caderno1ano conjuntos-100207080912-phpapp02

Prof.Sérgio Henrique

Cooperativa Centro de Estudos “Paulo Freire” MatemáticaCaderno 01 - Conjuntos Data __ / __ / __

IntroduçãoAnalise a seguinte situação - problema:

Para resolver questões desse tipo, devemos utilizar conhecimentos de conjuntos.

Conceitos PrimitivosA teoria de conjuntos foi desenvolvida por

Georg Cantor por volta de 1872. Além de padronizar a linguagem em todos os ramos da matemática, essa teoria trouxe-nos outras grandes contribuições, como, por exemplo, a definição precisa do conceito de infinito.

Para dar início à sua teoria, Cantor admitiu os conceitos primitivos (não definidos) de conjunto e de elemento de um conjunto. A idéia

de conjunto é a mesma de coleção, que exemplificaremos a seguir.

EXEMPLOS

a) Uma coleção de revistas é um conjunto. Cada revista é um elemento desse conjunto.

b) Os alunos de nossa sala de aula formam um conjunto. Você é um elemento desse conjunto.

Relação de PertinênciaUm conjunto é formado por elementos. Um

objeto qualquer pode ser elemento de um determinado conjunto . Quando for, dizemos que: pertence a e escrevemos

.

Caso contrário, dizemos que não pertence a e escrevemos .

Representação de um conjuntoUm conjunto pode ser representado de três

maneiras: por extenso, enumerando elemento por elemento entre chaves; abreviadamente, destacando uma propriedade comum apenas aos seus elementos ou utilizando o Diagrama de Venn.

EXEMPLOS

Vamos fazer as representações possíveis para o conjunto V das vogais:

a)

b)

Contatos: 88165226 / 81094287Email do Orkut e MSN: [email protected] Página 1

Em uma pesquisa realizada com 50 pessoas para saber que esporte elas apreciam entre futebol, basquete e vôlei, o resultado foi o seguinte: 23 gostam de futebol, 18 de basquete e 14 de vôlei; 10 gostam de futebol e de basquete; 9 de futebol e de vôlei; 8 de basquete e de vôlei e 5 gostam das três modalidades.

Quantas pessoas não gostam de nenhum desses esportes?

Quantas gostam somente de futebol?

Quantas gostam só de basquete?

Quantas gostam apenas de vôlei?

E quantas não gostam nem de basquete nem de vôlei?

Quantas pessoas gostam só de futebol ou só de basquete ou de ambos?

mailto:[email protected]



Tipos de conjunto• Conjunto Unitário é todo conjunto formado

por um único elemento.

• Conjunto Vazio é aquele que não possui elemento algum.

Representa-se o conjunto vazio por ∅ ou por { }.

• Conjunto Finito é todo conjunto que, contando os elementos, um a um, chega-se ao fim da contagem.

• Conjunto Infinito é todo conjunto que não é finito, ou seja, não conseguimos chegar ao fim da contagem.

• Conjunto Universo é o conjunto formado por todos os elementos com os quais estamos trabalhando num determinado assunto.O conjunto universo é representado por .

Relação de InclusãoConsideremos dois conjuntos, e . Se

todos os elementos de forem também elementos de , dizemos que é um subconjunto de ou que está contido em ou, ainda, que é parte de . Indicamos esse fato por .

Quando , podemos também escrever (lê-se contém ).

Se não for subconjunto de , escrevemos .

EXEMPLOS:a)

c)

A relação chama-se Relação de Inclusão. São casos particulares extremos de inclusão:•

•

Igualdade de conjuntosDois conjuntos e são iguais ( )

se, e somente se, e .

EXEMPLOS:a)

b)


OBSERVAÇÃO IMPORTANTEA Relação de Pertinência é utilizada para

relacionar elemento e conjunto, e a Relação de Inclusão é utilizada para relacionar conjunto e

conjunto!!!




Exercícios1) Represente na forma tabular os seguintes

conjuntos:a)

b)

c)

d)

e)

2) Classifique cada um dos conjuntos abaixo como finito ou infinito.a)

b)

c)

d)

3) (Unirio) Sendo e números tais que , pode-se afirmar que:

a) e d)

b) e)

c)

4) Represente os conjuntos e

no diagrama.

5) Determine todos os subconjuntos de

Operações entre conjuntos• União (ou reunião) de conjuntos

A união (ou reunião) de dois conjuntos e , que indicaremos por , é o conjunto

cujos elementos são todos aqueles que pertencem a ou a .

EXEMPLOS:

a) Sendo e , temos que:

b) Sendo e , temos que: .

c) Sendo e , temos que: .

Representação da união de conjuntos em diagramas de Venn





Propriedades da União de Conjuntos

Em particular, temos: e .

e

• Intersecção de conjuntosA intersecção de dois conjuntos e , que

indicaremos por , é o conjunto cujos elementos são todos aqueles que pertencem a

e a .

EXEMPLOS:


b) Sendo e , temos que:

c) Sendo e , temos que: .

Representação da intersecção de conjuntos em diagramas de Venn

Propriedades da intersecção de Conjuntos


e

e

e


OBSERVAÇÃO IMPORTANTEDizemos que dois conjuntos dão disjuntos se, e somente se, a intersecção entre eles é o conjunto vazio. Note no exemplo (b) que

os conjuntos C e D são disjuntos.




• Diferença de conjuntosA diferença de dois conjuntos e , nessa

ordem, que indicaremos por , é o conjunto cujos elementos são todos aqueles que pertencem a e não pertencem a

EXEMPLOS:


e

b) Sendo e , temos que: e .

Representação da diferença de conjuntos em diagramas de Venn

Propriedades da diferença de Conjuntos


Em particular,

• Complementar de conjuntosSejam e dois conjuntos tais que .

Chama-se complementar de em relação a , que indicamos por o conjunto cujos

elementos são todos aqueles que pertencem a e não pertencem a .

Note que o conjunto é exatamente a diferença . Assim, temos que:

EXEMPLOS:

a) Sendo e , temos que: logo existe , que é igual a

, isto é:


OBSERVAÇÃO IMPORTANTEA condição necessária e suficiente para que

exista é que . Caso contrário, dizemos que não existe .




b) Sendo e , temos que: ; logo, não existe .

Representação do complementar de um conjunto em diagramas de Venn

Propriedades do complementar

Em particular,

Partes de um conjuntoDado o conjunto , é possível

escrever todos os subconjuntos (ou todas as partes) de . Esse conjunto formado por todos os subconjuntos de é chamado de conjunto das partes de e é indicado por

. Assim, temos:

Exercícios

6) Dados os conjuntos e

, determine:

a) f)

b) g)

c) h)

d) i)

e)

7) Considerando o universo de todas as pessoas brasileiras, sejam os conjuntos:

Indicando o complementar de em relação a , escreva uma propriedade que determine os elementos dos conjuntos a seguir:a)

b)

c)

d)

e)


OBSERVAÇÃO IMPORTANTESe possui elementos, então terá elementos.




8) (Cesgranrio) Se e são conjuntos e , pode-se sempre concluir que:

a)

b)

c)

d)

e)

9) Observando os conjuntos representados pelo diagrama, determine:

a) d)

b) e)

c) f)

10) (UFPI) Considerando os conjuntos e na figura abaixo, a região hachurada representa:

a) d)

b) e)

c)

11) Dados e , determine:a)

b)

c) Número de elementos de

d) Número de elementos de

12) Se tem 64 elementos, quantos elementos têm o conjunto ?

13) Escreva um subconjunto dos números naturais tal que tenha 16 elementos.

Número de elementos da União de conjuntos• Dois conjuntos:

Sejam e dois conjuntos, tais que . Então, temos que:

Caso, , temos que:

• Três conjuntosPara três conjuntos temos a seguinte

fórmula:





Exercícios

14) Numa pesquisa com jovens, foram feitas as seguintes perguntas para que respondessem sim ou não: gosta de música? Gosta de esportes? Responderam sim à primeira pergunta 90 jovens; 70 responderam sim à segunda; 25 responderam sim a ambas; e 40 responderam não a ambas. Quantos jovens foram entrevistados?

15) Em uma pesquisa realizada com 50 pessoas para saber que esporte elas apreciam entre futebol, basquete e vôlei, o resultado foi o seguinte: 23 gostam de futebol, 18 de basquete e 14 de vôlei; 10 gostam de futebol e de basquete; 9 de futebol e de vôlei; 8 de basquete e de vôlei e 5 gostam das três modalidades.

a) Quantas pessoas não gostam de nenhum desses esportes?

b) Quantas gostam somente de futebol?

c) Quantas gostam só de basquete?

d) Quantas gostam apenas de vôlei?

e) E quantas não gostam nem de futebol nem de vôlei?

f) Quantas pessoas gostam só de futebol ou só de basquete ou de ambos?

16) Uma prova de duas questões foi dada a uma classe de quarenta alunos. Dez alunos acertaram as duas questões, 25 acertaram a primeira questão e 20 acertaram a segunda questão. Quantos alunos erraram as duas questões?

17) Numa pesquisa feita com 1000 famílias para se verificar a audiência dos programas de televisão, os seguintes resultados foram encontrados: 510 famílias assistem ao programa , 305 assistem ao programa e 386 assistem ao programa . Sabe-se ainda que 180 famílias assistem aos programas e

, 60 assistem aos programas e , 25 assistem a e , e 10 famílias assistem aos três programas.

a) Quantas famílias não assistem a nenhum desses programas?

b) Quantas famílias assistem somente ao programa ?

c) Quantas famílias não assistem nem ao programa nem ao programa ?

18) Um professor de Português sugeriu em uma classe a leitura dos livros Helena, de Machado de Assis, e Iracema, de José de Alencar. Vinte alunos leram Helena, 15 leram só Iracema, 10 leram os dois livros e 15 não leram nenhum deles.

a) Quantos alunos leram Iracema?

b) Quantos alunos leram só Helena?

c) Qual é o número de alunos nessa classe?

19) Na porta de um supermercado foi realizada uma enquete, com 100 pessoas, sobre três produtos. As respostas foram: 10 pessoas compram somente o produto , 30 pessoas compram somente o produto , 15 pessoas compram somente o produto , 8 pessoas





compram e , 5 pessoas compram e , 6 pessoas compram e , e 4 compram os três produtos.

a) Quantas pessoas compram pelo menos um dos três produtos?

b) Quantas pessoas não compram nenhum desses três produtos?

c) Quantas pessoas compram os produtos e e não compram ?

d) Quantas pessoas compram os produtos ou ?

e) Quantas pessoas compram o produto ?

f) Quantas pessoas compram o produto ?

20) Num levantamento sobre 100 estudantes sobre o estudo de idiomas, obtivemos os seguintes resultados: 41 estudam Inglês; 29 estudam Francês e 26 estudam Espanhol; 15 estudam Inglês e Francês, 8 estudam Francês e Espanhol, 19 estudam Inglês e Espanhol; 5 estudam os três idiomas.

a) Quantos estudantes não estudam nenhum desses idiomas?

b) Quantos estudantes estudam apenas um desses idiomas?

21) Uma pesquisa mostrou que 33% dos entrevistados lêem o jornal , 29% lêem o jornal , 22% lêem o jornal , 13% lêem e

, 6% lêem e , 14% lêem e e 6% lêem os três jornais.

a) Quanto por cento não lê nenhum desses jornais?

b) Quanto por cento lê os jornais e e não lê ?

c) Quanto por cento lê pelo menos um jornal?

22) Numa pesquisa sobre audiência de TV entre 125 entrevistados, obteve-se: 60 assistem ao canal , 40 ao canal , 15 ao canal , 25 assistem a e , 8 a e , 3 a e , e 1 assiste aos três.

a) Quantos não assistem a nenhum desses três canais?

b) Quantos assistem somente ao canal ?

c) Quantos não assistem nem a nem a ?

23) Foram entrevistadas cinqüenta donas de casa sobre suas preferências em relação a duas marcas e de sabão em pó. Os resultados da pesquisa foram precisamente:

• 21 pessoas responderam que usam a marca .

• 10 pessoas responderam que usam a marca e a marca .

• 5 pessoas responderam que não usam nenhuma das duas marcas.

De acordo com esses dados, quantas pessoas usam somente a marca ?

24) O departamento de seleção de pessoal de uma indústria automobilística, analisando o currículo de 47 candidatos, conclui que apenas três dos candidatos nunca trabalharam em montagem ou





pintura; e que precisamente 32 candidatos já trabalharam em montagem e 29 já trabalharam em pintura. Quantos desses candidatos já trabalharam nos dois setores?

25) Numa festa, 29 pessoas discutiam sobre dois filmes e . Precisamente:

• 13 dessas pessoas assistiram ao filme .

• 5 pessoas assistiram aos dois filmes.

• 6 pessoas não assistiram a nenhum dos dois filmes.

Quantas pessoas assistiram ao filme , sabendo que todas as 29 pessoas opinaram?

26) A partir de uma pesquisa feita com 2200 gaúchos, a Secretaria de Turismo do Estado concluiu que:

• Exatamente 816 dessas pessoas já estiveram na região nordeste do Brasil;

• Exatamente 602 dessas pessoas já estiveram na região norte do Brasil;

• Exatamente 206 dessas pessoas já estiveram nas duas regiões.

Quantas das pessoas entrevistadas nunca estiveram em nenhuma das duas regiões?

27) Quarenta e um alunos de um colégio opinaram numa pesquisa em que eram solicitados a responder se eram leitores de jornal ou revista. Conclui-se exatamente que:

• 24 alunos lêem jornal;

• 30 alunos lêem revista;

• 5 alunos não lêem jornal nem revista.

Quantos alunos lêem jornal e revista?

28) (PUC/Campinas – SP) Numa comunidade constituída de 1800 pessoas, há três programas de TV favoritos: esporte , novela e humorismo . A tabela a seguir indica quantas pessoas assistem a esses programas:

Por meio desses dados, verifica-se que o número de pessoas da comunidade que não assistem a qualquer dos três programas é:

a) 100

b) 200

c) 900

d) Os dados do problema estão incorretos

e) N.d.a.

29) Um conjunto universo possui precisamente 23 elementos.

Dois subconjuntos e de são tais que:

• possui 12 elementos, precisamente;

• possui 9 elementos, precisamente;





• Existem exatamente 5 elementos de que não pertencem a .

Determine o número de elementos de .

30) Um conjunto universo é tal que e os subconjuntos e de

são tais que:

e .

Determine .

31) Há uma antiga rivalidade entre os fabricantes de dois refrigerantes: o grud-cola e o pimba-cola. Para se saber qual o preferido em uma certa região, foi feita uma pesquisa entre 245 jovens dessa localidade. Precisamente:

• 135 jovens entrevistados bebem grud-cola;

• 75 jovens bebem os dois refrigerantes;

• 40 jovens não bebem nenhum dos dois refrigerantes.

Sabendo que todos os 245 jovens opinaram, conclua você qual é o refrigerante preferido por eles e quantos jovens bebem esse refrigerante.

32) Cada um dos 51 professores de uma escola leciona em pelo menos um dos três prédios

e que possui a escola. A distribuição de aulas aos professores foi feita de modo que, precisamente:

• 32 professores lecionam no prédio ;



• 17 professores lecionam no prédio e ;

• 18 professores lecionam no prédio e ;

• 13 professores lecionam no prédio e .

Quantos desses professores lecionam nos três prédios da escola?

33) (UESPI) Sejam e conjuntos finitos de modo que e são disjuntos. Se possui 8 elementos, possui 24 elementos e possui 17 elementos, então o número de elementos de é:

a) 7 d) 2

b) 9 e) 1

c) 4

34) (ITA – SP) Denotemos por o número de elementos de um conjunto finito . Sejam e conjuntos tais que

,

e .

Então é igual a:

a) 11 d) 18

b) 14 e) 25

c) 15

Questões de vestibulares

1) (UFPA – PSS 07) Um professor de Matemática, ao lecionar Teoria dos Conjuntos em uma turma, realizou uma pesquisa sobre as preferências





clubísticas de seus alunos, tendo chegado ao seguinte resultado:

• 23 alunos torcem pelo Paysandu Sport Club;

• 23 alunos torcem pelo Clube do Remo;

• 15 alunos torcem pelo Clube de Regatas Vasco da Gama;

• 6 alunos torcem pelo Paysandu e pelo Vasco;

• 5 alunos torcem pelo Vasco e pelo Remo.

Se designarmos por o conjunto dos torcedores do Paysandu, por o conjunto dos torcedores do Remo e por o conjunto dos torcedores do Vasco, todos da referida turma, teremos, evidentemente,

.

Concluímos que o número de alunos desta turma é

a) 49 d) 45

b) 50 e) 46

c) 47

2) (UFPA – PSS 08) Feita uma pesquisa entre 100 alunos, do ensino médio, acerca das disciplinas português, geografia e história, constatou-se que 65 gostam de português, 60 gostam de geografia, 50 gostam de história, 35 gostam de português e geografia, 30 gostam de geografia e história, 20 gostam de história e português e 10 gostam dessas três disciplinas. O número de alunos que não gosta de nenhuma dessas disciplinas é:

a) 0 d) 15

b) 5 e) 20

c) 10

3) (UFPA – PSE 01/09) Em uma turma de 50 alunos, 30 gostam de azul, 10 gostam igualmente de azul e amarelo, 5 não gostam de azul nem de amarelo. Os alunos que gostam de amarelo são

a) 25.

b) 20.

c) 18.

d) 15.

e) 10.

4) (UEPA – PROSEL 06) A Câmara dos Deputados reuniu-se extraordinariamente para decidir sobre a instalação de duas Comissões Parlamentares de Inquéritos (CPI): a do FUTEBOL e a do CAIXA 2. Dos 320 deputados presentes, 190 votaram a favor da instalação da CPI do FUTEBOL; 200 pela instalação da CPI do CAIXA 2; 90 votaram a favor da instalação das duas comissões e deputados foram contrários à instalação das CPIs. O número de deputados que votaram contra a instalação das CPIs é:

a) 160

b) 90

c) 70

d) 50

e) 20

5) (UEPA – PROSEL 07) Os carros podem ser adquiridos dentre três alternativas em termos de combustível. Podem ser movidos a gasolina, a





álcool ou aos dois combustíveis (flex). Desta forma, foi verificado que no pátio de uma concessionária de veículos há: 120 automóveis que podem ser movidos a gasolina; 112 que podem ser movidos a álcool e 93 que podem ser movidos com os dois combustíveis (flex). O número de carros existentes no pátio dessa concessionária é:

a) 325

b) 232

c) 213

d) 205

e) 139



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