calcul avec des_puissances_de_dix
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Calcul avec des puissances de 10 :
� 1er cas : Additions et soustractions :
THEME :
CALCUL AVEC DES PUISSANCES DE DIX
Deux cas simples sont possibles. - L'opération à effectuer ne comporte que des additions
et/ou des soustractions. - L'opération à effectuer ne comporte que des
multiplications et/ou des divisions.
-1-3-2 10 0,27 - 10 36 10 4 A ××+×= Etape 1 : On souligne les différents termes
Etape 2 : Chaque terme est écrit sous
forme décimale. 7 2 0 , 0 - 6 3 0 , 0 4 0 , 0 A +=
Etape 3 : On effectue le calcul 9 4 0 , 0 A =
B = 3,1 x 10² - 5,4 x 10 + 213 x 10-1 ( CRETEIL - PARIS - VERSAILLES - 1990 )
B = 310 – 54 + 21,3 B = 277,3
� 2eme cas : MULTIPLICATIONS ET DIVISIONS :
� Multiplications :
3-3-9 10 x 0,03 x 10 7 10 2 A
effectuer à Soit
×××=
Comme, dans un produit, nous pouvons changer l'ordre des facteurs, l'expression A peut s'écrire différemment. Nous pouvons tout d'abord écrire le produit des facteurs qui ne sont pas des puissances de dix, puis écrire le produit des puissances de dix.
Etape 1 : Vérifier que l'opération est une suite de multiplications.
3-3-9 10 10 10 0,03 7 2 A ×××××=
420 10 x 0,42 10 0,42 A 3 3 - 3 - 9 ==×=
Nous pouvions également utiliser plus encore les connaissances sur les puissances de dix. Il est plus difficile d'effectuer des opérations avec des nombres décimaux ( non entiers ). Les puissances de dix simplifient les calculs. Nous savons que 0,03 = 3 x 10-2 Donc
420 10 x 42 10 42 A
10 10 10 10 3 7 2 A
10 10 3 10 7 10 2 A
10 0,03 10 7 10 2 A
1 3 2- - 3 - 9
3-2-3-9
3-2-3-9
3-3-9
==×=
××××××=
××××××=
×××××=
Soit à effectuer : A = 7 x 10-3 x 0,15 x 105
Cette façon de faire, c’est à dire revenir à l’écriture décimale, est à éviter dans le cas d’une suite de multiplications. Il est préférable d’utiliser les propriétés des puissances de dix.Pourriez-vous aussi simplement effectuer ce calcul ?
149-147
10 0,43 10 ,2 A ×××= 1
A = 7 x 10-3 x 0,15 x 105 15000 0,007 A ×=
A = 105
� Multiplications et divisions :
Revenons à notre calcul. Nous pouvons changer 0,15 et l’écrire sous la forme :
0,15 = -2
10 15 ×
A = 7 x 10-3 x 0,15 x 105
A = 7 x 10-3 x 15 x 10-2 x 105
A = 7 x 15 x 10-3 x 10-2 x 105
A = 105 x 10-3 – 2 + 5
A = 105 x 100 = 105 x 1 = 105
Regroupement des nombres « significatifs » et des puissances de 10.
5
43-6
10 12
10 x 10 15 10 4 A
effectuer à Soit
××××=
Etape 1 : Vérifier que l'opération ne comporte que des multiplications et des divisions
5
43-6
10 12
10 x 10 10 15 4 A
××××=
N'effectuez pas les opérations ( 4 x 15 ). Il est préférable d'abord de vérifier si une simplification est possible.
Je regarde tout d'abord s'il n'y a pas une simplification immédiate ( un même facteur au numérateur et au dénominateur ). Ce n’est pas le cas dans cet exemple. Donc, pour effecteur cette division, il faut simplifier au maximum le numérateur et le dénominateur. Le dénominateur est sous une forme simple. Il suffit donc, dans cet exemple, de simplifier le numérateur.
5
4 3 - 6
10 12
10 15 4 A
×
××=
+
5
7
10 12
10 15 4 A
×
××=
Le numérateur est composé d’une suite de multiplications. Donc en procédant comme dans l’exercice précédent, nous avons :
41-
5-12
10 2110 8
10 10 3510 24 C
×××
××××=
41-
5-12
10 10 21 8
10 1010 35 24 C
×××
××××=
Dans cette écriture, il y a deux parties. Les nombres 4 , 15 et 12 ont une influence sur l’écriture ( en chiffres ) du nombre. Les puissances de 10 n’ont qu’une influence sur la position de la « virgule ». Simplifions séparément ces deux parties.
5
7
10 12
10 15 4 A
×
××=
5
7
10 12
10 15 4 A
×
××=
5
7
10 3 4
10 5 3 A
××
×××=
4
5
7
10
10 5 A
×=
500 10² 5 10 10 5 A-57
=×=××=
Pour simplifier les puissances de 10, nous utilisons ici le cours. Sinon, il est possible d’imaginer l’écriture sous cette forme :
100 10 10 10 10 10 10 10
10 10 10 10 10 10 10
10
105
7
=×=××××
××××××=
Il est également possible ( et souhaitable ) de faire les deux simplifications en même temps.
Soit à effectuer : ( Ecrire le résultat sous forme décimale)
C = 41
52
10 21 10 8
10 3,5 10 24
××××××
− ( RENNES - 1996 )
Nous pouvons changer 3,5 et l’écrire sous la forme :
3,5 = -110 35 × Puis nous regroupons les nombres significatifs et les puissances de dix.
41-
5-12
10 10 21 8
10 1010 35 24 C
×××
××××=
41-
5-12
10 10 7 3 8
10 1010 57 8 3 C
××××
××××××=
4
52
10
10 10 5 C
××=
C = 4
7
10
10 5 ×= -47 10 10 5 ×× = 310 5 ×
ou
C = -452 10 10 10 5 ×× × = 310 5 ×
C = 5 000
21-7
35
10 10 4510 2
10 610 3 D
××××
×××=
21-7
35
10 10 10 45 2
10 10 6 3 D
××××
×××=
21-7
35
10 10 10 533 2
10 10 32 3 D
××××××
××××=
8
8
10 233 2
10 32 3 D
××/×/×/
×/×/×/= =
5
1 = 0,2
On peut « couper » la fraction en deux , une partie significative et une partie puissances de 10. On peut alors simplifier séparément ces deux parties.
Soit à effectuer : ( Ecrire le résultat sous forme décimale)
D = 27
35
10 4,5 10 2
10 6 10 3
××××××
( NANTES – 1999 )
Nous avons 6-3 2-32- 10 10 ) 10 ( == ×
L’expression devient donc :
3-
-6
10 16
10² 10 4 E
×
××=
3-
-4
10 4 4
10 4 E
××
×=
3-
-4
10 4
10 E
×=
0,025 40
1
10 4
10 0,1
4
0,1
4
10
4
10 10 E
-13-4
==××
===×=
ou
3-
-4
10 4
10 E
×=
Soit à effectuer : ( Ecrire le résultat sous forme décimale)
3-
3-2
10 16
10² )10 ( 4 E
×
××=
6-2-2-2-32- 10 1010 10 ) 10 ( =××=