c;2 0'c;6x^i a i` - math.hu-berlin.devigerske/numerik2/numerikodes.pdf · h fy^!h Ù h&^!...

93

Upload: lamnhan

Post on 16-Jul-2018

221 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: C;2 0'C;6X^I A I` - math.hu-berlin.devigerske/numerik2/numerikODEs.pdf · h fY^!h Ù h&^! Xh=W¶}zfYh¥}zfp~>h `oh ^0_afmbe Y X Yh fm{c|+i!^!

������������ ������������������������ �!����"�$#%'&(�) *������+�,���� ��"�

-/.10'2�354%67.1890;:*<>=%6$?�@A6�BDC>2�=%E%FHGA@IEKJ(67@L8)M+-KNI6�<OP=%QSRT@ABDUV0,WXE%.1GAC;6727.105NL0,<;=KY�C>67BZ.DE

[ @AQ\Q]C>6�27C;Q\C;2�0'C;6X^I_A_I`

acbedgfih>j>k;dlj;dnm>dlo;pqdgr+s>tvu9uwdnx�jzy{uwd|fix�jz}�tq~�d|rw�9�'d(���{t�~7d|rw�9�7d)�e��x�uwo;dl��x�uwt���� o�h��1s�d|rwp�tqj�� k;d)�g�

Page 2: C;2 0'C;6X^I A I` - math.hu-berlin.devigerske/numerik2/numerikODEs.pdf · h fY^!h Ù h&^! Xh=W¶}zfYh¥}zfp~>h `oh ^0_afmbe Y X Yh fm{c|+i!^!

��������� �� ������������ ��������� ������� �! "�� � � �������� #�� $�%��&�'���()��'�()����+*�,�,.-

Page 3: C;2 0'C;6X^I A I` - math.hu-berlin.devigerske/numerik2/numerikODEs.pdf · h fY^!h Ù h&^! Xh=W¶}zfYh¥}zfp~>h `oh ^0_afmbe Y X Yh fm{c|+i!^!

����������� ��������������������

�������! #"%$&�!$&"%')(+*-,.(0/213�4 %$&(+56')78569:"%;<(=/2(+5>$&"#�! @?) @(+"#AB1C��5�?8*B @D)*&��5�?8(+5 ��5�E6E3(+*B*&(+5GFH"@(+E3(0/BI*&J�"#(0?)(+ @��53?KE3�3/2AL1NMOJ�J3/27+PQ"#RS�T$&"#785 UVXWYV[Z]\X^0_a`cbed0_afYgXh]i!^4jkjTfmlalafYn4b2_ofpg=h.qTr+ls_ah&tuh�W.W.WvW.WwW.WvW.W.WvW.WvW.WvW.W.WwW.WvW.WvW.WvW.W.W x

VXWYVXWYV yzfY{c|0_obXiT_a\=^!\Xtuh.}]f�~>h�`oh�^0_afmbe�Y�X�Yh�fm{c|+i!^!�=h�^�W.WvW.W.WvW.WvW.WvW.W.WwW.WvW.WvW.WvW.W.W V��VXW ���<��ls_obX�!fY�ph.��i!^4�Xh���ZviT_a_ob���h�`a�@be|!`oh�^�W.WvW.W.WvW.WwW.WvW.W.WvW.WvW.WvW.W.WwW.WvW.WvW.WvW.W.W VB�

VXW �TWYV }]fYlolafpn4be_afYg+f�_c�2_�W.W.WwW.WvW.WvW.WvW.W.WvW.WwW.WvW.W.WvW.WvW.WvW.W.WwW.WvW.WvW.WvW.W.W VB�VXW � q0_cb2_afY\X^8�e`ohv���=lai!^!�=h�^�i4^4j��wh�fml�_oh�`o�p�0lsi!^4�Xh�^�W.WwW.WvW.W.WvW.WvW.WvW.W.WwW.WvW.WvW.WvW.W.W �!V

��M����¡ ��4�6�35�E6¢]"#?8(+5�*&AL1��!�¡$&(+5�'87)56£���5�?8(=Io¤��3$�$B�¥,.(0/2�¡�41�/2(+5 �8¦�TWYV[}]fph.g=h�`oh�fY^T�@bX{c|!h&^4jTh&^:Z]\X^4lafml�_oh�^!§&�8hBjTfp^4�Xi!^!�=h�^¨gX\X^k©=\X|!^k�ªiT_o{c|!h&`«W.WwW.WvW.WvW.WvW.W.W �0¬

�TWYVXWYV ­ziT�%�4beikg=\X^k��i!^!�=h���ZviT_s_cb2����h�`a�@be|!`oh�^®WwW.WvW.W.WvW.WvW.WvW.W.WwW.WvW.WvW.WvW.W.W��=¯�TWYVXW � ­z�p�=h��!`cbefmla{c|4hvq0_cbe�!fY�Yf�_c�2_�W.WvW.WvW.W.WvW.WwW.WvW.W.WvW.WvW.WvW.W.WwW.WvW.WvW.WvW.W.W��0x

�TW �°q0_cbe�!fY�pfp_o�e_ols�%i!^!d0_afY\X^±WvW.W.WwW.WvW.WvW.WvW.W.WvW.WwW.WvW.W.WvW.WvW.WvW.W.WwW.WvW.WvW.WvW.W.W��=��TW � �w�Y\X�4bX�ph.²!h&|!�Yh�`cbe�4lo{c|4�2_o§�i!^4�4³0_obe_olo�X{c|!�YfY{c|4h�`�²!h&|!�ph&`KWvW.W.WvW.WvW.WvW.W.WwW.WvW.WvW.WvW.W.W�´+x�TW ´°µ¶`cbed0_afmlo{c|!h.·¸t�lsh�_a§&i!^!��gX\=^¨��i4^!�Xh���ZviT_a_obe�¡��h&`s�@bX|!`ah&^¹W.WvW.WvW.WvW.W.WwW.WvW.WvW.WvW.W.W�´0º

�TW ´4WYV qT{c|4`afp_s_�»ªh�fp_ah&^4l�_oh�i!h&`ai4^!�¼W.WvW.WvW.W.WvW.WwW.WvW.W.WvW.WvW.WvW.W.WwW.WvW.WvW.WvW.W.W�´0º�TW ´4W � �ªh&ls_afYtut½i!^4��g=\X^:¾¼¿ÀBÁ W.WvW.WvW.W.WvW.WwW.WvW.W.WvW.WvW.WvW.W.WwW.WvW.WvW.WvW.W.W�´T¬

¦ ÂQ$&�T Ã"@ #"%$&Ä!$�"#R±ÂQ"#535�(k'87)56ŶÆ)�TJÃ�35�7+' Ç>È�!WYV[�QfY^!hBbe`oh.�w�Yh�fm{c|+i!^!�utuf�_¸d=\X^4ls_obX^0_ah�^:Zz\+h�Éu§&fph&^0_ah�^ÊWvW.W.WvW.WvW.WvW.W.WwW.WvW.WvW.WvW.W.W�xX¯�!W ��y¸fm{c|0_a�Yfp^4h&be`oh.}zfp~>h�`oh�^0_afmbe�Y�X�Yh�fm{c|+i!^!�Xh&^SWvW.W.WvW.WwW.WvW.W.WvW.WvW.WvW.W.WwW.WvW.WvW.WvW.W.W�xe´

Ç°£��453E3˽(0/L$&�!����?8�T <(056��5�E�J(0/L"#7QE�"@*BAB1�(kÅD)*&��5�?8(+5 U8È´4WYV[Z]\X`o`ah&d=_ª�%\X`ot½i4�pfYh�`a_ahv�Yfp^!hBbe`ohw�zbe^4jT»ªh�`a_obXiT�%�=bX�8h&^KÌ#�Qͼ­z^8ÎÏi!^4j��w`oh�h&^4la{c|4hw²4i!^!d0_afY\X^�W�xXÐ

´4WYVXWYV ���=la�4be`odXh&f�_cls�)h&jTfY^!�=i!^!�ÑW.WvW.WvW.W.WvW.WwW.WvW.W.WvW.WvW.WvW.W.WwW.WvW.WvW.WvW.W.W�º=¯´4WYVXW � }wbe`cl�_oh��Y�pi4^!��jTh�`¸���=lai!^!�uÒ½Ó�ÔÖÕwWvW.W.WvW.WwW.WvW.W.WvW.WvW.WvW.W.WwW.WvW.WvW.WvW.W.W�º4V

´4W ��׸�)h�`]jTfphØZ]\X^8jTf�_ofp\=^¨g=\X^¨�pfY^!h&bX`ah&^:�zbe^4jT»ªh�`a_obXiT�%�=bX�8h&^ WvW.WvW.WvW.W.WwW.WvW.WvW.WvW.W.W�º=�´4W �°y¸fm{c|0_a�Yfp^4h&be`oh.�¸be^8jT»<h&`s_cbeiT�%�0be�)h�^ÊWvW.WvW.W.WvW.WwW.WvW.W.WvW.WvW.WvW.W.WwW.WvW.WvW.WvW.W.W�º=�´4W ´°µÃh�`ofp\TjTfmlo{c|!h.�Q�=lai!^!�=h�^¨W.W.WwW.WvW.WvW.WvW.W.WvW.WwW.WvW.W.WvW.WvW.WvW.W.WwW.WvW.WvW.WvW.W.W°¬TV

´4W ´4WYV Ù�\TjTfpÚ4d2b2_ofp\=^:j!h�`z­ziT�%�=bX�8h&^4l�_oh��Y�pi4^!��W.WwW.WvW.W.WvW.WvW.WvW.W.WwW.WvW.WvW.WvW.W.W°¬2´�

Page 4: C;2 0'C;6X^I A I` - math.hu-berlin.devigerske/numerik2/numerikODEs.pdf · h fY^!h Ù h&^! Xh=W¶}zfYh¥}zfp~>h `oh ^0_afmbe Y X Yh fm{c|+i!^!

´ ����������� � ������������������

U°Â�AB1�"@(��C')(=/2���!13/2(05 �)UxTWYV[Ù�h&|!`a§&fph&�ptuh�_a|!\TjTh W.WvW.W.WwW.WvW.WvW.WvW.W.WvW.WwW.WvW.W.WvW.WvW.WvW.W.WwW.WvW.WvW.WvW.W.W°¬eº

��¤�7) @ #7��!�!$&"@7)5�*�')(=/2���!13/2(05 �)¦º!WYV �)i4lobetutuh�^4|4be^!�u§&i:��i4^!�Xh���ZviT_a_obe�¡��h&`s�@bX|!`ah&^ WwW.WvW.W.WvW.WvW.WvW.W.WwW.WvW.WvW.WvW.W.W��=�º!W ��µ¶`cbed0_afmlo{c|!hv��h�`o»<h&^4jTi!^!�ug=\X^kZz\=�p�Y\Xd2b2_ofp\=^ WvW.WwW.WvW.W.WvW.WvW.WvW.W.WwW.WvW.WvW.WvW.W.W��=Ð

Å"@$&(0/2�T$&�3/ È��! 5�E3(0P È>�

��������� �� ������������ ��������� ������� �! "�� � � �������� #�� $�%��&�'���()��'�()����+*�,�,.-

Page 5: C;2 0'C;6X^I A I` - math.hu-berlin.devigerske/numerik2/numerikODEs.pdf · h fY^!h Ù h&^! Xh=W¶}zfYh¥}zfp~>h `oh ^0_afmbe Y X Yh fm{c|+i!^!

� ��������� �

� � ������ ������� � ������� ��N��� ���«�

� ��� �����������������«�Ï������� � ���«6��� � ��� ��� � ���� ��6���� �Ï��� ��� ��[�Ï��� ��� � ��� � � �����

� ����� ��! �#" � ����� �

$&%'$ (�)&*,+.-0/&1,+0243&5768*9:92<;=;.24>?/@+=2<3&5BADCE;F+=5HGB5

Í6fY`¸�8h�_a`cbX{c|0_ah&^�§&i!^4�X{c|8l�_¸bei!_a\X^4\Xtuh.}zfp~)h&`ah&^0_afmbe�Y�X�Yh�fm{c|0i4^!�Xh&^KÌ@}v�v�3θjTh�`¸²4\X`otÒ ¿ ÓJIsÕLKNM½Ó@Ò½ÓOIsÕaÕQPRMTS?U&V¶ÓOWYX�ÕQZ Ì�V=WpVLÎ

}]fphز4i!^!d0_afY\X^Ò-ÓsÔ[PsÒ]\BÕ Ì�V=W �=Î

lah�fQ�Q�0lsi4^!��jTh�`¸­z^T�@be^!�0ls»ªh�`a_obXiT�%�=bX�8huÌ@­3ͼ­wÎÒ ¿ Ó^IsÕ_K M�Ó%Ò½ÓOIsÕaÕQP Ò½ÓJ`=ÕLKNÒa\bZ

9:(dcÃ5�"%$&"#785 �]e#�gfih: #(+"@AL13?)(0Ë�"@AL1>$&*B @�!?)(�j¶*�$B�T$&"#785�ÄT/2( ÅD)*&��5�?Qklenm fp^Kµ¶i!^!d0_poqSrW X tufp_pM-ÓJo&Õ�Ks`|!h&futX_wvyx[z<{O|~}��bz<��{O|~}��J�4xu���bz=WC}zfYhز!i!^4d=_ofp\=^kÒ½ÓsÔ[Pio&ÕL��o]|!h�f[te_zj4be^!^��4�����J{O�����l��zn�=���4���b�)W9:(dcÃ5�"%$&"#785���em��fsE�ÆQ5��!RS"#*&AL1�(0* ÂQÆQ*&$&(+Rgk�e q+h�fH�B��W X h�fY^!h�Ù�h&^!�Xh=W¶}zfYh¥}zfp~>h�`oh�^0_afmbe�Y�X�Yh�fm{c|+i!^!�Ì�V=WpVLΪjTh�Ú4^4fph&`s_¸h&fp^��l�l�Q�l�D{���|�}az4�E�����~��z��¹beiT����³T�@bX�p�ml&³+�^ !`�¡�h&j!h&l�Ò \ S?�O³4jTfYhv­z^T�@be^4�=la»<h&`s_cbeiT�%�0be�)h

Ò ¿ Ó^IsÕ_K M�Ó%Ò½ÓOIsÕaÕQP Ò½ÓJ`=ÕLKNÒ \ Ph�fY^!h-h�fY^4jTh�i!_afY�Xhu�Q�=lai!^!���8hBlsfp_a§�_&³>»<h&�Y{c|4h.�^ !`.be�Y�ph,I¢S�£ `aP~¤ Õ¸jTh�Ú4^!fYh�`a_wfmls_&³)i!^4j¼j!fph½�^ !`.be�Y�ph,I¢S�£ `aP~¤ ÕfY^?� g=h�`o�!�ph&fp�!_.Ì@Ò½Ó^IsÕ#S8�EPaI�¥�`=Î�W¦ (0"#*�JÃ"@(+ §eH¨ K�©V=W¸²= 4`¸jTfphØ}]fp~)h&`ah&^=_ofYbX�p�=�ph&fY{c|+i!^4�-Ò)¿XÓJIsÕLK�ª½Ô�Ò½ÓOIsÕªfYls_zjTfYhØ�Q�=lai!^!���Xh&�Xh&�8h&^:jTi4`o{c|

Ò½Ó^IsÕ_K�«l¬~­3Ô�Ò \ P Ò \ S?WyZx

Page 6: C;2 0'C;6X^I A I` - math.hu-berlin.devigerske/numerik2/numerikODEs.pdf · h fY^!h Ù h&^! Xh=W¶}zfYh¥}zfp~>h `oh ^0_afmbe Y X Yh fm{c|+i!^!

º ����������� � ������� � � � � �������� �� ��� � � � �� � ��� �

–2

–1

0

1

2

3

x(t)

–1 –0.5 0.5 1 1.5 2

t

Ò8¿0Ó^IsÕLK���Ò½ÓOIsÕªt�fp_¸Ò \ S����p© Pi`aP�©dP����2W –2

–1

0

1

2

3

x(t)

–1 –0.5 0.5 1 1.5 2

t

Ò)¿=ÓOIsÕLK6Ò½ÓJIsÕ<tuf�_zÒ \ S����p© P�` P�©dP����LW�!W¸²= 4`¸jTfphØ}]fp~)h&`ah&^=_ofYbX�p�=�ph&fY{c|+i!^4�-Ò)¿XÓJIsÕLK6Ò��¶ÓOIsÕ<fml�_zj!fphØ���=lai!^!���Xh��=h��)h�^kjTi!`c{c|

Ò½ÓJIsÕLK Ò \© �rI�Ô�Òa\ P IyS

!""# ""$% V&(' P4¤*) Ò \,+ `aPÓ-� ¤�P~¤ Õ Ò \ K `aP% � ¤ P V&.' ) Ò \,/ `aZ

}zfYhØ}w�v��j!h�Ú4^!fYh�`a_¸j!betufp_¸h�fY^�jTr+^4betufmla{c|!hBl�q+rTl�_oh�t�bXiT���sK0�8Ò \ S8W 1�Ò \,2 `��XW�4W¸²= 4`¸jTfphØ}]fp~)h&`ah&^=_ofYbX�p�=�ph&fY{c|+i!^4�-Ò)¿XÓJIsÕLK3��Ò�4¶Ó^IsÕªfml�_zj!fphØ���=lai!^!���Xh��=h��)h�^kjTi!`c{c|

Ò½ÓJIsÕLK Òa\5 ©�67��I�Ò �\ P IyS98 Ó-� ¤�P~¤ Õ Ò]\nK�`aP% � V� &.:' P~¤7) Ò]\<;K�`aZ}zfYhØ}w�v��j!h�Ú4^!fYh�`a_�h�fY^�jTr+^4betufmla{c|!hBl�q+rTl�_oh�t��^ 4`¢� K�Wª³.� K W>= \TjTh&`H�sK W@?]W�<h�_a`cbX{c|0_ahw»ªh�fp_ah�`o|!fY^:j!fphØÙ�h&^!�XhBA K Ó-�Hª�PiªTÕc³]ª / `!W m l�fmls_CC I 1 Ò½ÓJIsÕD1 � KE�wÔ�Ò-ÓOIsÕÃÔ�Ò ¿ Ó^IsÕLK��F�wÔG1 Ò-ÓOIsÕ.1 H 2 ` PjCW |�W�1 Ò½ÓOIsÕ.1efmls_^!fm{c|=_<»ªb={c|4lsh&^4jCW0²= 4`Òa\qS�A fYls_<be�mla\Øbei4{c|�Ò½ÓJIsÕySIA��^ !`ªbe�Y�phHIy¥�`!³=bX�Yla\ØjTh�Ú4^!fYh�`a_�sKJA h�fY^�jTr+^4betufmla{c|!hBl�q+rTl�_oh�tkW

–1.5

–1

–0.5

0.5

1

1.5

x(t)

–0.5 0.5 1 1.5 2

t

���=lai!^!�Xh&^¨jTh&`z}v�v� Ò8¿XÓJIsÕLK���ÒK4¶ÓOIsÕ<�^ !`¸Òa\pS����p©dPi`aP�©L���������� �� ������������ ��������� ������� �! "�� � � �������� #�� $�%��&�'���()��'�()����+*�,�,.-

Page 7: C;2 0'C;6X^I A I` - math.hu-berlin.devigerske/numerik2/numerikODEs.pdf · h fY^!h Ù h&^! Xh=W¶}zfYh¥}zfp~>h `oh ^0_afmbe Y X Yh fm{c|+i!^!

� � ���� ��� ��� � ������ ��� � � � � ���������� ��� �@� �������� ������� � ������� ��������� ���� �� �� � � �F� ��� � ����� � ��������� � � � ���F �� � � ���� � ��B�����-� ��� �D� � ¬9:(dcÃ5�"%$&"#785���eY¦ fs¢z')78 #��$B"@7)53*B13�4 % Ã?4/2�3J3J(�j>ÅD)*&��5�?8*B74J<(=/2�T$B74/ kle qTh�f>jTi!`c{c|kÌsVXWYVBÎÃh&fp^Oj!r0^8betufYlo{c|!hBlq+rTls_ah�t�beiT�Y����W X �=h��=h��)h�^QW!}]fphز8betufY�pfYhvgX\X^��]n)h�`cb2_a\=`ah&^

� ÓJIsÕ�� ��� �EP � Ó^IsÕTÒa\�� K6Ò-Ó^I4PsÒ]\LÕ P Òa\&S?�EP§Iy¥�` P|!h&futX_�������x ��� {O�l� �i}a�lx���� �4�����az-j!h�`¸}v�v�¶W � ÓJIsÕª|!h�f[te_ �=���4���b����� �az<�i�������-jTh&`¸}w�v�W¦ (0R (=/ �Q��53?=eHm l¸�XfY��_ � ÓJI 6"!4Õ_K � ÓJIsÕ � Ó#!4Õ_K � Ó$!4Õ � ÓOIsÕªi4^4j � ÓJ`=ÕLK&%4W9:(dcÃ5�"%$&"#785 �]eYÇNfs(0"#53*B(+"%$B"@?)(¥Å"@J�*BAL13"@$('2I ¦ (+E�"@5�?8��5�?Qkle qTh�f*)�Ô[P�Ô,+¸h&fp^¼fp^!^4h�`oh&l]µ¶`a\TjTi4d=_.bei!�_W X i4^4j1�Ô 1Tj!fph.§&i!�Xh&|!�X`ofp�=h]yz\X`ot:W!}]fYhØ·¸^!�=�ph&fY{c|+i!^!�

)JM�Ó@Ò)Õ � M�Ó.-Ò)Õ PsÒ��/-Ò0+ 221 ÔG1 Ò��3-Ò 1 � P Ò=P4-Ò S?W X P Ì�V=W �0Îtuf�_¸h&fp^4h�`¸Z]\X^4ls_obX^=_oh�^ 1 S8W�|!h&futX_,z<{ �a�<z�{ � { �dzp�Y{ ����|�}�{ �6587#9 z���{ �b� ���b�)W¦ (0"#*�JÃ"@(+ §eH¨ K�©V=W�Ò8¿XÓOIsÕ_K ª-Ô�Ò½ÓJIsÕ ³8jCW |�W]M½Ó@Ò)Õ_K ªØÔ&Ò�W4}wbe^4^:fmls_

) M-Ó%Ò>Õ � M½Ó8-Ò>Õ PsÒ��3-Ò:+_K�ª½Ô=Ó%Ò��/-Ò>Õ � PjCW |�WpW4j!fphvh�fY^4lah�fp_afY�Xh.�QfYn4lo{c|!fp_a§����ªh&jTfY^!�=i!^!��Ì�V=W �0Îfmls_��^ !` 1 K ª�h�`a�^ !�Y��_BW

�!Wzq+h�f.M�Ó%Ò>Õ_K�Ò��XW m l�fml�_) M½Ó#Ò)Õ � M-Ó;-Ò>ÕQPsÒ �&-Ò0+_K=<#Ò � �&-Ò �(> Ô=Ó@Ò<�/-Ò>ÕLK Ó%Ò 6?-ÒCÕ�Ô=Ó@Ò��&-Ò>Õ � Z

}]bX^!^¨fmls_¸dXh�fY^!h.�ªh&jTfY^!�=i!^!��Ì�V=W �0Îh&`a`oh�fm{c|+�4be`BW�4Wzq+h�f.M�Ó%Ò>Õ_K0��Ò�4XW m l�fYls_

)�M-Ó%Ò)Õ � M-Ó8-ÒCÕQPaÒ��&-Ò0+LK3� < Ò 4 �3-Ò 4 > ÔXÓ#Ò��3-Ò)ÕK3�@<#Ò � 6SÒ�-Ò 6?-Ò ��> Ô0Ó%Ò��3-Ò)Õ �K3� < Ò � 6A-Ò � > Ó#Ò<�/-ÒCÕ � �KÒ�-Ò-Ó%Ò �&-Ò>Õ �

i!^4j:»<h&fp�CÒ��@6 �2Ò�-Ò 6?-Ò�� K�Ó#Ò 6�-Ò)Õ � ¥g`!³!jQW |QW�V� < ÒK�@6�-ÒK� > ¥ ��Ò�-Òk�%\X�Y�e_�»ªh�fp_ah&`

2 �@<#Ò � 6A-Ò � > Ó#Ò<�/-ÒCÕ � 6 ©� <#Ò � 6�-Ò � > Ó@Ò��3-Ò>Õ �K3� ©� < Ò � 6?-Ò ��> Ó%Ò��3-Ò)Õ �2 `aP

be�mls\�fYls_zjTfYh.�<hBjTfY^!�Xi!^4�kÌsVXW �=Ϊtufp_ 1 K�`�h�`a�^ !�Y��_BW4}]fphز4i!^!d0_afY\X^kfml�_zbX�8h&`�^!fY{c|0_¸�QfYn4lo{c|!fp_a§���ls_ah�_ofp�CB¦ (0R (=/ �Q��53?=e�D l�_0M-�QfYn4lo{c|!fp_a§���ls_ah�_ofp�Ïtufp_3�QfYn4lo{c|!f�_o§���Zz\=^4ls_obe^0_oh�Ez³�ls\Ï�%\=�p�X_Qtuf�_a_ah��ml�FªbXi4{c|+r0��qT{c|+»Ïbe`o§&lo{c|!h�`a�·¸^4�X�Yh�fm{c|0i4^!�

)JM-Ó@Ò>Õ � M-Ó8-Ò)ÕQPaÒ��&-ÒG+ 2 1 M-Ó%Ò>Õ � M�Ó;-Ò>Õ.1LÔ�1 Ò��3-Ò>1 2 E Ô�1 Ò��3-Ò>1 � PjCW |QW4jTfYh.h�fY^4lah�fp_afY�Xh.�QfYn4lo{c|!fp_a§����ªh&jTfY^!�=i!^!�kÌ�VXW �=Î<fml�_¸tufp_ 1 K&E h&`s�^ 4�p�p_&W}]h�`]�%\X�Y�Xh�^8jTh-qTbe_a§½§&h�fY�e_B³4»�fYh-jTfYh½h&fp^4lah�fp_afY�Xh-�QfYn4la{c|4f�_o§����<hBjTfY^!�Xi!^4��jTh�t �w`cbXjC³8tuf�_vjTh�t�§�»ªh�fIH3`ob�¡�h�d0�_a\=`afYh�^KjTh&lvjTr+^4bXt�fmlo{c|!h�^ q+rTl�_oh�t�lztu�=�X�YfY{c|!h&`a»ªh�fmlah½jTfYgXh�`o�XfYh�`oh�^�³4h�fY^!hu�ªh&lo{c|!`o�X^!d+i!^!��bXiT�%h�`o�Yh��e_BW �)i!gX\=`�)h�^!�X_afY�Xh�^:»�fY`zbe�)h�`¸j!b=l��Qh&t�t�b�gX\=^k�w`o\X^+»Ïbe�Y�#W$ % �������()��'�()����+*�,#,#- �����'��) �& #����� ����� ������ � ������� �) "�� � � �������� ���

Page 8: C;2 0'C;6X^I A I` - math.hu-berlin.devigerske/numerik2/numerikODEs.pdf · h fY^!h Ù h&^! Xh=W¶}zfYh¥}zfp~>h `oh ^0_afmbe Y X Yh fm{c|+i!^!

� ����������� � ������� � � � � �������� �� ��� � � � �� � ��� �Å(+RSR � �]e Ugf�h¨/2785>˽�4 @ ��mÂ��¥È �Fj�ÂLeÏ��������k�e�� �pz�{ ��z � �������J{O���� ES U V Ói£ ` P4¤ ÕsÕ¢�bz<x ��z

¿ ÓOIsÕ 2 ª� ¸ÓOIsÕ 6��

�D{ ��� �l�a�4�����a��z<�wª ;K�` ���Q�������D�l�]� {��4� ¸Ó^IsÕ 2 « ¬~­ zÓO`=Õ�6 �

ª <J« ¬~­ �g© > P Iy¥g`aZÂ��T$(' ��e �.e � z<{�� �&�l{Oz�� v_����� �!�#"�l{OzDz<{ �a�<z�{ � { �dzp�Y{ ����|�}�{ �6587#9 z���{ �b� ���b�$��� �&%'",�dz��bz(�~z��(���D�l�]���{ x �

� ��) x xuz*) �+�<���b���~�_z��4���l�'� �b���~z<�,��� �.-/" �4{ ��� z�{ ���dz<��� { ��xu�l�;�~��� ���'�T£ ` P~¤ Õ10w� � }��q�~{Oz �bz���z��4{Oz<�iz�� z�{ ��l�l�����,{���|~} z<�p�]���4��z<���l�'�#W X �-2� �3 ��4�z 5��_z<{0�=���4�����dz��OÒ½ÓsÔ Õ'0*-Ò½Ó�ÔÖÕn��{ x �651 Ò½Ó^IsÕ �3-Ò½ÓJIsÕD1 2 «87 ­ 1 Ò½ÓO`0Õ �&-Ò-ÓO`=Õ.14P:I�¥�` Z%9��:~�4� 17+ `�0_��� �~z4�4{ � 5<�¢��{Oz��q{ ;¢z<��z<�]�J{O��x ��x[z<{O|~}������ �bz<�Q�l�rz�{ ��z vyx[z<{O|~}��bz<��{O|~}��J�4xu���bzDoDSrW X �<�q{Oz<�<z{��~��z>=;�a�l�Qz<�]�J{Oz�x x0���J� �i�+��� {6�/0��9� }��Lz<�¢��{ x �1 Ò½ÓJIsÕ � o�1 2 « 7 ­ Ô�1 Ò-ÓO`=Õ>� o�1<PRIy¥�`aP

� �?4�z~�dz �~z�x {Oz��<{ �bz&�.�l�4���b�.Ò-Ó�ÔÖÕ+�9 z<�_z�{��/�@�9�A0B-2�!5�}zfYhO²!i4^!d0_afY\X^!h&^KÒ½ÓaÔÖÕzi4^4j3-Ò�Ó�ÔÖÕwlsh&fph&^K�)h��Yfph&�!fY�Xh��Q�0lsi!^4�Xh�^ jTh�`.}v�v��Ì�V=WpVLÎ WQq+h�fÒ bXiT�

jTh�t D ^0_ah�`og2be�Y�_£ ` P !4Õ�i!^4j -ÒKbXiT�¶jTh�t D ^0_ah&`ag2be�Y�_£ ` P -!4Õ�jTh�Ú8^!fph&`s_BW8²0 !`-VXW!�=h�^� !�e_¸hBl¸§&i�§�h�fY�Xh&^Q³4j!b t!EK -! K ¤ �=fp�p_&W:�-W �wW jQW ­½W!lsh&f ! 2 -!QW}]bX^!^¨�=fp�p_zbei!�ÃjTh&t D ^0_ah&`ag2be�Y�L£ ` P !4ÕCC I 1 Ò½ÓOIsÕ �3-Ò½ÓOIsÕ.1 � K �*)@Ò ¿ ÓOIsÕ �3-Ò ¿ Ó^IsÕQPaÒ½ÓOIsÕ>�/-Ò-ÓOIsÕ +

K �*) M½Ó@Ò½ÓOIsÕaÕ � M½Ó8-Ò½Ó^IsÕaÕ PaÒ½Ó^IsÕ �3-Ò½ÓOIsÕ +2 � 1 Ô�1 Ò-ÓOIsÕ>�/-Ò-ÓOIsÕD1 �²= 4`¸jTfphز4i!^!d0_afY\X^C ¸ÓOIsÕ�� K 1 Ò½ÓOIsÕ>�/-Ò-ÓOIsÕD1 � ³�IyS £ `aP !4Õ�³!�XfY��_¸j!bX^!^

¿ Ó^IsÕ 2 � 1 ¸ÓJIsÕQZ}zfYhØ­¸^+»ªh�^4jTi4^!��jTh&l¸�w`o\X^+»Ïbe�Y�����Qh&t�t�b=lzV=W x-�Yfph��%h�`a_�j4be^!^

¸ÓOIsÕ 2 « � 7 ­9 ¸Ó `=Õ�P I�S £ ` P !4ÕQPbe�mls\ 1 Ò½ÓOIsÕ �3-Ò½ÓOIsÕ.1 2 «+7 ­ 1 Ò½Ó `=Õ>�3-Ò½ÓJ`=ÕD1<P IyS £ `aP !4Õ Z}zfYh&lϧ&h�fY�e_ �TWTÍ h�fp_ah&`a|4fp^:�%\X�Y�e_1 -Ò½ÓJIsÕD1 2 1 Ò-Ó^IsÕ(1D6E1 Ò½ÓJIsÕ>�/-Ò½Ó^IsÕ.1 2 1 Ò½ÓJIsÕD1(6�« 7 ­�1 Ò½ÓO`0Õ �3-Ò½ÓO`0ÕD14P IySr£ ` P !4Õ P1 -Ò½ÓJIsÕD1 ¥ 1 Ò-Ó^IsÕ(1 � 1 Ò½ÓJIsÕ>�/-Ò½Ó^IsÕ.1�¥01 Ò½ÓJIsÕD1L�r« 7 ­ 1 Ò½ÓO`0Õ �3-Ò½ÓO`0ÕD14P IySr£ ` P !4Õ Z}zfYh&l§�h�fY�e_8DXÍ h�^!^�Ò¨i!^+�8hBla{c|4`o�X^!d0_¶»�fp`cju§�i!`h�^4jT�Yfm{c|!h�^ �)h&f�_yI�K@!C³0la\.fml�_�-ÒO�8hBla{c|4`o�X^!d0_beiT�_£ ` P !4Õi!^4j:»�fp`cj¨i!^+�8hBla{c|!`c�e^4d=_Ï�Xh&^4bei:§�i4`��)h�fp_HI�K !CWy¸i!^�»Ïbe`oh�^ ÒSi!^4jA-ÒS�8h&�pfYh��4fp���=h�»Ï�e|!�p_&W�}-W |QWp³3�@be�Y�mlØjTfYh�}w�v�NdXh�fY^SjTr+^4bXt�fmlo{c|!h&lØq+rTls_ah&t �=h�^!h��`afYh�`a_&³)ls\Ot, 4lolsh&^¥be�Y�ph��Q�=lai!^!�=h�^�§&i!`z�=�ph&fY{c|!h&^ �)h�fp_]i4^0�)h&lo{c|!`c�e^!d0_z»ªh�`cjTh&^QW8}]fphBl]�^ !|!`a_]§�i¼h�fY^!h�tÍ6fYjTh&`olan!`oi4{c|ED

��������� �� ������������ ��������� ������� �! "�� � � �������� #�� $�%��&�'���()��'�()����+*�,�,.-

Page 9: C;2 0'C;6X^I A I` - math.hu-berlin.devigerske/numerik2/numerikODEs.pdf · h fY^!h Ù h&^! Xh=W¶}zfYh¥}zfp~>h `oh ^0_afmbe Y X Yh fm{c|+i!^!

� � ���� ��� ��� � ������ ��� � � � � ���������� ��� �@� �������� ������� � ������� ��������� ���� �� �� � � �F� ��� � ����� � ��������� � � � ���F �� � � ���� � ��B�����-� ��� �D� � Ð

­¸^!�=h�^!\=t�tuh&^Q³Th&lÏ�=fp�T_¸h&fp^4h �)h�fp_����e³!§&i:jTh&`�dXh&fp^!h.���=lai!^!���%\X`a_olah�_o§��4bX`ªfmls_&W�)i h�fY^!h�t Ú��Tfph&`s_oh�^ Ò��8S�W X �Y�=ls_ØÒ½ÓaÔuPaÒ��&Õ.jTfYhO­¸^T�@bX^!�=la»<h&`s_cbeiT�%�0be�)hut�fp_½Ò½ÓJ`=Õ&KÊÒ���bXiT��jTh�tD ^=_oh�`og2be�Y�Y£ `aP�����Õ�W!Í6fp`�»Ï�e|4�ph&^¨^+i!^kÒ��� � K6Ò <� �� PaÒ�� > K � <���� > Ò��eW!}wbe^4^:�=fp�p_

Ò½ÓJI4PsÒ ��� ÕLK � Ó^IsÕ+Ò ��� K � ÓOIsÕ ��� � ���� Ò � K ��� I 6 � ���� Ò � ­���� �:� � � � �7¤�PjCW |�WÒ½ÓaÔuPaÒ �� Õ�»�fY`oj6lo{c|!\X^�§&i!t �)h�fp_an!i4^!d0_ ��� i!^+�8hBla{c|!`c�e^4d=_BW}]fphBlOfml�_:h�fY^6Í6fYjTh&`olan!`oi4{c|�§�i!`�<h&\X�4b={c|0_ai!^!�8³0j4b�tube�Y�ph.�Q�0lsi4^!�Xh&^Oh�`cl�_�§&i!`��)h�fp_����]i4^0�)h&lo{c|!`c�e^!d0_Ï»<h&`oj!h�^�d=�X^!^4h�^ Ì@j!b�Ò½ÓsÔuPaÒ���BÕjTi!`c{c|¨Ò½ÓsÔuPaÒ��BÕª�)h&lo{c|!`o�X^!d0_ª»�fY`cj4Î W

%9�!5�q+h&f 1�+ `4Wm fp^8jTh�iT_ofp�=dXh&f�_8D�q+h&fph&^�olP8-o8S�W X �w�Yh�fm{c|!�Xh&»�fY{c|0_ola�mbe�Xh&^Q³QjCW |QW0M-ÓOo&ÕqK `4³=M-Ó -o�Õ&K `!W3­¸^+»<h&^4jTi!^4�gX\X^ �TW4bXiT�3Ò-ÓOIsÕL� o2³ -Ò-ÓOIsÕL� -owh&`a�=fp�T_1 o � -o�1 K�1 Ò-ÓOIsÕ �3-Ò½ÓOIsÕ.1 2 «87 ­ 1 Ò½ÓO`0Õ>�3-Ò�ÓO`=Õ.1 K «+7 ­ 1 o � -o�1 ­�����L� � � ` Pj!b 1 + `4W!­¸�mls\�fml�_HoHK -o2Wm �TfYls_ah&^!§ DTq+h�f�� / `Ø�%h&ls_&W0ÍKh&�Xh&^ 1 + `Øfml�_ � Ó��]Õ¶h�fY^!h]Z]\X^0_a`cbed0_ofp\=^ubXiT�=W X W0}wbe^4^�h��Tfml�_ofph&`s_ªh�fY^h�fY^4jTh�i!_afY�Xh�`¸²�f��Tn!i!^!d0_¸Ò S8W X tufp_ � Ó��]Õ0Ò K�Ò W)q+fph&|!hv»<h&f�_oh�`�fY^! q#"]ÐXº4³4q>WQVL¬2´�$�W

¦ (0R (=/ �Q��53?=e�D l�_<j!fph]h�fY^4lsh&f�_ofp�=h¸�QfYn4lo{c|!f�_o§����ªh&jTfY^!�Xi4^!� 1�+ `Øh�`a�^ !�p�p_&³=i!^4j�fmls_�onS?W X �w�ph&fY{c|4�Xh�»�fm{c|0_ols�6^!fY{c|0_¥fY^�jTh�`��\X`o�phBlsi!^4��mbe�Xh.jTh&`¸}w�v�³4la\-�%\=�p�X_Ï�^ !`¸h�fY^!hv�)h��Yfph&�!fp�=hØ�Q�0lsi!^4��Ò-Ó�ÔÖÕ)�M-Ó%Ò½ÓJIsÕsÕ � M-ÓJo�Õ PsÒ½ÓOIsÕ �ro(+ 2 `aP jCW |QW�)JM�Ó@Ò½ÓOIsÕaÕQPio � Ò½ÓJIsÕ +y¥�` P

jTh&`.��h�d0_a\=`qM-Ó@Ò½ÓJIsÕsÕw§�h&fp�X_Øbe�mls\kfY^ j!fph���fm{c|0_ai!^!�¥j!h�`½�w�Yh�fm{c|!�Xh&»�fY{c|0_ola�mbe�Xh:Ì&%�}zfYhO�Q�0lsi4^!�kÒ½Ó^IsÕw�)h�»ªh��X_lafY{c|:fp^���fm{c|0_ai!^4� oeW 'sÎwW¦ (0"#*�JÃ"@(+ §e }]fYhw��\=`obXi4lolsh�_a§�i4^!� 1�+ `½fY^ H3h�fY�Q�Øg=\X^:q!b2_a§-VXW �½fmls_ª^!\X_�»<h&^4jTfY�4³0»�fphvjTfYh&lah&lÏ�ªh�fmlsn4fph&�8§&h�fY�e_+D²0 !` ¨ K)(��8h�_a`cbX{c|0_ah.jTfYhØ}w�v�

Ò ¿ V ÓOIsÕ K ��Ò � ÓOIsÕÒ ¿� ÓOIsÕ K Ò V ÓOIsÕÒ ¿4 ÓOIsÕ K ` Z}wbe^!^kfml�_

) M½Ó#Ò)Õ � M-Ó;-ÒCÕQPsÒ��3-Ò:+:K *,+- ��Ò � 6?-Ò �Ò V �3-Ò V` ./ P0+- Ò V �&-Ò VÒ � �&-Ò �Ò 4 �&-Ò 4 ./!1K Ó-��Ò � 6A-Ò � ÕCÓ%Ò V �/-Ò V Õ�6NÓ@Ò V �/-Ò V ÕCÓ%Ò � �3-Ò � ÕK ` P

jCW |QW4jTfYh.h�fY^4lah�fp_afY�Xh.�QfYn4lo{c|!fp_a§����ªh&jTfY^!�=i!^!��fYls_¸^+i!`Ï�^ !` 1 K `�h�`a�^ !�p�p_&W�w�Yh�fm{c|!�Xh&»�fY{c|0_ola�mbe�Xh&^�lafp^4jkbX�p�Yhvµ¶i!^!d0_ah,o#K ÓO`aPi` P�o 4 Õ�³ o 4 S?WªWÂ��T$(' ��e �Fe �Qz�{�� �q�l{Oz�� vL�NÌ�V=WpVLÎ&�l{Oz 9¢z~��{ �b� ���b��ÌsVXW �=Î@�D{ � 1 K�`Tz��B� x x � ���,���a� {��4�y��{Oz32 z��b�bzD�lx xuz��v�xuz�{O|�} �dz���{O|�}��O�4xu�'�dz�� 4

� K0� o S W X 1 M-ÓOo�Õ�K ` ������bz4��|~}�xu�l�~�<z��r�����@�d�l�C��z =��9 z<�_z�{��/�z²0 !`zj!fph.Z]\X^+gXh5�+fp_o�e_ÏlafYh�|!h6 Öq#"zÐ=º!³8q>WCV2¬2º�$¡W­¸�4�Xh&lo{c|!�Y\=lolsh&^!|!h&f�_8D2qTh�fao À S

4h�fY^!h�²!\X�Y�XhÏg=\X^��w�ph&fY{c|!�=h�»�fm{c|0_ola�YbX�Xh�^�³LjQW |QWbM½Ó o À ÕLK `]tufp__o À À ���� � � � � o7�2W

­¸i!�%�X`oi!^4jkjTh�`zq+_ah�_ofp�=dXh&f�_�gX\=^?M¥fYls_zj!bX^!^ M½ÓJo7�BÕLK�8:9�; À �3� M�ÓJo À ÕLK�`4³!be�mls\Eo7�@S 4 W$ % �������()��'�()����+*�,#,#- �����'��) �& #����� ����� ������ � ������� �) "�� � � �������� ���

Page 10: C;2 0'C;6X^I A I` - math.hu-berlin.devigerske/numerik2/numerikODEs.pdf · h fY^!h Ù h&^! Xh=W¶}zfYh¥}zfp~>h `oh ^0_afmbe Y X Yh fm{c|+i!^!

V&¯ ����������� � ������� � � � � �������� �� ��� � � � �� � ��� �9:(dcÃ5�"%$&"#785���e � f�fs*&AL1>˽�4AB1�k �)785>$&/2� �C$&"@'�j½¤�7)5>$�/2� �C$B"%'Q"%$BÄT$&*B��53?) @(+"@AL1C��53? k�e ²8be�Y�Yl-�^ !`Oj!fph�}v�v�Ì�V=WpVLÎzj!fph��ªh&jTfY^!�=i!^!� Ì�VXW �=Îztuf�_ 19+ `KÓ 1 K `0Õzh&`s�^ 4�p�p_.fYls_&³>|!h&futX_.j!fph�}v�v� �d�l�]�J���+���J{6��Ì���|~}��_�d|�} � ��� 7� �i�+���J{6�+Î W�ÌsVXW �=Î<|!h&futX_zj!be^!^C� �l�]�J�i�8�l� {6� { �����O�4���b� xuz�{O|�}����b�)W�ªfYla|!h&`�|4bX�8h&^N»�fp`¨^+i!`¨^4fY{c|0_a�YfY^!h&bX`ah¥bXiT_a\=^!\Xtuh¼}]f�~>h�`oh�^0_ofYbX�p�=�ph&fY{c|+i!^!�=h�^6�)h�_o`ob={c|=_oh�_B³¶�^ !`:»<h&�Y{c|4h¼jTfYhH3`ob�¡�h�d0_a\=`afYh�^Ob=lsr+tunT_a\X_afmla{c|��=h��=h�^Oh&fp^!h]h�fY^4jTh&iT_afY�Xh.�w�ph&fY{c|4�Xh�»�fm{c|0_ola�YbX�Xh�d=\X^+gXh&`a�=fph&`ah&^QW m fY^!hw^4b2_� !`a�Yfm{c|!h��h�`cbe�Y�Y�Xh�tuh&fp^!h&`ai4^!�¨fmls_Øh&l.^+i!^Q³�q+rTl�_oh�tuh�§�i �)h�_a`cbX{c|0_oh�^Q³Q�)h�f<jTh�^!h&^�lsfm{c|�j!bXl.b=lsr+tunT_a\X_afmla{c|4h���h&`a|8be�p�_ah&^�beiT�Ãh�fY^k�8hBla{c|!`c�e^4d=_oh.Ù�h�^!�=h.�8hBla{c|4`o�X^!d0_&³T»ª\X�)h�fQd=h�fY^!h m fp^8la{c|!`c�e^4d0i4^!�Xh&^¨�)h�§' !�X�YfY{c|�jTh&`¸}zr+^4bXtufpdfY^!^!h�`o|4bX�p�kjTfYh&lah�`¸Ù�h&^!�Xhv�Xh&t�bX{c|0_�»<h&`ojTh&^QWT}zfYh&l¸t�\X_afYg+fph&`s_¸jTfYhv�%\X�Y�Xh&^4jTh�^k}]h�Ú4^!fp_afY\X^4h�^ED9:(dcÃ5�"%$&"#785 ��eYÈsf'f�J7)*B"%$&"@'�j�53(+?)�T$&"@'=k:"@5>'!�T/2"@�45>$�k�eDm fY^!h�Ù�h&^!�Xh�� � W X |!h�f[te_ �a���4{ � {6�8{ �C�����4{O�l�]�fY^ �ªh�§&i!�kbeiT�]ÌsVXWYVBÎ�³>�@be�Y�Yl]�^ !`�¡�hBjThu�8h&�pfYh��!fY�Xhu�Q�0lsi4^!�¨Ò-ÓsÔÖÕwbei4lwÒ½ÓOI � Õ&S����^ 4`wh&fp^rI � S"% � ³8�%\=�p�X_&³Qj!b tÒ½ÓJIsÕyS�� �^ !`]be�Y�ph@I / I ��P§IyS %��eW­¸^8be�Y\X��D��,z��d���J{6�D{ � �l�l�4{O���a��W� |!h�f[te_p{ �C�����4{O�l�a��fY^��ªh�§�i4�ubXiT�ªÌsVXWYVBÎ�³!»<h&^!^:h&lÏn)\=laf�_ofpg¨i!^4j:^!h��0b2_ofpgOfY^+g2be`ofYbX^=_Ïfml�_BW9:(dcÃ5�"%$&"#785���e@� ��fsE3"#*&*B"%JÃ�T$B"%'�j3�! �*B74/L Ã"@(0/2(+53E�(�� (+53?)( k�eHm fp^¥jTr+^4bXtufYlo{c|!h&l�q+rTls_ah&t¹beiT��W X |!h&futX_�l{��~�4{ �a�l� {6�4³2�@bX�p�ml�hBl�h&fp^4h<�)h&lo{c|!`c�e^!d0_ahn8\0lsfp_afYgvfp^+g2be`ofYbX^0_ah<Ù¥h�^!�=h���W X �XfY�T_Ãi!^4jØ�^ !`a¡�hBjThª�8hBla{c|!`c�e^4d=_ohÙ�h&^!�Xh�� �W X h�fY^I �¶Ó��wP���Õh5�TfYls_afYh�`a_�t�fp_zjTh&` m fp�=h�^4lo{c|4be� _&³4j!b t

� ÓJIsÕ�� ��� ��I / I �¶Ó��EP��ÏÕ� |!h�f[te_¸j!bX^!^����<���l�8��{Oz<�iz����dz 2Tz<���dz=W¦ (0"#*�JÃ"@(+ §eH¨ K�©=³TÒ8¿0Ó^IsÕ_K3��Ò½Ó^IsÕ�W!}wbe^!^kfml�_

� Ó^IsÕ+Ò \ K « ? ­¡Ò \ P Ò \ S8W}]fphØÙ�h&^!�Xh�� K £ �Hª�Piª��Qtufp_¢ª / `-fmls_¸�8hBla{c|!`c�e^4d=_Ïi!^4j:n)\=laf�_ofpg¨fp^+g2be`ofmbe^0_+Dq+h&f��� W��)h&lo{c|!`c�e^!d0_B³)j!bX^!^¼h5�TfYls_afYh�`a_wh&fp^�� / `!³Cla\¨j!b t���3ANÓJ` P��2Õ�W>ÍN�e|!�Yh�^K»�fp`@I ��Ó��EP���Õ � KsI �la\4³Cj!b�t8«G? ­ � � K ªkfmls_&³CjCW |QW I �qK 8�� < �¬ > WQ}wbe^!^KfYls_&«�? ­ � 2 ªk�^ !`.bX�p�Yh,I@¥�I �e³Qbe�mls\¨Ò½Ó^IsÕ&S!�¹�^ !`.be�Y�YhI / I �¶Ó"�EP��ÏÕcW8­¸i4{c|�jTfYhØÙ�h�^4�Xh�� K Ó �Hª]P�ªTÕfmls_¸n8\0lsfp_afYg�fY^+gLbX`afmbe^0_BW¦ (0"#*�JÃ"@(+ ¢f'�mÂ��¥È �FjÂ�eª� ���2��k�e ²0 !` ¨ K ©w�)h�_o`ob={c|0_ah.jTfYhØ}zfp~)h&`ah&^0_afmbe�Y�X�Yh�fm{c|0i4^!�^4fY{c|0_�fp^�jTh&`

��\=`a�Yh&lai!^!� Ò ¿ Ó^IsÕLKNÒ½Ó^IsÕ �KÒ 4 Ó^IsÕ Z©=h&jTh.Ù�h&^!�Xh�� Ks£ �Hª�Piª��Qtuf�_nª / ©vfml�_zbX�4la\X`o�!fph&`ah&^4jCW

–1.5

–1

–0.5

0

0.5

1

1.5

x(t)

1 2 3 4 5

t

���=lai!^!�Xh&^¨jTh&`¸}zfp~>h�`oh�^0_afmbe�Y�X�Yh�fm{c|+i!^!���^ !`�Ò½Ó `=ÕyS$# �p©dPD�V% Pi` PHVV \ P�©dP 4�'& W��������� �� ������������ ��������� ������� �! "�� � � �������� #�� $�%��&�'���()��'�()����+*�,�,.-

Page 11: C;2 0'C;6X^I A I` - math.hu-berlin.devigerske/numerik2/numerikODEs.pdf · h fY^!h Ù h&^! Xh=W¶}zfYh¥}zfp~>h `oh ^0_afmbe Y X Yh fm{c|+i!^!

� � ���� ��� ��� � ������ ��� � � � � ���������� ��� �@� �������� ������� � ������� ��������� ���� �� �� � � �F� ��� � ����� � ��������� � � � ���F �� � � ���� � ��B�����-� ��� �D� � V=V

}]fYlolsfYn4be_afYg0fp_o�e_�h�^0_cl�_oh�|0_3|4�XiTÚ4�¸bX�Yl3jTfp`oh�d0_ohZz\=^4lah��0i!h�^4§¶bei4l�h�fY^!h�`Ãq0_a`oi!d0_ai!`o�)h&jTfY^!�Xi4^!�4³BjTfphgX\X^qM-h&`s�^ !�Y�p_»�fY`ojCW m �+fmls_afYh�`a_¸§XW �]W4h�fY^�� / `!³4la\�j4b�twM¼j!fph.�ªh&jTfY^!�=i!^!�

) M-Ó@Ò)ÕQPaÒ:+ 2 ����1 Ò>1 � P ÒTS8W À P Ì�V=W ´+Îh�`a�^ !�Y��_B³4la\-�%\=�p�X_¸bei4l�jTh&t��w`o\X^+»Ïbe�Y�����Qh&t�t�b� Ò-Ó^IsÕ � 2 « ?�� ­ � Ò½ÓJ`=Õ ��^ !`a¡�h&jTh���=lai!^!��Ò½ÓOIsÕCg=\X^�Ì�V=WpVLÎ ³�jCW |QWLbe�Y�ph�H3`cbl¡�h�d0_o\X`ofph&^wjThBl3q+rTls_ah&tul�dX\=^0g=h�`o�XfYh�`oh�^¸�=h��=h�^.jTh�^Ø·z`olan!`oi!^!�8W}]fphBlsh¸q+rTls_ah�tuh¸lafp^8j-bX�Yla\.jTfYlolafpn4be_afYg>³B»ª\X�)h�f�¡�hBjTh¸Zvi!�=h��Ti!t `wh&fp^!h¸bX�4la\X`o�!fph&`ah&^4jThªÙ�h�^!�=h�j!be`cl�_oh��Y��_BW2Í6fp`»ª\X�Y�ph&^:jTfYhØ·¸^4�X�Yh�fm{c|0i4^!�:ÌsVXW ´0Ϊ^+i!^:gXh&`obX�p�Y�Xh&t�h&fp^4h�`o^ED9:(dcÃ5�"%$&"#785 �]e#�8�gfs9¨"#*&*B"%JÃ�T$B"%'Q"%$BÄT$&*B��53?) @(+"@AL1C��53? k�e q+h�fYh�^��¥ `!³� / `OZ]\X^8l�_cbe^0_ah&^QW4}]fph �&{��~�4{ � �47� {6�'{ ���l�J�4���b� xuz<{O|~}������O�mbei!_ah�_8D

)JM�Ó%Ò>Õ PaÒ:+ 2 � ����ÔG1 Ò 1 � �)Ò?S W X Z Ì�V=W x=ÎÂ��T$(' ��e@�!� e �Qz�{�� �&�l{Oz��wv_� �6�9�!�1" �l{Oz �0�b� xuz<{O|~}������*���9���1",�bz �bz���z��(��D�l�a�8{��4�_�l���i|~} ��� �!�1"Ez<{ � ���l���l�D{���|�}az4�n�]���4��z<� ���'��W X � z��L�]{Oz<�4� 0Y�_z<xu|~} z<�@��{��~�~{ �a�l� {6�q{��4�6� ) x xuz �,� �bz<x �

A � `aP�� �� 6�� � P�� / `aP�4{ ������<�<���8�<{Oz��iz����dz 2 z��b�bz��(�9 z<�_z�{��/�]q+h&fQÒ S U V Ó�£ `aP !4ÕsÕÏ���=lai!^!�8W m lÏfYls_CC I 1 Ò½ÓOIsÕ.1 � K CC I )@Ò-Ó^IsÕQPaÒ½ÓOIsÕ +K � )JM-Ó@Ò½ÓOIsÕaÕ PsÒ½ÓOIsÕ +2 ��� � ��� 1 Ò½Ó^IsÕ.1 � P I�S £ ` P !4Õ­¸^+»ªh�^4j!i!^!��jTh&l]�w`a\=^0»Ïbe�Y�p����h�tut�bXl¸V=W x�bXiT�� zÓ^IsÕ � K�1 Ò½ÓJIsÕD1 � ³� 0¿XÓOIsÕ 2 ��� � ���� ¸ÓOIsÕ�³T�Yfph��%h�`a_1 Ò-ÓOIsÕ.1 � 2 « ?���� ­ 1 Ò½Ó `=ÕD1 � 6 ����F��� < « ? ��� ­ ��© >

K « ?���� ­ 1 Ò½Ó `=ÕD1 � 6 � � < © �r« ? ��� ­ >K « ?���� ­ � 1 Ò½Ó `=Õ.1 � � �� � 6 ��

²4bX�p�ml,1 Ò½ÓJ`0ÕD1 � 2��� ³4la\-fmls_ 1 Ò½ÓJIsÕD1 � 2��� W²4bX�p�ml,1 Ò½ÓJ`0ÕD1 � / �� ³4la\-fmls_ 1 Ò½ÓJIsÕD1 � 2 «�? ��� ­ 1 Ò½ÓJ`0ÕD1 � 6 1 Ò½ÓJ`=Õ.1 � < © � «�? ��� ­ > K�1 Ò½ÓO`0ÕD1 � W­¸�Y�Y�Xh�tuh&fp^k�XfY�p_�bX�Yla\ 1 Ò½ÓJIsÕD1 � 2 ;��� "! 1 Ò½Ó `=Õ 1 � P � �$# P IySr£ ` P !4Õ Z}wbe^!^Sfmls_-jTfYh¨�Q�0lsi4^!�¥beiT�q£ ` P4¤ Õv�%\X`a_olah�_a§&�4be`-i!^4j�jTfYh¨}v�v�N�=h�^!h&`afYh�`a_Øh�fY^ jTr+^4bXtufYlo{c|!h&l�q+rTls_ah&t bXiT�W X WµÃ\=laf�_ofpg=h D ^0g2bX`afmbe^!§ gX\=^�A % `aP�% �� 6&� ) D4qTh�fQÒ \ S�A % ` P�% �� 6&� ) W8}]bX^!^kfYls_1 � ÓOIsÕ+Ò \ 1 K�1 Ò-Ó^I4PsÒ \ Õ.1 2 ;'�� ! 1 Ò \ 1<P � ��(# 2)� �� 6���P Iy¥g`aZ$ % �������()��'�()����+*�,#,#- �����'��) �& #����� ����� ������ � ������� �) "�� � � �������� ���

Page 12: C;2 0'C;6X^I A I` - math.hu-berlin.devigerske/numerik2/numerikODEs.pdf · h fY^!h Ù h&^! Xh=W¶}zfYh¥}zfp~>h `oh ^0_afmbe Y X Yh fm{c|+i!^!

V � ����������� � ������� � � � � �������� �� ��� � � � �� � ��� �}]fYlolsfYn4be_afYg0fp_o�e_ D8qTh�f � �W X �8hBla{c|4`o�X^!d0_&³Tbe�mls\ � � ANÓO`aP��eÕ<�^ !`¸h&fp^�� / `4³Ti!^4jklsh&fCÒ \ S �wWT}]bX^!^kfYls_1 Ò½ÓJI4PsÒ]\BÕ(1 � 2 « ?���� ­ � � � � � � � 6 �� ZÍ6fY`¸»ª�X|!�Yh�^:^0i4^I � la\4³!j4b�tE« ?���� ­ � % � � � �� ) K ���XfY��_BW!}]bX^!^kfYls_��^ !`#I / I �1 Ò-Ó^I4PsÒ \ Õ.1 � 2 « ��� ­ � � � � � � � � 6 �� 2 � 6 �� Z��������� ����� ��������� ����������������� �!��� ���#"�$�"%�!��&'�(��$��)�

q+h&f�M"�aW X+* %-, �BW X l�_oh�_ofp�8³:%-, NWª³LM & � W X.* %-, � E¼Ó^W X Õ]ls_ah�_ofp�8W)²0 !`@I \ S %-,4³)Ò \ SrW X tuf�_%-,0/N£ I \ P4¤ Õ<�)h�_a`cbX{c|0_ohvj!fphOÌ@^!fY{c|0_cbeiT_o\X^!\=t�hLΪ}zfp~)h&`ah&^0_afmbe�Y�X�Yh�fm{c|0i4^!�

Ò ¿ Ó^IsÕ�K�M�Ó%Ò½ÓOIsÕ PiIsÕ Ì�V=W º0Îi!^4jkjTfYhØ­¸^!�@be^!�0ls»ªh�`a_obXiT�%�=bX�8h

Ò ¿ ÓOIsÕLK M-Ó@Ò-Ó^IsÕQPiIsÕQP Ò-ÓOI \ ÕLK6Ò \ Z Ì�V=WÖ¬XÎ9:(dcÃ5�"%$&"#785S�]e#�+¦�fih: @(+"#AB1�?)(=Ë�"#AB1>$B*& #�!?)(]jT*&$&�T$B"@7)53Ä!/L(uÅ<D8*B�35�? k�e_m fp^ onS8W X |!h&futX_@v�xuz�{O|~}��bz<��{O|~}��J�.7xu�'�dz½gX\=^ ÌsVXW º=Î ³+�@bX�p�mlHM�ÓOolPiIsÕLK�`-�^ !`]be�Y�ph@IyS %-,O�XfY��_BWÒ½ÓJIsÕL��oe³�I�S %-,4³!|!h&futX_n�4���l� {O�l�Q�l�izp�=���4���b�)W¦ (0"#*�JÃ"@(+ §en¨ K ©=³QÒ ¿ Ó^IsÕ&K �#I+Ò½Ó^IsÕ�³3jCW |QW0M-Ó#Ò.P§IsÕ&K �#I�Ò�W�}]bX^!^�fml�_qowK `¥�w�ph&fY{c|!�=h�»�fm{c|0_ola�YbX�XhXWQ}]fYh�Q�0lsi4^!��jTh�`¸}v�v� fYls_

Ò½ÓJIsÕLK�« ? 1 :: Ô�Ò]\dZ

–1

–0.5

0.5

1

1.5

2

x(t)

–2 –1 1 2

t

���=lai!^!�=h�^¨j!h�`z}]f�~>h�`oh�^0_ofYbX�p�=�ph&fY{c|+i!^!��Ò8¿=ÓOIsÕLK3�#I+Ò½Ó^IsÕ<�^ !`zÒ \ S �G�p©dP�© P ���2W9:(dcÃ5�"%$&"#785¹�]e#�0Ç�f�(+"@5�*B(0"@$&"#?8( Å"%JÃ*BAB1�"%$�'2I ¦ (+E�"@5�?8��53?=j¸¤�7)5>$�/2� �C$B"%'Q"@$&ÄT$B*� (+E�"@5�?8��5�?Qkle }]fph:·¸^T��X�Yh�fm{c|+i!^!�

) M-Ó@Ò.PiIsÕ � M-Ó8-Ò.P§IsÕ PsÒ��3-Ò:+ 2 1 1 Ò��3-Ò>1 � �^ !`¸Ò=P4-Ò S?W X P§IyS % , P Ì�V=W �0Îtuf�_¥Z]\X^4ls_obX^0_ah 1 S WH|4h�f[te_�z<{ �a�<z�{ � { �dzT��{ �]��|~}�{ � 5(�~z~�l{ ���������6�^ 4` ÌsVXW º=Î�W D ls_ 1 2 `4³�ls\ |!h�f[te_�Ì�V=W �0Î� �l�]�J�i�8�l� {6� { �����O�8�~z~�l{ �b� ���b�XW9:(dcÃ5�"%$&"#785 ��e@�!U fs9¨"#*&*B"%JÃ�T$B"%'Q"%$BÄT$&*B��53?) @(+"@AL1C��53? k�e }zfYhØ·¸^4�X�Yh�fm{c|0i4^!�

) M-Ó%Ò=P§IsÕFPsÒ:+ 2 � ��� 1 Ò>1 � P Ò S?W X P§IyS %-,]P Ì�V=W Ð0Îtuf�_zZ]\X^8l�_cbe^0_ah&^���¥�`!³ � / `!³T|!h&futX_ �&{��~�4{ � ���J{6� { ���l�J�;�~z~�l{ ���������¨�^ !`ØÌ�V=W º0Î W}]fphØ­zi4lalobe�=h�^ Vvi!^4j �-gX\X^�qTbe_a§uVXW º�i!^4jkjTfYhØ­¸i4lolabX�XhwgX\=^kqTbe_a§uVXWYV �½�Xh&��_oh�^�bei8{c|��^ !`ØÌsVXW º=Î�W��������� �� ������������ ��������� ������� �! "�� � � �������� #�� $�%��&�'���()��'�()����+*�,�,.-

Page 13: C;2 0'C;6X^I A I` - math.hu-berlin.devigerske/numerik2/numerikODEs.pdf · h fY^!h Ù h&^! Xh=W¶}zfYh¥}zfp~>h `oh ^0_afmbe Y X Yh fm{c|+i!^!

� � ���� ��� ��� � ������ ��� � � � � ���������� ��� �@� �������� ������� � ������� ��������� ���� �� �� � � �F� ��� � ����� � ��������� � � � ���F �� � � ���� � ��B�����-� ��� �D� � VB�$&%�� ���a;F+=/��?2��<5 6*��&5 �a( 6 +F+=/���5�-��l/�� -Y5#*Í6fY`¸�8h�_a`cbX{c|0_ah&^¨jTfYhØ­¸^!�@be^!�0ls»ªh�`a_obXiT�%�=bX�8huÌ�V=WÖ¬XÎi4^4j:h�fY^!hØ}zfmlad0`oh�_ofYlafYh�`oi!^!��gX\X^ £ I \ P~¤ Õ/D

I�\ + I V + Z�Z'Z + I À ? V + I À + Z�Z'Ztuf�_ D ^0_oh�`ogLbX�p�m�e^4�Xh�^ �

Á K�I Á �rI Á ? V P �DKs©dP�� P�Z�Z'ZÍ6fY`¸�8h&§�h&fY{c|!^4h�^:t�fp_¸Ò À jTfYh.jTi!`c{c|¨h&fp^k^+i!tuh�`ofmla{c|!hBlª��h�`a�@be|!`oh�^:�8hBl�_ofptut½_ah½­zn!n!`o\��+fYt�b2_ofp\=^�§�ikÒ½ÓOI À Õ�WÍ6fY`ulai4{c|!h&^SfYt �%\X�Y�Xh�^8jTh�^G�<hBjTfY^!�Xi!^4�Xh�^S�^ !`�jTfph:^+i!tuh�`ofYlo{c|!h&^S��h�`a�@be|!`oh�^�³�la\Kj!b tKjTfYhkben!n!`o\��TfptufYh�`a�_ahO���=lai!^!�¥j!b=l.��bX^!�X§&h�fp_agXh&`a|8be�p_ah�^ jTh&`.h��!bed0_ah&^��Q�=lai!^!�kg=\X^�Ì�VXW ¬eÎwi4^=_oh�`Ø�=h�`ofp^4�Xh�^ \TjTh�`½dXh�fY^!h&^ m fp^T�lo{c|!`o�X^!d+i!^!�=h�^Sbe^GjTfYhkqT{c|4`afp_s_�»ªh�fp_ah

�Á »�fYh&j!h�`o�XfY�T_&W�q+n)h�§�fYh��Y�Ï»<h&`oj!h�^S»�fY`ui!^4l�tuf�_udX\=^=_o`obXd0_afYgXh�^�i4^4jjTfmlalafYn4b2_ofpg=h�^�q+rTl�_oh�tuh�^:�8hBla{c|8�2� _afY�Xh&^QW

²4bX�p�mlvjTfYh�}]f�~>h�`oh�^0_ofYbX�p�=�ph&fY{c|+i!^!�:la{c|+»ÏbX{c|�d=\X^0_a`cbed0_afYg:fYls_&³Qla\��=fp�p_]�^ 4`�¡�h-§&»<h&fÃ���=lai!^!�=h�^¥Ò½ÓaÔÖÕ ³ -Ò-ÓsÔ Õz§�i!`­3ͼ­ÊÌ�V=WÖ¬XÎtufp_z­¸^T�@bX^!�=la»ªh�`a_ah�^:Ò \ ³ -Ò \ D1 Ò½ÓJI À Õ �3-Ò½Ó^I À Õ(1 2 1 Ò-Ó^I À ? V Õ �3-Ò½ÓJI À ? V ÕD14P��r¥ ©dPi!^4bX�!|4�X^!�XfY��gX\=^ qT{c|!`of�_a_�»<h&f�_oh�^QW3Í6fp`-t��T{c|0_ah&^Q³3j4b�t¼lafY{c|Sj!fphBlsh m fp�=h�^4lo{c|4b2� _�bei4{c|SbXiT�¸jTfph:jTi!`c{c|�h�fY^^+i!tuh�`ofYlo{c|!hBl<��h&`s�@bX|!`oh�^kben!n!`o\��TfptufYh�`a_ahv�Q�0lsi!^4�, !�)h�`a_a`c�e�X_+D9:(dcÃ5�"%$&"#785¹�]e#� � f ¦ Io*&$&�T Ã"@ �k�eqm fp^S^+i!tuh&`afmla{c|4h&l D ^0_ah&�X`cb2_ofp\=^4lsg=h�`a�@be|!`oh�^K|!h�f[te_ 9*7��4������{ x�³��@bX�p�mlØhBl½�)h�f­¸^+»ªh�^4j!i!^!� bXiT�Øh�fY^!hKlo{c|+»ªb={c| d=\X^0_a`cbed0_ofpg=hk}v�v��Ì�VXW º=Î�§�i�­z^T�@be^!�0ls»ªh�`a_ah&^�Ò \ ³-Ò \ i!^4jN�8h&�pfYh��!fY�Xh&^�)h&`a�Yh��=i!^!�Xh&^ I \B+ I V + Z'Z�Z4q+h �0i!h�^!§&h�^���Ò À � À�� \ ³ �C-Ò À � À�� \ h�`o§�h&i!�e_B³+�^ !`¸jTfYhØjTfYhØ·¸^!�=�ph&fY{c|+i!^!�1 Ò À �&-Ò À 1 2 1 Ò À ? V �&-Ò À ? V 14P��r¥N©dP Ì�VXWYV&¯0Î�XfY�p_&W¦ (0"#*�JÃ"@(+ §e q+h�fQj!fphØ}v�v�

Ò ¿ Ó^IsÕLKNM½Ó#Ò½Ó^IsÕ P§IsÕ � K0�p© ` % Ò½ÓJIsÕ�Xh&�Xh&�8h&^QW)}]h�`Øq0_cbe`a_�»<h&`s_ -Ò \ K `O�Yfph��%h�`a_vj!fphul�_cb2_ofp\=^4�e`oh½�Q�0lsi4^!�"-Ò À K `�����W4Í h��=h�^7�p© ` % + `Ofml�_.jTfYh}v�v� ^4bX{c|k�Qh&t�t�bu�!WÖx-dX\=^=_o`obXd0_afYg)W+Í6fY`��8h�_a`cbX{c|0_ah&^¨^+i!^kh&fp^!fY�Xhv^+i!tuh�`ofmla{c|!h D ^0_ah&�X`cb2_ofp\=^4lsg=h�`a�@be|!`oh�^�DV=W m �Tn!�pfY§�fp_ahBl m i!�Yh�`a����h�`a�@be|!`oh�^EDT}]fph D _oh�`cb2_ofp\=^4lsg=\X`cla{c|4`afp� _<�mbeiT_oh�_

Ò À K6Ò À ? V 6 � À M�Ó%Ò À ? V P§I À ? V ÕQZ²= 4`¸jTfphBlshBl��ªh�fmlsn!fYh��Cfmls_zj!be^!^

Ò À K6Ò À ? V 6 � À < �p© ` % Ò À ? V > K < © ��©'` % � À > Ò À ? V Z}zfYhØ·¸^!�=�ph&fY{c|+i!^4�:ÌsVXWYV&¯=Î<�mbeiT_oh�_zj!bX^!^

1 Ò À �3-Ò À 1 K 1 Ò À 1 K��� © ��©'` % � À �� 1 Ò À ? V 1 K��� © ��©'` % � À ��� �� !" V$#1 Ò À ? V �&-Ò À ? V 1 #2 1 Ò À ? V �3-Ò À ? V 1<Z

}]b¨jTfphBl]bX�8h&`zh&fp^!h�qT{c|!`ofp_s_�»ªh�fp_ah�^+�)h&lo{c|!`c�e^!d+i!^!�u�^ 4` � À j!be`cls_ah��Y�p_&³)fYls_wjTfYh&lah&l]��h�`a�@be|4`ah&^�^!fY{c|0_.�<�l�_cbe�!fY�#W�!W D t�n4�pfY§�fp_ahBl m i!�Yh�`a�¡��h&`s�@bX|!`ah&^ED!}]fph D _oh�`cb2_afY\X^8lsg=\X`cla{c|!`ofp� _<�mbeiT_oh�_¸|!fYh�`

Ò À K6Ò À ? V 6 � À M�Ó%Ò À P§I À ÕQZ$ % �������()��'�()����+*�,#,#- �����'��) �& #����� ����� ������ � ������� �) "�� � � �������� ���

Page 14: C;2 0'C;6X^I A I` - math.hu-berlin.devigerske/numerik2/numerikODEs.pdf · h fY^!h Ù h&^! Xh=W¶}zfYh¥}zfp~>h `oh ^0_afmbe Y X Yh fm{c|+i!^!

V�´ �G� � ����� ����� ���� � �� ��� �I � ��� � ��� � ����� ���²= 4`¸jTfphBlshBl��ªh�fmlsn!fYh��QbX�Yla\

Ò À K Ò À ? V 6 � À < �p©'` % Ò À > PjQW |QW4Ò À K ©

©@6�©'` % � À Ò À ? V ZÍKh&�Xh�^ VV = V \���� 2 ©wfmls_zjTfphØ·z^!�X�Yh�fm{c|+i!^!�kÌ�V=WpVB¯=Î�^ !`�¡�hBjTh.Í bX|!�CgX\=^ � À h�`a�^ !�p�p_+D1 Ò À �3-Ò À 1bK�1 Ò À 1 2 1 Ò À ? V 1bK�1 Ò À ? V �/-Ò À ? V 14Z}zfYh&lah&lÏ��h&`s�@bX|!`ah&^¨fmls_z���ls_obe�4fp��Ì%§&i!t��<h&»<h&fYlÏlafph&|!h½qTbe_a§uVXWYV&��beiT�¶q+h&f�_oh�V&º=Î�W

�4W���h�`o�8hBlalah�`a_ahBl m i!�ph&`s����h�`a�@be|4`ah&^ED!}zfYh D _ah&`obe_afY\X^4lagX\=`olo{c|!`of�� _ªjTfphBlshBlÏh��Tn!�Yfp§&f�_oh�^k��h�`a�@be|4`ah&^4lÏ�YbXiT_ah�_Ò À K6Ò À ? V 6 � À M � Ò À ? V 6 � À� M�Ó%Ò À ? V P§I À ? V ÕQPiI À ? V 6 � À� � Z

²= 4`¸jTfphBlshBl��ªh�fmlsn!fYh��QbX�Yla\Ò À K6Ò À ? V 6 � À < �p©'` % > � Ò À ? V 6 � À� < �p© ` % Ò À ? V > � K � © ��©'` % � À 6 ©� < © ` % � À > � � Ò À ? V Z

²= 4`¸jTfphØ·z^!�X�Yh�fm{c|+i!^!�kÌ�V=WpVB¯=Î<h�`o�XfY�T_¸jTfYh&l1 Ò À 1 K ���� © ��©'` % � À 6 ©� < ©'` % � À > � ����� � !" V #1 Ò À ? V 1 #2 1 Ò À ? V 14Z

}zfYh&lÏh&`a�=fp�T_�»�fYh&jTh&`�h�fY^!h m fY^4lo{c|!`o�X^!d+i!^!��gX\=^ � À ³4la\uj4b�t�jTfYh&lah&lÏ��h�`a�@be|4`ah&^¨^!fm{c|0_¸���ls_obe�4fp�Cfml�_BW

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t

Vergleich von expliziten und impliziten Euler−Verfahren an der DGL x’(t)=−9x(t)

← explizites Euler−Verfahren mit Schrittweite h=0.2

← exakte Loesung x(t)=e−9t

← implizites Euler−Verfahren mit Schrittweite h=0.2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

t

Vergleich von expliziten und impliziten Euler−Verfahren an der DGL x’(t)=−10.5x(t)

explizites Euler−Verfahren mit Schrittweite h=0.2 →

← exakte Loesung x(t)=e−10.5t

← implizites Euler−Verfahren mit Schrittweite h=0.2

M� # @?)(+RS(+"@5�(0* ��Ic*�$B�.cÃ?)(0*�£���5�?8(=Io¤��3$�$B�¥,.(0/2�¡�41�/2(+5 Dm fY^ � ��ls_aiTÚ4�=h&l�� ���b�bz87 �q��� ��� 7��]z��B�<�'}��iz<�k�4b=lsfYh�`a_�beiT��jTh�^ ��� ��{��<|~} z�� ��|~}��4{ � ��z��

I À�� � K�I À ? V 6�o � � À P �0K © P'Z�Z'Z<P � P§�i��,�Q�l��z<�8` 2 o V 2 Z�Z'Z 2 o�� 2 ©XW=}]fYh D _ah&`afYh�`a_ah&^I��Ò À � À�� \ »<h&`ojTh&^ugXh�`otu�X�=hÏj!h�`��%\=�p�=h�^4jTh&^���\X`cla{c|4`afp� _�Xh&�!fY�YjTh�_+D

Ò À K Ò À ? V 6 � À ��Á�� V

� Á ¾ ¿ÀBÁ P¾¼¿À�� K M�+- Ò À ? V 6 � À �

�Á�� V

� �ÖÁ ¾ ¿ÀBÁ PiI À�� ./ P ��Ks©dP�Z�Z'Z<P � PÌ�VXWYVXVLÎ

��������� �� ������������ ��������� ������� �! "�� � � �������� #�� $�%��&�'���()��'�()����+*�,�,.-

Page 15: C;2 0'C;6X^I A I` - math.hu-berlin.devigerske/numerik2/numerikODEs.pdf · h fY^!h Ù h&^! Xh=W¶}zfYh¥}zfp~>h `oh ^0_afmbe Y X Yh fm{c|+i!^!

� � ���� ��� ��� � ������ ��� � � � � ���������� ��� �@� �������� ������� � ������� ��������� ���� �� �� � � �F� ��� � ����� � ��������� � � � ���F �� � � ���� � ��B�����-� ��� �D� � VLx

tuf�_8vHz<��{O|~}���z<�&� ��� Á i4^4j � Á ³ �~P �wK © P'Z�Z'Z<P � W>}zfYh½µ�be`cbetuh�_ah�` o V P'Z�Z�Z�Pio � ³� V P�Z�Z'Z�P � � i!^4j � V � V P'Z�Z�Z�P � � � �»ªh�`cjTh�^:fpt 9#����|~} z��.7��a� �<xuz~����§�i4lobetutuh�^!�=h��@b=lals_vÌ � fYls_¸h�fY^ �)h�fY�ph&^+gXh�d0_o\X`�B Î'D

o � � K

o VWWWo �� ViV Ô�Ô�Ô�� V �WWW W W W WWW� � V Ô�Ô�Ô � � �� V Ô�Ô�Ô � �

}]fph:�<fY�mjTi!^!�0lsg=\X`cla{c|!`ofp� _�Ì�VXWYVXVLÎv�Yfph��%h�`a_�h&fp^ �w�Yh�fm{c|+i!^!�0lalarTl�_oh�t �^ 4`�¾ ¿À V P�Z'Z�Z<Pa¾ ¿À � WÃ�ªh&§�h�fm{c|!^!h�t�fp_u¾ À��jTfYh � ��{���|�}az<�a�4�J�'�<z���� �������/=d{ � ���J{O����z��

¾ À�� � KNÒ À ? V 6 � À ��Á�� V

� �ÖÁ ¾ ¿ÀBÁ P �YKs© P�Z'Z�Z<P � Z Ì�VXWYV �=Î

²4bX�p�ml�� ��� Á K `-�^ !` � 2 �8³4la\uh�`o�XfY�T_¸lsfm{c|:h�fY^ z =;��x {�5�{ ��z4� � ���b�bz87 �q��� ��� �]z<�B�<� }��iz���W�ªh�fmlsn4fph&�phw�^ !`z�¸i!^!�Xh���Zvi!_s_obe�¡��h&`s�@bX|!`oh�^�lafp^8jV=W � =;��x {�5�{ ��z4� �y��xuz��.7��]z��B�<�'}��iz<�?D8}]fYh D _ah�`cb2_ofp\=^4lagX\X`clo{c|!`afp� _�mbeiT_oh�_

Ò À K6Ò À ? V 6 � À M�Ó%Ò À ? V P§I À ? V ÕQZ� K�©=³!�ªiT_o{c|!h&`s� H�be�!�Yh&bXiED ` ` ©

Ò À K Ò À ? V 6 � À ¾¼¿À V¾K¿À V K M�Ó%Ò À ? V P§I À ? V Õ�!W :4� ��x {�5�{ ��z4� �y��xuz��.7��]z��B�<�'}��iz<�?D8}]fYh D _ah�`cb2_ofp\=^4lagX\X`clo{c|!`afp� _�mbeiT_oh�_

Ò À K6Ò À ? V 6 � À M�Ó%Ò À P§I À ÕQZ� K�©=³!�ªiT_o{c|!h&`s� H�be�!�Yh&bXiED © ©©

Ò À K Ò À ? V 6 � À ¾ ¿À V¾ ¿À V K M +�- Ò À ? V 6 � À ¾ ¿À V� �� !& P§I À ? V 6 � À� �� !­ .��/

�4W :4� ��x {�5�{ ��z 2 { � ��z�x ����� �l� �iz��bz<x6D4}]fYh D _ah�`cb2_ofp\=^4lagX\X`clo{c|!`afp� _�mbeiT_oh�_Ò À K�Ò À ? V 6 � À M � ©� Ó%Ò À 6SÒ À ? V ÕQP§I À ? V 6 � À� � Z

� K�©=³!�ªiT_o{c|!h&`s� H�be�!�Yh&bXiED ` Z�� ` Z��©Ò À K Ò À ? V 6 � À ¾¼¿À V¾K¿À V K M � Ò À ? V 6 � À� ¾ ¿À V P§I À ? V 6 � À� �

´8W �]z<�8�~z<�~�<z��4��z4� �y��xuz��.7��]z��B�<�'}���z<�?D4}]fph D _oh�`cb2_afY\X^8lsg=\X`cla{c|!`ofp� _<�mbeiT_oh�_Ò À K6Ò À ? V 6 � À M � Ò À ? V 6 � À� M�Ó%Ò À ? V P§I À ? V ÕQPiI À ? V 6 � À� � Z

� KJ�!³!�ªiT_o{c|!h&`s� H�be�!�Yh&bXiED `` Z�� ` `` Z�� `` ©

Ò À K Ò À ? V 6 � À ¾¼¿À �¾K¿À V K M�Ó%Ò À ? V P§I À ? V Õ¾K¿À � K M � Ò À ? V 6 � À� ¾ ¿À V P§I À ? V 6 � À���

$ % �������()��'�()����+*�,#,#- �����'��) �& #����� ����� ������ � ������� �) "�� � � �������� ���

Page 16: C;2 0'C;6X^I A I` - math.hu-berlin.devigerske/numerik2/numerikODEs.pdf · h fY^!h Ù h&^! Xh=W¶}zfYh¥}zfp~>h `oh ^0_afmbe Y X Yh fm{c|+i!^!

V&º �G� � ����� ����� ���� � �� ��� �I � ��� � ��� � ����� ���x!W ���i� � z 5��iz��dz�x6D4}]fph D _oh�`cb2_ofp\=^4lsg=\X`cla{c|4`afp� _�mbeiT_oh�_

Ò À K6Ò À ? V 6 � À� Ó M½Ó#Ò À ? V PiI À ? V Õ 6gM-Ó@Ò À PiI À ÕsÕQZ� KJ�!³!�ªiT_o{c|!h&`s� H�be�!�Yh&bXiED ` © ` `` Z�� ` Z��` Z�� ` Z��

Ò À K Ò À ? V 6 � À� ¾ ¿À V 6 � À� ¾ ¿À �¾K¿À V K M�Ó%Ò À ? V P§I À ? V Õ¾ ¿À � K M +��- Ò À ? V 6 � À� ¾ ¿À V 6 � À� ¾ ¿À �� � !& PiI À ? V 6 � À� � !­

.���/9:(dcÃ5�"%$&"#785 �]e#� � fs�! @?)(0 3/2�!"#*&AL1�*�$B�T �"# kle m fY^ � ��l�_oiTÚ4�XhBlz��i4^!�Xh���ZviT_a_ob���h&`s�@bX|!`oh�^k|!h�f[te_E�lx �bz��<�i��{���|�}�4��� �<{ x�³!�@be�Y�Yl � � ¥�`4³ �YKs© P�Z'Z�Z<P � ³!i!^4jkjTfYhØÙ¥b2_o`af�� � K Ó ¨ � � Á Õ�³

¨ � � Á K � � � Á � � 6 � Á � � � Á ��� � � Á P �~P �,Ks© P'Z�Z�Z'P � Pn)\=laf�_ofpg:lsh&t�fmjTh�Ú4^!fp_¸fYls_&W

� K � +�- � V `W W W` � � .��/ 6 +�- � V `W W W

` � � .��/ �0�� �Â��T$(' ��e@� �gf�� e��Ø/27)� '=(+"%P�jÏ�+È �8È�kle �y{ � �lx �bz(���i��{��<|~} �4��� �<{ xuz<��� ���b�bz;7 �,��� ��� �]z��B�<�'}��iz��T{��4� 9 7��4��� �<{ x.�9 z<�_z�{��/�z�ªh�_o`ob={c|0_ahwh�fY^!hØ}w�v� Ò)¿=ÓOIsÕLK M-Ó#Ò½Ó^IsÕQPiIsÕ�³+�^ 4`zjTfYhØjTfph.Z]\X^0_a`cbed0_ofpg+fp_o�2_clsi4^!�X�Yh�fm{c|+i!^!�

)JM�Ó%Ò=P§IsÕ � M-Ó;-Ò=P§IsÕQPaÒ��&-Ò0+ 2 `aP Ò=P4-Ò S?W X P§Iy¥gI \ P�XfY�p_&W4}]fph D _oh�`ofph&`s_oh�^ ��Ò À � À�� \ j!h&l¸��i4^!�Xh���ZviT_a_ob-��h�`a�@be|!`oh�^8lÏ»<h&`ojTh&^¨h&^0_olan!`ahB{c|!h�^8jKÌsVXWYVXVBÎ�Xh&�!fY�YjTh�_+D

Ò À K Ò À ? V 6 � À ��Á�� V

� Á ¾ ¿ÀLÁ P¾ À�� K Ò À ? V 6 � À �

�Á�� V

� �ÖÁ ¾ ¿ÀLÁ P �YK © P'Z�Z'Z<P � P¾ ¿À�� K M�Ó%¾ À�� P§I À�� ÕQP �YK © P'Z�Z�Z�P � Z

­¸i!�%�X`oi!^4jkjTh�`¸Z]\X^0_o`obXd=_ofpg+fp_o�e_<fml�_zj!bX^!^� ¾ ¿À�� � -¾ ¿À�� Ps¾ À�� � -¾ À���� 2 ` �0K © P'Z�Z'Z<P ��� ��¥N©dZ Ì�VXWYV&�0Î

Í6fY`¸|4be�)h�^:§�ik§&h�fY�Xh�^�D 1 Ò À �3-Ò À 1 � 2 1 Ò À ? V �&-Ò À ? V 1 � Wy¸i4^:fmls_1 Ò À �&-Ò À 1 � K *Ò À ? V �3-Ò À ? V 6 � À �

�Á�� V

� Á < ¾ ¿ÀLÁ � -¾ ¿ÀBÁ > PaÒ À ? V �/-Ò À ? V 6 � À ��Á�� V

� Á < ¾ ¿ÀBÁ � -¾ ¿ÀBÁ > 1K 1 Ò À ? V �&-Ò À ? V 1 � 6

tufp_� � K � � À * ��Á�� V

� Á < ¾ ¿ÀBÁ � -¾ ¿ÀLÁ > PsÒ À ? V �&-Ò À ? V 1 6 � �À ��Á � � � V

� Á � � � ¾ ¿ÀBÁ � -¾ ¿ÀLÁ Pa¾ ¿À�� � -¾ ¿À�� �

��������� �� ������������ ��������� ������� �! "�� � � �������� #�� $�%��&�'���()��'�()����+*�,�,.-

Page 17: C;2 0'C;6X^I A I` - math.hu-berlin.devigerske/numerik2/numerikODEs.pdf · h fY^!h Ù h&^! Xh=W¶}zfYh¥}zfp~>h `oh ^0_afmbe Y X Yh fm{c|+i!^!

� � ���� ��� ��� � ������ ��� � � � � ���������� ��� �@� �������� ������� � ������� ��������� ���� �� �� � � �F� ��� � ����� � ��������� � � � ���F �� � � ���� � ��B�����-� ��� �D� � V2¬

­¸i8l¸²!\=`atuh��¶ÌsVXWYV �=ζ�%\=�p�X_

Ò À ? V �/-Ò À ? V K ¾ ÀBÁ � � À �� � � V � Á � ¾ ¿À � �

� -¾ ÀBÁ � � À �� � � V � Á � -¾ ¿À ���

K ¾ ÀBÁ � -¾ ÀLÁ � � À �� � � V � Á � < ¾ ¿À � � -¾ ¿À � > P �,K © P�Z'Z�Z<P � P

be�mla\ K � �À �

�Á � � � V

� Á � � � ¾ ¿ÀLÁ � -¾ ¿ÀBÁ Ps¾ ¿À�� � -¾ ¿À�� � 6 � � À ��Á�� V

� Á * ¾ ¿ÀLÁ � -¾ ¿ÀBÁ Ps¾ ÀBÁ � -¾ ÀBÁ � � À �� � � V � Á � <#¾ ¿À � � -¾ ¿À � > 1

K � �À ��Á � � � V

� Á � � � ¾ ¿ÀLÁ � -¾ ¿ÀBÁ Ps¾ ¿À�� � -¾ ¿À�� � 6 � À ��Á�� V

� Á � � ¾ ¿ÀBÁ � -¾ ¿ÀBÁ Pa¾ ÀLÁ � -¾ ÀBÁ �

� � �À ��Á�� V

� Á � *¾ ¿ÀBÁ � -¾ ¿ÀLÁ P�� � � V � Á � < ¾ ¿À � � -¾ ¿À � > 1

K � �À ��Á � � � V

� Á � � � ¾ ¿ÀLÁ � -¾ ¿ÀBÁ Ps¾ ¿À�� � -¾ ¿À�� � 6 � À ��Á�� V

� Á � � ¾ ¿ÀBÁ � -¾ ¿ÀBÁ Pa¾ ÀLÁ � -¾ ÀBÁ �

� � �À ��Á�� V

� Á � *¾ ¿ÀBÁ � -¾ ¿ÀBÁ P�� � � V � Á � < ¾ ¿À � � -¾ ¿À � > 1 6 * �

� � � V � Á � < ¾ ¿À � � -¾ ¿À � > Ps¾ ¿ÀBÁ � -¾ ¿ÀBÁ 1 �K � À

��Á�� V

� Á � � ¾ ¿ÀBÁ � -¾ ¿ÀBÁ Ps¾ ÀBÁ � -¾ ÀLÁ �� � !" \������ ���� ���� � � �À ��Á � � � V

� � Á � Á�� 6&� � � � Á ��� Á � � �� � !X���� � � X���� � � ¾ ¿ÀBÁ � -¾ ¿ÀBÁ Pa¾ ¿À�� � -¾ ¿À�� � Z

q+h&fQ^+i!^ A � K��Á � � � V¨ � Á )�� Á P�� � +QP � � S W X P �0K © P'Z�Z�Z � Z

� K Ó ¨ � � Á Õ�fml�_:h�fY^!h¼lar0tutuh�_o`afmlo{c|!hX³<n8\0lsfp_afYgGlah�tufmjTh�Ú8^!f�_ohKÙ¥be_a`of ��i!^4jNdLbX^!^Nj!bX|!h�`¨t�fp_ F<|4\X�Yh&lad0r§�h&`a�Yh��X_�»<h&`ojTh&^ED � K�� ��tufp_¸h�fY^!h�`�\=�8h&`ah&^:}]`oh�fYh&{cdTlst�be_a`of ����W4}wbe^!^kfml�_

¨ � Á K�� � � V � � � � � Á K �

� � � V � � � � � Á PA K �

�Á � � � V

�� � � V � � � � � Á ) � Á P�� � +LK

�� � � V * �

�Á�� V

� � Á � Á P �� � � V � � � � � 1 K �� � � V

������

��Á�� V

� � Á � Á �������¥�` P

K � À��Á�� V

� Á � � ¾ ¿ÀBÁ � -¾ ¿ÀBÁ Pa¾ ÀLÁ � -¾ ÀBÁ �� �� !" \��!�"��#���"� �$�"�

� � �À �� � � V

������

��Á�� V

� � Á <#¾ ¿ÀBÁ � -¾ ¿ÀBÁ >������

�� � !" \

2 ` Z Ì�VXWYV�´+Î

­¸�mla\��=fp�p_ 1 Ò À �/-Ò À 1 � 2 1 Ò À ? V �/-Ò À ? V 1 � 6 2 1 Ò À ? V �3-Ò À ? V 1 � Z¦ (0R (=/ �Q��53?���e@�TÈ.e Í b=l�n4b=lalafph&`s_Ï�)h�fQd=\X^0_a`cbed0_afYgXh&^¨}]f�~>h�`oh�^0_ofYbX�p�=�ph&fY{c|+i!^!�=h�^ Ì%tuf�_ 1 + `=Î�³4jCW |QW

) M½Ó#Ò.PiIsÕ � M-Ó8-Ò0P§IsÕ PsÒ��3-Ò:+ 2 1 1 Ò��3-Ò>1 � Ò.P -Ò S?W X PiI�¥�I \ Z$ % �������()��'�()����+*�,#,#- �����'��) �& #����� ����� ������ � ������� �) "�� � � �������� ���

Page 18: C;2 0'C;6X^I A I` - math.hu-berlin.devigerske/numerik2/numerikODEs.pdf · h fY^!h Ù h&^! Xh=W¶}zfYh¥}zfp~>h `oh ^0_afmbe Y X Yh fm{c|+i!^!

V&� �G� � ����� ����� ���� � �� ��� �I � ��� � ��� � ����� ���²!\=`atuh&�¶Ì�VXWYV�´+Î<�pfYh��%h&`s_¸^+i!^

2 � À ��Á�� V

� Á Ô.� 1 �� ¾ ÀBÁ � -¾ ÀBÁ �� � 2 `aZ�ªh�_o`ob={c|=_oh�j!h�^�q+n8h&§�fmbe�p�@be�Y�jThBlvfptun!�Yfp§&f�_oh�^ m i!�Yh�`a����h�`a�@be|!`oh�^ED � K ©=³ � V�V K � V K�o V K ©X³C¾ À V K Ò À W}wbe^!^kfml�_ 1 Ò À �3-Ò À 1 � 2 1 Ò À ? V �/-Ò À ? V 1 � 6 � À Ô � 1 Ô�1 Ò À �3-Ò À 1 �

bX�Yla\ 1 Ò À �3-Ò À 1 � 2 ©© � � 1 � À� � !��� \ � V��

1 Ò À ? V �3-Ò À ? V 1 � + 1 Ò À ? V �3-Ò À ? V 1 �D ^! q�"zÐXº!³8q>W4�=�0¬�$C»�fY`oj Ì �^ 4`zbeiT_o\X^!\=tuhv}v�v�Q^�³ � À K � ³��r¥N©LÎ<�Xh�§&h�fY�e_1 Ò À �&-Ò À 1 � 2 Ó ©@6 � � E<Õ �

Ó ©@6 � � E<Õ � � � 1 � 1 Ò À ? V �/-Ò À ? V 1 � P��r¥N©dP�^ !` %�Z]\X^4ls_obX^=_oh�^�� � i!^8j Ez³!jTfYh.^0i4`�gX\X^

�³!Ò \ i!^8j -Ò \ be�!|8�e^!�=h�^QW

���� ��� �������� � � �����%��� �

D t��ph�_a§�_oh�^¥­z�4la{c|4^!f�_a_z|4bX�8h&^�»�fp`zj!r0^8betufYlo{c|!h½q+rTls_ah&t�h.�)h�_o`ob={c|0_ahX³8jTh�`oh�^ H3`ob�¡�h�d0_a\=`afYh�^kbXlar+t�n!_a\e_ofYlo{c|�Xh&�Xh&^¥h�fY^!huh�fY^4jTh&iT_afY�Xh��w�ph&fY{c|4�Xh�»�fm{c|0_ola�YbX�XhØ\TjTh&`vh�fY^!h�bX�!�XhBla{c|4�p\0lalah�^!h½dX\X^+g=h��Th-Ù�h&^!�Xh�gX\=^K�w�Yh�fm{c|!�Xh��»�fm{c|=_cls�mbe�=h�^KdX\X^+g=h�`o�XfYh�`a_ah�^�³8i!^8jK|8be�)h�^�j!bXlv��h&`a|8be�p_ah�^�jTh&`.h��!bed0_oh�^ �Q�=lai!^!�ktufp_-jTh�`.^+i!tuh&`afmla{c| ben!�n!`o\��TfptufYh�`a_ah�^u�Q�0lsi4^!�]g=h�`o�X�YfY{c|4h�^QW D ^�jTfYh&lah�t ­¸�4lo{c|!^!fp_s_¶»ª\X�Y�ph&^u»�fp`¶jTfYh&lah HÏ|!h&\X`ofphÏ^+i!^�beiT�CjTr+^4bXt�fmlo{c|!hq+rTls_ah�tuhOg=h�`cbe�Y�p�=h�tuh�fY^!h&`a^Q³CjTh&`ah&^"H�`cbl¡�h&d0_a\X`ofYh�^ ^!fY{c|0_ا&i�h�fY^!h�t �%h&ls_ah&^�µ¶i!^!d0_-d=\X^+gXh&`a�=fph&`ah&^¥tq 8lalah�^Q³la\X^4jTh&`a^�h�fY^!hwbX�4la\X`o�!fph&`ah&^4jThzÙ¥h�^!�=hzfY^�h�fY^!h&`ªh&^4jT�YfY{c|4h�^ �)h&f�_Ïh�`o`oh�fm{c|!h�^Oi4^4j�jT\=`s_ªgXh&`a�!�Yh�fY�)h�^KÌ@g+�X�¡W0}]h���WVXWYV&¯4³!q+h�fp_ah�VB¯=Î W�ªh�_o`ob={c|=_oh]h&fp^4hØ}w�v�³T�^ !`zjTfYh.jTfYhØ}zfmlalafYn4b2_ofpg+fp_o�2_clsi4^!�X�Yh�fm{c|+i!^!�kÌ�VXW Ð=Î�³

) M-Ó@Ò.PiIsÕQPsÒ0+ 2 ���� 1 Ò>1 � P Ò S?W X PiI�¥�I�\ P�XfY�p_&³!tufp_zZz\=^4l�_cbe^0_ah&^�� ¥�`�i!^4j � / `4W!}]bX^!^kfYls_

)@¾ ¿À�� Pa¾ À�� + 2 � ��� 1 ¾ À�� 1 � P �YKs©dP�Z�Z'Z<P � P ��¥N© Zy¸i4^:fmls_1 Ò À 1 � K * Ò À ? V 6 � À �

�Á�� V

� Á ¾ ¿ÀLÁ PsÒ À ? V 6 � À ��Á�� V

� Á ¾ ¿ÀBÁ 1K 1 Ò À ? V 1 � 67� � À �

�� � V

� � )#¾ ¿À�� PaÒ À ? V + 6 � �À ��� � Á�� V

� � � Á � ¾ ¿À�� Pa¾ ¿ÀLÁ �� V�� V � �K 1 Ò À ? V 1 � 67� � À �

�� � V

� � * ¾ ¿À�� Pa¾ À�� � � À ��Á�� V

� � Á ¾ ¿ÀBÁ 1 6 � �À ��� � Á�� V

� � � Á � ¾ ¿À�� Ps¾ ¿ÀBÁ �K 1 Ò À ? V 1 � 67� � À �

�� � V

� � )#¾ ¿À�� Pa¾ À�� +>� � �À ��� � Á�� V

Ó ��� � � � Á �� � � Á Õ � ¾ ¿À�� Ps¾ ¿ÀBÁ �K 1 Ò À ? V 1 � 67� � À �

�� � V

� � )#¾ ¿À�� Pa¾ À�� +>� � �À ��� � Á�� V¨ � � Á � ¾ ¿À�� Pa¾ ¿ÀLÁ � P

K 1 Ò À ? V 1 � 67� � À ��� � V

� � )%¾ ¿À�� Pa¾ À�� +� � !" � ?��� � � � : �� �À �

� � � V������

��Á�� V

� � Á ¾ ¿ÀBÁ �������

� �� !� \P

��������� �� ������������ ��������� ������� �! "�� � � �������� #�� $�%��&�'���()��'�()����+*�,�,.-

Page 19: C;2 0'C;6X^I A I` - math.hu-berlin.devigerske/numerik2/numerikODEs.pdf · h fY^!h Ù h&^! Xh=W¶}zfYh¥}zfp~>h `oh ^0_afmbe Y X Yh fm{c|+i!^!

� � ���� ��� ��� � ������ ��� � � � � ���������� ��� �@� �������� ������� � ������� ��������� ���� �� �� � � �F� ��� � ����� � ��������� � � � ���F �� � � ���� � ��B�����-� ��� �D� � VBÐ

be�mla\½�%\=�p�X_ 1 Ò À 1 � 2 1 Ò À ? V 1 � 67� � À ��� � V

� � % ���� 1 ¾ À�� 1 � ) Ì�VXWYVBx=Î�^ !`¸h&fp^kbe�Y�Xh&�!`cbefmla{c|:l�_cbe�!fY�phBl���i!^!�=h���ZviT_s_cb2����h�`a�@be|!`oh�^�W�ªh�_o`ob={c|=_oh]^+i!^k»ªh�fp_ah&`a|!fY^kjTh�^¥q+n)h�§&fYbX���@bX�p�QjThBlp{ � ��x {�5�{ ��z<���y��xuz��.7��]z��B�<�'}���z<�a� D © ©© W}]fphBlshBl]��h&`s�@bX|!`oh�^¥fml�_.be�Y�Xh&�!`cbefmla{c|¥ls_obX�!fp�¡³CjTh�^4^¼h&lwfml�_ ¨ ��� Á K ¨ V � V K © 6N©���©,K © ¥ `4³>jQW |QW � fmls_n)\=laf�_ofpg:lsh&t�fmjTh�Ú4^!fp_&W4­zi4l�jTh�^�²4\X`ot�h&�p^ Ì�V=WpV=VBÎ<i!^4j ÌsVXWYV �XÎ�%\=�p�X_�j4be|!h&`

Ò À K Ò À ? V 6 � À ¾ ¿À V P¾ À V K Ò À ? V 6 � À ¾ ¿À V Pbe�mla\

Ò À KN¾ À V Z²!\=`atuh&�¶Ì�VXWYVBx=Î<�pfYh��%h&`s_zj!bX^!^

1 Ò À 1 � 2 1 Ò À ? V 1 � 67� � À % � ��� 1 Ò À 1 � )� Ó ©@6 � � À �3Õ� � !� V

1 Ò À 1 � 2 1 Ò À ? V 1 � 67� � À �� 1 Ò À 1 � 2 ©

©@67� � À �� �� !��� � � �

1 Ò À ? V 1 � 6 � � À �©@67� � À �� �� !��� � Z

­¸^4�Xh�^4\Xtutuh�^Q³ThBl�h��Tfml�_ofph&`s_�h�fY^!hØZ]\X^4ls_obX^0_ah��Q³!la\�j!b�t� Ó�À Õ 2 � + © P ��¥N© P

�XfY�p_¨Ì��À ¥ V ?����� Îvi!^8j�lsh&f<jTfYh�qT{c|!`of�_a_�»<h&f�_oh�gX\=^ i4^=_oh�^��)h&lo{c|!`c�e^!d0_&³3jCW |�W � À ¥ � �� � / `4³ � ¥ ©XWÍ h�fp_ah�`o|!fY^kfYls_ C À K �� Ô � � À �©@6 � � À � 2 � � K�� C Z

}wbe^!^:�%\X�Y�e_

1 Ò À 1 � 2 � 1 Ò À ? V 1 � 6 C 2 � À 1 Ò \ 1 � 6 À ? V�Á�� \

� Á C K�� À 1 Ò \ 1 � 6 C © ��� À© ��� À ���� � � ��� C© ��� P Ì�VXWYV&º0Î

be�mla\ 8�9:;������À ��� 1 Ò À 1 � 2 C© ��� Z

Å(+RSR � �]e ���.e�� z~� z�2Tz<���dz� � K -A � `aP � C

© ��� 6�� � P � / ` P{��4��z�{ ��zD���<���l�8��{Oz<��z<�Q� z 2Tz<���dz � �q� �l�p{ � �Qx {�5�{ ��z �y��xuz��.7��]z��B�<�'}��iz<� �$ % �������()��'�()����+*�,#,#- �����'��) �& #����� ����� ������ � ������� �) "�� � � �������� ���

Page 20: C;2 0'C;6X^I A I` - math.hu-berlin.devigerske/numerik2/numerikODEs.pdf · h fY^!h Ù h&^! Xh=W¶}zfYh¥}zfp~>h `oh ^0_afmbe Y X Yh fm{c|+i!^!

�e¯ �G� � ����� ����� ���� � �� ��� �I � ��� � ��� � ����� ���9 z<�_z�{��/�¸µÃ\=lafp_afYgXh D ^+gLbX`afmbe^4§]g=\X^ � D4²0 !`¸Ò \ S � fml�_¸§&i¨§&h�fY�Xh&^EDTÒ À S � �^ 4`zbe�Y�ph �r¥N©=WÍ h��Xh&^ ÌsVXWYV&º0Îi4^4j 1 Ò \ 1 2 % �V ? 6&�½fYls_¸^+i!^1 Ò À 1 � 2 � À Ô � C

© ��� 6�� � 6 C © ��� À© ��� K � À � 6 C© ��� 2 C

© ��� 6&��P �r¥N©dPjCW |QW!Ò À S � �^ !`zbX�p�Yh ��¥N© Z­¸�8ls\=`anT_ofp\=^4lah�fY�Xh�^8la{c|4be� _ªg=\X^�� D8q+h&f �6h�fY^!hv�8hBla{c|4`o�X^!d0_ah.Ù�h�^4�XhX³!jQW |QW�� � -ANÓJ` P��2Õ<�^ 4`¸h�fY^ � / `!W�)i�§&h�fY�Xh�^�D m l-h��Tfml�_ofph&`s_½h&fp^ � � � K � ��Ó"�wP���Õ � K � �¶Ó���P��eÕ�³�la\¼j!b t��8h&f<Í be|!�ªgX\=^�Ò \ S � �%\X�Y�e_B³3j!b tÒ À S � �^ !`zbe�Y�Yh �r¥ � �v�XfY��_BW²0 !`�Ò \ S����=fp�p_¸»<h&�Xh&^ ÌsVXWYV&º=Î'D

1 Ò À 1 � 2 � À � � 6 C © ��� À© ��� À ���� � � ��� C© ��� Z

}wbe^!^kh��Tfml�_ofph&`s_�§&i�� / `�h�fY^ � � K � � Ó ��P��2Õªtufp_zjTh�` m fp�=h�^4lo{c|4b2� _B³4j!b t� À � � 6 C © ��� À© ��� 2 C

© ��� 6&��P ��¥ � � PjCW |QW�1 Ò À 1 � 2 �V ? 6&�+³��r¥ � � ³4bX�Yla\�Ò À S�� �^ !`]be�Y�ph �r¥ � � W¦ (0R (=/ �Q��53? ��em�Q�]e q+n8h&§�fYh��Y�ª�^ !`�� �0i!fYj!fYls_obX^=_oh �)h&`a�Yh��=i!^!�Xh&^ � À K � ³�� S � ³Ï�XfY�p_ � K VV = � � i4^4jC À K �� � �V = � � K �� Ó © ���8Õ8K�� C ³<jCW |QW �V ?� K �� W­¸�mls\�lafp^8jGj!fph¥Zvi!�=h��Y^ -A % `aP�% �� 6&� )ó � / `!³be�8ls\=`a�!fYh�`oh�^8jThwÙ¥h�^!�=h�^¨�^ !`zj!b=lÏfptun!�Yfp§&f�_oh m i!�Yh�`a�¡��h&`s�@bX|!`oh�^KÌ@g+�X�¡W!tuf�_]qTbe_a§uVXWYV �!³4q+h�fp_ah�V=VBÎ�W�)i4lobetutuh�^!�@bXlolsh&^4j�h&`a|8be�p_ah�^:»�fY`Ï�%\X�Y�Xh�^8jTh.­¸i4lolabX�Xh9DÂ��T$(' ��em�)� e �Qz�{�� �&�l{Oz��wv_� �6�9����" �l{Oz��q{��~�~{ �a�l� {6� { �����O�4���b� xuz�{O|�}����b� ��� ���'"z<�B� x x �6��D�l�a� �<{ x[� z����d���¢{ � ��x {�5<{ ��z �y��xuz��.7��]z��B�<�'}��iz<� �l{Oz �q{��~�~{ �a�l� {6� { �����O��z�{ �dz�� ��|~} ���~��� z�� � vL���<�a��x { ���l� {6�p�4{O|�}��J{ ����d|�}�0_������5<�_���q�'}���z ���i�8�l� {���|�} �iz�xuz8�����a��z��y{ �a��|�}��i�l� �l������dz<�@� |�}��4{ �J� �_z<{ ��z��(�� z~� z��q� �bz�x -A % ` P % �V ?� 6�� ) 0 � / ` 0�{��4��� �4�����8�<{Oz��iz���� z 2Tz��b�bz�� �q��{Oz�)����Q�i�/=d{ �E�l� {O�l��z��(�Í h�fp_ah�`o|!fY^k�XfY��_��%\=�p�=h�^4jTh&`¸qTb2_o§ DÂ��T$(' ��em�8¦gf'�mÂ��¥È �Fj�ÂLe�Ç(�)¦���k�e �Qz�{�� �&�l{Oz��wv_� �6�9����"��{Oz �q{��~�~{ �a�l� {6� { �����O�4���b� xuz�{O|�}����b�$��� ���'" z<�B� x x �6��D�l�a� ��{ xu� z���z�{ � � 7��4� � �=�bz4�100��x �dz����i�l{���|~}�4��� �<{ xuz<� � �����dz87 �,���J��� 7��]z��B�<�'}��iz��w�,{ � � � / `�0 ��K�© P'Z�Z'Z<P � 0I�~z�{������{O�l{��4���l�]��z��p�Q|~}��4{ � � �_z<{ ��z � À K

� / ` 0 ��¥N© 0��l{Oz��&{��~�4{ � ���J{6� { ���l��<�a��x { ���l� {6�D�4{O|~}�� { ����d|�}��� z~� z �,� �bz<x�A % `aP % �� 6 � Ô�o�Ó � Õ 6&�L)�0 � / `�00{��4�y� �4�����8�<{Oz��iz���� z�2Tz<���dz � o�Ó � Õ@{��4��z<{ �Qz �l�l� � ���~} �l�C7� { �dz�� �l�a�~���l�]��z�" �

��������� �� ������������ ��������� ������� �! "�� � � �������� #�� $�%��&�'���()��'�()����+*�,�,.-

Page 21: C;2 0'C;6X^I A I` - math.hu-berlin.devigerske/numerik2/numerikODEs.pdf · h fY^!h Ù h&^! Xh=W¶}zfYh¥}zfp~>h `oh ^0_afmbe Y X Yh fm{c|+i!^!

� � ���� ��� ��� � ������ ��� � � � � ���������� ��� �@� �������� ������� � ������� ��������� ���� �� �� � � �F� ��� � ����� � ��������� � � � ���F �� � � ���� � ��B�����-� ��� �D� � �!V$&%�� A,+0/@+=2<)&*��p-Y5����&;.68* �q5#* 6*89� 5#2<; +05�-���q;.68* �&5#*q+h&f<jTi!`c{c|�jTfYh�}w�v��Ò8¿=ÓOIsÕqK�M-Ó%Ò½ÓJIsÕQP§IsÕ.h�fY^SjTr+^4betufmla{c|!hBl½q+rTls_ah�t bei!�#W X �Xh&�Xh��)h�^6Ì#jCW |�W��^ !`¢¡�h&jTh&^­¸^!�@be^!�0ls»ªh�`a_Òa\pS W X fYls_ªjTfYh]���=lai!^!�ØbXiT�_£ `aP~¤ ÕÃ�Xh&�Xh&�8h&^8Î W0�<h&§�h&fY{c|!^4h¸tuf�_

4jTfYh]�h&^!�XhzbX�p�Yh�`�w�ph&fY{c|!�

�Xh&»�fY{c|0_cls�mbe�=h�^¨j!h�`¸}v�v�3D 4� K3�&Ò S W X 1 M-Ó@Ò.PiIsÕ_K�` �QI_S £ `aP~¤ Õ��

�)ikÒ �\ S 4 fYls_zÒ � Ó�ÔÖÕ��NÒ �\ l�_cb2_afY\X^8�e`ohv���=lai!^!�8W!�<h&f����0i!fmjTfml�_cbe^0_ah&`��)h�`o�ph&�Xi!^4�DI À � K � � ³�� S � ³=I�\nK `!³tuf�_

� / `�fml�_B��Ò � ÓOI À Õ � À�� \ K3��Ò �\ � À�� \ j!bX^!^kh�fY^!h.l�_cb2_afY\X^8�e`ohw²4\X�Y�XhXWm fY^ D ^=_oh��=`obe_afY\X^4lagXh&`s�@bX|!`ah&^��pfYh��%h&`s_¸§&ikh�fY^!h�t�­¸^T�@bX^!�=la»<h&`s_ÏÒ \ h&fp^4hز!\X�Y�Xh ��Ò À � À�� \ W D ls_zbei8{c|:jTfYhز!\=�p�=h�&Ò À � À�� \ t�fp_OÒa\ KHÒ �\ ls_ob2_ofp\=^4�e`ui!^8j �YfYh��%h�`a_Oj!bXl D ^0_oh��X`cb2_ofp\=^4lagXh�`a�@be|4`ah&^�^0i4` j4be^!^Gh�fY^!h¥ls_ob2_ofp\=^4�e`oh²!\=�p�=hX³T»ªh�^!^:h&l¸�!§��=�#WTh&fp^!h&`z�w�ph&fY{c|4�Xh�»�fm{c|0_ola�YbX�Xh]�Xh&ls_obX`s_oh�_�»�fY`oj��Ø}½W |QW4�=fp�p_Ï�^ !`zjTfYhØÙ�h&^!�Xh4

� ������ � ��� � � K0�BÒ S?W X 1 bXi4lÏÒ \ KNÒk�%\X�Y�e_�Ò À KNÒ.P��r¥ © �4K4 � ������ �" ��� ���

Â��T$(' ��em�4Ç.e �� � �lx xuz$� ��� �4{��4��z��a��z<� ����� �4������{ xuz<�sx { ��z~�l�iz�� 2Tz�}��~�<|~}��4{ � � ��z��B�<�'}��iz<� �������lx x[z � ���b�bz;7�,���J��� 7 2Tz�� }a�'�dz<�8��{ x � 4

�4 � ��������������� �

9 z<�_z�{��/� �)iGÒ �\ S 4fYls_�§�i §&h�fY�Xh&^Q³�j!b�t jTfph D _oh�`ofph&`s_oh�^T�%\=�p�=h �&Ò À �kj!h&l���h�`a�@be|!`oh�^8l-�)h�f¸q0_cbe`a_�»<h&`s_�Ò �\ls_ob2_ofp\=^4�e`Ïfml�_8D!Ò À K6Ò �\ ³ �r¥ ©XW

V=W¸�<h�_a`cbX{c|0_ahwh�fY^:dX\X^8lsfml�_oh�^0_ahBl�l�_cbe�!fY�Yh&lÏ�Yfp^!hBbe`oh&lÏÙ�h&|!`olo{c|!`of�_a_ag=h�`a�@be|!`oh�^ED �Á�� \

� Á Ò À ? Á K � �Á�� \

� Á M-Ó@Ò À ? Á P§I À ? Á ÕQP��r¥"!QZ Ì�VXWYVL¬XÎ

m lw�Xh��p_ah&^KjTfYh�Zz\=^4lafYls_ah&^!§��)h&jTfY^!�=i!^!�Xh&^$# Á�� \ � Á K `¨i!^4j�# Á�� \ � Á �,6 � Á K `�i4^4j¼j!b=lv}]bX|!����=i4fYls_olo{c|!hvÍKi4`a§&h��Yd0`ofp_ah�`ofYi!tkWÍKh&�Xh�^KÒ �\ S 4 fYls_qM�Ó%Ò �\ PiI À Õ K�`¨�^ !`Øbe�Y�Yh � S �&% � ` �XWCÍ6fY`.§�h�fY�Xh&^Q³Cj!b�tkjTfYh�²!\X�Y�Xh�Ò À � K Ò �\ ³�T¥ ©X³!jTfYhØ��h�d+i!`clafp\=^ ÌsVXWYVL¬eÎh�`a�^ !�Y��_8D m l�h&`a�=fp�!_�lafm{c|:jTfYh½�w�Yh�fm{c|0i4^!�

�Á�� \

� Á Ò �\ K � �Á�� \

� Á M-Ó@Ò �\ PiI À ? Á Õ� � !� \K ` P���¥"! P

»<h&�Y{c|!hvbei!�%�X`oi!^4j:jTh�`zZ]\X^8lsfml�_oh�^!§&�8hBjTfY^!�Xi!^4�'# Á�� \ � Á K `�h�`a�^ !�Y��_¸fml�_BW4­¸�mla\�fmls_¸Ò �\ S 4 � ( ) � � *,+ �YW�!W¸�<h�_a`cbX{c|0_ahw^+i!^:h�fY^:�)h��YfYh��!fY�XhBl � ��ls_aiTÚ4�=h&l���i4^!�Xh���ZviT_a_ob���h�`a�@be|4`ah&^ o � � WÍ6fp`�§�h&fp�=h�^Q³2j!b t]jTfYhª²4\X�Y�Xh<Ò À � KNÒ �\ ³L¾¼¿À�� � K `!³ ��K�© P'Z�Z'Z<P � ³ ��¥ ©X³LjTfYhª�¸i!^!�Xh���Zvi!_s_obe���¸h�d+i!`clsfY\X^h�`a�^ !�p�p_+D m lÏfYls_

Ò À K�Ò À ? V 6 � ��Á�� V

� Á ¾ ¿ÀBÁ K�Ò À ? V K6Ò À ?�� 6 `&KsZ'Z�ZbKNÒa\ KNÒ �\ P ��¥ ©

¾ ¿À�� K M +- Ò À ? V 6 � ��Á�� V

� �ÖÁ ¾ ¿ÀLÁ P§I À�� ./ K M-Ó%Ò À ? V P§I À�� Õ_K M-Ó@Ò �\ P§I À�� Õ_K�` P �0Ks©dP�Z'Z�Z<P � P ��¥N© Z­¸�mls\ufml�_¸Ò �\ S 4 � -/. ��0 ��12.43�3 � W

$ % �������()��'�()����+*�,#,#- �����'��) �& #����� ����� ������ � ������� �) "�� � � �������� ���

Page 22: C;2 0'C;6X^I A I` - math.hu-berlin.devigerske/numerik2/numerikODEs.pdf · h fY^!h Ù h&^! Xh=W¶}zfYh¥}zfp~>h `oh ^0_afmbe Y X Yh fm{c|+i!^!

��� �G� � � � ��� �D� ����� � �� �� � � �F� � � ��� ������ �� ���

��T$(' ��em�)U e��� � �d�l� �4{��4��z<�]��z'0Y�~������{ xuzqx { ��z~���iz 2Tz~}��~��|~}��4{ � �#�lz<�B�<� }��iz�� ��{ x ���~z<{<) �]�_z<�Q�l�����w�l�'�&z�{ ��z,�l� 7���l����� z�� vL���6�9�!�1"���a|�} 4 � � � � � ��� � �

49 z<�_z�{��/�]q+h&fQ^+i!^�jTfYhØbeiT_o\X^!\=t�h.}v�v��Ò8¿=Ó^IsÕ_KNM�Ó%Ò½ÓOIsÕaÕª�=h��=h��)h�^QW!²0 !`¸h&fp^4hØl�_cb2_afY\X^8�e`ohw²4\X�Y�Xh �&Ò À � À�� \gX\=^ D _oh�`ofph&`s_oh�^Q³!jQW |QW4Ò À K�Ò � S 4 � ( ) � � *,+ � ³ ��¥N©X³!fmls_ϧ&ik§�h�fY�Xh&^Q³!j!b t�Ò � S 4 �XfY��_BW­¸i!�%�X`oi!^4j�jTh&`<q0_obX�!fY�pfp_o�e_olah�fY�Xh�^8la{c|4be� _jTh&l�pfY^!hBbe`oh�^�Ù�h�|4`olo{c|!`of�_a_agXh&`s�@bX|!`oh�^4l��XfY�p_ � # Á�� \ � Á ;K `!WeÍ h�fp_ah&`s�|!fY^k|4be�)h�^k»�fY`¸jTfphØZ]\X^8lsfml�_oh�^!§&�8hBjTfY^!�Xi!^4� # Á�� \ � Á K `!Wm fY^4lah�_a§&h�^�jTh&`¸l�_cb2_afY\X^8�e`oh�^¨²4\X�Y�XhvfY^kj!fph.h&`ols_ahØ�w�Yh�fm{c|0i4^!�uh�`o�XfY�T_¸j!be^!^

� �Á�� \

� Á� � !�� \

M½Ó@Ò � ÕLK �Á�� \

� Á� �� !� \

Ò � Z­¸�mla\-�%\=�p�X_ M½Ó@Ò � ÕLK `!³!jCW |QW!Ò � S 4 W¦ (0"#*�JÃ"@(+ §e q+h�f ¨ Ks©=³� ;K `�i!^8jk�8h�_a`cbX{c|0_ahvjTfYhØ}w�v�

Ò ¿ ÓOIsÕ_K0��� Ò½ÓJIsÕ©@6�Ò � ÓOIsÕ P

M-Ó@Ò=P§IsÕLK���� &V = & : W4}]fphBlsh.}v�v���)h&laf�_o§�_¸^+i!`�h�fY^!h.ls_ob2_ofp\=^4�e`ohv�Q�=lai!^!�8³ 4 K0�'` �XW�ªh�_o`ob={c|=_ohz»ªh�fp_ah&`a|!fY^kj!bXlÏ��i!^4�Xh.ZviT_s_cb2����h�`a�@be|!`oh�^¨§�i!t��<i!_o{c|!h&`s� H3bX�!�Yh&bei

` © ` `© `` © i!^4j:���0i!fp�jTfml�_cbe^0_ah&^kq!{c|!`afp_s_�»ªh�fp_ah&^

�À K

�³ �r¥ ©XW8}zfYh D _ah&`obe_afY\X^4lagX\=`olo{c|!`of�� _�mbei!_ah�_zbX�Yla\

Ò À K Ò À ? V 6 � ¾ ¿À �¾ ¿À V K M-Ó%Ò À ? V P§I À ? V ÕLK���� Ò À ? V©@6�Ò �À ? V¾ ¿À � K M-Ó%Ò À ? V 6 � ¾ ¿À V PiI À V Õ}wbe^!^kfml�_

Ò À KNÒ À ? V �� � Ò À ? V �� � & ��� V = &.:��� ©@6 % Ò À ? V ��� � & ��� V = &(:��� ) �

i!^4j�jTfphw²!\=�p�=h �&Ò À � À�� V fYls_<ls_obe_afY\X^4�X`&³e�0jT».W0Ò À K�`\TjTh�`0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

t

x

Integration der DGL, λ=11,h=.1

← exakte Loesung, x0=(h*λ−1).5

approximierte Loesung mit x0=(h*λ−1).5

← approximierte Loesung mit x0=0.1

Ò À K6Ò À ? V � © ��� � ©© 6�Ò �À ? V K ` � Ò �À ? V K � ���g© � Ò À ? V K���� � �<��© Z

²4bX�p�ml� � � © / `!³=ls\Ølafp^8j�jTfph]²!\X�Y�Xh&^uÒ À K 6 � � �<��©e³ �r¥g`4³Xi!^4juÒ À K�� � � �<�g©=³ �r¥g`!³=l�_cb2_afY\X^8�e`BWm l�fmls_zbe�mls\ 4

� ������ �" ��� � K�� � � �<��©�Pi`aPD� � � �<�g©���� 4Z

a������� "!$#�%'&$(*),+.-�/02143�5 0 )6-�/071348 079�:<;=$>@? "ACBD!� > "EGFH% >HI AJF I AHBD!�%LK4MON P<��MO# ? %�ACN I ��%Q > %��SRS%�! > ATBT! >HI FJFJU'% >WV "! > %���AXZY\[^] )6- /0713 8 0 [ /'_ 0 I AHF ? "��� X`YTa7] )6(Zb�� ? X'c$YHa7] )6( :2dL: ! : : I AJF ? MOe�e�%�N FT%Cf`b�NgNgAHFH%�NgNg%hU'MO� X :"d�I %�A I AHF4% I �ji Ig? % > ATe > b�BD!k b�# d "!�Ngl<b I AHFHATBD!�%�#minb > k %�NgE >JI FH% >JI b�# :��������� �� ������������ ��������� ������� �! "�� � � �������� #�� $�%��&�'���()��'�()����+*�,�,.-

Page 23: C;2 0'C;6X^I A I` - math.hu-berlin.devigerske/numerik2/numerikODEs.pdf · h fY^!h Ù h&^! Xh=W¶}zfYh¥}zfp~>h `oh ^0_afmbe Y X Yh fm{c|+i!^!

� ������������ �������� �� � � ���� ����������� � ����� �� �����! �"�#�$� % �'& �(��� &)� *,+-+-.�/10�/32546/378�9;:1<>=@?BADC>EF=5G;CHEI9J=�KMLMN OQPSRUTWVYX)Z[R\O[R]TWV_^`TWV_a bUcIdJegfhYiIG;=5: egjlknmIo O>pqX�OQpsrutwvyx>p(zgZ(RUO>pFrutg^`T{psrut5V|3iICB}S=M<>=@}nASCIC e@mS~�� EF9;=���=5:`�]AD?B:`=@CB�W=@C��{�39;���sG;iICI} oO p X�O psrut vyx p Z��IO psr�t v x p� Z[R\O psrut ^WT psr�t V_^`T psrut v x p��� a�MiF�`��A��`��?B:`9;=5< e@~n�n� =59;CHASGJG;}S=@��=@9JCB=@����=-�F�IG;9J�@9���=@�3|3iICB}S=-���MiF�`��A���=5:`�]AD?I:�=5C���ADiF� oO>p X OQpsrut�vyx>p �¡ ¢;£ tu¤ ¢]¥ Pp ¢ ^¥ Pp ¢ X Z#¦§¨O>psr�tYv©xBp ¢ rut¡ª £ tQ« ¢ ª ¥ Pp ª ^WT{pFrut�vy¬ ¢ x>ps­®¯^ °±X � ^5a@a5a@^�²n^¥ Ppnt X Z�R]O psr�t ^`T psrut V_^E d ? d EIAn��³´iF����?I=5:`��µ¶AS<IGJ=·ADi

¬@tddd¬ �« t�t¸z@z5z « t �ddd d d d ddd« � t¹z@z5z « �{�¤ t z@z5z ¤ � ��9�� ¬@tºX¼» iICBE « ¢ ª X½» �\¾I:(¿ X½°�^5a@a5a-^�²S^

°±X�ÀS^@a5a5a5^�²ndÁwÂ]ÃsÄ{ÅwÆǾI:±EF9;=�|3iBCI}S=5�È�MiF�`��AD�ÈÉÊ�I�I:�Ëg�s9;�ÌAl��9JËnCI=5CHÍO p_Î EF9;=�ASiB�`}S=5?B=5CBEMÏnËSC O(R]T psrut V ASCB�W��Al�`� O psrut }S=@<I9JGÐEF=5��´=5:�EF=5C Î �`ËSG;G O[R\T p V±Ñ ÍO p XÓÒÕÔÈxFÖ-× tpÙØ��9��1��Ún}SG;9;��?B�W�3}S:�ËSÛn=5C(ÜÝ}n=5GJ�`=5C d ܺ?I=59;ÛD�ÊÞ�ßlàBá�âÐáäã�å-àFæ·ßlç`èDàBéFà�ê dcSë

Page 24: C;2 0'C;6X^I A I` - math.hu-berlin.devigerske/numerik2/numerikODEs.pdf · h fY^!h Ù h&^! Xh=W¶}zfYh¥}zfp~>h `oh ^0_afmbe Y X Yh fm{c|+i!^!

c�� ����������� �������8 =5GÐ��?I=(³´=@EF9;CI}niICI}S=@Cº�(¾B���`=5CºCsiIC ADC EI9J=���AS:�AS��=5�`=@:�� ^ ¤ ^`¬ EF=·�1��=@:W�]AS?I:`=@CB�3}n=@�W�`=5G;GJ�Ê��=@:�EI=5C Î EIAD��9J�=59;CI=���ÚS}nGJ9Ð��?B�W�´?BËS?I=�� ËSCB�`9Ð�{��=5CI�@ËS:�EFCsiICI}�=@:`:�=59Ð��?����´=5:�EF=@C �lADCIC��ÆǾI:�����iI9ÐEF9Ð�{��ADC��`=��F��?I:�9J�W�{�´=59J�`=5C x p X x �39J:�E ÍO p EIiI:���? N�Ú��WiICB} EF=·���\ËSG;}S=@CBEF=5C#L�GJ=@9;��?siICB}n�����F�W�`=5�<Q=5:�=@��?ICI=5� o ÍO p X O(R]T pFrut V¶vyx �¡ ¢J£ tu¤ ¢ Í¥ Pp ¢ ^

Í¥ Pp ¢ X Z ¦§ O(R]T psrut V¨vyx ¢ r�t¡ª £ t « ¢ ª Í¥ Pp ª ^WT psr�t v ¬5¢ x ­® ^ °±X � ^5a@a5a5^�²n^Í¥ Ppnt X Z[R]O(RUT psrut V_^WT psr�t V_aµÇA ��G;ËS:�=5C��{�39Ð���sGJiICB}(iI� R\O(R]T psrut V_^WT pFrut V =@:`}n9J<I�3EBADCIC6�\¾I:ÊEF9;=�É1�B�I:`Ëg�F9;�ÌAl�`9;ËSCÍ¥ Ppnt X Z(R]O(R]T pFrut Vu^WT psr�t V_^Í¥ Pp ! X Z(R]O(R]T pFrut Vu^WT psr�t V¨v©x « ! t Z " R]O(R\T pFrut V_^WT psr�t V Í¥ Ppnt vy¬ ! Z # RUO(R]T psrut V_^WT psr�t VBx(vyÒ ÔÈx ! ØX Z(R]O(R]T{pFrut-Vu^WT{psr�t-V¨v©x « ! t-Z " R]O(R\T{pFrut@V_^WT{psr�t-VIZ[RUO(R\T{psr�t-V_^`T{psrut@V�vy¬ ! Z # R\O[R]T{psr�t-V_^`T{psrut5VIx[v©Ò Ô x ! ØdddÍ¥ Pp ¢ X Z�v©x ¢ rut¡ª £ t « ¢ ª Z " R Z�v©x�a@a5a V¨v©xB¬-¢ Z # v©ÒÕÔÈx ! ØX Z�v©x ¢ rut¡ª £ t « ¢ ª Z " Z�v©xB¬5¢ Z # vyÒ Ô x ! Ø EBA x ¡ « ¢ ª Z " R x�a5a@a VYX$Ò Ô x ! ØÍO p X O(R\T psr�t V¨v©x �¡ ¢J£ t¨¤ ¢Ê¦§¶Z�v©x ¢ rut¡ª £ tQ« ¢ ª Z " Z�v©xB¬-¢ÈZ # vyÒ Ô x ! Ø ­® ^��D?I:�=5CBE �\¾I:1EF9;=�=-�IAS�n��=�N�Ún�`iICI}O[R\T p VwX�O(R]T pFrut V¶vyxBO P R]T psr�t V�v À� x ! O P P R\T pFrut V¶vyÒ ÔÈx $ Ø a%1iBCH}n9JGJ� O P R]TWV"X Z�R\O[R\TWVu^`TWV_^O P P R]TWV"X Z " RUO(R]TWV_^WTWV O P R\TWV& ')( *+�, " , #.-0/ #.-

vMZ # R\O[R]TWV_^`TWV_^ADGÐ�`Ë O(R]T p VYX�O[R\T psr�t V¨v©x>Z�v À� x ! R Z " Z�v©Z # V¨v©Ò$ÔÈx $ Ø aK 9J=�É1�I�I:�Ëg�F9J�ÌAD�`9;ËSCÌ�ÌAS��?���ASG;�`Ë�<>=@9J�1�I��?I:`9J�W��ÏSËSCqEI=5:w=5�IAD���`=@CqN�Ún�`iICI} O(R]T{pFrut-V �5iI� AS�I�I:�Ëg�s9;��9J=@:W��=5C�YiICB�n� ÍOQp =59;CI=5CÝÆI=@?IGJ=@:1ÏSËnCO(RUT{pIVÇÑ ÍOQpqX)x32¶À3Ñ �¡ ¢;£ t¨¤ ¢54 Z�v©x ! ¦§ À� Ñ �¡ ¢;£ t�¤ ¢ ¢ r�t¡ª £ t_« ¢ ª ­® Z " Z�vyx ! 2 À� Ñ �¡ ¢;£ t�¤ ¢ ¬ ¢64 Z # v Ò Ô x $ Ø a719;=5:�ADi>���gASCICH��ASCÝC�iBCH³´=@EI9JCI}niICI}n=5CÝEIAl�\¾I: AD<IG;=@�`=5C Î EBADÛ���ASC�Ü XÕÀ ËFEF=5:�Ü X � =5:�:`=@9;��?�� oÜ X¯À98 �¡ ¢;£ t ¤ ¢¶X¯À

Ü X � 8 �¡ ¢;£ t ¤ ¢¶X¯ÀS^ �¡ ¢;£ t ¤ ¢ ¢ r�t¡ª £ t « ¢ ª XÀ� ^ �¡ ¢;£ t ¤ ¢ ¬-¢¨X À� a

:�;�<>=.?A@ B>CD=FE GDH�I�J @ KLHM=.?ONO@ PQ=.?R=.I0ST@ UDJ C0J =.@ KLHM;�I�C5=.I VMWD<X<Y=.?AZ[=.<Y=.Z[SA=.?�\D]D]6^

Page 25: C;2 0'C;6X^I A I` - math.hu-berlin.devigerske/numerik2/numerikODEs.pdf · h fY^!h Ù h&^! Xh=W¶}zfYh¥}zfp~>h `oh ^0_afmbe Y X Yh fm{c|+i!^!

� ������� ������� ���� ������ � �Q���� ����������� ������������� ���� � ����X��������� ��� � ��� cn�!º=@9;�W�1�39J:�E ¬-¢¶X " ¢ rutª £ t « ¢ ª }n=@�`=-���-� b Ïs}SG d ASiB��?HK =-� dQcFd j Î �s=@9���= cD~nf-de@~sjlm <>=@:`=·��?ICI=5�`=�h d 7 AD9;:`=@: Î �39;=5Ïs9;=5G;=����`iF�\=@CÌiICBEÌL�G;=59Ð��?�iBCI}S=@C[CIÚS�`9;}��W9;CBE Î iB� <Q=@�W�`9;���(�`=Ê� ËSC>�W9Ð�{��=5CI�5�ËS:�EFCsiICI}n=5C6�5iÝ=5:�:`=@9;��?B=5C d K 9J=·���\¾I?I:`�1�5iI:1µ�?B=5ËS:�9;=MEI=5:1³´iF����?B=5:`�È|3=@9J?B=5C dÜ e c ë � e@��5iHGJÚ��W=@CBEF=�L�G;=59Ð��?�iBCI}S=@C e c � egj e·cD���CIËD�{�´=5C>EF9J}n=����`iF�\=@CI�@AS?IG e c ë k

#À$

%HÃ'&�(ÇÂ*)@Â,+-(/.uÅ,0214325�(76>Ã'8:9;5<)=)=>?8A@MÃCBEDF>�G�BgÃ?(IHgÅ�hY9JC�ADG;G;}S=5��=@9JCI=·��J éFà�ê�å�K]Þ(éFã ãMLEKEN>å5ç*OPL=QFç`å-à b R{|1� f ?BAD�EF9;=�ÆIËn:`� O p X O psr�t vyx p �¡ ¢;£ t ¤ ¢ ¥ Pp ¢¥ Pp ¢ X Z©¦§¨O psr�t v©x p �¡ª £ tQ« ¢ ª ¥ Pp ª ^WT pFrut vy¬-¢Ux p ­® ^ °ÇX�Àn^5a@a5a-^�²Sa�s�Q=5�@9J=@GJG;=�|3iICI}n=-���MiF�W��Al�È��=5:`�]AD?I:�=5C6=5:�}S=@<>=@C6�`9;��?ºEFiI:���?HhY9JC>�`��?I: �DCB��iBCI}�EI=5: ��AD:�AD��=-��=5:���=5CI}n= oSITPUWV�âJæ-â ã�åXJ éFà�ê�åPK]Þ[éFã ãFLYKEN>å-ç*OPLZQsç`å5à b hw|Ê� fäoB¬@t3X)» Î « ¢ ª XÓ» Î ¿ X#°�^5a@a5a-^�² Î °±X�ÀS^5a@a5a-^�²[(â\L5ê�ßlàWLYV¨â^] UWV âJæ5â ã�å_J éFà�ê�åPK]Þ[éFã ãFLYKEN>å-ç*OPLZQsç`å5à b K�R{|1� fäo « ¢ ª X)» Î ¿ X#°uv�Àn^5a@a5a5^�² Î °±X¯ÀS^5a@a5a-^�² Î « ¢;¢�`XÓ»�\¾I:1��9;CBEF=·�{��=5CB��=@9JC °áäâ à�êaVcb�èlâ\L@ênßDàWLYV�â^] UWV â\d5â ã�J éFà�ê�åPK]Þ[éFã ãFLYKM]�å5ã^QBß@èlá b �FK R{|Ê� fäo « ¢ ª X » Î ¿ X�°¶vÕÀn^5a@a5a-^�² Î « ¢;¢ÊX e `X » ΰ±X�ÀS^@a5a5a5^�²f�Ã�Â,g�h±Â]ÃsÄi1=ja%lknmo3p57(�6QÃ'8A9;5�)�)=>q8r@�ÃCBsDF>�G�BlÃ?(�j?HgÅ(K�AS���sGÐAS���W9Ð�`��?B=(|3iICI}n=-���MiF�W��Al�È��=5:`�]AD?I:�=5C�9;�W��=@9JCB=��=5:�ADG;G;}S=5��=@9JCI=@:`iBCI}�EI=5:��s9;���B�WËnCF��|3=5}n=5GuiICBEH?BAD�1�ÊËnCB�W9Ð�W�`=5CB�5ËS:�EFCsiICI} Ü X t o»t

u !t u !»»tu ! »» t

u ! »» » À�»tuPv ! uwv ! uPv t

uwv%HÃ'&�(ÇÂ*)@Â,+-(x.uÅ^.�14y�Â\(7gZzZG�BlÂ*)=)�{>ÃCBEDF>�G�BgÃ?(�|~}�(<��BlÃ?� Ã?(�)=DF57(<��)·Â\+W(�HlÅ(hY9;CyADG;G;}S=5��=@9JCI=·��S´â àBáPd:Qsçäâ ã ã��gå5çwKOPL=QFç`å5à�?BAD�3EI9J=�ÆBËS:�� OQpÌX�O>psr�twv©xBp

�R\OQpsrutD^WT{pFrutg^�xBpIV bUcId cnf

K 9J=�ÆBiICI���`9;ËSC � ?B=59;ÛD�1EIAD<Q=59iN>å-ç*OPLZQsç`å5àIá*O�éFàq�lã â]ßlàÌ<I�@� d �äàq�lç�åP]Ìå-à>ã O�éFàq�lã â]ßlà df�Ã�Â,g�h±Â]ÃsÄWÅÊÆǾI:1|3iICI}n=-���MiF�W��Al�È��=5:`�]AD?I:�=5C69;�W�

�R\OQpsrutD^WT{psr�tg^�xBpIVYX �¡ ¢;£ tu¤ ¢]¥ Pp ¢

��9�� ¥ Ppnt ^5a@a5a5^ ¥ Pp � ASiB�3EF=@�'L�G;=59Ð��?�iBCI}n�����F�W�`=@�¦�§¥ Ppntddd¥ Pp �

­�® X ¦

���§Zn�@O psr�t vyx p

" �ª £ t « t ª ¥ Pp ª ^WT p�tP�dddZ � O>pFrutYv©xBp" �ª £ t « � ª ¥ Pp ª ^WT{p � �

­���® X 8'� R ¥ Ppnt ^@a5a5a@^ ¥ Pp � V_^ bUcId ë�f

�\¾I: T p ¢¨X�T psr�t vy¬-¢Ux p_Î °±X�ÀS^@a5a5a5^�²ndV0W0<><>=.?AZ[=.<Y=.Z[SA=.?�\D]5]5^ :�;�<Y=.?[@ BXC5=FE G0H�I�J @ KLHM=.? N @ PQ=.?A=.I0S[@ UDJ C0J =.@ KLHM;�IMCD=.I

Page 26: C;2 0'C;6X^I A I` - math.hu-berlin.devigerske/numerik2/numerikODEs.pdf · h fY^!h Ù h&^! Xh=W¶}zfYh¥}zfp~>h `oh ^0_afmbe Y X Yh fm{c|+i!^!

cDk ����������� �������� 9Ð�W�1��Ën?IG;EI=��BCI9;=5:`� Î �´=5CBCHEF9;=(L�G;=59Ð��?�iBCI} bUcFd ënf =@9JCBEI=5iF��9J}ÌG;Ún�`<BAD:�9Ð�{� dR{�W� � =59;CI=�� ËSC��`:�AD����9JËnCX� �s=59¨EBAD�5i�� Z[R]O¨^`TWV±Ñ Z�R ÍO¨^WTWV � #�� + � OqÑ ÍO � Î O¨^ ÍO ��� d K�ADCBCH9Ð�W��� �#R � p�tg^5a@a5a-^ � p � VÇÑ/� Ô Í� pntl^5a5a@a5^ Í� p � Ø �� ����X ���������

�����Z � O psr�t v©x p

" �ª £ t « t ª � p ª ^WT pnt � Ñ Z � O psr�t vyx p " �ª £ t « t ª Í� p ª ^WT pnt �dddZ;�-O psrut vyx p" �ª £ t « � ª � p ª ^`T p � � Ñ Z;�5O psr�t vyx p " �ª £ t « � ª Í� p ª ^`T p � �

��������������� ����

# e������¢J£ t /! ! ! / � � Z[R`a5a5a5^WT{p ¢ V±Ñ Z(RWa5a5a@^WT{p ¢ V � � ��9J��%1ËS:��(iB�(��ADCBEFG;iICI}��W�nËSCB�W��ASC��`= e# e � + �����¢;£ t /! ! ! / � ������ x>p

�¡ª £ t « ¢ ª Ô � p ª Ñ Í� p ª Ø ������ �# e � + x p �����¢J£ t /! ! ! / � �¡ª £ t � « ¢ ª � �����ª £ t /! ! ! / � �� � p ª Ñ Í� p ª �� �# e Íe � + x p �"�#�¢;£ t /! ! ! / � �¡ª £ t � « ¢ ª �& ')( *$ t�%�&('*)(+ ,('.-/+ 01)(-/,325476 -/+ ,(-�8:9

����������� pnt Ñ Í� pntddd� p � Ñ Í� p �

� ��������� ���

��9J�Ê�´=59J�`=@:`=@:%ÊËS:��(iI�[�´ASCBEFG;iICI}��W�nËSCB�W� d Íe a%ÊAn��?qEF=5� ³�ASCBAS��?B����?I=@C�ÆÇ9J�F�IiICI������Al���Ê=5�s9Ð�W�`9;=5:`��EIADCBCq}S=@CBADiH=59;CI= N¨Ún�`iICI}(EI=5: b ÆÇ9��F�IiICB�n�`� f L�GJ=@9;��?siICB}bUcId ë�fäd%HÃ'&�(ÇÂ*)@Â,+-( .�Å<; 1{Ä,+ ��>BÄ]ÃCB %6Â,g���BlÃC)@Â,g@ÂUÃCBs57(76-gZDF>q��)=+-B?|¶Ä\+-��>IÄUÃ'B>=¶Ã?G¶ÄUÃ'BaHlÅ�K 9J=(L�:�ÚSÛn=

? p 8 X Àx p RUO(R\T{pIV�Ñ!O(RUT{psr�t-VWV�Ñ � R\O(RUT{psr�t-V_^`T{psrutl^�x>pIV?I=@9JÛS� VJß=�'LEVJå5ç�[(âÐár�lç`å5ã âÐá�â]å5çäéFà�êDá*OPL=�DãÈßDç d? p <>=·�`��?B:`=@9J<F�1ASG;�`ËÌEF=5CºK =-�\=5���ÊEF=@:1N�Ú��WiICB}�EI=5:1KMLMN 9JCºEF=@:�%��D?B=5:�iICI}n�W�\ËS:���=5G bUcId cnfäo

? p X Àx p R\O(RUT p VÇÑ ÍO p V& 'Q( *6 @A4CBA6 -/'ED:-/)(6 -/' aO(RUT p VÇÑ ÍO p ?I=59;ÛD�_VJßZ�aLYVJå-çGF¨å:Q?V;å-ç d%HÃ'&�(ÇÂ*)@Â,+-( .uÅ<H 1492+-(7g·Â\g=)@Ã?(JI'+ B�K7(�5�(76�HgÅ3hY9;C6|3iBCI}S=5�È�MiF�`��AD� ��=@:W�]AS?I:`=@CÌ?BAl��EF9;=MÞ�ßlàBáäâÐá�ã�å5àsæ·ßlç`èDàBéFàsêÜ ��L Î �]ADG;G;� � O(RUT p V±Ñ ÍO p � # ¬�x Ö-× tp <I�5� a � ? p � # ¬�x Ö p�\¾I:1=@9JCB=M� ËSC>�{��ADC��`= ¬ ��� }S9;G�� d

:�;�<>=.?A@ B>CD=FE GDH�I�J @ KLHM=.?ONO@ PQ=.?R=.I0ST@ UDJ C0J =.@ KLHM;�I�C5=.I VMWD<X<Y=.?AZ[=.<Y=.Z[SA=.?�\D]D]6^

Page 27: C;2 0'C;6X^I A I` - math.hu-berlin.devigerske/numerik2/numerikODEs.pdf · h fY^!h Ù h&^! Xh=W¶}zfYh¥}zfp~>h `oh ^0_afmbe Y X Yh fm{c|+i!^!

� ������� ������� ���� ������ � �Q���� ����������� ������������� ���� � ����X��������� ��� � ��� c�j����� � 2-/ ��/��±/32-4��� ��H/34��6/34 ����467¶2-7��Ç/34���!/��H2-4H.��64H.�/34 ���(4 �����64 �!�" #�H/��³´=59´EF=5: 7Ê=5:�GJ=@9���iICI}�EI=5:(³´=@EI9JCI}niICI}n=5C �\¾I:[� ËSC>�W9Ð�{��=5CI�@ËS:�EFCsiICI}�Ü X Àn^ � b �s=59J�`= c���f ?>AD<Q=5C �39;:�}S=·�W=5�?I=@C Î EBAS��� EF9;=[³´=·�{��9J���(iBCI}6EF=@: µÇA �sGJËn:`=@Cn�{�39Ð���sGJiBCI}��\¾I:�EI9J=%$Q�39Ð�`��?I=@CB�W�`iF�\=@CBAD�I�B:`Ëg�F9;��AD�`9;ËSCI=@CH����?ICI=@GJGiICs¾I<Q=5:��W9Ð��?��`G;9;��?H�39;:�E d 8�9;:1�´=5:�EF=5C6iICB�1EBAD?I=@:39J� �\ËSG;}S=5C>EF=5CH��9��ÊK 9'&_=5:�=5C���9;ASGJ}nGJ=@9;��?siICI}n=5CHEF=5:ÊÆBËS:��O P RUTWVYX)Z[R\TWV_^ O(RUT psrut VYXÓ»B^ x p X 8Sx�aADi>�W=@9JCBASCBEF=@:��`=-���5=5C d 8�9J:´�´=5:�EF=5CqEIASCIC EF9;= ASiB�wEI=5:%1iI��=5:�9;��R�<Q=5�lADCBCn��=5CH|3=@�`iIGJ��Al��=1¾I<Q=5:)( iBASEI:�AD�`iI:`��\ËS:���=5G;CHASiF��EF9J=�� ËSC>�{��:`iI����9JËnC ÏSËnC6|3iBCI}S=5�È�MiF�`��AD� ��=@:W�]AS?I:`=@C ¾I<Q=5:`�`:�AD}n=5C dL�=5}n=5<Q=5Cº�`=59u=59;C ² �È�W�`i �>}S=@��|3iBCI}S=5�È�MiF�`��AD� ��=@:W�]AS?I:`=@C ¬ � ¤ d$Q9;=5Gu9Ð�{�1=·� Î =@9JCB=���}niF�`=���( iBASEI:�AD�`iI:`�\ËS:���=5GO(R\T{pIVwX # 9*

# 9,+.-Z�R]TWV0/ST21 �¡ª £ tQ¤ ª Z[R]T{p ª V�5iÝ=@:`?BASG���=5C d K�AS�3|1iICI}S=5�È�MiI�W��AD� ��=@:W�]AS?I:�=5C G;9;=-�\=5:`�ÍO>pqX$x �¡ª £ t>¤ ª Í¥ Pp ª ^ Í¥ Pp ¢ X)Z[RUT{p ¢ V_^ °�X�Àn^5a@a5a-^�²Sa

ADGÐ�`Ë ÍO p X)x �¡ª £ t ¤ ª Z�R\T p ª VYX$x �¡ª £ t ¤ ª Z�R\T pFrut vy¬ ª x>VuaÆǾI: Z�R\TWVwX¯R\T±Ñ T{psrut5V43 r�t 9;�W�ÊEIASCIC oO[R]T p V�X # 9*# 9�+.-

RUT¶Ñ T psr�t V 3 rut /nTwX À5 x 3

iICBE ÍO p X x �¡ª £ t ¤ ª ¬ 3rutª x 3 r�t a

K =5:3G;ËS�lADG;=�ÆI=5?BGJ=@:1<>=5�`: �D}S�3EBADCIC O[R\T p VÇÑ ÍO p X¦§ À5 Ñ �¡ª £ t>¤ ª ¬ 3rutª ­®$x 3 a

!ºÚF��?��`=@C6�39;:1EF9;=@�`=5CÝGJËn�lADG;=5CÝÆI=5?BGJ=@:3=5G;9J��9;CI9J=@:`=@C Î �`Ë��\¾I?I:`�ÊEF9J=·���5iH�\ËSG;}S=@CBEF=@:�³´=·EF9JCB}SiICI} o%HÃ'&�(ÇÂ*)@Â,+-( .�Å76 198 R Ü V HgÅMK 9J=;:1éFãFd:QIå5çwK<: å�èDâ à�êSéFà�ê�8 R Ü V GÐADiF��=-� o�¡ª £ t_¤ ª ¬ 3

r�tª X À5 5 XÕÀS^@a5a@a-^ Ü a b 8 R Ü V`f

�s�Q=5�@9J=@GJG�9Ð�W�8 R{ÀgV 8 �¡ª £ t ¤ ª X¯À8 R � V 8 �¡ª £ t>¤ ª X¯ÀS^ �¡ª £ t>¤ ª ¬ ª X

À� aV0W0<><>=.?AZ[=.<Y=.Z[SA=.?�\D]5]5^ :�;�<Y=.?[@ BXC5=FE G0H�I�J @ KLHM=.? N @ PQ=.?A=.I0S[@ UDJ C0J =.@ KLHM;�IMCD=.I

Page 28: C;2 0'C;6X^I A I` - math.hu-berlin.devigerske/numerik2/numerikODEs.pdf · h fY^!h Ù h&^! Xh=W¶}zfYh¥}zfp~>h `oh ^0_afmbe Y X Yh fm{c|+i!^!

cDm�����a� ���M� � ��� � ����� � ������������� � �� � ����� ������ �������� ��� �����������W� ��� �����������

�wÃ?��� > .uÅ���Å � [(â]å :1éFãMdAQBå-çwK<: å�èlâ à�êSéFà�ê;8 R Ü V âÐáäã´àQßDã �wå5àQèDâ�ê O��Fç(èDâ]å�Þ�ßDàIáäâÐáäãÈå5àsæ·ßlç�èlàBéFàsê3Ü�� F��Fç�å5â à ² KÈáäãUé��Çênå-á J éFàsênå�K]Þ[éFãUãMLEKEN>å5ç*OPL=QFç`å5à;][â ã±Þ�ßDàIáäâÐáäãÈå5àsæ·ßDç`èlà>éFà�ê3Ü ][é��6Ü # � ² ênå�V ã�å-à�

: å��wå5âÐá� eSd �sG;AS: dcId 8�9J:3�@=59;}S=5CH9;CBEF9;:`=@�n� Î EIASÛ Ü X � ²´v�À CI9Ð��?���}n=5GJ�`=@CH�lASCIC dÉ1CICBAS?I��= o Ü X � ²´v�Ànd 8!=@}S=5C eSd }S9;G��1EIASCIC 8 R � ²�vÓÀ·V Î E d ? d EF9J=;( i>ASEF:�Al��iI:W�\Ën:`��=@G# 9*# 9�+.-

Z�R\TWV0/nT21)x p �¡ª £ t ¤ ª Z(R]T p ¢ÈV9;�W�3}S=5C>ADi6�\¾I:ÊADG;G;= �±ËnG[�sCIËn��=M��9J� L�:�AnE # � ²nd8�9J:3��D?IG;=5C Z[RUTWVYX ��¢;£ t R]T±Ñ!T{p ¢ V ! ahw��}S9;G�� # 9*# 9�+.-

Z[R]TWV0/nT�� »B^ AS<>=@: �¡ª £ tQ¤ ª Z(R]T p ¢ÈVYXÓ»Ba8�9;EF=@:��`�I:�iB��? d8�9;:1<>=5�`:�AS��?��`=@C �´=59J�`=@:`?I9;CºEF9;=�$_�39;����?I=5C>�{��iF�\=5C¥ p ¢ X x �¡ª £ t_« ¢ ª ¥ Pp ª ^ ¥ Pp ª X)Z[R\T psr�t vy¬ ª x>V�¥ p ¢ X x �¡ª £ t « ¢ ª Z�R]T psrut vy¬ ª xQV_aK�AS� $Q9;=5G�9Ð�W��=·�3CsiIC Î =@9JCI=��ä}SiI�`=��;( iBASEF:�Al��iI:`�\ËS:���=@GQ�\¾I:1EF9;=;$Q�39;����?I=@CB�{��iF�\=5CH�5iÝ=@:`?BASG���=5C oO[R\T p ¢ÈVYX # 9 �*

# 9�+.-Z[R\TWV /nT21Óx �¡ª £ t « ¢ ª Z�R]T p ª V_aÆǾI: Z�R\TWVwX¯R\T±Ñ T{psrut5V43 r�t GJ9;=-�\=@:W�ÊEBAS�3|3iICB}S=-���MiF�`��Al�È��=5:`�]AD?B:`=@C¥ p ¢¨X$x �¡ª £ t « ¢ ª ¬ 3

rutª x 3 r�t ^��D?I:�=5CBEHEF9;=M=-�IAD���`=�N¨Ún�`iICI} O(RUT p ¢UV�X # 9 �*

# 9�+.-Z(RUTWV0/nT�X À

5 ¬ 3¢ x 3<Q=-�`: �D}S� d K =5:1G;ËS�lASGJ=MÆI=@?IGJ=@:19Ð�{�ÊASG;�`ËO(RUT p ¢ VÇÑ ¥ p ¢¶X¦§ À5 ¬ 3¢ Ñ �¡ª £ t « ¢ ª ¬ 3rutª ­® x 3 a

K 9J=·���\¾I?I:`�1�5i6�\ËSG;}S=@CBEF=5:1³´=·EF9JCB}SiICI} o:�;�<>=.?A@ B>CD=FE GDH�I�J @ KLHM=.?ONO@ PQ=.?R=.I0ST@ UDJ C0J =.@ KLHM;�I�C5=.I VMWD<X<Y=.?AZ[=.<Y=.Z[SA=.?�\D]D]6^

Page 29: C;2 0'C;6X^I A I` - math.hu-berlin.devigerske/numerik2/numerikODEs.pdf · h fY^!h Ù h&^! Xh=W¶}zfYh¥}zfp~>h `oh ^0_afmbe Y X Yh fm{c|+i!^!

� ������� ������� ���� ������ � �Q���� ����������� ������������� ���� � ����X��������� ��� � ��� cS~%HÃ'&�(ÇÂ*)@Â,+-( .�Å�� 1�� R � V HgÅMKÊ9;=�³´=@EF9;CI}SiBCI}��

R�V GÐADiF��=-��¡ª £ t « ¢ ª ¬ 3

rutª X À5 ¬ 3¢ °�XÕÀn^5a5a@a5^�²S^ 5 X¯ÀS^@a5a5a5^ � a b

R�V`f

�s�Q=5�@9J=@GJG�9�W��

R`À·V 8 �¡ª £ tQ« ¢ ª XÓ¬ ¢ °±X¯ÀS^@a5a@a-^�²na8 =59J�`=5:�?I9;CÝ}S=5GJ�`=��\ËnGJ}n=5CBEF=�³´=@EI9JCI}niICI} o%HÃ'&�(ÇÂ*)@Â,+-( .�Å�� 1� R V HlÅ�K 9;=�³�=·EF9;CI}SiICB}��

R

V G;ASiF�`=5��¡ ¢J£ t ¤ ¢U¬ 3 rut¢ « ¢ / ª X À5 ¤ ª Ô À3Ñ ¬ 3ª Ø ¿ XÕÀn^5a5a@a-^�²n^ 5 X¯ÀS^@a5a5a5^ a b

R

V�f8 R Ü V_^ � R � V_^ � R V ?I=@9JÛn=5C/�gå5ç`å5â à=OPL'dAQFãÈå�Þ�ßlàBáäâÐá�ã�å5àsæ ��å�èDâ à�êSéFà�ê�å-àºC>AS��?��

d ³´iF����?I=5: dm<>q)3In.uÅ���14f�5<)ZzsG¶ÃCB?|�0�� �EH�HgÅ��_å5â]å5à%8 R Ü V

��

R�V��

R

V�Ü # �

v

vyÀ�Ü # � � v �

�å5ç*O��qV^V ã -[�Llà>à2Q�LlãèaLlá JÊéFàsênå�K]Þ[éFãUãMLEKENQå-ç*OPLZQsç`å5à�èlâ]åMÞ�ßlàBá�âÐáäã�å-àFæ·ßlç`èDàBéFà�ê1Ü

�wÃ?��� > .uÅ,0��¨Å F �Fç!å-â à ² KÈáäãUé��Çênå-ápJ éFà�ê�åPK]Þ[éFã ãFLYKEN>å-ç*OPLZQsç`å5à ê�å�V ãÈå ¤ ¢ � »�

°ºX Àn^5a@a5a-^�²�éFàQè èlâ]å¬ t ^5a5a@a5^�¬ � á5å-â]å5àlU LaLDç �wå-âÐá5å��lßlàQå5â àWLDàQènå-ç_�lå-ç�á�d:Qsâ]å�èSå5à �[�LDàBà6êSâ^V ã��

8 RU²´v �

V��

R ²·V� �

R�

V� 8 RU²´v �

V��

RU²gV� �

R�V

: å��wå5âÐá� eSd ÆǾI:w¿ X¯ÀS^@a5a5a5^�² Î 5 X�Àn^5a5a@a-^ � �W=@9� ª 3 8 X �¡ ¢;£ t ¤ ¢ « ¢ / ª ¬ 3 r�t¢ Ñ À5 ¤ ª ÔWÀ3Ñ ¬ 3ª Ø ahw��9;�W�1�5iÝ�@=59;}S=5C o � ª 3 X)»Id 8�9;:1�5=@9J}n=5C o �¡ª £ t � ª 3 ¬ �

rutª X »�

X¯ÀS^@a5a5a5^�²n^E d ? d ¦���§

¬�t z@z5z ¬

� �¬ t z@z5z ¬ �ddd ddd¬ � rutt z@z5z ¬ � r�t�­���® ¦�§ �

t 3ddd� � 3

­�® X »Ia

K A�EF9;= ¬@tl^5a@a5a5^�¬ � �>ASAD:��´=59Ð�W=1ÏnËSCI=@9JC>ADCBEF=@:wÏn=5:��`��?I9;=@EI=5C �`9JC>E Î 9;�W�1EF9J=X! AD�`:�9�� ASiF�¶EF=@:´G;9;CI�S=@C �s=@9���=:`=@}SiIGL�D: Î �`ËÌEIADÛÌEIAS:�ASiB� � t 3 XÕa@a5a�X � � 3 XÓ» �\ËSG;}D� d ƶ¾B: � XÕÀS^@a5a@a-^�² 9;�W�1CsiIC�¡ª £ t � ª 3 ¬ �r�tª X �¡ª £ t �¡ ¢;£ t ¤ ¢ « ¢ ª ¬ 3

r�t¢ ¬�

rutª Ñ �¡ª £ tÀ5 ¤ ª Ô`À3Ñ ¬ 3ª Ø ¬ � rutªX �¡ ¢J£ t�¤ ¢ ¬ 3 r�t¢ �¡ª £ tQ« ¢ ª ¬ �

rutª& ')( *� , � -! -"$# "�

Ñ À5 �¡ª £ t>¤ ª ¬ �rutª& ')( *

% , � × -! -"v À5 �¡ª £ t>¤ ª ¬ 3 × �

rutª& ')( *% , � × -! -

&�' "V0W0<><>=.?AZ[=.<Y=.Z[SA=.?�\D]5]5^ :�;�<Y=.?[@ BXC5=FE G0H�I�J @ KLHM=.? N @ PQ=.?A=.I0S[@ UDJ C0J =.@ KLHM;�IMCD=.I

Page 30: C;2 0'C;6X^I A I` - math.hu-berlin.devigerske/numerik2/numerikODEs.pdf · h fY^!h Ù h&^! Xh=W¶}zfYh¥}zfp~>h `oh ^0_afmbe Y X Yh fm{c|+i!^!

ëS������a� ���M� � ��� � ����� � ������������� � �� � ����� ������ �������� ��� �����������W� ��� �����������X À

�¡ ¢J£ t ¤ ¢]¬ � × 3 rut¢& ')( *% , � × -! -

&�' "

Ñ À5 z À� v À5 z À5 v �X À

z À5 v �

Ñ À5 z À� v À5 z À5 v �X 5 Ñ#R 5 v �

V¨v�

� 5 R 5 v �

VX »cId ADCBASGJËn}=<+QÄ\6QÃCBE5�(76 .uÅ,0-0QÅend 8 R � ²·V Î � R ²gV � 8 R � ²gV Î � R ²·V Î � RU²gV5d %ÊAn��? �FAD�`� cId ~ �\ËSG;}D�1EIASCIC�Ü X � ²SdcId 8 R � ²3Ñ À·V Î � RȲgV � 8 R � ²3Ñ À·V Î � R ²gV Î � R ²1Ñ À·V-d %ÊAS��?��FAD�`� cFd ~ �\ËSG;}D�1EIASCIC[Ü X � ²1Ñ©Ànd��������� ����� �������������������������� !�#"$�&%'� �(�%'�)�8�9;:1<>=@CIÚD��9J}n=5C6�\ËSG;}S=@CBEF= �M7Ê9JGJ�]�`��AD�`:�9J�@=5Cn� o

* � 8 X ¦�§À�¬ t z5z5z�¬ � ruttddd ddd dddÀÙ¬ � z5z5z�¬ � rut�

­�® � � R � � V

+-,8 X ¦

���§Àtu !dddtu �­���® ��� �

� � 8 X ¦����§¬ t ¬ ! t� z5z@z ¬ � t²ddd ddd ddd¬ � ¬ ! �� z5z@z ¬ ��²

­����® � � R � � V

8 8 X ¦�§ ¤

t d d d ¤ �­�® � � R � � V

. � 8 X ¦�§À t

u ! z5z@z tu �ddd ddd dddÀ t

u ! z5z@z tu �­�® � � R � � V

K�ADCICÝGÐAS���W=@CH�`9;��?ÝEF9;=MÏS=5:�=59;CF�]An��?n��=5CÝ�ÊËnCB�`9;�W�`=@CI�5<Q=@EF9;CI}niICI}S=@C 9;C �\ËnGJ}n=5CBEI=5:1ÆIËn:`� ADiB��EF:�¾B���S=@C o8 RU²gV / ¤ * � X +-0,�

RU²gV/ �1* � X � �

RU²gV/ * 0� 8 � X¯R . � Ñ � � V 8

:�;�<>=.?A@ B>CD=FE GDH�I�J @ KLHM=.?ONO@ PQ=.?R=.I0ST@ UDJ C0J =.@ KLHM;�I�C5=.I VMWD<X<Y=.?AZ[=.<Y=.Z[SA=.?�\D]D]6^

Page 31: C;2 0'C;6X^I A I` - math.hu-berlin.devigerske/numerik2/numerikODEs.pdf · h fY^!h Ù h&^! Xh=W¶}zfYh¥}zfp~>h `oh ^0_afmbe Y X Yh fm{c|+i!^!

� ������� ������� ���� ������ � �Q���� ����������� ������������� ���� � ����X��������� ��� � ��� ëBehY9;Cº|3iICI}n=-���MiF�W��Al�È��=5:`�]AD?I:�=5C6�gASCICÝ�ÌADCÝEIADCICºASiF�¨�\ËnGJ}n=5CBEF=M8 =59Ð�W=��nËSCB�W�`:�iI9;=5:�=5C oend N�=5}n=5C » # ¬@t � ¬ ! � a5a5a � ¬ � # À �\=·�{� d K�ADCICÝ9Ð�{� * � :�=5}niIGL�D: dcId }nAD:�ADC���9J=@:`=@C!8 RU²gV EFiB:���? ¤ 8 X

+ 0, *rut� dëBd hYC��{��=·EF=5:�� 8 X

� � * r�t� Î E d ? d � RȲgV =5:`�\¾IGJGJ� ÎËsEI=5: Î �]ADG;G;� ¤ ¢ `X�» Î °ÇX¯ÀS^5a@a5a-^�² Î � 8 X Ô* 0� Ø rut 8 rut Ô . � Ñ � 0� Ø 8 Î E d ? d � R ²gV =5:`�\¾IGJGJ� Î ËsEI=5: d;dJdK 9J=��39Ð��?��`9;}n�W�`=5CH��=5:`�]AD?B:`=@CB�W�sGÐAS���W=@Cq�´=5:�EF=5CH9J� �\ËSG;}S=@CBEF=5CHÏSËn:`}n=@�W�`=@GJGJ� d

.�Å\0QÅ\0QÅ\0 � >�5���8�� Ã')ZG�+�K¶Ã?(K 9J=���AS:�AS��=5�`=@: ¬ t ^@a5a@a-^`¬ � �´=5:�EF=@C�?B9J=@:wADGÐ� %1iBGJGÐ�{��=5G;GJ=@C EF=@:YËS:`�`?IËn}SËnCBADG;=5C �±ËSGT��CBËS��=3}S=@� �S?IG�� d K�ASEFiI:���?=5:�?>�SG�����ASC!EF9;=�³�=·EF9;CI}SiICB}8 R � ²gV�d K�ADCIC!�39J:�E ¤ 8 X+ 0, *

r�t� }n=@�`=-�`�5� d hw�M9Ð�{� » � ¬ t � a@a5a � ¬ � � ÀiICBE ¤ ¢ �©» Î °ÇX¯ÀS^5a@a5a-^�²nd KÊiI:���?�� 8 X� � * r�t� �39;:�E6�@iB� �l�`�@GJ9Ð��?ÝEF9J=�³´=@EI9JCI}niICI}��

R ²gV =5:`�\¾IG;G�� d¬� � * r�t�+ 0, *

rut�8�9;=�9JCºÆIËnGJ}n=5:�iICI} cFd;eSendJe �\ËSG;}D�1EIASCIC�Ü X � ²ndf�Ã�Â,g�h±Â]ÃsÄ 1WÂ\� h±Ä] ISÂ*)·Ã��¯Â\)�)@ÃsÄ\h757(<��)=BlÃC6QÃsÄ�HlÅ�K 9;=@�`=@�q��=@:W�]AS?I:�=5C#9;�W�6=@9JC>�{��i �B} Î ²©X�À Î iBCBE�?BAD�6EF9;=� ËSCB�`9;�W�`=@CI�5Ën:�EIC�iBCI}ÊÜ X � dend1¬@t3X t! G;9;=-�\=5:`� � � X t! iIC>E * � X�ÀndcId $QiI:3hY:`�\¾IG;GJiICB}ÌÏSËSC�8 R � ²gV �\ËSG;}D� ¤ XÕÀndëBd $QiI:3hY:`�\¾IG;GJiICB}ÌÏSËSC��

R ²gV �\ËSG;}D��� X t! d tu ! t

u !Àf�Ã�Â,g�h±Â]ÃsÄWÅÊÉ1GÐ���5�´=59Ð�{��i �B}n=@����=5:`�]AD?B:`=@C6=@:`?>�SG��3�ÌADCt

! Ñ � $v t�

t�

� $vt

! v � $v t�

v� $v t

�t!

t!8�9;=q� �S?IGJ�M�ÌASC CsiIC EI9J=q�MCIËS�`=@C ¬ t ^5a@a5a@^`¬ � �ÈËn�F�`9;�ÌADG � Î �W˺EIASÛº�39J:�EF9;= ³´=@EI9JCI}niICI} 8 R � ²gV =5:�:`=@9;��?B=5C�SÚnCICI=@CX�K�AD�5iÝ=@:`9;CICI=@:`C6�39J:1iBCB�3ADCºEF9;=XR�Cn��=5:��>ËnG;AD�`9;ËSCB� ��iBASEI:�AD�`iI:�ADiB�3EI=5:�%1iB��=@:`9;�pR oÆǾI:Ý=59;CI= ÆIiICI����9JËnC Z 8 � � �´ËSG;GJ=@CÓ�39J:ºEIAn� R�Cn��=5}n:�ASG�� # 9# 9�+.- Z[R\TWV /ST AD�I�I:�Ëg�F9J��9;=5:�=5C d K AS�5i$9JCF��`=@:`�QËSG;9;=5:�=5C��39;:HEF9;=!ÆBiICI���`9;ËSC ADC)EI=5C ����¾F�`�·�{��=5G;GJ=@C T{p ¢ X T{pFrutMvÕ¬ ¢ xBp Î ° X�Àn^5a5a@a-^�² Î ��9��`�`=@G;�HEF=@�

R�C��`=@:`�QËSGÐAl��9JËnCB�W�QËSGT�sCIËS�Ì�´ÏSËnC6N¶AD}S:�ADCB}S= o� R\TWVYX �¡ ¢;£ t � ¢IR]TWVIZ(RUT p ¢ V ��9�� � ¢IR\TWVYX ��ª £ tª� £�¢

TÇÑ T{p ªT p ¢uÑ T p ª aV0W0<><>=.?AZ[=.<Y=.Z[SA=.?�\D]5]5^ :�;�<Y=.?[@ BXC5=FE G0H�I�J @ KLHM=.? N @ PQ=.?A=.I0S[@ UDJ C0J =.@ KLHM;�IMCD=.I

Page 32: C;2 0'C;6X^I A I` - math.hu-berlin.devigerske/numerik2/numerikODEs.pdf · h fY^!h Ù h&^! Xh=W¶}zfYh¥}zfp~>h `oh ^0_afmbe Y X Yh fm{c|+i!^!

ënc�����a� ���M� � ��� � ����� � ������������� � �� � ����� ������ �������� ��� �����������W� ��� �����������

hw�39Ð�W�1Ë,&_=5CB�`9;��?���GJ9Ð��? � ¢ R]T{p ª VYX�� ¢ / ª X�� À�°±X ¿ ^»¹° `X ¿ ^ iBCBEºL�:�AnE � ¢ X)²1Ñ ÀSd ÉÊG;�`Ë�9;�W� L�:�AnE � XÓ²ÊÑ©ÀndK 9J=;( iBAnEF:�Al�`iB:W�\Ën:`��=5G# 9*# 9,+.-

Z(RUTWV0/nT 1$x p �¡ ¢;£ t�¤ ¢ÈZ(R]T p ¢ÈV ¤ ¢ 8 X ÀxBp # 9*# 9,+.- �

¢IRUTWV0/nTä^ °ÇX�Àn^5a@a5a-^�²S^ bUcId �sf9Ð�{�1}n=5CBASi Î �]ADG;G;� Z =59;C �ÇËnG[�sCIËn� ��9�� L�:�ASE Z # ²3Ñ À 9Ð�W� Î EIA�EIASCIC ��� Z }S9;G�� d�s=@9 � R\TWV�X¹��¢;£ t R]T¶Ñ T{p ¢ VYX¯R]T±Ñ!T{pnt5V_z5z@z@R]TÇÑ T{p � VEIAn�����`¾F���@�W�`=@GJG;=5CI�QËSGT�sCIËS� ��9�� L�:�ASE � X)²ndm<>q)3I .�Å\0�.uÅX[�â]å���é LSèDçrLlã éFç*O-ßlçw]ÌåPV b cFd ��f âÐáäã±ênå5àWLDé O��FçiLEV^VJå3ßYVcblàQßY]�å�]�â ã��� ��� # � ²3Ñ À � ê�è � # 9*

# 9�+.-� R\TWV

RUTWV0/nT�X)»O��FçiLEV^V;å�1ßEVcblà_ßE]Ìå ]�â ã��� ���� # ²3Ñ#À : å��wå5âÐá� R � V �s=@9�EI9J= ( iBASEI:�AD�`iI:`�\ËS:���=5G b cFd ��f }S=@CBADi �\¾B: �±ËSGT�sCIËS��=H��9��qL�:�AnE # � ²�Ñ ÀSd �s=@9 =59;C�ÇËnG[�sCIËn� ��9�� L�:�ASE # ²3Ñ ÀSd hw�39Ð�W� � # 9# 9,+.- � R\TWV R\TWV�X�» �5iÝ�5=@9J}n=5C d8!=@}S=5CºL�:�ASE R � V # � ²1Ñ©À 9Ð�{�ÊEF9;=�ÆIËn:`��=@G bUcFd ��f }n=5CBASi �\¾I: � Î �WËÌEIASÛ(�\ËnGJ}S�# 9*

# 9�+.-� R\TWV

R\TWV /STwXÓx>p �¡ ¢;£ t ¤ ¢ � R\T{p ¢ V& ')( *�

R]T{p ¢ VYX)»R��©V �s=59 � # 9# 9,+.- � R\TWV R\TWVYX)» �\¾I:ÊASGJG;= �ÇËnG[�sCIËn��= ��9�� L�:�ASE # ²3Ñ ÀSd�s=59 Z =@9JC �ÇËnG[�sCIËn� ��9J��L�:�ASE Z # � ²±Ñ�Ànd K�ADCICÌ9Ð�W� � # 9# 9�+.- Z�R\TWV /STYX)x p " �¢;£ t ¤ ¢ Z[R\T p ¢ V �5iq�@=59;}S=5C dK AS�5iH�5=5:�G;=5}S=@C6�39;: Z 9;CºEF=5:1ÆBËS:�� ZHX �

v�

^�WË�EIADÛqL�:�ASE # ²ÊÑ À iBCBEºL�:�AnE � # ²3Ñ ÀSd K�ADCICÝ9Ð�{�Z�R\T p ¢ VYX � R]T p ¢ÈV

& ')( *£�

R\T p ¢ÈV¨v�

RUT p ¢UV�X�

R\T p ¢ÈV_^ °±X�ÀS^5a@a5a-^�²n^iICBE # 9*

# 9,+.-Z�R]TWV0/STYX # 9*

# 9�+.-� R\TWV

RUTWV0/nT& ')( *£

,(BA01)�� @A'��v # 9*# 9,+.- �

R]TWV0/nTK A�AD<Q=5:ÊL�:�ASE � # ²3Ñ À 9Ð�W�1iICBEÝ�WËnG;��?B= �±ËnG[�sCIËn��=M=5�FAS����9;C��`=@}S:�9J=@:W����=@:�EI=5C Î �\ËnGJ}S�# 9*

# 9�+.-Z[R\TWV /nTYX # 9*

# 9�+.- �R]TWV0/nTYX)x p �¡ ¢;£ t¨¤ ¢ � R\T p ¢ÈVYX)x p �¡ ¢;£ t¨¤ ¢UZ�R]T p ¢UV�^

ADGÐ�WË�9;�W�ÊEF9;=�ÆIËS:���=5G b cFd ��f }S=@CBADi6�\¾I:1ASGJG;= �ÇËnG[�sCIËn��=���9J� L�:�AnE # � ²3Ñ ÀSd:�;�<>=.?A@ B>CD=FE GDH�I�J @ KLHM=.?ONO@ PQ=.?R=.I0ST@ UDJ C0J =.@ KLHM;�I�C5=.I VMWD<X<Y=.?AZ[=.<Y=.Z[SA=.?�\D]D]6^

Page 33: C;2 0'C;6X^I A I` - math.hu-berlin.devigerske/numerik2/numerikODEs.pdf · h fY^!h Ù h&^! Xh=W¶}zfYh¥}zfp~>h `oh ^0_afmbe Y X Yh fm{c|+i!^!

� ������� ������� ���� ������ � �Q���� ����������� ������������� ���� � ����X��������� ��� � ��� ënë! ASC���D?BG���CsiIC�EF9;=�����¾F�`�·�{��=5G;GJ=@C ¬ t ^@a5a5a@^`¬ � �`Ë Î EBADÛ´�\¾I:¶EBAS� ����¾F�`�·�{��=5G;GJ=@CI�>ËnG[�sCIËn���� R ? V8 X

� �¢J£ t R ? Ñ ¬-¢ VEF9;=�³´=@EF9;CI}SiBCI} t*�

�� R ? V � R ? V / ? X�»�\¾I:1ASGJG;= �ÇËnG[�sCIËn��=�� ��9��ÊL�:�ASE�� # ²1ÑyÀ =5:`�\¾IG;G��39Ð�{� b ÉÊCB��Al�`���� R ? V�X ? � v#a@a5a f Î E d ? d �39;:�=5:�?BADGJ�`=@C6=@9JCB=( iBAnEF:�AD�`iI:`�\ËS:���=5G>�\¾I:ÊEIAn� R�C��`=5:�ÏlADG;G�� »B^5À�� Î �´=5GÐ��?I=M}S=@CBADi69;�W�3�\¾I:ÊASGJG;= �ÇËnG[�sCIËn��=���9J� L�:�AnE # � ²3Ñ©ÀndÆǾI:� T psrut ^WT p � �\ËnGJ}S�ÊEIADCICH��9�� � R]TWVwX � �¢;£ t R\T±Ñ T p ¢ÈVYX � �¢J£ t R\TÇÑ#R]T psr�t v ¬5¢ x p VWV Î EIADÛ# 9*

# 9�+.-� R\TWV

RUTWV0/nT X xBp t*�

� R]T{psrutwv ? x>pIV R]T{pFrut�v ? xBpBV / ?X x p t*�

��¢J£ t R ? x p Ñ ¬5¢ x p V R\T psr�t v ? x p V0/ ?X x p t*�

x �p ��¢;£ t R ? Ñ ¬-¢ V& 'Q( *£� , � -

R]T pFrut v ? x p V& ')( *£ � ,�� -

/ ?X x � × tp t

*�

�� R ? V � R ? V / ?X »

9Ð�{���\¾I:[ADG;GJ= �±ËSGT�sCIËS��= ��9J�[L�:�ASE # ²MÑ)Ànd 8!=@}S=@C �IAl�`� cIdJegc 9;�W�(EF9;=( iBASEF:�Al��iI:`�\ËS:���=@G bUcFd ��f ASG;�`Ë}S=@CBADi6�\¾I:1ASGJG;= �±ËSGT��CBËS��= Z ��9�� L�:�ASE Z # � ²3Ñ ÀSdÆIËnGJ}S�3��ASC CsiICÝEF=5:1ÉÊ:`}niI��=5C���AD�`9;ËSC6ÏSËS� ÉÊCF�]ADCB}�EI9J=·�W=·�´ÉÊ<B����?ICI9J�W�`=·� Î �`Ë�=5:��S=@CIC����ÌADC Î EBADÛ[�\¾I:1EF9;=@�`=8 AD?IG¨EI=5: ¬@tl^5a5a@a5^�¬ � EI9J=�³´=@EF9;CI}niICI} 8 R � ²gV =5:`�\¾IGJGJ�19Ð�{� d%1ËF��? �@i ÏS=@:`9 �B�@9J=@:`=@CH9Ð�W� Î EIADÛ EI9J=��MCIËD��=5C ¬-¢ EF9;=[³´=@EF9;CI}niICI} ¬5¢ � RU»B^5ÀgV Î ¬5¢ `X¯¬ ª Î ° `X ¿ Î =@:W�\¾BGJG;=5C iBCBE¤ ¢��©» Î °ÇX�Àn^5a@a5a-^�² Î }n9JGJ� d�wÃ?��� > .uÅ,0 ;¨Å �_å5âuÜ)å-â à 3ßEVcblà_ßE] ]�â ã��çrLSè ² S´á�ê�åPV�ãÈå � t

�Ü R\TWV RUTWV0/nT�X�» O��Fç LEV^VJå 3ßYVcblàQßY]�å ]�â ã��� ���� # ²1Ñ©À �[�LDàBà Q LlãQÜ!ê�å-à�Llé ² U�L'Llç �wå5âÐá5åi�lå5ç�áPd:Qsâ]å�ènå-à_å���éqV^V áäã�åPV^VJå5à/LDésá RU»I^@À·V : å��wå5âÐá�ʳ´=5�@=59Ð��?ICI=q��9J� T ª Î ¿ X¼ÀS^@a5a@a-^

� #

² Î EF9;= %1iIG;GÐ�{��=5G;GJ=@C ÏSËnCºÜ ËS?ICB=q8�9J=·EF=5:�?IËnGJiICB} Î iBCBE�`=59;=5C � ª EI=5:�=5CH�Ê9;=5GJ�]AS��?I?I=@9���=5C d K ASCICÝ9;�W�Ü R\TWVYX)¬ �ª £ t RUTÇÑ!T ª V ����\¾I:1=@9JCB=M� ËSC>�{��ADC��`= ¬ld �s=@9�

8 X���tl^5a@a5a5^

�����8 X��5T ª � R]»B^5À·V � � ª 9;�W�3iICI}n=5:�ASEF= � ^ � #

²n^iICBE

R]TWV 8 X � � �ª £ t R]TÇÑ � ª V �]ADG;G;��� `X �I^À �WËnCB�W� aK�ADCIC ?>AD<Q=5C�EF9;= %ÊiIG;G;�W�`=@GJG;=5C�EI=@� �ÇËnG[�sCIËn�Ì�YÜ z � ADiF� RU»I^@À·V CsiI: }S=@:�AnEF=��Ê9;=5GJ�]AS��?I?B=59J� d É1GÐ�WË6�gASCICqÜ z �CI9Ð��?��ÊEIAS����Ën:`�@=59Ð��?I=5CHADiF� R]»B^5À·V �´=@��?B�`=5G;C Î �`ËÌEIADÛt*�

Ü R]TWV � R\TWV0/nT `X)»V0W0<><>=.?AZ[=.<Y=.Z[SA=.?�\D]5]5^ :�;�<Y=.?[@ BXC5=FE G0H�I�J @ KLHM=.? N @ PQ=.?A=.I0S[@ UDJ C0J =.@ KLHM;�IMCD=.I

Page 34: C;2 0'C;6X^I A I` - math.hu-berlin.devigerske/numerik2/numerikODEs.pdf · h fY^!h Ù h&^! Xh=W¶}zfYh¥}zfp~>h `oh ^0_afmbe Y X Yh fm{c|+i!^!

ë ������a� ���M� � ��� � ����� � ������������� � �� � ����� ������ �������� ��� �����������W� ��� �����������

}S9;GJ� d %ÊAn��? ��Ën:�ASiB�`�`=-���5iICB}(9Ð�{�1AD<Q=5: � t�Ü R\TWV R]TWV0/STwXÓ» �\¾B:1ADG;GJ= �±ËSGT��CBËS��= ��9�� L�:�ASE # ²´Ñ©ÀSd É1GÐ�`Ë�(iBÛ L�:�ASE ��� ²}S=@G���=5C d 8 =5}n=5C L�:�ASE � # � #

²�\ËSG;}D�ÊASG;�`Ë � X ² Î E d ? d =·�3}S9;<F� ² �BASAS:`�´=59Ð�`=�Ïn=5:��`��?B9J=·EF=5CI= %ÊiIGJGÐ�W�`=5G;G;=5C ADiI� R »I^@À·V�d K�AÌ=·�1AD<Q=5:1CsiI:Ê}S=5C>ADi² %ÊiIG;G;�W�`=@GJG;=5CÝ}S9;<F� Î �gASCIC��{=@EF=�%ÊiIG;G;�W�`=@GJG;=�CsiI:1EF9;=��Ê9;=5GJ�]AS��?I?I=@9�� À <Q=@�`9����5=@C d�wÃ?��� > .uÅ,0 H¶Å~�äá�ã�èlâ]å ��é LSèDçrLlã éFç*O-ßlçw]ÌåPV# 9*

# 9�+.-Z�R\TWV0/nT21)x>p �¡ ¢J£ tu¤ ¢ Z[R]T{p ¢ V

ê�å-à�Llé O��Fç LEV^VJå3ßYVcblàQßY]�å Z ]�â ã��� ��� Z # � ²3Ñ � � á5ß[êSâ^V ã ¤ ¢ �#» � °ÇX¯ÀS^@a5a@a-^�² : å��wå5âÐá�ÊÆǾI: °±X�Àn^5a5a@a-^�² ?BAl�1EIAn��±ËSGT��CBËS�� !¢ R\TWV�X ¦

��§ ��ª £ tª� £�¢TÇÑ!T{p ªT p ¢uÑ!T p ª

­��® !

L�:�ASE � ²3Ñ � d K�ADCBCH9Ð�W� »�

# 9*# 9,+.- � !

¢ R\TWV /STYX)x p �¡ª £ t ¤ ª � !¢ R]T p ª V& ')( *£� � �

XÓx p ¤ ¢`^ADGÐ�`Ë[9Ð�{� ¤ ¢ �#»Id.�Å\0QÅ\0QÅ . 32> K�> 5�8 �¯ÃC)=G7+ K¶Ã?(³´=59�EF=@C |1AnEIADiI�F!º=5�`?IËFEF=@C)�39;:�E)=5C��{�´=@EF=@: ¬ t X�» ËFEF=5: ¬ � X À �B�s9;=5:`� d K 9J= :�=@�W�`G;9;��?B=5C ��AS:�AS��=5��`=@: ¬ ! ^@a5a@a5^`¬ � <I�@� dY¬ t ^@a5a5a@^`¬ � rut ��=@:�EI=5C©EBADCIC ËS�F��9J�ÌASG3}S=5��D?BG�� o ³´=@9 ¬ t X¼» =@:`?X�DGJ��EIAn�����`¾I�`�@�W�`=@G��G;=5CI�QËSGT�sCIËS� � EF9J= ÆBËS:�� � R\TWV X R\T±Ñ T psrut V Í� R\TWVäd 8�9;:Ì�SÚnCICI=@C©CsiIC#EF9;= ¬ ! ^5a@a5a@^`¬ � �WË � �S?IG;=5C Î EIASÛ� # 9# 9�+.-

� R\TWV

R]TWVwX�» 9Ð�{�3�\¾B:ÊADG;GJ= �±ËSGT�sCIËS��= ��9J� L�:�ASE # ²1Ñ � d� |1ASEIASi R b �´=5CB9J} }S=5<B: �SiB��?IG;9;��? f-o@¬ t X�» � ¬ ! ^5a@a5a-^�¬ � ��ËS�F��9J�ÌADG � d K�ADCIC[9;�W�ÇEI9J=�³´=@EF9;CI}SiBCI} 8 R � ²1Ñ©ÀgV=5:`�\¾IGJGJ� d� |1ASEIASi2RrR oB¬ � X�À � ¬@tg^@a5a@a5^`¬ � rut ��ËS�F��9J�ÌASG � d K ASCICÝ9;�W�ÊEF9;=�³�=·EF9;CI}SiICB}�8 R � ²1Ñ©ÀgV =5:`�\¾IGJGJ� d8�9J:1�`=-���5=5CÝ�39;=@EF=@: ¤ X + 0, *

rut� d|1ASEIASi2RrR{É o �F=-�`�@= � X � � * r�t� Î �`ËÌEIADÛ��

RU²gV =@:W�\¾IG;GJ�19;�W� dÆIËSG;}S=@:`iBCI} cIdJene G;9;=-�\=5:`�1CsiICÝEF9J=�� ËSC>�W9Ð�{��=5CI�@ËS:�EFCsiICI} Ü X � ²1Ñ©Ànd8!=@}S=5C ¬ � X�À 9Ð�{�� � X

¦������§

¬ t ¬ ! t� z@z5z ¬ � t²ddd ddd ddd¬ � rut ¬ ! � rut� z@z5z ¬ �� r�t²À tu ! z@z5z t

u �­������®X ¦������§

¬ t z5z@z ¬ � t²ddd ddd¬ � r�tÙz5z@z ¬ �� rut²+ 0,

­������®^

ADGÐ�WË[�\ËSG;}D� « � ¢ÇX ¤ ¢ Î °±X¯ÀS^5a@a5a-^�² Î E d ? dIO p X ¥ p � iIC>E T p XÓT p � d:�;�<>=.?A@ B>CD=FE GDH�I�J @ KLHM=.?ONO@ PQ=.?R=.I0ST@ UDJ C0J =.@ KLHM;�I�C5=.I VMWD<X<Y=.?AZ[=.<Y=.Z[SA=.?�\D]D]6^

Page 35: C;2 0'C;6X^I A I` - math.hu-berlin.devigerske/numerik2/numerikODEs.pdf · h fY^!h Ù h&^! Xh=W¶}zfYh¥}zfp~>h `oh ^0_afmbe Y X Yh fm{c|+i!^!

� ������� ������� ���� ������ � �Q���� ����������� ������������� ���� � ����X��������� ��� � ��� ë��f�Ã�Â,g�h±Â]ÃsÄ�1{Â\��hÇÄUÂ.ISÂ\)@Ã?g�y~5¶ÄUÃCBZ{QÃCBsDF>�G�BlÃ?(�HlÅ1KÊ9;=@�`=@�w��=5:`�]AD?I:�=5C�9;�W�w=@9JCB�W�`i �B} Î ²�X�ÀndS¬ � X�À G;9;=-�\=5:`�wEIASCIC¤ X�À iIC>E � X�ÀSo À ÀÀ K 9J=·�W=·�3��=5:`�]AD?B:`=@C6<Q=@�`9����-�ÊEIASCICH=59;CI=��ÊËnCB�`9;�W�`=@CI�5Ën:�EFCsiICB}(ÏSËnC[Ü X¯ÀSdf�Ã�Â,g�h±Â]ÃsÄWÅÊÉ1GÐ���5�´=59Ð�{��i �B}n=@����=5:`�]AD?B:`=@C6=@:`?>�SG��3�ÌADCt

u $ � ut ! Ñ t

ut !À $ u � tu �$ u � tu �K 9J=·�W=·����=5:`�]AD?I:�=5CH<>=·�W9J�`�5�1=59;CI=�� ËSCB�`9;�W�`=@CI�5Ën:�EIC�iBCI}(ÏnËSC�Ü X �

d.�Å\0QÅ\0QÅ<; ��+���>q)�)Z+ }s}Z}w8��¯ÃC)=G7+ KÇÃ?(719;=5:���=@:�EI=5C ¬ t XÓ» iICBE ¬ � X¯À �I�F9J=@:W��iICBEqEF9;=1:�=@�W�`G;9;��?B=5C ��AD:�AD��=-��=5: ¬ ! ^5a@a5a-^�¬ � r�t ��ËS�F��9J�ÌADG �Ê}S=5��D?BG�� Î�`Ë�EBADÛÌEF9;=M³´=·EF9JCB}SiICI} 8 R � ²3Ñ � V =5:`�\¾IGJGJ�1�39;:�E d h��3�39J:�E6�39J=·EF=5: ¤ X +-0, *

r�t� }S=·�W=5�`�-� d� N�ËS<>Al�W��Ë�RrR R{É o �s=5�`�5=�� Î �WË�EIASÛ � RȲgV =@:W�\¾BGJGJ�19;�W� d� N�ËS<>Al�W��Ë�RrR R{³ o �s=5�`�@=�� Î �`Ë�EBADÛ � RU²gV =5:`�\¾IG;G��19Ð�W� d� N�ËS<>Al�W��Ë�RrR R�� o �F=-�`�@=�� Î �`ËÌEIADÛ��

RU²ÊÑ©ÀgV =5:`�\¾IGJGJ�19Ð�{�1iIC>EH�`=-���5= « ¢ t1X ¤ t Î °ÇX¯ÀS^@a5a5a5^�²nd!º9J�±N¨=5���ÌA cFd;e@� iICBE �FAD�`� cFd ~ �\ËSG;}D�±EIADCIC[ADiB�¶EF=5:�L�¾IGJ�`9;}S�S=@9��ÇÏSËnC�8 R � ²3Ñ � V iBCBE � RU²gV <I�5� d � RU²1Ñ©ÀgV<I�@� d � RU²gV EF9;=��ÊËnCB�W9Ð�W�`=5CB�5ËS:�EFCsiICI} Ü X � ²3Ñ � df�Ã�Â,g�h±Â]ÃsÄ 1���BE>qhwà IaBgÃ?6QÃsÄ�HgÅ[KÊ9;=@�`=@����=5:`�]AD?B:`=@C 9;�W�M�5�´=59Ð�{��i �B} Î ²�X � d hw��9;�W�MASG;�`Ë ¬ t X » iICBE ¬ ! X ÀSdK 9J=�=@Cn���W�B:`=·��?I=5CBEI=MN¨ËS<BAD�W��Ë�RrR R{É !º=5�`?IËFEF=�?>Al�1EIADCBCÝEI9J=�ÆIËn:`�» À » »t

u ! tu !t

u ! tu !iICBEH=@:`:�=59Ð��?���EF9;=�� ËSCB�`9;�W�`=@CI�5Ën:�EIC�iBCI}ÊÜ X � d

f�Ã�Â,g�h±Â]ÃsÄWÅÊKÊ9;=�N�Ën<BAl�`�`Ë�R RrR�� ! =-�`?BËsEI= �\¾B: ² X � ?BAl�3?I9;CI}S=@}S=@CHEF9;=�ÆIËn:`�» À tu ! Ñ t

u !tu ! t

u !tu ! t

u !iICBEH=@:`:�=59Ð��?��´=@<>=@CF�]ADG;G;�ÊEF9J=�� ËSC>�W9Ð�{��=5CI�@ËS:�EFCsiICI}1Ü X � d������� � ������&� %' ���� (��� � ����� ���!�

m<>q)3I .�Å\0 6uÅX[�â]å ��Llé���K�J LnèaLDép� ���_K�éFàQè��¶ß$�:Llã ã�ßi� �r����K���å-ã*QIß·èSå5à!á�â à_èpLYV ênå �5çrLlâÐá�d:QºáäãML$�5â^V

: å��wå5âÐá��% AS��?yK =��BCB9���9JËnC eSd;egj b �s=@9���= e·knf Î 9Ð�{��=59;C©|3iICB}S=-���MiF�`��Al�È��=5:`�]AD?B:`=@C ASGJ}n=5<I:�AD9Ð����? �W��AS<I9;G Î �]ADG;G;��X�R

¢ / ª V Î�

¢ / ª 8 X ¤ ¢ « ¢ / ª v ¤ ª « ª ¢�Ñ ¤ ¢ ¤ ª ^ °�^ ¿ X�ÀS^@a5a5a@^�²n^�QËn�`9���9JÏH�W=@��9ÐEF=(�BCI9J�19;�W�3iICBE ¤ ¢ � » Î °�XÕÀn^5a5a@a-^�² Î }n9JGJ� dV0W0<><>=.?AZ[=.<Y=.Z[SA=.?�\D]5]5^ :�;�<Y=.?[@ BXC5=FE G0H�I�J @ KLHM=.? N @ PQ=.?A=.I0S[@ UDJ C0J =.@ KLHM;�IMCD=.I

Page 36: C;2 0'C;6X^I A I` - math.hu-berlin.devigerske/numerik2/numerikODEs.pdf · h fY^!h Ù h&^! Xh=W¶}zfYh¥}zfp~>h `oh ^0_afmbe Y X Yh fm{c|+i!^!

ëSk�����a� ���M� � ��� � ����� � ������������� � �� � ����� ������ �������� ��� �����������W� ��� �����������

K 9J=�³´=@EI9JCI}niICI} ¤ ¢ � » Î °�X�Àn^5a@a5a-^�² Î �\ËnGJ}S�ÊADiB�3EI=5:38 AD?IG¨EI=5: ¬ t ^5a5a@a5^�¬ � iBCBEÝN�=5���ÌA cFd;e �>d �F=59�

8 X* 0� � * � aK�ADCIC 9�{��� ��� ^ ��� X��

* 0� � * � � ^ � X � � * � � ^ * � ��� Î � � � � d K A * � :�=5}niIGL�D:M9;�W� Î 9;�W�(EIADCBC � �QËn�`9���9JÏ�`=5��9;EI=��BCI9J� Î }nEF� d �"�>Ë��W9J�`9;Ï �`=5��9ÐEF=��BCB9��19Ð�{� d�

X ¦���§

À z@z5z À¬ t z@z5z ¬ �ddd ddd¬ � rutt z@z5z ¬ � r�t�­���® ¦�§ �

t�tÙz5z@z�

t �ddd d d d ddd� � t¸z5z@z

� �{�­�® ¦�§À�¬ t z5z5z�¬ � ruttddd ddd dddÀ�¬ � z5z5z�¬ � rut�

­�®

X ¦�������§

�¡ª £ t � ª t z@z5z �¡ª £ t � ª �ddd ddd�¡ª £ t ¬ �rutª � ª t¸z@z5z �¡ª £ t ¬ �

r�tª � ª �­�������®¦�§À�¬@tÙz@z5z�¬ � ruttddd ddd dddÀ�¬ � z@z5z�¬ � rut�

­�®

� / 3 X �¡ ¢J£ t �¡ª £ t ¬ �rutª � ª ¢ ¬ 3 rut¢X �¡¢ / ª £ t R ¤ ¢ « ¢ ª v ¤ ª « ª ¢�Ñ ¤ ¢ ¤ ª VI¬ �

rutª ¬ 3 r�t¢end LMADiIÛS�F!º=5�`?IËFEF=@C o hw�1�`9JC>E�8 R � ²gV iIC>E��

R ²·V =@:W�\¾BGJGJ� Î E d ? d�¡ª £ tQ¤ ª ¬ 3r�tª X À

5 ^ 5 XÕÀn^5a5a@a-^ � ²�¡ª £ t « ¢ / ª ¬ 3r�tª X À

5 ¬ 3¢ ^ 5 X¯ÀS^5a@a5a-^�²n^W°ÇX¯ÀS^@a5a5a5^�²K ASCIC69Ð�W� �¡¢ / ª £ t ¤ ¢ ¤ ª ¬ �

r�tª ¬ 3 rut¢ X �¡ ¢J£ t ¤ ¢U¬ 3 rut¢& 'Q( *-

� &

�¡ª £ t ¤ ª ¬ �rutª& 'Q( *-

��

X À5��

�¡¢ / ª £ tI¤ ¢ « ¢ / ª ¬ �r�tª ¬ 3 rut¢ X �¡ ¢J£ t�¤ ¢ ¬ 3 rut¢ �¡ª £ tQ« ¢ / ª ¬ �

rutª& 'Q( *- # �

X À�

�¡ ¢;£ t�¤ ¢ ¬ � × 3 r�t¢ X À�

z À�v 5 a

É1GÐ�WË��\ËSG;}D�3 / � X À

z À�v 5 v À5 z À

�v 5 Ñ À

5 � X)»I^ 5 ^ � X�ÀS^@a5a5a5^�²n^E d ? d � X)» 9;�W�1�QËn�`9���9JÏ �`=5��9ÐEF=��>CI9�� d K�ADCICÝ9Ð�{�ÊASiB��? ���>Ë��W9J�`9;Ï6�`=5��9ÐEF=��>CI9�� dcId |1ASEIASi2RrR{É o h��1�W9;CBE�8 R � ²�Ñ#À·V iIC>E��

R ²·V =@:W�\¾BGJGJ� dÉ1CBASGJËn}[�39;=M�\¾I:ÊLMADiBÛD�È��=5:`�]AD?I:�=5C69;�W� � 3 X)» �\¾I: � v 5 � � ²nd hw�39Ð�W�ÊADGÐ�WË�X ¦���§» z@z5z�» »ddd d d d ddd ddd» z@z5z�» »» z@z5z�»

�W�­���® a

:�;�<>=.?A@ B>CD=FE GDH�I�J @ KLHM=.?ONO@ PQ=.?R=.I0ST@ UDJ C0J =.@ KLHM;�I�C5=.I VMWD<X<Y=.?AZ[=.<Y=.Z[SA=.?�\D]D]6^

Page 37: C;2 0'C;6X^I A I` - math.hu-berlin.devigerske/numerik2/numerikODEs.pdf · h fY^!h Ù h&^! Xh=W¶}zfYh¥}zfp~>h `oh ^0_afmbe Y X Yh fm{c|+i!^!

� ������� ������� ���� ������ � �Q���� ����������� ������������� ���� � ����X��������� ��� � ��� ësj� 9Ð�{�1�QËn�`9J�`9;Ï �W=@��9;EF=(�BCI9J� Î �´=5CBC �{� � » }S9;GJ� d

�{� X �¡¢ / ª £ t R ¤ ¢ « ¢ / ª v ¤ ª « ª / ¢ Ñ ¤ ¢ ¤ ª VI¬ �rutª ¬ � r�t¢X � �¡ ¢J£ t ¤ ¢]¬ � rut¢ �¡ª £ t « ¢ / ª ¬ �

rutª& ')( *� , � - -� # ��

Ñ �¡ ¢;£ t ¤ ¢U¬ � rut¢& ')( *% , ! � rut -! - � �

�¡ª £ t ¤ ª ¬ �r�tª& ')( *

% , ! � r�t -! - � �X � ² 2 �¡ ¢;£ t ¤ ¢ ¬ ! � r�t¢ Ñ À� ² 4 a³�=5�`:�AS��?��`=�CsiICÝEIAS��±ËSGT�sCIËS��R\TWV�X�RUT¶Ñ T pnt V ! z@z5z@R]T¶Ñ T p / � r�t V ! R\T±Ñ T p V��9J� L�:�ASE�� X � ²�Ñ©À iBCBE����`¾F���@�W�`=@GJG;=5C T p ¢¶X�T psrut v ¬-¢ x p ^I¬ � XÕÀSdK ASCIC69Ð�W��� R]T p ¢ÈVYXÓ» Î °±XÕÀwa5a5a5^�² Î iICBE # 9*

# 9�+.- �R\TWV0/nT

�»Ba

8�9J:1�W�`=@GJG;=5C��¯9;CºEF=5:1ÆBËS:���R]TWVYX¯R]T±Ñ!T psr�t V ! � r�t v ��� R]TÇÑ!T pFrut V��9J�1=59;CI=@�1�±ËSGT�sCIËS��������9J� L�:�AnE���� # � ²1Ñ � EIAS: d K�ADCBCH9Ð�W�»�X

�R]T{p ¢ VwX�R ¬ ¢ xBpIV ! � rut v � � R]¬ ¢ x>pIV_^ E d ? d � � R]¬ ¢ xBpIVYX¯Ñ R]¬ ¢ xBpIV ! � rut a8!=@}S=5CºL�:�ASE�� � # � ²3Ñ � 9;�W�1EF9;=;( iBASEF:�Al��iI:`�\ËS:���=@G b cFd ��f }n=5CBASi Î E d ? d =@�39Ð�W�# 9*

# 9,+.- ���R\T±Ñ T psrut V0/ST�X x p �¡ ¢;£ t�¤ ¢ ��� R\T p ¢¨Ñ!T psr�t VX x p �¡ ¢;£ t�¤ ¢ ��� R]¬-¢Èx p VX ÑÊxBp �¡ ¢;£ t ¤ ¢ R ¬ ¢ x>pIV ! � r�t

ADGÐ�WË » � # 9*# 9,+.- �

R]TWV0/ST�X # 9*# 9�+.-

R]TÇÑ T{psr�t-V ! � r�t /ST¨v # 9*# 9,+.- � �

RUTÇÑ!T{psr�t-V0/nTX À� ² x ! �p Ñ x>p �¡ ¢J£ t�¤ ¢ R ¬ ¢ x>pIV ! � rutX x ! �p 2 À� ² Ñ �¡ ¢;£ t ¤ ¢ ¬ ! � rut¢ 4X Ñ ²� �{� x ! �p aK AS��9J�3�\ËSG;}D� �{� � »BdëBd N�ËS<>Al�W��Ë�RrR R�� o �F9J=@?I=� �F8 ~n� Î � dBkId cFd;eSe�

V0W0<><>=.?AZ[=.<Y=.Z[SA=.?�\D]5]5^ :�;�<Y=.?[@ BXC5=FE G0H�I�J @ KLHM=.? N @ PQ=.?A=.I0S[@ UDJ C0J =.@ KLHM;�IMCD=.I

Page 38: C;2 0'C;6X^I A I` - math.hu-berlin.devigerske/numerik2/numerikODEs.pdf · h fY^!h Ù h&^! Xh=W¶}zfYh¥}zfp~>h `oh ^0_afmbe Y X Yh fm{c|+i!^!

ëSm��� ��� ���X� ��� ������� �q�~�� � � ����

m<>q)3I .�Å\0 ��ÅMÞ�å-â à �nßlàBáäâÐá�ã�å5àBã�åäá(åATwU�V âJæ5â ãÈå-á J éFà�ê�åPK]Þ[éFã ãFLYKEN>å-ç*OPLZQsç`å5àºâÐáäã�LYV ênå �5çrLlâÐá�d:QºáäãML$�5â^V : å��wå5âÐá�ÊÆǾI:1=@9JCH=-�F�IG;9;�59J�`=@�1��=5:`�]AD?I:�=5CH9;�W��� X ¦

�§» z5z@z�»d d d ddd�

» ­ �® Î ADGÐ�`Ë�

X ¦�§» z5z5z »d d d ddd�

» ­ �® ¦�§ ¤

t d d d ¤ �­�® v ¦

�§ ¤t d d d ¤ �

­�® ¦�§» z5z@z�»d d d ddd�

» ­ �® Ñ ¤ 0 ¤X ¦

�§» z5z5z »d d d ddd�

» ­ �® v ¦�§»

�ddd d d d» z@z5z�» ­ �® Ñ ¦�§ ¤ !t �d d d� ¤ !�

­�® a

K�ADCICÝ9Ð�{�� � +

¢{^+¢�X¯Ñ ¤ !¢ ^ °±X�ÀS^5a@a5a-^�²na

K 9J=��ÊËnCB�W9Ð�W�`=5CB�5<Q=@EF9;CI}SiBCI} 8 R{ÀgV GJ9;=-�\=@:W� " �¢;£ t ¤ ¢±X À Î ASG;�`ËÌ=-�F9Ð�{��9J=@:W�Ê=@9JC;R�C>EF=-� ° �M��9�� ¤ ¢ � `X »Id K ASCIC9Ð�{�� � +

¢�^+¢� �X¯Ñ ¤ !¢ � � »I^ADGÐ�`Ë[�lADCBC���CI9Ð��?n�1�QËn�`9J�`9;Ï �W=@��9;EF=(�BCI9J�Ê�W=@9JC d

��� � � ��� �H25+-2 ��� �Ç7 ��H4����¶2 �(48 =5CIC©��ASC ¾I<Q=5:�=59;C }S:�ËSÛn=@�;$_=59J�`9;Cn��=5:�ÏlADG;G � »I^ � 9;Cn��=5}n:`9;=5:`� Î �WË 9Ð�W�[=@�[�39Ð��?n��9J} Î EBADÛ�ASiF� �`:�=-��=5CBEF=HÉ1�F��I:�Ëg�F9J�ÌAl��9JËnCB�W�\=5?IG;=5:1CB9;��?�� Ïn=5:��{� �D:����1��=@:�EF=@C Î EBADÛ R�C��`=@}S:�Al��9JËnCB�WÏn=5:`�]AD?I:�=5CHADGÐ�WË6�{��AD<I9;G¶<Q=5�@¾I}SG;9Ð��? EF9J=·�W=@CÆI=@?IG;=5:�C 9;�W� d 8�9J:[��=@:�EI=5C �\=@�W���W�`=@GJG;=5C Î EIASÛº=59;CI9J}n=p!º=5�`?IËFEF=@C ��9���:`=@G;AD�`9;Ï��sGJ=@9JCB=5:[� ËSC>�W9Ð�{��=5CI�@ËS:�EFCsiICI}�`9;��?$<>=·�`�`=5:ÝÏS=@:`?>ADGJ�`=5C$ADGÐ�HASCBEF=@:`=!��=5:`�]AD?I:�=5C Î EF9;= �5��AD:H=59;CI= ?IÚS?I=@:`= �ÊËnCB�`9;�W�`=@CI�5Ën:�EFCsiICB} <>=·�W9J�`�@=5C ÎAD<Q=5:w�S=59;CI=3K �D���F�\iICI}(ÏSËSCÌÉÊ�I�I:�Ëg�s9;�ÌAl��9JËnCB�{�\=@?IG;=5:�C(=5:�GÐADiI<Q=5C d K AS�5i���=@CBEF=@C��39;:wEIAn� ² �È�W�`i �B}S=1|3iBCI}S=5��MiF�`��Al�È��=5:`�]AD?B:`=@C ��9��ʳ´iF����?I=5:`��µ¶AS<IGJ=·ADi ¬ � ¤ ASiF��EF9J=��`�lADGÐAD:�=�µ¶=@�W�`}nGJ=@9;��?siICB}O P R\TWV�X�BO(R]TWV�^ � � ^ADC d KÊ9;=�|3iICI}n=-���MiF�W��Al��É1�I�B:`Ëg�F9;��AD�`9;ËSCÌ�\¾B: x p 8 X)x G;9J=5�\=5:`�OQp X O>pFrutYv©xBp �¡ª £ t ¤ ª ¥ Pp ª ^¥ Pp ¢ X)Z�R ¥ p ¢ V X ¥ p ¢ X�©¦§ OQpsrutwvyx �¡ª £ t « ¢ / ª ¥ Pp ª ­® ^ °±X�Àn^5a5a@a-^�²n^ADGÐ�`Ë O>p X OQpsrutwvyx� �¡ª £ t>¤ ª ¥ p ª ^¥ p ¢ X O psrut vyx� �¡ª £ t « ¢ / ª ¥ p ª ^ °±X�ÀS^5a@a5a-^�²n^:�;�<>=.?A@ B>CD=FE GDH�I�J @ KLHM=.?ONO@ PQ=.?R=.I0ST@ UDJ C0J =.@ KLHM;�I�C5=.I VMWD<X<Y=.?AZ[=.<Y=.Z[SA=.?�\D]D]6^

Page 39: C;2 0'C;6X^I A I` - math.hu-berlin.devigerske/numerik2/numerikODEs.pdf · h fY^!h Ù h&^! Xh=W¶}zfYh¥}zfp~>h `oh ^0_afmbe Y X Yh fm{c|+i!^!

� ������� ������� ���� ������ � �Q���� ����������� ������������� ���� � ����X��������� ��� � ��� ën~E d ? d ¥ p 8 X ¦

�§¥ p�tddd¥ p �

­�® X ¦

�§O>psr�tdddO>psr�t ­ �® vyx� � ¦

�§¥ pntddd¥ p �

­�® ^ ¥ p � � � ^

<I�@� d R � � Ñ x� � V ¥ p X�O psr�t � � ��9�� � � 8 X Ô À z5z@z À Ø0 � � � aÆBASGJGÐ� R � � Ñ x� � V :`=@}SiIGL�D:´9Ð�{� Î �WË��\ËnGJ}S�¥ p X R � � Ñ x� � V rut O psrut � �iICBE OQpÌX�O>psr�twv©x� ¤ ¥ pÌX�OQpsrutYv©x� ¤ R � � Ñ x� � V r�t O>pFrut � � ^E d ? d EF9;=�|3iICB}S=-���MiF�`��Al�FRÈ�`=@:`9;=5:`�`=@C <Q=5:�=@��?ICB=5CÝ�W9Ð��?HEIiI:���?ÝEF9;=���ËS:��`��?B:`9J� �O>pÌX��¶À�v©x� ¤ R � � Ñ x� � V r�t � ��� OQpsrutlaÆǾI:1EF9;=�=-�IAD����=MN¨Ún�`iICI}�9Ð�{� O(R]T p VwX

+

8�� O[R]T psr�t V_a%HÃ'&�(ÇÂ*)@Â,+-( .�Å\0 � 1Am�)Z>��±Â]Ä]Â\)q)Zg=DF57(<��)·Â\+W(�HlÅ�K 9;=��SËS���IG;=-�F=�ÆIiBCI���`9;ËSC�� 8

� �Î

� R � V 8 X�À�v � ¤ R � � Ñ � � V rut � � ^?I=@9JÛS� �>ãML$�5â^V â ã� Dã]á*O�éFàq�lã â]ßlà�EI=@�3|3iICB}S=-���MiF�`��Al�È��=5:`�]AD?B:`=@CB� dm<>q)3I .uÅ,0��¨Å2[(â]å �QãFL �-â^V â ã� lãUá*O�éFà?�DãUâ]ßDà�å5â àQå-á ² KÈáäã é��¶ê�å-à J éFà�ê�å�K]Þ(éFã ãMLEKEN>å5ç*OPL=QFç`å-àBá âÐáäãHå5â àQåyçrLlã â]ßlà�LEVJåF�éFà?�DãUâ]ßDà

�èSå5ç`å5à��� ZQ?VJå5ç�éFàQè �(å5àBà_å-ç�å5â àQå5à ��çrLSè # ² Q�L ��å-à�

: å��wå5âÐá�18�9;=�ËS<Q=5CÝ}S=@�5=@9J}S�´9Ð�{� R � � Ñ � � V ¥ p X � � O>psr�tO p Ñ� ¤ ¥ p X O pFrut ^

E d ? d � � � Ñ � � »Ñ� ¤ À � � ¥ pOQp � X � � �À � O psrut a%ÊAn��?HEI=5: ��:�AD��=5:��`��?B=5C6|1=5}S=@Gu}S9;G��O p X ����� � � � Ñ � � � � O psrutÑ

� ¤ O>pFrut ������ R � � Ñ � � V X ����� � � � Ñ � � � �Ñ� ¤ À ������ R � � Ñ � � V z5O psrut a

8 =5}S=@C OQpqX � R � VÇz-O>pFrut �\ËSG;}D�ÊEBADCIC� R � VYX ����� � � � Ñ � � � �Ñ

� ¤ À ������ R � � Ñ � � V a=<+QÄ\6QÃCBE5�(76 .�Å\0���Å�K 9;= ����AS<I9;GJ9J� �D���W�\iICI���`9;ËSC =59;CI=·��=-�F�IG;9J�@9���=5C |3iBCI}S=5�È�MiF�`��AD� ��=@:W�]AS?I:`=@CB��9;�W��=59;C �±ËSGT���CIËn� d: å��wå5âÐá�ÊÉÊiB� � X ¦

�§» z5z5z�»d d d ddd�

» ­ �® �\ËSG;}D� ����� R � � Ñ � � V � À Î ADGÐ�WË�� R � VYX ����� � � � Ñ � � � �Ñ� ¤ À � d

V0W0<><>=.?AZ[=.<Y=.Z[SA=.?�\D]5]5^ :�;�<Y=.?[@ BXC5=FE G0H�I�J @ KLHM=.? N @ PQ=.?A=.I0S[@ UDJ C0J =.@ KLHM;�IMCD=.I

Page 40: C;2 0'C;6X^I A I` - math.hu-berlin.devigerske/numerik2/numerikODEs.pdf · h fY^!h Ù h&^! Xh=W¶}zfYh¥}zfp~>h `oh ^0_afmbe Y X Yh fm{c|+i!^!

�n���� ��� ���X� ��� ������� �q�~�� � � ����

f�Ã�Â,g�h±Â]ÃsÄWÅ eSd h��F�IG;9;�59J�`=@�1hYiIG;=5:`� ��=@:W�]AS?I:`=@C oB² X¯À Î » » À d K 9J= ����AD<I9;G;9�� �l���W�\iICI����9JËnCH9Ð�W�� R � VYX¯À�v � acId

R����BGJ9;�59J�`=·��hYiIG;=5:`� ��=@:W�]AS?I:`=@C oB² X¯À Î À ÀÀ d K 9J= ����AD<I9;G;9�� �l���W�\iICI����9JËnCH9Ð�W�� R � VYXÕÀ�v � RWÀ3Ñ � V rut X ÀÀ3Ñ

�a

ëBdR����BGJ9;�59J�`= !º9J�W��=5G;�IiICI����:`=@}S=5G oB² X¯À Î t u ! t

u !À d K 9J= ����AD<I9;G;9�� �l���W�\iICI����9JËnCH9Ð�W�� R � V±X¯À�v � �uÀ3Ñ À� � �

rut X À�v�� !À3Ñ � !a

ÆǾI:3�sGJ=@9JCB= � 9;�W��� R � V =@9JCI=M}niF�`=�ÉÊ�I�I:�Ëg�s9;�ÌAl��9JËnC ÏSËnC +� ASiF�\}S:�iICBEHEF=5: �ÊËnCB�W9Ð�W�`=5CB�5<Q=@EF9;CI}SiBCI}S=@C oÆǾI: � XÓ» 9;�W� � RU»nVYX¯ÀSd ÆǾI:3�sGJ=@9JCB= � 9;�W�

+� X�À�v

�v À� � ! v�a@a5aÆǾI:1EF9;=�CsiI��=5:�9;����?I=�É1�I�B:`Ëg�F9;��AD�`9;ËSC69;�W�R � � Ñ � � V rut X � � v � � v � ! � ! vÓa5a5a@^

� R � V X À�v� ¤ Ô � � v � � v � ! � ! v�a@a5a Ø � �X À�v��¡ ¢;£ t ¤ ¢>v � ! ¤ � � � vÓa@a5a�´ËS<Q=59 " �¢J£ t ¤ ¢¶X¯À ��=@}S=5C 8 R`À·V iICBE

¤ � � � X ¤ ¦�§ " �¢J£ t « t ¢ddd" �¢;£ t « � ¢

­�® � , t -X Ô ¤ t z@z5z ¤ � Ø ¦�§

¬ tddd¬ �­�® X �¡ ¢;£ t¨¤ ¢ ¬ ¢ % , ! -X À� aK�AD��9��19Ð�W� � R � V�X�À�v � v À� � ! v�a@a5a

���

�����

���

�� ����� ��� ��� � ��� ����� �

�������

������������� ��� ��!#"�$�%�&��'��( %*),+.-'!'/�0���+.1�+.%�+.-324$�%�5 + ��6 $��#��� �87 +.-�"8��0�-'+.%9��: 7 +.-'5 ��+.��/�0 k $�-<;>= e ( %�+.%,���?��� "@$�%�&,�'��( %*"�A�- �CBED

+F= e ��� k � �'+.!G;H$���+.- ��7 +.-�"8��0�-#+.%��: e ��� k � ��+3I*� �'�'+.� e $�%�&,��-#+.5 +.�� kFJ �LK -�� e + k -'+.5 +.�

��: e ��� k � ��+.!4;H$���+.- �87 +.-#"���0�-#+.%MFN�O �����

:�;�<>=.?A@ B>CD=FE GDH�I�J @ KLHM=.?ONO@ PQ=.?R=.I0ST@ UDJ C0J =.@ KLHM;�I�C5=.I VMWD<X<Y=.?AZ[=.<Y=.Z[SA=.?�\D]D]6^

Page 41: C;2 0'C;6X^I A I` - math.hu-berlin.devigerske/numerik2/numerikODEs.pdf · h fY^!h Ù h&^! Xh=W¶}zfYh¥}zfp~>h `oh ^0_afmbe Y X Yh fm{c|+i!^!

� ������� ������� ���� ������ � �Q���� ����������� ������������� ���� � ����X��������� ��� � ��� �>e%HÃ'&�(ÇÂ*)@Â,+-( .�Å . � 1Am�)Z>��±Â]Ä]Â\)q)Zg=6Qà �ÇÂUÃC)sHgÅ�KÊ9;= !º=@CI}S=

8 X��� � � � � � R � V � # À �?I=@9JÛS� �>ãML$�5â^V â ã� Dã]áWê�å �5â]å5ã b ³´=5:�=59Ð��?HEF=@:1AD<B�`ËSG;iF��=5C�����AS<I9JG;9J� �l� fäd

f�ÃC�yÃ'Bs��57(�6�1 �¯Ã?G<BEgZzsG<BlÂ*)=)�{QÃ'BEDF>�G�BlÃC(IHgÅ~R�C EF=@:�L�:�iICBEIÏSËS:�G;=@�`iICI}��3iI:�EF=3�\¾I: !º=@?I:�����?I:�9��`�`Ïn=5:`�]AD?I:�=5C�

8 X��� � � � � � R � V � # À � ��9J�1=59;CI=5:3=@C����`�I:`=·��?I=5C>EF=5C�����AS<I9;GJ9J� �D���W�\iICI���`9;ËSC �¯EF=(�BCI9;=5:`� d

f�ÃC�yÃ'Bs��57(�6�1 kpg=hwÃC��) Ia5�B�92+-(7g=)�BE5<��)·Â\+W(�{W+-( 3p57(�6QÃ'8A9;5�)�)=>q8r@�ÃCBsDF>�G�BlÃ?(�HlÅÊL�iF�`=MÉ1�I�B:`Ëg�F9;��AD��`9;ËSC)ÏSËSC +� EFiI:���? � R � V �\¾B: }S:�ËSÛn= ³´=5:�=59Ð��?I= ADiB� � r b ��ASE��-��É1�I�I:�Ëg�F9J�ÌAD�`9;ËSC f-dÊb ÆǾI:Ý|3= #

» 9Ð�W��� +8�� �� # Ànd K�ADCICº9Ð�{��EF9J=(hY9J}n=5CB����?BAD� � � � RUx�>V � # À �\¾I: b �]AS�W� f <Q=5G;9J=@<I9;}S=�8 =5:`�`=�ÏnËSC x �3¾IC>�`��?I=@CB�`��=@:W� ÎE d ? d ��� � r �WËnGJGJ�`=M}S:�ËSÛ��W=@9JC d f

f�Ã�Â,g�h±Â]ÃsÄWÅ[K�AS������AD<I9;GJ9J� �D���`}S=@<I9J=5� � �\¾B:qÏS=@:�����?I9;=@EF=@CI=H|1iICI}S=5�È�MiI�W��AD� ��=@:W�]AS?I:�=5C b �YG;ËD� EF=@: ÆIiICB�n��9JËnC���� RWÀS^ � � R � V � V �\¾I: � X

v�

° � � Ñ � ^5À���v ° � Ñ t ^ t � � À 9;�W�1�´=59;Û Î 8 =5:`�`= � À �`9JC>E6}n:�ASi <I9Ð�1����?s�´AS:`� f

-4 -3 -2 -1 0-2

-1

0

1

2

h��F�IG;9J�@9���=@�3hYiBGJ=@:`Ïn=5:`�]AD?I:�=5C o � R � VYX�À�v � -6 -4 -2 0-4

-2

0

2

4

R����IG;9;�59J�`=@�1hYiIG;=5:�ÏS=5:`�]AD?B:`=@C o � R � V�X tt�r �

-6 -4 -2 0-4

-2

0

2

4

-10000 -8000 -6000 -4000 -2000 0-2

-1

0

1

2

µ¨:�AD�Q=5�@:`=@}S=5G_<I�@� d 9;���BGJ9;�59J�`= !º9J�W��=5G;�IiICI����:`=@}S=5G b �\¾I:1Ïn=5:��`��?I9;=@EI=5CI=�8!=@:W��=5<Q=5:�=59Ð��?I= f-o � R � VYX t × - �tär -

V0W0<><>=.?AZ[=.<Y=.Z[SA=.?�\D]5]5^ :�;�<Y=.?[@ BXC5=FE G0H�I�J @ KLHM=.? N @ PQ=.?A=.I0S[@ UDJ C0J =.@ KLHM;�IMCD=.I

Page 42: C;2 0'C;6X^I A I` - math.hu-berlin.devigerske/numerik2/numerikODEs.pdf · h fY^!h Ù h&^! Xh=W¶}zfYh¥}zfp~>h `oh ^0_afmbe Y X Yh fm{c|+i!^!

��c��� ��� ���X� ��� ������� �q�~�� � � ����

8�9;:1ÏS=@:�ASGJG;}S=@��=@9JCB=5:�CqCsiICºEF9J=�µ¶=@�W�`}nGJ=@9;��?siICI} O P R\TWV�X�BO(R]TWV ASiF��EF9J=�G;9;CI=@AS:`=�?IËS��Ën}S=5CB=MKMLMNO P R\TWVYX 8 O(RUTWV ��9J� 8 X r�t � ^ �

X EF9ÐAD} R � t ^5a5a@a-^ � V_aK�AD�5iH��:�ASCB�{�\Ën:`��9;=5:�=5Cq�39;:�O�R\TWV 8 X

O[R\TWV_a

K�ADCICÝ9Ð�{�3�\¾I:1EI9J=�=5�FAS���`=�N�Ú��WiICB}�O P R\TWV"X

� �O[R\TWVu^ASG;�`Ë �O P 3 R\TWV"X�3 �O 3 R\TWVu^ 5 X¯ÀS^5a@a5a-^ � aÆǾI:1EF9;=�CsiI��=5:�9;����?I=�É1�I�B:`Ëg�F9;��AD�`9;ËSCOQp X O>psr�tYv©x �¡ ¢;£ t�¤ ¢U¥ Pp ¢¥ Pp ¢ X 8 ¦§¨O>psr�tYvyx �¡ª £ tQ« ¢ ª ¥ Pp ª ­®¯^ °±X�ÀS^@a5a5a5^�²

�\ËSG;}D�3��9J��O>p 8 X

OQp_^ �¥ p ¢ 8 X ¥ p ¢ ^ �¥ Pp ¢ 8 X ¥ Pp ¢ ^EIASÛ

�OQp X

�O>psr�tYv©x �¡ ¢;£ t ¤ ¢ �¥ Pp ¢

�¥ Pp ¢ X�

¦§�O pFrut v©x �¡ª £ tQ« ¢ ª �¥ Pp ª ­® ^ °±X�Àn^5a5a@a-^�²n^

ADG�`�OQp / 3 X

�OQpsrut / 3 vyx �¡ ¢J£ t�¤ ¢ �¥ Pp ¢ / 3

�¥ Pp ¢ / 3 X�3 ¦§ �O>pFrut / 3 vyx �¡ª £ tQ« ¢ / ª �¥ Pp ª / 3 ­® ^ °±X�Àn^5a5a@a-^�²na

!º9J�ÊEF=5:3Ën<>=@CºEF=��BCB9J=@:W��=5C�����AS<I9JG;9J� �l���{�\iBCI���`9;ËSCH�\ËSG;}D�ÊEIASCICÝADGÐ�WË�O p / 3 X � R � 3 xQV �O pFrut / 3 a�s=@9�CsiIC |3= � 3 � »I^ 5 XÕÀS^@a5a@a5^ � aK�ADCICÝ}S9;GJ�´�\¾B:ÊADG;GJ=�N¨Ún�`iICI}S=@C O[R{z V O(R]T p V p

���

Ñ ÑIÑBÑ»Ba

L�9;G��ÊASiB��? OQp » �\¾I:ÊEF9;=�CsiI��=5:�9;����?I=MÉ1�I�I:�Ëg�F9J�ÌAD�`9;ËSCX�ÆBASGJGÐ� x � 3 � R�Cn� � Î E d ? d � � R x � 3 V � � À Î 5 XÕÀS^@a5a@a-^ � Î �`Ë[�\ËnGJ}S�� �O>p / 3 � X � � R x � 3 V �(� �O>psr�t / 3 � ^ADGÐ�`Ë �OQp / 3 p ���Ñ ÑIÑBÑ» Î 5 X�Àn^5a@a5a-^ � Î E d ? d �OQp p ���Ñ\ÑIÑIÑ

»Bd K�ADCIC6�\ËSG;}D�ÊASiB��?O p X

r�t�O p p

���

Ñ ÑBÑBÑ»Ia

:�;�<>=.?A@ B>CD=FE GDH�I�J @ KLHM=.?ONO@ PQ=.?R=.I0ST@ UDJ C0J =.@ KLHM;�I�C5=.I VMWD<X<Y=.?AZ[=.<Y=.Z[SA=.?�\D]D]6^

Page 43: C;2 0'C;6X^I A I` - math.hu-berlin.devigerske/numerik2/numerikODEs.pdf · h fY^!h Ù h&^! Xh=W¶}zfYh¥}zfp~>h `oh ^0_afmbe Y X Yh fm{c|+i!^!

� ������� ������� ���� ������ � �Q���� ����������� ������������� ���� � ����X��������� ��� � ��� ��ëK�A�EI9J=MhY9;}S=@C��´=5:`�`= � t ^5a@a5a5^ � ÏnËSC8�9;� ADG;G;}S=5��=@9JCI=@C69;� ��Ën:�ASiB�wCB9;��?��3<>=@�lADCIC��1�W9;CBE Î 9Ð�W��=·���39;��?���9J} Î!º=5�`?IËFEF=@CÌ�5iq?BAS<>=@C Î �\¾B:�EF9;=ÊEF=@: ����AD<I9;GJ9J� �D���`<>=@:`=@9;��?qEI9J=1}n=@��AD�(�`=3G;9JCI�n=3�SËn���BGJ=5�s=�7 ADG;<>=@<>=@CI=ÊiB�[�]An�`�W� dK 9J=·�Ê��ËD��9JÏs9;=5:`� EF9;=[K =��BCB9���9JËnC!EF=@:��3������AD<I9;GJ9J� �D� d K A6EF9;=@��AD<Q=5:1�\¾B: �ÌADC>��?I=(É1Cs�´=5CBEIiICI}S=@Cº�39J=·EF=5:�iI�ADi>��? =59;CI=q�5i©�{��AD:��S=q³´=@EF9;CI}niICI}º9Ð�{� Î ����?I: �DCI�����ÌADCyEI9J=qG;9;CI�S=q�nËS���IG;=-�F= 7 ADG;<>=@<>=@CI=6ASiB��? ADiF�1=@9JCI=@C�M=59;Gw=@9JC Î EF=@:(�SËn���IGJ=5�W�(9;CyEF=@:(G;9JCB�S=5C 7 ADG;<>=@<>=@CI=qG;9J=@}D�(iBCBE =59;CI=@C 8�9JCI�n=5G « ��9J��EF=@:(:�=5=5G;G;=5C É3��?B�`=ADiI�]�W�BASCIC�� dK 9J=ÝKÊ=(�BCI9J�`9;ËSC#EF=5: � ������AD<I9;GJ9J� �D��9Ð�W����ËD��9JÏs9;=5:`��EFiB:���? EF9J=ݳ´=5Ën<BAS��?��`iBCI} Î EIADÛ �W9Ð��?yEF9;=6=5�F�>ËnCI=5C��`9;=5G;G;=K �D���F�\iICI}q�\¾I:1hY9;}S=@C��´=5:`�`= Ñ

� 9;����=5:Ê�W� �S:`�n=5:�<>=·�`��?BGJ=@iICI9;}D� d � ������AS<I9JG;9J� �l�3�\Ën:�EI=5:`�1C�iBCHÏnËSCÝEF=5:R�C��`=@}S:�Al�`9;ËSC>�W��=-��?IËFEF= Î EIASÛÌ�W9;=�EF9J=·�W=·����=5:�?BADGJ�`=@CºADiB��?ÝADiF�±EF9;=�AD�I�I:�Ëg�F9J��9;=5:`�`=MN�Ú��WiICB}[¾I<Q=5:`�`: �D}S� d%HÃ'&�(ÇÂ*)@Â,+-( .�Å .�0 1 g�)Z>qBs����8=|���8Z| � 8=|�� � |�� R « V 8Ag=)=> �ÇÂUÄ�HgÅend hY9JCº|3iBCI}S=5�È�MiF�`��AD� ��=@:W�]AS?I:`=@C ?I=@9JÛS��� KÈáäãFL �-â^V Î �]ADG;G;�

� � R � V � # À �\¾I:ÊASGJG;= � � � ��9�� |1= � # »BacId hY9JCº|3iBCI}S=5�È�MiF�`��AD� ��=@:W�]AS?I:`=@C ?I=@9JÛS� � KÈáäãFL �-â^V Î �]ASGJGÐ�3=·���3���{��AD<I9;Gu9;�W�1iICBE� �<�

- ��

r�

� R � V�X)»ëBd hY9JCº|3iBCI}S=5�È�MiF�`��AD� ��=@:W�]AS?I:`=@C ?I=@9JÛS�Má�ãMLlçr�� KÈáäãML$�5â^V Î �]ADG;GÐ��=@���1�È�W��AS<I9JGu9Ð�W�1iICBE� � �

- ��

r�

� � R � V � � À�>d hY9JCº|3iBCI}S=5�È�MiF�`��AD� ��=@:W�]AS?I:`=@C ?I=@9JÛS��� � KÈá�ãML$�5â^V Î �]ADG;GÐ�� � R � V � # À �\¾I:ÊADG;G;= � � � ��9J� � # »Ia�Id hY9JCº|3iBCI}S=5�È�MiF�`��AD� ��=@:W�]AS?I:`=@C ?I=@9JÛS���\¾I: « � Ô »I^ � ! Ø � R « V KÈáäãML$�5â^V Î �]ADG;G;�� � R � V � # À � � � � ^ |3= � # »I^ � � � R � VÇÑ � � # « a «

f�Ã�Â,g�h±Â]ÃsÄ 1���BE>qh�à IaBlÃC6QÃsÄ�HlÅM³´iF����?I=5:`��µ¶AS<IGJ=·ADi o » À » »tu ! t

u !tu ! t

u !K 9J= ����AD<I9;G;9�� �l���W�\iICI����9JËnCH9Ð�W� � R � V�X À�v t! �À3Ñ t! �K 9J=·�W=·����=5:`�]AD?I:�=5CH9;�W�1�5��AD:��1�È�W��AS<I9JG Î EIA � � R � V � #À

/����À�v À� � ���� # ����

À�Ñ À� � ����/ |1= � À�v À� � � ! v R�� � À�v À� � � ! # |3= � À3Ñ À� � � ! v R�� � À3Ñ À� � � !

/��À�v À� |3= � � ! v � À� R�� � � ! #

�uÀ3Ñ À� |3= � � ! v � À� R�� � � !/À�v |1= � v � À� |1= � � ! #

À3Ñ |3= � v � À� |3= � � !/ � |3= � #

»BaV0W0<><>=.?AZ[=.<Y=.Z[SA=.?�\D]5]5^ :�;�<Y=.?[@ BXC5=FE G0H�I�J @ KLHM=.? N @ PQ=.?A=.I0S[@ UDJ C0J =.@ KLHM;�IMCD=.I

Page 44: C;2 0'C;6X^I A I` - math.hu-berlin.devigerske/numerik2/numerikODEs.pdf · h fY^!h Ù h&^! Xh=W¶}zfYh¥}zfp~>h `oh ^0_afmbe Y X Yh fm{c|+i!^!

������ ��� ���X� ��� ������� �q�~�� � � ����

hw�39Ð�W�ÊAD<Q=5:3CI9Ð��?��3�W��AS:`� �3���{��AD<I9;G Î EBA� � �

- ��

r�

� � R � V � X�Àna�s9;=5?I=�EBAD�5iÝADi>��?HEF9;=�É1<B<I9JGÐEFiICB}S=5CºASiF� �s=@9���= �Bendm<>q)3I .�Å .W.uÅMÞ�å-â à �nßlàBáäâÐá�ã�å5àBã�åäá(åATwU�V âJæ5â ãÈå-á J éFà�ê�åPK]Þ[éFã ãFLYKEN>å-ç*OPLZQsç`å5àºâÐáäã �iKÈá�ãML$�5â^V ÆǾI:3��=5:`�]AD?B:`=@C6��9J�Ê:`=@}SiIGL�D:�=5: ! AD�`:�9�� ��9Ð�{�

� R � V�X À�v� ¤ R � � Ñ � � V r�t � �X À�v ¤ � À� � � Ñ � �

r�t� �X À3Ñ ¤ � � Ñ À� � � �

r�t� � a

�s=@9¨EIADCBC � R � V8 X� �<�

- ��

r�

� R � VYXÕÀ3Ñ ¤ � r�t � � am<>q)3I .�Å .E;�ÅXJ LnèaLlé �r��� éFà_è��¶ß$�:Llã ãÈß�� �r����KEN>å5ç*OPL=Qsç�å-à�á�â à_è � KÈá�ãML$�5â^V [(â]å ��Llé���K���å5ã^QBß@ènå-à�áäâ àQè �iKÈáäãFL �-â^V : å��wå5âÐá� $QiB: � �M�s��AD<B9JG;9�� �l�3EF=5:3|1AnEIADipR R{É3�M!º=5�`?IËFEF=@C o 719;=5:�9Ð�{� ¤ X Ô « � t z@z5z « �{� Ø X + 0 � � Î + 0 � XÔ » z5z@z�» À Ø Î ADGÐ�WË�9Ð�{� ¤ � rut X + 0 � d K�ADCICÝ9Ð�{�

� R � VYX�À3Ñ + 0 � � � X�À3Ñ©À X)»I^EF9;=@�`=M��=5:`�]AD?I:�=5CÝ�W9;CBEÝADGÐ�`Ë � �È�W��AS<I9JG dÆǾI:(EF9;=qN�Ën<BAl�`�`Ë;RrR R��w�M!º=-��?IËFEF=5C o 719;=5:�9Ð�{� « ¢ t X ¤ tgÎ °�X ÀS^@a5a5a5^�² Î E d ? d EI9J=Ì=@:��W�`= �s�>ADGJ�`=ÌÏSËnC3�,9Ð�W�¤ t � � b � +t X ¤ t � � Î +-0 t X Ô À�» z5z@z » Ø fäd K�A ��:`=@}SiIGL�D:�9Ð�{� Î �(iIÛ ¤ t `XÓ» �`=59;C d K ASCICÝ9;�W�

� R � V�X À3Ñ ¤ � r�t � �X À3Ñ ¤ � r�t ¦���§ À¤ t �¦���§À» ddd»­���®­���®

X À3Ñ À¤ t ¤ ¦���§À» ddd»­���®X À3Ñ À¤ t ¤ tX »B^

ADGÐ�`Ë��`9JC>EHEI9J=·�W=���=@:W�]AS?I:`=@C6ASiB��? � �È�W��AS<I9;G d$QiI:1É1�M�s��AD<B9JG;9�� �l�ÊEF=@:ÊLMADiIÛS�F! =-�`?BËsEI=5CÝ�W9;=5?I=�EIAn�3³´iB��? � �s8 ~�� Èd

:�;�<>=.?A@ B>CD=FE GDH�I�J @ KLHM=.?ONO@ PQ=.?R=.I0ST@ UDJ C0J =.@ KLHM;�I�C5=.I VMWD<X<Y=.?AZ[=.<Y=.Z[SA=.?�\D]D]6^

Page 45: C;2 0'C;6X^I A I` - math.hu-berlin.devigerske/numerik2/numerikODEs.pdf · h fY^!h Ù h&^! Xh=W¶}zfYh¥}zfp~>h `oh ^0_afmbe Y X Yh fm{c|+i!^!

� ������� ������� ���� ������ � �Q���� ����������� ������������� ���� � ����X��������� ��� � ��� �s������ � + � ���(+-/�� /��H+-/��#� �H7" #� � �����H46.����"� �¶7��� #�6+52 #�6/���� /��H+-/��8�9;:�=5:�9JCBCI=5:�C iICB��ASC EI9J= K =��>CI9���9JËnC cFd ë EF=@��G;ËS�lASGJ=@C K 9Ð�W�s:�=-�`9Ð�`9J=@:`iICB}n�W�]AD���`Ën:�ASiF���s=59J�`= cSkIo ÆǾI:�=@9JCB=R�CI�s:�=5��=5C��W�\iBCI���`9;ËSC � b K =-� d_cFd c Î �s=@9���= cS�nf 9Ð�W�

? p X Àx p RUO(R\T p VÇÑ!O(RUT psr�t VWV�Ñ � R\O(RUT psr�t V_^`T psrut ^�x p V_aK�AS��hY9;CB����?I:`9J�W��ÏS=@:W�]AS?I:`=@C69Ð�W�3EI=��BCI9;=5:`�1��9��`�`=@G;�O p X�O psrut v©x p�RUO psr�t ^`T psrut ^�x p V_a

$QiI:´³´=@�W�`9;���[iICI}(EI=@��GJËn�gASGJ=@CqÆI=@?IGJ=@:��w<>=5�`:�AS��?��`=@CÌ�39J:´EF=5C�_�U��=5ClRÈ�`=@:�AD�`9;ËSCB������?I:`9J�W�wASiB�`}S=5?B=5CBE�ÏnËSCÌEF=5:=-�IAS�n��=5CÝN�Ú��WiICB} O(RUT{psr�t-V Î ÍOQpqX�O(R]T{psrut5V¨v©xBp � R]O[R\T{psr�t-V_^`T{psrutD^�x>pFVu^�`Ë�EBADÛ��\¾I:1EF=@CHG;ËS�lASGJ=@CHÆB=5?IG;=5:3}n9JGJ� O(R]T p VÇÑ ÍO p X)x p ? p a%HÃ'&�(ÇÂ*)@Â,+-( .�Å . H�146QÄ\+ �7>BÄ]ÃCB?|�)Z>q)=g �zsG¶ÄUÂ\zsGÇÃ'B =¨Ã?GÇÄ]ÃCBaHgÅ K =5: êaVJß$�:LYVJå F¶åAQqVJå5ç©ADC EF=5:�����=5G;GJ= T p 9Ð�W�EF=(�BCI9;=5:`�ÊADGÐ�

p 8 X#O[R]T p V±Ñ O p a

É1i>��EF=5:�CX�D?I=@:`iICB}n�`��=@9;�`=5C�N¨Ún�`iICI}ºEF=@:�CI9;��?���GJ9;CI=@AS:`=@C L�G;=59Ð��?siICI} b � d ³ d �\¾I: ¥ Pp ¢ f =5C����{��=5?I=@C!CIËF��? �5iF�� �l�`�@GJ9Ð��?I=�ÆI=@?IG;=5: � p_Î �WËÌEIASÛ��39;:���AD��� �S��?IG;9Ð��? CsiI:�p 8 XÓO(R]T{pIV�Ñ

�OQp_^

�OQpÌX

�O>psr�tYv xBp�R

�R�O>psr�tl^`T{psrutl^�x>pIV�v��@pBV_^

�O�

XÓO�

bUcId �nf=5:�?BASG���=5C d � p ?I=59;ÛD��ãMLlãUá� 'dAQqV â\d:QIå5ç F¶åAQqVJå-ç d8�9;:1<>=5�`:�AS��?��`=@C CsiICºEIAn� R�Cn��=5:�ÏlADG;G�� T � ^ � ��9J�1=59;CI=5:1K 9;�`�s:`=5�`9Ð�W9;=5:�iICI}T

� �T t�a5a@a�T�X^ x 8 X �����ª £ t /! ! ! / � x ª aÉ1i>�1EF=5:1K =��>CI9���9JËnCºEF=@�3G;ËS�lASGJ=@CHK 9;�`�s:`=5�`9Ð�W9;=5:�iICI}��{�]AS���`ËS:��Y=@:`?>ADGJ�`=5CH�39;:O[R\T p VYXÓO(R\T pFrut V¶vyx p

�R]O(RUT psrut V_^WT psr�t ^�x p V¨v©x p ? p ^ �

X¯ÀS^5a@a5a-^.a bUcId k�f

K 9J=�ÆBËS:���=@GJC bUcId �nf iICBE bUcId k�f =5:�}S=5<Q=5CHCsiIC�p X O(RUT p V±Ñ

�O pX O(RUT psrut V±Ñ�O psrut

& ')( *�9�+.- vMx p R

�R\O[R]T psr�t V_^`T psrut ^�x p V±Ñ

�R�O psr�t ^`T psrut ^�x p VWV¨v©x p R ? p Ñ � p V

1C���=5:�=5C����`�I:�=@��?I=@CBEF=@Cy��ËS:�ADi>�`�`=-���5iICI}n=5C ASC Z 9Ð�W� � N¨9J�>�`��?I9J�`�5�È�W�`=5�`9;}�<I�@}SG d EF=@��=@:��W�`=@C©É1:�}SiB��=@C���� dK�ADCICÝ9Ð�{� � � p � # � � psrut � v©x p ��� � O[R\T psr�t VÇÑ �O psr�t �& 'Q( *� �9�+.-�

vMx p � ? p Ñ � p �#

RWÀ�v ��� x p V � � pFrut � vyx p � ? p Ñ � p �ddd#

RWÀ�v ��� xQV p � � � �& ')( *� "�� r "�� � £ �vMx psr�t¡ª £ t R`À�v ��� xQV ª z ������

£ t /! ! ! / p � ? � Ñ � � �X x R{À�v � � x>V p Ñ ÀRWÀ�v ��� xQV±Ñ À z ���#��£ t /! ! ! / p � ? � Ñ � � �

#RWÀ�v ��� xQV p z À� � z ������

£ t /! ! ! / p � ? � Ñ � � � ^ �X�ÀS^5a@a5a-^

.a

V0W0<><>=.?AZ[=.<Y=.Z[SA=.?�\D]5]5^ :�;�<Y=.?[@ BXC5=FE G0H�I�J @ KLHM=.? N @ PQ=.?A=.I0S[@ UDJ C0J =.@ KLHM;�IMCD=.I

Page 46: C;2 0'C;6X^I A I` - math.hu-berlin.devigerske/numerik2/numerikODEs.pdf · h fY^!h Ù h&^! Xh=W¶}zfYh¥}zfp~>h `oh ^0_afmbe Y X Yh fm{c|+i!^!

�nk��� ���p����� � � ���<����� � � ������ � � ��������� ���� � ���>�~�w� ����� � ��� ���

iICBEH��9J� À�v ��� x # +����8 �\ËnGJ}S�1C�iBC� � p � # À

� �z+ � �

8·p z ������£ t /! ! ! / p � ? � Ñ � � � ^ �

X¯ÀS^@a5a5a5^.a

ÆǾI: �O�niB9;EF9Ð�W��ADC���=$Q=5:�GJ=@}SiICB}S=5C 9Ð�{� � x X T p Ñ©T � Î ADCB�`ËSCB�W�`=@C �(iIÛÝ�\¾I:[EF9J=6�ÊËnC�Ïn=5:�}S=@CI� . x # �-ËnCB�W�}S=@G���=5C dÆǾI:1EF=@CH}nGJËn<BADG;=5CÝÆI=@?IG;=5:3=5:�?BASG���=5CH�39J:� p � # À

� � + ���8·p z �"�#��

£ t /! ! ! / p � ? � � ^ �XÕÀn^5a@a5a-^

.^

ADGÐ�`Ë�����p £� /! ! ! / � �

p � # À� � + � �

0/@A,���z ���#��£ t /! ! ! / � � ? � � X)Ò#RUx Ö V_a

K d ? d ÃsÂ,(o325�(76>Ã'8:9;5<)=)=>?8A@MÃCBEDF>�G�BgÃ?( � Â*) K¶ÃCB 9p+W(7g@Â,g�)·ÃC(Ia+-B�K�(�57(76�Ü G�>q)n>�57zsG K¶ÂUÃ/92+-(�{QÃCB=86QÃC(Ia+-B�K�(�57(76ÝܨÅuÉ1iB�

������£ t /! ! ! / � � ? � �

8� �Ñ{ÑIÑ» �\ËSG;}D� ������

£� /! ! ! / � � � �

8� �ÑWÑBÑ»Ia

��� � ��� �;�Ç2-7 #�H/ �¼0�7¨/ �����H46. ����4�� �H4H.�/�� � �!� �"�����Õ/�������!�±/34�������� � (%� � ��� � � �)� � � �!���&% � ���8�9;=Ì�SÚSCBCI=5C �39;:�EF9J= �F��?I:�9��`�{��=@9���=��`Ë �W�`=5iB=5:�C Î EIADÛº�39;: � ? p � X µ���N©�\¾I:[=59;CI=ÌÏSËn:`}n=5}n=5<Q=5CI=�µ¨ËnGJ=@:�ASCI�µ���N =5:�:`=@9;��?B=5CX�K�Aq�39;: EF=@C GJËn�lADG;=5C ÆI=@?IG;=5: O(R]T p VYÑ O p CI9Ð��?�� �n=5CICI=@C Î <Q=5CsiF���5=@C �39J:M�W��Al�`��EF=·�`�`=5C��O p Ñ �O puÎ �´ËS<Q=59��O p=59;CI=��5iB� �l���5G;9;��?B=�ÉÊ�I�I:�Ëg�s9;�ÌAl��9JËnC 9;�W� Î EF9;=ÌADiB��=@9JCI=@� ��=5:`�]AD?I:�=5C!��9���� :�EFCsiICI}(Ü v$À ËsEI=5:M�ÌADCB��?I�ÌASGADi>��?[Ü Ñ À =5C����W�`=@?n� Î � d ³ d� ³�=@:`=·��?ICsiICI}�ÏSËnC��O>p ASiB��=59;CI=5� �È=@9JCI}n=5<Q=-�`�`=-��=5Cn�[|3iICB}S=-���MiF�`��Al�È��=5:`�]AD?B:`=@C¬ � ¤ ͤ� ³�=@:`=·��?ICsiICI}�ÏSËnC��O p ASiB�W}n=5?I=@CBEqÏnËSC �O psr�t ��9�� c �F��?B:`9J�W��=5CÝEF=5:1N��DCI}n= 8 9! dKÊ9;=@��9Ð�{�1Ïs9;=5G¨ÉÊiF�\��ADCBE Î AS<>=@:1�W9;CICsÏSËnGJGu9;CÝ��=5:�<I9;CBEFiICI}���9J�1h��s�`:�AD�QËSGÐAl�`9;ËSC>�WÏn=5:`�]AD?I:�=5C d

%1iBCÝAS�I�I:�Ëg�F9J��9;=5:�=5C �39;:1EF=@CHG;ËS�lASGJ=@CHK 9;�`�s:`=5�`9Ð�W9;=5:�iICI}S�]AD���`Ën:���9J�W��=5GÐ��? p X Àx>p R �O p Ñ �O p Vua

³´=5CsiF���5=5C �39;:�=59;C ��=5:`�]AD?I:�=5C EF=@:(�ÊËnCB�`9;�W�`=@CI�5Ën:�EFCsiICB}(Ü Î �WËÝ9Ð�{� � ? p � 1 ¬ p x Ö p �\¾I:�=@9JCB=q�ÊËnCB�{��ADC��`= ¬ p d 1C���=5:1EF=@:ÊÉ1CIC>AD?I��= ¬ p X�¬ p × t 9;�W�ÊEIASCIC

� ? p �� ? p × t � Xx Ö px Ö p × t a

:�;�<>=.?A@ B>CD=FE GDH�I�J @ KLHM=.?ONO@ PQ=.?R=.I0ST@ UDJ C0J =.@ KLHM;�I�C5=.I VMWD<X<Y=.?AZ[=.<Y=.Z[SA=.?�\D]D]6^

Page 47: C;2 0'C;6X^I A I` - math.hu-berlin.devigerske/numerik2/numerikODEs.pdf · h fY^!h Ù h&^! Xh=W¶}zfYh¥}zfp~>h `oh ^0_afmbe Y X Yh fm{c|+i!^!

� ������� ������� ���� ������ � �Q���� ����������� ������������� ���� � ����X��������� ��� � ��� �Fjx p × t �`ËSG;GuC�iBCH�`Ë�<>=@��=·�`�`=5Cº�`=59;C Î EIASÛ � �? p × t � 1 µ���N }S9;G�� Î E d ? d �39;:3�(¾B���W=@C x p × t �`Ë�� �S?IG;=5C Î EIASÛ� �? p �µ���N X x Ö px Ö p × t}S9;GJ� Î E d ? d x p × t 8 X$x p �� µ���N� �? p � X$x p z �� µ���N� �O>p�Ñ �O>p � a������ � � � � � ���� ���� �������� �K =5:3}S:�ÚSÛS�`=�É1:�<>=@9����`ASCn��=59;Gu9J� |3iICI}n=-���MiF�W��Al�È��=5:`�]AD?I:�=5Cq9Ð�W�3EI9J=�N�Ú��WiBCI}[EF=@:3CI9Ð��?n��GJ9;CI=·AD:�=5CHL�G;=59Ð��?siICI}n=5C�5iB:1³�=·�{��9J���[iICI}ÌEF=5: ¥ Pp ª Î ¥ p ¢ X O psr�t vyx p �¡ª £ t « ¢ ª Z(R ¥ p ª ^WT p ª V�^O>p X O>psr�tYvyx>p �¡ª £ t>¤ ª Z�R ¥ p ª ^WT{p ª V_aÆǾI:1EIAn��9J���IG;9J�@9���=�hYiIG;=5:�ÏS=@:W�]AS?I:�=5C 9Ð�W� ¥ p�t X#O pFrut v©x p Z�R ¥ p�t ^WT p V5d R{�W� Z(RUO¨^`TWVYX 8 O Î �`Ë�9;�W�¥ pnt X�O psrut vyx p 8 ¥ pnt a!ºÚF��?��`=@C6�39;:1EF9;=�ƶ9J�F�IiICI����9���=5:�Al�`9;ËSC¥��

���pnt 8 X OQpsrut¥ � ¢ × t �pnt 8 X O psrut vyx p 8 ¥ � ¢ rut �pnt ^ °�

Àn^<Q=5CsiF�`�@=5C Î iI� EBAS�ÊL�G;=59Ð��?siICI}n��� �s�W�`=@� �5iÝG;Ún�`=5C Î �WË��SÚnCICI=@CH�39;:Ê� ËSCsÏS=@:`}n=5CI� }S=@}S=5CH=59;CI=�N¨Ún�`iICI} b E d ? d=59;CI=@CÝÆÇ9J�F�IiICI��� f CsiI:3=@:`��AD:`�`=@C Î ��=@CICºEF9;=MÉÊ<I<I9;G;EIiICI}

� 8 � �� ^ � ¥ 8 X#O psrut v©x p 8 ¥ ^�SËnC��`:�AD���`9;Ï(9Ð�{� d K 9;=@�´9;�W��CsiI:�EF=@:�ÆBASGJG Î �]ADG;G;� � x>p 8 � � À Î E d ? d � x>p % � � À �\¾I:3EF9;=Êhw9J}n=5Cs��=@:W��= % ÏnËSC%8 Î9Ð�{� d KÊ9;=@�1=5:�}S9;<F�3�39J=·EF=5:3=@9JCI=��F��?B:`9J�W�{�´=59J�`=@CI=59;CB����?I: �SCI�siICI} d³´=@���W=@:�}S=5=@9J}nCI=-�39Ð�{�ÊEBAS� %1=@���`ËnCF� ��=@:W�]AS?I:�=5C ��9J� ����AS:W�{�´=5:`�`=@C ¥�� ���p ¢ 8 X ¥ psr�t / ¢ d

V0W0<><>=.?AZ[=.<Y=.Z[SA=.?�\D]5]5^ :�;�<Y=.?[@ BXC5=FE G0H�I�J @ KLHM=.? N @ PQ=.?A=.I0S[@ UDJ C0J =.@ KLHM;�IMCD=.I

Page 48: C;2 0'C;6X^I A I` - math.hu-berlin.devigerske/numerik2/numerikODEs.pdf · h fY^!h Ù h&^! Xh=W¶}zfYh¥}zfp~>h `oh ^0_afmbe Y X Yh fm{c|+i!^!

�nm��� ���p����� � � ���<����� � � ������ � � ��������� ���� � ���>�~�w� ����� � ��� ���

:�;�<>=.?A@ B>CD=FE GDH�I�J @ KLHM=.?ONO@ PQ=.?R=.I0ST@ UDJ C0J =.@ KLHM;�I�C5=.I VMWD<X<Y=.?AZ[=.<Y=.Z[SA=.?�\D]D]6^

Page 49: C;2 0'C;6X^I A I` - math.hu-berlin.devigerske/numerik2/numerikODEs.pdf · h fY^!h Ù h&^! Xh=W¶}zfYh¥}zfp~>h `oh ^0_afmbe Y X Yh fm{c|+i!^!

� ��������� �

� �����������w��� � ��� � ����� � ����� � ��� ��!����,�8�9;:1<>=5�`:�AS��?��`=@C6EF9;=�KMLMN OQPSRUTWVYX)Z[R\O[R]TWV_^`TWV_^ b]ëBdJegf�\¾I:1=@9JCB=M�W�`=5�`9;}S=�ÆBiICI���`9;ËSC Z�8 �#" � »B^ � V �� ��9�� �W�`=5�`9;}S=@:�ÉÊ<IG;=59J�`iICI} Z " C>AS��? O¨dK�AD�5iÝ<Q=-��:�An��?n��=5CH�39J:1EI9J=�ɶ8�É O>P�R\TWVYX$Z(RUO(R]TWV_^WTWV_^ O(R »nVYX�O

a b]ëBd cnf%HÃ'&�(ÇÂ*)@Â,+-( ;¨Å\0�1�1 >�g%$�� h�)Z+ )·Â\gZzsG�Hig�)Z>��±Â]Ä´Â\� m¨Â\(7(¶Ãn{W+-( �&$->qh�57(�+?{I|YÂ,(�g=)=>��±Â]ÄFHgÅend hY9JCB=�N�Ún�`iICI} O � � �

t R�»I^�

VQ^ � V EF=@:ÊKMLMN b]ëId;e·f ?B=59;ÛD��áäãML$�5â^V¨â^] �>â àBà_å �lßlà ��baL:UQéFà_ßE� Î �]ADG;G;��\¾I:Ì=59;C ? �,» ASGJG;=ºÉ1CF�]ASCI}n�`��=@:W��ADiF�\}�AD<Q=5C b]ëId cSf ��9J� � O � Ñ!O � RU»nV � # ? N¨Ún�`iICI}n=5C#ADiF� � »B^ � V?BAD<Q=5CHiICBEH�5i��{=·EF=5� �©» =@9JC ��R V � » =5�F9;�W�`9;=5:`� Î EI=5:�AD:`��EIASÛ��\ËSG;}S=5C>EF=XR����BGJ9;�lAl�`9;ËSCÝ}n9JGJ� o� O � Ñ O � R]»�V � # �´R V � � O(R]Tä^WO � V±Ñ O � R]TWV � # �

T�

»cId3O� ?I=59;ÛD��LláwbE]�U_ãÈßDãUâÐá�d:Q�á�ãML$�5â^VÇâ^] �>â àBà_å��gßDà �IbaLAU_éFàQßE� Î �]ASGJGÐ� �5iB� �l���5G;9;��?Ý=59;C �? �)» =-�F9Ð�{��9J=@:W� Î �`ËEIADÛ[�\ËSG;}S=@CBEF=XR����IGJ9;�lAl��9JËnCH}n9JGJ� o

� O � Ñ!O � R »nV � # �? � � O(RUTä^WO � V±Ñ O � RUTWV � # ���ÑDÑIÑ»BaëBd hY9JCB=�N�Ún�`iICI} O � ?I=59;ÛD��â àBá�ãML$�5â^V Î �]ADG;G;�3�`9J=MCI9Ð��?��Ê�{��AD<I9;Gu9Ð�{� d

f�ÃC�yÃ'Bs��57(�6 1('^m*) � ��|�mYÅ�0�. �,+MHgÅ3hY9;CI=�N�Ú��WiICB} O � R\TWV 9Ð�{�1ADGÐ�`Ë[�W��AD<B9JG_9;�1�s9JCBCI= ÏnËSCHN �nAS�IiICIËlÏ Î ��=@CIC CI9;��?�� 9;C�EF=5:��ËS:�GJ=·�WiICB}EF9;=(N�Ú��WiBCI}S=@C6ÏnËSC b]ëBd cnf EFiI:���?H}n=5=@9J}nCI=-��=�8 AD?BG¶EF=@:ÊÉ1CF�]ASCI}n�`�´=5:`�`=�EIAD�@iº}S=@�5�3iICI}n=5CH��=@:�EI=5CÝ�SÚnCICI=5C Î9;CH=@9JCB=5:�%ÊAn��?s<BAD:��`��?>Al� ��ÏnËSC O � R\TWV �@iHÏn=5:�<IG;=59;<>=@C dO�R]TWV 9Ð�{�qAS� �s���F�`ËS�`9Ð�`��?y�W��AS<I9;G39J� �s9;CICI=ÝÏnËSC©N �nAS�IiICIËlÏ Î �´=5CBC©�@iB� �D�`�@GJ9Ð��? �{=@EI=ÝN¨Ún�`iICI} Î EF9;=Ý9JC EF=5:%��S?I=MÏSËnC O � R]T � V �W��AD:`�`=5� Î }n=5}S=@C O � RUTWV �SËnC�Ïn=5:�}S9;=5:`� Î �\¾I: T �

df�Ã�Â,g�h±Â]ÃsÄ 1-' m.) � ��|�m�Å�0q. �/+FHgÅ�K An�3É1CF�]ASCI}n�`�´=5:`�`�I:�ËS<IG;=5� CI9;��?�� 9;C�EF=5:��ËS:�GJ=·�WiICB}O>P�R\TWVYXÓO(RUTWVÇÑ!O $ R]TWV_^ T � � »I^ � VQ^ O(R »nV�X�O

^?BAD�ÊEF9J=M=5�FAS���`=�N�Ú��WiICB} O(RUTWVYX O

� + #0 À�v O !�

R+ ! # Ñ©ÀgV aK 9J=(L�G;=59Ð��?I}S=@�39;��?����WGÐAD}n=5C �`9JC>E � Î e iICBE Ñ�ÀSduÀ iICBE Ñ�À �`9JCBEÝAn���s���F�`ËS�`9Ð�`��?H�{��AD<I9;G Î » 9;�W�1CI9Ð��?n�1�W��AS<I9JG d��~

Page 50: C;2 0'C;6X^I A I` - math.hu-berlin.devigerske/numerik2/numerikODEs.pdf · h fY^!h Ù h&^! Xh=W¶}zfYh¥}zfp~>h `oh ^0_afmbe Y X Yh fm{c|+i!^!

�D� �� �'� � ��������� � � � ������� �� � ���� � �� ���X����� ��� � � ������� � �M����� ���

–1.5

–1

–0.5

0

0.5

1

1.5

x(t)

1 2 3 4 5

t

N�Ú��WiBCI}S=@C6EF=@:1É1CF�]ASCI}n�`��=@:W��ADiF�\}�AD<Q=Ê�\¾B: O � ��� Ñ�ÀS^5Ñ t� ^`»B^ tt � ^5Àn^ $!�� d�%��� � 2-46/����Ç/ � +-/32 #���64H. 0�2 � ���(467 �"��4;�¶/34 � �Ì/�� �´2-/34;�¶/348�9;:1<>=5�`:�AS��?��`=@C G;9JCB=@AD:�=M9JCB?IËS��ËS}n=5CI=�K 9'&_=5:�=5C���9;ASGJ}nGJ=@9;��?siICI}n=5CHEF=5:1ÆBËS:��O P RUTWVYX 8 O(R]TWV¨v

R]TWV_^ b]ëBd ë�fiICBEÝEF9;=��5iB}S=5?BÚS:�9J}n=Ê?IËn��Ën}S=@CI=�K�LMN O P RUTWVYX 8 O(RUTWV_a b]ëBd �sfR{�W� O(R`zJ^`O � V N�Ú��WiICB}qEF=5:Êɶ8�É �5iI:ÊKMLMN bUëId ënf ��9J� O(R »nV´X$O � iBCBE O � R{z V =@9JCI=[|3=-�\=@:`=@CI�5G;Ún�`iICI} Î �WËÌ9Ð�W�O(R`zJ^`O

V±Ñ!O�R`z V N¨Ún�`iICI}�EF=5:3?BËS��ËS}n=5CI=@CHK 9'&_=5:�=5C���9;ASGJ}nGJ=@9;��?siICI} b]ëBd �sfädÉ1GÐ�`Ë(9Ð�{� O � =59;CI= �W��AS<I9;GJ= b AS� �s���F�`ËS�`9Ð�`��? �W��AS<I9;GJ= f N�Ú��WiBCI}(EF=@:�9;CI?IËn��Ën}S=@CI=5CqKMLMN bUëId ënf Î }�EF� d EI9J= %1iIG;G��N�Ú��WiBCI} R\O(RWz V � »nV =@9JCI=��W��AS<I9JG;= b An���s���F��ËD�`9Ð����?H�W��AS<I9JG;= f N¨Ún�`iICI}ÌEF=5:3?BËS��ËS}n=5CI=@C6KMLMN b]ëId ��f 9Ð�W� dK�AD?I=@:3<>=5�`:�AS��?��`=@C6�39;:39JCºEF9;=@�`=5�'É1<B����?ICI9J�W�1CsiI:3CBËs��?ÝEF9;=�?IËS��Ën}S=5CB=�KMLMN b]ëBd �sfäoO>PSRUTWVYX 8 O(RUTWV_a

�s=@9J=@C � t ^@a5a5a@^ � EF9;=�hY9J}n=5Cs�´=5:`�`=�ÏSËSC 8 d8�9;:1��Ús��?���=5CH�5=59;}S=@C o� ÆBADG;GÐ�3|3= � ¢ � » Î °±X�ÀS^5a@a5a-^ � Î �WË�9Ð�{�1EF9;=�%1iIG;GJ�ÈN¨Ún�`iICI}ÌAS� �s���I�`ËD��9;����?6�W��AS<I9;G d� ÆBADG;GÐ� |3= � ¢ # » Î °�X ÀS^5a@a5a-^ � Î iIC>E �5i!EF=5C!:`=@9JC 9;�ÌAD}n9JC>�S:`=@CºhY9;}S=5Cs�´=5:`�`=@C b |3= � ¢ X¯»nf }S=5?BÚS:�=5CADiB���`��?BGJ9;=5ÛnGJ9Ð��? �nËS:�EIADCs<IG;ÚF���S= EI=5: � :�EFCsiICI} e Î �`Ë�9;�W�1EF9J=�%ÊiIG;G���N�Ú��WiICB}��W��AS<I9;G d

%HÃ'&�(ÇÂ*)@Â,+-( ;¨Å . 1rm�hwÃC��)�BE>IÄ,>�� ISÂ\gZg·ÃqHlÅ �s=@9 8 � � R � V Ϋ R 8 V 8 X ����� � |3= � ����� R � Ñ 8 VwX�» �?I=@9JÛS� �YUBåA�DãUçALEV L ��æ5âÐá�á5å�ÏnËSC8 d:�;�<>=.?A@ B>CD=FE GDH�I�J @ KLHM=.?ONO@ PQ=.?R=.I0ST@ UDJ C0J =.@ KLHM;�I�C5=.I VMWD<X<Y=.?AZ[=.<Y=.Z[SA=.?�\D]D]6^

Page 51: C;2 0'C;6X^I A I` - math.hu-berlin.devigerske/numerik2/numerikODEs.pdf · h fY^!h Ù h&^! Xh=W¶}zfYh¥}zfp~>h `oh ^0_afmbe Y X Yh fm{c|+i!^!

� ������� ��� � � ���X� ��� ������� �� � ��� ���x���� �������i���� � �Ie�wÃ?��� > ;�Å ;�Å �_å5â 8 � � R � V

~��áäã « R 8 V � » � á5ß[êDâ �5ã�å-á(å-â à_å�ç�å êSéqV Dç`å � LDãUçäâ T�� � � R � V éFàQè6å-â à e � » ènå-çALlçäã � èaL ���� � �!� � � 8 O¨^WO � ! # e z � � O � !! O��Fç_LYV^VJå O ��� a� ~��áäã « R 8 V�X » éFàQèqê�åAQ��lç`å5à æ5é èSå5à ç`å5â àyâ^]lL5êSâ à Dç`å5à S´â�ê�å-à �wå-çäã�å5à �lßlà 8 Llésá�á�dAQqV â]å ��V�â\dAQ��FßlçwKèaLlà �PV��=d:�Så�ènå-ç�ç`èDàBéFà�ê

�á5ß(êSâ �5ã�å-á(å-â à_å�ç`åÈêSéqV lç�å � Llã çäâ T�� � � R � V ][â ã� � �!� � � 8 O¶^WO � ! # » O��Fç LEV^VJå O ��� a

y�BgÂ,(�(ÇÃCBE5�(76 oend �s=59 � � � R � V =@9JCI=M?I=@:`��9J�`9Ð�`��?B=X!�Al�`:�9J� Î E d ? d � X � � dK ASCICº=-�F9Ð�{��9J=@:W�19;C � =@9JCB= � :W��?IËSCBËS:���ASGJ<>AS�`9;� b � % ³ f ÏSËnCHhw9J}n=5CsÏS=@�n��ËS:�=5C�� t ^@a5a@a-^ � Î iBCBEºEF9;=hY9J}n=5Cs�´=5:`�`= QtD^5a@a5a-^ �`9;CBEH:`=@=5G;G d �s=@9O6X ¡ª £ t ¬ ª � ª ^ � O � !! X ¡ª £ t � ¬ ª � ! aK ASCIC69Ð�W�� �O¶^WO

� ! X� ¡ª £ t ¬ ª ª � ª ^ ¡ ¢;£ t ¬-¢ � ¢�� !X ¡ª £ t � ¬ ª � ! ª # �����ª £ t /! ! ! / ª& ')( *£

������� ,�� -z � O � !! acId ƶ¾B:3=59;CI=�ADG;GJ}n=5��=59;CI=X! Al��:`9J� � � � R � V 9Ð�{�

� � �O¶^WO

� ! X � O¨^@R�� V � O ! X �

O¶^�

O� ! X � �

O¨^`O� ! aK ASCIC69Ð�W�3�\¾I: O � � |3= � � O¶^WO � ! X À� � � O¨^WO � ! v À� � � O¶^WO � ! X À� R � v � � V& ')( *)(-/'�� +

�+�0 ) O¨^WO � ! #

������Ì� À� R � v � � V � z � O � !! a: å��wå5âÐá� �s=@9 8 � � R � V-d 8�9;:Ê�W�`=@GJG;=5C 8 EIAD:1ASG;�

8 X � rut ��9�� �

Xrut 8 X ¦

����§�

t �gtd d d d d dd d d �r�t�

­����® ^ � ¢ � �·»B^5À � a

K =��BCI9;=5:�=��´=59J�`=5:´�\¾I: �#»� �

8 X ¦�§

t d d d

­�®

iICBE� �

8 X�

r�t� � � �

X ¦����§�

t� td d d d d dd d d

�r�t

­����® X

r�t�

r�t& 'Q( *£

� � 8 � � X � � 8 �rut�a

!#" A�- +.��%�+�I � �'-#� =%$ B'& �)(+* � 1�+-,L%���+.-'+.$�/10 243$6587V0W0<><>=.?AZ[=.<Y=.Z[SA=.?�\D]5]5^ :�;�<Y=.?[@ BXC5=FE G0H�I�J @ KLHM=.? N @ PQ=.?A=.I0S[@ UDJ C0J =.@ KLHM;�IMCD=.I

Page 52: C;2 0'C;6X^I A I` - math.hu-berlin.devigerske/numerik2/numerikODEs.pdf · h fY^!h Ù h&^! Xh=W¶}zfYh¥}zfp~>h `oh ^0_afmbe Y X Yh fm{c|+i!^!

�Sc �� �'� � ��������� � � � ������� �� � ���� � �� ���X����� ��� � � ������� � �M����� ���

ÆǾI: O¨^�� � � EF=(�BCI9;=5:�=�EIADCICH=59;CÝ9JCBCI=5:�=@��Y:�ËFEFiI���ÊADiI� � ��9J�W�`=@G;��O¶^��

� �8 X� � �� � �

O¶^��� ! aK 9J=��@iI}S=@?IÚS:�9J}n= %ÊËS:�� 9Ð�{� � O � � X � � � O � ! aÆǾI: O ��� <Q=5:�=@��?ICI=@C6�39;: o|3= � 8 O¶^WO � � X |1= �!� �� � � 8 O¶^WO � !X |1= � � � 8 Ô � r�t� � �Ø O¨^

� �O !X |1= � � � R � � OQV�^@R � � O_V � !

# ��� � � À� R � � v � �� V � z � � � O � !!hw�39Ð�W�1C�iBCÀ� R � � v � �� VwX

¦����§|3= � t �! � t� ! � t d d d d d dd d d d d d

� ! � rut�! � rut |3= � ­����® � � �ÑUÑIÑ

¦�§ |3= �

t d d d |1= � ­�® ^

ADGÐ�`Ë ������Ì� À� R � � v � �� V � � � �Ñ]ÑBÑ �����¢;£ t /! ! ! / |3= � ¢¶X « R 8 Vuaæ5é Ê8 �D?IG;=MC�iBC e �`Ë Î EBADÛ « R 8 V � e � » }n9JGJ� d ÆǾI:3?B9JCI:�=59Ð��?I=@CBE �sG;=59;CI= �#» }S9;G��ÊEIASCIC���� � � À� R � � v � �� V � # e ^ƶ9J�F9J=@:`=��`ËSGÐ��? =@9JC � » iICBEÝ�`=-�`�@= � 8 X

� �d K ASCIC �\ËnGJ}S�ÊADGÐ�WË|3= � � � � 8 O¨^WO � ! # ������ � À� R � � v � �� V � z � � O � !! # e z � � O � !! aæ5é � �s=59;=5C � t ^5a@a5a5^ � � EF9;=�:`=@9JCH9J�ÌAS}S9;C>�D:�=5C6hY9J}n=5Cs�´=5:`�`= b E d ? d |1= � ¢ÇXÓ» Î °±XÕÀn^5a@a5a-^�²·f-d K�ADCICÝ9Ð�{�

X¦�����������§�

t d d d� �

� � × t � � × td d d d d dd d d �rut�

­�����������®^

À� R � � v � �� VYX¦�����������§

» d d d » |3= � � × t �! � � × t� ! � � × t d d d d d dd d d d d d

� ! � rut�! � rut |3= �

­�����������®

:�;�<>=.?A@ B>CD=FE GDH�I�J @ KLHM=.?ONO@ PQ=.?R=.I0ST@ UDJ C0J =.@ KLHM;�I�C5=.I VMWD<X<Y=.?AZ[=.<Y=.Z[SA=.?�\D]D]6^

Page 53: C;2 0'C;6X^I A I` - math.hu-berlin.devigerske/numerik2/numerikODEs.pdf · h fY^!h Ù h&^! Xh=W¶}zfYh¥}zfp~>h `oh ^0_afmbe Y X Yh fm{c|+i!^!

� ������� ��� � � ���X� ��� ������� �� � ��� ���x���� �������i���� � �SëiICBEHCBAS��?H��ËS:�ADi>�`�`=-���5iICI}[9;�W�

�« 8 X ���#�¢;£ � × t /! ! ! / |3= � ¢ � »IaÉ1GÐ�WË�9Ð�{�3�\¾I:3?B9JCI:�=59Ð��?I=@CBE �sG;=59;CI=@� � » ����� � À� R � � v � �� V � # »Baƶ9J�F9J=@:`=M=@9JCÝ�WËnG;��?B=@� �#» iICBEÝ�W=5�`�@= � 8 X� �d K�ADCBC6�\ËnGJ}S�|3= � � � � O¨^WO � ! # ����� � À� R � � v � �� V � z � � O � !! # »Ia

�wÃ?��� > ;�Å<H¨Å �_å5â � � � R � V ç`åÈêDéqV Dç��[�LDàBà!ènå �wàBâ]å5çäã�

8 � "�� �� ^ �

R\O¨^��IV 8 X � � � � � � O¶^�� � ! ^"O¨^�� ��� ^å5â à�â àBà_å-ç�åäá ´ç`ß·èlé'�Dã�LDéPO � : å��wå5âÐá�1hw�19;�W�ÊEF9;= � �s����=5�`:�9J= Î N�9;CI=@AS:`9J� �D��iBCBEH�>Ë��W9J�`9;ÏS=�K =��BCI9J�`?B=59J�ÊÏSËnC � �5iÝ�5=@9J}n=5C o$QiI:�� ������=-��:`9;= o ƶ¾B: O¨^�� � � 9;�W�

R]O¨^��IVwX |3= � � � � O¶^�� � ! X |3= � O¨^ � � � �� ! X |3= � O¶^ � � � �

� ! X |3= � � � � �_^WO� ! X �

R �_^WO_Vua$QiI:1N¨9JCB=@AD:�9J� �l� o ÆǾI: O¨^��Q^ � ��� iICBE « ^ ¤ � � }S9;GJ�

R\O¶^ « ��v ¤ � VYX |3= � � � � O¨^ « ��v ¤ ��� ! X « � R\O¨^��IV¨v ¤ � R\O¨^ � Vua$QiI:3�QËn�`9J�`9;ÏS=5CÝK =��BCI9J�`?B=59J� o ÆǾI: O ��� 9Ð�W��

R O¨^`OQV�X |3= � � � � O¶^WO � ! X � � O � !! � »iICBEH=·��9;�W� � R\O¶^WOQV�X � � O � !! �©» }�EF� dFO `X)»Hb EIA�� :`=@}SiIGL�D: fädÉ1i>�1EF=5CÝG;=-���-�`=@CÝ<>=@9;EF=@CºN�=5���ÌAS�´�\ËnGJ}S�1EIADCICm<>q)3I ;¨Å76�Å �uå-â 8 � � R � V

~��áäã « R 8 V � » � á5ß6årTnâÐáäãUâ]å5çäã3å-â à!â àBàQå5ç`å-á �ç`ß@èDé'�lã � z;^5z � LDéPO � éFà_èqå5â à e � » ]�â ã �� 8 O¶^WO � # e � O � ! ^"O � � a

� ~��áäã « R 8 V�X » éFàQèqê�åAQ��lç`å5à æ5é èSå5à ç`å5â àyâ^]lL5êSâ à Dç`å5à S´â�ê�å-à �wå-çäã�å5à �lßlà 8 Llésá�á�dAQqV â]å ��V�â\dAQ��FßlçwKèaLlà �PV��=d:�Så�ènå-ç�ç`èDàBéFà�ê �á5ß åATnâÐáäãUâ]å5çäã�å5â à�â à>àQå5ç`å-á ´ç�ß@èDé'�lã � z;^5z � LDéPO � ]�â ã

� 8 O¨^`O � # »I^ O � � a9p+-BE+>ÄUÄ\>qB>;¨Å�� 1rm�)=>��±Â]ÄUÂ*)�)�D��<BÌÄUÂ\(ÇÃC>�BgÃn% � ��(�|&'^m*) � ��|7mYÅ�0�. � +MHgÅ��_å5â�8 � � R � V éFàQè ��å5ãUçrL'dAQFãÈå�CI9;��?�� 9;C�EF=5:��ËS:�GJ=·�WiICB}èlâ]åX[ � ������ ��$� O P RUTWVYX 8 O(R]TWV �[�Llà>à6êDâ^V�ã

~[�â]å ��éqV^VcK �8�gáäéFàsê O � R{z V � » âÐá�ã�ê�å-à�Llé�èaLDàBà LgáwbE]�U_ãÈßDãUâÐá�d:QÝáäãML$�5â^V��wå5àBà « R 8 V � » êDâ^V ã

� ~��áäã « R 8 V # » éFàQèqê�åAQ��lç`å5à æ5é èSå5à ç`å5â àyâ^]lL5êSâ à Dç`å5à S´â�ê�å-à �wå-çäã�å5à �lßlà 8 Llésá�á�dAQqV â]å ��V�â\dAQ��FßlçwKèaLlà �PV��=d:�Så�ènå-ç�ç`èDàBéFà�ê À�á5ßÌâÐáäã3èlâ]å ��éqV^VcK �8�gáäéFàsê O � R{z V � » áäãFL �-â^V

: å��wå5âÐáäâ]èSå�å ~!º9J��EF=5� 9;CICI=@:`=@C �Y:�ËFEFiI���MASiB� �FAl��� ëId � �\ËnGJ}S� Î EIASÛ EF9;=[=@9JCB�`=59J�`9;}S=�N�9;�B����?I9����-��³´=@EF9;CI}SiBCI}b{end ë�f�b �s=@9���= jDf =5:`�\¾IG;G��19Ð�W� d 8 =5CBEI=�C�iBC �FAD�`� end kÝb �F=59J�`= mnf ASC dV0W0<><>=.?AZ[=.<Y=.Z[SA=.?�\D]5]5^ :�;�<Y=.?[@ BXC5=FE G0H�I�J @ KLHM=.? N @ PQ=.?A=.I0S[@ UDJ C0J =.@ KLHM;�IMCD=.I

Page 54: C;2 0'C;6X^I A I` - math.hu-berlin.devigerske/numerik2/numerikODEs.pdf · h fY^!h Ù h&^! Xh=W¶}zfYh¥}zfp~>h `oh ^0_afmbe Y X Yh fm{c|+i!^!

��� �� � � ��������� � ������� ��� ���4��� ��� ����� ������� � � �����p�� ����

�%� � � 2 ��;�¶+52-46/����Ç/ � 2��!/��±/34;�¶2 ��+5.�+-/32 #���64H.�/348�9;:Ç��ÚF��?��`=@C(CsiIC[EI9J=3É1i>�`��AD}n=YÏSËnC[� ËS:�ËSG;G;AS: ëId k ASiF�BCI9Ð��?��`G;9JCI=·AD:�=´K 9 &Q=@:`=@Cn��9;ASGJ}nGJ=@9;��?siICB}S=5C�¾B<>=@:W��:�AS}S=5C dm<>q)3I ;¨Å�� 1�� ÃCBZBE+W(�HlÅ �3åÈê�å ��å5à á5å5âwèlâ]åX[�â � å-ç`å5àBã â\LEV êYVJå5â\d:QséFà�êO P RUTWVYX)Z[R\O[R]TWV_^`TWV_^ b]ëBd �nfZ(RUO¨^`TWVYX 8 O�vyx(R\O¶^WTWVu^ O � � ^"T � � »B^ � V_a�_å5â « R 8 V � » éFà_è x�RU»I^WTWVYX)» O��Fç LEV^V;å T � » �¨é��5å�èSå�] � » årTnâÐáäãUâ]å5ç`å�å-â à� R V��#» ènå-çrLDçäã � è'L �� x(R\O¨^`TWV � ! # � O � ! ^ O��Fç LYV^VJå O � � ]�â ã � O � ! # � R V_^"T

»Ba[�LlàBà�âÐá�ã3èlâ]å[ã çäâ^�@â\LYVJå ���láäéFà�ê O � R`z V � » Llá:bE] UQã�ßlã âÐá�dAQºáäãFL �-â^V¶â^] �Qâ àBà_å_�lßlà �IbaLAU_éFàQßE� : å��wå5âÐá��% AS��?��FAl��� ëId � Î µ¶=59;G e Î =5�s9Ð�W�`9;=5:`��=@9JCH9;CICI=5:�=@��w:`ËFEFiI��� � zJ^@z � ASiF� � iICBEH=59;C e � » Î �WËÌEIASÛ

�<8 O¨^WO � # e � O � ! ^ O � � a�s=@9 �©» Î � R V � »Id $QiH=59;CI=5� É1CF�]ASCI}n�`��=@:W� O � � 8 R »I^ � R VWV G;Ún�`=5C6�39J:3EF9;=�É1CF�]ASCI}n�`��=@:W��ADiF�\}�AD<Q=1�\¾I:b]ëBd �nf ��9J� O(R »nVYXÓO � d KÊ9;=�N�Ú��WiBCI} O[R]TWV 8 X�O[R]Tä^`O � V �`=59¶ADiF� � »B^ V EF=(�BCI9;=5:`� d K�ADCICÝ9Ð�{�//nT � O[R]TWV � ! X � � O P R]TWV_^WO(RUTWV �X � � 8 O(R]TWV¶vyx(R\O(R]TWVu^WTWVu^WO(R]TWV �X � � 8 O(R]TWVu^WO(RUTWV � v � � x(R\O(RUTWV_^`TWV_^WO(RUTWV �

# � e � O(R]TWV � ! v � � x�R]O(RUTWV_^WTWV_^`O(R\TWV �É1iI� � �`9;CBEÝEF9J= %ÊËS:���=@C � z ��iICBE�� z � ! ����iI9;ÏlADG;=5C�� Î E d ? d =·�3=-�F9Ð�{��9J=@:`=@CH� ËSC>�{��ADC��`=@C� t ^ ! Î �WËÌEIASÛt � O � ! # � O � # ! � O � !�\¾I:ÊASGJG;= O � � d K�ADCICH�\ËnGJ}S�

� x(R\O(R]TWV_^WTWV � # ! � x�R\O[R\TWV_^`TWV � ! # ! z � O(R]TWV � ! # !t z � O(RUTWV � ^ADGÐ�`Ë //nT � O(R]TWV � ! # � e � O(R\TWV � ! v � ! t z � O[R\TWV � ! X � � e v ! t �& 'Q( *£

£� , � -

z � O(RUTWV � ! aÆǾI:´?I9JCB:`=@9;��?I=@CBE��sGJ=@9JCB= � » 9Ð�{�� R V � » Î EIA e � »Id 8�9;: �I�F9;=5:�=5CÌ=@9JC �`ËSGÐ��?I=·� ��9J�� R V � »Id K ASCIC�\ËSG;}D����9J�3EF=5� N�=@����A�ÏSËSC L�:�ËSCs��ADG;G b N¨=5���ÌA eSd � Î �s=59J�`= m Î ��9J� � R{z V 8 X � O(RWz V � ! Î 8 X � Î � 8 XÓ»nf Î EIASÛ

� O(R]TWV � # + � # � O(R »nV � X + � # � O � � �\¾I:ÊASGJG;= T � � »B^ VQaK�ADCICÝ9Ð�{�ÊEF9;=�N�Ú��WiICB} O[R{z;^WO � V ADiI� � »I^ � V �\ËS:`���`=-���5<BAS: d $Qi>� �D�`�5G;9Ð��?6}n9JGJ�O(RUTWV # ���ÑDÑIÑ»Ba

8 =5}S=@C O � � » �\ËSG;}D�1EIAD:�ADi>�´EI9J=�An���s���F�`ËS�`9Ð�`��?B= �s��AD<B9JG;9�� �l� df�ÃC�yÃ'Bs��57(�6¶ÅÊÆ>ADG;G;� x }nG;AD�W�19Ð�{� Î �WË�9Ð�{� x(R\O¶^WTWVwX)x�R]»B^WTWV& ')( *£

vMx " R]»B^WTWVsO[v©Ò � � O � ! ��a:�;�<>=.?A@ B>CD=FE GDH�I�J @ KLHM=.?ONO@ PQ=.?R=.I0ST@ UDJ C0J =.@ KLHM;�I�C5=.I VMWD<X<Y=.?AZ[=.<Y=.Z[SA=.?�\D]D]6^

Page 55: C;2 0'C;6X^I A I` - math.hu-berlin.devigerske/numerik2/numerikODEs.pdf · h fY^!h Ù h&^! Xh=W¶}zfYh¥}zfp~>h `oh ^0_afmbe Y X Yh fm{c|+i!^!

� ������� ��� � � ���X� ��� ������� �� � ��� ���x���� �������i���� � �n�m<>q)3I ;¨Å���1 � $W>qh�5�(7+?{�� �wÂ,(¶Ã?>qBlà m�)=>��±Â]ÄUÂ*)�) Â,� hÇÄUÂ.InÂ]ÃCBs) m�)Z>��±Â]Ä]Â\)q)EHgÅ F �Fç!å5â àQå F�éFà?�DãUâ]ßDà Z �� ! R � ^ � V á5å-âwèDâ]å�LDéFãÈßDàQßY]�å�[�â �Êå5ç`å5àBã â\LEV êaVJå5â\dAQFéFà�êO P RUTWVYXÓZ�R\O(RUTWVWVê�å ê�å ��å5à �uå-â ¬ � � ][â ã Z[RU¬5VYX)» å-â à_å � VJå5â\d:QDê�å���â\d:QsãUáwV L5ê�åÌéFà_è�á5å-â 8 8 X)Z P R]¬5V ��â^V ã « R 8 V � » � á5ßqâÐáäã´èDâ]å(á�ãMLlã â]ßlà lç`å �8�gáäéFà�ê O � R{z V 8 � ¬ LgáwbE] UQã�ßlã âÐá�dAQºáäãFL �-â^V : å��wå5âÐá� �s=@9��5iBC>�S��?B�W� ¬1XÓ»Bd K ASCICÝ9;�W�Z[RUOQVYX$Z(R »nV

& 'Q( *£�

v Z_PDR »nV& ')( *£

%

O�v©x�R]OQV ��9J� � x�R]OQV � ! # � O � !! �\¾B: O � 8 RU»B^ � V�aK 9J=�KMLMN O P R\TWVYX$Z(RUO(R]TWVWV ?BAD�ÊEIADCICÝEF9;=�ÆIËn:`�O P RUTWVYX 8 O(R\TWV¨v©x�R]O(RUTWVWV_aK 9J=�ÉÊiB�`��AD}n=Ê�\ËnGJ}S�1CsiICHASiB�1EF=@� �FAD�`� ëId j ÏSËnC �±=5:�:`ËnC d�s=@9�CsiIC ¬ `X)»Id 8�9;=M�\¾I?I:�=5CH�\ËSG;}S=@CBEF=�µ¶:�ASCB�WGÐAl��9JËnC6ASiB�

�O(RUTWV 8 XÓO(R]TWV±Ñ ¬D^ �Z[R �O_V 8 X$Z�R �O�vy¬5V_aK�ADCICÝ9Ð�{��OQPnR]TWV�X Z[R

�O[R\TWV¨vy¬5VYX �Z(R �O(R\TWV`Vu^

�Z[RU»�V X Z[RU¬@VYXÓ»B^�Z P RU»�V X Z P R]¬5VYX 8 a

%ÊAn��?ºEF=5�'=5<Q=5Cº}n=5�5=@9J}S�`=@CH9Ð�W� EIADCBC �O � R`z V 8 X » =59;CI=(AS� �s���F�`ËS�`9Ð�`��?º�W��AD<B9JG;=�N�Ú��WiICB}qEF=5:ÊKMLMN �O P R]TWV�X�Z[R �O(R]TWV`V Î ADGÐ�`Ë O � X �O � vy¬ =59;CI=�AS� �s���I�`ËD��9;����?6�W��AS<I9;GJ=�N�Ú��WiBCI}ÌEF=5:1KMLMN O P R\TWVYX$Z(RUO(R]TWV`V-df�Ã�Â,g�h±Â]ÃsÄ 1-' m.) � ��|�m�Å�0 ;�.,+FHgÅ�ÆǾI: � X � <Q=-��:�An��?��`=�EF9;=�KÊ9 &Q=@:`=@C��`9ÐADG;}SG;=59Ð��?�iBCI} CI9;��?�� 9;C�EF=5:��ËS:�GJ=·�WiICB}O P t R\TWV"X Ñ3O t RUTWVÇÑ!O t R]TWVsO ! R\TWV_^O P! R\TWV"X Ñ3O t RUTWVÇÑ � O ! RUTWV�v O t R]TWVsO ! R\TWV_aK 9J= ��AS�5ËS<I9J�F!�Al�`:�9J��9;CºEF=5:ÊL�G;=59Ð��?I}n=5�39Ð��?n���WGÐAD}n= RU»I^�»nV 9;�W�3}S=@}S=5<Q=5CÝEFiI:���?� Ñ�À »Ñ�À Ñ � � aK 9J=·�W=! Al��:`9J� ?BAD�MEF9;=�hY9;}S=5Cs�´=5:`�`= Ñ�À iIC>E Ñ � d % AS��?3�IAl�`� ëId m 9;�W�MEI9J=Ì�W��Al��9JËnC>�D:�=[N¨Ún�`iICI} O � R{z V � »ADGÐ�`Ë�An���s���F�`ËS�`9Ð�`��?Ý�W��AD<B9JG d

–2

–1

0

1

2

y

–3 –2 –1 1 2 3

x

N¨Ún�`iICI}S=@C EF=5: KÊ9 &Q=@:`=@C��`9ÐADG;}SG;=59J���?siICI} �\¾I: ����AS:W�{�´=5:`�`= O(R »nV ADi>��sR{Ñ � ^ � V Î RWÑ � ^5Ñ � V Î RWÑ�Àn^5Ñ � V ÎR � ^ � V Î R�^@À·V Î Ô

�^ t! Ø Î Ô

��

^@Ñ � Ø ÎÔ t! ^@Ñ � Ø � d

V0W0<><>=.?AZ[=.<Y=.Z[SA=.?�\D]5]5^ :�;�<Y=.?[@ BXC5=FE G0H�I�J @ KLHM=.? N @ PQ=.?A=.I0S[@ UDJ C0J =.@ KLHM;�IMCD=.I

Page 56: C;2 0'C;6X^I A I` - math.hu-berlin.devigerske/numerik2/numerikODEs.pdf · h fY^!h Ù h&^! Xh=W¶}zfYh¥}zfp~>h `oh ^0_afmbe Y X Yh fm{c|+i!^!

�Dk �� � � ��������� � ������� ��� ���4��� ��� ����� ������� � � �����p�� ����

f�Ã�Â,g�h±Â]ÃsÄ 1-' m.) � ��|�m�Å�0 ;�.,+FHgÅ�ÆǾI: � X � <Q=-��:�An��?��`=�EF9;=�KÊ9 &Q=@:`=@C��`9ÐADG;}SG;=59Ð��?�iBCI} CI9;��?�� 9;C�EF=5:��ËS:�GJ=·�WiICB}O P t R]TWV�X � O ! R]TWV±Ñ O t R]TWVsO ! R\TWV_^O P! R]TWV�X Ñ À� O t R]TWV¨v O t R]TWVsO ! R\TWV ! aK 9J= ��AS�5ËS<I9J�F!�Al�`:�9J��9;CºEF=5:ÊL�G;=59Ð��?I}n=5�39Ð��?n���WGÐAD}n= RU»I^�»nV 9;�W�3}S=@}S=5<Q=5CÝEFiI:���?� » �Ñ t! » � aK 9J=·�W=l! AD�`:�9���?>Al�(EF9;=�hY9J}n=5Cs�´=5:`�`=�� °�d K�ADCBC GL�DÛS���W9Ð��? �IAl�`� ëBd m CI9Ð��?���ASCs��=@CBEF=5C Î iB� EF9;= ����AS<I9;GJ9J� �D�EF=@:1�{��Al�`9;ËSCX�D:�=5C6N¨Ún�`iICI} O � RWz V � » �@i6<Q=5iB:W��=59;GJ=@C d

–2

–1

0

1

2

y

–3 –2 –1 1 2 3

x

N¨Ún�`iICI}S=@C6EF=@:ÊK 9'&_=5:�=5C��`9ÐADG;}SG;=59Ð��?siICI}[�\¾I:�����AD:`�{��=@:W��=O(RU»nV ��� Ô Ñ � ^ $ ! Ø ^@R{Ñ � ^`»�VQ^@R{Ñ � ^`»�VB^·RWÑ�Àn^`»�VB^ Ô Ñ t! ^`» Ø ^ Ô $! ^5Ñ � Ø ^ Ô �! ^ t! Ø � df�Ã�Â,g�h±Â]ÃsÄ 1 3p+W5<)ZG 1w0�� � �WH�HgÅ end ³´=5�`:�AS��?��`=@C �39;:1EF9J=�K 9 &Q=@:`=@Cn��9;ASGJ}nGJ=@9;��?siICB}O P t RUTWV�X Ñ3O ! R\TWV¶v O $ t R]TWVu^O P! RUTWV�X Out±R\TWV�a

��9J� L�G;=59Ð��?I}S=@�39;��?����`GÐAD}S= ¬1X¯RU»I^`»�V�d K�ADCICÝ9Ð�{�8 X½� » Ñ�ÀÀ » � ^ x(R\OQV�X � O $ t» � ^ADGÐ�WË O P R]TWVYX 8 z5O[R\TWV¨v©x�R]O(R\TWV�V_aKÊ9;= hY9;}S=@C��´=5:`�`=ÝÏnËSC 8 �`9JCBE � t / ! X � ° Î =·�Ì9Ð�{�6ASG;�`Ë « R 8 VºX » Î �`Ë EIADÛ �39;: �FAD�`� ëId m CI9Ð��?��ADCs��=@CBEF=@C �SÚnCICI=@C d %1iICÝ9Ð�{�//nT � O(RUTWV � !! X � � O>PnR]TWVu^WO(R]TWV � !X ��� � Ñ3O ! v O $ tO_t � ^ � O_tO ! ���X � Ô Ñ3O ! O_twv O � t v OutäO ! ØX � z@O � t R]TWV

»B^E d ? d EF9J=�N�Ú��WiBCI}S=@C���AS��?B�`=5C d K 9J=Ì�W��Al��9JËnC>�D:�=[N¨Ún�`iICI} O � R{z V � » �gASCIC!ASG;�`ËHCI9;��?���AS� �s���I�`ËD��9;����?�{��AD<I9;G��W=@9JC d

:�;�<>=.?A@ B>CD=FE GDH�I�J @ KLHM=.?ONO@ PQ=.?R=.I0ST@ UDJ C0J =.@ KLHM;�I�C5=.I VMWD<X<Y=.?AZ[=.<Y=.Z[SA=.?�\D]D]6^

Page 57: C;2 0'C;6X^I A I` - math.hu-berlin.devigerske/numerik2/numerikODEs.pdf · h fY^!h Ù h&^! Xh=W¶}zfYh¥}zfp~>h `oh ^0_afmbe Y X Yh fm{c|+i!^!

� ������� ��� � � ���X� ��� ������� �� � ��� ���x���� �������i���� � ��j

20 40 60 80 100 120t

-0.3

-0.2

-0.1

0.1

0.2

K AS:��W�`=@GJG;iICI}ÌEF=@:1�ÊËn���>ËnCI=5C��`= O ! R]TWV �\¾B: O_t�RU»nVYX tt�iBCBE O ! RU»nVYX)»IdcId ³�=5�`:�AS��?��`=�CsiICÝEF9J=�K 9 &Q=@:`=@Cn��9;ASGJ}nGJ=@9;��?siICB}O P t RUTWV�X Ñ3O ! R\TWV�Ñ!O $ t R]TWVu^O P! RUTWV�X O t R\TWV�a

��9J� L�G;=59Ð��?I}S=@�39;��?����`GÐAD}S= ¬1X¯RU»I^`»�V�d K�ADCICÝ9Ð�{�8 X � » Ñ�ÀÀ » � ^ x�R]OQVYX � Ñ3O $ t» � ^EF9J=MhY9;}S=@Cs��=@:W��=�ÏnËSC 8 �W9;CBEH�39J=·EF=5: � t / ! X � ° iIC>E6=·�39Ð�{� « R 8 VYX)»Id %ÊiICÝ9;�W�//nT � O(R]TWV � !! X � � O P R\TWVu^WO(RUTWV � X � Ô Ñ3O ! Out´Ñ O � t v O_t-O ! Ø XÕÑ � O � t R]TWV # »B^E d ? d EF9;=MN¨Ún�`iICI}n=5C6�]ADG;GJ=@C6?I9;=5: d K 9J=�%ÊiIG;G���N�Ú��WiICB} O � RWz V � » 9;�W�Ê�{��AD<I9;G�9;� �s9;CICI=�ÏnËSCÝN �nAS�IiICIËlÏ d

50 100 150 200t

-0.1

-0.05

0.05

0.1

K AS:��W�`=@GJG;iICI}ÌEF=@:1�ÊËn���>ËnCI=5C��`= O ! R]TWV �\¾B: O t RU»nVYX tt�iBCBE O ! RU»nVYX)»Id

V0W0<><>=.?AZ[=.<Y=.Z[SA=.?�\D]5]5^ :�;�<Y=.?[@ BXC5=FE G0H�I�J @ KLHM=.? N @ PQ=.?A=.I0S[@ UDJ C0J =.@ KLHM;�IMCD=.I

Page 58: C;2 0'C;6X^I A I` - math.hu-berlin.devigerske/numerik2/numerikODEs.pdf · h fY^!h Ù h&^! Xh=W¶}zfYh¥}zfp~>h `oh ^0_afmbe Y X Yh fm{c|+i!^!

�Dm �� � � ��������� � ������� ��� ���4��� ��� ����� ������� � � �����p�� ����

ƶ¾B:1EF9J=·�W=MK 9'&_=5:�=5C��`9ÐADG;}SG;=59Ð��?siICI}�}S9;G��1EF9;= 1CI}nGJ=@9;��?siICB}�EI=5:3�`��?s��AS��?I=@C � ËSC��`:�AD���`9;Ïs9�� �l�´��9J� � z;^5z � !b Ïs}SG d ³´=59Ð�W�I9;=5G endJeÌb �s=59J�`= jSf Î �YiBCI��� ënfäd %ÊAS��?��FAD�`� eSd kÝb �s=@9���= mnf Î �YiICI��� c Î �\ËnGJ}S�ÊEIADCBC� O(R]TWV � ! # � O(RU»�V � ! ^ T

»Ia 1��ADiB��?�9;� ÆBASGJG « RUZ P R]¬5V`VYXÓ» =@9JCI=1ÉÊiB���`AS}S=´¾I<>=@:wEF9;=�����AS<I9JG;9J� �l�wEI=5:Y�W��Al��9JËnC>�D:�=5C�N�Ú��WiICB}��@i���An��?I=5C Î<Q=5CIÚS�`9;}D�1�ÌADCÝEF=5Cº³´=5}n:`9 &�EF=@:1N �nAS�IiICIËlÏ���ÆIiICB�n��9JËnC o%HÃ'&�(ÇÂ*)@Â,+-( ;¨Å�� 1 �&$->qh�5�(7+?{�8A=�5�(���)@Â,+-(IHgÅ[KÊ9;=�ɨ8!É b]ëId;e·f ?BAS<>= O � RWz V � » ADGÐ�3N�Ún�`iICI} d hY9;CI=�ÆIiICB�n��`9;ËSC * � �

t R � ^ � V ?B=59;ÛD����baL:UQéFà_ßE�ZK FuéFàq�lã â]ßlà �@iI:1KMLMN b]ëId;e·f �]ASGJGÐ�*R �IV�

»�

� ��� iICBE *R �IVYX�»

/�ÌXÓ»

iICBE6�\¾I: ADG;GJ=�N�Ú��WiBCI}S=@C O(RUTWV EF=5:1KMLMN }S9;GJ� o//nT * R]O(R]TWV`V # » �

T �©»f�ÃC�yÃ'Bs��57(�6¶ÅÊÆ>ADG;G;�3=·��=59;CI=�N ��AD�IiBCIËlÏ��ÈÆBiICI���`9;ËSCq�@i b]ëId;e·f }n9J<F� Î �`Ë�}n9JGJ�

*R\O[R]TWV`V

# *RUO(R\T

VWVu^ADGÐ�`ËH�`9JC>E�ADG;G;=�N¨Ún�`iICI}n=5C <Q=@����?I: �DCI��� Î iIC>E!EIAS?I=5:��\Ën:W���W=5�`�5<>AD:MADiF� � »B^ � Väd_O ��9Ð�W�M�W��AS<I9JG�9;� �s9;CICI=�ÏnËSCN ��AD�IiBCIËlÏ d

:�;�<>=.?A@ B>CD=FE GDH�I�J @ KLHM=.?ONO@ PQ=.?R=.I0ST@ UDJ C0J =.@ KLHM;�I�C5=.I VMWD<X<Y=.?AZ[=.<Y=.Z[SA=.?�\D]D]6^

Page 59: C;2 0'C;6X^I A I` - math.hu-berlin.devigerske/numerik2/numerikODEs.pdf · h fY^!h Ù h&^! Xh=W¶}zfYh¥}zfp~>h `oh ^0_afmbe Y X Yh fm{c|+i!^!

� ������������ ������ ��� ������������ �� ����� � ���������� ��!#"�$ %��������&'�

(*),+ -'.0/1/32�465879.0/;:=<?>A@B2�/C5D2�>A@BE?2 F�/D2 � FGE?H?IJ2�/151F�<K79L�F0MN2 E O �QPSR EUT<?EKH�V'/32 2 E?W1XDYK2=Z*<KE?4[5D@B.�E\�]_^a`cbAde^gfihgjkdeb,l*m_]nlob,fp^qb0rs]ntubA^qbAlkde]vfpm_wim_bA]vhgjyxzlzwib,l?{|b,^a}IË~^e�

���i���������Q�����y�G�������Q������� � ��� ���~��� � ���c�n�����] d � �¢¡ � � � � ��� �p�q£¢� �3¤ ���A¥z� �¢¡ � � � � �e� �i� �D¤ � xzlc{§¦©¨9ªu«i¬g­g«9®¯ªk°i±|ªk°k­Aª² �C�G�����9��� ²´³ �G���©�;��µ ���c� ¶~���] ds² � � ² ³ � £¢� �3¤ �B¥ xzlo{ µ ���3¤ �·y¸ bA¹,]_fim º�»imnm_b½¼i¾il§¿afilo{|`�b,{|]_lzwixolzwib,l ���o�À¶i��Á ]nlo{�Âà ² �©��Äo¥ ²´³ ��Åz¥ fpm Á ¾ �[�����9����µc� r´fplzlKmn]_bAwidabA]_lzb0Æal|º�filzw ÁeÇ bA^edqfpxzº�w~fp`�b´¼i¾i^ �à ² � �ÉÈ Ä ÅËÊ ¥ ² ³ �8È Å ÄÌÊà ² � �#Í ² ³ ¥ fpm Á ¾Î² � ���[��� � �DÍN�G���©�Ï�Ð��µÃ ² �©��Äo¥ ²´³ �#ÍaÄo¥zµ���Åz¥ fpm Á ¾ �G�����Ñ�����G���©�´��Ò b,^e]_¾|{|]_¹A]ndq»9d �Ó6ÔkÕ�ÖA×3Õ�ÔyØ�Ù1Ú�Û�Ú · bA]�Ü ��Ý|¥ xolo{K`cbAde^gfihgjkdeb0{zf Á�Þ l~dqbA^q¼9fpm_m � Åo��� ��� · bA]_bAlß{|]_b�r´à½á� � â �����ã� ��äå�����u��c�ä �����ã� Í � â �������xzlo{§{|]_b�¿afilo{|`�b,{|]_lzwixolzwib,l � â ��Åk����Åz� � â ���©�;��æwib,wib,`cb,l � r©filzl§] Á d

² �´� ÈJç ÅÅèÅ Ê � ²´³ � È ÅèÅç Å Ê � µ6� È Åæ Êêéëiì

Page 60: C;2 0'C;6X^I A I` - math.hu-berlin.devigerske/numerik2/numerikODEs.pdf · h fY^!h Ù h&^! Xh=W¶}zfYh¥}zfp~>h `oh ^0_afmbe Y X Yh fm{c|+i!^!

������������ ������������ ������������� �������! ���"#������"# %$'&(�����)"'����*�"%+,�� .-/��&0"# �12�� %$

*������� #3�465%�7�8�� #�����9

r©]nb�fimnm_wib,�6b,]nlob½á�: Á xzlzw�{|bA^ar½à½áêmvfpx|dqbBdÑÂ�G��������; â=<pâ �����C��;Bä < äå�������7; â È?>9@BA �Í ADC�E � Ê �F;Bä ÈGADCHE �

>=@IA � Ê ; â �J;Bä � � ér©]nb�¿afilo{|`�b,{|]_lzw~xzlzw � â ��Å~����Å bA^qwi]_`|dÅG��; â >9@BA Ås��; ä ADCHE ÅG��; â �xzlo{§fix Á�� â ���©�;��æ º�¾~mnwidæU�7; â >=@IA �Q�F; ä AKC�E ���L; ä ADC�E � éÞÏÁ d[lyxzl �NM�PO�Q ºSRz^�fpm_m_b Q ��T ¥�Á ¾¢b,^ejcfpmndebAl Ç ]_^; ä � UVSW X ³ ¥ fim Á ¾6{z]nb0b,]nlo{zbAx|dq]nw~b�á�: Á xzlzw

�G�����å� æADCHE � È AKC�E �

>=@BA � ÊêéÞÏÁ d � �YO�Q ºSRz^´bA]_l Q �ZT ¥yÁ ¾ mn]_bBº�b,^�d½{|]_b ¶|� ¿afilo{\[`�b,{|]_lzwixolzwK{z]nb']�b,{|]_lzwixolzw æË�JÅz��ÞÏÁ d0fpm Á ¾ æË�JÅz¥Á ¾6m�: Á bAl§fpm_m_b½}oxzl�^kde]_¾ilobAl�G��������; ä _ È ADCHE �

>9@BA �?Ê � ; ä ��� �{|]_b�¿sfplo{ Ç bA^edqfix|º�w~fi`cb �AÞÏÁ d æ`M��Åz¥�Á ¾©b=a|] Á dq]nb,^�d�^ibA]_lzbá�: Á xolzw �

–3

–2

–1

1

2

3

x2

–3 –2 –1 1 2 3

x1

á�: Á xzlowibAl �b; ä � ç �gÝ|�Dck� {|b,^´¿sfplo{ Ç bA^edqfix|º�w~fd[`cb�ºSRz^ ��� ÝeO xzlo{ æ�� Åß� { � j � {z]nbG¿sfplo{|`�b=[{|]_lzwixzlowibAl Á ]nlo{ � â ��Åk����Å xzlo{ � â ��ÝdOC����Åk�f�gKhigKh jlk�mIn%o6p�qir�s�t�mInur�v%sDw�x�y#w�x\ bAmvhgjzb�]�b,{|]_lzwixolzw§�lR ÁqÁ b,l Ç ]_^Gfim Á ¾ßfpl�{|]nb ¿sfplo{|`�b,{z]nlzw~xzlzw~bAl ���c� ¶~�©Á deb,mnm_bAl ¥ {zfp��]ndG{|]_b ¿afplo{ Ç b,^�dD[fpxzº�w~fp`�b½bA]_lo{|b,x|de]_wÎmH: Á `cfp^�] Á d{zr©]nb0m_]nlob,fp^qb0Æal|º�filzw ÁeÇ bA^edqfpxzº�w~fp`�b�c�i�����å���Q�����y�[�����C�Q�������u��� �ê� ���~��� �i� �G�����������o�~���o� ��� ¤ ���c� |k�`�b Á ] dq¹BdabA]_lzb�á�: Á xzlzw �G� _ ��� � � �ß¡ â � � � � ��� �~� �3¤ � � r©]nb Á b0jcf9da{|]_b�}z¾i^q��G��� ��� � �å�L} �����y� � � ��~;����� � ��� � � �e� �i���] ds}oxzlo{zfi��bAlkdqfimn�Îf9dq^e]Ha } �¢¡ â � � ���~�e� �p�e£U� � ¤ ���A¥zÁ ¾Î{zf��

} � �����å���Q�����\} �����u��� �ê� � � �e� �i� } ��� � �å��Äo�xzlo{ ¸ fi^�dq]H^yxzmv»p^qbA^ á�: Á xzlzw ��~ �¢¡ â � � � � ��� �p� �D¤ �A¥zÁ ¾Î{zf����� ~ ��������� �����y� ~ �������Q������� � � ~ �����Ñ����Åz�{ � j �z� ~ �����å�L} ����� ����S� }�� â �b���|�����Ñ�zµI�~�r©xz^qhgj���]_l Á bBde¹,bAl¢{|b,^aá�: Á xzlowibAl?]nlß{|]_b�¿afilo{|`�b,{|]_lzwixolzwib,l ���o�À¶i� bA^qjo»pmnd �Îfpl² � } ��� � �|� � � ² ³ �S} ���´�y� � � ��~����©�Ï�Ð��µc�{ � j � � ² � } ��� � �C� ² ³ } ���´�Ï�y� � ��µ0Í ² ³ ��~����©� é���!���S��� �����������!�K� � �/���S�B�B� �=�S���S�����  �� ��� �S� �/���!�!�b�S� ¡�¢��)���S��£H�S���S£H���S�e¤�¥�¥§¦

Page 61: C;2 0'C;6X^I A I` - math.hu-berlin.devigerske/numerik2/numerikODEs.pdf · h fY^!h Ù h&^! Xh=W¶}zfYh¥}zfp~>h `oh ^0_afmbe Y X Yh fm{c|+i!^!

�u"����9�����F������"% #$'&(�����)"'����*�"#+,�� �� %$��������9 $#�K3�465��7����36�� 0* �� � �r©]nb��¢fpde^q]�a �� � ² � } ��� � �1� ² ³ } ���©�jzb,]H�id� ���B¬g¨����i­A®������Ψ���� ®�� � \ bAlzl��^qbAwixom_»i^ ] Á d ¥�Á ¾Î] Á ds{z]nb�m_]_lzb,fi^eb�¿afilo{ Ç bA^edqfix|º�w~fi`cb ���c�n��� ¥C���o�À¶i� b,]nl [{|b,x|de]_w�mH: Á `ofi^GºSRo^Î`cb,mn]_bA`z]_wib µ�� � ¤ xzlc{ �!� ¡ � � ���~��� �~��� ¤ � � r©]nb¢á�: Á xzlzwN{zbA^ ¿afilo{ Ç bA^edqfpxzº�w~fp`�bbAlkd Á ¸ ^q]vhgj~da{zfilzl§{|bA^aá�: Á xzlzwÎ{|bA^ m_]_lzb,fi^eb,lKÆsl|º�fplzw Á�Ç bA^edqfix|º�w~fi`cb ���c� |k� �6]nd�c�©� � � â ��µ�Í ²´³ � ~ ���´�Ï� é}�Rz^a{|]_b�¿ bAw~xzmvfp^q] dg»9d ¼i¾~l

� �#" ² � ²©³%$ _ È } �����9�} ���©� Ê] Á ds{|]_bu]�b,{|]_lzwixolzwοafplzw " ² � ²´³%$ � Ü lz¾id Ç b,lo{|]_w �Ó6ÔkÕ�ÖA×3Õ�ÔyØ�Ú%]�bBde^gfihgjkdqbAl Ç ]_^ lz¾|hgjz�Îfpm Á {|]_b�¿afplc{ Ç b,^�dgfpx|º�wkfp`�b´fix Á ]�bA] Á ¸ ]nb,m �o�_� Â� � â �����ã� � ä �����u�� �ä �����ã� Í � â �������

² � �ÉÈ ç ÅÅèÅËÊ � ² ³ � È ÅèÅç ÅQÊ � µ6�ÉÈ Åæ Ê ér©]nb�}oxzlo{zfi�6b,lkdqfpm_�Îf9dq^e]Ha*] Á ds{zfilzl} ������� È?>=@IA � ADC�E �Í AKC�E � >9@BA � Ê �Á ¾�{ofd���Îfpl?º�¾im_wibAlc{|b0á�: Á `ofi^D^~bA]nd Á ��fpde^q]�aÎb,^ejo»im d

� � ² � } ��Åk�e� ² ³ } ���´�3�8È ç ÅÅ Å Ê È ç ÅÅ ç Ê � È ÅèÅç Å Ê È >=@BA � ADCHE �Í AKC�E � >9@BA � Ê �ÉÈ ç Å>9@BA � ADCHE � Ê ér©]nb Á b��¢fpde^q]�a?] Á d wibAlcfpx§{zfplzl§^qbAw~xzm_»i^ ¥ º�fpm_m Á �GM��O�Q ºSRz^sfpm_m_b Q&� T w~]nmnd �

f�gKhig(' )�o�p)m�t r *�*Ky#w�x v�r�p j k�m\y#w�x,+.-0/21· b,]3��^qbAw~xzm_»i^ � r©]nb�á�: Á xzlzw�{|bA^a¿C\UÆ ���c�n��� ¥C���o�À¶i� ] Á ds{zfilzl�G�������L} ����� _ � � â ��µ�Í ² ³ ��~����©�e���ê� ~;�����

�L} ����� � � â µ0ÍZ} ����� � � â ² ³ } ���©� ³4�S�} �b��� � â ���b���|µ\���F} ����� �4

�S�} ����� � â ���b���|µ\�

�L} ����� � � â µ©� �4�S�} ����� " Í � � â ² ³ } ���©���QÄ $ } �b��� � â ���b���|µ\�

Í ³4�} ����� � � â ²©³ } ���©�I} ���Ñ� � â �����Ñ�zµI�

xzlo{K��]nd Ä[� � � â ² � } ��� � �C� � � â ² ³ } ���©� bA^qjofpmndeb,l Ç ]_^ Ç bA]ndebA^�L} ����� � � â µ©� �4

� �} ����� � � â ² �9} ������� } �b��� � â ���b���|µ\�sÍ ³4

�} ����� � � â ²©³ } ���©�I} ���Ñ� � â �Ð�����|µI� é

¡�¢������S��£H�S���S£H���S�e¤�¥b¥b¦ ���!���S�H� �)�b�������!�!� � �/���S�d�I� �=�S���S���H�  �� ��� �S� �/���!�����S�

Page 62: C;2 0'C;6X^I A I` - math.hu-berlin.devigerske/numerik2/numerikODEs.pdf · h fY^!h Ù h&^! Xh=W¶}zfYh¥}zfp~>h `oh ^0_afmbe Y X Yh fm{c|+i!^!

� ¶ ��������� ������������ ������������� �������! ���"#������"# %$'&(�����)"'����*�"%+,�� .-/��&0"# �12�� %$*������� #3�465%�7�8�� #�����9

Æam Á ¾�[�����å�L} ����� � � â µ©� ³4

�S������ �{�Ñ�z�������|µ\�i� ��� � ���i�e� �i� ���c� �y�

��] ds{zbA^�� �e­g­Bª �����o­Bª� ±|ª ��� ®�9ª���� �{�Ñ� � � � } ����� � � â ² � } �������\} �b��� � â �� � �Í�} ����� � � â ²´³ } ���©�I} ����� � â ��� � é ���c� ë �

r©]nb��ufijzm_bAl â � � ���������� � ��� ³����� } ����� � � â �� � ä � � A ��!� � " ��� � ��� ³#�%$ � ��� �{��� $

���c� � �jzb,]H�~bAl'&(pª�«p®���®�pª � )Ѩ*�,+_­Bª�{|bA^a¿sfplo{ Ç bA^edqfix|º�w~fi`cb ���x � � ¡ � � � � ��� �i� � ¤ � xzlo{ µ&��� ¤ b,^ejcfpmndebAl Ç ]_^©fix Á����c� �y� ºSRz^´{|]nb[á�: Á xzlzw � � ¡ â � � � � ��� �~��� ¤ � {|]_b-alowim_bA]vhgjkxolzw

$ � $*. â0/ µ / � ä����ÌÍ ���Ñ� $ � $1. é\�]_b,{|b,^ejz¾~mnxolzwoÂ2KÔ4365DÕ87,Õ:9;5UÙCÚ=<?>A@;9;B%B9Ô4@C7EDcÔyÖ*7,ÔyØ�Ø�7%F9Ú · bA] £ � } HG b,]nlobåm_]nlzbÑfp^qbÐÆs`z`z]_m_{|xolzw©]_lGlo¾i^q�6]_bA^edeb,l�¿a»pxo�6b,l} xzlo{ G � r©]nbGà´m_bA]vhgjyxzlzw £��?�JI] Á d��4����e­ ���3°k­�����­1+=+�� º�fpm_m Á

à {|]nb�à´m_bA]vhgjyxzlzw�mH: Á `cfp^�] Á d ºSRz^a`�bAm_]_bA`z]_wib I � G ¥Ã {|]nb0á�: Á xzlzw�bA]_lo{|b,x|de]_w�] Á d ¥Ã xzlo{§{|]_b½á�: Á xzlzw �¢Á debBdq]nw�¼~¾il I fp`zjc»plzwid �ÞÏÁ d £ b,]nlob ]�] KÏb9^kde]_¾il§xzlc{ £�� â `�b Á hgjz^q»il�^kd ¥zÁ ¾�] Á ds{|]_b0à´m_bA]vhgjyxzlzw £��?�JI ^~¾i^q^eb ^~d�wib Á dqbAm_m d �· b,]�lyxzl }8� ¡ â � � � � �e� �i� � ¤ � xzlc{ G � ¡ � � � � �e� �i��� ¤ �ML � ¤ � }�Rz^ � ��} Á bA]

£�� � � È � � Í��a�² �A�G�����Ñ�C� ²´³ �G���©� Ê ér©]nbGà´m_bA]vhgjyxzlzw £��?� È �µ Ê � � I � Gjofpds{zfplzl§{|]_b�á�: Á xzlow �K��£ � â È �µ Êxzlo{Kb Á ] Á d

$ � $�NPO � � $ � $ . � $ �c� $ . â0/ µ / � ä $ � $ . é}�Rz^ ^qbAwixom_»i^eb Á �ã] Á ds{|]_b�Æax|º�wkfp`�b £��?�JI fpm Á ¾'^~¾i^q^eb ^~d�wib Á dqbAm_m d ����!���S��� �����������!�K� � �/���S�B�B� �=�S���S�����  �� ��� �S� �/���!�!�b�S� ¡�¢��)���S��£H�S���S£H���S�e¤�¥�¥§¦

Page 63: C;2 0'C;6X^I A I` - math.hu-berlin.devigerske/numerik2/numerikODEs.pdf · h fY^!h Ù h&^! Xh=W¶}zfYh¥}zfp~>h `oh ^0_afmbe Y X Yh fm{c|+i!^!

�u"����9�����F������"% #$'&(�����)"'����*�"#+,�� �� %$��������9 $#�K3�465��7����36�� 0* �� � |

(*)�� � MN2�/�H?@A2 -'.�EKHK@g51@B.�E���.�E >B@BEK2 F0/32 E � F�E?H?IJ2�/151F�<K79L�F0M 2 E2KÔ4365DÕ87,Õ:9;5#Ù1Ú�� >�Ö�@��oØ�Õ�Ô�B%7%F9ÚGr©]nb*¿sfplo{|`�b,{z]nlzw~xzlzw ���c� ¶~� jzbA]��pd ���~¨ + ®�­0��� ¥ º�fpm_m Á ¾~^�dqjz¾iw~¾ilofimnb �¢fpde^q]n¹,bAl �~� ³ �§£¢��� ¤ � xzlo{§r©]_fiwi¾~lofpm_�Îf9de^q]_¹AbAl� �~� �³ �ߣ¢� � ¤ � ��] d

� �� ��� �Å� ��� �¤ ���

ÅÄ�������������� � ³ �

� � Ä Å�������¤ ���

Å� ³� ��� ��

������ �

Ç ¾i`�bA]�{|]_bu��]_l~dq^q»iwib½¼i¾~l � � xzlo{ � ³ fix Á � Åo� ç � Á dqfi���6b,l ¥ b9ay] Á de]_bA^qbAl ¥zÁ ¾Î{zfd�² �©� � ³� xolo{ ²´³ � �³ ³³ éÓ6Ô! QÔ4B%@#"P5 D1Ú½}ofpm_m Á ¿sfplzw " ² � ² ³ $ � Ü ¥uÁ ¾2^9filzlN{|]_b�¿afplo{z`cbÑ{|]nlowixzlzw ���c� ¶~� ]_l Á ^9fpm_]nb,^�dqb[}z¾~^e�Rz`�bA^eºSRzjz^ed Ç b,^q{zbAl �· b,] $ ����� � ��} ����� � � â � � � � � � �e� � ér´fplzl§] Á d ² � $ ��� � �C� ² ³ $ ���©�;� � ² � } ��� � �C� ² ³ } ���©�Ï� � � â ��Äxzlo{���� �J����� � $ ����� ² � $ ��� � � $ � â ����� � Ë� �Í $ ����� ² ³ $ ���©� $ � â �b��� � �Ë� é%åÔ& ' (�ßÙCÚ_ÙCÚ � �B­A® �e­ °i±�+*)���+Ыp®�­´¦©¨9ªu«i¬g­g«9®¯ªk°i±|ªk°k­Aª',.-0/�1�2 �A­A®�­Bª����i¨�+ ®�­ ���3/#46¨9ªcªU®2���

$$ ����� $ ä �Ý A ��!" ��� �S� � ³#� $ � ��� �J��� $ ä � ��� � ���~��� �i�

±|ª�« â �Ý ä ,Ϭ�)q° +*/ $ _ $ ä 2 é5©­�6å­A®2��/ · b,]C² �©� � ³� xzlo{§²©³ � �³ ³³ ��]nd

� � ³ �ÉÈ Ä ÅÅ Ä Ê � È � � ÅÅ � ³ Êr´fÎ{|]nb ��]_lkde^g»pw~b´¼~¾il � � xzlo{ � ³ fpx Á � Åz� ç �CÁ dqfp����bAl ¥ ] Á d7 � � ³ ]_lk¼~bA^ede]_bA^q`ofp^�xzlc{��� � � � ³ � � â ��� ä ç ér´fplzl§] Á d

$$ ����� $ ä � ���

$ ����� � � � ³ � � � � ³ � � â ��� ä $$ ����� � �Ð� �³ � $ ä _ ��� � �Ð� �³ � � â ��� ä� ��� �8 â $$ ����� � $ ä � $

$ ����� ³ $ ä� ��$ ����� � ³� �� ä � ��

$ ����� �³ ³³ �� ä � {zf �i� ³�¾~^�dqjz¾iw~¾ilofim� ��$ ����� ² � _ $ �����9� $ � â �����Ñ� �� ä � ��

$ ����� ²´³ _ $ ���©� $ � â ���©� �� ä� $ ���� ��� � � $ ä � $ �

��� �e�©� $ ä Ý _ A �#!" ��� � ��� ³#�%$ � ��� �{��� $ ä¡�¢������S��£H�S���S£H���S�e¤�¥b¥b¦ ���!���S�H� �)�b�������!�!� � �/���S�d�I� �=�S���S���H�  �� ��� �S� �/���!�����S�

Page 64: C;2 0'C;6X^I A I` - math.hu-berlin.devigerske/numerik2/numerikODEs.pdf · h fY^!h Ù h&^! Xh=W¶}zfYh¥}zfp~>h `oh ^0_afmbe Y X Yh fm{c|+i!^!

� � ��� ������+,��� $%���L�� #$%�9���9 ��� ���! %��"%���� ��"# %$'&(�����)"'����*�"%+,��

\ bAwib,l â � ��� ������ �S� � ³#�4�� } ����� � � â �� ä � � �������� �S� � ³#� $

$ ����� $ ä � ä � A ��!� � " ��� �S� � ³���$ � ��� �J��� $ äº�¾im_wpda{zfilzlß{|]_b0¹ Ç bA]ndebu]�bAjofix ¸ dexolzw �

2KÔ4365DÕ87,Õ:9;5ÌÙ1Ú�� >��DÕ��P9#7 90 QÕ�Ö �0F�Ú©rs]_b�r´à½á� � �����å��� �����|�G����� � ��� � ���i���Q� ���] d � � ¡ � � � � ���Q� �e£¢�(� ¤ �e� jzbA]��pd©«p®����#��A��6®2�1� � ¥ º�fimnm Á b Á b,]nlobAl Ò ^e¾ KÏb9^kde¾~^�� �§£¢��� ¤ � ¥ fpm Á ¾�� ä � � ¥xzlo{��©¾il Á dqfilkdebAl�� �ËÅo¥��å�eæ�� Å wi]_`|d ¥ ��] ds{|b,^���]_wibAl Á hgjofpº¯d

��� } ����� � } ����� � â ��� � _ � ����� � � "! ºSRo^ �� � � �i�e� � � � � ���Q�u���� } ����� ��ÄGÍ � � } ����� � â ��� � _ � � U � " � � ºSRz^ � �Ë� � �~����� � ���~�"�Ë� é}ofimnm Á#�Ð��æ�ÌÅz¥zÁ ¾ Á ¸ ^q]_hgjkd �ÎfplK¼i¾~l�­ �%$�pª�­Aª � ®�­1+=+n­0�74G®����#��A��6®�­ �Ó6ÔkÕ�ÖA×3Õ�ÔyØ�Ús}�Rz^ Ü �7c `�bBdq^qf~hgjkdeb0{|]_b½r½à½á

�c�k������� �� ÍsÝ Å ÅÅ Å ÅÅ Å c

�� �[�����u� ��� � Åz���Q� ér´fplzl§] Á d

} ������� �� � � ä � Å ÅÅ ç ÅÅ Å ��& �

�� xolo{ } ����� � â � �� � ä " Å ÅÅ ç ÅÅ Å � � & "�� é

\�]_^a¼ib,^ Á xohgjzb,l� � �� ç Å ÅÅ ç ÅÅèÅ Å

�� � Ä�Í � � �� Å ÅèÅÅ ÅèÅÅ Å ç�� é

r´fplzl§] Á d} ����� � } �b��� � â � �� � � ä � � � "! Å ÅÅ ç ÅÅ Å Å

�� xzlo{ } ����� ��Ä�Í � �\} ���Ñ� � â � �� ÅèÅ ÅÅèÅ ÅÅèÅ � � & � " � � �� �

fpm Á ¾��� } ����� � } ����� � â ��� � � � ä � � � "! ºSRz^ � Ë� �

��� } ����� ��ÄGÍ � � } ����� � â ��� � � � & � " � � ºSRz^ �'�Ë� ér � j � {|]nb�r½à½á�] Á dab9a ¸ ¾ilobAlkde]_bAm_m�{|]vhgjz¾pdq¾i��] Á hgjK�6]nd(� � ç ¥)� ��Ý xzlo{ æU��co�*;bA^ Á xohgjzbAl Ç ]_^+� � �� ç Å ÅÅ Å ÅÅ Å Å

�� ¥zÁ ¾�bA^qwi]_`|d Á ]_hgjKbA`�bAl|º�fimnm Á � � ç ¥)� ��Ý|¥|æU�7cz�Ó6Ô! QÔ4B%@#"P5 D1ÚÐr©bA^ Ò ^e¾ KÏb9^kde¾~^���dqbA]_m då{|]_baá�: Á xolzwib,l[]_l�lz]_hgjkd Ç fihgj Á bAlo{zb�xolo{6lz]_hgjkd3º�fpm_m_bAlo{|baá�: Á xzlzw~bAlfpxzº � �©¾il Á dqfil~dqb�á�: Á xzlowibAl ^B:ilzlzb,l0¹Ax0`�bA]v{|bAl�-alkdeb,^e^g»pxz��b,l´jo]nlz¹,xzwib,lz¾i����bAl Ç bA^g{|b,l � ]nl[Æa`zjo»ilzwi]_w�^~bA]nd¼i¾~l�� �B¥zÇ ]_b½{of Á ¾i`o]nw~b ]�b,] Á ¸ ]_bAm ¹Ab,]nwid ����!���S��� �����������!�K� � �/���S�B�B� �=�S���S�����  �� ��� �S� �/���!�!�b�S� ¡�¢��)���S��£H�S���S£H���S�e¤�¥�¥§¦

Page 65: C;2 0'C;6X^I A I` - math.hu-berlin.devigerske/numerik2/numerikODEs.pdf · h fY^!h Ù h&^! Xh=W¶}zfYh¥}zfp~>h `oh ^0_afmbe Y X Yh fm{c|+i!^!

�u"����9�����F������"% #$'&(�����)"'����*�"#+,�� �� %$��������9 $#�K3�465��7����36�� 0* �� �kër©]nb�fimnm_wib,�6b,]nlob½á�: Á xzlzw�{|bA^ar½à½á � � �����Ð��� �����y�G����� ] Á d�[��������} �����y�c�´� } ����� � �o���F} �����C��Ä0Í � �y�o� ér©b��olz]_bA^qb0lyxzl � � ����� � � � } ����� � �c� / �c��� � ¤�� � ]n� } ����� � ���� ����� � � � } ����� ��Ä�Í � �y�o� / �o� � � ¤ � � ]_� } ����� � Ä0Í � � éÓ6Ô! QÔ4B%@#"P5 D1Úsr©]nb��¢bAlzw~bAl � � ����� xolo{ ��� ����� `z]_m_{zbAl§bA]_lzb0{|]_^eb ^~dqb���bA^qm_bAwixolzw6{zb Á � ¤ · b,] < � � � ������� � � ����� ºSRo^abA]_l � �Ë� � � r´fplzl§] Á d

< �L} ����� � â � < � } ��������Ä�Í � � äºSRz^ Ò xzl�^kdeb� â � ä � � ¤ � r´f } ����� ^qbAwixom_»i^�] Á d ¥ º�¾~mnwid� â �J��ÄGÍ � � ä é�ßxzmnde] ¸ m_]H^9fpde]_¾il§��] ds{|b,� Ò ^q¾�KÏb ^kde¾i^#� � � ä � � � mn]_bBº�b,^�da{zfilzl

� â � � ä â � � ä Í � ä ä©� � ä Í � äs��Å éÆam Á ¾6] Á d < �L} ����� � â ��Åo¥ { � j � � � ����� � � � �����Ð��� ¤ éÓ6Ô! QÔ4B%@#"P5 D1Ú � � ����� bAlkdejo»im d�{|]nbslz]_hgjkd Ç f~hgj Á b,lo{|b,l�á�: Á xzlzw~bAl ¥ � � ����� {|]_bslz]vhgjkd�º�fpm_m_bAlo{|b,l á�: Á xzlowibAlC· b,] �G����� � � � ����� ��] d �G�����#M��Åz¥ { � j � � �c� M��Åo� r©filzl§wi]_m d ºSRz^afimnm_b �� Ë�/ �G����� // �G����� / � / } ����� � � � // } ����� � �o� / �

��� } ����� � } ����� � â } ����� � �o� ���/ } �b��� � �o� / ��� } ����� � } �b��� � â ��� � � � �)� � � "� �{ � j � {|]_b�á�: Á xolzw � ] Á dalz]_hgjkd Ç fihgj Á bAlc{ ¥ {|bAlzlKºSRz^©fpm_mnb � �`� ] Á d

/ �G����� / � � ����� � � "! / �[����� / é· b,]�lyxzl �[������� � � ����� ��]nd �G�����#M��Åo¥ { � j �C��ÄGÍ � �k� � M��Åo� r©filzl§wi]_m d�ºSRz^©fpm_mnb ��� �/ �[����� // �[����� / ��� } ����� ��Ä�Í � �\} ����� � â ��� � � � U � " � � �

{ � j � {|]_b�á�: Á xolzw � ] Á dalz]_hgjkd º�fimnm_bAlo{ ¥ {|bAlzlKºSRz^©fpm_mnb ��� � ] Á d/ �G����� / � ç� � U � " � � / �G����� / é�a]vhgjkd0KÏb,{|b�r½à½á � � ��������� �����y�G����� ¥o� � ¡ � � ���i���Q�u�q£¢��� ¤ ��� ] Á ds{|]_hgjo¾pde¾~��] Á hgj�ÂÓ6ÔkÕ�ÖA×3Õ�ÔyØ�Ú · bA] Ü ��Ýz¥����ÌÅ xolo{?ºSRz^ � � � Í ç ���Q� `�bBde^gfihgjkdqb½{z]nb0r½à½á� � â �����ã� Í ç� Ý9��� â ����� �� �ä �����ã� � ä ����� ér´fplzl§] Á d �} �����å� �

� ������ ÅÅ � ��� xzlo{ �} ����� � â � ���� �� ÅÅ � � " � é

¡�¢������S��£H�S���S£H���S�e¤�¥b¥b¦ ���!���S�H� �)�b�������!�!� � �/���S�d�I� �=�S���S���H�  �� ��� �S� �/���!�����S�

Page 66: C;2 0'C;6X^I A I` - math.hu-berlin.devigerske/numerik2/numerikODEs.pdf · h fY^!h Ù h&^! Xh=W¶}zfYh¥}zfp~>h `oh ^0_afmbe Y X Yh fm{c|+i!^!

��� ��� ������+,��� $%���L�� #$%�9���9 ��� ���! %��"%���� ��"# %$'&(�����)"'����*�"%+,��

bA]_lzb�}oxzlo{zfi�6b,lkdqfpm_�Îf9dq^e]Ha ��] d �} ��Å~����Äc� · b,]} ������� �} ���������] ds{zbA^ ^qbAwixom_»i^eb,l&�¢fpde^q]�a � ��� �} �ÏÍ ç ��� � â ¥oÁ ¾�{ofd� } �ÏÍ ç ��� �} ��Í ç ��� ��Äc�

\�]_^a¼ib,^ Á xohgjzb,l � � È ç ÅÅ ÅËÊ Âor´fplolK] Á d�} ����� È ç ÅÅ Å Ê �} ����� � â � �� � O� � � � � " � � ÅÅ Å �xzlo{ ���

�} ����� � �} ����� � â ��� � � � O� � � � � " � � � � � O� � � � "! � � � "! é�a]_bA^ ] Á d�^ibA]_lzbu]�b,{|]_lzw~xzlzw� � O� � � � "! � � � "! � � _ � ����� � � "! ºSRz^ Í ç �� �� � bA^q^eb,]_hgjy`ofi^ �

2

4

6

8

10

12

14

16

y(t)

0 2 4 6 8

x(t)

0

2

4

6

8

x(t)

–1 –0.5 0.5 1 1.5 2

tá�: Á xzlzwib,lK{zbA^ar½à½á ºSRz^ �0� ç xzlo{ · dqfi^�d Ç bA^edeb ���G��Í ç ��� I´�ÏÍ ç �e��� �~� ç � ç ���Ñ� Ýz� ç ���,�§co� ç � � �� ��7� ßÙ1Ú��CÚ�� �A­B® �q­ °i±�+*)���+ � � ² � } ��� � ��� ² ³ } ���©� /� / 4�®�­ 4 � � � ���������Q�����|�[����� �A­A®å«9®�� �������[®2��� ��/6��� �G«p®�­©¦©¨9ªu«i¬g­g«9®¯ªk°i±|ªk°k­Aª(,.-0/�1�2[°~­�+ ��­��² �9} �����Ñ� ��Ä�Í � ����Åo� ²©³ } ���©� � ��Å é4[¨pªoª¢®2��� ä � ±|ª�«

$ ���� �{��� $ � _

� � ����� � � "! �� � �� � U � " � � ��� � é

���!���S��� �����������!�K� � �/���S�B�B� �=�S���S�����  �� ��� �S� �/���!�!�b�S� ¡�¢��)���S��£H�S���S£H���S�e¤�¥�¥§¦

Page 67: C;2 0'C;6X^I A I` - math.hu-berlin.devigerske/numerik2/numerikODEs.pdf · h fY^!h Ù h&^! Xh=W¶}zfYh¥}zfp~>h `oh ^0_afmbe Y X Yh fm{c|+i!^!

�u"����9�����F������"% #$'&(�����)"'����*�"#+,�� �� %$��������9 $#�K3�465��7����36�� 0* �� ���

1!/�� � °k­�+ � ­�� � � � ³ � Ü +�� � ��� � E � ² � � +�� ³ ��� � E � ² ³ � +�±|ªu«$ ���� �{��� $ � _

� � ����� � � "! �� � �� � U � " � � ��� � �

� � �0¨�+=+n­ �~����� � � � �e� � �6®��6& pª ��� ¨pª ��­Bª � �ÌÅ + �Ð��æ��ÌÅ /4[¨pªoª¢®2����«p®�­ 4 � � � ���������Q�����y�G����� «p®����#��A��6®2�������6®���«~­Bª?&(pª ����¨9ª ��­Aª � � �Ð��æ /5©­�6å­A®2��/ �i� · bA] �� Q� Â���� �{���ã� } ����� � � â ² � } ��� � � } ���Ñ� � â� } ����� � � â ² �9} �����Ñ� � } ���Ñ� � â � {zf�² �9} ������� ��ÄGÍ � ����Å� } ����� � � â � � Í ² ³ } ���©��� � } �b��� � â� } ����� � } ����� � â � {zfβ ³ } ���©� � ��Å éÆam Á ¾6º�¾im_wpd

$ ���� �J��� $ � _ � � �)� � � "� é· bA] � �Ë� Â

���� �J���ã� Í�} ����� � � â ² ³ } ���©�I} ���Ñ� � â� Í�} ����� � � â ²©³ } ���©�u��Ä�Í � �\} �b��� � â � {zf�²©³ } ���©� � ��Å� Í�} ����� � � â � � Í ² � } ��� � ���C��Ä0Í � �\} ���Ñ� � â� Í�} ����� � Ä0Í � � } ����� � â � {of6² � } ��� � � ��Ä�Í � ����Å éÆam Á ¾6º�¾im_wpd

$ ���� �J��� $ � _ � � U � " � � é¶z� \�]n^ ¼~bA^ Ç b,lo{|bAl $ �������L} ����� � � â ��]nd©² � $ �������C� ²´³ $ ���©����Äc� r´fplzl§] Á d

���� �J����� � $ ����� ² � $ ������� $ �b��� � â �� Ë� �Í $ ����� ² ³ $ ���©� $ ����� � â ���Ë� é\�]n^ ¹,bA]_wibAl ¥ {zfd� � � � ² � $ ��� � � {zbA^ wib Á xchgj~dqb Ò ^e¾ KÏb9^kde¾~^�] Á d �· bA]� �ߣ¢� � ¤ � ¾i^edejz¾~wi¾~lofpm " ³ � � â $ ¥oÁ ¾Î{zfd�

�² ³ �ÉÈ��Å Ê � �ѳ é\Nb,wibAl§² � $ ��� � ��� ² ³ $ ���©�;��Ä ] Á ds{zfplzl �² � $ ��� � � ³ � �² ³ $ ���´� ³ ��Ä ér©fi^qfix Á º�¾im_wpd

�² � $ ������� ³ ��Ä�Í �²´³ $ ���©� ³ ��ÄGÍ È ���ÅèÅ Ê � �,³� � � � � È�� âqâ � â äÅ Ä Êêé\Nb,wibAl ¿sfplzw � ² ����� � � ] Á dÐfixohgj ¿afilzw " G² � $ ������� ³ $ � � �k¥ fim Á ¾0�Gx�� � âeâ ��Å0Á b,]nl � r´fplzlÎ] Á d �² � $ ������� ³ � È Å � â äÅ Ä ÊbA]_l Ò ^q¾�KÏb ^kde¾i^ � È Å � â äÅ Ä Ê ä � È Å � â äÅ Ä Ê � ¥ xzlo{§{zfilzl§fpxohgj² � $ �������å� ³ È Å � â äÅ Ä Ê é

¡�¢������S��£H�S���S£H���S�e¤�¥b¥b¦ ���!���S�H� �)�b�������!�!� � �/���S�d�I� �=�S���S���H�  �� ��� �S� �/���!�����S�

Page 68: C;2 0'C;6X^I A I` - math.hu-berlin.devigerske/numerik2/numerikODEs.pdf · h fY^!h Ù h&^! Xh=W¶}zfYh¥}zfp~>h `oh ^0_afmbe Y X Yh fm{c|+i!^!

��� ����� �� ��94650�6���! ���"#������"# %$'&(�����)"'����*�"%+,��

(*)�� � @AXDY[51>A@BE?2 F�/D2 � F�EKH?IJ2�/C5DF�<?79LGF0MN2 E\�]_^a`cbAde^gfihgjkdeb,l*lyxzl¢à´m_bA]vhgjkxolzwib,lK{|b,^a}z¾~^e�

� � ���������[���[�����u�e���u� ��� � ���~��� � ���c� � ���] d � � � ¤ L§Ä�� � ¤ Á debBdq]nw ¥ � ���k���a�� ËÄ� !��¥�����Á debAde]_w ¥ xzlc{K¿sfplo{|`�b,{z]nlzw~xzlzw~bAl� ���G��� � �u���[���©������Å ���c� � ���] d � �J� � â � � ä � � � ¤ L � ¤ � � ¤ Á debBdq]nwÎ{|]ntubA^qbAlz¹,]nb,^e`ofi^ �r´fp¹Ax§`�bBdq^qf~hgj~dqbAl Ç ]n^a{z]nb0Æalzº�fplzw Á�Ç bA^edqfix|º�w~fi`cb� � ���������[���G�����u����� ��� � � � � ���a�i� �[��� � �Ð�Ì� � ���c� ì �

· b,] � ��� � � � � � ��� � ���G���a��� � �e� � � � � ¤Ç ¾i`�bA] �G� _ �e�o��� bA]_lzb�á�: Á xzlow6{|b,^sÆ1\UÆ ���c� ì � `�bA¹,bA]vhgjzlzb �� ���o�9����Å] Á dab,]nlzb½lz]vhgjkdem_]nlob,fp^qb�à´mnb,]_hgjyxzlow6`o¹Awim �|�o�k�}�Rz^ bA]_lzb�á�: Á xzlzw ����� ¡ â � � ���k���a�p��� ¤ � ¼i¾il ���c� � � ¥����o� � � wi]_mnd � �����å���������å��Åz�\�]_^*m_]nlzbÑfp^q] Á ]_bA^qbAl�{|]_bN¿afilo{ Ç bA^edqfpxzº�w~fp`�b ���c� � � ¥½���o� � � ]nl ��� ��� xof Á ]nm_]_lzb,fi^e] Á ]_bA^qxzlzw�mv»plzw ÁÎ���å�����B¥Ð� �� ���i���a�v� ¥ ]nlo{zbA� Ç ]_^�º�¾im_wib,lo{|b��#���e°k­Bªu­G¿sfplo{ Ç bA^edqfix|º�w~fi`cb½{|b �olz]_bA^qbAl�Â< � �����ã� � � ����� < �����u�Å � ² �Ï� < ��� � �C� ² � ³ < ���©��� ���o�_� � �

��] d ��������� � � ��� �����å�����u�e���u� ��� � ���~��� �² ��� � � � �â;�����;�����9�u�e���;���©���² � ³ � � � �ä ��� � ��� � �u�e� � ���©���r©]nb�}oxzlo{zfi�6b,lkdqfpm_�Îf9dq^e]Ha } � ����� ¹Axz^ar½à½á < � ��������� � ����� < ����� ] Á daá�: Á xolzw�¼i¾il} �� �����������;����� }���������� � � � ���~��� �~� }��;�����Ñ�å��Äo�xzlo{Kb Á Á b,] � � � � ² �Ï��� ² � ³ }��;���©� é� ��7� §Ù1Ú���Ú��u­A® ��� � ¡ â � � ���i���a�i��� ¤ � ­A®¯ª�­ ���g±|ªy° «i­0�s¦ �"! ,.- /$# 2�+7,.-0/�%�2�+б|ª�« �A­A®;«p®�­ + ®¯ª�­g¨��e­ ���� '&°k­Bªu­©¦ �"! ,.-0/ ��( 2 ªo± � ��� ®*),®�¨�+ + ���B¬g¨���/#4[¨pªoª?°i®=+ � �

� / � � ®2� ��®2�� + ®�­0����­ 3� � ±|ªy°*«i­0�s¦ �"! /1!/ ��� � �|®¯ª �e­A®����o­Bªu« ��+n­A®¯ª�­ �,+ �ÌÅ � ®¯ª�«?«9®�­½°k­���� ������­Bª?¦ �"!©ª���i����� � �6���G�����u�e����� ��������� ��� � � � �e� � ���o�_�i���� ���G��� � � ���[���©�Ï� � µc� ���o�_�Ѷ~�

$ � $�. � / µ / +!+ + �~¨ +3­B®¯ªu«i­A± ��® ° + � �A¬g¨���/ 4�®�­ ��� ±|ªk° � «i­0�s¦ �"! ��)9ªy°�� ��� ­0� ® °-) 9ª � �y�eµy� ¨~¬ /���!���S��� �����������!�K� � �/���S�B�B� �=�S���S�����  �� ��� �S� �/���!�!�b�S� ¡�¢��)���S��£H�S���S£H���S�e¤�¥�¥§¦

Page 69: C;2 0'C;6X^I A I` - math.hu-berlin.devigerske/numerik2/numerikODEs.pdf · h fY^!h Ù h&^! Xh=W¶}zfYh¥}zfp~>h `oh ^0_afmbe Y X Yh fm{c|+i!^!

�u"����9�����F������"% #$'&(�����)"'����*�"#+,�� �� %$��������9 $#�K3�465��7����36�� 0* �� �~ì� /�! +=+n­ ! �"! ,.-0/���2 �6®�� � � ���² ��� � ��� � � � + � + + � Å �y®¯ª �e­A®����o­Bªu« ��+n­A®¯ª�+[¬g­�� ®��8)Ñ­Bª!3� � ±|ªk°k­Aª�+G«9®�­,��6®¯ª�«~­�����­Bª � 2Ψp± � � � � ��� � «i­���ªo®�­0��� �g®¯ªu« / �[��� ��� � � ®2��� ��� ­0� ® °?«p® �s­ �q­Bª�)B®�­0�A¬g¨��[¬ )q°�+�/ � � /-0/ 4�®�­ !½¬,¬A®=+n«p±|ªk° � ��� � � � � � ��� � ���G���a��� � �q� ®2��� 6 *��+n«i­���ªc®�­ ���G¨p± � �² ��� � ��� � �u� + � ±|ªu«U«4�������� ­0��® °«9® �s­0�e­Aª,)A®�­ �A¬g¨���/ � �s°p®=+�� � � ��� � ��� � �q��� � � /5©­�6å­A®2��/ � /a\�]_^a{|b��clz]nb,^eb,lß{|]nb0Æs`z`z]_m_{|xolzw�#� ¡ â � � ���~��� �~��� ¤ � � ¡ � � ���i�e� �i��� ¤ � L � ¤ �� ���u� � � ��� � � _ �3Í �[���G� _ �u� _ �u� � ���[�������u���G���©�Ï�e�u� � � ¡ â � � ���i�e� �i��� ¤ � é� Á ] Á d � ���u�å��Å � bA^eºSRzm_m ds{|]_b�¿�\NÆ ���o� � �B¥����c� � �ºSRz^ � � ² N O ��� � � + � ¥² N6O ��� � � + � � ������ ¡ â � � � � ���a�i��� ¤ � �� $ � Í � � $ . � $ � � ÍN� � � $ . + � é\�]n^ι,bA]_wibAl ¥ {zfd����}o^ebÑhgjzbBdD[ {z] tubA^qbAlz¹,]nb,^e`cfp^6] Á d xzlo{�� � ��� � � ^eb,wixzmv»p^ � r©fi^qfix Á º�¾im_wpd {zfilzl�{|]_b]Ðb,jofpx ¸ dexzlow �� B%9c× 9�Ö,Õ�7,Õ:9;5ÐÚ��8®2��� � �q­�� �z­0�$&�«9® �s­0�e­Aª,)A®�­ �A¬g¨���±|ª�« � � � < � ¡ â � � � � ���a�p��� ¤ � ®2���� � ��� � � < �J� < � Í�� � < � ² �Ï� < ��� � ��� ² � ³ < ���©�Ï�,�� � ��� � � ®2����­A®¯ª�­ + ®¯ª�­g¨��e­½¬q­ ����� � )9ª ����­ !½¬Ñ¬B®=+n«p±|ªk° ) 9ª ¡ â � � � � �e� �i��� ¤ � ®¯ª ¡ � � � � ��� �p� � ¤ � L�� ¤ 2 /5s­�6å­B®2��/ · bA] � � ¡ â � � ���i���a�i��� ¤ � � \�]_^a`�bA^qb,hgjzlobAl

� C ���� � ç� � � ���6� � < �DÍ � �����e�u� < � ¡ â � � � � �e� �i��� ¤ � é}�Ro^a{|]nb0b,^ Á deb �©¾i� ¸ ¾ilzb,l~dqb©¼~¾il â� � � ���6� � < �3Í � ���u�e� b,^ew~]n`|d Á ]_hgjç� �,� � �����C� � < � �����3Í �[���G������� � < �����u�e���3ÍN� � �����C� �G���G����� ����� �� < � �����;Í ç� � �[���G�����C� � < �����u�����;Í �[���G�����u�e��� ���� �Í�ÍoÍ � < � �����;Í � � ���G�����u����� < �����u� ��� � � � �e� � é}�Ro^a{|]nb0¹ Ç b,] dqb �s¾~� ¸ ¾ilobAlkdeb½¼i¾~l â� � � ���6� � < �DÍ � �����q� bA^qwi]_`|d Á ]vhgjç� � � ���G��� � �C� � < ��� � �u�e�G���´��� � < ���©�e�DÍ � ���[��� � �u���G���©�Ï� �

� ç� � � ���G��� � � ���G���©�Ï�C� � � ���G��� � �u���[���©��� È � < ��� � �� < ���©� Ê ����ÈaÈ � < ��� � �� < ���©� Ê©Ê Í � ���[��� � �u���G���©������ ç� � � �â ���G��� � �u�e�G���´��� � < ��� � �1� � �ä ���[��� � �����G���©�Ï� � < ���´�u����� � � ���� �Í�ÍzÍ � � �â ���G��� � �u�e�G���©�e� < ��� � �C� � �ä ���G��� � �u�e�G���´��� < ���©� é� Á ] Á dsfpm Á ¾� �i���u� < �J� < �|Í � � ���[� _ � � _ � < � � �âD���G��� � �����G���©�Ï� < ��� � �1� � �ä ���[��� � �����G���©�Ï� < ���©��� ébA]_lzb½mn]_lzb,fi^eb½`�b Á hgjz^g»pl�^kdeb½Æa`o`z]nmv{|xzlowμi¾il ¡ â � � ���~��� �~��� ¤ � ]nl ¡ � � ���i�e� �i��� ¤ �ML � ¤ ¥ xzlo{Kb Á ] Á d� � �����A� < � �

� < � Í ��� ������������������ ��� �� � < � � �âD�����;�����9�u�e���;���©���� ��� �! � �< �������C� � �ä �����;�����Ñ� ���������´�Ï�� ��� �! �#" < ���©� ����

¡�¢������S��£H�S���S£H���S�e¤�¥b¥b¦ ���!���S�H� �)�b�������!�!� � �/���S�d�I� �=�S���S���H�  �� ��� �S� �/���!�����S�

Page 70: C;2 0'C;6X^I A I` - math.hu-berlin.devigerske/numerik2/numerikODEs.pdf · h fY^!h Ù h&^! Xh=W¶}zfYh¥}zfp~>h `oh ^0_afmbe Y X Yh fm{c|+i!^!

�e� ����� �� ��94650�6���! ���"#������"# %$'&(�����)"'����*�"%+,��

rs]_bGà´mnb,]_hgjyxzlow � � ��� � � < ��Å] Á dC{|]_bå¿afplc{ Ç b,^�dgfpx|º�wkfp`�b ���o�_� � � � �©fihgj�*;¾i^gfpx ÁqÁ bBde¹,xzlzw�] Á dC{|]_b Á b;lyxz^ dq^e]_¼y]_fimpmH: Á `cfp^ ¥ { � j � � � ��� � � < �Å < ��Å ] Á d � Æam Á ¾0] Á d � � ��� � � ]nl�KÏb9^kde]_¼ � �ß]ndÐ{|bA^�á�: Á `ofp^J^ib,] d Á `�b,{z]nlzw~xzlzw � Æa` Á hgjzlo] ded �o�_�i�_�i¥ · b,] dqb��� � º�¾~mnwid {ofplzl§{|]_b�¿ bAw~xzm_fi^e]ndq»pd ¼i¾il � � xzlc{K{ofp��] da{|]_b ]�] KÏb ^kde]_¼k]ndq»pda¼i¾~l � � ��� � � �� � ��� � � ] Á d0fpm Á ¾?bA]_lzb[`�b Á hgjz^g»pl�^kdqbG`z] KÏb9^kde]_¼ib�Æa`o`z]nmv{|xzlow?]_lZ]�fplcfihgj [�¿a»pxo�6b,l � r´fplolN] Á d � � ��� � �bA]_l �s¾i�':y¾i��¾i^ ¸ jz] Á �[x Á,�1!/E��x � � ¡ â � � � � �e� �i� � ¤ �B¥��*� ���y�eµy� � ¡ � � � � ��� �~��� ¤ � L � ¤ Á bA] lyxzl� ���C����� � � � �����;Í�� érs]_bGà´mnb,]_hgjyxzlow

� ���C�����å��ÅbAlkd Á ¸ ^q]_hgjkd {|bA^ w~b Á dD:i^edeb,lK¿C\UÆ ���c�n�~�Ñ�B¥����o�_�Ѷ~� � � Á ] Á d� ��� � �eÅ~��� � ��� � �å��Åo�

��] Á ds}o^ebÑhgjzbBdD[ {z] tubA^qbAlz¹,]nb,^e`cfp^ ¥ xzlc{?b Á ] Á d� �a�����i�eÅ~�;� � � �����,� `z] KÏb9^kdq]n¼ ��sfihgj?{|bA� · fpde¹#Rz`cb,^�]n� ¸ m_]n¹,] dqb0}zxzl�^kdq]n¾~lzbAl?b=a|] Á de]_bA^ed�{ofplzl?bA]_lzbsb,]nlo{zbAx|dq]nw6`cb Á dq]n���Gdeb0}zxzl�^~dq]n¾~l

� � �² N���� ��Åz� + � � �² N O ��� � �� y�u� + ��6]nds{|b,^���]nw~bAl Á hgjofpº¯d� ���K���u�u���u����Å ºSRz^sfimnm_b � � �² N��� � ��Åz� + � éÆam Á ¾[jof9d {|]_b½à´m_bA]vhgjyxzlzw � ���u�å�#���y�eµy� ºSRo^ � � ¡ � � � � ���a�i��� ¤ � ¥|µ � � ¤ ¥ $ � $ . � / µ / + ¥ wibAlcfpxbA]_lzb0á�: Á xzlzw �K�����y�eµy�e� fix|º �² N O ��� � �� |� �� /a\�]nb0xol~dqbA^ Á xchgjzbAl§{|]_b���^\Rzl Á dem_]vhgjzb��0¿�\UÆ ���c� � � ��] ds{|b,^a¿afplc{|`cbÑ{|]_lzwixzlow �[��� � ����� � ��� � � Â� � ����� � �[���[�����u�e���u��� � � � � �e� �

�� ���G��� � �u�e�G���©�Ï� � Å�� ���D���|� � � � Í �����������u� �1��� � � ¤ érs]_b Á b0¿�\UÆ jofpds{|]_b½á�: Á xzlzw ���p� � Á ] Á d�� �â ���D���|����Ä xzlc{ �� �ä ���1���y����Åz�fpm Á ¾ �² ��� ��Äo¥ �² � ³ ��Åz¥ �� � ��Äo¥ �� � ��� � ��sfihgj ¶|�zÁ ]_lo{§{zfplzl§{|]_b0wib Á dJ:i^edebAl���^\Rzl Á dqmn]vhgjzbAl��½¿�\NÆal� � �����ã� �G���G�����u�����C�Q�������u� ��� � ���~�e� �p�

�� ���G�����Ñ� ���G���©���ã� µo� � ��[�������������;�����Ñ�C�Qµk�mn¾B^�fimob,]nlo{zbAx|dq]nw[mH: Á `ofi^ � rs]_b©á�: Á xzlzw �§� ��K���y�qµk� ] Á d Á debAde]_wG`z¹,wim �����y�eµy� � ·y¸ bA¹,]nb,mnm�] Á dåºSRo^ �0��Å {|]_bá�: Á xzlzw �K� ��?� Åz�qµk��Á debBdq]nwÎ`o¹Awim �zµc� r � j � {z]nb�Æ1\UÆ ���c� ì �� � ������ �6���[�����u�e���u� � � � ���~��� �~��G�������� ���������Ñ�C�Qµo�] Á d�ºSRz^ / µ / +§m_¾�^9fpmÐbA]_lo{|b,x|de]_w¢m�: Á `ofp^ ¥ {|]_b?á�: Á xzlzw �Ì� ��K��Åo�eµy� � ¡ â � � � � ��� �i� � ¤ � ] Á d Á debAde]_w`z¹Aw~m �zµc����!���S��� �����������!�K� � �/���S�B�B� �=�S���S�����  �� ��� �S� �/���!�!�b�S� ¡�¢��)���S��£H�S���S£H���S�e¤�¥�¥§¦

Page 71: C;2 0'C;6X^I A I` - math.hu-berlin.devigerske/numerik2/numerikODEs.pdf · h fY^!h Ù h&^! Xh=W¶}zfYh¥}zfp~>h `oh ^0_afmbe Y X Yh fm{c|+i!^!

�u"����9�����F������"% #$'&(�����)"'����*�"#+,�� �� %$��������9 $#�K3�465��7����36�� 0* �� � �-0/ �sf~hgj |z� ] Á d � ��� � ��� � ��� � �e�G���s��� � �e� Ç ¾~jzm_{zb��olz]_bA^edaºSRz^ � � � �² ��� � ��� � �u� + � xzlo{U{|¾i^ed Á debBdq]nw?{|] tub=[^eb,lz¹A]_bA^q`ofp^ �

� Á `zm_bA]_`|d � � ��� � ��� � ����� � � ¹Ax§¹,bA]_wibAl �� Á ] Á d

�� � � � ��� � ��� � �â ��� � ���G���a��� � �e�C� � �ä ��� � �e�G���a��� � ��� _ �� � � �G���a�e� � � é\Nb,wibAl � � ��� �e�o���å� �6���[��� �e�o�Ñ� �����A¥|� � � ���i���a� xzlo{ �G�����~���c�������o� º�¾~mnwidalkxolµµi� �� � � �G��� ���o����� �� � � � � ��� �e�o�9��� �

� � � �6���G��� ���c���u�e�������'� ���G��� ���c���u�e��� �� � � �G��� �e�o���u��� � � ���i�e� �i��� �c� �[��� � �e� � ����Ä é}�Ro^ � � ��� � ��� � �A¥|�G��� ��� � ����� � �����A¥ } ��� ��� � � � � �

� � � �G��� ��� � � fim Á ¾} � ��� �e� � ��� � ���� � � ��� � ����� ������ ��� �� � � �

} ��� ��� � ��� � ��� �} ��� �e� � ��� � ���� Ä érs]_b Á b0ÆC\UÆ jcf9ds{|]_b�á�: Á xzlow } � ����� ¥ b Á ] Á dsfpm Á ¾�� �o� �G��� �e� � ��� � ������} ��� ��� � ��� � ���Ð� } � ����� �xzlo{§{zfp��]nd � �i�����������Ñ�e�å� � �â;�����������Ñ�u�e���å���©���C� � �ä �����;�����Ñ� ���������´�Ï�\}��;���©�� ² ����� ² � ³ }��;���©�� � � é

(*)�( ��2�/3@B.ÎH?@AWCX3Y?2����GWC<KE?L�2 E\�]_^a`cbAde^gfihgjkdeb,l*lyxzlßr©] tubA^qbAlkde]vfpm_wim_bA]vhgjyxzlzw~bAl� � ���������6���G�����u����� � ��� ��� Ä [�������] d

�G���C�����Ð���[���1���C�ê�´��� � � � ¤ ��� � � é2KÔ4365DÕ87,Õ:9;5�Ù1Ú�� > � ×åÔ�B9Õ�9 �DÕ�Ö ��6F9Ú���]_lzbsá�: Á xzlzw � � � ¡ â ������� ¤ � {|b,^år´à½á � � �����å� �6���G����� ����� jzb,]H�id� & $o­ � ®�Ñ«9®2��� � ¥ º�fpm_m Á � � ��������� � ����� �©� ��� � é}ofimnm Á {|]_b�¿�\UÆ � � �����ã� �[���[�����u�e���u� � � � Åo��� ��G� Å~�DÍ �G���©��� Å ���o�_� |k�{|]_bÐá�: Á xzlzw � � � ¡ â � � Åz�e� �p��� ¤ � jcf9d ¥�Á ¾%^9fplzl � � ¹Ax�b,]nlzb,^ � [ ¸ bA^q]n¾|{|] Á hgjzbAl0á�: Á xolzw º�¾i^edew~b Á bBdq¹Bd Ç bA^g{|bAl �}ofimnm Á {|]_b�á�: Á `ofi^D^~bA]nd Á �Îf9de^q]Ha � �a��ÄGÍZ}������©�^qbAwixom_»i^�] Á d ¥ ^B:ilzlzb,l Ç ]_^s{zfilzl · f9de¹ �c� � fpl Ç bAlo{zbAl)z¡�¢������S��£H�S���S£H���S�e¤�¥b¥b¦ ���!���S�H� �)�b�������!�!� � �/���S�d�I� �=�S���S���H�  �� ��� �S� �/���!�����S�

Page 72: C;2 0'C;6X^I A I` - math.hu-berlin.devigerske/numerik2/numerikODEs.pdf · h fY^!h Ù h&^! Xh=W¶}zfYh¥}zfp~>h `oh ^0_afmbe Y X Yh fm{c|+i!^!

� ¶ ��� ���&�i�����9 $%�K3�465%��� ��36�� l* �� Ó6ÔkÕ�ÖA×3Õ�ÔyØ�Ús}�Rz^ Ü � ç ¥|����ÝdO xzlo{ ��M��Å `cbAde^gfihgjkdeb0{|]_b�r©] tubA^qbAlkde]vfpm_wim_bA]vhgjyxzlzw� � ������� �1�G�����C� AKC�E ������ m_]_lzb,fi^eb0r½à½á��6]ndabA^q¹ Ç xolzwib,lzbA^ · hgj Ç ]_lzwixzlow � � r©]_b�}zxzlo{ofp��bAlkdqfimn�Îfpde^q]�a*] Á d

} ������� � � � �{|]_b�á�: Á `ofi^D^~bA]nd Á �Îf9de^q]Ha6] Á d � � ç Í � � ä�� M��Å ér©]nb�fimnm_wib,�6b,]nlob½á�: Á xzlzw�{|bA^ar½à½áê] Á d�G�����å� � � � � � � �4 � � ��� � � � ADCHE � µ � é

Æax Á {|bA^ Ò b,^e]_¾|{|]n¹,] dg»9d Á `�b,{|]_lzw~xzlzw ����� ÝdOC���Ì�o� bA^qjo»pmnd ��filK{ofplzl�c�©�#Í çç � � äxzlo{§{|]_b ¸ bA^q]n¾|{|] Á hgjob½á�: Á xzlzw ���������å�#Í çç � � ä � � ADCHE ��� >9@BA ��� é

–4

–2

0

2

4

x(t)

5 10 15 20

t

á�: Á xzlowibAlK{|bA^ar½à½á � � �����Ð� â� �G�����1� ADCHE ����� ºSRz^ · dgfp^ed Ç b,^�dqb �c� � Í &ä �AÍ â��â�� �qÅ � �Ó6ÔkÕ�ÖA×3Õ�ÔyØ�Úa\�]n^ `�bBdq^qf~hgjkdebAlKlz¾|hgjz�Îfpm Á ]�bA] Á ¸ ]nb,m �o�_��� · bA]ndeb ëiì �  · bA]�Ü ��Ý xzlo{§{|]_b0r´à½á

� � �����ã� È Å çÍ ç ÅËÊ �G�����wib,wib,`cb,l � rs]_b�}zxolo{zfp��b,l~dgfpm_�Îf9de^q]Ha*] Á d} ������� È?>=@IA � ADC�E �Í AKC�E � >9@BA � Ê �{|]_b�á�: Á `ofi^D^~bA]nd Á �Îf9de^q]Ha6] Á d

� ��Ä0ÍZ} ���©��� ÈJç Í >9@BA � Í ADCHE �ADCHE � ç Í >=@BA � Êêé

���!���S��� �����������!�K� � �/���S�B�B� �=�S���S�����  �� ��� �S� �/���!�!�b�S� ¡�¢��)���S��£H�S���S£H���S�e¤�¥�¥§¦

Page 73: C;2 0'C;6X^I A I` - math.hu-berlin.devigerske/numerik2/numerikODEs.pdf · h fY^!h Ù h&^! Xh=W¶}zfYh¥}zfp~>h `oh ^0_afmbe Y X Yh fm{c|+i!^!

�u"����9�����F������"% #$'&(�����)"'����*�"#+,�� �� %$��������9 $#�K3�465��7����36�� 0* �� � |

}ofimnm Á�����ÝdO ] Á d ¥zÁ ¾�] Á d � ��Åo� Æam_mnb�á�: Á xzlzw~bAl ¥�[�������8È?>9@BA � AKC�E �Í ADCHE � >=@IA � Ê � � � � � � � ¤ �

Á ]nlo{ ¸ bA^q]n¾|{|] Á hgj �–3

–2

–1

1

2

3

x2

–3 –2 –1 1 2 3

x1

ÝdO [ ¸ bA^q]_¾y{z] Á hgjzb0á�: Á xzlowibAlK{|bA^ar½à½áÞ � Ç bA]ndeb,^eb,l?xol~dqbA^ Á xchgjzbAl Ç ]n^afix|de¾~lz¾i��b½rs]ntubA^qbAlkde]vfpm_wim_bA]vhgjyxzlzwib,l�Â���~�����å� �6���[�����q�u� � � ¡ â ��� ¤ ��� ¤ � é· b,] � � b,]nlob�á�: Á xzlzw � r©filzl§] Á d � � � ���������G��� � �����q�Á debBdq]nwÎ{|]ntubA^qbAlz¹,]nb,^e`ofi^ `z¹Aw~m �|� ¥ { � j �z����� ¡ ä �(����� ¤ � ¥� � �� �����Ð� � � ��� � �����e� _ � � � ��������� � �����|� � � ����� é}�Rz^< � ���c� �º�¾im_wpda{zfilzl

< �� ��������� �;����� < �3����� éÞÏÁ d � � b,]nlzb � [ ¸ bA^q]n¾|{|] Á hgjzb©á�: Á xzlzw ¥zÁ ¾�] Á d ���;� Å~�ã� ���å���©���� � � � Å~�ã� � � � ���©���fpm Á ¾ < � ��Å~�s� < � ���©� � r´fplzl ] Á d < � b,]nlzbÎá�: Á xzlzw?{zbA^½mn]_lzbÑfp^q] Á ]nb,^�dqbAlU¿sfplo{ Ç bA^edqfix|º�w~fi`cb � ¼ywim �;���c�n� � � ¥ · ���� �< �� ������ � � ����� < � �����u�

< � ��Åk�DÍ < � ���©�ã� Å é ���o�_�A�y�}ofimnm Á½��� bA]_lzb�lz]vhgj~dD[�^~¾il Á dqfilkdeb�á�: Á xzlzw§] Á d ¥CÁ ¾?] Á d � � � M� Åz¥ { � j � < � ] Á d�bA]_lzbÎlz]vhgjkd�de^q]_¼k]vfpm_b�á�: Á xzlzw§¼~¾il���c�n�,�k�B� r©filzl§m_»��pd Á ]vhgj§{|bA^ · fpde¹ �o� � Á ¾�lz]vhgjkdsfpl Ç bAlo{|b,l �r©bA^#*;b9^kdq¾i^ < �;��Å~����� � � � Å~�%M��Å ] Á d���]_wibAly¼~b9^kde¾~^�¼~¾il }��3���´� ¹,xz� �å]nw~bAl Ç b,^�d ç ¥ {|bAlzl§fpx Á

< � ������� } � ����� < � � Å~�xzlo{§{|b,^ Ò bA^q]n¾|{|]_¹A]ndq»pd < � ��Å~��� < � ���©� º�¾im_wpd< �3���©��� }��;���©� < �3� Å~�;��}������©� < �����©� ér´fplzl§] Á ds{|]_b �¢f9dq^e]Ha � �a��ÄGÍZ}������©�Á ]nlzw~xzmv»p^ � � � < � ��Å~����Åz¥ < � � Å~�#M��Åk� ¥ { � j � b Á ^�:~lzlzb,l?��bAjo^eb,^eb ¸ bA^q]n¾|{|] Á hgjob´á�: Á xzlzwib,l?b9a|] Á de]_bA^qbAl �2KÔ4365DÕ87,Õ:9;5 Ù1Ú�� >�×ÐÔ4B9Õ:9 �1Õ�Ö ������ B9Ô,5 ��C@�ÔyØ��(7�7*B���@C7*9;B�F9Ú ��]_lzbßá�: Á xzlzw bA]_lzb,^�fix|de¾~lz¾i��b,lËr½à½ájzb,]H�id $z­0� ®�,«p®2����� ¥ º�fimnm Á b Á bA]_l � �ËÅ w~]n`|d ¥ ��] ds{zbA� Á ]_b � [ ¸ bA^q]n¾|{|] Á hgj*] Á d ��� � ��������� � ���C�ê�©� ¥z� � �;�B�

��]_lzb0lz]vhgjkdK[�^i¾il Á dgfplkdeb ¸ b,^e]_¾|{|] Á hgjzb0á�: Á xolzw � `z¹ Ç0� {zbA^qbAl��©^e`z]nd � jzb,]H�id����q­Bª�)�)� �~­1+ ¥oÇ b,lzl?]_lKbA]_lzbA^ -s�0[wib,`zxzlzwÎ{|]_b Á b Á �©^q`z]nd Á ^~bA]_lzb Ç b,] dqbA^qb ¸ bA^q]_¾y{z] Á hgjzb0á�: Á xzlow[b,l~dqjofpmndeb,l§] Á d ���]_l Á dgfp`z]_mnb,^sà´^eb,lz¹A¹��\^ibAmujzb,]H�id ! �(���e¨ ���A�� �¡�¢������S��£H�S���S£H���S�e¤�¥b¥b¦ ���!���S�H� �)�b�������!�!� � �/���S�d�I� �=�S���S���H�  �� ��� �S� �/���!�����S�

Page 74: C;2 0'C;6X^I A I` - math.hu-berlin.devigerske/numerik2/numerikODEs.pdf · h fY^!h Ù h&^! Xh=W¶}zfYh¥}zfp~>h `oh ^0_afmbe Y X Yh fm{c|+i!^!

� � ��� ���&�i�����9 $%�K3�465%��� ��36�� l* �� Ó6ÔkÕ�ÖA×3Õ�ÔyØ > � B9Ô�5 �C@cÔyØ F9Ú�}�Rz^aÜ ��Ý `�bBdq^qf~hgjkdeb0{|]_b�r´à½á

� � â � � ä �ê� â " ç ÍN� ä â ÍN� ää $� �ä � Í � â �ê� ä " ç ÍN� ä â ÍN� ää $r©]nb�}oxzl�^kde]_¾il ���å�������J� ADCHE � � >=@IA ���] Á dab,]nlzb ÝdO [ ¸ bA^q]n¾|{|] Á hgjzb0á�: Á xzlzw � \Nb,] dqbA^qjz]nl§] Á dµµ~� / �[����� / ää ��Ý � � � �����u���G������� ä��Ý�� È � ä �ê� â " ç ÍN� ä â�Í � ää $Í � â � � ä " ç Í � ä â Í � ää $ Ê � È � â� ä Ê����Ý " � ä â " ç ÍN� ä â Í � ää $ �ê� ää " ç ÍN� ä â Í�� ää $ $��Ý / �[����� / ää � ç Í / �[����� / ää � é

–1.5

–1

–0.5

0

0.5

1

1.5

y

–1.5 –1 –0.5 0.5 1 1.5 2

x

á�: Á xzlowibAl§{|b,^ar´à½á ºSRz^ · dqfp^ed Ç bA^edeb�o��� �� ç �eÅ~���Ñ��Ýz� ç ��� " Í ââ � �eÅ $ � �r � j � ºSRo^aá�: Á xzlzw~bAl �G����� ��] d / �G����� / ä ç ] Á d�� � / �G����� / ää �ÌÅz¥ { � j � / �G����� / Ç »~hgj Á d �yÞÏÁ d / �G����� / ä � ç ¥|Á ¾[] Á d�� � / �G����� / ää Åz¥ { � j � / �G����� / º�»imnmnd �f�gSf%gKh �� v#s� 8q�o�t�s���w v%r�p��Ly��{xio6nur�w%mBt r *�*Ky%w%x}ofimnm Á {|]_b Ò bA^q]n¾|{|b � ]n� *;¾i^gfpx Á lz]vhgjkda`cb ^�filzlkd ] Á d ¥oÁ ¾�jofp`�bAl Ç ]_^�º�¾im_wib,lo{|b0Æax|º�wkfp`�b0¹Ax§`�bBde^gfihgjkdqbAl�Â���i�����ã� �[���[�����e�u� ��� � Åo��� �p��G��Åk�ã� �[���©��� � xolk`�b9^9filzlkd �r´fp¹AxKdq^qfil Á º�¾~^e��]_bA^qbAl Ç ]_^ � Åz�e� � � � Åo� ç � �6]nd�dqbAm Á%�©� �³ xzlo{§{|b �olz]_bA^qbAl

��G���Ñ� � ���G�b�,�©�����G����� éÆax Á µµ\� ��G���Ñ��� µµ\� �[���,�©�;��� _ µi�µ~� ���,�©���Ì� _ �6���[���,��������� _ �[� ��[�������bA^qjofim dqbAl Ç ]n^a{zfilzlß{|]_b½Æsx|º�w~fi`cb µµ\� ��G���Ñ�ã� � _ �6� ��G�������u���6��Å~�ã� ��[� ç � é\�]_^ ºSRzwib,l?lyxzlß{|]_b�}zxol�^kde]_¾il �� ¤ � â �b��� � �Ì���] d �� " �� ¤ � â ��������Å fpm Á lzb,xzb½xzly`cb ^�filzlkdeb�}oxzl�^kde]_¾il§jz]_lz¹Ax ¥oÁ ¾Î{zf�� Ç ]n^a{|]_b�Æaxzº�w~fp`�bµµ\� ��G�b���� �� ¤ � â ����� _ �6� ��G�����e�u�µµI� �� ¤ � â �b���� Åz���6��Å~�DÍ ��[� ç �ã� ÅbA^qjofim dqbAl � r´f�lyxzl?b,]nlob�¿afplo{z`cbÑ{|]nlowixzlzw6º�b,jzm d ¥ ºSRzw~bAl Ç ]n^slz¾|hgjK{|]_b0¹Ax Á »pde¹Am_]vhgjzb´Æsl|º�fplow Á `cbÑ{|]nlowixzlzw

���� � ��Åk�;� ���] d ��M��Å ºSRz^ab,]nl�� � � � ç � éAé,é � Ü � jz]_lz¹Ax � ��� �z¨ �A­Aªoª ����Ψ + ®2� ®�­0� ±|ªk°�� � ����!���S��� �����������!�K� � �/���S�B�B� �=�S���S�����  �� ��� �S� �/���!�!�b�S� ¡�¢��)���S��£H�S���S£H���S�e¤�¥�¥§¦

Page 75: C;2 0'C;6X^I A I` - math.hu-berlin.devigerske/numerik2/numerikODEs.pdf · h fY^!h Ù h&^! Xh=W¶}zfYh¥}zfp~>h `oh ^0_afmbe Y X Yh fm{c|+i!^!

� ��������� �

� !#"������� ����G��"���'�

\�]_^a`cbAde^gfihgjkdeb,l?¿afilo{ Ç bA^edqfix|º�w~fi`cb,lK{|b,^a}z¾~^e�� � ����� � �6���G�����u�e���u� ��� � � � ��� �

� ���G��� � � ���[���©�Ï� � Å � ë �n���· b,] ����� ¡ â � � ���i���a�i��� ¤ � bA]_lzb�á�: Á xzlow6xolo{ Á b,] � � ^eb,wixzmv»p^ ��sf~hgj · f9de¹ �c� � � · bA]ndeb ��� � ] Á ds{|]_b��'� � �y®�­���¨i¬Ñ¬B®=+n«p±|ªk°�� � ¥� ��� � � � � � ��� � ���G���a��� � �e�]_lKb,]nlobA^ -a��w~bA`zxzlow6¼~¾il � � ��� � � {|b��olo]nb,^�daxzlc{ Á debAde]_wÎ{|] tubA^qbAlo¹A]_bA^q`ofp^ � � Á wi]_mnd � � ��� � ��� � �e��� � � �-a��{zf Á ¿sfplo{ Ç bA^ed ¸ ^e¾~`zmnb,� � ë �n��� ¹,xÌmH: Á b,l ¥ �lR ÁqÁ bAl Ç ]n^ �c�¢Á ¾�`�b Á de]_�6��b,l ¥ {zf�� ���o�~���G���a�e�o�Ñ�e� {|]_b¿afilo{|`�b,{|]_lzwixolzw�bA^eºSRzmnmnd ¥ { � j �zÇ ]n^ �0R ÁqÁ b,l§{z]nb�à´m_bA]vhgjkxolzw� ��� � ����Åm�: Á bAl � }�Rz^ KÏb,{|b,lÎ\Nb,^�d � � ^9fplzlÎ�Îfil � ��� � � `cb,^ebÑhgjzlzb,l � �¢fil�jof9då{zfi¹AxÎ{|b,lÎ\Nb,^�d �[���a�e� � � ¹AxÎ`�b Á de]_�0[��bAl � ��]_lzb]�b,^ebÑhgjzlyxzlzw§¼i¾~l � ��� � � mv»px|º¯d�fpm Á ¾¢fix|ºa{|]_b?á�: Á xolzwßbA]_lzb Á Æal|º�filzw ÁeÇ bA^ed ¸ ^q¾i`zm_bA� Á jz]_lofix ÁA�r©]nb Á ^9fplzlK�Îfpl§¹ � ] � �6]nds{|b,l �¢bBdejo¾y{zbAlßfpx Á �0f ¸ ]ndebAm ¶ ^qb,fimn] Á ]_bA^qbAl ���xz^�]�b,^ebÑhgjzlyxzlzw[{zbA^ �axomnm Á dqbAm_mnb0¼~¾il � � _ � ^�filzlK��fil?]_� Ò ^e]_lz¹A] ¸ `cb,mn]_bA`z]_wib �ßbAdejz¾|{|b,l§¼ibA^ Ç bAlo{|b,l ¥ {|]_bbA]_lzb �axzm_m Á deb,mnm_b�b,]nlzb,^©}oxzl�^kde]_¾il¢`�b Á de]_����bAl � �½bAlol~d©��filß¹ � ] � \ bA^edeb � � â � xzlo{ � � ä � ��]nd � �A� � â � � �Åxzlo{ � � � � ä � � � Åz¥3Á ¾Z^9fplzl �Îfil bA]_lzb �sxzm_m Á deb,mnm_b?{|xo^qhgj b,]nlQbA]_l|º�fihgjzb Á ]�] Á b ^~dq]n¾~l Á ¼ibA^eº�fpjo^eb,l `�bA^qb,hgj�[lzb,l � �¢fpl Á ¾~mnmndebKfp`�bA^�`cbÑfihgjkdeb,l ¥ {zfd�NbA]_lzbKÆsx ÁeÇ b,^�dqxzlzw�{|bA^�}zxzl�^~dq]n¾~l � ]n����bA^�bA]_lzb§á�: Á xzlowUbA]_lzb,^Æalzº�fplzw Á�Ç bA^edqfix|º�w~fi`cb´`cbÑ{|bAxzdebBd � r´f � bA]_lzb Á dqbBde]_w {|]nt�b,^eb,lz¹A]_bA^q`ofi^eb½}zxzl�^~dq]n¾~lß] Á d ¥ ^�filzl§�Îfpl§fpxohgjß{zf Á�ab Ç de¾~l [ *;b,^�º�fijz^qbAl � ¾|{|bA^ � xof Á ]�[ �ab Ç de¾~l [ *;b,^�º�fijz^qbAl � ¹Axz^0]Ðb Á dq]n���[xzlzw¢{|b,^ �axzm_m Á dqbAm_mnbÎ`�bAlyx|dq¹AbAl � r´f{|]_b Á b Á *;b,^�º�fijz^eb,l*] � f � bA]_lzb0j�:~jzbA^qb �©¾ily¼~bA^qwibAlo¹A^gf9debs`cb Á ]nde¹Ad ¥oÁ ¾im_m dqb©�ÎfilKb,^ Ç fp^edeb,l ¥ {zfd�Î{zfilzlKfixohgj Ç b9[lz]_wib,^6}oxzl�^kde]_¾il Á fpx Á�Ç bA^edexzlowibAlQ`cb,l�:pdq]nwid Ç bA^g{|bAl ¥ xo� bA]_l���^qwib,`zlz] Á �6]nd »pjzlomn]vhgjzbA^Îà´bAlcfpxz]_w�^~bA]nd Ç ]_b`�bA]_�P]�] Á b9^kdq]n¾~l Á ¼~bA^eº�fpjz^qbAl*¹Ax§bA^qjofpmndeb,l ��¢fil ^�:~lzlkdeb6lyxzlN��b,]nlzb,l ¥ {zf��?{zf Á©Ò ^e¾~`zmnb,�8{|b Á á�: Á bAl Á {|b,^½¿sfplo{ Ç bA^edqfix|º�w~fi`cb6{|xz^ghgjZ]�b Á de]_���Gxzlow{|b Á · dqfi^�d Ç bA^edeb Á3�o� wibAm�: Á d;] Á d ¥ {zf0�ÎfplÎ{|b,lÎ\Nb,^�d �G��� �e�o�9� {|bA^Ðá�: Á xzlzw0fil KÏb,{|b,^åfplo{zbA^qbAl · deb,mnm_b � {|xz^ghgj]�bAjofilo{|m_xzlzwU{zb Á Æsl|º�fplow ÁeÇ b,^�d ¸ ^e¾~`zm_bA� Á0� � �����[� �G���G����� ����� ¥D�G�������G���c�i¥ `cb Á dq]n����bAl�^�filzl �DÞ l {|bA^Ò ^gfea|] Á de^qbBdeb,lK{ofp`�bA]Cfi`cb,^ jo»px �cw6b,^ejobA`zm_]_hgjob -slzwib,lofpxo]nwB^ibA]ndeb,lKfix|º ¥|Ç bAlzlß{|]_b0á�: Á xzlzw �G���������G��� �e� � �Á bAjz^ÐbA� ¸ �olo{zmn]vhgj*¼~¾il � � fp`ojo»plzwid � ��]nlob´f ¸z¸ ^q¾�ay]_�Îf9dq]n¼~b�]Ðb,^ebÑhgjzlyxzlzw0¼~¾il � � ^qbA]vhgj~d�{zfplol jo»px �ow�lz]vhgjkdfpx ÁA¥|Ç ]_b�{zf Á lc»ihgj Á debu]�bA] Á ¸ ]nb,m ¹AbA]_wpdÑÂ

�ië

Page 76: C;2 0'C;6X^I A I` - math.hu-berlin.devigerske/numerik2/numerikODEs.pdf · h fY^!h Ù h&^! Xh=W¶}zfYh¥}zfp~>h `oh ^0_afmbe Y X Yh fm{c|+i!^!

�e� � �H�B�� ��5%����������� �#�65 $%�

Ó6ÔkÕ�ÖA×3Õ�ÔyØ >�� � Ó ��� ��� ��Ú��CÚnÙ�F�Ús\�]n^ `�bBdq^qf~hgj~dqbAl§{|]_b�rs]nt�b,^eb,lkde]vfpm_wim_bA]vhgjkxolzw� � ������� È Å çç~ç Å ç Ê �[�����u� ��� � Åz� ç Å9� é

r©]nb ��]_wib,l Ç b,^�dqb§{zbA^ �¢fpde^q]�a È Å ççiç Å ç Ê Á ]_lo{�� â ��Í ç Å xzlo{ � ä � çiç � rs]_b¢á�: Á xzlow �[��� � < � {|bA^r©] tubA^qbAlkde]vfpm_wim_bA]vhgjyxzlzw ¥ {z]nb�{|b,^aÆal|º�filzw Á `�b,{|]_lzwixolzw �G��Åo� < �;� < wib,l\Rzwpd ¥ jof9ds{zfilzl§{|]nb�}o¾i^q��G��� � < �;� ç~ç <pâ Í < äÝ ç � � â � � È çÍ ç Å Ê � ç Å <pâ � < äÝ ç � âqâ � È çç Å Ê é\�]_^ Ç ¾~mnm_bAl?lyxzlß{|]nb�á�: Á xzlzw ���å����� `�b Á de]_���6b,l ¥ {z]nb0{|b,l§¿sfplo{ Ç bA^ede`�b,{z]nlzw~xzlzw~bAl� � â ��Å~��� ç � � � â � ç Å~�;� çwib,l\Rzwpd � rs]_b0b=azfd^kdqb½á�: Á xzlzw6] Á d

< � � ��������Å~��� È çÍ ç Åa�QÝ ç â ����� O ���� O O � ��� � O ��� Êêé�#:ilzlzb,l Ç ]_^ < � fp`�bA^Glkxo^0�6]ndG¹ � ]´Â � � [ Á dqbAm_mn]_wib,^½à´b,lofpxz]_w�^~bA]nd�`cb,^ebÑhgjzlzb,l ¥�Á ¾§b,^ejofim dqbAl Ç ]_^�{|bAl �©»pjzb9[^qxzlzw ÁeÇ bA^ed

�< � È çÍ ç Åa� ç Å���� Êêér©]nb0b9a|f�^kdeb0á�: Á xzlow �G��� � �< � ¹Axz��Æal|º�filzw ÁeÇ bA^ed �< m_]nbAº�bA^edalyxzlßfp`�bA^� â � ç Åz� �< �� Ý ç Í ç Å ���Ý ç � � â �e� � ç Å����Ý ç � âqâ �� ç Å ���Ý ç � âeâ �� Ý é � _ ç Å & � M� çr´f Á ]�bA] Á ¸ ]nb,ma¹Ab,]nwid ¥ {ofd�ê{|]_b(]Ðb,^ebÑhgjzlyxzlzwê{|b Á · dqfi^�d Ç bA^edeb Á��o�UÁ bAm_` Á d ��] d jz¾~jzbA^Kà´bAlofixz]nwB^ib,] dÎlz]vhgjkdw~fi^qfilkde]_bA^ed ¥ {zf�� Á ]_hgj?{|]nb©\Nb,^�dqb �[��� ���c��� ��] d »pjzlomn]vhgjzbA^ à´bAlcfpxz]_w�^~bA]ndå`cb Á dq]n����bAl?m_f ÁeÁ bAl � }�Rz^ · � Á dqbA��b ¥{|]_b�{z]nb�bA]_l Á bA]nde]_wib�á�] ¸ Á hgjo] dq¹A`�b,{|]_lzwixolzw ���i� |~� bA^eºSRzmnm_bAl ¥ jcfp`�bAl Ç ]_^D]nl · f9dq¹ �~� � � · b,] dqb � � {z]nb�Æa` Á hgjo»pde¹Axolzw

/ �G��� ��� � �3Í �G��� � �� � � / ��� � � � � � / � � Í �� � /bA^qjofim dqbAl ¥ { � j � {zbA^���]_l��ox���º�b,jzm_bA^qjof9º¯dqbA^aÆalzº�fplzw Á {zfpdeb,l�^9filzl?b9a ¸ ¾~lzbAlkde]_bAm_m���]nd �åÇ fihgj Á bAl �r©]nb Á bsÆs` Á hgjo»9dq¹Axzlzw0¹,bA]_wpdåfi`cb,^åfpxohgj ¥ {zf���{|bA^i�å]nl��cx���xzlzw~bAlofixzbA^ÐÆal|º�filzw Á {zf9dqbAlÎ{|xz^ghgj *;bA^J^ymnb,]nlzb,^exolzw{|b ÁåÞ lkdeb,^e¼9fimnm Á � ���i�e� � `�bAm_]nb,`z]_wl^ymnb,]nl*wibA�Îf~hgj~d Ç b,^q{|b,l ^9fplzl � r©]nb Á ºSRzjo^�d�¹Axz^ Þ {|bAb´{|bA^��ßbAjo^e¹,]nb,mn��bBdqjz¾|{|biÂ� ),+ � 2 Y*/���@B2 >A:�2�51YK.ÎH?2\�]_^a¹Ab,^em_bAw~bAl � ���i�e� � ]_l��1bA]_m_]nlkdeb,^e¼9fimnm_b ¥|��� � â é,éAé �! ������]�bA]k{|bA^ �¢bAjz^q¹A]_bAm_��bBdejo¾y{zb Ç b,^q{zbAl0{|]_b�\Nb,^�dqb �G���#"Ñ� {|b,^�b=azfd^kdqbAl0á�: Á xzlow �G����� bA]_lzb Á ¿afplo{ Ç b,^�d ¸ ^e¾~`zm_bA� Áë �_� fil*{|b,l · dqbAm_mnb,l ���i� éAé,é ���!$ w~mnb,]_hgjo¹AbA]nde]_wG]ndeb,^qfpde]_¼�`cb,^ebÑhgjzlzbBd � \�]_^�`cbAde^gfihgjkdeb,l*{zfi¹Ax*{|]_b©Æsl|º�fplow ÁeÇ b,^�dD[fpxzº�w~fp`�bAl � � �����ã� �6���G����� ����� ��� � � " � â �e� " �~��G��� " � â �ã� < " � â � % � ç � éAé,é �'& éxzlo{K`�bA¹,bA]vhgjzlzbAlß{|b,^eb,lKá�: Á xzlzw~bAl*��]nd �G���)( < " � â ��� " � â �A¥|� � � � " � â ��� " � ����!���S��� �����������!�K� � �/���S�B�B� �=�S���S�����  �� ��� �S� �/���!�!�b�S� ¡�¢��)���S��£H�S���S£H���S�e¤�¥�¥§¦

Page 77: C;2 0'C;6X^I A I` - math.hu-berlin.devigerske/numerik2/numerikODEs.pdf · h fY^!h Ù h&^! Xh=W¶}zfYh¥}zfp~>h `oh ^0_afmbe Y X Yh fm{c|+i!^!

�u"����9����� � � 3�465�������������� "%5#���� � �

–1

–0.5

0

0.5

1

1.5

x

1 2 3 4 5

t

r©]nb Æax|º�wkfp`�b¢`cb Á dqbAjkd?lyxzl�{ofp^q]nl ¥ {|]nb *;b9^kde¾~^eb,l < �~� é,éAé � < � â Á ¾ê¹Ax�`�b Á de]_�6��b,l ¥ {zfd� {|]_bUfix Á {|b,l�G���)( < " � â ��� " � â ��Á dDRoh{^ Ç bA] Á b´¹Ax Á fi�6��b,lzwib Á bAde¹Ab0}oxzl�^kde]_¾il �G����� ¥�G����� � � �G��� � < " � â ��� " � â � ºSRz^ ��� � � " � â ��� " � � % � ç � é,éAé ��&ß��G��� � � � �G��� � < � â �e� � â �u�Á debBdq]nwK] Á d ¥ fim Á ¾*b,]nlob6á�: Á xzlzw?{zbA^0rs]ntubA^qbAlkde]vfpm_wim_bA]vhgjyxzlzw � � �����s� �[���G�����u�����B¥�� � � � � �e� ��¥ {zfi^ Á deb,mnmnd´xolo{{zfi^DRz`�bA^ jo]nlofix Á {|]_b�¿afplc{|`cbÑ{|]_lzwixzlow � ���G��� � �u���[���©�e����Å bA^eºSRzm_m d ��ß]nds{|bAl ]�b,{z]nlzw~xzlzw~bAl � · dqbBde]_w�^~bA]nd Á `cbÑ{|]_lzwixzlowibAl ��G���#"i� < " � â ���#" � â ��� < "i� % � ç � éAé,é �'&�Í çÇ bA^g{|bAl§{|]_b · bAw~�6b,lkdeb½¹AxKbA]_lzbA^©á�: Á xzlzw�{|b,^ar´à½áêfix|º � � � �e� � ¹Ax Á fi�6��b,lzwib ^km_bA`zd ���x Á »9dq¹Am_]_hgjK`�bAl�:ide]_wibAl Ç ]_^a{|]nb�¿sfplo{|`�b,{z]nlzw~xzlzw

� � < � ���G��� � < � â ��� � â �e����Å ér©]nb Á bA^qwi]_`|d bA]_l?lo]_hgjkdem_]_lzb,fi^eb Á à´mnb,]_hgjyxzlzw ÁeÁ � Á dqbA� ]_� � ¤ `z¹,wim � < � � é,éAé � < � â � � ¤ Â� � < ����Å��] d · hgjz]nb �~fi`z`z]_m_{|xolzw� � < � � � �

��G��� â � < � �e� � �3Í < â����[��� � â � < � ä �e� � ä �DÍ < � â� � < � ���[��� � < � â �e� � â �q�

������ � < � �

� < ����< � â

���� é

· b,] ��� á�: Á xzlzwÎ{|b,^a¿�\UÆ � ë �_�Ñ� xzlo{ Á bA] � � ^qbAw~xzmv»p^ � · b,]< � � � �

� < ������< �' � â

���� � �

� � � � ��� � ����� � ��� � â �

���� é

�sf~hgj · fpde¹ �o� � ] Á d � � < � {zfilzl Ç ¾ijom_{|b �olz]_bA^edsºSRz^ < " � ² � < � " � + � ¥ % � Åo� éAé,é �'&ÉÍ ç ¥ xzlo{ Á dqbBde]_w§{|] tub=[^qbAlz¹,]nb,^e`ofi^ �-a� {zf Á �sb Ç dq¾il [ *;bA^eº�fpjz^qbAl�fpl Ç bAlo{zbAl ¹Ax ^�:~lzlzbAl ¥ ] Á dG{|]_b ¿ bAw~xzm_fi^e]ndq»pd´¼~¾il � � � < � �´Ç Rzl Á hgjzb,l ÁeÇ b,^�d �r©b��olz]_bA^qb�{zfi¹Ax} "å����� � � �

� < " �G���)( < "9�e�#"Ñ�u� % ��Åz� é,éAé ��&�Í ç �} � " ����� � � �

� < " �G���)( < " �e� " � ���� ������� � � � % ��Åo� éAé,é �'&'Í ç é¡�¢������S��£H�S���S£H���S�e¤�¥b¥b¦ ���!���S�H� �)�b�������!�!� � �/���S�d�I� �=�S���S���H�  �� ��� �S� �/���!�����S�

Page 78: C;2 0'C;6X^I A I` - math.hu-berlin.devigerske/numerik2/numerikODEs.pdf · h fY^!h Ù h&^! Xh=W¶}zfYh¥}zfp~>h `oh ^0_afmbe Y X Yh fm{c|+i!^!

��� � �H�B�� ��5%����������� �#�65 $%�

\�]_b Ç ]n^ ]_�P]�b Ç bA] Á ¼i¾~l · fpde¹ �c� � ¥ �Cb,]nm �c¥ wib Á b,jzbAl?jofp`�bAl ¥ ] Á d} �" ��������� � ���[��� � < " �e� " �u�����\} " ����� � } " ��� " ����Äc� % ��Åo� éAé,é ��&�Í ç �xzlo{

} �� " ��������� � �����\} � " �����u� } � " ��� " �å��Äc� % ��Åo� é,éAé ��&�Í ç ér´fplzl§] Á d � � � < �;�� �

��� � ���G��� â ( < �~�����Ñ�;Í <pâ � �

�� O ���[��� â ( < �i�e���Ñ�3Í <pâ � Å _ _9_ ÅÅ � � � � � � � � � ������ � � � � � � � � � ÅÅ _ _9_ Å �

���� � � � _ _9_ � �

���� � O ���G���! � â ( < � ä9�e�! � ä,�3Í < � â ��

�� � � � < � ���G��� � < � â �e� � â �e� Å _9_ _ Å �

�� � � O � � < � �e�G��� � < � â ��� � â ���

� ��������

�� �

}��å��� â � ÍaÄ Å _ _9_ ÅÅ } â ���Ïä,� ÍaÄ Å ������ � � � � � � ÅÅ � � � } � ä ��� � â � ÍaÄ� �â � < � ���G��� � < � â ��� � â ��� Å _ _9_ Å � �ä � < � ���G��� � < � â �e� � â �e�\} � â ��� �

����������

xzlo{ Á ¸ b,¹A]_bAm_m ºSRz^ < � < � Â� � < �,�ã� Åo�� �~� < � �ã�

� �

} ��� ��� â � ÍaÄ Å _9_ _ ÅÅ } � â ��� ä � ÍaÄ Å ������ � � � � � � ÅÅ � � � } �' � ä ��� � â � ÍaIJ ��� Å _9_9_ Å ² � ³ } �' � â ��� �

���������� é

· b,] I6�J�8I � � éAé,é � I � â � ³ � � ¤ ��]nd � � � < �A�,IÎ��Å é}�Rz^a{|]_b�¿ bAw~xzmvfp^q] dg»9d ¼i¾~l � � � < �B� �0R ÁqÁ b,l Ç ]_^ I6��Å ¹AbA]_wib,l � Æax Á � � � < �A�,IÎ��Å º�¾~mnwid}����å��� â �,Ip�S� I â ����

}�� � & ���! � äÑ��I � & � I � ä9�} � � ä ��� � â ��I � ä � I � â �² ��� I � � ² � ³ } � � â ��� ��I � â � Åz�xzlo{§{|]_b0m_bBde¹Adeb���b,]nm_b Ç ]n^g{?¹Ax ² ���*Ip�Ð� ² � ³ }�� � â ���! ½� _9_ _ }����å��� â �,Ip�©��Å é � ë � ¶~�� Á w~fpmnd, } �� �����[� � � ����� } � �����B¥C� � � � � ��� � ¥�} � ��� � �G� Äc� �sf~hgj {|bA^l��]nlc{|bAx|dq]nwB^ib,] d�{|bA^Gá�: Á xzlzwß¼~¾ilÆalzº�fplzw Á�Ç bA^edqfix|º�w~fi`cb,l º�¾im_wpd

} � ��������} ��� �����u����!���S��� �����������!�K� � �/���S�B�B� �=�S���S�����  �� ��� �S� �/���!�!�b�S� ¡�¢��)���S��£H�S���S£H���S�e¤�¥�¥§¦

Page 79: C;2 0'C;6X^I A I` - math.hu-berlin.devigerske/numerik2/numerikODEs.pdf · h fY^!h Ù h&^! Xh=W¶}zfYh¥}zfp~>h `oh ^0_afmbe Y X Yh fm{c|+i!^!

�u"����9����� � � 3�465�������������� "%5#���� �pìfpm Á ¾ Á ¸ b,¹A]_bAm_m ºSRz^ ���Ì� â

} ��� ��� â ���L} � ��� â � é} � â �����\} ��� ��� â � ] Á da}oxzlo{zfi�6b,lkdqfpm_�Îf9dq^e]Ha*xzlo{

}�� â ��� â �� ��� ��}����å��� â ����}�������� â ����}��;��� â � é

r´fplzlKº�¾im_wpd Ç bAw~bAl§{|bA^���]_lo{|b,x|de]_w�^~bA]nds{|bA^aá�: Á xzlzw�¼i¾~lKÆ1\UÆsl ¥ {zf��} � â �����\} �Ï� ��� â ���L} � �����u�fpm Á ¾ Á ¸ b,¹A]_bAm_m ºSRz^ ���Ì�Ïä}�� â ���ÏäÑ�\}��Ï�Ð��� â ���L}��3���Ïä,� é· bAde¹Ab,l Ç ]n^a{|]_b Á º�¾~^�d ¥oÁ ¾6b,^ejcfpmndebAl Ç ]_^

} � � â �����\} �' � ä ��� � â � _9_9_ } �Ï� ��� â � � } � �����xzlo{ Á ¸ b,¹A]_bAm_m ºSRz^ �����! }��' � â ���! ½� _9_ _ }����å��� â �å� }��;���! ´� é

��]_l Á bBde¹,bAl§]_l � ë �À¶i� bA^qwi]_`|d Å�� ² ��� I � � ² � ³ } � ��� �,I � � � � I � éÆax Á {zbA^½¿ bAw~xzm_fi^e]ndq»pd©¼~¾il � � º�¾im_wpd0{zfilzl I � �JÅ xolo{¢¹,xz^DRch{^ibA]_l Á bBdq¹AbAlUbA^qwi]_`|d´{zfilzl I â � Åo¥;I ä �#Åz¥éAé,é ¥#I � â ��Åo¥ fpm Á ¾ I6��Åz� r � j � � � � < � � ] Á da^eb,wixzmv»p^ �� ��7� � Ú�ÛcÚ�� ­B® ��� � ¡ â � � ���~��� �~��� ¤ � ���g±|ªy°ß«i­0�½¦©¨9ªu« 6å­0��� ¨p± � °~¨~¬q­ ,�� / � 2�+ � � �A­B®��e­ °i±�+*)���/ � �½°k­�+ � ­$ ² ��� $ ç ±|ª�« $ ² � ³ $ ç / � ­B®�­Aª â ±|ªu« ä «9®�­ & 9ªu«9®�� ®�9ª � )Ѩ �,+n­Aª�«~­ �0®¯ª ��� + ®¯ª�­g¨�� ®2�g®�­0����­Bªß¦ �"! /46¨9ªoªê®2���©«p®�­�!½¬Ñ¬A®=+n«9±|ªy° � «i­0���¢­ � � )A®�­�+ �έ �8��Ñ«i­�)A± ���D­0� +n­ °i±|ªk° � � � â éAé,é � � � ¨p± � ­A®¯ª�­0��3�0°k­,¬A±|ªk° ) 9ª < � � ��� � ��� � ��� é,éAé �e� � ��� � â ��� ³ � � ¤ «i­���ªc®�­ ����±|ªu«?«4�������� ­0��® °ß«p® �s­0�e­Bª�)A®�­ �A¬g¨���/ � �°i®=+ � � � < � ����Å + � � � < � � ®2��� �e­ °i±�+*)��0±|ªu«

>=@BE� � � � � < � �q� � â ���#&�Í ç � ä � _ È ç � ��� �" � â ���� � $ } � " � â ��� " � $ ʬ )e° +*/�«~­ � 5 + � �'&��D­A®=+n­Aª � ± � �έAª &� ����'¨p± � £ " � ¤ $ /5©­�6å­A®2��/sr©]nbK\ ¾ijzmv{|b��clz]nb,^�dqjzbA]nd�xzlo{ Á debAde]_wib?r©]nt�b,^eb,lz¹A]_bA^q`ofp^J^ib,] d[¼i¾il � ]nlQbA]_lzbA^ -a��wib,`zxzlzwN¼i¾~l < �º�¾im_wib,l�fpx Á · f9dq¹ �c� � � rs]_bпabAwixom_fi^e]ndq»pdC¼i¾~l � � � < �A� jofi`cb,l Ç ]_^Cwib,^qf~{|b;wib,¹Ab,]nwid � � Á `zm_bA]_`|d3{|]nb�Æa` Á hgjo»pde¹Axolzw{|b,^+�s¾~lo{|]nde]_¾ilK¹AxK¹AbA]_wib,l � r©]nb'�©¾ilc{|] dq]n¾~l*] Á ds{zb��olz]_bA^edsfpm ÁhB¾~lo{ � � � � < � �q��� $ � � � < � � $ ��� � � � < � � � â ��� é� Á ] Á d � �~� < �A� � â � �

� �� ��� � ��� â � _9_ _

�� ��� � ��� � â � } � ��� � � � � â���� ��� ���

��å���! � â ��� â � _9_ _

������! � â ���! � â � }��;���! � â � � � â�

����

��] ds{zbA^sà´^qbAbAl Á hgjzb,lK}oxzl�^kde]_¾il � ¼kw~m �����o� ë �B¥ · bA]ndeb � ¶i������� �{�Ñ�Ð� � }�������� � � â� ² �Ï� }��;�����9�\}��3����� � â �� Ë� �Í�} � ����� � � â� ² � ³ } � ���´�I} � �b��� � â ���Ë� �

¡�¢������S��£H�S���S£H���S�e¤�¥b¥b¦ ���!���S�H� �)�b�������!�!� � �/���S�d�I� �=�S���S���H�  �� ��� �S� �/���!�����S�

Page 80: C;2 0'C;6X^I A I` - math.hu-berlin.devigerske/numerik2/numerikODEs.pdf · h fY^!h Ù h&^! Xh=W¶}zfYh¥}zfp~>h `oh ^0_afmbe Y X Yh fm{c|+i!^!

��� � �H�B�� ��5%����������� �#�65 $%�

{|b,lzl� � � � < �B� � � � < �A� � â � âqâ � Í�}����å��� â �

��;�����i�e� â ���

������ â ��� â �� } ��� ��� â �\} � ��� � �� ��� �� � � � O

� � â� ² � ³ } � ���©�\} � ��� â � � â �F} � ��� â � � � â� ² ��� } � ��� � ��} � ��� â � � â� }��;��� â � � � â� � ² � ³ }������©��� ² ��� }����������e�\}������ â � � â� Ä

� � � � < � � � � � < � � � â � â ä � Í�} ��� ��� â ��� ��� � �e� ä ���

�� ��� â ��� ä �� }����å��� â �\}��;�����Ñ� � � â� ² � ³ }��;���©�\}��3���Ïä,� � â Í }������ â � � � â� ² � ³ }������©�I}��;���Ïä,� � â� Åx ÁeÇ0� �sf~hgjKr©b��clz] dq]n¾~l§¼i¾il â xolo{ ä �e���o� � �B¥ · b,] dqb � ¶i� ] Á d

�� }��;����� � � â� �� â ��� � ���i�e� �$ ��;��� �J��� $ ä � �J��� � ���i�e� �r´fp��] da] Á dsfpm Á ¾

��� � � � < � � � â ��� � ��� �� � � ���� � � â�� � â�" � â $ �

� �������e� " � $ � �� } � ����� � � � â� ���� � &�Í ç � ä � â

xzlo{$ � �i� < � � $ �J��� �

��� �� ��� �� � � ���� � � ä � ç � $ } � �o����� � â � $ � � $ ² ��� $� ��� �8 â � $ ² � ³ } �' � â ��� � $� ��� �8���� � � � O � � � � ���

��� �� � � ���� � � â � ç � $ } � �c����� � â � $ � éÓ6Ô! QÔ4B%@#"P5 D1Ú%]�bA] Á ^9fpm_]_bA^edebAl§¿afilo{|`�b,{|]_lzwixolzwib,l?w~]nmnd â ÌÝ äÎ� áCbA���Îf �c� �c¥ · bA]ndeb � |~�B� r©filzl§] Á d â ��� &�Í ç � ä � & � ç � ä éÓ6Ô! QÔ4B%@#"P5 D1ÚE��xo^aÆa` Á hgjo»9dq¹Axzlow6¼~¾il $ }�� " � â ���#"Ñ� $ {|b �olz]_bA^qb

� " � � ��� ������ � � � � �� O � $ � � ����� $ % ��Åz� éAéAé �'&�Í ç �� � � ���������� �S� � ³�� $ � � ����� $ � �����½��� � � é,éAé ��� � â �u�{ � j ����"� ��;� \ bAw~bAl}U�� " � â;�����ã� � � ������} � " � â ����� � � � � " � â ��� " �} � " � â ��� " � â �ã� Ä] Á ds{zfilzl

$ }�� " � â ���#"Ñ� $ ��� � � O � � � � � � � O éÞ � ·|¸ b,¹A]vfpmnº�fpm_m�� � ³ � �S� ¥z�#"©�����Ð� % � ¥���"� ��;¥ º�¾im_wpds{zfilzlhB¾~lo{ � � � � < �B�q� � â ��� &�Í ç � äÑ� " ç � ����� $ È â � �ÌÍN���� ä Ê " ç � ����� $ é

Þ � Þ {zb,fpmnº�fpm_m �':|hgj~dqb½��fil $ }�� "å���#" � â � $ ¥ % ��Åz� éAé,é �'&�Í ç ¥ ��] d � ç Å ¾|{|b,^ � ç ÅiÅ bA^q^eb,]_hgjobAl ����!���S��� �����������!�K� � �/���S�B�B� �=�S���S�����  �� ��� �S� �/���!�!�b�S� ¡�¢��)���S��£H�S���S£H���S�e¤�¥�¥§¦

Page 81: C;2 0'C;6X^I A I` - math.hu-berlin.devigerske/numerik2/numerikODEs.pdf · h fY^!h Ù h&^! Xh=W¶}zfYh¥}zfp~>h `oh ^0_afmbe Y X Yh fm{c|+i!^!

�u"����9����� � � 3�465�������������� "%5#���� � �Ó6ÔkÕ�ÖA×3Õ�ÔyØ > ���� � � Ú�Û���Û�F�Ú · bA]�Ü ��Ý xzlo{ Ç ]n^s`cbAde^gfihgjkdeb,lK{zf Á ¿afplc{ Ç b,^�d ¸ ^q¾i`zm_bA�

� � ������ È ç Í ç��i>9@BA ��Ýp��� ç � ç��iADC�E � Ý9���Í ç � ç���AKC�E � Ý9��� ç � ç��i>9@BA � Ý9��� Ê �G�����1� ������� � � � Åz�DOu�i��G��Åk�C� �G�SOC�� È ç � � �ç � � � Ê ���] d�� ¸ f ÁeÁ bAlo{zbA^��´}zxzl�^~dq]n¾~l �y� r©filzl§] Á d² � ��Äo� ² ³ ��Ä â � ä � Ý ér©]nb0b9a|f�^kdeb0á�: Á xzlow[] Á d ���������å� È � �

� � Êxzlo{§{|]_b�}zxolo{zfp��b,l~dgfpm_�Îf9de^q]Ha*] Á d} �����Ð� È?>9@BA � ADCHE �Í ADC�E � >=@IA � Ê È � � â�� � ÅÅ � äe� � Ê ��]nd } ��Å~����Äc� } �SOC����Ä é

r´fplzl§] Á d � ��Ä©� È � � â�� � ÅÅ � äe� � Ê �8È ç � � � â�� � ÅÅ ç � � äe� � Ê �Á ¾�{ofd� hA¾ilo{ � � � � � äe� � � ç é � _ ç Å ä � é}�Rz^a{|]_b'�s¾~lo{|]nde]_¾il Á ¹,fijzm_bAl*¼~¾il � � � < �A� b,^ejo»im d �Îfpl& ��� � � � < �,� � â ��� hB¾~lo{ � � � � < �A�e�ç ç ç é � _ ç Å ä �c ç ç é Ý _ ç Å �� ç ç é ç _ ç Å &ç� ç é � _ ç Å âÝ�� ç é ç ç é _ ç Å â

¡�¢������S��£H�S���S£H���S�e¤�¥b¥b¦ ���!���S�H� �)�b�������!�!� � �/���S�d�I� �=�S���S���H�  �� ��� �S� �/���!�����S�

Page 82: C;2 0'C;6X^I A I` - math.hu-berlin.devigerske/numerik2/numerikODEs.pdf · h fY^!h Ù h&^! Xh=W¶}zfYh¥}zfp~>h `oh ^0_afmbe Y X Yh fm{c|+i!^!

� ¶ � �H�B�� ��5%����������� �#�65 $%�

���!���S��� �����������!�K� � �/���S�B�B� �=�S���S�����  �� ��� �S� �/���!�!�b�S� ¡�¢��)���S��£H�S���S£H���S�e¤�¥�¥§¦

Page 83: C;2 0'C;6X^I A I` - math.hu-berlin.devigerske/numerik2/numerikODEs.pdf · h fY^!h Ù h&^! Xh=W¶}zfYh¥}zfp~>h `oh ^0_afmbe Y X Yh fm{c|+i!^!

� �����������

� ��������� �= �������� � ����G��"���'�

\�]_^ Á dqbAm_mnb,lK{z]nb�¿afilo{ Ç bA^edqfix|º�w~fi`cb� � �����ã� �[���[�����u�e���u� � � � � � ���a�i�

� ���G�����Ñ�u�e�G���´�Ï�ã� Åo� � � �n���Ç ]_b,{|b,^ ]nlß{|b,^a}z¾i^q� � �?��źSRz^ab,]nlobAl�� ¸ b,^qfpde¾i^ �#� } � G��] d

} � � ¡ â � � ���i���a�i��� ¤ �u� G � ��� L � ¤ �� � � ¡ � � ���i�e� �i� � ¤ �xzlo{ � � � � È � � � _ �3Í �G���G� _ �u� _ �� ���G��� � �u�e�G���©�e� Ê{zfi^ � r©]nb Þ {|b,b {|bA^ & +=+ �~¨�� ®�9ª � )9­ � � ¨ � �e­Aª§] Á d;b Á lyxzl ¥ {|]nb ¿a»ixz��b } xzlc{ G {|xz^ghgj6bAlo{|m_]vhgjo{|]_�6b,l Á ]n¾~lofpm_b¿a»ixz��b } � $ xzlo{ G � $ ¹AxNbA^ Á bAde¹Ab,l � rs] Á ^y^qbBdq] Á ]nb,^exolzw ¥ }D]nlz]nde] Á ]nb,^exzlow � ¥ xzlc{¢ºSRz^½b,]nlzb,lUb,l~d Á ¸ ^ebÑhgjzbAlo{zbAl� ¸ bA^gf9de¾~^ �� $ � } � $ � G � $ {|]_bGà´mnb,]_hgjyxzlow �

� $ �K��ŹAx§m�: Á bAl �r´fp¹Ax Ç »pjzm_bAl Ç ]_^ ¹Axzlo»~hgj Á d �ubA^qmnb,wixzlzw~bAlO � $ � � � � � $ â éAé,é � � $ ���� �Ì�s� � ���¼i¾~l � Åz�e� � ]nl &�� $ �1bA]_mn]_lkdeb,^e¼9fpm_m_b � · b,]

� � $ � � ��� � $ � Í � � $ � � â � � � ç � é,éAé ��& � $ � � � $ � � ��� �" � â ���� � ���� � � $ " �xzlo{ � � $ " � O� � �Ì� � $ " � â � çÝ � � $ " é

� |

Page 84: C;2 0'C;6X^I A I` - math.hu-berlin.devigerske/numerik2/numerikODEs.pdf · h fY^!h Ù h&^! Xh=W¶}zfYh¥}zfp~>h `oh ^0_afmbe Y X Yh fm{c|+i!^!

� �· b,]D¼~¾il¢lyxzl fpl¢b,]nlob���b,^em_bAw~xzlzw O � $ ��a|]nb,^�d � \�]_^½¼ibA^q¹A]vhgjkdeb,l¢]n�'º�¾~mnw~bAlo{zbAl ��Ç b,] dqb Á dewib,jzbAlc{ � fix|ºÐ{|b,lÞ lo{|b9a�� � � �Æam Á r©] Á ^y^ebAde] Á ]_bA^qxzlzw Ç »pjzm_bAl Ç ]n^ lyxzlß{|b,lß¿afpxz� } � $ {zbA^ �p±o¬B®2��� �z­Aª � $ + ®¯ª�­ � ±|ª ��� ®�9ª�­AªU`o¹Awim � O � $ Â

} � $ � �� � �} �� � ] Á dsfpxzº;KÏbÑ{|bA� �Cb,]nm_]nlkdqbA^q¼�fimnm ¼~¾il O � $ b,]nl Ò ¾im��ylz¾i� ��]nd©à´^qf~{ c �} � $ �� ¡ â � � ���i���a�i��� $ � ] Á dab,]nl§b,lo{|m_]_hgj [�{|]_��bAl Á ]n¾~lofpm_bA^ �1bA]_mn^gfpxo� �r©xz^qhgj§{|]_b *;¾i^qw~fi`cb,l

�[����� ��� � �Ï� �u�p����� �å� �u�� � � ��Åz� éAé,é �'&ß�] Á dab,]nl � ��} � $ b,]nlc{|bAx|dq]nwÎ`�b Á de]_����d � � Á jofpdsfpx|º3{|bA� �Cb,]nm_]_l~dqbA^q¼9fpm_m � ��� � â ������� º�¾im_wib,lo{|b0r©fi^ Á deb,mnm_xzlzwcÂ�6�����ã� ��� � â �����DÍ ��� � â ����� � ��� � O� � �����DÍ ��� � â � ���3ÍN��� � � �������3Í ��� � â � ä ���DÍN��� � �� � � â� � � � � � � � � O� � Í � �� � â � � � â� �� � � �� � â ÍêÝ�� � � � � � O� � � � �� � � � � ¶~�

r©]nb�r´fp^ Á dqbAm_mnxolzw6ºSRz^ � � xzlo{ � b,^ew~]n`|d Á ]_hgj§{zfi`cb,]Cfpx Á {zbAl ]ÐbÑ{|]_lzwixzlowibAl � � ����� ��� � �� ¥ � � ç � é,éAé ��& ÂÆax Á {|bA^�]�bÑ{|]nlowixzlzw � �� � â � � � ����� � â � º�¾~mnwid� �� � â � � � Í � � � â� � Í � ��� �e� { � j � � �1� ç� � È � � Í � � � â� � Í � �� � â Ê éÆax Á {|bA^�]�bÑ{|]nlowixzlzw � �� � � � ������� º�¾~mnwid

���� � � �uÍ � � � â� � � � ��� ��� � ä� �{ � j � � � ç� ä� È��u� � Í � � Í � � � â� � Í � � Í � � � â� � � ���� � â Ê � ç� ä� È �u�� Í�Ý � � Í � � � â� � � �u�� � â Ê é��x§bA]_lzb,^a}zxzl�^kdq]n¾~l � � } ] Á dabA]_lzb0}zxol�^kde]_¾il � � } � $ {zxz^qhgj � � � ���G��� � �B¥ � �� � ��� � ��� � � ¥ � ��Åz� éAé,é �'&ê¥bA]_lo{|b,x|de]_wÎ`�b Á de]_�6�Gd � \�]_^s{|b �olz]_bA^qbAl§{zfpjobA^a{|]_b0Æa`z`z]_mv{|xzlzw

� � $ � } �N} � $ �]_lo{|bA� Ç ]n^ b,]nlobA^a}zxol�^kde]_¾il � ��} {|]_b�}zxol�^kde]_¾il � � $ � � � � ¹Ax Ç bA] Á b,l ¥ ºSRz^s{z]nb�6�¯��� �ã� �G����� �u� � ��Åz� éAéAé �'&ß�� � ��� � �ã� � � ��� � �u� � ��Åz� é,éAé ��&ß�wi]_mnd � r©]nb�¿ab Á de^q]H^kde]_¾il Á fi`z`z]_m_{|xolzw � � $ ] Á dam_]nlob,fp^ ¥ `cb Á hgjo^q»il�^kd�xolo{KbA]_l Ò ^e¾ KÏb9^kde¾~^ � � ä � $ � � � $ � ���xz^�á�: Á xolzwG{|b,^�¿afilo{ Ç bA^edqfix|º�w~fi`cb � � �_�Ñ��Ç fi^åbA]_lzb½}zxzl�^~dq]n¾~l � � �} �6]nd � � � ��Å wib Á xohgjkd � ]�¹Aw~m � {|bA^r©] Á ^y^ebAde] Á ]_bA^qxzlzw } � $ Á xohgjobAl Ç ]n^ lyxzl§bA]_lzb�}oxzl�^kde]_¾il � ��} � $ ��]nd� � ����� �ã� �G���[����� �u�e��� � � ��Åo� é,éAé ��&ß�

� � �A� � � O� � � � � � �A� � � O� �[��� � � O� � � � ç � é,éAé ��&ß�� ���[��� � �u���6��� ���ã� Åz� � � � |k�

���!���S��� �����������!�K� � �/���S�B�B� �=�S���S�����  �� ��� �S� �/���!�!�b�S� ¡�¢��)���S��£H�S���S£H���S�e¤�¥�¥§¦

Page 85: C;2 0'C;6X^I A I` - math.hu-berlin.devigerske/numerik2/numerikODEs.pdf · h fY^!h Ù h&^! Xh=W¶}zfYh¥}zfp~>h `oh ^0_afmbe Y X Yh fm{c|+i!^!

�u"����9�������I���� ���, �u"����9 #3 ������� "%5#���� �kë{ � j �kÇ ]n^ Á xchgjzbAlÎb,]nlzb´}zxzl�^~dq]n¾~l � � } � $ � } ¥ {|]_b©{|]_b©¿sfplo{|`�b,{z]nlzw~xzlzw � ���[��� � �u���6��� ������Å xzlc{ {|]_br©] tubA^qbAlkde]vfpm_wim_bA]vhgjyxzlzw � � ���������G���[����� ����� ]_lß{|bAlßr©] Á ^y^ebAde] Á ]_bA^qxzlzw Á ¸ xol�^kdebAl � � �e� O� �e� â � é,éAé ��� bA^eºSRzm_m d �Æax Á�� � � ¶~� b,^ejcfpmndebAl Ç ]_^

��� � � � � O� � � � � Í ��� � â� � �QÅs� È ÍsÝ � ä�� � � ä�� Ê �� � � Í ��� � â� � Í � ä�

� _ ç� ä� È � �� � â Í�Ý ���uÍ ��� � â� � � � �� Ê� c Ý È ���uÍ ��� � â� � Ê Í ç� " � �� � � �� � â $ � � � � �y�� � � � � O� � � çÝ ��� � � â � � � �DÍ ç

�� � "���� � Í �u�� � â $ é � � � ë �

r´fp��] dab,^ejcfpmndebAl Ç ]_^afpx Á0� � � |~� {zf Á à´mnb,]_hgjyxzlzw ÁeÁ � Á dqbA�� �� � �G����������� � � ��Åo� éAé,é �'&¢�

c Ý � �uÍ � � � â� � Í ç� " � �� � � �� � â $ � �UÈ çÝ ��� � � â � � ���3Í ç�� � " � �� Í � �� � â $ ��� � � O� Ê � � ç � éAé,é �'&¢�

� �����i���� ½�ã� Åz�fpx Á0��Ý & �ËÝi� Ü8à´m_bA]vhgjyxzlzw~bAlK]nlß{|b,l?-sly`cb ^�filzlkdeb,l � �Ï¥ � �� ¥ � ��Åz� é,éAé ��&ê���^ Á bAde¹,bAl Ç ]n^alyxzlKlz¾|hgj � �� ���6��� �Ï����� � ¥cÁ ¾�bA^qjofim dqbAl Ç ]n^a{zf Á à´mnb,]_hgjyxzlow ÁqÁ � Á debA�� � Í � � � â� � � Ý

c �NÈ çÝ ��� � � â � ��� �DÍ ç�� �o� �6��� �Ï�e��� �3Í �[��� � � â ����� � â ��� ��� � � O� Ê� ç

�6��� � � â ��� � � â ��� ç

�[��� � �e� � � � � ç � éAéAé �'&ß�

� ��� � ��� �� Åz�� � � � �

fpx Á0� & � ç � Ü à´m_bA]vhgjyxzlzwib,l?]_l§{|bAl'-aly`�b9^9fplol~dqbAl ���i� é,éAé ���� ��-a�={|b,l � ¸ bA^gf9de¾~^ �� $ {|b �olz]_bA^qbAlê¹,xF^�:~lzlzbAl ¥ `�bAl�:ide]_wibAl Ç ]_^Glo¾yhgjêb,]nlob ¸ f ÁeÁ bAlo{zb rs] Á ^y^qbBdq] Á ]nb,^exolzw� � $ ¼i¾il �Î� }�Ro^ � �} � $ ] Á d ¾it�b,l Á ]vhgjkdem_]_hgj � � � � � $ ºSRz^

� $ � ����&� � �� � ] Á dsfix|º KÏb,{|b,� �1bA]_mn]_lkdebA^q¼9fpm_m ¼i¾~l O � $ bA]_l Ò ¾im��ylz¾i� �6]nd´à´^gfi{ ÌÝ � é��]_l ��mnb,��bAlkd � � � � $ ] Á dabA]_lo{|bAxzde]_wÎ`cb Á dq]n����ds{zxz^qhgj§{|]_b0\Nb,^�dqb

�©��� � �ã� � � � � ��Åz� éAé,é �'&ß�� � � � � O� � � � � � O� � � � ç � éAé,é �'& é}�Rz^ � � � � � � â ��� � � `cb Á ]nde¹Ad � {|]_b�r©fi^ Á deb,mnm_xzlzw

�©������� � � � â �����1Í ��� � â � � � � O� Í � � � ââä � � Í ���1Í ��� � â � �,�1Í � � � O� �NÈ � � � O� Í � � � ââä � ä� Í � � Í � � � O�âä � ä� Ê é � � � � �\�]_^s{|b��clz]nb,^eb,lK{ofpjzb,^a{|]nb0¿ b Á dq^e]�^kde]_¾il Á fp`o`z]nmv{|xzlow��� � $ � � � � � $

¡�¢������S��£H�S���S£H���S�e¤�¥b¥b¦ ���!���S�H� �)�b�������!�!� � �/���S�d�I� �=�S���S���H�  �� ��� �S� �/���!�����S�

Page 86: C;2 0'C;6X^I A I` - math.hu-berlin.devigerske/numerik2/numerikODEs.pdf · h fY^!h Ù h&^! Xh=W¶}zfYh¥}zfp~>h `oh ^0_afmbe Y X Yh fm{c|+i!^!

���

]_lo{|bA� Ç ]n^ b,]nlobA^a}zxol�^kde]_¾il � � � {|]nb�}oxzl�^kde]_¾il � � � $ � ¹,xz¾i^g{|lzb,l ¥ {|]_b�{|xz^ghgjK{z]nb ]�b,{z]nlzw~xzlzw~bAl� � � � $ � � ��� � �� �©��� � �u� � ��Åz� éAé,é �'&ß�

� ��� � $ � � � � � � O� � � � � � � � O� � � � � ç � éAéAé �'&ß�bA]_lo{|b,x|de]_wÎ`�b Á de]_�6�Gda] Á d � � � � $ ] Á d b,`cb,l|º�fpm_m Á bA]_lKm_]_lzb,fi^eb,^ ¥ `�b Á hgjz^q»il�^kdeb,^ Ò ^e¾ KÏb9^kde¾~^ �}�Rz^ � � � � $ wi]_m dÑ �©�����å��Å � �1��Åz¥ � ��Åo� éAé,é �'& xzlc{ � � � O� ��Åz¥ � � ç � é,éAé ��&ê���x G ��� L � ¤ {|b �olz]_bA^qbAl Ç ]n^ Ç bA]ndeb,^ejo]nlG � $ � � � � $ L � ¤ ér©bA^ � ¸ bA^gf9de¾~^ �#� } � G ^eb ¸ ^g» Á bAlkde]_bA^edeb½{|]_b½¿C\UÆ � � �n���½� � �?��Åk� � r©bA^ � ¸ bA^gf9dq¾i^�� $ � } � $ � G � $ Á ¾im_m lkxol§{z]nb0r©] Á ^y^ebAde] Á ]_bA^qxzlzw � � � |k� ^eb ¸ ^q» Á b,lkde]_bA^qbAl � ��x � ��} � $ {|b �olz]_bA^qb�{|b Á jofimn`È �� Ê � � �

� $ �¼ib,^e�':~wib�©����� � � � � � ����� �DÍ �6���6������� ����� �u� � ��Åo� éAé,é �'&¢�

� � � � � O� � � � � � � � � � O� � Í � � � � � � � O� � ��� � � O� � � � � ç � éAé,é �'&ß�� � � � ���[��� � �u���6��� �e� é

� � � � �r©]nbGà´m_bA]vhgjyxzlzw �

� $ �K��ÅbAlkd Á ¸ ^q]vhgj~d´{zfplzl � � � |~�B�1� � � � � ¥ ¹Ax Á fi�6��b,lß�6]nd � �� � �6��� �Ï�e��� �B¥ � � Åo� é,éAé ��&ê¥ m_]_bBº�bA^ed©b,]nl à´mnb,]_hgjyxzlzw ÁeÁ �I[Á debA��¹Axz^�]�b Á dq]n���Gxolzw�¼i¾il � � } � $ �� Á b,^ew~]n`zd Á ]vhgj*º�¾~mnw~bAlo{|b Á hgjzbA�Îfpde] Á hgjzb½r´fp^ Á dqbAm_mnxzlowoÂ} �Í,ÍzÍzÍ � G � �?��Å

� ��� ���� ������ ���

} � $ � ��� Í,ÍzÍzÍ � G � $ �� $ �K��Å2KÔ4365DÕ87,Õ:9;5 �CÚ�Û >�Ø�9;@��zØ�Ô�B 2KÕ�Ö*@CB9Ô47ÑÕ�ÖÑÕ�Ô�B " 5PD�Ö� Ô �1Ø�Ô�B�F9Ú · b,]C{|]_bG¿afplc{ Ç b,^�dgfpx|º�wkfp`�b � � �_�Ñ� m�: Á `ofp^ ¥|� � �

} Á b,]�á�: Á xzlzw � � � $ � � �� $ � � $ ���jzb,]H�idM+ �~¨ +n­0� 4G®2� ���e­0��®2� ®�­0� ±|ªk°�� � ­���+n­ � � r©bBº�b ^~då{zbA^;b=azf�^~dqbAl6á�: Á xzlzw Á�Ç bA^edebÐ]nl�{|b,^ �©»pjzb,^exolzw Á wim_bA]vhgjyxzlzw �B�\�]_^axzlkdeb,^ Á xohgjzb,l � � $ w~bAlofixzbA^ � · bA]�{ofp¹Ax

��� � � � � $ ��� é�sf~hgjKr©b��clz] dq]n¾~l§¼i¾il � � $ ] Á d� � ����� �ã� � � ������� � � ��Åz� éAé,é �'&¢��u� � ����� �ã� �c� � ������� � � ��Åz� éAé,é �'& é

���!���S��� �����������!�K� � �/���S�B�B� �=�S���S�����  �� ��� �S� �/���!�!�b�S� ¡�¢��)���S��£H�S���S£H���S�e¤�¥�¥§¦

Page 87: C;2 0'C;6X^I A I` - math.hu-berlin.devigerske/numerik2/numerikODEs.pdf · h fY^!h Ù h&^! Xh=W¶}zfYh¥}zfp~>h `oh ^0_afmbe Y X Yh fm{c|+i!^!

�u"����9�������I���� ���, �u"����9 #3 ������� "%5#���� ���

· b,] È � �Å Ê � � � $ � �� $ � � $ � � � �

� $ � � éÆax Á�� � � � � b,^ejcfpmndebAl Ç ]_^ lkxol� � ����������Åz� � ��Åo� é,éAé ��&ß�xzlo{?ºSRz^�� � ç � é,éAé ��& º�¾~mnwida�6]nd � � � �y� ¥�� � � ë �

� � � � � � O� � � ��� � � � � � O� � Í � � ��� � � � � O� � ��� � � O� �� c Ý � � ����� �3Í � � ����� � â �� � Í ç� ��� � � ��� � �C�ê� � � ��� � � â �e�Í,�UÈ çÝ ��� � ����� � â ��� � � ����� ���3Í ç�� �o��� � � �������3Í � � � ����� � â �e� ��� � � O� Ê� c Ý � � � � � � � � O� � ���Ì� � � � � Í ç� � � � � � � � � O� � ���Ì� � � ��� � � � � � � � O� � ���Ì� � � � �Í,� � ��� � � � � O� � ��� " � ä� $ ��� � � O� �� � � � �,� � � O� �?Í � �A� � �A� � � O� �Î��� " � ä� $ �e� � � O� �Î���Ì� � � �� � � ��� � � � � O� � �e� � � O� � Í � � ��� � � � � O� � ��� " � ä� $ ��� � � O� � ���Ì� � � �� � � � � �Æax Á�� � � � � º�¾~mnwida{zfplzl ��Ç b,wibAl � �;��� � ����Åz¥ � ��Åo� é,éAé ��&U� ºSRz^ ��� � � � � â �e� � �

� �������� ���3ÍN� � � â � � � � � � � O� �âä � � Í ���DÍ � � � â � � �DÍ � � � O� ��� � � � � � � O� �âä � ä� � � � � � � � O� �âä � ä�

��� Ý ���DÍ ��� � â �� � È ç Í �,�DÍN� � � O� � Ý� � Ê � � �A� � � O� �[�fpm Á ¾ / � � ����� / ÌÝ � ç � ç � ��� � � � � � � O� � ��� ���Ë� � ���u�{ � j � ��� ������ �S� � ³�� / � � ����� / �� � � � $ � �Á ¾�{ofd�

� � $ � ��� �����Í�ÍzÍzÍ � �ÍÑÍoÍzÍoÍzÍoÍzÍ �=Å é2KÔ4365DÕ87,Õ:9;5 �CÚ < >ÏÖ*7 �3Õ�Ø�F�Ú©r©]_b½r©] Á ^y^qbBde] Á ]nb,^exzlow6{|b Á�Ò ^e¾~`zm_bA� Á � �?��Å �6]nds{|b,^�á�: Á xzlzw ��� {zxz^qhgjK{|]_bÒ ^q¾i`zm_bA�6º�¾~mnw~b � � $ �K��Åo¥ � � ��¥ jzb,]H�id � ��¨i¬A®=+ ¥ º�fimnm Á b Á �©¾il Á dgfplkdeb,l � � Åo¥� �ÌÅ w~]n`zd���]nd,Â$ �� Í ��� $ � � �� � � $ �� Í � � $ ��� ���� ºSRz^afimnm_b ��C� ��� � �² " � � $ � � �� $ �2} � $ � � � ì �Ó6Ô! QÔ4B%@#"P5 D1Ús}�Rz^ b,]nlzb0á�: Á xzlzw ��� ¼~¾il � � �_�Ñ� ��] d � � ^eb,wixzmv»p^�] Á d�� ���a��Å xzlo{ � � �����A� b,]nl �a¾~� :y¾�[��¾i^ ¸ jz] Á �[x Á0� · f9de¹ �c� � � �· b,]nb,l ��1� ��� � �² �����i�� k�Ñ� ºSRz^sbA]_l k��� Å jz]_lz^qbA]vhgjzbAlc{^ym_bA]_l � r´fplzl§] Á d

� �� Í � ��� � â4 � � � ��� ������ ç Í ��� ���u�� ��� � ��� �

� � µ\�

� ��� ���� � ���� � ��� ��� � � �

_ � �� Í �����¡�¢������S��£H�S���S£H���S�e¤�¥b¥b¦ ���!���S�H� �)�b�������!�!� � �/���S�d�I� �=�S���S���H�  �� ��� �S� �/���!�����S�

Page 88: C;2 0'C;6X^I A I` - math.hu-berlin.devigerske/numerik2/numerikODEs.pdf · h fY^!h Ù h&^! Xh=W¶}zfYh¥}zfp~>h `oh ^0_afmbe Y X Yh fm{c|+i!^!

��� �\�H�B� �,�63 "%� � �� %5#"% 0* �,�F� �� l* ���§� � ����"���������� "%5#����

�sf~hgj*{|b,� ]�filofihgj�[ áCbA���Îf � · dJ:i^qxzlzw Á m_bA���Îf � ] Á d�� Á dqbBde]_wG]_ly¼ib,^�dq]nb,^e`ofi^åxzlc{ �� � � â � ��D� ���u� �� � � ºSRz^fpm_m_b ��D� ��� � �² ��� � �� � �A¥ fpm Á ¾��ÎÍ ��� � � � ��D� ����� � â � � �� Í � �����

$ �� Í ��� $ � � ��_ $ � ��*Í � ��� $ � ��D� ��� � �² ��� � �� � � é· b,]C{|]_b½r©] Á ^y^qbBde] Á ]nb,^exzlow Á dqfi`z]_m �· b,] � � $ � � } � $ b,]nlob�á�: Á xzlzw�{|b,^©à´mnb,]_hgjyxzlow � � $ �K��Åo¥�� $ � � $ � ��Å é· b,]�¹Axo{zbA� � � $ � � �² " � � $ � � �� $ � r´fplzlKº�¾im_wpdafix Á0� � � ì �

�� � � $ ����Í � � $ � �� � � �� � � $ �� �fpm Á Æa` Á hgjo»pde¹,xzlzw6ºSRz^a{|b,lß° + ~¬q¨�+n­Aª'�1­���+n­0� ��1^ebAdebAlK`�bA]_��á�: Á xzlzw6¼i¾il � � $ �?��Å }zb,jzmnb,^a{|bA^´à´^D:B�ib�+ � $ fpx|º ¥�

� $ � � $ � � + � $ �Á ¾6b,^ejc»pmnd��Îfil �� � � $ ��� ÍN� � $ � �� � � �� � � $ Í + � $ �� � é� ��7� �CÚ��CÚ 4G®�­©¦ �"! ,�� / � 2(�z¨i¬g­6­B®¯ªu­�3� � ±|ªy° ��� +3� � �A­B® �q­ °i±�+*)���/4G®�­G«9± ����� ,�� / � 2 ­ � )Ñ­A±i°���­74G®2�����e­0� ®2�g®�­0� ±|ªk°Î®2� � ��� ¨~¬B®=+*/�4G®�­ �M+n­A®����|±|ªk°k­Bª �� $ �?��Å ¬g­�� ®��8),­AªU¬g­B® �|®¯ª �e­A®*&� �z­Aª�« � ­B®¯ªu­Bª �D­ � +_­ °i±|ªk°k­Aª O � $ �� ­Ð°k­Aª�¨9±*­A®¯ª�­ 3� � ±|ªk° � � $ � � �² " � � $ � � �� $ / � �� $ " � � $ � $ ®2���3�e­ °p±�+*)���/5©­�6å­A®2��/s}�Rz^;{|b,l ·y¸ bA¹,]_fimnmnº�fpm_m~¼~¾ilGÆsl|º�fplow ÁeÇ b,^�dgfpx|º�wkfp`�bAl½ºSRzjz^qb,� a ¸ ¾~lzbAlkde]vfpmvfp` Á hgjo»pde¹,xzlzwib,l�{|xz^ghgj Ç ]_b]_��Æa` Á hgjzlo] ded ¶|� |z�r©bA^a}ofimnm1{|bA^a¿afilo{ Ç bA^edqfix|º�w~fi`cb Ç ]n^g{§fpx|º3{|bAlß}cfpm_mC{|bA^aÆsl|º�fplow ÁeÇ b,^�dgfpx|º�wkfp`�b©¹,xz^DRch{^kw~bBºSRzjo^�d �

),+ U<?W1FG: :�2 EKY?F�EKL �Ð<���<KEKL�2 � - <*5�51F �� 2�/D79FGY*/32 E��xz^�]�b,^ebÑhgjzlyxzlzw�{|b Á�� ��} � $ ��] d�� � $ �?��Å6Ç fi^ {|]nb�á�: Á xzlzwÎ{|b Á à´mnb,]_hgjyxzlzw ÁeÁ � Á dqbA� Á½� � � � � l�:pde]_woÂ

� �uÍ � � � â� � � ç�[��� � � â �e� � � â �1� Ý

c � � Æa^qw �e� � � O� � � ç�[��� � ��� � � � � ç � éAé,é ��&ß�Æa^qw � � çÝ ����� � â � ��� �3Í ç

�� �z� �6��� �Ï�e��� �DÍ �6��� � � â �e��� � â �e� �

� �����i���� ´� � Å é� � � ��� �

�axolK] Á dÆa^qw � � � � â � çÝ ��� � Í � � � â �DÍ ç�� � �6��� � ��� � ��� ç

�� � �6��� � � â �e� � � â �

� � � � � � � � â � çÝ � � � ç �G��� � � â ��� � � â �C� Ýc � � Æs^ew ��� � � O� � � ç

�[��� � �e� � � � Í ç

�� � �G��� � ��� � �C� ç

�� � �[��� � � â �e� � � â �� ��� � â � �Ý � � ���G����� � â ����� � â �C� çc � ��� � Æs^ew ��� � � O� �KÍ çÝ � � �$�[�������������

���!���S��� �����������!�K� � �/���S�B�B� �=�S���S�����  �� ��� �S� �/���!�!�b�S� ¡�¢��)���S��£H�S���S£H���S�e¤�¥�¥§¦

Page 89: C;2 0'C;6X^I A I` - math.hu-berlin.devigerske/numerik2/numerikODEs.pdf · h fY^!h Ù h&^! Xh=W¶}zfYh¥}zfp~>h `oh ^0_afmbe Y X Yh fm{c|+i!^!

�u"����9�������I���� ���, �u"����9 #3 ������� "%5#���� �~ì]�bA¹,bA]vhgjzlzbAl Ç ]_^ lkxol

� �� â � �6��� � � â ��� � � â �� �� ä � � È � � � â � �Ý�� � � � �� â � çc � � � �� ä Í çÝ � � � � �� &,Ê � � � Æa^qw �e� � � O� �� �� & � �6��� �Ï����� �u�Á ¾6b,^ejcfpmndebAl Ç ]_^afpx Á0� � � ��� � Â� �C� � � � â � � � È ç

� �� â � Ý

c � �� ä � ç� �� &BÊêé

r©]nb Á bAlkd Á ¸ ^q]vhgj~d�w~bA^gfi{|b {|b,� áC¾i`ofpd�dq¾ Þ�Þ�Þ Æ�[ *;b,^�º�fijz^qbAl�ºSRz^ �´��cÎ� �?��ÝB�DÍ ç ¥ Æ�[ Á dqfi`z]_m ¥ lz]_hgjkdåá�[ Á dqfi`z]nm � ÂÅ Å Å Åâ�� ä � � ä � â��& Í â�� ä �ç â�� � ä �&

â�� �â � � ä �&

â � � )�� � /DF�4[5D@BWCX3YK2 2�/DIJ2 EKH?<KEKL ��.�E-'.�>B>A.04©F½5D@B.�E-a� {|]_b(�©¾im_mn¾B^9f9de]_¾il Á ¼~bA^eº�fpjz^qbAl6fpl Ç b,lo{|b,lιAx ^�:~lzlzb,l ¥ �0R ÁeÁ bAl Ç ]_^Ð{of Á à´m_bA]vhgjyxzlzw ÁqÁ � Á deb,� � � � � � m�: Á bAl �á�]_lzbÑfp^q] Á ]nb,^�d��Îfplß{|]_b�à´mnb,]_hgjyxzlzw~bAl ¥zÁ ¾�bA^qjo»pmnd �Îfpl§bA]_l · � Á deb,��{|b ÁeÁ bAlKm_]nl�^~b · bA]ndeb�{|]_b�}z¾~^e�

��������

ÍaÄ©� � â � âqâ Ä©� � â � â ä Å _9_ _ ÅÅ � � � � � � � � � ������ � � � � � � � � � ÅÅ _ _9_ Å ÍaÄ©� � � â � � â � � â Ľ� � � â � � â � � �â Å _ _9_ _9_ _ � �ä

���

��������

ÍaÄ©� � â � âeâ Ä Å _ _9_ ÅÅ ��ÍaÄ©� � ä � äqäÑ����Ä´� � â � â äÑ� � â Ä � � � ������ � � � � � � � � � ÅÅ _9_9_ Å ��ÍaÄ©� � � â � � â � � â � � _ _9_ � � â Ä� �â Å _9_9_ _ _9_ � �ä � _9_9_ � � â

� �

_�����Ä ��Ä´� � â � â äÑ� � � � Å

��

jofpd � }�Ro^½{z]nb Á b[lz]_hgjomn]_lzb,fi^eb,lUà´mnb,]_hgjyxzlowibAlU]nl � � � â ¤ ��]nd´¹��I^ym_] Á hgjzb,^ · dq^ex�^kdqxz^ ¥�& w~^e¾B� ¥ ] Á d´b,]nl¢lyx [��bA^q] Á hgj Á dgfp`z]_mnb,^ mn]_lzbÑfp^qbA^ á�: Á b,^�¹,x§¼ibA^ Ç bAlo{|b,l �

¡�¢������S��£H�S���S£H���S�e¤�¥b¥b¦ ���!���S�H� �)�b�������!�!� � �/���S�d�I� �=�S���S���H�  �� ��� �S� �/���!�����S�

Page 90: C;2 0'C;6X^I A I` - math.hu-berlin.devigerske/numerik2/numerikODEs.pdf · h fY^!h Ù h&^! Xh=W¶}zfYh¥}zfp~>h `oh ^0_afmbe Y X Yh fm{c|+i!^!

� �I� ��� ����"#�����K3�465�� ������&(�� #$2�� l* �� �� ���� �u"����9

���!���S��� �����������!�K� � �/���S�B�B� �=�S���S�����  �� ��� �S� �/���!�!�b�S� ¡�¢��)���S��£H�S���S£H���S�e¤�¥�¥§¦

Page 91: C;2 0'C;6X^I A I` - math.hu-berlin.devigerske/numerik2/numerikODEs.pdf · h fY^!h Ù h&^! Xh=W¶}zfYh¥}zfp~>h `oh ^0_afmbe Y X Yh fm{c|+i!^!

$ �å ��� � ���� � ���� '� !#"���� �

� · \ ì~ë�� � � · dq^eb,jz��bAm ¥ ¿ � \Nb,]nlobA^ ¥ �sxz��bA^q]H^�wib Ç :~jzlzm_]_hgjobA^år©] tubA^qbAlkdq]_fimnw~mnb,]_hgjyxzlzw~bAl ¥ �Cb,xz`zlzb,^ · dqxo{|]_bAl [`�RohgjzbA^��Uf9dejobA�Îf9dq]H^ ¥ · dqx|d�dqw~fp^ed � ì~ì~ë� Æ Ò ì ��� -s^e] � � Æ Á hgjzbA^ ¥ áC]nlc{zfG¿ �kÒ bBdq¹A¾imv{ ¥�� ¾i� ¸ x|dqbA^��ßbBdqjz¾|{ Á º�¾~^ �©^g{|]_lofp^ �6r©]nt�b,^eb,l~dq]_fim����kxofpde]_¾il Áfilo{Krs]nt�b,^eb,lkde]vfpmH[ Æsmnw~bA`z^gfp]vh%��~xcf9de]_¾il ÁA¥oÁ ]vfp� ¥ � ì~ì��� r#] ì � � r©bAx �ojofp^g{ ¥ ]�¾i^qlzbA�Îfilzl ¥ �axz��bA^q] Á hgjzb �¢fpdejzb,��fpde]�^ Þ�Þ [ Þ lkdqbAwi^gf9dq]n¾~l wib Ç :~jzlzm_]_hgjobA^Ðr©]nt�b,^eb,l~dq]�[fimnw~mnb,]_hgjyxzlowibAl ¥ {zbGà´^ex �kdqbA^aá�b,jz^q`zxohgj ¥ �sb Ç� ¾~^D^ � ìiì �� · � ìB��� Æ � � � · dexofi^�d ¥ Æ � ¿ � �axo� ¸ jz^e]_b Á,¥ r �klcfp��]_h,fpm · � Á deb,� Á filo{ �sxz��bA^q]_h,fpm;Æalcfpm�� Á ] ÁA¥�� fi�G`z^q]_{zwib-slz]_¼ibA^ Á ] d�� Ò ^eb ÁeÁ½� ìiì��� · ] ì���� · de¾ybA^ ¥ ]�xzmn]_^ Á hgj ¥ �sxz��bA^q] Á hgjzb �¢fpdejzb,��fpde]�^ ¶|¥ ·y¸ ^q]nlzw~bA^ � ì~ì��

ì �

Page 92: C;2 0'C;6X^I A I` - math.hu-berlin.devigerske/numerik2/numerikODEs.pdf · h fY^!h Ù h&^! Xh=W¶}zfYh¥}zfp~>h `oh ^0_afmbe Y X Yh fm{c|+i!^!

������

Æ � �D� [ Á dqfi`z]_m ¥z�I|Æ � [ Á dqfi`z]_m ¥z�I|Æ�[ Á dqfp`o]nm ¥|�B|Á dqfi^D^ ¥|�B|fp` Á ¾~^e`z]_bA^qbAlc{|b��¢bAlzw~b ¥ � �Æ�d�dq^qf�^kde¾i^ ¥ � |]�[ Á dqfi`z]_m ¥ � |]�x|dqhgjobA^· fpde¹ ¥c¶ ì�Dfp`zm_b,fix ¥ � ë{|]vhgjz¾pdq¾i��] Á hgj ¥ � �b9a ¸ ¾ilobAlkde]_bAm_m ¥ � �r©] Á ^y^ebAde] Á ]_bA^qxzlzw Á º�f�^~dq¾i^ ¥ m_¾�^9fim ¥o¶ �r©] Á ^y^ebAde] Á ]_bA^qxzlzw Á º�b,jzmnb,^ ¥ m_¾�^9fpm ¥ ���{|] ÁeÁ ] ¸ f9dq]n¼ ¥ � �r©] ÁqÁ ] ¸ fpde]_¼k]ndq»pd Á xzlzw~mnb,]_hgjyxzlzw ¥u�i�i¥ ��¶{ �ylofi�6] Á hgjzb Á · � Á debA� ¥ ë��]_l Á hgjz^e]nd�dq¼ib,^�º�fijz^eb,l ¥z¶ ë��xzm_bA^ ]_� ¸ mn]_¹A]nd ¥o� ���xzm_bA^D[ *;bA^eº�fpjz^qbAlb9a ¸ mn]_¹A]nd ¥�� |z¥ � ë ¥z¶d|o¥|� �]_� ¸ mn]_¹A]nd ¥C� |z¥ � ë ¥ � � ¥ � ì ¥ | ë ¥|� �¼~bA^q`cb ÁeÁ bA^ed ¥u�A�c¥ � ë��¼~¾im_x|de]_¾il Á jofimn`zw~^ex ¸z¸ b ¥ �}zb,jzm_bA^w~mn¾~`ofpm ¥y� ë ¥ � �m_¾�^9fpm ¥o¶ � ¥ ���dgf9d Á »ihgjomn]vhgj ¥|� ë}zxolo{zfp��b,l~dgfpm_�Îf9de^q]Ha ¥ �B�à½fpx��d[ �ßbBdqjz¾|{|bAl ¥�|o�i¥|�~�à´bA] Á debA^qm�: Á xzlzwib,l ¥z¶|�wib,lofpx �$� xcfi{|^gf9dqxz^�º�¾~^e��b,m �B¥\|k¶à´m_bA]vhgjzwib Ç ]_hgjkd Á mvfpwib ¥ ë ¥��Ѷz¥z¶|�à´^qbAbAl Á hgjzb0}oxzl�^kde]_¾il ¥ � ¶à´^qbAlz¹,¹��\^ib,m ¥ � |à´^q¾il Ç fimnmH[�á�bA���Îf ¥ �Þ l�^y^qbA��bAlkd�º�xol�^kde]_¾il ¥o¶ ë]_lk¼9fi^e]vfplkd ¥u� �lzb,w~fpde]_¼ ¥ � �

¸ ¾ Á ]nde]_¼ ¥ � ��s¾~mnm_¾�^9f9dq]n¾~l Á ¼ibA^eº�fpjo^eb,l ¥ � |�s¾~lo{|]nde]_¾il Á ¹,fijzmnb,l ¥ � ¶�s¾~l Á ] Á debAlo¹A`�b,{|]_lzwixolzwib,l ¥ ¼ibA^qbA]_l|º�f~hgj~d ¥z¶ ì�s¾~l Á ] Á debAlo¹A¾i^g{|lyxzlzw ¥y¶�|z¥z¶ � ¥o¶ ì ¥|� �^i¾ilkdq^qf�^~dq]n¼ ¥u� �Á hgj Ç fihgj ¥u� ��s¾~l~dq^qf�^kde]_¼k]ndq»pd Á xzlzw~mnb,]_hgjyxzlzw ¥o� ��s¾~lk¼~bA^qwib,lz¹A¾~^q{|lyxzlow ¥p� �^i¾i^q^qb9^kdÐw~b Á debAm_mnd ¥ � ¶á [ Á dgfp`z]_m ¥|�I|á�: Á `ofi^D^~bA]nd Á ��fpde^q]�a ¥ � �á�: Á xzlzw Á ¾ ¸ b,^qfpde¾~^ ¥ �áCfpw~^qfilzwib Þ lkdebA^ ¸ ¾imvf9de]_¾il Á ¸ ¾im��ylz¾i� ¥ |z�á�]_lzb,fi^e] Á ]_bA^qxzlzw ¥ � �á�] ¸ Á hgjo] dq¹=[�]ÐbÑ{|]_lzwixzlowbA]_l Á bA]nde]_w ¥ � ¥ ��¶á�¾i`cf9d�dq¾d[ �ßbBdqjz¾|{|bAl ¥�| ë ¥y�~�o¥ �iìá �~f ¸ xzlz¾9¼f Á �y� ¸ de¾pdq] Á hgj Á dqfi`z]_m ¥z� ì}zxzl�^~dq]n¾~l ¥ ë��Á dgfp`z]_m ¥|� ì�ßbAjz^q¹A]_bAm_��bBdqjz¾|{|b ¥ �d��ß] dedeb,m ¸ xol�^kde^qbAwib,m]n� ¸ m_]_¹A]nd ¥�� ë ¥�|z�~¥|� �¸ b,^e]_¾|{|] Á hgj ¥ � �i¥ � |Ò jof Á bAlolz¾i^q�Îfpm_] Á ]nb,^exolzw ¥ � �¿afi{zfix [ �ßbBdqjz¾|{|bAl ¥�|i�o¥|�~�¿afplo{z`cbÑ{|]nlowixzlzw ¥ ëpìÁ ^9fimn]_bA^ed ¥ � |¿afplo{ Ç b,^�dgfpx|º�wkfp`�bjz¾i��¾~wibAl ¥ � �mn]_lzbÑfp^ ¥ ëpìlz]vhgj~dqmn]_lzbÑfp^ ¥ ���¿ xzlzw~b=[!�½x|d�dgf *;b,^�º�fijz^qbAl ¥ �,�o¥z¶ ë ¥ ���]�[ Á dqfi`z]nm ¥ � |{|]vfpwi¾~lofpmH[ ]n� ¸ m_]n¹,] d ¥z¶ ëÁ ]_lzwim�� ¥o¶ ëbA]_lzwib,`cbAd�dqbBd ¥o� �b=a ¸ m_]n¹,] d ¥�� ë ¥z¶ ëì ¶

Page 93: C;2 0'C;6X^I A I` - math.hu-berlin.devigerske/numerik2/numerikODEs.pdf · h fY^!h Ù h&^! Xh=W¶}zfYh¥}zfp~>h `oh ^0_afmbe Y X Yh fm{c|+i!^!

�! %$#��� ì |· hgjz]_b9�kfp`z`o]nmv{|xzlzw ¥ �pë ¥ � �· hgjz]_b9�~¼ib,^�º�fijz^eb,l�ßb,jz^q¹A]_bAm_�6bAdejz¾|{|b ¥ �e�· hgjz^q]nd�d Ç bA]ndebAl Á dqbAxzb,^exzlow ¥y� �·y¸ b9^kde^gfpmvfp`o¹A] ÁeÁ b ¥ ëd�·y¸ m_]_lzbBº�xzl�^~dq]n¾~l ¥ � �Á dqfp`o]nm ¥ � �fimnw~bA`z^gfp] Á hgj ¥c� � ¥�| ëá �~f ¸ xzlz¾9¼ ¥y� ìf Á �y� ¸ de¾pdq] Á hgj ¥|� ì· dgfp`z]_mn]ndq»pd Á º�xzl�^kde]_¾il ¥�| ì· dgfp`z]_mn]ndq»pd Á wib,`z]nbAd ¥|�c�Á dqf9dq]n¾~lo»p^qb½á�: Á xzlzw ¥ ë ¥ ��¶|¥o¶|��1^qf ¸ b,¹A^qbAwib,m ¥u� � ¥�| ë ¥y�B|*;bA^eº�fpjo^eb,l Á º�xol�^kde]_¾il ¥o¶ ë� Ç ] Á hgjobAl Á hgjz^q] ded ¥u�A�� Ç ] Á hgjobAl Á dex|º�b,lof ¸o¸ ^e¾�a|]_�Îf9de]_¾il ¥c� ë

¡�¢������S��£H�S���S£H���S�e¤�¥b¥b¦ ���!���S�H� �)�b�������!�!� � �/���S�d�I� �=�S���S���H�  �� ��� �S� �/���!�����S�