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Calcolo differenziale per funzioni di piu variabili
Riccarda Rossi
Universita di Brescia
Analisi Matematica B
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Derivate direzionali e parziali
Consideriamo un insieme aperto Ω ⊆ Rn e un campo scalare
f : Ω→ R.
Sia v ∈ Rn un versore, cioe un vettore di lungheza unitaria: ‖v‖ = 1.
Definizione
Sia x0 ∈ Ω. Chiamiamo il rapporto incrementale di f nella direzione ve nel punto x0 la quantita
f (x0 + tv)− f (x0)
tt ∈ R.
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Derivate direzionali e parziali
Definizione
Se esiste finito, il limite
limt→0
f (x0 + tv)− f (x0)
t
e detto derivata direzionale di f in x0 nella direzione v e si indica con
∂f
∂v(x0), Dv f (x0).
In questo caso f si dice derivabile in x0 nella direzione v .
Nella definizione precedente intervengono solo i valori di f lungo la rettax0 + tv . Dunque l’esistenza della derivata in una direzione non garantiscel’esistenza della derivata in un’altra direzione!
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Derivate direzionali e parziali
Definizione
Se v = ei (il versore i−esimo della base canonica), la derivata direzionale edetta derivata parziale di f rispetto a xi e si indica con
∂f
∂xi(x0), Di f (x0).
In Di f varia solo la variabile xi . Quindi per il calcolo si puo pensare allealtre variabili come a delle costanti ed applicare le regole di derivazionevalide per le funzioni di una sola variabile.
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Il caso di funzioni di due variabili
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Il caso di funzioni di due variabili
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Interpretazione geometrica
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Interpretazione geometrica
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Interpretazione geometrica
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Derivate direzionali e parziali: esempi1. Sia f : R2 → R data da
f (x , y) = x3 sin(y2).
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2. Sia f : R3 → R data da
f (x , y , z) = x3 − 5x y2 + 4 sin(x + ez) + z cos y .
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3. Sia f : R2 → R definita da
f (x , y) =
x y
x2+y2 (x , y) 6= (0, 0)
0 (x , y) = (0, 0)
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Attenzione! Sarebbe sbagliato calcolare le derivate parziali nel punto(0, 0) come limiti delle derivate ∂f
∂x (x , y) e ∂f∂y (x , y). In generale non vale
∂f
∂x(0, 0) = lim
(x ,y)→(0,0)
∂f
∂x(x , y) NO!
∂f
∂y(0, 0) = lim
(x ,y)→(0,0)
∂f
∂y(x , y) NO!
perche a priori non abbiamo nessuna informazione circa la continuita dellederivate parziali nel punto (0, 0). In effetto, nell’esempio precedente si ha
lim(x ,y)→(0,0)
∂f
∂x(x , y) @ lim
(x ,y)→(0,0)
∂f
∂y(x , y) @
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Derivabilita direzionale e continuitaA differenza delle funzioni di una sola variabile, nel caso di funzioni di piuvariabili l’esistenza delle derivate parziali non garantisce la continuita :abbiamo visto che la funzione
f (x , y) =
x yx2+y2 (x , y) 6= (0, 0)
0 (x , y) = (0, 0)
ammette entrambe le derivate parziali nel punto (0, 0). D’altra parte sivede facilmente che f non e continua in (0, 0):
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Nemmeno l’esistenza di tutte le derivate direzionali garantisce lacontinuita :
Esempio
Sia f : R2 → R definita da
f (x , y) =
0 se y ≤ 0 oppure y > x2
1 se 0 < y ≤ x2.
Risulta che f ammette tutte le derivate direzionali in (0, 0), ma non econtinua in (0, 0).
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Percio e necessario introdurre una nozione piu forte della derivabilitadirezionale: la differenziabilita.
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Funzioni differenziabili
Consideriamo per semplicita solo i campi scalari.
Definizione
Sia Ω ⊆ Rn un aperto e sia f : Ω→ R un campo scalare. Sia inoltre x ∈ Ωe supponiamo che f ammetta tutte le derivate parziali in x . Il vettore
∇f (x) = grad f (x) =
(∂f
∂x1(x),
∂f
∂x2(x), . . . ,
∂f
∂xn(x)
)si chiama gradiente di f nel punto x .
Notiamo che∇f : Ω→ Rn.
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Funzioni differenziabili
Definizione
Sia Ω ⊆ Rn un aperto e sia f : Ω→ R un campo scalare. Sia inoltrex0 ∈ Ω. Diciamo che f e differenziabile in x0 se esiste λ(x0) ∈ Rn tale che
f (x) = f (x0) + λ(x0) · (x − x0) + o(‖x − x0‖), x → x0, (1)
Diciamo che f e differenziabile in Ω se e differenziabile in ogni punto di Ω.
Ricordiamo il significato della notazione o(‖x − x0‖) :
h(x) = o(‖x − x0‖) per x → x0 ⇔ limx→x0
h(x)
‖x − x0‖= 0.
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Funzioni differenziabili
Teorema (Caratterizzazione della differenziabilita)
Sia Ω ⊆ Rn un aperto e sia f : Ω→ R un campo scalare. Sia inoltrex0 ∈ Ω. Allora f e differenziabile in x0 se e solo se f ammette tutte lederivate parziali in x0 e se
limx→x0
f (x)− f (x0)−∇f (x0) · (x − x0)
‖x − x0‖= 0. (2)
Quindi f e differenziabile in x0 se vale (1) con λ(x0) = ∇f (x0):
f (x) = f (x0) +∇f (x0) · (x − x0) + o(‖x − x0‖), x → x0, (3)
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Differenziabilita per funzioni di una variabile
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Differenziabilita per funzioni di due variabili
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Proprieta delle funzioni differenziabili
Teorema (Differenziabilita e continuita )
Sia Ω ⊆ Rn un aperto e sia f : Ω→ R. Sia inoltre x0 ∈ Ω. Se f edifferenziabile in x0, allora f e continua in x0.
Il viceversa e in generale falso: la continuita non implica ladifferenziabilita !
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Dimostrazione:
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Teorema (Differenziabilita e derivabilita )
Sia Ω ⊆ Rn un aperto e sia f : Ω→ R. Sia inoltre x0 ∈ Ω. Se f edifferenziabile in x0, allora f e derivabile in x0 lungo ogni direzione v e vale
Dv f (x0) = ∇f (x0) · v
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Dimostrazione:
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Proprieta delle funzioni differenziabiliAnche in questo caso non vale il viceversa: derivabilita in ogni direzionenon implica differenziabilita .
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Esempio
La funzione
f (x , y) =
x2 y
x2+y2 (x , y) 6= (0, 0)
0 (x , y) = (0, 0)
ammette tutte le derivate direzionali in (0, 0), ma non e differenziabile in(0, 0).
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Interpretazione geometrica della differenziabilita perfunzioni di una variabile
Riccarda Rossi (Universita di Brescia) Calcolo differenziale Analisi Matematica B 64 / 86
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Interpretazione geometrica della differenziabilita perfunzioni di una variabile
Riccarda Rossi (Universita di Brescia) Calcolo differenziale Analisi Matematica B 65 / 86
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Interpretazione geometrica della differenziabilita perfunzioni di DUE variabilI
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Interpretazione geometrica della differenziabilita perfunzioni di DUE variabilI
Riccarda Rossi (Universita di Brescia) Calcolo differenziale Analisi Matematica B 67 / 86
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Teorema (Differenziabilita di somme e prodotti)
Sia Ω ⊂ Rn un aperto e sia x0 ∈ Ω. Siano f , g : Ω→ R due funzionidifferenziabili in x0. Allora sono differenziabili in x0 anche le funzionisomma f + g e prodotto f g .
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Teorema (Differenziabilita della composizione)
Sia Ω ⊆ Rn un aperto e sia x0 ∈ Ω. Sia f : Ω→ R una funzionedifferenziabile in x0. Sia inoltre ϕ : R→ R una funzione differenziabile inf (x0) ∈ R. Allora la funzione composta ϕ f : Ω→ R e differenziabile inx0 e vale
ϕ(f (x)) = ϕ(f (x0)) + ϕ′(f (x0))∇f (x0) · (x − x0) + o(‖x − x0‖),
per x → x0.
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Teorema (Teorema del differenziale totale)
Sia Ω ⊂ Rn un aperto e sia x0 ∈ Ω. Sia f : Ω→ R una funzione.Supponiamo che f ammetta in Ω tutte le derivate parziali Di f , i = 1, .., n,e che esse siano continue in x0. Allora f e differenziabile in x0.
Non vale il viceversa
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Definizione (Funzioni di classe C 1)
Sia Ω ⊂ Rn un aperto e sia f : Ω→ R una funzione. Diciamo che f e diclasse C 1 se esistono le derivate parziali di f in Ω ed esse sono funzionicontinue. L’insieme delle funzioni di classe C 1 da Ω in R si indica con ilsimbolo C 1(Ω).
Nel loro dominio naturale sono di classe C 1 tutte le funzioni elementari ele loro composizioni; per esempio polinomi, funzioni razionali fratte,logaritmi etc.
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Dal Teorema del differenziale totale segue che ogni funzione di classeC 1(Ω) e differenziabile in Ω. Piu in generale abbiamo il seguente schemariassuntivo:
f ∈ C 1(Ω) ⇒ f differenziabile in Ω ⇒
f continua in Ω
∀ v ∈ Rn : ∃Dv f
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