Eè g iê i hm
 € Â C C H U Y Ê M s HC B I © U U H G e c S I N H GII T O M T R U N G m c
Trong chng trình ging dy b môn Toán nhà ng Ph-thông, S hc óng mi vai trò quan trng. Các em hc sinh bc Tiu hc hc Toán tc là hc S hc. Ch n các lp bc Trung hc c s và Trung hc ph thông thì cc b môn i s, Hnh hc, Lng giác, Gii tích mi ln lu ihay íh cho môn S hc trong chng rình hc Toàn ca các em hc sinh. Tuy nhiên, các bài ioán S hc luôn luôn /à các.' bài toán hsy và khó vì thng xuyên có mt trong mi thi hc. sinh gii Toán các cp : thành ph, toàn quc, Olympic khu vc và Olympic quc t.
T lâu chúng tôi ã có d mh s vit mi b sách tng i hoàn chnh v S hc. Sau mt thi gian dài chun b, hôm nay chúng tôi xin gii ihìu vi bn c b sách Cc chuyên Sô'hc b i dng hc sinh g i i Toán m ng hc. S.sch gm 5 tp sau ây
Tp 1. BT NG THC S HC
Tp?.. S HC VÀ DÃY S
Tp 3. CÁC B! TOÁN c BN cA S HC
Tp 4. CC B! TOÁN V HM S HC
Tp 5. PHNG TRÌNtí NGHIM NGUYN
Mi tp sách là mt chuyên  trn vn, trình bày k lng và y v mi vn ca S hc. Các cun sách này hoàn toàn có th c mt cách c lp vi. nhau, không c yêu cu gì v th t ca cách c.
Chúng tôi hi vng rng b sách này s cung cp cho bn c mt bc tranh toàn cnh v b môn s hc, mt.phn không th thiu c írong chng trình dy và hc Toán nha trng Ph thông.
 
 
Mc dù rt nghiêm túc trong quá trình biên son b sách, nhng chc chn s không tránh khi nhng khim khuyt. Chúng tôi rt mong nhn c các kin óng góp cho b sách ca bn c xa gn b sách c hoàn thin hn trong ln in sau. Th t liên h, góp xín gi v theo ìa ch?: Phan Huy Khi - Vin Toán hc-18 Hoàng Quc Vit, Qun Cu Giy, Hà Ni. Chúng tôi xin chân thành cm n.
Hà Mi, cui hè 2004 
TÁC GI
 
Lài- g iê i ,thin
e h m y ê n    s I PHNG T R 1 M H
M G H I M  NOYÊN
Cun chuyên "Phng trình nghim nguyên" này l tp th 5 ca b sách Các chuyên s hc b i dng hc sinh g i i Toán Trng hc.-Ngoài chng m u (Chng 0) dành cho các kin thc c bn, cun sách gm các chng sau:
- Chng 1. Liên phn s.
- Chng 2. Phng trình v mh bc nht.
- Chng 3. Phng trình Pel
- Chng 4, Phng trình nghim nguyên trong lp cc a thc.
- Chng 5. Phng trình vô nh siêu vit.
Chúng tôi xin nói rõ hn v các Chng 3 và Chng 4.
Chng 3 dành xét v mtphng trình vô inh bc hai dng c bit: Phng trình Pell. Trong chng này chúng iôi trình bày các tính cht c bn ca phng trình Pell loi I : xz -d y 2 = 1, phng trình Peil loi II :x 2 - dy2 = -1. Sau ó áp dng chúng gii hàng lot các bài toán khác nhau v vic tìm nghim nguyên ca nhiêu lp phng trình vô inh. Tip n chúng tôi kho sát k iu kin tn t i nghim ca cc phng trình vô inh dng  X2 -2y2= n và x2-3 y 2= n .
Chng 4 chúng tôi xét nhiu phng pháp khác nhau gii các phng trình nghim nguyn trong lóp các a ilìc. Các phng pháp c cp n trong chng này bao gm:
- Phng pháp quy v các h bc nht
- Phng pháp ánh giá.
- Phng pháp la chn môulô.
- Phng pháp s dng các inh lí c ban cùa s hc.
- Phng pháp xây dng nghim.
- Phng pháp xung thang.
 
 
Phythagore và phng trình Fermat. Cui cùng chúng tôi cp n vic biu din s nguyên ihành tong các ly tha.
Hi vng rng cun sách này s áp ng c mt s lng ln c gi t cc em hc sinh Trung hc, n cc bn giáo viên ging Toàn trong nhà ng ph thông cng nh các bn yêu thích S hc.
Trong quá trình biên son cun sách, chc chn s không tránh khi nhng khim khuyt Chung tôi rt mong nhn c cc ý kin óng góp ca bn c xa gn cun sách c hoàn thin hn trng ln n sau. Xin chân ìhành cm n.
Hà Ni, tháng 12/2004 
 
Chng 0.
C C K I N T H e c &  B N
1. TÍNH CHIA HT TRONG TP HP s NGUYÊN
  nh ngh a 1. Vi hai s nguyên a  và b,  ta nói rng a  chia ht cho
b  (hay a  là bi ca b,  hay b  là c ca a ), nu tn ti s nguyêri k   sao
cho a = kb.  Lúc y kí hiu là a  : b.
Trong trng hp ngc li, a kí hiu 1& a b  và nói rng a  không
chia ht cho b.
 n h ngh a 2. Mt s nguyên dng  p >  1. c gi là s nguyên tô'
nu nó ch có hai c s là 1 và  p.
Các tính ch t c bn ca tính chia ht 
1) Nu a, b nguyên dng mà a  : b,  thì a > b.
2) Nu <2,. : b vi mi ; = 1, n  thì (a, + a2+ •• + an)  : b.
3) Vi hai s nguyên không âm bt kì a  và b,  trong ó b *  0, uôn luôn tn ti duy nht mt cp s nguyên q  và r sao cho a = bq + r,  írong
ó 0 <>< b   (tc là r  nhn mt trong các giá tri 0,1, 2, —,
2. C S CHNG LN NHT VÀ BI s CHNG NH NHT
Cho a, b  là hai ‘S nguyên dng
  nh ngh a 3.  c s chung lón nht ca a  và b  (và kí hiu là
USCLN {a, b), hay n gin là (a, b)) là sô' nguyên ng ln nht mà c a 
và b  u chia ht cho nó.
  n h ngh a 4.  Bi s chung nh nht ca a  và b  (và kí hiu là
BSCNN (a, b),  hay n gin là [a, b \ ) là s nguyên dng nh nht chia
ht c cho a  ln b.
7
 
  n h ngha 5. Cho n  s nguyên dng at, a2, aH.
1) S nguyên dng d   gi là USCLN ca ax, a2, a H  nu nh tho
mãn ng thi hai iu kin sau :
i) ax : d   Ví = 1, n  ;
ii) Nu d'   là s nguyên dng mà O.   : d'  Ví = 1,n,  thìd   : d '.  Khi
ó ta thng dùng kí hiu sau ây : d  = ( ,, a2, . . . , an).
2) S nguyên dng b  gi là BSCNN ca ax,  a2, an  nu nhu tho
mãn ng thi hai iu kin sau :
i) b\ a.  V; = 1, n  ;
ii) Nu b'   là s nguyên dng mà b  : ã V/ = 1,n,  thìb'   : b.  Khi
ó ta thng dùng kí hiu sau ây : b = [, a , , . . . , an ].
Các tính ck t c bn cà 'SCLN và BSC N N 
) Cho a  v b  à các s nguyên dng. Khi ó ta có :
(, b) = (a, a + b).
2 ) (a ,b ) . [a ,b] = ab . :
3) Cho m  là s nguyên dng, khi ó ta có :
[ma, mb) = m (a, b),
[m a mb] = m [a, b
. 4) Gi s (a, b ) : d, "thì
Í £ £ | 4 ( a , t ) . U d ì d 
5) Hai s a, b  c gi là'nguyên t cùng nhau nu (a, b ) =  i. Cho
a, b, c  à 3 s nguyên dng sao cho ab   : c.  Nu (a, c) = 1, thì b  : c.
6) Hai sô' nguyên liên tip thì nguyên t cùng nhau.
7) Vi mi s nguyên dng a, b  luôn tn ti các s nguyên X,  y   sao
cho a x Jr b y = {a , b ) .
 
 
8) Cho , b  là các s nguyên ng. Chúng nguyên t cùng nhau khi
và ch khi tn t i các s ngu yên  X   và  y   sao cho a x + b y =  1.
3. S NGUYÊN T
  n h tí c bn ca sô 'hc  (còn gi là nh lí c bn v s ngúyên t). Cho n à s nguyên dng > 1.  Khi ó n luôn c h biu din c mt  
'cách duy nht (hiu theo ngha không tính n vic sp xp th t các nhân  t) di dng sau :
K= p?'p“2•••/>?>
t rong ó k , à -  ( == 1, k ) l à c á c s t n h iê n v á Pi    ( i  = 1, k ) là các sô nguyên  
t tho mãn  : < p [ < p 2 < ...< p k.
Lúc này dng phân tích trên c gi là dng khai trin chính tc ca s nguyên dng n.  ‘
  n h lí Euclid. Tn ti vô hn s nguyên t.
  n h K c bn v m i liên k gia tính ch iaht và s nguyê n t. Gi  s a, b là hai s nguyên dng còn p là sô' nguyên tô' sao cho ab  : p. Khi 
ó t a p h i c ó h o c l à a   : V, hoc à b \ p.
4. N G D 
 n h ngha 6. Cho hai s nguyên a  và b. Ta nói rng a  ng d b 
theo môulô m  ( ây m  là s nguyên dng) và kí hiêu a = b  (mod m) 
khi và ch khi (a - b ) : m.
Các tính cht c bn ca ng d 
1) Nu a = (m om ) và c = d   (mom) thì a + c s b +    (m od m )  
và a c s b d    (modm).
2) Nu  p   à s nguyên t và ab = 0 (mod p ),   thì a = 0 (mod p )   hay
è s ( m o d p).
5. VÀI NH LÍ C BN CA s HC
 n h lí F ermat. Nu p là s nguyên và alà mt s nguyên u ,
thì
9
 
 Nói riêng, khi (a ,p )  = 1, thì ap~'   =1 (mod/?).
  n h l í Euler. Nu m là sô'nguyên dng và (a, m ) = 1, thì
a<s>(m)  (m0(j Wí) 5
ây  o ( m ) là s các sô' nguyên dng nh hn m nguyên t cùng nhau 
vi m gi à Phi-hàm Elder).
  n h lí Wilson, p là s nguyên ( khi và ch khi  ( j3- l ) ! +1 chia ht  
cho p.
  n h lí Ferm at - Euler. Nu p - A k +  , thì tn ti các sô' nguyên 
dng a , b s a o ch o p = a 2 + b 2.
  n h lí phn d Trung Hoa. Gi s r và s là các s nguyên dng   nguyên t cùng nhau, a và b là hai sô' nguyên tu ý. Kh ó tn ti mt s  
nguyên N sao cho . N  = a  (mod/-) và N = b  (modi').  Ngoài ra N c xác 
nh m t c á c h d u y n h t ( h iu t h e o n gh a m ôu ô r s ).
6. H NH PHÂN
- Nu nh thông thng biu din mt s trong h thp phân, thì ta s dng 10 ch s : 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Lúc này mt s t nhiên k  
trong h thp phân có dng :
k = anan-i ••aia0’ 
  ây , i  = 0, n  là mt trong 10 ch s 0, 1, . . . , 9 và an & 0, có ngha là : 
k  — n 10" + n_  10" 1+— •+  10 + ciy
-  gii các bài toán S hc trong ra s trng hp ngi ta phi  biu din mt s t nhiên trong mt h m khác (thí d h nh phân, h tam  phân, ...) .
Trong các h m ngoài h thp phân, h nh phân óng vai trò quan trng hn c. H nh phân ch s dng hai ch s 0 và 1. M t s t nhiên k   trong h nh phân c vit di dng :
^ ~ anan-l  ••!o| 2
(kí hiu 2 ch h m ùng à h nh phân), ây . , / = 0, 2 là m t
trong hai ch s 0,1 và an * 0,  có ngha là :
,10
 
k —  2” "f  ,2" + •—"  2 4- .
Các phép tính cng và nhân trong h nh phân c cho bi bng sau :
 Phép cn g : 0 1
0 0
7. HÀM PHN NGUYÊN
  n h ngh a  7. Cho là sô' thc, ta gi phn nguyên ca  X   (và kí hiu
là [x]) l à s n g u y ê n ln nht không vt quá  X.
W d« :{3]= *3 ;[2,58] = 2;-[-Ó,12] = - l .
  n h ngha 8. Cho  X   ià sô' thc, ta gi phn l ca X (và kí hiu là
{Jf}) là s c nh ngha nhu sau :
{jr} = * - [ * ] .
  n h ngha .. Cho  X   là s thc, ta gi ú ') ' là s nguyên gn  X   nht v khong cách. Trong trng hp có hai s nguyên cùng gn X nht thì ta quy c chn s ln.
Ví d :  (2,3) = 2 ; (5,7) = 6 tuy nhiên (2,5 = 3 ); (- 0 ,5 ) = 0.
Các tính cht c bn ca   [xj, {x}, (x ) *
1) x] = a<z>x = a-t-d,  trong ó a  à sng uyên và < d < \ .
2) [x  4- >>] = X,  thì X  là s nguyên và 0 < y  < 1.
3) Nu n  là s nguyên thì [n + jc] = n + [x] .
4) [x + ;y] > [* ] + [)>].
r w i *
 
n[x]<[nx).
7) Vi mi s t nhiên n  và q { q *  o), thì
n < n.
8) Vi mi s t nhiên n  và q (q  =£o ), thì
n \
L n _  = nx], n
dng.
s t nhiên chia11) Trong dãy n  s t nhiên 1, 2 , . . n  có úng
ht cho s t nhiên < ^  0 .
12) Nu sô' nguyên t  p  có mt trong phân tích ra tha s nguyên t
ca s nì = ì.2 .3 .. .n ,   thì s m cao nht ca  p   bng
n n n n
- p 1J + 3  _p  .
-h • + y J ây k   à s nguyên dng c xác nh t bt ng thc kép sau :
 p k < n< p k+l.
13) V i m i s thc X, ta có : .
ix )  X + —   2]
 Ngoài, hàm phn nguyên, phn l ã nêu trên, trong S hc còn hay dùng các hàm s thông dng sau ây (chú ý rng các hàm s này xác nh
trên N và nhn giá tr cng trên N).
12
 
1. Hàm { n )
  n h ngh a 16. Cho n   là s nguyên dng, khi cr(« ) tng tt c
các c t nhiên ca n  (k c 1 và n).
Vài t ính ch t ca in )
a) Hàm ( n ) là hàm nhân tính, tc là : Vi mi s t nhiên «J, n2  ta
có :
( p ) = i + p .
c) Gi s n  là s nguyên dng và có khai trin chính tc
n = p ? p ? . .' .p? ,   tb ì
: ( n ) = É ^ = i , p r j z k . . . p r i i .
P i - 1  P 2 - 1 P k ~ 1
2. Phi - hàm Euer <>(n)
  nh ngh a 11. Cho n  là s nguyên ngi Ta nh ngha ® (n ) là s các s không vt quá n  và nguyên t cùng nhau vi n.
Vài tính cht c bn ca   o ( f z )
a) ® (« ) là hàm nhân tính.
 b) nh lí Euler :  Nu m là s nguyên dng và a là s nguyên t   cùng nhau vi m, thì
00"5=1 (mod m).
c) Gi s n  là S nguyên dng và c khai trin chúih tc
n = p ? p Z 2 . . . p akk, thì
<!>(«) = n (l 1 ì - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1  
í l - —l-T^-   !    r *   H
l P l) l P i )
d) Gi s n  là s nguyên dng, thì
H = v< r> (d), d„
  ây tng c ly theo mi c dng ca n.
13
 
3. Hàm  s i n )
  n h ngh a 12. Cho n  à s nguyên dng. Kí hiu  s { n )   là tng các ch s n  vit trong h thp phân. .
V í d : s ( 3 2 ) - 2 + 3 = 5  ; «5,(l0 07) = l + 0 + 0 + 7 = 8.
Vài t ính ch t ca hàm s { n )
a) Vi mi n  nguyên dng, t có 0 < s  (n ) < n.
 b)  s {rì) = n <=>1< n < 9.
c) Vi mi m, n  nguyên, dng thì
i)  s { m + rì) < s i m )  + s in ),
ii)  s { m n ) < s ( m ) . s ( n ) .
4. Hàm r ( n )
  nh ngha 13.  Cho n  là s nguyên dng. Kí hiu r i n )   là s lng các c nguyên dng ca  fii
Ví d :  r( 8 ) = 4 vì 8 có 4 c nguyên dng là 1, 2, 4, 8.
Vài tính cht ca hà m ' T («)
a) Hàm r(«) là hàm nhân tính.
. b). Nu  p   là s nguyên t, thì t  (  p  ) = 2.
c) Nu s nguyên dng n  có khai írin chính tc n =  . . . ,
thì
5. Các hà m s hc khác
®Cho n  à s nguyên dng. Gi  g (n )   à tng các ch s biu din
trong h nh phân ca n.
Ví d :  g (l3 ) = 3 vì 13 = õ 2 .
®Cho n  là s nguyên dng-; Ta gi  f ( n )   à s nguyên không âm ln
nht sao cho n chia ht cho 2k.
14
 
Ví d :  / (3 2 ) = 5 vì 3 2 25 và 32 / 2J   vi  j > 6,  j  € z.
Vi các hàm / (f t) và  g (n ),  ta có các tính cht sau :
)  f ( n )   là hàm nhân tính,
 b) Vi mi s nguyên dng n, ta có h thc :
 f { n ì ) = n - g ( n ) .
• Gi s n  là sô' nguyên dng. i dng nh phân, g i s n có  dng
n = b b2.. . bk  2. Kihi xét hàm s h (n ) c xác nh nh sau :
h{ n) = bkbk_ì .. .b ,\ 2.
Ví d :Vì 12 = TÕÕ 2   => ft(l2> = .ÕÕ| 2= 3.
Vi hàm h(n)   ta có các tính cht sau :
a) / ( l ) = 1; h(3) = 3.
 b) V i mi n nguyên dng, thì
/ ( 2 n ) - h ( n ) ;
h (  4« + l) = 2A(2n + l)- /z ( « );
h (4n + 3) = 3/z(2 n  + 1) - 2/ (fi).
 
 
 
2. TÍN H CHT. .
®Tính, ch t 1.  Mi sô' hu t u có th biu din di dng mt liên 
 phân s hu hn.
Chng minh. Gi s X là s hu t, khi ó theo nh ngha cùa s hu t thì  X   có th biu din c di dng :
 _ a  
b   ’
t = a, \ = b.  Theo thut chia Euclid, ta có :
>b=Wi+r2’    0 < >2 < »
'i = r2q2 +r3, < r   !
;h-2 ~ rn-\Cln-\  + r/i» ^ <' rn <' ì'n-\  >
r«-\ = !V ,f  
T ó, ta CÓ:
Tht vy, theo cách t trên, thì :
a _ >h  _ Vh + r2 = + ! ì.
Ta có :
 
rn- 1 __ r«-1 1 .— J /'«-2 Cln-\rn-\ + rn n 4- laH„-\ T
V l
 
 
Trong chng này ta xét cc tính cht c bn ca liên phân s, mt công c kHá c lc trong vic gii phng trình nghim nguyên.
1. INH NG HA LIÊN PHÂ N S . '
a) nh ngha liên phâì s hujin .
Cho Oo là s nguyên, còn j, , , an  à các s nguyên dng. Khi
ó ai lng [<20 ; <2 j , «2, . . . , an ] c kí hiu nh sau :
 [a{ ) ' ,a v a2, . . . , a \ = a{) +
a\  •+---------------------j" <2-7H----------------
a„- ---- „
s goi là mt liên phân sh ai hn có dài n.
 b) n h ngh a iên Rhân s vô hn.
Cho Oq , av  02,... là dãy vô hn các s nguyên vi d > 0, i > 1. Vi
mi k,   t Ck = [a   ; <3j, a2, ak\.  Khi ó tn ti gii hn
lim C, = a. k->+oo
(S tn ti gii hn này s c nói rõ trong Tính cht 7 di ây).
Lúc này ta gi a là giá tr ca liên phân s vô hn  [<3() ; |, íí2, ... ], và
kí hiu a  ==\a   ; , a2, ...].
CHUYÊN-. NSHIM NGUYN — 02A 17
 
 
í _ rn _    1
rn-\  7'A cln
Thay các giá tr t nh c (£ = 2, 3 , n),   vào () , tà'thu c : n.k-l
a (2)
<7„
The nh igh lin phn ' h hn (chú ý rng -4 , € z , còn
qt  > 0 V = 2, H), v phi ca (2) bng [íT/ ;q2,q 3, . . . , qn ]. ó à iu phi
chng minh (pcm).
Xét các thí d sau v biu d in s hu t thành liên phâri s.
, 32 Thí d .  Hãy biu diên s — thành liên phn s.
Ta có :
3 = 3.1.
32 Vy — = [4 ; 1, i, 3],   ây [4 ; 1,1, 3] là iiên phân s có dài 3, tc
là : 32
1 + 3
7Th í d 2 . Hãy biu din s 7— thành liên phân s.
Ta c ó : 7 = 0.11 + 7;
1 1 = 1 .7 + 4 ;
19
 
3 = 3.1. (*)
Khi ó : — = [o ; 1,1,1, 3] à liên phân s có ô dài 4. 11
ý rng ta có th vit li (*) di dng :
3 = 2.1 + 1;
1 = 1.1 .
Khi ó — = [o ; 1,1, l, 2,1] là liên phân sô'‘có dài 5.
T Thí d 2 ta rút ra nhn xét sau : Biù din mt s hu t di dng l iên phân s không có t ính duy nh t !
nh ng ha g in ph ân . Cho liên phân s hu hn [a0 ; <2,, a2,
có dài n. Vi mi k < n ,   liên phân s Ck  —[o, <2p 2, a k\ vi dài
k,  c gi là gin phân th k   ca liên phân sô' ã cho.
° Tìh cht 2 {công thc tính gin phân). Cho liên phân s h hn
[a   ; a{, a2, ,,].Gi s hai dãy s nguyên dng  p0, p,,  p 2, p „   và
q0, q v q0, q „   c xác nh nh sau :
P() = a0 ’ ?0 = ^ »
 p l = a 0a l + 1 ; < 7 i = a r .
 p2 — (32/?i +  Po  ch  =  2?l 9o >
f t = +  Pk-2  ; í i = + ?*-2 •
Khi ó gin phân th. £ , Q. = [tf0 ; p t ] c cho bi công
thc :
(1)
Chng mình. Ta chng minh bng quy np nh sau :
20
 
- VI k = 0,  ta có c 0 =  [0] = a0 = p 0 ~ ^ -  = 1 %
- VI k  = 1, ta có c, — a0 ; , ] —ÍZ0 + —- = = E l  _  «1 <7i
Vây (1) ã úng khi k  = 0, k —  1.
- Gi s (1) ã úng cho mi 0 < k < n .  Khi ó vi mi 2 < k < n ,   ta có
c , . 3 , } = ^ = a‘P‘- ‘ + P‘- K 
- Xét vi k  + i . Ta có :
Ct+l   = [0 ’ av ai ’ •••> ^A'+l] = 0 +
(2)
. 1
*+I {ak^k-\ + <k - 2 ) 1
 _ aA-+l/?- +  Pk-l   _ P/ . -+I
ak+\Clk Qk+l 
 Nhn xét. T Thí d 1, ta có :
32 •= [4 ; 1,1, 3],
 p - a =  4 ;
/?1 —na [ + 1 = 5 ; .
 
 p~ — a^p2 + Pj = 32 ; G3 = a- cj   + c/j = 7.
T ó suy ra các gin phân là :
C = ^ = - = 4 : c = £ • = - = 5 :u 0 — — —*t » ^ ) <7(1 ì ch  1
& = & = ’ ; c , = = 2 . q2  2 ' Cj3 1
®Tính ch t 3. ì/ / OT' £ = 1, 2 .. . . , n , thì pkC[k_{—p k_xqk = { — i)i+1.
Chng minh, Ta s s dng quy np chg minh.
- Vi /t = , t h ì :
ýV/o - A)<7i = (auai  + 1 )1 - «oai = 1 = ( - l),+l •
Vây iu khng nh úng khi k —   .
- Gi s iu khng nh ã úng n k,  tc à :
 p kqk_ , - p k_xqk = { - +x.
- Xét VÓ k  + i, ta có :
 Pk+l4k - p^ík+l = iaM Pk  +  Pk-\)<k - Pk  («*+!?* +?*- )
= ak+\PkCh  +  Pk-\ch ~ ak+\Pkck ~ P kClk-\
= -{P k< k-l-P k-lCh )-  
Vy iu khng nh cne úng vi k  + .
Theo nguyên í quy np suy ra iu khng nh úng vi mi k  £ N*, tc à :
M i - I - P i - i t = ( - l)*+l •
 N hn xé t. Tính cht 3 cho ta mi iên h quan trng gia các  pk   và qk   (chú
ý t  p,  và qk   cho ta công hc ca gin phân th k  : Ck = — ). %:
22
 
9 Tín h ch t 4. Gi s   {Q.} à dãy gin phân ca liên phân s hu 
han d dài n :  [<20 ; ax, «2, . . . , an .  Khi ó ta có mi liên h sau :
( - l ý - 1 Ck — C k_) = — —— , vi   I < k < n  ;
?*<?*-1
Ck —C 2 =-^-1—— , vi 2 < k < n .   ch clk- 
Chng minh.
1) Ta có :
r _ r _ P k Pk-i ' P A -x -P k - ã k  
Qk  <?*-!
c —C  (-1)  ,k+l 
k- 1
2) T ó : clkcik (.•-1
r r - P k P k~ 2 ,P k(k-2-Pk -2Clk    ^ -  it—2 — 1 — 7 *
ck Qk- C/ - 2
Áp dng công thc  pk  = akpk_\ + p k_2  ; qk   = +'<7A._2, ta có :
r< . r* - (akPk-l + Pk-ÌQk- ~ { akclk-\ Jr% -l)P k-2   W- k—2 —   ' : ~ : "
ak{ P k -t fk -2 - Pk-2<k-1)
<Ma-2
Lai theo Tính cht 3, th ì :
 _ . 7 i\U*—l)-H /, ;  P k ^ k - 2 - P t - i i i - l   = ; (- !) = ( - l ) .
Thay l vào (*), ta i n :
(*)
Ó là pcm. ?*?*-
 
51 T ính cht 5. Vi các gin phân Ck ca liên phân sô' hu hn 
[{) |, a2,  . . an I ta c các dãy bt ng thc sau :
 j) c, >c3>c5>... 2)  C(, < C 2 < C 4 < .......
3) Mi gin ohân l C 2 j_J u n hn mi gin phân chn C2i.
1) Vi mi  j — 1 ,2 ,...  và theo Tính cht 4, ta có :
/ - \2;'+l ; , t   v ~ " i / . 'I I
c   —r — 21— ..... ... — — - -±±l __ < 0 ch j+\ ch j- 1 C2 j+1•ch j - 1
(do an j , q2j ., và q-,j  _J là các s nguyên dng vi m i  j = 1 , 2 , ...).
T ó, vi mi  j =  1, 2,-..., ta có :
Q;+1 < C0;-_| hay c, > C, > c 5 > . ..
2) Tu'o'n.g t, ta có :
c0<c2<c4<... 3) Vn theo Tính cht 4, ta có :
•(-1)2>~-  _  ______ _ 
Cll jCh j-\
(iu này suy t g2y. và q2j_   là các s nguyên dng vi mi ý = 1, 2 ,.. .) .
T ó suv ra :
Áp dng phn 1), ta .có :
c2 j_ >^  j-ì+i-  , . p dng (**), thì :
c c°2;-l+2i t-y2j+2i-
Áp dng phn 2) , th ì :
c.u 2/+2i 2/.'
 
/ -1 > Qi-
ó ehính à pcm.
••• Tính cht 6. Vi- m i  /c —0 , 1 , ri, thì p k>qk) = (tc là p k và 
qk nguyên t cùng nhau),
Chng minh. Theo Tính cht 3, thì
. P t f k - i - P k - / h = ( - l i k+l .
G thit phn chng {pt ,q k) — d,  vi d >  1. T  p k - d   và qk \d, 
nên theo (1) suy ra :
í \d .  (2)
)ó là iu vô lí vì d >  1. Vy phi có {pk, qk) —  1, suy ra pcm.
Các Tính cht 1 - 6 làdà nh cho các liên phân sô' hu hn.
Di ây ta s xét tip các tính cht ca liên phân s vô hn.
®Tính cht 7. Cho a0, av a-y, . .. là dãy vô hn các s nguyên, trong  
ó d > 0 vi m i / > 1.  t c k   —[a0 ; <2, ó , , ak\. Khi ó tn ti gii hn
lim C,. k-~+\
C  > C3 > C5 > .. . > C2„_I > C2n+\ > ...
c< c 2<c4<-..<Cj„_2<c2n<... Mt khác, vn theo Tính cht 5, th ì :
C2j_ > c v   vi mi i, j.
Vì l y dã {c2;t+1}, k =  0, 1,... là dãy gim b chn di bi C0,
còn dãy { c 2k}, k — 0,  1, 2 ,. .. là dãy tng b chn trên bi C.
Tho lí thuyt- v gii hn c dãy s, thì tn t i :
lim c 2t+ ì= a , ;   lim C2k+2= a 2. t —* 4 - ^ k —>• - r 'X
Theo Tính cht 4, ta có :
25
 
 Hlk+mk Chk+lC12k 
qk   > k.  (2)
Tht vy, (2) c chng minh bng quy np nh sau :
- Vi k  = 0, thì q0 = 1=» qt) > 0.
- Vi k = l,  thì qx—  , > 1 (do a  nguyn dng).
Vy (2) ã úng khi k =  p, k =  1.
- Gi s (2) ã úng n k,  tc qk > k . ’ 
- Xét vi k + ì,  ta có :
? w = a W í+ ? i -1-
Theo gi thit quy np thì Cjk   > k   ; > k — ,  còn ak > 1. T ó
qk+]  > k + k — ì — 2 k - 1 > k + l   (dnhiên).
Vy (2) cng úrig vi k  + 1. T ó vi mi k =  0,1, 2 , thì
qk   > .
. 1 1 2 Vì l ó 0 <   -----   ----- ----- —r— , mà lim -------—T— = 0, nên
chk +  Qik & k  + 2 ) 2k k ->+ou (2k  + 2)2£
theo nguyên lí quy n p su y ra im -----  ----- = 0. iu ó có ngha à k~'+™q2ìc+cl k 
lim (C2Jt+1- C „ ) = 0, h ay; k  —k-400
ai = Um c2t+1 = l m c2k  = a2.(3) k —*+ Cví ' + co
ng thc (3) chng t rng tn íi gii hn a =  lim Ck   (pcm). k  —>+ou
 N hn xé t.  T Tính cht 7 suy ra rng ng vi dãy a, av a2, . ..  thì tn ti
lim [0 ; ã , a2,..., ak  ] = lim Ck =a ,  ó chính là lí do vì sao ta li chn k  —‘ •+00  k—*+ÍXJ
a   làm nh ngh a cho l iê n ph ân s vô hn   [0 ; <3, a 2, a k, . . .] , và v ì sao 
nh ngha nh th li hp lí !
26
 
®Tính cht 8.. Cho a0, ai t a2, :.. là các s nguyên, trong ó  ; > 0
vi mi i —  1,2 ,. ..  Xét liên phân sô 'vô hn a = [a0  «2 ,  K h i ã ó á l ' 
 s vô t.
Chngnùhìu  Gi s trái li or là s hu,, tc là
a =  —, vi a, b £  z, 5* 0. . . 6
Theo Tính cht 6, thì vi mi «, ta có :
1 < a < C2,+1  0 < Q- C2„ < C2„+1 c 2„ — 
Ch.n+\-Chn
Qln+l
.y a ——, t i n :
1 0 < 7 1’CÍ2><- Pin < ~ ~   0 < aC2n - b P„  < -I ‘AH   X i / i *iUli  * Z/J
#2/1+1 ?2;i+l
Do tính nguyên ca a q „ - b p Vt, nên ta có :
l< a q 2n- b p 2n< - ^ — .  (1) chn+l
Chú ý rng (1) úng vi mi n e N*, mt khác, ta có qt > k   (xem các
 bài trèn). Do vy t ( ) suy*ra iu mâu thun vì
im —- — = 0, ',- , + ,’OÍ/2„+l
l im —-—>1. "~+noí2i,+i
Mâu thun này chng t gi thit a   là s hu t là sai. Vy a   là s vô t ó là pcm.
27
 
®Tính cht 9.  M i sô' vô t a u biu din c mt cách duy nht   di dng m t liên phân s vô hn.
Chng m inh.
1) Gi s a = OiQ là sô' vô t. Ta xây dng dãy Oq , ax,a 2 í ...  mt cách
truy hi nh sau :
CKn
« , = [ » , ] ; q 2 = ——  
   a.
a 2 —•
ak ~  [a k ] > a k+\ —   • a k ~ a t
Trc ht, do a () là s vô t, nên a0 ^ a ,  do ó a {  tn ti. Ta chng
minh rng a ;  là s vô t vi mi k =  0, 1, 2 ,. .. iu này c chng minh
 bng quy np nh sau :
- Vi k —  0, thì rõ ràng a   là s vô t.
- Gi s a k   à s vô t (k > o), khi ó ak  = [otjt] là s nguyên, vì th
a k   5* ak   và a k — ak   là s vô t, nên a k+ì =   ---- tn ti và là sô' vô t. a k ~ a k
rheo nguyên lí quy np, suy ra a k   là s vô tvi mi k = 0 , , 2 , ...
Mt dhác, da vào tính cht phn nguyên, t ak — [ak  ] suy ra ak < ak.
 Nhng do ak  5* a k   nên ak   < Ctt .
Vn theo nh ngha phn nguyên, ta có :
.k < ak  + 1 =4- at —ak < 1.
Vy, ta có 0 < a k —ak <  1, vì th a t+I = — > 1. Do ó : a k ~ ak
 Nói tóm li, ta ã chng minh c a0, ax,  , ak, ... u là.các s
nguyên, trong ó d > 0 vi mi i = 1 ,2 , .. .
28
 
a - = H **2'   a i+iJ*
-V i k = ,  thì [a0, Qíj ] = <2 + — = a   + ( a'o _ o ) ~ a o ~ a - t t
r 1 ] 1 - Vi k  = 1, thì <20 ; a., a2  = u H-------- — —a0 H--------- ~~ — — 
a  -_ L a\ + (Í11~ a\ ) OLn
= a-\-----= a0 + (a0 - a 0) —a = a .
. '
- Xét vi k + 1, ta có :
[a0 ; , a2, <3t+1, ttA.+2] = % H " " ; [ _|------- :--------------
2  ----- h + a ,k+2
ý rng ak+ì + —!— = flt+l +(.at+j ~a *+1) = < w Vì th : Oi.*+2
|<2q ; , a2, k+l, O.k+7 — a0 + 1
a, H-------------- 1
\a   >aì '  ^2 ’ •• • > ’ i'rl-1 j ^ •
Vy ta ã chng minh c vi mi k,  thì
a = a0 ; a{, a2, , ak, a k+ jj.
T ó theo tính cht ca gin phân, ta có :
Pit+Í = a k+iPk Pk-\a - C k = ± r-E í-,  5 ây <7ifc+I -k  Qk-t-l ~ a k+\ck + <k-\-
29
 
- (/ y / t- 1 - f t - i ? t ) ( -l) * ~ 2
i'U -:? , - V; . .’i<7. K-.|<7<S+<?*-! )<7i ’
v> 'V A +<?*-! >«*♦!?* +c/í_ì  = nên suy ra :
\a — c , .\ < — -—   .
D thy lim —   — = 0. nên ta có <>•=. iim; c,.  Nói cách khác. (V k- ^ ci k ck -  i
 biu din c di dng liên phân s vô hn.
Gi s ta có hai biu din
nr = [(, ; at, a2, ...] = [/?(! ; /?,. b2, ...].
Theo nh ngha RÌn phân, ta có
0,
 Ngoài ra. nh ã bit mi gin, phân i n hn mi gin phân chn, nên ta có :
au < n < a0 + -
Í(VJ — ú y
Mt khác : a  = iQ ; , a->,  . .. ]= lim [0 ; Cí, a ,,
1 = lim

 
Tng t ta cng có :
a = b0 +   lim  J  — — ----- —7,  (2) ^ ^ [ b v b2, . . . , b k]
ngoài ra : [a] = b.  (**)
T (*) và (**), cng nh t (1), (2) ta i n a0 — bQ và
lim — ----------- — =   lim f — — --— — T, k-*+™[ax,a 2, . . . , a k\  +™[,, è2, bk\
hay
lim ; k , a2,-...,  j = / l im [p b2, b k}.'  
Lp lun tng t nh trên (chính xác là bng quy np), suy ra
ak = ,= *+l = bk+i.
Vy hai b iu din trên là trùng nhau (pcm).
 Nhn xét.
1) T Tính cht 9, cho phép ta biu din cn s di dng liên phân s vô hn.
Xét ií d sau ây : Hãy biu din V5 thành liên ph ân s vô hn,
Theo cách ã làm trong chng minh Tính cht 9, ta có :
a. =  /5 + 2] —4. ;a 2 = ——-—= —=-----= Vs + 2 ==Qí. a, — a,  V5 —2
cu = [V5 + 2] = 4 ; ct, = — ——- = -p r——= /5 + 2,—ct, —«!• a 2 - a 2  V 5 - 2
Vy Q= 2 ; 4 —<3j = 2 —a3 = ••• Do ó V? — 2  ; 4, 4, 4,...].
- Xét thêm thí d : Biu din V   thành lin phân s vô hn.
Ta có :
% = '^ 6 ' í % = [ % ] = 1^6 ] = 2 ; i = — — = • QÍ0 'VO — í .
31
 
a, <3j
&s O')
/  +2 : a,
Vy Q3 = a p do ó 2 = iZj =   = a 5 = •• ; 4 =Vy a 3 = a 1, do ó 2 — ax
Do ó V = 2  ; 2, 4, 2, 4, 2, 4,...].
 — Cl A — c  — 
J\2>cho :
2) Cng t Tính cht 9 cho ta mt tính cht sau ây ca s vô t :
Cho a là s vô t. Khi ó tn ti vô s cp sô' nguyên dng   (h, m) Un
h  „ 1a   < 2. m m
Chng minh. Trong quá trinh chng minh Tính cht 9, ta ã thu c  bt ng thc sau ây vi;mi k  :
'a —c J = or —— !< -----   — .
Í -I ?*+!
Chú ý rng theo cách xác nh thì t+I = ak qk + q k_ì > C[k.  Vì
\ a - C k\ = \ a - ^ -   clk
1
lr  Chn h — p k \ m = qk, suy ra pcm.
nh ngha liên phân s vô hn tun hoàn. Liên phân s vô hn
a ; j, á2, ...] c gi là ?zí2 hoàn, nu dã}' { a ,J là tun hoàn k t mt
ch s nào ó, tc là tn ti các s nguyên m  và k   sao cho vi mi n > m ,  
ta có an = aìl+k.  S nguyên dni> k   khi y gi là chu kì.
Lúc này ta vit liên phân s vô hn di dng :
a0  ; d, a2,  —a() ; ,, a2, ãm_Cimam+l, flW)+i+.
Trc khi a ra íiêo chuu mt s vô t có biu din liên phân s vô hn tun hoàn, .ta cn b sun;’, m t s tính cht sau ây ca  sô' v i bc hai.
32
 
nh ng h s vô tí bc hai. S vô t a   uc gi 1&sô' vô t bc hai,  nu nó là nghim cá mt tam thc bc hai vi h s nguyên.
Th í d.  S vô t 1 + V2  là s vô t bc hai, vì nó à nghim ca tam
thc bc hai vi h s nguyên sau :  X2 - 2x  -1 .
D i ây s trìii bày m t vài tính cht c bn ca sô' vô t. bc hai.
Mnh 1. S thc a   là s vô t bc hai khi và ch khi tn ti các s nguyên , b, c  vi b > 0, và không chính phng, c ^ 0 sao cho :
a-\-4b   a  = ———
c Chng minh.
Gi s vi b > 0  không phi là s chính phng, C ^Q c
và a, b, c nguyên. Trc ht do b  không phi là s chính phng, nên a là
s v t. Bây gi ta s chng minh rng a   l nghim ca phng trình bc
hai  A x 2 + B x  + C — 0,  trong  A ,B ,C   là các s nguyên.
Gi s a   l s vô t bc hai, khi ó theo nh ngha tn ti các s nguyên  A, B, c   sao cho
- B ± ^ I  b 2 - 4 A C   a = ------------------------
2A
(do a   là nghim ca phng trình bc hai  A x2 + B x + C — 0,  vi  A, B, c  
nguyên).
t a — — B   ; b — B2 —4AC.  Rõ ràng b >   0 và do -a  là s vô tí nên
b — B 2 —4A C   không phi là s chính phng ;C — 2 A ;   hoc a = B,
b = B 2 — 4AC ,  còn c =  —2 A. Lúc órõ ràng a  có dng :
a + yfb Ot  =
c
trong ó a, b, c  tho mãn yêu eu bài. Mnh 1 c chng minh.
M nh 2. Nu a là's vô t bc hai, thì vi mi s nguyên r, s, t,
^ r a + . , , ^ t
sô —1 cng là s vô tí bc hai. ra + u
CHUYÊN ...NGHIM NGUYÊN — 03A 33
 
 
Chng mink. Do O! là s vô 't bc hai, nên theo Mnh 1
a + 4 h —   ,
c
trong ó a, b, c €  z ; c 5É 0, b > 0 không phi íà s chính phng.
Ta có :
tcc + u a + ~J ta + cu + t S     ---- — ---- 'rU
- ((rfl + cs) + r^ ) { ( ta + cu) + b )
{ta + cu)2 — bi1
\ r a + c s ) { t a Jt-cu ) —n b + { r ( t a + c u ) — t ( r + c s ) } 'J b    _ _ - - .
{ta + cu) — bt 
T a, b, c, r, t, s, u  nguyên và theo (1), kt hp vi Mnh 1 suy ra
a   à s vô t bc hai. ó à.pcm.
®Tính chí 10. S vô t a có biu din liên phân s tun hoàn khi và  ch khi nó à s vô t bc hai.
Chng minh.
1) Gi s s vô t a   có biu din liên phân s tun hoàn, tc là a c  dng :
01 ~   [ 0 > l ’ a 2 ’ • • ’ a m - \ » a m ’ a m + i » • • > a m + k   ] •
t  p = [am, am+1, a m+k\.  Khi.ó  p = [am, am+], a m t , 0 \.   T
ó áp dng các tính cht iên phân s hu hn, ta có :
e = ± £ ^ ,   (1)
#?<fc + 4k-i
b ó — và ^= -  là hai gin phân cui cùng ca \a , a +l, a m,k\. <?k 9k-i
T (1) suy ra:
34 CHUYÊN ...NGHIM NGUYN — 03B
 
 
T ó theo nh ngha thì  j3- là s vô t bc hai.
Ta li có a = [0 ; av a2, P],  do :
a 0p„-i + p m-2 
' .%m-! + qm-2
Do  3  là s vô t bc hais nên t ng thc trên và t Mnh 2, suy ra
a   cng là s vô t bc hai.
Vy i kin c chng minh.
2) Bây gi ta chng minh phn ngc li : Nu    là s vô t bc hai thì nó C Ó th biu din c di dng liên phân s tun hoàn.
Trc ht có nhn xét sau ây :
 Nhn xét.  Nu a   là s vô t be hai thì nó có th biu din di dng
 _ p + '4 d '  a —  — —— ,
Q
trong ó  p , Q, d   là các s nguyên sao cho (d —P 2)\ Q.
Tht vy, vì ã.  l s vô t bc hai, nên theo Mnh 1, ta c ó :
a + s[b a —   .. — ,
e
trong ó b > 0 là s không chính phng ; a, b, c  nguyên, c ^ 0. T ó :
t  p  = a\c \ ; d — be2 ; Q = c\c\. Khi y d — P2 = bc2 —a2c2 — c2 (b — 
nên ( — P2) ':Q.  Nhn xét là úng !
Gi s a = a    là s vô t bc hai. Ta xây dng dãy (0, £Zj, á2,...) nh
sau : Theo nhn xt trên, ta có các s nguyên  P0, Q và d  sao cho
'.và ( d - P t ) :.Qo. Qo
t a0 =[o;]> ây [a0j là phn nguyên ca s a0.
35
 
t :  P — qQq —Pq, thì i3! € z ;
Qx = ^ ~ ,   thì Q, e Z (-do Q{ = ^ - + [2a0P - a lQ ) ) ; /9« L/nb Oo
sau ó t <2 j = [j 1 ,
Mt cách truy toán, nu có p* e z, <2e z , .trong ó (e — P -Q k   ;
 Pk  + V -----r 1 . Or — — - — , ri t ak —  [at ] ; thì s t :
Qk  
Q - d ~ P    y-k+1 Qk 
 __pk - '    ^í+l ^ ’ ak+1 l^i+ljK-M '   K-t-i L K-t-1 J
Qk+1
Do  Pk, Qk   nguyên suy ra Pí+1 eZ. Do (d — P l ): *, và
ô*+, = ^ - + { 2 ^ - « & * ) ’ tí*
,2
 _ _ -^± L = a = » (d _ p 2 +I) : t+1. y*+l
Ta có th chng minh c rng a =   [fl0 ; j, a2,...], và dãy {an} xác
nh nh trên à dãy tun hoàn. ó à pcm.
Mnh 3. S vô t OL = —— c gi là liên hp vi s vô t c
a + 4>  a =  — —— .
c
 Nu s vô t bc hai a   là nghim ca phng trình  A x2 + Bx + c =  0,
vi  A, B, c  nguyên (A o) thì liên hp ca nó a '   cng là nghim ca
 phng trình này.
 
Tht vy, ta có : a + o i ' = —    ; a a ' — — . 7 - . Mt khác, do sô' vô t c C 
 bc hai a = ?— ..- à nghim ca phng trình bc hai  A x2 +  Bx + c  = 0, £•
nên theo Mnh 1, thì a — B, b = B2 —  4 AC, c = —2 A. T ó,ta có
0!+ ^ = —— v a c t ' —   —. Theo nh lí Viète, a và Oi  à nghim ca  A A   .
 phng trình A r2 + fix -r c = 0 (pcm).
M nh 4. Gi s a và  3  íà các s vô t bc hai, còn a ', 0 1tng
ng là các liên hp ca a  và /3. Khi ó ta có :
(í±/?)  — OL^c'   ;
(a/?  — a '0 '  ;
1/5 J
(Chng minh trc tip suy t nh ngha v  S vô tj liên hp).
®Tín h c há i 11. S vô t bc hai a có biu din tun hoàn ngay t u 
khi và ch khi a  > và —1 < a ' <0, ây a 1 l liên hp ca a.
(Ta tha nhn và không chng minh tính cht này !).
Bây gi ta s xác nh biú din liên phân s vô hn ca s  yfd.
t a — 4 d + \ 4 d \ .   Khi ó ta có a ' — [4 d\ — s[d.  Do    không phi
là s chính phng, nên theo nh ngha phn nguyên ta c ó — \ < a '   <0 , còn
hin nhiên a >  1. Theo Tính cht 11, thì 4 d   có biu din tn hoàn ngay t u. T có :
a0 = [V + [V?]] = l[4d } = 2a,  vi a = \-4d\  ;
'Jd+ a= - y fd +{-Jd} = 2a  ; at, a2, ,,]
 — ì CI   , 2 • •*>&I  í t t &2 5• •í ^íì ] *
T ó i n :
•37
 
 Nu phân tích cn thn hn, ía còn có th chng minh c :
a-x  = a,„
ngha à dãy có tính i xng. Vì th -d   có dng.
•Jd'=[a   ; av a2, d, 2a ,
trong ó a = \ 4 \ .
Ta hãy xét m t s thí d minh ho cho lí. thuyt.
) Thí d minh ho cách tìm s vô t bc hai t biu din liên phân s tun hoàn ca nó.
Tìm  X   bit  X  —  3  ; 1, 2 ].
t.  y  = [1, 2 ], thì  X =  [3,  y \ .   o y  —  [1, 2 ] nên suy ra :
; y =£2v2 +  y  = 3y +1 =$2 y2 — 2y —  1 = 0
1 + V3
= i o y > 0 ) - 
T V * ,* - 0 , 1 o , 2 5 + 3-Js (5 + 3 ^ ) ( V s - l ) T ó  X =   3, V = 3 + —= 3 + —p=----= —5=-— = --------------------- ;— 
J  y   V 3 + 1 V 3 + 1 2
4 + 2V3,
2) Thí d v vc tim liên phân s tun hoàn ca s vô t bc hai
6 + V28 a :
 
6 —V28 _ - a d ~~ ^ ' a0 ~   ~ 2-
T dng ca a,   ta có P —6 ,d = 28, () —4, ây c  — P q  .= —8, và
thy ngay (í/ —P02) ': Qj. Do ó ta có :
P ,= 2 .4 - 6 = 2 ; 2 , = ^ = 6 : < v = ± ^ I ; I,1= h H ', 4 0
 P2 = 1.6 —2 = 4 ; 2 = — - ^ - = 2 ; , ; (2, —[<a2] = 4 . 6 " 2
 _ , _ 28 —42 4 + y28  [ 1. P3 = 4 . 2  — 4  —4 ; Q   — -  —6 ; «3 — ; a 3 —[a3J — 1.
n ^ 28 —22 _ 2 + V28. _ r    p4 = 1 .6 - 4 = 2 ; Ó, = - ^ - — = 4 ; a 4  ; a4 = a 4]= 1.
Ò 4
 p5 = 1 . 4 - 2 = 2 ; e 5 = ^ = 6 ; „ 5 ^ = « 5] = l.
Ta thy / » = / » ; j2j = Ô5 do ó fl —<%, và dãy là tun hoàn chu kì 4.
Vì th ta có :
4
3) Hãy biu din liên phân s Vô hn ca các V , vi d = 23,  29, 31, ,
46.
Xét  y[d. = j2 3 .   ây P0 = 0 ; Ôo = ; ^ = 23 ; 0=-J23;
a0 —[0j —V2 3 ] —4. T ac ó :
/> ,= 4 ; , = ^ ^ = 7 ;
d — p 2  7 Q _ Q
 
 
 P y--^/d   3 + V 23 ' r 1 „ a 2 = 2, _ = '   - =»02 =[Qi2j = 3.
d — P 2  23 —9  P3 = a2Q2 - P 2 = 3 .2 - 3 = 3  ; (23 = — = 1 ;
 P -.~ 4 d   3 - V 2 3 « 3 - - g 3 - 7 ^ ° 3 -
P4 = a33- / ,3 = l ,7 - 3 = 4 ; 04
 p . + 4 d _ 4 . + r  
a * ~   4 1 ^
Pj = a i a - P 4 = 8 .1- 4 = 4 ; e s = ^ = = 7.
Ta thy  Pl = P s ',Ql — Q5  do ó j = a 5. T ó :
V23  = 4 ; 1, 3, 8].
Bng phép toán tng t, ta có :
7 2 9 = [5 ; 2 , 1 , 1 , 2 , 10].
V31 5  ; 7T7 3, 5, 3,1, 1,  10] .
V46 = [ó ; 1, 2,1, , 2, 6, 2, 1, 2, 1 2].
2 2
Ô4 1
 
Chng 2.
P H U T O i ® T H N H V B N H
B C $ Ì t f ^
BÀ I 1. Xét phng trình vô nh bc nht hi n s  X,  y   sau :
ax + by = c,  ây a, b, c  là cc s nguyên. Chng minh rng
 phng trình trên có ít nh t mt nghim nguyên khi và ch khi
c  : (a, b ) (tc là SCLN ca a, b  là c s ca c ).
 L ig i
1) Gi s phng trình ax + by  = c  có ít nht mt nghiêm nguyên, tc
là tn ti cp s nguyên (x0, y0) sao cho :
ax0 + by0 = c.  (1)
Gi s (a ,b ) = d  , tc là a = dav b = dbx,  ây 1 và b  là các s
nguyên. T ó theo (1), thì daxx  -1-dbxy0 = c,  hay
d (a ix + bly0) = c.  (2)
Do Xg   + by  € z, nên t (2) suy ra c  : d,  hay c  : (a, b).
2) o li,gi s c : (a, b). K í   hiu d*=a, b).  Rõ ràng tn ti
av £  z , b  € 2 , saò cho :
a a ^ + b ^ — d .  (3)
Vi c  : d,  nên c — C,  vi Cj € z T (3) ta có :
 —C-Cbb^  = —c,á=» a[— C1) + è (— clb) + d cl  = 0
=>a (- c lal) + b (- c ìb) + c = 0.  (4)
41
 
ng thc (4) chng t rng cp s nguyên (—Cp —Cb)  là nghim'
ca phng trình ax + hy + c =  0. ó là pcra.
 N hn xét.
) Bài toán nói trên cho ta iu kin phng trình vô nh bc nht ax -I- by  4-c = 0 có nghim nguyên.
2) Ta có mt h qu Quan trng sau :
Xét phng trình ax + by + c =  0, ây a, b, c  là các s nguyên. Nu
(a, b) = i, thì phng trình có nghim nguyên (iu này trc tip suy ra t
Bài 1 vì c   : 1 => c   : (<2, b ) ) .
H qu này quan trng ch : Ta bit rng t Bài 1 suy ra, ta ch cn
quan tâm n các phng trình ax + by + c = ,  mà c  I (a, b ) (vì nu trái li
thì phng trình này kbông có nghim nguyên).
Gi s (a, b) = d, khi ó a — dav b = db.  Do c : d =$ c = dc t  ây
J, b, C  nguyên. Lúc này :
ax + by + c = Q tX + dbV + C —0 ^ a-X + by + cx = 0 . (*)
Vi phng trình (*) thì (j, ) = 1. Vì lí do ó mà ta có th ch xét
 phng trình a x Jr b y + c = Q  vi a, b, c nguyên và (a , b)   1 là .
BÀI 2.  Xét phng trình ax + by Jr c = 0, trong ó a, b, c  là các s
nguyên và (a, b) —  I. Gi s (x0, 3>0) à m t nghim nguyên
ca phng trình. Khi. ó mi nghim nguyên ca phng trình ã cho, có dng sau ây :
 x = x0 + bt 
[3; = }’o ~ í-
 L g.i
Vì ( jc0, J 0) là m t nghim ca phng írình ã oho, nên ta có :
axQ+ by0 + c =  0. ( )
 
 
;r a ( x 0 + h t) + b ( y 0 + a t ) + c = ax 0 + b y 0 + c = 0   ( theo ( l ) ) .
T ó suy ra (*0 + í, y —cit)  là nghim ca phng trình a x + b y + c = 0,
\   vi m i   € Z.
'I Bây gi ta. chng minh rng mi nghim (xp >y) tu ý ca phng
• trình ax + bv + c = 0, u có th biu din c di dng :
‘  K.:  X   — ,Y,, -i- b t 
I : . ì = y 0 - t-
L t xv= x 0 + a ; y = y0 +,6,  :khi ó do '(jc0, J’o) và (a:j»>’ ) là các
cp s nguyên, nên a   và 0   cng là nhng s nguyên,
Vì (Xj, y,) là nghim ca phng trình ax + by + c = 0, nên ta có : / ' 
| :' axl + by] + c = Q=> a(xo + a) + b(o + 0 ) + c = Q
;;|r. =>(ax0+ by 0 Jrc) + aa + b3 =  0.
:|v _ .ì' Do (-v0,^ 0) cng là nghim ca phng trình ax + by+ c — 0,  nên
ax0 + by0 4- c = 0. T ó suy ra : S i ' ; aa  4- b3  = 0. (2)
H;; • T (2) ta có h3   : a.  Do (a, b) = l=> 0 : cx, tc là 8 — t\  (vi f| e Z).
iì Tng t, ta có a — bt^   (vi t2 6 z ). Kt hp vi (2), suy ra :
abí2.+ãbtl  = 0 = *ò ( f,+ r ,) = = 0 .
Do 3É 0 => í .+ 2 = 0 =>fj = —í, t2 = t , t  6 z. Thay li vào trên, vy
ta có :
' làpcm.
C  N hnxét .
 f -  Ý ngha ca bài toán trên là ch : Nu bit mt nghim riêng 
'   (*0’ o ) ca phng trình ax + by + c —  0, thì mi nghim ca phng trình
này có dng :
 
 y = yQ- a t 
Vì th gii phng trình CA' + by + c —0, ta ch cn tìm mt nghiêm
riêng (jf0,  y) ca nó mà thôi !
- M t nghim riêng (x0, y)  ca phng trình ax + by + c =  0 là mt
nghiêm c th nào ó ca phng trình y.
BÀI 3. Tim nghim nguyên ca phcmg trình 2 x — ì9 y + 2 ì — 0.
 Li gi i
Ta s gii bài này bng nhiu cách khác nhau.
Cách 1 (Phng pháp bin s nguyên).
Xét phng trìn h :
T (1) ta có :
1 9J.-2 1 = j y - 1 5 3 _ 5 , z z l . (2) 12 12 12
X nguyên, thì —— - = f 6 z => ;y = 2í + 3. Thay li vào (2) ta có :
X = 24? + 6 —3 —5? = 19í + 3.
Vy nghiêm ca phng trình ã cho à :
x  = 19/ + 3 \ tGZ. y = 2? + 3,
/VMm xét.
- Cách gii này n gin và cho ta công thc trc tip nghim ca phng trình ban u (mà k hôn g cn thông qua nghim riêng) .
- Tuy nhiên vi phng trình n gin nh th này, ta có th thy ngay
{3, 3) !à mt nghim riêng. Sau ó dùng kt qu Bài 2 s có :
* = 3 - 1 9 r   te z. y =  3 - 12í.
44
 
(Ch vic thay t = - t v   ta có li công thc nghim nh trên).
D nhiên không phi phng trình bc nht ax + by + c =  0 nào cng
d dàng tìm c m t nghim riêng !
Cách 2 (Phng pháp s dng   <!>- hàm Euler).
Phng pháp này da trên mnh sau :
 M nh . Xét phng trình ax + by + c = 0,  trong ó a, b  là các s
nguyên dng, (a, b) = 1, c  là s nguyên. Khi ó phng trình này có mt
nghim riêng sau ây :
' %=*•— - >
Do a, c  là các s nguyên, còn > () > 1 là s nguyên, nên hin nhiên
 x   Ià s nguyên. Theo n h lí Euler, thì
am  = 1 (mod b) =» (am - ì ) [b.
T ó  y0  là s nguyên. Mt khác :
ax0 + by0 + c = — aca + ca — c + c = — + C'>() = 0.
Vy (x0, J0) là nghim riêng   ca phng trinh ax + by + c —  0 , suy
ra pcm.
Tr li phng trình ã cho :
1 2 x - l 9 y + 21 = Q- &1 2x + 1 9 ( - y) + 2 l = 0
 I2 x + 9 z + 21 = 0 ,-vi z = —.
Do 19 là s nguyên t, nên $Cl 9) = 19 —1= 18. Do ó :
'x0 = - 2 . l2 n .
là m t nghiêm riông ca phng 'trình 12x + 19z + 21 = 0. Vy mi nghim riêng ca phng trình này có dng :
45
 
1 * _ 1  í 6 z. Z - 2 1 - —  ----- - —12?,
9
 Nói cách khác, phng trình  2 x — 9 y + 2 Ì ^ Q có  nghim ià :
x = —21.12 17 + 19? 1ÌS  _ 1 t  s 2.
y ——21- - +12?, 19
 N hn xét.
Cách gii này hoàn toàn mang f«/z cM? lí ihuyt. Trong thc t nu s dng phng pháp này gii bài toán trên, có l ngi ta s cho rng chúng ta hoc à "có vn v thn kinh", hoc là b "cung ch" !
Cách 3 (Phng phá p s dng "liên phâ n s").
Trc ht, ta hãy trình bày phng pháp s dng "iên phân s” tìm mt nghim riêng ca phng trinh' ax + by = c,    ây a, b, c  là các s
nguyên, và (, b) =  1. Ta có nhn xéí sau :
 Nu (x, )  là nghim .riêng ca phng trình ax + by = ì,  thì
(c„r0, cy0) là ngh iêm ca p hng trình a x + b y = c.
Ta biu din — íhành liên phân s hu han : l!
= a0  ’ ai5^2 ’ ••’ an ] •
Gi C n_J = và Cn = — à hai gin phân cui cùng ca iiên 1 <7»
 phân s này. Khi ó ta có : - r = — ; {a, b) —  1 ; [pn, qn) =  1, nên a = p n  ; \b\ qn
\b\ = qn.  Theo tính cht ca liên phân s hu hn (xem Chng 1), ta có :
 pnq 1 - 1 -\b\pn_{=(-ÌT~l 
=^(-l)"_I «n_].+ |Z?|(-l)"/?„-i =!•
46
 
1) Nu b >  0, thì phng trình ax + by =  1 có nghim riêng là :
 x 0  = ( - ) n_1 . y y 0 =   ( - 1) "  p H_ .
2) Nu b < 0, thì phng trình ax + by = 1 có nghim riêng là :
Tr li bài toán ang xét. Ta có :
ì 2 x - ì9 y + 2 l = ^ 2 x - ì 9 y = - 2 \ .
Ta hãy tìm mtn gh im riêng ca phng trình
 Ì 2 x - I 9 y = .
, 12 Ta hãy tìiu din phân s — thành liên phân s hu hn :
12 = 0.19 + 12 ;
.19 = 1.12 + 7 ;
12 —1.7 + 5 ;
7 —1.5 + 2 ;
5 = 2.2 + 1 ;
'2 = 2 .1:
Vy — = [0 ; u , 1, 2, 2], T acó n = 5 và
 p 0 = a0 = 0 ; qQ= \ \
 p x  = a 0a j + 1 = 1 ; -. , = 1 ;
 P2 = a2Pl +Po   1=1 ; ' < ? 2 - a 2í? l + <? 0 = 2 ;
Ps = aP2 + Pi —2 ; :<?3 = *?1 = 3 ’>
P4 = + >2 = 5 ' ?4 = a4Ch +<2 = 8-
Do >= —19 < 0, vy phng trình 12z —19y = l có mt nghim riêng là
 x0 = ( - l ý .q 4 = 8
47
 
Vy phng trình  I2 x — 9 y + 2 = Q  nhn
 ÍX =  —8.21 = —168
\yi = - 5 .2 1 = -1 0 5
là m t nghim riêng. Vì th phng trình 12x —  19y + 21 có nghim là
 N hn xét.
Ging nh phng pháp $ - hàm Euler, phng pháp liên phân s hu hn cng ch mang nng tính cht lí thuyt mà thôi !
 B nh lun .
Vi cùng mt phng trình  2x — 9y + 2 = 0, bng ba phng pháp
. gii khác nhau cho ta ba áp s :
Ba áp s này "b ngoài" có v khác nhau. Nhng thc cht ca chúng là mt. Chúng có cùng mt lõi, ch khác nhau phn "nghim riêng"   mà thôi !
BÀI 4. •' Cho a, b, c  nguyên dng. Xét phng trình vô nh
ax —by = c.  Chng minh rng nu phng trình ã cho có
nghim nguyên, thì nó cng có nghim nguyn dng.
 Li gi i
ax + (— b) y + (—c) = 0.
Ta luôn có th cho à (a, b) =    (xem Bài 2). Theo Bài 2, gi s
(:x0, yQ)  là mt nghim ca phng trình này, thì mi nghim ca nó có
d n g :
 x = x0 - b t  í E z.
 y = y0 - a t ,
 
Cho t —>— oo,  thì rõ ràng X —>+00   và y  —>+CO. iu ó chng t rng phng trình ã cho không nhng có nghiêm nguyn dng, mà còn có vô hn nghim nguyên dng. ó là pcm.
BÀ I5 . , 1) Cho a, b  nguyên dng và (a ,b) = l .  Chng minh rng
 phng trình ax + by — ab  khng có nghim nguyên dng.
2) Cho phng trình ax + by = c,  ' ây a,, b, c  nguyên
dng, (a, b) =  1 và c > ab.  Chng minh rng'phng trình
ã cho có nghim nguyên dng.
 Li gi i
1) Gi thit trái li, phng trình ã cho có nghim nguyên dng
(x0, ;y0). Khi ó ta có :
ax0 + by0 = ab=> by0 = a ( b - x 0).  (1)
T (1) suy ra by   : a.  Do (a , b) =   1, nên y0 : a,  tc là ;y0 = at,  V t0 
nguyên dng. Lí lun tng t la cng có x0 = bk0,  vi k0  nguyên ãong.
Thay li vào phng trình trên, ta c :
abk0 + a bt 0 — a b k0 +   0 — I . (2)
Vì k, t0  nguyên dng nên k >   ; r0 > 1. Ta nhn c /c0 + t > 2
là iu mâu thun vi (2). Vy gi thit phn chng là sai, tc à phng trình ax + by — ab  không có nghim ngúyên dng. ó à pcm.
2) Vì (a, b) =  1, nên theo Bài 1 ,suy ra phng trình
ax — by = c  (3)
có nghim nguyên. Do vy theo Bài 2 suy ra (3) có nghim nguyên dng, tc là tn ti các s nguyên dng UQ, v0 sao cho
au0 — bv0 — c > ab.  (4)
Chia c hai v ca (4) cho ab,  ta có :
^ - ^ > . 1 , (5) b a
T (5) suy ra tôn ti s nguyên rQ tho mãn iu kin :
CHUYÊN ...NGHIM NGUYN — 04A 49
 
 
a b
t x0 - Uq - bt0  và y0 = at  - v0. Khi ó rõ ràng  x0  và ;y0 là nguyên
(do a, b, u0, v0, t   là các s nguyên), ngoài ra í (6), thì x0 > 0 , u > 0. Mt
khác, ta có
ax0 + by= a[u — btii) + b{atíò~ v ) = au — bv = c.
''•/ì ! ó (- V Jo ) là nghim nguyên dng ca phng trình
ax + by — c.  ó chính là pcm.
(6)
BÀI 6. Tm nghim nguyên dng ca phng trình 8x —27 y  —38.
 Li gii
Trc ht ta hãy tìm các nghim nguyên ca phng trình
%x —7Tiy = 38.
T i i ( ) t a c ó :
27^ + 38 3y + 6   ,  y + 2  x =  — — -----= 3 j + 4 + - ^ -— = 3;y + 4 + 3- — — .
(1)
(2)
 y = 8í —2, và thay và (2) ta có :
y+2 t, í   nguyên. Khi y
•  X  —24f —~6 4 -~31 —271 —2.
 Nh vy nghim, nguyên ca phng trình ã cho lá
\x = 2 1 t - 2
 y - t - 2 , te z.
X >0, y > 0 thì
[ 2 7 ?- 2 > 0
2 t > ---
27 1
t > — 4
'  4 '
1 Do t   nguyên, nên t t > — ,  suy ra t — \,  2,... Vy nghim nguyên
' 4 ng ca phng trình ã cho có dng sau :
50 CHUYÊN ...NGHIM NGUYN — 04B
 
 
x — 7.11 —  2
 b = 8 / - 2 , ' '
vi t —  1, 2,... Ta có   th lit kê vài nghim u tiên ca phng trình này
trong bng sau :
 Nhn xét.
1) Ta có th gn bi toán trên vào bài toán sau ây : Xét hàm s'
 f (x ,y )< = 2 x + 5y,   trn min
 D  —   ( x ,  y ) :  X, y   nguyên dng và 8x —27 y =  38}.
Tìm giá tr nh nht ca  f ( x ,  y )   trên min  D.   .
T trn suy ra
 D-  ,  . vX — T ì t — l . (X, y ) : j vi t  = 1, 2 , . . . v ly —8í - 2
Lúc này a có : ,
 f (x, y) = 2x + 5y  = 2(27 1 - 2) + 5(8 í - 2) = 941 - 1 4 .
T ó ta có :
mip  f i x , y)i=  m in(9 4r —14), vi T  == {/ e z • í  > l}. (x ,y )àD 1ST  
T ó d thy :
min (94/ -1 4 ) = 94.1 —14 = 80. teT 
V fflin / ( * , } ) —80, và giá tr nh nht t ílc khi  x =  25 ; • ( x , y ) e   : :( x , y ) D
 y = 6   (ng vi / = 1).
tìm mt ni ln ra ng. Ngi h nht thc dy, n b sông, m s cá thy chia ba tha mt con, bèn vt bt mt con xung sông và xách 1/3 s
51
 
nsú, n b sông, m s cá, vt mt con xuông sông và xách 1/3 sô cá vê nhà. Ngi th ba thc dy, c ngh à mình dy sm nht, n b sông, m s cá xong vút mt con xung sông và xách 1/3 sô' cá v nhà. Bit rng h à ba chàng i câu cá ti. Bn hãy tính xem h ã câu c bao nhiêu con c.
Gi X à s cá h câu c và  y  í s cá còn i sau khi c ba ngi
ã y i phn cá ca mình.
S cá ngi dy u tiên y i là :
U - 1 ) .
i f 2
3 13
S cá còn i sau khi c ba ngi ly i là :
27.2
313
- ( x - ) - l - i .3
O c - l M 2 .. 5  —* ——  3 3.
2 (2 x - 5 )
^ 2 { A x - m - 9 ) = 21y 
%X — T y =  38.   ( 1)
Ta phi tìm nghim nguyên dng bé nht   (i vi  x )  (vì ba chàng i câu là nhng ngi câu cá ti) ca phng trình (1).
Da vào bng ã p ía thy nghim  X  — 25  à thích hp (lúc ó  y =   6 ). Tr li s cá h câu c là 25 con !
BÀ I 7. Cho a, b  là hai s nguyên dng khác 1 và (a, b) =   1. Cho c 
ià sô' nguyên dng và c > ab — a — b.  Chng minh rng  phng trình ax + by ----- c có nghim nguyên không âm.
52
 
ax -- by — c.  (1)
T (1) ta có :
*0 = 0 ; = 1;  x2 = 2 ; . . . ;  xb_ = b —1.
Khi ó ta nhn c các giá tr tng ng cùa  y   là
c c — a c — 2 c — ba + a
: . . y° = b ^ . = ~ b ^ = ' b   ....
Rõ ràng ta có :
Ta có nhn xét sau : Mi s trong các s c — X i =  0, 1, b — ì)
khi chia cho s cho nhng s d khác nhau.
Tht vy, nu tn ti 0 < í'< ý < —1 mà
( c —aXj) = (c — aXj'j   ( m o d b ) .
Khi ó |(c — ãX ) — c — a X j : b,  hay a x j — x : b.  VI {a — b) =  1, nên
(xj   : b,  hay
(j-i)':b.  (2)
Do 0 < i <  j < b —1, nên 0 < j — i < b — l.   T ó theo (2) suy ra vô lí.
M t khác, mt s nguyên khi chia cho b  thì ch có b  loi phnd.Vìl trong dãy  y0, _yp  y b_x có úng mt và ch mt    à s nguyên (chú-ý
rng   ây do 1 =» b > 1).
T gi thit c > ab — a — b  ta suy ra :
c — ab + a  '
53
 
Theo trên tn ti y; nguyên vi 0 < i < b — \.  Do  ,- > —  1 => y-t  > 0 ,
vy 3;. à sô' nguyên không âm. Nghim (x,., ,-) chính là nghim nguyên
> 0 ca phng írình ax  + b y = c.  Tóm i, c > a b — a —b   à mt iu kin 
  v s tn ti nghim nguyên > 0  ca phng trình a x  + b y  + c —  0
(pcm).
BÀISo Tìm giá tr nh nht ca hàm s  f ( x ,  y) = 5U |  — 3 y| , trên tp
 L i gi i
t  D  |(jc, }’):  X,  y  € z và  Ax 4- 5y —  7} . Trc ht, ta có nhn xét
rng : Nêu  X  và  y   là các s nguyên tho m ãn phng trình
Mt khác,và y   phi khác du (íht vy, nu chng hn X > 0, y  > 0, thì
X > I, > , và khi ó v trái ca () > 9 , ó là iu vô lí). Vì l ó
 D = DX u2, trong ó
D x =  {(jf, y ) : X, y e z , X >  0, y  < 0 và 4x  + 5y   = };
D2 = j(jr, y ) : X, y e Z , X <  0, }’ > 0 và 4jf + 5y =  7 .
Hin: nhiên ta có :
Trên miên D, thì  f ( x , y ) = 5\x \~3\ \ — 5x + 3y  (do  x > 0 , y < 0 ) .  
Ta e ó :
hp các nghim nguyên ca phng trình 4x + 5 y =  7.
 Ax + 5y —  7, ( )
. . _ 7 —5y _ 1 + y 4 * + 5y = 7 =» X = — — — 2 — V----- — 
^ 7 4 4
, 1 -- y  X, y   nguyên hì  — —  — t, te  2. T ó có :
54
 
 x = 2 ~ 4 t + i — t ) x = 3 — 51.
Do :
Do t'  nguyên nên í —  0, —1, —2 ,. .. Lúc này :
 f { x , y ) = 5 x + 3 y= -5(3~ 5t) + 3 { 4 t - ) = l 2 - \ 3 t :
Ta có :
mn  f i x ,  y) = m inF(r), . . (^ )ê V '   /eh, .
ây  F(t) = ì 2 ~ l 3 t   và .t  = {? : 0, -1 , - 2 ,. . .} . D thy :
min F it ) — F  (o) = 12. /en.
: , X . ; Lr = 3 - 5 .0 = 3 x = 3 min  f (x , y) — 2 &\  j
(x“y ) € O i [ = 4 . 0 - l = - l - [y = - l .
Trên min Z)2, thì  f { x , y) = 5\x\ — 3\y\ = —5x — ?>y  (do X < 0, ;y > 0 ).
The trên ta c nghim nguyên ca phng trình (1) l à :
y = 4 f - l
jc = 3 -5 f .
x < 0
> 0
Lúc này •
 f { x , y) = - 5 x - 3 = -5 ( 3 - 5í) - 3(41- 1) = 13 r -1 2 .
Ta c :
min  f ( x ,   j ) = m i n G (í), (x.-y)<=D2  í e f i 2
ây G(f) = 13 r-12 và í 2 = { / : t -  1, 2,...}. D thy :
-W.
55
 
m i n G Í / )= . G ( ) = 1. / Í-'\ -!
Vv ;
u.V i-V V = 4 . 1 - 1 = 3.
T (2) suy ra :
min / Í .í . ví = min {12. 1 = 1. Í A . v S ^ O ' ' ’ ' 
Txn li :
min  f [ x ,  v) = .r = —2 ; V = 3.
BÀI 9. Cho b, c  à các s nguvên tho mn iu kin lal < \b\ < A, 
tron? ó A là s nguyên dng và ( a , b ) — .  Xét phng
trình nghim nguyên sau : a.\- + h = c.  Chng minh rng s
nghim nguyên (.V, v) ca phng trình ã cho mà tho mãn
3/4 iu kiên . v <  A, y < A  không vt quá I—- .
. . li
Xét hai kh nns sau :
1) Nu a —  0. Vì {a, h) = 1. nên /; —I hoc b = — . Líie này phng
trình có dna;: • V= ±c . (1)
Trong phng trình (í ) s nhim nguyên tho mãn UI < /4 , v < A
không vt quá .s im nguyn trên  —A ; ,4 ]. tc là nh hn hoc còng m
, , - „ . 3/4 a bãnt 2/4 4- í < 3/4 = —-T-
\b\
Kt lun ca bài toán úng trong rng hp này.
2) Nu a * 0. Gi sU\ v), (a-/, y')  là hainghimnguyên khác nhau
ca phng trình ã cho, thìt ax  4- by = ax ' + by ' — c, suy ra :
b(y '   —  y)  = a (x - x ').   (2)
Do (a, b) = 1. nên t (2) ta có :
56
 
(x — x ' ) : b => ix —jr l > l|. (3)
Gi s (a-,; V,), (jf2;  y 2) , . . . , (_Y(I; y n)  là tt c các nghim ngu yên thoa
mãn :
k . < / L .v , .|< Á ,/ = . (4)
Không gim tính tng qáí có th ch là .V < X o < . . . <  x n .  T (3) i
n :
 —-V, >
Cng tng v các bt ng thc trên ta có :
 xn - X , > ( « - l ) | | . (5)
. Mt khác, t (4) ta có :
(6)
3A > n\h\ => n < \b\
à pcm.
BÀI 10. Gi s n  là s nguyên dng cho trc. Ta nh ngh a dãy
 Pharei hng n  là dãy tng lp t các phân sô' ti gin —, mà \ h
chúng tho mãn tính cht sau : (í7, b) =  1, 0 < a < b < n.
1 1 1 9 3 (Thí d dãy Pharei hng 4 là dãy sau : 0, 1).
Chng iiinh rng :
  I
1) Nu —, — à nhng sô' hang liên tip trong dãy Pharei và b
 — < — thì be — ad  == 1. b d 
2) Nu —, —, — là ba s hang liên tip trong dãy Pharei v b d f 
a c e  s c a + e thì — = — :— .
b d f d b + f  
 Li gii
ì ) Do  — < — =$ad < bc => bc — a>  0. Do tính nguyên ca bc — ad.
suy ra : bc — a d > .   ( 1)
Gi thit phn chng kt lun ca bài toán không úng, tc là bc — ad   1.Khi ó t (1), ta có :
b c — a > .  (2)
t b c - a d = m,  thì m  nguyên > (suy t (2)). Do (, b) —  1, nên
có th chn c x0, 3>0 nguyên sao cho :
bx  — ay  = 1. (3)
Khi ó theo công thc nghim ca phng trình vô nh bc nht, thì
I X — xn T ak  k  e Z , (4){y =y+bk,
là nghim nguyên ca phng trình bx — ay =  1. T (4) ta có th chn
k  e z sao cho :
o « < n 
(5)
 y+ b k + b > n
- í < k < '± ZL   b b  t ì ^ _ 1 < í s £ z i . (6)
l c > í =   2   í ~ í b b
58
 
T s ehng minh rng vi cách chn x , y   nh vy (tc là chn X, t (4) vi £ tho mãn (6)), ta có :
0 < X  <  <n.
Tht vy,