cal 9

คณิตศาสตร์ ชุด CALCULUS เรียบเรียงโดย ….. อ. สุทธิ – อ.อารยา คุณวัฒนานนท์ หน้าที 67

สรุปขอสรุปขอมหาวิทยาลัย ชุด 5 퐶푎푙푐푢푙푢푠 1. ให 푓(푥) = 푎푥 + 푏푥 โดยที่ 푎 และ 푏 เปนจํานวนจริง

ถาเสนตรง 푦 = 1 สัมผัสเสนโคง 푦 = 푓(푥) ที่จุด (1,1)

พิจารณาขอความตอไปนี ้

ก. 푓(푥) มีคาสูงสุดสัมพัทธที่ 푥 = −1

ข. คาของ 푙푖푚푥→0

(푓 ∘ 푓)(푥 + 1) = 푓(2 푎2 + 2 푏2)

ขอใดตอไปนี้ถูกตอง

1. ก ถูก และ ข ถูก

2. ก ถูก และ ข ผิด

3. ก ผิด และ ข ถูก

4. ก ผิด และ ข ผิด 푃퐴푇1 พ. ย. 57

2. ให 푓 และ 푔 เปนฟงกชันที่มีโดเมนและเรนจเปนสับเซตของ

เซตของจํานวนจริง โดยที่ 푓 และ 푔 เปนฟงกชันที่หาอนุพันธไดและ

สอดคลองกับสมการ (푓 ∘ 푔)(푥) = 푥2 + 5

สําหรับทุกๆคาของ 푥 ในโดเมน 푓 ∘ 푔 และ

푔(푥)푑푥 = 푥 − 4푥 + 푐 เม่ือ 푐 เปนคาคงตัว

ถา 퐿 เปนเสนตรงที่สัมผัสเสนโคง 푦 = 푓(푥) ที่ 푥 = 0

แลวเสนตรง 퐿 ตั้งฉากกับสมการเสนตรงในขอใดตอไปนี ้ 1. 푥 + 푦 = 3

2. 2푥 + 푦 − 7 = 0

3. 3푥 + 푦 − 5 = 0

4. 5푥 + 푦 − 2 = 0 푃퐴푇1 พ. ย. 57

3. กําหนดให 푓 เปนฟงกชันพหุนามในรูป

푓(푥) = 4푥 + 푏푥 + 푐푥 + 푑 , โดยที่ 푏, 푐, 푑 ∈ 푅

ที่ทําให 푓(푥)푑푥 = −643 2

−2

ถา 푔 เปนฟงกชันที่หาอนุพันธอันดับหนึ่งและอันดับสองได โดยที่ 푔′(푥) = 푓(푥) และ 푔′(1) = 푔′(0) = 푔(0) = 0 แลว

푔′′(푥) = 푔′(푥) + 푔(푥) ตรงกับสมการในขอใดตอไปนี ้

1. 푥 − 4푥 + 12푥 − 6푥 = 0

2. 푥 − 8푥 − 12푥 − 6푥 = 0

3. 3푥 − 16푥 + 48푥 − 24푥 = 0

4. 3푥 + 8푥 − 48푥 + 24푥 = 0 푃퐴푇1 พ. ย. 57

4. ให 푓(2푥 − 1) = 4푥 − 10푥 + 푎 โดยที่ 푎 ∈ 푅

ที่สอดคลองกับ 푓(0) = 12 จงหาคาของ 푓(푥)푑푥4

1

1. 30.5

2. 34.5

3. 36.25

4. 38.15 푃퐴푇1 พ. ย. 57

5. กําหนดให 푅 แทนเซตของจํานวนจริงและ

푓(푥) = 푥 + 1 และ 푔 푓(푥) = 푥 + 2푥 − 1

สําหรับทุกคาของ 푥 ใน 푅

ถา 푆(푥) = 푙푖푚→

[푔(푥 + ℎ)] − [푔(푥 + ℎ)]

ℎ

สําหรับทุกจํานวนจริง 푥 จงหาคาของ (푠푔)(1)

1. 1

2. 2

3. 3

4. 4 푃퐴푇1 พ. ย. 57

6. กําหนดให 푓 เปนฟงกชัน ที่นิยามโดย

푓(푥) =

푎 − 푥 ; 푥 ≤ −2

푏 −25 푥 ; −2 < 푥 < 3

푥 − 6푥 + 11 ; 푥 ≥ 3

เม่ือ 푎, 푏 เปนจํานวนจริง ถาฟงชันก 푓 มีความตอเนื่องที่ 푥 = −2

และ 푙푖푚→

푓(푥) หาคาได แลว |푎 + 5푏| มีคาเทาไร

1. 8

2. 18


3. 885

4. 푃퐴푇1 เม. ย. 57

7. กําหนดให 푏 > 1 และ 푥 − 1푥 + √푥

푑푥 = 4

คาของ 1 + 푏 + 푏2 เทากับขอใด

1. 21

2. 31

3. 91

4. 111 푃퐴푇1 เม. ย. 57

8. กําหนดให 푓(푥) = 푎푥 + 푏푥 + 푐 เปนพหุนามกําลังสอง

เม่ือ 푎, 푏, 푐 เปนจํานวนจริง โดยที่ 푎 ≠ 0 ซึ่ง 푓(1) = 0

และ 푓 มีคาสูงสุดที่ 푥 =13 ให 퐹(훼, 훽) = 푓(푥)푑푥

โดยที่ 퐹(0, 푡) = 퐹(1, 푡) + 1 สําหรับจํานวนจริง 푡 > 0

พิจารณาขอความตอไปนี ้(ก) 퐹(1,2) = 퐹(2,3) + 10

(ข)อนุพันธของ 푓(푥)

푥 คือ −3푥 − 2푥 − 2

푥





4. ก ผิด และ ข ผิด 푃퐴푇1 เม. ย. 57

9. กําหนดให 푓(푥) = 푎 + 푏푥 + 푥3 เปนเสนโคง

ที่สัมผัสกับเสนตรง 5푥 − 푦 + 13 = 0 ที่ 푥 = 1

จงหา 푓(푥)푑푥2

0

1. 35

2. 36

3. 37

4. 38 푃퐴푇1 เม. ย. 57

10. กําหนดให 푓(푥) เปนฟงกชันซึ่ง 푓(3) = 111

ถา 푙푖푚푥→3

푥. 푓(푥) − 333

푥 − 3 = 2013

แลวอัตราการเปลี่ยนแปลงของ 푓(푥) เทียบกับ 푥 ขณะที่ 푥 = 3

มีคาเทาใด

1. 634

2. 643

3. 645

4. 654 푃퐴푇1 เม. ย. 57

11. ให 푎 และ 푏 เปนจํานวนจริง และให

푓(푥) = 푥 + 푎푥 + 푏 ; 푥 ≤ 2 √푥 − 1 ; 2 ≤ 푥 ≤ 5

푎푥 + 푏 ; 푥 > 5

ถา 푓 เปนฟงกชันตอเนื่องบนเซตของจํานวนจริง

แลว 푎 − 푏 เทากับขอใดตอไปนี ้ 1. 5

2. 8

3. 11

4. 12 푃퐴푇1 มี. ค. 57

12. ถา |푥 − 7푥 + 6|푑푥 =푎푏 เม่ือ 푎, 푏 ∈ 퐼

หรม. ของ 푎 กับ 푏 เทากับ 1 แลว 푎 + 푏 มีคาเทาไร

1. 33

2. 69

3. 102

4. 104 푃퐴푇1 มี. ค. 57


13. ให 푓(푥) = เม่ือ 푥 เปนจํานวนจริงบวกใดๆ

พิจารณาขอความตอไปนี ้ ก. 푓 เปนฟงกชันเพิ่มบนชวง (0,3)

ข. คาสูงสุดสัมพัทธของ 푓 เทากับ 413





4. ก ผิด และ ข ผิด 푃퐴푇1 มี. ค. 57

14. ให 푓(푥) = 푥 + 푎푥 + 푏 เม่ือ 푎 และ 푏 เปนจํานวนจริง

ถา 푓(1) = 2 และ (푓 ∘ 푓)(0) = 10 แลวคาของ

푓(푥)푑푥 เทากับเทาใด

1. 11

2. 12

3. 13

4. 14 푃퐴푇1 มี. ค. 57

15. ให 푅 แทนเซตของจํานวนจริง ถา 푓: 푅 → 푅 เปนฟงกชัน

ซึ่ง 푓′′(푥) = 3 + 6푥 สําหรับทุกจํานวนจริง 푥

และความชันของเสนสัมผัสเสนโคง 푦 = 푓(푥) ณ จุด (2,22)

เทากับ 20 แลวคาของ 푙푖푚→

푓(푥) เทากับเทาใด

1. 99

2. 100

3. 101

4. 102 푃퐴푇1 มี. ค. 57

16. คาของ 푙푖푚→∝

2푥(2푥 − 1) − 2푥 + 1 มีคาเทาไร

1. 0

2. 0.5

3. 1

4. − 1.5 푃퐴푇1 มี. ค. 56

17. กําหนดให 퐶 เปนเสนโคง 푦 = 4푥 − 3

푥 เม่ือ 푥 > 0

และให 퐿 เปนเสนตรงที่สัมผัสกับเสนโคง 퐶 ที่จุด (1,1)

ถาเสนตรง 퐿 ตัดกับพาราโบลา 푥(푥 − 1) = 푦 − 1 ที่จุด 퐴

และจุด 퐵 แลวระยะทางระหวางจุด 퐴 และจุด 퐵 มีคาเทาไร

1. √40

2. √255

3. √465

4. √57825 푃퐴푇1 มี. ค. 56

18. ให 푓(푥) เปนฟงกชันตอเนื่องที่จุด 푥 = 2 ที่สอดคลองกับ

푓(푥) =

⎩⎨

⎧4 − 2푥

푥 − √푥 − 3푥 + 6

푘푥3 ∶ 푥 ≥ 2

; 푥 < 2

โดยที่ 푘 เปนจํานวนจริง แลว − 푓(푘 + 7) มีคาเทากับเทาใด

สวนบนของฟอรม

1. 1 2. 2

3. 3 4. 4 푃퐴푇1 มี. ค. 56

19. ให 푓 เปนฟงกชันซึ่งมีโดเมนและเรนจเปนสับเซตของจํานวนจริง

โดยที่อัตราการเปลี่ยนแปลงของ 푓(푥) เทียบกับ 푥 เทากับ

푎푥 + 푏푥 เม่ือ 푎 และ 푏 เปนจํานวนจริง และ ให 푔(푥) = (푥3 + 2푥)푓(푥) ถา 푓′(1) = 18 ,

푓 (0) = 6 และ 푓(0) = 푓(1) + 푓(−1) แลว

คาของ 푔′(1) มีคาเทาไร

1. 24

2. 25

3. 26

4. 27 푃퐴푇1 มี. ค. 56


20. ให 푓(푥) เปนพหุนามกําลังสามที่มีสัมประสิทธิ์เปนจํานวนจริง

โดยมี 푥 − 1 เปนตัวประกอบของ 푓(푥)

โดยมี 3 + 4푖 เปนคําตอบของ 푓(푥) = 0 และ 푓(0) = −75

แลวคาของ [푓(푥) − 푓(−푥)] 푑푥 มีคาเทาไร

1. 256

2. 265

3. 396

4. 639 푃퐴푇1 มี. ค. 56

21. ให 푓(푥) = 푥 + 14푥 + 푎푥 − 216 เม่ือ 푎 ∈ 푅 ถา 푥1, 푥2, 푥3 เปนจํานวนจริงเรียงกันแบบลําดับเรขาคณิตและ เปนคําตอบของสมการ 푓(푥) = 0 แลว 푓′(−1) มีคาเทาไร

1. − 109

2. 107

3. 101

4. 85 푃퐴푇1 ต. ค. 55

22. กําหนดให 푓(푥) เปนพหุนามกําลังสอง โดยที่ 푓(0) = 3

และ 3푓(푥 + 1) = 3푓(푥 − 1) + 2푥 − 6

แลว 푓(푥)푑푥2

−1 มีคาเทาไร

1. 8

2. 2

3. 23

4. 13 푃퐴푇1 ต. ค. 55

23. คาของ 푙푖푚→

|2 + 5푥 − 3푥 |

√푥 + 7 − 3 มีคาเทากับขอใด

1. − 42

2. 42

3. 0

4. ไมมีคาลิมิต 푃퐴푇1 ต. ค. 55

24. ให 푅 แทนเซตของจํานวนจริงให 푓: 푅 → 푅 , 푔: 푅 → 푅

เปนฟงกชันที่มีอนุพันธทุกอันดับสําหรับทุกจํานวนจริง 푥 โดยที ่1. (푓푔)(푥) = 3푥 − 4 สําหรับทุกจํานวนจริง 푥

2. ฟงกชัน 푔 มีคาต่ําสุดสัมพัทธเทากับ 1 ที่ 푥 = 2

3. 푓′′(푥) = −2 สําหรับทุกจํานวนจริง 푥

ฟงกชัน 푓 มีคาสูงสุดสัมพัทธเทากับเทาใด

1. 3.25

2. 4.25

3. 5.25

4. 6.25 푃퐴푇1 ต. ค. 55

25. ให 푃(푥 + 2) = 3푥 + 24푥 + 37

และให 푓(푥) = 푃(푡)푑푡푥

0

จงหาคาของ 푙푖푚푥→1

푃(푥) − 푓(푥)3

1. 1

2. 2

3. 3

4. 4 푃퐴푇1 ต. ค. 55

26. กําหนดให 푓: 푅 → 푅 เปนฟงกชันที่มีอนุพันธทุกอันดับ โดยที ่푓′′(푥) = 3푥 + 2 และ 푓′(2) = 112

สมการของเสนตรงที่ตั้งฉากกับเสนสัมผัสเสนโคง 푦 = 푓(푥)

ที่จุด (1,4) คือขอใดตอไปนี ้ 1. 푦 = 푥 − 5

2. 푦 = 3 − 푥

3. 푦 = −푥 − 5

4. 푦 = 푥 + 3 푃퐴푇1 มี. ค. 55


27. ให 푅 แทน เซตของจํานวนจริง

푓: 푅 → 푅 , 푔: 푅 → 푅 และ ℎ: 푅 → 푅 เปน ฟงกชัน

โดยที่ 푓(푥) =푎푥 + 2 푥2 + 2

เม่ือ 푎 เปนจํานวนจริง

푔(푥) = (푥 + 2)푓 (푥) และ

ℎ(푥) = 푓(푥) ; 푥 ≥ 0

푔(푥); 푥 < 0 โดยที่ ℎ ตอเนื่องที่ 푥 = 0

แลว 3ℎ(−1) + ℎ(1) มีคาเทาไร

สวนบนของฟอรม

1. 12

2. 13

3. 3

4. 6 푃퐴푇1 มี. ค. 55

28. ให 푅 แทนเซตของจํานวนจริง และ 푓: 푅 → 푅 , 푔: 푅 → 푅

และ ℎ: 푅 → 푅 เปนฟงกชันที่มีอนุพันธทุกอันดับ

โดยที่ ℎ(푥) = 푥2 + 푥 + 3, 푔(푥) = ℎ(2푓(푥) + 1)

และ 푓′(2) = 푔′(2) = 2 แลว 푓(2) มีคาเทาไร

1. − 14

2. 14

3. 58

4. −58 푃퐴푇1 มี. ค. 55

29. กําหนดให 푅 แทนเซตของจํานวนจริง

ถา 푓: 푅 → 푅 และ 푔: 푅 → 푅 เปนฟงกชัน

โดยที่ 푓(푥) = 3푥 + 2 และ (푔 ∘ 푓)(푥) = 27푥 + 45푥 + 33푥 + 12

สําหรับทุกจํานวนจริง 푥 แลว 푓 푔(푥) 푑푥 2

0มีคาเทาไร

1. 37

2. 38

3. 39

4. 40 푃퐴푇1 มี. ค. 55

30. กําหนดให 푓(푥) = 푥 + 푎푥 + 푏

เม่ือ 푎 และ 푏 เปนจํานวนจริงที่แตกตางกัน และให 퐿1 และ 퐿2

เปนเสนสัมผัสเสนโคง ที่ 푥 = 푎 และ 푥 = 푏 ตามลําดับ

ถา 퐿1 ขนานกับ 퐿2 และ 푙푖푚ℎ→0

5ℎ

푓(1) − 푓(1 + ℎ)= 1

แลวคาของ 푓(푥)푑푥 2

0 มีคาเทาใด

1. 0

2. 2

3. 4

4. 8 푃퐴푇1 มี. ค. 55

31. จงหาคาของ 푙푖푚→

√푥 + 4푥 + 2푥푥 มีคาเทาไร

1. − 14

2. 14

3. − 1

4. 1 푃퐴푇1 มี. ค. 54

32. กําหนดให 푓 เปนฟงกชันพหุนามที่มี 푓 (푥) = 푎푥 + 푏

เม่ือ 푎 และ 푏 เปนจํานวนจริง ถา 푓(0) = 3 และกราฟของ 푓

มีจุดต่ําสุดสัมพัทธที ่(1, −5) แลว 2푎 + 3푏 มีคาเทาไร

1. − 12

2. 20

3. 42

4. 48 푃퐴푇1 มี. ค. 54


33. ให 푅 แทนเซตของจํานวนจริง ให 푔: 푅 → 푅 เปนฟงกชัน

กําหนดโดย 푔(푥) = 14푥 + 5 เม่ือ 푥 ≠ −54

ถา 푓: 푅 → 푅 เปนฟงกชันที ่ (푓 ∘ 푔)(푥) = 푥

สําหรับทุกจํานวนจริง 푥 แลว 푓′′(12) เทากับขอใดตอไปนี ้

1. − 12

2. 12

3. − 4

4. 4 푃퐴푇1 มี. ค. 54

34. กําหนดให 푅 แทนเซตของจํานวนจริง ถา 푓: 푅 → 푅 และ 푔: 푅 → 푅 เปนฟงกชันที่หาอนุพันธไดทุก 푥 ∈ 푅

โดยที่ 푔(푥) = 푥2 − 3푥 + 4,

(푔 ∘ 푓)(푥) = 푥 + 5푥 − 3푥 + 푥 − 3푥 + 4

และ 푓(0) = 0 แลว (푓′ ∘ 푔′)(32) + (푔′ ∘ 푓′)(0)

มีคาเทาไร

1. − 1

2. 0

3. 1

4. 2 푃퐴푇1 มี. ค. 54

35. ใหเสนโคง 푦 = 푓(푥) สัมผัสกับเสนตรง 3푥 − 푦 + 4 = 0

ที่จุด (1,3) และ 푓′′(푥)푑푥3

1= −5

ถา 푔(푥) = √푥 + 1 푓(푥) และ 푔′(3) = 0

แลว 푓(3) มีคาเทาใด

1. 12

2. 16

3. 18

4. 20 푃퐴푇1 มี. ค. 54

36. ให 푓(푥) =푥 − 5

√4푥 + 5 − √3푥 + 10푎 , 푥 = 5

, 푥 ≠ 5

โดยที่ 푎 เปนจํานวนจริง ถา 푓 เปนฟงกชันตอเนื่องที่จุด 푥 = 5

แลว 푎 เทากับเทาใด

1. 10

2. 11

3. 12

4. 13 푃퐴푇1 มี. ค. 54


ให 푓: 푅 → 푅 เปนฟงกชันตอเนื่อง ที่ 푥 = 1

และ 푔 เปนฟงกชันที่กําหนดโดย

푔(푥) =

⎩⎪⎨

⎪⎧√푥 + 3 − 2

√푥 − 1 ; 푥 > 1

푓(푥)|푥| + 7 ; 푥 ≤ 1

ถา 푔 มีความตอเนื่องที่ 푥 = 1 แลว (푔 ∘ 푓)(1) มีคาเทาไร

1. 2 − √3

2. 2

3. 2 − √7

4. √7 − 2 푃퐴푇1 ต. ค. 53

38. ให 푎 และ 푏 เปนจํานวนจริง และให 푓 เปนฟงกชันพหุนาม

โดยที่ 푓(푥) = 푥4 + 2푥3 − 푥2 + 푎푥 + 푏

ถามีฟงกชันพหุนาม 푄(푥) โดยที่ 푓(푥) = 푄(푥) 2

แลวคาของ 푓(푥)푑푥 เทากับขอใด

1. 7130

2. 3130

3. 1130

4. 1

30 푃퐴푇1 ต. ค. 53


39. ให 푓 เปนฟงกชันซึ่งมีโดเมนและเรนจเปนสับเซตของจํานวนจริง

โดยที่ 푓(2푥 + 1) = 4푥2 + 14푥

แลว 푓 푓′ 푓′′(2553) มีคาเทาใด

1. 7130

2. 3130

3. 120

4. 150 푃퐴푇1 ต. ค. 53

40. กําหนดให 푎 และ 푏 เปนจํานวนจริง และให 푓 เปนฟงกชัน

โดยที่ 푓(푥) =

|푥3 − 1|푥 − 1

; −1 < 푥 < 1

푎푥 + 푏 ; 1 ≤ 푥 < 55 ; 푥 ≥ 5

ถา 푓 เปนฟงกชันตอเนื่องบนชวง (−1, ∞)แลว 푎푏 มีคาเทาไร73

1. 54

2. −74

3. 15

4. − 10 푃퐴푇1 ก. ค. 53

41. โรงงานผลิตตุกตาแหงหนึ่ง มีตนทุนในการผลิตตุกตา 푥 ตัว เสียคาใชจาย 푥3 − 450 푥2 + 60200푥 + 10000 บาท

ถาขายตุกตาราคาตัวละ 200 บาท โรงงานจะตองผลิตตุกตาก่ีตัว

จึงจะไดกําไรมากที่สุด

1. 100 ตัว 2. 150 ตัว 3. 200 ตัว 4. 250 ตัว 푃퐴푇1 ก. ค. 53

42. กําหนดให 푓(푥) เปนฟงกชันพหุนามกําลังสอง ถาความชัน

ของเสนสัมผัสเสนโคง 푦= 푓(푥) ที่จุด (1,2) มีคาเทากับ 4

และ 푓(푥)푑푥 = 12 แลว 푓(−1) + 푓 (−1)

มีคาเทากับเทาใด

1. 14

2. 15

3. 16

4. 18 푃퐴푇1 ก. ค. 53

43. ให ℎ(푥)= 푓(푥)푔(푥) โดยที่ความชันของเสนสัมผัสเสนโคง

푦 = 푓(푥) ที่จุด (푥, 푦) เทากับ 2 − 2푥 และเสนโคง

푦 = 푓(푥)มีคาสูงสุดสุมพัทธ เทากับ 5

ถา 푔 เปนฟงกชันพหุนาม มี 푔(2) = 푔 (2) = 5

แลว ℎ′(2) มีคาเทากับเทาใด

1. 10

2. 11

3. 12

4. 13 푃퐴푇1 ก. ค. 53


ถา 푓: 푅 → 푅 และ 푔: 푅 → 푅 เปนฟงกชันโดยที่

푓(푥) = 3푥 , 푔(1) = 8 และ 푔′(1) = 23

คาของ (푓 ∘ 푔)′(1) เทากับขอใดตอไปนี ้

1. 13

2. 23

3. 1

4. 43 푃퐴푇1 มี. ค. 53


45. กําหนดให 푎 และ 푏 เปนจํานวนจริง และให 푓 เปนฟงกชัน

โดยที่ 푓(푥) =

푥3 − 3푥 − 2

푥 − 2 ; 푥 < 2

푎 − 푏 ; 푥 = 2푥2 + 푎푥 + 1 ; 푥 > 2

ถา 푓 เปนฟงกชันตอเนื่องบนเซตจํานวนจริง

แลว 푎2 + 푏2 มีคาเทาไร74

1. 52

2. 53

3. 54

4. 55 푃퐴푇1 มี. ค. 53

46. ให 푅 แทนเซตของจํานวนจริง ถา 푓: 푅 → 푅 เปนฟงกชัน

โดยที่ 푓′(푥) = 3√푥 + 5 สําหรับทุกจํานวนจริง 푥

และ 푓(1) = 5 แลวคาของ 푙푖푚→

푓(푥 ) − 2푓(푥) มีคาเทาไร

1. 6

2. 7

3. 8

4. 9 푃퐴푇1 มี. ค. 53


ถา 푓: 푅 → 푅 เปนฟงกชันโดยที่ 푓′′(푥) = 6푥 + 4

สําหรับทุกจํานวนจริง 푥 และ ความชันของเสนสัมผัสเสนโคง

푦 = 푓(푥) ที่จุด (2,19) เทากับ 19

แลว 푓(1) มีคาเทาไร

1. 6

2. 7

3. 8

4. 9 푃퐴푇1 มี. ค. 53

48. ถา 푓 (푥) = 3푥 + 푥 − 5 และ 푓(0) = 1

แลว 푓(푥)푑푥 มีคาเทากับขอใดตอไปนี ้

1. 53

2. 73

3. 23

4. 13 푃퐴푇1 ก. ค. 52

49. ถา 푓, 푔 และ ℎ สอดคลองกับ

푓(1) = 푔(1) = ℎ(1) = 1 และ 푓′(1) = 푔′(1) = ℎ′(1) = 2

แลวคาของ (푓푔 + ℎ)′(1) เทากับขอใดตอไปนี ้ 1. 1

2. 2

3. 4

4. 6 푃퐴푇1 ก. ค. 52

50. เสนตรงซึ่งตัดตั้งฉากกับเสนสัมผัสของเสนโคง

푦 = 2푥 − 1

√푥 ที่จุด 푥 = 1 คือเสนตรงในขอใดตอไปนี้

1. 13푥 − 2푦 − 11 = 0

2. 13푥 + 2푦 − 15 = 0

3. 2푥 − 13푦 + 11 = 0

4. 2푥 + 13푦 − 15 = 0 푃퐴푇1 ก. ค. 52

51. ให 퐴 แทนพื้นที่ของอาณาบริเวณที่ปดลอมดวยเสนโคง 푦 = 1 − 푥 และแกน 푥

퐵 แทนพื้นที่ของอาณาบริเวณที่ใตเสนโคง

푦 =푥4 เหนือแกน 푥 จาก 푥 = −푐 ถึง 푥 = 푐

คาของ 푐 ที่ทําให 퐴 = 퐵 เทากับขอใดตอไปนี ้ 1. √2


2. 2

3. 2√2

4. 4 푃퐴푇1 มี. ค. 52

52. กําหนดให 푓(푥) = 푥 − 3푥 + 7

แลว 푓 เปนฟงกชันเพิ่มบนเซตในขอใดตอไปนี ้ 1. (−3, −2) ∪ (2,3)

2. (−3, −2) ∪ (1,2)

3. (−1,0) ∪ (2,3)

4. (−1,0) ∪ (1,2) 푃퐴푇1 มี. ค. 52

53. ถา 푓 (푥) = 12 (

1√푥

+1

√푥) แลวคาของ

แลวคาของ 푙푖푚ℎ→0

푓(1 + ℎ) − 푓(1)

푓(4 + ℎ) − 푓(4) มีคาเทาไร

1. 1

2. 165

3. 75

4. 15 푃퐴푇1 มี. ค. 52

54. กําหนดให 푎, 푏 เปนจํานวนจริง

ถา 푓(푥) = (푥 − 1)2 , 푥 ≥ 1푎푥3 + 푏푥2 + 푥 , 푥 < 1

เปนฟงกชันตอเนื่องและหาอนุพันธไดที่จุด 푥 = 1

แลว 푓(−1) มีคาเทาไร

1. − 6

2. − 4 3. 0

4. 4 퐴 − 푁퐸푇 2552

55. กําหนดให 푓(푥) = 푥 − 3푥 + 6 ถา 푝 เปนจุดบนกราฟ

푦 = 푓(푥)ที่ใหคาสูงสุดสัมพัทธของ 푓 แลวเสนตรงที่ผานจุด 푝

และจุด (2,6) มีคาเ ทากับเทาไร

1. − 1

2. −23

3. 23

4. 2 퐴 − 푁퐸푇 2552

56. พื้นที่ของอาณาบริเวณที่อยูระหวางเสนโคง 푦 = 푥 − 4푥

และแกน 푥 เม่ือ 푥 อยูในชวง [−2,1]

1. 3.75

2. 4.5 3. 5.75

4. 6.75 퐴 − 푁퐸푇 2552

57. กําหนดให 푓 เปนฟงกชันที่นิยามบนชวง (0, ∝)

โดยที่ 푓(2) = 2푓(1)และ 푓 (푥) = 27푥 −1

푥

ถา 푙 เปนเสนสัมผัสกราฟของ 푦 = 푓(푥)ที่จุด 1, 푓(1)

แลวจุดใดตอไปนี้อยูบนเสนตรง 푙 1. (2,64)

2. (2,66) 3. (3,94)

4. (3,96) 퐴 − 푁퐸푇 2552

58. ให 푓 เปนฟงกชันพหุนามกําลังสาม ซึ่งนิยามบน [−2,2]

โดยที่ 푓(0) = 1, 푓(1) = 0 และมีคาต่ําสุดที ่푥 = 1

มีคาสูงสุดที ่푥 = −1 จงพิจารณาขอความตอไปนี้ 푓(−2) ≤ 푓(푥) ทุก 푥 ∈ [−2,2]

푓(2) ≤ 푓(푥) ทุก 푥 ∈ [−2,2]


1. ก ถูกและ ข ถูก


2. ก ถูกและ ข ผิด 3. ก ผิดและ ข ถูก

4. ก ผิดและ ข ผิด 퐴 − 푁퐸푇 2551

59. กําหนดให 푓 เปนฟงกชันตอเนื่อง

โดยที่ 푓(푥) = 푎푥2 + 푏, 푥 ≥ 0푥3 + 1, 푥 < 0

มี 푓′(1) = 4แลว (푓 ∘ 푓) −1

√23 มีคาเทาไร

1. 1.5

2. 2 3. 3.5

4. 4 퐴 − 푁퐸푇 2551

60. กําหนดให 푓(푥) = 푥 + 3, 푥 < −1−2푥 , 푥 ≥ −1

พื้นที่ที่ปดลอมดวยกราฟ 푓 บนชวง [−4,0] มีคาเทาไร

1. 1

2. 2 3. 3

4. 4 퐴 − 푁퐸푇 2551

61. กําหนดให 푓(푥) = 1 +푎푥 , 푔(푥) = 푥 + 푏

ถา (푓 ∘ 푔)(0) = 0.5 , 푓 ′′(−1) = 2

แลว 푓

푔

′

(푎 + 푏) มีคาเทาไร

1. − 2. −

3. 4. 퐴 − 푁퐸푇 2550

62. กํานหดให 푓(푥) = (푥 − 1) ; 푥 < 0푥 + 푎푥 + 푏 ; 0 ≤ 푥 ≤ 1푥 − 푏 ; 푥 > 1

โดยที่ 푎, 푏 ∈ 푅 , ถา 푓 เปนฟงกชันตอเนื่องบน [−2,2]

แลว 푓(0.5) มีคาเทาไร

1. 0

2. 0.125 3. 0.5

4. 0.75 퐴 − 푁퐸푇 2550

63. พื้นที่อาณาบริเวณที่ลอมรอบดวยเสนโคง 푓(푥) = 푥 − 2푥 + 2푥 และแกน 푥 จาก 푥 = 0

ถึง 푥 = 4 จะมีคาเทาไร

1. 36.33 ตารางหนวย 2. 37.33 ตารางหนวย 3. 38.33 ตารางหนวย

4. 39.33 ตารางหนวย 퐴 − 푁퐸푇 2550

64. ถา 푓(푥) = 푥 ; 푥 < 02푥 − 1 ; 0 ≤ 푥 < 13푥 ; 푥 ≥ 1

แลว จงหาคาของ 푙푖푚푥→0−

푓(푥2) + 푙푖푚푥→0−

푓(1 − 푥)

1. 0

2. 1

3. 2

4. 3 퐴 − 푁퐸푇 2549

65. ถา 푝(푥)เปนพหุนามดีกรีสาม ซึ่งมี 1,2,3 เปนคําตอบ

ของสมการ 푃(푥) = 0 และ 푃(4) = 5

แลว 푝 (1)มีคาเทาไร

1. −6

7

2. −56

3. 45


4. 퐴 − 푁퐸푇 2549

66. กําหนดให 푦 = 푓(푥) มีความชันที่จุด (푥, 푦)ใดๆ เปน

2푥 + 2 และ 푓 มีคาต่ําสุดสัมพัทธเทากับ − 3 พื้นที่ของบริเวณ

ที่ปดลอมดวยกราฟ 푦 = 푓(푥) แกน 푥 เสนตรง 푥 = −1

และ 푥 = 0 มีพื้นที่เทาไร

1. 73 ตารางหนวย



4. 12 ตารางหนวย 퐴 − 푁퐸푇 2549

67. ใหเสนตรง 2푦 = 3푥 + 2 สัมผัสกราฟของ 푦 = 푓(푥)

ที่จุด (0,1) แลว 푙푖푚→

푓(푥) − 1푥 푥 มีคาเทาไร

1. −32

2. −12

3. 32

4. 52 7 วิชาสามัญ 58

68. กําหนดให 푓(푥) = 푥 + 3푎푥 − 9푎 푥 + 5푎

โดยที่ 푎 เปนจํานวนจริงบวก

ถา 푓 มีคาต่ําสุดสัมพัทธเทากับ 0 แลว 푎 มีคาเทากับเทาใด

1. 0

2. 1

3. 2


69. กําหนดให 푎 , 푎 , 푎 , ⋯ , 푎 เปนลําดับเลขคณิต

ซึ่ง 푎1 = 4 , 푎2 = 7 , 푎푛 = 121

ถา 푓(푥) = (푥 + 푎 푥) + (푥 + 푎 푥) + (푥 + 푎 푥)+ ⋯ + (푥 + 푎 푥)

แลว 푓′(−1) มีคาเทากับขอใดตอไปนี ้ 1. 2420

2. 2440

3. 2460


70. คาของ 푙푖푚→

(1 + 푥)(1 + 6푥) − 1푥 มีคาเทาไร

1. 5

2. 6

3. 7


71. ให 푓(푥) = 푔(푥) ; 푥 ≤ 1푥 + 2푥 ; 푥 < 1

; 푓ตอเนื่องที่ 푥 = 1

ถา (푓 ∘ 푔)′(1) = 58 แลว 푔′(1) มีคาเทากับเทาใด

1. 1

2. 2

3. 3


72. ใหเสนโคง 푦 = 푓(푥) ผานจุด(1,0) และมีความชัน

ณ จุดใด (푥, 푦) ใด ๆ เปน 4푥 + 1

ถา 퐹(푥) เปนปฏิยานุพันธหนึ่งของฟงกชัน 푓(푥)

แลวคาสูงสุดสัมพัทธของฟงกชัน 퐹 จะอยูที่ 푥 เทากับขอใดตอไปนี ้

1. −32

2. −12

3. 32



73. ให 푓(푥) = 2푥 + 3푥 − 12푥 + 1

คาสูงสุดสัมบูรณของฟงกชัน푓บนชวง [−1,2] มีคาเทากับเทาใด

1. 11

2. 12

3. 13


74. กําหนดใหฟงกชัน 푓(푥) เปนปฏิยานุพันธของ 3푥 + 4

และความชันของเสนโคง 푦 = 푔(푥) ที่จุด (푥, 푦) ใดๆ คือ 3푥2

ถากราฟของฟงกชัน 푓 และ 푔 ตัดกันที่จุด (1,2)

แลว (푓푔)′(1) มีคาเทากับขอใดตอไปนี ้

1. −73

2. − 2

3. 13


75. กําหนดให 푔(푥) เปนฟงกชันซึ่งมีอนุพันธที่ทุกจุด และ

푓(푥) =

⎩⎨

⎧

|푥 + 2|4 − 푥 ; 푥 < −2

푔(푥); −2 ≤ 푥 ≤ 3√2푥 + 3 ; 푥 > 3

, 푓 ตอเนื่องทุกจุด

จงหาคาของ 푔′(푥)푑푥3

−2

1. −134

2. −14

3. 14


76. กําหนดให 퐴 = {1,2,3,4,5,6} และ 퐵 = {푝(푥) ∣ 푝(푥) = 푎푥 − 푏푥 + 푐 เม่ือ 푎, 푏, 푐 ∈ 퐴}

สุมหยิบ 푝(푥) มาจากเซต 퐵 หนึ่งตัว ความนาจะเปนที่จะได 푝(푥)

ซึ่ง 푝(푥)푑푥 มีคาเปนจํานวนเต็ม เทากับขอใดตอไปนี ้

1. 15

2. 16

3. 14


77. กําหนดใหกราฟของอนุพันธของฟงกชัน 푓 เปนดังรูป

นักเรียนคนหนึ่งสรุปไดวา 푓 ตองเปนดังขอความตอไปนี ้ 1. 푓(푥) = −푥 เม่ือ 2 < 푥 < 3

2. 푓 เปนฟงกชันลด เม่ือ 0 < 푥 < 2

3. 푓 มีจุดต่ําสุดสัมพัทธที่จุด 푥 = 4

4. 푓 มีจุดสูงสุดสัมพัทธที่จุด 푥 = 1

จํานวนขอความที่นักเรียนคนนี้สรุปไดอยางถูกตอง เทากับขอใดตอไปนี ้ 1. 1

2. 2

3. 3


78. จงหาคาของ 4푥|푥 − 3|푑푥 วามีคาตรงกับขอใด

1. 16

2. 17

3. 18



79. พาราโบลารูปหนึ่งมีแกนสมมาตรขนานกับแกน 푦

มีจุดยอดอยูที่จุด (3,9) และผานจุด (1,5) บริเวณที่ปดลอม

ดวยพาราโบลารูปนี้ และแกน 푥 มีพื้นที่เทากับขอใดตอไปนี ้ 1. 18 ตารางหนวย 2. 26 ตารางหนวย


4. 54 ตารางหนวย 7 วิชาสามัญ 55

80. ให 푔 เปนฟงกชันพหุนามซึ่งมีจุด (2, −1)เปนจุดต่ําสุดสัมพัทธ

และกราฟของ 푔 ผานจุด (1,4) ถา 푐 เปนคาคงตัวที่ทําใหฟงกชัน 푓

โดยที่ 푓 =(푐푥2 + 1)푔(푥) เม่ือ 푥 ≥ 1 2푥 + 10 เม่ือ 푥 < 1

ตอเนื่องที่จุด 푥 = 1 แลว 푓′(2) มีคาเทากับขอใดตอไปนี ้ 1. − 8

2. − 4

3. 4


81. ขอใดตอไปนี้ ไมมีอนุพันธที่จุด 푥 = 0

1. 푓(푥) = 푥|푥 + 1|

2. 푓(푥) =푥

|푥 + 1|

3. 푓(푥) = |푥|(푥 + 1)

4. 푓(푥) = 푥 |푥 + 1| 7 วิชาสามัญ 55

82. ให 푓(푥) และ 푔(푥) เปนฟงกชันที่หาอนุพันธไดที่สอดคลองกับ

푓 ∘ 푔(−푥 ) =푥 + 3푥 + 16

푔(푥)

ถา 푓′ 푔(−1) = 푔′(−1) = 푔(−1) = 푎 ≠ 0

ใหหาคา 푎

1. − √3

2. − √2

3. √2

4. √3 กสพท ชุดที ่1 ป 52

83. จงหาคาของ 푙푖푚→

2푥 + 3푥 − 2푥 − 푥

1. 0

2. √2

3. − √2

4. √3 กสพท ชุดที ่1 ป 52

84. กราฟ 푦 = 푓(푥) มีความชันที่จุด 푎, 푓(푎) ใดๆ

มีคาเทากับ 2푎 − 푐 โดยที่ 푐 เปนจํานวนจริง

กราฟนี้สัมผัสแกน 푋 ที่จุดต่ําสุดพอดี โดย 푓(푥) มีคาวิกฤตคาเดียว

คือ 3 จงหา 푓(0)

1. 3

2. 6

3. 9

4. 12 กสพท ชุดที ่1 ป 52

85. กําหนดให 푓: (−1,1) → 푅 ที่สอดคลองกับ

푓(푥) = 푥 + 푥 − 푥 เม่ือ 푥 < 0 푥 − 푎 เม่ือ 푥 > 0

โดยที่ 푎 ∈ 푅 และ 푓 เปนฟงกชันตอเนื่องบนชวง (−1,1)

แลว 푓(0) มีคาเทากับเทาใด

1. 1

2. 2

3. 3 4. 4 กสพท ชุดที ่2 ป 52

86. ถา 푓(푥) = 0 ; 푥 ≤ 0푥 − 1 ; 0 < 푥 ≤ 1푥 ; 푥 > 1

แลว จงหาคาของ 푙푖푚푥→0−

푓(푥2) + 푙푖푚푥→1+

푓(푥 − 1)

푥 + 1

1. − 1

2. − 1.5

3. − 2

4. − 2.5 กสพท ชุดที ่2 ป 52

cal 9

Education