budapesti mŰszaki És gazdasÁgtudomÁnyi egyetem ... · egy fájl név maximum 255 karakter...

BUDAPESTI MŰSZAKI ÉS

GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM

Közlekedésmérnöki és Járműmérnöki Kar

Dr. Eleőd András

SZÁMÍTÓGÉPPEL SEGÍTETT GYÁRTMÁNYTERVEZÉS

Járműelemek és

Hajtások Tanszék

Dr. Eleőd András

SZÁMÍTÓGÉPPEL SEGÍTETT GYÁRTMÁNYTERVEZÉS

kézirat-részletek!

Budapest 2009.

Eleőd: Számítógéppel segített gyártmánytervezés 2

1. Bevezetés A számítógéppel segített tervezőmunka hatékonyságának és eredményességének elsődleges feltétele, hogy a tervezéshez megfelelő eszközrendszer álljon a rendelkezésünkre, továbbá hogy megfelelő döntés-előkészítési módszereket alkalmazzunk:

Eszköz + Módszer hardver + szoftver - modellalkotás (egyszeri!) - valósághű peremfeltételek megfogalmazása kiválasztás - megfelelő megoldási módszer kiválasztása - az eredmények megfelelő (reális) értékelése mérnöki tevékenység 2. Az eszköz A szükséges eszközt tehát a számítógép és a szoftverek együttese alkotja. A szoftverek között meg kell különböztetnünk az operációs rendszert és a felhasználói szoftvereket. Míg a hardver és az operációs rendszer szerves egységet alkot, aminek a változtatása működési zavarokhoz vezethet, addig a felhasználói szoftverek (adatkezelő, kép- és szövegfeldolgozó rendszerek, tervezőrendszerek, stb.) tetszés szerint cserélhetők, frissíthetők, ill. bővíthetők. A számítógépek csoportosítása tehát szorosan összefügg az operációs rendszerek csoportokba sorolásával is. Ezek szerint megkülönböztethetünk: IBM-kompatibilis egyedi v. PC Számítógép egyéb, nem IBM-kompatibilis (pl. Macintosh) munkaállomás csoportos A jelenlegi határvonal a PC-k és a munkaállomások között: PC-k legfeljebb 2 CPU-t (Central Processing Unit = központi processzor) tartalmaznak, munkaállomások ennél nagyobb számban is tartalmazhatnak. Az IBM-kompatibilis és az egyéb, nem IBM-kompatibilis PC-k közötti különbséget a CPU és az operációs rendszer jelenti. Operációs rendszerek UNIX: 1969-ben jelent meg először, 1973-tól C-nyelven írt kernel + X Window (grafikus felület) jellemzi őket. Korábban kizárólag a munkaállomások operációs rendszere volt. (Az operációs rendszer kernele (kernel=mag) végrehajtó kódok gyűjteménye, amellyel az operációs rendszer a hardver és a szoftver közötti alacsonyszintű kapcsolatot biztosítja. Az operációs rendszer kernelének szolgáltatásai: - processzorkezelés, - memóriakezelés, - fájlkezelés, - eszközkezelés, - hálózatkezelés.)

3 Eleőd: Számítógéppel segített gyártmánytervezés

A mai UNIX operációs rendszerek 64 bit-esek (64 bit=8 byte, 1 byte=8 bit, 264-1 nagyságrendű szám fér egyszerre a processzor regiszterébe) és multi-processzorossak (max. 64 db. processzor egyszerre, SMT üzemmódban: több processzor, de mindegyikben van saját memória, vagy DMP üzemmódban: több processzor, de mindegyik ugyanazt a memóriát használja). Unix-klón: Linux (1991): az Internet-ről ingyenesen letölthető, grafikus (X-Window) felhasználói felületű operációs rendszer-kernel, alapvetően PC-re. A Linux gyorsan fejlődő rendszer, gyors fejlődésének és terjedésének egyik oka az, hogy a fejlesztők már a munkaverziókat is elérhetővé teszik mindenki számára a fejlesztés bármely stádiumában (a teljes forráskód mindig hozzáférhető). Az önkéntes tesztelők a megtalált hibákat a javítással együtt az Interneten küldik vissza a fejlesztőknek. Az ingyenes Linux-ra viszont nem jár garancia. Microsoft Windows operációs rendszerek: - a Win98-ból fejlesztett Windows (e)XP(erience) Home Edition (1 CPU, 32 bit), - a WinNT-ből fejlesztett Win2000 és ennek továbbfejlesztése a Windows XP Professional

Edition (max. 2 CPU, 32 bit, ill. 64 bit). (A 32 bit-es operációs rendszerek legnagyobb hátránya, hogy csak max. 2 GB kiterjedésű fájlok kezelésére alkalmasak.)

- Vista (VIrtual SysTem Acquisition), "The best kind of XP + a little bit of Linux + a little bit of OS X Machintosh", 64(32) bit-es operációs rendszer.

Macintosh OS X: a Macintosh számítógépek operációs rendszere (Windows-hoz hasonló). A mai operációs rendszerek főbb jellemzői: - grafikus operációs rendszer (X Window), - color management (színkezelés), - hardver-független, a perifériákat virtuális eszközökként kezeli, bármilyen perifériaműveletet

csak a kernel meghívása útján végezhetnek, - fájl-orientált szervezésmód jellemzi (a UNIX-ban minden fájl, de a kimenet-bemenet - I/O -

átirányítás külön fájl definiálás nélkül, ún. „pipeline” üzemmódban történik). A fájl struktúra könyvtár rendszerű, de nincsenek különböző meghajtók, minden fájl a gyökérből elérhető. Egy fájl név maximum 255 karakter hosszú lehet (1 byte = 8 bit = 28-1 = 255, azaz 255 karakter hosszat lehet eltárolni egy byte-ban) és tetszőleges karaktert tartalmazhat (vigyázat!), nagy és kisbetű különbséget jelent,

- többfeladatos (multitask), a folyamatok ütemezése preemptív időbeosztásossal történik, minden egyes taszkkal 1/100 s ideig foglalkozik egyszerre (task-manager),

- erőforrás megosztás (power management), - nyomtatás kezelés (printing overview), - megosztott programkönyvtárak (shared library) vagy más néven dinamikus program-

összefűzés (link), - memóriakezelés nincs korlátozva, lapozásos virtuális memóriakezelést használnak, ahol a

fizikai memóriát kiegészíthetjük a winchesterről vett virtuális memóriával (page vagy swap területtel),

- többfelhasználós működés, PC-ken felhasználói profilok segítségével, a Unix-os gépeken a bejelentkezett felhasználóhoz hozzárendelt (soros) terminálok csatlakoztatásával,

- OLE (Object Linking and Embedding) szolgáltatás (tulajdonság átszármaztatás), - beépített hálózatkezelés (NOS=Network Operating System= hálózati operációs rendszer). Ha

a NOS információt küld vagy fogad, az ezt reprezentáló adatokat tördeli. A tördelés módszerét Protokoll-nak nevezik (pl. TCP/IP=Transmission Control Protocol/Internet


Protocol, vagy az IPX/SPX, amely lehetővé teszi, hogy az NT-t futtató gépek a NetWare és Linux hálózatokban is használhatók legyenek),

- univerzális audio arhitektura, - vírus- és illetéktelen behatolás elleni védelem. Csoportos munkahelyek A számítógépek hatékony kihasználása (erőforrásaik megosztása), ill. az egymással való kommunikáció (egymás közötti közvetlen adatcsere) érdekében a számítógépek között vezetékes vagy egyéb távközlési módszerek közbeiktatásával vezeték nélküli, közvetlen vagy közvetett kapcsolatot létesítenek. Ezt a kapcsolatrendszert nevezik hálózatnak. Hálózati technológiák A hálózati technológiák között az Ethernet jelenleg a legnépszerűbb hálózati szabvány. Az Ethernet hálózati kapcsolat 10 millió bit/másodperc átviteli sebességgel valósítja meg a gépek közötti kapcsolatot. Ez a 10 Mbit/sec (más néven Mbps) sebesség 1,25 millió karakter átvitelét teszi lehetővé másodpercenként. 1996-tól létezik a Gyors Ethernet: 100 Mbps adatátviteli sebességgel. Ez már lehetővé teszi, hogy kép és hang, ill. egyéb multimédiás adatok áramoljanak a hálózaton, valós egyidejű felhasználást biztosítva. Bár az Ethernet és a Gyors Ethernet technológia hasonló, mégsem csereszabatos! A klasszikus Ethernet eszközök nem kapcsolhatók közvetlenül a Gyors Ethernet hálózatba, csak akkor, ha automata érzékelésű 10/100-as elosztót, vagy hálózati kapcsolót alkalmazunk. A hálózati hardverek következő generációja a Gigabit Ethernet 1000 Mbps adatátviteli sebességgel. A hálózati topológiák (kialakítások) lehetnek vezetékes vagy vezeték nélküli kialakítások. A vezetékes hálózatokban két alapvető topológiát használnak: - Adatszóró (Broadcast) hálózatot, ahol csak egyetlen kommunikációs csatorna (sín/busz vagy gyűrű kialakítású) van. Egy gép által küldött információs „csomagot” az összes többi megkapja. Ezért a csomagok azonosításához szükséges a küldő gép és a címzett azonosítása. A broadcast hálózatok lehetnek sín és gyűrű kiépítettségűek. A vezetékes adatszóró hálózat jellegzetessége a vékony koaxiális (10 Mbps) vagy üvegszálas (100 Mbps) kábelezés. A koaxiális kábel maximális hossza 300 méter lehet, ennél hosszabb kábelezés esetén közbenső jelerősítőket kell a beépíteni. Minden munkahely – hálózati kártyánként - egy bemenő és egy elmenő kábelt tud fogadni, a kábelek a hálózati kártyához kötelezően T-csatlakozón keresztül illeszkednek. A koaxiális kábel csatlakozóját BNC csatlakozónak (Bayonet Network Connector) nevezzük. A lánc végén lévő számítógép T-csatlakozójának kimenő oldalát egy 50 Ohmos ellenállással kell lezárni. T-csatlakozók és záróellenállások nélkül még két számítógép sem csatlakoztatható egymáshoz! A vékony koaxiális kábelezéshez hasonlóan, az üvegszálas kábelekkel elsősorban hálózati gerincvonalakat alakítanak ki. Az optikai hálózati szegmensek mindig két üvegszálat igényelnek, az egyiken küldjük, a másikon fogadjuk az adatokat. A leggyakrabban használt optikai kábel a multi-módusú optikai kábel (MMF), amelyben 62,5 µm átmérőjű üvegszálak


vannak. Az üvegszálban az információt nem elektronok, hanem fotonok továbbítják. Mivel a fény intenzitása gyorsan csökken, amikor határfelületen halad keresztül, ezért a csatlakozások számát minimálisra kell korlátozni. A szabványos kábelen használt fény hullámhossza 850 nm, amely 1000 méterenként 4-5 dB-t csillapodik. Üvegszálas kábeleket alkalmaznak nagy távolságban lévő hálózatok összekötésére, nagy sávszélességet igénylő multimédiás adatok átvitelére, gigabit sebességű hálózatokban. Az adatszóró vezetékes Ethernet hálózat egyik előnye, hogy olcsó. A hálózati kábel egyik géptől a másik gépig megy a T-csatlakozókon keresztül. Egy-egy számítógép kiesése nem okozza a hálózat hibáját, sőt az egyes számítógépek tetszés szerint fejleszthetők, bővíthetők, ill. cserélhetők. A soros hálózat nagy hátránya viszont, hogy a hálózati összeköttetés bármely hibája (kábelhiba, vagy a csatlakozó szétcsúszása) az egész hálózat azonnali leállását okozza. Minden előnyével együtt az adatszóró hálózat mára már elavult. - Két pont közötti (point-to-point) hálózatot, amelynél a két kommunikációs végpontot összekötik. Ekkor ha egy munkahely megkapja a küldött információs „csomagot”, akkor az vagy neki szól, vagy továbbküldi egy következő pont-pont összeköttetésen keresztül (közvetlen kapcsolat, nincs címzés). A point-to-point hálózatok lehetnek csillag, gyűrű, fa vagy teljes kialakításúak. A p-t-p topológia sajátossága a csavart érpáras kábelezés és az aktív (230 V tápfeszültséget igénylő) hálózati elemek alkalmazása. A csillag kialakítású hálózat egy küllős kerékhez hasonlít, amelynek közepén található egy UTP (Unshielded Twisted Pair) vagy STP (Shielded Twisted Pair) csatlakozókkal ellátott, aktív (külső tápfeszültséget igényel) hálózati csatlakozó elem, az ún. „kerékagy=hub” vagy switch. A hub-ok aktív csillagponti elosztók, feladatuk a hálózati eszközök közötti adatforgalom biztosítása. A küllők végein találhatók a számítógépek. Egy hub 4-től 124 csatlakozási helyet (port-ot) tartalmazhat és minden csatlakozóra csak egy számítógép csatlakozhat. A hub-okat egyaránt gyártják mind az Ethernet, mind a Gyors Ethernet hálózatokhoz. Egyes típusok csak a 10, ill. csak a 100 Mbps sebességet támogatják, de vannak automatikus érzékelésű hub-ok is. A szabványos Ethernet (10 Mbps) hub-ok maximum csak 4 szintig köthetők össze (bővíthetők), a Gyors Ethernet hálózatok esetén ez a korlát még szigorúbb, csak 2 hub összekötését engedi meg. Léteznek összefűzhető hub-ok is, az összefűzött hub-okat a rendszer egyetlen hub-ként kezeli. Csillag topológia (UTP/STP kábel, RJ45 csatlakozás) alkalmazása esetén sem köthető össze két számítógép közvetlenül, hub-ot ebben az esetben is kell használnunk. A hub-oknál intelligensebb aktív elosztó elem a switch, amely már önálló processzorral is rendelkezik, amelynek köszönhetően hatékonyabbá tehető a hálózat szegmentáltsága és csökkenthető a hálózat terheltsége (pl. felismeri, ha egy számítógép nincs bekapcsolva és akkor nem is küldi ki a neki szánt információs csomagot). További intelligens aktív elemei lehetnek a p-t-p hálózatoknak az ún. routerek (hálózati útvonalválasztók) és a modemek. A routerek a lokális hálózatokat (LAN=Local Aerea Network) kötik össze a külvilággal, továbbá tűzfal funkciót is elláthatnak. A modemek a digitális jelet alakítják át analóg jellé és vissza. A modem a LAN és a külső hálózat közötti kapcsolatot biztosítja. A p-t-p hálózat mindig csavart érpáras kábelezésű. A csavart érpár a telefonkábelhez hasonlít, annál kissé vastagabb és 4 vezeték helyett 8 vezetéket tartalmaz. Ezek a vezetékek páronként, sőt a 4 pár egymással is össze van csavarva, azért, hogy az elektromos kisugárzást csökkentsék. A csavart érpáras kábelek készülhetnek árnyékolás nélkül (UTP), ill. árnyékolt kivitelben (STP) is. Ez utóbbit elektromos zajjal erősen terhelt környezetben alkalmazzák. Egy szegmens maximális hossza (az első aktív berendezésig) 150 m.


A csavart érpáras kábelezésű hálózat működhet ún. duplex, ill. félduplex üzemmódban. Félduplex üzemmódban az adás és a vétel a vonalon felváltva történik, duplex üzemmódban mindkettő egyszerre. A vezetékes hálózatok mellett egyre inkább elterjedőben vannak a vezeték nélküli adatátviteli megoldások is: - Infravörös, lézer átvitel: teljesen digitális, jól irányított, ezáltal védett az illetéktelen lehallgatás, ill. külső zavarás ellen, de a láthatósági feltételek (köd, eső, légköri szennyeződések) romlása zavarásként jelentkezik. - Rádióhullám: 2-40 GHz frekvenciatartományú mikrohullámú átvitel, parabola adó- és vevőantennák segítségével (hatótávolságuk akár több száz km is lehet). Az időjárási viszontagságok (viharok, villámlás, egyéb légköri jelenségek) itt is zavarként jelentkeznek. - Műholdas átvitel: a geostacionárius pályára állított műholdakon lévő transzponderek a felküldött mikrohullámú jeleket (5,925...6,425 GHz) egy másik frekvencián (3,7...4,4 GHz) felerősítve visszasugározzák. A műhold tipikus sávszélessége 500 MHz, ami 12 db. 36 MHz-es transzpondert és egy transzponderen 50 Mbps-os adatforgalmat, vagy 800 db. 64 kbps-os hangcsatornát jelent. A vezeték nélküli hálózatok adatszóró (broadcast) típusú hálózatok. Hálózati struktúrák A hálózati struktúrát a hardver és a szoftver elemek együttesen határozzák meg. A hálózati működés biztosítása miatt minden hálózatra kötött számítógépen a hálózati operációs rendszer (NOS) programjának futnia kell. A NOS felelős a számítógépeken futó felhasználói programok egymás közötti kommunikációjáért. A hálózati struktúrák lehetnek vagy egyenrangú (peer-to-peer) vagy ügyfél-kiszolgáló (client-server) struktúrák. Az egyenrangú hálózat nem központosított, csak néhány gépből áll. Az egyenrangú gépekből álló hálózatban minden munkahely független, mindenki egyszerre szerver és munkaállomás, azaz minden munkaállomás egyedileg felelős a megbízható saját működésért. Az egyenrangú hálózatban a munkaállomások közvetlenül kommunikálnak egymással. Minden felhasználói program és fájl a munkaállomásokon van tárolva. Viszont a meghajtók és a perifériák megoszthatók egymással. Az egyenrangú hálózatok előnye a nagyfokú rugalmasság és függetlenség, valamint az erőforrások megosztásos kihasználása. Hátrányuk, hogy minden gép egyedileg futtatja a felhasználói programokat, így ezek az adott számítógép teljesítményétől függenek. Az ügyfél-kiszolgáló hálózatok nagyobbak és nagyobb forgalmat bonyolítanak le, mint az egyenrangú hálózatok, így egy vagy több nagy teljesítményű központi számítógépet, ún. fájl-szervert helyeznek el a hálózatokban az ügyfelek (kliensek) megfelelő kommunikációjának megvalósításához. Az ügyfél-kiszolgáló környezetben az ügyfelek közötti adatcsere közvetett módon zajlik, azaz a hálózati forgalom a hálózati szerveren keresztül folyik. Az ügyfelek felől érkező kéréseket a szerver tárolja, és akkor hajtja végre, ha a megfelelő erőforrások a rendelkezésére állnak. Az ügyfél-kiszolgáló hálózatokban a több felhasználó által használt programokat és adatokat a fájl-szerver merevlemezén tárolják. A felhasználók saját személyes, ill. egyedi fájljaikat a saját munkaállomásuk merevlemezén is tárolhatják. Az elmondottakból látszik, hogy ügyfél-kiszolgáló hálózatot csak a többfelhasználós és többfeladatos operációs rendszerekkel (pl. Windows NT, XP, Novell NetWare) lehet megvalósítani.


Az ügyfél-kiszolgáló hálózatok legnagyobb előnye a skálázhatóság, azaz hogy könnyen lehet velük különféle hálózati forgalomra megfelelően reagáló rendszereket kialakítani. Másik előnyük a biztonság és az adatintegritás, a központosított fájlszerveren a kényes adatok elérése szabályozható és a hálózati hibák is valós időben javíthatók. Adatmentés, adattárolás Az informatika jelenlegi fejlettségi szintjén ez jelenti az ún. szűk keresztmetszetet. Lehetőségek: - HDD (mágnesezhető, mechanikus), hordozható HDD (mágnesezhető, mechanikus), külső

(USB porton keresztül csatlakozó) HDD (mágnesezhető, mechanikus, ill. mechanikát nem tartalmazó elektronikus),

- CD-ROM, CD-RW, 700 MB, - DVD-RAM, egyoldalú 2,6 GB, kétoldalú 5,2 GB - PAP technológiával (fotografikusan címezhető polimer molekulákkal) készített CD, tárolókapacitás 60X - holografikus CD, tárolókapacitás 1500X CAD szoftverek: tervezőrendszerek - meghajtók - fordítók - rendszer beállítások - editorok - memória menedzsment - interfészek - szűrők natív tervezőrendszer esetén ezek nagy részét az operációs rendszer biztosítja ma már az operációs rendszer kernele végzi. Egy korszerű CAD tervezőrendszer legfontosabb tulajdonsága, hogy teljesen parametrikus, kétirányban asszociatív (a változtatások minden adathalmaz esetében érvényesülhetnek), alaksajátosságokon alapuló és kihasználja az operációs rendszer által nyújtott OLE-funkciót. A felhasználói programok (modulok) parametrikusságát, alapvetően a 2D-3D modell

CAD tervezőrendszer felépítése

Felhasználói programok, modulok

Meghajtó programok

Kiszolgáló programok

2D-3D modellezés

Ergonómia

VEM

CAM

CAQ

VR

Működtető programok

.

.

.


definiálását a geometriai kernel teszi lehetővé. A tervezőrendszer geometriai kernele (Graphics Kernel System=GKS) egy algoritmus gyűjtemény, amely segítségével az összes geometriához kapcsolódó számítás a modellezés során elvégezhető. A geometriai kernel eszközfüggetlen, továbbá lehet nyílt (más rendszerek számára is hozzáférhető, külön megvásárolható, beépíthető) vagy zárt (csak az adott szoftver környezetben használható). Ismertebb geometriai kernelek: - ACIS (*.sat kiterjesztéssel), (Spatial, amerikai), 2D-3D, teljesen parametrikus, legnagyobb

felhasználója az AutoDesk. Windows és Unix platformon érhető el, pontossága 10-6 (állandó).

- STEP AP 203 (*.stp, *.step kiterjesztésű), a német autóipar által használja. - Parasolid (*.x_t, *.x_b kiterjesztésű), Cambridge-i fejlesztésű, csak 3D modellező, a 2D

származtatható. Windows-on keresztül kihasználja a több processzor előnyeit. Mindig az adott geometriai környezethez illeszti a tűrést. A korszerű végeselemes tervezőrendszerek is ezt a kernelt használják.

Egy adott objektum (modell) definiálását tehát a geometriai kernel végzi. A létrehozott objektum viszont egy grafikus programnyelv segítségével jeleníthető meg a képernyőn, ill. a bármilyen képernyő műveletet (nagyítás, kicsinyítés, forgatás, stb.) csak ennek a grafikus nyelvnek a segítségével végezhető el. Ez a grafikus programnyelv az operációs rendszerek sajátossága, de nem foglalja magába sem a térbeli testek modellezését (ez a geometriai kernel feladata), sem az ablakozó rendszert (ez az operációs rendszer kernelének szolgáltatása). A Microsoft által használt grafikus programnyelv az OpenGL. 3. A geometriai modellalkotás alapjai 3.1. Térgörbék számítógépes rendszerekben A görbék alakleírásának követelményei A felhasználó és a számítógép igényei együttesen szabják meg a modellező görbék (általánosítva: felületek, test-primitívek) szükséges tulajdonságait:

• Mindent le lehessen rajzolni a modellező görbével. (Flexibilitás)

• Gyorsan számítható legyen. (Beleértve az egyszerű differenciálhatóságot és integrálhatóságot is.)

• Kevés és invariáns (koordináta rendszertől független) adattal legyen megadható.

• Ezek az adatok szemléletesen is követhető módon határozzák meg a görbét.

• Merőleges vetületük is teljesítse ezeket a feltételeket.

• A modellező görbe menjen át bizonyos rögzített pontokon.

Görbemodellezési módszerek

Görbe megadás: • Implicit függvény rendszerrel: pl: Viviani féle görbe, amely egy R sugarú gömb és R/2

sugarú érintő henger áthatása: 0

022

2222

=−+=−++

Rxyx

Rzyx


• Explicit függvénnyel: ])()([)( xzxyxxr =

Paraméteres függvénnyel: ])()()([)( tztytxtr =

• Szabályos görbék: geometriai feltétellel (mértani helyekkel), vagy differenciál-egyenlettel, stb. meghatározva (pl. olyan kúpfelületen haladó görbe, amely az alkotókkal 45°-ot zár be.)

• Pontsorozattal és azt összekötő tört vonallánccal (string). Pl.: NC-pályák.

• Spline (kiejtése: szplájn) alkalmazásával: A tört vonallánc helyett harmadrendű polinom szakaszokkal, görbületben is folytonosan köti össze a szoftver a pontsorozatot. (Eredetileg a hajóépítők görbíthető vonalzóját hívták így.)

A görbék tulajdonságai

Illeszkedés a megadott pontokra: • Interpoláció: a görbe áthalad a megadott pontokon.

Veszély: a pontok között a görbe erősen oszcillálhat! Pl. Lagrange-interpoláció.

• Approximáció: a görbe csak megközelíti a megadott pontokat.

A görbeszakaszok csatlakozása: • Nulladrendű: iránytöréssel

• Elsőrendű: érintőben folytonosan

• Másodrendű: érintőben és görbületben folytonosan

A görbe alakjának módosíthatósága:

• Globális: bármilyen beavatkozás a görbe teljes alakját megváltoztatja

• Lokális: a görbe alakja egy kis részén is megváltoztatható. Lagrange interpoláció Legyen adott a térben n + 1 darab ip , i = 0, 1, …, n pont, melyeken a hozzájuk rendelt

paraméteres Lagrange-görbe az (általunk felvehető) ui , i = 0, 1, …, n belső paraméter értékeknél sorban áthalad.

A Lagrange-féle alappolinomok segítségével:

∑=

⋅=n

i

nii uLu

0

)()( pQ , ahol: )(

)(

)(

0

0

ji

n

ijj

j

n

ijj

ni

uu

uu

uL−

−

=

Π

Π

≠=

≠=


Vegyük észre, hogy az i. ponthoz tartozó n–ed rendű alappolinom az u = ui paraméternél 1 értékű, a többi megadott pontnál 0.

A polinom együtthatók kiszámításával:

A keresett ∑=

=n

j

jj uu

0

)( aQ interpoláló polinom ja együtthatóit az n + 1 helyen ismert

iiu pQ =)( , i = 0, 1, …, n behelyettesítéssel kapott lineáris egyenletrendszer megoldásával

határozhatjuk meg:

Az egyenletrendszer mátrixos alakban paV = alakú,

ahol:

=

33

23

13

32

22

12

31

21

11

30

20

10

1

1

1

1

uuu

uuu

uuu

uuu

V az úgynevezett Vandermonde mátrix (n = 4 esetben),

=

3

2

1

0

a

a

a

a

a a polinom együtthatók vektora,

=

3

2

1

0

p

p

p

p

p az ismert pontok vektora.

Az egyenletrendszer megoldása a polinom együtthatókra: pVa1−

=

A két előbb leírt módszerrel kapható interpolációs polinom megegyezik egymással.

A Lagrange-görbe tulajdonságai:

• minden kontrollponton átmegy

• három, nem egy egyenesen fekvő pont esetén parabola

• egy egyenesre eső pontok esetén egyenes

• kettőnél több pont esetén az alakja függ a koordináta rendszer megválasztásától


• alakja szinte teljesen független a (kontroll)pontok elhelyezkedésétől, az ui paraméterekkel lehet az alakját módosítani.

Hermite ív

Ez egy harmadrendű interpolációs görbe, melyet kezdő és végpontja (0p , 1p ), valamint kezdő

és végérintő vektora ( 0t , 1t ) alapján meghatározhatunk. A görbe u paraméterének értéke a

görbe kezdetétől a végéig 0-tól 1-ig változik.

A görbe polinomja: 33

2210)( uuuu aaaap +++= . Ennek deriváltja: 2

321)( uuu aaap ++=′ .

Az ismert adatokat behelyettesítve a harmadfokú polinomba, illetve deriváltjába, a következő egyenletrendszert kapjuk:

3211

32101

10

00

2 aaat

aaaap

at

ap

++=+++=

==

Ezt a polinom együtthatókra megoldva:

10103

10102

01

00

22

233

ttppa

ttppa

ta

pa

++−=−−+−=

==

A polinomba visszahelyettesítve az együtthatóit és 0p , 1p , 0t , 1t konstansokat kiemelve:

∑=

=−++−++−++−=3

0

3231

230

231

230 )()()2()32()132()(

iii uHuuuuuuuuuu rttppp ,

vagy mátrixosan: rHp )()( *3 uu = , [ ]1,0∈u

ahol: a harmadfokú Hermite-polinomok sorvektora

[ ] [ ]

−−−−

==

0001

0100

1233

1122

1)()()()()( 12333

32

31

30

*3 uuuuHuHuHuHuH

=

=

1

0

1

0

3

2

1

0

t

t

p

p

r

r

r

r

r az ismert pontok és érintők vektorai.


Néhány példa a végérintők nagyságának változtatásával kapott görbealakokra:

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

p w( )1

p w( )0

0i =

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

p w( )1

p w( )0

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

p w( )1

p w( )0

0i =

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

p w( )1

p w( )0


A Hermite ív tulajdonságai:

• gyorsan, könnyen számítható

• kevés és invariáns (koordináta rendszertől független) adattal adható meg

• alakját módosítani a végérintők hosszával lehet, ez szemléletesen nem követhető módon határozza meg a görbét

A de Casteljau szerkesztés

Másodfokú parabola pont 20p szerkeszthető a 0

0p , 01p és 0

2p pontokat összekötő vonallánchoz

érintőlegesen úgy, hogy megfelezzük mindkét szakaszát, majd megfelezzük a 10p , 1

1p szakaszt

is. Ez utóbbi szakasz egyúttal érintő is az új pontban, ezért az előbbi szerkesztési lépések megismétlésével tetszőlegesen sűrű pontsorozat kapható.

Magasabb fokú parabolákra is általánosítható ez az eljárás:

p0

0

p0p 1

pp

p 0p2

0

p 0p1

0

pp0

2

pppp1

1

p3

0

p2

1

p1

2p0

3

p0

0

p0p1

p0p0

p0p2

0

p0p1

0

p0p0

2

pppp1

1


Bézier-görbék

Definíció: Adottak a 0p , 1p , …, np pontok a térben. Minden [ ]1,0∈t számra legyen

000 )( pp =t , 1

01 )( pp =t , …, nn t pp =)(0 , továbbá minden { }n,...,2,1∈j , { }ji −∈ n,...,2,1 és

[ ]1,0∈t esetén legyen )()()1()( 11

1 ttttt ji

ji

ji

−+

− ⋅+⋅−= ppp . Ekkor az a görbe, melyet a

)(0 tnp pont leír, ahogy a t végigfut a [ ]1,0∈t intervallumon, a 0p , 1p , …, np kontroll-

pontokhoz tartozó Bézier-görbe, melyet )(tQ -vel jelölünk. A kontrollpontok által meghatározott sokszöget kontrollpoligonnak, az n számot a görbe rangjának nevezzük.

Ez a definíció a kontrollpoligon(ok) oldalainak )1/( tt − arányú felosztásával eggyel csökkenő oldalszámú újabb kontrollpoligonokat eredményez. (A felső indexek jelölik a poligon sorszámát, az alsók a pont sorszámát a poligonban.) Végül az n-edik lépésben már csak egyetlen pontot kapunk, ami a a Bézier-görbe t paraméterhez tartozó pontja. Mint látható, a Bézier-görbe lényegében a de Casteljau szerkesztéssel, annak további általánosításával áll elő.

A szakaszosztások: 02

03

12

01

02

11

00

01

10

)1(

)1(

)1(

ppp

ppp

ppp

tt

tt

tt

−+=

−+=

−+=

11

12

21

10

11

20

)1(

)1(

ppp

ppp

tt

tt

−+=

−+= 2

021

30 )1( ppp tt −+=

Elvégezve a behelyettesítéseket (elhagyva a kontrollpontoknál a felső indexet), a következő képletet kapjuk a Bézier-görbére:

∑=

=+−+−+−=3

0

33

32

121

210

3 )()1(3)1(3)1()(i

ii tBttttttt pppppQ , ahol minden egyes

kontrollpont szorzója egy harmadrendű ( 3=n ) Bernstein-polinom:

inini tt

i

ntB −−

= )1()(

p0

0

p0p 1

ppp 0p2

0

p 0p1

0

pp0

2

pppp1

1

p3

0

p2

1

p1

2

p0

3

t

1-t1- t

t= 0 .25

1- t

t

tt

t

t

1- t1-t

1-t


A Bernstein-polinomok tulajdonságai:

• )()()1()( 11

1 ttBtBttB ni

ni

ni

−−

− +−= , 0)(

1)(00

≡

≡

tB

tBni

, ha ni ≠

• 1)(0

≡∑=

n

i

ni tB , Rt ∈

0)( ≥tBni , ]1,0[∈t

• Maximumhely: n

it = -nél.

Interpoláló Bézier-görbe Az összes megadott 0p , 1p , …, np ponton u0, u1, …, un, paraméternél áthaladó Bézier-görbe

0b , 1b , …, nb tartópontja meghatározható a bVp = lineáris egyenletrendszer megoldásával:

pVb1−

= ,

ahol:

=

np

p

p

pM

1

0

,

=

nb

b

b

bM

1

0

és

=

)()(

)()(

)()()(

0

110

00100

nnnn

n

nn

n

nn

nn

uBuB

uBuB

uBuBuB

LK

MOM

L

V egy, a megadott ui paramétereknél kiszámított,

Bernstein polinom értékeket tartalmazó, általánosított Vandermond-mátrix.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

B3 u( )0

B3 u( )1

B3 u( )2

B3 u( )3

u


Racionális Bézier (vagy B-spline) görbék (A tartópontok multiplicitása)

Képzeljük el, hogy a Bézier-görbe két (vagy több) szomszédos tartópontja egybeesik. Ekkor látszólag „jobban vonzza” a többszörös tartópont a görbét. Más magyarázattal élve: a tartópont(ok)hoz 1-től eltérő (akár törtszám értékű) súlyt is rendelhetünk. Az ilyen általánosabb görbeosztályt racionális Bézier (vagy B-spline) görbének nevezik.

∑

∑

=

==n

j

njj

n

i

niii

tBw

tBwt

0

0

)(

)()(

br , ]1,0[∈t , iw : súlytényező. (Bézier-görbe esetén nwww === K21 )

A racionális B-spline tulajdonságai: • A kontrollpontjainak konvex burkán belül halad.

• Szimmetrikus: fordított pontsorrendet (és súlytényezőket) megadva ugyanazt a görbét kapjuk.

• A végpontokon interpolál.

• Az affin paraméter-transzformációval szemben invariáns. Ez azt jelenti, hogy a kontroll-poligon segítségével megkapható görbepontok bármilyen irányú merőleges vetülete azonos a kontroll-poligon ilyen vetülete alapján meghatározható vetületi görbeponttal. Bizonyítás: az egyenes szakaszt az osztópontja minden vetületében egyenlő arányban osztja, a szerkesztés pedig csak arányos osztást tartalmaz.

NURBS görbék

A Non Uniform Rational B-Spline rövidítése. Magyarul: nem-egyenközű racionális Bézier-görbe. Ez egy még általánosabb, racionális B-spline-okból összefűzött görbe-osztályt jelent. A legtöbb alakmódosítási lehetőséget kínálja a felhasználónak. A CAD-szoftverek (kernele) ilyen görbék (felületek) segítségével modellez mindent. A legfontosabb új tulajdonsága a B-spline-hoz képest: a lokális változtathatóság. 4. Felületek 4.1. Interpoláló felületek

• Két görbét lineárisan interpoláló vonalfelület: a felületet meghatározó két interpolációs vagy approximációs görbe megfelelő paraméterű pontjait egyenesek kötik össze. Így a felület bármely pontjára illeszthető egy olyan egyenes, amelyik a felület alkotója.

A felület paraméteres egyenlete: ( ) ( ) ( ) ( )uvruruvuS 211, +−= , ahol 10 ≤≤ v és 10 ≤≤ u . A lineárisan interpoláló vonalfelületek definiálásakor előforduló tipikus hiba, ha nem azonos paraméterű pontokat kötünk össze (azaz a kurzorral nem azonos irányítottságú görbefeleket jelölünk ki), akkor jellegzetesen torz, elcsavart felületeket (pl. hengerpalást helyett hiperboloidot vagy kettős körkúpot kapunk):


• Görbehálóra (két egymást metsző görbepárra) illeszkedő, interpoláló felületfolt (ún. Coons-féle folt):

Adott az ( ) ( ) ( ) ( )vbvbuaua 2121 ;;; egymást metsző térbeli görbepár. Keressük azt az

( )vuS , felületet, amelyre teljesül, hogy:

)(),1();(),0(

)()1,();()0,(

21

21

vbvSvbvS

uauSuauS

====

A megoldáshoz vonalfelületeket használunk:

)()()1(),(

)()()1(),(

21

21

vubvbuvuS

uvauavvuS

b

a

+−=+−=

Ezek a felületek a szemben fekvő görbéket interpolálják, de nem haladnak át a másik két határoló görbén. Hogy ez a feltétel is teljesüljön, keressük a négy metszéspont bilineáris interpolációját, azaz az alábbi felületet:

[ ]

−

−=

v

v

SS

SSuuvuSab

1

)1,1()0,1(

)1,0()0,0(1),(

Bizonyítható, hogy amennyiben a csúcspontok nem komplanárisak (nem esnek egy síkba), az ),( vuS felület (Coons-féle folt vagy Gregory felület) egy nyeregfelület (hiperbolikus paraboloid):

),(),(),(),( vuSvuSvuSvuS abba −+=

Ábrákkal kifejezve, a két lineárisan interpolált vonalfelület összegéből levonjuk a csúcspontokat interpoláló bilineáris felületet:


Részletezve:

[ ] [ ] [ ]

−

−−

−+

−=v

v

SS

SSuu

v

vuSuS

vS

vSuuvuS

1

)1,1()0,1(

)1,0()0,0(1

1)1,()0,(

),1(

),0(1),(

ahol:

vvg

vvg

uuf

uuf

=−=

=−=

)(

1)(

)(

1)(

2

1

2

1

súlyfüggvények.

A bilineárisan interpolált Coons-féle foltok kapcsolódásánál a határmenti keresztirányú deriváltak nem mindig folytonosak, ennek következtében az egymással kapcsolódó felületelemek a csatlakozó görbék mentén felszakadhatnak. A probléma kiküszöbölésére alkalmazzák a bikubikus súlyozást, azaz peremfeltételként megadják a határgörbék mentén a keresztirányú deriváltakat (az érintőszalagokat) is:

Ebben az esetben a súlyfüggvények harmadfokú Hermite-polinomok lesznek. Az általánosított Coons-foltot, amellyel bonyolult felület is leírható anélkül, hogy elemi foltok hálóját kellene létrehozni, Gordon-felületnek nevezik. A Gordon-felület a vonalfelületek általánosítására a Lagrange-interpolációt használja. • Mozgó görbe által súrolt interpoláló felületek: - transzlációs felületek: vezérgörbe mentén elcsúsztatott generáló görbe által súrolt

felületek:


- forgásfelületek:

- változó generáló görbe által súrolt felületek:

4.2. Approximáló felületek

A görbéknél megismert de Casteljau-algoritmus felületek tervezésére általánosítható.

• Elemi Bezier-felület: a határgörbék kontrolpontjai állítják elő a kontrolhálót:

A szemközti görbék kontrolpontjainak száma megegyezik. A keletkezett felület megegyezik a határgörbék által meghatározott, bilineárisan interpolált Coons-folttal.


A Bezier-felület affín invariáns (egymással rokon leképzés, azaz síkra vetítve a határoló síkgörbék megszerkeszthetők a síkra vetített kontrolpontok alapján), a kontrolpontok konvex burkán belül marad és a határoló görbéi polinomiálisak.

• NURBS-felület: olyan elemi Bezier-felület, amelynek határoló görbéi B-szplájnok (lokálisan is változtathatók).

• Összetett szplájnfelület: elemi Bezier-négyszögfelületekből összeállított differenciálható felület. 4.2.1 Bézier négyszögfelület

A Bézier négyszögfelületet az őt meghatározó m×n tartópontú háló segítségével képezzük, ahol a négyszögfelület oldalait alkotó poligonokra szerkeszthető Bézier vonalakra illeszkedik a felület. A háló pontok által határolt kis négyszögek hiperbolikus paraboloidok. A négyszögfelületek belső pontjait kétszeres lineáris interpolációval lehet meghatározni.

[ ]

−

−==∑

= v

v

pp

ppuuvBuBpvux

ijiji

1**,1)(*)(*),(

1,10,1

1,00,01

0

11,

Ezzel az algoritmussal a kis négyszögek u, v paraméterű belső pontjai segítségével az ábra szerint eljutunk a legfelső kis négyszöghöz, melynek u,v paraméterű belső pontja a keresett felületet érinti, miközben u és v befutja a teljes [0,1] tartományát.

∑=

=m

i

nj

miji

nm vBuBpvup0

,, )(*)(*),(


A Bézier felületek tulajdonságai öröklik a Bézier görbék tulajdonságait:

• A Bézier felület affin invariáns, a kontrollpontok konvex burkán belül marad, és a határoló görbéi polinomiálisak.

4.2.2 Bézier háromszögfelület

Amikor 1959-ben de Casteljau megalkotta, a háromszöges módszert alkalmazta először a görbéknél használt módszer általánosításával felületek létrehozására.

A Bézier háromszögfelületet az őt meghatározó (n+1)(n+2)/2 tartópontú háló segítségével

képezzük, ahol a háromszögfelület oldalait alkotó poligonokra szerkeszthető Bézier vonalakra illeszkedik a felület. A háló pontok által határolt kis háromszögek síkok. A háromszögfelületek belső pontjait kétszeres lineáris interpolációval lehet meghatározni.

A háromszög tartomány egy (u, v) koordinátájú pontja egy (r, s, t), r+s+t=1 számhármassal reprezentálható. Az u, v paramétersíkot a jobboldali ábrán látható szabályos háromszöggel szoktuk értelmezési tartományként alkalmazni.

),(*),(*),(*),,(),( 221100 vusvurvuttsrpvup ++==

Mindkét felületképző algoritmus a görbéknél kialakult módon alkalmas deriválásra, B-

spline felületek és NURBS felületek képzésére. A Coons folthoz hasonlóan egymás melletti felületek első és másodrendben is folytonosan

csatlakoztathatók.


5. Adatátvitel, interfészek A CAD tervezés kimenete egy rendszer-specifikus rajzfájl, amelynek kiterjesztése az adott szoftvertől függ. Ezek a fájlok egymással nem kompatibilisek, csak az anyaszoftver különböző verziói tudják azokat beolvasni, mégpedig általában fölülről lefelé, azaz a nagyobb verziószámú szoftver képes olvasni a kisebb verziójú rajzfájlját, de fordítva viszont már nem mindig igaz. Általánosságban a grafikus programok két kategóriára oszthatók: pixel-orientált és vektor-orientált grafikát alkalmazó programokra. A két kategória közötti különbség a rajzelemek mindenkori kezelésében mutatkozik. Pixel-orientált grafikák esetén egy karakter elemet mátrix formájában tárolnak. Ez leegyszerűsítve azt jelenti, hogy a rajzra egy rácsot fektetnek. Ezt a program és a grafikus kártya felbontása szerint meghatározott koordináta értékekkel oszlopokra és sorokra osztják fel. A vektor-orientált tárolás esetén egy elemet a kezdőpontjával, az x-tengelyhez mért hajlásszögével és a hosszával definiálnak. Ezáltal jóval kevesebb tároló kapacitást igényel, mint a pixel-grafika. Fölmerült tehát az igénye egy szabványos rajzfájl-formátumnak, amely segítségével a rajzok egyik rendszerből a másik rendszerbe adatvesztés nélkül átvihetők. A jelenleg használatos két transzfer-formátum (interfész) a DXF és az IGES, mindkettő tisztán ASCII adatállomány. További elterjedt, vagy fejlesztés alatt álló interfészek:

VDI-FS - a német autóipar számára, SET - a francia autóipar számára, STEP - az ISO által jelenleg is fejlesztett, ún. globális interfész, 2D, végeselem, CNC fájl

stb. számára. Az ASCII - Drawing-Interchange-Files formátumot, amelyet DXF-nek is neveznek, az Autodesk cég fejlesztette ki azzal a céllal, hogy a más programokkal készített grafikákat az AutoCAD programba beolvashatóvá tegye. A DXF interfész a vektor-orientált tárolású grafikákat a színekkel együtt ASCII karakterek formájában egy *.dxf kiterjesztésű fájl-ban rakja le, ill. az ilyen adatállománnyal rendelkező rajzfájl-t képes értelmezni. A DXF interfész tehát elméletileg alkalmas arra, hogy két, ún. vektoros grafikával dolgozó szoftver között egy szabványos, mindkét fél által értelmezhető formátumú fájl segítségével közvetítsen. De általában az interfészek interfészek verzió-függők, nem mindegy, hogy melyik verziót használjuk! Az adatvesztés nélküli adatátvitel tehát csak egy elvi lehetőség, kedvező esetben viszont majdnem tökéletes kapcsolatot is teremthet két rendszer között. A tisztán grafikus transzfer formátumokon kívül léteznek még printer/plotter szabvány-formátumok is. Ezek közül a legelterjedtebb a HPGL és a PostScript formátum. mindkettő


vektorizált formátumokat ír le. A HPGL formátum printerrel kinyomtatható, vagy plotterral kirajzoltatható. 6. Mechanikai feladatok szilárdsági analízisének numerikus módszerei Numerikus módszerek alatt általában olyan közelítő módszereket értünk, amelyek egy feladat egzakt, zárt formájú megoldása helyett a megoldást valamilyen változó, vagy változók önkényes, de célszerű felvételével közelítik, és amikor a kapott eredmények közti különbség egy előre meghatározott hibaértéken belül marad, az eredményt a feladat megoldásaként elfogadják. A szilárdságtanban a rugalmasságtan parciális differenciál-egyenleteinek adott peremfeltételekkel való megoldása (az ún. peremérték-feladat megoldása) jelenti a feladatot. Ezeket a differenciál-egyenleteket - néhány kivételes esettől eltekintve - még síkfeladatok esetén is csak közelítéssel lehet megoldani. Egy tetszőleges terhelésű, térbeli kiterjedésű, általános alakú test esetében a feladatot kizárólag közelítő módszerekkel lehet megoldani. A közelítő megoldás alapvetően kétféle lehet: - vagy a rugalmasságtan alapegyenleteinek megoldását közelítjük:

- komplex-potenciál függvények segítségével, - véges-differenciás módszerrel,

- vagy magát a geometriai alakzatot bontjuk olyan elemi részekre, amelyekhez egyszerű approximációs függvényeket rendelhetünk és ezeket az elemi függvényeket az egész tartományon belül érvényes függvényekké egyesítjük:

- végeselemes módszer, - peremelemes módszer. Végeselemes módszer A végeselemeket az ember már az ókorban alkalmazta különböző, leginkább geometriai feladatok megoldására (pl. a kínaiak, az egyiptomiak és a görögök a kör területének, a gömb, ill. kúp térfogatának kiszámításához). A rugalmasságtani feladatok végeselemekkel való megoldásának elvi alapjait már a XIX. században kidolgozták, de gyakorlati alkalmazásukat csak a digitális számítógépek megjelenése tette lehetővé. A végeselemes módszer két változatáról beszélhetünk attól függően, hogy az elmozdulásokat vagy a feszültségeket (erőket) tekintjük ismeretlennek, nevezetesen: - végeselemes elmozdulás módszerről és - végeselemes erő módszerről. A gyakorlatban az előbbi, a végeselemes elmozdulás módszer terjedt el, amelynek lényege az alábbiakban foglalható össze: 1. A vizsgált tartományt véges számú, a tartományt egyszeresen lefedő, egymást nem metsző

résztartományokra, azaz véges méretű elemekre bontjuk.


2. A résztartományokon belül közelítő (approximációs) függvényeket veszünk fel (a gyakorlatban többnyire lineáris vagy másodfokú polinom közelítést alkalmaznak). A tartományok méretét és a közelítő függvényeket úgy kell megválasztani, hogy a vizsgált teljes tartomány alakváltozását leíró elmozdulás-függvényt a felvett approximációs függvények rendszere előírt pontossággal közelítse.

3. A résztartományok approximációs függvényeit az egész tartományra érvényes közelítő

függvényekké egyesítjük a perem- és folytonossági (kompatibilitási, illeszkedési) feltételek figyelembevételével.

4. A közelítő függvény-rendszer paramétereit - valamilyen alkalmas fizikai elv (pl. energia

minimum) segítségével képezhető - algebrai egyenletrendszerből határozzuk meg. Ezt fejezi ki a végeselemes módszer alapegyenlete:

K u = F

Az egyenletben K a test (vagy szerkezet) módosított merevségi mátrixa, u a csomóponti elmozdulások vektora és F a test (vagy szerkezet) általánosított terhelési vektora. A K módosított merevségi mátrix már négyzetes mátrix, az eredeti merevségi mátrixhoz képest annyival csökken a sorok és oszlopok száma, ahány csomóponti értéket a kinematikai peremfeltételek meghatároznak. Egy elem ugyanis önmagában statikailag túlhatározott, tehát labilis, ezért a rendszer eredeti merevségi mátrixa szinguláris. A szingularitás megszüntetése min. 6 független kényszer alkalmazását követeli meg (kényszer = csomóponti szabadságfok-korlátozás). A merevségi mátrix (elem-tulajdonságok által meghatározott) együtthatóinak, a külső csomóponti erők vektorának, valamint a kényszerek (alátámasztások, befogások) definiálása után a végeselemes módszer alapegyenlete algebrai egyenletrendszerré alakul, amelynek megoldása megadja a csomópontok elmozdulásait. Az ébredő feszültségeket - rugalmas esetben - a Hooke-törvény segítségével lehet meghatározni. A végeselemes szoftverek elvi felépítése Egy végeselemes szoftver alapvetően két fő részből áll: - egy adatelőkészítő és eredmény-kiértékelő, ún. pre- és posztprocesszorból,

- valamint az algebrai egyenletrendszer megoldását végző programból. -

geometriai tulajdonságok (modell, elemtípus, háló) Import Preprocesszor: anyagtulajdonságok modell-tulajdonságok peremfeltételek (DXF, IGES, PATRAN...) definiálása (kényszerek) külsô terhelés Analízis: Algebrai egy. rendsz. megoldása csomóponti elmozdulások Export Posztprocesszor: csomóponti feszültségek


eredmények feldolg. deformált/deformálatlan háló (printer, plotter) megjelenítés feszültség-tartományok multi-display A csomópontok alakváltozási és feszültségi állapotának meghatározása A test (szerkezet) módosított merevségi mátrixa, a csomóponti elmozdulások vektora és a külső csomóponti erők vektora által alkotott tenzoregyenlet kifejtése után, a kapott algebrai egyenletrendszert megoldva, megkapjuk a csomópontok elmozdulásait, azaz a nyúlásokat: z y P(x´,y´,z´)

γ xy

2 P(x,y,z) x

A csomóponti elmozdulások: u = x´- x v = y´-y w = z´-z A csomóponti elmozdulások valójában három részből állnak: az adott tengely irányú elmozdulásból, ill. a másik két tengely körüli szögelfordulás következtében létrejött méretváltozásból:

u = u1+u2+u3 v = v1+v2+v3

w = w1+w2+w3 ahol az egyes elmozdulás-összetevők:

u1 = x=xx

ux ⋅⋅ ε

∂∂

, u2 = y=y2

=yy

uxy

xy ⋅⋅⋅ εγ

∂∂

, u3 = z=z2

=zz

uxz

xz ⋅⋅⋅ εγ∂∂

v1 = x=x2

=xx

vyx

yx ⋅⋅⋅ εγ

∂∂

, v2 = y=yy

vy ⋅⋅ ε

∂∂

, v3 = z=z2

=zz

vyz

yz ⋅⋅⋅ εγ

∂∂


w1 = x=x2

=xx

wzx

zx ⋅⋅⋅ εγ∂∂

, w2 = y=y2

=yy

wzy

zy ⋅⋅⋅ εγ

∂∂

, w3 = z=zz

wz ⋅⋅ ε

∂∂

Az összetevők behelyettesítésével megkapjuk a csomóponti elmozdulások és a fajlagos alakváltozások közötti összefüggéseket:

u= x + y + zx xy xzε ε ε⋅ ⋅ ⋅ v= x + y + zyx y yzε ε ε⋅ ⋅ ⋅ w = x + y + zz x zy zε ε ε⋅ ⋅ ⋅

A fajlagos alakváltozásokból a rugalmasságtan anyagtörvényének (Hooke-törvény) felhasználásával számíthatók a feszültségek:

ε σ ν σ σ σ ε ν σ σx x y z x x y zEE + (= − + → = ⋅ +1

( ) )

ε σ ν σ σ σ ε ν σ σy y x z y y x zEE + (= − + → = ⋅ +1

( ) )

ε σ ν σ σ σ ε ν σ σz z y x z z y xEE + (= − + → = ⋅ +1

( ) )

ετ

τ ε τxyxy

xy xy yxGG == → = ⋅

ε τ τ ε τxzxz

xz xz zxGG == → = ⋅

ετ

τ ε τyzyz

yz yz zyGG == → = ⋅

G =E

2(1+ )ν

Hasonló módon határozhatók meg a főnyúlásokból a főfeszültségek:

[ ]ε σ ν σ σ σ ε ν σ σ1 1 2 3 1 1 3

1= − + → = ⋅ +

EE + ( 2( ) )

[ ]ε σ ν σ σ σ ε ν σ σ2 2 1 3 2 2 3

1= − + → = ⋅ +

EE + ( 1( ) )

[ ]ε σ ν σ σ σ ε ν σ σ3 3 1 2 3 3 2

1= − + → = ⋅ +

EE + ( 1( ) )

τ = 0

Mint látható, a csomóponti feszültségek a csomóponti alakváltozások deriváltjaival határozhatók meg. Két elem közös csomópontjaiban az elmozdulások szükségképpen azonosak, a deriváltjaik viszont általában már nem! Ennek következtében az elmozdulások deriváltjaiból (azaz a fajlagos alakváltozásokból) számított csomóponti feszültségek sem lesznek a két elem közös pontjaiban azonosak. Ahhoz, hogy a csomóponti feszültségek is megegyezzenek, átlagolásra van szükség:

Csomóponti feszültségek = (elem)térfogatokkal súlyozott, átlagolt feszültségek


A végeselemes analízis végeredményeként minden csomópontban megkapjuk a tengelyirányú feszültség-komponenseket (globális koordináta-rendszerben), a főfeszültségeket és az egyenértékű feszültségeket. Az egyenértékű feszültségek iránytól függetlenek, számított (átlagolt) értékük változását szintvonalakkal szemléltethetjük, ill. a szintvonalak közötti sávokat különböző színekkel kifejezhetjük. A végeselemes analízis pontosságát növelő módszerek A végeselemes analízis pontosságának növelésére több lehetőség is kínálkozik: - a háló-felosztás sűrűségének növelésével (adaptív hálógenerálás): az átlagolt csomóponti

feszültségek az elemek térfogatával súlyozott átlagértékek, ezért a kritikus helyeken (feszültséggyűjtő helyek) csökkenteni kell az elemek méreteit, azaz növelni kell a felosztás sűrűségét (a szabad felszín irányába, mert maximális feszültség mindig a szabad felszínen ébred). Az elemszám növelése nagymértékben növeli a számítási időt és a háttértároló kapacitásigényét.

- az elemtípus megváltoztatásával: pl. a 3D-Solid elemek közül a 8 csomópontos az

elmozdulásmező lineáris közelítésére alkalmas, a 21 csomópontos elem az elmozdulásmezőt másodfokú polinommal közelíti.

- P-módszer (vagy P-elemek) alkalmazásával, amikor az elemen belüli approximációs

függvény fokszámát növeljük fokról fokra. A módszer előnye, hogy kevesebb számú és nagyobb méretű elemre van szükség, tehát az eredmények pontosságának növekedésével együtt a számítási idő lecsökken.

- a peremfeltételek megváltoztatásával: kényszerek kiegészítése, más jellegű kényszerek

alkalmazása, kényszerek hatáskörzetének módosítása, stb., - és csak legutolsó sorban: új geometriai modellalkotással (pl. más elemi térfogatokra való

felbontással). Szilárdságtani feladatok megoldása a végeselemes módszer segítségével Egyszerűsítési lehetőségek: Minden rugalmasságtani feladat megoldásánál - így a végeselemes módszer esetében is - alapvető kérdés, hogy a megoldandó feladatot milyen módon lehet egyszerűsíteni. A leglényegesebb egyszerűsítési lehetőséget a térbeli feladat síkfeladattá való redukálása jelenti. Rugalmasságtani síkfeladatról akkor beszélünk, ha a testről feltesszük vagy bebizonyítjuk, hogy a kialakult feszültségi állapota sík feszültségi állapot, vagy az alakváltozási állapota sík alakváltozási állapot. - a feszültségi állapot síkbeli: ha a testen belül mindenütt találunk egy rögzített, állandó e3

irányt, amely mellett

σ⋅ =e3 0


Legyen e3 = k , így σz , τxz , τyz = 0, viszont az általános Hooke-törvényből következően

εν

ν ε εz x y= −−

+1

( ) ,

A feszültségi állapot tehát síkbeli, de az alakváltozás a harmadik tengely irányában értelmezett. Példa: tengelycsonk-szelvény

Az alkalmazott elemtípus: 2D-Continuum (plane stress)

- az alakváltozási állapot síkbeli: ha a testben kijelölhető egy rögzített, állandó e3 irány, úgy, hogy a test minden pontjában az u elmozdulásvektorra igaz, hogy

u e⋅ =3 0

Legyen e3 = k , így εz , γxz , γyz = 0, ezzel az általános Hooke-törvényből

ε σ ν σ σ σ ν σ σz z x y z x yE= − + = → = +1

0( ) ( )

Az alakváltozás tehát síkbeli, de a feszültségi állapot térbeli. Példa: sík lemez alkatrészek (a lemezvastagság mentén az alakváltozás elhanyagolható).


Az alkalmazott elemtípus: 2D-Continuum (plane strain)

Térbeli feladatok megoldásánál lényeges egyszerűsítési lehetőséget jelent a szimmetria. Szimmetriáról a végeselemes feladatoknál csak akkor beszélhetünk, ha a hármas szimmetria feltétele (alaki, anyagi és a terhelések/kényszerek szimmetriája) teljesül. - körszimmetria: a feszültségi állapot ugyan térbeli, de a körszimmetria miatt két tengely

irányában a feszültség egyenlő: Tengelyirányú terhelés esetén: εx = εy A térfogatállandóság miatt: y εx + εy + εz = 0 Ezekből következik, hogy

x ε ε εx y

z

2= = −

z Behelyettesítve εx és εy értékét az általános Hooke-törvény összefüggéseibe, végeredményül azt kapjuk, hogy

σx = σy

A térbeli feladatot tehát visszavezettük sík feszültségi feladatra. Példa: hengeres furatú folyató matrica (hármas körszimmetria)


Alkalmazott elemtípus: tengelyszimmetrikus térfogatelemek (Axisymmetric Solid Continuum)

- nincs körszimmetria, de a modell a szimmetria miatt szegmensekre osztható:

a legkisebb szegmenst a hármas szimmetria feltétele határozza meg. Példa: himba (az alaki és anyagi szimmetriájához képest a kényszerek szimmetriája eggyel

alacsonyabb rendű)

A megoldás nem egyszerűsödik, csak a számítási idő és a szükséges tárolókapacitás iránti igény (swap, sratch) csökken.

- nem sík és nem körszimmetrikus lemez-alkatrészek, vékonyfalú edények: a feladat térbeli, de a falvastagság elhanyagolható a többi mérethez képest, így feltételezhetjük, hogy a feszültség a falvastagság függvényében lineárisan változik. Példa: flakon, csőelem


Alkalmazott elemek: 3D-Shell elemek

Peremelemes módszer A peremelemes módszer - hasonlóan a végeselemes módszerhez - a rugalmasságtan parciális differenciál-egyenleteivel kapcsolatos ún. peremérték-feladatok numerikus megoldásának előállítására szolgál. A módszer egyik lényeges vonása a peremérték-feladat olyan integrálegyenletek formájában történő megfogalmazása, amelyek a feladat tartományának peremére vonatkoznak. A módszer másik lényegi vonása, hogy a tartomány peremét, azaz pl. a test határfelületét bontjuk fel véges méretű elemekre (ún. peremelemekre), ezekhez az elemekhez rendeljük a közelítő függvényeket, és az így képzett közelítő függvényeket egyesítjük az egész peremre vonatkozó függvényekké. Az integrálegyenletek megoldása a tartomány peremén adja meg a feladat változóit (megoldását). A peremelemes módszer előnye, hogy egyrészt mind a közelítő függvényeket, mind a megoldásokat a test peremén képezi, ott, ahol a feszültségeknek (homogén, izotróp és rugalmas test esetén) egyébként is maximuma van. További előnye, hogy a ténylegesen megoldandó feladat dimenziója eggyel kisebb, mint magának a peremérték-feladatnak a dimenziója. 7. Számítógéppel segített gyártás (Computer Aided Manufacture) (A CAD-CAM kapcsolat megértéséhez szükséges definiciók) Ma már csaknem minden jelentős CAD rendszer rendelkezik valamilyen CAM kimenettel is. Ez egy olyan szoftver-modult jelent, amely segítségével - meghatározott gyártási eljárás számára - a szerszám és/vagy a munkadarab szükséges mozgáspályáját meghatározó információkat lehet a CAD modell alapján előállítani (generálni). A számítógéppel segített gyártás során a gyártógép működtetését és a szerszám, valamint a munkadarab mozgatását (alfa-numerikus kódokat tartalmazó blokkok segítségével) - közvetve vagy közvetlenül - számítógép vezérli:

- NC (Numerical Control) megmunkálás: a mozgáspálya-vezérléshez szükséges információkat lyukszalag segítségével (bináris kódok) közvetve adják át a szerszámgépnek.


- CNC (Computer Numerical Control) megmunkálás: a számítógép közvetlenül vezérli a

szerszámgépet.

Egy CAD rendszer CAM kimenetének legfontosabb tulajdonsága, hogy hány tengely irányában képes a mozgás vezérléséhez szükséges program generálására. A szokásos elnevezések szerint NC, ill. CNC megmunkálási lehetőségek:

2D: kétirányú szerszámmozgatás, pl. esztergálás, kivágás 2˝D: háromirányú mozgatás, de ezek közül egyidőben csak kettő valósul meg 3D: egyidőben háromirányú mozgatás 5 tengelyű: egyidőben háromirányú mozgatás + szerszám döntés Mozgatási lehetőségek definiciói a CAM-en belül: a megmunkálandó darab befogását, ill. mozgatását a CNC gyártás során robotok végzik. A robotokat a működésükre jellemző koordináta-rendszerrel és az adott koordináta-rendszeren belüli szabadságfokokkal definiálják. Ezek szerint megkülönböztetünk: - Descartes-féle koordináta-rendszerben 3 tengelyirányú elmozdulást végző, - henger koordináta-rendszerben tengelykörüli elfordulást és tengelymenti, valamint

sugárirányú elmozdulást végző, - gömb koordináta-rendszerben sugárirányú elmozdulást és két, egymásra merőleges tengely

körüli elfordulást végző, valamint - 3 tengely körüli elfordulást végző, ún. csuklós robotot.


Az első három szabadságfok kiegészíthető még további 1, 2 vagy 3 szabadságfokkal a befogó előtét részéről. A számítógéppel segített gyártmánytervezés és a számítógéppel segített gyártás kapcsolata A CAD és CAM között szükségképpen elhelyezkedik még egy harmadik tevékenységi kör, az ún. Computer Aided Process Planning (CAPP), azaz a számítógéppel segített gyártáselőkészítés. A CAPP feladatköre: - a gyártási eljárás kiválasztása, - műveleti sorrend kialakítása, - a műveletek paramétereinek meghatározása, - szerszámigény, - készülékezés, - gépkiválasztás és munkadarab továbbítás.


Mind a CAD, mind a CAPP közvetlen kapcsolatban kell, hogy álljon a számítógéppel segített minőségbiztosítással (CAQ): CAD CAQ CAPP CAM CAE

A CAD-CAPP-CAQ-CAM együttesen alkotják a Computer Aided Engineering (CAE) fogalmát. Amennyiben a számítógép nem csak a tervezés, a gyártáselőkészítés és a gyártás fázisában vesz részt a termelés folyamatában, hanem egy központi adatbank segítségével már a megrendeléstől kezdve minden, a jövendő konstrukciót érintő információ a rendelkezésre áll, lehetőség nyílik a termék-kialakítás teljes folyamatának számítógépes koordinálására. Ebben az esetben a termelési folyamatot számítógéppel integrált gyártásnak (Computer Integrated Manufacture = CIM) nevezik.


A CAE-hez képest a CIM-ben megjelenik még a központi adatbankon kívül a számítógéppel segített gyártásszervezés (Computer Aided Production Management = CAPM) is, amelynek feladatköre: - raktározási diszpozíciók készítése, - anyaggazdálkodás, - határidők megállapítása és ellenőrzése, - gazdaságosság számítása. Vevő Megren- CAD különleges delés gyártási Központi CAQ igény Adatbank CAPM CAPP CAM

Irodalom

[1] Kurusa – Szemők: A számítógépes ábrázoló geometria alapjai (Polygon) [2] Horváth – Juhász: Számítógéppel segített gépészeti tervezés (Műszaki Könyvkiadó) [3] Juhász: Számítógépi geometria és grafika (Miskolci Egyetemi Kiadó) [4] Reiman – Nagyné: Geometriai feladatok (Műegyetemi Kiadó) [5] Nagyné: CAD-iskola (TypoTEX Kft Elektronikus Kiadó) [6] Newman – Sproull: Interaktív számítógépes grafika (Műszaki Könyvkiadó) [7] Béda, Gy. - Kozák, I.: Rugalmas testek mechanikája. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1987.

budapesti mŰszaki És gazdasÁgtudomÁnyi egyetem ... · egy fájl név maximum 255 karakter...

Documents