calculo de pi segunda 3

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UNIVERSIDADE PAULISTACAMPUS BRASÍLIA – ASA SUL

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CÁLCULO DE π

Brasília-DF

2015

CÁLCULO DE π

Trabalho acadêmico apresentado a Universidade Paulista-UNIP, do curso de Engenharia, como parte dos requisitos para a aprovação parcial na disciplina de Laboratório de Física ministrada pela docente Cleber.

Brasília – DF

2015

RESUMO

O número pi (π) representa o quociente entre o perímetro de uma circunferência e o seu diâmetro.A história do número π tem inicio a cerca de 4000 anos atrás. Arquimedes (287-212 a.C.) foi primeiro matemático a investigar o numero π e encontrar um valor mais preciso. Para o estudo foram utilizados, 2 cilindros circulares de tamanhos variados,3 esferas de tamanhos variados, 2 cubos, 1 micrometro e uma folha branca. Envolveu-se o disco com a folha branca, estimou-se o valor do raio e o valor de π. Com base na análise dos resultados obtidos comprovou-se que pequenos erros de medidas, podem ocasionar importantes mudanças em relação às demais medidas que dependem do número exato.

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1- INTRODUÇÃO

Desde antes de Cristo há registros do conhecimento do número π, que

durante 2500 anos, ocupou posição central na história da matemática. O número pi

(π) representa o quociente entre o perímetro de uma circunferência e o seu diâmetro

(EYMARD, 2000).

Os primeiros vestígios de uma estimativa de π (PI), encontram-se do Papiro

de Rhind escrito, aproximadamente, em 2000 a.C., que designava que a área de um

circulo é igual a de um quadrado cujo lado é o diâmetro de círculo diminuído de sua

nona parte (EYMARD, 2000).

A história do número π tem inicio a cerca de 4000 anos atrás. Os passos

fundamentais para o surgimento deste numero, consistiu na necessidade em adquirir

consciência da constância da razão entre o perímetro e o diâmetro de qualquer

círculo, pois sem esta consciência nunca se teria concebido o π . Inúmeros povos

andaram à sua procura mesmo antes que chegassem a ter consciência matemática

(GUIDORIZZI, 1999).

Arquimedes (287-212 a.C.) foi primeiro matemático a investigar o numero π e

encontrar um valor mais preciso. Na época já era de conhecimento que a razão

entre o comprimento de uma circunferência e o seu diâmetro resultava em uma

constante. Archimedes construiu polígonos regulares e calculou o perímetro destes

polígonos. Quanto mais lados eram acrescentados no polígono, melhor a

aproximação. Usando um polígono regular de 96 lados encontrou um valor médio de

3,1485 (BORTOLETTO, 2008).

Matemáticos de várias épocas tentaram buscar uma racionalidade para π. No

entanto, chegaram a uma descoberta dos números irracionais. A prova de que π é

um número irracional foi feita por Johann Lambert, em 1761, e Legendre, em 1794.

Além de irracional, π é um número transcendente, o que foi provado por Ferdinand

Lindemann em 1882. Isso significa que não existe um polinômio com coeficientes

inteiros ou racionais do qual π seja uma raiz. É difícil de calculá-lo porque sendo um

número irracional, sua representação decimal não apresenta nenhuma

previsibilidade.

Atualmente o grande interesse em calcular o numero π esta em comprovar a

hipótese da distribuição aleatória de seus dígitos. Os cálculos já realizados tendem a

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confirmar essa conjectura. No ano de 1999, Kanada e Takahashi usando um

computador obtiveram a examinando os 200 bilhões de dígitos iniciais do PI.

2- OBJETIVOS

Este experimento teve como objetivo proporcionar a aprendizagem com

instrumentos de medidas importantíssimas para o desenvolvimento do saber

cientifico no que tange as unidades de medidas.

3- MATERIAIS E MÉTODOS

Para aferir as medidas foram utilizados, 2 cilindros circulares de tamanhos

variados,3 esferas de tamanhos variados, 2 cubos, 1 micrometro e uma folha

branca. Envolveu-se o disco com a folha branca, marcando inicio e fim de cada

volta, Esticou-se o barbante e mediu-se com o micrômero o comprimento da

circunferência de cada disco e foram anotados os valores.

O micrômetro é um instrumento de medida altamente preciso. Para manuseá-

lo corretamente devemos primeiramente abrir espaço nas esperas através da

catraca, movimentando-a até que aja espaço suficiente. Após isso, prender a esfera

de aço nas esperas sem apertar muito (apertar muito a esfera faz com que o valor

do diâmetro fique errado). Com isso feito, visualiza-se na escala retilínea quantos

centímetros está marcando, e se no tambor a marca zero está batendo na linha

central da escala. Caso isso não ocorra, deverá observar em quantos milímetros do

tambor está batendo com a linha central da escala, caso fique entre dois números,

voltar-se para o mais baixo.

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4- RESULTADOS

Precisão do micrômero= 0,01mm

a. Esfera grande

ALUNOS DIÂMETRO (mm) RAIO (mm)1 22,2 11,12 22,2 11,13 22,19 11,094 22,01 11,005 22,2 11,1

Media 22,16 11,08

Desvio padrão (diâmetro) = 0,08

Como não foi realizado a aferição do valor de circunferência, este foi calculado pela

seguinte relação matemática:

C= d. π

C= 22,16 X 3,14

C= 69,58 mm

Através de uma relação matemática:

C = 2 π r, portanto, π= C

2r

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π= 69,58/ 2X 11,08 = 3,1398

O desvio padrão é maior que a precisão.

σ ≥ p

0,8 ≥ 0,01

Logo devemos calcular a margem de Erro;

= 0,8/√5

=0,36

b. Esfera pequena

Aluno Diâmetro (mm) Raio (r)1 15,89 7,942 15,89 7,943 15,91 7,954 15,90 7,955 15,90 7,95

Media 15,90 7,95




C= d. π

8

C= 15,90 X 3,14

C= 49,93 mm



2r

π= 49,93 / 2X 7,95 = 3,1402

c. Esfera Média

Aluno Diâmetro Raio (r)1 19,03 9,512 19,06 9,533 20,01 10,004 19,57 9,785 19,45 9,72

Media 19,42 9,71





C= d. π

C= 19,42 X 3,14

C= 60,98 mm


9


2r

π= 60,98/ 2X 9,71= 3,1400


σ ≥ p

0,4 ≥ 0,01


= 0,4/√5

=0,18

d. Cubo dourado

Aluno A B C1 18,50 18,5 18,52 19,04 19,02 19,013 19,04 19,03 194 19,06 19,06 19,085 19,04 19,02 19,01

Media 18,94 18.93 18,92

Desvio padrão=0,24


σ ≥ p

AB

C

10

0,24 ≥ 0,01


= 0,24/√5

=0,11

e. Cubo prata

Aluno A B C1 19,06 19,06 19,102 19,06 19,09 19,083 19,08 19,08 19,044 19,08 19,08 19,065 19,06 19,10 19,06

Média 19,07 19,08 19,07

Desvio padrão= 0,01

O desvio padrão é IGUAL a precisão.

σ ≥ p

0,01 ≥ 0,01

A

B

C

11

f. Cilindro maior

Desvio padrão = 0,17



2r

π = 77,06/ 25,10 = 3,07

h

r

Aluno Circunferencia (C) Diâmetro1 77,21 25,12 76,80 25,943 77,20 25,004 77,10 25,895 77,00 25,2

Média 77,06 25,1

12

a. Cilindro menor

Desvio padrão = 0,17



2r

π = 44,01/ 13 = 3,38

5- DISCUSSÃO

6- CONSIDERAÇÕES FINAIS

Com base na analise dos resultados obtidos, pode-se observar que uso

adequado de instrumentos de medidas é muito importante, comprovando que

pequenos erros de medidas, podem ocasionar importantes mudanças em relação às

demais medidas, além de comprovar que não há um instrumento totalmente

confiável.

h

r

Aluno Circunferencia (C) Diâmetro1 44,1 12,82 44 13,13 43,90 134 43,95 12,985 44,10 13,1

Média 44,01 13

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Apesar da imprecisão dos instrumentos os valores referenciados na tabela

ficaram muito próximos do valor real de π, sendo assim podemos concluir que toda

circunferência pode ter seu comprimento determinado através da relação

matemática C = 2.r. π.

7- REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

AVRITZER, Dan. Geometria Analítica e Álgebra Linear: Uma Visão Geométrica. Belo Horizonte: Editora UFMG, 2009.

EYMARD, P., LAFON, J. The number π. Editora AMS. 2000. 322 p.

GUIDORIZZI, H. L. Um curso de cálculo. Vol 4. Editora LTC. 3 ed. 1999. 481 p.

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