calculo 2

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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II

2


Este material é parte integrante da disciplina “Cálculo Diferencial e Integral II”

oferecido pela UNINOVE. O acesso às atividades, as leituras interativas, os

exercícios, chats, fóruns de discussão e a comunicação com o professor devem ser

feitos diretamente no ambiente de aprendizagem online.

3


Sumário

AULA 01 • REVISÃO:TAXA MÉDIA DE VARIAÇÃO (T.M.V)...........................................................5 Algumas regras de diferenciação ................................................................................................5

AULA 02 • REGRA DO PRODUTO .................................................................................................9 Regra do Quociente ..................................................................................................................10 Regra da Derivação da Função Composta (Regra da Cadeia) ..................................................10 Tabela de Derivadas .................................................................................................................12

AULA 03 • DERIVADA DAS FUNÇÕES LOGARÍTMICA E EXPONENCIAL .................................14 Derivadas Sucessivas ...............................................................................................................14 Função Inversa (f 1 ) ...................................................................................................................15 Definição de Função Inversa .....................................................................................................15 Gráficos de algumas funções e suas inversas...........................................................................16 Como derivar a função inversa..................................................................................................16

AULA 04 • DERIVAÇÃO IMPLÍCITA..............................................................................................18 Funções implícitas e explícitas ..................................................................................................18 Derivação implícita ....................................................................................................................19

AULA 05 • DERIVADA DE UMA FUNÇÃO NA FORMA PARAMÉTRICA......................................22 Função na forma paramétrica....................................................................................................22 Derivada de uma função na forma paramétrica .........................................................................23

AULA 06 • FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS............................................................................26 Introdução .................................................................................................................................26 Função de várias variáveis ........................................................................................................27 Os cálculos são análogos àqueles das funções de uma variável:..........................................28

Gráficos.....................................................................................................................................28 AULA 07 • DERIVADAS PARCIAIS...............................................................................................31 Funções de várias variáveis ......................................................................................................31 Derivadas parciais .................................................................................................................31

AULA 08 • DERIVADAS PARCIAIS DE SEGUNDA ORDEM ........................................................35 AULA 09 • APLICAÇÕES DAS DERIVADAS PARCIAIS ...............................................................39 1. Equação de Laplace..............................................................................................................39 2. Diferencial total (ou Derivada Total).......................................................................................41

AULA 10 • APLICAÇÕES DAS DERIVADAS PARCIAIS ...............................................................43 3. Vetor gradiente ......................................................................................................................43

AULA 11 • DERIVADA DIRECIONAL (Inclinação).........................................................................47 AULA 12 • JACOBIANO ................................................................................................................51 AULA 13 • MÁXIMOS E MÍNIMOS DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS....................................54 Teorema do valor extremo.........................................................................................................54 Extremos ...................................................................................................................................54 Determinação dos extremos relativos........................................................................................55 Ponto de sela ............................................................................................................................56

AULA 14 • TESTE DA SEGUNDA DERIVADA (PARA EXTREMOS RELATIVOS OU LOCAIS) ...57 AULA 15 • DETERMINAÇÃO DOS EXTREMOS ABSOLUTOS EM CONJUNTOS FECHADOS E LIMITADOS...................................................................................................................................61 AULA 16 • EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES ...........................................................................66 AULA 17 • EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES ...........................................................................70 AULA 18 • EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES ...........................................................................74 AULA 19 • REGRA DA CADEIA ....................................................................................................78 Derivada total ............................................................................................................................78

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AULA 20 • PLANO TANGENTE E RETA NORMAL.......................................................................82 Exercícios..................................................................................................................................84

BIBLIOGRAFIA .............................................................................................................................86

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AULA 01 • REVISÃO:TAXA MÉDIA DE VARIAÇÃO (T.M.V)

Incrementos ou acréscimos: O incremento, ou acréscimo, de uma variável x é a

variação de x quando aumenta, ou diminui, de um valor x = x0 para outro valor x = x1, dentro de

seu domínio.

Taxa Média de Variação

Quando → ∆x 0 temos

(x) f' Δx

f(x) Δx) f(x 0 Δx

lim Δx Δy

0 x lim =

− + →

= →

Calcule a derivada da função f(x) = 2x² + 3x – 2 usando a definição pelo limite:

Resolução:

. 3 x 4 ) x ( ' f 3 x 4 x 4 lim x

) 3 x 4 x 4 ( x lim

x x 3 x x 4 x 4 lim

x 2 x 3 x 2 2 x 3 x 3 x 4 x x 4 x 2 lim

x 2 x 3 x 2 2 x 3 x 3 ] ) x ( x x 2 x [( 2 lim

x ) 2 x 3 x 2 ( ] 2 ) x x ( 3 ) x x ( 2 [ lim

x ) x ( f ) x x ( f lim

x y lim ) x ( ' f

0 x 0 x

2

0 x

2 2 2

0 x

2 2 2

0 x

2 2

0 x 0 x 0 x

+ = ⇒ + + ∆ = ∆

+ + ∆ ∆ =

= ∆

∆ + ∆ + ∆ =

∆ + − − − ∆ + + ∆ + ∆ +

=

= ∆

+ − − − ∆ + + ∆ + ∆ + =

= ∆

− + − − ∆ + + ∆ + =

∆ − ∆ +

= ∆ ∆

=

→ ∆ → ∆

→ ∆ → ∆

→ ∆

→ ∆ → ∆ → ∆

Algumas regras de diferenciação

• Derivada de uma constante

Δx f(x) Δx) f(x

Δx Δy − +

=

• Taxa instantânea de variação.

• Derivada da função y =f(x) = y’ = f’(x).

• f’(x) = dx dy

.

6


• Regra da Potência

Exemplos:

a) f(x) = x 5 → f’(x) = 5x 4 . d) f(x) = 3 x 1

= x 3 → f’(x) = 3x 4 = 4 x 3 − .

b) f(x) = x 9 → f’(x) = 9x 8 . e) f(x) = x → f’(x) = 1x 0 = 1.1 = 1.

c) f(x) = x 6 → f’(x) = 6x 5 .

• Múltiplo Constante (c ∈ R)

Exemplos:

a) f(x) = 2x 3 → f’(x) = 2.3.x 2 = 6x 2 .

b) f(x) = 8x 5 → f’(x) = 8.5.x 4 = 40x 4 .

c) f(x) = 5x 2 → f’(x) = 5.2.x = 10x.

• Regra da Exponencial

Se f(x.) = b, então f’(x) = 0

Se n ∈ R, se f(x) = x n , então f’(x) = n.x n1 , para x ≠ 0

f(x) = [ c.f(x) ] → [ c.f(x) ]’ = c.f’(x)

f(x) = e x → f’(x) = e x .x’ = e x .1 = e x

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• Algumas Derivadas de funções trigonométricas

• Regras da Soma (e da Diferença)

Exemplos:

1. Ache a derivada de f(x) = x 4 + 4x 2 6x .

f(x) = sen x → f’(x) = cos x.(x)’ = cos x.(1) = cos x

f(x) = cos x → f’(x) = sen x.(x)’ = sen x.(1) = sen x

f(x) = tg x → f’(x) = x 2 cos

1 = sec 2 x.

f(x) = cotg x → f’(x) = x 2 sen

1 − = cossec 2 x.

f(x) = sec x → f’(x) = x 2 cos

senx = sec x .tg x.

f(x) = cossec x → f’(x) = x 2 sen

cosx − = cossec x .cotg x.

f(x) = arcsen x → f’(x) = 2 x 1

1

−

.

f(x) = arccos x → f’(x) = 2 x 1

1

− − .

f(x) = arctg x → f’(x) = 2 x 1

1

+ .

f(x) = arccotg x → f’(x) = 2 x 1

1

+ − .

Sejam f(x), g(x) diferenciáveis, temos:

[ ] [ ] (x) ' g (x) ' f ' g(x) f(x) g(x) f(x) dx

d + = + = +

[ ] [ ] (x) ' g (x) ' f ' g(x) f(x) g(x) f(x) dx

d − = − = −

8


Resolução: f ‘(x) = (x4)’ + 4(x2)’ – 6(x)’ = (4x3)’ + 4(2x)’ – 6(1)’ ⇔

f’(x) = 4x 3 +8x 6.

2. Ache a derivada de g(x) = 2 1 x 8 + 4x 2 – 2x + 7.

Resolução: g’(x) = 2 1 .8x 7 + 4.2x – 2.1 + 0

⇔ g ‘(x) = 4x 7 + 8x 2

9


AULA 02 • REGRA DO PRODUTO

Exemplos:

f g

1. Derive y = (4x – 3x 2 ).(7 + 2x).

Resolução:

dx dy

= (4x – 3x 2) ’. (7 + 2x) + (4x – 3x 2 ). (7 + 2x)’ =

= (4 – 6x). (7 + 2x ) + (4x – 3x 2 ). (2) = 28 + 8x – 42x – 12x 2 + 8x – 6x 2 =

= 12x 2 – 6x 2 + 8x – 42x + 8x + 28 ⇔ dx dy

= 18x 2 + 26x + 28.

2. Derive y = 3x.(x 3 + 2x).

Resolução: dx dy

= (3x)’. (x 3 + 2x) + (3x) . (x 3 + 2x)’ = 3. (x 3 + 2x) 3x . (3x 2 + 2) =

= 3x 3 6x 9x 3 6x ⇔ dx dy

= 12x 3 12x

Obs.: Podemos estender o conceito de derivada do produto para mais do que duas

funções. Por exemplo: Sejam f(x), g(x) e h(x) deriváveis.

Portanto: [ ] (x) ' h f(x).g(x). (x).h(x) ' f(x).g (x) (x).g(x).h ' f h(x) f(x).g(x). dx d

+ + = , e assim por

diante .


[ ] (x) ' f(x).g (x).g(x) ' f f(x).g(x) dx

d + =

10


Regra do Quociente

Exemplo:

Derive y = 6 4x 3 x

+

+ .

Resolução: Temos f = x1 e g = 2x + 3

⇔ + +

− − + =

+ +

+ − + =

+

+ + − + + =

36 48x 2 16x

12 4x 6 4x

36 48x 2 16x

3).4 (x 6) 1.(4x 2 6) (4x

6)' 3).(4x (x 6) 3)'.(4x (x dx dy

⇔ 36 48x 2 16x

6 dx dy

+ +

− =

Regra da Derivação da Função Composta (Regra da Cadeia)

Exemplos:

1. Derive y = (x 2 + 1) 3 .

Resolução: Temos u = x 2 + 1 → y = u 3 , portanto

y’ = dx du .

du dy

dx dy

= = 3u 2 .u’ = 3.(x 2 + 1) 2 . 2x = 3.(x 4 +2x 2 +1).2x ⇔

y’ = 6x 5 +12x 3 + 6x

ou


[ ] 2 g(x)

(x) ' f(x).g (x).g(x) ' f

g(x)

f(x)

dx

d − =

Seja y = f(u) diferenciável em u .

Sejam u = g(x) e f[g(x)] diferenciáveis em x, temos:

dx

du .

du

dy

dx

dy = ou [ ] [ ] (x) .g' g(x) ' f f(g(x))

dx

d =

com g(x) ≠ 0

11


y’ = [ (x 2 + 1) 3 ]’.(x 2 + 1)’ = 3.(x 2 + 1) 2 .2x ⇔ y’ = 6x5 +12x3 + 6x

2. Derive y = (3x 3 +2x) 2 .

Resolução: Temos u = 3x 3 +2x y = u 2 , portanto

y’ = dx du .

du dy

dx dy

= = 2u .u’ = 2.(3x 3 +2x) . (9x 2 + 2) = (6x 3 + 4x) . (9x 2 + 2) ⇔

y’ = 54x 5 + 48x 3 + 8x

ou

y’ = [(3x 3 +2 x) 2 ]’.(3x 3 +2 x)’ = 2.(3x 3 +2 x) . (9x 2 + 2) = (6x 3 + 4x) . (9x 2 + 2) ⇔

⇔ y’ = 54x 5 + 48x 3 + 8x

3. Derive y = sen 2x .

Resolução:.

y’ = [sen 2x]’.(2x)’ = cos2x . 2 ⇔ y’ = 2.cos 2x

NOTA: Pensando na regra da cadeia, podemos, então, ampliar nossos conceitos de

derivação, uma vez que, ao derivarmos, por exemplo, cos x, temos que u = x, logo u’ = 1, portanto, (cos x)’ = [cos x]’.(x)’ = (sen x) . 1 ⇔ (cos x)’ = senx . Muitas vezes nos

esquecemos disso, o que acarreta em erros freqüentes e comuns, por exemplo, se a derivada de

cos x é sen x, é natural pensarmos que a derivada de cos 2x é sen 2x; natural, porém absurdo,

pois já vimos, pela regra da cadeia, que derivada de cos 2x é –2.sen 2x. Uma boa sugestão é

nunca se esquecer de derivar a função u.

Pensando nisso, preparamos uma tabela de derivadas onde a variável a ser operada não é

“x”, mas sim “u” (como função), notamos, em sala de aula, que houve significativo aumento de

compreensão das derivadas que usam regra da cadeia.

Segue abaixo, essa tabela:

12


Tabela de Derivadas

Função Derivada

c.x n n.c.x n1

x n n.x n1

e u u’e u

a u u’.a u .lna

u u 2

u'

ln u u

u'

u a log u

e a u'.log

u.lna

u' =

e u u’.e u

sen u u’.cos u

cos u u’.sen u

u cos

u sen u tg = u 2 u'.sec

u 2 cos

u' =

u cos

1 u sec = =

u 2 cos

senu u'. u’.sec u.tg u

u sen

1 u cosec = = −

u 2 sen

cosu u'. u’.cosec u.cotg u

cotg u = −

u 2 sen

u' u’.cosec 2 u

arcsen u

2 u 1

u'

−

arccos u 2 u 1

u'

− −

arctg u

2 u 1

u'

+

13


senh u u’.cosh u

cosh u u’.senh u

tgh u

u 2 cosh

u'

cotgh u

u 2 senh

u' −

arcsenh u 2 u 1

u'

+

arccosh u

1 2 u

u'

−

arctgh u 2 u 1

u'

− , |u| < 1

arccotg h u

1 2 u

u'

− − , |u| > 1

f(u).g(u).h(u) f’(u)g(u)h(u)+f(u)g’(u)h(u)+f(u)g(u)h’(u)

y=f[g(x)]=f(u) f’[g(x)].g’(x) =

dx

du .

du

dy (Deriv. função composta)

u+v u’ + v’

uv u’ v’

u.v u’v + uv’

u / v 2 v

uv' v u' −

uv

+ v'.lnu u

v u' . v u

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AULA 03 • DERIVADA DAS FUNÇÕES LOGARÍTMICA E EXPONENCIAL

** Exemplo: y = e5x → y’ = e5x . (5x)’ = y’ = e5x . 5 ⇔ y’ = 5.e 5x

Derivadas Sucessivas

Exemplo:

• f(x) = 8x4 → f’(x) = 32x 3 → f’’(x) = 96x2 → f’’’(x) = 192x → f iv (x) = 192 → f v (x) = 0.

• y = x e a log

x.lna 1

dx dy

x a log = = → .

• y = x 1

dx dy

lnx = → .

• y = x e dx dy x e = → .

• y = .u' e y' e u u = → . **

• y = .lna x a dx dy x a = → .

Seja y = f(x), chamamos de Derivada Primeira a função y’ = f’(x) obtida a partir da

derivação de y = f(x); se derivarmos y’ = f’(x) obteremos y’’ = f’’(x) ou Segunda

Derivada, e assim por diante, até y n = f n (x) possível.

15


Função Inversa (f 1 )

Convém salientar que f 1 ≠ f 1 ,ou seja, não use propriedade de potenciação.

Em linhas gerais, a função inversa f 1 desfaz o que a função f fez

Exemplo:

a)

b)

Definição de Função Inversa

Seja f uma função Bijetora, ou seja, para cada y ∈ Imf existe um único x ∈ Df tal que y =

f(x), chamamos de Função Inversa de f e denotamos f 1 aquela que leva y no único x de f tal que

y = f(x), ou seja, f 1 (y) = x. (Veja os diagramas abaixo)

f(x) = x 2 1

f 1 (x) = 1 2 x +

, com x e f(x) ≥ 1.

16


Gráficos de algumas funções e suas inversas

a)

b)

Como derivar a função inversa

No nosso estudo, não nos interessa acharmos a função inversa propriamente dita, mas sim

a sua derivada.

Sabemos que f 1 (x) o f(x) = x (função composta) ⇔ f 1 (f(x)) = x ⇔ [f 1 (f(x)) ]’ = x’ ⇔

⇔ [f 1 (f(x)) ]’ = 1 ⇔ [ f 1 (f(x)) ]’. f’(x) = 1(regra da cadeia) ⇔ [f 1 (f(x))]’ = (x) ' f

1

como y = f(x), também podemos denotar [ f1 ]’(y) = (x) f 1 ' .

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Exemplos:

a) Sendo f(x) = x 5 2x 3 + 2x 2 + 3, calcule (f 1 )’ (y) .

Resolução:

[ f 1 ]’(y) = 4x 2 6x 4 5x

1

(x) ' f

1

+ − =

b) Idem para f(x) = x5 + 2x3 + x, com y0 = 4.

Resolução:

Temos f(x) = y = 4 ⇔ x5 + 2x3 + x = 4 ∴ x = 1

[ f 1 ]’(y) = 1 2 6x 4 5x

1

(x) ' f

1

+ + = , logo, substituindo x = 1 em [ f1 ]’(y), temos:

(f 1 )’ (4) = ⇔ + +

= + + 1 6 5

1

1 2 6.(1) 4 5.(1)

1 (f 1 )’ (4) =

12 1

Em resumo: A derivada da função inversa é o inverso da derivada da função.

f(x)

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AULA 04 • DERIVAÇÃO IMPLÍCITA

Funções implícitas e explícitas

Até agora, estudamos funções que envolvem duas variáveis que se apresentam de forma

explícita: y = f(x), isto é, uma das variáveis é fornecida de forma direta (explícita) em termos da

outra.

Por Exemplo:

Nelas dizemos que y, s, e u são funções de x, t e w, explicitamente. Muitas funções,

porém, apresentamse na forma implícita, veja o exemplo abaixo:

• Ache a derivada dx dy

da função xy = 1

Resolução: Nessa equação, y está definida implicitamente como uma função de x.

Podemos obter, portanto, a equação em relação à y e daí diferenciála.

• xy = 2 (Forma implícita)

• y = x 2 (Escrever a relação y em função de x)

• y = 2x –1 (Escrever sob nova forma)

• dx dy

= 2x – 2 (Derivar em relação a x)

• dx dy

= 2 x

2 (Simplificar)

y = 5x 9

s = 25t 3 3t 2

u = 4w 4 + 35w²

dx dy

Derivada de y em relação à x.

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Esse processo só é possível quando podemos explicitar facilmente a função dada, o que

não ocorre, por exemplo, com y 5 + 3x 2 y + 5lny 3 = 0.

Para tanto, podemos utilizar um método chamado Derivação implícita

(ou diferenciação implícita), que nos permite derivar uma função sem a necessidade de

explicitála.

Derivação implícita

Essa derivação é feita em relação a x. Resolvendo normalmente as derivadas que

envolvam apenas x. Quando derivamos termos que envolvem y, aplicaremos a Regra da Cadeia,

uma vez que y é uma função de x.

Exemplos:

a) 3x + y 4

Resolução:

Sendo y uma função de x, devemos aplicar a regra da cadeia para diferenciar em relação

a x, daí :

dx dy 3 4y 3 ) 4 (y

dx d

(3x) dx d

) 4 y (3x dx d

+ = + = +

b) 2x 3y

Resolução:

dx dy

3 2 (3y) dx d

(2x) dx d

3y) (2x dx d

− = − =

c) 3xy²

Resolução:

dx dy

6xy 2 3y dx dy

3x.2y 2 3y ) 2 (y dx d

3x. 2 3.y ) 2 (3xy dx d

+ = + = + =

Regra da cadeia

20


d) 8x 3 12y² = 25

Resolução:

y

2 x dx dy

24y

2 24x dx dy 2 24x

dx dy

24y 0 ) 2 (12y dx d 2 24x 25) 12y² 3 (8x

dx d

= ⇔ = ⇔ − = − ⇔ = − ⇔ =

e) x 4 y 4 + x² y² + x y = 2

Resolução:

1 y 3 4y

1 2x 3 4x dx dy

1 y 3 4y

1 2x 3 4x dx dy

1 2x 3 4x 1) y 3 4y ( dx dy

1 2x 3 4x dx dy

dx dy

y dx dy 3 4y

0 dx dy

1 dx dy

y 2x dx dy 3 4y 3 4x 2) y x 2 y 2 x 4 y 4 (x

dx d

+ +

+ + = ⇒

− − −

− − − = ⇒

⇒ − − − = − − − ⇒ − − − = − − − ⇒

⇒ = − + − + − ⇒ = − + − + −

f) x 3 y 5 = y + 2

Resolução:

1 4 5y 3 x

5 y 2 3x dx dy 5 y 2 3x 1) 4 5y 3 (x

dx dy

5 y 2 3x dx dy

dx dy 4 5y 3 x 0

dx dy

dx dy 4 5y 3 x 5 y 2 3x 2) y 5 y 3 (x

dx d

−

− = ⇒ − = − ⇒

⇒ − = − ⇒ + = + ⇒ + =

g) tgy = xy

Resolução:

y 2 x.cos 1

y 2 y.cos dx dy

y 2 x.cos 1

y 2 cos y.

dx dy

y 2 cos

y 2 x.cos 1

y dx dy

x y 2 cos

1 y

dx dy

x y 2 sec

y dx dy

y x) y 2 (sec dx dy

y dx dy

x dx dy

y 2 sec dx dy

x y dx dy

y 2 sec xy) (tgy dx d

− = ⇒

⇒ −

= ⇒ −

= ⇒ −

= ⇒ −

= ⇒

⇒ = − ⇒ = − ⇒ + = ⇒ =

21


h) x 3 + 5y² = 8

Resolução:

10y 3x

dx dy 3x

dx dy 10y 0

dx dy 10y 3x 8) 5y² (x

dx d 2

2 2 3 − = ⇒ − = ⇒ = + ⇒ = +

i) sen x + cos y = 0

Resolução:

seny cosx

dx dy

cosx dx dy

0 dx dy

seny cosx y) cos (senx dx d

= ⇒ = ⇒ = − ⇒ +

22


AULA 05 • DERIVADA DE UMA FUNÇÃO NA FORMA PARAMÉTRICA

Função na forma paramétrica

Sejam (I) duas funções da mesma variável t, com t ∈ [ a, b ]; a

cada valor de t, temos x e y definidos.

Caso as funções x = x(t) e y = y(t) sejam contínuas, quando t varia de a, b, o ponto

P(x(t), y(t)) descreve uma curva no plano, onde t é o parâmetro.

Exemplo:

Suponhamos a função x = x(t) inversível, temos t = t(x) a inversa de x = x(t) e podemos

escrever y = y[t(x)] e y definese como função de x na Forma paramétrica.

Eliminamos t de (I) e obtemos y =y(x) na Forma Analítica Usual.

Exemplos:

a)

Aplicando t em y, temos:

3 2x y + = ⇒ + − = + − = + − =

5 2 2x 5 2) 2.(x 5 2) .(x 3 1

6 y

x = x(t)

y = y(t)

x = 3t + 2

y = 6t + 5

t em função de x 2) .(x 3

1 t − =

23


b)

Aplicando t em y, temos:

35 3x y + = ⇒ + + = + + = + + =

8 27 3x 8 9) 3.(x 8 9) .(x 5 1

15 y

Derivada de uma função na forma paramétrica

Seja y uma função de x definida pelas equações paramétricas

Exemplos:

1. Calcule dx dy

da função y(x), definida na forma paramétrica pelas equações:

a)

+ =

+ =

5 6t y 2 3t x

b)

− =

− =

12t 2 18t y 2 6t x

Resolução:

a) 2 3 6

2)' (3t 5)' (6t

(t) x' (t) y'

dx dy

= = +

+ = =

x = x(t)

y = y(t) ; t ∈ [a; b] temos

dy = y’(t)

dx x’(t)

A fórmula que permite calcular a derivada sem conhecer explicitamente y

como y como função de x. dy dx

x = 5t – 9

y = 15t + 8 t em função de x

9) .(x 5

1 t + =

24


b) 2 6t 6 12 36t

2)' (6t 12t)' 2 (18t

dx dy

− = −

= −

− = ♣

OBS: Note, no item b, que a resposta está em função de t, caso quisermos a derivada dx dy

em função de x, devemos determinar t = t(x) e substituir em ♣, daí, temos:

x = 6t – 2 ⇔ x + 2 = 6t ⇔ t = 6 2) (x +

; substituindo t em ♣ , obtemos a seguinte

expressão:

6. 6 2) (x +

2 = (x + 2) – 2 = x + 2 – 2 , portanto dx dy

= x.

2. Idem para

− = =

t 3 5sen y t 3 5cos x ;

2 π

t 0 ≤ ≤

Resolução:

dx dy

= = (t) x' (t) y'

t)' 3 5cos (

t)' 3 (5sen

− = ⇒ =

cost sent

t.sent 2 15cos

t.cost 2 15sen =

dx dy

tg(t)

com

≠

≠

2 π

t

0 t

OBS.: Temos que ter muita atenção quanto aos intervalos de validade das respostas

obtidas. Note que x’(t) deve ser diferente de zero, pois está operando como denominador da

expressão acima, portanto, concluímos que, para fazermos as simplificações indicadas, temos

que considerar

t ≠ 0 e t ≠ 2 π

pois sen 0 = 0 e cos 2 π = 0, note que, apesar de t pertencer ao intervalo

2 π

t 0 ≤ ≤ , efetivamente estão excluídos os valores de t já mencionados.

25


3. Idem para

= = 3t y

2t x ; +∞ < ≤ t 0

Resolução:

dx dy

= = (t) x' (t) y'

+∞ < ≤ = ⇒ = t 0 com ; 2t

2 3t

)' 2 (t

)' 3 (t 2 3t

dx dy

.

4. Idem para

= − =

t 3 4cos y t 3 2sen x ;

− ∈ 0 ;

2 π

t

Resolução:

t sent 2cost

t.cost 2 6sen

t 2 12sent.cos

t.cost 2 6sen

sent) t.( 2 12cos

t)' 3 2sen (

t)' 3 (4cos (t) x' (t) y'

dx dy

g 2cot dx

dy = ⇒ =

−

− =

−

− =

− = =

com

− ≠ ⇒ ≠

≠ ⇒ ≠

2 π

t 0 cost

0 t 0 sent

26


AULA 06 • FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS

Introdução

Analisando essas afirmações:

1. O volume V de uma pirâmide de base quadrada é dado por 3 .h 2 x

V = , onde temos que

x é o lado do quadrado e h a altura da pirâmide.

2. A equação da geratriz do tronco de cone é dada por 2 h 2

2 d D

g + −

=

, onde temos:

Nessa análise, verificamos que as funções apresentadas requerem o uso de duas ou mais

variáveis independentes.

Em

Graficamente:

g: geratriz d: diâmetro da base menor

D: diâmetro de base maior h: altura do tronco

1. Temos 3 .h 2 x

h) V(x, : V =

2. Temos 2 h 2

2 d D

h) d, g(D, : g + −

=

27


OBS.: O estudo das funções de três, ou mais, variáveis difere pouco do estudo de funções

de duas variáveis, logo, trabalharemos mais com estas, salientando as diferenças.

Função de várias variáveis

Definição: Seja A um conjunto do espaço ndimensional ( A ⊆Rn ), isto é, os elementos

de A são nuplas ordenadas ( x1, x2, x3, ..., xn ) de números reais, se a cada ponto P do conjunto

A associamos um único elemento z ∈ R, temos a função, a qual está definida como f: A ⊆Rn →

R.

Essa função é chamada de Função de n variáveis reais e denotamos: z = f(P) ou

z = f ( x1, x2, x3, ..., xn ).

O conjunto A é denominado Domínio da função z = f(P). As notações são, em geral, do

tipo:

• f ( x, y ) = x 3 + xy 2

• g ( x, y ) = e xy

• (x, y, z) = 3x 5y 4 + 5z (Três variáveis)

Terna ordenada (D, d, h) em R 3 = R x R x R

Duas variáveis

Par ordenado (x, h) no plano R 2 = R x R

28


Os cálculos são análogos àqueles das funções de uma variável:

• f ( 2, 1 ) para f ( x, y ) = x 3 + xy 2 ⇒ ( 2 ) 3 – ( 2 )( 1 ) 2 = 8 – 2 ⇒ f ( 2, 1 ) = 6

• g ( 0, 1 ) para g ( x, y ) = e xy ⇒e 01 = e 1 ⇒ g ( 0, 1 ) = e

• h ( 3, 2, 4 ) para h ( x, y, z ) = 3x 5y 4 + 5z ⇒3( 3 ) – 5( 2 ) 4 + 5( 4 ) = 9 – 80 + 20 ⇒

⇒ h ( 3, 2, 4 ) = 51

Gráficos

Podemos representar graficamente uma função de duas variáveis como uma superfície no

espaço, fazendo z = f (x, y). Ao fazer o gráfico de uma função de x e y, devemos lembrar que,

embora o gráfico seja tridimensional, o domínio da função é bidimensional – consiste nos

pontos do plano xy, para os quais a função é definida.

Exemplos:

a) Determine o domínio e a imagem da função f (x,y) = 2 y 2 x 36 − − .

Resolução:

( ) 36 2 y 2 x : 2 R y x, f D 36 2 y 2 x 0 2 y 2 x 36 ≤ + ∈ = ∴ ≤ + ⇒ ≥ − −

Temos, pois: x² + y² ≤ 6² (círculo) logo, 6 z 0 : R z f Im ≤ ≤ ∈ = ou Imf ] 6 0, [ z∈ .

Centro ( 0, 0 ) e raio ≤ 6

29


b) Determine o Domínio para g (x, y, z) = 2 z 2 y 2 x 25 − − − , e esboce o gráfico do

domínio.

Resolução:

Condição de existência ( C.E ): 25 z y x 0 z y x 25 2 2 2 2 2 2 ≤ + + ⇔ ≥ − − −

Portanto Dg ( ) 25 2 z 2 y 2 x | 3 R z y, x, ≤ + + ∈ = .

c) Determine o domínio da função w = ∈ + − + −

−

5 x 4 x 3 x 2 x 1 x 5

R.

Resolução:

Para w pertencente a R, temos x1 x2 + x3 x4 + x5 ≠ 0, logo :

Dw = (x1 , x2 , x3 , x4 , x5) ∈ R5 | x1 x2 + x3 x4 + x5 ≠ 0 .

d) z = 2xy

Resolução:

Como não há restrições para a multiplicação 2xy, temos ( ) 2 R ou 2 R y x, D(z) ∈ ∀ =

Notase que o gráfico da função seria quadridimensional , não podendo

portanto, ser esboçado.

30


e) w = 2 z 2 y 2 x

3

+ +

−

Resolução:

C.E: 0 2 z 2 y 2 x ≠ + +

Portanto, Dw ( ) ) 0 0, 0, ( 3 R ou 0 2 z 2 y 2 x | 3 R z y, x, − ≠ + + ∈ = .

f) z = 4 2 y 2 x − +

Resolução:

C.E : 4 2 y 2 x 0 4 2 y 2 x ≥ + ⇒ ≥ − +

Portanto Dw ( ) 4 2 y 2 x | 2 R y x, ≥ + ∈ = .

31


AULA 07 • DERIVADAS PARCIAIS

As aplicações das funções de várias variáveis procuram determinar como variações de

uma das variáveis afetam os valores das funções. Por exemplo, um economista que deseja

determinar o efeito de um aumento de impostos na economia pode fazer seus cálculos utilizando

diferentes taxas de imposto, mantendo constantes outras variáveis, como desemprego, etc.

Analogamente, determinamos a taxa de variação de uma função f em relação a uma de

suas variáveis independentes, que nada mais é que achar a derivada de f em relação a uma de

suas variáveis independentes.

Esse processo chamase Derivada Parcial.

Uma função de várias variáveis tem tantas “ parciais” quantas são suas variáveis

independentes.

Funções de várias variáveis

Derivadas parciais

Se z = f(x,y), então, derivadas parciais de primeira ordem de f em relação a x e y

são funções x z

∂ ∂

e y z

∂ ∂

, definidas, como segue :

− + →

= ∂

∂ =

∂

∂

− + →

= ∂

∂ =

∂

∂

Δy y) f(x, Δy) y f(x,

0 Δy lim

y z

y f

Δx y) f(x, y) Δx, f(x

0 Δx lim

x z

x f

y constante

x constante

Efetivamente, ao derivarmos parcialmente uma função, derivase em relação a

uma variável, considerandose, as demais, constantes!

32


Exemplos:

a) Calcule x z

∂ ∂

e y z

∂ ∂

para a função z = 5xy + 3x 2 y 3 4x 3 y 2 .

Resolução:

x z

∂ ∂

= 5y + 6xy 3 12x 2 y 2

y z

∂ ∂

= 5x + 9 x 2 y 8 x 3 y

b) Idem para h(x,y) = 5 4 y 3 x + +

Resolução:

x h

∂

∂ =

5 4 y 3 x 2

2 3x 2 .3x 5 4 y 3 x 2

1

+ + =

+ +

y h

∂

∂ =

5 4 y 3 x

3 2y 3 .4y 4 4 y 3 x 2

1

+ + =

+ +

c) Idem para z = sen ( 5x + 8y 2 )

Resolução:

x z

∂ ∂

= cos ( 5x + 8y 2 ) . 5 = 5. cos ( 5x + 8y 2 )

y z

∂ ∂

= cos (5x + 8y 2 ) . 16y = 16y. cos (5x + 8y 2 )

d) Idem para f(x,y) = 5x²y + 4x 2 y 2 + 4x

Resolução:

x f

∂ ∂

= 10xy + 8xy 2 + 4

33


y f

∂ ∂

= 5x² + 8x 2 y

e) Idem para f(x,y) =

=

≠ −

(0,0) y) (x, 0;

(0,0) y) (x, ; 2 5y 2 4x

3xy

Resolução:

PARA (x, y) ≠ ( 0, 0 )

2) 2 5y 2 (4x

3 15y y 2 12x x f

2) 2 5y 2 (4x

y 2 24x 3 15y y 2 12x 2) 2 5y 2 (4x

(3xy).(8x) ) 2 5y 2 (3y).(4x x f

−

− − =

∂

∂ ⇒

−

− − =

−

− − =

∂

∂

2) 2 5y 2 (4x

3 12x 2 15xy x f

2) 2 5y 2 (4x

2 30xy 2 15xy 3 12x 2) 2 5y 2 (4x

10y) (3xy).( ) 2 5y 2 (3x).(4x x f

−

+ =

∂

∂ ⇒

−

+ − =

−

− − − =

∂

∂

PARA ( x, y ) = ( 0, 0 )

x f

∂

∂ ( 0,0 ) = 0

H L'

x

0 2 5.0 2 4x

3x.0

0 x lim

x f(0,0) f(x,0)

0 x lim =

− −

→ =

− →

y f

∂

∂ ( 0,0 ) = 0

H L'

y

0 2 5y 2 4.0

3.0.y

0 y lim

y f(0,0) y) f(0,

0 y lim =

− −

→ =

− →

Resumindo:

x f

∂

∂ =

=

≠ −

− −

(0,0) y) (x, 0;

(0,0) y) (x, ; 2) 2 5y 2 (4x

3 15y y 2 12x

34


y f

∂

∂ =

=

≠ −

+

(0,0) y) (x, 0;

(0,0) y) (x, ; 2) 2 5y 2 (4x

3 12x 2 15xy

Notações:

• Derivadas parciais de primeira ordem:

Seja z = f (x,y):

[ ]

[ ]

∂

∂ = = =

∂

∂

∂

∂ = = =

∂

∂

y) f(x, y y z y) (x, y f y

z

y) f(x, x x z y) (x, x f x

z

• Os valores das derivadas parciais de primeira ordem no ponto ( a, b )

= ∂

∂

= ∂

∂

b) (a, y f b) (a, y z

b) (a, x f b) (a, x z

35


AULA 08 • DERIVADAS PARCIAIS DE SEGUNDA ORDEM

Exemplos:

1. Determine as derivadas parciais de 2ª ordem de z = 3x 2 y + 2xy 2 – 5x – 4y.

Resolução:

6y * *

5x 2 2y 6xy *

2 x

z 2 ⇒ − + ⇒

∂

∂

4x * *

4 4xy 2 3x *

2 y

z 2 ⇒ − + ⇒

∂

∂

∂

∂

∂

∂ =

∂

∂

x

z

x 2 x

z 2

Derivada parcial de 2ª ordem em relação a x

Derivada parcial de 2ª ordem em relação a y

∂

∂

∂

∂ =

∂

∂

y

z

y 2 y

z 2

∂

∂

∂

∂ =

∂ ∂

∂

y

z

x y x

z 2

∂

∂

∂

∂ =

∂ ∂

∂

x

z

y x y

z 2

Derivadas parciais de 2ª ordem mistas (Derivar de trás para frente...)

OBS.: Quando a função z = f(x,y) é contínua, então x y

z 2

y x

z 2

∂ ∂

∂ =

∂ ∂

∂

36


4y 6x *x *

4 4xy 2 3x y *

y z

x y x z 2

+ ⇒ − + ⇒ ∂

∂

∂

∂ =

∂ ∂

∂

4y 6x *y * 2 2y 6xy

x *

x z

y x y z 2

+ ⇒ + ⇒ ∂

∂

∂

∂ =

∂ ∂

∂

2. Determine as derivadas parciais de 2ª ordem de z = ln (x² + y² ).

Resolução:

2) 2 y 2 (x

2 2y 2 2x 2) 2 y 2 (x

2 4x 2 2y 2 2x 2) 2 y 2 (x

2x.2x ) 2 y 2 2.(x * * 2 y 2 x

2x * 2 x

z 2

+

+ − =

+

− + =

+

− + ⇒

+ ⇒

∂

∂

2) 2 y 2 (x

2 2y 2 2x 2) 2 y 2 (x

2 4y 2 2y 2 2x 2) 2 y 2 (x

2y.2y ) 2 y 2 2.(x * * 2 y 2 x

2y * 2 y

z 2

+

− =

+

− + =

+

− + ⇒

+ ⇒

∂

∂

2) 2 y 2 (x

4xy 2) 2 y 2 (x

2y.2x ) 2 y 2 0.(x *x * 2 y 2 x

2y y *

y z

x y x z 2

+

− =

+

− + ⇒

+ ⇒

∂

∂

∂

∂ =

∂ ∂

∂

2) 2 y 2 (x

4xy 2) 2 y 2 (x

2x.2y ) 2 y 2 0.(x *y *

2 y 2 x

2x x *

x z

y x y z 2

+

− =

+

− + ⇒

+ ⇒

∂

∂

∂

∂ =

∂ ∂

∂

3. Determine as derivadas parciais de 2ª ordem de z = sen ( 2x 4 + 4y 2 ).

Resolução:

)] 4 2 ( . 4 ) 4 2 [cos( 16

) 4 2 ( . 64 ) 4 2 cos( . 16

8 ). 4 2 ( . 8 ) 4 2 cos( . 16

) 4 2 cos( . 8 8 ). 4 2 cos(

2 4 4 2 4 2

2 4 6 2 4 2

3 2 4 3 2 4 2

* * 2 4 3 3 2 4

*

2

2

y x sen x y x x y x sen x y x x x y x sen x y x x

y x x x y x x z

+ − + =

= + − + =

= + − +

⇒ + = + ⇒ ∂ ∂

) 2 4y 4 .sen(2x 2 64y ) 2 4y 4 8.cos(2x

).8y 2 4y 4 8y.sen(2x ) 2 4y 4 8.cos(2x

**

) 2 4y 4 8y.cos(2x ).8y 2 4y 4 cos(2x *

2 y

z 2

+ − + =

= + − +

⇒ + = + ⇒

∂

∂

37


) 2 4y 4 y.sen(2x 3 64x

3 ).8x 2 4y 4 8y.sen(2x **x ) 2 4y 4 8y.cos(2x

y *

y z

x y x z 2

+ − =

= + − ⇒ + ⇒ ∂

∂

∂

∂ =

∂ ∂

∂

) 2 4y 4 y.sen(2x 3 64x

).8y 2 4y 4 .sen(2x 3 8x **y ) 2 4y 4 .cos(2x 3 8x

x *

x z

y x y z 2

+ − =

= + − ⇒ + ⇒ ∂

∂

∂

∂ =

∂ ∂

∂

4. Determine as derivadas parciais de 2ª ordem de z = 5x 3 y 2 8x 4 y3 + 10x 2 – 8y 2 .

Resolução:

10) 3 y 2 48x 2 2(15xy 20 3 y 2 96x 2 30xy * *

20x 3 y 3 32x 2 y 2 15x *

2 x

z 2 + − = + − ⇒ + − ⇒

∂

∂

8) y 4 24x 3 2(5x 16 y 4 48x 3 10x * *

16y 2 y 4 24x y 3 10x *

2 y

z 2 − − = − − ⇒ − − ⇒

∂

∂

16xy) y(5 2 6x 2 y 3 96x y 2 30x *x *

16y 2 y 4 24x y 3 10x y *

y z

x y x z 2

− = − ⇒ − − ⇒ ∂

∂

∂

∂ =

∂ ∂

∂

16xy) y(5 2 6x 2 y 3 96x y 2 30x *y *

20x 3 y 3 32x 2 y 2 15x x *

x z

y x y z 2

− = − ⇒ + − ⇒ ∂

∂

∂

∂ =

∂ ∂

∂

5. Determine as derivadas parciais de 2ª ordem de z = 2xy 3x 2y 3 + 5x 2 – 3y 2 .

Resolução:

5) 3 3y 2( 10 3 6y * *

10x 3 6xy 2y *

2 x

z 2 + − = + − ⇒ + − ⇒

∂

∂

1) y 2 6(3x 6 y 2 18x * *

6y 2 y 2 9x 2x *

2 y

z 2 + − = − − ⇒ − − ⇒

∂

∂

2 18xy 2 *x *

6y 2 y 2 9x 2x y *

y z

x y x z 2

− ⇒ − − ⇒ ∂

∂

∂

∂ =

∂ ∂

∂

38


2 18xy 2 **y

10x 3 6xy 2y x *

x z

y x y z 2

− ⇒ + − ⇒ ∂

∂

∂

∂ =

∂ ∂

∂

39


AULA 09 • APLICAÇÕES DAS DERIVADAS PARCIAIS

1. Equação de Laplace

Seja z = f(x,y) uma função de duas variáveis e 2 x

z 2

∂

∂ , 2 y

z 2

∂

∂ suas “parciais” de segunda

ordem, chamamos de Equação de Laplace a seguinte expressão:

Analogamente, para w = f(x,y,z), temos a Equação de Laplace:

Nesses casos, dizemos que z e w (respectivamente) satisfazem a Equação de Laplace.

Exemplos:

Verifique se as funções dadas satisfazem a Equação de Laplace.

a) w = 4x² + 8y² 4z²

0 2 y

z 2

2 x

z 2 =

∂

∂ +

∂

∂

0 2

2

2

2

2

2

= ∂ ∂

+ ∂ ∂

+ ∂ ∂

z w

y w

x w

Obs. : Chamamos de Laplaciano a expressão ... 2 z

f 2

2 y

f 2

2 x

f 2 +

∂

∂ +

∂

∂ +

∂

∂ devido a sua

similaridade com a Equação de Laplace 0 ... 2 z

f 2

2 y

f 2

2 x

f 2 = +

∂

∂ +

∂

∂ +

∂

∂

40


Resolução:

8 * *

8x *

2 x

w 2 − ⇒ − ⇒

∂

∂

16 * *

16y *

2 y

w 2 ⇒ ⇒

∂

∂ 0 8 1 8 2 z

w 2

2 y

w 2

2 x

w 2 = − + − =

∂

∂ +

∂

∂ +

∂

∂ ∴

8 z 8 z w * * *

2

2

− ⇒ − ⇒ ∂ ∂

b) z = e x .cosy

Resolução:

.cosy x e .0 x e .cosy x e * *

.cosy x e .0 x e .cosy x e *

2 x

z 2 = + ⇒ = + ⇒

∂

∂

.cosy x e .cosy x e 0.(seny) * *

.seny x e .seny x e 0.cosy *

2 y

z 2 − = − ⇒ − = − ⇒

∂

∂

0 .cosy x e .cosy x e 2 y

z 2

2 x

z 2 = − =

∂

∂ +

∂

∂ ∴

c) z = 4x 3 y + 2x 2 y 2 + 5x – 8y

Resolução:

2 4y 24xy * *

5 2 4xy y 2 12x *

2 x

z 2 + ⇒ + + ⇒

∂

∂

Logo, w satisfaz à “ Laplace” .

logo, z satisfaz à “ Laplace” .

41


2 4x * *

8 y 2 4x 3 4x *

2 y

z 2 ⇒ − + ⇒

∂

∂

0 6xy) 2 y 2 4(x 24xy 2 4y 2 4x 2 4x 2 4y 24xy 2 y

z 2

2 x

z 2 ≠ + + = + + = + + =

∂

∂ +

∂

∂ ∴

2. Diferencial total (ou Derivada Total)

Seja z = f(x,y) uma função de duas variáveis e x z

∂

∂ ,

y z

∂

∂ as “parciais” de z = f(x,y),

chamamos de Diferencial ( ou Derivada ) Total a seguinte expressão :

Analogamente, para w = f(x,y,z), temos:

Exemplos:

Calcule a expressão do Diferencial Total de:

a) z = 4x²y + ln ( x 3 y 2 )

Logo, z não satisfaz à “ Laplace” .

y .Δ y

z x .Δ

x

z z Δ

∂

∂ +

∂

∂ =

dt

dy .

y

z

dt

dx .

x

z

dt

dz

∂

∂ +

∂

∂ = ou

z .Δ z

w y .Δ

y

w x .Δ

x

w w Δ

∂

∂ +

∂

∂ +

∂

∂ =

ou

t

z .

z

w

dt

dy .

y

w

dt

dx .

x

w

dt

dw

∂

∂

∂

∂ +

∂

∂ +

∂

∂ =

42


Resolução:

x 3 y 2 8x

x 3

8xy 2 y 3 x

2 y 2 3x 8xy

x z +

= + = + = ∂

∂

y 2 y 2 4x

y 2 2 4x 2 y 3 x

y 3 2x 2 4x y z +

= + = + = ∂

∂

dt dy

y 2 y 2 4x

dt dx

x 3 y 2 8x

dt dz

+ +

+ = ∴

b) Idem para z = 2 2y 3 x

3xy

+

Resolução:

2) 2 2y 3 (x

) 2 y 3 x 6y(

2) 2 2y 3 (x

3 6y y 3 6x 2) 2 2y 3 (x

y 3 9x 3 6y y 3 3x 2) 2 2y 3 (x

2 3xy.3x ) 2 2y 3 3y.(x x z

+

+ − =

= +

+ − =

+

− + =

+

− + =

∂

∂

2) 2 2y 3 (x

) 2 y 3 6x(x 2) 2 2y 3 (x

) 3 x 2 y 6x(

2) 2 2y 3 (x

4 6x 2 6xy 2) 2 2y 3 (x

2 12xy 2 6xy 4 3x 2) 2 2y 3 (x

3xy.4y ) 2 2y 3 3x.(x y z

+

− =

+

+ − =

= +

+ − =

+

− + =

+

− + =

∂

∂

dt dy

2) 2 2y 3 (x

) 2 y 3 6x(x dt dx

2) 2 2y 3 (x

) 2 y 3 x 6y( dt dz

+

− +

+

+ − = ∴

43


AULA 10 • APLICAÇÕES DAS DERIVADAS PARCIAIS

3. Vetor gradiente

Seja z = f(x, y) uma função de duas variáveis e x z

∂

∂ ,

y z

∂

∂ as “parciais”de z = f(x, y).

Seja P0 (x0, y0) um ponto do plano xy, a projeção de “ z” no plano dada por curvas de

nível e 0 P x

z∂ ∂

, 0 P y

z∂

∂ as derivadas calculadas no ponto Po, ∈ plano R 2 ,chamamos de Vetor

Gradiente ao seguinte vetor:

O Vetor Gradiente é ortogonal à reta tangente a uma curva de nível pelo ponto P0 (x0,

y0).

∂

∂

∂

∂ = ∇

0 P y

z ,

0 P x

z

0 P z

44


Analogamente, quando temos w = f(x, y, z), o Vetor Gradiente será ortogonal ao plano

tangente a uma superfície de nível por um ponto P (x0, y0, z0) do espaço R 3 , daí :

Exemplos:

Determine o vetor gradiente das funções abaixo no ponto P0 ∈ plano R 2 .

a) z = ln (x² + y²) em P0 (0, 1).

Determine o vetor gradiente das funções abaixo no ponto Po ∈ plano R2.

Resolução:

0 1 0

2 1) ( 2 0

2.0 1) (0, x

z 2 y 2 x

2x x z

= = − +

= − ∂

∂ ⇒

+ =

∂

∂

2 1 2

2 1) ( 2 0

2.1 1) (0, y

z 2 y 2 x

2y y z

= = − +

= − ∂

∂ ⇒

+ =

∂

∂

b) z = x.cos y em Po (3, 2 π

).

Resolução:

0 2 π

cos 2 π 3, x

z cosy x.0 1.cosy

x z

= = − ∂

∂ ⇒ = + =

∂

∂

O Vetor Gradiente aponta para onde z = f(x,y) tem maior velocidade.

Obs.: Em Geometria Analítica, o Vetor Gradiente recebe o nome de Vetor

Normal.

∂

∂

∂

∂

∂

∂ = ∇

0 P z

z ,

0 P y

z ,

0 P x

z P z

0

2) (0, 1) (0, z = − ∇ ∴

45


3 3.1 2 π

3).sen ( 2 π 3, y

z x.seny x.seny 0.cosy

x z

= = − − = − ∂

∂ ⇒ − = − =

∂

∂

c) z = 2x 3 y 2 + 5x –3y em Po ( 1, 2 ).

Resolução:

29 5 6.4 5 2 .(2) 2 6(1) (1,2) x z

5 2 y 2 6x x z

= + = + = ∂

∂ ⇒ + =

∂

∂

1 3 2.2 3 .(2) 3 2(1) (1,2) y z

3 y 3 2x y z

= − = − = ∂

∂ ⇒ − =

∂

∂

d) z = 2x 3 y 2 .e xy em Po ( 1, 1 ).

Resolução:

e 6 1 6.e 3) .( 1 2.e 1).(1)] ( .[3 1).(1) ( .e 2 .(1) 2 1) 2(

1) 1, ( x z

xy) .(3 xy .e 2 y 2 2x xy .e 3 y 3 2x xy .e 2 y 2 6x xy .ye 2 y 3 2x xy .e 2 y 2 6x x z

− = − − = − − = − + − − =

− ∂

∂ ⇒

⇒ + = + = + = ∂

∂

e 4 1 4.e 2) .( 1 2.e 1).(1)] ( .[2 1).(1) ( .(1).e .3 1) 2(

1) 1, ( x z

xy) .(2 xy y.e 3 2x xy .e 2 y 4 2x xy y.e 3 4x xy .xe 2 y 3 2x xy y.e 3 4x y z

= − = − − − = − + − − = − ∂

∂ ⇒

⇒ + = + = + = ∂

∂

e) z = 3.ln ( x 3 + y² ) em Po ( 2, 3 ).

Resolução:

17 36

2 3 3 2

2 3.3.(2) (2,3) x

z 2 y 3 x

2 3x 3.

x z

− = +

− =

∂

∂ ⇒

+ − =

∂

∂

∴ 3) (0, )

2 π 3, ( z =

− ∇

∴ 1) (29, 2) (1, z = ∇

−

= −

∇ e 4

, e 6

1) 1, ( z ∴

46


17 18

2 3 3 2

3.2.3 (2,3) y

z 2 y 3 x

2y 3.

y z

− = +

− =

∂

∂ ⇒

+ − =

∂

∂

f) z = xy em P0 ( 2,1 ).

Resolução:

4 2

2 2 1

2.1 2 1

(2,1) xy 2 y

x z

= = = = ∂

∂

∴

2 2

2 1

2.1 2 2

(2,1) xy 2 x

y z

= = = = ∂

∂

∴

= ∇

2 2

, 4 2

(2,1) z

− − = ∇

17

18 ,

17

36

(2,3) z

47


AULA 11 • DERIVADA DIRECIONAL (INCLINAÇÃO)

Se z = f(x,y) é uma função diferenciável de x e y com u = u1i + u2j um vetor unitário,

então, a derivada direcional de z na direção de u é denotada por:

Seja o vetor gradiente )0 y , 0 (x z ∇ temos que a derivada direcional é a direção assumida

pelo vetor gradiente quando “aplicado” no vetor unitário u, logo, para calcularmos a derivada

direcional, temos o vetor decomposto em j 0 P y

z i

0 P x z

0 zP

∂

∂ +

∂

∂ = ∇ e, combinado com a

equação (I), chegamos em:

Exemplos:

a) Ache a derivada direcional de f(x,y) = 2x 3 y no ponto P0 (2, 1) na direção a = 3i + 4j.

Resolução:

Como a não é vetor unitário, temos que normalizálo, daí:

u = j 5 4

i5 3

u 25 4j

25 3i

2 4 2 3

4j 3i 2

2 a 21 a

4j 3i a a

.a a 1

+ = ⇒ + = +

+ =

+

+ = =

Logo:

16j 24i (1,2) z j 3 2.(2) 1)i .( 2 6.(2)

j 1) (2, 3 2x i 1) (2, y 2 6x j 1) (2, y

z i 1) (2, x

z 1) z(2,

+ − = ∇ ⇒ + − =

− + − = − ∂

∂ + − ∂

∂ = − ∇

Portanto:

Duz = x z

∂ ∂

.u1 + y z

∂ ∂

.u2 (I)

Duz = 0 P z ∇ .u1

Produto Escalar

48


Duz = 0 P z ∇ .u = ⇒ + −

= + − = + + −

5 64

5 72

5 4

16. 5 3

24. j5 4

i5 3

16j). 24i (

Duz = 5

8 −

b) Ache a derivada direcional de f(x,y) = 3xy 2 no ponto P0 (0, 3) na direção a = 2i 5j.

Resolução:

Como “a” não é vetor unitário, temos que normalizálo, daí:

u = j 29 29 5

i 29 29 2

u 29

5j

29

2i 2 5) ( 2 2

5j 2i 2

2 a 21 a

5j 2i a a

.a a 1

− = ⇒ − = − +

− =

+

− = =

Logo:

0j 27i 1,2) ( z

6.(0).(3)j i 2 3(3) j (0,3) 6xy i (0,3) 2 3y j (0,3) y

z i (0,3) x

z (0,3) z

+ − = − ∇

⇔ − − = − − = ∂

∂ +

∂

∂ = ∇

Portanto:

Duz = 0 P z ∇ .u ⇒ + −

= − + − = − + −

0

29 29 54

29 29 5

0. 29 29 2

27. j 29 29 5

i 29 29 2

0j). 27i (

⇒Duz = 29 29 54

−

c) Idem para z = x² + 4xy 2y² , P0 (3, 1) e u = 2i 5j.

Resolução:

Logo:

8j 10i z(3,1) 4)j (12 4)i (6

j (3,1) 4y) (4x i (3,1) 4y) (2x j (3,1) y z

i (3,1) x z

z(3,1)

+ = ∇ ⇔ − + + =

= − + + = ∂

∂ +

∂

∂ = ∇

Portanto:

49


Duz = 0 P z ∇ .u = ⇒ − = − + = − + 40 20 ) 5 .( 8 2 . 10 ) j 5 i 2 ).( j 8 i 10 ( Duz = 20

d) Idem para f(x,y) = xcos²y , P0 (4, 2 π ) , u = < 3, 1 > .

Resolução:

Logo:

0j 0i )2 π z(4, 0j 0i 8.1.0j i 2 0 j

2 π

.cos 2 π

2.(4).sen i 2

2 π

cos

j )

2 π (4,

sy 2x.seny.co i )

2 π (4,

y 2 cos j )

2 π (4, y

z i )

2 π (4, x

z )

2 π z(4,

+ = ∇ ⇒ + = − ⇒ − =

= − = ∂

∂ +

∂

∂ = ∇

Portanto:

Duz = 0 P z ∇ .u = ⇒ + = + = + + 0 0 1 . 0 3 . 0 ) j i 3 ).( j 0 i 0 ( Duz = 0

e) Idem para f(x,y) = e 3xy , P0 (2, 0) e u = 2i + 2j.

Resolução:

Logo:

j i j i j e i e

j e i e j e x i e y j x z i

x z

z

xy xy z

6 0 1 . 6 0 . 6 . 0

). 2 .( 3 ). 0 .( 3 . 3 . 3

) 0 , 2 ( 0 0

) 0 ).( 2 ( 3 ) 0 ).( 2 ( 3 ) 0 , 2 (

3 ) 0 , 2 (

3 ) 0 , 2 ( ) 0 , 2 ( ) 0 , 2 (

+ = ∇ ⇒ + = +

⇒ + = + = ∂ ∂

+ ∂ ∂

= ∇

Portanto:

Duz = 0 P z ∇ .u = ⇒ + = + − = + + − 12 0 6 . 2 0 . 2 ) j 6 i 0 ).( j 2 i 2 ( Duz = 12

f) Idem para z = 2x² + 5xy 2y² , P0 (2, 2) e u = 2 (i + j).

Resolução:

Logo:

50


2j 18i z(2,2) 8)j (10 10)i (8 4.(2)]j [5.(2) 5.(2)]i [4.(2)

j (2,2) 4y) (5x i (2,2) 5y) (4x j (2,2) x z

i (2,2) x z

z(2,2)

+ = ∇ =⇒ − + + ⇒ − + + =

= − + + = ∂

∂ +

∂

∂ = ∇

Portanto:

Duz = 0 P z ∇ .u = ⇒ + = + = + + 4 36 2 . 2 2 . 18 ) j 2 i 2 ).( j 2 i 18 ( Duz = 40

51


AULA 12 • JACOBIANO

Estudando futuramente, em Cálculo III, as integrais múltiplas, verificaremos que um dos

tópicos abordados é a chamada mudança de variáveis, em que, numa integral dupla, dada pela

fórmula [ ] dv du ) v , u ( ) y , x ( . ) v , u ( y ), v , u ( x f dA ) y , x ( f

S R ∂ ∂

= ∫∫ ∫∫ , é tratado um conceito muito importante

denominado Jacobiano. Não faremos sua demonstração agora, porém, mostraremos o

Jacobiano como sendo mais uma aplicação das derivadas parciais estudadas em Cálculo II.

Sendo a mudança de variável, mencionada anteriormente, dada pela transformação T do

plano uv no plano xy : T(u,v) = (x,y).

Resultamos, sem maiores demonstrações, no produto vetorial:

Onde ru e rv são vetores tangentes a uma superfície S pertencente ao plano uv.

Chamamos, pois, de Jacobiano da transformação T com x = f(u, v) e y = g(u, v) à

equação:

OBS.: Se T for uma transformação de espaços, temos o Jacobiano w) v, (u, z) y, (x,

∂

∂ análogo:

Exemplos:

Calcule os jacobianos v) (u, y) (x,

∂

∂ a seguir:

ru x rv = k

v

y

u

y v

x

u

x

k

v

y

v

x u

y

u

x

0 v

y

v

x

0 u

y

u

x k j i

∂

∂

∂

∂ ∂

∂

∂

∂

=

∂

∂

∂

∂ ∂

∂

∂

∂

=

∂

∂

∂

∂ ∂

∂

∂

∂

u

y .

v

x

v

y .

u

x

v

y

v

x u

y

u

x

v

y

u

y v

x

u

x

v) (u,

y) (x,

∂

∂

∂

∂ −

∂

∂

∂

∂ =

∂

∂

∂

∂ ∂

∂

∂

∂

=

∂

∂

∂

∂ ∂

∂

∂

∂

= ∂

∂

52


a)

− =

+ =

2v u y

5v 2u x

Resolução:

= − ∂

∂ =

∂

∂ = +

∂

∂ =

∂

∂

− = − ∂

∂ =

∂

∂ = +

∂

∂ =

∂

∂

1 2v) (u u u

y 5 5v) (2u

v v x

2 2v) (u v v

y 2 5v) (2u

u u x

Portanto, [ ] 9 5 4 (5.1) 2) 2.( u y

.v x

v y

.u x

v) (u, y) (x,

− = − − = − − = ∂

∂

∂

∂ −

∂

∂

∂

∂ =

∂

∂ .

b)

− =

+ − =

3v 2 4u y

3 2v 3u x

Resolução:

= − ∂

∂ =

∂

∂ = + −

∂

∂ =

∂

∂

− = − ∂

∂ =

∂

∂ − = + −

∂

∂ =

∂

∂

8u 3v) 2 (4u u u

y 2 6v ) 3 2v 3u (v v

x

3 3v) 2 (4u v v

y 3 ) 3 2v 3u (

u u x

Portanto, [ ] 2 48uv 9 .8u) 2 (6v 3) 3.( u y

.v x

v y

.u x

v) (u, y) (x,

− = − − − = ∂

∂

∂

∂ −

∂

∂

∂

∂ =

∂

∂

Lembrando... u

y .

v

x

v

y .

u

x

v) (u,

y) (x,

∂

∂

∂

∂ −

∂

∂

∂

∂ =

∂

∂

Lembrando... u y

v x

v y

u x

v u y x

∂ ∂

∂ ∂

− ∂ ∂

∂ ∂

= ∂ ∂ . .

) , ( ) , (

53


c)

+ =

− =

2v 2e 3 3u y

4 5v u e x

Resolução:

= + ∂

∂ =

∂

∂ − = −

∂

∂ =

∂

∂

= + ∂

∂ =

∂

∂ = −

∂

∂ =

∂

∂

2 9u ) 2v 2e 3 (3u u u

y 3 20v ) 4 5v u (e v v

x

2v 4e ) 2v 2e 3 (3u v v

y u e ) 4 5v u (e u u

x

Portanto, [ ]

). 3 v 2 45u 2uv 4.(e

3 v 2 180u 2uv 4e ) 2 ).9u 3 20v [( ) 2v .(4e u e u y

.v x

v y

.u x

v) (u, y) (x,

+ =

= + = − − = ∂

∂

∂

∂ −

∂

∂

∂

∂ =

∂

∂

Lembrando... u

y .

v

x

v

y .

u

x

v) (u,

y) (x,

∂

∂

∂

∂ −

∂

∂

∂

∂ =

∂

∂

54


AULA 13 • MÁXIMOS E MÍNIMOS DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS

Teorema do valor extremo

Da mesma forma estudada em Cálculo I, citaremos o Teorema do Valor Extremo para

funções de duas variáveis.

Extremos

No curso de Cálculo II, aprendemos a determinar Máximos e Mínimos de funções de uma

variável. Nesta aula começaremos a aprender, utilizando técnicas análogas, a determinálos a

partir de funções de duas variáveis.

Analisando um gráfico de uma função f de duas variáveis, podemos notar pontos altos e

baixos em suas vizinhanças imediatas. Tais pontos são chamados de máximos e mínimos

relativos de f, respectivamente.

• O mais alto máximo dentro do domínio de f é chamado de máximo absoluto.

• O mais profundo mínimo dentro do domínio de f é chamado de mínimo absoluto.

Vamos definilos, portanto, da seguinte maneira:

• Uma função f(x,y) possui máximo relativo num ponto P0 (x0, y0), caso exista um círculo

com centro em P0 , de modo que f(x0,y0) ≥ f(x,y) para todo ponto (x, y) do domínio de f,

no interior do círculo, analogamente, ela possui um máximo absoluto em P0 se

f(x0,y0) ≥ f(x,y) para todos os pontos (x, y) do domínio de f.

Seja f(x,y) uma função contínua num conjunto fechado e limitado R, então, f possui

tanto máximo quanto mínimo absolutos em R

55


• Uma função f(x,y) possui mínimo relativo num ponto P0 (x0, y0), caso exista um círculo

com centro em P0 , de modo que f(x0,y0) ≤ f(x,y) para todo ponto (x, y) do domínio de f,

no interior do círculo, analogamente, ela possui um mínimo absoluto em P0 se f(x0,y0)

≤ f(x,y) para todos os pontos (x, y) do domínio de f.

Obs.: Se a função possui máximo ou mínimo relativo, dizemos que ela possui extremo

relativo no ponto, e se ela possui máximo ou mínimo absoluto, dizse que ela possui extremo

absoluto no ponto.

Determinação dos extremos relativos

Para determinarmos os extremos relativos, verificamos que a função f tem derivadas

parciais de primeira ordem contínuas em (x0, y0) e que f(x0, y0) é extremo relativo de f, daí, tem

se o plano tangente ao gráfico de z = f (x, y) em (x0, y0, z0) paralelo ao plano xy com equação z =

z0.

Os pontos críticos de f são aqueles em que as “parciais” de primeira ordem são zero ou f

não é diferenciável, daí, temos a definição:

Exemplo:

• Seja f (x,y) = 3 + x² + y², com x² + y² ≤ 9. Ache os extremos de f .

Resolução:

Temos x² + y² ≤ 9 o disco fechado R de raio 3 e centro (0, 0) no plano xy.

Daí, pela última definição:

0 ) , ( 0 0 =

∂ ∂

y x x f

2x = 0

⇔ ∴ (x, y) = (0, 0) , logo f(x,y) = f (0,0) = 3

O ponto (x0, y0) é chamado de crítico de uma função f(x,y), de duas variáveis, se

0 )0 y , 0 (x x f

= ∂

∂ e 0 )0 y , 0 (x y

f =

∂

∂ ou se uma ou ambas derivadas parciais de

primeira ordem não existirem em (x0, y0).

Único

56


0 y f

) y , x ( 0 0 =

∂ ∂

2y = 0

Veja o gráfico...

Ponto de sela

Chamamos de Ponto de Sela, o ponto P (x0, y0, f(x0,y0)) onde = ∂

∂ )0 y , 0 (x x

f 0 )0 y , 0 (x y

f =

∂

∂ ,

todavia, a função não possui nem mínimo nem máximo relativo no ponto, pois, dependendo da

direção, ele apresenta comportamento de máximo ou de mínimo.

Veja o gráfico abaixo de uma função de duas variáveis no ponto P0 (0, 0), ele apresenta f

(0, 0) = 0 comportandose como máximo na direção de x e como mínimo na direção de y, e note

o formato do gráfico que lembra uma sela.

Extremo Relativo

57


AULA 14 • TESTE DA SEGUNDA DERIVADA (PARA EXTREMOS RELATIVOS OU LOCAIS)

Exemplos:

a) Determine todos os pontos extremos e pontos de sela da função f(x,y)=x² +xy+y²6x + 2.

Resolução:

• 2x 6 y 0 6 y 2x x f

− = ⇔ = − + = ∂

∂ .

• 0 2y x y f

= + = ∂

∂ .

• Substituindo y da primeira derivada na segunda:

4 x 12 3x 0 4x 12 x 0 2x) 2(6 x = ⇒ − = − ⇒ = − + ⇒ = − + .

Substituindo x em y da primeira derivada:

2 y 8 6 y 2(4) 6 y − = ⇒ − = ⇒ − = , portanto, temos P0 (x0, y0) = P0 ( 4, 2)

Seja f uma função de duas variáveis dotada de derivadas parciais de segunda

ordem, contínuas num círculo centrado num ponto crítico (x0,y0), temos o

discriminante D...

D =

2

)0 y , 0 (x y x

f 2

)0 y , 0 (x 2 y

f 2 . )0 y , 0 (x

2 x

f 2

∂ ∂

∂ −

∂

∂

∂

∂

Se...

D > 0 e 2 x

f 2

∂

∂ > 0 então, f tem mínimo relativo em (x0, y0) .

D > 0 e 2 x

f 2

∂

∂ < 0 então, f tem máximo relativo em (x0, y0) .

D < 0 então, f tem ponto de sela em (x0, y0) .

58


2

2

x f

∂ ∂

2 * *

6 y 2x *

⇒ − + ⇒ .

2 y

f 2

∂

∂ 2

* * 2y x

* ⇒ + ⇒ .

∂

∂

∂

∂ =

∂ ∂

∂

y f

x y x f 2

1 x * *

2y x y *

⇒ + ⇒ .

∴D = ( )

3 D 2 (1) 2.2

2 2) (4, 2 2) (4, 2 . 2) (4, 2

2

2) (4, y x f 2

2) (4, 2 y

f 2 .

2) (4, 2 x

f 2

= ⇒ − =

− − − − = −

∂ ∂

∂ −

− ∂

∂

− ∂

∂

•

• Logo, f (4, 2) = (4)² + (4).(2) + (2) ² 6.(4) + 2 = 16 – 8 + 2 – 24 + 2 ⇒

⇒ f (4, 2) = 12 , então, o ponto P (4, 2, 12) é Ponto de mínimo relativo de f(x, y).

b) Idem para f(x, y) = 2x 3 + 4y 2 – 6x – 8y

Resolução:

•

=

− =

⇒ = ⇒ = − ⇒ = − ⇒ = − = ∂

∂

1 1 x

1 1 x 1 2 x 0 1 2 x 0 1) 2 6.(x 0 6 2 6x

x f

• 1 y 8 8y 0 8 8y y f

= ⇒ = ⇒ = − = ∂

∂ .

Único Ponto Crítico no plano

D = 3 > 0

2 x

f 2

∂

∂ = 2 > 0

Temos, portanto, Mínimo Relativo

59


• Portanto, temos os pontos críticos no plano

−

1) (1, 0 Q e

1) 1, (0 P

• 2

2

x f

∂ ∂ 12x 6 6x

* * 2

* ⇒ − ⇒ .

• 2 y

f 2

∂

∂ 8 8 8y * * *

⇒ − ⇒ .

•

∂

∂

∂

∂ =

∂ ∂

∂

y f

x y x f 2

0 x * *

8 8y y *

⇒ − ⇒ .

• Como temos mais do que um ponto crítico, montaremos uma tabela:

Ponto crítico no plano

∂

∂

0 y , 0 x 2 x

f 2

∂

∂

0 y , 0 x 2 y

f 2

∂ ∂

∂

0 y , 0 x y x

f 2 D = . 2 x

f 2

∂

∂ −

∂ ∂

2

2

y f

2

y x

f

∂ ∂

∂ Conclusão

P0 (1, 1) 12 8 0 12 . 8 0² = 96 < 0 Sela

Q0 (1, 1) 12 > 0 8 0 12 . 8 0² = 96 > 0 Mínimo Relativo

• Aplicando os pontos críticos na função z = f (x,y) = 2x3 + 4y2 – 6x – 8y , temos:

P0 (1, 1) ⇒ z0 = f (1, 1) = 2 .(–1) 3 + 4. (1) 2 – 6. (1) – 8(1) = 2 + 4 + 6 8 ⇒ z0 = 0 .

Q0 (1, 1) ⇒ z0 = f (1, 1) = 2 .(1) 3 + 4. (1) 2 – 6. (1) – 8(1) = 2 + 4 6 8 ⇒ z0 = 8 .

Finalmente...

NOTA:

Vimos nos exemplos a e b que, ao determinarmos os pontos de máximo e mínimo

relativos, encontramos pontos P0, Q0 etc ∈ R 2 (Plano Cartesiano).

P (1, 1, 0) Ponto de sela.

Q (1, 1, 8) Ponto de mínimo relativo.

60


Na verdade, o que ocorre é que, para cada um destes (x0, y0) , associaremos pontos (x0,

y0, f (x0, y0)) ∈ R 3 (Espaço Cartesiano), onde f (x0, y0) é o verdadeiro extremo máximo ou

mínimo.

Daí:

No exemplo a, temos:

f(x,y) = x² + xy + y² 6x + 2

Mínimo relativo = z0 = f (x0, y0) = f (4, 2) = 12 em P0 (4, 2) ∈ R 2 .

Ponto de mínimo relativo de f: P (x0, y0, f (x0, y0)) = P (4, 2, 12) ∈ R 3 .

No exemplo b, temos:

f (x,y) = 2x 3 + 4y 2 – 6x – 8y

Sela = z0 = f (x0, y0) = f (1, 1) = 0 em P0 (1, 1) ∈ R 2 .

Ponto de sela de f: P (x0, y0, f (x0, y0)) = P (1, 1, 0) ∈ R 3 .

Mínimo relativo = z0 = f (x0, y0) = f (1, 1) = 8 em Q0 (1, 1) ∈ R 2 .

Ponto de mínimo relativo de f: P (x0, y0, f (x0, y0)) = P (1, 1, 8) ∈ R 3 .

61


AULA 15 • DETERMINAÇÃO DOS EXTREMOS ABSOLUTOS EM CONJUNTOS FECHADOS E LIMITADOS

Teorema do Valor Extremo para funções de duas variáveis

Conforme citado no teorema anterior, os pontos extremos absolutos de uma função

ocorrem em pontos críticos localizados no interior do conjunto (Região) R, ou em pontos sobre

a sua fronteira.

Exemplo:

Determine os valores de máximo e mínimo absoluto de f (x, y) = 4xy – 8x 8y + 2 sobre a

região triangular R ∈ R 2 (Plano Cartesiano) com vértices A0 (0, 0) , B0 (5, 0) e C0 (0, 5).

Veja a figura...

Seja f uma função contínua de duas variáveis num conjunto fechado e limitado R,

então, f possui extremo máximo absoluto e mínimo absoluto para algum ponto

de R.

Existem três procedimentos básicos para se determinar os máximos e mínimos

absolutos em conjuntos fechados e limitados R :

I. Determinar os valores de f nos pontos críticos de f em R.

II. Determinar todos os valores extremos de fronteira de R.

III.O maior valor encontrado nos procedimentos I e II é o valor máximo absoluto;

o menor valor encontrado nos procedimentos I e II é o valor mínimo absoluto

62


Resolução:

= ∂ ∂ x f

4y – 8 = 0 ⇒ y0 = 2

= ∂ ∂ y f

4x – 8 = 0 ⇒ x0 = 2

∴D0 (x0, y0 ) = D0 (2, 2) é o Único Ponto Crítico no interior de R.

Vamos determinar os pontos de fronteira de R onde poderão ocorrer valores extremos:

• Para a fronteira ( 0, 0 ) até ( 5, 0 ) , temos [ ]

∴ =

∴ ∈

constante 0 y e variável 0,5 x

u ( x ) = f ( x, 0 ) = 4.x.0 – 8.x – 8.0 + 2 = 8x + 2.

u’ ( x ) = 8 ≠ 0

Portanto, não há ponto crítico em u (x) , além dos vértices A0 ( 0, 0 ) e B0 ( 5, 0 ).

• Para a fronteira ( 0, 0 ) até ( 0, 5 ), temos [ ]

∴ ∈

∴ =

variável 0,5 y e constante 0 x

Logo, para determinar os pontos críticos, determinemos a equação da reta que contém o

segmento que representa esta fronteira:

5 x y : r 25 5x 5y 0 5y 5x 25 0 1 5 0 1 0 5 1 y x

: r + − = ⇒ + − = ⇒ = − − ⇒ = .

w ( x ) = ( ) ( ) ( ) 38 20x 2 4x w(x) 2 5 x 8. 8x 5 x 4x. 5 x x, f − + − = ⇒ + + − − − + − = + − .

w’ ( x ) = 8x + 20 = 0 ⇒ x0 = 2 5 , substituindo em 5 x y + − = temos y0 =

2 5 .

Portanto, temos o ponto crítico E0

2 5,

2 5

, além dos vértices B0 ( 5, 0 ) e C0 ( 0, 5 ).

63


O último procedimento agora é montar uma tabela para indicarmos os Extremos

Absolutos:

Aplicando, na função f ( x, y ) = 4xy – 8x 8y + 2, os pontos críticos encontrados no plano,

obtemos:

Ponto Crítico no Plano A0 B0 C0 D0 E0

( x0, y0 ) ( 0, 0 ) ( 5, 0 ) ( 0, 5 ) ( 2, 2 )

2 5,

2 5

z0 = f ( x0, y0 ) 2 38 38 14 13

Conclusão Máx. Abs. Mín. Abs. Mín. Abs. o o

z0 = 2 : Valor ( ou Extremo ) máximo absoluto.

Daí, temos ...

z0 = 38 : Valor ( ou Extremo ) mínimo absoluto.

Finalmente, temos os pontos no espaço como resposta:

Qual a área máxima que um retângulo pode ter se seu perímetro é de 22 cm?

Resolução:

Esse exemplo é um clássico cuja metodologia de resolução auxilia em problemas práticos

de otimização, como, por exemplo, os famosos problemas das caixas abertas:

Figura ilustrativa...

Ponto de Máximo Absoluto A ( 0, 0, 2 )

Ponto de Mínimo Absoluto B ( 5, 0, 38 )

Ponto de Mínimo Absoluto C ( 0, 5, 38 )

64


Temos

= →

= + = →

xy A máxima Área e

22 2y 2x P Perímetro

Daí, ⇒ = + ⇒ = + ⇒ = + 11 y x 22 y) 2.(x 22 2y 2x y = 11 – x

Substituindo y em A, temos 11x 2 x A x) x.(11 A xy A + − = ⇒ − = ⇒ =

A partir desse momento, o problema limitase a encontrar o ponto crítico da função de

segundo grau (com concavidade para baixo): A(x) = x 2 + 11x .

Usando os conhecimentos adquiridos, temos 11 2x (x) A' 11x)' 2 x ( (x) A' + − = ⇒ + − = .

Igualando essa derivada a zero, temos 2 11

x 11 2x 0 11 2x (x) A' = ⇒ = ⇒ = + − = .

Substituindo x em temos 2 11

y 2 11 22

y 2 11

11 y x 11 y = ⇒ −

= ⇒ − = ⇒ − = .

Logo, a área máxima do “retângulo” é ⇒ = = = 4 121

2 11 .

2 11

xy A A = 30,25 cm 2

Figura final...

65


Você deve estar confuso, pois a pergunta pede a área de um RETÂNGULO e a

resposta final define um QUADRADO.

A explicação é simples...

Por definição, retângulo é todo quadrilátero que possui os quatro ângulos internos

retos. Portanto, o QUADRADO também é um RETÂNGULO.

66


AULA 16 • EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES

1. Determine o volume máximo que pode ter uma caixa retangular aberta no topo, cuja

área total é de 20 cm².

Resolução:

Na aula 15, estudamos o problema de área máxima de um retângulo. Naquela

oportunidade, comentamos que a metodologia de resolução auxiliaria em problemas práticos de

otimização, como por exemplo, os famosos problemas das caixas abertas.

Acompanhe atentamente a resolução do primeiro exemplo, pois você resolverá o

segundo...

Figura Ilustrativa...

Temos

= →

= + + = →

xyz V máximo Volume e

20 xy 2yz 2xz A total Área

Daí, 2y 2x xy 20

z xy 20 2y) z.(2x xy 20 2yz 2xz 20 xy 2yz 2xz +

− = ⇒ − = + ⇒ − = + ⇒ = + +

Substituindo z em V, temos:

Qualquer dúvida com relação ao exercício proposto será sanada nas aulas

presenciais, nos fóruns, chats ou através de email.

67


2y 2x 20xy 2 y 2 x

V 2y 2x

2 y 2 x 20xy V

2y 2x xy 20

xy. V xyz V +

+ − = ⇒

+

− = ⇒

+

− = ⇒ =

A partir desse momento, o problema limitase a encontrar os pontos críticos da função de

duas variáveis : 2y 2x 20xy 2 y 2 x

V +

+ − = .

Usando os conhecimentos adquiridos em derivação parcial, temos:

. 2 2y) (2x

20) 2xy 2 x .( 2 2y 2 2y) (2x

2 40y 3 4xy 2 y 2 2x 2 2y) (2x

40xy 2 y 2 2x 40xy 2 40y 3 4xy 2 y 2 4x

2 2y) (2x

20xy).2 2 y 2 x ( 2y) 20y).(2x 2 2xy (

2 2y) (2x

2y)' 20xy).(2x 2 y 2 x ( 2y) 20xy)'.(2x 2 y 2 x ( x V

+

+ − − =

+

+ − − =

+

− + + + − − =

= +

+ − − + + − =

= +

+ + − − + + − =

∂

∂

Igualando essa derivada a zero, temos:

⇔ = +

+ − − ⇒ =

∂

∂ 0 2 2y) (2x

20) 2xy 2 x .( 2 2y 0

x V

(*) 0 20 2xy 2 x

0 x V

para ade possibilid Única : 0 20 2xy 2 x

caixa. há não 0, y se pois, 0, y 0 2 y 0 2 2y

quociente. do existência de Cond. : 0 2y 2x

= + − − ⇒

= ∂

∂ = + − −

= ≠ ⇒ ≠ ⇒ ≠

≠ +

Analogamente:

68


. 2 2y) (2x

20) 2xy 2 y .( 2 2x 2 2y) (2x

2 40x y 3 4x 2 y 2 2x

2 2y) (2x

40xy 2 y 2 2x 40xy 2 40x 2 y 2 4x y 3 4x

2 2y) (2x

20xy).2 2 y 2 x ( 2y) 20x).(2x y 2 2x (

2 2y) (2x

2y)' 20xy).(2x 2 y 2 x ( 2y) 20xy)'.(2x 2 y 2 x ( y V

+

+ − − =

+

+ − −

= +

− + + + − − =

= +

+ − − + + −

= +

+ + − − + + − =

∂

∂

.


⇔ = +

+ − − ⇒ =

∂ ∂ 0 2 2y) (2x

20) 2xy 2 y .( 2 2x 0 y V

(**) 0 20 2xy 2 y

0 x V

para ade possibilid Única : 0 20 2xy 2 y

caixa. há não 0, x se pois, 0, x 0 2 x 0 2 2x

quociente. do existência de Condição : 0 2y 2x

= + − − ⇒

= ∂

∂ = + − −

= ≠ ⇒ ≠ ⇒ ≠

≠ +

Temos, então, o sistema formado pelas equações (*) e (**)...

→ = ⇒ = −

→ − = ⇒ = +

⇔ = − + ⇒ = −

⇒ +

= + − −

= − +

⇒

= + − −

− = + − −

⇒

zero. de diferentes y e x Com y x 0 y x

negativas. medidas possui

não caixa a pois , y x 0 y x

0 y) y.(x (x 0 2 y 2 x

) ( 0 20 2xy 2 y

0 20 2xy 2 x

0 20 2xy 2 y

1) ( . 0 20 2xy 2 x

(**)

(*)

ABSURDO

Logo, substituindo x = y em (*) [ Também poderia ser em (**) ], temos...

69


. 3 20

y 3 20 2 y 20 2 3y 20 2 2y 2 y 0 20 2.y.y 2 (y) (*) = ⇒

−

− = ⇒⇒ − = − ⇒ − = − − ⇒ = + − − =

Como x = y, temos . 3 20

y x = =

Usando sua calculadora...

2,582 y x ≅ = .

Substituindo x e y em , temos:

( ) 1,291 z

10,328 13,333

10,328 6,667 20

4.(2,582)

2 2,582 20 4x

2 x 20 2x 2x xx 20

2y 2x xy 20

z ≅ ⇒ ≅ −

≅ −

≅ −

= +

− =

+

− = .

Logo, o volume máximo da caixa é ⇒ ≅ = 1 ,582).1,29 (2,582).(2 xyz V V ≅ 8,607 cm 3

Figura Final...

AGORA É A SUA VEZ...

2. Determine a mínima quantidade de material utilizado na construção de uma caixa

retangular aberta no topo, cujo volume é de 30 cm 3 .

Resposta:

2 cm 45,94 A ≅ onde cm 1,96 z e cm 3,91 y x ≅ ≅ =

Aqui vale o mesmo comentário sobre quadrados e retângulos do final da aula 15.

70



3. Um tanque de experimentos para análise de fluxo de fluidos líquidos deve ser feito de

tal maneira que o seu perímetro frontal, somado ao comprimento, seja de 20 metros (Veja a

figura). Determine o volume máximo desse tanque.

Resolução:

Temos

= →

= + + →


20 y 2z) (2x inicial Condição

Daí, 20 2z 2x y 20 y 2z 2x + − − = ⇒ = + +

Substituindo y em V, temos:

( ) 20xz 2 2xz z 2 2x V 20 2z 2x xz. V xyz V + − − = ⇒ + − − = ⇒ =


duas variáveis: 20xz 2 2xz z 2 2x V + − − = .

Então...



71


10) z 2x 2z( 20z 2 2z 4xz 20xz) 2 2xz z 2 2x (x x

V + − − = + − − = + − −

∂

∂ =

∂

∂ .


(*) 0 10 z 2x

0 x V

para ade possibilid Única : 0 10 z 2x

tanque há não 0, z se pois, 0, z 0 2z 0 10) z 2x 2z( 0

x V

= + − − ⇒

⇒

= ∂

∂ = + − −

= ≠ ⇒ ≠

⇔ = + − − ⇒ = ∂

∂

Analogamente...

10) 2z x 2x( 20x 4xz 2 2x 20xz) 2 2xz z 2 2x (y y

V + − − = + − − = + − −

∂

∂ =

∂

∂ .


(**) 0 10 2z x

0 x V

para ade possibilid Única : 0 10 2z x

tanque há não 0, x se pois, 0, x 0 2x 0 10) 2z x 2x( 0

y V

= + − − ⇒

⇒

= ∂

∂ = + − −

= ≠ ⇒ ≠

⇔ = + − − ⇒ = ∂

∂

.


3 10

z 10 3z 0 10 3z ) (0 20 4z 2x

0 10 z 2x

2) .( 0 10 2z x

0 10 z 2x

(**)

(*) = ⇒ = ⇒ = − ⇒ +

= − +

= + − −

⇒

− = + − −

= + − −

⇒

Logo, substituindo 3 10

z = em (**) [ Também poderia ser em (*) ], temos...

. 3 10

x 3 20 30

x 3 20

10 x

3 20

10 x 10 3 20

x 0 10 3 10

2. x (**)

= ⇒ −

= ⇒ − = ⇒

⇒ + − = − ⇒ − = − − ⇒ = + − − =

72


Logo, temos . 3 10

z x = =

Substituindo x e z em , temos:

3 20

y 3

60 20 20 20

3 20

3 20

20 3 10

2. 3 10

2. y = ⇒ + − −

= + − − = + − − =

.

Logo, o volume máximo da caixa é ⇒ = = = 27

2.000 3 10 .

3 20 .

3 10

xyz V V = 74,074 m 3

Figura final ...

Agora é a sua vez

4. Refaça o exercício anterior, só que, agora, isole “z” na equação .

73


Temos

= →

= + + →


20 y 2z) (2x inicial Condição

Daí, = ⇒ = + + z 20 y 2z 2x Continue daqui...

Resposta:

V = 74,074 m 3

74



5. Um engenheiro projeta uma sala frigorífica em que o custo do material usado no piso

equivale a quatro vezes o custo do material usado nas quatro paredes laterais. Determine o

volume máximo da sala frigorífica em função do custo.

Resolução:

Temos

= →

= + + →


C 4xy 2yz 2xz total Custo

Daí...

2y 2x 4xy C

z

4xy C 2y) z.(2x 4xy C 2yz 2xz C 4xy 2yz 2xz

+

− =

⇒ − = + ⇒ − = + ⇒ = + +

Substituindo z em V, temos ...

2y 2x Cxy 2 y 2 4x

V 2y 2x

2 y 2 4x Cxy V

2y 2x 4xy C

xy. V xyz V +

+ − = ⇒

+

− = ⇒

+

− = ⇒ =


duas variáveis ... 2y 2x Cxy 2 y 2 4x

V +

+ − = .

Usando os conhecimentos adquiridos em derivação parcial, temos :



75


. 2 2y) (2x

C) 8xy 2 4x .( 2 2y 2 2y) (2x

2 2Cy 3 16xy 2 y 2 8x

2 2y) (2x

2Cxy 2 y 2 8x 2 2Cy 2Cxy 3 16xy 2 y 2 16x

2 2y) (2x

Cxy).2 2 y 2 4x ( 2y) Cy).(2x 2 8xy (

2 2y) (2x

2y)' Cxy).(2x 2 y 2 4x ( 2y) Cxy)'.(2x 2 y 2 4x ( x V

+

+ − − =

+

+ − − =

= +

− + + + − − =

= +

+ − − + + − =

= +

+ + − − + + − =

∂

∂

Igualando essa derivada a zero, temos :

(*) C 8xy 2 4x

0 x V

para ade possibilid Única : 0 C 8xy 2 4x

sala. há não 0, y se pois, 0, y 0 2 y 0 2 2y

quociente. do existência de Cond. : 0 2y 2x

0 2 2y) (2x

C) 8xy 2 4x .( 2 2y 0

x V

+ − − ⇒

⇒

= ∂

∂ = + − −

= ≠ ⇒ ≠ ⇒ ≠

≠ +

⇔ = +

+ − − ⇒ =

∂

∂

Analogamente...

. 2 2y) (2x

C) 8xy 2 4y .( 2 2x ...

y V

+

+ − − = =

∂

∂

Igualando essa derivada a zero, temos :

(**) C 8xy 2 4y

0 x V

para ade possibilid Única : 0 C 8xy 2 4y

sala. há não 0, x se pois, 0, x 0 2 x 0 2 2x

quociente. do existência de Condição : 0 2y 2x

0 2 2y) (2x

C) 8xy 2 4y .( 2 2x 0

y V

+ − − ⇒

⇒

= ∂

∂ = + − −

= ≠ ⇒ ≠ ⇒ ≠

≠ +

⇔ = +

+ − − ⇒ =

∂

∂

76



→ = ⇒ = −

→ − = ⇒ = +

⇔ = − + ⇒ − ÷ ⇒ = −

⇒ +

= + − −

= − + ⇒

= + − −

− = + − − ⇒

zero. de diferentes y e x Com y x 0 y x

. negativas. medidas possui não sala a pois

ABSURDO y x 0 y x

0 y) y.(x (x 2 y 2 x 4

0 2 4y 2 4x

) ( 0 C 8xy 2 4y

0 C 8xy 2 4x

0 C 8xy 2 4y

1) ( . 0 C 8xy 2 4x

(**)

(*)

Logo, substituindo x = y em (*) , [ Também poderia ser em (**) ], temos...

12 C

y 12 C 2 y C 2 12y 0 C 2 8y 2 4y 0 C 8yy 2 4(y) (*) = ⇒

−

− = ⇒ − = − ⇒ = + − − ⇒ = + − − =

Como x = y, temos . 12 C

y x = =

Substituindo x e y em , temos:

12 C

4.

3 C

C z

12 C

4.

12 C

4. C

12 C

4.

2

12 C

4. C

4x

2 4x C 2x 2x 4xx C

2y 2x 4xy C

z −

= ⇒ −

=

−

= −

= +

− =

+

− =

.

Logo, o volume máximo da sala é...

⇒ = = = = =

= =

−

= −

= −

= =

12 C

. 2

36 C

12 C

. 2

6 C

12 C

.6 C

12 C

. 12 2C

4 1.

3 2C .

12 C

4 3 2C

. 12 C

4 3 C 3C

. 12 C

4 3 C

C .

12 C

12 C

4.

3 C

C .

12 C

. 12 C

xyz V

432 C V

3

= u.v

77


Agora é a sua vez...

6. Complete a tabela abaixo, com base no exercício anterior.

Custo ($) x (u.c)* y (u.c) z (u.c) Volume (u.v)** 5.000,00 3.600,00 80.000,00 12.390,00 48.700,00

1.521,45 2.000,00 9.500,00 7.238,46 6.888,00

Resposta

Custo ($) x (u.c)* y (u.c) z (u.c) Volume (u.v)** 5.000,00 20,41 20,41 40,83 17.010,35 3.600,00 17,32 17,32 34,64 10.392,30 80.000,00 81,65 81,65 163,3 1.088.662,11 12.390,00 32,13 32,13 64,27 66.353,69 48.700,00 63,71 63,71 127,4 517.072,65 1.000,00 9,13 9,13 18,25 1.521,45 1.200,00 10 10 20 2.000,00 3.390,86 16,81 16,81 33,62 9.500,00 2.828,73 15,35 15,35 30,71 7.238,46 2.736,68 15,1 15,1 30,21 6.888,00

* unidade de comprimento.

** unidade de volume.

Nota: Se você conferir a tabela usando V = x.y.z notará um erro percentual de

menos de 0,02 %. Tal erro ocorre devido a ordem na qual eu completei a tabela,

todavia, os resultados estão numa margem aceitável. Portanto, caso seus

resultados não “baterem” exatamente com os meus não se preocupe. Mas é lógico,

não podem estar muito divergentes.

78


AULA 19 • REGRA DA CADEIA

Derivada total

Sejam

=

=

=

h(t) y g(t) x y) f(x, z

a Derivada Total de z é dada por:

Exemplos:

1.

− = + =

+ = =

1 t y(t) 2 t x(t)

2 x xy y) f(x, z determine

dt dz

Resolução:

• 2x y x z

+ = ∂

∂ • x

y z

= ∂

∂

• 1 dt dx

= • 1 dt dy

=

Portanto...

= − + + ⇒ + = + + = + + = ∂

∂ +

∂

∂ = 1) 3(t 2) (t 3x y x 2x y (x).(1) 2x).(1) (y

dt dy .

y z

dt dx .

x z

dt dz

1. 4t dt dz

3 3t 2 t − = ⇔ − + + =

dt

dy .

y

z

dt

dx .

x

z

dt

dz

∂

∂ +

∂

∂ =

Com as condições Iniciais:

x (t) = t + 2

x (t) = t 1

79


2.

=

=

+ = =

cost y sent x

2y) sen(3x y) f(x, z determine

dt dz

Resolução:

• 2y).3 cos(3x x z

+ = ∂

∂ •• 2y).2 cos(3x

y z

+ = ∂

∂

• cost dt dx

= •• sent dt dy

− =

Portanto...

2cost) cos(3sent 2sent). (3cost dt dz

2.cost) cos(3.sent sent. 2. 2.cost) cos(3.sent cost. 3.

2y).(sent) 2.cos(3x 2y).(cost) 3.cos(3x dt dy .

y z

dt dx .

x z

dt dz

+ − = ⇒

⇒ + − + =

= + − + = ∂

∂ +

∂

∂ =

3. Idem para

+ = − =

− + =

2 t y 1 2t x

2 y 2 x 5xy z

Resolução:

• 2x 5y x z

+ = ∂

∂ • 2y 5x y z

− = ∂

∂

• 2t dt dx

= • 1 dt dy

=

Portanto...

80


3 3t 2 5t 3 4t dt dz

4 2t 5 2 5t 4 3 4t 10 5t

2).1] 2(t 1) 2 [5(t 1).2t] 2 2(t 2) [5(t 2y).1 (5x 2x).2t (5y dt dy .

y z

dt dx .

x z

dt dz

− − + = ⇒ − − − + − + +

= + − − + − + + = − + + = ∂

∂ +

∂

∂ =

4.

+ =

=

=

2 2t y 2t x lnxy z

2

Resolução:

• x 1

xy y

x z

= = ∂

∂ •

y 1

xy x

y z

= = ∂

∂

• 4t dt dx

= • 2t dt dy

=

Portanto...

2) 2 t.(t

1) 2 4.(t dt dz

2) 2 t.(t

4 2 4t

2) 2 t.(t

2 2t 4 2 2t

2) 2 t.(t

2t.(t) 2) 2 2.(t

2 2t

2t t 2

2 2t

2t 2 2t

4t y 2t

x 4t

.2t y 1

.4t x 1

dt dy .

y z

dt dx .

x z

dt dz

+

+ = ⇒

+

+ =

+

+ + =

+

+ + =

= +

+ = +

+ = + = + = ∂

∂ +

∂

∂ =

5.

=

=

=

2t y 3t x

sen(xy) z

Resolução:

• y.cos(xy) ) cos(xy).(y x z

= = ∂

∂ •• x.cos(xy) ) cos(xy).(x

y z

= = ∂

∂

• 3 dt dx

= •• 2 dt dy

=

81


Portanto...

) 2 12t.cos(6t ) 2 6t).cos(6t (6t ] [(3t).(2t) 2(3t)].cos [3.(2t) ) 2x).cos(xy (3y

2x.cos(xy) 3y.cos(xy) (2) x.cos(xy). (3) y.cos(xy). dt dy .

y z

dt dx .

x z

dt dz

= + = + = + =

= + = + = ∂

∂ +

∂

∂ =

82


AULA 20 • PLANO TANGENTE E RETA NORMAL

Dada a função z = f(x,y), o Plano Tangente ao gráfico dessa função, passando pelo ponto

P ( x0, y0, z0 ) com z diferenciável em (x0, y0), é dado pela equação :

onde z0 = f( x0, y0 ).

Tal plano é perpendicular ao vetor

−

∂ ∂

∂ ∂

= ∇ 1 , y z ,

x z

) y , x ( ) y , x ( 0 0 0 0 e, considerando a reta r

que passa pelo ponto P e é paralela ao vetor ∇ , temos que r é denominada Reta Normal ao

gráfico de z = f(x,y) e tem como equação :

Veja o gráfico...

Exemplos:

a) Dê a equação do plano tangente e da reta normal à superfície 3 y 2

2 x z + = no ponto

P ( 2, 1, z0 ) .

) 0 y .(y )0 y ,0 (x y

z ) 0 x .(x )0 y ,0 (x x

z 0 z z −

∂

∂ + −

∂

∂ = −

r : ( x, y, z ) = ( x0, y0, z0 ) + λ .

−

∂

∂

∂

∂ 1 , )0 y , 0 (x y

z , )0 y , 0 (x x

z ; ∈ λ R

83


Resolução:

• z0 = f (x0, y0 ) = ⇔ + = + 1 2 4 ) 1 (

2 2 2 2

z0 = 3.

•• 2 (2,1) x )0 y , 0 (x x z

x 2 2x

x z

= = ∂

∂ ⇒ = =

∂

∂ .

••• 3 3.1 2 3.(1) 1) (2, 2 3y )0 y , 0 (x y

z 2 3y y z

= = = − = ∂

∂ ⇒ =

∂

∂ .

Portanto...

•••• ⇒ − + − = − ⇒ − ∂

∂ + −

∂

∂ = − 1) 3.(y 2) 2.(x 3 z )0 y .(y )0 y , 0 (x y

z )0 x .(x )0 y , 0 (x x

z 0 z z

⇒ + − + − = ⇒ − + − = − ⇒ 3 3 3y 4 2x z 3 3y 4 2x 3 z z = 2x + 3y – 4

Equação do plano tangente

r : ( x, y, z ) = ( x0, y0, z0 ) + λ .

−

∂

∂

∂

∂ 1 , )0 y , 0 (x y

z , )0 y , 0 (x x

z ; ∈ λ R ⇒

⇒ r : ( x, y, z ) = ( 2, 1, 3 ) + λ .( 2, 3, 1 ); ∈ λ R

Equação da reta normal

b) Dê a equação do plano tangente e da reta normal à superfície z = 3x 2 3y 2 no ponto

P ( 1, 1, z0 ) .

Resolução:

z0 = f (x0, y0 ) = 3.(1) 2 3.(1) 2 = 3 3 ⇒ z0 = 0.

•• 6 ) 1 .( 6 6 6 ) 1 , 1 ( ) , ( 0 0 = = =

∂ ∂

⇒ = ∂ ∂

− x x z x

x z

y x .

••• 6 ) 1 .( 6 y 6 y z y 6

y z

) 1 , 1 ( ) y , x ( 0 0 = − − = − =

∂ ∂

⇒ − = ∂ ∂

− .

Portanto ...

•••• ⇒ + + − = − ⇒ − ∂ ∂

+ − ∂ ∂

= − ) 1 y .( 6 ) 1 x .( 6 0 z ) y y .( y z ) x x .(

x z z z 0 ) y , x ( 0 ) y , x ( 0 0 0 0 0

84


⇒ + + − = ⇒ 6 y 6 6 x 6 z z = 6x + 6y

Equação do plano tangente

••••• r : ( x, y, z ) = ( x0, y0, z0 ) + λ .

−

∂

∂

∂

∂ 1 , )0 y , 0 (x y

z , )0 y , 0 (x x

z ; ∈ λ R ⇒

⇒ r : ( x, y, z ) = ( 1, 1, 0 ) + λ .( 6, 6, 1 ); ∈ λ R Equação da reta normal

Exercícios

a) Dê a equação do plano tangente e da reta normal à superfície z = 2xy em P ( 1, 3, z0 ) .

b) Idem para z = 6x 2 + 8y 2 em P ( 2, 1, z0 ) .

c) Idem para z = ln(xy) em P ( 2 1 , 2, z0 ) .

d) Idem para z = sen x + cos y em P ( 0, π, z0 ) .

Respostas dos Exercícios

a)

∈

+ =

R λ ); 1 2, 6, .( + ) 6 3, 1, ( = ) z y, x, ( : r

6 2y 6x z

b)

∈

=

R λ ); 1 16, 24, .( + ) 32 1, 2, ( = ) z y, x, ( : r

32 16y 24x z

c)

∈

+ =

R λ ; 1 ,2

1 2, . + 0 2, ,

2

1 = ) z y, x, ( : r

2 2

y 2x z



85


d) ( ) ( )

∈

=

R λ ; 1 0, 1, . + 1 π, 0, = ) z y, x, ( : r

1 x z

86


BIBLIOGRAFIA

ANTON, Howard – Cálculo : Um novo horizonte – Vol. 1 e 2 – Bookman Companhia

Editora – Editora Artes Médicas Sul Ltda – 6ª Edição – Porto Alegre – 2000.

AYRES JR., Frank – Cálculo Diferencial e Integral – Coleção Schaum – Editora Mc Graw Hill do Brasil Ltda – São Paulo – 1977.

BARBANTI, Luciano e MALACRIDA JR., Sérgio A. – Matemática Superior : Um Primeiro Curso de Cálculo – Editora Guazzelli Ltda ( Pioneira ) – SãoPaulo –1999.

BOULOS, Paulo Cálculo Diferencial e Integral – Vol. 1 e 2 Makron Books do Brasil Editora Ltda – São Paulo – 1999.

DEMIDOVICH, B. e otros Problema y ejercicios de Analisis Matematico – Editorial MIR – 5ª Edición – Moscú – 1977.

FINNEY, Ross L. e outros – Cálculo de George B. Thomas – Vol 1 e 2 – Addison Wesley

Editora – Pearson Education do Brasil Editora – 10ª Edição – São Paulo – 2003.

GENTIL, Nelson e outros – Matemática para o 2º Grau – Vol.3 – Editora Ática – 7ª Edição – São Paulo – 1998.

GONÇALVES, Miriam B. e FLEMMING, Diva M. – Cálculo A : Função, Limite, Derivação e Integração Makron Books do Brasil Editora Ltda – 5ª Edição – São Paulo – 1992.

GUIDORIZZI, Hamilton L. – Um Curso de Cálculo – Vol. 1, 2 e 3 – LTC Editora Ltda. – 1ª Edição – Rio de Janeiro – 1986.

IEZZI, Gelson e MURAKAMI, Carlos – Fundamentos de Matemática Elementar – Vol. 1 – Atual Editora – 6ª Edição – São Paulo – 1985.

LARSON, Roland E. – Cálculo com Aplicações LTC Editora Ltda. – 4ª Edição – Rio de Janeiro – 1998.

MORETTIN, PedroA. e outros – Cálculo : Funções de uma e várias variáveis – Editora Saraiva – 2ª Edição – São Paulo – 2004.

ROCHA, Luiz M. – Cálculo 1 – Editora Atlas S.A – 11ª Edição – São Paulo – 1996.

STEWART, James – Cálculo – Vol. I e II – Thomson Learning Editora ( Pioneira ) – 4ª Edição – São Paulo – 2001.

87


SWOKOWSKI, Earl W. – Cálculo com Geometria Analítica – Vol. 1 e 2 Makron Books do Brasil Editora Ltda – 2ª Edição São Paulo – 1994.

calculo 2

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