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第8章实验模态分析初步


• 8.1基本概念

• 8.1.1机械阻抗和导纳

20世纪30年代提出的电学比拟方法，去描述振动系统的机械动态特性。直到60年代后电测技术发展。

机械阻抗，mechanical impedance

定义1：线性定常机械系统中激励力与速度响应之比。

定义2：使物体产生简谐振动的激振力与其振动速度的比值，反映了稳态振动过程中的阻力的影响。




• 8.1基本概念• 8.1.1机械阻抗和导纳

机械导纳，mechanical mobility

（机械阻抗倒数关系，好比柔度和刚度的关系）

频响函数（域）、传递函数（s域）

早期应用：尖端武器运载工具的研制

工业标准：提高机床的动刚度，确定火箭部件的环境试验条件，判断机器运行中重要零部件的损伤程度，汽车零部件的质量检验等




• 8.1基本概念

• 8.1.1机械阻抗和导纳

)(2

2

tfkxdt

dxc

dt

xdm )(

12

2

tuqCdt

dqR

dt

qdL

)(tfkxxcxm )(1

tuqC

qRqL



)(2

2

tfkxdt

dxc

dt

xdm )(

12

2

tuqCdt

dqR

dt

qdL

)(tf )(tu

C/1

dtdx / dtdqi /

质量 m 电感 L

阻尼系数 c 电阻 R

刚度 k 电容的倒数

速度电流

激振力电压



tjtjjtj eXeXeXex )(

tjeUtu )(

tjeIdtdqti /)(

IUZ /电阻抗

tjeFtf )(

tjtj eVeXjtx )(

tjeXtx )(

tjtj eAXetx 2)(

机械阻抗 AFZVFZXFZ xxx /,/,/



cjmkFXYx

2

1/

导纳

/x xY V F j Y

xx YFAY 2/

cjmkjH

2

1)(

频响函数

机械阻抗定义

简弦振动系统某一点的激励与同一点或不同点的响应的速度输出量的复数之比称为机械阻抗。



如果响应点和激励点是同一点，所测得的阻抗或导纳称为原点阻抗或原点导纳（也称驱动点阻抗或驱动点导纳）。反之，响应点和激励点是不同点，所测得的阻抗或导纳称为跨点阻抗或跨点导纳。

原点导纳

跨点导纳



集中参数元件的阻抗和导纳

机械阻抗的串并计算方法

21 ZZZ p

321

1111

ZZZZs

并联

串联



432

43211

ZZZ

ZZZZZZZ st

1

22

2

2

1

22

2

2

1

221

221

1 m

mkk

mkk

j

mjj

k

j

k

mjj

k

j

k

mjZt



432

43211

ZZZ

ZZZZZZZ st

221

221

1

mjj

k

j

k

mjj

k

j

k

mjZt



• 8.1.2传递函数和频响函数

系统 )(txr)(tf e

)(

)()(

sF

sXsH

e

r

re

00

)()(,)()( dtetfsFdtetxsX st

ee

st

rr

er er 原点传递函数跨点传递函数



kcsmssF

sXsH

2

1

)(

)()(

)(2

2

tfkxdt

dxc

dt

xdm

对于单自由度系统，其强迫振动方程：

进行拉氏变换

)()()0()()0()0()(2 sFskXxssXcxsxsXsm

0)0()0( xx )()(2 sFsXkcsms



)(2)(2))((

11)(

**2 psj

r

psj

r

pspsmkcsmssH

传递函数留数形式

其中

djpnp djpnp *

是方程 02 kcsms 的复根

22 npp nd m

cn

2

留数dmp

r1

极点 p*p



传递函数举例



？



频响函数

js

kcsmssF

sXsH

2

1

)(

)()(

取 0 则 js

cjmkF

XH

2

1

)(

)()(

00

)()(,)()( dtetfFdtetxX tjtj



频响函数表达形式

m

kpn

2设np

mk

c

2

)(

2 21

11)(

jeH

jkH

2222 41

1

k

H21

2

arctg



频响函数表达形式

2222 41

1

k

H21

2

arctg

2222

2

41

1

k

H R 2222 41

2

k

H I

22 )]([)]([ IR HHH

21

2

arctg

H

Harctg

R

I



8.1.3 单自由度系统的参数识别

1 幅频曲线识别

mHmp HH 707.0

2/)( 12 nn

d

22 ndn

nn /

（1）在小阻尼情况下，由共振峰极值

求得半功率点幅值

再由半功率带宽求得衰减系数的近似值

（2）由峰值位置获得共振频率

，计算求得无阻尼固有频率

，则

的近似值



8.1.3 单自由度系统的参数识别

1 幅频曲线识别

mH

212

1

mHk

2/ nkm

（3）由共振峰值和阻尼比

求得刚度

（4）由固有频率和刚度算得质量



2 相频曲线识别

2/)(

n

4/)(

4/3

)( 12

n

2/n

nn /

（1）由

点确定系统的固有频率

（2）由和

确定半功率带宽

由和

求得衰减系数

则

其位置与阻尼无关



3 实频曲线识别

0)( jH R

n

2/n

nn /

RR HH ,

)1()(2

12

RR HHk

2/ nkm

（1）由确定

（2）由正、负峰值确定半功率带宽

，可得衰减系数

阻尼比

（3）由正、负峰值

求出刚度

和质量

。

此位置与阻尼无关



3 虚频曲线识别

（1）由峰值确定半功率点幅值；

由半功率幅值求得半功率点带宽

由此可得衰减系数

阻尼比

2/I

mp HH

12 r

2/rn

n

n



3 虚频曲线识别

（2）由峰值点确定共振频率，则

（3）由负峰值和阻尼比可求出刚度和

质量，即

22 ndn

dp

)4

31(2

1

2

2

I

mH

k

2/ nkm



8.2 机械阻抗或导纳的测量（频响函数）

8.2.1 稳态正弦测试法

稳态正弦激振可以有单点激振和多点激振两种途径。单点激振所用设备少，测试方便，但测试精度差。多点激振使用设备多，测量时需要调节各激点的激振力，使其按一定规律变化，测量工作较麻烦，得到的响应曲线好。

本方法的特点为，激振力频率和幅值可精确调节，测试精度高，但使用设备多且测量费时，须从低频到高频逐步进行，所耗费用也多。



8.2.2 瞬态测试法

快速正弦扫描法

)sin()( 2 btatFtf

其中，T — 扫描周期

F — 激振力振幅

a、b — 频率系数： minminmax ,2/)( bTa



8.2.2 瞬态测试法

脉冲锤击法



8.2.3 随机激振

随机激振常用有三种：纯随机、伪随机和周期随机。

1. 纯随机激振在整个时间历程中信号一直是随机的，如白噪声，其功率谱为平直谱，没有周期性。通常将白噪声发生器产生的信号通过功率放大器输出给激振器

2. 伪随机激振在一个周期内信号是随机的，但各个周期的信号是一样的

3. 周期随机激振变化的伪随机信号，在某几个周期后，又出现一个

新的伪随机信号



• 8.3.3 模态振型



8.3 多自由度模态分析的基本理论

• 8.3.1 多自由度系统强迫振动的模态叠加法

31

21

11

1}{

32

22

12

2}{

33

23

13

3}{

三自由度系统模型




3

2

1

3

2

1

322

2211

11

3

2

1

3

2

1

0

0

00

00

00

f

f

f

x

x

x

kkk

kkkk

kk

x

x

x

m

m

m

该结构在激励作用下的运动微分方程

fxKxM




可看作是固有振型的线性叠加

33

23

13

3

32

22

12

2

31

21

11

1

3

2

1

qqq

x

x

x

3

1

332211 }{r

rrqqqqx




代入微分方程为：

}{}{}{3

1

3

1

fqKqMr

rr

r

rr

乘以T

s}{

}{}{}{}{}{}{3

1

3

1

fKqMq T

sr

r

T

srr

r

T

sr




运用正交性

可得

}{}{ fqkqm T

sssss

0, , 0,

{ } { } { } { }, , ,

T T

s r s r

s s

r s r sM K

m r s k r s




其中

其解tj

ss eQq

tjtj eFe

F

F

F

f }{}{

2

2

1

tjT

s

tj

sss eFeQkm }{}{)( 2 可得

3,2,1,)(

}{}{2

skm

FQ

ss

T

ss




令 }{}{ FP T

ss

}{}}{{

}{}}{{}}{{}{

][}{

3

12

3

12

3

12321

Fkm

Fkmkm

FXXXX

r rr

T

rr

r rr

T

rr

r rr

r

T

r

)( 2

ss

ss

km

PQ

则

tjtjTTT

e

X

X

X

ekm

F

km

F

km

F

x

x

x

3

2

1

33

2

33

22

2

22

11

2

11

3

2

1

)(

}}{{}{

)(

}}{{}{

)(

}}{{}{响应

则




考虑第1点得响应

3

12

13

12

11

}}{{}{

r rr

rr

r rr

r

T

r

km

P

km

FX

可见，一个N自由度结构上任一点得响应可以看作是N个单自由度系统的叠加。



• 8.3.3 模态振型的图像



• 8.3.2 多自由度系统的频响函数




)}({}{}{}{ tfxKxCxM

同理：多自由度系统有阻尼模型

][][ KMC 比例阻尼

}{

21

}}{{}{

}}{{}{

12

12

F

jk

Fkcjm

XN

r

r

r

r

r

T

rrN

r rrr

T

rr

r

rr

m

k




频响函数定义

N

r

r

r

r

r

T

rrN

r rrr

T

rr

jk

F

kcjm

FX

12

12

21

}{}}{{}{}}{{}{

/r

N

r rrrr

j

T

jrir

ijk

FX

12

21

}}{{

假定只在结构的 j 点作用有激振力Fj，任一点 i 处的响应：

}0...0...00{}{ jFF

N

r rrrr

T

jrir

j

iij

jkF

XH

12

21

}}{{

互易性： jiij HH



N

NiiiNiNiii

F

F

F

HHHFHFHFHX...

......2

1

212211


频响函数阵

jiji FHX }0...0...00{}{ jFF

}...{}{ 21 NFFFF

]][[...

...

....

...

...

...}{

2

1

21

22221

12111

2

1

FH

F

F

F

HHH

HHH

HHH

X

X

X

X

NNNNN

N

N

N




频响函数阵与模态参数之间的关系

}{}}{{

}{1

2F

kcjmX

N

r rrr

T

rr

N

r rrr

T

rr

kcjmH

12

}}{{][

展开可得

Nrrr

Nr

r

r

N

r rrr kcjmH

...

.

1][ 21

2

1

12





rrr

rkcjm

Y

2

1

Nrrrrrr

N

r

r

T

rNr

T

rr

T

rr

N

r

r

NrNrrNrrNr

Nrrrrrr

Nrrrrrr

N

r

r

N

r

r

YY

YHH

......

...

......

...

...

][

21

1

2

1

1

21

22212

12111

11





（1）频响函数矩阵中任一行

T

rir

N

r

riNii YHHH

1

21 ...

N

r

iNririr HHH1

21 ...

Nrrr

N

r rrr

ir

kcjm

...21

12

单点激励法

频响函数的任一行包含所有模态参数，而该行的r阶模态的频响函数的比值，即为r阶模态的振型。





（2）频响函数矩阵中任一列

N

r

Nr

r

r

rrr

jr

jr

N

r

Nr

r

r

r

N

r

Nj

j

j

Nj

j

j

cjmkY

H

H

H

H

H

H

1

2

1

21

2

1

1

2

1

2

1

............

11

22 1

......

r jr

r jr

r jr

r NjNr

H

H

Y

H

r r jH

结论？



• 8.3.4 模态振型的规格化

（1）以激励点为参考点，取该点的振型元素为1，若激振点为点，对于来说，必然是，其它元素的值与此相比而确定。

（2）以质量归一化，则有

（3）模态向量归一化，即

（4）模态振型中最大元素为1。

j r 1jr

1 r

T

rr Mm 2

rrk

11

2

N

r

ir 1r

T

r



模态参数频域识别法

• 2.3 峰值共振法



2.模态参数频域识别法


1）固有频率

r

可用幅频曲线的峰值点或相频曲线

的共振点所对应的频率来近似确定。

2/rrf

2）模态阻尼因子 r 可用半功率点所对应的带宽来确定

rr

rf

ff

22

1212





3）模态向量以实模态为例，只需将同一频率下幅

频曲线的峰值 )( rlpH 以 l 排列，同相为正，反相为负。

)(

...

)(

)(

)(

1

...

2

1

2

1

rNp

rp

rp

rpp

Nr

r

r

r

H

H

H

jH

若按激励点归一化

r





4）模态刚度和模态质量

)(2

1

r

I

r

rjH

K

pp

rKrM

2/rrr KM




• 2.4 正交分量法




• 2.4 正交分量法

R

C

rrr

r

r

prlrR

lp HK

jH

22

2

)2()1(

1)(

I

C

rrr

rr

r

prlrI

lp HK

jH

22 )2()1(

2)(

)()(

1r

I

lp

r

I

pp

r HH

)(2

1

r

I

ppr

rH

K




• 矢量分析法（导纳圆）



3.模态参数时域识别法

• 模态参数时域识别法是利用实测的脉冲响应或仅利用实测的振动响应（包括自由响应或随机响应）

• 根据系统的单位脉冲响应函数或自由振动方程特征值和特征向量与模态参数之间的关系或者时间序列模型与脉冲响应函数间的关系

• 求解系统各阶模态参数。



3.模态参数时域识别法

• Ibrahim时域法

• 实际是一种求解系统自由振动方程的特征值和特征向量的过程。

• 它是粘性阻尼多自由度系统的自由响应为基础

• 1）通过一定的采样方法得到自由响应函数数据矩阵

• 2）由响应与特征值的复指数关系建立特征矩阵数学模型

• 3）解特征问题得到数据模型的特征值与特征向量

• 4）根据模型特征值与振动系统特征值的关系求系统固有频率、阻尼和振型。

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