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APUNTES DE ARITMÉTICA

Tomados del libro: Aritmética de Baldor

Operaciones indicadas de suma, resta, multiplicación y división en donde no hay signos de agrupación

Deben efectuarse en este orden: primero, los cocientes, y productos indicados, y luego las sumas y las restas

Ejemplos:

1) Efectuar 6÷3+4÷4Efectuamos primero los cocientes 6÷3=2 y 4÷4=1 , y tenemos

6÷3+4÷4=2+1=3 R.2) Efectuar 5×4÷2+9÷3−8÷2×3

5×4÷2+9÷3−8÷2×3

=10+3−12=1 R.

Operaciones indicadas de suma, resta, multiplicación y división en donde hay signos de agrupación

Deben efectuarse en este orden: primero, las operaciones encerradas entre los paréntesis y luego las operaciones que queden indicadas, como en el caso anterior.

Ejemplos:

1) Efectuar (5+4 )÷3+(8−4 )÷2Efectuamos primero los paréntesis y tenemos:

(5+4 )÷3+(8−4 )÷2=9÷3+4÷2=3+2=5 R.

2) Efectuar (30−10 )÷(7−2 )+(9−4 )÷5+3

(30−10 )÷(7−2 )+(9−4 )÷5+320÷5+5÷5+3=4+1+3=8 R.

1

Efectuar:

1. 8+6÷3

2. 12÷3×4÷2×6

3. 5×6÷2×4÷2×7

4. 6÷2+8÷4

5. 6+8÷2−3×3+4

6. 3×6÷2+10÷5×3

7. 50÷5−16÷2+12÷6

8. 72÷8+3−4×2÷4+6

9. 40÷5×5+6÷2×3+4−5×2÷10

10. (15+20 )÷5

11. (9+7−2+4 )÷9

12. (5×6×3 )÷15

13. (5−2 )÷3+(11−5 )÷2

14. (9+6−3 )÷4+(8−2 )÷3−(5−3 )÷2

15. (15−24 )4+3 (6÷3 )−18÷(10−1 )

16. 300÷[ (15−6 )÷3+(18−3 )÷5 ]17. 500− {(6−1 )8÷4×3+16÷(10−2 ) }−5

Números fraccionarios, propiedades generales

Número fraccionario o quebrado es el que expresa una o varias partes iguales de la unidad principal.

Su concepto

Un quebrado consta de dos términos, llamados numerador y denominador.

El denominado indica en cuántas partes iguales se ha dividido la unidad principal, y el numerador, cuántas de esas partes se toman.

Notación

Para escribir un quebrado se escribe el numerador arriba separado por una raya oblicua u horizontal del denominador.

Reducción y simplificación de quebrados

Convertir un mixto en quebrados

2

Regla

Se multiplica el entero por el denominador, al producto se añade el numerador y esta suma se divide entre el denominador.

Ejemplos:

Convertir 5 23 en quebrado impropio:

5 23=5×3+2

3=173 o sea √a=5 .

Una unidad equivale a 3 tercios, luego en 5 unidades hay 15 tercios, más los dos tercios que ya

tenemos suman 17 tercios.

Hallar los enteros contenidos en un quebrado impropio

Regla

Se divide el numerador entre el denominador. Si el cociente es exacto, éste representa los enteros; sí no es exacto, se añade al entero un quebrado que tenga por numerador el residuo y por denominador el divisor.

Ejemplos:

1. Hallar los enteros contenidos en

324 .

84|32 0

324

=8 R.

Una unidad contiene

44 , luego en

324 habrá tantas unidades como veces esté contenido 4 en

32 o sea 8.

2. Convertir en quebrado

335228

1228|335 170

3

335228

=1107228 R.

Reducir un entero a quebrado

El modo más sencillo de reducir un entero a quebrado es ponerle por denominador la unidad

Reducir un entero a quebrado de denominador dado

Regla

Se multiplica el entero por el denominador y el producto se divide entre el denominador.

Ejemplos:

1. Reducir 6 a quebrado equivalente de denominador 7

6=6×77

=427 R.

Si una unidad equivalente a 7 séptimos, 6 unidades serán 6×7=42 séptimos.

2. Reducir 17 a novenos.

17=17×99

=1539 R.

Reducir una fracción a términos mayores o menores

Se pueden considerar dos casos:

1) Reducir una fracción a otra fracción equivalente de denominador dado, cuando el nuevo denominador es múltiplo del primero, o reducir una fracción a términos mayores.

Regla

El denominador de la nueva fracción será el dado. Para hallar el numerador se multiplica el numerador del quebrado dado por el cociente que resulta de dividir los dos denominadores.

Teorema 1

4

Si los dos términos de un quebrado se multiplican o dividen entre un mismo número, el quebrado no varía.

Ejemplos:

1. Convertir

34 en quebrado equivalente de denominador 24

34=3×624

=1824 R.

Para que 4 se convierta en 24 hay que multiplicarlo por 6, luego para que el quebrado no varíe hay que multiplicar el numerador por 6, 3×6=18 (Teorema 1).

2. Convertir

27 en treinta y cincoavos.

27=2×535

=1035 R.

Para que 7 se convierta en 35 hay que multiplicarlo por 5; luego, para que el quebrado no varíe hay que multiplicar el numerador por 5, 2×5=10

2) Reducir una fracción dada a otra fracción equivalente de denominador dado, cuando el nuevo denominador es divisor del primero o reducir una fracción a términos menores.

Regla

El denominador de la nueva fracción será el dado. Para hallar el numerador se divide el numerador del quebrado dado por el cociente que resulta de dividir los dos denominadores.

Ejemplos:

1. Convertir

1524 en quebrado equivalente de denominador 8

1524

=15÷324÷3

=58 R.

Para que 24 se convierta en 8 hay que dividirlo entre 3, para que el quebrado no varíe hay que dividir el numerador entre 3, 15÷3=5 (Teorema 1).

2. Convertir

4991 en treceavos.

5

4991

=49÷713

= 713 R.

Para que 91 se convierta en 13 hay que dividirlo entre 7; luego, para que el quebrado no varíe hay que dividir el numerador entre 7, 49÷7=7

Fracción irreducible es toda fracción cuyos dos términos son primos entre sí.

Así

1314 es una fracción irreducible porque sus dos términos, 13 y 14 con primos entre sí,

1723 es

otra fracción irreducible.

Cuando una fracción es irreducible se dice que está reducida a su más simple expresión o a su mínima expresión.

Teorema 2.

Si dos términos de una fracción irreducible se elevan a una potencia, la fracción que resulta es también irreducible.

Simplificación de fracciones

Simplificar una fracción es convertirla en otra fracción equivalente cuyos términos sean menores

Regla

Para simplificar una fracción se dividen sus dos términos sucesivamente entre los factores comunes que tengan.

Ejemplos:

1. Reducir a su más simple expresión

13502550

1350(10

2550=135(3

255=45(5

85= 917 R.

2. Reducir a su mínima expresión

12 ,90316 ,269

12 ,903(3

16 ,269=4301(11

5 ,423=391493

6

Como 391 y 493 no son números pequeños no podemos asegurar, a simple vista que son primos entre sí. Para convencernos hallamos el m.c.d de 391 y 493. Si son primos entre sí su m.c.d. será 1; si no los son, el factor o los factores comunes que aún tengan aparecerán en el m.c.d.:

5 1 3 117 85 102 391 493

0 17 85 102

m.c.d.=17

391 y 493 no son primos entre sí porque tiene el factor común 17.

Ahora dividimos 391 y 493 por su m.c.d. 17 y tendremos

391÷17493÷17

=2329

Esta fracción

2329 , sin duda alguna es irreducible, luego

12 ,90316 ,269

=2329 R.

Simplificación de expresiones compuestas

Para simplificar expresiones fraccionarias cuyo denominador sea un producto indicado y su denominador otro producto, se van dividiendo los factores del numerador y denominador entre sus factores comunes hasta que no haya factores comunes al numerador y denominador.

Ejemplos:

Simplificar

12×10×3516×14×21

Tendremos: 1 3 5 512×10×3516×14×21 =

1×5×54×7×1

=2528 R.

4 7 3 1

Operaciones con números fraccionarios

Suma

Suma de quebrados de igual denominador

Regla

7

Se suman los numeradores y esta suma se divide entre el denominador común. Se simplifica el resultado y se hallan lo enteros si lo hay.

Ejemplos:

Efectuar

79+109

+ 49

79+109

+ 49= 7+10+4

9=219

219

=73=2 1

3 R.

Suma de quebrados de distinto denominador

Regla

Se simplifican los quebrados dados si es posible. Después de ser irreducible se recuden al mínimo común denominador y se procede como en el caso anterior.

Ejemplos:

Efectuar

1248

+2149

+2360

Simplificando los quebrados, queda:

14+ 37+2360

Reduzcamos al mínimo común denominador. Hallamos el m.c.m. de los denominadores para lo cual prescindimos de 4 por ser divisor de 60 y como 60 y 7 son primos entre sí, el m.c.m. será su producto: 60X7=420.420 será el mínimo común denominador. Tendremos:

14+ 37+2360

=105+180+161420

=446420 , simplificando

446420

=223210

=113210 R.

Simplificar:

1.

25+ 56

8

2.

12+ 14+ 18

3.

75+ 815

+1160

4.

860

+1390

+ 7120

5.

514

+ 770

+ 398

6.

617

+ 134

+ 151

+ 43

7.

790

+1130

+ 380

+ 740

8.

1900

+101300

+1360

+1745

+1954

Resta

Resta de quebrado de igual denominador

Regla

Se restan los numeradores y esta diferencia se divide entre el denominador común. Se simplifica el resultado y se hallan los enteros si los hay.

Ejemplos:

Efectuar

712

− 512

712

− 512

= 212 simplificando

16 R.

Resta de quebrados de distinto denominador

Regla

Se simplifican los quebrados si es posible. Una vez irreducibles, se reducen al mínimo común denominador y se restan como en el caso anterior.

Ejemplos:

9

Efectuar

540

− 4320


18− 180

Reduciendo al mínimo común denominador:

18− 180

=10−180

= 980 R.

Simplificar:

1.

12−16

2.

76−78

3.

1110

−1415

4.

101114

−97171

5.

57160

−17224

6.

1936

− 780

−1190

Sumas y restas combinadas de quebrados

Regla

Se simplifican los quebrados dados si es posible. Se reducen al mínimo común denominador y se efectúan operaciones.

Ejemplos:

Efectuar

1460

−18−1664

+1536


730

− 18− 14+ 512

=28−15−30+50120

=78−45120

=33120

Simplificando

33120

=1140 R.

10

Simplificar:

1.

23+ 56− 112

2.

69+1525

− 815

3.

56− 190

+ 47

4.

111200

+113300

−117400

5.

14−15+ 16− 18

6.

150

− 275

+ 7150

− 1180

7.

720

+11320

+ 1160

− 380

8.

87− 249

− 3343

+ 52

Multiplicación

Multiplicación de quebrados

Regla

Para multiplicar dos o más quebrados se multiplican los numeradores y este producto se divide entre el producto de los denominadores. El resultado se simplifica y se hallan los enteros si los hay.

Ejemplos:

1. Efectuar

57×34×178 57×34×178

=5×3×177×4×8

=225224

=131224

2. Efectuar, cancelando:

49×28×36

11

49×28×36=4×2×39×8×6

=1×1×13×2×3

= 118 R.

Simplificar:

1.

23×32

2.

2122

×1149

3.

134

×7239

4.

719

×1913

×2621

5.

2334

×1728

× 769

6.

35×1719

× 534

×3875

Misceláneos:

1.( 12−13 )×6

2.72×( 78+ 29 )

3.(2+ 14 )×(6− 1

30 )4.

( 23−14 )×( 23+ 34 )5.

( 78 + 29 )×(36× 1

79 )6.

( 93−14−18− 116 )×8

7.( 524 − 1

32 )×( 78 + 180

− 14 )

8.150×( 932 +5+ 1

16 )× 114

12

División

División de quebrados

Regla

Para dividir dos quebrados se multiplica el dividendo por el divisor invertido. Se simplifica el resultado y se hallan los enteros si los hay.

Ejemplos:

Efectuar

1455

÷ 835

1455

÷ 835

=1455

×358

=14×3555×8

= 7×711×4

=4944

=1 544 R.

Simplificar:

1.

35÷ 710

2.

512

÷ 34

3.

1114

÷ 722

4.

3041

÷ 382

5.

5061

÷25183

6.

5176

÷571520

División de un entero entre un quebrado o viceversa

Regla

Se pone el entero por denominador la unidad y se divide como quebrados.

Ejemplos:

13

Efectuar 150÷16

83

150÷1683

=1501

÷1683

=1501

×8316

=150×831×16

=75×838

=6 ,2258

=778 18 R.

Simplificar:

7.8÷12

8.7÷35

9.26÷1

8

10.

67÷9

11.

1112

÷44

12.

1641

÷16

Misceláneos:

1.( 12÷34 )÷32

2.( 13+ 220 )÷16

3.(4−13 )÷116

4.

35÷( 23 + 5

6 )5.

56÷( 23×65 )

6.(2+ 78 )÷(2− 19 )

14

7.(60−18 )÷(30− 1

16 )8.

( 730 + 790

+ 13 )÷19

9.(2×65 )÷(2+ 38 )

10.( 12−13 )×(2− 15 )÷(1−13 )

11.( 12×43 )÷( 12÷6)÷( 12+ 14 )

Fracciones complejas

Fracción compleja es aquella cuyo numerador o denominar, o ambos, son quebrados.

Ejemplos:

3/42/5

, 41 /6

,3/76,415

2 /9

Su reducción a simple

Para reducir una fracción compleja a simple, se efectúa la división del numerador entre el denominador.

Ejemplos:

1. Simplificar

317934

317934

= 317

÷ 934

= 317

×349

= 3×3417×9

=23

R.

2. Simplificar

17311

17311

=171

÷ 311

=171

×113

=1873

=62 13

R.

15

3. Simplificar

51210

51210

= 512

÷101

= 512

× 110

= 5×112×10

= 124 R.

4. Simplificar

122315

110

122315

110

=

12÷23

15÷

110

=

12×32

15×101

=

342

=38

R.

Inverso de un quebrado es otro quebrado que tiene por numerador el denominador del primero u por denominador el numerador del primero.

Así, el inverso de 4 o

41 es

14 ; el inverso de

56 es

65 , el de

79 es

97 .

Por tanto, siempre que tengamos una fracción compleja cuyo numerador sea la unidad, par reducirla a simple, no hay más que invertir el quebrado del denominador.

Ejemplos:

134

=43

R.

116

=61=6

R.

Expresión fraccionaria compleja

Es una fracción compleja en cuyo numerador o denominador o ambos, hay operaciones indicadas.

Ejemplos:

16

14+13

8× 15

(6+ 23 )÷5218

Simplificación de una expresión fraccionaria compleja

Se efectúan las operaciones del numerador y denominador hasta convertirlos en un solo quebrado y se efectúa la división de estos dos quebrados.

Ejemplos:

1. Simplificar

(16+1 9−112)×67

8÷ 114

(16+1 9−112)×67

8÷ 114

=

736

×6

78÷4

=

162

=16×12= 112

R.

2. Simplificar

2+25

3+514

32

335

12

−

1412

×(235 15÷4 15 )

Efectuar el numerador:

2+25

3+514

32

=

1253

+

21432

= 45+ 72=4310

Efectuar el denominador

335

12

−

1412

=

18512

−

1412

=365

−12=6710

Efectuando el paréntesis: 235 1

5÷4 1

5=1176

5× 521

=56

Tendremos:

4310

6710

×56=4367

×56= 2,40867

=356367

R.

17

3. Simplificar

3

2+

15

3−14Esta clase de fracciones se reducen a simples realizando las operaciones indicadas de abajo hacia arriba como se indica con los cuadritos

3

2+

15

3−14

= 3

2+

15

114

= 3

2+ 455

= 3114

55

=31×55114

=5538

=11738

R.

Simplificar:

1.

13+ 25+ 130

2330

2.

25+310

−120

23+19+56

3.

( 110 +225

+340)×1

618−112

4.

(9÷113

×4

5)×5

12

6÷ 112

5.

1213

+

1415

−

1516

1617

+

1418

−

1819

6.

814

+2−

1214

3÷( 53×65 )18

Potenciación

Leyes de la potenciación

Las leyes de potenciación son tres: la ley de uniformidad, la ley de monotonía y la ley distributiva.

En la potenciación no se cumple la ley conmutativa.

En algunos casos, permutando la base por el exponente se obtiene el mismo resultado.

Así:

42=16 24=16

Pero casi nunca sucede esto, como se ve a continuación:

32=9 y 23=8

53=125 y 35=243

Ley de uniformidad

Esta ley puede enunciarse de dos modos equivalentes:

1) Cualquier potencia de un número tiene un valor único o siempre igualAsí: 22=4 siempre, 53=125 siempre

2) Puesto que número iguales son el mismo número, se verifica que: Si los dos miembros de una igualdad se elevan a una misma potencia, resulta otra igualdad.

Ejemplos:

Siendo a=3 se verifica que:

a2=32 o sea a2=9

a3=33 o sea a3=27

a4=34 o sea a4=81 , etc.

an=3n

Ley distributiva

La potenciación es distributiva respecto a la multiplicación y de la división exacta.

19

Potencia de un producto.

Teorema 3.

Para elevar un producto a una potencia se eleva cada uno de los factores a dicha potencia y se multiplican estas potencias.

Sea el producto abc. Vamos a probar que (abc )n=an⋅bn⋅cn

En efecto: elevar el producto abc a la enésima potencia equivale a tomar este producto como factor n veces; luego:

(abc )n=(abc ) (abc ) (abc ) . ..=abc⋅abc⋅abc .. .

= (a⋅a⋅a . .. ) (b⋅b⋅b . .. ) (c⋅c⋅c . . . )=an⋅bn⋅cn

Que era lo que queríamos demostrar-

Esta propiedad constituye la ley distributiva de la potenciación respecto de la multiplicación.

Ejemplos:

(3×4×5 )2=32×42×52=9×16×25=3 ,600 R.(5ab )3=53⋅a3⋅b3=125a3b3 R.

Potencia de un número fraccionario

Teorema 4.

Para elevar un cociente exacto a una fracción a una potencia cualquiera se elevan su numerador y denominador a dicha potencia.

Sea la fracción

ab . Vamos a demostrar que

( ab )n=a

n

bn .

En efecto: según la definición de potencia, elevar

ab a la potencia n será tomarlo como factor n

veces, luego:

20

n veces n veces

n veces n veces n veces

( ab )n=ab×ab×ab×.. .=a×a×a×.. .

b×b×b×.. .=a

n

bn

Que era lo que queríamos demostrar.

Esta propiedad constituye la ley distributiva de la potenciación respecto la división exacta.

Ejemplos:

1) Elevar ( 45 )

5

( 45 )5=4

5

55=1,0243 ,125 R.

Cuando se trate de elevar un número mixto a una potencia cualquiera, se reduce el número mixto a quebrado y se aplica la regla anterior.

2) Desarrollar (3 12 )

4

(3 12 )4=( 72 )

4=7

4

24=7⋅7⋅7⋅72⋅2⋅2⋅2

=2, 40116

=150 116 R.

Ley de monotonía

Si los dos miembros de una desigualdad se elevan a una misma potencia que no sea cero, resulta una desigualdad del mismo sentido que la dada.

Ejemplos:

1) Siendo 7>5 resulta: 72>52 o sea 49>25

73>53 o sea 343>12574> 54 o sea 2,401> 625 etc.

Y en general 7n>5n

2) Siendo 3<8 resulta:

32<82 o sea 9<6433<83 o sea 27<152

34< 84 o sea 81< 4,096 etc.

21

n veces n veces

n veces

Y en general 3n<8n

Ejercicios

Aplicar la ley de uniformidad en:

1. x=5 2. 8=4 x 2 3. 10 x 2 = 5 x 4

Aplicar la ley distributiva en:

7. (3 x 4)2 5. (5 x 6)3 6. (2 x 3 x 4)4 7.(m⋅n⋅p )4

Aplicar la ley distributiva en

8.(a÷b )2 9. ( b3 )

3

10. (mn )

´ p

Desarrollar aplicando las leyes adecuadas

12. (3a )2 13. (bcde )n 14. ( a6 )

3

15. ( 3×69×2 )

2

Cuadrado de la suma de dos números

Teorema 5.

El cuadrado de la suma indicada de dos números es igual al primero, más el doble del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo.

Sea la suma (a+b). Vamos a demostrar que (a+b)2=a2+2ab+b2

En efecto, según la definición de potencia, elevar una cantidad cualquiera al cuadrado equivale a multiplicarla por sí misma; luego:

(a+b )2=(a+b ) (a+b )

Efectuando la multiplicación de estas dos sumas indicadas

(a+b )2=(a+b ) (a+b )=a⋅a+a⋅b+b⋅a+b⋅b=a2+2ab+b2


22

Ejemplos:

1) Elevar al cuadrado (3+5 )

(3+5 )2=32+2×3×5+52=9+30+25=64 R.

2) Desarrollar (0 .25+3 .41 )2

(0 .25+3 .41 )2=0.252+2×0 .25×3 .41+3 .412=0 .0625+1. 705+11.6281=13 .3956 R.

3) Desarrollar ( 13+ 14 )

2=( 13 )

2+2×1

3× 14+( 14 )

2= 19+ 16+ 116

=49144 R.

Desarrollar, aplicando la regla anterior

1. (1+2 )2

2. (5+11 )2

3. (0 .5+3 .8 )2

4.(5+ 15 )

2

5.(0 .3+ 23 )

2

6.(8 12+ 34 )

2

7.(0 .001+ 3

100 )2

8.(0 .5+2 12 )

2

9.(1+ 110 )

2

Cuadrado de la diferencia de dos números

Teorema 6.

23

El cuadrado de la diferencia indicada de dos números es igual al cuadrado del primero, menos el doble del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo.

Sea la diferencia (a-b). Vamos a demostrar que (a-b)2=a2-2ab+b2

En efecto, según la definición de potencia, elevar la diferencia (a-b) al cuadrado equivale a multiplicarla por sí misma; luego:

(a−b )2=(a−b ) (a−b )

Efectuando la multiplicación de estas dos diferencias indicadas

(a−b )2=(a−b ) (a−b )=a⋅a−a⋅b−b⋅a+b⋅b=a2−2ab+b2


Ejemplos:

1) Elevar al cuadrado (8−6 )

(8−6 )2=82−2×8×6+62=64−96+36=4 R.

2) Desarrollar (0 .2+0 .04 )2

(0 .2−0 . 04 )2=0 .22−2×0 .2×0 .04+0 .042=0. 04−0 .016+0 . 0016=0.0256 R.

3) Desarrollar (5 23− 16 )

2=(173 − 1

6 )2=(173 )

2−2×17

3× 16+( 16 )

2=2899

−179

+ 136

=1214

=30 14 R.


1. (9−7 )2

2.( 13−14 )

2

3.(8−12 )

2

24

4.(15−35 )

2

5.(2 .14−54 )

2

6.(7 13−3 16 )

2

7.(8 12−3 .2)

2

8.( 15−0 .1)

2

9.(1− 1

10 )2

Cubo de la suma de dos números.

Teorema 7.

El cubo de la suma indicada de dos números es igual al cubo del primero, más el triple del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo.

Sea la suma (a+b). Vamos a demostrar que (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3

En efecto, según la definición de potencia, elevar una cantidad al cubo equivale a tomarla como factor tres veces; luego:

(a+b )3=(a+b ) (a+b ) (a+b )

Teniendo presente que (a+b ) (a+b ) =(a+b )2=a2+2ab+b2 , tendremos:

(a+b )3=(a+b ) (a+b ) (a+b )= (a+b )2 (a+b )=(a2+2ab+b2) (a+b )

=a2⋅a+2a2⋅b+b2⋅a+a2⋅b+2a⋅b2+b2⋅b=a3+3a2b+3ab2+b3


Ejemplos:

1) Desarrollar (2+5 )3

25

(2+5 )3=23+3×22×5+3×2×52+53=8+60+150=343 R.

2) Desarrollar ( 35+ 16 )

3

( 35+ 16 )3=( 35 )

3+3×( 35 )

2×16+3× 3

5×( 16 )

2+( 16 )

3=27125

+ 950

+ 120

+ 1216

=12 ,16727 ,000 R.


1. (3+4 )3

2.( 12+ 13 )

3

3.( 13+ 14 )

3

4.(5+ 56 )

3

5.(3 12+1)

3

6.(4 12+1)

3

7.(1+ 110 )

3

Cubo de la diferencia de dos números.

Teorema 8.

El cubo de la diferencia indicada de dos números es igual al cubo del primero, menos el triple del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, menos el cubo del segundo.

Sea la diferencia (a-b). Vamos a demostrar que (a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3

26

En efecto, según la definición de potencia, elevar una cantidad al cubo equivale a tomarla como factor tres veces; luego:

(a−b )3=(a−b ) (a−b ) (a−b )

Teniendo presente que (a−b ) (a−b ) =(a−b )2=a2−2ab+b2 , tendremos:

(a−b )3=(a−b ) (a−b ) (a−b )=(a−b )2 (a−b )=(a2−2ab+b2) (a−b )

=a2⋅a−2a2⋅b+b2⋅a−a2⋅b+2a⋅b2−b2⋅b=a3−3 a2b+3ab2−b3


Ejemplos:

1) Desarrollar (10−4 )3

(10−4 )3=103−3×102×4+3×10×42−43=1000−1200+480−64=216 R.

2) Desarrollar (1−12 )

3

(1−12 )3=13−3×12×1

2+3×1×( 12 )

2−( 12 )

3=1−3

2+ 34− 18=18 R.


1. (8−3 )3

2. (20−3 )3

3.( 13−15 )

3

4.( 23−14 )

3

5.(5−57 )

3

6.(4 34−194 )

3

27

7.(1 14− 18 )

3

8.(1− 1

10 )3

Potencia de potencia

Teorema 9.

Para elevar una potencia a otra potencia, se deja la misma base, poniéndosele por exponente el producto de los exponentes.

Sea la potencias am. Vamos a demostrar que (am)n=amn

En efecto: elevar am a la potencia n, significa que am se toma como factor n veces; luego,

(am )n=am×am×am×. . .=am×m×m×¿=amn ¿


Ejemplos:

Desarrollar (23 )4

(23 )4=23∗4=212=4 ,096 R.


1. (22 )2

2. (52 )3

3. [ (32)3 ]2

4. (a3)x

5.[(mn )

4 ]5

28

n veces n veces

6.[[( 23 )

2]2 ]2

Radicación

Leyes de la radicación

Las leyes de la radicación son dos: la ley de uniformidad y la ley distributiva.

I. Ley de uniformidad

Esta ley puede enunciarse de dos modos:

1) La raíz de un grado dado de un número tiene un valor único o siempre es igual.

Así: √49=7 únicamente, porque 7 es el único número que elevado al cuadrado da 49.

2) Puesto que números iguales con el mismo número, podemos decir: Si a los dos miembros de una igualdad se extrae una misma raíz, la igualdad subsiste.

Ejemplos:

1) Siendo a=25 se tendrá √a=√25 o sea √a=5 .

2) Siendo m=n se tendrá 3√m=3√n .

3) Siendo x2=81 se tendrá √ x2=√81 o sea x=9

II. Ley distributiva

La radicación no es distributiva con relación a la suma y a la resta. Así,

√36+64 no es igual a √36+√64La radicación es distributiva con relación a la multiplicación y a la división.

Raíz de un producto indicado.

Teorema 10.

La raíz de cualquier grado de un producto indicado de varios factores es igual al producto de las raíces del mismo grado de cada uno de los factores.

29

Sea el producto a⋅b⋅c . Vamos a demostrar que:

n√a⋅b⋅c=n√a⋅n√b⋅n√c

En efecto: según la definición de raíz, n√a⋅n√b⋅n√c será la raíz enésima de a⋅b⋅c si elevada a la

potencia n se reproduce el producto a⋅b⋅c .

Elevando la raíz a la enésima potencia, tendremos:

( n√a⋅n√b⋅n√c )n=( n√a )n×( n√b )n×( n√c )n=a⋅b⋅c

Luego queda demostrado lo que nos proponíamos.

Esta propiedad es la ley distributiva de la radicación con relación a la multiplicación.

Ejemplos:

1) √4×9=√4×√9=2×3=6 R.

2) √1×16×25=√1×√16×√25=1×4×5=20 R.

Raíz de un número fraccionario.

Teorema 11.

La raíz de cualquier grado de un cociente exacto o un quebrado es igual a la raíz de dicho grado del numerador dividida entre la raíz del mismo grado del denominador.

Sea la fracción

ab . Vamos a demostrar que

n√ ab=n√an√b .

En efecto: según la definición de raíz,

n√an√b será la raíz enésima de

ab , si elevada a la potencia n

reproduce el quebrado

ab .

30

Elevemos

n√an√b a la potencia enésima y tendremos:

(n√an√b )

n

=( n√a )n

( n√b )n=ab

luego,

n√an√b es la rzíz

enésima de

ab .

Esta propiedad es la ley distributiva de la radicación en relación con la división exacta.

Ejemplos:

1) √ 49=√4√9

=23 R.

2)

3√ 18=3√13√8

=12 R.

Aplica la ley distributiva y simplifica:

1. √4×252. √4×25×363.

3√1×64×125

4. √ 945. √ 1366.

3√ 8277.

3√ 164Raíz de una potencia.

Teorema 12.

La raíz de cualquier grado de una potencia se obtiene dividiendo el exponente de la potencia entre el índice de la raíz.

Sea la potencia am

. Vamos a demostrar que n√am=am /n

.

31

En efecto: según la definición de raíz, am/n

será la raíz enésima de am

si elevada a la potencia n

reproduce la cantidad subradical am

.

Elevando am/n

a la potencia n según lo demostrado en potencia de potencia (Teorema 9), tendremos:

(am/n )n=amn

×n=am

Luego, queda demostrado lo que nos proponíamos.

Ejemplos:

1) √24=242=22=4 R.

2)3√29=2

93=23=8 R.

3) √24×54=√24×√54=242×5

42=22×52=100 R.

Efectuar:

1. √26

2. √3123.

3√215

4.3√524

5. √22×32

6. √52×62×34

7.3√26×33×56

Exponente fraccionario. Su origen

Hemos visto en el número anterior que para extraer una raíz a una potencia, se divide el exponente de la potencia entre el índice de la raíz. Si el exponente no es divisible entre el índice, hay que dejar indicada la división, originándose de este modo el exponente fraccionario.

Ejemplos:

32

1) √2=√21=212

R.

2)3√22=2

23

R.

3)4√32×53=4√32×4√52=3

24×5

34=3

12×5

34

R.

Interpretación del exponente fraccionario

Hemos visto en el número anterior que el exponente fraccionario proviene de extraer una raíz a una potencia, cuando el exponente de la potencia no es divisible entre el índice de la raíz, así que

a23

proviene de extraer la raíz cúbica a a2. Por lo tanto, podemos decir que:

Una cantidad elevada a un exponente fraccionario equivale a una raíz cuyo índice es el denominador del exponente y la cantidad subradical en la base de la potencia elevada al exponente que indica el numerador de su exponente.

Ejemplos:

1) 223=

3√22=3√4 R.

2) 345=

5√34=5√81 R.

3) 212×3

13=√2×3√3 R.

Raíz de una raíz.

Teorema 13

La raíz de cualquier grado de una raíz se obtiene multiplicando los índices de ambas raíces.

Se trata de extraer la raíz cúbica de √a . Vamos a demostrar que

3√ 2√a= 3×2√a=6√a

En efecto, según la definición de raíz, 6√a será la raíz cúbica de √a si elevada al cubo reproduce

la cantidad subradical √a y en efecto:

33

( 6√a )3=(a16 )3

=a16×3

=a36=a

12=√a

Luego, queda demostrado lo que nos proponíamos.

Efectuar:

1. √√22.

3√√73. √5√34.

3√5√13

Esta propiedad, a la inversa, nos permite extraer la raíz cuarta extrayendo dos veces la raíz cuadrada; la raíz sexta extrayendo la raíz cuadrada y la cúbica, etc. Así.

Ejemplos:

1)4√16=√√16=√4=2 R.

2)6√64=3√√64=3√8=2 R.

Radicales

Los números irracionales o raíces indicadas que no pueden expresarse exactamente por ningún número entero ni fraccionario, reciben el nombre de radicales.

Así pues, √2 , √3 , 3√5 ,

3√7 son radicales.

El grado de un radical lo indica el índice de la raíz. Así, √2 es un radical de segundo grado; 3√5 es

un radical de tercer grado.

Radicales semejantes son los que tienen el mismo grado y la misma cantidad bajo el signo radical.

Así, √2 y 3√2 son semejantes; √2 y √3 no son semejantes.

Coeficiente

El número que precede a un radical y que está multiplicado por él, se llama coeficiente. Así, en

3√2 el coeficiente es 3; en 5√3 el coeficiente es 5.

34

El coeficiente indica las veces que el radical se toma como sumando. Así, 3√2 equivale a

√2+√2+√2 ; 5√3 equivale a √3+√3+√3+√3+√3 .

Simplificación de radicales

Un radical está reducido a su más simple expresión cuando descomponiendo en sus factores primos la cantidad subradical se observa que todos los factores primos están elevados a exponentes menores que el índice del radical.

Así, √30 está reducido a su más simple expresión porque descomponiendo 30 en sus factores

primos se tiene: √30=√2×3×5 y aquí observamos que los exponentes de los factores primos son menores que el índice del radical 2.

√24 no está reducido a su más simple expresión porque descomponiendo 24 en sus factores

primos tenemos: √24=√23⋅3 y aquí vemos que el exponente del factor primo 2 es 3, mayor que el índice del radical.

Para reducir un radical a su más simple expresión se descompone la cantidad subradical en factores primos y se hacen con ellos los arreglos que se indican a continuación.

Ejemplos:

1) Simplificar √18 .

√18=√32⋅2=√32⋅√2=3√2 R.

2) Simplificar √72 .

√72=√23⋅32=√22⋅32⋅2=√22⋅√32⋅√2=2⋅3√2=6√2 R.

3) Simplificar 3√7203√720=3√24⋅32⋅5=3⋅22⋅3 √5=36√5…..R.

4) Simplificar

23 √45

23 √45=23 √32⋅5=23⋅3√5=2√5 R.

35

5) Simplificar 3√24

3√24=3√23⋅3=3√23⋅3√3=2 3√3 R.


3√432=3√23⋅33⋅2=2⋅3 3√2=6 3√2 R.


2 3√2187=2 3√36⋅3=2⋅32 3√3=18 3√3 R.

8) Simplificar

353√375

353√375=35

3√53⋅3=35⋅53√3=3 3√3

R.

Simplificar:

1. √1602. 7√432

3.

38 √80

4. 3√5+√20+√455.

12 √8+ 35 √50

6. 63√16000

7.

183√192

Sumas y Restas de radicales

Regla

Simplifíquense los radicales dados si es posible y efectúese las operaciones indicadas.

Ejemplos:

1) Efectuar √45+√80 .Primero descomponemos en factores primos las cantidades subradicales para simplificar y tendremos:

36

√45=√32⋅5=3√5√80=√24⋅5=22√5=4√5

Por tanto: √45+√80=3√5+4 √5=7√5 R.

Tendremos: √6⋅√10=√6⋅10=√60=√22⋅3⋅5=2√15 R.

Porque es evidente que tres veces √5 más cuatro veces √5 equivale a siete veces √5 .

2) Efectuar 2√3+5√27−√48 .

Simplificando los radicales, tenemos:

2√3=2√35√27=5√32⋅3=5⋅3√3=15√3√48=√24×3=22√3=4√3Entonces: 2√3+5√27−√48=2√3+15√3−4√3= (2+15−4 ) √3=13√3 R.

3) Efectuar 2√75+√28−√122√75=2√52⋅3=2⋅5√3=10√3√28=√22⋅7=2√7√12=√22⋅3=2√3Entonces: 2√75+√28−√12=10√3+2√7−2√3=10√3−2√3+2√7(10−2 )√3+2√7=8 √3+2√7 R.

2√7 no se puede sumar con 8√3 porque estos radicales no son semejantes.

4) Efectuar

23 √18+ 35 √50−13 √45

Simplificando:

23 √18=23 √32⋅2=23⋅3√2=2√2

35 √50=35 √52⋅2= 35⋅5√2=3√213 √45=13 √32⋅5=13⋅3√5=√5

37

Entonces:

23 √18+ 35 √50−13 √45=2√2+3√2−√5=5√2−√5

R.

Ejercicios:

1. 2√2+3√22. √18+√503. 3√28−√634. 3√5+√20+√45

5.

12 √8+ 35 √50

6.

15 √125+ 23 √45−37 √245

Multiplicación de radicales

Regla

Para multiplicar radicales del mismo índice se multiplican los coeficientes entre sí y las cantidades subradicales entre sí, el producto de las cantidades subradicales se coloca bajo el signo radical común.

Ejemplos:

1) Efectuar √6⋅√10 .

Tendremos: √6⋅√10=√6⋅10=√60=√22⋅3⋅5=2√15 R.

En efecto: se ha demostrado (Teorema 10) que para extraer la raíz de cualquier grado de un producto se extrae la raíz de cada factor y se multiplican entre sí estas raíces, luego:

=√6⋅10=√6⋅√10

O lo que es lo mismo =√6⋅√10=√6⋅10 que es la regla que hemos aplicado.(El resultado debe siempre reducirse a su más simple expresión)

2) Efectuar 2√3⋅5√18 .

2√3⋅5√18=2⋅5√3⋅18=10√32⋅3⋅2=30√6 R.

38

3) Efectuar 33√10⋅5 3√12

3 3√10⋅5 3√12=5 3√10⋅12=15 3√120=15 3√23⋅3⋅5=30 3√15 R.

4) Efectuar

23 √15⋅34 √30⋅56 √8

23 √15⋅34 √30⋅56 √8=23⋅

34⋅56 √15⋅30⋅8= 5

12 √3600= 512 √24⋅32⋅52= 5

1222⋅3⋅5

= 512

⋅4⋅3⋅5=25R.

Ejercicios:

1. √2⋅√62.

3√10⋅3√203. 3√10⋅7√14⋅√54.

3√4⋅3√6⋅3√2

5.

123√4⋅3 3√6

6.

563√4⋅15

3√16⋅6 3√12

División de radicales

Regla

Para dividir radicales del mismo índice se dividen los coeficientes entre sí y las cantidades subradicales entre sí y el cociente de las cantidades subradicales se coloca bajo el signo radical común.

Ejemplos:

1) Elevar √150÷√2 .

Tendremos: √150÷√2=√150÷2=√75=√3⋅52=5√3 R.

39

En efecto: hemos probado en el número anterior que √2⋅√75=√2⋅75=√150Si dividimos el producto √150 entre uno de los factores √2 evidentemente obtendremos el

otro factor, √75 y tendremos: √150÷√2=√75 que es la regla que hemos aplicado.

2) Elevar 10√10÷5√2 . 10√10÷5√2=105 √10÷2=2√5

R.

3) Efectuar 3 3√108÷4 3√4=34

3√108÷4= 343√27=34⋅3=

94=2 14

4) Efectuar

23 √350÷34 √7

23 √350÷ 34 √7=2/33 /4 √350÷7=89 √50=89 √2⋅52= 89 5 √2=409 √2=4 49 √2

R.

Ejercicios:

1. √8÷√22. 5√120÷6√40

3.

12 √10÷2√5

4.

35 √500÷32 √20

5. 23√405÷3 3√3

6.

783√1024÷34

3√2

Potencias de radicales

Regla

Para elevar un radical a una potencia cualquiera se eleva a esa potencia la cantidad subradical.

Ejemplos:

1) Elevar √2 al cubo

40

Tendremos: (√2 )3=√23=√8=√22⋅2=2√2 R.

2) Elevar 2√2 a la cuarta potencia

( 3√2 )4=3√24=3√16=3√23⋅2=2 3√2 R.

Ejercicios:

1. (√5 )2

2. (√5 )4

3. (√10 )2

4. ( 3√18)2

5. ( 3√15)2

6. ( 5√50 )3

Raíces de radicales

Regla

Se multiplican los índices de los radicales y se coloca la cantidad subradical bajo un radical que tenga por índice el producto de los índices de los radicales.

Ejemplo:

Extraer la raíz cúbica de √128

Tendremos: 3√√128=6√128=6√26⋅2=2 6√2 R.

Ejercicios:

1. √√162. √√803. √3√2564.

4√√65615.

3√4√20

41

6. √√√6561

Racionalización

Racionalizar el denominador de un quebrado es transformar un quebrado que tenga por denominador un número irracional en otro quebrado equivalente cuyo denominador sea racional, es decir, que tenga raíz exacta, a fin de extraer esta raíz y que desaparezca el signo radical del denominador.

Racionalizar el denominador de un quebrado cuando el denominador es un radical de segundo grado

Regla:

Se multiplican los dos términos del quebrado por el radical que multiplicado por el denominador lo convierte en cuadrado perfecto y se simplifica el resultado.

Ejemplos:

1) Racionaliza el denominador de

2√2 .

Se multiplican los dos términos del quebrado por √2 y se efectúan operaciones:2√2

= 2√2√2⋅√2

=2√2√22

=2√22

=√2R.


52√3

52√3

= 5√32√3⋅√3

= 5√32√32

=5√32⋅3

=56 √3

R.


2√18 .

Como 18=2⋅32

multiplicamos ambos términos del quebrado por √2 para que el exponente del 2 se haga par:

2√18

= 2√2√2⋅32⋅√2

= 2√2√22⋅32

=2√22⋅3

=√23

=13 √2

R.

Ejercicios:

42

1.

1√3

2.

11√6

3.

2√12

4.

6√128

5.

12√2

6.

74 √7

Racionalizar el denominador de un quebrado cuando el denominador es un radical de tercer grado

Regla:

Se multiplican los dos términos del quebrado por el radical que multiplicado por el denominador lo convierte en cubo perfecto y se simplifica el resultado

Ejemplos:

1) Racionalizar el denominador de

23√2

Se multiplican ambos términos del quebrado por 3√22 y se efectúan las operaciones:

23√2

= 23√22

3√2⋅3√22= 2

3√43√23

=23√42

=3√4 R.

2) Racionalizar el denominador de

23 3√3 .

Se multiplican ambos términos del quebrado por 3√32 y tenemos

23 3√3

= 23√32

3 3√3⋅3√32= 2 3√93 3√33

=23√99

=293√9

R.

3) Racionalizar el denominador

33√12 .

43

Como 12=22⋅3 hay que multiplicar ambos términos por

3√2⋅32 para que los exponentes queden múltiplos de 3 y tenemos:

33√12

= 33√2⋅32

3√22⋅3⋅3√2⋅32= 3 3√183√23⋅33

=33√182⋅3

=123√18

R.

Ejercicios

1.

13√2

2.

43√16

3.

73√11

4.

12 3√3

5.

53 3√2

6.

35 3√10

44

calculodiferencialita.files.wordpress.com · web viewapuntes de aritmÉtica. tomados del libro:...

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