caderno - estatítica descritiva
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Estatítica Descritiva - Caderno completo + Exercícios ResolvidosTRANSCRIPT
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ESTATÍSTICA DESCRITIVA
Luan Guerra
4º semestre
CADERNOCADERNO
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AvisoEsse material foi criado a partir do caderno de um aluno do curso de administração.
Sendo assim, não substituirá nenhuma fonte didática como: livros, artigos científicos, etc.
ObservaçãoO objetivo dessa apresentação ésimplesmente ajudar o estudante, nada além disso.
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CADERNO+
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
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População
População é conjunto de elementos sobre os quais queremos informações.
Ex.: Paulistanos, veículos, cães abandonados, produtos para vender.
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Amostra
Uma parte do conjunto (sub-conjunto) da população.
Ex.: Moradores da Paulista, raça de cães, final de placa.
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Variável
É a característica que queremos estudar.As variáveis podem ser:
QualitativaOs valores são qualidades ou atributos.
QuantitativasOs valores são quantidade.
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VariávelDefiniDefiniççãoão
As variáveis qualitativas pode ser ordinal (possui ordem natural) ou nominal (não possui ordem natural).
As variáveis quantitativas pode ser discreta (assume valores exatos) ou contrários (assume valores aproximados).
Exemplo: População de cães abandonados.
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Exemplos
Variáveis QualitativasQualitativas: Ordinal – Porte, sizeNominal – raça, cor
Variáveis QuantitativasQuantitativas:Discreta – Nº de dentesContínua – Peso, altura
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Variações
Quantitativa ContínuaQuantitativa Discreta
Qualitativa OrdinalQualitativa Nominal
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ClassificaçãoExercício
Moradores de uma cidade
Camisetas à venda em uma lojaV. Quant. Discreta: PreçoV. Qual. Nominal: Marca, corV. Qual. Ordinal: Tamanho
Alunos desta sala
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Índices, coeficientes e taxas
• Os índices são razões entre duas grandezas tais que uma não inclui aoutra.
Numerador é uma coisa e denominador é outra coisa..são coisas separadas.
Exemplos
Densidade demográficaDivide a população pela superfície.
Produção per capitaValor total da produção dividido pela população
Renda per capitaValor total da renda dividido pela população
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• Os coeficientes são razões entre o numero de ocorrências e o numero total (a soma dos números de ocorrências e de não ocorrências).
São razões entre partes e o todo.
• Coeficiente de natalidadeNúmero de nascimentos dividido pela população, ou seja, é um subconjunto dentro de um conjunto.
• Coeficiente de mortalidadeNúmero de óbitos dividido pela população.
• Coeficiente de Evasão EscolarNúmero de alunos evadidos dividido pelo numero inicial de matriculas
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• As taxas são coeficientes multiplicados por uma potencia de 10, para tornar o resultado mais inteligível.
• Exemplo: em cada 200 celulares vendidos, 4 apresentam defeito..
• Coef. de defeitos = 4/200 = 0,02
• Taxa de defeitos = 2% ... é quando émultiplicado por 100.
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• Taxa de natalidade = coeficiente de natalidade x 1000
• Taxa de mortalidade = coeficientes de mortalidade x 1000
• Taxa de evasão escolar = coeficientes de evasão escolar x 100
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Exercício
• O estado A apresentou 733.986 matriculas no 1ºano no inicio de 2009 e 683.816 no final do ano.
O estado B apresentou, respectivamente, 436.127 e 412.457 matriculas. Qual estado apresentou maior evasão escolar?
Evasão estado A: 6,8%
Evasão estado B: 5,5%
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Resolução
Estado B
Estado A
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Técnicas de Descrição Gráfica
• Considere uma população ou amostra com N elementos (ou o numero de dados), em que está sendo estudada determinada variável.
• Considere que K é o numero de valores diferentes que esta variável pode assumir:
• Definimos a FREQUÊNCIA (f) de um valor como o numero de vezes que ele foi observado.
N: tamanho da população ou amostra, em que consideramos uma variável.K: quantidade de valores diferentes que a variável assume.Fi: é a frequência do i-ésimo valor.
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Exemplo
• Perguntou-se para 10 pessoas quantos irmãos elas tinham, e as respostas foram:
0,1,2,2,1,0,3,6,1,0 (variável quantitativa discreta)
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Exemplo
N: 10 : quantidade de númerosK: 5 : quantidade de variáveis
Fi: temos 5 freqüências;
F1: Freq do 0: 3 (quantidade de 0s)F2: Freq do 1: 3F3: Freq do 2: 2F4: Freq do 3: 1F5: Freq do 4: 1
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• Soma-se as freqüências e tem que dar 10 (n)
• Definimos a freqüência relativa Fr (ou proporção) de um valor como o quociente da sua freqüência pelo numero de dados.
• Assim: Fr1 = F1 / N
Exemplo:
Fr1: 3/10: 0,3Fr2: 3/10: 0,3Fr3: 2/10: 0,2Fr4: 1/10: 0,1Fr5: 1/10: 0,1
Somando todas as Frs...da 1..assim como 100%
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ExemploCálculo de Frequências
De 50 funcionários:
30 são solteiros, 15 são casados, 3 separados e 2 viúvos.
QUALITATIVA
QUALITATIVA
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Resolução
N: 50K: 4
F1: 30 solteirosF2: 15 casadosF3: 3 separadosF4: 2 viúvos
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Frequência Relativa
Fr1: 30/50 = 0,6 = 60%
Fr2: 15/50 = 0,3 = 30%
Fr3: 3/50 = 0,06 = 6%
Fr4: 2/50 = 0,04 = 4%
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Tabelas(IBGE)
1. Formulação:
• Título• Dados• Cabeçalho• Coluna• Indicadores
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Modelo Tabela
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Séries Estatística
• Cronológica ou históricaFunção do local
• Espacial ou geográficaFunção do lugar
• Específica ou categóricaFunção da espécie
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Representação gráfica das variáveis qualitativas
• Modelos:Colunas ou Barras
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ModeloGráfico
• Tipo pizza ou Circular
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Descrição Gráfica dos Valores Quantitativas Discretas
Ex.: Perguntou-se para 10 pessoas quantos folhas elas tinham e as respostas foram:
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Exemplo
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GráficoTipo Barra
Tabela 1
012345
1 2 3 4
Nº Folhas
Fre
qu
ênci
a
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GráficoTipo Pizza
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Frequência Acumulada
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Frequência Acumulada Gráfico
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Tabelo 2
Observação
21,4 [21,35 ; 21,45]
Possui cincocinco termos nesse intervalo.
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Histograma
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Característica Numérica Distribuição de Frequência
x = variável quantidade
x1 = i-ésimo valor da variável x
Medidas de Posição servem para localizar os dados na reta real.
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Exemplo
Ex.: Idade de 5 pessoas:
18, 22, 25, 21 e 24x1, x2, ...
X = IdadeN = 5
x = 18 + 22 + 25 + 21 + 25
5
x = 110 / 5 = 22 idade média
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Calculando a Média - HP12CHP12CPodemos usar as teclas de funções estatísticas da calculadora HP12C para calcular a média de uma série de dados da forma abaixo (refazendo o último exemplo):
‘f’ ∑ (limpa as memórias estatísticas)18∑+ (insere o primeiro dado)22∑+ (insere o segundo dado)25∑+ (insere o terceiro dado)21∑+ (insere o quarto dado)24∑+ (insere o quinto dado)‘g’ (a média aparecerá no visor)
As memórias R1 a R6 guardam algumas informações associadas à série de dados que forem inseridos. Na memória R1 temos o valor n, em R2, ∑x e em R3, ∑x2. No nosso exemplo, como entramos com apenas uma série de dados, as memoras R4 a R6 não fazem sentido.
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Fórmula
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Calculando na Frequência
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Exercício
A última fórmula é a média ponderado, onde as frequência são os pesos.
Ex.: Calcular a média de 3 provas, onde P1 = 5, com peso 3, P2 = 4, com peso 2 e P3 = 8, com peso 5.
M = 5.3+4.2+8.5/3+2+5 = 63/10 = 6,3
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Exercício
x . n² de definição de cada calculando...
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Fórmula
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Exemplo (Média de dados agrupados em classe de frequência)
Tabela de salários por hora:
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Resolução
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Média Ponderada
Exercício
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Propriedade da Média
Multiplicando-se todos os valores de uma variável por uma constante C, a média fica multiplicada por esta constante.
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Exercício
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Exercício II
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Soma
• Somando-se uma constante C a todos valores de uma variável, a média fica somada desta constante:
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Resolução
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Mediana (Md)
• É o valor central (ou média dos valores centrais) dos dados ordenados.
OBS: Deixar na ordem crescente
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Resolução
Definindo a média
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Exercício II
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Exercício III
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Exercício IV
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Mediana de dados Agrupados
Exemplo: Considere a tabela abaixo, que lista a altura de 40 pessoas:
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Medida de Dados Agrupados
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Dados
L* = Limite inferior de classe mediana
F(ant) = frequência acumulada da classe anterior à classe mediana
h* = amplitude da classe mediana
f* = frequência de classe mediana
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Número de divórcios de acordo com o tempo de casamento
Exercício
f*L*
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Mediana
Md E 0 6
=
Classe mediana
Md = 5,36 anos
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Resposta
Isto é, dos 5000 casamentos que acabaram em divórcios, metade durou até 5,36 anos e
a outra metade durou mais de 5,36.
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Quantis
Um quantil de ordens p1 ou p – quantil (q (p)), onde p é uma proporção (0 < p < 1), é uma medida tal que 100.p% dos valores ficam abaixo dele.
0,25%
0,6%
q (0,25)
q (0,6)
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5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50
q(0,25) = ?
P. n = 0,25 . 10 = 2,5
Queremos á posição 2,5 que está entre o 2º e o 3ºdados.
q(0,25) = 10 + 15/2 = 12,5
Exercício
X1, x2, x3
0,25
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Quantis especiais
q(0,25) = 1º quartil = q1
q(0,50) = 2º quartil = q2 = md
q(0,75) = 3º quartil = q3
![Page 68: Caderno - Estatítica Descritiva](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052208/547df2feb479598e508b4a7e/html5/thumbnails/68.jpg)
Quantis de dados agrupados
![Page 69: Caderno - Estatítica Descritiva](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052208/547df2feb479598e508b4a7e/html5/thumbnails/69.jpg)
Dados
• L* = Limite inferior de classe do quantil
• F(ant) = frequência acumulada da classe anterior à classe quantil
• h* = amplitude da classe do quantil
• f* = frequência de classe do quantil
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Exemplo
q(0,60) = ?
n = 5000p = 0,60
P . n= 3000
Portanto q (0,60) E
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Localização
![Page 72: Caderno - Estatítica Descritiva](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052208/547df2feb479598e508b4a7e/html5/thumbnails/72.jpg)
Resolução
![Page 73: Caderno - Estatítica Descritiva](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052208/547df2feb479598e508b4a7e/html5/thumbnails/73.jpg)
Resposta
Isto é, 60% casamentos duraram até 6,86 anos e
40% duraram mais.
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Exercício
![Page 75: Caderno - Estatítica Descritiva](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052208/547df2feb479598e508b4a7e/html5/thumbnails/75.jpg)
Exercício
![Page 76: Caderno - Estatítica Descritiva](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052208/547df2feb479598e508b4a7e/html5/thumbnails/76.jpg)
Resposta
Isto é, 87% casamentos duraram até 13,5 anos e 13% duraram mais.
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Moda
É o (s) valor (es) mais frequentes.
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Bi-Moda
Utiliza-se as os números
mais evidentes.
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Esquema dos 5 mínimos
X1 = Menor número dos dados:
q1 = 1º quartil = q(0,25)q2 = 2º quartil = q(0,50)q3 = 3º quartil = q(0,75)
Xn = maior número
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Quadro
q1 q2 q3
x1 x2
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Exemplo
1, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 25
x1 = 1xn = 25
q1 = p.n = 0,25 . 10 = 2,5
Queremos a posição 2,5
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Resolução
x1 = 1xn = 25
q2 = p.n = 0,5 . 10 = 2,5
Queremos a posição 5
![Page 83: Caderno - Estatítica Descritiva](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052208/547df2feb479598e508b4a7e/html5/thumbnails/83.jpg)
Resolução
x1 = 1xn = 25
q3 = p.n = 0,75 . 10 = 7,5
Queremos a posição 7,5
![Page 84: Caderno - Estatítica Descritiva](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052208/547df2feb479598e508b4a7e/html5/thumbnails/84.jpg)
Quadro
5,5 8,5 10,5
1 25
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Box Plot
![Page 86: Caderno - Estatítica Descritiva](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052208/547df2feb479598e508b4a7e/html5/thumbnails/86.jpg)
Qd
Qd = distância interquartil
Qd = q3 – q1
LS = Limite superior = q3 + 3/2 . qd
LІ = Limite inferior = q1 - 3/2 . qd
![Page 87: Caderno - Estatítica Descritiva](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052208/547df2feb479598e508b4a7e/html5/thumbnails/87.jpg)
Box Plot
![Page 88: Caderno - Estatítica Descritiva](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052208/547df2feb479598e508b4a7e/html5/thumbnails/88.jpg)
Exemplo
Qd = q3 - q1 = 10,5 - 5,5 = 5
LS = q3 – (3/2 . Qd) = 10,5 + 3/2 . 5 = 18
LI = q1 – (3/2 . Qd) = 10,5 - 3/2 . 5 = -2
![Page 89: Caderno - Estatítica Descritiva](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052208/547df2feb479598e508b4a7e/html5/thumbnails/89.jpg)
Gráfico
![Page 90: Caderno - Estatítica Descritiva](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052208/547df2feb479598e508b4a7e/html5/thumbnails/90.jpg)
Medidas de Dispersão
Indicam a quanto os dados estão dispersão:
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Calculando a Amplitude
Exemplo: -3, -2. 0, 5, 10
R = 10 – (-3) = 13
![Page 92: Caderno - Estatítica Descritiva](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052208/547df2feb479598e508b4a7e/html5/thumbnails/92.jpg)
Variância (s²)
É a média dos quadrados das diferenças entre os valores e a média.
Ou seja,
![Page 93: Caderno - Estatítica Descritiva](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052208/547df2feb479598e508b4a7e/html5/thumbnails/93.jpg)
Tabela
)
![Page 94: Caderno - Estatítica Descritiva](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052208/547df2feb479598e508b4a7e/html5/thumbnails/94.jpg)
Calculando a variância:
Exemplo: -3, -2. 0, 5, 10
X = (-3, -2, +0, + 5, + 10) / 5(Termos) = 2
Variação = (-3 -2)² + (-2 -2)² + (0 -2)² + (5 -2)² + (10 - 2)² =?
Variação = 25 + 16+ 4 + 9 + 64 / 5 = 23,6
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Exercícios
5, 5, 5, 5, 5
X = 5
Variação = 0
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Exercícios
3, 4, 5, 6, 7
X = 5
Variação = (3 -5)² + (4 -5)² + (5 -5)² + (6 -5)²+ (7 - 5)²
Variação = S² = 4 + 1 + 0 + 1 + 4 / 5 = 2
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Exercícios II
3, 4, 5, 6, 7
X = 5
Variação = (3 -5)² + (4 -5)² + (5 -5)² + (6 -5)²+ (7 - 5)²
Variação = S² = 4 + 1 + 0 + 1 + 4 / 5 = 2
![Page 98: Caderno - Estatítica Descritiva](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052208/547df2feb479598e508b4a7e/html5/thumbnails/98.jpg)
Exercícios III
• 4, 4, 5, 6, 6
X= 5
Variação = (4 -5)² + 2. (5 + 5)² + (7 - 5)² .
Variação = S² = 1 + 0 + 1 + 0 + 1 + 1 / 5 = 4/5 = 0,8
![Page 99: Caderno - Estatítica Descritiva](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052208/547df2feb479598e508b4a7e/html5/thumbnails/99.jpg)
Observação
• Quando maior variação, mas dispersos estão os dados.
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Propriedades
A variância também pode ser calculada através da seguinte fórmula:
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Exemplo
xMédia
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Efetuando a variação
• Variação: 155/30 –2,17² = 0,4578
![Page 103: Caderno - Estatítica Descritiva](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052208/547df2feb479598e508b4a7e/html5/thumbnails/103.jpg)
Multiplicando-se os dados por C = constante, a variação fica multiplicada por:
![Page 104: Caderno - Estatítica Descritiva](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052208/547df2feb479598e508b4a7e/html5/thumbnails/104.jpg)
Somando-se uma constante C aos dados, a variância:
![Page 105: Caderno - Estatítica Descritiva](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052208/547df2feb479598e508b4a7e/html5/thumbnails/105.jpg)
Variância
1) A fórmula de S² que de demos é a variância de uma populãção.A variância da amostra tem o denominador -1 ao invés de n.
2) A unidade de S² é a unidade de X ao quadrado.Se X é dado em cm, S² é dado em cm².
![Page 106: Caderno - Estatítica Descritiva](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052208/547df2feb479598e508b4a7e/html5/thumbnails/106.jpg)
Desvio-Padrão
S =
O desvio-padrão está na mesma unidade de x.
Tirar a raiz quadrada
Coeficiente de Variação
![Page 107: Caderno - Estatítica Descritiva](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052208/547df2feb479598e508b4a7e/html5/thumbnails/107.jpg)
Exercício
• Erros de impressão em 50 páginas aleatórios de um livro.
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Questões:
a) Qual o nº médio de erros por página?b) E o nº mediano?c) E a variância?d) E o desvio-padrão?e) E o coeficiente de variação?f) Se o livro tiver 500 páginas, qual o nº
esperado do erros?
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Resolução
?
![Page 110: Caderno - Estatítica Descritiva](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052208/547df2feb479598e508b4a7e/html5/thumbnails/110.jpg)
FResolução
![Page 111: Caderno - Estatítica Descritiva](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052208/547df2feb479598e508b4a7e/html5/thumbnails/111.jpg)
XfResolução
![Page 112: Caderno - Estatítica Descritiva](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052208/547df2feb479598e508b4a7e/html5/thumbnails/112.jpg)
X²fResolução
![Page 113: Caderno - Estatítica Descritiva](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052208/547df2feb479598e508b4a7e/html5/thumbnails/113.jpg)
Nº médio de errosResolução
![Page 114: Caderno - Estatítica Descritiva](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052208/547df2feb479598e508b4a7e/html5/thumbnails/114.jpg)
Nº MedianoResolução
![Page 115: Caderno - Estatítica Descritiva](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052208/547df2feb479598e508b4a7e/html5/thumbnails/115.jpg)
VariânciaResolução
![Page 116: Caderno - Estatítica Descritiva](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052208/547df2feb479598e508b4a7e/html5/thumbnails/116.jpg)
Desvio-PadrãoResolução
![Page 117: Caderno - Estatítica Descritiva](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052208/547df2feb479598e508b4a7e/html5/thumbnails/117.jpg)
e)
![Page 118: Caderno - Estatítica Descritiva](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052208/547df2feb479598e508b4a7e/html5/thumbnails/118.jpg)
f)
f) Se o livro tiver 500 páginas, qual o nºesperado do erros?
![Page 119: Caderno - Estatítica Descritiva](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052208/547df2feb479598e508b4a7e/html5/thumbnails/119.jpg)
Exercícios
• O Departamento Pessoal da firma X fez o levantamento dos salários dos 120 funcionários (em números de salários mínimos) e obteve os resultados da tabela abaixo:
ExercícioLista Revisão
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Tabela - Exercício
![Page 121: Caderno - Estatítica Descritiva](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052208/547df2feb479598e508b4a7e/html5/thumbnails/121.jpg)
Pede-se:
• Quantos funcionários estão na faixa 4 6 salários mínimos?
• Esboce o histograma.• Calcule a média, a amplitude, a variância e o desvio-
padrão.• Calcule o primeiro quartil e a mediana.• Se for concedido um aumento de 100% a todos os
funcionários, haverá alteração na média? E na variância?
• Se for concedido um aumento de um salário mínimo a todos os funcionários, haverá alteração na média? E na variância?
![Page 122: Caderno - Estatítica Descritiva](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052208/547df2feb479598e508b4a7e/html5/thumbnails/122.jpg)
Resolução
1º Criar tabela
![Page 123: Caderno - Estatítica Descritiva](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052208/547df2feb479598e508b4a7e/html5/thumbnails/123.jpg)
TABELA
![Page 124: Caderno - Estatítica Descritiva](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052208/547df2feb479598e508b4a7e/html5/thumbnails/124.jpg)
a)
Quantos funcionários estão na faixa 4 6 salários mínimos?
Resposta: 24
![Page 125: Caderno - Estatítica Descritiva](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052208/547df2feb479598e508b4a7e/html5/thumbnails/125.jpg)
b)
Esboce o histograma.
30
48
2418
0
10
20
30
40
50
60
0 - 2 2 - 4 4 - 6 6 - 10
Frequência
![Page 126: Caderno - Estatítica Descritiva](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052208/547df2feb479598e508b4a7e/html5/thumbnails/126.jpg)
c)
Calcule a média, a amplitude, a variância, o desvio-padrão e cv.
Média
x = 438/120 = 3,65 salários mínimos
![Page 127: Caderno - Estatítica Descritiva](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052208/547df2feb479598e508b4a7e/html5/thumbnails/127.jpg)
c)
• AmplitudeR = Xmax. - Xmín. = ?
R = Xmáx. - Xmín. = 10 – 0 = 10
![Page 128: Caderno - Estatítica Descritiva](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052208/547df2feb479598e508b4a7e/html5/thumbnails/128.jpg)
c)
• Variância (s²)
S² = 2214/120 – 3,65² = 5,13 (s.m.)²
![Page 129: Caderno - Estatítica Descritiva](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052208/547df2feb479598e508b4a7e/html5/thumbnails/129.jpg)
c) Desvio-Padrão
![Page 130: Caderno - Estatítica Descritiva](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052208/547df2feb479598e508b4a7e/html5/thumbnails/130.jpg)
c)
![Page 131: Caderno - Estatítica Descritiva](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052208/547df2feb479598e508b4a7e/html5/thumbnails/131.jpg)
d)
Calcule o primeiro quartil e a mediana.
Fórmula para calcular quantil quando o exercício tiver intervalo.
![Page 132: Caderno - Estatítica Descritiva](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052208/547df2feb479598e508b4a7e/html5/thumbnails/132.jpg)
Resolução
x1 = 1xn = 120
q1 = p.n = 0,25 . 120 = 30
Queremos a posição 30
![Page 133: Caderno - Estatítica Descritiva](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052208/547df2feb479598e508b4a7e/html5/thumbnails/133.jpg)
Resolução
Portanto a média pertence ao intervalo 2 – 4.
MD
![Page 134: Caderno - Estatítica Descritiva](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052208/547df2feb479598e508b4a7e/html5/thumbnails/134.jpg)
e)
• Se for concedido um aumento de 100% a todos os funcionários, haverá alteração na média? E na variância?
Resposta: A mA méédia serdia seráá dobrada. dobrada. A A variância se quadruplicarvariância se quadruplicaráá..
![Page 135: Caderno - Estatítica Descritiva](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052208/547df2feb479598e508b4a7e/html5/thumbnails/135.jpg)
f)
• Se for concedido um aumento de um salário mínimo a todos os funcionários, haverá alteração na média? E na variância?
Resposta: A mA méédia subirdia subiráá (1) sal(1) saláário rio mmíínimo. nimo. A variância não mudarA variância não mudaráá..
![Page 136: Caderno - Estatítica Descritiva](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052208/547df2feb479598e508b4a7e/html5/thumbnails/136.jpg)
EXERCÍCIO + RESOLUÇÃO
RevisãoEstatEstatíística Descritivastica Descritiva
![Page 137: Caderno - Estatítica Descritiva](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052208/547df2feb479598e508b4a7e/html5/thumbnails/137.jpg)
Exercícios One1) Quais são os tipos de variáveis que
existem? Dê um exemplo de cada tipo para a população carros à venda em uma concessionária.
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Resolução
Variável é a característica de interesse que é medida em cada elemento da amostra; Como o nome diz, seus valores variam de elemento para elemento. As variáveis podem ter valores numéricos ou não numéricos e serem classificadas da seguinte forma:
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ResoluçãoContinuação
Variáveis QuantitativasSão as características que podem ser medidas em uma escala quantitativa, ou seja, apresentam valores numéricos que fazem sentido. Podem ser contínuas ou discretas.
Variáveis contínuas são características mensuráveis que assumem valores em uma escala contínua (na reta real), para as quais valores fracionais fazem sentido. Usualmente devem ser medidas através de algum instrumento. Exemplos: Peso (balança), altura (régua), tempo (relógio), pressão arterial, idade.
Variáveis discretas são características mensuráveis que podem assumir apenas um número finito ou infinito contável de valores e, assim, somente fazem sentido valores inteiros. Geralmente são o resultado de contagens. Exemplos: Número de filhos, número de bactérias por litro de leite, número de cigarros fumados por dia.
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ResoluçãoContinuação
Variáveis QualitativasSão as características que não possuem valores quantitativos, mas, ao contrário, são definidas por várias categorias, ou seja, representam uma classificação dos indivíduos. Podem ser nominais ou ordinais.
Variáveis nominais não existe ordenação dentre as categorias. Exemplos: sexo, cor dos olhos, fumante/não fumante, doente/sadio.
Variáveis ordinais existe uma ordenação entre as categorias. Exemplos: escolaridade (1o, 2o, 3o graus), estágio da doença (inicial, intermediário, terminal), mês de observação (janeiro, fevereiro,..., dezembro).
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ResoluçãoContinuação
Dê um exemplo de cada tipo para a populaDê um exemplo de cada tipo para a populaçção carros ão carros ààvenda em uma concessionvenda em uma concessionáária.ria.
Podemos relacionar os tipos para a população de carros a venda em uma concessionária na forma das seguintes variáveis:
Variáveis QuantitativasDiscreta: Preço, portas, lugares, donos.Contínua: Tamanho em metros, peso.
Variáveis QualitativasNominais: Cor, modelo, tipo de combustívelOrdinais: Ano de fabricação
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Exercícios Two2) Considere a tabela abaixo onde estão listadas as notas de 40
alunos:Nota f
5 106 87 98 69 510 2
(a)Calcule a média, a mediana, a moda, a amplitude, a variância, o desvio-padrão e o coeficiente de variação;
(b)Faça um diagrama em barras.
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TABELA
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a)
Calcule a média, a mediana, a moda, a amplitude, a variância, o desvio-padrão e o coeficiente de variação.
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MédiaResolução
x = 275/40 = 6,85 notas/alunos
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MedianaResolução
40 termos
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ModaResolução
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AmplitudeResolução
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Variância (S²)Resolução
S²
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Desvio-padrãoResolução
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Coeficiente de variaçãoResolução
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b)
Faça um diagrama em barras:
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Exercícios
O que acontece com a mediana, a média, o desvio-padrão e a variância de uma série de dados quando:
Cada observação é multiplicada por 2?A média, a mediana e o desvio padrão ficaram multiplicados por 2, ou seja, dobrará. Já a variância se quadruplicará.
Soma-se 10 a cada observação? A média e a mediana ficam somadas com 10, o desvio padrão e a variância não se alteram.
Subtrai-se a média de cada observação?A média e a mediana ficam igual a zero e o desvio padrão não se altera.
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Exercícios
Na companhia A, a média dos salários é R$ 6.000,00 e o terceiro quartil é R$ 3.000,00.
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a)
Se você fosse um candidato a trabalhar nesta companhia e o seu futuro salário fosse escolhido ao acaso entre os salários pagos atualmente pela companhia, o que seria mais provável, ganhar mais ou menos de R$ 3.000,00?
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Resolução
O candidato receberámenos de R$ 3000, pois 75% dos funcionários dessa empresa ganham atéesse valor.
75%
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b)
Suponha que na companhia B a média dos salários é R$ 4.000,00 e a variância quase zero, e que você também se apresenta como candidato. Se o seu futuro salário também fosse escolhido ao acaso entre os salários pagos atualmente, em qual companhia você preferiria trabalhar?
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Resolução
Nessa avaliação a empresa B é mais viável, pois a maioria dos trabalhadores ganham mais de R$ 4000.
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Probabilidade
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Probabilidade
Natureza
Fenômenos determinístico: nas mesmas condições, os resultados são o mesmo.Exemplo:Exemplo: A água sempre ferve a 100 ºC ao nível do mar.
Fenômenos aleatório: nas mesmas condições, o resultado é imprevisível.Exemplo:Exemplo: Duas laranjas no mesmo pomar dão produções diferentes.
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Detalhes
Um experimento aleatório é um fenômeno aleatório produzido pelo homem.
Exemplo: Jogar um dado; Jogar uma moeda; Tirar uma carta do baralho; Sorteio da Mega Sena.
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Conjunto
O conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório é chamado de espaço amostral. (Ω ou ).
Ex.: Jogando um dadoΩ = 1, 2, 3, 4, 5, 6
Ex.: Jogando 2 moedas, C= Cara, R = CoroaΩ = (C,C); (C,R); (R,C); (R,R)
Um evento é qualquer subconjunto de Ω.
Exemplo: Jogando um dado, descreva:Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6
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Exemplos
A) nº par A = 2, 4, 6
B) nº menor que 4 B = 1, 2, 3
C) nº menor que 2 C = 1 Evento Unitário
D) nº menor que 7 D = Ω Evento Certo
E) nº maior que 6 E = 0 Evento Impossível
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Operações com Eventos Aleatórios
Ω = e1, e2, ..., en, A, B e C Ω
UniãoA υ B = ei Ω/ ei A ou ei B)
Ω
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InterseçãoA ∩ B = ei Ω / ei A e ei B)
Ω
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DiferençaA - B = ei Ω / ei A e ei B)
Ω
![Page 167: Caderno - Estatítica Descritiva](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052208/547df2feb479598e508b4a7e/html5/thumbnails/167.jpg)
Complementação- Ac = Ā = Ω – A ei Ω / ei A)
![Page 168: Caderno - Estatítica Descritiva](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052208/547df2feb479598e508b4a7e/html5/thumbnails/168.jpg)
Frequência Relativa
• Se, em n tentativas do experimento, o evento A ocorreu m vezes, tempos a frequência relativa de A:
f(A) =
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Exemplos
Jogamos 20 x 1 dados e obtivemos 8 pares.
Então: f(par) = 8/20 = 0,40
Obs: A frequência (f) está sempre entre 0 e 1.
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Definição
• 1º P(A) =
• Se Ω é finito e seus elementos tem a mesma chance de ocorrer:
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EXERCEXERCÍÍCIO CIO DE DE
PROBABILIDADEPROBABILIDADE
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ExercíciosExercícios do Capítulo 5 do livro “Estatística Básica” de Bussab e Morettin
Uma urna contém duas bolas brancas e três bolas vermelhas. Retira-se uma bola ao acaso da urna. Se for branca, lança-se uma moeda, se for vermelha, ela édevolvida à urna e retira-se outra.
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a) Dê o espaço amostral do experimento:
Ω = Espaço Amostral = Resultado do Experimento
![Page 174: Caderno - Estatítica Descritiva](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052208/547df2feb479598e508b4a7e/html5/thumbnails/174.jpg)
b)
Lance um dado até que a face 5 apareça pela primeira vez. Enumere os possíveis resultados do experimento.
![Page 175: Caderno - Estatítica Descritiva](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052208/547df2feb479598e508b4a7e/html5/thumbnails/175.jpg)
Exercício One
Três jogadores, A, B e C disputam um torneio de tênis. Inicialmente, A joga com B e o vencedor joga com C, e assim por diante. O torneio termina quando um jogador ganha duas vezes seguidas ou quando são disputadas, ao todo, quatro partidas.
Quais são os resultados possíveis do torneio?
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Resolução
![Page 177: Caderno - Estatítica Descritiva](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052208/547df2feb479598e508b4a7e/html5/thumbnails/177.jpg)
Exercício TwoTwo
Duas moedas são lançadas, dê o espaço amostral.
![Page 178: Caderno - Estatítica Descritiva](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052208/547df2feb479598e508b4a7e/html5/thumbnails/178.jpg)
Exercício ThreeThree
Um dado e uma moeda são lançados, dê o espaço amostral.
![Page 179: Caderno - Estatítica Descritiva](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052208/547df2feb479598e508b4a7e/html5/thumbnails/179.jpg)
Exercício FourFour
Dê o espaço amostral para cada um dos experimentos aleatórios:(a) Lançamento de dois dados – anota-se a configuração obtida;
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c)
Em famílias com três crianças, anota-se os sexos;
![Page 181: Caderno - Estatítica Descritiva](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052208/547df2feb479598e508b4a7e/html5/thumbnails/181.jpg)
e)
Mede-se a duração de lâmpadas, deixando-as acesas até que se queimem;
![Page 182: Caderno - Estatítica Descritiva](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052208/547df2feb479598e508b4a7e/html5/thumbnails/182.jpg)
g)
Lança-se uma moeda até que apareça cara pela primeira vez, e anota-se o número de lançamentos;
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Exercícios FiveFiveExpresse em termos de operações de eventos:
a) A ocorre mas B não ocorre;
Ω
AA--BB
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b)
Exatamente um dos eventos A e B ocorre;
AUB AUB -- AA∩∩B = (AB = (A--B) U (BB) U (B--A)A)
![Page 185: Caderno - Estatítica Descritiva](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052208/547df2feb479598e508b4a7e/html5/thumbnails/185.jpg)
c)
Nenhum dos eventos A e B ocorre.
(AUB)(AUB)C C = = ΩΩ -- (AUB)(AUB)
Ω
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Probabilidade Condicional
![Page 187: Caderno - Estatítica Descritiva](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052208/547df2feb479598e508b4a7e/html5/thumbnails/187.jpg)
Exercício
Consideraremos os 250 alunos de uma escola de línguas, distribuídos nos cursos de inglês e espanhol da seguinte maneira:
Sorteando-se um aluno ao acaso, qual a probabilidade que curse espanhol, dado que é do sexo feminino?
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Resolução
• Sorteando um aluno ao acaso, calcule as probabilidades:
P(E) =
P(F) =
P(E∩F) =
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Estudo
• Estudar espanhol, dado que é do sexo feminino.
P(E/F) = =
=
Ω
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Probabilidade Condicional
A, B, C Ω
Definimos a probabilidade condicional de A, dado que B ocorre por:
, se
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P(A/B)DiagramaDiagrama
Ω
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ExercícioΩ = 1, 2, 3, 4, 5, 6
A = 2, 4, 6B = 2, 3, 4, 5, 6
![Page 193: Caderno - Estatítica Descritiva](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052208/547df2feb479598e508b4a7e/html5/thumbnails/193.jpg)
![Page 194: Caderno - Estatítica Descritiva](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052208/547df2feb479598e508b4a7e/html5/thumbnails/194.jpg)
ExercícioΩ = 1, 2, 3, 4, 5, 6A = 2, 4, 6B = 2, 3, 4, 5, 6C = 3, 4, 5, 6
![Page 195: Caderno - Estatítica Descritiva](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052208/547df2feb479598e508b4a7e/html5/thumbnails/195.jpg)
![Page 196: Caderno - Estatítica Descritiva](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052208/547df2feb479598e508b4a7e/html5/thumbnails/196.jpg)
Teorema do Produto
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Exercício One
Uma urna possui 5 bolas cinzas e 6 pretas. Retira-se duas, sem reposição.
Calcule a probabilidade de:
a) Ambas serem cinzasb) Casa uma de uma cor
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Resolução
![Page 199: Caderno - Estatítica Descritiva](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052208/547df2feb479598e508b4a7e/html5/thumbnails/199.jpg)
a)Teorema do ProdutoTeorema do Produto
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b)Teorema do ProdutoTeorema do Produto
=
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Exercício Two
Jogamos um dado, e se sair 1 ou 2, tiramos uma bola da urna 1 (que tem 5 cinzas e 3 pretas), e se sair 3, 4, 5 ou 6, tiramos uma bola da urna 2 (3 cinzas e 2 pretas).
Qual a probabilidade da bola retirada ser cinza?
![Page 202: Caderno - Estatítica Descritiva](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052208/547df2feb479598e508b4a7e/html5/thumbnails/202.jpg)
Resolução
![Page 203: Caderno - Estatítica Descritiva](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052208/547df2feb479598e508b4a7e/html5/thumbnails/203.jpg)
Resolução OBSERVAÇÃO
C = Cor Cinza
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Resultado
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Exercício Three
Idem One a), com reposição:
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Eventos Independentes
A, B, C ΩA e B são independentes se:
P(A/B) = P(A) e P(B/A) = P(B)
Logo, P(A∩B) = P(A). P(B)
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Exemplo
Utilizando os exercícios One e Two, os eventos são dependentes, já no exercício Three, ele é independente.
Exemplos:
Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6A = 2, 4, 6B = 2, 3, 4, 5, 6C = 3, 4, 5, 6
A e B são dependentes
A e C são independentes
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Probabilidade Condicional
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ExercExercíício de Probabilidadecio de Probabilidade
ExtraExtra
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Exercício One
Em uma cidade do interior do Brasil, a probabilidade de que um habitante escolhido ao acaso tenha televisão em casa é 11/12. Já a probabilidade de esse habitante ser um comerciante é 1/11. Escolhendo um habitante dessa cidade ao acaso, qual a probabilidade de que ele tenha televisão em casa e seja comerciante?
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Resolução
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Exercício Two
Alguns professores estão prestando concurso para dar aulas em uma escola. Inicialmente, eles farão uma prova escrita e, depois de serem aprovados nessa prova, farão uma prova prática. Aquele que for aprovado na prova prática será contratado. Sabendo que a probabilidade de aprovação na prova escrita é1/4 e de aprovação na prova prática (depois de ser aprovado na escrita) é 2/3, calcule a probabilidade de que um professor, escolhido ao acaso, seja contratado.
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Resolução
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Exercício Nine
No exame para tirar a carteira de motorista, a probabilidade de aprovação na prova escrita é9/10 . Depois de ser aprovado na parte teórica, há uma prova prática de direção. Para os que já passaram no exame escrito, a probabilidade de passar nessa prova prática é2/3. Qual a probabilidade de que, escolhido um candidato ao acaso, ele seja aprovado em ambas as provas escrita e prática e tire a carteira de motorista?
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Resolução
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Exercício Twelve
Em uma sala de ensino médio, 12 alunos gostam de vôlei, 13 gostam de futebol, 5 gostam dos dois esportes e outros 10 não gostam nem de vôlei nem de futebol. Sabendo que a turma tem 30 alunos, qual a probabilidade de que um aluno, escolhido ao acaso, goste de vôlei ou de futebol?
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Resolução
n = Número de Alunos
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Resolução
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Exercício
Na experiência de jogar, aleatoriamente, um dado "honesto" de seis faces numeradas de 1 a 6, verificar se os eventos "número dois" e "número par" são independentes.
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Resolução
Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6
A = 2, 4, 6
B = 2
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Resolução
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Resolução
![Page 223: Caderno - Estatítica Descritiva](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052208/547df2feb479598e508b4a7e/html5/thumbnails/223.jpg)
LISTA Probabilidade
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Exercício One
(MPOG/2003/ESAF) Paulo e Roberto foram indicados para participarem de um torneio de basquete. A probabilidade de Paulo ser escolhido para participar do torneio é 3/5. A probabilidade de Roberto ser escolhido para participar do mesmo torneio é 1/5. Sabendo que a escolha de um deles é independente da escolha do outro, a probabilidade de somente Paulo ser escolhido para participar do torneio é igual a:
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Resolução
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Resposta
c) 12/25c) 12/25
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Exercício Two
(MPU/2004) Carlos sabe que Ana e Beatriz estão viajando pela Europa. Com as informações que dispõe, ele estima corretamente que a probabilidade de Ana estar hoje em Paris é 3/7, que a probabilidade de Beatriz estar hoje em Paris é 2/7, e que a probabilidade de ambas, Ana e Beatriz, estarem hoje em Paris é 1/7. Carlos então recebe um telefonema de Ana, informando que ela está hoje em Paris. Com a informação recebida pelo telefonema de Ana, Carlos agora estima corretamente que a probabilidade de Beatriz também estar hoje em Paris é igual a:
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Resolução
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Resposta
b) 1/3b) 1/3
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Exercício Three
(MPU/2004) Quando Lígia pára em um posto de gasolina, a probabilidade de ela pedir para verificar o nível de óleo é de 0,28; a probabilidade de ela pedir para verificar a pressão dos pneus é 0,11 e a probabilidade de ela pedir para verificar ambos, óleo e pneus, é de 0,04. Portanto, a probabilidade de Lígia parar em um posto de gasolina e não pedir nem para verificar o nível de óleo e nem para verificar a pressão nos pneus éigual a:
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Resolução
![Page 232: Caderno - Estatítica Descritiva](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052208/547df2feb479598e508b4a7e/html5/thumbnails/232.jpg)
Resposta
e) 0,65e) 0,65
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Teoria da Probabilidade Totale
Teo de Bayes
Motivação: Suponha uma população em que 1% possua determinada doença. Existe em teste para detectá-la que dáprobabilidade de falso-positivo de 1% e de falso-negativo de 1%.
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Testes
![Page 235: Caderno - Estatítica Descritiva](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052208/547df2feb479598e508b4a7e/html5/thumbnails/235.jpg)
Exercício
Uma pessoa fez o teste e de positivo. Qual a probabilidade dela estar doente, isto é P( / ) = ?
P(doente/positivo) = ?
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Resolução
![Page 237: Caderno - Estatítica Descritiva](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052208/547df2feb479598e508b4a7e/html5/thumbnails/237.jpg)
Resolução
• Obs: A1, ..., An são uma partição de Ω, se:
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Exemplo
Ω = 1, 2, ..., 6A1 = 1, 2A2 = 3, 4, 5A3 = 6
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Fórmula
![Page 240: Caderno - Estatítica Descritiva](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052208/547df2feb479598e508b4a7e/html5/thumbnails/240.jpg)
Calculando
A1 = Sadia, A2 = Doente, B = Positivo
![Page 241: Caderno - Estatítica Descritiva](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052208/547df2feb479598e508b4a7e/html5/thumbnails/241.jpg)
Resolução
![Page 242: Caderno - Estatítica Descritiva](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052208/547df2feb479598e508b4a7e/html5/thumbnails/242.jpg)
ExercícioTeorema de Teorema de BayesBayes
![Page 243: Caderno - Estatítica Descritiva](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052208/547df2feb479598e508b4a7e/html5/thumbnails/243.jpg)
Resumo
• Uma caixa com TRÊS moedas:
1º Honesta2º Com DUAS caras3º Com probabilidade de cara 1/5
P(2ª / c) = ?C = CARA
R = COROA
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Resolução
![Page 245: Caderno - Estatítica Descritiva](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052208/547df2feb479598e508b4a7e/html5/thumbnails/245.jpg)
Fórmula
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Variáveis Aleatórias Discretas
Introdução
![Page 247: Caderno - Estatítica Descritiva](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052208/547df2feb479598e508b4a7e/html5/thumbnails/247.jpg)
Exemplo
Lançam-se 3 moedas. Seja X: número de ocorrências da face cara. Determinar a distribuição de probabilidade de X.
![Page 248: Caderno - Estatítica Descritiva](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052208/547df2feb479598e508b4a7e/html5/thumbnails/248.jpg)
Resolução
![Page 249: Caderno - Estatítica Descritiva](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052208/547df2feb479598e508b4a7e/html5/thumbnails/249.jpg)
Definição
•• VariVariáável Aleatvel Aleatóória (v.a)ria (v.a) é a função que associa a todo evento pertencente a uma partição do espaço amostral um único número real.
• A variável aleatória é discreta quando assume valores em um conjunto finito ou enumerável.
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Variáveis Aleatórias Discretas
Função de Probabilidade é a função que associa a cada valor assumido pela variável aleatória a probabilidade do evento correspondente, isto é:
Ao conjunto (xi, p(xi)) i = 1, ..., n é a distribuição de probabilidades.
![Page 251: Caderno - Estatítica Descritiva](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052208/547df2feb479598e508b4a7e/html5/thumbnails/251.jpg)
Observação
![Page 252: Caderno - Estatítica Descritiva](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052208/547df2feb479598e508b4a7e/html5/thumbnails/252.jpg)
Exemplo
• Considere uma urna contendo 3 bolas vermelhas e 5 pretas. Retire 2 bolas, sem sem reposireposiççãoão, e defina a variável X: nº de bolas pretas. Obtenha a distribuição de X.
URNA
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Resolução
X = QUANTIDADE DE BOLAS PRETAS RETIRADAS
Ao somar os numerados (circulados) o resultado será o denominador.
![Page 254: Caderno - Estatítica Descritiva](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052208/547df2feb479598e508b4a7e/html5/thumbnails/254.jpg)
Exemplo
• Considere uma urna contendo 3 bolas vermelhas e 5 pretas. Retire 2 bolas, com com reposireposiççãoão, e defina a variável X: nº de bolas pretas. Obtenha a distribuição de X.
URNA
![Page 255: Caderno - Estatítica Descritiva](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052208/547df2feb479598e508b4a7e/html5/thumbnails/255.jpg)
Resolução
Ao somar os numerados (circulados) o resultado será o denominador.
X = QUANTIDADE DE BOLAS PRETAS RETIRADAS
![Page 256: Caderno - Estatítica Descritiva](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052208/547df2feb479598e508b4a7e/html5/thumbnails/256.jpg)
Exercício
• Lança-se uma moeda até que saia cara pela 1º vez X: nº de lançamentos
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Resolução
![Page 258: Caderno - Estatítica Descritiva](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052208/547df2feb479598e508b4a7e/html5/thumbnails/258.jpg)
Esperança Matemática(Valor médio ou Média)
Uma seguradora cobra R$1.000 por carro e paga R$ 30000 em caso de sinistro (o que ocorre 3% das vezes).
Quanto ela espera ganhar em média, por carro?
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Resolução
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ResoluçãoMédia
Observação: Resolução a partir da frequência
![Page 261: Caderno - Estatítica Descritiva](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052208/547df2feb479598e508b4a7e/html5/thumbnails/261.jpg)
ResoluçãoProbabilidade
Observação: Resolução a partir da probabilidade.
![Page 262: Caderno - Estatítica Descritiva](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052208/547df2feb479598e508b4a7e/html5/thumbnails/262.jpg)
FórmulaResolução Probabilidade
![Page 263: Caderno - Estatítica Descritiva](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052208/547df2feb479598e508b4a7e/html5/thumbnails/263.jpg)
Esperança Matemática(Valor médio ou Média)
Podemos definir mediana, moda, variância e desvio-padrão, de forma similar à feita em distribuição de frequência, mas usando p(xi) no lugar de fi/n.
ObservaçãoNotação da variância: o²x, o²(x), o².
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DistribuiçõesVariáveis
![Page 265: Caderno - Estatítica Descritiva](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052208/547df2feb479598e508b4a7e/html5/thumbnails/265.jpg)
Distribuição de Bernoulli
• Experimento com somente duas possibilidades:
SUCESSO (S)FRACASSO (F)
X: nº de sucessos em 1 jogada.
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Distribuição Geométrica
• Experimento com somente duas possibilidades:
SUCESSO (S)FRACASSO (F)
X: nº de tentativa até 1 S.
![Page 267: Caderno - Estatítica Descritiva](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052208/547df2feb479598e508b4a7e/html5/thumbnails/267.jpg)
Distribuição Binomial
• Experimento com somente duas possibilidades:
SUCESSO (S)FRACASSO (F)
Você estabelece um quantidade e verifica quanto saio no final da verificação.
![Page 268: Caderno - Estatítica Descritiva](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052208/547df2feb479598e508b4a7e/html5/thumbnails/268.jpg)
Variável Aleatório Contínua
É uma v.a. que assume valores em um intervalo contínuo.
Exemplo:
X → Alturacm de um grupo de pessoas.
![Page 269: Caderno - Estatítica Descritiva](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052208/547df2feb479598e508b4a7e/html5/thumbnails/269.jpg)
Funções Densidade de Probabilidade
Seja X uma v.a. contínua A função densidade de probabilidade é a função f(x) tal que:
a) f(x) > 0, para todo x Rx = valores assumidos por x
b) Rx f(x) dx = 1
![Page 270: Caderno - Estatítica Descritiva](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052208/547df2feb479598e508b4a7e/html5/thumbnails/270.jpg)
Além disto, para a, b, е Rx, a < b.
P(a < x < b) = f(x) = dx
![Page 271: Caderno - Estatítica Descritiva](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052208/547df2feb479598e508b4a7e/html5/thumbnails/271.jpg)
Distribuição NormalModelos de Distribuição Contínuas
É a distribuição normal Z , que tem média. O e desvio-padrão 1.Qualquer distribuição normal x com média µ e desvio-padrão o pode ser transformado em Z através de mudança de variável.
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Exemplos
Distribuição Normal
Quanto menor o formato do “sino” maior será a aproximação dos dados avaliados.