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ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

(Apuntes sin revisión para orientar el aprendizaje)

INTEGRALES CURVILÍNEAS

(Material de apoyo y orientación para preparar el tema) Las integrales curvilíneas constituyen el estudio de funciones sobre curvas. LÍMITE DE UNA SUMATORIA Considérese una curva suave en el plano xy con ecuaciones paramétricas: ( ) ( ); ;x f t y g t a t b= = ≤ ≤ , donde

las funciones f y g son continuas en el intervalo ,a b⎡ ⎤⎣ ⎦ y

tienen primeras derivadas continuas en ( ),a b .

t a=

0x 1x 1ix − iξ ix nx

t b=

C

( ),i iξ η

iyiη1iy −

1y

0y

y

x


2

( ) ( )

( ) ( )

0 1

0 1

lim , ,

lim , ,

n

i i ii Cn

i i ii C

F x F x y dx

F y F x y dy

ξ η

ξ η

Δ →=

Δ →=

Δ =

Δ =

∑ ∫

∑ ∫

En muchas ocasiones se trabaja con las dos integrales como:

( ) ( ), ,C

M x y dx N x y dy+∫

Otra forma

( ) ( )( )

( )

1 1

,

,, ,n nx y

x yM x y dx N x y dy+∫

Ejemplo. Evaluar la integral de línea

y

C

yz dx e dy senzdzx

+ +∫

donde C es la curva dada por:

3 2; ; ; 2 3x t y t z t t= = = ≤ ≤ Solución.

3 2

2

3

2

x t dx t dty t dy dtz t dz tdt

= ⇒ == ⇒ =

= ⇒ =

( )3 2 2

2

33 2

2

3 2

cos 31.96

y t

C

t

yz dx e dy senzdz t e tsent dtx

t e t

+ + = + +

⎡ ⎤= + −⎣ ⎦

∫ ∫


3La integral curvilínea también se puede expresar en términos del parámetro longitud de arco como:

( ) ( ) ( )( )2 2

, ,b

aC

dx dyF x y dS F f t g t dtdt dt

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ ∫

Ejemplo. Evaluar la integral curvilínea

C

xy dS∫ donde la curva

C tiene como ecuaciones paramétricas a:

3cos ; 2 ; 02

x t y sent t π= = ≤ ≤

Solución: 7.6C

xy dS =∫

Propiedades de la integral curvilínea Son semejantes a las tratadas en el cálculo con una variable independiente. EXISTENCIA DE LA INTEGRAL CURVILÍNEA Teorema. Sea ( ) ( ), ,

C

M x y dx N x y dy+∫ , donde M y N

son funciones continuas cuyos dominios incluyen a la curva C , la cual está dada por: ( ) ( ); ;x f t y g t a t b= = ≤ ≤ ,

donde las funciones f y g son diferenciables en ( ),a b . Entonces la integral curvilínea existe y equivale a:

( ) ( ), ,b

a

dx dyM x y N x y dtdt dt

⎡ ⎤+⎢ ⎥⎣ ⎦∫


4

C

Ejemplo. Evaluar la integral de línea 2 2

C

x y dx xydy+∫ del

punto ( )1,1− al punto ( )2,4 : a) En la dirección de la recta que los une. Solución: 39.6 b) Sobre la trayectoria de la parábola 2y x= . Solución:

31.6 c) Sobre la trayectoria que va de ( ) ( )1,1 a 2,1− y de

( ) ( )2,1 2,4a . Solución: 18 (trazar la gráfica en cada caso). Ejemplo. Evaluar la integral curvilínea

2 2

C

yz dx zx dy x y dz+ +∫

donde C es la hélice cuyas ecuaciones paramétricas son:

cos ; ; ; 0 22tx t y sent z t π= = = ≤ ≤

Solución: 8π

Ejemplo. Evaluar la integral cos

C

z senzdx dy zdzx y

+ +∫ , si la

trayectoria C está dada por: 3 3 7cos ; ; ; 0

2x t y sen t z t t π= = = ≤ ≤

Solución: 54.45 Trayectoria cerrada

C

Mdx Ndy+∫


5

Ejemplo. Evaluar la integral curvilínea

( ) ( )2 2C

x y dx x y dyx y

+ − −

+∫

donde C es la circunferencia 2 2 2x y a+ = . Solución: 2π− INDEPENDENCIA DE LA TRAYECTORIA Teorema. Si ( ) ( ), ,M x y y N x y son funciones continuas y diferenciables en una cierta región abierta del plano xy , entonces la integral de línea ( ) ( ), ,

CM x y dx N x y dy+∫ es

independiente de la trayectoria y se puede escribir como

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )2 2

1 1

,

2 2 1 1,, , , ,

x y

x yM x y dx N x y dy F x y F x y+ = −∫

sí y sólo si la expresión ( ) ( ), ,M x y dx N x y dy+ es una diferencial exacta, es decir, que existe una función F para la cual es su diferencial total. Conclusiones que se desprenden del teorema anterior: Si ( ) ( ), ,M x y dx N x y dy+ es una diferencial exacta en una región del plano xy , entonces:

( )

( )

( )

( )2 2 1 1

1 1 2 2

, ,

, ,) 0

x y x y

x y x yi Mdx Ndy Mdx Ndy+ + + =∫ ∫

)ii Si C es una curva suave cerrada,

( ) ( ), , 0C

M x y dx N x y dy+ =∫


6

( ) ( )( )

( )2 2

1 1

,

,) , ,

x y

C x yiii M x y dx N x y dy Mdx Ndy+ = +∫ ∫

( ) ( )2 2 1 1, ,F x y F x y= − donde dF Mdx Ndy= + con cualquier trayectoria. Ejemplo. Sea la integral curvilínea

( ) ( )2 2 2

; 0,0,0 3,4,5C

xdx ydy zdz de ax y z+ +

+ +∫

)i Verificar que el integrando es una diferencial exacta. )ii Obtener su valor sin utilizar trayectoria. )iii Utilizar la trayectoria que va de ( )0,0,0 a ( )3,0,0 , de

( )3,0,0 a ( )3,4,0 y de ( )3,4,0 a ( )3,4,5 . Solución: 5 2 Ejemplo. Dadas las funciones

( )

( )

2, sec sec cos cos

, tan sec tan

M x y x y x yy

N x y x y y senxseny

= +

= −

y los puntos 0, ,6 3 4

P y Qπ π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠


7

)i Evaluar la integral curvilínea ( ) ( ), ,C

M x y dx N x y dy+∫

si C consta de dos segmentos que van de 0,6π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

a ,3 6π π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

y

de ,3 6π π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

a ,3 4π π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

.

)ii Verificar que Mdx Mdy+ es una diferencial exacta. )iii Encontrar ( ),F x y tal que dF Mdx Ndy= + .

)iv Evaluar ( ) ( ), ,C

M x y dx N x y dy+∫ a través del cálculo

de , 0,3 4 6

F Fπ π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Solución: 5 6

4

LA INTEGRAL DE LÍNEA Y EL GRADIENTE Sea la expresión Mdx Ndy+ que es una diferencial exacta. Entonces existe una función F tal que dF Mdx Ndy= + ,

donde ( ) ( ), ,F FM x y y N x yx y∂ ∂

= =∂ ∂

. Como el gradiente

de F es F FF i jx y

∧ ∧∂ ∂∇ = +

∂ ∂ y si se define al vector dr como

dr dx i dy j∧ ∧

= + , entonces dF F dr= ∇ ⋅ por lo que la integral

de línea se interpreta como C C

Mdx Ndy F dr+ = ∇ ⋅∫ ∫ .


8INTEGRAL CURVILÍNEA DE UN CAMPO VECTORIAL Sea un campo vectorial dado por

( ) ( ) ( ) ( )1 2 3, , , , , , , ,v x y z v x y z i v x y z j v x y z k∧ ∧ ∧

= + +

y la trayectoria C definida por: ( ) ( ) ( ); ;x f t y g t z h t= = =

Entonces

( ) ( )( )

( )2 2 2

1 1 1

, ,

, ,, ,

x y z b

x y z av x y z dt v t dt=∫ ∫

( ) ( ) ( )1 2 3

b b b

a a av t dt i v t dt j v t dt k

∧ ∧ ∧⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ∫ ∫

Ejemplo. Sea el campo vectorial 2v x i xz j xy k∧ ∧ ∧

= + y la trayectoria 2; 2 ;x t y t z t= = = . Decir si existe la

integral ( )

( )1,2,1

0,0,0vdt∫ y en caso afirmativo, calcularla.

Solución: 1 1 23 4 3

i j k∧ ∧ ∧

+ +

Ejemplo. Sea el campo 2v xy i y j∧ ∧

= + y la curva

cos 02

cos 22

t i sent j tr

t i sent j t

π

π π

∧ ∧

∧ ∧

⎧ + ∀ ≤ ≤⎪⎪= ⎨⎪ + ∀ ≤ ≤⎪⎩

Ver si existe ( )

( )1,0

1.0vdt

−

∫ y en caso afirmativo, calcularla.


9

Solución: 1 52 4

i jπ∧ ∧

− +

Ejemplo. Encontrar la función vectorial ( )r t que define la posición de una partícula, si su velocidad está dada por

( )' ln 2tr t e i t j t k∧ ∧ ∧

= − + y se sabe además que cuando 1t = su

posición la expresa el vector ( )1r j k∧ ∧

= − .

Solución: ( ) ( ) ( ) ( )2ln 2tr t e e i t t t j t k∧ ∧ ∧

= − − − + −

Ejemplo. Considérese el campo vectorial

( ) ( ) ( )u y z i z x j x y k∧ ∧ ∧

= − + − + − y la trayectoria C definida por:

cos ; ;x a t y asent z bt= = = Investigar si existe y calcularla, en el intervalo 0,2π⎡ ⎤⎣ ⎦ , la

integral Cudt∫ .

Solución: 2 22 2b i b jπ π∧ ∧

− + INTEGRAL CURVILÍNEA COMO TRABAJO

CW F dr= ⋅∫

( )C C C

drW F dr F ds F T dsds

⎛ ⎞= ⋅ = ⋅ = ⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ ∫ ∫


10El trabajo y la energía cinética

( ) ( )2 21 1

2 2CW F dr W m v b m v a= ⋅ = −∫

Ejemplo. Determinar el trabajo que se produce al mover, en contra de la gravedad, una partícula de masa " "m , a lo largo de la curva C dada por: cos ; ;x t y sent z t= = = ,

del punto ( )1,0,A π− al punto 30, 1,2

B π⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Solución. Para calcular el trabajo se utiliza la expresión:

( )C CW F dr F T ds= − ⋅ = − ⋅∫ ∫

El signo menos es porque se trata de un trabajo para vencer un campo de fuerza, el cual está dado por

F mgk= − Por otro lado, recuérdese que

drdtTdrdt

=

Luego, si ( ) cosr t t i sent j t k∧ ∧ ∧

= + + , entonces:

( ) ( )( )

2 2' cos ' cos 1

' 2

r t sent i t j k y r t sen t t

r t

∧ ∧ ∧

= − + + = + +

⇒ =

Por lo tanto 1 cos2

T sent i t j k∧ ∧ ∧⎛ ⎞= − + +⎜ ⎟

⎝ ⎠


11Además

2 2 22 2cos 1 2dx dy dzds sen t t

dt dt dt⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + = + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

y los extremos de integración para el parámetro " "t son los mismos que para " "z , por lo que:

32

32

1 cos 22

2

W mgk sent i t j k dt

W mg dt mg

π

π

π

π

π

∧ ∧ ∧ ∧⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − ⋅ − + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

∴ = =

∫

∫

Ejemplo. Se tiene una carga eléctrica de 2 coulombs situada en el origen del sistema de coordenadas xy . Si se coloca otra carga de 1coulomb y de igual polaridad en el punto ( ),x y , las dos se repelerán con la fuerza:

( ) ( )3 3

2 2 2 22 2

2 2x yF i jx y x y

∧ ∧

= ++ +

expresión que se obtiene de aplicar la ley de Coulomb para dos cargas eléctricas que se atraen o se repelen. )i ¿Cuánto trabajo será realizado por la fuerza F en la carga

de 1coulomb al moverse de ( )3,1A a ( )4,6B en la línea recta que une a estos puntos? )ii ¿Cuánto trabajo será realizado por F al moverse dicha

carga en la dirección del semicírculo 2 2 4 ; 0x y y+ = ≥ y en el sentido de las manecillas del reloj? Solución: ) 0.36 ; ) 0i W ii W =


12

Ejemplo. Sea el campo de fuerzas F y i x j∧ ∧

= − . Calcular el trabajo realizado en el movimiento de una partícula del origen al punto ( )1,1 :

)i A través de la parábola 2y x=

Solución: 13

W = −

)ii A través de la recta y x= Solución: 0W =

)iii A través de la línea recta quebrada que va de

( ) ( )0,0 0,1a y de ( ) ( )0,1 1,1a . Solución: 1W =

)iv A través de la parábola 2y x= .

Solución: 13

W =

Ejemplo. Sea el campo de fuerzas F y i x j∧ ∧

= + . Calcular el trabajo realizado al moverse una partícula del origen al punto ( )1,1 :

)i A través de la parábola 2y x= . Solución: 1W = )ii A través de la recta y x= .

Solución: 1W = Ejemplo. Evaluar el trabajo realizado por un campo de fuerza dado por:

( ) 2 4 4 2 3, , 2 4F x y z y z i xyz j xy z k∧ ∧ ∧

= + +

al moverse un objeto del punto ( )0,0,0A al punto ( )2,4,8B : )i Por la línea recta que une a los puntos A y B .


13

)ii Por la parábola 2

2yz = del punto A al punto ( )0,4,8 y

de este punto hasta B en línea recta. )iii Del punto A en línea recta al punto ( )2,4,0 y de él en

línea recta hasta el punto B . Solución: 131,072W = Nota. El trabajo resultante en el movimiento de una partícula de un punto a otro, sobre una determinada trayectoria suave, puede ser positivo si el campo de fuerza actúa en la dirección del movimiento; negativo cuando el campo actúa en dirección opuesta y puede ser nulo cuando dicho campo y la dirección del movimiento son ortogonales. CAMPO DE FUERZA CONSERVATIVO Un campo de fuerza F es conservativo si el trabajo W , realizado al moverse una partícula de masa unitaria de un punto A a un punto B , es independiente de la trayectoria utilizada. Sea el trabajo dado por

( ) ( ) ( ), , , , , ,C

W M x y z dx N x y z dy P x y z dz= + +∫

Si se trata de un campo de fuerza conservativo, se puede expresar lo siguiente: Si Mdx Ndy Pdz+ + es una diferencial exacta, o bien, su expresión equivalente ( ), ,F x y z es el gradiente de la función

escalar ( ), ,f x y z , entonces a ésta última función se le conoce como función potencial y se cumple que:


14

( )

( )

( )

( )2 2 2 1 1 1

1 1 1 2 2 2

, , , ,

, , , ,) 0

x y z x y z

x y z x y zi f dr f dr∇ ⋅ + ∇ ⋅ =∫ ∫

)ii Si C es una curva suave cerrada: 0C

f dr∇ ⋅ =∫

( ) ( )( )

( )2 2 2

1 1 1

, ,

2 2 2 1 1 1, ,) , , , ,

x y z

x y zC

iii f dr f dr f x y z f x y z∇ ⋅ = ∇ ⋅ = −∫ ∫

LEY DE LA CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA Para un campo conservativo

( ) ( ) ( ) ( )2 21 1

2 2A m v a B m v bϕ ϕ+ = +

IRROTACIONAL Y CAMPO CONSERVATIVO El rotacional de un campo conservativo es cero y por lo tanto se trata de un campo irrotacional. CONCLUSIÓN IMPORTANTE F es un campo conservativo sí y sólo si:

)C

i F dr⋅∫ es independiente de la trayectoria

)ii F dr⋅ es una diferencial exacta

)iii F f= ∇ donde f es el potencial de F

)iv Es irrotacional, es decir, que 0F∇× = Nota. Se da la doble implicación entre todas estas afirmaciones.


15 Ejemplo. Dado el campo de fuerza

cos cosx x xF e senyz i ze yz j ye yz k∧ ∧ ∧

= + +

y los puntos ( ) 50,0,0 1, ,2

A y B π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

.

)i Calcular el trabajo que realiza el campo -sin investigar si es conservativo- al transportarse una partícula de A a B a

través de las líneas rectas que van de ( ) 50,0,0 0,0,2

a ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

y de 5 50,0, 1, ,2 2

a π⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

.

)ii Comprobar que F es un campo conservativo a partir de la diferencial exacta.

)iii Comprobar que F dr⋅ es independiente de la trayectoria a partir del rotacional y calcular el trabajo a través del potencial. Solución: W e= LA INTEGRAL CURVILÍNEA EN OTROS SISTEMAS COORDENADOS Sea el sistema curvilíneo ortogonal dado por

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

1 1

2 2

3 3

, , , ,

, , , ,

, , , ,

u g x y z x f u v w

v g x y z y f u v w

w g x y z z f u v w

= =

= =

= =

r x i y j z k dr dx i dy j dz k∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧

= + + ⇒ = + + Como , ,x y z dependen de , ,u v w entonces:


16

x x xdx du dv dwu v wy y ydy du dv dwu v wz z zdz du dv dwu v w

∂ ∂ ∂= + +∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

= + +∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

= + +∂ ∂ ∂

Si se sustituye en dr y se agrupan términos, se llega a:

x x xdr du dv dw iu v w

y y ydu dv dw ju v wz z zdu dv dw ku v w

∧

∧

∧

∂ ∂ ∂⎛ ⎞= + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠∂ ∂ ∂⎛ ⎞+ + + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠∂ ∂ ∂⎛ ⎞+ + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

r r rdr du dv dwu v w∂ ∂ ∂

= + +∂ ∂ ∂

Pero, como ya se había visto,

; ;u v wu v wr r rh e h e h eu v w∂ ∂ ∂

= = =∂ ∂ ∂

donde , ,u v we e e son los vectores unitarios asociados al nuevo sistema de coordenadas, el cual se está suponiendo que es ortogonal. Si se sustituyen estas expresiones en dr se obtiene:

u v wu v wdr h due h dve h dwe= + +


17Por lo tanto, la integral curvilínea de

( ) ( ) ( ), , , , , ,u v wF P u v w e Q u v w e R u v w e= + +

a lo largo de la curva C está dada por:

( ) ( )( )

, , , ,

, ,u vC C

w

F dr h P u v w du h Q u v w dv

h R u v w dw

⋅ = +

+

∫ ∫

Para evaluar esta integral se deben sustituir las variables

, ,u v w por las expresiones paramétricas que describen a la curva. Considérense los casos cilíndrico y esférico SISTEMA CILÍNDRICO

1cos

1z

hxy sen hz z h

ρ

θ

ρ θρ θ ρ

=== ⇒ == =

En este sistema, la integral curvilínea se expresa como:

C CF dr Pd Qd Rdzθρ ρ⋅ = + +∫ ∫

SISTEMA ESFÉRICO

cos 1

cos

rx r sen hy rsen sen h rz r h rsen

ϕ

θ

θ ϕθ ϕϕ ϕ

= == ⇒ == =


18La integral curvilínea se expresa como:

C CF dr Pdr rQd rsen Rdϕ ϕ θ⋅ = + +∫ ∫

Ejemplo. Un campo de fuerza bidimensional está dado en coordenadas polares por la ecuación

( ) ( )( )

2

2

, 4 cos 4

4 4 cos

F sen sen e

sen sen e

ρ

θ

ρ θ θ θ θ

θ θ θ

= − +

+ +

Calcular el trabajo realizado en el movimiento de una partícula del punto A al punto B , de cordenadas polares ( ) ( )1, 0 0,y ∞ , respectivamente, a lo largo de la espiral

cuya ecuación polar es e θρ −= . Solución. Las componentes de F son:

( )

( )

2

2

, 4 cos 4

, 4 4 cos

P sen seny

Q sen sen

ρ θ θ θ θ

ρ θ θ θ θ

= − +

= +

Además, C está dada por e θρ −= con 0,θ ∈ ∞⎡ ⎤⎣ ⎦ ⇒ d e dθρ θ−= −

por lo que

( )2

0

2

4 cos 4

4 4 cos

C CF dr Pd Qd

sen sen e d

e sen sen d

θ

θ

ρ ρ θ

θ θ θ θ

θ θ θ θ

∞ −

−

⋅ = +

⎡ ⎤= − + − +⎣ ⎦

⎡ ⎤+ +⎣ ⎦

∫ ∫∫


19expresión que al desarrollarse y simplificarse da

0 08 cos 4 2

CF dr e sen d e sen dθ θθ θ θ θ θ

∞ ∞− −⋅ = =∫ ∫ ∫

2e sen dθ θ θ−∫

2;

2cos2

2 2 2 cos2

u sen dv e ddu d v e

e sen d e sen e d

θ

θ

θ θ θ

θ θθ θ

θ θ θ θ θ

−

−

− − −

= == = −

⇒ = − +∫ ∫

cos2e dθ θ θ−∫

cos2;

2 2

cos2 cos2 2 2

u dv e ddu sen d v e

e d e e sen d

θ

θ

θ θ θ

θ θθ θ

θ θ θ θ θ

−

−

− − −

= == − = −

⇒ = − −∫ ∫

2 2 2 cos2e sen d e sen eθ θ θθ θ θ θ− − −= − −∫

4 2e sen dθ θ θ−− ∫

( )

5 2 2 2 cos2

2 2 2cos25

e sen d e sen e

ee sen d sen C

θ θ θ

θθ

θ θ θ θ

θ θ θ θ

− − −

−−

= − −

⇒ = − + +

∫

∫

( )0

0

4 84 2 2 2cos25 5

e sen d e senθ θθ θ θ θ∞

∞ − −⎡ ⎤= − + =⎢ ⎥⎣ ⎦∫

Por lo tanto, el trabajo pedido es 85

W =


20 Ejemplo. Supóngase que en una cierta región del espacio existe un campo eléctrico dado por

10 4 7 ; NE e e eC

ρ ϕ θ⎛ ⎞= + + ⎜ ⎟⎝ ⎠

Calcular el trabajo efectuado por una fuerza que actúa sobre un electrón en contra del campo eléctrico, cuando el electrón se mueve desde el punto de coordenadas esféricas

20, 0, ,9π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

hasta el punto 220, ,9 9π π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

a lo largo de la

trayectoria 20

:9

r mC πθ

=⎧⎪⎨

=⎪⎩

Solución. Se sabe que la fuerza que ejerce un campo eléctrico E sobre una carga eléctrica de magnitud q, es igual a qE . Por lo tanto el trabajo pedido está dado por

CW q E dr= − ⋅∫

Aquí, las componentes del campo son ( ) ( ) ( ), , 10 ; , , 4 ; , , 7P r Q r R rϕ θ ϕ θ ϕ θ= = =

Además, como 20

0 09

rdr y dθπθ

=⎧⎪ ⇒ = =⎨

=⎪⎩

y la única coordenada que varía es ϕ . Así,


21

( ) ( )( )

( )( )( )( )

220, ,9 9

20, 0,9

29

0

10 0 4 20

1607 20 0 809

CE dr d

sen d

π π

π

π

ϕ

πϕ ϕ

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

⋅ = + +

+ = =

∫ ∫

∫

y como la carga de un electrón es: 191.6 10q −= − × coulombs, entonces el trabajo pedido está dado por:

( )19

18

1601.6 109

8.93 10 joules

CW q E dr

W

π

−

⎛ ⎞= − ⋅ = − − × ⎜ ⎟⎝ ⎠

= ×

∫

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