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Introducción al cálculo con aplicaciones en el área de la salud© Universidad Santo TomásM. Abdala P. y A. Lizama M.
Registro de Propiedad Intelectual N° 204.124
Primera EdiciónSantiago de Chile Abril de 2011
ISBN 978-956-7946-09-9
Diseño de Portada e Interiores: Siujen Chiang
515 Abdala P., M. D. A116 Introducción al cálculo con aplicaciones en el área de la salud/
M. Abdala P., A. Lizama M.—
Santiago de Chile: Universidad Santo Tomás, 2010.315 p.: cuadros.
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Introducción al Cálculocon aplicaciones en el
área de la salud
ABDALA M.D. & LIZANA A.
2010
Editorial Universidad Santo Tomás
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UNIDAD I: Preparación para el Cálculo
Los números reales
Expresiones algebraicas
Términos semejantes
Potencias
Productos Notables
Factorización
Operaciones con fracciones algebraicas
Raíces
Logaritmos
Ecuaciones de 1° grado simples: Lineal, Fraccionaria y Literal
Razones y proporciones
Ecuaciones de 2° grado
Ecuaciones irracionales, exponenciales y logarítmicas
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LOS NÚMEROS REALES
1. Conjuntos Numéricos
1.1. Números Naturales
Los elementos de este conjunto son ,1,,1,,3,2,1 nnn IN .
Características:
a) Si un número natural esn
, el anterior a él que se le denominaantecesor que es 1n , y el siguiente se le denomina sucesor que es
1n .
b) El conjunto de los Números Naturales IN tiene un elemento
mínimo que es el 1, que también se le denomina Primer Elemento, dicho
número no posee antecesor.
c) Entre dos Números Naturales consecutivos no existe ningún
número natural intermedio.
d) Es un conjunto infinito, es decir no existe un número natural
máximo.
e) Cada Número Natural sólo puede ser par o impar . Se dice que un
número natural m es par , sí nm 2 para algún número natural n ; en otras
palabras, m es par si m es un múltiplo de 2. En cualquier otro caso se dice
que m es impar , que se obtiene por la expresión 1·2 nt
f) Si m es un múltiplo de n, se dice que n es un factor de m. por
ejemplo: 13 y 5 son factores de 65, ya que 51365 . Un número natural
que tenga otro factor aparte de sí mismo y al 1 se llama número
compuesto . Un número natural mayor que 1 y que no tenga más factores
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que él mismo y al 1 recibe el nombre de número primo. Todo número par
excepto del 2 es un número compuesto, ya que tiene el factor 2 además
de sí mismo y al 1, por ejemplo 6 es un número compuesto, pues 3·26 , o
bien 1·66
g) IN por tener primer elemento es un conjunto que sirve paracontar .
1.2. Números Enteros
Hay problemas que no tienen solución en IN . Por ejemplo, la ecuación 47 x
no tiene solución en IN pues no existe: IN n tal que 47 x . La necesidad de
resolver problemas de este tipo N baba x ,/ trajo como consecuencia la
ampliación del conjunto numérico natural al conjunto de los Números Enteros.
Definición IN es el conjunto de todos los números negativos (opuestos) de los
números naturales.
Definición IN IN Z 0 : es el conjunto de los Números Enteros
Nota Si consideramos IN Z , IN Z entonces:
Z Z Z 0 ,
Donde: ,,,3,2,1 n Z
Conjuntos de los números enteros pos itivos.
,3,2,1 Z ,
Conjuntos de los números enteros negativos.
Nota Como los conjuntos: Z y Z 0, son disjuntos, entonces para
cada elemento Za cumple, exactamente, una de las tres condiciones
-Za , 0a , o bien Za .
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1.3. Números Racionales
Son los reales con parte decimal periódica y que es posible escribirlos como
una razón o cuociente entre enteros.
0,,/ b Z b Z ab
aQ
A los números racionales se les llaman habitualmente fracciones. En todo
número racional (fracción) se distingue:
ador deno
numerador
b
a fracciónderaya
min
Dada una fracción (racional): ba
, se tiene:
1. Sí ba , entonces la fracción es propia y en consecuencia es menor que
la unidad
Por ejemplo: 15
2
2. Sí ba , entonces la fracción es impropia y en consecuencia es mayor
que la unidad
Por ejemplo: 15
12
3. Si ba , entonces la fracción es unitaria, y en consecuencia es igual a 1.
Por ejemplo: 121
21
Para expresar un número racional (fracción) a decimal, se divide el numerador
por el denominador. Se dan 3 casos, considerando fracciones propias:
1. Decimales exactos o fin itos. El resultado es un decimal exacto o
finito.
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Ejemplo: 75,0750,04
3 (decimal finito)
2. Decimales periód icos. El resultado no es exacto y se repite, una o varias
cifras después de la coma.
Ejemplo: 6,1666,135
(infinito periódico)
3. Decimales semi-periód icos. Después de la coma hay una o varias cifras
que no se repiten, seguidas de un período.
Ejemplo: 358,058333,0127
(infinito semi-periódico)
1.4. Números Irracionales
Son los números reales que no es posible escribir o expresar como cuociente
entre números enteros, por ejemplo 2 , 3 37 , ,, e etc. El conjunto de los
Números Irracionales es el conjunto Q IR II .
1.5. Números Reales
Definición:Entenderemos por número real a todo número que se pueda escribircomo un número de tipo decimal , sea éste periódico (Racional) o no
periódico (Irracional). A este conjunto lo anotaremos por IR .
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2. El Cuerpo ,, IR
Diremos que el sistema formado por el conjunto y las operaciones de adición
(+) y multiplicación (), que anotaremos por: ,, IR constituye una Estructura
Algebraica de Cuerpo por cuanto satisface los siguientes axiomas
(propiedades aceptadas como verdaderas sin demostración):
2.1. , IR es un Grupo Conmutativo, pues cumple:
a) Clausura: a , b s : a + b = s
b) Asoc iat iv idad: a , b , c ( a + b ) + c = a +( b + c )
c) Conmutatividad: a , b , se cumple: a + b = b + ad) Existe Neutro: 0 a , tal que a + 0 = a = 0 + a
e) Existe Inverso: a a , tal que
a + (-a) = (-a) + a = 0
" a " se lee: "inverso aditivo de a" u "opuesto de a".
2.2. , IR es Grupo Conmutativo, pues verifica que:
a) Clausura: a , b m tal que: a b = m
b) Asoc iat iv idad: a , b , c : ( a b ) c = a ( b c )
c) Conmutatividad: a , b , se verifica que: a b = b a
d) Existe Neutro: 1 , tal que: a 1 = 1 a = a
e) Existe Inverso: a , a 0 , 1a , tal que:
(a-1 ) a = a (a -1 ) = 1
" 1a " se lee: "recíproco de a" o "inverso multiplicativo
de a".
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2.3. ,, IR es doblemente distributiva, pues IRcba ,, (multiplicación sobre
adición):
cabacba ··)·(
cbcacba ··)·(
3. Propiedades de los Números Reales
3.1. Axiomas de la Igualdad IRcba ,, :
1. Todo real es igual a sí mismo: aa
2. Si ba entonces ab
3. Si ba y cb entonces ca
4. Si ba , entonces a se puede sustituir por b en cualquier enunciado
matemático.
Nota Los primeros tres axiomas no requieren de una explicación detallada. El último
demostrará ser muy útil al resolver ecuaciones como por ejemplo: Si x y 35 , y
si: 7 x determine el valor de y.
Solución Si se sabe qué x y 35 , y que 7 x , se puede sustituir x por 7 para
obtener 16215)7(35 y .
3.2. Leyes de la Cancelación en ,, IR
Una propiedad importante de las igualdades es que, si el mismo número su suma
a ambos lados de una igualdad, lo que se obtiene es otra igualdad. Una
proposición similar es válida para la multiplicación. Esto es consecuencia del
axioma de sustitución.
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IRcba ,, :
cbcaba
cbcaba
Esto es particularmente útil al resolver ecuaciones, si se utiliza en la forma
siguiente:
0,
cbacbca
bacbca
En la segunda de las leyes de la cancelación, es esencial que 0c ya que por ejemplo:
0·70·4 , pero 74
Propiedad IRd cba ,,, : Sí d cba , entonces:
d bca
d bca
3.3. La sustracción y la división, que son las otras dos operaciones fundamentales
de los números reales, se definen mediante los axiomas de los inversos.
Específicamente, la sustracción y la división se definen como sigue:
Definición Diferencia de números reales )( baba , es la resta "amenos b".
Definición La división 1: baba es la razón "a dividido por b.
Otras formas de expresar ba : pueden serb
a o bien
ba
1·
Nota 1 Tal como sucede con la adición y la multiplicación, la sustracción y la división
se definen sólo para dos números reales a la vez. Sin embargo, estas
operaciones no cumplen el axioma de Conmutatividad ni el de
Asoc iat iv idad.
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Nota 2 Existe un único x en , IR , tal que b xa . Se le llama "solución de la
ecuación aditiva" y resulta ser que x está expresado por abab x )( .
Nota 3 Existe un único x en ·, IR , tal que b xa , con a . A dicho elemento x se
le llama "solución de la ecuación multiplicativa" y resulta ser que x se designa
por: ba 1 . En particular: 1a se escribe también como a1 , es decir: 1a = a
1
Nota 4 0, bbcacb
a
3.4. Propiedades de la Adición en: , IR . IRba , , se verifica que:
1. El neutro aditivo: 0, y el opuesto de un número real a, o sea: )( a , son
únicos.2. aa )( .
3. bababa )()()( .
4. abbaba )()(
3.5. Propiedades de la Multiplicación en ·, IR . IRba , :
1. El neutro multiplicativo: 1 y el recíproco de a, o sea:
1
a , son únicos.2. aa 11)( , siempre que: 0a
3. 111)( baba
3.6. Propiedades de la Adición y Multiplicación en ·,, IR . IRba , .
1. 01
2. aa )1()(
3. abbababa )()()(
4. abbaba )()(
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Ejemplo ¿Que valor de x transforma a la expresión: 532 x en una proposición
verdadera?
Solución
353)32( x
83)3(2 x
802 x
8·2 x
4 x
El proceso descrito anteriormente constituye la resolución de la ecuación
dada. También se dice que x (la incógnita) ha sido despejada en la
ecuación.
El Cero Los resultados siguientes son propiedades importantes que el 0 (cero:
neutro aditivo) tiene con respecto a la multiplicación y la división:
1. 000 aa
2. Si 0ba entonces:
0
0
b
a.
3.00
0 1 bb , siempre que
0b.
4.0
a está definida para ningún a en IR .
Nota 5 00 ab
a
Nota 60: bexiste No
b
a
Nunca dividir por Cero
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Ejemplo Dada la fracción5
62
x
x
Solución:
¿Para qué valor de x, la fracción es nula?
La fracción es nula si 3
x ¿Para qué valor de x, la fracción no existe?
La fracción no existe si 5 x
Ejemplo ¿Qué valor de x transforma a la expresión: 0)5)(32( x x en una
proposición verdadera?
Solución:
El valor es 23 x , o bien 5 x , por la propiedad del 0 para el producto.
Nota 7 El axioma del inverso multiplicativo garantiza que hay inverso para todo
número real, con la excepción: el neutro aditivo 0 no tiene inverso
multiplicativo.
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EXPRESIONES ALGEBRAICAS
I. Término Algebraico
Se llama término algebraico a una combinación de números (coeficiente) y letras
(factor literal) que se relacionan entre sí por medio de la multiplicación y/o la
división.
Ejemplo 1
a2 ; xy3 ; pa26 ;
3 6
5 y x ;
ba
xy4
3
3
2
De acuerdo a los ejemplos, en todo término algebraico podemos distinguir:
a) El Coeficiente o factor numérico, que es el número que acompaña a una o más
letras.
b) El Factor Literal que es (son) la(s) letra(s) de un término algebraico.
Observación Como los coeficientes pueden ser positivos o negativos (no olvidar que
estamos trabajando en
), luego los términos algebraicos pueden serpositivos (+) o negativos (-). Se llama grado del término algebraico a la
suma de los exponentes de las letras que aparecen en el término.
Ejemplo 2
En los términos525 y x y
2346 z y x , identifique coeficiente, factor
literal, y el grado.
Solución 525 y x 2346 z y x
Coeficiente : -5 6
Factor literal : 2 x5 y
234 z y x
Grado : 7 9
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Entonces:
1. Los términos del polinomio son x x x x x 4,7,6,2,2356 y 6
2. Los coeficientes de5432 ,,,,, x x x x x xo y 6 x son 6, -4, -7, 6, 0, -2, y 1
respectivamente.
3. El coeficiente principal del polinomio es 1.
4. El grado del polinomio es 6.
Ac tividad:
En base al ejemplo anterior, completar el cuadro siguiente:
Polinomio Términos Coeficientes CoeficientePrincipal
Grado
13682 235 x x x x
332 2 x x
x x x 423 23
234 392 x x x
6436 234 y y y y
24 2aa
La mayor parte de la terminología presentada en el caso de un polinomio de una
variable se aplica también en el análisis de polinomios en distintas variables. Pero el
grado de un término en un polinomio en diferentes variables se obtiene sumando las
potencias de todas las variables que aparecen en el término y el grado del polinomio
está dado por el término de grado máximo.
Ejemplo:
43832 2352 y xy xy y x , es un polinomio en dos variables, x e y . Tiene cinco términos
con grados 7, 4, 3, 1 y 0 respectivamente. Por lo tanto, el grado del polinomio es 7.
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III. Términos Semejantes
Dos o más términos son semejantes cuando poseen el mismo factor literal (en donde
cada letra tiene el mismo exponente), pero distinto factor numérico o coeficiente.
Ejemplo:
2 xz ; 23 xz ; 24
3 xz
Claramente se puede apreciar en el ejemplo que los términos anteriores son
semejantes entre sí, ya que, solamente difieren en el factor numérico.
IV. Reducción de Términos Semejantes
En una expresión algebraica entenderemos por Reducción de Términos Semejantes
efectuar la adición y/o sustracción de los términos semejantes que en ella estén
contemplados.
Ejemplos Reducir términos semejantes en las siguientes expresiones algebraicas:
1. 2ab –3a2b – 4a2b – 6ab +8ab3 + 9a3b
Solución Marcando de manera distinta los términos semejantes que
aquí aparecen, tenemos:
2ab – 3a2b – 4a2b – 6ab + 8ab 3 + 9a 3b = – 4ab – 7a2b + 8ab3 + 9a3b.
2. – 21a + 3b – 5c + 2d
Solución Dado que no existen términos semejantes, el resultado es el
mismo polinomio, es decir: – 21a + 3b – 5c + 2d.
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Solución: 1º) Para a = 2; b = –1; c = 3.
–3ab + c = –3·2· (–1) + 3 = 6 + 9 = 9
2 –1 3
2º) Para a = –3; b = 0; c = –2.
–3ab + c = –3· (–3)·0 + (–2) = 0 – 2 = – 2
Un factor cero. Resultado de la multiplicación cero
–3 0 –2
3º) Para a = 0; b = 6; c = 7.
–3ab + c = –3·0·6 + 7 = 0 + 7 = 7
Un factor cero. Resultado de la multiplicación cero0 6 7
2. Evaluemos –x2, para: 1º) x = –2.
2º) x = 2.
Solución: 1º) Para x = –2.
–x2 = – (–2)2 Primero se ejecuta la potencia (–2)2 = (–2)
(–2) = 4
= – 4
–2
Luego, –x2 = – 4, cuando x = –2.
2º) Para x = 2.
–x2 = – 22 Primero se ejecuta la potencia 22 = 2
2 = 4
= – 4
2
Luego, –x2 = – 4, cuando x = 2.
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3. Evaluemos ( –x)2, para: 1º) x = –2.
2º) x = 2.
Solución: 1º) Para x = –2.
( –x)2 = (– (–2))2 Primero observamos que – (–2) = 2
= 22 = 4
–2
Luego, ( –x)2 = 4, cuando x = –2.
2º) Para x = 2.
( –x)2 = (–2)2
= 4
2Luego, ( –x)2 = 4, cuando x = 2.
Observación:
Note lo relevante que resulta el signo de agrupamiento, el paréntesis,
como se observa en los ejercicios anteriores (fijarse en el Ejercicio 2):
–x2, es lo mismo que, –(x)2. En la potencia, la base es “x” y su exponente
es “2”.
Pero, en (–x)2, la base es “ –x” y su exponente es “2”.
b) Adición de Expresiones Algebraicas o Suma de Polinomios
Para sumar polinomios, sean monomios o multinomios, bastará cumplir con dos
etapas:
1º) Eliminar los paréntesis según las reglas que vimos al operar números
enteros o racionales.
2º) Agrupar y reducir los términos semejantes cuando corresponda.
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Ejemplo Sumar las expresiones ‘ x2y + x – 4xy’ y ‘6x2y – 2x + 4xy + xy2’.
Solución: Queremos sumar las expresiones algebraicas, es decir,
queremos obtener una expresión que sea igual a:
P = (x2y + x – 4xy) + (6x2y – 2x + 4xy + xy2)
Primero recordemos que, si delante de un paréntesis hay un signo “más”, los signos de
los términos que están en su interior no cambian. Posteriormente agrupamos los
términos semejantes para finalmente reducirlos:
x2y + x – 4xy + 6x2y – 2x + 4xy + xy2 = x2y + 6x2y + x – 2x + –4xy +4xy + xy2
= (1 + 6)x2y + (1 – 2)x + ( –4 + 4)xy + xy2
Luego: P = 7x2y + (–1) · x + 0 · xy + xy2
P = 7x2y – x + 0 + xy2
P = 7x2y – x + xy2
Por lo tanto: (x2y + x – 4xy) + (6x2y – 2x + 4xy + xy2) = 7x2y – x + xy2
c) Sustracción de Expresiones Algebraicas o Resta de Polinomios.
Para restar expresiones algebraicas debemos recordar que, si delante de un
paréntesis hay un signo “menos”, deben cambiar los signos de los términos que seencuentran en su interior.
Ejemplo Al polinomio x2y + x – 4xy restarle el polinomio 6x2y – 2x + 4xy + xy2.
Solución: (x2y + x – 4xy) – (6x2y – 2x + 4xy + xy2)
= x2y + x – 4xy – 6x2y + 2x – 4xy – xy2
y se suma como en el ejemplo anterior:
= (1 – 6)·x2y + (1 + 2)·x + (– 4 – 4)xy – xy2
= – 5x2y + 3x – 8xy – xy2.
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d) Eliminar Paréntesis y Reducir Términos Semejantes
Aprovechando lo señalado en los puntos anteriores b) y c), veamos un ejemplo de
reducción de términos semejantes, eliminando paréntesis.
Ejemplo:
Eliminar paréntesis y reducir términos semejantes.
x y y x y x x y x 4323
Solución: Iremos desde el interior al exterior:
x y y x y x x y x 4323 x y y x y x x y x 4323
x y y x y x x y x 4323
x y y x y x x y x 4323
x y y x y x x y x 4323
y x 2
Actividad Resolver los ejercicios que a continuación se plantean:
1. Sumar las expresiones:
a) (5r + 6s – 2r 2s3) y (2s + 4r + 2r 2s3)
b) (2x2 –3
1x + 3) y (
5
2x2 +
3
7x – 3)
c) (5x2y – 9xy + 6xy2) y (6x2y + 9xy + 5xy2)
2. Restar las expresiones:
a) (5r + 6s – 2r 2s3) y (2s + 4r + 2r 2s3)
b) (2x2
– 3
1
x + 3) y ( 5
2
x2
+ 37
x – 3)
c) (5x2y – 9xy + 6xy2) y (6x2y + 9xy + 5xy2)
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3. Evaluar, para los valores dados, las siguientes expresiones:
a) 7x2y – 5xy + l si x = –1 e y = 1 b) 2a2b –3
1ab + 3a si a =
2
1 y b=
2
3
c) 27 r 3 – 9r 2 + 3r si r =3
1 d) 16x4 – 8x3 + 2x – 1 si x = –
2
1
4. Elimine paréntesis y reduzca términos semejantes:
a) (3a2 + 2ab + c) + (3c – 4a2 – ab)
b) (10x2y + 5xy2 –3xy + 2) – (–4xy – 2x2 +4y2)
c) (2x2y + 4xy2 + 6xy) – (8x3 + 16x2y + 4xy2) – (–xy2 + 4xy + 2)
d) [(8a2 – 6b2) – (14ab + 2b2)] – [5a2 + 6ab + 10b2]
e) [20x2 – 12xy + 15y2] – [(4x2 + 8y2) – (10xy – 5y2)]
f) (a2 + a) – [(2a2c + 6ac2 + 8ac) – (–3a2c + 6a2 + 9ac)]
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POTENCIAS EN IR
Potencias de Exponente Natural
La expresión an se llama potencia enésima de a, y es igual al producto de n factores a.
Es decir:
an = a·a· ……·a, n número natural
n factoresdonde:
a : se llama base de la potencia a n Exponente
n : se llama exponente de la potencia
an: se llama n-ésima potencia de a Base
Ejemplos:
a) 23 = 2·2·2 = 8
b) (
2)3 = (
2) · (
2) · (
2) =
8
c) (
3)2 = (
3) · (
3) = 9
d) y4 = y · y · y · y
e) a2 = a · a
f) x1 = x
Observaciones:
1. 0n = 0·0·.....·0 (n factores)
Luego: Para todo n
IN: 0n = 0
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2. 1n = 1·1·.....·1 (n factores)
Luego: Para todo n
IN: 1n = 1
3. (
a )2 = (
a)·(
a) base (
a), exponente 2
( a2 ) =
(a
a) base a, exponente 2. El exponente no alcanza al signo.
Usualmente escribiremos:
a2 en vez de
(a2), pues el exponente tiene alcance mínimo.
Para que afecte al signo será preciso usar paréntesis.
Luego: - ( an ) = - an
En general: (
a)n
an
Más aún: (
a)n =
an, sólo cuando n es impar.
Ejemplos
a)
52 =
(5·5) =
25
en cambio: (
5)2 = (
5) · (
5) = 25
b)
23 =
(2·2·2) =
8
por otro lado: (
2)3 = (
2) · (
2) · (
2) =
8
y, por último:
(
2)3 =
[(
2)·(
2)·(
2)] = 8
c) En particular, veamos las potencias de
‘
1’: (
1)1 =
1; (
1)2 = 1;
(
1)3 =
1; (
1)4 = 1; (
1)5 =
1; (
1)6 = 1; etc.
En general se cumple que:
1º. (
1) elevado a exponente impar es
1.
2º. (
1) elevado a un exponente par es 1.
-
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29
Es decir: 1º. (
1)2n 1 =
1 , con n
IN.
2º. (
1)2n = 1 , con n
IN.
4. En general toda potencia de exponente par es mayor o igual que cero:
a2
0, para cualquier número real a.
5. Observe que mnmn aa
Ejemplo:
(23)2 = (2 3) · (23) = (2·2·2)·(2·2·2) = 26; en cambio,2
32 = 23·3 = 29
Es decir:2
32322
6. Las Potencias de 10 con exponente natural se usan para anotar abreviadamente
números muy grandes.
101 = 10
102 = 10·10 = 100
103 = 10·10·10 = 1.000
104 = 10·10·10·10 = 10.000
10n = 10·10·......·10 = 10..........0
n factores n ceros
Ejemplos: a) La distancia aproximada de la tierra al sol es ciento cincuenta
y cinco millones de kilómetros. La notación abreviada por
potencias de 10 es:
155.000.000 km. = 155·1.000.000 km. = 155·106 km.
b) La distancia aproximada de la tierra a la luna es 384.000
kilómetros y la escribimos:
384.000 km. = 384·1.000 km. = 384·103 km.
-
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O bien, usando decimales, se expresa en notación científica:
384.000 km. = 3,84·100.000 km. = 3,84·105 km
Actividad Resuelva
1) Calcular el valor de las siguientes potencias:
a) 25 b) 52 c) (
2)5 d) 117 e) 171
2) Diga qué número es mayor:
a) 232 ó (23)2 b) 323 ó (3
2)3 c) 333 ó (33)3
Soluciones
1. a) 32; b) 25; c)
32; d) 1; e) 17
2. a) 2 23
232 ; ya que
6922 ; b) ;33
3232
ya que 68 33 ;
c) ;)3(3 3333
ya que 927 33
7. Potencia de Exponente Cero
Definición: Para todo número real a distinto de cero, la potencia a0 vale 1.
Es decir: 1x0
; x
0
Ejemplos:
a) 20 = 1; (
2)0 = 1; (22)0 = 1.
b) 15
2 0
; 15
2 0
; 120
c)
20 =
1, recuerde
20 =
(20) =
(1) =
1
00 Expresión Algebraica No definida
-
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8. Potencia de Exponente Entero Negativo
Definición:
1. Se define la potencia de base a (número real distinto de cero) y exponente
‘
1’ como el inverso multiplicativo o recíproco de a.
Es decir:
a1 =a
1 ; con a
0,
2. Generalizando, se define la potencia de base real a (distinta de cero) y
exponente entero negativo ‘
n’ como el recíproco de la n-ésima potencia a
o, de otro modo, como la n-ésima potencia del recíproco de a.
Es decir:
n
n
n
aaa
11 ; con a
0, n
IN
Ejemplos
a) 21 =
2
1, pues a –1 =
a
1
b) 2 –3 = 32
1=
8
1
pero, (
2) –3 = 32
1
=8
1
=
8
1
c)1
2
1
=2
1
1
=2
1:1 =
1
21 = 2; luego:
1
2
1
= 2
d)1
2
3
=2
3
1
=2
3:1 =
3
21 =
3
2; luego:
1
2
3
=3
2
-
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Observación
a) x 0 =0
x
1 = 1; note que 0 =
0, luego x – 0 = x0 = 1
b) x ( 5) = 5-x
1= x5
c) Potencia de 10 (exponente negativo): Vimos que las potencias de base
diez con exponente entero positivo o natural, nos sirvieron para anotar
números grandes. Ahora veremos que con exponentes enteros negativos
podremos anotar números decimales pequeñísimos.
Las potencias de exponente entero negativo para el 10 son:
101 =101 = 0,1 102 = 2
101 =
1001 = 0,01
103 = 310
1 =
000.1
1 = 0,001 104 = 4
10
1 =
000.10
1 = 0,0001
Ejemplos:
a) El diámetro de una molécula de aire es 2,5
10-8
cms.b) Un átomo de hidrógeno pesa 1,6
10-24 gramos.
c) La masa de un electrón es 9,108
10-31 kg.
-
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ALGEBRA DE POTENCIAS EN IR
1. Propiedades. Para todo IRba , y Z mn , se tiene
1. mnmn aaa Se suman los exponentes
2. nnn baba )( Se multiplican las bases
3. mnmn aa )( Se multiplican los exponentes
4. mnm
n
aa
a Se restan los exponentes
5.n
n
n
ba
b
a
Se dividen las bases
Ejemplos: 73434 aaaa 555 )( baba 124·343 aaa
Ejemplos:5
5 1
aa 347
4
7
aaa
a
7
7
7
b
a
b
a
Nota 1 La expresión: mn ba (Suma de Potencias). Se calcula por separado, salvo
cuando a es igual a b y m es igual a n. Caso en el cual, se suman por ser
términos semejantes. Las operaciones: mn ba , mn ba carecen de una
propiedad operativa. Se calculan las potencias por separado y luego se
multiplican o dividen según corresponda.
Nota 2 Es totalmente incorrecto si se escribe bababa 1111111 )()()( . Para
2a y 4b se tiene3
4
4
3
4
1
2
1)42()(
11111111
ba , es claro
que 642 ba .
-
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2. Signos de una Potencia
a) Si la base es positiva, la potencia también es positiva.
b) Si la base es negativa y el exponente es par , entonces la potencia
es positiva.
c) Si la base es negativa y el exponente es impar , entonces la
potencia es negativa.
Es decir: Si 0a entonces 0na
Si 0a entonces 02 na
Si 0a entonces 012 na
En consecuencia, para 0a
nnaa
22)( 44 3)3(
)()( 1212 nn aa 33 5)5(
Importante 22 )()( x y y x 33 )()( x y y x
Ejemplo 322)2( 55 7293)3( 66
3. Productos Notables con Potencias
Existen ciertos tipos de productos especiales que aparecen con tanta
frecuencia que pueden manejarse como fórmulas estándar. Inicialmente,
consideremos los siguientes productos:
222 2)( bbaaba
222 2)( bbaaba
-
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El cuadrado de la suma (o de la diferencia) de dos números es igual al
cuadrado del primer término, más (o menos) el doble producto de los dos
términos, más el cuadrado del segundo término.
Ejemplo 491477··2)7( 2222 x x x x x 16844··2)4( 2222 x x x x x
Cubo de una suma o de una diferencia:
32233 ··3··3)( bbabaaba
32233 ··3··3)( bbabaaba
El producto de la suma por la diferencia de dos números es igual al cuadrado
del primer término menos el cuadrado del segundo término.
22))(( bababa
Ejemplo 491477··2)7( 2222 x x x x x 16844··2)4( 2222 x x x x x
Producto de dos binomios con un término común:
nm xnm xn xm x ·)·())(( 2
Ejemplo 1075·2)·52()5)(2( 22 x x x x x x 12)4(3))4(3()4)(3( 22 x x x x x x
Nota 444)( y x y x , Si consideramos )( y x como un solo término será:
)·()()( 34 y x y x y x
Importante 6)3)·(2( 2 x x x 94)32( 22 x x
-
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36
4. Factorización
En la sección anterior multiplicamos expresiones algebraicas; en esta sección,
invertiremos el proceso para escribir una expresión algebraica como el producto de
quienes generaron dicha expresión. Es decir, factorizar una expresión algebraica (suma
y/o resta de términos algebraicos), consiste en escribirla en forma de multiplicación, osea, es el proceso inverso de la multiplicación o desarrollo de un producto.
En la sección anterior:
El problema era:
Resolver un producto de expresiones algebraicas.
La solución era:
Una expresión algebraica con su reducción de términos
semejantes, si los había.
En esta sección:
El problema es:
Una expresión algebraica.
La solución será:
El producto que generó la expresión algebraica.
4.1. Factores Comunes
Si cada uno de los términos de un polinomio tiene como factor el mismo
término a éste se le llama factor común del polinomio. Según el axioma de
distributividad se tiene que:
xz xy z x y x z y x ··)(
Al utilizar esto en sentido contrario es posible factorizar un polinomio. Por
ejemplo:
)(··· d cbad acabaad acab
-
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Ejercicio 1: Factorizar : x x x 1248 23
Ejercicio 2: Factorizar 2223 18126 xy y x y x
4.2. Factores de un Binomio
Los productos especiales dados anteriormente se pueden utilizar como reglas
auxiliares para factorizar algunos tipos de polinomios.
4.3. Diferencia de cuadrados
La diferencia de cuadrados de dos números reales es igual al producto de la
suma por la diferencia de los dos números.
))·((22 y x y x y x
Ejemplo )114)·(114(1214 2 x x x )53)(53(259 2 x x x
4.4. Suma de cubos y diferencia de cubos
La suma de cubos 33 y x , así como la diferencia de cubos 33 y x , siempre se
pueden factorizar:
))(( 2233 y xy x y x y x
))(( 2233 y xy x y x y x
Ejemplo )1)·(1(1 23 x x x x )1)·(1(1 23 x x x x
Nota 1 Existe una gran diferencia entre los siguientes desarrollos:
))(( 2233 y xy x y x y x 32233 33)( y xy y x x y x
-
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5. Factores de trinomios
5.1. Trinomios que son cuadrados perfectos
Ciertos trinomios se pueden escribir como el cuadrado de un binomio empleando
las fórmulas siguientes:
222 2)( y xy x y x 222 2)( y xy x y x
Ejemplo 22 )32(9124 x x x 22 )43(16249 x x x
Nota 2 La siguiente suma de cuadrados perfectos 22 y x . NO es factorizable con
coeficientes reales.
6. Factorización de un Trinomio Cuadrático
Se denomina trinomio cuadrático a todo trinomio de la forma cbxax xt 2)( , y
donde a, b y c son números reales y 0a . En particular consideremos las
siguientes formas:
Forma 1 cbx x xt 2)( , donde 0, Z cb
Forma 2 cbxax xt 2)( , donde 0,, Z cba
La forma (1) es factorizable con coeficientes enteros sí existen m y n números
enteros no nulos tal que:
))(()( 2 n xm xcbx x xt
En este caso se debe de verificar que:
bnm cnm ·
-
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Ejemplo )6)(1(672 x x x x )13)(1(13122 x x x x
Ejercicio 1 Factorizar : 65)( 2 x x xt 65)( 2 x x xt
La forma (2) es factorizable con coeficientes enteros sí: acb 42 es un
cuadrado perfecto no negativo. La factorización de la forma (2) donde a,
b y c son números enteros no nulos, debe de ser expresada como:
)·)·(·( n xqm x p
Donde m, n, p y q son números enteros no nulos. Se deduce que para
lograr esto en forma eficiente, es útil escribir los factores de a por pares y
los factores de c por pares, ya que deberá cumplirse
,·,· cnmaq p bqmn p ··
Lo anterior lo podemos ver en el siguiente desarrollo al aplicar la
propiedad distributiva:
nm xmq pn xq pnmqxmn pxqx pxq pxnmx ·)(····))(( 2 )(2 xt cbxax
Ejemplo )53)(12(5136 2 x x x x )32)(45(12710 2 x x x x
Ejercicio 2 Factor izar : 456)( 2 x x xt 456)( 2 x x xt
Nota Se puede suponer que 0a , ya que siempre es posible, si se requiere,
factorizar por )1( .
)121115(121115)( 22 x x x x xt
Nota Si no existen valores que satisfagan, entonces el trinomio cuadrático es un
polinomio primo o irreductible, lo que se determina sí la expresión acb 42 ,
-
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obtenida de los coeficientes del trinomio cuadrático, representa a un número
real negativo.
Ejemplo 532)( 2 x x xt no es factorizable pues 031)5)(2(434 22 acb
Ejemplo 532)( 2 x x xt si es factorizable pues 049)5)(2(434 22 acb
Nota: Este método también se aplica a polinomios en dos variables de la forma
22 ····),( yc y xb xa y xP
Ejemplo 22 9124),( y xy x y xP es factorizable pues )32)(32(),( y x y x y xP
Como se ha podido apreciar, los Productos Notables vistos en la sección anterior son
muy importantes para efectuar Factorizaciones. Con el objetivo de internalizar y
visualizar de mejor forma una factorización de una expresión algebraica, por medio
especialmente, de su producto notable respectivo, presentaremos el siguiente cuadro:
-
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RESOLVER
Los Siguientes Productos
FACTORIZAR
Las Siguientes Expresiones Algebraicas
aa 2a
)( baa aba 2
2)( ba 22 2 baba
2)( ba 22 2 baba
))(( baba 22 ba
))(( b xa x ab xba x )(2
2)( cba bcacabcba 222222
3)( ba 3223 33 babbaa
3)( ba 3223 33 babbaa
))(( 22 bababa 33 ba
))(( 22 bababa 33 ba
-
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Actividad
1. Unir la expresión algebraica de la columna “A” con su correspondiente
factorización en la columna “B”.
COLUMNA “A” COLUMNA “B”
6524436 33 y y x y x y x 322 )( y y x
z y z x y x z y x 2323246 4424 )42)(2( 4222 y xy x y x
46225 y x x )12)(2( y x y x
2234 42849 y x y x x 22 )27( xy x
1242 x x )5)(5( 2323 y x x y x x
66 y x 223 )2( z y x
44 326 y x y x )4)(3( y x y x
32238126 y xy y x x )632(5 222222 y x xz yz z y x
63 8 y x 23 )2( y x
yz xz xy z y x 641294 222 3)2( y x
22 12 y xy x )2)(6( x x
y x y x 24 22 ))(( 422422 y y x x y x
234423432 301510 z y x z y x z y x 2)32( z y x
-
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FRACCIONES ALGEBRAICAS
1. Expresión Fraccionaria
Una expresión fraccionaria es un cuociente o división de expresiones
algebraicas.
Ejemplo a.1
53
x
x
b.52 x
x
c. 522 132
x x
x x
Nota La división por cero no está definida
1.1. Expresión racional
Tipo especial de expresión fraccionaria que es igual al cociente (o razón) de dos
polinomios.
Ejemplo a. 1
1342
2
x
x x
b. 54
15332
23
x x
x x x
c.1
233
2
x
x x
-
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1.2. Fracciones Equivalentes
Para todos los números reales a, b, c y d se tiene:
0,0, d bcbd ad
c
b
a
Nota La definición de fracciones equivalentes cambia la igualdad de dos
fracciones (igualdad de dos divisiones) por la igualdad de dos productos.
Ejercicio Indique para que valores de la variable las siguientes fracciones son
equivalentes: 5
54 x y
3
73 x.
1.3. Principio fundamental de las fracciones
0,0, bk b
a
bk
ak
Ejemplo: a.1
2
)1·(15
)2·(15
1515
1530
x
x
x
x
x
x
b. 32
)3·(4
2·4
124
8
x
x
x
x
x
x
1.4. Signo de las Fracciones
b
a
b
a
b
a
b
a
, b 0
b
a
b
a
b
a
b
a
, b 0
-
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1.5. Amplificación y Simplificación de una fracción
El principio fundamental de las fracciones, el cual es: ba
bk
ak , con 0b , si k es
distinto de cero, se puede utilizar en dos formas. Una fracción se puede
simplificar eliminando un factor común tanto del numerador como del
denominador. A esto se le llama cancelar, simplificar o reducir . Por otra parte,
en muchas situaciones es preferible introducir un factor común, mediante la
multiplicación, en el numerador y en el denominador. A esto se le llama
amplificar .
Simplificación:
Se dice que una fracción está en su expresión mínima, si el numerador y el
denominador no t ienen factores comunes (a excepción del 1 como factor). El
principio fundamental se puede utilizar para reducir una fracción a su expresión
mínima eliminando los factores comunes del numerador y del denominador.
Nota: Sólo se pueden eliminar los factores comunes, no los términos que se
sumen o resten. Los miembros de una fracción se deben factorizar de tal modo
que los factores comunes se identifiquen con claridad.
Amplif icación:
En muchas operaciones, una expresión debe tener cierta forma específica. Esto
último se puede lograr a menudo si ambos miembros de la fracción se
multiplican por una misma expresión. El efecto es multiplicar la fracción por 1,
pues:
0,0,1 k bbk
ak
k
k
b
a
b
a
b
a
-
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2. Multiplicación y División de Fracciones.
2.1. Producto de Fracciones
Si d c
b
a y son dos fracciones en la que b y d (sus denominadores) son
diferentes de cero, su producto es:
0·,·
·· d b
d b
ca
d
c
b
a
El producto de dos o más fracciones dadas es una fracción cuyo numerador es
igual al producto de los numeradores de las fracciones dadas, y cuyo
denominador es igual al producto de los denominadores de las fracciones dadas.
Ejemplo Calcular:)1·(7
)53(2
7
53
1
2
x
x x x
x
x, siempre que 1 x
Ejemplo Calcular:103
156
5
53
2
322
2
x x
x x
x
x
x
x, siempre que 2 x y 5 x
Ejemplo Calcular:12112
12
4
3
32
42
x x
x
x x
x, siempre que 2
3 x y 4 x
2.2. Producto de una Fracción por una expresión entera
0,·
bb
E a E
b
a
Demostración: 0,11
b
b
aE
b
E a E
b
a E
b
a
Ejemplo84
21
84
7·37·
84
3
x
x
x
x
x
x, siempre que 2 x
-
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Ejemplo x
x x
x
x x x
x
x
31
410
31
)25(2)25(
31
2 2
, siempre que 31 x
Nota Casi siempre es útil reescribir el producto en su expresión mínima. Para simplificar
el trabajo, los miembros de las fracciones se deberán factorizar, en caso de serposible, antes de formar o calcular el producto. En esa forma, los factores
comunes se pueden ver con facilidad y eliminarse por simplificación.
Ejemplo Opere y simplifique 2
12
13
12
2
x x
x
x
x
)2)(13(
)12)(1(
)2)(1)(13(
)12)(1)(1(
)2)(1(
12
13
)1)(1(
2
12
13
12
2
x x
x x
x x x
x x x
x x
x
x
x x
x x
x
x
x,
siempre que 1 x , 2 x y 31 x
2.3. División de Fracciones
Para dividir: d c
b
a por en donde b, c y d son diferentes de cero se escribe:
c
d
b
a
d
c
b
a:
Demostración:
bc
ad
c
d
b
ac
d
b
a
c
d
d
cc
d
b
a
d
cb
a
d
c
b
a
1
Nota El reciproco o inverso multiplicativo de d c
es cd
. Esto permite expresar la
división de fracciones verbalmente como sigue: Para hallar el cuociente de dos
fracciones, se multiplica por el recíproco del denominador.
-
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48
Ejemplo: 105123
)2·(5
)4·(3
5
4
2
3
4
5:
2
3
x
x
x
x x
x x x , siempre que42 x y x
Ejemplo:152
93
)5)·(3(
)3·(3
5
3
3
3
3
5:
3
32
2
x x
x x
x x
x x
x
x
x
x
x
x
x
x,
Siempre que 3 x , 3 x y 5 x
Ejemplo: x x
x
x x x
x x
x
x
x x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
422)·2)·(2(
)2·(
2
2
)2)(2(2
2
42
2:
4
1
2
222
2
2
2
2
,
Siempre que 2 x , 2 x y 0 x
2.4. División de una Fracción por una expresión entera
0,: bn
nban
ba
Ejemplo 12
2
)3)(4(
2)3(:
4
22
x x
x
x x
x x
x
x, Siempre que 4 x y 3 x .
Ejemplo 1,,4531
)1)(45(
)1(31
)1)(45(
3131)1(:
45
313154
x x
x x x
x
x x
x x
x
x
2.5. División de una expresión entera por una fracción
0,0,: aba
nb
b
an
Ejemplo 4
1,0,
3
14
··3·2
)14·(2
6
14·2
14
6:2
2
2
x x
x
x
x x
x x
x
x x
x
x x
Ejemplo 5221315
52
)15)(23(
52
15·)23(15
52:)23(
2
x
x x
x
x x
x
x x x
x x
-
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49
3. Adición y Sustracción de Fracciones
3.1. Denominadores Iguales
Al sumar o restar dos fracciones que tienen el mismo (igual) denominador,
simplemente sé reescribe el denominador y se suman o restan los numeradores,
según sea el caso.
0,
d cond
ba
d
b
d
a
0,
d cond
ba
d
b
d
a
Esto es válido debido a la ley distributiva, ya que:
d
baba
d b
d a
d d
b
d
a ·
1·
1·
1
Nota Para evitar errores al sumar o restar los numeradores, es recomendableencerrarlos entre paréntesis, aplicar la ley distributiva y luego efectuar las
operaciones. Después de combinar las dos fracciones en una sola se reducen
términos semejantes y se reduce la nueva fracción a su mínima expresión.
Ejemplo: )1(5
)1·(5
5
55
5
)72()23(
5
72
5
23
x
x x x x x x
Ejemplo: x x x
x
x x
x
x
x
x
3
12
3
)12()2(
3
12
3
2 222
, siempre que0 x
Ejemplo: 2
1
2
)21()22(
2
21
2
22 222
x
x
x
x x x
x
x
x
x x siempre que 2 x
-
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50
3.2. Denominadores distintos
Si los denominadores de las fracciones que se van a sumar o restar no son
iguales (son distintos), primero se cambian las fracciones originales por fracciones
equivalentes con el mismo denominador, y luego se suman o restan como ya se
ha indicado.
0,
bd conbd
bcad
d
c
b
a
0,
bd conbd
bcad
d
c
b
a
Nota Se hace que cada fracción tenga el mismo denominador multiplicando el
numerador y el denominador por un mismo factor (o por la misma expresión). Se
usa el principio fundamental, que nos permite la amplificación:
0,0, bk bk
ak
b
a
Ejemplo x x x x
x x
x
x x
x x
x
x
x
x
x
x
23
2)·2(
··3·2
5
32
3)·7(
3
2
6
5
2
72
26
2)·2()5(3)·7(
x
x x x x x
2
22
6
425321
x
x x x x x
2
2
6
5518
x
x x , siempre que 0 x
Ejemplo Dada la expresión x
x
x x
x
x
x x x E
1
21
21
1
1)(
22
2
.
Simplifíquela y evalúe para 1,0 x x :
-
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Solución:
x
x
x x
x
x
x x x E
1
21
21
1
1)(
22
2
)1)(1(
)1)(21(
)1)(1(
1
)1)(1(
)1(
x x
x x
x x
x
x x
x x
)1)(1(
)1)(21()1()1(
x x
x x x x x
)1)(1(
211 22
x x
x x x x x
)1)(1(
32
x x
x x
)1)(1(
)3(
x x
x x
Al evaluarla para 1,0 x x , obtenemos:
01
0
)01)(01(
)30·(0)0(
x E
0
2
)11)·(11(
)31)·(1()1(
x E , la expresión no está definida
para 1 x
4. El mínimo común denominador m.c.d.
El mínimo común denominador de varias fracciones es igual al mínimo común
múltiplo de los denominadores de las fracciones Se abrevia m.c.d. (no confundir
con M.C.D. que significa máximo común divisor), y por lo general se escribe en
forma factorizada. El m.c.d. debe ser divisible por cada uno de los denominadores
y sólo debe de contener a aquellos factores necesarios para satisfacer este
requerimiento.
Para determinar el m.c.d, se comienza por factorizar cada uno de los
denominadores de las fracciones que se suman o restan en sus factores primos.
-
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Luego se escribe el producto de los distintos factores primos de los
denominadores y se da a cada factor primo un exponente igual al máximo
exponente de ese factor primo en cualquiera de los denominadores dados.
Ejercicio Opere y simplifique la expresión 42
24
13)(
222
x x x x x E .
Solución:
)2)(2(
2
)2)(1(
4
)1)(1(
3)(
x x x x x x x E
)2)(2)(1)(1(
)1(2)2)(1(4)4(3 22
x x x x
x x x x...
Nota La suma o resta de fracciones algebraicas con denominadores distintos es, por
lo tanto, una fracción cuyo numerador es la suma de los numeradores de lasfracciones equivalentes, y cuyo denominador es el mínimo común denominador
(m.c.d.). La fracción final debe reducirse a sus términos mínimos.
Nota Sólo es necesario hallar el mínimo común denominador (m.c.d.) cuando se
suman o se restan fracciones. No se requiere el m.c.d. al multiplicar o dividir
fracciones algebraicas.
5. Adición y Sustracción de Fracciones y expresiones enteras
0,
bb
bnan
b
a
0,
b
b
bnan
b
a
Ejemplo 0,3
23
3
3323
3
)1·(3)23()1(
3
23 2222
x
x
x
x
x x x
x
x x x x
x
x
-
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Ejercicio: Opere y simplifique la expresión:h
x
x
h x
h x
h x E
2
53
)(2
5)(3
),(
Solución
h
x
x
h x
h x
h x E 2
53
)(2
5)(3
),(
h
x
x
h x
h x
2
53
2
533
h
xh x
xh x xh x
22
53225)(3
xh xh
xh x xh x
22
5322533
xh xhh
2211
xh x
22
11
-
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RAÍCES
Para los números naturales n y para el número real b se ha definido la enésima
potencia de b, la cual se denota por nb . Ahora se utilizará la ecuación nba para
definir la enésima raíz de a.
1. Raíces Cuadradas
En general, la raíz cuadrada de a se define como sigue.
Definición Sean a y b números reales positivos: 2baba
Por lo tanto, sí: 0a entonces, 0a y además aa 2 . Si 0a ,
entonces 00
A veces recibe el nombre de raíz cuadrada principal de a.
Nota 1 Si: 0a , entonces ab 2 y además ab 2)( , es decir, siempre existen dos
números reales, uno positivo y el otro negativo, que tienen como cuadrado a a.
Nota 2Es muy importante hacer notar que a denota únicamente el número
positivo cuyo cuadrado es a.
Ejemplo Calcule el valor de cada una de las expresiones:
a) 13169 b) 13169 c) 169
No existe.
-
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2. Raíces Cúbicas
En el caso de las raíces cúbicas se pueden utilizar tanto números reales positivos,
negativos como el cero.
Definición Si a y b son números reales cualesquiera, se define: 33 baba
O sea, sí 0a , entonces 0b , mientras que si 0a , entonces 0b . Al número b se
le llama raíz cúbica principal de a o simplemente la raíz cúbica de a. Sí 0a ,
entonces003
Se ve claro que existe una diferencia básica entre las raíces cuadradas y las raíces
cúbicas. Las raíces cuadradas están definidas sólo para números reales positivos
y el cero. Las raíces cúbicas están definidas para cualquier número real. Lo
mismo sucede con los números enteros positivos mayores n: la distinción
fundamental surge de si n es par o impar.
En resumen:
Si: ba , entonces: ab 2 ; esto es: aa 2
Si: ba 3 , entonces: ab 3 ; esto es: aa 33
Ejemplo Calcule el valor de cada una de las expresiones:
a) 73433 , porque 34373 , b) 4643 ,
porque 64)4( 3
Ejemplo Calcule el valor de cada una de las expresiones:
a) 3236 x x x b) 23 323 6 y y y
-
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3. Raíz Enésima Principal
La raíz enésima principal: n a de a se define como sigue:
Definición Si a y b son números reales no negativos y si n es un número entero
positivo (par o impar); o si a y b son números reales negativos y n es
número entero positivo impar, será:
nn baba
Nota 1 Si n a existe, es un número real único. Por brevedad, omitimos el adjetivo
"principal".
Nota 2 n a recibe el nombre de enésima raíz de a para recalcar que se define positivo
sí 0a .
Nota 3 Si n es cualquier número entero positivo, el símbolo n a se llama radical de
orden.
Nota 4 No hemos definidon
a para 0a y n número entero positivo par . La razón esque si n es número par, entonces 0nb para todo número real b.
Nota 5 Si 2n , podemos escribir: aa 2 .
Ejemplo Calcule el valor de cada una de las expresiones:
a) 3814 pues 03,8134 , b)2
1
64
16
porque 02
1,
64
1
2
16
-
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Usaremos la terminología “ n a existe” Si existe un número real b tal que nba .
De ahora en adelante, siempre que usemos los símbolos pmn y xa ,, , etc.
Supondremos que esas raíces existen.
Para completar esta terminología, diremos que el símbolo n a se llama radical, el
número real "a " se llama radicando y n es el índice del radical. Al símbolo . se
la llama signo radical.
En general, si 0a y si n es cualquier número entero positivo será:
aa nn
También se tiene que si 0a o que si 0a y n es un número entero positivo
impar , las cosas funcionan perfectamente bien, ya que para todo número real a:
aan n .
En la tabla que sigue se da un resumen de la definición de raíz enésima de a:
n a
Índice n 0a 0a 0a
Par No definida 00 n 0n a
Impar 0n a 00 n 0n a
Ejemplo Calcule el valor de cada una de las expresiones:
a) 33243 5 55 , b) 12128 8 x x
Adoptaremos la práctica siguiente que a este nivel es común: Se supondrá que
todas las expresiones variables dentro de los radicales son cantidades
-
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positivas. Con esta suposición y siendo n un número entero positivo
cualquiera, se tiene que:
n nnn aaa
4. Leyes de los Radicales
En las tres leyes siguientes, m y n denotan números enteros positivos y a y b
cualesquiera números reales; y supondremos que las raíces indicadas siempre
existen:
nnn baba
nnn baba ::
mnm n aa
Si a es un número real y na aparecen como factor en un radical de índice n,
entonces a puede escribirse fuera del radicando siempre y cuando se considere el
signo de a.
Ejemplo nnn nn n xa xa xa ,donde hemos supuesto que el signo de a es tal que:
aan n
Ejemplo Simplifique el siguiente radical: 444 44 44 444 5 22216 x x x x x x x
-
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5. Exponentes Racionales
Hasta aquí se ha definido r a sólo para cuando r es un número entero, ya sea
positivo, negativo o cero. En la que sigue sé extenderá la definición de r a para
incluir los exponentes racionales.
En: nmnm aa )( , sí nm1 entonces: 1 nm , luego: aaaaa n
nnnn
n
1·11 .
Además, por la definición de radical se tiene aa nn . Para que haya
consecuencia con lo expuesto anteriormente, se establece la definición que sigue:
Definición
Para todo número natural n y a es un número real, y si n a es un
número real, entonces nn aa 1
Nota 1 De ahora en adelante, siempre que usemos un símbolo de la forma na1
se
supondrá que a y n se escogen dé modo que exista. n a , Es decir. Sí 0a ,
el índice n de la raíz no puede ser par.
Nota 2 Si: nnm
m 1· es un exponente racional cualquiera, se desea que las leyes de
los exponentes sigan siendo válidas y por lo tanto se exige que:
mnm
mnn
m
aaaa n
11
. Puesto que: m
m nn aa
11
o lo que es lo
mismo: mnn m aa y son raíces enésimas de ma , y se puede demostrar
que tienen el mismo signo, tiene sentido la siguiente definición de
exponentes racionales:
Definición Para todos los números enteros positivos m y n, y todos los números
reales a distintos de cero para los cuales n a existe como número real,
definimos: n mmn aaa nm
-
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60
Es decir, la nm
-ésima potencia de a es igual a la n-ésima raíz de la m-ésima
potencia de a. La ecuación de la definición anterior proporciona la relación
básica entre los exponentes racionales y los radicales.
Nota 3 mmnm
nn aaa11
)(
Podemos generalizar el resultado siguiente
Nota 4n a
a n11
Esto se sigue dado que: n aaaa
n
nn 111
11 1
Ejemplo Calcule y exprese en forma de radical:
a)
6
1
3
1
9423 31
2
1
y x y x b) 3 424 23 y x y x
c) )43(2 21
21
21
x x x d) 273231 )8(32 y y y
Ejemplo Encuentre x de modo que x
327
93
Ejemplo Evalúe: a)2
1
225
641
b)
32
27
64 3
x
Ejemplo Simplifique:
2
22
1
11
x
x x
Ejemplo Simplifique xh xh
· xh x
h
xh x
xh x
xh x
xh xh )·(
h
xh xh )·(
xh x
-
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LOGARITMOS
1. Introducción
Ya hemos visto dos conceptos que surgen de la igualdad ban , cuando la
observamos como ecuación desde la perspectiva de una de sus componentes:
1º Cuando b fue la incógnita, a la ecuación xan se le llamó potencial y a su
solución, potencia n-ésima de a, anotándola na x . Ella originó el lenguaje
y el álgebra de potencias.
2º Cuando a fue la incógnita, a la ecuación b xn se le llamó radical y a su
solución, raíz n-ésima de b, anotándola n b= x . Ella originó el lenguaje y el
álgebra de raíces.
Ahora, definiremos un concepto que represente a la solución de la ecuación en
que la incógnita sea el exponente n, es decir, a la solución de la ecuación
exponencial ba x . A esta solución le llamaremos Logaritmo de b en la base a y
originará el lenguaje y álgebra de logaritmos.En todo lo que sigue se supondrá que a es un número real positivo diferente de
1, es decir: 1a . Esto hace que sea aceptable la siguiente proposición:
Proposición para todo número real positivo b existe un único número real x tal
que: ba x
Definición sea 1 IRa , y tomemos la ecuación ba x . A la solución real x
se le llamará el Logaritmo de b en la base a, y se le anotará por
)(log b x a . De otro modo se establece la siguiente equivalencia:
xba )(log ba x .
-
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62
Es importante saber cómo efectuar el cambio de la forma exponencial a la
logarítmica o a la inversa.
Ejemplo 1. 8238log 32
000.1103000.1log3
10
29532)295(log2
3 x x
)47(32)47(log 23 x== x
Consecuencias: Surgen directamente de la definición
bab
a log
xa x
a )(log .
))((log))((log xq x p aa )()( xq x p siempre que 1 IRa
Ejemplo 1. )12(3)12(
3log
x x
2. )35()4(log )35(4 x x
3. 27)27(log)(log 33 x x aa
4. 2)2(log)(log 222
2 x x x x
5. )75(log)103(log 52
5 x x 751032 x x
En particular, si hacemos 1 x en la ec. 2, vemos que se obtiene 1)(log 1 aa ,
es decir:
1)(log aa
Puesto que 10 a , se deduce de la definición de logaritmo que 0)(log 0 aa ,
por lo tanto
0)1(log a
-
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63
Nota Un logaritmo es un exponente.
0loga No está definido porque xa nunca puede ser igual a cero.
2. Leyes de los Logaritmos
Las siguientes son las leyes fundamentales para trabajar con logaritmos.
Suponemos que )( x p y )( xq son expresiones o números reales positivos, 0a y
1a , y que r es cualquier número real:
))((log))((log))()((log xq xq xq x p aaa
))((log))((log))(:)((log xq xq xq x p aaa
))((log)(log x pr x p ar
a
Es más fácil aplicar las leyes de los logaritmos si se recuerda verbalmente lo
mismo que con símbolos.
El logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos.
El logaritmo de un cuociente es la resta de los logaritmos.
El logaritmo de una potencia de un número es el producto del
exponente por el logaritmo del número o base de la potencia.
Ejemplo Exprese como una suma de logaritmos: )(log 22 x x :
Solución )1(loglog))1((log)(log 2222
2 x x x x x x
-
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64
Ejemplo Exprese en términos de los logaritmos de x , y y z: 2
46
log z
y xb
Solución Usando las tres leyes de los logaritmos es:
2
46
log
z
y xb
=2
46
loglog z y x bb
246 logloglog1
z y x bbb
z y x bbb log2·loglog6 41
Ejemplo Exprese en términos de un sólo logaritmo:
)1(log)1(log2)2(log32
555 x x x x
Solución:
)1(log)1(log)2(log)1(log)1(log2)2(log3 252
53
52
555 x x x x x x x x
)1(log)1()2(log 25235 x x x x
)1(
)1()2(log
2
23
5
x x
x x
3. Fórmula del Cambio de Base
Algunas veces es necesario cambiar la base de un logaritmo expresando ublog en
términos de ualog , para algún número real positivo a diferente de 1. Se puede
utilizar cualquier base b siempre que 0a y 1a . El teorema que sigue indica como
cambiar la base de un logaritmo mediante el simple hecho de dividir por una
constante.
Teorema: Si a, b y c son números reales positivos con 1a , 1c :
)(log
)(log)(log
a
bb
c
ca
-
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Ejemplo Exprese en otra base:2log
)65(log)65(
2log
22
x x x x .
Ejercicio Demostremos que 1)log)·(log)·(log( =cba acb
Demostración:
=cbaacb
)log)·(log)·(log(b
a
log
log·
c
b
log
log· 1
log
log
a
c
4. Otras Propiedades del Álgebra de Logaritmos
1. b-=b
aa log1
log
2. )(log·1
log bn
=ba
na
3. 1)(log)(log ab ba
4. a. cuando 1a : Si y x entonces y x aa loglog
(con base mayor que uno, el logaritmo respeta el orden).
b. cuando 10 a : Si y x entonces y x aa loglog
(con base positiva y menor que uno, el logaritmo invierte el orden).
5. Bases de Logaritmos
A los logaritmos en base 10, o base decimal, se les llama logaritmos comunes o
logaritmos de Briggs. En lo que resta, cuando se escriba xlog sin indicar la base se
querrá decir que se está empleando la base 10, y por tanto:
)(log)(log 10 x x
La otra base comúnmente utilizada es el número real e. Es un número irracional, y
una aproximación es:
-
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67
e = 2,7182818285
La definición formal del número e se obtiene en término del siguiente límite:
n
n n
Lime
11
Ello significa que el número real e se puede aproximar con tanta precisión como
se desee aumentando el valor de n en la expresión:
n
n
1
1
A los logaritmos en base e se les llama logaritmos naturales El número e tiene
tanta importancia que a los logaritmos con base natural se abrevia como sigue:
)(log)(ln x x e
Ejemplo 1. )54(log)54(log 2210 x x x x
2. )27ln()27(log 33 x x x xe
Si a es cualquier base y u es cualquier número real positivo, se sabe que ua ua )(log
partir de la definición de logaritmo. Tomando ea se obtiene: uee uue )ln()(log , y
elevando ambos lados a la potencia x se llega a la siguiente igualdad:
)ln()ln( u x xu x eeu
Esto permite que cualquier expresión exponencial se escriba en base e.
Ejemplo: 1. )5ln()2()2(5 x x e
2. )3ln()12()12(3 x x e
6. El Logaritmo Natural
-
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68
Correspondiendo a cada número positivo x hay una única potencia y tal que ye x .
Esta potencia y se le llama logaritmo natural de x y se representa por xln .
ye x x y )(ln
La relación entre xe y xln , esta dado por las siguientes ecuaciones
0,)ln( xsi xe x
xe x ln
Ejemplo Despeje la variable x en cada una de las siguientes igualdades:
a. ,35 xe b. 1·ln2 x
Las propiedades normales de los exponentes y los logaritmos siguen siendo válidas:
y x xy lnln)(ln y x y x eee
y x y
xlnlnln
y
x y x
e
ee
xr x
r
ln)(ln
xy y x
ee
Importante )ln()ln()(ln y x y x )ln()ln()(ln y x y x
Nota ¿Se necesitan realmente otras bases diferentes del número e? Las
fórmulas:
)(ln· a x x ea a
x xa
ln
lnlog
nos permiten convertir cualquier problema que involucre expresiones
exponenciales o expresiones logarítmicas con base a en expresiones
correspondientes con base e .
-
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Ejemplo: 1. )1ln()4ln()1)·(4(ln)45(ln 2 x x x x x x
2. )1ln()1ln(1
1ln 2
2
x x
x
x
3. )1·ln()1(ln1ln 22122 21 x x x
-
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ECUACIONES DE PRIMER GRADO
1. Ecuación con una variable en IR
Definición Una ecuación con una variable en IR , es una igualdad de expresiones
algebraicas que contienen un valor incógnito real (normalmente x, y,
z), que para ciertos valores hace verdadera la igualdad
Ejemplos 1. 8
1133
2
4
8
37
x x
x x
2. xmx 4107
3. xm xm 222
4. x x
x
5
41
67
107
5. 0)32·(5)32( 2 x x
6. 49)223·(2
123
1
23
1
2
2
x
x x
x x
x
7. 35 x x
Al número que hace de una ecuación un enunciado verdadero se le llama solución
o raíz de la ecuación. Se dice que una raíz, o solución, satisface la ecuación. Al
conjunto de todas las soluciones de una ecuación se la llama conjunto solución.
Resolver una ecuación significa hallar todas sus soluciones. Es decir, resolver unaecuación significa determinar el valor o conjunto de todos los valores para x que
harán verdadera la igualdad. Para ello se debe "despejar" x usando los teoremas
visto.
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3.1. Resolución de la Ecuación de Primer Grado
Sumando el opuesto de b en ambos miembros y luego multiplicando por el
recíproco de a se obtiene ab
x , y concluiremos que siempre la solución de una
ecuación de primer grado (exponente mayor para la incógnita es uno), estará dadopor el conjunto ab xS .
Ejemplo 1 Resuelva la siguiente ecuación:
)2)(1()2)(2()3()3)(2( 2 x x x x x x x
Solución Por productos notables y reduciendo términos semejantes se obtiene:
)2(4)96(6 2222 x x x x x x x
2157 x x
0136 x
6
13 x
Ejemplo 2 Resuelva la siguiente ecuación: x x
x
5
41
67
107
Solución El dominio de definición es 76,0 IR Dom . Amplificando por: )67(5 x x se obtiene:
4)67()67(55)107( x x x x x
242830355035 22 x x x x x
3248 x x
Ejercicios Resuelva las siguientes ecuaciones, indique el dominio de definición de laecuación cuando corresponda:
1.12
196
4
5
12
43
x x x
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2.)52()6(
17
52
72
6
4
x x x
x
x
x
3. ctemm x
m x:,1
2
2
4. .:,222 ctem xm xm
5. .:),8·(4)6·( 22 ctemmm x xm
Ejercicios Propuestos
1. Indique la solución de las siguientes ecuaciones fraccionarias, indique el dominio
de definición cuando corresponda:
1. 5+2
6 -3x = x+
3
6 -2x
S1: 24 x
2.3
4+ x -2=
12
1+2x -
4
x-3
S2: 0 x
3. 4= 2- x
6 -
1- x
4x
S3: 1 x
4.2- x
2 =
3+ x
5 -
)2- x2(
3 S4:
11
17 = x
5.1+ x
7 +3x =
1-2x
2+6x
S5: 3 x
6.40+13x- x
56 =
5- x
7 -
8 - x
122
S6: 12 x
7. x
= x
x
)2(5
41
87
47
S7: 1 x
8. 3= x
x + x
3+ x1
)8(21
S8:3-4 = x
9 . 2+ x
3 =
4-5x
5 +
3-2x
4
S9: 1 x
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2. Determine la solución de las siguientes ecuaciones:
1.1+ x
1)-2(m =
1- x
m +
x
2-m m constante. Analice la solución.
2.2-t
1-2m +
1-t
1 =
t
2m Resuelva para t. Indique restricciones para m y t.
3.3
3
2
21
x
m
x
m
x Resuelva para x, analice para la constante m.
3.2 Uso de SW Maple
Las siguientes instrucciones muestran cómo utilizar SW Maple para resolver
ecuaciones, primero se llama la utilería que nos permite resolver ecuaciones, se
nombra la ecuación y con el comando solve se resuelve.
> with(student):
> EC1:=4/(2*x-3)+5/(5*x-4)=3/(x+2);
:= EC1 4
2 x 35
5 x 43
x 2
> r1:=solve(EC1);
:=r1 1
> EC2:=(x-2)/(x-4)+(2*x+11)/(2*x+9)=17/((x-4)*(2*x+9));
:= EC2 x 2
x 4 2 x 11 2 x 9
17
( ) x 4 ( )2 x 9
> r2:=solve(EC2);
:=r2 , 183
2 1
83
2
4. Planteamiento de Ecuaciones
Aprender a solucionar ecuaciones como las que hemos estudiado hasta ahora, tiene
sentido en la medida que se utilicen para resolver problemas prácticos de aplicación.
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No existe un método o regla general para resolver problemas de aplicación, sin
embargo, existen algunos pasos a seguir que con frecuencia son útiles para obtener la
solución:
1. Leer detenidamente el problema.
2. Hacer un esquema o dibujo, si tiene sentido hacerlo.
3. Hacer una lista de los datos conocidos y de los desconocidos o incógnitas.
4. Representar el(los) término(s) desconocido(s) por medio de una(s) variable(s).
5. Si es posible, representar todas las demás cantidades en términos de la o las
variables utilizadas.
6. Expresar la situación descrita en el problema en términos matemáticos, es decir,
plantear la(s) ecuación(es).
7. Solucionar la(s) ecuación(es).
8. Verificar que la respuesta concuerde con las condiciones planteadas en el
problema.
A continuación mostraremos algunos ejemplos sencillos, cómo pasar del lenguaje
verbal a la expresión matemática correspondiente.
Lenguaje Verbal Expresión Matemática
Dos números enteros consecutivos x , 1 x
x es la mitad de y , o y es el doble de x
2
y x o y x 2
Un número disminuido en2
1
2
1 x
El triple de un número x3
El doble de un número, aumentado en 5 52 x
El triple, de un número aumentado en3
2
3
23 x
El Kinesiólogo “A” tiene X pacientes, y “B” “B” = (X + 5) pacientes
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5 más que “A”
El Médico Veterinario “M” atiende Y
mascotas, y “N” tiene 3 menos que “M”
“N” = (Y – 3) mascotas
Una Enfermera Universitaria tiene X
años, y su padre tiene 4 años más que eldoble de la edad de ella
Padre = (2X + 4) años
La Nutricionista “P” atiende en forma
particular a Z pacientes diabéticos, y la
“Q” 5 menos que la tercera parte que “P”
“Q” =
5
3
1 Z pacientes
Ejemplo 1 Determinar dos enteros consecutivos, cuya suma es 19.
Solución
Paso 1. Como debemos encontrar dos enteros, llamaremos x al entero
más pequeño.
Paso 2. Luego, el segundo entero será x + 1, pues son consecutivos.
Paso 3. La expresión verbal “suma de dos enteros consecutivos”, se
cambia por la expresión algebraica “x + (x + 1)”. La afirmación de que la
suma es 19, equivale a la ecuación: x + (x + 1) = 19
Paso 4. Se resuelve la ecuación:
x + (x + 1) = 19
2x + 1 = 19
2x = 19 – 1
2x = 18
x =2
18
x = 9
Paso 5. Por lo tanto, el entero más pequeño es 9, y el mayor x + 1, es 10.
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Ejemplo 2 Un Kinesiólogo tiene 14 años más que su esposa, que es Nutricionista.
Hace 20 años tenía el doble de la edad de ella. ¿Cuántos años tiene?
Solución
Sea x la edad actual del Kinesiólogo. Dado que su esposa es 14 años más
joven que él, la edad actual de la Nutricionista debe ser (x – 14) años.
Hace 20 años, la edad del Kinesiólogo era 20 años menos que la de
ahora.
De manera que su edad era entonces x – 20.
De modo similar, hace 20 años la edad de la Nutricionista era de 20 años
menos que la de ahora, es decir, (x – 14) – 20 o x – 34.
Al mismo tiempo el problema nos plantea que la edad del Kinesiólogo, x –
20, era el doble de la edad de su esposa, x – 34.
Por lo tanto, la ecuación que nos debemos plantear es:
x – 20 = 2(x – 34)
Resolvamos:
x – 20 = 2x – 68
x – 2x = - 68 + 20
- x = - 48 /(-1)
x = 48
Luego, la edad actual del Kinesiólogo es de 48 años. Su esposa
Nutricionista tiene 34. Hace 20 años tenían 28 y 14 respectivamente.
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Actividad
Resolver:
1. Si Marcelo tiene x pesos, ¿cuántos pesos tendrá Verónica en cada uno de los
casos que se plantean a continuación?
a. Ella tiene $8 más que Marcelo.
b. Ella tiene $3 menos del doble de lo que tiene Marcelo.
c. Ella tiene $2 más que la mitad de lo que tiene Marcelo.
2. Si Freddy tiene x años y Verónica es 4 años más joven, ¿qué edad tiene Francisco
en cada uno de los casos que a continuación se plantean?
a. Francisco tiene 3 años más que Verónica.
b. Francisco es 1 año mayor que la edad promedio de Freddy y Verónica.
c. Francisco es 10 años menor que la suma de las edades de Freddy y Verónica.
d.