NOMBRE:

FACILITADOR:

MATERIA

CALCULO DIFERENCIAL

TEMA

UNIDAD 1 – NUMEROS REALES

CARRERA

INGENIERIA INDUSTRIAL

SEPTIEMBRE 2015

TEMARIO

TEMAS SUBTEMAS

1 Números reales 1.1 La recta numérica.

1.2 Los números reales.

1.3 Propiedades de los números reales.

1.3.1 Tricotomía.

1.3.2 Transitividad.

1.3.3 Densidad.

1.3.4 Axioma del supremo.

1.4 Intervalos y su representación mediante desigualdades.

1.5 Resolución de desigualdades de primer

grado con una incógnita y de desigualdades cuadráticas con una incógnita.

1.6 Valor absoluto y sus propiedades.

1.7 Resolución de desigualdades que incluyan valor absoluto.

2 Funciones 2.1 Concepto de variable, función, dominio, condominio y recorrido de una función.

2.2 Función inyectiva, suprayectiva y biyectiva

2.3 Función real de variable real y su representación gráfica.

2.4 Funciones algebraicas: función

polinomial, racional e irracional.

2.5 Funciones trascendentes: funciones trigonométricas y funciones exponenciales.

2.6 Función definida por más de una regla de correspondencia. Función valor absoluto.

2.7 Operaciones con funciones: adición, multiplicación, composición.

2.8 Función inversa. Función logarítmica.

Funciones trigonométricas inversas.

2.9 Funciones con dominio en los números

naturales y recorrido en los números reales: las sucesiones infinitas.

2.10 Función implícita.

3 Límites y continuidad 3.1 Límite de una sucesión.

3.2 Límite de una función de variable real.

3.3 Cálculo de límites.

3.4 Propiedades de los límites.

3.5 Límites laterales.

3.6 Límites infinitos y límites al infinito.

3.7 Asíntotas.

3.8 Funciones continuas y discontinuas en un punto y en un intervalo.

3.9 Tipos de discontinuidades.

4 Derivadas 4.1 Conceptos de

incremento y de razón de cambio. La derivada de una función.

4.2 La interpretación geométrica de la derivada.

4.3 Concepto de diferencial. Interpretación geométrica de las diferenciales.

4.4 Propiedades de la derivada.

4.5 Regla de la cadena.

4.6 Fórmulas de derivación y fórmulas de diferenciación.

4.7 Derivadas de orden superior y regla L´Hôpital.

4.8 Derivada de funciones implícitas.

5 Aplicaciones de la

Derivada

5.1 Recta tangente y recta normal a una curva en un punto. Curvas ortogonales.

5.2 Teorema de Rolle, teorema de Lagrange o

teorema del valor medio del cálculo diferencial.

5.3 Función creciente y decreciente. Máximos y mínimos de una función. Criterio de la primera derivada para máximos y mínimos.

Concavidades y puntos de inflexión.

Criterio de la segunda derivada para máximos y mínimos.

5.4 Análisis de la variación de funciones

5.5 Cálculo de

aproximaciones usando la diferencial.

5.6 Problemas de optimización y de tasas relacionadas.

RUBRICA para evaluar las materias del periodo enero-junio del 2015:

INDICADORES Bueno Regular Insuficiente1.- Efectuar el Asistió con Faltó uno, dos, tres y Faltó más de 4 días.

chequeo de asistencia.(3 retardos= una falta)(Máximo=10 Puntos)

puntualidad a todas las clases.( 10 Puntos)

cuatro días.(9, 8, 7, 6 Puntos).Tres retardos equivalen a una falta.

(0 Puntos).Todas las faltas deben ser justificadas con oficio en División de estudios.

2.-Efectuar una investigación en internet de la unidad en cuestión entregando un cuadro sinóptico y resumen como evidencia en su cuaderno de trabajo con ejemplos y gráficas por cada tema.(Máximo=10 Puntos)

Efectuó la investigación con todo lo solicitado con calidad, ejemplos, dibujos, gráficas y muestra conocimiento de los temas(8 a 10 a Puntos).

Efectuó la investigación y resumen en cuestión con calidad, ejemplos, dibujos pero sin conocimiento de los temas o le faltó algo.

(5 a 7 Puntos).

Efectuó la investigación en cuestión faltándole algo de lo solicitado además de no mostrar conocimiento de los temas.(0 a 4 Puntos)

3.- En equipo efectuar una exposición del trabajo resumido, investigado y reflexionado mostrando mentalidad positiva, buen desempeño en equipo, responsabilidad, puntualidad, honestidad, etc.(Máximo=20 Puntos)

Efectúa la exposición puntual, bien elaborada con facilidad, soltura coordinándose perfectamente con su equipo

(16 a 20 Puntos)

Efectúa la exposición puntual pero no presenta facilidad de exposición ó participa con el equipo muy poco.

(10 a 15 Puntos)

Presenta la exposición solo leyendo ó sin participación.

(0 a 9 Puntos)

4.- Efectuar un examen de conocimientos por unidad.(Máximo20 Puntos).

De acuerdo al número de aciertos.(Porcentaje).

De acuerdo al número de aciertos.

(Porcentaje).

De acuerdo al número de aciertos.

(Porcentaje).

5.- Llevar una libreta de apuntes como portafolio de evidencias bien estructurada y con calidad.(Máximo 20 puntos)

Lleva todos sus apuntes de acuerdo a lo solicitado con calidad(16 a 20 Puntos)

Lleva sus apuntes bien pero le falta algo como la presentación o el temario.(10 a 15 puntos)

Lleva sus apuntes pero hace algo mal como los dibujos o gráficas copiados, después de la fecha acordada, etc. (0 a 9 puntos).

6.- Participación en el aula, taller, conferencias, eventos de la escuela, etc.(Puntos extras)

Puntos por participación correcta en el aula, taller, evento, conferencia, etc.(Puntos acordados )

7.-Practicas de laboratorio..(Máximo 20 puntos)

Cumple con la totalidad de las prácticas,

Hace sus prácticas en el laboratorio con conocimiento pero

No hace las prácticas, tiene poco conocimiento y no elabora reporte.

Elaborando el reporte correspondiente con conocimiento.(16 a 20 puntos).

no Entrega reporte.(10 a 15 puntos)

(0 a 9 puntos).

1: NÚMEROS REALESLos números que pueden representarse por notación decimal se llaman números reales.

En palabras más simples, todos esos números que perduran son reales.

Cada tipo de número encaja en el conjunto de los números reales.

Este conjunto incluye, básicamente, los números naturales, números enteros, números

racionales e irracionales.

Todo número real puede tener lugar en la recta numérica.

Esta caracterización es uno de los desarrollos más significantes en la aritmética del siglo

XIX.

El principal uso de los números reales se encuentra en la medición de las cantidades

continuas.

Estas tienen dos propiedades importantes por el nombre de límite mínimo superior y

campo ordenado.

De acuerdo con la primera, un conjunto de Número Reales no vacío tendrá un límite

mínimo superior, si el conjunto contiene un límite superior.

El último dice que los números reales contienen un campo ordenado que puede ser

completamente organizado bajo la recta numérica en sintonía con la multiplicación y la

adición.

Estos números pueden ser marcados en la recta numérica como puntos.

Los puntos de Números Reales siguen el principio básico de la recta numérica, es decir,

el número más grande va a salir a la derecha y el más pequeño a la izquierda teniendo

como punto de referencia el 0.

Los números reales pueden ser representados con ayuda de los decimales.

Esta representación ayuda a encontrar la posición aproximada de los números en la recta

numérica.

Por ejemplo, 0.5 es la demostración decimal del número racional ½.

Los Números reales abarcan 9 propiedades diferentes que incluye la Propiedad

Conmutativa de la Suma, la Propiedad Conmutativa de la Multiplicación, la Propiedad

Asociativa de la Suma, la Propiedad Asociativa de la Multiplicación, la Propiedad de

Identidad de la Adición, la Propiedad de Identidad de la Multiplicación, la Propiedad

Inversa de la Adición, Propiedad Inversa de la Multiplicación y la Propiedad Distributiva.

Con el fin de resolver un problema relacionado con Números Reales, uno debe seguir

cierto orden en las operaciones.

En primer lugar, las expresiones escritas dentro de corchetes y paréntesis deben ser

resueltas.

Los paréntesis más internos se resuelven primero, seguido por los más externos.

Después de resolver el paréntesis, vienen las potencias y las raíces.

Las expresiones que envuelven potencias y raíces se evalúan de izquierda a derecha.

Luego viene la multiplicación y la división de izquierda a derecha y por último la suma y la

resta, que también deben ser evaluados a partir de la izquierda y en dirección a la

derecha.

Las normas de orden se pueden entender mejor con la ayuda de un ejemplo:

Consideremos una ecuación de la forma: −48 ÷ (7 – 9)³ - 2[1 – 5 (2 – 6) + 3²]

Esta puede ser resuelta considerando los siguientes pasos

Paso 1: Los paréntesis son resueltos

Paso 2: Las expresiones que contengan potencia son resueltas

Paso 3: Luego viene la división número seguida de la parte de la suma que es evaluada

Paso 4: Multiplicación seguida de resta

2: LA RECTA NUMERICA

La recta numérica

Una recta numérica representada por dos flechas en los extremos, es una recta

infinitamente larga y es una parte esencial de las matemáticas básicas.

Los puntos en una recta numérica corresponden a un número real específico.

Todos los puntos están marcados a una distancia específica del origen que es 0, el cual

puede ser elegido arbitrariamente.

La recta numérica es una herramienta muy útil para entender los conceptos de números

enteros con signo y números reales, así como su suma y resta.

A partir del origen en la recta numérica, los números siguen aumentando en magnitud

hacia la derecha, mientras que se mantienen disminuyendo en magnitud en la dirección

opuesta, que es representado por el símbolo negativo.

Todos los números en la recta numérica poseen una distancia absoluta desde el origen de

la recta, lo que significa que tienen una diferencia absoluta desde el valor cero.

El orden en que se coloca el número en la recta juega un papel importante en la

determinación de su magnitud con relación a otros números sobre la recta.

Por lo general los números enteros están marcados claramente en la recta, y están

igualmente espaciados uno del otro, sin embargo esto no siempre es así y por lo general,

varía por requerimiento.

Las dos mitades simétricas, que son los números positivos y números negativos

respectivamente, hacen el concepto de números positivos y números negativos bastante

claro.

También explica que cada número positivo tiene su opuesto negativo en la otra mitad.

La distancia entre los dos opuestos es igual desde el origen de la recta numérica, que es

desde el cero, lo que deja claro que son de igual magnitud en las direcciones respectivas.

Esto también da base al hecho de que todos los números en la recta numérica tienen un

valor absoluto.

Para saber el valor absoluto de un número, se utiliza el símbolo| |.

Por poner un ejemplo, el valor absoluto de −3 sería | −3 | = 3.

Ya que el valor absoluto viene a ser una distancia y la distancia nunca puede ser

negativa, por tanto el valor absoluto de cada número, sea positivo o negativo, siempre es

positivo.

Generalmente la recta numérica se dibuja horizontalmente, incluyendo todos los tipos de

números reales, tales como números enteros, números naturales, números racionales,

números irracionales, etc.

Pero también puede ser usado para representar un conjunto complejo / números

imaginarios.

Una recta numérica representando tal conjunto de números es trazada verticalmente,

pasando por el origen. En un ángulo de 900 desde la recta numérica de los números

reales.

No hay elementos mínimos o máximos en una recta numérica, los números racionales

forman un subconjunto grande y denso de la recta de los números enteros.

De acuerdo con estas dos propiedades de la recta numérica, se puede concluir que una

recta numérica es isomorfa a una recta real.

Aparte de esto, la recta numérica también cumple la condición de cadena contable, la cual

establece que “Cada conjunto de intervalos abiertos no vacíos y mutuamente divisibles

entre sí en la recta numérica es contable”.

El concepto de recta numérica se puede entender mejor con la ayuda de un ejemplo.

Suponga que la respuesta de la ecuación (x +7) = 10 se va a encontrar utilizando la recta

numérica. Entonces,

Este cálculo se puede realizar considerando la distancia entre 10 y 7

Entonces, la respuesta es 3 dado que 10 está 3 pasos delante del 7.

3: PROPIEDADES DE LOS NUMEROS REALES

Propiedades de los Números Reales

Los números reales son los números que se utilizan para la medición de cantidades

reales. Incluyen los números racionales, números irracionales, números enteros,

decimales, etc. Estas cantidades reales incluyen longitud, velocidad, temperatura

ambiente, tasas de crecimiento y muchos más. Los números racionales e irracionales

llenan completamente la recta numérica y forman el conjunto de los números reales. En

palabras más simples, los números reales se pueden clasificar en números racionales y

números irracionales. Estos números racionales se pueden dividir en números enteros y

fracciones.

Los números reales mantienen algunas de las propiedades básicas de las Matemáticas

que por lo general pueden ser articuladas con respecto de las 2 operaciones elementales

de multiplicación y suma.

Estas propiedades incluyen:

Propiedad Conmutativa de la Suma: Establece que el orden en el que dos números reales

se suman no afecta a su sumatoria. Esto es,

Ejemplo: 3 + 7 = 7 + 3 = 10.

Propiedad Conmutativa de la Multiplicación: De acuerdo con esta, cuando dos números

reales se multiplican en diferentes órdenes, el resultado es siempre el mismo. En términos

matemáticos,

Ejemplo: 4 X 3 = 3 X 4 = 12

Propiedad Asociativa de la Suma: Esta propiedad dice que la suma de tres números

reales dados, manteniendo su orden, agrupa dos de ellos, y luego se añade el tercer

número a la sumatoria del grupo. Matemáticamente,

Ejemplo: (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) = 9

Propiedad Asociativa de la Multiplicación: El producto de dos números reales se puede

calcular de dos formas: De la primera forma, preservando el orden y multiplicando el

número del producto del primer y segundo número al tercer número. La segunda forma de

hacerlo es preservando el mismo orden y multiplicando el primer número con el producto

del segundo y tercer número. El resultado en ambos casos será el mismo. Para ser

específicos,

Ejemplo: (2 X 3) X 4 = 2 X (3 X 4) = 24

Propiedad de Identidad de la Suma: ‘0’es el número neutral, es decir, la identidad para la

suma. La suma de cualquier número con 0 dará como resultado el propio número.

Expresamente,

Ejemplo: 9 + 0 = 9

Propiedad de Identidad de la Multiplicación: Según esta propiedad de los Números

Reales, el producto de cualquier número real con el elemento de identidad ‘1’ es el

número real mismo. Es decir, 

Ejemplo: 6 X 1 = 6

Inverso aditivo: Para cada Número Real, existe su inverso, de tal manera que la suma del

número con su inverso dará como resultado 0, es decir,

Ejemplo: 3 + (−3) = 0

Inverso multiplicativo: De acuerdo con este, para todo Número Real distinto de cero,

existe otro número real tal que el producto de los dos es 1. Matemáticamente,

Ejemplo: 3 X 1/3 = 1

Ley distributiva: En los Números Reales, la multiplicación se puede distribuir sobre la

suma y viceversa.

Ejemplo: 2 X (3 + 5) = (2 X 3) + (2 X 5) = 16

Técnicamente, todas estas propiedades están denominadas en conjunto como los

axiomas de campo. Estas propiedades ayudan a determinar el comportamiento de los

números reales y ayudan a resolver los problemas de los números reales con mayor

comodidad.

4: TRICONOMIATricotomía

En la Aritmética, la tricotomía denota las características de una relación ordenada entre

dos números. La Ley de la tricotomía es una proclamación formal de una propiedad que

para muchos de los estudiantes es bastante obvia, al hacer comparaciones entre dos

números. De acuerdo con la propiedad de la Tricotomía, una de las relaciones tiene: x> y,

x = y o x <y. Es decir, un número real puede ser positivo, negativo o cero. En términos

matemáticos, se puede denotar como: 

Esta propiedad de la Tricotomía, en la lógica estándar, se utiliza para la evaluación de los

números reales que abarcan sus subconjuntos de los Números Reales. Con respecto a

los Números Reales, puede ser reformulada como: Por cada dos Números Reales x e y,

de cada tres relaciones, para una de las relaciones es cierto que: a> b, a = b o a <b.

En palabras más simples, para cualquier relación correspondiente S en el conjunto Q, la

relación se dice que es tricotómica

si   ,

una de las relaciones mantiene:

x Q y, x = y y Q x

Cuando se habla de la propiedad reflexiva o total, no es necesario que la ley de la

Tricotomía se mantenga.

Como x Q x no debe ser verdadero. Las relaciones tricotómicas también son asimétricas,

al ver que y R x e x R y son siempre falsas.

Las relaciones tricotómicas tienen algunas propiedades importantes, que son:

Simétrica: Una relación tricotómica siempre es no simétrica. Por ejemplo: 4 <4 es falsa

siempre.

Reflexiva: Una relación tricotómica siempre es no reflexiva. Por ejemplo: 5 es menor que

6, pero 6 nunca es inferior a 6.

Transitividad: Una relación tricotómica es generalmente transitiva. Por ejemplo: 4 <5, 5

<6, y 4 <6.

Cuando la relación tricotómica es transitiva, entonces en ese caso, se dice que esa

relación es de orden total estricto.

Para una mejor comprensión, considere el ejemplo de los tres elementos x, y, z.

En este caso, la relación Q dada por x Q y, x Q z, y Q z se dice que es una relación de

orden total estricto, mientras que en la relación Q se representa como un ciclo x Q y, y Q

z, z Q x resultó ser una relación tricotómica no transitiva.

La aplicación de la Tricotomía y sus propiedades puede ser mejor entendido con la ayuda

del siguiente ejemplo:

Mientras se resuelven dos expresiones lineales

-2x + 7

3x + 5

La ley de tricotomía propone tres posibilidades muy variadas:

(1). −2x + 7 > 3x + 5

(2). - 2x + 7 = 3x + 5

(3). – 2x + 7 < 3x + 5

Se dice que cuando uno de los valores de la solución toma la posición de la variable x, en

ese caso, exactamente una de las ecuaciones es cierta.

Se puede establecer simplemente como la unión de los conjuntos de soluciones de los

números reales R, y la intersección de cualquiera de los dos grupos en el conjunto vacío.

Aplicaciones similares de la Tricotomía son definidas para la desigualdad del valor

absoluto, la desigualdad polinomial, así como para las desigualdades de segundo grado.

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5: TRANSITIVIDADTransitividad

La transitividad es una de las propiedades más necesarias de los números reales.

En general, la propiedad de la transitividad tiene su aplicación en dos categorías: La

Transitividad de la igualdad y la Transitividad de la desigualdad.

De acuerdo con la transitividad de la igualdad, si dos números son equivalentes al mismo

número, entonces todos los números son equivalentes entre sí. Es decir, si a = b y b = c

entonces a = c.

La Transitividad de la desigualdad trata con cuatro subpartes correspondientes a; mayor

que, menor que, mayor o igual que y menor o igual que las desigualdades.

Si a, b, c son tres números reales y

1). Si a <b y b <c, entonces en ese caso, a < c.

2). Si a ≤ b y b ≤ c entonces a ≤ c.

3). Si a> b y b> c, entonces a > c.

4). Si a ≥ b y b ≥ c, entonces b ≥ c.

En general, los primeras dos subpartes pueden afirmar que si un número es menor que o

igual a un 2do numero, y el 2do es más pequeño o igual que un 3er entero, entonces el

1er número es menor o igual que el tercero.

6: DENSIDAD

Densidad

Un número real es un número que existe en la realidad, lo que significa que cada punto en

la recta numérica real representa un número real.

Puede ser un número racional o irracional, un número entero o trascendental, de cualquier

tipo.

Existe una serie de propiedades de los números reales que deben ser estudiadas a

profundidad para entender el concepto de los números reales y también las operaciones

basadas en números reales.

La densidad es una propiedad fundamental de los números reales, según la cual los

números reales son densos en naturaleza, o en términos simples, entre dos números

reales existe un tercer número real, en todos los casos.

En la figura anterior, existen una cantidad infinita de números reales entre cero y uno.

A la luz de la declaración anterior se puede concluir que la recta numérica no tiene

espacios entre ella y por esta razón es muy densa, representando así una cantidad infinita

de números sobre ella.

Para demostrar la afirmación anterior, mire la prueba debajo. Consideremos dos números

reales x e y, donde x es menor que y.

Entonces,   debe estar en algún lugar entre los dos números. Ahora, si r y s son

números reales, entonces   representa el conjunto de números infinitos

que existen entre x e y en la recta numérica real.

La ecuación anterior también se puede probar,

r*x + s*y/ r + s = (r + s)*x + s*(y – x)/ r + s

= x + (s/ r + s)*(y – x) > x

= r*(x – y) + (r + s)*y/ r + s

= y - (s/ r + s)*(y – x) < y.

La propiedad de la densidad es dependiente de un conjunto que es mayor que el

subconjunto dado y en el cual podemos acomodar el subconjunto dado.

Lo que significa que, si B es un conjunto que contiene todos los elementos del conjunto A,

y se asume que A es denso en B, entonces existen una cantidad de elementos infinitos

entre ellos como B / A.

Está fuertemente establecido que no puede existir un par de números reales que no

contengan otro número real entre ellos.

Esto también significa que la recta numérica real está formada de manera muy íntima

teniendo una infinidad de números sobre ella.

Sobre la recta numérica real, existen algunos números racionales entre el conjunto de dos

números reales, existen algunos números irracionales entre un conjunto de dos números

racionales; existen algunos números racionales entre un conjunto de dos números

irracionales.

La recta numérica real es tal que para cualquier número real a y sean mayores que cero,

entonces otro número racional es  .

Esta propiedad viola la propiedad de numerabilidad que los estudiantes leen desde

temprana edad, de que podemos contar los números reales.

7: AXIOMA DEL SUPREMOAxioma del Supremo

El significado de límite superior es conocido por todos, el cual es el máximo de los

valores.

Pero el concepto de supremo es un poco diferente del límite superior.

También es conocido como extremo superior.

En términos de teoría de conjuntos un supremo puede ser definido como un valor x de un

conjunto de valores, tal que ningún otro valor del conjunto es mayor que x.

También existe otro valor y positivo que puede ser muy pequeño para el cual x - y es

mayor que x.

Considere un conjunto A subconjunto de los números reales R. Entonces,

1. El Máximo de A será un valor que debe ser mayor que todos los valores en el conjunto

A.

2. El Mínimo de A será un valor que debe ser menor que todos los valores en el conjunto

A.

En términos de funciones un supremo puede ser definido como un valor de x en el

dominio de la función dada tal que f(y)   x para todos los valores en el dominio de la

función dada.

También existirá otro valor positivo a, que puede ser muy pequeño para el cual (x - a) es

menor que f(x).

La teoría axiomática de conjuntos establece que para un determinado conjunto de

números reales que es no vacío, siempre existe un supremo / extremo superior que puede

no ser algún número real, dado que el conjunto de números reales está acotado

superiormente.

Esta teoría también se aplica a los números complejos.

El supremo de un conjunto A también es llamado sup A.

Otra formulación de la teoría axiomática de conjuntos es que la convergencia de una serie

de números reales es otro número real.

Un dato muy interesante acerca del supremo es que no existe supremo para un conjunto

de números racionales en particular.

Vamos a echar un vistazo a la prueba del teorema dado,

Suponga que la serie Xn es convergente a X. Ahora sea un conjunto Y = {Xn: Xn <= X}.

Este conjunto abarcaría todos los valores de la serie Xn que son más pequeños que los

valores de X.

Con respecto a la declaraciones anteriores, se puede decir que X es el supremo de Y.

Por el contrario, si tenemos un conjunto de números reales que está acotado

superiormente, sea Xn una serie que consiste en los elementos de Y.

Es esencial que todos los elementos de Y se coloquen en orden creciente.

Ahora bien, por la definición de extremo superior / supremo, para algún número pequeño

que es positivo hay un elemento en el conjunto dado (el Xnavo elemento del conjunto Xn)

tal que Xn sea mayor que X – a, donde a es un valor dado.

Dado que la serie dada está organizada en orden creciente, tenemos que todos los

valores de Xn mayores que X – a, provistos son n > N.

Entonces,

Existe otra serie de teoremas correspondientes con el Teorema del Extremo Superior tal

como el expresado debajo,

8: INTERVALOS Y SU REPRESENTACION MEDIANTE

DESIGUALDADESIntervalos y su representación por desigualdades

La noción de intervalo es un sistema de escritura de los conjuntos numéricos en el plano

de coordenadas.

El intervalo es en general, utilizado para representar un grupo de números a lo largo de un

eje determinado.

Estos intervalos son típicamente representados por las desigualdades.

Por ejemplo, considere todos los números mayores que 6, con el fin de representar este

conjunto de números, podemos escribir la desigualdad como x> 6, donde x es cualquier

número en este conjunto.

Sin embargo, si quiere representar solamente la notación de intervalo, se escribe (6, +oo).

Con el fin de interpretar la notación del intervalo, se asume que el grupo de números del

conjunto están en la recta numérica, usualmente en uno de los ejes.

El extremo izquierdo de la notación es decir, ‘(6’, indica que el conjunto de números

comienza a partir del próximo número que sigue al 6 en el eje de coordenadas.

El paréntesis que precede al 6 se conoce como paréntesis alrededor de o exclusivo.

Este paréntesis muestra que el 5 está excluido del grupo.

Tales tipos de intervalos son llamados “Abiertos”.

El símbolo de infinito siempre viene junto al paréntesis exclusivo.

Por lo tanto, esta representación cubre todos los números mayores que 6, hasta el infinito.

Los conceptos más profundos pueden ser mejor entendidos con otro ejemplo que consiste

en todos los números mayores que 2 pero menores o iguales que 7.

Para este conjunto de números, la representación de la desigualdad es   .

Este grupo puede ser representado por la notación de intervalo (2, 7].

El paréntesis antes del ‘2’ indica que el 2 está excluido del grupo, mientras que el

corchete o paréntesis inclusivo ’[’ indica que el 7 está incluido en el conjunto.

Estos intervalos se conocen como “Semiabiertos” y “Semicerrados”.

Los conceptos difíciles incluyen aquellos ejemplos en los cuales el conjunto de números

comprende todos los reales tomando en cuenta un número particular.

Supongamos que el número 4 está excluido del conjunto.

La representación de esa desigualdad es: x < 4 y x > 4.

La representación correspondiente de tal intervalo es: (oo , 4) U (4, +oo ).

U’ significa unión.

La función principal del símbolo de unión es unir dos conjuntos separados. ‘U’ hace el

trabajo de ‘Y’.

De la misma forma que funciona ‘O’ en las operaciones de dos conjuntos, existe un

símbolo especial de intersección que es utilizado   .

Por ejemplo: (-oo , 4)   (4, +oo ).

Para resumir observemos un ejemplo donde todos los conceptos mencionados están

cubiertos:

Supongamos que la ecuación a ser resuelta es   .

La desigualdad anterior puede ser separada en dos desigualdades, es decir,   

ó 

Tras resolver estas desigualdades obtenemos,   ó 

La notación de intervalo correspondiente sería:   U   .

Este intervalo puede ser interpretado como la representación de todo un conjunto de

números, como la unión de 2 conjuntos diferentes.

El primer conjunto comenzará desde el valor infinito negativo hasta el −1 en la recta

numérica.

El segundo conjunto comenzará desde el 4 hasta el valor infinito positivo.

La solución total del conjunto incluirá todos los números tanto del primer conjunto como

del segundo conjunto.

9: RESOLUCION DE DESIGUALDADES DE PRIMER GRADO CON UNA

INCOGNITA Y DE DESIGUALDADES CUADRATICAS CON UNA INCOGNITA

Solución de desigualdades de primer grado

Las desigualdades de primer grado, más conocidas como desigualdades lineales, son las

desigualdades en las que la mayor potencia del pronumeral o variable no es mayor que 1.

Por ejemplo: x + y> 5 se puede llamar desigualdad lineal. Estas desigualdades se pueden

emplear para resolver muchos de los problemas matemáticos.

La desigualdad lineal difiere de las ecuaciones lineales por el hecho de que las

ecuaciones lineales con una sola variable pueden tener solo una solución que sea

verdadera. Sin embargo, en el caso de las desigualdades lineales puede haber varias

soluciones para una variable que satisfaga la desigualdad correspondiente.

Por ejemplo: la ecuación lineal 5x = 20 tiene que x = 4 es su única solución, mientras que

la desigualdad 5x> 20 puede tener como su solución todos los números mayores a 4.

Reemplazando ‘=’de la ecuación lineal con mayor que ‘>’, menor que‘<’ , mayor o igual

que ‘ ’ o menor o igual que el símbolo ‘ ‘, las desigualdades lineales pueden ser obtenidas.

Un sistema de desigualdades lineales consiste en más de una desigualdad que debe ser

satisfecha de forma simultánea. Por tanto, una solución del sistema de desigualdades

lineales significa una solución que satisfará a todas las desigualdades del sistema, es

decir, una solución que es común a todas las desigualdades del sistema. Del mismo

modo, el grupo de todas las soluciones de la desigualdad se denomina conjunto de

soluciones.

Cuando se solucionan desigualdades de primer grado, algunas propiedades pueden ser

muy útiles:

1. En caso que, x < y e y < z, entonces x < z,

2. Si, x < y, entonces x + z < y + z y x - z < y – z

Esto es, el curso de una desigualdad permanece igual si, de ambos lados, un número idéntico es sumado o restado.

3. Si x < y, entonces: xz < yz cuando z es positivo

xz > yz cuando z es negativo

Es decir la dirección de la desigualdad sigue siendo igual si un número idéntico positivo es

sumado en sus dos lados. Sin embargo, la dirección cambia, si el mismo número negativo

se añade en ambos lados de la desigualdad.

4. Si x < y e z < a, entonces x + z < y + a.

Se dice que las desigualdades en la misma dirección se pueden resumir.

5. Si x < y e ambos x e y son del mismo signo, entonces > . La dirección de la desigualdad

cambia cuando los recíprocos de ambas partes se toman, en tal caso, ambas partes

tienen el mismo signo.

Una comprensión más profunda del concepto se puede obtener con la ayuda de un

ejemplo:

Suponga que la ecuación a resolverse es 6 1 - 4x y 1 - 4x < 9

Por razones de simplificación combinaremos ambas ecuaciones en una, esto es 6 1- 4x <

9

Paso 1: Reste 1 de ambos lados, entonces de acuerdo con la regla 2 citada

anteriormente, obtenemos

6 - 1 −4x < 9 −1 5 −4x < 8

Paso 2: Ahora divida ambos lados con . De acuerdo con la regla 3, las direcciones de las

desigualdades cambiarán, es decir

−5/4 x > −2

Por tanto, el conjunto de soluciones yace en el intervalo de [−5/4, −2).

10: VALOR ABSOLUTO Y SUS PROPIEDADES

El Valor Absoluto Y Sus Propiedades

El valor absoluto o numérico de un número es la distancia del mismo con respecto al 0 en

la recta numérica.

El valor absoluto de cualquier número es siempre positivo. Este valor puede ser conocido

también como el módulo del número.

El valor absoluto de un número x se escribe como | x |, y se lee como “módulo de x”.

Por ejemplo, la posición de 2 y −2 en la recta numérica indica que −2 <2, pero que ambos

están a la misma distancia de 0.

Por lo tanto, se dice que −2 y 2 tienen el mismo valor absoluto.

En el caso de los números reales las generalidades del valor absoluto pueden

encontrarse en una amplia variedad de ajustes aritméticos.

Por ejemplo, el valor absoluto puede ser descrito por los cuaterniones, números

complejos, los campos, anillos ordenados, así como para los espacios vectoriales.

Estos valores están directamente relacionados con los conceptos de distancia, magnitud y

norma en la variedad de contextos físicos y matemáticos.

Para cualquier número, si:

Entonces | x | = x y si

x ‹ 0 entonces | x | = -x

Las propiedades fundamentales del valor absoluto son:

No Negatividad: Establece que el valor absoluto de un número nunca puede ser negativo.

Definición Positiva: De acuerdo a esta simple propiedad, si el valor del módulo de un

número real x es 0, entonces el valor absoluto de x es 0 y vice-versa.

| x | = 0 x = 0

Propiedad Multiplicativa: Esta significa que el módulo de un producto de dos números es

siempre igual al producto de los módulos de ambos números tomados por separado.

| xy| = | x | | y |

Propiedad Aditiva: En concordancia con la propiedad multiplicativa, establece que el

módulo del valor de la suma de dos números es siempre igual a la suma por separado del

módulo de ambos números.

| x + y| = | x | + | y |

En combinación con estas cuatro propiedades fundamentales, algunas otras de las

propiedades más importantes son:

Simetría: Establece que la definición básica del valor absoluto es, en otras palabras,

ignorar el signo negativo.

| - x | = x

Identidad de Indiscernibles: Equivalente de la definición positiva, establece que si el

módulo de la resta de dos números es 0, entonces los dos números son iguales en su

valor.

| x – y | x = y

Desigualdad Triangular: Puede ser expresada en la forma: | x – y | | x – z | + | z - x |.

Preservación de la División: Es el equivalente de la propiedad multiplicativa y establece

que el módulo de la división de dos números es siempre igual a la división del módulo de

los dos números por separado.

| x / y| = | x | / | y | si y 0

Dos propiedades que pueden ser significativas en algunos casos incluyen:

| x | y -y x 9

| x | y x -y ó y x

Todas las propiedades del valor absoluto pueden ser demostradas de manera idéntica.

Para un mejor entendimiento, tomemos un ejemplo de prueba con los siguientes valores:

Demostrar: | 2 – 7 | › | 2 | - | 7 |

Primero, tomando el lado izquierdo | 2 – 7 |

| - 5 |

| 5 |

Ahora, resolviendo el lado derecho, tenemos

| 2 | - | 7 |

2 – 7

−5

Por tanto, se puede ver que L.I. > L.D.

Es decir, | 2 - 7| › | 2 | - | 7 |

11: RESOLUCION DE DESIGUALDADES QUE INCLUYAN

VALOR ABSOLUTOSolución de desigualdades que implican valor absoluto

La solución de desigualdades que implican valor absoluto requiere algunos conceptos

básicos. La definición básica “ El valor absoluto de un número es siempre positivo” no

tiene ningún uso mientras se resuelven tales desigualdades. Por el contrario, la

explicación geométrica del valor absoluto “El valor absoluto de un número es la distancia

del mismo con respecto del número 0 en la recta numérica” debe ser considerado. Por

ejemplo: Como 5 está a la distancia de 5 unidades del origen, es por eso que el valor

absoluto de | 5 | es 5.

De la misma forma, el valor absoluto de −5 es también 5. | −5 | = 5.

Con el fin de resolver las desigualdades con valor absoluto es necesario tomar dos

patrones en cuenta:

Patron 1: Menor desigualdad absoluta

De acuerdo con este patrón, si la desigualdad a ser resuelta es de la forma | s | <a,

entonces en ese caso, la solución correspondiente siempre tendrá la forma de -a <s <a.

Este concepto es válido incluso para las desigualdades de alta complejidad.

Por ejemplo: | x + 3 | <7

De acuerdo con el patrón, puede ser reformulada como

= - 7 <x + 3 <+7

Después de replanteada siguiendo el patrón 1, ahora puede ser resuelta de acuerdo con

los fundamentos de la desigualdad, es decir,

- 7 – 3 < x < + 7 – 3

- 10 < x < +4

Por tanto, la solución está en el intervalo de (−10, +4).

Patrón 2: Mayor desigualdad absoluta

De acuerdo con este patrón, si | s |› a es el patrón de la desigualdad dada, entonces la

solución puede ser obtenida mediante separar la desigualdad en dos partes, que son s <

–a o s > a .

Por ejemplo:| x + 5 | › 8

Siguiendo de acuerdo con el patrón x + 5 < - 8 o x + 5 > 8

Ahora, la desigualdad puede ser resuelta junta como

x < - 8 – 5 o x > 8 - 5

x < −13 o x < 3

Por tanto, la solución consiste en dos intervalos x < - 13 o x < 3.

Otra variedad de problemas pueden ocurrir cuando se da un par de desigualdades con el

fin de encontrar las desigualdades con valor absoluto correspondiente. Para resolver este

tipo de problemas, es necesario seguir algunos pasos. En primer lugar, mirando los

extremos de las desigualdades dadas. El siguiente paso consiste en calcular la diferencia

entre los extremos determinados. Ahora, ajustando las desigualdades con la mitad de la

diferencia calculada dará las desigualdades en la forma que cualquiera de los dos

patrones puede ser aplicado.

La aplicación de estas reglas puede ser demostrada con la ayuda de un ejemplo:

Supongamos que las desigualdades provistas son:

De acuerdo con las reglas, los extremos determinados son 24 y 19. Estos extremos están

a 5 unidades de distancia. Por tanto, las desigualdades se puede ajustar entre la mitad de

la diferencia, es decir −2.5 a +2.5.

Ahora, desde 19 – (−2.5) = 21.5 y 24 – 2.5 = 21.5, por tanto 21.5 se necesita para ser

restado de todos los lados de las desigualdades.

x < 19 o x > 24

x – 21.5 < 19 – 21.5 o x – 21.5 > 24 – 21.5

x – 21.5 < –2.5 o x – 21.5 > 2.5

FUENTES DE INFORMACION

http://mitecnologico.com/igestion/Main/ResolucionDeDesigualdadesQueIncluyanValorAbsoluto#sthash.w9kdwY3q.dpuf