Cálculo diferencial (Arq)

Límites y continuidad

Alguna vez ha estado Ud. en una playa de estacionamiento en el que puede “aproximarse” al automóvil de enfrente, pero no quiere tocarlo ni golpearlo. Esta noción de estar cada vez más cerca de algo, pero sin tocarlo, es muy importante en matemáticas y en la cual está involucrada el concepto de límite, en el que descansa el fundamento del cálculo.

Noción de límite

Cuando una variable “se aproxima” a un valor particular, examinaremos el efecto que tiene sobre los valores de la funciòn.

Noción de límite

2. Acercamientos Laterales

Por izquierda Por derecha

Gráfica de un acercamiento por derecha

Matemáticamente: x 3+

Gráficamente:

Cuando x se aproxima a 3 por medio de valores mayores que el 3, se dice que x se aproxima a 3 por la derecha

3

5

x

Gráfica de un acercamiento por izquierda

Matemáticamente: x 3-

3

5Gráficamente:

Cuando x se aproxima a 3 por medio de valores menores que el 3, se dice que x se aproxima a 3 por la izquierda

x

Si realizamos ambas aproximaciones al mismo tiempo, obtenemos:

3

5

x x

5)(3

xfLímx

Observando los slides anteriores, se puede decir que si x tiende a 3 por la izquierda, la función tiende al valor de 5.

5)(3

xfLímx

Mientras que, si x tiende a 3 por la derecha, la función tiende al valor de 5.

Nótese que para que el límite exista, cuando la variable tiende a un número “a” (en nuestro ejemplo a = 3) tanto por la izquierda como por la derecha, la función tiende a adoptar un único valor “L” (en nuestro ejemplo L = 5)

Condición para la existencia del límite

¡ Importante !

No es lo mismo decir “ x es igual a tres” , que decir “ x tiende a tres ”

¿qué ocurre con el valor de f(x)

cuando x 3 ?

3

5

7

x x

Condición para la existencia del límite

Nótese que cuando x tiende a 3 por la izquierda, la función tiende al valor de 5.

Mientras que si x tiende a 3 por derecha, la función tiende al valor de 7

En este caso se dice que el límite de f(x) cuando x tiende a 3, no existe

Graficar:

2;24

)(2

x

xx

xf

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

x 1,88 1,90 1,99 --- 2,00 --- 2,01 2,10 2,12

f(x) 3,88 3,90 3,99 --- ? --- 4,01 4,10 4,12

2;24

)(2

x

xx

xf

En ambos casos la información apunta a la misma conclusión: los valores de f(x) se aproxima a 4 cuando los valores de x se aproximan a 2. Este comportamiento se denota por:

4242

2

xx

Limx

2x

4x)x(f

2

Y se lee “ límite de la función en 2 es 4”

Definición

Una función f tiene límite L cuando x tiende a “a” por cualquier lado (derecha o izquierda); y se escribe:

LxfLimax

)(

Si todos los valores f(x) para f se encuentran cerca de L para todos los valores de que se encuentran arbitrariamente cerca, pero que no son iguales a “a”.

Conclusión

LxfLímax

)( si y solo si :

LxfLímxfLímaxax

)()(

Nótese que para que el límite de una función (en un valor de x) exista, no es necesario que la función esté definida en este valor de x.

Ejercicios del texto

Página 92: ejemplo 2, 3 y 6.

Ejemplo :

Analice el comportamiento de las funciones en los siguientes gráficos a medida que x se acerca a los valores indicados:1. x = 22. x = 1

Ejemplo 1:

2x

25x2xf(x)

2

Ejemplo 2:

2x si1,

2x si1,2xf(x)

Ejemplo 3:

f(x ) = x2 - 1

Ejemplo 4: x=1

1 xsi2,1)(x

1 xsi1),(x21

f(x)2

Ejercicios recomendados

Ejercicios 2.2: (pág. 99-102)

4, 5, 6, 7, 12, 13, 14 y 18.

Ejercicios 2.3: (pág. 109-110)

43, 44, 45 y 46.