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C u r s o : Matemática

Material N° 34

GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 26

UNIDAD: GEOMETRÍATRIGONOMETRÍA

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

En el triángulo ABC, rectángulo en C (figura 1), se definen las siguientes razones:

Seno de = sen =Catetoopuestoa

hipotenusa

= ac

Coseno de = cos =Catetoadyacentea

hipotenusa

= bc

Tangente de = tg =Catetoopuestoa

Catetoadyacentea

= ab

Cotangente de = cotg =CatetoadyacenteaCatetoopuestoa

= ba

Secante de = sec =Hipotenusa

Catetoadyacentea = c

b

Cosecante de = cosec =Hipotenusa

Catetoopuestoa= c

a

EJEMPLOS

1. De acuerdo al triángulo ABC de la figura 1, ¿qué relación es falsa?

A) sen =bc

B) cos =ac

C) cotg =ab

D) tg =ba

E) sec = cb

2. Con respecto al triángulo rectángulo ABC de la figura 2, ¿cuál de las opciones siguienteses verdadera?

A) sec =cb

B) cos =ac

C) cotg =ab

D) cosec =cb

E) sen = cos

b AC

B

a c

fig. 1

A C

B

c a

fig. 2

b

b AC

C

B

a c

fig. 1

2

3. Con los datos de la figura 3, la expresión cotg (90 – ) – sen es igual a

A)ac bc

ab

B)ac bc

bc

C)bc ac

ab

D)bc ac

bc

E)a c

b

4. Si los catetos de un triángulo rectángulo miden 8 cm y 15 cm, entonces el seno delángulo agudo menor es

A)1517

B)8

17

C)815

D)158

E)1715

5. En la hoja cuadriculada de la figura 4, cada cuadrado tiene lado 2. Entonces, el valor dela expresión tg · ctg es

A) 0B) 0,5C) 2D) 0,25E) 4

6. Si cos =8

17, entonces cotg =

A)178

B)1715

C)158

D)1517

E)815

A B

Cfig. 3

a

b

c

A

C B

fig. 4

3

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS PARA ÁNGULOS DE 30º, 45º y 60º

Considerando los triángulos de las figuras 1 y 2, se tiene que:

ÁnguloRazón 30º 45º 60º

sen 12

22

32

cos 32

22

12

tg 33

1 3

EJEMPLOS

1. Desde la punta de un edificio el hombre araña lanza una tela a 500 metros (fig. 1) de labase del edificio con un ángulo de depresión de 60º, ¿Qué altura (h), tiene el edificio?

A) 500 3 metrosB) 500 metros

C)1.000

3metros

D)100

3metros

E)500

3metros

30º

60º

A B

C

2

1

3

fig. 1

45º

45ºA B

C

2

1

1fig. 2

Ángulo deelevación

Ángulo dedepresión

ObservadorHorizontal

HorizontalObservador

Línea demira

fig. 3

Ángulos de elevación y de depresión(fig. 3) son aquellos formados por lahorizontal, considerada a nivel del ojodel observador y la línea de mira, segúnque el objeto observado esté por sobreo bajo esta última.

Con respecto a un observador, losángulos de elevación y de depresiónconstituyen ángulos alternos internosentre paralelas, por lo tanto, susmedidas son iguales

60º

500m

fig. 1

4

2. ¿Cuál es la longitud de la sombra proyectada por un edificio de 50 m de altura (fig. 2)cuando el sol se ha elevado 45º sobre el horizonte?

A) 50 · sen 45º mB) 50º

C) 50ºcos 45º

m

D)tg 45º50º

E) 50 m

3. ¿Cuál es la longitud del hilo que sujeta el volantín de la figura 3, si el ángulo de elevaciónes de 60º?

A) 20 3 mB) 31,5 mC) 63 mD) 10 3 mE) 10 2 m

4. Un observador de 1,80 m observa la azotea de un edificio, según un ángulo de elevaciónde 30º (fig. 4). Si el punto de observación está a 24 m del edificio, ¿cuánto mide la alturadel edificio?

A) 24 mB) (8 3 + 1,8) mC) 8 3 mD) (12 3 + 1,8) mE) (24 3 + 1,8) m

5. La longitud de una escalera, cuyos extremos están apoyados a un poste y al suelo es de4 3 metros. La escalera forma un ángulo con el poste de 60º. ¿A qué distancia está elpie de la escalera del poste?

A)2

3m

B) 4 mC) 6 mD) 2 3 mE) 6 3 m

45º

fig. 2

24 m

fig. 4

1,5 m

60º

fig. 3

31,5 m

5

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS FUNDAMENTALES

Las identidades 1, 2, 3, 4 y 5 se deducen directamente de las definiciones de las razonestrigonométricas. La identidad 6, se deduce combinando las definiciones con el Teorema dePitágoras.

1. sen · cosec = 1 4. tg =sencos

2. cos · sec = 1 5. cotg =cossen

3. tg · cotg = 1 6. sen2 + cos2 = 1

EJEMPLOS

1. Si k = cos2 60° + cos2 50° + sen2 50°, entonces 8k es igual a

A) 1,25B) 8C) 6D) 12,5E) 10

2. Si y son ángulos complementarios, ¿cuál(es) de las siguientes igualdades es (son)identidad(es)?

I) sen · cosec = 1II) sen2 + cos2 = sen2 + cos2

III) (sen + cos ) (sen – cos ) = 1 – 2cos2

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) Sólo II y IIIE) I, II y III

3. ¿Cuál de las siguientes expresiones representa al cuadrado del seno de ?

A) cos 2

B)2

1

cosec C) 1 + sen2

D)2

1

sec E) sen2 – 1

B

C A

a

b

c

6

4. Si cos2 =49

, entonces 3 sen2 =

A)59

B) 53

C)53

D) 5E) 5

5. Con los datos de la figura 1, la expresión (sen - cos )2 es igual a

A) 1

B)2

2

b + 2ac

bC) b2 + 2ac

D)2

2

b 2ac

b

E)2

2ac

b

6. Si es un ángulo agudo de un triángulo rectángulo, ¿cuál(es) de las siguientes igualdadeses (son) identidad(es)?

I) tg2 + sen2 + cos2 = sec2

II)2

tg · sen

1 cos

= sec

III) cosec · sen = cos · tg

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) Sólo I y IIE) I, II y III

7. ¿En cuál(es) de las siguientes expresiones trigonométricas, el resultado es siempre iguala 1?

I) sen2 40º + cos2 50ºII) sen 40º + sen 50º

III) sen 30º · cos 60º

A) En II solamenteB) En III solamenteC) En I y en II solamenteD) En II y en III solamenteE) Ninguna de ellas

A C

B

b a

c

fig. 1

7

EJERCICIOS

1. En el triángulo rectángulo en C de la figura 1, sen – cos es igual a

A) 0

B)2 2b aab

C)2 2a b

ab

D) a bc

E) b ac

2. Si tg =512

y es un ángulo agudo, entonces sec =

A)125

B)1312

C)512

D)513

E)1213

3. El triángulo ABC de la figura 2, es rectángulo en C. Si sen = 0,6 y BC = 3 5 cm,¿cuánto es cos ?

A) 1,25B) 1C) 0,8D) 0,75E) 0,6

A

C

B

b a

c

fig. 1

A

C

B

fig. 2

8

4. cos2 60º – tag 45º · sen 30º + sen2 30º =

A) - 34

B) - 14

C) 0

D) 14

E) 34

5. En la figura 3, sen = 45

y tg = 0,5 , entonces x mide

A) 3 cm.B) 7,5 cm.C) 9 cm.D) 12 cm.E) 30 cm.

6. El triángulo de la figura 4, es rectángulo en C. ¿Cuál(es) de las siguientes igualdadeses (son) verdadera(s)?

I) sen = 12

II) cos =12

III) tg = 3

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) Sólo I y IIIE) I, II y III

7. En la figura 5, sen = 0,25 y b = 15 cm. Entonces, ¿cuál es la medida del cateto AB?

A) 60 cmB) 15 cmC) 15 cm

D) 4 15 cm

E)154

cm

A C

B

6 3

fig. 4

12 cm

x

fig. 3

A B

C

ab

c

fig. 5

9

8. Javier tiene un volantín sujeto por un hilo tenso de 160 m de longitud con un ángulo deelevación es de 40°. Un árbol está justo debajo del volantín. ¿A qué distancia está elárbol de Javier?

A) 160 · sen 40° mB) 160 · tg 50° mC) 160 · cos 40° mD) 160 · sec 40° mE) 160 · sec 50° m

9. En un triángulo rectángulo, ¿cuál de las siguientes expresiones no representa a latangente de un ángulo agudo ?

A) sencos

B)sec

cosec

C) Cotg (90 – )

D)cosecsec

E) Ninguna de las anteriores

10. En la figura 6, el PQR es rectángulo en P. Si PQ = 4 cm y su área es 10 cm2, entoncescosec =

A)5

41

B)4

41

C)54

D) 415

E) 414

11. La figura 7, muestra un corte transversal de un túnel. La altura de éste es 3 3 m y elángulo de elevación desde el extremo A de la base al punto C de mayor altura es de60°. ¿Cuál es la medida del ancho del túnel?

A) 6 mB) 6 3 mC) 3 mD) 9 mE) 4 3 m

R

4

Q

P

fig. 6

A D B

C

fig. 7

10

12. Un alpinista que baja por una ladera, recorre el doble de metros de los que baja.Entonces, el ángulo de inclinación de la ladera es

A) 15°B) 30°C) 45°D) 60°E) 75°

13. En la circunferencia de centro O y radio r de la figura 8, la longitud de la cuerda AB estádada por

A) 2 · r · sen 20ºB) 2 · r · cos 20ºC) 2 · r · sen 70ºD) r · sen 40ºE) r · cos 70º

14. La base de un triángulo isósceles tiene una longitud de 12 cm y el coseno del ángulo

adyacente a ella es35

. Luego, el área del triángulo es

A) 16 cm2

B) 24 cm2

C) 32 cm2

D) 48 cm2

E) 64 cm2

15. El triángulo de la figura 9 es isósceles de base AB , el ACB mide 80º, CD es altura y

AB = 24 cm. ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones es (son) verdadera (s)?

I) AC = 12sen 40º

cm

II) BC = 12cos 50º

cm

III) BC = 12 · tg 50º cm

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) Sólo I y IIE) I, II y III

A B

C

fig. 9

D

O

20º

A B

rfig. 8

11

16. Si es un ángulo agudo de un ABC, rectángulo en C, m = a2 · sen2 y n = a2 · cos2 ,entonces m2 + 2mn + n2 =

A) a2

B) aC) 1D) a4

E) -1

17. Un pájaro despega con un ángulo de elevación de 30º. Si su vuelo es en línea recta,¿cuál(es) de las siguientes expresiones representa(n) la distancia recorrida por el pájarocuando alcanza los 2.000 m de altura?

I) 2.000sen 30º

m

II) 2.000cos 60º

m

III) 2.000 · tg 30° m

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) Sólo I y IIE) Sólo I y III

18. Un camión al chocar con un poste lo quiebra y la punta de éste toca el suelo a unadistancia de 3 m de la base de él. Si la parte superior del poste quebrado forma con elsuelo un ángulo de 45º, ¿cuál era la altura del poste desde la quebradura hasta la cimadel poste?

A) (6 + 3 2 ) mB) 6 2 mC) (3 + 3 2 ) mD) 3 2 mE) (3 + 1,5 2 ) m

19. En la circunferencia de centro O y radio r de la figura 11, la cuerda AB , mide 2c.Entonces, sen =

A) r ·c

B)cr

C)2cr

D) r2c

E) rc

O

r

A B

fig. 11

2

12

20. En la figura 12, el triángulo ABC es rectángulo en C y tg =23

. Si AB = 5 cm, entonces

el área del triángulo ABC es

A) 3 cm2

B) 2 5 cm

C)7513

cm2

D)15013

cm2

E)15

13cm2

21. En la figura 13, ¿cuál(es) de las siguientes relaciones es (son) verdadera(s)?

I) sen = 12

II) sen – cos =2 55

III) tg + tg =52

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) Sólo I y IIIE) I, II y III

22. Con respecto a la figura 14, ¿cuál(es) de las siguientes relaciones es (son) falsa(s)?

I) tg =43

II) cos =35

III) sen =45

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo II y IIID) I, II y IIIE) Ninguna de ellas

A

C

B

fig. 12

1 3

4

fig. 14

x

y

O

1

fig. 13

2

13

23. El vigía de un faro observa una lancha con un ángulo de depresión de 35º. Si la lancha seencuentra a una distancia de 120 m de la base del faro, ¿cuál es la altura del faro?

A) 120tg 35º

m

B) 120 sen 35º mC) 120 cos 35º m

D)sen 35º

120m

E) 120 tg 35º m

24. En la circunferencia de centro O de la figura 15, está inscrito el triángulo ABC. Sisen = 0,6 y el área del triángulo es 96 cm2, entonces ¿cuánto mide el radio de lacircunferencia?

A) 5 cmB) 2 cmC) 40 cmD) 10 cmE) 20 cm

25. En el triángulo ABC de la figura 16, se puede determinar la medida de AC si :

(1) tan = 0,75

(2) el perímetro del triángulo es 24.

A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional

26. Se puede determinar el área del triángulo ABC de la figura 17, si :

(1) tg =43

(2) cotg =34


OB

C

A

fig. 15

A B

Cfig. 17

A

C

B

fig. 16

14

27. El extremo superior de una escalera se encuentra apoyado en el punto más alto de unamuralla, la escalera forma con la muralla un ángulo de 30º. Se puede determinar el largode la escalera si se conoce :

(1) La altura del muro.

(2) La distancia entre la base de la escalera y el muro.


28. En el triángulo PQR de la figura 18, se puede calcular sen si :

(1) QRP = 90º

(2) Área (PQR) = 24 cm2


29. En la figura 19, tg =32

, se puede afirmar que PR = 6 si :

(1) TS = 4 , TQ = QP

(2) RPQ TQS


30. En un triángulo MNT isósceles de base MN , la altura correspondiente a la base mide1,8 metros. Se puede determinar el área del triángulo si :

(1) El triángulo es de base 5,4 metros.

(2) La tangente correspondiente a uno de los ángulos de la base es 23

.


P

R

Q

fig. 186 cm

L2

L1

P

Q

RT

S

fig. 19

15

RESPUESTAS

EJERCICIOS PÁG. 7

DMDOMA34

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EjemplosPágs. 1 2 3 4 5 6 7

1 y 2 E C C B D E

3 y 4 A E A B C

5 y 6 E D B C D D E

1. A 11. A 21. C

2. B 12. B 22. D

3. E 13. A 23. E

4. C 14. D 24. D

5. B 15. D 25. C

6. E 16. D 26. E

7. C 17. D 27. D

8. C 18. D 28. C

9. D 19. B 29. C

10. D 20. C 30. D

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