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INSTITUTO TECNOLOGICO DE MORELIA“Jose Marıa Morelos y Pavon”

Calculo IntegralPara estudiantes de ingenierıa

EDICION 2019

PROFESORES PARTICIPANTESM.C. GERARDO HERNANDEZ MEDINAING. BEATRIZ JUAREZ CAMPOSM.C. ALFREDO MORALES HERNANDEZ

PROFESORES REVISORESLIC. JOSE ADALBERTO GUTIERREZ PAREDESM.C. NORA LIZETH ATIENZO DE LA CRUZ

Indice general

1. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO. 11.1. EL PROBLEMA DEL AREA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1. Notacion sigma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.2. Formulas de sumas especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.3. Area de un triangulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.4. El problema general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.5. Ejercicios de la seccion 1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2. LA INTEGRAL DEFINIDA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2.1. Integral Definida y Suma de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.2.2. Propiedades de la Integral Definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.2.3. Ejercicios de la seccion 1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2. INTEGRAL INDEFINIDA Y METODOS DE INTEGRACION. 312.1. FUNCION PRIMITIVA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.2. LA INTEGRAL INDEFINIDA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.2.1. Calculo de integrales indefinidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.2.2. Integracion de funciones racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

2.3. METODOS DE INTEGRACION. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632.3.1. Integrales que contienen un trinomio cuadrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632.3.2. Integracion por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662.3.3. Integrales trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 702.3.4. Sustitucion trigonometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 812.3.5. Fracciones parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 842.3.6. Integrales que requieren alguna sustitucion especial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

2.4. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 942.4.1. Funciones Continuas por Partes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 962.4.2. Ejercicios de la Seccion 2.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

2.5. INTEGRALES IMPROPIAS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1062.5.1. Integrales Impropias: Discontinuidades Infinitas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1092.5.2. Ejercicios de la Seccion 2.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

3. APLICACIONES DE LA INTEGRAL. 1153.1. AREAS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

3.1.1. Area Total. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1153.1.2. Area Entre Curvas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1163.1.3. Ejercicios de la Seccion 3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

3.2. LONGITUD DE ARCO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1293.3. VOLUMENES DE SOLIDOS DE REVOLUCION. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

3.3.1. Metodo del Disco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1343.3.2. Metodo del Anillo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1343.3.3. Volumenes de Solidos de Seccion Conocida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1403.3.4. Ejercicios de la Seccion 3.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

iii

INDICE GENERAL iv

3.4. CALCULO DE CENTROIDES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1463.4.1. Areas Planas y Solidos de Revolucion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1463.4.2. Ejercicios de la Seccion 3.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

3.5. MOMENTOS DE INERCIA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1533.5.1. Areas Planas y Solidos de Revolucion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1533.5.2. Radio de Giro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1533.5.3. Ejercicios de la Seccion 3.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

4. SERIES 1634.1. INTRODUCCION. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

4.1.1. Sucesion de sumas parciales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1634.1.2. Serie telescopica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1654.1.3. Serie geometrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1654.1.4. Serie armonica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1674.1.5. Prueba para una Serie Divergente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1684.1.6. Ejercicios de la Seccion 4.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

4.2. PRUEBA DE PROPORCIONES Y DE LA RAIZ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1734.2.1. Prueba de las Proporciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1734.2.2. Prueba de la Raız. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1744.2.3. Ejercicios de la Seccion 4.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

4.3. SERIES ALTERNANTES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1774.3.1. Prueba de las proporciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1804.3.2. Ejercicios de la Seccion 4.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

4.4. SERIES DE POTENCIAS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1834.4.1. Convergencia de Series de Potencias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1834.4.2. Series de Potencias en (x-c). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1854.4.3. Ejercicios de la Seccion 4.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

4.5. SERIE DE TAYLOR PARA UNA FUNCION F (X). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1884.5.1. Calculo de Integrales como serie de Taylor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1894.5.2. Ejercicios de la Seccion 4.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

Capıtulo 1

TEOREMA FUNDAMENTAL DELCALCULO.

1.1. EL PROBLEMA DEL AREA.

Introduccion.

Ası como la derivada es motivada por el problema geometrico de construir una tangente a una curva, elproblema historico que conduce a la definicion de integral definida es el problema de encontrar un area.En especıfico, tenemos interes en la siguiente version de este problema:

Encontrar el area A de una region acotada por el eje X y la grafica de una funcion no negativa continuay = f(x) definida sobre un intervalo [a, b].

El area de esta region se denomina area bajo la grafica de f(x) sobre el intervalo [a, b]. El requerimientode que f(x) sea no negativa sobre [a, b] significa que ninguna parte de esta grafica sobre el intervalo esta porabajo del eje x. Vea la Figura 1.

1.1.1. Notacion sigma

Sea ak un numero real que depende de un entero k. La suma a1 + a2 + a2 + ... + an se denota por el

sımbolon∑k=1

ak ; esto es:

1

CAPITULO 1: TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO. 2

n∑k=1

ak = a1 + a2 + a2 + ...+ an (1)

Puesto que Σ es la letra griega mayuscula sigma, (1) se denomina notacion sigma o notacion de suma.La variable k se denomina ındice de la suma. Ası,

es la suma de todos los numeros de la forma ak cuando k asume los valores sucesivos k = 1, k = 2 ,..., ytermina con k = n.

Ejemplo 1.1

La suma de los diez primeros enteros pares 2 + 4 + 6 + ...18 + 20

Se podra escribir de manera abreviada como10∑k=1

2k

La suma de los diez enteros positivos impares 1 + 3 + 5 + ...+ 17 + 19

Se podra escribir como10∑k=1

(2k − 1)

El ındice de la suma no necesita empezar en el valor k=1; por ejemplo,

5∑k=1

2k = 21 + 22 + 23 + 24 + 25 y5∑k=0

2k = 20 + 21 + 22 + 23 + 24 + 25

Observar que la suma de los diez enteros positivos impares en el ejemplo anterior tambien puede escribirse

como9∑k=0

(2K + 1). Sin embargo, en un analisis general siempre se supone que el ındice de la suma empieza

enk = 1 . Esta suposicion responde mas a razones de conveniencia que de necesidad.

El ındice de la suma a menudo se denomina variable ficticia, puesto que el sımbolo en sı carece de impor-tancia; lo que importa son los valores enteros sucesivos del ındice y la suma correspondiente. En general

n∑k=1

ak =n∑i=1

ai =n∑j=1

aj =n∑

m=1am

Por ejemplo,

10∑k=1

4k =10∑i=1

4i =10∑j=1

4j = 41 + 42 + 43 + ...+ 410

3 1.1. EL PROBLEMA DEL AREA.

PROPIEDADES

Teorema 1.1

Propiedades de la notacion sigmaPara enteros positivos m y n.

1.n∑k=1

cak = cn∑k=1

ak, donde c es cualquier constante.

2.n∑k=1

(ak ± bk) =n∑k=1

ak ±n∑k=1

bk

3.n∑k=1

ak =m∑k=1

ak +n∑

k=m+1

ak, m < n

La demostracion de 1) es una consecuencia inmediata de la ley distributiva. Por supuesto, 2) se cumplepara la suma de mas de tres terminos; por ejemplo,

n∑k=1

(ak + bk + ck) =n∑k=1

akn∑k=1

bkn∑k=1

ck

1.1.2. Formulas de sumas especiales

Para algunos tipos especiales de sumas, particularmente sumas que implican potencias de enteros positivosdel ındice de la suma (como sumas de enteros positivos consecutivos, cuadrados sucesivos, cubos sucesivos,etc.) es posible encontrar una formula que proporcione el valor numerico verdadero de la suma. Para efectosde esta unidad, centraremos la atencion en las cuatro formulas siguientes.

Teorema 1.2

Formulas de sumasPara n un entero positivo y c cualquier constante,

1.n∑k=1

c = nc

2.n∑k=1

k =n(n+ 1)

2

3.n∑k=1

k2 =n(n+ 1)(2n+ 1)

6

4.n∑k=1

k3 =n2(n+ 1)2

4

Las formulas 1) y 2) pueden justificarse facilmente. Si c es una constante, es decir, independiente del

ındice de la suma, entoncesn∑k=1

c significa c+c+c+...+c.. Puesto que hay n constantes c, tenemosn∑k=1

c = nc ,

que es 1) del Teorema 1.2. Luego, la suma de los n primeros enteros positivos puede escribirse comon∑k=1

k.

Si esta suma se denota por la letra S , entonces


S = 1 + 2 + 3 + ..+ (n− 2) + (n− 1) + n (2)

En forma equivalente,

S = n+ (n− 1) + (n− 2) + ...+ 3 + 2 + 1 (3)

Si sumamos (2) y (3) con los primeros terminos correspondientes, luego los segundos terminos, y ası sucesi-vamente, entonces:

2S =(n+ 1) + (n+ 1) + (n+ 1) + ...+ (n+ 1)

nterminos de n+1= n(n+ 1)

Al despejar obtenemos S = n(n+ 1)/2, que es (2).

NOTA HISTORICA.

Carl Friedrich Gauss (1777-1855)

El llamado “Prıncipe de las matematicas” domino el siglo XIX en matematicas, en fısica y astronomıa.Desde nino demostro una prodigiosa habilidad con los numeros. A los tres anos de edad, corrigioun error que su padre habıa hecho en el calculo de los salarios de unos albaniles que trabajaban para el.

A los diez anos, su maestro de escuela, que querıa paz en la clase, ordeno a los ninos que sumarantodos los numeros del 1 al 100. El pequeno Gauss, casi inmediatamente, escribio el resultado en supizarra: 5050. Es muy probable que haya visto que las dos sumas siguientes son iguales

1 + 2 + 3 + 4 + ...+ 97 + 98 + 99 + 100100 + 99 + 98 + 97 + ...+ 4 + 3 + 2 + 1

Y que cada uno de los cincuenta pares suma 101(101X50 = 5050).

Ejemplo 1.2

Uso de formulas de suma.

Encuentre el valor numerico de20∑k=1

(k + 5)2

Al desarrollar (k + 5)2 y usando 1) y 2) del Teorema 1.1, se puede escribir

20∑k=1

(k + 5)2 =20∑k=1

(k2 + 10k + 25) =20∑k=1

k2 + 1020∑k=1

k +20∑k=1

25

Con la identificacion n = 20, por las formulas de sumas 3), 2) y 1) del Teorema 1.2, respectivamente,se concluye


20∑k=1

(k + 5)2 =20(21)(41)

6

10(20)(21)

2+ (20)(25) = 5470

La notacion sigma y las formulas de sumas anteriores se usaran de inmediato en el siguiente analisis.

1.1.3. Area de un triangulo

Si suponemos por el momento que no se conoce ninguna formula para calcular el area A del triangulorectangulo proporcionado en la Figura 2a). Se puede intentar superponer un sistema rectangular de coor-denadas sobre el triangulo, como se muestra en la Figura 2 b), se ve que el problema es el mismo queencontrar el area en el primer cuadrante acotada por las lıneas rectas y = (h/b)x, y = 0 (el eje x) y x = b.En otras palabras, se desea encontrar el area bajo la grafica de y = (h/b)x sobre el intervalo[0, b].

Al usar rectangulos, la Figura 3) indica tres formas diferentes de aproximar el area A. Por conveniencia,seguiremos con mayor detalle el procedimiento sugerido en la Figura 3b). Empezamos al dividir el intervalo[0, b] en n subintervalos del mismo ancho ∆x = b/n. Si el punto fronterizo derecho de estos intervalos sedenota por x∗k , entonces:

x∗1 = ∆x =b

n

x∗2 = 2∆x = 2(b

n)

x∗3 = 3∆x = 3(b

n)

.

.

.

x∗n = n∆x = n(b

n) = b


Como se muestra en la Figura 4b), ahora se construye un rectangulo de base (ancho) ∆x y altura (longi-tud) f(x∗k) sobre cada uno de estos n subintervalos. Puesto que el area de un rectangulo es base altura, elarea de cada rectangulo es f(x∗k)∆x. La suma de las areas de los n rectangulos es una aproximacion al area A.

Tomando los n rectangulos:

A ≈ f(x∗1)∆x + f(x∗2)∆x + f(x∗3)∆x + ...+ f(x∗n)∆x

A ≈n∑k=1

f(x∗k)∆x (4)

Parece valido que se reduzca el error introducido por este metodo de aproximacion (el area de cada rectanguloes mayor que el area bajo la grafica sobre un subintervalo [x∗k−1, x

∗k] al dividir el intervalo [0, b] en subdivi-

siones mas finas. En otras palabras, se espera que una mejor aproximacion a A pueda obtenerse usando masy mas rectangulos (n −→∞)de anchos decrecientes (∆x −→∞). Luego,

f(x) =h

bx, x∗k = k

b

n, f(x∗k) =

h

nk y ∆x =

b

n


de modo que con ayuda de la formula de suma 2) del Teorema 1.2, (4) se vuelve

A ≈n∑k=1

h

nk(b

n) =

bh

n2

n∑k=1

k =bh

n2· n(n+ 1)

2=bh

2(1 +

1

n) (5)

Finalmente, al hacer (n −→∞) en el miembro derecho de (5), se obtiene la formula conocida para el area deun triangulo:

A =1

2bh lımn−→∞

(1 +1

n) =

bh

2

1.1.4. El problema general

Pasando del ejemplo precedente especıfico al problema general de encontrar el area A bajo la grafica deuna funcion y=f(x) que es continua sobre un intervalo [a,b]. Como se muestra en la Figura 5 a), tambiensuponemos que f(x) para toda x en el intervalo [a,b]. Como sugiere la Figura 5 b), el area A puede aproxi-marse al sumar las areas de n rectangulos que se construyen sobre el intervalo. A continuacion se resume unprocedimiento posible para determinar A :

Divida el intervalo[a, b]en n subintervalos [xk−1, xk], donde

a = x0 < x1 < x2 < xn−1 < xn = b

de modo que cada subintervalo tiene la misma base de ancho ∆x = (b−a)/n.Esta coleccion de numerosse denomina particion regular del intervalo [a,b].

Elija un numero x∗k en cada uno de los n subintervalos [xk−1, xk]y forme los n productos f(x∗k)∆x. Puestoque el area de un rectangulo es altura X base,f(x∗k)∆x es el area del rectangulo de altura f(x∗k) y base(ancho) ∆x construido sobre el k-esimo subintervalo [xk−1, xk]. Los n numeros x∗1 + x∗2 + x∗3 + ...+ x∗n ,se denominan puntos muestra.

La suma de las areas de los n rectangulos

n∑k=1

f(x∗k)∆x = f(x∗1)∆x + f(x∗2)∆x + f(x∗3)∆x + ...+ f(x∗n)∆x

representa una aproximacion al valor del area A bajo la grafica de f(x) sobre el intervalo [a,b]. Con estasnotas preliminares, ahora ya es posible definir el concepto de area bajo una grafica.


Definicion 1.1

Sea f(x) continua sobre [a,b] y f(x) ≥ 0 para toda x en el intervalo. El area A bajo la grafica de f(x)sobre el intervalo se define como:

A = lımn−→∞

n∑k=1

f(x∗k)∆x (6)

Es posible demostrar que cuando f(x) es continua, el lımite en (6) siempre existe sin importar el metodousado para dividir [a,b] en subintervalos; es decir, los subintervalos pueden tomarse o no de modo que suancho sea el mismo, y los puntos x∗k pueden escogerse en forma arbitraria en los subintervalos [xk−1, xk].No obstante, si los subintervalos no tienen el mismo ancho, entonces en (6) es necesario un tipo diferente delımite. Necesitamos sustituir n −→ ∞ por el requerimiento de que la longitud del subintervalo mas anchotienda a cero.

UNA FORMA PRACTICA DE LA DEFINICION DE AREA BAJO UNA GRAFICA

Para usar (6), se supondra que se escoge x∗k como se hizo en el analisis de la Figura 4a); es decir: sea x∗kel punto fronterizo derecho de cada subintervalo. Puesto que el ancho de cada uno de los n subintervalos deigual ancho es ∆x = (b− a)/n , tenemos

x∗k = a+ k∆x = a+ kb− an

Luego, para k = 1,2 ,3,...,n se tendra

x∗1 = a+ ∆x = a+b− an

x∗2 = a+ 2∆x = a+ 2(b− an

)

x∗3 = a+ 3∆x = a+ 3(b− an

)

x∗n = a+ n∆x = a+ n(b− an

) = b

Al sustituir a+ k(b− a)/n por x∗k y (b-a)/n por ∆x en (6), se concluye que el area A tambien esta dada por

A = lımn−→∞

n∑k=1

f(a+b− an· k)(

b− an

) (7)

Puesto que ∆x = (b− a)/n,n −→∞ implica ∆x −→ 0.

Ejemplo 1.3

Calculo del area Usando (7)Encuentre el area A bajo la grafica de f(x) = x+ 2 sobre el intervalo [0, 4]. El area esta acotada porel trapezoide indicado en la Figura 6a). Al identificar a = 0 y b = 4 , encontramos

∆x =4− 0

n=

4

n


Ası, (7) se vuelve

A = lımn−→∞

n∑k=1

f(0 + k4

n)

4

n=

4

nlım

n−→∞

n∑k=1

f(4k

n) = lım

n−→∞

n∑k=1

(4k

n+ 2)

lımn−→∞

4

n(

4

n

n∑k

k=1

+ 2n∑k=1

1) ←− Por las propiedades 1) y 2) del Teorema 1.1

Luego, por las formulas de suma 1) y 2) del Teorema 1.2, se tiene

lımn−→∞

4

n(

4

n· n(n+ 1)

2+ 2n) = lım

n−→∞(16

n· n(n+ 1)

n2+ 8) = lım

n−→∞(8(1 +

1

n) + 8)

8 lımn−→∞

(1 +1

n) = 8 lım

n−→∞1 = 8 + 8 = 16 unidades cuadradas.

Ejemplo 1.4

Calculo del area usando (7)Encuentre el area A bajo la grafica de f(x) = 4 − x2 sobre el intervalo [-1, 2].

El area se indica en la Figura 7a). Puesto que a = -1 y b = 2 , se concluye que


∆x =2− (−1)

n

3

n

A continuacion se revisaran los pasos que llevan a (7). El ancho de cada rectangulo esta dado por ∆x.Luego, empezando en x = -1 , el punto fronterizo derecho de los n subintervalos es:

x∗1 = −1 +3

n

x∗2 = −1 + 2(3

n) = −1 +

6

n

x∗3 = −1 + 3(3

n) = −1 +

9

n

.

.

.

x∗n = −1 + n(3

n) = 2

Entonces, la longitud de cada rectangulo es

f(x∗1) = f(−1 +3

n) = 4− (−1 +

3

n)2

f(x∗2) = f(−1 +6

n) = 4− (−1 +

6

n)2

f(x∗3) = f(−1 +9

n) = 4− (−1 +

9

n)2

.

.

.

f(x∗n) = f(−1 +3n

n) = f(2) = 4− (2)2 = 0

El area del k-esimo rectangulo es altura X ancho:

f(x∗k)3

n= [4− (−1 + k

3

n)2]

3

n= [3 + 6

k

n− 9

k2

n2]3

n

Al sumar las areas de los n rectangulos obtenemos una aproximacion al area bajo la grafica sobre el

intervalo:n∑k=1

f(x∗k)(3/n). A medida que el numero n de rectangulos crece sin lımite, obtenemos

A = lımn−→∞

n∑k=1

[3 + 6k

n− 9

k2

n2]3

n= lımn−→∞

3

n

n∑k=1

[3 + 6k

n− 9

k2

n2]

lımn−→∞

3

n[n∑k=1

3 +6

n

n∑k=1

k − 9

n2

n∑k=1

k2]

Al usar las formulas de sumas 1), 2) y 3) del Teorema 1.2 obtenemos

lımn−→∞

3

n[3n+

6

n· n(n+ 1)

2− 9

n2· n(n+ 1)(2n+ 1)

6] = lım

n−→∞[9 + 9 · (1 +

1

n)− 9

2· (1 +

1

n)(2 +

1

n)]

=9+9-9=9 unidades cuadradas.


OTRAS ELECCIONES PARA x∗k

No hay nada en especial si x∗k se escoge como el punto fronterizo derecho de cada subintervalo. x∗k puedetomarse como cualquier numero conveniente dentro del intervalo [xk−1, xk].

En caso de que se elija x∗k como el punto fronterizo izquierdo de cada subintervalo, la formula (7) semodifica de la forma siguiente:

x∗k = a+ (k − 1)b− an

, k = 1, 2, ..., n

y (7) se volverıa

A = lımn−→∞

n∑k=1

f(a+ (k − 1)b− an

)b− an

(8)

En el Ejemplo 4, los rectangulos se observarıan como se muestran en la Figura 8. En este caso sehubiera tenido x∗k = −1 + (k − 1)(3/n).

Figura 8. Rectangulos usando los puntos fronterizos izquierdos de los intervalos.

1.1.5. Ejercicios de la seccion 1.1

En los ejercicios 1-10, desarrolle la suma indicada.

1.5∑k=1

3k

2.6∑i=1

(3i− 2)

3.4∑k=1

2k

k

4.7∑i=1

(i2 + 1)

5.10∑k=1

(−1)k

2k + 5


6.10∑k=1

(−1)(k − 1)

k2

7.5∑j=2

(j2 − 2j)

8.4∑

m=0(m+ 1)2

9.5∑k=1

coskπ

10.5∑k=1

sin(kπ/2)

k

En los ejercicios 11-19,use notacion sigma para escribir la suma dada.

11. 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15

12. 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64

13. 1 + 4 + 7 + 10 + ...+ 37

14. 2 + 6 + 10 + 14 + ...+ 38

15. 1− 12 + 1

3 + 14 + 1

5

16. − 12 + 2

3 −34 + 4

5 −56

17. 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6

18. 1 +√

2 +√

3 + 2 +√

5 + ...+ 3

19. cos(πpx)− 14cos(

2πp x) + 1

9cos(3πp x) 1

16cos(4πp x)

En los ejercicios 20-27, encuentre el valor numerico de la suma dada.

20.20∑k=1

2k

21.50∑k=0

(−3k)

22.10∑k=1

(k + 1)

23.1000∑k=1

(2k − 1)

24.6∑k=1

(k2 + 3)

25.5∑k=1

(6k2 − k)

26.10∑p=0

(p2 + 4)

13 1.2. LA INTEGRAL DEFINIDA.

27.10∑i=1

(2i3 − 5i+ 3)

En los ejercicios 28-41, use(7) y el Teorema 1.2 para encontrar el area bajo la grafica de la funciondada sobre el intervalo indicado.

28. f(x) = x, [0, 6]

29. f(x) = 2x, [1, 3]

30. f(x) = 2x+ 1, [1, 5]

31. f(x) = 3x− 6, [2, 4]

32. f(x) = x2, [0, 2]

33. f(x) = x2, [−2, 1]

34. f(x) = 1− x2, [−1, 1]

35. f(x) = 2x2 + 3, [−3,−1]

36. f(x) = x2 + 2x, [1, 2]

37. f(x) = (x− 1)2, [0, 2]

38. f(x) = x3, [0, 1]

39. f(x) = x3 − 3x2 + 4, [0, 2]

40. f (x) =

{2, 0 ≤ x < 1

x+ 1, 1 ≤ x ≤ 4

41. f (x) =

{x+ 1, 0 ≤ x < 1x+ 2, 1 ≤ x ≤ 3

En los ejercicios 42 y 43,escriba el numero decimal dado usando notacion sigma.

42. 0.11111111

43. 0.373737373737

44. Use el Teorema 1.1 y la formula 3 del Teorema 1.2 para encontrar el valor numerico de60∑k=21

k2 .

45. Escriba la suma 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 usando notacion sigma de modo que el ındice de la sumaempiece con k=0, con k=1, con k=2.

1.2. LA INTEGRAL DEFINIDA.

Introduccion

En la Seccion 1.1 se vio que el area bajo la grafica de una funcion continua no negativa f(x) sobre unintervalo [a,b] se definıa como el lımite de una suma. Ahora se vera que el mismo tipo de proceso lımiteconduce al concepto de integral definida.


1.2.1. Integral Definida y Suma de Riemann

Sea y=f(x) una funcion definida sobre un intervalo cerrado [a,b].

Considere los siguientes cuatro pasos

Divida el intervalo [a,b] n subintervalos [xk−1, xk] de anchos ∆xk = xk − xk−1, donde

a = x0 < x1 < x2 < ... < xn−1 < xn = b (1)

La coleccion de numeros (1) se denomina particion del intervalo y se denota por P.

Sea||P || el mayor valor de los N anchos de los subintervalos ∆x1,∆x2

, ...,∆xn El numero||P || se denominanorma de la particion P.

Escoja un numero x∗k en cada subintervalo [xk−1, xk] como se muestra en la Figura 1. Los n numerosx∗1, x

∗2, x∗3, ..., x

∗n se denominan puntos muestra en estos subintervalos.

Forme la suma

n∑k=1

f(xk)∆xk (2)

Figura 1. Punto muestra.

Sumas del tipo proporcionado en (2) que corresponden a varias particiones de [a,b] se denominan Sumas deRiemann en honor del famoso matematico aleman Georg Friedrich Bernhard Riemann.

Aunque el procedimiento anterior parece muy semejante a los pasos que llevan a la definicion de areabajo una grafica dada en la Seccion 1.1, hay algunas diferencias importantes. Observar que una suma deRiemann (2) no requiere que F(x) sea continua o no negativa sobre el intervalo [a,b]. Ası, (2) no necesariamenterepresenta una aproximacion al area bajo una grafica. Tener en cuenta que ”area bajo una grafica”se refiere alarea acotada entre la grafica de una funcion continua no negativa y el eje x. Como se muestra en la Figura 2,si f(x)¡0 para alguna x en [a,b], una suma de Riemann puede contener terminos f(x∗k)∆xk donde f(x∗k−1) < 0En este caso, los productos f(x∗k)∆xk son numeros que son los negativos de las areas de los rectangulostrazados abajo del eje x.


Figura 2. La funcion f(x) es positiva y negativa sobre el intervalo [a,b]

NOTA HISTORICA.

Riemann, Georg Friedrich Bernhard (1826 - 1866).

Matematico aleman que elaboro un sistema de geometrıa que contribuyo al desarrollo de la fısicateorica moderna.

Estudio en las universidades de Gotinga y Berlın. Su tesis doctoral Foundations for a GeneralTheory of Functions of a Complex Variable (Fundamentos para una teorıa general defunciones de variables complejas), presentada en 1851, constituyo una extraordinaria aportaciona la teorıa de funciones. Desde 1857 hasta su muerte fue profesor de matematicas en la Universidadde Gotinga. La importancia de la geometrıa de Riemann radica en el uso y extension de la geometrıaeuclıdea y de la geometrıa de superficies, que conduce a muchas geometrıas diferenciales generalizadas.El efecto mas importante de estas investigaciones fue que logro una aplicacion geometrica para algunasgrandes abstracciones del analisis de tensores, que conducıa a algunos de los conceptos que utilizo mastarde Albert Einstein al desarrollar su teorıa de la relatividad. La geometrıa de Riemann tambien esnecesaria para tratar la electricidad y el magnetismo en la estructura de la relatividad general.


Ejemplo 1.5

Calculo de una suma de Riemann.Calcular la suma de Riemann para f(x) = x2 − 4 sobre[-2,3] con cinco subintervalos determinadospor: x0 = −2, x1 = − 1

2 , x3 = 1, x4 = 74 , x5 = 3 y x∗1 = −1, x∗2 = − 1

4 , x∗3 = 1

2 , x∗4 = 3

2 , x∗5 = 5

2 .Encuentre la norma de particion.

En la Figura 3, se muestra que los numeros xk, k = 0, 1..., 5 determinan cinco subintervalos[−2,− 1

2 ], [− 12 , 0], [0, 1], [1, 7

4 ] y [ 74 , 3] del intervalo [-2,3] y un punto muestra x∗k dentro de cada subin-

tervalo.

Figura 3. Cinco subintervalos y puntos muestra en el Ejemplo 1.5

Luego, se evalua la funcion f(x) en cada punto de muestra y se determina el ancho de cada subintervalo:

f(x∗1) = f(−1) = −3, ∆x1 = x1 − x0 = −1

2− (−2) =

3

2

f(x∗2) = f(−1

4) = −63

16, ∆x2 = x2 − x1 = 0− (−1

2) =

1

2

f(x∗3) = f(1

2) = −15

4, ∆x3 = x3 − x2 = 1− 0 = 1

f(x∗4) = f(3

2) = −7

4, ∆x4 = x4 − x3 =

7

4− 1 =

3

4

f(x∗5) = f(5

2) =

9

4, ∆x5 = x5 − x4 = 3− 7

4=

5

4

Entonces, la suma de Riemann para esta particion y esa eleccion del punto muestra es

f(x∗1)∆x1 + f(x∗2)∆x2 + f(x∗3)∆x3 + f(x∗4)∆x4 + f(x∗5)∆x5

= (−3)(3

2) + (−63

16)(

1

2) + (−15

4)(1) + (−7

4)(

3

4) + (

9

4)(

5

4) = −279

32≈ −8.72

Para una funcion f(x) definida sobre un intervalo [a,b], hay un numero infinito de posibles sumas deRiemann para una particion dada P del intervalo, puesto que los numeros x∗k pueden escogerse arbitrariamenteen cada subintervalo [xk−1, xk].

Ejemplo 1.6

Suma de Riemann.Calcular la suma de Riemann para la funcion del ejemplo 1.5 si la particion de [ -2, 3 ] es la misma

pero los puntos muestra son: x∗1 = −3

2, x∗2 = − 1

8 , x∗3 = 3

4 , x∗4 = 3

2 , x∗5 = 2.1.


Solo es necesario calcular f en los nuevos puntos muestra, puesto que los numeros ∆xk son los mismosque antes:

f(x∗1) = f(−3

2) = −7

4

f(x∗2) = f(−1

8) = −255

64

f(x∗3) = f(3

4) = −55

16

f(x∗4) = f(3

2) = −7

4

f(x∗5) = f(2.1) = 0.41

La suma de Riemann es:

f(x∗1)∆x1 + f(x∗2)∆x2 + f(x∗3)∆x3 + f(x∗4)∆x4 + f(x∗5)∆x5

= (−7

4)(

3

2) + (

255

64)(

1

2) + (−55

16)(1) + (−7

4)(

3

4) + (0.41)(

5

4) =≈ −8.85

Si las sumas de Riemannn∑k=1

f(x∗k)∆xk estan proximas a un numero L para toda particion P de [a,b] para

la cual la norma ||P || este cerca de cero, entonces se escribe:

lım||P ||−→0

n∑k=1

f(x∗k)∆xk = L (3)

y se dice que L es la integral definida de f(x) sobre el intervalo [a,b]. En la siguiente definicion se introduceun nuevo sımbolo para el valor lımite L.

Definicion 1.2

Sea f(x) una funcion definida sobre un intervalo cerrado [a,b]. Entonces la integral definida de f(x) de

x = a a x = b, se representa por∫ baf(x)dx, y se define como:∫ b

a

f(x)dx = lım||P ||−→0

n∑k=1

f(x∗k)∆xk (4)

Si el lımite en (4) existe, se dice que la funcion f(x) es integrable sobre el intervalo. Los numeros a y ben la definicion precedente se denominan lımite inferior y lımite superior de integracion, respectivamente. Lafuncion f(x) se denomina el integrando.

El sımbolo∫

representa la integral, segun lo usaba Leibnitz, es una S alargada que representa la operacionsuma. Tambien se observa que ||P || −→ 0 siempre implica que el numero de subintervalos n se vuelve infinito(n −→ ∞). No obstante, como se muestra en la Figura 4, el hecho de que n −→ ∞ no necesariamenteimplica n −→∞


Figura 4. Una infinidad de subintervalos no implica que ||P || −→ 0

Integrabilidad

En los dos teoremas siguientes se plantean condiciones que son suficientes para que una funcion f(x) seaintegrable sobre un intervalo [a,b].

Teorema 1.3

Continuidad implica integrabilidad.

Si f(x) es continua sobre el intervalo cerrado [a,b], entonces∫ baf(x)dx existe; es decir, f(x) es integrable

sobre el intervalo.

Hay funciones definidas para cada valor de x en [a,b] para las cuales el lımite en (4) no existe. Tambien,si la funcion f(x) no esta definida para todos los valores de x en el intervalo, la integral definida puede no

existir; por ejemplo, despues se vera por que una integral como∫ 2

−3(1/x)dx no existe. Observe que y = 1/x

es discontinua en , y no esta acotada sobre el intervalo. Sin embargo, a partir de este ejemplo no debe con-

cluirse que cuando una funcion f(x)tiene una discontinuidad en [a,b],∫ baf(x)dx necesariamente no existe. La

continuidad de una funcion sobre [a,b] es condicion suficiente pero no necesaria para garantizar la existencia

de∫ baf(x)dx. El conjunto de funciones continuas sobre [a,b] es un subconjunto del conjunto de funciones que

son integrables sobre el intervalo.

El siguiente teorema proporciona otra condicion suficiente para integrabilidad sobre [a,b].

Teorema 1.4

Condiciones suficientes para integrabilidad.

Si una funcion f(x) esta acotada sobre el intervalo cerrado [a,b], es decir, si existe una constante positivatal que−B ≤ f(x) ≤ B para toda x en el intervalo y tiene un numero finito de discontinuidades en[a,b], entonces f(x) es integrable sobre el intervalo.

Cuando una funcion f(x) esta acotada, su grafica completa debe estar entre dos rectas horizontales,y = By y = −B. En otras palabras, |f(x)| ≤ B para toda x en [a,b]. La funcion:

f (x) =

{4, 0 ≤ x ≤ 21, x ≤ x ≤ 3

mostrada en la Figura 5 es discontinua en x = 2 pero esta acotada sobre [0,3], puesto que |f(x)| ≤ 4 paratoda x en [0,3]. (Para el caso, f(x) para toda x en [0,3], muestra que f(x) esta acotada sobre el intervalo)

Por el Teorema 1.4 se concluye que∫ 3

0f(x)dx existe. La Figura 6 muestra la grafica de una funcion

f(x) que no esta acotada sobre un intervalo [a,b]. Sin importar cuan grande sea el numero B escogido, lagrafica de f(x) no puede estar confinada a la region entre las rectas horizontales y = B y y = −B


Figura 5. La integral definida de f(x) sobre [0,3] existe

Figura 6. La funcion f(x) no esta acotada sobre [a,b]

Particion Regular

Si se sabe que una integral definida existe (por ejemplo, el integrando f(x) es continuo sobre [a,b] entonces:

El lımite en (4) existe para cualquier forma posible de particion [a,b] y para toda forma posible de escogerx∗k en los subintervalos [xk−1, xk]. En particular, al escoger los subintervalos del mismo ancho y los puntosmuestra como los puntos fronterizos derechos de los subintervalos, [xk−1, xk], es decir

∆x =b− an

y x∗k = a+ kb− an

, k = 1, 2, ..., n.

la expresion (4) puede escribirse en forma alterna como:


∫ b

a

f(x)dx = lımn−→∞

n∑k=1

f(a+ kb− an

)b− an

(5)

Recordando de la Seccion 1.1 que una particion P de [a,b] donde los subintervalos tienen el mismo anchose denomina particion regular.

Area Se concluye que los planteamientos de

∫ b

a

f(x)dx dados en (4) y (5) son exactamente los mismos

que (6) y (7) de la Seccion 1.1 para el caso general de encontrar el area bajo la curva y=f(x) sobre [a,b]. Encierta forma esto es correcto; no obstante, la Definicion 1.2 (integral definida) es un concepto mas generalpuesto que, como ya se observo, no se esta requiriendo que f(x) sea continua sobre [a,b] o que f(x) ≥ 0 sobreel intervalo. Por tanto, una integral definida no necesita ser un area. Entonces, ¿que es una integral definida?Por ahora, se acepta el hecho de que una integral definida es simplemente un numero real. Se compara estocon la integral indefinida, que es una funcion (o una familia de funciones). El area bajo la grafica de unafuncion continua no negativa, ¿es una integral definida? La respuesta es sı.

Teorema 1.5

El area como integral definida.

Si f(x) es una funcion continua sobre el intervalo cerrado [a,b] y f(x) ≥ 0 para toda x en el intervalo,entonces el area A bajo la grafica sobre[a,b] es

A =

∫ b

a

f(x)dx

Ejemplo 1.7

El area como integral definida.

Considere la integral definida displaystyle∫ 1

−1

√1− x2dx El integrando es continuo y no negativo, de

modo que la integral definida representa el area bajo la grafica de f(x) =√

1− x2 sobre el intervalo[-1,1]. Debido a que la grafica de la funcion f(x) es el semicırculo superior de x2 + y2 = 1 , el area bajola grafica es la region acotada en la Figura 7.

Figura 7. Area en el Ejemplo 1.7

Por geometrıa sabemos que el area de un cırculo de radio r es πr2 , y ası con r=1 el area del semicırculoy, por tanto, el valor de la integral definida, es∫ 1

−1

√1− x2dx =

1

2π(1)2 =

1

2π


Ejemplo 1.8

Calcular la siguiente integral

∫ 1

−2

x3dx

Puesto que f(x) = x3 es continua sobre [-2,1] por el Teorema 1.5 sabemos que la integral definidaexiste. Usamos una particion regular y el resultado dado en (5). Al escoger

∆x =1− (−2)

n=

3

ny x∗k = −2 + k

3

n

Tenemos f(−2 +3k

n) = (−2 +

3k

n)3 = −8 + 36(

k

n)− 54(

k2

n2) + 27(

k3

n3)

Luego, por (5) y las formulas de suma 1), 2), 3), y 4) del Teorema 1.2 se concluye que:

∫ 1

−2

x3dx = lımn−→∞

n∑k=1

f(−2 +3k

n)

3

n= lımn−→∞

3

n

n∑k=1

[−8 + 36(k

n)− 54(

k2

n2) + 27(

k3

n3)]

= lımn−→∞

3

n[−8n+ (

36

n) · n(n+ 1)

2− (

54

n2) · n(n+ 1)(2n+ 1)

6+ (

27

n3)(n2(n+ 1)2

4)]

= lımn−→∞

[−24 + 54(1 +1

n)− 27(1

1

n)(2 +

1

n) +

81

4(1 +

1

n)(1 +

1

n)]

= −24 + 54− 27(2) +81

4= −15

4

En la Figura 8 se muestra que no se esta considerando el area bajo la grafica entre [-2,1].

Figura 8.Grafica de la funcion en el Ejemplo 1.8

1.2.2. Propiedades de la Integral Definida

A continuacion se analizaran algunas propiedades importantes de la integral definida que se definio en (4).

Las siguientes definiciones son utiles cuando se trabaja con integrales definidas.


Definicion 1.3

Lımites de integracion

1. Igualdad de lımites Si a esta en el dominio de f(x) , entonces∫ a

a

f(x)dx = 0 (6)

2. Inversion de lımites Si f es integrable sobre [a,b], entonces∫ b

a

f(x)dx = −∫ a

b

f(x)dx (7)

El punto 1) de la Definicion 3 se cumple por el hecho de que el area bajo la grafica de f(x) de un solopunto a sobre el eje X es cero.

En la Definicion de

∫ b

a

f(x)dx se supuso que a¡b, de modo que la direccion de costumbre”de la integracion

definida es de izquierda a derecha. El inciso 2) de la Definicion 3 establece que invertir esta direccion, es decir,intercambiar los lımites de integracion, resulta en la negativa de la integral.

Ejemplo 1.9

Ejemplo que involucra la definicion 1.3

Por el inciso 1) de la definicion 1.3,

Teorema 1.6

Propiedades de la integral definida

Si f(x) y g(x) son funciones integrables sobre el intervalo cerrado [a,b] entonces∫ b

a

kf(x)dx = k

∫ b

a

f(x)dx, donde k es cualquier constante (8)∫ b

a

(f(x)± g(x))dx =

∫ b

a

f(x)dx±∫ b

a

g(x)dx (9)

La propiedad 2) del Teorema 1.6, se extiende a cualquier suma finita de funciones integrables sobre elintervalo [a,b]:∫ b

a

(f1(x) + f2(x) + ...+ fn(x))dx =

∫ b

a

f1(x)dx+

∫ b

a

f2(x)dx+ ...+

∫ b

a

fn(x)dx

La variable independiente x en una integral definida se denomina variable ficticia de integracion. El valorde la integral no depende del sımbolo usado. En otras palabras,∫ b

a

f(x)dx =

∫ b

a

f(r)dr =

∫ b

a

f(s)ds =

∫ b

a

f(t)dt

y ası sucesivamente.


Teorema 1.7

Propiedad aditiva del intervaloSi f(x) es una funcion integrable sobre un intervalo cerrado que contiene a los numeros a < c < b,entonces: ∫ b

a

f(x)dx =

∫ c

a

f(x)dx+

∫ b

c

f(x)dx (10)

Resulta facil interpretar la propiedad aditiva del intervalo dada en el Teorema 1.7 en el caso especial enque f(x) es continua sobre [a,b] y f(x) ≥ 0 para toda x en el intervalo. Como se ve en la Figura 9, el areabajo la grafica de f(x) sobre [a,c] mas el area bajo la grafica del intervalo adyacente [c,b] es la misma que elarea bajo la grafica de f(x) sobre todo el intervalo [a,b].

Figura 9. Las areas son aditivas.

El Teorema 1.7 se cumple cuando a,b y c son tres numeros cualesquiera en un intervalo cerrado. Enotras palabras, no es necesario tener el orden a < c < bcomo se muestra en la Figura 9. Ademas, el resultadoen (10) se extiende a cualquier numero finito de numeros a, b, c1, c2, ..., cn en el intervalo. Por ejemplo, paraun intervalo cerrado que contiene a los numeros a, b, c1yc2,

∫ b

a

f(x)dx =

∫ c1

a

f(x)dx+

∫ c2

c1

f(x)dx+

∫ b

c2

f(x)dx

Para una particion P dada de un intervalo [a,b], tiene sentido afirmar que

lım||P ||−→0

n∑k=1

∆xk = b− a (11)

En otras palabras, el lımite lım||P ||−→0

n∑k=1

∆xk es simplemente el ancho del intervalo. Como una consecuencia

de (11), tenemos el siguiente teorema:

Teorema 1.8

Integral definida de una constante para cualquier constante k,∫ b

a

kdx = k

∫ b

a

dx = k(b− a)


Figura 10. Si k > 0, el area bajo la grafica es k(b− a)

Si k > 0, entonces el Teorema 1.8 implica que

∫ b

a

kdx es simplemente el area de un rectangulo de ancho

b-a y altura k. Ver la Figura 10.

Ejemplo 1.10

Integral definida de una constantePor el Teorema 1.8, ∫ 8

2

5dx = 5

∫ 8

2

dx = 5(8− 2) = 30

Teorema 1.9

Propiedades de comparacion.Sean f(x) y g(x) funciones integrables sobre el intervalo cerrado [a,b].

1. Si f(x) ≥ g(x) para toda x en el intervalo, entonces∫ b

a

f(x)dx ≥∫ b

a

g(x)dx

2. Si m ≤ f(x) ≤M para toda x en el intervalo, entonces

m(b− a) ≤∫ b

a

f(x)dx ≤M(b− a)

Las propiedades 1) y 2) del Teorema 1.9 se entienden facilmente en terminos de area.

Para 1), si se supone f(x) ≥ g(x) ≥ 0 para toda x en [a,b], entonces sobre el intervalo el area A1 bajola grafica de f(x) es mayor que o igual al area A2 bajo la grafica de g(x). En forma semejante, para 2) sise supone que f(x) es continua y positiva sobre el intervalo cerrado [a,b], entonces por el teorema del valorextremo, f(x) tiene un mınimo absoluto m > 0 y un maximo absoluto M > 0 en el intervalo. Entonces, el area

bajo la grafica∫ baf(x)dx sobre el intervalo es mayor que o igual al area m(b−a) del rectangulo mas pequeno

mostrado en la Figura 11a) y menor que o igual al area M(b− a) del rectangulo mas grande mostrado enla Figura 11b).


Figura 11. a) Motivacion para el inciso 2) del teorema 1.9.

Figura 11. b) Motivacion para el inciso 2) del teorema 1.9.

Si en 1) del teorema 1.9 se hace g(x)=0 entonces

∫ b

a

g(x)dx = 0 y por lo tanto se concluye lo siguiente:

Si f(x) ≥ 0 sobre[a,b],entonces

∫ b

a

f(x)dx ≥ 0 (12)

En forma semejante, al escoger f(x)=0 en 1), se concluye que:

Si g(x) ≤ 0 sobre [a,b],entonces

∫ b

a

g(x)dx ≤ 0 (13)

Area neta con signo

Debido a que la funcion f(x) en la Figura 12 asume valores tanto positivos como negativos sobre [a,b],

la integral definida∫ baf(x)dx no representa area bajo la grafica de f(x) sobre el intervalo. Por el Teorema

1.7, la propiedad aditiva del intervalo,

∫ b

a

f(x)dx =

∫ c1

a

f(x)dx+

∫ c2

c1

f(x)dx+

∫ b

c2

f(x)dx (14)


Figura 12. La integral definida de f(x) sobre [a,b], proporciona el area neta con signo.

Debido a que f(x) ≥ 0 sobre [a, c1] y [c2, b] se tiene:∫ c1

a

f(x)dx = A1 y

∫ b

c2

f(x)dx = A3

Donde A1 y A3 denotan las areas bajo la grafica de f(x) en los intervalos [a, c1]y[c2, b], respectivamente. Por

otro lado dado que f(x) ≤ 0 sobre [c1, c2] en virtud de (13), tenemos

∫ c2

c1

f(x)dx ≤ 0 y ası

∫ c2

c1

f(x)dx no

representa ninguna area.

No obstante, el valor de

∫ c2

c1

f(x)dx es el negativo del area verdadera A2 acotada entre la grafica de f(x)

y el eje x sobre el intervalo [c1, c2]. Es decir,

∫ c2

c1

f(x)dx = −A2. Por tanto, (14) es

∫ b

a

f(x)dx = A1 + (−A2) +A3 = A1 −A2 +A2

La integral definida proporciona el area neta con signo entre la grafica de f(x) y el eje X sobre el intervalo[a,b].

Sea f(x) una funcion definida sobre [a,b] y sea L un numero real. El concepto intuitivo de que las sumasde Riemann estan proximas a L siempre que la norma ||P || de una particion P este cerca de cero puedeexpresarse en forma precisa usando los sımbolos ε − δ introducidos en la definicion formal de lımite de unafuncion. Al afirmar que f(x) es integrable sobre [a,b], se esta diciendo que para todo numero real ε > 0 existeun numero real δ > 0 tal que

n∑k=1

f(x∗k)∆xk − L| < ε (15)

Siempre que P sea una particion de [a,b] para la cual ||P || < δ y el x∗k son los numeros en los subintervalos[xk−1, xk]k = 1, 2, ..., n.

En otras palabras

lım||P ||−→0

n∑k=1

f(x∗k)∆xk

existe y es igual al numero L.

1.2.3. Ejercicios de la seccion 1.2

En los ejercicios 1-6,calcular la Suma de Riemannn∑k=1

f(x∗k)∆xk para la particion dada. Especificar‖ P ‖ .


1. f(x) = 3x+ 1, [0, 3],cuatro subintervalos;

x0 = 0, x1 = 1, x2 =5

3, x3 =

7

3, x4 = 3, x∗1 =

1

2, x∗2 =

4

3, x∗3 = 2, x∗4 =

8

3

2. f(x) = x− 4, [−2, 5],cinco subintervalos;

x0 = −2, x1 = −1, x2 = −1

2, x3 =

1

2, x4 = 3, x5 = 5, x∗1 = −3

2, x∗2 = −1

2, x∗3 = 0, x∗4 = 2, x∗5 = 4

3. f(x) = x2, [−1, 1],cuatro subintervalos;

x0 = −1, x1 = −1

4, x2 =

1

4, x3 =

3

4, x4 = 1, x∗1 = −3

4, x∗2 = 0, x∗3 =

1

2, x∗4 =

7

8

4. f(x) = x2 + 1, [1, 3],tres subintervalos;

x0 = 1, x1 =3

2, x2 =

5

2, x3 = 3, x∗1 =

5

4, x∗2 =

7

4, x∗3 = 3

5. f(x) = sinx, [0, 2π],tres subintervalos;

x0 = 0, x1 = π, x2 =3π

2, x3 = 2π, x∗1 =

π

2, x∗2 =

7π

6, x∗3 =

7π

4

6. f(x) = cosx, [−π/2, π/2],cuatro subintervalos;

x0 = −π2, x1 = −π

4, x2 = 0, x3 =

π

3, x4 =

π

2, x∗1 = −π

3, x∗2 = −π

6, x∗3 =

π

4, x∗4 =

π

3

7. Dada f(x) = x−2 sobre[0,5] , calcule la Suma de Riemann usando una particion con cinco subintervalosde la misma longitud. Seax∗k, k = 1, 2, ..., 5, el punto fronterizo izquierdo de cada subintervalo.

8. Dada f(x) = x2 − x + 1sobre[0, 1], calcule la Suma de Riemann usando una particion con tres subin-tervalos de la misma longitud. Seax∗k, k = 1, 2, 3, el punto fronterizo izquierdo de cada subintervalo.

En los ejercicios 9 y 10,sea P una particion del intervalo indicado y x∗k un numero en el k-esimosubintervalo.Escriba la suma dada como una integral definida.

9. lım‖P‖−→0

n∑k=1

√9 + (x∗k)2∆xk; [−2, 4]

10. lım‖P‖−→0

n∑k=1

(tanx∗k)∆xk; [0,π

4]

En los ejercicios 11 y 12,sea P una particion regular del intervalo indicado y x∗k el punto fronterizo decada subintervalo. Escriba la suma dada como una integral definida.

11. lımn−→∞

n∑k=1

(1 +2k

n)

2

n; [0, 2]

12. lımn−→∞

n∑k=1

(1 +3k

n)3 3

n; [1, 4]

En los ejercicios 13-18 use(5) y las formulas de suma en el Teorema 1.2 para evaluar la integraldefinida dada.

13.

∫ 1

−3

xdx


14.

∫ 3

0

xdx

15.

∫ 2

1

(x2 − x)dx

16.

∫ 3

−2

(x2 − 4)dx

17.

∫ 1

0

(x3 − 1)dx

18.

∫ 2

0

(3− x3)dx

En los ejercicios 19 y 20, proceda como en los ejercicios 13-18 para obtener el resultado dado.

19.

∫ b

a

xdx =1

2(b2 − a2)

20.

∫ b

a

x2dx =1

3(b3 − a3)

21. Use el problema 19 para evaluar∫ 3

−1xdx

22. Use el problema 20 para evaluar∫ 3

−1x2dx

En los ejercicios 24 y 24, use el Teorema 1.8 para evaluar la integral definida dada.

23.

∫ 6

3

4dx

24.

∫ 5

−2

(−2)dx

En los ejercicios 25-38, use la definicion del Teorema 1.4 y los Teoremas 1.6,1.7 y 1.8 para evaluarla integral definida dada.Donde sea idoneo, use los resultados obtenidos en los ejercicios 21 y 22.

25.

∫ 4

−2

1

2dx

26.

∫ 5

5

10x4dx

27.

∫ 3

−1

10xdx

28.

∫ 3

−1

(3x+ 1)dx

29.

∫ 3

−1

(t2)dt

30.

∫ 3

−1

(3x2 − 5)dx


31.

∫ 3

−1

(−3x2 + 4x− 5)dx

32.

∫ 3

−1

6x(x− 1)dx

33.

∫ 0

−1

x2dx+

∫ 3

0

x2dx

34.

∫ 1.2

−1

2tdt+

∫ 3

1.2

2tdt

35.

∫ 4

0

xdx+

∫ 4

0

(9− x)dx

36.

∫ 0

−1

t2dt+

∫ 2

0

x2dx+

∫ 3

2

u2du

37.

∫ 3

0

x3dx+

∫ 3

0

t3dt

38.

∫ 1

−1

5xdx−∫ 3

1

(x− 4)dx

En los ejercicios 39-42, evalue la integral definida usando la informacion dada.

39.

∫ 5

2

f(x)dx si

∫ 2

0

f(x)dx = 6 y

∫ 5

0

f(x)dx = 8.5

40.

∫ 3

1

f(x)dx si

∫ 4

1

f(x)dx = 2.4 y

∫ 4

3

f(x)dx = −1.7

41.

∫ 2

−1

(2f(x) + g(x))dx si

∫ 2

−1

f(x)dx = 3.4 y

∫ 2

−1

3g(x)dx = 12.6

42.

∫ 2

−2

g(x)dx si

∫ 2

−2

f(x)dx = 14 y

∫ 2

−2

[f(x)− 5g(x)]dx = 24

Capıtulo 2

INTEGRAL INDEFINIDA YMETODOS DE INTEGRACION.

2.1. FUNCION PRIMITIVA.

Introduccion

El curso clasico de calculo diferencial aborda el problema basico:

Dada una funcion f(x) encontrar su derivadadf(x)

dx= f ′(x).

En esta seccion y en las subsecuentes se vera cuan importante es el problema de:

Dada una funcion f(x), encontrar una funcion F (x) cuya derivada sea f(x).

En otras palabras, para una funcion dada f(x) deseamos encontrar una funcion f(x) cuya derivada sea f(x); es decir, F ′(x) = f(x) para toda x en algun intervalo.Empezamos con una definicion.

Definicion 2.1

Primitivas (o antiderivadas)

Se dice que una funcion F (x) es la Primitiva o Antiderivada de una funcion f(x) sobre algunintervalo l si F ′(x) = f(x) para toda x en l.

Ejemplo 2.1

La Primitiva no es unica

Una primitiva o antiderivada de f(x) = 2x es F (x) = x2 , puesto que F ′(x) = 2x.

Una funcion siempre tiene mas de una antiderivada. Ası, en el ejemplo anterior F1(x) = x2 − 1 yF2(x) = x2 + 10 tambien son antiderivadas de f(x) = 2x , puesto que F ′1(x) = F ′2(x) = 2x.

A continuacion demostraremos que cualquier primitiva de f(x) debe ser de la forma G(X) = F (X) +C ;es decir, dos primitivas de la misma funcion pueden diferir a lo mas en una constante. Por tanto, F (X) + Ces la primitiva o antiderivada mas general de f(x)

31

CAPITULO 2: INTEGRAL INDEFINIDA Y METODOS DE INTEGRACION. 32

Teorema 2.1

Las Primitivas o Antiderivadas de una misma funcion, si son diferentes estas difieren por una constante.

G′(X) = F ′(X) para toda x en algun intervalo [a,b],entonces:

G(X) = F (X) + C

Para toda x en el intervalo.

La notacion F (X) + C representa una familia de funciones; cada miembro tiene una derivada igual af(x).Volviendo al Ejemplo 2.1, la antiderivada mas general de f(x) = 2x es la familia F (x) = x2 + C. Comose ve en la Figura 1, la grafica de la antiderivada f(x) = 2x es una traslacion vertical de la grafica de x2.

Figura 1. Algunos miembros de la familia de primitivas de f(x) = 2x

Ejemplo 2.2

Antiderivadas mas generales.

a) Una antiderivada de f(x) = 2x+ 5 es F (x) = x2 + 5x puesto que F ′(x) = 2x+ 5.La antiderivada mas general de f(x) = 2x+ 5 es F (x) = x2 + 5x+ C.

b) Una antiderivada de f(x) = sec2x es F (x) = tanx puesto que F ′(x) = sec2x.La antiderivada mas general de f(x) = sec2x es F (x) = tanx+ C.

Notacion de la primitiva o antiderivada.

Si F ′(X) = f(x), la Antiderivada o Integral Indefinida de f(x) respecto a x se representa por∫f(x)dx = F (x) + C

El sımbolo∫

fue introducido por Leibnitz y se denomina signo integral. La funcion f(x) se denomina elintegrando.

El proceso de encontrar una primitiva o antiderivada se denomina ANTIDIFERENCIACION o IN-TEGRACION. El numero C se denomina constante de integracion. De la misma manera como el sımbolodF (x)dx representa la operacion de diferenciacion, el sımbolo

∫f(x)dx representa la operacion de integracion

de f(x) con respecto x.

Se puede ver que la diferenciacion y la integracion son fundamentalmente operaciones inversas.

De acuerdo con lo anterior

33 2.1. FUNCION PRIMITIVA.

SidF (x)

dx= f(x) −→

∫f(x)dx = F (x)

Y para cualquier constante C de acuerdo con el Ejemplo 2.2.

dC

dx= 0 si

d[F (X) + C]

dx= f(x) entonces

∫f(x)dx = F (x) + c

Lo cual indica que la integral no es unica y por lo tanto si dos integrales de una misma funcion son diferentes,estas difieren por una constante (Teorema 2.1).

Veamos las integrales siguientes:

a) Comod

dx(x2 − 3x) = 2x− 3 −→

∫(2x− 3) = x2 − 3x

b) De la misma manerad

dx(x2 − 3x+ 5) = 2x− 3 −→

∫(2x− 3) = x2 − 3x+ 5

c) Y para cualquier Cd

dx(x2 − 3x+ C) = 2x− 3 −→

∫(2x− 3) = x2 − 3x+ C

Se pueden observar tres resultados diferentes de una misma integral. Por lo anterior es costumbre agregaruna constante C en cada integral como se muestra en las integrales siguientes:

1.

∫(2x+ 1)dx = x2 + x+ C

2.

∫cosx = senx+ C

Formulas Basicas de Integracion

1.

∫dx = u(x) + C

2.

∫au(x)dx = a

∫u(x)dx

3.

∫[u(x) + v(x)− w(x)]dx =

∫u(x)dx+

∫v(x)dx−

∫w(x)dx

4.

∫xndx =

xn+1

n+ 1+ C para n 6= 1

Donde a y C son constantes.

Todas las formulas anteriores son consecuencia directa de las propiedades de la derivada, pero en particularla Formula 4 surge de la derivada siguiente:

d

dx(xk) = kxk−1 la cual si le cambiamos forma de la manera siguiente

d

dx

(xn+1)

n+ 1= xn nos lleva a la integral 4∫

xndx =xn+1

n+ 1+ C donde n 6= 1

El uso correcto de estas formulas es esencial para el aprendizaje del calculo integral.


Ejemplo 2.3

Calcule las integrales siguientes.

1.

∫5x3dx = 5

∫x3dx = 5(

x3+1

3 + 1) + C =

5

4x4 + C

2.

∫(2x2 − x)dx = 2

∫(x2)dx−

∫xdx =

2

3x3 − 1

2x2 + C

3.

∫(2x− 3)2dx =

∫(4x2 − 12x+ 9)dx = 4

∫x2dx− 12

∫xdx+ 9

∫dx =

4

3x3 − 6x2 + 9x+ C

En ocasiones para utilizar la formula 4 es conveniente reescribir el integrando como se muestra en losejemplos siguientes:

Ejemplo 2.4

Calcular las siguientes integrales.

a)

∫1

x7dx y b)

∫3√xdx

a) Al volver a escribir1

x7como x−7 e identificar n = −7,por la formula 4, se tiene que∫

x−7dx =x−7+1

−7 + 1+ C = −x

−6

6+ C = − 1

6x6+ C

b) Primero se vuelve a escribir el radical 3√x como x1/3 y luego se usa la misma formula con n = 1

3 .∫x1/3dx =

x4/3

4/3=

3

4x4/3 + C

Debe tomarse en cuenta que los resultados de la integracion siempre pueden comprobarse por diferencia-cion; como se puede ver con el Ejemplo b) anterior:

d

dx(3

4x4/3 + C) =

4

3· 3

4x(4/3)−1 = x1/3 = 3

√x

Ejercicios seccion 2.1

Resuelva las siguientes integrales usando las formulas basicas:

1.

∫x4dx sol.

x5

5+ C

2.

∫x2/3dx sol.

3x5/3

5+ C

3.

∫dx3√x

sol.3x2/3

2+ C

4.

∫3ax2dx sol. ax3 + C

5.

∫2dx

x2sol. − 2

x+ C


6.

∫ √axdx sol.

2x√ax

3+ C

7.

∫dx√2x

sol.√

2x+ C

8.

∫3√

3xdx sol.(3x)4/3

4+ C

9.

∫(x3/2 − 2x2/3 + 5

√x− 3)dx sol.

2x5/2

5− 6x5/3

5+

10x3/2

3− 3x+ C

10.

∫4x2 − 2

√x

xdx sol. 2x2 − 4

√x+ C

11.

∫(x2

2+

2

x2)dx sol.

x3

6+

2

x+ C

12.

∫ √x(3x+ 2)dx sol.

6x5/2

5+

4x3/2

3+ C

13.

∫(√a−√x)2dx sol. ax− 4x

√ax

3+x2

2+ C

14.

∫ √x(√a−√x)2dx sol.

2ax3/2

3− x2

√a+

2x5/2

5+ C

15.

∫5a2x6dx sol.

5

7a2x7 + C

16.

∫(6x2 + 8x+ 3)dx sol. 2x3 + 4x2 + 3x+ C

17.

∫x(x+ a)(x+ b)dx sol.

x4

4+

(a+ b)x3

3+abx2

2+ C

18.

∫(a+ bx3)2dx sol. a2x+

abx4

2+b2x7

2+ C

19.

∫dxn√xdx sol.

nxn−1n

n− 1+ C

20.

∫(nx)

1−nn dx sol. n

√nx+ C

21.

∫(a2/3 − x2/3)3dx sol. a2x− 9

5a4/3x5/3 +

9

7a2/3x7/3 − x3

3+ C

22.

∫(√x+ 1)(x−

√x+ 1)dx sol.

2x2√x

5+ x+ C

23.

∫(x2 + 1)(x2 − 2)

3√x2

dx sol.3x4 3√x

13− 3x2 3

√x

7− 6 3√x+ C

24.

∫(xm − xn)2

√x

dx sol.2x2m

√x

4m+ 1− 4xm+n

√x

2m+ 2n+ 1+

2x2n√x

4n+ 1+ C

25.

∫(√a−√x)4

√ax

dx sol. 2x√ax− 4ax+ 4x

√ax− 2x2 +

2x3

5√ax

+ C


Ejercicios adicionales.

Resuelva las siguientes integrales.

1.

∫(x2 + 2)2

√x

dx

2.

∫(3x2 + 2x− 1)dx

3.

∫ √x(x2 − 2)dx

4.

∫(4x+ 1)2dx

5.

∫(4w − 1)3dw

6.

∫(x+ 1)2

√x

dx

7.

∫10w√wdw

8.

∫(2√t− t− 9

t2)dt

9.

∫(

53√s2

+2

3√s3

)ds

10.

∫(√x− 1)2dx

11.

∫(5u− 1)(5u3 + 2)du

12.

∫x−1 − x−2 + x−3

x3dx


Formulas de Integracion

Recordando el hecho de que la derivada y la integral son operaciones inversas, por cada formula de Deri-vada, tenemos una formula de Integral, de esta manera podemos construir la tabla siguiente:

Tabla 1


Se puede observar el uso de las FORMULAS BASICAS y la Tabla 1 en el calculo de las integralessiguientes

Ejemplo 2.5


∫(4x− 2

x+ 5senx)dx

Usando las formulas basicas∫(4x− 2

x+ 5senx)dx = 4

∫xdx− 2

∫1

x+ 5

∫senxdx

Observando la Tabla 1, se obtienen los resultados siguientes:∫(4x− 2

x+ 5senx)dx = 4 · x

2

2+ c1 − 2 · ln|x|+ c2 + 5 · (−cosx) + c3

= 2x2 − 2ln|x| − 5cosx+ C

Donde c1 ± c2 ± c3 se ha sustituido por la simple constante C, no hay razon para usar 3 constantes deintegracion.

Ejemplo 2.6

Calcule la integral∫(√x+ 1)2dx =

∫(x+ 2

√x+ 1)dx =

∫xdx+ 2

∫ √x+

∫dx

Por lo tanto

∫(√x+ 1)2dx =

x2

2+

4

3x3/2 + x+ C


Ejemplo 2.7

Resuelva la integral siguiente∫(4ex + cosx)dx = 4

∫exdx+

∫cosxdx = 4ex + senx+ C

Ejemplo 2.8

Resuelva la integral a continuacion∫x2

x2 + 1dx =

∫x2 + 1− 1

x2 + 1dx =

∫(1− 1

x2 + 1)dx =

∫dx−

∫1

x2 + 1dx

= x− arctanx+ C

En este ejemplo se puede ver la ventaja de sumar y restar una misma cantidad con la finalidad desimplificar el integrando.

Ejercicios de la seccion 2.1.1

En los ejercicios siguientes, usando la Tabla 1, evalue las integrales indefinidas.

1.

∫(4 sinx− 1 + 8x−5)dx

2.

∫(−3 cosx+ 4 sec2 x)dx

3.

∫cscx(cscx− cotx)dx

4.

∫sin t

cos2 tdt

5.

∫2 + 3sin2x

sin2 xdx

6.

∫(40− 2

sec θ)dθ

7.

∫(8x+ 1− ex)dx

8.

∫(15x−1 − 4 sinhx)dx

9.

∫2x3 − x2 + 2x+ 4

1 + x2dx

10.

∫x6

1 + x2dx

11.

∫2x2

x√x2 − 1

dx

12.

∫ax+1

3dx

13.

∫(2 coshx− 3 sec2 x)dx


Nota Importante

A menudo, se dificulta mas calcular antiderivadas que derivadas. Dos palabras de advertencia. Primero,debe tenerse mucho cuidado con el procedimiento algebraico, especialmente con las leyes de los exponentes.La segunda advertencia ya se ha planteado, aunque vale la pena repetirla: tener en cuenta que los resultadosde la integracion indefinida siempre pueden comprobarse. Al resolver integrales (sobre todo si se va iniciando)vale la pena que se dedique unos minutos para comprobar la respuesta por medio de la derivada. A vecesesto puede hacerse mentalmente. Por ejemplo:

En los ejercicios a continuacion, use diferenciacion y la regla de la cadena para comprobar el resultado deintegracion dado.

1.

∫1√

2x+ 1dx =

√2x+ 1 + C

2.

∫(2x2 − 4x)9(x− 1)dx =

1

40(2x2 − 4x)10 + C

3.

∫cos 4xdx =

1

4sin 4x+ C

4.

∫sinx cosxdx =

1

2sin2 x+ C

5.

∫cosx

sin3 xdx = − 1

2 sin2 x+ C

6.

∫lnxdx = x lnx− x+ C

7.

∫xex = xex − ex + C

2.2. LA INTEGRAL INDEFINIDA.Definicion 2.2

Si F(x) es una funcion primitiva de f(x), la expresion F(x)+C se llama integral indefinida de la funcionf(x) y se designa mediante el sımbolo

∫f(x)dx. Es decir:∫f(x)dx = F (x) + C

De acuerdo con la definicion anterior

Sid

dx(F (x) + C) = f(x) entonces

∫f(x)dx = F (x) + C

41 2.2. LA INTEGRAL INDEFINIDA.

Esto indica que la derivada de la integral nos regresa al integrando, siendo esto una forma de comprobarsi una integral es correcta o no.Pero ademas nos indica que los sımbolos Integral

∫y diferencial dx indican operaciones inversas y juntas

elıminan la accion del operador, como se ve a continuacion:Sabemos que

∫f(x)dx = F (x) + C

Por otro lado sid

dx(F (x) + C) = f(x)

Entonces d(F (x) + C) = f(x)dx

O bien f(x)dx = d(F (x) + C)

Entonces∫f(x)dx =

∫d(F (x) + C) = F (x) + C

Que puede ocurrir solamente si la integral y la diferencial se toman como inversas.

Es decir∫du = u en general

∫du = u+ C

Lo anterior permite generalizar el concepto por medio de la diferencial, como se observa en los ejemplossiguientes:Para ello sea u = u(x) una funcion continua

Ejemplo 2.9

Deduccion de la formula de integracion de f(x) = cosu

Si

∫d(sinu) = sinu −→

∫d(sinu) =

∫cosudu

Entonces sinu =

∫cosudu o bien

∫cosudu = sinu

En general

∫cosudu = sinu+ C

Recordando que la integral no es unica y debemos agregar la constante de integracion.

Ejemplo 2.10

Deduccion de la formula de integracion de f(x) = sec2 u

Si d(tanu) = sec2 udu entonces

∫sec2 udu = tanu+ C

De la misma manera que en los ejemplos anteriores

Ejemplo 2.11

Deduccion de la formula de integracion de f(x) = um

Si d(um+1

m+ 1) = umdu entonces

∫umdu =

um+1

m+ 1+ C

De acuerdo con lo anterior se pueden generalizar las formulas de integracion para cualquier funcion con-tinua u=u(x)

Mismas que podemos comprobar derivando la integral.


Tabla de Integrales (Tabla 2)

1.-

∫du = u+ C 19.-

∫1

a2 + u2=

1

aarctan

u

a+ C

2.-

∫(u+ v − w)dx =

∫udx+

∫vdx−

∫wdx+ C 20.-

∫1

u√u2 − a2

du =1

aarc sec |u

a|+ C

3-

∫(au)du = a

∫udx+ C 21.-

∫du

a2 − u2=

1

2aln |a+ u

a− u|+ C, a 6= 0

4.-

∫undu =

un+1

n+ 1+ C (n 6= 1) 22.-

∫du

u2 − a2=

1

2aln |u− a

u+ a|+ C, a 6= 0

5.-

∫du

u= ln |u|+ C 23.-

∫du√u2 ± a2

= ln |u+√u2 ± a2|+ C

6.-

∫audu =

au

ln a+ C 24.-

∫ √a2 − u2du =

u

2

√a2 − u2 +

a2

2arcsin

u

a+ C

7.-

∫eudu = eu + C 25.-

∫ √u2 ± a2du =

u

2

√u2 ± a2 ± a2

2ln |u+

√u2 ± a2|+ C

8.-

∫sinudu = − cosu+ C 26.-

∫coshudu = sinhu+ C

9.-

∫cosudu = sinu+ C 27.-

∫sinhudu = coshu+ C

10.-

∫tanudu = ln | secu|+ C = − ln | cosu|+ C 28.-

∫tanhudu = ln(coshu) + C

11.-

∫cotudu = ln | sinu|+ C = − ln | cscu|+ C 29.-

∫cothudu = ln(sinhu) + C

12.-

∫secudu = ln | secu+ tanu|+ C 30.-

∫sech udu = tan−1(sinhu) + C

13.-

∫cscudu = ln | cscu− cotu|+ C 31.-

∫csch udu = ln | tanh

1

2u|+ C

14.-

∫sec2 udu = tanu+ C 32.-

∫sech2udu = tanhu+ C

15.-

∫csc2 udu = − cotu+ C 33.-

∫csch2udu = − cothu+ C

16.-

∫secu tanudu = secu+ C 34.-

∫sechu · tanhudu = −sechu+ C

17.-

∫cscu cotudu = − cscu+ C 35.-

∫cschu · cothudu = − csc hu+ C

18.-

∫1√

a2 − u2du = arcsin

u

a+ C

2.2.1. Calculo de integrales indefinidas

Uso de la tabla 2 de integracion

En la Seccion 2.1.1, usando las formulas basicas y la Tabla 1 se da inicio al proceso de integracion. Sinembargo cuando el integrando es una funcion u=u(x) ya no se pueden utilizar dichas formulas, en este caso


se debe acudir a la Tabla 2 y para ello es conveniente hacer un cambio de variable, como se muestra en lasiguiente integral.∫

f(u)R(u)du

Es conveniente hacer el cambio

u(x) = ϕ(x) de forma que R(u)du = ϕ′(x)dx∫f(u)R(u)du =

∫f(ϕ(x))ϕ′(x)dx

Integracion por sustitucion u

En la Tabla 2, se observa que u=u(x) representa una funcion de x. Como se muestra en el siguienteejemplo:

Ejemplo 2.12

Sea u=u(x) dada por las funciones siguientes:

a) u = x2 − 5x+ 2

b) u = x+ sinx

Ası para poder usar la Tabla 2. Es conveniente realizar un cambio de variable que permita relacionar laintegral a realizar con su formula correspondiente en la Tabla 2, este cambio de variable se llama sustitu-cion u.

La sustitucion u consiste en realizar un cambio de variable que permita modificar la forma original dela funcion la cual se puede hacer de varias formas diferentes como se muestra a continuacion:

Ejemplo 2.13

Ejemplo 2. En la siguiente funcion seleccione una parte como u=u(x), de una forma adecuada.

a) Caso 1

Sea la funcion f(x) =4

(x2 + 1)3/2

Haciendo la sustitucion u = x2 + 1

f(x) se transforma en f(u) =4

u3/2

b) Caso 2


(x2 + 1)3/2

Haciendo la sustitucion u = (x2 + 1)3

f(x) se transforma en f(u) =4√u

c) Caso 3



(x2 + 1)3/2

Haciendo la sustitucion u = (x2 + 1)1/2

f(x) se transforma en f(u) =4

u3

Podemos darnos cuenta que en cada problema es posible seleccionar u=u(x) de diversas formas.

Integracion por medio de la Sustitucion u

Podemos calcular las integrales de funciones racionales de la forma

I =

∫R(x)Q(x)dx (1)

Convirtiendo la funcion R(x) en R(u) con una seleccion adecuada de u = u(x) de forma que du = Q(x)dx.

De esta forma la Integral (1) se transforma de la forma siguiente:

I =

∫R(x)Q(x)dx = I =

∫R(u)du

La cual en una gran cantidad de casos, se puede identificar con alguna formula de la Tabla 2. Despues deaplicar la formula correspondiente, se regresa a la variable original sustituyendo u.

Ejemplo 2.14

Calcule la siguiente integral:

Sea I =

∫(x+ 3)3dx (1)

Se puede ver en la Tabla 2 que no se tiene una formula directa que permita el calculo de la integral. Sinembargo haciendo u = x+3 y du = dx , la integral (1) puede ser reescrita de la siguiente manera:∫u3du =

u4

4+ C

Y regresando a la variable inicial,tenemos el resultado

I =(x+ 3)4

4+ C

Teorema 2.2

Regla de la sustitucion u

Si u=g(x) es una funcion diferenciable en un intervalo I, f(x) es una funcion continua sobre el mismointervalo I y F(x) una antiderivada de f(x) sobre I, entonces∫

f(g(x))g′(x)dx =

∫f(u)du

Guia para realizar una sustitucion u


En la integral∫f(g(x))g′(x)dx se identificaran las funciones g(x) y g′(x)dx.

Expresar la integral totalmente en terminos del sımbolo u al sustituir u y du por g(x) y g′(x)dxrespectivamente.

Efectuar la integracion con respecto a la variable u.

Finalmente, volver a sustituir u por el sımbolo g(x).

Ejemplo 2.15

Calcule la Integral∫x

(4x2 + 3)6dx

La integral vuelve a escribirse como:∫(4x2 + 3)−6dx

Y haciendo la sustitucion

u = 4x2 + 3 du = 8xdx

Luego, para obtener la forma precisa∫u−6du es necesario ajustar el integrando al multiplicar y dividir

entre 8 (completar la diferencial):∫(4x2 + 3)−6dx =

1

8

∫ {u−6}(4x2 + 3)−6(8xdx)

=1

8

∫u−6du←− ahora usar (4)

=1

8· u−5

−5+ C

Pero u = 4x2 + 3 y haciendo la sustitucion∫(4x2 + 3)−6dx = − 1

40(4x2 + 3)−5 + C

Comprobacion por diferenciacion (por la regla de potencias para funciones)

d

dx[− 1

40(4x2 + 3)−5 + C] = (− 1

40)(−5)(4x2 + 3)−6(8x) =

x

(4x2 + 3)6

Ejemplo 2.16

Calcule la Integral∫(2x− 5)11dx

Haciendo u = 2x − 5 , entonces du = dx. La integral se ajusta al multiplicar y dividir entre 2(completar la diferencial) para obtener la forma correcta de la diferencial du:∫

(2x− 5)11dx =1

2

∫ {u11}(2x− 5)11du←−sustitucion


=1

2

∫u11du←− Ahora usar (4)

=1

2· u

12

12+ C

Pero u = 2x− 5,

1

24(2x− 5)12 + C ←− Otra sustitucion

En los ejemplos 4 y 5, el integrando se “arreglo” o “ajusto” al multiplicar y dividir por una constante a finde obtener la du idonea, este procedimiento le llamamos “completar la diferencial”. Este procedimientofunciona bien si de inmediato se reconoce g(x) en

∫f(g(x))g′(x)dx y que a g′(x)dx simplemente le falta un

multiplo constante idoneo.

Es importante mencionar que cuando se completa la diferencial, la integral no se altera porque se estamultiplicando por la unidad ya que cualquier numero entre si es igual a la unidad y las constantes se puedensacar fuera del signo integral, no ası las variables porque se altera la integral.

Lo anterior se ilustra en el ejemplo siguiente, con procedimiento comun, pero incorrecto.

Ejemplo 2.17

Evaluar una integral∫(4 + x2)1/2dx

Haciendo u = 4 + x2 −→ du = 2xdx

Por error en ocasiones se hace lo siguiente∫(4 + x2)1/2dx =

∫(4 + x2)1/2 2x

2xdx

En este momento el integrando se ha alterado, llevando al resultado

=1

2x

∫(4 + x2)1/22xdx

=1

2x

∫u1/2du =

1

2x· 2

3(4 + x2)1/2 + C

Se debe comprobar que la diferenciacion de la ultima funcion no produce (4 + x2)1/2

El error esta en la primera lınea de la ”solucion”. Las variables, en este caso 2x, no pueden sacarse delsımbolo de la integral. Si u = x2 + 4 , entonces al integrando le falta la funcion du = 2xdx; de hecho, nohay ninguna forma de arreglar el problema para adecuarse a la formula 4 dada en la Tabla 2. Con las”herramientas con que contamos en este momento, simplemente no es posible evaluar la integral∫

(4 + x2)1/2dx

Ejercicios de la Seccion 2.2.1

En los ejercicios 1-20, evalue la integral indefinida dada usando una sustitucion u adecuada.


1.

∫ √1− 7xdx

2.

∫(8x+ 2)1/3dx

3.

∫1

(3x+ 1)3dx

4.

∫(4− 7x)49dx

5.

∫x√x2 − 5dx

6.

∫t

3√t2 + 9

dt

7.

∫sin5 3x cos 3xdx

8.

∫sin θcos4θdθ

9.

∫tan2 2x sec2 2xdx

10.

∫ √tanx sec2 2xdx

11.

∫sin 4xdx

12.

∫5 cos

x

2dx

13.

∫(√

2t− cos 6t)dt

14.

∫sin(2− 3x)dx

15.

∫x sinx2dx

16.

∫cos(1/x)

x2dx

17.

∫x2 sec2 x3dx

18.

∫csc2(0.1x)dx

19.

∫csc√x cot

√x√

xdx

20.

∫tan 5v sec 5vdv


Notas adicionales sobre la Sustitucion u

En los ejemplos siguientes se continua con la sustitucion u, pero es conveniente que el lector haga elcambio de manera mental, con la finalidad de hacer el proceso con mayor rapidez. En este punto y de aquıen adelante es requisito necesario conocer o saber calcular la diferencial de cualquier funcion.

Ejemplo 2.18

Evaluar la siguiente integral

I =

∫(arctanx)2

1 + x2dx

A primera vista la integral dada no se ve como ninguna de las formulas en la tabla 2 pero si se hacela sustitucion:

u = arctanx entonces du =1

1 + x2dx

Por lo tanto

∫(arctanx)2

1 + x2dx =

∫(arctanx)2 1

1 + x2dx

=

∫u2du

I =u3

3+ C =

1

3(arctanx)3 + C

Ejemplo 2.19


I =

∫sec2(1− 4x)dx

Se reconoce que la integral tiene la forma de la formula 14 de la tabla 2.

Si hacemos:

u = 1− 4x entonces du = −4dx

Por lo tanto

∫sec2(1− 4x)dx = −1

4

∫sec2(1− 4x)(−4dx)

= −1

4

∫sec2 udu ←− Formula 14

= −1

4tanu+ C

Pero u = 1− 4x, entonces

I = −1

4tan(1− 4x) + C


Ejemplo 2.20


I =

∫x2

x3 + 5dx

Haciendo

u = x3 + 5 entonces du = 3x2dx∫x2

x3 + 5dx =

1

3

∫x2

x3 + 5(3dx)

=1

3

∫1

udu ←− Formula 5

=1

3ln |u|+ C

Pero u = x3 + 5, entonces

I =1

3ln |x3 + 5|+ C

Ejemplo 2.21


I =

∫1

1 + e−2xdx

La integral dada no se ve como ninguna de las formulas de integracion en la tabla de integracion, noobstante, si el numerador y el denominador se multiplica por e2x, se obtiene:∫

1

1 + e−2xdx =

∫e2x

e2x + 1dx

Si u = e2x + 1 entonces du = 2e2xdx , de modo que por la formula 5 de la tabla 2.∫1

1 + e−2xdx =

1

2

∫e2x

e2x + 1(2dx) =

1

2

∫1

udu

I =1

2ln |u|+ C =

1

3ln(e2x + 1) + C

Se observa que el sımbolo de valor absoluto puede eliminarse porque e2x + 1 > 0 para todos los valoresde x.

Ejemplo 2.22


I =

∫e5xdx

Sean u = 5x entonces du = 5dx∫e5xdx =

1

5

∫e5x(5dx) =

1

4

∫eudu ←− Formula 7


=1

5eu + C =

1

5e5x + C

Ejemplo 2.23

Resolver la siguiente integral

I =

∫e4/x

x2dx

u =4

xentonces du =

−4

x2dx

De nuevo a partir de la formula 7 de la tabla 2 se puede ver que:∫e4/x

x2dx = −1

4

∫e

4x−4

x2dx = −1

4

∫eudu ←− Formula 7

= −1

4eu + C = −1

4e

4x + C

Ejemplo 2.24


I =

∫1√

100− x2dx

Reescribimos la integral:∫1√

102 − x2dx

Observamos la formula numero 18:

18.-

∫1√


u

a+ C

u = x du = dx a = 10

I =

∫1√

102 − x2dx = arcsin

u

a+ C = arcsin

x

10+ C

Ejemplo 2.25


I =

∫tanxdx∫

tanxdx =

∫sinx

cosxdx

Haciendo u = cosx entonces du = − sinxdx, de modo que∫tanxdx =

∫sinx

cosxdx = −

∫1

cosx(− sinxdx) = −

∫1

udu

I = − ln |u|+ C = − ln | cosx|+ C


Ejercicios Seccion 2(Tabla 2)

Calcular las siguientes integrales, empleando para ello las formulas de integracion.

Integrales de Funciones Algebraicas de la forma:

∫undu =

un+1

n+ 1+ C

1.

∫ √a+ bxdx sol.

2(a+ bx)3/2

3b+ C

2.

∫dx√a− bx

sol. −2√a− bxb

+ C

3.

∫(a+ bx)2dx sol.

(a+ bx)3

3b+ C

4.

∫x(2 + x2)2dx sol.

(2 + x2)3

6+ C

5.

∫x(a− bx2)dx sol. − (a− bx2)3

6+ C

6.

∫x√

2x2 + 3dx sol.(2x3 + 3)3/2

6+ C

7.

∫x(2x+ 1)2dx sol. x4 +

4x3

3+x2

2+ C

8.

∫4x2

√x3 + 8

dx sol.8√x3 + 8

3+ C

9.

∫6x

(5− 3x2)2dx sol.

1

5− 3x2+ C

10.

∫(√a+

√v)2

√v

dv sol. −2(√a−√v)3

3+ C

11.

∫x3

√a4 + x4

dx sol.

√a4 + x4

2+ C

12.

∫dx

(a+ bx)3sol. − 1

2b(a+ bx)2+ C

13.

∫xdx

(a+ bx2)3sol. − 1

4b(a+ bx2)2+ C

14.

∫x2dx

(a+ bx3)2sol. − 1

3b(a+ bx3)+ C

15.

∫x(a+ bx3)2dx sol.

a2x2

2+

2abx5

5+b2x8

8+ C

16.

∫xn−1

√+bxndx sol.

2(a+ bxn)3/2

3nb+ C


17.

∫2x+ 3√x2 + 3x

dx sol. 2√x2 + 3x+ C

18.

∫x2 + 1√x3 + 3x

dx sol.2√x2 + 3x

3+ C

19.

∫2 + lnx

xdx sol.

(2 + lnx)2

2+ C

20.

∫sin2 x cosxdx sol.

sin3 x

3+ C

21.

∫sin ax cos axdx sol.

sin2 ax

2a+ C

22.

∫sin 2x cos2 2xdx sol. −cos3 2x

6+ C

23.

∫tan

v

2sec

v

2dv sol. tan2 v

2+ C

24.

∫cos ax√b+ sin ax

dx sol.2√b+ sin ax

a+ C

25.

∫(

secx

1 + tanx)2dx sol. − 1

1 + tanx+ C

26.

∫ √arcsin v

1− v2dx sol.

2

3

√arcsin3 v + C

27.

∫ arctanx

24 + x2

dx sol.(arctan

x

2)2

4+ C

28.

∫x−√

arctan 2x

1 + 4x2dx sol.

1

8ln(1 + 4x2)−

√(arctan 2x)3

3+ C

29.

∫dx√

(1 + x2) ln(√

1 + x2)sol. 2

√ln(x+

√1 + x2) + C

30.

∫b√

1− xdx sol. −2b

√1− x+ C

31.

∫ √a− bxdx sol. − 2

3b

√(a− bx)3 + C

32.

∫x√

x2 + 1dx sol..

√x2 + 1 + C

33.

∫ √x+ lnx

xdx sol. 2

√x+

ln2 x

2+ C

34.

∫cos ax

sin5 axdx sol. − 1

4a sin4 ax+ C

35.

∫sinx cosx√√cos2 x− sin2 x

dx sol. −1

2

√cos 2x+ C

36.

∫ √1 + 3 cos2 x sin 2xdx sol.. −2

9

√(1 + 3 cos2 x)3 + C


37.

∫tan3 x

3sec2 x

3dx sol.

3

4tan4 x

3+ C

38.

∫ √tanx

cos2 xdx sol.

2

3

√tan3 x+ C

39.

∫cot3 x

sin2 xdx sol. −

3 cot5x

35

+ C

Integrales de Funciones Logarıtmicas de la forma:∫du

u= ln |u|+ C

1.

∫dx

2 + 3xsol.

ln(2 + 3x)

3+ C

2.

∫x2dx

2 + x3sol.

ln(2 + x3)

3+ C

3.

∫xdx

a+ bx2sol.

ln(a+ bx2)

2b+ C

4.

∫(2x+ 3)dx

x2 + 3xsol. ln(x3 + 3x) + C

5.

∫(x+ 2)dx

x2 + 4xsol.

ln(x2 + 4x)

2+ C

6.

∫exdx

a+ be8sol.

ln(a+ bex)

b+ C

7.

∫sinxdx

1− cosxx sol. ln(1− cosx) + C

8.

∫sec2 xdx

a+ b tanxsol.

1

bln(a+ b tanx) + C

9.

∫2x+ 3

(x+ 2dx sol. 2x− ln(x+ 2) + C

10.

∫(v2 + 2)

v + 1dv sol.

v2

2− v + 3 ln(v + 1) + C

11.

∫(v + 4)dv

2v + 3dx sol.

v

2+

5 ln(2v + 3)

4+ C

12.

∫e2vdv

e2v + 1sol.

1

2ln(e2v + 1) + C

13.

∫aev + b

aev − 1dv sol. 2 ln(aev − b)− v + C

14.

∫(a+

b

x− a)2dx sol. a2x+ 2ab ln |x− a| − b2

x− a+ C

15.

∫xdx

(x+ 1)2sol. ln |x+ 1|+ 1

x+ 1+ C


16.

∫xdx

x2 − 5sol.

1

2ln |x2 − 5|+ C

17.

∫xdx

2x2 + 3sol.

1

4ln(2x2 + 3) + C

18.

∫csc2 3x

b− a cot 3xdx sol.

1

3aln |b− a cot 3x|+ C

Integrales de Funciones Exponenciales de la forma:

a)

∫eudu = eu + C

b)

∫audu =

au

ln a+ C

1.

∫ae−mxdx sol.

a

me−mx + C

2.

∫42−3xdx sol. − 1

3 ln 442−3x + C

3.

∫(ex − e−x)dx sol. ex + e−x + C

4.

∫(e

xa + e

−xa )dx sol.

a

2e

2x

a + 2x− a

2e

−2x

a + C

5.

∫(av − bv)2

avbvdv sol.

1

ln a− ln b(av

bv− bv

av) + C

6.

∫a2x − 1√

axdx sol.

2

ln a( 1

3a

3

2x

+ a12x) + C

7.

∫e−(x2+1)xdx sol. − 1

2e(x2+1)+ C

8.

∫x7x

2

dx sol.1

2 ln 77x

2

+ C

9.

∫e

1

x

x2dx sol. −e

1

x + C

10.

∫5√x dx√

xsol.

2

ln 55√x + C

11.

∫3xexdx sol.

(3e)x

ln 3 + 1+ C


Integrales de Funciones Trigonometricas de la forma:

a)

∫sinudu = − cosu+ C b)

∫cosudu = sinu+ C

c)

∫tanudu = ln | secu|+ C = − ln | cosu|+ C d)

∫cotudu = ln | sinu|+ C = − ln | cscu|+ C

e)

∫secudu = ln | secu+ tanu|+ C f)

∫cscudu = ln | cscu− cotu|+ C

g)

∫sec2 udu = tanu+ C h)

∫csc2 udu = − cotu+ C

i)

∫secu tanudu = secu+ C j)

∫cscu cotudu = − cscu+ C

1.

∫sin(a+ bx)dx sol. −1

bcos(a+ bx) + C

2.

∫cos(

x√2

)dx sol. 2 sinx√2

+ C

3.

∫(cos ax+ sin ax)2dx sol. x− 1

2acos 2ax+ C

4.

∫cos√x√

xdx sol. 2 sin

√x+ C

5.

∫sin(log x)

dx

xsol. − ln 10 cos(log x) + C

6.

∫sin2 xdx sol.

x

2− sin 2x

4+ C

7.

∫cos2 xdx sol.

x

2+

sin 2x

4+ C

8.

∫sec2(ax+ b)dx sol.

1

atan(ax+ b) + C

9.

∫cot2 axdx sol. −cot ax

a− x+ C

10.

∫dx

sinx

a

dx sol. a ln | tanx

2a|+ C

11.

∫dx

3 cos(5x− π

4)

sol.1

15ln | tan(

5x

2+π

8)|+ C

12.

∫dx

sin(ax+ b)sol.

1

aln | tan

ax+ b

2|+ C

13.

∫xdx

cos2 x2sol.

1

2tanx2 + C

14.

∫x sin(1− x2)dx sol.

1

2cos(1− x2) + C


2.

∫dx

x2 − 10sol.

1

2√

10ln |x−

√10

x+√

10|+ C

3.

∫dx√

4 + x2sol. ln(x+

√4 + x2) + C

4.

∫dx√

8− x2sol. arcsin

x

2√

2+ C

5.

∫ √2 + x2 −

√2− x2

√4− x4

dx sol. arcsinx√2− ln(x+

√x2 + 2) + C

6.

∫dx

3x2 + 5sol.

1√15

arctan(x

√3

5) + C

7.

∫dx

7x2 − 8sol.

1

4√

14ln |x√

7− 2√

2

x√

7 + 2√

2|+ C

8.

∫dx

(a+ b)− (a− b)x2sol.

1

2√a2 − b2

ln |√a+ b+ x

√a− b√

a+ b− x√a− b

|+ C

9.

∫dx√

7− 5x2sol.

1√5

arcsin(x

√5

7) + C

10.

∫xdx√a4 − x4

sol.1

2arcsin

x2

a2+ C

11.

∫x2

1 + x6dx sol.

1

3arctanx3 + C

12.

∫x2dx√x6 − 1

sol.1

3ln |x3 +

√x6 − 1|+ C

Integrales de Funciones Hiperbolicas de la forma:

a)

∫coshudu = sinhu+ C b)

∫sinhudu = coshu+ C

c)

∫tanhudu = ln(coshu) + C d)

∫cothudu = ln(sinhu) + C

e)

∫sech udu = tan−1(sinhu) + C f)

∫csch udu = ln | tanh

1

2u|+ C

g)

∫sech2udu = tanhu+ C h)

∫csch2udu = − cothu+ C

i)

∫sechu · tanhudu = −sechu+ C i)

∫cschu · cothudu = − csc hu+ C

1.

∫tanh2 xdx sol. x− tanhx+ C

2.

∫cot2 vdv sol. − cot v − v + C


3.

∫coth2 vdv sol. v − coth v + C

4.

∫(2 sinh 5v − 3 cosh 5v)dv sol.

2

5cosh 5v − 3

5sinh 5v + C

5.

∫sinh2 vdv sol. −v

2+

1

4sinh 2v + C

6.

∫dv

sinh vsol. ln | tanh

v

2|+ C

7.

∫dv

cosh vsol. 2 arctan ev + C

8.

∫dv

cosh v sinh vsol. ln | tanh v|+ C

9.

∫tanh dv sol. ln | cosh v|+ C

Ejercicios Complementarios

1.

∫x

5√

5− x2dx sol. − 5

125√

(5− x2)6 + C

2.

∫x3 − 1

x4 − 4x+ 1dx sol.

1

4ln |x4 − 4x+ 1|+ C

3.

∫x3

x8 + 5dx sol.

1

4√

5arctan

x4

√5

+ C

4.

∫xe−x

2

dx sol. −1

2e−x

2

+ C

5.

∫3−√

2 + 3x2

2 + 3x2dx sol.

√3

2arctan(x

3

2)− 1√

3ln(x√

3 +√

2 + 3x2) + C

6.

∫x3 − 1

x+ 1dx sol.

x3

3− x2

2+ x− 2 ln |x+ 1|+ C

7.

∫dx√ex

sol.−2√ex

+ C

8.

∫1− sinx

x+ cosxdx sol. ln |x+ cosx|+ C

9.

∫tan 3x− cot 3x

sin 3xdx sol.

1

3(ln | sec 3x+ tan 3x|+ 1

sin 3x) + C

10.

∫x sin(x2)dx sol. −1

2cos(x2) + C

11.

∫dx

x ln2 xsol. − 1

lnx+ C

12.

∫sec2 x√

tan2 x− 2dx sol. ln | tanx+

√tan2 x− 2|+ C


13.

∫(2 +

x

2x2 + 1)

dx

2x2 + 1sol.

√2 arctan /(x

√2)− 1

4(2x2 + 1)+ C

14.

∫asin x cosxdx sol.

asin x

ln a+ C

15.

∫x2

3√x3 + 1

dx sol.3√

(x3 + 1)2

2+ C

16.

∫x√

1− x4dx sol.

1

2arcsin(x2) + C

17.

∫tan2 axdx sol.

1

atan ax− x+ C

18.

∫sin2 x

2dx sol.

x

2− sinx

2+ C

19.

∫sec2 x√

4− tan2 xdx sol. arcsin

tanx

2+ C

20.

∫dx

cosx

a

sol. a ln | tan(x

2a+π

4)|+ C

21.

∫ 3√

1 + lnx

xdx sol.

3

43√

(1 + lnx)4 + C

22.

∫tan√x− 1

dx√x− 1

sol. −2 ln | cos√x− 1|+ C

23.

∫xdx

sin(x2)sol.

1

2ln | tan

x2

2|+ C

24.

∫earctan x + x ln(1 + x2) + 1

1 + x2dx sol. earctan x +

ln2(1 + x2)

4+ arctanx+ C

25.

∫sinx− cosx

sinx+ cosxdx sol. − ln | sinx+ cosx|+ C

26.

∫exdx√1− e2x

sol. arcsin ex + C

27.

∫ (1− sinx√2

)2

sinx√2

dx sol.√

2 ln | tanx

2√

2| − 2x−

√2 cos

x√2

+ C

28.

∫x2

x2 − 2dx sol. x+

1√2

ln |x−√

2

x+√

2|+ C

29.

∫(1 + x)2

x(1 + x2)dx sol. ln |x|+ 2 arctanx+ C

30.

∫esin2 x sin 2xdx sol. esin2 x + C

31.

∫5− 3x√4− 3x2

dx sol.5√3

arcsinx√

3

2+√

4− 3x2 + C


32.

∫dx

ex + 1sol. x− ln(1 + ex) + C

33.

∫dx

(a+ b) + (a− b)x2(0 < b < a) sol.

1√a2 − b2

arctanx

√a− ba+ b

+ C

34.

∫ex√e2x − 2

dx sol. ln(ex +√e2x − 2) + C

35.

∫dx

sin ax cos axsol.

1

aln | tan ax|+ C

36.

∫sin(

2πt

T+ γ0)dt sol. − T

2πcos(

2πt

T+ γ0) + C

37.

∫dx

x(4− ln2 x)sol.

1

4ln |2 + lnx

2− lnx|+ C

38.

∫ arc cosx

2√4− x2

dx sol. −(arc cos

x

2)2

2+ C

39.

∫e− tan x sec2 xdx sol. −e− tan x + C

40.

∫sinx cosx√2− sin4 x

dx sol.1

2arcsin(

sin2 x√2

) + C

41.

∫dx

sin2 x cos2 xsol. −2 cot 2x+ C

42.

∫arcsinx+ x√

1− x2dx sol.

(arcsinx)2

2−√

1− x2 + C

43.

∫secx tanx√sec2 x+ 1

dx sol. ln(secx+√

sec2 +1) + C

44.

∫cos 2x

4 + cos2 2xdx sol.

1

4√

5ln ln |

√5 + sin 2x√5− sin 2x

|+ C

45.

∫dx

1 + cos2 xsol.

1√2

arctan(tanx√

2) + C

46.

∫ √ln(x+

√x2 + 1)

1 + x2dx sol.

2

3

√[ln(x+

√1 + x2)]3 + C

47.

∫x2 cosh(x3 + 3)dx sol.

1

3sinh(x3 + 3) + C

48.

∫3tanh x

cosh2 xdx sol.

1

ln 33tanh x + C

49.

∫3x+ 6√

x2 − 4x+ 5dx sol. 3

√x2 − 4x+ 5 + C

50.

∫(ex − 2)ex

ex + 1dx sol. ex − 3 ln(ex + 1) + C

51.

∫(arcsinx)2

√1− x2

dx sol.(arcsinx)3

3+ C


52.

∫coth vdv sol. ln | sinh v|+ C

53.

∫ev

ev − 1dx sol. ln |ev − 1|+ C

54.

∫ex√a− bexdx sol. − 2

3b

√(a− bex)3 + C

55.

∫dx

2x + 3sol.

x

3− 1

3 ln 2ln(2x + 3) + C

56.

∫ax

1 + a2xdx sol.

1

ln aarctan(ax) + C

57.

∫e−bx

1− 2e−2bxdx sol. − 1

2bln |1 + e−bx

1− e−bx|+ C

2.2.2. Integracion de funciones racionales

Division de Polinomios

Las integrales de funciones racionales la forma

∫Pn(x)

Qm(x)dx

En donde Pn(x) y Qm(x) representan polinomios de grado n y m respectivamente, se pueden realizarefectuando la division de polinomios cuando n ≥ m,. Efectuando enseguida una simplificacion de acuerdocon la formula siguiente:

∫Pn(x)

Qm(x)dx = Cociente +

Residuo

Qm(x)

Ejemplo 2.26

Calcule la siguiente integral

I =

∫x2

1 + x2dx

Puesto que el grado del numerador del integrando es igual al grado del denominador, podemos efectuarla division de polinomios, dando como resultado:

x2

1 + x2= 1− 1

1 + x2

De acuerdo con la Tabla 1 se obtiene:∫x2

1 + x2dx =

∫(1− 1

1 + x2)dx = x− arctanx+ C


Ejercicios Seccion 2.2.2

Efectuado la Division correspondiente, calcule las siguientes integrales:

1.

∫2x+ 3

2x+ 1dx sol. x+ ln |2x+ 1|+ C

2.

∫1− 3x

3 + 2xdx sol. −3

2x+

11

4ln |3 + 2x|+ C

3.

∫x

a+ bxdx sol.

x

b− a

b2ln |a+ bx|+ C

4.

∫wx+ b

ax+ βdx sol.

w

ax+

ba− wβa2

ln |ax+ β|+ C

5.

∫x2 + 1

x− 1dx sol.

x2

2+ x+ 2 ln |x− 1|+ C

6.

∫x2 + 5x+ 7

x+ 3dx sol.

x2

2+ 2x+ ln |x+ 3|+ C

7.

∫x4 + x2 + 1

x− 1dx sol.

x4

4+x3

3+ x2 + 2x+ 3 ln |x− 1|+ C

8.

∫x2

x2 + 2dx sol. x−

√2 arctan

x√2

+ C

9.

∫x3

a2 − x2dx sol. −(

x2

2+a2

2ln |a2 − x2|) + C

10.

∫x2 − 5x+ 6

x2 + 4dx sol. x− 5

2ln(x2 + 4) + arctan

x

2+ C

En los problemas siguientes, es conveniente separar primero en dos integrales y posteriormente completar ladiferencial.

11.

∫2x− 5

3x2 − 2dx sol.

1

3ln |3x2 − 2| − 5

2√

6ln |x√

3−√

2

x√

3 +√

2|+ C

12.

∫3− 2x

5x2 + 7dx sol.

3√35

arctan(

√5

7x)− 1

5ln(5x2 + 7) + C

13.

∫3x+ 1√5x2 + 1

dx sol.3

5

√5x2 + 1 +

1√5

ln(x√

5 +√

5x2 + 1) + C

14.

∫x+ 3√x2 − 4

dx sol.√x2 − 4 + 3 ln |x+

√x2 − 4|+ C

15.

∫ax+ b

a2x2 + b2dx sol.

1

2aln(a2x2 + b2) +

1

aarctan

ax

b+ C

63 2.3. METODOS DE INTEGRACION.

2.3. METODOS DE INTEGRACION.

2.3.1. Integrales que contienen un trinomio cuadrado

Caso 1.- Para integrales del tipo:

I1 =

∫dx

ax2 + bx+ c

Previamente se transforma, a una suma o diferencia de cuadrados el trinomio del denominador,

ax2 + bx+ c = a[x2 +b

ax+

c

a] = a[x2 +

b

ax+ (

b

2a)2 − (

b

2a)2 +

c

a]

= a[(x+b

2a)2 + (

c

a− b2

4a2)] = a[(x+

b

2a)2 ± k2]

Donde esta asignado:

c

a− b2

4a2) = ±k2

El signo mas o menos se toma segun sea positiva o negativa la expresion del primer miembro, es decir, segunsean complejas o reales las raıces del trinomio ax2 + bx+ c. De este modo, la integral I1 toma la forma:

I1 =

∫dx

ax2 + bx+ c=

1

a

∫dx

(x+b

2a)2 ± k2

Se cambia la variable en la ultima integral:

x+b

2a= t, dx = dt

Se obtiene:

I1 =1

a

∫dt

t2 ± k2

Estas son las integrales que corresponden a las formulas 19, 21 y 22 de la Tabla 2.

Ejemplo 2.27

Calcular la integral

I =

∫dx

2x2 + 8x+ 20

I =

∫dx

2x2 + 8x+ 20=

1

2

∫dx

x2 + 4x+ 10=

1

2

∫dx

x2 + 4x+ 4 + 10− 4=

1

2

∫dx

(x+ 2)2 + 6

I =1

2

∫dx

(x+ 2)2 + 6

u = x+ 2 du = dx a =√

6

I =1

2

∫du

u2 + (√

6)2Formula 19

I =1

2

1√6

arctanu√6

+ C =1

2

1√6

arctanx+ 2√

6+ C


Caso 2.- Para integrales del tipo:

I2 =

∫Ax+B

ax2 + bx+ cdx

Se transforma el integrando en la forma siguiente:

I2 =

∫Ax+B

ax2 + bx+ cdx =

∫ A

2a(2ax+ b) + (B − Ab

2a)

ax2 + bx+ cdx

I2 =A

2a

∫2ax+ b

ax2 + bx+ cdx+ (B − Ab

2a)

∫dx

ax2 + bx+ c

La ultima es la integral I1 , que ya se sabe calcular. En la primera integral se realiza el cambio de variable:

ax2 + bx+ c = t, (2ax+ b)dx = dt

Por consiguiente, ∫2ax+ b

ax2 + bx+ cdx =

∫dt

t= ln |t|+ C = ln |ax2 + bx+ c|+ C

En definitiva obtenemos:

I2 =A

2aln |ax2 + bx+ c|+ (B − Ab

2a)I1

Ejemplo 2.28


I =

∫x+ 3

x2 − 2x− 5dx

Se aplica el procedimiento mencionado:

I =

∫x+ 3

x2 − 2x− 5dx =

∫ 1

2(2x− 2) + (3 +

1

22)

x2 − 2x− 5dx

=1

2

∫2x− 2

x2 − 2x− 5dx+ 4

∫dx

x2 − 2x− 5

=1

2ln |x2 − 2x− 5|+ 4

∫dx

(x− 1)2 − 6

I =1

2ln |x2 − 2x− 5|+ 4

1√6

ln |√

6− (x− 1)√6 + (x− 1)

|+ C


Caso 3.- Utilizando las transformaciones estudiadas y aplicadas en los ejemplos 2.27 y 2.28, podemos

llegar a resolver las integrales:

∫dx√

ax2 + bx+ cy

∫Ax+B√ax2 + bx+ c

dx que corresponden a la integral 23 de

la tabla 2.

Ejemplo 2.29


I =

∫5x+ 3√

x2 + 4x+ 10dx

I =

∫5x+ 3√

x2 + 4x+ 10dx =

∫ 5

2(2x+ 4) + (3− 10)√x2 + 4x+ 10

dx

I =5

2

∫2x+ 4√

x2 + 4x+ 10dx− 7

∫dx√

(x+ 2)2 + 6

I = 5√x2 + 4x+ 10− 7 ln |x+ 2 +

√x2 + 4x+ 10|+ C


INTEGRALES QUE CONTIENEN UN TRINOMIO CUADRADO.

Hallar las siguientes integrales, empleando para ello las formulas de integracion. Hacer transformacionesdonde sea necesario.

1.

∫dx

x2 + 2x+ 5sol.

1

2arctan

x+ 1

2+ C

2.

∫dx

x2 + 2xsol.

1

2ln | x

x+ 2|+ C

3.

∫dx

3x2 − x+ 1sol.

2√11

arctan6x− 1√

11+ C

4.

∫xdx

x2 − 7x+ 13sol.

1

2ln |x2 − 7x+ 13|+ 7√

3arctan

2x− 7√3

+ C

5.

∫3x− 2

x2 − 4x+ 5dx sol.

3

2ln |x2 − 4x+ 5|+ 4 arctan(x− 2) + C

6.

∫(x− 1)2

x2 + 3x+ 4dx sol. x− 5

2ln |x2 + 3x+ 4|+ 9√

7arctan

2x+ 3√7

+ C

7.

∫x2dx

x2 − 6x+ 10sol. x+ 3 ln |x2 − 6x+ 10|+ 8 arctan(x− 3) + C

8.

∫dx√

2 + 3x− 2x2sol.

1√2

arcsin4x− 3

5+ C

9.

∫dx√x− x2

sol. arcsin(2x− 1) + C


10.

∫dx√

x2 + px+ qsol. ln |x+

p

2+√x2 + px+ q|+ C

11.

∫2x− 8√

1− x− x2dx sol. −2

√1− x− x2 − 9 arcsin

2x+ 1√5

+ C

12.

∫ √x2 + 2x+ 5dx sol.

x+ 1

2

√x2 + 2x+ 5 + 2 ln |x+ 1 +

√x2 + 2x+ 5|+ C

13.

∫ √x− x2dx sol.

2x+ 1

4

√x− x2 +

1

8arcsin(2x− 1) + C

14.

∫ √2− x− x2dx sol.

2x+ 1

4

√2− x− x2 +

9

8arcsin

2x+ 1

3+ C

15.

∫xdx

x4 − 4x2 + 3sol.

1

4ln |x

2 − 3

x2 − 1|+ C

16.

∫cosx

sin2 x− 6 sinx+ 12dx sol. − 1√

3arctan

3− sinx√3

+ C

17.

∫ex√

1 + ex + e2xdx sol. ln(ex +

1

2+√

1 + ex + e2x) + C

18.

∫sinx√

cos2 x+ 4 cosx+ 1dx sol. − ln | cosx+ 2 +

√cos2 x+ 4 cosx+ 1|+ C

19.

∫lnx

x√

1− 4 lnx− ln2 xdx sol. −

√1− 4 lnx− ln2 x− 2 arcsin

2 + lnx√5

+ C

20.

∫dx√

x2 − x+ 1sol. ln |

√x2 − x+ 1 +

2x− 1

2|+ C

21.

∫dx√

6 + x− x2sol. arcsin

2x− 1

5+ C

2.3.2. Integracion por partes

Si u y v son dos funciones derivables en x, entonces como se sabe, la diferencial del producto uv es:

d(uv) = udv + vdu

De aquı, integrando, obtenemos:

uv =

∫udv +

∫vdu

o ∫udv = uv −

∫vdu (1)

Esta es la formula de integracion por partes. Esta formula se usa frecuentemente para integrar las expresionesque pueden ser representadas en forma de un producto de dos factores, u y dv, de tal manera que la busquedade la funcion v a partir de su diferencial dv, y el calculo de la integral

∫vdu, constituyan en conjunto un

problema mas simple que el calculo directo de la integral∫udv.

Para descomponer el elemento de integracion dado en dos factores u y dv se necesita cierta experienciaque se adquiere resolviendo ejercicios.


Cuando determinamos la funcion v a partir de su diferencial dv, se puede tomar cualquier constante ar-bitraria, puesto que esta no figura en el resultado final (lo que es facil verificar sustituyendo v en la igualdad(1) por la expresion v + C. Por eso es preferible elegir esta constante igual a cero.

Este metodo es aplicable para integrandos que contengan productos de funciones algebraicos o trascen-dentes.

No existen reglas para elegir u y dv, sin embargo puede servir como guıa escoger como dv , lo mas com-plicado y que sea factible de integrar y como u , la parte que al derivar, produzca una funcion mas simpleo igual que u. Esto se hace hasta que la segunda integral sea de menor grado de dificultad que la original, oalgunas veces, del mismo grado de dificultad que aquella.

El metodo de integracion por partes se utiliza en muchos casos. Ası, por ejemplo, las integrales del tipo:∫xn sin axdx,

∫xn cos axdx∫

xneaxdx,

∫xn lnxdx

Como tambien otras que contienen funciones trigonometricas inversas, se calculan, usando la integracionpor partes.

Ejemplo 2.30

Resolver la siguiente integral ∫lnx

(x+ 1)2dx

u = lnx du =dx

xdv = (x+ 1)−2dx v = − 1

x+ 1

Aplicando la ecuacion (1):

∫udv = uv −

∫vdu

I = lnx(− 1

x+ 1)−

∫(− 1

x+ 1)(dx

x) = − lnx

x+ 1+

∫dx

(x+1

2)2 + (

1

2)2

I = − lnx

x+ 1+

1

2(1

2)

ln |x+

1

2− 1

2

x+1

2+

1

2

|+ C = − lnx

x+ 1+ ln |x| − ln |x+ 1|+ C

I = ln |x|(1− 1

x+ 1)− ln |x+ 1|+ C =

x

x+ 1ln |x| − ln |x+ 1|+ C


INTEGRACION POR PARTES Calcular las siguientes integrales

1.

∫x sinxdx sol. sinx− x cosx+ C


2.

∫x sin

x

2dx sol. 4 sin

x

2− 2x cos

x

2+ C

3.

∫x cosnxdx sol.

cosnx

n2+x sinnx

nC

4.

∫v sin2 3vdv sol.

v2

4− v sin 6v

12− cos 6v

72+ C

5.

∫y2 sinnydy sol.

2 cosny

n3+

2y sinny

n2− y2 cosny

n+ C

6.

∫xaxdx sol. ax[

x

ln a− 1

ln2 a] + C

7.

∫arc cotxdx sol. x arc cotx+

1

2ln(1 + x2) + C

8.

∫arc csc

t

2dt sol. t arc csc

t

2+ 2 ln |t+

√t2 − 4|+ C

9.

∫lnxdx sol. x lnx− x+ C

10.

∫arctanxdx sol. x arctanx− 1

2ln(1 + x2) + C

11.

∫arcsinxdx sol. x arcsinx+

√1− x2 + C

12.

∫x cos 3xdx sol.

x sin 3x

3+

cos 3x

9+ C

13.

∫x

exdx sol. −x+ 1

ex+ C

14.

∫x2−xdx sol. −x ln 2 + 1

2x ln2 2+ C

15.

∫x2e3xdx sol.

e3x

27(9x2 − 6x+ 2) + C

16.

∫(x2 − 2x+ 5)e−xdx sol. −e−x(x2 + 5) + C

17.

∫x3e

−x3 dx sol. −3e

−x3 (x3 + 9x2 + 54x+ 162) + C

18.

∫x sinx cosxdx sol. −x cos 2x

4+

sin 2x

8+ C

19.

∫(x2 + 5x+ 6) cos 2xdx sol.

2x2 + 10x+ 11

4sin 2x+

2x+ 5

4cos 2x+ C

20.

∫x2 lnxdx sol.

x3

3ln−x

3

9x+ C

21.

∫ln2 xdx sol. x ln2 x− 2x lnx+ 2x+ C

22.

∫lnx

x3dx sol. − lnx

2x2− 1

4x2+ C


23.

∫lnx√xdx sol. 2

√x lnx− 4

√x+ C

24.

∫x arctanxdx sol.

x2 + 1

2arctanx− x

2+ C

25.

∫x arcsinxdx sol.

x2

2arcsinx− 1

4+x

4

√1− x2 + C

26.

∫ln |x+

√1 + x2|dx sol. x ln |x+

√1 + x2| −

√1 + x2 + C

27.

∫x

sin2 xdx sol. −x cotx+ ln | sinx|+ C

28.

∫x cosx

sin2 xdx sol. − x

sinx+ ln | tan

x

2|+ C

29.

∫ex sinxdx sol.

ex(sinx− cosx)

2+ C

30.

∫3x cosxdx sol.

3x(sinx+ cosx) ln 3

1 + (ln 3)2+ C

31.

∫eax sin bxdx sol.

eax(a sin bx− b cos bx)

a2 + b2+ C

32.

∫sin(lnx)dx sol.

x

2[sin(lnx)− cos(lnx)] + C

33.

∫x3e−x

2

dx sol. −e−x2

2(x2 + 1) + C

34.

∫x ln

1− x1 + x

dx sol.x2 − 1

2ln |1− x

1 + x| − x+ C

35.

∫ln2 x

x2dx sol. − ln2 x

x− 2 lnx

x− 2

x+ C

36.

∫ln(lnx)

xdx sol. [ln(lnx)− 1] lnx+ C

37.

∫x2 arctan 3xdx sol.

x3

3arctan 3x− x2

18+

1

162ln(92 + 1) + C

38.

∫x(arctanx)2dx sol.

1 + x2

2(arctanx)2 − x arctanx+

1

2ln(1 + x2) + C

39.

∫sin2 x

exdx sol.

e−x

2(cos 2x− 2 sin 2x

5− 1) + C

40.

∫cos2(lnx)dx sol.

x

2+x cos(2 lnx) + 2x sin(2 lnx)

10+ C

41.

∫(x2 − 2x+ 3) lnxdx sol. (

x3

3− x2 + 3x) lnx− x3

9+x2

2− 3x+ C

42.

∫x tan2 2xdx sol.

x tan 2x

2+

ln | cos 2x|4

− x2

2+ C


43.

∫(arcsinx)2dx sol. x(arcsinx)2 + 2

√1− x2 arcsinx− 2x+ C

44.

∫arcsinx

x2dx sol. −x arcsinx

x+ ln | x

1 +√

1− x2|+ C

2.3.3. Integrales trigonometricas

IDENTIDADES UTILES

Cuando se trabaja con funciones trigonometricas, a menudo es necesario usar una identidad trigonometricapara resolver un problema. Las formulas para el coseno y el seno en la forma

cos2 x =1

2(1 + cos 2x) y sin2 x =

1

2(1− cos 2x)

son particularmente utiles en ejercicios que requieren antiderivadas de cos2 x y sin2 x.

Cuando se trabaje con funciones trigonometricas de senos y cosenos cubicos las siguientes relaciones sonutiles.

sin3 x = sin2 x sinx cos3 x = cos2 x cosx

Y haciendo uso de la identidad: sin2 x+ cos2 x = 1

sin3 x = sin2 x sinx = (1− cos2 x) sinx cos3 x = cos2 x cosx = (1− sin2 x) cosx

De uso frecuente tenemos las identidades siguientes

IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS

1.sin2 x+ cos2 x = 1 7. sinmx cosnx =1

2[sin(mx− nx) + sin(mx+ nx)]

2.1 + tan2 x = sec2 x 8. sinmx sinnx =1

2[cos(mx− nx)− cos(mx+ nx)]

3.1 + cot2 x = csc2 x 9. cosmx cosnx =1

2[cos(mx− nx) + cos(mx+ nx)]

4.sin2 x =1

2(1− cos 2x) 10. 1− cosx = 2 sin2 x

2

5.cos2 x =1

2(1 + cos 2x) 11. 1 + cosx = 2 cos2 x

2

6.sinx cosx =1

2sin 2x 12. 1± sinx = 1± cos(

π

2− x)


Ejemplo 2.31

Calcule la siguiente integral

I =

∫cos2 xdx

Es necesario comprobar que la integral no es de la forma∫u2du. Luego, al usar la formula de la mitad

de un angulo, cos2 x =1

2(1 + cos 2x) obtenemos∫

cos2 xdx =

∫1

2(1 + cos 2x)dx

=1

2[

∫dx+

∫cos 2xdx]

u = 2x du = 2dx

=1

2[

∫dx+

1

2

∫cos 2x(2xdx)]

=1

2[x+

1

2sin 2x] + C =

1

2x+

1

4sin 2x+ C

Por supuesto, este metodo ilustrado funciona tambien para encontrar integrales como

∫cos2 5xdx,

∫sin2 1

2xdx,∫

sin6 8xdx etc.

Ejemplo 2.32

Resuelva la siguiente integral

I =

∫sin3 2xdx

∫sin3 2xdx =

∫(1− cos2 2x) sin 2xdx

=

∫sin 2xdx−

∫cos2 2x sin 2xdx

= −1

2cos 2x+

1

2

cos3 2x

3+ C

=cos3 2x

6− 1

2cos 2x+ C


INTEGRALES TRIGONOMETRICAS, CASOS MAS FRECUENTES

Caso a) Integrales de la forma

∫sinm x cosn xdx

En donde por lo menos uno de los numeros m y n es impar no importando que sea el otro.

n es impar hacemos n=2p+1∫sinm x(1− sin2 x)p cosxdx

m es impar hacemos m=2p+1∫cosn x(1− cos2 x)p sinxdx

Ejemplo 2.33

Calcular la integral:

I =

∫cos3 x

sin4 xdx

n=3 p=1 −→∫

sin−4 x(1− sin2 x) cosxdx

∫sin−4 xdx−

∫sin−2 x cosxdx =

sin−3 x

−3− sin−1 x

−1+ C = − 1

3 sin3 x+

1

sinx+ C

Caso b) Integrales de la forma

∫sinm x cosn xdx

Donde m y n son numeros no negativos y pares.

m = 2p y n = 2q

sin2 x =1

2− 1

2cos 2x cos2 x =

1

2+ cos 2x (3)

sinx cosx =1

2sin 2x

Sustituyendo en la integral:∫sin2p x cos2q xdx =

∫(1

2− 1

2cos 2x)p(

1

2+

1

2cos 2x)qdx

Ejecutando operaciones de elevar a potencias y abrir los parentesis, obtenemos terminos que contienen cos 2xen potencias impares, se integran como se ha indicado en el caso a). Los terminos que tienen las potenciaspares, se reducen de nuevo, utilizando sucesivamente las formulas (3). Procediendo de esta manera llegamoshasta los terminos de la forma

∫cos kxdx, que pueden integrarse facilmente.

Ejemplo 2.34


I =

∫sin2 x cos2 xdx


m = 2 y p = 1 n = 2 y q = 1∫sin2 x cos2 xdx =

1

4

∫(sin 2x)2dx =

1

4

∫(1

2− 1

2cos 4x)dx =

x

8− 1

32sin 4x+ C

Caso c) Integrales de la forma

∫sinm x cosn xdx con m y n pares.

Si los dos exponentes son exclusivamente pares y, por lo menos, uno de ellos es negativo, el metodoindicado en el inciso b) no da resultado. Es preciso hacer la sustitucion: tanx = t o cotx = t

cos2 x =1

1 + tan2 x=

1

1 + t2sin2 x =

tan2 x

1 + tan2 x=

t2

1 + t2

y dx =dt

1 + t2

Ejemplo 2.35

Obtener la integral:

I =

∫sin2 xdx

cos6 x

Se hacen las siguientes sustituciones algebraicas:

cos2 x =1

1 + tan2 x=

1

1 + t2sin2 x =

tan2 x

1 + tan2 x=

t2

1 + t2dx =

dt

1 + t2,

∫sin2 xdx

cos6 x

∫ t2

1 + t2· dt

1 + t2

(1

1 + t2)3

=

∫t2(1 + t2)dt =

t3

3+t5

5+ C =

tan3 x

3+

tan5 x

5+ C

Caso d) Integrales de la forma:

∫sinmx cosnxdx,

∫sinmx sinnx,

∫cosmx cosnx con m 6= n

∫sinmx cosnxdx = −cos(m+ n)x

2(m+ n)− cos(m− n)x

2(m− n)+ C

∫sinmx sinnx = − sin(m+ n)x

2(m+ n)+

sin(m− n)x

2(m− n)+ C

∫cosmx cosnx =

sin(m+ n)x

2(m+ n)+

sin(m− n)x

2(m− n)+ C


Ejemplo 2.36

Encontrar:

I =

∫sin 5x sinxdx∫

sin 5x sinxdx = − sin(5 + 1)x

2(5 + 1)+

sin(5− 1)x

2(5− 1)+ C =

sin 4x

8− sin 6x

12+ C

Caso d) Integrales de la forma:

∫tann xdx o

∫cotn xdx

Cuando n es un numero entero, estas formas se integran facilmente. El metodo no difiere del metodo a).

tann x = tann−2 x tan2 x = tann−2 x(sec2 x− 1)

cotn x = cotn−2 x cot2 x = cotn−2 x(csc2 x− 1)

Ejemplo 2.37

Encontrar:

I =

∫tan4 xdx

∫tan4 xdx =

∫tan2 x(sec2 x− 1)dx =

∫tan2 x sec2 xdx−

∫tan2 xdx

∫tan2 x sec2 xdx−

∫(sec2 x− 1)dx =

tan3 x

3− tanx+ x+ C

Caso f) Integrales de la forma:

∫secn xdx o

∫cscn xdx

Las integrales de esta forma se calculan facilmente cuando n es numero entero positivo par.

secn x = secn−2 x sec2 x = (tan2 x+ 1)

n− 2

2 sec2 x

cscn x = cscn−2 x csc2 x = (cot2 x+ 1)

n− 2

2 csc2 x

Ejemplo 2.38

Encontrar:

I =

∫sec4 xdx

∫sec4 xdx =

∫sec2 x sec2 xdx =

∫(tan2 x+ 1) sec2 xdx

=

∫tan2 x sec2 xdx+

∫sec2 xdx =

tan3 x

3+ tanx+ C


Caso g) Integrales de la forma:

∫tanm x secn xdx o

∫cotm x cscn xdx

Cuando n es un numero entero positivo par, se procede como en f)

Ejemplo 2.39

Encontrar:

I =

∫tan6 x sec4 xdx

∫tan6 x sec4 xdx =

∫tan6 x(tan2 x+ 1) sec2 xdx

=

∫tan8 x sec2 xdx+

∫tan6 x sec2 xdx =

tan9 x

9+

tan7 x

7+ C

Caso h) Integrales de la forma:

∫R(sinx) cosxdx

Si la integral tiene la forma∫R(sinx) cosxdx (donde R(sinx) indica que con sinx se realizan operaciones

racionales), la sustitucion siguiente se puede utilizar:

sinx = t cosxdx = dt

que reduce la integral a otra de la forma:∫R(t)dt.

Caso i) Integrales de la forma:

∫R(cosx) sinxdx

Si la integral tiene la forma∫R(cosx) sinxdx en donde R(cosx) representa una funcion racional en cosx,

se puede usar la siguiente sustitucion:

cosx = t sinxdx = −dt

que reduce la integral a una de la forma:∫R(t)dt.

Ejemplo 2.40


I =

∫sinx cosx

1− cosxdx

Se puede hacer la siguiente sustitucion:


De aquı: x = arc cos t y la diferencial dx =−dt√1− t2

Sustituyendo en la integral, haciendo la division y regresando a nuestra variable original:

I =

∫t(−dt)1− t

= −∫

tdt

1− t= −

∫(−1 +

1

1− t)dt =

∫dt−

∫dt

1− t

I = t+ ln |1− t|+ C, y como t = cosx, se obtiene:

I = cosx+ ln |1− cosx|+ C


Ejemplo 2.41


I =

∫sin3 x

2 + cosxdx

Se puede hacer la siguiente sustitucion:


De aquı: x = arc cos t y la diferencial dx =−dt√1− t2∫

sin2 x sinx

2 + cosxdx =

∫(1− cos2 x)

2 + cosxsinxdx =

∫(1− t2)(−dt)

2 + t=

∫t2 − 1

t+ 2dt =

∫(t− 2 +

3

t+ 2)dt

=t2

2− 2t+ 3 ln |t+ 2|+ C =

cos2 x

2− 2 cosx+ 3 ln | cosx+ 2|+ C

Caso j) Integrales de la forma:

∫R(tanx)dx

Si el integrando solo es funcion de tanx, la sustitucion siguiente puede ayudar:

x = arctan t, dx =dt

1 + t2

reduce la integral a una integral racional de la forma:∫R(tanx)dx =

∫R(t)

dt

1 + t2

Caso k) Integrales de la forma:

∫R(sinx, cosx)dx

Si la integral tiene la forma

∫R(sinx, cosx)dx, en donde R(sinx, cosx) representa una funcion racional

en sinx y cosx, con frecuencia podemos resolverla haciendo el cambio de variable:

x = 2 arctan t

La que nos lleva a las siguientes sustituciones:

tanx

2= t sinx =

2t

1 + t2cosx =

1− t2

1 + t2dx =

2dt

1 + t2x = 2 arctan t

Posteriormente regresamos a la variable original usando la ecuacion

tanx

2= t

Ejemplo 2.42

Evaluar la integral:

I =

∫dx

1 + sinx− cosx

Haciendo las siguientes sustituciones:


sinx =2t

1 + t2cosx =

1− t2

1 + t2dx =

2dt

1 + t2

∫dx

1 + sinx− cosx=

∫ 2dt

1 + t2

1 +2t

1 + t2− 1− t2

1 + t2

=

∫dt

t(1 + t)= ln |t| − ln |1 + t|+ C

= ln | t

1 + t|+ C = ln |

tanx

2

1 + tanx

2

|+ C


FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

Hallar las siguientes integrales:

1.

∫cos3 xdx sol. sinx− 1

3sin3 x+ C

2.

∫sin5 xdx sol. − cosx+

2

3cos3 x− 1

5cos5 x+ C

3.

∫sin2 x cos3 xdx sol.

sin3 x

3− sin5 x

5+ C

4.

∫sin3 x

2cos5 x

2dx sol.

1

4cos8 x

2− 1

3cos6 x

2+ C

5.

∫cos5 x

sin3 xdx sol.

sin2 x

2− 1

2 sin2 x− 2 ln | sinx|+ C

6.

∫sin5 x 3

√cosxdx sol. −3

43√

cos4 x+3

53√

cos10 x− 3

163√cos16x+ C

7.

∫sin3 xdx sol. − cosx+

1

3cos3 x+ C

8.

∫cos5 xdx sol. sinx− 2

3sin3 x+

1

5sin5 x+ C

9.


1

3sin3 x− 1

5sin5 x+ C

10.

∫cos4 2x sin3 2xdx sol. − 1

10cos5 2x+

1

14cos7 2x+ C

11.

∫sin3 3x cos5 3xdx sol. − 1

18cos6 3x+

1

24cos8 3x+ C

12.

∫cos3 x

3dx sol. 3 sin

x

3− sin3 x

3+ C

13.

∫sin7 xdx sol.

1

7cos7 x− 3

5cos5 x+ cos3− cosx+ C


14.


1

3sin3 x− 2

5sin5 x+

1

7sin7 x+ C

15.


1

5cos5 x− 1

3cos3 x+ C

16.


1

48cos3 2x− 1

16cos 2x+ C

17.

∫sin4 xdx sol.

3x

8− sin 2x

4+

sin 4x

32+ C

18.

∫sin2 x

2cos2 x

2dx sol.

x

8− sin 2x

16+ C

19.

∫cos6 3xdx sol.

5

16x+

1

12sin 6x+

1

64sin 12x− 1

144sin3 6x+ C

20.

∫sin2 xdx sol.

1

2x− 1

4sin 2x+ C

21.

∫sin4 3x cos2 3xdx sol.

1

16x− 1

192sin 12x− 1

144sin3 6x+ C

22.

∫sin4 2xdx sol.

3

8x− 1

8sin 4x+

1

64sin 8x+ C

23.

∫cos4 x

2dx sol.

3

8x+

1

2sinx+

1

16sin 2x+ C

24.

∫cos6 x

2dx sol.

5

16x+

1

2sinx+

3

32sin 2x− 1

24sin3 x+ C

25.


1

128(3x− sin 4x+

1

8sin 8x) + C

26.

∫cot3 x

cscxdx sol. − sinx− cscx+ C

27.

∫sinx

1 + sin2 xdx sol.

√2

4ln |

tan2 x

2+ 3− 2

√2

tan2 x

2+ 3 + 2

√2|+ C

28.

∫cot3 x csc5 xdx sol. −1

7csc7 x+

1

5csc5 x+ C

29.

∫cot3 x csc4 xdx sol. −1

4cot4 x− 1

6cot6 x+ C

30.

∫(

secx

tanx)4dx sol. − 1

3 tan3 x− 1

tanx+ C

31.

∫sin3 x√

cosxdx sol.

2

5(cos2 x− 5)

√cosx+ C

32.

∫sin 10x sin 15xdx sol. − sin 25x

50+

sin 5x

10+ C

33.

∫cos

x

2cos

x

3dx sol.

3

5sin

5x

6+ 3 sin

x

6+ C


34.

∫sin

x

3cos

2x

3dx sol.

3

2cos

x

3− 1

2cosx+ C

35.

∫cos(ax+ b) cos(ax− b)dx sol.

sin 2ax

4a+x cos 2b

2+ C

36.

∫sinωt sin(ωt+ ϕ)dt sol.

t cosϕ

2− sin(2ωt+ ϕ)

4ω+ C

37.

∫sinx sin 2x sin 3xdx sol.

1

24cos 6x− 1

16cos 4x− 1

8cos 2x+ C

38.

∫sin 3x sin 2xdx sol.

1

2sinx− 1

10sin 5x+ C

39.

∫sin 3x cos 5xdx sol.

1

4cos 2x− 1

16cos 8x+ C

40.

∫cos 4x cos 2xdx sol.

1

4sin 2x+

1

12sin 6x+ C

41.

∫sin 2x cos 4xdx sol.

1

4cos 2x− 1

12cos 6x+ C

42.

∫cos 3x cos 2xdx sol.

1

2sinx+

1

10sin 5x+ C

43.

∫sin 5x sinxdx sol.

1

8sin 4x− 1

12sin 6x+ C

44.

∫tan5 xdx sol.

1

4tan4 x− 1

2tan2 x+ ln | secx|+ C

45.

∫tan3 xdx sol.

1

2tan2 x+ ln | cosx|+ C

46.

∫sec4 2xdx sol.

1

2tan 2x+

1

6tan3 2x+ C

47.

∫tan3 3x sec4 3xdx sol.

1

12tan4 3x+

1

18tan6 3x+ C

48.

∫tan2 x sec3 xdx sol.

1

4sec3 x tanx− 1

8secx tanx− 1

8ln | secx+ tanx|+ C

49.

∫tan3 2x sec3 2xdx sol.

1

10sec5 2x− 1

6sec3 2x+ C

50.

∫tan3 3x sec 3xdx sol.

1

9sec3 3x− 1

3sec 3x+ C

51.

∫tan

3

2 x sec4 xdx sol.2

5tan

52 x+

2

9tan

92 x+ C

52.

∫tan4 x sec4 xdx sol.

1

7tan7 x+

1

5tan5 x+ C

53.

∫cot3 2xdx sol.

1

4cot2 2x+

1

2ln | csc 2x|+ C

54.

∫cot3 xdx sol. −1

2cot2 x− ln | sinx|+ C


55.

∫csc6 xdx sol. − cotx− 2

3cot3 x− 1

5cot5 x+ C

56.

∫csc4 2xdx sol. −1

2cot 2x− 1

6cot3 2x+ C

57.

∫csc5 xdx sol. −1

4csc3 x cotx− 3

8cscx cotx+

3

8ln | cscx− cotx|+ C

58.

∫dx

1 + sinx+ cosxsol. ln |1 + tan

1

2x|+ C

59.

∫dx

2− cosxsol.

2√3

arctan(√

3 tanx

2) + C

60.

∫dx

1 + sinx− cosxdx sol. ln |

tanx

2

tanx

2+ 1|+ C

61.

∫dx

3− 2 cosxsol.

2√5

arctan(√

5 tanx

2) + C

62.

∫dx

2 + cosxsol.

2√

3

3arctan(

√3

3tan

x

2) + C

63.

∫dx

5 + 4 sinxsol.

10

3arctan

5 tan(x

2) + 4

3+ C

64.

∫dx

sinx− cosx− 1sol. ln | tan

x

2− 1|+ C


2.3.4. Sustitucion trigonometrica

Algunas integrales que involucran expresiones de la forma:

√a2 − u2,

√u2 + a2,

√u2 − a2

pueden resolverse utilizando las siguientes transformaciones:

Ejemplo 2.43

Resolver la siguiente integral:

I =

∫ √25− x2

xdx

como u2 = x2 u = x, x = 5 sin z y dx = 5 cos zdz,

luego a2 = 25, por lo que a = 5

entonces I =

∫5 cos z5 cos zdz

5 sin z= 5

∫cos2 z

sin zdz = 5

∫1− sin2 z

sin zdz


I = 5[

∫csc zdz −

∫sin zdz] = 5 ln | csc z − cot z|+ 5 cos z + C

Con ayuda del triangulo correspondiente regresamos a la variable x.

I = 5 ln | 5x−√

25− x2

x|+ 5(

√25− x2

5) + C

o bien I = 5 ln |5−√

25− x2

x|+√

25− x2 + C

Ejemplo 2.44

Calcule la integral

I =

∫dx

x√x2 − 16

Haciendo x = 4 sec z dx = 4 sec z tan z ∴√x2 − 16 = 4 tan z

La integral se transforma de la forma siguiente:

I =

∫4 sec z tan zdz

4 sec z4 tan z=

1

4

∫dz

entonces I =1

4z + C como z = arc sec(

x

4) tenemos I =

1

4arc sec(

x

4) + C

Ejemplo 2.45

Calcule la integral

I =

∫dx√

4x2 + 1

u = 2x = tan z, a = 1,√

4x2 + 1 = sec z, x =tan z

2y dx =

sec2 zdz

2

La sustitucion trigonometrica produce:∫dx√

4x2 + 1=

1

2

∫sec2 zdz

sec z=

1

2

∫sec zdz =

1

2ln | sec z + tan z|+ C

I =1

2ln |√

4x2 + 1 + 2x|+ C


SUSTITUCION TRIGONOMETRICA

1.

∫x2dx√1− x2

sol. −x2

√1− x2 +

1

2arcsinx+ C


2.

∫x3dx√2− x2

sol. −x2

3

√2− x2 − 4

3

√2− x2 + C

3.

∫x2 − a2

xdx sol.

√x2 − a2 − arc cos

x

a+ C

4.

∫dx

x√x2 − 1

sol. arc cos1

x+ C, si x > 0, y arc cos

−1

x+ C, si x < 0

5.

∫ √x2 + 1

xdx sol.

√x2 + 1− ln |1 +

√x2 + 1

x|+ C

6.

∫dx

x2√

4− x2sol. −

√4− x2

4x+ C

7.

∫ √1− x2dx sol.

x

2

√1− x2 +

1

2arcsinx+ C

8.

∫dx√

(a2 − x2)3sol.

1

a2

x√a2 − x2

+ C

9.

∫x2√

4− x2dx sol. 2 arcsinx

2− 1

2x√

4− x2 +1

4x3√

4− x2 + C

10.

∫dx

x2√

1 + x2sol. −

√1 + x2

x+ C

11.

∫dv

v(1− v)sol. ln | v

1− v|+ C

12.

∫ √a2 + x2dx sol.

x

2

√a2 + x2 +

a2

2ln(x+

√a2 + x2) + C1, C1 = C − a2

2ln a

13.

∫x2

√x2 − a2

dx sol.x

2

√x2 − a2 +

a2

2ln |x+

√x2 − a2|+ C

14.

∫dx

(x2 + 1)

3

2

sol.x√

x2 + 1+ C

15.

∫ √x2 − 3

xdx sol.

√3(

√x2 − 3

3− arc cos

√3

x) + C

16.

∫x2

(x2 + 1)2dx sol. − x

2(x2 + 1)+

1

2arctanx+ C

17.

∫dx

(x2 + a2)2sol.

1

2a2(1

aarctan

x

a+

x

x2 + a2) + C

EJERCICIOS ADICIONALES (SUSTITUCION TRIGONOMETRICA).

1.

∫dy

y2√y2 + 25

sol. −√y2 + 25

25y+ C

2.

∫α2dα√4α− α2

sol. 6 arcsin(α− 2

2)− (α+ 6)

√4α− a2

2+ C


3.

∫y3√

3− y2dy sol.1

5(3− y2)

5

2 − (3− y2)

3

2 + C

4.

∫ √5− θ2

θ2dθ sol. −

√5− θ2

θ− arcsin(

√5

5θ) + C

5.

∫lnw

w√

4 + 4 lnw − ln2 wdw sol. 2 arcsin[

√2(lnw − 2)

4]−√

4 + 4 lnw − ln2 w + C

6.

∫dx

x√x2 + 36

sol.1

6ln |√x2 + 36− 6

x|+ C

2.3.5. Fracciones parciales

Este es un procedimiento para descomponer una funcion racional en funciones racionales mas simples parapoder aplicar las formulas basicas de la integracion. Este procedimiento se llama metodo de las fraccionessimples o parciales.

Las integrales de la forma

∫Pn(x)

Qm(x)dx en donde Pn(x) y Qm(x) representan polinomios de grados n y

m respectivamente, podemos resolverla por medio de fracciones parciales si Qm(x) es factorizable. Para ellodebemos observar los puntos siguientes:

1. SıPn(x)

Qm(x)es una fraccion impropia n ≥ m (es decir, sı el grado del numerador es mayor o igual al grado

del denominador)

Se debe realizar la division y aplicar la formula:

Pn(x)

Qm(x)= cociente+

Rk(x)

Qm(x)

En donde el grado k del residuo es menor que el grado m de Q(x).Posteriormente se debe separar en fracciones parciales la funcion racional

Rk(x)

Qm(x)

2. Factorizar completamente el denominador en factores de los tipos (px+ q)m y (ax2 + bx+ c)n Dondeax2 + bx+ c es irreducible.

3. Factores lineales: Para cada factor lineal (px + q)m , la descomposicion en fracciones parciales debeincluir la suma siguiente de m fracciones.

A1

px+ q+

A2

(px+ q)2+ ...+

Am(px+ q)m

4. Factores cuadraticos: Para cada factor cuadratico (ax2 + bx + c)n , la descomposicion en fraccionesparciales debe incluir la suma siguiente de n fracciones.

B1x+ C1

ax2 + bx+ c+

B2x+ C2

(ax2 + bx+ c)2+ ...+

Bnx+ Cn(ax2 + bx+ c)n

Solamente se analizaran los casos en los cuales los factores de Qm(x) sean lineales o cuadraticos, deacuerdo con los casos siguientes:


Caso I. Factores lineales distintos.

A cada factor lineal que aparezca una sola vez en el denominador de una funcion racional propia le corres-

ponde una sola fraccion simple de la forma,A1

px+ qdonde A1 es una constante que habra que determinarse.

Ejemplo 2.46

Calcular la integral: ∫dx

x2 − 5x+ 6

Descomponemos en fracciones parciales.

x2 − 5x+ 6 = (x− 3)(x− 2)

Son dos factores lineales diferentes por lo que le corresponde dos fracciones simples

1

x2 − 5x+ 6=

A

(x− 3)+

B

(x− 2)=A(x− 2) +B(x− 3)

(x− 3)(x− 2)=Ax− 2A+Bx− 3B

x2 − 5x+ 6

1

x2 − 5x+ 6=Ax− 2A+Bx− 3B

x2 − 5x+ 6

0x+ 1 = (A+B)x− 2A− 3B

A+B = 0

−2A− 3B = 1

Resolviendo este sistema de ecuaciones se obtiene que:

A = 1 B = −1

dx

x2 − 5x+ 6=

1

x− 3+−1

x− 2∫dx

x2 − 5x+ 6=

∫1

x− 3dx+

∫−1

x− 2dx

= ln |x− 3| − ln |x− 2|+ C = ln |x− 3

x− 2|+ C

Caso II. Factores lineales repetidos.

A cada factor lineal, que aparezca n veces en el denominador de una funcion racional propia le correspondeuna suma de n fracciones simples de la forma:

A1

px+ q+

A2

(px+ q)2+ ...+

Am(px+ q)m

Donde A1, A2, ..., Am son constantes a determinar.

Ejemplo 2.47



∫x4

(1− x)3dx

Se hace la division y se obtiene:∫(−x− 3 +

6x2 − 8x+ 3

(1− x)3)dx = −

∫xdx− 3

∫dx+

∫6x2 − 8x+ 3

(1− x)3dx

Se trabaja por separado la tercer integral:

6x2 − 8x+ 3

(1− x)3=

A

(1− x)+

B

(1− x)2+

C

(1− x)3=A(1− x)2 + (1− x)B(1− x) + C

(1− x)3

6x2 − 8x+ 3 = A− 2Ax+Ax2 +B −Bx+ C = Ax2 + (−2A−B)x+A+B + C

Se obtienen tres ecuaciones:

A = 6 A = 6

−2A−B = −8 B = −4

A+B + C = 3 C = 1

−∫xdx− 3

∫dx+ 6

∫dx

1− x− 4

∫dx

(1− x)2+ 1

∫dx

(1− x)3

∫x4

(1− x)3dx = −x

2

2− 3x− 6 ln |1− x| − 4

1− x+

1

2(1− x)2+ C

Caso III. Factores cuadraticos distintos.

A cada factor cuadratico irreducible, que aparezca una sola vez en el denominador de una funcion racional

propia le corresponde una sola fraccion simple de la formaBx+ C

ax2 + bx+ c, donde B y C son constantes a

determinar.

Ejemplo 2.48

Calcular la integral: ∫dx

x4 + 1

Para factorizar el denominador, sumamos y restamos 2x2

x4 + 1 = (x2)2 + 2x2 + 1− 2x2

= (x2 + 1)2 − (√

2x)2 (diferencia de cuadrados)

Por lo tanto:

x4 + 1 = (x2 −√

2x+ 1)(x2 +√

2x+ 1)∫dx

x4 + 1=

∫dx

(x2 −√

2x+ 1)(x2 +√

2x+ 1)

Algebraicamente:


1

(x2 −√

2x+ 1)(x2 +√

2x+ 1)Le corresponden factores cuadraticos distintos.

1

(x2 −√

2x+ 1)(x2 +√

2x+ 1)=

Ax+B

x2 −√

2x+ 1+

Cx+D

x2 +√

2x+ 1

1 = (Ax+B)(x2 +√

2x+ 1) + (Cx+D)(x2 −√

2x+ 1)

1 = (A+ C)x3 + (A√

2 +B − C√

2 +D)x2 + (A+B√

2 + C −D√

2)x+B +D

Se obtienen 4 ecuaciones:

A+ C = 0 (1)

A√

2 +B − C√

2 +D = 0 (2)

A+B√

2 + C −D√

2 = 0 (3)

B +D = 1 (4)

De (1) A = −C y de (4) B = 1−D sustituyendo estas ecuaciones en (2) y (4)

Se obtienen dos ecuaciones con dos incognitas:

−2√

2C + 1−D +D = 0 C =1

2√

2

−C + (1−D)√

2 + C −D√

2 = 0 D =1

2

Por lo tanto: A = − 1

2√

2B =

1

2

1

x4 + 1

1

(x2 −√

2x+ 1)(x2 +√

2x+ 1)=

Ax+B

x2 −√

2x+ 1+

Cx+D

x2 +√

2x+ 1

1

x4 + 1=

− 1

2√

2x+

1

2

x2 −√

2x+ 1+

1

2√

2x+

1

2

x2 +√

2x+ 1

∫1

x4 + 1dx =

∫ − 1

2√

2x+

1

2

x2 −√

2x+ 1dx+

∫ 1

2√

2x+

1

2

x2 +√

2x+ 1dx

− 1

(2)(2)√

2

∫2x−

√2 +√

2

x2 −√

2x+ 1dx+

1

2

∫dx

(x− 1√2

)2 + (1√2

2

)

+ ...

...+1

(2)(2)√

2

∫2x+

√2−√

2

x2 +√

2x+ 1dx+

1

2

∫dx

(x+1√2

)2 + (1√2

)2

dx


=1

4√

2ln |x

2 +√

2x+ 1

x2 −√

2x+ 1|+ 1

4√

2[arctan(

√2x− 1) + arctan(

√2x+ 1)] + C

Caso IV. Factores cuadraticos repetidos.

A cada factor cuadratico irreducible, que aparezca n veces en el denominador de una funcion racionalpropia le corresponde una suma de n fracciones simples de la forma

B1x+ C1

ax2 + bx+ c+

B2x+ C2

(ax2 + bx+ c)2+ ...+

Bnx+ Cn(ax2 + bx+ c)n

donde, B1, B2, ..., Bn, C1, C2, ..., Cn, son constantes a determinar.

Ejemplo 2.49

Calcular la integral: ∫2x2 + x2 + 4

(x2 + 4)2dx

Algebraicamente:

2x2 + x2 + 4

(x2 + 4)2=Ax+B

x2 + 4+

Cx+D

(x2 + 4)2=

(Ax+B)(x2 + 4) + Cx+D

(x2 + 4)2

2x3 + x2 + 4 = Ax3 +Bx2 + (4A+ C)x+ 4B +D

Se obtienen 4 ecuaciones:

A = 2 (1)

B = 1 (2)

4A+ C = 0 (3)

4B +D = 4 (4)

De (1) A = 2 y de (2) B = 1 sustituyendo estas ecuaciones en (3) y (4)

C = −8 D = 0∫2x2 + x2 + 4

(x2 + 4)2dx =

∫2x+ 1

x2 + 4dx+

∫−8

(x2 + 4)2dx =

∫2x

x2 + 4dx+

∫dx

x2 + 4− 4

∫2

(x2 + 4)2dx

= ln |x2 + 4|+ 1

2arctan

x

2+

4

x2 + 4+ C

Ejercicios de la Seccion 2.3.5

FRACCIONES PARCIALES

Caso I.- Hallar las integrales:

1.

∫dx

x2 − 4sol.

1

4ln|x− 2

x+ 2|+ C


2.

∫x+ 1

x3 + x2 − 6xdx sol. ln| (x− 2)

3

10

(x)

1

6 (x+ 3)

2

15

|+ C

3.

∫dx

x2 − 9sol.

1

6ln|x− 3

x+ 3|+ C

4.

∫dx

x2 + 7x+ 6sol.

1

5ln|x+ 1

x+ 6|+ C

5.

∫x

x2 − 3x− 4dx sol.

1

5ln|(x+ 1)(x− 4)4|+ C

6.

∫x2 + 3x− 4

x2 − 2x− 8dx sol. x+ ln|(x− 2)(x− 4)4|+ C

7.

∫x2 − 3x− 1

x3 + x2 − 2xdx sol. ln| (x)

1

2 (x+ 2)

3

2

x− 1|+ C

8.

∫dx

e2x − 3exsol.

1

3ex+

1

9ln|e

x − 3

ex|+ C (Combinacion casos I y II)

9.

∫dx

(x+ a)(x+ b)sol.

1

a− bln|x+ b

x+ a|+ C (a 6= b)

10.

∫x2 − 5x+ 9

x2 − 5x+ 6dx sol. x+ 3ln|x− 3| − 3ln|x− 2|+ C

11.

∫dx

(x− 1)(x+ 2)(x+ 3)sol.

1

12ln| (x+ 1)(x+ 3)3

(x+ 2)4|+ C

12.

∫2x2 + 41x− 91

(x− 1)(x+ 3)(x− 4)dx sol. ln| (x− 1)4(x− 4)5

(x+ 3)7|+ C

13.

∫5x3 + 2

x3 − 5x2 + 4xdx sol. 5x+ ln| (x)

1

2 (x− 4)

161

6

(x− 1)

7

3

|+ C

14.

∫x3 − 1

4x3 − xdx sol.

1

4x+

1

16ln| x16

(2x− 1)7(2x+ 1)9|+ C

Caso II.- Hallar las integrales:

15.

∫3x+ 5

x3 − x2 − x+ 1dx sol. − 4

x− 1+

1

2ln|x+ 1

x− 1|+ C

16.

∫x4 − x3 − x− 1

x3 − x2dx sol.

1

2x2 − 1

x+ 2ln| x

x− 1|+ C

17.

∫x

(x− 2)2dx sol. ln|x− 2| − 2

x− 2+ C

18.

∫x4

(1− x)3dx sol. −1

2x2 − 3x− ln(1− x)6 − 4

1− x+

1

2(1− x)2+ C


19.

∫dx

x(x+ 1)2sol.

1

1 + x+ ln| x

x+ 1|+ C

20.

∫x4 − 6x3 + 12x2 + 6

x3 − 6x2 + 12x− 8sol.

x2

2− 11

(x− 2)2− 8

x− 2+ C

21.

∫5x2 + 6x+ 9

(x− 3)2(x+ 1)2dx sol. − 9

2(x− 3)− 1

2(x+ 1)+ C

22.

∫x2 − 8x+ 7

(x2 − 3x− 10)2dx sol.

8

49(x− 5)− 27

49(x+ 2)+

30

343ln|x− 5

x+ 2|+ C

23.

∫2x− 3

(x2 − 3x+ 2)3dx sol. − 1

2(x2 − 3x+ 2)2+ C

Caso III. Hallar las integrales:

24.

∫x2

a4 − x4dx sol.

1

4aln|a+ x

a− x| − 1

2aarctan

x

a+ C

25.

∫dx

x3 + 3sol. ln| x√

x2 + 1|+ C

26.

∫x3 + x2 + x+ 3

(x2 + 1)(x2 + 3)dx sol. ln|

√x2 + 3|+ arctanx+ C

27.

∫x4 − 2x3 + 3x2 − x+ 3

x3 − 2x2 + 3xdx sol.

1

2x2 + ln| x√

x2 − 2x+ 3|+ C

28.

∫x4 + 8x3 − x2 + 2x+ 1

(x2 + x)(x3 + 1)dx sol. ln|x

3 − x2 + x

(x+ 1)2| − 3

x+ 1+

2√3

arctan2x− 1√

3+ C

29.

∫sinx

cosx(1 + cos2 x)dx sol. ln|

√1 + cos2 x

cosx|+ C

30.

∫(2 + tan2 θ) sec2 θ

1 + tan3 θdθ sol. ln|1 + tan θ|+ 2√

3arctan

2 tan θ − 1√3

+ C

31.

∫x3 + x+ 1

x(x2 + 1)dx sol. x+ ln| x√

x2 + 1|+ C

32.

∫x4

x4 − 1dx sol. x+

1

4ln|x− 1

x+ 1| − 1

2arctanx+ C

33.

∫dx

(x2 − 4x+ 3)(x2 + 4x+ 5)sol.

1

52ln|x− 3| − 1

20ln |x− 1|+ 1

65ln(x2 + 4x+ 5)

+7

130arctan(x+ 2) + C

34.

∫dx

x3 + 1sol.

1

6ln| (x+ 1)2

x2 − x+ 1|+ 1√

3arctan

2x− 1√3

+ C

35.

∫dx

x4 + 1sol.

1

4√

2ln|x

2 +√

2x+ 1

x2 −√

2x+ 1|+√

2

4arctan

x√

2

1− x2+ C


36.

∫dx

x4 + x2 + 1sol.

1

4ln|x

2 + x+ 1

x2 − x+ 1|+ 1

2√

3arctan

x2 − 1

x√

3+ C

37.

∫x3 + x2 + x+ 2

x4 + 3x2 + 2dx sol. arctanx+

1

2ln(x2 + 2) + C

Caso IV.- Hallar las integrales:

38.

∫x5 − x4 + 4x3 − 4x2 + 8x− 4

(x2 + 2)3dx sol.

1

2ln(x2 + 2)−

√2

2arctan

x√2− 1

(x2 + 2)2+ C

39.

∫2x3

(x2 + 1)2dx sol. ln(x2 + 1) +

1

x2 + 1+ C

40.

∫2x3 + x2 + 4

(x2 + 4)2dx sol. ln(x2 + 4) +

1

2arctan

1

2x+

4

x2 + 4+ C

41.

∫x3 + x+ 1

(x2 + 1)2dx sol. ln

√x2 + 1− 1

2arctanx− 1

2(

x

x2 + 1) + C

42.

∫x6 + 7x5 + 15x4 + 32x3 + 23x2 + 25x− 3

(x2 + x+ 2)2(x2 + 1)2dx sol.

1

x2 + x+ 2− 3

x2 + 1+ ln| x2 + 1

x2 + x+ 2|+ C

43.

∫dx

(1 + x2)2sol.

x

2(1 + x2)+

arctanx

2+ C

44.

∫3x+ 5

(x2 + 2x+ 2)2dx sol.

2x− 1

2(x2 + 2x+ 2)+ arctan(x+ 1) + C

45.

∫dx

(x+ 1)(x2 + x+ 1)2sol. ln|x+ 1|+ x+ 2

3(x2 + x+ 1)+

5

3√

3arctan

2x+ 1√3

−1

2ln(x2 + x+ 1) + C

46.

∫x3 + 1

(x2 − 4x+ 5)2dx sol.

3x− 17

2(x2 − 4x+ 5)+

1

2ln(x2 − 4x+ 5) +

15

2arctan(x− 2) + C

47.

∫2x2 + 3

(x2 + 1)2dx sol.

5

2arctanx+

1

2x

x2 + 1+ C

2.3.6. Integrales que requieren alguna sustitucion especial

Si un integrando es racional excepto por un radical de la forma:

n√ax+ b , entonces la sustitucion ax+ b = zn lo transformara en un integrando racional.√q + px+ x2 , entonces la sustitucion q+px+x2 = (z−x)2 lo transformara en un integrando racional.√q + px− x2 =

√(α+ x)(β − x), entonces la sustitucion:

q + px− x2 = (α+ x)2z2 o q + px− x2 = (β − x)2z2

lo transformara en un integrando racional.


Integrales del tipo:

∫dx

(mx+ n)√ax2 + bx+ c

, se recomienda utilizar la sustitucion inversa:

1

mx+ n= t

Ejemplo 2.50

Hallar ∫dx

x√

1− x

Sea 1− x = z2, entonces x = 1− z2, dx = −2zdz y sustituyendo:∫dx

x√

1− x=

∫−2zdz

(1− z2)z= −2

∫dz

1− z2= −ln|1 + z

1− z|+ C = ln|1−

√1− x

1 +√

1− x|+ C

Ejemplo 2.51


I =

∫sin√xdx

Primero se hace un cambio de variable como se hizo en la seccion anterior:

t =√x x = t2 dx = 2tdt∫

sin√xdx

∫sin t2tdt = 2

∫t sin tdt

Esta ultima integral es el producto de dos funciones: una algebraica y otra trigonometrica.

u = t du = dtdv = sin t v = − cos t

Aplicando la formula:∫udv = uv −

∫vdu

I = 2

∫t sin tdt = 2(t(− cos t)−

∫(− cos t)dt) = 2(−t cos t+

∫cos tdt)

I = −2t cos t+ 2 sin t+ C

pero t =√x

I = −2√x cos

√x+ 2 sin

√x+ C

Ejemplo 2.52

Hallar:

I =

∫xdx

(5− 4x− x2)3/2

Se puede expresar: 5− 4x− x2 = (5 + x)(1− x) = (1− x)2z2 Entonces:


x =z2 − 5

1 + z2; dx =

12zdz

(1 + z2)2

√5− 4x− x2 = (1− x)z =

6z

1 + z2

∫xdx

(5− 4x− x2)3/2=

∫ z2 − 5

1 + z2

12zdz

(1 + z2)2

216z3

(1 + z2)3

dz =1

18

∫(1− 5

z2)dz =

1

18(z +

5

z) + C

=5− 2x

9√

5− 4z − x2+ C


INTEGRALES QUE REQUIEREN DE ALGUNA SUSTITUCION ESPECIAL

Hallar las siguientes integrales, empleando para ello las sustituciones mas adecuadas.

1.

∫dx

x√

1− xsol. ln|1−

√1− x

1 +√

1− x|+ C

2.

∫x√x+ 1

dx; t =√x+ 1 sol.

2

3

√(x+ 1)3 − 2

√x+ 1 + C

3.

∫ √x

1 + xdx sol. 2

√x− 2 arctan

√x+ C

4.

∫dx

x1/2 − x1/4sol. 2

√x+ 4 4

√x+ ln |( 4

√x− 1)4|+ C

5.

∫dx

x1/2 + x1/3sol. 2x1/2 − 3x1/3 + 6x1/6 − 6 ln |x1/6 + 1|+ C

6.

∫dx

(x− 2)√x+ 2

sol.1

2ln|√x+ 2− 2√x+ 2 + 2

|+ C

7.

∫dx√

x(1 +√x)

sol. 2 ln(1 +√x) + C

8.

∫dx

3 +√x+ 2

sol. 2√x+ 2− 6 ln(3 +

√x+ 2) + C

9.

∫1−√

3x+ 2

1 +√

3x+ 2dx sol. −x+

4

3[√

3x+ 2− ln(1 +√

3x+ 2)] + C

10.

∫dx

(x+ 1)1/2 + (x+ 1)1/4sol. 2(x+ 1)1/2 − 4(x+ 1)1/4 + 4 ln(1 + (x+ 1)1/4) + C

11.

∫ √1 +√x sol.

4

5(1 +

√x)5/2 − 4

3(1 +

√x)3/2 + C

12.

∫x1/2

x1/5 + 1dx sol. 10(

1

13x13/10 − 1

11x11/10 +

1

9x9/10 − ...

...− 1

7x7/10 +

1

5x5/10 − 1

3x3/10 + x1/10 − arctanx1/10) + C


13.

∫x(2x+ 5)10dx sol.

1

4((2x+ 5)12

12− 5(2x+ 5)11

11) + C

14.

∫1 + x

1 +√xdx sol. 2(

√x3

3− x

2+ 2√x− 2 ln |1 +

√x|) + C

15.

∫dx

x√

2x+ 1sol. ln|

√2x+ 1− 1√2x+ 1 + 1

|+ C

16.

∫dx√ex − 1

sol. 2 arctan√ex − 1 + C Sugerencia x = ln t

17.

∫e2x

√ex + 1

dx sol.2

3(ex − 2)

√ex + 1 + C

18.

∫dx

x√

1 + x2sol. ln| x

1 +√x2 + 1

|+ C

19.

∫x5√

1− x3dx sol. − 2

45(1− x3)3/2(2 + 3x3) + C

20.

∫dx

x√x2 + x+ 2

sol.1

2ln|√x2 + x+ 2 + x−

√2√

x2 + x+ 2+ x+

√2|+ C

21.

∫dx

x√x2 + x− 1

sol. − arcsin(2− x√

5x) + C

22.

∫ √4x− x2

x3dx sol. − (4x− x2)3/2

6x3+ C

23.

∫dx

x2√

4− x2sol. −

√4− x2

4x+ C

24.

∫dx

x2(4 + x2)sol. − 1

4x+

1

8arctan

2

x+ C

25.

∫e√xdx sol. 2e

√x(√x− 1) + C

26.

∫dx

x√

1− x2sol. ln| x

1 +√

1− x2|+ C

27.

∫dx

x2 + 2xsol. − arcsin

1

x+ 1+ C

2.4. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO.

Introduccion.

Al final de la seccion 1 (integral definida) se indico que hay una forma mas sencilla para evaluar una integraldefinida que calculando el lımite de una suma. Esta ”manera mas sencilla”se logra por medio del teoremafundamental del calculo.

Teorema fundamental del calculo.

En el siguiente teorema se ve que el concepto de antiderivada de una funcion continua constituye el puenteentre el calculo diferencial y el calculo integral.

95 2.4. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO.

Teorema 2.3

Teorema fundamental del calculo: forma de antiderivada.

Si f(x) es una funcion continua sobre un intervalo [a, b] y F (x) es una antiderivada de f(x)sobre el intervalo, entonces ∫ b

a

f(x)dx = F (b)− F (a) (1)

Demostracion. Si F (x) es una antiderivada de f(x) entonces por definicion F ′(x) = f(x). Puesto queF (x) es diferenciable sobre (a, b) el teorema del valor medio garantiza que existe un x∗k en cada subintervalo(xk−1, xk) de la particion P :

a = x0 < x1 < ... < xn−1 < xn = b

Tal queF (xk)− F (xk−1) = F ′(x∗k) (xk − xk−1) o F (xk)− F (xk−1) = f(x∗k) = ∆xk

Luego, para k = 1, 2, 3, ..., n con el ultimo resultado se obtiene:

F (x1)− F (a) = f(x∗1)∆x1

F (x2)− F (x1) = f(x∗2)∆x2

F (x3)− F (x2) = f(x∗3)∆x3

...

F (b)− F (xn−1) = f(x∗n)∆xn

Si se suman las columnas precedentes:

[F (x1)- F(a)] + [F (x2)− F (x1)] + · · ·+ [F(b)− F (xn−1)] =

n∑k=1

f(x∗k)∆xk

Se observa que la suma de todos los terminos, menos los dos en negrita en el miembro izquierdo de la igualdad,es igual a 0, por lo cual se tiene

F (b)− F (a) =

n∑n=1

f(x∗k)∆xk (2)

Pero lım|p|→0

[F (b)− F (a)] = F (b)− F (a), de modo que el lımite de (2) cuando ||P || → 0 es

F (b)− F (a) = lım||p||→0

n∑k=1

f(x∗k)∆xk (3)

Por la Definicion 2 del Capıtulo 1, el miembro derecho de (3) es

∫ b

a

f(x)dx.

La diferencia F (b)− F (a) en (1) suele representarse por el sımbolo F (x)]ba, es decir∫ b

a

f(x)dx︸︷︷︸integral

indefinida

=

∫f(x)dx ]

ba︸︷︷︸

integralindefinida

= F (x) ]ba

Puesto que el Teorema 2.3 indica que F (x) es cualquier antiderivada de f(x) siempre es posible escoger laconstante de integracion C como igual a cero. Se observa que si C 6= 0, entonces

(F (x) + C) ]ba = (F (b) + C)− (F (a) + C) = F (b)− F (a) = F (x) ]

ba


Ejemplo 2.53

Calcular la siguiente integral definida haciendo uso de (1).∫ 1

−2

x3dx

∫ 1

−2

x3dx =x4

4

]1

−2

=1

4− (−2)4

4=

1

4− 16

4= −15

4

Ejemplo 2.54

Evalue la siguiente integral ∫ 3

1

xdx

Una antiderivada de f(x) = x es F (x) =1

2x2. En consecuencia, de (1), proporciona:

∫ 3

1

xdx =x2

2

]3

1

=9

2− 1

2= 4

Ejemplo 2.55

Evalue ∫ 2

−2

(3x2 − x+ 1

)dx

Se aplican las leyes de integracion y (1):∫ 2

−2

(3x2 − x+ 1

)dx =

[x3 − x2

2+ x

]2

−2

= (8− 2 + 2)− (−8− 2− 2) = 8− (−12) = 20

Ejemplo 2.56

Calcule la integral ∫ π

π6

cosx dx

Una antiderivada de f(x) = cosx es F (x) = sinx. En consecuencia,∫ π

π6

cosx dx = [sinx]ππ6

= sinπ − sinπ

6= 0− 1

2= −1

2

2.4.1. Funciones Continuas por Partes.

Se dice que una funcion f(x) es continua por partes sobre un intervalo [a, b] si existe a lo mas un numerofinito de puntos ck, k = 1, 2, ..., n, (ck−1 < ck) en los que f(x) tiene una discontinuidad finita, o salto, sobre


cada subintervalo abierto (ck−1, ck). Observar la Figura 1. Si una funcion f(x) es continua por partes sobre[a, b] y esta acotada sobre el intervalo, entonces por el teorema 1.2.2, f(x) es integrable sobre [a, b]. Unaintegral definida de una funcion continua por partes sobre [a, b] puede evaluarse con ayuda del teorema 1.2.5:∫ b

a

f(x)dx =

∫ c1

a

f(x)dx+

∫ c2

c1

f(x)dx+ · · ·+∫ b

cn

f(x)dx

y tratar a los integrandos de las integrales definidas en el miembro derecho de la ecuacion anterior simplementecomo si fuesen continuos sobre los intervalos cerrados [a, c1] , [c1, c2] , ..., [c2, cn].

Figura 1. Funcion continua por partes

Ejemplo 2.57

Integracion de una funcion continua por partes. Sea la integral∫ 4

−1

f(x) dx

En donde

f(x) =

x+ 1, −1 ≤ x < 0x, 0 ≤ x < 23, 2 ≤ x ≤ a

Figura 2. Grafica de la funcion del problema 2.57

La grafica de una funcion f(x) continua por partes se muestra en la Figura 2. Luego, por el analisisprecedente y la definicion de f(x):∫ 4

−1

f(x)dx =

∫ 0

−1

f(x)dx+

∫ 2

0

f(x)dx+

∫ 4

2

f(x)dx


=

∫ 0

−1

(x+ 1)dx+

∫ 2

0

xdx+

∫ 4

2

3dx

=

(1

2x2 + x

)]0

−1

+1

2x2

]2

0

+ 3x]42 =

17

2

Ejemplo 2.58

Integracion de una funcion continua por partes.

Evaluar la integral ∫ 3

0

|x− 2| dx

Por la definicion de valor absoluto,

|x− 2| ={x− 2, si x− 2 ≥ 0−(x− 2), si x− 2 < 0

o |x− 2| ={x− 2, si x ≥ 2−x+ 2, si x < 2

En la Figura 3 se muestra la grafica de f(x) = |x− 2|.

Figura 3. Grafica de la funcion del problema 5.58

Entonces: ∫ 3

0

|x− 2| dx =

∫ 2

0

|x− 2| dx+

∫ 3

2

|x− 2| dx =

∫ 2

0

(−x+ 2)dx+

∫ 3

2

(x− 2)dx

=

(−1

2x2 + 2x

)]2

0

+

(1

2x2 − 2x

)]3

2

= (−2 + 4) +

(9

2− 6

)− (2− 4) =

5

2.

Sustitucion en una integral definida.

Recordando que algunas veces se usa una sustitucion como ayuda para evaluar una integral indefinida dela forma

∫f (g(x)) g′(x)dx. Es necesario tener cuidado al usar una sustitucion en una integral definida∫

f (g(x)) g′(x)dx, puesto que es posible proceder de dos formas.

Evaluar la integral indefinida∫f (g(x)) g′(x)dx por medio de la sustitucion u = g(x). Volver a sustituir

u = g(x) en la antiderivada y luego aplicar el teorema fundamental del calculo usando los lımites deintegracion originales x = a y x = b.


En forma alterna, la segunda sustitucion puede evitarse al cambiar los lımites de integracion de modoque correspondan al valor de u en a x = a y u en x = b. El ultimo metodo, que suele ser mas rapido,se resume en el siguiente teorema.

Teorema 2.4


Sea u = g(x) una funcion cuya derivada es continua sobre el intervalo [a, b], y sea f una fun-cion continua sobre el rango de g. Si F ′(u) = f(u) y c = g(a), d = g(b), entonces:∫ b

a

f (g(x)) g′(x)dx =

∫ g(b)

g(a)

f(u)du = F (d)− F (c)

Ejemplo 2.59


Evalue ∫ 2

0

√2x2 + 1xdx

a) Para evaluar la integral indefinida

∫ √2x2 + 1xdx se usara:

u = 2x2 + 1 du = 4xdx

Ası ∫ √2x2 + 1xdx =

1

4

∫ √2x2 + 1 (4xdx) =

1

4

∫u

12 du =

1

4

u32

32

+ C

Pero u = 2x2 + 1, entonces ∫ √2x2 + 1xdx =

1

6

(2x2 + 1

) 32 + C

En consecuencia, por el Teorema 2.3∫ 2

0

√2x2 + 1xdx =

1

6

(2x2 + 1

) 32 ]

20

=1

6

[9

32 − 1

32

]=

1

6[27− 1] =

13

3

b) Si u = 2x2 + 1, entonces x = 0 implica u = 1, mientras que con x = 2 obtenemos u = 9. Ası, porel Teorema 2.4 tenemos∫ 2

0

√2x2 + 1xdx =

1

4

∫ 9

0

u12 du← Integracion respecto a u

Cuando la grafica de una funcion y = f(x) es simetrica con respecto al eje y (funcion par) o al origen(funcion impar), entonces la integral definida de f(x) sobre un intervalo simetrico [−a, a], es decir,∫ a−a f(x)dx, puede evaluarse por medio de un ”atajo”.


Teorema 2.5

Regla de la funcion par.

Si f es una funcion par integrable sobre [−a, a], entonces∫ a

−af(x)dx = 2

∫ a

0

f(x)dx

Teorema 2.6

Regla de la funcion impar.

Si f es una funcion impar integrable sobre [−a, a], entonces∫ a

−af(x)dx = 0

La cuestion importante en el Teorema 2.6 es esta: Cuando una funcion integrable impar f(x) se integrasobre un intervalo simetrico [−a, a], no es necesario encontrar una antiderivada de f(x); el valor de la integralsiempre es cero.

En la Figura 4 y 5 se muestran motivaciones geometricas para los resultados en los Teoremas 2.5 y2.6.

Figura 4. Funcion par.

El valor de la integral definida sobre [−a, 0] es el mismo que el valor sobre [0, a].

Figura 5. Funcion impar.


El valor de la integral definida sobre [−a, 0] es lo opuesto que el valor sobre [0, a]

Ejemplo 2.60

Uso de la regla de la funcion par.

Evalue ∫ 1

−1

(x4 + x2

)dx

El integrando f(x) = x4 +x2 es una funcion polinomial cuyas potencias son todas pares, de modo quef necesariamente es una funcion par. Puesto que el intervalo de integracion es el intervalo simetrico[1, 1], por el Teorema 2.5 se concluye que es posible integrar sobre [0, 1] y multiplicar el resultadopor 2: ∫ 1

−1

(x4 + x2

)dx = 2

∫ 1

0

(x4 + x2

)dx

2

(1

5x5 +

1

3x3

)]1

0

2

(1

5+

1

3

)=

16

15

Ejemplo 2.61

Uso de la regla de la funcion impar.

Evalue ∫ π2

−π2sinx dx

En este caso f(x) = sinx es una funcion impar sobre el intervalo simetrico[−π2 ,

π2

]. Ası, por el

Teorema 2.6 de inmediato tenemos ∫ π2

−π2sinx dx = 0

La forma de antiderivada del teorema fundamental del calculo constituye una herramienta extremadamenteimportante y poderosa para evaluar integrales definidas. ¿Por que molestarse con un burdo lımite de una

suma cuando el valor de∫ baf(x)dx puede encontrarse al calcular en

∫f(x)dx los dos numeros a y b? Esto es

cierto hasta cierto punto; no obstante, ya es hora de aprender otro hecho de las matematicas.

Hay funciones continuas para las cuales la antiderivada∫f(x)dx no puede expresarse en terminos de fun-

ciones elementales: sumas, productos, cocientes y potencias de funciones polinomiales, trigonometricas, tri-gonometricas inversas, logarıtmicas y exponenciales. La simple funcion continua f(x) =

√x3 + 1 no tiene

antiderivada que sea una funcion elemental. Sin embargo, aunque por el Teorema 1.3 es posible afirmar que

la integral definida∫ 1

0

√x3 + 1dx existe, el Teorema 2.3 no es de ninguna ayuda para encontrar su valor. La

integral∫ 1

−1

√x3 + 1dx se denomina no elemental. Las integrales no elementales son importantes y aparecen

en muchas aplicaciones como teorıa de probabilidad y optica. A continuacion se presentan algunas integralesno elementales: ∫

sinx

xdx,

∫sinx2 dx,

∫ x

0

e−tdt y

∫ex

xdx


2.4.2. Ejercicios de la Seccion 2.4.

En los ejercicios 1-42, use el teorema fundamental del calculo proporcionado en el Teorema 2.3 para evaluarlas siguientes integrales.

1.

∫ 7

3

dx

2.

∫ 10

2

(−4) dx

3.

∫ 2

−1

(2x+ 3) dx

4.

∫ 4

−5

t2 dt

5.

∫ 3

1

(6x2 − 4x+ 5

)dx

6.

∫ 1

−2

(12x5 − 36

)dx

7.

∫ π2

0

sinx dx

8.

∫ π4

−π3cos θ dθ

9.

∫ π2

π4

cos 3t dt

10.

∫ 1

12

sin 2πx dx

11.

∫ 34

12

1

u2du

12.

∫ −1

−3

2

xdx

13.

∫ 1

−1

ex dx

14.

∫ 2

0

(2x− 3ex) dx

15.

∫ 2

0

x (1− x) dx

16.

∫ 2

3

x (x− 2) (x+ 2) dx

17.

∫ 1

−1

(7x3 − 2x2 + 5x− 4

)dx

18.

∫ −1

−3

(x2 − 4x+ 8

)dx


19.

∫ 4

1

x− 1√xdx

20.

∫ π4

−π4dx+

∫ π4

−π4tan2 x dx

21.

∫ √3

1

1

1 + x2dx

22.

∫ 14

0

1√1− 4x2

dx

23.

∫ 12

−4

√z + 4 dz

24.

∫ 72

0

(2x+ 1)− 1

3 dx

25.

∫ 3

0

x√x2 + 16

dx

26.

∫ 1

−2

t

(t2 + 1)2 dt

27.

∫ 1

12

(1 +

1

x

)31

x2dx

28.

∫ 4

1

3√

1 + 4√x√

xdx

29.

∫ 1

0

x+ 1√x2 + 2x+ 3

dx

30.

∫ 1

−1

u3 + u

(u4 + 2u2 + 1)5 du

31.

∫ π8

0

sec2 2x dx

32.

∫ √π4

−√

π4

x cscx2 cotx2 dx

33.

∫ 32

− 12

(x− cosπx) dx

34.

∫ 4

1

cos√x

2√x

dx

35.

∫ π2

0

√cosx sinx dx

36.

∫ π3

π6

sinx cosx dx

37.

∫ π2

π6

1 + cos θ

(θ + sin θ)2 dθ


38.

∫ π4

−π4(secx+ tanx)

2dx

39.

∫ 34

0

sin2 πx dx

40.

∫ π2

−π2cos2 x dx

41.

∫ 5

1

1

1 + 2xdx

42.

∫ 1

−1

tanx dx

En los ejercicios 43 y 44, evalue∫ 2

−1f(x)dx para la funcion f(x) dada.

43. f(x) =

{−x, x < 0x2, x ≥ 0

44. f(x) =

{2x+ 3, x ≤ 03, x > 0

En los ejercicios 45-48, evalue la integral definida de la funcion f(x) continua por partes.

45.

∫ 3

0

f(x)dx, donde f(x) =

{4, 0 ≤ x < 21, 2 ≤ x ≤ 3

46.

∫ π

0


{sinx, 0 ≤ x < π

2cosx, π

2 ≤ x ≤ π

47.

∫ 2

−2


x2, −2 ≤ x < −14, −1 ≤ x < 1x2, 1 ≤ x ≤ 2

48.

∫ 4

0

f(x)dx, donde f(x) = [x] es la funcion entero mayor.

En los ejercicios 49-54, evaluar la integral definida dada.

49.

∫ 1

−3

|x| dx

50.

∫ 4

0

|2x− 6| dx

51.

∫ 3

−8

√|x|+ 1 dx

52.

∫ 2

0

∣∣x2 − 1∣∣ dx

53.

∫ π

−π|sinx| dx

54.

∫ π

0

|cosx| dx


En los ejercicios 55-58, evalue la integral definida dada usando la sustitucion u indicada.

55.

∫ e

12

(ln 2t)5

tdt; u = ln 2t

56.

∫ 1

2√

2

1

(arctanx) (1 + x2)dx; u = arctanx

57.

∫ 1

0

e−2x

e−2x + 1dx; u = e−2x + 1

58.

∫ 1√2

0

x√1− x4

dx; u = x2


2.5. INTEGRALES IMPROPIAS.

Introduccion.

En el estudio de la integral definida∫ baf(x)dx, seccion II, se establecio que:

Los lımites de integracion eran numeros finitos, y que

La funcion f(x) era continua sobre [a, b] o, en caso de ser discontinua, que estaba acotada sobre elintervalo.

Cuando se omite una de las dos condiciones, se dice que la integral resultante es una integral impropia. Enel siguiente analisis, primero se consideran integrales de funciones que estan definidas y son continuas sobreintervalos no acotados; en otras palabras,

Por lo menos uno de los lımites de integracion es ∞ o −∞.

Despues de eso se examinaran integrales sobre intervalos acotados de funciones que se vuelven no acotadassobre n intervalos. En el segundo tipo de integral impropia,

El intervalo f(x) tiene una discontinuidad infinita en algun numero en el intervalo de integracion.

Integrales impropias: intervalos no acotados.

Si el intervalo f(x) esta definido sobre un intervalo no acotado, hay tres integrales impropias posibles conlımites de integracion infinitos. Sus definiciones se resumen como sigue:

Definicion 2.3

Intervalos no acotados.

i) Si f(x) es continua sobre [a,∞), entonces∫ ∞a

f(x)dx = lımb→∞

∫ b

a

f(x)dx (1)

ii) Si f(x) es continua sobre (−∞, b], entonces∫ b

−∞f(x)dx = lım

a→−∞

∫ b

a

f(x)dx (2)

iii) Si f(x) es continua sobre (−∞,∞), entonces∫ ∞−∞

f(x)dx =

∫ c

−∞f(x)dx+

∫ ∞c

f(x)dx (3)

Cuando la integral en (1) y (2) no tiene un valor finito se dice que es divergente.Cuando la integral en (1) y (2) tiene un valor finito la integral es convergente.

En (3) la integral

∫ ∞−∞

f(x)dx converge en el supuesto de que ambas, lıma→−∞

∫ c

−∞f(x)dx y lım

b→∞

∫ ∞c

f(x)dx,

convergen. Si cualquiera de lıma→−∞

∫ c

−∞f(x)dx o lım

b→∞

∫ ∞c

f(x)dx diverge, entonces la integral impropia∫ ∞−∞

f(x)dx diverge.

107 2.5. INTEGRALES IMPROPIAS.

Ejemplo 2.62

Uso de (1). Evaluar la integral ∫ ∞2

1

x3dx

Por (1), ∫ ∞2

1

x3dx = lım

b→∞

∫ b

2

x−3dx = lımb→∞

x−2

−2

]b2

= −1

2lımb→∞

(b−2 − 2−2

).

Puesto que el lımb→∞

b−2 = lımb→∞

1

b2= 0

lımb→∞

(b−2 − 2−2

)= lımb→∞

(1

b2− 1

4

)= 0− 1

4= −1

4

La integral dada converge, y ∫ ∞2

1

x3dx = −1

2

(−1

4

)=

1

8

Ejemplo 2.63

Uso de (1). Calcule la siguiente integral ∫ ∞1

x2dx

Por (1), ∫ ∞1

x2dx = lımb→∞

∫ b

1

x2dx = lımb→∞

1

3x3

]b1

= lımb→∞

(1

3b3 − 1

3

)Puesto que el lımite lım

b→∞

(1

3b3 − 1

3

)=∞, se concluye que la integral diverge.

Ejemplo 2.64

Uso de (3). Evalue la integral ∫ ∞−∞

x2dx

Puesto que c puede escogerse de manera arbitraria en (3), se elige c = 1 y se escribe∫ ∞−∞

x2dx =

∫ 1

−∞x2dx+

∫ ∞1

x2dx

Pero en el ejemplo 2 se vio que

∫ ∞1

x2dx diverge. Esto es suficiente para concluir que

∫ ∞−∞

x2dx

tambien diverge.

Area.

Si f(x) ≥ 0 para toda x sobre [a,∞), (−∞, b] o (−∞,∞), entonces cada una de las integrales en (1), (2)


y (3) puede interpretarse como area bajo la grafica de f(x) sobre el intervalo siempre que la integral tengaconvergencia.

Ejemplo 2.65

Area. Evalue e interprete geometricamente ∫ ∞−1

e−xdx

Por (1), ∫ ∞−1

e−xdx = lımb→∞

∫ b

−1

e−xdx = lımb→∞

(−e−x

)]b−1

= lımb→∞

(e− e−b

)Puesto que el lım

b→∞e−b = 0, lım

b→∞

(e− e−b

)= e, y ası la integral dada converge a e. En la Figura 1

a) vemos que el area bajo la grafica de la funcion positiva f(x) = e−x sobre el intervalo [−1, b) ese− e−b. Pero, al tomar b→∞, e−b → 0, y entonces, como se muestra en la Figura 1 b), es posible

interpretar

∫ ∞−1

e−xdx = e, como una medida del area bajo la grafica de f(x) sobre [1,∞].

Figura 1. a) Area sobre A = [−1, b]. b) Area bajo la grafica en el ejemplo 2.65

Ejemplo 2.66

Uso de (2), calcule la integral ∫ 0

−∞cosx dx

Por (2), ∫ 0

−∞cosx dx = lım

a→−∞

∫ 0

a

cosx dx = lıma→−∞

sinx]0a = lım

a→−∞(− sin a)

Puesto que (sin a) oscila entre -1 y 1, concluimos que lıma→−∞

(− sin a) no existe. Por lo tanto,∫ 0

−∞cosx dx diverge.


Ejemplo 2.67

Uso de (3), evalue la integral ∫ ∞−∞

ex

ex + 1dx

Al escoger c = 0, es posible escribir∫ ∞−∞

ex

ex + 1dx =

∫ 0

−∞

ex

ex + 1dx+

∫ ∞0

ex

ex + 1dx = I1 + I2

Primero, se analizara I1

I1 = lıma→−∞

∫ 0

a

ex

ex + 1dx = lım

a→−∞ln (ex + 1)]

0a = lım

a→−∞[ln 2 − ln (ea + 1)]

Luego, ea + 1 → 1, puesto que ea → 0 cuando a → −∞. En consecuencia, ln (ea + 1) → ln 1 = 0cuando a→ −∞. Por tanto, I1 = ln 2.

Segundo, se tiene:

I2 = lımb→∞

∫ b

0

ex

ex + 1dx = lım

b→∞ln (ex + 1)]

b0 = lım

b→∞

[ln(eb + 1

)− ln 2

]No obstante, ea + 1→∞ cuando b→∞ de modo que ln

(eb + 1

)→∞. Por tanto, I2 diverge. Debido

a que ambas I1 y I2 no convergen, se concluye que la integral dada es divergente.

Ejemplo 2.68

Uso de (3), la integral impropia converge, ya que:∫ ∞−∞

1

1 + x2dx

∫ ∞−∞

1

1 + x2dx =

∫ 0

−∞

1

1 + x2dx+

∫ ∞0

1

1 + x2dx =

π

2+π

2= π

El resultado se concluye a partir de los hechos de que∫ 0

−∞

1

1 + x2dx = lım

a→−∞

∫ 0

a

1

1 + x2dx = lım

a→−∞

(tan−1 x

)]0a

= − lıma→−∞

tan−1 a = −(−π

2

)=π

2∫ b

−∞

1

1 + x2dx = lım

b→∞

∫ b

0

1

1 + x2dx = lım

b→∞tan−1 b =

π

2

2.5.1. Integrales Impropias: Discontinuidades Infinitas.

Una integral∫ baf(x)dx tambien se dice que es impropia si f(x) no esta acotada sobre [a, b], es decir, si

f(x) tiene una discontinuidad infinita en algun numero en el intervalo de integracion. Hay tres integralesimpropias posibles de este tipo. Sus definiciones se resumen a continuacion.


Definicion 2.4

Discontinuidades infinitas.

i) Si f(x) es continua sobre [a, b) y |f(x)| → ∞ y cuando x→ b−, entonces∫ b

a

f(x) dx = lımt→b−

∫ t

a

f(x) dx (4)

ii) Si f(x) es continua sobre (a, b] y |f(x)| → ∞ cuando x→ a+, entonces∫ b

a

f(x) dx = lıms→a+

∫ b

s

f(x) dx (5)

iii) Si |f(x)| → ∞ cuando x→ c para alguna c en (a, b) y f es continua en todos los demas numerosen [a, b], entonces: ∫ b

a

f(x) dx =

∫ c

a

f(x) dx+

∫ b

c

f(x) dx (6)

Cuando los lımites en (4) y (5) existen, se dice que las integrales convergen. Si el lımite no existe,

entonces se dice que la integral diverge. En (6) la integral∫ baf(x) dx converge siempre que am-

bas,∫ caf(x) dx y

∫ bcf(x) dx, convergen. Si cualquiera de

∫ caf(x) dx o

∫ bcf(x) dx diverge, entonces∫ b

af(x) dx diverge.

Ejemplo 2.69

Uso de (5). Evalue la integral ∫ 4

0

1√xdx

Se observa que f(x) = 1√x→ ∞ cuando x → 0+, es decir, x = 0 es una asıntota vertical para la

grafica de f . Ası, por (5) de la definicion 4,∫ 4

0

1√xdx = lım

s→0+

∫ 4

s

x−12 dx = lım

s→0+2x

12

]4

s

= lıms→0+

[4− 2s

12

]Puesto que lım

s→0+s

12 = 0 se tiene lım

s→0+

[4− 2s

12

]= 4. Entonces, la integral dada converge

∫ 4

0

1√xdx = 4

Como se ve en la Figura 2, el numero 4 puede considerarse como el area bajo la grafica de f sobreel intervalo [0, 4].


Figura 2. Area bajo la grafica en el ejemplo 2.69

Ejemplo 2.70

Uso de (6). Resuelva la integral ∫ 5

1

1

(x− 2)13

dx

En el intervalo [1, 5] el integrando tiene una discontinuidad infinita en 2. En consecuencia, a partir de(6) se escribe: ∫ 5

1

1

(x− 2)13

dx =

∫ 2

1

(x− 2)− 1

3 dx+

∫ 5

2

(x− 2)− 1

3 dx = I1 + I2

Ahora,

I1 = lımt→2−

∫ t

1

(x− 2)− 1

3 dx = lımt→2−

3

2(x− 2)

− 13

]t1

=3

2lımt→2−

[(t− 2)

23 − 1

]= −3

2.

De forma similar,

I2 = lıms→2+

∫ 5

s

(x− 2)− 1

3 dx = lıms→2+

3

2(x− 2)

23

]5

s

=3

2lıms→2+

[3

23 − (s− 2)

23

]= −3

53

2.

Puesto que ambas I1 y I2 convergen, la integral dada converge y∫ 5

1

1

(x− 2)

13

dx = −3

2+

353

2≈ 1.62

2.5.2. Ejercicios de la Seccion 2.5.

En los ejercicios 1-35, determinar si la integral impropia es divergente o convergente. Evaluar la integralsi es convergente.

1.

∫ ∞3

1

x4dx

2.

∫ −1

−∞

13√xdx


3.

∫ ∞1

1

x3dx

4.

∫ ∞1

1

x1.01dx

5.

∫ 3

−∞e2x dx

6.

∫ ∞−∞

e−x dx

7.

∫ ∞1

lnx

xdx

8.

∫ 1

0

1

t2dt

9.

∫ ∞e

1

x (lnx)3 dx

10.

∫ ∞0

cos 3x dx

11.

∫ ∞−∞

x

(x2 + 1)32

dx

12.

∫ ∞−∞

x

1 + x2dx

13.

∫ 0

−∞

x

(x2 + 9)2 dx

14.

∫ ∞5

x4√

3x2 + 1dx

15.

∫ ∞2

ue−u du

16.

∫ 3

−∞

x3

x4 + 1dx

17.

∫ ∞2π

sin 1x

x2dx

18.

∫ ∞−∞

te−t2

dt

19.

∫ ∞−1

x+ 1

x2 + 2x+ 2dx

20.

∫ 0

−∞

x+ 1

x2 + 2x+ 3dx

21.

∫ ∞5

dx√x− 1

dx

22.

∫ 0

−∞x2ex dx


23.

∫ ∞e

dx

x lnx

24.

∫ ∞−∞

dx

16 + x2

25.

∫ 1

0

dx√1− x

26.

∫ 4

2

dt√16− t2

27.

∫ 1

−4

dz

(z + 3)3

28.

∫ π2

π4

sec θ dθ

29.

∫ 2

−2

dx

x3

30.

∫ 2

0

dx√2x− x2

31.

∫ ∞1

dx

x2 − 1

32.

∫ 4

0

dx

x2 − 2x− 3dx

33.

∫ π2

0

tan θ dθ

34.

∫ 2

12

dz

z (ln z)15

35.

∫ ∞√

3

3dx

x2 + 9

Capıtulo 3

APLICACIONES DE LAINTEGRAL.

3.1. AREAS.

Introduccion.

Si f(x) es una funcion que asume valores tanto positivos como negativos sobre [a, b], entonces la integral

definida∫ baf(x) dx no representa el area bajo la grafica de f(x) sobre el intervalo. Como se vio en la unidad

I, el valor de∫ baf(x) dx puede interpretarse como el area neta con signo entre la grafica de f(x) y el eje sobre

el intervalo [a, b]. En esta unidad se trabajara con dos problemas de area:

Encontrar el area total de una region acotada por la grafica de f(x) y el eje x sobre un intervalo [a, b].

Encontrar el area de la region acotada entre dos graficas sobre un intervalo [a, b].

3.1.1. Area Total.

Supongamos que la funcion y = f(x) es continua sobre el intervalo [a, b] y que f(x) < 0 sobre [a, c) y quef(x) ≥ 0 sobre [c, b]. El area total es el area de la region acotada por la grafica de f(x), el eje y las rectasverticales x = a y x = b. Para encontrar esta area se emplea el valor absoluto de la funcion y = |f(x)|, que esno negativa para toda x en [a, b]. Hay que recordar que |f(x)| esta definida por partes. Para la funcion f(x),f(x) < 0 sobre el intervalo [a, c) y f(x) ≥ 0 sobre el intervalo [c, b]. Por tanto,∣∣∣∣∣∣f(x) =

−f(x), para f(x) < 0

f(x), para f(x) ≥ 0

∣∣∣∣∣∣ (a)

La grafica de [c, b] sobre el intervalo [a, c] se obtiene al reflejar esa porcion de la grafica de y = f(x) en el ejex sobre el intervalo [c, b] donde f(x) ≥ 0, las graficas de y = f(x) y y = |f(x)| son las mismas. Para encontrarel area total A = A1 +A2, se usa la propiedad aditiva del intervalo de la integral definida junto con (a):∫ b

a

|f(x)| dx =

∫ c

a

|f(x)| dx+

∫ b

c

|f(x)| dx =

∫ c

a

(−f(x)) dx+

∫ b

c

f(x) dx

= A1 +A2

115

CAPITULO 3: APLICACIONES DE LA INTEGRAL. 116

Definicion 3.1

Area total.

Si y = f(x) es continua sobre [a, b], entonces el area total A acotada por su grafica y el eje x sobre elintervalo esta dada por: ∫ b

a

|f(x)| dx (b)

Para el calculo de area por integracion con grafico, los pasos siguientes serviran como guıa para calcularun area requerida mediante una integral definida:

1. Hacer un grafico que muestre el area en cuestion, una franja representativa (k -esima) y el rectangulogenerico o aproximante. Se recomienda mostrar el subintervalo representativo de longitud ∆x (o ∆y)con el punto xk (o yk) en ese intervalo como punto medio.

2. Escribir el area del rectangulo generico y la suma para los n rectangulos.

3. Suponer que el numero de rectangulos crece indefinidamente y aplicar el teorema fundamental delcalculo.

3.1.2. Area Entre Curvas.

Sean f(x) y g(x) funciones continuas tales que 0 ≤ g(x) ≤ f(x) para a ≤ x ≤ b. Entonces el area A de laregion R acotada por y = f(x), y = g(x), x = a y x = b (esto lo muestra la Figura 2) viene dada por:

A =

∫ b

a

f(x) dx−∫ b

a

g(x) dx =

∫ b

a

[f(x)− g(x)] dx (1)

Esto es, el area A es la diferencia entre el area∫ baf(x) dx de la region sobre el eje x y bajo y = f(x) y el area∫ b

ag(x) dx de la region sobre el eje x y bajo y = g(x).

La formula (1) es valida cuando una o ambas de las curvas y = f(x) e y = g(x) esta total o parcial-mente por debajo del eje x, es decir, cuando suponemos que solo g(x) ≤ f(x) para a ≤ x ≤ b, como lomuestra la Figura 3.

Definicion 3.2

Area acotada por dos graficas.Si f(x) y g(x) son funciones continuas sobre un intervalo [a, b], entonces el area A de la region acotadapor sus graficas sobre el intervalo esta dada por:

A =

∫ b

a

[f(x)] dx

Ası como en (a), el valor absoluto del integrando esta dado por:

|f(x)− g(x)| =

−(f(x)− g(x)), para f(x)− g(x) < 0

f(x)− g(x), para f(x)− g(x) ≥ 0

117 3.1. AREAS.

Figura 2. Area entre curvas. Figura 3. Area entre curvas.

Ejemplo 3.1

Hallar el area limitada por la curva y = x2 y las rectas x = 1 y x = 3.

La Figura 4 muestra el area formada por los puntos KLMN que se desea calcular, una franja repre-sentativa con puntos RSTU y su rectangulo generico cuyos puntos son RVWU. Para este rectangulola base es ∆kx, la altura yk = f(xk) = x2

k y el area x2k∆kx.

Figura 4. Grafico que muestra el area del problema 3.1

Entonces:

A = lımn→+∞

n∑k=1

x2k∆kx =

∫ 3

1

x2dx = 9− 1

3=

26

3unidades.


Ejemplo 3.2

Hallar el area comprendida entre el eje x y la parabola y = 4x− x2.

La curva dada corta el eje x en x = 0 y x = 4. Al usar franjas verticales, estos valores pasan a ser loslımites de integracion. Para el rectangulo aproximante que se ve en la Figura 5 la anchura es ∆kx,la altura yk = 4xk − x2

k y el area(4xk − x2

k

)∆kx.

Entonces:

A = lımn→+∞

n∑k=1

(4xk − x2

k

)∆kx =

∫ 4

0

(4x− x2

)dx =

[2x2 − 1

3x3

]4

0

=32

3unidades.

Se nota que, aparte de los lımites de integracion, la integral definida puede formarse una vez que seha escrito el area del rectangulo generico o aproximante.


Ejemplo 3.3

Hallar el area limitada por la parabola x = 8 + 2y − y2, el eje y y las rectas y = −1 y y = 3.

Aquı partimos el area en franjas horizontales. Para el rectangulo generico que muestra la Figura 6la anchura es ∆y, la longitud x = 8 + 2y − y2 y el area

(8 + 2y − y2

)∆y.

El area pedida es :

A =

∫ 3

−1

(8 + 2y − y2

)dy =

[8y + y2 − y3

3

]3

−1

=92

3unidades

119 3.1. AREAS.


Ejemplo 3.4

Hallar el area limitada por la parabola y = x2 − 7x+ 6, el eje x y las rectas x = 2 y x = 6.

Para el rectangulo generico que indica la Figura 7 la anchura es ∆x, la altura −y = −(x2 − 7x+ 6)y el area −(x2 − 7x+ 6)∆x. El area pedida es por tanto:

A =

∫ 6

2

−(x2 − 7x+ 6

)dx = −

(x3

3− 7x2

2+ 6x

)]6

2

=56

3unidades


Ejemplo 3.5

Hallar el area entre la curva y = x3 − 6x2 + 8x y el eje x.


La curva corta al eje x en x = 2 y x = 4 (Figura 8). Con franjas verticales el area del rectanguloaproximante con base en el intervalo 0 < x < 2 es −

(x3 − 6x2 + 8x

)∆x y el area de la porcion que

esta por encima del eje x y viene dada por∫ 4

2

(x3 − 6x2 + 8x

)∆x. El area del rectangulo aproximante

con base en el intervalo 2 < x < 4 es el area de la porcion que esta por debajo del eje x viene dada

por∫ 2

0−(x3 − 6x2 + 8x

)dx. El area pedida es por tanto

A =

∫ 2

0

(x3 − 6x2 + 8x

)dx+

∫ 4

2

−(x3 − 6x2 + 8x

)dx

=

[x4

4− 2x3 + 8x

]2

0

−[x4

4− 2x3 + 8x

]4

2

= 4 + 4 = 8unidades

El uso de dos integrales definidas es necesario en este caso porque el integrando cambia de signo en elintervalo de integracion. De no haber observado este hecho, se hubiera llegado a la integral incorrecta∫ 4

0

(x3 − 6x2 + 8x

)dx = 0

Sin embargo, si usamos el metodo de area total llegamos al mismo resultado:∫ b

a

|f(x)| dx

A =

∫ 4

0

∣∣x3 − 6x2 + 8x∣∣ dx

|f(x)| =

x3 − 6x2 + 8x, 0 ≤ x < 2

−(x3 − 6x2 + 8x

), 2 ≤ x ≤ 4

Entonces, por (b) de la definicion 1, el area que se busca es:

A =

∫ 2

0

(x3 − 6x2 + 8x

)dx+

∫ 4

2

−(x3 − 6x2 + 8x

)dx

=

[x4

4− 2x3 + 8x

]2

0

−[x4

4− 2x3 + 8x

]4

2

= 4 + 4 = 8unidades

121 3.1. AREAS.


Ejemplo 3.6

Hallar el area acotada por la parabola x = 4− y2 y el eje y.

La parabola corta al eje x en x = 4 y al eje y en y = 2 y y = −2. Se daran dos soluciones.

Usando franjas horizontales: Para el rectangulo aproximante de la Figura 9a) la anchura es ∆y, lalongitud 4− y2 y el area

(4− y2

)∆y. Los lımites de integracion de la integral definida resultante son

y = −2 y y = 2. Y el area que esta por encima del eje x es igual que la que esta por debajo. De modoque tenemos, para el area requerida.

A =

∫ 2

−2

(4− y2

)dy = 2

∫ 2

0

(4− y2

)dy = 2

[4y − x3

3

]2

0

=32

3unidades.

Figura 9. a), b). Grafico del problema 3.6

Usando franjas verticales: para el rectangulo generico de la Figura 9 b) la anchura es ∆x, la altura2y = 2

√4− x y el area 2

√4− x∆x. Los lımites de integracion son x = 0 y x = 4. Por tanto, el area


pedida es:

A =

∫ 4

0

2√

4− x dx =

[−4

3(4− x)

32

]4

0

=32

3unidades.

Ejemplo 3.7

Hallar el area acotada por la parabola y2 = 4x y la recta y = 2x− 4.

La recta interseca a la parabola en los puntos (1, -2) y (4, 4). La Figura 10 muestra claramente quecuando se usan franjas verticales, algunas de ellas van de la recta a la parabola y otras de una ramade la parabola a la otra rama; pero, cuando se usan franjas horizontales, cada una de ellas va desdela parabola hasta la recta. Se presenta ambas soluciones para dejar clara la superioridad de una sobreotra y para sugerir que ambos metodos deben ser analizados antes de efectuar una integral definida.

Figura 10. a), b). Grafico que muestra el area del problema 3.7

Usando franjas horizontales (Figura 10 a)): Para el rectangulo generico la anchura es ∆y, la longitud

es [(valor del x de la recta) - (valor del x de la parabola)] =

(1

2y + 2

)− 1

4y2 = 2 +

1

2y − 1

4y2 y el

area es

(2 +

1

2y − 1

4y2

)∆y. El area requerida es

A =

∫ 4

−2

(2 +

1

2y − 1

4y2

)dy = 2

[2y +

y2

4− y3

12

]4

−2

= 9unidades.

Usando franjas verticales (Figura 10 b)): Se divide el area A en dos partes con la recta x = 1.Para el rectangulo aproximante a la izquierda de esa recta la anchura es ∆x, la altura (por simetrıa)2y = 4

√x y el area 4

√x∆x. Para el rectangulo aproximante a la derecha de esa recta la anchura es

∆x, la altura 2√x− (2x− 4) = 2

√x− 2x+ 4 y el area (2

√x− 2x+ 4) ∆x. El area pedida es

A =

∫ 1

0

4√x dx+

∫ 4

1

(2√x− 2x+ 4

)dx =

[8

3x

32

]1

0

+

[4

3x

32 − x2 − 4x

]4

1

=8

3+

19

3= 9unidades.

123 3.1. AREAS.

Ejemplo 3.8

Calcular el area limitada por las parabolas y = 6x− x2 e y = x2 − 2x.

Las parabolas se intersecan en los puntos (0, 0) y (4, 8). Se ve en la Figura 11 que las franjasverticales producen la solucion mas sencilla.

Para el rectangulo aproximante la anchura es ∆x, la altura [(valor de y en la frontera superior) -(valor de y en la frontera inferior)] =

(6x− x2

)−(x2 − 2x

)= 8x− 2x2, y el area

(8x− 2x2

)∆x. El

area requerida es

A =

∫ 4

0

(8x− 2x2

)dx =

[4x2 − 2

3x3

]4

0

=64

3unidades.


Ejemplo 3.9

Hallar el area encerrada por una curva y2 = x2 − x4.

La curva es simetrica respecto de los ejes coordenados, luego el area requerida es cuatro veces la dela porcion del primer cuadrante.

Para el rectangulo aproximante de la Figura 12 la anchura es ∆x, la altura y =√x2 − x4 = x

√1− x2

y el area x√

1− x2∆x. Por tanto, el area pedida es

A = 4

∫ 1

0

(x√

1− x2)dx =

[−4

3

(1− x 3

2

)]1

0

=4

3unidades.



Ejemplo 3.10

Hallar el area menor limitada por x = 3 y el cırculo x2 + y2 = 25.

Como se puede ver en la Figura 13,


A =

∫ 5

3

2ydx = 2

∫ 5

3

√25− x2 dx = 2

[x

2

√25− x2 +

25

2arcsin

x

5

]5

3

=

(25

2π − 12− 25 arcsin

3

5

)unidades.

125 3.1. AREAS.

Ejemplo 3.11

Hallar el area comun a los cırculos x2 + y2 = 4 y x2 + y2 = 4x.

Los cırculos se cortan en los puntos(1,±√

3). Por lo tanto el rectangulo generico de la Figura 14

abarca desde x = 2−√

4− y2 hasta x =√

4− y2. Entonces

A = 2

∫ √3

0

[√4− y2 −

(2−

√4− y2

)]dy = 4

∫ √3

0

(√4− y2 − 1

)dy

= 4

[y

2

√4− y2 + 2 arcsin

1

2y − y

]√3

0

=

(8π

3− 2√

3

)unidades.


Ejemplo 3.12

Hallar el area de un lazo de la curva y2 = x4 (4 + x).

De la Figura 15,

A =

∫ 0

−4

2ydx = 2

∫ 0

−4

x2√

4 + x dx. Sea 4 + x = z2; entonces

A = 4

∫ 2

0

(z2 − 4

)2z2dz = 4

[z7

7− 8z5

5+

16z3

3

]2

0

=4096

105unidades.



Ejemplo 3.13

Calcular el area de un arco de la cicloide x = θ − sin θ, y = 1− cos θ.

Un solo arco se describe al variar desde θ = 0 hasta θ = 2π (Figura 16). Entonces

A =

∫ θ=2π

θ=0

ydx =

∫ 2π

0

(1− cos θ) (1− cos θ) dθ =

∫ 2π

0

(3

2− 2 cos θ +

1

2cos 2θ

)dθ

=

[3

2θ − 2 cos θ +

1

4sin 2θ

]2π

0

= 3π unidades.


127 3.1. AREAS.

Ejemplo 3.14

Hallar el area acotada por la curva x = 3 + cos θ, y = 4 sin θ, como lo muestra la Figura 17.

La frontera del area sombreada en la Figura 17 (un cuarto de area requerida) se describe de derechaa izquierda variando de θ = 0 hasta θ = π

2 . Por tanto,

A = −4

∫ π2

0

ydx = −4

∫ π2

0

(4 sin θ) (− sin θ) dθ = 16

∫ π2

0

sin2 θ dθ

= 8

∫ π2

0

(1− cos 2θ) dθ = 8

[θ − 1

2sin 2θ

]π2

0

= 4π unidades.


3.1.3. Ejercicios de la Seccion 3.1

Hallar el area de la superficie limitada por la curva dada, el eje de las x y las ordenadas dadas.

1. y = x3 ; x = 0, x = 4. Sol. 64

2. y = 9− x2 ; x = 0, x = 3. Sol. 18

3. y = x3 + 3x2 + 2x, x = −3 ; x = 3. Sol. 54

4. y = x2 + x+ 1 ; x = 2, x = 3. Sol. 956

5. xy = k2 ; x = a, x = b. Sol. k2 ln

(b

a

)6. y = 2x+ 1

x2 ; x = 1, x = 4. Sol. 15 34

7. y = 10√x+4

; x = 0, x = 5. Sol. 20

8. ay = x√a− x2 ; x = 0, x = a. Sol. 1

3a2

9. y2 + 4x = 0 ; x = −1, x = 0.

10. y2 = 4x+ 16 ; x = −2, x = 0.

11. y = 4x− x2 ; x = 1, x = 3.

12. y2 = 9− x ; x = 0, x = 8.

13. 2y2 = x3 ; x = 0, x = 2.

14. y2 = 4x ; y = 0, y = 4. Sol. 5 13

15. y = 4− x2 ; y = 0, y = 3. Sol. 4 23


16. x = 9y − y3; y = 0, y = 3.

17. xy = 8; y = 1, y = 4.

18. y3 = a2x; y = 0, y = a.

19. ay2 = x3; y = 0, y = a.

Determina las areas comprendidas entre las curvas y las rectas dadas.

20. f(x) = x2 − 6x+ 9, x = 3, x = 6. Sol. 9u2

21. f(x) =√x+ 3, x = −3, x = 1. Sol. 16

3 u2

22. f(x) = sinx, x = 0, x = π2 . Sol. 1u2

23. y = 3 sin 2x, x = 0, x = π. Sol. 6u2

24. x = y − 1, y = 1, y = 5. Sol. 8u2

25. x = y−3y−2 , y = 3, y = 5. Sol. (2− ln 3) u2 = 0.901u2

Bosquejar cada una de las siguientes curvas y hallar el area de una arcada.

26. y = 2 cosx. Sol. 4u2

27. y = 2 sin 12πx. Sol. 8

π u2

28. y = cos 2x. Sol. 1u2

29. y = sin 12x. Sol. 4u2

Hallar el area de la superficie:

30. Encerrada por el lazo de la curva cuya ecuacion es 4y2 = x2 (4− 1). Sol. 12815 u2

31. Limitada por la curva cuya ecuacion es y2 = x2(x2 − 1

)y por la recta x = 2. Sol. 2

√3u2

32. Encerrada por el lazo de la curva cuya ecuacion es y2 = x2 (9− x). Sol. 6485 u2

33. Limitada por la curva cuya ecuacion es y2 = x3 − x2 y la recta x = 2. Sol. 3215 u

2

34. Encerrada por el lazo de la curva cuya ecuacion es y2 = x (x− 2)2. Sol. 32

15

√2u2

35. Encerrada por el lazo de la curva cuya ecuacion es 4y2 = x4 (4− x). Sol. 2048105 u2

36. Limitada por la hiperbola x2 − 4y2 = 4 y la recta x = 6.

Calcular el area de la figura limitada:

37. Por las curvas y = ex, y = e−x y la recta x = 1. Sol. e+ 1e − 2 = 2 (cosh−1)

38. Por la curva y = x3, la recta y = 8 y el eje y. Sol. 12

39. Por las parabolas y2 = 2px y x2 = 2py. Sol. 43p

2

40. Por la parabola y = 2x− x2 y la recta y = −x. Sol. 412

41. Por la parabola y = 4x− x2 y el eje de las abscisas. Sol. 323

42. Por la curva y = lnx, el eje x y la recta x = e. Sol. 1

43. Por la curva y3 = x, la recta y = 1 y la vertical x = 8. Sol. 4 14

Calcular el area de la figura comprendida entre:

44. Una semionda de la sinusoide y = sinx y el eje x. Sol. 2

45. La curva y = tanx, el eje x y la recta x = π3 . Sol. ln 2

46. La curva de Agnesi y =a3

x2 + a2y el eje de las abscisas. Sol. πa2

129 3.2. LONGITUD DE ARCO.

3.2. LONGITUD DE ARCO.

Introduccion.

Si una funcion y = f(x) tiene una primera derivada continua sobre un intervalo [a, b], entonces se dice que lagrafica es suave y f(x) se denomina funcion suave. Como el nombre lo implica, una grafica suave carece depicos. En el analisis que sigue, se establece una formula formal de la longitud L, o longitud de arco, de unagrafica suave sobre un intervalo [a, b].

Un conjunto de cuerdas consecutivas AP1, P1P2, ..., Pn−1, B, que unen puntos del arco, cuando el numerode puntos crece indefinidamente de forma tal que la longitud de cada cuerda tiende a cero (Figura 1).

Figura 1. Longitud del arco de AB

Si A(a, c) y B(b, d) son dos puntos sobre la curva y = f(x), donde f(x) y su derivada f ′(x) son continuas enel intervalo a ≤ x ≤ b la longitud del arco AB viene dada por

s =

∫AB

ds =

∫ b

a

√1 +

(dy

dx

)2

dx

Analogamente, si A(a, c) y B(b, d) son dos puntos de una curva definida parametricamente por las ecuacionesx = f(u), y = g(u), y si se satisfacen condiciones de continuidad, la longitud del arco AB viene dada por

s =

∫AB

ds =

∫ d

c

√1 +

(dx

dy

)2

dy

Si A(u = u1) y B(u = u2) son dos puntos de una curva definida parametricamente por las ecuacionesx = f(u), y = g(u), y si se satisfacen condiciones de continuidad, la longitud del arco AB viene dada por

s =

∫AB

ds =

∫ u2

u1

√(dx

du

)2

+

(dy

du

)2

du

Ejemplo 3.15

Hallar la longitud de arco de la curva x = 3y32 − 1 entre y = 0 e y = 4.

Comodx

dy=

9

2y

12 ,

s =

∫ d

c

√1 +

(dx

dy

)2

dy =

∫ 4

0

√1 +

81

4y dy =

8

243

(82√

82− 1)unidades.


Ejemplo 3.16

Hallar el arco de la curva x = t2 − 1 , y = t3, desde t = 0 hasta t = 4.

Ahoradx

dt= 2t,

dy

dt= 3t2 y

(dx

dt

)2

+

(dy

dt

)2

= 4t2 + 9t4 = 4t2(

1 +9

4t2)

. Entonces:

s =

∫ 4

0

√1 +

9

4t2 (2tdt) =

8

27

(37√

37− 1)unidades.

Ejemplo 3.17

Calcular la longitud del arco de la curva y = x32 entre x = 0 y x = 5.

Puesto quedy

dx=

3

2

√x,

s =

∫ b

a

√1 +

(dy

dx

)2

dx =

∫ 5

0

√1 +

9

4x dx =

[8

27

(1 +

9

4x

) 32

]5

0

=335

27unidades.

Ejemplo 3.18

Hallar la longitud del arco de 24xy = x4 + 48 entre x = 2 y x = 4.

dy

dx=x4 − 16

8x2y reduciendo se obtiene:

s =1

8

∫ 4

2

(x2 +

16

x2

)dx =

17

6unidades.

Ejemplo 3.19

Hallar la longitud del arco de la catenaria y =1

2a(exa + e

−xa

)desde x = 0 hasta x = a.

dy

dx=

1

2

(exa + e

−xa

)1 +

(dy

dx

)2

= 1 +1

4

(e

2xa − 2 + e

−2xa

)=

1

4

(exa + e

−xa

)2

Entonces:

s =1

2

∫ a

0

(exa + e

−xa

)dx =

1

2a[exa − e

−xa

]40

=1

2a

(e− 1

e

)unidades.

Ejemplo 3.20

Hallar la longitud del arco de la parabola y2 = 12x desde (0, 0) a (3, 6).


La longitud pedida es la del arco desde (0, 0) hasta el punto (3, 6). Se tiene:

dx

dy=y

6y 1 +

(dx

dy

)2

=36 + y2

36

s =1

6

∫ 6

0

√36 + y2 dy =

1

6

[1

2y√

36 + y2 + 18 ln(y +

√36 + y2

)]6

0

= 3[√

2 + ln(

1 +√

2)]

unidades.

Ejemplo 3.21

Hallar la longitud de un arco de la cicloide x = θ − sin θ, y = 1− cos θ.

Un arco se describe al variar θ desde θ = 0 hasta θ = 2π. Por lo tanto, se tiene:

dx

dθ= 1− cos θ y

dy

dθ= sin θ

(dx

dθ

)2

+

(dy

dθ

)2

= 2 (1− cos θ) = 4 sin2 θ

2

s = 2

∫ 2π

0

sinθ

2dθ =

[−4 cos

θ

2

]2π

0

= 8unidades.

EJERCICIOS DE LA SECCION 3.2

Encuentre la longitud de la grafica de la funcion dada sobre el intervalo indicado.

1. y = x ; [−1, 1]. Sol. 2√

2

2. y = x32 + 4 ; [0, 1] Sol.

1

27

(13

32 − 8

)≈ 1.4397

3. y =2

3

(x2 + 1

) 32 ; [1, 4] Sol. 45

4. y =1

3x

32 − x 1

2 ; [1, 4] Sol.10

3

5. y =1

4x4 +

1

8x2; [2, 3] Sol.

4685

288≈ 16.2674

6. y =(

4− x 23

) 32

; [1, 8] Sol. 9

7. y =

x− 2, 2 ≤ x < 3

(x− 2)23 , 3 ≤ x < 10

12 (x− 6)

32 , 10 ≤ x ≤ 15

; [2,15]

Encuentra la longitud de arco en los intervalos dados de cada una de las siguientes curvas.

8. y2 = x3 ; 1 ≤ x ≤ 4 Sol. 7.6337u

9. x = y2 ; 0 ≤ y ≤ 1 Sol. 1.4789u

10. f(x) =2

3

√(x− 1)

3; 1 ≤ x ≤ 4 Sol. 4.66u


11. f(x) = 4x32 ; 0 ≤ x ≤ 1 Sol. 4.1493u

12. f(x) =2

3

(x2 − 1

) 32 ; 1 ≤ x ≤ 3 Sol. 4u

13. f(x) = ln(cosx) ;π

2≤ x ≤ π

4Sol. ln

∣∣√2 + 1∣∣ u ≈ 0.8813u

14. y = lnx2 ; 1 ≤ x ≤ 5 Sol. 5.2563u

15. Calcule la longitud de arco de la curva 8y = x4 + 2x−2 desde el punto donde x = 1 hasta el puntodonde x = 2.

(Sol. 33

16

)16. Obtenga la longitud de arco de la curva y =

1

3(x2 + 2)

32 desde el punto donde x = 0 hasta el punto

donde x = 3. (Sol. 12)

17. Obtenga la longitud de arco de la curva y =1

3

√x(3x − 1) desde el punto donde x = 1 hasta el punto

donde x = 4.(Sol. 22

3

)18. Determine la longitud de arco de la curva x

23 + y

23 = 1 en el primer cuadrante desde el punto donde

x = 18 hasta el punto donde x = 1.

(Sol. 9

8

)19. Obtenga la longitud de arco de la curva 9y2 = x(x − 3)2 desde el punto donde x = 1 hasta el punto

donde x = 3.(Sol. 2

√3− 4

3

)En los ejercicios 20-25, calcular la longitud de la curva completa o arco que se indica.

20. y = 8x2 entre x = 1 y x = 8 Sol.

(104√

13− 125

27

)unidades.

21. 6xy = x4 + 3 entre x = 1 y x = 2 Sol.17

12unidades.

22. y = lnx entre x = 1 y x = 2√

2 Sol.

[3−√

2 + ln1

2

(2 +√

2)]

unidades.

23. 27y2 = 4(x− 2)3 entre (2, 0) y (11, 6√

3) Sol. 14 unidades.

24. y = ln(1− x2) entre x =1

4y x =

3

4Sol.

[ln

(21

5

)− 1

2

]unidades.

25. y =1

2x2 − 1

4lnx entre x = 1 y x = e Sol.

(1

2e2 − 1

4

)unidades.

Hallar la longitud de arco de:

26. La astroide x23 + y

23 = a

23 Sol.

3

2a

27. Un arco de la cicloidex = a(t− sin t)y = a(t− cos t)

Sol. 8a

28. La curva r = a sin3 ϕ

3. Toda la curva esta descrita por el punto (r, ϕ)

al variar ϕ desde 0 hasta 3π. Sol.3πa

2

29. De la parabola y = 2√x desde x = 0 hasta x = 1. Sol.

√2 + ln

(1 +√

2)


30. La curva y = ex, comprendido entre los puntos

(0, 1) y (1, e). Sol.√

1 + e2 −√

2 + ln

(√1 + e2 − 1

) (√2 + 1

)e

31. La curva y = lnx desde x =√

3 hasta x =√

8 Sol. 1 +1

2ln

(3

2

)32. y = arcsin (e−x) desde x = 0 hasta x = 1 Sol. ln

(e+√e2 − 1

)33. La curva x =

1

4y2 − 1

2ln y desde y = 1 hasta y = e Sol.

1

4

(e2 + 1

)


3.3. VOLUMENES DE SOLIDOS DE REVOLUCION.

Introduccion.

Un solido de revolucion esta generado por la rotacion de un area plana alrededor de una recta del plano o ejede revolucion. El volumen de un solido de revolucion se puede hallar por uno de los procedimientos siguientes.

3.3.1. Metodo del Disco

a) El eje de rotacion forma parte del contorno del area plana.

1. Se traza un diagrama indicando el area generatriz, una franja representativa perpendicular al eje derotacion, y su rectangulo generico.

2. Se halla el volumen del disco producido en la rotacion del rectangulo generico alrededor del eje derotacion y la suma correspondiente a los n rectangulos.

3. Se aplica el teorema fundamental del calculo integral suponiendo que el numero de rectangulos creceindefinidamente.

b) El eje de rotacion no forma parte del contorno del area plana.

1. Se traza un diagrama indicando el area generatriz, una franja representativa perpendicular al eje derotacion, y su rectangulo generico.

2. Se prolongan los lados del rectangulo generico, ABCD, hasta que corten al eje de rotacion en E y F (verFig. 3 del ejemplo 3). Cuando este rectangulo gire alrededor del eje de rotacion se produce un cilindrocuyo volumen es igual a la diferencia de los volumenes generados por los rectangulos EABF y ECDFal girar con respecto al mismo eje. Se halla la diferencia de los dos volumenes y se procede como en elapartado (2) anterior.


3.3.2. Metodo del Anillo

1. Se dibuja en un diagrama, el area generatriz, una franja representativa paralela al eje de rotacion y surectangulo correspondiente.

2. Se halla el volumen (circunferencia media × altura × espesor) del anillo cilındrico producido en larotacion del rectangulo generico con respeto al eje de giro y se halla la suma correspondiente a los nrectangulos.

3. Se aplica el teorema fundamental del calculo, suponiendo que el numero de rectangulos crece indefini-damente.

Ejemplo 3.22

Hallar el volumen generado en la rotacion del area del primer cuadrante limitada por la parabolay2 = 8x y la ordenada x = 2 con respecto al eje de las x como muestra la Figura 1.

135 3.3. VOLUMENES DE SOLIDOS DE REVOLUCION.

Figura 1. Grafico del ejemplo 3.22

Se divide el area mediante franjas verticales, cuando el rectangulo generico de la Figura 1 girealrededor del eje x se produce un disco de radio y, de altura ∆x y de volumen πy2∆x. La suma de losvolumenes de los n discos, corresponden a los n rectangulos, es Σπy2∆x, y el volumen pedido sera:

V =

∫ b

a

dV =

∫ 2

0

πy2dx = π

∫ 2

0

8xdx = 4πx2]20

= 16π unidades de volumen.

Ejemplo 3.23

Hallar el volumen generado al girar el area limitada por la parabola y2 = 8x alrededor de la ordenadacorrespondiente a x = 2 como lo muestra la Figura 2.


Se divide el area mediante franjas horizontales, cuando el rectangulo generico de la Figura 2 gire


alrededor del eje y se produce un disco de radio 2− x, de altura ∆y y de volumen π(2− x)2∆y.

El volumen pedido sera:

V =

∫ 4

−4

π(2− x)2dy = 2π

∫ 4

0

(2− x)2dy = 2π

∫ 4

0

(2− y2

8

)2

dy =256

15π unidades de volumen.

Ejemplo 3.24

Hallar el volumen generado en la rotacion del area limitada por y2 = 8x y la ordenada correspondientea x = 2 con respecto al eje y, como lo muestra la Figura 3.


Se divide el area en franjas horizontales, cuando el rectangulo generico de la Figura 3 gire alrededordel eje y se produce un disco cuyo volumen es igual a la diferencia entre los volumenes generadosal girar los rectangulos ECDF (de dimensiones 2 por ∆y) y EABF (de dimensiones x por ∆y) conrespeto al eje y, es decir, π(2)2∆y − π(x)2∆y. El volumen pedido sera

V =

∫ 4

−4

4πdy −∫ 4

−4

πx2dy = 2π

∫ 4

0

(4− x2)dy = 2π

∫ 4

0

(4− y4

64

)dy =

128

5π unidades.

Ejemplo 3.25

Hallar el volumen generado en la rotacion del area comprendida entre la parabola y = 4x−x2 y el ejex con respecto a la recta y = 6, ver la Figura 4.



Dividiendo el area mediante franjas verticales, el rectangulo generico, al girar alrededor de la rectay = 6, se produce un disco de volumen π(6)2∆x− π(6− y)2∆x. El volumen pedido sera:

V =

∫ 4

0

[(6)2 − (6− y)2

]dx = π

∫ 4

0

(12y − y2

)dx

= π

∫ 4

0

(48x− 28x2 + 8x3 − x4

)dx =

1408


Ejemplo 3.26

Hallar el volumen generado en la rotacion del area limitada por la parabola y2 = 8x y la ordenadacorrespondiente a x = 2 con respecto esta recta. Aplicar el metodo del anillo.



Se divide el area como se puede ver en la Figura 5, mediante franjas verticales, y se elige, paramayor sencillez, el punto P de forma que sea el punto medio del segmento AB.

La altura del rectangulo generico es 2y = 4√

2x, su base, ∆x y su distancia al eje de giro es2 − x. Cuando este rectangulo gire alrededor de este eje se produce un anillo cilındrico de volumen2π (2− x) · 4

√2x∆x.

El volumen pedido sera

V = 8√

2π

∫ 2

0

(2− x)√xdx = 8

√2π

∫ 2

0

(2x

12 − x 3

2

)dx =

256


Ejemplo 3.27

Hallar el volumen del toroide generado en la rotacion del cırculo x2+y2 = 4 alrededor de la recta x = 3.

Aquı se aplica el metodo del anillo. La altura del rectangulo generico es 2y, su base ∆x, y ladistancia medida al eje de revolucion vale 3− x. El volumen pedido sera

V = 2π

∫ 2

−2

2y(3− x)dx = 4π

∫ 2

−2

(3− x)√

4− x2dx

= 12π

∫ 2

−2

√4− x2dx− 4π

∫ 2

−2

x√

4− x2dx

=

[12π

(x2

√4− x2 + 2 arcsin

x

2

)+

4

3π(4− x2

) 32

]2

−2

= 24π2 unidades de volumen.



Ejemplo 3.28

Hallar el volumen generado en la rotacion alrededor del eje y del area limitada por el primer arco dela cicloide x = θ − sin θ, y = 1− cos θ y el eje x. Aplicar el metodo del anillo.

V = 2π

∫ θ=2π

θ=0

xydx = 2π

∫ 2π

0

(θ − sin θ) (1− cos θ) (1− cos θ) dθ

= 2π

∫ 2π

0

(θ − 2θ cos θ + θ cos2 θ − sin θ + 2 sin θ cos θ − cos2 θ sin θ

)dθ

= 2π

[3

4θ2 − 2 (θ sin θ + cos θ) +

1

2

(1

2θ sin 2θ +

1

4cos 2θ

)+ cos θ + sin2 θ +

1

3cos2 θ

]2π

0

= 6π3 unidades de volumen.


Ejemplo 3.29

Hallar el volumen generado en la rotacion del area limitada por y = −x2 − 3x + 6 y x + y − 3 = 0alrededor de la recta a) x = 3, b) y = 0.

a) V = 2π

∫ 1

−3

(yC − yL) (3− x) dx

= 2π

∫ 1

−3

(x3 − x2 − 9x+ 9

)dx

=256


b) V = π

∫ 1

−3

[(yC)

2 − (yL)2]dx

= π

∫ 1

−3

(x4 + 6x3 − 4x2 − 30x+ 27

)dx

=1792



Figura 8. Grafico del problema 3.29

3.3.3. Volumenes de Solidos de Seccion Conocida.

El volumen de un solido de revolucion generado en la rotacion alrededor del eje x de un area limitada por la

curva y = f(x), el eje x y las rectas x = a y x = b viene dado por∫ baπy2dx. El integrando πy2 = π [f(x)]

2se

puede interpretar como el area de la seccion determinada por un plano perpendicular al eje x situado a unadistancia del origen igual a x unidades.

Recıprocamente, si el area de la seccion ABC determinada en un solido por un plano perpendicular aleje x situado a una distancia del origen igual a x unidades, se puede expresar como funcion, A(x), de x.

Entonces el volumen del solido viene dado por V =∫ βαA(x)dx.

Figura 9. Volumen de un solido de revolucion


Ejemplo 3.30

Hallar el volumen de un solido de base circular de 4 unidades de radio sabiendo que toda seccionplana perpendicular a un diametro fijo es un triangulo equilatero.

Tomando el cırculo como en la Figura 10, con el eje x sobre el diametro fijo, la ecuacion delcırculo sera x2 + y2 = 16. La seccion ABC del solido s un triangulo equilatero de lado 2y y areaA(x) =

√3y2 =

√3(16− x2

).

V =

∫ β

α

A(x)dx =√

3

∫ 4

−4

(16− x2

)dx =

√3

[16x− x3

3

]4

−4

=256

3

√3 unidades de volumen.


Ejemplo 3.31

Un solido tiene una base en forma de elipse cuyos ejes mayor y menor miden 10 y 8, respectivamente.Hallar su volumen sabiendo que toda la seccion perpendicular al eje mayor es un triangulo isoscelesde altura igual a 6.

La elipse se coloca como indica la Figura 11, sabiendo su ecuacionx2

25+y2

16= 1. La seccion

ABC es un triangulo isosceles de base 2y, altura 6 y area A(x) = 6y = 6

(4

5

√25− x2

).



Por lo tanto, el volumen pedido sera:

V =24

5

∫ 5

−5

√25− x2dx = 60π unidades de volumen.

Ejemplo 3.32

Hallar el volumen del solido limitado por el paraboloidex2

25+y2

16= z y el plano z = 10.


La seccion determinada en el solido por un plano paralelo al eje xy situado a una distancia z del origenes una elipse de area πxy = π (4

√z) (5√z) = 20πz. En consecuencia,

V = 20π

∫ 10

0

zdz = 1000π unidades de volumen.

Ejemplo 3.33

En un cilindro recto circular de madera, de 8 centımetros de radio, se efectua un corte por un planoque pasa por un diametro de la base y forma con ella un angulo de 60◦. Hallar el volumen de lamadera eliminada (ver Figura 13).

Tomando los ejes coordenados, la seccion determinada por un plano perpendicular al eje x esun triangulo rectangulo en el cual el angulo agudo adyacente al cateto y es de 60◦. La longitud delotro cateto es

√3y y el area de la seccion es A = 1

2

√3y2 = 1

2

√3(64− x2

). Por lo tanto,


V =1

2

√3

∫ 8

−8

(64− x2

)dx =

1024

3

√3 cm3


Ejemplo 3.34

Hallar el volumen de la interseccion de dos cilindros de igual radio r que se corta ortogonalmente (verFigura 14).


Tomando los ejes coordenados que se indica en la figura, las ecuaciones de los cilindros son x2+z2 = r2 yy2+z2 = r2. La seccion determinada en el volumen que se trata de calcular, por un plano perpendicularal eje z, es un cuadrado de lado 2x = 2y = 2

√r2 − z2 y el area 4

(r2 − z2

). Por tanto

V = 4

∫ r

−r

(r2 − z2

)dz =

16r3

3

√3 unidades de volumen.



En los ejercicios 1-9, calcular el volumen generado en la rotacion del area plana dada alrededor del ejeindicado, aplicando el metodo del disco.

1. y = 2x2, y = 0, x = 5; eje x Sol. 2500π unidades cubicas.

2. y = 4x2, x = 0, y = 16; y = 16 Sol. 32π unidades cubicas.

3. y = 4x2, x = 0, y = 16; eje y Sol.4096

15π unidades cubicas.

4. y2 = x3, y = 0, x = 2; eje y Sol. 4π unidades cubicas.

5. y = x3, y = 0, x = 2; x = 2 Sol.16π

5unidades cubicas.

6. y2 = x4(1− x2

); eje x Sol.

4π

35unidades cubicas.

7. 4x2 + 9y2 = 36; eje x Sol. 16π unidades cubicas.

8. 4x2 + 9y2 = 36; eje y Sol. 24π unidades cubicas.

9. Dentro de x = 9− y2, entre x− y − 7 = 0, x = 0; eje y Sol.963


10. Determina el volumen solido que se obtiene al hacer girar la region limitadapor la curva y =

√x de 0 a 4, alrededor del eje x Sol. 8π u3.

11. Calcula el volumen del solido que se obtiene al hacer girar la region limitadapor la curva f(x) =

√x− 2, y las rectas, x = 2, x = 11 alrededor del eje x Sol. 81

2 π u3.

12. Obten el volumen que se genera al rotar en torno al eje x en el area limitadapor la curva y = 4− x2 y la recta y = 0. Sol. 512

15 π u3.

13. Obten el volumen generado al girar en torno al eje y la superficie limitadapor las curvas y = x2 y y =

√x. Sol. 3

10π u3.

14. Determina el volumen generado por las curvas x2 + y2 = 25 y y2 − 6x+ 15 = 0,al girar en torno al eje y. Sol. 384

5 π u3.

Hallar en los ejercicios 15-20 el volumen generado en la rotacion del area plana dada alrededor del ejeindicado, aplicando el metodo del anillo.

15. y = 2x2, y = 0, x = 5; eje y Sol. 625 unidades cubicas.

16. y = 2x2, y = 0, x = 0, x = 5; x = 6 Sol. 375 unidades cubicas.

17. y = x3, y = 0, x = 2; y = 8 Sol.320


18. y = x2, y = 4x− x2; x = 5 Sol.64


19. y = x2 − 5x+ 6, y = 0; eje y Sol.5


20. Dentro de x = 9− y2, entre x− y − 7 = 0, x = 0; y = 3 Sol.369


Hallar el volumen del cuerpo generado:

21. Por la rotacion, alrededor del eje x, de la superficie limitada por el eje x y

la parabola y = ax− x2 (a > 0). Sol. πa5

30


22. Por la rotacion de la elipsex2

a2+y2

b2= 1 alrededor del eje x. Sol.

4

3πab2

23. Al girar, alrededor del eje x, la superficie limitada por la catenaria

y = a cosh xa , el eje x y las rectas x = ±a. Sol. a3π

4

(e2 + 4− e−2

)24. Al girar, alrededor del eje x, la curva y = sin2 x, en el intervalo x = 0

hasta x = π. Sol. 38π

2

25. Al girar la superficie limitada por la parabola semicubica y2 = x3, el eje xy la recta x = 1, alrededor del eje x. Sol. Vx = x

4

26. Al girar la misma superficie del problema anterior, alrededor del eje y. Sol. Vy = 47π

27. Al girar la astroide x = a cos3 t, y = b sin3 t alrededor del eje y. Sol.32

105πa3

28. Al girar, alrededor del eje y, la parte de la parabola y2 = 4ax que interceptala recta x = a. Sol. 16

5 πa3

29. Al girar, alrededor de la recta x = a, la parte de la parabola y2 = 4ax quese interseca por la misma recta. Sol. 32

15πa3

30. Al girar las superficies limitadas por las lıneas y = ex, x = 0 y y = 0 alrededora) del eje x y b) del eje y. Sol. Vx = π

2 , Vy = 2π


3.4. CALCULO DE CENTROIDES.

3.4.1. Areas Planas y Solidos de Revolucion.

La masa de un solido es una medida de la materia que contiene y su volumen es una medida del espacioque ocupa. Si la masa por unidad de volumen es la misma en todo el cuerpo se dice que este es homogeneoo que tiene densidad constante.

En mecanica se simplifican mucho los calculos cuando se puede considerar a la masa del cuerpo concen-trada en un punto que se denomina centro de masa. En un cuerpo homogeneo, este punto coincide con elcentro geometrico o centroide. Por ejemplo, el centro de masa de una pelota de goma homogenea coincidecon el centro geometrico de la pelota considerada como una esfera.

El centro geometrico de una hoja de papel rectangular estara situado entre las dos superficies a la mitad delespesor pero, en este caso, se puede considerar situado sobre una de las superficies en el punto de interseccionde las diagonales. Ası, pues, el centro de masas de una hoja delgada coincide con el centro geometrico de lahoja considerada como un area plana.

El momento (de primer orden) ML de un area plana con respecto a la recta L es el producto delarea por la distancia de su centro geometrico a dicha recta. El momento de un area compuesta de otras variascon respecto a una recta es igual a la suma de los momentos de las areas individuales con respecto a dicha recta.

Para hallar el momento de un area plana con respecto a un eje coordenado se procede de la manera si-guiente:

1. Se dibuja el area y se traza una franja representativa y su rectangulo generico correspondiente.

2. Se efectua el producto del area del rectangulo por la distancia de su centro geometrico o centroide aleje, y se escribe la suma correspondiente a todos los rectangulos.


Para un area plana A cuyo centro geometrico es el punto (x, y) y cuyos momentos con respecto a los ejes xy y son Mx y My, respectivamente, se tiene:

Ax = My y Ay = Mx

El momento (de primer orden) de un solido de volumen V , generado en la rotacion de un area pla-na alrededor de un eje coordenado, con respecto a un plano que pase por el origen y sea perpendicular adicho eje, se halla de la manera siguiente:

1. Se dibuja el area y se traza una franja representativa y su rectangulo generico.

2. Se efectua el producto del volumen del disco o anillo, generado en la rotacion del rectangulo con respectoal eje, por la distancia del centro geometrico del rectangulo al plano, y se escribe la suma correspondientea todos los rectangulos.


El centro geometrico (x, y) esta situado en el eje x si el area gira en torno a dicho eje. Llamando Myz almomento del solido con respecto al plano que pasa por el origen y es perpendicular al eje x, se tiene

V x = Myz, y = 0

Analogamente, si la rotacion del area tiene lugar en torno del eje y, el centro geometrico (x, y) esta situadoen dicho eje. Llamando Mxz al momento del solido con respecto al plano que pase por el origen y seaperpendicular al eje y, se tiene

147 3.4. CALCULO DE CENTROIDES.

V y = Mxz, x = 0

Teorema 3.1

Primer Teorema de Pappus. El volumen generado por un area plana en rotacion alrededor de uneje de su plano que no la corte es igual al producto del area por la longitud de la trayectoria descritapor su centro geometrico.

Ejemplo 3.35

Dada el area plana de la Figura 1, hallar a) su momento con respecto a los ejes coordenados y b)las coordenadas de su centro geometrico (x, y).

a) El area del rectangulo superior es 5 × 2 = 10 unidades, y su centro geometrico es el puntoA(2, 5, 9). Analogamente, las areas y centros de los otros rectangulos son: 12 unidades, B(1, 5); 2unidades, C(2, 5, 5); 10 unidades, D(2, 5, 1).

Los momentos de los rectangulos con respecto al eje x son 10(9), 12(5) y 10(1). Por tanto, elmomento del area de la figura, con respecto al eje x, es

Mx = 10(9) + 12(5) + 2(5) + 10(1) = 170

Analogamente, el momento del area de la figura con respecto al eje y es:

My = 10(2.5) + 12(1) + 2(2.5) + 10(2.5) = 67

b) El area de la Figura 1 es A = 10 + 12 + 2 + 10 = 34.

Luego Ax = My, 34x = 67 y x =67

34,

Y Ay = Mx, 34y = 170 y y = 5.

El punto

(67

34, 5

)es el centro geometrico.



Ejemplo 3.36

Hallar el momento, con respecto a los ejes coordenados, del area plana del segundo cuadrante limitadapor la curva x = y2 − 9.

El area del rectangulo generico de la Figura 2 es −x∆y, su centro geometrico es(

12x, y

)y su

momento con respecto al eje x vale y (−x∆y).


Por tanto,

Mx = −∫ 3

0

yxdy = −∫ 3

0

y(y2 − 9

)dy =

81

4

Analogamente, el momento del rectangulo generico con respecto al eje y es 12x (−x∆y). Por lo tanto,

My = −1

2

∫ 3

0

x2dy = −1

2

∫ 3

0

(y2 − 9

)2dy = −324

5

Ejemplo 3.37

Hallar el centro geometrico del area del primer cuadrante limitada por la parabola y = 4− x2.

Figura 3. Grafico del ejemplo 3-37


El centro geometrico del rectangulo generico es(x, 1

2y).

A =

∫ 2

0

ydx = −∫ 2

0

(4− x2

)dx =

16

3

Mx =

∫ 2

0

1

2y · ydx =

1

2

∫ 2

0

(4− x2

)2dx =

128

15

My =

∫ 2

0

x · ydx =

∫ 2

0

x(4− x2

)dx = 4

Por tanto x =My

A = 34 , y = Mx

A = 85 , y las coordenadas del centro geometrico son

(34 ,

85

).

Ejemplo 3.38

Hallar el centro geometrico del area del primer cuadrante limitada por la parabola y = x2 y la rectay = x.

El centro geometrico del rectangulo generico es[x, 1

2

(x+ x2

)].

A =

∫ 1

0

(x+ x2

)dx =

1

6

Mx =

∫ 1

0

1

2

(x+ x2

) (x− x2

)dx =

1

15

My =

∫ 1

0

x(x− x2

)dx =

1

12

Por tanto, x =My

A = 12 , y = Mx

A = 25 , y las coordenadas del centro geometrico son

(12 ,

25

).



Ejemplo 3.39

Determinar el centro geometrico del area limitada por las parabolas x = y2 y x2 = −8y. Ver Figura5.


El centro geometrico del rectangulo generico es[x, 1

2

(−x

2

8 −√x)]

.

A =

∫ 4

0

(−x

2

8+√x

)dx =

8

3

Mx =

∫ 4

0

1

2

(−x

2

8−√x

)(−x

2

8+√x

)dx = −12

5

My =

∫ 4

0

x

(−x

2

8+√x

)dx =

24

5

Y el centro es (x, y) =(

95 ,−

910

).

Ejemplo 3.40

Hallar el centro geometrico del area limitada por la curva y = 2 sin 3x, desde x = 0 hasta x = π3 (ver

Figura 6).

Empleando el rectangulo generico de la figura cuyo centro geometrico es(x, 1

2y).

A =

∫ π3

0

y dx =

∫ π3

0

2 sin 3x dx = −2

3cos 3x

]π3

0

=4

3

Mx =

∫ π3

0

1

2y · y dx = 2

∫ π3

0

sin2 3xdx

= 2

[1

2x− 1

12sin 6x

]π3

0

=π

3

My =

∫ π3

0

x · y dx = 2

∫ π3

0

x sin 3x dx


=2

9[sin 3x− 3x cos 3x]

π30 =

2

9π

Las coordenadas del centro son(My

A , Mx

A

)=(π6 ,

π4

).


Ejemplo 3.41

Hallar el centro geometrico del area del primer cuadrante de la hipocicloide x = a cos3 θ, y = a sin3 θ(observar Figura 7).


A =

∫ θ=π2

θ=0

x dy =

∫ π2

0

a cos3 θ · 3a sin2 θ cos θ dθ =3

4a2

∫ π2

0

sin2 2θ

(1 + cos 2θ

2

)dθ

=3

8a2

[θ

2− 1

8sin 4θ +

1

6sin3 2θ

]π2

0

=3

32πa2


Mx =

∫ θ=π2

θ=0

y · x dy = 3a3

∫ π2

0

cos4 θ sin5 θdθ = 3a3

∫ π2

0

cos4 θ(1− cos2 θ

)2dθ

= −3a3

[cos5 θ

5− 2 cos7 θ

7+

cos9 θ

9

]π2

0

=24a3

315

Por tanto, y = Mx

A = 256a315π y las coordenadas del centro son

(256a315π ,

256a315π

).


Calcular el centroide de las areas dadas en los ejercicios 1-10.

1. y = x2, y = 9 Sol.

(0,

27

5

)

2. y = 4x− x2, y = 0 Sol.

(2,

8

5

)

3. y = 4x− x2, y = x Sol.

(3

2,

12

5

)

4. 3y2 = 4(3− x), x = 0 Sol.

(6

5, 0

)

5. x2 = 8y, y = 0, x = 4 Sol.

(3,

3

5

)

6. y = x2, 4y = x3 Sol.

(12

5,

192

35

)

7. x2 − 8y + 4 = 0, x2 = 4y, primer cuadrante Sol.

(3

4,

2

5

)

8. Area del primer cuadrante de x2 + y2 = a2, Sol.

(4a

3π,

4a

3π

)

9. Area del primer cuadrante de 9x2 + 16y2 = 144, Sol.

(16

3π,

4

π

)

10. Lazo derecho de y2 = x4(1− x2

), Sol.

(32

15π, 0

)Hallar el centro geometrico del solido generado en la rotacion de las areas planas dadas alrededor de los ejesindicados en los ejercicios 11-15.

11. y = x2, y = 9, x = 0; eje y Sol. y = 6

12. y = 4x− x2, y = x; eje x Sol. x =27

16

13. y = 4x− x2, y = x; eje y Sol. y =27

10

14. x2 − y2 = 16, y = 0, x = 8; eje x Sol. x =27

4

15. x2 − y2 = 16, y = 0, x = 8; eje y Sol. y =3√

3

2

153 3.5. MOMENTOS DE INERCIA.

3.5. MOMENTOS DE INERCIA.

3.5.1. Areas Planas y Solidos de Revolucion.

El momento de inercia IL de un area plana A con respecto a una recta L situada en su plano se halla dela forma siguiente:

1. Se dibuja el area, trazando una franja representativa paralela a la recta y su rectangulo genericocorrespondiente.

2. Se calcula el producto del area del rectangulo por el cuadrado de la distancia de su centro geometricode la recta y se escribe la suma correspondiente a todos los rectangulos.


EL MOMENTO DE INERCIA DE UN SOLIDO de volumen V, generado en la rotacion de un areaplana alrededor de una recta L de su plano con respecto a esta area (eje del solido), se halla de la formasiguiente:

1. Se dibuja un area, trazando una franja representativa paralela al eje y su rectangulo generico corres-pondiente.

2. Se calcula el producto del volumen generado en la rotacion del rectangulo alrededor del eje (anillo)por el cuadrado de la distancia del centro geometrico del rectangulo a dicho eje, y se escribe la sumacorrespondiente a todos los rectangulos.


3.5.2. Radio de Giro.

El numero positivo R definido por la relacion IL = AR2 en el caso de un area plana A, y por IL = V R2

en el caso de un solido de revolucion, recibe el nombre de radio de giro de area o volumen, respectivamente,con respecto a L.

Teorema 3.2

Teorema de Steiner. El momento de inercia de un area, arco o volumen con respecto a un ejecualquiera es igual al momento de inercia con respecto a un eje paralelo a el que pase por el centrogeometrico mas el producto del area, longitud del arco, o volumen, por el cuadrado de la distanciaentre dichos ejes.

Ejemplo 3.42

Hallar el momento de inercia de un area rectangular A de dimensiones a y b con respecto a un lado.

Se puede considerar el area como se representa en la Figura 1, y se hace la suposicion que ellado en cuestion es el eje y.

El area del rectangulo generico es b∆x, y su centro geometrico esta situado en

(x,

1

2b

).

Por tanto, su movimiento vale x2b∆x. En consecuencia,

Iy =

∫ a

0

x2b dx = bx3

3

]a0

=ba3

3=

1

3A · a2


Ası, pues, el momento de inercia de un area rectangular con respecto a uno de sus lados es igual a 13

del producto del area por el cuadrado de la longitud del otro lado.


Ejemplo 3.43

Hallar el momento de inercia, con respecto al eje y, del area plana limitada por la parabola y = 9−x2

y el eje x.

Primera solucion. Para el rectangulo generico de la Figura 2, se tiene A = y · ∆x, y elcentro geometrico es

(x, 1

2y), luego,

Iy =

∫ 3

−3

x2y dx = 2

∫ 3

0

(9x2 − x4

)dx =

324

5



Segunda solucion. El area del rectangulo generico de la Figura 3 es x∆y, siendo x la dimension

perpendicular al eje y. Por tanto (del problema 1), el momento elemental vale 13 (x∆y)x2. Ası pues,

teniendo en cuenta la simetrıa de la figura,

Iy = 2 · 1

3

∫ 9

0

x3dy =2

3

∫ 9

0

(9− y)32 dy =

324

5

Luego,

A = 2

∫ 9

0

xdy = 2

∫ 9

0

√9− y dy = 36, Iy =

324

5= AR2 y el radio de giro es R =

3√5.

Figura 3. Grafico del problema 3.43

Ejemplo 3.44

Hallar el momento de inercia, con respecto al eje y, del area limitada por la parabola x2 = 4y y larecta y = x (ver Figura 4).



Considerando el rectangulo generico de la Figura 4, de area(x,− 1

4x2)

∆x y cuyo centro geometrico

esta en[x, 1

2

(x,− 1

4x2)]

, tendremos

A =

∫ 4

0

(x,−1

4x2

)dx =

8

3e Iy =

∫ 4

0

x2

(x,−1

4x2

)dx =

64

5=

24

5A

Ejemplo 3.45

Hallar el momento de inercia, con respecto a cada uno de los ejes coordenados, del area limitada conla curva y = sinx desde x = 0 hasta x = π (ver Figura 5).


A =

∫ π

0

sinx dx = − cosx ]π0 = 2

Ix =

∫ π

0

y2 · 1

3sinx dx =

1

3

∫ π

0

sin3 x dx =1

3

[− cosx+

1

3cos3 x

]π0

=4

9=

2

9A

Iy =

∫ π

0

x2 sinx dx =[2 cosx+ 2x sinx− x2 cosx

]π0

=(π2 − 4

)=

1

2

(π2 − 4

)A

Ejemplo 3.46

Hallar el momento de inercia de un cilindro circular recto de altura y = b y radio de la base x = a.

Consideremos que el cilindro (Figura 6) se genera en la rotacion, alrededor del eje y, de unrectangulo de dimensiones a y b, como se representa en la Figura 6. El centro generico delrectangulo generico es

(x, 1

2b), y el volumen del anillo generado en dicha rotacion alrededor del eje es

∆V = 2πbx ·∆x, por tanto, como V = πba2,

Iy = 2π

∫ a

0

x2bx dx =1

2πba4 =

1

2πba2 · a2 =

1

2V a2


Ası pues, el momento de inercia de un cilindro circular recto con respecto a su eje es igual a la mitadde su volumen multiplicado por el cuadrado de su radio.


Ejemplo 3.47

Hallar el momento de inercia con respecto a su eje, del solido generado al girar alrededor del eje x, elarea del primer cuadrante limitada por la parabola y2 = 8x, el eje x y la recta x = 2.

Primera solucion. El centro geometrico del rectangulo generico (Figura 7) es[

12 (x+ 2), y

], y el

volumen generado en la rotacion del rectangulo alrededor del eje x es 2πy(2−x)∆y = 2πy(

2− y2

8

)∆y.


Figura 7. Grafico del ejemplo 3.47 primera solucion

Por tanto,

V = 2π

∫ 4

0

y

(2− y2

8

)dy = 16π y Ix = 2π

∫ 4

0

y2 · y(

2− y2

8

)dy =

256

3π =

16

3V

Segunda solucion. El volumen generado (Figura 8) en la rotacion del rectangulo generico con

respecto al eje x es 12

(πy2∆x

)= 1

2πy4. Por tanto,

V = π

∫ 2

0

y2dx = 8π

∫ 2

0

x dx = 16π

Ix =1

2π

∫ 2

0

y2dx = 32π

∫ 2

0

x2dx =256

3π =

16

3V


Figura 8. Grafico del ejemplo 3.47 y 3.48

Ejemplo 3.48

Hallar el momento de inercia, con respecto a su eje, del solido generado en la rotacion del area delproblema 6 con respecto al eje y (Figura 8).

El volumen generado en la rotacion del rectangulo generico con respecto al eje y es 2πxy∆x.Por consiguiente,

V = 2π

∫ 2

0

xy dx = 4√

2π

∫ 2

0

x32 dx =

64

5π

Iy = 2π

∫ 2

0

x2 · xy dx = 4√

2π

∫ 2

0

x72 dx =

256

9π =

20

9V

Ejemplo 3.49

Hallar el momento de inercia, con respecto a su eje, del volumen de la esfera generada por un cırculode radio r alrededor de un diametro fijo.

Se toma el cırculo con el diametro fijo segun el eje x, como se representa en la Figura 9.Aplicando el metodo del anillo,

V = 2π

∫ r

0

2x · y dy =4

3πr3

Ix = 4π

∫ r

0

y2 · xy dy = 4π

∫ r

0

y3√r2 − y2 dy

Haciendo y = r sin z tendremos√x2 + y2 = r cos z, dy = r cos z dz.


Para pasar de los lımites de integracion de y a los correspondientes de z, tendremos paray = 0, 0 = r sin z, 0 = sin z, luego z = 0; para y = r, r = r sin z, 1 = sin z luego z = 1

2π por tanto:

Ix = 4πr5

∫ π2

0

sin3 z · cos2 z dz = 4πr5

∫ π2

0

(1− cos2 z

)cos2 z · sin z dz =

8

15πr5 =

2

3r2V


Ejemplo 3.50

Hallar el momento de inercia del area de un circulo de radio r con respecto a una recta situada a sunidades de su centro.


Tomando el centro del cırculo como origen, calculemos en primer lugar el momento de inercia delcırculo con respecto al diametro paralelo a la recta dada.

Ix = 4

∫ r

0

y2 · x dy = 4

∫ r

0

y2√r2 − y2 dy =

1

4r2A

Donde

IS = IZ +As2 =

(1

4r2 + s2

)A


Hallar el momento de inercia de:


1. Un triangulo de base b y altura h, respecto a su propia base.

Sol.1

12bh3

2. Una circunferencia de radio a, respecto a su propio diametro.

Sol. I = πa3

3. Un rectangulo de lados a y b, respecto a estos lados.

Sol. Ia =1

3ab3; Ib =

1

3a3b

4. Un segmento parabolico recto, respecto a su eje de simetrıa, si la base es 2b y la altura es h.

Sol. I =4

15hb3

5. La superficie de la elipsex2

a2+y2

b2= 1 respecto a sus ejes principales.

Sol. Ia =1

4πab3; Ib =

1

4πa3b

Hallar el momento de inercia del area plana dada con respecto a la recta indicada.

6. y = 4− x2, x = 0, y = 0; eje x, eje y Sol.128A

35,

4A

5

7. y = 8x2, x = 1, y = 0; eje x, eje y Sol.128A

15,

2A

3

8. y2 + x2 = a2; un diametro Sol.a2 ·A

4

9. y2 = 4x, x = 1; eje x, eje y Sol.4A

5,

3A

7

10. 4x2 + 9y2 = 36; eje x, eje y Sol. A,9A

4

Capıtulo 4

SERIES

4.1. INTRODUCCION.

El concepto de una serie se relaciona con el concepto de sucesion. Si {an} es la sucesion a1, a2, a3, ..., an, ...,entonces la suma de los terminos

a1 + a2 + a3 + ...+ an + ... (1)

se llama serie infinita o simplemente serie. Las ak k = 1, 2, 3, ..., se denominan terminos de la serie y an sellama termino general. Se puede escribir en forma compacta utilizando la notacion de sumatoria como:

∞∑k=1

ak o por conveniencia∑

ak

La pregunta que se desea responder es:

¿Cuando una serie infinita de constantes ”suma” un numero?

4.1.1. Sucesion de sumas parciales.

Asociada con toda serie infinita∑ak, existe una sucesion de sumas parciales {Sn} cuyos terminos estan

definidos por:

S1 = a1

S2 = a1 + a2

S3 = a1 + a2 + a3

...

Sn = a1 + a2 + a3 + ...+ an

...

El termino general Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an =∑nk=1 ak de esta sucesion se denomina la suma parcial

n-esima de la serie.

Ejemplo 4.1

Representa como una serie infinita el numero racional1

9.

Se tiene que:

163

CAPITULO 4: SERIES 164

1

9= 0.1111111111...

0.1111111111... =1

10+

1

102+

1

103+ ...

La sucesion de sumas parciales para la serie anterior Sn es:

S1 =1

10= 0.1

S2 =1

10+

1

102= 0.11

S3 =1

10+

1

102+

1

103= 0.111

...

Sn =1

10+

1

102+

1

103+ ...+

1

10n=

nn︷︸︸︷0.111...1 =

n∑k=1

1

10k

...

Cuando n es muy grande, Sn dara una buena aproximacion de1

9de modo que parece razona-

ble escribir1

9lımn→∞

Sn = lımn→∞

n∑k=1

1

10k=

∞∑k=1

1

10k

Esto lleva a la siguiente definicion.

Definicion 4.1

Serie convergente. La serie infinita

∞∑k=1

ak se dice que es convergente si su sucesion de sumas

parciales

{Sn} =

{ ∞∑k=1

ak

}converge; esto es, lım

n→∞Sn = lım

n→∞

n∑k=1

ak = S

El numero S se dice que es la suma de la serie. Si lımn→∞

no existe, entonces se dice que la serie es

divergente.

Ejemplo 4.2

Demostrar que la serie

∞∑k=1

1

4k2 − 1es convergente.

Se tiene que:1

4k2 − 1=

1

(2k − 1) (2k + 1)

Utilizando fracciones parciales:

1

(2k − 1) (2k + 1)=

A

(2k − 1)+

B

(2k + 1)

165 4.1. INTRODUCCION.

Se encuentra que:1

(2k − 1) (2k + 1)=

1

2 (2k − 1)+

1

2 (2k + 1)

La serie se puede escribir como

∞∑k=1

1

4k2 − 1=

∞∑k=1

[1

2 (2k − 1)+

1

2 (2k + 1)

]La suma parcial n-esima de la serie es

Sn =

k=1︷︸︸︷[1

2− 1

6

]+

k=2︷︸︸︷[1

6− 1

10

]+

k=3︷︸︸︷[1

10− 1

14

]+ · · ·+

k=n−1︷︸︸︷[1

2(2n− 3)− 1

2(2n− 1)

]+

k=n︷︸︸︷[1

2(2n− 1)− 1

2(2n+ 1)

]

Sn =1

2− 1

6+

1

6− 1

10+

1

10− 1

14+

1

14· · · − 1

2(2n+ 1)+

1

2(2n− 1)−(

1

2(2n+ 1)

)Sn =

1

2− 1

2(2n+ 1)

De la ultima lınea observamos que lımn→∞

1

2(2n+ 1)= 0, y por tanto

lımn→∞

Sn = lımn→∞

[1

2− 1

2(2n+ 1)

]=

1

2− 0 =

1

2

En consecuencia, la serie converge y se escribe:

∞∑k=1

1

4k2 − 1=

1

2

4.1.2. Serie telescopica.

Debido a la manera en la cual el termino general de la sucesion de sumas parciales ”colapsa” hasta dosterminos, la serie en el Ejemplo 2 se dice que es una serie telescopica.

4.1.3. Serie geometrica.

Otro tipo de serie que puede probarse como convergente o divergente a partir directamente de su sucesionde sumas parciales tiene la forma

a+ ar + ar2 + ...+ arn−1 + ... =∑∞k=1 ar

k−1 (2)

donde a 6= 0 y r son numeros reales fijos. Una serie con esta forma se llama serie geometrica. Se advierteque cada termino despues del primero se obtiene al multiplicar el termino precedente por r. El numero r sedenomina la razon comun y su magnitud determina si una serie geometrica converge o diverge.

Teorema 4.1

Suma de una serie geometrica.


i) Si |r| < 1, entonces una serie geometrica converge y su suma es

∞∑k=1

ark−1 =a

1− r, a 6= 0

ii) Si |r| ≥ 1, entonces una serie geometrica diverge.

Demostracion. La prueba del Teorema 1 se dara en dos partes. En cada parte se supone que a 6= 0.

Se empezara con el caso en que |r| = 1. Para r = 1, la serie es

∞∑k=1

a = a+ a+ a+ ...

y por ello la suma parcial n-esima Sn =

na︷︸︸︷a+ a+ ...+ a es simplemente Sn = na. En este caso,

lımn→∞

= Sn = a · lımn→∞

n =∞. De tal modo, la serie diverge. Para r = −1, la serie es

∞∑k=1

a(−1)k−1 = a+ (−a) + a+ (−a) + ...

y por ello la sucesion de sumas parciales es

S1, S2, S3, S4, S5, S6, ... o a, 0, a, 0, a, 0, a, 0, ...

la cual es divergente.

Se considera ahora el caso |r| 6= 1, el cual significa que |r| < 1 o |r| > 1. El termino general de la suce-sion de sumas parciales de (2):

Sn = a+ ar + ar2 + ...+ arn−1 (3)

Multiplicando ambos lados de (3) por r, se obtiene:

rSn = ar + ar2 + ar3 + ...+ arn (4)

Despues se restan ambas ecuaciones y se resuelve para Sn:

Sn − rSn = a− arn

(1− r)Sn = (1− rn) a

Sn =(1− rn) a

1− r, r 6= 1 (5)

Sabemos que lımn→∞

rn = 0 para |r| < 1. En consecuencia,

lımn→∞

Sn = lımn→∞

a (1− rn)

1− r=

a

1− r|r| < 1

Si |r| < 1, entonces lımn→∞

rn no existe y por ello el lımite anterior tampoco existe.


Ejemplo 4.3

Determinar si converge la serie

∞∑k=1

3

(1

5

)k−1

.

∞∑k=1

3

(1

5

)k−1

= 3 +3

5+

3

25+ ...

Se identifica a = 3 y la razon comun r = 15 , puesto que r < 1, la serie converge. La serie es entonces

∞∑k=1

3

(1

5

)k−1

=3

1− 1

5

=34

5

=15

4

Todo numero racional pq donde p y q 6= 0 son enteros, se puede expresar como un decimal interrumpido

o como un decimal repetido. De tal modo, la serie∑∞k=1

110k

en el ejemplo 1 converge, puesto que es

un serie geometrica con r = 110 < 1. Con a = 1

10 , encontramos

∞∑k=1

1

10k=

∞∑k=1

1

10

(1

10

)k−1

=

1

10

1− 1

10

=

1

109

10

=1

9

En general, todo decimal repetido es una serie geometrica convergente.

Ejemplo 4.4

Expresar el numero decimal repetido 0.61616161.... como un cociente de enteros.

Se escribe el numero como una serie geometrica.

0.61616161... =61

100+

61

10000+

61

1000000+

61

100000000+ ...

=61

102+

61

104+

61

106+ ...

∞∑k=1

61

100

(1

100

)k−1

Se identifica a =61

100y r =

1

100. La serie converge pues r =

1

100< 1, la suma es

0.61616161... =

∞∑k=1

61

100

(1

100

)k−1

=

61

100

1− 1

100

=

61

10099

100

=61

99

4.1.4. Serie armonica.

Una de las series mas famosas es tambien un ejemplo de una serie divergente. La serie armonica es la sumade los recıprocos de los enteros positivos:

1 +1

2+

1

3+ ...+

1

n+ ... =

∞∑k=1

(6)


El termino general de la sucesion de las sumas parciales esta dado por:

Sn = 1 +1

2+

1

3+ ...+

1

n

De tal modo

S2n = 1 +1

2+

1

3+ ...+

1

n+

1

n+ 1+

1

n+ 2+

1

n+ 3+ ...+

1

2n

= Sn +1

n+ 1+

1

n+ 2+

1

n+ 3+ ...+

1

2n

≥ Sn +1

2n+

1

2n+ ...+

1

2n︸︷︷︸n en terminos de 1

2n

= Sn + n · 1

2n= Sn +

1

2

La desigualdad Sn ≥ Sn+ 12 implica que la sucesion de sumas parciales para la serie armonica no esta acotada.

Para ver lo anterior, observe que

S2 ≥ S1 +1

2≥ 3

2+

1

2= 2

S4 ≥ S2 +1

2≥ 3

2+

1

2= 2

S8 ≥ S4 +1

2≥ 2 +

1

2=

5

2

S16 ≥ S8 +1

2≥ 3

2+

1

2= 2

y ası sucesivamente. En consecuencia, se concluye que la serie armonica es divergente.Una consecuencia de convergencia.

Si an y Sn son los terminos generales de una serie y la sucesion correspondiente de sumas parciales, respec-tivamente, entonces de la resta

Sn − Sn−1 = (a1 + a2 + ...+ an−1 + an)− (a1 + a2 + ...+ an−1) = an

En este caso, si la serie∑ak converge a un numero S, se tiene que lım

n→∞Sn = S y lım

n→∞Sn−1 = S. Esto

implica quelımn→∞

an = lımn→∞

(Sn − Sn−1) = S − S = 0

Teorema 4.2

Condicion necesaria para convergencia.

Si la serie

∞∑k=1

ak converge, entonces lımn→∞

an = 0

4.1.5. Prueba para una Serie Divergente.

El Teorema 2 establece simplemente que si una serie infinita converge, es necesario que el termino n-esimo,o general, tienda a cero. De modo equivalente, se concluye:

Si el n-esimo termino an, de una serie infinita no tiende a cero cuando n→∞, entonces la serie no converge.

Formalizamos este resultado como una prueba para la divergencia


Teorema 4.3

Prueba del termino n-esimo para divergencia.

Si lımn→∞

an 6= 0, entonces la serie

∞∑k=1

ak diverge.

Se observa como se enuncian los teoremas anteriores. En especıfico, el teorema de la condicion necesariapara la convergencia no dice ”si lımn→∞ an = 0, entonces

∑ak converge”. En otras palabras, lımn→∞ an = 0

no es suficiente para garantizar que∑ak converge. De hecho, si lımn→∞ an = 0, la serie puede ser convergente

o divergente. Por ejemplo, en la serie armonica∑∞k=1

(1k

), an = 1

n y lımn→∞(

1n

)= 0 pero la serie diverge.

Ejemplo 4.5

Determinar si converge la serie

∞∑k=1

3k2 + 2

5k2 + 3.

Se identifica an =3k2 + 2

5k2 + 3, luego

lımn→∞

an = lımn→∞

3k2 + 2

5k2 + 3= lımn→∞

3 +2

n2

5 +3

n2

=3

56= 0

Por el teorema anterior, la serie diverge.

Teorema 4.4

Multiplo constante de una serie.

Si c es cualquier constante distinta de cero, entonces las series

∞∑k=1

ak y

∞∑k=1

cak convergen am-

bas o divergen ambas.

Teorema 4.5

Suma de dos series convergentes.

Si

∞∑k=1

ak y

∞∑k=1

bk convergen a S1 y S2, respectivamente, entonces

i)

∞∑k=1

(ak + bk) converge a S1 + S2, y

ii)

∞∑k=1

(ak − bk) converge a S1 − S2.

Teorema 4.6

Suma de una serie convergente y una divergente.


Si

∞∑k=1

ak converge y

∞∑k=1

bk diverge, entonces

∞∑k=1

(ak + bk) diverge.

Ejemplo 4.6

Encuentra la suma de las series

∞∑k=1

(1

5

)k−1

y

∞∑k=1

(1

5

)k.

Se tiene que:∞∑k=1

(1

5

)k−1

=1

1− 1

5

=14

5

=5

4

∞∑k=1

(1

4

)k−1

=1

1− 1

4

=13

4

=4

3

Entonces∞∑k=1

[(1

5

)k−1

+

(1

4

)k−1]

=

∞∑k=1

(1

4

)k−1

=5

4+

4

3=

31

12

Ejemplo 4.7

Encuentre

∞∑k=1

[1

4k2 − 1+

1

k

].

Del Ejemplo 2 se sabe que la serie

∞∑k=1

1

4k2 − 1converge a

1

2, por otra parte

∞∑k=1

1

kes la serie

armonica divergente, entonces∞∑k=1

[1

4k2 − 1+

1

k

]diverge


En los ejercicios 1-8, escribir los primeros cuatro terminos de cada serie.

1.

∞∑k=1

(−1)k−1

k(k + 1)Sol.

1

2− 1

6+

1

12− 1

20+ ...

2.

∞∑k=1

(−1)k+1

k · 3k

3.

∞∑n=0

n+ 1

n!Sol. 1 + 2 +

3

2+

2

3+ ...

4.

∞∑n=1

(2n)!

n+ 1


5.

∞∑m=1

2 · 4 · 6 · · · (2m)

1 · 3 · 5 · · · (2m− 1)Sol. 2 +

8

3+

16

5+

128

35+ ...

6.

∞∑m=1

1 · 3 · 5 · · · (2m− 1)

m!

7.

∞∑j=3

cos jπ

2j + 1Sol. −1

7+

1

9− 1

11+

1

13− ...

8.

∞∑i=5

i siniπ

2

En los ejercicios 9-10, proceder como en el Ejemplo 2 para encontrar la suma de la serie telescopica dada.

9.

∞∑k=1

1

k(k + 1)Sol. 1

10.

∞∑k=1

1

(k − 1)(k + 2)

En los ejercicios 11-20, determine si la serie geometrica dada converge o diverge. Si es convergente, encuentrela suma de la serie.

11.

∞∑k=1

3

(1

5

)k−1

Sol.15

4

12.

∞∑k=1

10

(3

4

)k−1

13.

∞∑k=1

(−1)k−1

2k−1Sol.

2

3

14.

∞∑k=1

πk(

1

3

)k−1

15.

∞∑k=1

5r · 4−r Sol. Diverge

16.

∞∑s=1

(−3)s · 7−s

17.

∞∑n=1

1000(0.9)n Sol. 9000

18.

∞∑n=1

(1.1)n

1000

19.

∞∑k=0

1(√3−√

2)k Sol. Diverge

20.

∞∑k=0

( √5

1 +√

5

)k


En los ejercicios 21-26, escriba cada numero decimal que se repite como un cociente de enteros.

21. 0.222... Sol.2

9

22. 0.555...

23. 0.616161... Sol.61

99

24. 0.393939...

25. 1.314314... Sol.1313

99

26. 0.5262626...

En los ejercicios 27-36, muestre que la serie dada es divergente.

27.

∞∑k=1

10

28.

∞∑k=1

[5k + 1]

29.

∞∑k=1

k

2k + 1

30.

∞∑k=1

[k2 + 1

k2 + 2k + 3

]

31.

∞∑k=1

(−1)k

32.

∞∑k=1

ln

[k

3k + 1

]

33.

∞∑k=1

10

k

34.

∞∑k=1

1

6k

35.

∞∑k=1

[1

2k−1+

1

k

]

36.

∞∑k=1

k sin1

k

En los ejercicios 37-41, determine los valores de x para los cuales la serie dada converge.

38.

∞∑k=1

(x2

)k−1

Sol. −2 < x < 2

39.

∞∑k=1

(1

x

)k−1

173 4.2. PRUEBA DE PROPORCIONES Y DE LA RAIZ.

40.

∞∑k=0

(x+ 1)k

Sol. −2 < x < 0

41.

∞∑k=1

(2k · x2k

)

4.2. PRUEBA DE PROPORCIONES Y DE LA RAIZ.

En esta seccion, como en la anterior, las pruebas que se consideran son aplicables a series infinitas de terminospositivos.

4.2.1. Prueba de las Proporciones.

La primera de estas pruebas emplea el lımite del cociente entre el termino (n+ 1) y el termino n-esimo dela serie. Esta prueba es especialmente util cuando ak implica factoriales, potencias k-esimas de una constantey, algunas veces, potencias k-esimas de k.

Teorema 4.7

Prueba de las proporciones.

Suponga que

∞∑k=1

ak es una serie de terminos positivos tal que

lımn→∞

an + 1

an= L

i) Si L < 1, la serie es convergente.

ii) Si L > 1, o si L =∞, la serie es divergente.

iii) Si L = 1, la prueba no es conclusiva.

En el caso en que L = 1 , debemos aplicar otra prueba a la serie para determinar su convergencia o divergencia.

Ejemplo 4.8

Prueba la convergencia de

∞∑k=1

1

k!.

Se identifica que an = 1n! y por ello an+1 = 1

(n+1)! . Luego se forma el cociente de an+1 y an,

se simplifica y se toma el lımite cuando n→∞.

lımn→∞

an+1

an= lımn→∞

n!

(n+ 1)!= lımn→∞

n!

(n+ 1)n!= lımn→∞

1

n+ 1= 0

Puesto que L = 0 < 1, se concluye que la serie converge.


Ejemplo 4.9

Prueba la convergencia de

∞∑k=1

2k

k!.

Se identifica que an =2n

n!y por ello an+1 =

2n+1

(n+ 1)!. Entonces

lımn→∞

an+1

an= lımn→∞

2n+1

(n+ 1)!· n!

2n= lımn→∞

2 (2n)

(n+ 1)n!· n!

2n= lımn→∞

2

n+ 1= 0

Puesto que L = 0 < 1, se concluye que la serie converge.

4.2.2. Prueba de la Raız.

Si los terminos de una serie∑ak consisten solo en potencias k-esimas, entonces puede aplicarse la si-

guiente prueba, la cual implica tomar la raız n-esima del termino n-esimo.

Teorema 4.8

Prueba de la raız.

Suponga que∑∞k=1 ak es una serie de terminos positivos tal que

lımn→∞

n√an = lım

n→∞(an)

1n = L

i) Si L < 1, la serie es convergente.

ii) Si L > 1, o si L =∞, la serie es divergente.

iii) Si L = 1, la prueba no es conclusiva.

Ejemplo 4.10

Examina la convergencia de

∞∑k=1

1

kk.

Se identifica que an =1

nny despues se calcula el lımite cuando n → ∞ de la raız n-esima de

an.

lımn→∞

[(1

n

)n] 1n

= lımn→∞

1

n= 0

Puesto que L = 0 < 1, de acuerdo con el teorema de prueba de raız se concluye que la serie converge.


En los ejercicios 1-16, recurra a la prueba de las proporciones para determinar si la serie dada converge.

1.

∞∑k=1

1

k!Sol. Converge

175 4.2. PRUEBA DE PROPORCIONES Y DE LA RAIZ.

2.

∞∑k=1

2k

k!

3.

∞∑k=1

k!

1000kSol. Diverge

4.

∞∑k=1

k

(2

3

)k

5.

∞∑j=1

j10

(1.1)jSol. Converge

6.

∞∑j=1

1

j5(0.99)j

7.

∞∑n=1

4n−1

n · 3n−1Sol. Diverge

8.

∞∑n=1

n3 · 2n+3

7n−1

9.

∞∑k=1

k!

(2k)!Sol. Converge

10.

∞∑k=1

(2k)!

k!(2k)k

11.

∞∑k=1

99k(k3 + 1

)k2 · 102k

Sol. Converge

12.

∞∑k=1

k!

ek2

13.

∞∑k=1

5k

kkSol. Converge

14.

∞∑k=1

k! · 3k

kk

15.

∞∑k=1

1 · 3 · 5 · · · (2k − 1)

k!Sol. Diverge

16.

∞∑k=1

k!

2 · 4 · 6 · · · (2k)

En los ejercicios 17-24, utilice la prueba de la raız para determinar si la serie dada converge.

17.

∞∑k=1

1

kkSol. Converge

18.

∞∑k=1

(ke

k + 1

)k


19.

∞∑k=1

(k

ln k

)kSol. Diverge

20.

∞∑k=1

1

(ln k)k

21.

∞∑k=1

(k

k + 1

)k2Sol. Converge

22.

∞∑k=1

(1− 2

k

)k2

23.

∞∑k=1

62k+1

kkSol. Converge

24.∞∑k=1

kk

ek+1

En los ejercicios 25-32, use cualquier prueba apropiada para determinar si la serie dada converge.

25.

∞∑k=1

k2 + k

k3 + 2k + 1Sol. Diverge

26.

∞∑k=1

(3k

2k + 1

)k

27.

∞∑n=1

e1n

n2Sol. Converge

28.

∞∑n=1

n2 + n

en

29.

∞∑k=1

5kk!

(k + 1)!Sol. Diverge

30.

∞∑k=1

3

2k + k

31.

∞∑k=1

2k

3k + 4kSol. Converge

32.

∞∑k=1

1

3+

2

4+

3

5+

4

6+ ...

177 4.3. SERIES ALTERNANTES.

4.3. SERIES ALTERNANTES.

Se consideraran series alternantes aquellas en las cuales los terminos se alternan entre numeros positivos ynegativos, esto es, las series tienen la forma:

a1 − a2 + a3 − a4 + ...+ (−1)n+1

an + ... =

∞∑k=1

(−1)k+1

ak

−a1 + a2 − a3 + a4 − ...+ (−1)nan + ... =

∞∑k=1

(−1)kak

Donde ak > 0 para k = 1, 2, 3, ... Las series anteriores se dice que son series alternantes. En esta seccion seexaminaran las propiedades de series alternantes generales y las pruebas de su convergencia. Debido a que lasegunda serie es solo un multiplo de la primera, se confinara la discusion a la ultima serie.

Teorema 4.9

Prueba de la serie alternante.

Si lımn→∞

an = 0 y 0 < ak+1 ≤ ak para todo entero positivo k, entonces la serie alternante∞∑k=1

(−1)k+1

ak converge.

Ejemplo 4.11

Demuestra que la serie alternante

∞∑k=1

(−1)k+1

k + 5converge.

Se identifica an =1

n+ 5, se obtiene que

lımn→∞

an = lımn→∞

1

n+ 5

Ademas, puesto que1

k + 5 + 1≤ 1

k + 5

1

k + 6≤ 1

k + 5

Para k ≥ 1, se cumple 0 < ak+1 ≤ ak. Se concluye del teorema de series alternantes que la serie∞∑k=1

(−1)k+1

k + 5converge.

Ejemplo 4.12


∞∑k=1

(−1)k+1 8k

2k + 5.


Se identifica an =8n

2n+ 5, entonces

lımn→∞

an = lımn→∞

8n

2n+ 5= lımn→∞

8

2 + 5n

=8

2= 4 6= 0

Como este lımite es diferente de cero se tiene que la serie alternante

∞∑k=1

(−1)k+1 8k

2k + 5diverge.

Definicion 4.2

Convergencia absoluta.

Una serie

∞∑k=1

ak se dice que es absolutamente convergente si la serie de valores absolutos

∞∑k=1

|ak|

converge.

Ejemplo 4.13

Determina si la serie

∞∑k=1

(−1)k+1

(2

3

)k−1

es absolutamente convergente.

La serie de valores absolutos asociada a la serie es

∞∑k=1

∣∣∣∣∣(−1)k+1

(2

3

)k−1∣∣∣∣∣ =

∞∑k=1

(2

3

)k−1

La serie

∞∑k=1

(2

3

)k−1

es una serie geometrica con r =2

3como

2

3< 1 la serie es convergente, entonces

la serie

∞∑k=1

(−1)k+1

(2

3

)k−1

es absolutamente convergente.

Definicion 4.3

Convergencia condicionada.

Se dice que una serie

∞∑k=1

ak es convergente de manera condicional si

∞∑k=1

ak converge pero la

serie de valores absolutos

∞∑k=1

|ak| diverge.

Ejemplo 4.14


∞∑k=1

(−1)k+1

k.


La serie alternante

∞∑k=1

(−1)k+1

kes convergente (de acuerdo al teorema de series alternantes).

Pero la serie de valores absolutos

∞∑k=1

∣∣∣∣∣ (−1)k+1

k

∣∣∣∣∣ =

∞∑k=1

1

kdiverge.

Por lo tanto la serie

∞∑k=1

(−1)k+1

kconverge de manera condicional.

Teorema 4.10

La convergencia absoluta implica convergencia.

Si

∞∑k=1

|ak| converge, entonces

∞∑k=1

ak converge.

Ejemplo 4.15

Determina si converge la serie

∞∑k=1

(−1)k[

1

k + 1− 1

k

].

Se identifica

∞∑k=1

ak =

∞∑k=1

(−1)k[

1

k + 1− 1

k

]La serie de valores absolutos es

∞∑k=1

|ak| =∞∑k=1

∣∣∣∣(−1)k[

1

k + 1− 1

k

]∣∣∣∣ =

∞∑k=1

[1

k + 1− 1

k

]

La suma parcial n-esima de la serie

∞∑k=1

|ak| =∞∑k=1

[1

k + 1− 1

k

]es:

Sn =

k=1︷︸︸︷[1

2− 1

]+

k=2︷︸︸︷[1

3− 1

2

]+

k=3︷︸︸︷[1

4− 1

3

]+

k=4︷︸︸︷[1

5− 1

4

]+...+

k=n−1︷︸︸︷[1

n− 1

n− 1

]+

k=n︷︸︸︷[1

n+ 1− 1

n

]

Sn = −1 +1

n+ 1

lımn→∞

Sn = lımn→∞

[−1 +

1

n+ 1

]= −1

Entonces

∞∑k=1

|ak| converge y

∞∑k=1

ak es absolutamente convergente, por lo tanto

∞∑k=1

ak =∞∑k=1

(−1)k[

1

k + 1− 1

k

]converge.

Las siguientes formas modificadas de la prueba de las proporciones y de la prueba de la raız se aplicandirectamente a una serie alternante.


4.3.1. Prueba de las proporciones.

Suponga que

∞∑k=1

ak es una serie de terminos distintos de cero tal que:

lımn→∞

∣∣∣∣an+1

an

∣∣∣∣ = L

1) Si L < 1, la serie es absolutamente convergente.2) Si L > 1 o si L =∞, la serie es divergente.3) Si L = 1, la prueba no es conclusiva.Prueba de las proporciones.

Suponga que

∞∑k=1

ak es una serie tal que:

lımn→∞

n√|an| = lım

n→∞|an|

1n = L

1) Si L < 1, la serie es absolutamente convergente.2) Si L > 1 o si L =∞, la serie es divergente.3) Si L = 1, la prueba no es conclusiva.

Ejemplo 4.16


∞∑k=1

(−1)k+1 · 32k−1

k · 5k.

Se hace an =(−1)n+1 · 32n−1

n · 5n, an+1 =

(−1)n+1+1 · 32(n+1)−1

(n+ 1) 5(n+1)=

(−1)n+2 · 32n+1

(n+ 1) 5n+1

lımn→∞

∣∣∣∣an+1

an

∣∣∣∣ = lımn→∞

∣∣∣∣ (−1)n+2 · 32n+1

(n+ 1) 5n+1· n5n

(−1)n+1 · 32n−1

∣∣∣∣ = lımn→∞

n · 32n+1−2n+1

(n+ 1)5n+1−n = lımn→∞

32n

(n+ 1)5=

9

5

Puesto que L =9

5> 1, la serie alternante diverge.


En los ejercicios 1-13 utilice la prueba de la serie alternante para determinar si la serie dada converge.

1.

∞∑k=1

(−1)k+1

k + 2Sol. Converge.

2.

∞∑k=1

(−1)k−1

√k

3.

∞∑k=1

(−1)k−1 k

k + 1Sol. Diverge.

4.

∞∑k=1

(−1)k k

k2 + 1

∞∑k=1

(−1)k+1 k

2 + 2

k3Sol. Converge.


5.

∞∑k=1

(−1)k+1 3k − 1

k + 5

6.

∞∑k=1

(−1)k+1

(1

k+

1

3k

)Sol. Converge.

7.

∞∑k=1

(−1)k+1 k + 1

4k

8.

∞∑n=1

(−1)n−1 4

√n

2n+ 1Sol. Converge.

9.

∞∑n=1

(−1)n−1

3√n

n+ 1

10.∞∑n=2

(cosnπ)

√n+ 1

n+ 2Sol. Converge.

11.

∞∑k=2

(−1)k

√k2 + 1

k3

12.

∞∑k=2

(−1)k k

ln kSol. Diverge.

13.

∞∑k=2

(−1)k

ln k

En los ejercicios 14-27 determine si la serie dada es absolutamente convergente, convergente de manera

condicional o divergente.∑∞k=1

(−1)k+1

2k + 1

14.

∞∑k=1

(−1)k−1

√k + 5

15.

∞∑k=1

(−1)k+1

(2

3

)kSol. Absolutamente convergente.

16.

∞∑k=1

(−1)k+1 22k

3k

∞∑k=1

(−1)k k

5kSol. Absolutamente convergente.

17.

∞∑k=1

(−1)k (k · 2−k

)2 ∞∑k=1

(−1)k

k!Sol. Absolutamente convergente.

18.

∞∑k=1

(−1)k (k!)

2

(2k)!

19.

∞∑k=1

(−1)k+1 k!

100kSol. Divergente.

20.

∞∑k=1

(−1)k−1 52k−3

10k+2


21.

∞∑k=1

(−1)k−1 k

1 + k2Sol. Condicionalmente convergente.

22.

∞∑k=1

(−1)k+1 k

1 + k4

23.

∞∑k=1

cos kπ Sol. Divergente.

24.

∞∑k=1

sin

(2k + 1

2π

)√k + 1

25.

∞∑k=1

(−1)k−1

sin

(1

k

)Sol. Condicionalmente convergente.

26.

∞∑k=1

(−1)k−1

k2sin

(1

k

) ∞∑k=1

(−1)k

[1

k + 1− 1

k

]Sol. Absolutamente convergente.

27.

∞∑k=1

(−1)k[√

k + 1−√k]

183 4.4. SERIES DE POTENCIAS.

4.4. SERIES DE POTENCIAS.

La representacion mas importante de funciones mediante series infinitas son aquellas cuyos terminos sonmultiplos constantes de potencias enteras (sucesivas) de la variable independiente x; es decir, series que seasemejan a polinomios infinitos.

Una serie de potencia en x tiene la forma

∞∑k=0

akxk = a0 + a1x+ a2x

2 + a3x3 + ...+ anx

n + ... (1)

Los coeficientes a0, a1, a2... son constantes.

4.4.1. Convergencia de Series de Potencias.

Es claro que las series de potencias de la ecuacion anterior convergen cuando x = 0. En general, las seriesconvergen para algunos valores de x y divergen para otros. Por la forma en que se aprecian las potencias dex, el criterio del cociente es particularmente eficaz para determinar los valores de x para los que una serie depotencias converge.

Supongamos que el lımite:

ρ = lımn→∞

∣∣∣∣an+1

an

∣∣∣∣ existe.

Este es el lımite que necesitamos si queremos aplicar el criterio del cociente a la serie,∑ak, de constantes.

Para aplicar el criterio del cociente a la serie de potencias, escribimos un = anxn y calculamos el lımite

lımn→∞

∣∣∣∣un+1

un

∣∣∣∣ = lımn→∞

∣∣∣∣an+1xn+1

anxn

∣∣∣∣ = ρ|x|.

Si ρ = 0, entonces∑akx

k converge absolutamente para toda x. Si ρ = +∞, entonces∑akx

k diverge paratoda x 6= 0. Si ρ es un numero real positivo, vemos de la ecuacion anterior que

∑akx

k converge absolutamentepara toda x tal que ρ |x| < 1; es decir, cuando

|x| < R =1

ρ= lımn→∞

∣∣∣∣ anan+1

∣∣∣∣En este caso, el criterio del cociente tambien implica que

∑akx

k diverge si |x| > R, pero no es concluyentecuando x = ±R. Por tanto, hemos demostrado el teorema siguiente, bajo la hipotesis adicional de que el

lımite en la ecuacion ρ = lımn→∞

∣∣∣∣an+1

an

∣∣∣∣ existe.

Teorema 4.11

Sobre la convergencia de series de potencias.

Si∑akx

k es una serie de potencias, entonces

1. La serie converge absolutamente para toda x, o

2. La serie converge solamente cuando x = 0, o

3. Existe un numero R > 0 tal que∑akx

k converge absolutamente si |x| < R y diverge si |x| > R

El numero R del caso 3 es el radio de convergencia de la serie de potencias∑akx

k. El conjunto de todoslos numeros reales x para los cuales la serie converge es su intervalo de convergencia. Si 0 < R <∞,entonces el intervalo de convergencia es uno de los intervalos


(−R,R), (−R,R], [−R,R) o [−R,R]

Cuando sustituimos los extremos x = ±R en la serie∑akx

k, obtenemos una serie infinita con terminosconstantes cuya convergencia debe determinarse por separado.

Ejemplo 4.17

Determina el intervalo de convergencia de la serie

∞∑k=0

xk

k · 2k.

Se hace un =xn

n · 2ny un+1 =

xn+1

(n+ 1) · 2n+1, entonces

lımn→∞

∣∣∣∣un+1

un

∣∣∣∣ = lımn→∞

∣∣∣∣ xn+1

(n+ 1) · 2n+1

n · 2n

xn

∣∣∣∣ = lımn→∞

∣∣∣∣ nx

2(n+ 1)

∣∣∣∣ = lımn→∞

n |x|2(n+ 1)

=|x|2

Ahora|x|2

< 1 si |x| < 2, por lo que el criterio del cociente implica que la serie dada converge

absolutamente si |x| < 2 y diverge si |x| > 2. Cuando x = 2, se hace:

∞∑k=0

2k

k · 2k=

∞∑k=0

1

k

Se tiene la serie armonica divergente

∞∑k=0

1

k

Cuando x = −2, se tiene∞∑k=0

(−2)k

k · 2k=

∞∑k=0

(−1)k

k

Esta ultima serie alternante converge.

Por tanto, el intervalo de convergencia de la serie es −2 ≤ x < 2, o tambien [−2, 2).

Ejemplo 4.18


∞∑k=0

5kxk

k!.

Se hace un =5nxn

n!, un+1 =

5n+1xn+1

(n+ 1)!, entonces

lımn→∞

∣∣∣∣un+1

un

∣∣∣∣ = lımn→∞

∣∣∣∣5n+1xn+1

(n+ 1)!

n!

5nxn

∣∣∣∣ = lımn→∞

5|x|n+ 1

= 0

para toda x. Por tanto el criterio del cociente implica que la serie de potencias converge para toda xy su intervalo de convergencia es −∞ < x <∞.

Ejemplo 4.19


∞∑k=0

(−1)k+1k2xk.


Se identifica un = (−1)n+1n2xn, un+1 = (−1)n+2(n+ 1)2xn+1, entonces

lımn→∞

∣∣∣∣un+1

un

∣∣∣∣ = lımn→∞

∣∣∣∣ (−1)n+2(n+ 1)2xn+1

(−1)n+1n2xn

∣∣∣∣ = lımn→∞

(n+ 1)2 |x|n2

= lımn→∞

(n2 + 2n+ 1

)|x|

n2

= lımn→∞

(1 +

2

n+

1

n2

)|x| = |x|

La serie converge si |x| < 1, esto es si −1 < x < 1

Se evalua la serie cuando x = 1 y cuando x = −1, por separado ya que en estos valoresL = 1 y el criterio del cociente no es concluyente.

Cuando x = 1, se tiene la serie divergente

∞∑k=0

(−1)k+1k2xk

Si x = −1, tambien se tiene una serie divergente que es −∞∑k=0

k2xk.

Entonces el intervalo de convergencia es: −1 < x < 1

4.4.2. Series de Potencias en (x-c).

Una serie infinita de la forma:

∞∑n=0

an(x− c)n = a0 + a1(x− c) + a2(x− c)2 + · · · ,

Donde c es una constante, es una serie de potencias en (potencias de) x− c. Esta ecuacion es muy parecida ala serie de potencias en x, cambiando xn por (x− c)n, para una serie de potencias en x− c concluimos que:

1. La serie converge absolutamente para toda x, o

2. La serie converge solamente cuando x− c = 0 (es decir cuando x = c) o

3. Existe un numero R > 0 tal que la serie converge absolutamente si |x− c| < R y diverge si |x− c| > R

Como en el caso de una serie de potencias con c = 0, el numero R es el radio de convergencia de la serie, yel intervalo de convergencia de la serie

∑an (x− c)n es el conjunto de todos los numeros x para los cuales

converge.

Los puntos extremos x = c − R y x = c + R del intervalo de convergencia deben verificarse por separa-do.

Ejemplo 4.20


∞∑k=o

(−1)k

(x− 3)k

k · 5k.

Sea identifica un =(−1)

n(x− 3)

n

n · 5n, un+1 =

(−1)n+1

(x− 3)n+1

(n+ 1) · 5n+1, entonces

lımn→∞

∣∣∣∣un+1

un

∣∣∣∣ = lımn→∞

∣∣∣∣∣ (−1)n+1

(x− 3)n+1

(n+ 1) · 5n+1· n · 5n

(−1)n

(x− 3)n

∣∣∣∣∣ = lımn→∞

n |x− 3|5 (n+ 1)

=|x− 3|

5


La serie converge cuando|x− 3|

5< 1, es decir, cuando |x− 3| < 5, por lo que el radio convergencia

es R = 5. Ya que c = 3, la serie converge cuando −2 < x < 8 y diverge si x < −2 o x > 8. Cuandox = −2, se tiene la serie armonica divergente

∑∞k=o

1k , y cuando x = 8, se reduce a la serie alternante

convergente∑∞k=o

(−1)k

k . Ası, el intervalo de convergencia de la serie de potencias es (−2, 8].


Determine el intervalo de convergencia de las series potencias en los ejercicios 1 a 20.

1.

∞∑n=1

1

nxn Sol. [−1, 1)

2.

∞∑n=0

(−1)n

n2 + 1xn

3.

∞∑n=1

(−1)n+1

n2xn Sol. (−1, 1)

4.

∞∑n=1

n!xn

5.

∞∑n=1

(−1)n+1

x2n

2n− 1Sol. [−1, 1]

6.

∞∑n=1

nxn

5n

7.

∞∑n=0

(5x− 3)n

Sol. (0.4, 0.8)

8.

∞∑n=1

(2x− 1)n

n4 + 16

9.

∞∑n=1

2n (x− 3)n

n2Sol. [2.5, 3.5]

10.

∞∑n=1

n!

nnxn

11.

∞∑n=1

(2n)!

n!xn Sol. Converge solo para x = 0

12.

∞∑n=1

1 · 3 · 5 · · · (2n+ 1)

n!xn

13.

∞∑n=1

n3 (x+ 1)n

3nSol. (−4, 2)

14.

∞∑n=1

(−1)n+1

(x− 2)n

n2


15.

∞∑n=1

(3− x)n

n3Sol. [2, 4]

16.

∞∑n=1

(−1)n+1 · 10n

n!(x− 10)

n

17.

∞∑n=1

n!

2n(x− 5)

nSol. Converge solo para x = 5

18.

∞∑n=1

(−1)n+1

n · 10n(x− 2)

n

19.

∞∑n=0

x(2n) Sol. (−1, 1)

20.

∞∑n=0

(x2 + 1

5

)n


4.5. SERIE DE TAYLOR PARA UNA FUNCION F (X).

La Serie de Taylor representa una funcion f(x) infinitamente diferenciable sobre un intervalo (a−R, a+R)

mediante una serie de potencias∑ck (x− a)

ksobre ese intervalo. En ese caso es relativamente facil determinar

cuales deben ser los coeficientes ck. La diferenciacion repetida de

f(x) = c0 + c1 (x− a) + c2 (x− a)2

+ c3 (x− a)3

+ · · ·+ cn (x− a)n

+ · · ·

produce

f ′(x) = c1 + 2c2 (x− a) + 3c3 (x− a)2

+ · · ·f ′′(x) = 2c2 + 3 · 2c3 (x− a) + · · ·f ′′′(x) = 3 · 2 · 1c3...

Y ası sucesivamente. Al evaluar las pasadas ecuaciones en x = a, encontramos que:

f(a) = c0, f ′(a) = 1!c1, f ′′(a) = 2!c2 y f ′′′ = 3!c3,

respectivamente. En general, se ve que f (n)(a) = n!cn o

cn =f (n)(a)

n!, n ≥ 0.

Cuando n = 0, interpretamos la derivada cero como f(a) y 0! = 1. Al sustituir los coeficientes en la Seriede Taylor se producen los resultados resumidos en el siguiente teorema.

Teorema 4.12

Si una funcion f(x) posee una representacion en serie de potencias f(x) =∑ck (x− a)

ksobre un

intervalo (a−R, a+R), entonces los coeficientes deben ser ck =f (k)(a)

k!.

En otras palabras, si una funcion f(x) tiene una representacion en serie de potencias centrada en a, entoncesdebe verse como lo siguiente:

f(x) = f(a) +f ′(a)

1!(x− a) +

f ′′(a)

2!(x− a)

2+f ′′′(a)

3!(x− a)

3+ · · · =

∞∑k=0

f (k)(a)

k!(x− a)

k.

La serie anterior se denomina Serie de Taylor de f(x) en a. La Serie de Taylor centrada en a = 0.

f(x) = f(0) +f ′(0)

1!(x) +

f ′′(0)

2!x2 +

f ′′′(0)

3!x3 + · · · =

∞∑k=0

f (k)(0)

k!xk

se denomina Serie de Maclaurin de f(x).

Ejemplo 4.21

Determina la Serie de Maclaurin de la funcion f(x) = ex.

Si f(x) = ex, entonces f (n)(x) = ex, de modo que f (n)(0) = e0 = 1 para toda n.

En consecuencia, la Serie de Taylor de f(x) en 0 (esto es, la Serie de Maclaurin) es:

∞∑n=0

f (n)(0)

n!xn =

∞∑n=0

xn

n!= 1 +

x

1!+x

2!+x

3!+ · · ·

189 4.5. SERIE DE TAYLOR PARA UNA FUNCION F (X).

Ejemplo 4.22

Escriba la Serie de Maclaurin de sinx.

Ordenamos nuestros calculos en dos columnas:

f(x) = sinx f(0) = 0f ′(x) = cosx f ′(0) = 1f ′′(x) = − sinx f ′′(0) = 0f ′′′(x) = − cosx f ′′′(0) = −1f iv(x) = sinx f iv(0) = 0

En vista de que las derivadas se repiten en ciclos de 4, podemos escribir la Serie de Maclaurin deesta manera:

sinx = f(0) +f ′(0)

1!(x) +

f ′′(0)

2!x2 +

f ′′′(0)

3!x3 + · · ·

= x− x3

3!+x5

5!− x7

7!+ · · · =

∞∑n=0

(−1)n x2n+1

(2n+ 1)!

Ejemplo 4.23

Determine la Serie de Maclaurin de cosx.

Podrıamos proceder en forma directa, pero es mas facil derivar la serie de Maclaurin de sinx.

cosx =d

dx(sinx) =

d

dx

(x− x2

3!+x5

5!− x7

7!+ · · ·

)

= 1− 3x2

3!+

5x4

5!− 7x6

7!+ · · ·

= 1− x2

2!+x4

4!− x6

6!+ · · ·

=

∞∑n=0

(−1)n x2n

(2n)!para toda x

4.5.1. Calculo de Integrales como serie de Taylor.

Una de las razones de la importancia de las Series de Taylor es que permiten integrar funciones queno podrıamos manejar de otra manera. Newton solıa integrar funciones expresandolas primero en forma deseries de potencias para despues integrarlas termino por termino. En el ejemplo que sigue se emplea la ideade Newton para integrar estas funciones.

Ejemplo 4.24

Evalua en forma de una serie infinita las integrales:

a)∫ex

3

dxb)∫

sin xx dx

c)∫

sinx3dx


a) Aunque es posible usar el metodo directo para formar la Serie de Maclaurin, la formaremos

simplemente reemplazando x con x3 en la serie de ex =

∞∑n=0

xn

n!. Entonces

ex3

=

∞∑n=0

(x3)n

n!=

∞∑n=0

x3n

n!= 1 + x3 +

x6

2!+x9

3!+x12

4!+x15

5!+ · · ·

∫ex

3

dx = c+

∞∑n=0

x3n+1

n!(3n+ 1)

= c+ x+x4

4+

x7

7 · 2!+

x10

10 · 3!+

x13

13 · 4!+

x16

16 · 5!+ · · ·

b) Primero se determina la Serie de Maclaurin de la funcion f(x) =sinx

x.

En lugar de hallar las derivadas y sustituir, es mas facil multiplicar por1

xla serie de sinx:

sinx

x=

1

x

∞∑n=0

(−1)nx2n+1

(2n+ 1)!=

∞∑n=0

(−1)nx2n+1

x(2n+ 1)!=

∞∑n=0

(−1)nx2n

(2n+ 1)!

= 1− x2

3!+x4

5!− x6

7!+x8

9!+ · · ·

Entonces ∫sinx

xdx = c+

∞∑n=0

(−1)nx2n+1

(2n+ 1)!(2n+ 1)

= c+ x− x3

3 · 3!+

x5

5 · 5!− x7

7 · 7!+

x9

9 · 9!+ · · ·

c) Se reemplaza x con x3 en la serie sinx =

∞∑n=0

(−1)nx2n+1

(2n+ 1)!, se obtiene:

sinx3 =

∞∑n=0

(−1)n(x3)2n+1

(2n+ 1)!=

∞∑n=0

(−1)nx6n+3

(2n+ 1)!

sinx3 = x3 − x9

3!+x15

5!− x21

7!+x27

9!− · · ·

Entonces ∫sinx3dx =

∞∑n=0

(−1)nx6n+4

(2n+ 1)!(6n+ 4)∫sinx3dx =

x4

4− x10

10 · 3!+

x16

16 · 5!− x22

22 · 7!+

x28

28 · 9!− · · ·

Ejemplo 4.25

Utiliza la serie geometrica para resolver la integral

∫dx

1 + x4

191 4.5. SERIE DE TAYLOR PARA UNA FUNCION F (X).

La serie geometrica es

∞∑k=0

ark =a

1− rcon |r| < 1

Se hace1

1 + x4=

1

1− (−x4)=

a

1− r

Se identifica a = 1, r = −x4 en la serie geometrica, entonces

1

1 + x4=

1

1− (−x4)=

∞∑n=0

(−x4

)n=

∞∑n=0

(−1)nx4n

Por lo tanto ∫dx

1 + x4= c+

∞∑n=0

(−1)n x4n+1

4n+ 1= c+ x− x5

5+x9

9− x13

13+ · · ·


De los ejercicios del 1 al 8 obtener la Serie de Maclaurin de cada una de las funciones.

1. f(x) = cosπx Sol.

∞∑n=0

(−1)n π2n

(2n)!x2n

2. f(x) = e−x2

3. f(x) = x tan−1 x Sol.

∞∑n=0

(−1)n 1

2n+ 1x2n+2

4. f(x) = sin(x4)

5. f(x) = x2e−x Sol.

∞∑n=0

(−1)n 1

n!xn+2

6. f(x) = x cos 2x

7. f(x) = sin2 x Sol.

∞∑n=1

(−1)n+1 · 22n−1 · x2n

(2n)!

8. f(x) = cos2 x

En los ejercicios del 9 al 16 evalue la integral indefinida desarrollandola como serie infinita.

9.∫

sin(x2)dx Sol. c+

∞∑n=0

(−1)n · x4n+3

(4n+ 3)(2n+ 1)!

10.∫

cos(x2)dx

11.∫e−x

2

dx Sol. c+

∞∑n=0

(−1)n x2n+1

n!(2n+ 1)

12.∫ √

x3 + 1 dx


13.∫ 1− e−x2

x2dx Sol. c+

∞∑n=1

(−1)n+1 x2n−1

n!(2n− 1)

14.∫ex

3

dx

15.∫ dx

1 + x7Sol. c+

∞∑n=0

(−1)n x7n+1

7n+ 1

16.∫ cosx

xdx

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