Esercizi C9-1

C9. Teorema di Talete e similitudine - Esercizi ESERCIZI SU TEOREMA DI TALETE, TEOREMA DELLA BISETTRICE Si consideri la seguente figura e si risponda alle domande che seguono.

1) Se AB=2, BC=4 e EF=3 trovare DE. 2) Se AB=5 BC=10 e DE=16 trovare EF. 3) Se AB=4, CG=5, GD=7 trovare EF. 4) Se BC=6, DE=8, GD=5 trovare CG. 5) Se AG=12, FG=18, GD=4 trovare AC. 6) Se AC=14, DF=21, GF=24 trovare CG. 7) Se AB=4, AC=8, EF=5, EG=23 trovare CG e DG. Si consideri la seguente figura e si risponda alle domande che seguono.

8) Se AE=10, BE=5, ED=8 trovare CE. 9) Se AB=12, CD=10 e CE=4 trovare BE, ED e AE. 10) Se AF=4, BE=3 e CE=2 trovare GD. 11) Se AE=10, DG=6, BE=8, CE=7 trovare GE e GF.

Si consideri la seguente figura nella quale CD è la bisettrice dell’angolo ˆBCA e si risponda alle domande che seguono.

12) Se AD=8, BD=5 e BC=9 trovare AC. 13) Se AD=8, AC=12 e BC=6 trovare BD. 14) Se AC=8, BC=6, AB=9 trovare AD e BD.

Esercizi C9-2

15) Dividi il segmento in figura in 3 parti congruenti tra loro con riga e compasso.

16) Dividi il segmento in figura in 5 parti congruenti tra loro con riga e compasso.

17) (Teorema della bisettrice dell’angolo esterno) Dato un triangolo ABC si consideri un punto D sul prolungamento di

AB dalla parte di B. La bisettrice dell’angolo ˆCBD interseca il prolungamento di AC in un punto E. Si dimostri

che AE:CE=AB:BC. Suggerimento: si tracci la parallela a BE passante per C che incontra AB in F, si mostri che BCF è isoscele e poi si applichi Talete.

18) Dato un trapezio ABCD di base maggiore AB sia E il punto di intersezione delle diagonali AC e BD. Si dimostri che

AE:BE=CE:DE.

19) Data la figura che segue, sapendo che BE≅BD e che AD è la bisettrice dell’angolo ˆBAC dimostrare che CD≅CF.

Suggerimento: si applichi il teorema della bisettrice e il teorema di Talete e si confrontino le proporzioni risultanti.

20) Data la figura che segue, sapendo che AD ed EF sono parallele e che DE e AB sono parallele dimostra che

BF:BD=BD:BC.

Esercizi C9-3

21) Dato un triangolo rettangolo ABC retto in A sia r una retta parallela ad AC che intersechi il cateto AB in D e

l’ipotenusa in E. Sapendo che AD=20a, BE=13a e BC=65a trovare l’area del triangolo ABC. 22) In un triangolo rettangolo l’altezza relativa all’ipotenusa misura 4 e un cateto misura 5. Quanto misura l’altro

cateto? (UNIV UDINE MAT BASE) 23) Il triangolo ABC è rettangolo in A, AB=a e AC=2a. Qual è la lunghezza del raggio della circonferenza passante per

i punti medi dei tre lati? (UNIV UDINE MAT BASE) 24) Dato un triangolo equilatero ABC, sia DEFG il quadrato con lato DE su AB e vertici F e G rispettivamente sui lati

BC e AC. Inoltre siano L e l rispettivamente le misure dei lati del triangolo e del quadrato. Sapendo che

L l 2 3− = , determinare i lati del triangolo e del quadrato. (UNIV UDINE MAT BASE)

25) Si consideri il trapezio isoscele ABCD in cui AB=5 è la base maggiore, BC=3 è un lato obliquo e AC=4 la diagonale. Condotte dai vertici A e C le bisettrici degli angoli CAB e ACD rispettivamente e detti M e N i punti d'incontro di queste rette con BC e AD, dimostrare che le due bisettrici sono parallele e calcolare l'area del trapezio AMCN. Suggerimento: si applichi il teorema della bisettrice ai triangoli ACD e ACB. (UNIV UDINE MAT BASE)

26) Un trapezio rettangolo ABCD ha base maggiore AB=10, altezza AD=12 e lato obliquo BC=13. Si prolunghino AD e

BC e si trovi il loro punto di intersezione E. Si trovino EC, ED e il perimetro di DCE.

27) Dato un triangolo ABC sia D il punto medio di BC. Si traccino le bisettrici degli angoli ˆADB e ˆADC che

intersecano i lati AB e AC rispettivamente in E ed F. Dimostra che la retta passante per E e F è parallela al lato BC. Sapendo inoltre che AB=8, BC=7, CF=3.65 determina la lunghezza di CD.

Esercizi C9-4

ESERCIZI SULLE OMOTETIE 28) Data la figura disegna la figura corrispondente secondo una omotetia di centro O e rapporto k=2 contando i

quadretti.

29) Data la figura disegna la figura corrispondente secondo una omotetia di centro O e rapporto k=-2 contando i

quadretti.

30) Data la figura disegna la figura corrispondente secondo una omotetia di centro O e rapporto k=-1 contando i

quadretti.

31) Data la figura disegna la figura corrispondente secondo una omotetia di centro O e rapporto k=3 contando i

quadretti.

Esercizi C9-5

32) Data la figura disegna la figura corrispondente secondo una omotetia di centro O e rapporto k=1/2 contando i quadretti.

33) Data la figura disegna la figura corrispondente secondo una omotetia di centro O e rapporto k=2 con riga e

compasso.

34) Data la figura disegna la figura corrispondente secondo una omotetia di centro O e rapporto k=-2 con riga e

compasso.

35) Data la figura disegna la figura corrispondente secondo una omotetia di centro O e rapporto k=-1 con riga e

compasso.

Esercizi C9-6

36) Data la figura disegna la figura corrispondente secondo una omotetia di centro O e rapporto k=3 con riga e compasso.

37) Data la figura disegna la figura corrispondente secondo una omotetia di centro O e rapporto k=1/2 con riga e

compasso.

38) Date le figure che si corrispondono in una omotetia trova il centro O e determina il rapporto di similitudine k.

39) Date le figure che si corrispondono in una omotetia trova il centro O e determina il rapporto di similitudine k.

Esercizi C9-7

ESERCIZI SULLA SIMILITUDINE 40) Dire se i triangoli ABC e A’B’C’ sono simili sapendo che gli angoli A e A’ sono retti, AB=2, A’B’=4, BC=4, B’C’=8.

Se lo sono specificare per quale criterio di similitudine essi lo sono. 41) Dire se i triangoli ABC e A’B’C’ sono simili sapendo che gli angoli A e A’ sono retti, AB=2, A’B’=6, BC=6, B’C’=16.

Se lo sono specificare per quale criterio di similitudine essi lo sono. 42) Dire se i triangoli ABC e A’B’C’ sono simili sapendo che AB=2, BC=3, CA=4, A’B’=6, B’C’=9, C’A’=12. Se lo sono

specificare per quale criterio di similitudine essi lo sono. 43) Dire se i triangoli ABC e A’B’C’ sono simili sapendo che AB=7, BC=8, CA=11, A’B’=3.5, B’C’=4, C’A’=6. Se lo

sono specificare per quale criterio di similitudine essi lo sono. 44) Dire se i triangoli ABC sono simili sapendo che hanno tutti gli angoli congruenti. Essi sono anche congruenti? 45) Dato un triangolo ABC si consideri la retta DE parallela al lato AB, con D∈AC ed E∈BC. Sapendo che AC=12,

AB=15, si trovi CD tale che DE≅AD. 46) Dato un triangolo ABC si consideri la retta DE parallela al lato AB, con D∈AC ed E∈BC. Sapendo che AC=16,

AB=20, BC=24 si trovi CD tale che 6⋅DE≅AD+EB. 47) Sia ABCD un rettangolo inscritto in una circonferenza. Sull’arco AB si prenda un punto E e si traccino le corde ED

ed EC. La corda ED incontra AB in F. Si mostri che i triangoli AFE e EBC sono simili. Sapendo inoltre che AB≅CE≅8, il raggio della circonferenza è 5 e che BE≅2.8 trovare EF.

48) Dato un triangolo rettangolo ABC retto in A sia H la proiezione di A sull’ipotenusa BC e K la proiezione di H sul

cateto AC. Si dimostri che tutti i seguenti triangoli sono simili: ABC, AHB, KHC, AHC, AKH. 49) In un trapezio rettangolo di base maggiore AD e base minore BC il lato obliquo CD è congruente alla base minore

BC ed è perpendicolare alla diagonale AC. Sia CD=x. Determinare AC.

50) Si consideri il triangolo rettangolo ABC con A retto circoscritto a una semicirconferenza, e siano D∈AB ed E∈AC i

punti di tangenza. Sapendo che la circonferenza ha raggio r e che AB è diviso in due parti AD≅2DB determinare la lunghezza dell’ipotenusa BC.

51) Si consideri il triangolo rettangolo ABC con A retto circoscritto a una semicirconferenza, e siano D∈AB ed E∈AC i punti di tangenza. Sapendo che i cateti hanno misura AB≅a e AC≅3AB determinare il raggio della semicirconferenza.

52) Dato un trapezio ABCD con base maggiore AB si considerino le diagonali AC e BD che si incontrano in E. Si dimostri che ABE e CDE sono simili.

53) Dato un triangolo ABC siano D, E ed F i punti medi dei suoi lati. Si dimostri che ABC e DEF sono simili e che il

rapporto di proporzionalità è 2. 54) Dato un triangolo ABC avente baricentro D si consideri la corda EF passante per D parallela ad AB. Sapendo che

AB=9 trovare EF. (Si considerino il triangolo ABC e quello formato dai punti medi dei suoi lati)

Esercizi C9-8

55) Dato un trapezio ABCD con base maggiore AB si consideri il punto di intersezione E delle diagonali AC e BD e per esso si tracci una retta parallela alle basi che intersechi BC in F e AD in G. Si dimostri che E è il punto medio di FG.

56) Dato un trapezio rettangolo ABCD di base maggiore AB e altezza AD si sa che le diagonali AC e BD sono tra loro perpendicolari. Si dimostri che AD è medio proporzionale tra AB e CD.

57) Dato un triangolo isoscele ABC di base AB si consideri l’altezza BH relativa al lato AC. Si dimostri che

ˆ ˆHCB 2 HBA≅ ⋅ .

Esercizi C9-9

ESERCIZI CHE UTILIZZANO I TEOREMI SULLA CIRCONFERENZA 58) Siano date due circonferenze secanti in C e in D e si tracci la retta CD. Si prenda un qualsiasi punto E∈CD esterno

alle circonferenze e si traccino le tangenti alle circonferenza. Siano F e G i punti di tangenza sulle due

circonferenze. Sapendo che EC=5 e CD=6 si dimostri che EF≅EG e se ne calcoli la lunghezza. [EF= 55 ]

59) Si traccino due corde AB e CD di una circonferenza parallele tra loro e si tracci la tangente alla circonferenza

passante per B che incontra il prolungamento di CD in E. Sapendo che AB=8, ED=12, BD= 7 2 e che BC=5 2

si calcolino BE ed AC. (Si dimostri prima che ABC e BDE sono simili) [BE= 354

, AC= 48 27

]

60) Data una semicirconferenza di diametro AB=10a si consideri il triangolo ABC inscritto in essa. Si tracci la retta r

tangente alla circonferenza passante per C e la retta s passante per A che interseca r in D. Sapendo che AC=6a si trovi il perimetro del triangolo ACD. (Si mostri prima che ACD e ACB sono simili) [14.4a]

Esercizi C9-10

61) Date due circonferenze di centri A e B tangenti esternamente si consideri la retta r tangente a entrambe

rispettivamente in C e D. Sapendo che i raggi delle circonferenze sono 2 e 2 2 si trovi la distanza tra C e D.

(Si considerino i triangoli IDA e ICB in figura e si utilizzi il teorema della tangente e della secante per le due circonferenze). [CD=4]

62) (Teorema di Tolomeo) Dato un quadrilatero ABCD inscritto in una circonferenza vale AC⋅BD=AB⋅CD+AD⋅BC.

Suggerimento: si consideri un punto E∈AC tale che ˆˆAEB BCD≅ e si considerino i triangoli ABE e BCD (si

dimostri che sono simili) e BCE e ABD (si dimostri che sono simili)…

63) Data una circonferenza di centro C si consideri una sua corda AB= 4 5 . Sia D∈AB tale che AD≅CD= 5 54

.

Trovare il raggio della circonferenza. (Si tracci il diametro passante per C e D e si utilizzi il teorema delle corde)

64) Dato un quadrato di lato 4 determina il raggio della circonferenza inscritta e il raggio della circonferenza

circoscritta. 65) Dato un triangolo equilatero di lato 3 determina il raggio delle circonferenze inscritta e circoscritta. 66) Dato un triangolo di lati 3, 4 e 5 determina il raggio delle circonferenze inscritta e circoscritta. 67) Dato un triangolo di lati 5, 6 e 8 determina il raggio delle circonferenze inscritta e circoscritta. 68) Date due circonferenze di centri C e C’ e raggio diverso tangenti esternamente in A si tracci una retta passante

per A che intersechi le due circonferenze rispettivamente in B e D. Si dimostri che ˆ ˆCBA C'DA≅ .