calculo numérico de la respuesta dinámica de estructuras

7/22/2019 Calculo Numrico de la Respuesta Dinmica de Estructuras

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Calculo Numrico de la

Respuesta Dinmica

Dr. Alberto Salgado Rodrguez


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Calculo Numrico de la

Respuesta Dinmica Para excitaciones con variaciones

arbitrarias con respecto al tiempo o

para el caso de sistemas no lineales,

no es posible determinar la respuestadinmica de forma analtica.

Problemas de este tipo se deben

resolver mediante mtodos numricospaso a paso para integrar las

ecuaciones diferenciales



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Mtodos Paso a Paso

Para un sistema inelstico, la ecuacin del

movimiento a resolverse numricamente es la

siguiente:

Sujeto a las condiciones

iniciales:

En el caso anterior, el amortiguamiento se ha supuesto del tipo lineal

y viscoso.



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Mtodos Paso a Paso

La fuerza aplicada p(t) se conoce en ciertos valores discretos de tiempopi=p(ti)

i=0 a N. El intervalo de tiempo

Se considera generalmente constante

La respuesta dada por el desplazamiento, la velocidad y la

aceleracin del sistema se determina a cada instante i, de forma

tal que en cada instante se cumple la igualdad:

La fuerza (fs)i es la fuerza elstica en el instante i; para sistemas elsticos

valdr kui; para sistemas inelsticos depender de la historia previa de

desplazamientos y velocidades del sistema



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Mtodos Paso a Paso



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Mtodos Paso a Paso

Mediante el procedimiento numricoes posible determinar la respuesta en

los instantes i=1,2, conociendo las

condiciones iniciales del movimiento(desplazamiento, velocidad y

aceleracin).

Se han desarrollado diversosprocedimientos numricos. Dichos

procedimientos deben cumplir con los

siguientes requisitos: Dr. Alberto Salgado Rodrguez


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Mtodos Paso a Paso

1. Convergencia. Conforme el intervalode tiempo disminuye la solucinnumrica se aproxima a la solucin

exacta.2. Estabilidad. La solucin numrica

debe ser estable en la presencia deerrores de redondeo numricos, y

3. Exactitud. El procedimientonumrico debe proveer resultadossuficientemente cercanos a la

solucin exacta. Dr. Alberto Salgado Rodrguez


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Mtodos Paso a Paso

Mtodos basados en la

interpolacin de la funcin de

excitacin.

Mtodos basados en diferencias

finitas para las expresiones de

velocidad y aceleracin.Mtodos basados en variacin

supuesta de la aceleracin.



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Mtodo basado en la

interpolacin de la excitacin

En el intervalo ti t ti+1, la excitacin est dada por:



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Mtodo basado en la


Por simplicidad algebraica, se analiza en primer termino los

sistemas sin amortiguamiento, posteriormente se incorpora este.

En el instante i+ ( vara de 0 a t), la ecuacin a resolver es la

siguiente:



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Mtodo basado en la


La respuesta en el instante 0ti es la suma de

tres partes:

1)Vibracin libre debido a las condicionesiniciales de desplazamiento y velocidad.

2)Respuesta a fuerza tipo escaln con

condiciones iniciales nulas.

3)Respuesta a fuerza tipo rampa (pi/ti) concondiciones iniciales nulas.



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Mtodo basado en la


Tomando en cuenta las tres partes de la solucin, se

tiene:

Si se evalan las ecuaciones anteriores en el instante =ti, se obtienen el

desplazamiento y la velocidad en el instante i+1



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Mtodo basado en la


Al tomar en

cuenta

Las ecuaciones anteriores se pueden escribir como

formulas de recurrencia.



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Mtodo basado en la


Para el caso de sistemas subamortiguados, se tendran

expresiones anlogas. Ya que las formulas de recurrencia se

han deducido de las soluciones exactas de la ecuacin del

movimiento, la nica restriccin es el tamao del intervalo de

tiempo t. Este procedimiento es til cuando la excitacin est

definida en intervalos muy cercanos de tiempo como es el

caso de registros ssmicos-. Si el intervalo de tiempo es

constante, los coeficientes A, B, , D solo se calculan una

vez. Este mtodo solo es factible de utilizarse en sistemas

lineales. Es conveniente para sistemas de un grado de libertadpero imprctico para sistemas de mltiples grados de libertad,

a menos que la respuesta del sistema se obtenga por la

superposicin de las respuestas modales.



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Mtodo basado en la




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Mtodo de la diferencia

centralEst basado en la aproximacin, en diferencias finitas, de lasderivadas del desplazamiento. Si se tienen intervalos de tiempo

constantes, ti=t, las expresiones de la velocidad y aceleracin en el

tiempo i, son las siguientes:

Si se sustituye en la ecuacin del movimiento y asumiendo que el

sistema es elstico, se tiene



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central

Para obtener ui y ui-1, se utilizan las siguientes

expresiones:



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centralfinalmente

Se considera que el desplazamiento y la velocidad inicial son conocidos,

y mediante la ecuacin del movimiento en el instante 0

Se obtiene la aceleracin en el instante0



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central

NOTA: Para evitar que los

errores de redondeonumricos disparen el

mtodo, se recomienda

que



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Mtodo de Newmark

El mtodo de Newmark es un procedimiento basado en la variacin

supuesta de la aceleracin del sistema. Las ecuaciones bsicas del

mtodo son las siguientes:

Los parmetros y definen la variacin de la aceleracin en el intervalo

de tiempo y determinan las caractersticas de estabilidad y exactitud del

mtodo. Generalmente, se escoge igual a 1/2 y debe estar entre 1/6 y

para obtener resultados satisfactorios.

Se observa que debido a que las incgnitas tambin aparecen en el

lado derecho de las ecuaciones, se requiere iterar pata encontrar la

solucin. No obstante lo anterior, es posible modificar la formulacin

original para obtener la solucin sin iteracin.



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Mtodo de NewmarkSe explican a continuacin dos casos especiales del mtodo de Newmark

Se observa quepara el caso de

aceleracin

constante =1/2 y

=1/4; y para el caso

de variacin lineal

de la aceleracin=1/2 y =1/6



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Mtodo de Newmark-formulacin no iterativa-

Si en las ecuaciones del mtodo de Newmark, se utilizan cantidades

incrementales, se tiene lo siguiente:

La formulacin incremental puede evitarse en el caso de sistemas

lineales, sin embargo, dicha formulacin es clave en el caso de

los sistemas no lineales. Las ecuaciones de Newmark quedan dela siguiente forma:



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Mtodo de Newmark

-formulacin no iterativa-

De la ecuacin decremental del

desplazamiento

Al sustituir en la ecuacin decremental de la velocidad, seobtiene:

Al sustituir las ecuaciones anteriores en la ecuacin decremental

del movimiento:



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Mtodo de Newmark


Se obtiene



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Mtodo de Newmark


El mtodo de Newmark es estable

si:

Para = y = (aceleracin constante), lacondicin anterior se convierte en:

Lo anterior significa que el mtodo de aceleracin constante esincondicionalmente estable para cualquiert; sin embargo, la

exactitud se ve afectada si t es muy grande.

Para el caso de variacin lineal de la aceleracin, es

estable s

551.0

nT

t



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Estabilidad y Error

en los Clculos



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Anlisis de la respuesta no lineal

-Mtodo de Newmark-

En este caso, el procedimiento con t constante conduce a errores

significativos, debido a que, por un lado, se utiliza la rigidez tangente en

lugar de la rigidez secante, y, por otro, el uso de un constante retrasa la

deteccin de las transiciones en las relaciones fuerza-deformacin


Anlisis de la respuesta no


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Anlisis de la respuesta no

lineal

-Mtodo de Newmark-Procedimiento Iterativo (Newton-Raphson)



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Anlisis de la respuesta no lineal

-Mtodo de Newmark-



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Tarea

Determinar la respuesta dinmica de un sistema de un grado de libertadcon las siguientes propiedades: Tn=0.5seg, =5%. Considere como

excitacin ssmica el registro acelerogrfico sctd, visto en clase. Utilice

los siguientes mtodos:

a) Interpolacin lineal de la excitacin

b) Newmark, aceleracin constantec) Newmark, aceleracin variacin lineal

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