. . On a
arcsin x sinx x x3
6 ox3 x x3
6 ox3 x3
3 ox3,
ex 1 x1! x2
2! x3
3! ox3, tgx x x3
3 ox3 et
1 2tgx 1 2x 2x3
3 ox3
1 122x 2x3
3 1
8 2x 2x3
32 1
162x 2x3
33 ox3
1 x x2
2 5x3
6 ox3.
Doncx0lim
1 2tgx ex x2
arcsin x sinx
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x0lim
1 x x2
2 5x3
6 ox3 1 x
1! x2
2! x3
3! ox3 x2
x3
3 ox3
x0lim
2x3
3 ox3
x3
3 ox3
x0lim
23 o1
13 o1
2.
46)x0lim
cos sinh x5 5 1 x2
2
cosh sinx ex2/2
00F. I. ). On a
shx x 16
x3 ox4 sh x5 1
5x 1
750x3 ox4,
cos x 1 12
x2 124
x4 ox4,
cossh x5 1 1
2sh2 x
5 1
24 sh4 x5 o sh
4 x5
1 12 1
5x 1
750x3 ox42 1
2415
x 1750
x3 ox44 o sh
4 x5
cossh x5 1 1
50x2 1
5000x4 ox4,
5 1 t 1 15
t 225
t2 ot3 5 1 x2
2 1 1
10x2 1
50x4 ox4,
cosh x 1 12
x2 124
x4 ox4
cosh sinx 1 12
sin2x 124
sin4x osin4x 1 12
x2 18
x4 ox4,
et ex2
2 1 12
x2 18
x4 ox4. Donc
cos sinh x5 5 1 x2
2
cosh sinx ex2/2
1 1
50x2 1
5000x4 ox4 1 1
10x2 1
50x4 ox4
1 12
x2 18
x4 ox4 1 12
x2 18
x4 ox4
225
x2 995000
x4 ox4
x2 14
x4 ox4 2
25 199
5000x2 ox2
x0 2
25.
47)x0lim
x 1 sinx 12
ln1 x2 x
tg3x
00F. I. . On a
1 sinx 1 x x3
3! ox3
1 12x x3
3! 1
8x x3
3!2 1
16x x3
3!3 ox3
1 x2 x2
8 1
48x3 ox3,
ln1 x2 x2 x4
2 ox4, tgx x x3
3 ox3,
tg3x x x3
3 ox33 x3 ox3
et x 1 sinx 12
ln1 x2 x
x. 1 x2 x2
8 1
48x3 ox3 1
2x2 x4
2 ox4 x
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x x2
2 x3
8 1
48x4 ox4 1
2x2 x4
2 ox4 x x3
8 ox3.
Par conséquentx0lim
x 1 sinx 12
ln1 x2 x
tg3x
x0lim x3
8 ox3
x3 ox3 1
8.
49)x0lim
tgsinx lnx 1 x2 x2
6thx x3 x
00F. I. . On a
sinx x x3
6 ox3,
tgsinx tgx x3
6 ox3 x x3
6 1
3x x3
63 ox3 x 1
6x3 ox3,
3 1 x2 1 13
x2 ox3,
lnx 1 x2 ln1 x 13
x2 ox3 x 13 x2 1
2x 1
3x22
13x 1
3x23 ox3 x x2
6 ox3,
thx x x3
3 ox3 ,
et thx x3 x x3 13x x33 ox3 x 4
3x3 ox3.
Par conséquent
x0lim
tgsinx lnx 1 x2 x2
6thx x3 x
x0lim
x x3
6 x x2
6 x2
6 ox3
x 4x3
3 x ox3
x0lim
x3
6 ox3
4x3
3 ox2
18
.
Exercice 6.21. 1) En posant x 1t , on obtient: x t 0 et
x3/2 x 1 x 1 2 x
1t
31t 1 1
t 1 2 1t
t2 t t t2 2 t
t 5 t 1 1 t 2
t2 .
t 1 1 12
t 18
t2 ot2, 1 t 1 12
t 18
t2 ot2.
t 1 1 t 2t2
1 12
t 18
t2 ot2 1 12
t 18
t2 ot2 2
t2
t2
4 ot2
t2t0 1
4.
Exercice 6.22. Soit fx ex2 1x
i) Montrons que f est bijective de R sur R. Montrons d’abord que f est injective. Pour celaétudions le signe de f . On a
f x 2x2ex2 ex2 1x2 d
dxex2 1
x ex22x2 1 1x2 .
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Il suffit d’étudier le signe de gx ex22x2 1 1 sur R. On a
gx ex22x2 1 1 2xex2
2x2 1 4xex2 2xex22x2 1
0, x 0,
0, x 0,
0, x 0,
donc ex22x2 1 1 x0 1 est le minimum, donc f x 0, x 0.Si x 0, on a alors
f 0 x0lim
fx f0x
x0lim
ex2 1x 0
x x0lim ex2 1
x2 1 0.
Ainsi f x 0, x R, c’est à dire que f est strictement croissante sur R, donc injective.Montrons que f est surjective. Comme
xlim ex2 1
x2 ,xlim ex2 1
x2 ,
et f strictement croissante, alors on en déduit que f, ,, donc f estbijective de R sur R. On conclut alors que f1 existe sur R.
ii) On a f10 0 car f0 0 et f est injective. Cherchons le D.L. de f1 jusqu’à l’ordre 5au V0. Posons pour cela
f1x a0 a1x a2x2 a3x3 a4x4 a5x5 ox5.Comme f est impaire, alors f1 l’est aussi, donc a0 a2 a4 0. Il reste à trouver
a1, a3, a5. Soit y fx et alors on a
f1y f1fx x.
Considérons le D.L. de f au V0
y fx ex2 1x x 1
2x3 1
6x5 ox5
et en le remplaçant dans l’équation précédente, on obtient
f1y a1x 12
x3 16
x5 ox5 a3 x 12
x3 16
x5 ox53
a5 x 12
x3 16
x5 ox55 o x 1
2x3 1
6x5 ox5
5
a1x a1
2 a3 x3 a1
6 3a3
2 a5 x5 ox5 x,
ce qui implique que a1 1, a3 12
, a5 712
et, alors
f1x x 12
x3 712
x5 ox5.
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Chapitre VII. Etude du comportement des fonctions. Rappels de cours.
§1. Monotonie et extrémums.
VII.1. Critères de monotonie pour une fonction dérivable.Rappels ( voir chapitre V: dérivation).Théorème. Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I R, alors:i) f cste sur I f x 0,x I;ii) f x 0,x I f est croissante sur I;iii) f x 0,x I f est strictement croissante sur I;iv) f x 0,x I f est décroissante sur I;v) f x 0,x I f est strictement décroissante sur I.
VII.2. Extrémums.Définition 1. Soit f une fonction définie sur un intervalle I R. On dit que f admeti un maximum ( resp. un minimum) local ou relatif en x0 I, s’il existe 0 tel que :
x I : |x x0 | fx fx0 resp. fx fx0 ,
ii un extrémum local en x0 I si elle admet un maximum ou minimum local en ce point.
Définition 2. Soit f une fonction définie sur un intervalle I R. on dit que f atteinti son maximum ( resp. un minimum) absolu en x0 I si
fx fx0 maxI
f resp. fx fx0 minI
f, x I,
ii un extrémum absolu en x0 I si elle admet un maximum ou minimum absolu en ce point.
En résumé, f admet un extrémum au point x0 si la quantité fx fx0 ne change pas de signeen passant de l’intervalle x0 ,x0 à l’intervalle x0,x0 où 0.
Remarques.1) En remplaçant dans les définitions 1) et 2) les inégalités larges par des inégalités strictes,
on dit qu’on a des extrémums strictes.2) Il est clair que f peut admettre plusieurs extrémums locaux, mais elle n’admet qu’un seul
maximum ou minimum absolus. Cette valeur maximale ou minimale en x0 est égale ày0 fx0, .notée respectivement par max
xIfx ou min
xIfx.
VII.3. Condition nécessaire pour un extrémum.Théorème. Si la fonction f est définie dans un voisinage de x0, dérivable au point x0 et
atteint un extrémum quelconque en ce point, alors f x0 0.
Remarques.1) L’inverse de ce théorème est faux. En effet, la fonction y fx x3 n’admet pas
d’extrémum en x 0, alors qu’on a f 0 3xx02 0.
2) Si f n’est pas dérivable en un point x0, elle peut admettre ou ne pas admettre d’extrémumen ce point.
3) Si f est définie et dérivable sur un intervalle de la forme a,b ou a,b, elle peut avoir un
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extrémum en a ou en b avec f a 0 ou f b 0. Le théorème précise que le point x0 est unpoint intérieur du domaine de définition.
VII.4. Recherche des extrémums. Conditions suffisantes. La recherche des points où unefonction f, définie sur un ensemble X R, admet des extrémums se fait,
1/ soit dans l’ensemble des points de X où f s’annule si f est dérivable,2/ soit dans l’ensemble des points de X où f n’existe pas,3/ soit aux bords de X.Les points tels que f x 0 ou bien f x n’existe pas sont appelés points critiques de f sur
X. Dans la suite, on établit des conditions suffisantes pour que f admette des extrémums.
VII.5. Première condition suffisante.Théorème . Soit f une fonction définie et continue dans un voisinage V de x0, dérivable sur
V, sauf peut être en x0. S’il existe 0 tel que x0 ,x0 V et
if x 0, x x0 ,x0
f x 0, x x0,x0 , alors f admet un maximum local en x0;
iif x 0, x x0 ,x0
f x 0, x x0,x0 , alors f admet un minimum local en x0.
VII.6. Deuxième condition suffisante. La deuxième condition suffisante concerne lesfonctions dérivables en tout point de son domaine de définition.
Définition. Soit f une fonction définie dans un voisinage du point x0 R et dérivable en cepoint. On dit alors que x0 est un point stationnaire pour f si f x0 0.
Théorème. Soit f une fonction définie et dérivable dans un voisinage du point x0 R telleque:
1) x0 est un point stationnaire,2) f x0 existe.Alorsi f x0 0 f admet un minimum local en x0;ii f x0 0 f admet un maximum local en x0;iii si f x0 0, on ne peut rien dire.
Remarque. Le théorème ne s’applique pas aux fonctions non dérivables et aux fonctionsdérivables telles f ne s’annule pas. Donc la classe des fonctions où se théorème s’applique estplus étroite.
VII.7. Troisième condition suffisante. Si f x0 0, il faut pousser l’étude de f à l’aide dela formule de Taylor. Si f admet des dérivées d’ordre 3, on a une troisième conditionsuffisante donnée par le théorème suivant:
Théorème. Soit f dérivable en x0 jusqu’à l’ordre n 3 vérifiantf x0 f x0 . . . fn1x0 0 et fnx0 0.
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Dans ces conditions:i si n est pair, alors
1 f admet un minimum local si fnx0 0,2 f admet un maximum local si fnx0 0;
ii si n est impair, alors f n’admet pas d’extrémum en x0.
§2. Convéxité. Points d’inflexion.
VII.9. Fonctions convexes. Fonctions concaves. Dans ce no, on étudie la notion deconvexité qui consiste à déterminer la position de la courbe représentative de cette fonction parrapport à toute corde passant par deux de ses points, c’est à dire si cette courbe se trouve audessus ou au dessous de ces cordes. On donnera tout d’abord une définition géométrique d’unefonction convexe ( resp. concave), ensuite une autre analytique qui lui est équivalente.
Définition 1. Soit f une fonction réelle définie sur un intervalle I a,b R et C sacourbe représentative sur I. On dit que f est convexe (resp. concave) sur I si x1,x2 I, lacorde, passant par les points de coordonnées M1x1, fx1 et M2x2, fx2 de la courbe C setrouve au dessus ( resp. en dessous) de la portion d’arc de C comprise entre M1 et M2.
De manière analytique, la définition 1 est équivalente à la définition suivante:
Définition 2. Soit f une fonction réelle définie sur un intervalle I R. On dit que f estconvexe (resp. concave) sur I si x1,x2 I, x1 x2, q1,q2 0, q1 q2 1, alors
fq1x1 q2x1 q1fx1 q2fx2 resp. fq1x1 q2x1 q1fx1 q2fx2 .
Remarques.1) Si on a des inégalités strictes, alors on parle de convexité (resp. de concavité) stricte sauf
aux extrémités de l’intervalle s’ils font partie.2) Si f est concave sur I, alors f est convexe sur I. Ainsi dans la suite on étudiera seulement
les fonctions convexes.
VII.9. Dérivabilité et continuité des fonctions convexes.Théorème. Soit I a,b un intervalle de R et f une fonction convexe sur I. Alors:i) f x0, f x0 existent x0 a,b et on a f x0 f x0;ii) f est continue en tout point x0 a,b ;iii) x1,x2 I, x1 x2, on a f x1 f x1 f x2 f x2.
VII.10. Critères de convexité pour les fonctions dérivables.Théorème 1. Soit f une fonction définie et dérivable sur l’intervalle I R. Alors on a les
équivalences suivantes:i f convexe sur I f croissante sur I.ii f concave sur I f décroissante sur I.
Théorème 2. Soit f une fonction deux fois dérivable sur l’intervalle I R. Alors on a les
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équivalences suivantesi f convexe sur I f 0 sur I,ii f concave sur I f 0 sur I.
Théorème 3. Soit f une fonction dérivable sur l’intervalle I R. Alors on a l’équivalencesuivante:
f est convexe (resp. concave) sur I si et seulement si la courbe C représentative de f sur Ise trouve au dessus (resp. en dessous) de toute tangente à la courbe C en tout pointMx, fx, x I.
VII.11. Points d’inflexion.Définition. Soit C la courbe représentative de la fonction y fx, x I. On dit que le
point Mx0,y0 C, y0 fx0, est un point d’inflexion de C ou que f admet un pointd’inflexion en x0, s’il existe un voisinage V x0 ,x0 I dans lequel f est convexed’un coté de x0 et concave de l’autre.
VII.12. Condition nécessaire d’inflexion pour une fonction deux fois dérivable. Pour lesfonctions ayant des dérivées d’ordre deux, on a une condition nécessaire analogue à celle d’unefonction admettant un extrémum.
Théorème. Soit f une fonction définie dans un voisinage de x0 telle que f x0 existe. Alorspour que f admette un point d’inflexion en x0, il faut que f x0 0.
Remarque. La condition f x0 0 est nécessaire, mais pas sufffisante, comme le montrel’exemple suivant. Soit fx x4, x R qui est deux fois dérivables sur R et on af x 12x2 0 x 0, mais en ce point, il n’y a pas d’inflexion, car la fonction estconvexe des deux côtés de x0 0.
VII.13. Recherche des points d’inflexion. Comme pour la recherche des extrémums d’unefonction f, on a des conditions suffisantes pour la recherche des points d’inflexion qui se fait soitaux points où la dérivée seconde s’annule si elle existe, soit aux points où elle n’existe pas.
VII.14. Première condition suffisante d’inflexion.Théorème. Soit f une fonction définie au voisinage du point x0 R, deux fois dérivable,
sauf peut être en x0. Si f prend des signes différents à droite et à gauche de x0, alors f admetun point d’inflexion en ce point.
VII.15. Deuxième condition suffisante d’inflexion. Si la fonction f est deux fois dérivabledans un intervalle, alors, d’après la condition nécessaire, la recherche des points d’inflexion sefait dans l’ensemble des points tels que f s’annule. Si fn existe pour n 2, on a le théorèmesuivant:
Théorème. Soit f une fonction ayant des dérivées jusqu’à l’ordre n 1, avec n 2, au pointx0 R et vérifiant les conditions
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f2x0 f3x0 . . . fnx0 0 et fn1x0 0,alors:i f admet un point d’inflexion en x0 si n est pair,ii f n’admet pas de point d’inflexion en x0 si n est impair.
§3. Asymptotes.
Définition. Soit f une fonction définie dans un intervalle I R, borné ou non, et C lacourbe représentative de f.
1 On dit que la droite d’équation x x0 R est une asymptote verticale de la courbe Csi f est définie au voisinage épointé de x0 et si on a :
xx00lim fx fx0 0 ou
xx00lim fx fx0 0 .
2) On dit que la droite y y0 est une asymptote horizontale de la courbe C si I n’est pasborné et on a
xlim fx y0.
3) On dit que la droite d’équation y ax b, a, b R, est une asymptote oblique de lacourbe C si I n’est pas borné et
xlim fx et s’il existe une fonction telle:
fx ax b x,xlim x 0,
appelée formule asymptotique de f au voisinage de l’infini.
§4. Schéma général du tracé d’une courbe. Exemples.
VII.17. Schéma général du tracé d’une courbe. On peut donner, à l’aide des propriétésétablies précédemment, un schéma général pour tracer le graphe d’une fonction réelle. Ce shémaest le suivant:
1. Déterminer le domaine de définition de la fonction.2. Déterminer les symétries ou la période afin de réduire l’ensemble d’étude.3. Etudier le comportement de la fonction aux bords des intervalles d’étude.4. Déterminer les asymptotes: verticales, obliques et horizontales.5. Etudier le sens des variations de la fonction, soit par une étude directe, soit en étudiant les
signes de la dérivée.6.Déterminer les points stationnaires, les extrémums et les points d’inflexion.7. Dresser le tableau de variations.8. Déterminer des points remarquables: points d’intersection avec les axes, points d’arrêt ...9. Tracer le graphe.
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Enoncés des exercices du chapitre VII.
Exercice 7.1. Démontrer que la fonction polynômiale Px a0 a1x a2x2 . . .anxn
et la fonction rationnelle Rx a0 a1x a2x2 . . .anxn
b0 b1x b2x2 . . .bmxm sont strictement monotones
sur les voisinages , et , de et respectivement.
Exercice 7.2. Montrer que la fonction fx 1 1x
xest croissante sur les intervalles
,1 et 1,.
Exercice 7.3.i) En étudiant les variations de la fonction fx x 2 logx, montrer que l’équation
x 2 logx a deux solutions réelles et , .
ii) On considère maintenant la suite un définie paru1 1,
un1 2 logun, n 1.
Montrer que un converge vers .
Exercice 7.4. Déterminer les extrémums des fonctions suivantes:1) y x3 2ax2 a2x a 0; 2) y x;3) y x2a x2; 4) y x 22x 33;5) y x3 10x 52; 6) y 2x3 3x2;7) y 2x3 6x2 18x 17; 8) y x
x2 4;
9) y 3x2 4x 4x2 x 1
; 10) y x2 3x 2x2 2x 1
;
11) y x a2
x a 0; 12) y x 1 x ;13) y 2x x2 ; 14) y x 2 x2 ;15) y x 3 x ; 16) y 3 x2 3 x2 1 ;17) y x
3 x2 4; 18) y x2ex;
19) y 3 x2ex; 20) y x2 4x 1 lnx2 4x 4.21) y x log1 x; 22) y x
ln x;
23) y ln2xx ; 24) y x 110ex;
25) y x ln x; 26) y ex sinx27) y cos x cos x
2; 28) y x 2cos x;
29) y x sinx; 30) y x 2sin2x;31) y sin3x cos3x; 32) y ln cos x cos x;33) y x tgx; 34) y x 2arctgx35) y x2 1arctgx
4x2 x; 36) y lnx2 1 2arctgx;
37) y log ex x 1x 1
.
Exercice 7.5. Trouver les minimums et maximums absolus des fonctions suivantes:
1 y x2 4x 6 , x 3,10; 2) y 3x4 6x2 1, x 2,2;
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3) y x3 3x 3, x 3; 32; 4) y x3 6x2 9, x 1;2;
5) y x4 8x2 3, x 1; 2; 6) y x5 5x4 5x3 1, x 1;2;7) y x4 1
x2 1, x 1;1; 8 y 1 x2
1 x4 , x 0,;
9) y 9x
251 x
, x 0,1; 10) y |x2 3x 2|, x 10;10;
11) y x 1x , x 0,01; 100; 12) y 5 4x , x 1;1;
13) y x 2 x , x 0,5; 14) y 2x, x 1; 5;15) y x 2 ln x, x 3
2,e; 16) y x ln x
5, x 1; 5;
17) y 2sinx sin2x, x 0, 32;
18) y cos2x cos2 3 x cos x cos
3 x, x R.
19) y 2arctgx arcsin 2xx2 1
, x R.
Exercice 7.6. Trouver les bornes inférieure et supérieure de la foncion suivante:fx ex
2cos x2 sur R.
Exercice 7.7.1) Montrer que parmi tous les rectangles inscrits dans un cercle donné, le carré a une surface
maximum. Montrer aussi que le périmètre est maximum pour le carré.2) Montrer que parmi tous les triangles isocèles inscrits dans un cercle donné, le triangle
équilateral a un périmètre maximum.3) Trouver parmi les triangles rectangles dont l’hypoténuse est égale à h, celui qui a une
surface maximale.4) Trouver la hauteur, parmi les cylindres droits inscrits dans une sphère de rayon R, de celui
qui a un volume maximal.5) Trouver parmi les cylindres droits inscrits dans une sphère donnée de rayon R celui dont
la surface latérale est maximale.6) Inscrire dans une sphère de rayon R un prisme triangulaire régulier de volume maximal.7) Construire un trapèze isocèle de périmètre minimal pour une surface S donnée, l’angle de
la base est égal à .8) Trouver l’angle au sommet d’un triangle isocèle de surface donnée tel que le rayon du
cercle inscrit soit maximal.9) Trouver la hauteur d’un cône inscrit dans une sphère de rayon R tel que sa surface latérale
soit maximale.
Exercice 7. 8. Avec une feuille en carton de forme carrée et de côté égal à c , on veutfabriquer une boîte telle que le volume soit maximal. Pour cela, on découpe à chaque coin uncarré de même côté, ensuite on plie les bords ainsi obtenus. Trouver le côté des carrés découpéspour que le volume de la boîte soit maximal.
Exercice7. 9. Etudier la convexité de la courbe définie par y 1 3 x aux pointsA1,0, B1,2 et C0,1.
Exercice 7.10.Trouver les points d’inflexion et les intervalles de concavité et de convexité des graphes des
fonctions suivantes:
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1) fx x3 5x2 3x 5; 2) fx 3x5 5x4 3x 1;3 fx 3x2 x3 ; 4 fx 1 x2 ;5) fx logx; 6) fx log1 x2;7) fx cos x; 8 fx x sinx ;9) fx 10
x log x10
; 10) fx earctgx;
11 fx ex2.
Exercice 7.11.i) Soient x,y,a,b R. Montrer que
x log xa y log
yb x y log
x ya b
.
ii) Montrer que n N, a1,a2, . . . ,an Rn :a1 a2 . . .an
n n a1.a2. . . .an .
Exercice 7.12. Soit la fonction relle f définie par fx loglogx, x 1.i) Montrer que f est convexe sur 1,.ii) En déduire que
a,b 1, : log a b2 loga. logb .
Exercice 7.13.i) En utilisant la convexité de la fonction fx ex, démontrer que:a,b R, p,q 1, tels que 1
p 1q 1, on a ab ap
p bq
q .
ii) En déduire l’inégalité de Holdër suivante: a1,a2, . . . ,an,b1,b2, . . . ,bn R2n,
n
k1
akbk n
k1
akp
1p n
k1
bkq
1q
.
Exercice 7.14. Montrer qu’une fonction convexe bornée et continue possède des dérivées àdroite et à gauche en tout point.
Exercice 7.15. Etudier, à l’aide des D.L., les branches infinies des fonctions suivantes et dansle cas d’existence d’asymptotes obliques, étudier la position relative des courbes et desasymptotes:
1) y x3 2ax2 a2x , a 0; 2) y x3
x2 9;
3 y x2 1 ; 4) y 1 x x2 ;
5) y x2 x 1 x2 x 1 ; 6 y x 2 x2
x2 9;
7) y x3
x 13; 8) 3 x3 x2 x x2 x 1 ;
9) y 1sin 1
xlog x
x 11 x2 ; 10) y x2arctg 1
x 1;
11) y x 1x e
ax en fonction de a.
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Exercice 7.16. Soit une fonction définie au voisinage de x0 R telle que:
fx a0 a1x x0 akx x0k x x0kxavec
xx0
lim x 0, ak 0, k 2, k N. En remarquant que y a0 a1x x0 est
l’équation de la tangente à la courbe de f en x0, étudier suivant la parité de k et le signe de ak, lecomportement de f au voisinage de x0.
Application: étude locale de:1) fx x11 3x6 1 en x0 0;2) fx 6 logx 2x3 9x2 18x en x0 1;3) fx 24ex 24x 12x2 4x3 x4 20 en x0 0;
4) fx logchxcos x chx en x0 0.
Exercice 7.17. Soit une fonction définie au voisinage de x0 R telle que:
fx ax b cxk 1
xkx
avecxlim x 0, a,b, R, c R, k N. En remarquant que y ax b est
l’équation de la tangente à la courbe de f, étudier suivant la parité de k et le signe de c, laposition de la courbe de f par rapport à l’asymptote.
Application à: 1) fx 3 x3 x 1 x2 x 1 ;2) fx 3 x3 x 1 x2 x 1 .
Exercice 7.18. Soit la fonction f définie par fx e1x log
chxcosx , x 0,
1 , x 0.
A l’aide des D.L., déterminer l’équation de la tangente à la courbe (C) représentant f, au pointA d’abscisse zéro, et la position de (C) par rapport à cette tangente au voisinage de A.
Exercice 7.19. Soit la fonction f définie par
fx e 1sin x etgx , x
2,
2.
i) Calculer le D.L., à l’ordre 3 au voisinage de x 0, de la fonction g définie pargx e 1sin x e.
ii) Montrer quex0lim fx existe. Calculer cette limite qu’on désignera par . On pose ensuite
f0 .iii) Montrer que f, ainsi prolongée, est dérivable en x 0. Calculer f 0.iv) Préciser la position du graphe de f par rapport à la tangente en 0, , au voisinage du
point de contact.
Exercice 7.20. Soit la fonction f définie par fx xe1
1x2 , x R 1.i) Etudier la variation de f. Montrer que f admet une asymptote lorsque |x| et préciser
la position du graphe Cf de f par rapport à cette asymptote au voisinage de et .ii) On pose f0 . Montrer que, f ainsi prolongée, admet une dérivée à droite au point
x 1. Etudier la convexité et les points d’inflexion de Cf.iii) Tracer le graphe de f.
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Exercice 7.21. Soit la fonction f définie par fx 1x
1x2 arctgax bx3 x5
5.
i) Déterminer les nombres réels a et b pour que la droite d’équation y 2x soit tangenteà la courbe représentative Cf de f au point 0,0.
ii) En déduire l’allure de Cf au voisinage de 0,0.
Exercice 7.22. Montrer que la fonction fx x4 x2 a pour asymptote au voisinage de la parabole y x2 x
2 1
8.
Exercice 7.23. On considère les courbes d’équations:
y 11 logx cos x
et y 1 x2 x3
1 x.
i) Montrer qu’elle ont une même tangente au point d’abscisses x 0.ii) Etudier la positions de cette tangente par rapport aux deux courbes.
Exercice 7.24 . Tracer les courbes représentatives des fonctions suivantes:
1) fx x3 3x2 4; 2) fx x2 x 1x2 2x 1
;
3) fx x3
x2 1; 4) fx 3x2 4
x2 x 2;
5 fx x3
42 x2; 6 fx x x2 x 1
7 fx 3 1 x3 ; 8) fx 3 x3 3x 2 ;
9) fx x2
|x2 1|x ; 10) fx xe
1x ;
11 fx ex 1
x2 ; 12) fx 1log1 x
1x ;
13 fx log|x e|log|x|
; 14) fx e1x xx 2 ;
15 f5x cos x log cos x; 16) fx cos x |sinx|;
17) fx arcsin 2x1 x2 ; 18) fx arccos 1 x2
1 x2 ;
19) fx arcsin1 2x 2arcsin x ; 20) fx arctan 2x1 x
;
21) fx x2 arctan 11 x2 ; 22) fx 1 x2arctg 1
x ;
23) fx x2 arcsin 1 sinx
2; 24) fx x arctg x 1
x ;
25) fx arctg 1 x1 x
; 26) fx arctan x2 2x 1x2 2x 1
;
27) fx 1 1x
x; 28) fx 1 sinxctgx;
29) fx 2ex ex1x ; 30) fx x
1logx1 .
Exercice 7.25. Tracer le graphe de la fonction y yx définie par ex logx yx 1.
Exercice 7.26. On considère la fonction fx x logxx2 1
. Comment choisir f0 et f1
pour que f soit continue pour x 0? Est-elle dérivable alors en x 0 et en x 1? Etudier lesvariations de f et tracer son graphe.
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Réponses aux exercices du chapitre VII.
Exercice 7.4. 1 ymax 4a3
27pour x a
3; ymin 0 pour x a;
2 Pas d’extremum;
3 ymax a4
16pour x a
2; ymin 0 pour x 0 et pour x a;
4 ymax 0 pour x 2 ; ymin 108 pour x 0;5 ymax 0 pour x 5 et-324 pour x 1; ymin 162 pour x 2;6 ymax 0 pour x 0; ymin 1 pour x 1;7 ymax 27 pour x 1 ; ymin 37 pour x 3;8 ymax 1
4pour x 2 ; ymin 1
4pour x 2.
9 ymax 4 pour x 0 ; ymin 83
pour x 2;
10 ymin 124
pour x 75
;
11 ymax 2a pour x a ; ymin 2a pour x a;12 ymax 5
4pour x 3
4;
13 ymax 1 pour x 1 ; ymin 0 pour x 0 et x 2;14 ymax 1 pour x 1 ; ymin 1 pour x 1;15 ymax 13
4pour x 11
4; ymin 3 pour x 3;
16 ymax 3 4 pour x 22
; ymin 1 pour x 0;
17 ymax 3 pour x 2 3 ; ymin 3 pour x 2 3 ;18 ymax 4
e2 pour x 2 ; ymin 0 pour x 0;
19 ymax 2e pour x 1 ; ymin 6e3 pour x 320 ymin 4 pour x 1 et x 3; 21 ymin 0 pour x 0.22 ymin e pour x e.23 ymax 4
e2 pour x e2; ymin 0 pour x 1;
24 ymax 1010e9pour x 9; ymin 0 pour x 1;25 ymax 0 pour x 0 , ymin 2
e pour x e2;
26 ymax 22
e342k
en xk 34 2k et
ymin 22
e
42k
en xk 4 2k, k Z;
27 ymax 1k 12
pour x k , ymin 34
pour x 2k 23
,k Z;
28 ymax aux points x 6 2k , yminaux points x 5
6 2k,k Z;
29 Pas d’extremum;
30 ymax 5 6 3 12
12en x
12 k ,
ymin 5 6 3 12
12aux points x 5
12 k,k Z;
31 ymax 1 pour x 2k et x 2k 2
, ymax 22
en x 54 2k,k Z,
ymin 1 pour x 2k 1 et x 2k 32
, ymin 22
en x 4 2k,k Z;
32 ymax 1 pour x 2k; 33 Pas d’extremum.34 ymax 2
1 pour x 1; ymin 1 2
pour x 1;
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35 ymax 0 pour x 0; ymin 4 1 pour x 1;
36 ymin ln 2 2
, pour x 1; 37 Pas d’extremum.
Exercice 7.5. 1 2; 66, 2 25; 2, 3 15; 5, 4 7; 9,
5 13; 3, 6 10; 2; 7 2 2 2; 1, 8 pas de minimum, ymax 1 2
2;
9 64, pas de maximum absolue); 10 0; 132, 11 2; 100,01;12 1; 3 13 1; 5 2 5 , 14 1
2; 32; 15 2 2 ln 2; e 2;
16 5e ; 0, 17 2;
3 32, 18 3
4; 3
4; 19 ;.
Exercice 7.6. sup fx 1; inf fx 22
e 3
4 .
Exercice 7.7. 3 h2
. 4 h 2R3
; 5 h R 2 ; 6 h 2R3
;
7) cotés lateraux : Ssin ; 8
3; 9 h 4
3R.
Exercice 7.8. c6
.
Exercice 7.9. Au point A la courbe est convexe, au point B elle est concaveet C est un point d’inflexion.
Exercice 7.10.1 inflexion en ( 5
3, 250
27, concavité sur , 5
3, convexité sur 5
3,;
2 inflexion en 1;1, concavité sur , 1, convexité sur 1,;3 inflexion en 1; 2, concavité sur 1,, convexité sur , 1;4 La fonction est concave sur ,.5 La fonction est concave dans son domaine de définition, R.6 inflexion en 1; ln 2, convexe sur ,1 1,,
concave sur 1,1.
7 inflexion en xk 2 k,k Z, concavité sur
4k 12
,4k 3
2,
convexité sur 4k 3
2,4k 5
2, k Z.
8 inflexion en xk k,k Z, concavité sur 2k, 2k 1,convexité sur 2k 1, 2k 2, k Z;
9 inflexion en x 10e e , concavité sur 0,10e e ,convexité sur 10e e ,;
10 inflexion en 12
,earctg12 , concavité sur , 1
2, convexité sur 1
2,.
11 inflexion 12
,e12 , concavité sur 1
2, 1
2,
convexité , 12 1
2,.
Exercice 7.15. 1) Branche infinie;2) y x , (au dessus si x 0 en dessous si x 0;3 y x si x 0 , y x si x 0 (en dessous);4 y x 1
2 au dessus); 5) y 1 (au dessus);6) y 2 à gauche, y 2x 2 à droite (en dessous);7) y 1, x 1; 8 y 5
6 (au dessus); 9) branche infinie;10) y x 1, (au dessus si x 0, en dessous si x 1.); 11) y x a.
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Corrigés détaillés de certains exercices du chapitre VII.
Exercice 7.4.1) Cherchons les points critiques de la fonction y fx x3 2ax2 a2 a 0. Comme f
est un polynôme, elle est donc deux fois dérivables sur R. Les points critiques, stationnaires dansce cas, sont alors les racines de l’équation y 3x2 4ax a2 0, dont les racines sontx1 a et x2 a
3. Pour déterminer les extrémums de cette fonction, utilisons la deuxième
condion suffisante en étudiant le signe de f aux points critiques. On a y 6x 4a . Et alorsy a 6a 4a 2a 0 et y a
3 6. a
3 4a 2a 0.
Donc f admet un minimum en x1 a, égal à fa a3 2a3 a3 0 et un maximum en
x2 a3
, égal à f a3 a3
27 2a3
9 a3
3 4a3
27.
13) y fx 2x x2 . La fonction est défine sur l’intervalle 0,2 et dérivable sur 0,2,mais elle ne l’est pas en x 0 et x 2. Sur 0,2, on a
f x 1 x2x x2
0 x 1.
Donc les points critiques sont x 0, x 1 et x 2. Etudions les extrémums de cettefonction à l’aide de la première condition suffisante en étudiant le signe de la première dérivée àgauche et à droite au point x 1. On a
f x 1 x2x x2
0 si 0 x 1
0 si 1 x 2.
Donc f est croissante sur 0,1 et décroissante sur 1,2. Ce qui implique que f admet unminimum en x 0 et en x 2, égaux respectivement à f0 0 et f2 0, et un maximumen x 1, égal à f1 1.
27) y fx cos x cos 2x2
est définie sur R et elle admet des dérivées de tout ordre sur
R. Comme elle est périodique, de période 2, il suffit d’étudier son comportement surl’intervalle [0; 2. Les points critiques sont les points tels que f x 0, c’est à dire que
y sinx sin2x 0 sinx sin2x 0 sinx1 2cos x 0 sinx 0 ou 1 2cos x 0 x k et x 2
3 2k , k Z. Sur [0; 2, les points
critiques sont x1 0 , x2 et x3 43
. Pour l’étude des extrémums, utilisons la
deuxième condition suffisante, à savoir étudions le signe de f aux points critiques. On ay cos x 2cos 2x. Déterminons la nature de chaque point critique:
1) y x10 cos 0 2cos 0 3 0. Donc , nous avons un maximum au pointx1 0 égal à f0 3
2 par périodicité ce maximum est aussi atteint aux points
xk 2k k Z;2) y x2 cos 2cos 2 1 2 1 0, donc nous avons un maximum au point
x1 égal à f 12 par périodicité, ce maximum est aussi atteint aux points
xk 2k 1 k Z;3) y
x343 cos 4
3 2cos 8
3 1
2 2. 1
2 3
2 0, donc nous avons un
minimumm au point x3 43
, égal à f 43 3
4par périodicité, ce maximum est aussi
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atteint aux points xk 43 2k k Z.
Exercice 7.5. Pour trouver les maximums et minimums absolus de cette fonction sur unsegment a,b , on procède de la manière suivante :
i) on recherce tous les maximums et minimums (relatifs) possibles sur le segment a,b;ii) on détermine la valeur de la fonctionaux extémités du segment en calculant ya et yb.iii) on choisit la plus grande et la plus petite parmi ces valeurs qui seront la plus grande et la
plus petite valeurs sur le segment considéré.3) y x3 3x 3 , x 3; 3
2. Comme f est dérivable, alors on a
y 3x2 3 0 x1 1 ,x2 1 et y 6x.Pour x 1, on a y x1 6 0, et, alors la fonction a un maximum au point x1 1,
égal à yx11 5.Pour x 1, on a y x1 6 0, et, alors la fonction a un minimum au point x2 1, égal
à yx11 1.Calculons maintenant la valeur de la fonction aux extémités de l’intervalle 3, 3
2. On a:
yx 3
2 15
8et yx3 15.
Ainsi les maximum et minimum absolus de la foncton considérée sur le segment 3; 32
sont respectivement yx11 5 et yx3 15.
10) y |x2 3x 2|, x 10; 10. Ecrivons la fonction donnée sous forme suivante:y x2 3x 2. sgnx2 3x 2. La fonction x2 3x 2 est dérivable sur R etsgnx2 3x 2 dérivable sur R sauf aux points tels que x2 3x 2 0, c’est à dire x 1et x 2. Alors y 2x 3sgnx2 3x 2 si x 1 et x 2 . On a y 0 x1 3
2.
Ainsi les points critiques sont: x1 32
, x2 1, x3 2. En comparant les nombres
yx1 14
; yx2 0; yx3 0; y10 132; y10 72,
on conclut que le maximum absolu et le minimum absolu de la fonction donnée surl’intervalle 10; 10 sont égaux respectivement à 132 et à 0.
16) y fx x ln x5 , x 1; 5. Pour trouver les maximum et minimum absolus de
cette fonction sur le segment considéré, nous allons procèder d’une façon analogue à celle del’exemple précédent (no10. .f est dérivable sur ce segment et on a
y ln x5 1 0 x 5
e et y 5e
1x x 5
e e
5 0.
Par conséquent, la fonction a un minimum au point x 5e , égal à
yx 5
e 5
e . ln5e
5 5
e . Calculons maintenant les valeurs de la fonction aux extrémités du
segment considéré. On a yx1 ln 5, yx5 0. Donc le maximum absolu de la fonctionsur le segment considéré est égale à 0 et le minimum absolu est égal à 5
e .
Exo. 7.23. On a:
fx 11 logx cos x
1 x 2x2 236
x3 152
x4 ox4
et
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gx 1 x 2x2 x3 x4 ox4.
i) Comme f0 g0 1 et f 0 g0 1, on en déduit que f et g ont même tangenteen x 0.
ii) L’équation de la tangente est
y x 1 1 x.
Alors, on a fx 1 x 2x2 236 x3 15
2 x4 ox4 2x2 ox2 2x21 o1 0au V(0), la courbe représentative de f se trouve au dessus de la tangente.
Même chose pour g.
Exo.7.24 24i) En posant x 1
t , on a x t 0 et
fx x arctan x 1x 1
t arctan1 t t1 14 1
2t ot,
fx x arctan x 1x x 1
4 1
2x o 1
x ;
ii) gx arctan 1 x1 x
14 x 1
3 x3 Ox5 au V0
En posant x 1t , on a :x t 0 et arctan 1 x
1 x arctan 1 t
1 t
14 t 1
3t3 ot3 1
4 1
x 1
3x3 o 1x3
x arctan x 1x .