Polinomios .

Definicin algebraica. Los polinomios estn constituidos por un conjunto finito de variables (no determinadas o desconocidas) y constantes (llamadas coeficientes), con las operaciones aritmticas de suma, resta y multiplicacin, as como tambin exponentes enteros positivos. Pueden ser de una o de varias variables.

Un polinomio es as:

un ejemplo de polinomioeste tiene 3 trminos .

Que se pueden combinar usando:

+ - sumas, restas y multiplicaciones... crculo ... pero no divisiones! crculo

Estas reglas hacen que los polinomios sean simples, as es fcil trabajar con ellos!

Estos son polinomios:

3xx - 23xyz + 3xy2z - 0.1xz - 200y + 0.5Y estos no son polinomios

2/(x+2) no lo es, porque dividir no est permitido3xy-2 no lo es, porque un exponente es "-2" (los exponentes slo pueden ser 0,1,2,...)Pero esto s est permitido:

x/2 est permitido, porque tambin es ()x (la constante es , o 0.5)tambin 3x/8 por la misma razn (la constante es 3/8, o 0.375)

Grado

El grado de un polinomio con una sola variable es el mayor exponente de esa variable.Se define el grado de un monomio como el exponente de su variable.

El grado de un polinomio es el del monomio de mayor grado.

Ejemplo:

4x3-x-3El grado es 3 (el mayor exponente de x)

Son polinomios o no?polinomio

Ejemplos

P(x) = 2, polinomio de grado cero (el polinomio solo consta del trmino independiente).P(x) = 3x + 2, polinomio de grado uno.P(x) = 3x + 2x, polinomio de grado dos.P(x) = 2x3+ 3x + 2, polinomio de grado tres.P(x) = 4x4+ 4x + 2, polinomio de grado cuatro.P(x) = 2x5+ 3x + 1, polinomio de grado cinco.

Operaciones con polinomios .Los polinomios se pueden sumar y restar agrupando los trminos y simplificando los monomios semejantes. Para multiplicar polinomios se multiplica cada trmino de un polinomio por cada uno de los trminos del otro polinomio y luego se simplifican los monomios semejantes.

Ejemplos de funciones polinmicas.

Note que las grficas representan a las funciones polinmicas y no a los polinomios en s, pues un polinomio solo es la suma de varios monomios

Polinomio de grado 2:f(x) = x2 - x - 2= (x+1)(x-2).

Polinomio de grado 3:f(x) = x3/5 + 4x2/5 - 7x/5 - 2= 1/5 (x+5)(x+1)(x-2).

Polinomio de grado 4:f(x) = 1/14 (x+4)(x+1)(x-1)(x-3) + 0.5.

Polinomio de grado 5:f(x) = 1/20 (x+4)(x+2)(x+1)(x-1)(x-3) + 2.

Suma de polinomios.Para sumar polinomios, sumamos entre s aquellos monomios que tengan la misma parte literal.

Por ejemplo, consideremos los polinomiosP(x)= 3x5 + 2x3 - 5x2 + 6 y Q(x) = 8x3 + 3x2 - x - 4El polinomio resultante de la suma P(x) + Q(x)= 3x5 + 10x3 - 2x2 - x + 2Fjate, aquellos monomios cuya parte literal aparece en un polinomio los hemos copiado y hemos sumado aquellos monomios que tenan la misma parte literal:2x3 + 8x3 = 10x3-5x2 + 3x2 = -2x36 - 4 = 2

Resta de polinomios.Para restar polinomios, restamos entre s aquellos monomios que tengan la misma parte literal.

Por ejemplo, consideremos los polinomiosP(x)= 3x5 + 2x3 - 5x2 + 6 y Q(x) = 8x3 + 3x2 - x - 4El polinomio resultante de la resta P(x) - Q(x)= 3x5 - 6 x3 - 8x2 + x + 10Fjate, aquellos monomios cuya parte literal aparece slo en P(x) se dejan tal cual, a los que aparecen slo en Q(x) se les cambia el signo y restamos aquellos monomios que tenan la misma parte literal:2x3 - 8x3 = -6x3-5x2 - 3x2 = -8x36 - (-4) = 10 .

Producto de polinomios.Para multiplicar dos polinomios multiplicamos cada monomio del primer polinomio por cada polinomio del segundo. Luego sumamos aquellos monomios con la misma parte literal.

Raz de un polinomio Diremos que un nmero x=a es raz de un polinomio P(x) si al evaluar P en a se anula, es decir, P(a)=0 .Un polinomio es divisible por otro si al realizar la divisin el resto es 0.Por tanto, si a es raz de un polinomio P(x), teniendo en cuenta el teorema del resto, podemos afirmar que P(x) es divisible por x-a.Si a es una raz de un polinomio entonces a divide al trmino independiente.Dado P(x) = cnxn + cn-1xn-1 +...+ c1x + c0 y sea a una raz de P P(a) = cnan + cn-1an-1 +...+ c1a + c0 , al sea a una raz, P(a) = 0cnan + cn-1an-1 +...+ c1a + c0 = 0 pasamos el trmino independiente al segundo miembro y sacamos factor comn a a, queda a( cnan-1 + cn-1an-2 +...+ c1 ) = - c0 de aqu se deduce que la raz es divisor del trmino independiente.

Esto nos permite buscar las races entre los divisores del trmino independienteFactorizar un polinomioFactorizar consiste en descomponer un polinomio como producto de otros ms simples. Cuando un polinomio no se puede poner como producto de otros ms simples se dice que es irreducible.Para factorizar un polinomio hallamos su races, si a es una raz de P(x), entonces P(x)=(x-a)P1(x), as hemos descompuesto P como producto de dos polinomios, reiteramos el proceso, ahora con P1y seguimos hasta que nos encontremos con un polinomio irreducible. Factoriza el polinomio P(x)=2x5 -3x3 +4x2 -9x + 6 Usamos la regla de Ruffini, los candidatos a raz sern los divisores de 6, es decir, 1, -1, 2, -1, 3, -2, 6, -6.Vamos probando hasta que encontremos un valor cuyo resto es 0, repetimos el proceso con los coeficientes del polinomio cociente hasta que no podamos continuar, porque lleguemos a un polinomio irreducible.En el ejemplo hemos llegado a un momento en el que no hemos encontrado races enteras 2x2 +3, con este polinomio podemos continuar planteando una ecuacin de segundo grado, an as no tiene races reales por tanto es irreducible. En la figura de la derecha se observa el proceso.La factorizacin queda: 2x5 -3x3 +4x2 -9x + 6 =(x-1)2(x+2)(2x2 +3).

Logaritmo.

El logaritmo de un nmero, en una base dada, es el exponente al cual se debe elevar la base para obtener el nmero.

Se lee logaritmo de x en base a es igual a y , pero debe cumplir con la condicin general de que a (la base) sea mayor que cero y a la vez distinta de uno :

Para aclarar el concepto, podramos decir que logaritmo es solo otra forma de expresar la potenciacin, como en este ejemplo:

Que leeremos: logaritmo de 9 en base 3 es igual a 2

Esto significa que una potencia se puede expresar como logaritmo y un logaritmo se puede expresar como potencia.

El grfico siguiente nos muestra el nombre que recibe cada uno de los elementos de una potencia al expresarla como logaritmo: Entonces, podemos preguntar: Que es el logaritmo?

El logaritmo es " el exponente " por el cual se ha elevado una base para obtener la potencia .

Ejemplos:

1) logaritmos001 El resultado (2) es el exponente por el cual debemos elevar la base (2) para obtener la potencia (4): 2 2 = 4 2) logaritmos002 El resultado (0) es el exponente por el cual debemos elevar la base (2) para obtener la potencia (1): 2 0 = 1 3) logaritmos003

El resultado (y) es el exponente por el cual debemos elevar la base (1/2) para obtener la potencia (0,25): logaritmos004 , pero en este caso debemos despejar el exponente y.

5) Cuidado con esto, hay que recordarlo: Cuando la base no aparece expresada se supone que sta es 10: , el 10 que indica la base, no se coloca, se supone, as:

6) Aqu, otra nota importante, para no olvidar: Los logaritmos que tienen base e se llaman logaritmos neperianos o naturales. Para representarlos se escribe ln o bien L . La base e est implcita, no se escribe:

Propiedades de los logaritmos

No existe el logaritmo de un nmero con base negativa.

No existe el logaritmo de un nmero negativo

No existe el logaritmo de cero.

El logaritmo de 1 es cero.

El logaritmo de a en base a es uno.

El logaritmo en base a de una potencia en base a es igual al exponente.

El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores:

El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base:.

Logaritmo de una potencia con igual base:

El logaritmo de una potencia de un nmero es igual al producto entre el exponente de la potencia y el logaritmo del nmero

Ej:

log6 6 3 = 3 logb bn = n, con b 1

Logaritmos de la base

El logaritmo de la base es igual a 1.

logb (b) = 1 ; con b 1.

Ej:log5 (5) = 1 51 = 5

log6 (6) = 1 61 = 6

log12 (12) = 1 121 = 12

TRIGONOMETRA

Funcin potencia: traslaciones horizontales y verticales

Las traslaciones verticales y horizontales son los desplazamientos de una funcin en el sistema de coordenadas (x, y). Si trasladamos la representacin grfica de una funcin dada, obtendremos representaciones de funciones relacionadas. Siempre la grafica de la funcin trasladada ser igual a la original.

Si realizamos una traslacin vertical de una funcin, la grfica se mover de un punto a otro punto determinado en el sentido del eje y, es decir, hacia arriba o hacia abajo.Ejemplo:

Si realizamos una traslacin horizontal de una funcin, la grfica se mover de un punto a otro punto determinado en el sentido del eje x, es decir, hacia la derecha o hacia la izquierda.

Ejemplo:

Las traslaciones tanto horizontales como verticales, estn ligadas al concepto de incremento o decremento de un valor constante (que denominaremos c), por lo cual son nicamente en forma de suma o diferencia, y se expresan matemticamente de la siguiente forma .

Ejemplo:

Traslada la funcin f (x) = x2, 2 unidades a la derecha y 3 unidades hacia arriba. Grafica.

- Si ocupamos la tabla anterior, quedara en forma matemtica de la siguiente manera;

Grafica;

RAZONES TRIGONOMTRICAS DE UN NGULO AGUDOLlamamos razones trigonomtricas a las distintas razones existentes entre los lados de un tringulo rectngulo. Se define:

Seno de un ngulo como la razn entre el cateto opuesto al ngulo y la hipotenusa.Coseno de un ngulo como la razn entre el cateto contiguo al ngulo y la hipotenusa.Tangente de un ngulo como la razn entre el cateto opuesto y el contiguo.Cosecante de un ngulo como la razn entre la hipotenusa y el cateto opuesto, de ah se deduce que la consecante es 1 entre el senoSecante de un ngulo como la razn entre la hipotenusa y el cateto contiguo, es 1 entre el coseno.Cotangente de un ngulo es la razn entre el cateto contiguo y el cateto opuesto, es 1 entre la tangente.

Ejemplos de aplicacin de estas frmulas

Dado el triangulo ABC, rectngulo en A, Si AB = 15 cm. y BD = 9 cm. Cunto mide AC y AD?

Aplicando el teorema referido a los catetos tenemos que;

Entonces, CD = BC BD = 25 - 9 = 16.

- Para calcular AC aplicamos nuevamente el teorema referido a los catetos;

- Para calcular AD aplicamos el teorema referido a la altura;

Respuesta: AC mide 20 cm. y AD mide 12 cm.

funciones inversas.Encontrar funciones inversas. Aprende a encontrar la frmula de la inversa de una funcin dada. Por ejemplo, encuentra la inversa de f(x)=3x+2. ... Por ejemplo, si f ff convierte a aa en b bb, entonces la inversa debe convertir b bb en a aa.

Las razones trigonomtricas no son funciones biyectivas (1-a-1), por lo que no son invertibles. Para que lo sean, es necesario restringir su dominio y as poder hallar la funcin inversa.

ArcosenoEl arcoseno es la funcin inversa del seno. Es decir:

Al ser el arcoseno y el seno funciones inversas, su composicin es la identidad, es decir:

Su abreviatura es arcsen o sen-1.

-Dominio (x)

- Codominio ()

Para poder definir la funcin inversa de una funcin, necesariamente debe ser biyectiva. La funcin seno no es inyectiva en el conjunto de los reales. Por convencin, se restringe el codominio al intervalo [-/2,/2] para que la funcin seno sea biyectiva.

La funcin es continua y creciente en todo el dominio.

Derivada de la funcin arcoseno:

Funcin exponencial. La funcin exponencial, es conocida formalmente como la funcin real ex, donde e es el nmero de Euler, aproximadamente 2.71828.; esta funcin tiene por dominio de definicin el conjunto de los nmeros reales, y tiene la particularidad de que su derivada es la misma funcin. Se denota equivalentemente como f(x)=ex o exp(x), donde e es la base de los logaritmos naturales y corresponde a la funcin inversa del logaritmo natural.

En trminos mucho ms generales, una funcin real E(x) se dice que es del tipo exponencial en base a si tiene la forma E (x) = K.a a la x

Crecimiento exponencial.La expresin crecimiento exponencial se aplica a una magnitud tal que su variacin en el tiempo es proporcional a su valor, lo que implica que crece muy rpidamente en el tiempo:

Funciones exponenciales

Una funcin exponencial es aquella que est modelada por f(x) = ah(x) donde a > 0 y diferente de la unidad h(x) una funcin en x.Veamos algunos ejemplos de funciones exponenciales

* y = Ae-kt * y = 2x

* y = (1/2)x * f(t) = 2e2t

Grfica de una funcin exponencialA la hora de hacer una grafica de una funcin exponencial se deben tomar en cuenta dos casos, el primero donde a > 1, y un segundo caso donde 0 < a < 1.Esto significa que la funcin exponecial se transforma en una funcin constante si a = 1, es decir y = 1x = 1.

Anlisis de la grfica para el caso a > 1Ejemplo tomemos f(x) = y = 2xLa funcin f(x) est definida para cualquier valor real de la variable x.Primero tomamos una pequea muestra de valores para x y de esta manera obtener f(x) en funcin de x para esto construiremos una pequea tabla que muestre estos valores.

Anlisis de la grfica del caso 0 < a < 1

Usemos de ejemplo f(x) = y = (1/2)xLa funcin f(x) est definida para cualquier valor real de la variable x.Primero tomamos una pequea muestra de valores para x y de esta manera obtener f(x) en funcin de x para esto construiremos una pequea tabla que muestre estos valores.

Propiedades de una funcin exponencial

1) El dominio de imgenes o funcin exponencial es siempre positiva, y siempre esta funcion se encuentra encima del eje x

2) El codominio de la funcin exponencial est compuesto por todos los nmeros reales positivos y el dominio por todos los nmeros reales

3) La grafica que representa una funcin exponencial nunca hace intersepcin con el eje x .Slo existe una intersepcin con el eje y, en el punto (0 , 1).

4) Si a > 1 la funcin exponencial es creciente. Si 0 < a < 1 la funcin exponencial es decreciente

5) Para a > 1, el eje x se convierte en una asntota horizontal de la grfica por la izquierda, si 0 < a < 1 el eje x es asntota horizontal por la derecha

6) Para a > 1 cunado x tiende a infinito por la izquierda, y = f(x) tiende a cero.Cuando x tiende a infinito por la derecha, y = f(x) tiende a infinito.Para 0 < a < 1 cunado x tiende a infinito por la derecha, y = f(x) tiende a cero.Cuando x tiende a infinito por la izquierda, y = f(x) tiende a infinito.

Todas estas propiedades se pueden observar claramente en una grfica que muestre los dos casos juntos.

Muchas Gracias Por Su Atencion .

Espero Que Le Alla Gustado .

Alumno : Stiver Salazar .