calcular 3 a + b + c; 2 b – c; 2 c + a, donde 3 a + b + c = 2 b – c 2 c + a
TRANSCRIPT
Calcular 3A + B + C; 2B – C; 2C + A, donde
211
012A
843
210B
710
241C
633
036
2·31·3)1·(3
0·31·32·3A·3
3A + B + C =
710
241
843
210
633
036
2186
407
786143033
220413106
2B – C
976
261
7161806
24)4(210
710
241
8·24·2)3·(2
2·21·20·2
2C + A
1631
474
21412)1(0
041822
211
012
7·21·20·2
2·2)4·(21·2
Si A = y B = , calcula:
a) (-2A); b) 3(A+B); C) [(-7)+4] (B+A); d) La matriz opuesta de B.
01340
71321
34011
17532
02680
142642
0)·2()1)·(2(3)·2(4)·2(0)·2(
7)·2(1)·2()3)·(2(2)·2(1)·2(A·2)a
34011
17532
01340
71321·3)BA·(3)b
99993
18246159
)30·(3)41·(3)03·(3)14·(3)10·(3
)17·(3)71·(3)53·(3)32·(3)21·(3
99993
18246159)]BA·(3[)AB)·(3()AB]·(4)7[()c
d) La matriz opuesta de B es –B =
34011
17532
111
100
021
010
111
221
Calcular el producto de A = y B =
010
111
221
·
111
100
021
B·A
0·1)1·(12·11·11·1)2·(10·11·1)1·(1
0·1)1·(02·01·11·0)2·(00·11·0)1·(0
0·0)1·(22·11·01·2)2·(10·01·2)1·(1
100
010
001
115
003
102
011
121
101
Comprueba que (A·B)t = Bt·At, donde A = y B =
.
637
303
213
011
121
101
·
115
003
102
B·A
632
301
733
)B·A( t
632
301
733
101
100
532
·
011
120
111
A·B ttPor tanto: (A·B)t = Bt·At
20
11
41
32Dadas las matrices A = , y B = , calcula At, (A+B)t, (AB)t, AtBt
21
01A t
20
11
62
13
61
23
41
32
20
11)BA(
tt
t
81
21
82
11
41
32·
20
11)B·A(
tt
t
74
12
43
12·
21
01
41
32·
20
11B·A
tt
tt
DB·3A
CB·5A·3
18
21C
03
42D
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones matriciales:
donde: y
En principio, tratamos el sistema de ecuaciones con incógnitas A y B, como si fuera un sistema escalar. Aplicamos el método de reducción:
D·3B·9A·3
CB·5A·3
DB·3A
CB·5A·3 Sumamos las ecuaciones: 4·B = C + 3·D
Por tanto: B = ¼ ·C + ¾ ·D
Así pues: B =
117
107
4
1
4
1
4
174
10
4
7
03
42
4
3
18
21
4
1
Por otra parte, de la segunda ecuación, A + 3B = D 3B – D = A
Luego A =
339
1413
4
1
4
3
4
394
14
4
13
03
42
117
107
4
3
Dada la matriz A =
a)Demuestra que se verifica la igualdad A3 + I = 0, siendo I la matriz identidad y 0 la matriz nula.b)Calcula A-1 c) Halla razonadamente A10
431
541
430
431
541
430
331
441
101
431
541
430
431
541
430
431
541
430
A·A·AA3
100
010
001
Por tanto, es evidente que A3 + I = 0
a)
b) Puesto que A3 = -I, entonces (–A2)A = I. Por tanto A–1 = - A2 =
331
441
101
c) Puesto que A3 = – I, entonces (A3)2 = A6 =I. Y A9 = A6·A3 = – I. Por tanto A10 = –A
¿Es cierto en el cálculo matricial que “suma por diferencia es igual a la diferencia de cuadrados”?
Suma por diferencia igual a diferencia de cuadrados:
(a + b)·(a – b) = a·a – a·b + b·a – b·b = a2 – b2
Esto es cierto siempre y cuando a·b = b·a, es decir, que el producto sea conmutativo.
Pero sabemos que, en general, si A y B son matrices, A·B B·A. Incluso, uno de los dos productos puede no ser posible.
Así pues, dicha afirmación NO es válida en el cálculo matricial.
21
11
01
01
11
10Dadas las matrices A = , B = , y C = , resuelve la ecuación
matricial AX + B = C.
AX + B = C AX = C – B A–1AX = A–1(C – B) X = A–1(C – B)
10
11
01
01
11
10BC
11
12A1)Adet(
11
12)A(Adj 1t
Por tanto: X =
01
12
10
11
11
12
Para cualquier valor natural n, calcula An, donde A=
100
010
201
100
010
101
·
100
010
101
A2
100
010
101
100
010
301
100
010
101
·
100
010
201
A3 Parece obvio que An =
100
010
n01
Por hipótesis de inducción completa, supondremos que An =
100
010
n01
Entonces, An+1 = A·An =
100
010
1n01
100
010
n01
·
100
010
101
que confirma la hipótesis.
Calcular el rango de la matriz A =
1310
1012
36123
1241
1310
1012
36123
1241
(F2 – 3F1)(F3 – 2F1)
1310
3470
0000
1241
Suprimir F2
1310
3470
1241
Observamos que: 025
310
470
241
Por tanto r(A) = 3
542
171
830
510
042
314
Calcula los determinantes de las matrices A = y B =
542
171
830
0·7·(-5) + 3·1·2+ (-1)·8·4- 2·7·8 - (-1)·3·(-5) - 4·1·0 =
= 0 + 6 – 32 – 112 – 15 – 0 = -153
510
042
314
=
C3 + 5C2 010
2042
3514
202
354)·1(
= [ 4·20 ])35(2
80625 - 70.48
013
221
103
021
120
313
103
013
221
Si el determinante de la matriz A = es –11, ¿cuánto valen los
determinantes de las matrices B = y C = ?
B = At.
El determinante de una matriz es igual al de su traspuesta. Por tanto, det(B) = 11
Si en un determinante intercambiamos entre sí dos filas, el valor del determinante cambia de signo.
Observamos que C se obtiene de realizar dos cambios de filas entre sí. Por tanto, se producirían dos cambios de signo, con lo que el valor de det(C) = 11
Demuestra que el valor de no depende de
1cossencossen
0sencos
0cossen
Desarrollando por los adjuntos de la última columna:
sencos
cossen
1cossencossen
0sencos
0cossen
= sen2 + cos2 = 1
Donde hemos hecho uso de la ecuación fundamental de la trigonometría.
Como el resultado final es 1, no depende del valor de .
101
212
323
1301
512
724
Comprueba que |AB|=|A||B| para las matrices: A = y B =
623
45512
8813
1301
512
724
·
101
212
323
B·A
1301
512
724
B 101
212
323
A
=
C3 + C1 001
412
023
841
02 =
C3 – 13·C1
3211
452
001
2112
4524
623
45512
8813
B·A 13·5·(-6) + 8·45·3
+ 12·2·(-8) - 3·5·(-8) - 12·8·(-6) - 13·2·45 =
= – 390 + 1080 – 192 + 120 + 576 – 1170 = 24
Por tanto: |A·B| = 24 = 8·3 = |A|·|B|
ihg
fed
cba
cba
ihg
fed
i4h4g4
fed
c3b3a3
ihg
fed
ichbga
f4ie4hd4g
fed
c3b3a3
Dado que = 6, calcula:
a) b) c) d)
6
cba
ihg
fed
)a puesto que ha habido dos intercambios de filas.
Por cada uno, hay un cambio de signo.
72)6·(4)·1·(3
ihg
fed
cba
·4)·1·(3
i4h4g4
fed
cba
)·1·(3
i4h4g4
fed
cba
·3
i4h4g4
fed
c3b3a3
)b
606
ihg
fed
ihg
ihg
fed
cba
ihg
fed
ichbga
)c
(filas repetidas determinante cero)
f4e4d4
fed
cba
ihg
fed
cba
)·3(
f4ie4hd4g
fed
cba
)·3(
f4ie4hd4g
fed
c3b3a3
)d
6 0
(F2 y F3 proporcionales)
= 18
573
940
321
2
2
2
cc1
bb1
aa1
23102
0014
2022
5033
2314
14014
3300
6114Calcula los determinantes de las siguientes matrices desarrollando por los
adjuntos: A = B = C = D =
573
940
321
Desarrollamos por la primera columna, porque tiene un cero57
94·1 94
32·3 = 1·[4·5 – (-7)·9] + 3·[2·9 – 4·3] = 83 + 18 = 101
2
2
2
cc1
bb1
aa1Desarrollamos por la primera columna
2
2
cc
bb·1
2
2
cc
aa·1
= 1·[b·c2 – c·b2] 1·[a·c2 – c·a2] + 1·[a·b2 – b·a2] = bc2 – b2c + a2c – ac2 + ab2 – a2b =
2
2
bb
aa·1
= bc(c – b) + a2(c – b) – a(c2 – b2) = (c – b)(bc + a2 – ac – ab) = (c – b)[b(c – a) – a(c – a)] =
= (c – b)(c – a)(b – a)
¡SIN BUSCAR CEROS PREVIAMENTE!
573
940
321
2
2
2
cc1
bb1
aa1
23102
0014
2022
5033
2314
14014
3300
6114Calcula los determinantes de las siguientes matrices desarrollando por los
adjuntos: A = B = C = D =
23102
0014
2022
5033
Desarrollamos por la tercera columna porque tiene más ceros014
222
533
·3 Desarrollamos por la tercera fila
22
53·4·3
22
53·1
-3·{(4 – 1)·[3·(-2) – 2·5]} = -3·3·(-16) = 144
2314
14014
3300
6114
¡SIN BUSCAR CEROS PREVIAMENTE!
Desarrollamos por la segunda fila porque tiene más ceros214
1414
614
)·3(
314
014
114
·3
1514
4214
2114
914
014
314
614
4214
1814
Desarrollamos por la primera columna
151
421·4
151
211
421
211= 4·(-27 + 36 – 63) = – 216
573
940
321
2
2
2
cc1
bb1
aa1
23102
0014
2022
5033
2314
14014
3300
6114Calcula los determinantes de las siguientes matrices desarrollando por los
adjuntos: A = B = C = D =
573
940
321
2
2
2
cc1
bb1
aa1
¡BUSCANDO CEROS PREVIAMENTE!
=
F3 – 3F1 4130
940
321
413
94
= 4·(– 4) – (–13)·9 = –16 + 117 = 101
=F2 – F1F3 – F1
22
22
2
acac0
abab0
aa1
ac10
ab10
aa1
)ac)(ab(
2
= (b – a)(c – a)[c + a – (b + a)] = (b – a)(c – a)(c – b)
573
940
321
2
2
2
cc1
bb1
aa1
23102
0014
2022
5033
2314
14014
3300
6114Calcula los determinantes de las siguientes matrices desarrollando por los
adjuntos: A = B = C = D =
23102
0014
2022
5033
Desarrollamos por la tercera columna porque tiene más ceros014
222
533
·3
-3·3·[3·(-2) – 2·5] = -3·3·(-16) = 144
2314
14014
3300
6114
¡BUSCANDO CEROS PREVIAMENTE!
Desarrollamos por la segunda fila porque tiene más ceros 128
218·3
= 3·(8·12 – 8·21) = – 216
=
C1 – C2
013
220
530
·3
22
53·3)·3(
=
C3 + C4
2514
141414
3000
6714
514
1414
714
·3
=
F2 + F1F3 + F1
1208
2108
714
·3
512
200
963
510
272
963
3210
0120
1101
1312
11000
11200
10100
24072
35131
Calcula los siguientes determinantes triangularizándolos previamente:
a) b) c) d)
512
200
963
)a
=
F3 F2 200
512
963
=
F2 + (2/3)F1 200
150
963
= 3·5·(2) = 30
510
272
963
)b
=
F3 F1 963
272
510
=
C2 C1 936
227
501
=
F2 – 7F1F3 + 6F1
3930
3720
501
=
F3 + (3/2)F22
3300
3720
501
= 1·(2)· = 33
2
33
512
200
963
510
272
963
3210
0120
1101
1312
11000
11200
10100
24072
35131
Calcula los siguientes determinantes triangularizándolos previamente:
a) b) c) d)
3210
0120
1101
1312
)c =
F1 F2 3210
0120
1312
1101
=
F2 2F1 3210
0120
1110
1101
=
F3 – 2F2F4 – F2 4100
2100
1110
1101
=
F4 + F3
6000
2100
1110
1101
= 1·1·(1)·6 = 6
11000
11200
10100
24072
35131
)d
=
F2 + F111000
11200
10100
86210
35131
=
F4 2F311000
11000
10100
86210
35131
=
F5 F4
20000
11000
10100
86210
35131
= 1·(1)·1·1·2 = 2
100
210
321
250
141
231
k1k5
43k2
71k1kCalcula las matrices adjuntas de las siguientes:
A = B = C =
100
210
321
A Adj(A) =121
01
2
00
1
250
141
231
B Adj(B) =345
22
3
55
7
k1k5
43k2
71k1k
C Adj(C) = k2 k 4
k2 + 8k + 7
3k 25
20 2kk2 + k 35
10 4k
3k 13k2 + 3k 6
k2 + 2k + 5
Calcula: a) (AB)1; b) (A1)t, siendo A y B las del ejercicio anterior
(A·B) 1 = B 1·A 1 . Por tanto, calcularemos B 1 y A 1
det(A) = 1
100
210
121
)A(AdjA
1A t1
det(B) = 1
755
322
543
)B(AdjB
1B t1
8155
362
6103
100
210
121
·
755
322
543
A·B)B·A( 111
121
012
001
)A( t1
2106123
15241
124381
2456112
02070
21321
33141515917
011706013
1045231Calcula el rango de las matrices siguientes:
A = B = C =
A tiene sólo dos filas, no proporcionales r(A) = 2
4381
56112
2070
1321
124381
2456112
02070
21321
B =F3 – 2F1F4 – F1
0
3060
7070
2070
1321
12481
245112
0270
2121
=F3 – 2F1F4 – F1
01010
1036
2077
027
10360
20770
0270
2121
r(B) = 4
33141515917
011706013
1045231
C
15917
6013
231
= 99 r(C) = 3
¿Para qué valores de a y b tiene inversa la matriz A = ? Calcula A –1
baa2
bba
22 babaa2
bba
= 0 a = 0 = b Por tanto, A tiene inversa si a 0, o bien, b 0
baa2
bba
ba
1)A(Adj
A
1A
22t1
Calcula el determinante
3333
2222
5432
5432
5432
1111
Se trata de un Vandermonde, por lo que el resultado pedido es:
(2 – 3)·(2 – 4)·(2 – 5)·(3 – 4)·(3 – 5)·(4 – 5) = (–1)·(–2)·(–3)·(–1)·(–2)·(–1) = 12
21
32
32
11Halla la matriz X que verifica que AXA = B, donde A = y B =
A·X·A = B A–1·A·X·A = A–1·B X·A = A–1·B X·A·A–1 = A–1·B ·A–1 X = A–1·B ·A–1
|A| = 1
21
32)A(Adj
A
1A t1
Por tanto X =
11
21
21
32·
32
11·
21
32
Obtener la forma general de una matriz A de orden 2 que sea antisimétrica.
Calcula A2, A4 y A33.
Una matriz se llama antisimétrica si A = At. Por tanto, A =
0a
a0
(I = matriz unidad 2X2)
0a
a033
33
Así pues A4 = a4·I A32 = (A4)8 = a32·I A33 = A32·A = a32·I·A= a32·A =
01
10a
0a
a0A Ia
10
01a
01
10·
01
10aA 2222
Halla el rango de la siguiente matriz, según los valores de los parámetros a y b:
M =
a112
1bb2
a11a2
a112
1bb2
a11a2
a112
1bb2
0002a2 0
22
12
012
02a
1b
0b0)b1(b)2a(
112
bb2
002a2
Si a = 2, r(M) = 2 ya que el menor
Si a 2, el menor
F1 – F3
Por tanto r(M) 2
3)M(r0a2
a12
102
a1a
a112
1002
a11a
M
)2a)(1a(
a12
112
a1a
a112
1112
a11a
M
En resumen: a = 2, y cualquier b, r(M) = 2 a 2. y b = 0, r(M) = 3a = 1, y b = 1, r(M) = 2a 2. a 1, y cualquier b, r(M) = 3