calculo de parametros de lineas de transmision
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ELI-246 Análisis de Sistemas de Potencia I Departamento de Ingenieŕıa Eléctrica, UTFSM
Caṕıtulo 3. Cálculo de parámetros de ĺıneas detransmisi´on
Prof. Héctor A. Pulgar Painemal
UTFSM
2do semestre 2013
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Cálculo de parámetros en ĺıneas de transmisi´ on
Los parámetros de una ĺınea se pueden asociar tanto a la corriente que
circula por las fases como a la tensión entre fases y entre fases y neutro.Parámetros asociados a la corriente: Resistencia (R) e inductancia(L); también son conocidos como parámetros serieParámetros asociados a la tensi´on: Conductancia (G) y capacitancia(C); también son conocidos como parámetros paralelo
Los parámetros generalmente son expresados por fase y en por unidad delongitud. De esta forma, si la longitud de la ĺınea se mide en kil´ometros[km], entonces
R medida en [Ω/km/fase]G medida en [ /km/fase]L medida en [H/km/fase]C medida en [F/km/fase]
Nota: La unidad de medida de la conductancia (G) es =Ω − 1 conocido como “Mho”o Siemens
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Resistencia eléctrica
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Resistencia eléctrica
ResistenciaEste parámetro cuantica la oposici ón ofrecida por un conductor al pasode la corriente eléctrica. El siguiente modelo atómico nos brinda una ideade qué es resistencia y cuál es la incidencia que tiene la temperatura delconductor. Considere la siguiente gura y asuma que existe un campo
eléctrico que desplaza los electrones desde izquierda a derecha a lo largodel conductor
Mayor temperatura del elemento
↓Aumenta probabilidad de colisiones↓Aumenta la disipaci ón de calor↓Aumenta la resistencia
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Resistencia eléctrica
ResistenciaEste parámetro cuantica la oposici ón ofrecida por un conductor al pasode la corriente eléctrica. El siguiente modelo atómico nos brinda una ideade qué es resistencia y cuál es la incidencia que tiene la temperatura delconductor. Considere la siguiente gura y asuma que existe un campo
eléctrico que desplaza los electrones desde izquierda a derecha a lo largodel conductor
Mayor temperatura del elemento
↓Aumenta probabilidad de colisiones↓Aumenta la disipaci ón de calor↓Aumenta la resistencia
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Resistencia eléctrica
ResistenciaEste parámetro cuantica la oposici ón ofrecida por un conductor al pasode la corriente eléctrica. El siguiente modelo atómico nos brinda una ideade qué es resistencia y cuál es la incidencia que tiene la temperatura delconductor. Considere la siguiente gura y asuma que existe un campoeléctrico que desplaza los electrones desde izquierda a derecha a lo largodel conductor
Mayor temperatura del elemento
↓Aumenta probabilidad de colisiones↓Aumenta la disipaci ón de calor↓Aumenta la resistencia
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Resistencia eléctrica
ResistenciaEste parámetro cuantica la oposici ón ofrecida por un conductor al pasode la corriente eléctrica. El siguiente modelo atómico nos brinda una ideade qué es resistencia y cuál es la incidencia que tiene la temperatura delconductor. Considere la siguiente gura y asuma que existe un campoeléctrico que desplaza los electrones desde izquierda a derecha a lo largodel conductor
Mayor temperatura del elemento
↓Aumenta probabilidad de colisiones↓Aumenta la disipaci ón de calor↓Aumenta la resistencia
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Resistencia eléctrica
Relaci ón entre resistencia ´ ohmica (d.c.) y temperatura
ρt : resistividad a t o
C(Aprox. lineal)ρ0 : resistividad a 0o Cc : Constante de variación
Ω mm 2m o C
ρt = ρ0 + ct = ρ0 1 + c ρ0
t = ρ0 (1 + α0 t )
donde α0 se conoce como coeciente de temperatura relativo a 0o C[1/ o C]. Luego, la resistencia del conductor se puede estimar como
R t = ρt
S =
ρ0S
R 0(1 + α0 t ) = R 0 (1 + α0 t )
donde y S es la longitud y sección del conductor respectivamente. R 0es la resistencia a 0◦C
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Resistencia eléctrica
Relaci ón entre resistencia ´ ohmica a dos valores de temperaturaGeneralmente se conoce la resistencia a dos valores de temperatura(t 1, t 2) distintos de 0◦C. Entonces
R t 2 = R 0 (1 + α0 t 2)R t 1 = R 0 (1 + α0 t 1) ⇒ R t 2 =
1 + α0 t 21 + α0 t 1
R t 1 =T + t 2T + t 1
R t 1
donde T = 1α 0
(constante de temperatura). Por ejemplo, el conductor
Canary (ACSR, 900MCM, 54 hebras de aluminio, 7 hebras de acero)posee la siguiente resistencia d.c. a 25 ◦C y 50◦C
R 25 ◦ C = 0 .104[Ω/ mi ] R 50 ◦ C = 0 .1145[Ω/ mi ]
lo que da la siguiente constante de temperatura
T = t 2 −t 1R t 2 / R t 1
R t 2 / R t 1 −1 ≈222.62◦C
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Resistencia eléctrica
Relaci ón entre resistencia ´ ohmica a dos valores de temperaturaGeneralmente se conoce la resistencia a dos valores de temperatura(t 1, t 2) distintos de 0◦C. Entonces
R t 2 = R 0 (1 + α0 t 2)R t 1 = R 0 (1 + α0 t 1) ⇒ R t 2 =
1 + α0 t 21 + α0 t 1
R t 1 =T + t 2T + t 1
R t 1
donde T = 1α 0
(constante de temperatura). Por ejemplo, el conductor
Canary (ACSR, 900MCM, 54 hebras de aluminio, 7 hebras de acero)posee la siguiente resistencia d.c. a 25 ◦C y 50◦C
R 25 ◦ C = 0 .104[Ω/ mi ] R 50 ◦ C = 0 .1145[Ω/ mi ]
lo que da la siguiente constante de temperatura
T = t 2 −t 1R t 2 / R t 1
R t 2 / R t 1 −1 ≈222.62◦C
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p g ,
Resistencia eléctrica
Conductor Canary,
T ≈222.6◦C t◦C R d.c. [Ω/ mi ]0 0.09355 0.095610 0.097715 0.099820 0.101925 0.10430 0.106135 0.1082
40 0.110345 0.112450 0.114555 0.116660 0.1187
A modo de referencia, la constante de temperaturapara otros materiales es del siguiente orden
T◦C Material234.5 Cobre 100% conductividad (cobre blando)241.5 Cobre 97.3% conductividad (cobre duro)228.1 Aluminio
Todo este desarrollo es válido para calcular laresistencia d.c. de los conductores. Cuando sedesea estimar la resistencia efectiva (a.c.) otros
efectos y fenómenos deben ser considerados; porejemplo, el efecto piel (skin effect ) y el efecto delas corrientes parásitas en conductores con hebrasde acero
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p g
Resistencia eléctrica
Conductor Canary,T
≈222.6◦C
t◦C R d.c. [Ω/ mi ]0 0.09355 0.095610 0.097715 0.099820 0.101925 0.10430 0.106135 0.1082
40 0.110345 0.112450 0.114555 0.116660 0.1187
A modo de referencia, la constante de temperaturapara otros materiales es del siguiente orden
T◦C Material234.5 Cobre 100% conductividad (cobre blando)241.5 Cobre 97.3% conductividad (cobre duro)228.1 Aluminio
Todo este desarrollo es válido para calcular laresistencia d.c. de los conductores. Cuando sedesea estimar la resistencia efectiva (a.c.) otros
efectos y fenómenos deben ser considerados; porejemplo, el efecto piel (skin effect ) y el efecto delas corrientes parásitas en conductores con hebrasde acero
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Resistencia eléctrica
Efecto piel o supercialLa corriente tiende a circular por la supercie del conductor a medida queaumenta la frecuencia de la corriente.
R c .c . = ρS c .c .
[Ω]
S c .c . = π r 2
R c .a . = ρS c .a .
S c .a . < S c .c . −→R c .a . > R c .c . [Ω]En denitiva, a mayor frecuencia de las variables eléctricas, la resistenciaefectiva de los conductores aumentará
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Resistencia eléctrica
Efecto piel o supercialLa corriente tiende a circular por la supercie del conductor a medida queaumenta la frecuencia de la corriente.
R c .c . = ρS c .c .
[Ω]
S c .c . = π r 2
R c .a . = ρS c .a .
S c .a . < S c .c . −→R c .a . > R c .c . [Ω]En denitiva, a mayor frecuencia de las variables eléctricas, la resistenciaefectiva de los conductores aumentará
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Resistencia eléctrica
Efecto piel o supercialLa corriente tiende a circular por la supercie del conductor a medida queaumenta la frecuencia de la corriente.
R c .c . = ρS c .c .
[Ω]
S c .c . = π r 2
R c .a . = ρS c .a .
S c .a . < S c .c . −→R c .a . > R c .c . [Ω]En denitiva, a mayor frecuencia de las variables eléctricas, la resistenciaefectiva de los conductores aumentará
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Resistencia eléctrica
Efecto piel o supercialLa corriente tiende a circular por la supercie del conductor a medida queaumenta la frecuencia de la corriente.
R c .c . = ρS c .c .
[Ω]
S c .c . = π r 2
R c .a . = ρS c .a .
S c .a . < S c .c . −→R c .a . > R c .c . [Ω]En denitiva, a mayor frecuencia de las variables eléctricas, la resistenciaefectiva de los conductores aumentará
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Resistencia eléctrica
Cuanticaci´on del efecto pielConsidere que se desea calcular la resistencia efectiva a una frecuencia f
[Hz] y temperatura t ◦C
R a .c . = K R d .c . [Ω] r a .c . = K r d .c . Ωmi
donde,R a .c . , r a .c . resistencia efectivaR d .c . , r d .c . resistencia óhmica a t ◦C
constante efecto piel ( K ≥1)La constante K se ha obtenido experimentalmente. El valor a utilizar seobtiene mediante una variable intermedia ( X ) que depende de lafrecuencia (f ), de la permeabilidad magnética relativa ( µ) y de laresistencia óhmica por unidad de longitud r d .c . Ωmi
X = 0 .063598 µ f r d .c .
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Resistencia eléctrica
Dadas las caracteŕısticas del conductor ( f , µ, r d .c . ) se calcula el valor deX y mediante la siguiente tabla nalmente se obtiene la constante efectopiel
X K X K X K X K0,0 1,00000 1,0 1,00519 2,0 1,07816 3 1,31809
0,1 1,00000 1,1 1,00758 2,1 1,09375 3,1 1,351020,2 1,00001 1,2 1,01071 2,2 1,11126 3,2 1,385040,3 1,00004 1,3 1,01470 2,3 1,13069 3,3 1,419990,4 1,00013 1,4 1,01969 2,4 1,15207 3,4 1,455700,5 1,00032 1,5 1,02582 2,5 1,17538 3,5 1,492020,6 1,00067 1,6 1,03323 2,6 1,20056 3,6 1,528790,7 1,00124 1,7 1,04205 2,7 1,22753 3,7 1,565870,8 1,00212 1,8 1,05240 2,8 1,2562 3,8 1,603140,9 1,00340 1,9 1,06440 2,9 1,28644 3,9 1,64051
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Conductancia
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Conductancia
En todas las ĺıneas eléctricas existe una corriente de fuga entre las fases y
tierra. Aún en las ĺıneas con un muy buen aislamiento, pero en generalestas son muy pequeñas y se pueden deber a dos razones:
1. Corrientes de fuga a través de los aisladores y torres de las ĺıneasLa corriente debida a la conductancia es:
I = V R
= G V
V Diferencia de potencial entre el conductor y tierra
R Resistencia del aislamiento [Ω]
G Conductancia del aislamiento [ ], G = 1R
La pérdida de potencia debido a la conductancia es
p = V I ∗ = G |V |2[W / fase ] P 3φ = 3G |V |2[W ]
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Conductancia
G depende de varios factores entre los que se pueden mencionar el tipode aislador, el número de aisladores por cadena y las condicionesatmosféricas (humedad).
Generalmente las pérdidas de potencia p se expresa en kW por km. Deesta forma:
G = P kW
kmfase 10−
3
|V |[kV ]2
S km
fase
Se ha observado que en un aislador de suspensión, de tipo normal, laspérdidas y conductancia son:
Con tiempo Pérdidas [W] Conductancia S kmseco 1 a 3 1×10−8 a 10 ×10−8húmedo 5 a 20 hasta 30 ×10−8
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Conductancia
EjemploConsideremos una ĺınea de 220[kV], circuito simple, 90[km] y unalongitud de vano de 325[m]. Las cadenas de suspensión están formadaspor 15 elementos (aisladores) y las cadenas de anclaje por 16 elementos.
De esta forma el número de torres o apoyos requeridos son:
90000[m]325[m]
= 277 apoyos
Tipo de torres Cadenas de N´ umero de Total de(apoyos)
Númeroaisladores × apoyo aisladores × cadena aisladores
Suspensi ón 243 3 15 10935Ángulo 12 3·2=6 16 1152Anclaje 18 3·2=6 16 1728Fin de ĺınea 2 3 ·2=6 16 192Especiales 2 3·2·2=12 16 384Total 14391
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Conductancia
Si se considera que la pérdida por aislador es de 5[W] (con tiempohúmedo), entonces la pérdida total por conductancia en la ĺınea es de :
14391 × 5[W ]∼= 72[kW ]Luego:
p 3φ = 72[kW ]90[km ] = 0 .8
kW km p =
0.8 kW km3 fases ∼= 0.267
kW km
fase
⇒
G = P
V 2 =
0.267 kW
kmfase
220√ 32
[kV 2] ×10−3 = 1 .655
×10−8
S km
fase
= 4 .965 ×10−8 S km
(Considerando las 3 fases)
= 446 .85 ×10−8[S ] (G total de la ĺınea)Prof. Héctor A. Pulgar Painemal Capı́tulo 3. C´alculo de parámetros de ĺıneas de transmisi´ on 2do semestre 2013 15 / 79
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Conductancia
2. Efecto coronaSi el gradiente del campo eléctrico (radial) alrededor de un conductorsupera la rigidez dieléctrica del aire, se producen corrientes de fuga (através del aire) similares a las corrientes debidas a la conductancia de losaisladores. En la oscuridad, este fenómeno es visible pudiéndose observar
ćırculos luminosos alrededor de los conductores (ver video )Deniciones:
Tensi´on critica disruptiva : Tensión a la cual se rompe la rigidezdieléctrica del aire.
Tensi´on critica visual : Tensión a la cual el efecto corona es visible.Las pérdidas por efecto corona comienzan a producirse desde el momentoen que la tensión cŕıtica disruptiva es menor que la tensión de la ĺınea
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http://www.youtube.com/watch?v=5eELUXHwVFAhttp://find/
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Conductancia
Emṕıricamente se determin´o que la tensión cŕıtica disruptiva puedeestimarse mediante la siguiente expresion
V c = 29.8
√ 2 mc δ m t r lnD r
[kV ]
V c Tensi ón de fase cŕıtica disruptiva RMS [kV]
29.8 Rigidez dieléctrica del aire a 25 ◦ C y presión de 1 [atm] (valormáximo de tensi´on→ 29.8[ kV cm ])
m c Coeciente de rugosidad del conductor (1 para conductores desupercie lisa, 0.93 a 0.98 para conductores oxidados o rugosos, 0.83a 0.87 para cables
m t Coeciente meteorol´ogico (1 para tiempo seco, 0.8 para tiempohúmedo)
r Radio del conductor.
D Distancia media geométrica entre las fases [cm]δ Factor de correcci´on de la densidad del aire (funci´on de la altura
sobre el nivel del mar)
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Conductancia
δ se calcula de la siguiente forma:
δ =273 + 25
76 h273 + T = 3 .921 h273 + T donde h: Presión barométrica en cent́ımetros de columna de mercurio.T: Temperatura en grados cent́ıgrados.
La relación entre h y la altura sobre el nivel del mar (y )
log (h) = log (76)
−
y
18336
, con y en metros
(fórmula de Halley)
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Conductancia
δ se calcula de la siguiente forma:
δ =273 + 25
76 h273 + T = 3 .921 h273 + T donde h: Presión barométrica en cent́ımetros de columna de mercurio.T: Temperatura en grados cent́ıgrados.
La relación entre h y la altura sobre el nivel del mar (y )
log (h) = log (76)
−
y
18336
, con y en metros
(fórmula de Halley)
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Conductancia
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Conductancia
Emṕıricamente se demostr´o que la pérdida por efecto corona para cadaconductor puede estimarse de la siguiente forma (fórmula de Peek):
P = 241
δ (f + 25) r D
U max
√ 3 −V c 2
10−5 kW
km
donde f : Frecuencia eléctrica en [Hz]U max : Tension RMS más alta que puede poseer la ĺınea
en estado normal de operación.
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Inductancia a secuencia positiva
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Inductancia a secuencia positiva
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Inductancia a secuencia positiva
a. Ecuaciones básicasEn materiales lineales
L = d λdi
= λi [H ]
en un conductor
L = Lint + Lext [H ]
Primero consideremos la inductancia interna al conductor (x≤r). Paraello, el primer paso es encontrar la relación entre el enlace de ujointerno y la corriente que circula por el conductor ( λ int = f (i ) ).
Considere una ĺınea de intensidad de campo magnético a una distancia x del centro del conductor
Ley de Ampere: c −→H x d −→ = i x (corriente encerrada)Prof. Héctor A. Pulgar Painemal Capı́tulo 3. C´alculo de parámetros de ĺıneas de transmisi´ on 2do semestre 2013 21 / 79
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Inductancia a secuencia positiva
Dado que −→H x y −→ son paralelos, la ecuación anterior se transforma en:
2π x
0 H x d = i x ⇒ H x = i x 2 π x Am
⇒ B x = µ i x 2 π x
Wb m 2
Considerando una densidad de corriente (J ) constante:
J = i π r 2
= i x π x 2 →i x =
x r
2i
En otras palabras, i x corresponde a un x r
2
×100% de la corriente total
i . Reemplazando
B x = µ x r
2i
2 π x Wb m2
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Inductancia a secuencia positiva
El diferencial de ujo producido por B x es:
d φx = B x ·ds = B x d ·dx [Wb ]d φx =
µi x 2πx
dxd [Wb ]
Notar que d φx enlaza únicamente a i x = x r 2
i (d φx enlaza sólo unaporción de “i ”). Luego:
λ int =
0 r
0d φx
x r
2=
0 r
0
µi x 2πx
x r
2dxd [WbV ]
=
0 r
0
µ2π
x r
2
i x r 2 dx dl =
0 r
0
µi 2π r 4 x
3
dx dl
=
0
µi 2π r 4
x 4
4
r
0dl =
µi 8π
[WbV ]
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Inductancia a secuencia positiva
Finalmente, la inductancia interna de un conductor cuando J esconstante es
⇒Lint =
λint i
= µ8π
[H ]
Lint = µ
8πH m
Es posible calcular la inductancia interna cuando J no es constante.Considere los siguientes casos teóricos para entender cómo proceder si J no es constante
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Inductancia a secuencia positiva
Para calcular la inductancia externa del conductor consideramos ĺıneas deintensidad de campo magnético externas al conductor las que enlazan a
la corriente total “ i ”Ley de Ampere: c −→H x ·d = i (corriente total)
H x =
i
2πx A
m
B x = µi 2πx
Wb m2
d φx = B x ·ds = B x dx d [Wb ]El ujo externo al conductor es:
φext =
0 D
r B x dx d =
D
r
µ i 2π x
dx = µ i
2π ln
D r
[Wb ]
φext enlaza una sola vez a la corriente ”i ”Prof. Héctor A. Pulgar Painemal Capı́tulo 3. C´alculo de parámetros de ĺıneas de transmisi´ on 2do semestre 2013 25 / 79
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Inductancia a secuencia positiva
Dado que φext enlaza una sola vez a la corriente “i ” se tiene
λ ext = φext = µ i 2π ln
D r
Wbv m
⇒ Lext =
λext i
= µ2π
lnD r H m
Finalmente,
L = Lint + Lext = µ8π
+ µ2π
lnD r
L = µ
2π14
+ lnD r
= µ2π
ln(e 14 + ln
D r
L = µ2π
ln D r e −
14
= µ2π
ln D RMG
H m
donde:RMG = r e −
14 : Radio Medio Geométrico de un conductor
considerando J constante.Prof. Héctor A. Pulgar Painemal Capı́tulo 3. C´alculo de parámetros de ĺıneas de transmisi´ on 2do semestre 2013 26 / 79
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Inductancia a secuencia positiva
Signicado de Radio Medio Geométrico (RMG)
Posee ujos magnéticos enel interior y exterior delconductor
L = µ8π
+ µ2π
lnD r
H m
≡(equivalente a)
Sólo posee ujos en elexterior del conductor
L = µ2π
ln D RMG
H m
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p
b. Inductancia en una ĺınea de tres conductores
En principio, se considerará sólo losujos magnéticos hasta el punto ” p”.
Por el momento, calculemos los ujosmagnéticos que enlazan a la corriente i 1
λ1 (p ) = λ11 ( p ) + λ12 ( p ) + λ13 (p )
λ11 ( p ) = µ
2π i 1 ln
D 1p RMG 1
Wbv m
λ12 (p ) = µ2π i 2 ln D 2p
D 12Wbv m
λ13 (p ) = µ
2π i 2 ln
D 3p D 13
Wbv m
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p
λ1 (p ) = µ2π i 1 ln
D 1p RMG 1 + i 2 ln
D 2p D 12 + i 3 ln
D 3p D 13
λ1 (p ) = µ2π
i 1 ln 1
RMG 1+ i 2 ln
1D 12
+ i 3 ln 1D 13
+ · · ·· · ·+ i 1 ln (D 1p ) + i 2 ln (D 2p ) + i 3 ln (D 3p )}
Como i 1 + i 2 + i 3 = 0 =⇒i 3 = −(i 1 + i 2)
λ1 (p ) = µ2π
i 1 ln 1
RMG 1+ i 2 ln
1D 12
+ i 3 ln 1D 13
+ · · ·
· · ·+ i 1 ln (D 1p ) + i 2 ln (D 2p )
−i 1 ln(D 3p )
−i 2 ln(D 3p )
}λ1 (p ) = µ2π i 1 ln 1
RMG 1+ i 2 ln
1D 12
+ i 3 ln 1D 13
+ · · ·
· · ·+ i 1 lnD 1p D 3p
+ i 2 lnD 2p D 3p
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p
λ1 (p ) = µ2π i 1 ln
D 1p RMG 1 + i 2 ln
D 2p D 12 + i 3 ln
D 3p D 13
λ1 (p ) = µ2π
i 1 ln 1
RMG 1+ i 2 ln
1D 12
+ i 3 ln 1D 13
+ · · ·· · ·+ i 1 ln (D 1p ) + i 2 ln (D 2p ) + i 3 ln (D 3p )}
Como i 1 + i 2 + i 3 = 0 =⇒i 3 = −(i 1 + i 2)
λ1 (p ) = µ2π
i 1 ln 1
RMG 1+ i 2 ln
1D 12
+ i 3 ln 1D 13
+ · · ·
· · ·+ i 1 ln (D 1p ) + i 2 ln (D 2p )
−i 1 ln(D 3p )
−i 2 ln(D 3p )
}λ1 (p ) = µ2π i 1 ln 1
RMG 1+ i 2 ln
1D 12
+ i 3 ln 1D 13
+ · · ·
· · ·+ i 1 lnD 1p D 3p
+ i 2 lnD 2p D 3p
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p
Finalmente:
λ = limp →∞
λ1 (p ) = µ
2πi 1 ln
1
RMG 1+ 1 2 ln
1
D 12+ 1 3 ln
1
D 13Un desarrollo similar se realiza para obtener λ2 y λ3.
Se puede demostrar que para un sistema de ”n” conductores lasecuaciones de enlaces de ujo son:
λ1λ2...
λn
= µ2π
ln 1RMG 1 ln 1D 12 · · · ln 1D 1nln 1D 21 ln
1RMG 2 · · · ln 1D 2n
......
. . . ...
ln 1D n1
ln 1D n2 · · ·
ln 1RMG n
[L] matriz de Inductancias
i 1i 2......
i n
Esta ecuación también es válida en el plano fasorial:
[λ] = [L][I ]
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Finalmente:
λ = limp →∞
λ1 (p ) = µ
2πi 1 ln
1
RMG 1+ 1 2 ln
1
D 12+ 1 3 ln
1
D 13Un desarrollo similar se realiza para obtener λ2 y λ3.
Se puede demostrar que para un sistema de ”n” conductores lasecuaciones de enlaces de ujo son:
λ1λ2...
λn
= µ2π
ln 1RMG 1 ln 1D 12 · · · ln 1D 1nln 1D 21 ln
1RMG 2 · · · ln 1D 2n
......
. . . ...
ln 1D n1
ln 1D n2 · · ·
ln 1RMG n
[L] matriz de Inductancias
i 1i 2......
i n
Esta ecuación también es válida en el plano fasorial:
[λ] = [L][I ]
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Finalmente:
λ = limp →∞
λ1 (p ) = µ
2πi 1 ln
1
RMG 1+ 1 2 ln
1
D 12+ 1 3 ln
1
D 13Un desarrollo similar se realiza para obtener λ2 y λ3.
Se puede demostrar que para un sistema de ”n” conductores lasecuaciones de enlaces de ujo son:
λ1λ2...
λn
= µ2π
ln 1RMG 1 ln 1D 12 · · · ln 1D 1nln 1D 21 ln
1RMG 2 · · · ln 1D 2n
......
. . . ...
ln 1D n1
ln 1D n2 · · ·
ln 1RMG n
[L] matriz de Inductancias
i 1i 2......
i n
Esta ecuación también es válida en el plano fasorial:
[λ] = [L][I ]
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Caso 1: Ĺınea 3 φ simétrica
Si RMG = RMG 1 = RMG 2 = RMG 3 se obtiene:
λ1 = µ2π
i 1 ln 1
RMG + i 2 ln
1D
+ i 3 ln1D
con i 3 = −(i 1 + i 2)λ1 =
µ2π
i 1 ln D RMG ⇒
L1 = µ2π
ln D RMG
H m
Se puede demostrar que:
L = L1 = L2 = L3 = µ2π
ln D RMG
H m
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Caso 1: Ĺınea 3 φ simétrica
Si RMG = RMG 1 = RMG 2 = RMG 3 se obtiene:
λ1 = µ2π
i 1 ln 1
RMG + i 2 ln
1D
+ i 3 ln1D
con i 3 = −(i 1 + i 2)λ1 =
µ2π
i 1 ln D RMG ⇒
L1 = µ2π
ln D RMG
H m
Se puede demostrar que:
L = L1 = L2 = L3 = µ2π
ln D RMG
H m
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Caso 1: Ĺınea 3 φ simétrica
Si RMG = RMG 1 = RMG 2 = RMG 3 se obtiene:
λ1 = µ2π
i 1 ln 1
RMG + i 2 ln
1D
+ i 3 ln1D
con i 3 = −(i 1 + i 2)λ1 =
µ2π
i 1 ln D RMG ⇒
L1 = µ2π
ln D RMG
H m
Se puede demostrar que:
L = L1 = L2 = L3 = µ2π
ln D RMG
H m
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Caso 2: Ĺınea 3 φ con trasposici´on
Tramo I
λ1I = µ2π
i 1 ln 1
RMG 1+ i 2 ln
1D 12
+ i 3 ln 1D 13
Wbv m
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Tramo II
λ1II = µ2π
i 1 ln 1
RMG 1+ i 2 ln
1D 23
+ i 3 ln 1D 12
Wbv m
Tramo III
λ1III = µ2π
i 1 ln 1
RMG 1+ i 2 ln
1D 13
+ i 3 ln 1D 23
Wbv m
Debido a la linealidad del sistema se puede obtener un λ1 equivalente
como:λ1 =
λ1I + λ1II + λ1III 3
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λ1 = 13
µ2π
3i 1 ln 1
RMG 1+ i 2 ln
1D 12D 13D 23
+ i 3 ln 1
D 12D 13D 23
con i 3 = −(i 1 + i 2)
λ1 = 1
3µ
2π3i 1 ln
1RMG 1 −i 1 ln
1D 12D 13D 23
= 1
3µ
2π3i 1 ln
1RMG 1
+ 3 i 1 ln 3
D 12D 13D 23
λ1 = µ
2πi 1 ln
3√ D 12D 13D 23RMG 1H m
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Aśı:
L = L1 = L2 = L3 = µ2π ln
DMG RMG
H m
donde : RMG = RMG 1 = RMG 2 = RMG 3
DMG = 3
D 12D 13D 23 : Distancia media geométrica
Signicado:
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c. Inductancia en una ĺınea 1 φ con múltiples conductores por fase
Los sub-conductores de “x ” poseen un radio r x y conducen una corrienteidéntica igual a I x N . De la misma forma, los sub-conductores de “y ”
poseen un radio r y y conducen corriente idéntica igual a I y M . Notar
que I x = −I y . Considerando el sub-conductor k se tiene:
φk = µ2π
I x N
N
n=1
ln 1D kn −
I x M
M
m =1
ln 1D km
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La corriente que conduce el conductor k es I N entonces:
λ k = φk N
= µ2π
I x N 2
N
n=1
ln 1D kn −
I x M N
M
m =1
ln 1D km
Luego, el enlace de ujo total es (λ x = f (I x )):
λ x =N
k =1
λk = µ2π
I x 1
N 2
N
k =1
N
n=1
ln 1D kn −
1M N
N
k =1
M
m =1
ln 1D km
= µ2π
I x 1N 2
N
k =1
ln 1N
n=1
D kn− 1M N
N
k =1
ln 1M
m =1
D km
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52/94
λx = µ2π
I x 1
N 2 ln
1N
k =1
N
n=1
D kn−
1M N
ln1
N
k =1
M
m =1
D km
λx = µ2π
I x ln
M N N k =1
M
m =1
D km
N 2
N
k =1
N
n=1D kn
Wbv m
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Finalmente:
Lx = λx I x =
µ2π ln
DMG xy RMG x
H m Ly =
λy I y =
µ2π ln
DMG xy RMG y
H m
donde:
DMG xy = M N N k =1
M
m =1
D km Distancia media geométrica entre
los conductores “x”-“y”
RMG x = N 2 N
k =1
N
n=1
D kn Radio medio geométrico del con-ductor compuesto “x”
RMG y = M 2 M
k =1
M
m =1
D km Radio medio geométrico del con-ductor compuesto “y”
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Uso de tablas
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Uso de tablas
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Ejemplo 1Considere una ĺınea de trifásica, con transposici ón, 1 conductor Falcon ×fase, DMG=20 [ft]
x L = ωL = 2π fL = 2π f µ2π
ln DMG [m]RMG cond [m] Ωm
= f µ1609 ln DMG [m]RMG cond [m] Ωmi
= f µ1609 ln(10) log DMG [ft ]RMG cond [ft ] Ωmi
Considerando µ = µ0 = 4π ×10−7 [H / m] se obtienex L = f µ01609 ln(10) log
DMG [ft ]
RMG cond [ft ] Ω
mi
≈4.6557 ×10−3f log DMG [ft ]RMG cond [ft ] Ωmi
≈0.2328 log DMG [ft ]RMG cond [ft ]
Ωmi
a 50[Hz ]
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Uso de tablas
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T́ıpicamente se descompone la expresi ón de reactancia inductiva como
x L = 0 .2328 log DMG [ft ]RMG cond [ft ] Ωmi = 0 .2328 log 1 [ft ]RMG cond [ft ]
x a
+ 0 .2328 logDMG [ft ]
1 [ft ]
x d
Ωmi
= x a + x d Ωmi
Para nuestro ejemplo
x L = (0 .299)
obtenido ×tabla+0 .2328 log(20 [ft ]) Ωmi
≈0.6019 Ωmi
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Uso de tablas
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Tabla con parámetros eléctricos de conductores desnudos ACSRCharacteristics of erial Lines
TABLE 2 A—CHARACTERIS TICS OF ALUMINUM CABLE STEEL REINFORCED
Chapter
Aluminum Company of America)
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Uso de tablas
l
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Ejemplo 2Considere una ĺınea de trifásica, con transposici ón, 4 conductores Falcon
× fase, D=20 [ft], d=1.2 [ft]
DMG = 3√ D D 2D = 3√ 2D ≈25.2 [ft ]
RMG fase = 16
4
i =1
4
j =1 d ij =
16
RMG cond
√ 2d
34
[ft ]
= 4 RMG cond √ 2d 3 [ft ]
= 4 RMG cond 218 d
34 [ft ]
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Uso de tablas
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x L = 0 . 2328 log DMG [ft ]RMG fase [ft ] Ωmi
= 0 . 2328 log 1 [ft ]RMG fase [ft ]
+ 0 .2328 log DMG [ft ]1 [ft ] Ωmi
= 0 . 2328 log 1 [ft ]
4√ RMG cond 2 18 d 34 [ft ]+ 0 .2328 log
DMG [ft ]1 [ft ] Ωmi
= 0 . 2328 log 1 [ft ]
4
√ RMG cond [ft ] −0. 2328 log 2
18 d
34 [ft ] + 0 . 2328 log
DMG [ft ]
1 [ft ]=
x a4 −x d |d =2 18 d 34 [ft ] + x d |d = DMG [ft ]
= (0. 299)
4 −0. 2328 log(1 .2503 [ft ]) + 0 .2328 log(25 .2 [ft ])= 0 . 3784
Ω
mi
r = 0.059
4 ≈0.01475 Ωmi
a 25◦ C
r = 0.0675
4 ≈0.016875 Ωmi
a 50◦ C
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Impedancia serie a secuencia cero
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Impedancia serie a secuencia cero
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Las corrientes de desbalance se distribuyen por tierra a través decaminos que ofrecen menor oposición (menor impedancia)Para modelar el comportamiento de la tierra se acostumbra utilizarlas clásicas ecuaciones desarrolladas por John R. Carson [5]
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Impedancia serie a secuencia cero
Método de Carson
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Metodo de Carsona. Se asume que el terreno posee una resistividad homogénea (ρ
constante)b. La tierra es reemplaza por un conjunto de conductores cticiosc. A cada conductor aéreo le corresponde un conductor cticio de igual
calibre ubicado abajo a una distancia D e
D e = 658 .5
ρ
f [m]
≈2160
ρ
f [ft ]
donde ρ [Ωm] es la resistividad del terreno y f [Hz ] es la frecuenciadel sistema
d. Las pérdidas de potencia en tierra se representan por medio de unaresistencia R e que no depende del número de conductores ni de sus
calibresR e ≈9.869 ×10−7f [Ω/ m]
≈0.0493 [Ω/ km ] a 50 [Hz ]≈0.0794 [Ω/ mi ] a 50 [Hz ]
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Impedancia serie a secuencia cero
a Ĺınea sin cable de guardia y con retorno por tierra
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a. Lınea sin cable de guardia y con retorno por tierra
En la representación equivalente, el conductor posee las siguientescaracteŕısticas
Radio equivalente con-ductores
: RMG equiv = 3√ RMG fase DMG 2 [m]Resistencia equivalenteconductores aéreos
: r a / 3 [Ω/ m] (r a , resistencia equiv. por fase)
Resistencia equivalentetierra
: R e [Ω/ m]
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Impedancia serie a secuencia cero
De esta forma la impedancia serie de secuencia cero resulta:
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De esta forma, la impedancia serie de secuencia cero resulta:
z 0(a ) = r a + 3 R e + j 3ω µ
2π1609 ln
D e 3
√ RMG fase DMG 2
Ω
mi = r a + r e + j x fase a + x e − 2x d |d = DMG
Ωmi
donde
r e = 3 R e ≈0.002961f Ωkm ≈0.004764f
Ωmi
x e = 3 ω µ2π
1000 ln 658.5 ρf Ωkm = 0 .1885 ln 433622 .3 ρf 12 Ω
km
= 0 .09425 ln 433622 .3ρf
Ωkm
= 3 ω µ2π
1609 ln 2160 ρf Ωmi = 0 .3033 ln(10) log 4665600 ρf 12 Ω
mi
= 0 .3492 log 4665600ρf
Ωmi
= 0 .006985f log 4665600ρf
Ωmi
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Impedancia serie a secuencia cero
Algunos valores de r y x en [Ω/ mi ]
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Algunos valores de r e y x e en [Ω/ mi ]
ρ Frecuencia[Ωm] 25 [Hz] 50 [Hz] 60 [Hz]r e Todos 0.1192 0.2383 0.2860
x e 1 0.921 1.736 2.050
5 1.043 1.980 2.34310 1.095 2.085 2.46950 1.217 2.329 2.762100 1.270 2.434 2.888500 1.392 2.679 3.1811000 1.444 2.784 3.3075000 1.566 3.028 3.60010000 1.619 3.133 3.726
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Impedancia serie a secuencia cero
b Ĺınea con cable de guardia y con retorno por tierra
http://find/
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b. Lınea con cable de guardia y con retorno por tierra
I a0 = I a0 + I a0
Z 0 = V a0I a0
= E a0I a0
aa
aaaaa
aaaaaaa
De (2) ⇒ I g = −Z 0(ag )Z 0(g )
I a0
Reemplazando en (1), E a = Z 0(a ) I a0 − Z 20(ag )
Z 0(g )I a0
⇒Z0 = Z0(a )
Z 20(ag )Prof. Héctor A. Pulgar Painemal Capı́tulo 3. C´alculo de parámetros de ĺıneas de transmisi´ on 2do semestre 2013 52 / 79
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Impedancia serie a secuencia cero
b. Ĺınea con cable de guardia y con retorno por tierra
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b. Lınea con cable de guardia y con retorno por tierra
I a0 = I a0 + I a0
Z 0 = V a0
I a0=
E a0
I a0
E a = Z 0(a ) I a0 + Z 0(ag ) I g (1)
0 = Z 0(ag ) I a0 + Z 0(g ) I g (2)De (2)
⇒ I g =
−
Z 0(ag )Z 0(g )
I a0
Reemplazando en (1), E a = Z 0(a ) I a0 − Z 20(ag )
Z 0(g )I a0
⇒ Z 0 = Z 0(a ) −
Z 20(ag )Z 0(g )
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Impedancia serie a secuencia cero
Estas expresiones también son válidas para determinar las impedancias
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Estas expresiones tambien son validas para determinar las impedanciaspor unidad de longitud
z 0(a ) : Impedancia por unidad de longitud de secuencia cero s óloconsiderando las fases con retorno por tierra (valor ya cal-culado en sección a.)
z 0(g ) : Impedancia por unidad de longitud de secuencia cero s óloconsiderando los cables de guardia con retorno por tierra
z 0(ag ) : Impedancia por unidad de longitud mutua de secuencia cero
entre las fases y los cables de guardiaDMG ag : Distancia media geométrica entre las fases y,los cables de
guardia
donde: Z 0(a ) = z 0(a ) Ωmi × [mi ]
Z 0(g ) = z 0(g ) Ωmi × [mi ]
Z 0(ag ) = z 0(ag ) Ωmi × [mi ]
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Impedancia serie a secuencia cero
Aśı,
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,
z 0(a )
= r a + r e + j x fase a
+ x e −
2x d |d = DMG
Ω
mi
Para la impedancia propia del circuito formado por los cables de guardia,se procede como sigue:
z 0(g ) = 3 r c + r e + j 3ω µ2π 1609 ln(10) log
D e RMG g
Ωmi
= 3 r c + r e + j x a g + x e Ωmi
donde:r c : Resistencia por unidad de longitud equivalente de los
conductores de guardia
RMG g : Radio medio geométrico equivalente de los conductoresde guardia
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Impedancia serie a secuencia cero
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En la expresión anterior x a g = 0 .2328 log 1RMG g . A modo de ejemplo si
se poseen dos conductores de guardia, cada uno con RMG cond yseparados una distancia d 1, entonces:
RMG g = RMG g d 1Reemplazando
z 0(g ) = 3 r c + r e + j 3ω µ2π
1609 ln(10) log D e
RMG g d 1 Ωmi
= 3 r c + r e + j ω µ2π
1609 ln(10)32
log 1
RMG g − 32
log (d 1) + 3 log ( D e )
= 3 r c + r e + j 32
x a − 32
x d |d = d 1 + x e Ωmi Prof. Héctor A. Pulgar Painemal Capı́tulo 3. C´alculo de parámetros de ĺıneas de transmisi´ on 2do semestre 2013 56 / 79
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Impedancia serie a secuencia cero
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Para la impedancia mutua entre las fases y los cables de guardia, seprocede como sigue:
z 0(ag ) = r e + j 3ω µ2π
1609 ln(10) ln D e
DMG ag Ωmi = r e + j x e −3x d |d = DMG ag
donde:DMG ag : Distancia media geométrica entre las fases y los con-
ductores de guardia
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Capacitancia a secuencia positiva
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Capacitancia a secuencia positiva
O d l ´ l d l ĺ d i i´ l
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Otro de los parámetros relevantes de las ĺıneas de transmisi ón es lareactancia capacitiva. La incidencia del efecto capacitivo depende de la
tensión eléctrica de la ĺınea y por lo tanto se dene como parámetroparalelo.
Recordemos que al aplicar unadiferencia de potencial a dos
conductores separados una ciertadistancia, estos adquieren carga+ q (t ) y −q (t ). El valor de lacarga dependerá de la diferenciade potencial y de una constantede proporcionalidad “C ” llamadacapacitancia. En el caso decorriente continua
Q d .c . = CV d .c .
En el caso a.c.
i (t ) = dq (t )
dt
q (t ) = Cv (t )
¡Por el dieléctrico no circula corriente!
i (t ) = C dv (t )
dt En el plano fasorial:
I = + j ωCV
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Capacitancia a secuencia positiva
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Capacitancia a secuencia positiva
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En ĺıneas eléctricas este fen ómenoestá presente entre ĺıneas y entreĺınea y tierra.
Aunque la ĺınea esté en vaćıo, porella circulan corrientes debido alfenómeno oscilatorio de carga ydescarga de conductores.Estas se llaman “corrientes de
carga” y en ĺıneas de A.T. y degran longitud llegan a sersignicantes.
Nota: Le damos el nombre de corrientes de carga porque se deben al
movimiento de carga eléctrica en los conductores. No confundir con el término carga empleado en el contexto de demanda eléctrica.
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Capacitancia a secuencia positiva
Ecuaciones generales:
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Ecuaciones generales:Suposiciones:
a. Efecto de borde despreciableb. Conductor perfecto (sin
pérdidas) ⇒ E int = ρJ = 0
Ley de Gauss:
φe total = S −→E ·d −→s = q total 0⇒
E x 2πx = q total ε 0
⇒ E x = q 2π x ε 0
V m
donde q = q total es la carga porunidad de longitud
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Capacitancia a secuencia positiva
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v 12 =
c −→E ·−→dx [V ]
v 12 = D 2
D 1E x dx
v 12 = q
2πε 0 D 2
D 1
1
x dx =
q
2πε 0ln x
D 2
D 1
[V ]
v 12 = q 2πε 0
lnD 2D 1
[V ]
Esta ecuación también es válida en el plano fasorial:
V = Q 2πε 0
ln D 2D 1
[V ]
ε0 = 8 .854 ·10−12F m
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Capacitancia a secuencia positiva
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v 12 =
c −→E ·−→dx [V ]
v 12 = D 2
D 1E x dx
v 12 = q
2πε 0 D 2
D 1
1
x dx =
q
2πε 0ln x
D 2
D 1
[V ]
v 12 = q 2πε 0
lnD 2D 1
[V ]
Esta ecuación también es válida en el plano fasorial:
V = Q 2πε 0
ln D 2D 1
[V ]
ε0 = 8 .854 ·10−12F m
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Capacitancia a secuencia positiva
Cuando el dieléctrico no es el espacio libre,ε0 se reemplaza por
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Cuando el dielectrico no es el espacio libre, ε0 se reemplaza porε = εr ε0[F / m] (ĺıneas aéreas ε = ε0, εr = 1).
Cálculo de la capacitancia de una ĺınea de dos conductoresQ 1 + Q 2 = 0
C 12 = Q 1V 12
V 12 = f (Q 1, Q 2)V 12 = V 12(Q 1) + V 12(Q 2) (principio de superposición)
V 12(Q 1) =
Q 1
2πε 0ln
D
r 1[V ]
V 12(Q 2) = Q 22πε 0
lnr 2D
[V ]
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Capacitancia
Con Q 2 = −Q 1 y r = r 1 = r 2 se obtiene:
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V 12 = Q 12πε 0 ln
D r 1 −
Q 12πε 0 ln
r 2D =
Q 12πε 0 ln
D 2
r 1r 2
= Q 1πε 0
ln D √ r 1r 2 [V ]
⇒C 12 =
Q 1V 12 =
πε0ln D r
F
m
Generalmente, se acostumbra a especicar la capacitancia a un puntoneutro:
C 12 = C 1C 2C
1 + C
2
= C 1
2
= C 2
2C 1 = C 2
⇒C 1 = C 2 =
2πε 0ln D r
F m
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Capacitancia a secuencia positiva
Capacitancia de una ĺınea 3 φ simétrica
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Q 1 + Q 2 + Q 3 = 0
V 12 = Q 1
2πε 0ln D
r 1+ Q 2
2πε 0ln r 2
D + Q 3
2πε 0ln D
D
V 13 = Q 12πε 0
lnD r 1
+ Q 22πε 0
lnD D
+ Q 32πε 0
lnr 3D
V 12 = V 1 √ 3∠30o (+) V 13 = V 1 √ 3∠ −30o
↓3V 1 = V 12 + V 13⇒
V 1 = V 12+ V 133
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ELI-246 Análisis de Sistemas de Potencia I Departamento de Ingenieŕıa Eléctrica, UTFSM
Capacitancia a secuencia positiva
http://find/
-
8/18/2019 Calculo de parametros de lineas de transmision
82/94
V 1 = V
12 + V
133 = 13 12πε 0 2 Q 1 ln
D r 1 + Q
2 lnr 2
D + Q 3 lnr 3
D
con Q 1 + Q 2 + Q 3 = 0 y r = r 1 = r 2 = r 3 se obtiene:
V 1 = Q 12πε 0 ln
D
r [V ]
⇒ C 1 =
2πε 0ln D r
F m
⇒ X C 1 =
1ω C 1 =
ln D r 4π2f ε0 [Ω m]
Se puede demostrar que X C 1 = X C 2 = X C 3 (reactancias capacitivas porfases) (o alternativamente C 1 = C 2 = C 3)
Prof. Héctor A. Pulgar Painemal Capı́tulo 3. C´alculo de parámetros de ĺıneas de transmisi´ on 2do semestre 2013 67 / 79
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Capacitancia a secuencia positiva
Capacitancia de una ĺınea 3 φ asimétrica con transposici´ on
http://find/
-
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Tramo I
V 12 I = 12πε 0
Q 1 lnD 12r 1
+ Q 2 ln r 2D 12
+ Q 3 lnD 23D 13
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ELI-246 Análisis de Sistemas de Potencia I Departamento de Ingenieŕıa Eléctrica, UTFSM
Capacitancia a secuencia positiva
Tramo II
http://find/
-
8/18/2019 Calculo de parametros de lineas de transmision
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V 12 II = 12πε 0 Q 1 ln
D 23r 1 + Q 2 ln
r 2D 23 + Q 3 ln
D 13D 12
Tramo III
V 12 III = 12πε
0
Q 1 lnD 13r 1
+ Q 2 ln r 2D
13
+ Q 3 lnD 12D
23
Finalmente:
V 12 = V 12 I + V 12 II + V 12 III
3si r = r 1 = r 2 = r 3 se obtiene:
V 12 = 12πε 0
Q 1 lnDMG
r + Q 2 ln
r DMG
[V ]
donde: DMG = 3√ D 12D 23D 31Prof. Héctor A. Pulgar Painemal Capı́tulo 3. C´alculo de parámetros de ĺıneas de transmisi´ on 2
dosemestre 2013 69 / 79
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Capacitancia a secuencia positiva
http://find/
-
8/18/2019 Calculo de parametros de lineas de transmision
85/94
De igual forma se puede obtener V 13 = V 13 I + V 13 II + V 13 II I 3
Finalmente:
V 1 = V 12 + V 13
3 =
Q 12πε 0
lnDMG
r [V ]
Se pude demostrar que:
C 1 = C 2 = C 3 = 2πε 0ln DMG r
F m
X C 1 = X C 2 = X C 3 = 1ω C 1= ln
DMG r
4π2f ε0[Ω m]
Prof. Héctor A. Pulgar Painemal Capı́tulo 3. C´alculo de parámetros de ĺıneas de transmisi´ on 2do
semestre 2013 70 / 79 ELI-246 Análisis de Sistemas de Potencia I Departamento de Ingenieŕıa Eléctrica, UTFSM
Capacitancia a secuencia positiva
Capacitancia de una ĺınea 3 φ considerando el efecto de tierraL ĺ t i i´
http://find/
-
8/18/2019 Calculo de parametros de lineas de transmision
86/94
La lınea posee trasposicion
Tramo IV 1 I =
12πε 0
Q 1 ln1r
+ . . .
. . . + Q 2 ln 1D 12
+ Q 3 ln 1D 13
+ . . .
. . . + Q 1 ln 1H 11
+ Q 2 ln 1H 12
+ . . .
Q 3 ln 1H 13
Q 1 = −Q 1Q 2 = −Q 2Q 3 = −Q 3
3
i =1
Q i = 0;3
i =1
Q i = 0
Prof Héctor A Pulgar Painemal Capı́tulo 3 C´alculo de parámetros de ĺıneas de transmisi´ on 2do
semestre 2013 71 / 79 ELI-246 Análisis de Sistemas de Potencia I Departamento de Ingenieŕıa Eléctrica, UTFSM
Capacitancia a secuencia positiva
http://goforward/http://find/http://goback/
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87/94
Tramo II
V 1 II = 12πε 0
Q 1 ln1r
+ Q 2 ln 1D 23
+ Q 3 ln 1D 12
+ . . .
. . . + Q 1 ln 1H 22
+ Q 2 ln 1H 23
+ Q 3 ln 1H 21
Tramo III
V 1 III = 12πε 0
Q 1 ln1r
+ Q 2 ln 1D 13
+ Q 3 ln 1D 23
+ . . .
. . . + Q 1 ln 1H 33 + Q 2 ln 1H 31 + Q 3 ln 1H 32
Prof Héctor A Pulgar Painemal Capı́tulo 3 C´alculo de parámetros de ĺıneas de transmisi´ on 2do
semestre 2013 72 / 79 ELI-246 Análisis de Sistemas de Potencia I Departamento de Ingenieŕıa Eléctrica, UTFSM
CapacitanciaAśı,
1 1 1 1 1
http://goforward/http://find/http://goback/
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8/18/2019 Calculo de parametros de lineas de transmision
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V 1 = 1
2πε 0
1
3ln
1
r 3 Q 1 + ln
1
D 12D 23D 13Q 2 + ln
1
D 12D 23D 13Q 3 +
· · ·· · ·+ ln
1H 11 H 22 H 33
Q 1 + ln 1
H 11 H 22 H 33Q 2 + ln
1H 11 H 22 H 33
Q 3
por simetŕıa:H 12 = H 21 H 11 = 2H 1H 23 = H 32 ∧ H 22 = 2H 2H 31 = H 13 H 33 = 2H 3
con Q 3 = −(Q 1 + Q 2) ∧ Q 3 = −(Q 1 + Q 2) se obtiene:X c =
1
ω 2πε 0ln
DMG
r −ln
3√ H 12 H 23 H 312 HMG
[Ω m]
donde:
DMG = 3 D 12D 23D 13HMG = 3 H 1H 2H 3Prof Héctor A Pulgar Painemal Capı́tulo 3 C´alculo de parámetros de ĺıneas de transmisi´ on 2
dosemestre 2013 73 / 79
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Capacitancia a secuencia cero
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semestre 2013 74 / 79 ELI-246 Análisis de Sistemas de Potencia I Departamento de Ingenieŕıa Eléctrica, UTFSM
Capacitancia a secuencia cero
a. Ĺınea 3 φ sin cable de guardia y conexi´ on a tierra
Tramo I
http://find/
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Tramo I
V a0 I = 12πε 0 Q a0 ln
1r + . . .
. . . + Q b 0 ln 1D 12
+ Q c 0 ln 1D 13
+ . . .
. . . + Q a0 ln 1
H 11+ Q b 0 ln
1
H 12+ . . .
Q c 0 ln 1H 13
Q a0 = −Q a0Q b 0 = −Q b 0Q c 0 = −Q c 0
donde Q a0 = Q b 0 = Q c 0
⇒V a0 I =
Q a02πε0
ln2H 1H 12 H 13
r D 12D 13
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semestre 2013 75 / 79 ELI-246 Análisis de Sistemas de Potencia I Departamento de Ingenieŕıa Eléctrica, UTFSM
Capacitancia a secuencia ceroTramo II
V 0 II = Q a0 ln
2H 2H 23 H 21
http://find/
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V a0 II = 2πε 0ln
rD 23D 12Tramo III
V a0 III = Q a02πε 0
ln2H 3H 31 H 32
rD 13D 23Aśı,
V a0 = V a0 I + V a0 II + V a0 III 3 = Q a0
2πε 0ln 8H 1H 2H 3(H 12 H 13 H 23 )
2
r 3(D 12D 13D 23)2
13
= Q a02πε 0
ln2 3√ H 1H 2H 3 3√ H 12 H 13 H 23 2
r ( 3√ D 12D 13D 23)2
= Q a02πε 0
ln 2HMG 3
√ H 12 H 13 H 232
r DMG 2 donde HMG = 3 H 1H 2H 3
⇒C a0 =
Q a0V a0
F m ⇒x a (0) =
1ω C a0
= V a0ωQ a0
[Ω m]
Prof Héctor A Pulgar Painemal Capı́tulo 3 C´alculo de parámetros de ĺıneas de transmisi´ on 2do
semestre 2013 76 / 79 ELI-246 Análisis de Sistemas de Potencia I Departamento de Ingenieŕıa Eléctrica, UTFSM
Capacitancia a secuencia ceroEn el caso particular cuando 2HMG ≈ 3√ H 12 H 13 H 23 se tiene
1 (2HMG )3 3 2HMG
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8/18/2019 Calculo de parametros de lineas de transmision
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x a (0) = 1
ω 2πε 0ln
(2HMG )
r DMG 2 =
3
ω 2πε 0ln
2HMG 3
√ r DMG 2
[Ω m]
≈ 3×2.8608
f ln
2HMG 3√ r DMG 2 [M Ω km]
≈ 3×1.778
f ln
2HMG 3√ r DMG 2 [M Ω mi ]
≈ 1.778f ln 1r − 2×1.778f ln(DMG ) + 3×1.778f ln(2HMG ) [M Ω mi ]= x a , fase −2x d |d = DMG + x e [M Ω mi ]
donde
x e ≈ 3×1.778
f ln(2HMG ) =
3×1.778f
ln(10) log(2HMG ) [M Ω mi ]
≈ 12.3
f log(2HMG ) [M Ω mi ]
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semestre 2013 77 / 79 ELI-246 Análisis de Sistemas de Potencia I Departamento de Ingenieŕıa Eléctrica, UTFSM
Capacitancia a secuencia cerob. Ĺınea 3 φ con cable de guardia y conexi´ on a tierraSe utiliza un procedimiento similar al utilizado para calcular la
d d
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impedancia serie de secuencia cero.
V a00 =
C −10(a ) C −1
0(ag )C −10(ag ) C −
10(g )
Q a0Q g
Notar que C −1 = ωx c . Luego
V a00 = ω x 0(a ) x 0(ag )x 0(ag ) x 0(g )
Q a0Q g
⇒Q g = −
x 0(ag )x 0(g )
Q a0 ∧ I a0 = j ωQ a0
⇒V a0 = ω x 0(a ) −
x 20(ag )x 0(g )
x 0
Q a0 = − jx 0I a0
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semestre 2013 78 / 79 ELI-246 Análisis de Sistemas de Potencia I Departamento de Ingenieŕıa Eléctrica, UTFSM
Referencias
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1. J.D. Glover, M.S. Sarma, T. Overbye, Power Systems Analysis and Design, CLEngineering, 4th edition, 2007
2. Electrical Transmission and Distribution Reference Book, Westinghouse ElectricCorporation, 4th edition, 1950
3. L.M. Checa, Ĺıneas de Transporte de Enerǵıa, 3ra edici´ on, Alfaomega Macombo,
20004. J.J. Grainger, W.D. Stevenson, Análisis de Sistemas de Potencia, McGraw-Hill,
1996
5. J.R. Carson, Wave Propagation in Overhead Wires with Ground Return, BellSystem Tech. Journal, Vol. 5, 1926, pp. 539-554
Prof Héctor A Pulgar Painemal Capı́tulo 3 C´alculo de parámetros de ĺıneas de transmisi´ on 2do
semestre 2013 79 / 79
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