Capítulo dos: Aplicaciones del principio de máxima certidumbre.

9) La radiación, el átomo de Bohr

Evidentemente la mecánica cuántica no puede explicar porque los electrones no

emiten radiación cuando orbitan los núcleos. Incluso Bohr solo pudo “postular” que

existían órbitas para las cuales no existía radiación; pero “postular” es lo mismo que

aceptar sin explicación. Algunos autores se atreven a decir que la explicación reside

en que esas órbitas de electrones se comportan como ondas estacionarias, sin caer

en cuenta que esto equivale a contradecir el principio de incertidumbre, pues de una

onda estacionaría se conoce exactamente la energía, posición, momento, etc., sin

incertidumbre ninguna. Claro que se puede argumentar que no se presenta la

incertidumbre si no hay medida…pero este argumento limitaría enormemente la

aplicación del principio mismo que trata de defender.

En nuestro caso la explicación es obvia: las partículas son conglomerados de

fotones que mantiene su cohesión siempre y cuando no se sometan a excitaciones

que superen el límite impuesto por el principio de mínima acción:

Δ Energía suministrada a la partícula x Δ t que dura el suministro = h

Pero energía es fuerza por distancia:

EnergíaxF .

txm

hnaceleració

htxam

EnergíaxnaceleraciómasaxF

Esta sería la aceleración máxima que permitiría el cambio de velocidad sin emisión

de fotones.

Por ejemplo en el movimiento orbital (figura)

en un Δt (medio período) el electrón cambia su velocidad de +v a –v, siendo la

aceleración en este proceso

t

v

t

va

2

Si igualamos a la aceleración límite:

txm

h

t

v

2

Y como el espacio recorrido Δx, es πR tendremos:

v

hRm

Rm

hv

22

Ahora, combinamos este resultado con la ecuación de fuerzas:

Obtenemos así la velocidad en la primera órbita de Bohr.

Para una órbita oscilatoria (figura) el modelo propuesto implica una transformación

de energía cinética a potencias varias veces durante la órbita total. Asumiremos el

siguiente modelo para entender de algún modo ese proceso cíclico, aclarando que

los semiciclos mostrados alrededor de la órbita no son semicírculos en la realidad,

sino fluctuaciones que no somos capaces de describir pormenorizadamente por el

momento. Ahora el cambio de la velocidad se da en cada semiperiodo y podemos

calcular la aceleración:

E igualando a la aceleración límite:

txm

ha

t

v

2

Como:

n

Rx

2

2

tn

Rm

ha

t

v

2

2

2

Donde n es el número de ciclos de la órbita:

La ecuación de fuerzas es

Siendo alfa, para nosotros la constante de estructura fina,

272 102 ce

hc

Obtendríamos las velocidades de las otras órbitas estables del átomo de Bohr. El

modelo incluye la propuesta de que la velocidad promedia orbital es la misma

velocidad que cambia en cada semiciclo. Por lo tanto no es que existan “orbitas

estables” ni cosas por el estilo, como propiedad intrínseca de los sistemas cuánticos,

lo que existe es un límite en los cambios de movimiento ante el cual los fotones

siguen unidos a la partícula y no existe radiación.

Mucha atención con nuestra constante de estructura fina. Nosotros la definimos

como el inverso de la constante de estructura fina de Sommerfeld; es decir, para

nosotros la constante de estructura fina es el famoso número 137.035999679.

Número con propiedades extrañas, una de las más sencillas es su relación con las

constantes universales h, constantes de Planck, e carga elemental y G constante de

Newton:

60210/254 10*.....22227222222222.2 Geh

10) Aplicación a la gravitación

Veamos qué ocurre si en lugar de la fuerza eléctrica como en el caso anterior,

encaramos una fuerza gravitatoria que hace orbitar una masa m, respecto a otra

masa M. La aceleración límite sin radiación es

Pero

De donde

Resultados que combinados con la fuerza gravitacional

2v

mMGRm

v

h

v

mMGRm

22

2

v

h

mMG

Con estas fórmulas es difícil resolver, por ahora, el sistema solar, pues no se trata

de un caso límite, por eso veamos que ocurre en ejemplos extremos. Si hacemos

, la velocidad de la luz, y a las dos masas las igualamos llegamos a

O sea la famosa “masa de Planck”. Si con este valor de la masa calculamos el radio

de la órbita obtenemos

Es decir, la llamada “longitud de Planck”. No es tiempo aun de tratar estas

cantidades de Planck y solo diremos que están ligadas a procesos cuánticos límites,

como la emisión fotónica por masas orbitantes. Para nosotros un fotón es solo un

cuanto llevado a la velocidad límite, o casi a la velocidad límite, y, por lo tanto, no se

diferencia intrínsecamente de los demás cuantos.

11) Ecuación de Schrodinger

Como siempre partimos de la ecuación fundamental

vc

vVvmdVcmd

2

2 )(

En la que m: masa de la partícula

V: potencial

v: velocidad de la partícula

Pero como aceptamos que en los procesos cuánticos

Escribimos la ecuación así

hxdc

vVvmdtdVcmd

2

2 )(

Que dividiremos en los términos

Cambiando el diferencial por el incremento como corresponde en procesos

cuánticos.

Ahora, si , en lugar de corresponder a una partícula, corresponde a un grupo de

partículas que experimentan el mismo proceso, y multiplicamos y dividimos por

2 , tendremos:

Si asumimos que el número de partículas involucradas es función del tiempo,

podemos escribir:

t

t

t

N

2

El signo

significa que “definimos”, creamos una función de tiempo cuya

derivada en el tiempo nos suministra el número de partículas multiplicado por y

dividido por el cambio cuántico del tiempo

Para la otra parte de la ecuación escribimos

hxmovimientodecantidadxc

vVvm )()(

2

Si se trata de las partículas mencionadas tendremos, con el mismo

procedimiento anterior

2

2)(

x

Nh

x

Nhmovimientodecantidad

Aceptando que el número de partículas también puede variar con la posición, por

ejemplo, por efectos de dispersión, escribimos o mejor definimos:

x

x

x

N

2

El resultado de ambos términos será

t

thEnergía

2)(

x

xhmovimientodecantidad

2)(

Por fin, construimos la función compleja

Siendo “a” un parámetro para determinar, e “i” el “versor” de la parte compleja de los

complejos. Obteniendo la derivada parcial respecto al tiempo de la nueva función

=

De donde despejamos

t

i

tit

t

1

Y llegamos a lo que llamamos el operador energía

t

ihenergíaOperador

2

Del cual obtenemos la energía:

)(22

energíaOperador

t

ih

t

thEenergía

Para la cantidad de movimiento transformada en el proceso escribimos

x

xh

c

vVvmmovimientodecantidadp

2)(

2

Aceptamos que la función es “entrópica” o sea simplemente cumple una

relación del tipo de las ecuaciones de gradiente

Lo cual es regla común para los conglomerados.

Derivando parcialmente respecto al espacio

2

21

tanx

x

x

xtecons

x

x

Para abreviar llamaremos a la constante que precede la expresión de la izquierda,

y despejamos

2

22

x

xA

x

x

Ahora volvamos a la función compleja y derivémosla respecto al espacio

x

xaieeee

xx

xaitixaiti

x

xai

)(

Derivemos de nuevo respecto al espacio

Y reemplazando x

xai

x

)(

Pero como se cumple

A

aia

x

x

x

2

2

2

2

Volviendo al momento involucrado en el proceso

A

aia

x

hp

22

2

2

22 1

2

Escogemos los parámetros y de modo que cumplan

12 A

aia

Por ejemplo 3

22 Ayia

Remplazando estos valores

132

3

2

22

22

iii

A

aia

Al fin y al cabo se trata de una simple cuadrática

012 A

aia

Con solución

14

1

2 2

AA

ia

Bastaría dar valores a A para obtener los apropiados de a.

Remplazamos los valores de A y a en la expresión de

2

22

2 1

2 x

hp

Ahora tomamos el “Hamiltoniano”, una función que expresa la energía

Y remplazamos las expresiones de y

Vx

h

mt

ih

2

22

1

22

1

2

Ecuación que llevamos a la forma

V

x

h

mti

h

2

22

22

1

2

En definitiva llegamos a la ecuación de Schrodinger. Y nuestra interpretación nos

permite discutir el significado físico de la ecuación famosa sin recurrir a

elucubraciones más o menos fantásticas, como las de la Escuela de Copenhague.

El que usamos se puede interpretar como el número total de partículas de una

mayor partícula que sufre el proceso, y en este caso se entiende como la “función

de onda” de la partícula mayor. También, puede interpretarse como el número

de cuantos por diferencial de volumen de una masa mayor y en este supuesto se

interpreta como una densidad de probabilidad de encontrar la partícula. En este

último caso, la ecuación con que introdujimos el quedaría

Por lo tanto, el máximo valor de la función de onda sería una medida de donde se

encuentra el mayor número de cuantos de la partícula “dueña” de esa función de

onda, y resulta que la función de onda se puede interpretar como medida de

probabilidad de encontrar una partícula en un punto dado del espacio en un tiempo

dado. Sin embargo, un análisis más profundo nos permite concluir que no se trata

simplemente de la medida de probabilidad de encontrar un electrón, por ejemplo, en

un punto dado, sino de una medida de la intensidad de la energía transformada por

el electrón en ese punto. Por lo tanto, un electrón libre tiene una función de onda

“monoperiódica”, extendida por todo el Universo, no porque se encuentre en

cualquier punto con igual probabilidad, sino porque su energía es constante en toda

su trayectoria. El valor de nulo en las paredes de las cajas donde se estudian los

electrones confinados no es porque en esos puntos nunca se encuentra el electrón

sino porque ahí se detiene, y no recibe ni entrega energía.

12) Valores esperados

Cuando se desea rescatar de la función la información de la energía y la del

momento se procede así:

Donde es la conjugada de la función

Veamos cómo se procede con la energía

De la misma forma puede calcularse el momento.

13) Temperatura, definición

¿Es la temperatura un concepto solo aplicable a grandes conglomerado de

partículas en estado de equilibrio? Loa respuesta manida a esta pregunta es no y se

complementa con la idea de que temperatura y estadística son inseparables. Nos

permitimos discrepar de la física convencional también en este punto y nos

preguntamos ¿Cómo este concepto, generalmente empleado en grandes

concentraciones de partículas, se puede extender al nivel de los cuanto? Veamos

nuestro punto de vista.

Para lograr que el concepto de temperatura se generalice para todo tipo de

procesos, aventuramos esta nueva definición:

“Temperatura es la cantidad total de acción transformada en un proceso, dividida por

el tiempo de duración de la transformación” los modos de transformación, se suelen

llamar “grados de libertad” Esta cantidad, la temperatura, se representa por el

producto , donde es la constante de Boltzman y la temperatura propiamente

dicha. Como la acción es el producto de la energía por el tiempo, al dividir por el

tiempo del proceso parece que se anulara esa dimensión, pero en realidad no es

así, pues se puede tratar de tiempos diferentes.

Como el número de modos de transformación es adimensional, resulta que las

unidades de son las mismas de la energía.

Si en una caja imaginamos tres partículas sincronizadas para chocar con las

paredes en las tres dimensiones, veremos que la temperatura se puede definir

como:

213

*2

1*3 2

2

vm

tiempo

tiempovm

TK

Obsérvese que el número de modos de transformación es uno (solo energía de

traslación) y el número de partículas es tres, una en cada dirección.

No teniendo en cuenta sino las transformaciones correspondientes a los

movimientos en las tres dimensiones, la “temperatura” de N partículas encerradas en

una “caja” será:

21

*2

1* 2

2

vm

tiempoN

tiempovmN

TK

Pero la transformación de una cantidad de energía está regida por el principio de

mínima acción:

htvm

tdatransformaenergía *2

*2

Así que:

2

2vm

tiempo

hTK

Tomando como energía transformada la energía cinética promedia:

Por lo tanto para encontrar la cantidad bastaría medir esa energía cinética media

o el intervalo que dura su trasformación. Pero la definición de temperatura se

asoció también con el concepto de estado en equilibrio. Para asociarla se empleó la

idea de que las partículas se comportan como ondas. Esta idea concuerda

perfectamente con nuestra teoría de que las partículas no se mueven en el vacío,

sino en un mar de otras partículas transformando su energía en cantidad de

movimiento como se vio en los primeros numerales.

Entonces, el equilibrio se puede considerar como un movimiento de partículas cuya

longitud de onda dividida por 2, cabe un número entero de veces entre las paredes

opuestas del recipiente (figura)

Esa longitud de onda depende del , el tiempo que dura la transformación de la

energía, y queda así:

tc *

Longitud de onda que puede relacionase con el radio clásico de la partícula, y la

constante de estructura fina :

c

R

ct

22

El radio clásico de una partícula se expresa como:

Y la “constante de estructura” fina se toma como el inverso de la constante usada

comúnmente:

035999679.137102 72

ce

h

El de transformación queda

mc

e

ct

72 1022

Y expresando

Obtenemos

2

272

1102

c

v

mc

e

ct

o

Expresión que llevamos a la definición de temperatura:

2

272

0

1102c

ve

mch

tiempo

hTK

La velocidad a la que se define la constante de Boltzman se encuentra con los

valores conocidos de esas mismas constantes que aparecen en la ecuación. En

realidad se definieron simultáneamente la constante y la temperatura

correspondiente. Para ello se dividió la expresión anterior en factores:

7

2

0

2

2 102*

1

*

e

cm

c

vce

hTK

k

k

Por definición

Y

7

2

0

102

e

cmTk

De donde despejamos

)(

132

32

c

Kce

hcvk

smvk /07.12171738

Velocidad que debe tener una importante interpretación física, pero que no hemos

dilucidado hasta el momento. Por ahora, definimos la constante de Boltzmann como

skmtrsunidadesce

hK lg*10*380650417.1 23

32

La temperatura correspondiente es

7

2

0

102

e

cmTk

kg

kelvin

e

c

m

T

k

k 39

7

2

0

10*51503137.6102

En general la temperatura de un proceso cuántico se define así: se parte de:

7

2

0

2

2 102*

1

*

e

cm

c

vce

hTK

Remplazamos la constante de Boltzmann

h

ce

e

cm

c

vce

h

Ke

cm

c

vce

hT

32

7

2

0

2

27

2

0

2

2 1021

1

102*

1

Y obtenemos la temperatura

2

272

322

0

1102c

ve

cmT

Volviendo a la expresión de la masa actual:

72

322

102

e

cmT

Comprobemos la ecuación anterior para la temperatura con el caso de límite de

Planck, aunque sabemos que las unidades de Planck se definen bajo otros criterios

kgmPlanckdemasa p

810*176508293.2 :

Ahora, remplazando en la expresión mencionada

kelvine

cmT

planck 32

72

322

10*416830847.1102

Temperatura que nos da exactamente temperatura de Planck.

Para no definir una nueva escala de temperatura simplemente aceptamos el

concepto de temperatura tradicional, pero interpretado como lo acabamos de hacer

que permite cubrir los fenómenos cuánticos individuales.

Por lo tanto al incluir este factor se obtiene una “definición de la temperatura” en

función de la energía promedia por partícula en un estado dado de la materia,

expresada en Kelvin o en grados Kelvin, pues en último término toda unidad

establece una graduación en las escalas de medida.

kelvine

cmT

72

322

102