cal2 1 matriks

Matriks Pengertian Tentang Matriks

Operasi-Operasi Matriks Putaran Matriks

Pengertian Dasar Matriks

Matrik adalah susunan teratur bilangan-bilangan dalam baris dan kolom yang membentuk suatu susunan persegi panjang yang kita perlakukan sebagai suatu kesatuan.

Contoh:

123421302

baris

kolom

Nama matriks: huruf besar cetak tebal,

=

123421302

A

=

203142

B

Contoh:

Notasi:

Bilangan ini bisa berupa bilangan nyata atau kompleks.

Kita akan melihat matriks berisi bilangan nyata.


Elemen Matriks Isi suatu matriks disebut elemen matriks

Contoh:

=

203142

B2, 4, 1 dan 3, 0, 2 adalah elemen-emenen matriks yang membentuk baris

2, 3 dan 4, 0, dan 1, 2 adalah elemen-elemen matriks yang membentuk kolom

Ukuran Matriks Secara umum suatu matrik terdiri dari b baris dan k kolom, sehingga suatu matrik akan terdiri dari b×k elemen-elemen

Ukuran matriks dinyatakan sebagai b×k

Contoh:

=

203142

B adalah matriks berukuran 2×3

=

123421302

Ab = k = 3 matriks bujur sangkar 3×3

Nama Khusus


Matriks dengan b = k disebut matriks bujur sangkar.

Matriks dengan k = 1 disebut matriks kolom atau vektor kolom.

Matriks dengan b = 1 disebut matriks baris atau vektor baris.

Matriks dengan b ≠ k disebut matrik segi panjang

Contoh:

=

203142

Bb = 2, k = 3 matriks segi panjang 2×3

=

42

p k = 1 vektor kolom [ ]423=q b = 1

vektor baris

Notasi nama vektor: huruf kecil cetak tebal

Secara umum, matriks A dapat kita tuliskan sebagai

[ ]bk

mnmm

n

n

a

aaa

aaaaaa

=

=

21

22221

11211

A

elemen-elemen a11 …amn disebut diagonal utama

Diagonal Utama


Matriks Segitiga

Contoh:


Matriks segitiga bawah :

−=

343011002

1T

Matriks segitiga atas :

−=

300310122

2T

Ada dua macam matriks segitiga yaitu

matriks segitiga bawah dan matriks segitiga atas

Matriks segitiga bawah adalah matriks yang elemen-elemen di atas diagonal utamanya bernilai nol.

Matriks segitiga atas adalah matriks yang elemen-elemen di bawah diagonal utamanya bernilai nol.

Matriks Diagonal


Matriks diagonal adalah matriks yang elemen-elemen di atas maupun di bawah diagonal utamanya bernilai nol.

Contoh:

=

000010002

D

Matriks Satuan


Jika semua elemen pada diagonal utama adalah 1, sedang elemen yang lain adalah 0, matriks itu disebut matriks satuan.

Contoh:

IA =

=

100010001

Matriks Nol Matriks nol, 0, yang berukuran m×n adalah matriks yang berukuran m×n dengan semua elemennya bernilai nol.

Anak matriks atau sub-matriks

=

203142

B

[ ]142 [ ]203- Dua anak matriks 1× 3 , yaitu:

32

04

21

- Tiga anak matriks 2× 1, yaitu:

- Enam anak matriks 1× 1 yaitu: [2] , [4] , [1] , [3] , [0] , [2];

- Enam anak matriks 1× 2 yaitu: [ ]42 [ ]12 [ ]14

[ ]03 [ ]23 [ ]20

0342

2312

2014- Tiga anak matriks 2×2 yaitu:


Contoh:

Matriks B memiliki:

Matriks dapat dipandang sebagai tersusun dari anak-anak matriks yang berupa vektor-vektor

=

123421302

A

=

3

2

1

aaa

A dapat kita pandang sebagai matriks

dengan anak-anak matriks berupa vektor baris

[ ]3021 =a [ ]4212 =a [ ]1233 =a

dapat kita pandang sebagai matriks [ ]321 aaaA =

=

312

1a

=

220

2a

=

143

3a

dengan anak-anak matriks yang berupa vektor kolom


Contoh:

Contoh yang lain:

=

123421302

A

Kesamaan Matriks

Dua matriks A dan B dikatakan sama jika dan hanya jika berukuran sama dan elemen-elemen pada posisi yang sama juga sama.

A = B

=

0342

AJika

=

0342

B maka haruslah .

Operasi Matriks, Kesamaan, Matriks Nol, Matriks negatif

Contoh:

Matriks Negatif

Negatif dari matriks berukuran m×n adalah matriks berukuran m×n yang diperoleh dengan mengalikan seluruh elemennya dengan faktor (−1). .

Operasi Matriks, Kesamaan, Matriks Nol, Matriks negatif

Contoh:

=

0342

A

−

−−=−

0342

A

Penjumlahan Penjumlahan dua matriks hanya didefinisikan

untuk matriks yang berukuran sama Jumlah dari dua matriks A dan B yang masing-masing berukuran

m×n adalah sebuah matriks C berukuran m×n yang elemen-elemennya merupakan jumlah dari elemen-elemen matriks A dan

B yang posisinya sama

ABBA +=+

( ) ( )CBACBA ++=++

=

0342

A

=

2231

B

Jika

=+

2573

BAmaka

Sifat-sifat penjumlahan matriks:

Operasi Matriks, Penjumlahan dan Pengurangan

Contoh:

Pengurangan Matriks

Pengurangan matriks dapat dipandang sebagai penjumlahan dengan matriks negatif

A0A =+

0AAAA =−+=− )(

=

0342

A

=

2231

B

−

=

−−−−

+

=−

2111

2231

0342

BA

Contoh:


Perkalian Matriks

=

mnmm

n

n

aaa

aaaaaa

21

22221

11211

A

=

pqmp

q

q

aaa

aaaaaa

21

22221

11211

B

Jadi jika matriks A berukuran m×n dan B berukuran p×q

maka perkalian AB hanya dapat dilakukan jika n = p.


BAAB ≠

Hasil kali matriks AB berupa matriks berukuran m×q dengan nilai elemen pada baris ke b kolom ke k merupakan hasil kali internal (dot product) vektor

baris ke b dari matriks A dan vektor kolom ke k dari matriks B

Perkalian antara dua matriks A dan B yaitu C = AB hanya terdefinisikan jika banyak kolom matriks A sama dengan banyak baris matriks B.

Dalam perkalian matriks, urutan hatus diperhatikan.

Perkalian matriks tidak komutatif.

Perkalian Matriks dengan Bilangan Skalar

Hasil kali suatu bilangan skalar a dengan matriks berukuran m×n adalah matriks berukuran m×n yang seluruh elemennya bernilai a kali.

aA = Aa

=×

=

×

646462244

2 323231122

323231122

2

Perkalian matriks dengan bilangan skalar ini mempunyai sifat-sifat sebagai berikut

( ) BABA aaa +=+

( ) AAA baba +=+

[ ] ( )AA abba =

Operasi Matriks, Perkalian Matriks

Contoh:

Perkalian Internal Vektor (dot product)

[ ]32=a

=

34

bvektor baris: vektor kolom:

.

Contoh:

2 kolom

2 baris

Perkalian internal antara dua vektor a dan b yaitu c = ab hanya terdefinisikan jika banyak kolom vektor a sama dengan banyak baris

vektor b.

Dalam perkalian internal vektor, urutan perkalian harus diperhatikan.

[ ] [ ] [ ]17334234

32 =×+×=

=•= bac

Jika urutan dibalik, b : 1 kolom, a : 1 baris, perkalian juga dapat dilakukan tetapi memberikan hasil yang berbeda

[ ]

=

××××

=

=•=

96128

33233424

32 34

abd

perkalian internal dapat dilakukan

Perkalian matriks tidak komutatif.


Perkalian Matriks Dengan Vektor

=

4312

A

=

32

bMisalkan dan

dapat dikalikan 2 kolom

2 baris

=

×+××+×

=

••

=

==

187

34233122

2

1

2

1baba

baa

AbC

Jika urutan perkalian dibalik, perkalian tidak dapat dilakukan karena b terdiri dari satu kolom sedangkan A terdiri dari dua baris.

Contoh:


Perkalian Dua Matriks Bujur Sangkar


=

4312

A

=

3524

B dan Contoh:

dapat dikalikan kolom = 2

baris = 2

Matriks A kita pandang sebagai

=

2

1aa

A

Matriks B kita pandang sebagai [ ]21 bbB =

[ ]

=

×+××+××+××+×

=

••••

=

==

1832713

3423544331225142

2212

211121

2

1babababa

bbaa

ABC

Perkalian dua matriks persegi panjang


=

231342

A

=

323421

B dan

dapat dikalikan kolom = 3

baris = 3

=

×+×+××+×+××+×+××+×+×

=

==

17172525

323321224311333422234412

323421

231342

ABC

Contoh:

=

2

1aa

A [ ]21 bbB =

[ ]

••••

=

==

2212

211121

2

1 babababa

bbaa

ABC

Pernyataan matriks dengan anak matriks pada contoh di atas adalah

,

sehingga

.


Dalam operasi perkalian matriks:

matriks yang pertama kita susun dari anak matriks yang berupa vektor baris

matriks yang kedua kita susun dari anak matriks yang berupa vektor kolom

Jadi perkalian matriks adalah perkalian dari baris ke kolom

( ) ( ) ( )BAABBA aaa ==

( ) ( )CABBCA =

( ) BCACCBA +=+

( ) CBCABAC +=+

Sifat-sifat perkalian matriks

b. Tidak komutatif. Jika perkalian AB maupun BA terdefinisikan, maka pada umumnya AB ≠ BA

a. Asosiatif dan distributif terhadap penjumlahan

Jika AB = 0 tidak selalu berakibat A = 0 atau B = 0.

c. Hukum pembatalan tidak selalu berlaku.


Putaran Matriks

Putaran Matriks (Transposisi)

Putaran matriks atau transposisi dari matriks A berukuran m×n adalah suatu matriks AT yang berukuran n×m dengan kolom-

kolom matriks A sebagai baris-barisnya yang berarti pula bahwa baris-baris matriks A menjadi kolom-kolom matriks AT

[ ]bk

mnmm

n

n

a

aaa

aaaaaa

=

=

21

22221

11211

A

[ ]pq

mnnn

m

m

a

aaa

aaaaaa

=

=

21

22212

12111

TA

Jika

maka

Putaran Vektor Baris Dan Vektor Kolom

Putaran Matriks

Putaran vektor baris akan menjadi vektor kolom.

Sebaliknya putaran vektor kolom akan menjadi vektor baris.

[ ]

=⇒=

342

342 Taa

[ ]345 345

T =⇒

= bb

Contoh:

Putaran Jumlah Dua Vektor Baris

Putaran Matriks

Putaran jumlah dua vektor baris sama dengan jumlah putaran masing-masing vektor

[ ] [ ]231dan 342 == ba

[ ]573=+ ba

( ) TTT

231

342

573

baba +=

+

=

=+

( ) TTT baba +=+

Jika

maka

Secara umum :

Contoh:

Putaran Hasil Kali Vektor Baris Dan Vektor Kolom

Putaran Matriks

Putaran hasil kali vektor baris dengan vektor kolom atau vektor kolom dengan vektor baris, sama dengan hasil kali putaran

masing-masing dengan urutan dibalik

[ ]

==

231

dan 342 ba

[ ]233412 ×+×+×=ab

Jika

maka

Contoh:

[ ] [ ] TTT

342

231233412 abab =

=×+×+×=

Putaran Matriks

Contoh:

Jika [ ]231dan 342

=

= ba

maka

×××××××××

=233313243414223212

ab

( ) [ ] TTT 342 231

232422333432131412

abab =

=

×××××××××

=

Secara umum :

( ) TTT abab =

Putaran Matriks

Contoh:

Putaran Matriks Persegi Panjang

=

231342

A

=

233412

TAJika maka

=

ma

aA

1

[ ]TT1

TmaaA =

Jika matriks A dinyatakan sebagai susunan dari vektor baris

maka

[ ]maaaA 21=Jika matriks A dinyatakan dengan vektor kolom

=

ma

aA

1T maka

Putaran Matriks

Putaran Jumlah Matriks

Putaran jumlah dua matriks sama dengan jumlah putaran masing-masing matriks.

Hal ini telah kita lihat pada putaran jumlah vektor baris.

( ) TTT BABA +=+

[ ]maaA 1= [ ]mbbB 1=

[ ]mm babaBA ++=+ 11

Jika

Dengan demikian

dan

maka

( )( )

( )TT

T

T1

T

T1

TT

T1

T1

T

T11

T BAb

b

a

a

ba

ba

ba

baBA +=

+

=

+

+=

+

+=+

mmmmmm

Putaran Hasil Kali Matriks Putaran hasilkali dua matriks sama dengan hasil kali putaran

masing-masing dengan urutan yang dibalik. Hal ini telah kita lihat pada putaran hasil kali vektor baris dan vektor kolom.

( ) TTT ABAB =

=

ma

aA

1

[ ]nbbB 1=

••

••=

nmnm

n

baba

babaAB

111

Jika dan

maka

[ ] TT1

1111T ABaa

b

b

baba

babaAB =

=

••

••= m

nnmnm

n

Dengan demikian maka

Putaran Matriks

Putaran Matriks

Matriks Simetris

Jika dikatakan bahwa matriks B adalah simetris miring.

BB −=T

Matriks simetris adalah matriks yang putarannya sama dengan matriksnya sendiri. Jadi matriks A dikatakan simetris apabila

AA =T

Karena dalam setiap putaran matriks nilai elemen-elemen diagonal utama tidak berubah, maka matriks simetris miring dapat terjadi jika

elemen diagonal utamanya bernilai nol.

Berkaitan dengan putaran matriks, kita mengenal kesimetrisan pada matriks nyata.

Determinan Matriks

Determinan Matriks

Jika A adalah suatu matriks bujur sangkar, maka kita mengaitkan A dengan suatu bilangan yang dinyatakan oleh

△=𝑎11 𝑎12 𝑎13 ⋯ 𝑎1𝑛𝑎21⋮

𝑎22⋮

𝑎23⋮ ⋯ 𝑎2𝑛

⋮𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 𝑎𝑛3 ⋯ 𝑎𝑛𝑛

Yang dinamakan determinan dari A dengan ukuran n, ditulis det(A). Untuk mendefinisikan nilai suatu determinan, kita harus mengenal

beberapa konsep berikut:

1. Minor. Diberikan suatu unsur 𝑎𝑗𝑗 dari △. Suatu determinan berukuran (𝑛 − 1) yang diperoleh dengan menghilangkan semua unsure di baris ke j dan kolom ke k dinamakan minor dari 𝑎𝑗𝑗 .

Determinan Matriks

Contoh: Minor yang bersesuaian dengan unsur 5 dalam baris ke-2 kolom ke-3 dari determinan berukuran 4.

2 −1 𝟏 3−𝟑 𝟐 𝟓 𝟎14

0−2

−𝟐𝟑

21

adalah 2 −1 31 0 24 −2 1

Yang diperoleh dengan menghilangkan unsur-unsur yang berwarna gelap.

Determinan Matriks

2. Kofaktor. Jika minor dari 𝑎𝑗𝑗 dikalikan dengan (−1)𝑗+𝑗 , maka hasilnya dinamakan kofaktor dari 𝑎𝑗𝑗 dan dinyatakan dengan 𝐴𝑗𝑗 .

Contoh: Kofaktor yang bersesuaian dengan unsure 5 dalam determinan pada contoh di atas adalah (−1)2+3 dikalikan minornya, atau

−12 −1 31 0 24 −2 1

Nilai determinan didefinisikan sebagai jumlah dari hasil kali unsur-unsur pada suatu baris atau kolom dengan kofaktor-kofaktor yang bersesuaian, dan ini dinamakan uraian Laplace. Dalam lambang ditulis:

det𝐴 = �𝑎𝑗𝑗𝐴𝑗𝑗

𝑛

𝑗=1

Determinan Matriks

Menghitung determinan berukuran 2 menggunakan uraian Laplace: 𝑎11 𝑎12𝑎21 𝑎22 menggunakan unsur di baris pertama. Kofaktor yang

berkaitan adalah

𝐴11 = (−1)1+1𝑎22 = 𝑎22, 𝐴12 = (−1)1+2𝑎21 = −𝑎21 Menurut uraian Laplace, determinannya bernilai

𝑎11𝐴11 + 𝑎12𝐴12 = 𝑎11𝑎22 − 𝑎12𝑎21

Determinan Matriks

Contoh:

Hitunglah uraian Laplace dari determinan 3 −2 21 2 −34 1 2

dengan

menggunakan unsur baris pertama. Dengan menggunakan unsur baris pertama, uraiannya adalah

3 2 −31 2 — 2 1 −3

4 2 + 2 1 24 1 = 3 7 − −2 14 + 2 −7 = 35

Nilai determinan orde 3 juga dapat dihitung menggunakan cara di bawah ini:

𝑎1 𝑏1 𝑐1𝑎2 𝑏2 𝑐2𝑎3 𝑏3 𝑐3

= 𝑎1𝑏2𝑐3 + 𝑏1𝑐2𝑎3 + 𝑐1𝑎2𝑏3 − 𝑏1𝑎2𝑐3 + 𝑎1𝑐2𝑏3 + 𝑐1𝑏2𝑎3

Kemudian dengan mengambil jumlah hasil kali suku-suku yang ditunjukkan dengan anak panah bertanda + dan −.

Determinan Matriks : Teorema

TEOREMA-TEOREMA DETERMINAN

1. Nilai suatu determinan tetap sama jika baris dan kolomnya ditukar. Dalam lambang det 𝐴 = det (𝐴𝑇) .

2. Jika A dan B dua matriks bujursangkar yang berukuran sama, maka det 𝐴𝐴 = det 𝐴 det (𝐴).

3. Jumlah dari hasil kali unsur-unsur pada suatu baris atau kolom dengan kofaktor-kofaktor dari baris atau kolom lainnya adalah

nol. Dalam lambang ditulis:

�𝑎𝑞𝑗𝐴𝑝𝑗 = 0 atau 𝑛

𝑗=1

�𝑎𝑗𝑞𝐴𝑗𝑝 = 0 jika 𝑝 ≠ 𝑞𝑛

𝑗=1

Jika 𝑝 = 𝑞 , jumlahnya sama dengan

det𝐴 = �𝑎𝑗𝑗𝐴𝑗𝑗

𝑛

𝑗=1

Determinan Matriks : Teorema

4. Misalkan 𝑣1,𝑣2, … , 𝑣𝑛 menyatakan vector baris atau vector kolom dari suatu matriks bujursangkar A yang berukuran n. Maka det (A) = 0 jika dan hanya jika ada konstanta (scalar) 𝜆1, 𝜆2, … , 𝜆𝑛

yang tidak semua nol sehingga

𝜆1𝑣1 + 𝜆2𝑣2 + ⋯+ 𝜆𝑛𝑣𝑛 = 𝑂

Di mana O adalah matriks baris nol. Jika syarat di atas dapat dipenuhi maka kita menyatakan bahwa vektor-vektor 𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑛

bergantungan linear. Jika tidak demikian kita menyatakannya bebas linear. Suatu matriks A sehingga det (A) = 0 dinamakan

matriks singular. Jika det (A) ≠ 0, maka A dinamakan matriks tak-singular.

Invers Matriks

Jika untuk suatu matriks bujursangkar A terdapat suatu matrik B sehingga AB = I, maka dinamakan invers dari A dan dinyatakan

dengan 𝐴−1. Dasarnya adalah rumus berikut ini:

Jika A suatu matriks tak singular berukuran n (det (A) ≠ 0) maka terdapat tepat satu invers 𝐴−1 sehingga 𝐴𝐴−1 = 𝐴−1𝐴 = 𝐼 dan kita dapat menyatakan 𝐴−1 dalam bentuk

𝐴−1 =(𝐴𝑗𝑗)𝑇

det𝐴

Di mana (𝐴𝑗𝑗) adalah matriks dari kofaktor 𝐴𝑗𝑗 dan (𝐴𝑗𝑗)𝑇= (𝐴𝑗𝑗) adalah transposenya. Bentuk berikut ini menyatakan sifat invers matriks:

(𝐴𝐴)−1= 𝐴−1𝐴−1 , (𝐴−1)−1= 𝐴 Contoh:

Tentukanlah invers matriks 𝐴 =3 −2 21 2 −34 1 2

Invers Matriks

MATRIKS TEGAK LURUS (ORTHOGONAL)

Suatu matriks riil A dinamakan suatu matriks tegak lurus (orthogonal) jika trnsposenya sama dengan inversnya, yaitu jika 𝐴𝑇 = 𝐴−1 atau 𝐴𝑇𝐴 = 𝐼.

Nilai Eigen dan Vektor Eigen

Misalkan 𝐴 = 𝑎𝑗𝑗 adalah suatu matirks 𝑛 × 𝑛 dan X suatu vektor kolom. Persamaan

𝐴𝐴 = 𝜆𝐴 Di mana suatu bilangan dapat ditulis sebagai

𝑎11 𝑎12 𝑎13 ⋯ 𝑎1𝑛𝑎21⋮

𝑎22⋮

𝑎23⋮ ⋯ 𝑎2𝑛

⋮𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 𝑎𝑛3 ⋯ 𝑎𝑛𝑛

𝑥1𝑥2⋮𝑥𝑛

= 𝜆

𝑥1𝑥2⋮𝑥𝑛

Atau

𝑎11 − 𝜆 𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + ⋯+ 𝑎1𝑛𝑥𝑛 = 0 𝑎21𝑥1 + 𝑎22 − 𝜆 𝑥2 + ⋯+ 𝑎2𝑛𝑥𝑛 = 0 … … … … … … … … … … … … … … … … … 𝑎𝑛1𝑥1 + 𝑎𝑛2𝑥2 + ⋯+ 𝑎𝑛𝑛 − 𝜆 𝑥𝑛 = 0


Akan memiliki penyelesaian tak-trivial jika dan hanya jika

𝑎11 − 𝜆 𝑎12 ⋯ 𝑎1𝑛𝑎21 𝑎22 − 𝜆 ⋯ 𝑎2𝑛⋮𝑎𝑛1

⋮𝑎𝑛2

⋯ ⋮𝑎𝑛𝑛 − 𝜆

= 0

Yang merupakan suatu persamaan suku banyak berderajat n dalam 𝜆. Akar dari persamaan suku banyak ini dinamakan nilai

eigen atau nilai karakteristik (nilai ciri) dari matriks A. Bersesuaian dengan setiap nilai eigen aka nada penyelesaian 𝐴 ≠ 0 yang

merupakan suatu penyelesaian tak-trivial, yang dinamakan suatu vektor eigen atau vektor karakteristik dari nilai eigennya.

Persamaan juga dapat ditulis

det 𝐴 − 𝜆𝐼 = 0

Dan persamaan dalam 𝜆 ini seringkali dinamakan persamaan karakteristik.


TEOREMA PADA NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN Reduksi suatu matriks ke bentuk diagonal. Jika suatu matriks tak singular A mempunyai nilai eigen yang berbeda-beda 𝜆1, 𝜆2, 𝜆3, … … dengan vektor eigen yang berkaitan ditulis sebagai kolom dari matriks

𝐴 =𝑏11 𝑏12 𝑏13 ⋯𝑏21 𝑏22 𝑏23 ⋯⋯ ⋯ ⋯ ⋯

Maka 𝐴−1𝐴𝐴 =

𝜆1 0 0 ⋯0 𝜆2 0 ⋯0⋯

0⋯

𝜆3⋯

⋯⋯

Yaitu 𝐴−1𝐴𝐴 dinamakan transformasi dari A oleh B, yang merupakan matriks diagonal yang memuat nilai eigen dari A dalam diagonal utamanya dan unsur lainnya nol. Kita mengatakan bahwa A telah

ditransformasikan atau di direksikan ke bentuk diagonal.


TEOREMA PADA NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN

Contoh:

Transformasikan matriks ke dalam bentuk diagonal 𝐴 =2 1 −11 1 13 2 1


TEOREMA PADA NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN

Reduksi bentuk kuadrat ke bentuk kanonik. Misalkan A suatu matriks riil setangkup, sebagai contoh

𝐴 =𝑎11 𝑎12 𝑎13𝑎21 𝑎22 𝑎23𝑎31 𝑎32 𝑎33

𝑎12 = 𝑎21,𝑎13 = 𝑎31,𝑎23 = 𝑎32

Jika 𝐴 =𝑥1𝑥2𝑥3

, maka kita memperoleh bentuk kuadrat

𝐴𝑇𝐴𝐴 = 𝑎11𝑥12 + 𝑎22𝑥22 + 𝑎332 𝑥32 + 2𝑎12𝑥1𝑥2 + 2𝑎13𝑥1𝑥3 + 2𝑎23𝑥2𝑥3

Suku-suku hasil kali silang dari bentuk kuadrat ini dapat dihilangkan dengan memisalkan 𝐴 = 𝐴𝐵 di mana U suatu vector kolom dengan

unsure-unsur 𝑢1,𝑢2,𝑢3 dan B suatu matriks orthogonal yang membuat diagonal matriks A. bentuk kuadrat baru dalam 𝑢1,𝑢2,𝑢3 tanpa suku-

suku hasil kali silang dinamakan bentuk kanonik.

cal2 1 matriks

Education