Clculo de volmenesAl introducir la integracin, vimos que el rea es solamente una de las muchas aplicaciones de la integral definida. Otra aplicacin importante la tenemos en su uso para calcular el volumen de un slido tridimensional.Si una regin de un plano se gira alrededor de un eje E de ese mismo plano, se obtiene una regin tridimensional llamadaslido de revolucingenerado por la regin plana alrededor de lo que se conoce comoeje de revolucin. Este tipo de slidos suele aparecer frecuentemente en ingeniera y en procesos de produccin. Son ejemplos de slidos de revolucin: ejes, embudos, pilares, botellas y mbolos.Existen distintas frmulas para el volumen de revolucin, segn se tome un eje de giro paralelo al ejeOXo al ejeOY. Incluso a veces, es posible hallar el volumen de cuerpos que no son de revolucin.1. Volmenes de revolucin: El Mtodo de los discosSi giramos una regin del plano alrededor de un eje obtenemos un slido de revolucin. El ms simple de ellos es el cilindro circular recto odisco, que se forma al girar un rectngulo alrededor de un eje adyacente a uno de los lados del rectngulo. El volumen de este disco de radioRy de anchura es:Volumen del disco =Para ver cmo usar el volumen del disco para calcular el volumen de un slido de revolucin general, consideremos una funcin continuaf(x ) definida en el intervalo [a,b], cuya grfica determina con las rectasx = a, x = b,y= 0, el recinto R. Si giramos este recinto alrededor del ejeOX, obtenemos un slido de revolucin.Se trata de hallar el volumen de este cuerpo engendrado por R. Para ello hay que seguir un proceso similar al realizado en la definicin de integral definida.Elegimos una particin regular de [a, b]:Estas divisiones determinan en el slido n discos cuya suma se aproxima al volumen del mismo. Teniendo en cuenta que el volumen de un disco es , la suma de Riemann asociada a la particin, y que da un volumen aproximado del slido es:siendo:1. 1. , la altura (anchura) de los cilindros parciales1. el radio de los cilindros parcialesSi el nmero de cilindros parciales aumenta, su suma se aproxima cada vez ms al volumen del slido; es decir:Por tanto, recordando la definicin de integral definida de Riemann se obtiene que:Adems, si se toma el eje de revolucin verticalmente, se obtiene una frmula similar:2. Volmenes de revolucin: El Mtodo de las arandelasEl mtodo de los discos puede extenderse fcilmente para incluir slidos de revolucin con un agujero, reemplazando el disco representativo por unaarandelarepresentativa. La arandela se obtiene girando un rectngulo alrededor de un eje. SiRyrson los radios externos e internos de la arandela, y es la anchura de la arandela, entonces el volumen viene dado por:Volumen de la arandela =Entonces, generalizando de forma anloga como se hizo en el mtodo de los discos, si tenemos dos funciones continuasf (x)yg (x)definidas en un intervalo cerrado [a,b] con 0"g(x)"f(x), y las rectasx = a,yx = b, el volumen engendrado se calcula restando los slidos de revolucin engendrados por los recintos de ambas funciones, es decir:Si las funciones se cortan, habr que calcular los volmenes de los slidos engendrados en cada uno de los subintervalos donde se puede aplicar el mtodo anterior.3. Mtodo de secciones conocidasEn este apartado veremos cmo se calcula el volumen de algunos cuerpos geomtricos cuando conocemos el rea de las bases de los cilindros parciales en que hemos dividido el slido. Con el mtodo de discos, podemos hallar el volumen de un slido que tenga una seccin circular cuya rea seaA = R2.Podemos generalizar este mtodo a slidos de cualquier forma siempre y cuando sepamos la frmula del rea de una seccin arbitraria, como cuadrados, rectngulos, tringulos, semicrculos y trapecios.Consideremos un slido que tiene la propiedad de que la seccin transversal a una recta dada tiene rea conocida. Esto equivale a decir intuitivamente que en cada corte que hacemos, conocemos el rea de la seccin correspondiente.En particular, supongamos que la recta es el ejeOXy que el rea de la seccin transversal est dada por la funcinA(x), definida y continua en [a,b]. La seccinA(x) est producida por el plano a perpendicular aOX.Siguiendo un proceso similar al realizado en la definicin de la integral de Riemann:Elegimos una particin regular de [a,b]:Estas divisiones determinan en el slido n secciones o rodajas cuya suma se aproxima al volumen del mismo. Teniendo en cuenta que el volumen de un cilindro esR2, la suma de Riemann asociada a la particin, y que da un volumen aproximado del slido es:siendo:1. Siendociun punto intermedio del intervalo [xi-1,xi]1. = xi -xi-1, la altura de los cilindros parciales1. R2 = A(ci) el rea de la base de los cilindros parcialesSi el nmero de cilindros parciales aumenta, su suma se aproxima cada vez ms al volumen del slido; es decir:Por tanto, recordando la definicin de integral definida de Riemann se obtiene que:Para hallar el volumen de un slido por el mtodo de las secciones, se procede como se indica a continuacin:1. Esbozar la figura, incluyendo un eje perpendicular a las secciones de rea conocida (es decir, un ejeOX)2. Escoger una seccin perpendicular al ejeOX.3. Expresar el reaA(x) de la base de la seccin en trminos de su posicinxsobre el ejeOX.4. Integrar entre los lmites apropiados.4. Volmenes de revolucin: Mtodo de capasEn esta seccin estudiamos un mtodo alternativo para el clculo de un volumen de un slido de revolucin,un mtodo que emplea capas cilndricas.Para introducir elmtodo de capas, consideramos un rectngulo representativo, donde:1. = anchura del rectngulo (espesor).1. h= altura del rectngulo.1. p= distancia del centro del rectngulo al eje del giro (radio medio).Cuando este rectngulo gira en torno al eje de revolucin, engendra una capa cilndrica (o tubo) de anchura . Para calcular el volumen de esta capa consideramos dos cilindros. El radio del mayor corresponde al radio externo de la capa, y el radio del menor al radio interno de la capa. Puesto quepes el radio medio de la capa, sabemos que el radio externo esp+ (/2), y el radio interno esp-(/2). Por tanto, el volumen dela capa, viene dado por la diferencia:Volumen de la capa = volumen del cilindro - volumen del agujero== 2ph = 2(radio medio)(altura)(espesor)Usamos esta frmula para calcular el volumen de un slido de revolucin como sigue. Suponemos que la regin plana gira sobre una recta y engendra as dicho slido. Si colocamos un rectngulo de anchura yparalelamente al eje de revolucin, entonces al hacer girar la regin plana en torno al eje de revolucin, el rectngulo genera una capa de volumen:V = 2 [p(y)h(y)]ySi aproximamos el volumen del slido pornde tales capas de anchura y, alturah( yi), y radio mediop( yi), tenemos:volumen del slido =Tomando el lmite cuandon!", tenemos que:Volumen del slido =Por tanto, podemos enunciar el mtodo de capas de la siguiente forma:Para calcular el volumen de un slido de revolucin con el mtodo de capas, se usa una de las dos siguientes opciones:Eje horizontal de revolucin:Eje vertical de revolucin:Para hallar el volumen de un slido por el mtodo de capas, se procede como se indica a continuacin.1. Esbozar la regin plana que va a ser girada, hallando los puntos de interseccin de las curvas que la limitan.2. Sobre el dibujo hallar un rectngulo paralelo al eje de revolucin.3. Teniendo como base el boceto, escribir el volumen de la capa.4. Integrar entre los lmites apropiados.Observacin:Los mtodo de discos y de capas se distinguen porque en el de discos el rectngulo representativo es siempre perpendicular al eje de giro, mientras que en el de capas es paralelo.Con frecuencia uno de los dos mtodos es preferible al otro.DEFINICIN DEVOLUMENEl vocablo en latnvolmenha impulsado la aparicin del concepto devolumen, una palabra que permite describir algrosor o tamao que posee un determinado objeto. Asimismo, el trmino sirve para identificar a lamagnitud fsicaque informa sobre la extensin de un cuerpo en relacin a tres dimensiones (alto, largo y ancho). Dentro delSistema Internacional, la unidad que le corresponde es elmetro cbico (m3).

Cabe resaltar adems que se puede hablar de volumen cuando se desea hacer foco en laintensidad que puede llegar a tener un sonido que se reproduce en algn equipo de audio o que se emite bajo cualquier condiciny cuando se quiere mencionar alos tomos de un libro encuadernado. En el campo de lageometra, se habla de volumen cuando se aborda el espacio que ocupa un determinado cuerpo, mientras que para lanumismtica, es el grosor que posee una moneda o medalla.