给力数学

初中数学思维拓展32讲(七年级)

丛书主编 叶立军 本册主编 毛大平 胡旅航

编 者 毛大平 程翠婷 王娇娇 陈思思

胡旅航 李昱茜 李亚辉 罗 强

高华岳 孟泽琪 肖金志

图书在版编目(CIP)数据

初中数学思维拓展32讲七年级毛大平胡旅航本册主编mdash上海华东理工大学出版社20151 (给力数学middot初中数学思维拓展32讲叶立军)

ISBN978 7 5628 3972 9

Ⅰ①初hellip Ⅱ①毛hellip ②胡hellip Ⅲ①中学数学课mdash初中mdash

教学参考资料 Ⅳ ①G634603

中国版本图书馆CIP数据核字(2014)第147886号

给力数学

初中数学思维拓展32讲(七年级)1051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275丛书主编叶立军

本册主编毛大平 胡旅航

策划编辑庄晓明

责任编辑刘 婧

责任校对李 晔

封面设计裘幼华

出版发行华东理工大学出版社有限公司

地 址上海市梅陇路130号200237电 话(021)64250306(营销部)

(021)64252718(编辑室)

传 真(021)64252707网 址pressecusteducn

印 刷上海展强印刷有限公司

开 本787mmtimes1092mm 116印 张1225字 数309千字

版 次2015年1月第1版

印 次2015年1月第1次

书 号ISBN978 7 5628 3972 9定 价2800元

联系我们电子邮箱pressecusteducn官方微博eweibocomecustpress淘宝官网httpshop61951206taobaocom

前 言

数学是初中阶段的重点科目之一怎样才能使数学学习既高效又轻松愉快呢 笔者认为方法是关键思路决定出路要想轻松取得数学高分必须有正确的数学思维习惯

ldquo给力数学rdquo丛书之ldquo初中数学思维拓展32讲rdquo系列就是从数学思维的根本点出发精确导

航力求使学生领悟每道题背后的数学知识点及其蕴含的数学思想与方法并通过有针对性的

训练最大限度地提高学习效率让学生的学习过程变得轻松快乐更能创造提分奇迹本书在内容编排上结合新教材的要求设置了以下栏目【专题简析】对每一讲所要掌握的知识点进行了提纲挈领的归纳总结(包括主要公式定

理和常用的数学思想方法等)促使学生对初中数学知识体系有一个全面的了解与认识做到

胸有成竹从而提高学习效率【典例剖析】精选典型例题进行深入分析包括ldquo思路点拨rdquoldquo点睛评注rdquo和ldquo类题演练rdquo三

个小模块对每一道题的解题关键点都一一进行了解读解完题之后还有及时的点评帮助学

生厘清思路拓展思维最后ldquo类题演练rdquo模块提供有针对性的训练题真正做到举一反三让学

生在做题中进一步巩固关键知识点有助于他们针对自己学习中的薄弱环节强化练习查缺补

漏全面提高解题的综合能力【同步反馈】同步练习分为三组ldquoA组 基础夯实rdquo针对考试中70的基础题考查所有

学生必须掌握的基础知识和基本技能ldquoB组 能力提升rdquo针对考试中20的中档题需要学

生综合运用所学知识才能顺利过关ldquoC组 创新提高rdquo针对考试中10的压轴题这是尖子

生欲拿高分的必练题【专题反思】做1000道题目如果不及时反思思维训练的效果就会大打折扣这个栏目的

设置是为了让学生及时总结及时跟进这样扎扎实实学下去数学何愁学不好本书具有以下特点(1)构思具有新颖性本书以新课标人教版教材知识体系为主线依纲扣点迁移扩展夯

实基础全面透彻(2)选题具有代表性本书精心遴选题型避免题海战术务求内容的实效性启发性和经

典性所选例题贴近实际大多是近年数学中考试题中的中高等难度题还编选了一些设置新

颖综合性强有启迪思维作用极易提升学生的创新能力和应变能力的题目(3)学习具有实用性本书特别重视知识能力的拓展数学建模与创新思维的导航注重引

发思考突出重点难点演练精准到位颇有举一反三之功能适合初中学生自学由于水平有限书中不足之处在所难免笔者真诚地希望得到读者的宝贵建议

编 者

2014年春

第 1 讲 有理数 1第 2 讲 数轴 5第 3 讲 绝对值 10第 4 讲 有理数的大小比较 15第 5 讲 有理数的加减 20第 6 讲 有理数的乘除 25第 7 讲 有理数的乘方 30第 8 讲 有理数的混合运算 34第 9 讲 近似数 38第10讲 平方根 43第11讲 实数 48第12讲 立方根 52第13讲 实数的运算 56第14讲 用字母表示数 60第15讲 代数式 66第16讲 代数式的值 72第17讲 整式 78第18讲 合并同类项 83第19讲 整式的加减 87第20讲 一元一次方程 91第21讲 等式的基本性质 95第22讲 一元一次方程的解法 99第23讲 一元一次方程的应用 103第24讲 几何图形 109第25讲 线段射线和直线 117第26讲 线段的长短比较 122第27讲 线段的和差 127第28讲 角与角的度量 134第29讲 角的大小比较 140第30讲 角的和差 147第31讲 余角和补角 155第32讲 直线的相交 161参考答案 169

0 1 有理数

专题简析

1 重点讲解

有理数是中学阶段第一次数的扩展它和小学里学过的自然数分数(小数)的概念联系十

分密切本讲的学习要体会从自然数到有理数的扩展过程掌握自然数分数的意义为以后继

续学习数的扩充作准备同时有理数的概念及其相关知识的学习也是后面有理数运算等知识

的基础要全面掌握这一知识要从以下几方面入手(1)自然数分数的意义可用自然数进行计数和测量可用自然数给事物编号和排序分

数和小数都可以看成是两个整数相除的表示方法任何分数都可以化成小数在小学里学过的

小数(π除外)都可以化为分数(2)正负数的意义为了表示生活中具有相反意义的两个量我们把一种意义的量规定

为正用大于零的数如+5322等这样的数就是正数正数前面可以标上ldquo+rdquo来表示(可省略不写)把另一种与之相反意义的量规定为负用大于零的数前面加上负号ldquo-rdquo来表示如-5-32等这样的数就叫作负数

(3)有理数

整数正整数零和负整数统称为整数分数正分数和负分数统称为分数有理数整数和分数统称为有理数(4)有理数的分类有理数的分类有两种方法一是按照定义分类二是按照性质分类按定义分类如下

有理数

整数

正整数

零

负整数

igrave

icirc

iacute

iumliuml

iumliuml

分数正分数

负分数

igrave

icirc

iacute

iumliumliumliuml

iumliumliuml

按性质分类如下

有理数

正有理数正整数

正分数零

负有理数负整数

负分数

igrave

icirc

iacute

iumliumliumliuml

iumliumliuml

2 难点点拨

本讲主要就是理解有理数相关的概念和正数负数的意义等而建立正数负数的概念对

1

初中数学思维拓展32讲(七年级)

学生来说是数学抽象思维的一次重大飞跃是本讲的难点例ldquo带正号的数是正数带负号的数是负数rdquo这句话正确吗解错误判断正负的标准不能只是看是否带有正负号而应以是否大于0作为判断的依

据大于0的数是正数小于0的数是负数

典例剖析

例1 一张卡片第一次将其撕成两小片第二次将每一小片再撕成两小片helliphellip10次后

共有多少张小片

思路点拨 每撕一次小片数是前一次的2倍且第一次的小片数为2即为21后面

小片数一次为2223则10次后有210张解210=1024(张)答10次后共有1024张小片

点睛评注 掌握自然数分数的意义和作用能在不同情境中正确地选择和运用自然

数或分数解决实际问题

类题演练

科学研究表明植物的花瓣萼片果实的数目以及其他方面的特征都非常吻合一个奇特

的数列mdashmdashmdash著名的斐波那契数列1123581321hellip仔细观察该数列它的第15个数应

该是 例2 小红妈妈统计家庭收支情况上月收入600元综合考虑支出情况后收支情况记

为-120元那么上个月家庭共支出多少元

思路点拨 利用ldquo收入-支出=-120rdquo求出上月的支出即可

解因为600-支出=-120所以支出=600+120=720(元)

答上月家庭共支出720元

点睛评注 此题考查了正数和负数的实际意义即在实际问题中表示具有相反意义

的量

类题演练

某检修小组乘一辆检测机车沿一条南北走向的铁路线检查铁轨约定向北行驶为正某天

从甲地出发到收工时行驶记录为(单位千米)+15-3+5-2+11+4-8-7+9收工时检修人员在甲地的哪一边 距甲地多远

例3 课桌的高度比标准高度高2毫米记作+2毫米那么比标准高度低3毫米记作什

么 现有5张课桌量得它们的尺寸与标准尺寸相比后分别记为1毫米-1毫米0毫米

+3毫米-15毫米若规定合格的课桌的高度最高不能高于标准高度2毫米最低不能低于

标准高度2毫米问上述5张课桌有几张不合格

2

第1讲 有理数

思路点拨 首先审清题意明确ldquo正rdquo和ldquo负rdquo所表示的意义再根据题意作答

解(1)根据题意得比标准高度高记为ldquo+rdquo比标准高度低记为ldquo-rdquo所以比标准高度低

3毫米记作-3毫米(2)根据题意得合格的课桌的高度h 范围是-2lehle2所以不合格的课桌只有1张+3毫米的

答(略)

点睛评注 本题主要考查的是正数和负数在实际生活中的应用解题关键是理解

ldquo正rdquo和ldquo负rdquo的相对性明确什么是一对具有相反意义的量在一对具有相反意义的量中先规

定其中一个为正则另一个就用负来表示

类题演练

我市某公路检修站甲小组乘一辆汽车沿东西方向的公路检查公路约定向东行驶为正从A地出发到收工时行驶记录为(单位千米)+15-2+5-1+10-3-2+12

+4-5+6(1)计算收工时甲在A地的哪一边 距A地多远(2)若每千米汽车耗油01升汽车出发到收工时共耗油多少升

同步反馈

A组 基础夯实

1如果+30m表示向东走30m那么向西走40m表示为( )A+40m B-40m C+30m D-30m

2如果规定收入为正支出为负收入500元记作500元那么支出237元应记作( )A-500元 B-237元 C237元 D500元

3如果用+002克表示一只乒乓球质量超出标准质量002克那么一只乒乓球质量低于标准

质量002克记作( )A+002克 B-002克 C0克 D+004克

4下面几个数中属于正数的是( )A3 B-12 C-2 D0

5用正数和负数表示下列具有相反意义的量(1)买进30kg苹果与卖出30kg苹果(2)盈利10000元与亏损3000元(3)前进5米与后退10米(4)高于海平面960米与低于海平面960米

B组 能力提升

6某项科学研究以45分钟为1个时间单位并记每天上午10时为010时以前记为负10时

以后记为正例如9∶15记为-110∶45记为1等等依此类推上午7∶45应记为( )

3

初中数学思维拓展32讲(七年级)

A3 B-3 C-215 D-7457某种药品的说明书上标明保存温度是(20plusmn2)则该药品在( )范围内保存才合适A18~20 B20~22 C18~21 D18~22

8下列说法正确的是( )①在+5与+6之间没有正数

②在-1与0之间没有负数

③在+5与+6之间有无数个正分数

④在-1与0之间没有正分数

A仅④正确 B仅③正确 C仅③④正确 D①②④正确

9某件商品进价为400元现在提价20后出售则每件可获利润 元

C组 创新提高

10若-a不是负数那么a一定是( )A负数 B正数 C正数和零 D负数和零

11一口井水面比井口低3米一只蜗牛从水面沿着井壁往井口爬第一次往上爬了05米后

又下滑了01米第二次往上爬了042米却又下滑了015米第三次往上爬了07米却下滑了015米第四次往上爬了075米却下滑了02米第五次往上爬了055米没有

下滑第六次往上爬了048米此时蜗牛 (填ldquo能rdquo或ldquo不能rdquo)爬出井口12某天长跑运动员小明在一条南北方向的公路上练习跑步(设向南为正方向)他从A地出

发每隔10分钟记录下自己的跑步情况-1018米1026米-976米1028米-1024米946米1小时后他停下来休息此时他在A地的什么方向 距A地多远 小明共跑了

多少米

专题反思

总题数 错误原因 错题序号

正确题数 (1)知识点不清

错误题数 (2)能力不够

(3)方法错误

给自己的

一句话

4

0 2 数轴

专题简析

1 重点讲解

(1)数轴的概念规定了原点正方向和单位长度的直线叫作数轴它包含三层含义一是

数轴是一条直线可以向两端无限延伸二是数轴有三要素原点正方向单位长度三者缺一

不可三是原点它是具有特殊意义的点相当于温度计的零刻度线(2)运用数轴表示有理数任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示(3)运用数轴可以形象地解释相反数如果两个数只有符号不同那么称其中一个数为

另一个数的相反数而在数轴上表示互为相反数的两个点位于原点的两侧且到原点的距

离相等(4)运用数轴可以直观地理解绝对值的意义(在下一讲中讲述)(5)运用数轴比较有理数的大小数轴上表示的两个数右边的数总比左边的数大

2 难点点拨

任意一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示但要注意的是数轴上的点对应着一个

数但这个数不一定是有理数正确比较有理数的大小可借助数轴在理解比较有理数大小法

则的基础上进行正确表述

典例剖析

例1 一个点在数轴上表示的数是-5现将这个点向左移动3个单位再向右移动6个

单位请回答下列问题(1)这时它表示的数是 (2)如果将以上先左移3再右移6看作一次移动那么移动10次后的点表示的数是

(3)在(2)的情况下移动n 次后的点表示的数是 (n 为正整数)

思路点拨 借助数轴的直观性可以将变化内容具体化并通过对特殊情况的分析归

纳出变化的规律答(1)-2(2)25(3)3n-5

点睛评注 先左移3再右移6看作一次变化变化结果是增加310次就增加30n

次就增加3n

5

初中数学思维拓展32讲(七年级)

类题演练

从数轴上一个点先向左移动3个单位长度再向右移动2个单位长度终点表示的数为

0则起点表示的数是 例2 数abcd 所对应的点ABCD 在数轴上的位置如图2 1所示那么a+c与

b+d的大小关系是( )

OD C BA

图2 1

Aa+cltb+d Ba+c=b+d Ca+cgtb+d D不确定

思路点拨 运用数轴上点的几何意义可以发现ad 是负的bc是正的点A 比点

D 到原点的距离远点B 比点C 到原点的距离远而a+c 和b+d 的结果都为负所以b+d 大

答A

点睛评注 数轴上在原点左侧的点表示负数在原点右边的数表示正数数轴上右边

的数总比左边的数大

类题演练

数轴上有AB 两个点点A 到原点3个单位长度点B 到原点5个单位长度则AB 间

距离最大为 个单位长度最小为 个单位长度

例3 abc在数轴上的位置如图2 2所示则 1a-b

1c-b

1a-c

中最大的是

ca b 0

图2 2

思路点拨 先判断a-ba-c 为负c-b 为正则 1a-b

1c-b

1a-c

中只有1

c-b为

正其余为负故 1c-b

为最大

答1c-b

点睛评注 数轴上的点表示的数右边的数总比左边的数大

类题演练

abc在数轴上的位置如图2 3所示则 1a+b

1b+c

1a+c

中最大的是

ca b 0

图2 3

6

第2讲 数轴

例4 (1)工作流水线上依次排列5个工作台ABCDE一只工具箱应该放在何处才能使工作台上操作机器的人取工具所走的路程最短

(2)如果工作台由5个改为6个那么工具箱应如何放置能使6个操作机器的人取工具

所走的路程之和最短(3)当流水线上有n 个工作台时怎样放置工具箱最合适

思路点拨 把流水线看作数轴工作台工具箱看作数轴上的点这样就找到了解决

本例的模型mdashmdashmdash数轴答(1)工具箱放在C 台上(2)工具箱放在CD 两台之间(含CD 两点)任一处(3)分n 为奇数偶数两种情况讨论当n 为奇数时工具箱放在最中间的工作台上

当n 为偶数时工具箱放在最中间的两个工作台之间(包括这两个工作台)

点睛评注 借助数轴的直观性从具体个数的工作台情况归纳出一般情况体现了从

特殊到一般的思想方法

类题演练

如图2 4所示工作流水线上ABCD 处各有1名工人且AB=BC=CD=1现在

工作流水线上安放一个工具箱使4个人到工具箱的距离之和为最短则工具箱的安放位置是

DCBA

图2 4

同步反馈

A组 基础夯实

1判断正误(1)任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示( )(2)在数轴上离原点越远的点表示的数就越大( )(3)最大的负数是-1( )

2在数轴上原点的左边且与原点的距离为212

个单位长度的点所表示的数是

3在数轴上表示出数3-425-112

及它们的相反数

4在数轴上点A 表示有理数+3到A 点的距离为5个单位长度的点表示的有理数是 5若一个数的相反数是最小自然数则这个数是 6下列说法中错误的是( )A互为相反数的两个数的符号一正一负

B任何一个有理数都有相反数

7

初中数学思维拓展32讲(七年级)

C一个数的前面添上ldquo-rdquo号就成为原数的相反数

D0的相反数是它本身

B组 能力提升

7如图2 5所示在数轴上表示数a 的点到原点的距离为12则a-3=

ca 0 1b

图2 5

8数abcd 所对应的点ABCD 在数轴上的位置如图2 6所示那么a+c与b+d 的

大小关系是( )

0D C BA

图2 6

Aa+cltb+d Ba+c=b+d Ca+cgtb+d D不确定

9已知数轴上有AB 两点AB 之间的距离为1点A 与原点的距离为3求所有满足条件的

点B 与原点的距离之和10数轴上有AB 两点如果点A 对应的数是-2且AB 两点的距离为3那么点B 对应的

数是

11在数轴上点AB 分别表示-13

和15则线段AB 的中点所表示的数是

12点AB 分别是数-3-12

在数轴上对应的点使线段AB 沿数轴向右移动到AB且线

段AB的中点对应的数是3则点A对应的数是 点A 移动的距离是 13如图2 7所示图中数轴的单位长度为1如果已知点A 和点C表示的数互为相反数那么

点B 表示的数是

CBA图2 7

14电子跳蚤落在数轴上的某点K0第一步从K0向左跳1个单位到K1第二步由K1向右跳2个单位到K2第三步由K2向左跳3个单位到K3第四步由K3向右跳4个单位到K4hellip按以上规律跳了100步时电子跳蚤落在数轴上的点K100所表示的数恰好是1994试求电

子跳蚤的初始位置K0 点所表示的数

C组 创新提高

15比较a 与1a

的大小

16(1)阅读下面的材料并回答问题点AB 在数轴上分别表示实数ab而AB 两点之间的距离表示为 AB 当AB 两点中有一点在原点时不妨设点 A 在原点如图2 8mdash1所示AB =BA = b = a-b

8

第2讲 数轴

当AB 两点都不在原点时如图2 8mdash2所示点AB 都在原点的右边AB =OB - OA = b - a =b-a= a-b 当点AB 都在原点的左边如图2 8mdash3所示 AB = OB - OA = b - a =-b-(-a)= a-b 当点AB 在原点的两边如图2 8mdash4所示AB = OA + OB = a + b =a+(-b)= a-b

b

B

0

O(A)

b

B

a

A

0

O

b

B

a

A

0

O

b

B

a

A

0

O

图2 8mdash1 图2 8mdash2 图2 8mdash3 图2 8mdash4

综上数轴上AB 两点之间的距离 AB = a-b 请回答

① 数轴上表示2和5的两点之间的距离是 数轴上表示-2和-5的两点之间的距

离是 数轴上表示1和-3的两点之间的距离是

② 数轴上表示x 和 -1的两点 A 和B 之间的距离是 如果 AB =2那么x为

③ 当代数式 x+1 + x-2 取最小值时相应的x 的取值范围是 (2)试求 x-1 + x-2 + x-3 +hellip+ x-1997 的最小值

17如图2 9所示在数轴上(未标出原点及单位长度)点A 为线段BC的中点已知点ABC对应的三个数abc之积是负数这三个数之和与其中一数相等设p 为abc三数中两

数的比值求p 的最大值和最小值

B CA

图2 9

18某城镇沿环形路上依次排列有五所小学ABCDE它们依次有电脑15台7台11台3台14台为使各校的电脑数相同允许一些小学向相邻小学调出电脑怎样调配才能

使调出的电脑总台数最少 并求出电脑的最少总台数

专题反思

总题数 错误原因 错题序号

正确题数 (1)知识点不清

错误题数 (2)能力不够

(3)方法错误

给自己的

一句话

9

0 3 绝对值

专题简析

1 重点讲解

绝对值是初中代数中的一个基本概念是学习相反数有理数运算及后续算术根的基础绝对值又是初中代数中的一个重要概念在解代数式化简求值解方程(组)解不等式(组)等

问题中有着广泛的应用全面理解掌握绝对值这一概念应从以下几方面入手(1)绝对值的定义正数的绝对值是它本身负数的绝对值是它的相反数零的绝对值是

零即

a =a (agt0)

0 (a=0)

-a (alt0)

igrave

icirc

iacute

iumliuml

iumliuml

(2)绝对值的几何意义从数轴上看a 表示数a 的点到原点的距离(长度非负)

a-b 表示ab所代表的数轴上的两点间的距离而 x-a 表示数轴上表示数x 的点到表

示a 的点之间的距离(3)绝对值有如下基本性质

a ge0a 2= a2 =a2

ab = a middot bab =

ab(bne0)

a+b le a + ba-b ge a - b

2 难点点拨

在理解和运用绝对值的几何意义的过程中需要结合数轴这体现了数形结合的思想数与

形是数学中的两个最古老也是最基本的研究对象它们在一定条件下可以相互转化中学数

学研究的对象可分为数和形两大部分数与形是有联系的这个联系称为数形结合或形数结

合作为一种数学思想方法数形结合的应用大致可分为两种情形第一种情形是借助于数的

精确性来阐明形的某些属性第二种情形是借助形的几何直观性来阐明数之间的某种关系也就是说数形结合包括两个方面第一种情形是ldquo以数解形rdquo第二种情形是ldquo以形助数rdquo

举例已知a 是有理数a-2007 + a-2008 的最小值是 解由绝对值的几何意义知a-2007 + a-2008 表示数轴上的一点到表示数2007

和2008两点的距离的和要使和最小则这点必在2007~2008(包括这两个端点)取值(如图

01

第3讲 绝对值

3 1所示)故 a-2007 + a-2008 的最小值为1

0 2007 2008

图3 1

答1

典例剖析

例1 已知ab都是有理数且agt0blt0alt b 用ldquoltrdquo连接下列各数ab-a-b

思路点拨 由已知agt0blt0可知a是正数b是负数所以-a-b分别是负数和

正数又由alt b 可知alt-b-agtb答blt-altalt-b

点睛评注 此题也可以借助数轴把数表示在数轴上再比较它们的大小

类题演练

已知ab都是有理数分别在数轴上原点的左右两侧且b到原点的距离大于a到原点的

距离(1)比较 a 和b的大小(2)比较 a -bba 的大小并用ldquoltrdquo连接起来例2 字母a表示有理数求a的绝对值可以分为以下几种情况当agt0时a =a当

a=0时a =0当alt0时a =-a试用上述方法解答以下问题

(1)如果xne0求xx

的值

(2)如果yne3求y-3y-3

的值

思路点拨 解决问题的关键在于真正理解绝对值的概念先确定绝对值符号里面的

数的正负性再根据绝对值的概念求出这个数的绝对值

解(1)因为xne0所以当xgt0时x =x那么 xx =1

当xlt0时x =-x那么 xx =-1

(2)因为yne3所以当ygt3时y-3 =y-3那么 y-3y-3 =1

当ylt3时y-3 =-(y-3)那么 y-3y-3 =-1

答(略)

点睛评注 例2中求a的绝对值的三种情形实际上就是绝对值法则的符号表示应

理解其意义当用字母表示有理数时-a 不一定是负数它表示有理数a 的相反数其结果是

11

初中数学思维拓展32讲(七年级)

什么数要由数a 来决定

类题演练

(1)如果agt3则 a-3 = 3-a = (2)如果 x-2 +x-2=0那么x 的取值范围是( )Axgt2 Bxlt2 Cxge2 Dxle2

例3 如果 a =3b =5那么 a+b - a-b 的绝对值等于

思路点拨 分别求出ab的值再分类讨论求值

解因为 a =3所以a=3或-3因为 b =5所以b=5或-5

(1)当a=3b=5时a+b - a-b = 3+5 - 3-5 =8-2=6(2)当a=3b=-5时a+b - a-b = 3-5 - 3-(-5)=2-8=-6(3)当a=-3b=5时a+b - a-b = -3+5 - -3-5 =2-8=-6(4)当a=-3b=-5时a+b - a-b = -3-5 - -3-(-5)=8-2=6综上所述a+b - a-b =6或-6答6或-6

点睛评注 由绝对值的几何意义知道此类题型一定要分类讨论才会不漏解

类题演练

(1)式子 aa +

bb +

abab

的所有可能的值有( )

A2个 B3个 C4个 D无数个

(2)已知y= x-b + x-20 + x-b-20 其中0ltblt20blexle20那么y的

最小值为

例4 使代数式 3x- x4x

的值为正整数的x 值是( )

A正数 B负数 C0 D不存在

思路点拨 对含有多重绝对值符号的代数式一般要分类讨论本题可分xlt0和

xgt0两种情况但若能结合题意灵活运用定义解题过程就更简洁明了

解当xlt0时原式=3x+x4x = -4x

4x =-1

当xgt0时原式=3x-x4x =

2x4x=

12

又当x=0时代数式没有意义故所求代数式的值是-1或12与代数式的值是正整数

矛盾所以选D答D

点睛评注 求解后不要忘记检查结果是否符合题意比如本题解得代数式的值是

21

第3讲 绝对值

-1或12但是题目要求代数式的值为正整数所以都舍去为无解就只能选择D为不存在

类题演练

如果2a+b=0则ab -1 +

ab -2 等于( )

A2 B3 C4 D5

同步反馈

A组 基础夯实

1(1)绝对值是34

的数有几个 各是什么

(2)绝对值是0的数有几个 各是什么(3)有没有绝对值是-2的数

2计算(1)|-15|-|-6| (2)|-024|+|-506| (3)|-3|times|-2|

(4)|+4|times|-5| (5)|-12|divide|+2| (6)|20|divide -12

3填空(1)当agt0时|2a|= (2)当agt1时|a-1|= (3)当alt1时|a-1|=

4(1)如果m=-1那么-(- m )= (2)若 a-b =b-a则ab的大小关系是

5绝对值大于2而小于6的所有正整数之和是( )A7 B9 C12 D14

B组 能力提升

6如果0ltplt15那么当plexle15时代数式 x-p + x-15 + x-p-15 的最小值

是( )A30 B0 C15 D一个与p 有关的代数式

7若 x =a则 x-a 等于( )A0或2a Bx-a Ca-x D零

8有理数ab 在数轴上的位置如图3 2所示则在a+bb-2ab - a a-b

a+2 - b-4 中负数共有( )

a b

0 112

图3 2

A1个 B2个 C3个 D4个

31

初中数学思维拓展32讲(七年级)

9已知abc都是负数且 x-a + y-b + z-c =0则xyz是( )A正数 B非负数 C负数 D非正数

10已知x=-π3则 x+1 - x+2 + x+3 - x+4 +hellip+ x+11 - x+12 +

x+13 等于( )

A5 B7 C5-π3 D5+

π3

11若 a =19b =97且 a+b nea+b那么a-b的值是( )A-78或116 B78或116 C-78或-116 D78或-116

12已知 a =5b =3且 a-b =b-a那么a+b= 13已知 a =1b =2c =3agtbgtc则 a+b-c( )2=

C组 创新提高

14不相等的有理数abc在数轴上的对应点分别为ABC如果|a-b|+|b-c|=|a-c|那么B 点应为( )A在AC 点的右边 B在AC 点的左边

C在AC 点之间 D以上三种情况都有可能

15当b为何值时5- 2b-1 有最大值最大值是多少

16设abc 是非零有理数求 aa +

bb +

cc +

abab +

acac +

bcbc +

abcabc

等 于

17已知a 是 最 小 的 正 整 数bc 是 有 理 数并 且 有|2+b|+(3a+2c)2=0求 式 子

4ab+c-a2+c2+4

的值

专题反思

总题数 错误原因 错题序号

正确题数 (1)知识点不清

错误题数 (2)能力不够

(3)方法错误

给自己的

一句话

41

0 4 有理数的大小比较

专题简析

1 重点讲解

有理数的大小比较是后面学习不等式的基础全面理解掌握有理数大小比较的方法应从

以下几方面入手(1)利用数轴比较有理数的大小在数轴上表示的两个数右边的数比左边的数大(2)利用法则表示有理数的大小正数大于0负数小于0正数大于一切负数当要比较大

小的两个数是ldquo一正一负rdquoldquo零和正数rdquoldquo零和负数rdquo时用该法则既简便又快捷(3)利用绝对值表示有理数的大小两个正数比较大小绝对值大的数大两个负数比较

大小绝对值大的数反而小

2 难点点拨

有理数的大小比较的方法主要是利用定义法则以及数轴利用数轴判断有理数的大小的

过程体现了数形结合的思想在比较有理数大小时要考虑全面以免遗漏分析有的题目中可

以运用归纳法有些有理数需先化简再比较大小对于两个以上的数比较大小应先将这些数

按正数负数和零分成三类然后分别比较大小最后将这些数按一定顺序排列正数的大小比

较我们在小学就已学过故关键是注意负数的大小比较要熟练掌握已学过的负数的大小比较

方法另外在比较时应注意分数与小数的互化举例比较下列各组数的大小用ldquoltrdquo号把下列各组有理数连接起来

-513- -

23

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide-

35-42

解应先把- -23

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide-

35-42化简再利用有理数的大小比较法则比较由于

- -23

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide=23-

35 =

35-42=-42

而 -513 =5

13-42=42且5

13gt42

35lt

23

则有-513lt-42lt -

35 lt- -

23

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

答(略)

典例剖析

例1 画一条数轴并把-4-(-35)2120-

32

各数在数轴上表示出来再用ldquoltrdquo

51

初中数学思维拓展32讲(七年级)

把它们连接起来

思路点拨 在数轴上把各个数表示出来再根据在数轴上表示的数右边的数总比左

边的数大比较它们的大小即可解上述各数在数轴上如图4 1所示

0 1 2 3 4 51

234

02

23

4

5

21

(35)

图4 1

用ldquoltrdquo把它们连接为-4lt0lt -32 lt2

12lt-

(-35)

答(略)

点睛评注 本题考查了利用数轴比较有理数的大小在数轴上表示的数右边的数总

比左边的数大

类题演练

画出数轴在数轴上表示下列各数并用ldquoltrdquo连接

05-150-2-5+3例2 已知mgt0nlt0且|m|lt|n|在数轴上表示出mn-m-n 所对应的点并把

这4个数用ldquoltrdquo连接起来

思路点拨 根据已知求出-mlt0-ngt0-mgtn-ngtm再在数轴上表示出来

根据数轴上右边的数总比左边的数大比较它们的大小即可解因为mgt0nlt0且|m|lt|n|

所以-mlt0-ngt0-mgtn-ngtm上述各数在数轴上如图4 2所示

0 m nn m

图4 2

所以nlt-mltmlt-n

点睛评注 本题考查了数轴绝对值有理数的大小比较等知识点关键是判断m

-mn-n 的大小

类题演练

有理数ab在数轴上如图4 3所示

0 ba

图4 3

(1)在数轴上表示-a-b(2)试把ab0-a-b这五个数按从小到大用

ldquoltrdquo连接

61

第4讲 有理数的大小比较

(3)用ldquogtrdquoldquo=rdquo或ldquoltrdquo填空|a| a|b| b

例3 试比较-19971998

-9798-19981999

-9899

这四个数的大小

思路点拨 观察这四个分数的分子与分母可发现这四个分数可以化为同分子的分

数然后根据ldquo同分子的正分数分母大的分数比较小rdquo来比较它们的大小即可

解因为-19971998=-

1998-11998 =-1+

11998

-9798=-

98-198 =-1+

198

-19981999=-

1999-11999 =-1+

11999

-9899=-

99-199 =-1+

199

因为198gt

199gt

11998gt

11999

(同分子的正分数中分母大的分数比较小)

所以-19981999lt-

19971998lt-

9899lt-

9798

答(略)

点睛评注 解答本题时是借助不等式的性质(不等式的两边同时加上同一个数不等

式的符号方向不变)来比较有理数的大小的

类题演练

设a=199619951995

b=199519961995

c=199619951996

d=199519961996

试比较abcd 的大小

例4 四个数wxyz满足x-2001=y+2002=z-2003=w+2004那么其中最小的

数是 最大的数是

思路点拨 根据已知等式先分别求x-yx-zy-w 的值然后再用这些值与0

比较大小即可求得zgtxgtygtw解由x-2001=y+2002=z-2003=w+2004得

x-y=2001+2002=4003gt0所以xgty ①x-z=2001-2003=-2lt0所以zgtx ②y-w=2004-2002=2gt0所以ygtw ③由①②③式得

zgtxgtygtw所以四个数wxyz中最小的数是w最大的数是z

答wz

点睛评注 本题主要考查了有理数大小的比较两个正数比较大小绝对值大的数

大两个负数比较大小绝对值大的数反而小

71

初中数学思维拓展32讲(七年级)

类题演练

已知d-altc-blt0d-b=c-a那么abcd 之间的关系 (用ldquoltrdquo连接)

同步反馈

A组 基础夯实

1在25-2503这四个数中最小的数是( )A25 B-25 C0 D3

2如图4 4(A)(B)(C)(D)所示数轴上的点分别表示有理数ab若agtb其中表示正确的

图形是( )

A B C D

a b

0123

b a

0 11

a b

0 11

a b

0 11

图4 4

3(1)-2 +6(2)0 -18

(3)-32 -4

(4) -7 +7(5)-[-(-3)] +[-(+3)]

4一个数比它的相反数小这个数是( )A正数 B负数 C非负数 D非正数

5大于-4的负整数有 个6我国几个城市某年一月份的平均气温见表4 1其中气温最低的城市是( )

表4 1

城市 北京 武汉 广州 哈尔滨

平均气温 -46 38 131 -194

A北京 B武汉 C广州 D哈尔滨

B组 能力提升

7若ylt0则xx-yx+y 中最大的是( )Ax Bx-y Cx+y D不确定

8下面有4个正整数的集合(1)1~101中3的倍数(2)1~101中4的倍数(3)1~101中5的倍数(4)1~101中6的倍数其中平均数最大的集合是( )A(1) B(2) C(3) D(4)

81

第4讲 有理数的大小比较

9已知m 是正整数则m-m1m

的大小关系是( )

A-mlt1mltm B-mltmlt

1m C-mlt

1mlem D-mltmle

1m

10若agtbalt0则-(a+b)gt-bgt-agt-a+b是否正确

11比-312

大而比216

小的所有整数的和为

12已知有理数ab在数轴上的对应点的位置如图4 5所示0表示原点

0 11 ba

图4 5

①请在数轴上表示出数-a-b对应的点的位置

②请按从小到大的顺序排列a-a-bb-10的大小

C组 创新提高

13设A=1999111+11999222+1

B=1999222+11999333+1

则A 与B 的大小关系是

14比较-20112010

和-20122011

的大小

15仔细阅读下列材料

2009times20082008-2008times20092009= 分析可知很明显这个题直接计算比较烦琐可尝试用x 代替2009y 代替2008解令2009=x2008=y则原式=x(ytimes104+y)-y(xtimes104+x)=xytimes104+xy-xytimes104-xy=0我们常常ldquo用字母来表示数rdquo而上述材料根据问题特点将较大数字采用恰当的字母来表

示则更能使运算简捷明快(1)在上述问题解决过程中运用了 思维的方法体现了 的数学思想(2)参照上述材料中的方法解答下面两题

①计算 401820102-2009times2011

②若M=67890123457890123456

N=67890123447890123455

比较MN 的大小

专题反思

总题数 错误原因 错题序号

正确题数 (1)知识点不清

错误题数 (2)能力不够(3)方法错误

给自己的

一句话

91

0 5 有理数的加减

专题简析

1 重点讲解

(1)有理数的加法法则

①同号两数相加取与加数相同的符号并把绝对值相加

②异号两数相加取绝对值较大的加数的符号并用较大数的绝对值减去较小数的绝对值

③互为相反数的两个数相加得零

④一个数同零相加仍得这个数注意利用法则进行加法运算的步骤①判断两个加数的符号是同号异号还是有一个加

数为零以此来选择用哪条法则②确定和的符号(是ldquo+rdquo还是ldquo-rdquo)③求各加数的绝对值并确定和的绝对值(加数的绝对值是相加还是相减)

(2)有理数的加法运算律见表5 1

表5 1

有 理 数 加

法运算律

加法交换律

加法结

合律

文字语言 两个数相加交换加数的位置和不变

符号语言 a+b=b+a

文字语言三个数相加先把前两个数相加或者先把后两个数相加和不变

符号语言 (a+b)+c=a+(b+c)

注意交换加数的位置时不要忘记符号(3)有理数的减法法则减去一个数等于加上这个数的相反数即有a-b=a+(-b)注意将减法转化为加法时注意同时进行的两变一变是减法变加法二变是把减数变为

它的相反数如

6(2)=6+(+2) (2)3=(2)+(3)

(4)有理数加减混合运算①先利用减法法则将减法转化为加法②再运用加法交换律

和结合律使计算简便

2 难点点拨

掌握有理数的加减运算就是要求学生既算得快又准确显然做加法相对于做减法而言不容易出错所以加减混合运算时注意以下几点首先先去括号把式子整理成省略加号的和

02

第5讲 有理数的加减

的形式然后将这一形式看作是几个数相加运用加法法则来计算即可举例计算8-(-3)+(-1)-2-(-7)解原式=8+3-1-2+7=15(看作8+3+(-1)+(-2)+7即求83-1和-2相加

的和)答15

典例剖析

例1 计算(-55)+ +1115

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide+(+7)eacute

eumlecircecirc

ugrave

ucircuacuteuacute+ (-7)+ +

415

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide+(+25)eacute

eumlecircecirc

ugrave

ucircuacuteuacute

思路点拨 利用有理数加法的交换律和结合律计算

解原式=(-55)+ +1115

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide+(+7)+(-7)+ +

415

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide+(+25)

= +1115

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide+ +

415

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

eacute

eumlecircecirc

ugrave

ucircuacuteuacute+ (-55)+(+25)[ ]+ (-7)+(+7)[ ]=1+(-3)=-2

答-2

点睛评注 在运用有理数加法运算律时一定要根据需要灵活运用以达到简化的目

的通常有下列规律

①互为相反数的两个数先相加mdashmdashmdashldquo相反数结合法rdquo

②符号相同的两个数先相加mdashmdashmdashldquo同号结合法rdquo

③分母相同的数先相加mdashmdashmdashldquo同分母结合法rdquo

④整数与整数小数与小数分数与分数先相加mdashmdashmdashldquo同形结合法rdquo

类题演练

323+

(-263)+ -235

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide+(+363)+ -

23

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

例2 计算-3213

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide- +5

14

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide-3

17+ -5

14

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide- +2

67

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

eacute

eumlecircecirc

ugrave

ucircuacuteuacute

思路点拨 先观察式子可发现中括号里的数先运算较简便

解原式= -3213

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide- 5

14-3

17-5

14-2

67

eacute

eumlecircecirc

ugrave

ucircuacuteuacute=-32

13+6=-26

13

答-2613

点睛评注 在解决此类问题时一般要先去括号简化成省略加号和的形式再视情

况运用交换律和结合律简化运算另外在去括号时要时刻注意是否需要变号

12

• 第一讲
• 第二讲
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• 第四讲
• 第五讲
• 第六讲
• 第七讲
• 第八讲
• 第九讲
• 第十讲
• 第十一讲
• 第十二讲
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• 第二十一讲
• 第二十二讲
• 第二十三讲13
• 第二十四讲
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• 第二十六讲
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• 第二十九讲
• 第三十讲
• 第三十一讲
• 第三十二讲
• 参考答案13

图书在版编目(CIP)数据

初中数学思维拓展32讲七年级毛大平胡旅航本册主编mdash上海华东理工大学出版社20151 (给力数学middot初中数学思维拓展32讲叶立军)

ISBN978 7 5628 3972 9

Ⅰ①初hellip Ⅱ①毛hellip ②胡hellip Ⅲ①中学数学课mdash初中mdash

教学参考资料 Ⅳ ①G634603

中国版本图书馆CIP数据核字(2014)第147886号

给力数学

初中数学思维拓展32讲(七年级)1051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275丛书主编叶立军

本册主编毛大平 胡旅航

策划编辑庄晓明

责任编辑刘 婧

责任校对李 晔

封面设计裘幼华

出版发行华东理工大学出版社有限公司

地 址上海市梅陇路130号200237电 话(021)64250306(营销部)

(021)64252718(编辑室)

传 真(021)64252707网 址pressecusteducn

印 刷上海展强印刷有限公司

开 本787mmtimes1092mm 116印 张1225字 数309千字

版 次2015年1月第1版

印 次2015年1月第1次

书 号ISBN978 7 5628 3972 9定 价2800元

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前 言

数学是初中阶段的重点科目之一怎样才能使数学学习既高效又轻松愉快呢 笔者认为方法是关键思路决定出路要想轻松取得数学高分必须有正确的数学思维习惯

ldquo给力数学rdquo丛书之ldquo初中数学思维拓展32讲rdquo系列就是从数学思维的根本点出发精确导

航力求使学生领悟每道题背后的数学知识点及其蕴含的数学思想与方法并通过有针对性的

训练最大限度地提高学习效率让学生的学习过程变得轻松快乐更能创造提分奇迹本书在内容编排上结合新教材的要求设置了以下栏目【专题简析】对每一讲所要掌握的知识点进行了提纲挈领的归纳总结(包括主要公式定

理和常用的数学思想方法等)促使学生对初中数学知识体系有一个全面的了解与认识做到

胸有成竹从而提高学习效率【典例剖析】精选典型例题进行深入分析包括ldquo思路点拨rdquoldquo点睛评注rdquo和ldquo类题演练rdquo三

个小模块对每一道题的解题关键点都一一进行了解读解完题之后还有及时的点评帮助学

生厘清思路拓展思维最后ldquo类题演练rdquo模块提供有针对性的训练题真正做到举一反三让学

生在做题中进一步巩固关键知识点有助于他们针对自己学习中的薄弱环节强化练习查缺补

漏全面提高解题的综合能力【同步反馈】同步练习分为三组ldquoA组 基础夯实rdquo针对考试中70的基础题考查所有

学生必须掌握的基础知识和基本技能ldquoB组 能力提升rdquo针对考试中20的中档题需要学

生综合运用所学知识才能顺利过关ldquoC组 创新提高rdquo针对考试中10的压轴题这是尖子

生欲拿高分的必练题【专题反思】做1000道题目如果不及时反思思维训练的效果就会大打折扣这个栏目的

设置是为了让学生及时总结及时跟进这样扎扎实实学下去数学何愁学不好本书具有以下特点(1)构思具有新颖性本书以新课标人教版教材知识体系为主线依纲扣点迁移扩展夯

实基础全面透彻(2)选题具有代表性本书精心遴选题型避免题海战术务求内容的实效性启发性和经

典性所选例题贴近实际大多是近年数学中考试题中的中高等难度题还编选了一些设置新

颖综合性强有启迪思维作用极易提升学生的创新能力和应变能力的题目(3)学习具有实用性本书特别重视知识能力的拓展数学建模与创新思维的导航注重引

发思考突出重点难点演练精准到位颇有举一反三之功能适合初中学生自学由于水平有限书中不足之处在所难免笔者真诚地希望得到读者的宝贵建议

编 者

2014年春

第 1 讲 有理数 1第 2 讲 数轴 5第 3 讲 绝对值 10第 4 讲 有理数的大小比较 15第 5 讲 有理数的加减 20第 6 讲 有理数的乘除 25第 7 讲 有理数的乘方 30第 8 讲 有理数的混合运算 34第 9 讲 近似数 38第10讲 平方根 43第11讲 实数 48第12讲 立方根 52第13讲 实数的运算 56第14讲 用字母表示数 60第15讲 代数式 66第16讲 代数式的值 72第17讲 整式 78第18讲 合并同类项 83第19讲 整式的加减 87第20讲 一元一次方程 91第21讲 等式的基本性质 95第22讲 一元一次方程的解法 99第23讲 一元一次方程的应用 103第24讲 几何图形 109第25讲 线段射线和直线 117第26讲 线段的长短比较 122第27讲 线段的和差 127第28讲 角与角的度量 134第29讲 角的大小比较 140第30讲 角的和差 147第31讲 余角和补角 155第32讲 直线的相交 161参考答案 169

0 1 有理数

专题简析

1 重点讲解

有理数是中学阶段第一次数的扩展它和小学里学过的自然数分数(小数)的概念联系十

分密切本讲的学习要体会从自然数到有理数的扩展过程掌握自然数分数的意义为以后继

续学习数的扩充作准备同时有理数的概念及其相关知识的学习也是后面有理数运算等知识

的基础要全面掌握这一知识要从以下几方面入手(1)自然数分数的意义可用自然数进行计数和测量可用自然数给事物编号和排序分

数和小数都可以看成是两个整数相除的表示方法任何分数都可以化成小数在小学里学过的

小数(π除外)都可以化为分数(2)正负数的意义为了表示生活中具有相反意义的两个量我们把一种意义的量规定

为正用大于零的数如+5322等这样的数就是正数正数前面可以标上ldquo+rdquo来表示(可省略不写)把另一种与之相反意义的量规定为负用大于零的数前面加上负号ldquo-rdquo来表示如-5-32等这样的数就叫作负数

(3)有理数

整数正整数零和负整数统称为整数分数正分数和负分数统称为分数有理数整数和分数统称为有理数(4)有理数的分类有理数的分类有两种方法一是按照定义分类二是按照性质分类按定义分类如下

有理数

整数

正整数

零

负整数

igrave

icirc

iacute

iumliuml

iumliuml

分数正分数

负分数

igrave

icirc

iacute

iumliumliumliuml

iumliumliuml

按性质分类如下

有理数

正有理数正整数

正分数零

负有理数负整数

负分数

igrave

icirc

iacute

iumliumliumliuml

iumliumliuml

2 难点点拨

本讲主要就是理解有理数相关的概念和正数负数的意义等而建立正数负数的概念对

1

初中数学思维拓展32讲(七年级)

学生来说是数学抽象思维的一次重大飞跃是本讲的难点例ldquo带正号的数是正数带负号的数是负数rdquo这句话正确吗解错误判断正负的标准不能只是看是否带有正负号而应以是否大于0作为判断的依

据大于0的数是正数小于0的数是负数

典例剖析

例1 一张卡片第一次将其撕成两小片第二次将每一小片再撕成两小片helliphellip10次后

共有多少张小片

思路点拨 每撕一次小片数是前一次的2倍且第一次的小片数为2即为21后面

小片数一次为2223则10次后有210张解210=1024(张)答10次后共有1024张小片

点睛评注 掌握自然数分数的意义和作用能在不同情境中正确地选择和运用自然

数或分数解决实际问题

类题演练

科学研究表明植物的花瓣萼片果实的数目以及其他方面的特征都非常吻合一个奇特

的数列mdashmdashmdash著名的斐波那契数列1123581321hellip仔细观察该数列它的第15个数应

该是 例2 小红妈妈统计家庭收支情况上月收入600元综合考虑支出情况后收支情况记

为-120元那么上个月家庭共支出多少元

思路点拨 利用ldquo收入-支出=-120rdquo求出上月的支出即可

解因为600-支出=-120所以支出=600+120=720(元)

答上月家庭共支出720元

点睛评注 此题考查了正数和负数的实际意义即在实际问题中表示具有相反意义

的量

类题演练

某检修小组乘一辆检测机车沿一条南北走向的铁路线检查铁轨约定向北行驶为正某天

从甲地出发到收工时行驶记录为(单位千米)+15-3+5-2+11+4-8-7+9收工时检修人员在甲地的哪一边 距甲地多远

例3 课桌的高度比标准高度高2毫米记作+2毫米那么比标准高度低3毫米记作什

么 现有5张课桌量得它们的尺寸与标准尺寸相比后分别记为1毫米-1毫米0毫米

+3毫米-15毫米若规定合格的课桌的高度最高不能高于标准高度2毫米最低不能低于

标准高度2毫米问上述5张课桌有几张不合格

2

第1讲 有理数

思路点拨 首先审清题意明确ldquo正rdquo和ldquo负rdquo所表示的意义再根据题意作答

解(1)根据题意得比标准高度高记为ldquo+rdquo比标准高度低记为ldquo-rdquo所以比标准高度低

3毫米记作-3毫米(2)根据题意得合格的课桌的高度h 范围是-2lehle2所以不合格的课桌只有1张+3毫米的

答(略)

点睛评注 本题主要考查的是正数和负数在实际生活中的应用解题关键是理解

ldquo正rdquo和ldquo负rdquo的相对性明确什么是一对具有相反意义的量在一对具有相反意义的量中先规

定其中一个为正则另一个就用负来表示

类题演练

我市某公路检修站甲小组乘一辆汽车沿东西方向的公路检查公路约定向东行驶为正从A地出发到收工时行驶记录为(单位千米)+15-2+5-1+10-3-2+12

+4-5+6(1)计算收工时甲在A地的哪一边 距A地多远(2)若每千米汽车耗油01升汽车出发到收工时共耗油多少升

同步反馈

A组 基础夯实

1如果+30m表示向东走30m那么向西走40m表示为( )A+40m B-40m C+30m D-30m

2如果规定收入为正支出为负收入500元记作500元那么支出237元应记作( )A-500元 B-237元 C237元 D500元

3如果用+002克表示一只乒乓球质量超出标准质量002克那么一只乒乓球质量低于标准

质量002克记作( )A+002克 B-002克 C0克 D+004克

4下面几个数中属于正数的是( )A3 B-12 C-2 D0

5用正数和负数表示下列具有相反意义的量(1)买进30kg苹果与卖出30kg苹果(2)盈利10000元与亏损3000元(3)前进5米与后退10米(4)高于海平面960米与低于海平面960米

B组 能力提升

6某项科学研究以45分钟为1个时间单位并记每天上午10时为010时以前记为负10时

以后记为正例如9∶15记为-110∶45记为1等等依此类推上午7∶45应记为( )

3

初中数学思维拓展32讲(七年级)

A3 B-3 C-215 D-7457某种药品的说明书上标明保存温度是(20plusmn2)则该药品在( )范围内保存才合适A18~20 B20~22 C18~21 D18~22

8下列说法正确的是( )①在+5与+6之间没有正数

②在-1与0之间没有负数

③在+5与+6之间有无数个正分数

④在-1与0之间没有正分数

A仅④正确 B仅③正确 C仅③④正确 D①②④正确

9某件商品进价为400元现在提价20后出售则每件可获利润 元

C组 创新提高

10若-a不是负数那么a一定是( )A负数 B正数 C正数和零 D负数和零

11一口井水面比井口低3米一只蜗牛从水面沿着井壁往井口爬第一次往上爬了05米后

又下滑了01米第二次往上爬了042米却又下滑了015米第三次往上爬了07米却下滑了015米第四次往上爬了075米却下滑了02米第五次往上爬了055米没有

下滑第六次往上爬了048米此时蜗牛 (填ldquo能rdquo或ldquo不能rdquo)爬出井口12某天长跑运动员小明在一条南北方向的公路上练习跑步(设向南为正方向)他从A地出

发每隔10分钟记录下自己的跑步情况-1018米1026米-976米1028米-1024米946米1小时后他停下来休息此时他在A地的什么方向 距A地多远 小明共跑了

多少米

专题反思

总题数 错误原因 错题序号

正确题数 (1)知识点不清

错误题数 (2)能力不够

(3)方法错误

给自己的

一句话

4

0 2 数轴

专题简析

1 重点讲解

(1)数轴的概念规定了原点正方向和单位长度的直线叫作数轴它包含三层含义一是

数轴是一条直线可以向两端无限延伸二是数轴有三要素原点正方向单位长度三者缺一

不可三是原点它是具有特殊意义的点相当于温度计的零刻度线(2)运用数轴表示有理数任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示(3)运用数轴可以形象地解释相反数如果两个数只有符号不同那么称其中一个数为

另一个数的相反数而在数轴上表示互为相反数的两个点位于原点的两侧且到原点的距

离相等(4)运用数轴可以直观地理解绝对值的意义(在下一讲中讲述)(5)运用数轴比较有理数的大小数轴上表示的两个数右边的数总比左边的数大

2 难点点拨

任意一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示但要注意的是数轴上的点对应着一个

数但这个数不一定是有理数正确比较有理数的大小可借助数轴在理解比较有理数大小法

则的基础上进行正确表述

典例剖析

例1 一个点在数轴上表示的数是-5现将这个点向左移动3个单位再向右移动6个

单位请回答下列问题(1)这时它表示的数是 (2)如果将以上先左移3再右移6看作一次移动那么移动10次后的点表示的数是

(3)在(2)的情况下移动n 次后的点表示的数是 (n 为正整数)

思路点拨 借助数轴的直观性可以将变化内容具体化并通过对特殊情况的分析归

纳出变化的规律答(1)-2(2)25(3)3n-5

点睛评注 先左移3再右移6看作一次变化变化结果是增加310次就增加30n

次就增加3n

5

初中数学思维拓展32讲(七年级)

类题演练

从数轴上一个点先向左移动3个单位长度再向右移动2个单位长度终点表示的数为

0则起点表示的数是 例2 数abcd 所对应的点ABCD 在数轴上的位置如图2 1所示那么a+c与

b+d的大小关系是( )

OD C BA

图2 1

Aa+cltb+d Ba+c=b+d Ca+cgtb+d D不确定

思路点拨 运用数轴上点的几何意义可以发现ad 是负的bc是正的点A 比点

D 到原点的距离远点B 比点C 到原点的距离远而a+c 和b+d 的结果都为负所以b+d 大

答A

点睛评注 数轴上在原点左侧的点表示负数在原点右边的数表示正数数轴上右边

的数总比左边的数大

类题演练

数轴上有AB 两个点点A 到原点3个单位长度点B 到原点5个单位长度则AB 间

距离最大为 个单位长度最小为 个单位长度

例3 abc在数轴上的位置如图2 2所示则 1a-b

1c-b

1a-c

中最大的是

ca b 0

图2 2

思路点拨 先判断a-ba-c 为负c-b 为正则 1a-b

1c-b

1a-c

中只有1

c-b为

正其余为负故 1c-b

为最大

答1c-b

点睛评注 数轴上的点表示的数右边的数总比左边的数大

类题演练

abc在数轴上的位置如图2 3所示则 1a+b

1b+c

1a+c

中最大的是

ca b 0

图2 3

6

第2讲 数轴

例4 (1)工作流水线上依次排列5个工作台ABCDE一只工具箱应该放在何处才能使工作台上操作机器的人取工具所走的路程最短

(2)如果工作台由5个改为6个那么工具箱应如何放置能使6个操作机器的人取工具

所走的路程之和最短(3)当流水线上有n 个工作台时怎样放置工具箱最合适

思路点拨 把流水线看作数轴工作台工具箱看作数轴上的点这样就找到了解决

本例的模型mdashmdashmdash数轴答(1)工具箱放在C 台上(2)工具箱放在CD 两台之间(含CD 两点)任一处(3)分n 为奇数偶数两种情况讨论当n 为奇数时工具箱放在最中间的工作台上

当n 为偶数时工具箱放在最中间的两个工作台之间(包括这两个工作台)

点睛评注 借助数轴的直观性从具体个数的工作台情况归纳出一般情况体现了从

特殊到一般的思想方法

类题演练

如图2 4所示工作流水线上ABCD 处各有1名工人且AB=BC=CD=1现在

工作流水线上安放一个工具箱使4个人到工具箱的距离之和为最短则工具箱的安放位置是

DCBA

图2 4

同步反馈

A组 基础夯实

1判断正误(1)任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示( )(2)在数轴上离原点越远的点表示的数就越大( )(3)最大的负数是-1( )

2在数轴上原点的左边且与原点的距离为212

个单位长度的点所表示的数是

3在数轴上表示出数3-425-112

及它们的相反数

4在数轴上点A 表示有理数+3到A 点的距离为5个单位长度的点表示的有理数是 5若一个数的相反数是最小自然数则这个数是 6下列说法中错误的是( )A互为相反数的两个数的符号一正一负

B任何一个有理数都有相反数

7

初中数学思维拓展32讲(七年级)

C一个数的前面添上ldquo-rdquo号就成为原数的相反数

D0的相反数是它本身

B组 能力提升

7如图2 5所示在数轴上表示数a 的点到原点的距离为12则a-3=

ca 0 1b

图2 5

8数abcd 所对应的点ABCD 在数轴上的位置如图2 6所示那么a+c与b+d 的

大小关系是( )

0D C BA

图2 6

Aa+cltb+d Ba+c=b+d Ca+cgtb+d D不确定

9已知数轴上有AB 两点AB 之间的距离为1点A 与原点的距离为3求所有满足条件的

点B 与原点的距离之和10数轴上有AB 两点如果点A 对应的数是-2且AB 两点的距离为3那么点B 对应的

数是

11在数轴上点AB 分别表示-13

和15则线段AB 的中点所表示的数是

12点AB 分别是数-3-12

在数轴上对应的点使线段AB 沿数轴向右移动到AB且线

段AB的中点对应的数是3则点A对应的数是 点A 移动的距离是 13如图2 7所示图中数轴的单位长度为1如果已知点A 和点C表示的数互为相反数那么

点B 表示的数是

CBA图2 7

14电子跳蚤落在数轴上的某点K0第一步从K0向左跳1个单位到K1第二步由K1向右跳2个单位到K2第三步由K2向左跳3个单位到K3第四步由K3向右跳4个单位到K4hellip按以上规律跳了100步时电子跳蚤落在数轴上的点K100所表示的数恰好是1994试求电

子跳蚤的初始位置K0 点所表示的数

C组 创新提高

15比较a 与1a

的大小

16(1)阅读下面的材料并回答问题点AB 在数轴上分别表示实数ab而AB 两点之间的距离表示为 AB 当AB 两点中有一点在原点时不妨设点 A 在原点如图2 8mdash1所示AB =BA = b = a-b

8

第2讲 数轴

当AB 两点都不在原点时如图2 8mdash2所示点AB 都在原点的右边AB =OB - OA = b - a =b-a= a-b 当点AB 都在原点的左边如图2 8mdash3所示 AB = OB - OA = b - a =-b-(-a)= a-b 当点AB 在原点的两边如图2 8mdash4所示AB = OA + OB = a + b =a+(-b)= a-b

b

B

0

O(A)

b

B

a

A

0

O

b

B

a

A

0

O

b

B

a

A

0

O

图2 8mdash1 图2 8mdash2 图2 8mdash3 图2 8mdash4

综上数轴上AB 两点之间的距离 AB = a-b 请回答

① 数轴上表示2和5的两点之间的距离是 数轴上表示-2和-5的两点之间的距

离是 数轴上表示1和-3的两点之间的距离是

② 数轴上表示x 和 -1的两点 A 和B 之间的距离是 如果 AB =2那么x为

③ 当代数式 x+1 + x-2 取最小值时相应的x 的取值范围是 (2)试求 x-1 + x-2 + x-3 +hellip+ x-1997 的最小值

17如图2 9所示在数轴上(未标出原点及单位长度)点A 为线段BC的中点已知点ABC对应的三个数abc之积是负数这三个数之和与其中一数相等设p 为abc三数中两

数的比值求p 的最大值和最小值

B CA

图2 9

18某城镇沿环形路上依次排列有五所小学ABCDE它们依次有电脑15台7台11台3台14台为使各校的电脑数相同允许一些小学向相邻小学调出电脑怎样调配才能

使调出的电脑总台数最少 并求出电脑的最少总台数

专题反思

总题数 错误原因 错题序号

正确题数 (1)知识点不清

错误题数 (2)能力不够

(3)方法错误

给自己的

一句话

9

0 3 绝对值

专题简析

1 重点讲解

绝对值是初中代数中的一个基本概念是学习相反数有理数运算及后续算术根的基础绝对值又是初中代数中的一个重要概念在解代数式化简求值解方程(组)解不等式(组)等

问题中有着广泛的应用全面理解掌握绝对值这一概念应从以下几方面入手(1)绝对值的定义正数的绝对值是它本身负数的绝对值是它的相反数零的绝对值是

零即

a =a (agt0)

0 (a=0)

-a (alt0)

igrave

icirc

iacute

iumliuml

iumliuml

(2)绝对值的几何意义从数轴上看a 表示数a 的点到原点的距离(长度非负)

a-b 表示ab所代表的数轴上的两点间的距离而 x-a 表示数轴上表示数x 的点到表

示a 的点之间的距离(3)绝对值有如下基本性质

a ge0a 2= a2 =a2

ab = a middot bab =

ab(bne0)

a+b le a + ba-b ge a - b

2 难点点拨

在理解和运用绝对值的几何意义的过程中需要结合数轴这体现了数形结合的思想数与

形是数学中的两个最古老也是最基本的研究对象它们在一定条件下可以相互转化中学数

学研究的对象可分为数和形两大部分数与形是有联系的这个联系称为数形结合或形数结

合作为一种数学思想方法数形结合的应用大致可分为两种情形第一种情形是借助于数的

精确性来阐明形的某些属性第二种情形是借助形的几何直观性来阐明数之间的某种关系也就是说数形结合包括两个方面第一种情形是ldquo以数解形rdquo第二种情形是ldquo以形助数rdquo

举例已知a 是有理数a-2007 + a-2008 的最小值是 解由绝对值的几何意义知a-2007 + a-2008 表示数轴上的一点到表示数2007

和2008两点的距离的和要使和最小则这点必在2007~2008(包括这两个端点)取值(如图

01

第3讲 绝对值

3 1所示)故 a-2007 + a-2008 的最小值为1

0 2007 2008

图3 1

答1

典例剖析

例1 已知ab都是有理数且agt0blt0alt b 用ldquoltrdquo连接下列各数ab-a-b

思路点拨 由已知agt0blt0可知a是正数b是负数所以-a-b分别是负数和

正数又由alt b 可知alt-b-agtb答blt-altalt-b

点睛评注 此题也可以借助数轴把数表示在数轴上再比较它们的大小

类题演练

已知ab都是有理数分别在数轴上原点的左右两侧且b到原点的距离大于a到原点的

距离(1)比较 a 和b的大小(2)比较 a -bba 的大小并用ldquoltrdquo连接起来例2 字母a表示有理数求a的绝对值可以分为以下几种情况当agt0时a =a当

a=0时a =0当alt0时a =-a试用上述方法解答以下问题

(1)如果xne0求xx

的值

(2)如果yne3求y-3y-3

的值

思路点拨 解决问题的关键在于真正理解绝对值的概念先确定绝对值符号里面的

数的正负性再根据绝对值的概念求出这个数的绝对值

解(1)因为xne0所以当xgt0时x =x那么 xx =1

当xlt0时x =-x那么 xx =-1

(2)因为yne3所以当ygt3时y-3 =y-3那么 y-3y-3 =1

当ylt3时y-3 =-(y-3)那么 y-3y-3 =-1

答(略)

点睛评注 例2中求a的绝对值的三种情形实际上就是绝对值法则的符号表示应

理解其意义当用字母表示有理数时-a 不一定是负数它表示有理数a 的相反数其结果是

11

初中数学思维拓展32讲(七年级)

什么数要由数a 来决定

类题演练

(1)如果agt3则 a-3 = 3-a = (2)如果 x-2 +x-2=0那么x 的取值范围是( )Axgt2 Bxlt2 Cxge2 Dxle2

例3 如果 a =3b =5那么 a+b - a-b 的绝对值等于

思路点拨 分别求出ab的值再分类讨论求值

解因为 a =3所以a=3或-3因为 b =5所以b=5或-5

(1)当a=3b=5时a+b - a-b = 3+5 - 3-5 =8-2=6(2)当a=3b=-5时a+b - a-b = 3-5 - 3-(-5)=2-8=-6(3)当a=-3b=5时a+b - a-b = -3+5 - -3-5 =2-8=-6(4)当a=-3b=-5时a+b - a-b = -3-5 - -3-(-5)=8-2=6综上所述a+b - a-b =6或-6答6或-6

点睛评注 由绝对值的几何意义知道此类题型一定要分类讨论才会不漏解

类题演练

(1)式子 aa +

bb +

abab

的所有可能的值有( )

A2个 B3个 C4个 D无数个

(2)已知y= x-b + x-20 + x-b-20 其中0ltblt20blexle20那么y的

最小值为

例4 使代数式 3x- x4x

的值为正整数的x 值是( )

A正数 B负数 C0 D不存在

思路点拨 对含有多重绝对值符号的代数式一般要分类讨论本题可分xlt0和

xgt0两种情况但若能结合题意灵活运用定义解题过程就更简洁明了

解当xlt0时原式=3x+x4x = -4x

4x =-1

当xgt0时原式=3x-x4x =

2x4x=

12

又当x=0时代数式没有意义故所求代数式的值是-1或12与代数式的值是正整数

矛盾所以选D答D

点睛评注 求解后不要忘记检查结果是否符合题意比如本题解得代数式的值是

21

第3讲 绝对值

-1或12但是题目要求代数式的值为正整数所以都舍去为无解就只能选择D为不存在

类题演练

如果2a+b=0则ab -1 +

ab -2 等于( )

A2 B3 C4 D5

同步反馈

A组 基础夯实

1(1)绝对值是34

的数有几个 各是什么

(2)绝对值是0的数有几个 各是什么(3)有没有绝对值是-2的数

2计算(1)|-15|-|-6| (2)|-024|+|-506| (3)|-3|times|-2|

(4)|+4|times|-5| (5)|-12|divide|+2| (6)|20|divide -12

3填空(1)当agt0时|2a|= (2)当agt1时|a-1|= (3)当alt1时|a-1|=

4(1)如果m=-1那么-(- m )= (2)若 a-b =b-a则ab的大小关系是

5绝对值大于2而小于6的所有正整数之和是( )A7 B9 C12 D14

B组 能力提升

6如果0ltplt15那么当plexle15时代数式 x-p + x-15 + x-p-15 的最小值

是( )A30 B0 C15 D一个与p 有关的代数式

7若 x =a则 x-a 等于( )A0或2a Bx-a Ca-x D零

8有理数ab 在数轴上的位置如图3 2所示则在a+bb-2ab - a a-b

a+2 - b-4 中负数共有( )

a b

0 112

图3 2

A1个 B2个 C3个 D4个

31

初中数学思维拓展32讲(七年级)

9已知abc都是负数且 x-a + y-b + z-c =0则xyz是( )A正数 B非负数 C负数 D非正数

10已知x=-π3则 x+1 - x+2 + x+3 - x+4 +hellip+ x+11 - x+12 +

x+13 等于( )

A5 B7 C5-π3 D5+

π3

11若 a =19b =97且 a+b nea+b那么a-b的值是( )A-78或116 B78或116 C-78或-116 D78或-116

12已知 a =5b =3且 a-b =b-a那么a+b= 13已知 a =1b =2c =3agtbgtc则 a+b-c( )2=

C组 创新提高

14不相等的有理数abc在数轴上的对应点分别为ABC如果|a-b|+|b-c|=|a-c|那么B 点应为( )A在AC 点的右边 B在AC 点的左边

C在AC 点之间 D以上三种情况都有可能

15当b为何值时5- 2b-1 有最大值最大值是多少

16设abc 是非零有理数求 aa +

bb +

cc +

abab +

acac +

bcbc +

abcabc

等 于

17已知a 是 最 小 的 正 整 数bc 是 有 理 数并 且 有|2+b|+(3a+2c)2=0求 式 子

4ab+c-a2+c2+4

的值

专题反思

总题数 错误原因 错题序号

正确题数 (1)知识点不清

错误题数 (2)能力不够

(3)方法错误

给自己的

一句话

41

0 4 有理数的大小比较

专题简析

1 重点讲解

有理数的大小比较是后面学习不等式的基础全面理解掌握有理数大小比较的方法应从

以下几方面入手(1)利用数轴比较有理数的大小在数轴上表示的两个数右边的数比左边的数大(2)利用法则表示有理数的大小正数大于0负数小于0正数大于一切负数当要比较大

小的两个数是ldquo一正一负rdquoldquo零和正数rdquoldquo零和负数rdquo时用该法则既简便又快捷(3)利用绝对值表示有理数的大小两个正数比较大小绝对值大的数大两个负数比较

大小绝对值大的数反而小

2 难点点拨

有理数的大小比较的方法主要是利用定义法则以及数轴利用数轴判断有理数的大小的

过程体现了数形结合的思想在比较有理数大小时要考虑全面以免遗漏分析有的题目中可

以运用归纳法有些有理数需先化简再比较大小对于两个以上的数比较大小应先将这些数

按正数负数和零分成三类然后分别比较大小最后将这些数按一定顺序排列正数的大小比

较我们在小学就已学过故关键是注意负数的大小比较要熟练掌握已学过的负数的大小比较

方法另外在比较时应注意分数与小数的互化举例比较下列各组数的大小用ldquoltrdquo号把下列各组有理数连接起来

-513- -

23

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide-

35-42

解应先把- -23

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide-

35-42化简再利用有理数的大小比较法则比较由于

- -23

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide=23-

35 =

35-42=-42

而 -513 =5

13-42=42且5

13gt42

35lt

23

则有-513lt-42lt -

35 lt- -

23

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

答(略)

典例剖析

例1 画一条数轴并把-4-(-35)2120-

32

各数在数轴上表示出来再用ldquoltrdquo

51

初中数学思维拓展32讲(七年级)

把它们连接起来

思路点拨 在数轴上把各个数表示出来再根据在数轴上表示的数右边的数总比左

边的数大比较它们的大小即可解上述各数在数轴上如图4 1所示

0 1 2 3 4 51

234

02

23

4

5

21

(35)

图4 1

用ldquoltrdquo把它们连接为-4lt0lt -32 lt2

12lt-

(-35)

答(略)

点睛评注 本题考查了利用数轴比较有理数的大小在数轴上表示的数右边的数总

比左边的数大

类题演练

画出数轴在数轴上表示下列各数并用ldquoltrdquo连接

05-150-2-5+3例2 已知mgt0nlt0且|m|lt|n|在数轴上表示出mn-m-n 所对应的点并把

这4个数用ldquoltrdquo连接起来

思路点拨 根据已知求出-mlt0-ngt0-mgtn-ngtm再在数轴上表示出来

根据数轴上右边的数总比左边的数大比较它们的大小即可解因为mgt0nlt0且|m|lt|n|

所以-mlt0-ngt0-mgtn-ngtm上述各数在数轴上如图4 2所示

0 m nn m

图4 2

所以nlt-mltmlt-n

点睛评注 本题考查了数轴绝对值有理数的大小比较等知识点关键是判断m

-mn-n 的大小

类题演练

有理数ab在数轴上如图4 3所示

0 ba

图4 3

(1)在数轴上表示-a-b(2)试把ab0-a-b这五个数按从小到大用

ldquoltrdquo连接

61

第4讲 有理数的大小比较

(3)用ldquogtrdquoldquo=rdquo或ldquoltrdquo填空|a| a|b| b

例3 试比较-19971998

-9798-19981999

-9899

这四个数的大小

思路点拨 观察这四个分数的分子与分母可发现这四个分数可以化为同分子的分

数然后根据ldquo同分子的正分数分母大的分数比较小rdquo来比较它们的大小即可

解因为-19971998=-

1998-11998 =-1+

11998

-9798=-

98-198 =-1+

198

-19981999=-

1999-11999 =-1+

11999

-9899=-

99-199 =-1+

199

因为198gt

199gt

11998gt

11999

(同分子的正分数中分母大的分数比较小)

所以-19981999lt-

19971998lt-

9899lt-

9798

答(略)

点睛评注 解答本题时是借助不等式的性质(不等式的两边同时加上同一个数不等

式的符号方向不变)来比较有理数的大小的

类题演练

设a=199619951995

b=199519961995

c=199619951996

d=199519961996

试比较abcd 的大小

例4 四个数wxyz满足x-2001=y+2002=z-2003=w+2004那么其中最小的

数是 最大的数是

思路点拨 根据已知等式先分别求x-yx-zy-w 的值然后再用这些值与0

比较大小即可求得zgtxgtygtw解由x-2001=y+2002=z-2003=w+2004得

x-y=2001+2002=4003gt0所以xgty ①x-z=2001-2003=-2lt0所以zgtx ②y-w=2004-2002=2gt0所以ygtw ③由①②③式得

zgtxgtygtw所以四个数wxyz中最小的数是w最大的数是z

答wz

点睛评注 本题主要考查了有理数大小的比较两个正数比较大小绝对值大的数

大两个负数比较大小绝对值大的数反而小

71

初中数学思维拓展32讲(七年级)

类题演练

已知d-altc-blt0d-b=c-a那么abcd 之间的关系 (用ldquoltrdquo连接)

同步反馈

A组 基础夯实

1在25-2503这四个数中最小的数是( )A25 B-25 C0 D3

2如图4 4(A)(B)(C)(D)所示数轴上的点分别表示有理数ab若agtb其中表示正确的

图形是( )

A B C D

a b

0123

b a

0 11

a b

0 11

a b

0 11

图4 4

3(1)-2 +6(2)0 -18

(3)-32 -4

(4) -7 +7(5)-[-(-3)] +[-(+3)]

4一个数比它的相反数小这个数是( )A正数 B负数 C非负数 D非正数

5大于-4的负整数有 个6我国几个城市某年一月份的平均气温见表4 1其中气温最低的城市是( )

表4 1

城市 北京 武汉 广州 哈尔滨

平均气温 -46 38 131 -194

A北京 B武汉 C广州 D哈尔滨

B组 能力提升

7若ylt0则xx-yx+y 中最大的是( )Ax Bx-y Cx+y D不确定

8下面有4个正整数的集合(1)1~101中3的倍数(2)1~101中4的倍数(3)1~101中5的倍数(4)1~101中6的倍数其中平均数最大的集合是( )A(1) B(2) C(3) D(4)

81

第4讲 有理数的大小比较

9已知m 是正整数则m-m1m

的大小关系是( )

A-mlt1mltm B-mltmlt

1m C-mlt

1mlem D-mltmle

1m

10若agtbalt0则-(a+b)gt-bgt-agt-a+b是否正确

11比-312

大而比216

小的所有整数的和为

12已知有理数ab在数轴上的对应点的位置如图4 5所示0表示原点

0 11 ba

图4 5

①请在数轴上表示出数-a-b对应的点的位置

②请按从小到大的顺序排列a-a-bb-10的大小

C组 创新提高

13设A=1999111+11999222+1

B=1999222+11999333+1

则A 与B 的大小关系是

14比较-20112010

和-20122011

的大小

15仔细阅读下列材料

2009times20082008-2008times20092009= 分析可知很明显这个题直接计算比较烦琐可尝试用x 代替2009y 代替2008解令2009=x2008=y则原式=x(ytimes104+y)-y(xtimes104+x)=xytimes104+xy-xytimes104-xy=0我们常常ldquo用字母来表示数rdquo而上述材料根据问题特点将较大数字采用恰当的字母来表

示则更能使运算简捷明快(1)在上述问题解决过程中运用了 思维的方法体现了 的数学思想(2)参照上述材料中的方法解答下面两题

①计算 401820102-2009times2011

②若M=67890123457890123456

N=67890123447890123455

比较MN 的大小

专题反思

总题数 错误原因 错题序号

正确题数 (1)知识点不清

错误题数 (2)能力不够(3)方法错误

给自己的

一句话

91

0 5 有理数的加减

专题简析

1 重点讲解

(1)有理数的加法法则

①同号两数相加取与加数相同的符号并把绝对值相加

②异号两数相加取绝对值较大的加数的符号并用较大数的绝对值减去较小数的绝对值

③互为相反数的两个数相加得零

④一个数同零相加仍得这个数注意利用法则进行加法运算的步骤①判断两个加数的符号是同号异号还是有一个加

数为零以此来选择用哪条法则②确定和的符号(是ldquo+rdquo还是ldquo-rdquo)③求各加数的绝对值并确定和的绝对值(加数的绝对值是相加还是相减)

(2)有理数的加法运算律见表5 1

表5 1

有 理 数 加

法运算律

加法交换律

加法结

合律

文字语言 两个数相加交换加数的位置和不变

符号语言 a+b=b+a

文字语言三个数相加先把前两个数相加或者先把后两个数相加和不变

符号语言 (a+b)+c=a+(b+c)

注意交换加数的位置时不要忘记符号(3)有理数的减法法则减去一个数等于加上这个数的相反数即有a-b=a+(-b)注意将减法转化为加法时注意同时进行的两变一变是减法变加法二变是把减数变为

它的相反数如

6(2)=6+(+2) (2)3=(2)+(3)

(4)有理数加减混合运算①先利用减法法则将减法转化为加法②再运用加法交换律

和结合律使计算简便

2 难点点拨

掌握有理数的加减运算就是要求学生既算得快又准确显然做加法相对于做减法而言不容易出错所以加减混合运算时注意以下几点首先先去括号把式子整理成省略加号的和

02

第5讲 有理数的加减

的形式然后将这一形式看作是几个数相加运用加法法则来计算即可举例计算8-(-3)+(-1)-2-(-7)解原式=8+3-1-2+7=15(看作8+3+(-1)+(-2)+7即求83-1和-2相加

的和)答15

典例剖析

例1 计算(-55)+ +1115

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide+(+7)eacute

eumlecircecirc

ugrave

ucircuacuteuacute+ (-7)+ +

415

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide+(+25)eacute

eumlecircecirc

ugrave

ucircuacuteuacute

思路点拨 利用有理数加法的交换律和结合律计算

解原式=(-55)+ +1115

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide+(+7)+(-7)+ +

415

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide+(+25)

= +1115

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide+ +

415

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

eacute

eumlecircecirc

ugrave

ucircuacuteuacute+ (-55)+(+25)[ ]+ (-7)+(+7)[ ]=1+(-3)=-2

答-2

点睛评注 在运用有理数加法运算律时一定要根据需要灵活运用以达到简化的目

的通常有下列规律

①互为相反数的两个数先相加mdashmdashmdashldquo相反数结合法rdquo

②符号相同的两个数先相加mdashmdashmdashldquo同号结合法rdquo

③分母相同的数先相加mdashmdashmdashldquo同分母结合法rdquo

④整数与整数小数与小数分数与分数先相加mdashmdashmdashldquo同形结合法rdquo

类题演练

323+

(-263)+ -235

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide+(+363)+ -

23

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

例2 计算-3213

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide- +5

14

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide-3

17+ -5

14

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide- +2

67

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

eacute

eumlecircecirc

ugrave

ucircuacuteuacute

思路点拨 先观察式子可发现中括号里的数先运算较简便

解原式= -3213

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide- 5

14-3

17-5

14-2

67

eacute

eumlecircecirc

ugrave

ucircuacuteuacute=-32

13+6=-26

13

答-2613

点睛评注 在解决此类问题时一般要先去括号简化成省略加号和的形式再视情

况运用交换律和结合律简化运算另外在去括号时要时刻注意是否需要变号

12

• 第一讲
• 第二讲
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• 第四讲
• 第五讲
• 第六讲
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• 第九讲
• 第十讲
• 第十一讲
• 第十二讲
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• 第二十一讲
• 第二十二讲
• 第二十三讲13
• 第二十四讲
• 第二十五讲
• 第二十六讲
• 第二十七讲
• 第二十八讲
• 第二十九讲
• 第三十讲
• 第三十一讲
• 第三十二讲
• 参考答案13

前 言

数学是初中阶段的重点科目之一怎样才能使数学学习既高效又轻松愉快呢 笔者认为方法是关键思路决定出路要想轻松取得数学高分必须有正确的数学思维习惯

ldquo给力数学rdquo丛书之ldquo初中数学思维拓展32讲rdquo系列就是从数学思维的根本点出发精确导

航力求使学生领悟每道题背后的数学知识点及其蕴含的数学思想与方法并通过有针对性的

训练最大限度地提高学习效率让学生的学习过程变得轻松快乐更能创造提分奇迹本书在内容编排上结合新教材的要求设置了以下栏目【专题简析】对每一讲所要掌握的知识点进行了提纲挈领的归纳总结(包括主要公式定

理和常用的数学思想方法等)促使学生对初中数学知识体系有一个全面的了解与认识做到

胸有成竹从而提高学习效率【典例剖析】精选典型例题进行深入分析包括ldquo思路点拨rdquoldquo点睛评注rdquo和ldquo类题演练rdquo三

个小模块对每一道题的解题关键点都一一进行了解读解完题之后还有及时的点评帮助学

生厘清思路拓展思维最后ldquo类题演练rdquo模块提供有针对性的训练题真正做到举一反三让学

生在做题中进一步巩固关键知识点有助于他们针对自己学习中的薄弱环节强化练习查缺补

漏全面提高解题的综合能力【同步反馈】同步练习分为三组ldquoA组 基础夯实rdquo针对考试中70的基础题考查所有

学生必须掌握的基础知识和基本技能ldquoB组 能力提升rdquo针对考试中20的中档题需要学

生综合运用所学知识才能顺利过关ldquoC组 创新提高rdquo针对考试中10的压轴题这是尖子

生欲拿高分的必练题【专题反思】做1000道题目如果不及时反思思维训练的效果就会大打折扣这个栏目的

设置是为了让学生及时总结及时跟进这样扎扎实实学下去数学何愁学不好本书具有以下特点(1)构思具有新颖性本书以新课标人教版教材知识体系为主线依纲扣点迁移扩展夯

实基础全面透彻(2)选题具有代表性本书精心遴选题型避免题海战术务求内容的实效性启发性和经

典性所选例题贴近实际大多是近年数学中考试题中的中高等难度题还编选了一些设置新

颖综合性强有启迪思维作用极易提升学生的创新能力和应变能力的题目(3)学习具有实用性本书特别重视知识能力的拓展数学建模与创新思维的导航注重引

发思考突出重点难点演练精准到位颇有举一反三之功能适合初中学生自学由于水平有限书中不足之处在所难免笔者真诚地希望得到读者的宝贵建议

编 者

2014年春

第 1 讲 有理数 1第 2 讲 数轴 5第 3 讲 绝对值 10第 4 讲 有理数的大小比较 15第 5 讲 有理数的加减 20第 6 讲 有理数的乘除 25第 7 讲 有理数的乘方 30第 8 讲 有理数的混合运算 34第 9 讲 近似数 38第10讲 平方根 43第11讲 实数 48第12讲 立方根 52第13讲 实数的运算 56第14讲 用字母表示数 60第15讲 代数式 66第16讲 代数式的值 72第17讲 整式 78第18讲 合并同类项 83第19讲 整式的加减 87第20讲 一元一次方程 91第21讲 等式的基本性质 95第22讲 一元一次方程的解法 99第23讲 一元一次方程的应用 103第24讲 几何图形 109第25讲 线段射线和直线 117第26讲 线段的长短比较 122第27讲 线段的和差 127第28讲 角与角的度量 134第29讲 角的大小比较 140第30讲 角的和差 147第31讲 余角和补角 155第32讲 直线的相交 161参考答案 169

0 1 有理数

专题简析

1 重点讲解

有理数是中学阶段第一次数的扩展它和小学里学过的自然数分数(小数)的概念联系十

分密切本讲的学习要体会从自然数到有理数的扩展过程掌握自然数分数的意义为以后继

续学习数的扩充作准备同时有理数的概念及其相关知识的学习也是后面有理数运算等知识

的基础要全面掌握这一知识要从以下几方面入手(1)自然数分数的意义可用自然数进行计数和测量可用自然数给事物编号和排序分

数和小数都可以看成是两个整数相除的表示方法任何分数都可以化成小数在小学里学过的

小数(π除外)都可以化为分数(2)正负数的意义为了表示生活中具有相反意义的两个量我们把一种意义的量规定

为正用大于零的数如+5322等这样的数就是正数正数前面可以标上ldquo+rdquo来表示(可省略不写)把另一种与之相反意义的量规定为负用大于零的数前面加上负号ldquo-rdquo来表示如-5-32等这样的数就叫作负数

(3)有理数

整数正整数零和负整数统称为整数分数正分数和负分数统称为分数有理数整数和分数统称为有理数(4)有理数的分类有理数的分类有两种方法一是按照定义分类二是按照性质分类按定义分类如下

有理数

整数

正整数

零

负整数

igrave

icirc

iacute

iumliuml

iumliuml

分数正分数

负分数

igrave

icirc

iacute

iumliumliumliuml

iumliumliuml

按性质分类如下

有理数

正有理数正整数

正分数零

负有理数负整数

负分数

igrave

icirc

iacute

iumliumliumliuml

iumliumliuml

2 难点点拨

本讲主要就是理解有理数相关的概念和正数负数的意义等而建立正数负数的概念对

1

初中数学思维拓展32讲(七年级)

学生来说是数学抽象思维的一次重大飞跃是本讲的难点例ldquo带正号的数是正数带负号的数是负数rdquo这句话正确吗解错误判断正负的标准不能只是看是否带有正负号而应以是否大于0作为判断的依

据大于0的数是正数小于0的数是负数

典例剖析

例1 一张卡片第一次将其撕成两小片第二次将每一小片再撕成两小片helliphellip10次后

共有多少张小片

思路点拨 每撕一次小片数是前一次的2倍且第一次的小片数为2即为21后面

小片数一次为2223则10次后有210张解210=1024(张)答10次后共有1024张小片

点睛评注 掌握自然数分数的意义和作用能在不同情境中正确地选择和运用自然

数或分数解决实际问题

类题演练

科学研究表明植物的花瓣萼片果实的数目以及其他方面的特征都非常吻合一个奇特

的数列mdashmdashmdash著名的斐波那契数列1123581321hellip仔细观察该数列它的第15个数应

该是 例2 小红妈妈统计家庭收支情况上月收入600元综合考虑支出情况后收支情况记

为-120元那么上个月家庭共支出多少元

思路点拨 利用ldquo收入-支出=-120rdquo求出上月的支出即可

解因为600-支出=-120所以支出=600+120=720(元)

答上月家庭共支出720元

点睛评注 此题考查了正数和负数的实际意义即在实际问题中表示具有相反意义

的量

类题演练

某检修小组乘一辆检测机车沿一条南北走向的铁路线检查铁轨约定向北行驶为正某天

从甲地出发到收工时行驶记录为(单位千米)+15-3+5-2+11+4-8-7+9收工时检修人员在甲地的哪一边 距甲地多远

例3 课桌的高度比标准高度高2毫米记作+2毫米那么比标准高度低3毫米记作什

么 现有5张课桌量得它们的尺寸与标准尺寸相比后分别记为1毫米-1毫米0毫米

+3毫米-15毫米若规定合格的课桌的高度最高不能高于标准高度2毫米最低不能低于

标准高度2毫米问上述5张课桌有几张不合格

2

第1讲 有理数

思路点拨 首先审清题意明确ldquo正rdquo和ldquo负rdquo所表示的意义再根据题意作答

解(1)根据题意得比标准高度高记为ldquo+rdquo比标准高度低记为ldquo-rdquo所以比标准高度低

3毫米记作-3毫米(2)根据题意得合格的课桌的高度h 范围是-2lehle2所以不合格的课桌只有1张+3毫米的

答(略)

点睛评注 本题主要考查的是正数和负数在实际生活中的应用解题关键是理解

ldquo正rdquo和ldquo负rdquo的相对性明确什么是一对具有相反意义的量在一对具有相反意义的量中先规

定其中一个为正则另一个就用负来表示

类题演练

我市某公路检修站甲小组乘一辆汽车沿东西方向的公路检查公路约定向东行驶为正从A地出发到收工时行驶记录为(单位千米)+15-2+5-1+10-3-2+12

+4-5+6(1)计算收工时甲在A地的哪一边 距A地多远(2)若每千米汽车耗油01升汽车出发到收工时共耗油多少升

同步反馈

A组 基础夯实

1如果+30m表示向东走30m那么向西走40m表示为( )A+40m B-40m C+30m D-30m

2如果规定收入为正支出为负收入500元记作500元那么支出237元应记作( )A-500元 B-237元 C237元 D500元

3如果用+002克表示一只乒乓球质量超出标准质量002克那么一只乒乓球质量低于标准

质量002克记作( )A+002克 B-002克 C0克 D+004克

4下面几个数中属于正数的是( )A3 B-12 C-2 D0

5用正数和负数表示下列具有相反意义的量(1)买进30kg苹果与卖出30kg苹果(2)盈利10000元与亏损3000元(3)前进5米与后退10米(4)高于海平面960米与低于海平面960米

B组 能力提升

6某项科学研究以45分钟为1个时间单位并记每天上午10时为010时以前记为负10时

以后记为正例如9∶15记为-110∶45记为1等等依此类推上午7∶45应记为( )

3

初中数学思维拓展32讲(七年级)

A3 B-3 C-215 D-7457某种药品的说明书上标明保存温度是(20plusmn2)则该药品在( )范围内保存才合适A18~20 B20~22 C18~21 D18~22

8下列说法正确的是( )①在+5与+6之间没有正数

②在-1与0之间没有负数

③在+5与+6之间有无数个正分数

④在-1与0之间没有正分数

A仅④正确 B仅③正确 C仅③④正确 D①②④正确

9某件商品进价为400元现在提价20后出售则每件可获利润 元

C组 创新提高

10若-a不是负数那么a一定是( )A负数 B正数 C正数和零 D负数和零

11一口井水面比井口低3米一只蜗牛从水面沿着井壁往井口爬第一次往上爬了05米后

又下滑了01米第二次往上爬了042米却又下滑了015米第三次往上爬了07米却下滑了015米第四次往上爬了075米却下滑了02米第五次往上爬了055米没有

下滑第六次往上爬了048米此时蜗牛 (填ldquo能rdquo或ldquo不能rdquo)爬出井口12某天长跑运动员小明在一条南北方向的公路上练习跑步(设向南为正方向)他从A地出

发每隔10分钟记录下自己的跑步情况-1018米1026米-976米1028米-1024米946米1小时后他停下来休息此时他在A地的什么方向 距A地多远 小明共跑了

多少米

专题反思

总题数 错误原因 错题序号

正确题数 (1)知识点不清

错误题数 (2)能力不够

(3)方法错误

给自己的

一句话

4

0 2 数轴

专题简析

1 重点讲解

(1)数轴的概念规定了原点正方向和单位长度的直线叫作数轴它包含三层含义一是

数轴是一条直线可以向两端无限延伸二是数轴有三要素原点正方向单位长度三者缺一

不可三是原点它是具有特殊意义的点相当于温度计的零刻度线(2)运用数轴表示有理数任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示(3)运用数轴可以形象地解释相反数如果两个数只有符号不同那么称其中一个数为

另一个数的相反数而在数轴上表示互为相反数的两个点位于原点的两侧且到原点的距

离相等(4)运用数轴可以直观地理解绝对值的意义(在下一讲中讲述)(5)运用数轴比较有理数的大小数轴上表示的两个数右边的数总比左边的数大

2 难点点拨

任意一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示但要注意的是数轴上的点对应着一个

数但这个数不一定是有理数正确比较有理数的大小可借助数轴在理解比较有理数大小法

则的基础上进行正确表述

典例剖析

例1 一个点在数轴上表示的数是-5现将这个点向左移动3个单位再向右移动6个

单位请回答下列问题(1)这时它表示的数是 (2)如果将以上先左移3再右移6看作一次移动那么移动10次后的点表示的数是

(3)在(2)的情况下移动n 次后的点表示的数是 (n 为正整数)

思路点拨 借助数轴的直观性可以将变化内容具体化并通过对特殊情况的分析归

纳出变化的规律答(1)-2(2)25(3)3n-5

点睛评注 先左移3再右移6看作一次变化变化结果是增加310次就增加30n

次就增加3n

5

初中数学思维拓展32讲(七年级)

类题演练

从数轴上一个点先向左移动3个单位长度再向右移动2个单位长度终点表示的数为

0则起点表示的数是 例2 数abcd 所对应的点ABCD 在数轴上的位置如图2 1所示那么a+c与

b+d的大小关系是( )

OD C BA

图2 1

Aa+cltb+d Ba+c=b+d Ca+cgtb+d D不确定

思路点拨 运用数轴上点的几何意义可以发现ad 是负的bc是正的点A 比点

D 到原点的距离远点B 比点C 到原点的距离远而a+c 和b+d 的结果都为负所以b+d 大

答A

点睛评注 数轴上在原点左侧的点表示负数在原点右边的数表示正数数轴上右边

的数总比左边的数大

类题演练

数轴上有AB 两个点点A 到原点3个单位长度点B 到原点5个单位长度则AB 间

距离最大为 个单位长度最小为 个单位长度

例3 abc在数轴上的位置如图2 2所示则 1a-b

1c-b

1a-c

中最大的是

ca b 0

图2 2

思路点拨 先判断a-ba-c 为负c-b 为正则 1a-b

1c-b

1a-c

中只有1

c-b为

正其余为负故 1c-b

为最大

答1c-b

点睛评注 数轴上的点表示的数右边的数总比左边的数大

类题演练

abc在数轴上的位置如图2 3所示则 1a+b

1b+c

1a+c

中最大的是

ca b 0

图2 3

6

第2讲 数轴

例4 (1)工作流水线上依次排列5个工作台ABCDE一只工具箱应该放在何处才能使工作台上操作机器的人取工具所走的路程最短

(2)如果工作台由5个改为6个那么工具箱应如何放置能使6个操作机器的人取工具

所走的路程之和最短(3)当流水线上有n 个工作台时怎样放置工具箱最合适

思路点拨 把流水线看作数轴工作台工具箱看作数轴上的点这样就找到了解决

本例的模型mdashmdashmdash数轴答(1)工具箱放在C 台上(2)工具箱放在CD 两台之间(含CD 两点)任一处(3)分n 为奇数偶数两种情况讨论当n 为奇数时工具箱放在最中间的工作台上

当n 为偶数时工具箱放在最中间的两个工作台之间(包括这两个工作台)

点睛评注 借助数轴的直观性从具体个数的工作台情况归纳出一般情况体现了从

特殊到一般的思想方法

类题演练

如图2 4所示工作流水线上ABCD 处各有1名工人且AB=BC=CD=1现在

工作流水线上安放一个工具箱使4个人到工具箱的距离之和为最短则工具箱的安放位置是

DCBA

图2 4

同步反馈

A组 基础夯实

1判断正误(1)任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示( )(2)在数轴上离原点越远的点表示的数就越大( )(3)最大的负数是-1( )

2在数轴上原点的左边且与原点的距离为212

个单位长度的点所表示的数是

3在数轴上表示出数3-425-112

及它们的相反数

4在数轴上点A 表示有理数+3到A 点的距离为5个单位长度的点表示的有理数是 5若一个数的相反数是最小自然数则这个数是 6下列说法中错误的是( )A互为相反数的两个数的符号一正一负

B任何一个有理数都有相反数

7

初中数学思维拓展32讲(七年级)

C一个数的前面添上ldquo-rdquo号就成为原数的相反数

D0的相反数是它本身

B组 能力提升

7如图2 5所示在数轴上表示数a 的点到原点的距离为12则a-3=

ca 0 1b

图2 5

8数abcd 所对应的点ABCD 在数轴上的位置如图2 6所示那么a+c与b+d 的

大小关系是( )

0D C BA

图2 6

Aa+cltb+d Ba+c=b+d Ca+cgtb+d D不确定

9已知数轴上有AB 两点AB 之间的距离为1点A 与原点的距离为3求所有满足条件的

点B 与原点的距离之和10数轴上有AB 两点如果点A 对应的数是-2且AB 两点的距离为3那么点B 对应的

数是

11在数轴上点AB 分别表示-13

和15则线段AB 的中点所表示的数是

12点AB 分别是数-3-12

在数轴上对应的点使线段AB 沿数轴向右移动到AB且线

段AB的中点对应的数是3则点A对应的数是 点A 移动的距离是 13如图2 7所示图中数轴的单位长度为1如果已知点A 和点C表示的数互为相反数那么

点B 表示的数是

CBA图2 7

14电子跳蚤落在数轴上的某点K0第一步从K0向左跳1个单位到K1第二步由K1向右跳2个单位到K2第三步由K2向左跳3个单位到K3第四步由K3向右跳4个单位到K4hellip按以上规律跳了100步时电子跳蚤落在数轴上的点K100所表示的数恰好是1994试求电

子跳蚤的初始位置K0 点所表示的数

C组 创新提高

15比较a 与1a

的大小

16(1)阅读下面的材料并回答问题点AB 在数轴上分别表示实数ab而AB 两点之间的距离表示为 AB 当AB 两点中有一点在原点时不妨设点 A 在原点如图2 8mdash1所示AB =BA = b = a-b

8

第2讲 数轴

当AB 两点都不在原点时如图2 8mdash2所示点AB 都在原点的右边AB =OB - OA = b - a =b-a= a-b 当点AB 都在原点的左边如图2 8mdash3所示 AB = OB - OA = b - a =-b-(-a)= a-b 当点AB 在原点的两边如图2 8mdash4所示AB = OA + OB = a + b =a+(-b)= a-b

b

B

0

O(A)

b

B

a

A

0

O

b

B

a

A

0

O

b

B

a

A

0

O

图2 8mdash1 图2 8mdash2 图2 8mdash3 图2 8mdash4

综上数轴上AB 两点之间的距离 AB = a-b 请回答

① 数轴上表示2和5的两点之间的距离是 数轴上表示-2和-5的两点之间的距

离是 数轴上表示1和-3的两点之间的距离是

② 数轴上表示x 和 -1的两点 A 和B 之间的距离是 如果 AB =2那么x为

③ 当代数式 x+1 + x-2 取最小值时相应的x 的取值范围是 (2)试求 x-1 + x-2 + x-3 +hellip+ x-1997 的最小值

17如图2 9所示在数轴上(未标出原点及单位长度)点A 为线段BC的中点已知点ABC对应的三个数abc之积是负数这三个数之和与其中一数相等设p 为abc三数中两

数的比值求p 的最大值和最小值

B CA

图2 9

18某城镇沿环形路上依次排列有五所小学ABCDE它们依次有电脑15台7台11台3台14台为使各校的电脑数相同允许一些小学向相邻小学调出电脑怎样调配才能

使调出的电脑总台数最少 并求出电脑的最少总台数

专题反思

总题数 错误原因 错题序号

正确题数 (1)知识点不清

错误题数 (2)能力不够

(3)方法错误

给自己的

一句话

9

0 3 绝对值

专题简析

1 重点讲解

绝对值是初中代数中的一个基本概念是学习相反数有理数运算及后续算术根的基础绝对值又是初中代数中的一个重要概念在解代数式化简求值解方程(组)解不等式(组)等

问题中有着广泛的应用全面理解掌握绝对值这一概念应从以下几方面入手(1)绝对值的定义正数的绝对值是它本身负数的绝对值是它的相反数零的绝对值是

零即

a =a (agt0)

0 (a=0)

-a (alt0)

igrave

icirc

iacute

iumliuml

iumliuml

(2)绝对值的几何意义从数轴上看a 表示数a 的点到原点的距离(长度非负)

a-b 表示ab所代表的数轴上的两点间的距离而 x-a 表示数轴上表示数x 的点到表

示a 的点之间的距离(3)绝对值有如下基本性质

a ge0a 2= a2 =a2

ab = a middot bab =

ab(bne0)

a+b le a + ba-b ge a - b

2 难点点拨

在理解和运用绝对值的几何意义的过程中需要结合数轴这体现了数形结合的思想数与

形是数学中的两个最古老也是最基本的研究对象它们在一定条件下可以相互转化中学数

学研究的对象可分为数和形两大部分数与形是有联系的这个联系称为数形结合或形数结

合作为一种数学思想方法数形结合的应用大致可分为两种情形第一种情形是借助于数的

精确性来阐明形的某些属性第二种情形是借助形的几何直观性来阐明数之间的某种关系也就是说数形结合包括两个方面第一种情形是ldquo以数解形rdquo第二种情形是ldquo以形助数rdquo

举例已知a 是有理数a-2007 + a-2008 的最小值是 解由绝对值的几何意义知a-2007 + a-2008 表示数轴上的一点到表示数2007

和2008两点的距离的和要使和最小则这点必在2007~2008(包括这两个端点)取值(如图

01

第3讲 绝对值

3 1所示)故 a-2007 + a-2008 的最小值为1

0 2007 2008

图3 1

答1

典例剖析

例1 已知ab都是有理数且agt0blt0alt b 用ldquoltrdquo连接下列各数ab-a-b

思路点拨 由已知agt0blt0可知a是正数b是负数所以-a-b分别是负数和

正数又由alt b 可知alt-b-agtb答blt-altalt-b

点睛评注 此题也可以借助数轴把数表示在数轴上再比较它们的大小

类题演练

已知ab都是有理数分别在数轴上原点的左右两侧且b到原点的距离大于a到原点的

距离(1)比较 a 和b的大小(2)比较 a -bba 的大小并用ldquoltrdquo连接起来例2 字母a表示有理数求a的绝对值可以分为以下几种情况当agt0时a =a当

a=0时a =0当alt0时a =-a试用上述方法解答以下问题

(1)如果xne0求xx

的值

(2)如果yne3求y-3y-3

的值

思路点拨 解决问题的关键在于真正理解绝对值的概念先确定绝对值符号里面的

数的正负性再根据绝对值的概念求出这个数的绝对值

解(1)因为xne0所以当xgt0时x =x那么 xx =1

当xlt0时x =-x那么 xx =-1

(2)因为yne3所以当ygt3时y-3 =y-3那么 y-3y-3 =1

当ylt3时y-3 =-(y-3)那么 y-3y-3 =-1

答(略)

点睛评注 例2中求a的绝对值的三种情形实际上就是绝对值法则的符号表示应

理解其意义当用字母表示有理数时-a 不一定是负数它表示有理数a 的相反数其结果是

11

初中数学思维拓展32讲(七年级)

什么数要由数a 来决定

类题演练

(1)如果agt3则 a-3 = 3-a = (2)如果 x-2 +x-2=0那么x 的取值范围是( )Axgt2 Bxlt2 Cxge2 Dxle2

例3 如果 a =3b =5那么 a+b - a-b 的绝对值等于

思路点拨 分别求出ab的值再分类讨论求值

解因为 a =3所以a=3或-3因为 b =5所以b=5或-5

(1)当a=3b=5时a+b - a-b = 3+5 - 3-5 =8-2=6(2)当a=3b=-5时a+b - a-b = 3-5 - 3-(-5)=2-8=-6(3)当a=-3b=5时a+b - a-b = -3+5 - -3-5 =2-8=-6(4)当a=-3b=-5时a+b - a-b = -3-5 - -3-(-5)=8-2=6综上所述a+b - a-b =6或-6答6或-6

点睛评注 由绝对值的几何意义知道此类题型一定要分类讨论才会不漏解

类题演练

(1)式子 aa +

bb +

abab

的所有可能的值有( )

A2个 B3个 C4个 D无数个

(2)已知y= x-b + x-20 + x-b-20 其中0ltblt20blexle20那么y的

最小值为

例4 使代数式 3x- x4x

的值为正整数的x 值是( )

A正数 B负数 C0 D不存在

思路点拨 对含有多重绝对值符号的代数式一般要分类讨论本题可分xlt0和

xgt0两种情况但若能结合题意灵活运用定义解题过程就更简洁明了

解当xlt0时原式=3x+x4x = -4x

4x =-1

当xgt0时原式=3x-x4x =

2x4x=

12

又当x=0时代数式没有意义故所求代数式的值是-1或12与代数式的值是正整数

矛盾所以选D答D

点睛评注 求解后不要忘记检查结果是否符合题意比如本题解得代数式的值是

21

第3讲 绝对值

-1或12但是题目要求代数式的值为正整数所以都舍去为无解就只能选择D为不存在

类题演练

如果2a+b=0则ab -1 +

ab -2 等于( )

A2 B3 C4 D5

同步反馈

A组 基础夯实

1(1)绝对值是34

的数有几个 各是什么

(2)绝对值是0的数有几个 各是什么(3)有没有绝对值是-2的数

2计算(1)|-15|-|-6| (2)|-024|+|-506| (3)|-3|times|-2|

(4)|+4|times|-5| (5)|-12|divide|+2| (6)|20|divide -12

3填空(1)当agt0时|2a|= (2)当agt1时|a-1|= (3)当alt1时|a-1|=

4(1)如果m=-1那么-(- m )= (2)若 a-b =b-a则ab的大小关系是

5绝对值大于2而小于6的所有正整数之和是( )A7 B9 C12 D14

B组 能力提升

6如果0ltplt15那么当plexle15时代数式 x-p + x-15 + x-p-15 的最小值

是( )A30 B0 C15 D一个与p 有关的代数式

7若 x =a则 x-a 等于( )A0或2a Bx-a Ca-x D零

8有理数ab 在数轴上的位置如图3 2所示则在a+bb-2ab - a a-b

a+2 - b-4 中负数共有( )

a b

0 112

图3 2

A1个 B2个 C3个 D4个

31

初中数学思维拓展32讲(七年级)

9已知abc都是负数且 x-a + y-b + z-c =0则xyz是( )A正数 B非负数 C负数 D非正数

10已知x=-π3则 x+1 - x+2 + x+3 - x+4 +hellip+ x+11 - x+12 +

x+13 等于( )

A5 B7 C5-π3 D5+

π3

11若 a =19b =97且 a+b nea+b那么a-b的值是( )A-78或116 B78或116 C-78或-116 D78或-116

12已知 a =5b =3且 a-b =b-a那么a+b= 13已知 a =1b =2c =3agtbgtc则 a+b-c( )2=

C组 创新提高

14不相等的有理数abc在数轴上的对应点分别为ABC如果|a-b|+|b-c|=|a-c|那么B 点应为( )A在AC 点的右边 B在AC 点的左边

C在AC 点之间 D以上三种情况都有可能

15当b为何值时5- 2b-1 有最大值最大值是多少

16设abc 是非零有理数求 aa +

bb +

cc +

abab +

acac +

bcbc +

abcabc

等 于

17已知a 是 最 小 的 正 整 数bc 是 有 理 数并 且 有|2+b|+(3a+2c)2=0求 式 子

4ab+c-a2+c2+4

的值

专题反思

总题数 错误原因 错题序号

正确题数 (1)知识点不清

错误题数 (2)能力不够

(3)方法错误

给自己的

一句话

41

0 4 有理数的大小比较

专题简析

1 重点讲解

有理数的大小比较是后面学习不等式的基础全面理解掌握有理数大小比较的方法应从

以下几方面入手(1)利用数轴比较有理数的大小在数轴上表示的两个数右边的数比左边的数大(2)利用法则表示有理数的大小正数大于0负数小于0正数大于一切负数当要比较大

小的两个数是ldquo一正一负rdquoldquo零和正数rdquoldquo零和负数rdquo时用该法则既简便又快捷(3)利用绝对值表示有理数的大小两个正数比较大小绝对值大的数大两个负数比较

大小绝对值大的数反而小

2 难点点拨

有理数的大小比较的方法主要是利用定义法则以及数轴利用数轴判断有理数的大小的

过程体现了数形结合的思想在比较有理数大小时要考虑全面以免遗漏分析有的题目中可

以运用归纳法有些有理数需先化简再比较大小对于两个以上的数比较大小应先将这些数

按正数负数和零分成三类然后分别比较大小最后将这些数按一定顺序排列正数的大小比

较我们在小学就已学过故关键是注意负数的大小比较要熟练掌握已学过的负数的大小比较

方法另外在比较时应注意分数与小数的互化举例比较下列各组数的大小用ldquoltrdquo号把下列各组有理数连接起来

-513- -

23

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide-

35-42

解应先把- -23

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide-

35-42化简再利用有理数的大小比较法则比较由于

- -23

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide=23-

35 =

35-42=-42

而 -513 =5

13-42=42且5

13gt42

35lt

23

则有-513lt-42lt -

35 lt- -

23

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

答(略)

典例剖析

例1 画一条数轴并把-4-(-35)2120-

32

各数在数轴上表示出来再用ldquoltrdquo

51

初中数学思维拓展32讲(七年级)

把它们连接起来

思路点拨 在数轴上把各个数表示出来再根据在数轴上表示的数右边的数总比左

边的数大比较它们的大小即可解上述各数在数轴上如图4 1所示

0 1 2 3 4 51

234

02

23

4

5

21

(35)

图4 1

用ldquoltrdquo把它们连接为-4lt0lt -32 lt2

12lt-

(-35)

答(略)

点睛评注 本题考查了利用数轴比较有理数的大小在数轴上表示的数右边的数总

比左边的数大

类题演练

画出数轴在数轴上表示下列各数并用ldquoltrdquo连接

05-150-2-5+3例2 已知mgt0nlt0且|m|lt|n|在数轴上表示出mn-m-n 所对应的点并把

这4个数用ldquoltrdquo连接起来

思路点拨 根据已知求出-mlt0-ngt0-mgtn-ngtm再在数轴上表示出来

根据数轴上右边的数总比左边的数大比较它们的大小即可解因为mgt0nlt0且|m|lt|n|

所以-mlt0-ngt0-mgtn-ngtm上述各数在数轴上如图4 2所示

0 m nn m

图4 2

所以nlt-mltmlt-n

点睛评注 本题考查了数轴绝对值有理数的大小比较等知识点关键是判断m

-mn-n 的大小

类题演练

有理数ab在数轴上如图4 3所示

0 ba

图4 3

(1)在数轴上表示-a-b(2)试把ab0-a-b这五个数按从小到大用

ldquoltrdquo连接

61

第4讲 有理数的大小比较

(3)用ldquogtrdquoldquo=rdquo或ldquoltrdquo填空|a| a|b| b

例3 试比较-19971998

-9798-19981999

-9899

这四个数的大小

思路点拨 观察这四个分数的分子与分母可发现这四个分数可以化为同分子的分

数然后根据ldquo同分子的正分数分母大的分数比较小rdquo来比较它们的大小即可

解因为-19971998=-

1998-11998 =-1+

11998

-9798=-

98-198 =-1+

198

-19981999=-

1999-11999 =-1+

11999

-9899=-

99-199 =-1+

199

因为198gt

199gt

11998gt

11999

(同分子的正分数中分母大的分数比较小)

所以-19981999lt-

19971998lt-

9899lt-

9798

答(略)

点睛评注 解答本题时是借助不等式的性质(不等式的两边同时加上同一个数不等

式的符号方向不变)来比较有理数的大小的

类题演练

设a=199619951995

b=199519961995

c=199619951996

d=199519961996

试比较abcd 的大小

例4 四个数wxyz满足x-2001=y+2002=z-2003=w+2004那么其中最小的

数是 最大的数是

思路点拨 根据已知等式先分别求x-yx-zy-w 的值然后再用这些值与0

比较大小即可求得zgtxgtygtw解由x-2001=y+2002=z-2003=w+2004得

x-y=2001+2002=4003gt0所以xgty ①x-z=2001-2003=-2lt0所以zgtx ②y-w=2004-2002=2gt0所以ygtw ③由①②③式得

zgtxgtygtw所以四个数wxyz中最小的数是w最大的数是z

答wz

点睛评注 本题主要考查了有理数大小的比较两个正数比较大小绝对值大的数

大两个负数比较大小绝对值大的数反而小

71

初中数学思维拓展32讲(七年级)

类题演练

已知d-altc-blt0d-b=c-a那么abcd 之间的关系 (用ldquoltrdquo连接)

同步反馈

A组 基础夯实

1在25-2503这四个数中最小的数是( )A25 B-25 C0 D3

2如图4 4(A)(B)(C)(D)所示数轴上的点分别表示有理数ab若agtb其中表示正确的

图形是( )

A B C D

a b

0123

b a

0 11

a b

0 11

a b

0 11

图4 4

3(1)-2 +6(2)0 -18

(3)-32 -4

(4) -7 +7(5)-[-(-3)] +[-(+3)]

4一个数比它的相反数小这个数是( )A正数 B负数 C非负数 D非正数

5大于-4的负整数有 个6我国几个城市某年一月份的平均气温见表4 1其中气温最低的城市是( )

表4 1

城市 北京 武汉 广州 哈尔滨

平均气温 -46 38 131 -194

A北京 B武汉 C广州 D哈尔滨

B组 能力提升

7若ylt0则xx-yx+y 中最大的是( )Ax Bx-y Cx+y D不确定

8下面有4个正整数的集合(1)1~101中3的倍数(2)1~101中4的倍数(3)1~101中5的倍数(4)1~101中6的倍数其中平均数最大的集合是( )A(1) B(2) C(3) D(4)

81

第4讲 有理数的大小比较

9已知m 是正整数则m-m1m

的大小关系是( )

A-mlt1mltm B-mltmlt

1m C-mlt

1mlem D-mltmle

1m

10若agtbalt0则-(a+b)gt-bgt-agt-a+b是否正确

11比-312

大而比216

小的所有整数的和为

12已知有理数ab在数轴上的对应点的位置如图4 5所示0表示原点

0 11 ba

图4 5

①请在数轴上表示出数-a-b对应的点的位置

②请按从小到大的顺序排列a-a-bb-10的大小

C组 创新提高

13设A=1999111+11999222+1

B=1999222+11999333+1

则A 与B 的大小关系是

14比较-20112010

和-20122011

的大小

15仔细阅读下列材料

2009times20082008-2008times20092009= 分析可知很明显这个题直接计算比较烦琐可尝试用x 代替2009y 代替2008解令2009=x2008=y则原式=x(ytimes104+y)-y(xtimes104+x)=xytimes104+xy-xytimes104-xy=0我们常常ldquo用字母来表示数rdquo而上述材料根据问题特点将较大数字采用恰当的字母来表

示则更能使运算简捷明快(1)在上述问题解决过程中运用了 思维的方法体现了 的数学思想(2)参照上述材料中的方法解答下面两题

①计算 401820102-2009times2011

②若M=67890123457890123456

N=67890123447890123455

比较MN 的大小

专题反思

总题数 错误原因 错题序号

正确题数 (1)知识点不清

错误题数 (2)能力不够(3)方法错误

给自己的

一句话

91

0 5 有理数的加减

专题简析

1 重点讲解

(1)有理数的加法法则

①同号两数相加取与加数相同的符号并把绝对值相加

②异号两数相加取绝对值较大的加数的符号并用较大数的绝对值减去较小数的绝对值

③互为相反数的两个数相加得零

④一个数同零相加仍得这个数注意利用法则进行加法运算的步骤①判断两个加数的符号是同号异号还是有一个加

数为零以此来选择用哪条法则②确定和的符号(是ldquo+rdquo还是ldquo-rdquo)③求各加数的绝对值并确定和的绝对值(加数的绝对值是相加还是相减)

(2)有理数的加法运算律见表5 1

表5 1

有 理 数 加

法运算律

加法交换律

加法结

合律

文字语言 两个数相加交换加数的位置和不变

符号语言 a+b=b+a

文字语言三个数相加先把前两个数相加或者先把后两个数相加和不变

符号语言 (a+b)+c=a+(b+c)

注意交换加数的位置时不要忘记符号(3)有理数的减法法则减去一个数等于加上这个数的相反数即有a-b=a+(-b)注意将减法转化为加法时注意同时进行的两变一变是减法变加法二变是把减数变为

它的相反数如

6(2)=6+(+2) (2)3=(2)+(3)

(4)有理数加减混合运算①先利用减法法则将减法转化为加法②再运用加法交换律

和结合律使计算简便

2 难点点拨

掌握有理数的加减运算就是要求学生既算得快又准确显然做加法相对于做减法而言不容易出错所以加减混合运算时注意以下几点首先先去括号把式子整理成省略加号的和

02

第5讲 有理数的加减

的形式然后将这一形式看作是几个数相加运用加法法则来计算即可举例计算8-(-3)+(-1)-2-(-7)解原式=8+3-1-2+7=15(看作8+3+(-1)+(-2)+7即求83-1和-2相加

的和)答15

典例剖析

例1 计算(-55)+ +1115

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide+(+7)eacute

eumlecircecirc

ugrave

ucircuacuteuacute+ (-7)+ +

415

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide+(+25)eacute

eumlecircecirc

ugrave

ucircuacuteuacute

思路点拨 利用有理数加法的交换律和结合律计算

解原式=(-55)+ +1115

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide+(+7)+(-7)+ +

415

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide+(+25)

= +1115

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide+ +

415

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

eacute

eumlecircecirc

ugrave

ucircuacuteuacute+ (-55)+(+25)[ ]+ (-7)+(+7)[ ]=1+(-3)=-2

答-2

点睛评注 在运用有理数加法运算律时一定要根据需要灵活运用以达到简化的目

的通常有下列规律

①互为相反数的两个数先相加mdashmdashmdashldquo相反数结合法rdquo

②符号相同的两个数先相加mdashmdashmdashldquo同号结合法rdquo

③分母相同的数先相加mdashmdashmdashldquo同分母结合法rdquo

④整数与整数小数与小数分数与分数先相加mdashmdashmdashldquo同形结合法rdquo

类题演练

323+

(-263)+ -235

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide+(+363)+ -

23

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

例2 计算-3213

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide- +5

14

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide-3

17+ -5

14

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide- +2

67

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

eacute

eumlecircecirc

ugrave

ucircuacuteuacute

思路点拨 先观察式子可发现中括号里的数先运算较简便

解原式= -3213

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide- 5

14-3

17-5

14-2

67

eacute

eumlecircecirc

ugrave

ucircuacuteuacute=-32

13+6=-26

13

答-2613

点睛评注 在解决此类问题时一般要先去括号简化成省略加号和的形式再视情

况运用交换律和结合律简化运算另外在去括号时要时刻注意是否需要变号

12

• 第一讲
• 第二讲
• 第三讲
• 第四讲
• 第五讲
• 第六讲
• 第七讲
• 第八讲
• 第九讲
• 第十讲
• 第十一讲
• 第十二讲
• 第十三讲
• 第十四讲
• 第十五讲
• 第十六讲
• 第十七讲
• 第十八讲
• 第十九讲
• 第二十讲
• 第二十一讲
• 第二十二讲
• 第二十三讲13
• 第二十四讲
• 第二十五讲
• 第二十六讲
• 第二十七讲
• 第二十八讲
• 第二十九讲
• 第三十讲
• 第三十一讲
• 第三十二讲
• 参考答案13

第 1 讲 有理数 1第 2 讲 数轴 5第 3 讲 绝对值 10第 4 讲 有理数的大小比较 15第 5 讲 有理数的加减 20第 6 讲 有理数的乘除 25第 7 讲 有理数的乘方 30第 8 讲 有理数的混合运算 34第 9 讲 近似数 38第10讲 平方根 43第11讲 实数 48第12讲 立方根 52第13讲 实数的运算 56第14讲 用字母表示数 60第15讲 代数式 66第16讲 代数式的值 72第17讲 整式 78第18讲 合并同类项 83第19讲 整式的加减 87第20讲 一元一次方程 91第21讲 等式的基本性质 95第22讲 一元一次方程的解法 99第23讲 一元一次方程的应用 103第24讲 几何图形 109第25讲 线段射线和直线 117第26讲 线段的长短比较 122第27讲 线段的和差 127第28讲 角与角的度量 134第29讲 角的大小比较 140第30讲 角的和差 147第31讲 余角和补角 155第32讲 直线的相交 161参考答案 169

0 1 有理数

专题简析

1 重点讲解

有理数是中学阶段第一次数的扩展它和小学里学过的自然数分数(小数)的概念联系十

分密切本讲的学习要体会从自然数到有理数的扩展过程掌握自然数分数的意义为以后继

续学习数的扩充作准备同时有理数的概念及其相关知识的学习也是后面有理数运算等知识

的基础要全面掌握这一知识要从以下几方面入手(1)自然数分数的意义可用自然数进行计数和测量可用自然数给事物编号和排序分

数和小数都可以看成是两个整数相除的表示方法任何分数都可以化成小数在小学里学过的

小数(π除外)都可以化为分数(2)正负数的意义为了表示生活中具有相反意义的两个量我们把一种意义的量规定

为正用大于零的数如+5322等这样的数就是正数正数前面可以标上ldquo+rdquo来表示(可省略不写)把另一种与之相反意义的量规定为负用大于零的数前面加上负号ldquo-rdquo来表示如-5-32等这样的数就叫作负数

(3)有理数

整数正整数零和负整数统称为整数分数正分数和负分数统称为分数有理数整数和分数统称为有理数(4)有理数的分类有理数的分类有两种方法一是按照定义分类二是按照性质分类按定义分类如下

有理数

整数

正整数

零

负整数

igrave

icirc

iacute

iumliuml

iumliuml

分数正分数

负分数

igrave

icirc

iacute

iumliumliumliuml

iumliumliuml

按性质分类如下

有理数

正有理数正整数

正分数零

负有理数负整数

负分数

igrave

icirc

iacute

iumliumliumliuml

iumliumliuml

2 难点点拨

本讲主要就是理解有理数相关的概念和正数负数的意义等而建立正数负数的概念对

1

初中数学思维拓展32讲(七年级)

学生来说是数学抽象思维的一次重大飞跃是本讲的难点例ldquo带正号的数是正数带负号的数是负数rdquo这句话正确吗解错误判断正负的标准不能只是看是否带有正负号而应以是否大于0作为判断的依

据大于0的数是正数小于0的数是负数

典例剖析

例1 一张卡片第一次将其撕成两小片第二次将每一小片再撕成两小片helliphellip10次后

共有多少张小片

思路点拨 每撕一次小片数是前一次的2倍且第一次的小片数为2即为21后面

小片数一次为2223则10次后有210张解210=1024(张)答10次后共有1024张小片

点睛评注 掌握自然数分数的意义和作用能在不同情境中正确地选择和运用自然

数或分数解决实际问题

类题演练

科学研究表明植物的花瓣萼片果实的数目以及其他方面的特征都非常吻合一个奇特

的数列mdashmdashmdash著名的斐波那契数列1123581321hellip仔细观察该数列它的第15个数应

该是 例2 小红妈妈统计家庭收支情况上月收入600元综合考虑支出情况后收支情况记

为-120元那么上个月家庭共支出多少元

思路点拨 利用ldquo收入-支出=-120rdquo求出上月的支出即可

解因为600-支出=-120所以支出=600+120=720(元)

答上月家庭共支出720元

点睛评注 此题考查了正数和负数的实际意义即在实际问题中表示具有相反意义

的量

类题演练

某检修小组乘一辆检测机车沿一条南北走向的铁路线检查铁轨约定向北行驶为正某天

从甲地出发到收工时行驶记录为(单位千米)+15-3+5-2+11+4-8-7+9收工时检修人员在甲地的哪一边 距甲地多远

例3 课桌的高度比标准高度高2毫米记作+2毫米那么比标准高度低3毫米记作什

么 现有5张课桌量得它们的尺寸与标准尺寸相比后分别记为1毫米-1毫米0毫米

+3毫米-15毫米若规定合格的课桌的高度最高不能高于标准高度2毫米最低不能低于

标准高度2毫米问上述5张课桌有几张不合格

2

第1讲 有理数

思路点拨 首先审清题意明确ldquo正rdquo和ldquo负rdquo所表示的意义再根据题意作答

解(1)根据题意得比标准高度高记为ldquo+rdquo比标准高度低记为ldquo-rdquo所以比标准高度低

3毫米记作-3毫米(2)根据题意得合格的课桌的高度h 范围是-2lehle2所以不合格的课桌只有1张+3毫米的

答(略)

点睛评注 本题主要考查的是正数和负数在实际生活中的应用解题关键是理解

ldquo正rdquo和ldquo负rdquo的相对性明确什么是一对具有相反意义的量在一对具有相反意义的量中先规

定其中一个为正则另一个就用负来表示

类题演练

我市某公路检修站甲小组乘一辆汽车沿东西方向的公路检查公路约定向东行驶为正从A地出发到收工时行驶记录为(单位千米)+15-2+5-1+10-3-2+12

+4-5+6(1)计算收工时甲在A地的哪一边 距A地多远(2)若每千米汽车耗油01升汽车出发到收工时共耗油多少升

同步反馈

A组 基础夯实

1如果+30m表示向东走30m那么向西走40m表示为( )A+40m B-40m C+30m D-30m

2如果规定收入为正支出为负收入500元记作500元那么支出237元应记作( )A-500元 B-237元 C237元 D500元

3如果用+002克表示一只乒乓球质量超出标准质量002克那么一只乒乓球质量低于标准

质量002克记作( )A+002克 B-002克 C0克 D+004克

4下面几个数中属于正数的是( )A3 B-12 C-2 D0

5用正数和负数表示下列具有相反意义的量(1)买进30kg苹果与卖出30kg苹果(2)盈利10000元与亏损3000元(3)前进5米与后退10米(4)高于海平面960米与低于海平面960米

B组 能力提升

6某项科学研究以45分钟为1个时间单位并记每天上午10时为010时以前记为负10时

以后记为正例如9∶15记为-110∶45记为1等等依此类推上午7∶45应记为( )

3

初中数学思维拓展32讲(七年级)

A3 B-3 C-215 D-7457某种药品的说明书上标明保存温度是(20plusmn2)则该药品在( )范围内保存才合适A18~20 B20~22 C18~21 D18~22

8下列说法正确的是( )①在+5与+6之间没有正数

②在-1与0之间没有负数

③在+5与+6之间有无数个正分数

④在-1与0之间没有正分数

A仅④正确 B仅③正确 C仅③④正确 D①②④正确

9某件商品进价为400元现在提价20后出售则每件可获利润 元

C组 创新提高

10若-a不是负数那么a一定是( )A负数 B正数 C正数和零 D负数和零

11一口井水面比井口低3米一只蜗牛从水面沿着井壁往井口爬第一次往上爬了05米后

又下滑了01米第二次往上爬了042米却又下滑了015米第三次往上爬了07米却下滑了015米第四次往上爬了075米却下滑了02米第五次往上爬了055米没有

下滑第六次往上爬了048米此时蜗牛 (填ldquo能rdquo或ldquo不能rdquo)爬出井口12某天长跑运动员小明在一条南北方向的公路上练习跑步(设向南为正方向)他从A地出

发每隔10分钟记录下自己的跑步情况-1018米1026米-976米1028米-1024米946米1小时后他停下来休息此时他在A地的什么方向 距A地多远 小明共跑了

多少米

专题反思

总题数 错误原因 错题序号

正确题数 (1)知识点不清

错误题数 (2)能力不够

(3)方法错误

给自己的

一句话

4

0 2 数轴

专题简析

1 重点讲解

(1)数轴的概念规定了原点正方向和单位长度的直线叫作数轴它包含三层含义一是

数轴是一条直线可以向两端无限延伸二是数轴有三要素原点正方向单位长度三者缺一

不可三是原点它是具有特殊意义的点相当于温度计的零刻度线(2)运用数轴表示有理数任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示(3)运用数轴可以形象地解释相反数如果两个数只有符号不同那么称其中一个数为

另一个数的相反数而在数轴上表示互为相反数的两个点位于原点的两侧且到原点的距

离相等(4)运用数轴可以直观地理解绝对值的意义(在下一讲中讲述)(5)运用数轴比较有理数的大小数轴上表示的两个数右边的数总比左边的数大

2 难点点拨

任意一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示但要注意的是数轴上的点对应着一个

数但这个数不一定是有理数正确比较有理数的大小可借助数轴在理解比较有理数大小法

则的基础上进行正确表述

典例剖析

例1 一个点在数轴上表示的数是-5现将这个点向左移动3个单位再向右移动6个

单位请回答下列问题(1)这时它表示的数是 (2)如果将以上先左移3再右移6看作一次移动那么移动10次后的点表示的数是

(3)在(2)的情况下移动n 次后的点表示的数是 (n 为正整数)

思路点拨 借助数轴的直观性可以将变化内容具体化并通过对特殊情况的分析归

纳出变化的规律答(1)-2(2)25(3)3n-5

点睛评注 先左移3再右移6看作一次变化变化结果是增加310次就增加30n

次就增加3n

5

初中数学思维拓展32讲(七年级)

类题演练

从数轴上一个点先向左移动3个单位长度再向右移动2个单位长度终点表示的数为

0则起点表示的数是 例2 数abcd 所对应的点ABCD 在数轴上的位置如图2 1所示那么a+c与

b+d的大小关系是( )

OD C BA

图2 1

Aa+cltb+d Ba+c=b+d Ca+cgtb+d D不确定

思路点拨 运用数轴上点的几何意义可以发现ad 是负的bc是正的点A 比点

D 到原点的距离远点B 比点C 到原点的距离远而a+c 和b+d 的结果都为负所以b+d 大

答A

点睛评注 数轴上在原点左侧的点表示负数在原点右边的数表示正数数轴上右边

的数总比左边的数大

类题演练

数轴上有AB 两个点点A 到原点3个单位长度点B 到原点5个单位长度则AB 间

距离最大为 个单位长度最小为 个单位长度

例3 abc在数轴上的位置如图2 2所示则 1a-b

1c-b

1a-c

中最大的是

ca b 0

图2 2

思路点拨 先判断a-ba-c 为负c-b 为正则 1a-b

1c-b

1a-c

中只有1

c-b为

正其余为负故 1c-b

为最大

答1c-b

点睛评注 数轴上的点表示的数右边的数总比左边的数大

类题演练

abc在数轴上的位置如图2 3所示则 1a+b

1b+c

1a+c

中最大的是

ca b 0

图2 3

6

第2讲 数轴

例4 (1)工作流水线上依次排列5个工作台ABCDE一只工具箱应该放在何处才能使工作台上操作机器的人取工具所走的路程最短

(2)如果工作台由5个改为6个那么工具箱应如何放置能使6个操作机器的人取工具

所走的路程之和最短(3)当流水线上有n 个工作台时怎样放置工具箱最合适

思路点拨 把流水线看作数轴工作台工具箱看作数轴上的点这样就找到了解决

本例的模型mdashmdashmdash数轴答(1)工具箱放在C 台上(2)工具箱放在CD 两台之间(含CD 两点)任一处(3)分n 为奇数偶数两种情况讨论当n 为奇数时工具箱放在最中间的工作台上

当n 为偶数时工具箱放在最中间的两个工作台之间(包括这两个工作台)

点睛评注 借助数轴的直观性从具体个数的工作台情况归纳出一般情况体现了从

特殊到一般的思想方法

类题演练

如图2 4所示工作流水线上ABCD 处各有1名工人且AB=BC=CD=1现在

工作流水线上安放一个工具箱使4个人到工具箱的距离之和为最短则工具箱的安放位置是

DCBA

图2 4

同步反馈

A组 基础夯实

1判断正误(1)任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示( )(2)在数轴上离原点越远的点表示的数就越大( )(3)最大的负数是-1( )

2在数轴上原点的左边且与原点的距离为212

个单位长度的点所表示的数是

3在数轴上表示出数3-425-112

及它们的相反数

4在数轴上点A 表示有理数+3到A 点的距离为5个单位长度的点表示的有理数是 5若一个数的相反数是最小自然数则这个数是 6下列说法中错误的是( )A互为相反数的两个数的符号一正一负

B任何一个有理数都有相反数

7

初中数学思维拓展32讲(七年级)

C一个数的前面添上ldquo-rdquo号就成为原数的相反数

D0的相反数是它本身

B组 能力提升

7如图2 5所示在数轴上表示数a 的点到原点的距离为12则a-3=

ca 0 1b

图2 5

8数abcd 所对应的点ABCD 在数轴上的位置如图2 6所示那么a+c与b+d 的

大小关系是( )

0D C BA

图2 6

Aa+cltb+d Ba+c=b+d Ca+cgtb+d D不确定

9已知数轴上有AB 两点AB 之间的距离为1点A 与原点的距离为3求所有满足条件的

点B 与原点的距离之和10数轴上有AB 两点如果点A 对应的数是-2且AB 两点的距离为3那么点B 对应的

数是

11在数轴上点AB 分别表示-13

和15则线段AB 的中点所表示的数是

12点AB 分别是数-3-12

在数轴上对应的点使线段AB 沿数轴向右移动到AB且线

段AB的中点对应的数是3则点A对应的数是 点A 移动的距离是 13如图2 7所示图中数轴的单位长度为1如果已知点A 和点C表示的数互为相反数那么

点B 表示的数是

CBA图2 7

14电子跳蚤落在数轴上的某点K0第一步从K0向左跳1个单位到K1第二步由K1向右跳2个单位到K2第三步由K2向左跳3个单位到K3第四步由K3向右跳4个单位到K4hellip按以上规律跳了100步时电子跳蚤落在数轴上的点K100所表示的数恰好是1994试求电

子跳蚤的初始位置K0 点所表示的数

C组 创新提高

15比较a 与1a

的大小

16(1)阅读下面的材料并回答问题点AB 在数轴上分别表示实数ab而AB 两点之间的距离表示为 AB 当AB 两点中有一点在原点时不妨设点 A 在原点如图2 8mdash1所示AB =BA = b = a-b

8

第2讲 数轴

当AB 两点都不在原点时如图2 8mdash2所示点AB 都在原点的右边AB =OB - OA = b - a =b-a= a-b 当点AB 都在原点的左边如图2 8mdash3所示 AB = OB - OA = b - a =-b-(-a)= a-b 当点AB 在原点的两边如图2 8mdash4所示AB = OA + OB = a + b =a+(-b)= a-b

b

B

0

O(A)

b

B

a

A

0

O

b

B

a

A

0

O

b

B

a

A

0

O

图2 8mdash1 图2 8mdash2 图2 8mdash3 图2 8mdash4

综上数轴上AB 两点之间的距离 AB = a-b 请回答

① 数轴上表示2和5的两点之间的距离是 数轴上表示-2和-5的两点之间的距

离是 数轴上表示1和-3的两点之间的距离是

② 数轴上表示x 和 -1的两点 A 和B 之间的距离是 如果 AB =2那么x为

③ 当代数式 x+1 + x-2 取最小值时相应的x 的取值范围是 (2)试求 x-1 + x-2 + x-3 +hellip+ x-1997 的最小值

17如图2 9所示在数轴上(未标出原点及单位长度)点A 为线段BC的中点已知点ABC对应的三个数abc之积是负数这三个数之和与其中一数相等设p 为abc三数中两

数的比值求p 的最大值和最小值

B CA

图2 9

18某城镇沿环形路上依次排列有五所小学ABCDE它们依次有电脑15台7台11台3台14台为使各校的电脑数相同允许一些小学向相邻小学调出电脑怎样调配才能

使调出的电脑总台数最少 并求出电脑的最少总台数

专题反思

总题数 错误原因 错题序号

正确题数 (1)知识点不清

错误题数 (2)能力不够

(3)方法错误

给自己的

一句话

9

0 3 绝对值

专题简析

1 重点讲解

绝对值是初中代数中的一个基本概念是学习相反数有理数运算及后续算术根的基础绝对值又是初中代数中的一个重要概念在解代数式化简求值解方程(组)解不等式(组)等

问题中有着广泛的应用全面理解掌握绝对值这一概念应从以下几方面入手(1)绝对值的定义正数的绝对值是它本身负数的绝对值是它的相反数零的绝对值是

零即

a =a (agt0)

0 (a=0)

-a (alt0)

igrave

icirc

iacute

iumliuml

iumliuml

(2)绝对值的几何意义从数轴上看a 表示数a 的点到原点的距离(长度非负)

a-b 表示ab所代表的数轴上的两点间的距离而 x-a 表示数轴上表示数x 的点到表

示a 的点之间的距离(3)绝对值有如下基本性质

a ge0a 2= a2 =a2

ab = a middot bab =

ab(bne0)

a+b le a + ba-b ge a - b

2 难点点拨

在理解和运用绝对值的几何意义的过程中需要结合数轴这体现了数形结合的思想数与

形是数学中的两个最古老也是最基本的研究对象它们在一定条件下可以相互转化中学数

学研究的对象可分为数和形两大部分数与形是有联系的这个联系称为数形结合或形数结

合作为一种数学思想方法数形结合的应用大致可分为两种情形第一种情形是借助于数的

精确性来阐明形的某些属性第二种情形是借助形的几何直观性来阐明数之间的某种关系也就是说数形结合包括两个方面第一种情形是ldquo以数解形rdquo第二种情形是ldquo以形助数rdquo

举例已知a 是有理数a-2007 + a-2008 的最小值是 解由绝对值的几何意义知a-2007 + a-2008 表示数轴上的一点到表示数2007

和2008两点的距离的和要使和最小则这点必在2007~2008(包括这两个端点)取值(如图

01

第3讲 绝对值

3 1所示)故 a-2007 + a-2008 的最小值为1

0 2007 2008

图3 1

答1

典例剖析

例1 已知ab都是有理数且agt0blt0alt b 用ldquoltrdquo连接下列各数ab-a-b

思路点拨 由已知agt0blt0可知a是正数b是负数所以-a-b分别是负数和

正数又由alt b 可知alt-b-agtb答blt-altalt-b

点睛评注 此题也可以借助数轴把数表示在数轴上再比较它们的大小

类题演练

已知ab都是有理数分别在数轴上原点的左右两侧且b到原点的距离大于a到原点的

距离(1)比较 a 和b的大小(2)比较 a -bba 的大小并用ldquoltrdquo连接起来例2 字母a表示有理数求a的绝对值可以分为以下几种情况当agt0时a =a当

a=0时a =0当alt0时a =-a试用上述方法解答以下问题

(1)如果xne0求xx

的值

(2)如果yne3求y-3y-3

的值

思路点拨 解决问题的关键在于真正理解绝对值的概念先确定绝对值符号里面的

数的正负性再根据绝对值的概念求出这个数的绝对值

解(1)因为xne0所以当xgt0时x =x那么 xx =1

当xlt0时x =-x那么 xx =-1

(2)因为yne3所以当ygt3时y-3 =y-3那么 y-3y-3 =1

当ylt3时y-3 =-(y-3)那么 y-3y-3 =-1

答(略)

点睛评注 例2中求a的绝对值的三种情形实际上就是绝对值法则的符号表示应

理解其意义当用字母表示有理数时-a 不一定是负数它表示有理数a 的相反数其结果是

11

初中数学思维拓展32讲(七年级)

什么数要由数a 来决定

类题演练

(1)如果agt3则 a-3 = 3-a = (2)如果 x-2 +x-2=0那么x 的取值范围是( )Axgt2 Bxlt2 Cxge2 Dxle2

例3 如果 a =3b =5那么 a+b - a-b 的绝对值等于

思路点拨 分别求出ab的值再分类讨论求值

解因为 a =3所以a=3或-3因为 b =5所以b=5或-5

(1)当a=3b=5时a+b - a-b = 3+5 - 3-5 =8-2=6(2)当a=3b=-5时a+b - a-b = 3-5 - 3-(-5)=2-8=-6(3)当a=-3b=5时a+b - a-b = -3+5 - -3-5 =2-8=-6(4)当a=-3b=-5时a+b - a-b = -3-5 - -3-(-5)=8-2=6综上所述a+b - a-b =6或-6答6或-6

点睛评注 由绝对值的几何意义知道此类题型一定要分类讨论才会不漏解

类题演练

(1)式子 aa +

bb +

abab

的所有可能的值有( )

A2个 B3个 C4个 D无数个

(2)已知y= x-b + x-20 + x-b-20 其中0ltblt20blexle20那么y的

最小值为

例4 使代数式 3x- x4x

的值为正整数的x 值是( )

A正数 B负数 C0 D不存在

思路点拨 对含有多重绝对值符号的代数式一般要分类讨论本题可分xlt0和

xgt0两种情况但若能结合题意灵活运用定义解题过程就更简洁明了

解当xlt0时原式=3x+x4x = -4x

4x =-1

当xgt0时原式=3x-x4x =

2x4x=

12

又当x=0时代数式没有意义故所求代数式的值是-1或12与代数式的值是正整数

矛盾所以选D答D

点睛评注 求解后不要忘记检查结果是否符合题意比如本题解得代数式的值是

21

第3讲 绝对值

-1或12但是题目要求代数式的值为正整数所以都舍去为无解就只能选择D为不存在

类题演练

如果2a+b=0则ab -1 +

ab -2 等于( )

A2 B3 C4 D5

同步反馈

A组 基础夯实

1(1)绝对值是34

的数有几个 各是什么

(2)绝对值是0的数有几个 各是什么(3)有没有绝对值是-2的数

2计算(1)|-15|-|-6| (2)|-024|+|-506| (3)|-3|times|-2|

(4)|+4|times|-5| (5)|-12|divide|+2| (6)|20|divide -12

3填空(1)当agt0时|2a|= (2)当agt1时|a-1|= (3)当alt1时|a-1|=

4(1)如果m=-1那么-(- m )= (2)若 a-b =b-a则ab的大小关系是

5绝对值大于2而小于6的所有正整数之和是( )A7 B9 C12 D14

B组 能力提升

6如果0ltplt15那么当plexle15时代数式 x-p + x-15 + x-p-15 的最小值

是( )A30 B0 C15 D一个与p 有关的代数式

7若 x =a则 x-a 等于( )A0或2a Bx-a Ca-x D零

8有理数ab 在数轴上的位置如图3 2所示则在a+bb-2ab - a a-b

a+2 - b-4 中负数共有( )

a b

0 112

图3 2

A1个 B2个 C3个 D4个

31

初中数学思维拓展32讲(七年级)

9已知abc都是负数且 x-a + y-b + z-c =0则xyz是( )A正数 B非负数 C负数 D非正数

10已知x=-π3则 x+1 - x+2 + x+3 - x+4 +hellip+ x+11 - x+12 +

x+13 等于( )

A5 B7 C5-π3 D5+

π3

11若 a =19b =97且 a+b nea+b那么a-b的值是( )A-78或116 B78或116 C-78或-116 D78或-116

12已知 a =5b =3且 a-b =b-a那么a+b= 13已知 a =1b =2c =3agtbgtc则 a+b-c( )2=

C组 创新提高

14不相等的有理数abc在数轴上的对应点分别为ABC如果|a-b|+|b-c|=|a-c|那么B 点应为( )A在AC 点的右边 B在AC 点的左边

C在AC 点之间 D以上三种情况都有可能

15当b为何值时5- 2b-1 有最大值最大值是多少

16设abc 是非零有理数求 aa +

bb +

cc +

abab +

acac +

bcbc +

abcabc

等 于

17已知a 是 最 小 的 正 整 数bc 是 有 理 数并 且 有|2+b|+(3a+2c)2=0求 式 子

4ab+c-a2+c2+4

的值

专题反思

总题数 错误原因 错题序号

正确题数 (1)知识点不清

错误题数 (2)能力不够

(3)方法错误

给自己的

一句话

41

0 4 有理数的大小比较

专题简析

1 重点讲解

有理数的大小比较是后面学习不等式的基础全面理解掌握有理数大小比较的方法应从

以下几方面入手(1)利用数轴比较有理数的大小在数轴上表示的两个数右边的数比左边的数大(2)利用法则表示有理数的大小正数大于0负数小于0正数大于一切负数当要比较大

小的两个数是ldquo一正一负rdquoldquo零和正数rdquoldquo零和负数rdquo时用该法则既简便又快捷(3)利用绝对值表示有理数的大小两个正数比较大小绝对值大的数大两个负数比较

大小绝对值大的数反而小

2 难点点拨

有理数的大小比较的方法主要是利用定义法则以及数轴利用数轴判断有理数的大小的

过程体现了数形结合的思想在比较有理数大小时要考虑全面以免遗漏分析有的题目中可

以运用归纳法有些有理数需先化简再比较大小对于两个以上的数比较大小应先将这些数

按正数负数和零分成三类然后分别比较大小最后将这些数按一定顺序排列正数的大小比

较我们在小学就已学过故关键是注意负数的大小比较要熟练掌握已学过的负数的大小比较

方法另外在比较时应注意分数与小数的互化举例比较下列各组数的大小用ldquoltrdquo号把下列各组有理数连接起来

-513- -

23

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide-

35-42

解应先把- -23

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide-

35-42化简再利用有理数的大小比较法则比较由于

- -23

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide=23-

35 =

35-42=-42

而 -513 =5

13-42=42且5

13gt42

35lt

23

则有-513lt-42lt -

35 lt- -

23

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

答(略)

典例剖析

例1 画一条数轴并把-4-(-35)2120-

32

各数在数轴上表示出来再用ldquoltrdquo

51

初中数学思维拓展32讲(七年级)

把它们连接起来

思路点拨 在数轴上把各个数表示出来再根据在数轴上表示的数右边的数总比左

边的数大比较它们的大小即可解上述各数在数轴上如图4 1所示

0 1 2 3 4 51

234

02

23

4

5

21

(35)

图4 1

用ldquoltrdquo把它们连接为-4lt0lt -32 lt2

12lt-

(-35)

答(略)

点睛评注 本题考查了利用数轴比较有理数的大小在数轴上表示的数右边的数总

比左边的数大

类题演练

画出数轴在数轴上表示下列各数并用ldquoltrdquo连接

05-150-2-5+3例2 已知mgt0nlt0且|m|lt|n|在数轴上表示出mn-m-n 所对应的点并把

这4个数用ldquoltrdquo连接起来

思路点拨 根据已知求出-mlt0-ngt0-mgtn-ngtm再在数轴上表示出来

根据数轴上右边的数总比左边的数大比较它们的大小即可解因为mgt0nlt0且|m|lt|n|

所以-mlt0-ngt0-mgtn-ngtm上述各数在数轴上如图4 2所示

0 m nn m

图4 2

所以nlt-mltmlt-n

点睛评注 本题考查了数轴绝对值有理数的大小比较等知识点关键是判断m

-mn-n 的大小

类题演练

有理数ab在数轴上如图4 3所示

0 ba

图4 3

(1)在数轴上表示-a-b(2)试把ab0-a-b这五个数按从小到大用

ldquoltrdquo连接

61

第4讲 有理数的大小比较

(3)用ldquogtrdquoldquo=rdquo或ldquoltrdquo填空|a| a|b| b

例3 试比较-19971998

-9798-19981999

-9899

这四个数的大小

思路点拨 观察这四个分数的分子与分母可发现这四个分数可以化为同分子的分

数然后根据ldquo同分子的正分数分母大的分数比较小rdquo来比较它们的大小即可

解因为-19971998=-

1998-11998 =-1+

11998

-9798=-

98-198 =-1+

198

-19981999=-

1999-11999 =-1+

11999

-9899=-

99-199 =-1+

199

因为198gt

199gt

11998gt

11999

(同分子的正分数中分母大的分数比较小)

所以-19981999lt-

19971998lt-

9899lt-

9798

答(略)

点睛评注 解答本题时是借助不等式的性质(不等式的两边同时加上同一个数不等

式的符号方向不变)来比较有理数的大小的

类题演练

设a=199619951995

b=199519961995

c=199619951996

d=199519961996

试比较abcd 的大小

例4 四个数wxyz满足x-2001=y+2002=z-2003=w+2004那么其中最小的

数是 最大的数是

思路点拨 根据已知等式先分别求x-yx-zy-w 的值然后再用这些值与0

比较大小即可求得zgtxgtygtw解由x-2001=y+2002=z-2003=w+2004得

x-y=2001+2002=4003gt0所以xgty ①x-z=2001-2003=-2lt0所以zgtx ②y-w=2004-2002=2gt0所以ygtw ③由①②③式得

zgtxgtygtw所以四个数wxyz中最小的数是w最大的数是z

答wz

点睛评注 本题主要考查了有理数大小的比较两个正数比较大小绝对值大的数

大两个负数比较大小绝对值大的数反而小

71

初中数学思维拓展32讲(七年级)

类题演练

已知d-altc-blt0d-b=c-a那么abcd 之间的关系 (用ldquoltrdquo连接)

同步反馈

A组 基础夯实

1在25-2503这四个数中最小的数是( )A25 B-25 C0 D3

2如图4 4(A)(B)(C)(D)所示数轴上的点分别表示有理数ab若agtb其中表示正确的

图形是( )

A B C D

a b

0123

b a

0 11

a b

0 11

a b

0 11

图4 4

3(1)-2 +6(2)0 -18

(3)-32 -4

(4) -7 +7(5)-[-(-3)] +[-(+3)]

4一个数比它的相反数小这个数是( )A正数 B负数 C非负数 D非正数

5大于-4的负整数有 个6我国几个城市某年一月份的平均气温见表4 1其中气温最低的城市是( )

表4 1

城市 北京 武汉 广州 哈尔滨

平均气温 -46 38 131 -194

A北京 B武汉 C广州 D哈尔滨

B组 能力提升

7若ylt0则xx-yx+y 中最大的是( )Ax Bx-y Cx+y D不确定

8下面有4个正整数的集合(1)1~101中3的倍数(2)1~101中4的倍数(3)1~101中5的倍数(4)1~101中6的倍数其中平均数最大的集合是( )A(1) B(2) C(3) D(4)

81

第4讲 有理数的大小比较

9已知m 是正整数则m-m1m

的大小关系是( )

A-mlt1mltm B-mltmlt

1m C-mlt

1mlem D-mltmle

1m

10若agtbalt0则-(a+b)gt-bgt-agt-a+b是否正确

11比-312

大而比216

小的所有整数的和为

12已知有理数ab在数轴上的对应点的位置如图4 5所示0表示原点

0 11 ba

图4 5

①请在数轴上表示出数-a-b对应的点的位置

②请按从小到大的顺序排列a-a-bb-10的大小

C组 创新提高

13设A=1999111+11999222+1

B=1999222+11999333+1

则A 与B 的大小关系是

14比较-20112010

和-20122011

的大小

15仔细阅读下列材料

2009times20082008-2008times20092009= 分析可知很明显这个题直接计算比较烦琐可尝试用x 代替2009y 代替2008解令2009=x2008=y则原式=x(ytimes104+y)-y(xtimes104+x)=xytimes104+xy-xytimes104-xy=0我们常常ldquo用字母来表示数rdquo而上述材料根据问题特点将较大数字采用恰当的字母来表

示则更能使运算简捷明快(1)在上述问题解决过程中运用了 思维的方法体现了 的数学思想(2)参照上述材料中的方法解答下面两题

①计算 401820102-2009times2011

②若M=67890123457890123456

N=67890123447890123455

比较MN 的大小

专题反思

总题数 错误原因 错题序号

正确题数 (1)知识点不清

错误题数 (2)能力不够(3)方法错误

给自己的

一句话

91

0 5 有理数的加减

专题简析

1 重点讲解

(1)有理数的加法法则

①同号两数相加取与加数相同的符号并把绝对值相加

②异号两数相加取绝对值较大的加数的符号并用较大数的绝对值减去较小数的绝对值

③互为相反数的两个数相加得零

④一个数同零相加仍得这个数注意利用法则进行加法运算的步骤①判断两个加数的符号是同号异号还是有一个加

数为零以此来选择用哪条法则②确定和的符号(是ldquo+rdquo还是ldquo-rdquo)③求各加数的绝对值并确定和的绝对值(加数的绝对值是相加还是相减)

(2)有理数的加法运算律见表5 1

表5 1

有 理 数 加

法运算律

加法交换律

加法结

合律

文字语言 两个数相加交换加数的位置和不变

符号语言 a+b=b+a

文字语言三个数相加先把前两个数相加或者先把后两个数相加和不变

符号语言 (a+b)+c=a+(b+c)

注意交换加数的位置时不要忘记符号(3)有理数的减法法则减去一个数等于加上这个数的相反数即有a-b=a+(-b)注意将减法转化为加法时注意同时进行的两变一变是减法变加法二变是把减数变为

它的相反数如

6(2)=6+(+2) (2)3=(2)+(3)

(4)有理数加减混合运算①先利用减法法则将减法转化为加法②再运用加法交换律

和结合律使计算简便

2 难点点拨

掌握有理数的加减运算就是要求学生既算得快又准确显然做加法相对于做减法而言不容易出错所以加减混合运算时注意以下几点首先先去括号把式子整理成省略加号的和

02

第5讲 有理数的加减

的形式然后将这一形式看作是几个数相加运用加法法则来计算即可举例计算8-(-3)+(-1)-2-(-7)解原式=8+3-1-2+7=15(看作8+3+(-1)+(-2)+7即求83-1和-2相加

的和)答15

典例剖析

例1 计算(-55)+ +1115

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide+(+7)eacute

eumlecircecirc

ugrave

ucircuacuteuacute+ (-7)+ +

415

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide+(+25)eacute

eumlecircecirc

ugrave

ucircuacuteuacute

思路点拨 利用有理数加法的交换律和结合律计算

解原式=(-55)+ +1115

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide+(+7)+(-7)+ +

415

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide+(+25)

= +1115

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide+ +

415

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

eacute

eumlecircecirc

ugrave

ucircuacuteuacute+ (-55)+(+25)[ ]+ (-7)+(+7)[ ]=1+(-3)=-2

答-2

点睛评注 在运用有理数加法运算律时一定要根据需要灵活运用以达到简化的目

的通常有下列规律

①互为相反数的两个数先相加mdashmdashmdashldquo相反数结合法rdquo

②符号相同的两个数先相加mdashmdashmdashldquo同号结合法rdquo

③分母相同的数先相加mdashmdashmdashldquo同分母结合法rdquo

④整数与整数小数与小数分数与分数先相加mdashmdashmdashldquo同形结合法rdquo

类题演练

323+

(-263)+ -235

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide+(+363)+ -

23

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

例2 计算-3213

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide- +5

14

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide-3

17+ -5

14

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide- +2

67

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

eacute

eumlecircecirc

ugrave

ucircuacuteuacute

思路点拨 先观察式子可发现中括号里的数先运算较简便

解原式= -3213

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide- 5

14-3

17-5

14-2

67

eacute

eumlecircecirc

ugrave

ucircuacuteuacute=-32

13+6=-26

13

答-2613

点睛评注 在解决此类问题时一般要先去括号简化成省略加号和的形式再视情

况运用交换律和结合律简化运算另外在去括号时要时刻注意是否需要变号

12

• 第一讲
• 第二讲
• 第三讲
• 第四讲
• 第五讲
• 第六讲
• 第七讲
• 第八讲
• 第九讲
• 第十讲
• 第十一讲
• 第十二讲
• 第十三讲
• 第十四讲
• 第十五讲
• 第十六讲
• 第十七讲
• 第十八讲
• 第十九讲
• 第二十讲
• 第二十一讲
• 第二十二讲
• 第二十三讲13
• 第二十四讲
• 第二十五讲
• 第二十六讲
• 第二十七讲
• 第二十八讲
• 第二十九讲
• 第三十讲
• 第三十一讲
• 第三十二讲
• 参考答案13

0 1 有理数

专题简析

1 重点讲解

有理数是中学阶段第一次数的扩展它和小学里学过的自然数分数(小数)的概念联系十

分密切本讲的学习要体会从自然数到有理数的扩展过程掌握自然数分数的意义为以后继

续学习数的扩充作准备同时有理数的概念及其相关知识的学习也是后面有理数运算等知识

的基础要全面掌握这一知识要从以下几方面入手(1)自然数分数的意义可用自然数进行计数和测量可用自然数给事物编号和排序分

数和小数都可以看成是两个整数相除的表示方法任何分数都可以化成小数在小学里学过的

小数(π除外)都可以化为分数(2)正负数的意义为了表示生活中具有相反意义的两个量我们把一种意义的量规定

为正用大于零的数如+5322等这样的数就是正数正数前面可以标上ldquo+rdquo来表示(可省略不写)把另一种与之相反意义的量规定为负用大于零的数前面加上负号ldquo-rdquo来表示如-5-32等这样的数就叫作负数

(3)有理数

整数正整数零和负整数统称为整数分数正分数和负分数统称为分数有理数整数和分数统称为有理数(4)有理数的分类有理数的分类有两种方法一是按照定义分类二是按照性质分类按定义分类如下

有理数

整数

正整数

零

负整数

igrave

icirc

iacute

iumliuml

iumliuml

分数正分数

负分数

igrave

icirc

iacute

iumliumliumliuml

iumliumliuml

按性质分类如下

有理数

正有理数正整数

正分数零

负有理数负整数

负分数

igrave

icirc

iacute

iumliumliumliuml

iumliumliuml

2 难点点拨

本讲主要就是理解有理数相关的概念和正数负数的意义等而建立正数负数的概念对

1

初中数学思维拓展32讲(七年级)

学生来说是数学抽象思维的一次重大飞跃是本讲的难点例ldquo带正号的数是正数带负号的数是负数rdquo这句话正确吗解错误判断正负的标准不能只是看是否带有正负号而应以是否大于0作为判断的依

据大于0的数是正数小于0的数是负数

典例剖析

例1 一张卡片第一次将其撕成两小片第二次将每一小片再撕成两小片helliphellip10次后

共有多少张小片

思路点拨 每撕一次小片数是前一次的2倍且第一次的小片数为2即为21后面

小片数一次为2223则10次后有210张解210=1024(张)答10次后共有1024张小片

点睛评注 掌握自然数分数的意义和作用能在不同情境中正确地选择和运用自然

数或分数解决实际问题

类题演练

科学研究表明植物的花瓣萼片果实的数目以及其他方面的特征都非常吻合一个奇特

的数列mdashmdashmdash著名的斐波那契数列1123581321hellip仔细观察该数列它的第15个数应

该是 例2 小红妈妈统计家庭收支情况上月收入600元综合考虑支出情况后收支情况记

为-120元那么上个月家庭共支出多少元

思路点拨 利用ldquo收入-支出=-120rdquo求出上月的支出即可

解因为600-支出=-120所以支出=600+120=720(元)

答上月家庭共支出720元

点睛评注 此题考查了正数和负数的实际意义即在实际问题中表示具有相反意义

的量

类题演练

某检修小组乘一辆检测机车沿一条南北走向的铁路线检查铁轨约定向北行驶为正某天

从甲地出发到收工时行驶记录为(单位千米)+15-3+5-2+11+4-8-7+9收工时检修人员在甲地的哪一边 距甲地多远

例3 课桌的高度比标准高度高2毫米记作+2毫米那么比标准高度低3毫米记作什

么 现有5张课桌量得它们的尺寸与标准尺寸相比后分别记为1毫米-1毫米0毫米

+3毫米-15毫米若规定合格的课桌的高度最高不能高于标准高度2毫米最低不能低于

标准高度2毫米问上述5张课桌有几张不合格

2

第1讲 有理数

思路点拨 首先审清题意明确ldquo正rdquo和ldquo负rdquo所表示的意义再根据题意作答

解(1)根据题意得比标准高度高记为ldquo+rdquo比标准高度低记为ldquo-rdquo所以比标准高度低

3毫米记作-3毫米(2)根据题意得合格的课桌的高度h 范围是-2lehle2所以不合格的课桌只有1张+3毫米的

答(略)

点睛评注 本题主要考查的是正数和负数在实际生活中的应用解题关键是理解

ldquo正rdquo和ldquo负rdquo的相对性明确什么是一对具有相反意义的量在一对具有相反意义的量中先规

定其中一个为正则另一个就用负来表示

类题演练

我市某公路检修站甲小组乘一辆汽车沿东西方向的公路检查公路约定向东行驶为正从A地出发到收工时行驶记录为(单位千米)+15-2+5-1+10-3-2+12

+4-5+6(1)计算收工时甲在A地的哪一边 距A地多远(2)若每千米汽车耗油01升汽车出发到收工时共耗油多少升

同步反馈

A组 基础夯实

1如果+30m表示向东走30m那么向西走40m表示为( )A+40m B-40m C+30m D-30m

2如果规定收入为正支出为负收入500元记作500元那么支出237元应记作( )A-500元 B-237元 C237元 D500元

3如果用+002克表示一只乒乓球质量超出标准质量002克那么一只乒乓球质量低于标准

质量002克记作( )A+002克 B-002克 C0克 D+004克

4下面几个数中属于正数的是( )A3 B-12 C-2 D0

5用正数和负数表示下列具有相反意义的量(1)买进30kg苹果与卖出30kg苹果(2)盈利10000元与亏损3000元(3)前进5米与后退10米(4)高于海平面960米与低于海平面960米

B组 能力提升

6某项科学研究以45分钟为1个时间单位并记每天上午10时为010时以前记为负10时

以后记为正例如9∶15记为-110∶45记为1等等依此类推上午7∶45应记为( )

3

初中数学思维拓展32讲(七年级)

A3 B-3 C-215 D-7457某种药品的说明书上标明保存温度是(20plusmn2)则该药品在( )范围内保存才合适A18~20 B20~22 C18~21 D18~22

8下列说法正确的是( )①在+5与+6之间没有正数

②在-1与0之间没有负数

③在+5与+6之间有无数个正分数

④在-1与0之间没有正分数

A仅④正确 B仅③正确 C仅③④正确 D①②④正确

9某件商品进价为400元现在提价20后出售则每件可获利润 元

C组 创新提高

10若-a不是负数那么a一定是( )A负数 B正数 C正数和零 D负数和零

11一口井水面比井口低3米一只蜗牛从水面沿着井壁往井口爬第一次往上爬了05米后

又下滑了01米第二次往上爬了042米却又下滑了015米第三次往上爬了07米却下滑了015米第四次往上爬了075米却下滑了02米第五次往上爬了055米没有

下滑第六次往上爬了048米此时蜗牛 (填ldquo能rdquo或ldquo不能rdquo)爬出井口12某天长跑运动员小明在一条南北方向的公路上练习跑步(设向南为正方向)他从A地出

发每隔10分钟记录下自己的跑步情况-1018米1026米-976米1028米-1024米946米1小时后他停下来休息此时他在A地的什么方向 距A地多远 小明共跑了

多少米

专题反思

总题数 错误原因 错题序号

正确题数 (1)知识点不清

错误题数 (2)能力不够

(3)方法错误

给自己的

一句话

4

0 2 数轴

专题简析

1 重点讲解

(1)数轴的概念规定了原点正方向和单位长度的直线叫作数轴它包含三层含义一是

数轴是一条直线可以向两端无限延伸二是数轴有三要素原点正方向单位长度三者缺一

不可三是原点它是具有特殊意义的点相当于温度计的零刻度线(2)运用数轴表示有理数任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示(3)运用数轴可以形象地解释相反数如果两个数只有符号不同那么称其中一个数为

另一个数的相反数而在数轴上表示互为相反数的两个点位于原点的两侧且到原点的距

离相等(4)运用数轴可以直观地理解绝对值的意义(在下一讲中讲述)(5)运用数轴比较有理数的大小数轴上表示的两个数右边的数总比左边的数大

2 难点点拨

任意一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示但要注意的是数轴上的点对应着一个

数但这个数不一定是有理数正确比较有理数的大小可借助数轴在理解比较有理数大小法

则的基础上进行正确表述

典例剖析

例1 一个点在数轴上表示的数是-5现将这个点向左移动3个单位再向右移动6个

单位请回答下列问题(1)这时它表示的数是 (2)如果将以上先左移3再右移6看作一次移动那么移动10次后的点表示的数是

(3)在(2)的情况下移动n 次后的点表示的数是 (n 为正整数)

思路点拨 借助数轴的直观性可以将变化内容具体化并通过对特殊情况的分析归

纳出变化的规律答(1)-2(2)25(3)3n-5

点睛评注 先左移3再右移6看作一次变化变化结果是增加310次就增加30n

次就增加3n

5

初中数学思维拓展32讲(七年级)

类题演练

从数轴上一个点先向左移动3个单位长度再向右移动2个单位长度终点表示的数为

0则起点表示的数是 例2 数abcd 所对应的点ABCD 在数轴上的位置如图2 1所示那么a+c与

b+d的大小关系是( )

OD C BA

图2 1

Aa+cltb+d Ba+c=b+d Ca+cgtb+d D不确定

思路点拨 运用数轴上点的几何意义可以发现ad 是负的bc是正的点A 比点

D 到原点的距离远点B 比点C 到原点的距离远而a+c 和b+d 的结果都为负所以b+d 大

答A

点睛评注 数轴上在原点左侧的点表示负数在原点右边的数表示正数数轴上右边

的数总比左边的数大

类题演练

数轴上有AB 两个点点A 到原点3个单位长度点B 到原点5个单位长度则AB 间

距离最大为 个单位长度最小为 个单位长度

例3 abc在数轴上的位置如图2 2所示则 1a-b

1c-b

1a-c

中最大的是

ca b 0

图2 2

思路点拨 先判断a-ba-c 为负c-b 为正则 1a-b

1c-b

1a-c

中只有1

c-b为

正其余为负故 1c-b

为最大

答1c-b

点睛评注 数轴上的点表示的数右边的数总比左边的数大

类题演练

abc在数轴上的位置如图2 3所示则 1a+b

1b+c

1a+c

中最大的是

ca b 0

图2 3

6

第2讲 数轴

例4 (1)工作流水线上依次排列5个工作台ABCDE一只工具箱应该放在何处才能使工作台上操作机器的人取工具所走的路程最短

(2)如果工作台由5个改为6个那么工具箱应如何放置能使6个操作机器的人取工具

所走的路程之和最短(3)当流水线上有n 个工作台时怎样放置工具箱最合适

思路点拨 把流水线看作数轴工作台工具箱看作数轴上的点这样就找到了解决

本例的模型mdashmdashmdash数轴答(1)工具箱放在C 台上(2)工具箱放在CD 两台之间(含CD 两点)任一处(3)分n 为奇数偶数两种情况讨论当n 为奇数时工具箱放在最中间的工作台上

当n 为偶数时工具箱放在最中间的两个工作台之间(包括这两个工作台)

点睛评注 借助数轴的直观性从具体个数的工作台情况归纳出一般情况体现了从

特殊到一般的思想方法

类题演练

如图2 4所示工作流水线上ABCD 处各有1名工人且AB=BC=CD=1现在

工作流水线上安放一个工具箱使4个人到工具箱的距离之和为最短则工具箱的安放位置是

DCBA

图2 4

同步反馈

A组 基础夯实

1判断正误(1)任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示( )(2)在数轴上离原点越远的点表示的数就越大( )(3)最大的负数是-1( )

2在数轴上原点的左边且与原点的距离为212

个单位长度的点所表示的数是

3在数轴上表示出数3-425-112

及它们的相反数

4在数轴上点A 表示有理数+3到A 点的距离为5个单位长度的点表示的有理数是 5若一个数的相反数是最小自然数则这个数是 6下列说法中错误的是( )A互为相反数的两个数的符号一正一负

B任何一个有理数都有相反数

7

初中数学思维拓展32讲(七年级)

C一个数的前面添上ldquo-rdquo号就成为原数的相反数

D0的相反数是它本身

B组 能力提升

7如图2 5所示在数轴上表示数a 的点到原点的距离为12则a-3=

ca 0 1b

图2 5

8数abcd 所对应的点ABCD 在数轴上的位置如图2 6所示那么a+c与b+d 的

大小关系是( )

0D C BA

图2 6

Aa+cltb+d Ba+c=b+d Ca+cgtb+d D不确定

9已知数轴上有AB 两点AB 之间的距离为1点A 与原点的距离为3求所有满足条件的

点B 与原点的距离之和10数轴上有AB 两点如果点A 对应的数是-2且AB 两点的距离为3那么点B 对应的

数是

11在数轴上点AB 分别表示-13

和15则线段AB 的中点所表示的数是

12点AB 分别是数-3-12

在数轴上对应的点使线段AB 沿数轴向右移动到AB且线

段AB的中点对应的数是3则点A对应的数是 点A 移动的距离是 13如图2 7所示图中数轴的单位长度为1如果已知点A 和点C表示的数互为相反数那么

点B 表示的数是

CBA图2 7

14电子跳蚤落在数轴上的某点K0第一步从K0向左跳1个单位到K1第二步由K1向右跳2个单位到K2第三步由K2向左跳3个单位到K3第四步由K3向右跳4个单位到K4hellip按以上规律跳了100步时电子跳蚤落在数轴上的点K100所表示的数恰好是1994试求电

子跳蚤的初始位置K0 点所表示的数

C组 创新提高

15比较a 与1a

的大小

16(1)阅读下面的材料并回答问题点AB 在数轴上分别表示实数ab而AB 两点之间的距离表示为 AB 当AB 两点中有一点在原点时不妨设点 A 在原点如图2 8mdash1所示AB =BA = b = a-b

8

第2讲 数轴

当AB 两点都不在原点时如图2 8mdash2所示点AB 都在原点的右边AB =OB - OA = b - a =b-a= a-b 当点AB 都在原点的左边如图2 8mdash3所示 AB = OB - OA = b - a =-b-(-a)= a-b 当点AB 在原点的两边如图2 8mdash4所示AB = OA + OB = a + b =a+(-b)= a-b

b

B

0

O(A)

b

B

a

A

0

O

b

B

a

A

0

O

b

B

a

A

0

O

图2 8mdash1 图2 8mdash2 图2 8mdash3 图2 8mdash4

综上数轴上AB 两点之间的距离 AB = a-b 请回答

① 数轴上表示2和5的两点之间的距离是 数轴上表示-2和-5的两点之间的距

离是 数轴上表示1和-3的两点之间的距离是

② 数轴上表示x 和 -1的两点 A 和B 之间的距离是 如果 AB =2那么x为

③ 当代数式 x+1 + x-2 取最小值时相应的x 的取值范围是 (2)试求 x-1 + x-2 + x-3 +hellip+ x-1997 的最小值

17如图2 9所示在数轴上(未标出原点及单位长度)点A 为线段BC的中点已知点ABC对应的三个数abc之积是负数这三个数之和与其中一数相等设p 为abc三数中两

数的比值求p 的最大值和最小值

B CA

图2 9

18某城镇沿环形路上依次排列有五所小学ABCDE它们依次有电脑15台7台11台3台14台为使各校的电脑数相同允许一些小学向相邻小学调出电脑怎样调配才能

使调出的电脑总台数最少 并求出电脑的最少总台数

专题反思

总题数 错误原因 错题序号

正确题数 (1)知识点不清

错误题数 (2)能力不够

(3)方法错误

给自己的

一句话

9

0 3 绝对值

专题简析

1 重点讲解

绝对值是初中代数中的一个基本概念是学习相反数有理数运算及后续算术根的基础绝对值又是初中代数中的一个重要概念在解代数式化简求值解方程(组)解不等式(组)等

问题中有着广泛的应用全面理解掌握绝对值这一概念应从以下几方面入手(1)绝对值的定义正数的绝对值是它本身负数的绝对值是它的相反数零的绝对值是

零即

a =a (agt0)

0 (a=0)

-a (alt0)

igrave

icirc

iacute

iumliuml

iumliuml

(2)绝对值的几何意义从数轴上看a 表示数a 的点到原点的距离(长度非负)

a-b 表示ab所代表的数轴上的两点间的距离而 x-a 表示数轴上表示数x 的点到表

示a 的点之间的距离(3)绝对值有如下基本性质

a ge0a 2= a2 =a2

ab = a middot bab =

ab(bne0)

a+b le a + ba-b ge a - b

2 难点点拨

在理解和运用绝对值的几何意义的过程中需要结合数轴这体现了数形结合的思想数与

形是数学中的两个最古老也是最基本的研究对象它们在一定条件下可以相互转化中学数

学研究的对象可分为数和形两大部分数与形是有联系的这个联系称为数形结合或形数结

合作为一种数学思想方法数形结合的应用大致可分为两种情形第一种情形是借助于数的

精确性来阐明形的某些属性第二种情形是借助形的几何直观性来阐明数之间的某种关系也就是说数形结合包括两个方面第一种情形是ldquo以数解形rdquo第二种情形是ldquo以形助数rdquo

举例已知a 是有理数a-2007 + a-2008 的最小值是 解由绝对值的几何意义知a-2007 + a-2008 表示数轴上的一点到表示数2007

和2008两点的距离的和要使和最小则这点必在2007~2008(包括这两个端点)取值(如图

01

第3讲 绝对值

3 1所示)故 a-2007 + a-2008 的最小值为1

0 2007 2008

图3 1

答1

典例剖析

例1 已知ab都是有理数且agt0blt0alt b 用ldquoltrdquo连接下列各数ab-a-b

思路点拨 由已知agt0blt0可知a是正数b是负数所以-a-b分别是负数和

正数又由alt b 可知alt-b-agtb答blt-altalt-b

点睛评注 此题也可以借助数轴把数表示在数轴上再比较它们的大小

类题演练

已知ab都是有理数分别在数轴上原点的左右两侧且b到原点的距离大于a到原点的

距离(1)比较 a 和b的大小(2)比较 a -bba 的大小并用ldquoltrdquo连接起来例2 字母a表示有理数求a的绝对值可以分为以下几种情况当agt0时a =a当

a=0时a =0当alt0时a =-a试用上述方法解答以下问题

(1)如果xne0求xx

的值

(2)如果yne3求y-3y-3

的值

思路点拨 解决问题的关键在于真正理解绝对值的概念先确定绝对值符号里面的

数的正负性再根据绝对值的概念求出这个数的绝对值

解(1)因为xne0所以当xgt0时x =x那么 xx =1

当xlt0时x =-x那么 xx =-1

(2)因为yne3所以当ygt3时y-3 =y-3那么 y-3y-3 =1

当ylt3时y-3 =-(y-3)那么 y-3y-3 =-1

答(略)

点睛评注 例2中求a的绝对值的三种情形实际上就是绝对值法则的符号表示应

理解其意义当用字母表示有理数时-a 不一定是负数它表示有理数a 的相反数其结果是

11

初中数学思维拓展32讲(七年级)

什么数要由数a 来决定

类题演练

(1)如果agt3则 a-3 = 3-a = (2)如果 x-2 +x-2=0那么x 的取值范围是( )Axgt2 Bxlt2 Cxge2 Dxle2

例3 如果 a =3b =5那么 a+b - a-b 的绝对值等于

思路点拨 分别求出ab的值再分类讨论求值

解因为 a =3所以a=3或-3因为 b =5所以b=5或-5

(1)当a=3b=5时a+b - a-b = 3+5 - 3-5 =8-2=6(2)当a=3b=-5时a+b - a-b = 3-5 - 3-(-5)=2-8=-6(3)当a=-3b=5时a+b - a-b = -3+5 - -3-5 =2-8=-6(4)当a=-3b=-5时a+b - a-b = -3-5 - -3-(-5)=8-2=6综上所述a+b - a-b =6或-6答6或-6

点睛评注 由绝对值的几何意义知道此类题型一定要分类讨论才会不漏解

类题演练

(1)式子 aa +

bb +

abab

的所有可能的值有( )

A2个 B3个 C4个 D无数个

(2)已知y= x-b + x-20 + x-b-20 其中0ltblt20blexle20那么y的

最小值为

例4 使代数式 3x- x4x

的值为正整数的x 值是( )

A正数 B负数 C0 D不存在

思路点拨 对含有多重绝对值符号的代数式一般要分类讨论本题可分xlt0和

xgt0两种情况但若能结合题意灵活运用定义解题过程就更简洁明了

解当xlt0时原式=3x+x4x = -4x

4x =-1

当xgt0时原式=3x-x4x =

2x4x=

12

又当x=0时代数式没有意义故所求代数式的值是-1或12与代数式的值是正整数

矛盾所以选D答D

点睛评注 求解后不要忘记检查结果是否符合题意比如本题解得代数式的值是

21

第3讲 绝对值

-1或12但是题目要求代数式的值为正整数所以都舍去为无解就只能选择D为不存在

类题演练

如果2a+b=0则ab -1 +

ab -2 等于( )

A2 B3 C4 D5

同步反馈

A组 基础夯实

1(1)绝对值是34

的数有几个 各是什么

(2)绝对值是0的数有几个 各是什么(3)有没有绝对值是-2的数

2计算(1)|-15|-|-6| (2)|-024|+|-506| (3)|-3|times|-2|

(4)|+4|times|-5| (5)|-12|divide|+2| (6)|20|divide -12

3填空(1)当agt0时|2a|= (2)当agt1时|a-1|= (3)当alt1时|a-1|=

4(1)如果m=-1那么-(- m )= (2)若 a-b =b-a则ab的大小关系是

5绝对值大于2而小于6的所有正整数之和是( )A7 B9 C12 D14

B组 能力提升

6如果0ltplt15那么当plexle15时代数式 x-p + x-15 + x-p-15 的最小值

是( )A30 B0 C15 D一个与p 有关的代数式

7若 x =a则 x-a 等于( )A0或2a Bx-a Ca-x D零

8有理数ab 在数轴上的位置如图3 2所示则在a+bb-2ab - a a-b

a+2 - b-4 中负数共有( )

a b

0 112

图3 2

A1个 B2个 C3个 D4个

31

初中数学思维拓展32讲(七年级)

9已知abc都是负数且 x-a + y-b + z-c =0则xyz是( )A正数 B非负数 C负数 D非正数

10已知x=-π3则 x+1 - x+2 + x+3 - x+4 +hellip+ x+11 - x+12 +

x+13 等于( )

A5 B7 C5-π3 D5+

π3

11若 a =19b =97且 a+b nea+b那么a-b的值是( )A-78或116 B78或116 C-78或-116 D78或-116

12已知 a =5b =3且 a-b =b-a那么a+b= 13已知 a =1b =2c =3agtbgtc则 a+b-c( )2=

C组 创新提高

14不相等的有理数abc在数轴上的对应点分别为ABC如果|a-b|+|b-c|=|a-c|那么B 点应为( )A在AC 点的右边 B在AC 点的左边

C在AC 点之间 D以上三种情况都有可能

15当b为何值时5- 2b-1 有最大值最大值是多少

16设abc 是非零有理数求 aa +

bb +

cc +

abab +

acac +

bcbc +

abcabc

等 于

17已知a 是 最 小 的 正 整 数bc 是 有 理 数并 且 有|2+b|+(3a+2c)2=0求 式 子

4ab+c-a2+c2+4

的值

专题反思

总题数 错误原因 错题序号

正确题数 (1)知识点不清

错误题数 (2)能力不够

(3)方法错误

给自己的

一句话

41

0 4 有理数的大小比较

专题简析

1 重点讲解

有理数的大小比较是后面学习不等式的基础全面理解掌握有理数大小比较的方法应从

以下几方面入手(1)利用数轴比较有理数的大小在数轴上表示的两个数右边的数比左边的数大(2)利用法则表示有理数的大小正数大于0负数小于0正数大于一切负数当要比较大

小的两个数是ldquo一正一负rdquoldquo零和正数rdquoldquo零和负数rdquo时用该法则既简便又快捷(3)利用绝对值表示有理数的大小两个正数比较大小绝对值大的数大两个负数比较

大小绝对值大的数反而小

2 难点点拨

有理数的大小比较的方法主要是利用定义法则以及数轴利用数轴判断有理数的大小的

过程体现了数形结合的思想在比较有理数大小时要考虑全面以免遗漏分析有的题目中可

以运用归纳法有些有理数需先化简再比较大小对于两个以上的数比较大小应先将这些数

按正数负数和零分成三类然后分别比较大小最后将这些数按一定顺序排列正数的大小比

较我们在小学就已学过故关键是注意负数的大小比较要熟练掌握已学过的负数的大小比较

方法另外在比较时应注意分数与小数的互化举例比较下列各组数的大小用ldquoltrdquo号把下列各组有理数连接起来

-513- -

23

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide-

35-42

解应先把- -23

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide-

35-42化简再利用有理数的大小比较法则比较由于

- -23

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide=23-

35 =

35-42=-42

而 -513 =5

13-42=42且5

13gt42

35lt

23

则有-513lt-42lt -

35 lt- -

23

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

答(略)

典例剖析

例1 画一条数轴并把-4-(-35)2120-

32

各数在数轴上表示出来再用ldquoltrdquo

51

初中数学思维拓展32讲(七年级)

把它们连接起来

思路点拨 在数轴上把各个数表示出来再根据在数轴上表示的数右边的数总比左

边的数大比较它们的大小即可解上述各数在数轴上如图4 1所示

0 1 2 3 4 51

234

02

23

4

5

21

(35)

图4 1

用ldquoltrdquo把它们连接为-4lt0lt -32 lt2

12lt-

(-35)

答(略)

点睛评注 本题考查了利用数轴比较有理数的大小在数轴上表示的数右边的数总

比左边的数大

类题演练

画出数轴在数轴上表示下列各数并用ldquoltrdquo连接

05-150-2-5+3例2 已知mgt0nlt0且|m|lt|n|在数轴上表示出mn-m-n 所对应的点并把

这4个数用ldquoltrdquo连接起来

思路点拨 根据已知求出-mlt0-ngt0-mgtn-ngtm再在数轴上表示出来

根据数轴上右边的数总比左边的数大比较它们的大小即可解因为mgt0nlt0且|m|lt|n|

所以-mlt0-ngt0-mgtn-ngtm上述各数在数轴上如图4 2所示

0 m nn m

图4 2

所以nlt-mltmlt-n

点睛评注 本题考查了数轴绝对值有理数的大小比较等知识点关键是判断m

-mn-n 的大小

类题演练

有理数ab在数轴上如图4 3所示

0 ba

图4 3

(1)在数轴上表示-a-b(2)试把ab0-a-b这五个数按从小到大用

ldquoltrdquo连接

61

第4讲 有理数的大小比较

(3)用ldquogtrdquoldquo=rdquo或ldquoltrdquo填空|a| a|b| b

例3 试比较-19971998

-9798-19981999

-9899

这四个数的大小

思路点拨 观察这四个分数的分子与分母可发现这四个分数可以化为同分子的分

数然后根据ldquo同分子的正分数分母大的分数比较小rdquo来比较它们的大小即可

解因为-19971998=-

1998-11998 =-1+

11998

-9798=-

98-198 =-1+

198

-19981999=-

1999-11999 =-1+

11999

-9899=-

99-199 =-1+

199

因为198gt

199gt

11998gt

11999

(同分子的正分数中分母大的分数比较小)

所以-19981999lt-

19971998lt-

9899lt-

9798

答(略)

点睛评注 解答本题时是借助不等式的性质(不等式的两边同时加上同一个数不等

式的符号方向不变)来比较有理数的大小的

类题演练

设a=199619951995

b=199519961995

c=199619951996

d=199519961996

试比较abcd 的大小

例4 四个数wxyz满足x-2001=y+2002=z-2003=w+2004那么其中最小的

数是 最大的数是

思路点拨 根据已知等式先分别求x-yx-zy-w 的值然后再用这些值与0

比较大小即可求得zgtxgtygtw解由x-2001=y+2002=z-2003=w+2004得

x-y=2001+2002=4003gt0所以xgty ①x-z=2001-2003=-2lt0所以zgtx ②y-w=2004-2002=2gt0所以ygtw ③由①②③式得

zgtxgtygtw所以四个数wxyz中最小的数是w最大的数是z

答wz

点睛评注 本题主要考查了有理数大小的比较两个正数比较大小绝对值大的数

大两个负数比较大小绝对值大的数反而小

71

初中数学思维拓展32讲(七年级)

类题演练

已知d-altc-blt0d-b=c-a那么abcd 之间的关系 (用ldquoltrdquo连接)

同步反馈

A组 基础夯实

1在25-2503这四个数中最小的数是( )A25 B-25 C0 D3

2如图4 4(A)(B)(C)(D)所示数轴上的点分别表示有理数ab若agtb其中表示正确的

图形是( )

A B C D

a b

0123

b a

0 11

a b

0 11

a b

0 11

图4 4

3(1)-2 +6(2)0 -18

(3)-32 -4

(4) -7 +7(5)-[-(-3)] +[-(+3)]

4一个数比它的相反数小这个数是( )A正数 B负数 C非负数 D非正数

5大于-4的负整数有 个6我国几个城市某年一月份的平均气温见表4 1其中气温最低的城市是( )

表4 1

城市 北京 武汉 广州 哈尔滨

平均气温 -46 38 131 -194

A北京 B武汉 C广州 D哈尔滨

B组 能力提升

7若ylt0则xx-yx+y 中最大的是( )Ax Bx-y Cx+y D不确定

8下面有4个正整数的集合(1)1~101中3的倍数(2)1~101中4的倍数(3)1~101中5的倍数(4)1~101中6的倍数其中平均数最大的集合是( )A(1) B(2) C(3) D(4)

81

第4讲 有理数的大小比较

9已知m 是正整数则m-m1m

的大小关系是( )

A-mlt1mltm B-mltmlt

1m C-mlt

1mlem D-mltmle

1m

10若agtbalt0则-(a+b)gt-bgt-agt-a+b是否正确

11比-312

大而比216

小的所有整数的和为

12已知有理数ab在数轴上的对应点的位置如图4 5所示0表示原点

0 11 ba

图4 5

①请在数轴上表示出数-a-b对应的点的位置

②请按从小到大的顺序排列a-a-bb-10的大小

C组 创新提高

13设A=1999111+11999222+1

B=1999222+11999333+1

则A 与B 的大小关系是

14比较-20112010

和-20122011

的大小

15仔细阅读下列材料

2009times20082008-2008times20092009= 分析可知很明显这个题直接计算比较烦琐可尝试用x 代替2009y 代替2008解令2009=x2008=y则原式=x(ytimes104+y)-y(xtimes104+x)=xytimes104+xy-xytimes104-xy=0我们常常ldquo用字母来表示数rdquo而上述材料根据问题特点将较大数字采用恰当的字母来表

示则更能使运算简捷明快(1)在上述问题解决过程中运用了 思维的方法体现了 的数学思想(2)参照上述材料中的方法解答下面两题

①计算 401820102-2009times2011

②若M=67890123457890123456

N=67890123447890123455

比较MN 的大小

专题反思

总题数 错误原因 错题序号

正确题数 (1)知识点不清

错误题数 (2)能力不够(3)方法错误

给自己的

一句话

91

0 5 有理数的加减

专题简析

1 重点讲解

(1)有理数的加法法则

①同号两数相加取与加数相同的符号并把绝对值相加

②异号两数相加取绝对值较大的加数的符号并用较大数的绝对值减去较小数的绝对值

③互为相反数的两个数相加得零

④一个数同零相加仍得这个数注意利用法则进行加法运算的步骤①判断两个加数的符号是同号异号还是有一个加

数为零以此来选择用哪条法则②确定和的符号(是ldquo+rdquo还是ldquo-rdquo)③求各加数的绝对值并确定和的绝对值(加数的绝对值是相加还是相减)

(2)有理数的加法运算律见表5 1

表5 1

有 理 数 加

法运算律

加法交换律

加法结

合律

文字语言 两个数相加交换加数的位置和不变

符号语言 a+b=b+a

文字语言三个数相加先把前两个数相加或者先把后两个数相加和不变

符号语言 (a+b)+c=a+(b+c)

注意交换加数的位置时不要忘记符号(3)有理数的减法法则减去一个数等于加上这个数的相反数即有a-b=a+(-b)注意将减法转化为加法时注意同时进行的两变一变是减法变加法二变是把减数变为

它的相反数如

6(2)=6+(+2) (2)3=(2)+(3)

(4)有理数加减混合运算①先利用减法法则将减法转化为加法②再运用加法交换律

和结合律使计算简便

2 难点点拨

掌握有理数的加减运算就是要求学生既算得快又准确显然做加法相对于做减法而言不容易出错所以加减混合运算时注意以下几点首先先去括号把式子整理成省略加号的和

02

第5讲 有理数的加减

的形式然后将这一形式看作是几个数相加运用加法法则来计算即可举例计算8-(-3)+(-1)-2-(-7)解原式=8+3-1-2+7=15(看作8+3+(-1)+(-2)+7即求83-1和-2相加

的和)答15

典例剖析

例1 计算(-55)+ +1115

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide+(+7)eacute

eumlecircecirc

ugrave

ucircuacuteuacute+ (-7)+ +

415

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide+(+25)eacute

eumlecircecirc

ugrave

ucircuacuteuacute

思路点拨 利用有理数加法的交换律和结合律计算

解原式=(-55)+ +1115

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide+(+7)+(-7)+ +

415

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide+(+25)

= +1115

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide+ +

415

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

eacute

eumlecircecirc

ugrave

ucircuacuteuacute+ (-55)+(+25)[ ]+ (-7)+(+7)[ ]=1+(-3)=-2

答-2

点睛评注 在运用有理数加法运算律时一定要根据需要灵活运用以达到简化的目

的通常有下列规律

①互为相反数的两个数先相加mdashmdashmdashldquo相反数结合法rdquo

②符号相同的两个数先相加mdashmdashmdashldquo同号结合法rdquo

③分母相同的数先相加mdashmdashmdashldquo同分母结合法rdquo

④整数与整数小数与小数分数与分数先相加mdashmdashmdashldquo同形结合法rdquo

类题演练

323+

(-263)+ -235

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide+(+363)+ -

23

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

例2 计算-3213

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide- +5

14

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide-3

17+ -5

14

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide- +2

67

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

eacute

eumlecircecirc

ugrave

ucircuacuteuacute

思路点拨 先观察式子可发现中括号里的数先运算较简便

解原式= -3213

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide- 5

14-3

17-5

14-2

67

eacute

eumlecircecirc

ugrave

ucircuacuteuacute=-32

13+6=-26

13

答-2613

点睛评注 在解决此类问题时一般要先去括号简化成省略加号和的形式再视情

况运用交换律和结合律简化运算另外在去括号时要时刻注意是否需要变号

12

• 第一讲
• 第二讲
• 第三讲
• 第四讲
• 第五讲
• 第六讲
• 第七讲
• 第八讲
• 第九讲
• 第十讲
• 第十一讲
• 第十二讲
• 第十三讲
• 第十四讲
• 第十五讲
• 第十六讲
• 第十七讲
• 第十八讲
• 第十九讲
• 第二十讲
• 第二十一讲
• 第二十二讲
• 第二十三讲13
• 第二十四讲
• 第二十五讲
• 第二十六讲
• 第二十七讲
• 第二十八讲
• 第二十九讲
• 第三十讲
• 第三十一讲
• 第三十二讲
• 参考答案13

初中数学思维拓展32讲(七年级)

学生来说是数学抽象思维的一次重大飞跃是本讲的难点例ldquo带正号的数是正数带负号的数是负数rdquo这句话正确吗解错误判断正负的标准不能只是看是否带有正负号而应以是否大于0作为判断的依

据大于0的数是正数小于0的数是负数

典例剖析

例1 一张卡片第一次将其撕成两小片第二次将每一小片再撕成两小片helliphellip10次后

共有多少张小片

思路点拨 每撕一次小片数是前一次的2倍且第一次的小片数为2即为21后面

小片数一次为2223则10次后有210张解210=1024(张)答10次后共有1024张小片

点睛评注 掌握自然数分数的意义和作用能在不同情境中正确地选择和运用自然

数或分数解决实际问题

类题演练

科学研究表明植物的花瓣萼片果实的数目以及其他方面的特征都非常吻合一个奇特

的数列mdashmdashmdash著名的斐波那契数列1123581321hellip仔细观察该数列它的第15个数应

该是 例2 小红妈妈统计家庭收支情况上月收入600元综合考虑支出情况后收支情况记

为-120元那么上个月家庭共支出多少元

思路点拨 利用ldquo收入-支出=-120rdquo求出上月的支出即可

解因为600-支出=-120所以支出=600+120=720(元)

答上月家庭共支出720元

点睛评注 此题考查了正数和负数的实际意义即在实际问题中表示具有相反意义

的量

类题演练

某检修小组乘一辆检测机车沿一条南北走向的铁路线检查铁轨约定向北行驶为正某天

从甲地出发到收工时行驶记录为(单位千米)+15-3+5-2+11+4-8-7+9收工时检修人员在甲地的哪一边 距甲地多远

例3 课桌的高度比标准高度高2毫米记作+2毫米那么比标准高度低3毫米记作什

么 现有5张课桌量得它们的尺寸与标准尺寸相比后分别记为1毫米-1毫米0毫米

+3毫米-15毫米若规定合格的课桌的高度最高不能高于标准高度2毫米最低不能低于

标准高度2毫米问上述5张课桌有几张不合格

2

第1讲 有理数

思路点拨 首先审清题意明确ldquo正rdquo和ldquo负rdquo所表示的意义再根据题意作答

解(1)根据题意得比标准高度高记为ldquo+rdquo比标准高度低记为ldquo-rdquo所以比标准高度低

3毫米记作-3毫米(2)根据题意得合格的课桌的高度h 范围是-2lehle2所以不合格的课桌只有1张+3毫米的

答(略)

点睛评注 本题主要考查的是正数和负数在实际生活中的应用解题关键是理解

ldquo正rdquo和ldquo负rdquo的相对性明确什么是一对具有相反意义的量在一对具有相反意义的量中先规

定其中一个为正则另一个就用负来表示

类题演练

我市某公路检修站甲小组乘一辆汽车沿东西方向的公路检查公路约定向东行驶为正从A地出发到收工时行驶记录为(单位千米)+15-2+5-1+10-3-2+12

+4-5+6(1)计算收工时甲在A地的哪一边 距A地多远(2)若每千米汽车耗油01升汽车出发到收工时共耗油多少升

同步反馈

A组 基础夯实

1如果+30m表示向东走30m那么向西走40m表示为( )A+40m B-40m C+30m D-30m

2如果规定收入为正支出为负收入500元记作500元那么支出237元应记作( )A-500元 B-237元 C237元 D500元

3如果用+002克表示一只乒乓球质量超出标准质量002克那么一只乒乓球质量低于标准

质量002克记作( )A+002克 B-002克 C0克 D+004克

4下面几个数中属于正数的是( )A3 B-12 C-2 D0

5用正数和负数表示下列具有相反意义的量(1)买进30kg苹果与卖出30kg苹果(2)盈利10000元与亏损3000元(3)前进5米与后退10米(4)高于海平面960米与低于海平面960米

B组 能力提升

6某项科学研究以45分钟为1个时间单位并记每天上午10时为010时以前记为负10时

以后记为正例如9∶15记为-110∶45记为1等等依此类推上午7∶45应记为( )

3

初中数学思维拓展32讲(七年级)

A3 B-3 C-215 D-7457某种药品的说明书上标明保存温度是(20plusmn2)则该药品在( )范围内保存才合适A18~20 B20~22 C18~21 D18~22

8下列说法正确的是( )①在+5与+6之间没有正数

②在-1与0之间没有负数

③在+5与+6之间有无数个正分数

④在-1与0之间没有正分数

A仅④正确 B仅③正确 C仅③④正确 D①②④正确

9某件商品进价为400元现在提价20后出售则每件可获利润 元

C组 创新提高

10若-a不是负数那么a一定是( )A负数 B正数 C正数和零 D负数和零

11一口井水面比井口低3米一只蜗牛从水面沿着井壁往井口爬第一次往上爬了05米后

又下滑了01米第二次往上爬了042米却又下滑了015米第三次往上爬了07米却下滑了015米第四次往上爬了075米却下滑了02米第五次往上爬了055米没有

下滑第六次往上爬了048米此时蜗牛 (填ldquo能rdquo或ldquo不能rdquo)爬出井口12某天长跑运动员小明在一条南北方向的公路上练习跑步(设向南为正方向)他从A地出

发每隔10分钟记录下自己的跑步情况-1018米1026米-976米1028米-1024米946米1小时后他停下来休息此时他在A地的什么方向 距A地多远 小明共跑了

多少米

专题反思

总题数 错误原因 错题序号

正确题数 (1)知识点不清

错误题数 (2)能力不够

(3)方法错误

给自己的

一句话

4

0 2 数轴

专题简析

1 重点讲解

(1)数轴的概念规定了原点正方向和单位长度的直线叫作数轴它包含三层含义一是

数轴是一条直线可以向两端无限延伸二是数轴有三要素原点正方向单位长度三者缺一

不可三是原点它是具有特殊意义的点相当于温度计的零刻度线(2)运用数轴表示有理数任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示(3)运用数轴可以形象地解释相反数如果两个数只有符号不同那么称其中一个数为

另一个数的相反数而在数轴上表示互为相反数的两个点位于原点的两侧且到原点的距

离相等(4)运用数轴可以直观地理解绝对值的意义(在下一讲中讲述)(5)运用数轴比较有理数的大小数轴上表示的两个数右边的数总比左边的数大

2 难点点拨

任意一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示但要注意的是数轴上的点对应着一个

数但这个数不一定是有理数正确比较有理数的大小可借助数轴在理解比较有理数大小法

则的基础上进行正确表述

典例剖析

例1 一个点在数轴上表示的数是-5现将这个点向左移动3个单位再向右移动6个

单位请回答下列问题(1)这时它表示的数是 (2)如果将以上先左移3再右移6看作一次移动那么移动10次后的点表示的数是

(3)在(2)的情况下移动n 次后的点表示的数是 (n 为正整数)

思路点拨 借助数轴的直观性可以将变化内容具体化并通过对特殊情况的分析归

纳出变化的规律答(1)-2(2)25(3)3n-5

点睛评注 先左移3再右移6看作一次变化变化结果是增加310次就增加30n

次就增加3n

5

初中数学思维拓展32讲(七年级)

类题演练

从数轴上一个点先向左移动3个单位长度再向右移动2个单位长度终点表示的数为

0则起点表示的数是 例2 数abcd 所对应的点ABCD 在数轴上的位置如图2 1所示那么a+c与

b+d的大小关系是( )

OD C BA

图2 1

Aa+cltb+d Ba+c=b+d Ca+cgtb+d D不确定

思路点拨 运用数轴上点的几何意义可以发现ad 是负的bc是正的点A 比点

D 到原点的距离远点B 比点C 到原点的距离远而a+c 和b+d 的结果都为负所以b+d 大

答A

点睛评注 数轴上在原点左侧的点表示负数在原点右边的数表示正数数轴上右边

的数总比左边的数大

类题演练

数轴上有AB 两个点点A 到原点3个单位长度点B 到原点5个单位长度则AB 间

距离最大为 个单位长度最小为 个单位长度

例3 abc在数轴上的位置如图2 2所示则 1a-b

1c-b

1a-c

中最大的是

ca b 0

图2 2

思路点拨 先判断a-ba-c 为负c-b 为正则 1a-b

1c-b

1a-c

中只有1

c-b为

正其余为负故 1c-b

为最大

答1c-b

点睛评注 数轴上的点表示的数右边的数总比左边的数大

类题演练

abc在数轴上的位置如图2 3所示则 1a+b

1b+c

1a+c

中最大的是

ca b 0

图2 3

6

第2讲 数轴

例4 (1)工作流水线上依次排列5个工作台ABCDE一只工具箱应该放在何处才能使工作台上操作机器的人取工具所走的路程最短

(2)如果工作台由5个改为6个那么工具箱应如何放置能使6个操作机器的人取工具

所走的路程之和最短(3)当流水线上有n 个工作台时怎样放置工具箱最合适

思路点拨 把流水线看作数轴工作台工具箱看作数轴上的点这样就找到了解决

本例的模型mdashmdashmdash数轴答(1)工具箱放在C 台上(2)工具箱放在CD 两台之间(含CD 两点)任一处(3)分n 为奇数偶数两种情况讨论当n 为奇数时工具箱放在最中间的工作台上

当n 为偶数时工具箱放在最中间的两个工作台之间(包括这两个工作台)

点睛评注 借助数轴的直观性从具体个数的工作台情况归纳出一般情况体现了从

特殊到一般的思想方法

类题演练

如图2 4所示工作流水线上ABCD 处各有1名工人且AB=BC=CD=1现在

工作流水线上安放一个工具箱使4个人到工具箱的距离之和为最短则工具箱的安放位置是

DCBA

图2 4

同步反馈

A组 基础夯实

1判断正误(1)任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示( )(2)在数轴上离原点越远的点表示的数就越大( )(3)最大的负数是-1( )

2在数轴上原点的左边且与原点的距离为212

个单位长度的点所表示的数是

3在数轴上表示出数3-425-112

及它们的相反数

4在数轴上点A 表示有理数+3到A 点的距离为5个单位长度的点表示的有理数是 5若一个数的相反数是最小自然数则这个数是 6下列说法中错误的是( )A互为相反数的两个数的符号一正一负

B任何一个有理数都有相反数

7

初中数学思维拓展32讲(七年级)

C一个数的前面添上ldquo-rdquo号就成为原数的相反数

D0的相反数是它本身

B组 能力提升

7如图2 5所示在数轴上表示数a 的点到原点的距离为12则a-3=

ca 0 1b

图2 5

8数abcd 所对应的点ABCD 在数轴上的位置如图2 6所示那么a+c与b+d 的

大小关系是( )

0D C BA

图2 6

Aa+cltb+d Ba+c=b+d Ca+cgtb+d D不确定

9已知数轴上有AB 两点AB 之间的距离为1点A 与原点的距离为3求所有满足条件的

点B 与原点的距离之和10数轴上有AB 两点如果点A 对应的数是-2且AB 两点的距离为3那么点B 对应的

数是

11在数轴上点AB 分别表示-13

和15则线段AB 的中点所表示的数是

12点AB 分别是数-3-12

在数轴上对应的点使线段AB 沿数轴向右移动到AB且线

段AB的中点对应的数是3则点A对应的数是 点A 移动的距离是 13如图2 7所示图中数轴的单位长度为1如果已知点A 和点C表示的数互为相反数那么

点B 表示的数是

CBA图2 7

14电子跳蚤落在数轴上的某点K0第一步从K0向左跳1个单位到K1第二步由K1向右跳2个单位到K2第三步由K2向左跳3个单位到K3第四步由K3向右跳4个单位到K4hellip按以上规律跳了100步时电子跳蚤落在数轴上的点K100所表示的数恰好是1994试求电

子跳蚤的初始位置K0 点所表示的数

C组 创新提高

15比较a 与1a

的大小

16(1)阅读下面的材料并回答问题点AB 在数轴上分别表示实数ab而AB 两点之间的距离表示为 AB 当AB 两点中有一点在原点时不妨设点 A 在原点如图2 8mdash1所示AB =BA = b = a-b

8

第2讲 数轴

当AB 两点都不在原点时如图2 8mdash2所示点AB 都在原点的右边AB =OB - OA = b - a =b-a= a-b 当点AB 都在原点的左边如图2 8mdash3所示 AB = OB - OA = b - a =-b-(-a)= a-b 当点AB 在原点的两边如图2 8mdash4所示AB = OA + OB = a + b =a+(-b)= a-b

b

B

0

O(A)

b

B

a

A

0

O

b

B

a

A

0

O

b

B

a

A

0

O

图2 8mdash1 图2 8mdash2 图2 8mdash3 图2 8mdash4

综上数轴上AB 两点之间的距离 AB = a-b 请回答

① 数轴上表示2和5的两点之间的距离是 数轴上表示-2和-5的两点之间的距

离是 数轴上表示1和-3的两点之间的距离是

② 数轴上表示x 和 -1的两点 A 和B 之间的距离是 如果 AB =2那么x为

③ 当代数式 x+1 + x-2 取最小值时相应的x 的取值范围是 (2)试求 x-1 + x-2 + x-3 +hellip+ x-1997 的最小值

17如图2 9所示在数轴上(未标出原点及单位长度)点A 为线段BC的中点已知点ABC对应的三个数abc之积是负数这三个数之和与其中一数相等设p 为abc三数中两

数的比值求p 的最大值和最小值

B CA

图2 9

18某城镇沿环形路上依次排列有五所小学ABCDE它们依次有电脑15台7台11台3台14台为使各校的电脑数相同允许一些小学向相邻小学调出电脑怎样调配才能

使调出的电脑总台数最少 并求出电脑的最少总台数

专题反思

总题数 错误原因 错题序号

正确题数 (1)知识点不清

错误题数 (2)能力不够

(3)方法错误

给自己的

一句话

9

0 3 绝对值

专题简析

1 重点讲解

绝对值是初中代数中的一个基本概念是学习相反数有理数运算及后续算术根的基础绝对值又是初中代数中的一个重要概念在解代数式化简求值解方程(组)解不等式(组)等

问题中有着广泛的应用全面理解掌握绝对值这一概念应从以下几方面入手(1)绝对值的定义正数的绝对值是它本身负数的绝对值是它的相反数零的绝对值是

零即

a =a (agt0)

0 (a=0)

-a (alt0)

igrave

icirc

iacute

iumliuml

iumliuml

(2)绝对值的几何意义从数轴上看a 表示数a 的点到原点的距离(长度非负)

a-b 表示ab所代表的数轴上的两点间的距离而 x-a 表示数轴上表示数x 的点到表

示a 的点之间的距离(3)绝对值有如下基本性质

a ge0a 2= a2 =a2

ab = a middot bab =

ab(bne0)

a+b le a + ba-b ge a - b

2 难点点拨

在理解和运用绝对值的几何意义的过程中需要结合数轴这体现了数形结合的思想数与

形是数学中的两个最古老也是最基本的研究对象它们在一定条件下可以相互转化中学数

学研究的对象可分为数和形两大部分数与形是有联系的这个联系称为数形结合或形数结

合作为一种数学思想方法数形结合的应用大致可分为两种情形第一种情形是借助于数的

精确性来阐明形的某些属性第二种情形是借助形的几何直观性来阐明数之间的某种关系也就是说数形结合包括两个方面第一种情形是ldquo以数解形rdquo第二种情形是ldquo以形助数rdquo

举例已知a 是有理数a-2007 + a-2008 的最小值是 解由绝对值的几何意义知a-2007 + a-2008 表示数轴上的一点到表示数2007

和2008两点的距离的和要使和最小则这点必在2007~2008(包括这两个端点)取值(如图

01

第3讲 绝对值

3 1所示)故 a-2007 + a-2008 的最小值为1

0 2007 2008

图3 1

答1

典例剖析

例1 已知ab都是有理数且agt0blt0alt b 用ldquoltrdquo连接下列各数ab-a-b

思路点拨 由已知agt0blt0可知a是正数b是负数所以-a-b分别是负数和

正数又由alt b 可知alt-b-agtb答blt-altalt-b

点睛评注 此题也可以借助数轴把数表示在数轴上再比较它们的大小

类题演练

已知ab都是有理数分别在数轴上原点的左右两侧且b到原点的距离大于a到原点的

距离(1)比较 a 和b的大小(2)比较 a -bba 的大小并用ldquoltrdquo连接起来例2 字母a表示有理数求a的绝对值可以分为以下几种情况当agt0时a =a当

a=0时a =0当alt0时a =-a试用上述方法解答以下问题

(1)如果xne0求xx

的值

(2)如果yne3求y-3y-3

的值

思路点拨 解决问题的关键在于真正理解绝对值的概念先确定绝对值符号里面的

数的正负性再根据绝对值的概念求出这个数的绝对值

解(1)因为xne0所以当xgt0时x =x那么 xx =1

当xlt0时x =-x那么 xx =-1

(2)因为yne3所以当ygt3时y-3 =y-3那么 y-3y-3 =1

当ylt3时y-3 =-(y-3)那么 y-3y-3 =-1

答(略)

点睛评注 例2中求a的绝对值的三种情形实际上就是绝对值法则的符号表示应

理解其意义当用字母表示有理数时-a 不一定是负数它表示有理数a 的相反数其结果是

11

初中数学思维拓展32讲(七年级)

什么数要由数a 来决定

类题演练

(1)如果agt3则 a-3 = 3-a = (2)如果 x-2 +x-2=0那么x 的取值范围是( )Axgt2 Bxlt2 Cxge2 Dxle2

例3 如果 a =3b =5那么 a+b - a-b 的绝对值等于

思路点拨 分别求出ab的值再分类讨论求值

解因为 a =3所以a=3或-3因为 b =5所以b=5或-5

(1)当a=3b=5时a+b - a-b = 3+5 - 3-5 =8-2=6(2)当a=3b=-5时a+b - a-b = 3-5 - 3-(-5)=2-8=-6(3)当a=-3b=5时a+b - a-b = -3+5 - -3-5 =2-8=-6(4)当a=-3b=-5时a+b - a-b = -3-5 - -3-(-5)=8-2=6综上所述a+b - a-b =6或-6答6或-6

点睛评注 由绝对值的几何意义知道此类题型一定要分类讨论才会不漏解

类题演练

(1)式子 aa +

bb +

abab

的所有可能的值有( )

A2个 B3个 C4个 D无数个

(2)已知y= x-b + x-20 + x-b-20 其中0ltblt20blexle20那么y的

最小值为

例4 使代数式 3x- x4x

的值为正整数的x 值是( )

A正数 B负数 C0 D不存在

思路点拨 对含有多重绝对值符号的代数式一般要分类讨论本题可分xlt0和

xgt0两种情况但若能结合题意灵活运用定义解题过程就更简洁明了

解当xlt0时原式=3x+x4x = -4x

4x =-1

当xgt0时原式=3x-x4x =

2x4x=

12

又当x=0时代数式没有意义故所求代数式的值是-1或12与代数式的值是正整数

矛盾所以选D答D

点睛评注 求解后不要忘记检查结果是否符合题意比如本题解得代数式的值是

21

第3讲 绝对值

-1或12但是题目要求代数式的值为正整数所以都舍去为无解就只能选择D为不存在

类题演练

如果2a+b=0则ab -1 +

ab -2 等于( )

A2 B3 C4 D5

同步反馈

A组 基础夯实

1(1)绝对值是34

的数有几个 各是什么

(2)绝对值是0的数有几个 各是什么(3)有没有绝对值是-2的数

2计算(1)|-15|-|-6| (2)|-024|+|-506| (3)|-3|times|-2|

(4)|+4|times|-5| (5)|-12|divide|+2| (6)|20|divide -12

3填空(1)当agt0时|2a|= (2)当agt1时|a-1|= (3)当alt1时|a-1|=

4(1)如果m=-1那么-(- m )= (2)若 a-b =b-a则ab的大小关系是

5绝对值大于2而小于6的所有正整数之和是( )A7 B9 C12 D14

B组 能力提升

6如果0ltplt15那么当plexle15时代数式 x-p + x-15 + x-p-15 的最小值

是( )A30 B0 C15 D一个与p 有关的代数式

7若 x =a则 x-a 等于( )A0或2a Bx-a Ca-x D零

8有理数ab 在数轴上的位置如图3 2所示则在a+bb-2ab - a a-b

a+2 - b-4 中负数共有( )

a b

0 112

图3 2

A1个 B2个 C3个 D4个

31

初中数学思维拓展32讲(七年级)

9已知abc都是负数且 x-a + y-b + z-c =0则xyz是( )A正数 B非负数 C负数 D非正数

10已知x=-π3则 x+1 - x+2 + x+3 - x+4 +hellip+ x+11 - x+12 +

x+13 等于( )

A5 B7 C5-π3 D5+

π3

11若 a =19b =97且 a+b nea+b那么a-b的值是( )A-78或116 B78或116 C-78或-116 D78或-116

12已知 a =5b =3且 a-b =b-a那么a+b= 13已知 a =1b =2c =3agtbgtc则 a+b-c( )2=

C组 创新提高

14不相等的有理数abc在数轴上的对应点分别为ABC如果|a-b|+|b-c|=|a-c|那么B 点应为( )A在AC 点的右边 B在AC 点的左边

C在AC 点之间 D以上三种情况都有可能

15当b为何值时5- 2b-1 有最大值最大值是多少

16设abc 是非零有理数求 aa +

bb +

cc +

abab +

acac +

bcbc +

abcabc

等 于

17已知a 是 最 小 的 正 整 数bc 是 有 理 数并 且 有|2+b|+(3a+2c)2=0求 式 子

4ab+c-a2+c2+4

的值

专题反思

总题数 错误原因 错题序号

正确题数 (1)知识点不清

错误题数 (2)能力不够

(3)方法错误

给自己的

一句话

41

0 4 有理数的大小比较

专题简析

1 重点讲解

有理数的大小比较是后面学习不等式的基础全面理解掌握有理数大小比较的方法应从

以下几方面入手(1)利用数轴比较有理数的大小在数轴上表示的两个数右边的数比左边的数大(2)利用法则表示有理数的大小正数大于0负数小于0正数大于一切负数当要比较大

小的两个数是ldquo一正一负rdquoldquo零和正数rdquoldquo零和负数rdquo时用该法则既简便又快捷(3)利用绝对值表示有理数的大小两个正数比较大小绝对值大的数大两个负数比较

大小绝对值大的数反而小

2 难点点拨

有理数的大小比较的方法主要是利用定义法则以及数轴利用数轴判断有理数的大小的

过程体现了数形结合的思想在比较有理数大小时要考虑全面以免遗漏分析有的题目中可

以运用归纳法有些有理数需先化简再比较大小对于两个以上的数比较大小应先将这些数

按正数负数和零分成三类然后分别比较大小最后将这些数按一定顺序排列正数的大小比

较我们在小学就已学过故关键是注意负数的大小比较要熟练掌握已学过的负数的大小比较

方法另外在比较时应注意分数与小数的互化举例比较下列各组数的大小用ldquoltrdquo号把下列各组有理数连接起来

-513- -

23

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide-

35-42

解应先把- -23

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide-

35-42化简再利用有理数的大小比较法则比较由于

- -23

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide=23-

35 =

35-42=-42

而 -513 =5

13-42=42且5

13gt42

35lt

23

则有-513lt-42lt -

35 lt- -

23

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

答(略)

典例剖析

例1 画一条数轴并把-4-(-35)2120-

32

各数在数轴上表示出来再用ldquoltrdquo

51

初中数学思维拓展32讲(七年级)

把它们连接起来

思路点拨 在数轴上把各个数表示出来再根据在数轴上表示的数右边的数总比左

边的数大比较它们的大小即可解上述各数在数轴上如图4 1所示

0 1 2 3 4 51

234

02

23

4

5

21

(35)

图4 1

用ldquoltrdquo把它们连接为-4lt0lt -32 lt2

12lt-

(-35)

答(略)

点睛评注 本题考查了利用数轴比较有理数的大小在数轴上表示的数右边的数总

比左边的数大

类题演练

画出数轴在数轴上表示下列各数并用ldquoltrdquo连接

05-150-2-5+3例2 已知mgt0nlt0且|m|lt|n|在数轴上表示出mn-m-n 所对应的点并把

这4个数用ldquoltrdquo连接起来

思路点拨 根据已知求出-mlt0-ngt0-mgtn-ngtm再在数轴上表示出来

根据数轴上右边的数总比左边的数大比较它们的大小即可解因为mgt0nlt0且|m|lt|n|

所以-mlt0-ngt0-mgtn-ngtm上述各数在数轴上如图4 2所示

0 m nn m

图4 2

所以nlt-mltmlt-n

点睛评注 本题考查了数轴绝对值有理数的大小比较等知识点关键是判断m

-mn-n 的大小

类题演练

有理数ab在数轴上如图4 3所示

0 ba

图4 3

(1)在数轴上表示-a-b(2)试把ab0-a-b这五个数按从小到大用

ldquoltrdquo连接

61

第4讲 有理数的大小比较

(3)用ldquogtrdquoldquo=rdquo或ldquoltrdquo填空|a| a|b| b

例3 试比较-19971998

-9798-19981999

-9899

这四个数的大小

思路点拨 观察这四个分数的分子与分母可发现这四个分数可以化为同分子的分

数然后根据ldquo同分子的正分数分母大的分数比较小rdquo来比较它们的大小即可

解因为-19971998=-

1998-11998 =-1+

11998

-9798=-

98-198 =-1+

198

-19981999=-

1999-11999 =-1+

11999

-9899=-

99-199 =-1+

199

因为198gt

199gt

11998gt

11999

(同分子的正分数中分母大的分数比较小)

所以-19981999lt-

19971998lt-

9899lt-

9798

答(略)

点睛评注 解答本题时是借助不等式的性质(不等式的两边同时加上同一个数不等

式的符号方向不变)来比较有理数的大小的

类题演练

设a=199619951995

b=199519961995

c=199619951996

d=199519961996

试比较abcd 的大小

例4 四个数wxyz满足x-2001=y+2002=z-2003=w+2004那么其中最小的

数是 最大的数是

思路点拨 根据已知等式先分别求x-yx-zy-w 的值然后再用这些值与0

比较大小即可求得zgtxgtygtw解由x-2001=y+2002=z-2003=w+2004得

x-y=2001+2002=4003gt0所以xgty ①x-z=2001-2003=-2lt0所以zgtx ②y-w=2004-2002=2gt0所以ygtw ③由①②③式得

zgtxgtygtw所以四个数wxyz中最小的数是w最大的数是z

答wz

点睛评注 本题主要考查了有理数大小的比较两个正数比较大小绝对值大的数

大两个负数比较大小绝对值大的数反而小

71

初中数学思维拓展32讲(七年级)

类题演练

已知d-altc-blt0d-b=c-a那么abcd 之间的关系 (用ldquoltrdquo连接)

同步反馈

A组 基础夯实

1在25-2503这四个数中最小的数是( )A25 B-25 C0 D3

2如图4 4(A)(B)(C)(D)所示数轴上的点分别表示有理数ab若agtb其中表示正确的

图形是( )

A B C D

a b

0123

b a

0 11

a b

0 11

a b

0 11

图4 4

3(1)-2 +6(2)0 -18

(3)-32 -4

(4) -7 +7(5)-[-(-3)] +[-(+3)]

4一个数比它的相反数小这个数是( )A正数 B负数 C非负数 D非正数

5大于-4的负整数有 个6我国几个城市某年一月份的平均气温见表4 1其中气温最低的城市是( )

表4 1

城市 北京 武汉 广州 哈尔滨

平均气温 -46 38 131 -194

A北京 B武汉 C广州 D哈尔滨

B组 能力提升

7若ylt0则xx-yx+y 中最大的是( )Ax Bx-y Cx+y D不确定

8下面有4个正整数的集合(1)1~101中3的倍数(2)1~101中4的倍数(3)1~101中5的倍数(4)1~101中6的倍数其中平均数最大的集合是( )A(1) B(2) C(3) D(4)

81

第4讲 有理数的大小比较

9已知m 是正整数则m-m1m

的大小关系是( )

A-mlt1mltm B-mltmlt

1m C-mlt

1mlem D-mltmle

1m

10若agtbalt0则-(a+b)gt-bgt-agt-a+b是否正确

11比-312

大而比216

小的所有整数的和为

12已知有理数ab在数轴上的对应点的位置如图4 5所示0表示原点

0 11 ba

图4 5

①请在数轴上表示出数-a-b对应的点的位置

②请按从小到大的顺序排列a-a-bb-10的大小

C组 创新提高

13设A=1999111+11999222+1

B=1999222+11999333+1

则A 与B 的大小关系是

14比较-20112010

和-20122011

的大小

15仔细阅读下列材料

2009times20082008-2008times20092009= 分析可知很明显这个题直接计算比较烦琐可尝试用x 代替2009y 代替2008解令2009=x2008=y则原式=x(ytimes104+y)-y(xtimes104+x)=xytimes104+xy-xytimes104-xy=0我们常常ldquo用字母来表示数rdquo而上述材料根据问题特点将较大数字采用恰当的字母来表

示则更能使运算简捷明快(1)在上述问题解决过程中运用了 思维的方法体现了 的数学思想(2)参照上述材料中的方法解答下面两题

①计算 401820102-2009times2011

②若M=67890123457890123456

N=67890123447890123455

比较MN 的大小

专题反思

总题数 错误原因 错题序号

正确题数 (1)知识点不清

错误题数 (2)能力不够(3)方法错误

给自己的

一句话

91

0 5 有理数的加减

专题简析

1 重点讲解

(1)有理数的加法法则

①同号两数相加取与加数相同的符号并把绝对值相加

②异号两数相加取绝对值较大的加数的符号并用较大数的绝对值减去较小数的绝对值

③互为相反数的两个数相加得零

④一个数同零相加仍得这个数注意利用法则进行加法运算的步骤①判断两个加数的符号是同号异号还是有一个加

数为零以此来选择用哪条法则②确定和的符号(是ldquo+rdquo还是ldquo-rdquo)③求各加数的绝对值并确定和的绝对值(加数的绝对值是相加还是相减)

(2)有理数的加法运算律见表5 1

表5 1

有 理 数 加

法运算律

加法交换律

加法结

合律

文字语言 两个数相加交换加数的位置和不变

符号语言 a+b=b+a

文字语言三个数相加先把前两个数相加或者先把后两个数相加和不变

符号语言 (a+b)+c=a+(b+c)

注意交换加数的位置时不要忘记符号(3)有理数的减法法则减去一个数等于加上这个数的相反数即有a-b=a+(-b)注意将减法转化为加法时注意同时进行的两变一变是减法变加法二变是把减数变为

它的相反数如

6(2)=6+(+2) (2)3=(2)+(3)

(4)有理数加减混合运算①先利用减法法则将减法转化为加法②再运用加法交换律

和结合律使计算简便

2 难点点拨

掌握有理数的加减运算就是要求学生既算得快又准确显然做加法相对于做减法而言不容易出错所以加减混合运算时注意以下几点首先先去括号把式子整理成省略加号的和

02

第5讲 有理数的加减

的形式然后将这一形式看作是几个数相加运用加法法则来计算即可举例计算8-(-3)+(-1)-2-(-7)解原式=8+3-1-2+7=15(看作8+3+(-1)+(-2)+7即求83-1和-2相加

的和)答15

典例剖析

例1 计算(-55)+ +1115

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide+(+7)eacute

eumlecircecirc

ugrave

ucircuacuteuacute+ (-7)+ +

415

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide+(+25)eacute

eumlecircecirc

ugrave

ucircuacuteuacute

思路点拨 利用有理数加法的交换律和结合律计算

解原式=(-55)+ +1115

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide+(+7)+(-7)+ +

415

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide+(+25)

= +1115

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide+ +

415

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

eacute

eumlecircecirc

ugrave

ucircuacuteuacute+ (-55)+(+25)[ ]+ (-7)+(+7)[ ]=1+(-3)=-2

答-2

点睛评注 在运用有理数加法运算律时一定要根据需要灵活运用以达到简化的目

的通常有下列规律

①互为相反数的两个数先相加mdashmdashmdashldquo相反数结合法rdquo

②符号相同的两个数先相加mdashmdashmdashldquo同号结合法rdquo

③分母相同的数先相加mdashmdashmdashldquo同分母结合法rdquo

④整数与整数小数与小数分数与分数先相加mdashmdashmdashldquo同形结合法rdquo

类题演练

323+

(-263)+ -235

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide+(+363)+ -

23

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

例2 计算-3213

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide- +5

14

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide-3

17+ -5

14

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide- +2

67

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

eacute

eumlecircecirc

ugrave

ucircuacuteuacute

思路点拨 先观察式子可发现中括号里的数先运算较简便

解原式= -3213

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide- 5

14-3

17-5

14-2

67

eacute

eumlecircecirc

ugrave

ucircuacuteuacute=-32

13+6=-26

13

答-2613

点睛评注 在解决此类问题时一般要先去括号简化成省略加号和的形式再视情

况运用交换律和结合律简化运算另外在去括号时要时刻注意是否需要变号

12

• 第一讲
• 第二讲
• 第三讲
• 第四讲
• 第五讲
• 第六讲
• 第七讲
• 第八讲
• 第九讲
• 第十讲
• 第十一讲
• 第十二讲
• 第十三讲
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• 第二十一讲
• 第二十二讲
• 第二十三讲13
• 第二十四讲
• 第二十五讲
• 第二十六讲
• 第二十七讲
• 第二十八讲
• 第二十九讲
• 第三十讲
• 第三十一讲
• 第三十二讲
• 参考答案13

第1讲 有理数

思路点拨 首先审清题意明确ldquo正rdquo和ldquo负rdquo所表示的意义再根据题意作答

解(1)根据题意得比标准高度高记为ldquo+rdquo比标准高度低记为ldquo-rdquo所以比标准高度低

3毫米记作-3毫米(2)根据题意得合格的课桌的高度h 范围是-2lehle2所以不合格的课桌只有1张+3毫米的

答(略)

点睛评注 本题主要考查的是正数和负数在实际生活中的应用解题关键是理解

ldquo正rdquo和ldquo负rdquo的相对性明确什么是一对具有相反意义的量在一对具有相反意义的量中先规

定其中一个为正则另一个就用负来表示

类题演练

我市某公路检修站甲小组乘一辆汽车沿东西方向的公路检查公路约定向东行驶为正从A地出发到收工时行驶记录为(单位千米)+15-2+5-1+10-3-2+12

+4-5+6(1)计算收工时甲在A地的哪一边 距A地多远(2)若每千米汽车耗油01升汽车出发到收工时共耗油多少升

同步反馈

A组 基础夯实

1如果+30m表示向东走30m那么向西走40m表示为( )A+40m B-40m C+30m D-30m

2如果规定收入为正支出为负收入500元记作500元那么支出237元应记作( )A-500元 B-237元 C237元 D500元

3如果用+002克表示一只乒乓球质量超出标准质量002克那么一只乒乓球质量低于标准

质量002克记作( )A+002克 B-002克 C0克 D+004克

4下面几个数中属于正数的是( )A3 B-12 C-2 D0

5用正数和负数表示下列具有相反意义的量(1)买进30kg苹果与卖出30kg苹果(2)盈利10000元与亏损3000元(3)前进5米与后退10米(4)高于海平面960米与低于海平面960米

B组 能力提升

6某项科学研究以45分钟为1个时间单位并记每天上午10时为010时以前记为负10时

以后记为正例如9∶15记为-110∶45记为1等等依此类推上午7∶45应记为( )

3

初中数学思维拓展32讲(七年级)

A3 B-3 C-215 D-7457某种药品的说明书上标明保存温度是(20plusmn2)则该药品在( )范围内保存才合适A18~20 B20~22 C18~21 D18~22

8下列说法正确的是( )①在+5与+6之间没有正数

②在-1与0之间没有负数

③在+5与+6之间有无数个正分数

④在-1与0之间没有正分数

A仅④正确 B仅③正确 C仅③④正确 D①②④正确

9某件商品进价为400元现在提价20后出售则每件可获利润 元

C组 创新提高

10若-a不是负数那么a一定是( )A负数 B正数 C正数和零 D负数和零

11一口井水面比井口低3米一只蜗牛从水面沿着井壁往井口爬第一次往上爬了05米后

又下滑了01米第二次往上爬了042米却又下滑了015米第三次往上爬了07米却下滑了015米第四次往上爬了075米却下滑了02米第五次往上爬了055米没有

下滑第六次往上爬了048米此时蜗牛 (填ldquo能rdquo或ldquo不能rdquo)爬出井口12某天长跑运动员小明在一条南北方向的公路上练习跑步(设向南为正方向)他从A地出

发每隔10分钟记录下自己的跑步情况-1018米1026米-976米1028米-1024米946米1小时后他停下来休息此时他在A地的什么方向 距A地多远 小明共跑了

多少米

专题反思

总题数 错误原因 错题序号

正确题数 (1)知识点不清

错误题数 (2)能力不够

(3)方法错误

给自己的

一句话

4

0 2 数轴

专题简析

1 重点讲解

(1)数轴的概念规定了原点正方向和单位长度的直线叫作数轴它包含三层含义一是

数轴是一条直线可以向两端无限延伸二是数轴有三要素原点正方向单位长度三者缺一

不可三是原点它是具有特殊意义的点相当于温度计的零刻度线(2)运用数轴表示有理数任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示(3)运用数轴可以形象地解释相反数如果两个数只有符号不同那么称其中一个数为

另一个数的相反数而在数轴上表示互为相反数的两个点位于原点的两侧且到原点的距

离相等(4)运用数轴可以直观地理解绝对值的意义(在下一讲中讲述)(5)运用数轴比较有理数的大小数轴上表示的两个数右边的数总比左边的数大

2 难点点拨

任意一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示但要注意的是数轴上的点对应着一个

数但这个数不一定是有理数正确比较有理数的大小可借助数轴在理解比较有理数大小法

则的基础上进行正确表述

典例剖析

例1 一个点在数轴上表示的数是-5现将这个点向左移动3个单位再向右移动6个

单位请回答下列问题(1)这时它表示的数是 (2)如果将以上先左移3再右移6看作一次移动那么移动10次后的点表示的数是

(3)在(2)的情况下移动n 次后的点表示的数是 (n 为正整数)

思路点拨 借助数轴的直观性可以将变化内容具体化并通过对特殊情况的分析归

纳出变化的规律答(1)-2(2)25(3)3n-5

点睛评注 先左移3再右移6看作一次变化变化结果是增加310次就增加30n

次就增加3n

5

初中数学思维拓展32讲(七年级)

类题演练

从数轴上一个点先向左移动3个单位长度再向右移动2个单位长度终点表示的数为

0则起点表示的数是 例2 数abcd 所对应的点ABCD 在数轴上的位置如图2 1所示那么a+c与

b+d的大小关系是( )

OD C BA

图2 1

Aa+cltb+d Ba+c=b+d Ca+cgtb+d D不确定

思路点拨 运用数轴上点的几何意义可以发现ad 是负的bc是正的点A 比点

D 到原点的距离远点B 比点C 到原点的距离远而a+c 和b+d 的结果都为负所以b+d 大

答A

点睛评注 数轴上在原点左侧的点表示负数在原点右边的数表示正数数轴上右边

的数总比左边的数大

类题演练

数轴上有AB 两个点点A 到原点3个单位长度点B 到原点5个单位长度则AB 间

距离最大为 个单位长度最小为 个单位长度

例3 abc在数轴上的位置如图2 2所示则 1a-b

1c-b

1a-c

中最大的是

ca b 0

图2 2

思路点拨 先判断a-ba-c 为负c-b 为正则 1a-b

1c-b

1a-c

中只有1

c-b为

正其余为负故 1c-b

为最大

答1c-b

点睛评注 数轴上的点表示的数右边的数总比左边的数大

类题演练

abc在数轴上的位置如图2 3所示则 1a+b

1b+c

1a+c

中最大的是

ca b 0

图2 3

6

第2讲 数轴

例4 (1)工作流水线上依次排列5个工作台ABCDE一只工具箱应该放在何处才能使工作台上操作机器的人取工具所走的路程最短

(2)如果工作台由5个改为6个那么工具箱应如何放置能使6个操作机器的人取工具

所走的路程之和最短(3)当流水线上有n 个工作台时怎样放置工具箱最合适

思路点拨 把流水线看作数轴工作台工具箱看作数轴上的点这样就找到了解决

本例的模型mdashmdashmdash数轴答(1)工具箱放在C 台上(2)工具箱放在CD 两台之间(含CD 两点)任一处(3)分n 为奇数偶数两种情况讨论当n 为奇数时工具箱放在最中间的工作台上

当n 为偶数时工具箱放在最中间的两个工作台之间(包括这两个工作台)

点睛评注 借助数轴的直观性从具体个数的工作台情况归纳出一般情况体现了从

特殊到一般的思想方法

类题演练

如图2 4所示工作流水线上ABCD 处各有1名工人且AB=BC=CD=1现在

工作流水线上安放一个工具箱使4个人到工具箱的距离之和为最短则工具箱的安放位置是

DCBA

图2 4

同步反馈

A组 基础夯实

1判断正误(1)任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示( )(2)在数轴上离原点越远的点表示的数就越大( )(3)最大的负数是-1( )

2在数轴上原点的左边且与原点的距离为212

个单位长度的点所表示的数是

3在数轴上表示出数3-425-112

及它们的相反数

4在数轴上点A 表示有理数+3到A 点的距离为5个单位长度的点表示的有理数是 5若一个数的相反数是最小自然数则这个数是 6下列说法中错误的是( )A互为相反数的两个数的符号一正一负

B任何一个有理数都有相反数

7

初中数学思维拓展32讲(七年级)

C一个数的前面添上ldquo-rdquo号就成为原数的相反数

D0的相反数是它本身

B组 能力提升

7如图2 5所示在数轴上表示数a 的点到原点的距离为12则a-3=

ca 0 1b

图2 5

8数abcd 所对应的点ABCD 在数轴上的位置如图2 6所示那么a+c与b+d 的

大小关系是( )

0D C BA

图2 6

Aa+cltb+d Ba+c=b+d Ca+cgtb+d D不确定

9已知数轴上有AB 两点AB 之间的距离为1点A 与原点的距离为3求所有满足条件的

点B 与原点的距离之和10数轴上有AB 两点如果点A 对应的数是-2且AB 两点的距离为3那么点B 对应的

数是

11在数轴上点AB 分别表示-13

和15则线段AB 的中点所表示的数是

12点AB 分别是数-3-12

在数轴上对应的点使线段AB 沿数轴向右移动到AB且线

段AB的中点对应的数是3则点A对应的数是 点A 移动的距离是 13如图2 7所示图中数轴的单位长度为1如果已知点A 和点C表示的数互为相反数那么

点B 表示的数是

CBA图2 7

14电子跳蚤落在数轴上的某点K0第一步从K0向左跳1个单位到K1第二步由K1向右跳2个单位到K2第三步由K2向左跳3个单位到K3第四步由K3向右跳4个单位到K4hellip按以上规律跳了100步时电子跳蚤落在数轴上的点K100所表示的数恰好是1994试求电

子跳蚤的初始位置K0 点所表示的数

C组 创新提高

15比较a 与1a

的大小

16(1)阅读下面的材料并回答问题点AB 在数轴上分别表示实数ab而AB 两点之间的距离表示为 AB 当AB 两点中有一点在原点时不妨设点 A 在原点如图2 8mdash1所示AB =BA = b = a-b

8

第2讲 数轴

当AB 两点都不在原点时如图2 8mdash2所示点AB 都在原点的右边AB =OB - OA = b - a =b-a= a-b 当点AB 都在原点的左边如图2 8mdash3所示 AB = OB - OA = b - a =-b-(-a)= a-b 当点AB 在原点的两边如图2 8mdash4所示AB = OA + OB = a + b =a+(-b)= a-b

b

B

0

O(A)

b

B

a

A

0

O

b

B

a

A

0

O

b

B

a

A

0

O

图2 8mdash1 图2 8mdash2 图2 8mdash3 图2 8mdash4

综上数轴上AB 两点之间的距离 AB = a-b 请回答

① 数轴上表示2和5的两点之间的距离是 数轴上表示-2和-5的两点之间的距

离是 数轴上表示1和-3的两点之间的距离是

② 数轴上表示x 和 -1的两点 A 和B 之间的距离是 如果 AB =2那么x为

③ 当代数式 x+1 + x-2 取最小值时相应的x 的取值范围是 (2)试求 x-1 + x-2 + x-3 +hellip+ x-1997 的最小值

17如图2 9所示在数轴上(未标出原点及单位长度)点A 为线段BC的中点已知点ABC对应的三个数abc之积是负数这三个数之和与其中一数相等设p 为abc三数中两

数的比值求p 的最大值和最小值

B CA

图2 9

18某城镇沿环形路上依次排列有五所小学ABCDE它们依次有电脑15台7台11台3台14台为使各校的电脑数相同允许一些小学向相邻小学调出电脑怎样调配才能

使调出的电脑总台数最少 并求出电脑的最少总台数

专题反思

总题数 错误原因 错题序号

正确题数 (1)知识点不清

错误题数 (2)能力不够

(3)方法错误

给自己的

一句话

9

0 3 绝对值

专题简析

1 重点讲解

绝对值是初中代数中的一个基本概念是学习相反数有理数运算及后续算术根的基础绝对值又是初中代数中的一个重要概念在解代数式化简求值解方程(组)解不等式(组)等

问题中有着广泛的应用全面理解掌握绝对值这一概念应从以下几方面入手(1)绝对值的定义正数的绝对值是它本身负数的绝对值是它的相反数零的绝对值是

零即

a =a (agt0)

0 (a=0)

-a (alt0)

igrave

icirc

iacute

iumliuml

iumliuml

(2)绝对值的几何意义从数轴上看a 表示数a 的点到原点的距离(长度非负)

a-b 表示ab所代表的数轴上的两点间的距离而 x-a 表示数轴上表示数x 的点到表

示a 的点之间的距离(3)绝对值有如下基本性质

a ge0a 2= a2 =a2

ab = a middot bab =

ab(bne0)

a+b le a + ba-b ge a - b

2 难点点拨

在理解和运用绝对值的几何意义的过程中需要结合数轴这体现了数形结合的思想数与

形是数学中的两个最古老也是最基本的研究对象它们在一定条件下可以相互转化中学数

学研究的对象可分为数和形两大部分数与形是有联系的这个联系称为数形结合或形数结

合作为一种数学思想方法数形结合的应用大致可分为两种情形第一种情形是借助于数的

精确性来阐明形的某些属性第二种情形是借助形的几何直观性来阐明数之间的某种关系也就是说数形结合包括两个方面第一种情形是ldquo以数解形rdquo第二种情形是ldquo以形助数rdquo

举例已知a 是有理数a-2007 + a-2008 的最小值是 解由绝对值的几何意义知a-2007 + a-2008 表示数轴上的一点到表示数2007

和2008两点的距离的和要使和最小则这点必在2007~2008(包括这两个端点)取值(如图

01

第3讲 绝对值

3 1所示)故 a-2007 + a-2008 的最小值为1

0 2007 2008

图3 1

答1

典例剖析

例1 已知ab都是有理数且agt0blt0alt b 用ldquoltrdquo连接下列各数ab-a-b

思路点拨 由已知agt0blt0可知a是正数b是负数所以-a-b分别是负数和

正数又由alt b 可知alt-b-agtb答blt-altalt-b

点睛评注 此题也可以借助数轴把数表示在数轴上再比较它们的大小

类题演练

已知ab都是有理数分别在数轴上原点的左右两侧且b到原点的距离大于a到原点的

距离(1)比较 a 和b的大小(2)比较 a -bba 的大小并用ldquoltrdquo连接起来例2 字母a表示有理数求a的绝对值可以分为以下几种情况当agt0时a =a当

a=0时a =0当alt0时a =-a试用上述方法解答以下问题

(1)如果xne0求xx

的值

(2)如果yne3求y-3y-3

的值

思路点拨 解决问题的关键在于真正理解绝对值的概念先确定绝对值符号里面的

数的正负性再根据绝对值的概念求出这个数的绝对值

解(1)因为xne0所以当xgt0时x =x那么 xx =1

当xlt0时x =-x那么 xx =-1

(2)因为yne3所以当ygt3时y-3 =y-3那么 y-3y-3 =1

当ylt3时y-3 =-(y-3)那么 y-3y-3 =-1

答(略)

点睛评注 例2中求a的绝对值的三种情形实际上就是绝对值法则的符号表示应

理解其意义当用字母表示有理数时-a 不一定是负数它表示有理数a 的相反数其结果是

11

初中数学思维拓展32讲(七年级)

什么数要由数a 来决定

类题演练

(1)如果agt3则 a-3 = 3-a = (2)如果 x-2 +x-2=0那么x 的取值范围是( )Axgt2 Bxlt2 Cxge2 Dxle2

例3 如果 a =3b =5那么 a+b - a-b 的绝对值等于

思路点拨 分别求出ab的值再分类讨论求值

解因为 a =3所以a=3或-3因为 b =5所以b=5或-5

(1)当a=3b=5时a+b - a-b = 3+5 - 3-5 =8-2=6(2)当a=3b=-5时a+b - a-b = 3-5 - 3-(-5)=2-8=-6(3)当a=-3b=5时a+b - a-b = -3+5 - -3-5 =2-8=-6(4)当a=-3b=-5时a+b - a-b = -3-5 - -3-(-5)=8-2=6综上所述a+b - a-b =6或-6答6或-6

点睛评注 由绝对值的几何意义知道此类题型一定要分类讨论才会不漏解

类题演练

(1)式子 aa +

bb +

abab

的所有可能的值有( )

A2个 B3个 C4个 D无数个

(2)已知y= x-b + x-20 + x-b-20 其中0ltblt20blexle20那么y的

最小值为

例4 使代数式 3x- x4x

的值为正整数的x 值是( )

A正数 B负数 C0 D不存在

思路点拨 对含有多重绝对值符号的代数式一般要分类讨论本题可分xlt0和

xgt0两种情况但若能结合题意灵活运用定义解题过程就更简洁明了

解当xlt0时原式=3x+x4x = -4x

4x =-1

当xgt0时原式=3x-x4x =

2x4x=

12

又当x=0时代数式没有意义故所求代数式的值是-1或12与代数式的值是正整数

矛盾所以选D答D

点睛评注 求解后不要忘记检查结果是否符合题意比如本题解得代数式的值是

21

第3讲 绝对值

-1或12但是题目要求代数式的值为正整数所以都舍去为无解就只能选择D为不存在

类题演练

如果2a+b=0则ab -1 +

ab -2 等于( )

A2 B3 C4 D5

同步反馈

A组 基础夯实

1(1)绝对值是34

的数有几个 各是什么

(2)绝对值是0的数有几个 各是什么(3)有没有绝对值是-2的数

2计算(1)|-15|-|-6| (2)|-024|+|-506| (3)|-3|times|-2|

(4)|+4|times|-5| (5)|-12|divide|+2| (6)|20|divide -12

3填空(1)当agt0时|2a|= (2)当agt1时|a-1|= (3)当alt1时|a-1|=

4(1)如果m=-1那么-(- m )= (2)若 a-b =b-a则ab的大小关系是

5绝对值大于2而小于6的所有正整数之和是( )A7 B9 C12 D14

B组 能力提升

6如果0ltplt15那么当plexle15时代数式 x-p + x-15 + x-p-15 的最小值

是( )A30 B0 C15 D一个与p 有关的代数式

7若 x =a则 x-a 等于( )A0或2a Bx-a Ca-x D零

8有理数ab 在数轴上的位置如图3 2所示则在a+bb-2ab - a a-b

a+2 - b-4 中负数共有( )

a b

0 112

图3 2

A1个 B2个 C3个 D4个

31

初中数学思维拓展32讲(七年级)

9已知abc都是负数且 x-a + y-b + z-c =0则xyz是( )A正数 B非负数 C负数 D非正数

10已知x=-π3则 x+1 - x+2 + x+3 - x+4 +hellip+ x+11 - x+12 +

x+13 等于( )

A5 B7 C5-π3 D5+

π3

11若 a =19b =97且 a+b nea+b那么a-b的值是( )A-78或116 B78或116 C-78或-116 D78或-116

12已知 a =5b =3且 a-b =b-a那么a+b= 13已知 a =1b =2c =3agtbgtc则 a+b-c( )2=

C组 创新提高

14不相等的有理数abc在数轴上的对应点分别为ABC如果|a-b|+|b-c|=|a-c|那么B 点应为( )A在AC 点的右边 B在AC 点的左边

C在AC 点之间 D以上三种情况都有可能

15当b为何值时5- 2b-1 有最大值最大值是多少

16设abc 是非零有理数求 aa +

bb +

cc +

abab +

acac +

bcbc +

abcabc

等 于

17已知a 是 最 小 的 正 整 数bc 是 有 理 数并 且 有|2+b|+(3a+2c)2=0求 式 子

4ab+c-a2+c2+4

的值

专题反思

总题数 错误原因 错题序号

正确题数 (1)知识点不清

错误题数 (2)能力不够

(3)方法错误

给自己的

一句话

41

0 4 有理数的大小比较

专题简析

1 重点讲解

有理数的大小比较是后面学习不等式的基础全面理解掌握有理数大小比较的方法应从

以下几方面入手(1)利用数轴比较有理数的大小在数轴上表示的两个数右边的数比左边的数大(2)利用法则表示有理数的大小正数大于0负数小于0正数大于一切负数当要比较大

小的两个数是ldquo一正一负rdquoldquo零和正数rdquoldquo零和负数rdquo时用该法则既简便又快捷(3)利用绝对值表示有理数的大小两个正数比较大小绝对值大的数大两个负数比较

大小绝对值大的数反而小

2 难点点拨

有理数的大小比较的方法主要是利用定义法则以及数轴利用数轴判断有理数的大小的

过程体现了数形结合的思想在比较有理数大小时要考虑全面以免遗漏分析有的题目中可

以运用归纳法有些有理数需先化简再比较大小对于两个以上的数比较大小应先将这些数

按正数负数和零分成三类然后分别比较大小最后将这些数按一定顺序排列正数的大小比

较我们在小学就已学过故关键是注意负数的大小比较要熟练掌握已学过的负数的大小比较

方法另外在比较时应注意分数与小数的互化举例比较下列各组数的大小用ldquoltrdquo号把下列各组有理数连接起来

-513- -

23

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide-

35-42

解应先把- -23

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide-

35-42化简再利用有理数的大小比较法则比较由于

- -23

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide=23-

35 =

35-42=-42

而 -513 =5

13-42=42且5

13gt42

35lt

23

则有-513lt-42lt -

35 lt- -

23

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

答(略)

典例剖析

例1 画一条数轴并把-4-(-35)2120-

32

各数在数轴上表示出来再用ldquoltrdquo

51

初中数学思维拓展32讲(七年级)

把它们连接起来

思路点拨 在数轴上把各个数表示出来再根据在数轴上表示的数右边的数总比左

边的数大比较它们的大小即可解上述各数在数轴上如图4 1所示

0 1 2 3 4 51

234

02

23

4

5

21

(35)

图4 1

用ldquoltrdquo把它们连接为-4lt0lt -32 lt2

12lt-

(-35)

答(略)

点睛评注 本题考查了利用数轴比较有理数的大小在数轴上表示的数右边的数总

比左边的数大

类题演练

画出数轴在数轴上表示下列各数并用ldquoltrdquo连接

05-150-2-5+3例2 已知mgt0nlt0且|m|lt|n|在数轴上表示出mn-m-n 所对应的点并把

这4个数用ldquoltrdquo连接起来

思路点拨 根据已知求出-mlt0-ngt0-mgtn-ngtm再在数轴上表示出来

根据数轴上右边的数总比左边的数大比较它们的大小即可解因为mgt0nlt0且|m|lt|n|

所以-mlt0-ngt0-mgtn-ngtm上述各数在数轴上如图4 2所示

0 m nn m

图4 2

所以nlt-mltmlt-n

点睛评注 本题考查了数轴绝对值有理数的大小比较等知识点关键是判断m

-mn-n 的大小

类题演练

有理数ab在数轴上如图4 3所示

0 ba

图4 3

(1)在数轴上表示-a-b(2)试把ab0-a-b这五个数按从小到大用

ldquoltrdquo连接

61

第4讲 有理数的大小比较

(3)用ldquogtrdquoldquo=rdquo或ldquoltrdquo填空|a| a|b| b

例3 试比较-19971998

-9798-19981999

-9899

这四个数的大小

思路点拨 观察这四个分数的分子与分母可发现这四个分数可以化为同分子的分

数然后根据ldquo同分子的正分数分母大的分数比较小rdquo来比较它们的大小即可

解因为-19971998=-

1998-11998 =-1+

11998

-9798=-

98-198 =-1+

198

-19981999=-

1999-11999 =-1+

11999

-9899=-

99-199 =-1+

199

因为198gt

199gt

11998gt

11999

(同分子的正分数中分母大的分数比较小)

所以-19981999lt-

19971998lt-

9899lt-

9798

答(略)

点睛评注 解答本题时是借助不等式的性质(不等式的两边同时加上同一个数不等

式的符号方向不变)来比较有理数的大小的

类题演练

设a=199619951995

b=199519961995

c=199619951996

d=199519961996

试比较abcd 的大小

例4 四个数wxyz满足x-2001=y+2002=z-2003=w+2004那么其中最小的

数是 最大的数是

思路点拨 根据已知等式先分别求x-yx-zy-w 的值然后再用这些值与0

比较大小即可求得zgtxgtygtw解由x-2001=y+2002=z-2003=w+2004得

x-y=2001+2002=4003gt0所以xgty ①x-z=2001-2003=-2lt0所以zgtx ②y-w=2004-2002=2gt0所以ygtw ③由①②③式得

zgtxgtygtw所以四个数wxyz中最小的数是w最大的数是z

答wz

点睛评注 本题主要考查了有理数大小的比较两个正数比较大小绝对值大的数

大两个负数比较大小绝对值大的数反而小

71

初中数学思维拓展32讲(七年级)

类题演练

已知d-altc-blt0d-b=c-a那么abcd 之间的关系 (用ldquoltrdquo连接)

同步反馈

A组 基础夯实

1在25-2503这四个数中最小的数是( )A25 B-25 C0 D3

2如图4 4(A)(B)(C)(D)所示数轴上的点分别表示有理数ab若agtb其中表示正确的

图形是( )

A B C D

a b

0123

b a

0 11

a b

0 11

a b

0 11

图4 4

3(1)-2 +6(2)0 -18

(3)-32 -4

(4) -7 +7(5)-[-(-3)] +[-(+3)]

4一个数比它的相反数小这个数是( )A正数 B负数 C非负数 D非正数

5大于-4的负整数有 个6我国几个城市某年一月份的平均气温见表4 1其中气温最低的城市是( )

表4 1

城市 北京 武汉 广州 哈尔滨

平均气温 -46 38 131 -194

A北京 B武汉 C广州 D哈尔滨

B组 能力提升

7若ylt0则xx-yx+y 中最大的是( )Ax Bx-y Cx+y D不确定

8下面有4个正整数的集合(1)1~101中3的倍数(2)1~101中4的倍数(3)1~101中5的倍数(4)1~101中6的倍数其中平均数最大的集合是( )A(1) B(2) C(3) D(4)

81

第4讲 有理数的大小比较

9已知m 是正整数则m-m1m

的大小关系是( )

A-mlt1mltm B-mltmlt

1m C-mlt

1mlem D-mltmle

1m

10若agtbalt0则-(a+b)gt-bgt-agt-a+b是否正确

11比-312

大而比216

小的所有整数的和为

12已知有理数ab在数轴上的对应点的位置如图4 5所示0表示原点

0 11 ba

图4 5

①请在数轴上表示出数-a-b对应的点的位置

②请按从小到大的顺序排列a-a-bb-10的大小

C组 创新提高

13设A=1999111+11999222+1

B=1999222+11999333+1

则A 与B 的大小关系是

14比较-20112010

和-20122011

的大小

15仔细阅读下列材料

2009times20082008-2008times20092009= 分析可知很明显这个题直接计算比较烦琐可尝试用x 代替2009y 代替2008解令2009=x2008=y则原式=x(ytimes104+y)-y(xtimes104+x)=xytimes104+xy-xytimes104-xy=0我们常常ldquo用字母来表示数rdquo而上述材料根据问题特点将较大数字采用恰当的字母来表

示则更能使运算简捷明快(1)在上述问题解决过程中运用了 思维的方法体现了 的数学思想(2)参照上述材料中的方法解答下面两题

①计算 401820102-2009times2011

②若M=67890123457890123456

N=67890123447890123455

比较MN 的大小

专题反思

总题数 错误原因 错题序号

正确题数 (1)知识点不清

错误题数 (2)能力不够(3)方法错误

给自己的

一句话

91

0 5 有理数的加减

专题简析

1 重点讲解

(1)有理数的加法法则

①同号两数相加取与加数相同的符号并把绝对值相加

②异号两数相加取绝对值较大的加数的符号并用较大数的绝对值减去较小数的绝对值

③互为相反数的两个数相加得零

④一个数同零相加仍得这个数注意利用法则进行加法运算的步骤①判断两个加数的符号是同号异号还是有一个加

数为零以此来选择用哪条法则②确定和的符号(是ldquo+rdquo还是ldquo-rdquo)③求各加数的绝对值并确定和的绝对值(加数的绝对值是相加还是相减)

(2)有理数的加法运算律见表5 1

表5 1

有 理 数 加

法运算律

加法交换律

加法结

合律

文字语言 两个数相加交换加数的位置和不变

符号语言 a+b=b+a

文字语言三个数相加先把前两个数相加或者先把后两个数相加和不变

符号语言 (a+b)+c=a+(b+c)

注意交换加数的位置时不要忘记符号(3)有理数的减法法则减去一个数等于加上这个数的相反数即有a-b=a+(-b)注意将减法转化为加法时注意同时进行的两变一变是减法变加法二变是把减数变为

它的相反数如

6(2)=6+(+2) (2)3=(2)+(3)

(4)有理数加减混合运算①先利用减法法则将减法转化为加法②再运用加法交换律

和结合律使计算简便

2 难点点拨

掌握有理数的加减运算就是要求学生既算得快又准确显然做加法相对于做减法而言不容易出错所以加减混合运算时注意以下几点首先先去括号把式子整理成省略加号的和

02

第5讲 有理数的加减

的形式然后将这一形式看作是几个数相加运用加法法则来计算即可举例计算8-(-3)+(-1)-2-(-7)解原式=8+3-1-2+7=15(看作8+3+(-1)+(-2)+7即求83-1和-2相加

的和)答15

典例剖析

例1 计算(-55)+ +1115

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide+(+7)eacute

eumlecircecirc

ugrave

ucircuacuteuacute+ (-7)+ +

415

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide+(+25)eacute

eumlecircecirc

ugrave

ucircuacuteuacute

思路点拨 利用有理数加法的交换律和结合律计算

解原式=(-55)+ +1115

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide+(+7)+(-7)+ +

415

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide+(+25)

= +1115

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide+ +

415

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

eacute

eumlecircecirc

ugrave

ucircuacuteuacute+ (-55)+(+25)[ ]+ (-7)+(+7)[ ]=1+(-3)=-2

答-2

点睛评注 在运用有理数加法运算律时一定要根据需要灵活运用以达到简化的目

的通常有下列规律

①互为相反数的两个数先相加mdashmdashmdashldquo相反数结合法rdquo

②符号相同的两个数先相加mdashmdashmdashldquo同号结合法rdquo

③分母相同的数先相加mdashmdashmdashldquo同分母结合法rdquo

④整数与整数小数与小数分数与分数先相加mdashmdashmdashldquo同形结合法rdquo

类题演练

323+

(-263)+ -235

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide+(+363)+ -

23

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

例2 计算-3213

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide- +5

14

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide-3

17+ -5

14

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide- +2

67

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

eacute

eumlecircecirc

ugrave

ucircuacuteuacute

思路点拨 先观察式子可发现中括号里的数先运算较简便

解原式= -3213

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide- 5

14-3

17-5

14-2

67

eacute

eumlecircecirc

ugrave

ucircuacuteuacute=-32

13+6=-26

13

答-2613

点睛评注 在解决此类问题时一般要先去括号简化成省略加号和的形式再视情

况运用交换律和结合律简化运算另外在去括号时要时刻注意是否需要变号

12

• 第一讲
• 第二讲
• 第三讲
• 第四讲
• 第五讲
• 第六讲
• 第七讲
• 第八讲
• 第九讲
• 第十讲
• 第十一讲
• 第十二讲
• 第十三讲
• 第十四讲
• 第十五讲
• 第十六讲
• 第十七讲
• 第十八讲
• 第十九讲
• 第二十讲
• 第二十一讲
• 第二十二讲
• 第二十三讲13
• 第二十四讲
• 第二十五讲
• 第二十六讲
• 第二十七讲
• 第二十八讲
• 第二十九讲
• 第三十讲
• 第三十一讲
• 第三十二讲
• 参考答案13

初中数学思维拓展32讲(七年级)

A3 B-3 C-215 D-7457某种药品的说明书上标明保存温度是(20plusmn2)则该药品在( )范围内保存才合适A18~20 B20~22 C18~21 D18~22

8下列说法正确的是( )①在+5与+6之间没有正数

②在-1与0之间没有负数

③在+5与+6之间有无数个正分数

④在-1与0之间没有正分数

A仅④正确 B仅③正确 C仅③④正确 D①②④正确

9某件商品进价为400元现在提价20后出售则每件可获利润 元

C组 创新提高

10若-a不是负数那么a一定是( )A负数 B正数 C正数和零 D负数和零

11一口井水面比井口低3米一只蜗牛从水面沿着井壁往井口爬第一次往上爬了05米后

又下滑了01米第二次往上爬了042米却又下滑了015米第三次往上爬了07米却下滑了015米第四次往上爬了075米却下滑了02米第五次往上爬了055米没有

下滑第六次往上爬了048米此时蜗牛 (填ldquo能rdquo或ldquo不能rdquo)爬出井口12某天长跑运动员小明在一条南北方向的公路上练习跑步(设向南为正方向)他从A地出

发每隔10分钟记录下自己的跑步情况-1018米1026米-976米1028米-1024米946米1小时后他停下来休息此时他在A地的什么方向 距A地多远 小明共跑了

多少米

专题反思

总题数 错误原因 错题序号

正确题数 (1)知识点不清

错误题数 (2)能力不够

(3)方法错误

给自己的

一句话

4

0 2 数轴

专题简析

1 重点讲解

(1)数轴的概念规定了原点正方向和单位长度的直线叫作数轴它包含三层含义一是

数轴是一条直线可以向两端无限延伸二是数轴有三要素原点正方向单位长度三者缺一

不可三是原点它是具有特殊意义的点相当于温度计的零刻度线(2)运用数轴表示有理数任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示(3)运用数轴可以形象地解释相反数如果两个数只有符号不同那么称其中一个数为

另一个数的相反数而在数轴上表示互为相反数的两个点位于原点的两侧且到原点的距

离相等(4)运用数轴可以直观地理解绝对值的意义(在下一讲中讲述)(5)运用数轴比较有理数的大小数轴上表示的两个数右边的数总比左边的数大

2 难点点拨

任意一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示但要注意的是数轴上的点对应着一个

数但这个数不一定是有理数正确比较有理数的大小可借助数轴在理解比较有理数大小法

则的基础上进行正确表述

典例剖析

例1 一个点在数轴上表示的数是-5现将这个点向左移动3个单位再向右移动6个

单位请回答下列问题(1)这时它表示的数是 (2)如果将以上先左移3再右移6看作一次移动那么移动10次后的点表示的数是

(3)在(2)的情况下移动n 次后的点表示的数是 (n 为正整数)

思路点拨 借助数轴的直观性可以将变化内容具体化并通过对特殊情况的分析归

纳出变化的规律答(1)-2(2)25(3)3n-5

点睛评注 先左移3再右移6看作一次变化变化结果是增加310次就增加30n

次就增加3n

5

初中数学思维拓展32讲(七年级)

类题演练

从数轴上一个点先向左移动3个单位长度再向右移动2个单位长度终点表示的数为

0则起点表示的数是 例2 数abcd 所对应的点ABCD 在数轴上的位置如图2 1所示那么a+c与

b+d的大小关系是( )

OD C BA

图2 1

Aa+cltb+d Ba+c=b+d Ca+cgtb+d D不确定

思路点拨 运用数轴上点的几何意义可以发现ad 是负的bc是正的点A 比点

D 到原点的距离远点B 比点C 到原点的距离远而a+c 和b+d 的结果都为负所以b+d 大

答A

点睛评注 数轴上在原点左侧的点表示负数在原点右边的数表示正数数轴上右边

的数总比左边的数大

类题演练

数轴上有AB 两个点点A 到原点3个单位长度点B 到原点5个单位长度则AB 间

距离最大为 个单位长度最小为 个单位长度

例3 abc在数轴上的位置如图2 2所示则 1a-b

1c-b

1a-c

中最大的是

ca b 0

图2 2

思路点拨 先判断a-ba-c 为负c-b 为正则 1a-b

1c-b

1a-c

中只有1

c-b为

正其余为负故 1c-b

为最大

答1c-b

点睛评注 数轴上的点表示的数右边的数总比左边的数大

类题演练

abc在数轴上的位置如图2 3所示则 1a+b

1b+c

1a+c

中最大的是

ca b 0

图2 3

6

第2讲 数轴

例4 (1)工作流水线上依次排列5个工作台ABCDE一只工具箱应该放在何处才能使工作台上操作机器的人取工具所走的路程最短

(2)如果工作台由5个改为6个那么工具箱应如何放置能使6个操作机器的人取工具

所走的路程之和最短(3)当流水线上有n 个工作台时怎样放置工具箱最合适

思路点拨 把流水线看作数轴工作台工具箱看作数轴上的点这样就找到了解决

本例的模型mdashmdashmdash数轴答(1)工具箱放在C 台上(2)工具箱放在CD 两台之间(含CD 两点)任一处(3)分n 为奇数偶数两种情况讨论当n 为奇数时工具箱放在最中间的工作台上

当n 为偶数时工具箱放在最中间的两个工作台之间(包括这两个工作台)

点睛评注 借助数轴的直观性从具体个数的工作台情况归纳出一般情况体现了从

特殊到一般的思想方法

类题演练

如图2 4所示工作流水线上ABCD 处各有1名工人且AB=BC=CD=1现在

工作流水线上安放一个工具箱使4个人到工具箱的距离之和为最短则工具箱的安放位置是

DCBA

图2 4

同步反馈

A组 基础夯实

1判断正误(1)任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示( )(2)在数轴上离原点越远的点表示的数就越大( )(3)最大的负数是-1( )

2在数轴上原点的左边且与原点的距离为212

个单位长度的点所表示的数是

3在数轴上表示出数3-425-112

及它们的相反数

4在数轴上点A 表示有理数+3到A 点的距离为5个单位长度的点表示的有理数是 5若一个数的相反数是最小自然数则这个数是 6下列说法中错误的是( )A互为相反数的两个数的符号一正一负

B任何一个有理数都有相反数

7

初中数学思维拓展32讲(七年级)

C一个数的前面添上ldquo-rdquo号就成为原数的相反数

D0的相反数是它本身

B组 能力提升

7如图2 5所示在数轴上表示数a 的点到原点的距离为12则a-3=

ca 0 1b

图2 5

8数abcd 所对应的点ABCD 在数轴上的位置如图2 6所示那么a+c与b+d 的

大小关系是( )

0D C BA

图2 6

Aa+cltb+d Ba+c=b+d Ca+cgtb+d D不确定

9已知数轴上有AB 两点AB 之间的距离为1点A 与原点的距离为3求所有满足条件的

点B 与原点的距离之和10数轴上有AB 两点如果点A 对应的数是-2且AB 两点的距离为3那么点B 对应的

数是

11在数轴上点AB 分别表示-13

和15则线段AB 的中点所表示的数是

12点AB 分别是数-3-12

在数轴上对应的点使线段AB 沿数轴向右移动到AB且线

段AB的中点对应的数是3则点A对应的数是 点A 移动的距离是 13如图2 7所示图中数轴的单位长度为1如果已知点A 和点C表示的数互为相反数那么

点B 表示的数是

CBA图2 7

14电子跳蚤落在数轴上的某点K0第一步从K0向左跳1个单位到K1第二步由K1向右跳2个单位到K2第三步由K2向左跳3个单位到K3第四步由K3向右跳4个单位到K4hellip按以上规律跳了100步时电子跳蚤落在数轴上的点K100所表示的数恰好是1994试求电

子跳蚤的初始位置K0 点所表示的数

C组 创新提高

15比较a 与1a

的大小

16(1)阅读下面的材料并回答问题点AB 在数轴上分别表示实数ab而AB 两点之间的距离表示为 AB 当AB 两点中有一点在原点时不妨设点 A 在原点如图2 8mdash1所示AB =BA = b = a-b

8

第2讲 数轴

当AB 两点都不在原点时如图2 8mdash2所示点AB 都在原点的右边AB =OB - OA = b - a =b-a= a-b 当点AB 都在原点的左边如图2 8mdash3所示 AB = OB - OA = b - a =-b-(-a)= a-b 当点AB 在原点的两边如图2 8mdash4所示AB = OA + OB = a + b =a+(-b)= a-b

b

B

0

O(A)

b

B

a

A

0

O

b

B

a

A

0

O

b

B

a

A

0

O

图2 8mdash1 图2 8mdash2 图2 8mdash3 图2 8mdash4

综上数轴上AB 两点之间的距离 AB = a-b 请回答

① 数轴上表示2和5的两点之间的距离是 数轴上表示-2和-5的两点之间的距

离是 数轴上表示1和-3的两点之间的距离是

② 数轴上表示x 和 -1的两点 A 和B 之间的距离是 如果 AB =2那么x为

③ 当代数式 x+1 + x-2 取最小值时相应的x 的取值范围是 (2)试求 x-1 + x-2 + x-3 +hellip+ x-1997 的最小值

17如图2 9所示在数轴上(未标出原点及单位长度)点A 为线段BC的中点已知点ABC对应的三个数abc之积是负数这三个数之和与其中一数相等设p 为abc三数中两

数的比值求p 的最大值和最小值

B CA

图2 9

18某城镇沿环形路上依次排列有五所小学ABCDE它们依次有电脑15台7台11台3台14台为使各校的电脑数相同允许一些小学向相邻小学调出电脑怎样调配才能

使调出的电脑总台数最少 并求出电脑的最少总台数

专题反思

总题数 错误原因 错题序号

正确题数 (1)知识点不清

错误题数 (2)能力不够

(3)方法错误

给自己的

一句话

9

0 3 绝对值

专题简析

1 重点讲解

绝对值是初中代数中的一个基本概念是学习相反数有理数运算及后续算术根的基础绝对值又是初中代数中的一个重要概念在解代数式化简求值解方程(组)解不等式(组)等

问题中有着广泛的应用全面理解掌握绝对值这一概念应从以下几方面入手(1)绝对值的定义正数的绝对值是它本身负数的绝对值是它的相反数零的绝对值是

零即

a =a (agt0)

0 (a=0)

-a (alt0)

igrave

icirc

iacute

iumliuml

iumliuml

(2)绝对值的几何意义从数轴上看a 表示数a 的点到原点的距离(长度非负)

a-b 表示ab所代表的数轴上的两点间的距离而 x-a 表示数轴上表示数x 的点到表

示a 的点之间的距离(3)绝对值有如下基本性质

a ge0a 2= a2 =a2

ab = a middot bab =

ab(bne0)

a+b le a + ba-b ge a - b

2 难点点拨

在理解和运用绝对值的几何意义的过程中需要结合数轴这体现了数形结合的思想数与

形是数学中的两个最古老也是最基本的研究对象它们在一定条件下可以相互转化中学数

学研究的对象可分为数和形两大部分数与形是有联系的这个联系称为数形结合或形数结

合作为一种数学思想方法数形结合的应用大致可分为两种情形第一种情形是借助于数的

精确性来阐明形的某些属性第二种情形是借助形的几何直观性来阐明数之间的某种关系也就是说数形结合包括两个方面第一种情形是ldquo以数解形rdquo第二种情形是ldquo以形助数rdquo

举例已知a 是有理数a-2007 + a-2008 的最小值是 解由绝对值的几何意义知a-2007 + a-2008 表示数轴上的一点到表示数2007

和2008两点的距离的和要使和最小则这点必在2007~2008(包括这两个端点)取值(如图

01

第3讲 绝对值

3 1所示)故 a-2007 + a-2008 的最小值为1

0 2007 2008

图3 1

答1

典例剖析

例1 已知ab都是有理数且agt0blt0alt b 用ldquoltrdquo连接下列各数ab-a-b

思路点拨 由已知agt0blt0可知a是正数b是负数所以-a-b分别是负数和

正数又由alt b 可知alt-b-agtb答blt-altalt-b

点睛评注 此题也可以借助数轴把数表示在数轴上再比较它们的大小

类题演练

已知ab都是有理数分别在数轴上原点的左右两侧且b到原点的距离大于a到原点的

距离(1)比较 a 和b的大小(2)比较 a -bba 的大小并用ldquoltrdquo连接起来例2 字母a表示有理数求a的绝对值可以分为以下几种情况当agt0时a =a当

a=0时a =0当alt0时a =-a试用上述方法解答以下问题

(1)如果xne0求xx

的值

(2)如果yne3求y-3y-3

的值

思路点拨 解决问题的关键在于真正理解绝对值的概念先确定绝对值符号里面的

数的正负性再根据绝对值的概念求出这个数的绝对值

解(1)因为xne0所以当xgt0时x =x那么 xx =1

当xlt0时x =-x那么 xx =-1

(2)因为yne3所以当ygt3时y-3 =y-3那么 y-3y-3 =1

当ylt3时y-3 =-(y-3)那么 y-3y-3 =-1

答(略)

点睛评注 例2中求a的绝对值的三种情形实际上就是绝对值法则的符号表示应

理解其意义当用字母表示有理数时-a 不一定是负数它表示有理数a 的相反数其结果是

11

初中数学思维拓展32讲(七年级)

什么数要由数a 来决定

类题演练

(1)如果agt3则 a-3 = 3-a = (2)如果 x-2 +x-2=0那么x 的取值范围是( )Axgt2 Bxlt2 Cxge2 Dxle2

例3 如果 a =3b =5那么 a+b - a-b 的绝对值等于

思路点拨 分别求出ab的值再分类讨论求值

解因为 a =3所以a=3或-3因为 b =5所以b=5或-5

(1)当a=3b=5时a+b - a-b = 3+5 - 3-5 =8-2=6(2)当a=3b=-5时a+b - a-b = 3-5 - 3-(-5)=2-8=-6(3)当a=-3b=5时a+b - a-b = -3+5 - -3-5 =2-8=-6(4)当a=-3b=-5时a+b - a-b = -3-5 - -3-(-5)=8-2=6综上所述a+b - a-b =6或-6答6或-6

点睛评注 由绝对值的几何意义知道此类题型一定要分类讨论才会不漏解

类题演练

(1)式子 aa +

bb +

abab

的所有可能的值有( )

A2个 B3个 C4个 D无数个

(2)已知y= x-b + x-20 + x-b-20 其中0ltblt20blexle20那么y的

最小值为

例4 使代数式 3x- x4x

的值为正整数的x 值是( )

A正数 B负数 C0 D不存在

思路点拨 对含有多重绝对值符号的代数式一般要分类讨论本题可分xlt0和

xgt0两种情况但若能结合题意灵活运用定义解题过程就更简洁明了

解当xlt0时原式=3x+x4x = -4x

4x =-1

当xgt0时原式=3x-x4x =

2x4x=

12

又当x=0时代数式没有意义故所求代数式的值是-1或12与代数式的值是正整数

矛盾所以选D答D

点睛评注 求解后不要忘记检查结果是否符合题意比如本题解得代数式的值是

21

第3讲 绝对值

-1或12但是题目要求代数式的值为正整数所以都舍去为无解就只能选择D为不存在

类题演练

如果2a+b=0则ab -1 +

ab -2 等于( )

A2 B3 C4 D5

同步反馈

A组 基础夯实

1(1)绝对值是34

的数有几个 各是什么

(2)绝对值是0的数有几个 各是什么(3)有没有绝对值是-2的数

2计算(1)|-15|-|-6| (2)|-024|+|-506| (3)|-3|times|-2|

(4)|+4|times|-5| (5)|-12|divide|+2| (6)|20|divide -12

3填空(1)当agt0时|2a|= (2)当agt1时|a-1|= (3)当alt1时|a-1|=

4(1)如果m=-1那么-(- m )= (2)若 a-b =b-a则ab的大小关系是

5绝对值大于2而小于6的所有正整数之和是( )A7 B9 C12 D14

B组 能力提升

6如果0ltplt15那么当plexle15时代数式 x-p + x-15 + x-p-15 的最小值

是( )A30 B0 C15 D一个与p 有关的代数式

7若 x =a则 x-a 等于( )A0或2a Bx-a Ca-x D零

8有理数ab 在数轴上的位置如图3 2所示则在a+bb-2ab - a a-b

a+2 - b-4 中负数共有( )

a b

0 112

图3 2

A1个 B2个 C3个 D4个

31

初中数学思维拓展32讲(七年级)

9已知abc都是负数且 x-a + y-b + z-c =0则xyz是( )A正数 B非负数 C负数 D非正数

10已知x=-π3则 x+1 - x+2 + x+3 - x+4 +hellip+ x+11 - x+12 +

x+13 等于( )

A5 B7 C5-π3 D5+

π3

11若 a =19b =97且 a+b nea+b那么a-b的值是( )A-78或116 B78或116 C-78或-116 D78或-116

12已知 a =5b =3且 a-b =b-a那么a+b= 13已知 a =1b =2c =3agtbgtc则 a+b-c( )2=

C组 创新提高

14不相等的有理数abc在数轴上的对应点分别为ABC如果|a-b|+|b-c|=|a-c|那么B 点应为( )A在AC 点的右边 B在AC 点的左边

C在AC 点之间 D以上三种情况都有可能

15当b为何值时5- 2b-1 有最大值最大值是多少

16设abc 是非零有理数求 aa +

bb +

cc +

abab +

acac +

bcbc +

abcabc

等 于

17已知a 是 最 小 的 正 整 数bc 是 有 理 数并 且 有|2+b|+(3a+2c)2=0求 式 子

4ab+c-a2+c2+4

的值

专题反思

总题数 错误原因 错题序号

正确题数 (1)知识点不清

错误题数 (2)能力不够

(3)方法错误

给自己的

一句话

41

0 4 有理数的大小比较

专题简析

1 重点讲解

有理数的大小比较是后面学习不等式的基础全面理解掌握有理数大小比较的方法应从

以下几方面入手(1)利用数轴比较有理数的大小在数轴上表示的两个数右边的数比左边的数大(2)利用法则表示有理数的大小正数大于0负数小于0正数大于一切负数当要比较大

小的两个数是ldquo一正一负rdquoldquo零和正数rdquoldquo零和负数rdquo时用该法则既简便又快捷(3)利用绝对值表示有理数的大小两个正数比较大小绝对值大的数大两个负数比较

大小绝对值大的数反而小

2 难点点拨

有理数的大小比较的方法主要是利用定义法则以及数轴利用数轴判断有理数的大小的

过程体现了数形结合的思想在比较有理数大小时要考虑全面以免遗漏分析有的题目中可

以运用归纳法有些有理数需先化简再比较大小对于两个以上的数比较大小应先将这些数

按正数负数和零分成三类然后分别比较大小最后将这些数按一定顺序排列正数的大小比

较我们在小学就已学过故关键是注意负数的大小比较要熟练掌握已学过的负数的大小比较

方法另外在比较时应注意分数与小数的互化举例比较下列各组数的大小用ldquoltrdquo号把下列各组有理数连接起来

-513- -

23

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide-

35-42

解应先把- -23

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide-

35-42化简再利用有理数的大小比较法则比较由于

- -23

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide=23-

35 =

35-42=-42

而 -513 =5

13-42=42且5

13gt42

35lt

23

则有-513lt-42lt -

35 lt- -

23

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

答(略)

典例剖析

例1 画一条数轴并把-4-(-35)2120-

32

各数在数轴上表示出来再用ldquoltrdquo

51

初中数学思维拓展32讲(七年级)

把它们连接起来

思路点拨 在数轴上把各个数表示出来再根据在数轴上表示的数右边的数总比左

边的数大比较它们的大小即可解上述各数在数轴上如图4 1所示

0 1 2 3 4 51

234

02

23

4

5

21

(35)

图4 1

用ldquoltrdquo把它们连接为-4lt0lt -32 lt2

12lt-

(-35)

答(略)

点睛评注 本题考查了利用数轴比较有理数的大小在数轴上表示的数右边的数总

比左边的数大

类题演练

画出数轴在数轴上表示下列各数并用ldquoltrdquo连接

05-150-2-5+3例2 已知mgt0nlt0且|m|lt|n|在数轴上表示出mn-m-n 所对应的点并把

这4个数用ldquoltrdquo连接起来

思路点拨 根据已知求出-mlt0-ngt0-mgtn-ngtm再在数轴上表示出来

根据数轴上右边的数总比左边的数大比较它们的大小即可解因为mgt0nlt0且|m|lt|n|

所以-mlt0-ngt0-mgtn-ngtm上述各数在数轴上如图4 2所示

0 m nn m

图4 2

所以nlt-mltmlt-n

点睛评注 本题考查了数轴绝对值有理数的大小比较等知识点关键是判断m

-mn-n 的大小

类题演练

有理数ab在数轴上如图4 3所示

0 ba

图4 3

(1)在数轴上表示-a-b(2)试把ab0-a-b这五个数按从小到大用

ldquoltrdquo连接

61

第4讲 有理数的大小比较

(3)用ldquogtrdquoldquo=rdquo或ldquoltrdquo填空|a| a|b| b

例3 试比较-19971998

-9798-19981999

-9899

这四个数的大小

思路点拨 观察这四个分数的分子与分母可发现这四个分数可以化为同分子的分

数然后根据ldquo同分子的正分数分母大的分数比较小rdquo来比较它们的大小即可

解因为-19971998=-

1998-11998 =-1+

11998

-9798=-

98-198 =-1+

198

-19981999=-

1999-11999 =-1+

11999

-9899=-

99-199 =-1+

199

因为198gt

199gt

11998gt

11999

(同分子的正分数中分母大的分数比较小)

所以-19981999lt-

19971998lt-

9899lt-

9798

答(略)

点睛评注 解答本题时是借助不等式的性质(不等式的两边同时加上同一个数不等

式的符号方向不变)来比较有理数的大小的

类题演练

设a=199619951995

b=199519961995

c=199619951996

d=199519961996

试比较abcd 的大小

例4 四个数wxyz满足x-2001=y+2002=z-2003=w+2004那么其中最小的

数是 最大的数是

思路点拨 根据已知等式先分别求x-yx-zy-w 的值然后再用这些值与0

比较大小即可求得zgtxgtygtw解由x-2001=y+2002=z-2003=w+2004得

x-y=2001+2002=4003gt0所以xgty ①x-z=2001-2003=-2lt0所以zgtx ②y-w=2004-2002=2gt0所以ygtw ③由①②③式得

zgtxgtygtw所以四个数wxyz中最小的数是w最大的数是z

答wz

点睛评注 本题主要考查了有理数大小的比较两个正数比较大小绝对值大的数

大两个负数比较大小绝对值大的数反而小

71

初中数学思维拓展32讲(七年级)

类题演练

已知d-altc-blt0d-b=c-a那么abcd 之间的关系 (用ldquoltrdquo连接)

同步反馈

A组 基础夯实

1在25-2503这四个数中最小的数是( )A25 B-25 C0 D3

2如图4 4(A)(B)(C)(D)所示数轴上的点分别表示有理数ab若agtb其中表示正确的

图形是( )

A B C D

a b

0123

b a

0 11

a b

0 11

a b

0 11

图4 4

3(1)-2 +6(2)0 -18

(3)-32 -4

(4) -7 +7(5)-[-(-3)] +[-(+3)]

4一个数比它的相反数小这个数是( )A正数 B负数 C非负数 D非正数

5大于-4的负整数有 个6我国几个城市某年一月份的平均气温见表4 1其中气温最低的城市是( )

表4 1

城市 北京 武汉 广州 哈尔滨

平均气温 -46 38 131 -194

A北京 B武汉 C广州 D哈尔滨

B组 能力提升

7若ylt0则xx-yx+y 中最大的是( )Ax Bx-y Cx+y D不确定

8下面有4个正整数的集合(1)1~101中3的倍数(2)1~101中4的倍数(3)1~101中5的倍数(4)1~101中6的倍数其中平均数最大的集合是( )A(1) B(2) C(3) D(4)

81

第4讲 有理数的大小比较

9已知m 是正整数则m-m1m

的大小关系是( )

A-mlt1mltm B-mltmlt

1m C-mlt

1mlem D-mltmle

1m

10若agtbalt0则-(a+b)gt-bgt-agt-a+b是否正确

11比-312

大而比216

小的所有整数的和为

12已知有理数ab在数轴上的对应点的位置如图4 5所示0表示原点

0 11 ba

图4 5

①请在数轴上表示出数-a-b对应的点的位置

②请按从小到大的顺序排列a-a-bb-10的大小

C组 创新提高

13设A=1999111+11999222+1

B=1999222+11999333+1

则A 与B 的大小关系是

14比较-20112010

和-20122011

的大小

15仔细阅读下列材料

2009times20082008-2008times20092009= 分析可知很明显这个题直接计算比较烦琐可尝试用x 代替2009y 代替2008解令2009=x2008=y则原式=x(ytimes104+y)-y(xtimes104+x)=xytimes104+xy-xytimes104-xy=0我们常常ldquo用字母来表示数rdquo而上述材料根据问题特点将较大数字采用恰当的字母来表

示则更能使运算简捷明快(1)在上述问题解决过程中运用了 思维的方法体现了 的数学思想(2)参照上述材料中的方法解答下面两题

①计算 401820102-2009times2011

②若M=67890123457890123456

N=67890123447890123455

比较MN 的大小

专题反思

总题数 错误原因 错题序号

正确题数 (1)知识点不清

错误题数 (2)能力不够(3)方法错误

给自己的

一句话

91

0 5 有理数的加减

专题简析

1 重点讲解

(1)有理数的加法法则

①同号两数相加取与加数相同的符号并把绝对值相加

②异号两数相加取绝对值较大的加数的符号并用较大数的绝对值减去较小数的绝对值

③互为相反数的两个数相加得零

④一个数同零相加仍得这个数注意利用法则进行加法运算的步骤①判断两个加数的符号是同号异号还是有一个加

数为零以此来选择用哪条法则②确定和的符号(是ldquo+rdquo还是ldquo-rdquo)③求各加数的绝对值并确定和的绝对值(加数的绝对值是相加还是相减)

(2)有理数的加法运算律见表5 1

表5 1

有 理 数 加

法运算律

加法交换律

加法结

合律

文字语言 两个数相加交换加数的位置和不变

符号语言 a+b=b+a

文字语言三个数相加先把前两个数相加或者先把后两个数相加和不变

符号语言 (a+b)+c=a+(b+c)

注意交换加数的位置时不要忘记符号(3)有理数的减法法则减去一个数等于加上这个数的相反数即有a-b=a+(-b)注意将减法转化为加法时注意同时进行的两变一变是减法变加法二变是把减数变为

它的相反数如

6(2)=6+(+2) (2)3=(2)+(3)

(4)有理数加减混合运算①先利用减法法则将减法转化为加法②再运用加法交换律

和结合律使计算简便

2 难点点拨

掌握有理数的加减运算就是要求学生既算得快又准确显然做加法相对于做减法而言不容易出错所以加减混合运算时注意以下几点首先先去括号把式子整理成省略加号的和

02

第5讲 有理数的加减

的形式然后将这一形式看作是几个数相加运用加法法则来计算即可举例计算8-(-3)+(-1)-2-(-7)解原式=8+3-1-2+7=15(看作8+3+(-1)+(-2)+7即求83-1和-2相加

的和)答15

典例剖析

例1 计算(-55)+ +1115

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide+(+7)eacute

eumlecircecirc

ugrave

ucircuacuteuacute+ (-7)+ +

415

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide+(+25)eacute

eumlecircecirc

ugrave

ucircuacuteuacute

思路点拨 利用有理数加法的交换律和结合律计算

解原式=(-55)+ +1115

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide+(+7)+(-7)+ +

415

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide+(+25)

= +1115

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide+ +

415

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

eacute

eumlecircecirc

ugrave

ucircuacuteuacute+ (-55)+(+25)[ ]+ (-7)+(+7)[ ]=1+(-3)=-2

答-2

点睛评注 在运用有理数加法运算律时一定要根据需要灵活运用以达到简化的目

的通常有下列规律

①互为相反数的两个数先相加mdashmdashmdashldquo相反数结合法rdquo

②符号相同的两个数先相加mdashmdashmdashldquo同号结合法rdquo

③分母相同的数先相加mdashmdashmdashldquo同分母结合法rdquo

④整数与整数小数与小数分数与分数先相加mdashmdashmdashldquo同形结合法rdquo

类题演练

323+

(-263)+ -235

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide+(+363)+ -

23

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

例2 计算-3213

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide- +5

14

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide-3

17+ -5

14

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide- +2

67

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

eacute

eumlecircecirc

ugrave

ucircuacuteuacute

思路点拨 先观察式子可发现中括号里的数先运算较简便

解原式= -3213

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide- 5

14-3

17-5

14-2

67

eacute

eumlecircecirc

ugrave

ucircuacuteuacute=-32

13+6=-26

13

答-2613

点睛评注 在解决此类问题时一般要先去括号简化成省略加号和的形式再视情

况运用交换律和结合律简化运算另外在去括号时要时刻注意是否需要变号

12

• 第一讲
• 第二讲
• 第三讲
• 第四讲
• 第五讲
• 第六讲
• 第七讲
• 第八讲
• 第九讲
• 第十讲
• 第十一讲
• 第十二讲
• 第十三讲
• 第十四讲
• 第十五讲
• 第十六讲
• 第十七讲
• 第十八讲
• 第十九讲
• 第二十讲
• 第二十一讲
• 第二十二讲
• 第二十三讲13
• 第二十四讲
• 第二十五讲
• 第二十六讲
• 第二十七讲
• 第二十八讲
• 第二十九讲
• 第三十讲
• 第三十一讲
• 第三十二讲
• 参考答案13

0 2 数轴

专题简析

1 重点讲解

(1)数轴的概念规定了原点正方向和单位长度的直线叫作数轴它包含三层含义一是

数轴是一条直线可以向两端无限延伸二是数轴有三要素原点正方向单位长度三者缺一

不可三是原点它是具有特殊意义的点相当于温度计的零刻度线(2)运用数轴表示有理数任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示(3)运用数轴可以形象地解释相反数如果两个数只有符号不同那么称其中一个数为

另一个数的相反数而在数轴上表示互为相反数的两个点位于原点的两侧且到原点的距

离相等(4)运用数轴可以直观地理解绝对值的意义(在下一讲中讲述)(5)运用数轴比较有理数的大小数轴上表示的两个数右边的数总比左边的数大

2 难点点拨

任意一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示但要注意的是数轴上的点对应着一个

数但这个数不一定是有理数正确比较有理数的大小可借助数轴在理解比较有理数大小法

则的基础上进行正确表述

典例剖析

例1 一个点在数轴上表示的数是-5现将这个点向左移动3个单位再向右移动6个

单位请回答下列问题(1)这时它表示的数是 (2)如果将以上先左移3再右移6看作一次移动那么移动10次后的点表示的数是

(3)在(2)的情况下移动n 次后的点表示的数是 (n 为正整数)

思路点拨 借助数轴的直观性可以将变化内容具体化并通过对特殊情况的分析归

纳出变化的规律答(1)-2(2)25(3)3n-5

点睛评注 先左移3再右移6看作一次变化变化结果是增加310次就增加30n

次就增加3n

5

初中数学思维拓展32讲(七年级)

类题演练

从数轴上一个点先向左移动3个单位长度再向右移动2个单位长度终点表示的数为

0则起点表示的数是 例2 数abcd 所对应的点ABCD 在数轴上的位置如图2 1所示那么a+c与

b+d的大小关系是( )

OD C BA

图2 1

Aa+cltb+d Ba+c=b+d Ca+cgtb+d D不确定

思路点拨 运用数轴上点的几何意义可以发现ad 是负的bc是正的点A 比点

D 到原点的距离远点B 比点C 到原点的距离远而a+c 和b+d 的结果都为负所以b+d 大

答A

点睛评注 数轴上在原点左侧的点表示负数在原点右边的数表示正数数轴上右边

的数总比左边的数大

类题演练

数轴上有AB 两个点点A 到原点3个单位长度点B 到原点5个单位长度则AB 间

距离最大为 个单位长度最小为 个单位长度

例3 abc在数轴上的位置如图2 2所示则 1a-b

1c-b

1a-c

中最大的是

ca b 0

图2 2

思路点拨 先判断a-ba-c 为负c-b 为正则 1a-b

1c-b

1a-c

中只有1

c-b为

正其余为负故 1c-b

为最大

答1c-b

点睛评注 数轴上的点表示的数右边的数总比左边的数大

类题演练

abc在数轴上的位置如图2 3所示则 1a+b

1b+c

1a+c

中最大的是

ca b 0

图2 3

6

第2讲 数轴

例4 (1)工作流水线上依次排列5个工作台ABCDE一只工具箱应该放在何处才能使工作台上操作机器的人取工具所走的路程最短

(2)如果工作台由5个改为6个那么工具箱应如何放置能使6个操作机器的人取工具

所走的路程之和最短(3)当流水线上有n 个工作台时怎样放置工具箱最合适

思路点拨 把流水线看作数轴工作台工具箱看作数轴上的点这样就找到了解决

本例的模型mdashmdashmdash数轴答(1)工具箱放在C 台上(2)工具箱放在CD 两台之间(含CD 两点)任一处(3)分n 为奇数偶数两种情况讨论当n 为奇数时工具箱放在最中间的工作台上

当n 为偶数时工具箱放在最中间的两个工作台之间(包括这两个工作台)

点睛评注 借助数轴的直观性从具体个数的工作台情况归纳出一般情况体现了从

特殊到一般的思想方法

类题演练

如图2 4所示工作流水线上ABCD 处各有1名工人且AB=BC=CD=1现在

工作流水线上安放一个工具箱使4个人到工具箱的距离之和为最短则工具箱的安放位置是

DCBA

图2 4

同步反馈

A组 基础夯实

1判断正误(1)任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示( )(2)在数轴上离原点越远的点表示的数就越大( )(3)最大的负数是-1( )

2在数轴上原点的左边且与原点的距离为212

个单位长度的点所表示的数是

3在数轴上表示出数3-425-112

及它们的相反数

4在数轴上点A 表示有理数+3到A 点的距离为5个单位长度的点表示的有理数是 5若一个数的相反数是最小自然数则这个数是 6下列说法中错误的是( )A互为相反数的两个数的符号一正一负

B任何一个有理数都有相反数

7

初中数学思维拓展32讲(七年级)

C一个数的前面添上ldquo-rdquo号就成为原数的相反数

D0的相反数是它本身

B组 能力提升

7如图2 5所示在数轴上表示数a 的点到原点的距离为12则a-3=

ca 0 1b

图2 5

8数abcd 所对应的点ABCD 在数轴上的位置如图2 6所示那么a+c与b+d 的

大小关系是( )

0D C BA

图2 6

Aa+cltb+d Ba+c=b+d Ca+cgtb+d D不确定

9已知数轴上有AB 两点AB 之间的距离为1点A 与原点的距离为3求所有满足条件的

点B 与原点的距离之和10数轴上有AB 两点如果点A 对应的数是-2且AB 两点的距离为3那么点B 对应的

数是

11在数轴上点AB 分别表示-13

和15则线段AB 的中点所表示的数是

12点AB 分别是数-3-12

在数轴上对应的点使线段AB 沿数轴向右移动到AB且线

段AB的中点对应的数是3则点A对应的数是 点A 移动的距离是 13如图2 7所示图中数轴的单位长度为1如果已知点A 和点C表示的数互为相反数那么

点B 表示的数是

CBA图2 7

14电子跳蚤落在数轴上的某点K0第一步从K0向左跳1个单位到K1第二步由K1向右跳2个单位到K2第三步由K2向左跳3个单位到K3第四步由K3向右跳4个单位到K4hellip按以上规律跳了100步时电子跳蚤落在数轴上的点K100所表示的数恰好是1994试求电

子跳蚤的初始位置K0 点所表示的数

C组 创新提高

15比较a 与1a

的大小

16(1)阅读下面的材料并回答问题点AB 在数轴上分别表示实数ab而AB 两点之间的距离表示为 AB 当AB 两点中有一点在原点时不妨设点 A 在原点如图2 8mdash1所示AB =BA = b = a-b

8

第2讲 数轴

当AB 两点都不在原点时如图2 8mdash2所示点AB 都在原点的右边AB =OB - OA = b - a =b-a= a-b 当点AB 都在原点的左边如图2 8mdash3所示 AB = OB - OA = b - a =-b-(-a)= a-b 当点AB 在原点的两边如图2 8mdash4所示AB = OA + OB = a + b =a+(-b)= a-b

b

B

0

O(A)

b

B

a

A

0

O

b

B

a

A

0

O

b

B

a

A

0

O

图2 8mdash1 图2 8mdash2 图2 8mdash3 图2 8mdash4

综上数轴上AB 两点之间的距离 AB = a-b 请回答

① 数轴上表示2和5的两点之间的距离是 数轴上表示-2和-5的两点之间的距

离是 数轴上表示1和-3的两点之间的距离是

② 数轴上表示x 和 -1的两点 A 和B 之间的距离是 如果 AB =2那么x为

③ 当代数式 x+1 + x-2 取最小值时相应的x 的取值范围是 (2)试求 x-1 + x-2 + x-3 +hellip+ x-1997 的最小值

17如图2 9所示在数轴上(未标出原点及单位长度)点A 为线段BC的中点已知点ABC对应的三个数abc之积是负数这三个数之和与其中一数相等设p 为abc三数中两

数的比值求p 的最大值和最小值

B CA

图2 9

18某城镇沿环形路上依次排列有五所小学ABCDE它们依次有电脑15台7台11台3台14台为使各校的电脑数相同允许一些小学向相邻小学调出电脑怎样调配才能

使调出的电脑总台数最少 并求出电脑的最少总台数

专题反思

总题数 错误原因 错题序号

正确题数 (1)知识点不清

错误题数 (2)能力不够

(3)方法错误

给自己的

一句话

9

0 3 绝对值

专题简析

1 重点讲解

绝对值是初中代数中的一个基本概念是学习相反数有理数运算及后续算术根的基础绝对值又是初中代数中的一个重要概念在解代数式化简求值解方程(组)解不等式(组)等

问题中有着广泛的应用全面理解掌握绝对值这一概念应从以下几方面入手(1)绝对值的定义正数的绝对值是它本身负数的绝对值是它的相反数零的绝对值是

零即

a =a (agt0)

0 (a=0)

-a (alt0)

igrave

icirc

iacute

iumliuml

iumliuml

(2)绝对值的几何意义从数轴上看a 表示数a 的点到原点的距离(长度非负)

a-b 表示ab所代表的数轴上的两点间的距离而 x-a 表示数轴上表示数x 的点到表

示a 的点之间的距离(3)绝对值有如下基本性质

a ge0a 2= a2 =a2

ab = a middot bab =

ab(bne0)

a+b le a + ba-b ge a - b

2 难点点拨

在理解和运用绝对值的几何意义的过程中需要结合数轴这体现了数形结合的思想数与

形是数学中的两个最古老也是最基本的研究对象它们在一定条件下可以相互转化中学数

学研究的对象可分为数和形两大部分数与形是有联系的这个联系称为数形结合或形数结

合作为一种数学思想方法数形结合的应用大致可分为两种情形第一种情形是借助于数的

精确性来阐明形的某些属性第二种情形是借助形的几何直观性来阐明数之间的某种关系也就是说数形结合包括两个方面第一种情形是ldquo以数解形rdquo第二种情形是ldquo以形助数rdquo

举例已知a 是有理数a-2007 + a-2008 的最小值是 解由绝对值的几何意义知a-2007 + a-2008 表示数轴上的一点到表示数2007

和2008两点的距离的和要使和最小则这点必在2007~2008(包括这两个端点)取值(如图

01

第3讲 绝对值

3 1所示)故 a-2007 + a-2008 的最小值为1

0 2007 2008

图3 1

答1

典例剖析

例1 已知ab都是有理数且agt0blt0alt b 用ldquoltrdquo连接下列各数ab-a-b

思路点拨 由已知agt0blt0可知a是正数b是负数所以-a-b分别是负数和

正数又由alt b 可知alt-b-agtb答blt-altalt-b

点睛评注 此题也可以借助数轴把数表示在数轴上再比较它们的大小

类题演练

已知ab都是有理数分别在数轴上原点的左右两侧且b到原点的距离大于a到原点的

距离(1)比较 a 和b的大小(2)比较 a -bba 的大小并用ldquoltrdquo连接起来例2 字母a表示有理数求a的绝对值可以分为以下几种情况当agt0时a =a当

a=0时a =0当alt0时a =-a试用上述方法解答以下问题

(1)如果xne0求xx

的值

(2)如果yne3求y-3y-3

的值

思路点拨 解决问题的关键在于真正理解绝对值的概念先确定绝对值符号里面的

数的正负性再根据绝对值的概念求出这个数的绝对值

解(1)因为xne0所以当xgt0时x =x那么 xx =1

当xlt0时x =-x那么 xx =-1

(2)因为yne3所以当ygt3时y-3 =y-3那么 y-3y-3 =1

当ylt3时y-3 =-(y-3)那么 y-3y-3 =-1

答(略)

点睛评注 例2中求a的绝对值的三种情形实际上就是绝对值法则的符号表示应

理解其意义当用字母表示有理数时-a 不一定是负数它表示有理数a 的相反数其结果是

11

初中数学思维拓展32讲(七年级)

什么数要由数a 来决定

类题演练

(1)如果agt3则 a-3 = 3-a = (2)如果 x-2 +x-2=0那么x 的取值范围是( )Axgt2 Bxlt2 Cxge2 Dxle2

例3 如果 a =3b =5那么 a+b - a-b 的绝对值等于

思路点拨 分别求出ab的值再分类讨论求值

解因为 a =3所以a=3或-3因为 b =5所以b=5或-5

(1)当a=3b=5时a+b - a-b = 3+5 - 3-5 =8-2=6(2)当a=3b=-5时a+b - a-b = 3-5 - 3-(-5)=2-8=-6(3)当a=-3b=5时a+b - a-b = -3+5 - -3-5 =2-8=-6(4)当a=-3b=-5时a+b - a-b = -3-5 - -3-(-5)=8-2=6综上所述a+b - a-b =6或-6答6或-6

点睛评注 由绝对值的几何意义知道此类题型一定要分类讨论才会不漏解

类题演练

(1)式子 aa +

bb +

abab

的所有可能的值有( )

A2个 B3个 C4个 D无数个

(2)已知y= x-b + x-20 + x-b-20 其中0ltblt20blexle20那么y的

最小值为

例4 使代数式 3x- x4x

的值为正整数的x 值是( )

A正数 B负数 C0 D不存在

思路点拨 对含有多重绝对值符号的代数式一般要分类讨论本题可分xlt0和

xgt0两种情况但若能结合题意灵活运用定义解题过程就更简洁明了

解当xlt0时原式=3x+x4x = -4x

4x =-1

当xgt0时原式=3x-x4x =

2x4x=

12

又当x=0时代数式没有意义故所求代数式的值是-1或12与代数式的值是正整数

矛盾所以选D答D

点睛评注 求解后不要忘记检查结果是否符合题意比如本题解得代数式的值是

21

第3讲 绝对值

-1或12但是题目要求代数式的值为正整数所以都舍去为无解就只能选择D为不存在

类题演练

如果2a+b=0则ab -1 +

ab -2 等于( )

A2 B3 C4 D5

同步反馈

A组 基础夯实

1(1)绝对值是34

的数有几个 各是什么

(2)绝对值是0的数有几个 各是什么(3)有没有绝对值是-2的数

2计算(1)|-15|-|-6| (2)|-024|+|-506| (3)|-3|times|-2|

(4)|+4|times|-5| (5)|-12|divide|+2| (6)|20|divide -12

3填空(1)当agt0时|2a|= (2)当agt1时|a-1|= (3)当alt1时|a-1|=

4(1)如果m=-1那么-(- m )= (2)若 a-b =b-a则ab的大小关系是

5绝对值大于2而小于6的所有正整数之和是( )A7 B9 C12 D14

B组 能力提升

6如果0ltplt15那么当plexle15时代数式 x-p + x-15 + x-p-15 的最小值

是( )A30 B0 C15 D一个与p 有关的代数式

7若 x =a则 x-a 等于( )A0或2a Bx-a Ca-x D零

8有理数ab 在数轴上的位置如图3 2所示则在a+bb-2ab - a a-b

a+2 - b-4 中负数共有( )

a b

0 112

图3 2

A1个 B2个 C3个 D4个

31

初中数学思维拓展32讲(七年级)

9已知abc都是负数且 x-a + y-b + z-c =0则xyz是( )A正数 B非负数 C负数 D非正数

10已知x=-π3则 x+1 - x+2 + x+3 - x+4 +hellip+ x+11 - x+12 +

x+13 等于( )

A5 B7 C5-π3 D5+

π3

11若 a =19b =97且 a+b nea+b那么a-b的值是( )A-78或116 B78或116 C-78或-116 D78或-116

12已知 a =5b =3且 a-b =b-a那么a+b= 13已知 a =1b =2c =3agtbgtc则 a+b-c( )2=

C组 创新提高

14不相等的有理数abc在数轴上的对应点分别为ABC如果|a-b|+|b-c|=|a-c|那么B 点应为( )A在AC 点的右边 B在AC 点的左边

C在AC 点之间 D以上三种情况都有可能

15当b为何值时5- 2b-1 有最大值最大值是多少

16设abc 是非零有理数求 aa +

bb +

cc +

abab +

acac +

bcbc +

abcabc

等 于

17已知a 是 最 小 的 正 整 数bc 是 有 理 数并 且 有|2+b|+(3a+2c)2=0求 式 子

4ab+c-a2+c2+4

的值

专题反思

总题数 错误原因 错题序号

正确题数 (1)知识点不清

错误题数 (2)能力不够

(3)方法错误

给自己的

一句话

41

0 4 有理数的大小比较

专题简析

1 重点讲解

有理数的大小比较是后面学习不等式的基础全面理解掌握有理数大小比较的方法应从

以下几方面入手(1)利用数轴比较有理数的大小在数轴上表示的两个数右边的数比左边的数大(2)利用法则表示有理数的大小正数大于0负数小于0正数大于一切负数当要比较大

小的两个数是ldquo一正一负rdquoldquo零和正数rdquoldquo零和负数rdquo时用该法则既简便又快捷(3)利用绝对值表示有理数的大小两个正数比较大小绝对值大的数大两个负数比较

大小绝对值大的数反而小

2 难点点拨

有理数的大小比较的方法主要是利用定义法则以及数轴利用数轴判断有理数的大小的

过程体现了数形结合的思想在比较有理数大小时要考虑全面以免遗漏分析有的题目中可

以运用归纳法有些有理数需先化简再比较大小对于两个以上的数比较大小应先将这些数

按正数负数和零分成三类然后分别比较大小最后将这些数按一定顺序排列正数的大小比

较我们在小学就已学过故关键是注意负数的大小比较要熟练掌握已学过的负数的大小比较

方法另外在比较时应注意分数与小数的互化举例比较下列各组数的大小用ldquoltrdquo号把下列各组有理数连接起来

-513- -

23

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide-

35-42

解应先把- -23

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide-

35-42化简再利用有理数的大小比较法则比较由于

- -23

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide=23-

35 =

35-42=-42

而 -513 =5

13-42=42且5

13gt42

35lt

23

则有-513lt-42lt -

35 lt- -

23

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

答(略)

典例剖析

例1 画一条数轴并把-4-(-35)2120-

32

各数在数轴上表示出来再用ldquoltrdquo

51

初中数学思维拓展32讲(七年级)

把它们连接起来

思路点拨 在数轴上把各个数表示出来再根据在数轴上表示的数右边的数总比左

边的数大比较它们的大小即可解上述各数在数轴上如图4 1所示

0 1 2 3 4 51

234

02

23

4

5

21

(35)

图4 1

用ldquoltrdquo把它们连接为-4lt0lt -32 lt2

12lt-

(-35)

答(略)

点睛评注 本题考查了利用数轴比较有理数的大小在数轴上表示的数右边的数总

比左边的数大

类题演练

画出数轴在数轴上表示下列各数并用ldquoltrdquo连接

05-150-2-5+3例2 已知mgt0nlt0且|m|lt|n|在数轴上表示出mn-m-n 所对应的点并把

这4个数用ldquoltrdquo连接起来

思路点拨 根据已知求出-mlt0-ngt0-mgtn-ngtm再在数轴上表示出来

根据数轴上右边的数总比左边的数大比较它们的大小即可解因为mgt0nlt0且|m|lt|n|

所以-mlt0-ngt0-mgtn-ngtm上述各数在数轴上如图4 2所示

0 m nn m

图4 2

所以nlt-mltmlt-n

点睛评注 本题考查了数轴绝对值有理数的大小比较等知识点关键是判断m

-mn-n 的大小

类题演练

有理数ab在数轴上如图4 3所示

0 ba

图4 3

(1)在数轴上表示-a-b(2)试把ab0-a-b这五个数按从小到大用

ldquoltrdquo连接

61

第4讲 有理数的大小比较

(3)用ldquogtrdquoldquo=rdquo或ldquoltrdquo填空|a| a|b| b

例3 试比较-19971998

-9798-19981999

-9899

这四个数的大小

思路点拨 观察这四个分数的分子与分母可发现这四个分数可以化为同分子的分

数然后根据ldquo同分子的正分数分母大的分数比较小rdquo来比较它们的大小即可

解因为-19971998=-

1998-11998 =-1+

11998

-9798=-

98-198 =-1+

198

-19981999=-

1999-11999 =-1+

11999

-9899=-

99-199 =-1+

199

因为198gt

199gt

11998gt

11999

(同分子的正分数中分母大的分数比较小)

所以-19981999lt-

19971998lt-

9899lt-

9798

答(略)

点睛评注 解答本题时是借助不等式的性质(不等式的两边同时加上同一个数不等

式的符号方向不变)来比较有理数的大小的

类题演练

设a=199619951995

b=199519961995

c=199619951996

d=199519961996

试比较abcd 的大小

例4 四个数wxyz满足x-2001=y+2002=z-2003=w+2004那么其中最小的

数是 最大的数是

思路点拨 根据已知等式先分别求x-yx-zy-w 的值然后再用这些值与0

比较大小即可求得zgtxgtygtw解由x-2001=y+2002=z-2003=w+2004得

x-y=2001+2002=4003gt0所以xgty ①x-z=2001-2003=-2lt0所以zgtx ②y-w=2004-2002=2gt0所以ygtw ③由①②③式得

zgtxgtygtw所以四个数wxyz中最小的数是w最大的数是z

答wz

点睛评注 本题主要考查了有理数大小的比较两个正数比较大小绝对值大的数

大两个负数比较大小绝对值大的数反而小

71

初中数学思维拓展32讲(七年级)

类题演练

已知d-altc-blt0d-b=c-a那么abcd 之间的关系 (用ldquoltrdquo连接)

同步反馈

A组 基础夯实

1在25-2503这四个数中最小的数是( )A25 B-25 C0 D3

2如图4 4(A)(B)(C)(D)所示数轴上的点分别表示有理数ab若agtb其中表示正确的

图形是( )

A B C D

a b

0123

b a

0 11

a b

0 11

a b

0 11

图4 4

3(1)-2 +6(2)0 -18

(3)-32 -4

(4) -7 +7(5)-[-(-3)] +[-(+3)]

4一个数比它的相反数小这个数是( )A正数 B负数 C非负数 D非正数

5大于-4的负整数有 个6我国几个城市某年一月份的平均气温见表4 1其中气温最低的城市是( )

表4 1

城市 北京 武汉 广州 哈尔滨

平均气温 -46 38 131 -194

A北京 B武汉 C广州 D哈尔滨

B组 能力提升

7若ylt0则xx-yx+y 中最大的是( )Ax Bx-y Cx+y D不确定

8下面有4个正整数的集合(1)1~101中3的倍数(2)1~101中4的倍数(3)1~101中5的倍数(4)1~101中6的倍数其中平均数最大的集合是( )A(1) B(2) C(3) D(4)

81

第4讲 有理数的大小比较

9已知m 是正整数则m-m1m

的大小关系是( )

A-mlt1mltm B-mltmlt

1m C-mlt

1mlem D-mltmle

1m

10若agtbalt0则-(a+b)gt-bgt-agt-a+b是否正确

11比-312

大而比216

小的所有整数的和为

12已知有理数ab在数轴上的对应点的位置如图4 5所示0表示原点

0 11 ba

图4 5

①请在数轴上表示出数-a-b对应的点的位置

②请按从小到大的顺序排列a-a-bb-10的大小

C组 创新提高

13设A=1999111+11999222+1

B=1999222+11999333+1

则A 与B 的大小关系是

14比较-20112010

和-20122011

的大小

15仔细阅读下列材料

2009times20082008-2008times20092009= 分析可知很明显这个题直接计算比较烦琐可尝试用x 代替2009y 代替2008解令2009=x2008=y则原式=x(ytimes104+y)-y(xtimes104+x)=xytimes104+xy-xytimes104-xy=0我们常常ldquo用字母来表示数rdquo而上述材料根据问题特点将较大数字采用恰当的字母来表

示则更能使运算简捷明快(1)在上述问题解决过程中运用了 思维的方法体现了 的数学思想(2)参照上述材料中的方法解答下面两题

①计算 401820102-2009times2011

②若M=67890123457890123456

N=67890123447890123455

比较MN 的大小

专题反思

总题数 错误原因 错题序号

正确题数 (1)知识点不清

错误题数 (2)能力不够(3)方法错误

给自己的

一句话

91

0 5 有理数的加减

专题简析

1 重点讲解

(1)有理数的加法法则

①同号两数相加取与加数相同的符号并把绝对值相加

②异号两数相加取绝对值较大的加数的符号并用较大数的绝对值减去较小数的绝对值

③互为相反数的两个数相加得零

④一个数同零相加仍得这个数注意利用法则进行加法运算的步骤①判断两个加数的符号是同号异号还是有一个加

数为零以此来选择用哪条法则②确定和的符号(是ldquo+rdquo还是ldquo-rdquo)③求各加数的绝对值并确定和的绝对值(加数的绝对值是相加还是相减)

(2)有理数的加法运算律见表5 1

表5 1

有 理 数 加

法运算律

加法交换律

加法结

合律

文字语言 两个数相加交换加数的位置和不变

符号语言 a+b=b+a

文字语言三个数相加先把前两个数相加或者先把后两个数相加和不变

符号语言 (a+b)+c=a+(b+c)

注意交换加数的位置时不要忘记符号(3)有理数的减法法则减去一个数等于加上这个数的相反数即有a-b=a+(-b)注意将减法转化为加法时注意同时进行的两变一变是减法变加法二变是把减数变为

它的相反数如

6(2)=6+(+2) (2)3=(2)+(3)

(4)有理数加减混合运算①先利用减法法则将减法转化为加法②再运用加法交换律

和结合律使计算简便

2 难点点拨

掌握有理数的加减运算就是要求学生既算得快又准确显然做加法相对于做减法而言不容易出错所以加减混合运算时注意以下几点首先先去括号把式子整理成省略加号的和

02

第5讲 有理数的加减

的形式然后将这一形式看作是几个数相加运用加法法则来计算即可举例计算8-(-3)+(-1)-2-(-7)解原式=8+3-1-2+7=15(看作8+3+(-1)+(-2)+7即求83-1和-2相加

的和)答15

典例剖析

例1 计算(-55)+ +1115

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide+(+7)eacute

eumlecircecirc

ugrave

ucircuacuteuacute+ (-7)+ +

415

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide+(+25)eacute

eumlecircecirc

ugrave

ucircuacuteuacute

思路点拨 利用有理数加法的交换律和结合律计算

解原式=(-55)+ +1115

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide+(+7)+(-7)+ +

415

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide+(+25)

= +1115

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide+ +

415

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

eacute

eumlecircecirc

ugrave

ucircuacuteuacute+ (-55)+(+25)[ ]+ (-7)+(+7)[ ]=1+(-3)=-2

答-2

点睛评注 在运用有理数加法运算律时一定要根据需要灵活运用以达到简化的目

的通常有下列规律

①互为相反数的两个数先相加mdashmdashmdashldquo相反数结合法rdquo

②符号相同的两个数先相加mdashmdashmdashldquo同号结合法rdquo

③分母相同的数先相加mdashmdashmdashldquo同分母结合法rdquo

④整数与整数小数与小数分数与分数先相加mdashmdashmdashldquo同形结合法rdquo

类题演练

323+

(-263)+ -235

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide+(+363)+ -

23

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

例2 计算-3213

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide- +5

14

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide-3

17+ -5

14

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide- +2

67

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

eacute

eumlecircecirc

ugrave

ucircuacuteuacute

思路点拨 先观察式子可发现中括号里的数先运算较简便

解原式= -3213

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide- 5

14-3

17-5

14-2

67

eacute

eumlecircecirc

ugrave

ucircuacuteuacute=-32

13+6=-26

13

答-2613

点睛评注 在解决此类问题时一般要先去括号简化成省略加号和的形式再视情

况运用交换律和结合律简化运算另外在去括号时要时刻注意是否需要变号

12

• 第一讲
• 第二讲
• 第三讲
• 第四讲
• 第五讲
• 第六讲
• 第七讲
• 第八讲
• 第九讲
• 第十讲
• 第十一讲
• 第十二讲
• 第十三讲
• 第十四讲
• 第十五讲
• 第十六讲
• 第十七讲
• 第十八讲
• 第十九讲
• 第二十讲
• 第二十一讲
• 第二十二讲
• 第二十三讲13
• 第二十四讲
• 第二十五讲
• 第二十六讲
• 第二十七讲
• 第二十八讲
• 第二十九讲
• 第三十讲
• 第三十一讲
• 第三十二讲
• 参考答案13

初中数学思维拓展32讲(七年级)

类题演练

从数轴上一个点先向左移动3个单位长度再向右移动2个单位长度终点表示的数为

0则起点表示的数是 例2 数abcd 所对应的点ABCD 在数轴上的位置如图2 1所示那么a+c与

b+d的大小关系是( )

OD C BA

图2 1

Aa+cltb+d Ba+c=b+d Ca+cgtb+d D不确定

思路点拨 运用数轴上点的几何意义可以发现ad 是负的bc是正的点A 比点

D 到原点的距离远点B 比点C 到原点的距离远而a+c 和b+d 的结果都为负所以b+d 大

答A

点睛评注 数轴上在原点左侧的点表示负数在原点右边的数表示正数数轴上右边

的数总比左边的数大

类题演练

数轴上有AB 两个点点A 到原点3个单位长度点B 到原点5个单位长度则AB 间

距离最大为 个单位长度最小为 个单位长度

例3 abc在数轴上的位置如图2 2所示则 1a-b

1c-b

1a-c

中最大的是

ca b 0

图2 2

思路点拨 先判断a-ba-c 为负c-b 为正则 1a-b

1c-b

1a-c

中只有1

c-b为

正其余为负故 1c-b

为最大

答1c-b

点睛评注 数轴上的点表示的数右边的数总比左边的数大

类题演练

abc在数轴上的位置如图2 3所示则 1a+b

1b+c

1a+c

中最大的是

ca b 0

图2 3

6

第2讲 数轴

例4 (1)工作流水线上依次排列5个工作台ABCDE一只工具箱应该放在何处才能使工作台上操作机器的人取工具所走的路程最短

(2)如果工作台由5个改为6个那么工具箱应如何放置能使6个操作机器的人取工具

所走的路程之和最短(3)当流水线上有n 个工作台时怎样放置工具箱最合适

思路点拨 把流水线看作数轴工作台工具箱看作数轴上的点这样就找到了解决

本例的模型mdashmdashmdash数轴答(1)工具箱放在C 台上(2)工具箱放在CD 两台之间(含CD 两点)任一处(3)分n 为奇数偶数两种情况讨论当n 为奇数时工具箱放在最中间的工作台上

当n 为偶数时工具箱放在最中间的两个工作台之间(包括这两个工作台)

点睛评注 借助数轴的直观性从具体个数的工作台情况归纳出一般情况体现了从

特殊到一般的思想方法

类题演练

如图2 4所示工作流水线上ABCD 处各有1名工人且AB=BC=CD=1现在

工作流水线上安放一个工具箱使4个人到工具箱的距离之和为最短则工具箱的安放位置是

DCBA

图2 4

同步反馈

A组 基础夯实

1判断正误(1)任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示( )(2)在数轴上离原点越远的点表示的数就越大( )(3)最大的负数是-1( )

2在数轴上原点的左边且与原点的距离为212

个单位长度的点所表示的数是

3在数轴上表示出数3-425-112

及它们的相反数

4在数轴上点A 表示有理数+3到A 点的距离为5个单位长度的点表示的有理数是 5若一个数的相反数是最小自然数则这个数是 6下列说法中错误的是( )A互为相反数的两个数的符号一正一负

B任何一个有理数都有相反数

7

初中数学思维拓展32讲(七年级)

C一个数的前面添上ldquo-rdquo号就成为原数的相反数

D0的相反数是它本身

B组 能力提升

7如图2 5所示在数轴上表示数a 的点到原点的距离为12则a-3=

ca 0 1b

图2 5

8数abcd 所对应的点ABCD 在数轴上的位置如图2 6所示那么a+c与b+d 的

大小关系是( )

0D C BA

图2 6

Aa+cltb+d Ba+c=b+d Ca+cgtb+d D不确定

9已知数轴上有AB 两点AB 之间的距离为1点A 与原点的距离为3求所有满足条件的

点B 与原点的距离之和10数轴上有AB 两点如果点A 对应的数是-2且AB 两点的距离为3那么点B 对应的

数是

11在数轴上点AB 分别表示-13

和15则线段AB 的中点所表示的数是

12点AB 分别是数-3-12

在数轴上对应的点使线段AB 沿数轴向右移动到AB且线

段AB的中点对应的数是3则点A对应的数是 点A 移动的距离是 13如图2 7所示图中数轴的单位长度为1如果已知点A 和点C表示的数互为相反数那么

点B 表示的数是

CBA图2 7

14电子跳蚤落在数轴上的某点K0第一步从K0向左跳1个单位到K1第二步由K1向右跳2个单位到K2第三步由K2向左跳3个单位到K3第四步由K3向右跳4个单位到K4hellip按以上规律跳了100步时电子跳蚤落在数轴上的点K100所表示的数恰好是1994试求电

子跳蚤的初始位置K0 点所表示的数

C组 创新提高

15比较a 与1a

的大小

16(1)阅读下面的材料并回答问题点AB 在数轴上分别表示实数ab而AB 两点之间的距离表示为 AB 当AB 两点中有一点在原点时不妨设点 A 在原点如图2 8mdash1所示AB =BA = b = a-b

8

第2讲 数轴

当AB 两点都不在原点时如图2 8mdash2所示点AB 都在原点的右边AB =OB - OA = b - a =b-a= a-b 当点AB 都在原点的左边如图2 8mdash3所示 AB = OB - OA = b - a =-b-(-a)= a-b 当点AB 在原点的两边如图2 8mdash4所示AB = OA + OB = a + b =a+(-b)= a-b

b

B

0

O(A)

b

B

a

A

0

O

b

B

a

A

0

O

b

B

a

A

0

O

图2 8mdash1 图2 8mdash2 图2 8mdash3 图2 8mdash4

综上数轴上AB 两点之间的距离 AB = a-b 请回答

① 数轴上表示2和5的两点之间的距离是 数轴上表示-2和-5的两点之间的距

离是 数轴上表示1和-3的两点之间的距离是

② 数轴上表示x 和 -1的两点 A 和B 之间的距离是 如果 AB =2那么x为

③ 当代数式 x+1 + x-2 取最小值时相应的x 的取值范围是 (2)试求 x-1 + x-2 + x-3 +hellip+ x-1997 的最小值

17如图2 9所示在数轴上(未标出原点及单位长度)点A 为线段BC的中点已知点ABC对应的三个数abc之积是负数这三个数之和与其中一数相等设p 为abc三数中两

数的比值求p 的最大值和最小值

B CA

图2 9

18某城镇沿环形路上依次排列有五所小学ABCDE它们依次有电脑15台7台11台3台14台为使各校的电脑数相同允许一些小学向相邻小学调出电脑怎样调配才能

使调出的电脑总台数最少 并求出电脑的最少总台数

专题反思

总题数 错误原因 错题序号

正确题数 (1)知识点不清

错误题数 (2)能力不够

(3)方法错误

给自己的

一句话

9

0 3 绝对值

专题简析

1 重点讲解

绝对值是初中代数中的一个基本概念是学习相反数有理数运算及后续算术根的基础绝对值又是初中代数中的一个重要概念在解代数式化简求值解方程(组)解不等式(组)等

问题中有着广泛的应用全面理解掌握绝对值这一概念应从以下几方面入手(1)绝对值的定义正数的绝对值是它本身负数的绝对值是它的相反数零的绝对值是

零即

a =a (agt0)

0 (a=0)

-a (alt0)

igrave

icirc

iacute

iumliuml

iumliuml

(2)绝对值的几何意义从数轴上看a 表示数a 的点到原点的距离(长度非负)

a-b 表示ab所代表的数轴上的两点间的距离而 x-a 表示数轴上表示数x 的点到表

示a 的点之间的距离(3)绝对值有如下基本性质

a ge0a 2= a2 =a2

ab = a middot bab =

ab(bne0)

a+b le a + ba-b ge a - b

2 难点点拨

在理解和运用绝对值的几何意义的过程中需要结合数轴这体现了数形结合的思想数与

形是数学中的两个最古老也是最基本的研究对象它们在一定条件下可以相互转化中学数

学研究的对象可分为数和形两大部分数与形是有联系的这个联系称为数形结合或形数结

合作为一种数学思想方法数形结合的应用大致可分为两种情形第一种情形是借助于数的

精确性来阐明形的某些属性第二种情形是借助形的几何直观性来阐明数之间的某种关系也就是说数形结合包括两个方面第一种情形是ldquo以数解形rdquo第二种情形是ldquo以形助数rdquo

举例已知a 是有理数a-2007 + a-2008 的最小值是 解由绝对值的几何意义知a-2007 + a-2008 表示数轴上的一点到表示数2007

和2008两点的距离的和要使和最小则这点必在2007~2008(包括这两个端点)取值(如图

01

第3讲 绝对值

3 1所示)故 a-2007 + a-2008 的最小值为1

0 2007 2008

图3 1

答1

典例剖析

例1 已知ab都是有理数且agt0blt0alt b 用ldquoltrdquo连接下列各数ab-a-b

思路点拨 由已知agt0blt0可知a是正数b是负数所以-a-b分别是负数和

正数又由alt b 可知alt-b-agtb答blt-altalt-b

点睛评注 此题也可以借助数轴把数表示在数轴上再比较它们的大小

类题演练

已知ab都是有理数分别在数轴上原点的左右两侧且b到原点的距离大于a到原点的

距离(1)比较 a 和b的大小(2)比较 a -bba 的大小并用ldquoltrdquo连接起来例2 字母a表示有理数求a的绝对值可以分为以下几种情况当agt0时a =a当

a=0时a =0当alt0时a =-a试用上述方法解答以下问题

(1)如果xne0求xx

的值

(2)如果yne3求y-3y-3

的值

思路点拨 解决问题的关键在于真正理解绝对值的概念先确定绝对值符号里面的

数的正负性再根据绝对值的概念求出这个数的绝对值

解(1)因为xne0所以当xgt0时x =x那么 xx =1

当xlt0时x =-x那么 xx =-1

(2)因为yne3所以当ygt3时y-3 =y-3那么 y-3y-3 =1

当ylt3时y-3 =-(y-3)那么 y-3y-3 =-1

答(略)

点睛评注 例2中求a的绝对值的三种情形实际上就是绝对值法则的符号表示应

理解其意义当用字母表示有理数时-a 不一定是负数它表示有理数a 的相反数其结果是

11

初中数学思维拓展32讲(七年级)

什么数要由数a 来决定

类题演练

(1)如果agt3则 a-3 = 3-a = (2)如果 x-2 +x-2=0那么x 的取值范围是( )Axgt2 Bxlt2 Cxge2 Dxle2

例3 如果 a =3b =5那么 a+b - a-b 的绝对值等于

思路点拨 分别求出ab的值再分类讨论求值

解因为 a =3所以a=3或-3因为 b =5所以b=5或-5

(1)当a=3b=5时a+b - a-b = 3+5 - 3-5 =8-2=6(2)当a=3b=-5时a+b - a-b = 3-5 - 3-(-5)=2-8=-6(3)当a=-3b=5时a+b - a-b = -3+5 - -3-5 =2-8=-6(4)当a=-3b=-5时a+b - a-b = -3-5 - -3-(-5)=8-2=6综上所述a+b - a-b =6或-6答6或-6

点睛评注 由绝对值的几何意义知道此类题型一定要分类讨论才会不漏解

类题演练

(1)式子 aa +

bb +

abab

的所有可能的值有( )

A2个 B3个 C4个 D无数个

(2)已知y= x-b + x-20 + x-b-20 其中0ltblt20blexle20那么y的

最小值为

例4 使代数式 3x- x4x

的值为正整数的x 值是( )

A正数 B负数 C0 D不存在

思路点拨 对含有多重绝对值符号的代数式一般要分类讨论本题可分xlt0和

xgt0两种情况但若能结合题意灵活运用定义解题过程就更简洁明了

解当xlt0时原式=3x+x4x = -4x

4x =-1

当xgt0时原式=3x-x4x =

2x4x=

12

又当x=0时代数式没有意义故所求代数式的值是-1或12与代数式的值是正整数

矛盾所以选D答D

点睛评注 求解后不要忘记检查结果是否符合题意比如本题解得代数式的值是

21

第3讲 绝对值

-1或12但是题目要求代数式的值为正整数所以都舍去为无解就只能选择D为不存在

类题演练

如果2a+b=0则ab -1 +

ab -2 等于( )

A2 B3 C4 D5

同步反馈

A组 基础夯实

1(1)绝对值是34

的数有几个 各是什么

(2)绝对值是0的数有几个 各是什么(3)有没有绝对值是-2的数

2计算(1)|-15|-|-6| (2)|-024|+|-506| (3)|-3|times|-2|

(4)|+4|times|-5| (5)|-12|divide|+2| (6)|20|divide -12

3填空(1)当agt0时|2a|= (2)当agt1时|a-1|= (3)当alt1时|a-1|=

4(1)如果m=-1那么-(- m )= (2)若 a-b =b-a则ab的大小关系是

5绝对值大于2而小于6的所有正整数之和是( )A7 B9 C12 D14

B组 能力提升

6如果0ltplt15那么当plexle15时代数式 x-p + x-15 + x-p-15 的最小值

是( )A30 B0 C15 D一个与p 有关的代数式

7若 x =a则 x-a 等于( )A0或2a Bx-a Ca-x D零

8有理数ab 在数轴上的位置如图3 2所示则在a+bb-2ab - a a-b

a+2 - b-4 中负数共有( )

a b

0 112

图3 2

A1个 B2个 C3个 D4个

31

初中数学思维拓展32讲(七年级)

9已知abc都是负数且 x-a + y-b + z-c =0则xyz是( )A正数 B非负数 C负数 D非正数

10已知x=-π3则 x+1 - x+2 + x+3 - x+4 +hellip+ x+11 - x+12 +

x+13 等于( )

A5 B7 C5-π3 D5+

π3

11若 a =19b =97且 a+b nea+b那么a-b的值是( )A-78或116 B78或116 C-78或-116 D78或-116

12已知 a =5b =3且 a-b =b-a那么a+b= 13已知 a =1b =2c =3agtbgtc则 a+b-c( )2=

C组 创新提高

14不相等的有理数abc在数轴上的对应点分别为ABC如果|a-b|+|b-c|=|a-c|那么B 点应为( )A在AC 点的右边 B在AC 点的左边

C在AC 点之间 D以上三种情况都有可能

15当b为何值时5- 2b-1 有最大值最大值是多少

16设abc 是非零有理数求 aa +

bb +

cc +

abab +

acac +

bcbc +

abcabc

等 于

17已知a 是 最 小 的 正 整 数bc 是 有 理 数并 且 有|2+b|+(3a+2c)2=0求 式 子

4ab+c-a2+c2+4

的值

专题反思

总题数 错误原因 错题序号

正确题数 (1)知识点不清

错误题数 (2)能力不够

(3)方法错误

给自己的

一句话

41

0 4 有理数的大小比较

专题简析

1 重点讲解

有理数的大小比较是后面学习不等式的基础全面理解掌握有理数大小比较的方法应从

以下几方面入手(1)利用数轴比较有理数的大小在数轴上表示的两个数右边的数比左边的数大(2)利用法则表示有理数的大小正数大于0负数小于0正数大于一切负数当要比较大

小的两个数是ldquo一正一负rdquoldquo零和正数rdquoldquo零和负数rdquo时用该法则既简便又快捷(3)利用绝对值表示有理数的大小两个正数比较大小绝对值大的数大两个负数比较

大小绝对值大的数反而小

2 难点点拨

有理数的大小比较的方法主要是利用定义法则以及数轴利用数轴判断有理数的大小的

过程体现了数形结合的思想在比较有理数大小时要考虑全面以免遗漏分析有的题目中可

以运用归纳法有些有理数需先化简再比较大小对于两个以上的数比较大小应先将这些数

按正数负数和零分成三类然后分别比较大小最后将这些数按一定顺序排列正数的大小比

较我们在小学就已学过故关键是注意负数的大小比较要熟练掌握已学过的负数的大小比较

方法另外在比较时应注意分数与小数的互化举例比较下列各组数的大小用ldquoltrdquo号把下列各组有理数连接起来

-513- -

23

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide-

35-42

解应先把- -23

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide-

35-42化简再利用有理数的大小比较法则比较由于

- -23

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide=23-

35 =

35-42=-42

而 -513 =5

13-42=42且5

13gt42

35lt

23

则有-513lt-42lt -

35 lt- -

23

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

答(略)

典例剖析

例1 画一条数轴并把-4-(-35)2120-

32

各数在数轴上表示出来再用ldquoltrdquo

51

初中数学思维拓展32讲(七年级)

把它们连接起来

思路点拨 在数轴上把各个数表示出来再根据在数轴上表示的数右边的数总比左

边的数大比较它们的大小即可解上述各数在数轴上如图4 1所示

0 1 2 3 4 51

234

02

23

4

5

21

(35)

图4 1

用ldquoltrdquo把它们连接为-4lt0lt -32 lt2

12lt-

(-35)

答(略)

点睛评注 本题考查了利用数轴比较有理数的大小在数轴上表示的数右边的数总

比左边的数大

类题演练

画出数轴在数轴上表示下列各数并用ldquoltrdquo连接

05-150-2-5+3例2 已知mgt0nlt0且|m|lt|n|在数轴上表示出mn-m-n 所对应的点并把

这4个数用ldquoltrdquo连接起来

思路点拨 根据已知求出-mlt0-ngt0-mgtn-ngtm再在数轴上表示出来

根据数轴上右边的数总比左边的数大比较它们的大小即可解因为mgt0nlt0且|m|lt|n|

所以-mlt0-ngt0-mgtn-ngtm上述各数在数轴上如图4 2所示

0 m nn m

图4 2

所以nlt-mltmlt-n

点睛评注 本题考查了数轴绝对值有理数的大小比较等知识点关键是判断m

-mn-n 的大小

类题演练

有理数ab在数轴上如图4 3所示

0 ba

图4 3

(1)在数轴上表示-a-b(2)试把ab0-a-b这五个数按从小到大用

ldquoltrdquo连接

61

第4讲 有理数的大小比较

(3)用ldquogtrdquoldquo=rdquo或ldquoltrdquo填空|a| a|b| b

例3 试比较-19971998

-9798-19981999

-9899

这四个数的大小

思路点拨 观察这四个分数的分子与分母可发现这四个分数可以化为同分子的分

数然后根据ldquo同分子的正分数分母大的分数比较小rdquo来比较它们的大小即可

解因为-19971998=-

1998-11998 =-1+

11998

-9798=-

98-198 =-1+

198

-19981999=-

1999-11999 =-1+

11999

-9899=-

99-199 =-1+

199

因为198gt

199gt

11998gt

11999

(同分子的正分数中分母大的分数比较小)

所以-19981999lt-

19971998lt-

9899lt-

9798

答(略)

点睛评注 解答本题时是借助不等式的性质(不等式的两边同时加上同一个数不等

式的符号方向不变)来比较有理数的大小的

类题演练

设a=199619951995

b=199519961995

c=199619951996

d=199519961996

试比较abcd 的大小

例4 四个数wxyz满足x-2001=y+2002=z-2003=w+2004那么其中最小的

数是 最大的数是

思路点拨 根据已知等式先分别求x-yx-zy-w 的值然后再用这些值与0

比较大小即可求得zgtxgtygtw解由x-2001=y+2002=z-2003=w+2004得

x-y=2001+2002=4003gt0所以xgty ①x-z=2001-2003=-2lt0所以zgtx ②y-w=2004-2002=2gt0所以ygtw ③由①②③式得

zgtxgtygtw所以四个数wxyz中最小的数是w最大的数是z

答wz

点睛评注 本题主要考查了有理数大小的比较两个正数比较大小绝对值大的数

大两个负数比较大小绝对值大的数反而小

71

初中数学思维拓展32讲(七年级)

类题演练

已知d-altc-blt0d-b=c-a那么abcd 之间的关系 (用ldquoltrdquo连接)

同步反馈

A组 基础夯实

1在25-2503这四个数中最小的数是( )A25 B-25 C0 D3

2如图4 4(A)(B)(C)(D)所示数轴上的点分别表示有理数ab若agtb其中表示正确的

图形是( )

A B C D

a b

0123

b a

0 11

a b

0 11

a b

0 11

图4 4

3(1)-2 +6(2)0 -18

(3)-32 -4

(4) -7 +7(5)-[-(-3)] +[-(+3)]

4一个数比它的相反数小这个数是( )A正数 B负数 C非负数 D非正数

5大于-4的负整数有 个6我国几个城市某年一月份的平均气温见表4 1其中气温最低的城市是( )

表4 1

城市 北京 武汉 广州 哈尔滨

平均气温 -46 38 131 -194

A北京 B武汉 C广州 D哈尔滨

B组 能力提升

7若ylt0则xx-yx+y 中最大的是( )Ax Bx-y Cx+y D不确定

8下面有4个正整数的集合(1)1~101中3的倍数(2)1~101中4的倍数(3)1~101中5的倍数(4)1~101中6的倍数其中平均数最大的集合是( )A(1) B(2) C(3) D(4)

81

第4讲 有理数的大小比较

9已知m 是正整数则m-m1m

的大小关系是( )

A-mlt1mltm B-mltmlt

1m C-mlt

1mlem D-mltmle

1m

10若agtbalt0则-(a+b)gt-bgt-agt-a+b是否正确

11比-312

大而比216

小的所有整数的和为

12已知有理数ab在数轴上的对应点的位置如图4 5所示0表示原点

0 11 ba

图4 5

①请在数轴上表示出数-a-b对应的点的位置

②请按从小到大的顺序排列a-a-bb-10的大小

C组 创新提高

13设A=1999111+11999222+1

B=1999222+11999333+1

则A 与B 的大小关系是

14比较-20112010

和-20122011

的大小

15仔细阅读下列材料

2009times20082008-2008times20092009= 分析可知很明显这个题直接计算比较烦琐可尝试用x 代替2009y 代替2008解令2009=x2008=y则原式=x(ytimes104+y)-y(xtimes104+x)=xytimes104+xy-xytimes104-xy=0我们常常ldquo用字母来表示数rdquo而上述材料根据问题特点将较大数字采用恰当的字母来表

示则更能使运算简捷明快(1)在上述问题解决过程中运用了 思维的方法体现了 的数学思想(2)参照上述材料中的方法解答下面两题

①计算 401820102-2009times2011

②若M=67890123457890123456

N=67890123447890123455

比较MN 的大小

专题反思

总题数 错误原因 错题序号

正确题数 (1)知识点不清

错误题数 (2)能力不够(3)方法错误

给自己的

一句话

91

0 5 有理数的加减

专题简析

1 重点讲解

(1)有理数的加法法则

①同号两数相加取与加数相同的符号并把绝对值相加

②异号两数相加取绝对值较大的加数的符号并用较大数的绝对值减去较小数的绝对值

③互为相反数的两个数相加得零

④一个数同零相加仍得这个数注意利用法则进行加法运算的步骤①判断两个加数的符号是同号异号还是有一个加

数为零以此来选择用哪条法则②确定和的符号(是ldquo+rdquo还是ldquo-rdquo)③求各加数的绝对值并确定和的绝对值(加数的绝对值是相加还是相减)

(2)有理数的加法运算律见表5 1

表5 1

有 理 数 加

法运算律

加法交换律

加法结

合律

文字语言 两个数相加交换加数的位置和不变

符号语言 a+b=b+a

文字语言三个数相加先把前两个数相加或者先把后两个数相加和不变

符号语言 (a+b)+c=a+(b+c)

注意交换加数的位置时不要忘记符号(3)有理数的减法法则减去一个数等于加上这个数的相反数即有a-b=a+(-b)注意将减法转化为加法时注意同时进行的两变一变是减法变加法二变是把减数变为

它的相反数如

6(2)=6+(+2) (2)3=(2)+(3)

(4)有理数加减混合运算①先利用减法法则将减法转化为加法②再运用加法交换律

和结合律使计算简便

2 难点点拨

掌握有理数的加减运算就是要求学生既算得快又准确显然做加法相对于做减法而言不容易出错所以加减混合运算时注意以下几点首先先去括号把式子整理成省略加号的和

02

第5讲 有理数的加减

的形式然后将这一形式看作是几个数相加运用加法法则来计算即可举例计算8-(-3)+(-1)-2-(-7)解原式=8+3-1-2+7=15(看作8+3+(-1)+(-2)+7即求83-1和-2相加

的和)答15

典例剖析

例1 计算(-55)+ +1115

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide+(+7)eacute

eumlecircecirc

ugrave

ucircuacuteuacute+ (-7)+ +

415

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide+(+25)eacute

eumlecircecirc

ugrave

ucircuacuteuacute

思路点拨 利用有理数加法的交换律和结合律计算

解原式=(-55)+ +1115

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide+(+7)+(-7)+ +

415

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide+(+25)

= +1115

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide+ +

415

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

eacute

eumlecircecirc

ugrave

ucircuacuteuacute+ (-55)+(+25)[ ]+ (-7)+(+7)[ ]=1+(-3)=-2

答-2

点睛评注 在运用有理数加法运算律时一定要根据需要灵活运用以达到简化的目

的通常有下列规律

①互为相反数的两个数先相加mdashmdashmdashldquo相反数结合法rdquo

②符号相同的两个数先相加mdashmdashmdashldquo同号结合法rdquo

③分母相同的数先相加mdashmdashmdashldquo同分母结合法rdquo

④整数与整数小数与小数分数与分数先相加mdashmdashmdashldquo同形结合法rdquo

类题演练

323+

(-263)+ -235

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide+(+363)+ -

23

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

例2 计算-3213

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide- +5

14

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide-3

17+ -5

14

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide- +2

67

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

eacute

eumlecircecirc

ugrave

ucircuacuteuacute

思路点拨 先观察式子可发现中括号里的数先运算较简便

解原式= -3213

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide- 5

14-3

17-5

14-2

67

eacute

eumlecircecirc

ugrave

ucircuacuteuacute=-32

13+6=-26

13

答-2613

点睛评注 在解决此类问题时一般要先去括号简化成省略加号和的形式再视情

况运用交换律和结合律简化运算另外在去括号时要时刻注意是否需要变号

12

• 第一讲
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• 第二十三讲13
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• 第三十一讲
• 第三十二讲
• 参考答案13

第2讲 数轴

例4 (1)工作流水线上依次排列5个工作台ABCDE一只工具箱应该放在何处才能使工作台上操作机器的人取工具所走的路程最短

(2)如果工作台由5个改为6个那么工具箱应如何放置能使6个操作机器的人取工具

所走的路程之和最短(3)当流水线上有n 个工作台时怎样放置工具箱最合适

思路点拨 把流水线看作数轴工作台工具箱看作数轴上的点这样就找到了解决

本例的模型mdashmdashmdash数轴答(1)工具箱放在C 台上(2)工具箱放在CD 两台之间(含CD 两点)任一处(3)分n 为奇数偶数两种情况讨论当n 为奇数时工具箱放在最中间的工作台上

当n 为偶数时工具箱放在最中间的两个工作台之间(包括这两个工作台)

点睛评注 借助数轴的直观性从具体个数的工作台情况归纳出一般情况体现了从

特殊到一般的思想方法

类题演练

如图2 4所示工作流水线上ABCD 处各有1名工人且AB=BC=CD=1现在

工作流水线上安放一个工具箱使4个人到工具箱的距离之和为最短则工具箱的安放位置是

DCBA

图2 4

同步反馈

A组 基础夯实

1判断正误(1)任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示( )(2)在数轴上离原点越远的点表示的数就越大( )(3)最大的负数是-1( )

2在数轴上原点的左边且与原点的距离为212

个单位长度的点所表示的数是

3在数轴上表示出数3-425-112

及它们的相反数

4在数轴上点A 表示有理数+3到A 点的距离为5个单位长度的点表示的有理数是 5若一个数的相反数是最小自然数则这个数是 6下列说法中错误的是( )A互为相反数的两个数的符号一正一负

B任何一个有理数都有相反数

7

初中数学思维拓展32讲(七年级)

C一个数的前面添上ldquo-rdquo号就成为原数的相反数

D0的相反数是它本身

B组 能力提升

7如图2 5所示在数轴上表示数a 的点到原点的距离为12则a-3=

ca 0 1b

图2 5

8数abcd 所对应的点ABCD 在数轴上的位置如图2 6所示那么a+c与b+d 的

大小关系是( )

0D C BA

图2 6

Aa+cltb+d Ba+c=b+d Ca+cgtb+d D不确定

9已知数轴上有AB 两点AB 之间的距离为1点A 与原点的距离为3求所有满足条件的

点B 与原点的距离之和10数轴上有AB 两点如果点A 对应的数是-2且AB 两点的距离为3那么点B 对应的

数是

11在数轴上点AB 分别表示-13

和15则线段AB 的中点所表示的数是

12点AB 分别是数-3-12

在数轴上对应的点使线段AB 沿数轴向右移动到AB且线

段AB的中点对应的数是3则点A对应的数是 点A 移动的距离是 13如图2 7所示图中数轴的单位长度为1如果已知点A 和点C表示的数互为相反数那么

点B 表示的数是

CBA图2 7

14电子跳蚤落在数轴上的某点K0第一步从K0向左跳1个单位到K1第二步由K1向右跳2个单位到K2第三步由K2向左跳3个单位到K3第四步由K3向右跳4个单位到K4hellip按以上规律跳了100步时电子跳蚤落在数轴上的点K100所表示的数恰好是1994试求电

子跳蚤的初始位置K0 点所表示的数

C组 创新提高

15比较a 与1a

的大小

16(1)阅读下面的材料并回答问题点AB 在数轴上分别表示实数ab而AB 两点之间的距离表示为 AB 当AB 两点中有一点在原点时不妨设点 A 在原点如图2 8mdash1所示AB =BA = b = a-b

8

第2讲 数轴

当AB 两点都不在原点时如图2 8mdash2所示点AB 都在原点的右边AB =OB - OA = b - a =b-a= a-b 当点AB 都在原点的左边如图2 8mdash3所示 AB = OB - OA = b - a =-b-(-a)= a-b 当点AB 在原点的两边如图2 8mdash4所示AB = OA + OB = a + b =a+(-b)= a-b

b

B

0

O(A)

b

B

a

A

0

O

b

B

a

A

0

O

b

B

a

A

0

O

图2 8mdash1 图2 8mdash2 图2 8mdash3 图2 8mdash4

综上数轴上AB 两点之间的距离 AB = a-b 请回答

① 数轴上表示2和5的两点之间的距离是 数轴上表示-2和-5的两点之间的距

离是 数轴上表示1和-3的两点之间的距离是

② 数轴上表示x 和 -1的两点 A 和B 之间的距离是 如果 AB =2那么x为

③ 当代数式 x+1 + x-2 取最小值时相应的x 的取值范围是 (2)试求 x-1 + x-2 + x-3 +hellip+ x-1997 的最小值

17如图2 9所示在数轴上(未标出原点及单位长度)点A 为线段BC的中点已知点ABC对应的三个数abc之积是负数这三个数之和与其中一数相等设p 为abc三数中两

数的比值求p 的最大值和最小值

B CA

图2 9

18某城镇沿环形路上依次排列有五所小学ABCDE它们依次有电脑15台7台11台3台14台为使各校的电脑数相同允许一些小学向相邻小学调出电脑怎样调配才能

使调出的电脑总台数最少 并求出电脑的最少总台数

专题反思

总题数 错误原因 错题序号

正确题数 (1)知识点不清

错误题数 (2)能力不够

(3)方法错误

给自己的

一句话

9

0 3 绝对值

专题简析

1 重点讲解

绝对值是初中代数中的一个基本概念是学习相反数有理数运算及后续算术根的基础绝对值又是初中代数中的一个重要概念在解代数式化简求值解方程(组)解不等式(组)等

问题中有着广泛的应用全面理解掌握绝对值这一概念应从以下几方面入手(1)绝对值的定义正数的绝对值是它本身负数的绝对值是它的相反数零的绝对值是

零即

a =a (agt0)

0 (a=0)

-a (alt0)

igrave

icirc

iacute

iumliuml

iumliuml

(2)绝对值的几何意义从数轴上看a 表示数a 的点到原点的距离(长度非负)

a-b 表示ab所代表的数轴上的两点间的距离而 x-a 表示数轴上表示数x 的点到表

示a 的点之间的距离(3)绝对值有如下基本性质

a ge0a 2= a2 =a2

ab = a middot bab =

ab(bne0)

a+b le a + ba-b ge a - b

2 难点点拨

在理解和运用绝对值的几何意义的过程中需要结合数轴这体现了数形结合的思想数与

形是数学中的两个最古老也是最基本的研究对象它们在一定条件下可以相互转化中学数

学研究的对象可分为数和形两大部分数与形是有联系的这个联系称为数形结合或形数结

合作为一种数学思想方法数形结合的应用大致可分为两种情形第一种情形是借助于数的

精确性来阐明形的某些属性第二种情形是借助形的几何直观性来阐明数之间的某种关系也就是说数形结合包括两个方面第一种情形是ldquo以数解形rdquo第二种情形是ldquo以形助数rdquo

举例已知a 是有理数a-2007 + a-2008 的最小值是 解由绝对值的几何意义知a-2007 + a-2008 表示数轴上的一点到表示数2007

和2008两点的距离的和要使和最小则这点必在2007~2008(包括这两个端点)取值(如图

01

第3讲 绝对值

3 1所示)故 a-2007 + a-2008 的最小值为1

0 2007 2008

图3 1

答1

典例剖析

例1 已知ab都是有理数且agt0blt0alt b 用ldquoltrdquo连接下列各数ab-a-b

思路点拨 由已知agt0blt0可知a是正数b是负数所以-a-b分别是负数和

正数又由alt b 可知alt-b-agtb答blt-altalt-b

点睛评注 此题也可以借助数轴把数表示在数轴上再比较它们的大小

类题演练

已知ab都是有理数分别在数轴上原点的左右两侧且b到原点的距离大于a到原点的

距离(1)比较 a 和b的大小(2)比较 a -bba 的大小并用ldquoltrdquo连接起来例2 字母a表示有理数求a的绝对值可以分为以下几种情况当agt0时a =a当

a=0时a =0当alt0时a =-a试用上述方法解答以下问题

(1)如果xne0求xx

的值

(2)如果yne3求y-3y-3

的值

思路点拨 解决问题的关键在于真正理解绝对值的概念先确定绝对值符号里面的

数的正负性再根据绝对值的概念求出这个数的绝对值

解(1)因为xne0所以当xgt0时x =x那么 xx =1

当xlt0时x =-x那么 xx =-1

(2)因为yne3所以当ygt3时y-3 =y-3那么 y-3y-3 =1

当ylt3时y-3 =-(y-3)那么 y-3y-3 =-1

答(略)

点睛评注 例2中求a的绝对值的三种情形实际上就是绝对值法则的符号表示应

理解其意义当用字母表示有理数时-a 不一定是负数它表示有理数a 的相反数其结果是

11

初中数学思维拓展32讲(七年级)

什么数要由数a 来决定

类题演练

(1)如果agt3则 a-3 = 3-a = (2)如果 x-2 +x-2=0那么x 的取值范围是( )Axgt2 Bxlt2 Cxge2 Dxle2

例3 如果 a =3b =5那么 a+b - a-b 的绝对值等于

思路点拨 分别求出ab的值再分类讨论求值

解因为 a =3所以a=3或-3因为 b =5所以b=5或-5

(1)当a=3b=5时a+b - a-b = 3+5 - 3-5 =8-2=6(2)当a=3b=-5时a+b - a-b = 3-5 - 3-(-5)=2-8=-6(3)当a=-3b=5时a+b - a-b = -3+5 - -3-5 =2-8=-6(4)当a=-3b=-5时a+b - a-b = -3-5 - -3-(-5)=8-2=6综上所述a+b - a-b =6或-6答6或-6

点睛评注 由绝对值的几何意义知道此类题型一定要分类讨论才会不漏解

类题演练

(1)式子 aa +

bb +

abab

的所有可能的值有( )

A2个 B3个 C4个 D无数个

(2)已知y= x-b + x-20 + x-b-20 其中0ltblt20blexle20那么y的

最小值为

例4 使代数式 3x- x4x

的值为正整数的x 值是( )

A正数 B负数 C0 D不存在

思路点拨 对含有多重绝对值符号的代数式一般要分类讨论本题可分xlt0和

xgt0两种情况但若能结合题意灵活运用定义解题过程就更简洁明了

解当xlt0时原式=3x+x4x = -4x

4x =-1

当xgt0时原式=3x-x4x =

2x4x=

12

又当x=0时代数式没有意义故所求代数式的值是-1或12与代数式的值是正整数

矛盾所以选D答D

点睛评注 求解后不要忘记检查结果是否符合题意比如本题解得代数式的值是

21

第3讲 绝对值

-1或12但是题目要求代数式的值为正整数所以都舍去为无解就只能选择D为不存在

类题演练

如果2a+b=0则ab -1 +

ab -2 等于( )

A2 B3 C4 D5

同步反馈

A组 基础夯实

1(1)绝对值是34

的数有几个 各是什么

(2)绝对值是0的数有几个 各是什么(3)有没有绝对值是-2的数

2计算(1)|-15|-|-6| (2)|-024|+|-506| (3)|-3|times|-2|

(4)|+4|times|-5| (5)|-12|divide|+2| (6)|20|divide -12

3填空(1)当agt0时|2a|= (2)当agt1时|a-1|= (3)当alt1时|a-1|=

4(1)如果m=-1那么-(- m )= (2)若 a-b =b-a则ab的大小关系是

5绝对值大于2而小于6的所有正整数之和是( )A7 B9 C12 D14

B组 能力提升

6如果0ltplt15那么当plexle15时代数式 x-p + x-15 + x-p-15 的最小值

是( )A30 B0 C15 D一个与p 有关的代数式

7若 x =a则 x-a 等于( )A0或2a Bx-a Ca-x D零

8有理数ab 在数轴上的位置如图3 2所示则在a+bb-2ab - a a-b

a+2 - b-4 中负数共有( )

a b

0 112

图3 2

A1个 B2个 C3个 D4个

31

初中数学思维拓展32讲(七年级)

9已知abc都是负数且 x-a + y-b + z-c =0则xyz是( )A正数 B非负数 C负数 D非正数

10已知x=-π3则 x+1 - x+2 + x+3 - x+4 +hellip+ x+11 - x+12 +

x+13 等于( )

A5 B7 C5-π3 D5+

π3

11若 a =19b =97且 a+b nea+b那么a-b的值是( )A-78或116 B78或116 C-78或-116 D78或-116

12已知 a =5b =3且 a-b =b-a那么a+b= 13已知 a =1b =2c =3agtbgtc则 a+b-c( )2=

C组 创新提高

14不相等的有理数abc在数轴上的对应点分别为ABC如果|a-b|+|b-c|=|a-c|那么B 点应为( )A在AC 点的右边 B在AC 点的左边

C在AC 点之间 D以上三种情况都有可能

15当b为何值时5- 2b-1 有最大值最大值是多少

16设abc 是非零有理数求 aa +

bb +

cc +

abab +

acac +

bcbc +

abcabc

等 于

17已知a 是 最 小 的 正 整 数bc 是 有 理 数并 且 有|2+b|+(3a+2c)2=0求 式 子

4ab+c-a2+c2+4

的值

专题反思

总题数 错误原因 错题序号

正确题数 (1)知识点不清

错误题数 (2)能力不够

(3)方法错误

给自己的

一句话

41

0 4 有理数的大小比较

专题简析

1 重点讲解

有理数的大小比较是后面学习不等式的基础全面理解掌握有理数大小比较的方法应从

以下几方面入手(1)利用数轴比较有理数的大小在数轴上表示的两个数右边的数比左边的数大(2)利用法则表示有理数的大小正数大于0负数小于0正数大于一切负数当要比较大

小的两个数是ldquo一正一负rdquoldquo零和正数rdquoldquo零和负数rdquo时用该法则既简便又快捷(3)利用绝对值表示有理数的大小两个正数比较大小绝对值大的数大两个负数比较

大小绝对值大的数反而小

2 难点点拨

有理数的大小比较的方法主要是利用定义法则以及数轴利用数轴判断有理数的大小的

过程体现了数形结合的思想在比较有理数大小时要考虑全面以免遗漏分析有的题目中可

以运用归纳法有些有理数需先化简再比较大小对于两个以上的数比较大小应先将这些数

按正数负数和零分成三类然后分别比较大小最后将这些数按一定顺序排列正数的大小比

较我们在小学就已学过故关键是注意负数的大小比较要熟练掌握已学过的负数的大小比较

方法另外在比较时应注意分数与小数的互化举例比较下列各组数的大小用ldquoltrdquo号把下列各组有理数连接起来

-513- -

23

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide-

35-42

解应先把- -23

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide-

35-42化简再利用有理数的大小比较法则比较由于

- -23

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide=23-

35 =

35-42=-42

而 -513 =5

13-42=42且5

13gt42

35lt

23

则有-513lt-42lt -

35 lt- -

23

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

答(略)

典例剖析

例1 画一条数轴并把-4-(-35)2120-

32

各数在数轴上表示出来再用ldquoltrdquo

51

初中数学思维拓展32讲(七年级)

把它们连接起来

思路点拨 在数轴上把各个数表示出来再根据在数轴上表示的数右边的数总比左

边的数大比较它们的大小即可解上述各数在数轴上如图4 1所示

0 1 2 3 4 51

234

02

23

4

5

21

(35)

图4 1

用ldquoltrdquo把它们连接为-4lt0lt -32 lt2

12lt-

(-35)

答(略)

点睛评注 本题考查了利用数轴比较有理数的大小在数轴上表示的数右边的数总

比左边的数大

类题演练

画出数轴在数轴上表示下列各数并用ldquoltrdquo连接

05-150-2-5+3例2 已知mgt0nlt0且|m|lt|n|在数轴上表示出mn-m-n 所对应的点并把

这4个数用ldquoltrdquo连接起来

思路点拨 根据已知求出-mlt0-ngt0-mgtn-ngtm再在数轴上表示出来

根据数轴上右边的数总比左边的数大比较它们的大小即可解因为mgt0nlt0且|m|lt|n|

所以-mlt0-ngt0-mgtn-ngtm上述各数在数轴上如图4 2所示

0 m nn m

图4 2

所以nlt-mltmlt-n

点睛评注 本题考查了数轴绝对值有理数的大小比较等知识点关键是判断m

-mn-n 的大小

类题演练

有理数ab在数轴上如图4 3所示

0 ba

图4 3

(1)在数轴上表示-a-b(2)试把ab0-a-b这五个数按从小到大用

ldquoltrdquo连接

61

第4讲 有理数的大小比较

(3)用ldquogtrdquoldquo=rdquo或ldquoltrdquo填空|a| a|b| b

例3 试比较-19971998

-9798-19981999

-9899

这四个数的大小

思路点拨 观察这四个分数的分子与分母可发现这四个分数可以化为同分子的分

数然后根据ldquo同分子的正分数分母大的分数比较小rdquo来比较它们的大小即可

解因为-19971998=-

1998-11998 =-1+

11998

-9798=-

98-198 =-1+

198

-19981999=-

1999-11999 =-1+

11999

-9899=-

99-199 =-1+

199

因为198gt

199gt

11998gt

11999

(同分子的正分数中分母大的分数比较小)

所以-19981999lt-

19971998lt-

9899lt-

9798

答(略)

点睛评注 解答本题时是借助不等式的性质(不等式的两边同时加上同一个数不等

式的符号方向不变)来比较有理数的大小的

类题演练

设a=199619951995

b=199519961995

c=199619951996

d=199519961996

试比较abcd 的大小

例4 四个数wxyz满足x-2001=y+2002=z-2003=w+2004那么其中最小的

数是 最大的数是

思路点拨 根据已知等式先分别求x-yx-zy-w 的值然后再用这些值与0

比较大小即可求得zgtxgtygtw解由x-2001=y+2002=z-2003=w+2004得

x-y=2001+2002=4003gt0所以xgty ①x-z=2001-2003=-2lt0所以zgtx ②y-w=2004-2002=2gt0所以ygtw ③由①②③式得

zgtxgtygtw所以四个数wxyz中最小的数是w最大的数是z

答wz

点睛评注 本题主要考查了有理数大小的比较两个正数比较大小绝对值大的数

大两个负数比较大小绝对值大的数反而小

71

初中数学思维拓展32讲(七年级)

类题演练

已知d-altc-blt0d-b=c-a那么abcd 之间的关系 (用ldquoltrdquo连接)

同步反馈

A组 基础夯实

1在25-2503这四个数中最小的数是( )A25 B-25 C0 D3

2如图4 4(A)(B)(C)(D)所示数轴上的点分别表示有理数ab若agtb其中表示正确的

图形是( )

A B C D

a b

0123

b a

0 11

a b

0 11

a b

0 11

图4 4

3(1)-2 +6(2)0 -18

(3)-32 -4

(4) -7 +7(5)-[-(-3)] +[-(+3)]

4一个数比它的相反数小这个数是( )A正数 B负数 C非负数 D非正数

5大于-4的负整数有 个6我国几个城市某年一月份的平均气温见表4 1其中气温最低的城市是( )

表4 1

城市 北京 武汉 广州 哈尔滨

平均气温 -46 38 131 -194

A北京 B武汉 C广州 D哈尔滨

B组 能力提升

7若ylt0则xx-yx+y 中最大的是( )Ax Bx-y Cx+y D不确定

8下面有4个正整数的集合(1)1~101中3的倍数(2)1~101中4的倍数(3)1~101中5的倍数(4)1~101中6的倍数其中平均数最大的集合是( )A(1) B(2) C(3) D(4)

81

第4讲 有理数的大小比较

9已知m 是正整数则m-m1m

的大小关系是( )

A-mlt1mltm B-mltmlt

1m C-mlt

1mlem D-mltmle

1m

10若agtbalt0则-(a+b)gt-bgt-agt-a+b是否正确

11比-312

大而比216

小的所有整数的和为

12已知有理数ab在数轴上的对应点的位置如图4 5所示0表示原点

0 11 ba

图4 5

①请在数轴上表示出数-a-b对应的点的位置

②请按从小到大的顺序排列a-a-bb-10的大小

C组 创新提高

13设A=1999111+11999222+1

B=1999222+11999333+1

则A 与B 的大小关系是

14比较-20112010

和-20122011

的大小

15仔细阅读下列材料

2009times20082008-2008times20092009= 分析可知很明显这个题直接计算比较烦琐可尝试用x 代替2009y 代替2008解令2009=x2008=y则原式=x(ytimes104+y)-y(xtimes104+x)=xytimes104+xy-xytimes104-xy=0我们常常ldquo用字母来表示数rdquo而上述材料根据问题特点将较大数字采用恰当的字母来表

示则更能使运算简捷明快(1)在上述问题解决过程中运用了 思维的方法体现了 的数学思想(2)参照上述材料中的方法解答下面两题

①计算 401820102-2009times2011

②若M=67890123457890123456

N=67890123447890123455

比较MN 的大小

专题反思

总题数 错误原因 错题序号

正确题数 (1)知识点不清

错误题数 (2)能力不够(3)方法错误

给自己的

一句话

91

0 5 有理数的加减

专题简析

1 重点讲解

(1)有理数的加法法则

①同号两数相加取与加数相同的符号并把绝对值相加

②异号两数相加取绝对值较大的加数的符号并用较大数的绝对值减去较小数的绝对值

③互为相反数的两个数相加得零

④一个数同零相加仍得这个数注意利用法则进行加法运算的步骤①判断两个加数的符号是同号异号还是有一个加

数为零以此来选择用哪条法则②确定和的符号(是ldquo+rdquo还是ldquo-rdquo)③求各加数的绝对值并确定和的绝对值(加数的绝对值是相加还是相减)

(2)有理数的加法运算律见表5 1

表5 1

有 理 数 加

法运算律

加法交换律

加法结

合律

文字语言 两个数相加交换加数的位置和不变

符号语言 a+b=b+a

文字语言三个数相加先把前两个数相加或者先把后两个数相加和不变

符号语言 (a+b)+c=a+(b+c)

注意交换加数的位置时不要忘记符号(3)有理数的减法法则减去一个数等于加上这个数的相反数即有a-b=a+(-b)注意将减法转化为加法时注意同时进行的两变一变是减法变加法二变是把减数变为

它的相反数如

6(2)=6+(+2) (2)3=(2)+(3)

(4)有理数加减混合运算①先利用减法法则将减法转化为加法②再运用加法交换律

和结合律使计算简便

2 难点点拨

掌握有理数的加减运算就是要求学生既算得快又准确显然做加法相对于做减法而言不容易出错所以加减混合运算时注意以下几点首先先去括号把式子整理成省略加号的和

02

第5讲 有理数的加减

的形式然后将这一形式看作是几个数相加运用加法法则来计算即可举例计算8-(-3)+(-1)-2-(-7)解原式=8+3-1-2+7=15(看作8+3+(-1)+(-2)+7即求83-1和-2相加

的和)答15

典例剖析

例1 计算(-55)+ +1115

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide+(+7)eacute

eumlecircecirc

ugrave

ucircuacuteuacute+ (-7)+ +

415

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide+(+25)eacute

eumlecircecirc

ugrave

ucircuacuteuacute

思路点拨 利用有理数加法的交换律和结合律计算

解原式=(-55)+ +1115

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide+(+7)+(-7)+ +

415

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide+(+25)

= +1115

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide+ +

415

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

eacute

eumlecircecirc

ugrave

ucircuacuteuacute+ (-55)+(+25)[ ]+ (-7)+(+7)[ ]=1+(-3)=-2

答-2

点睛评注 在运用有理数加法运算律时一定要根据需要灵活运用以达到简化的目

的通常有下列规律

①互为相反数的两个数先相加mdashmdashmdashldquo相反数结合法rdquo

②符号相同的两个数先相加mdashmdashmdashldquo同号结合法rdquo

③分母相同的数先相加mdashmdashmdashldquo同分母结合法rdquo

④整数与整数小数与小数分数与分数先相加mdashmdashmdashldquo同形结合法rdquo

类题演练

323+

(-263)+ -235

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide+(+363)+ -

23

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

例2 计算-3213

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide- +5

14

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide-3

17+ -5

14

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide- +2

67

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

eacute

eumlecircecirc

ugrave

ucircuacuteuacute

思路点拨 先观察式子可发现中括号里的数先运算较简便

解原式= -3213

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide- 5

14-3

17-5

14-2

67

eacute

eumlecircecirc

ugrave

ucircuacuteuacute=-32

13+6=-26

13

答-2613

点睛评注 在解决此类问题时一般要先去括号简化成省略加号和的形式再视情

况运用交换律和结合律简化运算另外在去括号时要时刻注意是否需要变号

12

• 第一讲
• 第二讲
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• 第三十一讲
• 第三十二讲
• 参考答案13

初中数学思维拓展32讲(七年级)

C一个数的前面添上ldquo-rdquo号就成为原数的相反数

D0的相反数是它本身

B组 能力提升

7如图2 5所示在数轴上表示数a 的点到原点的距离为12则a-3=

ca 0 1b

图2 5

8数abcd 所对应的点ABCD 在数轴上的位置如图2 6所示那么a+c与b+d 的

大小关系是( )

0D C BA

图2 6

Aa+cltb+d Ba+c=b+d Ca+cgtb+d D不确定

9已知数轴上有AB 两点AB 之间的距离为1点A 与原点的距离为3求所有满足条件的

点B 与原点的距离之和10数轴上有AB 两点如果点A 对应的数是-2且AB 两点的距离为3那么点B 对应的

数是

11在数轴上点AB 分别表示-13

和15则线段AB 的中点所表示的数是

12点AB 分别是数-3-12

在数轴上对应的点使线段AB 沿数轴向右移动到AB且线

段AB的中点对应的数是3则点A对应的数是 点A 移动的距离是 13如图2 7所示图中数轴的单位长度为1如果已知点A 和点C表示的数互为相反数那么

点B 表示的数是

CBA图2 7

14电子跳蚤落在数轴上的某点K0第一步从K0向左跳1个单位到K1第二步由K1向右跳2个单位到K2第三步由K2向左跳3个单位到K3第四步由K3向右跳4个单位到K4hellip按以上规律跳了100步时电子跳蚤落在数轴上的点K100所表示的数恰好是1994试求电

子跳蚤的初始位置K0 点所表示的数

C组 创新提高

15比较a 与1a

的大小

16(1)阅读下面的材料并回答问题点AB 在数轴上分别表示实数ab而AB 两点之间的距离表示为 AB 当AB 两点中有一点在原点时不妨设点 A 在原点如图2 8mdash1所示AB =BA = b = a-b

8

第2讲 数轴

当AB 两点都不在原点时如图2 8mdash2所示点AB 都在原点的右边AB =OB - OA = b - a =b-a= a-b 当点AB 都在原点的左边如图2 8mdash3所示 AB = OB - OA = b - a =-b-(-a)= a-b 当点AB 在原点的两边如图2 8mdash4所示AB = OA + OB = a + b =a+(-b)= a-b

b

B

0

O(A)

b

B

a

A

0

O

b

B

a

A

0

O

b

B

a

A

0

O

图2 8mdash1 图2 8mdash2 图2 8mdash3 图2 8mdash4

综上数轴上AB 两点之间的距离 AB = a-b 请回答

① 数轴上表示2和5的两点之间的距离是 数轴上表示-2和-5的两点之间的距

离是 数轴上表示1和-3的两点之间的距离是

② 数轴上表示x 和 -1的两点 A 和B 之间的距离是 如果 AB =2那么x为

③ 当代数式 x+1 + x-2 取最小值时相应的x 的取值范围是 (2)试求 x-1 + x-2 + x-3 +hellip+ x-1997 的最小值

17如图2 9所示在数轴上(未标出原点及单位长度)点A 为线段BC的中点已知点ABC对应的三个数abc之积是负数这三个数之和与其中一数相等设p 为abc三数中两

数的比值求p 的最大值和最小值

B CA

图2 9

18某城镇沿环形路上依次排列有五所小学ABCDE它们依次有电脑15台7台11台3台14台为使各校的电脑数相同允许一些小学向相邻小学调出电脑怎样调配才能

使调出的电脑总台数最少 并求出电脑的最少总台数

专题反思

总题数 错误原因 错题序号

正确题数 (1)知识点不清

错误题数 (2)能力不够

(3)方法错误

给自己的

一句话

9

0 3 绝对值

专题简析

1 重点讲解

绝对值是初中代数中的一个基本概念是学习相反数有理数运算及后续算术根的基础绝对值又是初中代数中的一个重要概念在解代数式化简求值解方程(组)解不等式(组)等

问题中有着广泛的应用全面理解掌握绝对值这一概念应从以下几方面入手(1)绝对值的定义正数的绝对值是它本身负数的绝对值是它的相反数零的绝对值是

零即

a =a (agt0)

0 (a=0)

-a (alt0)

igrave

icirc

iacute

iumliuml

iumliuml

(2)绝对值的几何意义从数轴上看a 表示数a 的点到原点的距离(长度非负)

a-b 表示ab所代表的数轴上的两点间的距离而 x-a 表示数轴上表示数x 的点到表

示a 的点之间的距离(3)绝对值有如下基本性质

a ge0a 2= a2 =a2

ab = a middot bab =

ab(bne0)

a+b le a + ba-b ge a - b

2 难点点拨

在理解和运用绝对值的几何意义的过程中需要结合数轴这体现了数形结合的思想数与

形是数学中的两个最古老也是最基本的研究对象它们在一定条件下可以相互转化中学数

学研究的对象可分为数和形两大部分数与形是有联系的这个联系称为数形结合或形数结

合作为一种数学思想方法数形结合的应用大致可分为两种情形第一种情形是借助于数的

精确性来阐明形的某些属性第二种情形是借助形的几何直观性来阐明数之间的某种关系也就是说数形结合包括两个方面第一种情形是ldquo以数解形rdquo第二种情形是ldquo以形助数rdquo

举例已知a 是有理数a-2007 + a-2008 的最小值是 解由绝对值的几何意义知a-2007 + a-2008 表示数轴上的一点到表示数2007

和2008两点的距离的和要使和最小则这点必在2007~2008(包括这两个端点)取值(如图

01

第3讲 绝对值

3 1所示)故 a-2007 + a-2008 的最小值为1

0 2007 2008

图3 1

答1

典例剖析

例1 已知ab都是有理数且agt0blt0alt b 用ldquoltrdquo连接下列各数ab-a-b

思路点拨 由已知agt0blt0可知a是正数b是负数所以-a-b分别是负数和

正数又由alt b 可知alt-b-agtb答blt-altalt-b

点睛评注 此题也可以借助数轴把数表示在数轴上再比较它们的大小

类题演练

已知ab都是有理数分别在数轴上原点的左右两侧且b到原点的距离大于a到原点的

距离(1)比较 a 和b的大小(2)比较 a -bba 的大小并用ldquoltrdquo连接起来例2 字母a表示有理数求a的绝对值可以分为以下几种情况当agt0时a =a当

a=0时a =0当alt0时a =-a试用上述方法解答以下问题

(1)如果xne0求xx

的值

(2)如果yne3求y-3y-3

的值

思路点拨 解决问题的关键在于真正理解绝对值的概念先确定绝对值符号里面的

数的正负性再根据绝对值的概念求出这个数的绝对值

解(1)因为xne0所以当xgt0时x =x那么 xx =1

当xlt0时x =-x那么 xx =-1

(2)因为yne3所以当ygt3时y-3 =y-3那么 y-3y-3 =1

当ylt3时y-3 =-(y-3)那么 y-3y-3 =-1

答(略)

点睛评注 例2中求a的绝对值的三种情形实际上就是绝对值法则的符号表示应

理解其意义当用字母表示有理数时-a 不一定是负数它表示有理数a 的相反数其结果是

11

初中数学思维拓展32讲(七年级)

什么数要由数a 来决定

类题演练

(1)如果agt3则 a-3 = 3-a = (2)如果 x-2 +x-2=0那么x 的取值范围是( )Axgt2 Bxlt2 Cxge2 Dxle2

例3 如果 a =3b =5那么 a+b - a-b 的绝对值等于

思路点拨 分别求出ab的值再分类讨论求值

解因为 a =3所以a=3或-3因为 b =5所以b=5或-5

(1)当a=3b=5时a+b - a-b = 3+5 - 3-5 =8-2=6(2)当a=3b=-5时a+b - a-b = 3-5 - 3-(-5)=2-8=-6(3)当a=-3b=5时a+b - a-b = -3+5 - -3-5 =2-8=-6(4)当a=-3b=-5时a+b - a-b = -3-5 - -3-(-5)=8-2=6综上所述a+b - a-b =6或-6答6或-6

点睛评注 由绝对值的几何意义知道此类题型一定要分类讨论才会不漏解

类题演练

(1)式子 aa +

bb +

abab

的所有可能的值有( )

A2个 B3个 C4个 D无数个

(2)已知y= x-b + x-20 + x-b-20 其中0ltblt20blexle20那么y的

最小值为

例4 使代数式 3x- x4x

的值为正整数的x 值是( )

A正数 B负数 C0 D不存在

思路点拨 对含有多重绝对值符号的代数式一般要分类讨论本题可分xlt0和

xgt0两种情况但若能结合题意灵活运用定义解题过程就更简洁明了

解当xlt0时原式=3x+x4x = -4x

4x =-1

当xgt0时原式=3x-x4x =

2x4x=

12

又当x=0时代数式没有意义故所求代数式的值是-1或12与代数式的值是正整数

矛盾所以选D答D

点睛评注 求解后不要忘记检查结果是否符合题意比如本题解得代数式的值是

21

第3讲 绝对值

-1或12但是题目要求代数式的值为正整数所以都舍去为无解就只能选择D为不存在

类题演练

如果2a+b=0则ab -1 +

ab -2 等于( )

A2 B3 C4 D5

同步反馈

A组 基础夯实

1(1)绝对值是34

的数有几个 各是什么

(2)绝对值是0的数有几个 各是什么(3)有没有绝对值是-2的数

2计算(1)|-15|-|-6| (2)|-024|+|-506| (3)|-3|times|-2|

(4)|+4|times|-5| (5)|-12|divide|+2| (6)|20|divide -12

3填空(1)当agt0时|2a|= (2)当agt1时|a-1|= (3)当alt1时|a-1|=

4(1)如果m=-1那么-(- m )= (2)若 a-b =b-a则ab的大小关系是

5绝对值大于2而小于6的所有正整数之和是( )A7 B9 C12 D14

B组 能力提升

6如果0ltplt15那么当plexle15时代数式 x-p + x-15 + x-p-15 的最小值

是( )A30 B0 C15 D一个与p 有关的代数式

7若 x =a则 x-a 等于( )A0或2a Bx-a Ca-x D零

8有理数ab 在数轴上的位置如图3 2所示则在a+bb-2ab - a a-b

a+2 - b-4 中负数共有( )

a b

0 112

图3 2

A1个 B2个 C3个 D4个

31

初中数学思维拓展32讲(七年级)

9已知abc都是负数且 x-a + y-b + z-c =0则xyz是( )A正数 B非负数 C负数 D非正数

10已知x=-π3则 x+1 - x+2 + x+3 - x+4 +hellip+ x+11 - x+12 +

x+13 等于( )

A5 B7 C5-π3 D5+

π3

11若 a =19b =97且 a+b nea+b那么a-b的值是( )A-78或116 B78或116 C-78或-116 D78或-116

12已知 a =5b =3且 a-b =b-a那么a+b= 13已知 a =1b =2c =3agtbgtc则 a+b-c( )2=

C组 创新提高

14不相等的有理数abc在数轴上的对应点分别为ABC如果|a-b|+|b-c|=|a-c|那么B 点应为( )A在AC 点的右边 B在AC 点的左边

C在AC 点之间 D以上三种情况都有可能

15当b为何值时5- 2b-1 有最大值最大值是多少

16设abc 是非零有理数求 aa +

bb +

cc +

abab +

acac +

bcbc +

abcabc

等 于

17已知a 是 最 小 的 正 整 数bc 是 有 理 数并 且 有|2+b|+(3a+2c)2=0求 式 子

4ab+c-a2+c2+4

的值

专题反思

总题数 错误原因 错题序号

正确题数 (1)知识点不清

错误题数 (2)能力不够

(3)方法错误

给自己的

一句话

41

0 4 有理数的大小比较

专题简析

1 重点讲解

有理数的大小比较是后面学习不等式的基础全面理解掌握有理数大小比较的方法应从

以下几方面入手(1)利用数轴比较有理数的大小在数轴上表示的两个数右边的数比左边的数大(2)利用法则表示有理数的大小正数大于0负数小于0正数大于一切负数当要比较大

小的两个数是ldquo一正一负rdquoldquo零和正数rdquoldquo零和负数rdquo时用该法则既简便又快捷(3)利用绝对值表示有理数的大小两个正数比较大小绝对值大的数大两个负数比较

大小绝对值大的数反而小

2 难点点拨

有理数的大小比较的方法主要是利用定义法则以及数轴利用数轴判断有理数的大小的

过程体现了数形结合的思想在比较有理数大小时要考虑全面以免遗漏分析有的题目中可

以运用归纳法有些有理数需先化简再比较大小对于两个以上的数比较大小应先将这些数

按正数负数和零分成三类然后分别比较大小最后将这些数按一定顺序排列正数的大小比

较我们在小学就已学过故关键是注意负数的大小比较要熟练掌握已学过的负数的大小比较

方法另外在比较时应注意分数与小数的互化举例比较下列各组数的大小用ldquoltrdquo号把下列各组有理数连接起来

-513- -

23

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide-

35-42

解应先把- -23

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide-

35-42化简再利用有理数的大小比较法则比较由于

- -23

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide=23-

35 =

35-42=-42

而 -513 =5

13-42=42且5

13gt42

35lt

23

则有-513lt-42lt -

35 lt- -

23

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

答(略)

典例剖析

例1 画一条数轴并把-4-(-35)2120-

32

各数在数轴上表示出来再用ldquoltrdquo

51

初中数学思维拓展32讲(七年级)

把它们连接起来

思路点拨 在数轴上把各个数表示出来再根据在数轴上表示的数右边的数总比左

边的数大比较它们的大小即可解上述各数在数轴上如图4 1所示

0 1 2 3 4 51

234

02

23

4

5

21

(35)

图4 1

用ldquoltrdquo把它们连接为-4lt0lt -32 lt2

12lt-

(-35)

答(略)

点睛评注 本题考查了利用数轴比较有理数的大小在数轴上表示的数右边的数总

比左边的数大

类题演练

画出数轴在数轴上表示下列各数并用ldquoltrdquo连接

05-150-2-5+3例2 已知mgt0nlt0且|m|lt|n|在数轴上表示出mn-m-n 所对应的点并把

这4个数用ldquoltrdquo连接起来

思路点拨 根据已知求出-mlt0-ngt0-mgtn-ngtm再在数轴上表示出来

根据数轴上右边的数总比左边的数大比较它们的大小即可解因为mgt0nlt0且|m|lt|n|

所以-mlt0-ngt0-mgtn-ngtm上述各数在数轴上如图4 2所示

0 m nn m

图4 2

所以nlt-mltmlt-n

点睛评注 本题考查了数轴绝对值有理数的大小比较等知识点关键是判断m

-mn-n 的大小

类题演练

有理数ab在数轴上如图4 3所示

0 ba

图4 3

(1)在数轴上表示-a-b(2)试把ab0-a-b这五个数按从小到大用

ldquoltrdquo连接

61

第4讲 有理数的大小比较

(3)用ldquogtrdquoldquo=rdquo或ldquoltrdquo填空|a| a|b| b

例3 试比较-19971998

-9798-19981999

-9899

这四个数的大小

思路点拨 观察这四个分数的分子与分母可发现这四个分数可以化为同分子的分

数然后根据ldquo同分子的正分数分母大的分数比较小rdquo来比较它们的大小即可

解因为-19971998=-

1998-11998 =-1+

11998

-9798=-

98-198 =-1+

198

-19981999=-

1999-11999 =-1+

11999

-9899=-

99-199 =-1+

199

因为198gt

199gt

11998gt

11999

(同分子的正分数中分母大的分数比较小)

所以-19981999lt-

19971998lt-

9899lt-

9798

答(略)

点睛评注 解答本题时是借助不等式的性质(不等式的两边同时加上同一个数不等

式的符号方向不变)来比较有理数的大小的

类题演练

设a=199619951995

b=199519961995

c=199619951996

d=199519961996

试比较abcd 的大小

例4 四个数wxyz满足x-2001=y+2002=z-2003=w+2004那么其中最小的

数是 最大的数是

思路点拨 根据已知等式先分别求x-yx-zy-w 的值然后再用这些值与0

比较大小即可求得zgtxgtygtw解由x-2001=y+2002=z-2003=w+2004得

x-y=2001+2002=4003gt0所以xgty ①x-z=2001-2003=-2lt0所以zgtx ②y-w=2004-2002=2gt0所以ygtw ③由①②③式得

zgtxgtygtw所以四个数wxyz中最小的数是w最大的数是z

答wz

点睛评注 本题主要考查了有理数大小的比较两个正数比较大小绝对值大的数

大两个负数比较大小绝对值大的数反而小

71

初中数学思维拓展32讲(七年级)

类题演练

已知d-altc-blt0d-b=c-a那么abcd 之间的关系 (用ldquoltrdquo连接)

同步反馈

A组 基础夯实

1在25-2503这四个数中最小的数是( )A25 B-25 C0 D3

2如图4 4(A)(B)(C)(D)所示数轴上的点分别表示有理数ab若agtb其中表示正确的

图形是( )

A B C D

a b

0123

b a

0 11

a b

0 11

a b

0 11

图4 4

3(1)-2 +6(2)0 -18

(3)-32 -4

(4) -7 +7(5)-[-(-3)] +[-(+3)]

4一个数比它的相反数小这个数是( )A正数 B负数 C非负数 D非正数

5大于-4的负整数有 个6我国几个城市某年一月份的平均气温见表4 1其中气温最低的城市是( )

表4 1

城市 北京 武汉 广州 哈尔滨

平均气温 -46 38 131 -194

A北京 B武汉 C广州 D哈尔滨

B组 能力提升

7若ylt0则xx-yx+y 中最大的是( )Ax Bx-y Cx+y D不确定

8下面有4个正整数的集合(1)1~101中3的倍数(2)1~101中4的倍数(3)1~101中5的倍数(4)1~101中6的倍数其中平均数最大的集合是( )A(1) B(2) C(3) D(4)

81

第4讲 有理数的大小比较

9已知m 是正整数则m-m1m

的大小关系是( )

A-mlt1mltm B-mltmlt

1m C-mlt

1mlem D-mltmle

1m

10若agtbalt0则-(a+b)gt-bgt-agt-a+b是否正确

11比-312

大而比216

小的所有整数的和为

12已知有理数ab在数轴上的对应点的位置如图4 5所示0表示原点

0 11 ba

图4 5

①请在数轴上表示出数-a-b对应的点的位置

②请按从小到大的顺序排列a-a-bb-10的大小

C组 创新提高

13设A=1999111+11999222+1

B=1999222+11999333+1

则A 与B 的大小关系是

14比较-20112010

和-20122011

的大小

15仔细阅读下列材料

2009times20082008-2008times20092009= 分析可知很明显这个题直接计算比较烦琐可尝试用x 代替2009y 代替2008解令2009=x2008=y则原式=x(ytimes104+y)-y(xtimes104+x)=xytimes104+xy-xytimes104-xy=0我们常常ldquo用字母来表示数rdquo而上述材料根据问题特点将较大数字采用恰当的字母来表

示则更能使运算简捷明快(1)在上述问题解决过程中运用了 思维的方法体现了 的数学思想(2)参照上述材料中的方法解答下面两题

①计算 401820102-2009times2011

②若M=67890123457890123456

N=67890123447890123455

比较MN 的大小

专题反思

总题数 错误原因 错题序号

正确题数 (1)知识点不清

错误题数 (2)能力不够(3)方法错误

给自己的

一句话

91

0 5 有理数的加减

专题简析

1 重点讲解

(1)有理数的加法法则

①同号两数相加取与加数相同的符号并把绝对值相加

②异号两数相加取绝对值较大的加数的符号并用较大数的绝对值减去较小数的绝对值

③互为相反数的两个数相加得零

④一个数同零相加仍得这个数注意利用法则进行加法运算的步骤①判断两个加数的符号是同号异号还是有一个加

数为零以此来选择用哪条法则②确定和的符号(是ldquo+rdquo还是ldquo-rdquo)③求各加数的绝对值并确定和的绝对值(加数的绝对值是相加还是相减)

(2)有理数的加法运算律见表5 1

表5 1

有 理 数 加

法运算律

加法交换律

加法结

合律

文字语言 两个数相加交换加数的位置和不变

符号语言 a+b=b+a

文字语言三个数相加先把前两个数相加或者先把后两个数相加和不变

符号语言 (a+b)+c=a+(b+c)

注意交换加数的位置时不要忘记符号(3)有理数的减法法则减去一个数等于加上这个数的相反数即有a-b=a+(-b)注意将减法转化为加法时注意同时进行的两变一变是减法变加法二变是把减数变为

它的相反数如

6(2)=6+(+2) (2)3=(2)+(3)

(4)有理数加减混合运算①先利用减法法则将减法转化为加法②再运用加法交换律

和结合律使计算简便

2 难点点拨

掌握有理数的加减运算就是要求学生既算得快又准确显然做加法相对于做减法而言不容易出错所以加减混合运算时注意以下几点首先先去括号把式子整理成省略加号的和

02

第5讲 有理数的加减

的形式然后将这一形式看作是几个数相加运用加法法则来计算即可举例计算8-(-3)+(-1)-2-(-7)解原式=8+3-1-2+7=15(看作8+3+(-1)+(-2)+7即求83-1和-2相加

的和)答15

典例剖析

例1 计算(-55)+ +1115

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide+(+7)eacute

eumlecircecirc

ugrave

ucircuacuteuacute+ (-7)+ +

415

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide+(+25)eacute

eumlecircecirc

ugrave

ucircuacuteuacute

思路点拨 利用有理数加法的交换律和结合律计算

解原式=(-55)+ +1115

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide+(+7)+(-7)+ +

415

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide+(+25)

= +1115

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide+ +

415

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

eacute

eumlecircecirc

ugrave

ucircuacuteuacute+ (-55)+(+25)[ ]+ (-7)+(+7)[ ]=1+(-3)=-2

答-2

点睛评注 在运用有理数加法运算律时一定要根据需要灵活运用以达到简化的目

的通常有下列规律

①互为相反数的两个数先相加mdashmdashmdashldquo相反数结合法rdquo

②符号相同的两个数先相加mdashmdashmdashldquo同号结合法rdquo

③分母相同的数先相加mdashmdashmdashldquo同分母结合法rdquo

④整数与整数小数与小数分数与分数先相加mdashmdashmdashldquo同形结合法rdquo

类题演练

323+

(-263)+ -235

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide+(+363)+ -

23

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

例2 计算-3213

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide- +5

14

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide-3

17+ -5

14

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide- +2

67

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

eacute

eumlecircecirc

ugrave

ucircuacuteuacute

思路点拨 先观察式子可发现中括号里的数先运算较简便

解原式= -3213

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide- 5

14-3

17-5

14-2

67

eacute

eumlecircecirc

ugrave

ucircuacuteuacute=-32

13+6=-26

13

答-2613

点睛评注 在解决此类问题时一般要先去括号简化成省略加号和的形式再视情

况运用交换律和结合律简化运算另外在去括号时要时刻注意是否需要变号

12

• 第一讲
• 第二讲
• 第三讲
• 第四讲
• 第五讲
• 第六讲
• 第七讲
• 第八讲
• 第九讲
• 第十讲
• 第十一讲
• 第十二讲
• 第十三讲
• 第十四讲
• 第十五讲
• 第十六讲
• 第十七讲
• 第十八讲
• 第十九讲
• 第二十讲
• 第二十一讲
• 第二十二讲
• 第二十三讲13
• 第二十四讲
• 第二十五讲
• 第二十六讲
• 第二十七讲
• 第二十八讲
• 第二十九讲
• 第三十讲
• 第三十一讲
• 第三十二讲
• 参考答案13

第2讲 数轴

当AB 两点都不在原点时如图2 8mdash2所示点AB 都在原点的右边AB =OB - OA = b - a =b-a= a-b 当点AB 都在原点的左边如图2 8mdash3所示 AB = OB - OA = b - a =-b-(-a)= a-b 当点AB 在原点的两边如图2 8mdash4所示AB = OA + OB = a + b =a+(-b)= a-b

b

B

0

O(A)

b

B

a

A

0

O

b

B

a

A

0

O

b

B

a

A

0

O

图2 8mdash1 图2 8mdash2 图2 8mdash3 图2 8mdash4

综上数轴上AB 两点之间的距离 AB = a-b 请回答

① 数轴上表示2和5的两点之间的距离是 数轴上表示-2和-5的两点之间的距

离是 数轴上表示1和-3的两点之间的距离是

② 数轴上表示x 和 -1的两点 A 和B 之间的距离是 如果 AB =2那么x为

③ 当代数式 x+1 + x-2 取最小值时相应的x 的取值范围是 (2)试求 x-1 + x-2 + x-3 +hellip+ x-1997 的最小值

17如图2 9所示在数轴上(未标出原点及单位长度)点A 为线段BC的中点已知点ABC对应的三个数abc之积是负数这三个数之和与其中一数相等设p 为abc三数中两

数的比值求p 的最大值和最小值

B CA

图2 9

18某城镇沿环形路上依次排列有五所小学ABCDE它们依次有电脑15台7台11台3台14台为使各校的电脑数相同允许一些小学向相邻小学调出电脑怎样调配才能

使调出的电脑总台数最少 并求出电脑的最少总台数

专题反思

总题数 错误原因 错题序号

正确题数 (1)知识点不清

错误题数 (2)能力不够

(3)方法错误

给自己的

一句话

9

0 3 绝对值

专题简析

1 重点讲解

绝对值是初中代数中的一个基本概念是学习相反数有理数运算及后续算术根的基础绝对值又是初中代数中的一个重要概念在解代数式化简求值解方程(组)解不等式(组)等

问题中有着广泛的应用全面理解掌握绝对值这一概念应从以下几方面入手(1)绝对值的定义正数的绝对值是它本身负数的绝对值是它的相反数零的绝对值是

零即

a =a (agt0)

0 (a=0)

-a (alt0)

igrave

icirc

iacute

iumliuml

iumliuml

(2)绝对值的几何意义从数轴上看a 表示数a 的点到原点的距离(长度非负)

a-b 表示ab所代表的数轴上的两点间的距离而 x-a 表示数轴上表示数x 的点到表

示a 的点之间的距离(3)绝对值有如下基本性质

a ge0a 2= a2 =a2

ab = a middot bab =

ab(bne0)

a+b le a + ba-b ge a - b

2 难点点拨

在理解和运用绝对值的几何意义的过程中需要结合数轴这体现了数形结合的思想数与

形是数学中的两个最古老也是最基本的研究对象它们在一定条件下可以相互转化中学数

学研究的对象可分为数和形两大部分数与形是有联系的这个联系称为数形结合或形数结

合作为一种数学思想方法数形结合的应用大致可分为两种情形第一种情形是借助于数的

精确性来阐明形的某些属性第二种情形是借助形的几何直观性来阐明数之间的某种关系也就是说数形结合包括两个方面第一种情形是ldquo以数解形rdquo第二种情形是ldquo以形助数rdquo

举例已知a 是有理数a-2007 + a-2008 的最小值是 解由绝对值的几何意义知a-2007 + a-2008 表示数轴上的一点到表示数2007

和2008两点的距离的和要使和最小则这点必在2007~2008(包括这两个端点)取值(如图

01

第3讲 绝对值

3 1所示)故 a-2007 + a-2008 的最小值为1

0 2007 2008

图3 1

答1

典例剖析

例1 已知ab都是有理数且agt0blt0alt b 用ldquoltrdquo连接下列各数ab-a-b

思路点拨 由已知agt0blt0可知a是正数b是负数所以-a-b分别是负数和

正数又由alt b 可知alt-b-agtb答blt-altalt-b

点睛评注 此题也可以借助数轴把数表示在数轴上再比较它们的大小

类题演练

已知ab都是有理数分别在数轴上原点的左右两侧且b到原点的距离大于a到原点的

距离(1)比较 a 和b的大小(2)比较 a -bba 的大小并用ldquoltrdquo连接起来例2 字母a表示有理数求a的绝对值可以分为以下几种情况当agt0时a =a当

a=0时a =0当alt0时a =-a试用上述方法解答以下问题

(1)如果xne0求xx

的值

(2)如果yne3求y-3y-3

的值

思路点拨 解决问题的关键在于真正理解绝对值的概念先确定绝对值符号里面的

数的正负性再根据绝对值的概念求出这个数的绝对值

解(1)因为xne0所以当xgt0时x =x那么 xx =1

当xlt0时x =-x那么 xx =-1

(2)因为yne3所以当ygt3时y-3 =y-3那么 y-3y-3 =1

当ylt3时y-3 =-(y-3)那么 y-3y-3 =-1

答(略)

点睛评注 例2中求a的绝对值的三种情形实际上就是绝对值法则的符号表示应

理解其意义当用字母表示有理数时-a 不一定是负数它表示有理数a 的相反数其结果是

11

初中数学思维拓展32讲(七年级)

什么数要由数a 来决定

类题演练

(1)如果agt3则 a-3 = 3-a = (2)如果 x-2 +x-2=0那么x 的取值范围是( )Axgt2 Bxlt2 Cxge2 Dxle2

例3 如果 a =3b =5那么 a+b - a-b 的绝对值等于

思路点拨 分别求出ab的值再分类讨论求值

解因为 a =3所以a=3或-3因为 b =5所以b=5或-5

(1)当a=3b=5时a+b - a-b = 3+5 - 3-5 =8-2=6(2)当a=3b=-5时a+b - a-b = 3-5 - 3-(-5)=2-8=-6(3)当a=-3b=5时a+b - a-b = -3+5 - -3-5 =2-8=-6(4)当a=-3b=-5时a+b - a-b = -3-5 - -3-(-5)=8-2=6综上所述a+b - a-b =6或-6答6或-6

点睛评注 由绝对值的几何意义知道此类题型一定要分类讨论才会不漏解

类题演练

(1)式子 aa +

bb +

abab

的所有可能的值有( )

A2个 B3个 C4个 D无数个

(2)已知y= x-b + x-20 + x-b-20 其中0ltblt20blexle20那么y的

最小值为

例4 使代数式 3x- x4x

的值为正整数的x 值是( )

A正数 B负数 C0 D不存在

思路点拨 对含有多重绝对值符号的代数式一般要分类讨论本题可分xlt0和

xgt0两种情况但若能结合题意灵活运用定义解题过程就更简洁明了

解当xlt0时原式=3x+x4x = -4x

4x =-1

当xgt0时原式=3x-x4x =

2x4x=

12

又当x=0时代数式没有意义故所求代数式的值是-1或12与代数式的值是正整数

矛盾所以选D答D

点睛评注 求解后不要忘记检查结果是否符合题意比如本题解得代数式的值是

21

第3讲 绝对值

-1或12但是题目要求代数式的值为正整数所以都舍去为无解就只能选择D为不存在

类题演练

如果2a+b=0则ab -1 +

ab -2 等于( )

A2 B3 C4 D5

同步反馈

A组 基础夯实

1(1)绝对值是34

的数有几个 各是什么

(2)绝对值是0的数有几个 各是什么(3)有没有绝对值是-2的数

2计算(1)|-15|-|-6| (2)|-024|+|-506| (3)|-3|times|-2|

(4)|+4|times|-5| (5)|-12|divide|+2| (6)|20|divide -12

3填空(1)当agt0时|2a|= (2)当agt1时|a-1|= (3)当alt1时|a-1|=

4(1)如果m=-1那么-(- m )= (2)若 a-b =b-a则ab的大小关系是

5绝对值大于2而小于6的所有正整数之和是( )A7 B9 C12 D14

B组 能力提升

6如果0ltplt15那么当plexle15时代数式 x-p + x-15 + x-p-15 的最小值

是( )A30 B0 C15 D一个与p 有关的代数式

7若 x =a则 x-a 等于( )A0或2a Bx-a Ca-x D零

8有理数ab 在数轴上的位置如图3 2所示则在a+bb-2ab - a a-b

a+2 - b-4 中负数共有( )

a b

0 112

图3 2

A1个 B2个 C3个 D4个

31

初中数学思维拓展32讲(七年级)

9已知abc都是负数且 x-a + y-b + z-c =0则xyz是( )A正数 B非负数 C负数 D非正数

10已知x=-π3则 x+1 - x+2 + x+3 - x+4 +hellip+ x+11 - x+12 +

x+13 等于( )

A5 B7 C5-π3 D5+

π3

11若 a =19b =97且 a+b nea+b那么a-b的值是( )A-78或116 B78或116 C-78或-116 D78或-116

12已知 a =5b =3且 a-b =b-a那么a+b= 13已知 a =1b =2c =3agtbgtc则 a+b-c( )2=

C组 创新提高

14不相等的有理数abc在数轴上的对应点分别为ABC如果|a-b|+|b-c|=|a-c|那么B 点应为( )A在AC 点的右边 B在AC 点的左边

C在AC 点之间 D以上三种情况都有可能

15当b为何值时5- 2b-1 有最大值最大值是多少

16设abc 是非零有理数求 aa +

bb +

cc +

abab +

acac +

bcbc +

abcabc

等 于

17已知a 是 最 小 的 正 整 数bc 是 有 理 数并 且 有|2+b|+(3a+2c)2=0求 式 子

4ab+c-a2+c2+4

的值

专题反思

总题数 错误原因 错题序号

正确题数 (1)知识点不清

错误题数 (2)能力不够

(3)方法错误

给自己的

一句话

41

0 4 有理数的大小比较

专题简析

1 重点讲解

有理数的大小比较是后面学习不等式的基础全面理解掌握有理数大小比较的方法应从

以下几方面入手(1)利用数轴比较有理数的大小在数轴上表示的两个数右边的数比左边的数大(2)利用法则表示有理数的大小正数大于0负数小于0正数大于一切负数当要比较大

小的两个数是ldquo一正一负rdquoldquo零和正数rdquoldquo零和负数rdquo时用该法则既简便又快捷(3)利用绝对值表示有理数的大小两个正数比较大小绝对值大的数大两个负数比较

大小绝对值大的数反而小

2 难点点拨

有理数的大小比较的方法主要是利用定义法则以及数轴利用数轴判断有理数的大小的

过程体现了数形结合的思想在比较有理数大小时要考虑全面以免遗漏分析有的题目中可

以运用归纳法有些有理数需先化简再比较大小对于两个以上的数比较大小应先将这些数

按正数负数和零分成三类然后分别比较大小最后将这些数按一定顺序排列正数的大小比

较我们在小学就已学过故关键是注意负数的大小比较要熟练掌握已学过的负数的大小比较

方法另外在比较时应注意分数与小数的互化举例比较下列各组数的大小用ldquoltrdquo号把下列各组有理数连接起来

-513- -

23

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide-

35-42

解应先把- -23

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide-

35-42化简再利用有理数的大小比较法则比较由于

- -23

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide=23-

35 =

35-42=-42

而 -513 =5

13-42=42且5

13gt42

35lt

23

则有-513lt-42lt -

35 lt- -

23

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

答(略)

典例剖析

例1 画一条数轴并把-4-(-35)2120-

32

各数在数轴上表示出来再用ldquoltrdquo

51

初中数学思维拓展32讲(七年级)

把它们连接起来

思路点拨 在数轴上把各个数表示出来再根据在数轴上表示的数右边的数总比左

边的数大比较它们的大小即可解上述各数在数轴上如图4 1所示

0 1 2 3 4 51

234

02

23

4

5

21

(35)

图4 1

用ldquoltrdquo把它们连接为-4lt0lt -32 lt2

12lt-

(-35)

答(略)

点睛评注 本题考查了利用数轴比较有理数的大小在数轴上表示的数右边的数总

比左边的数大

类题演练

画出数轴在数轴上表示下列各数并用ldquoltrdquo连接

05-150-2-5+3例2 已知mgt0nlt0且|m|lt|n|在数轴上表示出mn-m-n 所对应的点并把

这4个数用ldquoltrdquo连接起来

思路点拨 根据已知求出-mlt0-ngt0-mgtn-ngtm再在数轴上表示出来

根据数轴上右边的数总比左边的数大比较它们的大小即可解因为mgt0nlt0且|m|lt|n|

所以-mlt0-ngt0-mgtn-ngtm上述各数在数轴上如图4 2所示

0 m nn m

图4 2

所以nlt-mltmlt-n

点睛评注 本题考查了数轴绝对值有理数的大小比较等知识点关键是判断m

-mn-n 的大小

类题演练

有理数ab在数轴上如图4 3所示

0 ba

图4 3

(1)在数轴上表示-a-b(2)试把ab0-a-b这五个数按从小到大用

ldquoltrdquo连接

61

第4讲 有理数的大小比较

(3)用ldquogtrdquoldquo=rdquo或ldquoltrdquo填空|a| a|b| b

例3 试比较-19971998

-9798-19981999

-9899

这四个数的大小

思路点拨 观察这四个分数的分子与分母可发现这四个分数可以化为同分子的分

数然后根据ldquo同分子的正分数分母大的分数比较小rdquo来比较它们的大小即可

解因为-19971998=-

1998-11998 =-1+

11998

-9798=-

98-198 =-1+

198

-19981999=-

1999-11999 =-1+

11999

-9899=-

99-199 =-1+

199

因为198gt

199gt

11998gt

11999

(同分子的正分数中分母大的分数比较小)

所以-19981999lt-

19971998lt-

9899lt-

9798

答(略)

点睛评注 解答本题时是借助不等式的性质(不等式的两边同时加上同一个数不等

式的符号方向不变)来比较有理数的大小的

类题演练

设a=199619951995

b=199519961995

c=199619951996

d=199519961996

试比较abcd 的大小

例4 四个数wxyz满足x-2001=y+2002=z-2003=w+2004那么其中最小的

数是 最大的数是

思路点拨 根据已知等式先分别求x-yx-zy-w 的值然后再用这些值与0

比较大小即可求得zgtxgtygtw解由x-2001=y+2002=z-2003=w+2004得

x-y=2001+2002=4003gt0所以xgty ①x-z=2001-2003=-2lt0所以zgtx ②y-w=2004-2002=2gt0所以ygtw ③由①②③式得

zgtxgtygtw所以四个数wxyz中最小的数是w最大的数是z

答wz

点睛评注 本题主要考查了有理数大小的比较两个正数比较大小绝对值大的数

大两个负数比较大小绝对值大的数反而小

71

初中数学思维拓展32讲(七年级)

类题演练

已知d-altc-blt0d-b=c-a那么abcd 之间的关系 (用ldquoltrdquo连接)

同步反馈

A组 基础夯实

1在25-2503这四个数中最小的数是( )A25 B-25 C0 D3

2如图4 4(A)(B)(C)(D)所示数轴上的点分别表示有理数ab若agtb其中表示正确的

图形是( )

A B C D

a b

0123

b a

0 11

a b

0 11

a b

0 11

图4 4

3(1)-2 +6(2)0 -18

(3)-32 -4

(4) -7 +7(5)-[-(-3)] +[-(+3)]

4一个数比它的相反数小这个数是( )A正数 B负数 C非负数 D非正数

5大于-4的负整数有 个6我国几个城市某年一月份的平均气温见表4 1其中气温最低的城市是( )

表4 1

城市 北京 武汉 广州 哈尔滨

平均气温 -46 38 131 -194

A北京 B武汉 C广州 D哈尔滨

B组 能力提升

7若ylt0则xx-yx+y 中最大的是( )Ax Bx-y Cx+y D不确定

8下面有4个正整数的集合(1)1~101中3的倍数(2)1~101中4的倍数(3)1~101中5的倍数(4)1~101中6的倍数其中平均数最大的集合是( )A(1) B(2) C(3) D(4)

81

第4讲 有理数的大小比较

9已知m 是正整数则m-m1m

的大小关系是( )

A-mlt1mltm B-mltmlt

1m C-mlt

1mlem D-mltmle

1m

10若agtbalt0则-(a+b)gt-bgt-agt-a+b是否正确

11比-312

大而比216

小的所有整数的和为

12已知有理数ab在数轴上的对应点的位置如图4 5所示0表示原点

0 11 ba

图4 5

①请在数轴上表示出数-a-b对应的点的位置

②请按从小到大的顺序排列a-a-bb-10的大小

C组 创新提高

13设A=1999111+11999222+1

B=1999222+11999333+1

则A 与B 的大小关系是

14比较-20112010

和-20122011

的大小

15仔细阅读下列材料

2009times20082008-2008times20092009= 分析可知很明显这个题直接计算比较烦琐可尝试用x 代替2009y 代替2008解令2009=x2008=y则原式=x(ytimes104+y)-y(xtimes104+x)=xytimes104+xy-xytimes104-xy=0我们常常ldquo用字母来表示数rdquo而上述材料根据问题特点将较大数字采用恰当的字母来表

示则更能使运算简捷明快(1)在上述问题解决过程中运用了 思维的方法体现了 的数学思想(2)参照上述材料中的方法解答下面两题

①计算 401820102-2009times2011

②若M=67890123457890123456

N=67890123447890123455

比较MN 的大小

专题反思

总题数 错误原因 错题序号

正确题数 (1)知识点不清

错误题数 (2)能力不够(3)方法错误

给自己的

一句话

91

0 5 有理数的加减

专题简析

1 重点讲解

(1)有理数的加法法则

①同号两数相加取与加数相同的符号并把绝对值相加

②异号两数相加取绝对值较大的加数的符号并用较大数的绝对值减去较小数的绝对值

③互为相反数的两个数相加得零

④一个数同零相加仍得这个数注意利用法则进行加法运算的步骤①判断两个加数的符号是同号异号还是有一个加

数为零以此来选择用哪条法则②确定和的符号(是ldquo+rdquo还是ldquo-rdquo)③求各加数的绝对值并确定和的绝对值(加数的绝对值是相加还是相减)

(2)有理数的加法运算律见表5 1

表5 1

有 理 数 加

法运算律

加法交换律

加法结

合律

文字语言 两个数相加交换加数的位置和不变

符号语言 a+b=b+a

文字语言三个数相加先把前两个数相加或者先把后两个数相加和不变

符号语言 (a+b)+c=a+(b+c)

注意交换加数的位置时不要忘记符号(3)有理数的减法法则减去一个数等于加上这个数的相反数即有a-b=a+(-b)注意将减法转化为加法时注意同时进行的两变一变是减法变加法二变是把减数变为

它的相反数如

6(2)=6+(+2) (2)3=(2)+(3)

(4)有理数加减混合运算①先利用减法法则将减法转化为加法②再运用加法交换律

和结合律使计算简便

2 难点点拨

掌握有理数的加减运算就是要求学生既算得快又准确显然做加法相对于做减法而言不容易出错所以加减混合运算时注意以下几点首先先去括号把式子整理成省略加号的和

02

第5讲 有理数的加减

的形式然后将这一形式看作是几个数相加运用加法法则来计算即可举例计算8-(-3)+(-1)-2-(-7)解原式=8+3-1-2+7=15(看作8+3+(-1)+(-2)+7即求83-1和-2相加

的和)答15

典例剖析

例1 计算(-55)+ +1115

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide+(+7)eacute

eumlecircecirc

ugrave

ucircuacuteuacute+ (-7)+ +

415

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide+(+25)eacute

eumlecircecirc

ugrave

ucircuacuteuacute

思路点拨 利用有理数加法的交换律和结合律计算

解原式=(-55)+ +1115

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide+(+7)+(-7)+ +

415

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide+(+25)

= +1115

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide+ +

415

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

eacute

eumlecircecirc

ugrave

ucircuacuteuacute+ (-55)+(+25)[ ]+ (-7)+(+7)[ ]=1+(-3)=-2

答-2

点睛评注 在运用有理数加法运算律时一定要根据需要灵活运用以达到简化的目

的通常有下列规律

①互为相反数的两个数先相加mdashmdashmdashldquo相反数结合法rdquo

②符号相同的两个数先相加mdashmdashmdashldquo同号结合法rdquo

③分母相同的数先相加mdashmdashmdashldquo同分母结合法rdquo

④整数与整数小数与小数分数与分数先相加mdashmdashmdashldquo同形结合法rdquo

类题演练

323+

(-263)+ -235

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide+(+363)+ -

23

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

例2 计算-3213

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide- +5

14

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide-3

17+ -5

14

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide- +2

67

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

eacute

eumlecircecirc

ugrave

ucircuacuteuacute

思路点拨 先观察式子可发现中括号里的数先运算较简便

解原式= -3213

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide- 5

14-3

17-5

14-2

67

eacute

eumlecircecirc

ugrave

ucircuacuteuacute=-32

13+6=-26

13

答-2613

点睛评注 在解决此类问题时一般要先去括号简化成省略加号和的形式再视情

况运用交换律和结合律简化运算另外在去括号时要时刻注意是否需要变号

12

• 第一讲
• 第二讲
• 第三讲
• 第四讲
• 第五讲
• 第六讲
• 第七讲
• 第八讲
• 第九讲
• 第十讲
• 第十一讲
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• 第十八讲
• 第十九讲
• 第二十讲
• 第二十一讲
• 第二十二讲
• 第二十三讲13
• 第二十四讲
• 第二十五讲
• 第二十六讲
• 第二十七讲
• 第二十八讲
• 第二十九讲
• 第三十讲
• 第三十一讲
• 第三十二讲
• 参考答案13

0 3 绝对值

专题简析

1 重点讲解

绝对值是初中代数中的一个基本概念是学习相反数有理数运算及后续算术根的基础绝对值又是初中代数中的一个重要概念在解代数式化简求值解方程(组)解不等式(组)等

问题中有着广泛的应用全面理解掌握绝对值这一概念应从以下几方面入手(1)绝对值的定义正数的绝对值是它本身负数的绝对值是它的相反数零的绝对值是

零即

a =a (agt0)

0 (a=0)

-a (alt0)

igrave

icirc

iacute

iumliuml

iumliuml

(2)绝对值的几何意义从数轴上看a 表示数a 的点到原点的距离(长度非负)

a-b 表示ab所代表的数轴上的两点间的距离而 x-a 表示数轴上表示数x 的点到表

示a 的点之间的距离(3)绝对值有如下基本性质

a ge0a 2= a2 =a2

ab = a middot bab =

ab(bne0)

a+b le a + ba-b ge a - b

2 难点点拨

在理解和运用绝对值的几何意义的过程中需要结合数轴这体现了数形结合的思想数与

形是数学中的两个最古老也是最基本的研究对象它们在一定条件下可以相互转化中学数

学研究的对象可分为数和形两大部分数与形是有联系的这个联系称为数形结合或形数结

合作为一种数学思想方法数形结合的应用大致可分为两种情形第一种情形是借助于数的

精确性来阐明形的某些属性第二种情形是借助形的几何直观性来阐明数之间的某种关系也就是说数形结合包括两个方面第一种情形是ldquo以数解形rdquo第二种情形是ldquo以形助数rdquo

举例已知a 是有理数a-2007 + a-2008 的最小值是 解由绝对值的几何意义知a-2007 + a-2008 表示数轴上的一点到表示数2007

和2008两点的距离的和要使和最小则这点必在2007~2008(包括这两个端点)取值(如图

01

第3讲 绝对值

3 1所示)故 a-2007 + a-2008 的最小值为1

0 2007 2008

图3 1

答1

典例剖析

例1 已知ab都是有理数且agt0blt0alt b 用ldquoltrdquo连接下列各数ab-a-b

思路点拨 由已知agt0blt0可知a是正数b是负数所以-a-b分别是负数和

正数又由alt b 可知alt-b-agtb答blt-altalt-b

点睛评注 此题也可以借助数轴把数表示在数轴上再比较它们的大小

类题演练

已知ab都是有理数分别在数轴上原点的左右两侧且b到原点的距离大于a到原点的

距离(1)比较 a 和b的大小(2)比较 a -bba 的大小并用ldquoltrdquo连接起来例2 字母a表示有理数求a的绝对值可以分为以下几种情况当agt0时a =a当

a=0时a =0当alt0时a =-a试用上述方法解答以下问题

(1)如果xne0求xx

的值

(2)如果yne3求y-3y-3

的值

思路点拨 解决问题的关键在于真正理解绝对值的概念先确定绝对值符号里面的

数的正负性再根据绝对值的概念求出这个数的绝对值

解(1)因为xne0所以当xgt0时x =x那么 xx =1

当xlt0时x =-x那么 xx =-1

(2)因为yne3所以当ygt3时y-3 =y-3那么 y-3y-3 =1

当ylt3时y-3 =-(y-3)那么 y-3y-3 =-1

答(略)

点睛评注 例2中求a的绝对值的三种情形实际上就是绝对值法则的符号表示应

理解其意义当用字母表示有理数时-a 不一定是负数它表示有理数a 的相反数其结果是

11

初中数学思维拓展32讲(七年级)

什么数要由数a 来决定

类题演练

(1)如果agt3则 a-3 = 3-a = (2)如果 x-2 +x-2=0那么x 的取值范围是( )Axgt2 Bxlt2 Cxge2 Dxle2

例3 如果 a =3b =5那么 a+b - a-b 的绝对值等于

思路点拨 分别求出ab的值再分类讨论求值

解因为 a =3所以a=3或-3因为 b =5所以b=5或-5

(1)当a=3b=5时a+b - a-b = 3+5 - 3-5 =8-2=6(2)当a=3b=-5时a+b - a-b = 3-5 - 3-(-5)=2-8=-6(3)当a=-3b=5时a+b - a-b = -3+5 - -3-5 =2-8=-6(4)当a=-3b=-5时a+b - a-b = -3-5 - -3-(-5)=8-2=6综上所述a+b - a-b =6或-6答6或-6

点睛评注 由绝对值的几何意义知道此类题型一定要分类讨论才会不漏解

类题演练

(1)式子 aa +

bb +

abab

的所有可能的值有( )

A2个 B3个 C4个 D无数个

(2)已知y= x-b + x-20 + x-b-20 其中0ltblt20blexle20那么y的

最小值为

例4 使代数式 3x- x4x

的值为正整数的x 值是( )

A正数 B负数 C0 D不存在

思路点拨 对含有多重绝对值符号的代数式一般要分类讨论本题可分xlt0和

xgt0两种情况但若能结合题意灵活运用定义解题过程就更简洁明了

解当xlt0时原式=3x+x4x = -4x

4x =-1

当xgt0时原式=3x-x4x =

2x4x=

12

又当x=0时代数式没有意义故所求代数式的值是-1或12与代数式的值是正整数

矛盾所以选D答D

点睛评注 求解后不要忘记检查结果是否符合题意比如本题解得代数式的值是

21

第3讲 绝对值

-1或12但是题目要求代数式的值为正整数所以都舍去为无解就只能选择D为不存在

类题演练

如果2a+b=0则ab -1 +

ab -2 等于( )

A2 B3 C4 D5

同步反馈

A组 基础夯实

1(1)绝对值是34

的数有几个 各是什么

(2)绝对值是0的数有几个 各是什么(3)有没有绝对值是-2的数

2计算(1)|-15|-|-6| (2)|-024|+|-506| (3)|-3|times|-2|

(4)|+4|times|-5| (5)|-12|divide|+2| (6)|20|divide -12

3填空(1)当agt0时|2a|= (2)当agt1时|a-1|= (3)当alt1时|a-1|=

4(1)如果m=-1那么-(- m )= (2)若 a-b =b-a则ab的大小关系是

5绝对值大于2而小于6的所有正整数之和是( )A7 B9 C12 D14

B组 能力提升

6如果0ltplt15那么当plexle15时代数式 x-p + x-15 + x-p-15 的最小值

是( )A30 B0 C15 D一个与p 有关的代数式

7若 x =a则 x-a 等于( )A0或2a Bx-a Ca-x D零

8有理数ab 在数轴上的位置如图3 2所示则在a+bb-2ab - a a-b

a+2 - b-4 中负数共有( )

a b

0 112

图3 2

A1个 B2个 C3个 D4个

31

初中数学思维拓展32讲(七年级)

9已知abc都是负数且 x-a + y-b + z-c =0则xyz是( )A正数 B非负数 C负数 D非正数

10已知x=-π3则 x+1 - x+2 + x+3 - x+4 +hellip+ x+11 - x+12 +

x+13 等于( )

A5 B7 C5-π3 D5+

π3

11若 a =19b =97且 a+b nea+b那么a-b的值是( )A-78或116 B78或116 C-78或-116 D78或-116

12已知 a =5b =3且 a-b =b-a那么a+b= 13已知 a =1b =2c =3agtbgtc则 a+b-c( )2=

C组 创新提高

14不相等的有理数abc在数轴上的对应点分别为ABC如果|a-b|+|b-c|=|a-c|那么B 点应为( )A在AC 点的右边 B在AC 点的左边

C在AC 点之间 D以上三种情况都有可能

15当b为何值时5- 2b-1 有最大值最大值是多少

16设abc 是非零有理数求 aa +

bb +

cc +

abab +

acac +

bcbc +

abcabc

等 于

17已知a 是 最 小 的 正 整 数bc 是 有 理 数并 且 有|2+b|+(3a+2c)2=0求 式 子

4ab+c-a2+c2+4

的值

专题反思

总题数 错误原因 错题序号

正确题数 (1)知识点不清

错误题数 (2)能力不够

(3)方法错误

给自己的

一句话

41

0 4 有理数的大小比较

专题简析

1 重点讲解

有理数的大小比较是后面学习不等式的基础全面理解掌握有理数大小比较的方法应从

以下几方面入手(1)利用数轴比较有理数的大小在数轴上表示的两个数右边的数比左边的数大(2)利用法则表示有理数的大小正数大于0负数小于0正数大于一切负数当要比较大

小的两个数是ldquo一正一负rdquoldquo零和正数rdquoldquo零和负数rdquo时用该法则既简便又快捷(3)利用绝对值表示有理数的大小两个正数比较大小绝对值大的数大两个负数比较

大小绝对值大的数反而小

2 难点点拨

有理数的大小比较的方法主要是利用定义法则以及数轴利用数轴判断有理数的大小的

过程体现了数形结合的思想在比较有理数大小时要考虑全面以免遗漏分析有的题目中可

以运用归纳法有些有理数需先化简再比较大小对于两个以上的数比较大小应先将这些数

按正数负数和零分成三类然后分别比较大小最后将这些数按一定顺序排列正数的大小比

较我们在小学就已学过故关键是注意负数的大小比较要熟练掌握已学过的负数的大小比较

方法另外在比较时应注意分数与小数的互化举例比较下列各组数的大小用ldquoltrdquo号把下列各组有理数连接起来

-513- -

23

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide-

35-42

解应先把- -23

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide-

35-42化简再利用有理数的大小比较法则比较由于

- -23

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide=23-

35 =

35-42=-42

而 -513 =5

13-42=42且5

13gt42

35lt

23

则有-513lt-42lt -

35 lt- -

23

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

答(略)

典例剖析

例1 画一条数轴并把-4-(-35)2120-

32

各数在数轴上表示出来再用ldquoltrdquo

51

初中数学思维拓展32讲(七年级)

把它们连接起来

思路点拨 在数轴上把各个数表示出来再根据在数轴上表示的数右边的数总比左

边的数大比较它们的大小即可解上述各数在数轴上如图4 1所示

0 1 2 3 4 51

234

02

23

4

5

21

(35)

图4 1

用ldquoltrdquo把它们连接为-4lt0lt -32 lt2

12lt-

(-35)

答(略)

点睛评注 本题考查了利用数轴比较有理数的大小在数轴上表示的数右边的数总

比左边的数大

类题演练

画出数轴在数轴上表示下列各数并用ldquoltrdquo连接

05-150-2-5+3例2 已知mgt0nlt0且|m|lt|n|在数轴上表示出mn-m-n 所对应的点并把

这4个数用ldquoltrdquo连接起来

思路点拨 根据已知求出-mlt0-ngt0-mgtn-ngtm再在数轴上表示出来

根据数轴上右边的数总比左边的数大比较它们的大小即可解因为mgt0nlt0且|m|lt|n|

所以-mlt0-ngt0-mgtn-ngtm上述各数在数轴上如图4 2所示

0 m nn m

图4 2

所以nlt-mltmlt-n

点睛评注 本题考查了数轴绝对值有理数的大小比较等知识点关键是判断m

-mn-n 的大小

类题演练

有理数ab在数轴上如图4 3所示

0 ba

图4 3

(1)在数轴上表示-a-b(2)试把ab0-a-b这五个数按从小到大用

ldquoltrdquo连接

61

第4讲 有理数的大小比较

(3)用ldquogtrdquoldquo=rdquo或ldquoltrdquo填空|a| a|b| b

例3 试比较-19971998

-9798-19981999

-9899

这四个数的大小

思路点拨 观察这四个分数的分子与分母可发现这四个分数可以化为同分子的分

数然后根据ldquo同分子的正分数分母大的分数比较小rdquo来比较它们的大小即可

解因为-19971998=-

1998-11998 =-1+

11998

-9798=-

98-198 =-1+

198

-19981999=-

1999-11999 =-1+

11999

-9899=-

99-199 =-1+

199

因为198gt

199gt

11998gt

11999

(同分子的正分数中分母大的分数比较小)

所以-19981999lt-

19971998lt-

9899lt-

9798

答(略)

点睛评注 解答本题时是借助不等式的性质(不等式的两边同时加上同一个数不等

式的符号方向不变)来比较有理数的大小的

类题演练

设a=199619951995

b=199519961995

c=199619951996

d=199519961996

试比较abcd 的大小

例4 四个数wxyz满足x-2001=y+2002=z-2003=w+2004那么其中最小的

数是 最大的数是

思路点拨 根据已知等式先分别求x-yx-zy-w 的值然后再用这些值与0

比较大小即可求得zgtxgtygtw解由x-2001=y+2002=z-2003=w+2004得

x-y=2001+2002=4003gt0所以xgty ①x-z=2001-2003=-2lt0所以zgtx ②y-w=2004-2002=2gt0所以ygtw ③由①②③式得

zgtxgtygtw所以四个数wxyz中最小的数是w最大的数是z

答wz

点睛评注 本题主要考查了有理数大小的比较两个正数比较大小绝对值大的数

大两个负数比较大小绝对值大的数反而小

71

初中数学思维拓展32讲(七年级)

类题演练

已知d-altc-blt0d-b=c-a那么abcd 之间的关系 (用ldquoltrdquo连接)

同步反馈

A组 基础夯实

1在25-2503这四个数中最小的数是( )A25 B-25 C0 D3

2如图4 4(A)(B)(C)(D)所示数轴上的点分别表示有理数ab若agtb其中表示正确的

图形是( )

A B C D

a b

0123

b a

0 11

a b

0 11

a b

0 11

图4 4

3(1)-2 +6(2)0 -18

(3)-32 -4

(4) -7 +7(5)-[-(-3)] +[-(+3)]

4一个数比它的相反数小这个数是( )A正数 B负数 C非负数 D非正数

5大于-4的负整数有 个6我国几个城市某年一月份的平均气温见表4 1其中气温最低的城市是( )

表4 1

城市 北京 武汉 广州 哈尔滨

平均气温 -46 38 131 -194

A北京 B武汉 C广州 D哈尔滨

B组 能力提升

7若ylt0则xx-yx+y 中最大的是( )Ax Bx-y Cx+y D不确定

8下面有4个正整数的集合(1)1~101中3的倍数(2)1~101中4的倍数(3)1~101中5的倍数(4)1~101中6的倍数其中平均数最大的集合是( )A(1) B(2) C(3) D(4)

81

第4讲 有理数的大小比较

9已知m 是正整数则m-m1m

的大小关系是( )

A-mlt1mltm B-mltmlt

1m C-mlt

1mlem D-mltmle

1m

10若agtbalt0则-(a+b)gt-bgt-agt-a+b是否正确

11比-312

大而比216

小的所有整数的和为

12已知有理数ab在数轴上的对应点的位置如图4 5所示0表示原点

0 11 ba

图4 5

①请在数轴上表示出数-a-b对应的点的位置

②请按从小到大的顺序排列a-a-bb-10的大小

C组 创新提高

13设A=1999111+11999222+1

B=1999222+11999333+1

则A 与B 的大小关系是

14比较-20112010

和-20122011

的大小

15仔细阅读下列材料

2009times20082008-2008times20092009= 分析可知很明显这个题直接计算比较烦琐可尝试用x 代替2009y 代替2008解令2009=x2008=y则原式=x(ytimes104+y)-y(xtimes104+x)=xytimes104+xy-xytimes104-xy=0我们常常ldquo用字母来表示数rdquo而上述材料根据问题特点将较大数字采用恰当的字母来表

示则更能使运算简捷明快(1)在上述问题解决过程中运用了 思维的方法体现了 的数学思想(2)参照上述材料中的方法解答下面两题

①计算 401820102-2009times2011

②若M=67890123457890123456

N=67890123447890123455

比较MN 的大小

专题反思

总题数 错误原因 错题序号

正确题数 (1)知识点不清

错误题数 (2)能力不够(3)方法错误

给自己的

一句话

91

0 5 有理数的加减

专题简析

1 重点讲解

(1)有理数的加法法则

①同号两数相加取与加数相同的符号并把绝对值相加

②异号两数相加取绝对值较大的加数的符号并用较大数的绝对值减去较小数的绝对值

③互为相反数的两个数相加得零

④一个数同零相加仍得这个数注意利用法则进行加法运算的步骤①判断两个加数的符号是同号异号还是有一个加

数为零以此来选择用哪条法则②确定和的符号(是ldquo+rdquo还是ldquo-rdquo)③求各加数的绝对值并确定和的绝对值(加数的绝对值是相加还是相减)

(2)有理数的加法运算律见表5 1

表5 1

有 理 数 加

法运算律

加法交换律

加法结

合律

文字语言 两个数相加交换加数的位置和不变

符号语言 a+b=b+a

文字语言三个数相加先把前两个数相加或者先把后两个数相加和不变

符号语言 (a+b)+c=a+(b+c)

注意交换加数的位置时不要忘记符号(3)有理数的减法法则减去一个数等于加上这个数的相反数即有a-b=a+(-b)注意将减法转化为加法时注意同时进行的两变一变是减法变加法二变是把减数变为

它的相反数如

6(2)=6+(+2) (2)3=(2)+(3)

(4)有理数加减混合运算①先利用减法法则将减法转化为加法②再运用加法交换律

和结合律使计算简便

2 难点点拨

掌握有理数的加减运算就是要求学生既算得快又准确显然做加法相对于做减法而言不容易出错所以加减混合运算时注意以下几点首先先去括号把式子整理成省略加号的和

02

第5讲 有理数的加减

的形式然后将这一形式看作是几个数相加运用加法法则来计算即可举例计算8-(-3)+(-1)-2-(-7)解原式=8+3-1-2+7=15(看作8+3+(-1)+(-2)+7即求83-1和-2相加

的和)答15

典例剖析

例1 计算(-55)+ +1115

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide+(+7)eacute

eumlecircecirc

ugrave

ucircuacuteuacute+ (-7)+ +

415

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide+(+25)eacute

eumlecircecirc

ugrave

ucircuacuteuacute

思路点拨 利用有理数加法的交换律和结合律计算

解原式=(-55)+ +1115

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide+(+7)+(-7)+ +

415

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide+(+25)

= +1115

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide+ +

415

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

eacute

eumlecircecirc

ugrave

ucircuacuteuacute+ (-55)+(+25)[ ]+ (-7)+(+7)[ ]=1+(-3)=-2

答-2

点睛评注 在运用有理数加法运算律时一定要根据需要灵活运用以达到简化的目

的通常有下列规律

①互为相反数的两个数先相加mdashmdashmdashldquo相反数结合法rdquo

②符号相同的两个数先相加mdashmdashmdashldquo同号结合法rdquo

③分母相同的数先相加mdashmdashmdashldquo同分母结合法rdquo

④整数与整数小数与小数分数与分数先相加mdashmdashmdashldquo同形结合法rdquo

类题演练

323+

(-263)+ -235

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide+(+363)+ -

23

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

例2 计算-3213

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide- +5

14

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide-3

17+ -5

14

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide- +2

67

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

eacute

eumlecircecirc

ugrave

ucircuacuteuacute

思路点拨 先观察式子可发现中括号里的数先运算较简便

解原式= -3213

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide- 5

14-3

17-5

14-2

67

eacute

eumlecircecirc

ugrave

ucircuacuteuacute=-32

13+6=-26

13

答-2613

点睛评注 在解决此类问题时一般要先去括号简化成省略加号和的形式再视情

况运用交换律和结合律简化运算另外在去括号时要时刻注意是否需要变号

12

• 第一讲
• 第二讲
• 第三讲
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• 第二十二讲
• 第二十三讲13
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• 第三十一讲
• 第三十二讲
• 参考答案13

第3讲 绝对值

3 1所示)故 a-2007 + a-2008 的最小值为1

0 2007 2008

图3 1

答1

典例剖析

例1 已知ab都是有理数且agt0blt0alt b 用ldquoltrdquo连接下列各数ab-a-b

思路点拨 由已知agt0blt0可知a是正数b是负数所以-a-b分别是负数和

正数又由alt b 可知alt-b-agtb答blt-altalt-b

点睛评注 此题也可以借助数轴把数表示在数轴上再比较它们的大小

类题演练

已知ab都是有理数分别在数轴上原点的左右两侧且b到原点的距离大于a到原点的

距离(1)比较 a 和b的大小(2)比较 a -bba 的大小并用ldquoltrdquo连接起来例2 字母a表示有理数求a的绝对值可以分为以下几种情况当agt0时a =a当

a=0时a =0当alt0时a =-a试用上述方法解答以下问题

(1)如果xne0求xx

的值

(2)如果yne3求y-3y-3

的值

思路点拨 解决问题的关键在于真正理解绝对值的概念先确定绝对值符号里面的

数的正负性再根据绝对值的概念求出这个数的绝对值

解(1)因为xne0所以当xgt0时x =x那么 xx =1

当xlt0时x =-x那么 xx =-1

(2)因为yne3所以当ygt3时y-3 =y-3那么 y-3y-3 =1

当ylt3时y-3 =-(y-3)那么 y-3y-3 =-1

答(略)

点睛评注 例2中求a的绝对值的三种情形实际上就是绝对值法则的符号表示应

理解其意义当用字母表示有理数时-a 不一定是负数它表示有理数a 的相反数其结果是

11

初中数学思维拓展32讲(七年级)

什么数要由数a 来决定

类题演练

(1)如果agt3则 a-3 = 3-a = (2)如果 x-2 +x-2=0那么x 的取值范围是( )Axgt2 Bxlt2 Cxge2 Dxle2

例3 如果 a =3b =5那么 a+b - a-b 的绝对值等于

思路点拨 分别求出ab的值再分类讨论求值

解因为 a =3所以a=3或-3因为 b =5所以b=5或-5

(1)当a=3b=5时a+b - a-b = 3+5 - 3-5 =8-2=6(2)当a=3b=-5时a+b - a-b = 3-5 - 3-(-5)=2-8=-6(3)当a=-3b=5时a+b - a-b = -3+5 - -3-5 =2-8=-6(4)当a=-3b=-5时a+b - a-b = -3-5 - -3-(-5)=8-2=6综上所述a+b - a-b =6或-6答6或-6

点睛评注 由绝对值的几何意义知道此类题型一定要分类讨论才会不漏解

类题演练

(1)式子 aa +

bb +

abab

的所有可能的值有( )

A2个 B3个 C4个 D无数个

(2)已知y= x-b + x-20 + x-b-20 其中0ltblt20blexle20那么y的

最小值为

例4 使代数式 3x- x4x

的值为正整数的x 值是( )

A正数 B负数 C0 D不存在

思路点拨 对含有多重绝对值符号的代数式一般要分类讨论本题可分xlt0和

xgt0两种情况但若能结合题意灵活运用定义解题过程就更简洁明了

解当xlt0时原式=3x+x4x = -4x

4x =-1

当xgt0时原式=3x-x4x =

2x4x=

12

又当x=0时代数式没有意义故所求代数式的值是-1或12与代数式的值是正整数

矛盾所以选D答D

点睛评注 求解后不要忘记检查结果是否符合题意比如本题解得代数式的值是

21

第3讲 绝对值

-1或12但是题目要求代数式的值为正整数所以都舍去为无解就只能选择D为不存在

类题演练

如果2a+b=0则ab -1 +

ab -2 等于( )

A2 B3 C4 D5

同步反馈

A组 基础夯实

1(1)绝对值是34

的数有几个 各是什么

(2)绝对值是0的数有几个 各是什么(3)有没有绝对值是-2的数

2计算(1)|-15|-|-6| (2)|-024|+|-506| (3)|-3|times|-2|

(4)|+4|times|-5| (5)|-12|divide|+2| (6)|20|divide -12

3填空(1)当agt0时|2a|= (2)当agt1时|a-1|= (3)当alt1时|a-1|=

4(1)如果m=-1那么-(- m )= (2)若 a-b =b-a则ab的大小关系是

5绝对值大于2而小于6的所有正整数之和是( )A7 B9 C12 D14

B组 能力提升

6如果0ltplt15那么当plexle15时代数式 x-p + x-15 + x-p-15 的最小值

是( )A30 B0 C15 D一个与p 有关的代数式

7若 x =a则 x-a 等于( )A0或2a Bx-a Ca-x D零

8有理数ab 在数轴上的位置如图3 2所示则在a+bb-2ab - a a-b

a+2 - b-4 中负数共有( )

a b

0 112

图3 2

A1个 B2个 C3个 D4个

31

初中数学思维拓展32讲(七年级)

9已知abc都是负数且 x-a + y-b + z-c =0则xyz是( )A正数 B非负数 C负数 D非正数

10已知x=-π3则 x+1 - x+2 + x+3 - x+4 +hellip+ x+11 - x+12 +

x+13 等于( )

A5 B7 C5-π3 D5+

π3

11若 a =19b =97且 a+b nea+b那么a-b的值是( )A-78或116 B78或116 C-78或-116 D78或-116

12已知 a =5b =3且 a-b =b-a那么a+b= 13已知 a =1b =2c =3agtbgtc则 a+b-c( )2=

C组 创新提高

14不相等的有理数abc在数轴上的对应点分别为ABC如果|a-b|+|b-c|=|a-c|那么B 点应为( )A在AC 点的右边 B在AC 点的左边

C在AC 点之间 D以上三种情况都有可能

15当b为何值时5- 2b-1 有最大值最大值是多少

16设abc 是非零有理数求 aa +

bb +

cc +

abab +

acac +

bcbc +

abcabc

等 于

17已知a 是 最 小 的 正 整 数bc 是 有 理 数并 且 有|2+b|+(3a+2c)2=0求 式 子

4ab+c-a2+c2+4

的值

专题反思

总题数 错误原因 错题序号

正确题数 (1)知识点不清

错误题数 (2)能力不够

(3)方法错误

给自己的

一句话

41

0 4 有理数的大小比较

专题简析

1 重点讲解

有理数的大小比较是后面学习不等式的基础全面理解掌握有理数大小比较的方法应从

以下几方面入手(1)利用数轴比较有理数的大小在数轴上表示的两个数右边的数比左边的数大(2)利用法则表示有理数的大小正数大于0负数小于0正数大于一切负数当要比较大

小的两个数是ldquo一正一负rdquoldquo零和正数rdquoldquo零和负数rdquo时用该法则既简便又快捷(3)利用绝对值表示有理数的大小两个正数比较大小绝对值大的数大两个负数比较

大小绝对值大的数反而小

2 难点点拨

有理数的大小比较的方法主要是利用定义法则以及数轴利用数轴判断有理数的大小的

过程体现了数形结合的思想在比较有理数大小时要考虑全面以免遗漏分析有的题目中可

以运用归纳法有些有理数需先化简再比较大小对于两个以上的数比较大小应先将这些数

按正数负数和零分成三类然后分别比较大小最后将这些数按一定顺序排列正数的大小比

较我们在小学就已学过故关键是注意负数的大小比较要熟练掌握已学过的负数的大小比较

方法另外在比较时应注意分数与小数的互化举例比较下列各组数的大小用ldquoltrdquo号把下列各组有理数连接起来

-513- -

23

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide-

35-42

解应先把- -23

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide-

35-42化简再利用有理数的大小比较法则比较由于

- -23

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide=23-

35 =

35-42=-42

而 -513 =5

13-42=42且5

13gt42

35lt

23

则有-513lt-42lt -

35 lt- -

23

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

答(略)

典例剖析

例1 画一条数轴并把-4-(-35)2120-

32

各数在数轴上表示出来再用ldquoltrdquo

51

初中数学思维拓展32讲(七年级)

把它们连接起来

思路点拨 在数轴上把各个数表示出来再根据在数轴上表示的数右边的数总比左

边的数大比较它们的大小即可解上述各数在数轴上如图4 1所示

0 1 2 3 4 51

234

02

23

4

5

21

(35)

图4 1

用ldquoltrdquo把它们连接为-4lt0lt -32 lt2

12lt-

(-35)

答(略)

点睛评注 本题考查了利用数轴比较有理数的大小在数轴上表示的数右边的数总

比左边的数大

类题演练

画出数轴在数轴上表示下列各数并用ldquoltrdquo连接

05-150-2-5+3例2 已知mgt0nlt0且|m|lt|n|在数轴上表示出mn-m-n 所对应的点并把

这4个数用ldquoltrdquo连接起来

思路点拨 根据已知求出-mlt0-ngt0-mgtn-ngtm再在数轴上表示出来

根据数轴上右边的数总比左边的数大比较它们的大小即可解因为mgt0nlt0且|m|lt|n|

所以-mlt0-ngt0-mgtn-ngtm上述各数在数轴上如图4 2所示

0 m nn m

图4 2

所以nlt-mltmlt-n

点睛评注 本题考查了数轴绝对值有理数的大小比较等知识点关键是判断m

-mn-n 的大小

类题演练

有理数ab在数轴上如图4 3所示

0 ba

图4 3

(1)在数轴上表示-a-b(2)试把ab0-a-b这五个数按从小到大用

ldquoltrdquo连接

61

第4讲 有理数的大小比较

(3)用ldquogtrdquoldquo=rdquo或ldquoltrdquo填空|a| a|b| b

例3 试比较-19971998

-9798-19981999

-9899

这四个数的大小

思路点拨 观察这四个分数的分子与分母可发现这四个分数可以化为同分子的分

数然后根据ldquo同分子的正分数分母大的分数比较小rdquo来比较它们的大小即可

解因为-19971998=-

1998-11998 =-1+

11998

-9798=-

98-198 =-1+

198

-19981999=-

1999-11999 =-1+

11999

-9899=-

99-199 =-1+

199

因为198gt

199gt

11998gt

11999

(同分子的正分数中分母大的分数比较小)

所以-19981999lt-

19971998lt-

9899lt-

9798

答(略)

点睛评注 解答本题时是借助不等式的性质(不等式的两边同时加上同一个数不等

式的符号方向不变)来比较有理数的大小的

类题演练

设a=199619951995

b=199519961995

c=199619951996

d=199519961996

试比较abcd 的大小

例4 四个数wxyz满足x-2001=y+2002=z-2003=w+2004那么其中最小的

数是 最大的数是

思路点拨 根据已知等式先分别求x-yx-zy-w 的值然后再用这些值与0

比较大小即可求得zgtxgtygtw解由x-2001=y+2002=z-2003=w+2004得

x-y=2001+2002=4003gt0所以xgty ①x-z=2001-2003=-2lt0所以zgtx ②y-w=2004-2002=2gt0所以ygtw ③由①②③式得

zgtxgtygtw所以四个数wxyz中最小的数是w最大的数是z

答wz

点睛评注 本题主要考查了有理数大小的比较两个正数比较大小绝对值大的数

大两个负数比较大小绝对值大的数反而小

71

初中数学思维拓展32讲(七年级)

类题演练

已知d-altc-blt0d-b=c-a那么abcd 之间的关系 (用ldquoltrdquo连接)

同步反馈

A组 基础夯实

1在25-2503这四个数中最小的数是( )A25 B-25 C0 D3

2如图4 4(A)(B)(C)(D)所示数轴上的点分别表示有理数ab若agtb其中表示正确的

图形是( )

A B C D

a b

0123

b a

0 11

a b

0 11

a b

0 11

图4 4

3(1)-2 +6(2)0 -18

(3)-32 -4

(4) -7 +7(5)-[-(-3)] +[-(+3)]

4一个数比它的相反数小这个数是( )A正数 B负数 C非负数 D非正数

5大于-4的负整数有 个6我国几个城市某年一月份的平均气温见表4 1其中气温最低的城市是( )

表4 1

城市 北京 武汉 广州 哈尔滨

平均气温 -46 38 131 -194

A北京 B武汉 C广州 D哈尔滨

B组 能力提升

7若ylt0则xx-yx+y 中最大的是( )Ax Bx-y Cx+y D不确定

8下面有4个正整数的集合(1)1~101中3的倍数(2)1~101中4的倍数(3)1~101中5的倍数(4)1~101中6的倍数其中平均数最大的集合是( )A(1) B(2) C(3) D(4)

81

第4讲 有理数的大小比较

9已知m 是正整数则m-m1m

的大小关系是( )

A-mlt1mltm B-mltmlt

1m C-mlt

1mlem D-mltmle

1m

10若agtbalt0则-(a+b)gt-bgt-agt-a+b是否正确

11比-312

大而比216

小的所有整数的和为

12已知有理数ab在数轴上的对应点的位置如图4 5所示0表示原点

0 11 ba

图4 5

①请在数轴上表示出数-a-b对应的点的位置

②请按从小到大的顺序排列a-a-bb-10的大小

C组 创新提高

13设A=1999111+11999222+1

B=1999222+11999333+1

则A 与B 的大小关系是

14比较-20112010

和-20122011

的大小

15仔细阅读下列材料

2009times20082008-2008times20092009= 分析可知很明显这个题直接计算比较烦琐可尝试用x 代替2009y 代替2008解令2009=x2008=y则原式=x(ytimes104+y)-y(xtimes104+x)=xytimes104+xy-xytimes104-xy=0我们常常ldquo用字母来表示数rdquo而上述材料根据问题特点将较大数字采用恰当的字母来表

示则更能使运算简捷明快(1)在上述问题解决过程中运用了 思维的方法体现了 的数学思想(2)参照上述材料中的方法解答下面两题

①计算 401820102-2009times2011

②若M=67890123457890123456

N=67890123447890123455

比较MN 的大小

专题反思

总题数 错误原因 错题序号

正确题数 (1)知识点不清

错误题数 (2)能力不够(3)方法错误

给自己的

一句话

91

0 5 有理数的加减

专题简析

1 重点讲解

(1)有理数的加法法则

①同号两数相加取与加数相同的符号并把绝对值相加

②异号两数相加取绝对值较大的加数的符号并用较大数的绝对值减去较小数的绝对值

③互为相反数的两个数相加得零

④一个数同零相加仍得这个数注意利用法则进行加法运算的步骤①判断两个加数的符号是同号异号还是有一个加

数为零以此来选择用哪条法则②确定和的符号(是ldquo+rdquo还是ldquo-rdquo)③求各加数的绝对值并确定和的绝对值(加数的绝对值是相加还是相减)

(2)有理数的加法运算律见表5 1

表5 1

有 理 数 加

法运算律

加法交换律

加法结

合律

文字语言 两个数相加交换加数的位置和不变

符号语言 a+b=b+a

文字语言三个数相加先把前两个数相加或者先把后两个数相加和不变

符号语言 (a+b)+c=a+(b+c)

注意交换加数的位置时不要忘记符号(3)有理数的减法法则减去一个数等于加上这个数的相反数即有a-b=a+(-b)注意将减法转化为加法时注意同时进行的两变一变是减法变加法二变是把减数变为

它的相反数如

6(2)=6+(+2) (2)3=(2)+(3)

(4)有理数加减混合运算①先利用减法法则将减法转化为加法②再运用加法交换律

和结合律使计算简便

2 难点点拨

掌握有理数的加减运算就是要求学生既算得快又准确显然做加法相对于做减法而言不容易出错所以加减混合运算时注意以下几点首先先去括号把式子整理成省略加号的和

02

第5讲 有理数的加减

的形式然后将这一形式看作是几个数相加运用加法法则来计算即可举例计算8-(-3)+(-1)-2-(-7)解原式=8+3-1-2+7=15(看作8+3+(-1)+(-2)+7即求83-1和-2相加

的和)答15

典例剖析

例1 计算(-55)+ +1115

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide+(+7)eacute

eumlecircecirc

ugrave

ucircuacuteuacute+ (-7)+ +

415

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide+(+25)eacute

eumlecircecirc

ugrave

ucircuacuteuacute

思路点拨 利用有理数加法的交换律和结合律计算

解原式=(-55)+ +1115

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide+(+7)+(-7)+ +

415

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide+(+25)

= +1115

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide+ +

415

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

eacute

eumlecircecirc

ugrave

ucircuacuteuacute+ (-55)+(+25)[ ]+ (-7)+(+7)[ ]=1+(-3)=-2

答-2

点睛评注 在运用有理数加法运算律时一定要根据需要灵活运用以达到简化的目

的通常有下列规律

①互为相反数的两个数先相加mdashmdashmdashldquo相反数结合法rdquo

②符号相同的两个数先相加mdashmdashmdashldquo同号结合法rdquo

③分母相同的数先相加mdashmdashmdashldquo同分母结合法rdquo

④整数与整数小数与小数分数与分数先相加mdashmdashmdashldquo同形结合法rdquo

类题演练

323+

(-263)+ -235

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide+(+363)+ -

23

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

例2 计算-3213

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide- +5

14

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide-3

17+ -5

14

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide- +2

67

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

eacute

eumlecircecirc

ugrave

ucircuacuteuacute

思路点拨 先观察式子可发现中括号里的数先运算较简便

解原式= -3213

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide- 5

14-3

17-5

14-2

67

eacute

eumlecircecirc

ugrave

ucircuacuteuacute=-32

13+6=-26

13

答-2613

点睛评注 在解决此类问题时一般要先去括号简化成省略加号和的形式再视情

况运用交换律和结合律简化运算另外在去括号时要时刻注意是否需要变号

12

• 第一讲
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• 第三十讲
• 第三十一讲
• 第三十二讲
• 参考答案13

初中数学思维拓展32讲(七年级)

什么数要由数a 来决定

类题演练

(1)如果agt3则 a-3 = 3-a = (2)如果 x-2 +x-2=0那么x 的取值范围是( )Axgt2 Bxlt2 Cxge2 Dxle2

例3 如果 a =3b =5那么 a+b - a-b 的绝对值等于

思路点拨 分别求出ab的值再分类讨论求值

解因为 a =3所以a=3或-3因为 b =5所以b=5或-5

(1)当a=3b=5时a+b - a-b = 3+5 - 3-5 =8-2=6(2)当a=3b=-5时a+b - a-b = 3-5 - 3-(-5)=2-8=-6(3)当a=-3b=5时a+b - a-b = -3+5 - -3-5 =2-8=-6(4)当a=-3b=-5时a+b - a-b = -3-5 - -3-(-5)=8-2=6综上所述a+b - a-b =6或-6答6或-6

点睛评注 由绝对值的几何意义知道此类题型一定要分类讨论才会不漏解

类题演练

(1)式子 aa +

bb +

abab

的所有可能的值有( )

A2个 B3个 C4个 D无数个

(2)已知y= x-b + x-20 + x-b-20 其中0ltblt20blexle20那么y的

最小值为

例4 使代数式 3x- x4x

的值为正整数的x 值是( )

A正数 B负数 C0 D不存在

思路点拨 对含有多重绝对值符号的代数式一般要分类讨论本题可分xlt0和

xgt0两种情况但若能结合题意灵活运用定义解题过程就更简洁明了

解当xlt0时原式=3x+x4x = -4x

4x =-1

当xgt0时原式=3x-x4x =

2x4x=

12

又当x=0时代数式没有意义故所求代数式的值是-1或12与代数式的值是正整数

矛盾所以选D答D

点睛评注 求解后不要忘记检查结果是否符合题意比如本题解得代数式的值是

21

第3讲 绝对值

-1或12但是题目要求代数式的值为正整数所以都舍去为无解就只能选择D为不存在

类题演练

如果2a+b=0则ab -1 +

ab -2 等于( )

A2 B3 C4 D5

同步反馈

A组 基础夯实

1(1)绝对值是34

的数有几个 各是什么

(2)绝对值是0的数有几个 各是什么(3)有没有绝对值是-2的数

2计算(1)|-15|-|-6| (2)|-024|+|-506| (3)|-3|times|-2|

(4)|+4|times|-5| (5)|-12|divide|+2| (6)|20|divide -12

3填空(1)当agt0时|2a|= (2)当agt1时|a-1|= (3)当alt1时|a-1|=

4(1)如果m=-1那么-(- m )= (2)若 a-b =b-a则ab的大小关系是

5绝对值大于2而小于6的所有正整数之和是( )A7 B9 C12 D14

B组 能力提升

6如果0ltplt15那么当plexle15时代数式 x-p + x-15 + x-p-15 的最小值

是( )A30 B0 C15 D一个与p 有关的代数式

7若 x =a则 x-a 等于( )A0或2a Bx-a Ca-x D零

8有理数ab 在数轴上的位置如图3 2所示则在a+bb-2ab - a a-b

a+2 - b-4 中负数共有( )

a b

0 112

图3 2

A1个 B2个 C3个 D4个

31

初中数学思维拓展32讲(七年级)

9已知abc都是负数且 x-a + y-b + z-c =0则xyz是( )A正数 B非负数 C负数 D非正数

10已知x=-π3则 x+1 - x+2 + x+3 - x+4 +hellip+ x+11 - x+12 +

x+13 等于( )

A5 B7 C5-π3 D5+

π3

11若 a =19b =97且 a+b nea+b那么a-b的值是( )A-78或116 B78或116 C-78或-116 D78或-116

12已知 a =5b =3且 a-b =b-a那么a+b= 13已知 a =1b =2c =3agtbgtc则 a+b-c( )2=

C组 创新提高

14不相等的有理数abc在数轴上的对应点分别为ABC如果|a-b|+|b-c|=|a-c|那么B 点应为( )A在AC 点的右边 B在AC 点的左边

C在AC 点之间 D以上三种情况都有可能

15当b为何值时5- 2b-1 有最大值最大值是多少

16设abc 是非零有理数求 aa +

bb +

cc +

abab +

acac +

bcbc +

abcabc

等 于

17已知a 是 最 小 的 正 整 数bc 是 有 理 数并 且 有|2+b|+(3a+2c)2=0求 式 子

4ab+c-a2+c2+4

的值

专题反思

总题数 错误原因 错题序号

正确题数 (1)知识点不清

错误题数 (2)能力不够

(3)方法错误

给自己的

一句话

41

0 4 有理数的大小比较

专题简析

1 重点讲解

有理数的大小比较是后面学习不等式的基础全面理解掌握有理数大小比较的方法应从

以下几方面入手(1)利用数轴比较有理数的大小在数轴上表示的两个数右边的数比左边的数大(2)利用法则表示有理数的大小正数大于0负数小于0正数大于一切负数当要比较大

小的两个数是ldquo一正一负rdquoldquo零和正数rdquoldquo零和负数rdquo时用该法则既简便又快捷(3)利用绝对值表示有理数的大小两个正数比较大小绝对值大的数大两个负数比较

大小绝对值大的数反而小

2 难点点拨

有理数的大小比较的方法主要是利用定义法则以及数轴利用数轴判断有理数的大小的

过程体现了数形结合的思想在比较有理数大小时要考虑全面以免遗漏分析有的题目中可

以运用归纳法有些有理数需先化简再比较大小对于两个以上的数比较大小应先将这些数

按正数负数和零分成三类然后分别比较大小最后将这些数按一定顺序排列正数的大小比

较我们在小学就已学过故关键是注意负数的大小比较要熟练掌握已学过的负数的大小比较

方法另外在比较时应注意分数与小数的互化举例比较下列各组数的大小用ldquoltrdquo号把下列各组有理数连接起来

-513- -

23

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide-

35-42

解应先把- -23

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide-

35-42化简再利用有理数的大小比较法则比较由于

- -23

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide=23-

35 =

35-42=-42

而 -513 =5

13-42=42且5

13gt42

35lt

23

则有-513lt-42lt -

35 lt- -

23

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

答(略)

典例剖析

例1 画一条数轴并把-4-(-35)2120-

32

各数在数轴上表示出来再用ldquoltrdquo

51

初中数学思维拓展32讲(七年级)

把它们连接起来

思路点拨 在数轴上把各个数表示出来再根据在数轴上表示的数右边的数总比左

边的数大比较它们的大小即可解上述各数在数轴上如图4 1所示

0 1 2 3 4 51

234

02

23

4

5

21

(35)

图4 1

用ldquoltrdquo把它们连接为-4lt0lt -32 lt2

12lt-

(-35)

答(略)

点睛评注 本题考查了利用数轴比较有理数的大小在数轴上表示的数右边的数总

比左边的数大

类题演练

画出数轴在数轴上表示下列各数并用ldquoltrdquo连接

05-150-2-5+3例2 已知mgt0nlt0且|m|lt|n|在数轴上表示出mn-m-n 所对应的点并把

这4个数用ldquoltrdquo连接起来

思路点拨 根据已知求出-mlt0-ngt0-mgtn-ngtm再在数轴上表示出来

根据数轴上右边的数总比左边的数大比较它们的大小即可解因为mgt0nlt0且|m|lt|n|

所以-mlt0-ngt0-mgtn-ngtm上述各数在数轴上如图4 2所示

0 m nn m

图4 2

所以nlt-mltmlt-n

点睛评注 本题考查了数轴绝对值有理数的大小比较等知识点关键是判断m

-mn-n 的大小

类题演练

有理数ab在数轴上如图4 3所示

0 ba

图4 3

(1)在数轴上表示-a-b(2)试把ab0-a-b这五个数按从小到大用

ldquoltrdquo连接

61

第4讲 有理数的大小比较

(3)用ldquogtrdquoldquo=rdquo或ldquoltrdquo填空|a| a|b| b

例3 试比较-19971998

-9798-19981999

-9899

这四个数的大小

思路点拨 观察这四个分数的分子与分母可发现这四个分数可以化为同分子的分

数然后根据ldquo同分子的正分数分母大的分数比较小rdquo来比较它们的大小即可

解因为-19971998=-

1998-11998 =-1+

11998

-9798=-

98-198 =-1+

198

-19981999=-

1999-11999 =-1+

11999

-9899=-

99-199 =-1+

199

因为198gt

199gt

11998gt

11999

(同分子的正分数中分母大的分数比较小)

所以-19981999lt-

19971998lt-

9899lt-

9798

答(略)

点睛评注 解答本题时是借助不等式的性质(不等式的两边同时加上同一个数不等

式的符号方向不变)来比较有理数的大小的

类题演练

设a=199619951995

b=199519961995

c=199619951996

d=199519961996

试比较abcd 的大小

例4 四个数wxyz满足x-2001=y+2002=z-2003=w+2004那么其中最小的

数是 最大的数是

思路点拨 根据已知等式先分别求x-yx-zy-w 的值然后再用这些值与0

比较大小即可求得zgtxgtygtw解由x-2001=y+2002=z-2003=w+2004得

x-y=2001+2002=4003gt0所以xgty ①x-z=2001-2003=-2lt0所以zgtx ②y-w=2004-2002=2gt0所以ygtw ③由①②③式得

zgtxgtygtw所以四个数wxyz中最小的数是w最大的数是z

答wz

点睛评注 本题主要考查了有理数大小的比较两个正数比较大小绝对值大的数

大两个负数比较大小绝对值大的数反而小

71

初中数学思维拓展32讲(七年级)

类题演练

已知d-altc-blt0d-b=c-a那么abcd 之间的关系 (用ldquoltrdquo连接)

同步反馈

A组 基础夯实

1在25-2503这四个数中最小的数是( )A25 B-25 C0 D3

2如图4 4(A)(B)(C)(D)所示数轴上的点分别表示有理数ab若agtb其中表示正确的

图形是( )

A B C D

a b

0123

b a

0 11

a b

0 11

a b

0 11

图4 4

3(1)-2 +6(2)0 -18

(3)-32 -4

(4) -7 +7(5)-[-(-3)] +[-(+3)]

4一个数比它的相反数小这个数是( )A正数 B负数 C非负数 D非正数

5大于-4的负整数有 个6我国几个城市某年一月份的平均气温见表4 1其中气温最低的城市是( )

表4 1

城市 北京 武汉 广州 哈尔滨

平均气温 -46 38 131 -194

A北京 B武汉 C广州 D哈尔滨

B组 能力提升

7若ylt0则xx-yx+y 中最大的是( )Ax Bx-y Cx+y D不确定

8下面有4个正整数的集合(1)1~101中3的倍数(2)1~101中4的倍数(3)1~101中5的倍数(4)1~101中6的倍数其中平均数最大的集合是( )A(1) B(2) C(3) D(4)

81

第4讲 有理数的大小比较

9已知m 是正整数则m-m1m

的大小关系是( )

A-mlt1mltm B-mltmlt

1m C-mlt

1mlem D-mltmle

1m

10若agtbalt0则-(a+b)gt-bgt-agt-a+b是否正确

11比-312

大而比216

小的所有整数的和为

12已知有理数ab在数轴上的对应点的位置如图4 5所示0表示原点

0 11 ba

图4 5

①请在数轴上表示出数-a-b对应的点的位置

②请按从小到大的顺序排列a-a-bb-10的大小

C组 创新提高

13设A=1999111+11999222+1

B=1999222+11999333+1

则A 与B 的大小关系是

14比较-20112010

和-20122011

的大小

15仔细阅读下列材料

2009times20082008-2008times20092009= 分析可知很明显这个题直接计算比较烦琐可尝试用x 代替2009y 代替2008解令2009=x2008=y则原式=x(ytimes104+y)-y(xtimes104+x)=xytimes104+xy-xytimes104-xy=0我们常常ldquo用字母来表示数rdquo而上述材料根据问题特点将较大数字采用恰当的字母来表

示则更能使运算简捷明快(1)在上述问题解决过程中运用了 思维的方法体现了 的数学思想(2)参照上述材料中的方法解答下面两题

①计算 401820102-2009times2011

②若M=67890123457890123456

N=67890123447890123455

比较MN 的大小

专题反思

总题数 错误原因 错题序号

正确题数 (1)知识点不清

错误题数 (2)能力不够(3)方法错误

给自己的

一句话

91

0 5 有理数的加减

专题简析

1 重点讲解

(1)有理数的加法法则

①同号两数相加取与加数相同的符号并把绝对值相加

②异号两数相加取绝对值较大的加数的符号并用较大数的绝对值减去较小数的绝对值

③互为相反数的两个数相加得零

④一个数同零相加仍得这个数注意利用法则进行加法运算的步骤①判断两个加数的符号是同号异号还是有一个加

数为零以此来选择用哪条法则②确定和的符号(是ldquo+rdquo还是ldquo-rdquo)③求各加数的绝对值并确定和的绝对值(加数的绝对值是相加还是相减)

(2)有理数的加法运算律见表5 1

表5 1

有 理 数 加

法运算律

加法交换律

加法结

合律

文字语言 两个数相加交换加数的位置和不变

符号语言 a+b=b+a

文字语言三个数相加先把前两个数相加或者先把后两个数相加和不变

符号语言 (a+b)+c=a+(b+c)

注意交换加数的位置时不要忘记符号(3)有理数的减法法则减去一个数等于加上这个数的相反数即有a-b=a+(-b)注意将减法转化为加法时注意同时进行的两变一变是减法变加法二变是把减数变为

它的相反数如

6(2)=6+(+2) (2)3=(2)+(3)

(4)有理数加减混合运算①先利用减法法则将减法转化为加法②再运用加法交换律

和结合律使计算简便

2 难点点拨

掌握有理数的加减运算就是要求学生既算得快又准确显然做加法相对于做减法而言不容易出错所以加减混合运算时注意以下几点首先先去括号把式子整理成省略加号的和

02

第5讲 有理数的加减

的形式然后将这一形式看作是几个数相加运用加法法则来计算即可举例计算8-(-3)+(-1)-2-(-7)解原式=8+3-1-2+7=15(看作8+3+(-1)+(-2)+7即求83-1和-2相加

的和)答15

典例剖析

例1 计算(-55)+ +1115

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide+(+7)eacute

eumlecircecirc

ugrave

ucircuacuteuacute+ (-7)+ +

415

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide+(+25)eacute

eumlecircecirc

ugrave

ucircuacuteuacute

思路点拨 利用有理数加法的交换律和结合律计算

解原式=(-55)+ +1115

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide+(+7)+(-7)+ +

415

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide+(+25)

= +1115

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide+ +

415

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

eacute

eumlecircecirc

ugrave

ucircuacuteuacute+ (-55)+(+25)[ ]+ (-7)+(+7)[ ]=1+(-3)=-2

答-2

点睛评注 在运用有理数加法运算律时一定要根据需要灵活运用以达到简化的目

的通常有下列规律

①互为相反数的两个数先相加mdashmdashmdashldquo相反数结合法rdquo

②符号相同的两个数先相加mdashmdashmdashldquo同号结合法rdquo

③分母相同的数先相加mdashmdashmdashldquo同分母结合法rdquo

④整数与整数小数与小数分数与分数先相加mdashmdashmdashldquo同形结合法rdquo

类题演练

323+

(-263)+ -235

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide+(+363)+ -

23

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

例2 计算-3213

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide- +5

14

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide-3

17+ -5

14

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide- +2

67

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

eacute

eumlecircecirc

ugrave

ucircuacuteuacute

思路点拨 先观察式子可发现中括号里的数先运算较简便

解原式= -3213

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide- 5

14-3

17-5

14-2

67

eacute

eumlecircecirc

ugrave

ucircuacuteuacute=-32

13+6=-26

13

答-2613

点睛评注 在解决此类问题时一般要先去括号简化成省略加号和的形式再视情

况运用交换律和结合律简化运算另外在去括号时要时刻注意是否需要变号

12

• 第一讲
• 第二讲
• 第三讲
• 第四讲
• 第五讲
• 第六讲
• 第七讲
• 第八讲
• 第九讲
• 第十讲
• 第十一讲
• 第十二讲
• 第十三讲
• 第十四讲
• 第十五讲
• 第十六讲
• 第十七讲
• 第十八讲
• 第十九讲
• 第二十讲
• 第二十一讲
• 第二十二讲
• 第二十三讲13
• 第二十四讲
• 第二十五讲
• 第二十六讲
• 第二十七讲
• 第二十八讲
• 第二十九讲
• 第三十讲
• 第三十一讲
• 第三十二讲
• 参考答案13

第3讲 绝对值

-1或12但是题目要求代数式的值为正整数所以都舍去为无解就只能选择D为不存在

类题演练

如果2a+b=0则ab -1 +

ab -2 等于( )

A2 B3 C4 D5

同步反馈

A组 基础夯实

1(1)绝对值是34

的数有几个 各是什么

(2)绝对值是0的数有几个 各是什么(3)有没有绝对值是-2的数

2计算(1)|-15|-|-6| (2)|-024|+|-506| (3)|-3|times|-2|

(4)|+4|times|-5| (5)|-12|divide|+2| (6)|20|divide -12

3填空(1)当agt0时|2a|= (2)当agt1时|a-1|= (3)当alt1时|a-1|=

4(1)如果m=-1那么-(- m )= (2)若 a-b =b-a则ab的大小关系是

5绝对值大于2而小于6的所有正整数之和是( )A7 B9 C12 D14

B组 能力提升

6如果0ltplt15那么当plexle15时代数式 x-p + x-15 + x-p-15 的最小值

是( )A30 B0 C15 D一个与p 有关的代数式

7若 x =a则 x-a 等于( )A0或2a Bx-a Ca-x D零

8有理数ab 在数轴上的位置如图3 2所示则在a+bb-2ab - a a-b

a+2 - b-4 中负数共有( )

a b

0 112

图3 2

A1个 B2个 C3个 D4个

31

初中数学思维拓展32讲(七年级)

9已知abc都是负数且 x-a + y-b + z-c =0则xyz是( )A正数 B非负数 C负数 D非正数

10已知x=-π3则 x+1 - x+2 + x+3 - x+4 +hellip+ x+11 - x+12 +

x+13 等于( )

A5 B7 C5-π3 D5+

π3

11若 a =19b =97且 a+b nea+b那么a-b的值是( )A-78或116 B78或116 C-78或-116 D78或-116

12已知 a =5b =3且 a-b =b-a那么a+b= 13已知 a =1b =2c =3agtbgtc则 a+b-c( )2=

C组 创新提高

14不相等的有理数abc在数轴上的对应点分别为ABC如果|a-b|+|b-c|=|a-c|那么B 点应为( )A在AC 点的右边 B在AC 点的左边

C在AC 点之间 D以上三种情况都有可能

15当b为何值时5- 2b-1 有最大值最大值是多少

16设abc 是非零有理数求 aa +

bb +

cc +

abab +

acac +

bcbc +

abcabc

等 于

17已知a 是 最 小 的 正 整 数bc 是 有 理 数并 且 有|2+b|+(3a+2c)2=0求 式 子

4ab+c-a2+c2+4

的值

专题反思

总题数 错误原因 错题序号

正确题数 (1)知识点不清

错误题数 (2)能力不够

(3)方法错误

给自己的

一句话

41

0 4 有理数的大小比较

专题简析

1 重点讲解

有理数的大小比较是后面学习不等式的基础全面理解掌握有理数大小比较的方法应从

以下几方面入手(1)利用数轴比较有理数的大小在数轴上表示的两个数右边的数比左边的数大(2)利用法则表示有理数的大小正数大于0负数小于0正数大于一切负数当要比较大

小的两个数是ldquo一正一负rdquoldquo零和正数rdquoldquo零和负数rdquo时用该法则既简便又快捷(3)利用绝对值表示有理数的大小两个正数比较大小绝对值大的数大两个负数比较

大小绝对值大的数反而小

2 难点点拨

有理数的大小比较的方法主要是利用定义法则以及数轴利用数轴判断有理数的大小的

过程体现了数形结合的思想在比较有理数大小时要考虑全面以免遗漏分析有的题目中可

以运用归纳法有些有理数需先化简再比较大小对于两个以上的数比较大小应先将这些数

按正数负数和零分成三类然后分别比较大小最后将这些数按一定顺序排列正数的大小比

较我们在小学就已学过故关键是注意负数的大小比较要熟练掌握已学过的负数的大小比较

方法另外在比较时应注意分数与小数的互化举例比较下列各组数的大小用ldquoltrdquo号把下列各组有理数连接起来

-513- -

23

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide-

35-42

解应先把- -23

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide-

35-42化简再利用有理数的大小比较法则比较由于

- -23

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide=23-

35 =

35-42=-42

而 -513 =5

13-42=42且5

13gt42

35lt

23

则有-513lt-42lt -

35 lt- -

23

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

答(略)

典例剖析

例1 画一条数轴并把-4-(-35)2120-

32

各数在数轴上表示出来再用ldquoltrdquo

51

初中数学思维拓展32讲(七年级)

把它们连接起来

思路点拨 在数轴上把各个数表示出来再根据在数轴上表示的数右边的数总比左

边的数大比较它们的大小即可解上述各数在数轴上如图4 1所示

0 1 2 3 4 51

234

02

23

4

5

21

(35)

图4 1

用ldquoltrdquo把它们连接为-4lt0lt -32 lt2

12lt-

(-35)

答(略)

点睛评注 本题考查了利用数轴比较有理数的大小在数轴上表示的数右边的数总

比左边的数大

类题演练

画出数轴在数轴上表示下列各数并用ldquoltrdquo连接

05-150-2-5+3例2 已知mgt0nlt0且|m|lt|n|在数轴上表示出mn-m-n 所对应的点并把

这4个数用ldquoltrdquo连接起来

思路点拨 根据已知求出-mlt0-ngt0-mgtn-ngtm再在数轴上表示出来

根据数轴上右边的数总比左边的数大比较它们的大小即可解因为mgt0nlt0且|m|lt|n|

所以-mlt0-ngt0-mgtn-ngtm上述各数在数轴上如图4 2所示

0 m nn m

图4 2

所以nlt-mltmlt-n

点睛评注 本题考查了数轴绝对值有理数的大小比较等知识点关键是判断m

-mn-n 的大小

类题演练

有理数ab在数轴上如图4 3所示

0 ba

图4 3

(1)在数轴上表示-a-b(2)试把ab0-a-b这五个数按从小到大用

ldquoltrdquo连接

61

第4讲 有理数的大小比较

(3)用ldquogtrdquoldquo=rdquo或ldquoltrdquo填空|a| a|b| b

例3 试比较-19971998

-9798-19981999

-9899

这四个数的大小

思路点拨 观察这四个分数的分子与分母可发现这四个分数可以化为同分子的分

数然后根据ldquo同分子的正分数分母大的分数比较小rdquo来比较它们的大小即可

解因为-19971998=-

1998-11998 =-1+

11998

-9798=-

98-198 =-1+

198

-19981999=-

1999-11999 =-1+

11999

-9899=-

99-199 =-1+

199

因为198gt

199gt

11998gt

11999

(同分子的正分数中分母大的分数比较小)

所以-19981999lt-

19971998lt-

9899lt-

9798

答(略)

点睛评注 解答本题时是借助不等式的性质(不等式的两边同时加上同一个数不等

式的符号方向不变)来比较有理数的大小的

类题演练

设a=199619951995

b=199519961995

c=199619951996

d=199519961996

试比较abcd 的大小

例4 四个数wxyz满足x-2001=y+2002=z-2003=w+2004那么其中最小的

数是 最大的数是

思路点拨 根据已知等式先分别求x-yx-zy-w 的值然后再用这些值与0

比较大小即可求得zgtxgtygtw解由x-2001=y+2002=z-2003=w+2004得

x-y=2001+2002=4003gt0所以xgty ①x-z=2001-2003=-2lt0所以zgtx ②y-w=2004-2002=2gt0所以ygtw ③由①②③式得

zgtxgtygtw所以四个数wxyz中最小的数是w最大的数是z

答wz

点睛评注 本题主要考查了有理数大小的比较两个正数比较大小绝对值大的数

大两个负数比较大小绝对值大的数反而小

71

初中数学思维拓展32讲(七年级)

类题演练

已知d-altc-blt0d-b=c-a那么abcd 之间的关系 (用ldquoltrdquo连接)

同步反馈

A组 基础夯实

1在25-2503这四个数中最小的数是( )A25 B-25 C0 D3

2如图4 4(A)(B)(C)(D)所示数轴上的点分别表示有理数ab若agtb其中表示正确的

图形是( )

A B C D

a b

0123

b a

0 11

a b

0 11

a b

0 11

图4 4

3(1)-2 +6(2)0 -18

(3)-32 -4

(4) -7 +7(5)-[-(-3)] +[-(+3)]

4一个数比它的相反数小这个数是( )A正数 B负数 C非负数 D非正数

5大于-4的负整数有 个6我国几个城市某年一月份的平均气温见表4 1其中气温最低的城市是( )

表4 1

城市 北京 武汉 广州 哈尔滨

平均气温 -46 38 131 -194

A北京 B武汉 C广州 D哈尔滨

B组 能力提升

7若ylt0则xx-yx+y 中最大的是( )Ax Bx-y Cx+y D不确定

8下面有4个正整数的集合(1)1~101中3的倍数(2)1~101中4的倍数(3)1~101中5的倍数(4)1~101中6的倍数其中平均数最大的集合是( )A(1) B(2) C(3) D(4)

81

第4讲 有理数的大小比较

9已知m 是正整数则m-m1m

的大小关系是( )

A-mlt1mltm B-mltmlt

1m C-mlt

1mlem D-mltmle

1m

10若agtbalt0则-(a+b)gt-bgt-agt-a+b是否正确

11比-312

大而比216

小的所有整数的和为

12已知有理数ab在数轴上的对应点的位置如图4 5所示0表示原点

0 11 ba

图4 5

①请在数轴上表示出数-a-b对应的点的位置

②请按从小到大的顺序排列a-a-bb-10的大小

C组 创新提高

13设A=1999111+11999222+1

B=1999222+11999333+1

则A 与B 的大小关系是

14比较-20112010

和-20122011

的大小

15仔细阅读下列材料

2009times20082008-2008times20092009= 分析可知很明显这个题直接计算比较烦琐可尝试用x 代替2009y 代替2008解令2009=x2008=y则原式=x(ytimes104+y)-y(xtimes104+x)=xytimes104+xy-xytimes104-xy=0我们常常ldquo用字母来表示数rdquo而上述材料根据问题特点将较大数字采用恰当的字母来表

示则更能使运算简捷明快(1)在上述问题解决过程中运用了 思维的方法体现了 的数学思想(2)参照上述材料中的方法解答下面两题

①计算 401820102-2009times2011

②若M=67890123457890123456

N=67890123447890123455

比较MN 的大小

专题反思

总题数 错误原因 错题序号

正确题数 (1)知识点不清

错误题数 (2)能力不够(3)方法错误

给自己的

一句话

91

0 5 有理数的加减

专题简析

1 重点讲解

(1)有理数的加法法则

①同号两数相加取与加数相同的符号并把绝对值相加

②异号两数相加取绝对值较大的加数的符号并用较大数的绝对值减去较小数的绝对值

③互为相反数的两个数相加得零

④一个数同零相加仍得这个数注意利用法则进行加法运算的步骤①判断两个加数的符号是同号异号还是有一个加

数为零以此来选择用哪条法则②确定和的符号(是ldquo+rdquo还是ldquo-rdquo)③求各加数的绝对值并确定和的绝对值(加数的绝对值是相加还是相减)

(2)有理数的加法运算律见表5 1

表5 1

有 理 数 加

法运算律

加法交换律

加法结

合律

文字语言 两个数相加交换加数的位置和不变

符号语言 a+b=b+a

文字语言三个数相加先把前两个数相加或者先把后两个数相加和不变

符号语言 (a+b)+c=a+(b+c)

注意交换加数的位置时不要忘记符号(3)有理数的减法法则减去一个数等于加上这个数的相反数即有a-b=a+(-b)注意将减法转化为加法时注意同时进行的两变一变是减法变加法二变是把减数变为

它的相反数如

6(2)=6+(+2) (2)3=(2)+(3)

(4)有理数加减混合运算①先利用减法法则将减法转化为加法②再运用加法交换律

和结合律使计算简便

2 难点点拨

掌握有理数的加减运算就是要求学生既算得快又准确显然做加法相对于做减法而言不容易出错所以加减混合运算时注意以下几点首先先去括号把式子整理成省略加号的和

02

第5讲 有理数的加减

的形式然后将这一形式看作是几个数相加运用加法法则来计算即可举例计算8-(-3)+(-1)-2-(-7)解原式=8+3-1-2+7=15(看作8+3+(-1)+(-2)+7即求83-1和-2相加

的和)答15

典例剖析

例1 计算(-55)+ +1115

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide+(+7)eacute

eumlecircecirc

ugrave

ucircuacuteuacute+ (-7)+ +

415

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide+(+25)eacute

eumlecircecirc

ugrave

ucircuacuteuacute

思路点拨 利用有理数加法的交换律和结合律计算

解原式=(-55)+ +1115

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide+(+7)+(-7)+ +

415

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide+(+25)

= +1115

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide+ +

415

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

eacute

eumlecircecirc

ugrave

ucircuacuteuacute+ (-55)+(+25)[ ]+ (-7)+(+7)[ ]=1+(-3)=-2

答-2

点睛评注 在运用有理数加法运算律时一定要根据需要灵活运用以达到简化的目

的通常有下列规律

①互为相反数的两个数先相加mdashmdashmdashldquo相反数结合法rdquo

②符号相同的两个数先相加mdashmdashmdashldquo同号结合法rdquo

③分母相同的数先相加mdashmdashmdashldquo同分母结合法rdquo

④整数与整数小数与小数分数与分数先相加mdashmdashmdashldquo同形结合法rdquo

类题演练

323+

(-263)+ -235

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide+(+363)+ -

23

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

例2 计算-3213

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide- +5

14

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide-3

17+ -5

14

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide- +2

67

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

eacute

eumlecircecirc

ugrave

ucircuacuteuacute

思路点拨 先观察式子可发现中括号里的数先运算较简便

解原式= -3213

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide- 5

14-3

17-5

14-2

67

eacute

eumlecircecirc

ugrave

ucircuacuteuacute=-32

13+6=-26

13

答-2613

点睛评注 在解决此类问题时一般要先去括号简化成省略加号和的形式再视情

况运用交换律和结合律简化运算另外在去括号时要时刻注意是否需要变号

12

• 第一讲
• 第二讲
• 第三讲
• 第四讲
• 第五讲
• 第六讲
• 第七讲
• 第八讲
• 第九讲
• 第十讲
• 第十一讲
• 第十二讲
• 第十三讲
• 第十四讲
• 第十五讲
• 第十六讲
• 第十七讲
• 第十八讲
• 第十九讲
• 第二十讲
• 第二十一讲
• 第二十二讲
• 第二十三讲13
• 第二十四讲
• 第二十五讲
• 第二十六讲
• 第二十七讲
• 第二十八讲
• 第二十九讲
• 第三十讲
• 第三十一讲
• 第三十二讲
• 参考答案13

初中数学思维拓展32讲(七年级)

9已知abc都是负数且 x-a + y-b + z-c =0则xyz是( )A正数 B非负数 C负数 D非正数

10已知x=-π3则 x+1 - x+2 + x+3 - x+4 +hellip+ x+11 - x+12 +

x+13 等于( )

A5 B7 C5-π3 D5+

π3

11若 a =19b =97且 a+b nea+b那么a-b的值是( )A-78或116 B78或116 C-78或-116 D78或-116

12已知 a =5b =3且 a-b =b-a那么a+b= 13已知 a =1b =2c =3agtbgtc则 a+b-c( )2=

C组 创新提高

14不相等的有理数abc在数轴上的对应点分别为ABC如果|a-b|+|b-c|=|a-c|那么B 点应为( )A在AC 点的右边 B在AC 点的左边

C在AC 点之间 D以上三种情况都有可能

15当b为何值时5- 2b-1 有最大值最大值是多少

16设abc 是非零有理数求 aa +

bb +

cc +

abab +

acac +

bcbc +

abcabc

等 于

17已知a 是 最 小 的 正 整 数bc 是 有 理 数并 且 有|2+b|+(3a+2c)2=0求 式 子

4ab+c-a2+c2+4

的值

专题反思

总题数 错误原因 错题序号

正确题数 (1)知识点不清

错误题数 (2)能力不够

(3)方法错误

给自己的

一句话

41

0 4 有理数的大小比较

专题简析

1 重点讲解

有理数的大小比较是后面学习不等式的基础全面理解掌握有理数大小比较的方法应从

以下几方面入手(1)利用数轴比较有理数的大小在数轴上表示的两个数右边的数比左边的数大(2)利用法则表示有理数的大小正数大于0负数小于0正数大于一切负数当要比较大

小的两个数是ldquo一正一负rdquoldquo零和正数rdquoldquo零和负数rdquo时用该法则既简便又快捷(3)利用绝对值表示有理数的大小两个正数比较大小绝对值大的数大两个负数比较

大小绝对值大的数反而小

2 难点点拨

有理数的大小比较的方法主要是利用定义法则以及数轴利用数轴判断有理数的大小的

过程体现了数形结合的思想在比较有理数大小时要考虑全面以免遗漏分析有的题目中可

以运用归纳法有些有理数需先化简再比较大小对于两个以上的数比较大小应先将这些数

按正数负数和零分成三类然后分别比较大小最后将这些数按一定顺序排列正数的大小比

较我们在小学就已学过故关键是注意负数的大小比较要熟练掌握已学过的负数的大小比较

方法另外在比较时应注意分数与小数的互化举例比较下列各组数的大小用ldquoltrdquo号把下列各组有理数连接起来

-513- -

23

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide-

35-42

解应先把- -23

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide-

35-42化简再利用有理数的大小比较法则比较由于

- -23

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide=23-

35 =

35-42=-42

而 -513 =5

13-42=42且5

13gt42

35lt

23

则有-513lt-42lt -

35 lt- -

23

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

答(略)

典例剖析

例1 画一条数轴并把-4-(-35)2120-

32

各数在数轴上表示出来再用ldquoltrdquo

51

初中数学思维拓展32讲(七年级)

把它们连接起来

思路点拨 在数轴上把各个数表示出来再根据在数轴上表示的数右边的数总比左

边的数大比较它们的大小即可解上述各数在数轴上如图4 1所示

0 1 2 3 4 51

234

02

23

4

5

21

(35)

图4 1

用ldquoltrdquo把它们连接为-4lt0lt -32 lt2

12lt-

(-35)

答(略)

点睛评注 本题考查了利用数轴比较有理数的大小在数轴上表示的数右边的数总

比左边的数大

类题演练

画出数轴在数轴上表示下列各数并用ldquoltrdquo连接

05-150-2-5+3例2 已知mgt0nlt0且|m|lt|n|在数轴上表示出mn-m-n 所对应的点并把

这4个数用ldquoltrdquo连接起来

思路点拨 根据已知求出-mlt0-ngt0-mgtn-ngtm再在数轴上表示出来

根据数轴上右边的数总比左边的数大比较它们的大小即可解因为mgt0nlt0且|m|lt|n|

所以-mlt0-ngt0-mgtn-ngtm上述各数在数轴上如图4 2所示

0 m nn m

图4 2

所以nlt-mltmlt-n

点睛评注 本题考查了数轴绝对值有理数的大小比较等知识点关键是判断m

-mn-n 的大小

类题演练

有理数ab在数轴上如图4 3所示

0 ba

图4 3

(1)在数轴上表示-a-b(2)试把ab0-a-b这五个数按从小到大用

ldquoltrdquo连接

61

第4讲 有理数的大小比较

(3)用ldquogtrdquoldquo=rdquo或ldquoltrdquo填空|a| a|b| b

例3 试比较-19971998

-9798-19981999

-9899

这四个数的大小

思路点拨 观察这四个分数的分子与分母可发现这四个分数可以化为同分子的分

数然后根据ldquo同分子的正分数分母大的分数比较小rdquo来比较它们的大小即可

解因为-19971998=-

1998-11998 =-1+

11998

-9798=-

98-198 =-1+

198

-19981999=-

1999-11999 =-1+

11999

-9899=-

99-199 =-1+

199

因为198gt

199gt

11998gt

11999

(同分子的正分数中分母大的分数比较小)

所以-19981999lt-

19971998lt-

9899lt-

9798

答(略)

点睛评注 解答本题时是借助不等式的性质(不等式的两边同时加上同一个数不等

式的符号方向不变)来比较有理数的大小的

类题演练

设a=199619951995

b=199519961995

c=199619951996

d=199519961996

试比较abcd 的大小

例4 四个数wxyz满足x-2001=y+2002=z-2003=w+2004那么其中最小的

数是 最大的数是

思路点拨 根据已知等式先分别求x-yx-zy-w 的值然后再用这些值与0

比较大小即可求得zgtxgtygtw解由x-2001=y+2002=z-2003=w+2004得

x-y=2001+2002=4003gt0所以xgty ①x-z=2001-2003=-2lt0所以zgtx ②y-w=2004-2002=2gt0所以ygtw ③由①②③式得

zgtxgtygtw所以四个数wxyz中最小的数是w最大的数是z

答wz

点睛评注 本题主要考查了有理数大小的比较两个正数比较大小绝对值大的数

大两个负数比较大小绝对值大的数反而小

71

初中数学思维拓展32讲(七年级)

类题演练

已知d-altc-blt0d-b=c-a那么abcd 之间的关系 (用ldquoltrdquo连接)

同步反馈

A组 基础夯实

1在25-2503这四个数中最小的数是( )A25 B-25 C0 D3

2如图4 4(A)(B)(C)(D)所示数轴上的点分别表示有理数ab若agtb其中表示正确的

图形是( )

A B C D

a b

0123

b a

0 11

a b

0 11

a b

0 11

图4 4

3(1)-2 +6(2)0 -18

(3)-32 -4

(4) -7 +7(5)-[-(-3)] +[-(+3)]

4一个数比它的相反数小这个数是( )A正数 B负数 C非负数 D非正数

5大于-4的负整数有 个6我国几个城市某年一月份的平均气温见表4 1其中气温最低的城市是( )

表4 1

城市 北京 武汉 广州 哈尔滨

平均气温 -46 38 131 -194

A北京 B武汉 C广州 D哈尔滨

B组 能力提升

7若ylt0则xx-yx+y 中最大的是( )Ax Bx-y Cx+y D不确定

8下面有4个正整数的集合(1)1~101中3的倍数(2)1~101中4的倍数(3)1~101中5的倍数(4)1~101中6的倍数其中平均数最大的集合是( )A(1) B(2) C(3) D(4)

81

第4讲 有理数的大小比较

9已知m 是正整数则m-m1m

的大小关系是( )

A-mlt1mltm B-mltmlt

1m C-mlt

1mlem D-mltmle

1m

10若agtbalt0则-(a+b)gt-bgt-agt-a+b是否正确

11比-312

大而比216

小的所有整数的和为

12已知有理数ab在数轴上的对应点的位置如图4 5所示0表示原点

0 11 ba

图4 5

①请在数轴上表示出数-a-b对应的点的位置

②请按从小到大的顺序排列a-a-bb-10的大小

C组 创新提高

13设A=1999111+11999222+1

B=1999222+11999333+1

则A 与B 的大小关系是

14比较-20112010

和-20122011

的大小

15仔细阅读下列材料

2009times20082008-2008times20092009= 分析可知很明显这个题直接计算比较烦琐可尝试用x 代替2009y 代替2008解令2009=x2008=y则原式=x(ytimes104+y)-y(xtimes104+x)=xytimes104+xy-xytimes104-xy=0我们常常ldquo用字母来表示数rdquo而上述材料根据问题特点将较大数字采用恰当的字母来表

示则更能使运算简捷明快(1)在上述问题解决过程中运用了 思维的方法体现了 的数学思想(2)参照上述材料中的方法解答下面两题

①计算 401820102-2009times2011

②若M=67890123457890123456

N=67890123447890123455

比较MN 的大小

专题反思

总题数 错误原因 错题序号

正确题数 (1)知识点不清

错误题数 (2)能力不够(3)方法错误

给自己的

一句话

91

0 5 有理数的加减

专题简析

1 重点讲解

(1)有理数的加法法则

①同号两数相加取与加数相同的符号并把绝对值相加

②异号两数相加取绝对值较大的加数的符号并用较大数的绝对值减去较小数的绝对值

③互为相反数的两个数相加得零

④一个数同零相加仍得这个数注意利用法则进行加法运算的步骤①判断两个加数的符号是同号异号还是有一个加

数为零以此来选择用哪条法则②确定和的符号(是ldquo+rdquo还是ldquo-rdquo)③求各加数的绝对值并确定和的绝对值(加数的绝对值是相加还是相减)

(2)有理数的加法运算律见表5 1

表5 1

有 理 数 加

法运算律

加法交换律

加法结

合律

文字语言 两个数相加交换加数的位置和不变

符号语言 a+b=b+a

文字语言三个数相加先把前两个数相加或者先把后两个数相加和不变

符号语言 (a+b)+c=a+(b+c)

注意交换加数的位置时不要忘记符号(3)有理数的减法法则减去一个数等于加上这个数的相反数即有a-b=a+(-b)注意将减法转化为加法时注意同时进行的两变一变是减法变加法二变是把减数变为

它的相反数如

6(2)=6+(+2) (2)3=(2)+(3)

(4)有理数加减混合运算①先利用减法法则将减法转化为加法②再运用加法交换律

和结合律使计算简便

2 难点点拨

掌握有理数的加减运算就是要求学生既算得快又准确显然做加法相对于做减法而言不容易出错所以加减混合运算时注意以下几点首先先去括号把式子整理成省略加号的和

02

第5讲 有理数的加减

的形式然后将这一形式看作是几个数相加运用加法法则来计算即可举例计算8-(-3)+(-1)-2-(-7)解原式=8+3-1-2+7=15(看作8+3+(-1)+(-2)+7即求83-1和-2相加

的和)答15

典例剖析

例1 计算(-55)+ +1115

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide+(+7)eacute

eumlecircecirc

ugrave

ucircuacuteuacute+ (-7)+ +

415

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide+(+25)eacute

eumlecircecirc

ugrave

ucircuacuteuacute

思路点拨 利用有理数加法的交换律和结合律计算

解原式=(-55)+ +1115

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide+(+7)+(-7)+ +

415

aelig

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ouml

oslashdivide+(+25)

= +1115

aelig

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oslashdivide+ +

415

aelig

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oslashdivide

eacute

eumlecircecirc

ugrave

ucircuacuteuacute+ (-55)+(+25)[ ]+ (-7)+(+7)[ ]=1+(-3)=-2

答-2

点睛评注 在运用有理数加法运算律时一定要根据需要灵活运用以达到简化的目

的通常有下列规律

①互为相反数的两个数先相加mdashmdashmdashldquo相反数结合法rdquo

②符号相同的两个数先相加mdashmdashmdashldquo同号结合法rdquo

③分母相同的数先相加mdashmdashmdashldquo同分母结合法rdquo

④整数与整数小数与小数分数与分数先相加mdashmdashmdashldquo同形结合法rdquo

类题演练

323+

(-263)+ -235

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide+(+363)+ -

23

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

例2 计算-3213

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide- +5

14

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide-3

17+ -5

14

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide- +2

67

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

eacute

eumlecircecirc

ugrave

ucircuacuteuacute

思路点拨 先观察式子可发现中括号里的数先运算较简便

解原式= -3213

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide- 5

14-3

17-5

14-2

67

eacute

eumlecircecirc

ugrave

ucircuacuteuacute=-32

13+6=-26

13

答-2613

点睛评注 在解决此类问题时一般要先去括号简化成省略加号和的形式再视情

况运用交换律和结合律简化运算另外在去括号时要时刻注意是否需要变号

12

• 第一讲
• 第二讲
• 第三讲
• 第四讲
• 第五讲
• 第六讲
• 第七讲
• 第八讲
• 第九讲
• 第十讲
• 第十一讲
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• 第十三讲
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• 第十九讲
• 第二十讲
• 第二十一讲
• 第二十二讲
• 第二十三讲13
• 第二十四讲
• 第二十五讲
• 第二十六讲
• 第二十七讲
• 第二十八讲
• 第二十九讲
• 第三十讲
• 第三十一讲
• 第三十二讲
• 参考答案13

0 4 有理数的大小比较

专题简析

1 重点讲解

有理数的大小比较是后面学习不等式的基础全面理解掌握有理数大小比较的方法应从

以下几方面入手(1)利用数轴比较有理数的大小在数轴上表示的两个数右边的数比左边的数大(2)利用法则表示有理数的大小正数大于0负数小于0正数大于一切负数当要比较大

小的两个数是ldquo一正一负rdquoldquo零和正数rdquoldquo零和负数rdquo时用该法则既简便又快捷(3)利用绝对值表示有理数的大小两个正数比较大小绝对值大的数大两个负数比较

大小绝对值大的数反而小

2 难点点拨

有理数的大小比较的方法主要是利用定义法则以及数轴利用数轴判断有理数的大小的

过程体现了数形结合的思想在比较有理数大小时要考虑全面以免遗漏分析有的题目中可

以运用归纳法有些有理数需先化简再比较大小对于两个以上的数比较大小应先将这些数

按正数负数和零分成三类然后分别比较大小最后将这些数按一定顺序排列正数的大小比

较我们在小学就已学过故关键是注意负数的大小比较要熟练掌握已学过的负数的大小比较

方法另外在比较时应注意分数与小数的互化举例比较下列各组数的大小用ldquoltrdquo号把下列各组有理数连接起来

-513- -

23

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide-

35-42

解应先把- -23

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide-

35-42化简再利用有理数的大小比较法则比较由于

- -23

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide=23-

35 =

35-42=-42

而 -513 =5

13-42=42且5

13gt42

35lt

23

则有-513lt-42lt -

35 lt- -

23

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

答(略)

典例剖析

例1 画一条数轴并把-4-(-35)2120-

32

各数在数轴上表示出来再用ldquoltrdquo

51

初中数学思维拓展32讲(七年级)

把它们连接起来

思路点拨 在数轴上把各个数表示出来再根据在数轴上表示的数右边的数总比左

边的数大比较它们的大小即可解上述各数在数轴上如图4 1所示

0 1 2 3 4 51

234

02

23

4

5

21

(35)

图4 1

用ldquoltrdquo把它们连接为-4lt0lt -32 lt2

12lt-

(-35)

答(略)

点睛评注 本题考查了利用数轴比较有理数的大小在数轴上表示的数右边的数总

比左边的数大

类题演练

画出数轴在数轴上表示下列各数并用ldquoltrdquo连接

05-150-2-5+3例2 已知mgt0nlt0且|m|lt|n|在数轴上表示出mn-m-n 所对应的点并把

这4个数用ldquoltrdquo连接起来

思路点拨 根据已知求出-mlt0-ngt0-mgtn-ngtm再在数轴上表示出来

根据数轴上右边的数总比左边的数大比较它们的大小即可解因为mgt0nlt0且|m|lt|n|

所以-mlt0-ngt0-mgtn-ngtm上述各数在数轴上如图4 2所示

0 m nn m

图4 2

所以nlt-mltmlt-n

点睛评注 本题考查了数轴绝对值有理数的大小比较等知识点关键是判断m

-mn-n 的大小

类题演练

有理数ab在数轴上如图4 3所示

0 ba

图4 3

(1)在数轴上表示-a-b(2)试把ab0-a-b这五个数按从小到大用

ldquoltrdquo连接

61

第4讲 有理数的大小比较

(3)用ldquogtrdquoldquo=rdquo或ldquoltrdquo填空|a| a|b| b

例3 试比较-19971998

-9798-19981999

-9899

这四个数的大小

思路点拨 观察这四个分数的分子与分母可发现这四个分数可以化为同分子的分

数然后根据ldquo同分子的正分数分母大的分数比较小rdquo来比较它们的大小即可

解因为-19971998=-

1998-11998 =-1+

11998

-9798=-

98-198 =-1+

198

-19981999=-

1999-11999 =-1+

11999

-9899=-

99-199 =-1+

199

因为198gt

199gt

11998gt

11999

(同分子的正分数中分母大的分数比较小)

所以-19981999lt-

19971998lt-

9899lt-

9798

答(略)

点睛评注 解答本题时是借助不等式的性质(不等式的两边同时加上同一个数不等

式的符号方向不变)来比较有理数的大小的

类题演练

设a=199619951995

b=199519961995

c=199619951996

d=199519961996

试比较abcd 的大小

例4 四个数wxyz满足x-2001=y+2002=z-2003=w+2004那么其中最小的

数是 最大的数是

思路点拨 根据已知等式先分别求x-yx-zy-w 的值然后再用这些值与0

比较大小即可求得zgtxgtygtw解由x-2001=y+2002=z-2003=w+2004得

x-y=2001+2002=4003gt0所以xgty ①x-z=2001-2003=-2lt0所以zgtx ②y-w=2004-2002=2gt0所以ygtw ③由①②③式得

zgtxgtygtw所以四个数wxyz中最小的数是w最大的数是z

答wz

点睛评注 本题主要考查了有理数大小的比较两个正数比较大小绝对值大的数

大两个负数比较大小绝对值大的数反而小

71

初中数学思维拓展32讲(七年级)

类题演练

已知d-altc-blt0d-b=c-a那么abcd 之间的关系 (用ldquoltrdquo连接)

同步反馈

A组 基础夯实

1在25-2503这四个数中最小的数是( )A25 B-25 C0 D3

2如图4 4(A)(B)(C)(D)所示数轴上的点分别表示有理数ab若agtb其中表示正确的

图形是( )

A B C D

a b

0123

b a

0 11

a b

0 11

a b

0 11

图4 4

3(1)-2 +6(2)0 -18

(3)-32 -4

(4) -7 +7(5)-[-(-3)] +[-(+3)]

4一个数比它的相反数小这个数是( )A正数 B负数 C非负数 D非正数

5大于-4的负整数有 个6我国几个城市某年一月份的平均气温见表4 1其中气温最低的城市是( )

表4 1

城市 北京 武汉 广州 哈尔滨

平均气温 -46 38 131 -194

A北京 B武汉 C广州 D哈尔滨

B组 能力提升

7若ylt0则xx-yx+y 中最大的是( )Ax Bx-y Cx+y D不确定

8下面有4个正整数的集合(1)1~101中3的倍数(2)1~101中4的倍数(3)1~101中5的倍数(4)1~101中6的倍数其中平均数最大的集合是( )A(1) B(2) C(3) D(4)

81

第4讲 有理数的大小比较

9已知m 是正整数则m-m1m

的大小关系是( )

A-mlt1mltm B-mltmlt

1m C-mlt

1mlem D-mltmle

1m

10若agtbalt0则-(a+b)gt-bgt-agt-a+b是否正确

11比-312

大而比216

小的所有整数的和为

12已知有理数ab在数轴上的对应点的位置如图4 5所示0表示原点

0 11 ba

图4 5

①请在数轴上表示出数-a-b对应的点的位置

②请按从小到大的顺序排列a-a-bb-10的大小

C组 创新提高

13设A=1999111+11999222+1

B=1999222+11999333+1

则A 与B 的大小关系是

14比较-20112010

和-20122011

的大小

15仔细阅读下列材料

2009times20082008-2008times20092009= 分析可知很明显这个题直接计算比较烦琐可尝试用x 代替2009y 代替2008解令2009=x2008=y则原式=x(ytimes104+y)-y(xtimes104+x)=xytimes104+xy-xytimes104-xy=0我们常常ldquo用字母来表示数rdquo而上述材料根据问题特点将较大数字采用恰当的字母来表

示则更能使运算简捷明快(1)在上述问题解决过程中运用了 思维的方法体现了 的数学思想(2)参照上述材料中的方法解答下面两题

①计算 401820102-2009times2011

②若M=67890123457890123456

N=67890123447890123455

比较MN 的大小

专题反思

总题数 错误原因 错题序号

正确题数 (1)知识点不清

错误题数 (2)能力不够(3)方法错误

给自己的

一句话

91

0 5 有理数的加减

专题简析

1 重点讲解

(1)有理数的加法法则

①同号两数相加取与加数相同的符号并把绝对值相加

②异号两数相加取绝对值较大的加数的符号并用较大数的绝对值减去较小数的绝对值

③互为相反数的两个数相加得零

④一个数同零相加仍得这个数注意利用法则进行加法运算的步骤①判断两个加数的符号是同号异号还是有一个加

数为零以此来选择用哪条法则②确定和的符号(是ldquo+rdquo还是ldquo-rdquo)③求各加数的绝对值并确定和的绝对值(加数的绝对值是相加还是相减)

(2)有理数的加法运算律见表5 1

表5 1

有 理 数 加

法运算律

加法交换律

加法结

合律

文字语言 两个数相加交换加数的位置和不变

符号语言 a+b=b+a

文字语言三个数相加先把前两个数相加或者先把后两个数相加和不变

符号语言 (a+b)+c=a+(b+c)

注意交换加数的位置时不要忘记符号(3)有理数的减法法则减去一个数等于加上这个数的相反数即有a-b=a+(-b)注意将减法转化为加法时注意同时进行的两变一变是减法变加法二变是把减数变为

它的相反数如

6(2)=6+(+2) (2)3=(2)+(3)

(4)有理数加减混合运算①先利用减法法则将减法转化为加法②再运用加法交换律

和结合律使计算简便

2 难点点拨

掌握有理数的加减运算就是要求学生既算得快又准确显然做加法相对于做减法而言不容易出错所以加减混合运算时注意以下几点首先先去括号把式子整理成省略加号的和

02

第5讲 有理数的加减

的形式然后将这一形式看作是几个数相加运用加法法则来计算即可举例计算8-(-3)+(-1)-2-(-7)解原式=8+3-1-2+7=15(看作8+3+(-1)+(-2)+7即求83-1和-2相加

的和)答15

典例剖析

例1 计算(-55)+ +1115

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide+(+7)eacute

eumlecircecirc

ugrave

ucircuacuteuacute+ (-7)+ +

415

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide+(+25)eacute

eumlecircecirc

ugrave

ucircuacuteuacute

思路点拨 利用有理数加法的交换律和结合律计算

解原式=(-55)+ +1115

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide+(+7)+(-7)+ +

415

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide+(+25)

= +1115

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide+ +

415

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

eacute

eumlecircecirc

ugrave

ucircuacuteuacute+ (-55)+(+25)[ ]+ (-7)+(+7)[ ]=1+(-3)=-2

答-2

点睛评注 在运用有理数加法运算律时一定要根据需要灵活运用以达到简化的目

的通常有下列规律

①互为相反数的两个数先相加mdashmdashmdashldquo相反数结合法rdquo

②符号相同的两个数先相加mdashmdashmdashldquo同号结合法rdquo

③分母相同的数先相加mdashmdashmdashldquo同分母结合法rdquo

④整数与整数小数与小数分数与分数先相加mdashmdashmdashldquo同形结合法rdquo

类题演练

323+

(-263)+ -235

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide+(+363)+ -

23

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

例2 计算-3213

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide- +5

14

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide-3

17+ -5

14

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide- +2

67

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

eacute

eumlecircecirc

ugrave

ucircuacuteuacute

思路点拨 先观察式子可发现中括号里的数先运算较简便

解原式= -3213

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide- 5

14-3

17-5

14-2

67

eacute

eumlecircecirc

ugrave

ucircuacuteuacute=-32

13+6=-26

13

答-2613

点睛评注 在解决此类问题时一般要先去括号简化成省略加号和的形式再视情

况运用交换律和结合律简化运算另外在去括号时要时刻注意是否需要变号

12

• 第一讲
• 第二讲
• 第三讲
• 第四讲
• 第五讲
• 第六讲
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• 第二十三讲13
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• 第二十六讲
• 第二十七讲
• 第二十八讲
• 第二十九讲
• 第三十讲
• 第三十一讲
• 第三十二讲
• 参考答案13

初中数学思维拓展32讲(七年级)

把它们连接起来

思路点拨 在数轴上把各个数表示出来再根据在数轴上表示的数右边的数总比左

边的数大比较它们的大小即可解上述各数在数轴上如图4 1所示

0 1 2 3 4 51

234

02

23

4

5

21

(35)

图4 1

用ldquoltrdquo把它们连接为-4lt0lt -32 lt2

12lt-

(-35)

答(略)

点睛评注 本题考查了利用数轴比较有理数的大小在数轴上表示的数右边的数总

比左边的数大

类题演练

画出数轴在数轴上表示下列各数并用ldquoltrdquo连接

05-150-2-5+3例2 已知mgt0nlt0且|m|lt|n|在数轴上表示出mn-m-n 所对应的点并把

这4个数用ldquoltrdquo连接起来

思路点拨 根据已知求出-mlt0-ngt0-mgtn-ngtm再在数轴上表示出来

根据数轴上右边的数总比左边的数大比较它们的大小即可解因为mgt0nlt0且|m|lt|n|

所以-mlt0-ngt0-mgtn-ngtm上述各数在数轴上如图4 2所示

0 m nn m

图4 2

所以nlt-mltmlt-n

点睛评注 本题考查了数轴绝对值有理数的大小比较等知识点关键是判断m

-mn-n 的大小

类题演练

有理数ab在数轴上如图4 3所示

0 ba

图4 3

(1)在数轴上表示-a-b(2)试把ab0-a-b这五个数按从小到大用

ldquoltrdquo连接

61

第4讲 有理数的大小比较

(3)用ldquogtrdquoldquo=rdquo或ldquoltrdquo填空|a| a|b| b

例3 试比较-19971998

-9798-19981999

-9899

这四个数的大小

思路点拨 观察这四个分数的分子与分母可发现这四个分数可以化为同分子的分

数然后根据ldquo同分子的正分数分母大的分数比较小rdquo来比较它们的大小即可

解因为-19971998=-

1998-11998 =-1+

11998

-9798=-

98-198 =-1+

198

-19981999=-

1999-11999 =-1+

11999

-9899=-

99-199 =-1+

199

因为198gt

199gt

11998gt

11999

(同分子的正分数中分母大的分数比较小)

所以-19981999lt-

19971998lt-

9899lt-

9798

答(略)

点睛评注 解答本题时是借助不等式的性质(不等式的两边同时加上同一个数不等

式的符号方向不变)来比较有理数的大小的

类题演练

设a=199619951995

b=199519961995

c=199619951996

d=199519961996

试比较abcd 的大小

例4 四个数wxyz满足x-2001=y+2002=z-2003=w+2004那么其中最小的

数是 最大的数是

思路点拨 根据已知等式先分别求x-yx-zy-w 的值然后再用这些值与0

比较大小即可求得zgtxgtygtw解由x-2001=y+2002=z-2003=w+2004得

x-y=2001+2002=4003gt0所以xgty ①x-z=2001-2003=-2lt0所以zgtx ②y-w=2004-2002=2gt0所以ygtw ③由①②③式得

zgtxgtygtw所以四个数wxyz中最小的数是w最大的数是z

答wz

点睛评注 本题主要考查了有理数大小的比较两个正数比较大小绝对值大的数

大两个负数比较大小绝对值大的数反而小

71

初中数学思维拓展32讲(七年级)

类题演练

已知d-altc-blt0d-b=c-a那么abcd 之间的关系 (用ldquoltrdquo连接)

同步反馈

A组 基础夯实

1在25-2503这四个数中最小的数是( )A25 B-25 C0 D3

2如图4 4(A)(B)(C)(D)所示数轴上的点分别表示有理数ab若agtb其中表示正确的

图形是( )

A B C D

a b

0123

b a

0 11

a b

0 11

a b

0 11

图4 4

3(1)-2 +6(2)0 -18

(3)-32 -4

(4) -7 +7(5)-[-(-3)] +[-(+3)]

4一个数比它的相反数小这个数是( )A正数 B负数 C非负数 D非正数

5大于-4的负整数有 个6我国几个城市某年一月份的平均气温见表4 1其中气温最低的城市是( )

表4 1

城市 北京 武汉 广州 哈尔滨

平均气温 -46 38 131 -194

A北京 B武汉 C广州 D哈尔滨

B组 能力提升

7若ylt0则xx-yx+y 中最大的是( )Ax Bx-y Cx+y D不确定

8下面有4个正整数的集合(1)1~101中3的倍数(2)1~101中4的倍数(3)1~101中5的倍数(4)1~101中6的倍数其中平均数最大的集合是( )A(1) B(2) C(3) D(4)

81

第4讲 有理数的大小比较

9已知m 是正整数则m-m1m

的大小关系是( )

A-mlt1mltm B-mltmlt

1m C-mlt

1mlem D-mltmle

1m

10若agtbalt0则-(a+b)gt-bgt-agt-a+b是否正确

11比-312

大而比216

小的所有整数的和为

12已知有理数ab在数轴上的对应点的位置如图4 5所示0表示原点

0 11 ba

图4 5

①请在数轴上表示出数-a-b对应的点的位置

②请按从小到大的顺序排列a-a-bb-10的大小

C组 创新提高

13设A=1999111+11999222+1

B=1999222+11999333+1

则A 与B 的大小关系是

14比较-20112010

和-20122011

的大小

15仔细阅读下列材料

2009times20082008-2008times20092009= 分析可知很明显这个题直接计算比较烦琐可尝试用x 代替2009y 代替2008解令2009=x2008=y则原式=x(ytimes104+y)-y(xtimes104+x)=xytimes104+xy-xytimes104-xy=0我们常常ldquo用字母来表示数rdquo而上述材料根据问题特点将较大数字采用恰当的字母来表

示则更能使运算简捷明快(1)在上述问题解决过程中运用了 思维的方法体现了 的数学思想(2)参照上述材料中的方法解答下面两题

①计算 401820102-2009times2011

②若M=67890123457890123456

N=67890123447890123455

比较MN 的大小

专题反思

总题数 错误原因 错题序号

正确题数 (1)知识点不清

错误题数 (2)能力不够(3)方法错误

给自己的

一句话

91

0 5 有理数的加减

专题简析

1 重点讲解

(1)有理数的加法法则

①同号两数相加取与加数相同的符号并把绝对值相加

②异号两数相加取绝对值较大的加数的符号并用较大数的绝对值减去较小数的绝对值

③互为相反数的两个数相加得零

④一个数同零相加仍得这个数注意利用法则进行加法运算的步骤①判断两个加数的符号是同号异号还是有一个加

数为零以此来选择用哪条法则②确定和的符号(是ldquo+rdquo还是ldquo-rdquo)③求各加数的绝对值并确定和的绝对值(加数的绝对值是相加还是相减)

(2)有理数的加法运算律见表5 1

表5 1

有 理 数 加

法运算律

加法交换律

加法结

合律

文字语言 两个数相加交换加数的位置和不变

符号语言 a+b=b+a

文字语言三个数相加先把前两个数相加或者先把后两个数相加和不变

符号语言 (a+b)+c=a+(b+c)

注意交换加数的位置时不要忘记符号(3)有理数的减法法则减去一个数等于加上这个数的相反数即有a-b=a+(-b)注意将减法转化为加法时注意同时进行的两变一变是减法变加法二变是把减数变为

它的相反数如

6(2)=6+(+2) (2)3=(2)+(3)

(4)有理数加减混合运算①先利用减法法则将减法转化为加法②再运用加法交换律

和结合律使计算简便

2 难点点拨

掌握有理数的加减运算就是要求学生既算得快又准确显然做加法相对于做减法而言不容易出错所以加减混合运算时注意以下几点首先先去括号把式子整理成省略加号的和

02

第5讲 有理数的加减

的形式然后将这一形式看作是几个数相加运用加法法则来计算即可举例计算8-(-3)+(-1)-2-(-7)解原式=8+3-1-2+7=15(看作8+3+(-1)+(-2)+7即求83-1和-2相加

的和)答15

典例剖析

例1 计算(-55)+ +1115

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide+(+7)eacute

eumlecircecirc

ugrave

ucircuacuteuacute+ (-7)+ +

415

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide+(+25)eacute

eumlecircecirc

ugrave

ucircuacuteuacute

思路点拨 利用有理数加法的交换律和结合律计算

解原式=(-55)+ +1115

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide+(+7)+(-7)+ +

415

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide+(+25)

= +1115

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide+ +

415

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

eacute

eumlecircecirc

ugrave

ucircuacuteuacute+ (-55)+(+25)[ ]+ (-7)+(+7)[ ]=1+(-3)=-2

答-2

点睛评注 在运用有理数加法运算律时一定要根据需要灵活运用以达到简化的目

的通常有下列规律

①互为相反数的两个数先相加mdashmdashmdashldquo相反数结合法rdquo

②符号相同的两个数先相加mdashmdashmdashldquo同号结合法rdquo

③分母相同的数先相加mdashmdashmdashldquo同分母结合法rdquo

④整数与整数小数与小数分数与分数先相加mdashmdashmdashldquo同形结合法rdquo

类题演练

323+

(-263)+ -235

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide+(+363)+ -

23

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

例2 计算-3213

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide- +5

14

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide-3

17+ -5

14

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide- +2

67

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

eacute

eumlecircecirc

ugrave

ucircuacuteuacute

思路点拨 先观察式子可发现中括号里的数先运算较简便

解原式= -3213

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide- 5

14-3

17-5

14-2

67

eacute

eumlecircecirc

ugrave

ucircuacuteuacute=-32

13+6=-26

13

答-2613

点睛评注 在解决此类问题时一般要先去括号简化成省略加号和的形式再视情

况运用交换律和结合律简化运算另外在去括号时要时刻注意是否需要变号

12

• 第一讲
• 第二讲
• 第三讲
• 第四讲
• 第五讲
• 第六讲
• 第七讲
• 第八讲
• 第九讲
• 第十讲
• 第十一讲
• 第十二讲
• 第十三讲
• 第十四讲
• 第十五讲
• 第十六讲
• 第十七讲
• 第十八讲
• 第十九讲
• 第二十讲
• 第二十一讲
• 第二十二讲
• 第二十三讲13
• 第二十四讲
• 第二十五讲
• 第二十六讲
• 第二十七讲
• 第二十八讲
• 第二十九讲
• 第三十讲
• 第三十一讲
• 第三十二讲
• 参考答案13

第4讲 有理数的大小比较

(3)用ldquogtrdquoldquo=rdquo或ldquoltrdquo填空|a| a|b| b

例3 试比较-19971998

-9798-19981999

-9899

这四个数的大小

思路点拨 观察这四个分数的分子与分母可发现这四个分数可以化为同分子的分

数然后根据ldquo同分子的正分数分母大的分数比较小rdquo来比较它们的大小即可

解因为-19971998=-

1998-11998 =-1+

11998

-9798=-

98-198 =-1+

198

-19981999=-

1999-11999 =-1+

11999

-9899=-

99-199 =-1+

199

因为198gt

199gt

11998gt

11999

(同分子的正分数中分母大的分数比较小)

所以-19981999lt-

19971998lt-

9899lt-

9798

答(略)

点睛评注 解答本题时是借助不等式的性质(不等式的两边同时加上同一个数不等

式的符号方向不变)来比较有理数的大小的

类题演练

设a=199619951995

b=199519961995

c=199619951996

d=199519961996

试比较abcd 的大小

例4 四个数wxyz满足x-2001=y+2002=z-2003=w+2004那么其中最小的

数是 最大的数是

思路点拨 根据已知等式先分别求x-yx-zy-w 的值然后再用这些值与0

比较大小即可求得zgtxgtygtw解由x-2001=y+2002=z-2003=w+2004得

x-y=2001+2002=4003gt0所以xgty ①x-z=2001-2003=-2lt0所以zgtx ②y-w=2004-2002=2gt0所以ygtw ③由①②③式得

zgtxgtygtw所以四个数wxyz中最小的数是w最大的数是z

答wz

点睛评注 本题主要考查了有理数大小的比较两个正数比较大小绝对值大的数

大两个负数比较大小绝对值大的数反而小

71

初中数学思维拓展32讲(七年级)

类题演练

已知d-altc-blt0d-b=c-a那么abcd 之间的关系 (用ldquoltrdquo连接)

同步反馈

A组 基础夯实

1在25-2503这四个数中最小的数是( )A25 B-25 C0 D3

2如图4 4(A)(B)(C)(D)所示数轴上的点分别表示有理数ab若agtb其中表示正确的

图形是( )

A B C D

a b

0123

b a

0 11

a b

0 11

a b

0 11

图4 4

3(1)-2 +6(2)0 -18

(3)-32 -4

(4) -7 +7(5)-[-(-3)] +[-(+3)]

4一个数比它的相反数小这个数是( )A正数 B负数 C非负数 D非正数

5大于-4的负整数有 个6我国几个城市某年一月份的平均气温见表4 1其中气温最低的城市是( )

表4 1

城市 北京 武汉 广州 哈尔滨

平均气温 -46 38 131 -194

A北京 B武汉 C广州 D哈尔滨

B组 能力提升

7若ylt0则xx-yx+y 中最大的是( )Ax Bx-y Cx+y D不确定

8下面有4个正整数的集合(1)1~101中3的倍数(2)1~101中4的倍数(3)1~101中5的倍数(4)1~101中6的倍数其中平均数最大的集合是( )A(1) B(2) C(3) D(4)

81

第4讲 有理数的大小比较

9已知m 是正整数则m-m1m

的大小关系是( )

A-mlt1mltm B-mltmlt

1m C-mlt

1mlem D-mltmle

1m

10若agtbalt0则-(a+b)gt-bgt-agt-a+b是否正确

11比-312

大而比216

小的所有整数的和为

12已知有理数ab在数轴上的对应点的位置如图4 5所示0表示原点

0 11 ba

图4 5

①请在数轴上表示出数-a-b对应的点的位置

②请按从小到大的顺序排列a-a-bb-10的大小

C组 创新提高

13设A=1999111+11999222+1

B=1999222+11999333+1

则A 与B 的大小关系是

14比较-20112010

和-20122011

的大小

15仔细阅读下列材料

2009times20082008-2008times20092009= 分析可知很明显这个题直接计算比较烦琐可尝试用x 代替2009y 代替2008解令2009=x2008=y则原式=x(ytimes104+y)-y(xtimes104+x)=xytimes104+xy-xytimes104-xy=0我们常常ldquo用字母来表示数rdquo而上述材料根据问题特点将较大数字采用恰当的字母来表

示则更能使运算简捷明快(1)在上述问题解决过程中运用了 思维的方法体现了 的数学思想(2)参照上述材料中的方法解答下面两题

①计算 401820102-2009times2011

②若M=67890123457890123456

N=67890123447890123455

比较MN 的大小

专题反思

总题数 错误原因 错题序号

正确题数 (1)知识点不清

错误题数 (2)能力不够(3)方法错误

给自己的

一句话

91

0 5 有理数的加减

专题简析

1 重点讲解

(1)有理数的加法法则

①同号两数相加取与加数相同的符号并把绝对值相加

②异号两数相加取绝对值较大的加数的符号并用较大数的绝对值减去较小数的绝对值

③互为相反数的两个数相加得零

④一个数同零相加仍得这个数注意利用法则进行加法运算的步骤①判断两个加数的符号是同号异号还是有一个加

数为零以此来选择用哪条法则②确定和的符号(是ldquo+rdquo还是ldquo-rdquo)③求各加数的绝对值并确定和的绝对值(加数的绝对值是相加还是相减)

(2)有理数的加法运算律见表5 1

表5 1

有 理 数 加

法运算律

加法交换律

加法结

合律

文字语言 两个数相加交换加数的位置和不变

符号语言 a+b=b+a

文字语言三个数相加先把前两个数相加或者先把后两个数相加和不变

符号语言 (a+b)+c=a+(b+c)

注意交换加数的位置时不要忘记符号(3)有理数的减法法则减去一个数等于加上这个数的相反数即有a-b=a+(-b)注意将减法转化为加法时注意同时进行的两变一变是减法变加法二变是把减数变为

它的相反数如

6(2)=6+(+2) (2)3=(2)+(3)

(4)有理数加减混合运算①先利用减法法则将减法转化为加法②再运用加法交换律

和结合律使计算简便

2 难点点拨

掌握有理数的加减运算就是要求学生既算得快又准确显然做加法相对于做减法而言不容易出错所以加减混合运算时注意以下几点首先先去括号把式子整理成省略加号的和

02

第5讲 有理数的加减

的形式然后将这一形式看作是几个数相加运用加法法则来计算即可举例计算8-(-3)+(-1)-2-(-7)解原式=8+3-1-2+7=15(看作8+3+(-1)+(-2)+7即求83-1和-2相加

的和)答15

典例剖析

例1 计算(-55)+ +1115

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide+(+7)eacute

eumlecircecirc

ugrave

ucircuacuteuacute+ (-7)+ +

415

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide+(+25)eacute

eumlecircecirc

ugrave

ucircuacuteuacute

思路点拨 利用有理数加法的交换律和结合律计算

解原式=(-55)+ +1115

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide+(+7)+(-7)+ +

415

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide+(+25)

= +1115

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide+ +

415

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

eacute

eumlecircecirc

ugrave

ucircuacuteuacute+ (-55)+(+25)[ ]+ (-7)+(+7)[ ]=1+(-3)=-2

答-2

点睛评注 在运用有理数加法运算律时一定要根据需要灵活运用以达到简化的目

的通常有下列规律

①互为相反数的两个数先相加mdashmdashmdashldquo相反数结合法rdquo

②符号相同的两个数先相加mdashmdashmdashldquo同号结合法rdquo

③分母相同的数先相加mdashmdashmdashldquo同分母结合法rdquo

④整数与整数小数与小数分数与分数先相加mdashmdashmdashldquo同形结合法rdquo

类题演练

323+

(-263)+ -235

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide+(+363)+ -

23

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

例2 计算-3213

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide- +5

14

aelig

egraveccedil

ouml

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17+ -5

14

aelig

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oslashdivide- +2

67

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

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eumlecircecirc

ugrave

ucircuacuteuacute

思路点拨 先观察式子可发现中括号里的数先运算较简便

解原式= -3213

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide- 5

14-3

17-5

14-2

67

eacute

eumlecircecirc

ugrave

ucircuacuteuacute=-32

13+6=-26

13

答-2613

点睛评注 在解决此类问题时一般要先去括号简化成省略加号和的形式再视情

况运用交换律和结合律简化运算另外在去括号时要时刻注意是否需要变号

12

• 第一讲
• 第二讲
• 第三讲
• 第四讲
• 第五讲
• 第六讲
• 第七讲
• 第八讲
• 第九讲
• 第十讲
• 第十一讲
• 第十二讲
• 第十三讲
• 第十四讲
• 第十五讲
• 第十六讲
• 第十七讲
• 第十八讲
• 第十九讲
• 第二十讲
• 第二十一讲
• 第二十二讲
• 第二十三讲13
• 第二十四讲
• 第二十五讲
• 第二十六讲
• 第二十七讲
• 第二十八讲
• 第二十九讲
• 第三十讲
• 第三十一讲
• 第三十二讲
• 参考答案13

初中数学思维拓展32讲(七年级)

类题演练

已知d-altc-blt0d-b=c-a那么abcd 之间的关系 (用ldquoltrdquo连接)

同步反馈

A组 基础夯实

1在25-2503这四个数中最小的数是( )A25 B-25 C0 D3

2如图4 4(A)(B)(C)(D)所示数轴上的点分别表示有理数ab若agtb其中表示正确的

图形是( )

A B C D

a b

0123

b a

0 11

a b

0 11

a b

0 11

图4 4

3(1)-2 +6(2)0 -18

(3)-32 -4

(4) -7 +7(5)-[-(-3)] +[-(+3)]

4一个数比它的相反数小这个数是( )A正数 B负数 C非负数 D非正数

5大于-4的负整数有 个6我国几个城市某年一月份的平均气温见表4 1其中气温最低的城市是( )

表4 1

城市 北京 武汉 广州 哈尔滨

平均气温 -46 38 131 -194

A北京 B武汉 C广州 D哈尔滨

B组 能力提升

7若ylt0则xx-yx+y 中最大的是( )Ax Bx-y Cx+y D不确定

8下面有4个正整数的集合(1)1~101中3的倍数(2)1~101中4的倍数(3)1~101中5的倍数(4)1~101中6的倍数其中平均数最大的集合是( )A(1) B(2) C(3) D(4)

81

第4讲 有理数的大小比较

9已知m 是正整数则m-m1m

的大小关系是( )

A-mlt1mltm B-mltmlt

1m C-mlt

1mlem D-mltmle

1m

10若agtbalt0则-(a+b)gt-bgt-agt-a+b是否正确

11比-312

大而比216

小的所有整数的和为

12已知有理数ab在数轴上的对应点的位置如图4 5所示0表示原点

0 11 ba

图4 5

①请在数轴上表示出数-a-b对应的点的位置

②请按从小到大的顺序排列a-a-bb-10的大小

C组 创新提高

13设A=1999111+11999222+1

B=1999222+11999333+1

则A 与B 的大小关系是

14比较-20112010

和-20122011

的大小

15仔细阅读下列材料

2009times20082008-2008times20092009= 分析可知很明显这个题直接计算比较烦琐可尝试用x 代替2009y 代替2008解令2009=x2008=y则原式=x(ytimes104+y)-y(xtimes104+x)=xytimes104+xy-xytimes104-xy=0我们常常ldquo用字母来表示数rdquo而上述材料根据问题特点将较大数字采用恰当的字母来表

示则更能使运算简捷明快(1)在上述问题解决过程中运用了 思维的方法体现了 的数学思想(2)参照上述材料中的方法解答下面两题

①计算 401820102-2009times2011

②若M=67890123457890123456

N=67890123447890123455

比较MN 的大小

专题反思

总题数 错误原因 错题序号

正确题数 (1)知识点不清

错误题数 (2)能力不够(3)方法错误

给自己的

一句话

91

0 5 有理数的加减

专题简析

1 重点讲解

(1)有理数的加法法则

①同号两数相加取与加数相同的符号并把绝对值相加

②异号两数相加取绝对值较大的加数的符号并用较大数的绝对值减去较小数的绝对值

③互为相反数的两个数相加得零

④一个数同零相加仍得这个数注意利用法则进行加法运算的步骤①判断两个加数的符号是同号异号还是有一个加

数为零以此来选择用哪条法则②确定和的符号(是ldquo+rdquo还是ldquo-rdquo)③求各加数的绝对值并确定和的绝对值(加数的绝对值是相加还是相减)

(2)有理数的加法运算律见表5 1

表5 1

有 理 数 加

法运算律

加法交换律

加法结

合律

文字语言 两个数相加交换加数的位置和不变

符号语言 a+b=b+a

文字语言三个数相加先把前两个数相加或者先把后两个数相加和不变

符号语言 (a+b)+c=a+(b+c)

注意交换加数的位置时不要忘记符号(3)有理数的减法法则减去一个数等于加上这个数的相反数即有a-b=a+(-b)注意将减法转化为加法时注意同时进行的两变一变是减法变加法二变是把减数变为

它的相反数如

6(2)=6+(+2) (2)3=(2)+(3)

(4)有理数加减混合运算①先利用减法法则将减法转化为加法②再运用加法交换律

和结合律使计算简便

2 难点点拨

掌握有理数的加减运算就是要求学生既算得快又准确显然做加法相对于做减法而言不容易出错所以加减混合运算时注意以下几点首先先去括号把式子整理成省略加号的和

02

第5讲 有理数的加减

的形式然后将这一形式看作是几个数相加运用加法法则来计算即可举例计算8-(-3)+(-1)-2-(-7)解原式=8+3-1-2+7=15(看作8+3+(-1)+(-2)+7即求83-1和-2相加

的和)答15

典例剖析

例1 计算(-55)+ +1115

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide+(+7)eacute

eumlecircecirc

ugrave

ucircuacuteuacute+ (-7)+ +

415

aelig

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eumlecircecirc

ugrave

ucircuacuteuacute

思路点拨 利用有理数加法的交换律和结合律计算

解原式=(-55)+ +1115

aelig

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oslashdivide+(+7)+(-7)+ +

415

aelig

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oslashdivide+(+25)

= +1115

aelig

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415

aelig

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eumlecircecirc

ugrave

ucircuacuteuacute+ (-55)+(+25)[ ]+ (-7)+(+7)[ ]=1+(-3)=-2

答-2

点睛评注 在运用有理数加法运算律时一定要根据需要灵活运用以达到简化的目

的通常有下列规律

①互为相反数的两个数先相加mdashmdashmdashldquo相反数结合法rdquo

②符号相同的两个数先相加mdashmdashmdashldquo同号结合法rdquo

③分母相同的数先相加mdashmdashmdashldquo同分母结合法rdquo

④整数与整数小数与小数分数与分数先相加mdashmdashmdashldquo同形结合法rdquo

类题演练

323+

(-263)+ -235

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide+(+363)+ -

23

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

例2 计算-3213

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide- +5

14

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide-3

17+ -5

14

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide- +2

67

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

eacute

eumlecircecirc

ugrave

ucircuacuteuacute

思路点拨 先观察式子可发现中括号里的数先运算较简便

解原式= -3213

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide- 5

14-3

17-5

14-2

67

eacute

eumlecircecirc

ugrave

ucircuacuteuacute=-32

13+6=-26

13

答-2613

点睛评注 在解决此类问题时一般要先去括号简化成省略加号和的形式再视情

况运用交换律和结合律简化运算另外在去括号时要时刻注意是否需要变号

12

• 第一讲
• 第二讲
• 第三讲
• 第四讲
• 第五讲
• 第六讲
• 第七讲
• 第八讲
• 第九讲
• 第十讲
• 第十一讲
• 第十二讲
• 第十三讲
• 第十四讲
• 第十五讲
• 第十六讲
• 第十七讲
• 第十八讲
• 第十九讲
• 第二十讲
• 第二十一讲
• 第二十二讲
• 第二十三讲13
• 第二十四讲
• 第二十五讲
• 第二十六讲
• 第二十七讲
• 第二十八讲
• 第二十九讲
• 第三十讲
• 第三十一讲
• 第三十二讲
• 参考答案13

第4讲 有理数的大小比较

9已知m 是正整数则m-m1m

的大小关系是( )

A-mlt1mltm B-mltmlt

1m C-mlt

1mlem D-mltmle

1m

10若agtbalt0则-(a+b)gt-bgt-agt-a+b是否正确

11比-312

大而比216

小的所有整数的和为

12已知有理数ab在数轴上的对应点的位置如图4 5所示0表示原点

0 11 ba

图4 5

①请在数轴上表示出数-a-b对应的点的位置

②请按从小到大的顺序排列a-a-bb-10的大小

C组 创新提高

13设A=1999111+11999222+1

B=1999222+11999333+1

则A 与B 的大小关系是

14比较-20112010

和-20122011

的大小

15仔细阅读下列材料

2009times20082008-2008times20092009= 分析可知很明显这个题直接计算比较烦琐可尝试用x 代替2009y 代替2008解令2009=x2008=y则原式=x(ytimes104+y)-y(xtimes104+x)=xytimes104+xy-xytimes104-xy=0我们常常ldquo用字母来表示数rdquo而上述材料根据问题特点将较大数字采用恰当的字母来表

示则更能使运算简捷明快(1)在上述问题解决过程中运用了 思维的方法体现了 的数学思想(2)参照上述材料中的方法解答下面两题

①计算 401820102-2009times2011

②若M=67890123457890123456

N=67890123447890123455

比较MN 的大小

专题反思

总题数 错误原因 错题序号

正确题数 (1)知识点不清

错误题数 (2)能力不够(3)方法错误

给自己的

一句话

91

0 5 有理数的加减

专题简析

1 重点讲解

(1)有理数的加法法则

①同号两数相加取与加数相同的符号并把绝对值相加

②异号两数相加取绝对值较大的加数的符号并用较大数的绝对值减去较小数的绝对值

③互为相反数的两个数相加得零

④一个数同零相加仍得这个数注意利用法则进行加法运算的步骤①判断两个加数的符号是同号异号还是有一个加

数为零以此来选择用哪条法则②确定和的符号(是ldquo+rdquo还是ldquo-rdquo)③求各加数的绝对值并确定和的绝对值(加数的绝对值是相加还是相减)

(2)有理数的加法运算律见表5 1

表5 1

有 理 数 加

法运算律

加法交换律

加法结

合律

文字语言 两个数相加交换加数的位置和不变

符号语言 a+b=b+a

文字语言三个数相加先把前两个数相加或者先把后两个数相加和不变

符号语言 (a+b)+c=a+(b+c)

注意交换加数的位置时不要忘记符号(3)有理数的减法法则减去一个数等于加上这个数的相反数即有a-b=a+(-b)注意将减法转化为加法时注意同时进行的两变一变是减法变加法二变是把减数变为

它的相反数如

6(2)=6+(+2) (2)3=(2)+(3)

(4)有理数加减混合运算①先利用减法法则将减法转化为加法②再运用加法交换律

和结合律使计算简便

2 难点点拨

掌握有理数的加减运算就是要求学生既算得快又准确显然做加法相对于做减法而言不容易出错所以加减混合运算时注意以下几点首先先去括号把式子整理成省略加号的和

02

第5讲 有理数的加减

的形式然后将这一形式看作是几个数相加运用加法法则来计算即可举例计算8-(-3)+(-1)-2-(-7)解原式=8+3-1-2+7=15(看作8+3+(-1)+(-2)+7即求83-1和-2相加

的和)答15

典例剖析

例1 计算(-55)+ +1115

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide+(+7)eacute

eumlecircecirc

ugrave

ucircuacuteuacute+ (-7)+ +

415

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide+(+25)eacute

eumlecircecirc

ugrave

ucircuacuteuacute

思路点拨 利用有理数加法的交换律和结合律计算

解原式=(-55)+ +1115

aelig

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oslashdivide+(+7)+(-7)+ +

415

aelig

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= +1115

aelig

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oslashdivide+ +

415

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oslashdivide

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eumlecircecirc

ugrave

ucircuacuteuacute+ (-55)+(+25)[ ]+ (-7)+(+7)[ ]=1+(-3)=-2

答-2

点睛评注 在运用有理数加法运算律时一定要根据需要灵活运用以达到简化的目

的通常有下列规律

①互为相反数的两个数先相加mdashmdashmdashldquo相反数结合法rdquo

②符号相同的两个数先相加mdashmdashmdashldquo同号结合法rdquo

③分母相同的数先相加mdashmdashmdashldquo同分母结合法rdquo

④整数与整数小数与小数分数与分数先相加mdashmdashmdashldquo同形结合法rdquo

类题演练

323+

(-263)+ -235

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide+(+363)+ -

23

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

例2 计算-3213

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide- +5

14

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide-3

17+ -5

14

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide- +2

67

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

eacute

eumlecircecirc

ugrave

ucircuacuteuacute

思路点拨 先观察式子可发现中括号里的数先运算较简便

解原式= -3213

aelig

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oslashdivide- 5

14-3

17-5

14-2

67

eacute

eumlecircecirc

ugrave

ucircuacuteuacute=-32

13+6=-26

13

答-2613

点睛评注 在解决此类问题时一般要先去括号简化成省略加号和的形式再视情

况运用交换律和结合律简化运算另外在去括号时要时刻注意是否需要变号

12

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• 参考答案13

0 5 有理数的加减

专题简析

1 重点讲解

(1)有理数的加法法则

①同号两数相加取与加数相同的符号并把绝对值相加

②异号两数相加取绝对值较大的加数的符号并用较大数的绝对值减去较小数的绝对值

③互为相反数的两个数相加得零

④一个数同零相加仍得这个数注意利用法则进行加法运算的步骤①判断两个加数的符号是同号异号还是有一个加

数为零以此来选择用哪条法则②确定和的符号(是ldquo+rdquo还是ldquo-rdquo)③求各加数的绝对值并确定和的绝对值(加数的绝对值是相加还是相减)

(2)有理数的加法运算律见表5 1

表5 1

有 理 数 加

法运算律

加法交换律

加法结

合律

文字语言 两个数相加交换加数的位置和不变

符号语言 a+b=b+a

文字语言三个数相加先把前两个数相加或者先把后两个数相加和不变

符号语言 (a+b)+c=a+(b+c)

注意交换加数的位置时不要忘记符号(3)有理数的减法法则减去一个数等于加上这个数的相反数即有a-b=a+(-b)注意将减法转化为加法时注意同时进行的两变一变是减法变加法二变是把减数变为

它的相反数如

6(2)=6+(+2) (2)3=(2)+(3)

(4)有理数加减混合运算①先利用减法法则将减法转化为加法②再运用加法交换律

和结合律使计算简便

2 难点点拨

掌握有理数的加减运算就是要求学生既算得快又准确显然做加法相对于做减法而言不容易出错所以加减混合运算时注意以下几点首先先去括号把式子整理成省略加号的和

02

第5讲 有理数的加减

的形式然后将这一形式看作是几个数相加运用加法法则来计算即可举例计算8-(-3)+(-1)-2-(-7)解原式=8+3-1-2+7=15(看作8+3+(-1)+(-2)+7即求83-1和-2相加

的和)答15

典例剖析

例1 计算(-55)+ +1115

aelig

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ouml

oslashdivide+(+7)eacute

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ugrave

ucircuacuteuacute+ (-7)+ +

415

aelig

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思路点拨 利用有理数加法的交换律和结合律计算

解原式=(-55)+ +1115

aelig

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oslashdivide+(+7)+(-7)+ +

415

aelig

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= +1115

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415

aelig

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oslashdivide

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eumlecircecirc

ugrave

ucircuacuteuacute+ (-55)+(+25)[ ]+ (-7)+(+7)[ ]=1+(-3)=-2

答-2

点睛评注 在运用有理数加法运算律时一定要根据需要灵活运用以达到简化的目

的通常有下列规律

①互为相反数的两个数先相加mdashmdashmdashldquo相反数结合法rdquo

②符号相同的两个数先相加mdashmdashmdashldquo同号结合法rdquo

③分母相同的数先相加mdashmdashmdashldquo同分母结合法rdquo

④整数与整数小数与小数分数与分数先相加mdashmdashmdashldquo同形结合法rdquo

类题演练

323+

(-263)+ -235

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide+(+363)+ -

23

aelig

egraveccedil

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oslashdivide

例2 计算-3213

aelig

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oslashdivide- +5

14

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思路点拨 先观察式子可发现中括号里的数先运算较简便

解原式= -3213

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14-2

67

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ucircuacuteuacute=-32

13+6=-26

13

答-2613

点睛评注 在解决此类问题时一般要先去括号简化成省略加号和的形式再视情

况运用交换律和结合律简化运算另外在去括号时要时刻注意是否需要变号

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第5讲 有理数的加减

的形式然后将这一形式看作是几个数相加运用加法法则来计算即可举例计算8-(-3)+(-1)-2-(-7)解原式=8+3-1-2+7=15(看作8+3+(-1)+(-2)+7即求83-1和-2相加

的和)答15

典例剖析

例1 计算(-55)+ +1115

aelig

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415

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思路点拨 利用有理数加法的交换律和结合律计算

解原式=(-55)+ +1115

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415

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ucircuacuteuacute+ (-55)+(+25)[ ]+ (-7)+(+7)[ ]=1+(-3)=-2

答-2

点睛评注 在运用有理数加法运算律时一定要根据需要灵活运用以达到简化的目

的通常有下列规律

①互为相反数的两个数先相加mdashmdashmdashldquo相反数结合法rdquo

②符号相同的两个数先相加mdashmdashmdashldquo同号结合法rdquo

③分母相同的数先相加mdashmdashmdashldquo同分母结合法rdquo

④整数与整数小数与小数分数与分数先相加mdashmdashmdashldquo同形结合法rdquo

类题演练

323+

(-263)+ -235

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide+(+363)+ -

23

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

例2 计算-3213

aelig

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oslashdivide- +5

14

aelig

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oslashdivide-3

17+ -5

14

aelig

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oslashdivide- +2

67

aelig

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思路点拨 先观察式子可发现中括号里的数先运算较简便

解原式= -3213

aelig

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oslashdivide- 5

14-3

17-5

14-2

67

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eumlecircecirc

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ucircuacuteuacute=-32

13+6=-26

13

答-2613

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