c apÍtulo 3 c apÍtulo 3 i ntroduÇÃo À p robabilidade e À i nferÊncia e statÍstica
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INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTO E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS2º SEMESTRE DE 2012
CAPÍTULO 3
INTRODUÇÃO À PROBABILIDADEE À INFERÊNCIA ESTATÍSTICA
A ciência do comportamento aleatório é
necessária para compreender a Estatística, a
ciência dos dados.
INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTO E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS2º SEMESTRE DE 2012
ALEATORIEDADE:
Um fenômeno aleatório tem resultados que não
podemos predizer, mas que, não obstante, possui uma
distribuição regular em uma grande quantidade de
repetições.
INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTO E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS2º SEMESTRE DE 2012
ALEATORIEDADE:
UM EXEMPLO: Lançamento de uma moeda.
Característica: Dois resultados possíveis:
Cara ou Coroa
Não é possível afirmar a priori qual o resultado que
vai ocorrer no lançamento da moeda.
É possível definir uma distribuição regular?
INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTO E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS2º SEMESTRE DE 2012
ALEATORIEDADE:
UM EXEMPLO: Lançamento de uma moeda.
O que podemos entender como uma distribuição regular?
Qual o comportamento da ocorrência de cada possível
resultado em uma longa sequência de repetições do
fenômeno, realizadas sob as mesmas condições.
No Exemplo: Qual o comportamento do número de caras
(ou de coroas) quando uma moeda é lançada um grande
número de vezes.
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ALEATORIEDADE:
Considere 5000 lançamentos de uma moeda.
A cada lançamento determinar a proporção de caras (ou
coroas) observadas até aquele lançamento.
Por exemplo: Até o 10º lançamento, foi observado cara em 7
dos lançamentos realizados, logo a proporção de caras é de
0,7 (70%).
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ALEATORIEDADE:
Considere 5000 lançamentos de uma moeda.
Considere as duas situações a seguir:
A: Ocorre as seguintes faces nos primeiros
lançamentos: coroa, cara, coroa, coroa.
B: Ocorre face cara em todos os 5 primeiros
lançamentos.
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ALEATORIEDADE:
Considere 5000 lançamentos de uma moeda.
LOGO:
• Para o ensaio A, a proporção de caras inicia com zero no 1º
lançamento, sobe para 0,5 quando no segundo lançamento dá
uma cara, cai para 0,33 e 0,25 quando obtemos mais 2 coroas.
• Para o ensaio B, a proporção de caras é 1 até o 5º lançamento.
O ensaio A inicia com poucas caras e o B com muitas.
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ALEATORIEDADE:
Considere 5000 lançamentos de uma moeda.
Consequentemente:
A proporção de lançamentos com caras varia bastante no início.
QUESTÃO:
O que ocorre à medida que fazemos mais e mais jogadas?
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ALEATORIEDADE:
Ensaio A Ensaio B
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ALEATORIEDADE:
Considere 5000 lançamentos de uma moeda.
CONCLUSÃO:
O comportamento do acaso é imprevisível a curto prazo,
mas tem um padrão regular e previsível a longo prazo.
O resultado não pode ser predito antecipadamente.
Porém, há um padrão regular nos resultados, um padrão
que emerge após muitas repetições.
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ALEATORIEDADE:
Considere 5000 lançamentos de uma moeda.
Após uma longa sequência de lançamentos da moeda,
a proporção de caras (consequentemente também de
coroas) é aproximadamente 0,5 (50%).
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UMA DEFINIÇÃO DE PROBABILIDADE:
Considere que:
1. Cada resultado possível de um fenômeno aleatório é um
evento.
2. Os eventos têm diferentes atributos, ou seja, têm aspectos
diferentes que os distinguem entre si.
Definição 1: Se são possíveis n eventos mutuamente exclusivos e
igualmente prováveis, se nA desses eventos tem o atributo A,
então a probabilidade de A é dada pela razão nA / n.
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UMA DEFINIÇÃO DE PROBABILIDADE:
Exemplo 1:
Qual é a probabilidade de ocorrer face 6, quando se joga um
dado equilibrado?
Solução:
Quando se joga um dado equilibrado, ocorre um de 6 eventos
mutuamente exclusivos e igualmente prováveis; logo, a
probabilidade de ocorrer face 6 é 1/6.
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UMA DEFINIÇÃO DE PROBABILIDADE:
IMPORTANTE:
É importante entender que a definição clássica de probabilidade
não faz sentido a menos que possamos imaginar muitas repetições
independentes do fenômeno. Quando dizemos que a probabilidade
de sair cara num jogo de moeda é 1/2, estamos aplicando, a um
único lançamento de uma única moeda, a medida de chance que
teria sido obtida se tivéssemos feito uma longa série de jogadas.
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UMA DEFINIÇÃO DE PROBABILIDADE:
Definição 2: Frequência relativa do evento A é a razão entre o número de vezes em que ocorreu A (nA) e o número de eventos observados (n).
IMPORTANTE:
É importante entender que, se em uma longa sequência de
repetições do fenômeno, nas mesmas condições, a frequência
relativa de um evento se aproxima de um número fixo, esse
número é uma estimativa da probabilidade do evento ocorrer.
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UMA DEFINIÇÃO DE PROBABILIDADE:
Exemplo 2:
Qual é a probabilidade de ocorrer face 6 quando se joga um dado que
não é equilibrado (os seis eventos possíveis não são igualmente
prováveis)?
Solução:
Se o dado não é equilibrado, para obter a probabilidade de ocorrer
face 6 devemos lançar o dado um número suficientemente grande de
vezes e dividir o número de vezes que saiu 6 pelo número de
lançamentos feitos.
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DEFINIÇÕES E PROPRIEDADES:
Exemplo 1: Fenômeno Aleatório: Lançamento
de uma moeda.
Ω = {cara, coroa}
Evento: Face observada é cara.
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Definição 3:
Ω = Espaço amostral: É o conjunto de todos os resultados
possíveis de um fenômeno aleatório.
Um evento é qualquer subconjunto do espaço amostral.
DEFINIÇÕES E PROPRIEDADES:
Exemplo 2: Fenômeno Aleatório: Lançamento
de um dado.
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Evento 1: Face observada é SEIS.
Evento 2: Face observada é ÍMPAR.
Evento 3: Face observada é maior ou igual a 4.
Evento 4: Face observada é PAR.
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DEFINIÇÕES E PROPRIEDADES:
Exemplo 3: Fenômeno Aleatório: Um jogador de
basketball faz três lances livre. Quais são as possíveis
sequências de acertos (A) e erros(E)?
Ω =???
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Ω = {AAA, AAE, AEA, AEE, EAA, EAE, EEA, EEE}
Note: 8 elementos, 23
DEFINIÇÕES E PROPRIEDADES:
Evento F: O jogador acerta os três lances;
Evento G: O jogador erra dois lances;
Evento H: O jogador acerta o segundo lance;
P(F) = 1/8
P(G) = 3/8
P(H) = 4/8
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Ω = {AAA, AAE, AEA, AEE, EAA, EAE, EEA, EEE}
Note: 8 elementos, 23
DEFINIÇÕES E PROPRIEDADES:
Ω = {0, 1, 2, 3}
Exemplo 3: Fenômeno Aleatório: Um jogador de
basketball faz três lances livre. Qual o número de cestas feitas?
Ω =???
P(0) = ?? P(1) = ??
P(2) = ?? P(3) = ??
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DEFINIÇÕES E PROPRIEDADES:
Ω = [0, ∞] = (todos os números ≥ 0)
Exemplo 4: Fenômeno Aleatório: Uma nutricionista pesquisa sobre uma nova dieta para alimentar ratos machos brancos. Quais são os possíveis resultados de ganho de peso (em gramas)?
Ω = ???
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DEFINIÇÕES E PROPRIEDADES:
Finitos
ESPAÇOS AMOSTRAIS:
Infinitos
Dado: Ω = {1,2,3,4,5,6}
Peso: Ω = [0, ∞] = (todos os números ≥ 0)
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DEFINIÇÕES E PROPRIEDADES:
Questão:
Como calcular probabilidades quando o espaço amostral é infinito (contínuo)?
Exemplo: Densidade uniforme. A probabilidade de distribuirmos uniformemente a variável Y dentro de 0.3 e 0.7 é a área sob a curva de densidade correspondente a esse intervalo. Então:
P(0.3 ≤ Y ≤ 0.7) = (0.7 − 0.3)*1 = 0.4
Existem muitos outros tipos de curvas de densidades.
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DEFINIÇÕES E PROPRIEDADES:
Definição 4:
Dois eventos são disjuntos (ou
mutuamente exclusivos) se eles não
tiverem nenhum resultado em
comum, portanto nunca ocorrem
juntos.
A B = P(A B) = 0
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DEFINIÇÕES E PROPRIEDADES:
Definição 5:
Dois eventos são independentes se a probabilidade de um evento
ocorrer em qualquer realização do experimento não muda a
probabilidade de um outro evento ocorrer.
Exemplo: No lançamento de uma moeda, o resultado do primeiro
lançamento (cara, por exemplo) NÃO ALTERA a probabilidade de
dar cara ou coroa no segundo lançamento.
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DEFINIÇÕES E PROPRIEDADES:
Propriedade 1:
A Probabilidade P(A) de qualquer evento A satisfaz 0 ≤ P(A) ≤ 1
Propriedade 2:
A probabilidade do espaço amostral completo é igual a 1. P(Ω) = 1
Exemplo: P(cara) + P(coroa) = 0.5 + 0.5 = 1 Propriedade 3:
A Probabilidade de um evento não ocorrer é igual a 1 menos a
probabilidade do evento ocorrer. P(Ac) = 1 – P(A)
Exemplo: P(coroa) = 1 – P(cara) = 0.5
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DEFINIÇÕES E PROPRIEDADES:
Propriedade 4:
Regra da adição geral para quaisquer dois eventos A e B: A probabilidade
de que A ocorra, ou B ocorra, ou ambos eventos ocorram é:
P(A ou B) = P ( A B) = P(A) + P(B) – P(A e B)
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DEFINIÇÕES E PROPRIEDADES:
Propriedade 4:
Exemplo: Qual é a probabilidade de selecionar aleatoriamente uma carta de um
baralho de 52 cartas e ela ser um rei ou copas?
Então: P(rei ou copas)= P(rei) + P(copas) – P(rei e copas)
= 4/52 + 13/52 - 1/52 = 16/52 ≈ 0.3
3 121
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DEFINIÇÕES E PROPRIEDADES:
Propriedade 5:
A probabilidade condicional reflete como a probabilidade de um
evento pode mudar se soubermos que algum outro evento tenha
ocorrido.
Exemplo: A probabilidade de que um dia nublado resulte em chuva é
diferente se você vive no Nordeste ou se você vive no Sul do Brasil.
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DEFINIÇÕES E PROPRIEDADES:
Propriedade 5:
A probabilidade condicional do evento B dado o evento A é: (desde que
P(A) > 0)
A = Retirado um Rei
B = Carta Retirada é de Copas
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Ex:
DEFINIÇÕES E PROPRIEDADES:
Se A e B são independentes:
Desta forma, se A e B são independentes:
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DEFINIÇÕES E PROPRIEDADES:
IMPORTANTE:
A e B são independentes:
A e B disjuntos ou mutuamente exclusivos:
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DEFINIÇÕES E PROPRIEDADES:
CASO GERAL: REGRA DA MULTIPLICAÇÃO.
Caso particular: A e B são independentes.
A probabilidade de que quaisquer dois eventos, A e B,
ocorram conjuntamente pode ser dada por:
P(A e B) = P(A B) = P(A) P(B|A)
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DEFINIÇÕES E PROPRIEDADES:
REGRA DA MULTIPLICAÇÃO: DIAGRAMA DE ÁRVORES
O diagrama de árvores representa graficamente todos os possíveis
resultados e apresenta as probabilidades condicionais de
subconjuntos de eventos.
Diagrama de árvores para hábitos de conversar em sites de bate-papo, para três grupos de idade adulta.
Uso de Internet
0.47
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DEFINIÇÕES E PROPRIEDADES:
Uso de Internet
0.47
Qual a probabilidade de encontrarmos um indivíduo que utiliza o bate-papo na internet?
P(Utilizar e ter idade A1) + P(Utilizar e ter idade A2) + P(Utilizar e ter idade A3) =
P(C A1) + P(C A2) + P(C A3) = P(A1) P(C/A1) + P(A2) P(C/A2) + P(A3) P(C/A3) =
= 0.29 * 0.47 + 0.47 * 0.21 + 0.24 * 0.07 = 0.136 + 0.099 + 0.017 = 0.252
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MODELOS DE PROBABILIDADE:
No capítulo anterior definimos alguns procedimentos gráficos e
numéricos para descrever o comportamento de uma dada característica
(variável) presente no nosso estudo. Sob o ponto de vista da
probabilidade, este comportamento da variável em estudo é definido
como a distribuição da mesma. Na identificação da distribuição dos
dados, vamos nos concentrar no estudo de variáveis quantitativas. Neste
caso, o histograma se constitui num instrumento de grande importância
na identificação de um modelo adequado aos dados.
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MODELOS DE PROBABILIDADE:
Se traçarmos uma curva sobre o histograma observado podemos ter
uma boa descrição geral dos dados. A curva obtida é um modelo
matemático para a distribuição, ou seja, é uma descrição idealizada,
que oferece uma imagem concisa do padrão geral dos dados, mas
ignora irregularidades de menor importância, bem como a presença
de valores atípicos.
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MODELOS DE PROBABILIDADE:
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MODELOS DE PROBABILIDADE:
A figura apresenta o histograma do peso, em kg, de 1500 pessoas adultas selecionadas ao acaso em uma população. O peso apresenta uma distribuição muito regular. O histograma é simétrico e decresce suavemente a partir de um pico central único na direção de ambas as caudas. A curva suave traçada através do topo das barras do histograma é uma boa descrição do padrão geral dos dados.
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MODELOS DE PROBABILIDADE:
A análise do histograma indica que:
1. a distribuição dos valores é
aproximadamente simétrica em
torno de 70kg;
2. a maioria dos valores (88%)
encontra-se no intervalo (55; 85);
3. existe uma pequena proporção de
valores abaixo de 48kg (1,2%) e
acima de 92kg (1%).
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Uma curva com uma forma apropriada é, geralmente, uma
descrição adequada do padrão geral de uma distribuição.
Evidentemente que nenhum conjunto de dados reais é
descrito exatamente por uma dessas curvas, mas sim se
constitui em uma boa aproximação de fácil utilização e com
precisão suficiente para ser considerada na prática.
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MODELOS DE PROBABILIDADE:
Sabemos que características (variáveis) em estudo para
determinados problemas apresentam um mesmo padrão de
comportamento. Portanto, estas variáveis podem ser aproximadas
por uma mesma curva, exceto por seus valores de referência,
como por exemplo, ponto central, dispersão...
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MODELOS DE PROBABILIDADE:
Dizemos então que variáveis que apresentam um mesmo
padrão de comportamento seguem um mesmo modelo (ou
distribuição) de probabilidade. Um modelo de probabilidade
pode então ser definido como uma descrição matemática de
um fenômeno aleatório (ou variável aleatória, de maneira
mais formal).
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MODELOS DE PROBABILIDADE:
MODELOS DE PROBABILIDADE:
DOIS TIPOS DE MODELOS:
MODELOS DISCRETOS
MODELOS CONTÍNUOS
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MODELOS DE PROBABILIDADE:
MODELOS DISCRETOS:
Os modelos discretos são adequados a variáveis que podem
assumir um número finito ou enumerável de valores.
MODELOS CONTÍNUOS:
São aqueles relacionados às variáveis que podem assumir infinitos
valores.
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MODELOS DE PROBABILIDADE:Tipos de Modelo
Modelo Característica
Discretos Binomial Variável em estudo somente pode assumir dois possíveis valores em cada uma das n repetições do experimento e a probabilidade de ocorrência de cada um é constante.
Poisson A variável observada identifica o resultado de uma contagem no experimento (número de insetos em uma determinada área, por exemplo).
Geométrico Número de experimentos necessários até a ocorrência de um dado resultado de interesse.
Binomial Negativa
Número de experimentos necessários até a ocorrência de certo número de vezes do resultado de interesse.
Hipergeométrico
Variável em estudo somente pode assumir dois possíveis valores em cada uma das n repetições do experimento e a probabilidade de ocorrência de cada um não é constante (usualmente experimentos sem reposição).
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2º SEMESTRE DE 2012
MODELOS DE PROBABILIDADE:Tipos de Modelo
Modelo Característica
Contínuos Uniforme A variável pode assumir, com igual probabilidade, qualquer valor em um intervalo, região, ...
Exponencial
A variável observa o tempo necessário até a ocorrência de um determinado resultado de interesse.
Normal Variáveis com distribuições simétricas em relação a um ponto central.
Outros Modelos: t de Student, Gama, Beta, Weibull, Erlang, .....
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MODELOS DE PROBABILIDADE:
Observações:
1. Para determinadas situações, modelos discretos podem ser
aproximados (representados) por um modelo contínuo. Por exemplo,
num caso binomial em que o número de repetições do experimento é
grande, pode-se analisar a variável em estudo pelo modelo normal.
2. Os modelos aqui apresentados referem-se à distribuição de uma única
variável. Podemos em alguns casos ter interesse no comportamento
conjunto de duas ou mais variáveis. Nesses casos, temos os chamados
modelos multidimensionais ou multivariados, que não serão objetos de
estudo nesse curso.
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MODELO (DISTRIBUIÇÃO) NORMAL
Muitos dos fenômenos que ocorrem na natureza, na indústria e nas
pesquisas, apresentam características que podem ser representadas
por um MODELO PADRÃO conhecido como MODELO OU
DISTRIBUIÇÃO NORMAL. Medições físicas em áreas como
experimentos meteorológicos, estudos sobre chuvas, medições de
peças manufaturadas são explicadas de forma adequada pela
distribuição normal e erros em medições científicas são bem
aproximados pela distribuição normal.
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MODELO (DISTRIBUIÇÃO) NORMAL
CARACTERÍSTICA DO MODELO NORMAL:
Os modelo padrão é resultado de uma curva aproximada do
histograma dos dados, tem um único pico e apresenta uma
forma de sino (simetria em torno do ponto de pico).
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MODELO (DISTRIBUIÇÃO) NORMAL
CARACTERÍSTICA DO MODELO NORMAL:
A curva suave traçada através dos topos das barras do histograma, é
uma boa descrição do padrão geral dos dados.
A curva é um modelo matemático para a distribuição, ou seja, é uma
descrição idealizada do padrão geral de uma distribuição.
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MODELO (DISTRIBUIÇÃO) NORMAL
Para dados X que podem ser representados pelo modelo acima,
dizemos que: X ~ N ( m ; s).
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MODELO (DISTRIBUIÇÃO) NORMAL
As distribuições Normais ou Gaussianas — são famílias de
distribuições simétricas, com a mesma forma geral. A curva de
densidade é bem caracterizada por sua média m (mi) e seu desvio
padrão s (sigma).
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MODELO (DISTRIBUIÇÃO) NORMAL
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MODELO (DISTRIBUIÇÃO) NORMAL
Algumas Diferentes Situações:
Mesma média e diferentes variâncias (2, 4 e 6, respectivamente)!
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MODELO (DISTRIBUIÇÃO) NORMAL
Algumas Diferentes Situações:
Mesma variância e diferentes médias (10, 15 e 20, respectivamente)!
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MODELO (DISTRIBUIÇÃO) NORMAL
PROPRIEDADES:
X ~ N (m ; s2)
1. E(X) = µ (média ou valor esperado);
2. Var(X) = 2 (e, portanto, DP(X) = );
3. x = µ é ponto de máximo de f (x);
4. µ - e µ + são pontos de inflexão de f (x);
5. A curva Normal é simétrica em torno da média µ.
6. A distribuição Normal depende dos parâmetros µ e 2
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MODELO (DISTRIBUIÇÃO) NORMAL
IMPORTANTE:
Embora haja muitas curvas Normais, todas têm propriedades em
comum. Em particular todas as distribuições normais obedecem à
seguinte regra:
Na distribuição normal com média µ e desvio padrão :
68% das observações estão no intervalo ( µ - ; µ + ),
95,4% das observações estão no intervalo ( µ - 2 ; µ + 2),
99,7% das observações estão no intervalo ( µ - 3 ; µ + 3),
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MODELO (DISTRIBUIÇÃO) NORMAL
IMPORTANTE:
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COMO CALCULAR PROBABILIDADES NO MODELO NORMAL?
PROBLEMA:
Um bom indicador do nível de intoxicação por benzeno é a
quantidade de fenol encontrada na urina. A quantidade de fenol na
urina de moradores de certa região segue, aproximadamente, uma
distribuição normal de média 6 mg/L e desvio padrão 2 mg/L.
Considere a seguinte definição em termos da variável quantidade de
fenol na urina:
Uma pessoa é considerada “atípica” se a quantidade de fenol em
sua urina for superior a 9mg/l ou inferior a 3 mg/L.
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COMO CALCULAR PROBABILIDADES NO MODELO NORMAL?
QUESTÃO:Qual é a probabilidade de ser encontrado um indivíduo “atípico”?
Seja X: quantidade de fenol encontrada na urina.
Indivíduo “Atípico”
Probabilidade desejada:
Indivíduo com X < 3 ou X > 9
P [ X < 3 OU X > 9] = P[ X < 3 X > 9 ] = P[X < 3 ] + P[X > 9]
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COMO CALCULAR PROBABILIDADES NO MODELO NORMAL?
Como calcular esta probabilidade, considerando que a variável de
interesse pode ser representada pela distribuição normal?
O cálculo de uma probabilidade na distribuição normal é dado pela
área sob a curva normal na região de interesse, isto é, a área sob a
curva de densidade fornece a proporção de observações que estão
numa região de valores de interesse.
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COMO CALCULAR PROBABILIDADES NO MODELO NORMAL?
De forma genérica: P [ a < X < b ] ou P [ a ≤ X < b ] ou P [ a < X ≤ b ] ou
P [ a ≤ X ≤ b ]
A solução desta integral não é imediata. A solução é usualmente dada através de métodos numéricos.
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COMO CALCULAR PROBABILIDADES NO MODELO NORMAL?
Questão: Como calcular a probabilidade desejada sem a necessidade de resolver a integral acima apresentada?
Resultado: Se X ~ N(µ ; 2), então:
Chamada distribuição Normal Padrão.
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COMO CALCULAR PROBABILIDADES NO MODELO NORMAL?
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COMO CALCULAR PROBABILIDADES NO MODELO NORMAL?
IMPORTANTE: Probabilidades não se alteram!
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COMO CALCULAR PROBABILIDADES NO MODELO NORMAL?
Características na Normal Padrão:
O escore padronizado z
resultante diz de quantos
desvios padrões cada
valor x está afastado da
média da distribuição m.
1 ,
zxpara
Quando x está 1 desvio padrão maior do
que a média, então z = 1.
222
,2
zxpara
Quando x está 2 desvios padrões acima
da média, então z = 2.
Quando x é maior do que a média, z é positivo.
Quando x é menor do que a média, z é negativo.
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COMO CALCULAR PROBABILIDADES NO MODELO NORMAL?
De que forma a transformação da variável X em Z, normal padrão, facilita o cálculo de probabilidades?
A solução desta integral é mais simples que no caso anterior, e seus valores estão tabelados.
INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS2º SEMESTRE DE 2012
COMO CALCULAR PROBABILIDADES NO MODELO NORMAL?
INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS2º SEMESTRE DE 2012
COMO CALCULAR PROBABILIDADES NO MODELO NORMAL?
Como utilizar esta tabela? SIGNIFICADO DOS VALORES TABELADOS
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COMO CALCULAR PROBABILIDADES NO MODELO NORMAL?
Por Exemplo: z = 0.32
0.6255
P[ Z < 0.32 ]= 0.6255
P[Z > 0.32] = 1- P[ Z < 0.32 ] = 1 - 0.6255 = 0.3745
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0.0082 é a área sob a
curva N(0,1) à esquerda
de z = -2.40
0.0080 é a área sob a curva N(0,1) à esquerda
de z = -2.41
0.0069 é a área sob a curva N(0,1) à esquerda
de z = -2.46
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COMO CALCULAR PROBABILIDADES NO MODELO NORMAL?
Uma segunda situação: P [0 < Z < 1.71 ] = ?
P(0 < Z < 1.71)
= P(Z < 1.71) – P(Z < 0)
= 0.9564 – 0.5
= 0.4564
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COMO CALCULAR PROBABILIDADES NO MODELO NORMAL?
ALGUMAS DICAS PARA USO DA TABELA DA NORMAL PADRÃO
Devido ao fato da
distribuição Normal ser
simétrica, há uma outra
maneira para o cálculo
da área sob a curva
Normal padrão, que é à
direita do valor z .
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COMO CALCULAR PROBABILIDADES NO MODELO NORMAL?
ALGUMAS DICAS PARA USO DA TABELA DA NORMAL PADRÃO
Devido ao fato da distribuição Normal ser simétrica, há uma outra maneira
para o cálculo da área sob a curva Normal padrão, que é à direita do valor
z .
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COMO CALCULAR PROBABILIDADES NO MODELO NORMAL?
Retornando ao Problema Inicial
X: a quantidade de fenol encontrada na urina.
X ~ N (6 ; 2)
P [ X < 3 OU X > 9] = P[X < 3 ] + P[X > 9]
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COMO CALCULAR PROBABILIDADES NO MODELO NORMAL?
X ~ N (6 ; 2) P [ X < 3 OU X > 9] = P[X < 3 ] + P[X > 9]
Portanto, a probabilidade de
ser encontrada uma pessoa
considerada “atípica” é de
13.36%
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Média µ = 64.5"
Desvio padrão s = 2.5" x : altura = 67"
Para o cálculo de z, o valor padronizado de x:
Área= ???
Área = ???
N(µ, s) = N(64.5, 2.5)
m = 64.5″
x = 67″
z = 0 z = 1
Exemplo: Alturas de mulheres
As alturas de mulheres têm distribuição
aproximadamente normal, N(64.5″,2.5″).
Que percentual de todas as mulheres
têm altura menor ou igual a 67
polegadas?
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Exemplo: Alturas de mulheres
P [ X ≤ 67 ] P [ Z ≤ 1 ]
N(µ, s) = N(64.5”, 2.5”)
m = 64.5” x = 67” z = 1
Área ≈ 0.84
Área ≈ 0.16
CONCLUSÃO:
84.13% das mulheres são menores do que 67″.
Por subtração, 1 − 0.8413, ou 15.87% das mulheres são maiores do que 67".
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O National Collegiate Athletic Association (NCAA) exige que atletas da 1a divisão tenham pontuação de no mínimo 820 no SAT (Scholastic Aptitude Test ou Scholastic Assessment Test) combinado de matemática e verbal para competir no seu primeiro ano colegial. A pontuação SAT de 2003 foi aproximadamente normal com média 1026 e desvio padrão 209. Que proporção de todos os estudantes seriam qualificados (SAT ≥ 820)?
16%. approx.ou
0.1611 é 0.99- z
de esquerda a
N(0,1) a sob
área a :Tabela
99.0209
206209
)1026820(
)(
209
1026820
z
z
xz
x
Nota: Os dados reais podem conter estudantes que pontuaram exatamente 820 no SAT. No entanto, a proporção das pontuações exatamente igual a 820 é 0 para uma distribuição normal. É uma consequência da idealizada suavização das curvas de densidade.
Área direita 820 = Área Total − Área a esquerda de 820
= 1 − 0.1611 ≈ 84%
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Exercício: A vida de um semicondutor a laser, a uma potência constante, segue
um modelo normal com média de 7000 horas e desvio padrão de 600 horas.
a) Qual a probabilidade do laser falhar antes de completar 5000 horas?
b) Qual deve ser o tempo de vida em horas de tal forma que 95% dos lasers
excedem a esse tempo?
c) Se três lasers forem usados em certo produto e se eles falharem
independentemente, qual a probabilidade de todos os três estarem ainda
operando após 7000 horas?