calcul inverse

Rappel de l’épisode précédent sur l’inverse d’une application linéaire/matricePivot de Gauss sur les matrices

Cours 3: Inversion des matrices dans lapratique...

Clément RauLaboratoire de Mathématiques de ToulouseUniversité Paul Sabatier-IUT GEA Ponsan

Module complémentaire de maths, année 2012

Clément Rau Cours 3: Inversion des matrices dans la pratique...

Notion d’inverse d’une application linéaireInverse d’une matrice

Critère d’inversibilité : le déterminant

1 Rappel de l’épisode précédent sur l’inverse d’uneapplication linéaire/matrice

Notion d’inverse d’une application linéaireInverse d’une matriceCritère d’inversibilité : le déterminant

2 Pivot de Gauss sur les matricesBut de l’algorithmePrésentation de la méthodeDiposition des calculs : un exempleL’algorithme général

Rappel : Notion d’application bijective

DefinitionSoit f : U → V une application linéaire. On dit que f estbijective si pour tout y de V , il existe un unique x dans U telque f (x) = y .

Rappel : Notion d’application bijective

DefinitionSoit f : U → V une application linéaire. On dit que f estbijective si pour tout y de V , il existe un unique x dans U telque f (x) = y .

Notion d’inverse d’un application linéaire bijective

Dans le cas où f est bijective, on peut lui fabriquer uneapplication inverse notée f−1

f−1 : V → U

qui à chaque y de V associe l’unique x de U tel que y = f (x).

Notion d’inverse d’un application linéaire bijective

Dans le cas où f est bijective, on peut lui fabriquer uneapplication inverse notée f−1

f−1 : V → U

qui à chaque y de V associe l’unique x de U tel que y = f (x).

Propriétés évidentes de l’inverse

On a :f−1 est bijective(f−1)−1 = fpour tout x dans U, f−1(f (x)) = x ,

ie : f−1of = IdU

pour tout y dans V , f (f−1(y)) = y ,

ie : fof−1 = IdV

si f est linéaire, alors f−1 l’est aussi.Clément Rau Cours 3: Inversion des matrices dans la pratique...

ie : f−1of = IdU

ie : fof−1 = IdV

ie : f−1of = IdU

ie : fof−1 = IdV

ie : f−1of = IdU

ie : fof−1 = IdV

ie : f−1of = IdU

ie : fof−1 = IdV

ie : f−1of = IdU

ie : fof−1 = IdV

ie : f−1of = IdU

ie : fof−1 = IdV

Définition de l’inverse d’une matrice

Puisque une matrice est une représentation d’une applicationlinéaire (dans de certaines bases), la notion d’inverse d’uneapplication linéaire se translate aux matrices...

On considère une application linéaire bijective f : Rn → Rm

Soit Bd et Ba des bases respectives de Rn et Rm.Soit A la matrice de f dans les bases Bd et Ba

Soit B la matrice de f−1 dans les bases Ba et Bd

Puisque la multiplication matricielle a été construite pourprolonger la composition des applications, des égalités

f−1of = IdRn fof−1 = IdRm

on déduit :BA = Idn AB = Idm,

où Idp =

1 · · · 0...

. . ....

0 · · · 1

(de taille p)

DefinitionLa matrice B s’appelle la matrice inverse de A. On la noteparfois A−1.

où Idp =

1 · · · 0...

. . ....

0 · · · 1

(de taille p)

où Idp =

1 · · · 0...

. . ....

0 · · · 1

(de taille p)

où Idp =

1 · · · 0...

. . ....

0 · · · 1

(de taille p)

Déterminant

Il existe un critère tres pratique pour savoir si une matrice estinversible. Le fondement de ce critère ne rentre pas dans lecadre de ce cours, mais son utilisation fait partie du cours.

A chaque matrice A, on associe un nombre appelédeterminant de A et noté det(A).

det :Mn → RA 7→ det(A).

Ce nombre a la propriété "magique" suivante :

A est inversible⇔ det(A) 6= 0.

Déterminant

Calcul de déterminants de matrices d’ordre 2 et 3

a bc d

)) = ad − bc

a1 a2 a3b1 b2 b3c1 c2 c3

) = a1b2c3 + b1c2a3 + c1a2b3

− (a3b2c1 + b3c2a1 + c3a2b1)

Calcul de déterminants de matrices d’ordre 2 et 3

a bc d

)) = ad − bc

a1 a2 a3b1 b2 b3c1 c2 c3

) = a1b2c3 + b1c2a3 + c1a2b3

− (a3b2c1 + b3c2a1 + c3a2b1)

Pour s’en souvenir, on peut écrire :

a1 a2 a3b1 b2 b3c1 c2 c3a1 a2 a3b1 b2 b3

remarquer que le déterminant est la différence entre la sommedes diagonales vers le bas et des diagonales vers le haut.

a1 a2 a3b1 b2 b3c1 c2 c3

) = a1b2c3 + b1c2a3 + c1a2b3

− (a3b2c1 + b3c2a1 + c3a2b1)

Pour s’en souvenir, on peut écrire :

a1 a2 a3b1 b2 b3c1 c2 c3a1 a2 a3b1 b2 b3

remarquer que le déterminant est la différence entre la sommedes diagonales vers le bas et des diagonales vers le haut.

a1 a2 a3b1 b2 b3c1 c2 c3

) = a1b2c3 + b1c2a3 + c1a2b3

− (a3b2c1 + b3c2a1 + c3a2b1)

Quelques exemples

4 3−1 2

)) = 11, donc la matrice est inversible.

4 −1−1 1/4

)) = 0, donc la matrice n’admet pas

d’inverse.

2 −4 42 0 14 1 1

) = −2, donc la matrice est inversible.

Quelques exemples

4 3−1 2

4 −1−1 1/4

d’inverse.

2 −4 42 0 14 1 1

Quelques exemples

4 3−1 2

4 −1−1 1/4

d’inverse.

2 −4 42 0 14 1 1

Calcul de déterminant de matrices d’ordre supérieur

A l’aide des cofacteurs (voir poly pour la déf), on peutcalculer le déterminant d’une matrice d’ordre 4, à l’aidedes déterminants de matrices d’ordre 3.Plus généralement, les cofacteurs permettent de caculer ledéterminant d’une matrice d’ordre n à l’aide desdéterminants de matrices d’ordre n − 1.

4 Voir poly pour plus de détails

Calcul de déterminant de matrices d’ordre supérieur

A l’aide des cofacteurs (voir poly pour la déf), on peutcalculer le déterminant d’une matrice d’ordre 4, à l’aidedes déterminants de matrices d’ordre 3.Plus généralement, les cofacteurs permettent de caculer ledéterminant d’une matrice d’ordre n à l’aide desdéterminants de matrices d’ordre n − 1.

4 Voir poly pour plus de détails

Quelques propriétés des déterminants

det(Id) = 1det(AB) = det(A)det(B)

det(A−1) = 1det(A) .

Comment calculer l’inverse d’une matrice

Il existe diverses méthodes pour calculer l’inverse d’unematrice A.

Méthode des cofacteurs, calcul déterminants de diversessous matrices de A.

(voir poly...)

Avec un logiciel ...Algorithme du pivot de Gauss.

Objet des sections suivantes

(voir poly...)

But de l’algorithmePrésentation de la méthodeDiposition des calculs : un exempleL’algorithme général

Soit A une matrice carré (supposée inversible), on chercheà obtenir la matrice :

Rappel sur la représentation d’une application linéairepar une matrice

Rappel : Si A représente la matrice d’un application linéaire f(bijective) dans une certaine base B = (e1,e2, ...,en), lescolonnes de A sont les f (ei),

f (e1) f (e2) · · · f (en)↓ ↓ ↓

A = MB(f ) =

a1,1a2,1

...an,1

a1,2a2,2

...an,2

· · ·

a1,na2,n

...an,n

e1e2...

f (e1) f (e2) · · · f (en)↓ ↓ ↓

A = MB(f ) =

a1,1a2,1

...an,1

a1,2a2,2

...an,2

· · ·

a1,na2,n

...an,n

e1e2...

f (e1) f (e2) · · · f (en)↓ ↓ ↓

A = MB(f ) =

a1,1a2,1

...an,1

a1,2a2,2

...an,2

· · ·

a1,na2,n

...an,n

e1e2...

Donc, en notant A−1 = B, on a :

f−1(e1) f−1(e2) · · · f−1(en)↓ ↓ ↓

A−1 = B = MB(f−1) =

b1,1b2,1

...bn,1

b1,2b2,2

...bn,2

· · ·

b1,nb2,n

...bn,n

e1e2...

Donc, en notant A−1 = B, on a :

f−1(e1) f−1(e2) · · · f−1(en)↓ ↓ ↓

A−1 = B = MB(f−1) =

b1,1b2,1

...bn,1

b1,2b2,2

...bn,2

· · ·

b1,nb2,n

...bn,n

e1e2...

Trouver la matrice A−1 revient donc à calculer les f−1(ei)pour i = 1..nTrouver la matrice A−1 revient donc à résoudre les nsystèmes linéaires f (x) = ei pour i = 1..nOn va utiliser la méthode du pivot de Gauss introduit dansla section précédente pour chacun de ces n sytèmes.Pour éviter de "re faire" n fois les calculs, on méne lescalculs simultanément en les présentant ainsi :

On veut calculer l’inverse de la matrice suivante :

2 −4 42 0 14 1 1

On commence par présenter les choses sous la forme "Gauss". 2 −4 4 1 0 0

2 0 1 0 1 04 1 1 0 0 1

Au lieu de mettre à droite de la matrice un seul vecteur Ycomme pour les sytèmes linéaires de la section précédente, ona mis cette fois, tous les vecteurs ei (dont on cherche lesantécédants)Remarque : On peut retenir que l’on met la matrice Id à droitede A.

2 −4 42 0 14 1 1

2 0 1 0 1 04 1 1 0 0 1

2 −4 42 0 14 1 1

2 0 1 0 1 04 1 1 0 0 1

2 −4 4 1 0 02 0 1 0 1 04 1 1 0 0 1

Le coefficient a1,1 est non nul on effectue doncL2 ← L2 − L1 et L3 ← L3 − 2L1. On obtient, 2 −4 4 1 0 0

0 4 −3 −1 1 00 9 −7 −2 0 1

Le coefficient a2,2 est non nul on effectue donc L2 ← 1

4L2pour simplifier la suite des calculs. On obtient, 2 −4 4 1 0 0

0 1 −34 −1

0 9 −7 −2 0 1

2 −4 4 1 0 02 0 1 0 1 04 1 1 0 0 1

0 4 −3 −1 1 00 9 −7 −2 0 1

0 1 −34 −1

0 9 −7 −2 0 1

2 −4 4 1 0 02 0 1 0 1 04 1 1 0 0 1

0 4 −3 −1 1 00 9 −7 −2 0 1

0 1 −34 −1

0 9 −7 −2 0 1

2 −4 4 1 0 02 0 1 0 1 04 1 1 0 0 1

0 4 −3 −1 1 00 9 −7 −2 0 1

0 1 −34 −1

0 9 −7 −2 0 1

2 −4 4 1 0 00 1 −3

4 −14

0 9 −7 −2 0 1

Le coefficient a2,2 vaut 1 on effectue donc L3 ← L3 − 9L2.On obtient, 2 −4 4 1 0 0

0 1 −34 −1

0 0 −7 + 274 −2 + 9

4 −94 1

Le coefficient a3,3 est non nul. La matrice est doncinversible ! On pourrait alors résoudre chaque système en"remontant" les équations comme dans la sectionprécédente...Là encore, on peut mener directement cescalculs sur ces "tableaux".

2 −4 4 1 0 00 1 −3

4 −14

0 9 −7 −2 0 1

0 1 −34 −1

0 0 −7 + 274 −2 + 9

4 −94 1

2 −4 4 1 0 00 1 −3

4 −14

0 9 −7 −2 0 1

0 1 −34 −1

0 0 −7 + 274 −2 + 9

4 −94 1

2 −4 4 1 0 00 1 −3

4 −14

0 9 −7 −2 0 1

0 1 −34 −1

0 0 −7 + 274 −2 + 9

4 −94 1

2 −4 4 1 0 00 1 −3

4 −14

0 9 −7 −2 0 1

0 1 −34 −1

0 0 −7 + 274 −2 + 9

4 −94 1

Pour obtenir des 1 sur la diagonale, on effectue doncL3 ← −4L3 et L1 ← 1

2L1. On obtient, 1 −2 2 12 0 0

0 1 −34 −1

0 0 1 −1 9 −4

Le coefficient a3,3 est non nul on effectue doncL2 ← L2 +

34L3 et L1 ← L1 − 2L3. On obtient, 1 −2 0 5

2 −18 80 1 0 −1 7 −30 0 1 −1 9 −4

2L1. On obtient, 1 −2 2 12 0 0

0 1 −34 −1

0 0 1 −1 9 −4

2 −18 80 1 0 −1 7 −30 0 1 −1 9 −4

2L1. On obtient, 1 −2 2 12 0 0

0 1 −34 −1

0 0 1 −1 9 −4

2 −18 80 1 0 −1 7 −30 0 1 −1 9 −4

2L1. On obtient, 1 −2 2 12 0 0

0 1 −34 −1

0 0 1 −1 9 −4

2 −18 80 1 0 −1 7 −30 0 1 −1 9 −4

Enfin, on fait L1 ← L1 + 2L2 et on obtient, 1 0 0 12 −4 2

0 1 0 −1 7 −30 0 1 −1 9 −4

On a réussi à obtenir l’identité à gauche, la matrice dedroite est donc A−1.ie :

A−1 =

12 −4 2−1 7 −3−1 9 −4

0 1 0 −1 7 −30 0 1 −1 9 −4

A−1 =

12 −4 2−1 7 −3−1 9 −4

0 1 0 −1 7 −30 0 1 −1 9 −4

A−1 =

12 −4 2−1 7 −3−1 9 −4

Notation de l’algo général

On notera :Lk

i la ligne i de la matrice A à l’itération k ,ak

i,j le scalaire ai,j de la matrice A à l’itération k .

Algo général

L’algorithme de Gauss-Jordan (pour aller jusqu’à une matricetriangulaire) est le suivant :

Pour k allant de 1 à nS’il existe une ligne i ≥ k telle que ak−1

i,k 6= 0,échanger cette ligne i et la ligne k : Li ↔ Lk

Lkk ← 1

ak−1k,k

Lk−1k

Pour i allant de 1 à n et i 6= kLk

i ← Lk−1i − ak−1

i,k × Lkk

Sinon A n’est pas inversible, abandonner.

Après l’étape k de l’algorithme, la colonne k a tous sescoefficients nuls sauf celui de la diagonale qui vaut 1 et ceux endessous de la diagonale...

calcul inverse

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