c gymnasiou 2012

250
Μαθηματικά Γ΄ γυμνασίου Periexomena.p65 5/9/2012, 2:16 ìì 1

Upload: pressreturn

Post on 28-Apr-2015

20 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: c Gymnasiou 2012

Μαθηματικά Γ΄ γυμνασίου

Periexomena.p65 5/9/2012, 2:16 ìì1

Page 2: c Gymnasiou 2012

Periexomena.p65 5/9/2012, 2:16 ìì2

Page 3: c Gymnasiou 2012

Ðåñéå÷üìåíá

ÌÝñïò 1ï - ¢ëãåâñá

1.1Á Ïé ðñáãìáôéêïß áñéèìïß êáé ïé ðñÜîåéò ôïõò............................................................................. óåë. 7

1.1 ÄõíÜìåéò ðñáãìáôéêþí áñéèìþí .......................................................................................... óåë. 13

1.1Ã ÔåôñáãùíéêÞ ñßæá ðñáãìáôéêïý áñéèìïý ................................................................................ óåë. 19

1.2 Ìïíþíõìá - ðñÜîåéò ìå ìïíþíõìá ........................................................................................ óåë. 25

1.3 Ðïëõþíõìá - Ðñüóèåóç êáé áöáßñåóç ðïëõùíýìïõ............................................................. óåë. 32

1.4 Ðïëëáðëáóéáóìüò ðïëõùíýìùí ........................................................................................... óåë. 38

1.5 Áîéïóçìåßùôåò ôáõôüôçôåò ....................................................................................................... óåë. 43

1.6 Ðáñáãïíôïðïßçóç áëãåâñéêþí ðáñáóôÜóåùí ........................................................................ óåë. 53

1.7 Äéáßñåóç ðïëõùíýìùí .......................................................................................................... óåë. 63

1.8 Å.Ê.Ð. êáé Ì.Ê.Ä. áêáßñåùí áëãåâñéêþí ðáñáóôÜóåùí ......................................................... óåë. 71

1.9 ÑçôÝò áëãåâñéêÝò ðáñáóôÜóåéò ................................................................................................ óåë. 75

1.10 ÐñÜîåéò ñçôþí ðáñáóôÜóåùí ............................................................................................... óåë. 81

Periexomena.p65 5/9/2012, 2:16 ìì3

Page 4: c Gymnasiou 2012

2.1 Ç åîßóùóç á÷+â = 0 ............................................................................................................... óåë. 89

2.2 Åîéóþóåéò 2ïõ âáèìïý ........................................................................................................... óåë. 97

2.3 ÐñïâëÞìáôá åîéóþóåùí 2ïõ âáèìïý .................................................................................. óåë. 107

2.4 ÊëáóìáôéêÝò åîéóþóåéò .......................................................................................................... óåë. 111

2.5 Áíéóüôçôåò - áíéóþóåéò ìå Ýíáí Üãíùóôï.............................................................................. óåë. 117

3.1 Ç Ýííïéá ôçò ãñáììéêÞò åîßóùóçò ......................................................................................... óåë. 123

3.2 Ç Ýííïéá ôïõ ãñáììéêïý óõóôÞìáôïò - ãñáììéêÞ åðßëõóç ..................................................... óåë. 129

3.3 ÁëãåâñéêÞ åðßëõóç ãñáììéêïý óõóôÞìáôïò .......................................................................... óåë. 135

4.1 Ç óõíÜñôçóç 2y αχ ........................................................................................................... óåë. 143

4.2 Ç óõíÜñôçóç 2y αx βx γ ............................................................................................... óåë. 149

5.1 Óýíïëá ................................................................................................................................. óåë. 159

5.2 Äåéãìáôéêüò ÷þñïò - åíäå÷üìåíá .......................................................................................... óåë. 166

5.3 ¸ííïéá ôçò ðéèáíüôçôáò ........................................................................................................ óåë. 175

Periexomena.p65 5/9/2012, 2:16 ìì4

Page 5: c Gymnasiou 2012

ÌÝñïò 2ï - Ãåùìåôñßá - Ôñéãùíïìåôñßá

1.1 Éóüôçôá ôñéãþíùí ................................................................................................................. óåë. 185

1.2 - 1.3 Ëüãùò åõèõãñÜììùí ôìçìÜôùí - Èåþñçìá ÈáëÞ ...................................................... óåë. 193

1.4 Ïìïéïèåóßá ........................................................................................................................... óåë. 205

1.5 Ïìïéüôçôá ............................................................................................................................ óåë. 210

1.6 Ëüãïò åìâáäþí ïìïßùí ó÷çìÜôùí ...................................................................................... óåë. 220

2.1 Ôñéãùíïìåôñéêïß áñéèìïß ïîåßáò - áìâëåßáò ãùíßáò ............................................................... óåë. 223

2.2 Ôñéãùíïìåôñéêïß áñéèìïß ðáñáðëçñùìáôéêþí ãùíéþí ......................................................... óåë. 232

2.3 Ó÷Ýóåéò ìåôáîõ ôùí ôñéãùíïìåôñéêþí áñéèìþí ìéáò ãùíßáò ................................................. óåë. 236

2.4 Íüìïò ôùí çìéôüíùí - Íüìïò ôùí óõíçìéôüíùí .................................................................. óåë. 241

Periexomena.p65 5/9/2012, 2:16 ìì5

Page 6: c Gymnasiou 2012

Periexomena.p65 5/9/2012, 2:16 ìì6

Page 7: c Gymnasiou 2012

ÌÝñïò 1ï

¢ëãåâñá

sel.meri.p65 1/9/2012, 1:56 ìì7

Page 8: c Gymnasiou 2012
Page 9: c Gymnasiou 2012

1.1Á Ïé ðñáãìáôéêïß áñéèìïß êáé ïé ðñÜîåéò ôïõò 7

Åñþôçóç 1

Ôé ïíïìÜæïõìå óýíïëï ðñáãìáôéêþí áñéèìþí;Ðùò óõìâïëßæïõìå ôï óýíïëï ôùí ðñáãìáôéêþí áñéè-ìþí;Ôé ðáñéóôÜíåé ôï óýìâïëï R* ;

ÁðÜíôçóç

Ôï óýíïëï ðïõ áðïôåëåßôáé áðü ôïõò ñçôïýò êáé ôïõò Üññç-ôïõò áñéèìïýò, ïíïìÜæåôáé óýíïëï ôùí ðñáãìáôéêþí áñéè-ìþí.Ôï óýíïëï üëùí áõôþí ôùí áñéèìþí ôï óõìâïëßæïõìå ìåôï ãñÜììá R.Ìå ôï óõìâïëéóìü R* ðáñéóôÜíïõìå ôï óýíïëï ôùí ðñáã-ìáôéêþí áñéèìþí ÷ùñßò ôï ìçäÝí.

Ïé ðñáãìáôéêïß áñéèìïß ðáñéóôÜíïíôáé ìå ôá óçìåßá åíüò Üîïíá.

Åñþôçóç 2

Ðþò ðñïóèÝôïõìå ðñáãìáôéêïýò áñéèìïýò;Ðþò ðïëëáðëáóéÜæïõìå ðñáãìáôéêïýò áñéèìïýò;

ÁðÜíôçóç

Áí ïé áñéèìïß ðïõ ðñïóèÝôïõìå åßíáé ïìüóçìïé, âÜæïõìå ôïêïéíü ðñüóçìï ôïõò êáé ðñïóèÝôïõìå ôéò áðüëõôåò ôéìÝò ôïõò.

¸ôóé 2 3 5 êáé 2 3 5 .Áí ïé áñéèìïß ðïõ ðñïóèÝôïõìå åßíáé åôåñüóçìïé, âÜæïõìåôï ðñüóçìï ôïõ áñéèìïý ìå ôç ìåãáëýôåñç áðüëõôç ôéìÞ êáéáöáéñïýìå ôéò áðüëõôåò ôéìÝò ôïõò.

1.1Á Ïé ðñáãìáôéêïß áñéèìïß êáé ïé ðñÜîåéò ôïõò

ÉÄÉÏÔÇÔÁ ÐÑÏÓÈÅÓÇ ÐÏËËÁÐËÁ-ÓÉÁÓÌÏÓ

ÁíôéìåôáèåôéêÞ α β β α α β β α

ÐñïóåôáéñéóôéêÞ α β γ

α β γ

α βγ αβ γ

α 0 α α 1 α

α α 0 1α 1, α 0

α

α 0 0

ÅðéìåñéóôéêÞ α β γ αβ αγ

• Äýï áñéèìïß ëÝãïíôáé áíôßèåôïé üôáí Ý÷ïõí Üèñïéóìá ìçäÝí.• Äýï áñéèìïß äéáöïñåôéêïß áðü ôï ìçäÝí ëÝãïíôáé áíôßóôñï-

öïé üôáí Ý÷ïõí ãéíüìåíï ßóï ìå ôç ìïíÜäá.

¸ôóé 2 3 1 êáé 2 3 1 .Áí ïé áñéèìïß ðïõ ðïëëáðëáóéÜæïõìå åßíáé ïìüóçìïé, âÜ-æïõìå ðñüóçìï + êáé ðïëëáðëáóéÜæïõìå ôéò áðüëõôåò ôéìÝò

ôïõò. ¸ôóé 2 3 6 êáé 2 3 6 6 .

Áí ïé áñéèìïß ðïõ ðïëëáðëáóéÜæïõìå åßíáé åôåñüóçìïé, âÜæïõ-ìå ðñüóçìï - êáé ðïëëáðëáóéÜæïõìå ôéò áðüëõôåò ôéìÝò ôïõò.

¸ôóé 2 3 6 êáé 2 3 6 .

Åñþôçóç 3

Ðïéåò åßíáé ïé éäéüôçôåò ôçò ðñüóèåóçò êáé ôïõ ðïëëá-ðëáóéáóìïý;

ÁðÜíôçóç

Ãéá ôçí ðñüóèåóç êáé ôïí ðïëëáðëáóéáóìü éó÷ýïõí ïé éäéüôçôåò:

A1.1.p65 1/9/2012, 11:06 ðì7

Page 10: c Gymnasiou 2012

ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 18

Åñþôçóç 4

Ðùò áöáéñïýìå äýï ðñáãìáôéêïýò áñéèìïýò;Ðùò äéáéñïýìå äýï ðñáãìáôéêïýò áñéèìïýò;

ÁðÜíôçóç

Ãéá íá áöáéñÝóïõìå äýï ðñáãìáôéêïýò áñéèìïýò, ðñïóèÝ-ôïõìå óôï ìåéùôÝï ôïí áíôßèåôï ôïõ áöáéñåôÝïõ.ÄçëáäÞ á-â=á+(-â) .Ð.÷.: -5-( -3) = -5+(+3)=-5+3=-2Ãéá íá äéáéñÝóïõìå äýï ðñáãìáôéêïýò áñéèìïýò, ðïëëáðëá-

óéÜæïõìå ôï äéáéñåôÝï ìå ôïí áíôßóôñïöï ôïõ äéáéñÝôç. ÄçëáäÞα 1

α : β αβ β

,ìå β 0

ÐÁÑÁÄÅÉÃÌÁÔÁ - ÅÖÁÑÌÏÃÅÓ

Íá åêôåëÝóåôå ôéò ðñÜîåéò:

á. 1 4 1

4 - 2 - 52 6 3

â. 3 1 4 1- - - -

2 4 5 10

Ëýóç

á. 1 4 1

4 2 52 6 3

4 2 5 =

3 4 2 3 4 2

1 16 6 6 6

6 1 76 6

â. 3 1 4 12 4 5 10

=

30 5 16 2 1720 20

1

Íá õðïëïãßóåôå ôçí ôéìÞ ôçò ðáñÜóôáóçò:

4 15 -

3 12A1 3

4 - 72 8

Ëýóç

=

2

Ð.÷.: 1 1 1 1: 3

2 2 3 6

.

Ó÷üëéï: ¼ôáí æçôïýí íá áðïäåßîïõìå üôé éó÷ýåé ìßá éóüôçôáÁ= ôüôå áêïëïõèïýìå Ýíá áðü ôá åðüìåíá:1. ÎåêéíÜìå áðü ôï Á êáé ìå ðñÜîåéò êáôáëÞãïõìå óôï Â.2. ÎåêéíÜìå áðü ôï  êáé ìå ðñÜîåéò êáôáëÞãïõìå óôï Á.3. ÊÜíïõìå ðñÜîåéò êáé ôï Á êáé óôï  êáé êáôáëÞãïõìå óôçí

ßäéá ðáñÜóôáóç Ã.ÓõíÞèùò îåêéíÜìå áðü ôï ìÝëïò, óôï ïðïßï ìðïñïýí íáãßíïõí ïé ðåñéóóüôåñåò ðñÜîåéò.

A1.1.p65 1/9/2012, 11:06 ðì8

Page 11: c Gymnasiou 2012

1.1Á Ïé ðñáãìáôéêïß áñéèìïß êáé ïé ðñÜîåéò ôïõò 9

Íá áðïäåßîåôå üôé: á. -α β - αβ â. α β γ - α - β - γ 2 β γ

Ëýóç

á. ÐñÝðåé íá äåßîïõìå üôé ï áíôßèåôïò ôïõ áâ åßíáé ï α β Þ üôé ï áâ êáé ï α β Ý÷ïõí Üèñïéóìá ìçäÝí.

ÐñÜãìáôé α β αβ α α β 0 β 0

â. α β γ α β γ α β γ α β γ α β γ α β γ α β γ α β γ

α α β β γ γ β γ β γ0 2 2 2

3

ÅÑÙÔÇÓÅÉÓ ÊÁÔÁÍÏÇÓÇÓ

1 Íá óõìðëçñþóåôå ôïí ðáñáêÜôù ðßíáêá óçìåéþíïíôáò “÷” óôçí êáôÜëëçëç èÝóç.

Íá óõìðëçñþóåôå ôéò éóüôçôåò:

á. 5 4 ..... â. 4 4 ..... ã. 4 7 ..... ä. 22 .....

3 å.

10 .....

3

óô. 5 1.....

4 3

æ. 34 : .....

5

ç. 4: 3 .....

3

è. 3 3

: .....4 4

Íá óõìðëçñþóåôå ôéò éóüôçôåò:

á. 4 2 7 x ..... â. 5 4 3x ..... ã. 4 3 2 x .....

ä. 4 x ..... ..... 2 å. 2 x 3 y ..... óô. 3 ..... ..... 9x 9

Íá åðéëÝîåôå ôç óùóôÞ áðÜíôçóç:i) Aí äýï áñéèìïß åßíáé áíôßèåôïé, ôüôå:

á. åßíáé ïìüóçìïé â. Ý÷ïõí ßóåò áðüëõôåò ôéìÝòã. Ý÷ïõí ãéíüìåíï 0 ä. Ý÷ïõí ãéíüìåíï 1

2

3

4

A1.1.p65 1/9/2012, 11:06 ðì9

Page 12: c Gymnasiou 2012

ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 110

ii) Áí äýï áñéèìïß åßíáé áíôßóôñïöïé, ôüôå:á. åßíáé åôåñüóçìïé â. Ý÷ïõí Üèñïéóìá ìçäÝíã. Ý÷ïõí ßóåò áðüëõôåò ôéìÝò ä. Ý÷ïõí ãéíüìåíï ôç ìïíÜäá

Íá ÷áñáêôçñßóåôå ôéò ðáñáêÜôù ðñïôÜóåéò ìå (Ó), áí åßíáé óùóôÝò Þ ìå (Ë), áí åßíáé ëáíèáóìÝíåò:

á. Ïé áíôßóôñïöïé áñéèìïß åßíáé ïìüóçìïé

â. Ôï Üèñïéóìá äýï åôåñüóçìùí áñéèìþí åßíáé èåôéêüò áñéèìüò

ã. Ç áðüëõôç ôéìÞ êÜèå ðñáãìáôéêïý áñéèìïý åßíáé èåôéêüò áñéèìüò

ä. Äýï áñéèìïß ìå ãéíüìåíï èåôéêü êáé Üèñïéóìá áñíçôéêü åßíáé áñíçôéêïß

Óå êáèåìßá áðü ôéò ðáñáêÜôù ðñïôÜóåéò íá óçìåéþóåôå Ó (óùóôÞ) Þ Ë (ëÜèïò).á. Ïé áñéèìïß 1 êáé -1 åßíáé áíôßóôñïöïé.â. ÊÜèå Üññçôïò ðñáãìáôéêüò áñéèìüò äåí ìðïñåß íá ãñáöåß ïýôå ùò äåêáäéêüò ïýôå ùò ðåñéïäéêüò äåêáäéêüò.ã. ÊÜèå öõóéêüò áñéèìüò åßíáé êáé áêÝñáéïò. ä. ÊÜèå ðñáãìáôéêüò áñéèìüò åßíáé ñçôüò.å. ÊÜèå ñçôüò áñéèìüò åßíáé áêÝñáéïò. óô. Ï áñéèìüò 0 äåí Ý÷åé áíôßèåôï.

Ðïéï áðü ôá ðáñáêÜôù åßíáé ßóï ìå α β γ .

á. α β γ â. β γ α ã. αβ βγ ä. β α γ

Áí á, â åßíáé ðñáãìáôéêïß áñéèìïß, ôüôå ç äéáöïñÜ α β åßíáé ßóç ìå:á. α β â. β α ã. α β ä. α β

Áí 3α 3β 0 ôüôå ïé ðñáãìáôéêïß áñéèìïß á, â åßíáé:á. ßóïé â. áíôßèåôïé ã. áíôßóôñïöïé ä. êáíÝíá áðü ôá ðñïçãïýìåíá

Íá ÷áñáêôçñßóåôå ùò Ó (óùóôÞ) Þ Ë (ëÜèïò) êáèåìßá áðü ôéò ðáñáêÜôù ðñïôÜóåéò.

á. Ï -2 åßíáé öõóéêüò. â. Ôï 23

åßíáé ðñáãìáôéêüò. ã. Ï 3 åßíáé Üññçôïò.

ä. Ï 2,24 åßíáé ñçôüò. å. Ï 102

åßíáé áêÝñáéïò.

Ðïéïé áðü ôïõò ðáñáêÜôù áñéèìïýò åßíáé ñçôïß êáé ðïéïé Üññçôïé:á. 1, 2313542 ... â. ð ã. 4 ä. 4, 212121 ...

5

6

7

8

9

10

11

A1.1.p65 1/9/2012, 11:06 ðì10

Page 13: c Gymnasiou 2012

1.1Á Ïé ðñáãìáôéêïß áñéèìïß êáé ïé ðñÜîåéò ôïõò 11

Áí ïé áñéèìïß 2x y ω êáé y 2x φ åßíáé áíôßèåôïé íá äåßîåôå üôé ù êáé ö åßíáé áíôßèåôïé.

Ná åêôåëÝóåôå ôéò ðñÜîåéò: á) -225 : -5 4 -7 8 -5 : 3

â) 4 3 6 4 8 : 2 3 4 9 3 3 8 1 7 2

ã) 5 1 2 3 1 2

1 :2 2 5 5 5 3

ä) 3 6 2 3 5 2 / 2 2 6 4

å) 4 2 3 1 10 : 2 12 6 2 7 4 1

Íá õðïëïãßóåôå ôçí ôéìÞ ôçò ðáñÜóôáóçò

-34 -5

6144 : -

5

Β

13

371

23

Γ

1 31

2 41 1

34 2

Δ

1 12 1 5 1 14 1 13 2 6 2 3:

11 2 21 3 2 62 3 214 12

Ε

1 11

12 12

1 11

12 12

1

2

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

3

A1.1.p65 1/9/2012, 11:06 ðì11

Page 14: c Gymnasiou 2012

ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 112

Áöïý áðáëåßøåôå ôéò ðáñåíèÝóåéò ôçò ðáñÜóôáóçò :

Π 2α 5α 2β 4 2β 3α 8

íá õðïëïãßóåôå ôçí áñéèìçôéêÞ ôéìÞ ôçò ãéá α 1 êáé β 3 .

Íá ãßíïõí ïé ðñÜîåéò óôçí ðáñÜóôáóç ðïõ áêïëïõèåß êáé íá õðïëïãéóôåß ç áñéèìçôéêÞ ôéìÞ ôçò ãéá x = 2.

Α 4 2 3x x 5 3 x 1 2 x 1

Áí χ y 5 êáé ω φ 7 , íá õðïëïãßóåôå ôçí ôéìÞ ôùí ðáñáóôÜóåùí:

Α 4 χ ω y φ Β 5 χ φ 8 y ω 4

Γ 6 x y 3x 1 2y 3 x 2 y

Áí 1

x 2 y3

íá õðïëïãéóôåß ç áñéèìçôéêÞ ôçò ðáñÜóôáóçò:

A x 3 y 2 x 4 y x 2 y 1 6 2 x 3 y

Äýï áñéèìïß Ý÷ïõí ãéíüìåíï -6 êáé Üèñïéóìá 1. Ðïéïé åßíáé ïé áñéèìïß;

Íá áðïäåßîåôå ôéò ðáñáêÜôù éóüôçôåò:

á. 8 α β α 5 β 3

â. 2 α β γ 4 γ β 2 α 0

ã. α β γ α β γ β α γ2 3 5

4

5

6

7

8

9

A1.1.p65 1/9/2012, 11:06 ðì12

Page 15: c Gymnasiou 2012

1.1 ÄõíÜìåéò ðñáãìáôéêþí áñéèìþí 13

Åñþôçóç 1

Ðùò ïñßæïõìå ôç íéïóôÞ äýíáìç åíüò ðñáãìáôéêïý

áñéèìïý á ìå åêèÝôç Ýíá öõóéêü áñéèìü v 2 ;

ÁðÜíôçóç

Ç äýíáìç ìå âÜóç Ýíáí ðñáãìáôéêü áñéèìü á êáé åêèÝôç Ýíá

öõóéêü áñéèìü v 2 óõìâïëßæåôáé ìå να êáé ïñßæåôáé ùò åîÞò:

ν

ν παράγοντες

α α α α... α , áí v 2

Ïñßæïõìå áêüìç:

• 1α α • 0α 1 ìå α 0 • νν

α ìå α 0

Åñþôçóç 2

Ðïéåò åßíáé ïé éäéüôçôåò ôùí äõíÜìåùí; Íá ãñÜøåôå Ýíá

ðáñÜäåéãìá ãéá ôçí êáèåìßá.

ÁðÜíôçóç

• μ ν μ να α α ð.÷. 2 5 2 5 72 2 2 2

• μ ν μ να : α α ð.÷. 5 2 5 2 34 : 4 4 4 64

• νν να β α β ð.÷. 55 5 53 4 3 4 12

• νν

ν

α αββ

ð.÷.

5

5 2 3

2

22 2 8

2

• νμ μνα α ð.÷. 32 2 3 6 64 4 2 2

• ν ν

α ββ α

ð.÷.

4 43 44 3

ÊÑÉÔÇÑÉÏ ÁÎÉÏËÏÃÇÓÇÓ1.1B ÄõíÜìåéò ðñáãìáôéêþí áñéèìþí

ÐÁÑÁÄÅÉÃÌÁÔÁ - ÅÖÁÑÌÏÃÅÓ

Íá ãñÜøåôå êáèåìéÜ áðü ôéò ðáñáêÜôù ðáñá-

óôÜóåéò ùò ìßá äýíáìç:

á) 5 83 3 â) 5 32 : 2 ã) 2 53 : 3

ä) 47

132 2

2 å) 424 4

æ) 0 33 0 22 2 4 ç) 5

2 30,75

4

Ëýóç

á)

5 8

5 8

3

3 3

3

3

â)

5 3

5 ( 3)

8

2 : 2

2

2

ã)

2 5

2 5

2 5

3

3 : 3

3 : 3

3

3

ä)

47

5 4 7

5 4 7

6

132 2

22 2 2

2

2

å)

42

2 4

2 4

2

4 4

4 4

4

4

æ)

0 33 0 2

2

2

2 2 4

1 1 4

4

1

A1.1.p65 1/9/2012, 11:06 ðì13

Page 16: c Gymnasiou 2012

ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 114

5Íá õðïëïãßóåôå ôçí ôéìÞ ôçò êÜèå ðáñÜóôáóçò:

á) 2 43 3

â) 12 142 2

3 3

ã) 3 50,01 10

Ëýóç

á) 2 4 2 4 2 22

1 13 3 3 3 3

3 9

3

ç)

5 2 5 5 2 32 3 3 3 3 3

0,754 4 4 4 4

Íá õðïëïãßóåôå ôçí ôéìÞ ôçò êÜèå ðáñÜóôáóçò:

á) 24 93 3 â) 8 10

3 44 3

ã) 3 60,02 : 10 ä) 10 159 : 3

Ëýóç

á) 24 9 8 9 8 9 13 3 3 3 3 3 3

â)

8 10 8 10 8 10

2 2

3 4 3 3 34 3 4 4 4

3 4 164 3 9

ã)

3 33 5 5 5 3 1

6

2 2 80,02 :10 :10 :10 2 10 0,8

100 10 10

ä) 1010 15 2 15 20 15 20 15 59 : 3 3 : 3 3 : 3 3 3

2

4

â)

12 14 12 142 2 2 23 3 3 3

12 14 2 2 2

2

2 2 3 3 93 3 2 2 4

ã)

33 5 5 3 5 21

0,01 10 10 10 10 10 10010

Íá áðëïðïéÞóåôå ôéò ðáñáóôÜóåéò:

á) 23 3xy x y â) 3 22 33x 2x

ã) 2

33 3x x

2 2

Ëýóç

á) 23 3 2 6 3 2 3 6 1 5 7χy x y x y x y x y x y

â) 3 22 3 3 6 6 123x 2x 3 x 4 x 108 x

ã)

2 2 23 3 2 3 2

2

3 3 3 2 3 2 2x x x x x χ

2 2 2 3 2 3 3

Áí ôñéðëáóéÜóïõìå ôçí ðëåõñÜ åíüò ôåôñáãþ-íïõ, ðüóåò öïñÝò ìåãáëþíåé ôï åìâáäüí ôïõ;

Ëýóç

Ôï åìâáäüí ôïõ ôåôñáãþíïõ ðëåõñÜòx åßíáé: Å = ÷2

Ôï åìâáäüí ôïõ êáéíïýñéïõôåôñáãþíïõ, ðëåõñÜò 3x, åßíáé:

Ε 2 2 2 2' 3 x 3 x 9 x 9E

(9 öïñÝò ìåãáëýôåñï)

A1.1.p65 1/9/2012, 11:06 ðì14

Page 17: c Gymnasiou 2012

1.1 ÄõíÜìåéò ðñáãìáôéêþí áñéèìþí 15

Íá ÷áñáêôçñßóåôå ôéò åðüìåíåò ðñïôÜóåéò ìå (Ó), áí åßíáé óùóôÝò Þ ìå (Ë), áí åßíáé ëáíèáóìÝíåò:

á. Ãéá êÜèå áñéèìü á éó÷ýåé: 3α α α α

â. Ãéá êÜèå áñéèìü á éó÷ýåé: 3α α α α

ã. Ïé áñéèìïß 5

34

êáé 5

43

åßíáé áíôßóôñïöïé.

ä. Ï áñéèìüò 43 åßíáé áñíçôéêüò.

å. Ï áñéèìüò 24 åßíáé áñíçôéêüò.

Íá óõìðëçñþóåôå ôá êåíÜ ÷ñçóéìïðïéþíôáò ôï êáôÜëëçëï óýìâïëï ή :

á. 0

4. . . 1

3

â. 1

2 3. . .

3 2

ã. 3 14 . . .

64

ä. 33 . . . 27

Íá åðéëÝîåôå ôç óùóôÞ áðÜíôçóç.

i. H ôéìÞ ôçò ðáñÜóôáóçò 2

34

åßíáé: á. 9

16â.

169

ã. 9

16 ä.

169

ii. H ôéìÞ ôçò ðáñÜóôáóçò 034 åßíáé: á. 3

4 â. 1 ã. 34 ä. 0

iii. H ôéìÞ ôçò ðáñÜóôáóçò 4 33 4 åßíáé: á. 77 â. 127 ã. 145 ä. 712

Íá õðïëïãéóôåß ç ðáñÜóôáóç:

4 20042 2A 2 3 4 8 : 3 1

ÅÑÙÔÇÓÅÉÓ ÊÁÔÁÍÏÇÓÇÓ

1

2

3

4

A1.1.p65 1/9/2012, 11:06 ðì15

Page 18: c Gymnasiou 2012

ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 116

Íá ãñÜøåôå êÜèå ìéá áðü ôéò áêüëïõèåò ðáñáóôÜóåéò ùò ìéá äýíáìç:

á. -6 123 3 â. 4 72 : 2 ã. 6-24 4

ä. 325 å. 8

8

9

3óô. 3

6

132 2

2

Íá ãßíïõí ïé ðñÜîåéò:

á. 2 3 6 12x y 3xy xy

6 â.

2 3

3 2 3

8x yz ω64x z ω

ã. 22 3-3x yz ä. -2 -32

3 3

x 2yy x

Íá êÜíåôå ôéò ðñÜîåéò:

á. 2 3 2 5 3 1 2 014α β γ α β γ 15α β γ

12 â.

2 3 3 2

4 1 4 2

4α β 20α γ:

γ δ β δ

Íá áðëïðïéÞóåôå ôï êëÜóìá: 5 17

24

12 18A

36

Íá õðïëïãéóôïýí ïé ðáñáóôÜóåéò:

3 1.000 32 3A 3 2 1 4 : 8 2 : 4

113 6 3 2B 8 3 2 1 2 : 4 3 : 3 : 5 3

Γ4 2 2 3

5 0 1 2 1 32 17 2 3 4 :19 2

2 3 2 2

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

1

2

3

4

5

A1.1.p65 1/9/2012, 11:06 ðì16

Page 19: c Gymnasiou 2012

1.1 ÄõíÜìåéò ðñáãìáôéêþí áñéèìþí 17

Íá áðëïðïéÞóåôå ôéò ðáñáóôÜóåéò:

á) 2 3

2 2 21 3x y z x y z x y z

2 2

â) α α α ββ β

12 312 1

3 2: 36

ã)

22 1 22 323

2

x y x y x: x :

x y x y y

Íá õðïëïãéóôïýí ïé áñéèìçôéêÝò ôéìÝò ôùí ðáñáóôÜóåùí:

για1 x 22A x 2 x 1 x , x 1

α α β α βα β για α ββ β α α

13 2 3 22

3 2

1B : : , 1, 1

2 2 3

Íá ëõèïýí ïé åðüìåíåò åîéóþóåéò:

á. 2x 52 2 = 2 â. x 2x+33 3 = 27

ã. 3 5

1 1- x = -2 2

ä. -3 6x : 5 = 5

6

7

8

A1.1.p65 1/9/2012, 11:06 ðì17

Page 20: c Gymnasiou 2012

ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 118

Åñþôçóç 1

á. Ðùò ðñïóèÝôïõìå äýï ðñáãìáôéêïýò áñéèìïýò;

â. Ðùò ðïëëáðëáóéÜæïõìå äýï ðñáãìáôéêïýò áñéèìïýò;

ã. Ðùò áöáéñïýìå äýï ðñáãìáôéêïýò áñéèìïýò;

ä. Ðùò äéáéñïýìå äýï ðñáãìáôéêïýò áñéèìïýò;

¢óêçóç 1

Íá âñåèåß ç ôéìÞ ôçò áñéèìçôéêÞò ðáñÜóôáóçò

3

4

11 5

42 3 : 8

.

¢óêçóç 2

Íá âñåèåß ç ôéìÞ ôçò áñéèìçôéêÞò ðáñÜóôáóçò 4 33 2

32

α 2β4αβ

β α

.

¢óêçóç 3

Íá ëõèïýí ïé åðüìåíåò åîéóþóåéò:

á. 2x 3x 1 12 4

64 â. 4x 2

3 243

KÑÉÔÇÑÉÏ ÁÎÉÏËÏÃÇÓÇÓ

A1.1.p65 1/9/2012, 11:06 ðì18

Page 21: c Gymnasiou 2012

1.1Ã ÔåôñáãùíéêÞ ñßæá ðñáãìáôéêïý áñéèìïý 19

Åñþôçóç 1

Ôé ïíïìÜæïõìå ôåôñáãùíéêÞ ñßæá åíüò èåôéêïý áñéèìïý ÷;

Ðþò óõìâïëßæïõìå ôçí ôåôñáãùíéêÞ ñßæá ôïõ ÷;

ÁðÜíôçóç

ÔåôñáãùíéêÞ ñßæá åíüò èåôéêïý áñéèìïý ÷ åßíáé ï èåôéêüòáñéèìüò ðïõ üôáí õøùèåß óôï ôåôñÜãùíï, ìáò äßíåé ôïí á-ñéèìü ÷.Ç ôåôñáãùíéêÞ ñßæá ôïõ áñéèìïý ÷ óõìâïëßæåôáé ìå x .

Ãéá ðáñÜäåéãìá, 9 3 áöïý 23 9 .Ïñßæïõìå áêüìç 0 0 .

Ãéá ïðïéïíäÞðïôå ðñáãìáôéêü áñéèìü ÷ éó÷ýåé: 2x x .

Ãéá ðáñÜäåéãìá, 24 4 4 êáé 24 4 4 .

Áí x 0 ôüôå 2x x .

Åñþôçóç 2

Ðþò áðïäåéêíýïõìå ôéò ðáñáêÜôù éäéüôçôåò;

• α β = αβ • α α

=ββ

üðïõ á êáé â åßíáé ìç áñíçôéêïß áñéèìïß.

ÁðÜíôçóç

• Õøþíïõìå êáé ôá äýï ìÝëç ôçò éóüôçôáò óôï ôåôñÜãùíï.¸ôóé ç éóüôçôá ãñÜöåôáé :

2 2α β αβ Þ 22

α β αβ Þ

αβ αβ , ðïõ éó÷ýåé.• ¼ìïéá Ý÷ïõìå:

Ãéá ôï 1ï ìÝëïò:

22

2

αα αββ β

Ãéá ôï 2ï ìÝëïò:

2α αβ β

¢ñá

2 2α α

ββ

Þ α α

ββ

¢ñá ãéá äýï ìç áñíçôéêïýò áñéèìïýò áðïäåßîáìå üôé:

To ãéíüìåíï ôùí ôåôñáãùíéêþí ñéæþí ôïõò éóïýôáé ìåôçí ôåôñáãùíéêÞ ñßæá ôïõ ãéíïìÝíïõ ôïõò êáé ôï ðçëß-êï ôùí ôåôñáãùíéêþí ñéæþí ôïõò éóïýôáé ìå ôçí ôåôñá-ãùíéêÞ ñßæá ôïõ ðçëßêïõ ôïõò.

Åñþôçóç 3

Éó÷ýåé ç éóüôçôá α + β = α + β ;(ìå α > 0 êáé β > 0 ).

ÁðÜíôçóç

Ðáñáôçñïýìå üôé ìå α 36 êáé β 64 åßíáé:

α β 36 64 6 8 14

¼ìùò α β 36 64 100 10 .

¸ôóé ìå ôç âïÞèåéá ôïõ ðáñáðÜíù áíôéðáñáäåßãìáôïò äéáðé-

óôþóáìå üôé ãåíéêÜ éó÷ýåé: α β α β

¢ñá ôï Üèñïéóìá ôùí ôåôñáãùíéêþí ñéæþí äåí ìðïñïýìåíá ôï ãñÜøïõìå ùò ôåôñáãùíéêÞ ñßæá ôïõ áèñïßóìáôïò.

1.1Ã ÔåôñáãùíéêÞ ñßæá ðñáãìáôéêïý áñéèìïý

A1.1.p65 1/9/2012, 11:06 ðì19

Page 22: c Gymnasiou 2012

ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 120

Íá õðïëïãßóåôå ô éò ðáñáóôÜóåéò:

á) 2 7 3 7 5 7 â) 2 3 5 6 3 6 5 3

ã) 7 3 8

123 7 3 ä) 12 27 3

Ëýóç

á) 2 7 3 7 5 7 2 3 5 7 4 7

â)

2 3 5 6 3 6 5 3 2 5 3 5 3 6

3 3 2 6 3 3 2 2 3

3 3 2 2 3 3 2 2 3

ã) 7 3 8 7 3 8

12 123 7 3 3 7 3

21 32 1 4 2 1 4 2

ä)

12 27 3

4 3 3 9 3

4 9 1 3 2 3 1 3 0

Íá áðïäåßîåôå ôéò éóüôçôåò:

á) 3 2 72 2 32 5 2

â) 75 45 2 3 20 7 3 5 5

ã) 6,4 8,1 2,8 10

ä) 96 54 6 2 6

1

2

Ëýóç

á) 3 2 72 2 32 3 2 36 2 2 16 2

3 2 6 2 8 2 3 6 8 2

5 2

â) 75 45 2 3 20

25 3 9 5 2 3 4 5

5 3 3 5 2 3 2 5

5 2 3 3 2 5

7 3 5 5

ã)

6,4 81 2,8

64 812,8

10 10

64 812,8

10 108 9

2,81072

2,8107,2 2,8 10

ÐÁÑÁÄÅÉÃÌÁÔÁ - ÅÖÁÑÌÏÃÅÓ

Ðñïóðáèïýìå íá åìöáíßóïõìå ôçí ßäéá õðüññéæç ðïóüôç-ôá. Ãé’áõôü áíáëýïõìå ôïõò áñéèìïýò ðïõ åßíáé êÜôù áðüôá ñéæéêÜ óå ãéíüìåíï ðáñáãüíôùí

A1.1.p65 1/9/2012, 11:06 ðì20

Page 23: c Gymnasiou 2012

1.1Ã ÔåôñáãùíéêÞ ñßæá ðñáãìáôéêïý áñéèìïý 21

3

ä)

96 54 6 6 16 9 6 6

4 6 3 6 6 4 3 1 6 2 6

Íá õðïëïãßóåôå ôéò ôéìÝò ôùí ðáñáóôÜóåùí:

á) 2 2 9A 5 49 2 144 7 8

16

â) B 2 32 3 45 2 12 5 72

Ëýóç

á) 2 2 9A 5 49 2 144 7 8

16

3

5 7 2 12 7 84

5 – 24 – 6 =– 25.

â) B 2 32 3 45 2 12 5 72

2 16 2 3 9 5 2 4 3 5 36 2

2 16 2 3 9 5 2 4 3 5 36 2

2 4 2 3 3 5 2 2 3 5 6 2

8 2 9 5 4 3 30 2

38 2 4 3 9 5 .

Íá ìåôáôñÝøåôå êáèÝíá áðü ôá ðáñáêÜôù êëÜ-óìáôá óå éóïäýíáìï ìå ñçôü ðáñïíïìáóôÞ:

á) 4

5â) 3

2 3ã) 4

3 7

Ëýóç

á)

24 4 5 4 5 4 5

55 5 5 5

â) 3 3 3 3 3 32 3 22 3 2 3 3

ã)

2

4 4 7 4 7 4 7 4 73 7 213 7 3 7 7 3 7

Ïñèïãþíéï ðáñáëëçëåðßðåäï ìå âÜóç ôåôñÜ-ãùíï ðëåõñÜò á Ý÷åé üãêï V=64cm3 êáé ýøïòõ = 16cm. Ðüóï åßíáé ç ðëåõñÜ ôïõ ôåôñáãþíïõ;

Ëýóç

Ï üãêïò ôïõ ðáñáëëçëåðßðåäïõ åßíáé 2 2

βάσηςΕ Ε ύψος α υ α 16 64

¢ñá 2 64α

16 Þ 2α 4 Þ α 2 (áöïý α 0 )

4

5

A1.1.p65 1/9/2012, 11:06 ðì21

Page 24: c Gymnasiou 2012

ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 122

Íá óçìåéþóåôå ôï Ó (óùóôÞ) Þ ôï Ë (ëáíèáóìÝíç) óå êáèåìßá áðü ôéò ðáñáêÜôù ðñïôÜóåéò:

á. Ãéá êÜèå ðñáãìáôéêü áñéèìü á éó÷ýåé 2α α

â. 24 4

ã. 12 2 3

ä. 20 5 3 5

Íá ÷áñáêôçñßóåôå êáèåìéÜ áðü ôéò ðáñáêÜôù ðñïôÜóåéò ùò Ó (óùóôÞ) Þ Ë (ëÜèïò).

á. α β α β

â. 29α 3α áí α 0

ã. 22 2

ä. 2α β α β üðïõ á åßíáé ðñáãìáôéêüò áñéèìüò.

ÅÑÙÔÇÓÅÉÓ ÊÁÔÁÍÏÇÓÇÓ

1

2

Áí 2 50

α 2 105

êáé â åßíáé ç ñßæá ôçò åîßóùóçò 3χ 7 3 0 íá õðïëïãßóåôå ôçí ô éìÞ ôçò

ðáñÜóôáóçò: Α 2 51 β 100 α .

Ëýóç

Åßíáé 3χ 7 3 Þ 23χ 7 3 Þ χ 49 . Ôüôå β 49

Åðßóçò 2 50 50

α 2 10 2 2 10 2 10 2 10 055

¢ñá Α 2 51 49 100 2 2 10 2 2 10

6

A1.1.p65 1/9/2012, 11:06 ðì22

Page 25: c Gymnasiou 2012

1.1Ã ÔåôñáãùíéêÞ ñßæá ðñáãìáôéêïý áñéèìïý 23

1

2

3

4

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

Íá êÜíåôå ôéò ðñÜîåéò:

á) 3 2 3 â) 3 2 3 2

ã) 3 2 3 2 ä) 3 48 27

Íá áðëïðïéÞóåôå ôéò ðáñáóôÜóåéò:

á) 2 12 7 75 2 27 3 80 20 â) 45 3 18 2 27

20 2 12 3 8

ã) 21

75 300 3 487

ä) 12 5 6

80 2

å) 5 12 2 27 4 75

6 48 10 12

Íá êÜíåôå ôéò ðñÜîåéò:

á) 3

5 3 :3 1

â) 7

7 2 :2 1

ã) 32 7

23 3

Íá ìåôáôñÝøåôå ôá êëÜóìáôá óå éóïäýíáìá ìå ñçôü ðáñïíïìáóôÞ:

á. 4

3â.

2

3 5ã.

1 2

5

A1.1.p65 1/9/2012, 11:06 ðì23

Page 26: c Gymnasiou 2012

ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 124

Åñþôçóç 1

Ôé ïíïìÜæïõìå ôåôñáãùíéêÞ ñßæá åíüò èåôéêïý áñéèìïý á; Ðïéåò éäéüôçôåò ôùí ôåôñáãùíéêþí ñéæþí ãíùñßæåôå;

¢óêçóç 1

i) Aí χ 2 1 , ôüôå ç ôéìÞ ôçò ðáñÜóôáóçò 2χ 2χ 3 åßíáé ßóç ìå: á. 1 â. 2 ã. 4 ä. 2 1

ii) Áí χ 4 3 3 íá õðïëïãéóôåß ï 2χ .

ÊÑÉÔÇÑÉÏ ÁÎÉÏËÏÃÇÓÇÓ

5

6

á) Íá êÜíåôå ôéò ðñÜîåéò: α β α β

â) Íá ìåôáôñÝøåôå ôá ðáñáêÜôù êëÜóìáôá óå êëÜóìáôá ìå ñçôü ðáñïíïìáóôÞ.

i) 2

7 3 ii) 1

5 1

Íá åðéëýóåôå ôéò ðáñáêÜôù åîéóþóåéò:

á) x32

2 â) 3 2 3x 50 x ã) 6x 21 3 1 x ä) 5 3 x 2 20

Èåùñïýìå ïñèïãþíéï ôñßãùíï ÁÂà οΑ 90 . Ìå ðëåõñÜ ôçí õðïôåßíïõóá ôïõ ΑΒΓ

ó÷åäéÜæïõìå åîùôåñéêÜ

ôïõ ïñèïãùíßïõ ôñéãþíïõ, ôåôñÜãùíï ÂÃÄÅ. Áí ΑΒ 6cm êáé ΑΓ 8cm íá õðïëïãßóåôå ôï åìâáäüí ôïõ ôåôñá-ãþíïõ ÂÃÄÅ êáé ôçí ðëåõñÜ ôïõ.

7

A1.1.p65 1/9/2012, 11:06 ðì24

Page 27: c Gymnasiou 2012

1.2 Moíþíõìá - ðñÜîåéò ìå ìïíþíõìá 25

Åñþôçóç 1

á. Ôé ïíïìÜæïõìå áñéèìçôéêÞ ðáñÜóôáóç;â. Ôé ïíïìÜæïõìå áëãåâñéêÞ ðáñÜóôáóç;ã. Ðüôå ìéá áëãåâñéêÞ ðáñÜóôáóç ëÝãåôáé áêÝñáéá;ä. Ôé ïíïìÜæïõìå áñéèìçôéêÞ ôéìÞ ìéáò áëãåâñéêÞò ðá-

ñÜóôáóçò.

ÁðÜíôçóç

á. ÁñéèìçôéêÝò ðáñáóôÜóåéò ëÝìå ôéò åê-öñÜóåéò ðïõ ðåñéÝ÷ïõí ìüíï áñéèìïýò.

â. ÁëãåâñéêÝò ðáñáóôÜóåéò ëÝìå ôéò åê-öñÜóåéò üðïõ åêôüò áðü áñéèìïýò ðå-ñéÝ÷ïõí êáé ìåôáâëçôÝò. Ãéá ðáñÜäåéã-ìá, ïé ðáñáóôÜóåéò:

2 23x,2α x, 3y 1

åßíáé áëãåâñéêÝò.ã. Ìéá áëãåâñéêÞ ðáñÜóôáóç ëÝãåôáé áêÝñáéá, üôáí ìåôáîý

ôùí ìåôáâëçôþí ôçò óçìåéþíïíôáé ìüíï ïé ðñÜîåéò ôçò ðñü-óèåóçò êáé ôïõ ðïëëáðëáóéáóìïý êáé ïé åêèÝôåò ôùíìåôáâëçôþí ôçò åßíáé öõóéêïß áñéèìïß. Ð.÷. 3 2 74x x y y

ä. Áí óå ìéá áëãåâñéêÞ ðáñÜóôáóç áíôéêáôáóôÞóïõìå ôçìåôáâëçôÞ (Þ ôéò ìåôáâëçôÝò)ìå Ýíáí áñéèìïý (Þ ìå áñéè-ìïýò) êáé åêôåëÝóïõìå ôéò ðñÜîåéò ðïõ óçìåéþíïíôáé ðñï-êýðôåé Ýíáò áñéèìüò ðïõ ëÝãåôáé áñéèìçôéêÞ ôéìÞ ôçòáëãåâñéêÞò áõôÞò ðáñÜóôáóçò.Ãéá ðáñÜäåéãìá: áí á = 2 ç áñéèìçôéêÞ ôéìÞ ôçò áëãåâñéêÞòðáñÜóôáóçò 22α 3 åßíáé 22 2 3 11.

Åñþôçóç 2

á. Ôé ïíïìÜæïõìå ìïíþíõìá;

â. Ôé ïíïìÜæïõìå óõíôåëåóôÞ, êýñéï ìÝñïò êáé âáèìü

ìïíùíýìïõ;

ã. ÐïéÜ ìïíþíõìá ëÝìå üìïéá;

ä. Ðüôå äýï ìïíþíõìá ëÝãïíôáé ßóá êáé ðüôå áíôßèåôá;

ÁðÜíôçóç

á. Ìïíþíõìá ïíïìÜæïõìå ôéò áêÝñáéåò áëãåâñéêÝò ðáñáóôÜóåéò,

óôéò ïðïßåò ìåôáîý ôùí ìåôáâëçôþí óçìåéþíåôáé ìüíï ç ðñÜîç

ôïõ ðïëëáðëáóéáóìïý. ð.÷. 4 2 8 6 5 9 3 77x y ω, 9χ y ω , 6χ y ω .

â. Ï áñéèìçôéêüò ðáñÜãïíôáò ëÝãåôáé óõíôåëåóôÞò ôïõ ìïíùíýìïõ.

Ôï ãéíüìåíï üëùí ôùí ìåôáâëçôþí ôïõ ëÝãåôáé êýñéï ìÝ-

ñïò ôïõ ìïíùíýìïõ.

Ï åêèÝôçò ìéáò ìåôáâëçôÞò ëÝãåôáé âáèìüò ôïõ ìïíùíýìïõ

ùò ðñïò ôç ìåôáâëçôÞ áõôÞ, åíþ ôï Üèñïéóìá ôùí åêèåôþí

ôùí ìåôáâëçôþí ôïõ ëÝãåôáé âáèìüò ôïõ ìïíùíýìïõ.

ã. ¼ìïéá ëÝãïíôáé ôá ìïíþíõìá ðïõ Ý÷ïõí ôï ßäéï êýñéï ìÝñïò.

Ãéá ðáñÜäåéãìá ôá ìïíþíõìá

5 3 5 3 5 347χ y ω, 3χ y ω, 10χ y ω åßíáé üìïéá.

Á. ÁëãåâñéêÝò ðáñáóôÜóåéò - Ìïíþíõìá

1.2 Moíþíõìá - ðñÜîåéò ìå ìïíþíõìá

Page 28: c Gymnasiou 2012

ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 126

ÐÁÑÁÄÅÉÃÌÁÔÁ - ÅÖÁÑÌÏÃÅÓ

1

Íá âñåèåß ç áñéèìçôéêÞ ôéìÞ ôçò ðáñÜóôáóçò:2 22xy x y 2xy 2003

á. ãéá x 10 êáé y 0 .

â. ãéá x 0 êáé y 10 .

Ëýóç

á. Áíôéêáèéóôïýìå üðïõ x 10 êáé y 0 óôçí ðáñÜóôáóç

2 22 10 0 10 0 2 10 0 2007 2003â. Áíôéêáèéóôïýìå üðïõ x 0 êáé y 10 óôçí ðáñÜóôáóç

2 22 0 10 0 10 2 0 10 2007 2003

Íá âñåßôå ôéò áêÝñáéåò ôéìÝò ôïõ ë þóôå ç áë-

ãåâñéêÞ ðáñÜóôáóç 7 λ λ 42x y

3 íá åßíáé ìï-

íþíõìï. Óôç óõíÝ÷åéá ãéá ôéò ôéìÝò áõôÝò íá

âñåßôå ôá áíôßóôïé÷á ìïíþíõìá.

Ëýóç

Ãéá íá åßíáé ìïíþíõìï ç ðáñáðÜíù áëãåâñéêÞ ðáñÜóôáóç ðñÝ-

ðåé ïé åêèÝôåò ôùí ìåôáâëçôþí x, y íá åßíáé öõóéêïß áñéèìïß.

ÄçëáäÞ ðñÝðåé íá éó÷ýïõí óõãxñüíùò:

2

7 λ 0 êáé λ 4 0 Þ λ 7 êáé λ 4 Þ λ 7 êáé λ 4 .Ïé êïéíÝò áêÝñáéåò ôéìÝò ãéá ôç ìåôáâëçôÞ ë åßíáé 4, 5, 6, 7.

Ãéá λ 4 Ý÷ïõìå:

7 4 4 4 3 0 32 2 2x y x y x

3 3 3.

Ãéá λ 5 Ý÷ïõìå:

7 5 5 4 2 1 22 2 2x y x y x y

3 3 3.

Ãéá λ 6 Ý÷ïõìå:

7 6 6 4 1 2 22 2 2x y x y xy

3 3 3.

Ãéá λ 7 Ý÷ïõìå:

7 7 7 4 0 3 32 2 2x y x y y

3 3 3.

¸íá ìïíþíõìï Ý÷åé óõíôåëåóôÞ - 8 êáé ìåôá-âëçôÝò ÷ êáé y. Íá ðñïóäéïñßóåôå ôï ìïíþíõ-ìï, áí ï âáèìüò ôïõ ùò ðñïò ÷ åßíáé 3 êáé ùòðñïò ÷ êáé y åßíáé 7.

Ëýóç

Ôï ìïíþíõìï åßíáé ôçò ìïñöÞò k λ8x y .

Óýìöùíá ìå ôçí åêöþíçóç åßíáé k = 3 êáé k + ë = 7 Þ

k = 3 êáé ë = 4 .

Ïðüôå ôï ìïíþíõíï åßíáé 3 48x y .

3

ä. ºóá ëÝãïíôáé ôá üìïéá ìïíþíõìá ðïõ Ý÷ïõí ôïí ßäéï óõíôåëåóôÞ êáé áíôßèåôá áí Ý÷ïõí áíôßèåôï óõíôåëåóôÞ.

Ïé áñéèìïß èåùñïýíôáé ùò ìïíþíõìá ðïõ ôá ïíïìÜæïõìå óôáèåñÜ ìïíþíõìá. Ï áñéèìüò 0 ëÝãåôáé ìçäåíéêü ìïíþ-

íõìï êáé äåí Ý÷åé âáèìü, åíþ üëá ôá Üëëá óôáèåñÜ ìïíþíõìá åßíáé ìçäåíéêïý âáèìïý.

Page 29: c Gymnasiou 2012

1.2 Moíþíõìá - ðñÜîåéò ìå ìïíþíõìá 27

ÅÑÙÔÇÓÅÉÓ ÊÁÔÁÍÏÇÓÇÓ

Íá óõìðëçñþóåôå ôïí ðáñáêÜôù ðßíáêá:

Ìïíþíõìï Óõí/óôÞò Êýñéï ìÝñïò Âáèìüò ùò ðñïò ÷ Âáèìüò ùò ðñïò y Âáèìüò ùò ðñïò x, y

4 73x y

2 82x y

61x y

5

Ðïéá áðü ôéò ðáñáêÜôù áëãåâñéêÝò ðáñáóôÜóåéò äåí åßíáé ìïíþíõìï; á. 8x y â. 62 73

x y2

ã. 3 23 5 x y ä. 4 76α β γδ

¸íá ïñèïãþíéï Ý÷åé äéðëÜóéï ìÞêïò áðü ôï ðëÜôïò ôïõ y. Ôï ìïíþíõìï ðïõ åêöñÜæåé ôï åìâáäüí ôïõ åßíáé:

á. 4y â. 3y ã. 22y ä. 2y

Íá ÷áñáêôçñßóåôå ôéò åðüìåíåò ðñïôÜóåéò ìå (Ó), áí åßíáé óùóôÝò Þ ìå (Ë), áí åßíáé ëáíèáóìÝíåò:

Íá ðñïóäéïñßóåôå ôçí ôéìÞ ôïõ öõóéêïý í,þóôå

ôï ìïíþíõìï 2 ν4x y

á. íá åßíáé ìçäåíéêïý âáèìïý ùò ðñïò y

â. íá åßíáé Ýêôïõ âáèìïý ùò ðñïò ÷ êáé y

ã. íá Ý÷åé áñéèìçôéêÞ ôéìÞ 64 ãéá ÷ = 1 êáé y = 2.

Ëýóç

á. ÐñÝðåé ï åêèÝôçò ôïõ y íá åßíáé ìçäÝí , äçë. í = 0.

â. ÐñÝðåé ôï Üèñïéóìá ôùí åêèåôþí íá åßíáé 6, äçë.

2 + í = 6 Þ í = 6 - 2 Þ í = 4.

ã. ÐñÝðåé 2 ν4 1 2 64 Þ ν 22 8 Þ ν 1 .

4

Íá âñåßôå ôïõò áñéèìïýò k,ë,ì, þóôå ôá ìïíþ-

íõìá 4 ν 2ν μ2kx y , λx y íá åßíáé:

á. üìïéá â. ßóá ã. áíôßèåôá

Ëýóç

á. ÐñÝðåé íá Ý÷ïõí ôï ßäéï êýñéï ìÝñïò , äçë.

ν μ και 2ν 4 Üñá í = ì =2.

â. ÐñÝðåé íá åßíáé üìïéá äçë. í = ì =2 êáé åðéðëÝïí 2k = ë.

ã. ÐñÝðåé íá åßíáé üìïéá äçë. í = ì =2 êáé åðéðëÝïí 2k = - ë.

5

1

2

3

4

Page 30: c Gymnasiou 2012

ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 128

1. Ïé åêèÝôåò óôéò ìåôáâëçôÝò åíüò ìïíùíýìïõ åßíáé öõóéêïß áñéèìïß.

2. Ïé ðñáãìáôéêïß áñéèìïß èåùñïýíôáé ìïíþíõìá.

3. Ìéá áëãåâñéêÞ ðáñÜóôáóç äåí Ý÷åé õðï÷ñåùôéêÜ áñéèìçôéêÞ ôéìÞ ãéá ïðïéáäÞðïôå ôéìÞ ôùí ìåôáâëçôþí ôçò.

4. Ç ðáñÜóôáóç 24x yω

3 åßíáé ìïíþíõìï.

¸íá ìïíþíõìï Ý÷åé óõíôåëåóôÞ 23

êáé áêÝñáéï ìÝñïò 3 2xy ω .Ðïéï åßíáé ôï ßóï ôïõ êáé ôï áíôßèåôï ìïíþíõìü ôïõ;

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

Íá âñåèåß ç áñéèìçôéêÞ ôéìÞ ôçò ðáñÜóôáóçò 2 23xy 5x y 2xy 1960 ãéá á. ãéá x 10 êáé y 10 â. ãéá x 0 êáé y 0

Ðïéåò áðü ôéò ðáñáêÜôù áëãåâñéêÝò ðáñáóôÜóåéò åßíáé ìïíþíõìá êáé ðïéåò ü÷é; Óôçí ðåñßðôùóç ðïõ ìéá áëãåâñéêÞ ðáñÜóôá-óç åßíáé ìïíþíõìï ðïéïò åßíáé ï óõíôåëåóôÞò êáé ðïéï ôï êýñéï ìÝñïò ôïõ; ÕðÜñ÷ïõí ìïíþíõìá ðïõ íá åßíáé üìïéá;

á. 25αβ â. 2 25x y ω

3ã . 3 2 xyω ä. ω x

y2

å.

22κω x

óô. 2 23x y

æ. 2 25x y ω4

ç. 1ω x

2 è. 2 2x y ω é.

3x4

Íá âñåßôå ôï ìïíþíõìï ðïõ åêöñÜæåé ôï åìâáäüí ôïõ ãñáììïóêéáóìÝíïõ ìÝñïõò ôïõ äéðëáíïýó÷Þìáôïò. Íá óõãêñßíåôå ôï åìâáäüí ôïõ êýêëïõ ìå ôï åìâáäüí ôïõ ãñáììïóêéáóìÝíïõ ìÝñïõò.

á. Ãéá íá åßíáé ôï ðçëßêï ν μα : α ìïíþíõìï ðñÝðåé í .... ì. Íá óçìåéþóåôå ôï êáôÜëëçëï óýìâïëï áíéóüôçôáò.

â. Äßíïíôáé ôá ìïíþíõìá 2 λ 1α 1 x y êáé μ 5 23x y . Íá âñåßôå ôïõò áñéèìïýò á, ë êáé ì þóôå ôá ìïíþíõìá íá åßíáé ßóá.

¸íá ìïíþíõìï Ý÷åé óõíôåëåóôÞ 18 êáé ìåôáâëçôÝò ÷ êáé y. Íá ðñïóäéïñßóåôå ôï ìïíþíõìï,áí ï âáèìüò ôïõ ùò ðñïò÷ åßíáé 4 êáé ùò ðñïò ÷ êáé y åßíáé 10.

Íá âñåßôå ôéò áêÝñáéåò ôéìÝò ôïõ ë þóôå ç áëãåâñéêÞ ðáñÜóôáóç 5 λ λ 17x y íá åßíáé ìïíþíõìï. Óôç óõíÝ÷åéá ãéá ôéòôéìÝò áõôÝò íá âñåßôå ôá áíôßóôïé÷á ìïíþíõìá.

1

2

3

4

5

5

6

Page 31: c Gymnasiou 2012

1.2 Moíþíõìá - ðñÜîåéò ìå ìïíþíõìá 29

ÐÁÑÁÄÅÉÃÌÁÔÁ - ÅÖÁÑÌÏÃÅÓ

Íá êÜíåôå ôéò ðñÜîåéò:á. 2 2 2 2 2 2 2 23x y x y 8x y 12x y

â. 2 3 2 24 1

2x 3x y xyω x ωα3 8

ã. 3 2 2 214xy ω : xy ω

2

ä. 4 2 2 3 24x y ω : 2x y ω 3xyω

Ëýóç

á. 2 2 2 2 2 2 2 23x y x y 8x y 12x y 2 2 2 23 1 8 12 x y 2x y

Â. ÐñÜîåéò ìå ìïíþíõìá

Åñþôçóç 1

á. Ðùò ãßíåôáé ç ðñüóèåóç êáé ç áöáßñåóç ìïíùíýìùí;â. Ðùò ãßíåôáé ï ðïëëáðëáóéáóìüò (ãéíüìåíï) ìïíùíýìùí;ã. Ðùò ãßíåôáé ç äéáßñåóç ìïíùíýìùí;

ÁðÜíôçóç

á. ÐñïóèÝôïõìå Þ áöáéñïýìå ìüíï üìïéá ìïíþíõìá. ÔïÜèñïéóìÜ ôïõò Þ ç äéáöïñÜ ôïõò åßíáé Ýíá üìïéï ìïíþíõ-ìï ìå ôá áñ÷éêÜ êáé Ý÷åé óõíôåëåóôÞ ôï Üèñïéóìá Þ ôçäéáöïñÜ ôùí óõíôåëåóôþí ôïõò.

ð.÷. 2 2 2 2 23χ y 5χ y x y 3 5 1 x y x y

â. Ôï ãéíüìåíï ìïíùíýìùí åßíáé ìïíþíõìï ìå:• óõíôåëåóôÞ ôï ãéíüìåíï ôùí óõíôåëåóôþí ôïõò• êýñéï ìÝñïò ôï ãéíüìåíï üëùí ôùí ìåôáâëçôþí ôïõò ìå

åêèÝôç êÜèå ìåôáâëçôÞò ôï Üèñïéóìá ôùí åêèåôþí ôçò.

ð.÷. 2 3 2 2 3 2 2 52x y 5ky 2 5 x ky y 10x ky

ã. Ç äéáßñåóç ìïíùíýìùí ãßíåôáé áí ðïëëáðëáóéÜóïõìå ôï

äéáéñåôÝï ìå ôïí áíôßóôñïöï ôïõ äéáéñÝôç.

ð.÷.

2

22

2

4αβ : 8αβχ

1 4αβ4αβ

8αβχ 8αβχ

4 α β 1 1 β8 α β χ 2 χ

Óôç äéáßñåóç ìïíùíýìùí ôï áðïôÝëåóìá äçë. ôï ðçëßêïäåí åßíáé ðÜíôïôå ìïíþíõìï. Óôï ðáñáðÜíù ðáñÜäåéãìáäåí åßíáé ìïíþíõìï. Äåßôå üìùò êé’ áõôü:

4 2 3 4 2 3

4 2 34 1 2 1 3 1 3 2

18α β x : 4αβx 8α β x

4αβx

8α β x2α β χ 2α βχ

4αβx

1

â.

2 3 2 24 12x 3x y xyω x ωα

3 8

2 3 2 24 12 3 x x x x y y ω ω α

3 88 2 3x y ω α

ã.

3 2 2 2

3 23 2

2 2 2 2

14xy ω : xy ω

2

1 4xy ω4xy ω 8y

1 1xy ω xy ω

2 2

ä. 4 2 2 3 24x y ω : 2x y ω 3xyω

Page 32: c Gymnasiou 2012

ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 130

ÅÑÙÔÇÓÅÉÓ ÊÁÔÁÍÏÇÓÇÓ

Ðïéá áðü ôéò ðáñáêÜôù áëãåâñéêÝò ðáñáóôÜóåéò äåí åßíáé ìïíþíõìï; á. 8x y â. 62 73

x y2

ã. 3 23 5 x y ä. 4 7 26α β γδ

Íá ÷áñáêôçñßóåôå ôéò åðüìåíåò ðñïôÜóåéò ìå (Ó), áí åßíáé óùóôÝò Þ ìå (Ë), áí åßíáé ëáíèáóìÝíåò:

1. Ôï ðçëßêï ìïíùíýìùí äåí åßíáé ðÜíôá ìïíþíõìï.

2. Ôï ãéíüìåíï ìïíùíýìùí åßíáé ðÜíôá ìïíþíõìï.

3. Ôï Üèñïéóìá êáé ç äéáöïñÜ ïìïßùí ìïíùíýìùí åßíáé ðÜíôá ìïíþíõìï.

4. Ç ðáñÜóôáóç 24x y

3ω åßíáé ìïíþíõìï.

Íá âñåßôå ôïõò áêÝñáéïõò ê, ë þóôå ç ðáñá-êÜôù áëãåâñéêÞ ðáñÜóôáóç íá åßíáé ìïíþíõ-ìï êáé óôç óõíÝ÷åéá íá âñåßôå ôï ìïíþíõìï:

8 κ 5 λ 2 33 2A x y x y

5 3

Óôç óõíÝ÷åéá íá êÜíåôå ôçí ðñÜîç

10 5 4 3A : 5x y 2x y

Ëýóç

ÐñÝðåé ê - 5 = 3 êáé ë - 2 = 8. Ôüôå ê =8 êáé ë = 10.

¸÷ïõìå

8 κ 5 λ 2 3 8 8 5 10 2 3

8 3 8 3 8 3 8 3

3 2 3 2x y x y x y x y

5 3 5 33 2 3 2 1

x y x y x y x y5 3 5 3 15

êáé

10 5 4 3 8 3 10 5

4 3 2 2 4 3 2

1A : 5x y 2x y x y : 5x y

151 2

2x y x y 2x y x y75 75

4 2 22 2

3 2

4x y ω3xyω 2χy 3xyω 6x y ω

2x yω

¸íá êõëéíäñéêü äï÷åßï Ý÷åé áêô ßíá âÜóçò ñ

êáé ýøïò õ. ¸íá äåýôåñï êõëéíäñéêü äï÷åßï

Ý÷åé äéðëÜóéá áêôßíá. Íá âñåßôå:

á. ôïí üãêï ôïõ äåýôåñïõ äï÷åßïõ êáé

â. ðüóç åðéðëÝïí ÷ùñçôéêüôçôá Ý÷åé áðü ôï ðñþôï;

Ëýóç

O üãêïò ôïõ ðñþôïõ äï÷åßïõ åßíáé 21V πρ υ .

á. Ôï äåýôåñï äï÷åßï Ý÷åé üãêï

2

2V π 2ρ υ = 214πρ υ 4V ,

äçë. 4-ðëÜóéï áðü ôï ðñþôï äï÷åßï.

â. Ç äéáöïñÜ ôùí üãêùí åßíáé:2 2 2

2 1 1V V 4πρ υ πρ υ 3πρ υ 3V .

¢ñá ôï äåýôåñï äï÷åßï Ý÷åé 3 öïñÝò ðåñéóóüôåñç ÷ùñç-ôéêüôçôá áðü ôï ðñþôï.

2

3

1

2

Page 33: c Gymnasiou 2012

1.3 Ðïëõþíõìá - Ðñüóèåóç êáé áöáßñåóç ðïëõùíýìùí 31

Íá áíôéóôïé÷ßóåôå ôéò ðáñáóôÜóåéò ôçò óôÞëçò Á ìå ôéò ßóåò ôïõò ðáñáóôÜóåéò ôçò óôÞëçò Â.ÓôÞëç Á ÓôÞëç Â

á. 2 25x y 5x y 1. 25x y

â. 2 25x y 5x y 2. 4 21ω y

9ã. 3 25x y : xy 3. 4 225x y

ä. 2 21 1ω y ω y

3 34. 4xyω

å.

2 21 1ω y ω y

3 35. 0

óô. 4xyω 8xyω 6. 22ω y

3

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

Äßíåôáé 3Α 2x y , 2 4B x y , 3Γ xy . Íá õðïëïãßóåôå:

á. A B â. B Γ ã. A B Γ ä. Α : Β

å. Α : Γ óô. Β : Γ æ. Γ : Β ç. Β : Α

Íá âñåßôå ôïõò áêÝñáéïõò ê, ë þóôå ç ðáñáêÜôù áëãåâñéêÞ ðáñÜóôáóç íá åßíáé ìïíþíõìï êáé óôç óõíÝ÷åéá íáâñåßôå ôï ìïíþíõìï:

3 κ 2 λ 1 43 1x y x y

4 3

Íá âñåèïýí ïé ôéìÝò ôùí ê êáé ë, þóôå íá éó÷ýïõí ïé éóüôçôåò:

á) 3κ 2 λ 2κ 4 3 215x y : 3χ y 5χ y â) 2κ 1 3λ κ 3 λ 2 414α β : 12α β αβ

3

Äýï êýêëïé Ý÷ïõí áêôßíåò 10÷ êáé 6÷ áíôéóôïß÷ùò. Íá âñåèåß ç áêôßíá ôïõ êýêëïõ ðïõ Ý÷åé åìâáäüí ßóï ìå ôï Üèñïéóìá

ôùí åìâáäþí ôùí äýï áñ÷éêþí êýêëùí.

1

2

3

4

3

Page 34: c Gymnasiou 2012

ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 132

Åñþôçóç 1

á. Ôé åßíáé ðïëõþíõìï;

â. Ôé ïíïìÜæïõìå üñï åíüò ðïëõùíýìïõ êáé ôé âáèìü áõôïý;

ã. Ðüôå Ýíá ðïëõþíõìï ëÝãåôáé äéþíõìï êáé ðüôå ôñéþíõìï;

ÁðÜíôçóç

á. Ðïëõþíõìï åßíáé ôï áëãåâñéêü Üèñïéóìá áíüìïéùíáêÝñáéùí ìïíùíýìùí.

â. ¼ñïò ôïõ ðïëõùíýìïõ ëÝãåôáé êÜèå ìïíþíõìï ðïõ

ðåñéÝ÷åôáé óå áõôü.

Âáèìüò åíüò ðïëõùíýìïõ ùò ðñïò ìßá Þ ðåñéóóüôåñåò

ìåôáâëçôÝò ôïõ åßíáé ï ìåãáëýôåñïò áðü ôïõò âáèìïýò

ôùí üñùí ôïõ.

ã. ¸íá ðïëõþíõìï ëÝãåôáé äéþíõìï áí Ý÷åé äýï üñïõò êáéôñéþíõìï áí Ý÷åé ôñåßò üñïõò.

ÊÜèå áñéèìüò èåùñåßôáé ùò ðïëõþíõìï ìçäåíéêïý âáè-

ìïý. ÅéäéêÜ ï áñéèìüò ìçäÝí (0) ëÝãåôáé ìçäåíéêü ðïëõ-

þíõìï êáé äåí Ý÷åé âáèìü.

¸íá ðïëõþíõìï ùò ðñïò ìßá ìåôáâëçôÞ óõ-

íçèßæåôáé íá ôï ãñÜöïõìå äéáôåôáãìÝíï êáôÜ

ôéò öèßíïõóåò äõíÜìåéò ôçò ìåôáâëçôÞò.

Ãéá ðáñÜäåéãìá ôï ðïëõþíõìï:25x 2x 6

ôï ãñÜöïõìå 2P x 2x 5x 6

Ç áñéèìçôéêÞ ôïõ ôéìÞ ãéá ÷ =2 åßíáé

2P 2 2 2 5 2 6 12

Åñþôçóç 2

á. Ðüôå äõï ðïëõþíõìá åßíáé ßóá;

â. Ôé ëÝìå áíáãùãÞ ïìïßùí üñùí;

ã. Ðùò ðñïóèÝôïõìå êáé áöáéñïýìå ðïëõþíõìá;

ÁðÜíôçóç

á. Äõï ðïëõþíõìá åßíáé ßóá, üôáí Ý÷ïõí üñïõò ßóá ìïíþíõìá.

â. ÁíáãùãÞ ïìïßùí üñùí ëÝìå ôçí åñãáóßá êáôÜ ôçí ïðïßá áíôéêá-

èéóôïýìå ôá üìïéá ìïíþíõìá ìå ôï áëãåâñéêü ÜèñïéóìÜ ôïõò.

ð.÷.

3 2 3 2 3 3 2 2

3 2 3 2

3α 5β 4α β 2 3α 4α 5β β 2

3 4 α 5 1 β 2 7α 4β 2

ã. Ç ðñüóèåóç êáé ç áöáßñåóç ðïëõùíýìùí ãßíåôáé ÷ñçóéìï-

ðïéþíôáò ôéò ãíùóôÝò éäéüôçôåò ôùí ðñáãìáôéêþí áñéèìþí.

ð.÷ áí 3 2P x 4x 2x 1 êáé 2Q x 5x 4x 2 ôüôå:

3 2 2

3 2 2

3 2

P x Q x 4x 2x 1 5x 4x 2

4x 2x 1 5x 4x 2

4x 3x 4x 3

Äåßôå ôï êáé ó÷çìáôéêÜ:

(ìå êáôáêüñõöç ðñüóèåóç)

3 2

2

3 2

4x 2x 1

5x 4x 2

4x 3x 4x 3

¼ìïéá Ý÷ïõìå ãéá ôçí áöáßñåóç:

3 2 2

3 2 2

3 2

P x Q x 4x 2x 1 5x 4x 2

4x 2x 1 5x 4x 2

9x 7x 4x 1

1.3 Ðïëõþíõìá - Ðñüóèåóç êáé áöáßñåóç ðïëõùíýìùí

Page 35: c Gymnasiou 2012

1.3 Ðïëõþíõìá - Ðñüóèåóç êáé áöáßñåóç ðïëõùíýìùí 33

5

1Aí Ñ(x)=÷2-3÷+4, íá ðñïóäéïñéóôåß ôï ðïëõþíõìï

Q x P 2x P x

Ëýóç

Ôï ðïëõþíõìï P 2x ðñïêýðôåé, áí óôï P x èÝóïõìå, üðïõ

÷ ôï 2÷, ïðüôå Ý÷ïõìå:

2 2P 2x 2x 3 2x 4 4x 6x 4

Ôï ðïëõþíõìï P x ðñïêýðôåé, áí óôï P x èÝóïõìå, üðïõ

÷ ôï -÷, ïðüôå Ý÷ïõìå:

2 2P x x 3 x 4 x 3x 4 .

¢ñá:

2 2

2 2 2

Q x P 2x P x

4x 6x 4 x 3x 4

4x 6x 4 x 3x 4 3x 9x

Íá ãñÜøåôå ôá ðïëõþíõìá êáôÜ ô éò öèßíïõ-óåò äõíÜìåéò ôïõ ÷.

á. 2 4 3P x 3x 5x x 10 2x

â. 3Q x 6x 2x 1

ã. 2 3A x 3x 7 2x 7x

ä. 4B x x x 5

Ëýóç

á. 4 3 2Ρ x x 2x 5x 3x 10 â. 3Q x 2x 6x 1

ã. 3 2A x 2x 3x 7x 7 ä. 4B x x x 5

Äßíåôáé ôï ðïëõþíõìï 2 3 3 2A 2xy y 2x xy .

á. Íá âñåßôå ôçí áñéèìçôéêÞ ôïõ ôéìÞ ãéá x 2

êáé y 1 .â. Íá ãñÜøåôå ôï ðïëõþíõìï êáôÜ ôéò öèß-

íïõóåò äõíÜìåéò ôïõ y. Ðïéïò åßíáé ï âáè-ìüò ôïõ ùò ðñïò ÷ êáé y;

Ëýóç

á.

2 3 23A 2 2 1 1 2 2 2 1

4 1 16 2 9

â. 3 2 2 3 3 2 3A y 2xy xy 2x y 3xy 2x Ï âáèìüò ôïõ ùò ðñïò ÷ åßíáé 3 êáé ùò ðñïò ÷ êáé y åßíáé ðÜëé 3.

Áí 2P x 2x 2x 9 , íá áðïäåßîåôå üôé:

á. P 3 P 2 â. 3P 1 P 3 0

Ëýóç

á. 2P 3 2 3 2 3 9 2 9 6 9 3

2P 2 2 2 2 2 9 8 4 9 3

â.

2 23P 1 P 3 3 2 1 2 1 9 (2 3 2 3 9)

3 2 2 9 18 6 9 3 5 15 15 15 0

Íá êÜíåôå ôéò ðñÜîåéò:

á. 2 3 22x x x 5x x 1

â. 2 2 33x y 2xy yx 3xy y

2

3

4

ÐÁÑÁÄÅÉÃÌÁÔÁ - ÅÖÁÑÌÏÃÅÓ

Page 36: c Gymnasiou 2012

ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 134

6

ã. 2 2 2 22α 3αβ β 4αβ α β

ä. 2 22ω 4ω 3 ω 5ω

å. 2 21 3 1 1χ χ 1 χ χ

2 4 6 3

Ëýóç

á.

2 3 2 2 3 2

3 2

2x x x 5x x 1 2x x x 5x x 1

x 7x 2x 1

â.

2 2 3

2 2 3 2 2 3

3x y 2xy yx 3xy y

3x y 2xy yx 3xy y 3x y xy yx y

ã.

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2α 3αβ β 4αβ α β

2α 3αβ β 4αβ α β α 7αβ 2β

ä. 2 22ω 4ω 3 ω 5ω

2 22ω 4ω 3 ω 5ω

2 22ω 4ω 3 ω 5ω

23ω ω 3

å.

2 21 3 1 1x x 1 x x

2 4 6 3

2 21 3 1 1x x 1 x x

2 4 6 3

21 3 1 11 x x 1

2 4 6 3 21 11 4

x x2 3 3

Áí 3 2Α x 2x x x 4 ,

3Β χ 3χ 5χ 2 êáé 2Γ χ 4χ 3χ 8 ,

íá âñåßôå ôá ðïëõþíõìá:

á. Α χ Β χ â. Α χ Γ χ

ã. Γ χ Α χ Β χ

Ëýóç

á.

3 2

3

3 2 3

3

Α χ Β χ 2χ χ χ 4

3χ 5χ 2

2χ χ χ 4 3χ 5χ 2

5χ 4χ 2

â.

3 2 2

Α χ Γ χ

2χ x x 4 4x 3x 8

3 22x 3x x 4

ã. Γ x A x B x Γ χ Α χ Β χ

2 3 2

3 3 2

4x 3x 8 2x x x 4

3x 5x 2 x 5x 9x 14

Áí 2P x 5x 4x 3 2 2x 2x 1 3x x

êáé 2Q x αx βχ γ , íá âñåßôå ôéò ôéìÝò ôùí

á,â,ã, þóôå ôá ðïëõþíõìá P x êáé Q x íá

åßíáé ßóá.

Ëýóç

2 2 2 2P x 5x 4x 3 x 2x 1 3x x 3x 7x 4

2Q x αx βχ γ

ÐñÝðåé: α 3, β 7, γ 4

7

Page 37: c Gymnasiou 2012

1.3 Ðïëõþíõìá - Ðñüóèåóç êáé áöáßñåóç ðïëõùíýìùí 35

Ðïéåò áðü ôéò ðáñáêÜôù áëãåâñéêÝò ðáñáóôÜóåéò åßíáé ðïëõþíõìá:

á. 3 2 32x 5x 2x

xâ. 4 34x 5x 10

ã. 3 4 42x y 5xy y

3ä. 3 2 3 4 3x 2x y xy 2y

Ðïéá áðü ôá ðáñáêÜôù ðïëõþíõìá åßíáé 2ïõ âáèìïý ùò ðñïò ÷;

á. 3 2 3 35x x 3x 2x 2x 6 â. 4xy 2y 10

¸íáò ìáèçôÞò èÝëïíôáò íá õðïëïãßóåé ôï Üèñïéóìá êáé ôç äéáöïñÜ ôùí ðïëõùíýìùí 3 27 x 4x 2x 7 êáé32χ 6 χ 3 Ýãñáøå:

¢èñïéóìá ÄéáöïñÜ

3 2

3

3 2

7χ 4χ 2χ 7

2χ 6χ 3

9χ 4χ 4χ 10

3 2

3

3 2

7χ 4χ 2χ 7

2χ 6χ 3

5χ 4χ 8χ 4

Åßíáé óùóôüò ï ôñüðïò ðïõ åöÜñìïóå; Íá ôåêìçñéþóåôå ôçí áðÜíôçóÞ óáò.

Íá åðéëÝîåôå ôç óùóôÞ áðÜíôçóç.

Ôï ðïëõþíõìï ðïõ ðñÝðåé íá ðñïóèÝóïõìå óôï 22χ 5χ 7 ãéá íá âñïýìå Üèñïéóìá 210χ 3χ 2 åßíáé ôï:

á. 26x x 2 â. 210x 9x 2 ã. 28x 2x 5 ä. 26x x 12

Ôá ðïëõþíõìá A x ,B x êáé Γ χ Ý÷ïõí âáèìïýò 4,3 êáé 5 áíôéóôïß÷ùò.

á. Íá âñåßôå ôï âáèìü ôïõ ðïëõùíýìïõ Α χ Β χ .

â. Áí ôï ðïëõþíõìï Α χ Γ χ äåí åßíáé ôï ìçäåíéêü, ôé âáèìü ìðïñåß íá Ý÷åé;

1

2

3

4

5

ÅÑÙÔÇÓÅÉÓ ÊÁÔÁÍÏÇÓÇÓ

Page 38: c Gymnasiou 2012

ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 136

Íá ãñÜøåôå ôá ðïëõþíõìá êáôÜ ôéò öèßíïõóåò äõíÜìåéò ôïõ ÷.

á. 2 4 3P x 2x 3x x 5 4x â. 3Q x 4x 3x 1 ã. 2 3A x 4x 8 2x 5x ä. 5B x x x 4

Äßíåôáé ôï ðïëõþíõìï 2 3 3 2A 2xy y 2x xy .

á. Íá âñåßôå ôçí áñéèìçôéêÞ ôïõ ôéìÞ ãéá x 2 êáé y 0 .â. Íá ãñÜøåôå ôï ðïëõþíõìï êáôÜ ôéò öèßíïõóåò äõíÜìåéò ôïõ y. Ðïéïò åßíáé ï âáèìüò ôïõ ùò ðñïò ÷ êáé y;

Íá êÜíåôå ôéò ðñÜîåéò:

á. 2 3 22x x x 4x x 2 â. 2 2 34x y 3xy 2yx 4xy y ã. 2 2 2 22α 4αβ β 3αβ α β

ä. 2 22ω 4ω 4 ω 4ω å.

2 21 2 1 1χ χ 1 χ χ

3 3 5 4 óô. 3 2 3 20,3χ 2,1χ 3,2χ 0,3χ 2

Áí 3 2Α x 4x 2x 3x 5 , 3Β χ 2χ 4χ 1 êáé 2Γ χ 2χ 4χ 3 , íá âñåßôå ôá ðïëõþíõìá:

á. Α χ Β χ â. Α χ Γ χ ã. Γ χ Α χ Β χ

Áí 2 2 2P x 3x 5x 2 x 4x 3 2x 3x êáé 2Q x αx βχ γ , íá âñåßôå ôéò ôéìÝò ôùí á,â,ã, þóôå

ôá ðïëõþíõìá P x êáé Q x íá åßíáé ßóá.

Áí 2P x 2x x 5 , íá áðïäåßîåôå üôé: á. P 1 P 2 7 â. P 1 2P 1 0

1

2

3

4

5

6

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

Page 39: c Gymnasiou 2012

1.3 Ðïëõþíõìá - Ðñüóèåóç êáé áöáßñåóç ðïëõùíýìùí 37

Áí 2P x 4x 3x êáé 2Q x 36x 9x , íá áðïäåßîåôå üôé: P 3x Q x 0 .

Aí 2P x x 4x 3 , íá ðñïóäéïñéóôåß ôï ðïëõþíõìï Q x P 2x P x .

Íá áðïäåßîåôå üôé, áí áðü ôï åìâáäüí 27χ 9χ 24 åíüò ïñèïãùíßïõ áöáéñÝóïõìå ôá åìâáäÜ 2χ 6χ 6 , 26χ 3χ 2äýï Üëëùí ïñèïãùíßùí èá âñïýìå ôï åìâáäüí ôåôñáãþíïõ ðëåõñÜò 4.

Ná âñåèåß ï âáèìüò ôïõ ðïëõùíýìïõ:

Ρ α α α4 3 2x 2 x x 4 3 x x 4

êáé ç ôéìÞ ôïõ á, þóôå P 1 1 .

Äßíåôáé ôï ðïëõþíõìï:

2 2 3 3P x 5x x 2 3x 5x 2x 4x 3 x

i) Íá õðïëïãéóôåß ç ôéìÞ 1

P2

ii) Íá âñåèåß ôï ðïëõþíõìï xQ x P P 2x

2

7

8

9

10

11

Page 40: c Gymnasiou 2012

ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 138

ÐÁÑÁÄÅÉÃÌÁÔÁ - ÅÖÁÑÌÏÃÅÓ

Åñþôçóç 1

Ðùò ãßíåôáé ï ðïëëáðëáóéáóìüò ìïíùíýìïõ ìå ðïëõþ-íõìï êáé ðùò ãßíåôáé ï ðïëëáðëáóéáóìüò ðïëõùíýìùí;

ÁðÜíôçóç

• Ï ðïëëáðëáóéáóìüò ìïíùíýìïõ ìå ðïëõþíõìï óôçñßæå-ôáé óôçí åðéìåñéóôéêÞ éäéüôçôá:

α(β γ) αβ αγ

Ãéá íá ðïëëáðëáóéÜóïõìå ìïíþíõìï ìå ðïëõþíõìï,ðïëëáðëáóéÜæïõìå ôï ìïíþíõìï ìå êÜèå üñï ôïõðïëõùíýìïõ êáé ðñïóèÝôïõìå ôá ãéíüìåíá ðïõ ðñïêýðôïõí.

Ãéá ðáñÜäåéãìá

2 3 2 2 3 2

2 5 2

2x 3α x 4 2x 3α 2x x 2x 4

6x α 2x 8x

Íá êÜíåôå ôéò ðñÜîåéò:

á. 23χ y 5x 2y â. 24x 2x x 2 8x

Ëýóç

á. 2 3 2 23χ y 5χ 2y 15x y 6x y

â. 2 3 2 3 24x 2x x 2 8x 8x 4x 8x 8x 8x 4x

1

• Ãéá ôïí õðïëïãéóìü ôïõ ãéíïìÝíïõ ðïëõùíýìùíåöáñìüæïõìå ôçí åðéìåñéóôéêÞ éäéüôçôá:

α β γ δ αγ αδ βγ βδ

Ãéá íá ðïëëáðëáóéÜóïõìå ðïëõþíõìï ìå ðïëõþíõìï,ðïëëáðëáóéÜæïõìå êÜèå üñï ôïõ åíüò ðïëõùíýìïõ ìåêÜèå üñï ôïõ Üëëïõ ðïëõùíýìïõ êáé ðñïóèÝôïõìå ôáãéíüìåíá ðïõ ðñïêýðôïõí.

Ãéá ðáñÜäåéãìá

2 29x 3xy y 2x y

2 2 2 29x 2x 9x y 3xy 2x 3xy y y 2x y y

3 2 2 2 2 318x 9x y 6x y 3xy 2xy y

3 2 2 318x 3x y xy y

Íá êÜíåôå ôéò ðñÜîåéò:

á. 23x 2x 3 5 x â. 4 3x 5 2x 6x x 4

ã . 2 23x 2xy 5y 4y x

Ëýóç

á.

2 2 2

2 2 4 3 2

3x 2x 3 5 x 3x 10x 2x 15 3x

3x 2x 13x 15 6x 39x 45x

2

1.4 Ðïëëáðëáóéáóìüò ðïëõùíýìùí

Page 41: c Gymnasiou 2012

1.4 Ðïëëáðëáóéáóìüò ðïëõùíýìùí 39

â. 2 2

4 3x 5 2x 6x x 4

20 8x 15x 6x 6x 24x x 20

ã.

2 2

2 3 2 2 3 2

3 2 2 3

3x 2xy 5y 4y x

12x y 3x 8xy 2x y 20y 5y x

3x 14x y 3xy 20y

Íá êÜíåôå ôéò ðñÜîåéò:

á. 23x 2 x x 4x 3

â. 22x x x 1 x 2 x 1 2x 3 x 2

Ëýóç

á.

2

3 2 2

3x 2 x x 4x 3

3x 2 4x 3x 4x 3x

3 23x 2 4x 7x 3x

4 3 2 3 212x 21x 9x 8x 14x 6x

4 3 212x 29x 23x 6xâ. 22x x x 1 x 2 x 1 2x 3 x 2

3 2 2 22x x 2x x 2x x 2 x 1 2x 4x 3x 6 3 2 22x x 3x 3x 2 x 1 2x x 6

4 3 2 3 2 22x 6x 6x 4x 2x x 6x 2x x 6

4 3 2 3 22x 6x 6x 4x 2x x 7x 6

4 3 2 3 22x 6x 6x 4x 2x x 7x 6 4 3 22x 4x 5x 11x 6

Áí 2P x 2x 5x 3 êá é Q x 4x 5 , íá

âñåßôå ôá ðïëõþíõìá:

á. P x Q x â. P x 3Q x 11x 12

Ëýóç

á. 2Ρ χ Q x 2x 5x 3 4x 5

3 2 28x 10x 20x 25x 12x 15

3 28x 30x 37x 15

â. 2

P x 3Q x 11x 2

2x 5x 3 3 4x 5 11x 2

2x 5x 3 12x 15 11x 2 2x 5x 3 x 13

3 2 22x 26x 5x 65x 3x 39 3 22x 31x 68x 39

Áí P x 3x 2x 4 x 1

êáé 3 2Q x αχ βχ γχ δ ,

íá âñåßôå ôéò ô éìÝò ôùí á, â, ã , ä, þóôå ôá

ðïëõþíõìá P x êáé Q x íá åßíáé ßóá.

Ëýóç

2

P x 3x 2x 4 x 1

3x 2x 2x 4x 4

2

3 2

3x 2x 6x 4

6x 18x 12x

3 2Q x αχ βχ γχ δ

ÐñÝðåé: α 6, β 18, γ 12, δ 0 .

3

4

5

Page 42: c Gymnasiou 2012

ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 140

Íá áíôéêáôáóôÞóåôå êáôÜëëçëá ôïõò ðáñáêÜôù áóôåñßóêïõò þóôå íá éó÷ýåé êÜèå ìéá áðü ôéò ðáñáêÜôù éóüôçôåò:

á. 2 3 2..... 4β 7β 8 28β 49β 56β â. 2 5..... 3x 8x 7 36x ..... .....

ã. 2 3 2 5 7 4 95α β ..... 9β ..... 20α β ..... α β

Íá ÷áñáêôçñßóåôå ôéò ðáñáêÜôù ðñïôÜóåéò ìå (Ó), áí åßíáé óùóôÝò Þ ìå (Ë) áí åßíáé ëáíèáóìÝíåò.

á. Áí ôï ðïëõþíõìï P x Ý÷åé âáèìü 4 êáé ôï ðïëõþíõìï Q x Ý÷åé âáèìü 3,

ôüôå ôï ðïëõþíõìï P x Q x Ý÷åé âáèìü 7.

â. Áí ôï ðïëõþíõìï P x Q x Ý÷åé âáèìü 9 êáé ôï ðïëõþíõìï P x Ý÷åé âáèìü 5,

ôüôå ôï ðïëõþíõìï Q x Ý÷åé âáèìü 3.

Íá óõìðëçñþóåôå ôá ðáñáêÜôù êåíÜ:

á. 3x 2x .... .... 6x â. 2 34x .... 2 4x y ....

ã. 2x 1 .... 4 2x .... 5x .... ä. 2 2 2 3χ y x .... .... x y .... y

Íá åðéëÝîåôå ôç óùóôÞ áðÜíôçóç.

O üãêïò ôïõ ïñèïãùíßïõ ðáñáëëçëåðéðÝäïõ åßíáé: á. 2x 1 â. 3x 2 ã. 3 2x 2x ä. 3x 2x

Ôá ðïëõþíõìá P x x 2 x 3 êáé 2Q x αx βx 6 åßíáé ßóá, üôáí

á) α 1 êáé β 5 , â) α 2 êáé β 3 , ã) α 1 êáé β 5 , ä) α 5 êáé β 1

1

2

3

4

5

ÅÑÙÔÇÓÅÉÓ ÊÁÔÁÍÏÇÓÇÓ

Page 43: c Gymnasiou 2012

1.4 Ðïëëáðëáóéáóìüò ðïëõùíýìùí 41

1

3

Íá êÜíåôå ôéò ðñÜîåéò:

á. 2 2 3 2 33x y 5y x 4xy 2x y ω â. 2 2xy ω 2x y 4xy 2xy

ã. α β 3α β 4β α 2α β 2β 2α β ä. 2x 3y x 4y x 5y y x 3xy x y

Íá êÜíåôå ôéò ðñÜîåéò:

á. x 1 y 2 3y 4 x 6 2 x 6y â. 2 2 2 22x 3y 3x 2y 3 x y 4 x xy y

ã. x y 3x y [xy x 2x y ] ä. 2 2 2 23α 2αβ β 2α 3αβ β

Íá êÜíåôå ôéò ðñÜîåéò:

á. 5 4 3 312x 6x 3x : 3x â. 2 3 21 2x 4x 2 5x 4x

ã. μ 1 ν μ ν 1 μ 1 ν 1 μ ν 112α β 3α β 6α β : 2α β

ä. α β γ α β α β γ α γ β γ α β γ

Íá õðïëïãßóåôå ôï ãéíüìåíï χ 3 χ 4 êáé íá ôï åñìçíåýóåôå ãåùìåôñéêÜ.

Íá åêôåëÝóåôå ôéò ðáñáêÜôù ðñÜîåéò êáé ìåôÜ íá âñåßôå ôçí áñéèìçôéêÞ ôéìÞ ôïõ áðïôåëÝóìáôïò ãéá ôéò ôéìÝò ôùíãñáììÜôùí ðïõ áíáöÝñïíôáé:

á. 2 2 3 3x y 2xy 2x y 2x x y x y 2y ãéá x 1, y 2

â. 2 2 3 2 2α αβ [α α β α β ] ãéá 1

α 2, β2

Áí P x 3x 2x 4 x 1 êáé 3 2Q x αx βx γx δ , íá âñåßôå ôéò ôéìÝò ôùí á, â, ã, ä, þóôå ôá ðïëõþíõìá Ñ(÷)

êáé Q(x) íá åßíáé ßóá.

2

4

5

6

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

Page 44: c Gymnasiou 2012

ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 142

Åñþôçóç 1

Ôé ïíïìÜæïõìå ìïíþíõìï;

Åñþôçóç 2

Ðùò ãßíåôáé ï ðïëëáðëáóéáóìüò ìïíùíýìïõ ìå ðïëõþíõìï êáé ðùò ãßíåôáé ï ðïëëáðëáóéáóìüò ðïëõùíýìùí;

¢óêçóç 1

á. Ãéá íá åßíáé ôï ðçëßêï ν μα : α ìïíþíõìï ðñÝðåé í .... ì.Íá óçìåéþóåôå ôï êáôÜëëçëï óýìâïëï áíéóüôçôáò.

â. Äßíïíôáé ôá ìïíþíõìá 2 λ 1α 1 x y êáé μ 5 23x y .

Íá âñåßôå ôïõò á, ë êáé ì þóôå ôá ìïíþíõìá íá åßíáé ßóá.

¢óêçóç 2

Íá õðïëïãéóèåß ç áñéèìçôéêÞ ôéìÞ ôçò ðáñÜóôáóçò Á ãéá 2004α 13 , β 3 , γ 1 üðïõ:

Α (α β) α β γ α β α β γ

¢óêçóç 3

á. Íá êÜíåôå ôçí ðñÜîç: μ κ 2 μ 1 κ 1 μ 2 κ 2 2x y x y x y x y

â. Áí P x x 2x 1 x 2 êáé 3 2Q x αx βx γx δ , íá âñåßôå ôéò ôéìÝò ôùí á, â, ã, ä, þóôå ôá ðïëõþíõìá Ñ(÷) êáé

Q(x) íá åßíáé ßóá.

ÊÑÉÔÇÑÉÏ ÁÎÉÏËÏÃÇÓÇÓ

Page 45: c Gymnasiou 2012

1.5 Aîéïóçìåßùôåò ôáõôüôçôåò 43

Åñþôçóç 1

Ôé ïíïìÜæïõìå ôáõôüôçôá;

ÁðÜíôçóç

Ôáõôüôçôá ëÝãåôáé êÜèå éóüôçôá ðïõ ðåñéÝ÷åé ìåôáâëçôÝò

êáé áëçèåýåé ãéá üëåò ôéò ôéìÝò ôùí ìåôáâëçôþí ôçò.

Åñþôçóç 2

ÐïéÝò åßíáé ïé áîéïóçìåßùôåò ôáõôüôçôåò;

ÁðÜíôçóç

Ïé áîéïóçìåßùôåò ôáõôüôçôåò åßíáé:

á) ÔåôñÜãùíï áèñïßóìáôïò: 2 2 2α β α 2αβ β

â) ÔåôñÜãùíï äéáöïñÜò: 2 2 2α β α 2αβ β

ã) Êýâïò áèñïßóìáôïò - äéáöïñÜò:

3 3 2 2 3

3 3 2 2 3

α β α 3α β 3αβ β

α β α 3α β 3αβ β

ä) Ãéíüìåíï áèñïßóìáôïò åðß äéáöïñÜ:

2 2α β α β α β

å) ÄéáöïñÜ êýâùí - ¢èñïéóìá êýâùí:

3 3 2 2

3 3 2 2

α β α β α αβ β

α β α β α αβ β

ÐÁÑÁÄÅÉÃÌÁÔÁ - ÅÖÁÑÌÏÃÅÓ

1

Íá âñåßôå ôá áíáðôýãìáôá:

á. 22x 2y â.

2x y3 2

ã. 22 2x 2y

ä. 23 3x y å.

21

2xx

óô.

3α3

Ëýóç

á. 2 2 22 2 2x 2y x 2x 2y 2y 4 2 2x 4x y 4y

â.

2 2 2 2 2x y x x y y x x y y2

3 2 3 3 2 2 9 3 4

ã. 2 2 22 2 2 2 2 2 4 2 2 4x 2y x 2x 2y 2y x 4x y 4y

ä.

2 23 3 3 3 2 3 3

2 23 3 3 3 6 3 3 6

x y [ x y ] x y

x 2x y y x 2x y y

å.

2 22 2

2

1 1 1 12x 2x 2 2x 4x 4

x x x x

óô.

2 2

2 22 2

β β3α 3α

3 3

β β β2 3α 3α 2βα 9α

3 3 9

1.5 Aîéïóçìåßùôåò ôáõôüôçôåò

Page 46: c Gymnasiou 2012

ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 144

Ná âñåßôå ôá áíáðôýãìáôá:

á. xy 1 xy 1 â. 2 22 x 2 x

ã. 3 3 3 3x y x y ä. x y ω x y ω

å. x y ω 3 x y ω 3

óô. 4 2 4 2x 2y 1 x 2y 1

Ëýóç

á. 2 2 2 2xy 1 xy 1 xy 1 x y 1

â. 22 2 2 2 42 x 2 x 2 x 4 x

ã. 2 23 3 3 3 3 3 6 6x y x y x y x y

ä. 2 2 2 2 2x y ω x y ω x y ω x 2xy y ω

å.

2 2

2 2 2 2 2 2

x y ω 3 x y ω 3

[ x y ω 3 ][ x y ω 3 ] x y ω 3

x 2xy y ω 6ω 9 x 2xy y ω 6ω 9

óô. 4 2 4 2 4 2 4 2x 2y 1 x 2y 1 x 1 2y x 1 2y

2 2 24 2 4 4 4 8 4 4x 1 2y x 2x 1 4y x 2x 1 4y

Ná âñåßôå ôá áíáðôýãìáôá:

á. 3α 3 â.

12

ã.

32 1

x3

ä. 3x 2y

å. 32x 2y óô.

32 2x y

Ëýóç

2

3

á. 3 3 2 2 3 3 2α 3 α 3 α 3 3 α 3 3 α 9 α 27 α 27

â.

3 3 2 3 23α α α α α α 3α

1 3 3 1 3 12 2 2 2 8 4 2

ã.

3 2 33 22 2 2 21 1 1 1

x x 3 x 3x3 3 3 3

2

6 4 x 1x x

3 27

ä. 3 3x 2y x 2y

2 33 2 3 2 2 3[x 3x 2y 3x 2y 2y ] x 6x y 12xy 8y

å. 3 32 2x 2y 2y x

3 22 2 2 3 6 4 2 2 32y 3 2y x 3 2y x x 8y 12y x 6y x x

óô. 3 32 2 2 2x y x y

3 2 2 32 2 2 2 2 2x 3 x y 3x y y

6 4 2 9 4 6 6 4 2 2 4 6x 3x y 3x y y x 3x y 3x y y

Ná åêôåëÝóåôå ôéò ðñÜîåéò óôéò ðáñáêÜôù ðå-ñéðôþóå éò:á. 2 2 2

2α β 3 α β 2β 5α

â. 22 α β β α 2β α 3α α β

ã. 2x 3y 3y 2x 2x y y 2x

Ëýóç

á. 2 2 22α β 3 α β 2β 5α

22 22 2 22α 2 2α β β 3 α 2αβ β 2β 2 2β 5α 5α

2 2 2 2 2 24α 4αβ β 3α 6αβ 3β 4β 20αβ 25α

2 224α 18αβ 6β

â. 22 α β β α 2β α 3α α β

4

Page 47: c Gymnasiou 2012

1.5 Aîéïóçìåßùôåò ôáõôüôçôåò 45

6

22 2 2 22 β α 2β 2 2βα α 3α 3αβ 2 2 2 2 22β 2α 4β 4αβ α 3α 3αβ 2 26α 2β 7αβ

ã.

2 2 22 2 2 2 2 2 2

2x 3y 3y 2x 2x y y 2x

2x 3y [y 2x ] 4x 9y y 4x 8x 10y

Ná áðïäåßîåôå ôéò ðáñáêÜôù ôáõôüôçôåò:

á. 2 22 2α 2 β 2 αβ 2 2 α β

â. 22 2α β α β 2αβ

ã. 33 3α β α β 3αβ α β

Ëýóç

á. 22 2α 2 β 2 αβ 2

2 2 2 2 2 2α β 2α 2β 4 α β 4αβ 4 2 2 2 2 2 2α β 2α 2β 4 α β 4αβ 4

2 22α 2β 4αβ 2 2 2 2α β 2αβ α β 2αβ

2 2 2α β α β 2 α β

â. 2 2 2 2 2α β 2αβ α 2αβ β 2αβ α β

ã. 3α β 3αβ α β

3 2 2 3 2 2 3 3α 3α β 3αβ β 3α β 3αβ α β

Áí A 7 3 êáé B 7 3 ôüôå íá õðï-ëïãéóôïýí ïé ðáñáóôÜóåéò:

á. A B â. 2 2A B

Ëýóç

5

á. A B 7 3 7 3 Þ

2 2A B 7 3 Þ A B 7 3 4

â. 2 22 2A B 7 3 7 3 Þ

2 2 2 2

2 2A B 7 2 7 3 3 [ 7 2 7 3 3 ]

2 2A B 7 2 21 3 7 2 21 3 Þ 2 2A B 4 21

Aí x y 5 êáé x y 4 ôüôå íá õðïëïãéóôåßç ôéìÞ ôçò ðáñÜóôáóçò 2 2A x y .

Ëýóç

Éó÷ýåé üôé: 2 2 2x y x 2xy y Þ

2 2 2x y 2xy x y Þ2 2 2x y 5 2 4 Þ 2 2x y 17 .

Áí 1

x 2x

ôüôå íá õðïëïãéóôåß ç ô éìÞ ôçò

ðáñÜóôáóçò 22

1A x

x.

Ëýóç

Éó÷ýåé: 2 2

21 1 1x x 2x

x x x

Þ 2

22

1 1x x 2

x x

Ïðüôå 2

22

1 1x x 2

x x

Þ 2A 2 2 Þ A 2 .

7

8

Page 48: c Gymnasiou 2012

ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 146

Áí å ßíáé 2004 2004x 2 2 êáé 2004 2004y 2 2

ôüôå íá õðïëïãéóôåß ç ô éìÞ ôçò ðáñÜóôáóçò

2 2A x y .

Ëýóç

2 2A x y Þ A x y x y Þ

2004 2004 2004 2004 2004 2004 2004 2004A 2 2 2 2 2 2 2 2 Þ

2004 2004A 2 2 2 2 Þ 1 2004 1 2004A 2 Þ 2A 2 4 .

Íá áðïäåßîåôå üôé éó÷ýåé ç ó÷Ýóç: 2α β 4αβ

Ëýóç

2α β 4αβ Þ 2 2α 2αβ β 4αβ Þ2 2α 2αβ β 4αβ 0 Þ 2 2α 2αβ β 0 , 2α β 0 áëçèÝò.

Áí 22 22 x y x y íá áðïäåßîåôå üôé x y .

Ëýóç

22 22 x y x y Þ 2 2 2 22x 2y x 2xy y Þ2 2 2 22x 2y x y 2xy 0 Þ 2 2x y 2xy 0 Þ

2x y 0 Þ x y 0 Þ x y .

Íá õðïëïãéóôïýí ìå ôç âïÞèåéá ôáõôïôÞôùíïé áñéèìïß:á) 45672 - 45642 â) 95·105ã) 20042 ä) 19982

Ëýóç

9

10

11

á) ×ñçóéìïðïéïýìå ôçí ôáõôüôçôá 2 2α β α β α β äçëáäÞ:

2 24567 4564 4567 4564 4567 4564

9131 3 27.393â) ¼ìïéá ÷ñçóéìïðïéïýìå ôçí ðáñáðÜíù ôáõôüôçôá êáé Ý÷ïõìå:

2 295 105 (100 5) (100 5) 100 5

10.000 25 9.975ã) Åßíáé 2004 = 2000 + 4, ïðüôå: 20042 = (2000 + 4)2 (1)

ÎÝñïõìå üôé: 2 2 2α β α 2αβ β , Üñá ç (1) ãñÜöåôáé:

2 2 22004 2000 2 2000 4 4

4.000.000 16.000 16 4.016.016

ä) Åðßóçò: 1.998 2.000 2, Üñá: 221.998 2.000 2 (2)

Ìå ôç âïÞèåéá ôçò ôáõôüôçôáò2 2 2(α β) α 2αβ β , ç (2) ãñÜöåôáé:

2 2 21.998 2.000 2 2.000 2 2

4.000.000 8.000 4 3.992.004

Íá áðïäåé÷èïýí ïé ðáñáêÜôù ôáõôüôçôåò:

á) 2 2 2 2(α β γ) α β γ 2αβ 2βγ 2αγ

â) 2 2(α β) 2αβ (α β) 2αβ

ã ) 2 2 2 2 2 2 2(α – β ) (2αβ) (α β )

ä) v v v 1 v 2 v 2 v 1x -y (x–y) (x x y xy y )

Ëýóç

á) ÊÜíïíôáò ðñÜîåéò óôï 1ï ìÝëïò Ý÷ïõìå:

22 2 2

2 2 2 2 2 2

(α β γ) (α β) γ (α β) 2(α β)γ γ

α 2αβ β 2αγ 2βγ γ α β γ 2αβ 2βγ 2αγ

12

13

Page 49: c Gymnasiou 2012

1.5 Aîéïóçìåßùôåò ôáõôüôçôåò 47

â) ÊÜíïíôáò ðñÜîåéò óôï 1ï ìÝëïò Ý÷ïõìå:2 2 2 2 2(α β) 2αβ α β 2αβ 2αβ α β Ý÷ïõìå:

2 2 2 2 2(α β) 2αβ α β 2αβ 2αβ α β

¢ñá 2 2(α β) 2αβ (α β) 2αβ ã) ÊÜíïíôáò ðñÜîåéò óôï 1ï ìÝëïò Ý÷ïõìå:

2 2 2 2

4 2 2 4 2 2

4 2 2 4 2 2 2

(α – β ) (2αβ)

α 2α β β 4α β

α 2α β β (α β )

ä) ÊÜíïíôáò ðñÜîåéò óôï 2ï ìÝëïò, Ý÷ïõìå:v 1 v 2 v 2 v 1(x – y) (x x y xy y )

v ν 1 2 ν 2 ν 1

ν 1 ν 2 2 ν 1 v v v

x x y x y x y

x y x y xy y x y

ÌÝèïäï ò :Ãéá íá áðïäåßîïõìå ìéá ôáõôüôçôá Á =  , áêïëïõèïýìå Ýíááðü ôá ðáñáêÜôù:• ÊÜíïõìå ðñÜîåéò óôï 1ï ìÝëïò ôçò ôáõôüôçôáò ìÝ÷ñéò üôïõêáôáëÞîïõìå óôï 2ï ìÝëïò.• ÊÜíïõìå ðñÜîåéò óôï 2ï ìÝëïò ìÝ÷ñéò üôïõ ïäçãçèïýìåóôï 1ï ìÝëïò.• ÊÜíïõìå ðñÜîåéò óôï 1ï ìÝëïò êáé êáôáëÞãïõìå óå ìéáéóüôçôá Á = Ã, êÜíïõìå ðñÜîåéò óôï 2ï ìÝëïò êáé êáôáëÞãïõ-ìå óå ìéá éóüôçôá  = Ã, ïðüôå Á = Â.

Ëýóç

¸÷ïõìå üôé:

2 22

22

2

2 2 22 2

1 1 1x x 2 x ή

x x x

1 1x x 2 ή

x x1 1

x 2 2 ή x 2 1x x

33 2

2 3

33

3

1 1 1 1x x 3 x 3 x ή

x x x x

1 1 1 1x x 3 x x ή

x x x x

33

3

3 3 33 3

1 1 1x x 3 x ή

x x x1 1

x 2 3 2 ή x 2 2x x

2 22 2 2 2

2 2 2

24 2

4 2

1 1 1x (x ) 2 x ή

x x x

1 1x x 2 ή

x x

4 2 44 4

1 1x 2 2 ή x 2

x x (3)

Áðü ôéò (1), (2) êáé (3) ðñïêýðôåé:

2 3 42 3 4

1 1 1x x x

x x x

14Áí

1x 2

x , áðïäåßîôå üôé:

2 3 42 3 4

1 1 1x x x

x x x

Page 50: c Gymnasiou 2012

ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 148

1 Íá ÷áñáêôçñßóåôå ìå ôçí Ýíäåéîç óùóôü (Ó) Þ ëÜèïò (Ë) êáèåìéÜ áðü ôéò ðáñáêÜôù éóüôçôåò.

á. 2 2x 2 x 4x 4 â. 2 2x 2 x 2x 4 ã. 2 2x 2 2 x

ä. 2 2κ λ κ λ å. 2 2

κ λ λ κ óô. 2 2κ λ κ λ

æ. 2 2 2x y x y ç. 2 2x 4 x 16 è. 2x 9 x 9 x 9

é. 22 2α β α β

Íá áíôéóôïé÷ßóåôå ôéò ðáñáóôÜóåéò ôçò óôÞëçò Á ìå ôá áíáðôýãìáôá óôçí óôÞëç Â.

ÓôÞëç Á ÓôÞëç Â

á. 24x 1 1. 2 24x 4xy y

â. 22x y 2. 2 24x 9y

ã. 2x 3y 2x 3y 3. 3 2x 3x 3x 1

ä. 3x 1 4. 2x 2x 15

å. 32x 1 5. 216x 8x 1

óô. x 3 x 5 6. 3 28x 12x 6x 1

Íá óõìðëçñþóåôå ôéò ðáñáêÜôù éóüôçôåò:

á. 2 2... ... y 2y ... â. 2 2 2(... ...) 9α ... 16β

ã. 2

1x ... ... xy ...

2

ä. 22... 2x 9 ... ...

å. κ ... κ ... ... 25 óô. 2... 3x ... 3x 16β ...

æ. 3 3 2... ... 8α 12α ... ... ç. 3 3... 2 27x ... .. ...

è. x 2 x ... ... ... 6 é. x 4 x 3 ... ... ...

2

3

ÅÑÙÔÇÓÅÉÓ ÊÁÔÁÍÏÇÓÇÓ

Page 51: c Gymnasiou 2012

1.5 Aîéïóçìåßùôåò ôáõôüôçôåò 49

Íá âñåßôå ôá áíáðôýãìáôá:

á. 2

1xy

2

â. 2

y2x

2

ã. 2

4xy

x

ä. 2

x y2 3

å. ω 222x y 3 æ. 22x 2x 1

Íá âñåßôå ôá áíáðôýãìáôá:

á. 2 3 2 31 1 1 1

α β α β3 2 3 2

â. 4xy 3αβ 4xy 3αβ

ã. 2x κ 2x κ ä. κ 2λ 1 κ 2λ 1

Íá âñåßôå ôá áíáðôýãìáôá:

á. 32 2x y â. 3

1x

x

ã. 3

22

1x

x

ä. 3

x 13

Íá åêôåëÝóåôå ôéò ðñÜîåéò óôéò ðáñáêÜôù ðåñéðôþóåéò:

á. 21 x 1 x 1 2x â. 2 22 25κ λ 4κ 3λ 4κ 3λ κ 2λ

Íá áðïäåßîåôå ôéò ðáñáêÜôù ôáõôüôçôåò:

á. 2 2

1 1x x 4

x x

â. 2 22 2 2 2α β x y αx βy αy βx

á. Íá áðïäåßîåôå ôçí ôáõôüôçôá:

2 2ν 1 ν 1

ν2 2

ãéá ν 2 .

â. Íá áðïäåßîåôå üôé êÜèå ðåñéôôüò áñéèìüò ãñÜöåôáé ùò äéáöïñÜ ôåôñáãþíùí äýï áñéèìþí.

2

3

4

5

6

1

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

Page 52: c Gymnasiou 2012

ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 150

Íá áðïäåßîåôå ôçí ôáõôüôçôá ôïõ Lagrance:

2 22 2 2 2α β x y αx βy αy βx

Áí α β γ 0 , íá áðïäåßîåôå üôé:

3 3 3α β γ 3α β γ

Íá áðïäåé÷èåß ç ôáõôüôçôá:

2 2 23 3 3 1α β γ 3α β γ α β γ α β β γ γ α

2

Íá äåßîåôå ðùò áí 2 2α β 1 ôüôå éó÷ýåé:

2 23 33α 4α 3β 4β 1

Íá áðïäåé÷èåß ç ôáõôüôçôá:

2 2 22 2 2 1α β γ αβ βγ γα α β β γ γ α

2

Áí α β γ 8 êáé αβ βγ γα 19 , íá õðïëïãßóåôå ôçí ðáñÜóôáóç: 2 2 2α β γ .

7

8

9

10

11

12

Page 53: c Gymnasiou 2012

1.5 Aîéïóçìåßùôåò ôáõôüôçôåò 51

¢óêçóç 1

Óêåöôåßôå Ýíá äéøÞöéï áñéèìü êáé âñåßôå ôï ôåôñÜãùíü ôïõ. Âñåßôå óôç óõíÝ÷åéá ôï ôåôñÜãùíï ôïõ áèñïßóìáôïò ôùí øçößùíôïõ áñéèìïý ðïõ óêåöôÞêáôå êáé áöáéñÝóôå ôá äýï áðïôåëÝóìáôá. Ï áñéèìüò ðïõ âñÞêáôå äéáéñåßôáé áêñéâþò ìå ôï 9.Ìðïñåßôå íá ôï åîçãÞóåôå;

¢óêçóç 2

Ðüóá áðü ôï êÜèå åßäïò ôùí äéðëáíþí ó÷çìÜôùí ðñÝðåé íá ÷ñçóéìïðïéÞóåôå ãéá íáó÷çìáôßóåôå Ýíá ôåôñÜãùíï ìå ðëåõñÜ.á) ÷+3 â) 2÷+1

¢óêçóç 3

Íá õðïëïãßóåôå áðü ìíÞìçò ôéò ðáñáóôÜóåéò:

á) 2 2

2

2 2

25 5 .....

103 97 .....

1006 994 .....

â) 2 2

2

2 2

13 7 .....

101 99 .....

1003 997 .....

¢óêçóç 4

á) Íá áðïäåßîåôå üôé: 2 26 5 6 5 2 213 12 13 12 2 247 46 47 46

2 2144 143 144 143

â) Ìå âÜóç ôéò ðñïçãïýìåíåò éóüôçôåò íá óõìðëçñþóåôå ôç öñÜóç:“Ç äéáöïñÜ ôùí ôåôñáãþíùí äýï ................. öõóéêþí áñéèìþí éóïýôáé ìå ôï ................. ôùí áñéèìþí áõôþí.”

ã) Íá óõìðëçñþóåôå ôçí éóüôçôá: 19602 – ..... = ..... + .....

ÊÑÉÔÇÑÉÏ ÁÎÉÏËÏÃÇÓÇÓ

Page 54: c Gymnasiou 2012
Page 55: c Gymnasiou 2012

1.6 Ðáñáãïíôïðïßçóç áëãåâñéêþí ðáñáóôÜóåùí 53

Åñþôçóç 1

Ôé ëÝìå ðáñáãïíôïðïßçóç;

ÁðÜíôçóç

Ðáñáãïíôïðïßçóç åßíáé ç äéáäéêáóßá êáôÜ ôçí ïðïßá ìåôá-ôñÝðïõìå ìéá áëãåâñéêÞ ðáñÜóôáóç óå ãéíüìåíï üóï ôï äõ-íáôüí áðëïýóôåñùí ðáñáãüíôùí.

ð.÷. 2x 4 2 x 2 .

ÊÜíáìå ðáñáãïíôïðïßçóç âãÜæïíôáò êïéíü ðáñÜãïíôá ôï 2.

ð.÷. 2x 4 x 2 x 2

ÊÜíïõìå ðáñáãïíôïðïßçóç ÷ñçóéìïðïéþíôáò ôáõôüôçôá.

Åñþôçóç 2

Ðüôå ëÝìå üôé ìéá ðáñÜóôáóç Ý÷åé áíáëõèåß óå ãéíüìå-íï ðñþôùí ðáñáãüíôùí;

ÁðÜíôçóç

Ç ðáñÜóôáóç ðïõ äåí åðéäÝ÷åôáé ðåñáéôÝñù ðáñáãïíôïðïßçóçëÝìå üôé Ý÷åé áíáëõèåß óå ãéíüìåíï ðñþôùí ðáñáãüíôùí.

Åñþôçóç 3

ÐïéÝò åßíáé ïé ðéï ÷áñáêôçñéóôéêÝò ðåñéðôþóåéò ðáñáãïíôïðïßç-óçò ìéáò áëãåâñéêÞò ðáñÜóôáóçò; Äþóôå áðü Ýíá ðáñÜäåéãìá.

ÁðÜíôçóç

ÄéÜöïñåò ìïñöÝò ðáñáãïíôïðïßçóçò:

1ç ðåñßðôùóç: Êïéíüò ðáñÜãïíôáò (áðü üëïõò ôïõò üñïõò)

ÐáñÜäåéãìá 1. Íá êÜíåôå ãéíüìåíá ôéò ðáñáóôÜóåéò

á. 3 2xy 3xy 2x 6xy â. 2 22x y 6xyω 8xy

Ëýóçá. Ðáñáôçñïýìå üôé åìöáíßæåôáé óå üëïõò ôïõò üñïõò ôï x.

Ìå åöáñìïãÞ ôçò åðéìåñéóôéêÞò éäéüôçôáò Ý÷ïõìå:

3 2 3 2xy 3xy 2x 6xy x y 3y 2 6y

â. ¼ëïé ïé üñïé ôçò ðáñÜóôáóçò Ý÷ïõí êïéíü ðáñÜãïíôá ôï 2xy.

Óõíåðþò: 2 22x y 6xyω 8xy 2xy x 3ω 4y

2ç ðåñßðôùóç: Ïìáäïðïßçóç (Êïéíüò ðáñÜãïíôáò êáôÜ ïìÜäåò)

ÐáñÜäåéãìá 2. Íá ðáñáãïíôïðïéçèïýí ïé áëãåâñéêÝò ðáñáóôÜóåéò

á. xy 3x 2y 6 â. 3 23x x y 6x 2y Ëýóçá. Ç ðáñÜóôáóç ÷ùñßæåôáé óå ïìÜäåò ðïõ Ý÷ïõí êïéíü ðáñÜãïíôá.

xy 3x 2y 6

x y 3 2 y 3 y 3 x 2

â.

3 2

3 2

3x x y 6x 2y

3x x y 6x 2y

2 2x 3x y 2 3x y x 2 3x y

3ç ðåñßðôùóç: ×ñÞóç ôáõôïôÞôùí3á. ÁíÜðôõãìá ôåôñáãþíïõ

2 2 2

2 2 2

α β α 2αβ β

α β α 2αβ β

1.6 Ðáñáãïíôïðïßçóç áëãåâñéêþí ðáñáóôÜóåùí

Page 56: c Gymnasiou 2012

ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 154

ÐáñÜäåéãìá 3á. Íá ðáñáãïíôïðïéÞóåôå ôéò áëãåâñéêÝò ðá-ñáóôÜóåéò

i) 2 225x 20xy 4y ii) 2 29x 24xy 16y

iii) 2 216x 40xy 25y

Ëýóç

i)

2 2

2 2 2

25x 20xy 4y

5x 2 5x 2y 2y 5x 2y

ii)

2 2

2 2 2

9x 24xy 16y

3x 2 3x 4y 4y 3x 4y

ii i)

2 2

2 2 2

16x 40xy 25y

4x 2 4x 5y 5y 4x 5y

3â. ÄéáöïñÜ ôåôñáãþíùí

2 2α β α β α β

ÐáñÜäåéãìá 3â. Íá ðáñáãïíôïðïéÞóåôå ôéò áëãåâñéêÝò ðá-ñáóôÜóåéò

i) 2 225x 4y ii) 4 816x y

Ëýóç

i)

2 22 225x 4y 5x 2y

5x 2y 5x 2y

ii)

2 24 8 2 4

2 4 2 4

222 4 2

2 4 2 2

16x y 4x y

4x y 4x y

4x y 2x y

4x y 2x y 2x y

3ã. ¢èñïéóìá - ÄéáöïñÜ êýâùí

3 3 2 2

3 3 2 2

α β α β α αβ β

α β α β α αβ β

ÐáñÜäåéãìá 3ã. Íá ðáñáãïíôïðïéÞóåôå ôéò áëãåâñéêÝò ðá-ñáóôÜóåéò

i) 3x 64 ii) 38x 27Ëýóç

i)

3 3 3 2 2

2

x 64 x 4 x 4 x 4x 4

x 4 x 4x 16

i i )

33 3

2 2

2

8x 27 2x 3

2x 3 2x 2x 3 3

2x 3 4x 6x 9

3ä. Ôñéþíõìï 2ïõ âáèìïý

2x α β x αβ x α x β

Èá ãíùñßóïõìå, áñãüôåñá, Ýíá ôñüðï ðéï ãåíéêü üôáí èÝ-ëïõìå íá ðáñáãïíôïðïéÞóïõìå Ýíá ôñéþíõìï 2ïõ âáèìïý,äçëáäÞ ìßá ðáñÜóôáóç ôçò ìïñöÞò:

2αx βx γ, α 0 Ðñïò ôï ðáñüí ðåñéïñéæüìáóôå óå ôñéþíõìá ôçò ìïñöÞò:

2x κx λ , ïðüôå ìå ÷ñÞóç ôçò ôáõôüôçôáò:

2x α β x αβ x α x β , áíáæçôïýìå äýï áñéè-

ìïýò á,â ðïõ íá Ý÷ïõí Üèñïéóìá ê êáé ãéíüìåíï ë.

ÐáñÜäåéãìá 3ä. Íá ðáñáãïíôïðïéçèïýí ôá ôñéþíõìá

Page 57: c Gymnasiou 2012

1.6 Ðáñáãïíôïðïßçóç áëãåâñéêþí ðáñáóôÜóåùí 55

i) 2x 5x 6 ii) 2x 4x 3 iii) 2x x 2 Ëýóçi) Ïé æçôïýìåíïé áñéèìïß åßíáé ïé -2, -3, áöïý

2 3 5 êáé 2 3 6 .

¢ñá 2x 5x 6 x 2 x 3

ii) Oé æçôïýìåíïé áñéèìïß åßíáé ïé 1,3 áöïý 1 3 4 êáé

1 3 3 .

¢ñá: 2x 4x 3 x 1 x 3

iii) Oé æçôïýìåíïé áñéèìïß åßíáé ïé 2,1 áöïý 2 1 1

êáé 2 1 2 .

¢ñá: 2x x 2 x 2 x 1

4ç ðåñßðôùóç: Óõíäõáóìüò ôùí ðáñáðÜíù ðåñéðôþóåùí

ÐáñÜäåéãìá 4á.Íá ðáñáãïíôïðïéçèïýí ïé ðáñáóôÜóåéò

i) 22x 18 ii) 2 2x 2xy y 9

ii i) 2 2x y x 2xy y iv) 9 7 5 3x x x x

Ëýóç

i)

2 2

2 2

2x 18 2 x 9

2 x 3 2 x 3 x 3

ii)

2 2 2 2

2 22

x 2yx y 9 9 x 2xy y

9 x y 3 x y

3 x y 3 x y

3 x y 3 x y

iii)

22 2x y x 2xy y x y x y

x y 1 x y x y 1 x y

iv)

9 7 5 3 3 6 4 2

3 4 2 2

3 2 4

23 2 2 2

3 2 2 2

3 2

2 23 2

x x x x x x x x 1

x x x 1 x 1

x x 1 x 1

x x 1 x 1

x x 1 x 1 x 1

χ χ 1 χ 1 χ 1 χ 1 χ 1

χ χ 1 χ 1 χ 1

ÐáñÜäåéãìá 4â(ÓðÜóéìï Þ Ðñïóèáöáßñåóç üñïõ)Íá ãßíïõí ãéíüìåíá ïé ðáñáóôÜóåéò

i) 2 2x 2xy 3y ii) 4 2x 5x 9

Ëýóç

i) ÓðÜìå ôï 23y óå 2 2y 4y

2 2 2 2 2

2 2

x 2xy 3y x 2xy y 4y

x y 2y x y 2y x y 2y

x 3y x y

ii) Ðñïóèáöáéñïýìå ôï 2x

4 2 4 2 2 2

24 2 2 2 2

2 2

2 2

x 5x 9 x 5x 9 x x

x 6x 9 x x 3 x

x 3 x x 3 x

x x 3 x x 3

Page 58: c Gymnasiou 2012

ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 156

Íá ðáñáãïíôïðïÞóåôå ôéò ðáñáóôÜóåéò:

á. 5x 5y â. 4x 4

ã. 16 8x ä. 3 2x x y

å. 26x 4x óô. 2 3 23α xy 12α x y æ. 2 2xy x y

ç. 2 3 2 2αβ γ α βγ è. κλ 3κ é. 2x 6y

Ëýóç

á. 5x 5y 5 x y â. 4x 4 4 x 1

ã. 16 8x 8 2 x ä. 3 2 2x x y x x y

å. 26x 4x 2x 3x 2

óô. 2 3 2 23α xy 12α x y 3α xy 1 4αx

æ. 2 2xy x y xy y x ç. 2 3 2 2 2αβ γ α βγ αβγ βγ α

è. κλ 3κ κ λ 3 é.

2x 6y 2x 3 2y

2x 2 3y 2 x 3y

Íá ðáñáãïíôïðïéÞóåôå ôéò ðáñáóôÜóåéò:

á. 2x x y 5y x y â. 10 x y 2α x y

ã. μ x y x y ä. ρ α β 2 β α

å. 4ω α β α β óô. 2x x 1 x 1

æ. 3 25x α 1 α 1 ç. 2

γ α 1 1 α

è. 2x 3 3x 5 4x 5 5 3x

1

Ëýóç

á. 2x x y 5y x y x y 2x 5y

â. 10 x y 2α x y 2 x y 5 α

ã. μ x y x y μ x y x y x y μ 1

ä. ρ α β 2 β α ρ α β 2 α β α β ρ 2

å. 4ω α β α β 4ω α β α β α β 4ω 1

óô. 2x x 1 x 1 2x x 1 x 1 x 1 2x 1

æ. 3 2 25x α 1 α 1 α 1 5x α 1 1 =

2α 1 5αx 5x 1

ç. 2 2

γ α 1 1 α γ α 1 α 1 α 1 γ α 1 1

α 1 αγ γ 1

è.

2x 3 3x 5 4x 5 5 3x

2x 3 3x 5 4x 5 3x 5

3x 5 2x 3 4x 5 3x 5 2x 8

Íá ðáñáãïíôïðïéÞóåôå ôéò ðáñáóôÜóåéò:

á. 2βx αβ x αx â. x y αx αy

ã. 3αx αy 3βx βy ä. 2 2xy xω y z ωz

å. 26x 4αx 9βx 6αβ

óô. 5γx 8γy 5βx 8βy æ. 3 2 2 3x x y xy y

ç. 3 2α 15 5α 3α è. 3 2x 5x 2x 10

é. 3 2 3 2αx αy x βx βy x

2

ÐÁÑÁÄÅÉÃÌÁÔÁ - ÅÖÁÑÌÏÃÅÓ

3

Page 59: c Gymnasiou 2012

1.6 Ðáñáãïíôïðïßçóç áëãåâñéêþí ðáñáóôÜóåùí 57

Ëýóç

á. 2βx αβ x αx β x α x x α x α β x

â.

x y αx αy x αx y αy

x 1 α y 1 α 1 α x y

ã.

3αx αy 3βx βy 3αx 3βx βy αy

3x α β y α β α β 3x y

ä. 2 2 2 2 2xy xω y z ωz x y ω z y ω y ω x z

å.

26x 4αx 9βx 6αβ 2x 3x 2α 3β 3x 2α

3x 2α 2x 3β

óô.

5γx 8γy 5βx 8βy 5γx 5βx 8γy 8βy

5x γ β 8y γ β γ β 5x 8y

æ. 3 2 2 3 2 2 2 2x x y xy y x x y y x y x y x y

ç.

3 2 3 2

2 2 2

α 15 5α 3α α 3α 15 5α

α α 3 5 α 3 α 3 α 5

è. 3 2 2 2x 5x 2x 10 x x 5 2 x 5 x 5 x 2

é.

3 2 3 2 2 2 2 2

2 2

αx αy x βx βy x αx x y βx x y

x x y α β

Íá ðáñáãïíôïðïéÞóåôå ôéò ðáñáóôÜóåéò:

á. 2 2y α â. 225α 1

ã. 2 2α 16β ä. 21 4x

å. 2 216α 9β óô. 24x 25

æ. 2 2 2 425α x 36β γ ç. 236 x 4

è. 2μ 2νx x é. 2 2 4α 36β γ

Ëýóç

á. 2 2y α y α y α

â. 22 225α 1 5α 1 5α 1 5α 1

ã. 22 2 2α 16β α 4β α 4β α 4β

ä. 22 21 4x 1 2x 1 2x 1 2x

å . 222 216α 9β 4α 3β 4α 3β 4α 3β

óô. 22 24x 25 2x 5 2x 5 2x 5

æ.

222 2 2 4 2

2 2

25α x 36β γ 5αx 6βγ

5αx 6βγ 5αx 6βγ

ç. 2 2236 x 4 6 x 4 6 x 4 6 x 4

è. 2 22μ 2ν μ ν μ ν μ νx x x x x x x x

é. 22 2 4 2 2 2 2α 36β γ α 6βγ α 6βγ α 6βγ

Íá ãñáöïýí ùò ãéíüìåíï ïé ðáñáóôÜóåéò:

á. 2α 10α 25 â. 2x 8x 16

ã. 2 29x y 12xy 4 ä. 4 2 2 49α 6α β β

å. 2x y 2 x y 1 óô.

2 2α αβ β4 3 9

æ. 2x y 8 x y 16 ç. 2 216x 24xy 9y

è. 2x 2 2x 2 é. 4 2 2 4x 2x y y

Ëýóç

4

5

Page 60: c Gymnasiou 2012

ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 158

á. 22 2 2α 10α 25 α 2 5 α 5 α 5

â. 22 2 2x 8 x 16 x 2 4 x 4 x 4

ã . 2 22 2 29 x y 12xy 4 3xy 2 3xy 2 2 3xy 2

ä. 2 2 24 2 2 4 2 2 2 2 2 29α 6α β β 3α 2 3α β β 3α β

å. 2 2 22x y 2 x y 1 x y 2 x y 1 x y 1

óô.

2 222 2α αβ β α α β β α β2

4 3 9 2 2 3 3 2 3

æ.

2 2 2

2

x y 8 x y 16 x y 2 4 x y 4

x y 4

ç. 2 2 22 216x 24xy 9y 4x 2 4x 3y 3y 4x 3y

è. 2 22 2x 2 2x 2 x 2 2x 2 x 2

é. 2 2 24 2 2 4 2 2 2 2 2 2x 2x y y x 2x y y x y

Íá ðáñáãïíôïðïéÞóåôå ôá ðïëõþíõìá:

á. 2x 8x 15 â. 2x 2x 15

ã. 214 5x x ä. 2x 9x 20

å. 2x x 30

Ëýóç

á. 2x 8x 15 x 3 x 5

äéüôé 3 5 15 êáé 3 5 8

â. 2x 2x 15 x 3 x 5

äéüôé 3 5 15 êáé 3 5 2

ã. 2 214 5x x x 5x 14 x 2 x 7

äéüôé 2 7 14 êáé 2 7 5

ä. 2x 9x 20 x 5 x 4

äéüôé 4 5 20 êáé 5 4 9

å. 2x x 30 x 6 x 5

äéüôé 6 5 30 êáé 6 5 1

Íá ãñáöïýí óå ìïñöÞ ãéíïìÝíïõ ïé ðáñáóôÜóåéò:

á. 2 2x 2x y 1 â. 2 2x 6x 9 y

ã. 2 2y x 10y 25 ä. 2 29x 36y 30x 25

å. 2 2ω x 6x 9 óô. 2 2x y 4x 4

æ. 2 2 2x y 4yz 4z ç. 2 2 2x 6αx 9y 9α

Ëýóç

á.

2 2 2 2

2 2

x 2x y 1 x 2x 1 y

x 1 y x 1 y x 1 y

â.

22 2 2 2 2x 6x 9 y x 6x 9 y x 3 y

x 3 y x 3 y

ã.

22 2 2 2 2y x 10y 25 y 10y 25 x y 5 x

y 5 x y 5 x

ä.

2 2 2 2

2 2

9x 36y 30x 25 9x 30x 25 36y

3x 5 6y 3x 5 6y 3x 5 6y

å.

22 2 2 2 2ω x 6x 9 ω x 6x 9 ω x 3

ω x 3 ω x 3

6

7

Page 61: c Gymnasiou 2012

1.6 Ðáñáãïíôïðïßçóç áëãåâñéêþí ðáñáóôÜóåùí 59

ÅÑÙÔÇÓÅÉÓ ÊÁÔÁÍÏÇÓÇÓ

1 Ðïéåò áðü ôéò ðáñáêÜôù ðáñáóôÜóåéò åßíáé ãéíüìåíï ðáñáãüíôùí;

á. 3 α β α β â. 2 χ y x y ã. 24 α β

ä. 24 α β å. 2α β β α óô. x 2y x y

æ. α β α 3β ç. α β α 3β 1

Íá óõìðëçñþóåôå ôá êåíÜ óôéò ðáñáêÜôù éóüôçôåò.

á. 8χ 16 8 ........ â. 23αy y y ........

ã. 26x 12x ........ x 2 ä. 24x 8x 4x ........

å. 2x 2 2 ........ óô. 2x 1 x 1 x 1 ........

Íá åðéëÝîåôå ôç óùóôÞ áðÜíôçóç.

Ç ðáñÜóôáóç 3 23x 3x x 1 ðáñáãïíôïðïéåßôáé ùò åîÞò:

á. 23x x 1 â. 2x 3 3x 1 ã. 2x 1 3x 1 ä. 2x 3x x 1

Íá ÷áñáêôçñßóåôå ôéò ðáñáêÜôù éóüôçôåò ìå (Ó), áí åßíáé óùóôÝò Þ ìå (Ë), áí åßíáé ëáíèáóìÝíåò.

á. 2 2x 2 x 2 x 2 â. 2x 9 x 9 x 9

ã. 2 2112 12 100 124 ä. 24y 1 4y 1 4y 1

å. 2 24x α 2χ α 2χ α óô. 22α β 1 α β 1 α β 1

2

3

4

óô. 22 2 2 2 2x y 4x 4 x 4x 4 y x 2 y x 2 y x 2 y

æ. 22 2 2 2 2 2 2x y 4yz 4z x y 4yz 4z x y 2z x y 2z x y 2z

ç. 2 22 2 2 2 2 2x 6αx 9y 9α x 6αx 9α 9y x 3α 3y x 3α 3y x 3α 3y

Page 62: c Gymnasiou 2012

ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 160

Áí éó÷õñéóôïýìå üôé ôï åìâáäüí ôïõ ðñÜóéíïõ ìÝñïõò åßíáé x y x y , áõôü åßíáé óùóôü

Þ ëÜèïò; Íá áéôéïëïãÞóåôå ôçí áðÜíôçóÞ óáò.

Íá óõìðëçñþóåôå ôá êåíÜ óôéò ðáñáêÜôù éóüôçôåò.

á. 3α 2 α 2 .............................. â. 3α 3 α 3 ..............................

ã. 32χ 1 2χ 1 .............................. ä. 3

1 5y 1 5y ..............................

Íá ÷áñáêôçñßóåôå ôéò ðáñáêÜôù éóüôçôåò ìå (Ó)ì áí åßíáé óùóôÝò Þ ìå (Ë), áí åßíáé ëáíèáóìÝíåò.

á. 3 3 2x 5 x 5 x 5x 25 â. 3 2 28 α 2 α 2 2α α

ã. 3 23y 1 3y 3y 1 ä. 3 21 2β 1 2β α 2β 4β

Íá óõìðëçñþóåôå ôá êåíÜ óôéò ðáñáêÜôù éóüôçôåò.

á. 22χ 6χ 9 ............... â. 224α 4α 1 ...............

ã. 24 2y 2y 1 ............... ä. 23 625 10x x ...............

Íá åðéëÝîåôå ôç óùóôÞ áðÜíôçóç

Ï êýêëïò åìâáäïý 2πα 2πα π , ìå α 0 Ý÷åé áêôßíá á. α 2 â. 2α 1 ã. α 1 ä. π α 1

Íá óõìðëçñþóåôå ôïí ðßíáêá.

Íá óõìðëçñþóåôå ôá êåíÜ óôéò ðáñáêÜôù éóüôçôåò.

á. 2χ α 2 χ 2α χ ..... χ ..... â. 2χ 2 3 χ 6 χ ..... χ .....

10

6

7

8

9

11

5

Page 63: c Gymnasiou 2012

1.6 Ðáñáãïíôïðïßçóç áëãåâñéêþí ðáñáóôÜóåùí 61

Íá ðáñáãïíôïðïéçèïýí ïé ðáñáóôÜóåéò:

i) 4x x 2y x 2y ii) 2 2 2 25α βx γy γx 5α βy iii) 2 236x 49y iv) 4 416x y

v) 225x 20x 4 vi) 3 3α β 27 vii) 2ω ω 2 viii) 2y 6y 40

ix) 4 2 2 4x x y y x) 2 2x 6xy 8y

Ná ãßíïõí ãéíüìåíá ïé ðáñáóôÜóåéò:

i) 2 2y 2x x 1 ii) 25x 10x 15 iii) 2 2x 5 x 2 4 x x 5

iv) 5 2x x v) 22x 1 x 1 9 2x 1 vi) 23 2α 1 2 α 1 α 1

Íá ðáñáãïíôïðïéçèïýí ïé ðáñáóôÜóåéò:

i) 2 1λ λ

4 ii) 2 22 2 2 213x 5y 12x 4y iii) 4 2 2 2 2 2γ 1 α β γ α β

iv) 3 2x 10x 9x v) 7 4 3x 8x x 8 vi) 6 4 2 3x 5 x 6 2 x 6 x 5

Ná ðáñáãïíôïðïéçèïýí ïé ðáñáêÜôù ðáñáóôÜóåéò:

i) α α 3y β x α x α 3y ii) 2 2 3αβ 2α 2β 4αβ iii) 3375x 3

iv) 3 3x 2y 2x y v) 3 2x x xy x y 1 vi) 3 3 3

x y y z z x

Ná ãßíïõí ãéíüìåíá ïé ðáñáóôÜóåéò:

i) 2 2 2 22 2x y z ω x y z ω z z ω z z ω ii) 2 2 2 2 2 2α β αβ β γ βγ γ α γα 2αβγ

iii) 2 2 2 2 2 2α β αβ β γ βγ γ α γα iv) 22 2 2 2x y x y x y

á) Íá ðáñáãïíôïðïéÞóåôå ôçí ðáñÜóôáóç 2 2α β α β αβ .

â) Áí ãéá ôïõò Üíéóïõò áñéèìïýò á, â éó÷ýåé: 2 2α β α αβ β , íá áðïäåßîåôå üôé ïé áñéèìïß á, â åßíáé áíôßóôñïöïé.

1

2

3

4

5

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

6

Page 64: c Gymnasiou 2012

ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 162

Áí äýï áêÝñáéïé äéáéñïýìåíïé ìå ôï 6 äßíïõí ôï ßäéï õðüëïéðï, ôüôå íá áðïäåßîåôå üôé, ç äéáöïñÜ ôåôñáãþíùí ôïõò åßíáéðïëëáðëÜóéï ôïõ 12.

Íá áðïäåßîåôå üôé:

á) Ï áñéèìüò 2κ κ åßíáé Üñôéïò, üðïõ ê áêÝñáéïò áñéèìüò.

â) Ï áñéèìüò 2κ 7κ åßíáé Üñôéïò, üðïõ ê áêÝñáéïò áñéèìüò.

ã) Ôï ôåôñÜãùíï åíüò ðåñéôôïý áêåñáßïõ äéáéñïýìåíï äéÜ 8 äßíåé õðüëïéðï 1.

ÊÑÉÔÇÑÉÏ ÁÎÉÏËÏÃÇÓÇÓ

¢óêçóç 1

Á. Íá óõìðëçñþóåôå ôá êåíÜ óôéò ðáñáêÜôù éóüôçôåò.

á) 23χ 27χy 9xω 15x 3x ......................... â) 3 3 3 3α x 7 β x 7 x 2 x 7 ............ ............

ã) 216x 4 ......... 2 ......... 2 ä) 229x 24x 16 ........... å) 2x 5 6 x 5 6 ............ ............

Â. Íá ÷áñáêôçñßóåôå ôéò ðáñáêÜôù éóüôçôåò ìå (Ó), áí åßíáé óùóôÝò Þ ìå (Ë) áí åßíáé ëáíèáóìÝíåò.

á) 2 2x α β α β α β χ â) 2216 8α α α 4 ã) 3 2χ 1 x 1 x x 1

¢óêçóç 2

Áí áöÞóïõìå Ýíá óþìá íá ðÝóåé áðü ôï óçìåßï Á, ôüôå ìÝ÷ñé íá öôÜóåé óôï Ýäáöïò èá ìåóïëáâÞ-óåé ÷ñüíïò t

1 sec. Áí ôï áöÞóïõìå íá ðÝóåé áðü ôï óçìåßï Â, èá ìåóïëáâÞóåé ÷ñüíïò t

2 ðïõ åßíáé

2 sec ìéêñüôåñïò.Áí ôï Üèñïéóìá ôùí ÷ñüíùí t1, t

2 åßíáé 6 sec, íá õðïëïãßóåôå ôçí áðüóôáóç ÁÂ.

( g 10 m sec ). (3 ÌïíÜäåò)

¢óêçóç 3

Áí óôï ïñèïãþíéï ôñßãùíï ÁÂÃ A 90 åßíáé:

ΒΔ 2cm , ΒΕ 8cm , íá åîçãÞóåôå ãéáôß AB 4cm .

¢óêçóç 4

Íá ðáñáãïíôïðïéÞóåôå ôéò ðáñáóôÜóåéò: 4 2A x x , 3 2B x 2x x 2 êáé Á–Â.

8 (Áð.: α 6κ υ, β 6λ υ , 2 2α β ... 12 κ λ 3κ 3λ υ )

7

Page 65: c Gymnasiou 2012

1.7 Äéáßñåóç ðïëõùíýìùí 63

1.7 Äéáßñåóç ðïëõùíýìùí

Åñþôçóç 1

¸óôù ôá ðïëõþíõìá Ä(÷) (äéáñåôÝïò) êáé ä(÷) (äéáéñÝ-ôçò) δ χ 0 . Ôé ãíùñßæåôå ãéá ôçí ôáõôüôçôá ôçò åõ-êëåßäéáò äéáßñåóçò;

ÁðÜíôçóç

Ãéá êÜèå æåýãïò ðïëõùíýìùí Ä(x) êáé ä(x) ìå δ x 0 õ-ðÜñ÷ïõí äýï ìïíáäéêÜ ðïëõþíõìá ð(x) êáé õ(÷) ôÝôïéá þóôå:

Δ x δ x π x υ x üðïõ ôï õ(÷) åßíáé ôï ìçäåíéêü ðïëõþíõìï Þ Ý÷åé âáèìüìéêñüôåñï áðü ôï âáèìü ôïõ ä(x).

Δ x δ x

π xυ x

Éó÷ýåé Δ x δ x π x υ x üðïõ:• Ä(x) äéáéñåôÝïò • ä(x) äéáéñÝôçò • ð(x) ðçëßêï• õ(÷) õðüëïéðï êáé åßíáé âáèìïý ìéêñüôåñïõ áðü ôï âáè-

ìü ôïõ ä(x), Þ õ(÷) = 0.

Óçìåßùóç

Ç äéáßñåóç Δ x : δ x ëÝãåôáé ôÝëåéá áí υ x 0 .

Ôüôå ç ôáõôüôçôá ôçò äéáßñåóçò ãñÜöåôáé: Δ x δ x π x

êáé ôï ä(x) ëÝãåôáé ðáñÜãïíôáò ôïõ Ä(x).

Ïé åêöñÜóåéò:

- ôï ä(x) åßíáé ðáñÜãïíôáò ôïõ Ä(x),

- ôï ä(x) äéáéñåß ôï Ä(÷),

- ç äéáßñåóç Δ x : δ x åßíáé ôÝëåéá,

- õðÜñ÷åé ð(x) þóôå: Δ x δ x π x åßíáé éóïäýíáìåò.

Åñþôçóç 2

Ðþò êÜíïõìå ôç äéáßñåóç Δ x : δ x ;

ÁðÜíôçóç

• ÃñÜöïõìå ôá ðïëõþíõìá ôïõ äéáéñåôÝïõ êáé ôïõ äéáéñÝôç

êáôÜ ôéò öèßíïõóåò äõíÜìåéò ôçò ìåôáâëçôÞò ôïõ ÷.• Äéáéñïýìå ôïí ðñþôï üñï ôïõ äéáéñåôÝïõ ìå ôïí ðñþôï üñï

ôïõ äéáéñÝôç. Ôï áðïôÝëåóìá åßíáé ï ðñþôïò üñïò ôïõ ðçëßêïõ.• ÐïëëáðëáóéÜæïõìå ôïí ðñþôï üñï ôïõ ðçëßêïõ, ìå ôï äéáé-

ñÝôç êáé ôï ãéíüìåíï ôï áöáéñïýìå áðü ôï äéáéñåôÝï. Ãéá íá

ãßíïõí åõêïëüôåñá ïé ðñÜîåéò, áëëÜæïõìå ôá ðñüóçìá êáéáíôß ãéá áöáßñåóç êÜíïõìå ðñüóèåóç êáé Ýôóé âñßóêïõìå ôï

ðñþôï ìåñéêü õðüëïéðï u1.• Óôç óõíÝ÷åéá äéáéñïýìå ôïí ðñþôï üñï ôïõ õðïëïßðïõ 1υ ìå

ôïí ðñþôï üñï ôïõ äéáéñÝôç. Ôï áðïôÝëåóìá åßíáé ï äåýôåñïòüñïò ôïõ ðçëßêïõ.

• ÐïëëáðëáóéÜæïõìå ôï äåýôåñï üñï ôïõ ðçëßêïõ, ìå ôï äéáéñÝôç

êáé ôï ãéíüìåíï ôï áöáéñïýìå áðü ôï õðüëïéðï 1υ êáé âñßóêïõìåôï äåýôåñï ìåñéêü õðüëïéðï õ2.

• Óõíå÷ßæïõìå ôç äéáßñåóç ìå ôïí ßäéï ôñüðï ìÝ÷ñé íá êáôáëÞîïõ-ìå óå õðüëïéðï ðïõ íá åßíáé ßóï ìå ìçäÝí (ôÝëåéá äéáßñåóç) Þíá Ý÷åé âáèìü ìéêñüôåñï áðü ôï âáèìü ôïõ äéáéñÝôç (áôåëÞòäéáßñåóç), ïðüôå ç äéáßñåóç äåí ìðïñåß íá óõíå÷éóôåß.

Ó÷üëéï:¼ôáí áðü ôï äéáéñåôÝï ëåßðåé êÜðïéïò üñïò, üôáí ôïí ãñÜöïõ-

ìå êáôÜ ôéò öèßíïõóåò äõíÜìåéò ôçò ìåôáâëçôÞò ôïõ, ôïí óõ-ìðëçñþíïõìå ìå ôï ìçäåíéêü ìïíþíõìï Þ áöÞíïõìå ôç èÝóçôïõ êåíÞ ãéá íá ãßíåé åõêïëüôåñá ç áíáãùãÞ ïìïßùí üñùí.

Page 66: c Gymnasiou 2012

ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 164

4 3 2

4 3

6χ 0χ χ 2χ 7

6χ 6χ

3 2

3 2

6x χ 2χ 7

6x 6χ

2

2

5x 2x 7

5x 5x

7x 7

7x 7

0

x 1

3 26x 6x 5x 7

Ãéá ðáñÜäåéãìá êáé åöáñìïãÞ ôùí ðáñáðÜíù áò êÜíïõìå ôç äéáßñåóç

4 26χ χ 2χ 7 : x 1

ÐÁÑÁÄÅÉÃÌÁÔÁ - ÅÖÁÑÌÏÃÅÓ

1

Ná êÜíåôå ôéò äéáéñÝóåéò êáé íá ãñÜøåôå ôçí ôáõôü-ôçôá ôçò Åõêëåßäéáò äéáßñåóçò óå êÜèå ðåñßðôùóç.

á. 4 26x x 2x 7 : x 1

â. 4 2 29x x 2x 1 : 3x x 1

ã. 5 3 23x 2x 4 : 3x 1

Ëýóçá.

4 2 3 26x x 2x 7 x 1 6x 6x 5x 7

4 3 2

4 3

6χ 0χ χ 2χ 7

6χ 6χ

3 2

3 2

6x χ 2χ 7

6x 6χ

2

2

5x 2x 7

5x 5x

7x 7

7x 7

0

x 1

3 26x 6x 5x 7

â.

4 3 2 2 29x x x 2x 1 3x x 1 3x x 1 ã .

5 3 2 3 1 x3x 2x 4 3x 1 x x 4

3 3

4 3 2

4 3 2

9x 0χ χ 2x 1

9x 3x 3χ

3 2

3 2

3x 4x 2x 1

3x x x

2

2

3x x 1

3x x 1

0

23x x 1

23x x 1

5 4 3 2

5 3

3x 0x 2χ 0χ 0x 4

3x 2χ

3 2

3

x 0χ 0x 4

3x

43

23x 1

3 1x x

3

Page 67: c Gymnasiou 2012

1.7 Äéáßñåóç ðïëõùíýìùí 65

Ðïéï ðïëõþíõìï üôáí ôï äéáéñÝóïõìå ìå ôï2x x 2 äßíåé ðçëßêï 3x 2 êáé õðüëïéðï x 1 ;

Ëýóç

Óýìöùíá ìå ôçí ôáõôüôçôá ôçò äéáßñåóçò ,Ý÷ïõìå: 2P x x x 2 3x 2 x 1

3 2 23x 2x 3x 2x 6x 4 x 1 3 23x 5x 9x 3

Íá áðïäåßîåôå üôé ôï ðïëõþíõìï Q x åßíáé

äéáéñÝôçò ôïõ ðïëõþíõìïõ P x , üôáí:

3 2P x 6x 7x 9x 18 êáé Q x 2x 3 .

Ëýóç

Èá âñïýìå ôï õðüëïéðï ôï ïðïßï ðñÝðåé íá åßíáé ìçäÝí.

á. Íá êÜíåôå ôç äéáßñåóç

4 3 2 2x 2x 8x 18x 9 : x 9

â. Íá ðáñáãïíôïðïéÞóåôå ôï ðïëõþíõìï4 3 2x 2x 8x 18x 9 .

Ëýóç

2

3

3 2

3 2

6χ 7χ 9x 18

6χ 9χ

2

2

2x 9x 18

2x 3x

12x 18

12x 18

0

2x 3

23χ x 6

4

á.

â.

4 3 2 2 2

2

x 2x 8x 18x 9 x 9 x 2x 1

x 3 x 3 x 1

á. Íá áðïäåßîåôå üôé ï x+1 åßíáé ðáñÜãïíôáòôïõ ðïëõùíýìïõ 4 3 2x 4x 6x 4x 1 .

â. Íá ðáñáãïíôïðïéÞóåôå ôï ðïëõþíõìï4 3 2x 4x 6x 4x 1 .

Ëýóç

á.

4 3 2

4 2

x 2x 8x 18x 9

x 9x

3 2

3

2x x 18x 9

2x 18x

2

2

x 9

x 9

0

2x 9

2x 2x 1

5

4 3 2

4 3

x 4x 6x 4x 1

x x

3 2

3 2

3x 6x 4x 1

3x 3x

2

2

3x 4x 1

3x 3x

x 1

x x

0

x 1

3 2x 3x 3x 1

Áðü ôçí ôáõôüôçôá ôçò Åõêëåßäéáò äéáßñåóçò, Ý÷ïõìå:

4 3 2 3 2χ 4χ 6χ 4χ 1 χ 1 χ 3χ 3χ 1

Ôï ðçëßêï ìðïñåß íá ðáñáãïíôïðïéçèåß ùò åîÞò:

3 2 3 2

2 2

χ 3χ 3χ 1 χ 1 3χ χ 1 χ 1 χ χ 1 3χ χ 1

χ 1 χ χ 1 3χ χ 1 χ 4χ 1

Page 68: c Gymnasiou 2012

ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 166

â. 4 3 2 3 2x 4x 6x 4x 1 x 1 x 3x 3x 1

2x 1 x 1 x x 1 3x x 1

22 2x 1 x 1 x 4x 1 χ 1 χ 4χ 1

Íá êÜíåôå ôç äéáßñåóç 36x α : χ 1 êáé íá

âñåßôå ôçí ôéìÞ ôïõ á, ãéá ôçí ïðïßá ç äéáßñå-óç åßíáé ôÝëåéá.

Ëýóç

3 2

3 2

6x 0x 0x α

6x 6x

2

2

6x 0x α

6x 6x

6x α

6x 6

6 α

χ 1

26χ 6χ 6

ÐñÝðåé 6 + á = 0 Þ á = - 6

Ç äéáßñåóç åßíáé ôÝëåéá áí ôï õðüëïéðï, åßíáé ßóï ìå ôï ìçäÝí.

6

ÅÑÙÔÇÓÅÉÓ ÊÁÔÁÍÏÇÓÇÓ

Ná åðéëÝîåôå ôç óùóôÞ áðÜíôçóç:

i) To õðüëïéðï ôçò äéáßñåóçò åíüò ðïëõùíýìïõ ìå ôï 3χ 2 åßíáé ðïëõþíõìï:á. 1ïõ âáèìïý â. 2ïõ âáèìïý ã. 3ïõ âáèìïý ä. óôáèåñü

ii) Ôï õðüëïéðï ôçò äéáßñåóçò åíüò ðïëõùíýìïõ ìå ôï 2χ 7χ 5 äåí ìðïñåß íá åßíáé:á. 6 â. 4x 1 ã. 2x 10 ä. 7÷

iii) Áí Ýíá ðïëõþíõìï P x äéáéñïýìåíï ìå ôï 23x x 7 äßíåé ðçëßêï 5x 2x 10 , ôüôå ï âáèìüò ôïõ P x åßíáé:

á. 2 â. 3 ã. 7 ä. ïðïéïóäÞðïôå öõóéêüò áñéèìüò.

Íá óõìðëçñþóåôå ôïí ðáñáêÜôù ðßíáêá:

1

2

Page 69: c Gymnasiou 2012

1.7 Äéáßñåóç ðïëõùíýìùí 67

Íá ÷áñáêôçñßóåôå ôéò ðáñáêÜôù ðñïôÜóåéò ìå (Ó), áí åßíáé óùóôÝò Þ ìå (Ë), áí åßíáé ëáíèáóìÝíåò:

á. Ôï ðçëßêï ôçò äéáßñåóçò ôïõ 4x 5 x 2 ìå ôï 4x 5 åßíáé ôï x 2

â. Ôï õðüëïéðï ôçò äéáßñåóçò åíüò ðïëõùíýìïõ ìå ôï x 7 åßíáé ôï 2x 4 .

ã. Áí äéáéñÝóïõìå Ýíá ðïëõþíõìï 7ïõ âáèìïý ìå Ýíá ðïëõþíõìï 3ïõ âáèìïý,

ôüôå ôï ðçëßêï åßíáé ðïëõþíõìï 4ïõ âáèìïý.

ä. Ôï x 5 åßíáé ðáñÜãïíôáò ôïõ 2x 25 .

å. Ôï ðçëßêï ôçò äéáßñåóçò 3χ 1 : χ 1 åßíáé ôï 2χ χ 1 .

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

1 Íá êÜíåôå ôéò äéáéñÝóåéò êáé íá ãñÜøåôå ôçí ôáõôüôçôá ôçò Åõêëåßäéáò äéáßñåóçò óå êÜèå ðåñßðôùóç.

á. 3 22χ χ 3χ 6 : χ 2 â. 3 26χ χ 10χ 5 : 3χ 1 ã. 34χ 5χ 8 : 2χ 1

Íá áðïäåßîåôå üôé ôï ðïëõþíõìï Q x åßíáé äéáéñÝôçò ôïõ ðïëõùíýìïõ P x , üôáí:

4 2P x 2x x 5x 3 êáé 2Q x x x 1

Äßíåôáé ôï ðïëõþíõìï 3 2 2P x x 2 X 5 4x 6x 7 . Íá âñåßôå ôï ðçëßêï êáé ôï õðüëïéðï ôçò äéáßñåóçò

á. 3P x : x 2 â. 2P x : x 5

Áí Ýíáò ðáñÜãïíôáò ôïõ ðïëõùíýìïõ 3 22x x 4x 3 åßíáé ï 2x 1 , íá âñåßôå ôïí Üëëï ðáñÜãïíôá.

3

3

4

2

Page 70: c Gymnasiou 2012

ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 168

Íá âñåßôå ôï ðçëßêï êáé ôï õðüëïéðï ôçò äéáßñåóçò Δ x : δ x üðïõ:

3 2Δ x 10x 9x 4x 1 êáé 2δ x 5x 2x 1 ÷ùñßò íá åêôåëÝóåôå ôç äéáßñåóç.

Íá âñåßôå ôï ðçëßêï êáé ôï õðüëïéðï ôçò äéáßñåóçò: 2 4 2x x x 2 : x x 1

Íá âñåèïýí ôï ðçëßêï êáé ôï õðüëïéðï ôçò äéáßñåóçò: 2 25x 3αx 2α : x α

¸óôù ðïëõþíõìï P x ôÝôïéï þóôå: P 2x 1 2P x 3 ãéá êÜèå x R êáé P 0 0 . Íá õðïëïãéóôåß ôï P 15 .

Âñåßôå ôï ðçëßêï êáé ôï õðüëïéðï ôçò äéáßñåóçò: 25x : x 1

Ðïëõþíõìï P x äéáéñïýìåíï ìå ôï x 1 äßíåé õðüëïéðï 3 êáé äéáéñïýìåíï ìå ôï x 2 äßíåé õðüëïéðï 9. Íá âñåßôå

ôï õðüëïéðï ôçò äéáßñåóçò ôïõ P x ìå ôï x 1 x 2 .

Íá áðïäåßîåôå üôé ôï α β åßíáé ðáñÜãïíôáò ôïõ 5 5α β êáé Ýðåéôá íá ðáñáãïíôïðïéçèåß ç ðáñÜóôáóç: 5x 32

Íá âñåèåß ï áñéèìüò k ãéá ôïí ïðïßï éó÷ýåé:

P x x 2 Q x 5 , üðïõ

3 2P x 2x k 1 x 5k 2 x 7

6

7

8

9

10

5

11

12

Page 71: c Gymnasiou 2012

1.7 Äéáßñåóç ðïëõùíýìùí 69

Eñþôçóç 1

Ná åðéëÝîåôå ôç óùóôÞ áðÜíôçóç:

i) To õðüëïéðï ôçò äéáßñåóçò åíüò ðïëõùíýìïõ ìå ôï 5χ 4 åßíáé ðïëõþíõìï:á. 1ïõ âáèìïýâ. 2ïõ âáèìïýã. 3ïõ âáèìïýä. óôáèåñü

ii) Ôï õðüëïéðï ôçò äéáßñåóçò åíüò ðïëõùíýìïõ ìå ôï 2χ 3χ 8 äåí ìðïñåß íá åßíáé:á. 6

â. 4x 1

ã. 2x 10ä. 7÷

¢óêçóç 1

Íá êÜíåôå ôéò äéáéñÝóåéò êáé íá ãñÜøåôå ôçí ôáõôüôçôá ôçò Åõêëåßäéáò äéáßñåóçò óå êÜèå ðåñßðôùóç.

á. 3 22χ 4χ 5χ 3 : χ 1

â. 3 28χ χ 4χ 5 : 2χ 3

¢óêçóç 2

Ðïëõþíõìï P x äéáéñïýìåíï ìå ôï x 2 äßíåé õðüëïéðï 3 êáé äéáéñïýìåíï ìå ôï x 3 äßíåé õðüëïéðï 9. Íá âñåßôå ôï

õðüëïéðï ôçò äéáßñåóçò ôïõ P x ìå ôï x 2 x 3 .

ÊÑÉÔÇÑÉÏ ÁÎÉÏËÏÃÇÓÇÓ

Page 72: c Gymnasiou 2012
Page 73: c Gymnasiou 2012

1.8 Å.Ê.Ð. êáé Ì.Ê.Ä. áêÝñáéùí áëãåâñéêþí ðáñáóôÜóåùí 71

1.8 Å.Ê.Ð. êáé Ì.Ê.Ä. áêÝñáéùí áëãåâñéêþí ðáñáóôÜóåùí

Åñþôçóç 1

Ôé ïíïìÜæïõìå Å.Ê.Ð. äýï áëãåâñéêþí ðáñáóôÜóåùí;

ÁðÜíôçóç

ÅëÜ÷éóôï Êïéíü ÐïëëáðëÜóéï (Å.Ê.Ð.) äýï Þ ðåñéóóïôÝ-ñùí áëãåâñéêþí ðáñáóôÜóåùí ðïõ Ý÷ïõí áíáëõèåß óåãéíüìåíï ðñþôùí ðáñáãüíôùí ïíïìÜæåôáé, ôï ãéíüìåíï ôùíêïéíþí êáé ìç êïéíþí ðáñáãüíôùí ôïõò ìå åêèÝôç êáèåíüòôï ìåãáëýôåñï áðü ôïõò åêèÝôåò ôïõ.

Åñþôçóç 2

Ôé ïíïìÜæïõìå Ì.Ê.Ä. äýï áëãåâñéêþí ðáñáóôÜóåùí;

ÁðÜíôçóç

ÌÝãéóôïò Êïéíüò ÄéáéñÝôçò (Ì.Ê.Ä.) äýï Þ ðåñéóóïôÝ-ñùí áëãåâñéêþí ðáñáóôÜóåùí ðïõ Ý÷ïõí áíáëõèåß óåãéíüìåíï ðñþôùí ðáñáãüíôùí ïíïìÜæåôáé, ôï ãéíüìåíïôùí êïéíþí ðáñáãüíôùí ôïõò ìå åêèÝôç êáèåíüò ôï ìé-êñüôåñï áðü ôïõò åêèÝôåò ôïõ.

ÐÁÑÁÄÅÉÃÌÁÔÁ - ÅÖÁÑÌÏÃÅÓ

1

Íá âñåßôå ôï Å.Ê.Ð. êáé ôï Ì.Ê.Ä. ôùí ðáñá-óôÜóåùí:á. 3 2 2 2 3 2 3 412x y ω , 5χ yω , 6χ y ω

â. 2 22 3 24χ χ y , 3xy x y , 8x y x y x y

Ëýóç

á. Ïé óõíôåëåóôÝò 12, 5, 6 Ý÷ïõí Å.Ê.Ð. = 60 êáé Ì.Ê.Ä.=1.

¢ñá ôá ìïíþíõìá Ý÷ïõí: 3 3 4Ε.Κ.Π. 60 x y ω êáé

2 2Μ.Κ.Δ. x y ω .

â. Ïé áñéèìçôéêïß ðáñÜãïíôåò 4, 3, 8 Ý÷ïõí: Ε.Κ.Π. 24 êáé

Μ.Κ.Δ. 1

¢ñá ôá ìïíþíõìá Ý÷ïõí:

22 3Ε.Κ.Π. 24x y x y x y êáé Μ.Κ.Δ. x x y .

Íá âñåßôå ôï Å.Ê.Ð. êáé ôï Ì.Ê.Ä. ôùí ðáñá-óôÜóåùí:

á. 2 32 26 x y , 4 x y , 12 x y

â. 3 2 2 2 3 2α α , α α α 1 ,α 2α α

ËýóçÅßíáé:

á. 2 2A 6 x y 2 3 x y x y

2 22B 4 x y 2 x y

3 32Γ 12 x y 2 3 x y

¢ñá 32Ε.Κ.Π. 2 3 χ y x y , M.K.Δ. 2 x y

â. 3 2 2α α α α 1 α α 1 α 1

22 2α α α 1 α α 1 α 1 23 2α 2α α α α 1

¢ñá 2Ε.Κ.Π. α α 1 α 1 , M.K.Δ. α α 1

2

Page 74: c Gymnasiou 2012

ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 172

2

3

4

Íá óõìðëçñþóåôå ôïí äéðëáíü ðßíáêá áíôéóôïé÷ßæïíôáòóå êÜèå æåýãïò ðáñáóôÜóåùí ôçò óôÞëçò Á, ôï Å.Ê.Ð.ôïõò áðü ôç óôÞëç Â.

Íá óõìðëçñþóåôå ôïí äéðëáíü ðßíáêá, ãñÜöïíôáò óå êÜèåêåíü ôï Å.Ê.Ð. ôùí ðáñáóôÜóåùí Á, Â.

Íá óõìðëçñþóåôå ôïí äéðëáíü ðßíáêá áíôéóôïé-÷ßæïíôáò óå êÜèå æåýãïò ðáñáóôÜóåùí ôçòóôÞëçò Á, ôï Ì.Ê.Ä. ôïõò áðü ôç óôÞëç Â.

Íá óõìðëçñþóåôå ôïí äéðëáíü ðßíáêá ãñÜöïíôáò óå êÜèåêåíü ôï Ì.Ê.Ä. ôùí ðáñáóôÜóåùí Á, Â.

1

ÅÑÙÔÇÓÅÉÓ ÊÁÔÁÍÏÇÓÇÓ

Page 75: c Gymnasiou 2012

1.8 Å.Ê.Ð. êáé Ì.Ê.Ä. áêÝñáéùí áëãåâñéêþí ðáñáóôÜóåùí 73

Íá âñåßôå ôï Å.Ê.Ð. êáé ôï Ì.Ä.Ê. ôùí ðáñáóôÜóåùí:3 2 2 25αβγ , 10αβ δ , 15βδ

Íá âñåßôå ôï Å.Ê.Ð. êáé ôï Ì.Ê.Ä ôùí ðáñáóôÜóåùí:

i) 2 2 3α 4α 3, α 9, α 9α

ii) 2 23 2x 4x, 4 x 2 x 6 , 3x 3x 6

iii) 3 2 3 2x 4x 4x, 3x 3x 6x 6

ÊÑÉÔÇÑÉÏ ÁÎÉÏËÏÃÇÓÇÓ

¢óêçóç 1

Íá âñåßôå ôï Å.Ê.Ð. êáé ôï Ì.Ä.Ê. ôùí ðáñáóôÜóåùí:3 2 2 227αχy , 9αχ ω , 3yω

¢óêçóç 2

Íá âñåßôå ôï Å.Ê.Ð. êáé ôï Ì.Ê.Ä ôùí ðáñáóôÜóåùí:2 2 3α 6α 9, α 9, α 9α

¢óêçóç 3

Ná âñåßôå ôï Å.Ê.Ð. êáé ôï Ì.Ê.Ä. ôùí ðáñáóôÜóåùí:

á. 2 38 x y , 4 x y , 24 x y

â. 3 2 2 2 3 2χ 2χ , χ 2χ χ 4 ,χ 4χ 4χ

1

2

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

Page 76: c Gymnasiou 2012
Page 77: c Gymnasiou 2012

1.9 ÑçôÝò áëãåâñéêÝò ðáñáóôÜóåéò 75

Åñþôçóç 1

Ôé ëÝìå ñçôÞ áëãåâñéêÞ ðáñÜóôáóç;

ÁðÜíôçóç

Ìéá áëãåâñéêÞ ðáñÜóôáóç ðïõ åßíáé êëÜóìá êáé ïé üñïé ôïõåßíáé ðïëõþíõìá, ëÝãåôáé ñçôÞ áëãåâñéêÞ ðáñÜóôáóç Þáðëþò ñçôÞ ðáñÜóôáóç. ð.÷

4

4

χ 7 χyz 1960, ,

χ 10 χ y x 2

Ó÷üëéï:¼ôáí ãñÜöïõìå ìéá ñçôÞ ðáñÜóôáóç, èá åííïåßôáé üôéïé ìåôáâëçôÝò ôçò äåí ðáßñíïõí ôéìÝò ðïõ ìçäåíßæïõíôïí ðáñïíïìáóôÞ.

¼ðùò ìéá áñéèìçôéêÞ ðáñÜóôáóç, Ýôóé êáé ìéá ñçôÞ ðá-ñÜóôáóç, ìðïñåß íá áðëïðïéçèåß, áí ï áñéèìçôÞò êáé ïðáñïíïìáóôÞò ôçò åßíáé ãéíüìåíá êáé Ý÷ïõí êïéíü ðá-ñÜãïíôá.

ÐÁÑÁÄÅÉÃÌÁÔÁ - ÅÖÁÑÌÏÃÅÓ

Íá âñåßôå ôéò ô éìÝò ôùí ìåôáâëçôþí ã éá ô éòïðïßåò ïñßæïíôáé ïé ðáñáêÜôù êëáóìáôéêÝò áë-ãåâñéêÝò ðáñáóôÜóåéò:

á. 5x

â. x 1x 1

ã. 2

25x

ä.

2x 2 x 1

å. 2

3x 9

óô. 2

x 3x 7x 6

æ. 4 2

3

3x x 23x 27x

ç. 2

2x 2

Ëýóç

á. ÐñÝðåé x 0 . ¢ñá ç ðáñÜóôáóç ïñßæåôáé ãéá êÜèå ðñáã-ìáôéêü áñéèìü åêôüò ôïõ ìçäåíüò.

â. ÐñÝðåé x 1 0 äçëáäÞ x 1 . ¢ñá ç ðáñÜóôáóç ïñß-æåôáé ãéá êÜèå ðñáãìáôéêü áñéèìü åêôüò ôïõ –1.

ã. ÐñÝðåé 2x 0 äçëáäÞ x 0 . ¢ñá ç ðáñÜóôáóç ïñßæåôáéãéá êÜèå ðñáãìáôéêü áñéèìü åêôüò ôïõ 0.

ä. ÐñÝðåé x 2 x 1 0 äçëáäÞ x 2 0 êáé x 1 0

Þ ( x 2 êáé x 1 ).

1

¢ñá ç ðáñÜóôáóç ïñßæåôáé ãéá üëïõò ôïõò ðñáãìáôéêïýò á-ñéèìïýò åêôüò ôïõ 2 êáé ôïõ –1.

å . Ðáñáôçñïýìå üô é 2

3 3x 9 x 3 x 3

ðñÝðåé

x 3 x 3 0 äçëáäÞ x 3 êáé x 3 .¢ñá ç ðáñÜóôáóç ïñßæåôáé ãéá êÜèå ðñáãìáôéêü áñéèìüåêôüò ôïõ 3 êáé ôïõ -3.

óô. Ðáñáôçñïýìå üôé 2

x 3 x 3x 7x 6 x 1 x 6

ÐñÝðåé x 1 x 6 0 äçëáäÞ x 1 0 êáé

x 6 0 Þ x 1 êáé x 6 .¢ñá ç ðáñÜóôáóç ïñßæåôáé ãéá êÜèå ðñáãìáôéêü áñéèìüåêôüò ôïõ 1 êáé ôïõ 6.

æ. Ðáñáôçñïýìå üôé

4 2 4 2 4 2

3 2

3x x 2 3x x 2 3x x 23x 27x 3x x 3 x 33x x 9

ÐñÝðåé 3x x 3 x 3 0 äçëáäÞ x 0 êáé x 3 êáé

x 3 .

1.9 ÑçôÝò áëãåâñéêÝò ðáñáóôÜóåéò

Page 78: c Gymnasiou 2012

ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 176

¢ñá ç ðáñÜóôáóç ïñßæåôáé ãéá êÜèå ðñáãìáôéêü áñéèìüåêôüò ôïõ 0, ôïõ –3 êáé ôïõ 3.

ç. ÐñÝðåé 2x 2 0 äçëáäÞ 2x 2 ôï ïðïßï éó÷ýåé ãéáêÜèå ðñáãìáôéêü áñéèìü áöïý ôï ôåôñÜãùíï êÜèå ðñáã-ìáôéêïý áñéèìïý åßíáé ìåãáëýôåñï Þ ßóï ìå ôï ìçäÝí.

Íá áðëïðïéçèïýí ïé ðáñáêÜôù êëáóìáôéêÝòðáñáóôÜóåéò:

á. 2

2

x 16x 8x 16

â. 2

2

α 2α 1βα βα

ã.

2 2

2 2

x y xy

x y x y

ä.

2

2

x 42x 10x 12

å. 2

3

x 2 x 4x 4

x 4x

óô.

3 2

2

x 4x 3xx x

Ëýóç

á.

2 2 2

22 2 2

x 4 x 4x 16 x 4 x 4x 8x 16 x 2 4 x 4 x 4x 4

â.

22

2

α 1α 2α 1 α 1βα βα βα α 1 βα

ã.

2 2

2 2

xy x yx y xyx y x y x y x yx y x y

xy x y x y y x2x 2y 4 4

ä.

2

2 2

x 2 x 2 x 2 x 2x 4 x 22x 10x 12 2 x 2 x 3 2 x 32 x 5x 6

2

å.

2 22

3 2

x 2 x 4x 4 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2x 4x x x 2 x 2 xx x 4

óô.

23 2

2

x x 4x 3 x x 1 x 3x 4x 3xx x 3

x x x x 1 x 1

à éá ðïéåò ô éìÝò ôïõ x ïñßæåôáé ç ðáñÜóôáóç

22x x 1

Ax 1 x x 2

Ëýóç

H ðáñÜóôáóç Á Ý÷åé íüçìá ðñáãìáôéêïý áñéèìïý üôáí

x 1 0 êáé x x 2 0

x 1 0 êáé x 0 êáé x 2 0

x 1 êáé x 0 êáé x 2 .

¢ñá ç ðáñÜóôáóç Á ïñßæåôáé ãéá êÜèå x R 1,0,2 .

Íá áðëïðïéÞóåôå ôéò ðáñáóôÜóåéò

i) 2

2

x 6x 9x 3x

ii) 2

2

ω 8ω 16ω 16

Ëýóç

i)

22

2

x 3x 6x 9 x 3x 3x x x 3 x

ii)

22

2

ω 4ω 8ω 16 ω 4ω 16 ω 4 ω 4 ω 4

3

4

Page 79: c Gymnasiou 2012

1.9 ÑçôÝò áëãåâñéêÝò ðáñáóôÜóåéò 77

1 Íá óõìðëçñþóåôå ôïí ðßíáêá áíôéóôïé÷ßæïíôáò óå êÜèå ðáñÜóôáóç ôçò óôÞëçò Á ôéò ôéìÝò ôçò ìåôáâëçôÞò ôçò áðü ôçóôÞëç Â, ãéá ôéò ïðïßåò ïñßæåôáé.

Íá ÷áñáêôçñßóåôå ôéò ðáñáêÜôù ðñïôÜóåéò ìå (Ó), áí åßíáé óùóôÝò Þ ìå (Ë), áí åßíáé ëáíèáóìÝíåò.

á. 2χ 4

χ 1χ

â. χ χ 2

χ 2χ

ã.

χ 7 χ 1

4 χ 1χ 7

4

ä. χ 2 χ 3

4 χ 3χ 2

4

å. 2 2χ y

x yx y

óô. 2x y

x y

x y

Íá óõìðëçñþóåôå ôá êåíÜ óôéò ðáñáêÜôù éóüôçôåò:

á. 2

2

8x 8x .......... x 4

â.

α β ..........

1α β ..........

ã. χ χ 1

χ..........

ä.

2χ χ 1χ 1

..........

å. 2

.......... 1α β2 α β

óô. 3 χ 2 3

.......... χ 2

2

3

ÅÑÙÔÇÓÅÉÓ ÊÁÔÁÍÏÇÓÇÓ

Page 80: c Gymnasiou 2012

ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 178

Íá âñåßôå ôéò ôéìÝò ôùí ìåôáâëçôþí ãéá ôéò ïðïßåò ïñßæåôáé ç ðáñÜóôáóç

3χ 1χ χ 2

.

Íá áðëïðïéÞóåôå ôéò ðáñáóôÜóåéò: á.

2

α 2

4 αâ.

α β β γ

β α γ β

Íá áðëïðïéÞóåôå ôéò ðáñáóôÜóåéò: á.

2

2

χ χyy χy â.

2

2

4α 16

α 2

Íá áðëïðïéÞóåôå ôéò ðáñáóôÜóåéò: á.

2

2

χ 3χ 2χ 4χ 4

â.

3 2

3

α 2α αα α

Íá áðëïðïéÞóåôå ôéò ðáñáóôÜóåéò: á.

2

χ χ 2 4 χ 2

χ 2χ 8â.

2

2

α α 3 α 9

4α 9

Íá áðëïðïéÞóåôå ôéò ðáñáóôÜóåéò: á) 2 2

2 2

x yx x y y

â)

2 22

3 2

x 9 x 3

x 3x 9x 27

Íá áðëïðïéçèïýí ôá êëÜóìáôá: á)

4 2

2222

x x 2 x 1

9x 2x 1

â)

4 4

3 2 2 3

x yx x y x y y

Íá áðëïðïéÞóåôå ôéò ðáñáóôÜóåéò: á)

2 2 2

2

α αβ 2α 4α 4β

α β 1 1

â)

2 2

2 2

α α 2 3α 1 4 α

α 4 4α 5α 2

1

2

3

4

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

5

6

7

8

Page 81: c Gymnasiou 2012

1.9 ÑçôÝò áëãåâñéêÝò ðáñáóôÜóåéò 79

ÊÑÉÔÇÑÉÏ ÁÎÉÏËÏÃÇÓÇÓ

¢óêçóç 1

Íá áðëïðïéÞóåôå ôá êëÜóìáôá:

á) 3 6 9 ... 300

4 8 12 ... 400

â) 3χ 6χ 9χ ... 300χ4χ 8χ 12χ ... 400χ

¢óêçóç 2

¸íá ïñèïãþíéï Ý÷åé åìâáäüí 2χ 7χ 12 êáé ìÞêïò χ 4 . Ðïéï åßíáé ôï ðëÜôïò ôïõ;

¢óêçóç 3

Íá áðëïðïéçèåß ôï êëÜóìá: 3

2

χ 8

χ 2χ 4

Page 82: c Gymnasiou 2012
Page 83: c Gymnasiou 2012

1.10 ÐñÜîåéò ñçôþí ðáñáóôÜóåùí 81

1.10 ÐñÜîåéò ñçôþí ðáñáóôÜóåùí

Åñþôçóç 1

Ðùò ðïëëáðëáóéÜæïõìå Ýíáí áêÝñáéï áñéèìü ìå ÝíáêëÜóìá;

ÁðÜíôçóç

Ãéá íá ðïëëáðëáóéÜóïõìå Ýíáí áêÝñáéï áñéèìü ìå Ýíá êëÜóìáÞ ãéá íá ðïëëáðëáóéÜóïõìå äýï êëÜóìáôá, ÷ñçóéìïðïéïýìåôïõò åîÞò êáíüíåò:

β αβα

γ γ êáé

α γ αγβ δ βδ

Åñþôçóç 2

Ðùò äéáéñïýìå äýï êëÜóìáôá;

ÁðÜíôçóç

Ãéá íá äéáéñÝóïõìå äýï êëÜóìáôá ÷ñçóéìïðïéïýìå ôïí ðáñáêÜ-ôù êáíüíá

α γ α δ αδ:

β δ β γ βγ

ôïí ßäéï êáíüíá ÷ñçóéìïðïéïýìå êáé óôéò ñçôÝò ðáñáóôÜóåéò.

Åñþôçóç 3

Ðùò ðïëëáðëáóéÜæïõìå - äéáéñïýìå äõï ñçôÝò áëãå-âñéêÝò ðáñáóôÜóåéò;

ÁðÜíôçóç

×ñçóéìïðïéïýìå ôïõò ßäéïõò êáíüíåò üðùò óôïí ðïëëáðëáóéá-

óìü êáé óôç äéáßñåóç êëáóìÜôùí.

Åñþôçóç 4

Ðùò ìåôáôñÝðïõìå Ýíá óýíèåôï êëÜóìá óå áðëü;

ÁðÜíôçóç

Ôï óýíèåôï êëÜóìá

αβγδ

, åêöñÜæåé ôï ðçëßêï α γ

:β δ

ðïõ åßíáé ßóï

ìå α δβ γ êáé åðïìÝíùò éó÷ýåé

ααδβ

γ βγδ

Ôïí ßäéï êáíüíá ÷ñçóéìïðïéïýìå êáé óôéò ñçôÝò ðáñáóôÜóåéò.

Ãéá ðáñÜäåéãìá,

3

23 42

2 2 2

4

3ααχ2α χχ

6α 6α χ 3χ

Page 84: c Gymnasiou 2012

ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 182

1

Íá êÜíåôå ôéò ðñÜîåéò:

á. 3x 4xω5ω 7α

â. 2x 5x3 3

ã. 2 2 2

2 2

x y ω y yy ω xω ωx

ä. 2 2

β α 4αβ4α α β

Ëýóç

á.

2 23x 4xω 3 4 x x ω 12x ω 12x5ω 7α 5 7 ω α 35ωα 35α

â.

22 5 x x2 x 5 x 10x3 3 3 3 9

ã.

2 2 2 2 2 2 2 4 2 2

2 2 2 2 2 3 3

x y ω y y x y y y ω x y ω yy ω xω ωx y ω ω ω x x y ω x χω

ä.

2 2 2 2 3 2 2

4 β α α β β α α β β αβ α 4 α β4 α α β 4 α α β α β α β

Íá êÜíåôå ôéò ðñÜîåéò:

á. 3x 4x:

y yâ.

2 2

2 2

2x y 6xy:

14β α 7αβ

ã. 2

α 8:

α βα β ä.

2 2

1 2:

x y x y

Ëýóç

á.

3 x 4 x 3 x y 3 x y 3:

y y y 4 x 4 x y 4

â.

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2x y 6xy 2x y 7αβ 2 7 x y α β xy:

14β α 7αβ 14β α 6xy 6 14 x y α β 6αβ

ã.

2 2 2

α α βα 8 α α β α:α β 8 8 α βα β α β 8 α β

ä.

2 2

2 2

x y x y1 2 1 x y x y:

x y x y x y 2 2 x y 2

Íá áðëïðïéÞóåôå ôéò ðáñáóôÜóåéò:

á.

1 x1

1x

â.

2

11

x1

1x

ã.

2

2

2α x

x α2x

α x α

ä.

2

2

xy yx yy x

xy x

Ëýóç

á.

x 1 x1 x 1 xx

1 x 1 x 11x x

â.

2

22 2

2

1 x 11 x x 1 x 1 x 1 x 1x x

1 x 1 x x 1 x x 1 x1x x

2

3

ÐÁÑÁÄÅÉÃÌÁÔÁ - ÅÖÁÑÌÏÃÅÓ

Page 85: c Gymnasiou 2012

1.10 ÐñÜîåéò ñçôþí ðáñáóôÜóåùí 83

ã.

2

2 2 3

2

2α x

x α 2α x α x α α2x x αx α 2x

α x α

ä.

2

2 2

2

xy yxy y xy x y x y x y xx y

yxy x x y y x x y y x

xy x

Íá êÜíåôå ôéò ðñÜîåéò:

á. 1 1x y â.

2

8x 12 4x 16 x 4 4 x

Ëýóç

á.

â.

2

8x 12 4 8x 12 4x 16 x 4 4 x x 4 x 4 x 4 x 4

Å.Ê.Ð. x 4 x 4

8x 12 x 4 4 x 4 8x 12x 48 4x 16

x 4 x 4 x 4 x 4

16 x 416x 64 16

x 4 x 4 x 4 x 4 x 4

4

Íá ãßíïõí ïé ðñÜîåéò:

á. 2

2 2 4 4

x ψ(x ψ)x ψ x ψ

â. 3 33 3 x – ψx + ψ

-ψ ψ

x – x +ψ ψ

1+ 1-x - ψ x + ψ

Ëýóç

á.

2 2

2 2 4 4 2 2 2 2 2 2

2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

x ψ(x – ψ) x ψ(x – ψ)x ψ x - ψ x ψ (x ) (ψ )

x ψ(x – ψ) x ψ(x – ψ)x ψ (x ψ )(x ψ ) x ψ (x ψ)(x ψ)(x ψ )

x ψ(x – ψ)1

x ψ (x ψ)(x ψ )

¸÷ïõìå: Å.Ê.Ð.= 2 2(x ψ)(x ψ )

¢ñá ç (1) ãßíåôáé: 2 2

2 2 2 2

2 2

2 2

x(x ψ) ψ(x ψ) x xψ ψx ψ(x ψ )(x ψ) (x ψ )(x ψ)

x ψ 1(x ψ )(x ψ) x ψ

â.

3 3 3 3 3 3 3 3x ψ x – ψ x ψ x – ψψ ψ ψ ψ

x – x x – xψ ψ x – ψ ψ x ψ – ψ

1 1x – ψ x ψ x – ψ x ψ

3 3 3 3 3 3 3 3x ψ x – ψ x ψ x ψψ ψ ψ(x – ψ) ψ(x ψ)

x – x x – xx x x x

x – ψ x ψ

5

Page 86: c Gymnasiou 2012

ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 184

ÅÑÙÔÇÓÅÉÓ ÊÁÔÁÍÏÇÓÇÓ

1 Íá ÷áñáêôçñßóåôå ôéò ðáñáêÜôù éóüôçôåò ìå (Ó), áí åßíáé óùóôÝò Þ ìå (Ë), áí åßíáé ëáíèáóìÝíåò.

á. 2 2x

χy xy â.

10 10xχ

y y

ã. 4 3

3x :x 4 ä.

25 7x7x :

x 2

å. x 2 3 3y x 2 y

óô. 2

α χ 5 αχ 5χ χ χ

æ. 2

2

α α 40

α 4 α

ç. α α: 1

β 4 β 4

Íá óõìðëçñþóåôå ôéò éóüôçôåò:

á. 2.......... 8x

4χy y

â. 2

x 10 10y .......... y ã.

x .......... ω:

3y ω y

ä. x 2 ..........

1x 3 ..........

å. x 5 ..........

: 1x 3 ..........

óô. x x 5 x

:y .......... x 5

Íá ÷áñáêôçñßóåôå ôéò ðáñáêÜôù éóüôçôåò ìå (Ó), áí åßíáé óùóôÝò Þ ìå (Ë), áí åßíáé ëáíèáóìÝíåò.

á. x 1

1x 1 x 1

â. 1 1 2x y x y

ã. α 4 4

1α α

ä. α β α β

0α β β α

å. χ 1 χ

1ω ω

óô.

α α 2 2χ χ χ

2

3

3 3 3 3

2 2 2 2

(x ψ ) (x ψ )x ψx ψ x ψx ψ

x x

3 3 3 3 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

(x ψ )x (x ψ )x (x ψ)(x – ψx ψ )x (x – ψ)(x xψ ψ )xx ψx ψ x ψx ψ x ψx ψ x ψx ψ

(x ψ)x (x – ψ)ψ x ψx – x xψ 2xψ

Page 87: c Gymnasiou 2012

1.10 ÐñÜîåéò ñçôþí ðáñáóôÜóåùí 85

Ìðïñåßôå íá åíôïðßóåôå ôï ëÜèïò óôéò ðáñáêÜôù éóüôçôåò;

á.

α 1 α

1β β

â. 3χ 2 2χ 1 3χ 2 2χ 1 χ 1

1χ 1 χ 1 χ 1 χ 1

Íá óõìðëçñþóåôå ôéò éóüôçôåò:

á. χ

.......... 0χ 4

â. χ

.......... 1χ 5

ã. χ 2χ

..........χ 3 χ 3

ä. 5 1

..........χ 1 χ 1

å. 2χ 1

.......... 2χ

óô.

3χ 7

.......... 3χ

5

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

Íá ãßíïõí ïé ðñÜîåéò:

i. 2

2 2

4x x 2y 3, x y

4x 9y 3y 2x 3y 2x 2

i i.

x y2

y x, x,y 0 και x y

1 1x y

i i i . 2 2

2 2 2

2 χ 3 1 x y 2:

χ γ χ y x y x y y

Ná ãßíïõí ïé ðñÜîåéò:

i. 2 2

2 2

x x x 5x 6x 3x 2 x 3x

i i .

2 2

2 2 2

x 36 x 6x:

α αy α y

1

4

2

Page 88: c Gymnasiou 2012

ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 186

Íá áðëïðïéçèåß ôï êëÜóìá

α 5α - 9β + 2β α - 3β

2β 4α -5β - 3α 3β - α

Íá ãßíïõí ïé ðñÜîåéò:

i) 3 2 2

3 2 2

2α α α 2α 1 α 1α α α α α 1

i i) 2 2

2

x y y x:

y x y x

i i i ) 4 4 2 2

3 3 2 2

x y x y:

α β α αβ β

iv) 3 3

2 2

α β1

1 1β αα β α βα β

Áí α +β + γ = 0 , áðïäåßîôå üôé: 2 2 2 2 2 2α - β - 2βγ β - γ - 2αγ γ - α - 2αβ

Α = + + = 0α + β β + γ α + γ

Áí α +β + γ = 0 , áðïäåßîôå üôé: 4 4 4

3 3 3 3 3 3

α β γΑ = + + = 0

β + γ - 3αβγ γ + α - 3αβγ α + β - 3αβγ

3

4

5

6

Page 89: c Gymnasiou 2012

1.10 ÐñÜîåéò ñçôþí ðáñáóôÜóåùí 87

Åñþôçóç 1

Íá ÷áñáêôçñßóåôå ôéò ðáñáêÜôù éóüôçôåò ìå (Ó), áí åßíáé óùóôÝò Þ ìå (Ë), áí åßíáé ëáíèáóìÝíåò.

á. x 3

3x 3 x 3

â. 1 1 2α β α β

ã. α 3 31

α α

ä. α β α β0

α β β α

å. χ 1 χ1

α α

óô. α α 2 2χ χ χ

¢óêçóç 1

Íá ÷áñáêôçñßóåôå êÜèå ìéá áðü ôéò ðáñáêÜôù éóüôçôåò ìå (Ó) áí åßíáé óùóôÞ Þ ìå (Ë) áí åßíáé ëáíèáóìÝíç.

á) x x 8 x x 85 y 5y

â)

10 x 10x x 6 x 6

ã)

51

1 5xy4 4yx

ä) y x ω 10

x :ω 10 y

å) 2

3xωyω

y 3xx

óô) 2

2

x x y:

y xy

¢óêçóç 2

Áí ìåôáîý ôùí ðëåõñþí á, â, ã ôñéãþíïõ ÁÂÃ éó÷ýåé β γ

α γ α β

, íá áðïäåßîåôå üôé ôï ôñßãùíï åßíáé éóïóêåëÝò.

Íá áðïäåßîåôå üôé: 22 2

2

χ y 2y y1

x xx

ÊÑÉÔÇÑÉÏ ÁÎÉÏËÏÃÇÓÇÓ

Page 90: c Gymnasiou 2012
Page 91: c Gymnasiou 2012

2.1 Ç åîßóùóç á÷ + â = 0 89

Åñþôçóç 1

Ðïéá åîßóùóç ëÝãåôáé ðñþôïõ âáèìïý ì’ Ýíáí Üãíù-óôï; Ðïéïò åßíáé ï Üãíùóôïò;Ðïéïé åßíáé ïé ãíùóôïß êáé ðïéïé ïé Üãíùóôïé üñïé;Ðüóá êáé ðïéá ìÝëç Ý÷åé ìéá ôÝôïéá åîßóùóç;

ÁðÜíôçóç

• Åîßóùóç 1ïõ âáèìïý ì’ Ýíáí Üãíùóôï ëÝãåôáé ìéáåîßóùóç ðïõ Ý÷åé Þ ìðïñåß íá ðÜñåé ôç ìïñöÞ

α x = β Þ αx β = 0

üðïõ á, â åßíáé ãíùóôïß ðñáãìáôéêïß áñéèìïß êáé ï x

åßíáé ìåôáâëçôÞ.

• Ç ìåôáâëçôÞ óå ìéá ôÝôïéá åîßóùóç ëÝãåôáé Üãíùóôïò. Óõì-

âïëßæåôáé óõíÞèùò ìå ôá ãñÜììáôá x, y, ù, ö, t, s, ...

• Ïé üñïé ðïõ äåí ðåñéÝ÷ïõí ôç ìåôáâëçôÞ ëÝãïíôáé ãíù-

óôïß üñïé êáé áõôïß ðïõ ôçí ðåñéÝ÷ïõí ëÝãïíôáé Üãíùóôïé

üñïé.

• Ìéá åîßóùóç 1ïõ âáèìïý Ý÷åé äýï ìÝëç, áõôü ðïõ âñßóêåôáé

áñéóôåñÜ áðü ôï ßóïí ( = ) êáé ëÝãåôáé ðñþôï ìÝëïò êáé

åêåßíï ðïõ âñßóêåôáé äåîéÜ êáé ëÝãåôáé äåýôåñï ìÝëïò.

Ãéá ðáñÜäåéãìá , ç åîßóùóç 5 χ 10 åßíáé ðñþôïõ âáèìïý.

x : Üãíùóôïò 5x : Üãíùóôïò üñïò

10 : ãíùóôüò üñïò 5x : ðñþôï ìÝëïò

10 : äåýôåñï ìÝëïò

Ç åîßóùóç 2x 4 5x 6 åßíáé åðßóçò ðñþôïõ âáèìïý.

x : Üãíùóôïò 2x, 5x : Üãíùóôïé üñïé

4, 6 : ãíùóôïß üñïé 2x 4 : ðñþôï ìÝëïò5x 6 : äåýôåñï ìÝëïò

Åñþôçóç 2

Ôé ïíïìÜæïõìå ëýóç Þ ñßæá åîßóùóçò ðñþôïõ âáèìïý;Ðüôå åßíáé áäýíáôç; Ðüôå åßíáé áüñéóôç;Ôé ëÝìå åðßëõóç ìéáò åîßóùóçò;

ÁðÜíôçóç

ÅÜí óôç èÝóç ôçò ìåôáâëçôÞò âÜëïõìå Ýíáí áñéèìü êáé åðá-

ëçèåýåôáé ç åîßóùóç, (äçë. éó÷ýåé ç éóüôçôá) ôüôå ï áñéèìüò

áõôüò ëÝãåôáé ëýóç Þ ñßæá ôçò åîßóùóçò.

ÅÜí äåí õðÜñ÷åé áñéèìüò ðïõ íá åðáëçèåýåé ôçí åîßóùóç,

ëÝìå üôé åßíáé áäýíáôç.

ÅÜí ç åîßóùóç åðáëçèåýåôáé áðü ïðïéïíäÞðïôå áñéèìü êáé

íá âÜëïõìå óôç èÝóç ôçò ìåôáâëçôÞò, ëÝìå üôé åßíáé áüñé-

óôç Þ ôáõôüôçôá. Ãéá ðáñÜäåéãìá

• Ç åîßóùóç 5 x 10 Ý÷åé ëýóç ôï 2, äéüôé: 5 2 10 .

• Ç åîßóùóç 0 x 4 åßíáé áäýíáôç, äéüôé: 0 x 0 êáé ü÷é

0 x 4 .

• Ç åîßóùóç 0 x 0 åßíáé ôáõôüôçôá, äéüôé: 0 x 0 , üðïéá

ôéìÞ êáé íá âÜëïõìå óôç èÝóç ôïõ x.

Åðßëõóç ìéáò åîßóùóçò åßíáé ç äéáäéêáóßá ìå ôçí ïðïßáâñßóêïõìå ôç ëýóç ôçò, åÜí öõóéêÜ õðÜñ÷åé.

2.1 H åîßóùóç 0αχ β

Page 92: c Gymnasiou 2012

ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 290

ÐñÝðåé íá ãíùñßæïõìå üôé ìéá åîßóùóç

ðñþôïõ âáèìïý ôçò ìïñöÞò: α x = β

• Ý÷åé ìïíáäéêÞ ëýóç ôçí β

x =α

, üôáí α 0

• åßíáé áäýíáôç, üôáí α = 0 êáé β 0

• åßíáé ôáõôüôçôá Þ áüñéóôç, üôáí α = 0

êáé β = 0

Ãéá ôçí åðßëõóç ìéáò åîßóùóçò ðñþôïõ âáèìïý áêïëïõ-èïýìå óõíÞèùò ôá ðáñáêÜôù âÞìáôá:

1ï ÂÇÌÁ: Áðáëåßöïõìå ôïõò ðáñïíïìáóôÝò (áí õðÜñ÷ïõí).ÐïëëáðëáóéÜæïõìå ôá äýï ìÝëç ìå ôï Å.Ê.Ð. ôùí ðáñï-íïìáóôþí, ðñïóÝ÷ïíôáò ìåôÜ ôçí áðáëïéöÞ íá âÜæïõìåôïõò áñéèìçôÝò óå ðáñÝíèåóç.(âë. áóê 3)

2ï ÂÇÌÁ: Áðáëåßöïõìå ôéò ðáñåíèÝóåéò.×ñçóéìïðïéoýìå ôçí åðéìåñéóôéêÞ éäéüôçôá áí Ý÷ïõìå ðïë-

ëáðëáóéáóìü áñéèìïý ìå ðáñÝíèåóç Þ ìå ôï ãíùóôüêáíüíá áðáëïéöÞò ðáñåíèÝóåùí áíÜëïãá ìå ôï áí ç ðá-ñÝíèåóç Ý÷åé ìðñïóôÜ ôçò ôï (+) Þ ôï (-) .

3ï ÂÇÌÁ: ×ùñßæïõìå ôïõò ãíùóôïýò áðü ôïõò Üãíù-óôïõò üñïõò.ÌåôáöÝñïõìå ôïõò Üãíùóôïõò üñïõò óôï ðñþôï ìÝëïò êáéôïõò ãíùóôïýò óôï äåýôåñï ìÝëïò, áëëÜæïíôáò ðñüóçìïóôïõò üñïõò ðïõ ìåôáöÝñïíôáé.

4ï ÂÇÌÁ: ÊÜíïõìå áíáãùãÞ ôùí ïìïßùí üñùí.Óå áõôü ôï âÞìá åðßëõóçò öÝñíïõìå ôçí åîßóùóç óôçíìïñöÞ α x β

5ï ÂÇÌÁ: Äéáéñïýìå êáé ôá äýï ìÝëç ôçò åîßóùóçò ìåôï óõíôåëåóôÞ ôïõ áãíþóôïõ.Áñêåß áõôüò íá ìçí åßíáé ôï ìçäÝí, ãéáôß äéáöïñåôéêÜ åßíáéáüñéóôç Þ áäýíáôç.

ÐÁÑÁÄÅÉÃÌÁÔÁ - ÅÖÁÑÌÏÃÅÓ

1Íá ëõèïýí ïé åîéóþóåéò:

á. 3x 4 5 2x 1 â. 4x 1 4x 3 ã. x 4 x 6 2

Ëýóç

á. 3x 4 5 2x 1 (÷ùñßæïõìå ãíùóôïýò áðü áãíþóôïõò)

3x 2x 5 4 1 (áíáãùãÞ üìïéùí üñùí)

5x 10 (äéáéñïýìå ìå ôï óõíôåëåóôÞ áãíþóôïõ)

5x 105 5

x = 2

â. 4x 1 4x 3 (÷ùñßæïõìå ãíùóôïýò áðü áãíþóôïõò)

4x 4x 1 3 (áíáãùãÞ üìïéùí üñùí)

0 x 4 , åßíáé áäýíáôç

ã. x 4 x 6 2 (÷ùñßæïõìå ãíùóôïýò áðü áãíþóôïõò)

x x 4 6 2 (áíáãùãÞ üìïéùí üñùí)

0 x 0 , åßíáé áüñéóôç

Íá ëõèïýí ïé åîéóþóåéò:

á. 3 x 1 6 3 x 2 3

â. 2 x 3 x 1 4 x 2

Page 93: c Gymnasiou 2012

2.1 Ç åîßóùóç á÷ + â = 0 91

Ëýóç

á. 3 x 1 6 3 x 2 3

(áðáëïéöÞ ðáñåíèÝóåùí ìå åðéìåñéóôéêÞ)

3x 3 6 3x 6 3 (÷ùñßæïõìå ãíùóôïýò áðü áãíþóôïõò)

3x 3x 3 6 6 3 (áíáãùãÞ üìïéùí üñùí)

6x 18 (äéáéñïýìå ìå ôï óõíôåëåóôÞ ôïõ áãíþóôïõ)

6x 186 6

x = 3

â. 2 x 3 x 1 4 x (áðáëïéöÞ ðáñåíèÝóåùí)

2x 6 x 1 4 x (÷ùñßæïõìå ãíùóôïýò áðü áãíþóôïõò)

2x x x 6 1 4 (áíáãùãÞ üìïéùí üñùí)

2x 9 (äéáéñïýìå ìå ôï óõíôåëåóôÞ ôïõ áãíþóôïõ)

2x 92 2

9x =

2

Ïìïßùò íá ëýóåôå ô éò åî éóþóåéò:

á. x 3 1 2x 3x 14 2 6 12

â. x 2 3 x3 2

Ëýóç

á.x 3 1 2x 3x 1

4 2 6 12

(ðïë/æïõìå ìå ôï Å.Ê.Ð ðïõ åßíáé ôï 12)

x 3 1 2x 3x 112 12 12 12

4 2 6 12

(áðëïðïßçóç)

3 x 3 6 2 2x 3x 1 (áðáëïéöÞ ðáñåíèÝóåùí)

3x 9 6 4x 3x 1 (÷ùñßæïõìå ãíùóôïýò áðü áãíþóôïõò)

3x 4x 3x 9 6 1 (áíáãùãÞ üìïéùí üñùí)

2x 16 (äéáéñïýìå ìå ôï óõíôåëåóôÞ ôïõ áãíþóôïõ)

2x 162 2

x = 8â. ¼ôáí Ý÷ïõìå éóüôçôá êëáóìÜôùí ðïëëáðëáóéÜæïõìå “÷éáóôß”.

x 2 3 x3 2

(÷éáóôß)

2 x 2 3 3 x (áðáëïéöÞ ðáñåíèÝóåùí)

2x 4 9 3x (÷ùñßæïõìå ãíùóôïýò áðü áãíþóôïõò)2x 3x 9 4 (áíáãùãÞ üìïéùí üñùí)

5x 13 (äéáéñïýìå ìå ôï óõíôåëåóôÞ ôïõ áãíþóôïõ)

5x 135 5

13x =

5.

Íá âñåèåß ç ôéìÞ ôïõ ðñáãìáôéêïý áñéèìïý ë,

þóôå ç åîßóùóç 2λ -1 x = 5 íá åßíáé áäýíáôç.

Ëýóç

Ìßá åîßóùóç 1ïõ âáèìïý óôç ìïñöÞ α x = β åßíáé áäýíá-ôç, üôáí á = 0 êáé β 0 . Óôçí ðåñßðôùóç ìáò óôçí åîßóùóç

2λ 1 x 5 åßíáé α = 2λ - 1 êáé â = 5. Óõíåðþò ãéá íá åß-íáé áäýíáôç ç åîßóùóç, ðñÝðåé:

34

Page 94: c Gymnasiou 2012

ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 292

2λ 1 0 Þ 2λ 1 Þ 2λ 12 2 Þ

1λ =

2

¢ñá üôáí 1

λ =2

ç åîßóùóç åßíáé áäýíáôç.

Íá âñåèïýí ïé ôéìÝò ôùí ðñáãìáôéêþí áñéèìþí ìêáé ë, þóôå ç åîßóùóç 2ëx + ì = 2 íá åßíáé áüñéóôç.

Ëýóç

Ìßá åîßóùóç 1ïõ âáèìïý óôç ìïñöÞ α x = β åßíáé áüñé-

óôç, üôáí α = 0 êáé β = 0 .

Ç åîßóùóç 2λx μ 2 äåí åßíáé óôçí ðáñáðÜíù ìïñöÞ ãé’áõôü ðñþôá ðñÝðåé íá ôç öÝñïõìå ó’ áõôÞ ôç ìïñöÞ.

Åßíáé 2λx μ 2 Þ 2λx 2 μ , Üñá ðñÝðåé íá éó÷ýïõí óõã-

÷ñüíùò : 2λ 0 και 2 μ 0 äçëáäÞ λ 0 και μ 2

¢ñá ãéá λ = 0 êáé μ = 2 ç åîßóùóç åßíáé áüñéóôç.

5

ÅÑÙÔÇÓÅÉÓ ÊÁÔÁÍÏÇÓÇÓ

1 Íá áíôéóôïé÷ßóåôå óå êÜèå åîßóùóç ôçò óôÞëçò Á ôï óùóôü óõìðÝñáóìá áðü ôç óôÞëç Â.

Íá ÷áñáêôçñßóåôå ôéò ðáñáêÜôù ðñïôÜóåéò ìå (Ó), áí åßíáé óùóôÝò Þ ìå (Ë), áí åßíáé ëáíèáóìÝíåò.

á) Ç åîßóùóç 1

χ 43

Ý÷åé ëýóç ôçí χ 12 .

â) Ç åîßóùóç 2χ 0 åßíáé áäýíáôç.

ã) Ç åîßóùóç 0x 0 Ý÷åé ëýóç ïðïéïíäÞðïôå áñéèìü.

ä) Ç åîßóùóç 0x 7 Ý÷åé ëýóç ôçí x 7 .

å) Ç åîßóùóç 4 x 1 4x 4 åßíáé ôáõôüôçôá.

2

Page 95: c Gymnasiou 2012

2.1 Ç åîßóùóç á÷ + â = 0 93

Íá óçìåéþóåôå ðïéïé áðü ôïõò ðáñáêÜôù éó÷õñéóìïýò åßíáé óùóôïß êáé ðïéïé ëÜèïò:

á. Ç åîßóùóç 3x 3 åßíáé áäýíáôç.

â. Ç åîßóùóç 3x 0 åßíáé áäýíáôç.

ã. Ç åîßóùóç λx 1 äåí åßíáé ðïôÝ áäýíáôç.

ä. Ïé åîéóþóåéò λ 4 x 0 êáé λ 3 x 0 äåí ìðïñïýí íá åßíáé ôáõôü÷ñïíá áüñéóôåò.

å. Ç åîßóùóç 2x x åßíáé áäýíáôç.

óô. Ç åîßóùóç 2x 4 Ý÷åé ëýóç ôï x 2 .

Íá åðéëÝîåôå ôç óùóôÞ áðÜíôçóç óå êÜèå ìßá áðü ôéò ðáñáêÜôù ðñïôÜóåéò.

á. Ç åîßóùóç λx 0 åßíáé áäýíáôç üôáí: Á. λ 1 Â. λ 0 Ã. ðïôÝ Ä. ðÜíôá

â. Ç åîßóùóç λ 1 x λ 1 åßíáé ôáõôüôçôá üôáí: Á. λ 0 Â. λ 2 Ã. ðÜíôá Ä. λ 1

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

1 Íá ëõèåß ç åîßóùóç 4x 1 2x 1 .

Íá ëõèåß ç åîßóùóç 4x 15 5x 3 x 1 4x 1 .

Ïìïßùò íá ëýóåôå ôéò åîéóþóåéò:

á. x 3 2 x

6 44 6

â. 2 2 x x 3

103 4

ã.

2 2x 1x x 3 12 9 3 3

á) Íá âñåèåß ç ôéìÞ ôïõ ðñáãìáôéêïý áñéèìïý ì, þóôå ç åîßóùóç 2μx + 3 = μ+13 íá Ý÷åé ñßæá ôïí áñéèìü 3.

â) Äßíåôáé ç åîßóùóç 2λ 16 χ 4λ 16 . Íá âñåèåß ãéá ðïéá ôéìÞ ôïõ ë ç åîßóùóç åßíáé

i) ôáõôüôçôá ii) áäýíáôç

2

3

3

4

4

Page 96: c Gymnasiou 2012

ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 294

ÓÞìåñá ï èåßïò ôïõ Íßêïõ åßíáé 27 ÷ñüíùí. Áí ï Íßêïò åßíáé 3 ÷ñüíùí íá âñåèåß ìåôÜ áðü ðüóá ÷ñüíéá ç çëéêßá

ôïõ Íßêïõ èá åßíáé ôï 13

ôçò çëéêßáò ôïõ èåßïõ ôïõ.

Íá âñåèïýí äýï äéáäï÷éêïß áêÝñáéïé Ýôóé þóôå ôï ôñéðëÜóéï ôïõ ìéêñüôåñïõ íá åßíáé êáôÜ 10 ìïíÜäåò ìåãáëýôåñïáðü ôï äéðëÜóéï ôïõ ìåãáëýôåñïõ.

ÊÜðïéïò áíÜìåéîå 45 ëßôñá äéáëýìáôïò åíüò ïîÝïò ðåñéåêôéêüôçôáò 40% ìå 55 ëßôñá äéáëýìáôïò ôïõ ßäéïõ ïîÝïòðåñéåêôéêüôçôáò 20%. Íá âñåèåß ç ðåñéåêôéêüôçôá óå ïîý ôïõ ìßãìáôïò.

ÅÜí k åßíáé ç ëýóç ôçò åîßóùóçò x x x 3 33 6 3 2

êáé ë ç ëýóç ôçò åîßóùóçò

x 3 5x 123 4 12

, ôüôå íá âñåßôå ôéò

ôéìÝò ôùí ðáñáóôÜóåùí 2 2A k λ êáé Β 3k λ .

Ôï ðåíôáðëÜóéï åíüò áñéèìïý áõîçìÝíï êáôÜ 3 åßíáé ßóï ìå ôï äéðëÜóéï ôïõ áõîçìÝíï êáôÜ 30. Íá âñåèåß ïáñéèìüò.

Ç ðåñßìåôñïò åíüò ïñèïãùíßïõ åßíáé 24cm, åÜí ôï ìÞêïò ôïõ åßíáé 2cm ìåãáëýôåñï áðü ôï ðëÜôïò ôïõ, ôüôå ðïéåòåßíáé ïé äéáóôÜóåéò ôïõ ïñèïãùíßïõ;

ÊÜðïéïò ñþôçóå ôïí Íßêï ðüóï ÷ñïíþí åßíáé êáé ôïõ áðÜíôçóå: “Óå 7 ÷ñüíéá ç çëéêßá ìïõ èá åßíáé ç äéðëÜóéá ôçòçëéêßáò ðïõ åß÷á ðñéí áðü 15 ÷ñüíéá áõîçìÝíç êáôÜ 4”. Ðïéá åßíáé óÞìåñá ç çëéêßá ôïõ Íßêïõ;

Íá õðïëïãßóåôå ôï x êáé óôç óõíÝ÷åéá ôéò ãùíßåò ôïõ ðáñáêÜôù ôñéãþíïõ:

5

7

8

9

10

11

12

6

Page 97: c Gymnasiou 2012

2.1 Ç åîßóùóç á÷ + â = 0 95

ÊÑÉÔÇÑÉÏ ÁÎÉÏËÏÃÇÓÇÓ

Åñþôçóç 1

Ðïéá åîßóùóç ëÝãåôáé ðñþôïõ âáèìïý ì’ Ýíáí Üãíùóôï êáé ôé ïíïìÜæïõìå ëýóç áõôÞò ;

Ðüôå ç åîßóùóç α x β åßíáé áäýíáôç;

Ðüôå åßíáé áüñéóôç;

Ðüôå Ý÷åé ìïíáäéêÞ ëýóç;

Åñþôçóç 2

Ðïéá ìïñöÞ Ý÷åé ìéá ãñáììéêÞ åîßóùóç ìå äýï áãíþóôïõò x, y;

Ðïéåò åßíáé ïé ëýóåéò ìéáò ãñáììéêÞò åîßóùóçò;

Ôé ðáñéóôÜíïõí óôï åðßðåäï ïé ëýóåéò ìéáò ãñáììéêÞò åîßóùóçò ;

¢óêçóç 1

Íá ëõèåß ç åîßóùóç 2x 1 3x

3 43 4

¢óêçóç 2

Íá âñåèïýí ïé ôéìÝò ôïõ ðñáãìáôéêïý áñéèìïý ë , ãéá ôéò ïðïßåò:

á. H åîßóùóç 5x 2λx 3 åßíáé áäýíáôç.

â. H åîßóùóç 3λx 2x åßíáé áüñéóôç.

¢óêçóç 3

Íá âñåèïýí ïé ôéìÝò ôùí ðñáãìáôéêþí áñéèìþí ì êáé ë, þóôå ç åîßóùóç 2λ 1 x μ 2 íá åßíáé áüñéóôç.

Page 98: c Gymnasiou 2012
Page 99: c Gymnasiou 2012

2.2 Eîéóþóåéò 2ïõ âáèìïý 97

2.2 Eîéóþóåéò 2ïõ âáèìïý

Åñþôçóç 1

Ðïéá åîßóùóç ëÝãåôáé åîßóùóç 2ïõ âáèìïý ì’ Ýíáí Ü-ãíùóôï Þ áëëéþò äåõôåñïâÜèìéá åîßóùóç;Ðïéïé åßíáé ïé üñïé ôçò;Ôé åßíáé ç åðßëõóç ìéáò ôÝôïéáò åîßóùóçò;

ÁðÜíôçóç

Ìéá åîßóùóç ì’ Ýíáí Üãíùóôï, üðïõ ç ìåãáëýôåñç äýíáìç ôïõáãíþóôïõ åßíáé ç 2ç äýíáìç, ëÝãåôáé åîßóùóç 2ïõ âáèìïý ì’Ýíáí Üãíùóôï Þ äåõôåñïâÜèìéá åîßóùóç. ¼ôáí ìåôáöÝñïõ-ìå üëïõò ôïõò üñïõò ôçò óôï ðñþôï ìÝëïò êáé êÜíïõìå ôéò áíá-

ãùãÝò, ç åîßóùóç ðáßñíåé ôç ìïñöÞ 2αx + βx + γ = 0 ìå α 0êáé á, â, ã ðñáãìáôéêïýò áñéèìïýò.Ìéá åîßóùóç 2ïõ âáèìïý Ý÷åé ãåíéêÞ ìïñöÞ :

2αx βx γ 0 , ìå α 0

ã åßíáé ï óôáèåñüò üñïò, â÷ åßíáé ï ðñùôïâÜèìéïò üñïò,2αx åßíáé ï äåõôåñïâÜèìéïò üñïò áõôÞò.

Ç äéáäéêáóßá ìå ôçí ïðïßá âñßóêïõìå ôéò ôéìÝò ôïõ áãíþóôïõðïõ åðáëçèåýïõí ôçí åîßóùóç, ëÝãåôáé åðßëõóç ôçò åîßóùóçò.

Åñþôçóç 2

Ðùò ëýíïõìå ìéá äåõôåñïâÜèìéá åîßóùóç, üôáí Ý÷åé

ôçí åëëåéðÞ ìïñöÞ 2αx + βx = 0 ìå α,β 0 , äçëáäÞ

üôáí γ = 0 êáé β 0 .

ÁðÜíôçóç

2αx βx 0 Þ x αx β 0 (âãÜëáìå êïéíü ðáñÜãïíôá

ôïí Üãíùóôï)

x 0 Þ αx β 0 (ëüãù ôçò éäéüôçôáò α β = 0 áí êáé ìü-

íïí áí α = 0 Þ β = 0 )

Á. Åðßëõóç åîéóþóåùí äåõôÝñïõ âáèìïý ìå áíÜëõóç óå ãéíüìåíï ðáñáãüíôùí

Ìéá âáóéêÞ éäéüôçôá óôçí ïðïßá âáóßæåôáé ç åðßëõóç ìéáò äåõôåñïâÜèìéáò åîßóùóçò åßíáé:

α β = 0 áí êáé ìüíïí áí α = 0 Þ β = 0 . ÄçëáäÞ Ýíá ãéíüìåíï åßíáé ßóï ìå ôï ìçäÝí áí êáé ìüíïí áíêÜðïéïò üñïò ôïõ ãéíïìÝíïõ åßíáé ßóïò ìå ìçäÝí.

x 0 Þ αx β (÷ùñßóáìå ãíùóôïýò áðü áãíþóôïõò)

x 0 Þ βx

α (äéáéñïýìå ìå ôï óõíôåëåóôÞ ôïõ áãíþ-

óôïõ, α 0 )

Èá ëýóïõìå ôçí åîßóùóç: 23x 4x 0 . Ç åîßóùóç23x 4x 0 ãñÜöåôáé: x 3x 4 0 .

¢ñá x 0 Þ 3x 4 0 x 0 Þ 3x 4

x 0 Þ 4

x3

Page 100: c Gymnasiou 2012

ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 298

Ìéá äåõôåñïâÜèìéá åîßóùóç ìå ôçí åë-

ëåéðÞ ìïñöÞ 2αx + βx = 0 ìå α,β 0Ý÷åé äýï ëýóåéò, ìßá åê ôùí ïðïßùí åß-íáé ôï ìçäÝí.

Åñþôçóç 3

Ðùò ëýíïõìå ìéá äåõôåñïâÜèìéá åîßóùóç, üôáí Ý÷åé

ôçí åëëåéðÞ ìïñöÞ 2αx + γ = 0 ìå α,γ 0 , äçëáäÞ üôáí

β = 0 êáé γ 0 ;

ÁðÜíôçóç

2αx γ 0 2αx γ (÷ùñßæïõìå ôï óôáèåñü üñï áðü ôï äåõôåñïâÜèìéï)

2 γx

α (äéáéñïýìå ìå ôï óõíôåëåóôÞ ôïõ äåõôåñïâÜè-

ìéïõ üñïõ, α 0 )

Óå áõôü ôï âÞìá êïéôÜìå ôïí áñéèìü γα

óôï äåýôåñï ìÝëïòôçò åîßóùóçò.

• Áí γ- < 0α

, ç åîßóùóç åßíáé áäýíáôç.

• Áí γ- > 0α

, ç åîßóùóç Ý÷åé äýï ëýóåéò ðïõ åßíáé:

x = -α

, 2γ

x = - -α

ð.÷.

1. Èá ëýóïõìå ôçí åîßóùóç 22x + 5 = 0 :22x 5 0 22x 5

2 5x

2 , ðïõ åßíáé áäýíáôç áöïý

50

2 .

2. Èá ëýóïõìå ôçí åîßóùóç 24x -1= 0 :

24x 1 0 24x 1

2 1x

4 , åðåéäÞ 1

04 Ý÷ïõìå äýï ëýóåéò ðïõ åßíáé:

11

x4

, 21

x4

Þ 1 2

1 1χ , x

2 2

Ìéá äåõôåñïâÜèìéá åîßóùóç ìå ôçí åëëåéðÞ

ìïñöÞ 2αx + γ = 0 ìå α,γ 0

- åßíáé áäýíáôç, üôáí á, ã åßíáé ïìüóçìïé (ðá-ñÜäåéãìá 1)- Ý÷åé äýï ëýóåéò, üôáí á, ã åßíáé åôåñü-óçìïé (ðáñÜäåéãìá 2).

Åñþôçóç 4

Ðùò ëýíïõìå ìéá äåõôåñïâÜèìéá åîßóùóç, üôáí Ý÷åé

ôçí ðëÞñç ìïñöÞ 2αx + βx + γ = 0 ìå α,β, γ 0 ;

ÁðÜíôçóç

Ç åðßëõóç ôçò äåõôåñïâÜèìéáò 2αx βx γ 0 ìå α,β,γ 0 ,âáóßæåôáé óôçí ìÝèïäï óõìðëÞñùóçò ôåôñáãþíïõ, ðïõ ðá-ñïõóéÜæåôáé áíáëõôéêÜ ðéï êÜôù:• ÐïëëáðëáóéÜæïõìå üëïõò ôïõò üñïõò ôçò åîßóùóçò ìå 4á,

üðïõ á ï óõíôåëåóôÞò ôïõ 2χ .• ÌåôáöÝñïõìå óôï â’ ìÝëïò ôï óôáèåñü üñï êáé óôï á’ ìÝëïò

äçìéïõñãïýìå ðáñÜóôáóç ôçò ìïñöÞò 2α 2αβ Þ 2α 2αβ .• Ãéá óõìðëçñùèåß ôï áíÜðôõãìá ôåôñáãþíïõ ðñïóèÝôïõìå

êáé óôá äýï ìÝëç ôï 2β .• ×ñçóéìïðïéïýìå ìßá áðü ôéò ôáõôüôçôåò

22 2α 2αβ β α β

22 2α 2αβ β α β

Page 101: c Gymnasiou 2012

2.2 Eîéóþóåéò 2ïõ âáèìïý 99

Â. Åðßëõóç åîéóþóåùí äåõôÝñïõ âáèìïý ìå ôç âïÞèåéá ôýðïõ

Åñþôçóç 1

Ðþò ëýíïõìå ôçí åîßóùóç:2αχ βχ γ 0, α ,0 ìå ôç âïÞèåéá ôýðïõ;

ÁðÜíôçóç

• ÐïëëáðëáóéÜæïõìå üëïõò ôïõò üñïõò ìå 4á.• ÌåôáöÝñïõìå ôï óôáèåñü üñï óôï â’ ìÝëïò.• Óôï á’ ìÝëïò Ý÷ïõìå äýï üñïõò ôïõ áíáðôýãìáôïò

22αχ β . Ãéá íá óõìðëçñþóïõìå ôï ôåôñÜãùíï ôïõ

2αχ β ðñïóèÝôïõìå êáé óôá äýï ìÝëç ôï 2β .2αχ βχ γ 0

24α αχ 4α βχ 4α γ 0 2 24α χ 4αβχ 4αγ

22αχ 2 2αχ β 4αγ

2 2 22αχ 2 2αχ β β β 4αγ

2 22αχ β β 4αγ

Áí óõìâïëßóïõìå ôçí ðáñÜóôáóç 2β 4αγ ìå ôï ãñÜììá Ä,

ôüôå ç åîßóùóç ãñÜöåôáé 22αχ β Δ êáé äéáêñßíïõìå ôéò

åîÞò ðåñéðôþóåéò:

• Áí Δ 0 , ôüôå Ý÷ïõìå: 2αχ β Δ

2αχ β Δ

β Δχ

¢ñá ç åîßóùóç Ý÷åé äýï Üíéóåò ëýóåéò, ôéò

β Δχ

êáé β Δ

χ2α

.

• Áí Δ 0 , ôüôå Ý÷ïõìå: 22αχ β 0

2αχ β 0 2αχ β

βχ

¢ñá ç åîßóùóç Ý÷åé ìßá äéðëÞ ëýóç, ôçí β

χ2α

.

• Áí Δ 0 , ôüôå ç åîßóùóç äåí Ý÷åé ëýóç (áäýíáôç).

Ç ðáñÜóôáóç 2β 4αγ , üðùò åßäáìå, ðáßæåé óçìáíôéêü ñüëï

óôçí åðßëõóç ôçò åîßóùóçò 2αχ βχ γ 0 ìå α 0 , ãéá-ôß ìáò åðéôñÝðåé íá äéáêñßíïõìå ôï ðëÞèïò ôùí ëýóåþí ôçò.

Èá ëýóïõìå ôçí åîßóùóç 22x 6x 4 0 :

22x 6x 4 0 Åäþ åßíáé α 2

β 6

γ 4

216x 48x 32 0 [ðïë/æïõìå ìå 4 2 8 ]

216χ 48χ 32 [ìåôáöÝñáìå ôï 32 óôï 2ï ìÝëïò]

2 2 24χ 2 4χ 6 6 6 32 [ðñïóèÝôïõìå êáé óôá äýï

ìÝëç ôï 26 ]

2 224χ 2 4χ 6 6 36 32 ή 4χ 6 4

4χ 6 4 Þ 4χ 6 4

4χ 6 2 Þ 4χ 6 2 4χ 8 Þ 4χ 4x 2 Þ x 1

Page 102: c Gymnasiou 2012

ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 2100

Ãé’ áõôü ëÝãåôáé äéáêñßíïõóá êáé óõìâïëßæåôáé ìå ôï ãñÜì-

ìá Ä, äçëáäÞ 2Δ β 4α γ

Óõìðåñáßíïõìå ëïéðüí üôé:1. Ç åîßóùóç 2αχ βχ γ 0 åßíáé åîßóùóç 2ïõ âáèìïý

üôáí α 0 .

2. Ôï ðëÞèïò ëýóåùí ìéáò äåõôåñïâÜèìéáò åîßóùóçò 2αχ βχ γ 0

ìå α 0 , åîáñôÜôáé áðü ôç äéáêñßíïõóá 2Δ β 4αγ .Åéäéêüôåñá:

– Áí Δ 0 , Ý÷ïõìå äýï ñßæåò Üíéóåò ðïõ äßíïíôáé áðü ôïõòôýðïõò:

1 2β Δ β Δ

χ , χ2α 2α

– Áí Δ 0 , Ý÷ïõìå äýï ñßæåò ßóåò Þ üðùò áëëéþò ëÝìåìßá äéðëÞ ñßæá ðïõ äßíåôáé áðü ôïí ôýðï:

βχ

– Áí Δ 0 , ôüôå äåí Ý÷ïõìå ñßæåò óôï óýíïëï ôùí ðñáãìá-ôéêþí áñéèìþí, äçëáäÞ ç åîßóùóç åßíáé áäýíáôç.

3. Áí êÜðïéïò áðü ôïõò â,ã åßíáé 0, ôüôå ìðïñïýìå ðéï åý-êïëá íá ôç ëýóïõìå ÷ùñßò íá ÷ñçóéìïðïéÞóïõìå ôïõòôýðïõò ëýóåùí ðïõ áíáöÝñáìå.

Ã. Ðáñáãïíôïðïßçóç ôñéùíýìïõ

Åñþôçóç 1

Ðùò ðáñáãïíôïðïéåßôáé Ýíá ôñéþíõìï 2αx βx γ 0 ,

α 0 ;

ÁðÜíôçóç

1) Áí Ä > 0 ôüôå Ý÷åé äýï ðñáãìáôéêÝò ñßæåò 1 2p p êáé

ðáñáãïíôïðïéåßôáé óýìöùíá ìå ôïí ôýðï:

21 2αx βx γ α x p x p

2) Áí Ä = 0 ôüôå Ý÷åé ìßá äéðëÞ ðñáãìáôéêÞ ñßæá p êáéðáñáãïíôïðïéåßôáé óýìöùíá ìå ôïí ôýðï:

22αx βx γ α x p

3) Áí Ä < 0 ôüôå äåí Ý÷åé ðñáãìáôéêÝò ñßæåò êáé óõíåðþò ôïôñéþíõìï äåí ðáñáãïíôïðïéåßôáé.

Page 103: c Gymnasiou 2012

2.2 Eîéóþóåéò 2ïõ âáèìïý 101

ÐÁÑÁÄÅÉÃÌÁÔÁ - ÅÖÁÑÌÏÃÅÓ

1Íá ëõèïýí ïé ðéï êÜôù åîéóþóåéò:

á. 2x 9 â. 2x 2 0 ã. 34x x 0

ä. 4x 25 0 å. 2x 4x 0

Ëýóç

á. Åßíáé 2x 9

x 9 Þ x 9

x 3 Þ x 3

â. Åßíáé 2x 2 0 2x 2 , áäýíáôç

ã. Åßíáé 34x x 0

2x 4x 1 0

x 0 Þ 24x 1 0 x 0 Þ 24x 1

x 0 Þ 2 1x

4

÷ = 0 Þ 1

x4

Þ 1

x4

x 0 Þ 1

x2

Þ 1

x2

Ôçí åîßóùóç 4x2 – 1 ìðïñïýìå íá ëýóïõìå ðáñáãïíôï-ðïéþíôáò ôï ðñþôï ìÝëïò.

Åßíáé 24x 1 0 [äéáöïñÜ ôåôñáãþíùí]

2x 1 2x 1 0

2x 1 0 Þ 2x 1 0 2x 1 Þ 2x 1

1x

2 Þ

1x

2

ä. Åßíáé 4x 25 0

22 2x 5 0

2 2x 5 x 5 0 [äéáöïñÜ ôåôñáãþíùí]

2x 5 0 Þ 2x 5 0 2x 5 Þ 2x 5 [ 2x 5 , áäýíáôç]

x 5 Þ x 5

å. Åßíáé 2x 4x 0

x x 4 0 [êïéíüò ðáñÜãïíôáò]

x 0 Þ x 4 0 x 0 Þ x 4

Page 104: c Gymnasiou 2012

ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 2102

Íá ëõèïýí ïé ðáñáêÜôù åîéóþóåéò:

á. 2x 4x 3 0 â. 22x 10x 12 0

Ëýóç

á. Ç 2x 4x 3 0 , åßíáé åîßóùóç 2ïõ âáèìïý ìå α = 1 ,â = -4, ã = 3 êáé âñßóêïõìå ðñþôá ôç äéáêñßíïõóá

22Δ β 4αγ 4 4 1 3 16 12 4 .

ÅðåéäÞ Ä = 4 > 0 Ý÷ïõìå äýï ñßæåò Üíéóåò:

β Δ 4 4 4 2x

2α 2 1 2

1

2

4 2 6x 3

2 24 2 2

x 12 2

ïðüôå ïé ëýóåéò ôçò åîßóùóçò åßíáé ïé ÷ = 3 Þ ÷ = 1.

â. Åßíáé 22x 10x 12 0

22 x 5x 6 0 [âãáßíåé êïéíüò ðáñÜãïíôáò ï óõ-

íôåëåóôÞò ôïõ äåõôåñïâÜèìéïõ üñïõ]2x 5x 6 0 , åîßóùóç 2ïõ âáèìïý ìå α 1 , β -5 ,

γ 6 êáé âñßóêïõìå ôç äéáêñßíïõóá

22Δ β 4αγ 5 4 1 6 25 24 1 .

ÅðåéäÞ Ä = 1 > 0 Ý÷ïõìå äýï ñßæåò Üíéóåò:

β Δ 5 1 5 1x

2α 2 1 2

1

2

5 1x 3

25 1

x 22

ïðüôå ïé ëýóåéò ôçò åîßóùóçò åßíáé ïé ÷ = 3 êáé ÷ = 2.

Íá ëõèïýí ïé ðáñáêÜôù åîéóþóåéò:

á. 2 22x 5x x 9 x

â. 2x 1 4 x 1 3 0

ã. 22x 1 2x 2 x

12 3 6

Ëýóç

á. 2 22x 5x x 9 x 2 22x 5x x 9 x 0

2x 6x 9 0 , åîßóùóç 2ïõ âáèìïý ìå α = 1 , β = -6 ,

γ = 9 êáé âñßóêïõìå ôç äéáêñßíïõóá:

22Δ β 4αγ 6 4 1 9 36 36 0

ÅðåéäÞ Δ = 0 ç åîßóùóç Ý÷åé ìéá äéðëÞ ñßæá:

β 6 6x 3

2α 2 1 2

. ¢ñá x = 3 åßíáé ç ëýóç ôçò åîß-

óùóçò.

â. Åßíáé 2x 1 4 x 1 3 0

ÅÜí èÝóïõìå x -1= ω ç åîßóùóç ãßíåôáé:2ω 4ω 3 0 êáé åßíáé åîßóùóç 2ïõ âáèìïý ìå α = 1,

β = -4 , γ = 3 .Âñßóêïõìå ôç äéáêñßíïõóá:

22Δ β 4αγ 4 4 1 3 16 12 4 .

ÅðåéäÞ Δ = 4 > 0 ç åîßóùóç Ý÷åé äýï ñßæåò Üíéóåò:

β Δ 4 4 4 2ω

2α 2 1 2

1

2

4 2 6ω 3

2 24 2 2

ω 12 2

2

3

Page 105: c Gymnasiou 2012

2.2 Eîéóþóåéò 2ïõ âáèìïý 103

ÅðïìÝíùò ω 3 Þ ω 1

x 1 3 x 1 1 x 1 3 x 1 1 x 4 x 2

ïé ëýóåéò ôçò åîßóùóçò åßíáé ïé x = 4 êáé x = 2.

ã. Åßíáé 22x 1 2x 2 x

12 3 6

22x 1 2x 2 x6 6 6 1 6

2 3 6

[ðïë/ìå ìå ôï E.K.Π 2,3,6 6 ]

23 2x 1 2 2x 6 2 x

26x 3 4x 6 2 x 26x 3 4x 6 2 x 0 26x 5x 1 0 , α = 6 , β = -5 , γ = -1

Åßíáé

22Δ β 4αγ 5 4 6 1

25 24 49

ïðüôå β Δ 5 49 5 7

x2α 2 6 12

1

2

5 7 12x 1

12 125 7 2 1

x12 12 6

¢ñá ïé ëýóåéò ôçò åîßóùóçò åßíáé ïé x 1 êáé 1

x -6

.

Íá âñ åèå ß ç ô éìÞ ô ïõ á, áí ç åî ßóù óç

2x - α +1 x - 15α = 0 Ý÷åé ñßæá ôï -3. Óôç óõíÝ-

÷åéá íá âñåèåß êáé ç Üëëç ñßæá ôçò åîßóùóçò.

Ëýóç

• Åöüóïí ç åîßóùóç 2x - α +1 x - 15α = 0 Ý÷åé ñßæá ôï -3,

èá ðñÝðåé ôï -3 óôç èÝóç ôïõ x íá åðáëçèåýåé ôçíåîßóùóç.

ÅðïìÝíùò: 23 α 1 3 15α 0

9 3α 3 15α 0

3α 15α 9 3

12α 12

12α 1

12

Ïðüôå Üí ç åîßóùóç Ý÷åé ñßæá ôï -3 åßíáé á = 1.

• Ãéá α 1 ç åîßóùóç 2x α 1 x 15α 0 ãßíåôáé:

2x 2x 15 0 êáé åßíáé 2ïõ âáèìïý ìå α = 1 , β = -2 ,

γ = -15 .

22Δ β 4αγ 2 4 1 15 4 60 64 ïðüôå

Ý÷åé ëýóåéò

β Δ 2 64 2 8x

2α 2 1 2

1

2

2 8 10x 5

2 22 8 6

x 32 2

¢ñá ç Üëëç ñßæá ôçò åßíáé ôï 5.

4

Page 106: c Gymnasiou 2012

ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 2104

1 Ná ÷áñáêôçñßóåôå ôéò ðáñáêÜôù ðñïôÜóåéò ìå (Ó), áí åßíáé óùóôÝò Þ ìå (Ë), áí åßíáé ëáíèáóìÝíåò.

á) Ï áñéèìüò 0 åßíáé ëýóç ôçò åîßóùóçò 22χ 4x 5 0 .

â) Ï áñéèìüò 7 åßíáé ëýóç ôçò åîßóùóçò 2χ 4χ 7 0 .

ã) Ïé ëýóåéò ôéò åîßóùóçò χ 4 χ 8 0 åßíáé χ 4 êáé χ 8 .

ä) Ç åîßóùóç 2χ 25 Ý÷åé ìïíáäéêÞ ëýóç ôïí áñéèìü χ 5 .

å) Ç åîßóùóç 2χ 16 äåí Ý÷åé ëýóç.

óô) Ç åîßóùóç 2χ 4 0 Ý÷åé äéðëÞ ëýóç ôïí áñéèìü χ 4 .

Íá ÷áñáêôçñßóåôå ôéò ðáñáêÜôù ðñïôÜóåéò ìå (Ó), áí åßíáé óùóôÝò Þ ìå (Ë), áí åßíáé ëáíèáóìÝíåò

á) Ç åîßóùóç 23χ 7 χ åßíáé 2ïõ âáèìïý.

â) Ç åîßóùóç 2χ 4χ 9 χ χ 3 åßíáé 2ïõ âáèìïý.

ã) Ç åîßóùóç 2λ 4 χ 7χ 2 0 åßíáé:

i) 1oõ âáèìïý, üôáí λ 4 .

ii) 2ïõ âáèìïý, üôáí λ 4 .

¸íáò ìáèçôÞò ëýíïíôáò ôçí åîßóùóç 2χ 1 2 χ 1 áðëïðïßçóå ìå ôï ÷-1 êáé âñÞêå üôé Ý÷åé ìïíáäéêÞ ëýóç ôç

χ 3 . Ðáñáôçñþíôáò üìùò ôçí åîßóùóç äéáðßóôùóå üôé åðáëçèåýåôáé êáé ãéá χ 1 . Ðïý Ýãéíå ôï ëÜèïò êáé ÷Üèçêå

ç ëýóç χ 1 ;

2

3

ÅÑÙÔÇÓÅÉÓ ÊÁÔÁÍÏÇÓÇÓ

Page 107: c Gymnasiou 2012

2.2 Eîéóþóåéò 2ïõ âáèìïý 105

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

1 Íá ëõèïýí ïé ðéï êÜôù åîéóþóåéò:

á. 2x 2 â. 2 22x 1 4x 3 0 ã. 24x 12x ä. 22x 5x x 3

Íá ëõèïýí ïé ðáñáêÜôù åîéóþóåéò:

á. 2x x 1 0 â. 22x 4x 2 0

Íá ëõèïýí ïé ðáñáêÜôù åîéóþóåéò:

á. 2 2x 2 x 2 â. 22 2x 1 4x 0 ã. 2 2x 7x 12 x x 1 x 1 0

Íá âñåèïýí ïé ôéìÝò ôïõ ðñáãìáôéêïý áñéèìïý ë þóôå ç åîßóùóç 2x - 2x + 3λ = 0á. íá Ý÷åé äýï ñßæåò Üíéóåò â. íá Ý÷åé äéðëÞ ñßæá ã. íá åßíáé áäýíáôç

Íá âñåèïýí äýï áñéèìïß ìå äéáöïñÜ 13 êáé ãéíüìåíï 264.

Íá ëõèïýí ïé ðáñáêÜôù åîéóþóåéò:

á. x x 1 x 3 0 â. 22x 1 x 4 0

Ïìïßùò íá ëõèïýí ïé åîéóþóåéò:

á. 2x 3 5 x 3 â. x 7 x 12 0 ã. x x 2 x 1 1

2 3 3

Íá ëõèïýí ïé ðáñáêÜôù åîéóþóåéò ìå ôç ìÝèïäï óõìðëÞñùóçò ôåôñáãþíïõ:

á. 2x 13x 36 0 â. 2x 2x 5 0 ã. 2x 4x 4 0

Íá ëýóåôå ôéò ðáñáêÜôù åîéóþóåéò:

á. 2x 2 1 x 2 0 â. 2y 3 2 2 y 4 3 2 0

2

3

4

5

6

7

8

9

Page 108: c Gymnasiou 2012

ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 2106

10

Åñþôçóç 1

á. Ðüôå Ýíá ãéíüìåíï åßíáé ßóï ìå ôï ìçäÝí; â. Ç åîßóùóç 2kx 3x 2 0 åßíáé 2ïõ âáèìïý;

Åñþôçóç 2

á. Ìðïñåß ìéá åîßóùóç 2ïõ âáèìïý íá Ý÷åé ðåñéóóüôåñåò áðü 2 ëýóåéò;

â. Ðüóåò ñßæåò Ý÷åé ç åîßóùóç 2αx βx γ 0 , α 0 , üôáí 2β 4αγ ;

¢óêçóç 1

ÓõìðëÞñùóå ôá êåíÜ ôçò ðáñáêÜôù ðñüôáóçò :

Ãéá íá ëýóïõìå ìéá åîßóùóç 2ïõ âáèìïý 2αx βx γ 0 ìå α 0 ðñþôá õðïëïãßæïõìå ôç ...............................

ðïõ åßíáé ...............................

• Áí áõôÞ åßíáé ......................, Ý÷åé äýï ñßæåò ...................... ðïõ åßíáé 1x ............... êáé 2x ...............

• Áí áõôÞ åßíáé ......................, Ý÷åé ìßá ñßæá ...................... ðïõ åßíáé x ...............• Áí áõôÞ åéíáé ......................, ôüôå ç åîßóùóç åßíáé ......................

¢óêçóç 2

á. Ç åîßóùóç 23x x 5 åßíáé 2ïõ âáèìïý ìå α 3 , β 1 êáé γ 5 ;â. Íá ëýóåôå ôçí ðáñáðÜíù åîßóùóç.

¢óêçóç 3

Åßíáé ïé áñéèìïß 2 êáé 3 ñßæåò ôçò åîßóùóçò 2x 5x 6 ;

ÊÑÉÔÇÑÉÏ ÁÎÉÏËÏÃÇÓÇÓ

11

12

Íá âñåèïýí ïé ôéìÝò ôïõ ðñáãìáôéêïý áñéèìïý ë ãéá ôéò ïðïßåò ç åîßóùóç 22x 6x 8 2λ 0 åßíáé áäýíáôç.

ÅÜí ç åîßóùóç 2x λ 5 x λ 6 0 Ý÷åé ñßæá ôïí áñéèìü 5, íá âñåèåß ç ôéìÞ ôïõ ðñáãìáôéêïý áñéèìïý ë.

Ãéá ðïéåò ôéìÝò ôïõ ðñáãìáôéêïý áñéèìïý ë ç åîßóùóç 2x 4x λ 1 0 Ý÷åé äýï ñßæåò Üíéóåò;

Page 109: c Gymnasiou 2012

2.3 ÐñïâëÞìáôá åîéóþóåùí äåõôÝñïõ âáèìïý 107

Íá âñåßôå äýï áñéèìïýò ìå Üèñïéóìá 7 êáéãéíüìåíï 12.

Ëýóç

Áí x åßíáé ï Ýíáò áñéèìüò, ôüôå ï Üëëïò èá åßíáé ï 7 - x ,

áöïý Ý÷ïõí Üèñïéóìá 7. ÅðåéäÞ åðéðëÝïí ï x êáé ï 7 xÝ÷ïõí ãéíüìåíï 12, åßíáé: x 7 x 12 Þ 27x x 12 Þ

2x 7x 12 0 Þ 2x 7x 12 0 ,

ïðüôå 2x 7x 12 0 , ìå α 1 , β 7 , γ 12 .

Åßíáé 22Δ β 4αγ 7 4 1 12 49 48 1 0

β Δ 7 1 7 1x

2α 2 1 2

1

2

7 1 8x 4

2 27 1 6

x 32 2

ÅðïìÝíùò x = 4 Þ x = 3• Ãéá x = 4, 7 - x = 7 - 4 = 3• Ãéá x = 3, 7 - x = 7 - 3 = 4Ïðüôå ïé äýï áñéèìïß åßíáé ïé 4 êáé 3.

Óå Ýíá éóïóêåëÝò êáé ïñèïãþíéï ôñßãùíï, çõðïôåßíïõóá åßíáé ìåãáëýôåñç áðü ôçí êÜèå-ôç ðëåõñÜ êáôÜ 2. Íá âñåèïýí ç õðïôåßíïõ-óá êáé ïé êÜèåôåò ðëåõñÝò.

ËýóçÅÜí x ìå x > 0 åßíáé êÜèå ìßá áðü ôéò êÜèåôåò ðëåõñÝò (åßíáé

ßóåò) êáé x 2 ç õðïôåßíïõóá, áöïý åßíáé êáôÜ 2 ìåãáëýôå-

2.3 ÐñïâëÞìáôá åîéóþóåùí äåõôÝñïõ âáèìïý

ÐÁÑÁÄÅÉÃÌÁÔÁ - ÅÖÁÑÌÏÃÅÓ

Íá âñåßôå äýï äéáäï÷éêïýò áêåñáßïõò ìå Ü-èñïéóìá ôåôñáãþíùí 61.

Ëýóç

¸óôù ÷ êáé χ 1 ïé áêÝñáéïé, ôüôå: 22χ χ 1 61 Þ

22χ 2χ 60 0 Þ 2χ χ 30 0 Þ

1

2

x 61 11χ

x 52

¢ñá ïé æçôïýìåíïé áñéèìïß åßíáé ïé: 6 êáé 5 Þ -5 êáé -6.

Íá âñåèïýí äýï äéáäï÷éêïß ðåñéôôïß ìå Üèñïé-óìá ôåôñáãþíùí 74.

Ëýóç

¸óôù 2x - 1 êáé 2x + 1 ïé ðåñéôôïß, ôüôå: 2 22χ 1 2χ 1 74

Þ 28χ 2 74 Þ 28χ 72 Þ 2χ 9 Þ χ 3 Þ χ 3 .Ôüôå ïé áñéèìïß åßíáé ïé: 5 êáé 7 Þ -5 êáé -7.

Âñåßôå ôñåéò äéáäï÷éêïýò áêåñáßïõò, ãéá ôïõòïðïßïõò ãíùñßæåôå üôé ôï Üèñïéóìá ôïõò êáéôï ãéíüìåíü ôïõò åßíáé ßóá.

Ëýóç

¸óôù x - 1, ÷ êáé x + 1 ïé äéáäï÷éêïß áêÝñáéïé.

Ôüôå: x 1 x x 1 x x 1 x 1 Þ

23x x x 1 Þ 2x 1 3 x 0 Þ x x 2 x 2 0

x 0 Þ x 2 Þ x 2 , Üñá ïé áñéèìïß åßíáé ïé: -1, 0, 1Þ 1, 2, 3 Þ -3, -2, -1.

1

2

3

4

5

Page 110: c Gymnasiou 2012

ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 2108

ñç, åöáñìüæïíôáò ôï ðõèáãüñåéï èåþñçìá Ý÷ïõìå:

2 2 2x 2 x x

2 2 2x 4x 4 x x 2 2 2x 4x 4 x x 0

2x 4x 4 0

2x 4x 4 0 Þ 2x 4x 4 0 ,ìåα 1 ,β 4 , γ 4 .

Åßíáé 22Δ β 4αγ 4 4 1 4 16 16 32

ïðüôå

β Δ 4 32 4 16 2 4 4 2

x2α 2 1 2 2

1

2

4 1 24 4 2x

2 2

2 1 2 2 2 2

4 1 24 4 2x

2 2(απορρίπτεται

2 1 2 0διότι )χ > 0

ÅðïìÝíùò x = 2 + 2 2 , åßíáé ç êáèåìßá áðü ôéò êÜèåôåò

ðëåõñÝò êáé x + 2 = 2+ 2 2 + 2 = = 4 + 2 2 åßíáé ç õ-ðïôåßíïõóá.

Óå Ýíá ïñèïãþíéï ôñßãùíï ìå õðïôåßíïõóá10 cm, ç ìßá êÜèåôç ðëåõñÜ åßíáé ìåãáëýôå-ñç áðü ôçí Üëëç êáôÜ 2 cm. Íá âñåèïýí ïéêÜèåôåò ðëåõñÝò ôïõ ôñéãþíïõ.

Ëýóç

Óýìöùíá ìå ôï ðõèáãüñåéï èåþñçìá éó÷ýåé:

22 2x x 2 10 Þ 22x 4x 4 100 Þ 2x 2x 48 0

Ç äéáêñßíïõóá åßíáé 2Δ 2 4 48 196

1

2

2 14χ 6

2 196 2 14 2χ2 142 2

χ 82

(áðïññßðôåôáé)

¢ñá ç êÜèåôåò ðëåõñÝò ôïõ ôñéãþíïõ Ý÷ïõí ìÞêïò: 6cm êáé 8cm.

Ôï ïñèïãþíéï ôñßãùíï êáé ôï ôåôñÜãùíï ôïõðáñáêÜôù ó÷Þìáôïò, Ý÷ïõí ôï ßäéï åìâáäü.Íá õðïëïãßóåôå ôï x.

Ëýóç

6

7

Page 111: c Gymnasiou 2012

2.3 ÐñïâëÞìáôá åîéóþóåùí äåõôÝñïõ âáèìïý 109

Íá âñåßôå äýï áñéèìïýò, åÜí ãíùñßæåôå üôé Ý÷ïõí äéáöïñÜ 1 åíþ ïé áíôßóôñïöïß ôïõò Ý÷ïõí Üèñïéóìá 7

12.

¸óôù ç åîßóùóç 2 2x 2αx α 0 . EÜí ãíùñßæåôå ðùò ç ñßæá ôçò ðáñáðÜíù åîßóùóçò êáé ï áíôßóôñïöüò ôçò

Ý÷ïõí Üèñïéóìá 52

, íá âñåßôå ôçí ôéìÞ ôïõ á.

Ç ÷ùñçôéêüôçôá åíüò äï÷åßïõ ëáäéïý åßíáé 10 ëßôñá. Áí ôï äï÷åßï Ý÷åé ó÷Þìá ïñèïãùíßïõ ðáñáëëçëåðéðÝäïõ ìåýøïò 2,5dm êáé âÜóç ôåôñÜãùíï, íá âñåßôå ôï ìÞêïò ôçò ðëåõñÜò ôçò âÜóçò ôïõ. (1 ëßôñï = 1dm3).

¸íá ïéêüðåäï Ý÷åé ó÷Þìá ïñèïãùíßïõ ìå åìâáäüí 2150m . Áí ôï ìÞêïò ôïõ åßíáé 5m ìåãáëýôåñï áðü ôï ðëÜôïòôïõ, íá âñåßôå ðüóá ìÝôñá óõñìáôüðëåãìá ÷ñåéÜæïíôáé ãéá ôçí ðåñßöñáîÞ ôïõ.

¸íá ôñßãùíï Ý÷åé ðëåõñÝò 4cm, 6cm êáé 8cm. Áí êÜèå ðëåõñÜ ôïõ Þôáí ìåãáëýôåñç êáôÜ ÷ cm, ôüôå ôï ôñßãùíïèá Þôáí ïñèïãþíéï. Íá âñåßôå ôïí áñéèìü ÷.

Ìéá äåîáìåíÞ áäåéÜæåé ìå ôç âïÞèåéá äýï âñõóþí. Íá âñåèåß óå ðüóï ÷ñüíï áäåéÜæåé ç êÜèå ìßá âñýóç ôçäåîáìåíÞ, áí åßíáé ãíùóôü ðùò áí åßíáé áíïéêôÝò êáé ïé äýï ôüôå ôçí áäåéÜæïõí óå 18 þñåò, åíþ ìüíç ôçò ç ìéáâñýóç ÷ñåéÜæåôáé 27 þñåò ëéãüôåñåò, áðü ôéò þñåò ðïõ ÷ñåéÜæåôáé ìüíç ôçò ç Üëëç âñýóç, ãéá íá ôçí áäåéÜóåé.

¸íá õðåñáóôéêü ëåùöïñåßï åêôåëåß ôï äñïìïëüãéï ÁèÞíá - ÓðÜñôç. Ï ïäçãüò ìáèáßíåé ðùò áí áõîÞóåé ôç ôá÷ý-ôçôÜ ôïõ êáôÜ 14 Km / h, ôüôå èá äéáíýóåé ôçí áðüóôáóç óå 1/2 þñåò ãñçãïñüôåñá. Íá âñåßôå ôçí ôá÷ýôçôá ôïõëåùöïñåßïõ, åÜí ãíùñßæåôáé üôé ç áðüóôáóç ÁèÞíá - ÓðÜñôç åßíáé 210 Km.

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

ÐñÝðåé

2χ χ 2χ

2 Þ 2χ χ 2 2χ Þ χ χ 2 2χ 0 Þ χ 2 χ 0

χ 0 (áðïññßðôåôáé) Þ x 2 . ¢ñá ÷ = 2

1

2

3

4

5

6

7

Page 112: c Gymnasiou 2012
Page 113: c Gymnasiou 2012

2.4 ÊëáóìáôéêÝò åîéóþóåéò 111

1

Åñþôçóç 1

Ðïéá ëÝìå êëáóìáôéêÞ åîßóùóç;

ÁðÜíôçóç

Áí óå ìéá åîßóùóç õðÜñ÷ïõí êëÜóìáôá êáé óå Ýíá ôïõëÜ÷é-óôïí áð’ áõôÜ õðÜñ÷åé Üãíùóôïò óôïí ðáñïíïìáóôÞ, ç åîß-óùóç ëÝãåôáé êëáóìáôéêÞ åîßóùóç.

Åñþôçóç 2

Ðïéá âÞìáôá áêïëïõèïýìå ãéá íá ëýóïõìå ìéá êëá-óìáôéêÞ åîßóùóç;

ÁðÜíôçóç

¼ôáí èÝëïõìå íá ëýóïõìå ìéá êëáóìáôéêÞ åîßóùóç áêï-ëïõèïýìå ôá ðáñáêÜôù âÞìáôá:Ðáñáãïíôïðïéïýìå ìå ôïõò ðáñïíïìáóôÝò êáé

1. Ðáñáãïíôïðïéïýìå ôïõò ðáñïíïìáóôÝò êáé âñßóêïõìå ôéòôéìÝò ôïõ áãíþóôïõ ðïõ ìçäåíßæïõí ôïõò ðáñïíïìáóôÝò.Áõôü ãßíåôáé ãéáôß óå ìéá êëáóìáôéêÞ ðáñÜóôáóç ï ðáñï-íïìáóôÞò äåí ìðïñåß íá åßíáé ßóïò ìå ìçäÝí.

2. Âñßóêïõìå ôï Å.Ê.Ð. ôùí ðáñïíïìáóôþí.3. ÐïëëáðëáóéÜæïõìå üëïõò ôïõò üñïõò ôçò åîßóùóçò

ìå ôï Å.Ê.Ð.4. Áðáëåßöïõìå ôïõò ðáñïíïìáóôÝò êÜíïíôáò áðëïðïßçóç.

ÐñïóÝ÷ïõìå ìåôÜ ôçí áðáëïéöÞ ïé áñéèìçôÝò ôùí êëá-óìÜôùí íá ìðáßíïõí ìÝóá óå ðáñÝíèåóç (áí åßíáé áèñïß-óìáôá Þ äéáöïñÝò).

5. Ëýíïõìå ôçí åîßóùóç ðïõ ðñïêýðôåé ìåôÜ ôçí áðá-ëïéöÞ ôùí ðáñïíïìáóôþí.ÓõíÞèùò ç åîßóùóç ðïõ ðñïêýðôåé ìåôÜ ôçí áðáëïéöÞ ôùí ðá-ñïíïìáóôþí åßíáé 1ïõ âáèìïý Þ 2ïõ âáèìïý ì’ Ýíáí Üãíùóôï.

6. ÅëÝã÷ïõìå áí êÜðïéá áðü ôéò ëýóåéò ðïõ âñÞêáìå,ìçäåíßæåé ôïõò ðáñïíïìáóôÝò óôï âÞìá 1. Áí ôõ÷üíóõìâáßíåé áõôü, ôüôå ôçí áðïññßðôïõìå.

2.4 ÊëáóìáôéêÝò åîéóþóåéò

1. Åßíáé óçìáíôéêü ãéá ôç óùóôÞ åðßëõóç ìéáò êëáóìáôéêÞò åîßóùóçò íá ìçí îå÷íÜìå, ôüóï ôïõò ðåñéï-ñéóìïýò óôçí áñ÷Þ (ôéò ôéìÝò ôïõ áãíþóôïõ ðïõ ìçäåíßæïõí ôïõò ðáñïíïìáóôÝò), üóï êáé ôïí Ýëåã÷ïóôï ôÝëïò (áí åßíáé äçëáäÞ äåêôÝò üëåò ïé ëýóåéò ðïõ âñÞêáìå).

2. Áí üëåò ïé ëýóåéò ðïõ âñÞêáìå åîáéñïýíôáé áðü ôïõò ðåñéïñéóìïýò, ôüôå ç åîßóùóç åßíáé áäýíáôç.3. Áí âñïýìå üôé ç åîßóùóç åßíáé áüñéóôç, ôüôå ç êëáóìáôéêÞ åîßóùóç Ý÷åé ëýóåéò üëåò ôéò ðñáãìáôéêÝò

ôéìÝò åêôüò áð’ áõôÝò ðïõ Ý÷ïõí åîáéñåèåß áðü ôïõò ðåñéïñéóìïýò.

ÐÁÑÁÄÅÉÃÌÁÔÁ - ÅÖÁÑÌÏÃÅÓ

Íá ëõèåß ç åîßóùóç: 4

5 x 3x 2

Ëýóç• Âñßóêïõìå ðñþôá ôïõò ðåñéïñéóìïýò.

ÐñÝðåé: x 2 0 äçëáäÞ x 2 .

• 4

5 x 3x 2

Page 114: c Gymnasiou 2012

ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 2112

2

4

x 2 x 2 5 x 2 x 3x 2

[ðïëëáðëáóéÜæïõìå ìå ôï E.K.Π. x 2 ]

4 x 2 5 x 2 x 3[êÜíïõìå áðáëïéöÞ ðáñïíïìáóôþí] 24 5x 10 x 3x 2x 6 [ðñÜîåéò]

2x 3x 2x 6 4 5x 10 0[ìåôáöÝñïõìå üëïõò ôïõò üñïõò óôï 1ï ìÝëïò]

2x 4x 0 [êïéíüò ðáñÜãïíôáò ôï -÷]

x x 4 0

x 0 Þ x 4 0 äçëáäÞ x = 0 Þ x = 4êáé ïé äýï ëýóåéò åßíáé äåêôÝò, ãéáôß äåí åîáéñïýíôáé ëüãùðåñéïñéóìþí.

¸íáò áñéèìüò åßíáé ìéêñüôåñïò áðü ôïí ôñé-ðëÜóéï ôïõ áíôéóôñüöïõ ôïõ êáôÜ 2. Íá âñå-èåß ï áñéèìüò áõôüò êáé ï áíôßóôñïöüò ôïõ.

Ëýóç

¸óôù üôé ï áñéèìüò åßíáé ï x êáé ìÜëéóôá x 0 , åöüóïí Ý÷åéáíôßóôñïöï.

Ï áíôßóôñïöïò ôïõ áñéèìïý åßíáé ï 1x

. Ï ôñéðëÜóéïò ôïõ

áíôßóôñïöïõ åßíáé ï 1 3

3 =x x

.

ÅðåéäÞ ï x åßíáé ìéêñüôåñïò áðü ôïí 3x

êáôÜ 2 Ý÷ïõìå ôçí åîßóùóç:

3

x 2x

[ðïë/ìå ìå ôï E.K.Π. = x ]

3

x x x x 2x

2x 3 2x [áðáëïéöÞ ðáñïíïìáóôÞ]

3

2x 2x 3 0 [üëá óôï 1ï ìÝëïò]Åßíáé åîßóùóç 2ïõ âáèìïý ìå á = 1, â = 2, ã = 3

2 2Δ β 4αγ 2 4 1 3 4 12 16 .

¢ñá

β Δ 2 16 2 4x

2α 2 1 2

1

2

2 4 2x 1

2 22 4 6

x 32 2

ÅðïìÝíùò ï áñéèìüò ìðïñåß íá åßíáé ôï 1 Þ ôï -3 êáé ï áíôß-

óôñïöüò ôïõ áíôßóôïé÷á ôï 1 Þ ôï 13

.

Íá ëõèåß åîßóùóç: 1 2 - x=

x x +1

Ëýóç

• Âñßóêïõìå ðñþôá ôïõò ðåñéïñéóìïýò. ÐñÝðåé: x 0 êáé

x 1 0 Þ x 1¢ñá Ý÷ïõìå : x 0 êáé x -1 .

• ¼ôáí Ý÷ïõìå éóüôçôá äõï êëáóìÜôùí ðïëëáðëáóéÜæïõìå“÷éáóôß”.ÄçëáäÞ

1 2 xx x 1

Þ x 1 x 2 x

2x 1 2x x [åðéìåñéóôéêÞ]

2x 2x x 1 0 [üëá óôï 1ï ìÝëïò]

2x x 1 0 [áíáãùãÝò]

¸÷ïõìå åîßóùóç 2ïõ âáèìïý ìå α = 1 , β = -1 , γ = 1 êáé

22Δ β 4αγ 1 4 1 1 1 4 3ÅðåéäÞ Ä < 0 ç åîßóùóç åßíáé áäýíáôç.

Page 115: c Gymnasiou 2012

2.4 ÊëáóìáôéêÝò åîéóþóåéò 113

5

Íá ëõèåß ç åîßóùóç: 2

2

x 2 x - 4x + 2+ =

x - 1 2 - x x - 3x + 2

Ëýóç

• Âñßóêïõìå ðñþôá ôïõò ðåñéïñéóìïýò

ÐñÝðåé: x 1 0 , Üñá x 1 êáé 2 x 0 , Üñá 2 x êáé

2x 3x 2 0 Þ x 2 x 1 0 , äçëáäÞ x 2 êáé x 1.

2x 2 x 4x 2x 1 2 x x 2 x 1

Þ

2x 2 x 4x 2x 1 x 2 x 2 x 1

ÐïëëáðëáóéÜæïõìå ìå ôï E.K.Π. x 2 x 1 êáé Ý÷ïõìå:

2

x 2x 2 x 1 x 2 x 1

x 1 x 2x 4x 2

x 2 x 1x 2 x 1

2x x 2 x 1 2 x 4x 2 [áðëïðïßçóç]

2 2x 2x 2x 2 x 4x 2 [ðñÜîåéò]

2 2x 2x 2x 2 x 4x 2 0 [üëá óôï 1ï ìÝëïò] 0 x 0 , ç ïðïßá åßíáé áüñéóôç

Ïðüôå ç áñ÷éêÞ åîßóùóç åðáëçèåýåôáé ãéá êÜèå ôéìÞ ôïõx åêôüò áðü ÷ = 2 êáé ÷ = 1 (âëÝðå ðåñéïñéóìïýò)

ÊÜðïéïò ðáñáãùãüò õðïëüãéóå íá åéóðñÜîåéáðü ôçí ðþëçóç ôïõ ðñïúüíôïò ôïõ óôç ëáúêÞ450€. Óôï äñüìï ãéá ôç ëáúêÞ ôïõ Ýðåóáí 5êïýôåò áðü ôï öïñôçãü ôïõ, ìå áðïôÝëåóìáíá êáôáóôñáöïýí 50 êéëÜ ðñïúüíôïò. Ãéá íáìðïñÝóåé ëïéðüí íá åéóðñÜîåé ôï ðïóü ðïõ

4åß÷å õðïëïãßóåé áñ÷éêÜ, áíáãêÜóôçêå íá áõ-îÞóåé ôçí ô éìÞ ôïõ ðñïúüíôïò êáôÜ 0,3€ ôïêéëü. Íá âñåßôå ðüóá ê éëÜ ðñïúüíôïò õðÞñ-÷áí óôï öïñôçãü.

Ëýóç

¸óôù üôé ôï ðñïúüí Þôáí áñ÷éêÜ x êéëÜ ìå x > 0. Áí ðïõëïýóåüëï ôï ðñïúüí óôçí áãïñÜ êáé åéóÝðñáôôå 450€, ôüôå ôï êÜèå

êéëü èá êüóôéæå 450

x€. ÔåëéêÜ üìùò áõôÜ ðïõ ðïýëçóå óôçí

áãïñÜ Þôáí ÷ - 50 êéëÜ ðñïúüíôïò êáé åéóÝðñáîå 450€, Üñá

ðïýëçóå ôï êÜèå êéëü

450€

x 50. Ç äéáöïñÜ óôçí ôéìÞ ðïõ

åß÷å õðïëïãßóåé áñ÷éêÜ êáé ôçí ôåëéêÞ Þôáí 0,3€ Þ 3

10€.

ÅðïìÝíùò Ý÷ïõìå ôçí åîßóùóç:

450 450 3x 50 x 10

• Âñßóêïõìå ðñþôá ôïõò ðåñéïñéóìïýò

ÐñÝðåé: x 50 êáé x 0 , êáèþò åðßóçò ÷ > 0 åöüóïíåßíáé êéëÜ.

• ÐïëëáðëáóéÜæïõìå ìå ôï E.K.Π. = 10x x - 50 êáé Ý÷ïõìå:

450 450 3

10x x 50 10x x 50 10x x 50x 50 x 10

10x 450 10 x 50 450 x x 50 3 [áðëïðïßçóç]

24500x 4500x 225000 3x 150x [ðñÜîåéò]

23x 150x 4500x 4500x 225000 0[üëá óôï 1ï ìÝëïò]

23x 150x 225000 0 [äéáéñïýìå ìå -3]

2x 50x 75000 0Ç ôåëåõôáßá åßíáé åîßóùóç 2ïõ âáèìïý ìå á = 1, â = -50,ã = -75000.

Page 116: c Gymnasiou 2012

ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 2114

22Δ β 4αγ 50 4 1 75000 2500 300000 302500

β Δ 50 302500 50 550

x2α 2 1 2

1

2

50 550x 300

250 550

x 2502

Üñá ÷ = 300 Þ ÷ = -250 (ðïõ áðïññßðôåôáé åðåéäÞ ôï x ðáñéóôÜíåé êéëÜ êáé äåí ìðïñåß íá åßíáé áñíçôéêüò áñéèìüò). ¢ñá

ï ðáñáãùãüò åß÷å áñ÷éêÜ 300 êéëÜ ðñïúüíôïò.

ÅÑÙÔÇÓÅÉÓ ÊÁÔÁÍÏÇÓÇÓ

Ná ÷áñáêôçñßóåôå ôéò ðáñáêÜôù ðñïôÜóåéò ìå (Ó), áí åßíáé óùóôÝò Þ ìå (Ë) áí åßíáé ëáíèáóìÝíåò.

á) Oé üñïé ôçò åîßóùóçò 5 7

4χ 2 χ

ïñßæïíôáé áí χ 0 êáé χ 2 .

â) Ï áñéèìüò 2 åßíáé ç ëýóç ôçò åîßóùóçò 4 χ

4χ 2 χ

.

ã) Áí áðáëåßøïõìå ôïõò ðáñïíïìáóôÝò ôçò åîßóùóçò

2

4 710

χ 1 χ 1,

ôüôå áõôÞ ãñÜöåôáé 4χ 7 10 .

ä) Ïé üñïé ôçò åîßóùóçò

72

2

χχ

χ 4 ïñßæïíôáé ãéá êÜèå ðñáãìáôéêü

áñéèìü ÷ êáé ï áñéèìüò 0 åßíáé ç ëýóç ôçò.

Áí äéáéñÝóïõìå Ýíáí áñéèìü ÷ ìå ôïí áñéèìü ðïõ åßíáé êáôÜ äýï ìïíÜäåò ìéêñüôåñïò âñßóêïõìå 25

.

Ðïéá áðü ôéò ðáñáêÜôù åîéóþóåéò åêöñÜæåé ôçí ðáñáðÜíù ðñüôáóç:

á) χ 3

2 χ 4â)

χ 2 3χ 4

ã) χ 3

χ 2 4ä)

χ 2

χ 2 5

1

2

Page 117: c Gymnasiou 2012

2.4 ÊëáóìáôéêÝò åîéóþóåéò 115

Ç åîßóùóç χ 2 χ 8

3χ 2 χ 2

Ý÷åé ùò ëýóç ôïí áñéèìü á) χ 2 â) χ 2 ã) χ 0 ä) χ 1

¸íáò ìáèçôÞò ãéá íá ëýóåé ôçí åîßóùóç 4χ 3 5χ 2 x 2

, Ýêáíå áðáëïéöÞ ðáñáíïìáóôþí êáé ëýíïíôáò ôçí åîßóùóç

4x 3 5 ðïõ ðñïÝêõøå, âñÞêå ùò ëýóç ôïí áñéèìü x 2 . Ç áðÜíôçóç ôïõ åßíáé óùóôÞ;

4

Íá ëõèïýí ïé åîéóþóåéò: á) 2 2

1 2 x - 6+ =

x x - x x - 4x + 3â)

2

2

x x 2x 3xx 1 x 2 x 3x 2

Íá ëõèïýí ïé åîéóþóåéò: á) 2

2 4 1- =

x - 2 x + 2x - 4â) 2 2

1 1x 4x 3 x 5x 4

Äýï ðïäçëÜôåò îåêßíçóáí ôáõôü÷ñïíá áðü ôï Ìáñáèþíá êáé êáôåõèýíèçêáí ðñïò ôï Ðáíáèçíáúêü ÓôÜäéï, êáëýðôïíôáòáðüóôáóç 40 Km. Ï Ýíáò Ýöèáóå óôï Ðáíáèçíáúêü ÓôÜäéï Ýíá ôÝôáñôï íùñßôåñá. ÄåäïìÝíïõ üôé ï ðéï ãñÞãïñïò ðïäçëÜ-ôçò ðÞãáéíå ìå 10 Km/h ãñçãïñüôåñá, íá âñåèïýí ïé ôá÷ýôçôåò ôïõò. (Èåùñïýìå üôé ïé ôá÷ýôçôåò äéáôçñïýíôáé óôáèåñÝò).

Íá ëõèïýí ïé åîéóþóåéò:

á.

4ω 1 9ω 2 ω 2

â.

2χ 1 7

2χ 3 3 χ

ã. 2

4 31

χ χ ä.

y 1 2 y 3y y 1 y y 1

Íá ëõèïýí ïé åîéóþóåéò:

á.

2

x 5 3x 5x 25

â.

2

1 α 1 αα α 2α 2α

ã.

2

2

2ω 43

ω 2ω 2ω ä.

2

3α α 41

α 2 α 3α 2

å.

2

12 8 2 33ρ0

3ρ 2 3ρ 2 4 9ρ

Íá ëõèïýí ïé åîéóþóåéò: á.

χ 44 3χχ

â.

2

1 2 χ 63 χ 3 χ 91χ

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

1

2

3

4

5

3

6

Page 118: c Gymnasiou 2012

ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 2116

Åñþôçóç 1

Ðïéá åîßóùóç ëÝãåôáé êëáóìáôéêÞ;

Åñþôçóç 2

á. Ðïéá âÞìáôá áêïëïõèïýìå ãéá íá ëýóïõìå ìéá êëáóìáôéêÞ åîßóùóç;â. Ðïéïò ðåñéïñéóìüò åßíáé áðáñáßôçôïò óå ìéá êëáóìáôéêÞ åîßóùóç êáé ãéáôß;

¢óêçóç 1

Ïé åîéóþóåéò 2

1 1 12x 3 x 3 x 9

êáé x 3 x 3 12 Ý÷ïõí áêñéâþò ôéò ßäéåò ëýóåéò;

¢óêçóç 2

Íá ëõèåß ç åîßóùóç:

2

x 1 1 xx 2 x 3x 5x 6

¢óêçóç 3

Íá ëõèåß ç åîßóùóç:

2 2

2 2 1 3y 1 y y y 1

ÊÑÉÔÇÑÉÏ ÁÎÉÏËÏÃÇÓÇÓ

7 ÅÜí

χΑ

χ

êáé 4

B3

, íá ëýóåôå ôçí åîßóùóç B A 0 .

Page 119: c Gymnasiou 2012

2.5 Áíéóüôçôåò - Áíéóþóåéò ìå Ýíáí Üãíùóôï 117

2.5 Áíéóüôçôåò - Áíéóþóåéò ìå Ýíáí Üãíùóôï

Åñþôçóç 1

Ðùò óõãêñßíïõìå äýï ðñáãìáôéêïýò áñéèìïýò á êáé â;

ÁðÜíôçóç

Ï áñéèìüò á åßíáé ìåãáëýôåñïò áðü ôïí â, üôáí êáé ìüíïí

üôáí, ç äéáöïñÜ α β åßíáé èåôéêüò áñéèìüò.

ÄçëáäÞ α β , üôáí êáé ìüíïí üôáí, α β 0

Ï áñéèìüò á åßíáé ìéêñüôåñïò áðü ôïí â, üôáí êáé ìüíïí

üôáí, ç äéáöïñÜ α β åßíáé áñíçôéêüò áñéèìüò.

ÄçëáäÞ α β , üôáí êáé ìüíïí üôáí, α β 0

Áí α β ôüôå ï áñéèìüò á âñßóêåôáéäåîéüôåñá áðü ôïí áñéèìü â ðÜíù óôïíÜîïíá ôùí ðñáãìáôéêþí áñéèìþí.

Åñþôçóç 2

Ðïéåò éäéüôçôåò áíéóïôÞôùí ãíùñßæåôå; Íá ôéò áðïäåßîåôå.

ÁðÜíôçóç

1. Áí ðñïóèÝóïõìå êáé óôá äýï ìÝëç ìéáò áíéóüôçôáòôïí ßäéï áñéèìü, ðñïêýðôåé áíéóüôçôá ìå ôçí ßäéáöïñÜ. ÄçëáäÞ: áí á > â ôüôå á + ã > â + ã

Áðüäåéîç:ÈÝëïõìå íá óõãêñßíïõìå ôïõò áñéèìïýò á + ã êáé â + ã.

Óýìöùíá ìå ôïí ïñéóìü áí ç äéáöïñÜ α γ β γ åßíáéèåôéêüò áñéèìüò ôüôå ï á + ã èá åßíáé ìåãáëýôåñïò áðü ôïí â + ã.

Åßíáé α γ β γ α γ β γ α β 0 äéüôé á > â. Óõíåðþò á + ã > â + ã.

2. Áí ðñïóèÝóïõìå êáôÜ ìÝëç äýï Þ ðåñéóóüôåñåò áíé-óüôçôåò ôçò ßäéáò öïñÜò, ðñïêýðôåé áíéóüôçôá ôçò ßäéáòöïñÜò. ÄçëáäÞ áí á > â êáé ã > ä ôüôå á + ã > â + ä

Áðüäåéîç:¼ðùò êáé ðñïçãïõìÝíùò ó÷çìáôßæïõìå ôç äéáöïñÜ:

α γ β δ α γ β δ α β γ δ 0

ùò Üèñïéóìá èåôéêþí. ¸ôóé åßíáé α γ β δ .

3. Áí ðïëëáðëáóéÜóïõìå ôá ìÝëç ìéáò éóüôçôáò ìåèåôéêü áñéèìü, ôüôå ðñïêýðôåé áíéóüôçôá ôçò ßäéáò

öïñÜò. ÄçëáäÞ: áí α β êáé γ 0 ôüôå: α γ β γ

Áðüäåéîç:

αγ βγ γ α β 0 ,äéüôé γ 0 êáé α β 0 . ̧ ôóé αγ βγ

4. Áí ðïëëáðëáóéÜóïõìå ôá ìÝëç ìéáò áíéóüôçôáò ìåáñíçôéêï áñéèìü, ôüôå ðñïêýðôåé áíéóüôçôá áíôßèå-ôçò öïñÜò. ÄçëáäÞ: áí á > â êáé ã < 0 ôüôå áã < âã.

Áðüäåéîç: αγ βγ γ α β 0 , äéüôé γ 0 êáé α β Üñá α β 0 .

¸ôóé áã < âã.

ÅöáñìïãÞ ôùí éäéïôÞôùí ôùí áíéóïôÞôùíâñßóêïõìå óôç ëýóç áíéóþóåùí. Éäéáßôå-ñç ðñïóï÷Þ ðñÝðåé íá äïèåß üôáí ëýíïõ-ìå ìßá áíßóùóç, óôï óçìåßï ðïõ äéáéñï-ýìå ìå ôïí óõíôåëåóôÞ ôïõ áãíþóôïõ. Áíáõôüò åßíáé áñíçôéêüò äéáéñïýìå êáé áë-ëÜæïõìå ôç öïñÜ ôçò áíßóùóçò.

Page 120: c Gymnasiou 2012

ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 2118

ÐÁÑÁÄÅÉÃÌÁÔÁ - ÅÖÁÑÌÏÃÅÓ

Áí á, â, ã åßíáé ðñáãìáôéêïß áñéèìïß êáé á > â íáóõãêñßíåôå ôïõò áñéèìïýò 3á + 4ã êáé 3â + 4ã.

Ëýóç

Áöïý α β ôüôå 3á > 3â (1)(ðïëëáðëáóéÜóáìå êáé ôá äýï ìÝëç ôçò äåäïìÝíçò áíßóù-óçò ìå ôï èåôéêü áñéèìü 3.Óôçí ó÷Ýóç (1) ðñïóèÝôïõìå êáé óôá äýï ìÝëç ôïí áñéèìü

4ã êáé Ý÷ïõìå: 3α 4γ 3β 4γ

ÅðïìÝíùò ï 3α 4γ åßíáé ìåãáëýôåñïò ôïõ 3β 4γ .

Áí á < 0, íá äéáôÜîåôå áðü ôïí ìéêñüôåñï

ðñïò ôïí ìåãáëýôåñï ôïõò áñéèìïýò á, 1

α3

êáé á - 3.

Ëýóç

Ãéá íá óõãêñßíïõìå ôïõò áñéèìïýò á, 1

α3

ó÷çìáôßæïõìå ôç

äéáöïñÜ: 1

α α3

1 3α α 2αα α 0

3 3 3

(äéüôé α 0 Üñá 2

α 03

).

¸ôóé 1α α 1

3 . ¼ìïéá èá óõãêñßíïõìå ôïõò áñéèìïýò á, α 3 .

¸÷ïõìå α 3 α α 3 α 3 0 .

¢ñá á - 3 < á (2). Áðü ôéò ó÷Ýóåéò (1) êáé (2) Ý÷ïõìå: 1

α 3 α α3

.

1 Íá ëýóåôå ôçí áíßóùóç: 2x 2 x x 31

3 2 4

Ëýóç

2x 2 x x 31

3 2 4

(ÐïëëáðëáóéÜæïõìå êáé ôá äýï ìÝëç ìå ôï ÅÊÐ 2,3,4 12 )

2x 2 x x 312 12 1 12 12

3 2 4

Þ

4 2x 2 12 6x 3 x 3 Þ

8x 8 12 6x 3x 9 Þ 8x 6x 3x 9 8 12 Þ

5x 11 Þ 5x 115 5

Þ 11

x5

.

Íá ëýóåôå ôçí áíßóùóç:

5 x 2 5 9x 1 4x

Ëýóç

5 x 2 5 9x 1 4x Þ 5x 10 5 9x 1 4x Þ

5x 9x 4x 1 10 5 Þ 0x 4 .Ç áíßóùóç åßíáé áäýíáôç, ãéáôß äåí õðÜñ÷åé áñéèìüò ðïõ íáôçí åðáëçèåýåé, áöïý ï 0x éóïýôáé ìå 0 ðïõ äåí åßíáé ìåãá-ëýôåñïò ôïõ 4.

2

3

4

Page 121: c Gymnasiou 2012

2.5 Áíéóüôçôåò - Áíéóþóåéò ìå Ýíáí Üãíùóôï 119

Íá âñåßôå ôéò êïéíÝò ëýóåéò ôùí áíéóþóåùí:

2 x 4 6x 8 3 2x 4 10 ê á é

2 x 1 3x 4 x 2 2x 1

Ëýóç

Ëýíïõìå áñ÷éêÜ êÜèå áíßóùóç ÷ùñéóôÜ.

2 x 4 6x 8 3 2x 4 10 Þ

2x 8 6x 8 6x 12 10 Þ

2x 6x 6x 12 10 8 8 Þ

2x 14 Þ

x 7

êáé

–2(x–1)+3x–4(x-2)>–2x+1 Þ–2x+2+3x–4x+8>–2x+1 Þ–2x+3x–4x+2x>–2–8+1 Þ–x>–9 Þx<9

Óçìåéþíïõìå óôïí ßäéï Üîïíá ôéò ðáñáðÜíù ëýóåéò:ÊïéíÝò ëýóåéò åßíáé üëïé ïé ðñáãìáôéêïß áñéèìïß ðïõ åßíáéìåãáëýôåñïé Þ ßóïé ôïõ 7 êáé ìéêñüôåñïé áðü ôïí 9.

Áí x > 3 êáé y < 2, ôüôå íá áðïäåßîåôå üôé:

á) x 3 y 2 0 â) xy 6 2x 3y

Ëýóç

á) χ 3 0 êáé y 2 0 Üñá x 3 y 2 0

â) xy 6 2x 3y Þ

xy 2x 6 3y 0 Þ

x y 2 3 y 2 0 Þ

x 3 y 2 0, ðïõ éó÷ýåé

Íá áðïäåßîåôå üôé:

á) Áí x 0 , ôüôå 1

x 2x

â) Áí x 0 ,

ôüôå 1x 2

x

Ëýóç

á) Áñêåß 2x 1 2x Þ

2x 2x 1 0 Þ 2x 1 0, ðïõ éó÷ýåé

â) Áñêåß 2x 1 2x Þ 2x 2x 1 0

2x 1 0, ðïõ éó÷ýåé

Íá âñåßôå ôéò êïéíÝò ëýóåéò ôùí áíéóþóåùí:

á) 7x 1 8 6x

3x 2 x 10

â)

x2x 5 2

2x 1 1

1 x2 3

Ëýóç

á) 7x 1 8 6x Þ 3x 2 x 10 Þ

7x 6x 8 1 Þ 3x x 10 2 Þx 9 2x 8 Þ

x 4

5

6

7

8

Page 122: c Gymnasiou 2012

ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 2120

4 x 9

â) x

2x 5 22

x 1 1

1 x2 3

4x 10 x 4 3 x 1 6 6x 2

3x 6 3x 3 6 6x 2 x 2 3x 6x 2 6 3

3x 1

1x

3

Íá õðïëïãßóåôå ôïõò ðñáãìáôéêïýò áñéèìïýò á,â, ã ðïõ éêáíïðïéïýí ôç ó÷Ýóç

2 2 2α β γ 2α 4β 6γ 14 0 (Äéáãùíéóìüò Å.Ì.Å. 1995).

9

Ëýóç

2 2 2α β γ 2α 4β 6γ 14 0 Þ

2 2 2α 2α 1 β 4β 4 γ 6γ 9 0 Þ

22 2α 1 β 2 γ 3 0

ÐñÝðåé: α 1 0 êáé β 2 0 êáé γ 3 0 Þ

α 1 , β 2 , γ 3

Íá ðñïóäéïñßóåôå ôçí åëÜ÷éóôç ôéìÞ ôçò ðáñÜ-óôáóçò

2 2Α α 10αβ 27β 8β 8 Ãéá ðïéåò ôéìÝò ôùí á, â ç ðáñÜóôáóç Á ãßíåôáéåëÜ÷éóôç;(Äéáãùíéóìüò Å.Ì.Å. 2001).

Ëýóç

Åßíáé: 2 2 2Α α 2 5αβ 25β 8β 2β 8

2 2α 5β 2 β 4β 4

2 2α 5β 2 β 2 0 .

¢ñá ç åëÜ÷éóôç ôéìÞ ðñïêýðôåé ãéá:

α 5β 0 êáé β 2 0 Þ

α 10 êáé β 2 .

10

Page 123: c Gymnasiou 2012

2.5 Áíéóüôçôåò - Áíéóþóåéò ìå Ýíáí Üãíùóôï 121

1 Íá óçìåéþóåôå ôï Ó (óùóôÞ) Þ ôï Ë (ëáíèáóìÝíç) óå êáèåìßá áðü ôéò ðáñáêÜôù ðñïôÜóåéò:

á. Áí α β ôüôå 2α 2β .

â. Ãéá êÜèå ðñáãìáôéêü áñéèìü á éó÷ýåé 2α 0 .

ã. Áí α β ôüôå α γ β γ .

ä. Áí α β 1 ôüôå 1

αβ

ìå β 0 .

å. Áí α β ôüôå α γ β γ .

Áí 2α β 4 êáé 4α β 8 ôüôå:

á. α 2 â. α 8 ã. α 0 ä. α 2

Áí x 3 ðïéá áðü ôéò áêüëïõèåò áíéóþóåéò åßíáé ëÜèïò;

á. x 3 3 3 â. x 3 3 3 ã. 3 x 3 3 ä. 3x 3 3

Íá óõìðëçñþóåôå ôá êåíÜ óôéò ðáñáêÜôù ðñïôÜóåéò ìå ôï óùóôü óýìâïëï áíéóüôçôáò.

á. α β α β...0 â. α β ôüôå 1 1

α... β2 2

ã. Áí γ 0 êáé α β ôüôå αγ...βγ ä. α 0 êáé β 0 ôüôå α β...0

Íá óõìðëçñþóåôå ôá êåíÜ óôéò ðáñáêÜôù ðñïôÜóåéò:

á. ¸íáò áñéèìüò á åßíáé ......................... áðü Ýíáí áñéèìü â üôáí α β 0 .

â. ÊÜèå èåôéêüò áñéèìüò åßíáé ......................... áðü êÜèå áñíçôéêü.

ã. ÊÜèå áñéèìüò ðïõ åßíáé ìéêñüôåñïò áðü ôï ìçäÝí ëÝãåôáé ......................... áñéèìüò.

2

3

4

5

ÅÑÙÔÇÓÅÉÓ ÊÁÔÁÍÏÇÓÇÓ

Page 124: c Gymnasiou 2012

ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 2122

1 Áí 2 x 5 êáé 1 y 4 íá âñåßôå ìåôáîý ðïéùí áñéèìþí ðåñéÝ÷ïíôáé ïé ôéìÝò ôùí ðáñáóôÜóåùí:

á. x 2 â. y 1 ã. x ä. x y å. 2x y

Íá ëýóåôå ôçí áíßóùóç: 4x 1 1 2x 1 4 x

5 2 10 2

Íá ëýóåôå ôçí áíßóùóç: 6x 4 13 2 3x 10

Áí ãéá ôï ìÞêïò á åíüò ïñèïãùíßïõ ðáñáëëçëüãñáììïõ ÁÂÃÄ ãíùñßæïõìå üôé 2,5 α 2,6 êáé ôï ðëÜôïò ôïõ âåßíáé 1,3, ìåôáîý ðïéþí áñéèìþí âñßóêåôáé ôï åìâáäüí ôïõ;

Íá ëýóåôå ôéò áíéóþóåéò: á. χ 1 3χ 4 χ 2

2 6 4

â. 2 χ 4χ 1

13 5

Íá âñåßôå ôéò êïéíÝò ëýóåéò ôùí áíéóþóåùí :

2 χ 1 4 χ 2 χ 7 êáé 2 χ 3 2χ 12 χ 4

2

3

4

5

6

Åñþôçóç 1

Ðùò óõãêñßíïõìå äýï ðñáãìáôéêïýò áñéèìïýò á êáé â; Ðïéåò éäéüôçôåò áíéóïôÞôùí ãíùñßæåôå;

¢óêçóç 1

Áí 2x - y < 4 êáé x + y < 8 ôüôå: á. x > 4 â. x < 4 ã. y > 0 ä. x + y + 1

¢óêçóç 2

¸óôù üôé éó÷ýåé: 2x y x 4 0 , ôüôå: á. χ y â. χ y ã. x y ä. êáíÝíá áðü ôá ðñïçãïýìåíá

ÊÑÉÔÇÑÉÏ ÁÎÉÏËÏÃÇÓÇÓ

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

Page 125: c Gymnasiou 2012

3.1 H Ýííïéá ôçò ãñáììéêÞò åîßóùóçò 123

Åñþôçóç 1

Ôé åßíáé ç ãñáììéêÞ åîßóùóç ìå äýï áãíþóôïõò êáé ðüôåðáñéóôÜíåé åõèåßá;Ôé ïíïìÜæïõìå ëýóç ìéáò ôÝôïéáò åîßóùóçò;

ÁðÜíôçóç

Ìéá åîßóùóç ôçò ìïñöÞò

α x + β y = γ üðïõ á, â, ã åßíáé ãíùóôïß ðñáãìáôéêïß áñéèìïß, ëÝãåôáéãñáììéêÞ åîßóùóç ìå äýï áãíþóôïõò ôïõò x, y.ÐáñéóôÜíåé åõèåßá üôáí α 0 Þ β 0 .ÊÜèå æåýãïò áñéèìþí (x, y) ðïõ åðáëçèåýåé ôçí åîßóùóçα x β y γ , ëÝãåôáé ëýóç ôçò åîßóùóçò.

Ãéá ðáñÜäåéãìá

• Ç åîßóùóç 2x 4y 20 åßíáé ãñáììéêÞ åîßóùóç ìå äýïáãíþóôïõò ôïõò x êáé y. Ôá æåýãç (2, 4) êáé (4, 3) åßíáé

ëýóåéò ôçò åîßóùóçò 2x 4y 20 ,äéüôé :

2 42 4 20 4 32 4 20

Åñþôçóç 2

Ðüôå Ýíá óçìåßï áíÞêåé óå ìéá åõèåßá;

ÁðÜíôçóç

Áí ïé óõíôåôáãìÝíåò åíüò óçìåßïõ åðáëçèåýïõí ôçí åîßóùóçìéáò åõèåßáò, ôüôå ôï óçìåßï áíÞêåé óôçí åõèåßá áõôÞ.

Åñþôçóç 3

Ôé ðáñéóôÜíåé ç åîßóùóç y = k, k 0 ;

3.1 H Ýííïéá ôçò ãñáììéêÞò åîßóùóçò

ÁðÜíôçóç

Ç åîßóùóç y k ìå k 0 ðáñéóôÜíåé ìéá åõèåßá ðïõ åßíáé

ðáñÜëëçëç óôïí Üîïíá x x êáé ôÝìíåé ôïí Üîïíá y y óôï óç-

ìåßï 0,k , åíþ ç åîßóùóç y 0 ðáñéóôÜíåé ôïí Üîïíá x x .

Åñþôçóç 4

Ôé ðáñéóôÜíåé ç åîßóùóç x k , k 0 ;

ÁðÜíôçóç

Ç åîßóùóç x k ìå k 0 ðáñéóôÜíåé ìéá åõèåßá ðïõ åßíáé

ðáñÜëëçëç óôïí Üîïíá y y êáé ôÝìíåé ôïí Üîïíá x x óôï óç-

ìåßï k,0 åíþ ç åîßóùóç x 0 ðáñéóôÜíåé ôïí Üîïíá y y .

Page 126: c Gymnasiou 2012

ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 3124

ÐÁÑÁÄÅÉÃÌÁÔÁ - ÅÖÁÑÌÏÃÅÓ

á. Íá ó÷åäéáóôåß ç åõèåßá: ε : 3χ 4y 12

â. ¸íá óçìåßï Ì Ý÷åé ôåôáãìÝíç -1. Ðïéá ðñÝ-ðåé íá åßíáé ç ôåôìçìÝíç ôïõ, þóôå ôï óç-ìåßï íá áíÞêåé óôçí åõèåßá å;

Ëýóç

á. Ãéá íá ó÷åäéÜóïõìå ôçí åõèåßá ε : 3χ 4y 12 áñêåß íáðñïóäéïñßóïõìå äýï óçìåßá ôçò.

Ãéá x 0 Ý÷ïõìå 4y 12 , ïðüôå y 3 .

Ãéá y 0 Ý÷ïõìå 3x 12 , ïðüôå x 4 .

¢ñá ç åîßóùóç 3x 4y 12 ðáñéóôÜíåé åõèåßá å ðïõ äéÝñ-

÷åôáé áðü ôá óçìåßá Α 0, 3 êáé Β 4,0 .

â. Ôï óçìåßï Ì áíÞêåé óôçí åõèåßá å, áí ïé óõíôåôáãìÝíåòôïõ åðáëçèåýïõí ôçí åîßóùóÞ ôçò. Áöïý ôï óçìåßï Ì

Ý÷åé ôåôáãìÝíç y = –1 ãéá ôçí ôåôìçìÝíç ôïõ ÷ ðñÝðåé íá

éó÷ýåé 3x 4 1 12 Þ 3x 4 12 Þ 3x 8 Þ 8x

3 .

¢ñá ç ôåôìçìÝíç ôïõ Ì åßíáé 8

x3

.

Áí ç åõèåßá ε : αχ y 2 äéÝñ÷åôá é áðü ôï

óçìåßï Α 1,3 , ôüôå íá ðñïóäéïñéóôåß ç ôéìÞ

ôïõ á êáé óôç óõíÝ÷åéá íá âñåèïýí ôá êïéíÜóçìåßá ôçò å ìå ôïõò Üîïíåò.

Ëýóç

Ç åõèåßá ε : αχ y 2 äéÝñ÷åôáé áðü ôï óçìåßï A 1,3 ,

ïðüôå ïé óõíôåôáãìÝíåò ôïõ óçìåßïõ Á åðáëçèåýïõí ôçí

åîßóùóç αχ y 2 . ¢ñá Ý÷ïõìå α 3 2 Þ α 5 . ÅðïìÝ-

íùò ç åõèåßá Ý÷åé åîßóùóç 5χ y 2 .

Ãéá x 0 Ý÷ïõìå 5 0 y 2 Þ y 2 Þ y 2 , äçëáäÞ ç

åõèåßá å ôÝìíåé ôïí Üîïíá y y óôï óçìåßï 0, 2 .

Ãéá y 0 Ý÷ïõìå 5x 0 2 Þ 5x 2 Þ 2

x5

, äçëáäÞ ç

åõèåßá å ôÝìíåé ôïí Üîïíá x x óôï óçìåßï 2

,05

.

1

2

Page 127: c Gymnasiou 2012

3.1 H Ýííïéá ôçò ãñáììéêÞò åîßóùóçò 125

1 á. Ç åîßóùóç 2x 3x Ý÷åé ëýóç ôïí áñéèìü: Á.0 Â.1 Ã.2 Ä.3

â. Ç åîßóùóç 2x y 1 Ý÷åé ëýóç ôï æåýãïò: Á. 2,2 Â. 1,1 Ã. 0,0 Ä. êáìßá

ã. Ç ìïñöÞ ëýóåùí ôçò åîßóùóçò x y 1 åßíáé: Á. x,x 1 Â. x,x Ã. y 1,y Ä. y,y

Ðïéá áðü ôá æåýãç 3,2 , 1,4 , 0,5 , 3,4 , 2,1 åßíáé ëýóåéò ôçò åîßóùóçò 3x 4y 17 ;

Íá ÷áñáêôçñßóåôå ôéò ðáñáêÜôù ðñïôÜóåéò ìå (Ó), áí åßíáé óùóôÝò Þ ìå (Ë), áí åßíáé ëáíèáóìÝíåò.

á. Ôï óçìåßï 3, 2 áíÞêåé óôçí åõèåßá ε : 3χ y 11.

â. Ç åõèåßá ε : 4χ y 8 ôÝìíåé ôïí Üîïíá x x óôï óçìåßï 2,0 .

ã. Ç åõèåßá ε : 3χ 4y 0 äéÝñ÷åôáé áðü ôçí áñ÷Þ ôùí áîüíùí.

ä. Ç åõèåßá ε : 2χ y 7 ôÝìíåé ôïí Üîïíá y y óôï óçìåßï 0,4 .

Íá óõìðëçñþóåôå ôïí ðßíáêá áíôéóôïé÷ßæïíôáò óå êÜèå åõèåßá å ôùí ðáñáêÜôù ó÷çìÜôùí ìßá áðü ôéò åîéóþóåéò

1. y 4 2. x 2 3. y x 4. x 4

2

3

4

ÅÑÙÔÇÓÅÉÓ ÊÁÔÁÍÏÇÓÇÓ

Page 128: c Gymnasiou 2012

ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 3126

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

1 Íá ó÷åäéÜóåôå óôï ßäéï óýóôçìá áîüíùí ôéò åõèåßåò:

á. 1ε : 2χ y 4 â. 2ε : 6χ 3y 7 ã. 3ε : 8χ 4y 13Ôé ðáñáôçñåßôå;

Äßíåôáé ç åõèåßá ε : 3χ 4y 6 2λ .á. Íá âñåßôå ôïí áñéèìü ë, þóôå ç åõèåßá å íá äéÝñ÷åôáé áðü ôçí áñ÷Þ ôùí áîüíùí.

â. Ãéá λ 3 íá ó÷åäéÜóåôå ôçí åõèåßá å.

Áí ç åõèåßá ε : 3χ 5y 15 ôÝìíåé ôïõò Üîïíåò χ χ êáé y y óôá óçìåßá Á êáé  áíôéóôïß÷ùò, ôüôå:á. Íá ðñïóäéïñßóåôå ôéò óõíôåôáãìÝíåò ôùí óçìåßùí Á êáé Â.â. Íá õðïëïãßóåôå ôï åìâáäüí ôïõ ôñéãþíïõ ÏÁÂ, üðïõ Ï ç áñ÷Þ ôùí áîüíùí.

á. Óôï ßäéï óýóôçìá áîüíùí íá ó÷åäéÜóåôå ôéò åõèåßåò ìå åîéóþóåéò: x 2 , x 4 , y 1 êáé y 5â. Íá õðïëïãßóåôå ôï åìâáäüí ôïõ ôåôñáðëåýñïõ ðïõ ó÷çìáôßæåôáé.

Íá âñåßôå ôçí ôéìÞ ôïõ ë, þóôå ç åîßóùóç λ 4 χ λ 2 y 6 íá ðáñéóôÜíåé åõèåßá ðïõ åßíáé:

á. ðáñÜëëçëç óôïí Üîïíá x x â. ðáñÜëëçëç óôïí Üîïíá y yÍá ó÷åäéÜóåôå ôçí áíôßóôïé÷ç åõèåßá óå êÜèå ðåñßðôùóç.

2

3

4

5

Ïé åõèåßåò 1 2δ ,δ äé÷ïôïìïýí ôéò ãùíßåò ôùí áîüíùí. Íá åðéëÝîåôå ôç óùóôÞ áðÜíôçóç.

i) H åîßóùóç ôçò 1δ åßíáé: á) x = 2 â) y = 2 ã) y =x ä) y = -x

ii) H åîßóùóç ôçò 2δ åßíáé: á) x = -2 â) y = -2 ã) y = x ä) y = -x

5

Page 129: c Gymnasiou 2012

3.1 H Ýííïéá ôçò ãñáììéêÞò åîßóùóçò 127

Åñþôçóç 1

Ðïéåò åßíáé ïé åîéóþóåéò ôùí äé÷ïôüìùí ôùí ãùíéþí ôïõ ïñèïêáíïíéêïý óõóôÞìáôïò ÷Ïy;

Åñþôçóç 2

Ðïéá ìïñöÞ Ý÷åé ìéá ãñáììéêÞ åîßóùóç ìå äýï áãíþóôïõò x, y;

Ðïéåò åßíáé ïé ëýóåéò ìéáò ãñáììéêÞò åîßóùóçò;

Ôé ðáñéóôÜíïõí óôï åðßðåäï ïé ëýóåéò ìéáò ãñáììéêÞò åîßóùóçò;

¢óêçóç 1

Íá âñåßôå ôï ë þóôå ç åîßóùóç λ 1 χ λ λ 1 y 3 íá ðáñéóôÜíåé åõèåßá.

¢óêçóç 2

Äßíåôáé ç åîßóùóç 2x 3y 5

á. Íá óõìðëçñþóåôå ôïí ðßíáêá

â. Íá ðáñáóôÞóåôå ôéò ðáñáðÜíù ëýóåéò ìå óçìåßá ôïõ åðéðÝäïõ.

¢óêçóç 3

Íá âñåßôå ôçí ôéìÞ ôïõ ë, þóôå ç åîßóùóç λ 2 χ λ 1 y 8 íá ðáñéóôÜíåé åõèåßá ðïõ åßíáé:

á. ðáñÜëëçëç óôïí Üîïíá x x â. ðáñÜëëçëç óôïí Üîïíá y yÍá ó÷åäéÜóåôå ôçí áíôßóôïé÷ç åõèåßá óå êÜèå ðåñßðôùóç.

ÊÑÉÔÇÑÉÏ ÁÎÉÏËÏÃÇÓÇÓ

Page 130: c Gymnasiou 2012
Page 131: c Gymnasiou 2012

3.2 H Ýííïéá ôïõ ãñáììéêïý óõóôÞìáôïò êáé ç ãñáöéêÞ ôïõ åðßëõóç 129

Åñþôçóç 1

Ðïéá åßíáé ç ìïñöÞ åíüò óõóôÞìáôïò äýï ãñáììéêþí åîé-óþóåùí, äýï áãíþóôùí; Íá äïèåß ðáñÜäåéãìá.

ÁðÜíôçóç

Ç ìïñöÞ åßíáé α x β y γ

Σα΄ x β΄ y γ΄

üðïõ á, â, á’ , â’

åßíáé ïé óõíôåëåóôÝò ôùí áãíþóôùí x, y êáé ã, ã åßíáé ïéóôáèåñïß üñïé ôïõ óõóôÞìáôïò. Ãéá ðáñÜäåéãìá ôï

2x 5ψ 1

6x 2ψ 1

åßíáé ãñáììéêü óýóôçìá 2 åîéóþóåùí ìå 2 áãíþóôïõò.

Åñþôçóç 2

Ôé ïíïìÜæïõìå åðßëõóç åíüò óõóôÞìáôïò;

ÁðÜíôçóç

Åðßëõóç ïíïìÜæïõìå ôç äéáäéêáóßá êáôÜ ôçí ïðïßá ðñïóðá-èïýìå íá âñïýìå êÜèå æåýãïò ôçò ìïñöÞò (x, y) ôï ïðïßï íáåðáëçèåýåé êáé ôéò äýï åîéóþóåéò ôïõ óõóôÞìáôïò.

Åñþôçóç 3

Ôé ïíïìÜæïõìå ëýóç åíüò óõóôÞìáôïò; Íá äïèåß ðáñÜäåéãìá.

ÁðÜíôçóç

Ëýóç åíüò óõóôÞìáôïò ïíïìÜæïõìå êÜèå æåýãïò ôçò ìïñöÞò (x, y)ôï ïðïßï éêáíïðïéåß êáé ôéò äýï åîéóþóåéò ôïõ óõóôÞìáôïò.Ãéá ðáñÜäåéãìá, ôï óýóôçìá:

2x ψ 5

3x 2ψ 8

Ý÷åé ëýóç ôï æåýãïò (2, 1) ,äçëáäÞ x 2 , y 1 .

3.2 Ç Ýííïéá ôïõ ãñáììéêïý óõóôÞìáôïò - ãñáöéêÞ åðßëõóç

Åñþôçóç 4

Ôé ðáñéóôÜíåé óôï åðßðåäï êÜèå ìéá áðü ôéò åîéóþóåéòåíüò ãñáììéêïý óõóôÞìáôïò ìå äýï áãíþóôïõò;

ÁðÜíôçóç

ÊÜèå åîßóùóç ôïõ óõóôÞìáôïò ðáñéóôÜíåé óôï åðßðåäï ìéá åõèåßá.

Åñþôçóç 5

Ðþò åðéëýïõìå ãñáöéêÜ Ýíá óýóôçìá; Íá äïèïýí ðá-ñáäåßãìáôá.

ÁðÜíôçóç

Óôï ßäéï óýóôçìá áîüíùí ó÷åäéÜæïõìå ôéò äýï åõèåßåò ðïõáíôéðñïóùðåýïõí ôéò äýï åîéóþóåéò ôïõ óõóôÞìáôïò êáé óôçóõíÝ÷åéá ðáñáôçñïýìå åÜí ôÝìíïíôáé, åÜí åßíáé ðáñÜëëç-ëåò Þ áí ôáõôßæïíôáé (ßäéá åõèåßá).Áíáëõôéêüôåñá:á. Áí ôÝìíïíôáé ôüôå ïé óõíôåôáãìÝíåò ôïõ óçìåßïõ ôïìÞò ôïõò

(ôïõ êïéíïý ôïõò óçìåßïõ) èá åðáëçèåýïõí êáé ôéò äýï åîé-óþóåéò ôïõ óõóôÞìáôïò, Üñá èá åßíáé æåõãÜñé ëýóåùí áõ-ôïý.

â. Áí åßíáé ðáñÜëëçëåò (êáíÝíá êïéíü óçìåßï) ôï óýóôçìáäåí èá Ý÷åé êáíÝíá æåõãÜñé ëýóåùí êáé ó’ áõôÞ ôçí ðå-ñßðôùóç èá ÷áñáêôçñßæåôáé áäýíáôï.

ã. Áí ïé äýï åõèåßåò ôáõôßæïíôáé ôüôå óçìáßíåé üôé üëá ôáóçìåßá ôïõò (ðïõ åßíáé Üðåéñá) èá éêáíïðïéïýí ìå ôéò óõ-íôåôáãìÝíåò ôïõò êáé ôéò äýï åîéóþóåéò. ÅðïìÝíùò ôï óý-óôçìá èá Ý÷åé Üðåéñá æåõãÜñéá ëýóåùí êáé èá ÷áñáêôçñß-æåôáé áüñéóôï.

Ãéá ðáñÜäåéãìá, èá ëýóïõìå ôï óýóôçìá:

x ψ 1 1

2x ψ 2 2

Page 132: c Gymnasiou 2012

ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 3130

Ó÷åäéÜæïõìå óôï ßäéï óýóôçìá áîüíùí ôéò åõèåßåò 1ε , 2ε

ðïõ åßíáé ïé ãñáöéêÝò ðáñáóôÜóåéò ôùí åîéóþóåùí (1) êáé (2).

Ðáñáôçñïýìå üôé ôÝìíïíôáé óôï óçìåßï Á (1, 0), äçëáäÞ

x 1 , ψ 0 ðïõ åðáëçèåýïõí ôéò äýï åîéóþóåéò.

ÐñÜãìáôé åßíáé : 1 0 1 êáé 2 1 0 2 .

Áò ëýóïõìå ãñáöéêÜ êáé ôï óýóôçìá 2x ψ 1

6x 3ψ 6

Ó÷åäéÜæïõìå êáé ðÜëé ôéò ãñáöéêÝò ðáñáóôÜóåéò ôùí åîéóþóå-

ùí êáé äéáðéóôþíïõìå üôé ðñüêåéôáé ãéá ðáñÜëëçëåò åõèåßåò.

¢ñá ôï óýóôçìá åßíáé áäýíáôï.

Áí ëýíáìå ôçí êÜèå åîßóùóç ùò ðñïò ø èá åß÷áìå

ψ 2x 1 êáé 3ψ 6x 6 Þ ψ 2x 2 .

ÄçëáäÞ Ý÷ïõí ôïí ßäéï óõíôåëåóôÞ ôïõ x.

¢ñá ïé åõèåßåò åßíáé ðáñÜëëçëåò ðñüò ôçí åõèåßá ìå åîß-óùóç y = –2x êáé åðåéäÞ ôÝìíïõí ôïí Üîïíá y’y óå äéá-öïñåôéêÜ óçìåßá èá åßíáé ìåôáîý ôïõò ðáñÜëëçëåò.

ÐÁÑÁÄÅÉÃÌÁÔÁ - ÅÖÁÑÌÏÃÅÓ

1Íá ëõèåß ãñáöéêÜ ôï ðáñáêÜôù óýóôçìá:

1

2

x + ψ = 2 ε

x = ψ ε

ËýóçÐáñáôçñïýìå üôé ïé åõèåßåò 1ε êáé 2ε ôÝìíïíôáé óôï óç-ìåßï Á (1, 1). ¢ñá ôï æåýãïò (1, 1) áðïôåëåß ëýóç ôïõ óõ-óôÞìáôïò. ÐñÜãìáôé Ý÷ïõìå: 1 + 1 = 2 êáé 1 = 1.

Ná ðñïóäéïñßóåôå ãñáöéêÜ ôï ðëÞèïò ôùí ëý-óåùí óå êáèÝíá áðü ôá ðáñáêÜôù óõóôÞìáôá

á. x 2y 5

x 2y 1

â. x 3y 2

2x 6y 4

ã. x y 2

x 3y 6

Ëýóç

2

á â ã

Page 133: c Gymnasiou 2012

3.2 H Ýííïéá ôïõ ãñáììéêïý óõóôÞìáôïò êáé ç ãñáöéêÞ ôïõ åðßëõóç 131

ÅÑÙÔÇÓÅÉÓ ÊÁÔÁÍÏÇÓÇÓ

Íá åðéëÝîåôå ôç óùóôÞ áðÜíôçóç.

Ôï óýóôçìá

x y 5

2x y 4 Ý÷åé ùò ëýóç ôéò óõíôåôáãìÝíåò ôïõ óçìåßïõ:

á. A 3,2 â. B 2,3 ã. Γ 4, 1 ä. Δ 3, 2

Áí ïé åîéóþóåéò åíüò ãñáììéêïý óõóôÞìáôïò ðáñéóôÜíïíôáé ìå ôéò åõèåßåò 1ε êáé 2ε , íá óõìðëçñþóåôå ôïí ðáñáêÜôùðßíáêá áíôéóôïé÷ßæïíôáò óå êÜèå æåýãïò åõèåéþí ôçò óôÞëçò Á, ôï óùóôü óõìðÝñáóìá áðü ôç óôÞëç Â.

Ìå ôç âïÞèåéá ôïõ äéðëáíïý ó÷Þìáôïò íá âñåßôå ôç ëýóç óå êáèÝíá áðü ôá ðáñáêÜôù óõóôÞìáôá.

á. 2χ 3y 0

2χ y 4

â. 2χ 3y 0

2χ 3y 12

ã.

y 0

5x y 5

2

ä.

x 0

x y 5

1

2

3

Page 134: c Gymnasiou 2012

ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 3132

Íá ëýóåôå ãñáöéêÜ ôá óõóôÞìáôá:

á.

x 3

x y 4 â.

y 2

2x y 6 ã. x y 0

x y 0

ä.

3x y 4

x y 0 å.

4x 8y 12

5x 10y 15 óô.

x 2y 10

4x 8y 5

Óôï åðüìåíï ó÷Þìá öáßíåôáé ôï äéÜãñáììá ôá÷ýôçôáò - ÷ñüíïõ äýï áõôïêéíÞôùí Á êáé Â.

Íá âñåßôå:

á. Ôçí áñ÷éêÞ ôá÷ýôçôá êÜèå áõôïêéíÞôïõ.

â. Óå ðüóï ÷ñüíï ìåôÜ ôçí åêêßíçóÞ ôïõò ôá äýï áõôïêßíçôá èá Ý÷ïõí ôçí ßäéáôá÷ýôçôá êáé ðïéá èá åßíáé áõôÞ;

Áí ï Íßêïò åß÷å ðÜñåé 2 âáèìïýò ðáñáðÜíù áðü ôïí Ãéþñãï óôï äéáãþíéóìá ôùí ìáèçìáôéêþí èá åß÷å ôïí ßäéï âáèìüìå ôïí Ãéþñãï. Áí ï Ãéþñãïò åß÷å ðÜñåé äýï âáèìïýò ðáñáðÜíù áðü ôïí Íßêï èá åß÷å ôïí äéðëÜóéï âáèìü áðü áõôüíðïõ ðÞñå óôï äéáãþíéóìá ôùí ìáèçìáôéêþí. Ôé âáèìü Ýãñáøå ï êáèÝíáò;

Ìðïñåßôå íá õðïëïãßóåôå ôïõò óõíôåëåóôÝò ôïõ óõóôÞìáôïò ....χ 4y 1

2x ...y 3

, áí ãíùñßæåôå üôé ôï óýóôçìá Ý÷åé ëýóç 3,1 ;

Íá áðïäåßîåôå üôé ôá óõóôÞìáôá

χ 2y 5

3x 2y 7

êáé χ 4y 7

3x 4 y 5

Ý÷ïõí êïéíÞ ëýóç.

1

2

3

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

4

5

Page 135: c Gymnasiou 2012

3.2 H Ýííïéá ôïõ ãñáììéêïý óõóôÞìáôïò êáé ç ãñáöéêÞ ôïõ åðßëõóç 133

ÈÝìá 1ïÁ. Íá ÷áñáêôçñßóåôå ôéò ðáñáêÜôù ðñïôÜóåéò ìå (Ó), áí åßíáé óùóôÝò Þ ìå (Ë), áí åßíáé ëáíèáóìÝíåò.

á) Ôï æåýãïò (2,3) åßíáé ëýóç ôçò åîßóùóçò 3x y 3 .

â) Ç åõèåßá ε : 3x 7y 0 äéÝñ÷åôáé áðü ôçí áñ÷Þ ôùí áîüíùí.

ã) Ç åîßóùóç y 10 ðáñéóôÜíåé åõèåßá ðáñÜëëçëç óôïí Üîïíá y y .ä) Áí äýï åõèåßåò åßíáé ðáñÜëëçëåò, ôüôå ôï óýóôçìá ôùí åîéóþóåþí ôïõò åßíáé áüñéóôï.

(4 ÌïíÜäåò)

Â. Íá åðéëÝîåôå ôç óùóôÞ áðÜíôçóç:

i) Ïé åõèåßåò 1ε : 2x 3y 1 êáé 2ε : 3x 4y 1 Ý÷ïõí êïéíü óçìåßï ôï

á) A 9,0 â) Β 1,1 ã) Γ 6, 2 ä) Δ 3, 4

ii) Ôï óýóôçìá χ 2y 5

2x 4y 10

á) Ý÷åé ìßá ëýóç,â) åßíáé áüñéóôï, ã) åßíáé áäýíáôï(6 ÌïíÜäåò)

ÈÝìá 2ï

Íá ëýóåôå ôï óýóôçìá 3χ 5y 4

3x 2y 0

(4 ÌïíÜäåò)

ÈÝìá 3ï

Áí ïé åõèåßåò 1ε : κ 1 χ λ 1 y 10 êáé

2ε : κ 2 χ λy 3 ôÝìíïíôáé óôï óçìåßï Μ 2,1 , íá õðïëïãßóåôå ôéò ôéìÝò

ôùí áñéèìþí ê êáé ë.(6 ÌïíÜäåò

ÊÑÉÔÇÑÉÏ ÁÎÉÏËÏÃÇÓÇÓ

Page 136: c Gymnasiou 2012
Page 137: c Gymnasiou 2012

3.3 AëãåâñéêÞ åðßëõóç ãñáììéêïý óõóôÞìáôïò 135

Åñþôçóç 1

Ðïéåò åßíáé ïé áëãåâñéêÝò ìÝèïäïé åðßëõóçò åíüò óõ-óôÞìáôïò äýï ãñáììéêþí åîéóþóåùí äýï áãíþóôùí;

ÁðÜíôçóç

1. ÌÝèïäïò ôçò áíôéêáôÜóôáóçò.2. ÌÝèïäïò ôùí áíôéèÝôùí óõíôåëåóôþí.

Åñþôçóç 2

Ðþò åðéëýïõìå Ýíá óýóôçìá ìå ôç ìÝèïäï ôçò áíôéêáôÜóôáóçò;

Íá ëõèåß ôï óýóôçìá x + 2y = 5

3x + 5y = 13

ÁðÜíôçóç

Ëýíïõìå ôç ìßá áðü ôéò äýï åîéóþóåéò ùò ðñüò Ýíáí Üãíù-óôï êáé áíôéêáèéóôïýìå ôçí ôéìÞ ôïõ óôçí Üëëç.Ãéá ðáñÜäåéãìá

x 5 2yx 2y 5

ή ή3x 5y 13 3 5 2y 5y 13

[ëýíïõìå ôçí [áíôéêáèéóôïýìåðñþôç åîßóùóç ôçí ôéìÞ ôïõ x

ùò ðñïò x] óôç 2ç åîßóùóç]

x 5 2y x 5 2yή ή

15 6y 5y 13 y 13 15

x 5 2 2

y 2

x 1

y 2

¢ñá ç ëýóç ôïõ óõóôÞìáôïò åßíáé ç (1, 2)

3.3 ÁëãåâñéêÞ åðßëõóç ãñáììéêïý óõóôÞìáôïò

Åñþôçóç 3

Ðþò åðéëýïõìå Ýíá óýóôçìá ìå ôç ìÝèïäï ôùí áíôßèå-ôùí óõíôåëåóôþí; Íá ëõèåß ôï ðáñáêÜôù óýóôçìá ìå

ôç ìÝèïäï ôùí áíôßèåôùí óõíôåëåóôþí 2x + 5y = 7

3x + 8y = 13

ÁðÜíôçóç

ÐïëëáðëáóéÜæïõìå ìå êáôÜëëçëï áñéèìü ôá ìÝëç êÜèå åîß-óùóçò,þóôå Ýíáò Üãíùóôïò íá Ý÷åé áíôßèåôïõò óõíôåëåóôÝòóôéò äýï åîéóþóåéò.

η

η

πολλαπλασιάζουμε την 1 με 3

πολλαπλασιάζουμε τη 2 με 2

2x 5y 7

3x 8y 13

6x 15y 21

6x 16y 26

ÐñïóèÝôïõìå êáôÜ ìÝëç êáé ðáßñíïõìå: – y = – 5 Þ y = 5.Áíôéêáèéóôïýìå ôçí ôéìÞ y = 5 óå ìßá áðï ôéò äýï áñ÷éêÝò(óõíÞèùò ó’áõôÞí ðïõ Ý÷åé ôïõò ìéêñüôåñïõò óõíôåëåóôÝò)åäþ áíôéêáèéóôïýìå óôçí ðñþôç åîßóùóç êáé ðáßñíïõìå :

2x 5 5 7 ή 2x 18 ή x 9 ¢ñá ç ëýóç ôïõ óõóôÞìáôïò åßíáé ôï æåýãïò (-9,5).

Åñþôçóç 4

¼ôáí èÝëïõìå íá åðéëýóïõìå Ýíá óýóôçìá , áðïöáóß-æïõìå Üìåóá ãéá ôç ìÝèïäï ðïõ èá áêïëïõèÞóïõìå Þáðëïðïéïýìå ðñþôá ôç ìïñöÞ ôïõ;

Íá ëõèåß ôï óýóôçìá

x - 1 y - 2 1+ =

3 6 2x + y = 2

ÁðÜíôçóç

Ðñþôá áðëïðïéïýìå ôç ìïñöÞ ôùí åîéóþóåùí ôïõ óõóôÞìáôïò

(åÜí åßíáé áíáãêáßï) þóôå íá ðÜñïõìå äýï ãñáììéêÝò åîéóþóåéò.

Óôï óõãêåêñéìÝíï óýóôçìá èá áðëïðïéÞóïõìå ôçí ðñþôç åîßóùóç.

¸÷ïõìå x 1 y 2 1

ή 63 6 2

2 x 1

3

6y 2

6

63 1

ή2

2 x 1 y 2 3 ή 2x 2 y 2 3 ή 2x y 7

Ïðüôå ôï óýóôçìá ãßíåôáé

2x y 7 1

x y 2 2

Page 138: c Gymnasiou 2012

ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 3136

ÐÁÑÁÄÅÉÃÌÁÔÁ - ÅÖÁÑÌÏÃÅÓ

1

Íá ëõèïýí ôá ðáñáêÜôù óõóôÞìáôá.

á.

xx + ψ =

32x - ψ = 1

â. 2x + ψ = 7

x - ψ = -4

Ëýóç

á. Ìå ðñüóèåóç êáôÜ ìÝëç ðáßñíïõìå:

x3x 1

3 Þ 9x = x + 3 Þ 8x = 3 Þ x = 3/8.

Ìå áíôéêáôÜóôáóç óôçí 2x - y = 1, ðáßñíïõìå:

Ìå áöáßñåóç êáôÜ ìÝëç ((1) – (2)) , ðáßñíïõìå: x = 5 êáé

ìå áíôéêáôÜóôáóç óôçí äåýôåñç åîßóùóç ðáßñíïõìå:5 + y = 2 Þ y = – 3.

¢ñá ç ëýóç ôïõ óõóôÞìáôïò åßáíé ôï æåýãïò (5, -3)

Åñþôçóç 5

¸íá óýóôçìá 2 ãñáììéêþí åîéóþóåùí, ìå äýï áãíþóôïõòåßíáé äõíáôü íá Ý÷åé äýï ìüíï ëýóåéò; (áéôéïëüãçóç)

ÁðÜíôçóç

¼÷é, ìðïñåß íá Ý÷åé ìüíï ìßá Þ êáìßá Þ Üðåéñåò ëýóåéò äéüôéêÜèå åîßóùóç ôïõ óõóôçìáôïò ðáñéóôÜ ìßá åõèåßá ôïõåðéðÝäïõ ÷0y. Ïðüôå ïé äýï áõôÝò åõèåßåò ìðïñïýí:i) Íá ôÝìíïíôáé óå ìïíáäéêü óçìåßï (ìßá ëýóç)ii) Íá åßíáé ðáñÜëëçëåò (êáìßá ëýóç)iii) Ná ôáõôßæïíôáé (Üðåéñåò ëýóåéò)

Åñþôçóç 6

Ðþò ëýíåôáé Ýíá óýóôçìá äýï åîéóþóåùí, üðïõ ç ìßáåîßóùóç åßíáé 2ïõ âáèìïý êáé ç Üëëç 1ïõ;Ãéá ðáñÜäåéãìá ëýóôå ôï åðüìåíï óýóôçìá:

2 σύστημα 2 εξισώσεωνx + y = 102 αγνώστων,όχι γραμμικό2x - y = 5

ÁðÜíôçóç

ÓõíÞèùò áêïëïõèïýìå ôç ìÝèïäï áíôéêáôÜóôáóçò.

Ëýíïõìå ôç ãñáììéêÞ åîßóùóç ùò ðñüò ôïí Ýíá Üãíùóôï.

Åäþ ãéáðáñÜäåéãìá,áðü ôçí åîßóùóç 2x y 5 ðáßñíïõìå

y 2x 5 êáé ìå áíôéêáôÜóôáóç óôçí ðñþôç åîßóùóç ðáßñíïõìå:2x 2x 5 10 Þ 2x 2x 15 0

Åßíáé Δ 4 60 64 0 ïðüôå ïé ëýóåéò ôçò åßíáé:

11,2

2

x 52 8x

2 x 3

Ãéá x 5 áðü ôçí (2) ðáßñíïõìå y = – 15.

Ãéá x 3 áðü ôçí (2) ðáßñíïõìå y = 1.

ÅðïìÝíùò ïé ëýóåéò ôïõ óõóôÞìáôïò åßíáé ïé 5, 15 , 3,1

3 1

2 y 1 ή y8 4

¢ñá ç ëýóç ôïõ óõóôÞìáôïò åßíáé 3 / 8, 1/ 4 .

â. 2x ψ 7 2x ψ 7

ή ήx ψ 4 x ψ 4

3x 3 x 1 x 1ή ή

x ψ 4 ψ x 4 ψ 5

¢ñá ëýóç ôïõ óõóôÞìáôïò åßíáé ôï æåýãïò (1, 5).

Page 139: c Gymnasiou 2012

3.3 AëãåâñéêÞ åðßëõóç ãñáììéêïý óõóôÞìáôïò 137

Íá ëõèåß ôï óýóôçìá: 23x - 2y x = 1

y = x

Ëýóç

2 23x 2y x 1 3x 2x x 1ή ή

y x y x

2 2 2 x 1ή x 13x 2x 1 x 1ή ή

ψ xψ x ψ x

Ãéá x 1 åßíáé ψ 1 êáé ãéá x 1 åßíáé ψ 1 .

¢ñá ïé ëýóåéò ôïõ óõóôÞìáôïò åßíáé ôá æåýãç (1,1) êáé 1,1 .

Ó’ Ýíá ïñèïãþíéï ôñßãùíï ôï Üèñïéóìá ôùíäýï êÜèåôùí ðëåõñþí ôïõ åßíáé 7cm åíþ ôï

åìâáäüí ôïõ åßíáé 26cm . Íá âñåèïýí ïé êÜ-èåôåò ðëåõñÝò.

Ëýóç

Áí ïíïìÜóïõìå x êáé ø ôéò êÜèåôåòðëåõñÝò ôïõ ôñéãþíïõ ôüôå Ý÷ïõìå:

x ψ 7 x 7 ψή ήx ψ x ψ 126

2

2

x 7 ψ 2x 7 ψή

7 ψ ψ 12 7ψ ψ 12 1

Ëýíïõìå ôçí (1). ¸÷ïõìå 2ψ 7ψ 12 0 ìå α 1 , â =7, ã = -12, ïðüôå:

1

1,2

2

6ψ 3

β Δ 7 1 2ψ82α 2

ψ 42

2

3

Ãéá ψ 3 áðü ôçí (2) ðáßñíïõìå x = 4 êáé ãéá ψ 4 áðü ôçí (2)ðáßñíïõìå x = 3. ¢ñá ç ëýóåéò ôïõ óõóôÞìáôïò åßíáé ôá æåýãç: (4,3), (3,4)

Ìéá åõèåßá äéÝñ÷åôáé áðü ôá óçìåßá A 1,3

êáé B 2,-1 . Íá âñåèåß ç åîßóùóÞ ôçò.

Ëýóç

¸óôù ψ αx β ç åîßóùóç ôçò åõèåßáò (å) ðïõ áíáæçôÜìå.Åö’ üóïí äéÝñ÷åôáé áðü ôá óçìåßá Á êáé  ïé óõíôåôáãìÝíåòôùí Á êáé  éêáíïðïéïýí ôçí åîßóùóÞ ôçò.

ÄçëáäÞ ãéá x 1 êáé ψ 3 ðñÝðåé 3 α β êáé ãéá x 2

êáé ψ 1 ðñÝðåé 1 2α β

Ëýíïõìå ôï óýóôçìá α β 3

2α β 1

. Ìå áöáßñåóç êáôÜ ìÝëç

ðáßñíïõìå α 4 ïðüôå β 7 . ¢ñá ç åõèåßá (å) åßíáé ç

ψ 4x 7 .

Ôï åìâáäüí ôïõ ôñéãþíïõ åßíáé 23cm , åíþ

ôïõ ôå ôñáãþíïõ å ßíáé 225cm . Íá âñåèå ß çðëåõñÜ ôïõ ôåôñáãþíïõ.

Ëýóç

Óýìöùíá ìå ôá äåäïìÝíá, Ý÷ïõìå:

2

x ψ3

2

x ψ 25

4

5

Page 140: c Gymnasiou 2012

ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 3138

x ψ 6 5 ψ ψ 6ή ή

x ψ 5 x 5 ψ Þ

2ψ 5ψ 6 0 1

x 5 ψ 2

Ç (1) Ý÷åé äéáêñßíïõóá Δ 25 24 1 0 , ïðüôå:

1

1,2

2

ψ 35 1

ψ2

ψ 2

Ãéá ψ 3 áðü ôç (2) Ý÷ïõìå x 5 3 2

Ãéá ψ 2 áðü ôç (2) Ý÷ïõìå x 5 2 3

¢ñá (x, ø) = (2, 3) Þ (x, ø) = (3, 2). Ôüôå ç ðëåõñÜ ôïõôåôñáãþíïõ åßíáé: 5cm.

Ó’ Ýíá ïñèïãþíéï ðáñáëëçëüãñáììï ï ëüãïò ôùíäýï ðëåõñþí ôïõ åßíáé 2,åíþ ôï åìâáäüí ôïõåßíáé 18. Íá âñåèïýí ôá ìÞêç ôùí ðëåõñþí ôïõ.

Ëýóç

¸óôù ÷ êáé ø ôá ìÞêç ôùí ðëåõñþí, ôüôå:

2

x 2ψ x 6ή

ψ 3 ή ψ 3ψ 9

Ç ôéìÞ ψ 3 áðïññßðôåôáé, áöïý ψ 0 .

¸íáò äéøÞöéïò áñéèìüò Ý÷åé Üèñïéóìá øçößùí3. Áí áõîÞóïõìå ôï ðñþôï øçößï ôïõ êáôÜ 2êáé ôï äåýôåñï êáôÜ 4, ôüôå ï íÝïò áñéèìüòðïõ ðñïêýðôåé åßíáé ôñéðëÜóéïò ôïõ áñ÷éêïý.Íá âñåèåß ï áñéèìüò áõôüò.

Ëýóç¸óôù x ôï ðñþôï øçößï ôïõ áñéèìïý êáé ø ôï äåýôåñïøçößï áõôïý. Ôüôå ï áñéèìüò Ý÷åé x 10 ψ ìïíÜäåò.Ï íÝïò áñéèìüò èá Ý÷åé ðñþôï øçößï x 2 êáé äåýôåñï øç-

ößï ψ 4 ïðüôå èá Ý÷åé x 2 10 ψ 4 ìïíÜäåò.

Óýìöùíá ìå ôá äåäïìÝíá Ý÷ïõìå: x ψ 3 1 êáé x 2 10 ψ 4 3 x 10 ψ (2)Ç (2) ãñÜöåôáé: 10x 20 ψ 4 30x 3ψ Þ 24 20x 2ψ Þ 12 10x ψ 3 Ëýíïõìå ôï óýóôçìá ôùí åîéóþóåùí (1), (3).

x ψ 3 x ψ 3 x 1ή ή

10x ψ 12 10x ψ 12 ψ 2

.

¢ñá ï áñéèìüò åßíáé ï 12.

¸óôù ñ1, ñ2 ïé áêôßíåò äýï êõêëéêþí äßóêùí.Ôï Üèñïéóìá ôùí áêôßíùí ôùí äýï äßóêùí åßíáé5cm, åíþ ç äéáöïñÜ ôùí åìâáäþí ôïõò åßíáé

215cm . Íá âñåèïýí ïé áêôßíåò ñ1, ñ2, 1 2ρ > ρ .

Ëýóç

Óýìöùíá ìå ôá äåäïìÝíá Ý÷ïõìå:

1 21 2

2 22 21 21 2

ρ ρ 5ρ ρ 5ή ή

π ρ ρ 15πρ πρ 15

1 2 1 2

1 2 1 2 1 2

ρ ρ 5 ρ ρ 5ή

π ρ ρ ρ ρ 15 π 5 ρ ρ 15

1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1

ρ ρ 5 ρ ρ 5 ρ ρ 5ή ή ή15 3 3

ρ ρ ρ ρ 2ρ 55 π π π

11

2 1 2

5 3 /π5 3 / π ρρ 2ή25 3 /π

ρ 5 ρ ρ 52

1 1

2 2

5 3 /π 5 3 /πρ ρ

2 2ή10 5 3 /π 5 3 / π

ρ ρ2 2

6

7

8

Page 141: c Gymnasiou 2012

3.3 AëãåâñéêÞ åðßëõóç ãñáììéêïý óõóôÞìáôïò 139

Íá ëõèåß ôï ìç ãñáììéêü óýóôçìá: xψ + x + ψ = 11

x + ψ = 5

Ëýóç

xψ x ψ 11 xψ 5 11 xψ 6 5 ψ ψ 6ή ή ή ή

x ψ 5 x 5 ψx ψ 5 x 5 ψ

2 ψ 2 ή ψ 3ψ 5ψ 6 0ή

x 5 ψx 5 ψ

¢ñá ïé ëýóåéò åßíáé (x , ø) = (3, 2) êáé (x , ø) = (2, 3).

9

ÅÑÙÔÇÓÅÉÓ ÊÁÔÁÍÏÇÓÇÓ

1 Ná âñåßôå ðïéï áðü ôá ðáñáêÜôù æåýãç åßíáé ëýóç ôïõ óõóôÞìáôïò χ y 8

x y 6

á. 2,4 â. 7, 1 ã. 6,2 ä. 7,1

Ãéá ôçí åðßëõóç ôïõ óõóôÞìáôïò 4x 3y 10

3x y 5

ìå ôç ìÝèïäï ôçò áíôéêáôÜóôáóçò åßíáé ðñïôéìüôåñï íá ëýóïõìå:

á. ôçí ðñþôç åîßóùóç ùò ðñïò ÷; â. ôçí ðñþôç åîßóùóç ùò ðñïò y;ã. ôç äåýôåñç åîßóùóç ùò ðñïò ÷; ä. ôç äåýôåñç åîßóùóç ùò ðñïò y;

Áí óôï óýóôçìá 4x 6 y 10

3x 6 y 4

åöáñìüæïõìå ôç ìÝèïäï ôùí áíôéèÝôùí óõíôåëåóôþí ðïéá áðü ôéò ðáñáêÜôù åîéóþóåéò ðñïêýðôåé;

á. 4x 1 â. 2x 14 ã. 7χ 14 ä. 5χ 4

Ìå ðïéïõò áñéèìïýò ðñÝðåé íá ðïëëáðëáóéÜóïõìå ôá ìÝëç êÜèå åîßóùóçò ãéá íá ðñïêýøïõí áíôßèåôïé óõíôåëåóôÝòóôïí Üãíùóôï y óå êÜèå óýóôçìá;

3χ 6y 9 .....

4x 3y 1 .....

2χ 3y 1 .....

4x 7y 4 .....

Ìå ðïéá ìÝèïäï åßíáé ðñïôéìüôåñï íá ëýóïõìå êáèÝíá áðü ôá ðáñáêÜôù óõóôÞìáôá;

á.

3x 4y 2

y 2x 7â.

4x 3y 8

5x 3y 10ã.

y 2x 4

y 3x 10ä.

3x 4y 2

4x 3y 10

2

3

4

5

Page 142: c Gymnasiou 2012

ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 3140

Óå êáèÝíá áðü ôá ðáñáêÜôù óõóôÞìáôá 1

3χ 4y 5Σ :

3x 4y 3

2

6χ 8y 7Σ :

6x 8y 7

áí åöáñìüóïõìå ôç ìÝèïäï ôùí áíôéèÝôùí óõíôåëåóôþí, ôüôå áðáëåßöïíôáé êáé ïé äýï Üãíùóôïé. Ðïéï óõìðÝñáóìáðñïêýðôåé ãéá êáèÝíá áðü ôá óõóôÞìáôá;

6

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

1 Íá ëõèïýí ôá ðáñáêÜôù óõóôÞìáôá:

á.

4x y 11

5 3x y

â.

2x y 7

5x y 12ã.

2x y 5

2y x 7ä.

x 1 y 2 13 6 2

x 1 y 14 3 3

Íá ëõèïýí ôá ðáñáêÜôù óõóôÞìáôá: á.

2x y 1

x y 0â.

2 2x y 34

x y 8

Íá ëõèïýí ôá ðáñáêÜôù óõóôÞìáôá: á.

1 1 5x y 6

x y 6â.

1 1 1x y 2

2 3 1x y 5

Íá õðïëïãßóåôå äýï áñéèìïýò üðïõ ôï ÜèñïéóìÜ ôïõò åßíáé 4 êáé ôï Üèñïéóìá ôùí ôåôñáãþíùí ôïõò åßíáé 10.

Íá âñåèåß ç åîßóùóç ìéáò åõèåßáò ç ïðïßá äéÝñ÷åôáé áðü ôá óçìåßá A 1, 2 êáé B 0, 3 .

Íá âñåèïýí ïé êÜèåôåò ðëåõñÝò åíüò ïñèïãùíßïõ ôñéãþíïõ ôï ïðïßï Ý÷åé õðïôåßíïõóá ìÞêïõò 5cm êáé åìâáäü 26cm .

Íá âñåèåß ï äéøÞöéïò áñéèìüò ôïõ ïðïßïõ ôá øçößá Ý÷ïõí Üèñïéóìá 7, åíþ áí áëëÜîïõìå ôç èÝóç ôïõò ï áñéèìüòðïõ ðñïêýðôåé åßíáé ìåãáëýôåñïò êáôÜ äýï ìïíÜäåò áðü ôï äéðëÜóéï ôïõ áñ÷éêïý, áñéèìïý.

Íá âñåèåß ç åîßóùóç ìéáò åõèåßáò ç ïðïßá äéÝñ÷åôáé áðü ôçí áñ÷Þ ôùí áîüíùí êáé ôï óçìåßï A 1, 2 .

¸íá ïñèïãþíéï ðáñáëëçëüãñáììï Ý÷åé åìâáäü 230cm êáé çìéðåñßìåôñï 11. Íá âñåèïýí ïé äéáóôÜóåéò ôïõ.

2

3

4

5

6

7

8

9

Page 143: c Gymnasiou 2012

3.3 AëãåâñéêÞ åðßëõóç ãñáììéêïý óõóôÞìáôïò 141

Ó’ Ýíá áãñüêôçìá õðÜñ÷ïõí êïõíÝëéá êáé êüôåò. Ôï ðëÞèïò üëùí åßíáé 20 êáé ôï óýíïëï ôùí ðïäéþí ôïõò åßíáé56. Íá âñåßôå ðüóá êïõíÝëéá êáé ðüóåò êüôåò õðÜñ÷ïõí óôï áãñüêôçìá.

Ó’ Ýíá îåíïäï÷åßï õðÜñ÷ïõí äùìÜôéá äßêëéíá êáé ôñßêëéíá. Ï áñéèìüò ôùí ôñßêëéíùí äùìáôßùí åßíáé êáôÜ 5ìåãáëýôåñïò áðü ôïí áñéèìü ôùí äßêëéíùí. Åðßóçò õðÜñ÷ïõí óõíïëéêÜ 60 êëßíåò. Íá âñåßôå ðüóá åßíáé ôá äßêëéíáêáé ðüóá ôá ôñßêëéíá äùìÜôéá.

10

11

ÊÑÉÔÇÑÉÏ ÁÎÉÏËÏÃÇÓÇÓ

Åñþôçóç 1

Äßíïíôáé ôá ðáñáêÜôù óõóôÞìáôá 2 åîéóþóåùí ìå 2 áãíþóôïõò. Ðïéï åßíáé ôï ãñáììéêü, ðïéï ü÷é êáé ãéáôß;

á. 2x y 5

4x 3y 13

â. 2x y 0

x y 5

Óôç óõíÝ÷åéá íá åðéëõèïýí.

Åñþôçóç 2

Äßíïíôáé ôá ðáñáêÜôù óõóôÞìáôá á. êáé â. ôá ïðïßá åßíáé áüñéóôï êáé áäýíáôï áíôßóôïé÷á, íá áéôéïëïãçèåß ôï ãéáôß ÷ùñßò íá åðéëõèïýí.

á.

2x y 3

4 2x y 2

3 3

â.

2

2

x y 0

x y 500

¢óêçóç 1

Íá ëõèåß ôï óýóôçìá ìå ÷ñÞóç êáôÜëëçëïõ ìåôáó÷çìáôéóìïý:

2 11

x y

4 53

x y

¢óêçóç 2

Íá âñåèïýí ïé ôéìÝò ôùí x, y ðïõ éêáíïðïéïýí ôçí ðáñáêÜôù éóüôçôá: 2 2x y 2 x y 0

¢óêçóç 3

Ïé áñéèìïß x, y åßíáé áíÜëïãïé ðñïò ôïõò áñéèìïýò, 3 êáé 5 áíôßóôïé÷á. Åðßóçò ôï ÜèñïéóìÜ ôïõò äéáéñïýìåíï ìå ôï 16äßíåé ðçëßêï 2 êáé õðüëïéðï 0. Íá âñåèïýí ïé áñéèìïß x, y.

Page 144: c Gymnasiou 2012
Page 145: c Gymnasiou 2012

4.1 Ç óõíÜñôçóç y = á÷2 143

Åñþôçóç 1

Ôé ãíùñßæåôå ãéá ôç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò óõíÜñôçóçò y = á÷2;

ÁðÜíôçóç

• ̧ ÷åé ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ìßá êáìðýëç ðïõ ïíïìÜæåôáé ðáñáâïëÞ ìå êïñõöÞ ôï óçìåßï Ο 0,0 êáé Üîïíá óõììåôñßáò ôïí Üîïíá y y .

• Áí α 0 ôüôå: ç ðáñáâïëÞ âñßóêåôáé áðü ôïí Üîïíá χ χ • Áí α 0 , ôüôå: ç ðáñáâïëÞ âñßóêåôáé áðü ôïí Üîïíá χ χ

êáé ðÜíù êáé ç óõíÜñôçóç ðáßñíåé åëÜ÷éóôç ôéìÞ êáé êÜôù êáé ç óõíÜñôçóç ðáßñíåé ìÝãéóôç ôéìÞ

y 0 , üôáí x 0 . y 0 , üôáí x 0 .

4.1 Ç óõíÜñôçóç y = á÷2

Óôá ðáñáêÜôù ó÷Þìáôá Ý÷ïõìå ó÷åäéÜóåé ôçí ðáñáâïëÞ 2y αχ ãéá äéÜöïñåò ôéìÝò ôïõ áñéèìïý á. ÐáñáôçñÞóôå üôé:

á) Ï óõíôåëåóôÞò á äåí êáèïñßæåé ìüíï ôç èÝóç ôçò ðáñáâïëÞò 2y αχ ùò ðñïò ôïí Üîïíá χ χ , áëëÜ êáèïñßæåé êáé ôï

“ÜíïéãìÜ” ôçò. ¼ôáí ç áðüëõôç ôéìÞ ôïõ á áõîÜíåôáé, ôüôå ç ðáñáâïëÞ “êëåßíåé”.

áí 1 2 30 α α αïé áíôßóôïé÷åò ãñáöéêÝò ðáñá-óôÜóåéò ôïõò öáßíïíôáé óôïðáñáðÜíù ó÷Þìá.

áí 1 2 3α α α 0ïé áíôßóôïé÷åò ãñáöéêÝò ðáñá-óôÜóåéò ôïõò öáßíïíôáé ðáñá-ðÜíù ó÷Þìá.

Ïé ðáñáâïëÝò 2y αχ êáé 2y αχ åßíáé óõììå-

ôñéêÝò ùò ðñïò Üîïíá óõììåôñßáò χ χ .

Page 146: c Gymnasiou 2012

ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 4144

Íá âñåèåß ç ôéìÞ ôïõ á, þóôå ç ðáñáâïëÞ2y αχ íá äéÝñ÷åôáé áðü ôï óçìåßï Α 2,8 .

Ëýóç

Ãéá íá äéÝñ÷åôáé ç ðáñáâïëÞ 2y αχ áðü ôï óçìåßï

Α 2,8 , ðñÝðåé ïé óõíôåôáãìÝíåò ôïõ óçìåßïõ Á, íá åðá-

ëçèåýïõí ôçí åîßóùóç 2y αχ .

¢ñá, ãéá x = -2 êáé y = 8, Ý÷ïõìå 28 α 2 Þ 8 = 4á, ïðüôå á = 2.

Íá ó÷åä éáóôå ß ç ðáñ áâïëÞ 2y 8x üô áí

1 1x

2 2 êáé íá âñåèåß ç ìÝãéóôç êáé ç å-

ëÜ÷éóôç ôéìÞ ðïõ ðáßñíåé ç ìåôáâëçôÞ y. Ðïéá

óçìåßá ôçò ðáñáâïëÞò Ý÷ïõí ôåôáãìÝíç 89

;

Ëýóç

Ó÷çìáôßæïõìå ðßíáêá ôéìþí ôçò óõíÜñôçóçò 2y 8x .

Ìå ôç âïÞèåéá ôùí ôéìþí áõôþí ó÷åäéÜæïõìå ôçí ðáñáâï-ëÞ. Áðü ôç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ðñïêýðôåé üôé, ãéá üëåò ôéò

ôéìÝò ôïõ ÷, áðü ôï 12

Ýùò êáé ôï 12

ïé áíôßóôïé÷åò ôéìÝò

ôïõ y åßíáé áðü ôï -2 Ýùò êáé ôï 0 2 y 0 .

¢ñá, ç ìÝãéóôç ôéìÞ ôïõ y åßíáé ôï 0, üôáí x 0 êáé ç åëÜ÷é-

óôç ôéìÞ ôïõ y åßíáé ôï -2, üôáí 1

x2

Þ 1

χ2

.

1

2

Ãéá 8

y9

Ý÷ïõìå: 288x

9 Þ 2 1

x9

, ïðüôå 1

x3

.

¢ñá ôá æçôïýìåíá óçìåßá åßíáé ôá 1 8,

3 9

êáé 1 8,

3 9

.

Ôá óçìåßá áõôÜ ìðïñïýí íá âñåèïýí êáé áðü ôç ãñáöéêÞ

ðáñÜóôáóç, áöïý åßíáé êïéíÜ óçìåßá ôçò åõèåßáò å: 8

y9

êáé ôçò ðáñáâïëÞò 2y 8x .

ÐÁÑÁÄÅÉÃÌÁÔÁ - ÅÖÁÑÌÏÃÅÓ

Page 147: c Gymnasiou 2012

4.1 Ç óõíÜñôçóç y = á÷2 145

Íá âñåßôå ôçí åîßóùóç ôçò ðáñáâïëÞò óôïó÷Þìá ðáñáêÜôù. Íá ó÷åäéÜóåôå ôç óõììå-ôñéêÞ ôçò ùò ðñïò ôïí Üîïíá x x êáé íá ãñÜ-øåôå ôçí åîßóùóÞ ôçò.

Ëýóç

Åßíáé ôçò ìïñöÞò 2y αχ ìå α 0 .

Éó÷ýåé 22 α 4 Þ 1

α8

. ¢ñá åßíáé ç 21y x

8 .

Íá ó÷åäéÜóåôå ô éò ðáñáâïëÝò:

á. 2y 2x â. 2y 2x ã. 23y x

4 ä. 23

y x4

Ëýóçá. Ãíùñßæïõìå áðü ôç èåùñßá üôé áí á > 0 ç ðáñáâïëÞ

2y αχ åßíáé ôçò ìïñöÞò êáé áí á < 0 åßíáé ìåêïñõöÞ ôï (0, 0). Ôï á êáèïñßæåé ðüóï “áíïéêôÞ” Þ “êëåé-óôÞ” èá åßíáé ç êáìðýëç.Ãé’ áõôü äßíïõìå ìéá ôéìÞ óôï ÷êáé ðñïóäéïñßæïõìå Ýíá óçìåßïôçò êáìðýëçò. Ùò óõììåôñéêÞðñïò ôïí Üîïíá y y èá äéÝñ÷å-ôáé êáé áðü ôï óõììåôñéêü ôïõóçìåßïõ ðïõ âñÞêáìå ùò ðñïòôïí Üîïíá y y .Ãéá x = 1 åßíáé y = 2 Üñá äéÝñ÷å-ôáé áðü ôï (1, 2) ïðüôå êáé áðüôï (-1, 2).

â. ÅðåéäÞ ïé ðáñáâïëÝò 2y αχ

êáé 2y αχ åßíáé óõììåôñéêÝò

ùò ðñïò Üîïíá óõììåôñßáò ôïí

χ χ , èá åßíáé:

Ïìïßùò Ý÷ïõìå ã, ä (âëÝðå ó÷Þìá)

3

4

Page 148: c Gymnasiou 2012

ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 4146

Íá âñåßôå ôá óçìåßá ôçò ðáñáâïëÞò 2y 4x ðïõ Ý÷ïõí ôåôáãìÝíç -16.

Ëýóç

ÐñÝðåé 216 4x Þ 2 16x

4 Þ x 2 .

¢ñá ôá óçìåßá åßíáé ôá: 2, 16 êáé 2, 16 .

Íá âñåßôå ôçí ôéìÞ ôïõ ë, þóôå ç ðáñáâïëÞ y =

(ë - 2)x2 íá äéÝñ÷åôáé áðü ôï óçìåßï

1 1Μ ,

4 4.

Ëýóç

ÐñÝðåé ïé óõíôåôáãìÝíåò ôïõ óçìåßïõ Ì íá åðáëçèåýïõí ôçíåîßóùóçôçò ðáñáâïëÞò, äçëáäÞ:

5

6

2

1 1λ 2

4 4

Þ 1 1

λ 24 16

Þ λ 2 4 Þ λ 6 .

Áí ç óõíÜñôçóç 21y x

λ ðáßñíåé ìÝãéóôç ôéìÞ êáé

ç ãñáöéêÞ ôçò ðáñÜóôáóç äéÝñ÷åôáé áðü ôï óçìåß-

ï M 4,λ , íá âñåßôå ôçí ôéìÞ ôïõ áñéèìïý ë.

Ëýóç

Áöïý ðáßñíåé ìÝãéóôç ôéìÞ åßíáé 1

äçë. ë < 0. Áöïý

äéÝñ÷åôáé áðü ôï (4, ë) éó÷ýåé:

21λ 4

λ Þ 2 2λ 4 Þ λ 4 êáé åðåéäÞ ë < 0, åßíáé ë = -4.

7

Ðïéá áðü ôá ðáñáêÜôù óçìåßá áíÞêïõí óôçí ðáñáâïëÞ 2y 4x ;

á. A 1, 4 â. B 2, 4 ã. 1Γ ,1

2

ä. 1

Δ ,12

Ðïéåò áðü ôéò ðáñáêÜôù óõíáñôÞóåéò ðáßñíïõí ìÝãéóôç êáé ðïéåò åëÜ÷éóôç ôéìÞ;

á. 2y 2x â. 2y 2x ã. 2y 3x ä. 2y 3x

Íá ÷áñáêôçñßóåôå ôéò ðáñáêÜôù ðñïôÜóåéò ìå (Ó), áí åßíáé óùóôÝò Þ ìå (Ë), áí åßíáé ëáíèáóìÝíåò:

á. Ç ðáñáâïëÞ 2y 2x Ý÷åé êïñõöÞ ôï óçìåßï O 0,0 .

â. Ï Üîïíáò x x åßíáé Üîïíáò óõììåôñßáò ôçò ðáñáâïëÞò 2y x .

ÅÑÙÔÇÓÅÉÓ ÊÁÔÁÍÏÇÓÇÓ

1

2

3

Page 149: c Gymnasiou 2012

4.1 Ç óõíÜñôçóç y = á÷2 147

ã. Ïé ðáñáâïëÝò 2y 3x êáé 2y 3x åßíáé óõììåôñéêÝò ùò ðñïò ôïí Üîïíá y y .

ä. Ç óõíÜñôçóç 2y 5x ðáßñíåé åëÜ÷éóôç ôéìÞ ôçí y 0 .

å. Ç óõíÜñôçóç 2y 7x ðáßñíåé ìÝãéóôç ôéìÞ ôçí y 0 .

óô. Áí ç ðáñáâïëÞ 2y αχ äéÝñ÷åôáé áðü ôï óçìåßï Μ 1,4 ,

ôüôå èá äéÝñ÷åôáé êáé áðü ôï óçìåßï Λ 2,4 .

Óôï äéðëáíü óýóôçìá áîüíùí Ý÷ïõìå ó÷åäéÜóåé Ýíá ôìÞìá ôçò ãñáöéêÞò ðáñÜóôáóçò

ôçò óõíÜñôçóçò 2y x .

á. Íá ïëïêëçñþóåôå ôç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò óõíÜñôçóçò.

â. Óôï ßäéï óýóôçìá áîüíùí íá ó÷åäéÜóåôå êáé ôç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò óõíÜñôçóçò 21y x

4 .

Áí ç ðáñáâïëÞ 2y αχ äéÝñ÷åôáé áðü ôï óçìåßï Μ 4, 16 , ôüôå:

á. α 2 â. α 1 ã. α 4 ä. 1

α8

4

5

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

Ìéá äïñõöïñéêÞ êåñáßá Ý÷åé äéÜìåôñï ΑΒ = 16m . Ç êáìðýëç ÁÏ åßíáé ôüîï ðáñáâïëÞò ìå åîßóùóç 21

y x4

.

Ðüóï áðÝ÷ïõí ôá Á,  áðü ôï Ýäáöïò ðïõ èåùñåßôáé ï x’x.

Íá âñåßôå ôéò åîéóþóåéò ôùí ðáñáâïëþí ôïõ äéðëáíïý ó÷Þìáôïò, áí ãíùñßæåôå üôé ôï Á(2,1),

Â(1,1), 1

Γ ,12

.

i. Ná âñåßôå ôçí åîßóùóç ôçò ðáñáâïëÞò ìå êïñõöÞ ôï óçìåßï O 0,0 ðïõ äéÝñ÷åôáé áðü ôï óçìåßï Á(1,4).

ii. Óôç óõíÝ÷åéá íá âñåßôå ôçí åîßóùóç ôçò ðáñáâïëÞò ðïõ Ý÷åé ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôï óõììåôñéêü ó÷Þìá áõôÞò

ôïõ åñùôÞìáôïò (i), ùò ðñïò ôïí Üîïíá x x .

1

2

3

Page 150: c Gymnasiou 2012

ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 4148

Íá ó÷åäéÜóåôå ôéò ðáñáâïëÝò 2ψ 2x êáé 2ψ 2x óôï ßäéï óýóôçìá áîüíùí. Ðïéá ó÷Ýóç Ý÷ïõí ìåôáîý ôïõò ïéãñáöéêÝò ðáñáóôÜóåéò ôùí äýï ðáñáâïëþí;

Äßíåôáé ç ðáñáâïëÞ 2ψ α x . Íá âñåßôå ôïí á, áí ç ðáñáâïëÞ äéÝñ÷åôáé áðü ôï óçìåßï (-3, -27). Óôç óõíÝ÷åéá íá ôç ó÷åäéÜóåôå.

Íá ó÷åäéáóôåß ç ðáñáâïëÞ 2ψ αx , áí ãíùñßæåôå üôé äéÝñ÷åôáé áðü ôï óçìåßï 1M 1,

4

.

Íá ó÷åäéáóôåß ç ðáñáâïëÞ 23ψ x

4 êáé 4 x 4 êáé Ýðåéôá íá ó÷åäéáóôåß ç óõììåôñéêÞ ôçò ùò ðñïò ôïí Üîïíá

x x êáé íá âñåèåß ç åîßóùóç ôçò ðáñáâïëÞò áõôÞò.

Äßíåôáé ç óõíÜñôçóç 2f x k 2 x . Áí åßíáé f 2 3f 1 2 , íá âñåèåß ôï k êáé Ýðåéôá íá ãßíåé ç ãñáöéêÞðáñÜóôáóç ôçò óõíÜñôçóçò f.

Íá ãßíåé ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò óõíÜñôçóçò 2ψ κx λ áí ãíùñßæåôå üôé äéÝñ÷åôáé áðü ôçí áñ÷Þ ôùí áîüíùíêáé áðü ôï óçìåßï Ì(3,3).

Èåùñïýìå ôçí åõèåßá ε : ψ λx 2 êáé ôçí ðáñáâïëÞ 2c : ψ 2x . Íá ðñïóäéïñéóôåß ï λ R þóôå ç åõèåßá (å)íá Ý÷åé ìå ôçí ðáñáâïëÞ (c) i. ¸íá êïéíü óçìåßï ii. Äõï êïéíÜ óçìåßá iii. ÊáíÝíá êïéíü óçìåßï

7

ÊÑÉÔÇÑÉÏ ÁÎÉÏËÏÃÇÓÇÓ

¢óêçóç 1¸íá éóüðëåõñï ôñßãùíï Ý÷åé ðëåõñÜ ÷. Íá åêöñÜóåôå ôï åìâáäüí ôïõ y ùò óõíÜñôçóç ôïõ ÷ êáé íá ó÷åäéÜóåôå ôçãñáöéêÞ ôçò ðáñÜóôáóç.

¢óêçóç 2Ôá óçìåßá Á,  áíÞêïõí óôéò ðáñáâïëÝò 2y 3x êáé 2y 2x áíôéóôïß÷ùò êáé Ý÷ïõí ôçí ßäéá ôåôìçìÝíç –1. Íá âñåßôå ôçíáðüóôáóç ôùí óçìåßùí Á, Â.

¢óêçóç 3Áí Á,  åßíáé óçìåßá ôçò ðáñáâïëÞò 2y 2x ìå ôçí ßäéá ôåôáãìÝíç 32, íá õðïëïãßóåôå ôï åìâáäüí ôïõ ôñéãþíïõ ÏÁÂ,üðïõ Ï ç áñ÷Þ ôùí áîüíùí.

4

5

6

8

9

10

Page 151: c Gymnasiou 2012

4.2 Ç óõíÜñôçóç y = áx2 + â÷ + ã 149

Íá ó÷åäéáóôåß ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò óõ-

íÜñôçóçò 2y x 4 êáé íá âñåèïýí ôá êïéíÜ

óçìåßá ìå ôïí Üîïíá x x .

ËýóçÇ óõíÜñôçóç 2y x 4 åßíáé ôçò ìïñöÞò 2y αχ βχ γ

ìå á = 1, â = 0 êáé ã = -4, ïðüôå Ý÷ïõìå

β 00

2α 2 1

êáé

20 4 1 4Δ4

4α 4 1.

¢ñá ç ãñáöéêÞ ôçò ðáñÜóôáóç åßíáé ðáñáâïëÞ ìå êïñõöÞ

ôï óçìåßï Κ 0, 4 êáé Üîïíá óõììåôñßáò ôçí åõèåßá χ 0 ,äçëáäÞ ôïí Üîïíá y y .Ãéá ôïí áêñéâÝóôåñï ó÷åäéáóìü ôçò ðáñáâïëÞò ðñïóäéïñß-æïõìå ìåñéêÜ áêüìç óçìåßá ôçò.

ÐÁÑÁÄÅÉÃÌÁÔÁ - ÅÖÁÑÌÏÃÅÓ

1

Åñþôçóç 1

Ôé ãíùñßæåôå ãéá ôç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò óõíÜñôç-óçò y = á÷2 + â÷ + ã;

ÁðÜíôçóç

Ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò óõíÜñôçóçò 2y αχ βχ γ ìå

α 0 åßíáé ðáñáâïëÞ ìå:

• ÊïñõöÞ ôï óçìåßï β Δ

Κ ,2α 4α

, üðïõ 2Δ β 4αγ êáé

4.2 Ç óõíÜñôçóç y = á÷2 + â÷ + ã

• ¢îïíá óõììåôñßáò ôçí êáôáêüñõöç åõèåßá ðïõ äéÝñ÷åôáé

áðü ôçí êïñõöÞ Ê êáé Ý÷åé åîßóùóç β

χ2α

.

ÃåíéêÜ• Áí á > 0, ç óõíÜñôçóç 2y αχ βχ γ ðáßñíåé åëÜ÷éóôç

ôéìÞ Δy

4α , üôáí

βχ

• Áí á < 0, ç óõíÜñôçóç 2y αχ βχ γ ðáßñíåé ìÝãéóôç

ôéìÞ Δy

4α , üôáí

βχ

Ãéá íá âñïýìå ôá êïéíÜ óçìåßá ôçò ðáñáâïëÞò 2y x 4 ìå

ôïí Üîïíá x x èÝôïõìå y 0 (ôá óçìåßá ôïõ Üîïíá x x Ý÷ï-

õí ôåôáãìÝíç 0) êáé Ý÷ïõìå 2x 4 0 Þ 2χ 4 , ïðüôå ÷ =2 Þ ÷ = -2. ¢ñá, ôá êïéíÜ óçìåßá ôçò ðáñáâïëÞò êáé ôïõÜîïíá x x åßíáé ôá Α 2,0 êáé Β 2,0 .

Page 152: c Gymnasiou 2012

ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 4150

ÐáñáôÞñçóç:Ç ðáñáâïëÞ 2y χ 4 , ðïõ Ý÷åé êïñõöÞ ôï óçìåßï K 0, 4 ,ìðïñåß íá ðñïêýøåé êáé ìå êáôáêüñõöç ìåôáôüðéóç ôçò ðáñáâï-

ëÞò 2y x ðñïò ôá êÜôù êáôÜ 4 ìïíÜäåò (äåí õðÜñ÷åé ïñéæüíôéáìåôáôüðéóç, ãéáôß ç ôåôìçìÝíç ôçò êïñõöÞò åßíáé 0).Ïìïßùò, ç ðáñáâïëÞ 2y x 4 , ðïõ Ý÷åé êïñõöÞ ôï óçìåßïÊ(0, 4) ìðïñåß íá ðñïêýøåé êáé ìå êáôáêüñõöç ìåôáôüðéóç ôçòðáñáâïëÞò 2y x ðñïò ôá ðÜíù êáôÜ 4 ìïíÜäåò (äåí õðÜñ÷åéïñéæüíôéá ìåôáôüðéóç, ãéáôß ç ôåôìçìÝíç ôçò êïñõöÞò åßíáé 0).

Íá ó÷åäéáóôåß ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò óõíÜñ-

ôçóçò 2y x 4 êáé íá âñåèåß ôï êïéíü ôçò

óçìåßï ìå ôïí Üîïíá y y .

Ëýóç

Ç óõíÜñôçóç 2y x 4 ãñÜöåôáé 2y x 8x 16 êáé åßíáé

ôçò ìïñöÞò 2y αχ βx γ ìå á = 1, â = -8 êáé ã = 16, ïðüôå

Ý÷ïõìå: β 8

42α 2 1

êáé

28 4 1 16Δ

04α 4 1

2

¢ñá, ç ãñáöéêÞ ôçò ðáñÜóôáóç åßíáé ðáñáâïëÞ ìå êïñõöÞôï óçìåßï Ê(4,0) êáé Üîïíá óõììåôñßáò ôçí åõèåßá ÷ = 4. Ãéáôïí áêñéâÝóôåñï ó÷åäéáóìü ôçò ðáñáâïëÞò ðñïóäéïñßæïõìåìåñéêÜ áêüìá óçìåßá ôçò.

Ãéá íá âñïýìå ôï êïéíü óçìåßï ôçò ðáñáâïëÞò 2y x 4 ìåôïí Üîïíá y y , èÝôïõìå ÷ = 0 (ôá óçìåßá ôïõ Üîïíá y y Ý÷ïõí

ôåôìçìÝíç 0), ïðüôå Ý÷ïõìå 2y 0 4 16 . ¢ñá, ôï êïéíü

óçìåßï ôçò ðáñáâïëÞò ìå ôïí Üîïíá y y åßíáé A 0,16 .

ÐáñáôÞñçóç:

Ç ðáñáâïëÞ 2y x 4 , ðïõ Ý÷åé êïñõöÞ ôï óçìåßï

K 4,0 , ìðïñåß íá ðñïêýøåé êáé ìå ïñéæüíôéá ìåôáôüðéóç

ôçò ðáñáâïëÞò 2y x ðñïò ôá äåîéÜ êáôÜ 4 ìïíÜäåò (äåí

õðÜñ÷åé êáôáêüñõöç ìåôáôüðéóç, ãéáôß ç ôåôáãìÝíç ôçò êï-ñõöÞò åßíáé 0).

Page 153: c Gymnasiou 2012

4.2 Ç óõíÜñôçóç y = áx2 + â÷ + ã 151

Íá ó÷åäéáóôåß ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò óõ-

íÜñôçóçò 2y x 2x êáé íá ðñïóäéïñéóôïýí

ïé ôéìÝò ôïõ ÷ ãéá ôéò ïðïßåò åßíáé y 0 .

Ëýóç

Ç óõíÜñôçóç 2y x 2x åßíáé ôçò ìïñöÞò 2y x 2x ìå á

= 1, â = -2 êáé ã = 0, ïðüôå Ý÷ïõìå β 2

12α 2 1

êáé

22 4 1 0Δ1

4α 4 1

.

¢ñá, ç ãñáöéêÞ ôçò ðáñÜóôáóç åßíáé ðáñáâïëÞ ìå êïñõöÞ ôïóçìåßï Ê(1, -1) êáé Üîïíá óõììåôñßáò ôçí åõèåßá ÷ = 1.Ãéá ôïí áêñéâÝóôåñï ó÷åäéáóìü ôçò ðáñáâïëÞò ðñïóäéïñß-æïõìå ìåñéêÜ áêüìç óçìåßá ôçò.

Ó÷åäéÜæïõìå ôçí ðáñáâïëÞ êáé ðáñáôçñïýìå üôé ôá óçìåßá ôçò ðïõÝ÷ïõí ôåôáãìÝíç y áñíçôéêÞ åßíáé åêåßíá ðïõ Ý÷ïõí ôåôìçìÝíç x

3

ìåôáîý ôùí áñéèìþí 0 êáé 2. ¢ñá, åßíáé y < 0, üôáí 0 < ÷ < 2.

Äßíåôáé ç óõíÜñôçóç 2y x 4x λ .

á. Ãéá ðïéá ôéìÞ ôïõ ðñáãìáôéêïý áñéèìïý ëôï óçìåßï Á(1,10) áíÞêåé óôç ãñáöéêÞ ðá-ñÜóôáóç ôçò óõíÜñôçóçò;

â. Áí ë = -5, íá ó÷åäéÜóåôå ôç ãñáöéêÞ ðáñÜ-

óôáóç ôçò óõíÜñôçóçò ãéá 4 χ 1 êáé íáâñåßôå ôá êïéíÜ ôçò óçìåßá ìå ôïõò Üîïíåò.

Ëýóç

á. Áöïý äéÝñ÷åôáé áðü ôï óçìåßï Á(1,10), ðñÝðåé ïé óõíôåôáãìÝíåò

ôïõ óçìåßïõ Á, íá åðáëçèåýïõí ôçí åîßóùóç 2y χ 4x λ .

¢ñá, ãéá ÷ = 1 êáé y = 10, Ý÷ïõìå 210 1 4 1 λ ή λ 5 .

â. Ãéá ë =-5 ç óõíÜñôçóç 2y x 4x 5 åßíáé ôçò ìïñöÞò

2y αχ βx γ ìå á =1, â = 4 êáé ã = -5, ïðüôå Ý÷ïõìå:

β 4

22α 2 1

êáé 24 4 1 5Δ

94α 4 1

¢ñá, ç ãñáöéêÞ ôçò ðáñÜóôáóç åßíáé ðáñáâïëÞ ìå êïñõöÞ ôï

óçìåßï Κ 2, 9 êáé Üîïíá óõììåôñßáò ôçí åõèåßá ÷ = -2.

4

Page 154: c Gymnasiou 2012

ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 4152

Ãéá íá âñïýìå ôï êïéíü óçìåßï ôçò ðáñáâïëÞò ìå ôïí Üîïíá

y’y, èÝôïõìå ÷ = 0 , ïðüôå Ý÷ïõìå y = -5. ¢ñá ôï êïéíü óçìåßï

ôçò ðáñáâïëÞò ìå ôïí Üîïíá y’y åßíáé ôï óçìåßï A 0, 5 .

Ãéá íá âñïýìå ôá êïéíÜ óçìåßá ôçò ðáñáâïëÞò ìå ôïí Üîï-

íá ÷’÷, èÝôïõìå y = 0 , ïðüôå Ý÷ïõìå:2x 4x 5 0 Þ (÷ = 1 êáé ÷ = -5)

¢ñá ôá êïéíÜ óçìåßá ôçò ðáñáâïëÞò ìå ôïí Üîïíá ÷’÷

åßíáé ôá Á(1,10) êáé Â(-5,0).

Ãéá ôïí áêñéâÝóôåñï ó÷åäéáóìü ôçò ðáñáâïëÞò ðñïóäéï-ñßæïõìå ìåñéêÜ áêüìç óçìåßá ôçò.

Íá ó÷åäéÜóåôå ôçí ðáñáâïëÞ 2y x 5x 4 .Áí Á,Â,à åßíáé ôá êïéíÜ ôçò óçìåßá ìå ôïõòÜîïíåò, íá õðïëïãßóåôå ôï åìâáäüí ôïõ ôñé-ãþíïõ ÁÂÃ.

Ëýóç

Ç óõíÜñôçóç 2y x 5x 4 å ßíáé ôçò ìïñöÞò

2y αχ βx γ ìå á =1, â = -5 êáé ã = 4, ïðüôå Ý÷ïõìå:

β 5 52α 2 1 2

êáé

25 4 1 4Δ 94α 4 1 4

.

¢ñá, ç ãñáöéêÞ ôçò ðáñÜóôáóç åßíáé ðáñáâïëÞ ìå êïñõöÞ ôï

óçìåßï

5 9Κ ,

2 4 êáé Üîïíá óõììåôñßáò ôçí åõèåßá

2 .

Ãéá íá âñïýìå ôï êïéíü óçìåßï ôçò ðáñáâïëÞò ìå ôïí Üîïíá

y’y, èÝôïõìå ÷ = 0 , ïðüôå Ý÷ïõìå, y = 4. ¢ñá ôï êïéíü óçìåß-

ï ôçò ðáñáâïëÞò ìå ôïí Üîïíá y’y åßíáé ôï óçìåßï A 0,4 .

Ãéá íá âñïýìå ôá êïéíÜ óçìåßá ôçò ðáñáâïëÞò ìå ôïí Üîïíá ÷’÷,

èÝôïõìå y = 0 , ïðüôå Ý÷ïõìå: 2x 5x 4 0 Þ (÷ = 1 êáé ÷ = 4)

¢ñá ôá êïéíÜ óçìåßá ôçò ðáñáâïëÞò ìå ôïí Üîïíá ÷’÷ åßíáé

ôá Â(1,0) êáé Ã(4,0).

Ãéá ôïí áêñéâÝóôåñï ó÷åäéáóìü ôçò ðáñáâïëÞò ðñïóäéïñß-æïõìå ìåñéêÜ áêüìç óçìåßá ôçò.

Ôï ôñßãùíï ÁÂà Ý÷åé åìâáäüí

1 1ΑΒΓ ΒΓ ΟΑ 4 1 4 6τ.μ.

2 2

5

Page 155: c Gymnasiou 2012

4.2 Ç óõíÜñôçóç y = áx2 + â÷ + ã 153

Íá âñåßôå ôïõò áñéèìïýò â êáé ã, þóôå ç óõ-íÜñôçóç 2y x βχ γ ã éá ÷ = 2 íá ðáßñíåéåëÜ÷éóôç ôéìÞ ôçí y = -5.

Ëýóç

ÐñÝðåé íá éó÷ýïõí:β β

22α 2 1

êáé

2Δ β 4 1 γ5

4α 4 1

.

¢ñá â = -4 êáé ã = -1 êáé óõíåðþò 2y x 4x 1 .

Íá áðïäåßîåôå üôé ç åîßóùóç 2 44y 25x ðáñé-óôÜíåé äýï ðáñáâïëÝò óõììåôñéêÝò ùò ðñïòôïí Üîïíá x x , ôéò ïðïßåò êáé íá ôéò ó÷åäéÜóåôåóôï ßäéï óýóôçìá áîüíùí.

Ëýóç

ÅðåéäÞ 2 425y x

4 åßíáé:

2 25 5y x ή y x

2 2 , Üñá ç åîßóù-

óç ðáñéóôÜíåé äýï ðáñáâïëÝò óõì-ìåôñéêÝò ùò ðñïò ôïí Üîïíá x'x .

Íá âñåßôå ôçí åîßóùóç ôçò ðáñáâïëÞò, ðïõÝ÷åé êïñõöÞ ôï óçìåßï Ê(1,4) êáé ôÝìíåé ôïíÜîïíá y y óôï óçìåßï Á(0,1).

Ëýóç¸óôù 2y αχ βx γ , ìå α 0 ç åîßóùóç ôçò ðáñáâï-

ëÞò, ôüôå:

β Δ

1, 42α 4α

Åðßóçò ôï Á(0,1) éêáíïðïéåß ôçí 2y αx βx γ , äçë:21 α 0 β 0 γ ή γ 1 . Óõíåðþò:

β1,

2β 4αγ

44α

Þ

β 2α , 22α 4α

44α

Þ

â = -2á,24α 4α

44α

Þ

â = -2á, 2α α 4α 0 Þ

â = -2á, 2α 3α 0 Þ

â = -2á, α α 3 0 Þ

â = -2á, á = 0 Þ á = -3Ãéá á = 0: â = 0 (áðïññßðôåôáé áöïý á = 0)Ãéá á = -3: â = 6ÔåëéêÜ ç åîßóùóç ôçò ðáñáâïëÞò åßíáé: 2y 3x 6x 1

6

7

8

ÅÑÙÔÇÓÅÉÓ ÊÁÔÁÍÏÇÓÇÓ

1 Óôï äéðëáíü ó÷Þìá äßíåôáé ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò óõíÜñôçóçò 2y x 2x 3 . Íá óõìðëçñþóåôå ôá êåíÜ óå

êáèåìéÜ áðü ôéò ðáñáêÜôù ðñïôÜóåéò.á. Ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç åßíáé ...................................... ìå êïñõöÞ ôï óçìåßï ...................................... êáé

Üîïíá óõììåôñßáò ôçí åõèåßá .......................................

â. Ç óõíÜñôçóç áõôÞ ðáßñíåé ...................................... ôéìÞ y .................. , üôáí x ..................

Page 156: c Gymnasiou 2012

ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 4154

Íá åðéëÝîåôå ôç óùóôÞ áðÜíôçóç. Ç ðáñáâïëÞ 2y 3x 4 Ý÷åé:

i) KïñõöÞ ôï óçìåßï

á. 2,4 â. 0, 12 ã. 0,4 ä. 4,0

ii) ¢îïíáò óõììåôñßáò ôçí åõèåßá ìå åîßóùóç

á. x 4 â. y 4 ã. x 0 ä. y 0

Íá ÷áñáêôçñßóåôå ôéò ðáñáêÜôù ðñïôÜóåéò ìå (Ó), áí åßíáé óùóôÝò Þ ìå (Ë), áí åßíáé ëáíèáóìÝíåò:

á. Ç óõíÜñôçóç 2y 4x 7x 4 ðáßñíåé åëÜ÷éóôç ôéìÞ.

â. Ç ðáñáâïëÞ 2y x 3x 2 ôÝìíåé ôïí Üîïíá y y óôï óçìåßï A 0,2 .

ã. Ï Üîïíáò y y åßíáé Üîïíáò óõììåôñßáò ôçò ðáñáâïëÞò 2y 7x 10 .

ä. Ç êïñõöÞ ôçò ðáñáâïëÞò 2y x 2 åßíáé óçìåßï ôïõ Üîïíá χ χ .

å. Ç êïñõöÞ ôçò ðáñáâïëÞò 2y x 4 åßíáé óçìåßï ôïõ Üîïíá y y .

Íá óõìðëçñþóåôå ôïí ðáñáêÜôù ðßíáêá áíôéóôïé÷ßæïíôáò óå êÜèå ðáñáâïëÞ ôçò åîßóùóÞ ôçò.

1. 2y x 1 2. 2y x 1 3. 2y x 1 4. 2y x 1

2

3

4

ã. Ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôÝìíåé ôïí Üîïíá x x óôá óçìåßá ........................,

........................ êáé ôïí Üîïíá y y óôï óçìåßï .........................

Page 157: c Gymnasiou 2012

4.2 Ç óõíÜñôçóç y = áx2 + â÷ + ã 155

ÏñéóìÝíåò ôéìÝò ôçò óõíÜñôçóçò 2y αχ βχ γ ìå α 0 öáßíïíôáé óôïí ðßíáêá.

Íá óõìðëçñþóåôå ôá êåíÜ óå êáèåìéÜ áðü ôéò ðáñáêÜôù ðñïôÜóåéò:á. Ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò óõíÜñôçóçò åßíáé ðáñáâïëÞ ìå Üîïíá óõììåôñßáò ôçí åõèåßá ............................

êáé êïñõöÞ ôï óçìåßï ............................

â. Ç óõíÜñôçóç áõôÞ ðáßñíåé ìÝãéóôç ôéìÞ y .................. , üôáí x ..................

ã. Ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò óõíÜñôçóçò ôÝìíåé ôïí Üîïíá x x óôá óçìåßá ..............................,

.............................. êáé ôïí Üîïíá y y óôï óçìåßï ...............................

Í’ áíôéóôïé÷ßóåôå ôéò ðáñáâïëÝò:

1. 2y x 4x 1 2. 2y 2x 9 3. 2y x 7x 4. 2y 2x ìå ôá óçìåßá Á, Â, Ã, Ä ðïõ åßíáé ïé êïñõöÝò ôïõò êáé íá óõìðëçñþóåôå ôá êåíÜ.

7A ,

2

, B 0, 9 , Γ 2, , Δ 0, 0 .

5

6

Page 158: c Gymnasiou 2012

ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 4156

1 Íá ó÷åäéÜóåôå ôç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò ðáñáâïëÞò 2y x x 1 .

Óå ïéêüðåäï ðïõ Ý÷åé ó÷Þìá éóïóêåëïýò ïñèïãùíßïõ ôñéãþíïõ ìå êÜèåôç ðëåõñÜ 20m, èá ÷ôßóïõìå óðßôé ó÷Þìá-

ôïò ïñèïãùíßïõ ÁÄÅÆ.

á. Áí AZ x íá åêöñÜóåôå ôï åìâáäüí Å óáí óõíÜñôçóç ôïõ x.

â. Íá âñåßôå ãéá ðïéá ôéìÞ ôïõ x ôï åìâáäüí ÁÄÅÆ ãßíåôáé ìÝãéóôï.

Íá âñåßôå ôïí ôýðï ôçò óõíÜñôçóçò f ãéá ôçí ïðïßá ç ãñáöéêÞ ôçò ðáñÜóôáóç åßíáé ç ðáñá-âïëÞ ôïõ äéðëáíïý ó÷Þìáôïò.

Äßíåôáé ç óõíÜñôçóç: f(x) = 3x2 - (ë - 1)x - ë2 + 1.Íá âñåßôå ôï ë þóôå ôï åëÜ÷éóôï ôçò óõíÜñôçóçò f íá ãßíåôáé ìÝãéóôï.

Äßíåôáé ôï ôñéþíõìï 2f(x) 3x -4(2α β)x α-3β .

Íá âñåßôå ôá á, â þóôå íá Ý÷åé ñßæá ôïí áñéèìü -2 êáé óõã÷ñüíùò íá ðáñïõóéÜæåé åëÜ÷éóôï óôï x = 3.

Äßíåôáé ç ðáñáâïëÞ f(x) = x2 + (k + 2)x + k + 2Íá âñåßôå ôï k óå êÜèå ìßá áðü ôéò ðáñáêÜôù ðåñéðôþóåéò:á. áí åöÜðôåôáé óôïí x’x. â. áí ôÝìíåé ôïí x’x óå äýï óçìåßá.ã. áí äåí ôÝìíåé ôïí x’x. ä. áí Ý÷åé Üîïíá óõììåôñßáò ôçí x = 3.å. áí ðáñïõóéÜæåé åëÜ÷éóôï ãéá x = 5. óô. áí Ý÷åé åëÜ÷éóôï ôï -8.æ. áí ôÝìíåé ôïí x’x óôï Á(3, 0).ç. áí ôÝìíåé ôïí y’y óôï Â(0, 5).

Äßíåôáé ç åõèåßá y = x + 1 (1) êáé ôï óçìåßï Á(2, 1). Íá âñåßôå åêåßíï ôï óçìåßï Ì(x, y) ôçò åõèåßáò ðïõ ç

áðüóôáóç (ÁÌ) åßíáé ç åëÜ÷éóôç. Ðïéá åßíáé áõôÞ;

Íá âñåßôå óôéò ðáñáêÜôù ðáñáâïëÝò, ôçí êïñõöÞ, ôïí Üîïíá óõììåôñßáò, ôá óçìåßá óôá ïðïßá ïé ðáñáâïëÝò ôÝìíïõí ôïõò Üîïíåò,

ôï ìÝãéóôï Þ ôï åëÜ÷éóôï êÜèå óõíÜñôçóçò êáèþò êáé ôçí ôéìÞ ôïõ x ãéá ôçí ïðïßá óõìâáßíåé áõôü êáé íá ôéò ó÷åäéÜóåôå:

2

3

4

5

6

7

8

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

Page 159: c Gymnasiou 2012

4.2 Ç óõíÜñôçóç y = áx2 + â÷ + ã 157

á. 2y x x 6 â. 2y x x 20 ã. 2y x 3x 28 ä. 2y x x 1

Íá ó÷åäéáóôåß ç ðáñáâïëÞ 2y x 7x 2κ , áí áõôÞ äéÝñ÷åôáé áðü ôï óçìåßï Α 3, 6 .

Íá ðñïóäéïñéóôåß ï λ R , þóôå ç óõíÜñôçóç: 2f x λ 2 x λx 1, λ 2 íá ðáñïõóéÜæåé åëÜ÷éóôï ôï -2.

Íá âñåèåß ï λ R þóôå ç åõèåßá ψ λx 2 íá åßíáé åöáðôïìÝíç ôçò ðáñáâïëÞò 2ψ x x 1 óôï óçìåßï ìå ôåôìçìÝíç 1.

Íá áðïäåßîåôå üôé ïé ðáñáâïëÝò: 21c : ψ x êáé 2

2c : ψ x 4x 5 äåí Ý÷ïõí êáíÝíá êïéíü óçìåßï.

Íá áðïäåßîåôå üôé ïé ðáñáâïëÝò 21c : ψ x x 2 êáé 2

2c : ψ x 2x 3 ôÝìíïíôáé óå äõï óçìåßá, ôá ïðïßá

ìáæß ìå ôéò êïñõöÝò ôùí ðáñáâïëþí ó÷çìáôßæïõí ðáñáëëçëüãñáììï.

10

11

12

13

9

ÊÑÉÔÇÑÉÏ ÁÎÉÏËÏÃÇÓÇÓ

¢óêçóç 1

Äßäåôáé óõíÜñôçóç f ìå 2f x αx 1 . Íá âñåèåß ãéá ðïéá ôéìÞ ôïõ α R ôï óçìåßï A 3,5 , áíÞêåé óôç ãñáöéêÞ

ðáñÜóôáóç ôçò óõíÜñôçóçò.

¢óêçóç 2Íá âñåßôå óôéò ðáñáêÜôù ðáñáâïëÝò, ôçí êïñõöÞ, ôïí Üîïíá óõììåôñßáò, ôá óçìåßá óôá ïðïßá ïé ðáñáâïëÝò ôÝìíïõí

ôïõò Üîïíåò, ôï ìÝãéóôï Þ ôï åëÜ÷éóôï êÜèå óõíÜñôçóçò êáèþò êáé ôçí ôéìÞ ôïõ x ãéá ôçí ïðïßá óõìâáßíåé áõôü êáé íá ôéòó÷åäéÜóåôå:

á. 2y x 5x , ãéá 1 x 6 â. 2y 4x x , ãéá 2 x 4

¢óêçóç 3

Íá âñåßôå ôçí åîßóùóç ôçò ðáñáâïëÞò, ðïõ Ý÷åé êïñõöÞ ôï óçìåßï K 1,4 êáé ôÝìíåé ôïí Üîïíá y y óôï óçìåßï A 0,1 .

Page 160: c Gymnasiou 2012
Page 161: c Gymnasiou 2012

5.1 Óýíïëá 159

5.1 Óýíïëá

Åñþôçóç 1

Ôé ïíïìÜæïõìå óýíïëï êáé ôé óôïé÷åßï ôïõ óõíüëïõ;

ÁðÜíôçóçÓýíïëï ïíïìÜæïõìå êÜèå ïìÜäá áíôéêåéìÝíùí ôá ïðïßá äéáêñß-íïíôáé ìåôáîý ôïõò ìå áðüëõôç óáöÞíåéá. ÊÜèå áíôéêåßìåíï ðïõðåñéÝ÷åôáé ó’ Ýíá óýíïëï ïíïìÜæåôáé óôïé÷åßï ôïõ óõíüëïõ.

Åñþôçóç 2

Ðùò óõìâïëßæïõìå êáé ðùò ðáñéóôÜíïõìå Ýíá óýíïëï;

ÁðÜíôçóçÊÜèå óýíïëï óõìâïëßæåôáé ì’ Ýíá êåöáëáßï ãñÜììá ôçò áëöá-âÞôïõ (Á,Â,Ã, ...) êáé ðáñéóôÜíåôáé ìå ôïõò åîÞò ôñüðïõò:á) Ìå áíáãñáöÞ ôùí óôïé÷åßùí ôïõ:ÃñÜöïõìå ìßá ìüíï öïñÜ êáèÝíá áðü ôá óôïé÷åßá ôïõ êáé ìåïðïéáäÞðïôå óåéñÜ ôá ôïðïèåôïýìå áíÜìåóá óå äýï Üãêé-óôñá. Ð.÷. ôï óýíïëï ôùí ãñáììÜôùí ôçò ëÝîçò Ôïñüíôïåßíáé A τ,ο,ρ,ν,τ , ôï óýíïëï ôùí øçößùí ôïõ áñéèìïý

2007 åßíáé Β 2,0,7 , ê.ô.ë.

â) Ìå ðåñéãñáöÞ ôùí óôïé÷åßùí ôïõ:

Ôï óýíïëï Α 0,2,4,6,8 , ðïõ Ý÷åé ùò óôïé÷åßá ôïõò Üñ-

ôéïõò öõóéêïýò áñéèìïýò, ìðïñïýìå íá ôï ðáñáóôÞóïõìåêáé ùò åîÞò:

Α άρτιοι φυσικοί αριθμοί Þ

Α χ Ν, όπου χ άρτιος αριθμός .Óôçí ðñïçãïýìåíç ðåñßðôùóç ëÝìå üôé ðáñéóôÜíïõìå ôïóýíïëï ìå ðåñéãñáöÞ ôùí óôïé÷åßùí ôïõ.

ã) Ìå äéÜãñáììá Venn:¸íá óýíïëï ìðïñïýìå íá ôï ðáñáóôÞóïõìå åðïðôéêÜ êáé ìå

ôï åóùôåñéêü ìéáò êëåéóôÞò ãñáììÞò. Ð.÷. ôï óýíïëï ôùíöùíçÝíôùí ôçò ÅëëçíéêÞò áëöáâÞôïõ öáßíåôáé óôï äéðëáíüäéÜãñáììá, ôï ïðïßï ïíïìÜæåôáé äéÜãñáììá Venn.

Åñþôçóç 3

Ðüôå äýï óýíïëï ëÝìå üôé åßíáé ßóá;

ÁðÜíôçóçÄýï óýíïëï åßíáé ßóá, üôáí Ý÷ïõí ôá ßäéá áêñéâþò óôïé÷åßá.

Åñþôçóç 4

Ôé ïíïìÜæïõìå õðïóýíïëï åíüò óõíüëïõ;

ÁðÜíôçóç¸íá óýíïëï Á ïíïìÜæåôáé õðïóýíïëï åíüò óõíüëïõ Â, üôáíêÜèå óôïé÷åßï ôïõ Á åßíáé êáé óôïé÷åßï ôïõ Â. Óõìâïëßæïõìå A B

Åñþôçóç 5

Ðùò ðáñéóôÜíïõìå ôá ãíùóôÜ óýíïëá áñéèìþí;

ÁðÜíôçóçÏé ãíùóôïß ìáò áñéèìïß êáé ôá áíôßóôïé÷á óýíïëÜ ôïõò óõì-âïëßæïíôáé ùò åîÞò:Öõóéêïß áñéèìïß : Ν 0,1,2,3,4,...

ÁêÝñáéïé áñéèìïß : Ζ ..., 3, 2, 1,0,1,2,3,...

Ñçôïß áñéèìïß:

αQ ,όπου α,β ακέραιοι, με β 0

β

Page 162: c Gymnasiou 2012

ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 5160

Ðñáãìáôéêïß áñéèìïß:

R ρητοί ή άρρητοι αριθμοί

Åñþôçóç 6

Ôé ïíïìÜæïõìå âáóéêü óýíïëï êáé ôé êåíü óýíïëï;

ÁðÜíôçóçÔá óýíïëá ìå ôá ïðïßá áó÷ïëïýìáóôå êÜèå öïñÜ åßíáé óõ-íÞèùò õðïóýíïëá åíüò åõñýôåñïõ óõíüëïõ, ðïõ ïíïìÜæå-ôáé âáóéêü óýíïëï. Áõôü ðáñéóôÜíåôáé ìå ôï åóùôåñéêüåíüò ïñèïãùíßïõ êáé óõìâïëßæåôáé ìå Ù.Ð.÷. ìå âáóéêü óýíïëï

Ω 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 ìðïñïýìå íá äçìéïõñãÞóïõìå äéÜ-

öïñá õðïóýíïëÜ ôïõ, üðùò A 1,2,3,4,5 , Β 2,4,6 ê.ô.ë.

Êåíü óýíïëï ïíïìÜæåôáé ôï óýíïëï ðïõ äåí ðåñéÝ÷åé êá-íÝíá óôïé÷åßï êáé óõìâïëßæåôáé .

Åñþôçóç 7

ÐïéÝò åßíáé ïé ðñÜîåéò ìåôáîý óõíüëùí;

ÁðÜíôçóçá) ¸íùóç óõíüëùí

Áí ðÜñïõìå ôá óýíïëá Á,  ôüôå ìðïñïýìå íá ó÷çìáôßæïõìå

Ýíá íÝï óýíïëï ðïõ Ý÷åé ùò óôïé÷åßá ôá êïéíÜ êáé ìç êïéíÜóôïé÷åßá ôùí äýï óõíüëùí. Ôï íÝï áõôü óýíïëï ïíïìÜæåôáé

Ýíùóç ôùí óõíüëùí Á êáé  êáé óõìâïëßæåôáé Α Β .Áðü ôïí ðñïçãïýìåíï ïñéóìü ðñïêýðôåé üôé Ýíá óôïé÷åßï áíÞêåéóôçí Ýíùóç äýï óõíüëùí Á,  áí áíÞêåé óôï óýíïëï Á Þóôï óýíïëï Â, äçëáäÞ áí áíÞêåé ó’ Ýíá ôïõëÜ÷éóôïí áðü áõôÜ.

ð.÷. Áí A 1,2,3 , B 2,3,4,5

A B 1,2,3,4,5

â) ÔïìÞ óõíüëùíÁí ðÜñïõìå ôá óýíïëá Á, Â, ôüôå ìðïñïýìå íá ó÷çìáôß-óïõìå Ýíá íÝï óýíïëï ðïõ Ý÷åé ùò óôïé÷åßá ôá êïéíÜóôïé÷åßá ôùí äýï óõíüëùí. Ôï íÝï áõôü óýíïëï ïíïìÜæåôáé

ôïìÞ ôùí óõíüëùí Á,  êáé óõìâïëßæåôáé Α B .Áðü ôïí ðñïçãïýìåíï ïñéóìü ðñïêýðôåé üôé Ýíá óôïé÷åßïáíÞêåé óôçí ôïìÞ äýï óõíüëùí Á, Â, áí áíÞêåé êáé óôïóýíïëï Á êáé óôï óýíïëï Â.

ð.÷. Áí A 1,2,3 , B 2,3,4,5

A B 2,3

Åñþôçóç 8

Té ëÝìå óõìðëÞñùìá åíüò óõíüëïõ;

ÁðÜíôçóçÓõìðëÞñùìá óõíüëïõ

Page 163: c Gymnasiou 2012

5.1 Óýíïëá 161

ÐÁÑÁÄÅÉÃÌÁÔÁ - ÅÖÁÑÌÏÃÅÓ

1

Íá ðáñáóôÞóåôå ìå áíáãñáöÞ ôùí óôïé÷åß-ùí ôïõò ôá ðáñáêÜôù óýíïëá:

á) 2Α χ R, όπου χ 16

â) 2Α χ Ν, όπου χ 16

ã) Γ χ Ζ, όπου 2 χ 4

ä) Δ χ Ν, όπου χ διαιρέτης του 16

Ëýóçá) A 4,4 , äéüôé 42 = (- 42 ) = 16 â) Β 4ã) Γ 1,0,1,2,3,4 ä) Δ 1,2,4,8,16

Íá ðáñáóôÞóåôå ìå áíáãñáöÞ ôùí óôïé÷åßùí

ôïõ ôï óýíïëï: A ψηφία του αριθμού 2007

êáé íá âñåßôå üëá ôá õðïóýíïëÜ ôïõ.

Ëýóç

Α 2,0,7 . Ôá õðïóýíïëá ôïõ Á åßíáé

1Α 2 ,

2Α 0 , 3Α 7 , 02Α 0,2 ,

07Α 0,7 , 27Α 2,7 êáé Α 2,0,7

Íá ðáñáóôÞóåôå ìå áíáãñáöÞ ôùí óôïé÷åßùíôïõ ôï óýíïëï:

, yA χ , όπου χ, y N και χ y 5

Ëýóç

Åßíáé üëá ôá äéáôåôáãìÝíá æåýãç ìå Üèñïéóìá 5:

Α 0,5 , 1,4 , 2,3 , 5,0 , 4,1 , 3,2

Íá ðáñáóôÞóåôå ìå ðåñéãñáöÞ ôùí óôïé÷åß-ùí ôïõò ôá ðáñáêÜôù óýíïëá:

á) A 2,4,6,8,10,... â) Β ε,λ,υ,θ,ρ,ι,α

ËýóçÁ = {oé Üñôéïé öõóéêïß},  = {Ôá ãñÜììáôá ôçò ëÝîçò åëåõèåñßá},

Ìå âáóéêü óýíïëï ôï Ω x N : 1 x 6 , èå-

ùñïýìå ôá óýíïëá Α 1,2,4,5 & Β 2,4,6 .

Íá ôá ðáñáóôÞóåôå óôï ßäéï äéÜãñáììá Vennêáé íá ðñïóäéïñßóåôå ôá óýíïëá

á) Α Β â) Α Β ã) Á’ ä) Â’

2

3

4

5

Áí ðÜñïõìå ôï óýíïëï Á ùò ôï âáóéêü óýíïëï Ù ôüôå ìðïñïýìå íá ó÷çìáôßóïõìå ÝíáíÝï óýíïëï ðïõ Ý÷åé ùò óôïé÷åßá üëá ôá óôïé÷åßá ôïõ Ù ðïõ äåí áíÞêïõí óôï Á. Ôï íÝïáõôü óýíïëï ïíïìÜæåôáé óõìðëÞñùìá ôïõ Á ùò ðñïò ôï Ù êáé óõìâïëßæåôáé Á’.

ð.÷. Áí A 1,2,3,4 και Ω 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

A' 0,5,6,7,8,9¼ðùò öáßíåôáé êáé áðü ôï ðñïçãïýìåíï äéÜãñáììá Venn, éó÷ýïõí:

Α Α Ω êáé Α Α .

Page 164: c Gymnasiou 2012

ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 5162

Ná ÷áñáêôçñßóåôå ôéò ðáñáêÜôù ðñïôÜóåéò ìå (Ó), áí åßíáé óùóôÝò Þ ìå (Ë), áí åßíáé ëáíèáóìÝíåò.

á) Ôá óýíïëá A α,β,γ êáé Β β,α,γ åßíáé ßóá.

â) Ôá óýíïëá Α α,β êáé Β αβ åßíáé ßóá.

ã) Áí Α α,β êáé Β α,γ,δ,ε ôüôå Α Β .

ä) Ôï óýíïëï Α χ R, όπου 0χ 2 åßíáé ôï êåíü óýíïëï.

Ôá óôïé÷åßá åíüò óõíüëïõ ôá ãñÜ-

öïõìå ìßá öïñÜ ôï êáèÝíá. Èõ-

ìçèåßôå ôïí ïñéóìü ôïõ óõíüëïõ.

Ëýóç

á) A Β 1,2,4,5,6

â) Α Β 2,4

ã) Α΄ 3,6

ä) Β΄ 1,3,5

Äßíïíôáé ôá óýíïëá:

Α γράμματα της λέξης άλγεβρα ,

Β γράμματα της λέξης φρεγάτα êáé

Γ γράμματα της λέξης ελάφιá) Íá ãñÜøåôå ôá óýíïëá Á,Â,à ìå áíáãñáöÞ

ôùí óôïé÷åßùí ôïõò êáé íá ôá ðáñáóôÞóåôåóôï ßäéï äéÜãñáììá Venn.

â) Íá ðñïóäéïñßóåôå ôá óýíïëá Β Γ , Α Β , Α Γã) Íá åðáëçèåýóåôå üôé:

Α Β Γ Α Β Α Γ .

Ëýóç

á) Á = { á,ë,ã,å,â,ñ }, Â = { ö,ñ,å,ã,á,ô }, Ã = { å,ë,á,ö,é }

â) Â Ã = {ö,ñ,å,ã,á,ô,ë,ö,é}, Á Â = {å,ã,á,ñ } , Á Ã = {å,á,ë}

ã) Á (Â Ã) = {å,ã,á,ë,ñ}, (Á Â) (Á Ã) = {å,ã,á,ë,ñ}

Äßíïíôáé ôá óýíïëá

Α μαθητής Λυκείου êáé Β Αγόρι .

Ôé óõìðåñáßíåôå ãéá åêåßíïí ðïõ áíÞêåé óôïóýíïëï:

á) Α B â) Α B ã) Á’ ä) Â’

å) Α B óô) Α B æ) Α B

Ëýóçá) ¼ôé åßíáé ìáèçôÞò Ëõêåßïõ Þ áãüñé.â) ¼ôé åßíáé ìáèçôÞò Ëõêåßïõ êáé áãüñé.ã ) ¼ôé äåí åßíáé ìáèçôÞò Ëõêåßïõ.ä) ¼ôé äåí åßíáé áãüñé.å ) ¼ôé åßíáé ìáèçôÞò Ëõêåßïõ êáé ü÷é áãüñé , äçë. åßíáé ìáèÞ-

ôñéá Ëõêåßïõ.óô) ¼ôé åßíáé áãüñé êáé ü÷é ìáèçôÞò Ëõêåßïõ.æ) ¼ôé äåí åßíáé ïýôå áãüñé ïýôå ìáèçôÞò Ëõêåßïõ.

6

7

1

ÅÑÙÔÇÓÅÉÓ ÊÁÔÁÍÏÇÓÇÓ

Page 165: c Gymnasiou 2012

5.1 Óýíïëá 163

2

3

å) Α Α Ω .

óô) Α Α .

Íá óõìðëçñþóåôå ôïí ðáñáêÜôù ðßíáêá áíôéóôïé÷ßæïíôáò óå êÜèå óýíïëï ôçò óôÞëçò Á, ôï ßóï ôïõ óýíïëïõ áðü ôçóôÞëç Â.

Áðü ôï äéÜãñáììá Venn ôïõ äéðëáíïý ó÷Þìáôïò íá ðñïóäéïñßóåôå ìå áíáãñáöÞôùí óôïé÷åßùí ôïõò ôá ðáñáêÜôù óýíïëá:Ù = ......................................................................................

Á = ......................................... Â = ......................................

Á’= ......................................... Â’= ......................................

Α Β = ............................. Α Β = ......................................

Íá óõìðëçñþóåôå ôïí ðáñáêÜôù ðßíáêá áíôéóôïé÷ßæïíôáò óå êÜèå óýíïëü ôçò óôÞëçò Á, ôï óõìðëÞñùìÜ ôïõ ùò

ðñïò Ω α,β,γ ,δ,ε áðü ôç óôÞëç Â.

4

Page 166: c Gymnasiou 2012

ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 5164

Íá ðáñáóôÞóåôå ìå áíáãñáöÞ ôùí óôïé÷åßùí ôïõò ôá ðáñáêÜôù óýíïëá:

á) 2Α χ R, όπου χ 36 â) 2Α χ Ν, όπου χ 36

ã) Γ χ Ζ, όπου 4 χ 2 ä) Δ χ Ν, όπου χ διαιρέτης του18

Íá ðáñáóôÞóåôå ìå áíáãñáöÞ ôùí óôïé÷åßùí ôïõ ôï óýíïëï:

A ψηφία του αριθμού 2008

êáé íá âñåßôå üëá ôá õðïóýíïëÜ ôïõ.

Íá ðáñáóôÞóåôå ìå áíáãñáöÞ ôùí óôïé÷åßùí ôïõ ôï óýíïëï:

,yA χ , όπου χ,y N και χ y 8

Íá ðáñáóôÞóåôå ìå ðåñéãñáöÞ ôùí óôïé÷åßùí ôïõò ôá ðáñáêÜôù óýíïëá:

á) A 3,6,9,12,15,... â) Β π,ι,θ,α,ν,ο,τ,η

Ìå âáóéêü óýíïëï ôï Ω x N : 2 x 9 , èåùñïýìå ôá óýíïëá Α 2,4,7 êáé Β 3,4,5,6 . Íá ôá ðáñá-

óôÞóåôå óôï ßäéï äéÜãñáììá Venn êáé íá ðñïóäéïñßóåôå ôá óýíïëá

á) Α Β â) Α Β ã) Á’ ä) Â’

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

Ìå âÜóç ôï äéðëáíü äéÜãñáììá Venn íá êáèïñßóåôå ôï ÷ñþìá Þ ôá ÷ñþìáôáôùí ðáñáêÜôù óõíüëùí:

á) Α Β : ...........................................................

â) Α Β : ...........................................................ã) Á’: .................................................................ä) Â’: .................................................................

å) Α Β : ........................................................

óô) Α Β : .......................................................

5

1

2

3

4

5

Page 167: c Gymnasiou 2012

5.1 Óýíïëá 165

Äßíïíôáé ôá óýíïëá Α μαθήτρια Λυκείου êáé Β κορίτσι . Ôé óõìðåñáßíåôå ãéá åêåßíïí ðïõ áíÞêåé óôï óýíïëï:

á) Α B â) Α B ã) Á’ ä) Â’

å) Α B óô) Α B æ) Α B

6

ÊÑÉÔÇÑÉÏ ÁÎÉÏËÏÃÇÓÇÓ

Åñþôçóç 1

Áíôéóôïé÷ßóôå ôéò ó÷Ýóåéò 1) Á’  2) (Á Â) ’ 3) (Á Â) ’ 4) Á  5) Á  ’ 6) Á Â

ìå ôá äéáãñÜììáôá:

Åñþôçóç 2

Ñß÷íïõìå äõï êõâéêÜ æÜñéá ôáõôü÷ñïíá. Áíôéóôïé÷ßóôå ôá åíäå÷üìåíá ôùí ðéíÜêùí Á êáé Â.

Ðßíáêáò Á

1. Ôï Üèñïéóìá ôùí åíäåßîåùí åßíáé ìéêñüôåñï Þ ßóï ôïõ 5.

2. Ôï Üèñïéóìá ôùí åíäåßîåùí åßíáé Üñôéï êáé ìéêñüôåñï ôïõ 5.

3. Ôï Üèñïéóìá ôùí åíäåßîåùí åßíáé ðïëëáðëÜóéï ôïõ 3.

4. Ç ìéá Ýíäåéîç åßíáé äéðëÜóéá ôçò Üëëçò.

Ðßíáêáò Â

i) Á = {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6)} ii) Á = {(1, 2), (2, 4), (3, 6)}

iii) Á = {(1, 2), (1, 5), (2, 4), (3, 3), (3, 6), (4, 5), (6, 6)} iv) Á = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3)}

v) Á = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2)} vi) Á = {(1, 1), (1, 3), (2, 2)}

Page 168: c Gymnasiou 2012

ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 5166

5.2 Äåéãìáôéêüò ÷þñïò - åíäå÷üìåíá

Åñþôçóç 1

Ôé ëÝìå ðåßñáìá ôý÷çò;

ÁðÜíôçóçÕðÜñ÷ïõí ðåéñÜìáôá, ôá ïðïßá üóåò öïñÝò êáé áí ôá åðáíáëÜâïõ-ìå, äåí ìðïñïýìå íá ðñïâëÝøïõìå ôï áðïôÝëåóìÜ ôïõò ìå áðü-ëõôç âåâáéüôçôá. ̧ íá ôÝôïéï ðåßñáìá ëÝãåôáé ðåßñáìá ôý÷çò.

Åñþôçóç 2

Ôé ïíïìÜæïõìå äåéãìáôéêü ÷þñï åíüò ðåéñÜìáôïò ôý-÷çò; Ðùò óõìâïëßæåôáé; Ðùò óõìâïëßæïõìå ôï ðëÞèïòôùí óôïé÷åßùí ôïõ äåéãìáôéêïý ÷þñïõ;

ÁðÜíôçóçÄåéãìáôéêüò ÷þñïò åíüò ðåéñÜìáôïò ôý÷çò ïíïìÜæåôáé ôï óýíïëïôùí äõíáôþí áðïôåëåóìÜôùí ôïõ êáé óõìâïëßæåôáé ìå Ù. Ôï ðëÞèïòôùí óôïé÷åßùí åíüò äåéãìáôéêïý ÷þñïõ Ù óõìâïëßæåôáé ìå Í(Ù).

Åñþôçóç 3

Ôé åßíáé ôï äåíôñïäéÜãñáììá;

ÁðÜíôçóçÅßíáé ìéá ó÷çìáôéêÞ ðáñÜóôáóç ìå ôçí ïðïßá âñßóêïõìå åõêïëü-ôåñá üëá ôá óôïé÷åßá ôïõ äåéãìáôéêïý ÷þñïõ åíüò ðåéñÜìáôïò.

Åñþôçóç 4

á. Ôé ëÝìå åíäå÷üìåíï åíüò ðåéñÜìáôïò ôý÷çò;â. Ðïéï åßíáé ôï âÝâáéï åíäå÷üìåíï;ã. Ðïéï åßíáé ôï áäýíáôï åíäå÷üìåíï;

ÁðÜíôçóçá. Åíäå÷üìåíï åíüò ðåéñÜìáôïò ôý÷çò ïíïìÜæåôáé êÜèå õðï-

óýíïëï ôïõ äåéãìáôéêïý ÷þñïõ Ù.â. Ôï åíäå÷üìåíï ðïõ ðñáãìáôïðïéåßôáé óå ïðïéáäÞðïôå åêôÝëå-

óç ôïõ ðåéñÜìáôïò ïíïìÜæåôáé âÝâáéï åíäå÷üìåíï.

ã. Ôï åíäå÷üìåíï ðïõ äåí ðñáãìáôïðïéåßôáé óå êáìßá åêôÝ-ëåóç ôïõ ðåéñÜìáôïò ïíïìÜæåôáé áäýíáôï åíäå÷üìåíï.

Åñþôçóç 5

á. Ðïéåò åßíáé ðñÜîåéò ìåôáîý åíäå÷ïìÝíùí;â. Ôé ëÝìå óõìðëÞñùìá åíüò åíäå÷ïìÝíïõ;ã. Ðïéá ëÝìå áóõìâßâáóôá åíäå÷üìåíá;

ÁðÜíôçóçá. Ïé ðñÜîåéò ìåôáîý åíäå÷ï-

ìÝíùí ãßíïíôáé üðùò êáé ïéðñÜîåéò ìåôáîý óõíüëùí.¸ôóé Ý÷ïõìå:• ¸íùóç äýï åíäå÷ïìÝíùíÁ, ïíïìÜæåôáé ôï åíäå÷ü-

ìåíï A B ðïõ ðñáãìáôï-ðïéåßôáé, üôáí ðñáãìáôïðïé-åßôáé Ýíá ôïõëÜ÷éóôïí áðü ôá Á,Â.

Ð.÷. áí Á = {2,4,6} êáé Â = {1,2,3} ôüôå Α Β 1,2,3,4,6

• ÔïìÞ äýï åíäå÷ïìÝíùíÁ, ïíïìÜæåôáé ôï åíäå÷üìå-

íï Α Β ðïõ ðñáãìáôïðïé-åßôáé, üôáí ðñáãìáôïðïéïýíôáéôáõôü÷ñïíá ôï Á êáé ôï Â.Ð.÷. áí Á = {2,4,6} êáé  = {1,2,3}

Α 2,4,6 και Β 1,2,3

ôüôå Α Β 2

â. ÓõìðëÞñùìá åíüò åíäå÷ïìÝíïõ Á ïíïìÜæåôáé ôï åíäå-÷üìåíï Á’ ðïõ ðñáãìáôïðïéåßôáé, üôáí äåí ðñáãìáôï-ðïéåßôáé ôï Á.

ã. Äýï åíäå÷üìåíá Á êáé  ïíïìÜæïíôáé áóõìâßâáóôá, üôáí

Α Β .

Page 169: c Gymnasiou 2012

5.2 Äåéãìáôéêüò ÷þñïò - åíäå÷üìåíá 167

ÐÁÑÁÄÅÉÃÌÁÔÁ - ÅÖÁÑÌÏÃÅÓ

Ñß÷íïõìå Ýíá íüìéóìá ôñåéò öïñÝò. Ðïéïò åß-íáé ï äåéãìáôéêüò ÷þñïò ôïõ ðåéñÜìáôïò;

Ëýóç

Ω ΚΚΚ,ΚΚΓ,ΚΓΚ,ΚΓΓ,ΓΚΚ,ΓΚΓ,ΓΚΓ,ΓΓΚ,ΓΓΓ

Ó’ Ýíá êïõôß õðÜñ÷ïõí ôñåéò üìïéåò êÜñôåò,

ìßá êüêêéíç, ìßá Üóðñç, ìßá ìðëå êáé åðéëÝ-

ãïõìå ôõ÷áßá ìßá ìðÜëá.

á. Íá âñåßôå ôï äåéãìáôéêü ÷þñï ôïõ ðåéñÜìáôïò.

â. Ìå ðüóåò ôï ðïëý êéíÞóåéò èá ðÜñïõìå ôçí

êüêêéíç êÜñôá;

ã. Ìå ðüóåò êéíÞóåéò ìðïñïýìå íá áíáãíùñß-

óïõìå ôï ÷ñþìá êÜèå êÜñôáò;

Ëýóç

á. ¸óôù Ê ç êüêêéíç êÜñôá , Á ç Üóðñç êáé Ì ç ìðëÝ , ôüôå

åßíáé Ω Κ,Α,Μ .

ÊÊÊ

ÊÊÃ

ÊÃÊ

ÊÃÃ

ÃÊÊÃÊÃ

ÃÃÊ

ÃÃÃ

1 â. Ðñïöáíþò ìå ôñåéò êéíÞóåéò.ã. Ðñïöáíþò ìå äýï êéíÞóåéò.

Ï äåéãìáôéêüò ÷þñïò åíüò ðåéñÜìáôïò ôý÷çò

åßíáé Ω x:οι ακέραιοι με 0 χ 10

Íá ðáñáóôÞóåôå ìå äéÜãñáììá Venn ôá åíäå-

÷üìåíá: Α χ Ω, όπου χ διαιρέτης του 9 êáé

Β χ Ω, όπου χ 6

êáé íá ðñïóäéïñßóåôå ôï åíäå÷üìåíï ðïõ ðñáã-

ìáôïðïéåßôáé, üôáí:

á. Ðñáãìáôïðïéåßôáé Ýíá ôïõëÜ÷éóôïí áðü ôá Á,Â.

â. Ðñáãìáôïðïéïýíôáé ôáõôü÷ñïíá ôï Á êáé ôï Â.

ã. Äåí ðñáãìáôïðïéåßôáé ôï Â.

Ëýóç

Óýìöùíá ìå ôçí åêöþíçóç , Ý÷ïõìå:

Α 1,3,9 , Β 0,1,2,3,4,5 ïðüôå:

á. Ðñüêåéôáé ãéá ôçí Ýíùóç ôùí Á êáé Â äçëáäÞ:

Α Β 0,1,2,3,4,5,9

â. Ðñüêåéôáé ãéá ôçí ôïìÞ ôùí Á êáé Â äçëáäÞ: Α Β 1,3

ã. Ðñüêåéôáé ãéá ôï óõìðëÞñùìá ôïõ Â äçëáäÞ ôï

Β 6,7,8,9

2

3

Page 170: c Gymnasiou 2012

ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 5168

Ñß÷íïõìå Ýíá íüìéóìá åíüò åõñþ (€) ôÝóóåñéòöïñÝò.á) Íá âñåèåß ï äåéãìáôéêüò ÷þñïò ôïõ ðåéñÜ-

ìáôïò êáé ôï ðëÞèïò ôùí óôïé÷åßùí ôïõ.â) Íá âñåèåß ôï åíäå÷üìåíï Á: «åìöáíßæåôáé ôï

ðïëý äýï öïñÝò ç üøç ìå ôçí êïõêïõâÜãéá»êáé ôï ðëÞèïò ôùí óôïé÷åßùí ôïõ.

ã) Íá âñåèåß ôï åíäå÷üìåíï Â: «åìöáíßæåôáéôïõëÜ÷éóôïí äýï öïñÝò ç üøç ìå ôçí êïõêïõ-âÜãéá» êáé ôï ðëÞèïò ôùí óôïé÷åßùí ôïõ.

ä) Íá âñåèåß ôï åíäå÷üìåíï Ã: «åìöáíßæåôáéáêñéâþò äýï öïñÝò ç üøç ìå ôçí êïõêïõâÜ-ãéá» êáé ôï ðëÞèïò ôùí óôïé÷åßùí ôïõ êáé çó÷Ýóç ôïõ ìå ôá Á êáé Â.

å) Íá âñåèåß ôï åíäå÷üìåíï Ä: «óôç äåýôåñçêáé ôñßôç ñßøç åìöáíßæåôáé ç üøç ìå ôçí êïõ-êïõâÜãéá» êáé ôï ðëÞèïò ôùí óôïé÷åßùí ôïõ.

óô)Íá âñåèåß ôï åíäå÷üìåíï Å: «óôç äåýôåñç êáéôñßôç ñßøç íá ìçí åìöáíéóôåß ìüíï ç üøç ìå ôçíêïõêïõâÜãéá» êáé ôï ðëÞèïò ôùí óôïé÷åßùí ôïõ.

æ) Íá åêöñáóôåß ôï Å óõíáñôÞóåé ôïõ Ä.

ËýóçÌåñéêÝò öïñÝò ìáò åßíáé áíáãêáßï ãéáôïí ðñïóäéïñéóìü ôïõ äåéãìáôéêïý ÷þ-ñïõ åíüò ðåéñÜìáôïò ôý÷çò íá êáôáóêåõÜ-æïõìå Ýíá äåíäñïäéÜãñáììá üðùò äßðëá.á) Ù = {ÅÅÅÅ, ÅÅÅÊ, ÅÅÊÅ, ÅÅÊÊ, Å-

ÊÅÅ, ÅÊÅÊ, ÅÊÊÅ, ÅÊÊÊ, ÊÅÅÅ,ÊÅÅÊ,ÊÅÊÅ, ÊÅÊÊ, ÊÊÅÅ, ÊÊÅÊ,ÊÊÊÅ, ÊÊÊÊ} êáé Í(Ù) = 16

â) Á = {ÅÅÅÅ, ÅÅÅÊ, ÅÅÊÅ, ÅÅÊÊ, Å-ÊÅÅ, ÅÊÅÊ, ÅÊÊÅ, ÊÅÅÅ, ÊÅÅÊ, ÊÅ-ÊÅ, ÊÊÅÅ}Í(Á) = 11

ã) Â = {ÅÅÊÊ, ÅÊÅÊ, ÅÊÊÅ, ÅÊÊÊ, ÊÅÅÊ,ÊÅÊÅ, ÊÅÊÊ, ÊÊÅÅ, ÊÊÅÊ, ÊÊÊÅ, ÊÊÊÊ}Í(Â) = 11

ä) à = {ÅÅÊÊ, ÅÊÅÊ, ÅÊÊÅ, ÊÅÅÊ, ÊÅÊÅ, ÊÊÅÅ} Í(G) = 6 êáéà = Á Â.

å) Ä = {ÅÊÊÅ, ÅÊÊÊ, ÊÊÊÅ, ÊÊÊÊ} êáé Í(Ä) = 4óô) Å = {ÅÅÅÅ, ÅÅÅÊ, ÅÅÊÅ, ÅÅÊÊ, ÅÊÅÅ, ÅÊÅÊ, ÊÅÅÅ, ÊÅÅÊ, ÊÅÊÅ,

ÊÅÊÊ, ÊÊÅÅ, ÊÊÅÊ}Í(Å) = 12

æ) Å = Ä

Ç äéåýèõíóç åíüò íïóïêïìåßïõ êùäéêïðïéåßôïõò áóèåíåßò óýìöùíá ìå ôçí áóöÜëåéÜ ôïõòìå 0 áí åßíáé áíáóöÜëéóôïé, 1 áí åßíáé áóöáëé-óìÝíïé êáé óýìöùíá ìå ôçí êáôÜóôáóç ôçò õ-ãåßáò ôïõò ìåá) áí åßíáé êáëÞ â) áí åßíáé ìÝôñéáã) áí åßíáé óïâáñÞ ä) áí åßíáé êñßóéìçÍá âñåèïýí:i) ï äåéãìáôéêüò ÷þñïò Ù ôïõ ðåéñÜìáôïò.ii) ôï åíäå÷üìåíï Á «ç êáôÜóôáóç ôïõ áóèåíïýò

åßíáé óïâáñÞ Þ êñßóéìç êáé åßíáé áíáóöÜëéóôïò».iii) ôï åíäå÷üìåíï  «ç êáôÜóôáóç ôïõ áóèå-

íïýò åßíáé êáëÞ Þ ìÝôñéá».iv) ôï åíäå÷üìåíï à «ï áóèåíÞò åßíáé áóöáëé-

óìÝíïò».

Ëýóç

i) Ù = {(0, á), (0, â), (0, ã), (0, ä), (1, á), (1, â), (1, ã), (1, ä)}ii) Á = {(0, ã), (0, ä)}iii) Â = {(0, á), (0, â), (1, á), (1, â)}iv) Ã = {(1, á), (1, â), (1, ã), (1, ä)}

4

5

Page 171: c Gymnasiou 2012

5.2 Äåéãìáôéêüò ÷þñïò - åíäå÷üìåíá 169

Ìßá äéóêïãñáöéêÞ åôáéñßá ðáñáãùãÞò CD åëÝã-

÷åé ôçí ðáñáãùãÞ ôçò ùò åîÞò: ÁíÜ äÝêá CD áðü

ôç ãñáììÞ ðáñáãùãÞò åðéëÝãåé ôõ÷áßá ôñßá êáé

åëÝã÷åé áí Ý÷ïõí åëÜôôùìá åìöÜíéóçò (Å) Þ å-

ëÜôôùìá ðïéüôçôáò Þ÷ïõ (Ç) Þ áí äåí Ý÷ïõí êá-

íÝíá åëÜôôùìá (Ê).

Áí äýï CD Ý÷ïõí åëÜôôùìá åìöÜíéóçò Þ Ýíá

Ý÷åé åëÜôôùìá ðïéüôçôáò Þ÷ïõ ôüôå óôáìáôÜåé ï

Ýëåã÷ïò êáé ç «ðáñôßäá» ôùí 10 CD äåí êõêëï-

öïñåß óôçí áãïñÜ.

á) Íá ãñÜøåôå ôï äåéãìáôéêü ÷þñï Ù ôïõ ðåéñÜ-

ìáôïò ãéá ìßá óõãêåêñéìÝíç «ðáñôßäá» êáé íá

âñåßôå ôï ðëÞèïò ôùí óôïé÷åßùí ôïõ.

â) Íá âñåèåß ôï åíäå÷üìåíï Á: «ç ðáñôßäá êõ-êëïöïñåß óôçí áãïñÜ» êáé ôï ðëÞèïò ôùíóôïé÷åßùí ôïõ.

6

Ëýóç

á) Ãéá ôá ôñßá CD Ý÷ïõìå ôï ðáñáêÜôù ó÷Þìá:¢ñá:Ù = {ÊÊÊ, ÊÊÅ, ÊÊÇ, ÊÅÊ, ÊÅÅ, ÊÅÇ, ÊÇ,ÅÊÊ, ÅÊÅ, ÅÊÇ, ÅÅ, ÅÇ, Ç} êáé Í(Ù) = 13

â) Á = {ÊÊÊ, ÊÊÅ, ÊÅÊ, ÅÊÊ} êáé Í(Á) = 4.

ÅÑÙÔÇÓÅÉÓ ÊÁÔÁÍÏÇÓÇÓ

Ôï äåíôñïäéÜãñáììá ìå ôï ïðïßï Ýíáò ìáèçôÞò Þèåëå íá ðñïóäéïñß-

óåé üëïõò ôïõò ôñéøÞöéïõò áñéèìïýò ìå øçößá 2, 6, 8 ðïõ ôï êáèÝíá

÷ñçóéìïðïéåßôáé ìßá ìüíï öïñÜ, Ýìåéíå çìéôåëÝò. Ìðïñåßôå íá ôïóõìðëçñþóåôå;

1

Page 172: c Gymnasiou 2012

ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 5170

Íá ãñÜøåôå ìå ôç âïÞèåéá ôùí ðñÜîåùí ôùí óõíüëùí ôï åíäå÷üìåíï ðïõ ðáñéóôÜíåé ôï óêéáóìÝíï ÷ùñßï óå êáèÝíá áðüôá ðáñáêÜôù äéáãñÜììáôá Venn:

Íá ÷áñáêôçñßóåôå ôéò ðñïôÜóåéò ðïõ áêïëïõèïýí ãñÜöïíôáò óôï ôåôñÜäéï óáò ôçí Ýíäåéîç Óùóôü (Ó) Þ ËÜèïò (Ë) äßðëá óôï

ãñÜììá ðïõ áíôéóôïé÷åß óå êÜèå ðñüôáóç.

Áí Á, åíäå÷üìåíá ôïõ ßäéïõ äåéãìáôéêïý ÷þñïõ Ù, ôüôå:

á. A B A B â. A B A B ã. A B A B

Áí ï äåéãìáôéêüò ÷þñïò åíüò ðåéñÜìáôïò ôý÷çò åßíáé Ω 0,2,4,6 ,8,10 ðïéá áðü ôá ðáñáêÜôù óýíïëá åßíáé

åíäå÷üìåíá ôïõ ðåéñÜìáôïò;

á. Α 4,8,10 â. B 0,2,3,6

ã. Γ 4,7,8,10 ä. Δ 6

¸íá êïõôß ðåñéÝ÷åé êüêêéíåò, êßôñéíåò êáé ìáýñåò ìðßëéåò. Áí åðéëÝîù ìéá ìðßëéá ðïéá áðü ôá ðáñáêÜôù åíäå÷üìåíáåßíáé áäýíáôï;á. Ç ìðßëéá åßíáé êüêêéíç â. Ç ìðßëéá åßíáé êßôñéíçã. Ç ìðßëéá åßíáé ðñÜóéíç ä. Ç ìðßëéá äåí åßíáé ìáýñç

Íá óõìðëçñþóåôå ôïí ðáñáêÜôù ðßíáêá áíôéóôïé÷ßæïíôáò óå êÜèå åíäå÷üìåíï ôçò óôÞëçò (Á) ôï óùóôü óõìðÝñáóìááðü ôç óôÞëç (Â).

2

3

4

5

6

Page 173: c Gymnasiou 2012

5.2 Äåéãìáôéêüò ÷þñïò - åíäå÷üìåíá 171

¸óôù Á êáé  äýï åíäå÷üìåíá åíüò äåéãìáôéêïý ÷þñïõ Ù. Íá ãßíïõí ôá áíôßóôïé÷á äéáãñÜììáôá Venn êáé íá åêöñáóôïýí óôç

ãëþóóá ôùí óõíüëùí, ôá ðáñáêÜôù åíäå÷üìåíá:

á. Ðñáãìáôïðïéïýíôáé óõã÷ñüíùò êáé ôá äýï åíäå÷üìåíá.

â. Ðñáãìáôïðïéåßôáé ìüíï ôï Á.

ã. Ðñáãìáôïðïéåßôáé Ýíá áêñéâþò áðü ôá Á êáé Â.

ä. Äåí ðñáãìáôïðïéåßôáé êáíÝíá áðü ôá äýï .

Ñß÷íïõìå Ýíá íüìéóìá åíüò € äéáäï÷éêÜ äýï öïñÝò. Ðïéï áðü ôá ðáñáêÜôù äåí åßíáé åíäå÷üìåíï ôïõ ðåéñÜìáôïò;

á. {(Ê, Ê), (Ê, Å)} â. {Å}

ã. {(Ê, Ê)} ä. {(Ê, Ê), (Ê, Å), (Å, Å), (Å, Ê)}

å. êáíÝíá áðü ôá ðáñáðÜíù

Ôï åíäå÷üìåíï Á  ðñáãìáôïðïéåßôáé üôáí:

á. Ðñáãìáôïðïéïýíôáé ôá Á êáé  ôáõôü÷ñïíá.

â. Ðñáãìáôïðïéåßôáé ôïõëÜ÷éóôïí Ýíá áðü ôá Á, Â.

ã. Ðñáãìáôïðïéåßôáé ôï Á Üëëá ü÷é ôï Â.

ä. Ðñáãìáôïðïéåßôáé ôï ðïëý Ýíá áðü ôá Á, Â.

å. Ôßðïôá áðü ôá ðáñáðÜíù.

Íá ÷áñáêôçñßóåôå ôéò ðáñáêÜôù ðñïôÜóåéò ìå (Ó), áí åßíáé óùóôÝò Þ ìå (Ë), áí åßíáé ëáíèáóìÝíåò.

1. Áí Ù åßíáé äåéãìáôéêüò ÷þñïò êáé Á Ýíá åíäå÷üìåíï ôüôå Á’ Ù.

2. Ôï åíäå÷üìåíï Á  ðñáãìáôïðïéåßôáé üôáí ðñáãìáôïðïéåßôáé ôï åíäå÷üìåíï Á êáé ôï åíäå÷üìåíï Â.

3. Áí Ù åßíáé äåéãìáôéêüò ÷þñïò êáé Á Ýíá åíäå÷üìåíü ôïõ ôüôå ôï åíäå÷üìåíï Á Á’ åßíáé âÝâáéï.

4. Ôï åíäå÷üìåíï (Á Â)’ óçìáßíåé üôé äåí ðñáãìáôïðïéåßôáé ïýôå ôï åíäå÷üìåíï Á ïýôå ôï åíäå÷üìåíï Â.

5. Ôï åíäå÷üìåíï Á  óçìáßíåé üôé ðñáãìáôïðïéåßôáé ìüíï Ýíá áðü ôá åíäå÷üìåíá Á êáé Â.

6. Éó÷ýåé Á - Â = Á - (Á Â).

7

8

9

10

Page 174: c Gymnasiou 2012

ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 5172

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

1 ¸íá êïõôß ðåñéÝ÷åé ôñåéò ìðÜëåò, ìßá Üóðñç ìßá ìáýñç êáé ìßá êüêêéíç.Ðåßñáìá I:Ðáßñíïõìå ìßá ìðÜëá êáôáãñÜöïõìå ôï ÷ñþìá ôçò êáé ôçí åðáíáôïðïèåôïýìå óôï êïõôß. Óôç óõíÝ÷åéá ðáßñíïõìå ðÜëéìßá ìðÜëá êáé êáôáãñÜöïõìå ôï ÷ñþìá ôçò.á) Íá ãñáöåß ï äåéãìáôéêüò ÷þñïò Ù ôïõ ðåéñÜìáôïò êáé íá âñåèåß ôï ðëÞèïò ôùí óôïé÷åßùí ôïõ.â) Íá ãñáöåß ôï åíäå÷üìåíï Á: «ç ðñþôç ìðÜëá åßíáé êüêêéíç» êáé íá âñåèåß ôï ðëÞèïò ôùí óôïé÷åßùí ôïõ.ã) Íá ãñáöåß ôï åíäå÷üìåíï Â: «íá åîá÷èåß êáé ôéò äýï öïñÝò êüêêéíç ìðÜëá» êáé íá âñåèåß ôï ðëÞèïò ôùí óôïé÷åßùí ôïõ.ä) Íá ãñáöåß ôï åíäå÷üìåíï Ã: «íá åîá÷èåß êáé ôéò äýï öïñÝò ìðÜëá ìå ôï ßäéï ÷ñþìá» êáé íá âñåèåß ôï ðëÞèïò ôùí

óôïé÷åßùí ôïõ.Ðåßñáìá II:Ðáßñíïõìå äýï ìðÜëåò êáé êáôáãñÜöïõìå ôï ÷ñþìá ôïõò.á) Íá ãñáöåß ï äåéãìáôéêüò ÷þñïò Ù ôïõ ðåéñÜìáôïò êáé íá âñåèåß ôï ðëÞèïò ôùí óôïé÷åßùí ôïõ.â) Íá ãñáöåß ôï åíäå÷üìåíï Á: «ç ìßá áðü ôéò äýï ìðÜëåò åßíáé ïðùóäÞðïôå êüêêéíç» êáé íá âñåèåß ôï ðëÞèïò ôùí

óôïé÷åßùí ôïõ.ã) Íá ãñáöåß ôï åíäå÷üìåíï Â: «êáé ïé äýï ìðÜëåò åßíáé äéáöïñåôéêïý ÷ñþìáôïò» êáé íá âñåèåß ôï ðëÞèïò ôùí

óôïé÷åßùí ôïõ.ä) Íá ãñáöåß ôï åíäå÷üìåíï Ã: «êáé ïé äýï ìðÜëåò åßíáé ôïõ ßäéïõ ÷ñþìáôïò» êáé íá âñåèåß ôï ðëÞèïò ôùí óôïé÷åßùí ôïõ.

Ñß÷íïõìå Ýíá êõâéêü æÜñé 2 äéáäï÷éêÝò öïñÝò.i) Íá ãñáöåß ï äåéãìáôéêüò ÷þñïò ôïõ ðåéñÜìáôïò êáé ôï ðëÞèïò ôùí óôïé÷åßùí ôïõ.ii) Íá áíáãñáöïýí ôá åíäå÷üìåíá, êáé íá âñåèåß ôï ðëÞèïò ôùí óôïé÷åßùí ôïõò.

á) Êáé óôéò äýï ñßøåéò åìöáíßæåôáé Üñôéïò áñéèìüò.â) Ï áñéèìüò ôçò ðñþôçò ñßøçò åßíáé ìéêñüôåñïò áðü ôçò äåýôåñçò.ã) Êáé óôéò äýï ñßøåéò åìöáíßæåôáé ï ßäéïò áñéèìüò.ä) Óôç äåýôåñç ñßøç öÝñíïõìå 6 åöüóïí óôçí ðñþôç öÝñíïõìå Üñôéï áñéèìü.å) Ôï Üèñïéóìá ôùí áñéèìþí óôéò äýï ñßøåéò åßíáé 8.

Ñß÷íïõìå Ýíá êÝñìá åíüò € ôñåéò öïñÝò.i) Íá âñåèåß ï äåéãìáôéêüò ÷þñïò ôïõ ðåéñÜìáôïò êáé ôï ðëÞèïò ôùí óôïé÷åßùí ôïõ.ii) Íá âñåèïýí ôá åíäå÷üìåíá êáé ôï ðëÞèïò ôùí óôïé÷åßùí ôïõò.

Á: Ç ðñþôç ñßøç öÝñíåé êåöÜëé (Ê).Â: Ç ðñþôç êáé ç ôñßôç ñßøç Ý÷ïõí ôï ßäéï áðïôÝëåóìá.

iii) Íá åêöñÜóåôå ìå ëüãéá ôá åíäå÷üìåíá: Á Â, Á’, Â’.iv) Íá âñåèïýí ôá åíäå÷üìåíá ôïõ åñùôÞìáôïò (iii).

2

3

Page 175: c Gymnasiou 2012

5.2 Äåéãìáôéêüò ÷þñïò - åíäå÷üìåíá 173

¸óôù äåéãìáôéêüò ÷þñïò Ù êáé ôá åíäå÷üìåíá, Á, Â, Ã. Áí ôá åíäå÷üìåíá áíÜ äõï äåí åßíáé áóõìâßâáóôá, íá åêöñÜóåôåìå ôç âïÞèåéá ôùí äéáãñáììÜôùí ôïõ Venn ôá ðáñáêÜôù åíäå÷üìåíá:á) Ðñáãìáôïðïéïýíôáé ôá Á, à áëëÜ ü÷é ôï Â. â) Ðñáãìáôïðïéåßôáé ìüíï Ýíá áðü ôá ôñßá åíäå÷üìåíá.ã) Ðñáãìáôïðïéïýíôáé êáé ôá ôñßá åíäå÷üìåíá.

¸íá êïõôß ðåñéÝ÷åé 5 óöáßñåò: ìßá ìáýñç (ì), äýï êüêêéíåò (ê) êáé äýï ðñÜóéíåò (ð). ÅðéëÝãïõìå êÜèå öïñÜ äýïóöáßñåò ôõ÷áßá, ôéò ïðïßåò ðáßñíïõìå ôç ìéá ìåôÜ ôçí Üëëç.i) Íá áíáãñáöåß ï äåéãìáôéêüò ÷þñïò ôïõ ðåéñÜìáôïò.ii) Íá áíáãñáöïýí ôá åíäå÷üìåíá:

Á: ¸÷ù äýï óöáßñåò ôïõ ßäéïõ ÷ñþìáôïò.Â: ¸÷ù äýï óöáßñåò êáé ç ìéá åßíáé ìáýñç.Ã: ¸÷ù äýï óöáßñåò êáé êáìßá äåí åßíáé ìáýñç.

Ñß÷íïõìå Ýíá íüìéóìá ôï ðïëý 5 öïñÝò. Ôï ðåßñáìá óôáìáôÜ íùñßôåñá áí öÝñïõìå äõï äéáäï÷éêÝò öïñÝò ôçí ßäéá Ýíäåéîç.Íá ãñáöåß ï äåéãìáôéêüò ÷þñïò ôïõ ðåéñÜìáôïò.

Äõï ðáßêôåò Á,  ðáßæïõí óêÜêé. ÍéêçôÞò åßíáé áõôüò ðïõ èá êåñäßóåé ôñßá ðáé÷íßäéá. Íá êáôáóêåõÜóåôå ôï äåíäñïäéÜãñáììáôïõ äåéãìáôéêïý ÷þñïõ ôïõ ðåéñÜìáôïò.

¸íá öñïíôéóôÞñéï ÎÝíùí Ãëùóóþí äßíåé âáèìïýò óôïõò ìáèçôÝò (Á) êáé óôéò ìáèÞôñéåò (Ê), ÷áñáêôçñßæïíôáò ôïõò ìå«Êáëþò» (Ê), «Ëßáí Êáëþò» (Ë) êáé «¢ñéóôá» (Á). ÅðéëÝãïõìå ôõ÷áßá Ýíá ðáéäß.i) Íá âñåèåß ï äåéãìáôéêüò ÷þñïò ôïõ ðåéñÜìáôïò. ii) Íá âñåèïýí ôá åíäå÷üìåíá:

á) Ôï ðáéäß íá ðÜñåé Üñéóôá. â) Ç ìáèÞôñéá íá ìçí ðÜñåé Üñéóôá.

Äýï ðáßêôåò Á,  ðáßæïõí Ýíá ðáé÷íßäé. ÍéêçôÞò åßíáé áõôüò ðïõ èá êåñäßóåé ôñßá ðáé÷íßäéá óõíå÷üìåíá Þ ðÝíôå ðáé÷íßäéá. Íá âñåßôåôï äåéãìáôéêü ÷þñï ôïõ ðåéñÜìáôïò.

Ñß÷íïõìå Ýíá íüìéóìá åíüò € ôï ðïëý 5 öïñÝò. Ôï ðåßñáìá óôáìáôÜ íùñßôåñá áí öÝñïõìå ôçí üøç «Åõñþðç». Íáãñáöåß ï äåéãìáôéêüò ÷þñïò ôïõ ðåéñÜìáôïò.

¸óôù äåéãìáôéêüò ÷þñïò Ù êáé ôá åíäå÷üìåíá Á, Â, Ã. Ìå ôç âïÞèåéá ôùí äéáãñáììÜôùí ôïõ Venn íá åêöñÜóåôå ôá åíäå÷ü-ìåíá:i) Íá ìçí ðñáãìáôïðïéçèåß êáíÝíá áðü ôá Á, Â, Ã.ii) Íá ðñáãìáôïðïéçèåß ôï Á êáé ôï  ìáæß Þ ôï Á êáé ôï à ìáæß.

¸óôù Á,  äõï åíäå÷üìåíá åíüò äåéãìáôéêïý ÷þñïõ Ù. Íá äåßîåôå üôé:i) Ôá åíäå÷üìåíá Á’  êáé Á  åßíáé áóõìâßâáóôá.ii) Ôá åíäå÷üìåíá Á’  êáé Á Â’ åßíáé áíôßèåôá.

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Page 176: c Gymnasiou 2012

ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 5174

ÊÑÉÔÇÑÉÏ ÁÎÉÏËÏÃÇÓÇÓ

Åñþôçóç 1

Ðïéï áðü ôá ðáñáêÜôù åßíáé ðåßñáìá ôý÷çò;

á) ÁöÞíïõìå ìéá óöáßñá íá ðÝóåé êáôáêüñõöá. â) Èåñìáßíïõìå óå Ê. Ó. íåñü êáé áõôü åîáôìßæåôáé.

ã) ¸íá áõôïêßíçôï óôáìáôÜ ìüëéò ðáôÞóïõìå öñÝíï. ä) Ç óöáßñá ôçò ñïõëÝôáò óôáìáôÜ óôï 3 êüêêéíï.

å) ÊáíÝíá áðü ôá ðáñáðÜíù.

Åñþôçóç 2

á. Ðïéï åíäå÷üìåíï ïíïìÜæåôáé âÝâáéï; â. Ðïéï åíäå÷üìåíï ïíïìÜæåôáé áäýíáôï;

ã. Ðïéá åíäå÷üìåíá ïíïìÜæïíôáé óôïé÷åéþäç;

Åñþôçóç 3

Ìßá óöáßñá åêôåëåß åëåýèåñç ðôþóç óå êåíü áÝñïò. Ôï åíäå÷üìåíï íá ðÝóåé êáôáêüñõöá åßíáé:

á) âÝâáéï â) áäýíáôï ã) ðéèáíü ä) åõíïúêü å) êáíÝíá áðü ôá ðáñáðÜíù

Åñþôçóç 4

Ôï åíäå÷üìåíï Á  ðñáãìáôïðïéåßôáé üôáí:

á. Ðñáãìáôïðïéïýíôáé ôá Á êáé  ôáõôü÷ñïíá. â. Ðñáãìáôïðïéåßôáé ôïõëÜ÷éóôïí Ýíá áðü ôá Á, Â.

ã. Ðñáãìáôïðïéåßôáé ôï Á Üëëá ü÷é ôï Â. ä. Ðñáãìáôïðïéåßôáé ôï ðïëý Ýíá áðü ôá Á, Â.

å. Ôßðïôá áðü ôá ðáñáðÜíù.

Åñþôçóç 5

Ðïéá ó÷Ýóç áðü ôéò ðáñáêÜôù åßíáé óùóôÞ;

á) Ôá åíäå÷üìåíá (Á Â)’ êáé Á  åßíáé áíôßèåôá. â) Ôá åíäå÷üìåíá Á  êáé Á Â’ åßíáé áóõìâßâáóôá.

ã) Ôá åíäå÷üìåíá Á Â’ êáé Á’  åßíáé áíôßèåôá. ä) Ôá åíäå÷üìåíá Á Â’ êáé Á’  åßíáé áíôßèåôá.

å) Êáìßá áðü ôéò ðáñáðÜíù äåí åßíáé óùóôÞ.

Page 177: c Gymnasiou 2012

5.3 ¸ííïéá ôçò ðéèáíüôçôáò 175

3

Åñþôçóç 1

Ðüôå ëÝìå üôé ôá áðëÜ åíäå÷üìåíá åíüò ðåéñÜìáôïòôý÷çò åßíáé éóïðßèáíá;

ÁðÜíôçóçÁí êÜèå áðëü åíäå÷üìåíï åðéëÝãåôáé óôçí ôý÷ç êáé äåí Ý÷åéêáíÝíá ðëåïíÝêôçìá Ýíáíôé ôùí Üëëùí, ôüôå üëá Ý÷ïõí ôçíßäéá äõíáôüôçôá åðéëïãÞò êáé ëÝìå üôé ôá äõíáôÜ áðïôåëÝóìá-ôá ôïõ äåéãìáôéêïý ÷þñïõ åßíáé éóïðßèáíá.

Åñþôçóç 2

Ôé ïíïìÜæïõìå ðéèáíüôçôá åíüò åíäå÷ïìÝíïõ Á;

ÁðÜíôçóçÓ’ Ýíá ðåßñáìá, ìå éóïðßèáíá áðïôåëÝóìáôá, ðéèáíüôçôá åíüòåíäå÷ïìÝíïõ Á ïíïìÜæåôáé ï áñéèìüò

Ν Απλήθος ευνοϊκών περιπτώσεων

Ρ Απλήθος δυνατών περιπτώσεων Ν Ω

Åñþôçóç 3

ÁíáöÝñáôå ôïõò âáóéêïýò êáíüíåò ëïãéóìïý ôùí ðé-èáíïôÞôùí;

ÁðÜíôçóçÃéá äýï óõìðëçñùìáôéêÜ åíäå÷üìåíá Á, Á’ éó÷ýåé

Ρ Α Ρ Α 1

Ãéá ïðïéáäÞðïôå åíäå÷üìåíá Á,  éó÷ýåé

Ρ Α Β Ρ Α Β Ρ Α Ρ Β

Ç ðáñáðÜíù éóüôçôá áíáöÝñåôáé ùò Ðñïóèåôéêüò íüìïòôùí ðéèáíïôÞôùí.

ÐÁÑÁÄÅÉÃÌÁÔÁ - ÅÖÁÑÌÏÃÅÓ

ÅðéëÝãïõìå óôçí ôý÷ç Ýíáí áêÝñáéï áñéèìüáðü ôï 1 Ýùò êáé ôï 17. Ðïéá åßíáé ç ðéèáíü-ôçôá íá åßíáé:

á. Üñôéïò â. ðïëëáðëÜóéï ôïõ 3;

Ëýóçá. Ïé Üñôéïé ìåôáîý 1 êáé 17 åßíáé: A 2,4,6,8,10,12,14,16 ,

Üñá

Ν Α 8Ρ Α

Ν Ω 17 .

â. Ôá ðïëëáðëÜóéá ôïõ 3 ìåôáîý 1 êáé 17 åßíáé:

Π 3,6,9,12,15 , Üñá

Ν Π 5Ρ Π

Ν Ω 17 .

1

Óå ìéá êëÞñùóç õðÜñ÷ïõí 300 ëá÷íïß áðü ôïõòïðïßïõò êåñäßæåé ï Ýíáò. Ðüóï % ðéèáíüôçôá Ý÷åéíá êåñäßóåé êÜðïéïò ðïõ áãüñáóå 5 ëá÷íïýò;

Ëýóç

Åßíáé: 5

100% 1,66%300

Ñß÷íïõìå Ýíá íüìéóìá ôñåéò öïñÝò. Ðïéá åßíáéç ðéèáíüôçôá íá öÝñïõìå 2 öïñÝò ôçí ßäéáÝíäåéîç;

Ëýóç

2

5.3 ¸ííïéá ôçò ðéèáíüôçôáò

Page 178: c Gymnasiou 2012

ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 5176

6

O äåéãìáôéêüò ÷þñïò ôïõ ðåéñÜìáôïò ðñïêýðôåé áðü ôï äåíôñï-äéÜãñáììá:

ïé åõíïúêÝò ðåñéðôþóåéò åßíáé 6 , ïé: KKÃ, ÊÃÊ, ÃÊÊ, ÃÃÊ, ÃÊÃ,

ÊÃÃ, Üñá ç ðéèáíüôçôá åßíáé: 6 3

Ρ ή 75%8 4

.

Ñß÷íïõìå Ýíá æÜñé äýï öïñÝò. Íá âñåßôå ô éòðéèáíüôçôåò ôùí åíäå÷ïìÝíùí:Á: ÖÝñíïõìå êáé ôéò äýï öïñÝò 1.Â: ÖÝñíïõìå ôçí ßäéá Ýíäåéîç êáé ôéò äýï öïñÝò.Ã: ÖÝñíïõìå ìßá ôïõëÜ÷éóôïí öïñÜ 6.

Ëýóç

Aðü ôïí äéðëáíü ðßíáêá äéðëÞò åéóüäïõ ðñïêýðôïõí:

Α1

Ρ36

, áöïý õðÜñ÷åé ìüíïí Ýíá æåõãÜñé (1,1).

Β6

Ρ36

, áöïý õðÜñ÷ïõí 6 æåõãÜñéá ìå ßäéá íïýìåñá.

Γ11

Ρ36

, áöïý õðÜñ÷ïõí 11 æåõãÜñéá ðïõ ðåñéÝ÷ïõí ôï 1.

1ç ñßøç 2ç ñßøç 3ç ñßøç

ÊÊÊ

ÊÊÃ

ÊÃÊ

ÊÃÃ

ÃÊÊÃÊÃ

ÃÃÊ

ÃÃÃÁðü ôïõò 25 ìáèçôÝò ìéáò ôÜîçò ìüíï ïé 10Ýãñáøáí âáèìü ðÜíù áðü 15 óôá ìáèçìáôé-êÜ. Áí åðéëÝîïõìå óôçí ôý÷ç Ýíá ìáèçôÞ, ðïéáåßíáé ç ðéèáíüôçôá íá ìçí Ý÷åé ðÜñåé âáèìüðÜíù áðü 15; Áí ï ðñþôïò ìáèçôÞò ðïõ åðé-ëÝîáìå ðÞñå âáèìü êÜôù áðü 15 êáé áðüôïõò õðüëïéðïõò åðéëÝîïõìå óôçí ôý÷ç Ýíáäåýôåñï ìáèçôÞ, ôüôå ðïéá åßíáé ç ðéèáíüôç-ôá íá Ý÷åé âáèìü ðÜíù áðü 15;

ËýóçÁðü ôïõò 25 ìáèçôÝò ïé 25 - 10 = 15 ìáèçôÝò ðÞñáí âáèìüêÜôù áðü 15 , Üñá ç ðéèáíüôçôá ï íá ìçí Ý÷åé ðÜñåé âáèìü

ðÜíù áðü 15 ï ìáèçôÞò ðïõ åðéëÝîáìå åßíáé : 115

Ρ25

Tþñá Ý÷ïõìå 24 ìáèçôÝò êáé 10 ðïõ ðÞñáí âáèìü ðÜôù áðü15 , Üñá ç ðéèáíüôçôá áõôüò ðïõ åðéëÝîáìå íá Ý÷åé ðÜñåé

âáèìü ðÜíù áðü 15 åßíáé : 210

Ρ24

Ç ðéèáíüôçôá áðïôõ÷ßáò óå Ýíá äéáãùíéóìü åß-íáé ôåôñáðëÜóéá áðü ôçí ðéèáíüôçôá åðéôõ÷ßáò.Ðïéá åßíáé ôåëéêÜ ç ðéèáíüôçôá åðéôõ÷ßáò;

4

5

Page 179: c Gymnasiou 2012

5.3 ¸ííïéá ôçò ðéèáíüôçôáò 177

Ëýóç

¸óôù 1Ρ x ç ðéèáíüôçôá åðéôõ÷ßáò, ôüôå 2P 1 x åßíáé ç ðé-èáíüôçôá áðïôõ÷ßáò.

¢ñá Ý÷ïõìå 4 1 x x Þ 4 4x x Þ 4 4x x Þ

5x 4 Þ 4

x5

¢ñá ç ðéèáíüôçôá åðéôõ÷ßáò åßíáé 4 11

5 5 .

à é á äýï åíäå÷üìåí á Á ,  éó ÷ýïõí

4 6Ρ Α , Ρ Β

13 13 êáé 9

Ρ Α Β13

. Íá

âñåßôå ôçí ðéèáíüôçôá Ρ Α Β .

Ëýóç

Óýìöùíá ìå ôïí ðñïóèåôéêü íüìï, Ý÷ïõìå:

P A B P A P B P A B 4 6 9 1

13 13 13 13

Áí 3Ρ Α

17 , 14

Ρ Β17

êáé 3Ρ Α Β

34 ,

íá âñåßôå ôçí ðéèáíüôçôá Ρ Α Β .

Ëýóç

Óýìöùíá ìå ôïí ðñïóèåôéêü íüìï , Ý÷ïõìå:

P A B P A P B P A B P A 1 P B P A B

3 14 3 6 34 28 3 40 31 91

17 17 34 3y 34 34 34 34 34 34

7

8

¸íá äåßãìá 50 ïéêïãåíåéþí ñùôÞèçêå ùò ðñïòôïí áñéèìü ôùí ðáéäéþí ôïõò. Ôá áðïôåëÝóìáôáôùí áðáíôÞóåùí öáßíïíôáé óôï äéðëáíü ðßíáêá.ÅðéëÝãïõìå ìéá áðü ôéò 50 ïéêïãÝíåéåò. Íáâñåßôå ôçí ðéèáíüôçôá ôùí åíäå÷ïìÝíùí:Á: íá ìçí Ý÷åé ðáéäéÜÂ: íá Ý÷åé ðáéäéÜ áëëÜ ü÷é ðåñéóóüôåñá áðü 3Ã: íá Ý÷åé ðåñéóóüôåñá áðü 3 ðáéäéÜÄ: íá Ý÷åé ëéãüôåñá áðü 2 Þ ðåñéóóüôåñá áðü

4 ðáéäéÜ.

9

áñéèìüò áñéèìüòðáéäéþí ïéêïãåíåéþí

0 61 142 133 94 55 3

Ëýóç

Ç ó÷åôéêÞ óõ÷íüôçôá Üñá êáé ç ðéèáíüôçôá ôïõ åíäå÷ïìÝíïõ

Á åßíáé 6P A 0,12

50 . Ãéá ôï  ðñÝðåé íá áèñïßóïõìå

ôéò ó÷åôéêÝò óõ÷íüôçôåò ãéá 1, 2 êáé 3 ðáéäéÜ.

¢ñá 14 13 9 36P B 0,72

50 50 50 50 .

¼ìïéá ãéá 4 êáé 5 ðáéäéÜ 5 3 8

P Γ 0,1650 50 50

¼ìïéá ãéá 0,1 êáé 5 ðáéäéÜ 6 14 3 23P Δ 0,46

50 50 50 50

Page 180: c Gymnasiou 2012

ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 5178

11

¸íáò áñéèìüò ó÷çìáôßæåôáé ìå ôá øçößá 2, 3,4, 5 êáé 6 ðïõ ÷ñçóéìïðïéïýíôáé õðï÷ñåùôé-êÜ üëá áðü ìßá öïñÜ ôï êáèÝíá. Íá õðïëïãß-óåôå ôçí ðéèáíüôçôá ï áñéèìüò:á. íá åßíáé ðåñéôôüòâ. íá äéáéñåßôáé ìå 5ã. íá åßíáé ìåãáëýôåñïò áðü 20.000ä. íá áñ÷ßæåé áðü 6.

Ëýóç

á. Ï áñéèìüò ðïõ èá ó÷çìáôéóôåß ìðïñåß íá ôåëåéþíåé óåÝíá áðü ôá äïóìÝíá øçößá. ¢ñá ôï óýíïëï ôùí ðåñéðôþ-óåùí åßíáé 5. Ãéá íá åßíáé ìïíüò èá ðñÝðåé íá ôåëåéþíåéóå 3 Þ óå 5. ¢ñá ôï ðëÞèïò ôùí åõíïúêþí ðåñéðôþóåùí

åßíáé 2 êáé ç áíôßóôïé÷ç ðéèáíüôçôá åßíáé 2

p 0,45

.

â. ¸íáò áñéèìüò äéáéñåßôáé ìå 5 üôáí ôåëåéþíåé óå 0 Þ óå 5.¢ñá ôï ðëÞèïò ôùí åõíïúêþí ðåñéðôþóåùí åßíáé 1 êáé ç

ðéèáíüôçôá 1

q 0,25

.

ã. Ôï ðëÞèïò ôùí åõíïúêþí ðåñéðôþóåùí åßíáé 5 áöïý áðüüðïéï øçößï êáé áí áñ÷ßæåé ï áñéèìüò åßíáé óßãïõñá ìåãá-

ëýôåñïò áðü 20.000. ¢ñá ç ðéèáíüôçôá åßíáé 5

r 15

(âÝâáéï åíäå÷üìåíï).ä. Åäþ ôï ðëÞèïò ôùí åõíïúêþí ðåñéðôþóåùí åßíáé 1 êáé ç

áíôßóôïé÷ç ðéèáíüôçôá 1

S 0,25

.

Áí Á,  åíäå÷üìåíá ôïõ äåéãìáôéêïý ÷þñïõ Ù

êáé 1

Ρ(Α)2

, 2

Ρ(Β)5

êáé 1

Ρ(A B)5

Íá õðïëïãéóôïýí ïé ðéèáíüôçôåò ôùí åíäå÷ïìÝíùí.

á) Äåí ðñáãìáôïðïéåßôáé ôï Á.

10

â) Äåí ðñáãìáôïðïéåßôáé ôï Â.

ã) Ðñáãìáôïðïéåßôáé ôïõëÜ÷éóôïí Ýíá áðü ôá Á, Â.

ä) Ðñáãìáôïðïéåßôáé ìüíï ôï Á.

å) Ðñáãìáôïðïéåßôáé ìüíï ôï Â.

óô) Äåí ðñáãìáôïðïéåßôáé êáíÝíá áðü ôá Á, Â.

æ) Ðñáãìáôïðïéåßôáé ìüíïí Ýíá áðü ôá Á, Â.

Ëýóç

á) Åßíáé ôï Á’ . ¢ñá: Ñ(Á’) = 1 - Ñ(Á) äçëáäÞ: 1 1

P(A') 12 2

â) Åßíáé ôï Â’ . ¢ñá Ñ(Â’) = 1 - Ñ(Â) äçëáäÞ: 2 3

P(B') 15 5

ã) Åßíáé ôï Á Â. ¢ñá Ñ(Á Â) = Ñ(Á) + Ñ(Â) - Ñ(Á Â) äçëáäÞ:

1 2 1 7P(A B)

2 5 5 10

ä) Åßíáé ôï Á Â ’ = Á - Â.

¢ñá Ñ(Á - Â) = Ñ(Á) - Ñ(ÁÂ) äçëáäÞ: 1 1 3

P(A B)2 5 10

å) Åßíáé ôï Â - Á = Â Á’ .

¢ñá Ñ( - Á) = Ñ(Â) - Ñ(Á Â) äçëáäÞ: 2 1 1

P(B A)5 5 5

óô) Åßíáé ôï (Á Â)’ . ¢ñá Ñ((Á Â)’ ) = 1 - Ñ(Á Â) äçëáäÞ:

7 3P (A B)' 1

10 10

æ) Åßíáé ôï (Á - Â) ( - Á). Ôá Á - Â,  - Á Ý÷ïõí ôïìÞ ôï êåíüóýíïëï äçëáäÞ Ñ((Á - Â) ( - Á)) = 0.¢ñá: Ñ((Á - Â) ( - Á)) = Ñ(Á - Â) + Ñ( - Á) =Ñ(Á) - Ñ(Á Â) + Ñ(Â) - Ñ(Á Â) = (âëÝðå ðáñáðÜíù äéÜ-ãñáììá) = Ñ(Á) + Ñ(Â) - 2Ñ (Á Â).

ÔåëéêÜ åßíáé 1 2 1 1P (A B) (B A) 2

2 5 5 2 .

Page 181: c Gymnasiou 2012

5.3 ¸ííïéá ôçò ðéèáíüôçôáò 179

Á Â ’ Â Á’ÁÂ

Ï Êùíóôáíôßíïò ðáßæåé Ýíá ðáé÷íßäé ìå ôïõò

ößëïõò ôïõ Íßêï êáé ÄçìÞôñç. Áí ç ðéèáíü-

ôçôá íá êåñäßóåé ôïí Íßêï åßíáé 55%, ç ðéèá-

íüôçôá íá êåñäßóåé ôïí ÄçìÞôñç åßíáé 70%

êáé ç ðéèáíüôçôá íá êåñäßóåé êáé ôïõò äýï

åßíáé 35% , íá âñåèïýí ïé ðéèáíüôçôåò ôùí

åíäå÷ïìÝíù í:

á) Íá ìçí êåñäßóåé ôïí Íßêï.

â) Íá êåñäßóåé Ýíáí ôïõëÜ÷éóôïí áðü ôïõòäýï.

Ëýóç

ÏíïìÜæïõìå Í ôï åíäå÷üìåíï íá êåñäßóåé ôïí Íßêï êáé Ä ôï

åíäå÷üìåíï íá êåñäßóåé ôïí ÄçìÞôñç. Ôï åíäå÷üìåíï íá êåñäßóåé

êáé ôïõò äýï åßíáé N Δ , ïðüôå Ý÷ïõìå:

55P Ν

100 , 70

P Δ100

, 35P N Δ

100

á) Ôï åíäå÷üìåíï íá ìçí êåñäßóåé ôïí Íßêï åßíáé ôï óõìðëÞ-

ñùìá ôïõ Í,äçëáäÞ ôï Í’.

ÅðåéäÞ åßíáé

P Ν P Ν 1 Ý÷ïõìå

P Ν P Ν 1 Þ 55P Ν 1

100 Þ 55

P Ν 1100

Þ

45P Ν

100

¢ñá ç ðéèáíüôçôá íá ìçí êåñäßóåé ôïí Íßêï åßíáé 45%.

â) Ôï åíäå÷üìåíï íá êåñäßóåé Ýíáí ôïõëÜ÷éóôïí áðü ôïõò

äýï ðñáãìáôïðïéåßôáé üôáí ðñáãìáôïðïéåßôáé Ýíá ôïõëÜ-

÷éóôïí áðü ôá åíäå÷üìåíá Í êáé Ä äçëáäÞ üôáí ðñáãìá-

ôïðïéåßôáé ôï N Δ .

Óýìöùíá ìå ôïí ðñïóèåôéêü íüìï , Ý÷ïõìå:

P Ν Δ P Ν P Δ P Ν Δ

55 70 35 90100 100 100 100

¢ñá ç ðéèáíüôçôá íá êåñäßóåé Ýíáí ôïõëÜ÷éóôïí áðü ôïõò

äýï åßíáé 90%.

12

Page 182: c Gymnasiou 2012

ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 5180

1 Áí åðéëÝîïõìå ôõ÷áßá Ýíá ãñÜììá ôçò áëöáâÞôïõ, ôüôå ç ðéèáíüôçôá íá åßíáé óýìöùíï åßíáé:

á. 12

â. 1

24ã.

1724

ä. 7

24Íá åðéëÝîåôå ôç óùóôÞ áðÜíôçóç.

Íá ÷áñáêôçñßóåôå ôéò ðáñáêÜôù ðñïôÜóåéò ìå (Ó), áí åßíáé óùóôÝò Þ ìå (Ë), áí åßíáé ëáíèáóìÝíåò.á. Ç ðéèáíüôçôá åíüò åíäå÷üìåíïõ Á ìðïñåß íá åßíáé Ρ Α 1,001.

â. Áí ç ðéèáíüôçôá åíüò åíäå÷ïìÝíïõ Á åßíáé 40%, ôüôå ãñÜöïõìå Ρ Α 40 .ã. Ôï âÝâáéï åíäå÷üìåíï Ý÷åé ðéèáíüôçôá 1 êáé ôï áäýíáôï åíäå÷üìåíï Ý÷åé ðéèáíüôçôá 0.ä. Áí ç ðéèáíüôçôá íá íéêÞóåé êÜðïéïò óå Ýíá ðáé÷íßäé åßíáé 43%, ôüôå ç ðéèáíüôçôá íá ìç íéêÞóåé åßíáé 57%. (Çéóïðáëßá áðïêëåßåôáé)

Áí ç ðéèáíüôçôá íá ðñáãìáôïðïéçèåß Ýíá åíäå÷üìåíï Á åßíáé 23

, ôüôå ç ðéèáíüôçôá íá ìçí ðñáãìáôïðïéçèåß ôï Á åßíáé:

á. 32

â. 13

ã. 25

ä. 45

Ãéá äýï åíäå÷üìåíá Á,  éó÷ýïõí 7P A

11 , 4

P B11

êáé 3P A B

11 . ¸íáò ìáèçôÞò õðïëüãéóå üôé

8P A B

11 . Åßíáé óùóôÞ ç áðÜíôçóÞ ôïõ; Íá áéôéïëïãÞóåôå ôïí éó÷õñéóìü óáò.

Íá ãñÜøåôå óôï ôåôñÜäéü óáò ôï ãñÜììá ðïõ áíôéóôïé÷åß óôçí óùóôÞ áðÜíôçóç: Áí P A' 0,4, P Β' 0,6 και Ρ Α Β 0,9 , ôüôå:

1. Ç ðéèáíüôçôá Ρ Α Β åßíáé ßóç ìå: á. 0,1 â. 1,9 ã. -0,1 ä. 0,2

Áí Á Ýíá åíäå÷üìåíï äåéãìáôéêïý ÷þñïõ Ù êáé Ñ(Á) = 1/3 ôüôå ç Ñ(Á’) èá åßíáé:á. 1/3 â. 1 ã. 2/3 ä. -1/3 å. ôßðïôå áðü ôá ðñïçãïýìåíá

Áí Áí Á,  åíäå÷üìåíá äåéãìáôéêïý ÷þñïõ Ù êáé Ñ(Á) = 0,3, Ñ(Â) = 0,2 êáé Ñ(Á Â) = 0,1 ç ðéèáíüôçôá íá ìçí ðñáãìáôï-ðïéçèåß êáíÝíá áðü ôá Á,  èá åßíáé: á. 0,4 â. 0,6 ã. 0,9 ä. 0,1 å. ôßðïôå áðü ôá ðñïçãïýìåíá

Áí äýï åíäå÷üìåíá Á,  äåéãìáôéêïý ÷þñïõ Ù åßíáé áóõìâßâáóôá, ôüôå:

á. Ñ(Á Â ) = 1 â. Ñ(Á Â ) = 1 ã. Ñ(Á Â ) = 0 ä. Ñ(Á) + Ñ(Â) = 1 å. ôßðïôå áðü ôá ðñïçãïýìåíá

2

3

4

5

6

ÅÑÙÔÇÓÅÉÓ ÊÁÔÁÍÏÇÓÇÓ

7

8

Page 183: c Gymnasiou 2012

5.3 ¸ííïéá ôçò ðéèáíüôçôáò 181

Óå ìéá êëÞñùóç õðÜñ÷ïõí 7500 ëá÷íïß áðü ôïõò ïðïßïõò êåñäßæåé ï Ýíáò. Ðüóï % ðéèáíüôçôá Ý÷åé íá êåñäßóåéêÜðïéïò ðïõ áãüñáóå 25 ëá÷íïýò;

Ñß÷íïõìå Ýíá íüìéóìá ôñåéò öïñÝò. Ðïéá åßíáé ç ðéèáíüôçôá íá öÝñïõìå 2 öïñÝò ôçí ßäéá Ýíäåéîç;

Ñß÷íïõìå Ýíá æÜñé äýï öïñÝò. Íá âñåßôå ôéò ðéèáíüôçôåò ôùí åíäå÷ïìÝíùí:Á: ÖÝñíïõìå êáé ôéò äýï öïñÝò 4. Â: ÖÝñíïõìå ôçí ßäéá Ýíäåéîç êáé ôéò äýï öïñÝò.Ã: ÖÝñíïõìå ìßá ôïõëÜ÷éóôïí öïñÜ 4.

Áðü ôïõò 32 ìáèçôÝò ìéáò ôÜîçò ìüíï ïé 10 Ýãñáøáí âáèìü ðÜíù áðü 16 óôá ìáèçìáôéêÜ. Áí åðéëÝîïõìå óôçí ôý÷çÝíá ìáèçôÞ, ðïéá åßíáé ç ðéèáíüôçôá íá ìçí Ý÷åé ðÜñåé âáèìü ðÜíù áðü 16; Áí ï ðñþôïò ìáèçôÞò ðïõ åðéëÝîáìåðÞñå âáèìü êÜôù áðü 16 êáé áðü ôïõò õðüëïéðïõò åðéëÝîïõìå óôçí ôý÷ç Ýíá äåýôåñï ìáèçôÞ, ôüôå ðïéá åßíáé çðéèáíüôçôá íá Ý÷åé âáèìü ðÜíù áðü 16;

Ç ðéèáíüôçôá áðïôõ÷ßáò óå Ýíá äéáãùíéóìü åßíáé ðåíôáðëÜóéá áðü ôçí ðéèáíüôçôá åðéôõ÷ßáò. Ðïéá åßíáé ôåëéêÜ çðéèáíüôçôá åðéôõ÷ßáò;

Ãéá äýï åíäå÷üìåíá Á,  éó÷ýïõí 6Ρ Α

11 , 8

Ρ Β11

êáé 5Ρ Α Β

11 . Íá âñåßôå ôçí ðéèáíüôçôá Ρ Α Β .

Áí 3Ρ Α

13 , 9

Ρ Β13

êáé 5Ρ Α Β

26 , íá âñåßôå ôçí ðéèáíüôçôá Ρ Α Β .

Áðü ìéá ôñÜðïõëá ìå 52 öýëá ðáßñíïõìå Ýíá óôçí ôý÷çá. Íá âñåßôå ôéò ðéèáíüôçôåò ôùí åíäå÷ïìÝíùí Á: ôï ÷áñôß íá åßíáé äÝêá Â: ôï ÷áñôß íá ìçí åßíáé 10â. Åßíáé ôá ðáñáðÜíù åíäå÷üìåíá áíôßèåôá

¸íá êïõôß ðåñéÝ÷åé 10 ìáýñåò 12 Üóðñåò, 18 êüêêéíåò êáé 10 ðñÜóéíåò ìðÜëåò. Ðáßñíïõìå ìéá ìðÜëá óôçí ôý÷ç.Íá âñåßôå ôéò ðéèáíüôçôåò ôùí åíäå÷ïìÝíùí ç ìðÜëá íá åßíáé:á. ìáýñç â. êüêêéíç Þ ðñÜóéíç ã. ïýôå ìáýñç, ïýôå êüêêéíç

Äßíåôáé ôï óýíïëï Ω 12,13,14,...25 . ÅðéëÝãïõìå óôçí ôý÷ç Ýíáí áñéèìü. Íá âñåßôå ôéò ðéèáíüôçôåò ôùí åíäå-

÷ïìÝíùí, ï áñéèìüò íá äéáéñåßôáé: á. ìå 5 â. ìå 7 ã. ìå 3

1

2

3

4

5

6

7

8

9

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

10

Page 184: c Gymnasiou 2012

ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 5182

Çëéêßá ÅëáöñÜ ðåñßðôùóçÕðåñôáóéêïß ãïíåßòÍÁÉ Ï×É

ÓïâáñÞ ðåñßðôùóçÕðåñôáóéêïß ãïíåßòÍÁÉ Ï×É

Üíù ôùí 50êÜôù ôùí 50

20 % 15 % 15 % 10 %

8 % 5 % 12 % 15 %

Áí ôá åíäå÷üìåíá Á êáé  åßíáé áíôßèåôá êáé P A 2 P B , íá âñåßôå ôéò ðéèáíüôçôåò P A êáé P B .

Óå Ýíá ó÷ïëåßï óôï ìÜèçìá ôçò ÃõìíáóôéêÞò êÜèå ìáèçôÞò ìðïñåß íá äéáëÝîåé ìÝ÷ñé ôñßá áèëÞìáôá. Ôï ðïäüóöáéñï ôïäéÜëåîáí üëïé. Ôï 70% äåí äéÜëåîáí ìðÜóêåô. Ôï 40% äéÜëåîå êáé óôßâï. Ôï 65% äå äéÜëåîå ïýôå óôßâï ïýôå ìðÜóêåô.Áí åêëÝîïõìå Ýíá ìáèçôÞ óôçí ôý÷ç íá âñåèïýí ïé ðéèáíüôçôåò ôùí åíäå÷ïìÝíùí:á) Íá Ý÷åé äéáëÝîåé ôïõëÜ÷éóôïí Ýíá Üèëçìá. â) Íá Ý÷åé äéáëÝîåé êáé ôá ôñßá áèëÞìáôá.

Ï ðáñáêÜôù ðßíáêáò áíáöÝñåôáé óôïõò áóèåíåßò ðïõ ðÜó÷ïõí áðü õðÝñôáóç êáé íïóçëåýïíôáé óå ìéá êëéíéêÞ.

ÅðéëÝãïõìå óôçí ôý÷ç Ýíáí áóèåíÞ.Íá âñåßôå ôéò ðéèáíüôçôåò ôùí åíäå÷ïìÝíùíÁ: íá åßíáé óïâáñÞ ðåñßðôùóçÂ: íá åßíáé êÜôù ôùí 50Ã: íá Ý÷åé õðåñôáóéêïýò ãïíåßò.

¸íá êéâþôéï ðåñéÝ÷åé 2 ðñÜóéíåò, 5 ìáýñåò êáé 3 êüêêéíåò óöáßñåò. ÅðéëÝãïõìå ìßá óöáßñá óôçí ôý÷ç. Íá âñåßôåôçí ðéèáíüôçôá Ñ, ç óöáßñá íá åßíáé ìáýñç Þ êüêêéíç.

Ñß÷íïõìå Ýíá æÜñé êáé Ýóôù x ç Ýíäåéîç. Íá õðïëïãßóåôå ôéò ðéèáíüôçôåò:

á. P x 4 â. P x 4

Åßíáé ôá åíäå÷üìåíá x 4 êáé x 4 óõìðëçñùìáôéêÜ;

Ó’Ýíá ó÷ïëåßï öïéôïýí 240 áãüñéá êáé 220 êïñßôóéá. Ôï 40% ôùí áãïñéþí êáé ôï 45% ôùí êïñéôóéþí Ý÷ïõí óôï óðßôé ôïõòcomputer. ÅðéëÝãïõìå ôõ÷áßá Ýíá Üôïìï ôïõ ó÷ïëåßïõ. Íá âñåèïýí ïé ðéèáíüôçôåò ôùí åíäå÷ïìÝíùí:1. Á : “äåí Ý÷åé computer”2. B : “ åßíáé êïñßôóé êáé Ý÷åé computer”3. à : “åßíáé áãüñé Þ äåí Ý÷åé computer”

11

12

13

14

15

16

Page 185: c Gymnasiou 2012

5.3 ¸ííïéá ôçò ðéèáíüôçôáò 183

Óå Ýíá ôñÝíï õðÜñ÷ïõí ìüíï óôñáôéþôåò, íáýôåò êáé áåñïðüñïé. Ïé íáýôåò åßíáé 20. ÅðéëÝãïõìå ôõ÷áßá Ýíáí åðéâÜôç. Áíç ðéèáíüôçôá íá åßíáé óôñáôéþôçò åßíáé 0,2 êáé ç ðéèáíüôçôá íá åßíáé áåñïðüñïò åßíáé 0,4 , íá âñåèïýí:Á. Ï áñéèìüò ôùí åðéâáôþí ðïõ Ý÷åé ôï ôñÝíï.Â. Ï áñéèìüò ôùí óôñáôéùôþí ðïõ Ý÷åé ôï ôñÝíï êáé ôùí áåñïðüñùí.

Áí Ù = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ..., 20} íá õðïëïãßóåôå ôéò ðéèáíüôçôåò ôùí åíäå÷ïìÝíùí:Á: ôá óôïé÷åßá ôïõ Ù ðïõ äéáéñïýíôáé ìå ôï 2.Â: ôá óôïé÷åßá ôïõ Ù ðïõ äéáéñïýíôáé ìå ôï 5.Ã: ôá óôïé÷åßá ôïõ Ù ðïõ äéáéñïýíôáé ìå ôï 5 êáé ôï 2.

Óå Ýíá äåßãìá ðëçèõóìïý, ôï ïðïßï áðïôåëåßôáé áðü 10 Üíäñåò êáé 20 ãõíáßêåò, ôï 50% ôùí áíäñþí êáé ôï 50% ôùíãõíáéêþí Ý÷ïõí êáóôáíÜ ìÜôéá. ÅðéëÝãïõìå ôõ÷áßá Ýíá Üôïìï. Íá âñåßôå ôçí ðéèáíüôçôá:Á. Ôï Üôïìï íá åßíáé Üíäñáò.Â. Ôï Üôïìï íá Ý÷åé êáóôáíÜ ìÜôéá.Ã. Ôï Üôïìï íá åßíáé Üíäñáò ìå êáóôáíÜ ìÜôéá.Ä. Ôï Üôïìï íá åßíáé Üíäñáò Þ íá Ý÷åé êáóôáíÜ ìÜôéá.

Óå ìßá Ýñåõíá ìåôáîý ôùí ìáèçôþí ìßáò ôÜîçò äéáðéóôþèçêå üôé ôï 50% äåí åß÷å äéáâÜóåé öõóéêÞ, ôï 70% äåí åß÷åäéáâÜóåé ìáèçìáôéêÜ êáé ôï 80% äåí åß÷å äéáâÜóåé êáé ôá äýï ìáèÞìáôá. Íá âñåßôå ôéò ðéèáíüôçôåò ôùí åíäå÷ïìÝíùí.á) ¸íáò ìáèçôÞò Ý÷åé äéáâÜóåé öõóéêÞ.â) ̧ íáò ìáèçôÞò Ý÷åé äéáâÜóåé ìáèçìáôéêÜ.ã) ¸íáò ìáèçôÞò Ý÷åé äéáâÜóåé êáé ôá äýï ìáèÞìáôá.ä) ¸íáò ìáèçôÞò Ý÷åé äéáâÜóåé ôïõëÜ÷éóôïí Ýíá áðü ôá äýï ìáèÞìáôá.å) ¸íáò ìáèçôÞò Ý÷åé äéáâÜóåé ìüíï öõóéêÞ.óô) ¸íáò ìáèçôÞò Ý÷åé äéáâÜóåé ìáèçìáôéêÜ êáé öõóéêÞ.æ) ̧ íáò ìáèçôÞò äåí Ý÷åé äéáâÜóåé êáíÝíá áðü ôá äýï ìáèÞìáôá.ç) ̧ íáò ìáèçôÞò Ý÷åé äéáâÜóåé ìüíï ìáèçìáôéêÜ Þ ìüíï öõóéêÞ (áêñéâþò Ýíá áðü ôá äýï ìáèÞìáôá).

Óôï ðñùôÜèëçìá ÅëëÜäáò ï ÐÁÏ ðñüêåéôáé íá äþóåé áðü Ýíáí áãþíá ìå ôçí ÁÅÊ êáé ôïí ÏÓÖÐ. Áí ç ðéèáíü-ôçôá íá êåñäßóåé ï ÐÁÏ ôçí ÁÅÊ åßíáé 65%, ç ðéèáíüôçôá íá êåñäßóåé ôïí ÏÓÖÐ åßíáé 75% êáé ç ðéèáíüôçôá íáêåñäßóåé êáé ôïõò äýï åßíáé 45% , íá âñåèïýí ïé ðéèáíüôçôåò ôùí åíäå÷ïìÝíùí:á) Íá ìçí êåñäßóåé ôçí ÁÅÊ.â) Íá êåñäßóåé Ýíáí ôïõëÜ÷éóôïí áðü ôïõò äýï áãþíåò.

18

19

20

21

17

Page 186: c Gymnasiou 2012

ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 5184

Åñþôçóç 1

ÄéåîÜãïõìå Ýíá ðåßñáìá ôý÷çò ìå ðåðåñáóìÝíï ðëÞèïò äõíáôþí áðïôåëåóìÜôùí.

á. Ðùò ïñßæåôáé ç ðéèáíüôçôá åíüò åíäå÷ïìÝíïõ, üôáí ôá óôïé÷åéþäç åíäå÷üìåíá åßíáé éóïðßèáíá;

â. Ðùò ïñßæåôáé ç ðéèáíüôçôá åíüò åíäå÷ïìÝíïõ óôáôéóôéêÜ;

Åñþôçóç 2

á. Ðïéï åíäå÷üìåíï ïíïìÜæåôáé âÝâáéï;

â. Ðïéï åíäå÷üìåíï ïíïìÜæåôáé áäýíáôï;

ã. Ðïéá åíäå÷üìåíá ïíïìÜæïíôáé óôïé÷åéþäç;

ä. Ìåôáîý ðïéùí ôéìþí âñßóêåôáé ç ðéèáíüôçôá åíüò åíäå÷ïìÝíïõ;

¢óêçóç 1

Ñß÷íïõìå Ýíá íüìéóìá 2 öïñÝò. Íá ãñÜøåôå ôï óýíïëï ôùí äõíáôþí áðïôåëåóìÜôùí êáé íá âñåßôå ôçí ðéèáíüôçôá íá

åìöáíéóôåß ìßá ôïõëÜ÷éóôïí öïñÜ ãñÜììáôá.

¢óêçóç 2

¸óôù t ç ðéèáíüôçôá êáôÜ ôçí ñßøç åíüò æáñéïý íá öÝñïõìå áñéèìü ìéêñüôåñï ôïõ 3, p ç ðéèáíüôçôá íá éó÷ýåé: 2á2 –

2á + 1 > 0, üðïõ á ðñáãìáôéêüò áñéèìüò, q ç ðéèáíüôçôá íá éó÷ýåé ì2 < 0, üðïõ ì ðñáãìáôéêüò áñéèìüò.

Íá âñåßôå ôçí ôéìÞ ôçò ðáñÜóôáóçò: Á = (2t – 12)9 + p12 – t2(25q –27).

¢óêçóç 3

Tá Á êáé  åßíáé áíôßèåôá åíäå÷üìåíá åíüò ðåéñÜìáôïò ôý÷çò.

á. Áí P A 1 íá äéêáéïëïãÞóåôå ãéáôß åßíáé P B 1.

â. Áí P(A)/P(B) = 3/5 íá âñåßôå ôéò ðéèáíüôçôåò P(A) êáé P(B).

ÊÑÉÔÇÑÉÏ ÁÎÉÏËÏÃÇÓÇÓ

Page 187: c Gymnasiou 2012

ÌÝñïò 2ï

Ãåùìåôñßá - Ôñéãùíïìåôñßá

sel.meri.p65 1/9/2012, 1:47 ìì7

Page 188: c Gymnasiou 2012
Page 189: c Gymnasiou 2012

1.1 Éóüôçôá ôñéãþíùí 185

Åñþôçóç 1

Ðïéá åßíáé ôá êýñéá êáé ðïéá ôá äåõôåñåýïíôá óôïé÷åßáåíüò ôñéãþíïõ;

ÁðÜíôçóç

Êýñéá óôïé÷åßá åíüò ôñéãþíïõ ïíïìÜæïõìå ôéò ðëåõñÝò êáéôéò ãùíßåò ôïõ.Äåõôåñåýïíôá óôïé÷åßá åíüò ôñéãþíïõ ïíïìÜæïõìå ôá ýøçôïõ, ôéò äéáìÝóïõò ôïõ êáé ôéò äé÷ïôüìïõò ôùí ãùíéþí ôïõ.

• ýøïò åíüò ôñéãþíïõ ïíïìÜæåôáé ç áðüóôáóç ìéáò êïñõöÞòôïõ áðü ôçí áðÝíáíôé ðëåõñÜ ôïõ.

• äéÜìåóïò ïíïìÜæåôáé ôï åõèýãñáììï ôìÞìá ðïõ åíþíåéôçí êïñõöÞ ìå ôï ìÝóï ôçò áðÝíáíôé ðëåõñÜò.

• äé÷ïôüìïò ïíïìÜæåôáé ôï åõèýãñáììï ôìÞìá ðïõ åíþíåéìéá êïñõöÞ ìå ôçí áðÝíáíôé ðëåõñÜ êáé ÷ùñßæåé ôç ãùíßáóå äýï ßóá ìÝñç.

Ãéá ôá êýñéá óôïé÷åßá ôïõ ôñéãþíïõ ãíù-ñßæïõìå üôé:á. ÊÜèå ðëåõñÜ ôïõ åßíáé ìéêñüôåñçáðü ôï Üèñïéóìá ôùí äýï Üëëùí äçë.

α β γ , β α γ , γ α β

â. Ôï Üèñïéóìá ôùí ãùíéþí ôïõ åßíáé

180ï äçë. οΑ Β Γ 180 .• Ôï óçìåßï ôïìÞò ôùí ôñéþí õøþí åíüò ôñéãþíïõ

ïíïìÜæåôáé ïñèüêåíôñï.• Ôï óçìåßï ôïìÞò ôùí äéáìÝóùí åíüò ôñéãþíïõ ïíï-

ìÜæåôáé âáñýêåíôñï.• Ôï óçìåßï ôïìÞò ôùí äé÷ïôüìùí åíüò ôñéãþíïõ ïíï-

ìÜæåôáé Ýãêåíôñï.

Åñþôçóç 2

Ðïéá åßíáé ôá åßäç ôñéãþíùí ìå âÜóçi) ôéò ãùíßåò ôïõò ii) ôéò ðëåõñÝò ôïõò

ÁðÜíôçóç

i) ̧ íá ôñßãùíï áíÜëïãá ìå ôï åßäïò ôùí ãùíéþí ôïõ ïíïìÜæåôáé:á) Ïîõãþíéï, üôáí Ý÷åé üëåò ôéò ãùíßåò ôïõ ïîåßåò.â) Áìâõãþíéï, üôáí Ý÷åé ìßá ãùíßá áìâëßá.ã) Ïñèïãþíéï, üôáí Ý÷åé ìéá ãùíßá ïñèÞ.

ii) ¸íá ôñßãùíï áíÜëïãá ìå ôï åßäïò ôùí ðëåõñþí ôïõïíïìÜæåôáé:á) Óêáëçíü, üôáí Ý÷åé êáé ôéò ôñåéò ðëåõñÝò ôïõ Üíéóåò.â) ÉóïóêåëÝò, üôáí Ý÷åé äýï ðëåõñÝò ßóåò.ã) Éóüðëåõñï, üôáí Ý÷åé êáé ôéò ôñåéò ðëåõñÝò ôïõ ßóåò.

1.1 Éóüôçôá ôñéãþíùí

Page 190: c Gymnasiou 2012

ÌÝñïò B - ÊåöÜëáéï 1186

Åñþôçóç 3

Ðïéá åßíáé ôá êñéôÞñéá éóüôçôáò ôñéãþíùí;

ÁðÜíôçóç

Tá êñéôÞñéá éóüôçôáò ôñéãþíùí åßíáé:

1ï ÊñéôÞñéï:

Äýï ôñßãùíá åßíáé ßóá üôáí Ý÷ïõí äýï ðëåõñÝò ôïõò ßóåòìßá ðñïò ìßá êáé ôéò ðåñéå÷üìåíåò ãùíßåò óôéò ðëåõñÝò áõôÝòáíôßóôïé÷á ßóåò.

ÄçëáäÞ ãéá ôá ôñßãùíá ôïõ ó÷Þìáôïò.

Áí

β β'

γ γ' τότε ΑΒΓ Α΄Β΄Γ΄

Α Α'

2ï ÊñéôÞñéï:

Äýï ôñßãùíá åßíáé ßóá üôáí Ý÷ïõí ìéá ðëåõñÜ ßóç êáé ôéòðñïóêåßìåíåò ãùíßåò óôçí ðëåõñÜ áõôÞ áíôßóôïé÷á ßóåò.

ÄçëáäÞ ãéá ôá ôñßãùíá ôïõ ó÷Þìáôïò.

Áí

α α΄

Β Β' τότε ΑΒΓ Α΄Β΄Γ΄

Γ Γ'

3ï ÊñéôÞñéï:

Äýï ôñßãùíá åßíáé ßóá üôáí Ý÷ïõí ôéò ðëåõñÝò ôïõò ßóåò ìßáðñïò ìßá.

ÄçëáäÞ ãéá ôá ôñßãùíá ôïõ ó÷Þìáôïò .

Áí

α α΄

β β' τότε ΑΒΓ Α΄Β΄Γ΄

γ γ'

Page 191: c Gymnasiou 2012

1.1 Éóüôçôá ôñéãþíùí 187

• Ãéá ôç óýãêñéóç äýï ôñéãþíùí ðñÝðåé ïðùóäÞðïôå íá÷ñçóéìïðïéÞóïõìå ôñßá êýñéá óôïé÷åßá áðü ôá ïðïßá ÝíáôïõëÜ÷éóôïí åßíáé ðëåõñÜ.

• Áí äýï ôñßãùíá åßíáé ßóá ôüôå üëåò ôéò ðëåõñÝò ôïõò ìßáðñïò ìßá êáé ôéò áíôßóôïé÷åò ãùíßåò ôïõò ßóåò.

Åñþôçóç 4

Ðüôå ëÝìå üôé äýï ïñèïãþíéá ôñßãùíá åßíáé ßóá;

ÁðÜíôçóç

Äýï ïñèïãþíéá ôñßãùíá åßíáé ßóá üôáí Ý÷ïõí:á. ôéò äýï êÜèåôåò ðëåõñÝò ôïõò ßóåòâ. ìéá êÜèåôç ðëåõñÜ êáé ôçí õðïôåßíïõóá ßóåòã. ìéá êÜèåôç ðëåõñÜ êáé ìéá ïîåßá ãùíßá ßóåòä. ôçí õðïôåßíïõóá êáé ìéá ïîåßá ãùíßá ßóåò

ÃåíéêÜ äýï ïñèïãþíéá ôñßãùíá åßíáé ßóá áí Ý÷ïõí åêôüò áðüôéò ïñèÝò ãùíßåò ôïõò äýï áêüìá êýñéá óôïé÷åßá ôïõò ßóá åê’ôùí ïðïßùí ôï Ýíá ôïõëÜ÷éóôïí åßíáé ðëåõñÜ.

Page 192: c Gymnasiou 2012

ÌÝñïò B - ÊåöÜëáéï 1188

Äßíåôáé éóïóêåëÝò ôñßãùíï ΑBΓ êáé ÁÄ ôïýøïò ôïõ. Íá äåßîåôå üôé ôï Ä åßíáé ìÝóï ôçòÂÃ, êáé ç ÁÄ äé÷ïôüìïò ôçò ãùíßáò Á.

Ëýóç

ΑΒΔ

Α ΔΓ äéüôé:

Eίναι ορθογώνια

ΑΒ ΑΓ (πλευρές ισοσκελούς τριγώνου)

ΑΔ ΑΔ (κοινή πλευρά)

Áöïý

ΑΒΔ Α ΔΓ ôüôå êáé:

ΒΔ ΔΓ Üñá Ä ìÝóï ôçò Âà êáé

1 2Α Α Üñá ÁÄ äé÷ïôüìïò ôçò ãùíßáò Á.

Äßíåôáé ðáñáëëçëüãñáììï ÁÂÃÄ. Íá äåßîåôåüôé ç äéáãþíéïò ÂÄ ÷ùñßæåé ôï ðáñáëëçëü-ãñáììï óå äýï ßóá ôñßãùíá.

Ëýóç

ΑΒΔ ΒΓ Δ äéüôé:

ΑΒ ΓΔ (απέναντιπλευρές παραλ / μου)

ΑΔ ΒΓ (απέναντιπλευρές παραλ / μου)

ΒΔ ΒΔ (κοινή πλευρά)

1Äßíåôáé ôñßãùíï ÁÂà êáé ÁÌ äéÜìåóïò. Ðñïåêôåß-íïõìå ôçí ÁÌ êáôÜ ÌÄ = ÁÌ. Íá äåßîåôå üôé:

á. ΜΑΒ ΜΓ Δ

â. ΑΒ = ΓΔ ã. ΑΒ ΑΓ

ΑΜ2

Ëýóç

á.

ΜΑΒ ΜΓ Δ äéüôé:

1 2

ΜΑ ΜΔ (υπόθεση)

ΜΒ ΜΓ (Μ μέσο ΑΔ)

Μ Μ (κατακορυφήν γωνίες)

â. Áöïý

ΜΑΒ ΜΓ Δ ôüôå êáé ΑΒ ΓΔ (1)

ã. Óôï ôñßãùíï ÁÄà éó÷ýåé: ΑΔ ΑΓ ΓΔ êáé åðåéäÞ éó÷ý-åé ç ó÷Ýóç ÁÄ = 2ÁÌ êáèþò êáé ç (1) Ý÷ïõìå:

2ΑΜ

2

ΑΓ ΑΒ2

ôüôå

ΑΒ ΑΓ

ΑΜ2

Äßíåôáé éóïóêåëÝò ôñáðÝæ éï ÁÂÃÄ (ÁÂ// ÃÄ)üðïõ ÁÅ, ÂÆ ôá ýøç ôïõ. Íá äåßîåôå üôé:á. Ôá ôñßãùíá ÁÄÅ êáé ÂÃÆ åßíáé ßóá.

â. ΔΕ ΖΓ ã. ΓΔ ΑΒ

ΔΕ2

2

3

4

ÐÁÑÁÄÅÉÃÌÁÔÁ - ÅÖÁÑÌÏÃÅÓ

Page 193: c Gymnasiou 2012

1.1 Éóüôçôá ôñéãþíùí 189

Ëýóç

ÁÅ//ÂÆ ãéáôß åßíáé êÜèåôåò óôçí ÃÄ,ÁÂ//ÃÄ Üñá ôï ÁÂÆÅ åßíáé ðáñáë/ìï ïðüôå

ΑΕ ΒΖ (1) êáé ΕΖ ΑΒ (2)

á.

Α ΔΕ =

ΒΖΓ äéüôé:

Είναι ορθογώνια

ΑΕ ΒΖ (λόγω 1 )

ΑΔ ΒΓ (σκέλη ισοσκ. τραπεζίου)

â. Áöïý

Α ΔΕ =

ΒΖΓ (áðü á. åñþôçìá) ôüôå êáé ΔΕ ΖΓ (3).

ã. Ðáñáôçñïýìå üôé: ΔΕ ΕΖ ΖΓ ΓΔ ΔΕ ΑΒ ΔΕ ΓΔËüãù ôùí (2) êáé (3) Ý÷ïõìå:

2ÄÅ = ÃÄ – ÁÂ Þ

ΓΔ ΑΒ

ΔΕ2

Óå éóïóêåëÝò ôñßãùíï ÁÂà ( ΑΒ ΑΓ ) ðñïåê-

ôåßíïõìå ôçí ÂÃ êáôÜ ôìÞìáôá ΒΔ = ΓΕ . Íá äåß-

îåôå üôé ΑΔ = ΑΕ .

Ëýóç

Áöïý ôï

ΑΒΓ åßíáé éóïóêåëÝò ôüôå

2 2Β Γ ïðüôå êáé 1 1Β Γ ùò ðáñáðëç-ñùìáôéêÝò ôùí ßóùí ãùíéþí Ã2, Â2.

ΑΒΔ =

ΑΓΕ äéüôé:

1 1

ΑΒ ΑΓ (πλευρές ισοσκελούς τριγώνου)

ΒΔ ΓΕ (υπόθεση)

Β Γ

Áöïý

ΑΒΔ =

ΑΓΕ åßíáé êáé ÁÄ = ÁÅ.

Íá äåßîåôå üôé ôá ýøç ÂÄ, ÃÅ éóïóêåëïýò ôñé-

ãþíïõ ÁÂÃ ( ΑΒ = ΑΓ ) åßíáé ßóá.

Ëýóç

Áöïý ôï ôñßãùíï ÁÂà åßíáé éóïóêåëÝò ôüôå Β Γ

ΒΓΕ ΒΓ Δ äéüôé:

Είναι ορθογώνια

ΒΓ ΒΓ (κοινή)

Β Γ

Áöïý

ΒΓΕ ΒΓ Δ åßíáé êáé ÂÄ = ÃÅ.

Äßíåôáé éóüðëåõñï ôñßãùíï ÁÂà êáé ôá óçìåß-á Ä, Å, Æ óôéò ðëåõñÝò ÁÂ, ÂÃ, ÃÁ áíôßóôïé÷á

þóôå ΑΔ = ΒΕ = ΓΖ . Íá äåßîåôå üôé ôï ôñßãùíïÄÅÆ åßíáé éóüðëåõñï.

Ëýóç

Α Δ Ζ ΒΕΔ äéüôé:

ο

ΑΖ ΔΒ Διαφορά ίσων τμημάτων

ΑΔ BΕ (υπόθεση)

Β Α 60

Áöïý

Α Δ Ζ ΒΕΔ åßíáé êáé ÄÆ = ÄÅ (1)

Α Δ Ζ ΓΕΖ äéüôé:

ο

ΑΖ ΕΓ Διαφορά ίσων τμημάτων

ΑΔ ΖΓ (υπόθεση)

Γ Α 60

Áöïý

Α Δ Ζ ΓΕΖ åßíáé êáé ÄÆ = ÄÅ (2)Áðü (1) êáé (2) Ý÷ïõìå: ÄÅ = ÅÆ =ÆÄ Üñá ôï ôñßãùíï ÄÅÆ åßíáé éóü-ðëåõñï.

5

6

7

Page 194: c Gymnasiou 2012

ÌÝñïò B - ÊåöÜëáéï 1190

ÅÑÙÔÇÓÅÉÓ ÊÁÔÁÍÏÇÓÇÓ

1 Íá ÷áñáêôçñßóåôå ôéò ðáñáêÜôù ðñïôÜóåéò ìå (Ó), áí åßíáé óùóôÝò Þ ìå (Ë), áí åßíáé ëáíèáóìÝíåò:

á. Áí äýï ôñßãùíá Ý÷ïõí ôéò ãùíßåò ôïõò ßóåò ìßá ðñïò ìßá, ôüôå åßíáé ßóá.

â. Áí äýï ôñßãùíá Ý÷ïõí ôéò ðëåõñÝò ôïõò ßóåò ìßá ðñïò ìßá, ôüôå åßíáé ßóá.

ã. Óå äýï ôñßãùíá áðÝíáíôé áðü ßóåò ðëåõñÝò âñßóêïíôáé ßóåò ãùíßåò.

ä. Óå äýï ßóá ôñßãùíá áðÝíáíôé áðü ßóåò ãùíßåò âñßóêïíôáé ßóåò ðëåõñÝò.

å. Áí äýï ôñßãùíá Ý÷ïõí äýï ãùíßåò ßóåò ìßá ðñïò ìßá, ôüôå èá Ý÷ïõí êáé ôçí ôñßôç ôïõò ãùíßá ßóç.

óô. Áí äýï ôñßãùíá Ý÷ïõí äýï ðëåõñÝò ßóåò ìßá ðñïò ìßá,ôüôå èá Ý÷ïõí êáé ôçí ôñßôç ôïõò ðëåõñÜ ßóç.

 

Åßíáé ßóá ôá ôñßãùíá ôïõ äéðëáíïý ó÷Þìáôïò; Íá áéôéïëïãÞóåôå ôçí áðÜ-íôçóÞ óáò.

Åßíáé ßóá ôá ïñèïãþíéá ôñßãùíá ôïõ äéðëáíïý ó÷Þìáôïò; Íá áéôéïëïãÞóåôåôçí áðÜíôçóÞ óáò.

Íá áéôéïëïãÞóåôå ãéáôß åßíáé ßóá ôá ïñèïãþíéá ôñßãùíá ÁÂÃ êáé ÁÃÄ.

2

3

4

Page 195: c Gymnasiou 2012

1.1 Éóüôçôá ôñéãþíùí 191

Íá áðïäåßîåôå üôé ïé äéÜìåóïé ÂÌ êáé ÃÍ éóïóêåëïýò ôñéãþíïõ AΒΓ ΑΒ ΑΓ åßíáé ßóåò.

Óôéò ßóåò ðëåõñÝò ÁÂ, Áà éóïóêåëïýò ôñéãþíïõ ÁÂà ðáßñíïõìå ßóá ôìÞìáôá ÁÄ, ÁÅ. Áí Ì åßíáé ôï ìÝóï ôçò ÂÃ, íá

äåßîåôå üôé ΜΔ ΜΕ .

Óôéò ßóåò ðëåõñÝò ÁÂ, Áà éóïóêåëïýò ôñéãþíïõ ÁÂà ðáßñíïõìå ôá ßóá ôìÞìáôá ÁÄ, ÁÅ áíôßóôïé÷á. Íá äåßîåôå üôéïé áðïóôÜóåéò ôùí óçìåßùí Ä, Å áðü ôçí Âà åßíáé ßóåò.

Óå éóïóêåëÝò ôñßãùíï AΒΓ ΑΒ ΑΓ ,áí Ê, Ë, Ì ìÝóá ôùí ðëåõñþí ôïõ ÁÂ, ÂÃ, ÃÁ áíôßóôïé÷á íá äåßîåôå üôé ôï

Κ ΛΜ

åßíáé éóïóêåëÝò.

¸óôù ôñßãùíï ÁÂà êáé ÁÌ ç äéÜìåóïò ôïõ. Íá äåßîåôå üôé ïé êïñõöÝò Â, à éóáðÝ÷ïõí áðü ôç äéÜìåóï ÁÌ.

¸óôù ÁÂà éóïóêåëÝò ôñßãùíï. Ðñïåêôåßíïõìå ôéò ßóåò ðëåõñÝò ÁÂ, Áà êáôÜ ôìÞìáôá ΒΔ ΓΕ . Íá äåßîåôå üôé ΒΕ ΓΔ .

¸óôù ABΓ

éóïóêåëÝò ôñßãùíï êáé Ì, Í ôá ìÝóá ôùí ßóùí ðëåõñþí ÁÂ, ÁÃ. Ðñïåêôåßíïõìå ôçí Âà êáôÜ ΒΔ ΓΕ .

Íá äåßîåôå üôé ΜΔ ΝΕ .

¸óôù éóïóêåëÝò ôñßãùíï AΒΓ ΑΒ ΑΓ . Íá äåßîåôå üôé ïé äé÷ïôüìïé ÂÄ, ÃÅ åßíáé ßóåò.

¸óôù éóïóêåëÝò ôñßãùíï AΒΓ ΑΒ ΑΓ . Ìå ðëåõñÜ ôçí Âà êáé åîùôåñéêÜ ôïõ ôñéãþíïõ êáôáóêåõÜæïõìå ôïôåôñÜãùíï ÂÃÄÅ. Íá äåßîåôå üôé ôï ôñßãùíï ÁÄÅ åßíáé éóïóêåëÝò.

¸óôù ÁÂà éóüðëåõñï ôñßãùíï. Óôçí ðñïÝêôáóç ôçò Âà ðáßñíïõìå ôìÞìá ΓΔ ΒΓ . Íá äåßîåôå üôé:

á. ç οΔ 30 â. ôï ΑΒΔ

åßíáé ïñèïãþíéï ã. ΒΔ

ΑΓ2

Äßíåôáé ãùíßá xOy . ÐÜíù óôéò Ox, Oy ðáßñíù ôá óçìåßá Á,  êáé Ã, Ä áíôßóôïé÷á þóôå ÏÁ = Ïà êáé Ï = ÏÄ. Íáäåßîåôå üôé ÁÄ = ÁÃ.

¸óôù éóïóêåëÝò ôñßãùíï AΒΓ ΑΒ ΑΓ êáé Ì ìÝóï ôçò ÂÃ. Íá äåßîåôå üôé ôï óçìåßï Ì éóáðÝ÷åé áðü ôéò ðëåõñÝò ÁÂ, ÁÃ.

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Page 196: c Gymnasiou 2012

ÌÝñïò B - ÊåöÜëáéï 1192

¸óôù ôåôñÜãùíï ÁÂÃÄ. Ðñïåêôåßíïõìå ôéò ðëåõñÝò ÁÂ, ÂÃ, ÃÄ, ÄÁ êáé óôéò ðñïåêôÜóåéò ðáßñíïõìå ôá ôìÞìáôá

ΒΚ ΓΛ ΔΜ ΑΝ . Íá äåßîåôå üôé ôï ÊËÌÍ åßíáé ôåôñÜãùíï.

¸óôù éóïóêåëÝò ôñßãùíï AΒΓ ΑΒ ΑΓ . Óôéò ðñïåêôÜóåéò ôçò Âà ðáßñíïõìå ôìÞìáôá ΒΔ ΓΕ . Íá äåßîåôå üôé ïéáðïóôÜóåéò ôùí Ä, Å áðü ôéò ðëåõñÝò ÁÂ, Áà áíôßóôïé÷á åßíáé ßóåò.

¸óôù äýï éóïóêåëÞ ôñßãùíá ÁÂÃ, ÁÄÅ ìå ΒΑΓ ΔΑΕ . Íá äåßîåôå üôé ΒΔ ΓΕ .

¸óôù ôñßãùíï ÁÂÃ. Óôéò ðñïåêôÜóåéò ôùí ðëåõñþí ôïõ ÁÂ, ÁÃ ðáßñíïõìå ôìÞìáôá ÂÄ = ÁÂ, ÃÅ = ÁÃ. Íá äåßîåôå üôéïé áðïóôÜóåéò ôùí óçìåßùí Ä, Å áðü ôçí ÂÃ åßíáé ßóåò.

13

14

15

Åñþôçóç 1

Á. Íá ÷áñáêôçñßóåôå ôéò ðáñáêÜôù ðñïôÜóåéò ìå (Ó), áí åßíáé óùóôÝò Þ ìå (Ë), áí åßíáé ëáíèáóìÝíåò:á) Äýï ôñßãùíá ðïõ Ý÷ïõí äýï ðëåõñÝò ßóåò êáé ìßá ãùíßá ßóç åßíáé ßóá.â) Äýï ïñèïãþíéá ôñßãùíá ðïõ Ý÷ïõí ôéò ïîåßåò ãùíßåò ôïõò ßóåò åßíáé ßóá.ã) Äýï ôñßãùíá ðïõ Ý÷ïõí ìéá ðëåõñÜ ßóç êáé äýï áíôßóôïé÷åò ãùíßåò ßóåò ìßá ðñïò ìßá åßíáé ßóá.Â. Áí äýï éóïóêåëÞ ôñßãùíá Ý÷ïõí ôéò âÜóåéò ôïõò ßóåò êáé ôéò ãùíßåò ôçò êïñõöÞò ßóåò, ôüôå íá áðïäåßîåôå üôé åßíáé ßóá.

Åñþôçóç 2

á. Äéáôõðþóôå ôá ôñßá êñéôÞñéá éóüôçôáò ôñéãþíùí.â. Äéáôõðþóôå äýï áðü ôá êñéôÞñéá éóüôçôáò ïñèïãùíßùí ôñéãþíùí.

¢óêçóç 1

Óôï äéðëáíü ó÷Þìá íá äåßîåôå üôé: á. ÊÂ = ÊÃ â. ΑΒΚ ΑΓΚ

¢óêçóç 2

Óôï äéðëáíü ó÷Þìá íá äåßîåôå üôé: á. ÊË = ËÌ = ÌÍ = ÍÊ â. Ôï ÊËÌÍ åßíáé ôåôñÜãùíï.

¢óêçóç 3

Óôï äéðëáíü ó÷Þìá íá äåßîåôå üôé: ÄÊ = ÅË

ÊÑÉÔÇÑÉÏ ÁÎÉÏËÏÃÇÓÇÓ

16

Page 197: c Gymnasiou 2012

1.2 - 1.3 Ëüãïò åõèõãñÜììùí ôìçìÜôùí - è. ÈáëÞ 193

1.2-1.3 Ëüãïò åõèõãñÜììùí ôìçìÜôùí - èåþñçìá ÈáëÞ

Åñþôçóç 3

Ôé ïíïìÜæïõìå ëüãï äýï åõèýãñáììùí ôìçìÜôùí êáéðùò óõìâïëßæåôáé;

ÁðÜíôçóç

Ï ëüãïò åíüò åõèýãñáììïõ ôìÞìáôïò ÃÄ ðñïò ôï åõèýãñáì-

ìï ôìÞìá ÁÂ óõìâïëßæåôáé ΓΔΑΒ

êáé åßíáé ï áñéèìüò ë, ãéá ôïí

ïðïßï éó÷ýåé ΓΔ λ ΑΒ .

Åñþôçóç 4

Ðüôå ëÝìå üôé äõï åõèýãñáììá ôìÞìáôá á,ã åßíáé áíÜ-ëïãá ðñïò äõï Üëëá â,ä;

ÁðÜíôçóç

Ôá åõèýãñáììá ôìÞìáôá á,ã åßíáé áíÜëïãá ðñïò ôá åõèý-

ãñáììá ôìÞìáôá â,ä üôáí éó÷ýåé α γβ δ .

Ç éóüôçôá α γβ δ ïíïìÜæåôáé áíáëïãßá ìå üñïõò ôá åõèý-

ãñáììá ôìÞìáôá á,â,ã,ä.Ôá åõèýãñáììáô ôìÞìáôá á,ä ïíïìÜæïíôáé Üêñïé üñïé, åíþôá åõèýãñáììá ôìÞìáôá â,ã ïíïìÜæïíôáé ìÝóïé üñïé ôçòáíáëïãßáò.

Åñþôçóç 1

Äéáôõðþóôå ôï èåþñçìá ðïõ éó÷ýåé ãéá ôá ôìÞìáôá ðïõ ïñß-

æïõí ôñåßò ðáñÜëëçëåò åõèåßåò ðÜíù óå äýï ìç ðáñÜëëçëåò.

ÁðÜíôçóç

¼ôáí ôñåéò ôïõëÜ÷éóôïí ðáñÜëëçëåò åõèåßåò ïñßæïõí ßóá ôìÞ-

ìáôá óå ìéá åõèåßá ôüôå èá ïñßæïõí ßóá ôìÞìáôá êáé óå êÜèå

Üëëç åõèåßá ðïõ ôéò ôÝìíåé.

ÄçëáäÞ óôï äéðëáíü ó÷Þìá:

Áí ÁÂ = ÂÃ ôüôå Á’Â’ = Â’Ã’

Åñþôçóç 2

Ðùò äéáéñïýìå åõèýãñáììï ôìÞìá óå í ßóá åõèýãñáììáôìÞìáôá; (åöáñìïãÞ ãéá v = 5).

ÁðÜíôçóç

Áí éó÷ýïõí

1 2 3ε // ε // ε

τότε Α΄Β΄ ´ôAB BΓ

Ìéá åöáñìïãÞ ôçò ðáñáðÜíù èåùñßáò åßíáé ç äéáßñåóçåõè.ôìÞìáôïò óå í ßóá åõè. ôìÞìáôá.ð.÷. ãéá íá ÷ùñßóïõìå ôï Á óå 5 ßóá åõè. ôìÞìáôá öÝñ-íïõìå ìéá çìéåõèåßá Áx êáé ðÜíù ó’ áõôÞí ðáßñíïõìå 5 ßóáôìÞìáôá, Ýóôù ôá AK = KË = ËÌ = ÌÍ = ÍÑÅíþíïõìå ôï Ñ ìå ôï  êáé áðï ôá óçìåßá Ê, Ë, Ì, Í öÝñíïõìåðáñÜëëçëåò ðñïò ôçí ÂÑ. Ôüôå ôá ôìÞìáôá ðïõ ïñßæïíôáé ðÜíùóôï Á åßíáé ßóá äçë. Áà = ÃÄ = ÄÅ = ÅÆ = ÆÂ

Page 198: c Gymnasiou 2012

ÌÝñïò Â - ÊåöÜëáéï 1194

Åñþôçóç 5

Ðïéåò åßíáé ïé óçìáíôéêüôåñåò éäéüôçôåò áíáëïãéþí;

ÁðÜíôçóç

• Óå êÜèå áíáëïãßá ôï ãéíüìåíï ôùí Üêñùí üñùí åßíáé ßóïìå ôï ãéíüìåíï ôùí ìÝóùí üñùí.

α γ

Αν τότε αδ βγβ δ

• Óå êÜèå áíáëïãßá ìðïñïýìå íá åíáëëÜîïõìå ôïõò ìÝóïõòÞ ôïõò Üêñïõò üñïõò êáé íá ðñïêýøåé êáé ðÜëé áíáëïãßá.

α γ α β δ γ

Αν τότε ήβ δ γ δ β α

• Ëüãïé ßóïé ìåôáîý ôïõò åßíáé êáé ßóïé ìå ôï ëüãï ðïõ Ý÷åéáñéèìçôÞ ôï Üèñïéóìá ôùí áñéèìçôþí êáé ðáñïíïìáóôÞ ôïÜèñïéóìá ôùí ðáñïíïìáóôþí.

α γ α γ α γ

Αν τότεβ δ β δ β δ

Åñþôçóç 6

Äéáôõðþóôå ôï èåþñçìá ôïõ ÈáëÞ.

ÁðÜíôçóç

¼ôáí ôñåéò Þ ðåñéóóüôåñåò ðáñÜëëçëåò åõèåßåò ôÝ-ìíïõí äýï Üëëåò åõèåßåò, ôüôå ôá ôìÞìáôá ðïõ ïñßæï-íôáé óôç ìéá åßíáé áíÜëïãá ðñïò ôá áíôßóôïé÷á ôìÞìá-ôá ðïõ ïñßæïíôáé óôçí Üëëç åõèåßá.

Äåßôå óôï åðüìåíï ó÷Þìá:

Áí 1 2 3n //n //n , ôüôå AB ΔΕ ΑΓΒΓ ΕΖ ΔΖ

(éó÷ýåé êáé ôï áíôßóôñïöï ôïõ èåùñÞìáôïò).

Ç åõèåßá ðïõ ðåñíÜåé áðü ôï ìÝóï ìéáò ðëåõ-ñÜò åíüò ôñéãþíïõ êáé åßíáé ðáñÜëëçëç ðñïòìéá Üëëç ðëåõñÜ ôïõ, ðåñíÜåé áðü ôï ìÝóïôçò ôñßôçò ðëåõñÜò.

ËýóçÈá áðïäåßîïõìå ôç óõíåðáãùãÞ:

Áí éó÷ýïõí

Μ μέσο ΑΒτότε Ν μέσοτης ΑΓ

ΜΝ// BΓ

ÐñÜãìáôé åßíáé ΑΝ ΑΜ

1ΝΓ ΜB

, Üñá ΑΝ ΝΓ .

ÐÁÑÁÄÅÉÃÌÁÔÁ - ÅÖÁÑÌÏÃÅÓ

1

Ôï åõèýãñáììï ôìÞìá ðïõ åíþíåé ôá ìÝóá äýïðëåõñþí åíüò ôñéãþíïõ éóïýôáé ìå ôï ìéóü ôçòôñßôçò ðëåõñÜò êáé åßíáé ðáñÜëëçëï ðñïò áõôÞí.

Ëýóç

2

Page 199: c Gymnasiou 2012

1.2 - 1.3 Ëüãïò åõèõãñÜììùí ôìçìÜôùí - è. ÈáëÞ 195

Äßíåôáé ôñßãùíï ÁÂà êáé Ä, Å, Æ ìÝóá ôùíðëåõñþí ÁÂ, ÂÃ, ÃÁ áíôßóôïé÷á íá äåßîåôå üôéÁÄÅÆ åßíáé ðáñáë/ìï.

Ëýóç

Στο ΑΒΓ

Δ μέσο ΑΒάρα ΔΕ // ΑΓ

Ε μέσο ΒΓ (1)

Στο ΑΒΓ

Ε μέσο ΒΓάρα ΕΖ // ΑΒ

Ζ μέσο ΑΓ (2)

Áðü (1) êáé (2) ðñïêýðôåé üôé ôï ÁÄÅÆ åßíáé ðáñáëëçëüãñáììïãéáôß Ý÷åéò ôéò áðÝíáíôé ðëåõñÝò ðáñÜëëçëåò.

Èá áðïäåßîïõìå ôç óõíåðáãùãÞ:

Áí éó÷ýïõí

Μ μέσο ΑΒ ΒΓτότε ΜΝ//

Ν μέσο ΑΓ 2

ÐñÜãìáôé åßíáé AM ANMB NΓ

, Üñá ΑΝ //ΝΓ .

Åðßóçò áí ΝΖ // ΑΒ ôüôå Æ ìÝóï ôçò Âà ëüãù (áóê. 1) êáé

ÌÍÆÂ ðáñáëëçëüãñáììï, ïðüôå ΒΓ

ΜΝ ΒΖ2

.

Ç äéÜìåóïò ïñèïãùíßïõ ôñéãþíïõ ðïõ áíô é-óôïé÷åß óôçí õðïôåßíïõóá åßíáé ßóç ìå ôï ìéóüôçò õðïôåßíïõóáò.

Ëýóç

ÄçëáäÞ óôï äéðëáíü ó÷Þìá éó÷ýåé çóõíåðáãùãÞ:

Áí

ο ΒΓΑΒΓ Α 90 τότε ΑΜ2ΑΜ: διάμεσος

Äéüôé áí Í ôï ìÝóï ôçò Áà ôüôå

Μ μέσο ΒΓεπομένως ΜΝ // ΑΒ

Ν μέσο ΑΓ

Üñá ΜΝ ΑΓ (áöïý ΑΒ ΑΓ ).ÄçëáäÞ ôï ÌÍ åßíáé ìåóïêÜèåôïò ôçò ÁÃ.

¢ñá ôï Ì éóáðÝ÷åé áðü ôá Üêñá Á, à ïðüôå ÁÌ = ÌÃ,äçë. ΒΓ

ΑΜ2

.

ÊÜèå åõèåßá ðáñÜëëçëç ðñïò ìéá ðëåõñÜ åíüòôñéãþíïõ ôÝìíåé ôéò äýï Üëëåò ðëåõñÝò (Þ ôéòðñïåêôÜóåéò ôùí) óå ßóïõò ëüãïõò.

ËýóçÄçëáäÞ óôï ðáñáêÜôù ó÷Þìá éó÷ýåé ç óõíåðáãùãÞ:

Áí 2ΑΔ ΑΕ ΑΒ

ε // ΒΓ τότεΔΒ ΕΓ ΑΓ

Þ

áí 1ΑΖ ΑΗ ΖΓ

ε //ΒΓ τότεΑΓ ΑΒ ΗΒ

Äéüôé áí öÝñïõìå ôç ÄÅ//Âà êáé ôçí(å3 ) ðáñÜëëçëç óôçí Âà ôüôå ìå å-öáñìïãÞ ôïõ È. ÈáëÞ óôßò Âà , (å2 )

êáé (å3 ) êáé ôÝìíïõóåò ôéò ÁÂ êáé ÁÃ ðáßñíïõìå: ΑΔ ΑΕ ΔΕΑΒ ΑΓ ΒΓ

¼ìïéá ìå åöáñìïãÞ ôïõ È. ÈáëÞ óôßò Âà , (å1 ) êáé (å3 ) êáé

ôÝìíïõóåò ðÜëé ôéò Á êáé Áà ðáßñíïõìå: ΑΖ ΑΗ ΖΓΑΓ ΑΒ ΗΒ

3

4

5

ε3

Page 200: c Gymnasiou 2012

ÌÝñïò Â - ÊåöÜëáéï 1196

9

Äßíåôáé ôåôñÜðëåõñï ÁÂÃÄ. Íá äåßîåôå üôé ôáìÝóá ôùí ðëåõñþí ôïõ åßíáé êïñõöÝò ðáñáë-ëçëïãñÜììïõ.

Ëýóç

ÖÝñíïõìå ôéò äéáãþíéåò ÁÃ, ÂÄ.

Ôüôå

Στο ΑΒΓ

Κ μέσο ΑΒτότε και ΚΛ // ΑΓ

Λ μέσο ΒΓ (1)

Στο Α ΔΓ

Μ μέσο ΓΔτότε και ΜΝ // ΑΓ

Ν μέσο ΑΔ (2)

Áðü (1) êáé (2) ðñïêýðôåé: ΚΛ //ΜΝ (3)

Στο ΑΒΔ

Κ μέσο ΑΒτότε ΚΝ // ΒΔ

Ν μέσο ΑΔ (4)

Στο ΒΓ Δ

Λ μέσο ΒΓτότε ΜΛ //ΒΔ

Μ μέσο ΓΔ (5)

Áðü (4) êáé (5) ðñïêýðôåé: KN//MË (6)Áðü ôéò ó÷Ýóåéò (3) êáé (6) Ý÷ïõìå üôéôï ÊËÌÍ åßíáé ðáñáëëçëüãñáìï.

Íá ÷ùñßóåôå ôï åõè. ôìÞìá ΑΒ = 20cm óå

ôñßá ßóá åõè. ôìÞìáôá.

ËýóçÖÝñíïõìå ìéá çìéåõèåßá Áx êáé ðÜíù ó’ áõôÞí ôá äéáäï÷éêÜßóá ôìÞìáôá ÁÌ, ÌÍ, ÍÊ. ÖÝñíïõìå ôçí ÂÊ êáé áðü ôá Ì,

Í ðáñáëëÞëïõò ðñïò ôçí ÂÊ ðïõôÝìíïõí ôçí ÁÂ óôá Ä, Å áíôßóôïé-

÷á, ôüôå ΑΔ ΔΕ ΕΒ .

Äßíåôáé ôåôñÜðëåõñï ÁÂÃÄ. Áðü ôï ìÝóï Ìôçò Á öÝñíïõìå ðáñÜëëçëç óôçí Áà ç ïðï-ßá ôÝìíåé ôçí Âà óôï Í, áðü ôï Í öÝñíïõìåðáñÜëëçëç óôçí ÂÄ ç ïðïßá ôÝìíåé ôçí ÃÄóôï Ë êáé áðü ôï Ë öÝñíïõìå ðáñÜëëçëçóôçí ÁÄ ðïõ ôÝìíåé ôçí Áà óôï Ï. Íá äåßîåôåüôé ôï Ï åßíáé ìÝóï ôçò ÁÃ.

Ëýóç

Στο ΑΒΓ

Μ μέσο ΑΒ τότε Ν μέσο ΒΓ

ΜΝ// ΑΓ

Στο ΒΓ Δ

Ν μέσο ΒΓ τότε Λ μέσο ΓΔ

ΝΛ // ΒΔ

Στο ΑΓ Δ

Λ μέσο ΓΔ τότε Ο

ΛΟ// ΑΔ μέσο ΑΓ

Íá ó÷åäéÜóåôå Ýíá ôìÞìá AB = 12cm êáé óôç óõíÝ-

÷åéá íá âñåßôå ôìÞìáôá ßóá ìå: 1

AB5

, 4

AB5

, 7AB

5.

Ëýóç

6

7

8

Page 201: c Gymnasiou 2012

1.2 - 1.3 Ëüãïò åõèõãñÜììùí ôìçìÜôùí - è. ÈáëÞ 197

ÃñÜöïõìå ìéá âïçèçôéêÞ åõèåßá Áx. ÐÜíù óôçí Ax ðáßñíïõìåôá äéáäï÷éêÜ êáé ßóá ôìÞìáôá AK = KË - ËÌ = ÌÍ = ÍÎ =ÎÏ = ÏÐ. Åíþíïõìå ôï Î ìå ôï  êáé áðü ôá õðüëïéðá óç-ìåßá öÝñíïõìå ðáñÜëëçëåò ðñïò ôçí ÂÎ.

Üñá 1

AB ΑΔ5

,

4

AB ΑΗ5

,

7

AB ΑΙ5

Äßíåôáé ôñßãùíï ÁÂà êáé ÂÄ, ÃÅ ôá ýøç ôïõ.Áí Ì ìÝóï ôçò Âà íá äåßîåôå üôé ôï ôñßãùíïÌÄÅ åßíáé éóïóêåëÝò.

ËýóçÁöïý ÂÄ, ÃÅ åßíáé ýøç ôïõ ÁÂà ôáôñßãùíá ÂÄÃ, ÂÅà åßíáé ïñèïãþíéáôüôå:

Óôï

ΒΔΓ ïñèïãþíéï ç ÄÌ åßíáéäéÜìåóïò, ïðüôå

ΒΓ

ΔΜ2

(1)

Óôï ΒΕΓ

ïñèïãþíéï ç ÅÌ åßíáé äéÜìåóïò, ïðüôå ΒΓ

ΕΜ2

(2)

Áðü ôéò ó÷Ýóåéò (1) êáé (2) óõìðåñáßíïõìå üôé ΔΜ ΕΜ Üñáôï ôñßãùíï ÌÄÅ åßíáé éóïóêåëÝò.

Íá âñåßôå ôï x åöáñìüæïíôáò è.ÈáëÞ óôá ôñßãùíá.

Ëýóç

á.

ÄÅ//ÂÃ (áöïý ïé åíôüò åêôüò êáé åðß

ôáõôÜ ãùíßåò Β, Δ åßíáé ßóåò) Üñá

ΑΔ ΑΕΔΒ ΕΓ

Þ x 53 2

Þ 2x 15 Þ

x 7,5

â. ÅðåéäÞ ÊÌ// ÁÂ áðü è. ÈáëÞ

Ý÷ïõìå: ΑM ΒΚMΓ ΚΓ

Þ 3 x6 4

Þ

6÷ = 12 Þ ÷ = 2.

ã.Áöïý Âà = 12 êáé ÂÇ = 8 ôüôå Çà = 4ÅðåéäÞ ÆÇ // Áà áðü è. ÈáëÞ Ý÷ïõìå:

ΒΖ ΒΗΑΖ ΗΓ

Þ x 82 4

Þ 4÷ = 16 Þ ÷ = 4

ä. ÄÅ // ÊÌ (áöïý ïé åíôüò åêôüò êáé

åðß ôáõôÜ ãùíßåò Κ, Δ åßíáé ßóåò).

¢ñá áðü è. ÈáëÞ Ý÷ïõìå: ΚΛ ΛΜΚΔ ΜΕ

Þ x 92 3

Þ 3x 18 Þ x 6

å. ÅðåéäÞ ÄÅ // Âà áðü è. ÈáëÞ Ý÷ïõìå:

ΑΔ ΑΕΔΒ ΕΓ

Þ x 94 x

Þ 2x 36 Þ ÷ = 6

Äßíåôáé ôñáðÝæéï ÁÂÃÄ êáé ÅÆ//ÁÂ//ÄÃ. Áí ÁÄ=9cmêáé ÁÅ = 3cm, BZ = 9cm. Íá âñåßôå ôï x.

10

11

12

Page 202: c Gymnasiou 2012

ÌÝñïò Â - ÊåöÜëáéï 1198

15

Ëýóç

ÁÄ äé÷ïôüìïò Üñá 1 2Α Α . Áðü ôï öÝñíïõìå ðáñÜëëçëç ðñïò ôçíÁÄ ðïõ ôÝìíåé ôçí Áà óôï Å.

Áöïý ΑΔ // ΒΕ áðü è. ÈáëÞ Ý÷ïõìå

ΒΔ ΑΕ1

ΔΓ ΑΓ

Åðßóçò ëüãù ôùí ðáñáëëÞëùí åßíáé

1 2

1 1 1

2

Α Α

Α Β (εντός εναλλάξ) τότε Β Ε

Α Ε (εντός εκτός καιεπι τα αυτά)

Ïðüôå ôï ôñßãùíï ÁÂÅ åßíáé éóïóêåëÝò , Üñá ΑΕ ΑΒ (2) .Áðü ôéò éóüôçôåò (1) êáé (2) ðñïêýðôåé ç æçôïýìåíç ó÷Ýóç.

Óôï ðáñáêÜôù ó÷Þìá éó÷ýåé:

ΑΒ 1=

ΒΓ 4, ÁÊ//ÂË//ÃÌ.

Íá õðïëïãßóåôå ôïõò ëüãïõò:

á. ΚΛΛΜ

â. ΑΓΒΓ

ã. ABΑΓ

ä. ΚΜΚΛ

Ëýóç

Áöïý ÁÊ//ÂË//ÃÌ Ý÷ïõìå:

á. ΑΒ ΚΛΒΓ ΛΜ

Üñá 1 ΚΛ4 ΛΜ

13

14

Ëýóç

ÅÄ = ÁÄ – ÄÅ = 9 – 3 = 6ÅÆ//ÁÂ//Äà ôüôå áðü è. ÈáëÞ Ý÷ïõìå:

AE ΒΖEΔ ΖΓ

Þ 3 96 x

Þ 3x 54 Þ x 18cm

Óôá ðáñáêÜôù ó÷Þìáôá íá õðïëïãßóåôå ôá x,y áí ÄÅ // ÂÃ.

Ëýóç

á. Áðü ôï èåþñçìá ôïõ ÈáëÞ Ý÷ïõìå:

ΑΔ ΑΕΔΒ ΕΓ

Þ x y

4x 16 Þ

1 y4 16

Þ 4y 16 Þ y 4

â. ¼ìïéá Ý÷ïõìå: AΔ ΑΕΔΒ ΕΓ

Þ

x 6

x 4 8 Þ 8x 6 x 4 Þ

8x 6x 24 Þ 8x 6x 24 Þ2x 24 Þ x 12

Äßíåôáé ôñßãùíï ÁÂà êáé ÁÄ ç äé÷ïôüìïò ôçò

ãùíßáò Α . Íá äåßîåôå üôé BΔ ΑΒ

=ΔΓ ΑΓ

(èåþñçìá

äé÷ïôüìùí)

Page 203: c Gymnasiou 2012

1.2 - 1.3 Ëüãïò åõèõãñÜììùí ôìçìÜôùí - è. ÈáëÞ 199

â. ΑΒ 1ΒΓ 4

Þ

ΑΓ ΒΓ 1

ΒΓ 4 Þ

ΑΓ 11

ΒΓ 4

ΑΓ 1

1ΒΓ 4

Þ ΑΓ 5ΒΓ 4

ã.

ΑΒ ΑΓ ΒΓ ΑΓ ΒΓ 4 1

1ΑΓ ΑΓ ΑΓ ΑΓ 5 5

ä. ΚΜ ΑΓ 5

5ΚΛ ΑΒ 1

16

Ná óõìðëçñþóåôå ôéò éóüôçôåò:

á. ABAΓ

â. BΓAΒ

ã. ΑΒBΓ

ä. ΒΓAΓ

Áí ΑΒ ΒΓ ΓΔ ΔΕ íá óõìðëçñþóåôå ôéò éóüôçôåò: á. ABAΓ

â. BΔAΕ

ã. AΓAΔ

1

2

Óå ôñ ßãùíï ÁÂà öÝñíïõìå ôç ä éÜìåóï ÁÌêáé Ê Ýíá óçìåßï ôçò ä éáìÝóïõ. Áðü ôï ÊöÝñíïõìå ðáñÜëëçëåò ðñïò ôéò ÁÂ, Áà ðïõôÝìíïõí ôçí Âà óôá Ä, Å. Íá äåßîåôå üôé ôï Ìåßíáé ìÝóï ôïõ åõèýãñáììïõ ôìÞìáôïò ÄÅ.

Ëýóç

ΚΜ ΔΜΚΔ // ΑΒ τότε από θ.Θαλή

ΔΜ ΜΕΑΜ ΒΜ (1) τότεΚΜ ΜΕ ΒΜ ΜΓ

ΚΕ // ΑΓ τότε από θ.ΘαλήΑΜ ΜΓ

Áöïý Ì ìÝóï ôçò Âà ôüôå BM =Mà ïðüôå óôç ó÷Ýóç (1) ïé ðá-ñïíïìáóôÝò åßíáé ßóïé Üñá êáé ïéáñéèìçôÝò.

Äçë. ΔΜ ΜΕ Üñá Ì ìÝóï ôïõ ÄÅ.

ÅÑÙÔÇÓÅÉÓ ÊÁÔÁÍÏÇÓÇÓ

Page 204: c Gymnasiou 2012

ÌÝñïò Â - ÊåöÜëáéï 1200

3

ä. AΕΓΔ

å. ΓΔΓΕ

Íá ÷áñáêôçñßóåôå ôéò ðáñáêÜôù ðñïôÜóåéò ìå (Ó), áí åßíáé óùóôÝò Þ ìå (Ë), áí åßíáé ëáíèáóìÝíåò.

á. Áí ΑΒ 4ΓΔ 3

, ôüôå ÁÂ = 4 êáé ÃÄ = 3.

â. Ï ëüãïò äýï ðëåõñþí ôåôñáãþíïõ åßíáé ßóïò ìå 1.

ã. Áí ΑΒ 3ΓΔ 4

, ôüôå ôï åõèýãñáììï ôìÞìá ÁÂ åßíáé ìéêñüôåñï áðü ôï ÃÄ.

ä. Ï ëüãïò ôçò áêôßíáò åíüò êýêëïõ ðñïò ôç äéÜìåôñü ôïõ åßíáé 12

.

å. Áí Ì åßíáé ôï ìÝóï ôïõ åõèýãñáììïõ ôìÞìáôïò ÁÂ, ôüôå ΑΒ

2ΑΜ

.

óô. Ï ëüãïò ìéáò ðëåõñÜò ôåôñáãþíïõ ðñïò ôçí ðåñßìåôñü ôïõ åßíáé 14

.

Óôá äéðëáíÜ ôñßãùíá íá õðïëïãßóåôå ôï x áí ÄÅ // ÁÃ.

Óôá äéðëáíü ó÷Þìáôá íá õðïëïãßóåôå ôï x áí ZÅ // ÄÃ.

1

2

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

Page 205: c Gymnasiou 2012

1.2 - 1.3 Ëüãïò åõèõãñÜììùí ôìçìÜôùí - è. ÈáëÞ 201

¸óôù ïñèïãþíéï ôñßãùíï ÁÂà oA 90 ìå AB 6cm êáé AΓ 8cm . Ì, Í ìÝóá ôùí ÁÂ, Áà áíôßóôïé÷á. Íá âñåßôå:

á. ôçí ÂÃ â. ôçí ÌÍ

Óå ôñáðÝæéï ÁÂÃÄ (ÁÂ//ÃÄ) Å, Æ óçìåßá ôùí ÁÄ, Âà þóôå ÅÆ//ÁÃ//ÃÄ. Áí ΑΕ x , AΔ 2x 1 , ΒΖ 1 , ΓΖ x íáâñåßôå ôï x.

Èåùñïýìå ôñåéò çìéåõèåßåò Ïx, Ïy, Oz êáé Á,  äýï óçìåßá ôçò Ïx. Áðï áõôÜ öÝñíïõìå äýï åõèåßåò ðáñÜëëçëåòìåôáîý ôïõò ðïõ ôÝìíïõí ôçí Ïy, óôá Á’, Â’. Êáé áðü ôá Á’, Â’ äýï Üëëåò åõèåßåò ðáñÜëëçëåò ìåôáîý ôïõò ðïõôÝìíïõí ôçí Ïz óôá Á’’, Â’’. Íá äåßîåôå üôé ÁÁ’’ // ÂÂ’’.

Óå ôñßãùíï ÁÂà Ýóôù ÁÌ ç äéÜìåóïò ôïõ. Áðü óçìåßï Ä ôçò Âà öÝñíïõìå ðáñÜëëçëç ðñïò ôçí ÁÌ ç ïðïßá ôÝìíåé

ôçí ÁÃ óôï Æ êáé ôçí ÁÂ óôï Ç. Íá äåßîåôå üôé ΑΒ ΑΖ ΑΓ ΑΗ .

¸óôù ôñáðÝæéï ÁÂÃÄ êáé Ï ôï óçìåßï ôïìÞò ôùí äéáãþíéùí ôïõ ÁÃ, ÂÄ. Áðü ôï Ï öÝñíïõìå ðáñÜëëçëåò ðñïò ôéò

ìç ðáñÜëëçëåò ðëåõñÝò ÁÄ, Âà ïé ïðïßåò ôÝìíïõí ôçí ÃÄ óôá Æ, Ç áíôßóôïé÷á. Íá äåßîåôå üôé ΔΖ ΗΓ .

¸óôù ðáñáëëçëüãñáììï ÁÂÃÄ. Áðü ôï Á öÝñíïõìå åõèåßá ðïõ ôÝìíåé ôéò ÂÄ, ÂÃ, ÃÄ óôá Ê, Ë, Ì áíôßóôïé÷á.

á. Íá ãßíåé óýãêñéóç ôùí ëüãùí: ΚΑ ΚΛ ΚΒ

, ,ΚΜ ΚΑ ΚΔ

â. Íá äåßîåôå üôé: 2ΚΑ ΚΜ ΚΛ

¸óôù ôñáðÝæéï ÁÂÃÄ (ÁÂ//ÃÄ) êáé Ì, Í ìÝóá ôùí âÜóåùí ôïõ ÁÂ, ÃÄ áíôßóôïé÷á. Áðü ôï Ì öÝñíïõìå ðáñÜëëçëåòðñïò ôéò ÁÄ, Âà ïé ïðïßåò ôÝìíïõí ôçí ÃÄ óôá Å, Æ. Íá äåßîåôå üôé ôï Í åßíáé ìÝóï ôïõ ÅÆ.

á. Ìå êáíüíá êáé äéáâÞôç íá äéáéñÝóåôå Ýíá åõèýãñáììï ôìÞìá AB 10cm óå ôñßá ßóá åõèýãñáììá ôìÞìáôá êáé

ðÜíù óå ìéá åõèåßá å íá ó÷åäéÜóåôå ôá äéáäï÷éêÜ åõèýãñáììá ôìÞìáôá 2

ΓΔ ΑΒ3

, 5

ΔΖ ΑΒ3

êáé 1

ΖΗ ΑΒ3

.

â. Íá õðïëïãßóåôå ôïõò ëüãïõò:

i) ΓΔΑΒ

ii) ΔΖΓΔ

iii) ΑΒΖΗ

iv) ΖΗΔΖ

v) ΓΔΖΗ

3

4

5

6

7

8

9

10

Page 206: c Gymnasiou 2012

ÌÝñïò Â - ÊåöÜëáéï 1202

11

12

13

14

15

Óôï ïñèïãþíéï ôñßãùíï ÁÂÃ ôïõ äéðëáíïý ó÷Þìáôïò íá âñåßôå ôïõò ëüãïõò:

á. ΑΒΑΓ

â. ΒΓΑΒ

ã. ΑΓΒΓ

Óå ïñèïãþíéï ôñßãùíï ÁÂÃ Α 90 åßíáé ΑΒ 4cm êáé ΒΓ 5cm . Íá õðïëïãßóåôå ôïõò ëüãïõò:

á. ABBΓ

â. ΑΓΒΓ

ã. ΑΒΑΓ

Íá ó÷åäéÜóåôå Ýíá éóüðëåõñï ôñßãùíï ìå ðëåõñÜ 3cm. Íá õðïëïãßóåôå ôï ëüãï ôïõò ýøïõò ôïõ ðñïò ôçí ðëåõñÜ ôïõ.

Óôï ôñáðÝæéï ÁÂÃÄ ç ÅÆ åßíáé ðáñÜëëçëç óôéò âÜóåéò ôïõ. Íá õðïëïãßóåôå ôï åõèýãñáì-

ìï ôìÞìá ÂÆ.

Óôï ôñßãùíï ÁÂÃ åßíáé ÄÅ//ÂÃ. Íá õðïëïãßóåôå ôï ÷.

Óôï ôñßãùíï ÁÂÃ åßíáé ΔΕ //ΒΓ, ΕΖ // ΑΒ . Íá õðïëïãßóåôå ôï ÷.16

Page 207: c Gymnasiou 2012

1.2 - 1.3 Ëüãïò åõèõãñÜììùí ôìçìÜôùí - è. ÈáëÞ 203

Åñþôçóç 1

Ìå ôé éóïýôáé ôï ôìÞìá ðïõ åíþíåé ôá ìÝóá ôùí äýï ðëåõñþí åíüò ôñéãþíïõ;

Åñþôçóç 2

Ðïéá åßíáé ç åöáñìïãÞ ôïõ èåùñÞìáôïò ôïõ ÈáëÞ óå ôñßãùíï;

¢óêçóç 1Íá õðïëïãßóåôå ôï x óôá ðáñáêÜôù ó÷Þìáôá:

á. â.

¢óêçóç 2

Äßíåôáé ôåôñÜðëåõñï ÁÂÃÄ ìå οB Δ 90 . Áí Ï ìÝóï ôçò Áà íá äåßîåôå üôé ôï ôñßãùíï ÏÂÄ åßíáé éóïóêåëÝò.

¢óêçóç 3

Äßíåôáé ôñáðÝæéï ÁÂÃÄ (ÁÂ//ÃÄ). Áí Ê, Ë ìÝóá ôùí ìç ðáñÜëëçëùí ðëåõñþí ÁÄ, Âà áíôßóôïé÷á íá äåßîåôå üôé ÊË //Á // ÃÄ.

ÊÑÉÔÇÑÉÏ ÁÎÉÏËÏÃÇÓÇÓ

Page 208: c Gymnasiou 2012
Page 209: c Gymnasiou 2012

1.5 Ïìïéïèåóßá 205

1.4 Ïìïéïèåóßá

Åñþôçóç 1

á. Ðüôå ëÝìå üôé Ýíá óçìåßï Á’ åßíáé ïìïéüèåôï åíüò óç-ìåßïõ Á ìå êÝíôñï Ï êáé ëüãï ë;

â. Ôé ëÝãåôáé ïìïéïèåóßá;

ÁðÜíôçóç

á. ËÝìå üôé ôï óçìåßï Á’ åßíáé ïìïéüèåôï ôïõ Á ìå êÝíôñï

Ï êáé ëüãï ë áí ΟΑ λ ΟΑ

â. Ç äéáäéêáóßá ìå ôçí ïðïßá âñßóêïõìå ôï ïìïéüèåôï åíüò óç-ìåßïõ ìå êÝíôñï Ï êáé ëüãï ë ïíïìÜæåôáé ïìïéïèåóßá.

Åñþôçóç 2

Ðïéï åßíáé ôï ïìïéüèåôï åíüò åõèýãñáììïõ ôìÞìáôïòóôçí ïìïéïèåóßá ìå êÝíôñï Ï êáé ëüãï ë;

ÁðÜíôçóç

Óôçí ïìïéïèåóßá ìå êÝíôñï Ï êáéëüãï ë ôï ïìïéüèåôï åíüò åõèõ-ãñÜììïõ ôìÞìáôïò Á åßíáé ôï åõ-èýãñáììï ôìÞìá Á’Â’, üðïõ Á’, Â’ôá ïìïéüèåôá ôùí Üêñùí ôïõ åõèý-ãñáììïõ ôìÞìáôïò ÁÂ.Ôá ïìïéüèåôá åõèýãñáììá ôìÞìáôá ðïõ äå âñßóêïíôáé óôçíßäéá åõèåßá åßíáé ðáñÜëëçëá.

Åñþôçóç 3

Ðþò âñßóêïõìå ôï ïìïéüèåôï ìéáò ãùíßáò xΑy ;ÁðÜíôçóç

Ãéá íá âñïýìå ôï ïìïéüèåôï ìéáò ãùíßáò xΑy ìå êÝíôñï Ï êáéëüãï Ýíá èåôéêü áñéèìü ë, ðáßñíïõìå Ýíá óçìåßï  óôçí ðëåõñÜÁ÷, Ýíá óçìåßï à óôçí ðëåõñÜ Áy êáé âñßóêïõìå ôá óçìåßá Â’,

Á’, Ã’ ðïõ åßíáé áíôéóôïß÷ùò ôáïìïéüèåôá ôùí Â, Á, Ã. Ïñßæåôáé

Ýôóé ç ãùíßá χ Α y , ðïõ åßíáé

ïìïéüèåôç ôçò ãùíßáò xΑy .Áí óõãêñßíïõìå ôéò äýï ãùíßåòäéáðéóôþíïõìå üôé åßíáé ßóåò,

äçëáäÞ xAy χ Α y .Ïé ïìïéüèåôåò ãùíßåò åßíáé ßóåò.

Åñþôçóç 4

Ðùò âñßóêïõìå ôï ïìïéüèåôï åíüò ðïëõãþíïõ;

ÁðÜíôçóç

Óôçí ïìïéïèåóßá ìå êÝíôñï Ï êáé ëüãï ë, ôï ïìïéüèåôï åíüòôåôñáðëåýñïõ ÁÂÃÄ åßíáé ôï ôåôñÜðëåõñï Á’Â’Ã’Ä’, üðïõÁ’, Â’, Ã’, Ä’ åßíáé áíôéóôïß÷ùò ôá ïìïéüèåôá ôùí êïñõöþíôïõ Á, Â, Ã, Ä. Ïé ðëåõñÝò êáé ïé ãùíßåò ôïõ ôåôñáðëåýñïõÁ’Â’Ã’Ä’ åßíáé ïìïéüèåôåò ìå ôéò áíôßóôïé÷åò ðëåõñÝò êáéãùíßåò ôïõ ÁÂÃÄ, ïðüôå éó÷ýïõí:

A B Β Γ Γ Δ Δ Αλ

AΒ ΒΓ ΓΔ ΔΑ

êáé

Α Α, Β Β, Γ Γ, Δ Δ

Ôï ôåôñÜðëåõñï ÁÂÃÄ ðïõ åßíáé ïìïéüèåôï ôïõ ÁÂÃÄ ìå ëüãïë > 1 åßíáé ìåãÝèõíóç ôïõ ÁÂÃÄ.Áí Á’’Â’’Ã’’Ä’’ åßíáé ôï ïìïéüèåôï ôïõ ÁÂÃÄ ìå êÝíôñï Ï êáé ëüãï ë < 1

Α Β Β Γ Γ Δ Δ Αλ 1

ΑΒ ΒΓ ΓΔ ΔΑ

êáé

Α Α, Β Β, Γ Γ, Δ Δ

Ôï ôåôñÜðëåõñï Α Β Γ Δ ðïõ åßíáé ïìïéüèåôï ôïõ ÁÂÃÄ ìåëüãï ë < 1 åßíáé óìßêñéíóç ôïõ ÁÂÃÄ.

Page 210: c Gymnasiou 2012

ÌÝñïò Â - ÊåöÜëáéï 1206

ÐÁÑÁÄÅÉÃÌÁÔÁ - ÅÖÁÑÌÏÃÅÓ

1

Íá êáôáóêåõÜóåôå Ýíá ôåôñÜãùíï ÁÂÃÄ ìåðëåõñÜ 4cm.á. Íá ó÷åäéÜóåôå ôï ïìïéüèåôï ôïõ ÁÂÃÄ ìå

êÝíôñï Á êáé ëüãï: i) 1

λ4

ii) λ 3

â. Íá õðïëïãßóåôå ôéò ðëåõñÝò ôùí ôåôñáãþ-íùí ðïõ ó÷åäéÜóáôå.

Ëýóç

á. i) Ðñïóäéïñßæïõìå ôá óçìåßá Ä’, Ã’, Â’ þóôå:

1 1 1ΑΔ ΑΔ, ΑΓ ΑΓ, ΑΒ ΑΒ

4 4 4 ,

Üñá: ΑΔ Γ Δ Β Γ ΑΒ 1cm

Åñþôçóç 5

Ðùò âñßóêïõìå ôï ïìïéüèåôï åíüò êýêëïõ;

ÁðÜíôçóç

Ãéá íá âñïýìå ôï ïìïéüèåôï åíüò êýêëïõ (Ê,ñ) ìå êÝíôñïïìïéïèåóßáò Ï êáé ëüãï Ýíá èåôéêü áñéèìü ë, âñßóêïõìå ôïïìïéüèåôï åíüò óçìåßïõ Á ôïõ êýêëïõ, ôï ïìïéüèåôï ôïõêÝíôñïõ Ê, ðïõ åßíáé ôá óçìåßá Á’ êáé Ê’ áíôéóôïß÷ùò.

Ïñßæåôáé Ýôóé Ýíáò êýêëïò (Ê’,ñ’), üðïõ ρ Κ Α , ðïõ åßíáéïìïéüèåôïò ôïõ êýêëïõ (Ê,ñ). Ôï åõèýãñáììï ôìÞìá Ê’Á’ åßíáé ïìïéüèåôï ôïõ ÊÁ ìå êÝ-

íôñï Ï êáé ëüãï ë, ïðüôå Κ Α λ ΚΑ , äçëáäÞ ρ λρ .

ii) Oìïßùò ôá Ä’, Ã’, Â’ þóôå:

AΔ 3ΑΔ, ΑΓ 3ΑΓ, ΑΒ 3ΑΒ

Page 211: c Gymnasiou 2012

1.5 Ïìïéïèåóßá 207

ΑΔ ΑΒ Γ Δ Β Γ 3 4 12cm

Íá êáôáóêåõÜóåôå ïñèïãþíéï ôñßãùíï ÁÂÃ,ìå êÜèåôåò ðëåõñÝò AB = 8cm êáé Áà = 4cm.

Ìå êÝíôñï ôçí êïñõöÞ Á êáé ëüãï 2

λ3

íá

ó÷åäéÜóåôå ôï ïìïéüèåôï ôïõ ôñéãþíïõ ÁÂÃêáé íá õðïëïãßóåôå ôéò ðëåõñÝò ôïõ.

Ëýóç

Ðñïóäéïñßæïõìå ôá Â’, Ã’ þóôå:

3ΑΒ 8 6cm

4

3

AΓ' 4 3cm4

.

Íá ó÷åäéÜóåôå ôï ïìïéüèåôï åíüò êýêëïõ (Ï,ñ)

ìå êÝíôñï ïìïéïèåóßáò Ï êáé ëüãï λ 4 . Íááðïäåßîåôå üôé ï íÝïò êýêëïò èá Ý÷åé ôåôñá-ðëÜóéï ìÞêïò êáé äåêáåîáðëÜóéï åìâáäüí.

2

3

Ëýóç

Ðñïóäéïñßæïõìå ôï Á’ þóôå:

ΟΑ 4 ΟΑ 4ρ

¢ñá, èá Ý÷åé ìÞêïò: 2π 4ρ 4 2πρ

êáé åìâáäüí: 2 2π 4ρ 16 πρ

Óôéò ðëåõñÝò ÁÂ, Áà ôñéãþíïõ ÁÂà íá ïñßóå-ôå ôá óçìå ßá Ä , Å áí ô éóô ï ß÷ ù ò, þ ó ôå

1ΑΔ ΑΒ

4 êáé

1ΑΕ ΑΓ

4 .

Íá áðïäåßîåôå üôé ÄÅ//ÂÃ êáé 1

ΔΕ ΒΓ4

.

Ëýóç

Ôï ÄÅ åßíáé ïìïéüèåôï ôïõ Âà ìå êÝíôñï Á êáé ëüãï 14

Üñá:

1ΔΕ ΒΓ

4 êáé ΔΕ // ΒΓ .

4

Page 212: c Gymnasiou 2012

ÌÝñïò Â - ÊåöÜëáéï 1208

ÅÑÙÔÇÓÅÉÓ ÊÁÔÁÍÏÇÓÇÓ

1 Íá óõìðëçñþóåôå ôá ðáñáêÜôù êåíÜ.Óôçí ïìïéïèåóßá ìå êÝíôñï Ï êáé ëüãï

á. λ 3 ôï ïìïéüèåôï ôïõ Á åßíáé ôï ............

â. 1

λ2

ôï ïìïéüèåôï ôïõ Â åßíáé ôï ............

ã. 1λ

6 ôï ïìïéüèåôï ôïõ Ã åßíáé ôï ............

ä. 4

λ5

ôï ïìïéüèåôï ôïõ Å åßíáé ôï ............

Íá óõìðëçñþóåôå ôïí ðßíáêá:2

Page 213: c Gymnasiou 2012

1.5 Ïìïéïèåóßá 209

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

Íá êáôáóêåõÜóåôå Ýíá ôåôñÜãùíï ÁÂÃÄ ìå ðëåõñÜ 6cm.

á. Íá ó÷åäéÜóåôå ôï ïìïéüèåôï ôïõ ÁÂÃÄ ìå êÝíôñï Á êáé ëüãï: i) 1

λ3

ii) λ 2

â. Íá õðïëïãßóåôå ôéò ðëåõñÝò ôùí ôåôñáãþíùí ðïõ ó÷åäéÜóáôå.

Íá êáôáóêåõÜóåôå ïñèïãþíéï ôñßãùíï ÁÂÃ, ìå êÜèåôåò ðëåõñÝò AB 3cm êáé AΓ 4cm . Ìå êÝíôñï ôçí êïñõ-

öÞ Á êáé ëüãï 3λ

4 íá ó÷åäéÜóåôå ôï ïìïéüèåôï ôïõ ôñéãþíïõ ÁÂà êáé íá õðïëïãßóåôå ôéò ðëåõñÝò ôïõ.

Íá ó÷åäéÜóåôå ôï ïìïéüèåôï åíüò êýêëïõ (Ï,ñ) ìå êÝíôñï ïìïéïèåóßáò Ï êáé ëüãï λ 5 . Íá õðïëïãßóåôå ôï ìÞêïòêáé ôï åìâáäüí ôïõ íÝïõ êýêëïõ.

Óôéò ðëåõñÝò ÁÂ, Áà ôñéãþíïõ ÁÂà íá ïñßóåôå ôá óçìåßá Ä, Å áíôéóôïß÷ùò, þóôå 3

ΑΔ ΑΒ4

êáé 3

ΑΕ ΑΓ4

. Íá

áðïäåßîåôå üôé ÄÅ//ÂÃ êáé 3

ΔΕ ΒΓ4

.

Áí ôá ïñèïãþíéá ðáñáëëçëüãñáììá ÁÂÃÄ êáé Á΄Â΄Ã΄Ä΄ åßíáé üìïéá

êáé ï ëüãïò ïìïéüôçôáò ôïõ ÁÂÃÄ ðñïò ôï Á΄Â΄Ã΄Ä΄ åßíáé 32

, ôüôå íá

óõìðëçñþóåôå ôéò ðáñáêÜôù ðñïôÜóåéò:

á) Ï ëüãïò ïìïéüôçôáò ôïõ Á΄Â΄Ã΄Ä΄ ðñïò ôï ÁÂÃÄ åßíáé: ............................ .

â) Ç ðëåõñÜ Á åßíáé ßóç ìå ............................ cm.

ã) Ç ðëåõñÜ Â΄Ã΄ åßíáé ßóç ìå ............................ cm.

ä) Ï ëüãïò Περίμετρος Α Β Γ ΔΠερίμετρος ΑΒΓΔ

åßíáé ßóïò ìå .......................

1

2

3

4

5

Page 214: c Gymnasiou 2012

ÌÝñïò Â - ÊåöÜëáéï 1210

1.5 Ïìïéüôçôá

Åñþôçóç 1

Ðüôå ëÝìå üôé äýï ðïëýãùíá åßíáé üìïéá;Ôé ïíïìÜæïõìå ëüãï ïìïéüôçôáò äýï ðïëõãþíùí;

ÁðÜíôçóç

Äýï ðïëýãùíá ëÝãïíôáé üìïéá üôáí Ý÷ïõí ôéò ðëåõñÝò ôïõòáíÜëïãåò êáé ôéò áíôßóôïé÷åò ãùíßåò ôïõò ßóåò.Ëüãïò ïìïéüôçôáò äýï üìïéùí ðïëõãþíùí ïíïìÜæåôáé ïëüãïò äýï ïìüëïãùí ðëåõñþí ôïõ.

• Ïìüëïãåò åßíáé ïé ðëåõñÝò ðïõ âñßóêïíôáé áðÝíáíôé áðüßóåò ãùíßåò.

• Ãéá äýï üìïéá ôñßãùíá ABΓ

, ΔΕΖ

óõìâïëéêÜ ãñÜöïõìå

ABΓ ΔΕΖ

.

• Äýï ßóá ó÷Þìáôá åßíáé üìïéá ,üìùò äýï üìïéá ó÷Þìáôá äåí

åßíáé áðáñáßôçôá ßóá.

• Äýï ßóá ó÷Þìáôá Ý÷ïõí ëüãï ïìïéüôçôáò ßóï ìå ôç ìïíÜäá.

• Äýï êáíïíéêÜ ðïëýãùíá ìå ôïí ßäéï áñéèìü ðëåõñþí åßíáé üìïéá.

• Áí ôá ðáñáêÜôù ðïëýãùíá åßíáé üìïéá ôüôå:

A A΄, Β Β΄, Γ Γ΄, Δ Δ΄, Ε Ε΄

ΑΒ ΒΓ ΓΔ ΔΕ ΕΑκαι

Α΄Β΄ ´ô Γ΄Δ΄ Δ΄Ε΄ Ε΄Α΄

Åñþôçóç 1

Ðüôå äýï ôñßãùíá åßíáé üìïéá;Ðïéá åßíáé ôá êñéôÞñéá ïìïéüôçôáò ôñéãþíùí;

ÁðÜíôçóç

Äýï ôñßãùíá ëÝãïíôáé üìïéá üôáí Ý÷ïõí ôéò ãùíßåò ôïõò ßóåò ìéáðñïò ìéá êáé ôéò ïìüëïãåò ðëåõñÝò ôïõò áíÜëïãåò.

ÊñéôÞñéá ïìïéüôçôáò ôñéãþíùí

1. Äýï ôñßãùíá åßíáé üìïéá üôáí äýï ãùíßåò ôïõ åíüò ôñéãþíïõåßíáé ßóåò ìéá ðñïò ìéá ìå äýï ãùíßåò ôïõ Üëëïõ ôñéãþíïõ.

2. Äýï ôñßãùíá åßíáé üìïéá üôáí ïé ðëåõñÝò ôïõò åßíáé áíÜëïãåò.

• Äýï ôñßãùíá åßíáé üìïéá üôáí ìéá ãùíßá ôïõ åíüò åßíáéßóç ìå ìéá ãùíßá ôïõ Üëëïõ êáé ïé ðëåõñÝò ðïõ ðåñéÝ-÷ïõí ôéò ßóåò ãùíßåò åßíáé áíÜëïãåò.

• Óå äýï ïñèïãþíéá ôñßãùíá üôáí ìéá ïîåßá ãùíßá ôïõåíüò åßíáé ßóç ìå ìéá ïîåßá ãùíßá ôïõ Üëëïõ ôüôå áõôÜåßíáé üìïéá.

• Áí ABΓ ΔΕΖ

ìå Α Δ , Β Ε , Γ Ζ ôüôå ãéá íá ãñÜ-øïõìå ôéò áíÜëïãåò ðëåõñÝò åñãáæüìáóôå ùò åîÞò:

Áöïý Α Δ , Β Ε , Γ Ζ ãñÜöïõìå Α , Β , Γ

Δ , Ε , Ζ

êáé

ó÷çìáôßæïõìå ôñåéò ßóïõò ëüãïõò ïé ïðïßïé Ý÷ïõí áñéè-ìçôÝò ôá åõèýãñáììá ôìÞìáôá ìå Üêñá üëïõò ôïõò äõ-íáôïýò óõíäõáóìïýò ôùí ãñáììÜôùí Á, Â, à êáé ðáñï-íïìáóôÝò ôá åõèýãñáììá ôìÞìáôá ìå Üêñá üëïõò ôïõòäõíáôïýò óõíäõáóìïýò ôùí ãñáììÜôùí Ä, Å, Æ äçë.

ΑΒ ΒΓ ΓΑΔΕ ΕΖ ΖΑ

Page 215: c Gymnasiou 2012

1.5 Ïìïéüôçôá 211

Íá åîåôÜóåôå áí ôá ðáñáêÜôù ðáñáëëçëüãñáì-ìá åßíáé üìïéá.

á.

â .

Ëýóç

á. Áöïý

ο ο

ο ο

Α 90 τότε Β Γ Δ 90

Α΄ 90 τότε Β́ Γ́ Δ΄ 90

, ïé ãùíßåò ôïõò

åßíáé ßóåò ìßá ðñïò ìßá.Åðßóçò éó÷ýïõí:

ΑΒ 12 3Α΄Β΄ 8 2ΒΓ 6 3´ô 4 2ΓΔ 12 3Γ΄Δ΄ 8 2ΔΑ 6 3Δ΄Α΄ 4 2

ΑΒ ΒΓ ΓΔ ΔΑ 3δηλαδή

Α΄Β΄ ´ô Γ΄Δ΄ Δ΄Α΄ 2

¢ñá ôá ðïëýãùíá Ý÷ïõí ãùíßåò áíôßóôïé÷á ßóåò êáé ðëåõ-ñÝò áíÜëïãåò ðïõ óçìáßíåé üôé åßíáé üìïéá.

â. Åßíáé

ΑΒ 182

Α΄Β΄ 9ΒΓ 6 3´ô 4 2

ðáñáôçñïýìå üôé ΑΒ ΒΓ.

Α΄Β΄ ´ô

¢ñá ôá ðïëýãùíá äåí åßíáé üìïéá.

Äýï ôåôñÜðëåõñá ÁÂÃÄ, ÅÆÇÈ åßíáé üìïéá ìå

ëüãï ïìïéüôçôáò 25

. Áí ç ðåñßìåôñïò ôïõ ÅÆÇÈ

åßíáé 40 cm íá âñåßôå ôçí ðåñßìåôñï ôïõ ÁÂÃÄ.

Ëýóç

¸óôù 1Π , 2Π ïé ðåñßìåôñïé ôùí ÁÂÃÄ, ÅÆÇÈ áíôßóôïé÷á . Ôáá

ÁÂÃÄ, ÅÆÇÈ åßíáé üìïéá ïðüôå ΑΒ ΒΓ ΓΔ ΔΑ 2ΕΖ ΖΗ ΗΘ ΘΕ 5

.

Áðü ôçí ΑΒ 2ΕΖ 5

Ý÷ïõìå 5ΑΒ 2ΕΖ Þ 2

ΑΒ ΕΖ5

. ¼ìïéá

ðáßñíïõìå 2

ΒΓ ΖΗ5

, 2

ΓΔ ΗΘ5

, 2

ΔΑ ΘΕ5

.

1

2

ÐÁÑÁÄÅÉÃÌÁÔÁ - ÅÖÁÑÌÏÃÅÓ

Page 216: c Gymnasiou 2012

ÌÝñïò Â - ÊåöÜëáéï 1212

1

2

2 2 2 2ΕΖ ΖΗ ΗΘ ΘΕΠ ΑΒ ΒΓ ΓΔ ΔΑ 5 5 5 5

Π ΕΖ ΖΗ ΗΘ ΘΕ ΕΖ ΖΗ ΗΘ ΘΕ

2ΕΖ ΖΗ ΗΘ ΘΕ 25

ΕΖ ΖΗ ΗΘ ΘΕ 5

¸÷ïõìå ëïéðüí 1

2

Π 2Π 5

Þ 1Π 240 5

Þ 15Π 80 Þ 1Π 16cm .

Äýï êáíïíéêÜ 8 - ãùíá åßíáé åããåãñáììÝíáóå êýêëïõò ìå áêôßíåò 8cm, 3cm áíôßóôïé÷á.Íá äåßîåôå üô é å ßíáé üìïéá êáé íá âñåßôå ôïëüãï ïìïéüôçôáò ôïõò.

Ëýóç

• Ôá êáíïíéêÜ ðïëýãùíá ìå ßäéï ðëÞèïò ðëåõñþí Ý÷ïõíãùíßåò ßóåò: A A΄ , Β Β́ , ..., Θ Θ΄

Eðßóçò åßíáé

ΑΒ ΒΓ ΓΔ ΔΕ

ΕΖ ΖΗ ΗΘ ΘΑ

Α΄Β΄ ´ô Γ΄Δ΄

Δ΄Ε΄ Ε΄Ζ΄ Ζ΄Η΄ Η΄Θ΄ Θ΄Α΄

ïðüôå

ΑΒ ΒΓ ΓΔ ΔΕ ΕΖ ΖΗ ΗΘ ΘΑΑ΄Β΄ ´ô Γ΄Δ΄ Δ΄Ε΄ Ε΄Ζ΄ Ζ΄Η΄ Η΄Θ΄ Θ΄Α΄

¢ñá ôá êáíïíéêÜ 8-ãùíá åßíáé üìïéá.

¼ìïéá üìùò åßíáé êáé ôá ôñßãùíá

ΟΒΓ ,

ϴ´ô (áðïä. åýêï-

ëç), ïðüôå ΒΓ ΟΒ´ô ϴ´

Þ ΒΓ 8´ô 3

.

¢ñá ï ëüãïò ïìïéüôçôáò åßíáé 8

λ3

.

Äßíïíôáé ôá ðáñáë/ìá ÁÂÃÄ êáé ÊËÌÍ ãéá ôá

ïðïßá éó÷ýïõí: ΑΒ ΚΛ

=ΑΔ ΚΝ

êáé οΑ Λ 180 .

Íá åîåôÜóåôå áí åßíáé üìïéá.

Ëýóç

ο

ο

ΑφούτοΚΛΜΝ είναιπαραλ / μο

ισχύει Κ Λ 180

από την υπόθεση ισχύειΑ Λ 180

¢ñá Α Λ Κ Λ Þ Α Κ ïðüôå ðñïöáíþò Γ Μ (á-ðÝíáíôé ãùíßá).

Åßíáé

ο

ο

Α Β 180οπότε Α Β Α Λ ή Β Λ

Α Λ 180

Ïðüôå êáé Δ Ν . ¢ñá ôá ðáñáë/ìá Ý÷ïõí ôéò áðÝíáíôé ãù-íßåò ôïõò ßóåò êáé åðåéäÞ

ΑΒ ΚΛΑΔ ΚΝ

èá åßíáé ΑΒ ΑΔΚΛ ΚΝ

Þ .

¢ñá êáé ïé áíôßóôïé÷åò ðëåõñÝò ôïõò åßíáé áíÜëïãåò ïðüôåôá ðáñáëëçëüãñáììá ÁÂÃÄ êáé ÊËÌÍ åßíáé üìïéá.

3

4

Page 217: c Gymnasiou 2012

1.5 Ïìïéüôçôá 213

Äßíåôáé ðáñáëëçëüãñáììï ÁÂÃÄ êáé Ï óÞìåéïôçò äéáãùíßïõ ôïõ ÂÄ. Áí Å, Æ óçìåßá ôùíðëåõñþí ÁÂ, ÂÃ ôÝôïéá þóôå ôï ÂÅÏÆ ðáñáë/ìï íá äåßîåôå üôé: ôá ÁÂÃÄ, ÂÅÏÆ åßíáé üìïéá.

Ëýóç

Β Β (êïéíÞ ãùíßá ôùí äýï ðáñáë/ìùí) ôüôå EOZ Δ (á-ðÝíáíôé ãùíßåò áðü ôçí Β )

ο1

1 1ο

Β Ε 180Άρα Β Ε Β Α Ε Α

Β Α 180.

Ôüôå ðñïöáíþò Γ Ζ . ÅðåéäÞ

ΟΕ // ΑΔ τατρίγωναΒΕΟ, ΒΑ Δ είναιόμοια,

ΕΒ ΟΒ ΟΕοπότε :

ΑΒ ΒΔ ΑΔ

ΟΖ // ΓΔ τατρίγωνα ΒΟΖ, ΒΔΓ είναιόμοια,

ΒΖ ΟΒ ΟΖοπότε :

ΒΓ ΒΔ ΓΔ

¢ñá ΕΒ ΟΕ ΟΖ ΒΖΑΒ ΑΔ ΓΔ ΒΓ

,äçëáäÞ ïé ðëåõñÝò åßíáé áíÜëïãåò

ðïõ óçìáßíåé üôé ôá ðáñáëëçëüãñáììá ÁÂÃÄ, ÂÅÏÆ åßíáé üìïéá.

Óôï ðáñáêÜôù ó÷Þìá íá äåßîåôå üôé ôá ôñßãù-íá ABÃ, ÁÄÅ åßíáé üìïéá êáé íá ãñÜøåôå ôçíáíáëïãßá ôùí ðëåõñþí ôïõò.

ËýóçEßíáé

ΑΕΔ ABΓ äéüôé:

• Α Α κοινή

• Ε Β υπόθεση

ïðüôå éó÷ýåé êáé ΑΕ ΕΔ ΔΑΑΒ ΒΓ ΑΓ

.

Óôï äéðëáíü ó÷Þìá íá äåßîåôå üôé ôá ôñßãùíá

ABΓ

, Γ ΔΕ

å ßíáé üìïéá êáé íá ãñÜøåôå ôçíáíáëïãßá ôùí ðëåõñþí ôïõò.

Ëýóç

Eßíáé

Γ ΑΒ Γ ΔΕ äéüôé:

Γ Γ κοινή

0A Δ 90

ïðüôå éó÷ýåé êáé ΓΑ ΑΒ ΒΓΓΔ ΔΕ ΕΓ

.

¸óôù ÁÄ ôï ýøïò ïñèïãùí ßïõ ôñ éãþíïõ

οΑΒΓ Α 90 . Íá äåßîåôå üôé:

á. Ôá ôñßãùíá ABÃ, ÁÄà åßíáé üìïéá.â. Ôá ôñßãùíá ABÃ, ÁÂÄ åßíáé üìïéá.ã. Ôá ôñßãùíá ÁÂÄ, ÁÄà åßíáé üìïéáÓå êÜèå ðåñßðôùóç íá ãñÜøåôå ôïõò ëüãïõòôùí ðëåõñþí ôùí üìïéùí ôñéãþíùí.

Ëýóç

á. Eßíáé

ΑΒΓ Α ΔΓ äéüôé :

Γ Γ κοινή

01A Δ 90 ,ïðüôå éó÷ýåé êáé

ΒΓ ΑΓ ΑΓΑΓ ΑΔ ΓΔ

.

5

6

7

8

Page 218: c Gymnasiou 2012

ÌÝñïò Â - ÊåöÜëáéï 1214

â. Eßíáé

Γ ΑΒ Α ΔΒ äéüôé :

B B κοινή

02A Δ 90 , ïðüôå éó÷ýåé êáé

BΓ ΑΓ ΑΒΑΒ ΑΔ ΒΔ

.

ã.

ο

ο1

1

στο ΑΒΓ : Β 90 Γ

στο Α ΔΓ : Α 90 Γ

Άρα Β Α 1

Eßíáé

ΑΒΔ Α ΔΓ äéüôé : 0

1 2Δ Δ 90

1Β Α λόγω 1 , ïðüôå éó÷ýåé êáé ΑΒ ΑΔ ΒΔΑΓ ΓΔ ΑΔ

.

¸íáò ðïëéôéêüò ìç÷áíéêüò ìåôñÜåé ôç óêéÜ åíüòêôéñßïõ ç ïðïßá åßíáé 15 m. Ôáõôü÷ñïíá ìåôñÜåéêáé ôçí óêéÜ ôïõ âïçèïý ôïõ ï ïðïßïò Ý÷åé ýøïò1,85m êáé ôç âñßóêåé 1,5m. Éó÷õñßæåôáé ëïéðüíüôé ôï êôßñéï Ý÷åé ýøïò 18,5 m. ¸÷åé äßêéï Þ ü÷é;

Ëýóç

Ôá ôñßãùíá

ΑΒΓ ,

Ζ ΔΕ åßíáé üìïéá áöïý Α Δ ορθές êáé

Β Ε εντός εκτός και επί τ 'αυτά .Oé áêôßíåò ôïõ Þëéïõ èåùñïýíôáé ðáñÜëëçëåò.

¢ñá ΑΒΓ ΔΕΖ ïðüôå

ΒΓ ΑΒ ΑΓΖΕ ΔΕ ΔΖ

êáé 15 x1,5 1,85

,

1,5x 15 1,85 Þ 1,5x 27,75 Þ x 18,5 Üñá ï ìç÷áíéêüòÝ÷åé äßêéï.

Äßíåôáé ôñßãùíï ΑΒΓ

êáé ÂÄ, ÃÅ ôá ýøç ôïõ. Íá

äåßîåôå üôé ôá ôñßãùíá ΑΒΔ

, ΑΓΕ

åßíáé üìïéáêáé íá ãñÜøåôå ôéò áíáëïãßåò ôùí ðëåõñþí ôïõò.

Ëýóç

0

ΑΒΔ ΑΓΕ διότι :

Α Α κοινή ΑΔ ΔΒ ΒΑΆρα

ΑΕ ΕΓ ΓΑΔ Ε 90

Äßíåôáé ðáñáëëçëüãñáììï ÁÂÃÄ êáé ÁÌ, ÁÍêÜèåôåò óô éò ðëåõñÝò ÃÄ, Âà áíôßóôïé÷á. Íáäåßîåôå üôé ΑΜ ΑΒ ΑΝ ΑΔ .

Ëýóç

9

10

11

Page 219: c Gymnasiou 2012

1.5 Ïìïéüôçôá 215

0

ΑΒΝ Α ΔΜ διότι :

Ν Μ 90 ΑΒ ΒΝ ΝΑΆρα

ΑΔ ΔΜ ΜΑΒ Δ απέναντι γωνίες παραλ /μου

Áðü ôçí ΑΒ ΝΑΑΔ ΜΑ

ðáßñíïõìå ΑΜ ΑΒ ΑΝ ΑΔ .

ÅÑÙÔÇÓÅÉÓ ÊÁÔÁÍÏÇÓÇÓ

Íá ÷áñáêôçñßóåôå ôéò ðáñáêÜôù ðñïôÜóåéò ìå (Ó), áí åßíáé óùóôÝò Þ ìå (Ë), áí åßíáé ëáíèáóìÝíåò.

á. Äýï éóüðëåõñá ôñßãùíá åßíáé üìïéá.

â. Äýï ïñèïãþíéá åßíáé üìïéá.

ã. Áí äýï ðïëýãùíá Ý÷ïõí ôéò ðëåõñÝò ôïõò áíÜëïãåò, ôüôå åßíáé üìïéá.

ä. Äýï ôåôñÜãùíá åßíáé ó÷Þìáôá üìïéá.

å. Áí äýï ôñßãùíá åßíáé ßóá, ôüôå åßíáé üìïéá.

óô. Äýï êáíïíéêÜ ðïëýãùíá ìå ßóï áñéèìü ðëåõñþí åßíáé üìïéá.

Áí ôá ôåôñÜðëåõñá ÁÂÃÄ êáé Á’Â’Ã’Ä’ åßíáé üìïéá, íá óõìðëçñþóåôå ôéò ðñïôÜóåéò:á. Ï ëüãïò ïìïéüôçôåò ôïõ ÁÂÃÄ ðñïò Á’Â’Ã’Ä åßíáé ................................

â. Ï ëüãïò ïìïéüôçôáò ôïõ Á’Â’Ã’Ä’ ðñïò ÁÂÃÄ åßíáé ................................

ã. Áí ç ãùíßá Β åßíáé 120 , ôüôå êáé ç ãùíßá

.......... åßíáé 120 .

ä. Ï ëüãïò Α'Β' Β'Γ' Γ'Δ' Δ'Α'

λΑΒ ΒΓ ΓΔ ΔΑ

åßíáé ßóïò ìå ..........

å. Ç ðëåõñÜ Âà åßíáé ßóç ìå .......... cm.

1

2

Óõíåðþò:

AB ΝΑή ΑΜ ΑΒ ΑΝ ΑΔ

AΔ ΑΜ

Page 220: c Gymnasiou 2012

ÌÝñïò Â - ÊåöÜëáéï 1216

Ðïéá áðü ôá ðáñáêÜôù æåýãç ôñéãþíùí åßíáé üìïéá;

Íá åîçãÞóåôå ãéáôßô ôá ôñßãùíá ôïõ äéðëáíïý ó÷Þìáôïò åßíáé üìïéá.

3

4

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

1 ¸óôù ôá ïñèïãþíéá ÁÂÃÄ êáé ÊËÌÍ. Íá åîåôÜóåôå áí åßíáé üìïéá êáé íá âñåßôå ôï ëüãï ïìïéüôçôáò óôéò ðáñáêÜôù ðåñéðôþóåéò:

á. ΑΒ 20cm, ΑΔ 5cm, ΚΛ 8cm, ΛΜ 2cm â. ΑΒ 24cm, ΑΔ 100cm, ΚΛ 12cm, ΛΜ 40cm

¸óôù ôá ðáñáë/ìá ÁÂÃÄ, ÊËÌÍ. Íá åîåôÜóåôå áí åßíáé üìïéá êáé íá âñåßôå ôï ëüãï ïìïéüôçôáò (áí åßíáé üìïéá) óôéòðáñáêÜôù ðåñéðôþóåéò:á. ΑΒ 4cm, ΑΔ 8cm, ΚΛ 8cm, ΚΝ 32cm οΑ Κ 68 â. ΑΒ 6cm, ΑΔ 5cm, ΚΛ 12cm, ΚΝ 10cm οΑ Λ 105

¸óôù ÁÂÃÄ, Á Â Ã Ä ïñèïãþíéá ôñáðÝæéá ο(ΑΔ // ΒΓ, Α΄Δ΄ // ´ô,Α Β Α΄ Β́ 90 ) . Áí ôá ôñáðÝæéá åßíáé üìïéá

2

3

Page 221: c Gymnasiou 2012

1.5 Ïìïéüôçôá 217

ìå ëüãï ïìïéüôçôáò 23

êáé ΑΔ 4cm, ΑΒ 6cm, ΒΓ 12cm ôüôå:

á. Íá âñåßôå ôçí ÃÄ â. Íá âñåßôå ôéò ðëåõñÝò ôïõ Á’Â’Ã’Ä’.

¸óôù ôï ðáñáë/ìï ÁÂÃÄ, Ï ôï óçìåßï ôïìÞò ôùí äéáãùíßùí êáé Ä, Å, Æ, Ç ôá ìÝóá ôùí ÏÁ, ÏÂ, ÏÃ, ÏÄ íá äåßîåôåüôé ôá ðáñáë/ìá ÁÂÃÄ êáé ÄÅÆÇ åßíáé üìïéá.

Áí ïé äéáãþíéïé äýï ïñèïãùíßùí ÁÂÃÄ, ÊËÌÍ ôÝìíïíôáé õðü ãùíßá 50ï íá äåßîåôå üôé åßíáé üìïéá.

Äýï ôåôñÜðëåõñá ÁÂÃÄ, ÊËÌÍ åßíáé üìïéá ìå ëüãï ïìïéüôçôáò 47

. Áí ç ðåñßìåôñïò ôïõ ÁÂÃÄ åßíáé 60 cm

íá õðïëïãßóåôå ôçí ðåñßìåôñï ôïõ ÊËÌÍ.

Ï ëüãïò ïìïéüôçôáò äýï ôåôñáãþíùí åßíáé 14

. Ç äéáöïñÜ ôùí åìâáäþí ôïõò åßíáé 2225cm . Íá âñåßôå ôéò ðëåõñÝò ôïõò.

EîçãÞóôå ãéáôß ôá ðáñáêÜôù ôñßãùíá åßíáé üìïéá êáé ãñÜøôå ôá æåýãç ôùí ßóùí ãùíéþí.

¸óôù ôñßãùíï οABΓ Α 90

êáé Ä óçìåßï ôçò ÂÃ. Ç êÜèåôç óôçí Âà óôï óçìåßï Ä ôÝìíåé ôéò ÁÂ, Áà óôá Å, Æ

áíôßóôïé÷á. Íá äåßîåôå üôé:

á. ΑΕΖ, ABΓ

üìïéá

â. ΑΕΖ, Γ Δ Ζ

üìïéá

Êáé óôéò äýï ðåñéðôþóåéò íá ãñÜøåôå ôéò áíáëïãßåò ôùí ðëåõñþí ôùí ïìïßùí ôñéãþíùí.

4

5

6

7

8

9

Page 222: c Gymnasiou 2012

ÌÝñïò Â - ÊåöÜëáéï 1218

Âñåßôå ôï x óôéò ðáñáêÜôù ðåñéðôþóåéò: á. â.

á. Íá åîçãÞóåôå ãéáôß äýï ïñèïãþíéá ôñßãùíá ðïõ Ý÷ïõí áðü ìéá ïîåßá ãùíßá ßóç åßíáé üìïéá.â. Óôï äéðëáíü ó÷Þìá íá âñåßôå ôá ìÞêç x,y,z

¸óôù ôï ôñßãùíï οABΓ Α 90

êáé ÁÄ ôï ýøïò ôïõ. ÄÅ, ÄÆ ïé êÜèåôåò óôéò ðëåõñÝò ÁÂ, Áà áíôßóôïé÷á.

á. Íá äåßîåôå üôé ôá ôñßãùíá Α Δ Ζ, ABΓ

åßíáé üìïéá â. ΔΕ ΑΓ ΔΖ ΑΒ

¸óôù ðáñáë/ìï ÁÂÃÄ. Áðü ôï Á öÝñíïõìå åõèåßá ðïõ ôÝìíåé ôçí ÂÃ óôï Ì êáé ôçí ÃÄ óôï Í. Íá äåßîåôå üôé ΑΒ ΑΔ ΒΜ ΔΝ .

Áí Ï ôï óçìåßï ôïìÞò ôùí äéáãùíßùí ôñáðåæßïõ ÁÂÃÄ (ÁÂ//ÃÄ) íá äåßîåôå:

á. ΟΑ ΟΔ ΟΓ ΟΒ â. ΟΑ ΓΔ ΟΓ ΑΒ

ÂÄ, ÃÅ ýøç ôïõ ôñéãþíïõ ÁÂÃ, êáé ÅÇ, ÄÆ ýøç ôïõ ôñéãþíïõ Α ΔΕ

. Íá äåßîåôå üôé:

á. ΑΕ ΑΗ ΑΔ ΑΖ

,ΑΒ ΑΔ ΑΓ ΑΕ

â. ÆÇ//ÂÃ

Óå ïñèïãþíéï ôñßãùíï ÁÂà åßíáé ΑΒ 8cm êáé ΑΓ 6cm . Áí áðü ôï ìÝóï Ä ôçò Á öÝñïõ-

ìå ÄÅ êÜèåôç óôçí õðïôåßíïõóá ÂÃ, ôüôå:

á) Íá áðïäåßîåôå üôé ôá ôñßãùíá ÁÂà êáé ÂÄÅ åßíáé üìïéá êáé íá ãñÜøåôå ôïõò ßóïõò ëüãïõò.

â) Íá õðïëïãßóåôå ôá ìÞêç ôùí ôìçìÜôùí ÂÃ, ÂÅ êáé ÄÅ.

10

11

12

13

14

15

16

Page 223: c Gymnasiou 2012

1.5 Ïìïéüôçôá 219

ÊÑÉÔÇÑÉÏ ÁÎÉÏËÏÃÇÓÇÓ

Åñþôçóç 1

á. Ðüôå äýï ðïëýãùíá åßíáé üìïéá;â. Ôé ïíïìÜæïõìå ëüãï ïìïéüôçôáò äýï üìïéùí ðïëõãþíùí;

Åñþôçóç 2

á. Ôé ëüãï ïìïéüôçôáò Ý÷ïõí äýï ßóá ó÷Þìáôá;â. Ôá êáíïíéêÜ ðïëýãùíá ìå ßäéï áñéèìü ðëåõñþí åßíáé üìïéá; (Íáé Þ ï÷é).

¢óêçóç 1

¸óôù äýï ðáñáëëçëüãñáììá üìïéá. Áí ï ëüãïò ïìïéüôçôáò ôïõò åßíáé 13

íá âñåßôå ôçí äéáãþíéï ôïõ åíüò áí ôïõ

Üëëïõ ç äéáãþíéïò åßíáé 9cm (äýï ðåñéðôþóåéò).

¢óêçóç 2

¸óôù äýï ïñèïãþíéá ÁÂÃÄ, ÊËÌÍ. Áí AB 4cm, BΓ 3cm êáé ôá ïñèïãþíéá åßíáé üìïéá íá âñåßôå ôçí äéáãþíéï

ÊÌ áí ï ëüãïò ïìïéüôçôáò ôïõò åßíáé 12

.

¢óêçóç 3

ÅîåôÜóôå áí åßíáé üìïéá ôá ðáñáêÜôù ðáñáëëçëüãñáìá.

Page 224: c Gymnasiou 2012

ÌÝñïò Â - ÊåöÜëáéï 1220

2

1.6 Ëüãïò åìâáäþí ïìïßùí ó÷çìÜôùí

Åñþôçóç 1

Ôé ïíïìÜæïõìå ëüãï ïìïéüôçôáò ïìïßùí ó÷çìÜôùí;

ÁðÜíôçóçËüãïò ïìïéüôçôáò ïíïìÜæåôáé ï ëüãïò äýï ïìüëïãùíðëåõñþí ôùí äýï ïìïßùí ó÷çìÜôùí.

Åñþôçóç 2

Ìå ôé éóïýôáé ï ëüãïò ôùí åìâáäþí äýï üìïéùí ó÷çìÜôùí;

ÁðÜíôçóçÏ ëüãïò ôùí åìâáäþí äýï üìïéùí ó÷çìÜôùí éóïýôáé ìåôï ôåôñÜãùíï ôïõ ëüãïõ ïìïéüôçôáò ôïõò.

Áí 1 2Ε , Ε ôá åìâáäÜ ôùí äýï ïìïßùí ó÷çìÜôùí ôüôå: 21

2

E .

Äýï üìïéá ôñßãùíá ÁÂà êáé ÊËÌ Ý÷ïõí ëüãï

ïìïéüôçôáò 12

. Ôï åìâáäüí ôïõ ÊËÌ åßíáé236cm . Íá âñåßôå ôï åìâáäüí ôïõ ôñéãþíïõ ÁÂÃ.

Ëýóç

¸óôù 1 2E , E ôá åìâáäÜ ôùí ôñéãþíùí ÁÂÃ, ÊËÌ áíôßóôïé÷á ôüôå:

212

21 1 121 1

2 2

Ε Ε Ε1 1 1Eή ή ή ή4Ε 36ήΕ 9cm

Ε 2 Ε 4 36 41λ

2

Äßíåôáé ôñßãùíï ÁÂà êáé Ä, Å, Æ ôá ìÝóá ôùíÁÂ, ÂÃ, ÃÁ áíôßóôïé÷á. Íá âñåßôå ôïí ëüãï ôùíåìâáäþí ôùí üìïéùí ôñéãþíùí ÁÂÃ, ÄÅÆ.

Ëýóç

ÐÁÑÁÄÅÉÃÌÁÔÁ - ÅÖÁÑÌÏÃÅÓ

1

Óôï ôñßãùíï ÁÂà ôá Ä, Å, Æ åßíáé ìÝóá ôùí ðëåõñþí ôïõ,

Üñá: ΑΓ

ΔΕ 12

, ΒΓ

ΔΖ 22

, ΑΒ

ΕΖ 32

.

Áðü (1), (2), (3) Ý÷ïõìå: ΑΒ ΒΓ ΑΓ

2ΖΕ ΔΖ ΔΕ

ïðüôå λ 2

2ΑΒΓ2ΑΒΓ ΑΒΓ

ΔΕΖΔΕΖ ΔΕΖ

Eλ E E

E ή 2 ή 4E E

λ 2

Page 225: c Gymnasiou 2012

1.6 Ëüãïò åìâáäþí ôùí ïìïßùí ó÷çìÜôùí 221

¸óôù ïñèïãþíéï ôñßãùíï οΑΒΓ Α 90

ìå ÁÂ = 1cm, ÁÃ = 3cm.

¸íá ôñßãùíï ΔΕ Ζ

üìïéï ìå ôï ΑΒΓ

Ý÷åé åì-

âáäü äåêáðëÜóéï áðü ôï åìâáäüí ôïõ ΑΒΓ

.Íá âñåßôå ôçí õðïôåßíïõóá êáé ô éò êÜèåôåò

ðëåõñÝò ôïõ ΔΕ Ζ

.

Ëýóç

Âñßóêïõìå ôï ëüãï ïìïéüôçôáò ë.

ΔΕΖ ΑΒΓΕ 10Ε Þ ΔΕΖ

ΑΒΓ

Ε10

Ε Þ 2λ 10 Þ λ 10 (1). Óôï ïñ-

èïãþíéï ôñßãùíï ÁÂà áðü ðõèáãþñéï èåþñçìá Ý÷ïõìå:

2 2 2ΒΓ ΑΒ ΑΓ Þ 2 2 2ΒΓ 1 3 Þ 2ΒΓ 10 Þ ΒΓ 10 (2).

ΕΖ

λΒΓ

Þ (áðü (1), (2))

ΕΖ

1010

Þ ΕΖ 10 10 Þ ΕΖ 10cm

3

Ç áêìÞ åíüò êýâïõ åßíáé êáôÜ 20% ìåãáëý-

ôåñç áðü ôçí áêìÞ åíüò Üëëïõ êýâïõ.

Íá âñåßôå ðüóï % äéáöÝñïõí ôá åìâáäÜ ôùíåðéöáíåéþí ôïõò;

Ëýóç

Aí á, â ïé áêìÝò ôùí äýï êýâùí êáé Å1 ,Å2 ôá åìâáäÜ ôïõò

áíôßóôïé÷á , ôüôå: α β 0,2β 1,2β Þ α

1,2β

äçëáäÞ Ý÷ï-

õí ëüãï ðëåõñþí λ 1,2 .

¢ñá 21

2

Ε1,2

Ε Þ 1

2

Ε1,44

Ε Þ 1 2Ε 1,44Ε Þ 1 2 2Ε Ε 0,44Ε .

Ïðüôå ôï åìâáäüí 1Ε ôïõ åíüò åßíáé êáôÜ 44% ìåãáëýôåñï

áðü ôï åìâáäüí 2Ε ôïõ Üëëïõ.

ÅÑÙÔÇÓÅÉÓ ÊÁÔÁÍÏÇÓÇÓ

1 Íá óõìðëçñþóåôå ôá êåíÜ óôéò ðáñáêÜôù ðñïôÜóåéò:á. Áí äéðëáóéÜóïõìå êÜèå ðëåõñÜ åíüò ôñéãþíïõ, ôüôå ôï åìâáäüí ôïõ ãßíåôáé ............................. öïñÝò ìåãáëýôåñï.â. Áí ôñéðëáóéÜóïõìå êÜèå ðëåõñÜ åíüò éóïðëåýñïõ ôñéãþíïõ, ôüôå ôï åìâáäüí ôïõ ãßíåôáé .............................

öïñÝò ìåãáëýôåñï.ã. Áí Ýíá ôåôñÜãùíï Ý÷åé ðëåõñÜ 4cm êáé Ýíá Üëëï ïìïéü ôïõ ôåôñÜãùíï Ý÷åé ðëåõñÜ 8cm, ôüôå ôï äåýôåñï Ý÷åé

åìâáäüí ............................. öïñÝò ìéêñüôåñï áðü ôï åìâáäüí ôïõ ðñþôïõ ñüìâïõ.

¸íá ïñèïãþíéï 1Π åßíáé üìïéï ìå ôï ïñèïãþíéï 2Π ìå ëüãï ïìïéüôçôáò 34

. Ôüôå ôï åìâáäüí ôïõ 1Π åßíáé ôï 9% ôïõ

åìâáäïý ôïõ 2Π .

2

4

Page 226: c Gymnasiou 2012

ÌÝñïò Â - ÊåöÜëáéï 1222

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

¸íá ïñèïãþíéï Ý÷åé äéáóôÜóåéò α 8cm êáé β 12cm . ¸íá äåýôåñï ïñèïãþíéï üìïéï ðñïò áõôü ìå äéáóôÜóåéòx,y Ý÷åé åìâáäüí ôåôñáðëÜóéï áðü ôï ðñþôï. Íá âñåßôå ôéò äéáóôÜóåéò x, y.

Ï ëüãïò ôùí åìâáäþí äýï üìïéùí ôñéãþíùí åßíáé 4925

êáé ç äéÜìåóïò ôïõ ìéêñüôåñïõ åßíáé 7 cm. Íá âñåßôå ôç

äéÜìåóï ôïõ Üëëïõ.

Έστω τραπέζιο ΑΒΓΔ ΑΒ // ΓΔ êáé Ï ôï óçìåßï ôïìÞò ôùí äéáãùíßùí ôïõ. Áí AB 6cm êáé ΓΔ 12cm íá

âñåßôå ôïí ëüãï ôùí åìâáäþí ôùí ôñéãþíùí ΟΑΒ

, ΟΓ Δ

.

¸íá êáíïíéêü åîÜãùíï Ý÷åé åìâáäüí 2400cm . Áí ôåôñáðëáóéÜóïõìå ôá ìÞêç ôùí ðëåõñþí ôïõ íá âñåßôå ôï

åìâáäüí ôïõ íÝïõ êáíïíéêïý åîáãþíïõ.

1

2

3

4

Åñþôçóç 1

á. Ôé ãíùñßæåôå ãéá ôï ëüãï ôùí åìâáäþí äýï üìïéùíó÷çìÜôùí;

â. Ôé ãíùñßæåôå ãéá ôï ëüãï ôùí üãêùí äýï üìïéùí óôåñåþí;

Åñþôçóç 2

¸íá ôåôñÜãùíï Ý÷åé ðëåõñÜ á. Áí ç ðëåõñÜ ôïõ áõîç-èåß êáôÜ 20% ôïõ ìÞêïõò ôçò íá âñåßôå ðüóï èá áõîç-èåß ôï åìâáäüí ôïõ ôåôñáãþíïõ.

¢óêçóç 1

¸íá êáíïíéêü åîÜãùíï Ý÷åé åìâáäüí 2100cm . Áí äé-

ðëáóéÜóïõìå ôá ìÞêç ôùí ðëåõñþí ôïõ íá âñåßôå ôï

ÊÑÉÔÇÑÉÏ ÁÎÉÏËÏÃÇÓÇÓ

åìâáäüí ôïõ íÝïõ êáíïíéêïý åîáãþíïõ.

¢óêçóç 2

O ëüãïò ôùí üãêùí äýï êýâùí åßíáé 34

. Íá âñåßôå ôïí ëüãï ôùí

áêìþí ôïõò êáé ôï ëüãï ôùí åìâáäþí ôùí åðéöáíåéþí ôïõò.

¢óêçóç 3

á) Íá áðïäåßîåôå üôé ôá ôñßãùíá ÁÂÃêáé ÄÅÆ åßíáé üìïéá êáé íá ãñÜøåôåôïõò ßóïõò ëüãïõò.â) Íá âñåßôå ôï ëüãï ïìïéüôçôáòôïõ ÄÅÆ ðñïò ôï ÁÂÃ.

Page 227: c Gymnasiou 2012

2.1 Ôñéãùíïìåôñéêïß áñéèìïß ïîåßáò - áìâëåßáò ãùíßáò 223

Åñþôçóç 1

Ðþò ïñßæïíôáé ïé ôñéãùíïìåôñéêïß áñéèìïß ìéáò ïîåßáòãùíßáò óå ïñèïãþíéï ôñßãùíï;

ÁðÜíôçóç

• Ôï çìßôïíï ôçò ïîåßáò ãùíßáò óå ïñèïãþíéï ôñßãùíï ïñß-æåôáé ùò ôï ðçëßêï ôçò áðÝíáíôéêÜèåôçò ðëåõñÜò, ðñïò ôçí õ-ðïôåßíïõóá, äçëáäÞ

απέναντι κάθετηβημB

α υποτείνουσα

• Ôï óõíçìßôïíï ôçò ïîåßáò ãùíßáò  óå ïñèïãþíéï ôñßãùíïïñßæåôáé ùò ôï ðçëßêï ôçò ðñïóêåßìåíçò êÜèåôçò ðëåõñÜò,ðñïò ôçí õðïôåßíïõóá, äçëáäÞ

προσκείμενη κάθετηγσυνΒ

α υποτείνουσα

• Ç åöáðôïìÝíç ôçò ïîåßáò  ãùíßáò óå ïñèïãþíéï ôñßãùíïïñßæåôáé ùò ôï ðçëßêï ôçò áðÝíáíôé êÜèåôçò ðëåõñÜò ðñïòôçí ðñïóêåßìåíç äçëáäÞ

απέναντι κάθετηβεφΒ

α προσκείμενη κάθετη

Ïìïßùò ïñßæïíôáé ïé ôñéãùíïìåôñéêïß áñéèìïß ôçò ãùíßáò Ã.

• γ

ημΓα

, • β

συνΓα

, • γ

εφΓβ

Åñþôçóç 2

Ðùò ïñßæïíôáé ïé ôñéãùíïìåôñéêïß áñéèìïß ìéáò ãùíßáò

ìå ôç âïÞèåéá åíüò ïñèïêáíïíéêïý óõóôÞìáôïò áîüíùí;

ÁðÜíôçóç

¸óôù Ýíá ïñèïêáíïíéêü óýóôçìá áîüíùí xOy, Ýíá óçìåßï

Ì(x, y) êáé ù ç ãùíßá ðïõ ó÷çìáôßæåôáé áðü ôçí çìéåõèåßá

Ïx, üôáí áõôÞ ðåñéóôñáöåß ãýñù áðü ôï Ï áíôßèåôá ìå ôïõò

äåßêôåò ôïõ ñïëïãéïý Þ üðùò ëÝìå êáôÜ ôç èåôéêÞ öïñÜ,

ìÝ÷ñé íá óõìðÝóåé ìå ôçí çìéåõèåßá ÏÌ. Ç ãùíßá ù ðáßñíåé

ôéìÝò áðü 0ï åþò 360ï.

¸óôù üôé ΟΜ ρ . Ôüôå ïé ôñéãùíïìåôñéêïß áñéèìïß ôçò ãù-

íßáò ù ïñßæïíôáé ùò åîÞò:

τεταγμένη του Μyημω

ρ ΟΜ

τετμημένη του Μxσυνω

ρ ΟΜ

üôáí οω 90 êáé οω 270 ïñßæåôáé ç åöáðôïìÝíç ùò åîÞò:

τεταγμένη του Μyεφω

x τετμημένη του Μ

2.1 Ôñéãùíïìåôñéêïß áñéèìïß ïîåßáò - áìâëåßáò ãùíßáò

Page 228: c Gymnasiou 2012

ÌÝñïò Â - ÊåöÜëáéï 2224

2

Åñþôçóç 3

Áðü ôé åîáñôÜôáé ôï ðñüóçìï ôùí ôñéãùíïìåôñéêþíáñéèìþí ìéáò ãùíßáò ω ΧΟΜ ;Íá âñåßôå ôï ðñüóçìï ôùí ôñéãùíïìåôñéêþí áñéèìþí:çì280ï, óõí35ï, åö87ï êáé óõí300ï.

ÁðÜíôçóç

Ôï ðñüóçìï ôùí ôñéãùíïìåôñéêþí áñéèìþí ôçò ãùíßáò ãù-íßáò ù = ΧOΜåîáñôÜôáé áðü ôï ôåôáñôçìüñéï óôï ïðïßï âñß-óêåôáé ôï óçìåßï Ì. ¸ôóé:• óôï 1ï ôåôáñôçìüñéï åßíáé

x 0 êáé y<0 Üñá

yημω 0

ρ ,

xσυνω 0

ρ

êáé y

εφω 0x

• óôï 2ï ôåôáñôçìüñéï åßíáéx < 0 êáé y > 0 Üñá

yημω 0

ρ ,

xσυνω 0

ρ êáé

yεφω 0

x

• óôï 3ï ôåôáñôçìüñéï åßíáéx < 0 êáé y < 0 Üñá

yημω 0

ρ ,

xσυνω 0

ρ êáé

yεφω 0

x

• óôï 4ï ôåôáñôçìüñéï åßíáéx > 0 êáé y < 0 Üñá

yημω 0

ρ ,

xσυνω 0

ρ êáé

yεφω 0

x

ÓõíïðôéêÜ ôï ðñüóçìï ôùí ôñéãùíïìåôñéêþí áñéèìþí öáß-íåôáé óôïí ðáñáêÜôù ðßíáêá:

Óýìöùíá ìå ôá ðñïçãïýìåíá åßíáé:ο ο ο οημ280 0, συν35 0, εφ87 0,συν300 0

Åñþôçóç 4

Ðïéïé åßíáé ïé ôñéãùíïìåôñéêïß áñéèìïß ôùí 0ï, 90ï,180ï, 270ï.

ÁðÜíôçóç

• Áí oω 0 Ý÷ïõìå:

ο y 0ημ0 0

ρ ρ ,

ο x xσυν0 1

ρ x

ο y 0εφ0 0

x x

• Áí oω 90 Ý÷ïõìå:

ο y yημ90 1

ρ y ,

ο x 0συν90 0

ρ y

Ç ο yεφ90

x , äåí ïñßæåôáé áöïý x = 0.

ôåôáñôçìü- ñéï

Ôñéã. Áñéè. 1ï 2ï 3ï 4ï

çìx

óõíx

åöx

+

+

+

+

+

+-

-

-

-

-

-

Page 229: c Gymnasiou 2012

2.1 Ôñéãùíïìåôñéêïß áñéèìïß ïîåßáò - áìâëåßáò ãùíßáò 225

• Áí oω 180 Ý÷ïõìå:

ο y 0ημ180 0

ρ ρ ,

ο x xσυν180 1

ρ x

ο y 0εφ180 0

x x

• Áí oω 270 Ý÷ïõìå:

ο y yημ270 1

ρ y

,

ο x 0συν270 0

ρ y

Ç ο yεφ270

x äåí ïñßæåôáé áöïý x = 0.

Åñþôçóç 5

Ôé ôéìÝò ìðïñåß íá ðÜñåé ôï çìßôïíï êáé ôï óõíçìßôïíï

ìéáò ãùíßáò ù; Éó÷ýåé ç éóüôçôá: çìù = 2,3;

ÁðÜíôçóç

ÅðåéäÞ ρ ΟΜ x êáé ρ y , ãéá ïðïéáäÞðïôå ãùíßá ù éó÷ýïõí:

1 ημω 1 και 1 συνω 1 Ôï çìù äåí ìðïñåß íá éóïýôáé ìå 2,3 ãéáôß 2,3 > 1.

Íá âñåèïýí ïé ôñéãùíïìåôñéêïß áñéèìïß ôùíïîåéþí ãùíéþí ôùí ðáñáêÜôù ôñéãþíùí:á.

â.

1

ÊÑÉÔÇÑÉÏ ÁÎÉÏËÏÃÇÓÇÓ

Ëýóç

á. Áðü ôïí ïñéóìü êÜèå ôñéãùíïìåôñéêïý áñéèìïý Ý÷ïõìå:

απέναντι κάθετη ΑΒ 4cm

ημΓ 0,8υποτείνουσα ΒΓ 5cm

προσκείμενη κάθετη ΑΓ 3cm

συνΓ 0,6υποτείνουσα ΒΓ 5cm

απέναντι κάθετη ΑΒ 4cm

εφΓ 1,33προσκείμενη κάθετη ΑΓ 3cm

Ïìïßùò: ΑΓ 3cm

ημΒ 0,6ΒΓ 5cm

,

ΑΒ 4cm

συνΒ 0,8ΒΓ 5cm

,

ΑΓ 3cm

εφΒ 0,75ΑΒ 4cm

Page 230: c Gymnasiou 2012

ÌÝñïò Â - ÊåöÜëáéï 2226

Íá õðïëïãéóôïýí ïé ôñéãùíïìåôñéêïß áñéèìïßôçò ãùíßáò ôùí 130ï.

Ëýóç

Ó÷åäéÜæïõìå Ýíá óýóôçìá áîüíùí êáé ìéá ãùíßá 130ï. ÓôçíôåëéêÞ ðëåõñÜ ôçò ðáßñíïõìå ôõ÷áßï óçìåßï Ê êáé âñßóêïõìåôéò óõíôåôáãìÝíåò ôïõ K 3,21, 3,83 êáé OK = 5, ôüôå:

ο y 3,83ημ130 0,766

OΚ 5

ο x 3,215συν130 0,643

OΚ 5

ο y 3,83εφ130 1,19

x 3,21

Íá âñåßôå ôç ìÝãéóôç êáé ôçí åëÜ÷éóôç ô éìÞôùí ðáñáóôÜóåùí:

Α 3ημx 1 B 4συνx 3

2

â. ¼ìïéá ãéá ôï ôñßãùíï óôçí ðåñßðôùóç â. Ý÷ïõìå:

ΔΖ 9cm

ημΕ 0,6ΕΖ 15cm

ΔΕ 12cm

συνΕ 0,8ΕΖ 15cm

ΔΕ 9cm

εφΕ 0,75ΔΖ 12cm

ΔΕ 12cm

ημΖ 0,8ΕΖ 15cm

ΔΖ 9cm

συνΖ 0,6ΕΖ 15cm

ΔΕ 12cmεφΖ 1,33

ΔΖ 9cm

Ëýóç

Ãíùñßæïõìå üôé 1 ημx 1

ÐïëëáðëáóéÜæïõìå ìå 3: 3 1 3ημx 3 1

3 3ημx 3

ÐñïóèÝôïõìå ôï -1 3 1 3ημx 1 3 1

ÊÜíïõìå ðñÜîåéò 4 3ημx 1 2

¢ñá ç ðáñÜóôáóç Á Ý÷åé åëÜ÷éóôç ôéìÞ ôï 4 êáé ìÝãéóôç ôï +2.

Ãíùñßæïõìå üôé 1 συνx 1

4 1 4συνx 4 1

Áöáéñïýìå ôï 3 4 3 4συνx 3 4 3

7 4συνx 3 1 ¢ñá ç ðáñÜóôáóç  Ý÷åé åëÜ÷éóôç ôéìÞ ôï - 7 êáé ìÝãéóôç ôï 1.

Óå ïñèïêáíïíéêü óýóôçìá áîüíùí Ï÷y ðáßñ-

íïõìå ôï óçìåßï Μ 3,4 .Íá õðïëïãéóôïýí ïé ôñéãùíïìåôñéêïß áñéèìïß

ôçò ãùíßáò ω χΟΜ .

Ëýóç

Ãéá ôçí áðüóôáóç ÏÌ = ñ Ý÷ïõìå:

22 2 2ρ χ y 3 4 25 5

¢ñá: y 4

ημωρ 5

, χ 3

συνωρ 5

êáé 4y 4

εφωx 3 3

4

3

Page 231: c Gymnasiou 2012

2.1 Ôñéãùíïìåôñéêïß áñéèìïß ïîåßáò - áìâëåßáò ãùíßáò 227

8

7

6

Óå ïñèïêáíïíéêü óýóôçìá áîüíùí Ï÷y öÝ-

ñïõìå çìéåõèåßá Ïz, þóôå xOz 120 . ÐÜíùóôçí Ïz ðáßñíïõìå ôï óçìåßï Ì ìå ôåôìçìÝ-íç -1. Íá õðïëïãéóôïýí ïé ôñéãùíïìåôñéêïß

áñéèìïß ôçò ãùíßáò xOM 120 .

ËýóçÖÝñíïõìå MB x x êáé MΓ y y .

ÅðåéäÞ xOM 120 êáé xOy 90

èá åßíáé ΓOM 30 , ïðüôå áðü ôïïñèïãþíéï ôñßãùíï ÏÌÃ:

ΜΓεφ30

ΟΓ Þ ΟΓ 3 êáé

22ρ 1 3 1 3 2

¢ñá y 3 3

ημ120ρ 2 2

,χ 1

συν120ρ 2

êáé

3y 2εφ120 3

1x2

.

Íá õðïëïãßóåôå ôïõò ôñéãùíïìåôñéêïýò áñéè-

ìïýò ôçò ãùíßáò ω xOM , üôáí:á) M(3, 4) â) M(5, -12) ã) M(0, 4)

Ëýóç

á) 2 2

4 4ημω

53 4

,

2 2

3 3συνω

53 4

,

4εφω

3

â) 12

ημω13

, 5

συνω13

, 12

εφω5

5

ã) 2

4ημω 1

4 ,

0συνω 0

4 , ç åöù äåí ïñßæåôáé.

Ìéá åõèåßá å Ý÷åé åîßóùóç y = -4x.

á) Íá ó÷åäéÜóåôå ôçí åõèåßá å êáé íá ðñïóäéï-

ñßóåôå ôçí ôåôáãìÝíç åíüò óçìåßïõ ôçò Ì

ðïõ Ý÷åé ôåôìçìÝíç -2.â) Íá õðïëïãßóåôå ôïõò ôñéãùíïìåôñéêïýò á-

ñéèìïýò ôçò ãùíßáò ω xOM .

Ëýóç

á) Ãéá ÷ = -2, åßíáé y = -4( -2) = 8.¢ñá Ì(-2, 8).

â) 2 2

8 8ημω

682 8

8 68 2 6868 17

2 682 6817συνω , εφω

2 176868

Óôï ðáñáêÜôù ó÷Þìáôï ôñßãùíï ÏÂÌ åß-íáé éóüðëåõñï.Íá õðïëïãßóåôå:á) ôéò óõíôåôáãìÝíåò

ôïõ Ì.â) ôïõò ôñéãùíïìåôñé-

êïýò áñ éèìïýòm

ôçò ãùíßáò 120 .

Page 232: c Gymnasiou 2012

ÌÝñïò Â - ÊåöÜëáéï 2228

Ëýóç

á) Áí M(x, y) ôüôå:

0 2x 1

2

êáé y

εφ60 3 ή y 31

.

Ôüôå: M 1, 3 .

â) 22

y 3 3ημ120

OM 21 3

χ 1συν120

OM 2

, y 3

εφ120 3χ 1

1 5συνω

55

,

2εφω 2

1

Óôï äéðëáíü ó÷Þìá åßíáé 4

εφω3

. Áí ç ôå-

ôìçìÝíç ôïõ óçìåßïõ Ì åßíáé -1, ôüôå íá õ-

ðïëïãßóåôå:

á) ôçí ôåôáãìÝíç

ôïõ óçìåßïõ Ì.

â) ôï çìù êáé ôïóõíù.

Ëýóç

á) ¸óôù M x,y , ôüôå: y 4 y 4

εφω ή ή yx 3 1 3

â)

2 2 2

2

4 4 4y 43 3 3ημω

5 525x y 41 393

1 3συνω

5 53

9

Ãéá ôï óçìåßï M 7, 32 åßíáé ρ ΟΜ 9 . Áí ω χΟΜ íá óõìðëçñþóåôå ôéò ðáñáêÜôù éóüôçôåò:

ημω .......... συνω .......... εφω ..........

Áí ãéá ôç ãùíßá ù éó÷ýåé: 180 ω χΟΜ 270 , ôüôå íá óõìðëçñþóåôå ôá ðáñáêÜôù êåíÜ ìå ôï óýìâïëï > Þ <.

ημω...0 συν...0 εφω...0

ÅÑÙÔÇÓÅÉÓ ÊÁÔÁÍÏÇÓÇÓ

1

2

Page 233: c Gymnasiou 2012

2.1 Ôñéãùíïìåôñéêïß áñéèìïß ïîåßáò - áìâëåßáò ãùíßáò 229

3 Íá ÷áñáêôçñßóåôå ôéò åðüìåíåò ðñïôÜóåéò ìå (Ó), áí åßíáé óùóôÝò Þ ìå (Ë), áí åßíáé ëáíèáóìÝíåò:

á. Ãéá êÜèå ãùíßá ù éó÷ýåé 1 ημω 1 .

â. Áí ç ãùíßá ù åßíáé ïîåßá, ôüôå εφω 0 .

ã. Áí ãéá ôç ãùíßá ù éó÷ýåé ημω 0 , ôüôå ç ù åßíáé ïîåßá.

ä. Ôï çìßôïíï ïðïéáóäÞðïôå ãùíßáò ôñéãþíïõ åßíáé áñíçôéêüò áñéèìüò.

Íá óõìðëçñþóåôå ôïí ðáñáêÜôù ðßíáêá áíôéóôïé÷ßæïíôáò óå êÜèå ôñéãùíïìåôñéêü áñéèìü ôçò óôÞëçò Á ôïí ßóï ôïõáñéèìü áðü ôç óôÞëç Â.

4

Íá õðïëïãéóôïýí ïé ãùíßåò ù êáé ö óå êÜèå ìßá ðåñßðôùóç:

á. â.

1

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

Page 234: c Gymnasiou 2012

ÌÝñïò Â - ÊåöÜëáéï 2230

2

3

Íá õðïëïãßóåôå ôá x êáé y óå êÜèå ìßá ðåñßðôùóç:

á. â.

Íá õðïëïãßóåôå ôï ýøïò óôï ïðïßï âñßóêåôáé ç ïëõìðéáêÞ öëüãá.

Íá õðïëïãßóåôå ôï ãéíüìåíï: ο ο ο οσυν180 συν360 ημ90 ημ270 .

Íá âñåßôå ôç ìÝãéóôç êáé ôçí åëÜ÷éóôç ôéìÞ ôùí ðáñáóôÜóåùí: á. Α 2ημx 1 â. B 2συνx 1

Íá õðïëïãßóåôå ôï ðñüóçìï ôùí ðáñáêÜôù ôñéãùíïìåôñéêþí áñéèìþí:á. çì120ï, óõí120ï, åö120ï â. çì70ï, óõí70ï, åö70ï

Áí o o90 x 180 êáé 3ημx 0,9 íá õðïëïãßóåôå ôç ãùíßá x.

Áí o ο0 x 270 êáé συνx 0,8 0,3 íá õðïëïãßóåôå ôç ãùíßá x.

5

6

7

8

4

Page 235: c Gymnasiou 2012

2.1 Ôñéãùíïìåôñéêïß áñéèìïß ïîåßáò - áìâëåßáò ãùíßáò 231

9

10

11

Íá õðïëïãßóåôå ôïõò ôñéãùíïìåôñéêïýò áñéèìïýò ôçò ãùíßáò ω xOM , üôáí:

á. M 4,3 â. M 5, 12 ã. M 0,2 .

Ìéá åõèåßá å Ý÷åé åîßóùóç y 2x .á. Íá ó÷åäéÜóåôå ôçí åõèåßá å êáé íá ðñïóäéïñßóåôå ôçí ôåôáãìÝíç åíüò óçìåßïõ ôçò Ì ðïõ Ý÷åé ôåôìçìÝíç -1.

â. Íá õðïëïãßóåôå ôïõò ôñéãùíïìåôñéêïýò áñéèìïýò ôçò ãùíßáò ω xOM .

Óôï äéðëáíü ó÷Þìá åßíáé εφω 4 . Áí ç ôåôìçìÝíç ôïõ óçìåßïõ Ì åßíáé -1,ôüôå íá õðïëïãßóåôå:á. ôçí ôåôáãìÝíç ôïõ óçìåßïõ Ì.â. ôï çìù êáé ôï óõíù.

Page 236: c Gymnasiou 2012

ÌÝñïò Â - ÊåöÜëáéï 2232

Åñþôçóç 1

Ðïéåò ãùíßåò ïíïìÜæïíôáé ðáñáðëçñùìáôéêÝò;Ðïéá áðü ôá ðáñáêÜôù æåýãç ãùíéþí: 120ï ìå 60ï, 30ï

ìå 130ï êáé 70ï ìå 110ï åéíáé ðáñáðëçñùìáôéêÝò;

ÁðÜíôçóç

• ÐáñáðëçñùìáôéêÝò ïíïìÜæïíôáé ïé ãùíßåò ðïõ Ý÷ï-õí Üèñïéóìá 180ï. Ç ìßá ïíïìÜæåôáé êáé ðáñáðëÞñù-ìáôéêÞ ôçò Üëëçò.

• Ãéá ðáñÜäåéãìá, ðáñáðëçñùìáôéêÝò ãùíßåò åßíáé:

120ï ìå 60ï ãéáôß o o o120 60 180

70ï ìå 110ï ãéáôß o o o70 110 180

Åñþôçóç 2

Ôé éó÷ýåé ãéá ôïõò ôñéãùíïìåôñéêïýò áñéèìïýò ôùí ðá-ñáðëçñùìáôéêþí ãùíéþí;Áí çì÷ = çì350 êáé ÷ åßíáé ìåôáîý 00 êáé 1800 ôüôå ðïéáìðïñåß íá åßíáé ç ãùíßá ÷;

ÁðÜíôçóç

Ãéá äýï ðáñáðëçñùìáôéêÝò ãùíßåò, Ýóôù ö êáé o180 φéó÷ýïõí:

• ο yημ 180 φ ημφ

ρ

• ο x xσυν 180 φ συνφ

ρ ρ

• ο y yεφ 180 φ εφφ

x x

Óýìöùíá ìå ôá ðáñáðÜíù åßíáé

÷ =350 Þ ÷ = 1800 - 350 = 1450

2.2 Ôñéãùíïìåôñéêïß áñéèìïß ðáñáðëçñùìáôéêþí ãùíéþí

Page 237: c Gymnasiou 2012

2.2 Ôñéãùíïìåôñéêïß áñéèìïß ðáñáðëçñùìáôéêþí ãùíéþí 233

Íá õðïëïãßóåôå ôïõò ôñéãùíïìåôñéêïýò áñéèìïýòôùí ãùíéþí:á) 120ï â) 135ï ã) 150ï

Ëýóç

á) ÅðåéäÞ 120 180 60 åßíáé:

3ημ120 ημ 180 60 ημ60

2

1συν120 συν 180 60 συν60

2

εφ120 εφ 180 60 εφ60 3

â) 2ημ135 ημ 180 45 ημ45

2

2συν135 συν 180 45 συν45

2

εφ135 εφ 180 45 εφ45 1

ã) 1ημ150 ημ 180 30 ημ30

2

3συν150 συν 180 30 συν30

2

1 3εφ150 εφ 180 30 εφ30

33

Íá áðïäåßîåôå üôé:

á) ημ108 συν77 ημ72 συν103 0

â) εφ122 εφ58 εφ135 0

Ëýóç

á) ημ108 συν77 ημ72 συν103 0

äéüôé: ημ108 ημ 180 72 ημ72

συν103 συν 180 77 συν77 â) Åßíáé: εφ135 εφ 180 45 εφ45 1

¢ñá: εφ122 εφ58 1 εφ122 εφ58

εφ 180 58 εφ58 εφ58 εφ58 0

Íá áðïäåßîåôå üôé:

á) 2 2συν 45 συν 135 1

â) 2 2 2 2ημ 30 ημ 60 ημ 120 ημ 150 2

Ëýóç

á) 2 2 2 2

2 2

συν 45 συν 135 συν 45 συν 180 45

2 2 1 11

2 2 2 2

â)

2 2 2 2

222 2

ημ 30 ημ 60 ημ 120 ημ 150

1 3ημ 180 60 ημ 180 30

2 2

2 21 3 3 1 3 11 2

4 4 2 2 4 4

1

3

ÅÑÙÔÇÓÅÉÓ ÊÁÔÁÍÏÇÓÇÓ

2

Page 238: c Gymnasiou 2012

ÌÝñïò Â - ÊåöÜëáéï 2234

4

Íá âñåßôå ôç ãùíßá ÷, üôáí:

á) 2

ημχ2

â) ημχ 1 ημχ ã) 3

συνχ2

ä) 1

συνχ2

å) εφχ 3 óô) 2εφχ 1 εφχ

Ëýóç

á) 2

ημx ημ452

, Üñá x = 450 Þ x = 1350.

â) ημx 1 ημx , 2ημx 1 , 1

ημx2

, Üñá x = 300 Þ x = 1500.

ã) 3

συνx2

, Üñá x = 300 Þ x = 1500.

ä) 1

συνx ή συνx συν120 ή χ 1202

å) εφx 3 ή εφx εφ120 ή x 120

óô) 2εφx 1 εφx , εφx 1 , x 45

Óôï äéðëáíü ó÷Þìá íááðïäåßîåôå üôé ïé ãù-íßåò ù êáé ö Ý÷ïõí ôïßäéï çìßôïíï.Éó÷ýåé ôï ßäéï êáé ãéáôá óõíçìßôïíá ôùíãùíéþí áõôþí;

Ëýóç

ÅðåéäÞ ω φ 180

ημω ημ 180 φ ημφ êáé

συνω συν 180 φ συνφ

5

ÅÑÙÔÇÓÅÉÓ ÊÁÔÁÍÏÇÓÇÓ

1 Íá ÷áñáêôçñßóåôå ôéò ðáñáêÜôù éóüôçôåò ìå (Ó), áí åßíáé óùóôÝò Þ ìå (Ë), áí åßíáé ëáíèáóìÝíåò:

á. ημ160 ημ20 â. συν145 συν35

ã. εφ90 εφ70 ä. εφ65 εφ115

å. συν105 συν75 óô. ημ103 ημ77

Áí ãéá ôç ãùíßá ÷ éó÷ýåé 0 χ 180 , íá óõìðëçñþóåôå ôéò ðáñáêÜôù ðñïôÜóåéò:á. Áí ημχ ημ30 , ôüôå ÷ = .................

â. Áí συνχ συν45 , ôüôå ÷ = .................

ã. Áí εφχ εφ60 , ôüôå ÷ = .................

2

Page 239: c Gymnasiou 2012

2.2 Ôñéãùíïìåôñéêïß áñéèìïß ðáñáðëçñùìáôéêþí ãùíéþí 235

Íá óõìðëçñþóåôå ôïí ðáñáêÜôù ðßíáêá áíôéóôïé÷ßæïíôáò óå êÜèå ôñé-ãùíïìåôñéêü áñéèìü ôçò óôÞëçò Á ôïí ßóï ôïõ ôñéãùíïìåôñéêü áñéèìüáðü ôç óôÞëç Â.

Íá áðïäåßîåôå üôé:

á. 2 ο 2 οσυν 110 ημ 70 1 â. 2 ο 2 οσυν 60 ημ 120 1 ã. 2 ο 2 οσυν 133 ημ 47 1 ä. 2 ο 2 οσυν 178 ημ 2 1

Íá õðïëïãßóåôå ôïõò ôñéãùíïìåôñéêïýò áñéèìïýò ôùí ãùíéþí: á. 120ï â. 135ï ã. 150ï

Íá áðïäåßîåôå üôé: á. ημ105 συν87 ημ75 συν97 0 â. εφ122 εφ58 εφ135 0

Íá áðïäåßîåôå üôé: á. 2 2συν 45 συν 135 1 â. 2 2 2 2ημ 20 ημ 70 συν 110 συν 160 2

Íá áðïäåßîåôå üôé: ημ 140 χ ημ 40 χ êáé συν 158 χ συν 22 χ

Íá âñåßôå ôç ãùíßá ÷, üôáí: á. 3

ημχ2

â. ημχ 1 ημχ ã. 2

συνχ2

ä. 1

συνχ2

å. εφχ 3 óô. 2εφχ 1 εφχ

Íá áðïäåßîåôå üôé ïé ãùíßåò ù êáé ö Ý÷ïõí ôï ßäéï çìßôïíï.Éó÷ýåé ôï ßäéï êáé ãéá ôá óõíçìßôïíá ôùí ãùíéþí áõôþí;

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

1

2

3

4

5

6

3

7

Page 240: c Gymnasiou 2012

ÌÝñïò Â - ÊåöÜëáéï 2236

Åñþôçóç 1

Ðïéåò ó÷Ýóåéò (ôáõôüôçôåò) ãíùñßæåôå ìåôáîý ôùí ôñéãù-íïìåôñéêþí áñéèìþí ìéáò ãùíßáò;

ÁðÜíôçóç

Ãéá ïðïéáäÞðïôå ãùíßá ù éó÷ýïõí ïé ôáõôüôçôåò:

1. 2 2ημ ω συν ω 1 êáé

2. ημω

εφωσυνω

ìå συνω 0 , äçë. áí οω 90 êáé 270ï

Ïé ðñïçãïýìåíåò éóüôçôåò ëÝãïíôáé âáóéêÝò ôñéãùíïìåôñéêÝò

ôáõôüôçôåò , ãéáôß ìå ôç âïÞèåéá ôïõò áðïäåéêíýïõìå Üëëåò ôáõ-

ôüôçôåò ðïõ ðåñéÝ÷ïõí ôñéãùíïìåôñéêïýò áñéèìïýò.

ÐÁÑÁÄÅÉÃÌÁÔÁ - ÅÖÁÑÌÏÃÅÓ

Íá áðïäåßîåôå üôé ημx : εφx συνx .

Ëýóç

ÅðåéäÞ ημx

εφxσυνx

Ý÷ïõìå:

ημx συνxημx : εφx ημx : ημx συνx

συνx ημx

Íá õðïëïãßóåôå ôçí ãùíßá x üôáí ο o0 x 90

êáé ημx 3συνx 0 .

Ëýóç

ημx 3συνx 0 Þ ημx 3συνx Þ ημx

3συνx

.

¼ìùò ημx

εφxσυνx

. Ïðüôå εφx 3 .

Áðü ôïõò ôñéãùíïìåôñéêïýò ðßíáêåò âñßóêïõìå üôé ç ôéìÞ

εφx 3 áíôéóôïé÷åß ðåñßðïõ óôç ãùíßá ôùí 72ï. ¢ñá ox 72 .

1 Íá áðïäåßîåôå üôé 2 25ημ ω 5συν ω 5 .

Ëýóç

ÎåêéíÜìå áðü ôï ðñþôï ìÝëïò: 2 25ημ ω 5συν ω

ÂãÜæïõìå êïéíü ðáñÜãïíôá ôï 5: 2 25 ημ ω συν ω 5 1 5

Áí α = 3ημx êáé β = 3συνx íá áðïäåßîåôå üôé:

2α β 9 2ημx συνx 1

Ëýóç

Áíôéêáèéóôïýìå ôá á êáé â êáé Ý÷ïõìå:

2 2α β 3ημx 3συνx

2 23ημx 2 3ημx 3συνx 3συνx

2 29ημ x 18συνxημx 9συν x

2 29 συν x ημ x 18ημxσυνx

9 18συνx ημx 9 1 2συνx ημx 9 2ημx συνx 1

2

3

4

2.3 Ó÷Ýóåéò ìåôáîý ôùí ôñéãùíïìåôñéêþí áñéèìþí ìéáò ãùíßáò

Page 241: c Gymnasiou 2012

2.3 Ó÷Ýóåéò ìåôáîý ôùí ôñéãùíïìåôñéêþí áñéèìþí ìéáò ãùíßáò 237

Áí ημω 0,5 êáé ο ο90 ω 180 íá õðïëïãß-óåôå ôïõò Üëëïõò ôñéãùíïìåôñéêïýò áñéèìïýòôçò ãùíßáò ù.

Ëýóç

Áðü ôç âáóéêÞ ôáõôüôçôá 2 2ημ ω συν ω 1 Ý÷ïõìå:

2 20,5 συν ω 1 Þ 2

21συν ω 1

2

Þ

21συν ω 1

4 Þ 2 1

συν ω 14

Þ 2 3συν ω

4 .

¢ñá 3

συνω4

Þ 3

συνω4

.

ÅðåéäÞ óôï äéÜóôçìá 90ï Ýùò 180ï ôï óõíçìßôïíï ìéáò ãù-

íßáò Ý÷åé áñíçôéêü ðñüóçìï åßíáé: 3

συνω 0,874

.

Åðßóçò ημω 0,5

εφω 0,57συνω 0,87

.

Íá áðïäåßîåôå üô é:

á) 2 2 2συν χ εφ χ συν χ 1 â) συνχ 1

εφχ1 ημχ συνχ

Ëýóç

á) 2

2 2 2 2 22

2 2

ημ xσυν xεφ x συν x συν x συν x

συν x

ημ x συν x 1

â)

2ημx 1 ημx συν xσυνx ημx συνxεφx

1 ημx συνx 1 ημx συνx 1 ημx

ημx 1 1συνx 1 ημx συνx

Íá õðïëïãßóåôå ôçí ðáñÜóôáóç:

ημ50 ημ130 συν50 συν130

Ëýóç

ημ50 ημ130 συν50 συν130 ημ 180 130 ημ130

2 2συν 180 130 συν130 ημ 130 συν 130

2 2ημ 130 συν 130 1

Íá áðïäåßîåôå üô é:2 2 2εφ 40 συν 40 συν 140 1

Ëýóç

2 2 2 2 2εφ 40 συν 40 συν 140 ημ 40 συν 140

2 2 2 2ημ 40 συν 180 40 ημ 40 συν 40 1

Íá áðïäåßîåôå üô é:

á) 2 2 2συν α ημ α 2συν α 1

â) 2 2ημω συνω ημω συνω 2

Ëýóç

á) 2 2 2 2 2συν α ημ α 1 ημ α ημ α 1 2ημ α

â) 2 2ημω συνω ημω συνω

2 2 2 2ημ ω συν ω 2ημωσυνω ημ ω συν ω 2ημωσυνω

2 22 ημ ω συν ω 2 1 2

5

6

7

8

9

Page 242: c Gymnasiou 2012

ÌÝñïò Â - ÊåöÜëáéï 2238

Áí åßíáé χ 5συνω êáé y 5ημω , ôüôå íá á-

ðïäåßîåôå üôé:

á) χσυνω yσυνω 5 â) 2 2χ y 25

Ëýóç

á) 2 2 2 2

1

xσυνω yημω 3συν ω 3ημ ω 3 συν ω ημ ω 3

â) 222 2 2 2x y 3συνω 3ημω 9 ημ ω συν ω 9

Áí ãéá ìéá ãùíßá ù åßíáé εφω 4 êáé 900 <

ù < 2700 , ôüôå íá õðïëïãéóôïýí ïé Üëëïé

ôñéãùíïìåôñéêïß áñéèìïß ôçò ãùíßáò ù.

Ëýóç

¸÷ïõìå εφω 4 äçëáäÞ ημω

4συνω

, ïðüôå ημω 4συνω (1).

Áí óôçí ôáõôüôçôá 2 2ημ ω συν ω 1 áíôéêáôáóôÞóïõìå ôï

çìù ìå ôï 4óõíù Ý÷ïõìå 2 24συνω συν ω 1 Þ

2 216συν ω συν ω 1 Þ 2 1συν ω

17 Üñá

1συνω

17 Þ

17συνω

17 .

ÅðåéäÞ 900 < ù < 2700 åßíáéσυνω 0 , ïðüôå 17

συνω17

.

Áðü ôçí éóüôçôá (1) ôüôå Ý÷ïõìå: 17

ημω 417

Þ

4 17ημω

17

Íá áðïäåé÷èïýí ïé ôáõôüôçôåò:

á) 2ημχ συνχ 2ημχσυνχ 1

â) 22

11 εφ ω

συν ω

Ëýóç

á) ¸÷ïõìå 2ημχ συνχ 2ημχσυνχ 2 2 2 2ημ χ 2ημχσυνχ συν χ 2ημχσυνχ ημ χ συν χ 1

â) ¸÷ïõìå 2 2ημ ω συν ω 1

Äéáéñïýìå êáé ôá äýï ìÝëç ìå óõí2ù:

2 2

2 2 2

ημ ω συν ω 1συν ω συν ω συν ω

Þ 22

1εφ ω 1

συν ω

10

11

12

Íá ÷áñáêôçñßóåôå ôéò ðáñáêÜôù ðñïôÜóåéò ìå (Ó), áí åßíáé óùóôÝò Þ ìå (Ë), áí åßíáé ëáíèáóìÝíåò.

á. Áí 2 3ημ ω

4 , ôüôå 2 1

συν ω4

â. Áí συνω 0 , ôüôå ïñßæåôáé ç åöù.

1

ÅÑÙÔÇÓÅÉÓ ÊÁÔÁÍÏÇÓÇÓ

Page 243: c Gymnasiou 2012

2.3 Ó÷Ýóåéò ìåôáîý ôùí ôñéãùíïìåôñéêþí áñéèìþí ìéáò ãùíßáò 239

2

3

4

Íá äåßîåôå üôé:

á. 2 1ημ x ημ x ημx â. 1εφ x ημx συνx ã. 2 2 2 3ημ x συν x εφ x ημ x ημx

Íá õðïëïãßóåôå ôçí ãùíßá x üôáí:

á. 2ημx 3συνx â. 4συνx 8ημx 0

ã. 10ημx 4συνx 0 ä. 2ημx συνx 3ημx 5συνx

Íá áðëïðïéÞóåôå ôéò ðáñáêÜôù ðáñáóôÜóåéò:2 2 2Α ημ x συν x εφ x 2 2Β ημx συνx 2συν x εφx

2 2

2

ημ x εφ xΓ

συν x

2 3Δ συνx ημ x εφx ημ x συνx

1

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

2

3

ÐÁÑÁÄÅÉÃÌÁÔÁ - ÅÖÁÑÌÏÃÅÓ

ã. Ãéá êÜèå ãùíßá ù éó÷ýåé 2 2ημ ω συν ω 1 .

ä. Áí 5

ημω13

êáé 5

εφω12

, ôüôå 12

συνω13

.

ÕðÜñ÷åé ãùíßá ù, ôÝôïéá þóôå ημω 1 êáé συνω 1 ;

Íá óõìðëçñþóåôå ôá êåíÜ óôéò ðáñáêÜôù ðñïôÜóåéò:

á. Áí συνω 0 , ôüôå ημω ............

â. Áí συνω 1 , ôüôå ημω ............

Íá åðéëÝîåôå ôç óùóôÞ áðÜíôçóç. Áí 5

ημω13

, ôüôå ôï óõíù åßíáé ßóï ìå:

á. 23

â. 1213

ã. 2 2

ή3 3

ä. 12 12

ή13 13

Page 244: c Gymnasiou 2012

ÌÝñïò Â - ÊåöÜëáéï 2240

Íá áðïäåßîåôå üôé:

á. 2 2 2x συνω x ημω 2 συνω ημω

2 , áí 22x 1 â. 2 2συνα ημ x συνα συν x συνα

ã. 2 218συν α 18ημ α 18

Íá õðïëïãßóåôå ôéò ðáñáêÜôù ðáñáóôÜóåéò:

2 2 2 2

2

ημ ω συν x ημ ω ημ xΑ

συν ω

4 4ημ x συν x

Βημx συνx

Áí x 4συνω êáé y 4ημω íá äåßîåôå üôé: 2 2 1x y 16x y 16 1 εφω

5

6

ÈÝìá 1ïá) Íá ÷áñáêôçñßóåôå ôéò ðáñáêÜôù éóüôçôåò ìå (Ó) áí åßíáé óùóôÝò Þ ìå (Ë) áí åßíáé ëáíèáóìÝíåò.

i. ημ20 ημ160 ii. ημ130 ημ50 iii. συν102 συν78 iv. . εφ75 εφ105 (4 ÌïíÜäåò)

â) Íá õðïëïãßóåôå ôïõò ôñéãùíïìåôñéêïýò áñéèìïýò ôùí ãùíéþí 120°, 150° êáé 135°.

(4 ÌïíÜäåò)

ÈÝìá 2ï

Íá õðïëïãßóåôå ôïõò Üëëïõò ôñéãùíïìåôñéêïýò áñéèìïýò ôçò ïîåßáò ãùíßáò ù, áí 4

συνω5

.(6 ÌïíÜäåò)

ÈÝìá 3ï

Íá áðïäåßîåôå üôé ημα 1 συνα

1 συνα ημα

(6 ÌïíÜäåò)

ÊÑÉÔÇÑÉÏ ÁÎÉÏËÏÃÇÓÇÓ

4

Page 245: c Gymnasiou 2012

2.4 Íüìïò ôùí çìéôüíùí - Íüìïò ôùí óõíçìéôüíùí 241

Åñþôçóç 1

Ðùò äéáôõðþíåôáé ï íüìïò ôùí çìéôüíùí;

ÁðÜíôçóç

Óå êÜèå ôñßãùíï, ïé ðëåõñÝò ôïõ åßíáé áíÜëïãåò ðñïò ôáçìßôïíá ôùí áðÝíáíôé ãùíéþí ôïõ.ÄçëáäÞ: α β γ

ημΑ ημΒ ημΓ

Ìå ôï íüìï ôùí çìéôüíùí áí óå Ýíá ôñßãùíï ãíùñßæïõìåìéá ðëåõñÜ ôçí áðÝíáíôé ãùíßá ôçò êáé ìßá Üëëç ðëåõñÜìðïñïýìå íá õðïëïãßóïõìå ôá õðüëïéðá ðñùôå ýïíôá óôïé-÷åßá ôïõ (ãùíßåò - ðëåõñÝò).

Åñþôçóç 2

Ðùò åêöñÜæåôáé ï íüìïò ôùí óõíçìéôüíùí;

ÁðÜíôçóç

Óå êÜèå ôñßãùíï ÁÂà éó÷ýïõí ïé ðáñáêÜôù éóüôçôåò:2 2 2α β γ 2βγσυνΑ 2 2 2β α γ 2αγσυνΒ 2 2 2γ α β 2αβσυνΓ

Ìå ôï íüìï ôùí óõíçìéôüíùí, áí óå Ýíá ôñßãùíï ãíùñßæïõìå:• ôéò ôñåßò ðëåõñÝò ôïõ Þ• ôéò äýï ðëåõñÝò ôïõ êáé ôçí ðåñéå÷üìåíç ãùíßá ôïõò, ôüôå

ìðïñïýìå íá õðïëïãßóïõìå ôá õðüëïéðá ðñùôåýïíôá óôïé-÷åßá ôïõ (ãùíßåò - ðëåõñÝò).

ÐÁÑÁÄÅÉÃÌÁÔÁ - ÅÖÁÑÌÏÃÅÓ

1Áí óôï ôñßãùíï ôïõ ó÷Þìáôïò åßíáé ÁÂ = 12cm , ÂÃ = 10 cm êáé Ã = 800 íá õðïëïãßóå-ôå ôéò ãùíßåò ù êáé ö.

Ëýóç

Áðü ôï íüìï ôùí çìéôüíùí Ý÷ïõìå: ο

12cm 10cmημ80 ημω

Þ

12cm 10cm0,985 ημω

Þ 10cm

12,18cmημω

Þ

10cmημω 0,821

12,18cm .

Ïðüôå οω 55 . Ôüôå, ο οω φ 80 180 Þ

ο ο ο οφ 180 55 80 45

2.4 Íüìïò ôùí çìéôüíùí - Íüìïò ôùí óõíçìéôüíùí

Page 246: c Gymnasiou 2012

ÌÝñïò Â - ÊåöÜëáéï 2242

Óôï ðáñáêÜôù ôñßãù íï íá õðïëïãßóåôå ôïìÞêïò x ôçò ðëåõñÜò ÂÃ.

Ëýóç

Óýìöùíá ìå ôï íüìï ôùí çìéôüíùí Ý÷ïõìå:

10cmxημΑ ημΒ

Þ ο ο

10cmxημ20 ημ30

Áðü ôïõò ôñéãùíïìåôñéêïýò ðßíáêåò âñßóêïõìå:οημ20 0,342 êáé οημ30 0,5

Ïðüôå 10cmx

0,342 0,5 äçëáäÞ

x20cm

0,342

Þ x 20cm 0,342 6,84cm .

Óôï äéðëáíü ó÷Þìá íá õðïëïãßóåôå ôçí ðëåõ-ñÜ x ôïõ ôñéãþíïõ ÁÂÃ.

Ëýóç

Óýìöùíá ìå ôï íüìï ôùí óõíçìéôüíùí óôï ôñßãùíï ÁÂÃ,

Ý÷ïõìå:2 2 2 οx α γ 2 α γ συν70 Þ

2 22x 4cm 14cm 2 4cm 14cm 0,342

Þ 2 2 2 2x 16cm 196cm 38,3cm Þ

2 2x 173,7cm .

¢ñá 2x 173,7cm 13,18cm

Óôï ðáñáêÜôù ôñßãù íï íá õðïëïãßóåôå ôçãùíßá ù .

Ëýóç

Óýìöùíá ìå ôï íüìï ôùí óõíçìéôüíùí óôï ôñßãùíï ÁÂÃ,Ý÷ïõìå:

2 2 2γ α β 2αβ συνω 2 2 2 236cm 144cm 64cm 192cm συνω

Þ 2 2 236cm 208cm 192cm συνω Þ

2 2 236cm 208cm 192cm συνω Þ

2172cm 192συνω Þ

2

2

172cmσυνω 0,895

192cm

. ¢ñá οω 27

2

3

4

Page 247: c Gymnasiou 2012

2.4 Íüìïò ôùí çìéôüíùí - Íüìïò ôùí óõíçìéôüíùí 243

1 Ná ÷áñáêôçñßóåôå ôéò ðáñáêÜôù éóüôçôåò ìå (Ó), áí åßíáé óùóôÝò Þ ìå (Ë), áí åßíáé ëáíèáóìÝíåò:

á. Óå êÜèå ôñßãùíï ÁÂà éó÷ýåé αημΓ γημΑ

â. Áí óå êÜèå ôñßãùíï ÁÂà åßíáé Α 60 , Γ 80 , ôüôå β γ

ημ80 ημ20

ã. Óå êÜèå ôñßãùíï ÁÂà éó÷ýåé 2 2 22αγσυνΑ α γ β

ä. Áí óå ôñßãùíï ÁÂÃ åßíáé Α 40 , Γ 70 , ôüôå éó÷ýåé 2 2 2β γ α 2γασυν70 .

å. Áí óå ôñßãùíï ÁÂÃ åßíáé Γ 60 , ôüôå éó÷ýåé 2 2 2γ α β αβ .

Íá óõìðëçñþóåôå ôéò ðáñáêÜôù éóüôçôåò óýìöùíá ìå ôï íüìï ôùí óõíçìéôüíùí:2α ................... 2β ................... 2γ ...................

Íá óõìðëçñþóåôå ôéò ðñïôÜóåéòá. Ç ðëåõñÜ á õðïëïãßzåôáé ìå ôï íüìï ôùí .............. áðü ôçí éóüôçôá ..................

â. Ç ãùíßá ù õðïëïãßæåôáé ìå ôï íüìï ôùí ................. áðü ôçí éóüôçôá .................

ã. Ç ðëåõñÜ Á õðïëïãßæåôáé ìå ôï íüìï ôùí ................... áðü ôçí éóüôçôá ...................

2

3

ÅÑÙÔÇÓÅÉÓ ÊÁÔÁÍÏÇÓÇÓ

Page 248: c Gymnasiou 2012

ÌÝñïò Â - ÊåöÜëáéï 2244

Íá õðïëïãßóåôå ôéò ðëåõñÝò ôùí ðáñáêÜôù ôñéãþíùí:

á. â.

¸óôù ôñßãùíï ÁÂà ìå οΑ 60 , οΒ 40 êáé α 12 . Íá õðïëïãßóåôå ôéò ðëåõñÝò êáé ôéò ãùíßåò ôïõ ôñéãþíïõ.

Íá õðïëïãßóåôå ôéò ãùíßåò óå êáèÝíá áðü ôá ðáñáêÜôù ôñßãùíá:

á. â. ã.

Óôï ðáñáêÜôù ó÷Þìá íá õðïëïãßóåôå ôçí ðëåõñÜ Âà ôïõ ôñéãþíïõ ÁÂà ãíùñßæïíôáò ΑΒ 2ΑΓ .

¸íá áõôïêßíçôï ðñáãìáôïðïßçóå ôçí äéáäñïìÞ áðü ôçí ðüëç Á óôçí ðüëç  äéáìÝóïõ ôçò ðüëçò Ã. Íá âñåèåßðüóç áðüóôáóç äéÜíõóå.

1

2

3

4

5

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

Page 249: c Gymnasiou 2012

2.4 Íüìïò ôùí çìéôüíùí - Íüìïò ôùí óõíçìéôüíùí 245

Áí 1 2ε // ε íá õðïëïãßóåôå ôçí áðüóôáóç ÁÂ.

Óôï åðüìåíï ó÷Þìá íá õðïëïãßóåôå ôçí ðëåõñÜ x.

Óå Ýíá ôñßãùíï ÁÂÃ íá õðïëïãßóåôå:

á. ôç ãùíßá Â áí α 40cm , β 50cm êáé γ 60cm

â. ôçí ðëåõñÜ á áí οΑ 60 , β 10cm êáé γ 20cm

¸óôù ôñßãùíï ÁÂÃ ìå ðåñßìåôñï 24cm êáé α 8cm , β 6cm . Íá õðïëïãßóåôå ôï åìâáäüí êáé ôéò ãùíßåò ôïõ.

¸óôù ôñßãùíï ÄÃÅ áí ç ðáñáðëçñùìáôéêÞ ôçò ãùíßáò Δ åßíáé 120ï êáé γ 10cm , ε 6cm íá âñåèåß ç ðëåõñÜ ä.

7

8

9

10

6

Page 250: c Gymnasiou 2012

ÌÝñïò Â - ÊåöÜëáéï 2246

ÈÝìá 1ï

á) Íá ÷áñáêôçñßóåôå ôéò ðáñáêÜôù éóüôçôåò ìå (Ó) áí åßíáé óùóôÝò Þ ìå (Ë) áí åßíáé ëáíèáóìÝíåò.

i. α γ

ημΓ ημΑ ii.

γ βημΓ ημΒ

iii. 2 2 2α β γ 2βγσυνΑ iv. 2 2 2β α γ 2αγσυνΒ (3 ÌïíÜäåò)

â) Íá áðïäåßîåôå üôé óå êÜèå ïîõãþíéï ôñßãùíï ÁÂà éó÷ýåé α β

ημΑ ημΒ .

(5 ÌïíÜäåò)

ÈÝìá 2ï

Óå ôñßãùíï ÁÂà åßíáé Β 45 êáé Γ 30 . Áí ãíùñßæåôå üôé γ 6cm , íá õðïëïãßóåôå ôçí ðëåõñÜ â ôïõ ôñéãþíïõ .(6 ÌïíÜäåò)

ÈÝìá 3ï

Ç áðüóôáóç åíüò ðëïßïõ Ð áðü êÜðïéïí ýöáëï Õ åßíáé 5 íáõôéêÜ ìßëéá, åíþ áðü Ýíá öÜñï Ö åßíáé 3 íáõôéêÜ ìßëéá. Áí

ç ãùíßá ΦΠΥ 120 , íá õðïëïãßóåôå ôçí áðüóôáóç ôïõ öÜñïõ áðü ôïí ýöáëï.

(6 ÌïíÜäåò)

ÊÑÉÔÇÑÉÏ ÁÎÉÏËÏÃÇÓÇÓ