Óbudai ÁrpÁd gimnÁzium tehetséggondozó matematikatábor · a matematikatáborban két témát...

Óbudai ÁRPÁD GIMNÁZIUM

Tehetséggondozó Matematikatábor

Pilisszántó

2014.

Titkosítás

Kódok

Poligonok

Poliéderek

Óbudai Árpád Gimnázium Tehetséggondozó Matematikatábor, Plakát

2.

Az Árpád Gimnázium

MATEMATIKATÁBORA

7-9. évfolyamos diákok számára

A táborba olyan diákokat várunk, akik az órai kereteken túl

is szeretnek matematikával foglalkozni, érdekes

problémákon gondolkodni, további kérdéseket felvetni.

Mindezt szabad környezetben, sok játékkal együtt

szeretnénk megvalósítani. A tábor kiemelt témái:

testek felépítése, kódolás, titkosírás, számrendszerek

Időpont: 2014. március 28-30. (péntek – vasárnap)

Helyszín: Pilisszántó, Orosdy -kastély

Jelentkezési lap, információk:

http://amfikupa.hu/agmatek/

A tábor szervezői:

Németh Anna

Nemecskóné Szabó Zsuzsanna

Sztojcsevné Fekete Mária

http://amfikupa.hu/agmatek/

Óbudai Árpád Gimnázium Tehetséggondozó Matematikatábor, Előzetes

3.

Kedves Érdeklődők, leendő Táborozók!

A matematikatáborban két témát szeretnénk körüljárni, felfedezni. Az egyik a poliéderek

tulajdonságai, a másik pedig a titkosítások, kódolás témaköre. Szeretnénk, ha már ráhangolódva

érkeznétek a táborba, egy kis kutatást végeznétek előzetesen. Válasszatok ki tehát egy feladatot az

alábbiak közül, mely számotokra érdekes, és azt vizsgáljátok meg, oldjátok meg! A megoldás

történhet önállóan, vagy lehet két-három ember közös munkája is. Csak egy feladatot kell

megoldani, de azt alaposan, színvonalasan. Szép, ügyes megoldásokat kérünk!

A feladatok elektronikus formában is letölthetők az amfikupa.hu\agmatek oldalról. A megoldásokat

papíron, elektronikus adathordozón vagy e-mailben is szívesen látjuk.

Beadás a matektanáriban március 14-ig vagy [email protected] címen.

1) Hat darab egybevágó szabályos háromszögből, egy-egy oldaluk egymáshoz illesztésével

sokszögeket készítünk a síkban.

a) Hány különböző sokszög létezik?

(Azokat tekintjük különböző sokszögeknek, amelyek semmilyen

mozgatással nem vihetők egymásba)

b) Ezek közül hány olyan van, amelyik kettős gúla hálója?

2) Julius Caesar nevéhez kapcsolódik a Caesar-kód néven ismert titkosítás. Járj utána, hogy mi a módszer lényege!

Készíts prezentációt, mely bemutatja az eljárást! vagy Készíts Caesar-kereket, mely megkönnyíti a kódolást és egy tablót, mely bemutatja azt!

3) a) Négy darab egybevágó, egyenlő szárú háromszögből készítsd el egy háromszög alapú gúla

különböző hálóit. (Azokat tekintjük különbözőnek, amelyek semmilyen mozgatással nem

vihetők egymásba.)

b) Keress olyan 4 db egyenlő szárú háromszögből álló sokszögeket is, amelyekből nem lehet

háromszög alapú gúlát készíteni.

4) Négy darab egybevágó, egyenlő szárú derékszögű háromszögből sokszögeket készítünk.

Lehet-e ezek valamelyikéből háromszög alapú gúlát készíteni?

5) Olvasd el az alábbi angol nyelvű könyv első 3 oldalán az ISBN kódról szóló fejezetet! Foglald össze

a tartalmát magyarul! Mutasd be egy példán keresztül, hogyan működik a kód! (Az új könyvek

kódja a bemutatottól kissé eltérő.)

http://books.google.hu/books/p/princeton?id=i8leNbwhaDEC&printsec=frontcover&hl=en&source=

gbs_ViewAPI&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false

http://www.amfikupa.hu/agmatek

mailto:[email protected]

http://books.google.hu/books/p/princeton?id=i8leNbwhaDEC&printsec=frontcover&hl=en&source=gbs_ViewAPI&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false

http://books.google.hu/books/p/princeton?id=i8leNbwhaDEC&printsec=frontcover&hl=en&source=gbs_ViewAPI&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false

Óbudai Árpád Gimnázium Tehetséggondozó Matematikatábor, Előzetes

4.

6) Készíts programot, mely elvégzi a kódolást a Vigenère-tábla alapján!

Programod olvassa be a kulcsot, majd ennek megfelelően végezze a kódolást! (Lehet a kulcs és a nyílt szöveg is angol nyelvű, a programnak nem kell kezelnie az ékezetes betűket.)

7) Az alábbiakban egy magyar nyelvű, ékezetes betűkkel írt kódolt szöveget olvashatsz. Minden

betűt helyettesítettünk egy másikkal (esetleg önmagával), tehát a szövegben különböző betűk

különböző betűket jelölnek. Az írásjeleket töröltük a szövegből, de a szóközöket megtartottuk.

Számold meg, melyik betűből hány darab van, és hasonlítsd össze a betűk magyar nyelvben való

előfordulásával (ld. wikipédia ). A betűk megszámolásához írhatsz programot is, de nem kell. A

rövid szavak is segítségedre lehetnek, ezekből ki lehet következtetni néhány betűt.

a) Röviden mutasd be, hogyan fejtetted meg a kódot. b) Mi az eredeti szöveg? c) Kiről szól a szöveg? Milyen szerepet játszott az életében (és halálában) a titkosírás? Mi

történt vele?

HWJXÓ AUÍJÍRŰANDÁÍRANQNJÍ ÖÓÁAXRQKÓH RÍH ŰAÓZ WÁÁÓHHXRXAUDÍJ

MIÁD KÓRÍH ÍQOFÍR ÓU ÓRQIÁ ZNHAUIÁQWÁÓD ÉÍEÍ XA MÓÁÜFÓR ÍÁÉIQDÓ

HWJXÓ ÁÍMÍÁÍXD NA ÓU XA DSTDÓ ZX ZNLÍA Ó HÍQÉÍEDNABZJÍ DKIHÓA

LKÍÁXLLÍA MIÁD ÓZZIJXFÓR ÓU IJAUWQ ÁÍQZXMWÁÜFF JÍEDEÍÁÉÍEDÚEÍ

NMÍZÍR WD ÉÍEDÍDDÍ HÍQ ÓU ÍJUANFÍD ZXJWÁORN ÍÁÁÍR AUGMÍDZÍUÚZ

DXDZIAYJWAAÓÁ YJD BUÍRÍDÍXD A AUIÁQWÁDÓDIDD ÍZNLLÍR

FXUIROYDNZIZÓD ÓU ÍÁYDNÁNABZKGU ROXÁMWRMÓÁÜ MIÁD KIQO KÓ HÍQ

DSTEÓ ÉÍEDÍRX HWJXÓ NA ÓU GAAUÍÍAZBMÚZ ÁÍMÍÁÍUNANRÍZ DÓJDÓÁHWD

HWJXWD HÍRDKÍDÍDÁÍRBÁ KÓÁWÁJÓ YDNÁXZ HWAÉÍÁÚÁ ÓU XA FXUIROIARÓZ

ÁWDAUIDD KIQO KÓ Ó AZÜD ZXJWÁORÚ WÁDÓÁ KÓAURWÁD JÍEDEÍÁ

ÍÁÁÍRWÁÁ Ó HÍQÉÍEDNAX LJÜFWÁZIUWAIZRÓZ ÓZZIJ HWJXÓ NÁÍDFÍR HÓJÓT

RÍH ÍÁAUGJ ÉIJTSÁD ÍÁÚ Ó DGJDNRÍÁÍH AIJWR KIQO ÍQO DXDZIAYJWA

ÉÍÁDGJKÍDÚANQNR MÓQO ÉÍÁDGJKÍDÍDÁÍRANQNR ÍQO ÍHFÍJ NÁÍDÍ HCÁD

Óbudai Árpád Gimnázium Tehetséggondozó Matematikatábor, Program

5.

Matektábor 2014. márc. 28-30. - Program

Március 28. Péntek 8:10 Indulás(Flórián tér, Vörösvári úti megálló)

9:30 Érkezés, táborfoglalás

10:00-10:30 Csoportalakítás

10:30-13:30 Akadályverseny

14:00 Ebéd

14:30 -16:00 I. foglalkozás Poligon

16:15 - 17:45 II. foglalkozás Titkosírás

18:00 Vacsora

20:00 Társasjáték

Március 29. Szombat 8:30 Reggeli

9:30 - 11:00 III. foglalkozás Kódolás

11:15 - 12:45 IV. foglalkozás Poligon

13:00 Ebéd

14:00 Kirándulás/sport

16:00 - 17:45 Alkotóműhely

18:00 Vacsora

20:00 Vetélkedő

Március 30. Vasárnap 8:30 Reggeli

9:00 - 10:30 V. foglalkozás Euler-tétel

10:45 - 12:15 VI. foglalkozás Bemutatók

12:30 Ebéd

13:00 Táborzárás

Utazás haza

Óbudai Árpád Gimnázium Tehetséggondozó Matematikatábor, Résztvevők

6.

Helyszín: Pilisszántó, Orosdy-kastély

Időpont: 2014.márc. 28-30.

A tábor anyagait összeállították és a programokat szervezték:

Németh Anna, Nemecskóné Szabó Zsuzsa, Sztojcsevné Fekete Mária

Előadóként részt vett Besnyőné Titter Beáta, segítőként Kézér Ildikó

Mindannyian matematika szakos középiskolai tanárok

Táborban részvevő diákok:

1. Brányi Balázs 14. János Zsuzsa

2. Kovács Viki 15. Kostyál Domonkos

3. Nácz Vanessza 16. Kovács Richárd

4. Szépfalvi Bálint 17. Peőcz Krisztián

5. Horváth Balázs 18. Rákosi Dávid

6. Barta Ákos 19. Stefkó Szonja

7. Pálvölgyi Domonkos 20. Tóth Balázs

8. Papp Dániel 21. Varga Levente

9. Vörös Boldizsár 22. Márkus Tamás

10. Benda Orsolya 23. Gönczi Lili

11. Csík Ákos 24. Nagy Gábor

12. Erdélyi Dominik 25. Gortka Bence

13. Jaksics Benedek 26. Szalai László

Óbudai Árpád Gimnázium Tehetséggondozó Matematikatábor, Csoportalakító

7.

Csoportalakító feladatok / megoldások

13

1. Egységnyi élhosszúságú kockákat 1 egység alapterületű négyzetes oszloppá ragasztunk össze. Hány kockát kell összeragasztani ahhoz, hogy az oszlop felszíne 9-szerese legyen egy kiskocka felszínének?

/ 2·T+X·4T=9·6T X=13/

2. Árpádfalváról Kockavárosba háromféleképpen, Kockavárosból Szántófalvára négyféleképpen lehet eljutni. Árpádfalváról egy közvetlen út is vezet Szántófalvára. Hányféleképpen juthatunk Árpádfalváról Szántófalvára, ha csak az említett utak valamelyikét használhatjuk?

/ 3·4+1=13 /

3. Három testvér közül a legidősebb 14 évvel idősebb a legfiatalabbnál, a középső testvér pedig 4 évvel fiatalabb a legidősebbnél. Mindhármuk életkora prímszám. Hány éves a középső testvér?

/ p+14; p+10; p Ha p=3k+1 alakú, akkor p+14 osztható lenne 3-mal; ha p=3k+2, akkor p+10 osztható 3-mal. Ha p osztható hárommal, akkor csak a 3 lehet. Ekkor p+10=13 és p+14=17 prímek. Tehát csak ez a megoldás./

4. Hány 0-ra végződik 55!=1·2·3·....· 53·54·55 ?

/ A szorzatban 11 db 5-tel osztható, 2 db 25-tel osztható szám van, ezért a prímtényezős felbontásában az 5 a 13. hatványon szerepel. A 2-es prímtényezőből biztosan több van ennél, ezért 13 db 0-ra végződik a szorzat./

5. Egy zsákban 14 db piros, 15 db kék és 16 db zöld golyó van. Mennyit vehetünk ki becsukott szemmel, ha azt szeretnénk, hogy biztosan maradjon a dobozban mindhárom színből?

9

1. Van 48 db egybevágó kockánk. Hány különböző alakú téglatestet lehet ezekből összerakni, ha egy-egy téglatestnél mindegyiket fel kell használni?

/1·1·48=1·2·24=1·3·16=1·4·12=1·6·8=2·2·12=2·3·8=2·4·6=3·4·4/

2. Egy fedett kosárban 10 barna, 8 szürke és 15 fehér galamb van. Egyesével engedjük ki őket. Legalább hányat kell kiengedni közülük , hogy biztosan legyen köztük barna vagy fehér?

/8(szürke)+1=9/

3. Egy matematika versenyen 25 feladatot kell megoldani. Induláskor mindenki 25 ponttal rendelkezik. Minden helyes válasz 4 pontot, minden helytelen válasz -1 pontot ér. Az üresen hagyott feladatokért 0 pont jár.

Hány feladatot rontott az a versenyző, aki 60 pontot szerzett és 5 feladattal nem foglalkozott?

/x:rossz;20-x:jó; 25+4(20-x)-x=60; x=9/

4. Milyen számjegyre végződik 3^{2014}?

/A 3 hatványainak végződése 4-esével ismétlődik: 3,9,7,1,3,9,7,1,stb. a 2014 4-gyel osztva 2-t ad maradékul, ezért a végződés 9./

5. Két testvér életkorának összege 12 év. Amikor ez az összeg megkétszereződik, a fiatalabb testvér életkora annyi lesz, mint az idősebbé most.

Hány éves most az idősebb testvér?

/24-2x=x-(12-x); x=9/


8.

17

1. Három testvér közül a legidősebb 14 évvel idősebb a legfiatalabbnál, a középső testvér pedig 4 évvel fiatalabb a legidősebbnél. Mindhármuk életkora prímszám. Hány éves a legidősebb testvér?

/ p+14; p+10; p Ha p=3k+1 alakú, akkor p+14 osztható lenne 3-mal; ha p=3k+2, akkor p+10 osztható 3-mal. Ha p osztható hárommal, akkor csak a 3 lehet. Ekkor p+10=13 és p+14=17 prímek. Tehát csak ez a megoldás./

2. Mennyi a számjegyösszege annak a legkisebb négyjegyű páros számnak, amelyben a számjegyek egymástól különböző prímek?

/ 3572, 3+5+7+2=17 /

3. Egy matematikaórán a tanár felírt egy számot táblára.

Az egyik diák így szólt:a szám osztható 31-gyel. A második szerint osztható 30-cal. A harmadik szerint osztható 29-cel, a negyedik szerint 28-cal, és így tovább, végül a harmincadik diák azt mondta, hogy a szám osztható 2-vel. A tanár ezek után közölte, hogy csak két állítás nem volt igaz, és ezek egymás után hangzottak el. Melyik volt a nagyobbik téves osztó?

/ 2;3;2·2; 5; 2·3; 7; 2^{3}; 3^{2}; 2·5; 11; 2^{2}·3; 13;2·7; 3·5; 2^{4}; 17;

2· 3^{2}; 19; 2^{2}·5; 3·7; 2·11; 23; 2^{3}·3; 5^{2}; 2·13; 3^{3}; 2^{2}·7; 29; 2·3·5; 31 Mivel egymás után hangzott el a két hibás állítás, csak a 16 és a 17 lehet a két téves osztó. A szám, amiről szó van:2^{3}·3^{3}·5^{2}·7·11·13·19·23·29·31/

4. Egy 9 cm élű fakockát kékre festünk, majd az oldallapokkal párhuzamos vágásokkal 1 cm élű kockákra darabolunk. Számold meg, hogy hány olyan kiskocka keletkezett, amelynek legalább az egyik oldala kék! A megfejtés ennek a számnak a számjegyösszege.

/Nem lett festékes: 7^{3}=343 db kiskocka. Festékes lett: 9^{3}-7^{3}=386 db kiskocka. A számjegyösszeg:3+8+6=17./

5. Melyik az a legkisebb pozitív egész szám, amely nem osztója az 1·2·3·4·5·6·...·13·14 szorzatnak?

/17 prím, 15 és 16 pedig osztója/

6. Hány óra lesz 2014 óra múlva, ha most 19 óra van?

/2014=83·24+22 19+22=41; 41-24=17/

12

1. Egy urnában 67 fehér és piros golyó van. Vannak kicsik és nagyok is köztük. Tudjuk, hogy

a) a piros golyók száma osztható 5-tel;

b) a nagy piros golyók száma egyenlő a fehér golyókéval;

c) a legkevesebb a kicsi fehér golyókból van;

d) mindegyik fajta golyó száma prím.

Hány nagy golyó van az urnában?

/F+f+P+p=67; P+p=5k; P=F+f; Mivel a négy prím összege páratlan, lennie kell köztük egy párosnak, vagyis f=2. F+P+p=65, ezért F is osztható 5-tel, vagyis csak 5 lehet. P=7; p=53. Tehát 5+7=12 nagy golyó van az urnában./

2. Egy dobozban 11 piros, 10 kék és 9 zöld golyó van. Legalább hányat kell kivenni becsukott szemmel, hogy a kivettek között biztosan legyen különböző színű?

/11+1=12/


9.

3. Egy 2 m oldalú négyzet köré úgy rajzolunk négyzetet, hogy az oldalai párhuzamosak az eredeti négyzet oldalaival, és 1 m távolságra vannak tőlük. Mennyi a két négyzet határolta vonalak közti terület?

/4^{2}-2^{2}=12/

4. Egy kis matematikustól megkérdezték, hogy hány éves.Így felelt:

-Ha kétszer annyi idős lennék, mint amennyi vagyok, akkor annyival lennék több 18 évesnél, mint amennyivel most kevesebb vagyok. Hány éves a kis matematikus?

/$2x-18=18-x$/

5. Egy garázsban 4-kerekű autók és 2-kerekű motorok vannak. Összesen 17 járművet és 58 kereket számolhatunk meg.

Hány autó áll a garázsban?

/4x+2(17-x)=58 ; x=12/

6. Óránként átlagosan 36 km-t haladva 18 óra alatt érünk célba.

Hány óra alatt tesszük meg ugyanezt a távot, ha sebességünket 5 m/s-mal növeljük?

/36km/h=10m/s; 10·18=15x; x=12/

Óbudai Árpád Gimnázium Tehetséggondozó Matematikatábor, Akadályverseny

10.

Akadályverseny: Feladatok 5-5 pont,bonusz +1 pont

I. Csillagösvény – Kovács Viki

Kellékek: dobótestek, rejtvény

a) Rejtvény I.

b) Rejtvény II.

II. Kápolna – Szépfalvi Bálint

Kellékek: szivacskockák, barchoba

a) Szivacskocka kirakó

b) Barchoba

III. Színház – Nácz Vanessza

Kellékek: piramis, toto

a) Színes piramis

b) Toto-lotto

IV. Kereszteződés – Brányi Balázs

Kellékek: autós játék, Cardano rejtvény

a) Autós

b) Cardano-rács


11.

I. Csillagösvény - titkosírás / megoldások 1. Fejtsd meg a csillagösvényhez tartozó titkosírásokat Ö(2,3); M(5,4); SzTL(5,4); Á(6,10); A(2,2); N(8,6); SzTI(1,1); N(5,8); A(2,10) Ö(5,1); SZTL(7,4); N(7,5); M(2,4); A(2,4); N(6,2); Ö(6,1); Á(2,9); M(1,4); SZTL(4,4) N(8,10); Ö(2,6); Á(6,3); M(2,3); A(4,4); SZTL(4,6); N(4,12); SZTI(5,3)

/a) ikozaéder b) dodekaéder c) oktaéder/

2. Szabályos test alakú "sorsvetők" (dobókockák)

Dobótetraéder:1-4-ig; dobóoktaéder:1-8-ig; dobódodekaéder:1-12-ig; dobóikozaéder:1-20-ig szerepelnek a természetes számok

Az egyes sorsvetőkkel dobva hány esetben lesz

a) a dobott szám 4-gyel osztható; /1; 2; 3; 5/

b) a dobott szám hárommal osztható; /1; 2; 4; 6/

c) a számjegyösszeg legfeljebb 4; /4; 4; 7; 8/

d) a dobott szám négyzetszám? /2; 2; 3; 4/ 3. Mind a négy sorsvetővel egyszerre dobva, hány esetben lesz

a) mind a négy dobott szám prím, /2·4·5·8=320/

b) a dobott számok összege legalább 42?

/44:1 eset(minden testtel maxot dob); 43:4 eset (egy kivételével mindegyikkel maxot,a maradék egy testtel a legnagyobbnál eggyel kisebbet dob.); 42:4+6=10 eset (vagy egy testtel dob 2-vel kisebbet a maxnál, vagy két testtel dob 1-gyel kisebbet, a többivel maxot.) Összesen 1+4+10=15 eset/ 4. A legtöbb zsetont akkor kapjátok, ha két különböző sorvetővel dobva a dobott számok összege prím.

Melyik kettőt érdemes választani? /tetraéder-oktaéder indoklás: akadalyverseny_I4-megoldasok.xls/


12.

II. Kápolna - barkochba

1. Egy 53-as téglalap valamelyik mezőjére gondoltam. Hány barkochba-kérdéssel tudjátok kitalálni a gondolt mezőt?

2. Gondoltam egy számot 0-100 ig. Hány barkochba kérdéssel tudjátok kitalálni? 3. Ha 5 barkochba kérdés áll rendelkezésetekre 0-tól maximum hányig gondolhatok egy számra,

hogy biztosan kitaláljátok? 4. Gondoltam egy számot 0-tól 31-ig. A ti feladatotok, hogy kitaláljátok ezt a számod, de a

kérdéseiteket előre le kell írni. Hány kérdésből tudjátok kitalálni? Mik ezek a kérdések? 5. Megint gondolok egy számra 0-tól 31-ig, amit nektek ki kell találni előre leírt kérdésekkel.

Hogyan tudjátok kitalálni a keresett számot, ha tudjátok, hogy minden kérdésre hazudok? Bónusz: ha túl hamar kész a csapat

6. A csapat előre leírt kérdései közül a játékvezető egy önkényesen kiválasztottra nem fog válaszolni. Ha 5 kérdést tehet fel a csapat, akkor hány számból tudják kitalálni, hogy mire gondolt a játékvezető?

7. Az 1, 2, 3, ... 8 számok közül kell kitalálni egyet barkochba-kérdésekkel. A válaszokért fizetnünk kell: az IGEN válaszért 1 Ft-ot, a NEM válaszért 2-t. Legalább hány Ft-ra van szükség ahhoz, hogy biztosan kitaláljuk a gondolt számot?

Megoldás

1. 4 kérdéssel 2. 7 kérdéssel 3. 31-ig 4. 5 kérdésből: kettes számrendszerbe írt alakban az egyes helyiértékek számjegyeire

kérdezünk rá. 5. Ugyanazzal az 5 kérdéssel, egyszerűen megváltoztatunk minden számjegyet. 6. 16 számból, az első négy kérdés az helyiértékekre kérdez, az utolsó arra, hogy a

számjegyek összege páros vagy páratlan. 7. Fordítsuk meg a kérdést! Próbáljuk meg kitalálni, hogy n Ft felhasználásával legfeljebb

hány dolgot tudunk megkülönböztetni, azaz legfeljebb hány szám közül tudjuk biztosan kitalálni a gondoltat. Jelölje ezt a számot sn. Ha adott egy sn elemből álló S halmaz, akkor első kérdésünk két részre osztja S-t: az I részhalmaz azokból az elemekből áll, amelyekre - mint gondolt számokra - "igen" a válasz, az N részhalmaz pedig azokból, amelyekre "nem" a válasz. Ha "igen" választ kapunk, akkor még (n - 1) Ft maradt meg kérdésekre, "nem" válasz esetén azonban csak (n - 2), így

|I| = sn -1, |N| = sn -2, azaz sn = sn -1 + sn -2. Világos, hogy s1 = 1, míg s2 = 2, így s3 = 3, s4 = 5, s5 = 8, s6 = 13, s7 = 21, tehát 8 szám közül 5 Ft-tal tudjuk biztosan kitalálni a gondolt számot.


13.

III. Színház - toto Totó: A totószelvényen az 1-es a nyer, a kettes a vesztes az X a döntetlen mérkőzéseket jelöli. 4 mérkőzést játszottak. Bevezető feladatok megoldásokkal: akadályversenyre 1-5, bonusz: 6

1. Hányféleképpen tölthető ki a totószelvény? 8134

2. Hány totószelvényt kell kitölteni, ha tudjuk, hogy nem volt döntetlen? 1624

3. Hány totószelvényt kell kitölteni, hogy biztosan legyen találatunk? 3 darabot: 1111, 2222, XXXX

4. Egy mérkőzés esetén hány totószelvényt kell kitölteni, hogy biztosan legyen olyan, ami nem talál? Kettőt: 1,2

5. Két mérkőzés esetén hány totószelvényt kell kitölteni, hogy biztosan legyen olyan, amin egy találat sincs? Három: 11, 22, XX

BONUSZ: 6. Három mérkőzés esetén hány totószelvényt kell kitölteni, hogy biztosan legyen olyan,

amin egy találat sincs? Öt: 111; 222; X2X; 2XX, XX2


14.

IV. Kereszteződés - tikosírás A következő szöveget a Cardano-féle ráccsal titkosították.

G É T F I I É E

F R T H V E Ü G

L G I E D Á A V

R K U É L P K E

Ö R N N O I Y E

L S G Z G E I S

É D B Y N E E E

N R T R T E S P

Sajnos azonban a rács megsérült, az egyik sarka hiányzik.

Feladatok:

1. Egészítsd ki a rácsot!

2. Segítségével fejtsd meg a szöveget! Sorold fel az elrejtett kifejezéseket!

3. Kire utalnak ezek? Ki volt ő, mikor élt (hányadik században)?

Bonusz:

4. Az egyes rácssorokat a 24 131 65 16 34 84 8 33 számokkal is leírhatjuk. Mi alapján történhetett a

kódolás?

5. Magyarázd a megfejtett kifejezéseket!


15.

A Cardano-féle rács és a vele történő titkosítás lényege, hogy egy szöveg betűit egy négyzetrács celláiba helyezi el úgy, hogy azok eredeti sorrendben történő kiolvasása csak egy lyukrács segítségével lehetséges. A rácsot a betűnégyzet fölé helyezzük, majd felülről lefelé haladva soronként kiolvassuk a lyukaknál látható betűket. A rácsot ezután 90o-kal elforgatjuk (esetünkben az óramutató járásával ellentétes irányba), és az előbbivel megegyező sorrendben ismét kiolvassuk a látható betűket. A helyes rács használatával az eljárás négyszeri megismétlésével a betűnégyzet minden elemét pontosan egyszer olvassuk ki. Megoldás A teljes rács:

fi függvény Szentpétervár königsbergi hidak poliédertétel Euler egyenes Leonard Euler (1707-1783)

24 131 65 16 34 84 8 33 jelentése: Ha az egyes cellákat a színezésnek megfelelően 0-1-gyel jelöljük, és az így kapott kettes számrendszerbeli számot átváltjuk tízesbe, megkapjuk a kódként használt számot.

Óbudai Árpád Gimnázium Tehetséggondozó Matematikatábor, Foglalkozások

16.

Foglalkozások:

1) Poligonok, poliéderek – Nemecskóné Szabó Zsuzsanna: I. és IV. foglalkozás polydron.pdf

2) Titkosírás – Németh Anna: II. foglalkozás titkosiras.pdf

Óbudai Árpád Gimnázium Tehetséggondozó Matematikatábor, Foglalkozások

17.

3) Hibajavító kódok – Németh Anna: III. foglalkozás hidajavito.pdf

4) Poliéder-tétel – BesnyőnéTitter Beáta: V. foglalkozás euler_tetel.pdf

Óbudai Árpád Gimnázium Tehetséggondozó Matematikatábor, Alkotóműhely

18.

1) Barchoba

Olvasd el az alábbi cikket és készíts egy 5-10 perces előadást a tartalmáról. Az előadást kezd egy próbajátékkal, amin szemlélteted a közönségnek, hogy hogyan működik a ’trükk’ és válaszolj az alábbi kérdésekre. Készíts posztert!

1) Melyik számra gondoltam, ha a következő válaszokat adtam?

a. H,H,H,I,H,H,I b. I,I,H,IH,H,I

2) Ha az első négy kérdésre tudjuk a helyes választ, akkor hogyan állapítható meg a keresett szám?

3) Sorold fel a 0-15 számjegyekhez tartozó számsorokat! 4) Legalább hány számjegyben különbözik két ilyen számsor? 5) Hány egyes lehet egy ilyen számsorban? 6) Hogyan tudod megállapítani, hogy egy számsor melyik számhoz tartozik? 7) Miért nem lehet kevesebb kérdésből megmondani a keresett számot?

The game works like this. Instruct your volunteer to think of a whole number between 0 and 15 (inclusive), and then to answer a few questions about it. He or she is permitted to lie to at most one question, but this is not compulsory; truth-telling is allowed. Here are the questions.

1. Is the number 8 or greater? 2. Is it in the set {4,5,6,7,12,13,14,15}? 3. Is it in the set {2,3,6,7,10,11,14,15}? 4. Is it odd? 5. Is it in the set {1,2,4,7,9,10,12,15}? 6. Is it in the set {1,2,5,6,8,11,12,15}? 7. Is it in the set {1,3,4,6,8,10,13,15}?

At the end, you announce both the number thought of, and the question lied to (if any).

How does it work?

Let us get the easy part out of the way first. If we knew the correct answers to the questions, we can recover the number thought of. This is simply a matter of looking at the first four questions and noting that they ask for the four digits in the base 2 representation of the number. In coding theory terms, these are the “information digits”, encoding the information we are trying to transmit. The remaining questions yield “check digits”, enabling errors to be spotted and fixed.

In fact, if you examine the set H of 16 strings produced by correct answers to the questions with each possible input, you will find the following:


19.

Any two elements of H differ in at least three positions. So if we take an element of H and change a single coordinate (corresponding to telling a lie to one question), the result is still closer to the starting element than to any other. (If any two villages are at least 3km apart, and I walk 1km from one village, I am still closer to that village than to any other.)

So in principle, the decoding is possible; all I have to do is to run through the 16 elements of H and find which one differs in at most one position from the sequence produced by the answers to the questions. The procedure I gave above is a relatively simple method of doing this.

We say that H is a 1-error-correcting code. It is the famous Hamming code of length 7 (which, arguably, was discovered in statistics by R. A. Fisher eight years before Hamming found it, but that is another story).

The decoding method (the way to identify the lie) I gave above is known as syndrome decoding.

What is it good for?

The underlying practical situation is that we are trying to send information through a noisy channel where some distortion will occur; during transmission of a binary string, it will occasionally happen that a 0 is changed into a 1 or vice versa. If we can assume that it is very unlikely that more than one of every seven digits transmitted will be received incorrectly, then the Hamming code allows us to recover from the errors in almost all cases.


20.

2) Toto

4 mérkőzésre töltünk ki totószelvényeket. 1-es jelentse a hazai csapat győzelmét 2–es a vereségét, 0

a döntetlent. Ahhoz, hogy legyen telitalálatos szelvényünk, sok szelvényt kell kitölteni, de mi már a 3

találatnak is örülünk. Ehhez elég 9 szelvény. Vizsgáljuk meg, hogyan!

Ezeket a szelvényeket az (a,b,c,d) rendezett számnégyesekkel írjuk le, ahol a,b,c,d a 0,1,2 számok

valamelyike.

1. Az alábbi instrukciók alapján készítsd el a 9 szelvényt!

Írd fel 0-tól 8-ig a számok hármas számrendszerbeli alakját. Az a szám legyen a hármas

helyiértéken álló számjegy, míg a b szám az egyes helyiértéken álló. A c szám legyen az a+b

összeg hármas maradéka, míg a d szám az a-b szám hármas maradéka.

válasz: 9 1,2,X=0

0,0,0,0 0,1,1,2 0,2,2,1 1,0,1,1 1,1,2,0 1,2,0,2 2,0,2,2 2,1,0,1 2,2,1,0

a 0 0 0 1 1 1 2 2 2 a

b 0 1 2 0 1 2 0 1 2 b

a+b mod 3 0 1 2 1 2 0 2 0 1 c

a-bmod 3 0 2 1 1 0 2 2 1 0 d

2. Az alábbi táblázat ezeket az (a,b,c,d) számnégyeseket mutatja. Jelöld be a táblázatban a fenti 9 szelvényt!


21.

3. Jelöld be minden szelvényhez, azokat a szelvényeket, amiket úgy kapunk, hogy csak egy számjegyüket változtatjuk be. Jelöld ezeket azonos színnel!

4. Mit tapasztaltál? Mit mutattunk meg ezzel? Lefedtük a teljes táblázatot hézagmentesen. A kitöltött 9 szelvény teli találatot jelent. Az összes

többi szelvény csak egy értékben különbözik a kitöltött szelvények valamelyikétől, tehát 3-as

találatot jelent. (Ez egy 3 távolságú 1/9 hatékonyságú Hamming-kód.)

a b 0 1 2

c d 0 1 2 0 1 2 0 1 2

0 0,0,0,0 0,1,0,0 0,2,0,0 1,0,0,0 1,1,0,0 1,2,0,0 2,0,0,0 2,1,0,0 2,2,0,0

0 1 0,0,0,1 0,1,0,1 0,2,0,1 1,0,0,1 1,1,0,1 1,2,0,1 2,0,0,1 2,1,0,1 2,2,0,1

2 0,0,0,2 0,1,0,2 0,2,0,2 1,0,0,2 1,1,0,2 1,2,0,2 2,0,0,2 2,1,0,2 2,2,0,2

0 0,0,1,0 0,1,1,0 0,2,1,0 1,0,1,0 1,1,1,0 1,2,1,0 2,0,1,0 2,1,1,0 2,2,1,0

1 1 0,0,1,1 0,1,1,1 0,2,1,1 1,0,1,1 1,1,1,1 1,2,1,1 2,0,1,1 2,1,1,1 2,2,1,2

2 0,0,1,2 0,1,1,2 0,2,1,2 1,0,1,2 1,1,1,2 1,2,1,2 2,0,1,2 2,1,1,2 2,2,1,2

0 0,0,2,0 0,1,2,0 0,2,2,0 1,0,2,0 1,1,2,0 1,2,2,0 2,0,2,0 2,1,2,0 2,2,2,0

2 1 0,0,2,1 0,1,2,1 0,2,2,1 1,0,2,1 1,1,2,1 1,2,2,1 2,0,2,1 2,1,2,1 2,2,2,1

2 0,0,2,2 0,1,2,2 0,2,2,2 1,0,2,2 1,1,2,2 1,2,2,2 2,0,2,2 2,1,2,2 2,2,2,2


22.

3) Fullerén összeállítása

a) anyagok: 30 db kis négyzet (5 színben), előre bevágva

b) link: http://www.georgehart.com/athens/index.html

A grafit és a fullerén

A grafitban a szénatomok másképp kapcsolódnak egymással. A grafit a szénnek

egy másik allotróp módosulata.

Egy elemnek többféle molekulaszerkezetű vagy különböző rácstípusú

változatban való előfordulásátallotrópiának nevezzük.

A grafit szürkés színű, a gyémántnál alacsonyabb olvadáspontú anyag. Zsíros

tapintású, a papíron nyomot hagy, vagyis puha. E tulajdonsága alapján használják

fel íróeszközök gyártására. Az iparban elektródokat készítenek belőle (a közismert

zsebtelepek is tartalmaznak apró grafitrudakat), mivel az elektromos áramot vezeti - szemben a gyémánttal,

ami szigetelő -, viszont a grafitnak sincs oldószere.

A grafit rétegrácsaA grafitban egy szénatom három másik szénatommal kapcsolódik egyszeres kovalens

kötéssel.

A kovalens kötéssel összekötött szénatomok így egy síkot képeznek, amelyben

szabályos hatszögek alakulnak ki.

Ezek a rétegek egymáshoz párhuzamosan rendeződve alkotják a grafit térbeli

rácsát. Két réteg azonban jóval távolabb van egymástól, mint két-két szénatom a

síkon belül.

Grafit szerkezete

A rétegek közötti kapcsolat gyengébb, mint a kovalens kötés. A szénatomok negyedik elektronja létesíti ezt.

Ezek az elektronok nem két-két atom között tartják az összeköttetést, hanem belőlük a rétegek között könnyen

elmozdulni képes "elektronfelhő" alakul ki, amely nem engedi szétválni egymástól a "szénlemezeket".

Azt a kémiai kötést, mely nem két atomhoz kötött delokalizáltnak nevezzük (lokalizált = helyhez kötött, a "de"

előtag fosztóképző).

A könnyen elmozduló elektronfelhővel magyarázható, hogy a grafit vezeti az elektromos áramot. A réteges

szerkezet felel a puhaságért is. A ceruza papírra nyomásakor a nyomóerő hatására a rétegek mentén válik el a

papírra tapadó grafit a ceruzabél többi részétől.

A szén valamennyi változata közül a legkülönlegesebbek, és a legújabban felfedezettek az

úgynevezett fullerének. Ezeknek a világűrben régóta létező, mára már mesterségesen is előállított

szénmódosulatoknak a legszabályosabbika tökéletesen emlékeztet egy focilabdára. A 60 szénatomból álló

golyó felszínén a szénatomok közötti kötések öt-, illetve hatszögeket alkotnak, pontosan olyan elrendezésben,

mint az a focilabdákon megfigyelhető. Ezek a borzasztóan kemény kis golyók tulajdonképpen a grafit rácsához

hasonló elektronfelhőbe burkolóznak kívülről és belülről egyaránt. Az elektronok

nem tudnak kiszabadulni, viszont kiválóan alkalmasak fématomok "megőrzésére".

A tudósok nagy fantáziát látnak ezekben a szénből készült focilabdákban.

A fullerének színe - attól függően, hogy milyen vastagságú rétegben állították elő -

a barnától a feketéig változik. A szénnek e molekularácsos módosulatai nem

oldhatatlanok. A víz nem, de szerves oldószerek közül egyesek kitűnően oldják.

Benzolos oldatuk például lilásvörös színű.

http://tudasbazis.sulinet.hu/hu/termeszettudomanyok/kemia/szervetlen-kemia/a-

http://www.georgehart.com/athens/index.html

http://tudasbazis.sulinet.hu/hu/termeszettudomanyok/kemia/szervetlen-kemia/a-valtozatos-szen/a-grafit-es-a-fulleren


23.

valtozatos-szen/a-grafit-es-a-fulleren

4) Fraktálcsiga készítése

a) anyagok: 4 db négyzet lap, 4 színben

b) link: http://szertar.blog.hu/2008/11/28/hajtogass_fraktalcsigat

c) irodalom: fraktal.ppt

http://tudasbazis.sulinet.hu/hu/termeszettudomanyok/kemia/szervetlen-kemia/a-valtozatos-szen/a-grafit-es-a-fulleren

http://szertar.blog.hu/2008/11/28/hajtogass_fraktalcsigat

Óbudai Árpád Gimnázium Tehetséggondozó Matematikatábor, Kiállításy

24.

A matematikatábor anyagaiból a tanév végén interaktív kiállítást rendeztünk

iskolánk könyvtárában:

Óbudai ÁrpÁd gimnÁzium tehetséggondozó matematikatábor · a matematikatáborban két témát...

Documents