cálculo de predicados prof. marcone sotéro [email protected]
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Cálculo de Predicados
A: Todos são mortais.
B: Alguém é bondoso.
Utilizando a lógica proposicional,
poderíamos explicitar a diferença entres
as sentenças acima?
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Cálculo de Predicados
•Na lógica proposicional as duas sentenças são tratadas como unidades
– Elas não podem ser decompostas em sentenças menores ligadas pelos conectivos lógicos
– Por isso não conseguimos falar da diferença entre elas na lógica proposicional
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Cálculo de Predicados
• Considere a premissa– “Sócrates é humano”.
Esse enunciado é uma declaração de que determinado indivíduo (Sócrates) possui uma propriedade específica (é humano).
• Na linguagem natural, o indivíduo que possui a propriedade é chamado sujeito, enquanto a propriedade descrita é chamada predicado.
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Cálculo de Predicados
O predicado explicita certas qualidades que o sujeito possui e que permite incluí-lo em uma categoria
– por exemplo, quando dizemos “Sócrates é humano” queremos dizer que o objeto chamado “Sócrates” possui certas características que permitem incluí-lo no conceito que fazemos daquilo que chamamos “humano”.
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Cálculo de Predicados
Nesta nova linguagem teremos, além dos conectivos do cálculo proposicional e dos parênteses, os seguintes novos símbolos:
variáveis: x,y,z,...– as variáveis representam objetos que não estão identificados
no Universo considerado ("alguém", "algo", etc.);constantes: a,b,c,...– as constantes representam objetos identificados do Universo
("João", "o ponto A", etc. );
quantificadores: (universal), (existencial)
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Quantificadores
Símbolo de quantificação universal;
leia-se “para todo”, “todo”.
Símbolo de quantificação existencial;
leia-se “algum”, “existe”.
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Cálculo de Predicados
Representamos o predicado por sua inicial maiúscula, e o sujeito a seguir, entre parênteses; assim, “Sócrates é humano” fica representado por
– H (Sócrates)
• Exemplos– "Maria é inteligente": I(m) ; onde "m" está identificando
Maria e "I" a propriedade de "ser inteligente".
– "Alguém gosta de Maria": G(x,m) ; onde G representa a relação "gostar de" e "x" representa "alguém".
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Exemplos
• A Terra é redonda
R(t)
• Simba é um mamífero
M(s)
• Quatro é um número par
N(q)
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Exemplos
Todo número inteiro par é divisível por 2.
Para qualquer x, se x for um número inteiro par, x é divisível por 2.
Para qualquer x, (P(x) D(x))
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Exemplos
Todo número inteiro par é divisível por 2(x)(P(x) D(x))
Todo coala come folhas de eucalipto(x)(C(x) E(x))
Alguém estudou aqui(x)(E(x))
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Exemplos
Ele foi para o Alasca(x)(I(x))
Ninguém estuda aqui(x)(~A(x))
Nem todo cão é manso(x)[C(x) (~(m(x)))]
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Sentenças Abertas e Fechadas
O sujeito é uma constante
Ex.: “Sócrates é humano”, pode ser verdadeira ou falsa;
O sujeito é uma variável
Ex.: “Ele foi presidente do Brasil”, ela não é verdadeira nem falsa, dependendo de nome que assuma o lugar do pronome. Uma frase como essa não é, portanto, um enunciado.
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Sentenças Abertas e Fechadas
Os enunciados são chamados sentenças
fechadas, enquanto que frases como:
– “x foi presidente do Brasil”– “y escreveu Os Lusíadas”– “z viajou para os Estados Unidos”
são chamadas sentenças abertas.
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Sentenças Abertas e Fechadas
As sentenças abertas não são verdadeiras nemfalsas;
podemos dizer apenas que são satisfeitas para certos valores das variáveis, e não satisfeitas para outros.
A substituição das variáveis de uma sentença aberta por constantes chama-se instanciação ou especificação;
A instanciação transforma uma sentença aberta em um enunciado, e este sim, pode ser verdadeiro ou falso.
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O Universo
• O Universo de uma variável é o conjunto de valores que ela pode assumir.
– O conjunto dos números– O conjunto dos números naturais maiores que
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Conjunto-Verdade
Chama−se Conjunto-Verdade (VP) de uma sentença aberta P(x), o conjunto de elementos do Universo que, quando instanciam a variável, satisfazem (tornam verdadeiro) o enunciado; ou seja
VP = { a U | VL [ P (a) ] = V }
VL (Valor Lógico)
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Conjunto-Verdade
Por exemplo, seja U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } e a expressão “x é primo” representada por P(x).
– Temos então VP = { 2, 3, 5, 7 }.
O conjunto-verdade em N da sentença aberta “x é divisor de 10” é:
– VP = { x N | x é divisor de 10} = {1, 2, 5, 10}
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Proposição Universal Afirmativa
Tem a forma geral Todo S é P e indica que todos os elementos da classe S estão contidos na classe P.
– Forma simbólica:
x (S(x) P(x))
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Proposição Universal Negativa
Tem a forma geral Nenhum S é P e indica que as classes S e P não possuem elementos em comum.
– Forma simbólica:
x (S(x) ~P(x))
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Proposição Particular Afirmativa
Tem a forma geral Algum S é P e indica que alguns membros da classe S também pertencem à classe P.
– Forma simbólica:
x (S(x) ^ P(x))
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Proposição Particular Negativa
Tem a forma geral Algum S não é P e indica que existem elementos de S que não estão contidos em P.
– Forma simbólica:
x (S(x) ^ ~P(x))
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Diagramas de Venn
• Cada classe é representada por um círculo, rotulado com o nome da classe;
• Para representar a proposição que afirma que a classe não possui elementos sombreamos o interior do círculo;
• Para indicar que a classe possui pelo menos um elemento, incluímos um x no círculo.
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Diagramas de Venn
Proposição Universal Afirmativa
Todo S é P
Forma simbólica: x (S(x) P(x))
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Diagramas de Venn
Proposição Universal Negativa
Nenhum S é P
Forma simbólica: x (S(x) ~P(x))
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Diagramas de Venn
Proposição Particular Afirmativa
Algum S é P
Forma simbólica: x (S(x) ^ P(x))
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Diagramas de Venn
Proposição Particular Negativa
Algum S não é P
Forma simbólica: x (S(x) ^ ~P(x))