Page 1Jacques AACHE Jean-Marc CHREAU EduKlub S.A. Tousdroitsdelauteurdesuvresrservs.Saufautorisation,lareproductionainsiquetouteutilisationdesuvresautrequela consultation individuelle et prive sont interdites. Sciences Industrielles Cours Calcul vectoriel PCSI -PSI CoursSciences de lingnieur Les Outils ncessaires en Mcanique Schma cinmatique minimal dun mcanisme doseur Page 2Jacques AACHE Jean-Marc CHREAU EduKlub S.A. Tousdroitsdelauteurdesuvresrservs.Saufautorisation,lareproductionainsiquetouteutilisationdesuvresautrequela consultation individuelle et prive sont interdites. Sciences Industrielles Cours Calcul vectoriel Sommaire 1Outils ncessaires en mcanique ............................................................................................................3 1.1OPERATIONS SUR LES VECTEURS.........................................................................................3 1.1.1Produit scalaire .........................................................................................................................3 1.1.1.1Dfinition du produit scalaire : ..........................................................................................3 1.1.1.2Dfinition de la norme gomtrique ..................................................................................3 1.1.1.3Interprtation gomtrique du produit scalaire :................................................................3 1.1.2Produit vectoriel........................................................................................................................3 1.1.2.1Dfinition du produit vectorielle .......................................................................................3 1.1.2.2Interprtation gomtrique du produit scalaire :................................................................3 1.1.3Produit mixte.............................................................................................................................4 1.1.3.1Dfinition du produit mixte ...............................................................................................4 1.1.3.2Interprtation gomtrique du produit mixte : ...................................................................4 1.1.4Double produit vectoriel ...........................................................................................................4 1.1.5Division vectorielle...................................................................................................................4 1.1.5.1Le problme : .....................................................................................................................4 1.2APPLICATIONS ANTISYMTRIQUES......................................................................................5 1.2.1Dfinition..................................................................................................................................5 1.2.2Proprits ..................................................................................................................................5 1.3CHAMP DE VECTEURS..............................................................................................................5 1.3.1Dfinition..................................................................................................................................5 1.3.2Champ antisymtrique ..............................................................................................................5 1.3.3Champ quiprojectif..................................................................................................................5 1.3.4Thorme de DELASSUS ........................................................................................................6 1.4TORSEURS....................................................................................................................................7 1.4.1Dfinition dun torseur..............................................................................................................7 1.4.2Notation dun torseur ................................................................................................................7 1.4.3Changement de point ................................................................................................................7 1.4.4Torseur nul ................................................................................................................................7 1.4.5Somme de deux torseurs ...........................................................................................................7 1.4.6Multiplication par un scalaire ...................................................................................................8 1.4.7Comoment de deux torseurs......................................................................................................8 1.4.8Automoment d'un torseur..........................................................................................................9 1.4.9Axe central d'un torseur ............................................................................................................9 1.4.10Torseurs particuliers ...............................................................................................................9 1.4.10.1Torseur Glisseur...............................................................................................................9 1.4.10.2Torseur Couple ..............................................................................................................10 1.4.11Dcomposition d'un torseur ..................................................................................................10 1.4.12Interprtation Gomtrique dun torseur ..............................................................................11 Page 3Jacques AACHE Jean-Marc CHREAU EduKlub S.A. Tousdroitsdelauteurdesuvresrservs.Saufautorisation,lareproductionainsiquetouteutilisationdesuvresautrequela consultation individuelle et prive sont interdites. Sciences Industrielles Cours Calcul vectoriel xyV2V1Projection orthogonaledu vecteur V1 sur la direction de V2 1OUTILS NECESSAIRES EN MECANIQUE 1.1OPERATI ONS SUR LES VECTEURS E est un espace vectoriel de dimension 3. Soienttroisvecteursde3: 333322221111 = , = , =zyxbVzyxbVzyxbV etunebaseorthonormedirecte b ) z , y , x (! ! !. On dfinit les oprations suivantes : 1.1.1PRODUIT SCALAIRE 1.1.1.1Dfinition du produit scalaire : Le produit scalaire est une application linaire dfinie positive de E dans R rel tel que le produit scalaire est dfini et not : 2 1 2 1 2 12 1 2 1 z +z y y + x x = V . V = ) V , V ( 1.1.1.2Dfinition de la norme gomtrique La norme gomtrique dun vecteur est dfinie et note : 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 z z + y y + x x = V V . V = ) V , V ( V Cettenormereprsentegraphiquementlalongueurenmtreduvecteur 1 V .Lanorme gomtrique est dfinie positive. 1.1.1.3Interprtation gomtrique du produit scalaire : Soit la reprsentation plane dans le plan vectoriel) y , x ( ) V , V ( V V = z +z y y + x x = V . V = ) V , V ( 2 1 2 1 2 1 2 1 cos2 1 2 1 2 1 Six = V!1 cest--direque1 1 V!alors, x V . 1 reprsentela projectionorthogonaleduvecteur 2V surladirectionde 1 V. Cas de nullit du produit scalaire : ! l'un des vecteurs est nul, ! les deux vecteurs sont orthogonaux. 1.1.2PRODUIT VECTORIEL 1.1.2.1Dfinition du produit vectorielleLeproduitvectorielestuneapplicationlinaireantisymtriquedeEdansEtelquele produit vectoriel est dfini et not : z y x y x y x z x z x z y z x V V! ! !) - ( + ) - ( + ) - ( )= ( 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1.1.2.2Interprtation gomtrique du produit scalaire : Page 4Jacques AACHE Jean-Marc CHREAU EduKlub S.A. Tousdroitsdelauteurdesuvresrservs.Saufautorisation,lareproductionainsiquetouteutilisationdesuvresautrequela consultation individuelle et prive sont interdites. Sciences Industrielles Cours Calcul vectoriel xyV2V1S xyV2V1SzV1V3V Soit la reprsentation plane dans le plan vectoriel) y , x ( n ) V , V ( V V V V!sin )= ( 2 1 2 1 2 1 ,avecn!vecteurunitaire directement perpendiculaire (V ,V ) 1 2 . Lanormeduproduitvectoriel sin = 2 1 2 1 2 1 ) V , V ( V V V V reprsentelasurfaceSdu paralllogramme dfini paret2 1 ) V V . Cas de nullit du produit vectoriel : l'un des vecteurs est nul, les deux vecteurs sont colinaires. 1.1.3PRODUIT MIXTE 1.1.3.1Dfinition du produit mixteLe produit mixte est une application linaire antisymtrique de E3 dans R rel tel que le produit mixte est dfini et not : 1 3 2 2 1 3 3 2 1 3 2 1 ). ( = ). ( = ). ( = ) , , ( V V V V V V V V V V V VLe produit mixte de trois vecteurs est un scalaire invariant par permutation circulaire des vecteurs ou par inversion des oprations. 1.1.3.2Interprtation gomtrique du produit mixte : 3 2 1 3 2 1 ). ( = ) , , ( V V V V V V reprsente graphiquement le volume duparalllpipdedecotsdfinisparlesvecteurs et, 3 2 1 ) V V V Cas de nullit du produit mixte : ! l'un des vecteurs est nul, ! deux des vecteurs sont colinaires, ! les trois vecteurs sont coplanaires. 1.1.4DOUBLE PRODUIT VECTORIEL ) ( 3 2 1 V V Vest un vecteur perpendiculaire ) ( 3 2 V V . Il se trouve donc dans le plan form par les vecteurs 3 2 et V Vet peut s'crire alors : 3 2+ V V avec ) , ( R . Par identification on obtient : 3 2 1 2 3 1 3 2 1 ) . ( - ) . ( )= ( V V V V V V V V V1.1.5DIVISION VECTORIELLE 1.1.5.1 Le problme : Page 5Jacques AACHE Jean-Marc CHREAU EduKlub S.A. Tousdroitsdelauteurdesuvresrservs.Saufautorisation,lareproductionainsiquetouteutilisationdesuvresautrequela consultation individuelle et prive sont interdites. Sciences Industrielles Cours Calcul vectoriel W V et tant deux vecteurs connus non nuls , existe-t-il un vecteur Xtel que : W X V =on en conclut :! Xdoit tre non nul, ! W V etdoiventtreorthogonauxet W X etaussiparpropritduproduit vectoriel.. Si il existe une solution X , alors tout vecteur de la forme V X +sera aussi solution. En multipliant vectoriellement par V la relation W X V = , on obtient : W V X V V V X V W V X V V = ) . ( - ) . ( bien ou= ) ( o) . ( X V est rel Si on cherche la solution particulire 0 X( = 0) orthogonale V , on obtient : VW VXW VXV V +-= et-=2 20 1.2APPLI CATI ONS ANTI SYMTRI QUES 1.2.1DEFINITION Une application L de dans est antisymtrique si et seulement si : ) ( =- ) ( , L L u v v u E v et u! ! ! ! ! ! Remarque : ! !u u . = L( ) 01.2.2PROPRIETES Toute application antisymtrique L de dans est linaire. c'est dire : ) v ( ) u ( ) v + u ( et E v et u! ! ! ! ! !L L L + = , Dans,levecteur S tantdonn,lapplicationLquiu!faitcorrespondre S u ) u ( L! !=est antisymtrique. 1.3CHAMP DE VECTEURS 1.3.1DEFINITION SitoutpointPdelespaceeuclidienE()onfaitcorrespondreunvecteur (P)M dorigine P, on dit quon dfinit un champ de vecteurs. 1.3.2CHAMP ANTISYMETRIQUE Un champ de vecteurs Mest antisymtrique si et seulement si, L tant une application antisymtrique de dans quels que soient les points P et Q de E(), on a : ) PQ ( (Q) (P) L M M + =Dans , cette relation scrit : S PQ (Q) (P) + =M M1.3.3CHAMP EQUIPROJECTIF Page 6Jacques AACHE Jean-Marc CHREAU EduKlub S.A. Tousdroitsdelauteurdesuvresrservs.Saufautorisation,lareproductionainsiquetouteutilisationdesuvresautrequela consultation individuelle et prive sont interdites. Sciences Industrielles Cours Calcul vectoriel Un champ de vecteurs M est quiprojectif si, et seulement si, quels que soient les points P et Q de E(), on a : PQ (Q) PQ (P) . = . M M1.3.4THEOREME DE DELASSUS Tout champ antisymtrique est quiprojectif et rciproquement. Dmonstration : Si nous avons) PQ ( (Q) (P) L M M + = , alors : + PQ ) PQ ( PQ (Q) PQ (P) . . = . L M MComme lapplication L est antisymtrique : 0 = . L PQ ) PQ (Donc : PQ (Q) PQ (P) . = . M MLe champ de vecteurs Mest donc quiprojectif. Rciproque : Soit un champ quiprojectif : PQ (Q) PQ (P) . = . M MRetranchons PQ (O). M chaque membre de lexpression prcdente. Nous obtenons : PQ (O) PQ (Q) PQ (O) PQ (P) . - . = . - . M M M MEt, en factorisant :) - .( - )= - .( - M M M M

,_

,_

OP OQ (O) (Q) OP OQ (O) (P)Finalement, on obtient :

,_

,_

,_

,_

(O) (Q) OP (O) (Q) OQ (O) (P) OP (O) (P) OQ M M M M M M M M - . - - . = - . - - .Le champ de vecteurs Mtant quiprojectif, les deux produits scalaires :

,_

(O) (P) OP M M - .et

,_

(O) (Q) OQ M M - .sont nuls. D'o :

,_

,_

(O) (Q) PO (O) (P) QO M M M M - . = - . -Soit L lapplication de dans qui tout vecteurAB associe le vecteur : (B) (A) ) AB ( M M L - =L'galit

,_

,_

(O) (Q) PO (O) (P) QO M M M M - . = - . -s'crit : - . = . QO (PO) PO (QO) L L Page 7Jacques AACHE Jean-Marc CHREAU EduKlub S.A. Tousdroitsdelauteurdesuvresrservs.Saufautorisation,lareproductionainsiquetouteutilisationdesuvresautrequela consultation individuelle et prive sont interdites. Sciences Industrielles Cours Calcul vectoriel Lapplication L est donc antisymtrique et la relation(B) (A) ) AB ( M M L - =donne : ) AB ( + (B) = (A) L M Met S u ) u ( L! !=dou S AB + (B) = (A) M MLe champ de vecteurs M est donc antisymtrique. 1.4TORSEURS 1.4.1DEFINITION DUN TORSEUR OnappelletorseurTl'ensembled'unchampantisymtrique MetdesonvecteurS associ. Pour dfinir compltement un torseur, il faut et il suffit de prciser : le vecteurS, la valeur du champ M en un point quelconque P. Ces deux vecteurs sont appels lments de rduction du torseur au point P. Sest aussi appele coordonne Sommedu torseur indpendante du point. (P)Mest aussi appele coordonne Moment du torseur dpendante du point. 1.4.2NOTATION DUN TORSEUR z y x P(M) (M) (M)S S SM(P)Sz y xz y x! ! !, , ,, ,, , M M MMT;';' z y xS S S , , sont les projections deS dans la base orthonorme directe) , , ( z y x! ! ! (M) (M) (M) z y x M M M , , sontlesprojectionsde(P)M danslabaseorthonorme directe) , , ( z y x! ! ! 1.4.3CHANGEMENT DE POINT Le champ de vecteurs M tant antisymtrique, on peut crire : S AB (B) (A) + =M M Do :BS BA + (A) = (B)S A(A)S ;';' M M MT 1.4.4TORSEUR NUL M ;'00T 1.4.5SOMME DE DEUX TORSEURS Page 8Jacques AACHE Jean-Marc CHREAU EduKlub S.A. Tousdroitsdelauteurdesuvresrservs.Saufautorisation,lareproductionainsiquetouteutilisationdesuvresautrequela consultation individuelle et prive sont interdites. Sciences Industrielles Cours Calcul vectoriel Soient deux torseurs N(N)S M(M)S ;';' 222111MTMT et! ! ExprimonslasommedesdeuxchampsenM.Poursommerdeuxtorseurs,ilest ncessaire quils soient crits au mme point. Cest pourquoi, il faut transporter le torseur T2 au point M. Au point M nous pouvons crire le torseur T2 : MS MN (N)SN(N)S ;' +;' 222222M MT! !

TM M M MT T22 12 122112 1 ;' + +;'+;' + MS MN (N) (M)S SN(N)S M(M)S+! ! ! ! Ajouterdeuxtorseursdontleslmentsderductionsontexprimsendespoints diffrents n'a aucun sens ! 1.4.6MULTIPLICATION PAR UN SCALAIRE Soient un torseur M(M)S ;'MT! et un scalaire R (rel). ) ( ) ( M M M S MN + (N) = S MN + (N) = (M) ! ! ! Ceproduitreprsentebienunchampantisymtriquequipeuttrereprsentparun torseur. Au point M nous pouvons crire : M(M)SM(M)S;';' M MT! ! L'ensemble des torseurs est un espace vectoriel sur le corps des rels. 1.4.7COMOMENT DE DEUX TORSEURS OnappellecomomentdedeuxtorseursT1et T2,laquantitscalairec(T1,T2)telle que : (M) . S + (M) . S = 1 2 2 1 2 1 M M T T! ! Cette quantit est indpendante du point M et est rel. En effet : 2 1 T T est appel aussi Invariant scalaire du torseur Page 9Jacques AACHE Jean-Marc CHREAU EduKlub S.A. Tousdroitsdelauteurdesuvresrservs.Saufautorisation,lareproductionainsiquetouteutilisationdesuvresautrequela consultation individuelle et prive sont interdites. Sciences Industrielles Cours Calcul vectoriel

" " " " # " " " " $ %! !! ! ! !0 =) , , ( )+ , , ( 1 2 2 1 1 2 2 11 1 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1M MM M M M T T 1]1

1]1

S MN S S MN S + (N) . S + (N) . S =S MN + (N) . S + S MN + (N) . S = (M) . S + (M) . S = 1.4.8AUTOMOMENT D'UN TORSEUR On appelle automoment d'un torseur, la quantit scalaire A(T) telle que : (M) . S = = M A ) (21) ( T T T! T T A(T) est appel aussi Invariant scalaire du torseur Cette quantit, indpendante du point M, constitue un invariant du torseur. 1.4.9AXE CENTRAL D'UN TORSEUR Soituntorseur M(M)S ;'MT!.OnappelleaxecentraldeT,l'ensembledes points I pour lesquels le champ M est colinaire S. En I, on peut crire :S = (I) M! Or S MI = S - (M) S MI + S = S MI + (I) = (M) M M M! ! ! Cette galit n'existe que si : S - (M) S S M et0! Ce qui nous permet d'crire :

,_

S . S = (M) . S = S - (M) . S M M bien ou0! ! D'ou : 2M=S(M) . S! Cette valeur est indpendante M du point et est appele le pas du torseur. De la relation S MI = S - (M) M! on tire, par division vectorielle, le rsultat suivant : S +S(M) S= MI 2M!! Ce rsultat reprsente l'quation paramtrique d'une droite parallle S et passant par un point I o le champs antisymtrique est minimum (voir dfinition). 1.4.10TORSEURS PARTICULIERS 1.4.10.1 Torseur Glisseur Tout torseur dont l'automoment est nul (avecS 0 ) est appel glisseur. Page 10Jacques AACHE Jean-Marc CHREAU EduKlub S.A. Tousdroitsdelauteurdesuvresrservs.Saufautorisation,lareproductionainsiquetouteutilisationdesuvresautrequela consultation individuelle et prive sont interdites. Sciences Industrielles Cours Calcul vectoriel Il dcoule de cette dfinition que : (M) S M!, le pas d'un glisseur est nul, 0 M = (I)! o I appartient laxe central Donc, si:(M) S M!, IS M(M)S ;';' 0 MT! 1.4.10.2 Torseur Couple Tout torseur T dont le vecteurS est nul, est appel couple.Il dcoule de cette dfinition que : ! le champM! est constant, ! l'automoment est nul, ! l'axe central n'est pas dfinit. Donc, si :S = 0 , le torseur couple scrit : M ;'MC0 ! 1.4.11DECOMPOSITION D'UN TORSEUR En tout point M, un torseur T se dcompose en somme d'un glisseur et d'un couple de la manire suivante : M(M)+MS M(M)S ;';';' M MT00! ! Page 11Jacques AACHE Jean-Marc CHREAU EduKlub S.A. Tousdroitsdelauteurdesuvresrservs.Saufautorisation,lareproductionainsiquetouteutilisationdesuvresautrequela consultation individuelle et prive sont interdites. Sciences Industrielles Cours Calcul vectoriel 1.4.12 INTERPRETATION GEOMETRIQUE DUN TORSEUR MS IM I)SII)S M(M)S ;' +;';' !! ! !( ( M M MT Onremarquequilestpossibledimaginerlareprsentationgomtriqueduntorseurcommeuneliaisonvis-croudaxe,laxecentraledutorseur.Cetteliaisonestappeledanslanormeliaisonhlicodaledaxe :laxe centrale du torseur reprsent ci-dessus ; do le nom de torseur (torsion). MMMMM) ( M!S IM!S IM!S IM!S IM!M) ( M!M) ( M!M) ( M!