calculo de reacciones de empotramiento perfecto en vigas horizontales con cargas triangulares y...
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Abstract — Soliciting load beam toward the slab, may be trapezoidal, triangular, considering that this is a rectangular slab, calculating perfectly embedded reactions can be carried out such that the load (Triangular or trapezoidal) or the equivalent rectangular load. Use of Ceinci-Lab Program helps us optimize results.
Keywords —Equivalent loads, trapezoidal load, triangular load, shape functions, two-way slab.
Resumen — La solicitación de cargas de la losa hacia la viga puede ser de forma trapezoidal y triangular tomando en cuenta que esta losa sea de forma rectangular, el cálculo de las reacciones de empotramiento perfecto se puede llevar a cabo con la carga tal cual (Triangular o trapezoidal) o con la carga equivalente rectangular. El uso del Programa Ceinci-Lab nos ayuda a optimizar resultados.
Palabras Claves — Cargas equivalentes, carga trapezoidal, carga triangular, funciones de forma, losa bidireccional.
1. Introducción
E n las estructuras de hormigón armado, salvo en casos especiales, las losas con las vigas forman un todo monolítico, lo cual contribuye a la resistencia a la flexión.Tenemos varios tipos de vías, como son las rectangulares vigas tipo T y tipo L.
Para el cálculo de vigas es necesario seguir los siguientes pasos:
Calculo de cargas Actuantes Determinación de luces. Determinación de condiciones de apoyo y
continuidad
Con estos tres precedentes podemos proceder al cálculo o pre dimensionamiento de vigas.
2. Cargas Actuantes en Vigas
Las cargas que se ejercen en una viga pueden ser de dos tipos:
Cargas Distribuidas Cargas Puntuales
Las cargas distribuidas incluyen el peso propio de la viga y la carga transmitida de la losa hacia la viga.También el peso de muros o mampostería que se apoya directamente en la viga.
La transmisión de la carga de la losa a la viga se puede dar de dos formas.
La primera será teniendo en cuenta cuando la losa en unidireccional, en este caso la transición de cargas será de forma distribuida y dividiéndose en mitad para cada viga. Este caso es en losas continuas, es de una forma casi exacta pero ayuda a no complicar el cálculo.
La segunda forma es cuando se tiene una losa bidireccional la solicitación de cargas de la losa hacia la viga es de forma diferente.
Para este caso tenemos una losa apoyada en sus cuatro lados, en forma gradualmente creciente hasta su rotura, las primeras fisuras aparecen en la zona central, donde son mayores los momentos elásticos.
Al avanzar el proceso de carga las nuevas fisuras se van orientando a lo largo de ciertas líneas que se
CALCULO DE REACCIONES DE EMPOTRAMIENTO PERFECTO EN VIGAS HORIZONTALES CON CARGAS TRIANGULARES Y
TRAPEZOIDALES CON CEINCI-LAB
Verónica A. Calderón.Estudiante Ingeniería Civil, Universidad de las Fuerzas Armadas-ESPE, Ecuador.
Roberto R. Aguiar.Profesor Ingeniería Civil, Universidad de las Fuerzas Armadas-ESPE, Ecuador.
dirigen a las esquinas, que en el caso de losas simplemente apoyadas en sus cuatro bordes tienen una inclinación de 45º respecto de los bordes de la losa.
Como consecuencia de esta fisuración la losa queda dividida en cuatro partes. Como se muestra a continuación.
Imagen 1: Distribución de cargas
Si se desprecian las deformaciones elásticas, frente a las deformaciones plásticas, se puede admitir de forma simple, que las partes de la losa entre líneas de rotura quedan planas y, por consiguiente, sus intersecciones, es decir, las líneas de rotura, son rectas.
Las deformaciones de las losas consisten pues, únicamente en rotaciones de unas partes, en relación con otras rotaciones que tienen lugar a lo largo de las líneas de rotura y de las líneas de apoyo (bordes de la losa).
Es bueno destacar que en el instante último (colapso), el momento flector máximo está repartido a lo largo de estas líneas de rotura de una manera constante y es precisamente, igual al momento de rotura interno.
3. Cargas Triangulares y Trapezoidales
Las cargas triangulares para vigas siempre serán en la luz más corta y las cargas trapezoidales serán en la luz larga.
Teniendo como resultado los estados de cargas definidos en la Imagen 2 e Imagen 3.
La solución se llevara a cabo de dos maneras, con el uso de las funciones de forma (Aguiar) y usando cargas equivalentes.
1.1. Ecuaciones
Calculo de cortante y momento de empotramiento de la carga triangular.
Calculo del CortanteUsando las funciones de forma tenemos:
V=∫P ( y ) ∙ ϕ2dx
V '=∫P ( y ) ∙ ϕ5 dxPara este cálculo tendremos dos tramos de la carga.
Primer tramo: o<x< L/2
P ( y )=2 Po X
L
Segundo Tramo: l2<x<L
P2 ( y )=2 Po−2 Po
LX
El cortante se calcula:
V=∫0
L2
P ( y)ϕ2+∫L2
L
P2( y )ϕ2
V '=∫0
L2
P ( y)ϕ5+∫L2
L
P2( y )ϕ5
Teniendo como resultado
V= 14
Po L
V ´= 14
Po L
Calculo del momento:
M=∫0
L2
P( y)ϕ3+∫L2
L
P2( y)ϕ3
2
Ingeniería Civil
M '=∫0
L2
P( y)ϕ6+∫L2
L
P2( y )ϕ6
Obteniendo:
M= 596
Po L2
M ´= 596
Po L2
Calculo de cortante y momento de empotramiento de la carga trapezoidal.
Calculo del CortanteUsando las funciones de forma tenemos:
V=∫P ( y ) ∙ ϕ2dx
V '=∫P ( y ) ∙ ϕ5 dxPara este cálculo tendremos dos tramos de la carga.
Primer tramo: o<x<a
P ( y )=Po X
a
Segundo Tramo: a< x<L−a
P2 ( y )=Po
Tercer Tramo: L−a<x<L
P3 ( y )=Po L
a−
Po
aX
El cortante se calcula:
V=∫0
a
P ( y)ϕ2+ ∫a
L−a
P2( y )ϕ2+ ∫L−a
L
P3( y)ϕ2
V '=∫0
a
P ( y)ϕ5+ ∫a
L−a
P2( y )ϕ5+ ∫L−a
L
P3( y )ϕ5
Teniendo como resultado
V=12
Po L∗(1− aL)
V ´=12
Po L∗(1− aL)
Calculo del momento:
M=∫0
a
P( y)ϕ3+ ∫a
L−a
P2( y )ϕ3+ ∫L−a
L
P3( y)ϕ3
M '=∫0
a
P( y)ϕ6+ ∫a
L−a
P2( y )ϕ6+ ∫L−a
L
P3( y )ϕ6
Obteniendo:
M=Po L2
12 [1−2( aL )
2
+( aL )
3]M ´=
Po L2
12 [1−2( aL )
2
+( aL )
3]
Modelo aproximado de cargaLas cargas tanto trapezoidal y triangular pueden ser transformadas a una carga equivalente rectangular.
Carga Triangular
W =Po S
3Siendo;W La carga rectangular equivalente.
Po La carga inicial en [ T
m2 ]S Luz curta [m]
Carga Trapezoidal
W =Po S
3( 3−( s
L )2
2)
Siendo;W La carga rectangular equivalente.
Po La carga inicial en [ T
m2 ]S Luz curta [m]L Luz larga [m]
Con esto podemos calcular el cortante y el momento.
V=∫W ∙ϕ2 dx
V '=∫W ∙ ϕ5 dx
M=∫W ∙ϕ3 dx
M '=∫W ∙ ϕ6 dx
3
1.2. Fórmulas de Funciones de Forma
ϕ2=1−3x2
L2 +2x3
L3
ϕ3=X (1− xL )
2
ϕ5=X2
L2 (3−2 XL )
ϕ6=−X2
L (1− XL )
1.3. Figuras
Imagen 2: Carga Triangular
Imagen 3: Carga Trapezoidal
Imagen 4: Carga Equivalente rectangular
4. Programación en Matlab
La modificación del programa cargas que se encuentra incluido en el programa general Ceinci-Lab.
Código modificado Programa cargas
if icod==2 & seno(i)==0 %CARGA TRIANGULAR EN ELEMENTO HORIZONTAL Q2(i,2)=P*L(i)/4;Q2(i,5)=Q2(i,2);%Posición de los cortantes V y V' Q2(i,3)=5*P*L(i)^2/96;Q2(i,6)=-Q2(i,3); %posición de los momentos M y M end if icod==3 & seno(i)==0%CARGA TRAPEZOIDAL EN ELEMENTOHORIZONTALa=input('Ingrese el valor de la longitud a: ')Q2(i,2)=P*L(i)/2*(1-a/L);%Posicion de los cortantes V y V'Q2(i,3)=P*L(i)^2/12*(1-2*(a/L(i))^2 +(a/L(i))^3);Q2(i,6)=-Q2(i,3); %posición de los momentos M y M' end
5. Conclusiones
El cálculo de momentos de empotramiento perfecto nos ayuda a determinar la geometría de la estructura necesaria para dicha solicitación de carga.
Las funciones de forma es una forma fácil y confiable del cálculo de reacciones.
El uso del Programa Ceinci-Lab nos optimiza el tiempo de cálculo, siendo de gran utilidad.
6. Referencias Bibliográficas
[1] Aguiar, R. (2004). Análisis Matricial de Estructuras. Quito: Universidad de las Fuerzas Armadas-Espe.
[2] Paulay T. & Park R. (1986). Estructuras de concreto reforzado. México: Limusa.
[3] Gonzales O. (1979). Aspectos Fundamentales Concreto Reforzado. México: Limusa.
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