Resolução de Problemas

Matemáticos

Aluno

Caderno de Atividades

Pedagógicas de

Aprendizagem

Autorregulada - 01 7ª Série | 1° Bimestre

Disciplina Curso Bimestre Série

Resolução de problemas matemáticos

Ensino Médio 1° 7ª

Habilidades Associadas

- Resolver situações-problema envolvendo os números inteiros

- Resolver situações-problema abordando os conceitos de ângulos.

2

A Secretaria de Estado de Educação elaborou o presente material com o intuito de estimular o

envolvimento do estudante com situações concretas e contextualizadas de pesquisa, aprendizagem

colaborativa e construções coletivas entre os próprios estudantes e respectivos tutores – docentes

preparados para incentivar o desenvolvimento da autonomia do alunado.

A proposta de desenvolver atividades pedagógicas de aprendizagem autorregulada é mais uma

estratégia pedagógica para se contribuir para a formação de cidadãos do século XXI capazes de explorar

suas competências cognitivas e não cognitivas. Assim, estimula-se a busca do conhecimento de forma

autônoma, por meio dos diversos recursos bibliográficos e tecnológicos, de modo a encontrar soluções

para desafios da contemporaneidade, na vida pessoal e profissional.

Estas atividades pedagógicas autorreguladas propiciam aos alunos o desenvolvimento das

habilidades e competências nucleares previstas no currículo mínimo, por meio de atividades

roteirizadas. Nesse contexto, o tutor será visto enquanto um mediador, um auxiliar. A aprendizagem é

efetivada na medida em que cada aluno autorregula sua aprendizagem.

Destarte, as atividades pedagógicas pautadas no princípio da autorregulação objetivam,

também, equipar os alunos, ajudá-los a desenvolver o seu conjunto de ferramentas mentais, ajudando-o

a tomar consciência dos processos e procedimentos de aprendizagem que ele pode colocar em prática.

Ao desenvolver as suas capacidades de auto-observação e autoanálise, ele passa a ter maior

domínio daquilo que faz. Desse modo, partindo do que o aluno já domina, será possível contribuir para

o desenvolvimento de suas potencialidades originais e, assim, dominar plenamente todas as

ferramentas da autorregulação.

Por meio desse processo de aprendizagem pautada no princípio da autorregulação, contribui-se

para o desenvolvimento de habilidades e competências fundamentais para o aprender-a-aprender, o

aprender-a-conhecer, o aprender-a-fazer, o aprender-a-conviver e o aprender-a-ser.

A elaboração destas atividades foi conduzida pela Diretoria de Articulação Curricular, da

Superintendência Pedagógica desta SEEDUC, em conjunto com uma equipe de professores da rede

estadual. Este documento encontra-se disponível em nosso site www.conexaoprofessor.rj.gov.br, a fim

de que os professores de nossa rede também possam utilizá-lo como contribuição e complementação às

suas aulas.

Estamos à disposição através do e-mail curriculominimo@educacao.rj.gov.br para quaisquer

esclarecimentos necessários e críticas construtivas que contribuam com a elaboração deste material.

Secretaria de Estado de Educação

Apresentação

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Caro aluno,

Neste caderno, você encontrará atividades diretamente relacionadas a algumas

habilidades e competências do 1° Bimestre do Currículo Mínimo de Resolução de

Problemas da 7ª série do Ensino Fundamental. Estas atividades correspondem aos

estudos durante o período de um mês.

A nossa proposta é que você, Aluno, desenvolva estas Atividades de forma

autônoma, com o suporte pedagógico eventual de um professor, que mediará as trocas

de conhecimentos, reflexões, dúvidas e questionamentos que venham a surgir no

percurso. Esta é uma ótima oportunidade para você desenvolver a disciplina e

independência indispensáveis ao sucesso na vida pessoal e profissional no mundo do

conhecimento do século XXI.

Neste caderno de atividades, iremos desenvolver as ideias associadas às

operações com números inteiros bem como o conceito, o cálculo e as propriedades dos

ângulos e nos aprofundar no estudo de triângulos, suas classificações e entender como

trabalhar com suas medidas. Na primeira parte do plano, iremos trabalhar com as seis

operações e introduzir alguns problemas. Em seguida, iremos aprender o conceito de

ângulos e bissetriz. Por fim, vamos trabalhar com os tipos de triângulos, suas

classificações e cálculo de medidas internas.

Este documento apresenta 03 (três) Aulas. As aulas podem ser compostas por

uma explicação base, para que você seja capaz de compreender as principais ideias

relacionadas às habilidades e competências principais do bimestre em questão, e

atividades respectivas. Leia o texto e, em seguida, resolva as Atividades propostas. As

Atividades são referentes a dois tempos de aulas. Para reforçar a aprendizagem,

propõem-se, ainda, uma pesquisa e uma avaliação sobre o assunto.

Um abraço e bom trabalho!

Equipe de Elaboração

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Introdução ...............................................................................................

03

Aula 01: Conhecendo os Números Inteiros ..............................................

Aula 02: Operando com os Números Inteiros .........................................

Aula 03: Ângulos: definição e classificação...............................................

Avaliação ...................................................................................................

Pesquisa .....................................................................................................

Referências: ...............................................................................................

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Sumário

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Nesta aula, iremos trabalhar situações-problema envolvendo os números

inteiros. No entanto, para conseguir atingir tal objetivo precisamos saber operar com

os inteiros? Você lembra como realizamos as operações com os números inteiros?

Vamos começar relembrando como representamos os elementos deste conjunto na

reta numérica.

1 REPRESENTAÇÃO NA RETA NUMÉRICA:

Você sabia que, assim como os números naturais, os números inteiros também

podem ser representados em uma reta numérica? Vamos desenhar uma reta r. Sobre

ela, marcamos o ponto O, que chamaremos ponto de origem e corresponde ao

número zero.

Fonte: http://reforcodematematica2013.blogspot.com.br/2013/06/modulo-ou-valor-absoluto.html

Em seguida, marcamos outro ponto na reta, a uma distância qualquer do ponto

O, e associamos a esse ponto o número +10. Dessa forma, estabelecemos a unidade

de medida e o sentido positivo da nossa reta numérica.

Usando uma régua, a partir do ponto O, marcamos à sua direita e à sua

esquerda os segmentos de medida P1, P2 e P3.

Aula 1: Conhecendo os Números Inteiros

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A cada ponto à direita de O, fazemos corresponder os números inteiros

positivos e, a cada ponto à esquerda, os números inteiros negativos.

O estudo da reta numérica é importante porque nos ajuda a comparar os

números inteiros. Observe:

– 5 é menor do que – 3

– 5 é maior do que – 10

10 é maior do que – 20

Você já ouviu falar de números opostos ou simétricos? Também é importante

conhecê-los!

Veja alguns exemplos:

a) O oposto de + 1 é - 1

b) O oposto de – 4 é 4

c) O oposto de zero é o próprio zero

d) O oposto de – 2 é 2

Exemplo 1:

A tabela abaixo mostra a variação de temperatura no município de Santa Maria

Madalena, região serrana do Rio de Janeiro, na primeira semana do mês de julho de

2012.

O oposto de um

número positivo é

um número negativo

e vice-versa

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a) Qual dia da primeira semana de julho fez mais frio em Santa Maria Madalena?

b) Em quais dias da semana a temperatura ficou negativa, ou seja, abaixo de zero?

Resposta:

Para responder aos itens (a) e (b), devemos observar a tabela apresentada e

usar os conhecimentos adquiridos nesta aula. Pense na reta numérica que lhe foi

apresentada. Em seguida, identifique o menor número da tabela. Este será a resposta

da nossa pergunta! Logo, o dia em que fez mais frio foi sábado, pois a temperatura

estava em -2oC. Já o item (b) é fácil responder; basta identificar os números que

apresentam sinais negativos. Nesse caso, a resposta será quarta-feira, com -1oC, e

sábado, com -2oC.

Exemplo 2:

No fim do mês passado, o saldo bancário de Alan era de – 400 reais e o de Marcos era

de – 20 reais. Qual deles tem o menor saldo?

Resposta:

Podemos analisar da seguinte maneira: O sinal negativo mostra quanto cada

um está devendo ao banco. Como Alan deve ao banco 400 reais, enquanto Marcos

deve 20 reais, Alan tem o menor saldo.

Agora que já revisamos o conjunto dos números inteiros, que tal exercitar um

pouco os conhecimentos adquiridos nesta aula? Qualquer dúvida, retome os

exemplos!

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01. Em determinado dia, o saldo bancário de Alex era 200 reais e o de Luiz, 35

reais. Qual deles estava devendo mais ao banco? Justifique sua resposta:

02. A tabela abaixo mostra a classificação parcial de um campeonato juvenil no Rio

Grande do Sul.

Fonte: http://esquemarapido.wordpress.com/page/4/

a) Com relação ao saldo de gols, quem teve o pior desempenho: Colorado ou

Matsubara?

b) Qual o pior saldo entre todas as equipes participantes?

O3. Em certo dia, os termômetros registraram – 6oC em Caxias do Sul, 23oC em Minas

Gerais e 23oC no Rio de Janeiro. Com base nesses dados, qual comparação podemos

fazer entre essas cidades?

Atividade 1

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04. Carla é uma excelente dona de casa. Ela consegue administrar muito bem o

orçamento da sua família. A tabela abaixo mostra os gastos que Carla geralmente tem

durante um mês.

Orçamento Despesas

850 reais - 80 reais (água)

770 reais - 110 reais (luz)

660 reais - 380 reais (mercado)

280 reais - 170 reais (vestuário)

110 reais Para emergências

a) Qual a maior despesa mensal de Carla?

b) Qual a tarifa mais cara: água ou luz?

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Agora que já vimos algumas situações nas quais observamos a presença dos

números inteiros, precisamos aprender a operar com estes números! Então, nesta

aula, antes de resolvermos problemas envolvendo as operações com os inteiros,

vamos fazer uma revisão de como realizar essas operações!

2 OPERAÇÕES COM OS NÚMEROS INTEIROS:

2.1 ADIÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS:

A adição de dois ou mais números inteiros de mesmo sinal é obtida somando

todos os valores e mantendo o mesmo sinal.

Observe:

(+3) + (+4) + (+9) = + 16

(3) + (10) + (5) + (1) = 19 (Observe que apenas somamos os

números 3 + 10 + 5 + 1 e repetimos o sinal de menos).

A adição de números inteiros de sinais diferentes é obtida diminuindo seus

valores absolutos e mantendo o sinal do número de maior valor absoluto.

Observe:

(20) + (+15) = (5)

(+ 30) + (25) = (+5)

Caso esses números sejam opostos, a soma será igual a zero.

Vale relembrar que o número zero é o elemento neutro da adição de números inteiros.

2.2 MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS:

Em qualquer multiplicação de números inteiros diferentes de zero, temos:

Aula 2: Operando com os Números Inteiros

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O produto de dois números de mesmo sinal é um número positivo;

O produto de dois números de sinais diferentes é um número negativo.

Agora, observe os seguintes exemplos:

a) (+2) x (+4) = 2 x (+4) = (+4) + (+4) = +8 = 8

Portanto: (+2) x (+4) = 8 (Sinais iguais)

b) (+2) x (-4) = 2 x (-4) = (-4) + (-4) = -8

Portanto: (+2) x (-4) = -8 (Sinais diferentes)

2.3 DIVISÃO DE NÚMEROS INTEIROS:

Em uma divisão entre dois números inteiros, com o divisor diferente de zero,

temos:

O quociente será positivo quando o dividendo e divisor são de mesmo sinal;

O quociente será negativo quando o dividendo e divisor são de sinais

diferentes.

Exemplos:

a) (+60) : (-15) = -4, porque (-4) x (-15) = +60

b) (-30) : (+10) = -3, porque (-3) x (+10) = -30

c) (-65) : (-13) = +5, porque (+5) x (-13) = -65

Agora que já fizemos uma breve revisão sobre como operar com os números

inteiros, que tal resolver alguns problemas sobre este assunto? Vamos lá!

Problema 01:

Vamos analisar o extrato bancário de Davi no mês de maio de 2013. Abaixo

segue a tabela com os demonstrativos. Observe que as retiradas da sua conta são

representadas por números negativos.

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Movimentação Valor em reais Saldo

Salário + 940,00 R$ 950,00

Saque - 120,00 R$ 830,00

Tarifa mensal - 33,50 R$ 796,50

Saque - 600,00 R$ 196,50

Operação débito - 196,50 R$ 1,00

Depósito + 125,00 R$ 126,00

Saque - 120,00 R$ 6,00

a) Quanto Davi paga de tarifa para o banco?

b) Quanto Davi sacou da sua conta em maio?

Resposta:

O item (a) pode ser respondido apenas visualizando a tabela. Observe a 3° linha

e constatará que Davi pagou ao banco R$ 33,50 em tarifa. Com relação aos saques, cada

valor atribuído de sinal negativo representa um saque ou retirada da conta. Podemos

observar pela tabela que ele realizou três saques: (- 120,00); (- 600,00); (- 120,00). Basta

somarmos esses valores: (- 120,00) + (- 600,00) + (- 120,00) = - 840,00. Logo, ele sacou,

no total, R$ 840,00 de sua conta

Problema 02: Considere a tabela de classificação geral do campeonato brasileiro e

responda:

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Suponha que o saldo de gols dos times não apareça na tabela. Como poderíamos

calcular o saldo de gols do Coritiba?

Resposta:

Para responder a esta questão, é necessário entender a tabela e as siglas que

estão no topo das colunas. Então, vamos às explicações:

PG = pontos ganhos

J = jogos

V = vitórias

E = empates

D = derrotas

GP = gols pró – gols marcados

GC = gols contra – gols sofridos

SG = Saldo de gols

Vale lembrar, ainda, que o saldo de gols é calculado através da diferença entre

gols marcados e gols sofridos. Então, respondendo à questão, temos que o saldo do

Coritiba seria 6 – 13 = ─ 7 gols.

Problema 03:

Uma outra forma de se mostrar o melhor time de uma competição é demonstrar a

tabela de pontos perdidos. Se um time disputou 5 jogos e cada vitória vale 3 pontos, ele

está com aproveitamento total se conquistar 15 pontos (5 x 3). A cada vez que esse time

empata, ele perde 2 pontos e, a cada vez que é derrotado, ele perde 3 pontos. Quantos

pontos o Flamengo perdeu nesse campeonato?

Resposta:

O time do Flamengo disputou 5 jogos e poderia ter conquistado 15 pontos,

entretanto, empatou um jogo e perdeu 2. Logo, dos 15 pontos ele perdeu 2 por empatar:

15 – 2 = 13 e perdeu mais 6 pontos ao ser derrotado em duas oportunidades: 13 – 6 = 7.

7 – 15 = - 8 (pontos perdidos).

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01. Cite situações em que realizamos operações com os numeros inteiros, conforme os

exemplos apresentados na aula: Extrato bancário e Tabela de Pontos do Campeonato de

Futebol.

02. Roberto lançou 15 vezes uma moeda e obteve os resultados que estão no quadro a

seguir. Para cada cara, Roberto ganha 7 pontos e, para cada coroa, perde 9 pontos.

CARA 10

COROA 5

a) Represente com um número positivo e um número negativo o total de pontos

ganhos e o total de pontos perdidos;

b) Qual foi o saldo de pontos obtidos por Roberto nessa jogada?

c) Qual a pontuação máxima que Roberto poderia conseguir? E a mínima?

03. O Santos Futebol Clube disputou seis partidas de futebol. Venceu três delas por:

(2 a 1) , (4 a 2) e (3 a 0); perdeu duas delas, por: (3 a 1) e (2 a 0); e empatou uma por

2 a 2. Qual é seu saldo de gols nessas seis partidas?

04. Preencha as lacunas hachuradas com os respectivos valores:

Data Crédito Débito Saldo

01/03 R$ 80,00

03/03 R$ 1720,00

05/03 R$ 530,00

05/03 R$ 1500,00

10/03 R$ 250,00

12/03 R$ 500,00

15/03 R$ 600,00

15/03 R$ 150,00

Atividade 2

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Você já ouviu falar de ângulos? Provavelmente, o professor de matemática já

explicou algo sobre este importante assunto! Mas, por que este assunto é importante?

Os ângulos estão presentes em diversas situações do nosso dia a dia. Observe:

Mas o que são ângulos?

1 ÂNGULOS:

Como você pode ver nas figuras abaixo, o ângulo é uma figura geométrica

formada por duas semirretas de mesma origem:

Fonte: http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/geometria/geo-ang.htm

1.1 MEDIDA DE UM ÂNGULO:

Como já falamos no início, a unidade de medida de ângulos é o grau,

representado pelo símbolo °.

Aula 3: Ângulos: definição e classificação

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1.2 CLASSIFICAÇÃO DE UM ÂNGULO:

Um ângulo pode ser classificado quanto à sua medida em reto, agudo ou

obtuso. Observe as figuras a seguir:

A) ÂNGULO RETO:

B) ÂNGULO AGUDO:

C) ÂNGULO OBTUSO:

Dizemos que um ângulo é raso quando a sua medida é igual a 180:.

Além disso, é importante saber que dois ângulos serão ditos congruentes

quando possuírem a mesma medida.

O ângulo é chamado de reto porque sua

medida é igual a 90:.

O ângulo é chamado de agudo porque sua

medida está entre 0: e 90: (menor que o

ângulo reto).

O ângulo é chamado de obtuso porque sua

medida é maior que 90: e menor que 180:.

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Observe os exemplos a seguir e, em seguida, resolva as questões propostas na

atividade.

Exemplo 01:

André olhou seu relógio às 6h e percebeu que os ponteiros formavam um ângulo raso.

Quanto tempo passará até que os ponteiros do relógio formem um ângulo reto com o

ponteiro maior no número 12?

Resposta:

Note que os horários em que os ponteiros formam ângulos retos com o

ponteiro maior no número 12 são 3h e 9h. Logo, depois de 3h, os ponteiros formarão

um ângulo reto.

2 BISSETRIZ DE UM ÂNGULO:

Bissetriz de um ângulo é a semirreta, de origem no vértice, que determina, com

os lados do ângulo, dois ângulos congruentes, ou seja, de medidas iguais.

Fonte: http://www.portalescolar.net/2011/03/barn-biunivoca-braca-blocos-logicos.html

No exemplo abaixo, a semirreta C é bissetriz do ângulo AÔB e o divide em duas

partes iguais.

O espaço entre os

números no relógio

formam um ângulo

de 30o.

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Fonte: http://zs.correia.zip.net/arch2010-03-01_2010-03-31.html

Agora que já estudamos alguns dos principais conceitos relacionados aos

ângulos, vamos exercitar o que você aprendeu!!

01. Gabriel, Pedro, João e Paulo estão caminhando em uma pista circular. Todos

partiram do ponto A e estão andando em sentido anti-horário. Gabriel deu 2 voltas

completas, Pedro deu 1 volta e meia, João deu meia volta e Paulo deu a metade das

voltas de Gabriel mais o dobro das voltas de Pedro. Sabendo que uma volta completa

tem 3600, determine o número de voltas dadas por Paulo e o correspondente em

graus.

02. Construa, com a ajuda do transferidor, um ângulo de 90:. Depois, trace sua bissetriz.

Qual é a medida de cada ângulo obtido?

Atividade 3

Observe que o

ângulo original

mede 40o.

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03. Os ponteiros de um relógio formam entre si ângulos que variam de acordo com o

horário. À 1h, por exemplo, os ângulos formados são de 30: e 330:.

Determine em quais horas exatas os ponteiros do relógio formam um ângulo:

a) Reto = 90°

b) Raso = 180°

04. Um ângulo raso foi dividido em duas partes, a maior mede o dobro da menor. Quais

são os angulos formados por essa divisão?

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01. Helena é dona de casa e cuida do orçamento doméstico melhor do que ninguém.

Ela faz uma tabela na qual coloca, mês a mês, o dinheiro que entra e o dinheiro que

sai. A tabela abaixo refere-se ao primeiro semestre de 2012:

MÊS SALDO EM REAIS

Janeiro + 20 reais

Fevereiro + 140 reais

Março - 70 reais

Abril - 130 reais

Maio + 110 reais

Junho - 75 reais

a) Qual foi a variação no mês de Janeiro? O saldo foi positivo ou negativo?

b) Qual foi o saldo em Abril? O saldo foi positivo ou negativo?

c) Qual foi o pior mês para família de Helena? O que ocorreu?

d) Represente na reta numérica o orçamento semestral da família.

02. Seu Ari é o dono de uma lanchonete, onde Júlio toma café da manhã e também

almoço. Às vezes, ele paga na hora; em outras vezes, “pendura”. Seu Ari anota todas

os débitos de Júlio em seu caderno. Observe abaixo uma dessas anotações:

Júlio Março

Dia Café Almoço

02 -2,00 -

11 -4,00 -15,00

15 -4,00 -

27 -5,00 -10,00

a) Qual é a dívida de Júlio com Seu Ari?

b) Julio gastou mais com café ou com almoço?

Avaliação

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03. Pensei em um número inteiro e elevei-o ao quadrado. Ao resultado adicionei -35 e

obtive 190. Em que número pensei?

04. Os ponteiros de um relógio formam um ângulo BÂC. Acrescentando-se 30o e 45’ à

medida inicial, obtêm-se outro ângulo, de 87o 37’. Qual é a medida de BÂC?

Y= 300 45’

http://www.somatematica.com.br/fundam/angulos/angulos3.php

05. Rafael quer construir um triângulo com lados de medidas inteiras. As medidas de

dois dos lados ele já determinou: 4cm e 5cm. Falta o lado maior. Que medidas ele

pode escolher para esse lado, de modo que exista o triângulo?

06. Luiz pretende trocar o piso da garagem de sua casa. Para comprar a quantidade

certa de lajotas, ele verificou que há 16 lajotas na largura da garagem e 16 lajotas no

comprimento. Considerando que a nova lajota tem o mesmo tamanho da anterior,

quantas lajotas seriam necessárias para que Luiz trocasse todo o piso da garagem?

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Caro aluno, agora que já estudamos todos os principais assuntos relativos ao 1°

bimestre, é hora de discutir um pouco sobre a importância deles na nossa vida. Então,

vamos lá?

Leia atentamente as questões a seguir e faça uma pesquisa para responder a

cada uma delas de forma clara e objetiva.

ATENÇÃO: Não se esqueça de identificar as Fontes de Pesquisa, ou seja, o nome dos

livros e sites que foram utilizados.

1 – Apresente alguns exemplos de situações reais nas quais podemos utilizar os

números inteiros:

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2 – Já que falamos de reta numérica, pesquise situações onde ela aparece para nos

auxiliar no cotidiano, como em mapas, termômetros, etc. Depois, apresente essas

situações para seus amigos:

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Pesquisa

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[1] ANDRINI, Álvaro; VASCONCELLOS, Maria José. Praticando matemática. 3 ed.

Renovada. São Paulo: Editora do Brasil, 2012.

[2] BIANCHINI, Edwaldo. Matemática: Bianchini. 7 ed. São Paulo: Moderna, 2011.

[3] DANTE, Luiz Roberto. Projeto Teláris: Matemática. 1 ed. São Paulo: Ática, 2012.

[4] JAKUBOVIC, José et al. Matemática na medida certa, 7º ano. São Paulo: Scipione,

2002.

[5] MORI, Iracema ; ONAGA, Dulce Satiko. Matemática: Ideias e desafios, 7º ano. 17

ed. São Paulo: Saraiva, 2012.

[6] SOUZA, Joamir Roberto de ; PATARO, Patricia Rosana Moreno. Vontade de saber

matemática, 7º ano. 2 ed. São Paulo: FTD, 2012.

Referências

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COORDENADORES DO PROJETO

Diretoria de Articulação Curricular Adriana Tavares Maurício Lessa

Coordenação de Áreas do Conhecimento

Bianca Neuberger Leda Raquel Costa da Silva Nascimento

Fabiano Farias de Souza Peterson Soares da Silva

Ivete Silva de Oliveira Marília Silva

COORDENADORA DA EQUIPE

Raquel Costa da Silva Nascimento Assistente Técnico de Matemática

PROFESSORES ELABORADORES

Alan Jorge Ciqueira Gonçalves Ângelo Veiga Torres Daniel Portinha Alves

Fabiana Marques Muniz Herivelto Nunes Paiva

Izabela de Fátima Bellini Neves Jayme Barbosa Ribeiro

Jonas da Conceição Ricardo José Cláudio Araújo do Nascimento

Reginaldo Vandré Menezes da Mota Weverton Magno Ferreira de Castro

Equipe de Elaboração