cálculo i - derivadas

2.3. REGRAS DE DERIVACAO 71

Calcule os limites abaixo:

14. limx→0

sen(x)

x− 8

15. limx→7

x− 7

x2 − 49

16. limx→1

x2 − 1

x− 1

17. limx→3

5x

x− 3

18. limx→3

−7x

(x− 3)2

19. limx→+∞

(

x3 − x4)

20. limx→+∞

x2 + 3x− 5000

4x2 − 3

21. limx→+∞

x2 + 8x3

x3 + 20

22. limx→+∞

4x2 + 15000

x3 − 1

23. limx→+∞

x5

400x2 + 3x4 + 700

24. limx→+∞

√x2 − 2x + 2

x + 1

25. Determine as equacoes das assıntotas verticais e horizontais do grafico da

funcao f(x) =3x2

x2 − 4e faca um esboco do grafico de f .

26. Considere a funcao f(x) = (x + 2)2 − 4 e responda as questoes abaixo:

(a) Qual o domınio e a imagem de f ?

(b) Esboce o grafico de f .

(c) Em quais pontos f e contınua?

(d) Calcule f ′(x) .

(e) Encontre a equacao da reta tangente ao grafico de f no ponto (1,5).

(f) Existe uma outra reta que seja tangente ao grafico de f e que seja per-pendicular a reta do item anterior ? Caso exista de sua equacao e o seuponto de tangencia.

2.3.13 Derivadas de Ordem Superior

O que acontece se derivarmos a funcao derivada?

A funcao derivada f ′(x) fornece informacoes valiosas sobre a funcao f(x), sendoassim sabendo mais sobre a funcao f ′(x) saberemos mais tambem sobre a funcaof(x). A derivada f ′(x) da funcao f(x) e chamada de derivada primeira de f(x), Aderivada f ′′(x) da funcao f ′(x) e chamada de derivada de segunda de f(x) e assimpor diante.

Se f(x) descreve o movimento retilıneo de um objeto a derivada primeira f ′(x),fornece a taxa de variacao instantanea de f(x) (velocidade instantanea do objeto), a

72 CAPITULO 2. DERIVADAS

derivada segunda f ′′(x) fornece a taxa de variacao instantanea de f ′(x) (aceleracaoinstantanea do objeto)

A Ordem da derivada e a quantidade de vezes que a funcao original foi derivada.Se derivarmos uma funcao 3 vezes a funcao resultante sera uma derivada de terceiraordem.

Vejamos os sımbolos para as derivadas de ordens superioresy, y′, y′′, y′′′, y(4), ..., y(27), ...

f(x), f ′(x), f ′′(x), f ′′′(x), f IV (x), fV (x), ...

y, dy

dx, d2y

dx2 ,d3y

dx3 , ...,dny

dxn, ...

Exemplo 2.21. Encontre a derivada de ordem 5 de cada funcao abaixo:a) f(x) = sen(x)b) g(x) = x2 − 2x4 + x5

c) h(x) = e2x

Solucao:(a) f(x) = sen(x)f ′(x) = cos(x)f ′′(x) = −sen(x)f ′′′(x) = −cos(x)f IV (x) = sen(x)fV (x) = cos(x)

(b) g(x) = x2 − 2x4 + x5

g′(x) = 2x− 8x3 + 5x4

g′′(x) = 2− 24x2 + 20x3

g′′′(x) = −48x + 60x2

gIV (x) = −48 + 120xgV (x) = 120

(c) h(x) = e2x

h′(x) = 2e2x

h′′(x) = 4e2x

h′′′(x) = 8e2x

hIV (x) = 16e2x

hV (x) = 32e2x

Capıtulo 3

Aplicacao de Derivadas

3.1 Maximos e Mınimos

Uma das aplicacoes mais usadas do Calculo Diferencial e a otimizacao de pro-cessos. Para isso, observa-se pontos de maximo e mınimo da funcao que descreve oprocesso.

Teorema 3.1. Seja f uma funcao contınua em um intervalo fechado [a, b] e dife-renciavel no intervalo aberto (a, b).(i) Se f ′(x) > 0 para todo x em (a, b), entao f e crescente em [a, b].(ii) Se f ′(x) < 0 para todo x em (a, b), entao f e decrescente em [a, b].(iii) Se f ′(x) = 0 para todo x em (a, b), entao f e constante em [a, b].

Obseve os graficos abaixo:

No primeiro grafico a funcao e crescente em [a1, b1] e a sua reta tangente pos-sui inclinacao positiva em todo o intervalo (a1, b1). No segundo grafico a funcaoe decrescente em [a2, b2] e sua reta tangente possui inclinacao negativa em todo ointervalo (a2, b2). No terceiro grafico a funcao possui duas partes crescentes, nosintervalos [a, b] e [c, d], e uma parte decrescente, no intervalo[b, c], as inclinacoes dasretas tangentes nesses intervalos possuem o mesmo comportamento nos respectivosintervalos abertos.

Exemplo 3.1. Encontre os intervalos onde a funcao f(x) = 4x2 − 32x + 5 e cres-cente ou decrescente.

73

74 CAPITULO 3. APLICACAO DE DERIVADAS

A funcao f e polinomial, logo contınua e diferenciavel em todo R, como aderivada f ′(x) = 8x− 32 de f e positiva para x > 4 e negativa para x < 4, podemosconcluir:f e crescente em [4,∞) pois f ′(x) > 0 para todo x em (4, +∞).f e decrescente em (−∞, 4] pois f ′(x) < 0 para todo x em (−∞, 4)

Definicao 3.1. Uma funcao f tem maximo absoluto em um numero c de seudomınio se f(c) ≥ f(x) para todo x no domınio de f . f(c) e dito valor maximode f . Analogamente, a funcao f tem mınimo absoluto em um numero c de seudomınio se f(c) ≤ f(x) para todo x no domınio de f . f(c) e dito valor mınimode f .

Definicao 3.2. Uma funcao f tem maximo local em um numero c de seu domıniose f(c) ≥ f(x) para todo x em algum intervalo aberto contendo c (nas proximidadesde c). Analogamente, a funcao f tem mınimo local em um numero c de seudomınio se f(c) ≤ f(x) para todo x em algum intervalo aberto contendo c (nasproximidades de c).

A figura abaixo mostra uma funcao f com seus valores maximo absoluto (d),mınimo absoluto (c), maximo local (b) e mınimo local (a). O valor f(d) e tambemconsiderado um maximo local, sendo ele o maior dos maximos locais e f(c) tambeme considerado um mınimo local.

x

y

ƒ

a b

c

d

Teorema 3.2. Teorema do Valor ExtremoSe f for contınua em um intervalo fechado [a, b] entao f possuiu um valor maximoabsoluto e um valor mınimo absoluto em [a, b].

Teorema 3.3. Teorema de FermatSe f tiver um mınimo ou maximo local em c, e f ′(c) existir, entao f ′(c) = 0.

3.1. MAXIMOS E MINIMOS 75

x

y

ƒ

c

c

1

2

A figura acima ilustra o Teorema de Fermat, onde c1 e c2 sao pontos de mınimoe maximo, respectivamente, da funcao f e ambos apresentam derivadas nulas, ouseja, f ′(c1) = f ′(c2) = 0.

O cuidado que deve ser tomado quanto ao Teorema de Fermat e que a reciproca egeralmente falsa, ou seja, em uma funcao f onde f ′(c) = 0 nem sempre indicara umponto de maximo ou mınimo local. Observe no caso de f(x) = x5 + 2, f ′(x) = 5x4

e f ′(0) = 0, e em x = 0 a funcao f nao possui nem maximo nem mınimo, apenasuma tangente horizontal, como pode-se observar na figura abaixo.

x

y

ƒ(x)=x +25

Definicao 3.3. Um numero crıtico de funcao f e um numero c no domınio de f

onde f ′(c) = 0 ou f ′(c) nao existe.

Exemplo 3.2. Encontre o numero crıtico da funcao f(x) = 5x2 − 4


SOLUCAO:Se f(x) = 5x2 − 4 entao f ′(x) = 10x. Avaliando a funcao f ′(x), temos que esta euma reta que so assume valor nulo quando x = 0, ou seja, f ′(0) = 0 e pela definicao3.3, x = 0 e um numero crıtico da funcao f .

Exemplo 3.3. Encontre o valor maximo e mınimo absoluto da g(x) =x

x2 + 1no

intervalo [0, 2]

SOLUCAO:Primeiro, vamos avaliar o valor da funcao g(x) para os extremos do intervalo [0, 2];

g(0) = 0 e g(2) =2

5.

Agora, vamos verificar se g possui numeros crıticos no intervalo (0, 2);Para isso, vamos determinar g′(x) aplicando a Regra do Quociente.

g′(x) =(x2 + 1) · d

dxx− x · d

dx(x2 + 1)

(x2 + 1)2⇒ g′(x) =

(x2 + 1)(1)− x · (2x)

(x2 + 1)2g′(x) =

1− x2

(x2 + 1)2

A funcao g′ possui como domınio o conjunto dos numeros Reais (R) e so se anularaquando 1 − x2 = 0, ou seja, para x = 1 ou x = −1. O numero x = 1 e o unico

numero crıtico de g em (0, 2), e tera imagem g(1) =1

2.

Analisando o sinal da derivada nos intervalos (0, 1) e (1, 2) temos:

g e crescente em [0, 1] pois g′(x) > 0 para todo x em (0, 1)g e decrescente em [1, 2] pois g′(x) < 0 para todo x em (1, 2)

Assim pelos passos anteriores, podemos concluir que o valor mınimo absoluto e

g(0) = 0 e o valor maximo absoluto e g(1) =1

2para o intervalo [0, 2].

3.2 O Teorema do Valor Medio

Teorema 3.4. Teorema de RolleSeja f uma funcao contınua no intervalo fechado [a, b] e diferenciavel no intervaloaberto (a, b). Se f(a) = f(b) entao existe pelo menos um numero c em (a, b) tal quef ′(c) = 0.

Teorema 3.5. Teorema do Valor MedioSeja f uma funcao que satisfaca as seguintes condicoes:(a) f e contınua no intervalo fechado [a, b];(b) f e diferenciavel no intervalo aberto (a, b);Entao existe um numero c em (a, b) tal que

f ′(c) =f(b)− f(a)

b− a.

3.2. O TEOREMA DO VALOR MEDIO 77

As figuras abaixo ilustram o Teorema do Valor Medio.

x

y

a bc

x

y

a bc

d

Exemplo 3.4. Verifique que a funcao f(x) = 3x2 + 2x + 5 satisfaz as hipoteses doTeorema do Valor Medio sobre o intervalo [−1, 1]. Entao encontre todos os numerosque satisfacam a conclusao do Teorema do Valor Medio nesse intervalo

SOLUCAO:A funcao f e um polinomio e por isso, e contınua e diferenciavel para todos x ∈ R,logo sera contınua no intervalo [−1, 1] e diferenciavel no intervalo (−1, 1). Entaopelo Teorema do Valor Medio existe um numero c em (−1, 1) tal que

f(1)− f(−1) = f ′(c)(1− (−1)))

e entao10− 6 = (6c + 2)(2) ⇒ 12c + 4− 4 = 0 ⇒ 6c = 0 ⇒ c = 0

e 0 ∈ (−1, 1). Logo existe um unico numero c = 0 que satisfaz o Teorema do ValorMedio.

Teorema 3.6. (Teste da Derivada Primeira): Suponha que c seja um numero crıticode uma funcao contınua f :(a) Se o sinal de f ′ mudar de positivo para negativo em c, entao f tem um maximolocal e c;(b) Se o sinal de f ′ mudar de negativo para positivo em c, entao f tem um mınimolocal em c;(c) Se f ′ nao mudar de sinal em c, entao f nao tem extremo local em c.

Definicao 3.4. Se f for diferenciavel em um intervalo aberto I , o grafico de f e(i) concavo para cima em I se f ′ e crescente em I.(ii) concavo para baixo em I se f ′ e decrescente em I.

Teorema 3.7. Teste de concavidadeSe a derivada segunda f ′′ de f existe em um intervalo aberto I, entao o grafico de


f e(i) concavo para cima em I se f ′(x) > 0 em I.(ii) concavo para baixo em I se f ′(x) < 0 em I.

Definicao 3.5. Um ponto (c, f(c)) do grafico de f e um ponto de inflexao se saoverificadas as duas condicoes:(i) f e contınua em c.(ii) f muda de concavidade em c.

3.3 Regra de L’Hopital

No capıtulo 1 resolvemos alguns limites que possuiam a forma indeterminada 00,

uma fatoracao, racionalizacao ou simplificacao foi suficiente para resolve-los. Esseprocesso nem sempre e possıvel e as vezes muito trabalhoso. Para resolver esse tipode limite, apresentamos nessa secao a Regra de L’Hopital cujo objetivo e ajudar aresolver limites que possuem as formas indeterminadas 0

0ou ∞

∞.

Teorema 3.8. Regra de L’HopitalSuponha que f e g sao diferenciaveis e g′(x) 6= 0 em um intervalo aberto contendoa (exceto possivelmente em a). Suponha que

limx→a

f(x) = 0 e limx→a

g(x) = 0

ou que

limx→a

f(x) = ±∞ e limx→a

g(x) = ±∞.

Entao

limx→a

f(x)

g(x)= lim

x→a

f ′(x)

g′(x)

se o limite da direita existir.

Exemplo 3.5. Encontre o valor dos limites abaixo usando a Regra de L’Hopital:

(a) limx→1x9 − 1

x5 − 1

(b) limx→0ex − 1

senx

(c) limx→∞

ln x

x

SOLUCAO:Aplicando a Regra de L’Hopital, temos:

3.4. PROBLEMAS DE OTIMIZACAO 79

(a)

limx→1

x9 − 1

x5 − 1= lim

x→1

9x8

5x4

= limx→1

9x4

5

=9(1)4

5

limx→1

x9 − 1

x5 − 1=

9

5

(b)

limx→0

ex − 1

senx= lim

x→1

ex

cos x

=e0

cos 0

limx→0

ex − 1

senx= 1

(c)

limx→∞

ln x

x= lim

x→1

1x

1

= limx→1

1

x

limx→∞

ln x

x= ∞

Outras formas indeterminadas sao:

0 · ∞ , 00 , ∞0 , 1∞ e ∞−∞

Todas as formas indeterminadas acima podem ser reduzidas as do tipo 00

ou ∞

∞

usando operacoes elementares e depois resolvidas usando a Regra de L’Hopital.

3.4 Problemas de Otimizacao

Os problemas de determinacao de valores maximos e mınimos se encontram en-tre as aplicacoes mais comuns do Calculo. De fato, lembre-se com que frequenciaescutam-se ou leem-se termos como lucro maximo, custo mınimo, tempo mınimo,diferenca de potencial maximo, tamanho otimo, potencia maxima ou distancia mınima.A teoria que desenvolvemos para determinacao de extremos de funcoes pode seraplicada na resolucao de tais problemas. Estes, podem ser descritos verbalmenteou enunciados por escrito. Para resolve-los, e necessario converter as afirmacoes emlinguagem matematica, mediante a introducao de formulas, funcoes ou equacoes.


Os tipos de aplicacao sao ilimitados, tornando-se, assim, difıcil enunciar regras es-pecıficas para a determinacao de solucoes. E possıvel, entretanto, desenvolver umaestrategia geral para abordar tais problemas. De modo geral, vale a orientacaoseguinte:

1. Leia o problema cuidadosamente, varias vezes, meditando sobre os fatos e asquantidades nao conhecidas que devem ser determinadas;

2. Se possıvel, esboce um diagrama, rotulando-o convenientemente, introduzindovariaveis para representar estas quantidades.

3. Faca uma lista dos fatos conhecidos juntamente com quaisquer relacoes queenvolvam as variaveis. Uma relacao, em geral, pode ser descrita por umaequacao de algum tipo;

4. Apos analisar a lista em 3, determine a variavel que deve ser extremada eexprima esta variavel em funcao de uma das outras variaveis;

5. Determine os numeros crıticos da funcao obtida em 4 e teste-os quanto amaximos e mınimos;

6. Verifique se ocorrem maximos ou mınimos nos pontos extremos do intervalode domınio da funcao obtida em 4;

7. Nao se desencoraje se nao conseguir resolver determinado problema. A proficienciana resolucao de problemas aplicados exige consideravel esforco e pratica.

Exemplo 3.6. Deve-se construir uma caixa com base retangular, usando um retangulode cartolina com 16cm de largura e 21cm de comprimento, cortando-se um quadradoem cada canto. Determine as dimensoes desse quadrado para que a caixa tenha ovolume maximo possıvel.

SOLUCAO:Comecemos por fazer um desenho da peca de cartolina, onde introduziremos avariavel x para denotar o comprimento do quadrado a ser cortado em cada canto.Nosso objetivo e maximizar o volume V da caixa a ser construıda, dobrando-se acartolina apos retirar, em cada canto, um quadrado de lado x.

21 cm

16 cm

x


E importante perceber que existe, no contexto do problema, uma infinidade de caixasque podem ser fabricadas com a peca de cartolina, em questao. Voce deve se pergun-tar que forma a caixa deve ter para que isto seja possıvel. Ela deve ser alta, baixa,ou quase cubica? Voce pode ate calcular alguns volumes bastando, para isto, lembrarque suas dimensoes sao x, 21− 2x e 16− 2x , para conseguir desenvolver uma visaointuitiva de quais sao as dimensoes procuradas. Por exemplo:Se x = 2 teremos V = 2× 17× 12 = 408cm3

Se x = 0, 7 teremos V = 0, 7× 19, 6× 14, 6 = 200, 312cm3

Se x = 2, 8 teremos V = 2, 8× 15, 4× 10, 4 = 448, 448cm3.

Entao, generalizando, o volume V da caixa da figura e dado por:

V = x(16− 2x)(21− 2x) = 2(168x− 37x2 + 2x3),

lembrando que x pode variar de 0 ate no maximo 8.Derivando o volume V em relacao a x,

V ′ = 2(168− 74x + 6x2) = 4(3x− 28)(x− 3)

e

V ′ = 0 ⇒

3x− 28 = 0 ⇒ x = 283

oux− 3 = 0 ⇒ x = 3

Como 283

esta fora dos limites de variacao de x, consideremos apenas x = 3 comonumero crıtico. Aplicando o Teste da Derivada Primeira 1, temos que, V ′ > 0se x < 3 e V ′ < 0 se x > 3, ou seja, o sinal de V ′ muda de positivo para negativo emx = 3, logo f(3) e um maximo local de V . Verificando-se os extremos do domıniode V , V = 0 para x = 0 e x = 8, isto e, o maximo de V nao ocorre em nenhum dospontos extremos do domınio. Consequentemente, deve-se cortar de cada canto umquadrado de 3cm de lado para se obter a caixa de volume maximo.

Exemplo 3.7. Quando uma pessoa tosse, o raio da traqueia diminui, afetando avelocidade do ar na traqueia. Se r0 e o raio normal da traqueia, a relacao entre avelocidade v do ar e o raio r da traqueia e dada por uma funcao da forma v(r) =ar2(r0 − r) , onde a e uma constante positiva. Determine o raio para o qual avelocidade do ar e maxima.

SOLUCAO:O raio r da traqueia contraıda nao pode ser negativo, nem maior que o raio normal,

1Teste da Derivada Primeira: Suponha que c seja um numero crıtico de uma funcao contınua

f :(a) Se o sinal de f ′ mudar de positivo para negativo em c, entao f tem um maximo local e c;(b) Se o sinal de f ′ mudar de negativo para positivo em c, entao f tem um mınimo local em c;(c) Se f ′ nao mudar de sinal em c, entao f nao tem mınimo local em c.


r0. Assim, o objetivo e encontrar o maximo absoluto de v(r) no intervalo [0, r0].Vamos determinar os numeros crıticos de v(r) entao:

v′(r) = ar(2r0 − 3r) = 0 ⇒

ar = 0 ⇒ r = 0ou2r0 − 3r = 0 ⇒ r = 2

3r0

Verificamos que v(0) = v(r0) = 0 e que v(23r0) = 4a

27r30 > 0, ou seja, pelo Teorema do

Valor Extremo, temos que quando o raio da traqueia e 23

do raio normal, a velocidadedo ar e maxima.


EXERCICIOS PROPOSTOS

Nas questoes 1 a 6 abaixo, encontre os valores maximos e mınimos absolutos def no intervalo dado.

1. f(x) = xe−x, [0, 2]

2. f(x) =√

9− x2, [−1, 2]

3. f(x) =x

x2 + 1, [0, 2]

4. f(x) =ln x

x, [1, 3]

5. f(x) = x− 2 cos x, [−π, π]

6. f(x) = x4 − 4x2 + 2, [−3, 2]

Responda as questoes de (a) a (j) para cada uma das funcoes de 7 a 13

(a) Qual o domınio da funcao ?

(b) Quais sao os zeros da funcao?

(c) Calcule a derivada da funcao.

(d) Quais os numeros crıticos da funcao ?

(e) Encontre os intervalos onde a funcao e crescente e onde a funcao e de-crescente.

(f) Encontre os extremos locais da funcao .

(g) Calcule a derivada segunda da funcao.

(h) Encontre os intervalos onde a funcao tem concavidade para cima e ondea funcao tem concavidade para baixo.

(i) Encontre os pontos de inflexao.

(j) Construa o grafico da funcao .

7. f(x) = x3 − x

8. f(x) = x4 + 8x3 + 18x2

9. f(x) = (x2 − 5)3

10. f(x) = 3x4 + 4x3

11. f(x) = 6x1

3 + 3x4

3

12. f(x) = 2x + 3x2

3

13. f(x) = x2−1

x3


Calcule os limites abaixo usando a Regra de L’Hopital:

14. limx→0

xex

ex − 1

15. limx→0

cos x− 1

x

16. limx→0

ln(x + 1)

x3

17. limx→0

x

ex − 1

18. limx→0

−ex + 1

ex − 1

19. limx→0

sen2x

sen5x

20. limx→∞

ln x

x

21. limx→0+

ln x

sec x

22. Encontre as dimensoes de um cilindro circular reto, de area total igual a 50cm2, de modo que o volume seja maximo.

23. Um recipiente cilındrico, aberto em cima, deve ter a capacidade de 375π cm3.O custo do material usado para a base do recipiente e de R$ 0,15 por cm2 eo custo do material usado na lateral e de R$ 0,05 por cm2. Se nao ha perdade material, determine as dimensoes que minimizam o custo do material paraconstruı-lo.

24. Uma janela deve ter a forma de um retangulo superposto por um trianguloequilatero. Se o perımetro da janela e 12 pes, determine as dimensoes doretangulo que proporcionam a area maxima.

Obs.: A altura de um triangulo equilatero de lado l e dada por h =l√

3

2.

25. O Departamento de Estradas de Rodagens planeja construir uma area depiquenique para os motoristas ao longo de uma grande auto-estrada. Eladeve ser retangular, com area de 5000m2, e devera ser cercada nos tres ladosnao-adjacentes a estrada. Qual e a menor quantidade de cerca necessaria parase efetuar trabalho?

26. Quando um resistor de R ohms e ligado aos terminais de uma bateria comuma forca eletromotriz de E volts e uma resistencia interna de r ohms, umacorrente de I amperes atravessa o circuito e dissipa uma potencia de P watts,sendo

I =E

R + re P = I2R.

Supondo que r = 2 ohms e E = 50 volts, qual o valor de R para o qual apotencia dissipada e maxima?

27. Um recipiente em forma de paralelepıpedo com base retangular, onde o com-primento e o dobro da largura, deve ter volume de 2500cm3. Sabendo que o


material para a base custa R$ 5,00/cm2 e o material para as laterais custaR$3,50/cm2, determine o menor custo de producao do recipiente.

28. O custo total C para fazer x unidades de um certo artigo e dado por C =0, 005x3 + 0, 45x2 + 12, 75x + 250. Todas as unidades feitas sao vendidas a R$40,00 por unidade. O lucro P e, entao, dado por P = 40x − C. Determine onumero de unidades que devem ser feitas de modo a obter o lucro maximo.

29. Uma folha de papelao quadrada com 50cm de lado e usada para fazer umacaixa aberta, retirando-se quadrados de mesmo tamanho dos quatro cantos edobrando-se os lados. Qual e o tamanho dos quadrados que resulta na caixacom maior volume possıvel?

30. Quer-se dividir o numero 56 em duas partes x e y, tais que o seu produto sejamaximo. Determine-as.

31. Uma pagina retangular contem 24 polegadas quadradas de area impressa. Asmargens no topo e na parte inferior da pagina sao de 112 polegada cada. Asmargens laterais sao de 1 polegada cada. Que dimensoes a pagina deve terpara que o consumo de papel seja mınimo?

32. O trabalho realizado por um solenoide ao mover um induzido varia de acordocom W = 2t3−3t4 joules. Determine a maior potencia desenvolvida. (Potencia

p =dW

dt).

33. A altura de um projetil, disparado verticalmente para cima, e dada pelaseguinte equacao: s = 1200t − 16t2 (a velocidade inicial e 1200 m/s). De-termine a altura maxima que o projetil alcancara (desprezando a resistenciado ar).

34. A rapidez com que um boato se espalha em uma comunidade e proporcional aoproduto do numero de pessoas que ja ouviram o boato pelo numero de pessoasque ainda nao o ouviram. Mostre que a rapidez e maxima no instante em quemetade das pessoas ainda nao ouviu o boato.

cálculo i - derivadas

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