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Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable 1.3 Continuidad Continuidad de una función en un punto.

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Page 1: Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable 1.3 Continuidad Continuidad de una función en un punto

Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

1.3 Continuidad

Continuidad de una función en un punto.

Page 2: Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable 1.3 Continuidad Continuidad de una función en un punto

2Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

Habilidades

• Define el concepto de continuidad de una función en un punto.

• Explica con sus palabras que se entiende por continuidad desde la izquierda y desde la derecha y en un intervalo.

• Aplica los teoremas sobre funciones continuas para establecer la continuidad de funciones sencillas.

• Reconoce la continuidad en su dominio natural de las funciones más empleadas.

• Explicar con sus palabras el teorema de valor intermedio para funciones continuas.

• Clasifica las discontinuidades mediante la observación de la gráfica, o mediante el análisis de sus expresiones analíticas.

Page 3: Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable 1.3 Continuidad Continuidad de una función en un punto

3Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

Motivación

En la sesión anterior, se estableció que si f es un polinomio ó una función racional y a está en el dominio de f, entonces

• ¿Son estás las únicas funciones que cumplen con esta propiedad?• Será posible crear una clase que agrupe ha un conjunto más amplios de funciones y se cumpla que

afxfax

lim afxf

ax

lim

afxfax

lim

Page 4: Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable 1.3 Continuidad Continuidad de una función en un punto

4Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

Definición

Una función f es continua en un número a si

Es decir:

)()(lim afxfax

)(lim xfax

existe2

3 )()(lim afxfax

Nota: Si f no es continua en a decimos que es discontinua en a

f(a) existe1

Page 5: Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable 1.3 Continuidad Continuidad de una función en un punto

5Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

Ejemplo 1

• En la figura se muestra la gráfica de una función. ¿En qué puntos es discontinua? Justifique su respuesta.

5 x

yy = f(x)

1 2 3 4

Page 6: Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable 1.3 Continuidad Continuidad de una función en un punto

6Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

Discontinuidad evitable

Discontinuidad evitableo removible

a x

yy = f(x)

)(lim xfax

existe

Page 7: Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable 1.3 Continuidad Continuidad de una función en un punto

7Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

Discontinuidad por salto

)(lim xfax

existe

)(lim xfax

existe

y

Discontinuidad por salto

a x

y = f(x)

Page 8: Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable 1.3 Continuidad Continuidad de una función en un punto

8Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

Discontinuidad infinita

y

Discontinuidadinfinita

a x

y = f(x)

Uno o ambos límites laterales infinitos.

Page 9: Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable 1.3 Continuidad Continuidad de una función en un punto

9Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

Ejemplo 2

¿En dónde son discontinuas cada una de las funciones siguientes? Clasifique las discontinuidades.

0,1

0,2

2,23

2,24

2,2

2,5

2,3

123

2

2

3

2

2

x

xxxfd

xx

xxx

xfc

xx

x

xxx

xfbx

xxxfa

Page 10: Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable 1.3 Continuidad Continuidad de una función en un punto

10Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

Ejemplo 2

¿ En dónde son discontinuas cada una de las funciones siguientes? Clasifique las discontinuidades.

1

232

xxx

xfa

Page 11: Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable 1.3 Continuidad Continuidad de una función en un punto

11Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

Ejemplo 2

¿ En dónde son discontinuas cada una de las funciones siguientes? Clasifique las discontinuidades.

2,2

2,5

2,3

3

2

xx

x

xxx

xfb

Page 12: Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable 1.3 Continuidad Continuidad de una función en un punto

12Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

Ejemplo 2

¿ En dónde son discontinuas cada una de las funciones siguientes? Clasifique las discontinuidades.

2,23

2,242

xx

xxx

xfc

Page 13: Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable 1.3 Continuidad Continuidad de una función en un punto

13Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

Ejemplo 2

¿ En dónde son discontinuas cada una de las funciones siguientes? Clasifique las discontinuidades.

0,1

0,2

2

x

xxxfd

Page 14: Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable 1.3 Continuidad Continuidad de una función en un punto

14Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

Continuidad lateral

Una función f es continua por la derecha o desde la derecha de a si

Una función f es continua por la izquierda o desde la izquierda de a si

)()(lim afxfax

)()(lim afxfax

Page 15: Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable 1.3 Continuidad Continuidad de una función en un punto

15Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

Continuidad en un intervalo

f es continua para todo x(a, b).

f es continua en (a, b) y por la derecha de a.

f es continua en (a, b) y por la izquierda de b.

• f continua en (a, b)

• f continua en [a, b)

• f continua en (a, b]

• f continua en [a, b] f es continua en (a, b), por la derecha de a y por la izquierda de b.

Page 16: Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable 1.3 Continuidad Continuidad de una función en un punto

16Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

Ejemplo

Analice la continuidad de la función en los siguientes intervalos: [a,b], (b,c] y en [a,c]

a b c

f

x

y

Page 17: Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable 1.3 Continuidad Continuidad de una función en un punto

17Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

Operaciones con funciones continuas

Si f y g son continuas en a, entonces

también son continuas en a:

f + g

f - g

f.g

cf c: constante

gf

0)(si ag

Page 18: Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable 1.3 Continuidad Continuidad de una función en un punto

18Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

Funciones continuas importantes

Son continuas en todo número de su dominio:

polinomiosfunciones racionalesfunciones raízfunciones trigonométricasfunciones trigonométricas inversasfunciones exponencialesfunciones logarítmicas

Page 19: Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable 1.3 Continuidad Continuidad de una función en un punto

19Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

Límite y continuidad de funciones compuestas

Si g es continua en a y f es continua en g(a), entonces

))(()( xgfxgf

Si f es continua en b y bxgax

)(lim , entonces:

lim ( ) lim ( ) ( )x a x af g x f g x f b

es continua en a.

Page 20: Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable 1.3 Continuidad Continuidad de una función en un punto

20Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

Teorema del valor intermedio

Sea f continua en [a, b] y N un número estrictamente entre f(a) y f(b). Entoncesexiste (al menos) un número c en (a, b)tal que f(c) = N.

N

ca x

y = f(x)

f(a)

f(b)

b

Page 21: Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable 1.3 Continuidad Continuidad de una función en un punto

21Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

Ejercicio 3, Pág. 128

-4 -2 2 4x

6

y

Page 22: Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable 1.3 Continuidad Continuidad de una función en un punto

22Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

Bibliografía

“Cálculo de una variable”

Sexta ediciónJames Stewart

Secciones 2.5, páginas 119 - 130