1

1.5 Αξιοσηµείωτες Ταυτότητες

ΘΕΩΡΙΑ ΤΑΥΤΟΤΗΤΩΝ

Ορισµός: Κάθε ισότητα που περιέχει µεταβλητές και επαληθεύεται για όλες τις τιµές των µεταβλητών αυτών λέγεται ταυτότητα. Οι ταυτότητες που πρέπει να γνωρίζουµε είναι οι ακόλουθες: ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ:

1η

Απόδειξη: ( ) ( )( )2

2 2

2 2

α β α β α β

α αβ βα βα 2αβ β

+ = + +

= + + += + +

ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ ∆ΙΑΦΟΡΑΣ: 2η

( )2 2 2α β α 2αβ β− = − +

Απόδειξη: Για την απόδειξη αυτής της ταυτότητας θέτουµε όπου β το – β και προσθέτουµε µε τον αντίστροφο του β ( το – β).Έτσι ανάγεται στην µορφή της 1ης ταυτότητας:

( ) ( ) ( ) ( )2 2 22 2 2α β α β α 2α β β α 2αβ β⎡ ⎤+ − = − = + − + − = − +⎣ ⎦ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΕΠΙ ∆ΙΑΦΟΡΑ: 3η

( )( ) 2 2α β α β α β+ − = −

Απόδειξη: ( )( ) 2 2

2 2

α β α β α αβ βα β

α β

+ − = − + −

= −

ΚΥΒΟΣ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ: 4η

( )3 3 2 2 3α β α 3α β 3αβ β+ = + + +

Απόδειξη:

( )2 2 2α β α 2αβ β+ = + +

2

( ) ( )( )( )( )

3 2

2 2

3 2 2 2 2 3

3 2 2 3

α β α β α β

α β α 2αβ β

α 2α β αβ βα 2αβ βα 3α β 3αβ β

+ = + +

= + + +

= + + + + += + + +

ΚΥΒΟΣ ∆ΙΑΦΟΡΑΣ: 5η

( )3 3 2 2 3α β α 3α β 3αβ β− = − + −

Απόδειξη: Όµοια µε την απόδειξη της 2ης ταυτότητας, θέτουµε όπου β το – β και προσθέτουµε µε τον αντίστροφο του β ( το – β).Έτσι ανάγεται στην µορφή της 4ης ταυτότητας: Παρατηρήσεις: Οι παραστάσεις των δεύτερων µελών των ταυτοτήτων λέγονται αναπτύγµατα.

Οι παραστάσεις ( )2α β+ και ( )2α β− λέγονται και τέλεια τετράγωνα. Παραστάσεις της µορφής α + β και α – β ονοµάζονται συζυγείς παραστάσεις.

Προσοχή!!! ( )2 2 2α β α β+ ≠ + γιατί:

2 2 2 2α 2αβ β α β+ + ≠ + δηλαδή στο αριστερό µέλος υπάρχει και το διπλάσιο γινόµενο

3

ΜΕΘΟ∆ΟΙ ΑΠΟ∆ΕΙΞΗΣ ΜΙΑ ΣΧΕΣΗΣ ΣΤΙΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Α) Όταν θα µας ζητάνε να αποδείξουµε µία ταυτότητα Χ = Υ , τότε εφαρµόζουµε µία από τις παρακάτω µεθόδους: 1η µέθοδος Αρχίζουµε από το ένα µέλος της ταυτότητας, συνήθως εκείνο που έχει τις περισσότερες πράξεις, κάνουµε τις πράξεις που σηµειώνονται και καταλήγουµε στο άλλο µέλος της. 2η µέθοδος Κάνουµε πράξεις στο πρώτο µέλος, Χ, της ταυτότητας και καταλήγουµε σε µία ισότητα:

Χ = Α Στη συνέχεια κάνουµε πράξεις στο δεύτερο µέλος, Υ, και καταλήγουµε σε µία δεύτερη ισότητα:

Υ = Α Από τις (1) και (2) παίρνουµε:

Χ = Υ (µεταβατική ιδιότητα) 3η µέθοδος Προσπαθούµε να αποδείξουµε ότι είναι

Χ – Υ = 0 Οπότε θα έχουµε Χ = Υ Εφαρµογές:

1. Να αποδείξετε ότι για κάθε α και β ισχύουν:

α) 2 2α β α βαβ

2 2⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ −⎟ ⎟⎜ ⎜= −⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠

β) ( )( ) ( ) ( )2 22 2α 4 β 9 αβ 6 3α 2β+ + − + = − ΛΥΣΗ

α) Κάνουµε τις πράξεις στο δεύτερο µέλος και έχουµε (1η µέθοδος): ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 22 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

α β α βα β α β2 2 4 4

α 2αβ β α 2αβ βα β α β4 4

α 2αβ β α 2αβ β 2αβ 2αβ 4αβ αβ4 4 4

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + −+ −⎟ ⎟⎜ ⎜− = − =⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠

+ + − − ++ − −= =

+ + − + − += = =

Άρα 2 2α β α βαβ

2 2⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ −⎟ ⎟⎜ ⎜= −⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Η ταυτότητα αυτή µας λέει ότι το γινόµενο δύο αριθµών γράφεται ως διαφορά δύο τετραγώνων.

4

β) Κάνουµε πράξεις στο πρώτο µέλος και έχουµε:

( )( ) ( )

( )

( ) ( )( ) ( )( )

22 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 22 2

2

α 4 β 9 αβ 6

α β 9α 4β 36 α β 12αβ 36

α β 9α 4β 36 α β 12αβ 369α 4β 12αβ α β α β 36 36

9α 12αβ 4β 3α 2 3α 2β 2β

3α 2β

+ + − + =

+ + + − + + =

+ + + − − − =+ − + − + − =

− + = − + =

−

2. Να αποδείξετε ότι για κάθε x , y , ω ισχύει: ( ) ( ) ( )2 2 22ω ω 2 ωx y x y y x⎡ ⎤+ + + − + = + +⎢ ⎥⎣ ⎦

ΛΥΣΗ Θα εφαρµόσουµε τη 2η µέθοδο. Το πρώτο µέλος γράφεται:

( ) ( )( ) ( )

2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2

ω ω

ω 2 2 ω 2ω ω 2 2 ω 2 ω

2 2 2ω 4ω

x y x y

x y xy y x x y xy y x

x y x

+ + + − + =

= + + + + + + + + − − + =

+ + +

Άρα ( ) ( )2 2 2 2 2ω ω 2 2 2ω 4ωx y x y x y x+ + + − + = + + + (1)

Το δεύτερο µέλος γράφεται: ( ) ( )22 2 2 2 2 2 22 ω 2 2ωχ ω 2 2 2ω 4ωy x y x x y x⎡ ⎤+ + = + + + = + + +⎢ ⎥⎣ ⎦ (2)

Από τις (1) και (2) προκύπτει ότι: ( ) ( ) ( )2 2 22ω ω 2 ωx y x y y x⎡ ⎤+ + + − + = + +⎢ ⎥⎣ ⎦

Β) Υπάρχουν ταυτότητες η ισχύς των οποίων µας οδηγεί σε ορισµένα συµπεράσµατα, όπως επίσης και ταυτότητες που ισχύουν υπό την προϋπόθεση ότι οι µεταβλητές τους ικανοποιούν ορισµένες συνθήκες (αυτές οι ταυτότητες λέγονται ταυτότητες υπό συνθήκη). Στην πρώτη περίπτωση κάνουµε πράξεις ταυτόχρονα και στα δύο µέλη, µεταφέρουµε όλους

τους όρους στο πρώτο µέλος και προσπαθούµε να εµφανίσουµε τέλειο τετράγωνο ή άθροισµα τετραγώνων που είναι ίσο µε το µηδέν. Στη δεύτερη περίπτωση προσπαθούµε να ελαττώσουµε τον αριθµό των µεταβλητών απαλείφοντας τον ένα από τη συνθήκη και στη συνέχεια χρησιµοποιούµε µια από τις 3 µεθόδους που αναφέραµε προηγουµένως.

Εφαρµογές:

3. Αν ( ) ( )22 22 x y x y+ = + , να δείξετε ότι x y= . ΛΥΣΗ

5

Κάνουµε πράξεις και στα δύο µέλη, οπότε έχουµε: ( ) ( )

( )

22 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2

2

2

2 2 22 2 2 0

2 0

0

x y x y

x y x y xyx y x y xy

x y xy

x y

+ = + ⇔

+ = + + ⇔+ − − − = ⇔+ − = ⇔

− =

Επειδή ( )2 0x y− = , θα είναι 0x y− = , άρα x y= .

4. Αν α + β + γ = 0, να αποδείξετε ότι: 3 3 3α β γ 3αβγ+ + =

ΛΥΣΗ Ξεκινάµε από το πρώτο µέλος και ελαττώνουµε το πλήθος των µεταβλητών. Από τη συνθήκη α + β + γ = 0 έχουµε ότι ( )γ α β=− + . Έτσι το πρώτο µέλος γράφεται:

( ) ( )( )

3 33 3 3 3 3 3 3

3 3 3 2 2 3

3 3 3 2 2 3 2 2

α β γ α β α β α β α β

α β α 3α β 3αβ β

α β α 3α β 3αβ β 3α β 3αβ

⎡ ⎤+ + = + + − + = + − + =⎣ ⎦= + − + + + =

+ − − − − =− −

Είναι λοιπόν 3 3 3 2 2α β γ 3α β 3αβ+ + =− − (1)

Το δεύτερο µέλος µε αντικατάσταση του γ γράφεται: ( ) 2 23αβγ 3αβ α β 3α β 3αβ= − − =− − (2)

Από τις (1) και (2) προκύπτει ότι 3 3 3α β γ 3αβγ+ + =

6

ΜΕΘΟ∆ΟΛΟΓΙΑ ΓΙΑ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ Για να αποδείξουµε ανισότητες, εργαζόµαστε µε έναν από τους ακόλουθους τρόπους: Κάνουµε πράξεις στην ανισότητα (απαλοιφή παρονοµαστών, µεταφορά όρων στο πρώτο

µέλος κ.λπ.) και καταλήγουµε σε σχέση που ισχύει (τέλειο τετράγωνο, άθροισµα τετραγώνων κ.λπ.). Ξεκινάµε από µια ανισότητα που ισχύει (τέτοια ανισότητα είναι ένα τέλειο τετράγωνο, ένα άθροισµα τετραγώνων, µια απόλυτη τιµή κ.λπ.) και προσπαθούµε µε πράξεις να κατασκευάσουµε τη ζητούµενη ανισότητα.

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ:

1) Να αποδείξετε ότι:

α) αν 0x> , τότε ισχύει 1 2xx

+ ≥ ,

β) αν 0x< , τότε ισχύει 1 2xx

+ ≤− ,

γ) αν , 0x y ≥ , τότε ισχύει 2x y xy+ ≥ . ΛΥΣΗ: α) Πολλαπλασιάζουµε και τα δύο µέλη της ανισότητας επί 0x> και έχουµε διαδοχικά:

( )

2

2

2

1 2

1 2

1 22 1 0

1 0

xx

x x xx

x xx x

x

+ ≥ ⇔

⎛ ⎞⎟⎜ + ≥ ⇔⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠+ ≥ ⇔− + ≥ ⇔

− ≥

Που ισχύει. β) Πολλαπλασιάζουµε και τα δύο µέλη µε 0x< και έχουµε διαδοχικά:

( )

2

2

2

1 2

1 2

1 22 1 0

1 0

xx

x x xx

x xx x

x

+ ≤− ⇔

⎛ ⎞⎟⎜ + ≥− ⇔⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠+ ≥− ⇔+ + ≥ ⇔

+ ≥

(επειδή πολλαπλασιάσαµε µε αρνητικό άλλαξε η φορά της ανισότητας)

που ισχύει. γ) Έχουµε:

( )2

x y 2 xy

x y 2 xy 0

x 2 xy y 0

x y 0

+ ≥

+ − ≥

− + ≥

− ≥

7

8

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ

Α’ ΟΜΑ∆Α 1) Να γίνουν οι πράξεις: α) ( ) ( ) ( )( )2 22 1 3 2 2 5 5 2x x x x+ − − − + −

β) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )2 2 22 1 2 1 3 1 4 1 1 1x x x x x x x x x+ − − + + − + − − + + Απάντηση: α) 2 16 28x x− + − , β) 0 2) Να γίνουν οι πράξεις: α) ( ) ( )5 4 3 312 6 3 : 3x x x x− − −

β) ( ) ( )3 2 2 3 2 2 2 22 6 3 : 3x y x y x y x y− + 3) Να συµπληρώσετε τα κενά: α) ( )23 24α __ __ __ 25β+ = + +

β) ( )2 23 __ __ 4 __x y+ = + +

γ) ( )2 2 6__ __ __5

x x+ = + +

δ) ( )2 2 3__ __ __ 6 __x y+ = + +

ε) 21__ __ __

2x

⎛ ⎞⎟⎜ + = + +⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠

Β’ ΟΜΑ∆Α 1) Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις:

α) ( )2223 2

342

xx yy

−− −

⎛ ⎞− ⎟⎜ ⎟⋅⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

Απάντηση: 2

10

yx

−

β) ( ) ( )( )

2 30 3 2 4 3

3 5 42 2

::x x y x x y x

y xy y x

−

−

Απάντηση: 2y 2) Αν Α = 2x + 3 και B = - 4x + 1 βρείτε την παράσταση Γ = 3 ΑΒ Απάντηση: 224 30 9x x− − + 3) Να αποδείξετε τις ταυτότητες:

α) ( )23 3 9 33 3

2 2 4xx x +⎛ ⎞ ⎛ ⎞− +⎟ ⎟⎜ ⎜− =−⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠

β) ( )23 3 2 273 3

3 3 27x xx x +⎛ ⎞ ⎛ ⎞− +⎟ ⎟⎜ ⎜+ =⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠

γ) ( ) ( ) ( ) ( )3 2α β α β α β 4αβ α β+ − − + = +

9

4) α) Να βρεθεί το ανάπτυγµα ( )22 23x xy+ =

β) Αν 2 2α β 50− = και α β 10+ = βρείτε το α – β = γ) Να γίνει γινόµενο η παράσταση 2 2 310α β 5α β 15αβ− − = 5) Να αποδείξετε την ταυτότητα α) ( ) ( ) ( )34 4 2 2α β α β α β 2αβ α β− − − + = −

β) ( )( ) ( ) ( )2 22 2α 4 β 9 αβ 6 3α 2β+ + − + = − 6) Να βρείτε τα αναπτύγµατα:

i. ( )32 3 2+

ii. ( )2x y z+ −

iii. 213

3x

⎛ ⎞⎟⎜− + ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠

iv. ( )21x− −

v. ( )( )8 8x x− +

vi. ( )( )x y x y− +

vii. ( )22 1 3x x− − +

7) Να λύσετε τις εξισώσεις:

i. ( ) ( )2 25 3 24x x+ = − +

ii. ( )( ) ( )24 4 2x x x− + = −

iii. ( ) ( )( ) ( ) ( )2 23 2 2 3 2 3 2 7 22 3x x x x x x− + + − = − − + 8) Να αποδείξετε ότι:

i. 2 2α β 2αβ+ ≥

ii. ( )2 2 2 2α β γ α β γ 2αβ 2βγ 2γα− − = + + − + − 9) Αν 3 2x= και 3 2 2 3y= + , να υπολογιστεί η τιµή της παράστασης:

2 2x yxy+

10) Να αποδείξετε αν είναι 1 µxx

− = , τότε

2 42 4

1 1x xx x

+ = +

11) Θεωρούµε τους αριθµούς x, y, ω για τους οποίους ισχύουν οι ισότητες x y ω 2+ + = και

2 2x y 4+ = . Να αποδείξετε ότι 22xy ω 4ω= −

10

12) Αν 7x y2

+ = και 3x y2

⋅ =− . Να υπολογίσετε τις παραστάσεις:

i. 2 2x y+ = ii. ( )( )x 2 y 2+ + =

13) Αν 2 2α β 20− = και α β 5+ = να υπολογίσετε το α – β 14) Αν ( )2α β 20+ = , 2 2α β 8+ = . Να βρείτε το α β⋅ 15) Αν x y 4+ = και x y 3⋅ = να υπολογίσετε:

i. 2 2x y+ = ii. 3 3x y+ =

iii. ( )2x y− =

iv. ( ) ( ) ( )2 2 24x 1 4y 1 2 x y+ + + − − = 16) Να αποδείξετε τις παρακάτω ταυτότητες:

i. ( ) ( )2 2

3κ κ 1 κ κ 1κ

2 2

⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ −⎢ ⎥ ⎢ ⎥− =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

ii. 2 2

2

α β α β 4βα α α

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ −⎟ ⎟⎜ ⎜− =⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠

11

1.6 Παραγοντοποίηση Πολυωνύµων

Περίληψη Θεωρίας Ορισµός: Παραγοντοποίηση (ή ανάλυση σε γινόµενο παραγόντων) λέµε τη διαδικασία µε την οποία µετατρέπουµε µια παράσταση από άθροισµα σε γινόµενο. Τι είναι η παραγοντοποίηση και σε τι χρησιµεύει; Η παραγοντοποίηση µας βοηθά στην απλοποίηση αλγεβρικών παραστάσεων, στην επίλυση εξισώσεων-ανισώσεων και στη απόδειξη διαφόρων προτάσεων. Παρακάτω αναφέρονται οι πιο χαρακτηριστικές περιπτώσεις παραγοντοποίησης πολυωνύµων.

• Κοινός Παράγοντας Η µέθοδος αυτή εφαρµόζεται όταν όλοι οι όροι του πολυωνύµου έχουν κοινό παράγονται, δηλαδή έχουν τον ίδιο συντελεστή ή και ίδιες µεταβλητές. Τότε µε τη βοήθεια της επιµεριστικής ιδιότητας το πολυώνυµο µετατρέπεται σε γινόµενο. ( )αβ αγ α β γ+ = + Παρατήρηση: Αυτό που θα γράφουµε µέσα στις παρενθέσεις θα το βρίσκουµε διαιρώντας κάθε όρο του πολυωνύµου διά του κοινού παράγοντα:

π.χ. ( )xy xz xwxy xz xw x x y z wx x x

⎛ ⎞⎟⎜+ − = + − = + +⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠

π.χ. i. 2α 2γ 2β+ +

Σε αυτό το παράδειγµα παρατηρούµε ότι ο συντελεστής 2 είναι κοινός παράγοντας των µονωνύµων 2α , 2γ , 2β οπότε το πολυώνυµο σε παραγοντοποιηµένη µορφή θα γραφεί:

( )2α 2β 2γ 2 α β γ+ + = + + ii. 2 4 6x xy xz+ +

Ο κοινός παράγοντας εδώ είναι το 2x οπότε γράφεται: ( )2 4 6 2 1 2 3x xy xz x y z+ + = + +

• Οµαδοποίηση

Η µέθοδος αυτή εφαρµόζεται όταν δεν υπάρχει ένας κοινός παράγοντας για όλους τους όρους του πολυωνύµου. Σε αυτή την περίπτωση χωρίζουµε το πολυώνυµο σε οµάδες έτσι:

ώστε σε κάθε οµάδα που δηµιουργήσαµε να υπάρχει ένας κοινός παράγοντας, οι παραστάσεις που µένουν µετά την εξαγωγή του κοινού παράγοντα να είναι ίδιες.

Στην οµαδοποίηση προσπαθούµε σχεδόν πάντα να έχει η κάθε οµάδα τον ίδιο αριθµό όρων. Ωστόσο αυτό δεν είναι πάντα εφικτό. π.χ.

iii. ( ) ( ) ( )( )2 4 2 2 4 2 2 2 2 2 2x yx y x yx y x y y y x+ − − = − + − = − + − = − + Εδώ χωρίσαµε σε µία οµάδα τους όρους 2 ,x yx− µε κοινό παράγοντα τον x και σε µία άλλη οµάδα τους όρους 4, 2y− µε κοινό παράγοντα τον 2.Στη συνέχεια το ( )2 y− είναι κοινός παράγοντας του

( ) ( )2 2 2x y y− + − .

12

• ∆ιαφορά τετραγώνων

Η µέθοδος αυτή εφαρµόζεται όταν έχουµε συζυγείς παραστάσεις της µορφής 2 2α β− . Η παραγοντοποίηση της µεθόδου αυτής στηρίζεται στην ταυτότητα ( )( )2 2α β α β α β− = + − . Με την ταυτότητα αυτή µετατρέπουµε σε γινόµενο µια διαφορά δύο τετραγώνων.

π.χ. ( )( )2 4 2 2x x x− = − +

• Ανάπτυγµα τετραγώνου Με αυτή τη µέθοδο µπορούµε µια παράσταση µε τρεις όρους να την µετατρέψουµε σε γινόµενο, αρκεί οι τρεις όροι που έχουµε να είναι το ανάπτυγµα των 2 πρώτων ταυτοτήτων: ( )2 2 2α β α 2αβ β+ = + + και ( )2 2 2α β α 2αβ β− = − + π.χ.

i. ( )22 2 1 1x x x+ + = + α 2αβ γ

ii. ( )22 24 4 2x xy y x y+ + = +

α 2αβ γ

• Το τριώνυµο Όλα τα πολυώνυµα της µορφής: ( ) 2α β γf x x x= + + µε α 0≠ , ονοµάζονται τριώνυµα 2ου βαθµού. Για να παραγοντοποιήσουµε ένα τριώνυµο διακρίνουµε δύο περιπτώσεις:

A. Όταν α = 1 Σε αυτή την περίπτωση το πολυώνυµο παίρνει τη µορφή 2 β γx x+ + . Η παραγοντοποίηση γίνεται ως εξής: Αναζητούµε δύο αριθµούς που να έχουν γινόµενο τον γ και άθροισµα τον β. Αν υπάρχουν δύο τέτοιοι αριθµοί π.χ. οι αριθµοί κ , λ τότε το τριώνυµο παραγοντοποιείται ως εξής: ( )( )2 β γ κ λx x x x+ + = + + Αντίθετα αν είναι αδύνατη η εύρεση τέτοιων αριθµών, τότε λέµε ότι το τριώνυµο δεν παραγοντοποιείται.

B. Όταν α 0≠ Η παραγοντοποίηση του τριωνύµου θα γίνει µετατρέποντας το τριώνυµο 2α β γx x+ + στη µορφή

2 β ' γ 'x x+ + . Στο επόµενο κεφάλαιο θα µάθουµε τον γενικό τρόπο της παραγοντοποίησης του τριωνύµου.

13

Τρόπος εργασίας στην παραγοντοποίηση αλγεβρικών παραστάσεων

Όταν θα µας δίνουν να παραγοντοποιήσουµε µια παράσταση, θα πρέπει να εντοπίσουµε από τη µορφή της σε ποια από τις περιπτώσεις παραγοντοποίησης µπορεί να καταταχθεί και στην συνέχεια να παραγοντοποιηθεί. Εκείνο που πρέπει να προσέξουµε ιδιαίτερα πριν αρχίσει η διαδικασία της παραγοντοποίησης, είναι µήπως υπάρχει κοινός παράγοντας, οπότε θα τον βγάζουµε εκτός παρενθέσεων. Αν η παράσταση που µας δίνεται έχει δύο όρους, θα προσέχουµε µήπως είναι διαφορά ή

άθροισµα ίδιων δυνάµεων, οπότε θα χρησιµοποιούµε τους τύπους:

( )( )2 2α β α β α β− = + − , ( )( )3 3 2 2α β α β α αβ β+ = + − +

( )( )3 3 2 2α β α β α αβ β− = − + + Στην περίπτωση που είναι άθροισµα τετραγώνων προσθέτουµε και αφαιρούµε κατάλληλο όρο. Αν η παράσταση που µας δίνεται έχει τρεις όρους, θα προσέχουµε αν:

i. είναι ανάπτυγµα τετραγώνου, ii. είναι τριώνυµο,

iii. αλλάζοντας κάποιο πρόσηµο γίνεται τέλειο τετράγωνο, iv. µπορούµε να διασπάσουµε κάποιον όρο και στη συνέχεια να οµαδοποιήσουµε τους όρους

ή αν µπορούµε να προσθέσουµε και να αφαιρέσουµε κατάλληλο όρο και στη συνέχεια να οµαδοποιήσουµε τους όρους,

v. κάποιος από τους διαιρέτες του σταθερού όρου µηδενίζει το πολυώνυµο, οπότε αµέσως θα γνωρίζουµε τον έναν παράγοντα του γινοµένου, ενώ τον άλλο θα τον βρίσκουµε µε διαίρεση.

Αν η παράσταση που µας δίνεται έχει τέσσερις όρους, θα προσέχουµε αν: i. µπορούµε να δηµιουργήσουµε οµάδες ανά δύο,

ii. µπορούµε να δηµιουργήσουµε µια οµάδα τριών όρων που να αποτελούν τέλειο τετράγωνο, το οποίο σε συνδυασµό µε τον όρο που αποµένει να µπορεί να παραγοντοποιηθεί,

iii. µε πρόσθεση και αφαίρεση ή διάσπαση κάποιου όρου µπορούµε να δηµιουργήσουµε άθροισµα ή διαφορά κύβων,

iv. κάνοντας πράξεις, απαλείφοντας παρενθέσεις και δηµιουργώντας οµάδες µπορούµε να καταλήξουµε σε κάποια γνωστή µορφή.

Με τον ίδιο τρόπο εργαζόµαστε ,όταν η παράσταση έχει περισσότερους από τέσσερις όρους. Εκείνο που δεν πρέπει να ξεχνάµε είναι να παρατηρούµε αν υπάρχει κοινός παράγοντας. Το αναφέρουµε ξανά, γιατί είναι σηµαντικό.

14

Μεθοδολογία – Λυµένες Ασκήσεις

1. Να γραφούν ως γινόµενο οι παραστάσεις:

α) 3 23 15x x+

β) 5 2 3 4 5 32 4 6x y x y x y+ −

ΛΥΣΗ: α) Αρχικά εντοπίζουµε τον κοινό παράγοντα που υπάρχει και στους δύο όρους του πολυωνύµου που είναι το 3 από τους συντελεστές και από τις µεταβλητές το x µε εκθέτη το µεγαλύτερο κοινό. Εποµένως ο κοινός παράγοντας είναι ο 23x . Η λύση γράφεται µε 2 τρόπους: 1ος τρόπος είναι να διαιρέσουµε µε τον κοινό παράγοντα τους δύο όρους και το αποτέλεσµα της διαίρεσης είναι αυτό που θα γραφεί µέσα στην παρένθεση:

( )3 2

3 2 2 22 2

3 153 15 3 3 53 3

x xx x x x xx x

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟+ = + = +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

Ο 2ος τρόπος είναι να αναλύσουµε τους όρους σε γινόµενα έτσι ώστε να χωρίσουµε τον κοινό παράγοντα µε αυτό που θα µείνει µέσα στην παρένθεση :

( )3 2 2 2 23 15 3 3 5 3 5x x x x x x x+ = ⋅ + ⋅ = + β) Αρχικά παρατηρούµε ότι η υπάρχει κοινός παράγοντας. Ο κοινός αυτός παράγοντας είναι ο

3 22x y .Εποµένως έχουµε:

( )( )

5 2 3 4 5 35 2 3 4 5 3 3 2

3 2 3 2 3 2

3 2 5 3 2 2 3 3 4 2 5 3 3 2

3 2 2 2 2

2 4 62 4 6 22 2 2

2 2 2 3

2 2 2 3

x y x y x yx y x y x y x yx y x y x y

x y x y x y x y

x y x y x y

− − − − − −

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟+ − = + − =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

= + − =

= + −

Για την λύση αυτών των ασκήσεων χρησιµοποιούµε όποιους από τους δύο τρόπους µας βολεύει. Με την λύση πολλών ασκήσεων όµως η διαδικασία αυτή θα παραλείπεται και θα γίνεται αµέσως µε το µυαλό.

2. Να γραφούν µε τη µορφή γινοµένου οι παραστάσεις:

α) ( ) ( )2 2α β α βx y− + −

β) ( )3β x y x y− − +

γ) ( )( ) ( )( )3α 2β 4β 2αx y y x+ − + − − ΛΥΣΗ:

15

α) Η αλγεβρική παράσταση που µας δίνεται έχει δύο όρους. Παρατηρούµε ότι σε κάθε όρο έχουµε κοινό παράγοντα τον α – β . Εποµένως έχουµε:

( ) ( ) ( )( )2 2 2 2α β α β α βx y x y− + − = − + β) Με µια πρώτη µατιά παρατηρούµε ότι δεν υπάρχει κοινός παράγοντας. Αν όµως παρατηρήσουµε λίγο περισσότερο τη σχέση µας βλέπουµε ότι τα x – y και y – x έχουν αντίθετα πρόσηµα. Έτσι το άθροισµα x y− + το γράψουµε µε τη µορφή ( )x y x y− + =− − , οπότε θα έχουµε κοινό παράγοντα τον x – y. Εποµένως:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( )( )

3β 3β

3β 3β 1

3β 1

x y x y x y x y

x y x y x y x y

x y

⎡ ⎤− − + = − + − − =⎣ ⎦= − − − = − − ⋅ − =

= − −

γ) Οµοίως µε το ερώτηµα β παρατηρούµε ότι αν γράψουµε ( )y x x y− =− − , θα προκύψει ο x – y ως κοινός παράγοντας. Εποµένως:

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )( )( )

3α 2β 4β 2α 3α 2β 4β 2α

3α 2β 4β 2α 3α 2β 4β 2α

3α 2β 4β 2α 3α 2α 2β 4β

5α 2β

x y y x x y x y

x y x y x y

x y x y

x y

⎡ ⎤+ − + − − = + − + − − − =⎣ ⎦⎡ ⎤= + − − − − = − + − − =⎣ ⎦

= − + − + = − + + − =

= − −

Σηµείωση: Αφού βγάλουµε κοινό παράγοντα, στη συνέχεια µέσα στις παρενθέσεις κάνουµε αναγωγή όµοιων όρων, εφόσον υπάρχει η δυνατότητα, γιατί µπορεί η παράσταση που θα προκύψει να παραγοντοποιείται.

3. Να γραφούν ως γινόµενο οι παραστάσεις:

α) α β β αx y x y− + −

β) 3 2 1x x x+ + +

γ) 2 2 1x y x xy x y− − + + −

ΛΥΣΗ: α) Στην παράσταση που δίνεται δεν υπάρχει ένας κοινός παράγοντας για όλους τους όρους. Μπορούµε όµως να δηµιουργήσουµε δύο οµάδες. Κριτήριο για τη δηµιουργία των οµάδων είναι η µία να έχει κοινό παράγοντα τον α και η άλλη τον β. Έχουµε:

( ) ( )( ) ( ) ( )( )

α β β α α α β β

α β α β

x y x y x y x y

x y x y x y

− − − = − + − =

= − + − = − +

β) Η παράσταση αυτή έχει τέσσερις όρους. Θα δηµιουργήσουµε δύο οµάδες. Στη µία οµάδα θα πάρουµε τις περιττές δυνάµεις και στην άλλη οµάδα θα πάρουµε τις άρτιες. Έτσι έχουµε:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )

3 2 3 2 2 2

2 2 2

1 1 1

1 1 1 1

x x x x x x xx x x

x x x x x

+ + + = + + + = + + + =

= + + + = + +

16

γ) Η παράσταση έχει έξι όρους. Μπορούµε λοιπόν να δηµιουργήσουµε είτε τρεις οµάδες µε δύο όρους η καθεµία είτε δύο οµάδες µε τρεις όρους η καθεµία:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )

2 2 2 2

2 2

1 1

1 1 1 1 1

x y x xy x y x y x xy x y

x y x y y y x x

− − + + − = − − − + − =

= − − − + − = − − +

ή

( )( ) ( ) ( )( )

2 2 2 2

2 2 2

1 1

1 1 1 1

x y x xy x y x y xy y x x

y x x x x x x y

− − + + − = − + − + − =

= − + − − + = − + −

4. Να γραφούν ως γινόµενο οι παραστάσεις:

α) 4 4x y−

β) 2 2v vx y−

γ) 3 38α x− ΛΥΣΗ:

α) Από ιδιότητες δυνάµεων ισχύει: ( )µ µv vx x ⋅=

Οπότε η παράστασή µας γίνεται:

( ) ( ) ( )( )( )( )( )

2 24 4 2 2 2 2 2 2

2 2

x y x y x y x y

x y x y x y

− = − = + − =

= + + −

β) Όµοια µε το προηγούµενο ερώτηµα έχουµε:

( ) ( ) ( )( )2 22 2v v v v v v v vx y x y x y x y− = − = + −

γ) Εδώ θα χρησιµοποιήσουµε την ταυτότητα της διαφοράς κύβων: ( )( )3 3 2 2α β α β α αβ β− = − + +

Οπότε έχουµε:

( ) ( ) ( ) ( )

( )( )

3 23 3 3 2

2 2

8α 2α 2α 2α 2α

2α 4α 2α

x x x x x

x x x

⎡ ⎤ ⎡ ⎤− = − = − + + =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦= − + +

Παρατήρηση: Όπως βλέπουµε εκτός από την ταυτότητα της διαφοράς τετραγώνου, στην παραγοντοποίηση θα, χρησιµοποιούµε και την ταυτότητα της διαφοράς – αθροίσµατος κύβων. ∆ες εφαρµογή 3 σχολικού σελ.50.

17

( )( )( )( )

3 3 2 2

3 3 2 2

α β α β α αβ β

α β α β α αβ β

− = − + +

+ = + − +

5. Να γραφεί ως γινόµενο η παράσταση:

2 22 1x x y− − + ΛΥΣΗ: Παρατηρούµε ότι η παράσταση που µας δίνεται έχει τέσσερις όρους και δεν υπάρχει κοινός παράγοντας. Άµεσα δεν µπορούµε να εφαρµόσουµε τον τύπο του αναπτύγµατος τετραγώνου. Σκεφτόµαστε µήπως δηµιουργώντας οµάδες µπορούµε να εµφανίσουµε γνωστό ανάπτυγµα. Έχουµε:

( ) ( )( )( )

22 2 2 2 22 2 1 1

1 1

x x y x x y x y

x y x y

− − = − + − = − − =

= − + − −

Όπως βλέπουµε συνδυάσαµε την οµαδοποίηση µε το ανάπτυγµα τετραγώνου και τη διαφορά τετραγώνων. Παρατήρηση: Όπως βλέπουµε και από τις ασκήσεις οι οµάδες που θα δηµιουργούµε κατά την οµαδοποίηση δεν πρέπει κατ’ ανάγκη να έχουν το ίδιο πλήθος όρων.

6. Να παραγοντοποιηθούν τα τριώνυµα µιας µεταβλητής:

α) 2 7 12x x+ +

β) 2 7 60x x+ − ΛΥΣΗ: α) Για το τριώνυµο που δίνεται αναζητούµε δύο αριθµούς που να έχουν γινόµενο 12 και άθροισµα 7.

Οι αριθµοί αυτοί είναι: ο 4 και ο 3 διότι 3 4 12⋅ = και 3 4 7+ = . Άρα γράφουµε ( )( )2 7 12 3 4x x x x+ + = + +

Σηµείωση: Όταν ο σταθερός όρος του τριωνύµου είναι θετικός, οι αριθµοί που αναζητούµε θα είναι οµόσηµοι και µάλιστα θα έχουν το ίδιο πρόσηµο µε αυτό του συντελεστή του πρωτοβάθµιου όρου.

18

β) Για το τριώνυµο που δίνεται αναζητούµε δύο αριθµούς µε γινόµενο 60− και άθροισµα +7. Όπως καταλαβαίνουµε οι αριθµοί θα είναι ετερόσηµοι για να έχουν γινόµενο 60− . Εποµένως οι αριθµοί αυτοί είναι: ο 12 και ο 5− διότι ( )12 5 60⋅ − =− και ( )12 5 7+ − = . Άρα γράφουµε:

( )( )2 7 60 12 5x x x x+ − = + − Σηµείωση: Όταν ο σταθερός όρος είναι αρνητικός, οι αριθµοί που θα αναζητούµε θα είναι ετερόσηµοι. Από τους αριθµούς εκείνους που έχει τη µεγαλύτερη απόλυτη τιµή θα έχει πρόσηµο ίδιο µε εκείνο του συντελεστή του πρωτοβάθµιου όρου.

Ασκήσεις για λύση Α Οµάδας: 1. Να συµπληρώσετε τα κενά: α) ( )( )2 ...... ...... ...... ......x− + = −

β) ( )( ) 2...... ...... ...... 1 ......x+ − = −

γ) ( )( )...... ...... ...... ...... 16x+ − = −

δ) ( )( )2 3 2 ...... ......x x x x− + = − −

ε) ( )( )2 2 ...... 4 6x x x x− − = + −

στ) ( )( )2 ...... 25 5 ......x x x− + = − − 2. Το πολυώνυµο 21 x− όταν παραγοντοποιηθεί γράφεται: α) ( )( )1 1x x+ − β) ( )( )1 1x x+ − γ) ( )( )1 1x x+ − 2

Να σηµειώσετε τη σωστή απάντηση. 3. Αν µία παράσταση ( )A x µε τη διαδικασία της παραγοντοποίησης πάρει τη µορφή ( ) ( )2 2ΓB x x+ , µπορούµε να πούµε ότι την παραγοντοποιήσαµε; Τι συµπέρασµα προκύπτει για τις τιµές της παράστασης ( )A x ; Β Οµάδας: 1. Να γραφούν ως γινόµενο οι παραστάσεις:

i. 4α 8+ ii. 2x xy+

iii. 3 2x x y− iv. 23 6x xy− v. 2 22x y y+

vi. 6 5x x− 2. Να γραφούν ως γινόµενο οι παραστάσεις:

i. 3 25x x x+ − ii. 3 43 3 3y y y− +

iii. 3 22 4 10x x x− + iv. 2 2 312 9 3xy x y x+ + v. 2 3 2 2 32 6 2x y x y x y− +

19

vi. 3 4 3 2 2 315 10 5α β αβ α β 10αβ3 3 3

x x x x− + − +

3. Να παραγοντοποιηθούν οι παρακάτω παραστάσεις:

i. ( ) ( )α βx y x y+ − +

ii. ( ) ( )2 2 2 22α βx y x y+ − +

iii. ( )α x y x y− − +

iv. ( ) ( )3 αx y y x− − −

v. ( )( ) ( )( )5α 2β 4 3 3 4 β 3αx y y x− − + − −

vi. ( ) ( ) ( )3 227α α β 14α β α 21 α β− + − − − 4. Να γραφούν ως γινόµενο οι παραστάσεις:

i. ( ) ( )3 3 3α β α β− − −

ii. 2 22 2x x+ iii. 4 2x x+

5. Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις:

i. α β β αx y x y+ + + ii. β δ β δ β δy y z z x x− − + + −

iii. κ λ κ λ χy y vy x x v+ − − − + iv. 5αβ 5αγ 8δγ 8δβ+ − − v. αβ αβ αγ αγx y x y− − +

vi. 2 α β αβy y y+ + + vii. 2 2 36 3λ 8λ 4λx x x+ + +

viii. 5 4 3 2α α α α α 1− + − + − ix. 2β αβ αx x x− + − x. 3 2 2 3x x y xy y+ + +

xi. 26 4α 9β 6αβx x x− − + 6. Να γραφούν ως γινόµενο οι παραστάσεις:

i. ( ) ( )2 2 2 2αβ α βx y xy+ + +

ii. ( ) ( )2 2 2 2αβ α βx y xy− + − 7. Να παραγοντοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις:

i. 2 2αy − ii. 2 2α 16β−

iii. 2 8 10βx y− iv. 4 2 825α 49βx −

v. ( )2 23x y x− −

vi. ( ) ( )2 23 2x y y z+ − −

vii. ( ) ( )2 2α 3 α 3+ − −

20

viii. 2 2αβ αγ−

ix. ( )23x x y z− −

x. 4 2 24x x y− xi. 3 1x −

xii. 3 3 8x y + 8. Να γραφούν µε τη µορφή γινοµένου οι παραστάσεις:

i. 2 22 1x x y− − + ii. 2 26 9x x y− + −

iii. 2 2 10 25y x y− − + iv. 2 2 24 4x y yz z− + −

9. Να παραγοντοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις:

i. 2 5 6x x+ + = ii. 2 12 20y y− + =

iii. 2 2 15x x+ − = iv. 2 8 15x x− + = v. 3 23 6 3x x x− + =

vi. 235 2x x− − = vii. 4 2 2 42 3x x y y− − =

viii. β δ β δ β δy y z z x x− − + + − = ix. 22 20 18x x+ + = x. ( )23x x y z− − 4 3 2α 2α α− + =

xi. 2 24 36 81x x z− + − 22 14 120x x+ − = xii. 3α 5α 3β 5βx y x y− + − =

xiii. ( ) ( )3 3 3α β α β− − −

xiv. 3 24α 4 16α α− + − = xv. 3 22α 8α 8α+ + =

xvi. ( )2 1x x+ + =

xvii. ( ) ( )3 3α β α β+ − − = 10. Να αποδείξετε την ταυτότητα:

i. 2 2α β α β αβ

2 2⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ −⎟ ⎟⎜ ⎜− =⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠

ii. ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2α β γ α β γ α β γ α β γ 8αγ+ + − + − + − + − − − = 11. Να γραφούν ως γινόµενο οι παρακάτω παραστάσεις:

i. 3 2 2 4 42αβ 6α β 8α β+ + = ii. ( )3 1 1− − + =x x x

iii. ( )( ) ( )( )2 3 2 3+ − + − − =x y x y x y y x

iv. α αβ 6β+ − = v. 2 23α 2αβ β+ − =

21

vi. 4 2 2 4α 5α β 4β− + =

vii. ( ) ( )2 2225 α 4 16 α 2− − + =

22

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Επίλυση Εξισώσεων 2ου βαθµού Ορίζουµε ως διακρίνουσα την ποσότητα: 2∆ β 4αγ= − Για την επίλυση εξισώσεων 2ου βαθµού διακρίνουµε τις εξής περιπτώσεις:

Αν ∆ > 0 τότε η εξίσωση έχει 2 πραγµατικές λύσεις τις :

1,2β ∆x

2α− ±=

Αν ∆ = 0 τότε η εξίσωση έχει µία διπλή ρίζα την:

βx2α−=

Αν ∆ < 0 τότε η εξίσωση είναι αδύνατη.

Παραδείγµατα:

1. Να λυθούν οι εξισώσεις:

α) 2x 6x 8 0− + =

β) 24x 4x 1 0− + =

γ) 23x 2x 5 0− + = ΛΥΣΗ: α) Έχουµε τη εξίσωση 2x 6x 8 0− + = µε α 1= , β 6=− , γ 8= Αρχικά υπολογίζω τη διακρίνουσα:

( )

2

2

∆ β 4αγ

6 4 1 8 36 32 4 0

= −

= − − ⋅ ⋅ = − = > Εποµένως η εξίσωση έχει 2 πραγµατικές

λύσεις τις:

( )

1,2

1,2

β ∆x2α

6 4 6 2x2 1 2

− ±=

− − ± ±= =⋅

∆ηλαδή είναι:

16 2x 4

2+= = και 1

6 2x 42−= =

β) Έχουµε την εξίσωση 24x 4x 1 0− + = µε α 4= , β 4=− , γ 1= Αρχικά υπολογίζω τη διακρίνουσα:

23

( )

2

2

∆ β 4αγ

4 4 4 1 16 16 0

= −

= − − ⋅ ⋅ = − =

Εποµένως η εξίσωση έχει µια διπλή ρίζα την:

( )

βx2α

4x

2 44 1x8 2

−=

− −=

⋅

= =

γ) Έχουµε τη εξίσωση 23x 2x 5 0− + = µε α 3= , β 2=− , γ 5= Αρχικά υπολογίζω τη διακρίνουσα:

( )

2

2

∆ β 4αγ

2 4 3 5 4 60 56 0

= −

= − − ⋅ ⋅ = − =− < Εποµένως είναι αδύνατη.

Ασκήσεις για Λύση

1) Να λυθούν οι εξισώσεις: i. ( )6x x 7 0+ =

ii. ( )( )x 3 x 7 0− − =

iii. ( )2x 1 0+ =

iv. ( )( )( )x 2 x 5 1 x 0− − − =

v. 2x 4x 0− = vi. 22x 14x 0+ =

vii. 2x 5x=− viii. ( ) ( )2x 1 4 x 1 0+ − + =

ix. 24 4x 0− = x. 24x 25 0− =

xi. 2 1x 09

− =

xii. 25x 25 0+ = xiii. ( )2x 1 9 0+ − =

xiv. 2x 3 0− = 2) Να λυθούν οι εξισώσεις:

i. 2x 2x 3 0+ − = ii. 2x 3x 4 0− − =

iii. 23x 2x 1 0− − = iv. 24x 17x 15 0− + = v. 2x 2x 5+ =

vi. 2x 8 6x− =−

24

vii. ( )( ) 2x 1 x 2 2x 4− − = +

viii. ( ) ( ) ( )( )2 22x 1 3 x x 1 2x 1− + − = + −

ix. ( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 2x 1 x 2 x 1 2 x 2 x 3+ + − = − − − +

x. ( )22x 3 2 x 3 0+ + + =

xi. ( )23x 6 3 x 6 0− + + =

3) Να λυθούν οι εξισώσεις:

i. ( )( )2x 1 x 7x 12 0− − + =

ii. ( )( )2 2x 4 x 5x 6 0− − + =

iii. ( )( )2 2x 7x 6 4x 8x 3 0− + − + =

iv. ( )( )( )2 2x 1 9x 9x 2 1 2x 3x 0+ + + − − =

v. 3 2x x x 1 0+ + + = vi. 3 2x x x 1 0+ − − =

vii. 3 2x 2x x 2 0− − + = viii. 3 2 2x 4x x 4− = −

ix. 4 2x 5x 6 0− + = 4) Να γραφούν µε τη µορφή γινοµένου τα τριώνυµα:

i. 2x 15x 50+ + ii. 26x 7x 20− + +

iii. 25x 2x 3− − iv. 26x x 2+ − v. 3 2x 6x 91x+ −

5) Να απλοποιήσετε την παράσταση:

2

2

x 3x 2Ax 5x 4

− +=− +

6) ∆ίνεται η εξίσωση: ( )2 2x λ 1 x λ 1 0,− − + − = λ ∈

η οποία έχει δύο ρίζες 1 2x ,x .

i. Να βρείτε τον λ, όταν η µια ρίζα της εξίσωσης είναι ο 12

.

7) Θεωρούµε την εξίσωση 2λx 3x 1 0+ + =

i. Πότε η εξίσωση αυτή είναι δευτέρου βαθµού; ii. Για ποιες τιµές του λ η εξίσωση έχει λύση;

8) Να λυθούν οι παρακάτω κλασµατικές εξισώσεις:

i. ( )2

2

2 x 2x 1 x 1x 2 2 x x 4

+− +− =+ − −

ii. 2

2x 3 4 6x 2x 3 2x 3x− + =

− −

25

iii. ( )2

2

2 x 3x 1 x 1x 3 3 x x 9

+− +− =+ − −

iv. 2

3 1 12x 2 8 4x 4

− =− +

v. 2

2x x 1 3 4x 1 2 x x 3x 2

+− = +− − − +

vi. 2 2 2

x 4 1 2 0x 2x x 2x 4 x

− − − =+ − −

vii. 2

2x 1 11x 4 x 2 2 x

− = +− + −

viii. 2

2x 1 1 7x 71x 3 x 1 x 4x 3+ −− = +− − − +

ix. 2

2

3 2 7 xx 1 1 x x 1

−+ =−+ − −

9) Αν 2

4x 12Kx 6x 9

−=− +

, 2

2

x 2x 15Λx 9− −=

− να λυθεί η εξίσωση Λ – Κ = 0

10) Να λυθεί η εξίσωση: 3 24x x x 0+ − = 11) Να λυθούν οι κλασµατικές εξισώσεις:

i. 2

3 2

2x 3 2x x 6 5x 32x x x− − − −− = −

ii. 2 3 2 2

3 2x 5 4x 3x 4 x 2x x x 4x

+= +− − + + −

26

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4Ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1) ∆ίνεται η συνάρτηση 2f (x) x 4x 6= − + . Για ποιες τιµές του x ισχύουν:

i. f (x) x= ii. f (x) f ( x)= −

iii. f (x) f (x 1)= + iv. f (x) 5=−

2) Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σηµεία ( )A 2,0 , ( )B 0, 2− και να υπολογίσετε το εµβαδόν του τριγώνου ΑΟΒ όπου Ο η αρχή των αξόνων. 3) Να βρείτε την ευθεία που είναι παράλληλη προς την x 2y 0+ = και διέρχεται από το σηµείο ( )A 4, 1− .

4) α) Για ποιες τιµές του λ η ευθεία y 2x λ= + διέρχεται από το σηµείο ( )Α 2,5 β) Να σχεδιάσετε την ευθεία αν 2 x 1− ≤ ≤ 5) Για ποιες τιµές του λ οι ευθείες είναι παράλληλες:

i. ( )y λ 2 x 3= + + , ( )2y λ 4 x 1= − +

ii. ( )2y λ 9 x 1= − + , y 0=

iii. ( ) ( )2 2λ 1 y λ 1 x 1+ = − + , 2

3y xλ 1

=+

iv. ( )y 2λ 1 x 5= + + , 2x 3y 5+ =

27

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ΒΟ Ισότητα – Οµοιότητα σχηµάτων

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1) Σε τρίγωνο ΑΒΓ ( )ΑΒ ΑΓ< προεκτείνουµε την ΑΒ προς το µέρος του Β και παίρνουµε σηµείο

Ε έτσι, ώστε ΑΕ ΑΓ= . Στην πλευρά ΑΓ παίρνουµε σηµείο ∆ έτσι, ώστε Α∆ ΑΒ.= Να αποδείξετε ότι ∆Ε ΒΓ.=

2) Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ ( )ΑΒ ΑΓ= έστω Μ το µέσο της ΒΓ. Πάνω στις ίσες πλευρές

θεωρούµε τα τµήµατα ΑΕ και ΑΖ έτσι, ώστε ΑΕ ΑΖ.= Να αποδείξετε ότι ΜΕ ΜΖ.= 3) ∆ύο κύκλοι ( )1Κ,ρ και ( )2Λ,ρ µε 1 2ρ ρ≠ τέµνονται στα σηµεία Α και Β. Να αποδείξετε ότι:

α) Τα τρίγωνα ΚΑΛ και ΚΒΛ είναι ίσα, β) Η διάκεντρος ΚΛ είναι µεσοκάθετη της κοινής χορδής ΑΒ των δύο κύκλων. 4) ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Φέρνουµε τη διχοτόµο της γωνίας Β, που τέµνει την ΑΓ στο ∆. Αν Ε είναι

ένα σηµείο µεταξύ των κορυφών Β και Γ τέτοιο, ώστε ∆ΕΓ Α∧ ∧= , να αποδείξετε ότι Α∆ = ∆Ε.

5) Ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ είναι εγγεγραµµένο σε κύκλο και έστω Μ τυχαίο σηµείο του (µικρού)

τόξου ΒΓ. Προεκτείνουµε τη ΜΓ προς το µέρος του Μ και παίρνουµε τµήµα Μ∆ = ΜΒ. Να αποδείξετε ότι: α) το τρίγωνο ΒΜ∆ είναι ισόπλευρο, β) τα τρίγωνα ΑΒΜ και ΓΒ∆ είναι ίσα, γ) ΜΑ = ΜΒ + ΜΓ.

6) Σ’ ένα τρίγωνο ΑΒΓ φέρνουµε τα ύψη Β∆ και ΓΕ. Αν Μ είναι το µέσο της πλευράς ΒΓ, να

αποδείξετε ότι Μ∆ = ΜΕ. Στη συνέχεια να αποδείξετε ότι ο κύκλος ΒΓΜ,2

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠ διέρχεται από τα

σηµεία Β, Γ, ∆ και Ε. 7) Έστω Κ, Λ τα µέσα των πλευρών ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα ενός τριγώνου ΑΒΓ και Μ τυχαίο σηµείο

της ευθείας ε που φέρνουν από το Α παράλληλη προς τη ΒΓ. Αν Ρ και Σ είναι τα σηµεία τοµής των ΜΚ και ΜΛ µε τη ΒΓ, να αποδείξετε ότι ΣΡ = ΒΓ.

8) ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Από το µέσο Μ της πλευράς ΑΒ φέρνουµε κάθετη στην ΑΒ, η οποία

τέµνει τη ΒΓ στο Ν. Εάν το Ν είναι µέσο της πλευράς ΒΓ, να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο στην κορυφή Α.

9) Σ’ ένα τρίγωνο ΑΒΓ φέρνουµε τη διάµεσο ΒΜ και έστω Ν το µέσο της. Φέρνουµε στη συνέχεια

την ΑΝ, που τέµνει τη ΒΓ στο Ζ. Να αποδείξετε ότι ΖΓ = 2ΒΖ. Υπόδειξη: Φέρτε τη ΜΕ//ΑΖ. 10) Έστω τρίγωνο ΑΒΓ. Φέρνουµε το ύψος του Α∆ και έστω Ε, Ζ, Η τα µέσα των πλευρών ΑΒ, ΑΓ,

και ΒΓ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΕΖΗ∆ είναι ισοσκελές τραπέζιο. 11) Στο παρακάτω σχήµα είναι ΑΒ// Γ∆// ΕΖ. Αν Α∆ = 7, ∆Ζ = 3 και ΓΕ = 4, να βρείτε το ΒΓ.

28

AB

EZ

O

Γ∆

12) Αν Ο είναι το σηµείο τοµής των διαγωνίων ενός τραπεζίου ΑΒΓ∆ (ΑΒ//∆Γ), να αποδείξετε ότι:

α) OA ΟΓOB Ο∆= β) ΟΑ ΟΒ

ΑΓ Β∆=

13) Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και Β∆ και ΓΕ τα δύο ύψη του. Στο τρίγωνο Α∆Ε φέρνουµε τα ύψοι του ΕΗ και ∆Ζ. Να αποδείξετε ότι:

α) ΑΕ ΑΗΑΒ Α∆= και Α∆ ΑΖ

ΑΓ ΑΕ=

β) Α∆ ΑΕ ΑΒ ΑΗ ΑΓ ΑΖ⋅ = ⋅ = ⋅ γ) ΖΗ//ΒΓ 14) Σε τρίγωνο ΑΒΓ φέρνουµε τα ύψη του Α∆ και ΓΕ. Να αποδείξετε ότι: α) τα τρίγωνα Α∆Β και ΒΕΓ είναι όµοια.

β) Α∆ ΑΒΓΕ ΒΓ= και ∆Β ΕΓ ΕΒ Α∆⋅ = ⋅