Godofredo Iommi

Cálculo Real

Prefacio

Estas son notas construı́das a partir de diversos cursos de cálculo dictados en la Pontificia UniversidadCatólica de Chile entre 2008 y 2014. Los contenidos incluı́dos corresponden aproximadamente a aquellosde los programas de dichos cursos. Existe una gran cantidad de muy buenos textos de cálculo y de análisisen una variable y estas notas están basadas en parte en dichos textos. He incluı́do listas de ejercicios alfinal de cada capı́tulo. Varios de los problemas propuestos estan basados en artı́culos publicados en diversasrevistas especializdas. El objetivo es que los estudiantes se familiaricen cuanto antes con la lectura de laliteratura cientı́fica.

Agradezco a Bastián Galasso por transcribir parte de estas notas y por hacer los gráficos que aquı́ apare-cen.

Especiales agradecimientos a Felipe Molina y Antonia López por corregir algunos de los muchos erroresque se encuentran en el texto.

Este texto fue escrito utlizando el software svmono de Springer y fue parcialmente financiado por Cen-ter of Dynamical Systems and Related Fields código ACT1103 y por los proyectos Fondecyt 1110040 y11070050.

Godofredo IommiSantiago,

Agosto 2014.

V

Índice general

1. Números Reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1. Axioma del Supremo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Lı́mite de Sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.1. Subsucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.2.2. Sucesiones de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.2.3. Lı́mites Infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.3. Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2. Funciones Reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.1. Lı́mite de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.2. Lı́mites Laterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.3. Lı́mites Infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.4. Funciones Continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.5. Discontinuidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572.6. Funciones Continuas en el Intervalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3. La Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693.1. Definición y Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693.2. Interpretaciones de la Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

3.2.1. Aproximación lineal de una función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 743.2.2. Interpretación geométrica de la derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753.2.3. Interpretación fı́sica de la derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3.3. Técnicas de derivación y derivadas de funciones elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773.4. Funciones derivables en un intervalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 863.5. Derivadas de Orden Superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 963.6. Fórmula de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

3.6.1. Regla de L’Hopital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1053.6.2. Máximos y Mı́nimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1113.6.3. Funciones cóncavas y convexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

3.7. Ası́ntotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1163.8. Gráfico de Curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1183.9. Funciones continuas no diferenciables en ningún punto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1223.10. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

VII

VIII Índice general

4. La Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1354.1. La integral de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

4.1.1. Sumas de Darboux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1364.1.2. La integral superior y la integral inferior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

4.2. Funciones Integrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1434.2.1. La definición de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

4.3. Teorema Fundamental del Cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1534.4. Técnicas de integración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

4.4.1. Integración por Partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1644.4.2. Cambio de Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1704.4.3. Sustituciones Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1744.4.4. Fracciones Parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

4.5. Logaritmo y Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1804.6. Integrales impropias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

4.6.1. Integrales Impropias de tipo 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1854.6.2. Integrales impropias de tipo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1904.6.3. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

4.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

A. Números Naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209A.1. Inducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209A.2. Progresiones Aritméticas y Geométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213A.3. Sumatorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216A.4. Teorema del Binomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

B. Conjuntos numerables y no numerables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

C. Continuidad Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

Capı́tulo 1Números Reales

1.1. Axioma del Supremo

El conjunto de los números reales, que denotaremos por R, satisface diversas propiedades. Desde laperspectiva algebraica es un cuerpo. Es decir, (R,+, ·), satisface todos los axiomas de cuerpo, por ejemplo,ambas operaciones son asociativas, conmutatitivas, poseen inversos y además son distributivas. El conjuntode los números racionales, que denotaremos por Q, también posee estructura de cuerpo. Es posible, además,dotar al conjunto de los reales de un orden. En efecto, para ello basta definir la clase de números positivos P .Ası́, diremos que a es mayor que b si b−a ∈ P . Notemos que los números racionales también poseen unaestructura de orden, de hecho es la misma que se hereda de los números reales. En esta sección estudiaremosuna propiedad que es exclusiva de los números reales y que no la satisface el conjunto de los númerosracionales, a saber, la completitud.

Los axiomas son postulados que asumiremos y a partir de los cuales se deben probar todas las propie-dades de los números reales. Como mencionamos en el párrafo anterior, asumiremos tres tipos de axiomas:los de cuerpo (que describen la estructura algebraica de los números relaes), los de orden y finalmenteel axioma del supremo. Una pregunta natural es la existencia de un conjunto que satisfaga los axiomasantes enumerados. Este problema fue abordado durante el siglo XIX. Existen diversas construcciones delos números reales. Tres construcciones distintas fueron propuestas por Dedekind, Cantor y Weierstrass.A partir de los números naturales ellos fueron capaces de construir un conjunto que satisface los axiomasantes mencionados. Por su puesto, cabe la pregunta de si existe único conjunto que satisface estos axiomas(y por lo tanto las tres construcciones producen esencialmente el mismo conjunto). La respuesta es afirma-tiva, existe (esencialmente) un único conjunto que satisface los axiomas de cuerpo, orden y completitud.Tal conjunto se denomina conjunto de los números reales. En esta sección describiremos y discutiremos elaxioma del supremo que describe la completitud del conjunto de los números reales.

Definición 1.1. Sea A subconjunto de R. Diremos que b ∈ R es cota superior de A si para todo a ∈ A, setiene que a ≤ b. Si A es un conjunto que posee cotas superiores diremos que A acotado superiormente.

Ejemplo 1.1. El número x = 5 es cota superior para el conjunto

A = {x ∈ R : x < 2}.

Ejemplo 1.2. El conjunto (0,∞) no posee cota superior.

Definición 1.2. Análogamente definimos cota inferior. Diremos que b ∈R es cota inferior de A si para todoa ∈ A, se tiene que b ≤ a, en tal caso diremos que A es acotado inferiormente.

Ejemplo 1.3. El número x = 0 es cota inferior para el conjunto{

1n, n ∈ N

}.

1

2 1 Números Reales

Definición 1.3. Diremos que el conjunto A es acotado si es acotado superior e inferiormente.

Observación 1.1. Las cotas superiores e inferiores no son únicas, en efecto si b es cota superior para elconjunto A, entonces b+n es cota superior de A para todo n > 0.

Definición 1.4. Sea A un conjunto acotado superiormente (resp. inferiormente) de modo tal que b es cotasuperior (resp. inferior). Si b ∈ A entonces diremos que b es máximo (resp. mı́nimo) de A.

Ejemplo 1.4. El conjunto {1n

: n ∈ N},

no posee mı́nimo, pero el máximo es igual a 1.

Ejemplo 1.5. El conjuntoA = {x ∈ R : x ≥ 2},

posee mı́nimo y es igual a 2, mientras que

B = {x ∈ R : x > 2},

no posee mı́nimo.

Ejemplo 1.6. El conjunto (2,3] posee máximo igual a 3 y no posee mı́nimo.

Definición 1.5. Sea A un conjunto no vacı́o acotado superiormente. Diremos que el número a ∈ R es elsupremo de A, que denotaremos por supA = a, si satisface las siguientes propiedades:

1. El número a es cota superior de A;2. Si b es cota superior de A, entonces a ≤ b.

Es decir, a es el supremo de A si es la menor de las cotas superiores.

Observación 1.2. Una condición equivalente a la segunda parte de la definición es,

1. Si b < a, entonces existe x ∈ A tal que b < x.

Otra forma de expresar la condición anterior es que para todo ε > 0, existe x ∈ A tal que a− ε < x ≤ a.

Análogamente podemos definir el ı́nfimo.

Definición 1.6. Sea A un conjunto no vacı́o acotado inferiormente. Diremos que el número real a es elı́nfimo de A, que denotaremos por ı́nfA = a, si

1. El número a es cota inferior de A.2. Si b es cota inferior de A, entonces b ≤ a.

Es decir, a es el ı́nfimo de A si es la mayor de las cotas inferiores. Al igual que en la definición de supremo,tenemos una condición equivalente a la segunda parte de la definición,

1. Para todo ε > 0, existe x ∈ A tal que a ≤ x < a+ ε .

El siguiente es el último axioma que asumiremos (además de los de cuerpo y orden). Existe un únicoconjunto que satisface estos tres conjuntos de axiomas, tal conjunto es el que denominamos de los númerosreales.

Axioma del Supremo. Todo subconjunto A de R, no vacı́o y acotado superiormente posee supremo.

Observación 1.3. Un conjunto que satisface el Axioma del supremo se dice completo. Ası́ el conjunto delos números reales es un cuerpo ordenado y completo.

1.1 Axioma del Supremo 3

Observación 1.4. Es posible deducir directamente a partir del Axioma del supremo que todo subconjunto Ade R, no vacı́o y acotado inferiormente posee ı́nfimo.

Ejemplo 1.7. Pruebe que si A = (a,b), entonces ı́nfA = a.

Solución. De la definición del conjunto A, tenemos que x = a es cota inferior de A. Probaremos ahora quees la mayor de las cotas inferiores. Dado 0 < ε < b−a, notamos que el número

c = a+ε2

es tal que a < c y ademásc < a+ ε < a+b−a = b,

es decir c ∈ A y por lo tanto a+ ε no es cota inferior de A. Por lo otra parte, si suponemos que ε ≥ b− a,entonces b ≤ a+ ε . Luego, por la caracterización del ı́nfimo tenemos que ı́nfA = a.

Durante el siglo XIX varias construcciones de los números reales fueron exhibidas. La idea es comenzan-do con el conjunto de los números naturales, N, llegar a construir el conjunto de los reales. Son conocidasciertas extensiones de naturaleza algebraica que permiten extender el conjunto de los números naturalesal conjunto de los números enteros, Z, agregando los inversos aditivos de todo elemento en N. Agregan-do ahora los inversos multiplicativos de Z y completando algebraicamente obtenemos el conjunto de losnúmeros racionales Q. Los trabajos de Cantor, Dedekind y Weierstrass permiten a partir de los números ra-cionales construir los reales. Notemos que N⊂ Z⊂Q⊂R. El siguiente teorema, consecuencia del axiomadel supremo, describe la contención N⊂ R.

Teorema 1.1 (Propiedad Arquimidiana). Dado un número real x ∈R, existe un número natural n ∈N talque x < n.

Demostración. Cabe notar que la afirmación anterior es equivalente a decir que el conjunto de los númerosnaturales no es acotado superiormente. Ahora, supongamos por el contrario que si lo es y que c = supN.Entonces c−1 no es cota superior de N, es decir, existe n ∈ N tal que

c−1 < n.

Ası́c < n+1,

pero n+1 ∈ N y c = supN, lo que es una contradicción. Por lo tanto, N no es acotado superiormente. &'

Ejemplo 1.8. Pruebe que el ı́nfimo del conjunto

A ={

1n

: n ∈ N}

es igual a cero.

Demostración. El número x = 0 es cota inferior del conjunto ya que todos los elementos de éste son posi-tivos. Supongamos que a = ı́nfA > 0. Es decir, para todo n ∈ N se tiene que

0 < a <1n.

Tenemos entonces que para todo n ∈ N se cumple n < 1/a contradiciendo la propiedad arquimideana.

Ejemplo 1.9. Demuestre que el ı́nfimo del conjunto

A ={|sin(n)|

n: n ∈ N

}

4 1 Números Reales

es igual a cero.

Solución. Notemos que el número x = 0 es cota inferior para el conjunto A, ya que |sin(n)| ≥ 0 y n > 0.Probaremos ahora que x = 0 es la mayor de las cotas inferiores. Dado ε > 0, debemos probar que existen ∈ N tal que

0 <|sin(n)|

n< ε.

Recordemos que |sin(n)|≤ 1, luego|sin(n)|

n≤ 1

n.

En virtud del Ejemplo 1.8 existe n0 ∈ N tal que 1/n0 < ε . Por lo tanto,

0 <|sin(n0)|

n0≤ 1

n0< ε.

Es decir, el número x = 0 es la mayor de las cotas inferiores.

Ejemplo 1.10. Pruebe que

ı́nf{(

12

)n: n ∈ N

}= 0.

Solución. Notemos que para cada n ∈ N se tiene que (1/2)n > 0, por lo tanto x = 0 es una cota inferiordel conjunto. Notemos que para todo número natural n ∈ N se tiene que 2n > n, es decir, 1/2n < 1/n. Seaε > 0, como ı́nf{1/n : n ∈ N}= 0 existe n0 ∈ N tal que 1/n0 < ε y por lo tanto,

0 <1

2n0< ε.

Es decir, x = 0 es la mayor de las cotas inferiores.

El siguiente teorema describe ahora la inclusión, Q ⊂ R. Mostraremos que que Q es denso en R. Esdecir, que todo intervalo de números reales contiene números racionales.

Teorema 1.2. Sean a,b ∈ R tales que a < b, entonces existe r ∈Q tal que r ∈ (a,b).

Demostración. Sin perdida de generalidad asumamos que 0 ≤ a < b. Para probar el resultado debemosencontrar m,n ∈ N tales que a < m/n < b. Por la propiedad arquimidiana existe n ∈ N tal que 1/n < b−a.Sea m ∈ N tal que

m−1 ≤ na < m.

Notemos que tenemos que a < m/n. Notando por otra parte que a < b−1/n tenemos que

m ≤ na+1 < n(

b− 1n

)+1 = nb.

Como m < nb implica que m/n < b tenemos que el resultado.

Ejemplo 1.11. Consideremos el subconjunto de Q definido por

A = {x ∈Q : x2 < 2}

Determine el supremo de A.

Solución. Como sub-conjunto de R tenemos que supA =√

2. Sin embargo,√

2 )∈ Q. Notemos que estoimplica que para todo p/q ∈ Q cota superior de A existe un número racional p′/q′ ∈ Q tal que p′/q′ escota superior de A y p′/q′ < p/q. En efecto, en virtud del Teorema 1.2, en el intervalo (

√2, p/q) existe

1.1 Axioma del Supremo 5

un número racional p′/q′. De la discusión anterior tenemos que como subconjunto de Q el conjunto A noposee supremo. En particular tenemos que Q no es un cuerpo ordenado completo, ya que no satisface elaxioma del supremo. Desde la perspectiva del Análisis la mayor carencia de los racionales es que no escompleto. Es interesante notar que la construcción de los números reales llevada a cabo por Dedekind sebasa en conjuntos de la forma de A, a estos Dedekind les llama cortadura. Notemos que el conjunto A sedefine utilizando números racionales, pero se identifica de manera clara con un irracional. Esta es la ideaque desarrolla y formaliza Dedekind en su construcción.

Probaremos a continuación algunas propiedades del supremo y el ı́nfimo.

Ejemplo 1.12. Sea A ⊆ B. Pruebe que supA ≤ supB.

Solución. Notemos que supB es cota superior de B, es decir, para todo x ∈ B se tiene que x ≤ supB. Enparticular, si y ∈ A, como A ⊆ B, tenemos que y ≤ supB. Luego como supA es la menor cota superior de A,concluimos que

supA ≤ supB.

Ejemplo 1.13. Sea A ⊂R un conjunto acotado inferiormente y sea −A = {−x : x ∈ A}. Pruebe que −A esacotado superiormente y que sup{−A}=− ı́nf{A}.

Solución. Sea a cota inferior de A, es decir, para todo x ∈ A se tiene que x ≥ a. De donde −a ≥ −x.Recordemos que un elemento y ∈ −A es de la forma y = −x. Es decir, para todo y ∈ −A tenemos que−a ≥ y. De donde, el conjunto −A es acotado superiormente y por lo tanto, posee supremo, sup{−A}.Por otra parte, notemos que dado ε > 0, existe x′ ∈ A tal que sup{−A}− ε < −x′ < sup{−A}, es decir,−sup{−A}< x′ < ε − sup{−A}. Por lo tanto −sup{−A}= ı́nf{A}.

Ejemplo 1.14. Sea A ⊂ R un conjunto no vacı́o y acotado. Dado c > 0 considere el conjunto

cA := {cx : x ∈ A} .

Pruebe que el conjunto cA es acotado (superior e inferiormente) y que sup(cA) = csupA.

Solución. Sea a ∈ R cota superior de A, es decir, para todo x ∈ A se tiene que x ≤ a. Como c > 0 tenemosque cx ≤ ca. Es decir ca es cota superior de cA. Análogamente, sea b ∈ R cota inferior de A, es decir, paratodo x ∈ A se tiene que x ≥ b. Como c > 0 tenemos que cx ≥ cb. Es decir cb es cota inferior de cA. Ası́ elconjunto cA es acotado.

Notemos que como supA es cota superior de A tenemos que sup(cA) ≤ csupA. En particular csupA escota superior de cA. Por otra parte, notemos que dado ε > 0, existe x ∈ A tal que

supA− εc< x ≤ supA.

Multiplicando por c > 0 obtenemos que

csupA− ε < cx ≤ csupA.

Por lo tantosup(cA) = csupA.

Ejemplo 1.15. Sea X ⊂R. Una función f : X →R es acotada cuando f (X) es un conjunto acotado. Diremosque el supremo de una función f es sup f = sup{ f (x) : x ∈ X}. Pruebe que si f ,g : X → R son acotadassuperiormente, entonces también lo es f +g y sup( f +g)≤ sup f + supg.

Solución. Sea a1 cota superior de f y a2 cota superior de g, entonces es claro que para todo x ∈ X setiene que f (x) + g(x) ≤ a1 + a2, es decir, ( f + g)(x) es acotado superiormente y posee supremo. Comosup f + supg es cota superior tenemos que

sup( f +g)≤ sup f + supg. (1.1)

6 1 Números Reales

Observación 1.5. Notemos que no siempre tenemos igualdad en la ecuación (1.1). En efecto, sean f (x)= x yg(x) =−x donde f ,g : [−1,1]→R. Tenemos que sup f = 1 y supg = 1, sin embargo ( f +g)(x) = x−x = 0,es decir, sup( f +g) = 0.

Ejemplo 1.16. Considere el conjunto

A ={

1+11!

+12!

+ . . .+1n!

: n ∈ N}.

Pruebe que A posee supremo e ı́nfimo.

Solución. Seaan = 1+

11!

+12!

+ . . .+1n!.

Claramente 0 < an para todo n ∈ N, y además an ≤ an+1. Más aún

an < 1+1+122

+ . . .+12n

< 3,

para todo n ∈N, es decir, el conjunto A es acotado. El resultado se sigue en virtud del axioma del supremo.

El siguiente teorema es consecuencia del axioma del supremo y permite dar una intución geométrica ala idea de completitud.

Teorema 1.3 (Teorema de los Intervalos Encajados). Considere una sucesión decreciente de intervaloscerrados y acotados

I1 ⊃ I2 ⊃ I3 ⊃ . . .⊃ In ⊃ . . .

con In = [an,bn], entonces existe c ∈ R tal que

c ∈⋂

n≥1In.

Demostración. Las inclusiones In ⊃ In+1 significan que

a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ . . .an ≤ . . .≤ bn ≤ . . .≤ b2 ≤ b1

El conjunto A = {a1,a2, . . . ,an, . . .} es acotado y por lo tanto, posee supremo c = supA. Claramente an ≤ cpara todo n ∈ N, y además como cada bn es cota superior de A, entonces se tiene que c < bn, luego c ∈ Inpara todo n ∈ N. &'

1.2. Lı́mite de Sucesiones

Una sucesión es una función f : N→R cuyo dominio es el conjunto de los números naturales. En vez dela notación usual, a saber f (n), utilizaremos la siguiente: (xn)n∈N o a veces simplemente (xn). Ası́ xn = f (n).

Definición 1.7. Sea (xn)n una sucesión real. Diremos que el lı́mite de (xn)n cuando n tiende a infinito esigual a a, lo que denotaremos por

lı́mn→∞

xn = a,

si y sólo si para todo ε > 0, existe N > 0 tal que para cada n ≥ N se tiene

|xn −a|< ε.

Observación 1.6. Una sucesión que posee lı́mite se dice convergente. En caso contrario, diremos que lasucesión es divergente.

1.2 Lı́mite de Sucesiones 7

Ejemplo 1.17. Sea (an)n = 1/n, demuestre que

lı́mn→∞

an = lı́mn→∞1n= 0.

Solución. Sea ε > 0. Como x = 0 es el ı́nfimo de (an)n tenemos que existe n0 ∈N tal que 1/n0 < ε . Ademáscomo an+1 < an, tendremos que 1/n < ε para todo n ≥ n0, es decir,

∣∣∣∣1n−0

∣∣∣∣< ε,

para todo n ≥ n0.

Ejemplo 1.18. La sucesión (an)n = a es claramente convergente con lı́mn→∞ an = a.

Teorema 1.4 (Unicidad del lı́mite). Sea (an)n una sucesión convergente. Si se tiene que

lı́mn→∞

an = a y lı́mn→∞ an = b.

Entonces a = b.

Demostración. Supongamos que lı́mn→∞ an = a y b )= a. Sea ε = |b− a|/2, entonces los intervalos (a−ε,a+ ε) y (b− ε,b+ ε) son disjuntos. Como lı́mn→∞ an = a, existe n0 ∈ N tal que an ∈ (a− ε,a+ ε) paratodo n ≥ n0, es decir, an )∈ (b− ε,b+ ε). Luego,

lı́mn→∞

an )= b.

&'

Ejemplo 1.19. La sucesión

(an)n ={

0 si n es par1 si n es impar

no es convergente.

Teorema 1.5. Toda sucesión convergente es acotada.

Demostración. Sea lı́mn→∞ an = a y ε = 1. Existe n0 ∈ N tal que para todo n ≥ n0 se tiene que an ∈(a− 1,a+ 1). Consideremos ahora el conjunto de elementos de la sucesión aún no estudiados, sea F ={a1,a2, . . . ,an0−1,a−1,a+1}, c = mı́nF y d = máxF , entonces c ≤ an ≤ d. Por lo tanto, {an}n es acotada.&'

Ejemplo 1.20. La sucesión (an)n = n es divergente.

Solución. Es divergente pues no es acotada. En efecto, dado a ∈ R y ε > 0 se tiene que an > a+ ε para nlo suficientemente grande.

Observación 1.7. Existen sucesiones acotadas que no son convergentes. Por ejemplo,

(an)n ={

0 si n es par1 si n es impar

Diremos que la sucesión (an) es creciente si para todo n

8 1 Números Reales

Demostración. Probaremos el caso en que la sucesión es creciente, el caso decreciente es completamenteanálogo. Sea (an)n tal que a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ . . . y sea a = sup{an : n ∈ N}. Afirmamos que lı́mn→∞ an = a.En efecto, dado ε > 0 existe n0 ∈ N tal que an0 ∈ (a− ε,a+ ε). Como la sucesión es monótona, para todon ≥ n0 tenemos que a− ε < an0 ≤ an < a, es decir, an ∈ (a− ε,a+ ε) para n ≥ n0. &'

Ejemplo 1.21. Cuando a = 0 y a = 1, la sucesión (an)n es constante y en consecuencia, convergente. Cuan-do a = −1 la sucesión oscila y por tanto, no converge. Si a > 1 entonces la sucesión no es acotada y porlo tanto diverge, y lo mismo sucede cuando a < −1. Consideremos el caso en que a ∈ (0,1). Entonces lasucesión 1,a,a2,a3, . . . es decreciente y acotada. Afirmamos que

lı́mn→∞

an = 0.

En efecto, notemos que para b > 1 la sucesión xn = bn es creciente y no es acotada superiormente. Esto esconsecuencia de la desigualdad de Bernoulli (ver ejemplo A.3), si b = 1+d se tiene que para n ∈N tenemosque bn ≥ 1+nd. Ası́ para cada n ∈ N existe N ∈ N tal que

1aN

≥ n.

Luego, dado ε > 0 , existe n0 ∈ N tal que si n > n0, entonces an < ε.

Ejemplo 1.22. Sea 0 < a < 1 y an = 1+a+a2 + . . .+an. Pruebe que

lı́mn→∞

an =1

1−a .

Solución. Notemos que an = 1−an+1

1−a , luego

∣∣∣∣an −1

1−a

∣∣∣∣=∣∣∣∣1−an+1

1−a −1

1−a

∣∣∣∣=∣∣∣∣

an+1

1−a

∣∣∣∣ .

En virtud del ejemplo 3.50 tenemos que dado ε > 0, existe n0 ∈N tal que si n> n0 entonces an+1 < ε|1−a|.Luego, si n > n0 entonces a

n+1

1−a < ε , es decir,∣∣∣∣an −

11−a

∣∣∣∣< ε.

Ejemplo 1.23. Demuestre que la siguiente sucesión es convergente:

an =1 ·3 ·5 · · ·(2n−1)

2 ·4 ·6 · · ·2n ,

acote el valor de su lı́mite.

Solución. La sucesiòn (an)n es decreciente y acotada inferiormente, en efecto:

1. Es claro que para todo n ∈ N se tiene que 0 < an, ya que an es el cuociente de reales positivos. Por lotanto es acotada inferiormente.

2. Notemos que

an+1 = an ·2n

2n+1

y 2n2n+1 < 1, es decir an+1 < an. Por lo tanto la sucesión es decreciente.

Luego, la sucesiòn es convergente. Sea lı́mn→∞ an = L. Notemos que L = ı́nf{an : n ∈ N}, a1 = 12 y quetodos los elementos de la sucesiòn son positivos, por lo tanto

1.2 Lı́mite de Sucesiones 9

0 ≤ L ≤ 12.

Ejemplo 1.24. Demuestre que la sucesión definida por

a1 = 2 an+1 =an +6

2para n > 1,

es convergente. Calcule su lı́mite.

Solución. La sucesión es creciente. En efecto, probaremos el resultado por inducción. Notemos que elresultado es válido para los dos primeros términos

a1 = 2 < 4 = a2.

Supongamos ahora que an < an+1. Entonces

an+1 =an +6

2<

an+1 +62

= an+2.

Por lo tanto la sucesión es creciente. Notemos además que es acotada superiormente. En efecto, a1 = 2 < 6.Supongamos que an < 6, entonces

an+1 =an +6

2<

6+62

= 6.

Hemos porbado que la sucesión es creciente y acotada superiormente. Por lo tanto es convergente. Denote-mos por L su lı́mite. Ası́, por álgebra de lı́mites,

L = lı́mn→∞

an+1 = lı́mn→∞an+1 +6

2=

lı́mn→∞ an +62

=L+6

2.

Luego

L =L+6

2De donde

L = 6.

Ejemplo 1.25. Sea a > 0. Definimos la siguiente sucesión

x1 = 1 , xn+1 =12

(xn +

axn

).

Demuestre la sucesión es decreciente, acotada inferiormente y que

lı́mn→∞

xn =√

a

Solución. Probaremos que para n ≥ 2 la sucesión es acotada inferiormente por√

a. Es decir,

12

(xn +

axn

)≥√

a.

Elevando al cuadrado, la expresión anterior es equivalente a(

xn +axn

)2≥ 4a.

Tenemos que para todo x > 0

10 1 Números Reales

(x− a

x

)2≥ 0,

es decir x2 −2a+ a2x2 ≥ 0. Sumando 4a obtenemos que

x2 +2a+a2

x2≥ 4a.

Luego(

x+ax

)2= x2 +2a+

a2

x2≥ 4a = (2

√a)2.

De donde12

(x+

ax

)≥√

a.

Por lo tanto, para todo n ≥ 1 tenemos que

xn+1 =12

(xn +

axn

)≥√

a.

Probaremos ahora que la sucesión es decreciente. Notemos que si x2 ≥ a entonces

14

(x+

ax

)2≤ 1

4

(x+

x2

x

)2= x2.

En particular, como x2n ≥ a tenemos que x2n+1 ≤ xn. Como todos los términos de la sucesión son positivospodemos conluir que

xn+1 ≤ xn.

Hemos probado que la sucesión (xn) es decreciente y acotada inferiormente, por lo tanto es convergente.Sea L = lı́mn→∞ xn, entonces por álgebra de lı́mites

L = lı́mn→∞

xn = lı́mn→∞12

(xn +

axn

)=

12

(lı́mn→∞

xn +a

lı́mn→∞ xn

)=

12

(L+

aL

).

De donde2L2 = L2 +a,

Como L ≥ 0 concluimos que L =√

a.

Teorema 1.7. Sean (an)n,(bn)n dos sucesiones. Si (an)n es tal que

lı́mn→∞

an = 0

y (bn)n es una sucesión acotada, entonces

lı́mn→∞

anbn = 0.

(incluso si (bn)n no es convergente.)

Demostración. Sabemos que existe C > 0 tal que |bn| < C para todo n ∈ N. Dado ε > 0, como an → 0,existe n0 tal que si n > n0, entonces an < ε/C. Luego, |anbn|= |an||bn|< εCC = ε. &'

Ejemplo 1.26. Sea x ∈ R, entonceslı́mn→∞

sin(nx)n

= 0,

ya que la sucesión an = 1/n converge a 0 y |sin(nx)|≤ 1.

1.2 Lı́mite de Sucesiones 11

Ejemplo 1.27. Sea a ∈ [0,1], entonces como la sucesión (an) es acotada y 1/n2 .→ 0 tenemos que

lı́mn→∞

an

n2= 0.

Ejemplo 1.28. Sea an = (−1)n, entonces se sigue directamente del Teorema 1.7 que lı́mn→∞ (−1)n

n3 = 0.

Teorema 1.8. Sean (an)n,(bn)b dos sucesiones tales que lı́mn→∞ an = a y lı́mn→∞ bn = b. Entonces

1. lı́mn→∞

(an +bn) = a+b.2. lı́m

n→∞(anbn) = ab.

3. Si b )= 0 entonces lı́mn→∞

anbn

=ab

.

Demostración. Probaremos sólo el primer caso. Dado ε > 0 existen n1,n2 ∈N tales que si n > n1 entonces|xn−a|< ε/2. Por otra parte, si n > n2 entonces |yn−b|< ε/2. Sea n0 = máx{n−1,n2}. Si n > n0 tenemosque

|(xn + yn)− (a+b)|≤ |xn −a|+ |yn −b|≤ ε.

Observación 1.8. Es importante notar que el teorema 1.8 sólo es válido bajo la hipótesis de que tanto la su-cesión (an)n como la sucesión (bn)n convergen. De otro modo no es posible hacer ningun tipo de afirmacióncomo vemos en los siguientes ejemplos. Sea cn = 0 la sucsión constante igual a cero, entonces

0 = lı́mn→∞

cn = lı́mn→∞(n−n) )= lı́mn→∞ n+ lı́mn→∞(−n).

Sea dn = 1 la sucesión constante igual a uno. Enotnces

1 = lı́mn→∞

dn = lı́mn→∞nn)= lı́mn→∞ n

lı́mn→∞ n.

Teorema 1.9 (Sandwich). Sean (xn)n,(yn)n,(zn)n tres sucesiones tales que xn ≤ zn ≤ yn para todo n ∈ N.Si xn → a e yn → a cuando n → ∞, entonces zn → a cuando n → ∞.

Demostración. Dado ε > 0, existen n1,n2 > 0 tales que si n > n1, entonces xn ∈ (a− ε,a+ ε) y si n > n2,entonces yn ∈ (a− ε,a+ ε). Si tomamos n0 = máx{n1,n2}, entonces para todo n > n0 tendremos

a− ε ≤ xn ≤ zn ≤ yn ≤ a+ ε.

&'

Ejemplo 1.29. La sucesión definida por

an =n

n2 +1+

nn2 +2

+ · · ·+ nn2 +n

,

para todo n ∈ N, converge. En efecto, notemos que para todo n ∈ N tenemos quen

n2 +n+

nn2 +n

+ · · ·+ nn2 +n

≤ an.

Luegon

n2 +n+

nn2 +n

+ · · ·+ nn2 +n

= n(

nn2 +n

)=

n2

n2 +n≤ an.

Por otra parte, para todo n ∈ N tenemos que

an ≤n

n2 +1+

nn2 +1

+ · · ·+ nn2 +1

.

12 1 Números Reales

Ası́

an ≤n

n2 +1+

nn2 +1

+ · · ·+ nn2 +1

≤ n(

nn2 +1

)=

n2

n2 +1.

Luego,

1 = lı́mn→∞

n2

n2 +n≤ lı́m

n→∞an ≤ lı́mn→∞

n2

n2 +1= 1.

Por le Teorema del Sandwich (Teorema 1.9) tenemos que

lı́mn→∞

an = 1.

Teorema 1.10. Sea (xn)n,(yn)n dos sucesiones convergentes. Si xn ≤ yn para todo n ∈ N, xn → x e yn → y,entonces x ≤ y.

Demostración. En efecto si x = lı́mn→∞ xn > lı́mn→∞ yn = y, entonces

0 < lı́mn→∞

xn − lı́mn→∞ yn = lı́mn→∞(xn − yn).

De donde podemos concluir que para n suficientemente grande xn > yn. Esta contradicción prueba elresul-tado.

Observación 1.9. Si sólo suponemos xn < yn no es posible concluir que x < y. Basta considerar las sucesio-nes xn = 0 e yn = 1/n.

El resto de esta sección está dedicado a desarrollar ejemplos.

Ejemplo 1.30. Calcule

lı́mn→∞

n+n2

n3.

Solución.

lı́mn→∞

n+n2

n3= lı́m

n→∞

(1n2

+1n

)= 0.

Ejemplo 1.31. Calcule

lı́mn→∞

1−(1− 1n

)4

1−(1− 1n

)3 .

Solución.

lı́mn→∞

1−(1− 1n

)4

1−(1− 1n

)3 = lı́mn→∞n4 − (n−1)4

n(n3 − (n−1)3 = lı́mn→∞4n3 −6n2 +4n−1−3n3 +3n2 −n =−

43

Ejemplo 1.32. Calculelı́mn→∞

n+1n

.

Solución.lı́mn→∞

n+1n

= lı́mn→∞

(nn+

1n

)= lı́m

n→∞

(1+

1n

)= 1.

Ejemplo 1.33. Demuestre que la sucesión definida por

a1 =√

2 , an+1 =√

2+an,

es convergente.

1.2 Lı́mite de Sucesiones 13

Solución. Notemos que el lı́mite L buscado es,√

2+

√

2+√

2+√

2+ . . .= L.

En primer lugar probaremos que la sucesión es creciente, es decir que para todo n∈N se tiene que an ≤ an+1.Notemos que

√2 = a1 ≤ a2 =

√2+

√2.

Supongamos que an ≤ an+1. Tenemos que

an ≤ an+1 si y sólo si√

2+an ≤√

2+an+1 si y sólo si an+1 ≤ an+2.

Probaremos ahora que la sucesión es acotada superiormente por C = 10, es decir que para todo n ∈ N setiene que an ≤ 10. Notemos que a1 =

√2 ≤ 10. Supongamos que an ≤ 10. Tenemos que

an+1 =√

2+an ≤√

12 ≤ 10.

Ası́, la sucesión (an) es creciente y acotada superiormente, por lo tanto es convergente. Denotemos porL el valos del lı́mite. Si asumimos que lı́mn→∞

√an =

√lı́mn→∞ an, lo que es cierto, pero aún no hemos

demostrado (ver Corolario 2.5). Entonces

L =√

1+L si y sólo si L2 −L−1 = 0.

Luego, como an > 0, tenemos que

lı́mn→∞

an = L =1+

√5

2.

Ejemplo 1.34. Calculelı́mn→∞

√n+1−

√n.

Solución.

lı́mn→∞

(√

n+1−√

n) = lı́mn→∞

(√

n+1−√

n)(√

n+1+√

n)(√

n+1+√

n)

= lı́mn→∞

n+1−n√n+1+

√n

= lı́mn→∞

1√n+1+

√n= 0

Ejemplo 1.35. Considere la sucesión

an =(

n+1n

)n.

Decida su convergencia.

Solución. Tenemos que por la fórmula del binomio, tenemos(

n+1n

)n= 1+n

1n+

n(n−1)2

1n2

+ . . .+n(n−1)(n−2) · · ·1

n!1nn

=

1+1+12!

(1− 1

n

)+

13!

(1− 1

n

)(1− 2

n

)+ . . .

. . .+1n!

(1− 1

n

)(1− 2

n

). . .

(1− n−1

n

).

14 1 Números Reales

Ası́ la sucesión {an}n es creciente ya que a medida que crece n no solo el número de sumandos aumenta(estos son positivos) sino que además cada sumando crece. Probamos en el Problema 1.16 que la sucesión

1+1+12!

+ . . .1n!

es acotada. Como

1+1+12!

(1− 1

n

)+

13!

(1− 1

n

)(1− 2

n

)+ . . .

. . .+1n!

(1− 1

n

)(1− 2

n

). . .

(1− n−1

n

)≤ 1+1+ 1

2!+ . . .

1n!

obtenemos el resultado. Denotaremos por e el lı́mite de ésta sucesión.

Ejemplo 1.36. Considere la sucesiónan = n

√n

Decida su convergencia.

Solución. Probaremos que la sucesión es decreciente, como todos sus términos son positivos, esto implicasu convergencia. Notemos que n

√n > n+1

√n+1 si y sólo si

nn+1 > (n+1)n.

En efecto, basta elevar a la potencia n(n+1). Es decir,

n >(

1+1n

)n.

Como en virtud de los poblemas anteriores tenemos que

3 >(

1+1n

)n.

El resultado es válido a partir de n = 3. Ası́ hemos probado que an es decreciente (a partir de su tercertérmino) y acotada por lo tanto converge.

Ejemplo 1.37. Si xn > 0 y lı́mn→∞ xn+1xn = a < 1, entonces lı́mn→∞ xn = 0.

Solución. En efecto, sea a < c < 1, entonces para n suficientemente grande, tenemos que

0 <xn+1xn

< c,

es decir,0 < xn+1 =

xn+1xn

xn < cxn < xn.

Luego, la sucesión (xn)n es monótona y acotada y por lo tanto convergente. Sea b = lı́mn→∞ xn. Como

xn+1 < cxn,

tenemos que si n → ∞ entoncesb ≤ cb ⇒ (1− c)b ≤ 0.

Pero como b ≥ 0 y 1− c > 0, concluimos que b = 0.

Ejemplo 1.38. Como aplicación del ejemplo anterior, tenemos que si k ∈ N, a > 1, entonces

1.2 Lı́mite de Sucesiones 15

lı́mn→∞

nk

an= lı́m

n→∞

an

n!= lı́m

n→∞

n!nn

= 0.

Solución. En efecto, si consideramos xn = nk/an, entonces tenemos que

xn+1xn

=(n+1)k

a ·an :nk

an=

(n+1)k

ank=

1a

(n+1

n

)k=

1a

(1+

1n

)k,

Ası́lı́mn→∞

xn+1xn

=1a< 1.

Si yn = an/n!, entoncesyn+1yn

=an+1

(n+1)n!:

an

n!=

an+1

,

es decir,lı́mn→∞

yn+1yn

= 0.

Si zn = n!/nn, entonces

zn+1zn

=(n+1)!

(n+1)(n+1):

n!nn

=n!(n+1)nn

n!(n+1)(n+1)n=

(n

n+1

)n,

luego

lı́mn→∞

zn+1zn

= lı́mn→∞

(n

n+1

)n=

1e< 1.

1.2.1. Subsucesiones

Sea (an)n∈N una sucesión y sea N0 ⊂N un subconjunto de cardinalidad infinita de los números naturales.Llamaremos subsucesión de (an)n∈N a la sucesión (an)n∈N0 .

Ejemplo 1.39. Considere la siguiente sucesión

an =

{1 si n es par;0 si n es impar.

Las siguientes son algunas subsucesiones de (an). La sucesión formada por los número pares (a2n)n∈N y lasucesión formada por los número impares (a2n−1)n∈N. Ambas subsucesiones son convergentes, en efecto

lı́mn→∞

a2n = 1 y lı́mn→∞ a2n−1 = 0.

La demostración del siguiente resultado es sencilla.

Teorema 1.11. Sea (an)n una sucesión convergente con lı́mite igual a b, entonces toda subsucesión conver-ge a b.

Demostración. En efecto, sea (an)n∈N0 us sub-subsucesión. Dado ε > 0 existe n0 ∈ N tal que para todon > n0 se tiene que an ∈ (b− ε,b+ ε). Como el subconjunto N0 es de cardinalidad infinita, existe n1 ∈ N0tal que n1 > n0. Luego, para todo n ∈ N0 tal que n > n1 se tiene que an ∈ (b− ε,b+ ε).

Ejemplo 1.40. Consideremos la sucesión an = n√

a para a > 0. Demuestre que lı́mn→∞ n√

a = 1.

16 1 Números Reales

Solución. Si a > 1 la sucesión es decreciente y si a ∈ (0,1) la sucesión es creciente. En ambos casos esacotada, por lo que posee lı́mite. Sea L := lı́mn→∞ n

√a. Tenemos que L > 0, en efecto, si a ∈ (0,1) entonces

a1/n > a para todo n ∈ N, de donde L ≥ a. Si a > 1 entonces a1/n > 1, de donde L ≥ 1. Consideremos lasubseucesión a1/(n(n+1)). Notemos que

1n(n+1)

=1n− 1

n+1.

Luego

L = lı́mn→∞

a1/(n(n+1)) = lı́mn→∞

a1/n

a1/(n+1)=

LL= 1.

Ejemplo 1.41. Demuestre que lı́mn→∞ n√

n = 1.

Solución. Ya hemos probado que esta sucesión converge. Sea l = lı́mn→∞ n√

n. Notemos que l = ı́nf{n1/n :n ∈ N}, por lo tanto l ≥ 1. Consideremos la subsucesión (2n)1/2n. Tenemos que

l2 = lı́mn→∞

((2n)

12n

)2= lı́m

n→∞(2n)

1n = lı́m

n→∞

(2

1n n

1n

)= lı́m

n→∞2

1n lı́m

n→∞n

1n = l.

Como l )= 0 tenemos que l = 1.

Ejemplo 1.42. Sea {bk} una sucesión acotada. Se define una sucesión {an} por medio de:

an = sup{bk; k ≥ n}.

Demuestre que {an} es convergente.

Solución. Recordemos que si A ⊂ B entonces supA ≤ supB. Como {bk : k ≥ n+1}⊂ {bk : k ≥ n} tenemosque

an+1 = sup{bk : k ≥ n+1}≤ {bk : k ≥ n}= an,

es decir, la sucesión es decreciente. Por otro lado, como {bn}n es acotada inferiormente existe m ∈ R talque para todo n ∈ N se tiene que m ≤ bn. Como además, para todo k ≥ n se tiene que an ≥ bn, obtenemosque para todo n ∈ N se tiene que {an}n es acotada inferiormente. por lo tanto es convergente. Llamaremoslı́mite superior al número

lı́mn→∞

an := lı́msupbn.

Teorema 1.12. Toda sucesión (an)n posee una subsucesión monótona.

Demostración. Sean

A = {i ∈ N : ai ≤ a j excepto para un número finito de ı́ndices j}

B = {i ∈ N : ai ≥ a j excepto para un número finito de ı́ndices j},

y consideremos además el complemento C = N\ (A∪B).Si el conjunto A contiene infinitos elementos entonces para cada i ∈ A existe j ∈ A con j > i tal que ai ≤ a j.Por lo tanto podemos definir una subsucesión monótona decreciente escogiendo los ı́ndices del siguientemodo:

n1 = mı́nA y nk+1 = mı́n{i ∈ A : nk+1 > nk y ank ≤ ank+1}.

Si conjunto B contiene infinitos elementos entonces podemos construir una subsucesión no creciente demanera análoga.En caso que tanto A como B sean conjuntos finitos, entonces para cada i ∈ C existen enteros j,k ∈ C conj > i, k > i tal que ai < a j y ai > ak. Del mismo modo podemos construir subsucesiones decrecientes ycrecientes.

1.2 Lı́mite de Sucesiones 17

Corolario 1.1. Toda sucesión acotada posee una subsucesión convergente.

Demostración. Basta notar que como toda sucesión (an)n posee una subsucesión monótona. Si suponemosademás que (an)n es acotada, entonces existe una subsucesión monótona y acotada.

Ejemplo 1.43. Demuestre que si (an)n es una sucesión acotada tal que an )= 0 entonces existe una subsuce-sión (bn)n de (an)n tal que la sucesión

(bn+1

bn

)

nconverge.

Solución. Consideramos dos casos. Supongamos en primer lugar que existe ε > 0 tal que |ak| ≥ ε parainfinitos valores k ∈ N. Sea (bn)n la subsucesión formada or dichos elementos. Entonces

∣∣∣bn+1bn

∣∣∣≤sup{|ak| : k ∈ N}

ε.

Como la sucesión de los cuocientes es acotada existe una subsucesión convergente. Consideremos ahora elcaso restante. Existe una subsucesión (bn)n tal que |bn+1|< |bn|. En este caso la sucesión del módulo de loscuocientes también es acotada, de donde se tiene el resultado.

Concluimos esta sub-sección con el siguiente lema probado por Michael Fekete en 1939. Probaremosque una sucesión sub-aditiva converge.

Ejemplo 1.44. Demuestre que si la sucesión (an) es sub-aditiva, es decir, para todo n,m ∈ N se tiene quean+m ≤ an +am entonces el lı́mite

lı́mn→∞

ann,

existe o es igual a menos infinito.

Solución. Supondremos que el lı́mite no es menos infinito. La prueba en ese caso es más sencilla y sededuce de la que presentamos. Sea α = ı́nf

{ ann : n ∈ N

}. Sea ε > 0 y m ∈ N tal que

amm

< ε +α.

Notenos que todo número natural n, puede escribirse de la forma n = qm+ r donde r ∈ Z es tal que o ≤ r ≤m−1. Definimos a0 = 0. Tenemos entonces

an = aqm+r ≤ am +am + . . .am +ar = qam +ar.

Ası́

ann

=aqm+rqm+ r

≤ qam +arqm+ r

=amm

qmqm+ r

+arn.

El resultado se obtiene notando que

α ≤ ann

< (α + ε) qmqm+ r

+arn.

1.2.2. Sucesiones de Cauchy

Es posible dar una definción equivalente de convergencia para una sucesión. La ventaja de la siguientecaracterización de suscesión convergente es que no es necesario conocer el lı́mite. En efecto, basta probarque para para valores suficientemente grandes de los ı́ndices n,m ∈ N los valores de la sucesión xn y xmestán arbitrariamente cerca.

18 1 Números Reales

Definición 1.8. Sea (xn)n una sucesión. Diremos que (xn)n es una sucesión de Cauchy si dado ε > 0, existen0 ∈ N tal que para todo n,m > n0 se tiene que |xn − xm|< ε .

Teorema 1.13. Una sucesión (xn)n es convergente si y sólo si es una sucesión de Cauchy.

Demostración. Probaremos en primer lugar que toda sucesión convergente es de Cauchy. Supongamos quelı́mn→∞ xn = a. Es decir, dado ε > 0 existe N ∈ N tal que si n > N entonces |xn − a| < ε/2 y si m > Nentonces |xm −a|< ε/2. Luego, si n,m > N tenemos que

|xm − xn|≤ |xn −a|+ |xm −a|<ε2+

ε2= ε.

Por lo tanto (xn)n es una sucesión de Cauchy.

Probaremos ahora que toda sucesión de Cauchy es acotada. Para ello consideremos ε = 1 y n0 ∈ N talque para todo n,m> n0 se tiene que |xn−xm|< 1. Luego si n> n0 tenemos que |xn−xn0 |< 1. Considerandox∗ :=máx{x1,x2, . . . ,xn0 ,xn0 −1,xn0 +1} y x∗ :=mı́n{x1,x2, . . . ,xn0 ,xn0 −1,xn0 +1} tenemos que para todon ∈ N

xn ∈ [x∗,x∗].

A continuación probaremos que si una sucesión de Cauchy (xn)n posee una subsucesión que converge alpunto a entonces lı́mn→∞ xn = a. Dado ε > 0 existe N ∈ N tal que si n > N entonces |xn −a|< ε/2. Existetambién n1 > n0 tal que |xn1 −a|< ε/2. Luego para n > n0 tenemos que

|xn −a|≤ |xn − xn1 |+ |xn1 −a|< ε.

Finalmente podemos probar que toda sucesión de Cauchy converge, Para ellos basta notar que es acotaday que por lo tanto posee una subsucesión convergente. En vista de lo anterior la sucesión converge.

1.2.3. Lı́mites Infinitos

Sea (xn)n una sucesión de números reales. Diremos que (xn)n tiende a más infinito,

lı́mn→∞

xn =+∞,

si y sólo si para todo A > 0, existe n0 ∈ N tal que para todo n ≥ n0 se tiene que xn > A.

Ejemplo 1.45. El siguiente resultado es consecuencia directa de la propiedad arquimideana.

lı́mn→∞

n =+∞.

Ejemplo 1.46. Si a > 1, entonceslı́mn→∞

an =+∞.

Solución. En efecto, si a > 1, entonces podemos escribir a = 1+ h con h > 0. Sea A > 0, entonces an =(1+h)n > 1+nh > A, siempre que n > (A−1)/h. Luego, basta escoger n0 > (A−1)/n.

Observación 1.10. En general, una sucesión creciente es covergente si es acotada, y tiene lı́mite infinito sino es acotada.

Ejemplo 1.47.lı́mn→∞

np =+∞,

para p ∈ N.

1.2 Lı́mite de Sucesiones 19

Análogamente diremos que la sucesión (xn)n tiende a menos infinito, y anotaremos lı́mn→∞ xn =−∞, si

lı́mn→∞

(−xn) = +∞.

Ejemplo 1.48. La sucesión xn = (−1)nn no tiene lı́mite ni +∞ ni −∞. En efecto la subsucesión (x2n) tiendea más infinito y la subsucesión (x2n−1) tiende a menos infinito.

Ejemplo 1.49. La sucesión

an ={

0 si n = 2k+1,k ∈ N,k si n = 2k,k ∈ N

no posee lı́mite. En efecto, la subsucesión (a2n+1) converge a cero, mientras que la subsucesión (a2n) tiendea más infinito.

Observación 1.11. Los números +∞ y −∞ no son números reales. Por lo tanto si lı́mn→∞ an = ∞ la sucesión(an) no converge.

Teorema 1.14 (Operaciones Aritméticas con Lı́mites Infinitos). Sean (xn)n,(yn)n dos sucesiones, enton-ces se tiene que

1. Si lı́mn→∞ xn =+∞ e (yn)n es acotada inferiormente, entonces

lı́mn→∞

(xn + yn) = +∞.

2. Si lı́mn→∞ xn =+∞ y existe c > 0 tal que yn > c para todo n ∈ N, entonces

lı́mn→∞

xnyn =+∞.

3. Sea xn > 0 para todo n ∈ N, entonces

lı́mn→∞

xn = 0 ⇔ lı́mn→∞1xn

=+∞.

4. Si xn,yn ≥ 0, entonces

(a) Si existe c > 0 tal que xn > c para todo n ∈ N y si lı́mn→∞ yn = 0, entonces

lı́mn→∞

xnyn

=+∞.

(b) Si (xn)n es acotada y lı́mn→∞ yn =+∞, entonces

lı́mn→∞

xnyn

= 0.

Observación 1.12. No es posible decir nara en el caso que lı́mn→∞ xn =+∞ y lı́mn→∞ yn =−∞

Ejemplo 1.50.lı́mn→∞

√n+1−

√n = 0.

lı́mn→∞

n2 −n = lı́mn→∞

n(n−1) = +∞.

Observación 1.13. Tampoco es posible hacer ninguna afirmación general en el caso de un cuociente del tipoinfinito sobre infinito.

Ejemplo 1.51.lı́mn→∞

n+1n−1 = 1.

20 1 Números Reales

lı́mn→∞

n2

n=+∞.

Ejemplo 1.52. Sea a > 1, entonceslı́mn→∞

an

n=+∞.

Solución. En efecto, si tomamos a = 1+h con h > 0, luego si n ≥ 2

an = (1+h)n ≥ 1+nh+ n(n−1)2

h2,

y por lo tanto,an

n≥ 1

n+h+

n−12

h2,

y como

lı́mn→∞

(1n+h+

n−12

h2)=+∞,

se tiene el resultado.

Ejemplo 1.53. Sea a > 1, entonceslı́mn→∞

an

n2=+∞.

Solución. En efecto, si tomamos a = 1+h con h > 0, luego si n ≥ 3

an = (1+h)n ≥ 1+nh+ n(n−1)2

h2 +n(n−1)(n−2)

3!h3,

y por lo tanto,an

n2≥ 1

n2+

hn+

n−12n

h2 +n3!

(1− 1

n

)(1− 2

n

)h3,

y por lo tanto,

lı́mn→∞

an

n2=+∞.

Ahora, con esto podemos además deducir que dado p ∈ N, se tiene que

lı́mn→∞

an

np=+∞.

Ejemplo 1.54. Para todo real a > 0, se tiene que

lı́mn→∞

n!an

=+∞.

Solución. En efecto, sea n0 ∈ N tal que n0/a > 2, entonces si denotamos K = n0!/an0 tenemos que paratodo n > n0,

n!an

= K · (n0 +1)a

(n0 +2)a

· · · na> K2n−n0 ,

luego

lı́mn→∞

n!an

=+∞,

es decir,

lı́mn→∞

an

n!=+∞.

1.3 Series 21

Observación 1.14. Es importante notar que existen sucesiones (an)n tales que lı́mn→∞ |an+1 −an|= 0, perola sucesión (an)n no converge. Considere, por ejemplo, la sucesión definida por an =

√n. Sabemos que

lı́mn→∞ an = ∞. Sin embargo,

lı́mn→∞

(√n+1−

√n)= lı́m

n→∞

1√n+1+

√n= 0.

Existen muchos ejemplos de este tipo. Si bn = logn entonces lı́mn→∞ bn = ∞ y lı́mn→∞ |bn+1 − bn| = 0.Incluso, existen ejemplos en que la sucesión es acotada, a saber cn = sen(

√n). La sucesión (cn)n es acotada

y oscila. Sin embargo,

lı́mn→∞

|sen(√

n+1)− sen(√

n)|≤ lı́mn→∞

1√n+1+

√n= 0.

1.3. Series

Una serie es una suma infinita. Para dar un sentido preciso a esta expresión consideramos una sucesiónde números reales (an)n. Definimos la sucesión de sumas parciales (Sn)n por

Sn := a1 +a2 + · · ·+an =n

∑i=1

ai.

Llamaremos serie al lı́mitelı́mn→∞

Sn =∞

∑i=1

an.

Si tal lı́mite existe diremos que la serie converge (o que es convergente), caso contrario diremos que diverge.Diremos que an es el término general o n−ésimo término de la serie.

Ejemplo 1.55. La siguiente serie converge y podemos calcular su suma,

∞

∑n=1

1n(n+1)

= 1.

En efecto, notemos que

∞

∑n=1

1n(n+1)

= lı́mM→∞

M

∑n=1

1n(n+1)

= lı́mM→∞

M

∑n=1

(1n− 1

n+1

)= lı́m

M→∞

(1− 1

M+1

)= 1.

Otro ejemplo en el que es posible calcular la suma el de la serie geométrica (ver también Ejemplo 1.22).

Ejemplo 1.56. Sea a ∈ R\{0} y r ∈ R la serie geométrica∞

∑n=1

arn−1,

converge si y sólo si |r|< 1. En efecto, tenemos que

∞

∑n=1

arn−1 = lı́mM→∞

M

∑n=1

arn−1 = lı́mM→∞

a(

1− rM

1− r

).

Es decir, la serie converge sólo si |r|< 1 y en tal caso

22 1 Números Reales

∞

∑n=1

arn−1 =a

1− r .

Una condición necesaria para la convergencia es la siguiente,

Teorema 1.15. Si ∑∞i=1 an es una serie convergente entonces lı́mn→∞ an = 0.

Demostración. Como la serie es convergente, la sucesión de sumas parciales (Sn)n, donde Sn := a1 +a2 +· · ·+an, converge. En particular,

lı́mn→∞

Sn = lı́mn→∞ Sn−1.

Por lo tanto

0 = lı́mn→∞

Sn − lı́mn→∞ Sn−1 = lı́mn→∞(Sn −Sn−1) = lı́mn→∞ an.

El recı́proco de este resultado es falso como se muestra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 1.57. La serie armónica se define por ∑∞n=1 1/n. Tenemos que el término general es tal que

lı́mn→∞

1n= 0,

y sin embargo la serie diverge. En efecto, notemos que como los sumandos de la serie son positivos lasucesión de sumas parciales es creciente. Probaremos que no es acotada superiormente. Notemos que

S2k = 1+12+

(13+

14

)+

(15+

16+

17+

18

)+

(19+

110

+ · · ·+ 116

)+ · · ·+

(1

2k−1 +1+

12k−1 +2

+ · · ·+ 12k

)

Cada expresión1

2 j−1 +1+

12 j−1 +2

+ · · ·+ 12 j

contiene 2 j−1 términos y cada término es mayor que 1/2 j. Por lo tanto

S2k > 1+k2.

Ası́, lı́mk→∞ S2k = ∞, y como la sucesión (Sn)n es monótona creciente y una sub-sucesión diverge, tenemosque lı́mn→∞ Sn = ∞. Es decir, la serie armónica diverge.

Observación 1.15. La serie armónica provee otro ejemplo de sucesión divergente tal que la diferencia de sustérminos consecutivos tiende a cero. En efecto, sea Sn = ∑ni=1 1i . Tenemos que (Sn)n diverge, sin embargo

lı́mn→∞

|Sn+1 −Sn|= lı́mn→∞1

n+1= 0.

Ejemplo 1.58. La serie∞

∑n=1

(−1)n =−1+1−1+1−1+ . . .

diverge ya que su término general no tiende a cero.

El siguiente resultado es inmediato de las propiedades de sucesiones,

Teorema 1.16 (Algebra de series). Si ∑∞n=1 an = A y ∑∞n=1 bn = B entonces

1.3 Series 23

1. Para todo c ∈ R se tiene que ∑∞n=1 can = cA2. ∑∞n=1(an +bn) = A+B

El resultado anterior puede entenderse como que las series convergentes pueden sumarse de la manera usualy que satisface la propiedad distributiva. No hay, sin embargo, afirmación alguna sobre el producto de series.Esto se debe a que la propiedad conmutativa es más delicada como veremos más adelante.

Observación 1.16. Notemos que la serie ∑∞n=1 an converge si y sólo si para odo N ∈ N la serie ∑∞n=N anconverge.

En el siguiente Teorema se establece un criterio para determinar la convergencia de una serie.

Teorema 1.17 (Criterio de comparación). Sean ∑∞n=1 xn y ∑∞n=1 an series de términos positivos.

1. Si ∑∞n=1 an es convergente y existen N ∈ N y k > 0 tales que para todo n > N se tiene que xn ≤ kanentonces ∑∞n=1 xn converge.

2. Si ∑∞n=1 an es divergente y existen N ∈N y k > 0 tales que para todo n > N se tiene que xn ≥ kan entonces∑∞n=1 xn diverge.

Demostración. Sea Sn := x1 + · · ·+ xn, la sucesión de términos positivos (Sn)n converge si y sólo si esacotada. Por lo tanto, si existen N ∈ N y k > 0 tales que para todo n > N se tiene que xn ≤ kan entonces,para todo N0 > N se tiene que

N0

∑n=N

xn ≤N0

∑n=N

kan ≤ k∞

∑n=N

an < ∞.

Es decir, la sucesión S′m = xN + · · ·+ xm es acotada superiormente. Por lo tanto la serie ∑∞n=N xn es conver-gente. Luego, en virtud de la observación 1.16, la serie ∑∞n=1 xn converge.

Por otra parte, como la sucesión (Sn)n es creciente, si no es acotada superiormente diverge. Ası́, comox1 + · · ·+ xN−1 ≥ 0 tenemos que

∞ = lı́mM→∞

M

∑n=N

kan ≤ x1 + · · ·+ xN−1 + lı́mM→∞

M

∑n=N

xn.

Luego ∑∞n=N xn diverge y por lo tanto ∑∞n=1 xn diverge.

Ejemplo 1.59. Sea r > 0, la serie∞

∑n=1

1nr,

converge si y sólo si r > 1. En efecto, notemos que si r ∈ (0,1] entonces

1nr

≥ 1n.

Como la serie ∑∞n=1 1/n diverge tenemos que para r ∈ (0,1) la serie ∑∞n=1 1nr también diverge. Consideremosahora el caso r > 1. Como los términos de la serie son positivos, para probar la convergencia de la seriebasta probar que existe una subsucesión convergente. Sea m = 2n −1 entonces

Sm = 1+(

12r

+13r

)+

(14r

+15r

+16r

+17r

)+ · · ·+ 1

(2n −1)r ≤

≤ 1+ 22r

+44r

+ · · ·+ 2n−1

2(n−1)r=

n

∑i=0

(22r

)i.

Como la serie geométrica ∑∞i=0( 2

2r)i converge, tenemos que para todo m = 2n −1

24 1 Números Reales

Sm ≤n

∑i=0

(22r

)i=C < ∞.

Por lo tanto la sucesión (Sm)m es monónotona y acotada, es decir, convergente.

El siguiente resultado es una versión del Criterio de Cauchy para series,

Teorema 1.18 (Criterio de Cauchy). Una serie ∑∞n=1 an es convergente si y sólo si para todo ε > 0 existen0 ∈ N tal que si n > n0 y p ∈ N entonces

|an+1 +an+2 + · · ·+an+p|< ε.

Demostración. Basta notar que

|an+1 +an+2 + · · ·+an+p|= |Sn+p −Sn|

y aplicar el criterio de Cauchy de sucesiones (ver Teorema 1.13) a (Sn)n

Definición 1.9. Diremos que una serie ∑∞n=1 an es absolutamente convergente si ∑∞n=1 |an| es convergente.Si ∑∞n=1 |an|= ∞ diremos que la serie es condicionalmente convergente

Teorema 1.19. Toda serie absolutamente convergente es convergente.

Demostración. Si ∑∞n=1 |an| es convergente entonces dado ε > 0 existe n0 ∈ N tal que si n > n0 entoncespara todo p ∈ N se tiene

|an+1|+ · · ·+ |an+p|< ε.

El resultado se sigue de la desigualdad triangular, ya que

|an+1 + · · ·+an+p|≤ |an+1|+ · · ·+ |an+p|< ε.

Teorema 1.20 (El test de la razón). Sea ∑∞n=1 an una serie de términos positivos.

1. Si lı́mn→∞(an+1/an)< 1 entonces la serie converge.2. Si lı́mn→∞(an+1/an)> 1 entonces la serie diverge.

Demostración. Supongamos quelı́mn→∞

(an+1/an) = L < 1.

Sea ε > 0 tal que L+ ε < 1. Existe N ∈ N tal que si n > N entonces

L− ε < an+1an

< L+ ε.

Sea r = L+ ε , entonces, para n > N tenemos que an+1 < ran. Es decir, aN+2 < raN+1 < r2aN . Inductiva-mente obtenemos que para n > N

an < aN+1rn−N+1.

Como la serie geométrica con razón de módulo menor que 1 converge, tenemos que

∞

∑n=N

an ≤∞

∑n=N

aN+1rn−N+1 < ∞.

La convergencia de ∑∞n=1 an se deduce por el criterio de comparación y por la observación 1.16. Para probarla segunda afirmación basta notar que

lı́mn→∞

(an+1/an) = L′ > 1.

1.3 Series 25

Ası́, para ε > 0 tal que L′ − ε > 1, existe N ∈ N tal que si n > N entonces

1 < L′ − ε < an+1an

< L′+ ε.

Luego, si r′ = L′ − ε entonces aN+2 > raN+1 > r2aN . Inductivamente, si n = N + p entonces an > rpaN .Como r > 1 tenemos que

lı́mn→∞

an = ∞,

y por lo tanto la serie diverge.

Observación 1.17. En caso quelı́mn→∞

(an+1/an) = 1

nada podemos concluir con respecto a la convergencia de la serie. En efecto, note que para las siguientesseries el lı́mite es igual a uno,

∞

∑n=1

1n

y∞

∑n=1

1n2

,

mientras que la primera diverge y la segunda converge.

Observación 1.18. En interesante notar que una versión más fuerte del Teorema 1.20 es válido. En efectosea ∑∞n=1 an una serie de términos positivos.

1. Si lı́msupn→∞(an+1/an)< 1 entonces la serie converge.2. Si lı́minfn→∞(an+1/an)> 1 entonces la serie diverge.

Observación 1.19. Para una serie arbitraria, no necesariamente de términos positivos, ∑∞n=1 an es posibleafirmar lo siguiente. Si lı́mn→∞(|an+1|/|an|)< 1 entonces la serie converge. En efecto, la hipótesis muestraque la serie ∑∞n=1 an es absolutamente convergente y por lo tanto converge.

Ejemplo 1.60. Sea a > 0 demuestre que la siguiente serie converge

∞

∑n=1

an

n!.

Notemos quean+1(n+1)!

ann!

=a

n+1.

Comolı́mn→∞

an+1

= 0

el test de la razón nos permite concluir que la serie converge.

El siguiente es otro test de convergencia.

Teorema 1.21 (El test de la raı́z). Sea ∑∞n=1 an una serie de términos positivos.

1. Si lı́mn→∞ n√

an < 1 entonces la serie converge.2. Si lı́mn→∞ n

√an > 1 entonces la serie diverge.

Demostración. Supongamos en primer lugar que

0 < lı́mn→∞

n√

an = L < 1.

Sea ε > 0 tal que L+ ε < 1. Existe N ∈ N tal que si n > N entonces

26 1 Números Reales

L− ε < n√

an < L+ ε < 1.

Sea r = L+ε , entonces, para n > N tenemos que n√an < r. Es decir, an < rn. Como r ∈ (0,1) la correspon-diente serie geométrica converge. Por el criterio de comparación tenemos que

∞

∑n=N

an ≤∞

∑n=N

rn < ∞.

Por lo tanto, en virtud de la observación 1.16, tenemos que ∑∞n=1 an converge. Por otra parte, si

lı́mn→∞

n√

an = L′ > 1.

Sea ε > 0 tal que L′ − ε > 1. Existe N ∈ N tal que si n > N entonces

1 < L′ − ε < n√

an < L′+ ε.

Sea r′ = L′ − ε , entonces, para n > N tenemos que n√an > r′. Como r′ > 1 tenemos que an > (r′)n y por lotanto lı́mn→∞ an = ∞. Luego, la serie ∑∞n=1 an diverge.

Observación 1.20. En interesante notar que una versión más fuerte del Teorema 1.21 es válido. En efectosea ∑∞n=1 an una serie de términos positivos.

1. Si lı́msupn→∞ n√

an < 1 entonces la serie converge.2. Si lı́minfn→∞ n

√an > 1 entonces la serie diverge.

Notemos además que si lı́msupn→∞ n√

an = 1 el test no nos permite concluir nada. En efecto note que paralas siguientes series

∞

∑n=1

1n

y∞

∑n=1

1n2

,

tenemos que lı́msupn→∞ n√

an = 1 y en un caso la serie diverge mientras que en le otro converge.

Observación 1.21. Para una serie arbitraria, no necesariamente de términos positivos, ∑∞n=1 an es posibleafirmar lo siguiente. Si lı́mn→∞ n

√|an|< 1 entonces la serie converge. En efecto, la hipótesis muestra que la

serie ∑∞n=1 an es absolutamente convergente y por lo tanto converge.

Ejemplo 1.61. Demuestre que la siguiente serie converge

∞

∑n=1

√3n

2n.

Aplicando el test de la raı́z tenemos que

lı́mn→∞

n

√√3n

2n=

√3

2< 1.

Por lo tanto la serie converge.

Observación 1.22. Es interesante notar que el test de la raı́z es más fuerte que el de la razón. En efecto bastaobservar que para toda sucesión (an)n acotada de números reales no negativos tenemos que

lı́minfn→∞

an+1an

≤ lı́minfn→∞

n√

an ≤ lı́msupn→∞

n√

an ≤ lı́msupn→∞

an+1an

.

Teorema 1.22 (Test de Leibniz). Sea (an)n una sucesión no creciente tal que lı́mn→∞ an = 0 entonces laserie

1.3 Series 27

∞

∑n=1

(−1)n−1an

es convergente.

Demostración. Sea Sn = a1 − a2 + · · ·+ (−1)n−1an. Tenemos que S2n = S2n−2 + a2n−1 − a2n y S2n+1 =S2n−1 −a2n +a2n+1. Como a2n−1 −a2n ≥ 0 tenemos que la sucesión de sumas parciales pares (S2n)n es unasucesión no decreciente y (S2n+1)n es una sucesión no creciente. Por otra parte, como S2n = S2n−1 − a2ntenemos que S2n−1 −S2n = a2n ≥ 0. Luego

S2 ≤ S4 ≤ · · ·≤ S2n ≤ · · ·≤ S2n−1 ≤ · · ·≤ S3 ≤ S1.

Como lı́mn→∞ an = 0 tenemos que lı́mn→∞ S2n = lı́mn→∞ S2n−1. Luego, la sucesión (Sn)n converge.

Es importante notar que no toda serie convergente es absolutamente convergente.

Ejemplo 1.62. La serie∞

∑n=1

(−1)n

n

es convergente por el test de Leibniz, sin embargo no es absolutamente convergente.

Observación 1.23. Dada una sucesión (an)n definimos su parte positiva como la sucesión (pn)n donde

pn =

{an si an > 0,0 si an ≤ 0.

Análogamente definimos la parte negativa de (an)n como la sucesión (qn)n donde

qn =

{−an si an < 0,0 si an ≥ 0.

Notemos que an = pn −qn, |an|= pn +qn, |an|= an +2qn y pn ≥ 0 y qn ≥ 0 para todo n ∈ N. Luego, si laserie ∑∞n=1 an es absolutamente convergente tenemos que para todo N ∈ N,

N

∑n=1

pn +N

∑n=1

qn =N

∑n=1

(pn +qn) =N

∑n=1

|an|≤∞

∑n=1

|an|< ∞.

Es decir, para todo N ∈N tenemos que ∑Nn=1 pn ≤∑∞n=1 |an|

28 1 Números Reales

Concluiremos la sección de series estudiado reordenamientos.

Definición 1.10. Consideremos la serie ∑∞n=1 an. La serie ∑∞n=1 bn es un reordenamiento de ∑∞n=1 an si existeuna biyección φ : N→ N tal que para todo n ∈ N tenemos que bn = aφ(n).

Teorema 1.23. Si la serie ∑∞n=1 an converge absolutamente entonces todo reordenamiento converge al mis-mo lı́mite.

Demostración. Supongamos en primer lugar que para todo n ∈ N se tiene que an ≥ 0. Sea (bn) un reorde-namiento de (an) dado por la biyección φ . Sea m = máx{φ(i) : i ∈ {1,2, . . . ,n}}. Entonces

Tn =n

∑i=1

aφ(i) ≤m

∑i=1

ai = Sm.

Ası́, para cada n ∈ N existe un m ∈ N tal que la suma parcial Tn es menor que la suma parcial Sm.Utilizando φ−1 podemos notar que para todo m ∈ N existe n ∈ N tal que ∑ni=1 aφ(i) ≥ ∑mi=1 ai. Es decir,

Sm ≤ Tn. Por lo que podemos concluir que ambas sumas son iguales. El caso general se reduce separandola parte positiva de la negativa de an. En efecto, podemos escribir

∞

∑n=1

an =∞

∑n=1

pn −∞

∑n=1

qn

Es decir, si an ≥ 0 entonces an = pn, caso contrario an =−qn. Tenemos que, como la serie es absolutamenteconvergente, las series ∑∞n=1 pn y ∑∞n=1 qn convergen y se tiene la que la diferencia es igual a la serie original.

Teorema 1.24 (Riemann). Sea ∑∞n=1 an una serie convergente, pero no absolutamente convergente. Dadoc ∈ R existe un reordenamiento ∑∞n=1 bn de ∑∞n=1 an tal que

∞

∑n=1

bn = c.

Demostración. Dado c ∈ R, sume los términos positivos de (an) hasta que la suma sea mayor que c. Estoes posible ya que la suma de los términos positivos es igual a infinito. Sume ahora los términos negativoshasta que la suma sea menor que c. Esto es posible ya que la suma de los términos negativos es igual amenos infinito. Procediendo de esta manera obtenemos una nueva serie que es un reordenamiento de laoriginal. Las sumas parciales no sólo oscilan alrededor de c, sino que convergen a ese valor. En efecto,formalizaremos ahora la idea aquı́ descrita. Sean (pn)n y (qn)n las partes positiva y negativa de (an)n. Como∑∞n=1 an es convergente tenemos que

lı́mn→∞

an = lı́mn→∞ pn = lı́mn→∞ qn = 0.

Sin embargo, como no es absolutamente convergente tenemos que ∑∞n=1 pn = ∑∞n=1 qn = ∞. Esto muestraque la reordenación sugerida al comienzo de la demostración converge a c.

1.4. Ejercicios

Algunos de los siguientes ejercicios aparecen en los textos de Bonar y Khoury [1], Bressoud [3], Hardy[12], Lima [15] y del texto de Pólya y Szegö [15].

1. Demuestre que el ı́nfimo del conjunto

A :={|cosn|

n: n ∈ N

},

1.4 Ejercicios 29

es igual a cero.2. Sea a ∈ (0,1), demuestre que el ı́nfimo del conjunto

A := {an : n ∈ N} ,

es igual a cero.3. Determine el ı́nfimo y el supremo del conjunto

A :={

mn1+m+n

: m,n ∈ N}.

4. Determine el ı́nfimo y el supremo del conjunto

A :={

m|m|+n : m ∈ Z y n ∈ N

}.

5. Determine el ı́nfimo y el supremo del conjunto

A :={

mn4m2 +n2

: m,n ∈ N}.

6. Sean A,B ⊂ R dos subconjuntos no vacı́os y acotados de números positivos. Definimos el conjunto

AB := {xy : x ∈ A,y ∈ B} .

Demuestre que AB es un conjunto acotado y determine el supremo de AB.7. Dadas dos funciones f ,g : [0,1] .→R acotadas, demuestre que el producto f ·g : [0,1]→R es una función

acotada consup( f ·g)≤ sup f supg y ı́nf( f ·g)≥ ı́nf f ı́nfg.

8. Sea f una funcion positiva y acotada superiormente, demuestre que

sup( f 2) = (sup f )2.

9. De un ejemplo de una función acotada que no alcanza su supremo.10. Demuestre que, si A,B ⊂ R son dos conjuntos acotados tales que para todo s ∈ A y S ∈ B se tiene que

s ≤ S, entonces supA = ı́nfB si y sólo si para todo ε > 0 existen s1 ∈ A y S1 ∈ B tales que S1 − s1 < ε.11. Utilizando el Teorema de los intervalos encajados, demuestre que el conjunto de los número reales es no

numerable.12. Sean (an)n,(bn)n dos sucesiones tales que lı́mn→∞ an = a y lı́mn→∞ bn = b. Demuestre que

a) lı́mn→∞

(anbn) = ab.

b) lı́mn→∞

anbn

=ab

, si b )= 0.

13. De un ejemplo de una sucesión (an) tal que lı́mn→∞ |an|= a, pero la sucesión (an)n no converge.14. Pruebe que si lı́mn→∞(xn − yn) = 0 y lı́mn→∞ xn = a entonces lı́mn→∞ yn = a.15. Sea an =

√n2 +n−n. Demuestre que la sucesión es monótona decreciente y acotada. Calcule su lı́mite.

16. Determine si la sucesión definida por a1 = 3,

an+1 =12

(an −

1an−1

),

converge.17. Pruebe que para todo número racional r ∈Q se tiene que

30 1 Números Reales

lı́mn→∞

(1+

rn

)n= er.

18. Calcule los siguientes lı́mites:

a)

lı́mn→∞

(1+

12n

)n,

b)

lı́mn→∞

(1+

1n+1

)4n,

c)

lı́mn→∞

(n2 +2n+3n2 +2n+1

)(n+1)2.

19. Sean a ≥ 0 y b ≥ 0. Demuestre que lı́mn→∞ n√

an +bn = máx{a,b}.20. Demuestre que, si lı́mn→∞ xn = a entonces

lı́mn→∞

x1 + x2 + . . .xnn

= a.

21. Demuestre que, si lı́mn→∞ an = a y todos los términos de la sucesión son positivos entonces

lı́mn→∞

n√

a1a2 . . .an = a.

22. Demuestre que

lı́mn→∞

1n

n√(n+1)(n+2) . . .2n =

4e.

23. Calculelı́mn→∞

(1n2

+2n2

+ · · ·+ nn2

).

24. Calcule el lı́mite de la sucesión definida por

an =1√

n2 +1+

1√n2 +2

+ · · ·+ 1√n2 +3

.

25. Calculelı́mn→∞

(1n2

+1

(n+1)2+ · · ·+ 1

(2n)2

).

26. Dado p ∈ N fijo, calculelı́mn→∞

n√1p +2p + · · ·+np.

27. Sean a,b,c > 0. Calcule

lı́mn→∞

(an+ban+ c

)n.

28. Calcule

lı́mn→∞

nne−n√

2n+12(n!)

.

29. Calcule los siguientes lı́mites

a)lı́mn→∞

(3√n+1− 3

√n),

1.4 Ejercicios 31

b)

lı́mn→∞

√n√

n√

n√

n,

c)

lı́mn→∞

2n+1 +3n+1

2n +3n.

30. Demuestre que la sucesión definida por

an =1n+

1n+1

+1

n+2+ · · ·+ 1

2n,

es convergente y que su lı́mite pertence al intervalo [1/2,1].31. Demuestre que si (an)n es una sucesión de términos no negativos tal que existe K ∈ (0,1) de modo que

para todo n ∈ N se tiene que an+1 ≤ Kan. Entonces lı́mn→∞ an = 0.32. Sea B > 1. Demuestre que la sucesión definida por

an = n(B−1)n−1

converge.33. Sea (an) una sucesión creciente y (bn) una sucesión decreciente. Demuestre que si para todo n ∈ N se

tiene que an < bn entonces las dos sucesiones convergen.34. Sea (an) una sucesión tal que

lı́mn→∞

(an −an+1) = c.

Demuestre quelı́mn→∞

ann

= c.

35. Sea r ∈ N un número natural y x ∈ R un número real. Estudie la convergencia de la sucesión definidapor an = nrxn.

36. Sea β > 1. Consideremos la sucesión definida por an = n( n√

β −1). Demuestre que la sucesión converge.Defina además la siguiente función, f : (1,∞)→ R,

f (β ) := lı́mn→∞

n( n√

β −1).

Demuestre que f (β )≥ 1− (1/β ).37. Sea 0 < β < 1. Consideremos la sucesión definida por an = n( n

√β − 1). Demuestre que la sucesión

converge. Pruebe que la función f : (0,∞)→ R, definida por

f (β ) := lı́mn→∞

n( n√

β −1),

satisface la siguiente propiedad f (1/β ) =− f (β ).38. Sea

an =(1− (−1)n)

2.

Demuestre que

lı́mn→∞

a1 +a2 + · · ·+ann

=12.

39. Sea x ∈ R. Calcule el lı́mitelı́mn→∞

2π

arctan(nx).

En teorı́a de números la función definida por

32 1 Números Reales

f (x) = lı́mn→∞

2π

arctan(nx),

es llamada signo de x.40. Sea x ∈Q un número racional. Estudie la convergencia de la sucesión definida por an = sen(n!xπ).41. Sea Sn := {(a,b) ∈ N×N : a )= b y a+b = n}. Denotemos por

an =a1b1 +a2b2 + · · ·+ambm

m.

Donde (ai,bi) ∈ Sn. Es decir an es el promedio aritmético de los prductos de los todos los pares (a,b) ∈Sn. Demuestre que

lı́mn→∞

ann2

=16.

42. Sea (an)n una sucesión super-aditiva, es decir, existe una constante C > 0 tal que para todo m,n ∈ N setiene

an +am < an+m +C.

Demuestre que el lı́mitelı́mn→∞

ann

o bien existe o bien es igual a infinito.43. Todo número x ∈ (0,1) puede escribirse como fracción continua de la forma

x =1

a1 +1

a2 +1

a3 + . . .

= [a1a2a3 . . . ], (1.2)

donde ai ∈ N. Un resultado clásico en teorı́a de números afirma que x ∈ (0,1) es irracional si y sólo sisu expansión en fracciones continuas es infinita, es decir x = [a1a2a3 . . . ]. Defina los siguientes númerosracionales pn

qn= [a1a2 . . .an].

Demuestre quelı́mn→∞

pnqn

= x.

44. En [10] se sugiere una alternativa sencilla para demostrar que

lı́mn→∞

(1+

1n

)n= lı́m

n→∞

n

∑r=0

1r!

= e.

Pruebe quen

∑r=0

1r!

>

(1+

1n

)n>

n

∑r=0

1r!

− 32n

,

y deduzca el resultado.45. Se define recursivamente la sucesión (an) por

a1 = 2; an+1 =1

3−an, para n = 1, 2, 3, . . . .

Demuestre que (an) es sucesión convergente y encuentre su lı́mite.46. La sucesión de Fibonacci se define recursivamente por

1.4 Ejercicios 33

a1 = a2 = 1, y an+2 = an+1 +an.

Kepler notó la siguiente relación:

lı́mn→∞

an+1an

=1+

√5

2.

Demuestre la observación de Kepler.47. Sean a,b ∈ R con a < b. Definimos recursivamente las sucesiones (xn)n e (yn)n por

x1 =√

ab; y1 =a+b

2; xn+1 =

√xnyn; yn+1 =

xn + yn2

, para n > 1.

Demuestre que ambas sucsiones convergen al mismo lı́mite.48. Calcule los siguientes lı́mites

a)lı́mn→∞

(n(log(n+1)− logn)) .

b)

lı́mn→∞

n+ sen(nπ/2)2n+1

.

49. El siguiente resultado puede encontrarse en el artáculo de Jones [8, p.683]. Sea (an)N−1n=1 una sucesión denúmeros no negativos. Sea

a∗n := sup

{1k

k−1

∑j=0

an+ j : k ∈ {1, . . . ,N −1}}.

Demuestre que

card{n ∈ N : a∗n ≥ λ}≤1λ

N−1

∑n=1

an.

50. Sea (an) una sucesión tal quelı́mn→∞

an+1an

= p.

Demuestre quelı́mn→∞

n√

an = p.

51. En 1615 Galileo notó qua la sucesión de los números impares tiene la siguiente propiedad

13=

1+35+7

=1+3+57+9+11

= · · · .

Galileo observó que esta es la única progresión aritmética con esta propiedad. Determine si la afirmaciónde Galileo es correcta. Considere sucesiones para las cuales la razón de la suma de los primeros ntérminos sobre la suma de los siguientes n términos es constante (ver [12]).

52. Sea (an)n una sucesión no creciente de números no negativos,

an ≥ an+1 ≥ 0 para todo n ∈ N. (1.3)

Denotraremos por C la siguiente condición: Para cada x > 1 y u ∈ R el siguiente lı́mite existe

lı́mu→∞ ∑u

34 1 Números Reales

Sea (an)n tal que satisface 1.3. Demuestre que si (an)n también satisface C entonces lı́mn→∞ nan existe.El recı́proco de este resultado también es válido (ver [14]).

53. J.H. Conway consideró la siguiente sucesión (ver [11]),

1,1,2,2,3,4,4,4,5,6,7,7,8,8,8,8,9, . . .

definida recursivamente del siguiente modo, a1 = a2 = 1 y para n ≥ 3

an = aan−1 +an−an−1 .

Demuestre que

lı́mn→∞

ann

=12.

54. La sucesión de Golay-Rudin-Shapiro (ver [4]) se define recursivamente por

a0 = 1 , a2n = an y a2n+1 = (−1)nan.

Sea s(n) = ∑nk=0 ak. Demuestre que para todo n ∈ N se tiene que s(n)> 0.55. Dada una sucesión (an)n podemos construir una nueva sucesión (bm)m del siguiente modo (ver [14]).

Sea d ∈ N, para cada m ∈ N definamos bm como el m−ésimo término de la sucesión que se construyeconcatenando nd veces el término an, del siguiente modo:

a1, . . . ,a1︸ ︷︷ ︸d,a1 términos

, a2, . . . ,a2︸ ︷︷ ︸2d,a2 términos

, a3, . . . ,a3︸ ︷︷ ︸3d,a3 términos

, . . .

Por ejemplo si an = n y d = 1 entonces (bm)m viene dada por

1,2,2,3,3,3,4,4,4,4, . . .

Demuestre que bm = a f (m). Donde f : N→ N se define por

f (m) =

⌈√⌈2md

⌉+

12

⌉−1 y 4x5= mı́n{n ∈ Z : x ≤ n}.

56. S. Ulam introdujo la siguiente sucesión, sean u1 = 1 y u2 = 2. Construimos una sucesión creciente deenteros. Un número entero un pertenece a la sucesión si puede escribirse de manera única como la sumade dos números pertenecientes a la sucesión, es decir un = um +uk con m,k < n. Los primeros términosson

1,2,3,4,6,8,11,13,16,18,26,28,36,38,47,48,53,57, . . .

Aparte de 1+2= 3 puede la suma de dos elementos consecutivos de la sucesión pertenecer a la sucesión,un +un+1 = um? Existen gaps arbitrariamente largos en esta sucesión? (ver [16]).

57. Sean (an)n y (bn)n dos sucesiones tales que

lı́mn→∞

ana1 +a2 + . . .an

= 0 y lı́mn→∞

bnb1 +b2 + . . .bn

= 0.

Demuestre que la sucesión definida por

rn = a1bn +a2bn−1 +a3bn−1 + · · ·+anb1,

es tal quelı́mn→∞

rnr1 + r2 + . . .rn

= 0.

1.4 Ejercicios 35

58. Sean a1,a2, . . . ,al enteros positivos distintos de uno y sin factores comunes. Denotemos por An el númerode soluciones enteras, no negativas de la ecuación

a1x1 +a2x2 + · · ·+alxl = n.

Demuestre que

lı́mn→∞

Annl−1

=1

a1a2 · · ·al(l −1)!.

59. Demuestre que si (an)n es una sucesión tal que toda subsucesión (bn)n es tal que

lı́mn→∞

∣∣∣bn+1bn

∣∣∣≤ 1,

entonces existen a lo más dos puntos a los que converge toda subsucesión convergente.60. De un ejemplo de una sucesión (an)n∈N tal que para todo m ∈ N existe una subsucesión (an)n∈Nm , de

modo ésta que converja a m.61. Sea (an)n una sucesión acotada tal que an )= 0, para todo n ∈ N. Demuestre que existe una subsucesión

(bn)n tal que la sucesión (bn+1bn

),

converge (ver [5]).62. Utilizando la definción de lı́mite superior dada en el ejemplo 1.42 demuestre que

a) lı́msup(xn + yn)≤ lı́msupxn + lı́msupyn.b) lı́msup(ynxn)≤ (lı́msupxn)(lı́msupyn).

Construya ejemplos donde las desigualdades son estrictas.63. Sea (an)n una sucesión de números positivos tal que

lı́mn→∞

an = 0.

Demuestre que existen infinitos ı́ndices ni ∈ N para los que ani > am, donde m ∈ N es tal que m > ni.64. Demuestre que

lı́mn→∞

log(n+1)logn

= 1.

65. Demuestre quelı́mn→∞

n√n! = ∞.

66. Sean (xn)n,(yn)n dos sucesiones, demuestre que

a) Si lı́mn→∞ xn =+∞ e (yn)n es acotada inferiormente, entonces

lı́mn→∞

(xn + yn) = +∞.

b) Si lı́mn→∞ xn =+∞ y existe c > 0 tal que yn > c para todo n ∈ N, entonces

lı́mn→∞

xnyn =+∞.

c) Sea xn > 0 para todo n ∈ N, entonces

lı́mn→∞

xn = 0 ⇔ lı́mn→∞1xn

=+∞.

67. Sean (xn) e (yn) dos sucesiones tales que xn,yn ≥ 0. Demuestre que

36 1 Números Reales

(a) Si existe c > 0 tal que xn > c para todo n ∈ N y si lı́mn→∞ yn = 0, entonces

lı́mn→∞

xnyn

=+∞.

(b) Si (xn)n es acotada y lı́mn→∞ yn