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Análisis de Markov (primer orden)

Introducción

El análisis de Markov tuvo su origen en los estudios de A. A. Markov (1906-1907) sobre la secuencia de los experimentos conectados en cadena, en los intentos para describir matemáticamente los fenómenos físicos conocidos como movimiento browniano. En los años treinta y cuarenta W. Feller, W. Doeblin, P. Levy, J. L. Doob y otros desarrollaron la teoría general de los procesos de Markov.

Hoy día, el análisis de Markov se define como una manera de analizar el movimiento actual de alguna variable en un esfuerzo por predecir o pronosticar el movimiento futuro de la misma. Este método ha pasado a ser una herramienta de investigación de mercados para examinar y pronosticar el comportamiento de los clientes según el punto de vista de su lealtad a una marca y de la forma de cambiar a otras. La principal suposición es que los clientes no cambian de una marca a otra al azar, sino que con el futuro cambian de marca, de tal forma que esto refleja sus selecciones del pasado. Debe decirse, sin embargo, que las aplicaciones de esta técnica no se limitan al mercadeo.

Hipótesis

“Una de las funciones del análisis de Markov es para pronosticar las participaciones futuras del mercado”

Desarrollo

Los problemas del análisis de Markov son de diferente orden. Los de primer orden se consideran sólo las selecciones de marca hechas durante el periodo actual a fin de determinar las probabilidades de selección del siguiente periodo. En un análisis de Markov de segundo orden supone que las selecciones para una marca específica en el periodo venidero dependen de las selecciones de marca hechas por los clientes en los dos últimos periodos. De modo semejante, en un proceso de Markov de tercer orden se analizan las preferencias de los clientes durante los últimos tres periodos para pronosticar su comportamiento respecto a marcas particulares en el siguiente periodo. Además se pueden formular hasta cadenas Markov de alto orden para pronosticar los cambios futuros en los clientes.

Como el análisis de Markov de primer orden ha resultado un método confiable para pronosticar las futuras preferencias de los clientes hacia ciertas marcas debido a que la matriz de probabilidades de transición permanece estable o casi estable durante cierto periodo, solo nos ocuparemos detalladamente del primer orden.

Investigación de operaciones II Página 1


Desarrollo de la matriz de probabilidades de transición.

Para ilustrar el proceso de Markov se presenta un problema en el cual los estados de las actividades son marcas y las probabilidades de transición pronostican la probabilidad de que los cliente cambien de una marca a otra.

Supóngase que la muestra inicial de consumidores se compone de 1,000 personas que responden a la encuesta, distribuidas en cuatro marcas A, B, C y D. Los datos obtenidos se arrojan en la siguiente tabla:

Tabla1.- intercambio de clientes durante un mes.

CAMBIOS DURANTE EL PERIODO

Marca

PERIODO 1, NUMERO DE CLIENTES

GANANCIAS PERDIDASPERIODO 2, NUMERO DE

CLIENTESA 220 50 45 225B 300 60 70 290C 230 25 25 230D 250 40 35 255

1000 175 175 1000

De acuerdo con la tabla1, la marca A perdió 45 clientes con una retención de 175 (220 – 45). Para determinar el factor de probabilidad del “componente permanente” o grupo que no ha cambiado de marca, el número de clientes retenidos en el periodo bajo revisión se divide entre el número de clientes al comienzo del periodo, que da como resultado una probabilidad de transición de 0.796 (175 / 220) para la marca A. Las probabilidades para B, C y D se calcularon con los resultados 0.767, 0.891 y 0.860, respectivamente.

A fin de complementar la matriz de probabilidades de transición para los clientes que cambian de marca es necesario determinar las ganancias y pérdidas entre las marcas, lo cual se muestra en la siguiente tabla:

Tabla2.- cambio de marca, ganancias y pérdidas.

PERIODO 1,

NUMERO DE

CLIENTES

Ganancias dePERDIDAS A FAVOR DE PERIODO

2, NUMERO

DE CLIENTESMarca A B C D A B C D

A 220 0 40 0 10 0 20 10 15 225B 300 20 0 25 15 40 0 5 25 290C 230 10 5 0 10 0 25 0 0 230D 250 15 25 0 0 10 15 10 0 255

1000 1000



En la tabla2, es posible observar no sólo las ganancias o pérdidas netas para cualquiera de las cuatro marcas, sino también las interrelaciones entre las ganancias y pérdidas de clientes con cada marca.

A partir de los datos desarrollados, el siguiente paso es convertir el cambio de marca de los clientes de manera que todas las ganancias y pérdidas tomen la forma de probabilidades de transición.

Una forma conveniente para presentar estas probabilidades y facilitar los cálculos matemáticos es el uso de matriz de probabilidades de transición.

Tabla3.- matriz de probabilidades de transición

Ganancias de m

MARCAS ÓMARCAS

Pérdidas a favor de

A B C D A B C D

A 175 40 0 10 225 A 0.796 0.133 0 0.04B 20 230 25 15 290 B 0.091 0.767 0.109 0.06C 10 5 205 10 230 C 0.046 0.017 0.891 0.04D 15 25 0 215 255 D 0.067 0.083 0 0.86

220 300 230 250 1000

= RETENCIONES.

Los renglones de la matriz muestran la retención de los clientes, y la ganancia de los mismos, mientras que en las columnas muestran la retención de sus clientes y su perdida. En la tabla3, la primera matriz esta en términos del número actual de clientes, mientras que en la segunda se expresa en términos de probabilidades de transición. Hay que recordar que esas probabilidades son aplicables a todos los clientes, porque se trata de una muestra representativa de un millar de ellos.

Cálculo de las participaciones probables futuras del mercado. (Primer orden)

En el ejemplo, las participaciones del mercado para las marcas A, B, C, y D son ahora del 22, 30, 23, y 25%, respectivamente, para el periodo uno. El cálculo de las participaciones probables del mercado para las marcas A, B, C y D en el período dos consiste en multiplicar la matriz de probabilidades de transición por las participaciones del mercado en el primer periodo.


PERDIDAS

GANACIAS


A B C D

periodo uno, participaciones en el mercado

segundo periodo, probables participaciones en el mercado

A 0.796 0.133 0 0.04 0.22 0.225B 0.091 0.767 0.109 0.06 X 0.3 = 0.29C 0.046 0.017 0.891 0.04 0.23 0.23D 0.067 0.083 0 0.86 0.25 0.255

probabilidades de transición

Los cálculos para la marca A (primer renglón X primera columna):

1.- Habilidad de A para retener sus propios clientes por participación de A en el mercado:

0.796 X 0.22 = 0.175

2.- Habilidad de A para obtener los clientes de B por la participación de B en el mercado:

0.133 X 0.30 = 0.040

3.- Habilidad de A para obtener los clientes de C por la participación de C en el mercado:

0 X 0.23 = 0

4.- Habilidad de A para obtener los clientes de D por la participación de D en el mercado:

0.040 X 0.25 = 0.010

Participación del mercado de la marca A en el periodo dos: 0.175+.040+0+.010=0.225

Se hacen cálculos similares para las marcas B, C y D, los que nos resulta:

Participación del mercado de la marca B en el periodo dos = 0.290

Participación del mercado de la marca C en el periodo dos = 0.230

Participación del mercado de la marca D en el periodo dos = 0.255

Tras resolver el periodo dos, tomando en cuenta las participaciones del mercado al inicio y las probabilidades de transición, se puede determinar el periodo tres en dos formas.

Primer método (cálculos) El primer método es una continuación del anterior, es decir, la multiplicación de la matriz original de probabilidades de transición por las participaciones de las marcas en el segundo periodo.



A B C D

segundo periodo, probables participaciones en el mercado

periodo tres, participaciones probables en el mercado

A 0.796 0.133 0 0.04 0.225 0.228B 0.091 0.767 0.109 0.06 X 0.29 = 0.283C 0.046 0.017 0.891 0.04 0.23 0.231D 0.067 0.083 0 0.86 0.255 0.258

probabilidades de transición

La ventaja de este primer método es que se pueden observar los cambios que ocurren periodo a periodo.

Segundo método (cálculos) Si el investigador desea la participación en el mercado de una marca particular para algún periodo futuro en específico, sería preferible usar este segundo método. Este, aprovecha básicamente la elevación de la matriz de probabilidades de transición a una potencia que representa el número de periodos en el futuro para después multiplicarlo por las participaciones originales en el mercado. Por ejemplo, las participaciones probables del mercado para el periodo tres, que está dos periodos hacia el futuro, se calculan como siguen:

A B C D

participaciones originales del mercado para cada periodo

periodo tres, participaciones probables en el mercado

A 0.6484 0.2112 0.0145 0.0742 0.22 0.228

B 0.1513 0.6073 0.1808 0.1056 X 0.3 = 0.283

C 0.0818 0.0375 0.7957 0.0729 0.23 0.231

D 0.1185 0.144 0.009 0.7473 0.25 0.258

probabilidades de transición elevada al cuadrado

Condiciones de equilibrio.

La condición de equilibrio solo resulta si ninguno de los competidores altera la matriz de probabilidades de transición.



Los cambios en la participación de mercado entre el periodo en equilibrio y el periodo precedente son tan pequeños que matemáticamente se los trata como iguales. De donde, en la matriz de probabilidades de transición se puedan desarrollar ecuaciones para cada renglón, junto con la adicción de ecuación final cuya suma de todas las variables dará 1.0. A estas ecuaciones se les puede resolver simultáneamente o por determinantes.

Conclusiones

Como se pudo observar la hipótesis propuesta al inicio del ensayo es acertada, ya que, a través del ejemplo expuesto se logro dar uso de las cadenas de Markov para obtener las posibles participaciones futuras en el mercado. Cabe mencionar que este ejemplo solo se tomo con fines didácticos, por lo que el uso de las cadenas de Markov no se limita en el mercadeo.

El análisis expuesto de las cadenas de Markov fue de primer orden, en vista de que la probabilidad de los eventos futuros o del evento futuro dependía solamente de los resultados del último periodo.

Bibliografía.

Introducción a la investigación de operaciones, Robert J. Thierauf, editorial limusa, año 1986, “análisis de Markov”, págs. 369-380.

Toma de decisiones por medio de investigación de operaciones, Robert J. Thierauf. Richard A. Grosse, editorial limusa, año 1972, “análisis de Markov”, págs. 401-410.


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